Ejercicios de Álgebra - J. Rivaud-LIBROSVIRTUAL.com

E J E R C I C I O S DE

ALGEBRA

J. R I V A U D Doctor en Ciencias Maitre de Conférences de la Escuela Politécnica, París

EJERCICIO S DE

ALGEBRA Verijón espinóle de EMILIO MOTILVA YLARR1

A G U IL A R

La edición original de la presente obra, incor porada a este fondo editorial con el atesora miento de D. Luis Bravo Gala, ha sido publi cada por la Casa Ubrairie Vuibert, de París, con el titulo de EXERCICES D’ALGÉBRE

PRIMERA EDICION, 1968. Primerareimpresión, 1969.

Depósitolegal M. 22386.-1969. O LibrairieVuibert, 1964.

Aguilar. & A. de Ediciones, JuanBravo,as, Madrid(ame), Printed¡nSpain. ImpresoenEspadapor S.A.I.L.(Sociedad Anónima Industriasdel Libro) CarreteradeVicálvaro,39. Madrid.-1969.

N O T A E D IT O R IA L

En esta edición española de la obra del profesor Rivaud se han reunido en un solo volumen los dos tomos de que consta la edición original de Exercices d'Algébre. Los capítulos X a X V corresponden al tomo I I y están con sagrados exclusivamente a cuestiones de álgebra lineal, en tan to que los nueve primeros capítulos ( tomo I ) contienen ejerci cios variados sobre conjuntos, grupos, anillos, cuerpos, poli nomios y fracciones racionales. Dentro de cada tema figuran numerados consecutivamente los enunciados que se refieren al mismo, y van precedidos de una breve introducción donde se resumen ¡os fundamentos teóricos y se recuerdan los resultados más importantes. El contenido del libro sigue, en líneas generales, un curso paralelo al de la obra de A . Lentin y J. Rivaud Algebra mo derna. de la que constituye un útilísimo complemento.

INDICE G E NE R AL

Cap. Vil—Fracciones racionales ................................................. ? dS S J L ^ to£ ¡£°u k " n H fiffn iV rl^ rS n ^ n ^ in ffi;,

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EJERCICIOS DE A L G E B R A

CAPITULO I CONJUNTOS.

C O M B IN A T O R IA

LEYES DE COMPOSICION

Conjunto». Subconjunto» 1. Subconjuntos— Con certeza, la idea de conjunto es la más general de toda la matemática. Dado un conjunto E, podemos par ticularizar en él subconjuntos (o partes) A, B, C ,d e n o t a m o s con A' el complementario de A, y con 0 el conjunto vacio. Si A y B son dos subconjuntos, A U B (unión de A y B) es el subconjunto constituido por los elementos que pertenecen a uno, al menos, de di chos subconjuntos; finalmente, A O B (intersección de A y B) es el subconjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B (a rao y otro). Evidentemente, A U A '= E ,

A r > A '= 0,

(A T = A .

Para ilustrar estos conceptos podemos utilizar el gráfico adjunto, ea -el que los puntos del cuadrado forman d conjunto E. Las partes A y B son los círculos de la figura; A O B es la parte común; y A U B, la región interior a una a otra de las circunferencias. Ejercicio 1. En el gráfico adjunto se con sideran las cuatro regiones I, II, ni y IV que no se solapan unas con otras. Se pide representartas con ayuda de las letras A, B y de los sigLa región I es la intersección de A ' y V , es decir, A 'H B '; la región n, la intersección de B' y A, o sea B" H A ; la región III, A fl B, y la IV, A' O B. Ejercicio 2. Demuéstrese que el complementario de la intersección de dos

la unión es la intersección de los complementarios. En otras palabras, prué bese que (AflB)'=A 'UB ', (A U B)'=A'O B'. Examinemos la primera de las fórmulas, razonando sobre las di versas clases de elementos determinados por A y B. Todo elemento que pertenece a A y a B, pertenece a su intersec ción ; por tanto, no pertenece al complementario de esta (primer miem bro de la fórmula). Como por la hipótesis hecha no puede pertenecer a A' ni a B', tampoco pertenecerá a A 'U B'. Un elemento que pertenezca a A y a B', no pertenece a A O B; por consiguiente, pertenece al primer miembro y también al segundo. De manera análoga, para los casos A ' y B, y A ' y B'. Utilícese una demostración semejante para la segunda fórmula. Ejercicio 3. Indfquense las regiones del diagrama anterior representadas por las expresiones A' U B', A' n B', A'UB, A U B'. Puesto que A '= I + IV, B '= I+ n , se deduce fácilmente que A 'U B ' = I + n + lV. La expresión precedente es también el conjunto total disminuido en m, o sea (A O B)'; en otras palabras, hemos hallado una de las fórmu las del ejercicio anterior. Tenemos también A ' O B' = I;

A 'U B = I + in + IV;

A U B ' = I + II-rin.

Ejercicio 4. Un conjunto finito consta de n elementos. ¿Cuántos subconjuntos es posible formar, incluidos el conjunto vacío y el propio conjunto? Un conjunto formado por un solo elemento, a, admite dos subconjuntos: a y el conjunto vacío (denotado por 0). Si consta de dos elementos, podremos formar 4 subconjuntos: 0, a, b, áb. Si de tres elementos, obtenemos 8: 0, a, b, c, áb, be, ca, abe, y, en general, para n elementos hallamos 2" subconjuntos. Demostre mos, en efecto, que la adjunción de un nuevo elemento multiplica por 2 el número de subconjuntos. Un subconjunto cualquiera puede o conservarse o bien cabe aña-

J> «ferie el nuevo elemento, y como es fácil ver, se obtienen de este modo todos los subconjuntos buscados, sin omisión ni repetición. Se for man, pues, 2". Ejercicio 5. Se consideran diversos subconjuntos (E¡) de un conjunto finito (E). Sea n, el número de elementos del subconjunto E¡; n¡¡ el número de elementos que pertenecen a la vez a E, y E(: n,¡k el número de elementos qne pertenecen a la vez a E(, E«, Et: etc. ¿Cuántos elementos pertenecen a la unión E, U E2? ¿Cuántos pertenecen ya sea a E,. ya a E2, ya a Ej? La misma cuestión para Ej, E2, Ej, E4. Si se efectúa la suma rti + n2, contamos dos veces los elementos que pertenecen a la vez a E, y E* cuyo número es n,2- La solución que buscamos es, por consiguiente, ni + n2- n u. De manera análoga, los elementos que pertenecen ya sea a E„ ya i E2 o ya a E) son en total

dado que debemos tener en cuenta tres categorías de elementos: los que pertenecen solo a un subconjunto, los que pertenecen a dos y aquellos que pertenecen a los tres. En el caso de cuatro subconjuntos, hallamos Zn,-2n„ + 2w - n 12J4 2. Relación de equivalencia Ejercicio 1. Consideramos el conjun to de las circunferencias de un plano y establecemos entre dos de ellas, y y y". diversas relaciones:

> es divisible por el entero n”? o afirmativo, ¿cuáles son las clases de e<

6

CAP. I: CONJUNTOS. COMBINATORIA. LEYES DE COMPOSICION

La relación es reflexiva porque 0 es divisible por n; simétrica porque a —b y b - a son simultáneamente divisibles, y, finalmente, tran sitiva, ya que a -b = k n y b - c = k 'n implican a -c = (k + k ’)n. Se trata, pues, de una relación de equivalencia. Una clase cualquiera está formada por todos los números equiva lentes a uno dado, a; es decir, por los números b=a+kn, siendo k un entero cualquiera. También es el conjunto de los números que dan el mismo resto al dividirlos por n. Tenemos así n clases, pudiendo caracterizar cada una de ellas por un signo particular. Así, p. ej., para n = 6, las seis clases son: 0, I, 2, 3, *, 5, indicando la barra que no se trata de un número, sino de una clase de números (bien entendido que 0 es la clase de todos los múltiplos de 6). Ejercicio 3. Sean alb y a¡lb¡ dos números racionales. Demuéstrese que la relación ab¡ —ba{ es una relación de equivalencia. Dígase cuáles son las clases de equivalencia. Ejercicio 4. En el conjunto (T) de los trinomios con coeficientes com plejos se define una relación binaria (R). Si yâ^+bx+c

y

z^tfx2+b'x+c'

son dos trinomios (con aa'Ô), el segundo, z, se dice conjugado del primero, y, cuan o p

es

z=e(z-x,)»+/(*-xj)>.

[ 1]

siendo xt y x¡ las raíces de y, con e y f como coeficientes desconocidos. rafees distintas. ¿Sucede lo mismo sin la restricción anterior? 2.» ¿Para qué trinomios es (R) reflexiva? ¿Puede hablarse de transitividad? Dése una interpretación geométrica de (R). 1.” La condición [1] exige que e y f satisfagan las tres relaciones e + f= a ',

e x ,+ f x ¡= ~ ,

ex]+fx\=c’,

que no son, en general, compatibles. Resolviendo las dos primeras hallamos b‘ + 2a'x2 . 2a'jr, + b' e ~ 2(x1~ x,y 2(*j—*i)’

«ELACION PE EQUIVALENCIA_____________________ / y sustituyendo en la tercera, (Xi-x^(2a'x,xi +b'x, + b'x2+ 2tO=0.

[ 1]

Suponiendo x,y¿=x} y sustituyendo x,Xz y x, + x2 por sus valores en función de a, b, c, se llega a 2(a'c + atr>=bb'.

[2]

Esta es la condición necesaria y suficiente para que dos trinomios verifiquen (R). Se observa que dicha relación es simétrica. Si Xi=Xi, z deberá ser de la forma (e + f){x —x¡? y, por consiÜ - A —1 a" ~ b '~ c' La relación es también simétrica. 2.° Lareflexividad exige que 4ac = b2, que solo lacumplen los tri nomios conraíces dobles, lo que conduce a una relación (R) dege nerada. No cabe hablar de transitividad porque elegidos tanto y como u=a"x‘ + b "x + c " arbitrariamente, podemos hallar z de manera que (y, z) y (z, u) veri fiquen (R). Basta tomar a' b' & lab" —Iba" 4ac" —4ca" 2be" —2cb" Pero en general los trinomios y y u n o verificarán (R). Finalmente, la condición [2] puede expresarse con ayuda de las raíces de y y de z; se tiene 2(x,x2+ x',x'j)=(x,+ xá (x'l + x'J. Sobre un eje los puntos de abscisas Xi, x2 son conjugados armóni cos de los puntos de abscisas x1, y De este modo queda puesta en evidencia la simetría de la relación (R).

Combinatoria 3. Nociones generales— Se trata de contar el número de ele mentos de un conjunto finito caracterizado por ciertas propiedades. Así, p. ej., en el apartado 1 hemos contado el número de elementos del conjunto de las partes (subconjuntos) de un conjunto de n ele mentos. Señalemos un resultado sencillo e importante: el conjunto pro ducto 1 de dos conjuntos que constan, respectivamente, de n y p ele mentos comprende np elementos. Ejercicio 1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede recorrer el camino ABCD, si hay tres rutas de A a B. cinco de B a C y tres de C a D? Cualquier camino que vaya de A a D pertenece al conjunto produc to E,xE2xEj (Ei= conjunto de rutas de A a B, etc.), y recíprocamente. Por consiguiente, el número buscado es 32x5=45. Ejercicio 2. ¿Cuántas palabras2 se pueden formar que empiecen y termi nen por una consonante, de modo que en todas ellas entren las letras a, b, c, d? Tenemos 3x2 = 6 posibilidades de elegir las dos letras extremas. Hecho esto, las dos letras restantes pueden colocarse de dos maneras diferentes, lo que hace un total de 6 x 2=12 palabras. Ejercicio 3. Se lanzan simultáneamente cuatro monedas diferentes y se pide el número de maneras distintas en que pueden caer. Cada moneda puede caer de dos formas diferentes y tendremos en

o sea, 16 maneras distintas. 5 cartas sé pueden formar con la condición de que 4 de ellas sean del mismo Cabe elegir de 13 maneras diferentes las 4 cartas. Para cada elec ción hay 48 posibilidades de escoger la quinta carta, lo que hace un total de 13x48. 1Si A y B son dos conjuntos, el conjunto producto está constituido por los pares ordenados (a, 6), con a (= A y b € B. Se denota por A xB. 2Palabra: sucesión ordenada de letras.

Ejercido S. La descomposición en factores primos de un número entero positivo contiene * factores distintos. ¿De cuántas maneras puede descompo nerse dicho número en producto de dos factores primos entre sf? Sea N = p “ip|i ...pj». Siendo primos entre sí los factores que bus camos, p, no debe figurar más que en uno de ellos y, por tanto, eleva do al exponente a Existen dos posibilidades de colocarlo (ya sea en el primero o en el segundo factor); lo mismo sucede con los res tantes pî etc., lo que hace un total de 2‘ descomposiciones, no todas distintas porque cada una de ellas se ha contado dos veces. Por consiguiente, el número pedido es 2‘-1. Ejercicio 6. ¿Cuál es el número de diagonales de un polígono de n lados? De cada vértice parten n - 3 diagonales; por consiguiente, el nú mero pedido es n (n - 3)/2. El divisor 2 tiene en cuenta el hecho de que cada diagonal une dos vértices. Ejercicio 7. Se trazan todas las diagonales de un polígono de n lados (que suponemos convexo para evitar que ciertos vértices estén alineados). se cortan dichas diagonales? Supóngase que dos diagonales no son paralelas y Una diagonal AjA, se corta con n - 4 diagonales en el vértice A V con igual número en A,; por tanto, cortará a _n — 7n +14

— 2(n - 4) -1 =

número de puntos buscado se deduce, pues, del an

terior multiplicando por el de diagonales y dividiendo por 2. Ten dremos n(n - 3) (n*- 7n+14) 8 Ejercicio 8. Sea (E) un conjunto de n letras diferentes. ¿Cuántas palabras girse un número arbitrario de veces? Para la primera letra tenemos n posibilidades; lo mismo sucede para la segunda, puesto que es posible la repetición. Por consiguiente, el número de palabras pedido es n". Las palabras así formadas constituyen las variaciones con repetición d<* las n letras de (E).

La posibilidad de elegir varias veces la misma letra indica que cada palabra es un elemento del conjunto producto (E x E x ... x E) de p factores E. 4. Permutaciones.—Dado un conjunto de n elementos hay n ! maneras de ordenarlo'. Esto equivale a decir que existen n! permu taciones de tales elementos. Si entre ellos se establece un orden natu ral (como sucede, p. ej., con las letras), lo anterior equivale a buscar todas las formas posibles de ordenarlos. Ejercicio 1. Dadas n letras a, b, ..., k, l, calcúlese el número de permuta ciones en las que una de ellas (p. ej., a) ocupa su lugar natural. Generalícese al Si a conserva su sitio, será posible permutar las n -1 letras que si guen, obteniendo ( n - l ) l permutaciones diferentes. En el caso de p letras, hallamos (n -p )l permutaciones. Ejercicio 2. De las permutaciones que se pueden formar con las letras del

El subconjunto complementario se conservará también globalmen te. Las permutaciones buscadas actúan por separado sobre las p letras del subconjunto dado y sobre las n - p del complementario; su núme ro es p l(n -p )l Ejercicio 3. ¿Cuántos números mayores que 2000 se pueden formar con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, sin repetir ninguna? Convenimos en que 0123 es un número de 4 cifras que vale 123. Distingamos los números de 4 cifras (que podremos elegir de 5 ma neras entre las 5 dadas) de los que contienen 5. Con las cifras 0, 1, 2, 3, p. ej., hay que excluir todas las permutaciones que empiecen por 0 ó por 1 (es decir, 12) y quedan otras 12 que satisfacen el enuncia do, etc. En definitiva, hallamos 72 números de 4 cifras y 51-41=96 nú meros de 5, lo que hace un total de 168.

Ejercicio 4. Dadas las n cifras diferentes, a, b, ..., I, demuéstrese que ia S= ( n - 1)! — -— (a+fc+...+J). Todas las cifras desempeñan el mismo papel; así que contemos el número de unidades aportado a la suma S por la cifra a. Si a ocupa el primer lugar a la izquierda representa alO"-1 unidades, y esto sucede en («-1 )1 números. Si ocupa el segundo lugar, su valor es alO'1-2 uni dades, etc. Sumando, encontramos: (n - 1 ) 1
108.

Ejercicio 7. Sean n puntos de un plano, At. A¡ A„, tales que tres cua lesquiera de ellos no estén alineados. Demuéstrese que el número de polígonos de n lados que se pueden construir con ellos es j(n - 1)1 A cada permutación de las letras A,, A2, ..., A„ corresponde un po lígono; pero el recíproco no es cierto, ya que el mismo polígono puede recorrerse, partiendo de un vértice cualquiera, en uno u otro de los dos sentidos de rotación del plano. Existen, pues, 2n permutaciones que originan el mismo polígono; por consiguiente, el número buscado

e s Í T T (n" 1)!

Se forma un polígono de r lados suprimiendo un lado de u gono de n- 1 lados y uniendo los vértices obtenidos con el > punto. Por tanto, cada polígono da lugar a n —!.-■

les a b. con a+p=n. ■Sea (P) el conjunto de las permutaciones pedidas, y (Pi) el de las n!=(a+/3)l permutaciones obtenidas suponiendo que las a o las b son distintas (para distinguirlas podemos añadir un subíndice). Si en una permutación de (P) permutamos las a letras a entre sí, así como las /3 letras b, el elemento de (P) no cambia, pero obtenemos a! x p\ (conjunto producto) elementos de (Pi). Procediendo de esta forma con todos los elementos de (P), se obtendrá, sin omisión ni re petición, el conjunto (P ¡) y, por consiguiente, N = - («+/?)! La generalización es inmediata al caso en que se tienen varias cla ses de objetos: a idénticos a a, f$ idénticos a b, y idénticos a c, etc. Tendremos: (tt-t-/3+ y + ...)I a lfily ! ... 5. Variaciones.—Dado un conjunto (E) de n elementos, se llama variación de estos elementos, tomados p a p, cualquier subconjunto ordenado extraído de (E) que conste de p elementos. Ei número de las V ¡=n(n- 1 ) (n- 2 ) ... (n- p +1).

Ejercicio 2. ¿Cuántas palabras de tres letras podremos formar con dos póngase que el abecedario tiene 27 letras, de las que's son vocales.

Resp.: 3+ Vf + V|.

_______ COMBINACIONES_________________________13 Ejercicio 4. En el sistema de numeración decimal, ¿cuántos números esCon las 10 cifras cabe formar V4I0 variaciones, cada una de las cua les comprende cuatro cifras distintas; sin embargo, para obtener un número del sistema de numeración decimal hay que excluir las varia ciones que empiecen por 0. Por tanto, quedan V}0-V|. Ejercicio 5. Sean n letras a, b, .... I. Dígase el número de variaciones de orden p (tomadas de p en p) que contienen una letra determinada, o. ¿Cuántas Para escribir las VJ variaciones es necesario emplear pV¡¡ letras y cada una de ellas interviene (p/n)V' veces. Este es el número de varia ciones que contienen una letra determinada; p. ej., a. Entre estas, ha llamos de manera análoga ■“ ' x ~—j V j que contienen la letra b. El número de variaciones que contienen a o b se deduce del nú mero total, V¡¡, restando el de las que no contienen ni a ni ó; V ;., Según el ejercicio 5 (pág. 5) se debe verificar la relación n

v: - * 4 vi n(n - 1)

que el lector podrá comprobar. Ejercicio 6. Calcúlese el número de variaciones distintas que se pueden formar con nueve objetos tomados 6 a ó, sabiendo que finco de los nueve objetos son iguales. Distingamos estas variaciones según el número de objetos iguales que contengan. Si consideramos aquellas que poseen cinco, en ellas ha de figurar otro objeto elegido entre 4; las permutaciones de estos seis objetos (61) no proporcionan variaciones diferentes cuando actúan sobre los cinco objetos iguales (51). Por consiguiente, el número de las variaciones consideradas será: 4x61/51=24. En el caso de tener cuatro objetos iguales y dos distintos (elegidos entre 4) obtendremos, análogamente, 6x61/41=180 variaciones. Finalmente, si son tres los objetos iguales, tendremos 480 variacio nes, y si los iguales son dos, 360. El número total de variaciones es, pues, 1044. 6. Combinaciones.—Sea (E) un conjunto de n elementos. Se llama combinación de estos, tomados p a p, todo subconjunto que

14_______ CAP. I: CONIUNTOS. COMBINATOMA. LEVES DE COMPOSICION comprenda p de tales elementos. Si es CJ el número de dichos sub conjuntos, tendremos: , n ( n - l) ( n - 2)...(n -p + l) ^ V\ Evidentemente, V¡¡ = CJxp! Recordemos las fórmulas C;=C;_,+C;:¡. Ejercicio 1. Sea un colegio con 60 alumnos, de los que 12 son internos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una junta compuesta de 6 alum nos, si el presidente (Z) ha de ser interno? Por cada posible presidente tenemos Cf, maneras de elegir los res tantes miembros, de donde el número total será 12-C^,. nos, de los que 16 son señoritas externas y hay 12 alumnos internos. El presi dente es un interno y la junta está compuesta de 4 muchachos y 2 señoritas. Resp.: I2-CJj-C?16. cada *10 niños. Hay 22 niños y 6 monitores. Calcúlese el número de maneras posibles de tener grupos de 10 niños y 2 monitores. Resp.:

15-C».

Se reemplazan las Cj por sus valores y se obtiene E=n + (n - l)+(n —2)4-... +1 = _ * "+ !> . Ejercicio 5. Demuéstrese la ló 1-C'+C‘ -C> + Recordemos la igualdad CJ= CJ_, + CJ;{, que aplicamos sucesiva mente a cada uno de los términos del primer miembro, que se reduce así a un solo término, el del segundo miembro.

Ejercicio 6. Utilícese el resultado del ejercicio 4 (pág. 4) para comprobar la igualdad cj+c¡,+q¡+ ...+ o;= 2 " (C»=D. Recordemos que Cj es el número de subconjuntos de p elementos que es posible extraer de un conjunto E de n elementos. El primer miembro representa el número total de subconjuntos, igual a 2"; C°„ corresponde al conjunto vacío y C" a E considerado como uno de sus subconjuntos. Ejercicio 7. Se divide un conjunto finito E en dos subconjuntos comple mentarios E, y Ej, que constan de n, y n2 elementos, respectivamente. Entre las combinaciones de estos n, +n2 elementos tomados p a p, ¿cuál es el número de las que contienen k¡ elementos de Ej y fcj de Ej con, necesariamente. 0
+ CT ‘C‘. + ••• + CS,-

Ejercicio 8. Con una baraja de 32 cartas, ¿cuántos juegos de 8 cartas pue den formarse que contengan un rey y una dama? La misma cuestión, si cada juego debe tener al menos un rey y al menos La primera respuesta es 16-C^. Para la segunda se busca el con junto complementario, que comprende los Cj, juegos que no contienen

16_______ CAP. I: CONIUNTOS. COMBINATORIA. LEVES DE COMPOSICION reyes y los CJ, que no contienen damas. De esta forma se han supri mido dos veces los CJ, juegos que no contienen ni rey ni dama. El número pedido es, pues, CSj-2C*,+c 54. Ejercicio 9. Una urna contiene o bolas blancas y b negras. ¿De cuántas menos sea blanca? Resp.:

(? + afc=gZ^

—-

Ejercicio 10. Sea (E) un conjunto de n elementos. Hállese el número de combinaciones de estos elementos, tomados p a p, que contienen un elemento y uno solo de un subconjunto (E,) de n, elementos de E. En iguales condiciones, calcúlese el número de combinaciones que contienen En el primer caso, se forma una combinación asociando a cada elemento de (E|), p -1 elementos que pertenecen al conjunto comple mentario de (Ei), de donde ; es necesario suponer n >n , + p - 1. En el segundo caso, tenemos C¡¡_ni combinaciones que no contienen ningún elemento de (Ei), de donde el número de combinaciones buscadas será Cj¡ —C*_ni Ejercicio 11. ¿Cuántas palabras de cuatro letras (sucesiones ordenadas de letras) pueden formarse con las letras de la palabra alcebra? Hallamos V* palabras que contienen una A o ninguna y Cf -4! /2! palabras que contienen dos A ; en total, 480. 7. Combinaciones con repetición.— Ejercicio 1. Sea un conjunto de n signos (letras, p. ej., no importando el orden). Determínese el número de agrupaciones (no ordenadas) de p signos que es posible formar, pudiendo re petirse el mismo signo un número cualquiera de veces.

contando de dos maneras distintas el número de veces que un determinado signo interviene en el conjunto de las agrupaciones. Dedúzcase de ello el valor de aj. Puesto que son a* los grupos de p signos elegidos entre n, cada uno interviene a¡¡ x p/n veces. Consideremos todas las agrupaciones que

contienen un determinado signo y suprimámoslo una sola vez: se ob tienen así todos los grupos de n signos tomados de p - 1 en p - 1, y en ellos el signo considerado figura a¡ _1x ^— veces. Restituyén dolo, llegamos a la relación ¿ ¿ .t i

y escribamos las relaciones análogas para p - 1, p - 2, .

Multiplicando miembro a miembro, queda , n(n+ l)(n + 2)... (n + p - 1) “ n_ p! El numerador es el producto de p números consecutivos a partir de n (compárese con CJ). Señalemos también que el razonamiento no supone p < n . Una aplicación inmediata es el cálculo del número de monomios de grado p que se pueden formar con n variables: es a’ , porque todo monomio corresponde a un grupo de p variables con repetición y sin Ejercicio 2. Demuéstrese que el símbolo apn definido anteriormente satis face la relación Q»+al+aJ;+...+a;=a»tl («£-!)■

Tenemos, en primer lugar, oP„+a'„ = l + « = «■,* aü+a¿ + aÜ=(n + l)+

n(n + 1)

(n + l)(w + 2) _

y la fórmula pedida se demuestra por recurrencia. Ya hemos visto que a j es el número de monomios de n variables

18_______ CAP, i : CONJUNTOS. COMBINATORIA. LEYES DE COMPOSICION y grado k. Si consideramos anora un polinomio de gradop, basta calcular ^ «í- Según la fórmula anterior, esta suma es a¡+i. Por otra parte, el lector que tenga algunas nociones acerca de la teoría de polinomios de varias variables, conoce que haciendo homo géneo un polinomio de grado p con n variables aumenta en una unidad el número de ellas sin cambiar el grado. De ello se deduce la fórmula anterior. Ejercicio 3. ¿Cuál es el número de soluciones enteras, positivaso nulas, de la ecuación x+y+z+t=N, siendo N un número dado? Sean cuatro objetos a, b, c, d. A toda solución podemos hacer co rresponder una combinación con repetición de estos objetos (x veces el objeto a, y veces b, etc.) tomados N a N, y recíprocamente. El número pedido es, por tanto, 4 x 5 x ... x(N + 3) N!

( N + l) (N + 2>(N + 3) 6

Leyes de composición 8. Propiedades usuales.—Una ley de composición será, en ge neral, denotada sin signo o con un punto: c=áb=a-b es el compues to de los elementos a y b. Si se trata de números, para evitar confu siones con el producto, emplearemos los signos *, o. Ejercicio 1. Sobre el conjunto de los enteros naturales consideramos la o+b ley a*6= —— ■ Precísese la definición, la conmutatividad y la asociatividad de

La ley no está definida para todo par de elementos del conjunto, porque a y b deben ser de la misma paridad. Si, p. ej., a es dado, de bemos elegir b en un determinado subconjunto. La ley es conmutativa, pero no asociativa, ya que, suponiendo posibles las operaciones con los números enteros, tendremos /„.„v___ « + * + *

„

,,

.2 a + b + e

LEYES DE COMPOSICION: PROPIEDADES USUALES Existe igualdad para a=c. Ejercicio 2. Consideramos sobre el conjunto de los enteros naturales las siguientes leyes de composición, denotadas por • y o: a*b~a + 2b,

a°b=2ab.

¿Son conmutativas y asociativas? ¿Es distributiva una ley con relación a la La primera ley no es conmutativa ni asociativa. Por el contrario, la segunda es conmutativa y asociativa, porque (a o f>) o c= a o (b o c) = Sabe. Finalmente, la ley ° es distributiva respecto de *, es decir, a o (f> * c)=(a o ¿>) * (a o c). En efecto, el primer miembro es igual a 2a(b + 2c) = lab + 4a<. , y el segundo (2af>) * (2ac)=2ab + 4ac. Ejercicio 3. Las mismas cuestiones que en el ejercicio 2, considerando las sguientes leyes: 1.' i'

a.*=a+¿>t, atb=<¿+b¡,

a°b-ab*-,

Los elementos a, b, ... pertenecen al conjunto de los enteros naturales. Ejercicio 4. Elemento neutro.—En un conjunto E dotado de una ley de composición, e es neutro a la izquierda si para todo a € E se verifica ea=a. Igualmente, I es elemento neutro a la derecha cuando af=a para todo a. De muéstrese que si e y f existen simultáneamente, e=f. En efecto, ef es igual a f según la primera condición y a c según ¿a segunda; por consiguiente, e=f. aón a»b=b. Estudíese la conmutatividad y asociatividad. Demuéstrese que un demento cualquiera es neutro a la izquierda. Dedúzcase del ejercicio anterior La ley no es conmutativa, pero sí asociativa porque (ia * b )* c = b * c = c

y

a *(b * c)= a * c=c.

20^

CAP, i: CONJUNTOS. COMBINATORIA. LEYES DE COMPOSICION

Cualquier elemento es neutro a la izquierda en virtud de la definición. Si existiera un elemento neutro a la derecha debería ser idéntico a todos los elementos. El conjunto constaría as! de un solo elemento y la propiedad resultaría trivial Ejercicio 6. Dada una ley de composiciún interna sobre un conjunto (E),

Demuéstrese que. si la ley es asociativa, a»+»

y

{ar)*=an.

Si existe elemento neutro, amplíese la ley extendiéndola al empleo del expo nente nulo. Por recurrencia, vemos que a2= aa,

a?=(aa)a,

at=[(a a)a)a, etc.

Se forma, pues, a” componiendo de una manera bien determinada los diferentes factores o (así, p. ej., a priori, no tenemos aJ=aa2). Pero si la ley es asociativa, es posible efectuar la composición de una manera cualquiera, es decir, agrupar arbitrariamente los facto res. Consideremos, pues, ap+«; podemos agrupar los p primeros fac tores de manera que aparezca ap, y los q últimos para formar a”, lo que conduce a la fórmula dada. Se aplica una demostración análoga a la segunda fórmula. Si existe elemento neutro e, escribiremos tfi=e, y es fácil com probar que este convenio amplía las dos leyes anteriores al caso de ser nulos p o q. Ejercicio 7. Demuéstrese que si la ley considerada es asociativa y conmu tativa, (at>)"—o"6". Estudiemos en primer lugar el caso n = 2. Aplicando sucesivamen te las dos propiedades, tendremos (nbf= (ab) (ab)= a(ba) b = a(ab) b = (aa) (bb)=
(AUB) U C= A U (B UC) (A n B )n c = A fi(B n c ). Los dos miembros de la primera igualdad representan el subconjnnto definido por los elementos que pertenecen, ya sea a A, ya a B o ya a C. Los dos miembros de la segunda caracterizan a los elemen tos que pertenecen a la vez a A, B y C. Ejercicio 9. Demuéstrese así mismo que cada una de las operaciones AH (BUC) = (A n B ) U (A Í1C) AU (BflC) = (AUB) fi (AUC). El segundo miembro de la primera fórmula representa los elemen tos que pertenecen, ya sea a A y a B, o a A y a C. Estos elementos pertenecen, pues, a A y a B o C; dicho de otra manera, a A y a B U C ; por consiguiente, es la intersección de estos subconjuntos, tal como indica el primer miembro. Se propone al lector que demuestre de manera análoga la segunda fórmula. 9. Ley no asociativa.—Ejercicio 1. Sobre el conjunto de los núme ros racionales definimos la siguiente ley de composición

Se comprueba que (a * b ) * c = a + — + — es diferente de

Con cuatro términos en un orden determinado se pueden formar neo productos de composición:

>El hecho de considerar el conjunto vacío y E como elementos de (P) per mite afirmar que dichas leyes son internas sobre (P).

22_______ CAF. 1 : CON1UNTOS. COMBINATORIA. LEYES DE COMPOSICION

« - " + T +13TTi

Estos valores son distintos, lo que resalta la importancia de la asociatividad. Ejercicio 2. Definida una ley de composición no asociativa sobre un con junto E, llamemos P(n) al número de productos distintos que es posible formar con n elementos tomados en un orden determinado. 1.° Precísense los valores P(2), P(3), P(4). Por convenio admitimos que p(i)=l.Dem &tr p( | l
[(a b)c]d , (ab)(cd) ; a[(b c)d],

[fl(bc)] d; a[b (cd)];

de donde, P(4)=P(3)-P(1) + P(2) •P(2) + P(l) ■P(3) = 2+1 + 2=5. 2.° La relación de recurrencia es cierta para n=4; supongámosla verdad para n -1 y demostremos que también se verifica para n. Se ' Esta tercera cuestión cae fuera del dominio del álgebra y supone conocida

forman los distintos productos P(n) añadiendo un nuevo elemento a la derecha de los productos P(« - 1 ) ya formados, o añadiendo a la derecha un factor! producto de dos elementos, a los productos P(n-2 ), etc. Se obtienen así todos los productos posibles: para ello basta, en uno dado, considerar el factor de la derecha; si comprende k elementos habrá sido formado en P(n - ír)P(fc). Con ello hemos de ducido la fórmula general. 3." La clásica regla que da el producto de dos series enteras con duce a la fórmula Sí(x)=P(l)-P(l)*2+ [P(l)-P(2) + P(2)-P(l)]* 3+ ...+ + [P(l)-P(n -1 )+ P(2)-P(n -2 )+ ... + P(n - 1)-P(1)]*" + ... en la que los coeficientes de x2, x3, ..., ..., son, respectivamente, P(2), P(3), ..., P(n), ..., en virtud de la relación de recurrencia sobre P(n). Volvemos a hallar la serie S, a excepción del primer término, que es igual a x [porque P(l) = l]. En consecuencia, S2- S + *=0. Resolviendo, se obtiene S(x) = i (1 - V 1- 4x), porque S(0)=0. Desarrollando en serie entera la función obtenida:

lo que da _ . 1-3... (2n - ? ' P<">= i.o ./■

n " ■»' ri(R -l)!

10. Inverso de un elemento.—Sea un conjunto dotado de una ley de composición asociativa y que posee elemento neutro e. Se dice que un elemento a admite un inverso cuando es posible asociarle otro d tal que

Señalemos que la relación anterior es recíproca: a es el inverso de d . Los ejercicios siguientes precisan las propiedades del inverso.

24_______CAP. I: CONJUNTOS. COMBINATOMA. LEVES DE COMPOSICION Ejercicio 1. Demuéstrese que un elemento que admite inverso es regular a la derecha y a la izquierda. Pruébese que el inverso es único. Sea la igualdad ab=ac;. componiendo con o" a la izquierda dab=
o

eb=ec,

b=c.

El elemento a es, pues, regular a la izquierda. De manera análoga se demuestra la regularidad a la derecha. Finalmente, si existieran dos inversos, a' y a„ se tendría que aa,=e; de donde, componiendo con a' a la izquierda, a'(aa,)=a'e=a', (a"á)a¡ = a' y, por consiguiente, a¡=a', porque <¿a=e. Ejercicio 2. Si los elementos a y b tienen como inversos a' y b', demués trese que b'a" es el inverso de ab. En efecto, (b'rf) (ab)= b\da)b —beb=b'b= e. Ejercicio 3. Escribimos Compruébese que (o»)-1= («-■)» y que o-r—(a-l)r y amplíense después a los exponentes negativos las leyes de cálculo aPcn=aP+i,

(oP)<-on.

La primera relación resulta del ejercicio anterior aplicado al caso a=b. Las dos leyes fundamentales se obtienen examinando los distin tos casos posibles. Para el primero, supongamos, p. ej., g < 0 y haga mos q ' = - 5 ; así a‘,-a, =a,,-a-«'=e'’(a-1),'=a-a ... a-a~'-a~‘ ... a-1. Si Pí^cf, resulta a>’-a*=a,’'*'=a'’+». Si p < tf, se obtiene ar■a>=(a~'y~p=a’’~{>'=ar+t. Ejercicio 4. En el conjunto de los números racionales se define una ope ración, denotada por », tal que

Pruébese que todos los eleir

________________ INVERSO DE UN ELEMENTO____________________ 25 3° Demuéstrese que el inverso del inverso es igual al elemento inicial. ¿Cuál es el inverso del compuesto de dos elementos7 4.° Siendo a y b dos elementos cualesquiera, resuélvase la ecuación atx=b, haciendo uso de las propiedades de la operación *. Ejemplo. Resuélvanse las ecuaciones 3«=2; ( —3)«=2.

CAPITULO n GRUPOS. ANILLOS. CUERPOS

Ettruclura de grupo 1. Reglas operatorias.—La estructura de grupo es la más sim ple de las estructuras clásicas que el lector encontrará en casi todas las teorías matemáticas. No juzgamos necesario recordar aquí sus axiomas. La operación interna la denotaremos multiplicativamente, pero esto solo es un convenio; el lector debe emplear de manera aná loga la notación aditiva (p. ej., sobre un anillo). Designamos con e el elemento neutro. Ejercicio 1. Si e. Caso particular: lo» dos elementos son iguales. Basta para ello multiplicar a la derecha por b~l los dos miembros ab=b para llegar a la igualdad a = e. De manera análoga, la igualdad aa=a implica que a=e. Ejercicio 2. En un grupo abeliano, resuélvase la ecuación xobxc= bxa. Cambiando el orden de los dos primeros factores del segundo miem bro, tendremos xabxc-=xba\ después abxc=ba, x = b 'a-'bac-'=c~'. Ejercicio 3. Demuéstrese que un grupo en el que dos elementos cuales quiera verifican la condición (a6)2-o 2fct es necesariamente abeliano. Basta simplificar a la derecha y a la izquierda la relación abab=aabb. Ejercicio 4. Compruébese que en un grupo, el inverso del producto de dos (o varios) elementos se obtiene multiplicando en orden inverso los inverEs una aplicación de la propiedad general demostrada en el ejer cicio 2 de la página 24.

ESTRUCTURA DE GRUPO: REGLAS OPERATORIAS

27

Ejercicio S. Utilícese el resultado del ejercicio anterior para demostrar que si en un grupo todos sus elementos coinciden con sus inversos, tal grupo es Estudiemos el inverso del producto ab. Por hipótesis, es igual a ab y, por otra parte, (ab)~, =b~,a~l = ba. En consecuencia, se tiene ab=ba, habida cuenta de la unicidad del inverso. Ejercicio 6. Sobre el conjunto de los enteros relativos definimos la ley de composición a*b=a-b. ¿Adquiere así el conjunto estructura de grupo? Se comprueba que se cumplen todos los postulados de la estruc tura de grupo a excepción de la asociatividad: (a - b ) - c j ± a - (b - c ). Ejercicio 7. Demuéstrese que en un grupo de orden par existe un elemen to, al menos, distinto de e que es su propio inverso. Clasifiquemos los elementos en dos clases: la primera contiene los elementos cuyos inversos no coinciden con ellos, y la segunda, aquellos elementos que coinciden con sus propios inversos. Vista la reciprocidad de la inversión, en la primera figura un nú mero par de elementos. Si el grupo es de orden par, el número de elementos restantes es par. Como el elemento neutro pertenece con certeza a la segunda clase, existirá en ella otro elemento, al menos, que sea su propio inverso. En todo caso el número de estos será siempre impar. Ejercicio 8. Determínense todos los grupos de orden 4. Se establecerá la tabla de multiplicar teniendo en cuenta para ello la propiedad del ejercicio Sean e, a, b, c los cuatro elementos. En la tabla de multiplicar es fácil llenar la fila y la columna correspondiente a e. Entre los restan tes elementos hay un número impar (1 ó 3) que coinciden con su in verso. Si son tres, a a=bb=cc=e, conocemos la diagonal principal de la tabla, la cual se completa fácilmente observando que todos los ele mentos del grupo deben hallarse en cada fila y en cada columna (ta bla 1). Si suponemos que solo uno es inverso de sí mismo (a excepción de e) y lo designamos con a, entonces b y c son inversos uno del otro. Se completa de nuevo el cuadro y se obtiene la tabla II. Exis ten, pues, dos y solo dos grupos de orden 4; es decir, que todos los grupos de este orden son isomorfos a uno u otro de los dos anterio res, propiedad que comprobamos en lo que sigue.

T abla I e

a

T abla n b

c

e

a

b

c

2. Grupos de transformaciones.—El estudio de las transforma ciones geométricas hace alusión, con frecuencia, a la noción de gru po. Suponemos que el lector ha estudiado anteriormente diversos gru pos de transformaciones, en particular el grupo de las isometrías, eS decir, de las transformaciones que conservan las longitudes (traslacio nes y simetrías). Dentro siempre de la geometría plana busquemos ciertos subconjuntos cerrados de este grupo, y tales que ellos mismos constituyan grupos. Recordemos en primer lugar algunas propiedades muy sencillas que el lector ha de emplear para resolver los ejercicios que siguen. a) Toda ¡sometría plana que conserva un punto es una rotación alrededor de dicho punto, o una simetría con relación a una recta que pasa por tal punto. b) Toda isometría plana que conserva individualmente dos pun tos A y B, conserva todos los puntos de la recta AB y se reduce a la transformación idéntica, o a la simetría de eje AB. c) Toda isometría plana que cambia dos puntos A y B es una simetría cuyo I s. s2 S| centro es el punto medio del segmento AB, o una simetría axial respecto a la I I Si Si Sj mediatriz de dicho segmento. I Si Si Si s, Ejercicio 1. Estudiar las isometrías que conservan globalmente un rectángulo. Demués s2 S i 51 I s, trese que forman un grupo de cuatro elemen tos. Fórmese la tabla de multiplicar, y precí' sese el isomorfismo con uno de los grupos de I s5 Si 52 Si orden 4 estudiados anteriormente. En toda isometría que conserva el rectángulo ABCD, el centro O es invariante. Si se conserva uno de.los vértices, lo mismo sucede con

29 los restantes y estamos en presencia de la transformación idéntica. Supongamos que el transformado de A sea B, o bien C, o bien D; existen solo tres transformaciones posibles: la simetría Si con rela ción al centro y las simetrías S2 y S3 respecto a los ejes del rectán gulo. Tenemos un conjunto de cuatro elementos que constituyen un grupo, y cuya tabla de multiplicar es la que figura en la página anterior'. Se comprueba fácilmente que tal grupo es isomorfo al primero de los dos grupos abstractos de 4 elementos estudiados en la página 27. Basta para ello adoptar la correspondencia I=e,

S,=a,

Sz=b, S3=c.

y tres simetrías de ejes las tres alturas H|, H* H3, que se deducen una de la otra por rotaciones de ángulo ir/3. La tabla de multiplicar es la que figura a continuación. Ejercicio 3. Grupo del cuadrado. Construyase de manera análoga la ta bla de multiplicar correspondiente al grupo de las isometrías del cuadrado. Este grupo consta de ocho elementos: cuatro rotaciones, ,1, Ri(jt/2), R^jr), Rj(3tt/2), y cuatro simetrías, Sj(Ox), Sí(Ot/), D i (dia gonal según la primera bisectriz), Dj (diagonal según la segunda biE1 lector establecerá con faci lidad la tabla de multiplicar que se ha escrito en la página siguiente.

I

Ri

r 2 H| h2 H3

I

I

Ri

r 2 H,

Ri

R,

r2

I

h3 H,

R2

r2

I

Ri

h2 h3 H,

h2 H3 H,

H,

H,

I

Ri

r2

Hí

h2 H,

H,

r2

I

Ri

h3

H,

H,

Ri

r2

I

h 2 H3

H,

30

Ejercicio 4. Descríbanse todas las isometrías que conservan un cubo del Resp.: Tres rotaciones (una de ellas la transformación idéntica) alrededor de la diagonal que parte del vértice considerado, y tres si metrías con relación a los planos bisectores que contienen Ox, Oy, Oz. Ejercicio 5. Sea T la transformación que al punto M de abscisa x del eje conjunto de las transformaciones así obtenidas, siendo a y 6 reales (con api0)

Resp.: El producto de T (x '= a x + b ) por U (*'=c*+cf) es U T (x'= a cx + bc+d). La condición a Ô asegura la existencia de la transformación inversa. 3. Subgrupos.—Sea G un grupo; todo subconjunto H de G, que constituya un grupo respecto de la ley de composición en G, se llama un subgrupo. La condición necesaria y suficiente es que H sea cerra do respecto de la ley, y que contenga el inverso de cada uno de sus elementos. Estas condiciones pueden expresarse de otra manera, tal como se indica en el ejercicio 1.

31 La determinación de los subgrupos de un grupo es un problema importante que solo abordaremos aquí en casos sencillos. Si se con sidera el grupo como un grupo de transformaciones, un subgrupo está en general constituido por el conjunto de aquellas transformaciones que conservan "alguna cosa” del conjunto a transformar: el grupo del cuadrado, p. ej., es el subgrupo de las isometrfas del plano que conservan globalmente este cuadrado. Ejercicio 1. Para que un subconjunto H de un grupo G sea un subgrupo S - ‘ S H. Sea H un subgrupo; si a y b pertenecen a H, tanto b~' como ab~' pertenecen a H. Recíprocamente, un subconjunto H que verifica la condición an terior contiene el elemento neutro (b = a) y el inverso de todo elemen to (a=e, b cualquiera). De ello resulta que, si contiene a y b, también contiene ab. Señalemos que la condición anterior se escribe igualmente que conmutan con un elemento, a, cualquiera dei grupo: ax=xa. Demuéstrese que los x constituyen un subgrupo de G. Cuando el grupo comprenda un número finito de elementos, utilícese la tabia de multiplicar para determinar este subgrupo. Examínense los casos par ticulares de los grupos del cuadrado o del triángulo equilátero. El subconjunto considerado no es vacío, ya que, con certeza, con tiene al menos a e. Si x e y son dos elementos del mismo, hay que comprobar que a(xy)=(xy)a

para todo

a€:G.

Si ponemos b=ax=xa, se tiene yb = by o yxa—axy. Pero yx=xy, porque r e j son elementos del subconjunto. Por con siguiente, xya=axy. El lector comprobará también que x~' pertenece al subconjunto; está claro, pues, que forman un subgrupo. Si se trata de un grupo finito, determinamos el subgrupo con ayu da de la tabla de multiplicar. En la columna y en la fila correspon dientes a un elemento x del subgrupo, los elementos del grupo están colocados en el mismo orden.

En el caso del triángulo equilátero, el subgrupo está formado solo por el elemento neutro; en el del cuadrado, el subgrupo consta de dos elementos, I y R2. Ejercicio 3. Consideremos el grupo de las 'transformaciones afines de una x'=ax+b (víase pág. 30), donde a y b son números reales. Eligiendo a o b en ciertos subconjuntos: números racionales, números enteros, números positivos, núme ros determinados (0 ó 1, p. ej.), indfquense ciertos subgrupos del grupo anterior. Resp.: Especifiquemos la elección de a y i en cada uno de estos subgrupos (ajé0). El lector indicará en cada caso qué característica del conjunto de los puntos de la recta real se conserva. a y b racionales; a positivo; a = l ; f>=0; a > 0, 6 = 0 ; « = 1, b enEjercicio 4. Demuéstrese que el conjunto de los elementos comunes a dos subgrupos constituye un subgrupo. Ejercicio 5. Determínense todos los subgrupos de cada uno de los grupos siguientes: grupo del rectángulo, del triángulo equilátero, del cuadrado. Caso del rectángulo.—El grupo consta de cuatro elementos. Un subgrupo puede contener un elemento (forzosamente I); dos elemen tos: I y S|, I y S¡, I y Sj son tres subgrupos isomoríos entre sí; tres elementos (no existe ninguno), y, finalmente, cuatro elementos (sub grupo impropio). Caso del triángulo equilátero.—Hallamos, además de los subgrupos impropios, el subgrupo de las rotaciones I, R|, R2y tres subgrupos de dos elementos (I, H,), (I, H2), (I, H¡) isomorfos entre sí. Estudiando la tabla de multiplicar, se comprueba fácilmente que no puede haber otros subgrupos. El grupo del cuadrado posee todavía otros subgrupos; el lector debe precisarlos de manera análoga. Podrá hacer uso del teorema que sigue. 4. Relaciones de equivalencia asociadas a un subgrupo.— Ejercicio 1. Sea G un grupo de elementos a, b, c, ..., s. .... y H, uno de sus to s de H tal que b=as. Demuéstrese que la relación binaria así definida es una relación de equivalencia. Dígase cómo está formada la ciase asociada al

En primer lugar, tenemos a=ae, donde e € H es el elemento neu tro: la relación es, pues, reflexiva. De b=as deducimos a = bs~x, con r ' 6 H y la relación es simétrica. Finalmente, b=as y c - bs, impli can c=a(ssi) con ssiGH, que pone en evidencia la transitividad de la relación. Se trata, por consiguiente, de una equivalencia. Los elementos congruentes con a (mód. H) se obtienen multipli cando a (a la derecha) por todos los elementos del subgrupo. Se obtie nen así elementos distintos, ya que la relación as=as, implica s=s,. Por tanto, existe una correspondencia biunívoca entre los elementos de H y los de una clase de equivalencia. Si el orden de H es finito, cualquier clase contiene el mismo número de elementos que H. Observación. Se puede representar una clase con la notación aH; se llama clase a la derecha. Asociando al a los elementos b tales que b=sa, con s £ H , obtendríamos otra relación de equivalencia que nos definiría las clases a la izquierda, Ha. Ambas relaciones coinci den si G es conmutativo. Ejercicio 2. Dedúzcase del ejercicio anterior que, si G es un grupo de orden finito k, el orden de un subgrupo H cualquiera es un divisor del orden del grupo (teorema de Lagrange). Basta observar que una u otra de las relaciones de equivalencia anteriores divide a G en clases disjuntas que contienen todas el mis mo número r (orden de H) de elementos de G. Además, todo ele mento de G pertenece a una de las clases. Si p es el número de estas, se verificará que k= p r; por tanto, r es un divisor de k. 5. Grupos de sustituciones.—Si designamos con A, B, C, D, ... los elementos de un conjunto finito, llamaremos sustitución toda aplicación biunívoca del conjunto en sí mismo. Para representarla po demos emplear la notación (suponemos cuatro elementos) A

B C D’

- C .D C B A,:)■ en la que se escriben en columna los elementos correspondientes. Para m elementos las sustituciones son ni, que forman un grupo, el cual denotamos por S„. Dadas las dos sustituciones del grupo S4:

34

Resp, «* - (D / A B C = \D B A

c D \. D B/:

D \. C / _S|

Ejercicio 2. Escríbase la t iodos los subgrupos de S, y pru equilátero.

/A B C D E F\ _ /A B C D E F\ _ / A B C D E F\ \D F E A C b / : ‘ \E C B F D A / ; " " l e E F D A B/‘

\C F B E A/ Se escribe también s = (A

D)(B

F)(C u =(A

E);

í = (A

E D F)(B

C);

C F B E)(D).

Ejercicio 4. Sea la sustitución ^

' ' ' M hecha sobre los

S = a+a' + ¿ + ¿>, + ... + /+ /' es par y vale 2n. Si restamos de S todas las sumas parciales a 4-ti, ..., que son pares, nos queda un número par, suma de todas las sumas parciales impares. El número de ellas es evidentemente par.

6. Razón doble— Dado un conjunto ordenado de cuatro núme ros diferentes a, b, c, d pertenecientes a un cuerpo, le asociamos el número c a d a ^

c - b ' d -b ’

llamado razón doble. Una sustitución cualquiera del grupo S. cambia el orden de estos números y debe alterar el valor de p. Los ejercicios que siguen estudian la influencia de estas diversas sustituciones. Ejercicio 1. Compruébese que las sustituciones descomponibles en produc en. d. Demuéstrese que tales sustituciones, junto con la sustitución neutra, consTomemos tres sustituciones de la naturaleza indicada: s=(a, b) (c, d),

t=(a, c)(b, d),

u=(a, d)(b, c).

c - a d -a d -b ■b -=p. r : - — se ve que s cambia p en——c - b d -b La misma observación para t y u. Se comprueba de manera inmediata que añadiendo la sustitución idéntica se obtiene un grupo de cuatro elementos (fórmese la tabla del mismo) isomorfo al grupo del rectángulo (véase pág. 28). Si hacemos p =

Ejercicio 2. De acuerdo con el ejercicio anterior, el número máximo de ialores distintos de la razón doble es 6. Para calcularlos, supóngase que a ocupa d primer lugar. Haciendo p= (a, b, c, d), hállense en función de p los valores de t> razón doble cuando una sustitución de Sj actúa sobre los números b, c, d. Estudiemos en primer lugar la influencia sobre p de las transposi ciones de dos elementos consecutivos b, c, d. El cambio de c y d [de notado por (a) (b) (cd) en S,] cambia p en 1/p. La transposición de b y c [(a) (d) (be)] cambia p en 1—p. Con ayuda de estas transposi ciones es posible reconstituir todas las sustituciones de S3, de lo que se deducen los seis valores que siguen para la razón doble: p=(a ,b,c,d ),

— =(a ,b ,d,c),

1- p=(a, c, b, d), -=(a, d, b, c),

que, en general, son distintos.

Estructura de anillo 7. Reglas operatorias— El lector ya tiene práctica en el cálculo algebraico y en la transformación de fórmulas donde figuran letras. Con frecuencia no se preocupa de lo que estas significan (son núme ros). La ampliación del cálculo a conjuntos variados: polinomios, ma trices, transformaciones geométricas, etc., exige que precisemos las operaciones que sean factibles entre los elementos que forman el con junto con el que se opera. En un anillo existen dos leyes de composición: la adición, respec to de la que los elementos constituyen un grupo aditivo y cuyo ele mento neutro se designa por 0, y la multiplicación, que es asociativa y distributiva respecto de la adición. Las propiedades de la multipli cación (conmutatividad, existencia de elemento neutro, divisores de cero) son las que precisan la estructura. Asegúrese el lector de que en los ejercicios que siguen emplea solo los postulados generales de la estructura. Ejercicio 1. Se define la suslracción en un anillo como la adición del opues to: a -b = a + (-b ). Dedúzcanse de eUo las siguientes fórmulas: (a-¿.) + (c-«f) = (o+c)-(ó+«f); (a -ó )-(c -d ) = (a + d )-(6+c); (a-b)c=ac-bc; (a-fc)(c-rf)=(ac+M) —(ad+bc). Se observa que el opuesto de una suma es la suma de los opuestos: - (c + d » - (- c )+ (- < 0 - - c - ¿ Por consiguiente, (a - b ) + (c -d )= a + ( - b ) + c + ( —d)=(a + c )-(b + d ). De manera análoga, (a - b) - (c - )c= [a + (-b )]c = a c + (-b )c = a c ~ b c . La última igualdad se obtiene por combinación de las leyes ante-

Ejercicio 2. Demuéstrese que un grupo abeliano denotado aditivamente se convierte en anillo si se define el producto de dos elementos cualesquiera por «-6=0. Se cumple la asociatividad (a-b)-c=a-{b-c), porque los dos miem bros son nulos; también la propiedad distributiva: a-(¿+c)=0

y

a-6 + o-c=0 + 0= 0.

Ejercicio 3. Producto de dos sumas—Se multiplica cada término de la

La demostración es la misma que para los números; escribimos Si=^do, de donde S= S, .(ft, + í>2+... + fc,)= S,¿, + S,6¡ +... + S,bp según la distributividad (a la derecha). Se sustituye Si por su valor y se hace uso de la distributividad a la izquierda. Si el anillo no es con mutativo es forzoso conservar el orden de los factores. Ejercicio 4. Estudíese el cuadrado de una suma. Precísese el caso par ticular de un anillo conmutativo. Tenemos,

siendo necesarios los índices a y p en virtud de la regla anterior, ya que varían con independencia uno de otro. Si p = a encontramos la suma de cuadrados^ ai- Si a?é/3 se pue den agrupar los términos dos a dos (p. ej., a\ai + a&d< lo que no produ ce ninguna simplificación, salvo en el caso de un anillo conmutativo; entonces ambos términos son iguales y se llega a la fórmula clásica1 ( 2 ““) =

+ 21aaflt

(con a>/S).

(Xaa)3=Xai+3M-+ 6íabc. Ejercicio 6. Compruébese en un anillo conmutativo la fórmula del bi(a+6)"-a"+C¡ia"-'í>+...+Cro"-i>d?+ ...+ft''. La demostración habitual por recurrencia es válida en un anillo conmutativo. 8. Dominio de integridad Las propiedades de la multiplica ción precisan la estructura de anillo. Reservamos el nombre de domi nio de integridad al caso de un anillo en el que la multiplicación es conmutativa, admite elemento neutro y verifica la ley de simplifica-, ción; un producto nulo (0=elemento neutro de la adición) exige que uno al menos de los factores sea nulo; no existen, pues, divisores de cero. Denotamos con e el elemento neutro de la multiplicación (1 para un conjunto de números). 'Ejercicio I. En un dominio de integridad, hállense los elementos que

La igualdad o = - a se escribe a + a=0 ó ea + ea= 0; es decir, (e + e)-a=0. Si e + e^0 , se debe elegir a = 0; pero si e + e=0, se ve que todo ele mento es igual a su opuesto. pares (u+b) formados por un elemento a de A y por otro b de B. elegidos ar bitrariamente. En C se define una adición (ai. ii) + (a& ó¡) •=(«,+ai, b,+b¡) (ai, f>i) x («j, b¡) = (0|flj, btbt). Demuéstrese que de esta forma C adquiere estructura de anillo, llamado suma directa de los anillos A y B (C=A+B). Caso de ser A y B dominios de integridad, ¿lo es también C? Es inmediata la existencia de un grupo aditivo en el que el ele mento neutro es (0A, 0B), y el opiiesto de (a, b), el par ( - a , -b ). Por

último, la asociatividad de las dos leyes y la distributividad se com prueban fácilmente. Tenemos, pues, un anillo. Si A y B son dominios de integridad se observa que la multiplica ción en C es conmutativa y admite elemento neutro (eA, eB). Veamos si existen divisores de cero; la condición ( í „ W « f e W = ( 0 A,0„) exige a,a2= 0Al

¿>|ó¡= Ob,

lo que no implica que (a¡, bt), o fe, b¡), sea nulo, ya que podemos elegir O|=0A, ¿2=0B. De lo expuesto resulta que C no es dominio de integridad. 9. Anillo de loa enteros relativos. División.—La definición de división en el conjunto de los enteros naturales se amplía al de los enteros relativos, y así, para dos cualesquiera o y ó , tendremos que dividir o por b es determinar dos enteros relativos q y r que verifiquen las condiciones a=bq + r,
Si o y ó son positivos, el caso se reduce al clásico de los enteros naturales. Si o <0 y b > 0, la división de ( - o ) por b da -a = b q , + ru

0,

a = b (- q , ) -r , = b ( - l - q l)+ b - r , . Tenemos así, q = - \ - q , y r = b - r ¡ si r¡ no es nulo. Si r, = 0, 9= - 9iEn el caso o > 0, b < 0, se divide o por —b, de donde a = (-i.)q, + rl = ÍK -q1) + r„ y se obtiene q = -q ,, r=r,.

0s$r,<|ó|,

Por último, para a<0 , b < 0, se divide ( - a ) por ( —¿>), de donde - a = ( - b )g , + r,

y

a = b q ,-r,= b (q l - l ) + b - r l.

Tenemos, pues, q = q , - l , r = b - r , si r^ O . Ejercicio 2. Identidad de Bezout.—Uta condición necesaria y suficiente para que los enteros relativos a y b sean primos entre si es que existan dos enteros * e y Ules que ax+by—l. Determínese un sistema de valores x, y considerando para ello los restos de las divisiones por |6| de los múltiplos positivos de |a|.

Aplicación: Resuélvase en números enteros la ecuación 5x+7y=l. La condición es suficiente, ya que si la ecuación ax + by= 1 queda satisfecha, todo divisor común de a y ó es divisor de 1 y, por consi guiente, a y b son primos entre sí. Recíprocamente, supongamos a y b primos entre sí; podemos imaginarlos positivos sin más que cambiar los signos de x e y si es necesario. Consideremos los b -1 primeros múltiplos de a, o sea <7, 2a, la, ..., (b -l)a , y dividámoslos por b. No pueden ser iguales dos de los restos, porque b dividiría a un número de la forma ka, con 0 < k < b , lo que es im posible, ya que a y b son primos entre sí (b debería dividir a k). Tenemos, pues, ó - l restos distintos e inferiores a b; necesariamen te están formados por los números 1, 2, 3, ..., b —1, en un orden des conocido. Por lo expuesto, efectuando b —1 divisiones tenemos la cer teza de hallar una solución *<,, y„. Para obtener las restantes soluciones, hagamos x = x(l + x' e y=y0-vx(, de donde tur' + by' = 0.

siendo k un entero arbitrario.

El caso particular conduce a dividir 7, 14, 21 y 28 por 5; haS<—4)+7(3)=1. Por tanto, * = - 4 + 7k, y= 1 -5 k. 10. Clases residuales módulo n Ejercicio 1. Sean a y b dos en teros relativos: la relación “a -b divisible por n" es una relación de equivalen cia (véase pág. 5) que divide al conjunto de los enteros en n clases: 0, I, 2, .... »^T. Demuéstrese que la suma de dos números, elegidos arbitrariamente en dos ciases determinadas, pertenece a una misma clase. Dedúzcase que esta pro piedad permite definir una ley de composición en el conjunto de las clases, Qamada adición (de clases) y que dota al conjunto de estructura de grupo aditivo. Escríbase la tabla de sumar para los siguientes casos: n—2, n=5, n=6. Sean a =a + kn un número cualquiera de la clase 5 (O ^ a ^ n - 1) y fc=/3+ jzn un número de la clase 0. Tenemos a + b = a + 0 + (k + ix)n. Poniendo oc+fi=y+vn ( (X y ^ n - l ), se ve que a + b = y + (X+ ¡i + v)n y obtenemos un número de la clase y, cualesquiera que sean a y b ele gidos en sus respectivas clases. En el conjunto de las clases escribimos i +?=?. La comprobación de las leyes de grupo aditivo se hace fácilmente pasando a igualdades numéricas. Si n=2, el grupo consta de 2 elementos y la propiedad anterior es particularmente sencilla: la suma de dos números de paridad de terminada es otro número de determinada paridad. Tenemos dos cla ses 0 (pares) y I (impares) que se suman de acuerdo con la ley de grupo de 2 elementos (Fig. 1). Si n = 5, se tienen 5 elementos. La tabla de adición es la de la figura 2. El lector examinará el caso n=6. Ejercicio 2. Demuéstrese que se cumple la misma propiedad para la mul tiplicación: el producto de dos números elegidos arbitrariamente en dos clases determinadas pertenece a una clase fija. Esta propiedad permite definir el pro-

42 mutaiivo con elemento unidad. Escríbase la tabla de

!0

1 11 M 1 2

Con las notaciones a

1

¡ 3 1 2 3 3

5

2

3

5

0

3

5

¡5

I

5

0

1 2

riores tenemos ab = aft + kn.

Si a/3 pertenece a la clase 7. escribiremos ñ¡5=y. Las propiedades de la estructura de anillo se demuestran sin dificultad. Las tablas de multiplicar son

El elemento neutro está constituido por la clase I ; es decir, por el conjunto de los múltiplos de n aumentados en 1.

os divisores de cero en los anillos de las Resp.: 2, 3, 3, 5, 8, 9, TO;

2, 3, 3, 5, 8, 5, 16, 12,

14, 15, 16.

11. Olroa ejemplos de anillos.—En los éjercicios que siguen consideramos ciertos subconjuntos deducidos de conjuntos conocidos (números racionales, números reales) y se pide comprobar las leyes de la estructura de anillo. Naturalmente, las operaciones de adición y de multiplicación entre elementos se deducen de las correspondien tes al conjunto base. Ejercicio 1. En el conjunto de los números racionales, dotado de las dos

La ley aditiva conduce a tomar todas las fracciones de la forma k 3+ k'/4, con k y k' enteros algebraicos; pero la ley multiplicativa conduce a la forma más general

» con p y q enteros naturales

b forma x=a+b>J'i, donde a y b designan enteros relativos y

3 el número

posición las del cuerpo de los números reales. Precísense sus propiedades (con■otatividad, elemento neutro, divisores de cero). Se comprueba de manera inmediata que la adición de números reales define un grupo aditivo en (E), siendo el elemento neutro el 0= 0-r0^3. Efectuando el producto de x por x '= tf + b ' •/.3 resulta xx'=aa’ + 3bb' + (ab' + b a ')j3

[ 1]

y este número pertenece a (E). Tenemos, pues, la estructura de anillo, conmutativo (xX'=x'x) y con elemento unidad (1 -1 + 0./T). Final mente, si deseamos que sea r*' = 0, habrá que hacer a
ab'+ba'=0,

[2]

lo que exige a2- 3^=0 si a' y b' no son ambos nulos. La anterior condición equivale a aí/i>2=3, lo cual es imposible para números en teros. Tenemos, pues, un anillo de integridad. No se trata de un cuerpo porque un elemento cualquiera x care ce de inverso; sería necesario que ao' + 3M>' = l,

ab’ + b
[3]

lo cual no es posible para enteros a y b arbitrarios. Ejercicio 3. Determínense los elementos unitarios del anillo precedente; ¿Cómo se pasa dt r a i'? Hállense los elementos unitarios que correspon-

a'=ka,

b’ = - kb,

(k entero),

de donde fc(aí -362)= l. Puesto que se trata de números enteros, nece sariamente fc = ±l, «*-.3*, =-±l. Los números buscados verifican, pues, una u otra de las igualdades anteriores y a a + b-Jl corresponde a -b -J T (o -a -rb / T ). Para a=l, 3b: = l ± l . La solución W = 2 es imposible y no existe más elemento unidad que x = 1; para a = 2, x= 2 x .‘/T. Suponiendo a y b positivos, las desigualdades dadas son equiva-. ll,ULS ''

9ó!<4a’< l W

que se obtienen fácilmente haciendo uso de a2- 3 f^ = * l.

45 s y b mayores que cero) por 2+ >/3, demuéstrese que Oca, /3= (2+^/3)', siendo r un entero positivo. ¿Cómo se forman los otros elementos unitarios? Sean x¡x'¡ = 1 y i 2x'2= 1 dos elementos unitarios y sus asociados. Las relaciones anteriores implican

y el producto x,x2 es unitario. El cociente x¡/x2, que, por definición, es el producto xix2'= x lx'2, resulta también un elemento unitario. Fi nalmente, + = 2a-3b + (2 b -a )¿3 . 2+ a ¡= 2 a -3 b > 0 y b > b , = 2 b -a > 0 . Si se continúan las divisiones se obtiene una sucesión de elemen tos unitarios, en la que los coeficientes a y b, siempre positivos, van disminuyendo. Al cabo de un número finito de operaciones llegamos a los valores a = 2, £>= 1, y, después, a los a = 1, 6 = 0. Tenemos, pues, necesariamente a + b j 3= (2 + i/3)'; los otros fac tores se obtienen considerando las potencias negativas y tomando los opuestos de los elementos hallados.

Estructura de cuerpo Se llama cuerpo un conjunto en el que se han definido dos opera ciones o leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, y en el que son siempre posibles las operaciones inversas (salvo la división por cero). Cada una de estas operaciones dota al conjunto de estruc tura de grupo; el elemento neutro de la adición se excluye siempre del grupo multiplicativo. Además, la multiplicación es distributiva con relación a la adición. El elemento neutro multiplicativo lo deno tamos por e; en un cuerpo de números e = 1. 12. Reglas operatorias.—Son estas las estudiadas en cursos an teriores con el nombre de cálculo algebraico. Completan las reglas vá-

46________________CAP. II: CHUPOS. ANILLOS. CUEKPOS lidas en un anillo, si se introduce el cociente 1(razón) de dos elemen tos cualesquiera: a/b=a-b~'. Las reglas operatorias con cocientes se deducen sin dificultad de los axiomas de la estructura.

Se establece la primera igualdad comprobando que —

—— =

=0, etc. La segunda se obtiene multiplicando los dos miembros

por -o, de donde ( - a ) ( - a ) - ’= e y ( _ a ) [ - ( « - ‘)] = a -a '= e . La tercera se deduce a partir de (- a )b = a (- b ) = - ab.

Sean ai, a2, ..., .a„ los elementos. Asociemos a todo elemento a¡yéO su inverso. Formemos todos los productos Wu <¡¡a„ ..., a¿¡„.

[1]

Son todos distintos, ya que la condición afl,=aflk exige a,=at para a,?¿0. Volvemos a encontrar en los productos [1] los n elementos del anillo y uno de ellos es igual a e, elemento unidad; si a/t¡=e, a¡ es el inverso de ai. En la práctica, el resultado queda en evidencia en la tabla de mul tiplicar, como el lector podrá comprobar. Según el ejercicio 3 de la página 43, las clases residuales módulo n tienen estructura de cuer po cuando n es un número primo. Es el cuerpo de los enteros mó dulo n. 1En un cuerpo no conmutativo el cociente se escribe aó-* o b-'fl, según se trate de a- 1/b o de 1/b-a. la notación a/b es ambigua. Pero todos los cuerpos

Ejemplo. En el cuerpo de las clases residuales módulo 7, resuélvase el sistema e ecuaciones ?r+3¡/=I_ 3, +8yo5. Examinemos, p. ej-, el método de las combinaciones lineales. Mul tiplicando la primera ecuación por £>', la segunda por —b, y sumando, se obtiene (ab‘ -b
I* + ? »-I z= 2.

5*-3y+?z=I.

13. Cuerpo ordenado— Un cuerpo es ordenado cuando es po sible definir en él un subconjunto de elementos positivos1. La condi ción a < b equivale entonces a decir b - a positivo. Las conocidas re glas operatorias con desigualdades se amplían a tal conjunto. En los ejercicios que siguen a continuación, el lector debe fijarse y compro bar que se hace solo uso de los axiomas de la estructura. Supondrá además que el cuerpo es conmutativo. Ejercicio 1. En un cuerpo ordenado, demuéstrese que entre dos elementos distintos a y b (a
De ello resulta que un cuerpo ordenado comprende necesariamens una infinidad de elementos. Los cuerpos finitos vistos hasta ahora o pueden, pues, ser ordenados. 1Es decir, que existe un subcspacio P cerrado respecto de la adición y de

(a+b)^-^-+-^-^>4e, ai+bs>a2b+ab2. La primera desigualdad se escribe > 4 g'

°

(a + by >âb

(porque -ib>0),

de donde («-«* > < ), la cual se verifica, ya que todo cuadrado es positivo. Para la segunda, se dividen los dos miembros por a + b > 0 , lo que conduce igualmente a (a —b)2> 0.

Ello equivale a demostrar que a2-a b + b 2 es siempre positivo. Si a y b son de signos contrarios, los tres términos a2, -ab, tí2 son posi tivos; de ahí la conclusión. Si a y b tienen el mismo signo, puede su ponerse que son positivos y a b á2+ tí2> a b se convierte en — + — > « Desigualdad evidente, puesto que b/a>e. Ejercicio 4. Si a, b. C son positivos, pruébese que (b+e)(e+a)(a+í>) >8abe. Dedúzcase de ello que (a+6+c>(-¿• + y+ -^ -)>9e. Desarrollando el producto, la desigualdad dada se convierte en ab2+ ba2+ be2+ ctí2+ cd2+ ac2> 6abc, ab{b - c ) + ba(a - c) + bc(c - a) + cb(b - a) + caía - tí) - ac(c - 6 » 0, a (b -c ¥ + b (c - á f+ c { a -b ¥ ^ 0.

49 Los tres términos son positivos; la igualdad solo puede verificarse

é V + cW+aW> afrc(a+6+
***

ea irr

ducibie es que ab'-ba'=± 1. En efecto, si existe un divisor común, este divide también a bf(a+<^)-
7

■ -= ( ± 1)p“iP“>-

La fórmula precedente resulta de la descomposición de los ente ros a y ó (que podemos suponer positivos, dada la presencia del fac tor ±1) en factores primos. Insistamos, sin embargo, en la unicidad de la descomposición: para todas las fracciones de una misma clase de equivalencia, todo factor primo que figure con el mismo exponente en a y b desaparece de la descomposición. Ejercicio 3. Todo número racional plq comprendido entre 0 y 1 puede

Suponiendo posible el desarrollo, se deduce que 2p

En el segundo miembro, la suma de las fracción 2 3 3 3-4

4 3-4-5

es inferior a

n- 1 3-4...(n—lj

La suma de las dos primeras fracciones es 11/12, la de las tres primeras 59/60 y la suma total 1- 2/n! Es, pues, inferior a 1. Multiplicando por q ios dos miembros de [2] se halla 2p = qa, + r2, siendo el entero r2 inferior a q. Se ve asf que a¡ es necesariamente el cociente de 2p por q(a2=0 6 1) y r¡ el resto de la división. Hallados a¡ y r2, se deduce que _2P _ _ ____ q Ul~ q

= -+ -+ 3

Un razonamiento análogo demuestra que a¡ es el cociente entero de 3r2 por q, etc. La sucesión de operaciones es fin¡ta y termina a lo sumo para n = q. El carácter necesario de la solucióin obtenida entraña la unicidad de la descomposición. Hallamos, p. ej., 5

1

1

1

4

2

7

)

3 1 + 41 + 5!

Sea p un entero primo dado. Demuéstres que el conjunto de icionales alb (fracciones irreducibles) para Ejercicio 5. Pruébese q

leros racionales toda

Sea 0( el transformado de 0. El número x + 0 t:¡ene así por trans formado *i + 0i; pero x + 0 = x , y este transformado es también x,. La ! el transformado de una suma ta. pues, de un isomorfismo e automorfismo).

la suma^de los trans-

Esta es la igualdad [2], con q -q ¡ + q¡. La descomposición [2] e única, porque si existiera una segunda,

se deduciría, H -r'i , r'1- r 2 A — g— = ?-<7 + —- — = —, con X entero. Por consiguiente, b¡(Lr,-r',)= \ b i y b2 debería dividir a A; sea \=pb¡, Se deduciría así que r, - r', = ¡jb¡, lo que es imposible, dado que el primer miembro es inferior, en valor absoluto, a b,, y el segun do mayor o igual a b¡. Tenemos, pues, 0, r¡=r'¡, ri= r’¡, de donde resulta la unicidad. Si b=b¡b¡b¡, tres factores primos entre sí, se tendrá en primer lugar

y , ",g0

íH M b - fr

Es también posible sacar las partes enteras de las fracciones del segundo miembro, lo que conduce a una descomposición única del tipo [2]. Ejercicio 2. Sea la fracción —, en la que a es un entero natural, y b, po6a sitivo. Pruébese que podemos ponerla en la forma

onde rw r„_i, ..., r, designan enteros positivos o nulos, inferiores todos q es un entero. Esta descomposición es única. Multiplicando [3] por bP se obtiene a=r« + b{ra-i+ b ra-¡ + ...+

i + qb'~')

se ve que ra es el resto de la división de a por b. Si a=bqa+ro, memos a _ g» ra bP tP -l + bP

53 Basta un razonamiento por recurrencia: suponiendo la propiedad cierta para a - i , la fórmula anterior demuestra que es cierta para a\ por otra parte, es inmediata para a = l . Por último, la unicidad se demuestra como anteriormente, ya que una descomposición análoga 13'] conduciría a rn-t /a=X6. Esta igualdad exige que 1 = 0 a causa de las desigualdades que han de cumplir ra y r'aConsecuencias.—Sea la fracción a/b y b=p°-p°--.p j» la descom posición en factores primos de b. La descomposición [2] conduce a escribir la fracción en la forma

7—

Z -i

Aplicando a continuación la [3], descomponemos a/b en suma le una parte entera y de cierto número de fracciones simples, deno minando así a toda fracción r/pa, con p primo y 0 < r < p .

Apliquemos el método indicado anteriormente. Se l 20 22-5 1.

5

4

5

22

2

Descompónganse las siguientes fracciones: 11/25, 14/45, 7/30.

Resp.: _ + 16. El cuerpo R de los números reales.—Podemos caracterizar el conjunto de los números reales por tres propiedades: forman un cuerpo, que es ordenado y completo. La última de ellas es fundamen tal en análisis real y justifica la importancia del cuerpo R. Una conse cuencia algebraica es la existencia de las raíces n-ésimas para un nú mero positivo. Ya conoce el lector el cálculo con radicales; recordemos también la existencia de un desarrollo en fracción decimal ilimitada rara cualquier número real. Ejercicio 1. Si el desarrollo decimal de un número real admite, cualquiera cue sea el entero n. una sucesión de n ceros consecutivos, dicho número es

54 Si fuera racional, el desarrollo sería periódico (porque es ilimi tado) y el número de ceros sería como máximo igual al de cifras del período disminuido en una unidad. Ejercicio 2. Demuéstrese que el conjunto de los números reales de la for ma a + b jN, con a y b racionales y N entero positivo no cuadrado perfecto, constituye un subcuerpo del cuerpo de los reales. Se comprueba que el conjunto es cerrado respecto de las dos le yes de composición del cuerpo de los números reales; por otra parte, el inverso de a + b */H es ^2

cua* Perênece *1 conjunto, pues

to que t^ -N b 2 no puede ser nulo (a2/óJ= N es imposible por ser N entero no cuadrado perfecto). Resulta así que es un subcuerpo del cuerpo de los números reales. ponder a+b-J7. Precísense las propiedades de esta correspondencia. ¿Es un isomorfismo entre los dos cuerpos? Se ve inmediatamente que la correspondencia establece un isomor fismo entre los grupos aditivos de los dos cuerpos; pero el isomor fismo no se mantiene entre los grupos multiplicativos. En efecto, (a + b^/5)(c + dt/5)=ac + 5bd + (ad+bc)-/T {a+ b */7) (c + d J T )= ac + 7bd+(«*/ + be) ST, y los dos productos obtenidos no son elementos homólogos en la co rrespondencia.

.

Ejercicio 4. ¿Qué condición deben satisfacer los números racionales a, b. l+ b ai/jl+ sea racional? aVJ JrV

a, b' para que

Podemos escribir

a >JT+b _ a « V 3 + b’

at/T+b _ a a '/ l+ b ’

o'

cí

btf - ab' (tif/ J l + ó')'

{ M -a b ') a'Qa'2- b 'r¡

suponiendo a '= 0 ;

(«V 3 -ÍO -

______________ EL CUERPO R DB LOS NUMEROS REALES_______________ 55 El coeficiente de -fT debe ser nulo, de donde M —ab'= 0, lo que da b=ma, b’ = m d ; el cociente es igual a a/o' o a b/b\ Si a'=0 ha llamos a=0, y el cociente es igual a b/b'. Ejercicio 5. Si los números a, b. a', b' son racionales, y c es un entero no cuadrado perfecto, pruébese que la igualdad' a+6ê—o'+bVe exige que a=o'. b -V . - K17+ 12*72. Suponiendo b^=b', la igualdad dada implica •/c = f, , de donde c= l . - J V ■ El entero c sería cuadrado perfecto, lo que contradice la hipótesis. Aplicación: Elevando al cuadrado se obtiene el sistema **+2^=17,

xy=6,

de donde x = ±3, y - ±2, correspondiéndose los signos. Se deduce así que |/l7 + 12*/2=3 + 2*7Z Ejercido 6. Si a y ó son enteros no cuadrados perfectos, demuéstrese que /u+ ‘Jb no puede ser entero.

*741+1+ *741-x=4. Hagamos «= * / 4 ÍT F y /?=*741 - x, de donde resulta el sistema a + l3=4,

a4+ (84= 82.

Elevando la primera ecuación a la cuarta potencia, se obtiene fácil mente el producto a/3. La solución a/3=3 da a = l, /3=3, por lo que x=40. La solución af3= 29 no da valor real para x. Ejercido 8. Resuélvase en d cuerpo de los números rebles el sistema a4=7x+3y,

y*=7y+3x.

1Si c fuera racional, haciendo que el denominador fuese un cuadrado per-

CAPITULO ni EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

Los números complejos en la forma a + ib 1. Reglas operatorias.—Existen varias maneras de construir el cuerpos de los números complejos. Todas ellas conducen a una ex tensión (supercuerpo) del cuerpo de los números reales, que compren de un elemento i tal que ?= -1 . Todo elemento de este nuevo con junto se escribe en la forma a+ib, con a y b pertenecientes a R. Las reglas operatorias son las de un cuerpo conmutativo, con la posibilidad, además, de reemplazar i2 por -1. Con frecuencia es cómodo asociar al número z = a+ ib su imagen, que es el punto de coordenadas (a, b) en un plano dotado de un sis tema de ejes ortonormados. Ejercicio 1. Exprésense en la forma a+ib los siguientes complejos: (4+J¡)l; ' '

(4+3i)5; - i - ; 1 ’ 5+3i

-A ± * ; 3—2»

i __ ; J i ^ Ü Í L (4+2») (3-2i) 5-3 i i_ . 67 81. 34 34” 13t 13” 65 t 130 ! 34+ 34'‘

Ejercicio 2. En el cuerpo de 1 (l+¿)x—iti—2+i,.

(2+i)í+(2-«>=2¿.

Los métodos clásicos de resolución s quiera. La solución en este caso es z — ^

Resp.: a=2, b = 8. Ejercicio 4. Según los valores de n. precísese cuánto valen las sumí A=l+i+iJ+P+...+í"¡

B=l-«‘+i2-P + ...+ (-l)"í*.

Resp.: n=4p: A = B = 1; n=4p + l : A = l + ¿, B = n=4p+2: A = i, B = - i ; n=4p+3: A=B=0. Ejercicio 5. Sea z—x+iV- Calcúlese la parte real y el coeficie número complejo Z -

-. Sea m la imagen de z y M la de Z. S

la recta y= 1—x, ¿qué lugar describirá el punto M? Si Z=X +tY , hallamos ( x -l y + p 2’

v=— ( x - l^+J/2

Reemplazando t/ por 1 -x y simplificando, resulta

El lugar geométrico del punto (X, Y) es la recta Y = X -1 , perpen dicular a la p = l -x .

Escribiendo que el número real z = x es raíz, obtenemos x3+or+c=0 ,

b x+ d = 0,

después de separar las partes real e imaginaria. Necesariamente se tiene que x = - d/b, valor que sustituido en la primera relación nos da la condición enunciada. Si la ecuación posee dos raíces reales, b = d = 0, y el discriminante de x2+ax + c = 0 debe ser positivo. Ejercicio 7. Fórmese la ecuación a que verifica x si el número z—x+íy es Resp.: Si y'=0, x verifica x3+px + q = 0. Si yj^ 0, x verifica 8x5+ 2px-q=0. Ejercicio 8. Hállense las relaciones entre los coeficientes de los polinomios ¥>(*.y) *=ax2+2bxy+cy*+2dx + 2ey+f i¿(x, y) â,x*+2b'xy+c'yt+2d'x+2e'y+f' para que ip+iifr sea un polinomio en z—x+iy. Determínese este polinomio.

CAP. III: EL CUERPO DE LOS COMPLE|OS Por tratarse de un polinomio de segundo grado, será de la forma (a + í/3)z2+ 2(y + »8)z+ e+ fif. Sustituyamos z por x+iy, y separemos las partes real e imagina ria. Igualando a ip+ i, resulta a(x1- tf)-2 p x y + 2yx-28y+e=axt + 2bxy+cyí + 2dx + 2ey + f, f}(x2- y >)+2axy+28x+2yy+Ti=(/xl +2b'xy+c'y‘ + 2(fx+2e'y+f'. Estas igualdades, válidas para r e y cualesquiera, exigen que a = a = - c = b ',

~¡3=b= -a'= c ',

y = d = e',

8= - e = d ‘.

Se deduce así que el polinomio buscado es -z es un isomorfismo interno del cuerpo de los números complejos (automorfismo). Por tanto, si en una sucesión de operaciones entre elementos del cuerpo (adiciones, multi plicaciones o sus inversas) se sustituye cada número por su complejo conjugado, los resultados son conjugados.

(a-H6)2+(«-«> )2;

(l+ « )* + (l- « r ¡

Examínese el caso particular de ser a, b, c y d números reales. Resp.: 2(a2- ó 2); 2 - 12a2+ a4; 2

Estos números son rea

les si lo son a, b, c y d. Resultado evidente porque hacemos la suma de números complejos conjugados. Ejercicio 2. Calcúlese A = (l+ í)"+ (l-t)", con n entero (véase pági na 65). El resultado es real porque los dos números son complejos con jugados. Con ayuda de la fórmula del binomio se obtiene A = 2 [ l - q , + C4 „ -C ‘ + ... + ( - l p C » ]

con

n -l«2 p s ;n .

rífique £■=■

para cualquier z?

Si z es real, se tiene z = z = x; de la igualdad obtenida se deduce que b = d = 0, a=c. Pero la condición z = z no es válida para z no real. El problema es imposible. Ejercicio 4. Pruébese que el cuerpo de los números complejos no admite otros automorfismos que la correspondencia z —*•z y la correspondencia idén tica (véase ejercicio 5, pág. 50) '. Se ve, como en la página 50, que se conservan los elementos neu tros 0 y 1. Son reales, y de ahí resulta, en virtud del ejercicio indicado, que todos los números reales son sus propios transformados. Si x + iy se transforma en x'+ iy', se tiene que por tanto, ty se transforma en iy'. Elevando al cuadrado, - y 1 se transforma en - y '2, de donde y = ± y '\ pero y = y ' es el automorfismo neutro e y = —y' es la correspondencia z —> z. 3. El número /.—Ejercicio 1. Hacemos ; = ----- —' ^ clêse f2» p. ¿Cuánto vale l+j+p? Precísese la figura geométrica formada por las imá-

Hallamos p = —

p = p . j = j . j = l y de la misma for

ma j3= l. Los tres números 1, i, p = j constituyen las tres raíces cúbi cas complejas de la unidad. Sus imágenes forman un triángulo equi látero; por consiguiente, l+ / + ;2=0. Ejercicio 2. Dedúzcase del ejercicio anterior el valor discútase según los valores de n. Escríbanse las igualdades que resultan cuando se desarrolla ; por la fórmula del binomio. De /!=1 se deduce p*= 1, /!*"H =/, ps‘+2=p . Desarrollando j por la fórmula del binomio y separando las partes real e imaginaria, se ob1- 3C ¿ +

- IKlip + . . . = ( - 2yp,

C!P- 3C¿„+ 32C¡P- 3C jp + ... = 0. 1El ejercicio de la página 50 se refiere al cuerpo Q, pero la misma propie dad puede ampliarse a R; en este cuerpo, toda correspondencia que ataña a la

60______________ cap, m: el cuzaro de los compleios________________ Del mismo modo l - 3 C U + 3íC;,+1- .. . = ( - 2 ) !’ , C U i - 3Cjp+I + IK-l,.,. •■= ( - 2y . El lector precisará las igualdades para n= 3p+ 2. Ejercicio 3. Calcúlese A‘= (l+ ;)"+ (l+ ji)n, utilizando los resultados del ejercicio 1 (pág. 59). Resp.: Para n=3p, A = 2 ( - l )lp, etc. Ejercicio 4. Determínense los valores de A= (l+i'v'3)”- (1 -iVT)". de acuerdo con la elección del número n. Ejercicio 5. Compruébese que siendo z un número complejo arbitrario, (z+l)(z+/)(z+ji)_(l+z)(l+;z)(l+Pz). Ejercicio 6. Compruébese que, si a y b son dos números complejos cua tí*-I-&5- (a+6)(o;+6p) (ap+bj) y dedúzcase de ello la fórmula (a+bj+cp)i+(a+bp+ci)>-(2a -b -c)(.2b - c - á )(2c-a -b ). Si a+b+c=0, la expresión anterior vale 27abe. Ejercido 7. Designando por a, b, c tres números reales o complejos, esx=a+b+c,

y-a+bi+cp,

z=a+bp+c¡.

Calcúlese x*+|P+z*. Utilicemos la fórmula que da el cubo de una suma: (a + b + cy>= So3+ 3t, + c3+ + 6ábe). Ejercido 8. Sea el polinomio (1 +x+x2)’,=a0+a1x+dJi!+ ... +aJir>*’. Lla mamos So (respectivamente. S, o S¿) a la suma de los coeficientes cuyo lugar de orden es múltiplo de 3 (respectivamente, múltiplo de 3 más 1 ó múltiplo de 3 más 2). Sustituyendo x por cada una de las rafees de la unidad, 1,; y p. calcú lense So, Si y S*

RAICES CUADRADAS DE UN NUMERO COMPLEJO

61

Resp.: So=Si = S2=3"_i. Ejercicio 9. Demuéstrese que todo número complejo z=a+ib puede escri birse en la forma z=x+jy, con x c y reales. Establézcase que z= 0 exige x=y=0. ;Cómo debe efectuarse la suma y el producto de los números z y zf—xf+jy'l Dado z, exprésese en la misma forma el número 1lz. 2b b Tenemos y = — —, x=a + — — y la condición 2= 0 exige <7= Z>=0, s/3 a/3 de donde y=x=0. ¡e efectúa del mismo modo que con z + z '= x + x ' + j{y + y). En cuanto al producto, encontramos zz‘ =xx'+fyy'+ (xt/+yx')j; pero j2= - l - j ; por consiguiente, zz'= xx" - y y + j(xy + yx' - yy). El lector hará la comparación con la regla usual que resulta de escribir a + ib. Finalmente, si l/z=X + /Y, se tiene que l=(r+/¡/)(X-/Y), de donde el sistema * X -y Y = l, x Y + y X -y Y = 0 . Del que se deduce X +; Y =

xl +y‘ -x y

x2+ y2-x y

4 Raíces cuadradas de un número complejo. Ecuación de segundo grado.—Todo número complejo z admite dos rafees cua dradas opuestas, u y - u . Escribiendo z = a + ib y u =x+iy, llegamos al sistema ** ~ y = a , 2xy=b, que posee siempre solución. Resulta de ello que una ecuación de segundo grado az*+6z + c=0 (a5^0) admite siempre dos raíces, distintas o confundidas. Son váli das las reglas corrientes de resolución.

62

CAP.III:

EL CUEUPO DE LOS COMPLEJOS_____________ _

Ejercicio 1. Calcúlense las raíces cuadradas de los números l+4iVi; «-1 4 iV T Resp.:

±(2 + iJ J );

±(7-«V5)-

Ejercicio 2. Resuélvanse las siguientes ecuaciones: z2+2iz-5=0;

(l+ i)z2-(7+13i)z+2+60i-0.

Resp.: z = - í ± 2 ; Z|=7-2i, z¡=3+5i.

Tenemos zJ- l = ( z - l ) ( z 2+ z + l)= 0 ; el factor de segundo grado admite como raíces z= —

7 l7)-

Ejercicio 4. Resuélvase la ecuación z2+(4-2t)z-i->0. Se obtiene z = í - 2 ± lo que conduce a calcular las raíces cuadradas del número 1—i. Empleando el método anterior, se obtiene para una de ellas __

(x+iy)i Ejercicio 5. Determínense las partes real e imaginaria de Z « :--- -• z+tp+i Dígase qué lugar geométrico debe describir la imagen M de z—x+iy para que Z sea imaginario puro. ¿Culi es el lugar (I-) de M para que Z sea real7 Resuélvase la ecuación z1J T -z -i= 0 y pruébese que las imágenes de las raíces están sobre (r). Se halla fácilmente que z =

+

^

parte real es nula cuando x(x*+y‘ +2y)=0 y el punto M está o sobre el eje de las y, o en la circunferencia z2+t/2+2y=0. Cuando Z es real tenemos y(.x¡ + y‘) + i ? - x ‘ = 0, o en coordenadas polares r = — i—— 2 sen 6, ecuación de la estrofoide, cuyo punto do ble es el origen de los ejes.

CAP. III: EL CUBBPODE LOS COMPUIOS Queda un sistema que podemos escribir en la forma (x - y)[(x - y f + 6xy] = J2, De él deducimos x - y = — dos soluciones: _ s/T+1 2-/2 T

. y/T-1 2-J2 '

(x -y f-2 x y = Q .

xy=—, y se obtienen así las otras ** 1 -y T

.a/T+1

~ 2J2

2-/~2

Lo» números complejo» en forma trigonométrica 6. Módulo y argumento.—Un número complejo z = x+ iy puede escribirse en la forma z=p (eos 0+isen 0); p (positivo) es el módu lo y 0, definido salvo un múltiplo de 2tr, es el argumento: P = 14

0=argz.

Geométricamente, si m es la imagen de * y O el origen de coor denadas, p=Om, 6=(Ox, Om)+2kir. El producto y el cociente se efectúan, en forma trigonométrica, de manera inmediata: z •z, = pp¡ [eos (0 + 0i) + i sen (9 + 0,)]; — = — [eos (0 - 0,) + i sen (0 —0i]La interpretación de las relaciones anteriores conduce a la cons trucción de la imagen del producto; para ello se aplica a la imagen del número z la semejanza de punto doble O, definida por z,: rota ción de ángulo 0¡ y ¿omotocia de razón p,. Por otra parte, pueden permutarse los papeles de los puntos. Ejereicio 1. Determínense el mádulo y el argumento de los siguientes nii1+ cos a+ i sen a;

eosa+isen a+i.

Resp.: p-\2 cosa/2| y 0=a/2 o a/2+ ir, según que el signo de cos«r/2 sea positivo o negativo; p = \Z2|cosa/2 + sena/2| y 0=a/2 + + 7r/4 o a/2 + 5jr/4 según el signo positivo o negativo de cosa/2+ + sen a/2.

Ejercicio 2. Simpliifquese la fracción -

■rcicio 3. Compruébese que los números complejos de módulo igual a 1

Ejercicio 4. Sea z-x+iy. Demuéstrese que |z|V2>|c| + |v|Elevando al cuadrado, 2(x‘ + ift> x *+ y ‘ +2\xy\,

condición que se cumple sin excepción; la igualdad se verifica para y=±x. Ejercicio 5. Sean z¡ y z2dos números complejos. Pruébese que W - H -l .El lector verá sin dificultad la explicación geométrica. Cabe ob servar también que \z,\2=z¡z¡, lo que permite escribir la relación dada en la forma 2(Z]Z, + Z2Z2) = (z|+ Z2) (5, + ¿2) + (Z, - Z2) (2, - Z2>. La comprobación es inmediata.

Desarrollando por la fórmula del binomio y haciendo S o = i - c í + G !- c ;+ ...,

S,=Q¡-C¡+C?,-....

66

cap,

ni: el cubijo de los complejos

tenemos que z = So+ iSi. Por otra parte, z = 2”u êos — se deduce, por tanto, que

+ 1sen

)i

El valor numérico de estas fórmulas depende del que toma n en relación con los múltiplos de 4. Ejercicio 7. Dígase qué valores toma la expresión A= ^ 1+ - ^1

^ -

J según sea el valor de n. Dedúzcase de lo anterior que, si n es

múltiplo de 6,

m

c1

- T c; + ^ cj- . . . + ( _ t)r , ( i - ) í

Tenemos 1+ —^ = —?=(cos — + 1sen — V3 \^3 6 6'

CJ-'=0.

Aplicando la regla para

multiplicar en forma trigonométrica, se obtiene A =J^sen ^L (\/3)" 6 Se comprueba que A = 0 cuando n es múltiplo de 6 y, desarrollando las potencias por la fórmula del binomio, se deduce fácilmente la re lación dada. Ejercicio 8. Calcúlese z, para que z, 1/z y 1-z tengan iodos el mismo mó dulo. Este módulo común es igual a 1, y escribiendo que 1- eos 6 - i sen 0 tiene módulo 1, se obtiene 0 = ± —. 7. Caso de los complejos conjugados.—Dos números complejos conjugados tienen el mismo módulo y argumentos opuestos: z = p (eos 0 + i sen 0).

z = p (eos 0 - i sen 0).

Se deduce de ello la relación p!=|z|2=zz, que permite definir el módulo con independencia de toda interpretación geométrica.

CASO DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS___________

67

Ejercicio I. Calcúlense los números complejos z tales que z> y -i- sean conjugados. Se piden los valores numéricos del polinomio P(z) = z4+zJ+z2+z para estos valores de z. Si z = p (eos 0 + i sen 0), se halla fácilmente p= l

y

7 0 = -(-2 0 )+ 2 kit,

osea

0 = -^

Estos números verifican, pues, la relación zs—1=0. Puesto que z » - l = (z - l ) (z « + z 2+z2+ z + l)> se ve que P (l)=4 y P(zi) = - 1

(*=1, 2, 3, 4).

Ejercicio 2. Suponiendo que los números z y z son conjugados, escribi mos z=p (eos 0+isen«). Calcúlese a=(z + *)(z2+ *2)... (z" + z"). Resp.: a es real y vale a=2"pn("+1,,2cos0 eos 20 ... eosnO. Ejercicio 3. Si a, b, c son números reales, hállese el lugar geométrico de los puntos M(z) de modo que az¡+bz2+cz=aV+ bz2+cz. Se obtiene

+ + + + + =0,

(z - z) [o(z2 zz z2) b(z z) c]

de donde z = z ; o sea, z es real. Si se hace z = p (eos 0 + 1sen 0), resulta: o(2p2eos 20 + p2) + 2¿>peos 0 + c=0. En coordenadas cartesianas el lugar es una hipérbola

- 2 +=0

aOx* y1) + bx c simétrica con relación a Ox.

Ejercicio 4. Demuéstrese que todo número complejo de módulo 1 puede ponerse en la forma

El cociente •

+ * , siendo x real.

de dos complejos conjugados tiene módulo 1.

CAP. III: EL CUERPO DB LOS COMPLEJOS Igualando a eos 0 + i sen 0, resultan dos ecuaciones, que conducen al mismo valor de x: x seng 1-cosfl ^ 0

Ejercicio 5. Sean cuatro números complejos z¡=x¡+iy¡ (; varía de 1 a 4). Con ayuda de * e y exprésese el número Z= (z,z,-z2z3) ( í 1í « - Z2Zj) efectuando el menor cálculo posible. Por ser conjugados los dos factores, Z es real e igual al cuadrado del módulo de Z|Z4- z 2Zj; de donde Z=

- y,y, - x¡x¡ + y¡y¿¡>+

+ x,y, - x¡y, - x¿/2f.

8. Lugar geométrico de la imagen de un número variable.— Sea un conjunto de números complejos que satisfacen una condición dada: sus imágenes están en general sobre una curva (lugar geomé trico). Cuando la condición dada se expresa por una relación entre el módulo y el argumento, se tiene la ecuación del lugar de la imagen en coordenadas polares. Ejercicio 1. Determínese el lugar de la imagen M de z tal que z+|z| sea un número complejo de módulo R dado. Tenemos z + |z|=p + p (eos 0 + 1sen 0) y, hallando el módulo, 2p2(l + eos 0) = RJ; /■

2p eos ■ Es innecesario el doble sig no ± , porque la curva

es simétrica con relación al origen. Ejerciciio 2. Hállese Resp.:

lugar de M(z) cuando |zJ+l| = l.

Lemniscata de Bemoulli, r2= —2 eos 20.

LUGAR GEOMETRICO PE LA IMAGEN DE UN NUMERO VARIABLE_______69 Ejercicio 3. ¿Cómo se desplazan las imágenes de las raíces dez2-2Az+ —1= 0, cuando X es real y varía de -oo a + »? Si |X|>1, las raíces son reales y describen el eje delas x (por com pleto cuando se toma el conjunto de las dos raíces). Si |X|<1> las raíces describen la circunferencia p = l. Ejercido 4. Sea z=cos p+i sen»>. Calcúlese el módulo y el argumento del número complejo u=z2+z. Hállese el lugar de su imagen cuando
+sen
(z-o)(i-á)=oé;

<1= 0 +2/3).

Ejercido 7. Sea la ecuadón z2-2pz+l=0, con p=cosy>+isen ¡p («9 real). 1.“ Díganse qué relaciones existen entre los módulos y los argumentos de bs raíces zf y z". ¿Para qué valores de ip, z/ y z" son reales o imaginarias puras? 2.° Precísese el módulo y el argumento de cada uno de los números z'-p, z'-p, z'+i, z"+i, z'-i, z"-i. (Distínganse dos casos). 3.” Lugar de las imágenes de z' y z* cuando varia ?. 1.° Tenemos z'z” = 1: los módulos de las raíces son inversos uno del otro, y los argumentos, opuestos. Puesto que z"+ z" ---2p, si las raíces son reales también lo es p; por consiguiente,
70

CAP. III: EL CUBIfO PE LOS COMPLEJOS

par, z'=z" = 1; y si es impar, z '= z "= —1. Las raíces son imaginarias puras para ¡p=-^-+kir. 2° Tenemos z - p = ± ‘/p1—1= ± •/2 sen ¡p(i eos¡p—sen ¡p), de don de la necesidad de distinguir dos casos según el signo de sen 0; se deja a la atención del lector el otro caso. Tenemos entonces

de donde se deduce z+ t=cos v>+í(l + sen v>)± -J2 sen ¡p ^COs (- ^ + - ^ )+ í s e n (- y + ^ -)

j

=

Los números z' + i y z" + i tienen, pues, el mismo argumento, Y + ^ -, lo que demuestra que las imágenes de estos puntos están ali neadas con la de —i. De la misma manera se halla

de donde |z—¿|J=2; las imágenes de z' y z" describen la circunferencia de centro i y radio >/2, cuando ¡p varía de 0 a ir (sen ip > 0). Además, esta circunferencia se des cribe completa si se toman las imáge nes de las dos raíces. Para sen p < 0 , las imágenes describen la circunferencia simétrica con relación a O*; la recta que une estos puntos pasa por + í. y° Acabamos de ver cuáles son los lugares geométricos de las imágenes de las raíces. Indiquemos una solución directa de la cuestión. Si z'-= p(cos 6 + i sen 8)

RAICES ENESIMAS PB UN NUMERO COMPLEJO

71

es una de las raíces, la otra será z* = — (eos 0 - 1sen 0), P

de donde

0. Se elimina p elevando al cuadrado y sumando; después de redu/>4+2p*(cos20-2)+l=O,

o

(p1- l ) 2=4p2sen20.

En coordenadas cartesianas, resultan las dos circunferencias (x*+yi - l + 2y)(x‘ +y‘ - l - 2y ) = 0, encontradas ya anteriormente. 9. Raíces n-ésimas de un número complejo.—En el cuerpo de los números complejos, todo número zjk 0 admite n raíces distintas, cuyas imágenes coinciden con los vértices de un polígono regular de n lados. En particular, el número 1 admite como raíces:

Dado un número z, representemos con yfz o zw“ una cualquiera de sus raíces n-ésimas. Se deducen todas ellas a partir de una cual quiera, multiplicándola sucesivamente por las raíces n-ésimas de la unidad. Ejercicio 1. Calcúlese ■/—i; •/! +i; |f ¡_ ^3 Resp.: • J 'i 2

i_ 2'

. ’

_ Ji 2

i _ T ;

los cinco números de módulo -J2 y de argumentos — 4tr 26tr 15

A" 76"

,

15 15 15

cap, ni: el cubeto pe los complejos

72

Ejercicio 2. Si a es una raíz n-ésima de la unidad, diferente de 1, de muéstrese que l+a+a*+...+o"->-0. Evidentemente, puesto que a " - 1=0, se tiene (1 - a ) ( l + a + aJ+... + a"-‘)=0 y el primer factor es distinto de cero. Ejercicio 3. Si a es una raíz séptima de la unidad distinta de 1, pruébese a a2 g3 1+a2 + 1+a* + l+o*

_2

Haciendo entera la relación dada volvemos a encontrar la fórmula anterior con n = 7. Ejercicio 4. Demuéstrese que la suma de las potencias m-ésimas de las raíces de orden n de la unidad es igual a O6 a n, según que m sea o no múlSea a i= c o s -^ -+ is e n -^ -; puesto que a2=o5, ..., hallamos (czo)'” + (ai)" + •••+(aB-i)",= 1+ «?+<*?+... + En el segundo miembro se tiene una progresión geométrica de ra zón

Si a f

(es decir, m^áktt), la suma de los términos

^

-

es nula, ya que a j= l. Si m—kn, la suma considerada es igual a n. Ejercicio S. Sea a una raíz quinta de la unidad. Hacemos r ^ a - a 4 y =á*-a3. Calcúlense xj+z| y xjzj. Dedúzcase de ello que x¡ y x2 verifican una ecuación de cuarto grado con coeficientes enteros. Tenemos x2l= a 1+ a3- 2 porque a5= l ; de manera análoga, resulta x\=a, + a - 2 ; por tanto, x^+ x ^ - S . Tenemos también x{x|=5, de donde la ecuación x,+ 5x2+5=0, que admite ±*| y ~x¡ como rafees. 10. Aplicación a la ecuación binomia.—La ecuación az" + ¿= O conduce de manera inmediata al cálculo de las rafees de orden n de un número complejo. Más adelante encontraremos ecuaciones que pueden reducirse a esta forma. Ejercicio 1. Calcúlense las raíces de la-ecuación z*—z5+z2- z + 1=0.

El primer miembro es una progresión geométrica y puede escribir se * +-* ■ La ecuación tiene, pues, las mismas raíces que zs+ l= 0 , exceptuando la z = - l . Estas son: ir ir z = cosT ±.senT

y

37t . 3tr z=cos — ±,sen —

Podemos resolverla también algebraicamente (ecuación recíproca), lo que conduce al cálculo de las razones trigonométricas del arco tt/5. Ejercicio 2. Resuélvase la ecuación (z+ í)"-(x -i)"—0. Se reduce a ( y —

=1> de donde z = c o t g S e excluye el va-

l + 2z+2z2+...+2z"-1+z"=0.

Ejercicio 4. Resuélvase la ecuación (1+ */l- zJ)"—( 1 - ^ l- z 2)". Ejercicio 5. Demuéstrese que la ecuación

con a real, posee n rafees reales y distintas. 11. Módulo y argumento de un producto y de un cociente.— Y Hemos recordado la ley general en el caso de dos factores z y z' cua lesquiera, pero se obtienen inter pretaciones geométricas importantes tratándose de factores de la forma z -a , z -b . Una diferencia tal como __ z - a se representa geométricamenC te1 por el vector AM, que une los

a posición de la figura que forman los punt<

74_____________ •CAP. III; EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS puntos imágenes de a y z; de ello resultan las siguientes relaciones para los módulos: |( ! —«>(z—« i - m a .m b ; y para los argumentos: arg (z - a) + arg ( z - b )= (A*, AM) + (B*, BM); arg— -= a r g (z -a )-a r g (z -b )= (A x , AM) - (Bz, BM)= =(MB, MA) + 2fc7r. Ejercicio 1. Lugar geométrico del punto M tal que --- - tenga un módulo dado, o bien un argumento dado.

Sisuponemos conocido el módulo p, tenemos

= p y el lugar

de M es una circunferencia con centro en la recta AB; los puntos que dividen a este segmento AB en la relación p son los extremos del diá metro situado sobre la recta AB. Si se conoce el argumento, 8, tenemos (MA, MB)=0; el lugar es el arco capaz del ángulo 6 construido sobre el segmento AB. Con fre cuencia, 8 se define, salvo un múltiplo de jr, y se obtiene una circun ferencia completa. Si c = p (eos 8+ i sen 8), el punto M imagen de la solución de la ecuación - —- = p (eos 8 + i sen 8) es la intersección de la circunferen cia ^ ~ = p con el arco capaz (MB, MA) = 0. Existe siempre solución

Ejercicio 2. ¿Qué lugar describe M si --- - tiene su parte real nula? Es un número de la forma Ai, de argumento —, más o menos kir. El lugar es la circunferencia de diámetro AB. Ejercicio 3. Lugar de M, imagen del número z, tal que ^

^ sea real.

Resp.: Llamando A a la imagen del número 1, hallamos: eje x'x, circunferencia de diámetro OA y 4 circunferencias (MA, MO)=^-, (más o menos kir).

75 Ejercicio 4. Lugar de M para que (z-a)(z-fc) sea real. Tenemos (Ai, AM)+(B*, BM)=Awr; las dos rectas AM y BM tie nen pendientes opuestas. Expresando esta condición, se ve que M está sobre la hipérbola 2xy- (a¡ + b¡)x - (a, + b,)y + axb¡ + aj>,=0 (con ü= a, + ia2 b=b, + ib¡). Dicha curva pasa por A y B. Ejercicio 5. Los puntos A. B, M tienen por afijos a, b, z; calcúlese el afijo z del simétrico M' de M con relación a AB. Interpretando las relaciones (M'B, M'A )= -(M B, MA), ¿_ z se deduce que — —— es el conjugado de -— de donde

z '- b ~ z -b 12. Razón doble de cuatro números complejos.—Sean los nú meros ztl z¡, zj, z,. Su razón doble es, por definición, el complejo

Si Mi, M¡, Mj, M, son las imágenes de los números: MJd, _ M
*»-*»’

de donde se deduce la condición necesaria y suficiente (z, + z*>(z3+ z4) =2(z,z2+ ZjZ,)

76______________ CAP. III: EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS_____ la cual expresa que cada uno de los pares z¡, z2 y z¡, z, es conjugado armónico del otro. Estudiemos la configuración de los cuatro puntos Mi, M¡, M3, M< que corresponden a este caso particular. Ejercicio 1. Dados tres puntos A, B, M. de afijos a, b, z, construyase M'(z') tal que

——+ - —-=0.

Si I es el punto medio de AB, demuéstrese que AB es la bisectriz del ángu lo de las semirrectas IM e IM', y que IM-IM'=

.

Tenemos

_M ^ punto M' pertenece a la circunferencia MB M'B lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a A y B es , MA 'SU*1 * MB De la misma forma, (MB, MA) = (M'B, M 'A )+7r + 2fcjr, y M' per tenece a la circunferencia circunscrita al triángulo MAB. Estas dos condiciones determinan un pun to M' único, porque las dos cirM^ ----------cunierencias se cortan en M y z' en e' P11111® buscado M'. / s 7 7 l\ \ La relación dada puede poI

—

z 2 '- ^ ^ ( z + z') + a* = 0.

■ (

-&y')

Si I es la imagen del número —y -, la interpretación geométrica de la relación anterior proporciona inmediatamente las propiedades buscadas. Observaciones.—I* Hemos visto que la relación entre los dos pares de puntos A, B y M, M' es recíproca. De ello resulta que, si I es el punto medio de MM', se tiene también JA-JB = — - — y el ángu lo (JA, JB) admite por bisectriz interior MM'.

O NUMEROS COMPLEJOS 2.* El cuadrilátero AMBM' se llama armónico, y la condición para que un cuadrilátero inscríptible sea armónico es que las cuerdas AB y MM' sean conjugadas.

Sean M, M', P, P' las imágenes de z, z', u, - u , y sea I el punto medio de M'M; el cuadrilátero MPM'P' es armónico. La relación a demostrar se escribe OM + OM' = IP+IP' que se deduce fácilmente de las propiedades precedentes. Tenemos (OM + OM')2= OM2+ OM'2+ 20M •OM'= 20I2+ 21M2+ 20P2 y un resultado idéntico para (IP + IP')2. Ejercicio 3. Construyanse las imágenes M y M' de dos números comple jos dadas su suma, 2s, y la media geométrica, p: z+z' —2s,

zz'-p2.

Si P y P' son las imágenes de p y - p , el cuadrilátero MPM'P' es armónico. Se conoce el punto medio J de MM' (imagen de s); la recta MM' es bisectriz interior del ángulo PIP". Se construye inmedia tamente el centro de la circunferencia circunscrita. Observación.—Los números z y z' son las rafees de la ecuación Z2-2 íZ + p 2=0; i ecuación métrico de los puntos de afijo z que

cap, ni: el cuE«ro de los complejos

78

Resp.: En virtud de las propiedades estudiadas en el ejercicio anterior, se ve que \z,\ y |z2J son constantes. Las imágenes describen dos circunferencias. Ejercicio 5. Si son Mi, M2. Mj tres puntosdistintos dei plano complejo, de afijos z¡, zj, zj, dígase cómo hay queelegirM(z)paraque (zi, z2, Zj, z) sea igual a: a) un número real dado; b) un número de módulo 1; c) un número imaginario puro. Resp.: a) M está sobre la circunferencia circunscrita al triángu lo MiMiMj (arg A = kir). b ) Si ]A|= 1, tenemos ; el lugar de M es la cirMMj MjM2 cunferencia del haz cuyos puntos límites son M| y M2 y que pasa c)

Si arg A —~+h7r, el lugar de M es la circunferencia orto

gonal a M,M2Mj que pasa por M! y M2.

Transformaciones conformes 13. Nociones generales.—Hasta aquí hemos asociado a todo nú mero complejo z un punto de un plano euclidiano referido a un sis tema de coordenadas cartesianas o polares. Pero la interpretación geo métrica de las dos operaciones suma y producto permite representar gráficamente cualquier sucesión de operaciones del cuerpo, efectuadas a partir de un número arbitrario z y que le transforman en un núme ro Z=/(z). Geométricamente, se pasa de este modo de la imagen m de z a la M de Z ; cuando m varía, queda así definida una transfor mación geométrica. Observará el lector la gran variedad de transformaciones puntua les que es posible obtener de esta manera*. Señalemos desde ahora que todas estas transformaciones tienen una propiedad común: la de conservar el ángulo de dos curvas cualesquiera (transformaciones con formes), circunstancia que comprobaremos con frecuencia. Dos casos particulares.—a) Sea Z = z + A, donde A es un número 'Sobre todo^si, saliendo del^ dominio del álgebra, suponemos que /(z) es

__________ TRANSFORMACIONES CONFORMES: NOCIONES GENERALES

79

complejo dado; la transformación m—> M es una traslación definida por el vector imagen de X. b) Sea Z-a=X (z -o ), con X y a conocidos; la transformación m —> M es una semejanza cuyo punto doble es la imagen de o, y en la que el número X define el ángulo de rotación y la razón de homotecia. Si |X|= 1, se trata de una rotación pura. Ejercicio 1. Un punto m(z) se hace girar un ángulo a, alrededor de A(u+ifr). Calcúlese el afijo del punto M obtenido; dedúzcanse de ello las coorTenemos, Z - a -ib = (eos a + í sen a) (z - a - ib). Escribiendo Z = X + iY, y z = x + iy, resulta; X - a =(* - a) eos a - (y - b) sen a, Y - b = (ar- o) sen a + (y - b) eos a. En el caso a = 6=0, se tiene una rotación alrededor del origen. Las fórmulas obtenidas son las correspondientes a un cambio de ejes (ro tación) : para M, (X, Y) son las antiguas coordenadas, y (*, y), las nue vas (ya que son los ejes los que han girado). Ejercicio 2. Determínese el lugar del punto M(z) tal que las imágenes de i, z e iz estén alineadas.

ESTnucrmiA pe anulo ícaf. 5 T eorema.—El producto de dos elementos pertenecientes al mismo subconjunto (A+ o A -) es un elemento de A*. El producto de dos elementos que pertenecen uno a A +, y el otro a A~, es un elemento de A-. Si a y b pertenecen a A \ sabemos que abG A+; si a y b perte necen a A", ( - a ) y ( - b) pertenecen a A* y, según las reglas de cálculo, =(-o)(-6) pertenece a A+. Finalmente, si a € A * y b € A", se tiene que ab= - ( a ) ( - b ) y ab es el opuesto de un elemento de A +, por lo que pertenece a A". En particular, el cuadrado de un elemento cualquiera es siempre positivo; si se trata de un anillo unitario, el elemento e tal que e=e-e es también positivo. En resumen, sobre uno de estos anillos obtenemos la regla de los signos tal y como se enseña en el álgebra elemental. Orden total.—En un anillo en el que existe un subconjunto A* de elementos positivos, escribimos a ^ fe cuando la diferencia b —a es positiva o nula. Demostremos que queda definida de esta manera una relación de orden total compatible con la adición: a) tenemos a í a; b) si a í 6 y 6 í a, a=b. En efecto, b - a pertenece a {A+, 0} y su opuesto a -b a {A - , 0). Pero la última desigualdad prueba que a -b pertenece también a {A+, 0). Ya que los dos subconjuntos A + y A~ son disjuntos, será necesariamente a=b. c) Si a í b y b < c, se tiene que a < c; conclusión inmediata en virtud de la tercera propiedad de los elementos positivos. Finalmente, la compatibilidad respecto de la adición se deduce in mediatamente de la fórmula 6 -o = (b + c )-(a + c ). Respecto de la multiplicación, se tiene la siguiente propiedad: T eorema.—Si c 6 A +, la relación a < b implica que ac ^ be. Si c G A- , la misma relación implica que be ^ ac'. La demostración clásica del álgebra elemental es válida en este Señalemos, por fin, que la relación a < i> es equivalente a la c í 6, con a ^ b . Valor absoluto.—En un anillo totalmente ordenado el valor absoluto 1Relación que se escribe también ac^bc.

____________________LA TRANSFORMACION CIRCULAR__________________ 81 Ejercido 6. Sea el punto M(z). Hállese el afijo Cj del punto M| trans formado del M por la inversión de polo O y de potenda a2 (a, número real positivo), seguida de la rotadón de ángulo + — alrededor de O. Determínese el lugar (r) de los puntos M tales que MMj se vea desde A(z—a) bajo un ángulo recto. Construyase (r). ¿Cuál es el lugar de los puntos M, asociados a estos puntos M? Si z es el conjugado de z, tenemos z,= la* = — +i . z x^+y jd+y1 Se forman z ,-a y z - a ; la condición de ortogonalidad de los vectores AM y AM, proporciona la ecuación del lugar de M: x(x2+y‘)-a (x 2+ y *)-tfy = 0. 14.

La transformación circular.—Las transformaciones estudia

das Z =z+a, Z=Az, combinadas con la transformación Z = — (inver sión de polo O y módulo 1, seguida de una simetría con relación a O*), permiten estudiar la transformación circular, Z =

es un producto de transformaciones elegidas entre las anteriores. Con otras notaciones, la relación entre Z y z se escribe también aZz + /3Z+ yz + 8=0. Ejercicio 1. Mediante la descomposición clásica z _ az+b _ a ^bc-ad

1

precísese cómo se descompone la transformación circular en un producto de transformaciones de los tipos anteriores. La transformación u=z+d/c es una traslación; u= l/ií, una in versión seguida de una simetría; w=

^

v> una semejanza direc

ta; por último, Z = — +u> es una traslación. En el caso c=0, Z = ^ - (z + y ) y se tiene una traslación seguida de una semejanza directa. Se ve también que la transformación circular conserva el ángulo orientado de dos curvas.

Ejercicio 2. 1.° Dedúzcase de la descomposición a formación circular cambia una curva de la familia, recl 2.° Demuéstrese que las circunferencias (o la recta) man en circunferencias (o la recta) de otro del mismo genero que ei primero. 1* Basta comprobar que cada una de las transformaciones com ponentes cambia una curva circular (circunferencia o recta) en otra, lo que es inmediato. Por otra parte, solo en una inversión pueden corresponderse una circunferencia y una recta. En consecuencia, una circunferencia (y) lugar de z se transforma en una recta cuando la circunferencia (yO lugar de u pasa por O. Para ello es necesario que (y) pase por el punto z= -tf/c, en el cual no está definida la función armónica. Si z tiende hacia -d/c, se ve que Z tiende a infinito (es decir, que [Z [—>-oo). Por convenio, diremos que el plano de la varia ble compleja tiene un punto en el infinito, con lo cual se consigue que la transformación entre z y Z sea biunívoca. Una recta se considera como una circunferencia que pasa por el infinito. 2.“ Si se trata de un haz de primer género (dos puntos base), la propiedad es evidente y los puntos base se corresponden en la trans formación. Si se trata de un haz con puntos límites, se introduce el haz orto gonal (con puntos base), y como se conserva la ortogonalidad, el haz de puntos límites da otro en la transformación. e |Z|

o 3. Al punto de afijo z

Si m es la imagen de z, y A y A ' son las de i y - i , tenemos | Z ] S i

z es real, |Z] = 1; si m está en el semiplano superior,

M A < M A '; por consiguiente, |Z|< 1. Dado que la correspondencia z —y Z es biunívoca, se ve que el semiplano superior se aplica sobre el interior de la circunferencia |Z[= 1. Ejercicio 4. 1.° Sea la t del punto M(Z) en los slguien

—. Determine itante, salvo i

LA TRANSFORMACION CIRCULAR: PROPIEDADES FUNDAMENTALES______ 83 2.° Utilizando la forma canónica de la transformación, precísese cómo hay que elegir la circunferencia (y) lugar de m para que M describa una circun ferencia (D igual a (y). 1.° Hagamos uso de los resultados del ejercicio anterior. El con junto de las rectas que pasan por O (argz=cte.) constituye un haz de circunferencias de puntos base O y el punto del infinito. Los trans formados 2i e > constituyen los puntos base del haz transformado. Como se conservan los ángulos, las circunferencias p=cte. se trans forman en un haz, que tiene por puntos límites (2i e i). 2.° Tenemos Z = i - —i-v y la transformación es el producto de una traslación (i), de una inversión (O, 1), de una simetría con rela ción a Oy y de una traslación (i). Es necesario que se conserve el radio de la circunferencia en la inversión; por consiguiente, la cir cunferencia considerada debe ser ortogonal al círculo de inversión, bien sea seudoortogonal, o bien confundida con el círculo de inver sión. Volviendo sobre el lugar de m, se ve que (-y) debe tener una de las relaciones anteriores con la circunferencia xl +y ‘ + 2y—0 deducida del círculo de inversión por la traslación - i. Se ve así que (T) presenta las mismas relaciones con la circunferencia x>+ yl - 2y = 0. ón Z—

(a y k reales) determínense

as. S> m(z) describe una de ellas, ¿cuál es Ejercicio 6. Sea la transformación Z=Ar ——-—, donde k tiene módulo 1 y a designa un número complejo cualquiera. Pruébese que se conserva global|z|=l.

Resp.: Se pasa de m a M mediante una inversión (polo O, poten¡a a2), seguida de una simetría con relación a la recta Q=~r-

estudiada en la página 81, ejercicio 1, demuéstrese que en tal transformación la dientes valores de Z: (z„ z2. z3. z,)-(Z„ Z2, Z3. Z4). Por definición, (z,, z2, z¡, z,)= Zj~ Z|. : *. • con las notacioZj—z2 z, —z2 nes de la página 75, se deduce inmediatamente que (zi, z2, z3, z») = =(«i, u¡, u„ u>), (Z¡, Zj, Z3, Z4) —(m3, w¡, w¡, w,)=(v¡, t>2, u3, oj. Falta demostrar que (uj, u2, u„ u,)=(v„ v¡, v¡, vt), lo que se hace sin dificultad empleando la relación v = l/u. Observación.—Recíprocamente, sea z —> Z una transformación que conserva la razón doble. Si z¡, z¡, z} son tres valores particulares de z, y Z|, Z2, Z3 los correspondientes de Z, para un par (z, Z) cualquiera, (Zi, Z» zj, z)=(Z„ Zj, Z,. Z). Desarrollando esta relación se comprueba que se trata efectiva mente de una transformación homográfíca. La propiedad en cuestión es, pues, característica de esta transformación. az+b Ejercicio 2. Puntos dobles.—Demuéstrese que la transformación Z — ^ posee en general (eÔ) dos puntos dobles. Si a y p son los afijos, se escribe:

Utilícese la propiedad demostrada en el ejercicio 1 para probar que entre { y Ji existe una relación de proporcionalidad: La condición Z = z conduce a la ecuación de segundo grado czi + (d -á y z -b = 0, que, para c^ O (si c = 0, se tiene una semejanza), admite dos raíces, a y p, que suponemos distintas. La propiedad citada muestra que en la transformación z —> i se conserva la razón doble; lo mismo sucede en la Z —>- £,. De ello resul

LA TRANSFORMACION CIRCULAR: PROPIEDADES FUNDAMENTALES ta que la misma propiedad se verifica en la transformación £—>£,. Tenemos, pues, Kí+jx ‘ H +P Pero cuando £=0 resulta que z=a, Z = a y £, = 0. de donde p.—0. De manera análoga, si z —> f¡, Z —> /3 y £ y £, tienden ambos a infi nito; por consiguiente, v=0. La relación precedente tiene, pues, la for ma £i=— £ o £i=Ar£. Volviendo a z y Z, se ve que la relación dada es P equivalente a la

Observación.—La determinación de k puede hacerse eligiendo u par (z, Z) particular, puesto que se conocen a y fi por la ecuación ai terior. El par (oo, — ^ da, p. ej., fc=— a -c B Ejercicio 3. 1.” Sea la transformación Z -l ¡az Z+l ” z+

[11

'. Pruébese que a todo punto rn(z) corresponde un pún ante. ¿Cuáles son los transformados del origen y del punto ? ¿Es posible elegir a de modo que la correspondencia sea recíproca (es decir, que el transformado de M sea m)? Hállense los puntos A y B que coinciden con sus transformados. 2 Demuéstrese que toda circunferencia del haz que tiene a A y B como puntos límites se transforma en sf misma. ¿Cuál es la transformada de una circunferencia del haz de puntos base A y B? Dedúzcase de ello la construc ción de M conocido m. 3.° Se considera una sucesión de puntos m, M„ M,, ... Mp, .... en la que cada punto es el transformado del precedente. Hállese para qué valores de a dicho conjunto está compuesto por un número finito de puntos al tender p hacia infinito. 1.® Hagamos entera la relación entre Z y z. Se tiene: Z z (l - e ia) + ( Z - z ) ( l + e ‘a)+ e ia- 1=0, Zz + (Z - z)i cotg -2- -1 - 0, 1El lector que no conozca la notación exponencial reemplazará siempre eta

86______________ CAP, m: EL CÜB1PO DE los compleios suponiendo e“ 5¿l, o sea aj^Zkir (si a=2far, Z=z, transformación idéntica). Se ve que a todo punto z corresponde un punto Z, y recí procamente. En particular, Z = - i tg —, si z=0, y Z infinito para z = —i cotg —. Los puntos dobles corresponden a Z = z , de donde z = ± l : estos son A y B, de abscisas +1 y - 1 sobre Ox. Finalmente, la transfor mación es recíproca cuando la relación entre Z y z es simétrica, lo que exige cotg— =0, a =(2k + l}n, de donde e“ = —1. La relación Z -l z —1 + ^¡TT~0 asoc'a a t0^° punto m su conjugado armónico con relación a los puntos A y B. 2.” Toda circunferencia del haz de puntos límites A y B es tal que J“ y |= k La relación del enunciado enseña que J —j-1 =k, por que tiene módulo 1; el transformado M pertenece a la misma cir cunferencia que m. Toda circunferencia del haz de puntos base A* y B es tal que arg - — -=cte. (±far; véase pág. 74). Ahora bien, de la relación [1] se deduce que Z-1 arg Z -1r = a + arg—

[2]

y el primer miembro es también constante; M se encuentra sobre otra circunferencia del haz: la que corta a la inicial bajo ángulo a. Dado m, se pueden determinar las circunferencias de cada haz que pasan por él. La primera se conserva y sabemos construir la transfor mada de la segunda. Queda todavía por determinar en qué arco AB de la segunda circunferencia se debe tomar la intersección con la pri mera. La relación [2] permite calcularlo, ya que para un punto dado m se cumple dicha relación, salvo un múltiplo par de w. 3.° Mediante la relación [1] se calculan los afijos de los sucesi vos puntos: Z¡+1 y, en general,

Z, + l

z+ 1

La sucesión comprenderá un número

____________________ TRANSFORMACIONES DIVERSAS___________________ 87 finito de puntos si, después de cierto número de operaciones, llegamos a Zp=z, de donde epí', = l y a = ^ - . Basta para ello que a y ir sean conmensurables. ** Ejercido 4. Dedúzcase la condición necesaria y suficiente para que la transformación Z=

cz+d

tenga como cuadrado la transformación idéntica.

Equivale a decir que la transformación es recíproca. Si z se trans forma en Z, el transformado de Z será z. Escribiendo la relación en forma entera, se halla a + d = 0. El lector comprobará que esto se re duce a escribir de nuevo k = - 1 (véase pág. 84). Ejercido 5. Establézcase la condición para que la cuarta potencia de la

Es necesario que fc*=l, lo que da (fc2- 1) (&*+1)=0. Se excluye la condición fc*=l. Nos queda k?= -1 , y con la notación empleada en el ejercicio 2, . „ . „ (a c á f cp?=

- +(o- 0. 20

Mediante la ecuación de los puntos dobles, se obtiene ál +dt + b c= .

16. Transformaciones diversas Ejercido 1. Sea la transformadón Z—z+l/z, en la que se hace z=p(cos S+i sen9); determínese la represen tación cartesiana X+iY del número Z. Dedúzcanse las curvas imagen de las rectas que pasan por O, o de las circunferencias de centro O del plano z. Precí sense las relaciones entre las dos familias de curvas obtenidas. Recíprocamente, ¿cuántos puntos z corresponden a uno Z dado? Dígase qué regiones puede des cribir z para que Z describa una vez y solo una todo su plano. Se obtiene inmediatamente x , ( p *i)c o s o , Si p=cte., el punto Z describe la elipse x2 i" * } )'

y

Cuando varía p se obtiene una familia de elipses de efe mayor OX, y de distancia focal constante, ya que O P = ^p + — j En particular, la circunferencia p = l da X =2 eos 6, Y = 0 ; la elipse se reduce entonces al segmento FF (OF'= -OF). Si 0=cte., el pun to Z describe la hipérbola X2 Y* ^

que tiene también F y E' como focos. Se ve que en la transformación se conserva la ortogonalidad de las curvas iniciales. Recíprocamente, a todo punto Z corresponden dos puntos z, y Zj tales que z2- z Z + 1=0. Estos puntos están ligados por la condición zlz2= l, y cuando z, describe el interior de la circunferencia |z|= 1, el segundo describe el exterior. En la transformación z —y Z cada una de estas regiones se aplica sobre el plano Z entero. Ejercicio 2. Sea la transformación Z=z", con n entero relativo. ¿En qué corta a una de esas rectas bajo un ángulo V; compruébese que la transforma da (r) corta a la recta argZ=cte. (que pasa por el punto transformado) bajo el mismo ángulo. Dedúzcase que se trata de una transformación conforme. Si R y © (respectivamente, p y 0) designan el módulo y el argu mento de Z (respectivamente, z), tenemos

Las semirrectas 6 = cte. se transforman e Una curva (y) corta al radio vector bajo el ángulo tg V = La curva (O transformada corta al radio transformado bajo el án gulo „ R ¿6 tí'-ndO „ „ g —Zm ~ .-~1 l dp -r =te v oR—= no Por consiguiente, V=V| (salvo un múltiplo de ir), de donde resul ta que se conserva el ángulo de dos curvas cualesquiera.

Ejercicio 3. l.° En la transformación Z=z2, determínense las transforma das de las rectas del plano z paralelas a los ejes coordenados. 2.° Hállense las curvas del plano z que tienen por transformadas las rectas del plano Z paralelas a los ejes coordenados. Resp.:

1.” x=Xo se convierte en Y2=-4*¿X+4*J (parábola de eje O* y de foco O); y=ya se convierte en Y2=4t^X+4jJ (parábola de foco O y de eje Oy).

2.° Dos familias de hipérbolas equiláteras de centro O. Una pri mera familia tiene por asíntotas Ox y Oy; la otra, las bisectrices de ios ejes. Ejercicio 4. Sean A y B las imágenes de los números a y -a (a, real posi tivo). Consideremos dos puntos variables m y M, de afijos z y Z ligados por la relación z2+Z2=o2. 1.° Pruébese que Om es paralela a una de las bisectrices del ángulo en M del triángulo MAB, y que Om2=MA-MB. Indfquense las propiedades análogas de OM respecto de mAB. Dedúzcase la construcción geométrica de M a par tir de m. „ 2.° Si M' es el punto deducido de M en una rotación de + —, y C y D los puntos definidos por OC=Om+OM' y OD= Om-OM', demuéstrese que el cua drilátero ABCD es armónico y hállese de nuevo la construcción geométrica del primer apartado del problema. 3.° Pruébese que MA+MB=mA+mB=OC+OD.

CAPITULO IV ANILLOS DE POLINOMIOS

Ettructura de anillo 1. Operaciones formales.—En el estudio de los polinomios im porta distinguir las propiedades formales de las propiedades que re sultan de la elección de la variable en uno u otro conjunto (números, matrices, polinomios), y que hacen intervenir el valor del polinomio. En las propiedades formales solo intervienen, por el contrario, los coeficientes, los cuales se eligen generalmente en un cuerpo. Las ope raciones de adición, multiplicación y división se efectúan entre los coeficientes, con independencia de los valores que demos a la varia ble y al polinomio. La letra x se dice entonces que es una cantidad indeterminada o incógnita. El polinomio formal se presenta como una sucesión ordenada de coeficientes. El cuerpo de los coeficientes se indicará casi siempre; en caso contrario, el lector podrá tomar,el cuerpo más sencillo que contenga a todos los coeficientes del polinomio considerado. Se llama K[x] al anillo de polinomios cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo K. Finalmente, recordemos que, por definición, el producto de dos polinomios P=db+a,x + aJx2+ ... + anx'', PQ=Co+c,x+... + c,x« + ...

Q=bo+b¡x + ... + bpXp con

Ejercido 1. Sea la igualdad (x+l)«+*=(x+l)*(*+l)‘. Calcúlese en cada miembro el coeficiente de x?. Escríbase la igualdad numérica que resulta así. En el primer miembro el coeficiente buscado es C*+j. En el segun do hay que multiplicar dos polinomios, que se escriben

El coeficiente del término en x" del producto es

^

apli-

ándose la suma a todos los enteros k y k' tales que k + k’ - p . Tene ros, pues, C’ +b= eses.

2j

Es la misma fórmula obtenida en el ejercicio 7, pág. 15. Ejercicio 2. Sea el polinomio 1+ W 1 ,' ) - 1+-1+ ^ 1.2

+ - + * 1.2.3...(n (* +1) • "(,+ + 1) n )-

’íaêf Se obtiene: _

*+1

_

( í + 1K*+2)

p

(*+lX*+2X*+3)

Suponiendo después que

_ (»+l)(y+2)...Qt+n)

"

P „ ,- P .+

n!(n + 1).

V

* |P.

n + 1/

lo que demuestra que la fórmula es aplicable a P„+í. ““ - V Resp.: 4P=(x‘ +2x + 4 ? -x , =4(x2+ x + 2 ) (x+2). Ejercicio 4. Calcúlese el desa en qué se convierte este desarrollo composición de **+*+! en un pro

Resp.: P(x)=xs+ x - l . Cambiando x en - x , se halla P, = ** + * + ! ! ) ( * * + * + 1 ) .

1

?L Después P(10)= 100009= 1099x 91;

P,(10)=100 011- 901 x 111.

Ejercicio 5. Sea P
a"~2- l '♦ '“ fli+'-l •" a »_ l

_i

a " - l 1+j+...+„+1) * a_l a

Ejercicio 6. Efectúese el producto P=(l+x)(l+x>)(l+x4) ... (1+x*1). Resp.: P = 1+x+xí+xj +... +X2"*'-'. Ejercicio 7. Desarróllese el polinomio P-(l-x)(l-ox)(l-«»x)= -4 , Xa, +pbt= - 12 de cinco ecuaciones con cuatro incógnitas. De las dos primeras des pejamos X y ¡i, que sustituidos en las restantes las convierten en rela ciones simétricas en a y b cuando se descarta la solución a=b. Po niendo a+6=S, a b -P , se obtiene 2S= 3P,

2S2-P S-6 P =0 ,

de donde se deduce S=3, P=2. Por consiguiente, a= 1, b= 2, A=4, fi= - 1, valores que satisfacen a la última ecuación. Resulta as( A=4(x+l)*-(x+2 )4. 2. .Raíz cuadrada de un polinomio En el anillo K[x], un poli nomio no admite, en general, raíz cuadrada. Suponiendo posible la operación, el cálculo de la raíz cuadrada se efectúa fácilmente, bien empleando coeficientes indeterminados, o bien razonando término a término. Ejercicio 1. Calcúlese la raíz cuadrada del polinomio x«- 12x5+60x4-1Ó0X5+240X2- 192x+ 64, aplicando el método de los coeficientes indeterminados. El polinomio buscado es de la forma x1+ ax1+bx±8. Elevando al cuadrado e identificando resulta a = —6, b = 12; se comprueba la igualdad de los coeficientes de los restantes términos. El polinomio

Ejercicio 2. Demuéstrese que P=x(x+a)(x+2a)(x+3a) + 02 es el cuadra do de un polinomio. Descompóngase Q=x(x+l)(x+2)(x+3)-8 en producto Resp.:

Q =(*2+ 3x+4)(x2+ 3x-2).

Ejercicio 3. Determínense Xy ¡i para que los polinomios P-x4+Xx5+px2+12x+ 4

y

Q=x, -10x4+Xx*-40x2+/r

sean cuadrados perfectos. Ejercicio 4. Calcúlese la raíz cuadrada del polinomio P=x'2- 2x» - 5x'°+1Ox’ + 7x«-

+ 6x«+ 20x5-17x<- 2xJ+1 lx¡ - éx+1.

El lector puede utilizar la analogía con el cálculo de la raíz cua drada en el anillo de los enteros relativos. Resp.:

P = (x6- x5- 3x*+ 2X3+ x2- 3* +1Y.

Ejercicio 5. Hállense las relaciones entre a, b, c, d para que el polinomio P■=■x*+ 2ex!+ 6x2+ 2cx+ d I un cuadrado perfecto. Aplicación: c=l, d= 1. Determínense a y b, asi como la raíz cuadrada de P.

Considerado P como el cuadrado de a^+or+A, se deduce que 2A+á‘=b,

Aa=c,

d = A2.

Eliminando A se obtienen las relaciones buscadas: d= -^ , b —^-+a2. El caso particular proporciona dos soluciones: a = l, 6=3, a= -1 , 6= -1,

de donde P=(*»+.e+1)2; de donde P =

(*2-r-l)J .

polinomio P de grado 2m puedeponerse en ia un polinomio de gradom, y R otro polinomio de grado m-1 a losumo, Estú-

Valor unpolinom io.—

3. de Supongamos que x represente un ele mento de un conjunto E, en el que xp, ax" y Xa*-" tienen sentido El polinomio define un nuevo elemento de E, llamado su valor, con servándose la correspondencia entre el polinomio y su valor en todas las operaciones efectuadas con los polinomios. En la práctica, se toma a) el cuerpo de los coeficientes: es la concepción elemental, en la que el polinomio no está independizado de su valor numérico; b) un supercuerpo del cuerpo anterior; c) el conjunto de los polinomios sobre el mismo cuerpo: hacien do x=P(y), se efectúa un cambio de indeterminada (o de variable); d) el conjunto de las matrices cuadradas de orden dado (véase el Cap. 15). Ejercicio 1. Calcúlese en R el valor del polinomio P=xJ- 3r, para

Elevando x al cubo se halla fácilmente xi =2a+ix, de donde

El valor *=1 + i f T es tal que ( * - ! )* = 2, de donde x3- 3x4+ 3*-3=0. Reemplacemos en P i* por su igual 3**-3*+ 3 para el valor conside rado de x. Entonces P toma el mismo valor que PI=3*(*i - * + l ) - 3 ( * J- * + l ) - 3 * 2+ 3 * -4 = = S K*2-*+l)-9i2+9x-7 = 2.

)2

Ejercido 3. En el polinomio P - (1 -x»)(l+ x)-2 n x»(l-x )-n h c«{l-x se efectúa el cambio de variable x ~ l-y . Hállese en el polinomio obtenido el tér mino de menor grado. Dedúzcase que P<*=(1—x)3Pp Ejercicio 4. Demuéstrese que P=x4+6x3+4xJ-15x+l puede expresarse como un trinomio de segundo grado con relación a y=x2+ax. Determínese a. Resp.:

P = y *-5 y + l,

con

a=3.

División de polinomios 4. Anillo euclidiano.—La operación de dividir estudiada en el anillo de los enteros relativos se amplía al anillo de los polinomios sobre un cuerpo K; siendo A(x) y B(x) dos polinomios cualesquiera, existen dos polinomios Q y R tales que A = BQ + R con o bien R=0, o bien grado de R inferior al grado de B. Se dice que el anillo es euclidiano. La técnica operatoria es bien conocida. Si en la igualdad fundamental se hace x=a, resulta A(a) = B(a)Q(a) + R(a> y cuando B(a)=0, se obtiene A(a)=R(a). El valor numérico de A es igual al de R, con frecuencia más sencillo de calcular. Emplearemos más adelante esta observación. Ejercicio 1. Efectúese la .división de A=-x4+ 6x3+10x2+3x—6 por x! +3x, y dedúzcase del resultado la descomposición de A en un producto de dos trino mios de segundo grado.

96_________________ CAP. IV: ANILLOS DE POLINOMIOS_______________ • Resp.: A=>(x2+3x)(x2+ 3 * + l)-6 » i^ + ir -6 = (ir -3 )(if-2 ) haciendo !/=**+ 3r; por consiguiente, A =(** + 3x+3)(**+3*-2). Ejercicio 2. En el cuerpo de los números complejos, efectúese la divi sión de A=x>-3ix-5(I+») por * -l+ i. Resp.: A = [* * + * ( l- i ) - 5 « ] ( x - l + f). Ejercicio 3. Determínense m y p en función de q, de manera que xs+px+q sea divisible por x*+mx-l. Escríbase la igualdad resultante. Resp.: p = - q ¡ - 1, m =q. Se deduce así qtie * » - (« * + l)x + q = (x - q )

+

Ejercicio 4. Determínense o y i en función de a

1). y i. demodo que

arí + bxJ+r eos (a+d) —eos a sea divisible por *2-2* eos 9+1. Resp.: a= —eos (a - 26); b = eos (a —39). Ejercicio 5. Demuéstrese que el polinomio An—x"*1eos (n —l)tp —x*1eos nip—x eos ip—1 es divisible por B=x2-2xcos*> + l. ¿Cuál es el cociente? El primer término del cociente es x"_1cos(n —l)gty elprimer divi dendo parcial se pone sin dificultad en la forma x" eos (n - 2)
eos (n - 1 )ip -x eos if + 1.

Se reconoce el polinomio A„_i y, por tanto, A„ _

1eos (n - I V •B + A„_

Por recurrencia, A„ será divisible por B si lo es A,. Pero A, = B, de donde se obtiene el resultado buscado. Tenemos A„=[x"_1 eos (n - 1~yp+x"~2eos (n - 2V + ... + * eos y>+ 1]B. Ejercicio 6. Determínense los complejos o, b, c, de manera que x5+ai! +6 sea divisible por xi+x’ +cx+l. condición para que el resto sea nulo.

^

Los primeros términos del cociente son

y los distintos dividendos parciales apxm~p—o*",

á‘pxm~2p- a m, etc.

Por consiguiente, si m=pq + r, con r.
» pxm- p°

y el resto R =appx” -pp- a m=ap«(x '-a r). Para que R sea nulo, es necesario y suficiente que r=0; es decir, que m sea divisible por p. Ejercicio 8. Valor numérico del polinomio A = 2x*—ár3—7x—14 para r-=1i- */3l Se dividirá A por un polinomio B, de coeficientes racionales, que se anule para dicho valor de x. Basta elegir B = ( * - 1- V 3 ) ( * - 1+ v'3)=*J-2 *-2 . Tenemos 2** - 4x>—7x-14=(*» - 2x - 2) (2r»+ 4 )+ * - 6 y A(1+/3)=-5+a/T. 5. División por x —a.—La condición de divisibilidad es bien co nocida, por lo que nos limitaremos a recordar una consecuencia im portante.-En un cuerpo conmutativo un polinomio de grado n posee como máximo n raíces. En la práctica, si se conoce una raíz a de un polinomio A podemos

y la obtención de las restantes raíces de A se reduce a hallar las raíces de Q, que es de grado inferior en una unidad. Si conocemos otra raíz, b, de A (b^d), dicha raíz lo es también de Q, y se tiene A =(x-a)(x-b)Q ,(x). Por consiguiente, A es divisible por (x - a )( x - b ) si se anula para x=a y x —b (b¿¿a). Ejercido 1. Determínense a y b, de manera que A«
La divisibilidad por x -1 exige que a+ b + l= 0 ; por tanto, A = axr+l - car +1 - x". Sacando factor común x —1, tendremos A = (* -1 ) ( < W 1- * - 2

1).

Es necesario que la expresión entre paréntesis se anule para x =l, de donde a=n y f>=-(n + l). El cociente se escribe sin dificultad. Ejercicio 2. Sean X y p los restos de las divisiones de un polinomio A por x -a y x-b. Calcúlese el resto de la división de A por (r-a )(r-6 ). El resto buscado es de primer erado, y podemos escribir A = (x —a) (x - i ) Q(x)+mx+n. En esta igualdad formal hagamos sucesivamente x=a y x=b. Ob servando que A toma el valor X para x=a, se halla X= ma + n y, de manera análoga, p = m b + n. x —b De ellas se deducen m y n; el resto buscado es A-——+

x —a —-.

Ejercicio 3. Los restos de dividir un polinomio A por X—1, X—2, x—3. son, respectivamente, 3, 7. y 13; calcúlese el resto de la división de A por el producto (* - l)(.- 2 )(z - 3 ). Resp.: Se aplica el mismo método; R(x)=x2+x + l. Ejercicio 4. Calcúlese el resto de dividir (eosa+xsena)" por x*+l. Ya que el resto es de primer grado, escribiremos la igualdad (eos a + x sen a)n=(xí +1) Q(x)+ Xx+p, en la que los coeficientes son números reales. Pero en esta igualdad formal se puede elegir la indeterminada en un supercuerpo. Hacien do x=«, resulta: eos na + i sen na=\i + fi, de donde X= sen na, p.= eos na.

99 Ejercicio S. Hállese el cociente de la división de A = (*-2 )a' + ( x - l ) " - l por x*-3*+2. Observando que (x *-3 x + 2 )= (r-2 )(x -l), se divide sucesivamen te por x—2 y x —1. Escribiendo x —2 = x—1—1, se divide ( x - l p —1 por ( x - I ) - l , lo que es inmediato: a = (* - 2) [<* - i f - 1+ (x - 1)»-1 1+ (* - i y - !+ . . .+ (x - 1) +1 ]. Para dividir conduce a dividir

+1 por * -1 , escribimos x -2 = y , lo que por y+\. El cociente pedido es

Q= (* - 2P1-*- ( * - 2)1"-5

2) +1+ ( * - 1)"-2+ ( * - 1)"-5+... +1-

Ejercicio 6. Determínese un polinomio P de tercer gradó divisible por x-1 y tal quesean iguales los restos de P por x-2. x-J, x-4. Si a es elresto común, el polinomio P será de la siguiente forma: P =( x -2 )( x -3 )( x-4 )+ « j. Anulando P(l) se halla a=6. Ejercido 7. Estudíense los valores del polinomio x(x-fr)(x-c) = a(a-b)(a-c)

Determínese X.

x(x-c)(x-q) fc(*-c)(b-o)

x(x—a)(x-b) c(c-a)(c-6)

P .X [(*-«)(x -i.)(x -c )]+ l.

Se halla P(a)= P(í>)= P(c) = 1 y el polinomio P(x)-1 es nulo para x=a, b, c. Tendrá, pues, la forma indicada en el enunciado. Ha ciendo x=0, se halla A= —— . Ejercido 8. En el cuerpo de los números reales, descompóngase el polino mio P=xs-209x+56 en un producto de dos factores, sabiendo que se anula P debe ser divisible por (x -X |)(x-x 2)=xJ-A x + l, siendo A=Xi + x2. Se efectúa la división y se escribe que el resto es nulo; tendre(X4- 3A2- 208)x+ A3- 2A+ 56=0,

100 de donde las dos condiciones A<-3A2-208 = 0,

A‘ -2A + 56=0,

las cuales implican que A satisface la ecuación de segundo grado A2+ 56A+ 208=0. Entre las raíces, solo A = - 4 verifica las dos ecuaciones anterio res; de donde, P = (x2-4 x + l)(x 3+4x2+15x+56). cuyo producto sea igual a 1. Calcúlense estas ralees. Ejercicio 10. Demuéstrese que P - (z + l ) » - * » - 2 x - l es divisible por x(x+l)<2x+ l). Ejercicio 11. Calcúlense las ralees de los polinomios P=*3-9*2-2«x-24

y

Q -xJ-íx^x+lS,

Ejercicio 12. Descompóngase el polinomio P=x*+12*-5 en un producto de dos factores trinomios, sabiendo que admite dos rafees x, y z¡ cuya suma vale 2. Resp.: P debe ser divisible por (x - x,) (x - X2>= x2- 2x+ A. Anu lando el resto de la división, se halla A=5 y P=(x2-2x+5)(xi + 2 x -1).

P = (x + l)"-x »-l es divisible por x2+x+l, utilizando para ello la descomposición de x2+x+l en el cuerpo de los números complejos. Tenemos x2-rX -i-l=(x-/)(x-;2) y basta escribir que PO)=P(j7)=0. Se hará uso de la relación i‘ + j + 1=0. Ejercicio 14. En el cuerpo de los números reales, determínense todas las ralees de la ecuación P(x)=*3-x4- * J- * 2-*-2 =0 .

101 Se ve fácilmente que x=2 es raíz; de donde P (x )= (x -2) (x* + x3+ x¡ + x + 1)= ( x - 2) - ^ 1 .

Las otras raíces son, por consiguiente, a =cos - ^ - + i sen - j - < o?, a3, a4; son conjugadas dos a dos. 6. Generalización— Se trata de bailar el resto de la división de un polinomio A por otro B. Observemos que A y A + BC, designando por C un polinomio cualquiera, tienen el mismo resto: se dice que son congruentes (módulo B). En la práctica se elige C de manera que A + BC sea de menor grado que A. Repitiendo la operación se obtiene el resto cnando el polinomio formado es de grado inferior al de B. Así, p. ej., para A = xm+ p(x), B=xn+q(x) (m >n; grado de p < m ; grado de a < n )

A - x"-"B = - x“—q(x) + p(x), cuyo grado es inferior al de A. Se puede, pues, continuar. Se deduce así la siguiente regla: se reemplaza en A x" por -q (x ) tantas veces como sea necesario para obtener un polinomio de grado inferior a n. El ejercicio que sigue analiza con detalle un caso parEjerclcio 1. División por x*—a.—Sea p un entero natural. Un polinomio cualquiera P(x) puede expresarse de manera única en la forma P (x )-P a(xr) +xP,(xp) + ...

ti]

Pruébese que el resto de la división de P(x) por x*-a es R(x) -Po(b) +xP,(a) +...+x»-
102 Según el teorema del apartado 5, tenemos P/ * > )= (* '-« ) Q ^ + P iía ). y de ello resulta P (*)= (*»-a ) Q(x) + R(i) R(r)=Poía)+*P,(a)+... + **->P,.,(a). Puesto que el grado R es inferior a p, es claro que se trata del resto de la división de P por xp-a. En la práctica no es necesario escribir todos los polinomios Po, Pi, Pp-i, porque se comprueba que se obtiene R directamente a partir de P reemplazando en él x" por a tantas veces como sea po sible. Ejercicio 2. Hállese el resto R de dividir por a^+l el producto (cosa+xsena)(cosb+;rsenb) ... (eos l+x sen /)■ Se efectúan los sucesivos productos reemplazando x2 por - 1 cuan tas veces sea posible. Si lo hacemos en el producto de los dos pri meros factores, se obtiene eos (a+ó)+xsen (o+W; esta expresión es de la misma forma que los factores considerados. La generalización es inmediata, y el resto buscado es R = cos(o + f>+... + /)+xsen (a + ó + ... -rl). Ejercicio 3. Apliqúese el resultado del ejercicio 1 para formar el resto de la división de xm-a™ por xp- op (véase pág. 96). Condición de divisibilidad. Haciendo m =pq+r, tenemos xm-a r'= (x py>xr- a "

y el resto es R = « « ( * '- a r).

En el segundo caso el resto es a” [ ( - l^ x '+ o ']; será nulo para r=0 con q impar. Ejercicio 4. Demuéstrese que el polinomio (x - J)"+:+*2"+1 es divisible por *2-x+l y hállese el cociente para n-1 y n - 2. Se reemplaza x2n+l por (x —l)"x, lo que da un nuevo polinomio que admite el mismo resto.

103 7. Divisibilidad. Polinomios primos.—El polinomio A es divi sible por B cuando A=BQ. Esto implica que AC sea divisible por BC, y recíprocamente, cualquiera que sea el polinomio C Todo polinomio es divisible por una constante cualquiera del cuer po base. Un polinomio que no admita otros divisores se llama primo; p. ej., los binomios x - a , x - b son primos en un cuerpo cualquiera. Observemos que el carácter de que un polinomio sea primo de pende de la elección del cuerpo base: cuerpo de los coeficientes o uno de sus supercuerpos. Así, p. ej., x*+1 es primo en R, pero so bre C tenemos x ? + l = (x + i )( x - i ). Lo mismo sucede con todo trino mio de discriminante negativo. Ejercicio 1. Si a, b, c designan enteros positivos, pruébese que el polinomio es divisible por **+*+1. Observando que (:ri-t-x+ l ) ( x - l ^ x 5- 1, ello equivale a demostrar qUe

( * - l ) P = * 5a+1+ *3'* 2+a^+3- * 3‘ - * “ +1- x to+2

es divisible por x3—1. Esto es inmediato en virtud de la regla de la página 101. Ejercicio 2. Demuéstrese que el polinomio x*,+xw*'1+x*M-i+x4,,+} es divi sible por *s+*2+x+l. Ejercido 3. Pruébese que xJ,"+xm+ l es divisible por x*+x-fl si m es de Ejercicio 4. Compárense las descomposiciones de P=x5+2 sobre los cuer pos de los números racionales, de los números reales y de los números comSobre Q, xí+2 es primo; en otro caso su descomposición com prendería al menos un factor binómico x - a con u E Q v existiría un número racional cuya tercera potencia sería 2, lo que es imposible, como sabemos por aritmética. Sobre R, xs+ 2 =(x+ (/2) (x2-x i/ 2 + i f t ) y la descomposición ha terminado. Sobre C, *3+ 2 = (x + tf2 )(x + jy 2 )(x + p tf2 ) y la descomposición es completa. Ejercido 5. Sea el polinomio S=x+3x*+5xJ+... + (2n—l)x"

04

CAP.IV:

ANILLOS DE POLINOMIOS

____________

Comparando S y xS escríbase este polinomio en forma de cociente (entero) 2n+l le dos polinomios. Calcúlese el valor de S cuando x=;— ——. Escríbase la igualFormando la diferencia entre S y xS, se obtiene (1 - x)S = x+ 2** + 2** +... + 2x" - (2n -!)*■+■ =

y, por consiguiente, S es el cociente exacto del polinomio x + Xa- (2n + Dr“+‘ + (2n - l)r"+J por (1 - x f : _ x+x1- (2n + l)x"+l + (2n- l)x"+í S-------------------( T ^ ---------------Para x = — í-^-, los dos últimos términos del numerador toman 2n -1 valores opuestos y se reducen, resultando S=n(2n + 1). Para n entero natural, se deduce la igualdad

La suma de las fracciones del primer miembro es siempre un nú-

8. División según las potencias crecientes.—Hemos visto (pá gina 101) que dividir A por B equivale a buscar, en la clase de los polinomios congruentes con A, módulo B, el elemento de menor gra do. Se pueden caracterizar otros polinomios de esta clase. Hagamos B = i>n+ B, (con boj^0 y Bi = &,* + &*£*+ ...) y A„ = ao+ A,. Se ve que el polinomio A -

B carece de término

constante (contiene el factor x). Prosiguiendo, es posible hallar un poli nomio donde s* figure como factor, lo que conduce a la igualdad A = BQ + x"R

105 que define de manera única Q y R si grado Q < h . Esta es la división según las potencias crecientes, que puede proseguirse indefinidamen te, salvo si A es divisible por B. Ejercicio 1. Efectúense las divisiones según las potencias crecientes, hasta ei orden n, de 1-abx2 por 1 -(a+bjx+abx2 eosa-icos (o-®)

por

l - 2xcosS+i¡.

Resp.: Indiquemos los cocientes y los restos: Qi = l + (a+b)x+(a2+¿J)xi + ... + (a" + fi")x“, R,= *"+'(a“+1+ 6"+>)- x"+2ab(a'+ b"); 02=eos a + x eos (a + 9) + x2eos (a + 29) +... + x" c< Rj=*»+' eos (a + r¡9+ 9 )- x"*2eos (a + n9). Ejercicio 2. Efectúese la división según las potencias omio l-x Jpor *1-2icos fl+i! y dedúzcase la igualdad

J+cos«+cos 2« + ... + cosn8=Ejercicio 3. Divídase 1 por (l-x )! según las p ese la expresión general del cociente y de los divide P=l+2*+3xI+...+»ix"-'. 9. Polinomios sobre un anillo.—Hasta ahora hemos supuesto los coeficientes elegidos en un cuerpo, pero la adición y la multipli cación también pueden efectuarse cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, sin que pierdan validez las fórmulas habituales. Sin em bargo, la división no es, en general, posible1, salvo en casos particu lares; p. ej., todas las veces que el coeficiente del término de mayor grado del divisor es igual a 1 (elemento neutro multiplicativo del anillo). Ejercicio 1. Compruébese que sobre el anillo de los polinomios con coefi cientes enteros es posible la división de P=6x3—17x*+27x—20

por

3x-4

1Asf, p. ei., no es posible efectuar, en números enteros, la división de lx>-$x*+4x-6 por 5x»-4*+‘3: pero la división por xJ-4x+3 es siempre posible.

106 Se halla P=(3x-4)(2*i -3*+5).

no lo es en un anillo que admita divisores de cero.' Ejemplo. En el anillo de los enteros módulo 6 (véase pág. 41) hállense las raíces del polinomio I**-3*+2. Dado que en un anillo es posible la división por x - a, se puede es'■nbU

P (x )= (x -a ) Q(r)+R,

donde R es un elemento del anillo. Haciendo x=a, se obtiene R=P(c). Si un polinomio P se anula para x=a, resulta: P (*)= (x -o ) Q(x) y las raices de P, en un anillo de integridad, se obtendrán anulando uno u otro de los factores x - a o Q; se deduce fácilmente la pro piedad porque Q es de grado n -1 si P es de grado n. No sucede lo mismo en un anillo con divisores de cero: el pro ducto puede ser nulo sin serlo los factores. Una ecuación de grado n puede entonces admitir más de ti raíces. Asi, p. ej., en el anillo de los enteros módulo 6, la ecuación Ix2-3 x + 2= 0 admite cuatro raíces: T, 2, 4, 5.

Descomposición en factores primos 10. Divisores comunes a dos polinomios Se hallan los divi sores comunes a dos polinomios, A, y A], con ayuda del algoritmo de Euclides: se divide A, por A2 y se obtiene un resto Aj; se divide A; por Aj y resulta un resto A„ etc. El último resto no nulo es el m.c.d.; si este es de grado cero (constante), los polinomios son primos enLas consecuencias son las mismas que en el anillo de los enteros relativos; recordemos las más importantes:

107 a) los divisores comunes buscados son los divisores del m.c.d.; b) si se multiplican o dividen Ai y A 2por B, el m.c.d. viene mul tiplicado o dividido por B; c) teorema de Gauss: si C, primo con A, divide a AB, divide a B; d) teoría y propiedades del m.c.m. Ejercklo 1. Apliqúese el algoritmo de Euclides a los siguientes polinoa) b)

A,=*S-**+2**+l. A2=xs+x*+2x2- 1¡ A,=*4+ 2*J-llx2-12x+36, A2=4x»+ «x2-22x-12.

Observando que el m.c.d. está definido, salvo un factor constante, en las sucesivas divisiones se pueden simplificar los coeficientes (en este caso hacerlos enteros) multiplicando o dividiendo todo resto par cial por un factor constante. Se halla a)

*>+ *+1;

b) (* - 2 )(* + 3).

Ejercicio 2. Calcúlese el m.c.d. de * »+ l y de *«+1. Resp.: *»+l. Ejercicio 3. Calcúlese el m.c.d. de los polinomios *,+*‘+*’+...+x+l

y

x5+x4+xJ+x2+x+l.

Multiplicando por x -1 se reduce al m.c.d. de r * - l y xs- 1, que es ** —1. Pero entonces es necesario dividir por x - 1 el m.c.d. anterior, con lo que el m.c.d. buscado es *+1. Ejercicio 4. Demuéstrese que si A es primo con B y C, es primoconBC. Si A y BC tuvieran un divisor común D, este serfa primo con B y debería dividir a C en virtud del teorema de Gauss. Esto es impo sible porque A y C son primos entre sí. El teorema sigue siendo cierto cuando B=C, de donde concluimos que A y B', y después A" y B” son primos entre sí, cualesquiera que sean los enteros n y p. Ejercicio 5. Pruébese que si A y B son primos entre sí, también lo son A+B y AB. Todo divisor común a A + B y AB dividiría a A2y B2, lo que es im posible, de acuerdo con el ejercicio anterior.

Ejercicio 6. Determínese el m.c.d. de x"-amy x>-aP (véase pág. 96). Resp.: el m.c.d. es x* —a*, llamando d al m.c.d. de m y p.

A=*d»-I)+x|dr-2)-(-...+in+ l

y

B=x^«-*>+x"(í-2)-...+.t'‘ + 1

son primos entre sf. si p y q lo son. X',p—1 X”q —1 Se puede escribir A = — — B = ———; la propiedad resulta asi fácilmente del ejercicio anterior. Ejercicio 8. ¿Qué relación es necesario establecer entre a y b para que los dos polinomios x>-a y j f —b admitan un m.c.d. de primer grado’ Determínese Resp.: b1- d = 0; el m.c.d. es d x - b 1. Ejercicio 9. Sean dos polinomios P y Q=P + 1. Pruébese que R= P-’’" + +Q"-1 es divisible por PQ. Los dos polinomios P y Q son primos entre sí, y basta comprobar que R es divisible separadamente por cada uno de ellos, lo que es in mediato. Ejercicio 10. Establézcase la condición para que los trinomios A|=axJ+i>x+c,

Aj=flV+6'x+c' •

tengan un divisor común de primer grado. Se aplica el algoritmo de Euclides y se anula la constante que se obtiene como resto de la segunda división. La condición puede es cribirse en la forma, bastante sencilla, (ac - ed f - (ab' - ba) (be - cf>’)=0, válida incluso cuando a y d son nulos. Ejercicio 11. Hállese el m.c.m. de los tres polinomios xí-7x-6,

x>-3x+2,

x>-4x2+3x.

XI. Teorema de Bezout.—Una condición necesaria y suficiente para que dos polinomios Ai y A2 sean primos entre sf es que exista

109 un sistema de dos polinomios, S y T, tales que A|S+ A2T = 1. En el primer ejercicio que sigue se vuelve a'encontrar este teorema; el se gundo precisa la determinación de S y T. Ejercicio 1. Aplicando el algoritmo de Euclides a los polinomios A] y A¡, demuéstrese que un polinomio cualquiera de la sucesión de restos A> Ap. ... puede expresarse en la forma Ap-SpA,+TpA2. Dedúzcase de ello el teorema de La propiedad es evidente para p = l y p= 2; para p = 3, se tiene: Ai=AiQ,d-A3, de donde AJ= A ,- A ¡Q, (S, = l. T,= -Q,).

Ap-jsApQ^-Âp+i, de donde Ar+,= Ap_, -Qp_,Ap y Ap+i es también combinación lineal de A, y A 2, puesto que Ap-, y Ap lo son. Se obtienen, pues, las relaciones de recurrencia siguientes: Sp+,= Sp-i - Qp- íSp,

Tpt^Tp-t-Qp-tTp.

Si los polinomios A, y A2 son primos entre sí, uno de ios térmi nos de la sucesión Ap es una constante^ que podemos tomar igual a 1; aplicando la igualdad anterior se obtiene la identidad de Bezout:

dos que satisfacen k) igualdad de i formarse todos los paris (S, T) qu< que es posible hallar un par particular y uno soio, para ei cuai se cumple: grado de S< grado de A»

grado de T< grado de Ai-

Si S y T es un par cualquiera, tenemos A iS+ A2T = 1, y restando 1. igualdad dada, A((S_ S|HA
110 Se ve que todos los polinomios T forman una clase de congruencia módulo A,. En esta clase existe un polinomio y uno solo de grado inferior a A,: el resto de la división de T, por A,. En virtud de la igualdad de Bezout, el polinomio asociado, S, es de grado inferior a A2: es, por tanto, el resto de la división de Si por A2. Ejercicio 3. Determínense dos polinomios S(*) y T(x), de grado n -I como máximo, tales que sW(1_ J).+x(í)l;. _ li n] Según el ejercicio anterior, los polinomios S y T existen [porque x" y (1 - xY son primos entre sf] y son únicos si se suponen de grado inferior a n. Observemos que en la igualdad [1], los términos de grado inferior a n vienen dados por el desarrollo del producto S(x) (1 - xY ; haciendo S(x)=a,>+a,x+... + a„.,x"-', se pueden determinar de este modo ao, a, an-¡ mediante la identi ficación de los n primeros términos. Observamos que, en virtud de la igualdad [1], S(x) es el cociente (de grado n -1 ) según las potencias crecientes de 1 por (1 —x)”, y T(x) es el resto. De esta forma, resulta S W - U nx+ - ^

x . + * B+1, f +2W

..+ . n(n4 1)... (2n- 1) _J_, (n -l)l

Para determinar T(x) se puede también cambiar x en 1- x en la igualdad dada; se llega asf a x"S(l - x)+(1 - x)"T(l - x)= 1 y, por la unicidad, S(1 - x)= T(x),

T(1 - x )= S(x).

Tenemos, pues, T(x) cambiando x en 1—x en S(x).

se verifican las igualdades T=S(o+i-x) y S-T(a+f>-xl. tantes distintas a, y a2, determínese el conjunto de los polinomios P tales que P+ci| sea divisible por Ai. y P+a2lo sea por A:Ejemplo. A|»x2-t-l, A2>^x3+ 1. 0|~1. 02= - l .

Se debe tener P = XAi —a, = p.A2- aJt de donde - ¡iA i)= 1; X y /i se determinan por la relación de Bezout. 12. Descomposición en factores primos.—Sobre un cuerpo K, todo polinomio se descompone de manera única (salvo factores cons tantes) en un producto de polinomios primos en este cuerpo (véase pág. 103). La unicidad de la descomposición resulta del teorema de Gauss, aplicado al caso de un polinomio primo: si un polinomio pri mo divide a un producto de factores, divide a uno de ellos. Por otra parte, la descomposición en factores primos hace obvia la teoría de los divisores comunes, tal y como se ha visto en aritmética. Sin em bargo, precisemos algunas importantes observaciones. a) Siempre es posible hallar el m.c.d., mientras que no siempre lo es descomponer un polinomio en factores primos. b) La descomposición en factores primos puede ser más o menos completa según se haya hecho la elección del cuerpo: cuerpo de los coeficientes o uno de sus supercuerpos. Sin embargo, la teoría del m.c.d. constituye un conjunto de propiedades independiente de esta ampliación del cuerpo base: dos polinomios primos entre sí en R, también lo son en C. En el capítulo siguiente precisaremos la forma general de la des composición sobre R y sobre C Ejercicio 1. En el cuerpo de los números reales, determínense dos polino mios A y B, conociendo la diferencia de sus cuadrados, P, y su m.c.d., D. Con dición de posibilidad. Ejemplo. P= x64-4x5+4*,-x J-4*-4, D= x+2. Sea A2- B 2= P con A=DA,, B=DB, y Ai y Bi primos entre sí. Tendremos P =D 2(A ,-B i)(A i 4-Bi). Es necesario, pues, que P sea di visible por D2; haciendo P = D*P|, se obtiene Pi= (A, - Bi) (A ,+ B,), lo que conduce a descomponer P! en producto de dos factores primos entre sí. El problema es sencillo una vez que se sabe descomponer el polinomio P, en factores primos: en general, habrá varias soluciones.

En nuestro ejemplo se halla que P i = x * - l= ( * - l)( x + l) (x í + l ) y deducimos tres soluciones. Ejercicio 2. Determínense en R dos polinomios A y B de los que se conoSi D es el m.c.d., A = DA,,

B=DB„

m.c.m.=DA,B,;

por consiguiente, N=AiBi¡ para hallar Ai y Bi se descompone N en factores primos. Por otra parte, S=D(Ai + Bi) y D es el cociente en tero de S por A1+ B1, lo que 'supone posible esta división, puede ha ber varías soluciones. Ejercicio 3. Se dan polinomios A y B descompuestos en factores primos sobre un cuerpo A= B=pApé»pé>pA,

Determínese el polinomio C de mínimo grado tal que el producto de dos cualesquiera de los polinomios A, B, C sea divisible por el tercero. Resp.: La descomposición de C se obtiene tomando cada uno de los factores p¡ elevado a una potencia igual al valor absoluto de la diferencia Ejercicio 4. Indíquese la forma general de los polinomios A y B que admi ten como m.c.d. su diferencia. D=A-B. Hállense estos polinomios cuando se conoce su m.c.m„ M=4x»-Í0iI-6*. Ejercicio 5. Sean A, B, C tres trinomios de segundo grado, primos entre sí, de coeficientes reales y que satisfacen la igualdad A*+B!=C2.

11]

Demuéstrese que C no posee raíces reales, que A y B tienen sus raíces reales y distintas y que los trinomios C1-A, C-A, C+B, C—B admiten raíces dobles. Dado A en la forma A =(x-a)(x-6), escríbase la forma general de B y C. Si son a" y 6' las raíces de B, ¿qué relación fija erfiste entre a, b, a', b'l Hállese el lugar geométrico de las imágenes de las raíces a' y b' de C en el plano complejo. Si C admitiera una rafz real x¡>, los valores reales A(xo) y B(x0), cuya suma de cuadrados es nula, deberían ser nulos; en consecuencia, los polinomios A y B no serían primos entre sí.

De la igualdad [1] se deduce que A2= (C + B )(C -B ) y los dos fac tores del segundo miembro son primos entre sí. Si A tuviera raíces complejas, sería primo en el cuerpo R y la igualdad exigiría que A=X(C + B),

A = -1 (C -B ),

lo cual es imposible. Un razonamiento análogo permite excluir el caso de una raíz doble para A, con lo cual solo queda entonces la hipótesis de raíces reales y distintas; se aplica el mismo razonamiento a B. Poniendo A = (x -a ) (x -b ), se tiene (x - af{x - b f= (C + B) (C - B) y, por el razonamiento anterior, C+B=M *-
C -B = i(* -* J * t

siendo A un número real cualquiera; de donde C -i- lA O r - a F + lc r - b )2] . Las raíces o" a '-a a '-b

y ó" deB=0 son talesque

1 tí-a 1 . . . :—, -s — de donde A b '- b A

y como la razón doble(a, b, d, b') esigual a -1, los dos pares a, I ya', f son conjugados armónicos. En el plano complejo las raíces a" y b“ de C verifican la relaciói — £ = — ; el lugar de sus imágenes es la circunferencia de diáme tro ab. Ejercicio 6. Sea el anillo de los polinomios cuyos coeficientes pertenecen al cuerpo a+b-JÜ, con a y b racionales (véase pág. 53). Se asocia a todo poli nomio A el polinomio A, cuyos coeficientes son conjugados de los de A *. Com. párense la suma y el producto de dos polinomios con la suma y el producto de

sus conjugados. Dedúzcase que si A, de B. también lo es por B. Aplicación: Si la descomposición sobre R de un polinomio con coeficientes racionales admite el factor (x-a-iv'Ñ)*, también admitirá el factor conjuga do (x—a+bt/ti)". Dado que las operaciones entre polinomios se efectúan sobre los coeficientes, el paso d e A y B a Á y B reemplazará los polinomios C = A + B y D=AB por sus conjugados. De ello resulta que si A=BQ + R, Á = BQ + R. Suponiendo que A, de coeficientes racionales (Á=A ), sea divisible por B (de donde R= = R=0), tendremos A = BQ, A = BQ. Aplicación: Si A es divisible por (x -a -b -/ Ñ y . también lo es por (* —a+i>v/N)’’; por consiguiente, A = (x - » - W Ñ )’ Q = ( r - a + 4 # ( ]. Ahora bien: como los polinomios ( x - a - W Ñ ) 1 ’ y ( x -a + b^/Nf son primos entre sí, (x-a+b>/Ñ)° debe dividir a Q; de donde A = (x -a -b J Ñ y (x - a + b fÑ y Q ,= = [( * - « # La última igualdad prueba que los coeficientes de Qi son racionales. Ejercicio 7. (Generalización). Sea H(x) un polinomio primo en el cuerpo de los números racionales, y x=a, una raíz de H (raíz real o compleja, pero no racional). Demuéstrese que si x=a es raíz de otro polinomio P(*) de coefi cientes racionales, H(x) divide a P(x). Aplicación: Una ecuación con coeficientes racionales que posea la raíz a+Vb (con a y b racionales y b no cubo perfecto), admitirá también las rafees a+jvT, a+pvT. En efecto, H(x) y P(x) son ambos divisibles por x - a , si se opera en un supercuerpo de los números racionales (p. ej., R o Q . No son, por tanto, primos entre sí; pero esta propiedad es independiente de la ampliación del cuerpo base, y H(x) y P(x) no son primos en el cuerpo de los números racionales. Puesto que H(x) es primo, divide a todo polinomio con el que no es primo.

Aplicación.—Se verá que, sobre el cuerpo de los números racio nales, el polinomio ( x - a f - b es primo si b no es cubo perfecto. Se ibtiene la propiedad en cuestión hallando sus raíces sobre el cuerpo le los complejos. Ejercido 8. Determínense los números racionales i y |i, de manera que el polinomio P=x*+4xJ-4\x+4n admita una raíz doble a+£s/3, donde a y P son racionales (véase ejercicio 6, pág. 113). Hemos visto que a - p '/ J es también raíz doble; por consiguiente, P = ( * - a ~p
CAPITULO V POLINOMIOS SOBRE LOS CUERPOS C y R

Descomposición en ei cuerpo de los números complejos 1. Teorema de d’Alemberl— Sobre el cuerpo de los números complejos, todo polinomio P de grado n admite n rafees distintas o confundidas. La descomposición es, pues, de la forma P = X(x- x^
y

-6 a 2+9a-3=0.

Se halla que n=J y, dividiendo P por 2x—1, se obtiene P=(2 x- l ) ( x - 2 i - I ) ( x - t - 1). Ejercicio 2. Resuélvase z3—3l'z-5(l+í)=0, haciendo z—x+iy. Anulando la parte real y el coeficiente de i, resulta el sistema x>-3x^+3y-5=0,

ix ^ - y 5- 3 x -5=0.

La ecuación obtenida efectuando la diferencia se descompone así: (x + i/)(*2+ p2-4xr/+3) = 0.

_____________________ TEOREMA DE P'ALBMBERT___________________ 117 La condición x + i/= 0 conduce a la ecuación en x 2x3+ 3x+ 5=0, en la que x = -1 es una solución. Esta es la única raíz real, que nos da la solución z,= - l + t de la ecuación dada. Efectuando la división se obtiene una ecuación de segundo grado cuyas raíces son z2=2 + i y z j= —1-2». Ejercicio 3. Descompóngase el polinomio P= (*+ i)"- (*-•)•' en producimpar, se verifica 3»-l

Las raíces (véase pág. 73) son cotg—, cotg — P = 2 m (x -c o t g ^ -)(* -c o t g -^ -) ... (x - c o t g - ^ - 1 — ).

[1]

Si n es par, el factor central se reduce a x; si n es impar, pueden agruparse los factores equidistantes de los extremos, observando que

De ello se deduce que P=2m'(r!-cotgí -^ j ( ** - cotg2

cotg*

Í2J

Haciendo x=2i, resulta P(2i)=(3"- l)í" = ( - l)<"-,)fli(3*- 1) e igualan do al segundo miembro de [2], se obtiene la igualdad deseada. Ejercicio 4. Descompóngase el polinomio P -*é -í por un método alge braico. Dedúzcanse las razones trigonométricas del arco —.

12

Tenemos P=(**+¿) (**-***-1). Las raíces del factor bicuadrado son

, de donde

118

CAP. V: POLINOMIOS SOBRE LOS CUERPOS C * R Para llegar a la descomposición algebraica completa es necesario

todavía hallar las raíces cuadradas de los números

e *

^•

Se obtiene (véase pág. 61) [ \ / - ^ ~ + \ +i \ / ' con un resultado análogo para la otra raíz. La resolución trigonométrica es inmediata, ya que las seis raíces de la ecuación P=0 están dadas por la fórmula •c=cos(

+

+ ,Sen( í í + ~ T ~ )‘ Particuâr’ “ comprueba de modo inmediato que la raíz de mayor parte real corresponde a k = 0; por consiguiente, c o s '- l / S I \2 V 4 2 Descomposición en el cuerpo de los números reales ' 2. Forma general de la descomposición.—El teorema de la pá gina 116, aplicado al cuerpo de los números reales considerado como subcuerpo del de los complejos, demuestra que las raíces complejas son conjugadas dos a dos, y del mismo orden de multiplicidad, lo que conduce a la descomposición clásica, P =(x -a ¡y,i(.x—a¿p¡... (x1+píx+q,y,(xl +p2x + q& ,. .. donde los trinomios a? + p¡x+q, son indescomponibles. Los únicos polinomios primos sobre R son, pues, los binomios de primer grado y los trinomios con discriminante negativo. Ejercicio 1. Dados dos polinomios en x, f(x) y g(i), con coeficientes reales, para que sea f(j)=g(j), es necesario y suficiente que f(*)-g(x)-múltiplo de (aí+ i+ l). El polinomio f(x )-g (x ) admite la raíz *=/; por consiguiente, tam bién la x —j= p , y será divisible por ( x - j ) ( x - f ) = x 1+ x + 1. Ejercicio 2. Determínense los números reales a y b, de tal manera que P=x*+2ar5+3xJ+ admita la raíz 1+i. Descompóngase el polinomio obResp.: Se escribe que P es divisible por x2-2ar + 2; anulando el resto, se obtiene a = -10, b = 18.

_______________POLINOMIO DE TERCER GRADO

119

Ejercicio 3. Determínese el número real A, de manera que el polinomio P=(A + 3)*>-A*»-(A + 2)*+A tenga una raíz compleja de módulo 1. Asociando la raíz compleja conjugada, se ve que P debe ser divi sible por el trinomio a í+ax+l. Si se anula el resto de la división, se obtiene <*=A, A = - j p

de donde P = i ( z 2+ J * +1 )(1 8 z-15).

Ejercicio 4. Sea P=*4+ar1+6*J+ci+d, con a, b, c, d números reales. Hállese la relación que debe existir entre los coeficientes para que P tenga dos raíces complejas conjugadas de módulo 1. ¿Qué desigualdad es necesario aña dir a esta relación para que solo se verifique en el caso estudiado? Se tiene la igualdad *4+ a*J+ bz2+ cz + tí=(z2+Az+l)(a:2+ jw: + d), de la que se deducen tres ecuaciones en A y /í , cuya compatibilidad exige (b - d - 1 ) (1 - d f + (a - c) (ad- c)=0. Para excluir el caso de raíces reales inversas se deberá tener (a - c Y - 4(1 -dycO. 3. Polinomio de tercer grado de las dos formas P = A(x-Xi)(*2+px + 9)

o

La descomposición es de una

P = A (x -* i)(x -* 2)(x-Xj),

según el número de raíces reales. Teóricamente, estas raíces pueden calcularse con ayuda del método de Cardano; pero, en la práctica, este procedimiento carece de interés. Por otra parte, más adelante recordamos el método trigonométrico aplicado a un caso particular. Ejercicio 1. Descompóngase sobre R los polinomios a£+l, Resp.:

*>-1.

*J+2x*+2*+ l.

(*+l)(»*-*+1); (*-1)(*»+*+l); (*+l)(*2-r*+1).

Ejercicio 2. Utilícese la fórmula de Cardano para hallar el valor numérico de la raíz real de la ecuación *3+6*-20=0.

Se obtiene r = [/10+ s/108+ | / l0 - ■/108= 2,732-0,732= 2. Se comprueba, en efecto, que *= 2 es el valor exacto. Ejercicio 3. Demuéstrese que la determinación de las raíces complejas de un polinomio de tercer grado P=x! +px+q, con coeficientes reales, se reduce a hallar la raíz real de una ecuación de tercer grado. Aplicación: p=x»-10*+24. Haciendo x =a +ib, se forman las ecuaciones a*-'iabl +pa + q = Q

y

U b - P + pb =0.

Ejercicio 4. Resuélvase trigonométricamente la ecuación *5—3 x-1= 0. a consiste en reducir el problema a la >s 30=4eos58 -3 eos 0 =a, haciendo x = \ eos 8 en la ecuación dada. En nuestro caso se halla K1cos> 0 - 3Xeos 6= 1, de donde \=2 y eos 30= iDe ello se deducen las tres rafees de la ecuación dada: 2 eos 20»,

- 2 sen 10»,

- 2 eos 40».

4. Polinomio de cuarto grado.—La descomposición compren de dos, uno o ningún trinomio de segundo grado. Su estudio conduce a la resolución de la ecuación de cuarto grado. En la práctica, se con sidera el cuerpo de los complejos y se agrupan los factores conjuga dos. Recordamos más adelante el método de Ferrari, pero los cálculos son muchas veces inextricables a no ser que el ejercicio esté prepa rado. El lector deberá buscar siempre alguna particularidad que per mita resolver más rápidamente la cuestión. Si se trata de un polinomio bicuadrado, el caso se resuelve fácil mente si la ecuación resolvente admite raíces reales. En otro caso, se descompone agrupando los términos extremos en un cuadrado: ** + px‘ + q = (x 1+ V q¥ +(p-2-Jq)& .

Observando que \p\/q, tenemos p-2>/q<0, y se descompone sobre R la diferencia de cuadrados puesta asf en evidencia. Otro ejemplo sencillo es el caso de la ecuación reciproca. Recor demos el método práctico justificado por consideraciones de invariancia (véase pág. 157). Sea la ecuación ax* + fcx*+ ex* + bx+a=0, en la que son iguales los coeficientes equidistantes de los extremos. Dividiendo por x* y haciendo y = x+l/x, se forma una resolven te en y: a(yl -2 )+ b y + c= f¡, cuya resolución permite obtener la descomposición del polinomio re cíproco. Ejercicio 1. Descompóngase en R **+1, r*-f

i,

**—12.

Resp.: (*í + xvT +l)(xI- x V r + l ) ; (**+ *+ l)(xJ- x + 1); (*+2 ) (* - 2 ) (x2+3). Ejercicio 2. Descompóngase en R el polinomio P= (x*-x+l)J+ l. Desarrollando, se obtiene P = x '-2 x >+ 3x2-2x+ 2 , que se descom pone fácilmente agrupando términos: P= (x1+1) (x* + 2) - 2XÍ*1+1 )= (Xa+1) (x2- 2x + 2). Ejercicio 3. Descompónganse en R los polinomios P-xi+óxi+gjct+íx+l; Q=x4-4*3 eos aeos b+2*2(l+cos 2a+cos 26) - 4* eos aeos 6+1. Se trata de polinomios recíprocos; obtenemos: P=[x*+(2+v'2)x + 3+ 2v'2] • [xs+ (2-v'2)x + 3-2vr2]: Q = [x2-2xcos(a + f>)+1] • [x*-2xcos(a-b)+l]. Ejercido 4. Sea el polinomio P=xt+2px>+gx1+rx+s. Demuéstrese que es posible determinar una constante K, de manera que la diferencia P - (*2+p*+X)! sea un cuadrado perfecto (salvo una constante). Dedúzcase de ello un método

122__________ CAP, v: POLINOMIOS SOBRE LOS CUERPOS C Y R____________ Tenemos P - (x*+ px+ X f= (q - 2A- p2)*3+ (r - 2\p)x t s - X 1. Escribamos que el segundo miembro admite una rafz doble; se (r - 2Xpf - 4(s - A2) (g -2 A -p 2) = 0. Ecuación de tercer grado en A, que admite al menos una raíz real. Cuando es resoluble, puede expresarse P en forma de suma o de di ferencia de cuadrados, lo que (pasando en caso necesario al cuerpo de los números complejos) permite descomponerlo en dos trinomios. Se pueden obtener las cuatro rafees y basta agrupar las que son con jugadas. Es el método de Ferrari.

P=**-10x*+35*2-50*+24

y

Q=*4- 2x!- 6r + 3.

El primero conduce a la ecuación en A (2A - 10) (A2- 24) =(5A - 25)!, que admite la raíz A=5. Se deduce de ello que P = (x2- 5x + 5? - 1 = (x -1 ) (x - 2) (x - 3) (x -4). El segundo conduce a la ecuación A3= 6, y se tiene: Q - p - x - t f S y - ( J / W r+ 1 * + [ / V 6 - 3 ) 2. Los cálculos resultan excesivamente complicados y es preferible no proseguirlos. Ejercicio 6. Sobre R, descompóngase P - (l- * » ) 3+8*> en un producto de tres factores reales de segundo grado. Tenemos una suma de dos cubos, de donde P =(1 - x2 + 2x) (x4+ 2x>+ 2X2- 2* +1) y cabe aplicar el método anterior al polinomio de cuarto grado. Se obtiene: P = (l+ 2 x -x 2)[x2+ ( l - ^ * + 2 - v'?] [**+ (!+
Otros métodos.—1.® Cabe observar que el polinomio recíproco de ■ cuarto grado se reduce a otro de segundo grado en y=x-t-l/x. 2.® Es posible resolver, sobre el cuerpo de los números comple jos, ía ecuación binomia (1 - 3^ = -8x\

de donde

(1 -x * )= -2 jx (o 2jx)

y hallar las raíces conjugadas en x. Ejercicio 7. Descompóngase <*2—3*)2+4(a^+a:—2>2 en el cuerpo de los 5. Otros casos— Ejercicio 1. Establézcanse las descomposiciones indi cadas a continuación: Z*+1= (*2+1)(I2+*V'T+1)(*2-I^T+1). **+*«+1= -(xí+ar^lXaí-ar^/T+lXaí+x+ljíaí-a+l).

Ejercicio 2. Descompónganse xS-l y *5+1: 1.®, haciendo uso de la resolu ción trigonométrica de la ecuación de segundo grado; 2.°, mediante la descom posición de un polinomio reciproco de cuarto grado. Dedúzcanse las razones trigonométricas de los arcos Después de agrupar factores conjugados, se halla x5-1 = (* -1 ) ( x2- 2x eos

i-1) ( x2- 2x eos

+1 j .

Tenemos también 1= ( * - ! ) (* « + * ’ +**+ * + ! )= x\ x- 1) [ ( r + 1 ) ' + ( * - y ) - l ] • Se descompone la expresión entre corchetes, que es un trinomio con relación a x+ l/x. Se llega así a

De ello resulta eos—

— . etc. De manera análoga, se tiene:

I —(**—l )n j-' ^ í2—2*cos—^-+1 ^

(n par):

- 4 h

—

>■

*"+ l = n^r2-2 *co s-^ -+ l j

con k= 1,3,5

n-1 (n par).

a“'+ l = (* + l)n (* 2-2 *c o s - ^ - + l)

con fc-1,3,5

n-2 (n impar).

Ejercicio 4. Descompóngase el polinomio (*I+ l)3+ ( x - l ) 6 en factores reales. 6. Aplicaciones La descomposición de un polinomio sobre un cuerpo (el de los coeficientes o uno de sus supercuerpos) es una igual dad formal, que se transforma en una igualdad ordinaria eligiendo la incógnita en el cuerpo considerado. En el caso del cuerpo de los nú meros reales, pueden demostrarse así ciertas identidades trigonomé tricas con bastante facilidad. Ejercicio 1. En la descomposición de lemuéstrese que se deducen así las fórmulas enJ n -2)w 2n

Hay que hallar el límite de — 1II' representa el producto de los p factores q

do la división, se obtiene un polinomio en el que se hace *= 1 ; el lí mite es —. Hay que transformar después en el producto los factores

Ejercicio 2. Sobre el cuerpo de ios números reales descompóngase el poli nomio P=»2"-2*"cos®+l en factores primos (cosSpú+1), Las raíces son x"=cos0±isen 0, de donde 2n valores para x. Agrupándolas de dos en dos, se obtiene:

do

e,

Ejercicio 3. 1.° Haciendo *-= 1 en la descomposición anterior y eligien demuéstrese que resulta la fórmula

Compruébese que, para 0
Escríbanse las fórmulas que se obtienen de las anteriores cuando f tiende a 0 (o para y-0 ). Demuéstrese, por último, que para n impar se puede escribir tgnt«=( —1) * tg»tgê>+-^y..tg^+ (" ^ ’r j. La primera fórmula se deduce haciendo ar= 1, 8=2n
-0 son

Para hallar la expresión que da tg nip (n imparX cámbiese ip en p + en la primera fórmula. que no se hace negativo para ningún valor real de *. Para que un polinomio sea no negativo es necesario y suficiente que pueda expresarse como suma de los cuadrados de dos polinomios reales. Se hará uso de la descomposición sobre R, («*+*»)<«'>+*'*) - (a a '+ «n J+

Demuéstrese que P - *‘ +2*5+2**+2*2+2*2+2*+1 es un polinomio no ne gativo. Un polinomio real P puede ponerse en la forma P = A(a“ + p,x+q,) ... (*¡ + pi* + g ,)(x -A 1)(x - X 2)... ( * - X»), en la que no se hace la hipótesis de que los factores sean distintos. Para que P se mantenga siempre positivo, es necesario que sean: h par; A„ X* ..., X* ¡guales dos a dos, y A > 0 . El factor que sigue a los trinomios es, pues, un cuadrado perfecto. En cuanto a los trino mios, cada uno de ellos es una suma de dos cuadrados. Aplicando la fórmula de Lagrange, se podrá transformar el producto de los dos primeros trinomios en una suma de dos cuadrados. Multiplicando por el tercero y volviendo a aplicar la fórmula se obtiene siempre una suma de dos cuadrados, etc. Por último, P será la suma de los cua drados de dos polinomios. El recíproco es evidente porque se forma así un polinomio no negativo. Quede bien claro que la descomposi ción anterior no es única. El polinomio dado puede escribirse: P =*« + 2*s+ x4+ ** + 2x» + x2+ **+2* +1 = (x +1K** + *» + 1) = = (* + l? (* í + i - ) í + - i ( * + l ) 1. Relaciones entre los coeficientes y las raíces 7. Fórmulas generales— Si un polinomio, P =c0+
On-X, a„

Xx,x(= drx- 2 , a,

^ 2x,x¡xt = r

<*»-J o,

(-l)"<2o X|Xj... x„= -----— a

_______________________ FORMULAS GENERALES_____________

127

que permiten calcular la suma de las raíces, la suma de los productos binarios, de los ternarios, etc., y, por último, el producto de todas las raíces, y ello sin necesidad de resolver la ecuación. Recíprocamente, se demuestra que la resolución del sistema en *„ xb ..., x„ obtenido de esta forma se reduce a la de la ecuación P = 0; por tanto, esto no simplifica el cálculo de las raíces. Sin embargo, el sistema puede utilizarse cuando se conoce una relación suplementaria entre las raíces. Ejercido 1. Hállense las relaciones existentes entre las rafees de las ecuaax! + 6x+c=0.

a'xJ+i'x+c'—O,

2 0 2bb’)1--4(ac&) 6

ac'+a'c - bb' *= , (oc'+fl'c- (aV - '*). La primera condición traduce la relación 2(x,x2+

=

(x, + x2)(x', + x'j)

que expresa que las cuatro raíces forman una cuaterna armónica; la segunda se escribe [2(x,x, + x'.x'O- (x, + x j (X', + x',)]3- (x, - x2Hx', - x'¡f = 0. Si se transforma la diferencia de cuadrados en producto, se obtiene (*,-x ',)(x ,-x /j)(x2-x'i) (x2- x'2>=0. Al menos un factor de este producto debe ser nulo y las ecuacio nes dadas poseen una raíz común. Ejercido 2. Descompóngase el polinomio P=xS-13*«+67jJ-I71**+216x- 108= 0. sabiendo que la descomposidón es de la forma (r-x ,)3 (x-x2)2. Las relaciones entre las raíces y los coeficientes exigen que 3x, + 2x2=1J,

3xJ+ x|+ 6x,x2=67,

de donde x, = 3 y x2= 2; P = (x -3 )) (x -2 )J.

[1 ] Ejercido 1. En ia ecuación 2X5—*2-7*+X™0, determínese X para que la suma de dos raíces sea igual a 1. Siendo la suma de las raíces igual a J, una de ellas es igual a - i y A = -3. Ejercido 2. En la ecuación x^-Vx+XÔ, hállese X de manera que una de las raíces sea doble de la otra. Resp.: A= 6 (ralees I, 2, -3 ) y A = - 6 (raíces -1 , -2 , 3). Ejercido 3. Determínese m de modo que la ecuación x3-5x+m=0 tenga dos raíces x¡ y xj tales que xi+xt=2x,x2. Hallado m, resuélvase la ecuación. Las relaciones [1], junto con la dada, implican que - 2x¡x¿xt + *2) = - 5. Se deduce así: ,+ *2= - 2,

x3= 2,

y xJ- 5 * + 2 = ( * -2 ) (* i + 2 * -l );

Ejercicio 4. Hállese la condición para que las raíces de un polinomio de tercer grado estén en progresión aritmética. Aplicación: Resuélvase la ecuadón 8x3- 12x¡-2x+3o- 0. Las raíces son de la forma u -h , u, u+h, y las relaciones [1] se 3u =

3u2- h 2= —,

u(u, - * í) =

d

_________________

POL1WOMIOPE CUARTO GUAPO_________________ 129

Son compatibles cuando (2Ó2- 9ac)b + 21é d =0. Aplicación: u=-^-, ft«=l; las rafees son —i , -i,

x’ +2*2-7*+X=0 satisfagan la relación Escribamos las relaciones [1] haciendo que x, y x¡ desempeñen pa peles simétricos: *, + *2+*3= -2,

*|(*2+*3) + *2*3= -7 , *1*2*1= -A.

Las dos primeras, unidas a la relación suplementaria dada, permi ten calcular x„ Xj+x, y *2*3. Se halla 2*J=18, de donde *i= ±3 . Se deduce de lo anterior que A = -2 4 y A= - 12 . Ejercicio 6. Hállese la condición para que las tres rafees de la ecuación de tercer grado estén en progresión geométrica. Aplicación: Resuélvase la ecuación 8*J-42*2+«3*- 27=0. Resp.: Se halla bíd - c ía=0. Ejercicio 7. Resuélvase la ecuación *J+p*+q=0, sabiendo que una de las rafees es el cuadrado de otra. 9.

Polinomio de cuarto grado.—Sea P = ax' + bx¡ +cxl +dx+e.

Se tiene: x +X + * + * -

b

XX+ XX+ XX +*2* + *2* +*J* = —

d *,*2*3+ *,*2*4+ *2*3*4+ *1*3*4= - —,

e *1*2*3*4= —

[ 1]

A veces resulta cómodo clasificar las raíces en dos grupos y escri bir en la forma siguiente la segunda y tercera de las relaciones: c *,*2 + *J*4+ (*, + *2)(*3 + *4)= — :

d *I*2<*2+ *,) + *J*,(X, ~ *2>= - —

130__________ CAP. V: POLINOMIOS SOB«B LOS CUE»POS C Y R haciendo que los dos grupos de variables *,, x¡ y x¡, x, desempeñen papeles simétricos. Ejercicio 1. Hállense las condiciones necesarias y suficientes que deben *1 y ** Las relaciones [1] se convierten en 2(*i + * i)= —

b

2 2

c

xi + x¡ + 4x,x2= —,

2x¡x¿ x, + x¡)=

d

2 i e *i*t= —

Fácilmente se deducen las condiciones buscadas: ^-+2da*=abc,

tí‘e=tPa.

Ejercicio 2. Determínese m de manera que la suma de dos raíces del po linomio P=**-9rJ+m**-8*+6 sea igual a la suma de las otras dos. Clasificando las rafees en dos grupos, las relaciones [1] se escriben *, + *2= *3+ *4= — ;

(x, + *2) (*, + x,)+ *,*,+ x¡x, = m,

x,x^x¡ + xt) + x¡x,(x, + r j = 8,

*,12*3*4= 6,

de las que inmediatamente se deduce que m = 793/36. Ejercicio 3. Resuélvase la ecuación **-10*3+35*s-50*+24=0, sabiendo Hagamos x, = u -3 h, x2= u -h , x¡=u + h, xt= u + 3h, con lo que fá cilmente se encuentra u = 5/2, A= 1/2.

a '- í* 5-3é*í+A*+f4=0 estén en progresión aritmética. Resuélvase la ecuación. Resp.: A=66, /x= 105. Las raíces son -5 , -1 , 3, 7. Ejercicios. Descompóngase P=6**-43*5+107x»- 108x+3«, sabiendo que sus raíces son de la forma *„ x2. x2¡x, y x,lx¡. Resp.:

P = (* - 2) (* - 3) (3* - 2) (2* - 3).

Aplicación: Resuélvase *‘ +6*5+13**+12x-5=0. Resp.: V - Aabc+ 8
b*e-
Ejercicio 8.—Sea la ecuación x'+2xs-5z2- 10x+X=0. Determínese X de modo que la suma de los cuadrados de dos de las rafees sea igual a la suma de los cuadrados de las otras dos. Ejercicio 9. Hállese la condición que ha de cumplirse para que el producto de dos de las raíces de la ecuación x4+ax*+hx+c='0 sea igual a la suma de las Ejercicio 10. Descompóngase el polinomio P=x4-21*>+16«xí-54íx+580, sabiendo que las raíces son de la forma o, 0, a+0 ±it,a-0), con a y 0 reales. Resp.: a=5, /3=2. 10.

Aplicaciones diversas.—Ejercicio 1. Resuélvase la e< 27(12x2—12x+l)*+l«00**(*3—2*)=0.

ble, a/3 y (i las otras raíces, las dos primeras relaciones entre le coeficientes y las raíces se escriben 7ct + 3/3=6,

5a* + 7a/3=-^-

De donde 98

238

14

La primera raíz a, no conviene porque el valor asociado /3i, al n estar comprendido entre 0 y 2, hace que *J-2x sea positivo y n

puede ser raíz de la ecuación dada. Nos queda «2=3/14, y las raíces simples son 1/7 y 3/2. Ejercicio isósceles? El centro de gravedad está en el origen. Si z¡ es el afijo del vértice del ángulo recto, el punto h = es el punto medio de la hipotenu sa; se deducen así los afijos de los otros dos vértices:

Expresando las relaciones entre los coeficientes y las raíces, se ve que Z\= - 3q/5p debe ser raíz de la ecuación. Esta condición es tam bién suficiente. Ejercicio 3. Sean a, b, c, d cuatro números complejos desiguales, y o, (J,

(fl-ot)(a-0)(
( 6 - « ) (* - 0) (ó-y) (6-8) ^ + (c-oO
Haciendo entera la ecuación [1], se escribe P = x(x - a) (x - b) (x - c )+ d(x - a) (x - b) (x - c) + 3x>- 2Xa+b+c)x2-(b c+ ca+ a b )x=0. Pero también se tiene que P = (x - ot) (x - /?) (x - y) (x - 8). Haciendo x=a, se deduce la igualdad 3a3- 2a*(a+ b + c)+ a(bc + ca+ab) = (a - a) (a - /3) (a - y) (a - S) a(a - b) (a - c)= (a - a) (a - /?) (a - y) (a - 8). Utilizando las relaciones análogas, se ve que A ~ ^ e (a -i> )(n -c j~ ( a - ó ) ( a - c ) + (ó-c)(í>-a) + (c-a)(c-í>)

DESCOMPOSICION SOBRE EL CUERPO Q: NOCIONES GENI.RALES_____ 133 Descomposición sobre el cuerpo 0 de los racionales 11. Nociones generales— No es posible indicar a priori la for ma de la descomposición: existen polinomios primos de cualquier gra do y no se conoce ningún método rápido para decidir si un polinomio dado es o no primo. Nos limitaremos aquí a precisar la obtención de los factores primos lineales; es decir, el cálculo de las rafees racio nales. Observemos en primer lugar que un polinomio con coeficientes racionales puede siempre escribirse en la forma P= X(<2o+ a,x+ flj*2+... + aje"), en la que do, a¡, ..., a„ son enteros primos entre sí, y X, un número racional cualquiera. Ya que la descomposición está definida salvo un factor constante, podemos limitarnos a considerar los polinomios de coeficientes enteros. Ejercicio 1. Si x=plg es una fracción irreducible, raíz de un polinomio de coeficientes enteros, demuéstrese que p divide al término independiente y que Tenemos la igualdad entre enteros relativos Ooq"+ dipq"' 1+... +
x"~‘ y el coeficiente es en

tero en virtud del ejercicio anterior; de ello resulta que P ,= P -tz.x -'-K q x-p ) es de grado n -1 y de coeficientes enteros. De otra parte, admite aún la raíz x=p/q; por consiguiente, el teorema queda demostrado por

134

CAP, v: POLINOMIOS SOBRE LOS CUERPOS C Y R

recurrencia para n si es cierto para n -1 . Basta para ello observar que la propiedad es inmediata para n=l. Tenemos, pues, P ={qx -p )Q , igualdad formal en la que hacemos * = 1, de donde P(l)=(~12x*+15x-14. Los divisores de 3 son ±1 y ±3 ; los de -14 son ±1, ±2, i " , ±14. Hay que ensayar, pues, los números ±1, ±2, ±7, ±14, ± —, + 14 ' " ± 3' Aplicando los criterios indicados, se comprueba sin dificultad que 2 y -7/3 son rafees; de ello, resulta P = (*-2 )(3 *+ 7 ) (**-*+ 1 ). Ejercicio 2. Calcúlense las ralees racionales de los polinomios P= 18x«+ 21x»-31x»+4 y Q=2x*+x>-10j4-2 x+ I2. Ejercicio 3. Descompóngase el polinomio P = xJ—2x*—3x+ 6, sabiendo que admite una raíz de la forma -Jn, con n entero no cuadrado perfecto. Se debe tener (n —3) •/ñ- 2rt+ 6=0, igualdad que exige que los coeficientes n —3 y -2n + 6 sean nulos por separado. De ello resulta n = 3 y P = (*í - 3 )(* -2 ). Ejercicio 4. Descompóngase el polinomio P=x54-x*-7x-3, sabiendo que una de sus raíces es de la forma a+bJ2Í con o y 6 pertenecientes a Q. Admite también la raíz a-bt/2 y, por consiguiente, la tercera raíz es necesariamente racional; se ve fácilmente que esta vale -3 y, por tanto, P = (* + 3) (* -1 + v/2) (x - 1 - S2).

No admite raíces racionales y hay que intentar descomponerlo e el producto de dos trinomios. Se deberá, pues, tener P =(**+(**+ y*+8),

/3= +1,

8 = -5 ,

o

>8= —I, 8= 5.

Es válida la segunda solución, y P = (*í - 2 i - l ) ( » 2+3* + 5).

Aplicaciones a la trigonometría y a la geometría 13. Ecuaciones algebraicas ligadas a la trigonometría.—Las razones trigonométricas de algunos arcos sencillos se conocen exacta mente; para otros, es posible formar una ecuación algebraica simple (de coeficientes racionales), una de cuyas rafees sea cosa, sena o tg a, si a designa el arco en cuestión. En general, las otras raíces ex presan la misma razón para arcos ligados al a de manera sencilla. Las relaciones entre los coeficientes y las raíces proporcionan enton ces relaciones trigonométricas que no siempre es fácil establecer di rectamente. En los ejemplos que siguen, el lector deberá, en general, formar la ecuación pedida observando que uno de los múltiplos de a es un arco del que se conocen sus razones trigonométricas. Deberá, pues, utilizar la fórmula de Moivre. Ejercicio 1. Hi

Las raíces son x=a , x = a + se halla

, x = a + —— . Haciendo u=cos x, ’

i ángulo cualquiera ar, se deducen las relaciones

+coS(„+^ )„ -4.v+l=0. Hállense las otras rafees de esta ecuación. El ángulo 0 = 9“ verifica la ecuación tg 50= 1, que, haciendo * = tg 0, se escri e

*»-5 * 4-10*3+lQ*1+ 5 * - l - 0 .

Esta ecuación es recíproca y admite la raíz *=1. Después de divi dir por x -1 , se obtiene la ecuación dada, cuyas raíces son: tg 81° (o cotg 9°),

- tg 27“ y -cotg 27°.

Ejercicio 3. Fórmese una ecuación de séptimo grado de coeficientes ente-

Partiendo de la fórmula de Moivre,

i igualando las partes reales, se ve que x = eos — verifica la ecuación 64*7-112*5+ 56*3- 7 * + 1=0.

[1]

Los arcos a, tales que x= cosa satisfaga esta ecuación, son ir • -T

3w 5jt — ■ “ 7 = '•

9jt -7 -

IIjt 13jt / , — • —

jt \

y los valores de / jr \ 1*7/'

3ir llir 5tr *Í-C0S 7 ~ cos 7 ’ * > -cos 7 =cc

Solo se hallan tres valores distintos de * = - 1 , y estos valores se obtienen dos veces. Resulta de ello que la ecuación [1], desprovista del factor *+1, habrá de ser un cuadrado perfecto. Se halla, en efecto, 64*6-64*5-48**+48xJ+ 8**-8* +1=0, (8*3-4 *í -4*+1)*=0. La ecuación anterior (de tercer grado) admite por rafees eos—,

el desarrollo de tg7fl en función n *5-21*2+35*-7=0 —. Dedúzcase la relación

« r - ° -21y* + 35i/2-7 =0 sus rafees son tg—— Para = ±1, k= ±2, fc= ±3. Escribiendo y'=x, e llega a la ecuación del enunciado, que tiene por rafees *i = tg! -?-, . . 2tr , 3tt ia cr pedida se expresa con ayuda de x¡, x¡, x¡: « - ( i + <%'i ) :'■+ ( 1« * ■ - f - y'+ ( 1* « • 4 - ) + Xj) + (x, + x¡ + XjF - 2 (x,x2+ X¡x} + X,X|)=416.

Ejercicio 5. Demuéstrese que 4 eos2— es una raíz de la ecuación i>-5z3+ +6*—1=0. Hállense las otras raíces. —=0 es entera y de s isiguienti 4 eos2

4 eos2—

4 eos2

t i lie Ejercicio 6. La ecuación -------=0 es entera en tg 0. Calcúlense sus raítge ces. Dedúzcase que haciendo o - — se tiene tg a:•tg 2or•tg 3a•tg 4a•tg 5a-tgía= VL3. Las raíces son tg ra, con r = l, 2, 3...... 12. Dado que la ecuación es tg12fl+ ... -286 tg20 + 13=0, el producto de sus raíces vale 13. Pero tg ra = - tg (13 -r )a para los valores r = l, 2, 3, 4, 5, 6, y la relación dada se deduce inmediata mente. Ejercicio 7. Hállense las raíces de la ecuación tg24S=l. Fórmese la ecua ción entera que se satisface para x=tg26, donde 6 toma los valores anteriores. Dedúzcase la relación

Ejercicio 8. Hállense las raíces de la ecuación eos23fl= i. Dedúzcase de lo anterior que las rafees de la ecuación 25ÓX4- 448x! +240x2- 40x+1 - 0 son eos2

(*=1. 2, 3. 4). ¡tablézcase

TEOREMA DE COTES_____________________ 139 14. Teorema de Cotes.—La descomposición

obtenida en la página 125 conduce de manera sencilla al teorema de Cotes sobre los polígonos regulares. Ejercicio 1. Sea un polígono regular de n vértices. A, B, C

K, L.

quiera del plano. Llamamos (OP, OA )=8. Establézcase la relación OP2» - 20P»R» eos n8+Ri,=PA2-PB2... PL2.

[1]

Examínese el caso particular de que P esté sobre la circunferencia. Considerando el triángulo POA, se puede escribir PA2=OP2- 2R -OP cos0 + R2 y de manera análoga en los triángulos POB PB2= OP2- 2R-OP eos

POL:

+ g ^ +R2,

PL2= OP2- 2R.OP eos [ (2n ~ 2>?r + e ] +R2. Se multiplican miembro a miembro las n igualdades (cada una di vidida por R2) y se aplica la identidad anterior, en la que — se ha sustituido por 8. Se deduce así OP2”- 2R"OP” eos n0 + R2" = PA2•PB2... PL2. Si P está sobre la circunferencia, OP = R, y el primer miembro se simplifica, quedando 2R"jsen

=PA-PB ... PL.

Ejercido 2. En el problema anterior se supone que P está sobre el ra dio OA, (6=0). Pruébese que |OP“-R"|=PA’PB ... PL (teorema de Cotes).

12]

Si a, b, .... I, son los puntos medios de los arcos AB, BC, .... LA. demuésOP"+R"=Pa-PÍ>... Pl.

£3]

La primera relación se obtiene inmediatamente haciendo 8=0 en la igualdad [1] antes demostrada. Al extraer la raíz, se debe intro ducir el valor absoluto del primer miembro para tener en cuenta la posición de P con relación a la circunferencia. Para obtener [3], apliquemos en primer lugar el teorema anterior al polígono regular de 2n lados, AaBfc ... L/. Resulta así: |Op2»_R2»|= PA.P... PL-Pi. Dividiendo por la relación [2] queda: OP" + R" = Pa-Pf>... PL

m

CAPITULO VI DERIVACION FORMAL. RAICES MULTIPLES. ELIMINACION. TRANSFORMACION DE ECUACIONES Derivación formal. Fórmula de Taylor 1. Derivación formal.—En álgebra es posible dar un sentido formal a la derivación. Dado un polinomio P l e asociamos a priori el polinomio P'=Zfcot**"' llamado primera derivada-, el polino mio derivado de F lo denotamos con P" y es la segunda derivada de P. Se pueden comprobar fácilmente las propiedades formales (derivada de una suma, de un producto), de manera análoga a como se hace en análisis. Por último, todo polinomio P es la derivada de otro polino•mio Q, que se define, salvo una constante arbitraria, como primitivo de P. Ejercicio 1. Determínese un polinomio P„(x) de grado n tal que

Sea P = ízo+Oi*+ ... + V ”- Identificando coeficientes en la igualdad anterior, se halla °"é -

° ~ - m- ~ s h s r

X X* de donde el polinomio P„= 1+— + -y ¡-+

xn + “^ y

Ejercicio 2. Al polinomio P le asociamos el Q=P-P'. Demuéstrese que P=Q+Q'+Q"+... +Q|n>, donde n es el grado común de los polinomios P y Q. Calcúlense los coeficientes de P, conociendo los de Q y, reciprocamente, los coeficientes de Q, a partir de los de P. Este caso es la generalización del ejercicio anterior. Ejercicio 3. Desarróllese el polinomio P-x(l+x)n. ¿Qué igualdad se ob tiene haciendo *=•! en su derivada? Resp.: 1^2C¡ + 3Cn+ ... + (n+ iyCZ=2*-'(n+2).

Ejercicio 4. Demuéstrese que si el polinomio Q es el cociente entero de A por B. Q' es el cociente entero de BA'-AB’ por BJ, lo cual puede escribirse así:

S„=l+2i+Ji»+...+(n+l)i"; S'„=l-2i+3i*-«3+... + <-l)»(n+l)i». Se deriva A=BQ, de donde A'=BQ' + QB'; multiplicando por B, B*Q'= A'B - QBB' = A'B - AB', que es la propiedad enunciada. Aplicación: P(x) es el polinomio derivado de Pi = l + r + g*+ — + «■+■ = —

;

por consiguiente, _

1—*"+2- (n + 2) (1 - x)x"+l _ 1- (n + 2)x"~' + (n + l)*"+í (T ^ (i-x y

Se halla S„ haciendo x = i en la expresión anterior, de donde c

>' . » + * *

«+1.VM

cuyo valor depende del que tenga n en relación con los múltiplos de 4. De manera análoga, S'„= P(-t). Ejercicio 5. Dado el polinomio Q(i)=ao+fli* + . h á l l e s e un poli nomio P(r) que satisfaga la relación P(*+1)+P(*-1)-2Q(*).

tU

1.° Precísese el cálculo de los coeficientes de P y demuéstrese que dicho penden solo, respectivamente, de las partes pares e impares de Q(x). bese que se verifica P'„=nP„_|. Determínese P„.

143 1.” Hagamos P (*) =¿>o+ ¿i¡t+ 2>*r1 la igualdad de los coeficientes en la relación formal [1] conduce a las relaciones

y

+ C“ V¿„.2+... + ¿ > „ = a„.Jt C,.|f>0- i + 6„.j=a„.j, .... C,“ ibH-i+C *~?b„-i+... La última igualdad de cada grupo da:

para n par (n = 2k) para n impar (n = 2k + l )

fio+fij-t- ... +b„ = 0» b¡,+ b2+ ... + b„-l =an.

Estas relaciones determinan progresivamente fio, fi¡, fi<, ... en fun ción de do, aj. o». y fii. ¿3. ••• en función de ai, a¡, ... El polinomio P es, por tanto, único. 2° Se deriva la relación P„(*+l>+P,1 ( * - l) = 2 * “, de donde P'„(*+1) + P'„(ar-l) = 2n*"-‘. P'„ es, pues, el polinomio P de la primera parte relativo a Q =n*"_l. En virtud de la unicidad, se tiene P”„=nP„_i. Ejercicio 6. Determínense dos polinomios P(x) y Q(x de segundo grado y coeficientes reales que sean primos entre si y satisfagan la relación pt+Qt=(*2+ l)J [1] Para ello, se precisará sobre el cuerpo C la forma de los polinomios conju gados P+iQ y P-iQ, deduciendo de ello P y Q en función de un parámetro real que figura por su coseno y por su seno. 1.° Calcúlese P'! +Q'J. Se designan con X e Y dos polinomios definidos como primitivos de P y Q, respectivamente. Pruébese que se pueden elegir estos polinomios, de manera que verifiquen la relación X?+Y*=*.•(**+1)5, siendo k una constante. 2.° Demuéstrese1 que P y O cumplen una misma ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. (Fórmese esta.) Compruébese que no sucede lo mismo con los polinomios X e Y. l.° La relación [1] se escribe < P + / Q )(P -«Q )= (* + i«* -1?

[2]

1En esta cuestión el lector podrá abandonar el aspecto formal e imaginar R y Q como funciones de la variable real, x. y no como polinomios abstractos.

y los dos polinomios P + íQ y P -íQ son primos entre sí sobre el cuer po C (en caso contrario, P y Q no serían primos entre sí ni sobre C ni sobre R). La igualdad [2] exige entonces que P+ «Q=K(* + «y,

P -¿ Q = i.(* -ip ,

donde K designa una constante compleja. Siendo conjugados los po linomios P+iQ y P -iQ , K y 1/K, coeficientes de x!, deben serlo tam bién, lo que exige que K tenga módulo 1. Haciendo K=cosa+isen a, se obtiene P = (x2-1 ) eos o - 2x sen a,

Q =(*2-l)se n a + 2*cos a.

2." Se halla P'í +Q'2=4(*2+1), relación análoga a la [1], en la que el exponente del segundo miembro ha disminuido en una unidad. Finalmente, X = ( y - * ) c o s a - ( * * + A)sena e Y = ( ^ - * ) s e n a + (*>+#*) eos a. Formando Xi +Y I no es posible, cualquiera que sea a, satisfacer la igualdad XJ+Y 2=fe(*¡ +1)3, salvo eligiendo A=/t= -1/3. Hallamos entonces le=1/9. 3.° La solución general de la ecuación diferencial buscada será Q=\(x*-l)+2/ix,

de donde

Q' = 2\x+2/i,

Q"=2A.

Eliminando X y ¡x, se halla Q"(*Í+ 1)-2*Q +2Q =0. Para X e Y se llega de manera análoga a la ecuación Q"(*2+ l)-4 x Q ' + 6Q=0. 2. Fórmula de Taylor.—La definición anterior de la derivada conduce a la fórmula (x —aY (x -a Y P(*) = P(a) + ( * - a)P'(a) + i— L P "(a)+...+---- ---- P"(a>

válida para todo polinomio de grado n, y que da un sentido formal a la habitual fórmula de Taylor estudiada en análisis. Ejercicio 1. Determínese un polinomio P(r) tal que P(l)*3, P*(l) = 4, P"(l)=5, siendo nulas las restantes derivadas. Como P(x) es de segundo grado, aplicando la fórmula de Taylor se

Ejercicio 2. Un polinomio P(x) de grado n verifica la ecuación nP(x) **(x- a)P'(x) +6P"(x).

[11

Determínense los coeficientes de P(x) ordenado según las potencias de x-a. Según la fórmula de Taylor, se trata de calcular P(a), P'(a), P“(a). Utilicemos para ello la igualdad [1] y las que se obtienen por derivación sucesiva: (fj-l)P '= (*-a )P " + f>P'",

y Las derivadas siguientes son nulas. Haciendo x=a, se tiene nP(a)=óP"(a);

(n - l)P'(a)=óP"'(o)...... 2P<-J>(a)=M>"(a)

y P(n_l,(a)=0. Resolviendo, se obtiene el polinomio

fc* (x-aY~A h3 (x-ay-* + ~2A (n-4)l + 2-4-6 ( n - 6)1 + 3. Raíces múltiples— Toda raíz de orden n de un polinomio P es raíz de orden n -1 del polinomio derivado P". Recíprocamente, el orden de una raíz x=a de un polinomio es igual al grado del primer polinomio derivado que no admite como raíz x=a. Por tanto, las raíces múltiples de un polinomio P son también raí ces del m.c.d. de P y su derivada P'. El estudio de este m.c.d. permite muchas veces hallar las raíces múltiples de un polinomio.

Ejercicio 1. Descompóngase cada uno de los polinomios que siguen, saP,=*l-12*+16, 11*2-12*+3«, Ps= 8*‘ -4*2+2*2-3*+1,

P3-x>+2x>-

P2=*4-6*2+8*—3, Pa= i S- 7*2- 2*2+12*+8, Pí =*5—16*3- 8*2+36*-16.

Calculemos el m.c.d. del polinomio considerado y de su derivada. De ello se deducen los factores múltiples del polinomio, y de ahí su descomposición. Indiquemos los resultados: Pi=(*-2)2(*+4); P ,= (*-l)2 (*+ 3 ): Pj=(*-2)2(*+ 3)2; P,=(*-2)2(*+1)2(*+2); P5= ( 2 * - 1)2(2**+* +1); Pí = (* —4) (** + 2 *-2)2. Ejercicio 2. Demuéstrese que si n es de la forma 6p+l, P= (*+ !)” -*"-1 es divisible por (*2+ *+ l)2. Se comprueba que P y P' son nulos para x = ; y x = jl. Ejercicio 3. Sean dos polinomios enteros P y Q. Si la ecuación P—AQ—0, donde A designa un elemento del cuerpo base, tiene una raíz doble, esta verifica la ecuación PQ'-QP'=0. Se elimina A entre las dos ecuaciones P-AQ =0, P'-AQ'=0. Ejercicio 4. Hállense los valores de la constante k, para los cuales la *2—4*2+5*+fcr=0 admite un raíz doble. Resuélvase entonces la ecuación. Resp.: k = -2 , *, = 1, *j=2. Ejercicio S. Pruébese que P=n*"*2_(n+ 2)*"+t + (n+2)*-n es divisible por ( * - 1 )2. Se comprueba que P(1)=P'(1)=P"(1)=0. Ejercicio 6. Descomponer el polinomio P=*5-13*4+67*i- 171*2+216*- 108, sabiendo que admite raíces múltiples. El m.c.d. de P y P' es *i -8 *2+ 2 1r-1 8 = (*-2)(*-3)2 . Se ve que * = 2 es raíz doble y que *= 3 es raíz triple; por consiguiente, P = - ( x - 2f { x - y f (véase pág. 127).

147 Ejercido 7. Determínese tenga raíces múltiples.

de manera que la ecuación (x+l)7-x7-X=0,

En el cuerpo de los números reales solo hallamos el valor X=-¿; la raíz es * -

1

Ejercido 8. Determínese un polinomio P(x) de séptimo grado, de manera que P(x)+1 sea divisible por (x -l)« y que P(x)-1 lo sea por (x+l)«. Estúdiese el polinomio derivado P'(x). El polinomio P'(*) es de sexto grado y divisible por ( x - 1)3y por (*-rl)*. Se deduce de ello que F = A (x * -iy ,

de donde

P = A ( y -

+ x > -x j +B.

Escribimos luego que P(1)=P(-1)=0, de donde A=35/10, B=0. Ejercicio 9. Determínese el resto de la división de P=x"+x+6 por (x -a )¡. Escribimos P = (x -a Y Q (x )+ a x+ p y se determinan a y /3 hacien do x=a en el polinomio P y en su derivada P'; de donde a'' + a+b=aa+f},

nd'~' + l=ar.

Por consiguiente, ]8=(1 -n)av + b. Ejercicio 10. Si P(x) es un polinomio cualquiera, demuéstrete que Q(*)=—y [P'(*) + P » ] -P(x) + P(«) admite x=a como raíz múltiple. Hállese su orden. Se comprueba que x=a es raíz de Q(x) y de su derivada Q 'W = y [P’(
que también se anula para x=a. En general, la derivada tercera Q ' " = | P " W + ^ P ,4,W no admite la raíz x=a ; por tanto, para P"'(a)7¿0, a es raíz tri ple de Q. Ejercicio 11. Sean dos polinomios, P y Q, primos entre sí sobre (C). Si el polinomio PJ+Q* admite una raíz doble, pruébese que dicha raíz anula a P’í+0'¡.

P“ »-»
[11

es i. Fórmese D¡, m.c.d. de P y de su derivada P', y pruébese que el cociente de P por D, tiene solo raíces simples. ¿Cuáles son estas? Fórmese D2, m.e.d. de D| y de su derivada DV Dedúzcase de ello P|. Demuéstrese, de manera análoga, que se pueden obtener Pj, P, Pt mediante operaciones racionales. ¿Qué conclusiones cabe deducir respecto al cálculo de las raíces de un poliLa fórmula [1] resulta de la descomposición de P sobre el cuerpo de los complejos; p. ej., hemos agrupado en P2 todos los binomios x - a que figuran dos veces. Un factor de Pi no puede figurar en la derivada P' (en caso contrario no sería factor simple de P), un factor de P2 figura una y solo una vez en P", ..., etc. De donde resulta que el m.c.d. buscado es D, = P2(P3)*...(P1)‘->. Tenemos, pues, -j-=P|P2... P»; este polinomio contiene únicamen te raíces simples: aquellas de P, pero cuyo orden de multiplicidad se ha reducido a la unidad. Podemos formarlo siempre mediante opera ciones formales. De manera análoga se halla D2=P J(P<)1... (Pt)*"2 y ^ = P 2P¡... P*. p Di .2 . , De donde se deduce que P i = g - ; g-- Luego Dj = P ,... (Pi) ! y P2= = ? i:

Por tanto, es posible obtener mediante operaciones forma

les todos los factores P„ P2, .... Pt. Resulta así que en el cálculo de

149 las raíces de un polinomio se puede suponer que todas ellas son sim ples. Por otra parte, toda raíz, cualquiera que sea su orden de multi plicidad, puede expresarse racionalmente con ayuda de los coeficientes. Eliminación 4. Método práctico Se trata de hallar la condición necesaria y suficiente para que dos polinomios P y Q admitan una raíz común. En la práctica, el problema se reduce a otro más sencillo, reempla zando el par P, Q por otro P,, Q, formado por polinomios de menor grado y que admitan también la raíz común. Si uno de los polinomios es de primer grado, el resultado es inmediato. Muchas veces es cómodo conocer el resultado para dos polinomios de segundo grado (resultante). Ejercicio 1. Hállese la condición para que las dos ecuaciones P=ujrJ+iw+c=0,

Q=aV+ó'x+c'~0

El sistema es equivalente a P=0, oQ-o'P =0 (suponiendo que a # 0). La segunda ecuación es de primer grado y tiene como raíz x = ^ - t— necesariamente, esta es la raíz común. Expresando que dicho valor es raíz de P=0, se obtiene la condición clásica (después de dividir por a) (,ca' - ac’Y - (ab‘ - ha1) (be' -cí>')=-0. Además, esta condición sirve también para a=0, como se comprueba inmediatamente despejando x en la primera ecuación, x - -c/b, y sus tituyendo en la segunda. Ejercicio 2. Elimínese x entre las ecuaciones P=*J+p*+q=0

y

Q=x2+flx+6—0.

El sistema es equivalente a P -*Q = 0 ,

Q = 0,

-ax2+ (p-ó)x + q=0, x‘ + a x + b = 0.

El problema queda reducido al caso anterior, de donde (q + abf + (pb - & - aq) (a2- b + p)= 0.

Resp.: (m + l)(ml + 7)=0. Para m= —1, x=2. 5. Aplicación a lag raicea múltiple*.—Recordemos que una raíz doble es común al polinomio y a su derivada. Eliminando x, formamos la condición necesaria y suficiente para que un polinomio admita una raíz doble. Una raíz triple es raíz común al polinomio y a sus deriva das primera y segunda. Ejercicio 1. Hállese la condición para que la ecuación P=*' + ar!+b = 0 admita una raiz doble. Se debe eliminar x entre *,+a*J+ b = 0

y

4*J+3a*2=0.

El valor *= 0 conduce a f>=0, condición evidente. Dividiendo por x\ se halla x = —3o/4 y, sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene b - ™ - 0. 256 Ejercicio 2. Determínese a, de manera que la ecuación * « + W + 2xl- * + l -0 tenga una raíz doble. Resuélvase en este caso la ecuación. Ejercido S. Si la ecuación a*3+ 3fexí+3cr-l-
y

5(5P-*P')-2gP':x=0;

la segunda de estas es la dada en el enunciado. Ejercicio S. Determínense los valores de A, para los cuales la ecuación P=*>-(l+A)*1+(A-2)*+2A=0 admite una raíz doble. Resp.: Eliminando x entre P=0 y P'=0, resulta A= - 1 y A=2, lo que también se puede hallar observando que P = (x + l)(x -2 )(x -A ). Ejercicio 6. Determínense m, n, p. de manera que el polinomio P=*‘ +mx4+10xJ+nx+p posea una raíz cuádruple. Esta raíz anula a las tres primeras derivadas del polinomio; en particular, deberá ser raíz doble de la derivada segunda P"=*(30*3+ + 12mx+ 60). No puede ser * = 0 ; por tanto, el polinomio 5x3+ 2xm+ 10 debe tener una raíz doble. Sobre el cuerpo de los números reales, de lo anterior se deduce que m = -15/2 y r = l . Sustituyendo en P y en P', hallamos « = - 6, p = 5/2. Ejercicio 7. Sobre el cuerpo de los números complejos, determínese A para que P=x4-2x2+Ax+l tenga una raíz doble. Dicha raíz ha de anular al polinomio Q =4 P -x P '= -4 * ,+ 3Ax+4 y también al P '+xQ =A (l + 3xJ). Se obtiene primero la solución A= 0, evidente puesto que entonces P=(x2- l ) i. Luego x2= 3

de donde x= ± —*— y A = ± ^ — i. Se v/3 9

comprueba que P es divisible por ( * + —^=-1 .

Transformación de ecuaciones 6. Transformada en y = F (x ).—Sea P(*)=0 una ecuación que ad mite como raíces x„ x,, ..., x„ sobre el cuerpo de los números com plejos. Dada una fracción racional y = F (x )= -^ y , se asocian a P(x) los números y¡, y¡, ..., y„ tales que
K*)

Teorema Se obtiene la transformada n(y) eliminando x entre los dos polinomios . . , , . . . P(*)=0, q(x)-y r(x) = 0. Observaciones.—1.* En el caso de la transformación homográfica y=

*a eliminación es inmediata porque se despeja x en la re

lación anterior:

d y -b ~ a -c y

Señalemos algunos casos importantes: Traslación: y = x + h ; homotecia: y=kx\ inversión: y=\/x. 2* El valor de la función simétrica1 rfr,)

r(*j)

r(x„)

de las raíces de la ecuación P(x) = 0 se obtiene inmediatamente con ayuda de la ecuación rriy): es la suma de las raíces, A = y ,+ y ¡+ ... +y„. De manera análoga, B = r{x,)r\x¡ ) ... r\x„) las raíces de la ecuación rr(y).

es igual al producto de

7. Transformación y = * + fc.—Se trata de una traslación que per mite, en particular, suprimir el término de grado n - 1 en una ecua ción de grado n. 1Dado que aquí insistimos sobre el aspecto formal del álgebra de los poli nomios, aplazamos el estudio de las funciones simétricas hasta el capítulo 8. (Véase, en particular, el apartado 9.)

15} Ejercicio 1. Hállese la condición para que una traslación efectuada sobre

Haciendo x=y+h , se escribe que en la ecuación en y se anulan a la vez los coeficientes de los términos de grados tercero y primero. Se halla 8c=(4ó-a!)o. Ejercicio 2. Demuéstrese que en la ecuación *3+4*2+ 6* + 3-0 no es poque si lo es si se multiplica por x. Ejercicio 3. Descompóngase x^ I S ^ + W x-SIO. Indicación: Hágase desaparecer el término en x2. i puede suprimir el tercer término de la Resp.: y = x - 1. Ejercicio S. Resuélvase la ecuación P-a>-4>>-17c+60-0. sabiendo que Se efectúa la transformación y = x + 2 y se obtiene el polinomio Q =y > -10^+11^ + 70, que admite una raíz común con P. Llamando x a la variable en Q, se ve que P -Q =6x2- 2 8 x -10 admite también esta raíz. Se halla así el valor 5. Las otras raíces de P=0 son 3 y -4. Ejercicio 6. El mismo problema para la ecuación x3—Ax2—x+4»0, sabien do que la diferencia de dos raíces vale 2. Ejercicio 7. Idéntico problema para la ecuación x4- 45X2- 40x+ 84=0, saEjercicio 8. Si las raíces de x »-l=0 son 1, a, ft y (l-o r)(l-0 )(l-y ) .. =».

demuéstrese que

Basta con escribir el producto de las raíces de la transformada en y = l - x , después de dividir por y.

Ejercicio 9. Elimínense x e y entre las ecuaciones **+(«+9=0,

v1+p'y+q'= 0

y

ax+by-c—0.

Se halla la transformada de la primera ecuación por medio de y=°

y se expresa que la segunda y la ecuación en y así obtenida

admiten una raíz común. 8. Transformación homográfica

Ejercicio 1. Si Xi. xi, x¡ son

las raíces de x>+axí +óx+c=0, calcúlese la suma S=

h

h

.

Se halla la transformada e Ejercicio 2. Fórmese la relación entre los coeficientes a, b, e del poliP—x3+ax*+óx+c.

Se halla la transformada de P en y=2x‘, es decir, Q =-y (¡f5+ 2o*2+4fcx + 8c), y escribimos que las ecuaciones P=0, Q=0 poseen una raíz común. Se obtiene (49c- 4a bf-(6oJ-21ó)(12óJ-42ac)=0. ecuación x’,+aix"_1+aJx"-J+...+an=0 tiene una raíz se que esta verifica también la ecuación «IX*-1+ 2fliX"-2+3ajx"-3+ ... + nan= 0. La transformada en P=-~- admite una raíz doble H i= ~ (*17^0), que anula a la ecuación derivada en y. Basta efectuar la transforma ción inversa x = — en la ecuación en y obtenida. Para *, = 0, la condiy ción dada se comprueba directamente.

n Q, transformado por y——

155

Indicación: Hágase uso de la transformación y=2/x. Ejercicio 6. Precísese la relación que existe entre las ecuaciones axs+b*+c=0,

c*5+6*‘ +a-0

dos rafees comunes se escribe b2c2=(et-fl2+b2)(cí-tf+06). La segunda ecuación es la transformada en 1/x de la primera. Si x, es una raíz común, x¡= — es también raíz de ambas ecuaciones. Llegamos así a la conclusión de que una de las ecuaciones admite dos raíces cuyo producto vale 1; es decir, que el primer miembro es divisible por x2—Ax+1. Anulando el resto se halla a\4-3a\2+ a + b = 0,

ak‘ - 2ak+ c=0;

y eliminando X se obtiene la condición pedida.

« l* 2+Í(*l+ *2)+C=0, •< v ca+Pr «»1, que icón homográfica V=— Las raíces y, e y2 correspondientes a x, y x2 deben verific y¡+yi=

ax¡+p ax2+/¡ t ~ + ------- £-=0. yXi + 8 yx2+S

La relación homográfica así obtenida debe ser equivalente enunciado; por consiguiente,

En virtud de la homogeneidad se puede elegir 07=4’

l»-4 >

Py+aS=b.

Los números fiy y aS son rafees de XJ- ¿ X + ^ = 0 . Se puede, pues, determinar a, /3, y, 8, salvo un factor constante. 9. Transformación cuadrática.—Es la transformación y = x‘ +px+g. En particular, y=x* conduce a la ecuación que da los cuadrados de las rafees. Ejercicio>J. Si *„ x* *3 «m las^raíces de x’ -x+k-O, fírmese la ecuaSe halla la transformada en y=x*+x\ esta es y '-2 y ‘ + ’h ky-k1=Q. Ejercicio 2. Determínese la relación que debe existir entre los coeficienP=x»+ox*+óx+c para que las raíces X|, x}, x¡ verifiquen la relación xj=x*+x?. Se forma la ecuación que da los cuadrados de las rafees de P=0. eliminando x entre P=0 e y = *í. Se obtiene y>+1*20 - é ) + yO? - 2oc) - c*=0 y escribimos que una de las raíces de esta ecuación es igual a la suma de las otras dos; de donde 8c2+ 8ac(aJ-2f>) + a2(<í2-2b)(oí -4Z>) = 0.

REDUCCION DEL CHAPO DE UNA ECUACION_____________ 157 formalmente de varias rafees de la ecuación P(x)=0; pero, si se tiene en cuenta el hecho de que » t, x¡, .... x„ no son números cualesquiera [prácticamente, empleando las relaciones entre los coeficientes y las rafees de P(x) = 0], se reduce al caso de una transformación que afec ta a una sola rafz. Ejercicio 1. Si *i, *3 son las raíces de *J+a*í+f>*+c-0, fórmese la ecuación cuyas raíces sean »i=*f-*í«3, tf>— V¡- *f- *2*iTenemos y,=x¡ + —,

etc., y se debe eliminar * entre

x1+ax2+ b x + c= 0 Por diferencia, hallamos x =

y

x3-x y + c=0.

b+ y — y la ecuación buscada es

y>- (a2- 36V + b(3b- ) (*i~ *3*1) (*3- * 1*2) = (*1+ * 2+x¡yx,x¡x3- (x,x¡+ x,x3+ x¡x,y. Relación válida cualesquiera que sean x» x¡, x¡. Ejercicio 2. Sean x¡, x¡, *3 las raíces de xS+oxí+fce+c—0. Fórmese la ecua*2+ *3, *3+*l, *l+*2i »3+ X3-X| »3+*l~*2 *|+ *2*3+a^, Resp.:

*2+*J-*l, *3+*l-** + X|+X2-»3 *2*3 *3*1 *1*1 2^+*3*|+*2,

*{ + *,X2+*2.

xi + 2ax2+(a! + b)x+ ab - c =0; (4i> a)x a> 4ab 8c ex3+ (6c- abyx2+ (12c - 4ai>+ - 2ac)x*+cfo3- 2¿)x+cí= 0 ; x3+ Qb - 2cf)x* + (o4- irfb + 2b‘)x + b1- aW+ a>c=0.

x>+a*2+ - - + - =0;

11. Reducción del grado de una ecuación.—Cuando se conserva una ecuación mediante la transformación y=l/x, se demuestra que

su primer miembro, privado de las raíces ±1 (que se corresponden entre sí), es un polinomio de grado par, el cual se expresa por medio de otro de grado mitad en « = x + 1/x. El lector encontrará a continuación. algunas aplicaciones de estas propiedades, así como diversas generalizaciones. Ejercicio 1. Fórmese la ecuación de sexto grado que admite por raíces las raíces séptimas de la unidad distintas de 1. Dedúzcase la ecuación que tiene por 2rr 4rr 67r raíces los números eos - , eos— , eos ^ ■■ Basta suprimir la raíz x = 1 en la ecuación x1-1 =0, obteniéndose la ecuación recíproca x6+ x»+ ¡e4+**+*» + x +1 = 0, cuya resolvente en y —x + 1/x se escribe tj’ +p2—2p—1=0. Sus raíces son: 2ir _ 27r t/i_cos-^-+isen—— +

1 2-it eos 7 +1 sen 7

C°

, 2ir 7 ’

y ¡ - 2cos-^L, y¡ = 2 eos - y —- Se forma, pues, la última ecuación pe dida hallando la transformada en z = -|r> de donde 8zJ+4z2- 4 z - 1= 0. Ejercicio 2. Sea a=cos

—f i sen

una raíz onceava de la unidad.

Fórmese la ecuación de quinto grado que admite por raíces o+a10,

oí+a9,

a3+a4,

a'+a4.

Observando que a ‘° = —, a9= i ...» se ve que la ecuación en y a a2 es la transformada en y = x + l/x de la ecuación recíproca x"+x9+ ... + x + l= 0 ,

159 obtenida suprimiendo en la ecuación x11-1 =0 la raíz x —1. El método ordinario conduce a la ecuación t?+i/, -4y >-'iy ‘ + 'ly+\=0.

x,x2+a(x1+x2)+/J-0. Si se separan las rafees que son sus propias asociadas, pruébese que el problema puede reducirse al caso de hallar las soluciones de una ecuación de grado La ecuación debe ser invariante respecto a la transformación y= - a x+P

Las raíces que son sus propias asociadas son tales que

x‘ +2ax+/3=0, siendo fácil eliminarlas del polinomio P(x). Queda en tonces un polinomio de grado par. La relación dada se escribe (x, + a)(x2+ á )+ f i-<**=0, y hacien do la transformación y = x+ a , se halla y,y¡=á1- p = k . La ecuación es de grado mitad con relación a u=y+k/y. Ejercido 4. Sea la ecuación (x*-x+l)»-«x*(x-l)*=0. Si d

ést

las tras son 1 1.

1

1

*,es una de 1

*'

solución de una ecuación de tercer grado y de otra de segundo. Resp.: La ecuación se conserva en las transformaciones y—\/x. Ejercicio S. Sea P(x)=0 una ecuación que se conserva en la transforma ción de x en -1/x. a) Caracterícense las rafees de tal ecuación. mas, demuéstrese que P(x) es de grado par, siendo iguales y opuestos los c) Pruébese que la transformación u=x-l/x conduce a una ecuación de grado mitad. a) A toda raíz x¡ corresponde y¡= - l/x¡. Podemos tener, bien * i= »i= ± i.

o bien

x,^ y ,.

A toda raíz de P(x), diferente de ±i, corresponde otra x2= - l/x¡. Por tanto, resulta que, desprovisto de las raíces ± i, el polinomio P(x) es de grado par: n =2p. b) Se deberá tener: P(*)=X**>p( - 1 ) .

[1]

Haciendo x= i, se obtiene X (-l)°= l, puesto que PfflTÔ; por con siguiente, X es igual a +1 ó —1 según que p sea par o impar. Con P(x)=a2px,¡’ + aj,-!*2»-1+... + <%, la igualdad [1] conduce a las siguientes relaciones entre los coefi cientes: a2p= ±a0t a2p -i= ± a t,
* ».]

y por recurrencia, se demuestra fácilmente que las relaciones * * ± -j (signo + para k par, y - para k impar) se expresan como polinomios

xJ+ i.=iP +2, x3- - i = a ’ + 3u, x*+±= u *+ 4 i¿+ 2 , etc. x1 x3 x* c) Se obtiene un polinomio de grado p en y, lo que disminuye a la mitad el grado de la ecuación P=0. El lector comprobará que el re sultado es el mismo para p impar. Ejercicio 6. Descompóngase el polinomio P =(l+x*): -2 x (l-x t) en un producto de dos trinomios. La ecuación P=0 se conserva en la transformación y = —1/x. Se apli ca el método anterior, y después de agrupar factores conjugados, re sulta : P =(x2- ( v/3-l)x + 2-v/3] [*¡+ (^ 3 + l ) x + 2 + ^ ] .

REDUCCION DEL GRADO DE US* ECUACION Ejercicio 7. Se considera la ecuación de sexto grado P=x6+ax5+6x4+cx)+ dxi+e*+/=0

tlj

de coeficientes reales. Se suponen sus rafees complejas, pero del mismo módulo p (desconocido). Demuéstrese que la transformada de la ecuación Cl] por I/= * +P? es de tercer grado. ¿Cuáles son sus raíces? Recíprocamente, dada la ecuación en y y,+\y2+yv+1>=0,

[2]

fórmese la ecuación [1] y dedúzcase que las relaciones é>=á>P,

de=ab¡

Complétense las condiciones para que sean también suficientes. Si P verifica la condición pedida, su descomposición es del tipo (*2- 2ax + p2) (x1- 2/3* + p2) (¡e2- 2y*+ p2) = 0, ya que sus coeficientes son reales. Se forma inmediatamente la ecua ción transformada en y=

+

■ es ]a siguiente

(y -2 e d (y -2 ® (y -2 y )= 0 . Susraíces se obtienen, pues, duplicando las partesreales de raíces de [1]. Recíprocamente, partiendo de [2] sededuce [1]:

las

(x2+ p2)5+ Xtfx2+ p2)2+ px^x2+ p2) + p*2=0. Igualando los coeficientes, se obtiene X= a, 3p2+/t=i>, 2p2X+ p=c, 3p*+ ftp2=d, Ap‘=e, p6=f. La primera y las dos últimas de estas relaciones exigen que é3=a,f!, y las otras que de-Xp‘Qpz+fi)=abf. Cabe también calcular X, fi, v, lo que lleva a la ecuación t, t w .+ ( í _ ± L ) í « _ í í ' . , o . Pero para obtener condiciones suficientes sería necesario asegu rarse de que las raíces de esta ecuación son reales.

CAPITULO v n FRACCIONES RACIONALES

El cuerpo de las fracciones racionales 1. Estructura de cuerpo.—El anillo de los polinomios es un ani llo de integridad, del que se puede construir su cuerpo de cocientes, de la misma manera que construimos el cuerpo de los números racio nales a partir del anillo de los enteros relativos. Las fracciones racio nales adquieren así una definición formal, independiente de la noción de valor numérico. El cálculo entre fracciones se efectúa según las re glas habituales que se aplican a un cuerpo. Son las mismas que el lector ha utilizado siempre al manejar las fracciones (numéricas o ra cionales). Se demuestra que una fracción racional A/B puede expresarse de manera única en la forma a

B

=e+^ , B’

con grado de A, < grado de B; E es la parte entera.

F=x2" + 2. o 2. Comprué («-* ) a -x

o"+1(a -x )

a"+1(a -x )

Efectuando se obtiene la igualdad pedida.

o“+1

[a” -a”' 1;

163 Ejercido 3. En el cuerpo de los complejos, efectúese la suma x*-pc+l x^-Bx+l xt-ix+l + x*+ix+l los coeficientes son reales. Ejercido 4. Determínense a, B, y, de i un polinomio en a: *3+ ottí +j3x+y

J^+íJxt+yx+a

la siguiente expresión x>+yx*+ax+B

Efectuando la suma, el polinomio numerador debe ser divisible por ( * - l ) ( * - 2 ) ( * - 3 ) . Si se hace *=1, este polinomio toma, salvo un factor constante, el mismo valor que x1+ ax1+ (3x+ y, el cual debe ser nulo. Se ve, pues, que cada una de las fracciones dadas debe reducir se a un polinomio, de donde se deducen las tres ecuaciones a +¡3 + y = - l , que exigen

2.

3
Derivación formal.—Se puede dar un sentido formal a la de

rivación de una fracción racional; por definición, ------^

es la

derivada de Ejercicio 1. Compruébese que esta definición es estable respecto de la relación de equivalencia AD=BC, que define la igualdad de las fracciones ra cionales AIR y CID. Podemos suponer A y B primos entre sí; la igualdad AD = BC im plica entonces que C = AA y D=AB. Se deduce de ello que / C \' \D /

AB(A'A + AAQ - AA(A'B + AB') A ^ A ' - AB') A2B* ” A2B2

La derivada de C/D es, pues, equivalente a la de A/B. De ello re sulta que se puede derivar término a término una suma de fraccio

164 nes; la suma obtenida es equivalente a la derivada de la suma de las fracciones dadas. Esta observación se aplicará en el ejercicio que sigue. Ejercicio 2. Sean a. b, c, ..., I las raíces, supuestas distintas, de un poli nomio P(x). Exprésense en función de P y de sus derivadas las siguientes I— , x-u

S— L _ , (x -d )t'

x

1_____ (x -a ) (x -b )

Tenemos P = X(x-o)(at-¿) ... ( x - l ), y, calculando P\ se halla

lé-A

m

Derivando con relación a x, se obtiene V 1 ¿ J (x - ay

P’í -P P " P!

Elevando [1] al cuadrado: ¿ J (x - a )( x - b )

\ ¿-> x-a )

x -a f

P

Descomposición en fracciones simples 3.

Fórmula general— Sean B|, B2, ... polinomios primos en un

cuerpo K. Se llama fracción simple a una expresión de la forma

»

donde a es un entero positivo y grado de a < grado de B. Se verifica un teorema general: cabe considerar toda fracción racional como suma de su parte entera y de cierto número de fracciones simples. Es posi ble en la práctica obtener esta descomposición, puesto que sabemos descomponer el polinomio denominador en factores primos. El teore ma que sigue y el del apartado 4 permiten llegar a este resultado con facilidad. Teorema. Sea la fracción irreducible A/B. Si B= B,B3, donde B, y B, son

DESCOMPOSICION EN FRACCIONES SIMPLES: FORMULA GENERAL_____ 165

—-E + —H— , con grado de iii
1 2x- 3 (*+ l)(*+ 2 ): (* - l)(* - 2 ) ’ *2+ 2x+5 3x2+12x+ll ¡-3X+ 2 ' (*+l)(x+2)(x+3)

13*-1 3(*+2) (2 *+l)(*-2) ‘ 4(x—4)(x+3) *2+1 3*2+x+l (x - l)(* - 2 )(* - 3 )’ (*-l)<*2-4)

l i l i 3 5 eSp" x+ 1 x +2; x - l +x - 2 ’ 2x+1 +x - 2 : 3 3 8 13 _ 1 1 1 2(x+4) 4(x + 3) ' * r i +* - 2 : * + l +* + 2 +*+ 3 ! _1_____5_ 5 15_______ 11_______ 5 ___ x -1 x - 2 + x -3 * M.x-2) 12(r + 2) 3 (* - l)

+

Ejercicio 2. Sobre el cuerpo de los números racionales, descompónganse s siguientes fracciones: 2(*2+l) x3—3x-4 xl+x+l (x+lXxt + Z)'' (*2+2)(*2+x+l): x*-4 Veamos el primer ejemplo; tenemos, puesto que x>+ 2 es primo en icho cuerpo, bxl + cx + d (x + l)(x 3+ 2) x + l +

*>+Z

Se halla fácilmente «=4, de donde la igualdad 2(xí +l)=4+ cjx2+ (c+ d)x + d - 2b y

b = -4 , c=6, d = -6 ; 2(xí + l ) 4 (x + l)(x ,+ 2 )- x + l

4xJ-6x+6 xJ+2

Se obtiene análogamente para las otras fracciones 3x-2 2x+l l d + 2 ~ ** + x + 1:

x + 3 —x +1 4{xj - 2) + 4(xJ+ 2)

Ejercido 3. Sobre el cuerpo de los números reales, descompónganse las siguientes fracciones: x '+ l ’

x>-l ' 1

(*2+«2)(a4+6í)(*2+c2) x -2

Resp-:

{'a' b‘ C‘ dist,n,0s)-

1 1 2x í r i + íT T + - ? T r :

i i (J- a í)(xJ+ f>J) + 1 + (c2- a s)(cí -f>1)(xI+ c3> Ejercicio 4. Descompóngase F= Jt(í[+1)(¡t+2) c„ íT i+ S "

{x+n) ■

+ ( _ 1)-^ L _ , fórmula en la que C"

s el número de combinaciones de n objetos tomados p a p. s

« „ «* < > ,n , ) -

. . » . . » .

i, .... I son n elementos distintos de un mismo cuerpo, y P(x), un polinomio le grado inferior a n que no se anula para *=o, b, ..., i. Escribase la descomosicidn de F(x). Examínese el caso particular P(x)=xp. Eligiendo p, demuésrense las igualdades — —=0 para 0^q^ n - 2

Tenemos

A—

etc (a—6) ( o - c )... (o—/) ’

Supongamos P(x)=**’ (p
A(») _Ef. ■»■(*) «;(*)

siendo todos los polinomios a,, a¡, ..., ap de grado inferior al de B>; E es la parte entera, la descomposición es única y apP¿ 0. Ejercicio 1. Demuéstrese que los polinomios ap, ap.i, ..., a¡ son los restos de dividir una sucesión de polinomios por B(: A se divide por Bi, de donde A=BiQi+ap; Q| se divide por B„ de donde Qi=BiQ}+a, i, etc. El proceso termina después de p operaciones. La parte entera es el último cociente.

168________________CAP. VII: FRACCIONES RACIONALES Tenemos, en efecto, A —B1Q1+ flp= B1Q2+ dp_]Bj+flp= BjQj+ íjp_¿bi + Up- ¡B] + op. Después de efectuar p operaciones A = B"Q„+ a,Bf-> + ajBf-2+... + a„, ~Bf= ®,+ bI+ » [ + " + B» Se satisfacen las condiciones relativas a los grados, y, por otra parte, app£0 si la fracción dada es irreducible. Para el caso del ejem plo propuesto resulta: *7+ l _ , 3x+ 5 (a^+x+l)3 - * + *2+ * + l

4x+2 x+ 1 (x2+ x + l)2 + (x2+ * + l ) 1

Ejercicio 2. Sea la fracción irreducible F (x)Demuéstrese que admite d desarrollo

a„=f{a).

, con B2(a);£0. A2(x)

o,,.,=/•(«).....«,=(!«-1 ) I/C--U{«).

Demuéstrese que volvemos a encontrar asf la regla usual que da el desarrollo relativo al factor binomio (x -a )n. Apliquemos en primer lugar el teorema del apartado 3 y después el del apartado 4 a la fracción de denominador (x -a y así obtenida. La parte entera está incluida en

Los sucesivos coeficientes se de

terminan haciendo x=a en la igualdad f(x )= F (x )(x -a y = = a,(x - ay"'' + a2(x - a)—2+... + a„ + A ‘ ^ y en sus derivadas respecto a x. Se halla cc„=m .

2an-2= f'(a ), ..., (ft —1)1«.= / “-■(«)

[2]

169 y, por consiguiente, H x ) . m * { r - i t r w + ...

r - |w + At' ^ ~ tf'

Se reconoce que el polinomio es el desarrollo de Taylor de f(x) en el entorno de x=a, desarrollo que también se obtiene haciendo el cociente según las potencias crecientes de h de A(a+ h) por b/ft+h). Esta es la regla que se da con frecuencia para formar tal desarrollo. Ejercicio 3. En el ejercicio anterior suponemos n=2. Demuéstrese que q _ 2A(«) “2 B"(a) * con B=(x-o)!Bt

^ _ 2_ 3A-(o)-B"(a)-A(a)-B-"ia) 3 [B"(a)]2

A(a) Tenemos at= - -j-' , pero B=(,x-afB&c), y derivando dos v ‘ U a )' y haciendo x=a, se llega a B"(a)= 2B/a). De manera análoga, ° |= (g ^ )

=

• Tenemos ya

B/a)=JB"(a), y derivando otra vez con relación a x, B'"(a)=6B'¡(a). De aquf resulta la fórmula dada. Ejercicio 4. Descompóngase la fr---

x'-Sx’ +lOx*—8x-l (*-!)>(*-2)

Hagamos el cambio de variable y = x - l : y '-y s+y1+ y -'} F =— y ^ - 1) A continuación efectuemos el cociente ordenado segúnlas poten cias crecientes, del numerador por -1 +y, hasta la tercerapotencia. Se deduce de ello que .

1 2 3 ___1_ + * - l + ( * - l ) ’ + ( x - l ) 3 x -2

Ejercicio S. Descompónganse las siguientes fracciones: 2 X(X-1)2:

x» (x+l)3(x-l)2;

3x-l X»(X+ 1)»‘

4x-+x+4 (x-l)(x+2)í

2_

2_

2

* *-l+(*-l)*;

Resp.:

1 16(x+1)

1 1 16(*-1)+ 8(1-1^ *

5 x» x+1

4 (x + 1)*’

1 1 4(x+l)2 + 4(x +1)1 1 3 6 x - l + x + 2 (x +2?

5. Descom posiciónsobreel cuerpodelosnúm erosreales.—

La conocida forma de descomposición en factores de un polinomio y la aplicación reiterada de los teoremas anteriores conducen a la forma general de la descomposición de una fracción sobre R. Si B= (x- ai)a,(x- aj)“* ... ( x-

+

piX+ q tf‘ ... (x2+pix+g,y,,

(x2+ p,x+q,y con A,77¿0 para j= a , y para ;=/3¡. En la práctica se determinan los coeficientes desconocidos eli giendo x en esta igualdad formal. Las siguientes observaciones son de uso frecuente. a) Las propiedades formales (simetría y antisimetría) de la frac ción deben conservarse en su descomposición. Toda transformación y= ¡p(x), donde
i y se obtiene el coeficiente Ara,. c ) Elección de x = t tal que t?+p¡t+q,=0 (valores complejos): es necesario primero multiplicar por (x*+p¡x + q¡y¡ y se determina pmx+ -rV¡pt. Si se desea continuar, basta pasar la fracción obtenida al pri mer miembro y simplificar por x2+ p,x + q¡ (véase Ejerc. 2, más adelan te). Este método equivale en el fondo a escribir la igualdad de los restos de las divisiones de los dos miembros por x*+p¡x+q¡ (véase página 164). d) Si se trata de un polo real, x —a¡, de orden elevado, se puede hacer el cambio de variable y = x -a , y efectuar la división de fs(y+a¡) por B¿y+a¡) ordenada según las potencias crecientes. e) Finalmente se pueden obtener algunas relaciones eligiendo va

DESCOMPOSICION SOBRE EL CUERPO DE LOS HUMEROS REALES_____ 171 lores particulares sencillos; p. ej., x=0, 1, 2, i, infinito. Puesto que se trata de una igualdad formal cabe elegir x en un supercuerEjereicio 1. Establézcanse las descomposiciones siguientes: 1 x+l x -l (x-l)(x»+l)» 4 (x-l) 4(x»+I) _ 2(s»+l)»’ 1 1_ 1 1 1 2/2+l x 3 1 3 2 (l+x)2(2+x)2 1+1 (x+l)» ~x+2 (x+2)» ' x* 103 15 1 64 72» ---------------- = i + * +--------------- -I-------------h------------------ h---------(x»-5x+6)(x—l) 3 8 (x -l) 4(x -l)» 2 (* -l)3 x -2 8(x-3) Resp.: Indiquemos para cada una de estas fracciones aquellas de las observaciones anteriores que pueden aplicarse: 1." b) (multipliqúese por * - 1 , después hágase x = l), c) [multi pliqúese por (x2+1)2, y después x = i], e) (x=0, x infinito después de multiplicar por x); 2.“ a) (de donde dos ecuaciones), e) (x=0 y * = «); 3.* b) [multiplicando por (x+l)» y (x+2Y], e) (x=0 y x infinito, después de multiplicar por x); 4.* b) proporciona tres coeficientes; se halla después la parte en tera, haciendo el cociente del desarrollo de (1 + yY por 2-3y + y1 (tres términos).

e, inmediatamente,. A = l. Multipliquemos por (x»+x+1)3y hagamos x~ a , tal que a »+ a + l= 0 , obteniéndose — =Bcr + C; pero — = -ar-1, de donde - a - l = Ba+C Pasando

y

B = -l, C = -l.

i+ x + 1)2 *** Pr*mer m'embro y reduciendo:

1 x(x»+x+l)»

x+l 1 _1 (xi + x + l)2’= x(x»+x+l) x

Dx+E x»+x+l

172

o 3. De manera análoga, establézcanse 1¡

(*-l)«(*3+l)

(x -l)«

2(*-l)>

a» | 1 1 (*í+l)>(*+l)í“ + 4 (x+ l)2

l a *»(**+«*>»

4(*-l)J 5 1 1 + 8 (* -l) + 24(*+I'.+T ' 1 _L____ * ____ 1 4xz + l + 2 (*í+l)J 4 X¡H

b e l *í + *í+aI + (*í +í|2)2 o V

1 1 1 a‘(*J+ oí) “ o3 (*J+ oí)3

Esto equivale a hacer la descomposición con relación a (x»-x+l)= xi(*-l)= ‘ Tanto el denominador como el numerador se conservan con el c; bio y = l —X. Por consiguiente, en la descomposición («*-*4-1? se debe tener a=c, b = d. Se obtiene a=c=0, Ó=<¿=1. Ejercicio 6. En los siguientes ejemplos, el lector deberá p:

DESCOMPOSICION SOBRE EL CUERPO PE LOS NUMEROS COMPLEJOS

173

o se cumple la fór Resp.: para c

2 (x - 1) “ 2 (*+ l) ' 1

'

J2 >

1

V

■J2

1

'

J2_ 2 x+ ^ 2

-J2 >

6. Descomposición sobre el cuerpo de los números complejos. El polinomio denominador es descomponible por entero en elementos de primera especie. Si la fracción es real, las constantes correspondien tes a dos elementos —------— y - ---- —— son números complejos con(x - a Y (x -a Y jugados: = o. Agrupando estos elementos complejos conjugados, a veces se obtiene la descomposición en el cuerpo de los reales.

Se obtiene fácilmente, 1 1/ 1 j j2 \ _ 1 1____ 1 J-.-2 x > - l " 3 \ x - l + x - j + x - i 2 / 3 x —1 3 **+*+1 Las raíces de **+1=0 son -1 , a=cos— +isen—, S y, finalmen;, fi = eos

■-r i sen

Se deduce de ello que

Los coeficientes se calculan sin dificultad:

Eligiendo P(x)=x y haciendo x-*cos20+isen20, dedúzcase que

7. Ejercicios diversos— Ejercicio 1. Sea la sum

El término de lugar p se expresa por la fórmula uj>=—— Descomponiendo la fracción en elementos simples, se halla =± ( ^ _ £ : 2 ’ p+2 p Formando S„= V up, resulta S„= -í- - — ^ ■-■ 3" - 4-. r 2 (n + l)(n + 2 ) 4 . Descompóngase la fracción ——-——. Eligiendo adecuadamente

(n+1)» 1

(n+2)2 1

1

suman los resultados. Se observa, por último, que -— - - < --- ---- — , (n + l)J n(n+1) etcétera. Ejercicio 3. Establézcase la relación que debe existir entre a, b, a y (3 para que, en la igualdad que sigue, la fracción del primer miembro se descom ponga en la forma indicada: (x-«)(x-f>) (x -c )H x -W

p

g

<*-«)» (x-0)»

Se debe verificar la igualdad (x - a) (x - b )= p(x - PY + q(x - af.

176 que exige para p y q 1—p+q,

a+^ > =pf¡ + qa,

ab=pfi1+qa2.

Escribiendo que esti p y q, es compatible, s< métrica 2(ab + a p )= (a + b )(a + p), y expresa que los cuatro números a, b, a y /3 son conjugados armóni cos. Resulta, pues, que en la fórmula dada se pueden permutar a y b, por una parte, y a y /3, por otra.

S » (!- < « ) _________ ax(l-tfx) " ( l + * ) ( l + « ) ( l + 0i*) ( l + « ) ( l + «t*)(l+<.Vr)

(1 - a) (1 + x) (1 +ax)

-

(1 - a) (1 + a"x) (1 + a"+lx)

(«- »)(«- »)(»- ») (b -x )(b -y )(b -z ) a (a -b ){a -c)(a -d ) + b (b -o )(b -c )(b -d ) Se halla

c(e-a ) (e -b ) (c—d)

(t -x )(t - y )(t -z ) (t -a )(t -b )(t -c )(t -d )

d (d -a )U -b )(d -c )

y ( a - * )( g - y )( a - z ) _ X (a - b ) ia - c ){ a - d ) t - a

Haciendo t=0, el segundo miembro resulta idéntico a la expresión ada; por consiguiente, A -

o 6. Descompóngase la f inveniente de x, dedúzcase a¡(b-e) b*{c-a) b+c—a c+a -b

<*(a-b) a +b -c

(< ¡+ b+cy(b-c)(c-a)(a -b) (b + c-a )(c+ a -b ){a + b -c)

Resp.: Se debe tomar x= $ (a + b + c). Ejercicio 7. Dadas las constantes reales A, B, C, asi como las

X-b

X-B X-C (X-B)í (X-6)2
02+Ai

« i +A2 u2+A2

Dedúzcanse de ello los valores de xi, x¡, .... El sistema expresa que la fracción e

es nula para T=Ai, A2, ..., A„. Efectuando la suma del segundo miem bro aparece en el numerador un polinomio de grado n en T, cuyo pri mer término es -T ". Por consiguiente, F(T)=

(T —A ,)(T -A 2) ... ( T -A ^ ' (ai + T)(
Descomponiendo esta fracción, se halla fácilmente X>

(gl + A|)(Oi + AJ ... (di+Aii) (a, - a2) (o, - dj)... (ai - a„) ’

178 ' Ejercicio 9. Demuéstrese la igualdad» en la que n designa un entero po_1________»____ | n(n- 1 ) _____ * + 1 (* + l)(*+2 ) (*+ l)(*+ 2 )(* + 3)

( _ 1)Bn,

!

+ (*+ l)(*+ 2 ) ... (*+"« +1) = *+n + l El primer miembro puede escribirse en la forma A, A; An+l * + l + x + 2 + " ' + x + n+1 Multiplicando los dos miembros por (*+ 1 ) (x + 2 )... Ge+n+1) y haciendo * = - 1 , x= - 2 ....... * = - ( n + l), resulta: A ,= A 2= ...= A „= 0 ,

A n+i= 1.

Ejercicio 10. Se considera el polinomio P(i)=*J-2(cosa+cos 6)*J+2(l+2cos ocos 6)*2-2(cos u+cos 6)+1, en el que se supone eos o# eos b. Demuéstrese que la fracción

es un polinomio 0 con relación a

y=x+ —. Calcúlense las rafees de P(*). Descompóngase primero en elementos simples de primera especie (cuerpo C). y después, de segunda especie (cuerpo R), la fracción

.

CAPITULO VIII POLINOMIOS DE VARIAS VARIABLES

Anillo de los polinomios de varias variables 1. Estructura de anillo.—Utilizaremos sobre todo las propieda des formales de los polinomios de varias variables; es decir, aquellas que dependen solo de los coeficientes (elegidos en un cuerpo). Un polinomio se puede ordenar de varias maneras: a) por grados crecientes y lexicográficamente1 para un determi nado grado: P(x, y)=am+ol0x+a¡„y+ajo*2+ al2xy+ aay1+ a»*3+ ...= 2am„xmyn; b) con relación a una de las variables; los coeficientes no perte necen a un cuerpo, sino a un anillo, lo que entraña importantes conse cuencias para la división. El lector conoce la definición y la práctica de las operaciones suma y producto que confieren al conjunto la estructura de anillo. Para designar las variables, utilizaremos los dos sistemas de notación x, y, z, u (en este orden) o

x¡, ..., x„.

Recordemos también que se puede introducir el cuerpo de cocien tes (fracciones racionales) de este anillo.

Resp.:

P= 1

y

Q=x2+y2+z2- a 2-b 2.

Ejercicio 3. En el cuerpo de los complejos descompóngase en factores el polinomio P - [ (**- y2) (**- u2) - 4xpzu]2+ 4[ (x2- y2) zu + (z2- u^xy]2. Tenemos P=X2+4Y2=(X + 2tY) (X - 2íY); transformando el fac tor X + 2íY, se ve que adopta la forma de un cuadrado: X + 2íY = (x2- y2) (z + iu f + 2ixy (z + iu f= (x + iy f (z+ iuf. El factor X-2ÍY es el complejo conjugado y, por tanto, P =(*2+y2)2(z2+u2P. Ejercicio 4. Demuéstrese que el desarrollo de la potencia n-ésima de una

La fórmula es cierta para p=2, puesto que

i a¡ + fi=n. Supongamos que se verifica para p -1 y reemplacé is X por x ¡+ ... + xr Tenemos así X*=(* í +... + * ,)» = X en la que el signo sumatorio actúa sobre todos los valores enteros, positivos o nulos, tales que at + a¡+ ...+ a p=p. Sustituyendo en [2] se

ESTRUCTURA D; obtiene la fórmula [1], ya que el doble signo sumatorio conduce al que figura en [1]. Ejercicio 5. En el desarrollo de (2x+3y+z)4, calcúlese el coeficiente de x-yz. Resp.: 144. Ejercicio 6. En el desarrollo de (1—z+z2)4, hállese el'coeficiente de **. En el desarrollo de (x,+x¡+x¡Y hacemos x¡ = 1, x2= - x , x¡=x2 y el ai 41 se convierte en — ¡— ¡— p ( - l)a■x“•+!“•.

« i + aj+«3=4,

at+2at}=5.

Estas son a ¡ = 1, a¡=2, ai = l y a2= 3, a j= l, t»i=0. Por consiguien te, el coeficiente de x5 es -16, como se comprueba sin dificultad. Ejercicio 7. Simplifiquense las fracciones racionales (l+ z »l2-(z+ v )í

xV

'

l-l/2

reicio 8. Simpliffquese (x+y)(x+z)

(»+*)(»+ *)

(*+*)(*+*)

2xyz (¡i+z)(z+x)(z+jí)

Ejercicio 9. Compruébese que la suma siguiente es un polinomio en x, y, z: ^

(*2+yt_2í)+ £ t f (yJ+íJ.jdJ + í lí i (22+*2-y¡).

Ejercicio 10. Descompóngase en producto de factores lineales el poliP=x[y—z)I+y(z—x)t+z(x—y)2+8xyz. Ordenando con relación a x, se tiene P = (y+ zjx2+ x(y+ zj2+ yz(y+ z) =(y+z)[xI+x(y+í) + ¡/2] =(t/+z)(z+*)(x+tf).

182 Ejercicio 11. Hállese la condición para que el polinomio de segundo gra do con coeficientes reales P= + 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey+f se descomponga en un producto de factores de primer grado. Es necesario que la ecuación de segundo grado ax* + 2(by + d)x + c^ + 2«/+/=0, cuyos coeficientes pertenecen al anillo de los polinomios en y sobre R, admita soluciones en dicho anillo. El discriminante deberá ser un cuadrado perfecto (sobre este anillo), de donde (by + d)1- afcy1+ 2ey+f) =7r*, (b1- acjy1+ 2(bd - ae)y +
y

9*2-30r!/+25y2+6A:-10¡( + l.

2. División En si anillo de los polinomios de varias variables la división (con resto) es, en general, imposible. Sin embargo, se pue den encontrar de nuevo ciertos aspectos de la teoría clásica ordenan do los polinomios con relación a una de las variables: A(x, y, z) = Po(t/. z)+xP,(y, z)+... + *"Pn(t/, z). Los coeficientes son polinomios de dos variables que pertenecen a un anillo, siendo válidas las observaciones hechas en la página 105. En particular, podemos examinar la división por x -
de donde

A ,= [y->fi(x, z)]A2

DIVISION A = [ x - < p ( y , z ) ] [ y - z)] A* Esta observación se emplea con frecuencia. Ejercicio 1. Demuéstrese que los polinomios P=*Vifr+p«zr+ z«*'- x 'y i-y 'z i-zw •

y

Q=x>yw+yvz/Hr+zPxiy' - x’yi2f —yrz¡x’1- z'xiy”

son divisibles por el producto { x -y )(y -z )(z -x ). Apliqúese la observación anterior. Ejercicio 2. Si m es impar, pruébese que el polinomio t,x+y+z)m- x m- y m- z m es divisible por (x+y)(»+z)(z+x). Ejercicio 3. Demuéstrese que tf(x+l)m-x (p + l)l"+ x - v es divisible por xy{x-y). Ejercicio 4. Pruébese que el polinomio P= (x+y)m—xm—ym es divisible por Á+xy+y1 cuando m es impar no divisible por 3. Elegimos el campo de los números complej'os, ya que **+ xy+ y1= (x - ¡y) ( * - fy). Se debe tener P(jy)=P(py)=0; y" se saca factor común y se hace la discusión aplicando los resultados de la página 59. Ejercido S. Determínense las condidones necesarias y suficientes para que P(x, y, z) =ax3+by3+cz3+dyz*+d'y3z+ezx‘ +e'z!x+fxy'+rx1y+gxyz sea divisible por x+y+z. Se tendrá la igualdad P = (x + y + z)(a xl +byi +cz*+pyz + qzx+rxy) e igualando a los coeficientes del polinomio dado se hallan las si guientes condiciones necesarias y suficientes: a - b ~ f - f = b - c + d - c r = c - a + e - e '= 0

Cy+ x t f + xy> + y<)

2.° En Q, tenemos A = (x -y )(X t+ x sy+xhf+xys+y*) y el último factor no es descomponible; si lo fuera, comprendería bien al menos un factor lineal x-ay, con lo que A sería nulo para x=ay (con a racio nal y distinto de I), o bien un trinomio. Sin embargo, la descomposición en trinomios dada más adelante es única (sobre R) y algunos de los coeficientes son irracionales. No existe, pues, descomposición sobre Q. En R, tenemos A = (x -y )(x 1+ í - ^ ^ x y + y 2) ( * 2+ I+ 2n/'’ *!/+ y2) Y en C, A = (x - y) (x - ay) (x - o?y) (x - a'y) (x - a'y)

Polinomios simétricos 3. Definición Un polinomio de « variables Pfa, x2, .... x j que se conserva formalmente invariante para cualquier sustitución efec tuada sobre las variables se llama simétrico. Basta comprobar la pro piedad para las C? transposiciones de las variables 2 a 2. Como una sustitución no altera el grado de un monomio, todo conjunto de términos de un grado determinado debe formar un poli nomio simétrico; el polinomio considerado es una suma de polinomios simétricos y homogéneos. Ejercicio 1. Determínese el polinomio homogéneo y simétrico más general a) de segundo grado; b) de tercer grado. a) El polinomio de segundo grado, homogéneo, de tres variables, P(r, y, z) = A*2+ A Y + A"z2+ 2Byz + 2B'z*+ 2B"xy. Las trasposiciones de dos letras permutan entre sí los términos cua drados, así como los rectangulares, esto es formados por el producto de dos variables distintas, de donde A = A '= A " , B =B'=B", y el polino mio simétrico se escribe P = A(**+ jj*+**)+ 2B(yz+zx+xy). b) En el caso de tercer grado, de manera análoga se halla P=A(2*J)+B(Z*2p)+Cryz. Ejercicio 2. Si un polinomio simétrico de dos variables P(r, y) es divi sible por x-y, lo es también por (x-y)2. Tenemos, en efecto, P (x ,y )= (x -y )Q (x ,y )= (y -x )Q (y ,x ), después de cambiar x por y. De ello resulta Q{x,y )= -Q (y ,x ) y, haciendo y=x, el polinomio Q(x,x) obtenido, igual a su simétrico, es nulo; por tanto, Q(x,y) es divisible también por x -y . Ejercicio 3. Sea la expresión —

H—-. Precísese cómo se modifica cuan-

Resp.: La expresión se conserva para las sustituciones pares, y se cambia en —

para las impares.

4. Polinomios simétricos y homogéneos Limitémonos ahora a los polinomios homogéneos de grado N. Los dos ejercicios que siguen conducen al resultado de que tales polinomios están constituidos por combinaciones lineales de cierto número de polinomios bien determi nados (véase más adelante). Ejercicio 1. Sea un monomio de grado N: A*?'*?-...*¡J„, con en+a2+...+<*„—N

a¡,Vi

p,

a¡

(ciertas a pueden ser nulas). Suponemos que p¡ letras x, están afectadas del exponente letras del exponente a¿, ..., y letras del exponente (Pi+P2+.-.+Py=n). Demuéstrese que un polinomio homogéneo y simétrico de ni monogrado N, que comprende este monomio, incluye al menos ----Pt'.pji ... P/l míos deducidos del anterior mediante sustituciones sobre las variables, afecta dos todos del mismo coeficiente.

Existen n! sustituciones posibles, pero no todas proporcionan tér minos distintos. Toda sustitución descomponible en un producto de sustituciones parciales hechas sobre las p, letras afectadas del expo nente ai, sobre las p2 letras afectadas del a¡, ... no cambia el monomio (es indiferente el orden en que se escriban los factores). El número de sustituciones que modifican el monomio es, por consiguiente, —-— —----- -. Puesto que el polinomio no cambia, debe comprender P ilP tl...p ,l todos los términos correspondientes, con el mismo coeficiente A. El polinomio así formado es claramente simétrico. Si no hemos agotado así todos los términos del polinomio dado, se empieza de nuevo con un nuevo monomio que engendra otro polinomio simétrico análogo al anterior. Convenio.—El polinomio simétrico asociado al monomio conside rado se representa con la notación ... alcanzando la suma a todos los términos puestos anteriormente en evidencia. Se escribe en general el primer término por orden lexicográfico, suponiendo « i > a 2> a 3... ><*„. (Si ai< a j, el cambio de x, y x2 conservaría el po linomio, pero daría un término lexicográficamente anterior.)

187 Ejemplos:

Para n variables, 2*1*2 tiene

2!(n-2J! términos, como se puede ver directamente; 2*1*2 tiene

-*-=C^

¿

—~2y~~

= n (n - 1) términos y 2*?*2*3, -7 términos. {n —3) !2! En resumen: los polinomios que acabamos de considerar poseen la propiedad de ser engendrados por cierto número de sustituciones efectuadas sobre uno cualquiera de sus monomios. Ejercicio 2. Fórmense todos los polinomios simétricos de grado N, en gendrados por uno de sus monomios. Precísese el caso N=4. Ya que cada uno de estos polinomios está caracterizado por su primer término en orden lexicográfico, hay que hallar todas las solu ciones enteras, positivas o nulas, de la ecuación

con, además, a¡ > a 3... Se obtienen inmediatamente todas las soluciones posibles: *i= N ,

ott=a¡ = ...=a„=0,

de donde 2*5*.

«,- N - l,

«2=1.

a3= ...=<*„=O,

de donde

Ix f-'x *

a i= N -2 ,

c«2=2,

a3=...=a„=0 ,

de donde

2*“_I*|, (N>4),

a ,= ... =a„=0,

de donde 2*lJ-!x2*3, etc.

c»i=N-2, c«2= a 3= l,

El número de ellas depende del valor relativo de los enteros N y n. De cualquier modo, el polinomio simétrico más general de gra do N es una combinación lineal de los anteriores. Así, p. ej., para N=4, hallamos cinco polinomios (con 4): O-, = 2*},

02 = 2*5*2,

Q-3= 2*5*5,

0>=2*5*2*3,

Os= 2*1*2*j*).

El número de estos aumenta rápidamente, lo que confiere todo su valor al siguiente teorema. 5. Polinomios simétricos fundamentales.—Para n variables re ciben este nombre los n polinomios S2= 2*1*2,

Sp= 2*1*2 ... * „

Recordemos el teorema fundamental.

S„=*,*2 .■.*..

Teorema. Todo polinomio simétrico puede expresarse de manera única Así, p. ej., para N=4, hemos hallado cinco polinomios linealmente independientes. Se ve ahora que solo dependen, de manera no lineal, de los cuatro polinomios Slt S¡, S3, S*. El método empleado en la demostración resulta con frecuencia el más adecuado en la práctica.. Se busca el primer término por orden lexicográfico del polinomio dado P y con ayuda de S» S¡, ..., S„ se forma un polinomio Si que admita el mismo primer término. Se continúa después considerando la diferencia P - S etc. Al cabo de un número finito de operaciones se obtiene el polinoEjemplo. Para n variables, exprésese
IX

S¡.

8* * a

1)0 ln° 10 S,m tnC° * tCrC*r *** ° e"

1 Nótese que el término X1X2X3 se obtiene tres veces en S1S2.

POLINOMIOS SIMETRICOS FUNDAMENTALES

_________189

Tenemos cr) =SJ y

=S|-2S,Sj+2S4;

cr,= S* - 4S;Sj + 2S' + 4S,S3- 4S4. Observaciones: 1.* El método general es con frecuencia laborio so; además, la comparación del polinomio dado con otros polinomios simétricos conduce a veces más rápidamente al resultado. Así, p. ej., en el ejercicio anterior se tiene, evidentemente, o-,= (2 * ^ -2o-3=(S*-2S#-2)S2- S1S3+ nS4. 2.* De acuerdo con los ejemplos anteriores vemos que los polino mios 2**, cuyos términos extremos están muy alejados lexicográfica mente, son los más difíciles de calcular. También en algunos casos pue de resultar más sencillo emplear las fórmulas que siguen, las cuales ligan entre sí estos polinomios. Sumas de potencias semejantes— Se sabe que ei polinomio n = T ” -S 1T "-' + S2T - 1 - . . . + ( - 1)"S„

190___________ CAP, vlll: POLINOMIOS DE VARIAS VARIABLES ____________ es el desarrollo de ( T - i i ) ( T - ... (T -x,). Es, pues, nulo si hace mos T =x„ T = x „ ..., T=x„. Sumando las igualdades así obtenidas re sulta una igualdad entre polinomios simétricos: (2*7) - S,(2*r ■)+SjCS*?-2) -• • • + (-

=0

[1 ]

que permite calcular ExJ a partir de las sumas anteriores. Además, multiplicando [1J por T* se obtiene la igualdad más general (2*;+*)- S,(2*J+‘- ‘) + S2(2*7+‘- 2) - ... + ( - i r (2x*)S„ = 0 utilizada con frecuencia en el cálculo de las sumas 2*f. Ejercicio 4. Para cuatro variables, calcúlense XxJ y todo precedente.

utilizando el mé

Se obtiene 2 *}= S,(2*>) - Sj(2*5) + S3(2* i) - 4S,. Se tiene que 2x^= SJ—2S2 y 2x{ ha sido ya calculada; de donde, 2x*= S\- 4S|Sr+ 4S,S,+ 2Sf - 4S«. Igualmente 2*í = S,(2xí) - S2(2x>)+ Sj(2xf) - S,(2x,)= = Sf-5S;S2+ 5S2S3+ 5S,S2- 5S,S, - 5S;S3. 6.

Otros ejemplo».—Ejercicio 1. Simplifíquese el polinomio

P=(*+!í)3(*s+ys)+5*ií(x+ií)*(*4+ »,)+15xípJ(r+y)(*J+!í,) + + ISxWi*1* » 1) +70xty*. haciendo uso de la simetría e n r e j . Se expresa P con ayuda de S, =x + t/ y S¡=xy. Se halla P=S*=(x+t/)í. Ejercicio 2. Exprésese, con ayuda de los polinomios fundamentales Si=x+y+z, Si^xy+yz+zx, Sj^xyz, los siguientes polinomios simétricos: Pi=(*+!/)(!í + z)(z+-r). Pi= (x+y-z)(y+z~x)(z+x-yi. P,= (x+y-z)>+(y+z-x)}+(z+x-y)*, P4=(*j +!/!)(»2+zí)(z2+xí).

5

________________________ OTKOS BjEMPLOS______ _______________191 Resp.:

P,= (S, - x )(S , ~ y ) (S,-z)=S,S2- S3; P2=4S,S2- S {-8 S 3; P3=S}-24S3; P,=(Sf - 2Sí) (S|- 2S,Sj) - S].

Ejercicio 3. Precísense las propiedades formales del polinomio P(r, y) - 4(x*+xy+ « * ) '- 27(i!p Dedúzcase su descomposición en factores en el cuerpo de los números reales. £1 polinomio P(x,y) es simétrico en x e y, anulándose para x=y. Por ser divisible por x - y , deberá serlo por ( x - y f a causa de la si metría (véase pág. 186). Volviendo a S3y S2, se deduce que P =4(Sj-S,)! -27S*S| ha de ser divisible por S{—4S2. Efectuando la división, resulta: P=(S> - 4Sí) (4S{+4S?S2+S|)=(SJ - 4S2)(2Sf+S^, P = ( * - yY (2x* + 2y* + 5xy)*. Ejercicio 4. Sirapllffquese el polinomio P -(x + y + z )S -(y + z -x)S -(z + x-y )s-(x + y -z )S . Es simétrico en x, y, z, y es divisible por xyz, ya que se anula para x= 0 6 y=0, ó z=0. Por consiguiente, P = xyz [X(** + y3+ z1) + p(xy + yz + zar)]. Fácilmente se halla que X=80 y /¿-O. Ejercicio 5. El mismo problema para P= {x+y + z )*- (y+zY- (z + * )«- {x+Vy+x*+ y*+*. Ejercicio 6. Demuéstrese que si m es impar, P(*. y. z) = (*+ »+ z)'”-*™-y ” -zm es divisible por el producto Q = (v+ z)(* + * )(* + ») y calcúlese el coSe ve que P(x,y, - y )= x m- x m= 0 si m es impar y P es divisible por y+z. También lo es por z+ x, así como por x + y, y, en conse

192___________ CAP. VIH: POLINOMIOS DE VARIAS VARIABLES____________ cuencia, por Q. Para m=5, el cociente es un polinomio homogéneo y de segundo grado en x, y, z; por tanto, P = Q [ A(x! + y2+ z2) + ¡¡.(xy+yz + zx¡). Una identificación sencilla da A=/x=5. Ejercicio 7. Compruébese que los siguientes polinomios son simétricos P,=(x+p-Z-i/)2+(x+z-u-p)2+(*+u-|i-z)t, P2-(x + l,-z -u )(x + z -u -y )(x + u -y -z ), P3=(x+li+ z -u ) (y +z+u-x)(z+u+x-y)(u+x+y-z), Pt =(xy-z u)(xz-uy)(xu-yz). Se comprueba fácilmente que el cambio de dos variables cuales quiera no modifica estos polinomios. Tenemos, pues, Pi=ASJ + /aS2, e identificando los términos en x2 y en xy, se obtiene A=3, /t= —8. Cabe seguir un procedimiento aná logo para P2: Pj—AS, + jiS|Sr+ vSs,

con

A=l,

¡1 ——4,

v --- 8.

Para P3 y P, este procedimiento se complica demasiado, debido a que sus grados son elevados. De una parte, se tiene P3= (S, - 2x) (S, - 2y) (S, - 2z) (S, - 2u)= - Sf + 4S2S2- 8S,S3+ 16S„ y de otra, P,= SxJyzu- txh^z1= s;S4- SJ. 7. Polinomios antisimétricos.—Un polinomio de varias variables *), X2> se llama antisimétrico (o alternado) con relación a dos variables cuando el cambio de estas transforma el polinomio en su opuesto. Un polinomio es antisimétrico cuando la propiedad de alter nancia se verifica para un par cualquiera de variables [son posibles n^n2 ^

cambios]. Un ejemplo importante lo proporciona el polino

mio de Vandermonde: n(x, - X/)=(X, - *2) (*, - *3) ■••(x, - x„) («/> (*2-X,)...(X2- X j

formado por n^n ^ factores. Goza de la siguiente propiedad:

POLINOMIOS ANT1SIMETWCOS__________________193 Teorema. Todo polinomio P(X|, x¡, .... x„) antisimétrico en xi, x¡, .... x„

La sustitución de x¡ por x, efectuada en P(*i, *2, ..., x„) y también en P(*2, *1......*„) conduce a los mismos resultados. Ahora bien: como estos dos polinomios son opuestos, también lo serán los resultados; por tanto, los polinomios son nulos y P es divisible por x¡ - x¡. De ma nera análoga se ve que también es divisible por (x( - *,) (»+»(z-x)i+2(x-p)5, i>2=*2(» -* ) J+l'!(*-* )J+ zJ(*-l'))Pj= (*-»)*+(!/-*)*+ <*-*)*. Pt~x>(y-z) +»>(z - r) +zi(x- y) son alternados y hállense los cocientes de las divisiones por (x-»)(x-z)(»-z). Apliquemos el método al polinomio P3: las condiciones de homo geneidad y de simetría demuestran que Pj=(x - y )(* - z )(y - z ) [A2xí+/x2*ylEn P} el coeficiente de x'(y- z) es -5 , de donde A = -5 . Para hallar n elegimos x=2, y -1 , z=0, de donde y.=5. P

P1= - ( * + » + z )(* -y )(* - z )f o - z ); Pi= -(xy+yz + z x )(x -y )(x - z )(y - z ); Ps=5( x - y ) (x - z ) < y - z )O x y - W , P.= -P.-

P= *(y -z )+ tís(z-x)+¡l>{x-y)+xyz(y-zHz-xHx-v). El cociente de P por el polinomio (x -y )(x -z \ (,y -z ) es un poli nomio homogéneo de tercer grado, simétrico en x, y, z: P = n (x -y) [A(2rl) + plx^y + vxyz ].

194 Para determinar los coeficientes X, p, v hacemos z=0, de donde xsy -x tfi = xy (x-y ) [X(*3+ ^ ) + fi(*í!/+a:yJ)] y X=ja= 1. Después, x=2, y= 1, z = - I dan i>=0. Por tanto, P = (* - y) (x - z) (y - z) (ar+ y + z) (** 4-y14-z7).

Aplicaciones de los polinomios simétricos 8. Fracciones simétricas.—Se demuestra fácilmente que si una fracción simétrica es irreducible, los polinomios numerador y deno minador son simétricos. Por consiguiente, se pueden expresar por me dio de los polinomios fundamentales. Ejercida 1. Para cuatro variables, exprésense las siguientes fracciones slf,= i

1 —,

1 Ft= 2— ,

*,

1 r«=2-^

con ayuda de los polinomios simétricos fundamentales. Reduciendo al mismo denominador, se obtiene fácilmente Fl=A , 1 s ,’

Fj=i> 2 s.

Para hallar F3 utilicemos la igualdad (2 *i)(2 -i)= 4 4 -F 3,

de donde

p3_§ A _4S ,

Para F. se observa que el método para calcular las potencias se mejantes (véase pág. 189) se extiende a las potencias negativas ( k < 0). Si se parte de T4- S,T! + S,TJ- SjT+ S«=0, dividiendo por TJy haciendo T =x¡, x¡, x¡, x,, se halla 2a:?-Sf4-4S2-S J( s i . ) 4 - S , ( s i ) = 0 .

195 de donde F S?-2S¡Si ‘ s, Ejercicio 2. Simpliffquese la fracción racional F

+«»(«»-»») +#*(*-*)+zl(*-»)

Los dos términos son divisibles por (x -y ){y -z )(z -x ), y queda asi un polinomio simétrico de segundo grado en x, y, z, de donde F=xy+yz + zx. Ejercicio 3. Simpliffquese la siguiente expresión: z,lx+y){x+z) (* - »)(* - * )

»*(»+*) (»+*) (v-z)(il-*)

zt(i+xl(e+») (z-x)t,z-y)

Es simétrica en x, y, z; si se efectúa la suma, el denominador co mún (x - y ) (y - z ) (z - x) es antisimétrico. En virtud del teorema recor dado anteriormente, la fracción puede simplificarse, y se reduce a un polinomio simétrico; de donde, F=XS\ + liS¡. Se halla con facilidad A= l, y.=0. Ejercicio 4. Simpliffquese la fracción p XJ+VJ+ aJ+ BJ-3(»2U+ 2UX+ BX|(+ *l/z) = <*+v+*+u)l Numerador y denominador son polinomios simétricos, que se ex presan en función de Si, Si, Sj. Se obtiene c

S?-3S,Si S\

S;~3Si S,

Calculemos los dos factores antisimétricos F, y F¡: P

y z {y -z )+ z x (z -x ) + xy (x -y ) xyz

F

x ( z - x )( x - y ) + y { x - y )(y - z )+ z (y - z ) (z - x )

(x -y )(y - z )(z -x ) xyz

■ (,- «< = - .)< .- »)

-

t,s ;+/js,s,+ r s, ( » - z ) ( z - x ) (x - y )

En el numerador, la identificación de los términos **, x3y, xyz da o = - 1,

3a + /3= l,

6a + 3/3+ y = —3,

de donde SJ-4SiS2+9Sj S3 Si S, = 0, F = 9. 9. Funciones simétricas de las raíces de una ecuación.—Casi todas las igualdades del presente capítulo son de tipo formal 1y tienen validez sobre el anillo de los polinomios de varías variables (o el cuerpo de cocientes asociado). Prescindiendo de esta hipótesis hasta el parágrafo 12, supondremos que x¡, x,, ..., x„ son las n raíces de una ecuación algebraica
x‘ +x‘ + x‘ -3x{xíx|- 2(*j*j+X3*, +X,Xj)>. Partimos de la ecuación xs+p x+ q = 0 y se calculan las potencias sucesivas 2xf (p<6) en función de p=S2 y q = - S¡. Ejercido 3. Si r,+x2+xj+x,-0, xj+xj+xj+xj=0 (cuerpo C), demuéstre4(x}+*»+x»+xJ)=*<+x5+*J+ *4.

Formalmente, se tiene: A = (2*{) (2xi*2*3) - Xxfcjxs*,. Pero aquí 2* i* j*3=0

y

*1XjX3r<* 5= -4,

de donde A =42 — =42— =-2 0.

| ( 1+ ,ñ ± !/ 2 V T )

y

Y

y dedúzcase de ella que los cuatro números Xj, x¡, x3. x,

10. Sistemas simétricos.—Un sistema simétrico con n incógnitas se resuelve con frecuencia tomando como incógnitas auxiliares Si, S:, ..., S„. Si se sabe calcular estas cantidades, el problema queda re ducido a resolver una ecuación de grado n, lo que no es siempre po sible. Toda solución del sistema proporciona otras (no esencialmente distintas y en número máximo de n!) por sustitución de las incógEjcrcicio 1. Resuélvase —j—+ —j—- a y x*+v*=2d*. _1 ± ■JT

1± yT

‘ |/ t ’ Ejercicio 3. Resuélvase el sistema

Resp.: TJ+ y T 2- a = 0. Ejercicio 4. Resuélvase en el cuerpo de los complejos *2+íf2+z2=0,

x*+y*+z>=0,

*5+ü-'+z*=2.

Se halla sin dificultad que Sf = 32, S¡S2= 8, S:S3= 2, de donde S, = 2a,

( « s= l),

Sj = 2o2,

Sj=<*3

la ecuación T3-2aT2+ 2a2T - a 3=0, i p = 1. Estos son, salvo

icio 1. Demuéstrese que el

bJ- 2c,6+ 12ac- 18d=l

S,=a,

2S;-6S! =i>,

SiS2-9Sj= c,

2S2-6S,SJ= d

_________

DERIVADASPARCIALES: DERIVACION FORMAL

199

Se obtiene la relación pedida reemplazando a y b en la última relación y reduciendo. Ejercicio 2. Elimínense x, y, z entre las ecuaciones * - 2y+z—a.

Si=a+2y,

xt-2yt+z‘=bl,

Sf-2S¡=ó!+2yJ.

Sf-3S,S2=cJ+2r,

s ,_ 2 S ,~ y

Se halla con facilidad que Y * deduce así la condición uscada a, +d‘bt+ W -6 a c3=0.

+ y y S¡r=xy entre S,SJ+S,-(a+í.)S2=0,

**(»+*)“ «. Resp.:

S {=(a¿-c + 2)S2,

»*(*+*) =b.

S|-cS2+l=0.

í2(x+y)-,

cP(a+ b + c+2d)=abc. Derivadas parciales

12. Derivación formal.—El cálculo de las derivadas parciales de un polinomio puede recibir una interpretación formal como en el caso de una sola variable; se tiene en cuenta esta interpretación en las cuestiones que siguen. Sea el polinomio P =
+ atlxy +

+... +

200 Sus derivadas parciales son los polinomios

P»=«io+2a»*+<*i +3a»*2+•••

>y V,=att + anx+2a
y se comprueba sin dificultad que P,,= P,r Recordemos que se puede deducir también la fórmula de Taylor (para los polinomios). Ejercicio 1. Sea P(x, y) un polinomio homogéneo de grado n. Demuéstre se que verifica las identidades de Euler: nP=*P,+jíP„

n(n- i)p=*jp;;+2*»p" +y‘P"y-

El carácter lineal de las fórmulas anteriores nos dice que basta comprobarlas para un monomio p=ax°yf (con a + /S=n). Tenemos enp,=aaxa~lyf,

p ,—f¡a&yP~'

y xpx+yp,=<■<*+0)
Píx+vv'Ij-Aí», »)+ / 2B(r, y). donde los polinomios A y B tienen coeficientes racionales. Demuéstrest

P'(jr+tf^2)=A,+ v/2B, y

*/2 P '(x+ y -j2 )= A ,+
Multiplicando la primera igualdad por >/2 y comparando c< gunda, resulta A ,= B„ A,=2B,.

Eliminemos B*,, derivando cada una de estas igualdades. Se llega a 2 A „-A „= 0 . De manera análoga, 2B„-B„=0. Ejercicio 3. a) Desarróllese el polinomio H„(x, »)-+ [(* + »)"+ (*-»)"]• Precísese la paridad respecto a x e y. Haciendo 1, demuéstrese que H„(x, y) se convierte en un polinomio P„(x). Calcúlese el coeficiente de x" b)

Formando previamente [H„(x,y)]J, establézcase la fórmula tP„<*)]í-i[P * (* )-H i

el Calcúlese la derivada de P„(x) haciendo uso de la expresión H„(x,p), donde ^ - x J- l (polinomio compuesto). Dedúzcase la relación (xa-l)tp-„(x)]«-|[P*(x)-l]. a) Se desarrolla por la fórmula del binomio y se ordena con relaH„(x, j , ) = * - + C > - y + C l * " - V + - + 0 "

(« par),

... + C¡!_ xy” 1 (n impar). El polinomio obtenido es, respecto a x, de la misma paridad que r ; siempre es par con relación a y. Por consiguiente, haciendo y!=x2- 1, se obtiene un polimonio en x, Piar)=x-'+C?,x"-J(l -x í)+Ctx"_'(l - x 2)!+ ..., de la misma paridad que n; P„(1)=H„(1,0)=1. El coeficiente del tér mino de mayor grado es

2

i+ c ?,+ c i+ ...+ ci!k+ ...= - 1. b) Se forma HJ: [H„(*, y)Y*=L [( * + yy- + ( * - t/P»+ 2Cri - ¡fí>]. Cuando se sustituye y2 por **-1, el último término del segundo miembro vale 2; por consiguiente, P fc )= y [P *,(* )+ l).

La derivada de P„(x) es idéntica a la de H„(x, y), donde se su c) pone reemplazado y2 por x2-1. Ya que la fórmula de derivación de las funciones compuestas es formalmente válida para los polinomios, se p » = Y [( * +yy~1+ (x - v)"-*] + -j y [ ( * + y r - ' - (* - y f - ']. porque yyr=x. Agrupando términos, se obtiene y *n = Y U x + y Y -ix -y )"} y, elevando al cuadrado, [(.x + yY" + (x - y f" - 2ÍX2- 1/2)"],

(x2- l ) P ; 2= ^ - (P ín- l ) .

CAPITULO IX EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REVISION Se reúnen en este capítulo algunos problemas propuestos reciente mente en los exámenes de Propedéutica o en los concursos para el ingreso en las Escuelas Especiales de Ingenieros de Francia. Las cuestiones se clasifican según el orden seguido en los capítulos anteriores, y hacen referencia a los resultados fundamentales repetida mente utilizados, pudiendo ser abordadas sin dificultad por el lector. Conjuntos. Leyes de composición. Estructuras 1. Conjuntos. Combinatoria.—Ejercicio». 1. Designamos con X<¡ el número de descomposiciones distintas del entero n en suma de p números naturales. Demuéstrese que X® verifica Xg-1,

Xj-1

y

Xj-XJlJ+Xg.,-

Como aplicación, calcúlese X^. 2. Hállese el número de polígonos convexos de k lados cuyos vértices coin ciden con los vértices y los lados con las diagonales de un polígono convexo dado de n lados. Resp.: ^ C¡£* Problema 1. Sea un cuadrado ABCD de lado n, que se descompone en n! cuadrados de lados iguales a la unidad por medio de rectas paralelas a AB y y Ay, de origen A, situados sobre AB y AD, respectivamente. 1.® Se une A con un vértice cualquiera M(x, y) del cuadriculado por me dio de un contorno poligonal cuyos segmentos pertenecen al mismo y satisfacen

esta manera la fórmula clásica relativa a las combinaciones:

q, p, q cuatro enteros positivos o nulos, que satisfacen la»

las cuales, en particular, implican que p'-q-q'jÔ. Demuéstrese que plq y p’lq’ son dos elementos de (F) que cumplen la des igualdad plq
Ap+p' Aq+q'

donde a es un entero positivo cualquiera? Demuéstrese que q>q' implica p^p' y que q q ') y de la —;---- (en la hipótesis de q
p+p' = P

9+ 9' = Q

P'«-P9' = 1.

y

Aplicación numérica: Calcúlense las fracciones plq p'lq' cuando P/Q=5/13. 2. A. Sea un cuerpo K no necesariamente conmutativo, en el que u+t> uc, u~' y e designan, respectivamente, la suma y el producto de dos elementos, el inverso del elemento u y el elemento unidad. En el conjunto F de las aplicaciones de K en K, se denominan suma y pro ducto de dos de tales aplicaciones f y g, las aplicaciones respectivamente defi-

Designamos por f1 la aplicación f o f y definimos p< Sea, en particular, el subconjunto D de F formado por las aplicaciones A que satisfacen las condiciones h(u+o)=h{v) +h(v) f l] A(uu)=u-A(t>)+A(u)-u (2] para todo u y v de K. 1.° Demuéstrese que, si A y A' son dos aplicaciones de D, también lo son A+ A' y A o A'—A' o A,quese denotarán por (A, A')o[A,A']. 2.“ Si A, A', A" son elementos de D, cualquiera quesea u de K, calcúlese el valor de [A, (A', A*)](u) + [A', (A", A)](u) + [A\ (A, A')](u).

TRANSFORMACIONES DIVERSAS 6.° Sea A un punto distinto de O. Escribimos Ai“ S( A), A2=S(A.), A3=S(A2). Demuéstrese que si 2k cosai+l=0, los puntos A, Ai, Aj están en línea recta. Hállense, recíprocamente, todas las semejanzas S para las cuales los puntos A, Ai, A] están alineados. 2. En el plano complejo consideremos los puntos distintos A.(z.), A2(z2).....A„(z„), con Escribimos -r^-r=af (p=l,

0 (p-1,2.... n).

« i |z|=módulo de z) y suponemos que

S=á,(z-z1)+á2(2- z 2)+...+ñ„(z-z„) le z, y que S<0. |z-z,| + |z-z2¡ + ...+ |z-z„|>|z,| + ... + |z„|. 3.° Suponiendo n> 3, escríbanse las condiciones que debe cumplir z para que se ver. .que j2_ Z||+ . +|z_ 1(i|=|2l|+ ... + m Estudíese el conjunto de los puntos M(z) que satisfacen a la relación [1] 4.° Interpretación geométrica de la igualdad [1]. Aplicación: Dado un triángulo ABC en el que cada ángulo es inferior a mediante una sencilla construcción geométrica determínese la posición rna la suma MA+MB+MC (MA,

blemas. 1. Sean los complejos Z y z ligados por la relación

Z -l

— (a real), y /, la aplicación del plano complejo en si mismo definida *-Z~/(z).

210

C»P. IX: EJERCICIOS r PROBLEMAS DE REVISION 1 .° Demuéstrese que / es biyectíva. 2.° Determínense los puntos dobles; es decir, los números complejos tales

3.° Se considera la sucesión de números complejos zi, -i, .... zm .... en la que zff+( = f(z9). Hállense los valores de a, para los cuales el conjunto consti tuido por las z,„ cuando n toma todos los valores enteros, consta de un nú mero finito de elementos. 2. En el plano complejo se consideran los puntos F y F' imágenes respec tivas de los números reales +c y - c (c>0 dado). Sea m el punto de afijo z, y M, el de afijo Z:

1.° Dígase si es biunívoca (biyectíva) la transformación T que hace co rresponder al punto m el M. Recíproco. Hállese el conjunto de los puntos m cuyos transformados por la aplicación T coinciden en un mismo punto M. 2.° Sean r y 0 el módulo y el argumento de z; X e Y las partes real e imaginaria de Z. Calcúlense X e Y en función de r y de 0. Hállese el conjunto de los puntos M que. en la aplicación T, corresponden a los puntos m que sa tisfacen la condición: a) |Om| = R, siendo R una constante positiva dada. b) (Os. Oni) a, donde a es una constante dada. 3.° Consideremos la sucesión cuyo término general z„, definido a partir del primer término z, por recurrencia, es

= - - H - '+ £ ; ) A todo punto m„ de afijo z„ asociamos el punto p„ de afijo z',¡,

Determínese la relación que existe entre los afijos de dos puntos pR_|

y

P„

Determínese, si existe, el límite de la sucesión z'„ cuando n aumenta inde finidamente. Según la posición de »i| en el plano, determínese, en las mismas condi ciones, el límite, si existe, de la sucesión z„. Este estudio requiere dividir el plano complejo en dos regiones; no se pide el análisis de la sucesión sobre la frontera de dichas regiones. 3. Designemos con C el conjunto obtenido al adjuntar al plano comple jo C un "punto en el infinito”, que denotaremos por oc. Consideremos la fracción racional H, H Q .P - W 1 ,z-(f+ iV 2 )

211 plicación ft: z —>-H(z) de C en C, definida p. I ft(z) = H(z) _

si

zpí®

y

| ft(o o )-l-f^ 2 T / ft(l+.V2)-<».

> ft(fl(z)) [y. de manera más geaa inmediata por medio de la fracDemuéstrese q tos a y b de C (que :

s complejos a, (3, I tales que las dos frac

[Hágase uso del apartado 4.° para determinar a y /i.] 6.° Consideremos en el plano complejo una circunferencia a los puntos de afijos a y 0 (véase apartado 5.°) y que no pa de afijo 1+»V2. Hállese la imagen de f por la transformación Algebra de los polinomios

7. Polinom iossobreRo

C.—Ejercicios.

1.

Determínense los

ce-

x4- 4c3eos a eos ¿+2x3(1+eos 2u+cos 2b) - 4xcos a eosb+1=0; + q *s+ CJr3+CJr- 0; z«+*’ (*+l)3 + (*+ l)‘ =0. 2. Demuéstrese que las raíces de ar4-4a4+6p*2+(8. 12p)ar+5=0 satisfaX,+Xj-X j+*,. 3. Pruébese que P(z)=2zJ-(5+«i)z*+3íz+l-3i=0 tiene una raíz real. Resuélvase P(z) = 0. Descompóngase ----P(z)P(z)

en elementos simples.

S * u_ cos

_ +ÍM

——. Calcúlense en forma numérica

contenga otros irracionales que ra :s cuadradas las expresiones: u+ti2 + ...+U14; u2 u* u* u14+ ... -fu244 +uu +uM u< +U!6+UM b« + uJ2+iil2*+u-'12¡ u^+u^+u^+u24*; M24+ti24+u2®4+ti,r24;

++ +

yu 4

+irll+.

Dedúzcase la resolución de la ecuación z12-l= 0 . 2. Denotamos con z/, (h entero y tal que O^h^rt) h lio Z»+i-l en el cuerpo C de los números complejos. a) Demuéstrense las relaciones

coeficientes pertene-

•‘ - ¿ t Z t ' - ' m

i

m

.

ios que z designa el complejo conjugado de z, y consideremos P*(Z)= o„+a„_,Z+... +O0Z», P(Z)-P*(Z)-|]ytZ*, Q(Z) Demuéstrese que

(yl +y„+i+»)Z»+ynZ".

Q(z*)=P(z»)-P'(z»)

y dedúzcase que j¡w .

8. Derivación. Elitr¡nación. Raíces m últiples.— Ejercicios. . 1

Elimínese x entre las ecuaciones * + —=«, *J+ —=b.

DERIVACION. ELIMINACION. RAICES MULTIPLES____________ 213 2. Hállese la condición para que la ecuación x5+px+0«O admita una 3. Determínense las ecuaciones de tercer grado que son invariantes para una de las transformaciones ' • 1 1 y =*— . o — Problema». 1. 1.» Demuéstrese que. si n es un entero natural, existe real de x la identidad B„(x)-B„(x-l)=x"

[1]

y que este polinomio es de grado n+1. 2.° Compruébese que, si n y p son enteros naturales, B„(p) = l»+2”+...+/>". 3.” Compruébese que los polinomios B„ tienen común la raíz -1. 4.° Demuéstrese que la fórmula B„+1(X )-(n + l)x J ~ B,(*) dx

[2]

es válida para todo valor real de x, cualquiera que sea el entero natural n. 5.» Determínense Bo, B|, B2, Bj. ó.” Compruébese que, si n es un número entero natural, todo polinomio P(x) de grado n+1 puede escribirse de manera única en la forma P(x) = X+AoBo(x) +X,B,(x) +... + X„B„(x), con X, Xo, X|, ..., X„ constantes. Determínense dichas constantes cuando P(x)-(x+l)«+i. 2. 1.» Hállense en el cuerpo de los números complejos las raíces del polinomio /(X)=X2—4X+5. 2° Demuéstrese que el polinomio g(X) = X3—(l+2t)X2—3X+ 2Í- 1 3.» Hállese el cociente de la división de' g(X) p m X- o ordenado según las potencias decrecientes. 4.° Descompóngase el polinomio g(X) del apartado 3.° en.un producto de factores de primer grado. 5.° Descompóngase la fracción racional en elementos simples sobre el cuerpo de los números complejos. 6.° Determínense los polinomios A(X), de coeficientes complejos y grado

mínimo, múltiplos comunes de /(X) y del polinomio f(X)=X3- ( l + 2i)X2-3X+a. Discútase según los valores de a. 3. Sea z un número complejo; escribimos:

1.° Compruébese la relación P„(x)=xP„_i(x)-P„_2(x).

3.° Consideremos la ecuación P„(x) =0. Determínense en forma trigonométrica las raíces de esta ecuación. Com pruébese que las n raíces son reales, distintas y separadas por las raíces de la ecuación P„_,(x)=0. 4.° Consideremos la ecuación P„(x)—b, donde 6 es un complejo dado. a) Indíquese un método que permita determinar las n raíces de dicha ecuación. b) Hállese el valor de b para que admita una raíz doble. Calcúlense, en tal caso, las raíces de la ecuación. c) Si se elige b real, demuéstrese que, para ó2<4. la ecuación tiene todas sus raíces reales y distintas; calcúlense en forma trigonométrica haciendo 9.

Polinomios de varias variables.— Ejercicios. _1. Resuélvase el x*+y5+z5-<«5,

(¡,_z)J+ (z-'x)2+(x-t/)2=2a2,

x+y + z~a.

tp+ab + b2 2. Calcúlese S------------- para x5-5x2+8z-4=0 (o, b. c raíces). 3. Sean a, b, c las raíces de la ecuación x>+pz+q=0. Calcúlese la expresión (a—¿>)2(f>—c)2(c—a)2 en función de p y g. 4. Descompóngase en producto de dos factores el polinomio P= - (x+irXxt+pí) +2a(x2+y2+xy)-a'-(x+y). Problema. Se considera la expresión (x+iy+fix)3. [E] , eq la que x, y, z son variables complejas: j y j1 designan las raíces cúbicas no 1.° Suponiendo fijos x, y, z, demuéstrese que, si se permutan de todas las maneras posibles los números x, y, z, la expresión [E] toma solo dos valores distintos, que designamos con A y B (A y B son funciones de *, y. z). Hállense las condiciones que deben cumplir x, y, z para que A=B. 2.° Sean X|, x2, Xj las raíces de la ecuación X»+pX+g = 0. [11 en la que suponemos reales p y g.

POLINOMIOS DE VARIAS VARIABLES

215

a) En función de p y q, hállense las expresiones si

si=lx,x¡;

s3=x|xixj;

S2=E*Í; Sj=2*í ¡ S2.i =2*?*/ («=1,2,3; ;=1,2,3). b) Suponiendo que x, y, z sean las raíces de la ecuación [1], dedúzcanse fórmulas que permitan calcular sus raíces. 3.° Aplicando los resultados anteriores, calcúlese por medio de radicales la raíz real de la ecuación *5+3*+2=0.

CAPITULO X ESPACIOS VECTORIALES

Estructura de espacio vectorial 1. Reglas operatorias— No mencionamos aquí los axiomas de la estructura de espacio vectorial, pero los ejercicios que siguen pre cisan las reglas de cálculo que son válidas en tal conjunto. El lector observará .la analogía existente con el cálculo de vectores en geome tría afín (de donde el nombre de la estructura) y con las operaciones con polinomios (adición, multiplicación por un escalar). Ejercicio 1. Con las letras a, b, c, ... designamos elementos de un espacio vectorial (sobre Q o sobre C según como se hayan elegido los coeficientes), y se pide desarrollar y reducir las expresiones que siguen. En cada transforma-

- 2a+ 7b—4c+-^ a+4c—2b; 5 [-a + 3(b-2c)]-2[a+5(h-3cj]; 2i(o-íb+c)-3(/a-5b+e)-4-(«+4b-3íe)¡ (o+i8)(a + b) + (or—fl)(a—b) - («.+/3b). Resp.: 0,5a + 5b;

-7 a + 5b + 20c;

(17 + 4¿)b + 2ic;

aa + fib.

Para resolver una ecuación vectorial es válido el método corriente de resolución de una ecuación numérica; en efecto: a) Podemos pasar un término (vector) de un miembro al otro cambiando su signo operatorio. Esto equivale a sumar el opuesto del término considerado.

VECTORES DE ORDEN n b)

_liM_CUMPO_

Se pueden dividir todos los térmim

uestro caso se halla x - — a

étodos clásicos de resolución de sistemas de ecuaciones nueliminación o adición) se emplean igualmente en el caso de con incógnitas vectoriales, en el supuesto de que los coefi-

X

25 15

i . 26

10 16. ’ " 1 3 ' + T b-

ucto"a+™(™ b )DemUéStrd0

Si se aplica primero la distributividad con relación a los vectores, (l + l)(a + b )= (l + l)a + (l + l)b = a + a + b fb .

Sumando a la derecha - b , y a la izquierda -a, apliquemos la asociatividad de la ley del grupo aditivo. Resulta

218 El lector ya conoce las reglas operatorias que la estructura de es pacio vectorial confiere a este conjunto. Son, además, las mismas que las reglas de cálculo con las componentes de los vectores en geome tría afín. Denotamos con K" el espacio de los vectores de orden n sobre K. Ejercicio 1. Sean los vectores de R4: a=(0, 2, -2, 1);

b = (l, 3.1, -1 );

c= (-3 , 0. 4, 2).

Calcúlense a + 3b-2e; 5(2a •3c) + 2 ( - b - 3») + (5b+12c). Determínense X Resp.:

(9 ,1 1 ,-7 ,-6 );

a= (1-i, o, 2i):

(1 2 ,1 7 ,-1 7 ,-5 );

b= (i, l-, o):

*= -y .

b=

c= (2- i, 1, i).

Calcúlense 2a-(l+»')b+3«c; (1+ 2i)[(2+i)(3a+ib) - (l-í)(2i«-3b)]. Resuélvase la siguiente ecuación en x: 2 a -»x -(l-i)b . Resp.:

(6+3¿, - l + 2i, 4t-3); (9Í + 22, -1 4 -3 Í -4 2-4 Í); x = —2ta + (1 + t)b = ( - i - 3, 1+ i, 2; - 2).

Ejercicio 3. Sean, en R4, los vectores: a=(l, 0,2,4):

l>=(0, 1, 9. 2);

c= (-4 , 2, 10. -12).

Calcúlense los escalares X y ¡i, de modo que c=Xa + |xb. Ejercicio 4. Sean los vectores a = (-2 , 3, 1. -4),

b=(5, -3,0, 4).

c=(l. -3, -3, 8).

Calcúlese xj=--2a+b+c, x2=*a—2b+c, x2=>a+ b —2c. Ejercicio S. Se considera el conjunto (S) de los elementos formados por un par ordenado de números reales a~(xi,x2). Adoptamos la regla corriente de la adición, pero tomamos como regla de multiplicar por un escalar a la si-

Sabemos que la regla de adición considerada dota a (£) de estruc tura de grupo conmutativo. Por la regla de multiplicación se obtiene:

I."

(a+/9)a = («+/?)(*„ *¡)=[(a+/3)X], 0 ]= (c«i + /3x„ 0), (a + /3)n=(«x„ 0) + 03x„ 0)=aa + /3a.

Se verifica, pues, la distributividad con relación a los escalares. 2° Análoga demostración para la distributividad respecto a los vectores. 3.»

a(fia)=a(fix¡, 0)=(a^x„ 0)=(a/3)a,

que es la asociatividad con relación a los escalares. 4.° la=(x„ 0), resultado distinto de a=(x,, x¡). No se verifica que la multiplicación por 1 resulte neutra; por tanto, (S) carece de estructura de espacio vectorial. Se concluye también de lo anterior la necesidad lógica de admitir el postulado la=a, que, según acabamos de ver, no puede deducirse del conjunto de los otros1. 3. Otros ejemplos.—El espacio K" es fundamental y proseguire mos su estudio en la página 230. Indiquemos ahora otros ejemplos de espacios vectoriales. Los dos primeros ejercicios utilizan un cuerpo base distinto de los clásicos (Q, R, C). Los otros aplican la noción a conjuntos de funciones. Ejercicio 1. Estúdiese el espacio de los vectores de orden 2 sobre el cuer po Z/2 (cuerpo de los enteros módulo 2; véase pág. 41). Dígase el número de vectores que contiene este espacio. Fórmese la tabla de adición del grupo adi tivo. Indfquese un grupo ¡somorfo. El cuerpo base contiene dos elementos, que podemos elegir arbi trariamente para cada una de las dos coordenadas de un vector, por lo que este espacio consta de 2x2=4 vectores: Eo=(0,0),

E|=(I,0),

E2=(0,I),

Ej=(I,T).

La tabla de adición del grupo aditivo es la que sigue:

Este grupo es de orden 4 y cada elemento es su opuesto: grupo Isomorfo al del rectángulo (véase pág. 27).

cualquiera, ¿qué cabe decir de a+a+a? En él caso n- 2, fórmese la tabla de multiplicar. Resp.: n1 vectores;

a + a + a=0.

Ejercicio 3. Sea F el conjunto de las funciones de una variable real x. evidentes que confieren a este conjunto la estructura de espacio vectorial. Las reglas operatorias entre funciones se deducen de las reglas de cálculo corrientes para los números, suponiéndolas aplicadas a una in finidad de valores. Así, p. ej., la función suma /(*)+g(x) simboliza una infinidad de adiciones: las de los valores de f y g para todo valor de x. Sucede lo mismo para el producto por un escalar. Observemos que estas dos operaciones no hacen salir del dominio de las funciones continuas y es inmediato comprobar las leyes de la estructura de es pacio vectorial.

221 Ejercicio 5. Se considera el conjunto de las funciones complejas de una variable real x. Precísese si este conjunto (con leyes evidentes de composicidn) posee la estructura de espacio vectorial sobre R o sobre C. Una función F(x) del conjunto es tal que F(ar)=/(*)-ríg(*) y la adi ción, definida como anteriormente, satisface las leyes del grupo con mutativo. El producto por un escalar introduce una distinción sensible entre R y C. En R se tiene, si X es real, XF=Xf+fXg, de donde la estructura de espacio vectorial. Pero el mismo cálculo formal no es válido sobre C, porque, para X complejo, \f y Xg son complejos y la fórmula anterior no da la descomposición buscada. Es necesario hacer \=a + ib y hallamos XF= (af - bg)+ i(ag+ bf). El mismo conjunto se presenta, pues, como un espacio vectorial sobre R y sobre un supercuerpo C, pero esto se debe a la naturaleza particular del conjunto respecto de C (véase ejercicio 5. pág. 222). Subespacios vectoriales. Generadores En un espacio vectorial (E) todo subconjunto cerrado respecto de las dos leyes de composición constituye él mismo un espacio vecto rial, llamado subespacio de E. 4. Ejemplos de subespacios— Ejercicio 1. Demuéstrese que la in tersección de dos subespacios E, y E¡ de un espacio E constituye también un subespacio (que denotamos por EinE2). Basta observar que la suma de dos vectores que pertenezcan a Ei y a E2 pertenece a E, (es cerrado) y a E2(idéntica razón); por tanto, a la intersección. La misma propiedad se cumple para el producto por un escalar. , Ejercicio 2. Sean E! y E2 dos subespacios, a un vector arbitrario de E|, y b un vector arbitrario de E2. Demuéstrese que el conjunto de los vectores a+b

222 Sean a + b y a, + b, dos vectores del conjunto. Tenemos (a + b) + (ai + bi)= (a + a,) + (b + bi)=a' + b' con a ' & E | y b ' £ E2. El último vector pertenece, pues, al conjunto considerado. La misma demostración vale para la multiplicación. Ejercido 3. Precísese si cada uno de los subconjuntos de R" definidos a continuación constituye un subespacio [escribimos a—(xt. x¡, .... *„]:

Basta estudiar si tales subconjuntos son cerrados respecto de las dos leyes de composición. Resp.: No; sí; sí; no; sí; sí; no. sobre'el cuerpo K=Z/2 (véase ejercicio 1, pág. 219). Precísense los subespacios vectoriales que se pueden encontrar en él. En primer lugar, tenemos dos subespacios impropios: Eo y el es pacio mismo. Es fácil ver que (Eo, Ei), (Eo, E2) y (Eo, Ej) constituyen subespacios. Si se toman tres vectores (uno de ellos Eo, que pertene ce a todo subespacio), volvemos a encontrar el espacio entero, porque Ej=E, + E2. Ejercicio S. El espacio Q> es un subconjunto de RJ Precísese por qué no es un subespacio vectorial. La ley de adición de los elementos de Q3 es la misma que la ob tenida considerando estos vectores como pertenecientes a R3: por tanto, Q3 es cerrado para la ley de adición de R3. No sucede lo mismo con la ley multiplicativa: en R3 un vector puede multiplicarse por un número real cualquiera; si elegimos un número irracional y un vector de Q3, el resultado no pertenece a Q3, y el subconjunto no es cerrado respecto de la ley de multiplica ción de R3; por tanto, no constituye un subespacio vectorial. Observación.—En este caso decimos que Q3 proviene de R-1 por restricción del cuerpo de los escalares (ya que Q es un subconjunto de R).

GENERADORES. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Observemos que un subespacio es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo que el espacio del que proviene. 5. Generadores. Transformaciones elementales.—Sean n vec tores cualesquiera de un espacio vectorial: gi, g2, • El conjunto de los vectores g, combinaciones lineales de los anteriores:

gn-

g = X,g, + X2g2-t-... + X„g„. donde X., Xj, ..., X» pertenecen a K, constituye «n subespacio vecto rial. Se dice engendrado por g., g¡, ..., g„, que son sus generadores. Cuando se conoce un sistema de generadores se sabe formar otros sistemas (véase ejercicio 6, pág. 224). Ejercicio 1. Ratónese si el vector *=(2,14,-34.7) pertenece al subes pacio de Q4 engendrado por *.= (1, 4, -5, 2) y *¡=(1, 2, 3, 1). Resp.: Sí, porque g = 5g,-3g¡. Ejercicio 2. Determínense X y g de manera que el vector (X, g, -37, -3) pertenezca al subespacio de Q4 engendrado por (1, 2, —5, 3) y (2, —1, 4, 7). Resp.: X= -1 , g = 13. Ejercicio 3. En R4 se considera el subespacio engendrado por «.-(1 ,3,5).

K2= ( - l , 0, 2).

Basta para ello tomar gj=Xgi + gg2, gt=X'gi + /z'g2, eligiendo X y p, X' y p de manera que' podamos expresar g, y g2 como combina ciones lineales de g, y g,; es decir, \ p '-p X '^ 0 . Ejercicio 4. Sea. en R4, el subespacio E|, formado por los vectores (z., z2. Zj, *4) que verifican la igualdad zi+z2+zJ+z4=0. Fórmese un sistema de ge neradores de E,. Un vector cualquiera de E. puede escribirse a = (* „ X2, x „ - x , - x ! - x i). En particular, si consideramos los vectores a, = (1,0,0, -1 ), a2=(0, 1,0, - 1), a, = (0, 0, 1, - 1),

224 se ve que a=*iaj + j:ia2+ *ja1; hemos formado, pues, un sistema de ge neradores. Ejercicio 5. Sean dos subespacios E, y E2 de un espacio vectorial. El pri-

Por definición, E2+ E2 representa el conjunto de vectores de la for ma a + b, con a ^ E i y b £ E * Resulta, pues, que todo vector de E1+ E2 es combinación lineal de aj, a2, ..., a,,, b,, b¡, ..., b,, y recí procamente. Tenemos, por tanto, un sistema de generadores de E, + E¡; pero, en general, se ignora si el número de sus componentes es míEjercicio 6. Transformaciones elementales.—El subespacio engendrado por varias de las transformaciones siguientes: b)

multiplicación de uno de ellos por un escalar distinto de cero;

Tenemos que demostrar que todo vector x, combinación lineal del sistema inicial de generadores ab a2, .... a,, es también combinación lineal del nuevo sistema b2, b2, ..., bp. Para el caso a) esto resulta de la conmutatividad de la adición, puesto que los b son idénticos a los a, salvo el orden. En el caso todo vector x = \iai + X2a2+ ... + X¡a,+ ... + Xpap puede

b),

escribirse también x = X;a,-fXjaj-t-... + ^ b , +... +Xpa,, reemplazando a¡ por b¡=ka¡, con En el caso c), supongamos que sustituimos a, por b,=a,- + fca; (J5¿0 ; e* vector x se convierte en x = X,a2+ . . . + Xib, + . .. + (X, - fc X > , + . . . + Xpap. En cada caso se han cambiado los generadores, pero el subespacio engendrado es el mismo.

Dependencia e independencia lineal 6. Definición.—Recordemos que n vectores ai, a:, a„ de un espacio vectorial son independientes cuando la única combinación lineal nula corresponde a escalares todos nulos: Âoao=0

exige

X«=0.

Si no es así, son dependientes y, en tal caso, algunos de los vecto res son combinaciones lineales de los otros. Esta idea es aplicable a todo espacio vectorial y precisa las relaciones de los vectores entre sí ’. Ejercicio 1. Demuéstrese que, si los vectores ai, a2, ..., a„ son linealmente independientes, también lo son bi«ai,

1>2—ai+aj,

bn'=ai+a2+...+a,].

Generalícese refiriéndose al ejercicio 6 de la página 224. En efecto, toda combinación lineal (de coeficientes no todos nu los) entre los a se traduce por una combinación lineal entre los b , y recíprocamente. De manera general, si dos sistemas de vectores a, y b, se deducen uno de otro por una sucesión de operaciones elementales, toda com binación lineal de los primeros será combinación lineal de los segun dos. Si uno de éstos sistemas de vectores es independiente, lo mismo sucede con el otro. Ejercicio 2. Demuéstrese que dos vectores a= (l|, x¡) y b= (y,, y¡) de Q(o RJ) son linealmente dependientes si, y solo si, x¡y¡-y¡x¡= 0. La igualdad Xa + /ib=0 se traduce por X*i + M/i=0,

A*2+ ^ 2 = 0 ;

los dos coeficientes X y p. no se anulan simultáneamente; de donde se deduce fácilmente la igualdad que se desea demostrar. Ejercicio 3. Demuéstrese que si ai, a;, a3 son independientes, también lo 1Con independencia de las propiedades del espacio del que se han tomado (número finito o infinito de dimensiones).

226

CAP, x: ESPACIOS VECTORIALES

En efecto, pasamos del primer sistema al segundo mediante opera ciones elementales, que el lector debe precisar. Se puede también ob servar que una relación

X(»+ + +ai)+ +aj=0 v(at

2 a¡) /¿(a¡

exigiría

/j, + r = 0,

A+ v = 0,

j*+ A=0,

de donde \=/¿=v=0. Ejercicio 4. Precísese la dependencia de los siguientes sistemas de vec tores. pertenecientes a <¥, o Q«: a) (3,2), (4,-1), (S,-2 ); b) (9, -3, 7), <1, 8, 8), (5, -5, I); c) (2, -1, 5, 7), (3,1, S, -2), (1,1, 1, -4). Expresando la igualdad Xg, +/ig2+ pg3=0 en función de las com ponentes de los vectores, se forma un sistema lineal en X, ¡x, v. Para el primer caso, se obtiene 3A+ 4(x+ 5i'=0,

2X—jt —2v=0,

de donde se deduce A=3, ft=-16, v = ll (salvo una constante). El segundo sistema admite como solución A = -3 , ¿i=2, v=5; el último A= -2 , ¡i = 3, v = -5. Los sistemas de vectores considerados son, pues, dependientes. subespacio engendrado por g, y g2 coincida'con el engendrado por g¡ y g3. Los vectores deben ser dependientes, de donde agi + /3g2+ ,yg3=0. Es necesario, además, que a yÔ para que todo vector del subespacio (gi, g?) sea combinación lineal de g2 y g3, y recíprocamente. Ejercicio 6. Se considera el conjunto de los números reales de la forma al+6*/2+cvf3, con a, b, c pertenecientes a Q. Demuéstrese que las leyes de composición soelementos 1, k/2, ./3 son independientes. La última cuestión equivale a demostrar la imposibilidad de hallar tres números racionales a, b, c tales que u rb^2+c-/5=0.

227 Se tendría a1-2bi -3 c2=2bct/6¡ lo que es imposible, puesto que v'T no es racional. 7. Criterio de independencia.—Para los vectores de orden n sobre un cuerpo se puede indicar un criterio sencillo de independen cia (ejercicio 1). Lo utilizaremos con frecuencia en lo que sigue. Ejercicio 1. Sea un sistema ordenado compuesto de p vectores ai, ab .... ap del espacio Kr. Suponemos que para cada valor de k (k=l, 2 p) el vector de orden k tiene una componente (p. ej., la de lugar n¿) distinta de cero, y que los vectores que siguen al mk tienen todas las componentes de orden nl iguales a cero. Demuéstrese que, si los ntimeros >1), itj, ..., np son todos distintos, los vectores ai, a* ..., ap son independientes. En efecto, la igualdad Xiai + Xja2+... + ÁpHp=0 exige Xi=0 para que la componente de lugar n, sea nula (ai es el único vector que tiene esta componente distinta de cero). Si deseamos anular la componente de lugar n2, habrá que tomar X:=0, porque esta componente, que podía figurar en ai, no interviene, debido a la elec ción de X|. Si los números ni, n¡, ..., np son todos diferentes, no exis tirán nunca dos componentes del mismo orden y, por tanto, Xi= X2= =... =X„=0. Los vectores son independientes. Ejercicio 2. Sea P(x) un polinomio de grado n. Pruébese que P(x) y sus n derivadas son linealmente independientes. Sabemos que los polinomios de grado inferior o igual a n constitu yen un espacio vectorial (sobre el cuerpo de los coeficientes). Si P, P', ..., P*"1 no fueran independientes, se tendría la igualdad XP+ X.P' + X2P" +... + X„P<">=0, con coeficientes K¡ no todos nulos. Igualando a cero los coeficientes de las diversas potencias de x, hallamos en primer lugar X=0, porque P es el único polinomio de grado n. A continuación se obtiene Xi=0 (término en x"~1)> etc., y resulta, por último, que todos los coeficientes

8. Conjuntos de funciones— Sabemos que el conjunto de las funciones reales y continuas (definidas en un intervalo a, b) constituye

228 un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales; por con siguiente, es aplicable la definición anterior. Los ejemplos que siguen muestran que en tal espacio es siempre posible hallar un número arbi trariamente grande de vectores independientes. Ejercicio I. Demuéstrese que, para todo n, las funciones monomias 1, x, x5, ..., x" son independientes en cualquier intervalo. El hecho de que la igualdad Xi + X2* + XJ*í + ... + X„+i*n=0, se satisfaga cualquiera que sea r £ (a , b), entraña que el polinomio sea idénticamente nulo; por tanto, todos.sus coeficientes deben ser iguales a cero. Ejercicio 2. Sean a, 0, y tres constantes reales y distintas. Precísese si las tres funciones f=sen (*+o), S=sen (x+/3), *=sen (*+y) son dependientes o independientes. Indíquense, si hay lugar a ello, las relaciones de dependencia. Las tres funciones son combinaciones lineales de sen x y eos x :

Resolviendo las dos primeras relaciones respecto a sen x y eos x, y sustituyendo en la tercera, obtenemos la igualdad simétrica f sen (y - /3)+ g sen (a - y ) + h sen (0 - a )=0. Ejercicio 3. Pruébese que las funciones senx, cosa:, sen2x, eos2a:, ..., senna:, cosnx son independientes sobre un intervalo real cualquiera (a, 0). Se hará uso de la derivabilidad > para demostrar que una relación de depen dencia entre las funciones dadas implica la dependencia de senx, cosx, sen 2x, Supongamos que sobre un intervalo cualquiera (a, /?) se tenga, para todo x, Xj senx + n, eosx+ X2sen 2x+¡í 2eos2x + ... + /x„eosnx=0. Derivando dos veces, se deduciría —Xi sen x - ¡x¡ eos x —4X2sen 2x - 4/tseos 2x - ... - n!/r„eos ttx =0. 1Esto equivale a situarse en el espacio de las funciones derivables (dos ve, ces), subespacio del conjunto de las funciones continuas. Pero la independencia en un subespacio entraña la independencia en el espacio mismo.

Una combinación lineal entre las dos relaciones permitiría elimi nar sen nx y eos nx, obteniendo (;tJ- 1 ) (Xj sen * + p, eos x )+ (n! - 4) (X2sen 2x + p2eos 2.t)+... + + (2n -1 ) [X„-, sen (n - l ) r e o s (n - 1)*] =0 y las 2n-2 funciones, sen x, cosí, ..., c o s(n -l)i, no serían indepen dientes. Continuando progresivamente, se obtendría la dependencia de sen x y eos x, lo cual es imposible, ya que su cociente no es cons-

9. Rango de un sistema de vectores.—Recordemos en primer lugar el teorema fundamental de la independencia lineal. En el subespacio engendrado por n generadores, el número de vec tores independientes que es posible encontrar está acotado por n. Una consecuencia importante es el concepto de rango de un sis tema: entre n vectores dados existen r independientes. El rango r está bien determinado, pero los vectores independientes pueden ele girse, en general, de varias maneras. Hecha esta elección, los restantes vectores son combinaciones lineales de los primeros. Ejercicio 1. Indíquese el único caso en el que, siendo r el rango del siste ma, la elección de los vectores independientes puede hacerse de una sola maResp.: Si n es el número de vectores, a los r vectores indepen dientes asociamos n - r vectores nulos. Ejercicio 2. Demuéstrese que todo sistema de n+2 polinomios de grado inferior o igual a n es dependiente. Estos polinomios pertenecen al espacio engendrado por los n + 1 monomios 1, i, ..., i", y el número k de vectores independientes que podemos encontrar en él es tai que fc
Espacio de n dimensiones 10. Dimensión y base de un espacio vectorial Si el número de vectores independientes de un espacio vectorial es acotado, todo sistema independiente cuyo orden sea el mayor posible contiene un número bien determinado, n, de vectores y constituye un sistema de generadores (base) del espacio. Así, p. ej., el espacio de los vectores de orden n sobre K es de n dimensiones. Adquiere su importancia en razón de la siguiente pro piedad: Sea E„ un espacio cualquiera de n dimensiones sobre un cuerpo K, y sea E„ E., .... E„ una base de E„; cualquier vector a puede escribirse a=XiE| + x2E2+ ... +*"E„. Con relación a esta base, a está, pues, definido por sus componen tes (x„ x¡, ..., x„); es decir, por un vector del espacio K". Vemos apa recer una correspondencia biunívoca entre E„ y K", correspondencia que es un isomorfismo, como se comprueba inmediatamente. Después de elegida una base, el estudio de un espacio E„ cualquie ra es así idéntico al del espacio K". Todo subespacio E' de un E„ tiene una dimensión finita n', porque el número de dimensiones de E' está acotado por n. La observación an terior conduce al estudio de los subespacios de K”, que haremos más adelante. Ejercicio 1. Si dos subespacios E' y E" de un espacio vectorial tienen la misma dimensión, y si E' está contenido en E", necesariamente E' y E" coinEjercicio 2. Sean dos subespacios disjuntos E' y E" de K”, de dimensio¿Qué desigualdad existe'éntre n¡. n2 y n?

'

11. Determinación de una base.—Sea E„ un espacio de n di mensiones referido a una base. Definido un subespacio E' por un sis tema de generadores, determínese una base-del mismo. Mediante operaciones elementales (véase pág. 224, ejercicio 6) po demos formar un nuevo sistema de generadores constituido por vecto res independientes. La independencia se obtiene empleando el criterio de la página 227. Si los vectores dados son dependientes, algunos de los generadores del nuevo sistema son nulos. Se eliminan, porque la presencia del vector nulo no modifica .un subespacio.

231 Sea gu g2, gm el sistema de generadores dados, que engendran el subespacio E'. Consideremos en un orden determinado los vectores anteriores, aunque E' es independiente de ello y el método puede aplicarse de varias maneras. Todos los vectores quedan referidos a una base de E„. Llamamos gj¡, al primer generador no nulo y abandonamos todos los que le preceden. Una de sus componentes (p. ej., la que ocupa el lugar pi) es distinta de 0. Todos los vectores que le siguen, g*+i, gm, se pueden reemplazar por combinaciones lineales

eligiendo los X¡ de manera que los g'¡ tengan todos nula la compo nente que ocupa el lugar p¡. Se forma así un nuevo sistema de gene radores (Sistema I)

g*„ g't.+l* gVwt —, g'm

que verifican parcialmente el criterio de independencia: gtl es inde pendiente de todos los g' no nulos. Sea g'i, el primer vector de g' no nulo. Una de sus componentes, la de lugar p2 (pij^pi), es distinta de cero. Formemos las combina ciones

de modo que todos los vectores g" tengan nula la componente de lugar pi (y también la de lugar p,>. Queda un nuevo sistema de gene radores (Sistema II) que satisfacen parcialmente el criterio de independencia: todo vec tor g" no nulo constituye un sistema independiente con g*, y g\,. Si ■ todos los vectores g" son nulos, la operación ha terminado; (E') está engendrado por gt y g'k. Si no, sea g'¿ el primer g* no nulo; una de sus componentes que ocupa el lugar p¡ (p¡9^pi y p i^ p ü es diferente de cero. Podemos continuar el proceso y obtener asf un nuevo sistema de generadores tal que los vectores g"' no nulos colocados después de g¡.' sean independientes con g, , g^, g£_. La operación termina cuando todos los vectores g“> son nulos o

cuando hemos formado un sistema que verifica el criterio de indepen dencia. Con m vectores g se harán a lo sumo m-1 operaciones. Se obtiene entonces un número r de vectores gt , g ¡, g " , .... g(¿_1> in dependientes y que engendran (E'). Constituyen una base del subespacio, que es de r dimensiones. Ejemplo.—En la práctica, si m no es demasiado grande, el proce dimiento es rápido. Se disponen las componentes de los vectores g en filas, de modo que formen una matriz cuyas columnas sean las com ponentes que ocupan el mismo lugar. En cierta medida hay libertad para elegir los números pi, p2, ..., y se toman los enteros más pe queños. En el caso pi = l, p2=2, p3=3, .... se dice que la matriz redu cida obtenida es regularmente escalonada.

* i- (1, 2, - 4,3,1), *2- (2,5, - 3,4,8), *3*=(6,17, -7.10,22). *={1,3, -3,2,0). Disponemos los cálculos de la siguiente forma: gl gl g; gi gi gi =g'3- 5sí = s ',-e ¡

1 2 2 5 6 17 1 3 1 2 0 1 0 0 0 0

-4 -3 4 8 - 7 10 22 -3 2 0 3 1 -4 6 5 -2 -8 2- 14 -4 1- 7

gi g¡=g!-2gi g;=g3-6g, gS=g,-g, gi g' g;

1 2 -4 3 1 01 5 - 2 6 0 5 17- 8 16 01 1 -1-1 1 2 -4 3 1 01 5 - 2 6 00-4 1-7 o o o o o

El subespacic es de res dimensiones, y una base está constituida los vectores Si- g =gj-2g„ gí' = g<+gl -g2Existe una relación de dependencia, que se escribe S]=2g'í'

o

2g,-3g2+ g3-2gj=0.

Tres cualesquiera de los vectores dados forman una base, pero la gi, g', g", que verifica el criterio de independencia, resulta la más cómoda en casi todas las aplicaciones.

Observación.—La práctica enseñará al lector la fluidez del método, en el que están permitidas todas las operaciones elementales. En realidad, en cada transformación de la matriz de los coeficien tes se efectúa una sucesión de tales operaciones, pero hay que asegu rarse que de esta forma se obtiene un producto de operaciones; es decir, que cada operación puede hacerse sobre la matriz resultante de las operaciones anteriores (y esta matriz no siempre está escrita). Así, p. ej., no es posible reemplazar la primera línea por a, - a 2 y la se gunda por a2-ai, porque la segunda operación no se aplicaría al sistema de vectores obtenido después de efectuada la primera. 12. Rango y dimensión— El rango de un sistema de vectores es igual a la dimensión del subespacio engendrado por estos. El método anterior permite determinarlo inmediatamente si los vectores pertene cen a un espacio de dimensión finita. Si se quieren precisar los vectores independientes y las expresiones de los restantes en función de los primeros, basta comprobar en la tabla anterior, en cabeza de línea, la combinación efectuada en cada trans formación elemental. Cuando una línea se anula, de ello se deduce una combinación lineal y la expresión de uno de los vectores en fun ción de los que le preceden. Esto es lo que se ha hecho anteriormente. 1.- .,= (1,2,2,1), «2=(5,«,6,5), .3= (-1,-3,4,0), *=(0, 4, -3 ,-1 ); 2.' «i=(2,-5,3,10), .2= (1,-1,1,3), (3,3.1,1); 3.» a,=(1,2,5,-1), a2=(3, (, 5, -6), „ = <2,4,0,-2); 4.° a,= (2, 0,4,2), a2= (l, 2, -2 ,-3 ), aj=(3, 1, 3. 4), a4= (2, 4, 9, 5). Estudíese la independencia en cada caso. Hállense las relaciones de depen-

1.° La reducción conduce a transformar el sistema de la siguien te manera: ai,

(a2- 5a,).

a',=a3+ a„

a^-a.,

a continuación,

Por ser opuestos los vectores a, y a" se tiene la relación - llai + 382+483+48, = 0.

234 Una base del subespacio es (1, 2, 2, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 7, 1). 2° Se halla 2a, - 7a2+ aj=0. 3.“ y 4.° Sistemas independientes. Ejercicio 2. Determínese X de manera que los tres vectores «l-(3, 1. -4,6). 82= (1,1, 4, 4), a3=(l,0. -4,X) sean dependientes. Resp.: A= l. Ejercicio 3. l.° Determínense X y ¡i de modo que los vectores «i=(3, -2, -1, 3), e2= (1. 0, 2, 4), aj=(l. -3. X, n)

2.» El mismo problema con los vectores 8, - ( l, 2,X, 1), a2=(X, 1,2,3), a3=(0, 1.M.0). Precísese en cada caso la relación de dependencia. Ejercicio 4. Hállese la dependencia o independencia de los siguientes vec tores de C«: 8,= (1, ¿. 1+i. -0 , .2=(-;.0,2- í, 1+i), 83=(0, -1,0,1), 84= (3r, -2-i,3í-5, - i ) . Resp.:

a ,+2¡a2+(1 +ía,= - i)aj

0.

Ejercicio 5. Sea S un sistema de n vectores, de rango s. Se considera el sistema S' obtenido suprimiendo los r primeros vectores de S- Demuéstrese que el rango d de S' es tal que d>r+s-n. Sea 8 el rango del sistema S" formado por los n - r últimos vec tores de S; tenemos d + 8» s porque la unión de S' y S" debe dar S, que es de rango s. Además, 8< n - r . Por tanto, s=Sd+8« d + n - r . De donde se deduce la desigualdad pedida. 13, Base incompleta— Sea E' un subespacio de un espacio de n dimensiones, E„. Podemos completar una base arbitraria de E'; es

decir, podemos añadirle cierto número de vectores independientes, de manera que el conjunto constituya una base de E„. Los vectores añadi dos engendran un subespacio suplementario de E'. El método de reducción (pág. 230) pone en evidencia un sistema sencillo de vectores, que permiten completar una base. Si n, es la di mensión de E', podemos hallar n -n , vectores tales que cada uno ten ga solo una componente distinta de cero; el conjunto de los n vectores así obtenidos verifica el criterio de independencia. Ejercicio 1. Determínese una base de R4, una parte de la cual esté cons tituida por una base del subespacio E", que tiene por generadores *,= (2. - 2, 3,1),

g2= (-1 . 4. - 6, - 2).

El subespacio está engendrado por ei= (l,0,0,0) y g=(0,2, -3 , -1). Cabe, pues, completarlo con e3=(0, 0, 1, 0) y e«=(0, 0, 0, 1), o también e2 y e3, o e , y e<, pero no se podría tomar ei, que pertenece al subespacio dado. Ejercicio 2. En R4se consideran los tres vectores (1, 4, -1, tt),

(6, 10,1, O),

(2, 2,1,1).

que tenga el mayor número posible de componentes nulas. La reducción de la matriz de los coeficientes de los vectores da dos conduce a 1 4 - 1 0 0 - 2 10

1 0

0

0

1

El vector más sencillo que completa una base de R4 es, por tanto, (0,0,1,0). 14. Espacio de los polinomios.—El conjunto de los polinomios de una variable, de grado inferior o igual a un entero p, constituye un espacio vectorial de dimensión p+1 sobre el cuerpo de los coefi cientes. Se obtiene una base particular considerando los generadores independientes: 1, *, **, .... x-.

Sucede lo mismo para los polinomios de varias variables. Si estas son n, la dimensión del espacio de los polinomios de grado inferior o igual a p es ap „+t (combinaciones con repetición, véase pág. 16). Más adelante estudiamos el caso de las formas lineales.

de grado inferior o igual ap.

*

pa

p

Este caso es la generalización del ejercicio 2 (pág. 227). Formando la tabla de los coeficientes se ve que se trata de vectores indepen dientes. Ejercicio 2. Los siguientes polinomios: P,=*2+4*Sf-y2-F2*-3»+l, P2=2x2+ b2- x+ 4¡/-2, P¡=xy-ly2- 4x+2y-7, P,= —3x2+xy+3y2+16x—17y+26 ¿son linealmente independientes? En caso negativo, determínense las relaciones de dependencia y precísese el rango del sistema. Resp.: - P, + 2P; + 3Pj + P( = 0; siendo independientes tres cuales quiera de los polinomios, el rango vale 3. 15. Formas lineales— El conjunto (F) de las formas lineales de n variables x¡, x¡, ..., x„ constituye un espacio vectorial de n dimen siones. Las formas x„ x¡, ..., x„ determinan una base. Todo f FE(F) puede, pues, escribirse f=a,x, + a&i + ... +(7„x„Los coeficientes (ai, «>, .... a„) son las coordenadas de f en la base considerada. El estudio de la dependencia de un sistema de formas lineales se hace aplicando los métodos generales del presente capí tulo. Las formas son vectores entre los que se efectúan combinacio nes lineales. Ejercicio 1. Determínese X para que las formas lineales h - - *i+ *2+3x¡,

f2=5x,-2x2+9x3,

f3=*|- X*2+2X*j

237 Un sistema equivalente al {/i, /2, f¡) es fu A +5/,=3*,+24*,, fj+/,=(1 - X)xi+ (2X+ 3)*3. Existe dependencia si las dos últimas formas tienen sus coeficientes proporcionales, lo que exige A=¿. De donde se deduce la relación f,-fz+6f,=0. Ejercicio 2. Estudíese, según los valores de A, la dependencia del sistema /i = 2*|+ 3*2+*j,

f2- - * i + Ajr2+2ij,

-7*, + 3*2+(A-5)* j.

Resp.: Independencia para Ajé+6; para A=6: 13/1- 9/2+ 5/3= 0. Ejercicio 3. Precísese, de acuerdo con los valores de a, b, c, la depen dencia del sistema h=x¡ +bcx2+a1x¡,

fi^xi+caxi+Pxi,

l¡ ^x¡+abx1+c,x¡.

Para ay^b y ay^c (los casos en que al menos dos de los números a, b, c, son iguales se tratan de manera evidente) el sistema es equiva lente a fu

^

= ex, - (a+ f>)*3,

■—

=bx2~(a+c)x¡.

Las dos últimas formas son independientes cuando (c - 6) (a+ b+

0.

Resultando obvio el caso c=b, queda la hipótesis a+b + cÔ, lo que implica que el rango es 3. Si a+fr+c=0, dicho rango vale 2, y se tiene la siguiente relación de dependencia (62- c 2)/, + (c2- a J)/2+(a2- b 2)/3=0 (con a + b + c = 0). Ejercicio 4. Estudíese la dependencia de los siguientes sistemas: I /i=*i+*2+*3, 1 /1= *,+a*2-a*j. . /i=(a-2)*,+2*2-*j. ¡ , h= -<¡x,+x2+axi. ' /2= 2x,+ai2+ 2*j, { f3=*i+6*2+62*s- f h= axj-axj+ij. ( /J=2ai|+ 2(o + l ) i 2+ (o + l)x!. Ejercicio 5. Estudíese la dependencia del sistema /,= (1-a,)*, +*2+*3+*„ fl“ *l+*'2+ (1 —‘í3)*)+*0

Í2= *l + (1 - a2)*2+*3+** f4=*l+*2+*J+(l-OÁ)*U

238

_

Suponiendo deduce que jt( =_2 o¡

CAP. X: ESPACIOS VECTORIALES (el lector estudiará los restantes casos), se con ip=x¡+ xi+ xi+ xt (i de 1 a 4).

A continuación se tiene

Para X— 5¿1, se deduce tp, de donde resultan las formas x¡ expre sadas como combinaciones lineales de las f¡. El sistema dado es inde pendiente. Cuando X— =1, el rango vale 3, y la relación de dependen-

Ejerciclo 6. Estudíense los sistemas

El primero de ellos es independiente, salvo para o = l: el rango vale 1; fi*=fi=fi=f+ a = —3: el rango vale 3; f\+ fi + h + /*=0. El segundo sistema es independiente (sobre el cuerpo R), excepto a=0: el rango es 3; U + U = k + f» a = - 2: el rango es 3; f, + h + h + f.=0. 16. Estudio de un espacio vectorial ligado a las sucesiones re currentes.—Ejercicio 1. 1.” Sea la relacidn de recurrencia u„+i = « h„ + Í u»- i .

con

a y 0 pertenecientes a R,

[1]

entre tres términos sucesivos de una sucesión numérica i/„=f(n), donde f(n) designa una función real desconocida del entero n. Demuéstrese que el con junto de las soluciones de [ 1] constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.

ESPACIO VECTORIAL LIGADO A LAS SUCESIONES RECURRENTES______239 2.» Pruébese que, si son conocidos u0=/(0) y U|=/(l), u„=f(n) está uní vocamente determinado. Dedúzcase de ello que la expresión “»“ Cn»i(n)+Cw>2(n) constituye la solución general de [1] si ,(l) + C:^(1), que determina unívocamente C, y C2si y.(Q) ^ 9».(1) vÁO) 'PÁi) Existe imposibilidad cuando pi(0)=í:y>2(0),
240

CAP, x: ESPACIOS VECTORIALES

yen una base. La solución tal que /(0)=¿' y f(í) = a, corresponde a constantes Ci y C2 que verifican b = C, + Q,

a = X,C, + XjCj.

Deducimos de lo anterior que

Kn)=T~T{a~m+T~T{bK'~a) complejos conjugados (a y /3 reales). Si X,—p (eos6+j sen0), demuéstrese que dos soluciones linealmente independientes y reales de [1] son >Pí'=pneosnd y
y

Aj= p" (eos n 8 -i sen nd).

Por ser real la relación dada, la parte real y el coeficiente de i en Ay constituyen las soluciones ip¡ y ¡p¡ del enunciado. Observación.—Cuando la ecuación [2] admite una raíz doble A, el lector comprobará que ^>i=A" y
LINEALES. DUALIDAD Tal función queda determinada cuando conocemos sus valores para n vectores {ei, ej, e„} que forman una base de E*. Si Hfid=a¡ (i de 1 a n), se asocia al vector y=Xx¡e, el escalar ftv)=a,x,+ai*2+ ... +a¿c„. La función se expresa por una forma lineal. Recíprocamente, una función lineal queda determinada dando su expresión (forma lineal) en una base particular. La fórmula a¡=f(e,) permite determinar su ex presión en otra base cualquiera.

Si /(v)=a,*1+ 82*2+ 03*3, hay que resolver el sistema 4fli + 2¿2= 2,

a¡ + 2a, - 3flj= - 7,

2a2+ 5aj= -1.

Se obtiene 8i=2, a¡= —3, a¡=\. Ejercicio 2. Sea, en la base canónica de R‘, /(v)=3xi-5*2-*j-2*4 la ex presión de una función lineal. Determínese su nueva expresión cuando se toma por nueva base e',-(2,l,0,4), e'2- (1,0, 3,2), e'3=(0,l, -3.2), e',-(l, 1,2,2). Se busca « e ', ) = - 7, f(e'2)=2, ffe'¿=-1 2 , «e'4) = -4, de donde /(v)= -7 *'l + 2*/2- 12*3—4*4, siendo (x'i, *"2, x's, X’,) las coordenadas de v en la nueva base. Ejercicio 3. Sea la función f(v)-2*i-3x2+5xi en la base (ei, e2, ej}. De termínese una nueva base {e'j, e'2, e'3}, formada por tres vectores respectiva mente proporcionales a e,, e* ej, y en la que f(v) =*',+*',+*'j.

18. Espacio de las funciones lineales. Dualidad.—El conjunto de ljfs funciones lineales definidas sobre un espacio vectorial E„ cons tituye, respecto de las operaciones naturales, otro espacio vectorial, F„ de la misma dimensión. Cabe, por tanto, hablar de funciones depen dientes o independientes (linealmente). En la práctica, este concepto se traduce por la dependencia o independencia de las formas lineales

242 (véase pág. 236) asociadas a las funciones en una base. La propiedad esencial es la dualidad; es decir, la reciprocidad de los papeles des empeñados por E ,y F,: todo v £ E , define una función lineal de los elementos de F„. A cada base de uno de los dos espacios se puede asociar otra del segundo, denominada base dual. Si {e„ e2, ..., e„} y {f,, U, ..., /„) son dos de tales bases', tenemos =«/,-:

(8« = 1, 8¡,-=0, con i¿ ¡).

En la expresión .del apartado anterior, f(v)r a,:r1+ a2a:2+...+d,1*,„ (i,, x¡, ..., x„) y (a,, a!t ..., a j son, respectivamente, las coordenadas de v € E„ y de f £ F„ en dos bases duales. Ejercicio I. Se consideran las tres funciones lineales que tienen por ex(i~2x,+4x2+3xj, f2=x;+x¡,

f3=2x, + 2*2- * 3,

en una base {ei, e¡, ej) de E3. Compruébese que forman una base de F3. De termínese la base dual {e’j, e'2. e'j) de E3. ' Por ser las funciones fb /2, f¡ linealmente independientes, consti tuyen una base de Fj. La base dual {e'i, e'2>e'j} de Ej es tal que /i(e'i)=l>

« e ',)= 0,

/J(e'1) = 0, file' ) = ,

/.(e'2)=0 M ')= j)=0 l., f3 0, f3 (ee'3 (c'23)=l.0 f\(e¡)= ,

La determinación de cada uno de los vectores conduce a resolver un sistema lineal con tres incógnitas. Se obtiene

• • "(f 4 1 ) ' Ejercicio 2. Demuéstrese que si n funciones lineales de un espacio de n dimensiones son simultáneamente nulas para un mismo vector vÔ, dichas funciones son dependientes. Si las funciones f¡, una base de F„. Llamemos {*i, tendrfa

..., /„, fueran independientes constituirían e„) la base dual y pongamos v=2x,e¡. Se

En virtud de la hipótesis, los valores f,(v), ..., f jy ) son nulos; por tanto, v = 0, y, como este caso se supone excluido, las funciones consi deradas son dependientes. Ejercicio 3. Para que p funciones lineales sean independientes es nece sario y suficiente que exista al menos un vector de E„ para el que las funcio nes tomen valores arbitrariamente elegidos. La condición es necesaria, porque si f¡, f,, ....

verifican la re-

X,/, + A2f2+.-.. + A,f,,=0, los valores a¡=f,{v) (i de 1 a p) para cualquier vector v son tales que A|tr,+... + XpOrp= 0; no son, pues, arbitrarios. Recíprocamente, si A, A. .... fp son independientes, podemos com pletarlas con fp+u fm de manera que se obtenga una base de F„. Sea {ei, e2,..., e„} la base dual de E„; si v = ^ x 0e„. se tiene /,(v)=x,. Cualesquiera que sean los valores ai, a2, ..., ap elegidos, el vectór v = a,e, +... + a ^ p+ xp+,e,+i +... + *„e„, con Xp+t,

x„ arbitrarios, responde a la cuestión.

Ejercicio 4. Sea {e,} una base de E„. Estudíese cómo queda modificada la base dual {f,-} de F„ cuando se efectúan operaciones elementales (véase pági na 223) con los vectores de {*,}. El cambio de los vectores e¡ y e, de la base considerada en E„ conduce a cambiar las dos funciones correspondientes f¡ y en la base dual. La sustitución de e¡ por e',=Ae, (con AÔ) lleva consigo el reemplazamiento de f¡ por

Por último, el cambio de e¡ en

e, + Ae, (con ij^ f) conduce a sustituir f¡ por A-XA19. Sistema lineal y homogéneo— El estudio de un sistema li neal y homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas. | a,¡x, + a,2X2+ ...+«j|„x„=0.

244

cap, x: espacios vectoriales

se reduce al siguiente problema: dado un subespacio F' de F„, deter mínese el mayor subespacio E' de E„ tal que V (ve E ')

V (/ € F )

se tenga «v ) = 0.

El subespacio F' está engendrado por los m vectores («„, a¡¡, ..., a¡„). Si r es su dimensión se demuestra que E' es de dimensión n - r . Indi camos en la nota de la página 470 la determinación práctica de E' a partir de la matriz de los coeficientes a¡¡ Ejercicio 1. Determínese una base del espacio de las soluciones del sis2*1+*2-2*j+*,=0,

-x, + 3r2-íj+4r,= 0.

La reducción de la matriz de los coeficientes conduce al sistema equivalente 2x, + xi-2 x} +x,=0, 7*2-4 * s+ 9*4=0, que admite como soluciones linealmente independientes Xi —(5, 4, 7, 0) y X a-d, -9,0,7). Una solución cualquiera es de la forma X=X,X, +/aX2.

Resp.: El sistema (I) es de rango 3. Admite, pues, 5 -3 = 2 solu ciones independientes. Podemos tomar X|= (5, 2, 3, -5 , 0),

X2= (-5 , 6, 14, 0, 15).

El sistema (II) admite igualmente las soluciones X, = (0,1, 2,1, 0), ' El método de

X2= (l, 1,1, 0, -1).

20. Ecuaciones de un subespacio.—Un subespacio E' S E„ vie ne, en general, determinado por un sistema de generadores. El estudio anterior nos muestra que podemos definir también un subespacio dando (mediante un sistema de geheradores) el subespacio conjuga do F S F„. Sea (a¡¡, a¡¡..... a,„) (i de 1 a r ) una base de F. Las condi ciones necesarias y suficientes para que el vector (*„ x2, ..., x„) per tenezca a E„ son «„*, + ...+ a¡¿c„ =0 (» de 1 a r). Decimos que E' queda determinado por un sistema de ecuaciones; quede bien claro que tal sistema no es único, porque solo F y E' están bien determinados. La resolución de un sistema homogéneo equivale a determinar un sistema de generadores de un subespacio E' definido por ecuaciones. Cabe también proponer el problema inverso: conocido E', determíne se un sistema de ecuaciones de este subespacio. La dualidad demues tra que este problema es idéntico al anterior: basia invertir los pa peles desempeñados por los vectores («i, a2, .... a„) (funciones linea les) y los vectores (*„ x¡ x„) (elementos de E„). Ejercicio 1. En R», consideramos los vectores *,=(1,2,0,!),

*2= (2, 3, 0, 3),

«,= (3.2. 1,2).

Fórmense las ecuaciones del subespacio que engendran. La cuestión se reduce a resolver el sistema ai + 2a2+ « 4= 0, 2íj, + 3a2+ 3(24= 0, 3(2, + 2a2+ c2j + 2(24= 0,

o

ai + 2a2+at = 0, - a 2+ <)4= 0, a¡-5a, = 0.

Los vectores (a,, a¡, a¡, a,) engendran un subespacio de una dimen sión, de donde la única ecuación - 3X|+ *2 + 5*3+ *4= 0. Ejercicio 2. Hállense en R4 las ecuaciones del subespacio engendrado por *,=(2. -1,4,0) Resp.:

y

x3-3 * i- 2*2= 0,

«2= (-1.0. -3,4). *4+ 4*, + 8*2=0.

Ejercicio 3. Calcúlese en C« la ecuación del subespacio engendrado por *,= (1, 5+ i. 2i+2. 2+1). 5—i. 2i+l. 0). »= (3 , 3i—5, -2i, 2+i). Resp.:

x, + ix i-(2 + i)x , + x,=0.

Ejercicio 4. Hállense en R* las ecuaciones de los subespacios E, y E¡, cuE,: e„e2+ e)-e„

Ej: «2, e,+e¡+e4.

Estudíese la intersección de ambos subespacios y hállese una base. 21. Sistemas no homogéneos.—La reducción de la matriz de los coeficientes de las incógnitas conduce a un sistema equivalente, cuya resolución es inmediata (véase pág. 473).

x+2»+3z+4r=50, 2x-3#+5z-2í=3, 3x+4y—2z— r=l, 4*- y+6z~ 3í= 8.

Sea ai, a¡, .... a, el sistema inicial de generadores de Ei. Supon gamos que la reducción haya dejado r vectores bi, b2, ..., b„ los cuales torman una base de Ei y verifican el criterio de independencia. Se trata de determinar los coeficientes X2, X2, ...', Xr de modo que X,b, + X2b2+ ...+ X rb,=c, donde c es el vector dado. Igualando las componentes que ocupan el mismo lugar en los vectores de cada miembro se obtiene un sistema de n ecuaciones con r incógnitas, que será compatible si c pertenece a E,. El cálculo de las soluciones es inmediato, por tratarse de un sis tema en cascada, que se resuelve por sustituciones sucesivas.

SISTEMAS NO HOMOGENEOS Ejercicio 3. En R3, hállese si el vector a= (3,3,4) pertenece al subespacio engendrado por aj=(l, -1,2) y a2—(2,1/3); en caso afirmativo, determínen se sus componentes. Resp.: n = -a i + 2a2. Ejercicio 4. Exprésense los vectores de la base canónica e|E>(l, 0, 0), e;™(0, 1, 0), ej=(0, 0, 1) como combinaciones lineales de los vectores f|=(l, -2. 4) ¡ í2- ( - l , -2, -1 ); 4, -3). El método de reducción conduce al cuadro g .= fi: g2= f, + f 2: g j= fj+ 2 f2:

1 -2 4, 0 -4 3, 0 0-5;

del que se deduce

ei=&- 4- 82+-4 gi=4-(íi + f2+fí). 4 1 20 2 20 Ejercicio 5. En R4, descompóngase cada uno de los vectoi (1,1.0,0), « , - ( - ! , 1, 1, 1),

(3 ,1 ,-2 ,-1).

a2= (l, 2, 1,2),

(0,0,1.1)

a j-(l, 3,2,4),

»<=

CAPITULO XI CALCULO MATRICIAL

Espacio vectorial de las matrices de dimensiones dadas 1. Adición y multiplicación por un escalar. —Recordemos que una matriz es un cuadro rectangular formado por elementos de un cuerpo K, ordenados en filas y columnas. Entre tales cuadros se de finen operaciones. En particular, si consideramos las matrices de di mensiones determinadas, m filas y n columnas, los elementos que de finen una de estas matrices caracterizan un vector de mn elementos del cuerpo K'. Se obtiene de este modo la adición de matrices de dimensiones dadas, el producto por un escalar del cuerpo base, la noción de dependencia o independencia lineal. De manera general, todo lo que hemos dicho sobre espacios vectoriales se aplica también en este caso, y las matrices de m filas y n columnas forman un espa cio de mn dimensiones. La base canónica está formada por las ma trices.Ei,-, que tienen un solo elemento distinto de cero, el situado en la intersección de la fila i con la columna ; y que es igual a la unidad. Designando con a¡¡ el término común a la fila i y a la columna ; de la matriz A, podemos utilizar la base anterior para descomponer A:

a- 2 2 - * -

Asociamos a cada una de las matrices un vector de R4; a A, p. ej., se le asocia (1, —1, 3, 1); a continuación se aplican los métodos del ■Tal vector se ha definido (pág. 217) como una sucesión ordenada de ele mentos del cuerpo; el orden se obtiene aquí leyendoêl cuadro de acuerdo con

SUBESFACIOS VECTORIAL] capítulo anterior. El rango en este caso es 4, y la relación entre las matrices, 2A-3B + C + 2 D -E = 0 . Ejercicio 2. Determínense dos matrices X e Y de orden 2 que verifiquen JX+4Y-Í

’ M.

-J X + )Y -[

0 3.1 icio 3. Se d

Estúdiese su dependencia. Resp.: A -2 B + 3C=0.

trC8$

1 -12 31 A - -3 4 - 1 , 1 0 1 -2|

f 0 -1 11 B= -3 5 - 2 . [ 1 0 -5 j

f- 5 \ m1 C= -9 10 -1 |-2 5 Oj

sean dependientes. Hállese la relación de dependencia. Resp.: A= 12, ft = 13; 5A-2B-C=?0. 2. Subespacio» vectoriales.—Ciertos subconjuntos del espacio de las matrices de dimensiones dadas constituyen subespacios vectoriales. Para ello, basta que el subconjunto considerado sea cerrado respecto de la adición y de la multiplicación por un escalar. Cuando así suceda conviene determinar su dimensión y definir una base del mismo. Las matrices diagonales constituyen un subespacio importante del conjunto de las matrices cuadradas de orden n; su dimensión es Ejercicio 1. Considérese el conjunto (13) de las matrices de la forma A=

* j, siendo a y b elementos de R. Demuéstrese que constituyen un

subespacio vectorial de las matrices de orden 2 y defínase una base.

Se comprueba de manera inmediata que el conjunto es cerrado 3n relación a las dos leyes de la estructura de espacio vectorial. Por tra parte, podemos descomponer una matriz A de la siguiente ma-

E1 subespacio considerado está engendrado por 1 : l n í l y 1=1 i

J ' <*ue forman ""a base-

e las matrices de orden 3. Determínese una Podemos escribir A = al + bA, + cA¡,

lo

1 OJ

ll

0 Oj

Se ve que el conjunto es cerrado respecto de la adición y de la mul tiplicación por un escalar; por consiguiente, es un espacio vectorial. Las tres matrices I, A,, Ai, linealmente independientes, forman una base y, por tanto, el espacio considerado es de tres dimensiones. nos de la diagonal principal. Compruébese que el conjunto de las matrices de

La dimensión es «*-1 , o sea 4 - 1=3 para n = 2. Una base está for mada por las matrices independientes

^TRASPOSICION__________________ 251 Ejercido S. Considerando sumas de elementos de una fila o de una colum na, indíquensc subespacios vectoriales del conjunto de las matrices (m, n). Señalemos algunos ejemplos, y el lector podrá imaginar muchos a) Matrices en las que la suma de los elementos de una linea determinada (fila o columna) es nula. b) Matrices para las cuales los elementos de una linea determi nada son nulos. c) Matrices en las que la suma de los elementos de cada fila (respectivamente, columna) es nula: m (n -l) dimensiones [respecti vamente, n(m -l)]. d) Matrices en las que la suma de los elementos de cada fila y de cada columna es nula: (m - l)(n -1 ) dimensiones. e) Matrices para las cuales es nula la suma de todos los elemen tos : mn -1 dimensiones. Ejercicio 6. Matrices triangulares.—Una matriz cuadrada de orden n se lla ma triangular cuando todos los términos situados por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos. Se dice estrictamente triangular si los tér minos de la diagonal principal son también nulos. Compruébese que los dos conjuntos anteriores son subespacios vectoriales, y precísense sus dimensiones. D T J. n(n +1) n(n - 1) Resp.: Las dimensiones son, respectivamente, y —— 3. Trasposición— Se llama traspuesta de una matriz (m, n), A = = [«u], a una matriz (n,m), 'A, de término general a',, y tal que d'i/=d)í

(i de 1 a n, j de 1 a m).

La traspuesta de 'A es, evidentemente, A. Una matriz que verifique A = 'A se llama simétrica (m =n), y el cuadro es simétrico con relación a su diagonal principal. Una matriz que cumpla la condición 'A = - A se denomina antisimétrica: es cuadrada, los términos de la diagonal principal (i= j) son nulos, y los simétricos respecto a esta diagonal, opuestos. Ejercicio 1. Demuéstrese que la trasposición verifica las leyes '(A+B) = >A+'B, ‘(XA)-X'A '(AA+nB) = A'A+|r'B. La comprobación es inmediata.

Ejercicio 2. Calcúlese el número de términos que pueden elegirse de ma nera arbitraria en una matriz simétrica de orden n. Demuéstrese que las matrices simétricas (o antisimétricas) constituyen subSea A simétrica; los n2 términos satisfacen las relaciones a¡/=a,> en número de ^ (porque «#/). Quedan términos in dependientes. ” (n —1) ” (” + 1) „ . . . . . . • +-n = ----------- relacio Para una matriz antisimétrica hay ---nes a¡, + ai¡=0, y quedan ^ términos que pueden elegirse arbi trariamente. Los subespacios obtenidos son, respectivamente, ¡somorfos a los subespacios de las matrices triangulares y estrictamente triangulares (véase pág. 251).

Escribimos A = S + T y trasponemos; se obtiene así 'A ='(S + T) = 'S + T = S - T . Por consiguiente, 2S = A + 'A;

S= i (A + 'A),

T = i (A - 'A ).

Estas expresiones necesarias de las matrices S y T prueban la uni cidad de la descomposición; en el caso particular considerado, te nemos

Rango de una matriz 4. Determinación del rango.—Recordemos un importante teo rema: el rango de los vectores fila de una matriz es igual al rango

DETERMINACION DEL RANGO de los vectores columna. Por definición, este valor común es el rango de la matriz. Para una matriz numérica, la determinación del rango se hace aplicando los métodos estudiados anteriormente (véase pág. 230). Toda operación elemental hecha con las filas o con las columnas conserva el rango de los vectores considerados; por tanto, el de la matriz. Se efectúa el número suficiente de operaciones para poner en evidencia el rango de uno de los sistemas de vectores (filas o columnas). Ejercicio 1. Determínese el rango de cada una de las matrices

[4 5 6 7 8]

|_3 -1

5

1

ango, según el valor del n

Veamos el primer ejemplo. Con ayuda de operaciones efectuadas on las filas se llega a que la primera matriz tiene el mismo rango que

Las dos últimas filas son independientes si es a ^ = - 20 y el rango es 4. Para a= -20 el rango vale 3. La segunda matriz tiene rango 4 si a#3 , y 2 si o = 3. dadas A y Bes inferior o igual a la suma de los rangos r, y r2 de¿ichas ma trices. Indfquese un ejemplo en el que se verifique la igualdad. Sean ai, ai, ..., a„ y b,, b* ..., bm los respectivos vectores fila (vec tores que pertenecen al espacio K") de las matrices A y B (de dimen siones m, n). Los vectores fila de A + B son a,+ b„ a.+b;, ..., ara+ b„„ que pertenecen al subespacio de generadores a» a,, ... a„„ bi, ..., h„„

cuya dimensión es inferior o igual a r, + r2. La dimensión del subes pacio fila de A + B es, por tanto, inferior o igual a fi + r2. El ejemplo siguiente,

[2M+f3 514 5 <1. L4 2 J

respectivas (» . „ ) y (rn.

i9

15J

L 13 17J

HáUese e. rango de ^

b j.

El rango es ri+r2, porque en el espacio de n + n' dimensiones los subespacios engendrados por los vectores fila de [A O] y por los vectores fila de [O B] son con certeza disjuntos.

Razonemos con las filas y supongamos r=2. El subespacio fila está engendrado por dos vectores fila independientes; p. ej., A, y A, (¿5¿/). La matriz A puede escribirse en la forma r A|A, + fi,Ai i l,

J l >.mA¡ 1

(con Aí—1, n i= 0; X,=0, p¡ = 1); A es la suma de dos matrices de rango 1. El razonamiento es válido cualquiera que sea r. Podemos tam bién efectuar la descomposición según las columnas.

Supongamos A de rango r y B de rango s. Sea Aa,, A „ A«, un conjunto de r filas independientes extraídas de A, y B j, B#, ..., Bj, un conjunto análogo de s filas extraídas de B. Consideremos los r-t-s vectores de n +p elementos [A .,; O], [A * ¡O ]..... [A„,|0]

y

[O j Bp,], ..., (O B„.].

255 Toda fila de C es combinación lineal de estos vectores y, por con siguiente, el espacio fila de C está incluido en el subespacio de r+s dimensiones que engendran (son claramente independientes). El ran go de C es, pues, inferior o igual a r+s. 5. Matriz regular.—Una matriz tal que sus vectores fila, así como sus vectores columna sean independientes es necesariamente cuadrada: se denomina regular. Recordemos que el rango de una ma triz A es igual al máximo orden de las matrices cuadradas regulares extraídas de A. Los ejercicios siguientes precisan esta propiedad. Ejercicio 1. Sea A una matriz (m, n) de rango r. Demuéstrese que toda matriz cuadrada B, extraída de aquella eligiendo los elementos que pertenecen a r tilas y r columnas independientes, es regular. Como el rango de una matriz no se modifica por una permuta ción de las filas o de las columnas, formamos una nueva matriz A', en la cual B pertenece a las r primeras filas y r primeras columnas:

donde las dimensiones respectivas de P, Q y R son (r, n -r), (m -r, r) y (m -r, n -r ). El rango de A' es r, por lo que las filas de [Q i R] son combina ciones lineales de las r filas de [B I P], que son independientes. En particular, las filas de Q dependen linealmente de las de B. El rango de

es, pues, el mismo que el de B. Pero las r columnas de j son independientes y esta matriz es de rango r ; lo mismo cabe

decir para B.

Puesto que B se obtiene eligiendo filas y columnas independientes en A, su orden r' es inferior al rango r de A. El siguiente ejemplo, en el que r=3 y B corresponde a las dos primeras filas y columnas, pone de manifiesto que la matriz así extraída no es necesariamente

Producto de matrices 6. Producto de dos matrices.—Recordemos que el producto de una matriz A = [a lt], de m filas y n columnas, por otra matriz B = = [ftí/] (escrita a la derecha), de n filas y p columnas, es una matriz (m, p), C = AB=[cy], tal que el término común a la fila i y a la co lumna ; viene dado por la fórmula = 2 a,a*a'

de 1 a

La propiedad fundamental es la asociatividad. Señalemos también la distributividad a la derecha y a la izquierda (con dimensiones con venientes) respecto a la adición. Ejercicio 1. Sean las matrices

1’1[°:í

_ T34 - 7 L32 - 7

13 32

-2 1] 0J'

257

(a,i¿>ii+ flni>.|)c,i+ (oiií>i2+ OnfcaJcji, lo que también puede escribirse 0||(Í>I|C|I + *I2C2,)+ 0|¡(¿2|f||+ *22C¡l). obteniéndose así el primer término del desarrollo de A(BC). El r¡ namiento es análogo para los otros términos.

Tomamos para A una matriz fila de tres elementos. Precísese B; fórmen se AB y BA. Es posible efectuar AB si n=p, y BA, si q=m. Podemos, pues, multiplicar a la derecha y a la izquierda una matriz A (m, n) por otra B (n, m). En el primer caso, (AB), se obtiene una matriz cuadrada de orden r r ; en el segundo, (BA), otra de orden n. No se verifica, por tanto, la conmutatividad, salvo en el caso m=n (anillo de las ma trices cuadradas). [»i 1 Si A = [*i *2*j] se debe tomar B = 1% ; de donde

l«i J

AB = [*,!/,+

+ *4/j]

r Ejercicio 4. Sea A - I que BA=I, con I -

Sea B= [^,

®j

[0i*i ,'/i*2 0>*>1

1 21 3 4 1. Determínense todas las matrices B tal (matriz unidad de orden 2).

; la condición BA=I proporciona cuatro ri

(aciones entre los seis coeficientes. Dos de ellos (p. ej., c y cO se arbitrarios. Se obtiene i - 2 -8c I + 3c c] « - U * . _■ * A -

Ejercicio 5. Compárense las trazas (véase pág. 250) de AB y de BA, su-

La traza de AB es ^c,„ con c,,=

(a de 1 a n). Después

de sumar con relación a i se obtiene la suma de los mn productos for mados al multiplicar cada elemento de A por el elemento homólogo de la traspuesta de B; se deduce de ello fácilmente que las trazas de AB y BA son iguales. Ejercicio 6. Demuéstrese que las matrices de las bases canónicas (pá gina 248) se multiplican según la fórmula (é(t, símbolo de Kronecker; véase observación más adelante), en la que E¡;, Fu En el producto E¡(F« se obtiene un elemento distinto de cero cuan do, al multiplicar la fila de lugar i de E„- por la columna de lugar i de Fu, los dos términos iguales a 1 se multiplican entre si. Para ello deben ocupar el mismo lugar, lo que exige j= k . La matriz obtenida es G,i, y esto es lo que expresa la fórmula del enunciado. Ejercicio 7. Precísese la cuestión del problema anterior en el caso de las matrices cuadradas de orden n. Calcúlese (E,-,)2. Dígase en qué caso es conmu tativo el producto de E„- por E,.,. La fórmula general se convierte en E,¡Eh =8(íE„. En particular, (E„)2= EÍ„

(Ejy)2~ 0,

para

El producto EjfEu es conmutativo si i# / y j^=k, porque los dos resultados son nulos. Para f= í, debemos suponer j= k , lo que da E¡;E;|= E,[,

E,,Ei/=E„.

Solo existe igualdad cuando t=/. Ejercicio 8. Hállese de nuevo la fórmula de multiplicación de las matriTenemos

259 de donde C -A B ^ a ^ E ^ F ,

(se suma respecto a

P. y, «)•

En la suma del segundo miembro todos los productos E„eFlS, con 8 —y, son nulos. Para p=y, EaÉFfl5=Go4, siendo el coeficiente co rrespondiente c, De lo anterior se deduce

que es la matriz producto descompuesta según su base canónica. Observación El símbolo de Kronecker 8/t es una función de los enteros y k, definida para l< ;< n y l^ ír^ n (n, entero dado), cu yos n2 valores vienen precisados así: :=0 si ¡ * k . Permite muchas veces representar por una fórmula única un resul tado que depende de la elección de los enteros ; y k ; p. ej., quedan condensados en la fórmula única E¡/Fu=8,*G« los dos resultados Ef(F if- 0

para jy^k, y EyF/(=G „ si j=k.

Ejercicio 9. Caracterícese la matriz (m, n), Eu, cuyo término general está dado por la fórmula ei/=S,i¡8,(, en la cual k es un entero dado ( l í l í m ) , asi como l Multiplicando los dos símbolos de Kronecker se obtiene eu= 0 si ¡ + k o ¡7^1- Entre los mn términos, solo hay uno distinto de cero y que vale 1, que es el eu¡. Reconocemos la matriz E» de la base canó-

7. Traspuesta de un producto.—Para dos factores se tiene la fórmula clásica '(AB) = 'B'A. cualquiera

260 Razonemos por recurrencia. Si C=A|A2. -A™ se supone que 'C ='A„... 'A|. Añadiendo un factor, el producto A|A¡... A„A„+, pue de escribirse (asociatividad) CA„+>, que tiene por traspuesta 'A„+I'C. Basta reemplazar 'C para ampliar la fórmula a h + 1 factores. e que, cualquiera que sea A. el producto A'A es

Resp.:

'(A'A) = '('A)'A = A'A ;

A 'A = [ 1^ ( *] ,

10 -7 3 -31 -7 5 -2 3 3 -2 l 0 ’ -3 3 0 9I Ejercicio 3. Sean A y B matrices simétricas (por tanto, cuadradas). Para que AB sea simétrica es necesario y suficiente que AB BA. Se debe tener AB = '(AB); pero '(AB)='B'A =BA. De ello se de duce la condición necesaria y suficiente, AB = BA. Ejercicio 4. Sea A una matriz (m, n), y B, antisimétrica, de orden m. ¿Qué podemos decir de C='ABA7 La matriz C es cuadrada de orden n; por trasposición, se ve que es antisimétrica. A!, A!T m O S? Sl A “ d étrica’ ¿qU¿ eabe de La misma cuestión si A es antisimétrica.

8S

90

Si A es simétrica, todas las potencias también lo son. Si es anti simétrica, las potencias impares son antisimétricas, y las pares, siméEjercicio 6. Sean A=[fl¡,] y B= dos matrices de dimensiones res pectivas (m,n) y (m',n'). Les asociamos una nueva matriz P -A • B, de tér mino general p¡¡^ ^ “igb;a. Dígase cómo se puede formar P y precísense sus

El término p¡¡ se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por los que ocupan el mismo lugar en la fila / de B y sumando los resultados: es la multiplicación fila por fila de A por B. Se obtie ne de esta forma una matriz (m, m'). P, que puede escribirse también, en forma de producto ordinario, así A * B=A'B. Considerando tres matrices A, B, C, de dimensiones convenientes (p. ej., cuadradas de orden n), se tiene (A * B) * C=A'B'C

y

A » (B * C) = A * (B'C) = AC'B.

Dado que, en general, estos resultados son diferentes, la opera ción no es asociativa.

8. Cagoparticular: m atricescuadradasdesegundoorden.—

La multiplicación de dos matrices cuadradas de orden n es siempre posible y da una matriz del mismo tipo. Existe un elemento neutro I - [S«] (Si/ símbolo de Kronecker). Se dice que dos matrices A y B conmutan o que son permutables cuando AB = BA. Si AB= - B A se denominan anticonmutativas. Las consecuencias de constituir un conjunto cerrado respecto de las dos operaciones suma y producto se verán en la página 272. En las aplicaciones que siguen a continuación el lector deberá utilizar las reglas de cálculo anteriores. Obsérvese que se puede definir la sucesión de potencias de una matriz cuadrada A : A°= 1,

A' = A,

A2=AA,

A » = A '- |A, etc.

Es posible también buscar una inversa (a la derecha y a la izquier da); es decir, una matriz B tal que AB = BA=I. La teoría de la inversión de matrices se verá más adelante. En las cuestiones que siguen se determinará la inversa directamente: se escribe que una matriz indeterminada B verifica l.i igualdad AB = 1. Se admitirá la identidad de las matrices inversas a la derecha y a la izquierda. Examinemos en primer lugar el caso de las matrices de segundo

62__________________CAP. XI: CALCULO mATHlCIAL__________________ _ ro Ejercicio 1. Estudíense las sucesivas potencias de la matriz A - I

L1 1

Resp.: AJ= —I, A3= - A , A4= I, de donde A‘ =I, A ^ + ^ A , < 1 conjunto (M) de las matrices de

donde a es un elemento arbitrario del cuerpo de los coeficientes, < un grupo multiplicativo conmutativo. Indfquese un grupo isomorfo y dedúz case la inversa de A, asi como la expresión de A?. Sea ® = [ q ^ ] ’ se

" i Resulta que la aplicación A —> a, con n 6 K , establece un isomorfismo entre (M), dotado de la multiplicación, y el cuerpo K, dotado de la adición. El conjunto (M) es, pues, un grupo; se obtiene

Ejercieio 3. Demuéstrese que el conjunto ( C) de las matrices de la forma A—rI ° “ MI, con a y b reales, es cerrado respecto de la multiplicación, y que contiene la inversa (cuya existencia se demostrará) de toda matriz A distinta

; el producto A C =C A =

\ac-bd ad be

l +

-(a d + bc) a c-b d

1 J

pertenece también a ((?), que es cerrado respecto de la multiplica ción. Si queremos que C sea la inversa de A, se deben verificar las relaciones (a c-b d = \ , j , . „ <.ad+bc=0,

. . . de donde

a c = —— — rf + fe'

, b
Toda matriz A distinta de O admite, pues, una inversa única. Sabe mos (véase pág. 249) que'(6), espacio vectorial sobre R, es un grupo para la adición de matrices. La multiplicación completa la estructura de cuerpo. Poniendo A =ol + b], con 1“ [ j

q ] , de donde J2= - I , se esta

blece una correspondencia biunívoca entre (C ) y el conjunto de los números complejos a+bi, correspondiéndose los elementos I y J con 1 e i. Se multiplican de la misma manera, lo que prueba que la co rrespondencia es un isomorfismo. Ejercicio 4. Determínense todas las matrices cuadradas de segundo or-

Hagamos A=* f®

y formemos A 2; la igualdad [1] conduce

al sistema

<7 2+bc=l,

b c+ tP = l,

b(a+d)=0,

c(a+
0,

en el que cabe considerar los siguientes casos: 1.* Si b=c=0, de donde a—± 1,
Las matrices anticonmutativas con Ai corresponden a a=0; de penden solo del parámetro b.

264 Ejercicio 6. Dadas A=

^

y B- |^

^ J, determínense todas la

matrices X tales que AX=B y hállense las condiciones de posibilidad. Es necesario suponer

=0; tenemos entonces

j

ron A y ft arbitrarios.

9. M atricescuadradasdetercerorden.

— Ejercido

1.

Sea la matri

Calcúlese A2 y dedúzc;

Ejercicio 2. Sea A= IÓ 0 ol. Calcúlense A2 > [ 1 0 1| Resp.: A',= 2,’“IA. o 3. Sea la matriz A= 0 1 1 . Calcúlete 10 0 1 J r1

Se obtiene A2= claramente de la forma indicada. Razonemos por recurrencia y admi tamos la fórmula [lj. Se deduce así

de donde

Puesto que a, = 1, tenemos que ap=p, y

= 10 lo

1 0

- r , que pertenece al conjunto. 1 J

10. Matrices cuadradas de orden n— Ejercicio 1. Sea A una ma triz cuadrada de orden n cuyos términos, reales o complejos, están acotados en módulo por el número positivo k. Demuéstrese que los términos de A! están acotados por nk-, y los de Af, por n^-'k". El término general de A2 es a}/*= 2
|<»e. El término general de A5 es ^

de donde

¡a,yJ)|<

En general, se obtiene |a¡*>|^ n p~,kp.

í rt2k¡.

CAP. XI: CALCULO MATRICIAL Ejercicio 2. Sea la matriz triangular de orden n

Calcúlense A2. A3 y exprésense los coeficientes de estas matrices con ayuda del símbolo (número de combinaciones). Dedúzcase, por inducción, la for ma de A'. Compruébese por recurrencia. Tenemos

c¡ o 0 0

c! cí 0 0

c| c{ c! 0

.

tí

tí t í

• t í-.

■

■ tí,-2

A3=

• c>

tí

o tí tí 0 0 tí 0 0 0

• . t í +l ■• t í ■ tí-1 ■ tí

De ello, por inducción, resulta: re ? :'

o -'

<

La comprobación por recurrencia es inmediata: se halla A|,+l= =A PA ; la matriz obtenida se deduce de la precedente cambiando p por p + 1.(Utilícense lasrelaciones clásicas entreloscoeficientes C£.) Ejercicio 3. 1.®Escribamosc—eos lativo. Calcúlese la suma S

^

2n 2ir Pisen— ysea q unentero re

<“«, considerando dos casos, según que q

sea o no divisible por n: 2.® Sean las matrices de orden n cuyos elementos genéricos son, respecy 6/.=c— (t-’Ki- n. Calcúlense A2. B!. AB y BA.

1.* Si q es divisible por n, «“*=1 y S,=n; en caso contrario, de bemos efectuar la suma de una progresión geométrica de n términos, de donde

tenemos S,=0, porque el numerador es nulo sin que lo sea el deno minador. 2.” Formando los productos A 1, B!, AB, BA, se obtienen matri ces cuyos términos son sumas S„ para diversos valores de q. De ello ) ... 0 0' A! = B2=

11. Filas y columnas del producto.—Existen relaciones sencillas entre las filas y columnas de AB y las filas y columnas de B o de A. a) La i-ésima fila de AB es la combinación lineal de las filas de B obtenida tomando como coeficientes los elementos que ocupan el mismo lugar en la i-ésima fila de A:

b) La j-ésima columna de AB es la combinación de las colum nas de A obtenida eligiendo como coeficientes los elementos que ocu pan el mismo lugar en la /-ésima columna de B: [A íA j...a í ] f í

lf>,„ ...

í>:’ 1 = [2í>.,a;2:í>„a;... ib a, a ;j b„p

J

[2]

Consecuencias.—1.* El subespacio fila (resp., columna) de AB está incluido en el subespacio fila (resp., columna* de B (resp., de A). 2* El rango de AB es inferior o igual a los rangos de A y de B. 3.“ La fórmula [1] demuestra que A (dada) realiza transforma ciones determinadas (combinaciones lineales) sobre las filas de toda matriz B a la que multiplique a la izquierda. Recíprocamente, pode mos escribir A en cuanto conozcamos las transformaciones que que remos efectuar sobre las filas de B.

Se tiene una propiedad análoga para la acción ejercida por B sobre las columnas de A. 4.* Supónganse dadas B y C. ¿En qué condición existe A tal que C=AB? Es necesario y suficiente que el subespacio fila de C esté in cluido en el de B; la solución es única cuando los vectores fila de B son independientes. Esta observación se utilizará en la inversión de una matriz cuadrada (véase pág. 283). En los ejercicios que siguen su ponemos siempre las dimensiones elegidas de manera qué sean po sibles los productos considerados. Ejercicio 1. Descríbase el efecto sobre una matriz A de una multiplica ción a la izquierda o a la derecha por una matriz D=>diag {d¡, d, d„). Una multiplicación a la izquierda de A por D equivale a multipli car la i-ésima fila de A por el í-ésimo coeficiente de D. En la multi plicación a la derecha se obtiene una acción análoga sobre las colum nas de A. ción a la izquierda o a la derecha por la matriz E¡, (véase pág. 248) de la base canónica. Caso particular i=¡. Por multiplicación a la izquierda, E,y transforma A en una matriz en la que todas las filas son nulas, salvo la de orden i, que es igual a la fila de lugar ; de A. En la multiplicación a la derecha, toda columna de AE¡¡ es nula, excepto la de lugar j, que es igual a. la columna de lugar i de A. Cuando f = ; se ve que una multiplicación por E,/’hace figurar solo la fila o columna de lugar i y conserva- su orden. Ejercicio 3. Indíquese la forma general de las matrices A permutables con una matriz E¡¡ de la base canónica (véase el ejercicio 2 anterior). Dedúzcanse las matrices A permutables con una matriz cuadrada cualquieLa igualdad AE¡;= E„A supone, en primer lugar, que A y E,-,- son cuadradas y del mismo orden. En virtud del ejercicio anterior, se ve también que la ;-ésima fila y la t-ésima columna de A contienen solo un único elemento no nulo, el de la diagonal principal. Además, estos elementos deben ser iguales; los elementos restantes son arbitrarios. Para que A sea permutable con una matriz cuadrada cualquiera es necesario y suficiente que lo sea con todas las matrices de la base ca

nónica. Debiendo ser iguales dos cualesquiera de los términos de la diagonal principal, se tendrá A=AI, donde X es un escalar arbitrario. Ejercicio 4. Sea I la matriz escrita a continuación. Si A es cuadrada de ordeD 4, precísese cómo se deducen de ella las matrices JA y AJ. Determlnen-

JA se deduce de A suprimiendo la primera fila y poniendo en su lugar una cuarta fila nula; AJ se deduce de A escribiendo una pri mera columna nula y suprimiendo la cuarta. Haciendo A=[a¡,-], se escribe la igualdad de las matrices JA y AJ procediendo término a término. Se comprobará que la forma más ge neral de A es

Se trata de un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas (véase ejercicio 2, pág. 249). _ j -■ Es compatible y se obtiene A = ^ J. Ejercicio 6. Para que A, matriz (m, n), tenga rango igual a 1 es nece sario y suficiente que sea de la forma A=BC, designando por B y C dos ma trices no nulas; B es una matriz columna con m filas, y C, una matriz fila

270 La condición es evidentemente suficiente porque, si A=BC, ei rango es inferior o igual a I (rango común de B y Q. Solo puede ser nulo si lo son todos los coeficientes de A, lo que exige que B = 0 o bien C =0 . En efecto, si ByÔ, uno de sus elementos es distinto de cero y la columna correspondiente de BC solo puede ser nula si C =0 . Recíprocamente, sea A de rango 1: existe al menos una fila no nula (p. ej., la de lugar i) a la que son proporcionales las demás, siendo los coeficientes Xj, A¡, ..., A„ (con A, = l). Se tiene

U a , Xma,¡ Ejercicio 7. Se llama matriz de Hermite o„=0 para ¿>j) que, para todo i= l, 2, .... i Si el i-ésimo vector fila no es nulo, su í-i la i-ésima columna de la matriz ningún oti Demuéstrese que una matriz de Hermite Compruébese que los vectores fila no ni

Consideramos v i matriz de Hermite de orden 4,

fl

a

0 il

aunque el razonamiento que sigue es general. La i-ésima fila de H2 es la combinación lineal de las filas de H obtenida tomando como coefi cientes los elementos de la i-ésima fila de H. Si la fila de lugar i de H no es nula, interviene solo el coeficiente 1, porque los otros no nulos multiplican filas nulas de H. Por último, si la fila de lugar i de H es nula, lo mismo sucede en H2. Por tanto, tenemos que H = H2. La independencia de las filas no nulas de H es evidente según el criterio expuesto en la página 227. También I„-H es una matriz de Hermite respecto a sus columnas. De ello resulta rango H + rango (I„ - H) = n.

12. Casos particulares importantes.—Estudiamos a continua ción las matrices que realizan sobre las filas o columnas de una ma triz cualquiera operaciones clásicas: sustitución, trasposición, opera ciones elementales. Ejercicio 1. Descríbase la acción sobre A de una multiplicación a la iz quierda por una matriz H tal que en cada fila tenga un solo término distinto de cero, e igual a 1; llamaremos ot(i) el lugar de este término sobre la fila í. La fila de lugar i de HA es la fila de orden a(i) de A.

Ya que los n números d i) son distintos e inferiores o iguales a n, su conjunto constituye una permutación de los n primeros enteros: hay, pues, n! matrices H. Toda fila y columna de una de tales matrices contiene n ceros y ijn solo Para = 3, se hallan las seis matrices siguientes

-1

1.

í1

0 [o í° 0 L1

01 0° 1 1 0 1 J!■ 1 01 0 1 0 0 J1'

n

I[ 0 1 0 ] 10 0 1l o 0 1 1 r o o 11 o to L i o oJ

1 0 01 0 0 1, 1.0 1 O J 1

1

Cada una de ellas realiza una sustitución sobre las filas de

A.

La

A2 Aj lA j J I a 2J

TA ' l segunda, p. ej.., hace pasar de fA|] a 1 1 (trasposición), etc. Respecto de la multiplicación, el conjunto constituye un grupo isomorfo al grupo de las sustituciones de orden 3 (de orden n, en general). Ejercicio

S «,A - [;

* ]. Calcúlese FAP.

El producto PA traspone las dos filas de A ; la multiplicación a la derecha por P traspone las dos columnas. Tenemos, pues, PAP =

-K

a-

Matrices elementales.—En el capítulo anterior (pág. 224) hemos de finido las operaciones elementales sobre un sistema de vectores. Po demos aplicarlas a los vectores fila (resp., columna) de una matriz (m, n), y conservan el subespacio fila (resp., columna) de dicha ma triz. De acuerdo con la interpretación antes dada a la multiplicación de matrices, dichas operaciones quedan reducidas a multiplicaciones a la izquierda o a la derecha por matrices cuadradas convenientes. Ejercicio 4. Hállense las matrices H/p K¡¡, L, que, por multiplicación a a)

Trasposición de las

filas í y /, quedando invariableslas resta

c)

Multiplicación de la

fila i por el factor A(yéO).

matriz unidad. a) Las filas de son las mismas que las de la matriz unidad, salvo la de lugar i, que contiene un 1 colocado en el lugar y la de lugar /, que tiene un 1 en el t'-ésimo lugar. Tenemos, pues, H w= I - E„ —E/,-+ Ei/+ E/i. Se puede también decir que H,y se deduce de la matriz unidad permutando en ella las filas i y b) La i-ésima fila de K¡( contiene un 1 en el lugar de orden i, y el elemento \ en el lugar /. Las restantes filas son las de la matriz unidad: K,, = I + AE„. c)

Evidentemente, se tiene Lí=I + (A-1)E„.

Ejercido 5. o) Hacemos K|/=I+AyEiy (;>1). Calcúlese el producto K=K,¡K „ ... K,„. b) Las mismas cuestiones para L-LuLu ... L„,, con L,i=I+A(E,„ Para A dada, precísense KA y Al. c) Dígase si una matriz K„ y otra L¡.,-. son conmutables. Anillo de las matrices cuadradas 13. Estructura de anillo.—Ya hemos indicado que el conjunto de las matrices cuadradas de orden n es cerrado respecto de la suma y del producto. Se deduce fácilmente que este conjunto posee la

BSTRUCTURA DE «MILLO___________________ 273 estructura de anillo. La existencia de divisores de cero y la no con mutatividad le dotan de propiedades muy diferentes a las estudiadas anteriormente (enteros relativos, polinomios con una incógnita). Dada una matriz cuadrada A, es posible definir polinomios con relación a dicha matriz: P(A>=X„A'+A»-iA“- ' + ... + XJ, con los coeficientes elegidos en el cuerpo base. Las propiedades formales de los polinomios de una variable—adi ción, multiplicación, división euclidiana, máximo común divisor—si guen siendo válidas cuando la variable se sustituye por una matriz. Para los polinomios de varias variables es necesario respetar el or den de los factores en cada término, ya que el producto no es con mutativo. Ejercido 1. Sean las matrices

®] 7 *>= [ _ ' ®j. Calcúlese de

la manera más sencilla posible la expresión A2+AB+2B. Haciendo uso de la distributividad, se puede escribir A2+AB+2B=A(A + B)+2B=A-2I+2B=2(A + B)=4I. Ejercicio 2. Con A y B designamos las mismas matrices del ejerddo an terior: calcúlense los polinomios (A+B+I)
es , y ji,

Tenemos A2= A + 2I, de donde P(x)=x2- x - 2 ; de lo anterior, reAJ=A 2+2A=3A + 2L Haciendo A’ ~l=X,-iA+f(r-iI, se tiene que A'=(Xp-i + /i,.,)A+ + 2X,-iI, de donde las relaciones de recurrencia X,=X,,-, + /z,.„

/ip=2X,-,.

De ello resulta que la sucesión A, verifica la condición V ,-2 V ,= 0 , cuya solución, con Ao= /¿i= 0, Ai= l> se escribe X ,= i [ 2 » - ( - i y ] ;

por consiguiente,

[2°+ 2(-

Por último, A "=2” — Ejercicio 4. Sea la matriz A— * * J. Determínense todas las matrices B de segundo orden tales que AB=0. Hállese el valor de a para el cual es po sible el problema. Escribiendo B =

” j, hallamos dos sistemas: uno en m, p, y

otro en n, q. El primero se escribe m + 2p= 0, 3m+ ap = 0, que tiene solución para a=6, obteniéndose m = —2p. El segundo sistema da igual mente n = - 2q, de donde las matrices

j

¿ 1 • Determínense todos los divisores de

0 0 oj

a la derecha (JX-O) y a la izquierda (YJ-O). Razónese si uno de ellos gina 269). Según el resultado de la página 269, debemos tomar para X una matriz cuyas tres últimas filas sean nulas, y la primera, arbitraria; para Y son nulas las tres primeras columnas, y la última, arbitraria. Una matriz divisor de cero a la derecha y a la izquierda tiene un solo elemento no nulo: el último de la primera fila. Ejercicio 6. Sea la matriz A—

*J. Le asociamos el polinomio’

P(X) - (a - A) (d- A) - be- A*- X(a+d) + «d - be. Compruébese que A satisface la ecuación P(A)=0.

275 La relación que debe verificarse se escribe A2- (a+ d)A + (ad - bc)l= O, o también =0, de comprobación inmediata. Ejercicio 7. Sea la mat

Empleando una descomposición

a que satisface A. Podemos escribir A = I + 2[, con

!=I, de donde

A2=(I + 2J)2= I + 4I + 4J=5I + 4J. Eliminando J se obtiene la ecuación A2-2A=3I. Ejercicio 8. Fórmense las ecuaciones (de segundo o tercer grado) a que satisfacen cada una de las matrices

ro o o í

Escribimos A=2I+J, con J= 0 0 1 y J!=0. Se deduce de ello la ecuación A2-4A + 4I = 0. L0 0 0.1 Por último, descomponemos B utilizando la base canónica B= = -En + Eaj. Por tanto, B2=E„, Bs= - E „ y B2+Bs=0. 14. Potencia de una suma.—La fórmula del binomio (A + Bp no es válida en general debido a la no conmutatividad. Las fórmulas que se obtienen no son de gran interés y se reducen a las clásicas en el caso en que A y B sean permutables. Se puede también examinar el caso de una suma de más de dos términos (véase ejercicio 6). Ejercicio 1. Desarróllese (A+B)2; dígase en qué caso se obtiene la fórmu la habitual. Hágase un estudio análogo con (A+B)(A-B) y (A+B)J. Obtenemos (A + B)2= A 2+ B2+ AB + BA. Se encuentra la fórmula habitual cuando las dos matrices son permutables.

Haciendo el desarrollo de (A + B)3 se obtiene la siguiente fórmula simétrica, (A + B)5= A»+ B3+ A*B + B2A + AB2+ BA2+ ABA + BAB. Obsérvese la complicación que origina la no conmutatividad. Ejercicio 2. Sea A una matriz cuadrada tal que A2- A (matriz idempotente). Demuéstrese que A“=A, siendo n un entero positivo. Asociamos a A la matriz B~2A-I. Compruébese que B*-L Resulta inmediatamente A3= A2=A , etc. El cuadrado de B se ob tiene empleando la fórmula habitual, porque A e I son permutables: B2=4A2-4 A I + P=4(A2- A )+ I = I . Ejercido 3. Supongamos n par; calciilese la siguiente expresión: A -(E i2-E 21)2+(Ej,-E 4,)2+...+(E b_1.„-E,.„_1)2 donde las E/; son las matrices de la base canónica. Desarrollemos utilizando la fórmula anterior (ejercicio 1) y la re gla de multiplicación de tas matrices de la base canónica (véase pá gina 258). Se obtieneA = -I. E ó

4 Sea

f01 01

únl ba 63 óni

I•

1

clU e eSe

2 empean °

eSC0” p0S,‘

Tenemos A2= (E12+ Ejj)2= E?2+ E» + E,2Ej2+ E,2E,2. La última expresión es nula porque lo son todos sus términos. Ejercicio S. Sea A -

[0 0 0 1 1 0 1 I- Calcúlense A2 y A3. Dedúzcase A". lo 0 1 J

Tenemos A = Ej|+ E» + Ejj,

A2=E2J+ Ej>=A3= A".

r o i o i r o o i i Ejercido 6. Dadas las matrices Ai= I 0 0 1 y A2= 0 0 0 , lo 0 0 J |o o o I

calcúlense sus potencias sucesivas, así como los productos A¡A2y A¡A|. Dedúz canse las potencias enésimas de las matrices A= Se obtiene fácilmente AJ =A¡, A|=0, de donde A f= 0 para los va lores p>3, y A f= 0 para p > 2. Igualmente, A iA ¡= A 2A i = 0. Se tiene a continuación A = I + A, + A 2. Ya que las matrices del segundo miembro son permutables, podemos aplicar la fórmula clásica A "=(I + A, + A j)"=

^

En la última suma los únicos valores que hay que considerar son a=n, /3=0, y =0;
De manera análoga, se tiene

15. Subanillos.—Todo subconjunto de las matrices cuadradas de orden n, que constituya un subgrupo aditivo y sea cerrado respecto de la multiplicación, forma un subanillo. En el cálculo matricial se em plean muchos subanillos; señalemos en particular: 1) El subanillo de las matrices diagonales: es conmutativo y no es anillo de integridad porque DiD2= 0 no exige ni Di = 0 ni D2=0. Las matrices escalares oí, que pertenecen al conjunto anterior, for man un cuerpo isomorfo al cuerpo base. 2) El subanillo de los polinomios con relación a una matriz dada A : está constituido por las matrices de la forma P=aoI + OiAz+ ... +opAp donde («o, a¡, ..., ar, 0, 0, ...) es un polinomio formal definido sobre el cuerpo base. El subanillo es conmutativo y admite elemento unidad.

3) Señalemos, por último, el subanillo de las matrices triangula res (véase ejercicio 1) y el subanillo de las matrices permutables con una matriz dada (véase ejercicio 2). Ejercicio 1. Demuéstrese que las matrices triangulares (véase ejercicio 6, página 251) forman un subanillo. Examínese el caso de las matrices estrictaSuponemos que los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos; en A =[fl¡/], a,-/=0 para t> j. Hemos visto (pági na 251) que el conjunto es un subgrupo aditivo; comprobemos que es cerrado para el producto. Si B=[f>v] es triangular, el término c¡¡ de AB se escribe c^=^j a,abai- Es nu'° para i > ; porque, en tal caso, un número cualquiera a entre 1 y a verifica al menos una de las des igualdades

En el primer caso, a¡a= 0, y en el segundo, bal- 0. Todos los tér minos de la suma c¡¡ son, por tanto, nulos. Las matrices estrictamente triangulares (pág. 251) constituyen igual mente un subanillo, evidentemente incluido en el anterior. mutan con una dada A es un subanillo. Partiendo de AB = BA y AB'=B'A, se tiene inmediatamente A(B + B')=(B + B')A y

ABB' = BAB' = BB'A.

Se trata, por tanto, de un subanillo que contiene la matriz uni dad I.

b'=kb,

c'=fcc,

a‘ - d‘=k(a- d),

[1]

Suponiendo A dada, báliese la forma general de los matrices A' que per mutan con A. Precísese la estructura del conjunto obtenido.

Igualando los productos AA' y A'A se obtienen tres relaciones bc'=cb',

ab'+bd’ =a'b + b'd,

ct¿ + dc'=c'a + d'c.

Si A es diagonal (b = c = 0) quedan las dos relaciones b\ a -d )= 0,

c '(a -d )= 0

que se satisfacen para b'= c'= 0 (A' diagonal), o bien si a=d (A esca lar, A ' cualquiera; quedan cumplidas las condiciones [1]). Si A no es diagonal, será, p. ej., f>7^0, y podemos escribir b‘=kb, de donde , , , „ ,. . c =kc, <¿- I constituye un subanillo. Dígase si es de integridad. DeIb b a] termínense los divisores de cero. El conjunto C(a, b) es un espacio vectorial de dos dimensiones por que C(a, f>)=tfI+f>A. Estudiemos el producto C(a, b)C(¿, b")= (al+ f>A) (a'I+ b’A) = aa'I + (ab' + ba’)A + bb'A2= = (aa + 2bb‘)l + (ab' + óa' + bb‘)A2, (porque A! = 2I+ A]. Tenemos, pues, un subanillo conmutativo con elemento unidad. La fórmula anterior prueba que el producto C(fl,b) CÁ¿, b‘) es " " ,0P“ *

ira' + 2Mj’ = 0,

0. o nulos cuando a y b verifican la (a-b)(a+2b)=0.

Si a =b se obtienen matrices de la forma fc(A+I) y para a = -2b, de la forma k'(A.-2I). Para cada matriz del primer tipo los divisores asociados son todas las matrices de la segunda forma, y recíprocaEJercicio 5. Sean las matrices I—£J ^ j y

JJ; consideremos

la familia (7) de las matrices M—xl+yl, con x e y reales. 1.° Demuéstrese que forman un subanillo conmutativo del anillo de las matrices de segundo orden. 2.“ Sean U y V dos matrices dadas que pertenecen a (7). Resuélvanse y discútanse las ecuaciones: a) UM-V, donde M e (7) es una matriz desconocida; b) Mt-V; c) M*+2UM-V. 3.° Calcúlese M”—(xl+vl)». Resuélvase y discútase la ecuación M"=V. 1.a El subconjunto (7) es un subgrupo del grupo aditivo de las matrices de segundo orden, el cual, por otra parte, es cerrado respecto de la multiplicación; en efecto, si M '=*l+y'J, se tiene MM'= M'M= ast'I + (xt/ + yx')] (porque J*=0). Tenemos, pues, un subanillo. V a) Sean U=aI+f>J y V = d l+ b ']; la ecuación UM =V con duce al sistema a x -d , ay+bx=l/. Si aÔ, existe solución única: M = - ^ - I + ^ —

J.

Si a=0 y ¿>;£0 hay que suponer d =0; tenemos entonces M=-^-J. Si a=b=0, debemos suponer d = b ' = 0 y M resulta indeterminada. b) Se obtiene el sistema *2= «', 2xy=b', que es posible solo si a'>0. Existen en tal caso dos matrices opuestas que responden a la cues tión. Si V =0 , se tiene M=i/J, con y arbitrario. c) La ecuación se escribe (M + U )*«V + U 2= {d +o2)I + (ft+ 2ab)]. Admite dos soluciones cuando d +0; podemos escribir M = - U ± v 'U 1+V.

MATRIZ INVERTIALE O REGULAR_________________ 281 3.° Por ser permutables las matrices I y J podemos desarrollar (*I + y]~y por la fórmula del binomio; tendremos M’,=x'T+nx"_lyJ (en efecto, J2=J3= ... =0). Si n es impar, la ecuación M "= V admite solución única. Si n es par, posee dos soluciones opuestas cuando Q. Ejercicio 6. Se considera sobre el cuerpo R el conjunto de las matrices

con a y b dados, y \ y u arbitrarios. Demuéstrese que es un subanillo con mutativo. Dígase bajo qué condición el conjunto obtenido es un cuerpo. Tenemos A(A, ft)=AI+/¿A, con A = í = - W+aA, se podrá escribir

® * J. Puesto que A2= "

A(A, /¿)A(A', /0=(AA' - bp.p.')l + (k/i' + yX.' - aptp.')A. Se tiene, por tanto, un subanillo conmutativo; será un cuerpo si toda matriz A(A, /a) distinta de cero admite inversa. La inversa de A(A, ju) es A(A', y ') tal que .

\k'- byy'=1,

+ (A+ ay)p.'= 0.

El sistema en A' y y ' admite solución única para \2+ a\y + by2^ 0 . Cualesquiera que sean A y y, distintos de cero, esto se cumple cuando es ,t2-4í><0. En caso contrario, será posible hallar divisores de cero. Inversión de una matriz cuadrada 16. Matriz invertible o regular.—Para que una matriz sea invertible es necesario y suficiente que sea regular (véase pág. 255). Los vectores fila (o columna) son independientes. La inversa A -1 es la misma a la derecha que a la izquierda: A A - '= A - 1A = I. La existencia de A -1 permite definir A " para p negativo. Cuales quiera que sean los enteros p y q, se tiene A 'A *= A *+«,

(A<,)« = A « .

282 Por último, la inversa del producto AB es B_1A -'. Las matrices invertibles constituyen un grupo para la multiplicación: el grupo Ejercicio 1. Demuéstrese que es válida para una matriz regular A la ley de simplificación (a la derecha o a la izquierda): AB=AC implica B=C. Basta multiplicar a la izquierda por A -1: A - ‘A B = A -,ACI

o

IB = IC,

B = C.

En particular, A B = 0 implica B=0. Ejercicio 2. Demuéstrese que si la matriz B es permutable con la ma triz regular A, también lo es con A-1. La igualdad AB = BA implica B = A “'BA;

por consiguiente, BA-‘ =A-'B.

Ejercicio 3- Demuéstrese que la traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta. Basta trasponer la relación A~'A = I (o AA~’ = I). Ejercicio 4. Pruébese que una matriz A que verifica la ecuación aA*+/3A+yI=0, con yyéO, es invertible. Hállese su inversa. Suponiendo y distinto de cero, tenemos

La inversa de A es la matriz entre paréntesis. La misma propie dad es válida para una ecuación de grado cualquiera (si el coeficien te de I es distinto de cero). Ejercicio S. Precísense las inversas de las matrices elementales Hl(, K¡¡, L¡ definidas en la página 272. Evidentemente, la inversa de Hi;, matriz de trasposición, es ella misma. El lector podrá comprobarlo sobre la expresión de Hi;. La inversa de Ki,=I+XE,¡ es K^‘= I-X E (/. Por último, la inversa

CALCULO DE LA INVERSA de L, es L r '= I + ^ - 1 Ê,„ que se obtiene cambiando i en | (con A=0). Ejercicio 6. Determínese una base del espacio de las matrices cuadradas de segundo orden formada por matrices regulares. Se elegirán matrices que tengan el mayor número posible de elementos nulos. Una matriz A =

es regular cuando a d -b c ^ 0. Se deben

elegir, pues, matrices que tengan dos términos (en diagonal) no nulos. 3asta tomar

‘ - [¡

:i

“ ]•

i : ;]■

- r .

a-

Como es fácil comprobar, A se descompone de la manera si guiente: A = (2a- d)E, + (d - a)Ej + (2b - c)Ej + (c - ¿>)E„ 17. Cálculo de la inversa.—Sea A = [a w] una matriz regular de orden n. Tratemos de hallar las filas Bi, B¡, ..., B„ de la inversa A"1= [B,]. Sabemos que la relación A[B,]=I equivale a £ a wB«=E, (i de 1 a n),

[1]

donde los segundos miembros designan las matrices fila de I. Se for ma así un sistema lineal cuyas incógnitas, Bi, B;, ..., B„ son matrices. Para resolverlo pueden aplicarse los métodos clásicos (sustitución, combinaciones lineales), que permiten expresar las incógnitas como combinaciones lineales de Ei, E¡ E„. La solución es única cuando A es regular. Los ejemplos numéricos se tratan fácilmente con este método. La resolución del sistema [1] se facilita muchas veces por la simetría y el carácter regular de A. Ejemplo. Calcúlese la inversa de 3 - 2 0 -11 0 2 2 1 1 -2 -3 - 2 '

1 0

1

2

lj

284 Debemos resolver el sistema 3B,-2B,-B. = E„ B,-2B2-3B3-2B4=E„

2B2+2Ba+B,= Ej, B2+2Bj+ B( = E4.

Formemos en primer lugar un sistema con dos incógnitas 3B1'+2Bj=E i + E2,

Bi + B5=E j+2E„

de donde se deduce Bi =Ei+ E2- 2Ej- 4E» =[1 X - 2 -4 ], Bj= - E , - E 2+3Ej+ 6 E ,= [-1 -1 3 6]. El cálculo se termina sin dificultad; se obtiene

Observación Muchas veces el método anterior se presenta de manera diferente. Se asocia a la matriz A el sistema lineal AX=Y,

(1 bis]

donde X = [x (] es la matriz columna de las incógnitas, e Y, una ma triz columna de elementos dados. La solución se escribe X=A "'Y . La resolución de [1 ¿is] con relación a x„ x¡, ..., x„ permite, pues, formar A -1. Llegamos a los mismos cálculos que antes. Ejercicio 1. a) Sobre el cuerpo R, determínese la matriz inversa de

b)

El mismo problema sobre el cuerpo de los enteros módulo 5.

Ejercicio 2. En C, calcúlese !a inversa de A =

[

« 2 -l

-1 2í 1 0 2 I.

Ejercicio 3. Hállense las inversas de 1

Dígase qué relación lineal e: Resp.:

f

1-1- 1

entre B y B">. P

a5!

Ejercicio 4. Determínense las inversas de

. i ! ; si

. J ¡ ií.

■[ b c(c-b) P -c * AL c - b

=4-

ca{a- c) ab(b-a) P -P a1- t i 1 a -c b -a

ti=(a - b) (b - c) (c - a);

Ejercicio 5. Hállese la ir

Se forma un sistema con cuatro incógnitas, B„ B* Bj, B«. Se des pejan Bj y B« en las dos últimas ecuaciones y se sustituyen en las primeras. Se llega así a í - 26cB, + (oJ-fc! -c J)B2=tfE1-cEj - 6E„ \ (P -P -p y B ,-2 b c b ¡ =aE¡-¿E; -cE,,

de donde fácilmente se deducen Bi y B¡. Poniendo A=a'-!-bi + c, -2a,b2-2b ,c2-2 c 3a2, e obtiene r 2abe a(a2- c3) bfb1- c ‘ -a?) c(c2-n :- 6 :>i , 1 I ¡¡{a1- b 2-c r) 2abc c i^ -a ’ - b 2) b(b!- c - - a :) I “ T U t t ^ - c 2-*»2) c f^ -a’ - b 2) 2a¿c a t f - b ' - c 1) V I c i^ - a ’ - b 2) b í f r - J - á 1) a ^ - l t - c * ) 2abe i 18. Caso de una matriz de orden n— El método anterior conerva su interés cuando la disposición de los elementos presenta

La primera matriz es diagonal; también lo es su inversa, que tie ne como elementos diagonales los inversos de los de A. Es necesario suponer, por tanto, que a,a i... a„5¿0. La matriz B admite igualmente una inversa del mismo tipo; los elementos correspondientes son inversos de los de B. La condición de posibilidad es la misma. Ejercicio 2. Hállense las inversas de las matrices

A=

’ o 1 1 ... 1' 1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 1 . I

B-|

1 1 ... 0_

Exprésense A -1y B_1 con ayuda de A y de I. *'*••• •

A * 1= — i j - [A + (2 - n)I]; p. , _

a+(n-2)b (a-b)[a+ b(n_________

(a - ó )[ a + ( n -l) b ]

1)6)

en la que <-cos ——+i sen

Demuéstrese que la matriz nA-> se deduce

de A cambiando e en e~'. Resp.: Hágase uso del hecho de que SJ,= l+ e ‘’+e!,,+ ...+É(,,' ,>' es nulo para l^ p ^ n -1 . 19. Matrices triangulares, simétricas y en damero Ejercicio 1. Estúdiese la inversa de una matriz triangular A= [a,-,], con ol(=0 para i>j. Hállese la condición de existencia y compruébese que es también triangular. Tomemos como incógnitas las columnas de la inversa (superíndices): A -‘= [B 'B 2 ... B"] e I= [E ' E2 ... E"]. De acuerdo con la regla de la página 267, se tiene [ a,iBl=El, ) auB1+anB2=E2,

La solución es inmediata: B,= - J _ E,t

B2= - Í - E 2-

E1, ...

Se ve que la ecuación de orden p determina Be con tal que sea Así, la condición de posibilidad se escribe

Por último, B1 solo depende de E1; B2 de E1 y E2; ...; Bp de E1, E2, .... Ep. De ello resulta que la inversa es triangular. Los elementos de la diagonal principal son los inversos de los correspondientes ele mentos de A.

: CALCULO MATRICIAL Ejercicio 2. Determínense las inversas de las siguientes n

o i q q ... c; o = o o i q ... q

i

-i

o o

i

-i

... ( - i r

i - c j c i ... ( - í r + ' c í o i - c j ... ( - i r +2c j

Ejercicio 3. Hállese la ir

-P b 0

P ... (- 1 )”+1¿>" - P ... (- 1 y b"b ...

Ejerdcio 4. Demuéstrese que la Inversa de una matriz simétrica A=[«(/] es simétrica.

APLICACION AL RANGODE UN* MATKIZ________

289

Sean A _1= I ¡2 I y A "‘= [B1 B2 ... B'1] las descomposiciones de lB„ I A-1 en matrices fila y columna, respectivamente. Dichas matrices ve rifican los sistemas 2 « . b. _ e,

2 „ « b" - e'

Puesto que A es simétrica, los primeros miembros son idénticos (salvo la sustitución de Ba por B°). De ello resulta que las B» se ex presan en función de las E, de la misma manera que las B° en función de las E‘". La matriz A -1 es, por tanto, simétrica. Ejercido 5. Se llama matriz en tablero de damas a una matriz cuadra da A=[ai/] en la que todos los elementos a¡¡ tales que i+ j sea par (o impar! son nulos. Demuéstrese que la inversa de una matriz en tablero de damas es Señalemos que el sistema asociado a A se descompone aquí en dos. Uno de ellos corresponde a las filas Bi, Bj B„ (n impar) o B„_i (n par), siendo los segundos miembros respectivos Ei,- Ej, ..., E„ (o E„_i). De ello resulta que las filas consideradas son combinacio nes lineales de E|, E¡, ..., E„ (o E„-i). De manera análoga, las otras filas son combinaciones de Ej, Et E„_, (o E„). Esto expresa que la matriz inversa es en tablero de damas. 20. Aplicación al rango de una matriz Recordemos que una condición necesaria y suficiente para que dos matrices (m, rí), A y B. tengan el mismo rango es que existan dos matrices regulares P y Q. de órdenes respectivos m y n, tales que B=PAQ. En particular, si r es el rango, la matriz f, obtenida orlando la matriz unidad de rango r con m - r filas de ceros y n - r columnas nulas es de rango r. Asf, para toda matriz A de rango r existen P y Q regulares tales que A=PJ,Q. [11 Se dice que ], es la forma reducida de las matrices de rango r.

CAP. XI; CALCULO MATRICIAL Ejercicio 1. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n y rangos res pectivos r y s. Pruébese que el rango de AB es, al menos, igual a r+s-n. (Empléese la fórmula [1] y el resultado del ejercicio 5 de la pág. 235.) Tenemos A=PJ,Q,

AB=PJrB'.

con

B'=QB.

Puesto que Q es regular, QB es de rango s. Entre sus n vectores fila existen s independientes. La multiplicación por Jr solo conserva los r primeros de estos. Según el ejercicio 5 (pág. 235), el rango d de J,B' (es decir, el de AB) es tal que d ^ r + s - n . Ejercicio 2. Determínense todas las matrices A, cuadradas y de tercer orden, tales que A2=0. Se demostrará que si ApSO, su rango debe ser igual a 1 (véase ejercicio 1) y que su traza es nula. (Véase ejercicio 6, pág. 269.) Sea r el rango de A ; el de A2 es nulo, de donde 0>2r-3, o sea r^l,5. Para r = 0 se tiene que A = 0 ; si AjÔ, solo queda la hipóte sis r = l, de donde (pág. 269) A =X 'Y

(X e Y matrices columnas de 3 elementos).

Por consiguiente, A2= X'YX'Y= ('YX)A =.O. Puesto que AjÔ, el escalar ‘YX debe ser nulo; es la traza de A. Estas condiciones necesarias son, evidentemente, suficientes. Ejercicio 3. Determínense todas las matrices A, tales que A2-I. Se demostrará que para A;¿±I, la debe ser de rango 1 y traza 2 (o - 2).

cuadradas deord matriz

Sean r y s los rangos de A + I y de A - I ; se tiene que r+s43. Para r=0 ó s=0, A p ^ il. Exceptuados estos casos, es necesario que uno de los rangos, al menos (r, p. ej.), sea igual a 1. De ello resulta A + I=X'Y, A -I = X 'Y -21, (A + I) (A - I)=X'YX'Y - 2X*Y=('YX - 2)X'Y=0. Vemos, pues, que la traza de A + I debe ser igual a 2. Nociones sobre los series de matrices 21. Matriz función de una variable Los elementos a¡¡ de una matriz pertenecen en general a un cuerpo. Sin embargo, determinadas

operaciones siguen siendo válidas cuando los elegimos en conjuntos varios: anillos, funciones, etc. Examinamos a continuación el caso en el que los a¡¡ son funciones de x, definidas en el mismo dominio. Para el valor x de la variable, escribimos A(x) =[<*„<*)]. Si, cuando x tiende a *o, a¡f,x) admite por límite l¡, (Vi, V/), se tiene, por definición, lím A(*)=[f„]=L. De ello resulta la definición de la continuidad de A(x). Por últi mo, si Vi, V;, a¡i es derivable en el punto *o. decimos que A(x) lo es y escribimos A'(*o)= [a',,{x0)]. Ejercido 1. a) Demuéstrese que si A(x) es derivable en el punto xo, A-(x0)-Kml[A
(A+B)-=A'+B';

[I]

(AB)'=A'B+AB'.

Indfquense las derivadas de A! y de A3. a) La comprobación término a término de la fórmula [1] es inmediata. b) Como el término general del producto C = AB es Cii = jalaba/,

tenemos

c',,= ^

^ awb'0/.

La fórmula C'=A'B + AB' resulta de lo anterior. Se deduce de ello (A2)'= A'A + A A ';

(A3/ = A'A1+ AA 'A + A 2A'.

En general, no es posible simplificar estas fórmulas. Ejercido 2. Determínense las matrices

]

ermutables con su derivada: AA'=A'A (véase ejerdcio 3, pág. 27 Demuéstrese que A es entonces permutable con una cualquiera ¡vadas, A<">.

Las condiciones de conmutación se escriben tí = kb,

c'=kc,

a - d'=k(a - d).

designando por k una función de x. Se deduce asi que tí

c'

a '-d ' -d

De donde

c=ab,

d=a+pb

(con o y (3 constantes). La matriz A es, pues, de la forma r «**) De ello se deduce la derivada n-ésima. La comprobación de la igualdad AA,"1= A ,">A es, formalmente, idéntica a la de AA'=A'A (reemplazando a' y t í por a0'* y f»1"’). Por tanto, se verifica AA
a,

S, - flol+ A +
Se trata de probar que esta serie es convergente, lo que resulta inmediatamente sin más que observar que (en módulo) es minorante de la serie convergente , 1 . nfc2 n’-'fc" 1+ 7Tfc - + " - + ----¡— 1! + ^2! p! +■■■ Cualquiera que sea A, las series [1] son, pues, absolutamente con vergentes; sea s¡¡ la suma para el elemento (i, j). Representamos por ek la matriz [slf] : I!

2!

p!

Puede efectuarse el cálculo de eK si se sabe expresar simplemen-

1.0 oj-

L - « oj’

| - t o j'

án cabe hacer sobre A, B, C de una parte, y «*, «B, e° de 1; e*=I+A ; eB=I+B; ec=Icost+ - n

C.

verifica que ec=eAe". La Ejercicio 3. Consideremos de nuevo el conjunto (?) de las -’ .vl+irf definidas en la página 280. Calcúlese e» y compruébese triz pertenece a (?). Pruébese que

Resp.: eM=e’(I + t/I); eM.eM'= e'+*'[I+(p+y)J] =e“+M'.

Dedúzcase que eA es invertible cualquiera que sea A. y hállese su inversa. Comprobemos en cada miembro la igualdad de los elementos per tenecientes a la fila i y a la columna /. Sea

Para eA-eB, se obtiene
lo que conduce a efectuar productos de series absolutamente conver gentes (producto de Cauchy) y a sumar las series obtenidas. Después de efectuar algunas transformaciones en el término general, resulta:
.8 „ ,+ ^ (8,'aó” 1+ a'ÍJSo/) + + ... + 2 “ ¡-

+ C V 'y '- " +

+... + C’o<«8»,] +...

Como las matrices A y B son permutables, se podrá desarrollar (A + B)” por la fórmula del binomio. En la fórmula anterior, la expre sión entre corchetes representa asf el elemento (i, f) de la matriz (A + BV1; se verifica, pues, que eA.eB=eA+B. Eligiendo B= - A , se obtiene eA.e-A=e°=I, lo que determina la inversa de eK.

Volviendo a las matrices, el segundo miembro se escribe

- * [ I4 A - * - ¡ £ 5 r

Aplicación a los sistemas diferenciales La determinación de una matriz columna X(f) formada por n funciones desconocidas xff), que verifican la relación X(í) (A matriz de orden ri),

X(t) = *IAXo.

— =Ae'4Z+e'* -^ - = A e “Z, dt dt de donde e'A

=0,

=0

(para e'A invertible).

[1]

296_________________

C A P.

XI: CALCULO matricial

Para í = 0, Z(0)=Xo, de donde se halla Z, que es constante. De ello resulta la solución única X(f)=e'*Xo. Esta fórmula teórica reduce la resolución de un sistema diferen cial de coeficientes constantes al cálculo de e'*; veremos (pág. 401) que esto resulta sencillo cuando A es una matriz diagonalizable. 23. Serie geométrica.—Sea A una matriz cuadrada de orden n; consideremos la sucesión S, = I + XA + XJA2+... + P A '. Cuando Sp tiende hacia un límite S para p tendiendo a infinito, se dice que S es la suma de una serie geométrica S =I + \A+XíAI+ ...+\”K, + ...

[1]

Vamos a demostrar que una condición suficiente (perono nece saria) para que así sea es que ¡A¡ (valor absoluto o módulo) sea sufi cientemente pequeño.

Basta asegurar la convergencia de las n1 series; 8/,-+Xu'J'+ XVJ1+... + Como \:pnp-'k1’,

+...

[1 bis]

el término de lugar p+1 está acotado enmódulo la convergencia de la serie 1+ |X¡fc+ ¡X¡Jnfct+...+ iA|’+ ...

por {2]

implica la de 11 bis]. Ahora bien, [2] es una progresión geométrica de razón IXjnfc. Eligiendo ¡X¡<—— se asegura la convergencia de S.

S es la inversa de la matriz I-*AA.

^^

297 Hagamos S= 1+

XA+...+X pA‘,-fRp;

de ello se deduce que

S(I - XA) = I - XA + XAa - XA) +... + XpAp(l - XA) + RP(I - XA)= - I - Xíl+1A '+1+ RP(I - XA). Cuando p —> oo, R, —> O, e igual sucede con el producto Rp(I - XA). Por otra parte, X'’*IAP*1 tiende también hacia O por la convergencia de [1]. Pasando al límite, se ve que S(I-X A)=L

CAPITULO XII DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA SISTEMAS LINEALES Función multilineal y alternada de las filas

1. Definición axiomática de un determinante.—Dada una ma triz cuadrada de orden n, se trata de asociarle un escalar A, caracte rizado por propiedades de linealidad y de antisimetría con relación a los vectores fila (resp., columna) de la matriz. Estas propiedades, completadas, para la matriz unidad de orden n, por la condición de tener un determinante igual a 1 (se supone que los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo), permiten hallar la expresión general del escalar A buscado. Antes de recordar esta expresión (véase pági na 300), precisemos algunas consecuencias a priori de la linealidad y de la antisimetría: a) si la matriz tiene dos filas proporcionales (o iguales), su deter minante es nulo; b) la adición a una fila de un múltiplo de otra no cambia el de terminante 1; c) la condición necesaria y suficiente para que un determinante sea nulo es que los vectores fila sean linealmente dependientes (la ma triz no es invertible). Recordemos, por último, que la definición inicial hace desempeñar un papel particular a las filas (resp., a las columnas) de la matriz, pero esta distinción desaparece (véase pág. 303) en la expresión defi nitiva que obtengamos. Sin embargo, los ejercicios que siguen a con tinuación se apoyan únicamente sobre la definición inicial; el lector deberá, pues, respetar la distinción entre filas y columnas; los vecto res fila son aquellos para los que las propiedades se han establecido

299 Adoptamos las notaciones habituales

pero designaremos también el determinante asociado a la matriz de vectores fila ai, a2, ..., a„ por A(ai, a:, a„). Ejercicio ]. Examínese qué influencia tiene sobre el valor de un deternante una sustitución hecha sobre las filas de la matriz asociada. Examínese Una sustitución puede descomponerse en un producto de traspo siciones y cada una de ellas cambia el signo del determinante. Por consiguiente, una sustitución par conserva el valor del determinante, y una impar lo transforma en su opuesto. En particular, una sustitu ción circular es de paridad contraria al orden n del determinante. Para n = 3, p. ej., tenemos la b a' V \
el c' c" |

Ut V b" b

|a

c". c |

Ejercicio 2. Demuéstrese que

(la sumamos una combinación lineal de las filas anteriores). Demuéstrese que no cambia el determinante de esta matriz. Ejercicio 4. En una matriz de tercer orden restamos de cada fila la suma de las otras dos. Compárense los determinantes de ambas matrices. Tenemos A, = A (ai - a2 - a¡, a2- a i - a j , a¡ - a i - u¿), que se descom pone en suma de 27 determinantes (3 x 3 x 3), de los que solo 6 no son nulos; dos se destruyen y, después de algunas transformaciones, se ve que Aj= -4A. Ejercicio S. Demuéstrese que A(a, + b, a2+b, aj+b)=0 cuando 2.2=«i + a3.

En A se suma la segunda fila a la última y sacamos factor común a + b + c ; la matriz obtenida tiene dos filas idénticas, y 4=0, Para Ai, se resta de la segunda fila la tercera, y de la última se resta la primera. En A2 se suma la primera fila a la tercera, que re sulta así proporcional a la segunda. Ejercicio 7. Demuéstrese la igualdad 10 1 la 4= 1 a' |l a"

1 b b' b"

11 ¡0 1 c 1 «+A c' _ 1 a' + A' e"| |l a'+A'

1 II 6+A c+A fc'+ A' c'+ A' ‘ * '+ A' c"+A'|

Ejercicio 8. Pruébese que para ti>2 es nulo el determinante que sigue:

(a,,a,.

La primera fila es la diferencia de dos vectores: .... ai) y b = (¿i, bi, ..., b„). Utilizando la linealidad, descomponemos A en una diferencia de dos determinantes. Se continúa con la segunda fila, con la tercera, ..., etc. Por último, tenemos 2" determinantes cuyas filas están constituidas ya sea por el vector b o por un vector proporcio nal al a = (l, 1..... 1). Si n > 2 todos estos determinantes tienen dos filas proporcionales y A=0. Ejercicio 9. Sabiendo que los números 546, 273 y 169 son divisibles por

I5 2 J|

13. demuéstrese, sin calcularlo, que el determinante D- 4 7 6 es divisible por 13. |63 9¡ 2. Expresión general de un determinante.—Aplicando de ma nera sistemática las propiedades de linealidad y antisimetría, se de muestra que el determinante asociado a una matriz A=[a,-,] viene dado por la fórmula A = 2«0 i. /a.

ÍJauflih —

donde la suma se extiende a todas las permutaciones (ju j¡, /J de los números 1, 2, .... ti; j2, .... /„)= ± 1 según que la sustitución 1, 2 n\ . . . J sea par o impar. Existen, pues, n! términos. Resulta a veces cómodo adoptar* la fórmula

El hecho de escribir la sustitución no significa que en la permutación superior los números 1, 2, ..., n figuran necesariamente en el orden natural.

Tenemos tres permutaciones pares: (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), y res impares, (1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3). Por consiguiente,

Dado que una matriz de s e solo un término igual a i cada fila y columna, la fórmula anterior contiene únicamente un término distinto de cero e igual a ±1, según que la clase de la sustitu ción sea par o impar. De manera análoga, en el caso de una matriz monomia, el deter minante es igual al producto de sus elementos multiplicado por =1, de acuerdo con la paridad de la correspondiente sustitución.

Ya que el determinante puede comprender solo un elemento (véa se el ejercicio anterior), es necesario que cada término se conserve in dividualmente; es decir, contenga un número par de elementos de la especie considerada. En el monomio a¡tl alí: ... a„,„, la suma total de los >Una matriz monomia es aquella en la que sobre cada fila y cada columna

dos índices es par (2n), y si hubiera un número impar de términos de la especie considerada, sería necesariamente impar; lo que es imposible. í+; sea impar son nulos. Hállese el número de términos no nulos del determi nante A de A según sea la paridad de n.- Demuéstrese que A es igual al pro ducto de'dos determinantes: el uno (resp., el otro) formado con las filas y En la fórmula general i.)

tu

solo se obtiene un término distinto de cero eligiendo para ;i, ;'j, j¡, .... (o /„_i) los números impares y para jt, j,, ..., j„-¡ (o ;„) los números pares de la sucesión 1, 2, 3, ..., n. Todos los restantes tér minos son nulos. Si n = 2p, hay p! maneras de elegir los números im pares, y otras tantas para los pares: el número de términos de A es (p!)2. Si n = 2p+ l, dicho número es (p + l) l( p - l)l Para encontrar de nuevo los dos determinantes indicados en el enunciado, cambiemos en [1] el orden de los factores, llevando a los primeros lugares los factores correspondientes a las filas impares; de ... «Oí. h

( 1,3,5.....2, 4, 6,... \ /..)ihifiih ■■■<*»;..=« I jt j3 ;-s ^

~ dnfltu -

En la última sustitución, el número de trasposiciones para pasar de la primera fila a la segunda es igual al necesario para pasar de (1, 3, 5, ...) a (/,. h< h< -••). aumentado en el número de trasposiciones que se precisan para pasar de (2, 4, 6, ...) a (ji, jt, je, ...). Resulta de ello

y el determinante se escribe * = 2 > . / W 5. —

x fÁ Í¡ ,Ít,íe , - l a n a , , , ...

Bajo el signo sumatorio reconocemos el producto de los términos generales de los dos determinantes del enunciado.

Ejercicio 5. Sean A y B dos determinantes de orden n. Demuéstrese que

En efecto; C se compone de términos formados por n elementos elegidos en A y de términos que contienen menos de n elementos de A. Estos últimos son nulos, ya que en cada uno de ellos figura al menos un factor que pertenece a las columnas de A, pero tomado fuera de las filas de A ; este factor es nulo. Por consiguiente, C se compone de términos que constan de n elementos de A y, por tanto, de n elementos de B; es independiente de la elección de a. Según la fórmula general, se tiene: C = 2««i/,02/j -• < V W

b«K<

donde e = ± l , de acuerdo con la paridad de la permutación Ji. ....

n+.k„ n + k¡

n + *„.

Dado que los n últimos números son los mayores en el ordenna tural, tenemos también e—£)«:, donde e¡ caracteriza la paridad de /■, /:, im y e¡. la de k„ k¡, .... k„. Escribiendo C = 2 t'aii.aíi: - a»/~'i*,*».- — *»*-■ en el término general de C aparece el producto de los nerales de lassumas que definen A y B; por tanto, C = AB. 1O i B I Ejercicio 6. Demuéstrese que | I =(-l)"A B . 3. Determinantes asociados a dos matrices traspuestas. Apli caciones.—Una consecuencia importante de la fórmula [21 (pág. 301i

tér

es la igualdad de los determinantes asociados a dos matrices tras puestas A y A'. Ello equivale a decir que el determinante asociado a A puede definirse también a partir de los vectores columna. Cabe, pues, transformar un determinante operando bien sobre las filas o bien sobre sus columnas, lo que proporciona varias posibilidades. En los apartados siguientes veremos cómo el método sistemático de reducción de una matriz permite el cálculo de un determinante. Exa minaremos ahora algunas aplicaciones de la multiplicación de una fila o de una columna por un número dado, lo que hace variar el valor del determinante y obliga a introducir un factor exterior de corrección. Ejercicio 1. Demuéstrese que si los elementos de una fila en un deterciones de filas y de columnas. Así, p. ej., para el determinante de tercer orden, \a b U b' |a" b"

c \ , \abc bac c' = — [a’bc b'ac c"\ a W ;a"bc b"ac

6 1 8 5

cab I i I 1 1 1 ¡ c'ab i= ~ ¡a'bc b'ac c'abl. c"ab\ abc \a"bc b"ac c"ab\

3 9

2 8:

Demuéstrese qi

a la primera, segunda y tercera f¡-

Se multiplica la primera columna por abe y se obtiene la expresión pedida.

El procedimiento parece excluir los valores a, b o c nulos; sin embargo, como A es un polinomio en a, b y c, la igualdad de sus dos expresiones para una infinidad de valores exige la igualdad formal. El resultado es cierto, por tanto, cualesquiera que sean a. b y c. Ejercicio 4. Demuéstrese que por multiplicaciones de filas o de colum nas es posible realizar la igualdad A=|b, b\ J J l & ftl le, c2 cj| |1 yz yj|

Mediante multiplicaciones de filas conseguimos la igualdad de los términos de la primera columna, que se reducen luego a la unidad:

i la primera fila. Finalmente, ¡

Ejercicio 6. Compruébese la fórmula

|l *2*'* «V J O I oí

Ja

lo o !

|cc'

.ja2 1 O di

En efecto: tomar los términos opuestos equivale a cambiar las filas por las columnas, lo que no altera el valor del determinante. Por otra parte, esto equivale también a multiplicar cada fila (o columna) por -1 , lo que para un determinante de orden impar cambia el valor en su opuesto; en este caso resulta que A=0. Cálculo de un determinante

4. Desarrollodeundeterm inanteporloselem entosdeunafila.

Un determinante es una forma lineal con relación a los elementos de una fila. Desarrollándolo respecto a los elementos de, p. ej., la fila i, se obtiene

A =I""A "

El coeficiente A/, es el cofactor o adjunto del elemento a¡¡. Sa bemos que es igual al producto del menor del elemento por —ly*1. Así se reduce el cálculo de un determinante de orden n al de n deter minantes de orden n - 1; después al de n(n -1 ) determinantes de or den n - 2, etc. En la práctica, el procedimiento no es eficaz, salvo para n = 3 ó n=4.

A,■;

Ejercicio 1. Calcúlense los determinantes

Resp.: 2abe; 1+íí, + b2+c2; 0; —(a! + ó2- 2bceos c).

(

DESARROLLOPE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS PE UNA PILA 307 Ejercido 2. Calcúlese • 1 cosx|>

jcosz

|x b x|.

1-cos2x-cos2j/-cos2z+2cosxcostf cosz; 2 \ }-(a + b +c)A2+ abe.

Resp.:

Ejercicio 3. Desarróllese el determinante que se da y compruébese el va lor indicado en el segundo miembro 1 1 c+— b+—

2 1

1 \

4

~ 7

bc)\

a c)\

ab

>'

Se halla

Ejerddo 4. Calcúlense los siguientes determinantes: 0 0 o 0 |o c

6 0 d 0

0; £>l 0¡’ d’

Resp.: (fld -bef-, Wtí1+ cV2- 2bb'cc' - 2ce'aa - 2aa'bb' ; 1+dl + b¡+c2+(aa' + bb‘ + cc'f. Ejercido 5. Resuélvase la ecuación

i;; :

;!- ■

!* 0 0 e¡

Resp.: Se desarrolla por los elementos de la primera columna:

es un polinomio en ir, cuyos coeficientes se deducen fácilmente del determi nante obtenido haciendo *=0 en D. Resp.: D(x)= -x*+x\an +an + a,i)-x(A n + Aa + Au) + \a¡i\. 5. Caso particular.—Si todos los elementos de una fila (salv.o uno) son nulos, el desarrollo se efectúa por esta fila, lo que conduce al cálculo de un determinante de orden inferior en una unidad. Las principales aplicaciones se verán en el apartado siguiente. mentos por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos es igual al producto de los elementos de dicha diagonal. En el caso en el que los elementos nulos estén por debajo de la diagonal principal, se desarrolla por las filas sucesivas.

Basta añadir una fila y una columna formadas por ceros, de modo que sea igual a 1 el nuevo término de la diagonal principal. Podemos también incluir términos cualesquiera en la fila o columna que con-

6. Empleo de laa operaciones elementales.- Para calcular un determinante es cómodo con frecuencia reducirlo al caso anterior (dis minuir el orden) mediante operaciones elementales efectuadas sobre las filas y columnas. Sabemos, en efecto, que estás transformaciones (véase pág. 230) permiten anular todos los términos de una fila o columna determinada, salvo uno. En los ejemplos que siguen, la elección de la transformación más adecuada es importante si deseamos conservar cierta regularidad en

S OPERACIONES ELEMENTALES el determinante, con objeto de poder reiterar el procedimiento. Los primeros ejercicios son sencillos: en ellos habrá que combinar una fila (o columna) con todas las demás, o bien combinar cada fila con otra próxima. Ejercicio 1. Calcúlense los determinantes: II 2 3 41 - 1 3 6 10 1 4 10 20: 1 5 15 35

I a b -a 6 \-a - b - a -b -

|0 1 S 15|

13 1 4 1 5

c di 1-1 1 1 a 0. 1 -1 1 cy ' 1 1 -1 e d i l 1 1

II 1. 11 -1

[0 1 |1 0 !l 1 ;1 1

1 1 0 1

II X 1‘ 0|

61 II 3 61 10 —jO 1 4 = 15] |0 1 5|

Otras respuestas: Sabed; 13 16 24 331 Ai- 30 38 12 . 37 50 15

38 51 78

Para A, restamos de la tercera fila la suma de las otras dos: A, = 12. Para A¡ se resta de cada fila un múltiplo de la segunda: Aj= - 1 ; por último, A} =0. Ejercicio 3. Calcúlense los siguientes determinantes:

El primero se escribe I0 I

0 -h

0 M n. h h

II 1

L

LI a~ b\ :|= -10 10

A= a2+ ó2+ c2- 2bc - 2ac - 2ab.

Para los restantes se hallan sin dificultad las siguientes descom posiciones en factores: (a - a ') (q - q ') - ( b - b ') { p - p 'y ,

(a - c ) { b - d ) ( a - b + c - d).

Ejercicio 4. Calcúlense \1 1 1 |l

a a' a <¿

b ab \ b a'b\ b’ ab' ' b' a'b'\

10 |1 J_|l ¡1

1 A a2 O2

1 1I a1 fc2 0 c2’ c2 0|

ll 1 |1 1 Aj=II cosy II cos¿

1 coso1 cosa

1 I cos/3 cosa ' 1 |

El primero tiene por valor Ai = (a' —aY (b' —by. El segundo se es-

A2= - (a+b + c ) (b + c - á ) (c + a - b )(a + b - c ). Por último, A,= -16 sen2-2L sen2

sen2

Jc b a 01 Se halla fácilmente que Ai = - (a + b + c) (b + c - o) (c+ a - b) (a+ b - c). Para calcular A2 sacamos primero 2a+2b+c factor común, y en el determinante 8 que queda se resta la primera columna de la segunda, la tercera de la cuarta, y esta de la quinta. Haciendo b - c = a , c-a=/3. a - b = y (a+j3+y=0), se obtiene

se desarrolla por la primera fila, de donde 8= - a i - c p - p y 1) * y(af}y + -y3) = (a/3+ y ? . por tanto, A2= (2a+ 2b + c) (a2+ b* + <4+ be + ca - 3aby. Ejercicio 6. Calcúlense los determinantes siguientes:

23

19 -15

9‘

17

5 13 21

22 16 15

Para A, se combinan las filas y columnas 2 y 4 (obsérvese la si metría). Se deduce de elloque I 29 A|= - 25 19 | -9

19 - 91 -11 13 =19440. 13 — l|

Para A2 se observa que se trata de un cuadrado mágico, de donde la posibilidad de hacer iguales (a 65) los términos de una misma fila o columna; A2= 46800000. 7. Otros casos.—En los ejemplos que siguen debe empezarse por simplificar una fila o columna, sin que necesariamente hayan de anu larse todos sus términos menos uno. Se desarrollará a continuación por los elementos de esta fila o columna. Ejercicio 1. Desarróllense los siguientes polinomios en x:

P(*)-|*

t c

*|; Q(* ) =

En P, se resta la primera fila de cada una de las siguientes y se desarrolla por los elementos de la primera columna. Ordenando, se llega al resultado simétrico PC*)=3ar*- 2(2a)*J+ (S.ab)x2- abed. De manera análoga, Q(r) = (x-a ?{x+ 3 a).

Ejercicio 2. Desarróllese en forma de producto el determinante I x+2 2x+3 3*+ 41 A - 2*+ 3 3x+4 4*+ 5 . |3*+5 5x+8 1Ore+171 Resp.: Se resta la primera fila de la segunda, y esta de la terce ra, sacando (x+ l)(x + 2) factor común. Se desarrolla a continuación por la primera fila: A = 3(x+1)2(x + 2). Ejercicio 3. Calcúlese el determinante

Mediante transformaciones elementales se hará que aparezcan los comple-

Se obtiene la

-<¿ p

d-£ -* 10

-b'i

° -} y

0

8 |

la expresión anterior ha sido ya calculada (pág. 68). 8. Relaciones de recurrencia.—El desarrollo de un determinan te de orden n por una fila o columna puede originar una relación de recurrencia utilizable para el cálculo del mismo. Ejercicio 1. Calcúlese el determinante D„. de orden ti, definido por las Se resta la segunda fila de la primera y se desarrolla por los ele mentos de esta. Se halla la relación de recurrencia D„= -D„.,. Ob servando que D| = 1, se obtiene D„ = ( - 1)"-1. Ejercicio 2. Sea el determinante D„ tal que «„=*, a,r- ¡ trese que verifica la relación de recurrencia D „= (*-l)D 11-1+ (x -l)»-'. Dedúzcase su valor. Resp.:

D„=(x - l )" - ,(* + n -1).

Demués

RELACIONES DE RECURRENCIA Ejercido 3. Calcúlese el determinante de o

Resp.: P„=a„x"-‘-P„-1. De ello resulta P„=a¿c"+a„-,x"-l + . . . - oq. Ejercicio 4. Calcúlese A„, definido por 0,,=0 (t/)•

y t^] = I: a,-,=1

Resp.; A„=l.

Se obtiene D„=-D„-,+A„-t, siendo A„-, el determinante consi derado en el ejercicio 4. De ello resulta D2(,= l, D ^ , = 0. Ejercicio 6. Establecer una fórmula de recurrencia para el determinante A„ que sigue, y dedúzcase su valor

Se desarrolla por la primera columna, de donde A,, = D + A„-„ siendo D un determinante de orden n -1, en el que cada elemento de la diagonal principal es igual a 2 y son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal; por consiguiente, 0=2""'. La fórmula A„=2n-'+A„-i conduce fácilmente al valor A„=2" - 1. Ejercicio 7. Pruébese que el siguiente determinante \, verifica una re lación de recurrencia, que puede escribirse A,,—An-t^x^fó,,-] —¿*-2)* Dedúz;ase de ello la expresión de A„: I+x* x 0 0 ... 0 0 X l+*2 * 0 ... 0 0 . 0 x l+x* X ... 0 0 0

0

0

0

i ...

I+x2 x

X 1+x*

Desarrollando por la primera columna, se llega a

A„ - A„ - i = xÂ,,-, - A„_¡). Puesto que Aj-Ai=x*(A¡-A,), tenemos A„-An-]=a2"; además, A|= 1+ *2 y se deduce así A„= l + xi + x,+ ...+x!\ 9. Aplicación de las propiedades de los polinomios Supon gamos que los elementos de una matriz sean polinomios de una o varias variables. El determinante es también un polinomio D con re lación a estas variables. En ciertos casos sencillos, el determinante pone en evidencia numerosas propiedades de D: grado, homogenei dad, antisimetría con relación a ciertas variables, divisibilidad por ciertos factores. El desarrollo del determinante y, sobre todo, su des composición en fáctores se simplifican muchas veces si se tienen en cuenta tales propiedades. Ejercicio I. Calcúlese el determinante

Se trata de un polinomio homogéneo de 4.° grado en x, y, z, u, que se anula para x=0, y - x , z=y y u—z\ por tanto, es divisible por el producto de los cuatro factores correspondientes. Tenemos, pues, V = \ x (ii-x )(z -y )(u -z ), donde X es una constante. Comparando los coeficientes del término xyzu, se halla que X= l. Ejercicio 2. Descompóngase en producto de cuatro factores lineales el

b l

í|

Se obtienen sin dificultad cuatro factores lineales, y se igualan los coeficientes en x4. Resulta así P =íx+a + ó + c)(x + a - i » - c ) (x + f c - c - o )í x + c -a - b).

z *¡ = - (x+y+z) (x+jy+pz) (*+/*»+) donde i es una rafz cúbica compleja de 1. 10. Polinomios antisimétricos— Sabemos que un polinomio an tisimétrico de n variables a, b, c, .... I es divisible por el polinomio de Vandermonde n(a - tí) (pág. 192) asociado a estas variables; el cociente es un polinomio simétrico. La expresión de un polinomio en forma de determinante permite a veces comprobar la antisimetría tintercambio de dos filas o columnas). El propio polinomio de Van dermonde puede escribirse en la forma: 1

. ] : : : y

1

1

¡i

|o> b> 1 1 1 1I

a4 b* c4 d*

J* 62,1

Iflt b¡ b4 c4 d4'

Consideremos el tercero. Se tiene que P j=n(«-b)-Q («i, b, i siendo Q homogéneo y simétrico en a, b, c, d\ de donde Q=AS2+#tS*, llamando S¡ = Xah y Si = 2a. En la relación P3= n(a - b) (AS2+ /zS{) igualamos los coeficientes de los términos en bWd*; esto exige sean /z=0 y A= l. Otras soluciones: P, = U (a -b )x (a + b + c + d ); P2= n (a-b )x (fl + b+c); P4= EI(« —b )x (abe + abd+ acd + bed).

F(*) F<*) F(*) se desarrolla por la

n ( a - c )+ . . . + ( - 1 ) " ^ n(a - b). b x -l i n -1 letras. Ha( - l)"P(a)=(a-2>)(a-c) ... (a-J)II(f>-e). = ü (a -6 ) (« letras). Se obtiene el mismo resultado haciendo x=b, x=c, ..., x = l: puesto que el polinomio P(x), de grado n —1, toma el mismo valor para » valores distintos de la variable x, necesariamente se reduce a una constante. Determinante de un producto de matrices 11. Regla para multiplicar.—El determinante asociado al pro ducto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al pro ducto de los determinantes asociados a cada una de ellas. La posibilidad de trasponer la matriz de un determinante permite escribir de cuatro maneras diferentes el producto de dos determinantes:

|A|•|B|= |'A|•|B|= |A|•|'B|= |'A|- |’B[.

Cambiando el orden de los factores se obtienen también las tras puestas de estas cuatro matrices, lo que no altera el determinante.

i también en forma de s Se obtiene sin dificultad la igualdad {á1+ b1) (c*+
11

1

II

: !1 "-l!¡

Resp.: Se multiplican filas por columnas; cada columna del de terminante obtenido pone en evidencia un factor. Demuéstrese que e

A= z 0 x\ = 4 * W o 4. Demuéstres |°l b, e,| fii |a,ai + b,a2202 atfi+bjlli cd|a3 b¡ c2| 1 |ajai+b¡a¿ +b]0j c2| Basta elevar el orden del segundo determinante y aplicar u las reglas de multiplicación. Ejercicio 5. Calcúlese el determinante

formando su cuadrado por uno de los métodos indicados antes. Resp.: A=(a2+ b2+c2+dí)2.

nido 6. Se hace A=o2+¿í2+c2, B=bc+ca+ab, y se considera el < |B A B I ante A=- IB B A I. Compruébese que es un producto de dos deten

a = (a 3+ Z>3+ c3- '¡abe)2. Ejercicio 7. Se considera el conjunto de las matrict lo orden del tipo A= |_' ^ j , donde z es un complejo Compruébese que forman un subconjunto cerrado ri acidn. Por medio de los determinantes de estas matrices 1 cuerpo de los números reales, el producto de dos su os es una suma de cuatro cuadrados. Resp.: obtiene

Haciendo z,=a + ib, z ,= c + id, z\=a' + ib', z'.=c'- id, se

(a! +b2+c1+d2)( d 2+ b'2+ c,; + d 2) = (aa' + bb‘ + cd + dd'f + + (ab' - ba' + cd' - dd'f + (ac' —ca' + db' —b d'f + (ad —d
12.

Com binaciones filaso colum nas.—

de de Las operaciones elementales proporcionan un proceso regular para el cálculo de un de terminante: conservan, o cambian de manera conocida, el valor del determinante asociado a una matriz A. Pero sucede a veces que se efectúan simultáneamente diversas combinaciones entre filas o colum nas de un tipo determinado, y cabe preguntarse: ¿en qué medida ha cambiado el valor del determinante? Observemos que efectuar com binaciones entre filas (resp., columnas) equivale a multiplicar a la iz quierda (resp., a la derecha) la matriz de A por una matriz determiDe acuerdo con la regla de la página 316, el determinante de A viene multiplicado por el de la matriz operador (a la izquierda o a la dereclií). Ejercicio 1. Se transforma el determinante D= (a,, a* a3) (vectores fila) en (Xiai+Hia2-H-,a¡, Mi+Z^j+l^nj, X3ai+/4ja2+l'j!ij)Compárense D y i .

Se comprueba inmediatamente que la transformación equivale a una multiplicación a la izquierda por la matriz [X, Mi -.1 B = X2 ix2 vi • IX, Ms El valor de D se ha multiplicado por el determinante de B. Ejercicio 2. A toda matriz A se asocia la matriz B, cuya i'-ésima fila se obtiene restando de la suma de las filas de A el doble de la í-ésima fila de esta matriz. Compárense los determinantes de A y de B. Se halla que |B|= |D„1■]A|, donde los términos de la matriz D„ son dn =- 1 y 0,7=1 ( í 7^ f). Su determinante se calculó en la pági na 312, ejercicio 2 (hágase * = - 1 ) . Se obtiene D „ = ( - 2 ) “- ,( n - 2 ) ; para n = 3, Dj=4, resultado ya establecido en la página 299. Ejercicio 3. Sea un sistema de tres ecuaciones lineales y homogéneas con E=0,

G=0.

[1]

AiE+/i,F+>'iG= 0 I \2E+^F+^G = 0 XjE+#tjF+i>3G= 0 )

F-0,

[2]

Le asociamos el sistema

con A, n, v constantes. Demuéstrese que si [ 2] admite solución única, lo mismo sucede con [1]. Utilicemos la notación matricial: el primer sistema se escribe í Xl2 *jt2 "v21 'l AX —O, donde A es la matriz de los coeficientes. Si D = |X IX, jr, v, el sistema [2] se escribe B X -O , con B=DA. Si la matriz B es re gular, lo mismo sucederá con D y A ; por tanto, [1] admite solución

J

13.

Aplicación

— 1.» Sea P„ .... P,„ P„+, un conjunto de n+1 poli nomios de grado igual o menor que n. Hacemos P,=a»*°+<2iix'+ (i de 1 a n+1) y designamos por A la matriz de los coeficientes: A=[o¡,] (orden n+1). Da mos n+ 1 valores distintos, x¡, x¡, .... *„+, a la variable r. y sea X la matriz (orden n+1) del determinante de Vandermonde formado con estos valores (pág. 315). Por Ultimo, se considera la matriz Y=[P,(x,)] (orden n+ 1), cuya i-ésima

1 í

S

5

:::

.(n+1)- (rz+ 2)" (n+ 3)« ... (2n+ l)-l

' i

i

...

i

i

te::: 1.° La expresión P,{x¡)= a» + aax¡ + anx¡! +... + a¡¿x¡‘ representa la suma de los productos de los elementos de la fila i de A por los que ocupan el mismo lugar en la columna ; de X; es el término general del producto AX. Si los n +1 polinomios son todos de grado, estrictamente inferior a n, la última columna de A es nula, y A será singular. Su producto por X da forzosamente una matriz singular. 2.“ Se ve que D„ es el determinante de la matriz Y que corres ponde a los polinomios P | = (* + í-l)" y a los valores .t, = 1, x¡ = 2..... •t„-H= n + 1. Hallemos, pues, los determinantes correspondientes de A y X; para X aplicamos la fórmula de la página 315: ’Xj=n!(n —1)1 ... (n - k ) 1 ... 2! 1! = n (n -W « -2 )> ... (n-fc)‘ +‘ ... 2 -M -. Para A, obtenemos sin dificultad (después de desarrollar por la ¡i"

l - ' q , l—*Ci

-

ICJ-1

2“ 'C i 2- c i ■" ! c >“ r ( n"

n - 'Q ,

-

nC"-'|

Salvo el orden de las filas o de las columnas, se trata de un deter minante de Vandermonde, y resulta: A =«(7j-l)!(n-2)! ...211! con « = +1 según sea la paridad de la permutación (»;, n - 1..... 2, 1). Se deduce de lo anterior que D„= ( - 1)"« rttri - iy (n -

.CÜ... C "'1.

3.° La matriz de A se obtiene dando los valores cosxj, eos x:, ..., eos x„tl a la variable eos x en los polinomios P0= l,

P, =cosx, P2=cos2x = 2cos2x - 1

P„=cosn*.

Tenemos, pues, 1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 A = -1 0 2 ... 0

1 1 eos *, eos xi ... X cos2*i cos2x2 ...

1 eos *„+, cosJr„+i .

En el segundo miembro solo intervienen en el cálculo del primer determinante los términos de la diagonal principal. Se obtiene A=2

‘

n(cos x, - eos x¡) (*>;, n=polinomio de Vandermonde).

Aplicación de los determinantes a los sistemas lineales 14. Sistema de Cramer.—Es clásico el empleo de los determi nantes en la resolución de los sistemas regulares de n ecuaciones con n incógnitas. Consideremos algunos ejemplos.

[1]

. x+ay-aiz=a', ■x+by-b¡z=b‘, (x+cy-c*z=c>;

’ Xx+|/+z=l. [2] >x+Xv+z+1. fx+¡í+Xz=I.

Resp.: (I) x = abc(a+b + c), y= -(tt + Z>)(d + c)(6 + c), z= -((P + P + iP + a b + b c+ ca ); (II) x = y = z = ^ ^ 2

(discútase para A = - 2 y A = l).

Ejercicio 2. Resuélvase el sistema (fl + X)2 fl + X b+X

Í

(a+/i)2 +a+n+b+n

'

Si k es el valor común de los tres trinomios, se tienen las igualJ "

r/,A! + ¿»,A+ Ci = *r, ai\2+ bi\ + c¡=k, njA2+ b¡\ + c¡=k.

Dividiendo por k resulta un sistema con tres incógnitas: Una vez resuelto, sé comprueba que se cumple la relación =|

~

y -p •-p =

) y se deduce así la igualdad pedida.

15. Sistemas singulares Cuando la matriz A de los coeficien tes de las incógnitas no es regular (matriz cuadrada singular o matriz

rectangular), el empleo de los determinantes permite discutir el sis tema, eligiendo los segundos miembros de manera que el rango de la matriz completa sea igual al de la matriz de los coeficientes. En los casos numéricos es más eficaz el método dado en la página 473. Ejercicio 1. Resuélvase, en los casos en que no es un sistema de Cra-

2 2

2

í (m - )x+ y—z=m+ . ) 2*+mp+2s=m2+3, ml m | 2m*+2(m+l)S+ (m + l)* = 2 m 3 -_ -- + 5. El determinante de las incógnitas es nulo para m =0, m=2 y m=l. Si m= 0, la solución es única: *=1,5, y=2,5, z = 0. Si m= 2, se tiene una familia de soluciones que depende linealmentc de un parámetro: x = 7,5-3í,

y = t,

z = 2t-A.

Para m= l, el sistema es imposible. Ejercicio 2. Resuélvase el sistema

2

x + y - a,

2

y+z= b,

2

z + t- c,

r+.e=2 d.

Dése una interpretación geométrica considerando cuatro puntos A, B, C, D, de abscisas a, b. c, d, sobre un eje; condición de posibilidad. Tal condición es a + c= b + d ; supuesta verificada, el sistema es de rango 3 y se tiene z -2 c - t ,

y=2b-2c + t,

x=2a-2b + 2 c-t.

Geométricamente, se trata de determinar cuatro puntos alineados M, N, P y Q, conociendo los puntos medios A, B, C y D de los seg mentos MN, NP, PQ y QM. Los puntos medios de AC y BD deben coincidir, ya que uno u otro de estos puntos es el baricentro de los puntos M, N, P, Q afectados de coeficientes iguales. Ejercicio 3. Sea el sistema con cuatro incógnitas *, x+$y+z+t)=a, z+M*+P-t)=c,

y,

y+k{x+z+t)=b, j t + \(x +y-z)=d. (

z, I: [1]

324

CAP. XII: DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

2.“ Compruébese como, para cada uno de los valores singulares de X antes obtenidos, la condición de compatibilidad de [1] se escribe úx0+by0+czo+dtt=0,

[2]

siendo ** i/o. z». to la solución del sistema homogéneo correspondiente asocia do a [1]. Se obtiene que ¿($=(J-XJ)(1-5A2). La resolución y la discusión se hacen fácilmente reemplazando las dos primeras ecuaciones (y las dos últimas por su suma y su diferencia. Se obtiene, si se pone X = * + y e Y = z + £, (A+1)X + 2AY=o + b, 2AX+ (1 - A)Y = c+d,

s _ t= -£ Z fL ;

de donde se deduce sin dificultad el resultado. El valor A=1 supone a=f>; el sistema homogéneo admite enton ces la solución x0= Ar„ y0= —k, z0= £0=0, lo que corresponde a la con dición a —b=0. Para A =— —, la condición de posibilidad se escribe ✓5 2(a + b ) - ( l + v^5) (c + d) = 0 y es de nuevo idéntica a la relación [2].

tgi-tg (y -:)= a ,

tgp-tg (z-x)= b .

tgz tg (x-y)=e.

Haciendo « = tgt/-tgz, u= tgz-tgx, w=tgx-tgy, se obtiene el sis tema lineal

cuya solución u = v = w= -1 no proporciona valores reales para x, y, z. Se debe suponer nulo el determinante del sistema, lo que da la condición de posibilidad í7Í>c+ a+¿>+ c=0.

325 Ejercicio 5. Se da el sistema de ecuaciones ax+by+c=\â>+b¡

)

a'x+b'«+c=kJ¿*+b-2 >

[1]

a"x+b"y+c"= Xô"-'-hb"1) 1.° Demuéstrese que, en general, existe un valor del parámetro A, para el que [1] admite solución. ¿Cuáles son los casos de excepción? 2.° Interprétese geométricamente la discusión de [1] considerando para ello un plano referido a un sistema Oxy de ejes rectangulares. Demuéstrese que una solución define en general el centro de una circunferencia inscrita o exins crita a un triángulo, que se precisará. 1.* Hay que resolver un sistema de tres ecuaciones con dos in cógnitas, lo que solo es posible si la matriz de los coeficientes es sin gular; se deduce así que la

b

c -W ? T F

Y

V

c'

-\s/a"-

+ b7* =0-

Podemos elegir X de manera que cumpla esta condición, que se escribe . •JtP+ W a b a'

b'

a" b"

Jan+b"F5

Resulta un valor (y solo uno) de X si 8" La condición S' = 0 exige que este determinante tenga una fila nula o dos filas propor cionales. En efecto: en un espacio euclidiano auxiliar, los tres vectores OM=(a,fc, v'a’ +P), OM'=(a',f>', v/o'2+¿"), OM" = («", b", ■Ja"1+b"‘l) pertenecen a un cono de revolución de eje Oz, cuyo ángulo en el vértice vale 45°. Son coplanarios únicamente en el caso de que uno de ellos sea nulo, o bien si dos son colineales. Estas son las condicio nes anteriores. En resumen: Si a =b= *J&+bl= 0, el sistema es imposible salvo para c= 0, en cuyo caso admite solución cualquiera que sea X. Si a=kaf y b=kb', •Jál+til = k ‘Ja"1+ b'1, lo que exige k > 0 ,

326_________ CAP. XII: DETERMINANTE DB UNA MATRIZ CU*DRADA para 8 '=O es necesario que c= k ii y el sistema es aún compatible para cualquier valor de X. 2° Con relación a los ejes Oxy, consideremos las tres rectas ax+ by + c=Q,

a'x+b'y+c?=0,

a"x + b"y + c " = 0.

Las distancias (no orientadas) del punto (*, y) a estas rectas son I ax+by+c I I i/cP+b*

I a 'x+b'y+c' I •/a^+b'1

l

la"x+ b“y + c" I '

-Ja^+b"1 ’

Una solución del sistema hace que estos tres valores sean iguales a |X|, y el punto (*, y) correspondiente equidista de las tres rectas. 16. Inversión de una matriz.—Sean A = [a¡¡) una matriz regu lar y A _1= [6 V] su inversa. El cálculo directo de esta conduce a las fórmulas adjunto de a,, T=— A con A = IA [1) Obsérvese la permutación de índices. El empleo de estas fórmulas es poco recomendable cuando el orden es mayor que 3, salvo casos excepcionales. Ejercicio 1. Compruébese que la matriz A-1= [&/,-] es la inversa de A¡ es decir, que AA->~A-'A=I. Efectuemos, p. ej., el producto A A -1; el término general es c¡¡=

^ O/ox (adjunto de «,„)•

Para i= j, el segundo factor es el desarrollo de A por la í-ésima fila, y C/i—1. Si i?£j. el segundo factor es nulo, porque es el desarrollo por los elementos de la fila j de un determinante deducido de Areempla zando esta fila por la de lugar i. La relación A -‘A = I se obtiene de manera análoga empleando los desarrollos por las columnas. Ejercicio 2. Haciendo uso de las fórmulas [1]. hállensede nuevo los re sultados de los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 (págs. 284 y 2851.

CAPITULO XIII OPERADORES LINEALES. ENDOMORFISMOS

Aplicación lineal de E en F Una aplicación lineal de un espacio vectorial E en otro F es un operador T compatible con las estructuras vectoriales de E y F; es decir, tal que TÍAv+ /xv') = XTv + pTv' (Vv, Vv'). Esta definición permite un estudio abstracto: rango, núcleo, imaSin embargo, cuando queramos estudiar prácticamente un opera dor, nos veremos precisados, en general, a emplear la representación analítica, que recordamos a continuación. 1. Matriz de un operador.—Sean {ej, e2, ..., e„} una base de E (dimen. n) y otra de F (dimen. m). El operador T queda por completo determinado cuando se conocen los transforma dos Te/ de los vectores de la base de E; en efecto,

{fbf2 f„} —

= * T v - | > ,T .,

[11

Por otra parte, los vectores Te/ pueden elegirse arbitrariamente en F: los referimos a la base considerada, de donde [2] La matriz A =[a¡,-], con i como índice de fila y / de columna, se llama matriz del operador para el par de bases elegido; las colum nas de A son las coordenadas de T«i, Te» ..., Te„ en la base de F *. 1Podría parecer más natural escribir [2] en la forma TeJ=2a'/(f,. La matriz obtenida A'—[a'/f] serta la traspuesta de A: sus filas representan las coordena-

[3 bis) Observaciones— 1) La interpretación anterior de las columnas de A es muy importante; en particular, permite efectuar los cambios de base (véase ejercicio 3). La cuestión se tratará de manera sistemática en el apartado 5 (pág. 334). 2) Cuando el operador está definido por una matriz, se entiende que las bases de E y F han sido ya elegidas. En los espacios R" o C" supondremos en general (salvo un isomorfismo) que se trata de las bases canónicas. Ejercicio 1. Determínese, con relación a las bases canónicas, la matriz A que aplica R* en y que a los vectores v=(l, -1 ) y v'=-(2, -3) hace coiresponder T v - ( - l , -2,3) y Tv=(0,5,4). i matriz (3, 2) cuyos elementos verifiquen «i,-« u = -l, « 2, - a 2¡= - 2, “31-^32=5,

2a„-3a,2=0, 2*2, —3a0 - 5 , 2a¡, - 3«32=4;

de donde

f- 3 A = I —11 l 11

(1,2, - 1 ,-3 ), (-3 ,-1 ,0 , 5), (4, 2.5, 0), (-3,-2,1,7) (-5,6). (8,4), (10.-6),

(13,0).

n X,=(*,*2...*„) e Y, = [y,y2...yw] (matrices fila). E¡ junas veces. Aquf empleamos la representación de un lumna. La matriz A es entonces la más cómoda.

-21 - 9 I. ó]

Ejercicio 3. Sea T la ases {.„ e* c5} y {f„ t,>

1.® Sabemos que las columnas de A, están formadas por las coor denadas de los vectores Te'i, Te'2, Te'j en la base flt f; de R2. Defini da la transformación por las fórmulas y, = 3*, + 2x¡- 3*j,

yi=2 x,-xi+x¡,

e convierte en T e 'i= -f2; de Te'2= 3f„

Te'3=f, + 5f2.

De lo anterior se deduce que 0 3 1] A ,= í -1 0 5 J Puesto que fi= fi + f'2 y f2= f i - f 2, tenemos Te'i= - f'i + f'2, 3f'i + 3f'2 y Te'j=6f'i-4f'2, de donde la matriz

2. Imagen de un subespacio- Rango de un operador— En toda aplicación lineal T, la imagen de un subespacio E' de E es un subes pacio F de F, cuya dimensión es inferior o igual a la de E'. En particular, la imagen de E completo es un subespacio T(E) £ F. denominado imagen de T. Su dimensión r, tal que r
ción de este subespacio. La imagen (en Rs) está engendrada por los cuatro vectores colum na de A. Estudiando su dependencia (pág. 230) se ve sin dificultad que los dos últimos son combinaciones lineales de los dos primeros: 3Tej=5Te, + 7Te2;

Te,=2Te, -Tej.

La imagen es, por tanto, de dos dimensiones; dos cualesquiera de los vectores columna forman una base. La ecuación (en R3) de este subespacio es 2t/i+ j/j-t/j=0.

» , =5*1- 12- 5*3.

y¡= -*i -2z2

Determínese la imagen del plano *i+*2+*3=0 de R!. La imagen está engendrada por los transformados de dos vectores que formen una base del plano; elegimos V|=(l, -1 , 0) cuyo transformado es Tv, = (3, 5, 1, 4), v2= (l. 0, -1 ) cuyo transformado es Tv2=(6, -10, 2, 8). Ya que los vectores Tvi y Tv2 son proporcionales, el plano está aplicado sobre una recta de R4. o 3. Sea T la aplicad

en la que a es un parámetro dado. 1.° Demuéstrese que las coorden 2.» Hállense los valores'de o, par gen de T. gen para cada uno d 1.° Como la imagen es a lo sumo de tres dimensiones, existe al menos una relación entre (i/,, y2, y¡, y,). Esta relación, que debe apli carse a las filas de la matriz, se escribe

s la ecuación de un subespacio F' de tres dimensiones de R*: T (E )£ F .

_____________ IMAGEN RECIPROCA DE UN SUBESPACIO. NUCLEO__________ 331 2.° La imagen T(E) es de tres dimensiones cuando las columnas de la matriz son independientes. Para ello es necesario y suficiente que sea nulo el determinante A obtenido tomando las tres primeras filas; esto se verifica siempre, salvo para A = 6a3-7a2+ 1=0

y

a = l,

o "= -J.

3.' Si tt= l, el rango es dos; la imagen es la intersección de F' con el subespacio F', de ecuación {/i-3y2+yi=0; se obtienen resul tados análogos para los restantes valores de a. 3. Imagen recíproca de un subespacio. Núcleo.—En una ope ración lineal T, la imagen recíproca de un subespacio F £ F es un subespacio E' Q E. En particular, la imagen recíproca del vector nulo de F es el núcleo N £ E. Si N queda reducido a solo el vector nulo de E, la aplicación es inyectiva: todo vector de F que pertenece a T(E) admite un antecedente y uno solo. Cualesquiera que sean las dimensiones de E y F tenemos, para ^

’

dimN + rango T = dim E.

[1]

Ejercicio 1. Determínese el núcleo del operador T definido en el ejerci ente la imagen recíproca del plano (P) Las ecuaciones de transformación se escriben
de este subespacio respecto al rango de las filas de A. Dedúzcase de lo ante rior el teorema sobre el rango de una matriz. Sea Y = AX la ecuación matricial de la transformación; si X per tenece al núcleo tenemos AX = 0. Se obtiene de esta forma un sistema homogéneo de ecuaciones lineales. Si F es el número de ecuaciones independientes, es decir, el rango de los vectores fila de A, la di mensión del núcleo es n —r' (pág. 244). Por otra parte, el rango r de T es también el rango de los vectores columna de A. Tenemos, pues, según la igualdad [1] anterior n - r /+ r=n,

de donde r —/.

Obsérvese que la demostración dada es por completo independien te de la teoría del rango de una matriz. Ejercicio 3. Sea T(E') la imagen en F de un subespacio E' de E de p d¡dimT(E') =•!>-dim (N fl E’). Puesto que E' está contenido en E, el operador T define una apli cación de E' en F (llamada restricción de T a EO; la imagen es T(E'), y el núcleo, la intersección N O E'. Tenemos, pues, según la fórmu la [1] aplicada a la restricción de T, dim T(E')+ dim (E 'O N )= p. Ejercicio 4. Sea F un subespacio de F y sea E' su imagen recíproca en EDemuéstrese que dim E'=dim N +dim [F n T(E) ]. Los vectores de F' que no pertenecen a la intersección F'OT(EI carecen de antecedentes en E y, por consiguiente, E' está formado por todos los vectores que se aplican sobre F' O T(E). Además, E' contiene el núcleo N de T. Aplicando la fórmula [1] a la restricción de T a E', se obtiene dim [F' fl T(E)] +d¡m N = dim E'. 4. Composición de aplicaciones lineales.- Recordemos que el conjunto de las aplicaciones lineales de E en F constituye respecte de operaciones evidentes un espacio vectorial. Eligiendo una base de

COMPOSICION DE APLICACIONES LINEALES

333

E y otra de F, queda establecido un isomorfismo entre el espacio an terior y el de las matrices (m, n); ambos son de dimensión mn. Considerando por último tres espacios E, F, G, se conoce la defi nición del producto f »T de una aplicación T de E en F por otra T' de F en G. Ejercicio 1. Sean T y T dos aplicaciones de E en F de rangos r y r', respectivamente. Demuéstrese que Ir-r'lírango (T+T')«Sr+i'. El subespacio imagen de T + T' está evidentemente incluido en la suma de los subespacios T(E) y T'(E), de donde (T+ T ) (E) £ T(E) + + T'(E). Entre las dimensiones se deduce que rango (T + T ')=T(E) £ F. indíquese uno o varios subespacios formados a partir de los elementos anteriores. No se obtiene un subespacio de operadores, porque la suma de dos de ellos, T y T', que tienen por núcleo N, admite un núcleo Ni tal que N £ N,. Así, p. ej., para T '= - T , tenemos Ni=E- De manera análoga, la imagen de T+T' es Fi tal que F,£F'. Por otra parte, según la relación [1] (pág. 331), los resultados anteriores están ligados entre sí. El conjunto de operadores cuyo núcleo contiene a N, subespacio dado de E, constituye un subespacio de operadores. Lo mismo sucede para los operadores cuya imagen está contenida en F'. La intersección proporciona un espacio de operadores que gozan a la vez de ambas propiedades. Ejercicio 3. Sea T una aplicación de E en F, y T' otra de F en G, y sea N' el núcleo de T. Pruébese que dim[T(E) O N'] = rango T - rango (T • T). El rango de T' ° T es la dimensión de la imagen, por T', del sub espacio T(E) £ F. Podemos, por tanto, aplicar el resultado del ejer cicio 3 (pág. 332), lo que da rango (T' o T)-rango T-dim [T(E) D N'].

rango T+rango T-mírango (T' - T )«in f [rango T, rango TJ

Tenemos, por una parte, que rango (T' o T )^ rango T, porque la imagen de T '» T es la transformada por T' de T(E), cuya dimensión es el rango de T. Por otra parte, rango (T' o T )^ rango T', porque el rango de T' es la dimensión de T'(F) y T(E) £ F. Hemos deducido la segunda de las relaciones que deseábamos demostrar. Utilizando la fórmula precedente (ejercicio 3) que da el rango de T o T, la primera desigualdad se convierte en rango T' + dim [T(E) O N '] < m, la cual resulta inmediatamente de la relación [1] (pág. 331) aplicada a la operación T ': rango T' + dim N' = m. En efecto, dim [T(E) O N'J
matriz Q. Determínese la nueva matriz, B, de T*

Sea Y = AX la ecuación matricial de T. En E ei vector v de ma triz X admite, después del cambio de base, una matriz Xi tal que X = PXi- Igualmente, en F, Tv pasa de Y a Y! tal que Y=QYi. Se deduce así que QY,=APX„ de donde Y ^Q -'A PX l La nueva matriz de T es, por tanto, B=Q~'AP. Como las matrices regulares P y Q, de órdenes respectivos m y n, pueden elegirse arbitrariamente, por el cálculo matricial sabemos que el conjunto obtenido es una clase de matrices (m, n) equivalentes, que tienen todas el mismo rango r. Volveremos a encontrar este resultado a partir de la teoría de los operadores. cuales la matriz T es J„ matriz reducida de rangor (pág. 289). Dedúzcase que a bases diferentes. Sabemos que J, designa la matriz (m, n),

con Ir matriz

unidad de orden r y donde O representa matricesnulas de dimensio nes convenientes. Las ecuaciones de la transformación son así y¡=x¡ (» de 1a r),

y¡ = 0 (t de r + 1 a m).

De lo anterior resulta que los r primeros vectores de la base de E tienen por transformados r vectores que forman una base de la imagen T(E), y que los n - r últimos vectores de la base de E engen dran el núcleo. Las bases buscadas se obtienen, pues, de la manera indicada a continuación. Sea N el núcleo y sea E' (de dimensión r) un suplementario arbi trario de N. Se determina una base de E al asociar una base de E', Observemos que los r vectores Tej, Te¡, .... Te, son independien tes. En efecto, una relación

es imposible con coeficientes A,- no todos nulos, porque el vector Vx.Cj que pertenece a E' debería pertenecer igualmente a su suple mentario, N.

Estos r vectores forman, pues, una base de T(E) (de dimensión r). Elijamos como base de F, f¡=Tei (i de 1 a r) y { f,+!, ..., fm}, base de un suplementario de T(E). En este par de bases, la matriz de T es, evidentemente, Jr (interpretación de las columnas). Sean ahora A y B dos matrices del mismo rango; el razonamien to anterior y el resultado del ejercicio 1 muestran la posibilidad de hallar matrices regulares tales que Jr=Q -‘AP = Q'-'BP'. Se deduce de ello que B=Q¡JAP|, haciendo P, = PP'-1, Qi = QQ'_1; sabemos que Pi y Q¡ son regulares. Suponiendo que A es la matriz de un operador T para dos bases dadas, se ve que B es la matriz del mismo operador cuando se efectúa en E el cambio de base definido por P|, y en F, el cambio definido por Q|. Endomorfismos de un espado vectorial 6. Consideraciones generales.—Cuando E y F coinciden, un ope rador lineal T define un endomorfismo del espacio E dotado de su estructura vectorial. Las propiedades estudiadas anteriormente siguen siendo válidas, pero las propiedades esenciales de un endomorfismo dependen del hecho de que v y Tv pueden compararse de diversas ma neras, dado que pertenecen a un mismo espacio; p. ej.: a) Se puede ver si, al describir v un determinado subespacio, Tv pertenece también a este subespacio, el cual recibe el nombre de invab) Podemos estudiar los vectores para los cuales Tv=Xv, lo que conduce a la noción de subespacio propio. En el presente apartado suponemos definidas la adición de endomorfismos y la multiplicación por un escalar. Estas operaciones son las mismas que en el caso general; por el contrario, la multiplicación define aquí una operación interna particularmente importante. Los ejercicios que se refieren a estas cuestiones se reúnen en el apartado siguiente (anillo de los endomorfismos). Para comparar con facilidad v y Tv conviene referir estos vectores a una misma base, lo que haremos de manera sistemática ’. El opeun endomorfismo la forma sencilla o Vi~0) indicada en la pági na 334. Pero esta reducción no tiene relación alguna con el problema fundamen tal de la diagonalización estudiada en el capítulo siguiente. Equivale a conside

337 rador queda así caracterizado por una matriz cuadrada cuyas colum nas son las coordenadas en la base considerada de los transformados de los vectores de la base. El cambio de base se estudia en la pági7. Endomorfigmoa. Primeros ejemplos.—Cuando E es de dos o de tres dimensiones, resulta cómodo emplear la representación geo métrica habitual. Para obtener una correspondencia completa entre los vectores de E y los vectores geométricos que los representan, con viene recurrir al espacio afín'. Eligiendo un punto O, existe una co rrespondencia biunívoca entre los puntos de este espacio y los vecto res de E. Sea (O, ei, e¡, e¡) un sistema de referencia; el vector OM = - Ix¡e, se convierte en OM'=2x',e¡ tal que

x'2=a2,x,+aax2+a2^„

L*'l = fl„*l+fl|J*2 +
e dice que se trata de u

La primera conduce a las fórmu las x'¡=ax,, * 2= *2. Se trata de una dilatación paralela a Ox„ de base Ox2 y razón a. La segunda se escribe x\ = O, x'2=x2; el punto M' es la proyec ción de M sobre Ox2 paralelamen te a Ox¡. La tercera se escribe x\ = x¡ + bx¡, x’i= x¡. El vector MM' = bx¡e, es paralelo a Ox¡ y proporcional a 1Se dedica un capítulo particular al espacio eudidiano, donde definí longitudes y ángulos. En él se considera toda transformación del espacio 1

La transformación es un deslizamiento; se indica en la figura de la página anterior la construcción de M'. Por último, la cuarta matriz conduce a las fórmulas x',=x1, * /2=*iEs una simetría respecto a la diagonal x,=x2 y paralelamente a

Si M está en el plano xI+ x¡+x] =0, su transformado M' es tal que OM' = - OM. Si M se halla sobre la recta, M' es tal que 0M' = 20M. De lo anterior se deduce el transformado de un punto cualquiera M; en efecto, si son m y m, las proyecciones de M sobre el plano y sobre la recta (paralelamente a la recta y al plano), se tiene O M '= -0 m + 20mi. Ejercicio 3. Considérese en la base {«i, e¡) la transformación x'¡=xt-xj,

El transformado de OM =*iei + *2e2 es OM' = jr,(ei + e2) + Xiid - e,) = = *,e'i + *2e'2. El vector a-te'i es la proyec ción de OM sobre la primera diagonal (soporte de e'i) para lelamente a c.. El vector Xfe'¡ es la proyección de OM sobre la segunda diagonal (e2-e,) paralelamente a e,. Se obtiene el transformado de M sumando los vectores proyección (véase figura).

339 Sea (II) el plano de ecuación Xi+2x2-Zxi =0. El punto M' situado sobre la paralela a e3 trazada por M es tal que x'j=3MMi, siendo M! el punto donde esta paralela corta a (II). 8. Proyector.—Sean E' y E" dos subespacios suplementarios de E. 1odo v'E E puede escribirse v = y'+ v ",

con

v'E E,

v 'E E ".

La aplicación P que asocia v'=P(v) a v es lineal: es la proyección de E sobre E' paralelamente a E"; P es un operador de proyección o proyector. Estas transformaciones generalizan las operaciones habitua les de proyección en un espacio de dos o tres dimensiones. Desem peñan un papel importante en el estudio de la diagonalización (pá gina'397). Ejercicio I. En R3 sea (íl) el plano *,+2*2+3ij-0, y (D), la recta Determínense las matrices P y F de las proyecciones de R3sobre til) [paralelamente a (D)] y sobre (D) [paralelamente a (II)]. Descomponemos el vector v=OM de coordenadas (x„ x2, x¡) en v' E (II) y v" E (D). Las coordenadas de v" son de la forma (3X, 2X, X). Se determina X escribiendo que v '= v -v " pertenece a (II); de donde X - = i(*1+ 2r2+3*J). De lo anterior se deduce que ! 13 6 91

r- é ;;l y Se observa que P + P' = I. subespacios de R<¡ de una parte, E', engendrado ,=(0, 1. 1, 1); por otra. E", engendrado por e'¡= 0. -1, 0). Compruébese que R‘ =E'©E" (suma dilatrices P y ¥ de las proyecciones de R‘ sobre E' >re E" (paralelamente a E').

Resp.. 1 1 1

-2 1

Ejercicio 3. Se considera un operador T de R' (resp., de R!) cuya matriz es diagonal en una base: A=diag{d,, d¡) [resp., A diag (d,. d¡. dj}]. Supo niendo los números d, distintos, pruébese que T es una combinación lineal de dos (resp., tres) proyectores. Estúdiese el caso de que algunos d, sean iguales. Para el caso R2, las fórmulas x\ —d¡x,, x'¡=d:X, demuestran que pa samos de OM a OM'=T(OM) descomponiendo OM según los vecto res base e, y e¡, de donde OM = Om, + Om2; multiplicando Om, por d¡, Om¡ por rfj y sumando: OM' = d,Om, + d¡Om2. Pasamos de OM a Om, por una proyección sobre e, paralelamente a e2 seguida de una homotecia de razón d,. Igualmente, el vector d2Om2 resulta de OM por el operador d2P2, siendo P2 la proyección sobre e2. La definición de suma de dos operadores muestra que T = d,P| + d2P2. Si di=d2 desaparecen las dos proyecciones; T=d,I es una ho motecia. En el caso de tres dimensiones se definen tres proyecciones: P„ p. ej., es la proyección de R5 sobre e„ paralelamente a (e2, e2), etc. Tenemos T =d,P¡ + í/2P2+ djPj. Si d¡ = d2, existen solo dos proyecciones P:. y la proyección sobre (e,, e2) paralelamente a e¡; se tiene T=d,P + djPj. Si tf, = d2=(fj se obtiene una homotecia. 9. Imagen y núcleo.—La imagen T(E) y el núcleo N son dos subespacios de E. La suma de sus dimensiones es igual a n, dimen sión de E; pero, en general, no son suplementarios. Cuando el núcleo queda reducido a solo el vector nulo, o tam bién T(E) = E, el operador T es regular, y admite un inverso T-1. El conjunto de los operadores regulares constituye, respecto de la mul tiplicación, el grupo lineal.

La primera es la simetría (definida en la pág. 337, ejercicio 1); evidentemente, es una transforma ción regular [T(E)=E], que coin cide con su inversa. La segunda es una proyección oblicua sobre la diagonal x,=x2 paralelamente a Ox2. El núcleo es el eje Ox¡, y la imagen, la diago nal. Por último, la tercera asocia al punto M el M' de Ox2, definido por la construcción de la figura adjunta: MH paralela a Ox¡ y HM' paralela a e,e2. La imagen y el núcleo se confunden con Ox2. Ejercicio 2. Determínese en la base (e,, e> e,) de R‘ la matriz de un Te, y Te2, de coordenadas (2, 1. 1) y (3. 0, -1). y cuyo núcleo está engen drado por el vector (1, 2, -1). El transformado de e¡ es Te¡ = XTe, + /zTe2; por tanto, la matriz de T se escribe [2 3 2X+ 3f*l A= 1 0 X . ll -1 X-pt J Se determinan X y p escribiendo que el transformado del vector (1, 2, -1 ) es nulo; de donde, X= 1 y /z=2. Ejercicio 3. Con base {e,( e2, e,}. hállese la forma general de las matrices de los operadores cuya imagen está engendrada por los vectores v= (2, -1, 3) y v '- (l, -1, 2). Los transformados de los vectores de la base son de la forma Te¡=X,v + fiiv' (i de 1 a 3). Por consiguiente, la forma general de las matrices buscadas será: f 2X, + fi¡ 2X2+ fi¡ A = -X|-fz, -X2- ji2 l 3X, + 2/x, 3X2+ 2p2

2Xj + fí¡ 1 la , a2 “J 1 -X j- jtj , o /3, /32 3Xj+2ftjJ [a ,-p , a ¡- p 2 a,-p,\

Nos hemos limitado a expresar que la imagen queda incluida en el plano engendrado por v y v'; hay que asegurarse también que es de dos dimensiones, para lo cual es necesario y suficiente que las dos

resulta que el conjunto de operadores considerados no constituye un espacio vectorial. Ejercicio 4. Caracterícese la matriz de un operador de R! que tiene por imagen el plano i,+x¡+rj—0. y por núcleo, la recta *i— Escríbase, con ayuda del mínimo número de elementos independientes, la matriz más general que tiene esta propiedad. Se deduce fácilmente que debe ser nula la suma de los elementos de cada fila y columna. Esto proporciona seis relaciones, de las que una es consecuencia de las restantes; quedan asf 9 -5 = 4 elementos independientes. Si estos se eligen en las dos primeras filas y dos pri meras columnas, la matriz se escribe b b'

-(b+b -)

-(a + b ) 1 -(u'+fi') con c = a + ¿ + b + b '.

c J

Por último, para que la imagen sea efectivamente de dos dimen siones, es necesario suponer que a b '-b tf ^ 0 . Ejercicio 5. Determínese el núcleo y la imagen del operador T, de matriz

Caracterícese T geométricamente. Como la matriz tiene la forma definida en el ejercicio anterior, conocemos la imagen y el núcleo. Si M está en el plano, OM' = 30M, de donde resulta que T=3P, llamando P a la proyección sobre el pla no paralelamente a la recta. Ejercicio 6. Un operador T tiene por núcleo N. Demuéstrese que la ima gen de uno cualquiera de los subespacios suplementarios de N se confunde con la imagen T(E). Sea r el rango, que coincide también con la dimensión de un sub espacio cualquiera E' suplementario de N. Después de la transfor-

mación, la imagen T(E') queda evidentemente incluida en la imagen T(E) del espacio completo. Por tanto, basta demostrar que las dimen siones son iguales, o también que la imagen de una base {e,, e¡, e,} de E' es una base de T(E). Para ello comprobemos que Te,, .... Te, son independientes. Si existiera una relación X,Te, + ... + X,Te, = T ^ X
El núcleo es el plano de ecuación Xi-t-Z2-Xj=0; la imagen, la

contenida en el plano anterior. Para que {e'i, e'i, e'j} sea una base de R3 en la cual la matriz de T sea B, es necesario y suficiente que T(e',)=0,

T(e'j)=e'l(

T(e',)=0.

Lo anterior equivale a decir que e'i ha de pertenecer a la imagen, y que los vectores e'i, e'} deben constituir una base del núcleo; eleS'm0S

e ',= (- l, 3.2),

e'j=(l, —1,0).

= («, P, y) se tiene la única relación a + P - y - -1.

o 10. Caracterícese i las dimensiones demuestra que e

:,+ b*2= 0,

cxl + dx1=0.

e deduce que A=fc m¡

10. Subespacio invariante.—Un subespacio E' de E se llama invariante o estable para un operador T si a todo v £ E ' corresponde Tv G E'. El núcleo y la imagen de un operador cualquiera son invarian tes; generalmente, existen otros, y a veces, una infinidad.

SUBESPACIO INVAMANTE__________________ 345 Si consideramos E' como un espacio vectorial, vemos que T define en él un operador lineal T*, que se dice inducido por T en E'. Para poner de manifiesto este operador1 se adapta la elección de la base al subespacio E'; es decir, se elige en E una base formada por una base de E' completada con una base de un subespacio suplementario. Esto es particularmente interesante cuando ambos subespacios son invaA continuación precisamos la definición de ciertos subespacios in variantes: los subespacios propios. Ejercicio 1. Un operador T de R3admite un plano (II) invariante. Precíse se su matriz cuando se adapta la elección de la base a (n). El mismo problema si existe además una recta invariante (D) no contenida en (II). Elegimos los dos primeros vectores de base e, y e2 en (II), y el ej, fuera. Los transformados Tei, Te¡ pertenecen a (II) y tienen su tercera coordenada nula; de donde la matriz

¡2

fon aa a,sl A = lfla a ajj . lO 0 aa\ La matriz A* =

es la de T*, inducido por T en (II).

Si suponemos además que e, está sobre la recta invariante (D), también lo estará T(ej) y, por tanto, a¡,=aa=0. La matriz se con-

Observación.—El lector puede generalizar sin dificultad esta cues tión al caso de dimensiones cualesquiera. En particular, si se supone que E puede descomponerse en suma directa2 de k subespacios inva1Conviene observar que por actuar T* en un espacio de dimensión menor al de E, las matrices que lo representan son de orden inferior a n. 2La descomposición de un subespacio en suma directa de k subespacios E|, E, E, generaliza la descomposición en dos subespacios suplementarios. De una parte, tenemos E-E,+ E2+...+Eí y, de otra, que cada uno de los subespacios E, es suplementario de la suma de los fc-1 restantes. De ello resulta que la descomposición de un vector según E|, Ej, .... Ei es única: o también, que la descomposición del vector nulo se obtie-

riantes E,, E2, ..., E2, se elige una base adaptada a esta descomposi ción. La matriz T está formada en tal caso de k submatrices cuadra das situadas sobre la diagonal principal:

subespacios invariantes E| y E2? El transformado de un vector de la forma V|+ v2 (con vi £ Et, v2£ E 2) es T v , + T v2, que pertenece también a Ei + E2; la suma es invariante, y lo mismo sucede para la intersección. Ejercicio 3. Demuéstrese que todo subespacio invariante Ei de una d¡v€E| queda multiplicado por un factor determinado, X. Sea Tvi=\V[ el transformado de cierto vector v, £ E i; otro vec tor cualquiera se escribe v=ifcvi, de donde Tv=fcTv, =k\y¡=\v. Por consiguiente, el producto por X es válido para todo vector de E] que sea subespacio propio. Ejercicio 4. Determínese a de manera que la transformación r'|= 2xi+ 3*2. precísese el conjunto de vectores que satisfacen esta propiedad. Puesto que x'¡=

x'¡=x¡, se deducen las dos relaciones *, + 3*2= 0,

*, + ( « - l ) * 2=0,

que son compatibles para a =4. Los vectores invariantes forman un subespacio engendrado por el vector (-3 , 1). ne eligiendo precisamente el vector nulo en cada uno de los subespacios; estas propiedades admiten las correspondientes recíprocas. Escribimos

Precisemos aún que para obtener una descomposición en suma directa es necesa rio y suficiente que la reunión de los vectores de una base de E, con los de una base de E¡, .... con los de una base de E» constituya una base de E. Tal base se dice adaptada a la descomposición de E.

347 Ejercicio 5. Determínese de manera general la condición para que la trans formación x',=ax,+bx¡, *'2=c*i+<íx2 deje invariante un vector (r,. x2). Resp.: l- (a + d )+ a d - b c = 0; se obtiene todavía como resultado una recta de vectores invariantes, salvo para a = d = 1, b = c = 0. Ejercicio 6. Pruébese que un operador T, para el cual toda recta de E (subespacio de una dimensión) sea invariante, se reduce a una homotecia. Examínese el caso en el que son separadamente invariantes todas las rec tas de un subespacio invariante E|£ E. Sea {ei, e2, e„} una base de E; tenemos Te¡ = Aie( (véase ejerci cio 3) con n coeficientes Af distintos o confundidos. El transformado de v = £ x,e, es Tv = ^ k,x¡e¡, por lo que debe existir un número k \¡x,=kx¡ (i de 1 a ti). Elijamos v de manera que todas las x¡ sean distintas de cero, de donde se deduce que A,=A2= ...= A „= * . El operador es una homotecia de razón k. Si el subespacio Et está formado por rectas invariantes, la pro piedad anterior se aplica al operador T* inducido por T en E], y T* es una homotecia. Observación.—Por definición, se llama subespacio propio de T a todo subespacio invariante E, para el cual la transformación inducida es una homotecia: V veE , se tiene Tv=fcv. Para un valor de k determinado, se supone en general que E| es el mayor subespacio que tiene esta propiedad; es decir, que Vv í E|,

Tv jé Arv.

Ejercicio 7. Demuéstrese que el conjunto M de los vectores de E que se Estudíese la intersección de M con el núcleo N de T.

El conjunto M es no vacío, porque comprende, al menos, el vector nulo. Si v € M y v' E M, se tiene T(Xv+ /xv')= XTv + /¿TV= Xv+ ¡xv' ; por consiguiente, Xv+ ¡xy' E M, cualesquiera que sean \ y ¡x. Por tanto, M es un subespacio de E, evidentemente invariante respecto a T. Si v es común a M y N, tenemos, de una parte, Tv = v, y de otra, Tv=0, por lo que v=0, y los dos subespacios son disjuntos. Ejercicio 8. Demuéstrese que una condición necesaria y suficiente para que un operador T sea un proyector es que la imagen se confunda con el sub espacio M definido anteriormente. Ejemplo: Referido R3 a la base {ei, en ej}, escríbase la matriz más ge neral de un operador T para el que M-T(E) sea el plano (e,. e2). CompruéEvidentemente la condición es necesaria. Recíprocamente, si M = = T(E), el núcleo N y la imagen son disjuntos (véase anteriormente) y, por tanto, suplementarios. Para t CE, tenemos v=v'+v",

con v 'G M

y r '6 N .

Por consiguiente, Tv=Tv' = v'. Volvemos a encontrar la definición de proyección. El ejemplo conduce a las relaciones

Se trata de una proyección sobre el plano OxiXi. paralela al vec tor (c, c', -1).

sean suplementarios. Ejercicio 10. Sea T el operador de R3 definido en una base por las re laciones x'1=d,X|, x'js-djij, x'j=
l.° Si (D) es invariante y v£(D ), tenemos Tv*=fcv, de donde (k -4 ta .C lb -4 ta -( fc - 4 » ir,= 0 .

[1]

Supongamos distintos d¡, d2 y d¡\ las igualdades anteriores exi gen que dos de los números *,, *2, x¡ sean nulos; por tanto, existen tres y solo tres rectas invariantes: los ejes de coordenadas. Si d3=di, de [1] se deduce que k=d¡, x3=0; toda recta del plano 0*1*2 es invariante, así como Ó*3. Estas son las únicas rectas inva riantes. 2.° Sea (II) un plano invariante por T. Si v£ (II), tenemos Tv € (II) y T(Tv) € (II). Puesto que (II) es de dos dimensiones, los tres vectores son dependientes. Si v tiene por coordenadas (*,, *;, *3), esta condición se escribe: 1*, 1*2 |*3

d,x, d*xi| d¡Xi 4*2¡=0, d¡x3d¡x¡\

o

¡1 d, dj: *i*2*31 d2 rf|¡=0. ¡1 d¡ cPy

Si d¡, d2 y d¡ son distintos, el determinante no se anula (pág. 315). Hay que suponer que uno de los x¡ es nulo, de donde resulta que hay tres planos (y solo tres) invariantes: los planos coordenados. Si d i-d 2j^d2, la condición de dependencia queda satisfecha por todo t £ E . Sea, pues, v un vector dado que no pertenece a una recta invariante; los vectores v y Tv no colineales determinan un plano invariante1; para v=2 a¡e¡ su ecuación se escribe 0:2*1- a,x2=0, que contiene Ox3. En resumen: el conjunto de los planos invariantes comprende los que pasan por Ox3, así como el 0*1*2 formado por rectas invariantes. El caso d¡=d2=di es evidente. 11. Cambio de base.Operador regular.—La matriz domorfismo depende de la elección de la base. Si A es la matriz en la base {e„ e„}, en la{e'„ e'2, ..., e'„) se convierte en B, tal que B=P-'AP,

[1]

llamando P a la matriz de cambio de la primera base a la segunda2. Dos matrices relacionadas por [1], donde P es una matriz invertible 1E inversamente, todo plano invariante no formado por rectas separada mente invariantes puede determinarse de esta manera. Este aspecto del estudio de los subespacios invariantes se precisará en la página 356. 2Es decir, recordémoslo, una matriz cuyas columnas son las coordenadas respecto a la base primitiva de los nuevos vectores base.

cualquiera, se llaman semejantes. La semejanza es una relación de equivalencia (véase ejercicio 1) en el conjunto de las matrices cua dradas de orden n. Una clase está formada por el conjunto de las matrices asociadas a un operador dado cuando se consideran todos los sistemas de referencia posibles. Operador regular.—Sabemos que un operador T cuyo núcleo que da reducido a solo el vector nulo es regular. Cambia cualquier base de E en otra. Resulta, por tanto, que a todo cambio de base puede asociarse un operador regular R que actúa sobre los vectores de la base: e¡ se transforma en e'(=Re,-. Quede bien claro que en el estudio de Un cambio de base, cualquier vector v queda invariante; la operación R se aplica únicamente a los vectores de la base. Ejercicio 1. Compruébese por cálculo que la semejaoza es una relación de equivalencia. La relación es reflexiva, porque se verifica A = P ~ ‘AP eligiendo P=I. Es simétrica, porque de B =P"'A P se deduce A=PBP_I (con •P-1 invertible). Por último, es transitiva, ya que de B = P ‘AP

y

C=Q-'B Q

se deduce C = Q ',P_IAPQ=S"'AS, haciendo S=PQ y observando que S es invertible. Ejercicio 2. Un operador T de R* transforma u=e, +ej en 2u, y v= —ei+ +202 en -v. Determínese su matriz en la base (ei, e¡} utilizando en primer lugar la base {u, v}. En la base {u, v } la matriz es B = | ^ j*j. Como el paso de r i -11 {*i, e2} a {u, v) viene definido por la matriz P = |^ 2 J ’ S6 ten-

J" ' —

t; - m ;

Ejercicio 3. Un operador tiene por matriz A=

¡m

y-

í ^

j

en la base

{ei, e;}. Determínese su matriz B en la base {e'j, e%} tal que 2e'i=el+e2.

Tenemos

”

y L ‘ ,‘ H J

-J][! - | ] - [ - í ;]■ a el vector (1, - 1) en (-2, 1) ra, e n la e',-(l,l).e'2-(-2 .1 ).

Escribimos que AP=PB con P= ^

^J

Llegamos a

homogéneo que determina P> salvo un factor constante:

De acuerdo con la fórmula general, B = P-IAP = A-IAA = A. La ex plicación geométrica es sencilla. Por definición de matriz de cambio, los nuevos vectores base son Te,, Te2, ..., Te„. Si

los números aM, a21, fl»i forman la-primera columna de A; de ma nera análoga para Te2, Tej, ... En la base Te, Te„ las columnas de la nueva matriz de T se obtienen hallando los transformados de los vectores de la base; es decir, T(Tei), T(Te2), ... Ahora bien: te1 n'" S

T(Te1)=a„Te,+a2lTe2+ ... +o„,Te„.

Las columnas son, pues, las mismas. Ejercicio 7. Sea P un proyector de un espacio de n dimensiones. Com-

352_________ CAP. XIII: OPERADORES LINEALES. ENDOMORFISMOS Hallemos una base en la que la matriz sea A. Los r primeros vec tores de la base quedan invariantes y pertenecen a la imagen; los n —r últimos pertenecen al núcleo. Basta, por tanto, asociar una base de la imagen a otra del núcleo. El número' r es igual al rango de P. Ejercicio 8. Sea A la matriz del operador T en la base (o, e>, ..., e„). Se toma {e„ e„_|, ..„ *1} por nueva base. Precfsese cómo se deduce ía nueva ma triz B de T a partir de A. rO 0 ... 0 l l Tenemos P = I9

9

í

?

y P -’ =P. Deacuerdo

conla regla

ll 0 ... 0 oJ

de multiplicación (pág. 267), P_1A se deducede A cambiandoel orden de las filas (la primera pasa a ser la última, la segunda la penúltima, etcétera). La matriz B = (P-'A)P se deduce de P-1A, operando de la misma forma con las columnas. Por tanto, resulta que el término de la fila i y de la columna ; de A se transforma en el situado en la fila (n -t '+ l) y en la columna (n -j+ 1 ) de B.

Anillo de los endomorfismos El producto de dos endomorfismos de un espacio vectorial es un nuevo endomorfismo. De esta forma se define una ley de composición interna, que denotaremos sin signo (TT, en lugar de T' o T). Asocia da a la suma, tal ley dota al conjunto de estructura de anillo. La elec ción de una base permite establecer un isomorfismo entre este anillo y el de las matrices cuadradas. El inverso T-1 de un operador regular verifica las relaciones t t - ' = t ->t

12.

= i.

Producto de dos endomorfismos.—Ejercicio 1. Se conside

ran las transformaciones que. en una base, tienen por matrices G - [ * f * 01 L° y H= I k J‘ Compárense GH y HG- Explicación geométrica.

1

Puesto que H = H (homotecia), GH=HG. La conmutatividad sig nifica que en la transformación G (traslación paralela a Ox¡ (véase página 337), los vectores MM' y M,M'„ asociados a dos puntos homotéticos, son homotéticos.

353 Ejercicio 2. Se consideran las transformaciones Ti y T2 cuyas respectivas

Calcúlese el producto T,T2. Interpretación geométrica. Se tiene que T,T2=T ,; la interpretación geométrica de T| y T2 conduce sin dificultad al mismo resultado. Ejercicio 3. Una transformación regular T tiene por matriz A en la base (e,). Sea
Si N y T(E) son suplementarios, todo vector Tv € T(E) (distinto de 0) tiene por transformado mediante T un vector T V jé 0. De ello resulta que T(E) y N ' (núcleo de T2) son disjuntos. La relación an terior sobre las dimensiones dim T(E)+dim N'>n solo puede ser cierta para la igualdad, lo que implica N' = N y T2(E)= = T(E). Si tuviesen un vector no nulo común, w -T v, se tendríá T w=TV=0; por consiguiente, v pertenecería al núcleo de T2, que es también el de T. Se tendría así w=0, lo que contradice la hipótesis.

Sean N y T(E) el núcleo y la imagen de T. Si v e N, T'(Tv)=0, de donde T(TV)=0 porque TT'=T'T. De donde resulta que T'v pertenece también a N. Sea ahora vETIE); existe w tal que v=Tw, y tenemos T'v=T/Tw=T(T'w). De donde T'v, imagen por T de T'w, pertenece también a T(E).

Evidentemente, la condición es suficiente; demostremos que es necesaria. Supongamos H(v) no proporcional a v, lo que implica que la di mensión del espacio es superior o igual a 2. Es posible entonces hallar una transformación lineal T que transforme v en sí mismo y H(v) en un vector w distinto de v y de H(v). Se deduce de ello que TH(v)=w

y

HT(v) = H(v).

La igualdad es imposible y, por tanto, se debe verificar H(v)= Xv, donde \ puede depender de v. Veamos que es independiente. Sean

H(v)=Av (para v) y H(v')= ¡iv' (para v'). Suponemos independientes v y v'. Existe un operador T que cambia v en v'; se tiene TH(v)=Av',

HT(v)=/tv'.

La igualdad TH = HT no es posible si A # jt. En consecuencia, el coeficiente no depende del vector elegido. Por último, en el caso de que la dimensión sea igual a uno, todo operador es una homotecia y permuta con cualquier otro. Ejercicio 8. Sean E( y E¡ dos subespacios suplementarios de E. invarian tes por T. Sea P la proyección de E sobre E, paralelamente a E¡; compruébese que PT=TP. 13. Transformación en el espacio de los polinomios— El con junto de los polinomios sobre un cuerpo K constituye un espacio vec torial E. Determinadas operaciones sobre los polinomios definen apli caciones de E en sí mismo. Limitándonos a subespacios de E de di mensiones finitas es posible representar estos operadores mediante matrices. En los ejercicios que siguen consideramos el conjunto de los po linomios cuyo grado es igual o menor que 4 y referimos el correspon diente subespacio, Ei, a una base formada por los cinco polinomios 1, X, X2, XJ y X4. Ejercicio 1. Al polinomio PEE, asociamos T(PÍ"P\ polinomio derivada. Demuéstrese que se trata de una transformación lineal de E, en sí mismo. ¿Es Sea A la matriz de T en la base antes definida. Compruébese que A5-O, y llegúese al mismo resultado a partir de la derivación de los polinomios. Se comprueba sin dificultad que la derivación es una operación compatible con la estructura de espacio vectorial de E«. La transfor mación no es biunívoca, puesto que dos polinomios que difieren en una constante tienen la misma derivada; el núcleo está formado por el conjunto de los polinomios constantes. La matriz se obtiene hallando los transformados de los polinomios de la base 1, X, X2, X5, X4, lo que da 0, 1, 2X, 3X2 y 4X3. Sus coor denadas en la base anterior son las columnas de la matriz del opera dor; por consiguiente, 0 10 0 0 ' 0 02 0 0 A= 0 00 3 0 . 0 00 0 4 0 0 0 0 oJ

Formemos A2, después AJ y, por último, AS=A 2AJ. Se halla que A5= 0; la explicación es sencilla, porque A5 corresponde a la trans formación T5 que asocia al polinomio P su quinta derivada. Para todo polinomio de cuarto grado esta derivada es nula. Ejercicio 2. A todo elemento h del cuerpo K asociamos la transformación [T(fc)](P)-P(X+ft). cualqi

que sea h, T(h) e

M(fc) de este isomorfistno ¿Qué 1.® Las reglas operatorias en el anillo de los polinomios mues tran que la operación T(fc) es compatible con la estructura de espacio vectorial de E<. Se trata, pues, de una aplicación lineal biunívoca, puesto que P=[T (-fc)]Q . Por tanto, es un isomorfismo (e incluso un automorfismo). 2.° La matriz M(A) se obtiene hallando los transformados de los vectores de la base; resulta

0 0 1 0 0 0 0 0 0

3h 6A2 1 4h 1

La inversa se obtiene sin dificultad aplicando los métodos e< diados anteriormente (pág. 283), pero el cálculo es inútil, ya que bemos que T (- h ) es la inversa de T; por consiguiente, M 1= M( - h. Por último, se comprueba sin dificultad que M(fc)-M(fc)=M(fc + fc] El producto confiere al conjunto M(/t) estructura de grupo confluí

14. Subespacio engendrado por un vector Sea T un endomorfismo de E. Consideremos los transformados sucesivos por T de un vector vi # 0 dado; es decir, los vectores v¡=Tvi,

v3= T v¡,

..., vl =Tvt-,

También podemos obtenerlos directamente de v, aplicando las ope raciones T, T2, T‘_l. Consideremos la sucesión 1

y llamemos p al mayor entero tal que {vi, v¡, .... v,} sea un sistema independiente. Se tiene que ( t i l y p^ n . Los restantes vectores de la sucesión son combinaciones lineales de los p primeros, como se de v,} duce del ejercicio 1. El subespacio E' de generadores {vi, v2, se dice engendrado por V|. Si p=n, el vector v, engendra E. Se dice también que E es monógeno para el operador T. Ejercicio 1. Demuéstrese que el subespacio E' engendrado por un vector v, es invariante respecto a T. Un vector cualquiera de E' puede escribirse w = ^ X ava, de donde

La última expresión introduce vF+„ que es combinación lineal de v,, Sucede, pues, lo mismo para Tw, de donde T v E E '. El razonamiento anterior demuestra que vp+2G E\ de donde vp+, G E' cualquiera que sea q. Se obtiene así un medio de formar subespacios invariantes. El ejercicio que sigue prueba que no todos pueden formarse de esta manera.

v

Ejercicio 2. Se considera en■R3 el operador diagonal definido en la pá gina 348. Precísese, según se elija vp el subespacio invariante engendrado por esté vector. Discútase según los valores relativos de d„ db d¡. Todo vector v, que engendra un subespacio E' de una dimensión pertenece a una de las rectas invariantes (D) determinadas anteriorTodo v, que engendra un subespacio de dos dimensiones perte nece a uno de los planos invariantes (P); quedan excluidos, sin em bargo, los vectores de estos planos que pertenecen a la categoría pre para que vi engendre por entero E, es necesario y suficiente que

vi, Tv, y TV, sean independientes. Si d ¡^ d 2¿¿ d¡ hemos visto que esto supone x¡xiXs 7^ 0. Por último, si d¡=di, no existe vector que engendre el espacio: todo v, no situado en OxiXj origina un plano invariante que contiene a Oxs\ todo Vj situado en 0*i*2 engendra una recta invariante de este plano. Ejercicio 3. Sea diag { d,. d¡. ..., d„) la matriz de un operador T en una base (e,, e¡ e„) de E. Demuéstrese lo siguiente: para que exista un vector v¡ que engendre E es necesario y suficiente que los números d¡ sean Sea V|=Z Xae« uno de los vectores buscados. Se ve primero que todos los coeficientes Xa deben ser distintos de cero, porque todo subespacio engendrado por cierto número (más pequeño que n) de vectores de la base es invariante, y v,, que pertenece a uno de estos subespacios, no podría engendrar E. Tenemos Tv,=SXadata, .... T“-'v,

X«rf„"-'e«.

Una relación de dependencia jX|V, + ¿tjTv, +... + /t„T"-,Vi=0 se traduce, en la base {et, .... e¿}, por n relaciones escalares que, des pués de suprimir los factores constantes (distintos de cero) Xa, ex presan que la ecuación fi, + /x2f+ ...+ ít„t-1= 0 tiene por raíces di, d¡, .... d,„ lo cual es imposible si tales números son distintos, puesto que la ecuación es de grado inferior o igual a n —1. El vector V| engendra, pues, E. la base e, Te T"-|e, designando por e un vector que engendra E. a) Hállese la matriz A de T en esta base. Se pondrá

a) La primera columna de A está formada por las coordenadas de Te, es decir por los números (0, 1, 0, .... 0); la (n-l)-ésima co

OPERADOR IDEMPOTENTE Y PROYEI lumna es (0, 0, .... 1). Finalmente, la última está constituida por las coordenadas de T"e, es decir (a„ a¡ a„). De lo dicho se deduce que

b) Demostremos que el operador /(T) transforma todo vector de E en el vector nulo. Basta razonar para los vectores de la base. En primer lugar, se verifica f(T)e = T"e- aNT’,_'e -... - fl|C-=0 (según [1]). De ello resulta que, cualquiera que sea h, KT)T"e = T*/(T)e= T''0= O. 15. Operador ¡dcmpotenle y proyector Se dice que un ope rador P es idempotente cuando P2= P, lo que implica P''=P, siendo h un entero cualquiera. Se demuestra (ejercicio 1) que estos operadores son los proyectores1 definidos en la página 339. A continuación se examinan algunas consecuencias de esta importante propiedad. cíprocamente, todo operador idempotente es un proyector. Sean E' y E" la imagen y el núcleo de P; si v=v' + v" (con v'EE', P(v)=v'

y

PP(v)=P(vO=V=P(v).

La igualdad P2(v)=P(v), que se verifica cualquiera que sea v, im plica P! = P. Recíprocamente, sea P idempotente. La imagen P(E) está formada de vectores invariantes (subespacio M definido en la pág. 347); en

Puesto que todo v £ M pertenece a P(E), resulta que P es un pro yector (véase pág. 347).

La condición se escribe P + P' = (P + P')!, o, desarrollada, P + P' = P2+ PP' + P'P + P'2. Puesto que P2= P y P'2=P', queda PP' + P'P = 0. Ejercicio 3. Se llama involución todo endomorfismo T cuyo cuadrado es la transformación idéntica. Compruébese que si P es un proyector, el operador T=2P—1 es una involución. Recíprocamente, demuéstrese que toda involu ción puede expresarse en esta forma. Las reglas operatorias en el anillo de los endomorfismos prueban qUe

T2= (2 P -I)2=4P! -4P + I = I, porque P2= P.

Recíprocamente, sea T tal que T2=I. Se verifica (T+ 1) (T + 1)= T2+ 2T+ 1= 2(T + 1). Dividiendo por 4, se ve que la transformación P = i(T + I) es un proyector. De ello sé deduce que T = 2 P -I. mo núcleo si, y solo si, se verifican5las dos relaciones P=PP^ y P'=P'P. Llamemos E' y E'i a los subespacios imágenes, y E" al núcleo co mún. Sea v = v7+ v" la descomposición de v según E' y E"; tenemos Pív)=v\ Se descompone v' según E'i y E", de donde v'=v', + v", y P'P(v) = P'(v')=v',. La comparación de ambas descomposiciones da v=v', + (v" + v"), que es la única descomposición de v según E', y E". Se deduce de ello que P'(v) = v'1. La igualdad P"P(v) = P'(v), válida para todo v, implica que P' = P'P. Es la segunda de las relaciones pedidas; la pri mera se demuestra de manera análoga. El recíproco se obtiene fácilmente. Si P=PP', todo vector v del núcleo de P' es tal que P(v) = PP'(v)=P(0) = 0. Pertenece al núcleo de P; de manera análoga, todo vector del núcleo de P pertenece áV núcleo de P' y, por tanto, los dos núcleos se confunden.

361 Ejercicio 5. Sean P, y P2 dos proyectores tales que P|P2=P2Pi = 0. Com párese la imagen de cada uno de ellos con el núcleo del otro. ¿Qué consecuen cia resulta para las imágenes? Demuéstrese que P|+ P2 es un proyector cuya imagen es la suma directa de las imágenes de P, y Pn y el núcleo, la intersección de los núcleos. Cualquiera que sea v se tiene que P,PJy)=0, ya que P2(v) perte nece al núcleo N| de P,; resulta de ello que P/E) £ Ni; de manera análoga, Pi(E) £ N2. Por ser el núcleo N, suplementario de Pi(E), las imágenes son necesariamente disjuntas. Se comprueba inmediatamente (véase ejercicio 2) que P|+P2 es un proyector; evidentemente, su imagen está incluida en la suma directa Pi(E) © PÊ). Demostremos que coincide con esta suma. Sean v£P,(E ) y v'ePj(E ); se tiene (P. + PjX v + v')=P,(v + V) + PXv + v ) = = P 1(v) + P2(v')=v + v', porque Pi(v')=P2(v)=0. Por consiguiente, v+v' (invariante respecto a P + P') pertenece a la imagen de este operador. Por último, si w es un vector del núcleo de P;+ P2, la igualdad Pi(w)+P2(w)=0,

o

P,(w)=Pj(-w),

solo puede verificarse para P,(w)=P2(w)=0, ya que estos dos vecto res pertenecen a subespacios disjuntos. Por tanto, el núcleo de P,+P: es la intersección de los núcleos. Ejercicio 6. Sea E-E| © E20 ... © E, una descomposición de E en suma directa, y sea P¡ la proyección de E sobre E, paralelamente a la suma de los P,P,=0 (f y / de 1 a s. iíyéj). Pi+Pj+.-.+P.Î. Si v = ^ v, es la descomposición de un vector cualquiera según los subespacios, se tiene que Para ij& j se deduce que P,P,v=P,v,=0; en efecto, por pertenecer y¡ a Ef, las componentes según los otros subespacios son nulas. Se tiene, pues, P,Pj = 0 .

Finalmente, Vv,

de donde P, + P2+ . ,.+P,=I. Ejercicio 7. Reciprocamente, se considera una sucesión de s proyectores P, que verifican las relaciones

Demuéstrese que las imágenes de estos proyectores forman una descomposi ción en suma directa del espacio E (empléese el ejercicio 5). Las relaciones P,P2= P2P|= 0 muestran que Pi + P2 es un proyector cuya imagen es la suma directa de las imágenes de p! y P2. Igual mente, (Pi + P2) y P3 satisfacen propiedades análogas y, por tanto, Pi + P2+ Pj es un proyector que tiene por imagen la suma directa de las imágenes de P,, P, y P,. Prosiguiendo asf, el resultado se extien de a los s proyectores. Por último, la relación 2 P, = I demuestra que todo v £ E es una suma de vectores que pertenecen a las imágenes. Tenemos, pues, una descomposición de E en suma directa. Observación.—Decimos que el sistema de proyectores P( es orto gonal (P,P,=0) y completo (2 P, = I). Todo operador diagonalizable introduce un sistema de este tipo (véase pág. 397). 16. Operador nilpotente.—Un endomorfismo Tt¿0 se dice nilpotente cuando una de sus potencias es nula: T*=0, y, en consecuen cia, será T' = 0 para p^h . En lo que sigue, suponemos que h es la menor potencia pata la que T'1¡=O. Examinaremos en primer lugar el caso de los operadores de cuadrado nulo. que un endomorfismo T verifique la condición T¡ - O es quería imagen T(E) esté incluida (en sentido amplio) en el núcleo N. Si r es el rango de T, dedúz case la relación 2rín (dimE). Si T es de cuadrado nulo, se tiene, para todo v, T3v=T(Tv)=0. Puesto que Tv describe la imagen, esta queda por entero contenida

363 en el núcleo. El recíproco es inmediato. La relación r + dimN=dimE implica que 2r^n, porque re?iO. Demués-

OPERADORES LINEALES

Demostremos que es imposible obtener una igualdad X,e+ XjTe +... + X„T"-‘e=0 un coeficientes no todos nulos. Aplicando al primer miembro el opeXlT"-'e=0, de donde X,=0. Se multiplica luego por T"_!, de donde X2=0, e n nulos. Hemos obtenido base de E. Puesto que el transfer mado del «'-ésimo vector de la base iís el (i + l)-ésimo, y el transformado del último es nulo, la matriz de T ei

Eligiendo por base T"-'e( T"-5e, e, el lector comprobará que la matriz obtenida es la traspuesta de A. La línea de 1 está en ese caso situada por encima de la diagonal principaL

Suponemos que todos los términos situados sobre o por debajo de la diagonal principal son nulos. Tenemos, pues, Tei = 0, Te2=aeh Tej = b,e, + b/e¡, Te„ = /,e, + I2e2+ ... +/„.,e„.,. De lo anterior se deduce que T®ei=0, T1e¡=aToi = 0 y T5ej = = b2T!e¡ = 0. Igualmente, T4e4=0...... T"e„ - 0. De ello resulta que el operador T” es nulo. Sin embargo, por elección adecuada de los coeficientes, es posible que lo sea una potencia inferior; p. ej., para I„ i = 0, T"_l = 0. 17. Subanillo asociado a un operador.—Sea (S) el conjunto de los endomorfismos de un espacio E, sobre el cuerpo K. Elijamos T G (S). A todo polinomio de K[x], /=Oo+ ai*+

+flpX",

SUBANILLO ASOCIADO A UN OPERADOR le hacemos corresponder el operador /(T)=£ZoI + aiT + ... + apTp, lo que define un cierto subconjunto (60 de (8). En particular, a /=0 corresponde el operador nulo; a /= 1 corresponde I; a f= x corres ponde T. La correspondencia no es biunívoca: todo elemento de (80 se obtiene como imagen de una infinidad de polinomios de K[x]. Indiquemos algunas propiedades inmediatas de (80. Ejercicio 1. Compruébese que el conjunto (80 de los operadores ((T), con T e (8) bien determinado y I un polinomio arbitrario, constituye un sub anillo conmutativo de (8). Se comprueba en primer lugar que (60 es un subgrupo del grupo aditivo de (8), siendo -/(T) el opuesto de /(T). Por otra parte, el producto de los operadores /(T) y g(T) se efectúa como el de los po linomios de una variable; de donde /(T)g(T)=/g(T). Por consiguiente, (80 es cerrado respecto de la multiplicación de (8). Constituye un subanillo conmutativo, con elemento unidad. Para todo v £ E , se tiene, pues, /CRg(T)v=g(T)/(T)v. Ejercicio. 2. Sean f y g dos polinomios. Demuéstrese que si g.divide a /, el núcleo del operador g(T) está incluido en el núcleo de f(T). En efecto, si se pasa a operadores la relación f=gh, se escribe «T)=g(T)A(T). Si v G N [N, núcleo de g(T>], g(T)v=0, de donde /(T)v=0; por consiguiente, v pertenece al núcleo Ni de /(T) y N S N |. Ejercicio 3. Pruébese mediante el teorema de Bezout que si f y g son dos polinomios primos entre s(, los núcleos de /(T) y de g(T) son subespacios disPor el teorema de Bezout existen dos polinomios f, y g! tales que fif+gig = lPasando a operadores, se obtiene /,(T)«T)+g,(T)g(T)=I,

366 de donde, para v arbitrario, f,(T)f(T)v + g,(T)g(T)v=v. Si v es común a los núcleos de /(T) y de g(T), tenemos «T)v=0,

g(T)v=0.

La relación anterior implica entonces v=0. Los núcleos son, por consiguiente, disjuntos. Ejercicio 4. Demuéstrese que si f y * tienen por m.c.d. h >, el núcleo de A(T) es la intersección de los núcleos de f(T) y g(T;. El ejercicio 2 demuestra que el núcleo de A(T> pertenece a la in tersección de los núcleos de /(T) y de g(T). Para demostrar el recí proco, basta hacer uso de la igualdad h = l'f+g'gSi f(T)v=0 y g(T)v = 0, tenemos j¡(T)v=0. Existe, pues, identidad. Ejercicio 5. Sea m el m.c.m. de los polinomios I y g. y T, un operador dado. Demuéstrese que el núcleo Nmde m(T) es la suma de los núcleos N/y N, de f(T) y g(T). La identidad de Bezout aplicada a dos polinomios f, y g, l=M j+*fc

[i]

Pasando a los operadores, se deducirá que todo v <=Nm puede escribirse v=V|+t¿i con v, e N, y v, e N,. Examínese el caso de ser f y g polinomios primos entre sí. Las igualdades m = ff,= gg, demuestran que N. y N, están inclui dos en N„„ de donde N /+N,SN „. Vamos a ver que, recíprocamen te, Nm£ N/+ Ne. La propiedad pedida resultará de aquí. La igual dad [ 1] implica que Vv,

v=f,(T )«T )v+g1(T)g!-(T)v=v!+v2.

G

Demostremos que si v G N„„ tenemos v, G N/ y v2 Nt. En efecto, «T)v,= «T)A(T)«T)v = m(T)f2(T)v =/2(T)m(T)v = 0, porque m(Tjv = 0. De manera análoga, g(T)v2= 0; por consiguiente. N „,£N ; + NS.

ECUACION « LA QUE SATISFACE UN OPERADOR

367

Cuando f y g son primos entre sí, los núcleos de /(T) y de g(T) son disjuntos (ejercicio 3). El núcleo de m(T), es decir /g(T), es la suma directa de los núcleos de f(T ) y de g(T). 18. Ecuación a la que satisface un operador. —Sean f un poli nomio y T un operador dado'. Si el operador f(T) es nulo, se dice que T verifica la ecuación ftT)=0. Señalemos a título indicativo que, dado T, todos los polinomios f tales que /(T)=0 son los múltiplos de uno de ellos, de grado míni mo (ideal de polinomios); en particular, el polinomio característico 4 de T (véase pág. 374) es tal que A(T)=0. Precisemos las propiedades generales del apartado anterior cuan do /(T)=0. Ejercicio 1. Sea una descomposición de f en tres factores primos entre sf. Demuéstrese que si /(T)=0, los núcleos Np, N,¡, N/j de los opera dores /,(T), f¡(T). /,(T) proporcionan la descomposición E=N/,® N„® N„. Basta para ello aplicar la propiedad señalada al final del último ejercicio 5. El núcleo del operador A(T)(¡(T)/j(T) es la suma directa de N/i, N,2, N/i. Por otra parte, puesto que f(T) es el operador nulo, este núcleo se confunde con el espacio E. Ejercicio 2. Pruébese que el núcleo N/¡ es también imagen del operador Í2Í3CT) (propiedades análogas para N^2 y N/;). Dedúzcanse las condiciones para que los núcleos N/i, N/j, N(J no queden reducidos al vector nulo únicamente. La imagen es el conjunto de los vectores w=/.(T)fj(T)v cuando v describe E. Tenemos f,(T)w=/(T)v=0, por tanto, w 6 N/|. Para demostrar el recíproco empleamos la identidad de Bezout; se llega a l=/lgl + (/2/j)g2. de donde Vv, v = (,(T)g,(T)»+[/J(T)/s(T)]gKT)v.

368_________ CAP. XIII: OPERADORES LINEALES. ENPOMOEF1SMOS Elijamos v €r N,i y pongamos v’ = g^T)v; puesto que /i(T)v=0, te-

Se ve que todo vector del núcleo pertenece a la imagen de fJiT)f¡(T). Existe identidad. Por último, los núcleos N/„ Nfl, N,3 no quedan re ducidos al solo vector nulo cuando T no satisface ninguna de las ecuaÍM T )= 0 , ' fifi(1)-O b

m T)=D.

Ejercicio 3. Demuéstrese que cada uno de'los núcleos es invariante res pecto a T. Si T, designa el operador inducido por T en N/i, dígase cuál es la ecuación que satisface Tj. Sea f£N/|. La igualdad f,(T)v = 0 implica T/i(T)=/i(T)(Tv)=0. De ello resulta que Tv £ N/i, y de aquí la invariancia pedida. Por último, el operador T-! verifica evidentemente la ecuación A(T|)—O.

Ejercicio 4. 1.® Sea v= v2+ v2 la descomposición de vE E según loS dos subespacios suplementarios E| y E2. Asociamos al vector v el Tv=v|-v2. De* muéstrese que queda así definido un operador lineal T. ¿Qué cabe decir de E, y E2? Pruébese que T satisface.la ecuación T2=I. Hállese la matriz de T en una base adaptada a la descomposición E=E2©E2. ' 2." Demuéstrese que todo operador que verifica la ecuación T2= I puede obtenerse de la manera anterior. Examínese el caso en el que uno d pacios E|, E2 se reduce al vector nulo. (Se tendrán en cuenta los resultados de •1.° El carácter lineal de T es inmediato en virtud de la unicidad de la descomposición de un vector según E2 y E2. Estos dos subes pacios spn evidentemente invariantes; además, . V v£Ei, Vv E E¡,

tenemos Tv=v tenemos T v = - v

(vector, invariante), (vector simétrico).

Estudiemos T2; puesto que T2v = Tv, —Tv2=v2+ v2=v, se ve que T satisface la ecuación T2=I.

En una base adaptada a la descomposición E =Ei © E¡ la matriz de T es diagonal y de la forma A = ^

^

j

, siendo n, y n¡ las res

pectivas dimensiones de E, y E2. 2." Recíprocamente, demostremos que todos los operadores de E que verifican TJ= 1 pueden obtenerse de la forma anterior y corres ponden a todas las elecciones posibles de E, y E,. La ecuación se (T - I )( T + I)= 0 .

[1]

Ya que los polinomios x -1 y * +1 son primos entre sí, los núcleos E| y E2de los operadores T - I y T + I son suplementarios: E = E,© E2. Cada uno de ellos es invariante respecto a T y Tv=v

para v £ E i,

T v = -v

para v © E2.

Encontramos de esta forma la definición inicial de T. Por último, si se supone que E2 se reduce al vector nulo, E, —E, de donde Tv=v y T = I; de manera análoga, T + I = 0 implica E2= E. Excluidos estos casos degenerados, la ecuación [1] queda satisfecha por dos factores T - I y T + I distintos de O. Ejercicio 3. Determínense aquellos operadores T de un espacio de n diTenemos T(T —1)=0, de donde una descomposición E = E2© E 2 (Ei, núcleo de T; Es núcleo de T - I ). La operación es la proyección de E sobre E2 paralelamente a E,. Es posible la elección arbitraria de Ei y Ei suplementarios. Los casos degenerados son T = 0 (Ei=E) y T = I (E2=E). Hallamos de nuevo los resultados obtenidos directa mente en la página 359.

**

Tl -JT+2J-=0.

CAPITULO XIV OPERADORES EN EL GRUPO LINEAL: REDUCIDA DIAGONAL, REDUCIDA TRIANGULAR APLICACIONES De una manera general podemos decir que las propiedades esen ciales de un operador están ligadas a la existencia de una base en la que la matriz adopte una forma sencilla, adaptada a dichas propiedades. En particular, nos interesan ahora los operadores diagonálizables. El cálculo de una matriz diagonal se reduce al estudio de los elemen tos propios del operador considerado. Valore» propios y subespacios propios de un operador Recordemos que los valores propios de un operador T son los nú meros I 6 K (K, cuerpo base) tales que el operador T - XI sea sin gular. El subespacio propio asociado es el núcleo de T-XI. En la práctica se utiliza la representación en una base; si A es la matriz de T, el operador T -X I es singular cuando es nulo el determinante de la matriz A -X I. El desarrollo de este determinante proporciona el polinomio característico, cuyas rafees son los valores propios del ope-

1. Polinomio característico.—Sea A = [
... •••

a,„ l a-, |_

iys„i =

[i]

= ( -x ) " + s ,( - x )" - '+ . . . + ¡ p( - x r - + ...+ s „ . Los coeficientes s„ s2, ..., s„ son invariantes en el grupo lineal, ya que toda matriz B=P~'AP semejante a la A admite el mismo poli nomio característico.

Las rafees del polinomio pueden no existir sobre el cuerpo consi derado y muchas veces será necesario considerar un supercuerpo (p. ej., el cuerpo de los complejos respecto al de los reales).

i determinante s A(X)= (a,,- X)(aa - X) ...

- X).

Supongamos que A sea regular; se tiene: A(X) = 'AB - XI¡ =! A(B - XA-')| = = |A| - |B—XA—*|—¡B-XA~'|= |BA-XI¡.

Sea A = [a¡¡]; tenemos

A(X)=|áji au-X a» L =-X 1+SiX2-s2X+Sj, I a3,

aa

au-XI

siendo: S|=un+fla + ajj, la traza de la matriz A ; Sj = (aaan - aaaJ2) + (<1^0,1- ojiflu) + (ai,aa - al2a2i), la suma de los me nores de los elementos de la diagonal principal de A; íj = |A|, el determinante de A. Los resultados de este ejercicio se generalizarán en la página 376.

En virtud de la regla anterior, el polinomio característico de A t se eS°n

- X3+2 d»A*+ (2a2/)2- a ' + b‘)\+2a'b\b2- o21=0.

Evidentemente, \,=al - b 2 es raíz; los valores de las otras dos X2, Xs=

+

y ± Va’ +lS S í2^ ) .

De manera análoga, los valores propios de Aj son \=0 (raíz do ble) y A=3. Ejercicios. Fórmese el polinomio característico de A - 1 1 i2 (p = 1). ¿Qué se puede decir de los valores propios? Lj2 lj Resp.: A(X) = - X3+ 3X2- 3. Las tres raíces son reales, pero los vec tores propios asociados son complejos.

Se trata de calcular el determinante l-X A(X)=

1 ...

1 - X " | 1

II 1

1 ... -A|

> que se consigue sin dificultad mediante combinacii b" enL

A(X)=( - 1)»-> (1 + X y - (n -1 - X).

Ejercicio 7. Descompóngase en producto de factores e ¡rístico de la matriz lab a2 b2 ab lab b1 a1 ab I* Dedúzcanse lo.s valores propios y el determinante de A. El polinomio característico se escribe

POLINOMIO CARACTERISTICO

373

Sumando a la primera columna las otras tres, se puede sacar fac tor común (a + 6)*-A . Se obtiene la’ - a b - A A(A) = [(a + b)1- A] •I b *-ab 0

!I

b2-a b a b -b á '-a b -K a b -b 1 = 0 a2- £>2- A|

= [(a + f>)2- A ] [(a -A )1- A ] [ t f - ^ - A ] 2. Los valores propios son Ai =(a+by, A i= (a - bf, \¡=kt =á‘ - b 2. El determinante de A resulta haciendo A= 0, de donde !A¡ =(á! - b ly. Ejercicio 8. Determínese el polinomio característico de la matriz

Todos los elementos de A son iguales a ab. El determinante de !A —AI¡ se calcula sin dificultad por combinaciones de filas; se obtiene A(A)= ( - 1)"(A" - nabk"-'). Ejercicio 9. Determínese el polinomio característico de la matriz

A„(A) = -A A „_,(A )+(-l)"_1aJ:

l

:

-

1

t

A„(A) = - AA„-,(A) + ( - íy-'A-'-’a;.

Puesto que A2=Xj -<íiA-o|, resulta 4 , W = ( - l )'[A ”-a,A,,- |- (t

triz cuadrada de o que si son X|, X2. . .... ±-/K. Para simplificar la escritura consideremos una matriz A de segun do orden; el razonamiento es válido en general. El determinante ca racterístico de B se escribe

Se suma a la tercera fila la primera multiplicada por X i la segunda multiplicada por X:

Se ve que la ecuación característica de B se deduce de la de A cambiando X en X1; los 2n valores propios de B son, por tanto, ± Vxü ..., ± \/X„.

Hemos visto que eligiendo una base adaptada a la descomposición E = N © P (E ), la matriz de P toma la forma sencilla A = £^ ^ j , sien do r el rango, e lr la matriz unidad de orden r. De lo anterior se deduce el polinomio característico

Los valores propios son todos distintos de cero cuando n=r¡ tiene entonces A = T. Se trata de la proyección degenerada que ci tituye la transformación idéntica.

Ejercicio 12. Sea E e

I

-Ai

Para desarrollar se multiplica la última fila por A y se suma a la penúltima, lo que elimina el término -A . A continuación se multi plica la penúltima fila por A y se suma a la antepenúltima, etc. Des pués de n -1 operaciones se obtiene un determinante que, desarro llado por la primera fila, se escribe - a,y. (obsérvese que el menor del último término es igual a 1). Tenemos, pues, A(A)=(-1)"/(A), donde f es el polinomio definido en la página 370. Puesto que /(T )= 0 , también será A(T)=0, o, en no tación matricial, A(A)=0. Una matriz A del espacio considerado sa tisface a su propia ecuación característica (teorema de Cayley-Hamilton, pág. 398). Ejercí » 13. Sea E' un subespacio Demuéstrese que el polinomi> en E', es un divisor del polii Sea p la- dimensión de E'. Se elige una base cuyos p primeros rectores sean de E'; la matriz T toma la siguiente forma (pág. 344):

i matriz cuadrada de orden p, 1 matriz de Ti. Se .J A ,- A I ,

A,

1

Pasando a los determinantes, resulta |A - XI| = |A, - AI,|-1A2- Xl2| A(X)=A,(X)-A2(X). A|(X), polinomio característico de T|, es, por tanto, un divisor de A(X).

2. Cálculodelos

S|,

coeficientes.—Los coeficientes s¡ s„ del polinomio característico (fórmula [1], pág. 370) pueden expresarse como sumas de determinantes extrafdos de la matriz A. Precisemos para ello la definición de menores de orden p. Se llama menor de orden p de una matriz A todo determinante extraído de A y formado por los p2 elementos situados en las inter secciones de p filas (de lugares respectivos ii, t¡, ip) y de p colum nas (de lugares ¡\, ;2, /p). Suponemos que no ha cambiado la orde nación inicial; es decir, que 1«t i < i 2<

;

1

< j P< n.

Denotamos con A ( W f ) un menor de orden p; el número ' 7i /*---7p/ de ellos es, evidentemente, (C¡¡)*. Para p = n - l se obtienen los meno res habituales. Cuando ii=/i, i2=j¡, ..., ip= jp se dice que se trata de los menores principales de orden p. Ejercicio 1. Demuéstrese que en la fórmula [I] (pág. 370) se tiene: .«i. ^ a„ (traza de la matriz A considerada). (IsSí
E

a" 0,1 a'' I l< í< fc < 2
j„=|A| (menor principal de orden n). Utilicemos la fórmula general [1] (pág. 300) con a,¡ - XS,-/ como término general de la matriz. Todos los términos que contienen ( - X)"-'

377 se obtienen eligiendo n - p de los números j¡, j2, .... orden; sea, p. ej., h = 2,

;«=4..... / „-,= «-1

iguales a su

(n—p igualdades).

De este modo, los términos en ( —X)"- " tienen por suma1 2

«0i» /•»

- a»/,,.

la cual expresa el desarrollo del menor principal de orden p relativo a las filas y columnas de lugares 1, 3, ..., n (p filas). Todos los térmi nos que contienen ( —A)'1-’’ se obtienen para todas las maneras posi bles de elegir los determinantes principales extraídos de la matriz A. Se comprueban, pues, las fórmulas indicadas. Ejercicio 2. Con ayuda de las fórmulas anteriores, fórmense los polinomios característicos de las matrices consideradas en la página 373, ejercicios 8 y 9, y en la página 375, ejercicio 12. Para el primer ejemplo, la traza es nab. Los restantes coeficientes s¡, s¡, ..., s„ son nulos, porque lo son los menores de orden 2, 3, .... p. Para el segundo, la traza es a,; los menores de orden 2 distintos

s de orden'"Superior son nulos. El lector tratará de manera análoga el último ejemplo. 3. SubespncioB propios— A todo valor propio X, se puede aso ciar un subespacio formado por vectores propios2. El operador trans forma por homotecia todos los vectores de este subespacio. Las pro piedades fundamentales de los subespacios propios se precisan en la página 386. Ejercicio 1. Determínenselos coeficientesdesconocidos de la matriz r1 * c 1 X - 2 b' c" , de talmanera que admitapor vectorespropios (1, 0, 1), 13 b" c"l

is lugares naturales.

El vector (1, 0, 1) es propio si se cumplen las relaciones l + c=X,

2+c'=0,

3+ c"=X,

de donde c '= -2 ,

c-c "= 2 .

Escribiendo las relaciones análogas para los otros dos vectores se forman seis ecuaciones lineales que determinan los coeficientes des conocidos; se obtiene

bm2+ {a~ d}m—c—0. Un vector propio (*|, x,) correspondiente al valor X es tal que ax,+bxt =Xx„

cxi + dx2=\xi.

Dividiendo miembro a miembro, resulta; m ~a—bm'

donde

bm2+ (a -d )m -c=0.

Ejercicio 3. Sea D un operador de E que admite por vectores propios los n vectores { e¡} de una base, siendo los d¡ valores propios correspondientes dis tintos dos a dos. a) Demuéstrese que para toda transformación lineal T tal que su producto por D sea conmutativo, los vectores e, son igualmente propios. b) Dedúzcase que un operador H, cuyo producto con una transformación a) Sea A = [a¡(] la matriz de T. Escribamos que DTei = TDe, (i de 1 a ti). Tenemos Te(.=

de donde

DTe, = ^\i„d,-e( ;

por otra parte, TDe, = T(rf,e,)= dt($a,fi¡).

379 La igualdad DTe,=TDe, exige, pues, (V„ V,-). Si ir^j. esta igualdad implica a¡¡=0; para i= j, queda verificada. Dado que la matriz de T es diagonal en la base considerada, los e¡ son vectores propios de T. b) Eligiendo para T una transformación D del espacio anterior, la igualdad HD = DH prueba que H admite por vectores propios los de D. Como estos pueden elegirse arbitrariamente, todo vector del espacio es propio para H, que es, por tanto, una homotecia (pág. 354). Ejercicio. 4. En el espacio R[x] de los polinomios con coeficientes reales, estudíese la aplicación L que asocia LP= (2x+ l)P-(x>-l|P' a P. 1." Demuéstrese que L es lineal, y hállese el grado de LP. Dedúzcase un subespacio de Rtx) invariante para L. ¿Es suprayectiva la transformación? 2.° Determínense los polinomios propios de L. 1.° La lincalidad es evidente. El transformado de un polinomio de grado n es, generalmente, de grado n + 1. La única excepción se pre senta para n = 2. El conjunto de los trinomios (grado ^2) se transfor ma en sí mismo; es un subespacio invariante para L. Se ve también que la transformación no es suprayectiva, porque el subespacio ima gen LP no contiene ningún polinomio de tercer grado. 2.° Según la propiedad anterior, los polinomios propios son de grado igual o menor que 2. Para P =ax*+bx + c,

tenemos LP = (<¡+ b)x2+ (2a + b + 2c)x +b + c.

Estudiando la matriz correspondiente se obtienen los polinomios buscados: X, = 3, P,= Cx+-1}2; X2= l, P,=*2- l ; Xj= —1, P3=(a:- l)2. Puesto que X=0 no es un valor propio, se ve también que L es inyectiva. Ejercicio 5; Demuéstrese que si X es valor propio de T, también Xp lo es del operador Te, y que los respectivos espacios asociados. Et y Ep, son tales que E|£ Ep. Indíquesc un ejemplo para el cual Ei C Ep. Pruébese que si el operador T es regular, T-< admite como valores pro pios los inversos de los valores propios de T. Los subespacios propios están confundidos.

Mediante la operación T el vector propio v se convierte en Tv=Av. Aplicando de nuevo T, Tív=TAv=ATv=Aív; de manera análoga, T'V = A’V. De ello resulta que Ap es valor propio de T", y que todo vector propio de T lo es también de Tp; en conse cuencia, Ei £ EpLos subespacios propios correspondientes no coinciden necesaria mente, tal como se demuestra por el ejemplo que sigue. Sea T de matenemos A2=I. El operador T admite dos subespacios propios de una dimensión, mientras que para T1 todo vector del espacio es propio. Si T es regular, los valores propios no son nulos; de Tv = Av, apli cando T_l, se deduce: v = AT-'v,

o

Los valores propios de T_l son, pues, los inversos de los de T. En este caso coinciden los subespacios propios en virtud de la recipro cidad de T y T_l. Ejercicio 6. Sea I un polinomio del anillo K[x], Demuéstrese que si A es valor propio de T, f{A) lo es de /(T). ¿Qué cabe decir de los valores propios de T si f(T>=0? Si v es vector propio de T, también lo es de f{T), ya que /
_____________________ SUBESPACIOS PROPIO S ___________________ 381 a) Todo valor propio X de T satisface a la ecuación X2+1=0, de donde X = ± i. No existe ningún valor propio real. El polinomio característico de T tiene coeficientes reales y solo admite las raíces ± i. De ello resulta que es necesariamente de grado par1 y de la forma - (x2+ 1)1, con n= 2p. En un espacio real de di mensión impar no existe, por tanto, operador T tal que 1 * = - I. b) Si v jé 0 es un vector cualquiera de R2, los dos vectores v y Tv constituyen una base, porque Tv no puede ser ni nulo ni colineal con v. En esta base, la matriz de T es B =

^ J (porque T2v= -v).

En una base cualquiera, T admite, pues, una matriz A tal que

donde P designa una matriz invertible cualquiera de orden 2. Ejercicio 8. Sea T un operador de E. Suponemos que existe un entero p y un escalar X tales que (T - AI)' sea el operador nulo. Demuéstrese que X es valor propio de T y que este es único. Suponemos que p designa el menor entero tal que (T -XI)p= 0 . El operador T|=(T-XI)1’' 1 es distinto de O y, por tanto, existe al menos un vector v tal que w=T|v;¿0. Tenemos (T-X l)w =(T -X I)pv = 0; puesto que Tw=Xw, el escalar X es valor propio. Si existiera otro valor propio X', existiría un v tal que (T-XI)v = (X'-X)v, de donde (T - XD'v = (X' - X)"v. Como el primer miembro es nulo, X'=X. También se puede aplicar el resultado del ejercicio 6 (pág. 380). Ejercicio 9. Sea T un operador de E, y X, un escalar. Designamos con N(X) el conjunto de los v e E tales que existe un entero p (que puede depen der de v) con (T-XI)pv=0. 1.° Demuéstrese que N(X) solo se reduce a O si, y únicamente si, Xes valor propio dé T. 1Todo polinomio de R[r] de grado impar admite al menos una raíz real.

2.“ Pruébese que N(X) es un subespacio de E. Sea v C N(M; demuéstre(T-XI)r e N(X) y dedúzcase que Tv e N(X). 1.” Existe un v 0 que responde a la cuestión pedida si, y solo si, el operador (T - Xiy es singular, lo que exige que T - XI lo sea; por consiguiente, que X sea valor propio. 2.° Si (T-XD-v=0 y ( T - XI)"V=0, basta considerar el mayor de los números p y p', que supondremos es p; dicho valor es tal que (T-XI)'(v + v') = 0; por consiguiente, N(X) es un subespacio. Si v E N(X), (T - XI)v G N(X), porque ello equivale a comprobar

Puesto que N(X) es un subespacio que contier Xv), contiene también a (T-XI)v + Xv=Tv.

Diagonalización He un operador Recordemos que un operador T puede diagonalizarse si, y solo si, existe una base formada por vectores propios. Examinaremos en primer lugar el caso más sencillo (valores propios distintos), y a continuación precisaremos la condición de diagonalización. 4. Caso de valores propios distintos.—Cuando el polinomio ca racterístico admite n raíces distintas en el cuerpo considerado es posi ble la diagonalización. Este es un caso clásico, cuyo estudio detallado omitimos. Para que el polinomio característico pueda descomponerse por com pleto, nos veremos obligados muchas veces a acudir al cuerpo de los complejos, incluso si la matriz considerada consta de elementos reales. Ejercicio ). Determínense los valores y vectores propios de la matriz

CASO DE VALORES PROPIOS DISTINTOS El polinomio característico es A (\)=¡4" X 4 4J =A!- 8A+ 12= (A-2) (A -6). Para A=2, un vector propio (x, y) satisface la condición

4x+4y=2x,

x+4y=2y.

Salvo un factor de proporcionalidad, deducimos que x = 2 e y = - l . Para A=6 se obtiene de manera análoga x - 2 e y=\. Una matriz de cambio es la P=

^

y la reducida diagonal

Ejercicio 2. Las mismas cuestiones para las matrices

[:,:]• Resp.:

g

-:i- [ ■ - ] 4 ’j ;

Ai = l, A2= 14, P= [

■?!

»,,3 , L » - 2 , p . í ;

o 3. Hállense los valores y vectores propios de las siguientes n -2 1 2 1 i -2 2 I

,

Resp.: A, = l, (9, 3, 2);

A2= - 1, (5 ,1, 2);

A,=2, (4, 2, 1).

_ l±2s/2í , -1, (1,0,1); A, y A,=. * , W 2 ± i, -V2±2t, - f2 ± i). 3 Ai = 1, ( -1 3 . -3 7 , 3, 1); A j= - 1 , (1, - 1 , 0, 0); Aj=2, (1, 2, 0, 0); Aa= - 3 , ( - 7 , 1, - 5 , 5).

Ejercicio 4.^ Determínense los vectores y valores propios de la matriz A - 3 - 4 12 . Compruébese que dicha matriz satisface a su propia ecuaLl -2 5J ción característica. Como los valores propios son 0, 1, 2, se debe verificar la relación A(A - 1) (A - 21)=O, lo que se comprueba sin dificultad.

otra diagonal ”d. Elíjase D de manera que el coeficiente menor esté sobre la primera fila. Indíquese una matriz de cambio P, lo más sencilla posible, con elementos enteros. Determínense los valores y vectores propios de la matriz A2. La matriz A, de valores propios A|= l y A¡=2. es semejante a la

» - [ ¡ "I-

Para A|= 1, un vector propio (x„ *2) verifica la condición 4*i + -3*2=0; tomamos *1= 3, x ¡= -4 . De manera análoga, para A;=2 se

tiene x¡=2, x>= -3. La matriz de cambio es, pues, P = ^ ^ Puesto que -._ r 3 21 D

[

i

^ j.

- ¿l

Se obtiene A!= tores propios que la A, pero los valores propios son \\ =1 y \'2=A¡=4. Tenemos, pues,

Ejercicio 6. (Aplicación del precedente.)—Utilícese la diagonalizacién de

El punto M(tl se deduce del M, aplicando al vector OM, la trans formación de matriz A. La diagonalización nos permite obtener una representación muy simple de esta transformación. Es necesario para ello adoptar como nuevos vectores base los V: (3, -4 )

y

V,: (2, -3).

Si u'j y v'¡ son las nuevas coordenadas de M¡, sabemos que v'l+t=2v',; M,+i se deduce de Mj trazando por este punto una paralela a Vi, que corta a V en H, y tomando en ella HM/+i - 2HMr La sucesión de pun tos está, pues, sobre la paralela a V, trazada por M|. Los sucesivos pun tos se alejan indefinidamente si HM| j í 0, puesto que HMI+,= 2'HM|. El caso de excepción se obtiene cuando M, está sobre V : todos los M, se confunden. Se deduce de ello también que el cociente — tiende ha cia -

cuando ; —►, puesto que OMj resulta paralela a V,. Por úl

timo, se obtiene sin dificultad «/+i+fy+i H?+t>*

193u¡ + 324«/t>f+ 136t>*

El límite de este cociente es 4 cuando /—> oo; intuitivamente esto es evidente en virtud de la interpretación precedente de la transfor-

Cuando 2 eos ip^é 1, se obtienen tres valores propios distintos y, por tanto, tres vectores propios independientes, que son a) A,=sen ^ + sen 2
r 3 -1 - 1 1 -6 1 2 . | 2 1 UJ

Resp.: A, = 3 (0,1.1), A2 y A ,= l±fv '2 \ l± i* f% ± - 7 =-- * ) < A, = -1 (0, 1, -1 ), A2 y A3= 5 ± ^ 17 5. Condiciones necesarias y suficientes de diagonalización.— Precisemos ahora el caso general. El polinomio característico admite las raíces distintas A,, A2, ..., As; sean m¡, m¡ m, sus órdenes de multiplicidad, y E„ E2, ..., E, los subespacios propios. Poseen dos pro piedades esenciales: a) el subespacio E,- que corresponde a A, es de dimensión igual o menor que m¡\ b) la suma de íos subespacios E,+ E2+... + E, es directa. Recordemos una condición de diagonalización: es necesario y sufi ciente que podamos construir una base de E formada por vectores pro pios. En virtud de las propiedades anteriores, esto solo puede suceder cuando se cumplen las dos condiciones que siguen. 1) El polinomio característico se descompone por completo sobre el cuerpo base; es decir, m, + m ¡+... + m¡=n (dimensión de E). 2) El subespacio propio E, es de dimensión m¡. Tenemos entonces E = E ,® E 2© ...©E,. Hay una infinidad de ba ses que permiten la diagonalización. Una cualquiera de ellas se obtiene asociando bases elegidas arbitrariamente en cada uno de los subespa cios E„ E2, .... E,.

S NECESARIAS Y SUFICIENTES DE DIAGONALIZACION Ejercicio 1. Estudíese la diagonalización de las siguientes matrices |1 2 -21 2 1 -2 12 2 - 3 I

fi 111I

.

Resp.: A,: A, = 1 (1, 1, 1); Aj= -1 , raíz doble a 1: ponde un plano de vectores propios *, + *2+ *j= 0 ; A, i gonalizable, y una matriz de cambio es

, = 1, (1, -a , - b) A2= 2, plano *i=0;

P= I

A} : dos valores propios dobles A, = 3, A2= -3 . Se obtienen dos plas de vectores propios.

o 3. Hállense las condiciones para que una matriz de segundo oí I, que admite un valor propio doble, s i diagonalizable. Como el subespacio propio asociado a esta ra dimensión dos, todo vector es propio; A debe si de donde

1 1 Demuéstrese q Ejer, o 4. Sea la matriz A= I 1 -1 -1 1J diagonalizable. Determínese una matriz de cambio que permita ción. (Elíjase una matriz que tenga el mayor número posible de siendo los restantes iguales a ±1.)

I1_

El polinomio característico se escribe A(A)=(A + 2) (A-2)*. Al valor propio A i= -2 le corresjjonde el subespacio engendrado por (1, -1 ,

-1 , -1). Al valor A¡ = 2, que es triple, le corresponde el subespacio propio de dimensión 3 que tiene por ecuación x, - x2- x3- x<= 0. De ello resulta que A es semejante a la matriz diag { - 2, 2, 2, 2}; una matriz de paso es

Ejercicio S. Estudíese la diagonalización de la matriz A2, donde A desig na la matriz precedente. Dedúzcase la expresión de A2. Los valores propios de A2 son los cuadrados de los de la A ; por tanto, solo obtenemos el valor A=4. El subespacio asociado es la suma directa de los dos subespacios propios de A ; es decir, el espacio R* entero. Por consiguiente, A2=41, lo que se comprueba sin dificultad.

Hállense las condiciones a las que deben satisfacer los coeficientes desconoci dos para que T sea diagonalizable. A cada uno de los valores propios dobles, Xi= l y X¡=2, debe co rresponder un subespacio propio de dimensión 2. Si Xi= l, se obtiene el sistema ax,=0,

a'*1+ bx2+ * 3=0i a"x, + Vx¡ + ex, + x,=0,

cuya matriz de coeficientes ha de ser de rango 2; esto exige que sea
Hay que suponer c=0, siendo el subespacio propio x,=x2=0. Las condiciones pedidas son, pues, a=c=0.

1 : .? i l I T - M I + l:? -i MI í í iP ' J:i3

~ - i\ s % g

i S K - S & J á S i r S '1

—

........

Logramos la forma A‘,=apA + fc,l haciendo « e = y L 2 '- f- l)- ],

b , = ~ [ 2 ' + 2 (-\ Y ].

Los números a, y b, son además enteros. En definitiva, podemos A " = y (A + I) + A ^ l (21- A). Se deduce de ello que , = ^ ± L [ i + 2 f+ w

+ ... + ( ^ + ...] +

+

2 I-A T 3 L

t* 2!

(- ty 1 p'. + '" ¡ ’

e,A=^j- (A + I) + - ^ - (21- A).

Los valores propios son 3±4i. Tomamos Ü+2¿

1-2».

, de donde P~‘ = —

El paso al cuerpo C complica mucho los resultados. Se puede des arrollar por la fórmula del binomio y se ve que los números buscados son enteros. También es posible emplear la forma trigonométrica. Po niendo

SUCESIONES RECURRENTES LINEALES_______________ 391 7. Sucesiones recurrentes lineales.—Hemos visto (pág. 238) que el conjunto de las soluciones de una sucesión recurrente lineal u„+,=au„+pu„-,

(or y j3 reales o complejos).

[1]

constituye un espacio vectorial (sobre R o sobre C). Se forma tina base del mismo hallando soluciones particulares. Vamos a encontrar de nuevo estos resultados empleando el cálculo matricial. La relación dada se escribe

Haciendo A =

^ ] y U„= [^ " ], tenemos U,1+i = AU„.

La solución es inmediata. Si u0 y u¡ son los dos primeros términos de la sucesión se tiene que Ui=

de donde

U„+,=A"U,.

[2]

La 'cuestión queda reducida al cálculo de A", lo que es fácil si A es diagonalizable (véase ejercicio 1). Ejercicio 1. Sean A, y \¡ los valores propios de A, supuestos distintos. Dedúzcase A'1, volviendo así a encontrar la solución obtenida en la página 240. Los valores propios Ai y Ki satisfacen la ecuación AJ-aA-/3=0. La matriz de paso que asegura la diagonaiización es P= de donde

- 4 ?

m i

?

y

u

- M-

Se desarrolla y se sustituye en la relación [2] escrita cambiando n+1 en n. Se llega a = x¡TX7

- x,“o)+x~Xj ~ (X|U» “ M|)-

Esta solución es la obtenida (con «o=¿>. u,=a). Como a y p son reales, si las raíces A, y son complejas, es fácil comprobar que «„ es real cuando lo son 14, y Ejercicio 2.' (Aplicación numérica.)—Calcúlese de cuántas maneras distinsatisface una relación dé êcur'rendá del Irtpoânterior”* *' "dmer°

buscado

Consideremos una sucesión de extracciones que conduzca a vaciar n litros. La última operación es la extracción de 1 litro, o de 2 litros. En el primer caso, la sucesión se deduce de otra análoga para n —1 litros, y en el segundo, de la correspondiente a n -2 litros. Como los recíprocos son ciertos y las sucesiones examinadas distintas, tenemos

Con «i = l, «j = 2, resulta

u = (1 + v/5)"+l _ (1 - / S ) ’’*1 2 -+ V 5

2 -+ V S

is relaciones «„= ii«„_ i +6o„_i,

p„=cu„_,+dt>„_|

Examínese el caso particular de ser a=d, b—-c. Las relaciones [1] se escriben en forma matricial U„ = AU«-i, haciendo U„= [ ”" ] y De ello se deduce

¿ j*

TRANSFORMACIONES CIRCULARES Y MATRICES____________ 39? Puesto que JJ= -1,

+ - i6 - c íi "-' a) +...)

[_ ;].

El cálculo de A" queda reducido al de la potencia n-ésima de un número complejo, y podría emplearse también el módulo y el arguEjercicio 4. Precísese la solución general de la ecuación de recurrencia u„+l=au„+0u„_i cuando a+/3=l. 8.Transformaciones circulares y matrices.—Sea Ta la trans formación circular z' = ° Z+ — del plano-conforme; con A se designa la matriz

^j cuyos coeficientes pertenecen al cuerpo de los com

plejos. Los ejercicios que siguen precisan las propiedades de la corres pondencia entre Ta y A cuando esta última se supone regular. Ejercicio 1. ¿Es biunívoca la aplicación que hace corresponder Ta a A? Hállese la condición a la que deben satisfacer dos matrices A y A' para que se tenga TA-T A.. Determínese la matriz de la transformación TBTA, producto de las transPrecísese de manera análoga la matriz de la transformación inversa (Ta) -1. Dos fracciones

y

tomarán .el mismo valor cualquie

ra que sea z si, y solo si, los coeficientes son proporcionales. Dos ma trices A y A ' corresponden a la misma transformación circular cuando A=ÁA', donde X designa un número complejo distinto de cero. Se trata en ese caso de una relación de equivalencia entre matrices. Sea B -

; el producto TbTa es una transformación circu

lar, que al número z asocia z" tal que „

a,z' + b¡ c,z' + d,

(a,a+ b¡c)z+ a¡b+ b¡d (c,a + d,c)z+c,b+d,d

La matriz asociada a la transformación producto es, pues, el pro ducto BA de las matrices de las transformaciones Tb y Ta. La transformación z —y z es regular cuando los polinomios az + b y cz + d no son proporcionales; es decir, cuando ad bc =£0 : la matriz A es también regular. Despejando z, se halla entonces z - dz'—b

la matriz de la transformación inversa es £ ^

^ j . Salvo un fac

tor constante coincide con A '1, y, en virtud de la relación de equiva lencia anteriormente señalada, esta matriz A -1 caracteriza también la transformación (Ta)-1. Ejercicio 2. Utilícese la diagonalización de A para demostrar que es po sible hallar siempre una transformación circular S tal que la transformación STaS-1 sea o bien una semejanza de centro O o bien una traslación. Hágase

Se comprueba inmediatamente que la matriz de una semejanza de centro O es diagonal, y recíprocamente. Si las raíces características Ai y A2 de A son distintas, se puede hallar una matriz regular P tal que diag { Ai, X2} = P -IAP. Llamemos S la transformación que corresponde a la matriz P- '. Se ve entonces que la transformación STaS-1 es una semejanza. Si las raíces X, y A¡ son iguales, la matriz A, semejante a la Ío'

A ] ’ corresPont*e a 'a traslación z'=z + ^ .

Si existe una circunferencia (o una recta) invariante por Ta, exis tirá una circunferencia (o recta) invariante por la semejanza STaS-1 ^z' = ^ í-z j, y recíprocamente. Sea -7- = P (eos a + i sen a) ; para a=0, Ai=pA2, la semejanza se reduce a una homotecia y se conservan las rectas que pasan por O. Si a 0, una circunferencia de radio R se con vierte en otra de radio pR, y si debe conservarse una circunferencia, es

necesario que p = 1; se trata entonces de una rotación alrededor de O, la cual conserva las circunferencias con centro en dicho punto. Se debe, pues, expresar que la ecuación \l ~X(a+d)+ad~bc = 0 admite dos rafees cuyo cociente es real o de módulo 1. Poniendo Xj = AtA2 resulta que k verifica la condición (a+dy a d-bc

(1 +k? k

Ui 1 k

En las dos hipótesis, como el número fc+-r- es rea'> 'a condición (a+dy necesaria y suficiente pedida es que ——— sea real. Si este número está comprendido entre 0 y 4, k es complejo de módulo 1; si dicho nú mero es exterior al intervalo (0, 4), k es real. Observación.—Precisemos el significado geométrico de la transfor mación ST*S-1. Sea M'=T*M el transformado de M por T». Conside remos una transformación regular S tal que Mt= SM y M'i=SM', y demostremos que los transformados Mi y M', de M y M' están ligados entre sí por la transformación circular STaS-1. Basta escribir S-’M '^ T aS-'M,, y multiplicando a la izquierda por S, _ M',=(STaS-‘)M,. STaS"1es, pues, la transformada (en el sentido dicho) de TA por S; se llama transmutada de T». El ejercicio anterior demuestra que pode mos hallar una semejanza o una traslación entre las transmutadas de una transformación regular. 9. Operadores permutables— Los dos ejercicios siguientes preci san las propiedades de los operadores permutables cuando uno de ellos se supone diagonalizable. que un operador T' conmute con un operador diagonalizable dado, T, es que los subespacios propios de T sean invariantes respecto a T.

396__________

CAP. XIV: OPERADORES EN EL GRUPO LINEAL

Sean E, (í de 1 a s) los subespacios propios de T ; Vv(€ Ei), ten dremos T 'v = w = y i|W|, de donde TT'v = ^X,w,. Por otra parte, Tv=X|V (porque v e E i )

y

T'Tv = Â|W,.

La igualdad T T '= T T exige, pues, para los vectores de Ei, ^ (X i-X,)wi= 0

(X,

X|), de donde w, = ... =w,=0.

Tenemos, pues, T'v e Et; este subespacio es invariante para T\ Demostremos que la condición es suficiente. Sea v = ^ v (; tendre-

T' - É T ' " - ¿ " "

*> «*.

y w , - T V e E ,!

De manera análoga,

Tv = Z X'v"

T'Tv= É X‘T v i = É

1= TTV-

En el caso de que los subespacios propios sean de una dimensión (valores propios distintos), se ve que T' debe también admitirlos como subespacios propios. rador diagonalizable T que tenga sus valores propios distintos puede escribirse T'=a0t+
[1]

Precísese la determinación de los n coeficientes cuando T y T' se conocen. a

Se ve en primer lugar que todo operador T' de la forma [1] con a<¡, a„.| arbitrarios es permutable con T. Recíprocamente, sea T'

dado, permutable coa T; hallemos <%, a,-¡. Elijamos una base for mada por vectores propios comunes; como las respectivas matrices de T y T son diag {Xi, X2,

X„},

y

diag {rf,, d¡,

se tienen las n igualdades

abai\|+aIX?+...+a„_,A’,-1=
(i de

1an)

que determinan de manera única las incógnitas a„ ..., a„_„ puesto que el determinante de los coeficientes es de Vandermonde, distinto de cero (X,#X;). Descomposición espectral. Aplicaciones 10. Descomposición espectral de un operador diagonalizable. Hemos visto (pág. 362) que a toda descomposición de E en suma di' ta’

E = Ei © E2 ® ... © E„

[1]

se puede asociar un conjuntode s proyectores P, (i de 1a í) tales que PJ=Pi (operadores idempotentes), , PiP;=0 (i# / ) (ortogonalidad), ( EP, = I (sistema completo). )

[2]

Recíprocamente, todo conjunto de operadores que verifica [2] cons tituye un sistema de proyectores, cuyas imágenes proporcionan una descomposición de E en suma directa. Un operador diagonalizable T define una descomposición de E; se le puede, pues, asociar un conjunto de s proyectores P¡ que verifican las condiciones [2]. El ejercicio siguiente precisa la relación entre T y los proyectores asociados. en suma directa: E= E, ® E¡© ... ®E,. Demuéstrese que para que el operador T admita los subespacios E¡ como subespacios propios es necesario y suficiente t-

2 > .

[»]

Evidentemente, la condición es suficiente porque todo operador que verifica [3] admite Ei, .... E, como subespacios propios en virtud de la definición de los proyectores P(, y los valores propios asociados son los X|. Recíprocamente, supongamos que T admite los E( como subes pacios propios. Tendremos

Tv = STv,= ZA,v,= 2X,P,v. Puesto que v es arbitrario, resulta de ello T=ZAjP;.

[4]

Se dice que [4] es la descomposición espectral del operador T. En tal descomposición los A, se suponen distintos; en otro caso, se podría disminuir el número de los proyectores; para Ai = A2 se reemplazaría P, y P¡ por P! + P2 (véase ejercicio 7, pág. 362). Ejercicio 2. Supóngase que T verifica [4]. Exprésese el operador T* (Rentero) en función denlos proyectores P„ ¿Bajo qué condición se obtiene

En virtud de las fórmulas [2], se obtiene de manera inmediata Tí =A1 jP1+ A*P2+ ... + \T, y. en general, T*= A*P, + A‘P2+... + AJP^ Esta es la descomposición espectral de T‘ si todos los Af son dis tintos-dos a dos. En caso contrario, se podrá disminuir el número de proyectores, según hemos visto anteriormente. Por último, si T es re gular, todos los Ai son distintos de cero; en cualquier circunstancia se T -1= A7'P, + Aj ‘P2+ ... + A:'P„ porque

Según el ejercicio anterior, se obtiene KT) = /(A,)P1+ ... + /(A,)P1. Si elegimos para f el polinomio característico A, A(A|) = 0, puesto que los A¡ son los valores propios. Se deduce de ello el teorema de CayleyHamilton: A(T) = 0. Señalemos que este teorema sigue verificándose cuando T no es diagonalizable. 11. Descomposición espectral de una matriz.—Sea A la ma triz de T en una base cualquiera, y Ai, las matrices de los P¡, las cuales

La descomposición de T conduce a la de A: A = A,A, + A2A2+... + A,A„ siendo A,, A¡ A, los valores propios distintos. Para determinar los A,- se puede: ya sea utilizar una base en la que la matriz de T sea diagonal (véase ejercicio 1), o bien proceder directamente (ejercicios 2 y 3)..En los cálculos, el empleo de las matrices Af es equivalente al de los operadores P¡. Ejercicio 1. Sea P una matriz de cambio que asegura la diagonalización de T. Hállense las matrices de los proyectores P, en la nueva base. Dedúzcase Supongamos que el valor propio Ai (í de 1 a s) sea de orden m¡ (di mensión de Ei). El proyector P, es la proyección sobre E| paralelamen te a E j© ...® E,. Como los m, primeros vectores de la nueva base pertenecen a Ei, la matriz es

en la que se designa por I,„, la matriz unidad de orden m¡. De manera análoga, las otras matrices son

con matrices nulas de dimensiones convenientes. Volviendo a la base inicial, se obtiene

Observemos qlie, dada A, P no es única. Las matrices Ai, son, sin embargo, independientes de la elección particular de P.

A,

Ejercicio '2. Determínese la descomposición espectral de

(véase pág. 386). Dedúzcase la expresión de A". Existen dos subespacios propios: Ei, de ecuaciones x¡=x2=x¡, y E2, de ecuación x, + Xi-Xt=0. Las correspondientes proyecciones P, y P2 tienen, respectivamente, por matrices

Se comprueba que A = A i-A ¡, de donde se deduce la expresión A" = A, + ( - l )" A 2. Ejercicio 3. Las mismas cuestiones para la matriz del ejercicio 4 (pá gina 387). Determinemos la matriz de la proyección sobre el subespacio E|, de ecuación * i - x 2- x¡-x,=>0, paralelamente al vector (1, - 1, - 1, - 1). La recta1 trazada por el punto (x¡, x¡, x¡, x,) paralela al vector tiene por ecuación X ,-x, X2—x2_ —x¡ X4- » , -1 (X„ X2, X3, X4 coordenadas corrientes). Corta al hiperplano Ei en el punto de coordenadas

401 de donde A2= I - A , =

, 1 - 1 - 1 -1 1- 1 1 1 1 -1

1

Se verifica, pues, que A = 2Ai-2A;¡, de donde A’i =2"A i + (-2 )"A 2. Ejercicio 4. Determínese la descomposición espectral correspondiente la matriz A= 1 0 1 estudiada en la página 389, ejercicio 1. Dedúzcase A». U 1 0| A la raíz Ai = —1 corresponde el plano de vectores propios de ecua ción X|+ X2+X3= 0. A la raíz A2= 2 corresponde la recta x,=x¡=x¡. Las matrices de la descomposición espectral son

Se comprueba que A, + A¡ = I y que - A, + 2A2= A, de donde, recí procamente, A ,= y (2 1 -A ), A j= i - ( A + I). Puesto que A I’= ( - l)Âi + 2"A2, hallamos de nuevo la fórmula de la página 390. 12. Series de matrices o de operadores— La descomposición espectral de una matriz diagonalizable, A = ^ A 1A¡, permite estudiar fá cilmente una serie de potencias de A. El problema se reduce inme diatamente al estudio de series numéricas. Veamos algunos ejemplos sencillos. Ejercido 1. Asociamos a la matriz A la sucesión 1+ 1 A+ * a !+

+ 1 A'"

definida por

(m en!ero positivo)

Exprésese 2m en función de las A¡. Dedúzcase que 2m tiene por límite eA cuan-

Por los ejercicios anteriores podemos escribir

Ya que las matrices A, son invariables, el cálculo del límite se redu ce a un problema de análisis (suma de una serie numérica). Se ob-

Para una matriz diagonalizable A, la existencia y el cálculo de e* dependen, pues, directamente de la descomposición espectral. Puesto que suponemos \¡ é: 7^ «*,. La expresión de e ' es, por tanto, la descomposición espectral de esta matriz; sus valores propios son e*i, que son todos distintos de cero y, por consiguiente, e* es invertible cualquiera que sea A. Su inversa es Se-Â,; es decir, e~*. Ejercicio 2. A la matriz diagonalizable A (sobre el cuerpo R) asociamos

Tenemos e,A= 2eVA,. La derivación en el segundo miembro afecta a los factores numéricos; por consiguiente, ~

= SAieVA,- = (SA,A,) ISeVA,);

de donde resulta la fórmula pedida.

403 El procedimiento es análogo al anterior; tenemos

sen A = ^ (sen \¡)A¡,

eos A = ^ (eos Ai)A(.

Elevando al cuadrado y sumando, se obtiene eos2A + sen2A =1. Por último, la igualdad A = ^ X A , implica que iA = 2i'AíAí, de donde , e'A=2e“iAy= 2 (eos A¡ + i sen A/)A;=cos A + t sen A. Observación.—Los resultados anteriores pueden generalizarse al caso de una serie entera cualquiera. Sea f{z) = tío+ a,z + a¡z2+ ... + a,„zm+ ... una serie entera respecto a la variable compleja z, convergente y de suiqa /(z) para ¡z|< R . Sea, por otra parte, A=2A/A, una matriz diagonalizable de elementos complejos y de orden n. La suma l m= a0i + a,A +... + a„Am, puede escribirse ^ («o + a,A, + íJ2A?+ ■■•+ a,„\, )A...

Para que tenga límite cuando m tiende a infinito es necesario y suficiente que lo tenga cada uno de los coeficientes de las matrices A¡. Esto sucede cuando las imágenes de los valores propios A, (en el pla no complejo) son interiores al círculo de convergencia de la serie. Cumplida esta condición, conviene representar por ((A) el límite ob tenido, lo que da la fórmula1 /(A) = 2fíA,-)A,, 1Para una función cualquiera f, la fórmula anterior se puede tomar también como definición de f(A). la cual se considera así independientemente del estudio de un límite. Se ve que f(A) queda definida cuando lo están"los valores de f(A¡).

13. Aplicación a los sistemas diferenciales.—Recordemos que un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con coefi cientes constantes puede escribirse en forma matricial AX, con A = [ai/],

X=

[1]

donde X es la matriz columna de las incógnitas. En el capítulo 11 hemos visto que la solución correspondiente -a la matriz inicial Xo, para

Se trata de una fórmula teórica, ya que el cálculo de e'4 es a ve ces difícil. Acabamos de ver cómo puede procederse cuando A es diagonalizable. Se obtiene X(t) = yV.'AjXo (A, valores propios distintos).

[2 bis]

La fórmula anterior da la solución que corresponde a los valores iniciales Xo, pero no pone en evidencia la estructura del conjunto de las soluciones. Vamos a considerar de nuevo la cuestión, de manera independiente y limitándonos al caso en que A es diagonalizable. Conjunto de las soluciones Llamamos solución del sistema [1] a cualquier sistema de n funciones x¡{t), ..., *„(£) que verifican [1]; una solución se' escribe en la forma de una matriz columna

Se comprueba inmediatamente que el conjunto de las soluciones de [I] constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. En el caso indicado vamos a determinar una base sencilla y demostraremos que es de n dimensiones. Dos soluciones, Xi(f) y X,(t). son linealmente dependientes cuan do existen dos constantes A y n tales que AXi(t) + pX;(f) = 0 (con jA|+ l/a1 0). Esto implica que las funciones *u(t) de X, son proporcionales a las XjAf) de X¡, con el mismo coeficiente de proporcionalidad para todo i

APLICACION A LOS SISTEMAS DIFERENCIALES De ello resulta en particular que dos soluciones Xi = [c¡/(f)] y X¡= = [c,'flt)] son independientes si lo son las matrices columna de las ct y c,'. Solución propia.—Se dice que una solución X|(í) es propia cuando es de la siguiente íorma: Xi(r)=e*OC,°, donde XJ (valor de X, para í=0) es una matriz de términos constan tes. Llevándola a [1], habrá de satisfacerse la igualdad XX?= AX?; es decir, que X} debe ser un vector propio de A asociado al valor propio X. Suponiendo A diagonalizable, existen n vectores propios X'¡, X^, .... XJ que forman una matriz de cambio P = [XJXJ... XJ]. Estudiemos de qué manera se transforma el sistema cuando se efec túa el cambio de variable X=PY, o recíprocamente Y = P _IX. Las n nuevas funciones desconocidas y,, y¡, ..., y„ son tales que P - ^ -= A P Y ,

o

-^ - = D Y ,

con

D = P -‘AP.

La resolución del sistema en y¡ es inmediata, ya que las variables están separadas por ser D diagonal. Sean X',- (i de 1 a n) los valores propios1 de A ; cualquier solución se escribe

con n constantes arbitrarias c¡. Se deduce de ello que X=PY=c,eiVX? + c2elVX?+... + c„e*VXÍ¡.

[4]

1Designamos con X", (i de 1 a n) los valores propios distintos o confundidos de A. y por X, (i de 1 a s) los valores distintos. Suponemos que la ordenación de los X' es tal que los términos X'i, X'j, .... X'mi son todos iguales a Xi, raíz de orden m,; los m2 términos siguientes son todos iguales a X¡, etc.

Toda solución X(r) es combinación lineal de n soluciones propias independientes. En efecto: la independencia de los vectores X”, Xí, X“ implica la de las soluciones asociadas. Recíprocamente, el conjunto de las X(t) definidas por [4], en la que los X? son independientes, constituye la solución general de un sistema diferencial - ^ - = A X , con A diagonalizable. En efecto, [4] se escribe dt

donde Y es la solución general del sistema -^ - = D Y ,

con D=diag{X',};

por consiguiente, X es solución del sistema —

=(PDP-‘)X = AX.

En resumen: se ha obtenido así una base formada por n solucio nes propias; el espacio de las soluciones es de n dimensiones. Teorema— Para que el sistema con n incógnitas [1] admita n soluciones propias que formen una base del conjunto de solucio nes es necesario y suficiente que A sea diagonalizable. Ejercicio 1. Con ayuda dé la fórmula [4] hállese de nuevo la fórmumatriz X,.q“e * ^

“ “C' " de' S,S,ema qUe‘ ’*'* * °' C°naP°n * * '*

Observemos que [3] puede escribirse en forma de un producto de matrices:

Se agrupan los A', iguales y se pasa de nuevo a X, obteniéndose

Para í = 0, esta igualdad se escribe Xo=P

| j,

de donde

| J

=P 'X3;

por último, X = P •diag { eVI„l(} •p-‘Xo. Efectuando operaciones se obtienen las matrices de la descom posición espectral X=¿eVA,X(, [2 bis] Por tanto, hemos llegado a esta fórmula independientemente del empleo de la serie e*'. Ejercicio 2. Resuélvase el sistema diferencial dxi —j¡-=rxi + 2i>x2.

dx¡ —^ - = qx¡+px¡,

dxj ~ ^ = 2qx2~rxi,

Los valores propios son X|=0, X2=a, X5= - a con a =
r p(o+r) 1 f p (r-o t) 1 2pq I + c¡e~o: 2PQ • L q (a - r ) J l - q(r+ a ) i

Cuando a es complejo, a=¿/3, se observa que las dos últimas so luciones propias son complejas conjugadas. Separando partes reales e imaginarias, Se tiene f*
[2 p | i-2f/|

1 p(r c<>s/3f-/3sen/3z)] |p(rSltn + eos;W1 2pq eos fit +c3' 2pq sen /31 sen p t - r eos /3/)J [r/{/3t:os Bt - r ser'/30j

Reducida triangular. Operador no diagonalizable 14. Reducida triangular.—Sea T un endomorfismo del espacio G sobre un cuerpo K. Cuando el polinomio característico de T se des compone por entero sobre K ' es siempre posible determinar bases de E en las cuales la matriz de T resulta triangular, siendo los ele mentos de la diagonal principal los valores propios X„ X2, ..., X„, dis tintos o confundidos. En los ejercicios 1 y 2 se recuerda la demostra ción basada en la siguiente observación: todo operador que tenga un valor propio posee al menos un subespacio propio de una dimensión. Ejercicio 1. Sea ei un vector propio correspondiente al valor propio X, de T. ¿Cuál es la forma general de la matriz A de T en una base {«■■ ..... e„)? Sea Ei el subespacio engendrado por {ej, ..., e„} y definamos en Ei un ope rador Ti: el transformado Tiv de v€Ej se obtiene proyectando Tv sobre E, paralelamente a c:. Indfquese una matriz de T|. ¿Cuál es su polinomio caracteEvidentemente, la matriz A e o

a*

...

: .0

t a*

t = L Ó ¡A, J’ ... am-

aa,

r X, 1B |

ionde A, es una matriz de orden n-1, a priori arbitraria. Puesto que, T e ,= 2 a/i«/,

tenemos

Tje¡=â¡ie¡.

En la base {e2...... e,,} de E, la matriz de T, es, pues, Ai. Por úlimo, la forma de A muestra que el polinomio característico de T, s A|(X) tal qué A(X)=(X, - X)A,(X). El operador T, tiene así los mismos valores propios que T, a ex-

409 gendra un subespacio E2 suplementario de e'2 en E2. ¿Cuál es la matriz de T en esta base? Se define en un operador T2; el transformado T2v de t € E> se obtiene proyectando T» sobre Ej paralelamente a {fcei+fcV2}. Hállese el polinomio característico de T*

Puesto que Tei = Xie, y Te/2=Xe'2+aei, la matriz de T en la base {ei, e'2.......e'„} tiene la forma siguiente:

Io1x2; B ¡ t

: i A2

!_o o

donde A2es una matriz cuadrada de orden ti —2. Se ve como antes que A. es la matriz de T2en la base {e'j, ..., e'„}: el polinomio caracterís tico es A/X) tal que A(X)= (X, - X) (X2- X)Aj(X). Basta continuar así porque T2 posee al menos un vector propio. Después de n-1 operaciones como máximo se tiene la seguridad de llegar a una matriz triangular para T. Es posible, además, obtener una infinidad.

Demuéstrese que este operador no es diagonalizable. Determínese una base en la que la matriz sea triangular.

dx, -~ = ix ,+ x ,.

dx2

Existe un valor propio doble X,=X2=2. El subespacio propio co rrespondiente, engendrado por el vector ei=(l, -1), es de dimen sión uno. El operador no es, pues, diagonalizable. Tomamos como base el vector ei y un vector e2arbitrario [p. ej., (0, 1)]. La matriz de T se convierte en triangular

R

í l :

\]L\ : h

2 . a-

410 Aplicación: El sistema se escribe

-

* -[;].

¡].

Utilizando el cambio de base anterior, se hace X=PY, de donde -" .(P -w -fJ

'] [ » ; ] ,

} también dy¡ . — .2 »,

dy, - j p - a i + V,.

Se deduce de ello que yi=\¡e2‘, puesto que yi=(X, + XJf)e!'; resul-

Consideremos el segundo ejemplo. El polinomio característico ad mite una raíz triple X= —1, a la que corresponde un plano de vectores propios, de ecuación x¡ + 2x¡ = 0. La diagonalización es, pues,'imposi ble. Se obtiene una reducida triangular tomando como base los vecto res e,= (2, 0, -1 ) y e¡=(0, 1, 0) del plano anterior, y un vector arbitrario, p. ej., ej=(0, 0, 1). La nueva matriz es B=

í -1 0 0 -1 I 0 0

41 6. -1 |

Ejercicio S. Demuéstrese que un operador T cuyos valores propios son todos nulos es nilpotente (véase pág. 362). Recíprocamente, pruébese que un .operador nilpotente tiene todos sus va lores característicos nulos y no es diagonalizable. Ya que los valores propios son nulos, toda reducida triangular de la matriz T es estrictamente triangular. Hemos visto que tal matriz es nilpotente. Recíprocamente, sea T tal que T''=0. Sabemos ípág. 364) que sus

valores propios satisfacen a x1'- 0, siendo asi nulos. Por último, tal operador, distinto de cero, no puede ser diagonalizable, porque la re ducida diagonal sería nula.

La matriz A, admite el vector propio (1, 11, que corresponde al valor propio doble A= 2. La matriz de cambio P= Tj tener una reducida triangular. Tenemos B .-P ■ A .P -fJ

'* ] .

M permite ob

d ' donde

A¡’=PB'P-'^2''-|[ P + 2 r p 11 1 I. p 2 -p J La matriz A2 admite el vector propio (0, 1, 1), correspondiente a A|= 1, y el vector (1, 1, 0), que corresponde a la raíz doble A2=2. Completamos u ise con el vector (0, 0, 1), de donde 1 0 113 0 0 2 -i illi

- 1 1 1 ;10 i 1 | 11 0 0 2 1 1 1 0 = 0 1 2 | ||1 0 1 | |o 0 2

01

pque l [ 10 0 = 0 2- p 2 10 0 2"

1,

\(p + 2)2'"> -p2" p2"-'l , (P:+ 2)2"-' - 1 l-p2" -■ p2"- . | 2 "-l 1-2" 2"

El polinomio característico es (A - 1)2. Se halla un guiar B y se calcula B'“. Se deduce así que A,(B=

15. Operador no diagonalizable— Un operador, diagonalizable o no, admite una infinidad de reducidas triangularesEntre estas podemos hallar las que caracterizan de manera más precisa al opera dor. No indicaremos aquí la forma que adoptan cuando el operador no es diagonalizable, la cual se da en los ejercicios que siguen. Basta determinar la nueva base utilizando la interpretación clásica de las co lumnas de la matriz.

Sea («i, e>, ej) la base inicial. Cualquier otra (e',. c'2, e'j), en la que la matriz sea B, cumple las condiciones T(e'i)= - e'j,

T(e'¡) = - e'2,

T(e'3) =

- e'

que resultan de la interpretación clásica de las columnas de B. Elegi mos para e'i el vector propio ( - 2, 0, 1), y para el vector propio independiente ( - 2, a, 1). Si son (X, ¡x, v) las coordenadas de e'3, la última condición se traduce en las relaciones 2\ + 4 v = —1

y

Elegimos ¡x=0, v = 0, de donde k-. cambio es -2

1

-2 2 1

i\ + 6v=a. ~ . La matriz de

2 0 , de donde 0

Se comprueba sin dificultad la relación B =P “'AP.

El único valor propio es A=1; el subespacio propio asociado es de dos dimensiones. Los vectores (0, 0, 1, -1 ) y (1, -2 , 0, -5 ) for man una base; por tanto, A no es diagonalizable. Sea (e'i, e'j, e'j, e',) la base en la que la matriz es B, eligiendo para e'i el vector propio (0, 0, 1, -1). Si e'2=(a, /}, y, 8), se obtiene T(e'>)=e'i + e'j, de donde resulta un sistema de dos ecuaciones (inde pendientes) con las incógnitas a, /3, y, 8. Elegimos e',=(l, -2, -4 , 0). Finalmente, tomamos como e'j el vector propio (1, -2, 0, -5 ); se deduce de ello que e'4=(0, 1, 0, -1). La matriz de cambio de la base dada a (e'i, e'j, e'j, e',) es, pues,

Ejercicio 3. Demuéstrese que, cualquiera que sea a real, las siguientes ma-

CAPITULO XV ESPACIO EUCLIDIANO DE n DIMENSIONES Función bilineal. Forma cuadrática 1. Función bilineal— Una función bilineal f(y, w) definida er. un espacio E, en una base cualquiera {e,}, tiene por expresión /(V, Y/)=YjaotXayt (a y p de 1 a n)

[1]

con ttas=ftea, en). Podemos asociarle dos matrices traspuestas entre si y tales que f(v, w)=--'XAY = 'Y'AX (X e Y matrices de v y w). Después de un cambio de base de matriz P, la matriz de f se con vierte en B - 'PAP. El rango común de las fnatrices A y B es, por definición, el de la función f. La bilincalidad se expresa por la fórmula f(v + v', w + wO= /(v, w) + /(v', w) + ¡(v, w') + /(v', wl. Ejercicio 1. Sea el espacio R2 referido a la base {e,. e¡}. Hállense las matrices asociadas a la función bilineal f(v, w) tal que /(e„e2) = 2, TOtítef de°7° n“e ® b *

/(e,,e,) = -2.

f(e2, ej) - 3.

e‘+ *2’ ° l

Con las notaciones anteriores, se tiene /(v, w)= ^Xatfáftco, e,t) = =*,(;/, + 2y,) + x3( - 2y, + 3y¡) =

■-»

4

- [ . i ;][;!■

Si se ordena respecto ay, e y, se obtiene «v, w) = y,(x, - 2x¡) + yí2x, + 3x¡! =

-■ » - K

lili]-

Las dos matrices asociadas a I son A = f ' ?1 y 'A =» | las cuales son traspuestas una de otra. Cuando tomamos como nueva base e', y e'2: /(e',, e'j)=4, de donde

/(e'11e'j) = 6,

«e'2, e',) = - 2,

/(«',. e'a)-

-u:]' ’-t: -a-

Cabe emplear también la fórmula matricial

»=— U ílLiíH! - ¡ H - l í Ejercicio 2. Una función bilineai I se dice reducibie cuando . V(v. «). se tenga f(v. w>= *(v)n(w). ¡muéstrese que una condición necesaria y suficiente para q que su rango valga 1.

V¡,(v) = A.X,

V2(w)=A2Y,

designando con A, = [i¿>2... Z>„] dos matrices fila de n elementos. Se deduce de ello que /(v, w) = A|XA2Y='X'A|A2Y. La última expresión es una función bilineai de matriz A='A|A>. Sabemos (pág. 270) que toda matriz de esta forma es de rango 1. Re cíprocamente, toda matriz de rango 1 puede escribirse en esta forma, y la función correspondiente es reducibie.

416

V (v ,„) tenemos /(», *-)= -f(w, y). Caracterícense las matrices de tal función. Compruébese que la propiedad ob tenida se conserva en todo cambio de base. Demuéstrese que toda función es Puesto que /(e„ e¡) = - f(e¡, e,), se ve que toda matriz asociada a f es antisimétrica, de donde A + 'A = O. Esta propiedad intrínseca debe conservarse en un cambio de base; en efecto: B = 'PAP

y

'B = ’P'AP = - TAP = - B.

Finalmente, la última propiedad es evidente; a una f cualquiera podemos asociar: f, tal que f,(v, w)=ftv, w) + /(w, v), que es simétrica fi tal que f-íy, w)=/(v, w)-f(w, v), que es antisimétrica. Se deduce de ello que Ejercicio 4. Demuéstrese que una condición necesaria y suficiente para que una función biiineal f sea antisimétrica es que /(v, vi = 0, para todo v € E. Evidentemente, la condición es suficiente, porque la igualdad ftv, v)=-/(v, v) implica /(v, v)=0. Recíprocamente, supongamos /(v, v)=0, cualquiera que sea v; ten dremos /(v+w. V4-W)= f(y . v)4-«v, w) + /(w, v)-«w, w), 0=/(v, w) + /(w, v). La función es antisimétrica. Ejercicio 5. Sea f(v, w)—2x¡yi-4xiyt+5xiyi+bxa2 una aplicación biiineal espacio de los vectores w„ tales que /(v, w0) = 0, con v arbitrario. Recordemos que una función biiineal es degenerada cuando su matriz A (o 'A) es singular; en nuestro caso se debe tomar b= -10. Interpretemos esta propiedad. Sea v0=(*?, x?) un vector dado de R2; puesto que ftv„, w)= (2x° + 5.r])y, - (4x° +1OxSlife

se tendrá f(vo, w )- 0, cualesquiera que sean y,, y2, si 2*5+ 5x»=0,

4*5+.10*5= 0.

La elección de b asegura la compatibilidad de estas igualdades, que se reducen a una sola de ellas. El subespacio buscado tiene por ecuación 2*“+5*5=0. Así mismo, el subespacio de ecuación es tal que f(v, w0) = 0, cualquiera que sea v. Ejercicio 6. Generalícese la definición de los subespacios anteriores al caso de una aplicación bilineal en un espacio de n dimensiones. ¿Qué relación existe entre ellos? Sea /(v, w)--‘XAY la expresión de la función en una base cual quiera. Si X0 corresponde a v0 dado, la condición /(vo, w) = 0 se es('XoA)Y —O,

de donde

’XÂ -O

si aquella se verifica cualquiera que sea Y. Trasponiendo, se obtiene para v0 la condición 'AX<1=0. Si A es regular, esto exige que sea X0= O; si singular, los vectores Xo engendran un subespacio, definido por sus ecuaciones. Es de di mensión n - r , siendo r el rango de las filas de 'A (rango de las co lumnas de A). Igualmente, para todo vector w0 de matriz Y0 tal que AY0= O, f(y, w0)=0 cualquiera que sea v. También en este caso se obtienen las ecuaciones de un subespacio de dimensión igual a n - r , llamando r al rango de las filas de A. Los dos subespacios así obtenidos tienen, pues, la misma dimensión. 2. Función simétrica.—Se denomina así cualquier función bili neal f tal que f(y, w)—f(w, v). Dos vectores que verifican la condición l(v, w)—0 se llaman conjugados, relación que en este caso es recípro ca. Los dos subespacios estudiados anteriormente (véase ejercicio 5, pág. 416) son ahora coincidentes y constituyen el núcleo de f; es de cir, el conjunto de los vectores conjugados de todo vector del espacio. Si f es de rango n (dimensión del espacio), el núcleo se reduce a solo el vector nulo. Siempre es posible, y de una infinidad de maneras, de terminar bases formadas por vectores conjugados dos a dos. En una de estas bases la matriz de f es diagonal. El número de elementos no nulos es igual al rango.

418

CAP. XV: ESPACIO EUCLIDIANO DE n DIMENSIONES

Ejercicio X. Enla base canónica de R5 determínese la matriz A de una función bilinealsimétrica tal que, elegidos vi=(l, 2. II, v ¡ = ( - 1, 2, 0) y vj=(l, 0, I). se tenga «vi, v¡) = 0, /(*'!. vl) = 5,

f(vj. vj) = 4, /(»,, v,) = 1, /
I 5 0

_‘I

En la base {v,, v2, v3} la matriz es B = ! 0 1 4 . Puesto que l-l 4 0| el paso de la base canónica a {v2, v¡, v3) corresponde a la matriz P=

11-111 I I 2 2 0 . de donde P "'= -1 |1 01 | 1-1

0,5 - I I 0 1, - 0,5 2 |

tenemos A - ’P 'BP '. Efectuando operaciones se llega a I A=

16 5,5 -21 I 5,5 1,75 - 6 . | -2 1 -6 261

Ejercicio 2. Sea f una función simétricade rango n y de matriz A en una base de R". Demuéstreseque el conjunto de los conjugados dado constituye un subespacio de n—1 dimensiones; recíprocamente, todo subespacio de it- I dimensiones es conjugado de un vecior determinado, salvo un factor arbitrario. Sea Xo la matriz de v0^ 0 dado. La condición de conjugación 'XoAY = 0, en la que 'XoA no es nula, puesto que A es de rango n, demuestra que todo vector w (de matriz Y) conjugado de v0 verifica una ecuación lineal que define un subespacio de n - l dimensiones. Recíprocamente, sea UY - O la ecuación de tal subespacio (V es una matriz fila de n elementos). Puesto que A es invertible, siempre es posible realizar la condición 'XoA —U, la cual exige que 'Xo = UA-1. Como el vector U está determinado, salvo un factor arbitrario, lo mismo sucede con X,.Ejercicio 3. Sea A - Í j

j

^

la matriz de una forma bilineal de R4.

Determínese el subespacio conjugado del subespacio engendrado por (1, 0. 0, 0) y (0,1.0.0).

419 La condición de conjugación se escribe Xi(y¡ + y¡) + x¿2y, + 3y¡ + 4t/,) + xfy, + 3t/2+ 3y¡ + 5y,) + x,(4y2+ 5y>+ 4y,) = 0. Todo vector (y„ y¡, y¡, y,) conjugado de (1, 0, 0, 0) y de (0, 1, 0, 0) verifica las dos condiciones yi + yi=0,

2y¡ + 3i/¡+ 4i/« - 0.

Tal vector pertenece al subespacio de dos dimensiones engendrado por (0, -2, 0, I) y ( -2 , -3, 2, 0).

Determínese el núcleo. De acuerdo con la elección del vector v=(«i, «2, a2), Hállese una basejjn la que la matriz / sea diagonal. Se elegirá c= (1, 0. 0) La condición 'X A Y =0 de conjugación se verifica para todo X si el vector de matriz Y es tal que AY = 0. El problema queda reduci do a la resolución del sistema y, + 2y¡ + 2y¡ = 0.

2t/, + 3t/.+4¡/, = 0,

3j/,+4t/2+5t/j = 0,

que admite por solución (A. - 2A, A). El núcleo es, pues, de dimenE1 vector (*i, x¡. xs) es conjugado de (a,, a2, n>) cuando (ai + 2a2+ 3aj)x, + (2ai + 3a2+ 4a3)z2+ (3ai + 4e; + 5aj)xj = 0. Si v no pertenece al núcleo, los vectores (*2, x¡, x¡) engendran-un plano que, como se comprueba fácilmente, contiene al núcleo. Si v pertenece al núcleo, seráconjugado de cualquier vector. El vector e, esconjugado de (x,, x2, x¡) para.v, + 2x2+ 3x} =0; ele gimos (1, -2 , 0) en el plano (ei, e2). Así, el tercer vector de la base buscada pertenece necesariamente al núcleo. Hay qite efectuar, por tanto, el cambio de base de matriz n P= 0 |0

i n -2 - 2 . 0 1I

La nueva matriz de / es B = diag{l, -1, 0).

El núcleo es de dimensión dos y admite por ecuaciones *,+*2 + *J+*«=0,

*2+2*3+ 3*4= 0.

Los vectores conjugados de uno dado, no perteneciente al núcleo, están situados en un subespacio de tres dimensiones que contiene al núcleo. Para diagonalizar, se puede adoptar como matriz de cambio [ 1 - 2 1 21 P= 0 1 - 2 - 3 0 0 1 0 ’ LO 0 0 lJ obtenida eligiendo los dos últimos vectores base en el núcleo. Ejercicio 6. Sea f la función bilineal definida en la base {elP e2) de R: por las siguientes condiciones: « e „ e ,)- « e 2, e2)-0 , /<«„ e*) = /<«,. e,) = l. 1.” Precísense el rango y el núcleo de /. 2.° Sea (T) el conjunto de las transformaciones lineales T de Ri tales que dos clases: una (G) correspondiente a detT=+l, y la otra (H) a detT=-l. Estudíense las transformaciones de cada clase. 1.° La función f es simétrica y tal que « ..» > -[,

* [•

;][*].

donde f(v, v/) = x,y¡ + x¡y,. Corresponde a la forma cuadrática 2*i*2 en la base considerada. Como la matriz A =

^ ^j

es de rango 2, el nú

cleo queda reducido a solo el vector nulo. Z“ Sea B=

la matriz, en {e i( e2>, de una transformación T.

La relación f(Tv, Twj=/(v, w) se escribe 'X'BABY = ‘XAY, de donde 'BAB = A.

421 ; Y son arbitrarias. Desarrollando, resulta:

. ] fo c ] [ 0 l l f o 4 1 _ f 2 * lí

Oj ^ L ó

dJl l

ad+bc]

Oj Lc d\ ~ \.ad+ bc

2bd J'

de donde ac = 0, bd =0, ad + bc= 1. Tenemos, pues, dos casos: a) Sea c = 0, ad= 1 (por tanto, d^=0) y 6 = 0: la matriz B se con vierte en

®j, con |B|=ad = 1. Estas son las transformaciones de

la clase (G). Los vectores propios son e, y ej, siendo los valores pro pios a y 1/a. Para a = ± l , B= ±1. b) Sea a = 0, d = 0 y B=

^ j, con |B¡ = - b e - - 1. Estas son

las transformaciones (H). Son involutivas (B’ = I) y admiten los valores propios +1 y - 1. Ejercicio 7. (Continuación del Ej. 6.)—Demuéstrese que los conjuntos (T) y (G) son grupos de transformaciones. Representamos por | la transfor mación tal que je, =e¡. J<2<=>«i- Exprésense los elementos de (H) en función de j y de los elementos de (G). Sea F una función de valores reales definida en R¡ por F(v) = ,>(*„ x¡). Caracterícense las funciones v tales que F(Tv)«F(vl para todo v e (G). Sean T y T' dos transformaciones de (T). Se tiene Vv, Vw,

ftv, w) = f(Tv, Tw)=/(T'Tv, TTw).

De ello resulta que T'T pertenece también a (T). Además, toda transformación T admite una inversa, porque su determinante es +1; la inversa es evidentemente una transformación de (T). Por último, entre las T, (G) constituye un subgrupo: aquel para el cual det T = +1 (conservan el sentido del área). Por otra parte, estas propiedades son evidentes sobre las matrices. Sea

(óc=l) una matriz de (H); podemos escribir, ha

ciendo intervenir la matriz de J,

-ir 0i][ó:]-«[*. ”]• Por último, la función ip correspondiente a F debe ser tal que { Va, a

0},

ax„ ^ r2) =
Ya que las operaciones T conservan el valor de la forma cuadrá tica 2* 1*2, se prevé que tp debe ser tal que ipfx,, x¡)=ip(u) con u=x,x¡. Pongamos, en efecto., u = *i*2, « = *2; se tiene que p{x,, x2) = p(u/v, v)= = ip(u, v). En la transformación se conserva u, y v se convierte en v' = v/a. La condición ip(u, t>) = ip(u, v/a) válida para todo a 7^0 exige que ip dependa solo de u. 3. Forma cuadrática.—Una aplicación F de un espacio vecto rial en su cuerpo base se dice cuadrática cuando existe una función bilineal h (simétrica o no) tal que Vv,

F(v) = A(v, v).

[1]

De ello resulta que F es homogénea y de grado 2; es decir, F(Avl = = AJF(v). Recordamos más adelante que a un tal operador se asocia una función bilineal y simétrica única, que se suele llamar forma polar. Ejercicio 1. Sean A y A, dos funciones bilineales que definen la misma función cuadrática F. ¿Qué cabe decir de la diferencia A-A, (véase ejercicio 4, pág. 416)? Dedúzcanse todas las funciones bilineales que engendran la misma función cuadrática que una función bilineal dada. A,. Demuéstrese que entre estas Junciones existe una (y solo una). I. que es simétrica. ¿Cómo está relaPruébese que los valores de f se obtienen de los de la función cuadrática 2f(v, w) = F(v + w) —F(v) - F(w).

[2]

Se debe verificar que F(v) = A(v, v)=Ai(v, v), de donde Vv>

(A-/t,)(v, v)=0.

De ello resulta (ejercicio 4, pág. 416) que h -h , es una función an tisimétrica g, por lo cual, h = h, + g. Recíprocamente, toda función h obtenida añadiendo a h¡ una fun ción antisimétrica arbitraria, g, engendra la misma función cuadrática que h¡. Supongamos que existe una función simétrica / entre las fun ciones h\ se tiene f= h , + g, f = % - g.

423 de donde í=j(Ai + 'A|). Recíprocamente, la igualdad f= h + \ '(A, - A) muestra que f pertenece al conjunto.' La forma polar f es, pues, la parte simétrica de toda función A a la cual corresponde F. En una base, este resultado se traduce inmediatamente en lenguaje matricial. Si a A corresponde la matriz B, a f corresponde A = i(B + 'B). Es tal F(v) = 'XAX. Se dice que A es la matriz de F; o sea, por definición, es la ma triz de la función polar. Por último, la igualdad [2] se obtiene fácilmente haciendo uso de la bilinealidad y simetría de /; tenemos F(v +w)=/ív +w, v + w) = f(v, v) + 2f(v, w) + f(w, ví) = F(v) + 2/fv, wl + Rw).

Vv.

F(v)-*>(*)*(»).

Con ayuda de *1 y i¡i exprésese el valor /(v. w) de la forma polar asociada. De muéstrese que el rango de las matrices asociadas a F es inferior o igual a 2 >. Según la fórmula [2], se tiene 2fív, w) = v?(v+ w>Wv + w) - j/Kw)Recordando la linealidad de ¡p y iji, resulta f(v, w) = J[y>(v)i/iíw) + p(w)i¡i(v)]. En el caso en que ip= ip, se halla que f(v, w) = ip(v)ip(-w). En cierta base, sean B= [A,¿2 y C = [c,c; ... c„] las matrices fila asociadas a

La matriz 'BC, de rango 1, no es en general simétrica. La matriz A de F es la parte simétrica; o sea, A = i('BC + 'CB). Demostremos que A es a lo sumo de rango 2; en efecto, con las notaciones anteriores fciC+c,B 'i fcC+c¿! I

I

¿>„C+c„B J Como las filas de A son combinaciones lineales de B y C, engen dran un subespacio cuya dimensión es 2 como máximo. Será efectiva mente 2 si B y C no son proporcionales. isualdad F(u + v + w)-F(u + v)+F(v+w) + F(w+ u)-F (u ;-F(v)-F (w ). La fórmula [2] (véase ejercicio 1) implica F(u +v+w)=F(u) + F(v) + F(w) + 2/(u, v) + 2flv, w) + 2/
0110^ - 0^=0,

0110^ - 0,|Oi2=-0.

¿Qué^condición suplementaria hay que imponer cuando se trata del cuerpo de Se debe tener F(v) = ^(v)^(v), con ip función lineal. De ello resulta (ejercicio 2, con B = C) que la matriz de F debe ser de rango 1. Escri biendo, p. ej., la proporcionalidad de las columnas, se ve fácilmente que, en virtud de la simetría, esto solo exige las tres condiciones da das en el enunciado'. 1Si o„ = 0, podemos hacer que otro coeficiente diagonal, an o aa, desempese reducen a ai,=a|j=d.'0220^ - 0^ = 0.

425 Recíprocamente, si se cumplen estas condiciones, se deduce sin dificultad que a,i = ka,u

a2i=k'-a„,

a¡y=k'a¡u

ao=k"a,u

fl;>= kk'au,

de donde F(v)= a,i(*i + kx¡ + k'x¡y. Sobre el cuerpo de los complejos podemos escribir siempre Fív) = ( v/ái>, + k ¿¡T„xi + k1'fa nx&. La condición es, pues, suficiente; pero sobre el cuerpo de los nú meros reales hay que suponer además que a¡, > 0 (o también aa > 0 o para obtener un cuadrado perfecto. 4. Descomposición en cuadrados— Sea F(v) = 'XAX una fun ción cuadrática, en la que A (simétrica) designa la matriz de la forma polar asociada, /. Sabemos que existe una infinidad de bases en las que A es diagonal. Si r es el rango, la forma cuadrática se escribe en una de tales bases, F(v)= ¿a#,’, donde y¡ son las nuevas coordenadas del vector v. Se dice que F se ha descompuesto en cuadrados. Si se trata del cuerpo de los números reales, se demuestra (ley de inercia de Sylvester) que el número de los coeficientes a, positivos (respectivamente, negativos) es fijo e inde pendiente de la base elegida para diagonalizar. En la práctica, se aplica muchas veces el método de Gauss, el cual permite razonar directamente sobre el polinomio que expresa F en una base. Se determinan así las expresiones de las y¡ como funciones lineales 1 de las x¡. Ejercicio I. Descompónganse en cuadrados las siguientes formas cuadráF, (vj - + 2a:(+5*2+2x,x2+ 4*2X3. Fj(v) - 5*f- 3*§+*| + 12xix2—6x,xj - 8*2X3. F2(v) -x 2+*¡+*2—2*5- 2*1X2+ 2*1*3-2*,X.|4-2*2*J—4X2*+ F»(v) ~*,*2+*2*3+*l*).

:E SPAC IOE U C LID IAN OD EnD IM E N SIO N E S Aplicando el método de Gauss, se tiene F,(v)=(x, + x¡y+ x» + 5x¡ + 4xjx, = (xi + XjY+ (x2+ 2x¡y + xj. La forma es, pues, definida positiva. De manera análoga,

F2(v) x,t / = 5^

6 3 V — x2- — x3J

_t(x2+ 5 l(

2 Y - * 3)

2087 t 255~*3’

F j(v)=(x,-x2+ xj- x 1)!-3 ^ x 4+ x2- - y - j + 3 lx 2- - y j . En el último caso (ausencia de cuadrados), el método de Gauss induce a escribir Fj(v)= (x, + x3) (x2+ x3) - xj. =i(x, + x2+ 2x,y - ¿(x, - x,Y - xj. a descomposición en cuadrados de la for-

y precísense las expresiones de las variables y, en función de las x Para n = 2 y n = 3 se tiene, sucesivamente,

F(v)=x?+x2+x,x2=(x,+-y.) +■ — x2, F(v)=xj +

+ *2 + x,xt + x¡x, + x^j = /

*2+*3 \2

3I

= l * ,+ — 2 “ J + 4 Í * 1+-

E1 caso general se trata de manera análoga. Haciendo »i= *i + i ( * 2+...+x,J) se llega a F (»)= üÍ + - | - [ 2 W + j ) ] w í ]

(2ô
X

DESCOMPOSICION' El Tenemos a continuación yt=xi + i(x>+... +x„), de donde

Haciendo y¡=x¡ + i(x4+ ... + X,,) se llega a F(v)= y?+-1 y\+ j yl+

■

xi *

^x«x,¡ j

(4 ¡ ía < p ).

Se comprueba fácilmente que la ley de recurrencia que aparece en estas fórmulas es general y conduce después de n -1 operaciones a la expresión dada en el enunciado. En forma matricial, la sustitución sobre las x¡ se escribe

lo el resultado del ejercicio anterior.) Aplicando el método de Gaus F(v)=(jrl-rXj+...+j:«)(x2+*}+. con a >3,

- (Xj + X, + ... + X„Y - ^ X«X„,

^ 4 en a la última suma. suir Desarrollemos XoXíj (ar> 3).

En la expresión entre corchetes, la forma cuadrática de n —2 va riables es la estudiada anteriormente (ejercicio 2). Hemos visto que era definida positiva, de donde resulta que cualquiera que sea n, la descomposición de F contiene un cuadrado positivo (signo + ) y n -1 cuadrados precedidos del signo dición necesaria y suficiente para que una función cuadrática sea descomponible cuerpo de los números reales? En una base, una función cuadrática descompuesta se escribe F(v)= (a,x, + ... + « t„) (b,x, + ... + b ^ = f Oi+ i>i

a„+b„

V

fa,-/ ),

a„~b„

]2

El rango es, como máximo, igual a 2. Recíprocamente, para toda función de rango 2 existen bases en las que F(v)=dly2+ rf^. Sobre el cuerpo de los complejos se descompone de acuerdo con la fórmula . F(v)=(v'di¡/i+ */ -d¿h) ( \/d,y, - -J -
E spa cio e u c lid ia n o 5. Producto escalar. Ortogonalización Se llama euclidiano todo espacio vectorial real en el que se ha definido un producto es calar'. En general, denotamos con v-w el valor de dicho producto para los vectores v y w. En la base {e<}, en la que r = ^Tx,e(, w = V yfi¡, tendremos , , v.w=OCGY, ■Un producto escalar es una función bilineal y simétrica, tal que la forma

429 designando por G la matriz de término general g(/=e,-e/. En un cam bio de base de matriz P, G se convierte en G,='PGP. Como la forma cuadrática asociada al producto escalar es definida positiva, existen bases ortonormadas en las que la matriz es I. Para tales bases tenemos, por tanto, e,-e/=81/. El método de ortogonalización de Schmidt permite formar bases ortonormadas a partir de cual quier base. Ejercicio 1. En el espacio vectorial R3 consideremos la función / que, a los vectores v=(xi, x2. x3) y w= (y„ y» y¡), asocia el escalar f(v, w) = (*i —2x¡)(y¡ —2y¡) +x:V>+ (*2+*i)(V2+y>)Demuéstrese que R3 se convierte en un espacio euclidiano. ¿Cuál es, en la base canónica, la matriz de esteproducto escalar? Por el método de ortogonalización de Schmidt fórmese una base ortonormada a partir de la canónica. La función f es, evidentemente, bilineal y simétrica. La condición /(v, v) = 0 se escribe (x, - 2*2f + x¡ + (x2+ x3)!=0. Esto exige que sea v = 0; se trata, pues, de un producto escalar, cuya matriz en la base canónica es G=

1 1 - 2 0 1 -2 6 1 . | 0 1 1J

Apliquemos a la base ei=(l, 0, 0), e2, e3 el método de ortogonali zación de Schmidt. Tendremos, pues, f(eu e,) = l. Se reemplaza e2 por e'2=(X, 1, 0) tal que f(ei, e'2) = 0, de donde A=2; después c¡ por e'j = =(V, n', 1) ortogonal a ei y e'2, lo que exige X'= -1 , ¡i = - j. Nor malizando, se obtiene la base (1,0.0),

(v r - L ,o ),

(

-

«

-

^

4

ortonormada respecto de f. El lector debe comprobar que. efectuando í 1 2 -M el cambio de base P = l 0 1 , la matriz de / se convierte en G, = diag (1, 2, i). [o 0 1J

430

cap,

xv: espacio euclidiano de n dimensiones

Ejercicio 2. En el espacio de los polinomios de coeficientes reales asocia mos a los polinomios P y Q el escalar P-Q= J'p (x)Q(x) dx. 1." Demuéstrese que P-Q es un producto escalar-, calcúlese x"'-x“. 2.° Limitándonos al subespacio de los polinomios de grado igual o menor 1." Se comprueba sin dificultad la simetría y linealidad respecto a los dos argumentos P y Q. Por último, la condición P -P= j P(x?dx=0 exige P = 0, puesto que P(x) es una función continua; fácilmente se llega a ( ~ m+ n+ 1 2° La matriz pedida se escribe

3

4

5

6

J4_ JL5 61 -L7 1.

Ejercicio 3. Apliqúese el método de ortogonalización de Schmidt a la base x, x2, xi del espacio euclidiano definido en el apartado 2.® del ejercicio

¿Cómo se obtiene la descomposición de un polinomio P de tercer grado en la base ortonormada asf formada? El polinomio P|= l es normado. Se reemplaza x por P¡ - x - a tal que P|*Pj=0; tenemos a= - i y Pj•P2- 1/12. Se reemplaza x1 por P, = X»t

j)+ c

tal que Pj-Pi = 0, de donde f = - l /3 y P3-P¡=0; de donde b = -1 y Pj-Pj = 1/180. Reemplazamos xs por P* = xJ+
________

LONGITUDESY

ANGULOS____ 431

la) que P<-P|= 0, de donde f = - \ , P<'P2=0; de donde e = -9.'10 y Pj-P3= 0; de donde d = - í . y P,-P, = - -i——. 2 7x400 Hay que normalizar los polinomios obtenidos, lo que conduce a la base ortonormada I,

n/1(2*-1),

v/5(6x! -6z+1),

/fdOx1- 30»-J+ \ 2x-1).

La descomposición de un polinomio de tercer grado, P, según la base anterior P'h P'2l P's, P'<: P = a,?", + a2P'2+ ajP’, + <7,P'4, puede hacerse bien por el método corriente de identificación, o bien empleando las propiedades anteriores, que permiten escribir o, = (P-P',). .... o, = (P-P'4). 6. Longitudes y ángulos.—Salvo indicación contraria, en lo que sigue de este capítulo empleamos bases ortonormadas. La longitud de un vector v es, por definición, el escalar ’v: = -f\*. El ángulo de dos vectores v y w se define de modo que se obtenga la expresión clásica del producto escalar

Dos vectores ortogonales no nulos son tales que <*=— . Ejercicio I. Hállese, en R‘. la descomposición del vector v. de coordenaas (I. 2. 3. -11. en un vector colineal a w -(l. 0. -1. 2) y un vector ortogonal. Escribimos v = Xw+ w' con w'.w = 0. Resulta

El vector Xw, de coordenadas (-2/3, 0, 2/3, -4/3) es la proyec ción ortogonal de v sobre w. Ejercicio 2. En R4. descompóngase v. de coordenadas (3. 1. 2, -4). en una tores u, y o, de coordenadas respectivas (1. 2. ^ l. 1).8(0. 3. I."" -1!. y el

Se debe tener v = Aa, + /za2+ Vi,

a,-v, = 0,

con

a2-v,= 0.

Se deduce de ello v-a, - AaJ + /ia,-a., —l=7A + 4fi,

2

v •a = Xa,•a;+ /xa;. 9=4A+ ll/i;

Ejercicio 3. Determínese una base ortonormada del subespacio engendra do por los vectores fj, fj, f¡, cuyas respectivas coordenadas son (1, 0, 1, 0), (0, 1, -1, 0) y (0, 2, 3, 1). Empleamos el método de ortogonaüzación de Schmidt. Se reempla za f2 por Í'2= f2+Afi, ortogonal a fi, de donde A = i; las coordenadas de f'2 son (J, 1, - i, 0). Reemplazamos i, por f'j=íi+A'f, +jt'f'2,

tal que

f,.f'5=0,

f 2.f'3=0.

Se obtiene A'= -3/2, ¡x = -1/3; f'¡ es el vector de coordenadas ( - 5/3, 5/3, 5/3, 1). Basta normalizar a continuación los tres vectores obtenidos, lo

Ejercicio 4. Sean v y *■ dos vectores de la misma longitud. Compárense La igualdad |v|= ¡w| implica v2= w], de donde v2- w2= (v- w)-(v + w) =0. Los vectores v + w y v - w son, pues, ortogonales. Ejercicio 5. Se considera el espacio euclidiano R* referido a una base or tonormada («,, e2. ei. e<).

433

1." La longitud de v es |v¡ = v/4= 2; puesto que v-e, = e¡ = 1, el ángulo de v y de ei tiene por coseno J y vale 60°. 2.° Determinemos X de manera que en la descomposición de v,

el vector v' sea ortogonal a w. Se obtiene X=— —= - i, de donde lá proyección J(e2+ ej + e* - ei). w Por último, el ángulo de v y w vale 120°. Ejercicio 6. Sea E] un subespacio

de dos dimensionesde R*.Defínasela

todos los vectores de E|. el que forma

ángulo mínimo conv.

Ejemplo: Consideremos de nuevo los vectores U] y o, del ejercicio 2.De termínese la dirección del vector v’, proyección de v - (3. 1, 2. - 4 ) sobre el

{a,,

v'=Xai+Xa2

Sea a3} ’una base de E„ y el vector proyección. Por definición, este es tal que v - v ' es ortogonal a E,, de donde las dos condiciones

Xa,+¿tai»a=v-ai, Xa,-a;+ =v-a2. a;-a¡-(ai-a3 )2>0, v" 2

p a¡

De ello se deduce de manera única X y jt, porque siempre es ya que a, y a2 no son colineales. Podemos también considerar el subespacio E'i, suplemento ortogo nal de E|. Tenemos v = v' +v", con v 'E E i y €r EV Se obtiene el mismo vector que anteriormente. Designemos por w un vector cualquiera de Ei, y sea 0 el ángulo de (v, w) y S'i el de (v, v'). La condición 0^0' equivale a eos 0 r

° ”

H

* |V| ■ Kl

Si ip es el ángulo de v' y w, esta desigualdad se escribe cosipi Se cumple el signo de igualdad cuando w tiene la dirección de v". Ejemplo:

Sea w = Xa, + /xa2; se tiene (v.w?

c y -x y

434 Hagamos — =m y hallemos el máximo de la fracción. El valor m=9, de donde eos 6 = 0, corresponde a una solución extraña, que proviene de la elevación al cuadrado. El máximo se obtiene para m= —47/67, lo que coincide con el resultado antes obtenido. Ejercicio 7. En R", referido a una base ortonormada {«,, ej. sea v el vector* coordenadas
em ,

de donde |v'|= ■fm,

|v|= ^~ñ

y

c o s0 = l/ ^

Hacemos v=——^ u ,. Calcúlese el ángulo de los dos vectores u, y a¡, asi

Los vectores buscados deben formar dos a dos ángulos de 60°. La cuestión es evidente para n = 2. Para n = 3, completamos u» u2con un vector unitario ej perpendicular al plano (ui, u¡), de manera que s< obtenga una base (no ortonormada) de R3. Sea

las condiciones ui-u2= Ui-Uj=J se escriben Ai + -^p=-i-,

-^ + A2=-^-,

de donde

A, =

= -i-

A? + Al + Ai + AiÁi = 1, de donde A j=±^/-|Tenemos, pues, dos valores posibles para uj. El paso de n -1 vectores a n se trata de manera análoga; se tiene u„ = A,u, + ... + A„-,u„_, + A„e„

u.,

u„_|. Se obtiene fácilmente

A, = X¡ = ••• = A„-i = —,

Para hallar el ángulo 8 de v -u , y v - u 2 observemos 1= (n2- u,)2= [(v - u,) - (v - nj)]2= = (v - u,y + (v - u tf - 2(v - a ,) (v - U2). \hora bien, ...

(„ + 1)2v

De donde se deduce que eos 8= —1/n. 7. Subespacios ortogonales pació E' de E podemos asociar o a E' y suplementario. E' © E" = E,.

E' y E" ortogonales.

Conocido un sistema de generadores de uno de los subespacios, se escriben inmediatamente las ecuaciones del otro, y recíprocamente (en una base ortonormada) Así, p. ej., si E' es de una dimensión y en gendrado .por (
Las ecuaciones del subespacio ortogonal y suplementario son Xi + 2*2- x4= 0,

x, + 3x¡ - 2x, = 0.

Es también de dos dimensiones y está engendrado por los vectores i . -2 ,0 ,1 ) y (6, -3,1,0).

sonales entre sí, y ortogonales al subespacio E' engendrado por (1, 0, 0, 1. -2>. (2, 1, -1 , 0, 2) y (1, 1. 1. 2, 1). Entre los pares posibles, precísense aquellos para los cuales uno de los vectores admite una primera coordenada nula. Se trata de estudiar el subespacio E" ortogonal al dado. Sus ecua ciones son *i + 1» - 2*s = 0,

2*|+ *2- * j+2* s= 0,

* i + *2- * j+ 2*« + * s= 0.

Se forma asi un sistema de generadores ortogonales: v:

(2, -1 ,3 ,-2 ,0 )

y

w: (5, -34. -6 , 13, 9).

Se obtiene cualquier otro sistema de generadores ortogonales to mando dos vectores v + Aw, v + ¡xvt (definidos ambos salvo un factor) tales que (v + Aw).(v + ¿tw) = 0, o v*+ A/twJ=0. En este caso resulta 18+ 1467A(* = 0. Si uno de los vectores tiene su primera coordenada nula, \= -2/5, de donde se deduce ¡i y los dos vectores buscados (salvo una constante multiplicativa). (3, 2, 2. 4), (1, 0, 0,R2) y*!!.1” -"?* -!!1!)* " 0 ° '°8

* loS * “

Hay que resolver el sistema 3*, + 2x2+ 2*3+4*4 = 0,

que admite (0, 1, -1, 0) gomo solución, salvo un factor constante. Po demos también determinar el producto vectorial de los tres vectores dados; considerando el determinante

s complementos alge-

CAMBIO DE BASE. MATRIZ ORTOGONAL-______________ 437 Sean n, y n¡ las dimensiones de E, y E|; n=n, + ii¡. Las dimensio nes de E'i y E'2 son n', = n -n , y n'1= n - n2, con n'¡ -r n\=n. Además, E'i y E'2 son disjuntos, porque todo vector común es ortogonal a E| y E2, y lo es, en consecuencia, a todo vector'del espacio; por tanto, se confunde con el vector nulo. Ejercicio 5. Sean E|, E2 Ep subespacios ortogonales dos a dos del es pacio euclidiano E. Demuéstrese que la suma E, + ... + EP es directa. Para ello es necesario y suficiente que la igualdad 0 = v,+ ... + vp,

con

v.eE:,

[1]

exija v, = 0 (i de 1 a p). En nuestro caso, como los vectores v vp son ortogonales dos a dos, de [1] se deduce multiplicando escalar mente por v„ ..., vp: 0 -v }, .... 0= vj. De donde resulta la propiedad. 8. Cambio de base. Matriz ortogonal.—El paso de una base ortonormada {e,} (t de 1 a n) a otra base ortonormada { f(} se efectúa con ayuda de una matriz de cambio ortogonal, P. Se tiene que 'P-P = I, o 'P=P_l. De ello resultan relaciones clásicas entre los vectores fila y los vectores columna de tal matriz. Las dos bases son de la misma o de opuesta orientación según que |P|= +1 (ortogonal directa) o P = -1 (ortogonal inversa).

Precísese, según el caso, la transformación geométrica que liga las dos bases en el plano R2. Si P= ^

^ j es ortogonal, se tiene a!+c3= l,

ó2+ d2= 1,

ab~cd= 0.

CAP. XV: ESPACIO EUCLIDIANO DE ti DIMENSIONES De acuerdo con la primera condición podemos poner a = coser, c—sen a, y por la segunda, ¿>= cos/3, d = sen /3. La tercera implica P = a + — +kir. Para valores pares de k, se tiene P = [sena

cosa]

,(de donde lpl = + 1>:

cosa]

(de donde |P|=-1).

y para k impar, P = [sena

La primera forma corresponde a una rotación de ángulo a de los ejes, y la segunda, a una simetría con relación a la recta que forma el ángulo — +kir con ei. Ejercicio 2. Se recuerda la definición de adjunta de una matriz A= [«,.]. Si A|y designa el cofactor o adjunto del elemento a¡¡ en el desarrollo del deter minante de A, la adjunta A’ es la traspuesta de la matriz [A,,]. Compruébese A A' = A*A=(detA) I. Dedúzcase que cada término de una matriz ortogonal directa es igual a su cófactor, y que cada termino de una matriz ortogonal inversa es el opuesto Consideremos el producto AA*. Para efectuar el producto de una ■fila de A por una columna de A* hay que multiplicar una fila por los cofactores de los elementos de otra fila de la misma matriz íen virtud de la trasposición).Se obtiene así detA si las dos filas tienen el mismo orden, y cero si los órdenes son distintos. Resulta de ello AA* = (detA)I;

de manera análoga A*A = (detA)L

Supongamos A ortogonal directa; puesto que det A = -1, se obtiene AA* = A*A=I. La adjunta es igual a la inversa, de donde A -I = 'A =A *. Traspo niendo la igualdad 'A = A* resulta A ='A *, o [au] = [A,,]. Cada tér-

mino de A es igual a su cofactor. Para una matriz ortogon.il inversa, cada término es el opuesto de su cofactor, porque A * = - A - '= - 'A . Ejercicio 3. En RJ, referido a una base ortonormada, se consideran jos cambios de base que corresponden a las matrices

Compruébese que las nuevas bases son ortonormadas. Hállese la matriz que efectúa el cambio de la segunda base a la tercera. Compruebe el lector que P y P, son ortogonales. Sea un vector de RJde matriz X en la base inicial; sus matrices Y y Z en las otras dos bases son tales que X=PY, X=P,Z. Se deduce de ello que Y=P-'P,Z='PP,Z. La matriz que efectúa el paso de la segunda a la tercera base es, pues, P.-'PP|. Evidentemente, es ortogonal, y, en este caso, vale , 116 P2= - 11 21| 8

13 -4 I -16 - 8 . -4 191

Ejercicio 4. Determínese una base ortonormada de R*. cuyos dos primeros vectores sean f, y f,. de coordenadas ( —, —, —, — I y ( —, —, —, ---- 1. \2 2 2 2 / \ 6 6 2 6/ El vector f3, de la forma (O, a,, a¡, a,), debe ser unitario y ortogo nal a f| y f*; de donde las tres condiciones a,+aj+a, = 0,

a2+3aj- 5(74= 0,

cr| -t-+ a4= 1.

Eligiendo el signo de una de las coordenadas, se obtiene fj:

v

i/26 s/26 V26'

Ei vector f, es unitario y ortogonal al subespacio { f,, f¡, f,}, con diciones que lo determinan salvo el signo. Los cálculos son rápidos s e observa que la n - 1 b, 2 i • 1 -4 1 l?2 2 6 ^26 p= 1 1 3 2

2

J26

2

6

>/26

h

ha de ser ortogonal; razonando con las filas se debe tener •J2(¡ b,= « —— ;

.

elegimos e= + l.

Escribiendo que la segunda, tercera y a la primera, resulta: fc—

i 3V26

b¡

2

filas son ortogonales

f>«=

2 3^26

Operadores lineales en un espacio euclidiano La introducción del producto escalar en un espacio vectorial per mite precisar las propiedades de los operadores de este espacio. De manera general: a) se puede asociar a todo operador T otro, que recibe el nom bre de traspuesto y se denota por 'T ; b) existe un grupo particular formado por los operadores llama dos ortogonales: todo operador ortogonal conserva el producto esca lar de dos vectores arbitrarios; c) los conceptos de operadores simétrico y antisimétrico resultan de la existencia de un producto escalar. Más adelante precisaremos estas distintas nociones.

9. Proyección ortogonal; simetría.—En un espacio euclidiano E es posible asociar a todo subespacio E, un operador de proyección denominado proyección ortogonal. En efecto, asociamos a E| su suple mento ortogonal, E2; tenemos Vv,

v = vi + v2,

con y, C E,, v¡ (É E¡.

La transformación v —>Pv = v, es la proyección ortogonal de E sobre Ei. Cabe también definir la simetría de E con relación a E,; es la transformación S tal que Sv = V|-v,. Ejercicio I. En una base ortonormada de R2, determínese la matriz A de la proyección ortogonal sobre la recta de ecuación Z|»>x2 (bisectriz). Hállese también la matriz A, de la simetría con relación a la recta x2= 2x,. a

. i [¡

jj.

a

,.í [ - ’

;].

Ejercicio 2. Determínese la matriz de la proyección ortogonal de R4sobre el subespacio E¡ engendrado por f( y f2, de coordenadas respectivas (1, 1, 0, li y (1.1,1,0). La proyección de v=(x2, x¡, x¡, x¡) resulta aplicando el método de ortogonalización de Schmidt. Reemplazamos f2 por f 2= 3f2- 2f(, de coordenadas (1, 1, 3, -2), ortogonal a f|. Tenemos a continuación v=Xf| + ftf'2+ v2,

con

v2 ortogonal a E,.

Se obtiene así v.f, 1 = - fy - = y (*i + *2+ *t),

1 P = j j (*t + *¡ + 3x, - 2x,).

De donde se deduce la matriz buscada:

Ejercicio 3. Determínese en R4 la matriz de la simetría S respecto al sub1En un espacio vectorial hay que dar. además de E|. el subespacio suple mentario E;, al cual es paralela la proyección. En el espacio euclidiano, cuando hablamos de proyección, sin especificar el subespacio E2. se trata siempre de proyección ortogonal.

442 Sea P la proyección precedente, y S, la simetría; tendremos Vv, v=Pv + v2

y

Sv= P v -v 2,

Sv = 2Pv - v = (2P - I)v. La matriz se escribe

SKtaTen el isfldo^ÍÎidSno'de°n dimensionesIfemufetreseîK detS= = (-1 )“-'. (Elíjase una base adecuada.) Elegimos los primeros r vectores de la base en Ei, y los n —r úl timos en el subespacio ortogonal. En estas condiciones la matriz S es diag{l, .... 1, -1 , ..., - 1 }, con r elementos iguales a l y n - r iguales a - 1. De ello se deduce que d e t S = (-l)" 'r.

El núcleo es la recta r ,= i 1=xi1y la imagen, el plano x, + *2+Xj - 0. Ya que estos subespacios son ortogonales y suplementarios, conviene tomar una nueva base ortonormada adaptada a esta descomposición. Elegimos la matriz .de cambio 1

■j2 0

1 */
1 “

~vT

~¿T -J~ i t/6 •JT.

Se obtiene asf la primera fórmula. Para la segunda, aplicamos pri mero [1] a T' y al par v, Tw, de donde v .T T w = Tw.'T'v; después se aplica [1] a T y al par w, 'T'v, obteniendo ’T 'v •Tw = w •'T'T'v. De la comparación de las dos igualdades resulta la fórmula bus-

Estúdiese la operación traspuesta. Se forman inmediatamente las matrices A y 'A, de T y de 'T, en la base considerada: II 0 - A i A= 0 1 -¡í , |0 0 0|

‘A =

I I 001 0 1 0 . |—A -/x 0 |

La última matriz corresponde a la transformación

Vemos que se trata también de una proyección paralela a ej, sobre el plano de ecuación A jt, + / x jt2 + r j = 0 ; es decir, el plano perpendicular a la dirección (A, ¡i, 1). La explica ción se da en el ejercicio que sigue.

La condición P2— -P es necesaria y suficiente para que P sea una proyección. Trasponiendo, se obtiene ('PP^ ’P, lo que demuestra que 'P es también una proyección. Si N es el núcleo de P, y Ei, su imagen. E = N © Ei. Sean N' y E', los suplementos ortogonales de N y E,. Se gún las propiedades antes recordadas, 'P es la proyección de E sobre N', paralelamente a E'i (véase el ejemplo anterior). Se verifica que

'P=P si N' = E, y E'|=N. Para ello es necesario y suficiente que P sea una proyección ortogonal de E sobre uno de sus subespacios. Ejercicio 4. Sea T(E) la imagen del operador T. Demuéstrese que todo vector vi S T(E) admite un antecedente único v ortogonal al núcleo N de T. Sea N' el complemento ortogonal de N; si V| designa un antece dente de w y lo proyectamos ortogonalmente sobre N', tendremos v.^v+v,,

con

v,€ N , v 6 N ’.

Por consiguiente, Tvi=Tv=w. Por último, es evidente la unici dad, porque cualquier otro antecedente v', de w es tal que (v 'i-v )€ N. Ejercicio 5. Referido el espacio eudidiano a una base cualquiera, sea G la matriz asociada al producto escalar. Indíqucse la relación existente entre las matrices A y B de dos operadores traspuestos. Compruébese que esta relación Empleando la expresión matricial del producto escalar, la relación v-Tw =w ‘Tv 'XGAY='YGBX. Trasponiendo el primer miembro, 'Y'AGX = 'YGBX, de donde GB-'AG, puesto que X e Y son arbitrarios. Tenemos, pues, B=G_I’AG (o sea, ' B ='A si G = 1). En un cambio de base de matriz P, las matrices asociadas se trans forman en G, = 'PGP, A, = P-'AP, B,=P'BP. Se debe verificar la relación GiBi = 'A|Gi ; en efecto: G,B, = 'PGBP, y 'A,G1= ,P,AGP=G,Bi porque GB= 'AG. 11. Transforniaciones ortogonales— El conjunto de las trans formaciones R que conservan el producto escalar de dos vectores ar bitrarios constituye el grupo ortogonal. Recordemos algunas propie dades de las transformaciones R: conservan las longitudes (y recípro camente); R es tal que 'R*»R-'; en toda base ortonormada la matriz

es ortogonal; de ello resulta que en todo cambio de base ortonormada los nuevos vectores se deducen de los antiguos por una trans formación ortogonal; se verifica que det R = ± 1; las transformacio nes tales que det R = +1 constituyen el subgrupo de las rotaciones. Los ejercicios que siguen se refieren especialmente a los casos n ^2 y n = 3. Se demuestra que una rotación (en el sentido anterior) tiene las mismas propiedades que una rotación de la geometría ele mental: conserva las longitudes; para n—2 es constante el ángulo que forma un vector con su transformado. Se precisa también la in terpretación geométrica de las transformaciones ortogonales inversas.

Si v es un vector propio de R correspondiente al valor propio X, se tiene que Rv = Xv. Como se conserva la longitud, v2= A!v2. de don de X = ± l. Estudiemos el polinomio característico de R. Se escribe A(A) = (-1>"A,(A). con ó,(A) = A" - s,A"-' + ... + ( - 1)”[R|. Si R es una rotación, |R|= +1; para n impar A|(0)<0, A,t +oo)>0. y se tiene ciertamente el valor propio +1: en este caso, una rotación posee siempre un subespacio de dimensión 1, cuyos vectores perma necen invariantes. De manera análoga, si |R|»---1 y si n es impar, la transforma ción admite el valor propio —1. Finalmente, si n es par y IR! = —1. el término constante del polinomio es negativo; puesto que Aií + oo) y A i(->c) son positivos, se tienen los valores propios +1 y -1. Para una rotación, el caso n - 2 muestra que no puede existir valor propio real si n es par. Ejercicio 2. Demuéstrese que una simetría con relación a un subespacic (léase pág. 443) es una transformación ortogonal. ¿En qué caso es directa? Se comprueba inmediatamente que una simetría S conserva las longitudes. Adoptando las notaciones de la página 443, se tiene, en

ANSFORMACIONES ORTOGONALES Puesto que det S = (-1 )"- ', la transformación es directa cuando es par la diferencia n —r entre las dimensiones de E y de E|. El lector estudiará los casos clásicos r = l, n = 2 o n = 3, así como r = 2, n = 3. Ejercicio 3. Estúdiense las t

a)

SeaR =^sena cos | una ma,riz ortogonal directa (véase pági na .437). Compruébese que el ángulo orientado (v, Rv) es independiente de v e igual a a. (Se puede suponer v unitario.) b) SeaR>= [ j ” ^ coso] Una raatriz ort°8onal inversa. Estüdiense sus valores propios; demuéstrese que los subespacios propios son ortogonales y determínense. Caracterícese la transformación. a) Sea v=x,ei + ;r2e2, con x!, + %¡ = 1. El transformado es Rv=x',el + x'2e2, x',=xi cos a - x 2sen a,

x 'j-r , sen a + x2cos a.

El ángulo e —(y, Rv) verifica las condiciones cos 0 = v •v = xix', + x¡x',,

sen 6 = xtx'¡- x¡x\,

que en este caso dan cos 0 =cos a, sen 0 = sen a, de donde 0=a. El ángulo es, pues, independiente del vector elegido. Puesto que se con servan las longitudes, encontramos de nuevo la definición clásica de rotación plana. b) Los valores propios son Xt= 1, X¡= -1 (véase ejercicio 1). Los subespacios propios correspondientes son dos rectas perpendiculares, D| y Dj. En efecto: si V|€D| y v2(= D¡, el producto escalar vi»v2 (que se conserva) se transforma en su opuesto (porque Rv2= - v 2); por consiguiente, es nulo. A Xi = l corresponde Di, de ecuación x, sen — - x 2cos — =0, que forma el ángulo con ei¡ a X¡= -1 corresponde la recta perpen dicular a D|. El transformado de v se obtiene descomponiéndolo según Di y D2, o sea v = v, + v2 (v, €r Di, ...); tenemos entonces

R,v=v,-v2.

Es una simetría con relación a Di. 'Lo que permite definir el ángulo orientado de dos vectores.

Supongamos que existe un plano (vi, v¡) de vectores invariantes. Si w és ortogonal a vi y a v¡, lo mismo le sucede a Rw, que, por ser colineal con w, es también vector propio. Solo cabe que sea Rw = w, de donde R —I, caso que queda excluido. Si fuera R w - —w, se ten dría det R = —1, lo que contradice la hipótesis hecha sobre R. Por tan to, solo existe una recta D de vectores invariantes. Sea P el plano perpendicular a D; evidentemente, es invariante respecto a R y la transformación inducida es ortogonal. Demostremos que se trata también de una rotación. En efecto, el polinomio carac terístico se obtiene dividiendo el polinomio de R - \ 1+ a\2+ b \ + l= 0 , por 1—X, lo que da X*+cX+l=0. El determinante de la transforma ción inducida vale +1. Llamemos 0 el ángulo de la rotación en P (supuestoorientado) yelijamos una base ortonormada cuyos dospri meros vectores, e, y e2, formen en P una basépositiva; eltercero, e3, se toma sobre D. En esta base, la matriz R se escribe f eos0 sen 0 | 0

-sen 0 01 cos0 0 0 lj

La traza es tr R = 2cos 0 +1. Se determina, pues, eos 6 conside rando la matriz R en una base cualquiera suponemos R|7^1. Demuéstrese que el subespacio asociado al valor propio -1 ción R| induce en él una transformación ortogonal que, también en este caso, es una rotación cuyo ángulo 0 viene dado por tr R|—2 eos 0—1.

449 El procedimiento es análogo al anterior. En la base {e» e2. ej}, con ei y e2 en P, la matriz de R, se escribe

Precisemos el efecto de R, sobre un w cualquiera. Descomponemos w en wi sobre D y w2 en P. Giramos w2 un ángulo 0 en P, obtenien do w'2; se tiene así Cuando la rotación 0 es nula, R, se reduce a una simetría con re lación al plano P. Para ello es necesario que la traza sea igual a 1. Ejercicio 6. Precísense las transformaciones definidas en una base de R3

Se determinarán los elementos que permitan caracterizar dichas transfor maciones: vectores propios, ángulos de rotación, etc. Se comprueba que se trata de transformaciones ortogonales: R, y R3 son rotaciones, R2 es ortogonal inversa. El eje de R, soporta los vectores invariantes, los cuales verifican las tres ecuaciones

i (l/v'I, 0, l/v/2). El ángulo 0 de la trRi=— = 2 eos0+1, de donde cos0=— La transformación R2, que admite los valores propios +1 (doble) y -1 , es una simetría con relación al plano x¡=x¡. Finalmente, Rs es una rotación de ángulo 120° alrededor de la Ejercicio 7. Determínese la matriz R de un giro de 180“ alrededor de la recta soporte del vector unitario n(o, ft y).

450_________ CAP. XV: ESPACIO EUCLIDIANO DE n DIMENSIONES El transformado de v es Rv= -v+2(v-n)n, de donde se deduce la matriz por2-1 2a¡3 2ory I R = 2¡¡a 2/32- 1 2/3-y [ 2ya 2yf¡ 2 -f-l

J

Es ortogonal e involutiva: R = R-' = 'R. Ejercicio 8. SeaR la matriz de una rotación de R3; compruébese que el ángulo 0 de la rotaciónverifica lacondición 4(l+cos«)-det(R + I). El polinomio característico de R es A(A)=det(R-AI). Para A= —1, A( - l)=det (R +1). En virtud de la fórmula de la página 371, el po linomio se escribe A(A)= - A3+ A2tr R - aA + 1. El coeficiente a es la suma de los complementos algebraicos de los elementos de la diagonal principal; es decir, la traza de R (véase página 438, ejercicio 2). Se deduce de ello que A (-l)= 2+ 2 tr R = -4(1 +cos 6), de acuerdo con la fórmula del ejercicio 4. 12. Operador simétrico.—Un operador T igual a su traspuesto se llama simétrico, y está caracterizado por la relación Vv, Vw,

v T w = wTv.

[1]

En toda base ortonormada la matriz de T es simétrica. Sabemos que tal operador es siempre diagonalizable. Por ello las raíces Ai del polinomio característico son todas reales, y a una raíz de orden p le corresponde un subespacio propio de dimensión p. Los subespacios propios son ortogonales dos a dos. Para efectuar la diagonalización se determinan los subespacios propios y se elige una base ortonormada1en cada uno de ellos. La asociación de estas bases pro porciona una base ortonormada de R", en la cual la matriz de T es diag{A„ A, A,,}. Ejercicio 1. Demuéstrese que el núcleo y la imagen de un operador simé-

Sea w un vector del núcleo; puesto que Tw=0, la igualdad [1] implica w Tv=0. Si v describe E, Tv describe la imagen; el vector w es, pues, ortogonal a este subespacio. Como esto se verifica para todo vector del núcleo, los dos subespacios son ortogonales y suplemen-

Sean T y T, simétricos; tendremos '(TTi)=lT1T=T,T. El pro ducto es, pues, simétrico si, y solo si, TT, =TiT. Ejercicio 3. Sea T un operador del espacio euclidiano R". ¿Qué cabe decir de los operadores T T y TT? Calcúlese su traza común en una base. Compruébese que es siempre positiva, salvo si T=0. En virtud de la regla de trasposición se comprueba fácilmente que es simétrico cada uno de los operadores T T y TT. Sea [ojy] la matriz de T en una base, ortonormada o no. Los coefi cientes diagonales de la matriz T T (resp., T'T) son iguales a las su mas de los cuadrados de los elementos de las diversas columnas (res pectivamente, filas) de T. Se deduce de ello que tr (T T ) = tr (T T ) = 2 4 Por tanto, la traza es siempre positiva o nula. Sobre el cuerpo de los números reales, la condición tr(TT )=0 exige que sea a^=0, de donde T =0. Ejercicio 4. Sea Ei un subespacio de E, y P, el operador proyección orto gonal de E sobre E¡. Demuéstrese que P es simétrico. Recíprocamente, todo operador de proyección simétrico es una proyección ortogonal.

v=vi + v2,

w = wi+w2 (con vi = PvGEi, v¡6E., ...).

Se tiene

VPW=(V|+VÍ)-WI=V|

■y, de manera análoga, w P v = (w, +W2>-V|=w De ello resulta que P = 'P.

Recíprocamente, sea P tal que P2=P=T>. Sabemos que P es la proyección de E sobre el subespacio imagen E,. paralelamente al nú cleo Ej. Pero por ser P simétrico, la imagen y el núcleo son ortogo nales (véase ejercicio 1). Se trata, pues, de una proyección ortogonal.

p— L P vaoLi

- ‘ 1. 3J

Para Ai, al valor propio A= 3 le corresponde el vector (1, 0, 1); al valor A = - l (doble), el plano de ecuación x, + x3=0. Una ma triz ortogonal directa que asegura la diagonalización es, por tanto, D

i [‘ o -M P ,J2 0 ’ Para A 2, al valor doble A= -1 le corresponde el plano engendrado por (1, -2 , 0) y (1, 0, -1 ), y al valor A= 8, el vector (2, 1, 2). Ya que la diagonalización es válida en el grupo lineal, una matriz sencilla r 1 1 21 decambio es Pi = - 2 0 I I . Bastara normalizar sus vectores I 0 -1 2] i matriz ortogonal que satisfaga la cuestión

li

o

lJ

Hállese la des<

lí 1 11 1 ‘ l 11 . U in Introduce dos matrices simétricas debido a que, por ser ortogo nales los subespacios propios, las correspondientes proyecciones son operadores simétricos (véase ejercicio 4).

453 Ejercido 7. Una matriz cuadrada simétrica de orden n, A=[fl,-y]f tiene sus elementos reales. Demuéstrese que sus valores propios X, verifican la re lación 2 ^ -

(■' Y / de 1 a n).

El polinomio característico se escribe iKA)= ( - W [ V - s ,K -' +

Por ser 2XJ=s} —2s2, se deduce que

Al desarrollar el segundo miembro desaparecen los términos 2a¡fl¡¡, y queda

Ya que la matriz es simétrica, el segundo miembro es igual a 2 a!/

y í varían por separado de 1 a n).

13. Función bilineal y simétrica— Siempre es posible hacer co rresponder a toda función bilineal y simétrica f de un espacio euclidiano un operador simétrico T tal que Vv, Vw

f(y, w)=v-Tw=w-Tv.

En ejes ortonormados, el operador y la función tienen la misma matriz, de donde resulta que la diagonalización de T implica la de f. Existe, pues, al menos un sistema de ejes ortonormados en el que

La forma cuadrática asociada F se descompone en cuadrados: F (v)=S\i*?. Diremos que esta es la forma reducida de la forma cuadrática.

Ejercicio 1. Sea la forma cuadrática F(v) = (xJ-xJ) eos2 6 sen20. Determínense la forma reducida y la matriz de cambio correspondiente. La matriz £ ^ 2 0 eos 20] a<*m'te por va*ores propios +1 y -1, siendo los correspondientes vectores propios (eos0, sen©) y ( - sen 0, eos 0). Por una rotación de ángulo 8 de los e¡es, la forma se convierte en F(v)=t^ - 1^, donde y¡ e t/2 son las nuevas coordenadas de v. Las curvas f(v)= constante son hipérbolas equiláteras. Ejercicio 2. El mismo problema para las formas siguientes: F,(v)-X?xí- (X’ + IJxJ-x.Xj-ÓXjXj. F2(v) -x 1+xj+xj + 2\x2xj+2(jx,xj, FJ(v) = 14xí-41Xj 74ij 50x,x2-16x,xj- UÓXjXj.

Como los operadores T y T son simétricos, tendremos vKv. w)=Tv.T'w = v.TTw La “

y

p(w, v)=v.T'Tw.

igualdad
Por ser los dos operadores permutables, sabemos (pág. 451) que su producto es también simétrico. Es el operador asociado a ip. En toda base ortonormada, su matriz es AB( = BA) si son A y B las matrices de / y rEjercicio 4. Con relación a una base ortonormada del espacio euclidiano R", se considera la función cuadrática F que al vector v= (xi. x2, x„)asocia F (v )-2 ^ x í t/ (. de 1 a ti-1, / de 2 a n).

ción. ¿Cuál es la forma reducida de F(v)?q

En la base inicial, la matriz de F es

A=

0 1 1 ... 1 1 O 1 ... 1 1 1 O ... 1 . .1

1 1 ... 0.

De donde se deduce el polinomio característico: A(\)=( - !)»- '(« -1 - X) (1 + xy-1. Al valor propio X=n —1 le corresponde el subespacio engendrado por (1, 1, ..., 1), y al valor propio X = - l (de orden n - 1), un subes pacio propio E, de n - 1 dimensiones, perpendicular al anterior. Su ecuación única es ^ Las bases ortonormadas buscadas se obtienen añadiendo el vector ( — —, ——, .... —— ) a una base ortonormada de Ej. Para formar ' Jn -Jn Jn > una base ortonormada de Ei podemos partir de la base (1,0

-1), (0,1

-1 )

(0,0,...., 1,

1)

y aplicarle el método de ortogonalización de Schmidt1. En una cual quiera de las bases de R" asf caracterizadas la forma cuadrática se F (v )=-"¿ s? +(n-lte;, siendo (y¡,

y j las coordenadas de v.

Ejerció,o 5. Determínese la matriz del operador T asociado a una función bilineal y simétrica f de matriz A en una base ortonormada. Se denominará G la matriz del producto escalar. La igualdad f(v, w)=v-Tw se escribe ,XAY='XGY', siendo Y la matriz de w, e Y' la de Tw. Se deduce de ello que AY=GY' (porque

X es arbitrario), de donde Y '= G _1AY. El operador tiene por matriz G-'A. 14. Operador antisimétrico.—Un operador T de un espacio euclidiano E se dice antisimétrico cuando T = - T . Para ello es nece sario y suficiente que Vv, Vw,

v-Tw + w Tv=0.

[1]

En una base ortonormada, la matriz de tal operador es evidente mente antisimétrica. Indiquemos algunas propiedades de estos ope radores.

Hállese el único valor propio que puede admitir un operador antisimétrico. Si T es antisimétrico, la relación [1] aplicada al par (v, v) da 2vTv=0, de donde resulta que Tv es ortogonal a v. Recíprocamente, si se cumple esta condición, para v y w arbitra rios, tendremos
El operador inducido por T en T(E) es evidentemente antisimétri co; es además regular, porque T(E) y N son disjuntos. Por último, la condición T = - T muestra, si se pasa primero a las matrices y luego a los determinantes, que det T = ( - iy det T. Si n es impar, esto erige que detT=0; en tal caso, T es singular. El operador inducido por T en T(E) es regular, y de ello se dedu ce que la dimensión de T(E) (rango de una matriz asociada a T) es un número par. Ejercicio 3. Caracterícense los operadores antisimétricos de un espacio de En una base ortonormada la matriz es í ? ^ 1= fc| ? M . Es L-fc OJ L - l OJ el producto de una rotación de ángulo 90° por una homotecia de raEjereicio 4. Demuéstrese que en un espacio de tres dimensiones todo operador antisimétrico está caracterizado por un vector ■ tal que, cualquiera que sea v, Tr—a A v (producto vectorial). En una base ortonormada directa, la matriz puede escribirse f 0 -p 3 p,l A = j pj 0 -p i , de donde x’,=p!X j-p ¡x¡, . . 1-P r Pi 0 J Las coordenadas x',, rij, x'j son las del producto vectorial de a, de coordenadas (p¡, p¡, pj), por v, de coordenadas (*„ Xj, x¡). Ejercicio 5. Sean dosoperadores: To antisimétrico y Tj simétrico. ¿Qué cabe decir de la traza de T0Ti? Razonando con las matrices, se ve sin dificultad que la traza es

15. OperadorescualesquieradeunespacioeucH diano.— U n

operador cualquiera T posee propiedades ligadas a la estructura euclidiana. Estudiamos a continuación el cálculo de una matriz triangular en ejes ortonormados.

Ejercicio 1. Sea X un operador de R" cuyos valores propios se suponen reales, pero no necesariamente distintos1. Demuéstrese particularizando el rade R» en la cual la matriz de T es triangular”

o tía a

e os una

Elegimos convenientemente los subespacios Ei, E¡. ... Si ei es un vector propio normado asociado a Ai, se toma para Ei el subespacio de dimensión n -1 ortogonal a e¡. En él se define un operador T| tal que, para v€ E i, el vector T,v sea la proyección ortogonal de Tv so bre E|. El razonamiento de la página 408 muestra que los valores pro pios de Ti son los mismos que los de T, menos X, (una vez). Este ope rador admite, pues, un vector propio e2. Se considera el subespacio E¡ ortogonal a (ei, e2> y se define en él un operador T2, ... Por tanto, el resultado del caso general conserva su validez en ejes ortonormados. Existen, en general, varias matrices reducidas triangulares. Los términos de la diagonal principal son siempre los valores propios. Si T es simétrico, la matriz asf obtenida es diagonal; se tiene en tonces que Ti = T2= ...=T. El razonamiento clásico que conduce a la diagonalización es un caso particular del anterior. Ejercicio Z. Sea T el operador de matriz A= j ] cn ejes ortonorma dos. Determínese una base ortonormada en la que la matriz sea diagonal. Al valor propio Ai = 6 le corresponde el vector (3, 4); una vez nor malizado da ei, al cual se asocia un vector e¡ perpendicular. La ma triz de cambio asociada, P, es ortogonal: P= y [^

jj;

se deduce de ello que B=P-'A P =

~ * j.

Ejercicio 3. Suponemos que el operador T de RJ admite tres vectores propios independientes, vi, v2. Vj. Hállese la matriz A de T cuando se elige una base ortonormada {eb e^ ej), definida de la manera siguiente: e, es colinea! con v2; e2 está en el plano (vi, v2), y e3 completa la base. Sean Ai, A2, Aj los valores propios. Expresemos con ayuda de e,, e2y ej los transformados Tei, Te2, Tej, lo que determina las columnas de A. Tendremos Te, =Aie,; después de e2= ae, + bv;, se obtiene Te2= A,oe, + A,bv2= a'ei + A^. Por último, necesariamente, Tej= a"e, + b"e> + Ajei

459 Se deduce así la matriz triangular

reducida triangular de la s r -2 1

Los vectores propios son: (1, 1, 0) para X,= - l ; (1, 1, 1) para A,=2, y (1, 0, 1) para \ j=l. Aplicando el método precedente se toman como nuevos vectores base:

' ñ

-
Se deduce de ello la nueva matriz

ji -^ 0

i o _ir-2 i3 iri o 0

L° "I

-J2 j| —3 2 3 1 0 2JL0 -J2 Sí

0JL-11

16. Descomposición polar de un operador.—Los ejercicios que siguen se basan en la descomposición polar de un operador regular T. Se trata de demostrar que T es el producto de una transformación or togonal R por un operador simétrico S; o sea, T=SR. En particular, cuando detT>0, cabe elegir para R una rotación, y para S, un ope rador cuyos valores propios sean positivos'. La descomposición ob tenida de esta forma es única. Ejercicio 1. Sea T un operador del espacio euclidiano .R". Se pide deter minar n rectas D( (subespacios de una dimensión), ortogonales dos a dos y tales que sus transformadas sean n rectas, igualmente ortogonales dos a dos; cada recta D¡ queda definida por un vector director 1La descomposición polar es importante en el estudio de la deformación de un medio continuo. Consideraciones de continuidad justifican la elección de valores positivos propios para S.

a) Demuéstrese que el problema es imposible cuando T es singular. b) Suponiendo T regular, pruébese que todo vector v, (i de 1 a n) debe ser vector propio del operador simétrico fTT; reciprocamente, todo sistema de subespacios propios de una dimensión (ortogonales dos a dos) de Tv,-Tva=0 ( a # i , varía de 1 a n). La definición de trasposición permite escribir la última igualdad en la forma v„-‘TTv,=0. Los vectores v¡ y 'TTv„ ambos ortogonales al subespacio de n -1 dimensiones engendrado por { v,, ..., v¡.¡, ....... ¡, son colineales; es decir, v¡ es vector propio del operador TT. Tenemos, pues, que estudiar el operador 'TT. Es simétrico y ad mite al menos un sistema de n subespacios propios (de una dimensión! ortogonales dos a dos. Recíprocamente, se comprueba fácilmente que tal sistema {D ,} proporciona una solución del problema. Cuando los valores propios de 'TT son distintos dos a dos, este sistema es único, y, por consiguiente, el problema solo admite una solución. El caso de valores propios múltiples se examina más adelante. Ejercicio 2. Suponemos que el problema anterior admite solución úni ca. D sea v,- un vector normado sobre D¡. Asociamos a cada vector Tv; Tvi su vector unitario v'i*=-rJ——, y consideramos la transformación ortogonal R |Tv¡! en la que la imagen de v¡ es v',-; sea S=TR->. Hállense los vectores propios del operador S. Dedúzcase que es simétrico. ¿Cómo están ligados sus valores propios a los del operador 'TT. necesariamen te positivos? Demuéstrese que R es una rotación si det T>0, y que la descomposición La transformación R está bien determinada, puesto que conoce mos la imagen {v'l} de la base { v,}. Se tiene R 'v'¡=v„ de donde Sv', = TR-1v",= Tv, = ¡Tv, v',: S, que admite n vectores propios ortogonales dos a dos, es simétrico. Sus valores propios |Tvi| son todos positivos y se deducen de los va lores propios de T T ; en eíecto, 'TTvf=A¡v( se convierte multipli cándola escalarmente por v, en Ai=v( TTv,=Tv,.Tv(= |Tv,|*. Los A, son, pues, positivos y los valores propios de S son las raí ces cuadradas positivas. Si det T > 0, la base {Tvi}, así como la base ortonormada {v'i}, tienen la misma orientación que {v,}. De ello resulta det R > 0, y, por tanto, R es una rotación; igualmente, si det T < 0, R es una transformación ortogonal inversa. Se deduce que es siempre posible escribir T en la forma T = SR, con R ortogonal y S simétrica de valores propios positivos. La elección que hemos hecho de R es la única posible si deseamos que S tenga valores propios positivos. En efecto, necesariamente debe mos aplicar los vectores v'( sobre los ±v'( (para cada valor de i hay dos elecciones posibles); la elección de todos los signos + es la única para la cual todos los valores propios de S son positivos. Ejercicio 3. Sea T la matriz A= [ j 5 j ] en una base ortonormada. Detación R y la transformación simétrica S tales que T=SR. La matriz de 'TT es 'A A = i '^ ]' como valores propios 4 y 0,25, siendo los correspondientes vectores propios normados Los transformados son y por consiguiente, La rotación R hace pasar de la base {vi, v¡}, que corresponde a la matriz P = Pi = — v/5L2 ~ * j , a la {v'„ v'2}, correspondiente a la matriz ^1. De ello se deduce que 1-1 Pi = RP, de donde R = P,P-1=P,rP = y " * ], y después S = TR~‘. También se puede obtener directamente S obser vando que en la base {v',t v'2} tiene por matriz ^ H í I W K 0 5 ] ' En la base U Se comprueba que T = SR. Si el operador ‘TT admite dos valores propios iguales, será de la torma AI, con A >0 ; todo vector es propio. Puesto que (TvP=v.'TTv=Aví, se ve que la longitud de un vector cualquiera viene multiplicada por 463 Ejercicio S. Supongamos ahora n=3 y examinemos el caso en que 'TT admite como valores propios (X|, X2, Xj). Demuéstrese que el problema estu diado en el ejercicio 1 admite infinitas soluciones, y precísese cómo se forman estas. Dedúzcase que la descomposición estudiada en el ejercicio 2 es única: T=SR (con las condiciones impuestas a S). Al valor A| corresponde para 'TT un plano Ei de vectores propios, y se ve como anteriormente (ejercicio 4) que T multiplica la longitud de todo vector de E3 por v/A,. Sigue siendo válido el resultado del ejercicio 1 para toda base {vi, v2, v3}, con {vi, v2} base ortonormada cualquiera de E2. La consideración de la base ortonormada {v'„ v'¡, v'3} permite en este caso definir también una transformación ortogonal R (con Rv(=v'j) independiente del par ortonormado {v2, v2} elegido en Ei. La demostración es análoga a la precedente: T establece una se mejanza entre los vectores de Ei y los del plano T(Ei). Por tanto, se tiene siempre T=SR, con S semejante a diag { 0. c!|2-«iiO22<0. r b -| Sea % una transformación lineal, de matriz T= I , I, que transforma la elipse F(m)=l en la circunferencia x-+y!- 1. 1° b J 1." Demuéstrese que T tiene determinante no nulo. Hállense aquellas de las transformaciones cuya matriz es triangular. 2.” Sean l5l y %, dos transformaciones ’S particulares. Pruébese que existe una transformación lineal p. „ Syi . I." Sea X' = TX la transformada de X= (escribimos X'= = [ t f 'j ) ‘ La condición'XAX = I debe imPlicar W X '- I 0 ‘X'TTX=I. Ya que las dos formas cuadráticas de matrices A y T T deben tomar valores iguales para una infinidad de pares (x, y), sus matrices son iguales: de donde •rr= A . [i] Pasando a determinantes, resulta |T|*=|A) y, por consiguiente. •TIÔ. Hallemos T = £*, ; la condición [1] se escribe a‘ +a'1=a„, <¿b'=a„, b'l =as. De ello se deduce que b' = ± ‘Ja-a y y T,T2='T,‘RRT, = A. Se deduce así que 'RR=lTi_,AT,-1=I, de donde se concluye que R es ortogonal. Geométricamente, se observa que T:Ti_1 es una trans formación lineal que conserva la circunferencia ¡r: + ||*=l; se trata, pues, de una transformación ortogonal. Si se da Ti, las transformaciones ‘¡5 tienen por matrices T=RT|, siendo R una transformación ortogonal arbitraria. 3.° Se debe verificar H2= A ; dado que esta relación se conserva en toda base ortonormada, se considera aquella en la que F es diago nal; su matriz es A i= ® J , con X|>X2>0. En esta base, H, = £ — ^ Tenemos, pues, cuatro ma trices Hi, de donde cuatro matrices H, si se retrocede a la base inicial. 4.° En virtud del apartado 2°, el cálculo de H nos conduce a esi 1 cribir la transformación T — s el problema tratado e Espacio unitario de n dimensiones 17. Producto escalar.—El espacio unitario es un espacio vecto rial complejo, E, de n dimensiones, tal que existe una aplicación de E x E en C, la cual satisface las siguientes propiedades, para v y w arbitrarios: a) linealidad con relación al segundo argumento: «v, + ^w')=Afív, w) + pfiv, w-); b) antilinealidad con relación al primero: fi\v + pv', w) = X/(v, w) + £/ív', w); c) simetría hermítica: /(v, w) = /(w, v) [pues /(v, v) es real]; d) carácter definido positivo: «v, v)>0 y «v, v)=0<=>v=0. La función / se llama producto escalar y se denota de la manera usual, (v, w). El módulo o norma de un vector, que representaremos por |v|, es el número positivo ■J(v, v). Dos vectores tales que (v, w)=0 se dice que son ortogonales. La geometría del espacio unitario es análoga a la del espacio eucli diano R"; esta última se reduce a un caso particular de la primera. Cualquiera que sea la función f que verifique a), b), c) y d) se demues tra 1que existen bases ortonormadas {ei, ..., <•„) en las que (e¡, Señalemos también que el espacio unitario puede considerarse como su propio dual; es decir, que toda función lineal ip definida en E puede representarse como un producto escalar: Vv, <¿>(v)= (a, v), donde a queda asociado de manera biunívoca a ip. Sea Xv, con X € C, un vector cualquiera del subespacio. Es nor mado cuando |XlHv, v)= 1, de donde ¡X|=-jij iodos los números X, del mismo módulo, son de la torma X=-j^p donde 6 designa un número real cualquiera; de ello se deduce la ex presión general de los vectores buscados. Ejercicio 2. En una base ortonormada. compruébese ta designaldad de Demuéstrese que en 111el signo igual implica que v y w sor. proporcionales. Sean (x.) e (¡/i) (t de 1 a n) las coordenadas respectivas de v y « en la base considerada; la desigualdad [1] se escribe, elevando al cuadrado, | 5 > ,| < (S * * )(2 8 * y . 121 En primer lugar, se tiene ¡2 ™ r < ( 2 « - « ) ' 131 porque el módulo de una suma es igual o menor que la suma de los módulos. Por último, la desigualdad de Schwartz aplicada a los números rea les jx(| e \y¡\ se escribe La desigualdad [2] resulta de [3| y 14J (porque ...). Finalmente, la igualdad en [2] exige que [3] y [4] sean también igual dades. En [4] hay que suponer ii/ij =X¡xi¡, con X real e independiente de i; en [3] todos los números x¡y, deben tener el mismo argumento, y lo mismo sucede con los números —. Ambas condiciones exigen GRUPO UNITARIO. OPERADOR HBRMIT1CO______ 467 que los y, sean proporcionales a los x¡, siendo el coeficiente de pro porcionalidad un número complejo cualquiera ¡i. A =(a¡j) (rectangular o cuadrada): es la Á, de término general áy; se define también la asociada de A, que es A*~'A. Demuéstrese que estas operaciones verifican las siguientes propiedades: A —A: (A+B)=A+B: AB= Á - B: (A *)' —A: (A+B)* = A* + B*; (AB)*= Comprobemos las fórmulas relativas al producto. La igualdad AB = Á B se establece término a término; si c(/= V a «b t( es el tér mino general de AB, el de AB será cl/= ^ ñ J4/>l, (reglas de conjugación sobre Cl: se obtiene así el término general de AB. La última fórmula se deduce utilizando la trasposición (AB)* = '(AB) = '(A B) = 'B'A = B*A*. Ejercicio 4. Pruébese que el valor (v, «)=<*+1)3 del producto escalar se 2a » |v+w|*-1»!1- |w|l; . 2í-|i»+wp-M*-|*p. Aplicando la bi-aditividad, se obtiene (v + w, v + w)=(v, v)+(w, w)+(v, w) + (w, v). La simetría hermítica implica (w, v ) = a - if i y el valor de a se deduce de la igualdad anterior. A continuación se tiene, por la antilinealidad, (¿v+ w, iv + w)=(iv, fv)+ (w, w) —i(v, w)+ i(w, v). Reemplazando (v, w) por a + ifi y (w, v) por el conjugado, se de duce sin dificultad el valor de f3. 18. Grupo unitario. Operador herxnítico Las transformacio nes lineales que conservan el producto escalar de dos vectores cua lesquiera constituyen un grupo importante, denominado grupo unita B*A*. 468 ________ CAP. XV: ESPACIO EUCLIDIANO DE n DIMENSIONES rio. En toda base ortonormada, la matriz U de una de tales trans formaciones es unitaria: su inversa coincide con su asociada: UU* = U*U = I, o u - ‘ = u*. Se pasa de una base ortonormada a otra sometiendo los vectores de la primera base a una transformación unitaria: la matriz de cambio es unitaria. Un operador H idéntico a sil asociado se llama hermítico. Su ma triz es hermítica (H=H *) en toda base ortonormada. Los valores pro pios A¡ son reales, y existe al menos una matriz unitaria U tal que diag { A(} = U*HU. c °^ !Upágde467).UeCt°r CUal<1U,era “ Una tra,,s,or,nac,,5n umtana (vease e’*rci Hemos visto que el producto escalar (v, w) de dos vectores cuales quiera se expresa con ayuda de las normas o módulos de ciertos vec tores ligados a v y w. Resulta de ello que toda transformación que conserve los módulos, conservará también los productos escalares; se trata, pues, de una transformación ortogonal. Ejercicio 2. Pruébese que todo valor propio de una transformación unita ria tiene módulo 1. Apliqúese este resultado a las matrices ortogonales. Sea U unitaria y v un vector propio; se tiene Uv = Av, de donde ¡Av) = |v| y, por consiguiente, !Ai = l. Esto se aplica en particular a las transformaciones ortogonales del espacio euclidiano R". Las matrices ortogonales son las matrices uni tarias reales. Resulta de ello que todo valor propio de una matriz ortogonal tiene módulo 1. En particular, los valores propios reales son iguales a ± 1. eos**] n0 existen va'ores reales. Los • valores complejos son eia y e"'“. No los hemos considerado en geometría En el caso R= j Ejercicio 3. Compruébese directamente que el polinomio es Una matriz hermftica tiene coeficientes reales (véase pág. 376). GRUPO UNITARIO. OPERADOR HERMETICO Sea H = [al7] tal que H* = H. El polinomio característico se esH - XI|= ( - 1)"[A" - s,\-> + StK'-1+ ... + ( - 1 )"|HI], con Si = 2 a¡¡ rea'’ porque lo son todos los ‘-2ÜÍIYa que cada una de las n(n - l)/2 matrices del segundo miembro es hermítica, su determinante es real (tal determinante es igual a su con jugado). La misma propiedad se cumple para Sj, .... s„: se obtienen siem pre sumas de determinantes cuyas matrices son hermíticas. Ejercicio 4. Demuéstrese que toda matriz cuadrada A, de elementos com plejos, puede ponerse en la forma A=H+i*H|. designando por H y H| dos maSi se supone cierta la igualdad, pasando a las matrices asociadas, se deduce A* = H-/H, (porque H* = H, ...). Por consiguiente, H = i ( A + A*>, H ,= ^ -(A - A * ). Recíprocamente, se comprueba que las matrices así formadas a partir de A son hermíticas. Ejercicio 5. Sea A una matriz antisimétrica real: ¿qué cabe decir de ¿A? Demuéstrese que existe una matriz unitaria U tal que U-'AU es diagonal, y en ella los elementos diagonales son imaginarios puros. Dedúzcase que una matriz antisimétrica real de orden impar es singular. NOTA Resolución y discusión de los sistemas lineales La interpretación vectorial de un sistema lineal conduce de ma nera natural a los métodos clásicos de resolución. Examinamos en primer lugar el caso de los sistemas homogéneos. 1. Sistema lineal y homogéneo.—Un sistema homogéneo de nt ecuaciones con n incógnitas, J a „ x , + a i2 * 2 + . . . + a ,„ x „ = 0 , I am,x, + a„2x2+ ... + amje,=Ó, admite una interpretación vectorial inmediata. Sea E = K" e! espacio de los vectores de orden n sobre el cuerpo K de los coeficientes a,/, y sea F el dual de E (espacio de las funciones lineales definidas sobre E). Se considera la base canónica de K" y la base dual de F. El siste ma [I] está definido por m funciones, f,, f,, ..., f,„, que pertenecen a F; los coeficientes a¡i, a¡¡, .... a¡„ de la t-ésima ecuación son las coor denadas de f¡ en la base considerada de F. La resolución de (II equi vale a determinar el conjunto E' de los v € K “ tales que Wt) = 0. « v ) = 0, .... f„,(v)=0. Las propiedades de las funciones lineales muestran que E es un sub espacio de K". Consideremos el subespacio F' C F, engendrado por fu h L: V/CF' y •’ V v € E ' se tiene fív)=0. De ello resulta que cualquier otro sistema de generadores de F', {/'i, í'i- ■••> f„}. conduce a un sistema de ecuaciones f i(v) = 0 equivalente al [IJ. f pív) = 0 (I bis] 471 En resumen, la interpretación vectorial de [I] es lasiguiente: se da un subespacio F' C F y se trata de determinar elmayorsubespa cio E 'C E tal que V/6F y Vv6E ', «v)=0. 2. Resolución.—El proceso de reducción estudiado en la pági na 231 puede aplicarse al subespacio F'. Los vectores obtenidos en gendran el mismo subespacio, y el sistema reducido es equivalente al dado. En estas condiciones, supongamos que quedan r (r< n y r^m ) filas. El sistema adopta la forma siguiente: i bu*i + b|2*2+... + b/rxr+ ... + b,„*„=0, \ b¡2*j + . . + b!rx, + ... + b!n*„-0, i br- ,t,-,x ,-l + br-,.¿tr + ... + br_ii„*„-0, 1 b^xr + ... + b,„x„ 0. Hemos supuesto la matriz de los coeficientes regularmente escalonada, pero siempre es posible reducirla a este caso cambiando conveniente mente la ordenación de las incógnitas. En esta forma, la resolución y la discusión son evidentes: quedan r ecuaciones y pueden elegirse arbitrariamente p - r de las incógnitas. Como los coeficientes bu, ba, ... b„ son esencialmente distintos de cero, damos valores arbitrarios a *,+,, *r+2, ..., *„ (incógnitas no principales) y se resuelve respecto a *,, *2, .... *,. Se trata de un sistema en cascada cuya resolución es inmediata. Base del subespacio E'. —Volvamos sobre el carácter vectorial del conjunto de las soluciones y busquemos una base. Para ello utiliza mos las n - r soluciones obtenidas dando el valor 1 a una de las in cógnitas, *,+i, *r+2, .... *„, y el valor 0 a las restantes. Formemos el cuadro de estas soluciones: x,=(*;,*;. . . *;, i. o. . oí X2= (*", *", ..., *", 0, 1, .... 0) X,.,=(*<" r>, *<"-'>• .... 0. 0, ..., 1). Estas son independientes y permiten (considérense las n - r últimas componentes) engendrar E’. En efecto, la solución que corresponde a se escribe X = A,X, + AiX, + ... + An_rX„-,. Cuando r - n , E' se reduce a solo el vector nulo; es la solución tri vial. En el caso general, si F' es de dimensión r, E' será de dimensión n - r . Se dice que r es el rango del sistema. Llegamos así al siguiente 3. Ecuaciones de un subespacio.—El sistema [I] (o cualquier otro equivalente) caracteriza el subespacio (E')t decimos que tal sub espacio está definido por sus ecuaciones, y hay dos maneras de defi nirlo; a) por un sistema de generadores; b) por sus ecuaciones; estas son las condiciones necesarias y su ficientes para que un vector (x„ x¡, .... x„) de E pertenezca a E'. De. mostremos que es pasible definir un subespacio cualquiera; esto equivale a‘determinar el subespacio F' asociado al subespacio E' defi nido por el sistema de generadores g, = (*<í>, Si I - (ai, *;>), ..., g,=<*<«, .... *'*>). «„) es un vector de F', se debe tener /»*> = 0, /(g;) = 0, .... fíg„) = 0, y recíprocamente. Llegamos así al sistema homogéneo |x*a¡ + x$a¡ + ... +*¡¡fl„=0, •en el que los coeficientes son ahora las componentes de los vectores de E', y las incógnitas, los vectores de F'. Esto traduce los papeles simétricos desempeñados por ambos subespacios en sus relaciones mutuas. ’ El resultado anterior se aplica al sistema [II] y proporciona un subespacio vectorial de F de n - r ' dimensiones, siendo / el rango de los vectores g. Cabe, pues, determinar n - r ' funciones, f„ fa, ..., 473 tales que las condiciones necesarias y suficientes para que un vector v € E pertenezca a E' se escriben h(y)= 0» « v ) = 0, .... /„_, Estas son las ecuaciones del subespacio E'. En un espacio de n dimen siones, un subespacio de dimensión / está, pues, definido por n -r" ecuaciones independientes. 4. Sistemas no homogéneos.—Sea el sistema completo de m ecuaciones con n incógnitas anx, + anXi+... + a¡¿c„=b¡ (¿ de 1 a m) al que se asocia la matriz completa (coeficientes + términos indepen- Suponiendo que exista al menos una solución, se comprueba que también las transformaciones elementales entre filas de esta' matriz originan un sistema equivalente. Efectuemos las operaciones que con ducen a la reducción de la matriz de los coeficientes (n primeras columnas), aplicando las mismas operaciones a los últimos elemen tos de las filas. Llegamos asi a un sistema equivalente, cuya matriz ofrece el siguiente aspecto: r c„ ca 0 ca ... C]f ... ... Cj, ... Ó Ó 0 0 ... c, ... 0 LO 0 ... Ó C|„ d, -| c*. d, En esta forma, la resolución y la discusión son evidentes: el sis-, tema es posible si las constantes d,+u dm son nulas; es de cir, si el rango de la matriz completaes igual al rango de la matriz de los coeficientes. Se resuelve dando valores arbitrarios a las incóg nitas x,+1, x,t2, ■■■} x„ y calculando x„ x,_u ..., x¡ a partir del sistema anterior (sistema en cascada). En el caso n—m = r se obtiene solu ción única. 474 nota: resolución y discusión de los sistemas lineales El método precedente aplica de manera sistemática la eliminación por combinación lineal, que el lector habrá empicado muchas vecesEn la práctica, basta razonar sobre la matriz. Consideremos un ejem- 12 -3 5 2 Se reduce la matriz y llegamos al sistema [1 -1 1 71 0 -1 3 -12 [O 0 3' —49j La resolución es ahora inmediata. l* -0 + z 7 - p+3z— -12 I 3z= -49

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