Electromagnetismo Electromagnetismo
Pedagogía en Física
R. Lagos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Un capacitor de lleno de aire está compuesto de dos placas paralela, cada una con un área
76 []
de , separadas por una distancia de 1,8 [mm]. Si se aplica una diferencia de potencial de 20 [V] a esas placas, calcule a) el campo eléctrico entre las mismas, mismas, b) la densidad de carga superficial, c) la capacitancia, y d) la carga sobre cada placa.
DATOS
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR
C = d∙ s ; ∆ = E ∙ dx ; E = Kr∙2Q ε
7.6∙10−−[m] 1.8∙10 [m] ∆ = 20[ 20[ ] − =8.85∙10 [C N ∙ m ]
S= d=
φ
a) El campo eléctrico se calculará por medio de la definición de potencial eléctrico, eléctrico, el cual en este caso caso es constante, constante, entonces:
∆ =E∙d E=∆ φ
ε
Por los tanto el campo eléctrico es:
φ
d
b) Para obtener la densidad de carga superficial, utilizaremos la ecuación de campo eléctrico:
E = Kr∙Q = 4 1 ∙ rQ ε
Si ordenamos la ecuación, nos queda:
E = 1 ∙ 4 Qr =
ε
ε
Por lo tonto la densidad de carga superficial es:
= ∙
c) La capacitancia se calcula simplemente utilizando la definición de capacitancia para placas paralelas:
C = d∙ s ε
d) Ya que un capacitor posee la misma carga en cada placa, pero con signos opuestos, basta con calcular la carga de una sola placa:
= ∙∆
φ
RESULTADO a)
1.11∙10[Vm] ; b) 9.83∙10−[Cm] ; c) 3.74∙10−[F] ; d) 7.47∙10−[C]
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2. Un capacitor esférico de
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20[]
está compuesto de dos esferas metálicas, una con un radio dos veces mayor que la otra. Si la región es el vació, determine el volumen de esta región.
DATOS
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR
C = ∆ ; ∆ = K∙qr
2∙10−[F] b=2a − =8.85∙10 [C N∙m ] C=
φ
φ
El volumen de la región donde se encuentre el vació será la diferencia del volumen de las esferas:
V = = 43 43
ε
Por lo tanto ahora debemos encontrar los radios a y b, lo cual se puede hacer per medio del potencial eléctrico para una carga puntual:
∆ = = K∙q K∙q ∆ = 4 ∙
φ
φ
Remplazamos este resultado en la ecuación para la capacitancia:
C = ∆ = 4 0 C=8 0
φ
Pero
b=2a
, entonces el radio a queda como:
=8
Entonces el volumen es:
V = 43 2 ) 43 4 V = 3 4 8 7∙ V = 384∙ ∙
RESULTADO
2.13∙10 [m]
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3. Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b para el grupo de capacitores conectados como se muestra en la figura si
DATOS
C =5∙10− −[F] C = 10 [F]− C =2∙10 [F]
C = 5[F]C = 10[F] C = 2[F]
.
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR
1 = 1 ; C = C C C
Para obtener la capacitancia equivalente del sistema, solo basta con sumar todas las capacitancias presentes, según la configuración que tengan. De la figura se puede ver claramente que C1 y C2 están en serie, por lo tanto:
1 =1+1 C C = 11+∙ 22
Ahora la Ceq1 está en paralelo con C 3, sin embargo multiplicaremos por 2 Ceq1, debido a que esta configuración se repite dos veces:
C =2 +
Por ultimo Ceq2 está en serie con los dos capacitores C 2, que a su vez están en paralelo entre ellos, por lo tanto la capacitancia total del circuito es:
C C
RESULTADO
6.04∙10− [ ]
= C 1 + 21 ∙2 = +2
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4. Una placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas de espaciamiento “s” y área superficial A, como se muestra en la figura. La placa no necesariamente está a la mitad entre las placas del capacitor. ¿Cuál es la capacitancia del sistema.
DATOS
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR
C = dA
d, A, s,
ε
Para encontrar la capacitancia del sistema, como la placa es conductora podemos visualizar las placas del capacitor como dos capacitores en serie, tal como se muestra en la figura (a), entonces:
-
1 =1+1 Ce C C
Figura (a)
Ce = CC11+C∙C22 1) Como nos dicen que no necesariamente la placa se encuentra a la mitad del capacitor, entonces llamaremos d 1 y d2 a la distancia de C1 y C2 a la placa conductora, por lo tanto:
C = dA ; C = dA ε
ε
Remplazamos C1 y C2 en (1) y utilizamos la siguiente relación:
s= + +
Podemos encontrar la capacitancia del sistema.
RESULTADO
Ce = A ε
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5. Cuando se pone el interruptor S a la izquierda de la figura, las placas del capacitor C 1
∆V
adquieren una diferencia de potencial , C 2 y C 3 no llevan cargas inicialmente, ¿Cuáles son las cargas finales, q 1, q 2, q3, en los capacitores correspondientes, si el interruptor S se mueve hacia la derecha?
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR
DATOS
C = ∆Vq
∆
Cuando C1 es conectado a la izquierda del circuito, obtiene una carga q0, entonces:
C = ∆Vq q = C ∙∆V
C2 y C3 están en serie, entonces poseen la misma carga q 2 = q3 y su capacitancia equivalente es:
Ce = C1 + C1 = CC22+C∙C33 Cuando se mueve el interruptor S a la derecha, el capacitor C 1 queda con una carga final q 1 y proporciona una diferencia de potencial , que será el mismo para C eq:
C = ∆Vq = ∙∆
Donde
∆V
∆V
es:
∆V = = + ∆V q = q +q C ∙∆V = C ∙∆V +q = ∙∆ ∙∆
Por conservación de la carga, inicial. Entonces:
, ya que es la carga
RESULTADO
∙∆V ∙C2 + C3)
q = ∙C2 +C3) +C2 ∙C3 ; q = C ∙∆V 1 ∙C2∙+CC23+) +CC3)2 ∙C3 ; = q
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1- Considerando la Tierra y una capa de nubes de 800[m] sobre la superficie terrestre como las 2 “placas” de un capacitor, calcule la capacitancia si la capa de nubes tiene un área de 1[km ]. Suponga que el aire entre la nube y el suelo es puro y seco. Suponga que la carga acumulada en la nube y el suelo hasta un campo eléctrico uniforme con una magnitud de a través del espacio ellos hace que el aire se rompa y conduzca electricidad como un relámpago. ¿Cuál es la máxima carga que puede soportar la nube?
310[NC]
2- Dos capacitores, cuando están conectados en paralelo producen una capacitancia equivalente C p, y una capacitancia equivalente C, cuando se encuentran en serie. ¿Cuál es la capacitancia de cada capacitor? 3- Considere
el
circuito
mostrado
en la figura, donde . El capacitor C 1 se carga primero cerrando el interruptor S1. Este interruptor se abre después, y el capacitor cargado se conecta al capacitor descargado S2. Calcule la carga inicial adquirida por C 1 y la carga final en cada uno.
= 6[] = 3[] ∆ = 20[]
4- La placa “a” de un capacitor de placas paralelas lleno de aire está conectada a un resorte de constante de fuerza k y la placa “b” está fija. Ambas descansan sobre la parte superior de una mesa, como se indica (vista desde arriba) en la figura. Si una carga +Q se pone en la placa “a” y una carga – Q se pone en la placa “b”, ¿Cuánto se estira el resorte? 5- Cinco condensadores idénticos de capacidad C 0 están conectados en un circuito “de puente” como indica la figura. a) ¿Cuál es la capacitancia equivalente entre los puntos a y b? b) Determinar la capacidad equivalente entre los puntos a y b si el condensador del centro se sustituye por otro de capacidad 10C0.
10[F]
20[F]
6- Se conecta un condensador de en serie con otro de y se aplica al conjunto una batería de 6 [V]. a) ¿Cuál es la capacidad equivalente de esta asociación? b) Hallar la carga de cada condensador. c) Hallar la diferencia de potencial en cada condensador. d) Calcular la energía almacenada en cada condensador.
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7- La figura muestra dos capacitores en serie; la sección central rígida de longitud b se mueve verticalmente. Demuestre que la capacitancia equivalente de la combinación en serie no depende de la posición de la sección central y que está dada por:
A C = ab 8- En la figura se muestra un capacitor variable y lleno de aire como los que sirven para sincronizar las radios. Se conectan placas alternas: un grupo está fijo en su sitio y el otro puede girar. Suponga un conjunto de n placas con polaridad alterna, cada una de ellas con una superficie A y separadas de las placas contiguas por una distancia d. Demuestre que el capacitor tiene una capacitancia máxima de:
A C = 1) d
9- Un capacitor tiene placas cuadradas, de lado a, que forman un ángulo θ como se muestra en la figura. Demuestre que para un ángulo θ, pequeño la capacitancia está dada por:
C = d 1 2 (Sugerencia: el capacitor puede dividirse en franjas diferenciales que están realmente en paralelo.)
