Ejercicios Complementarios De Cauchy-Euler: y " p(x)y ' q(x)y g(x) (x) c (x) c (x) y " p(x)y ' q(x)y 0

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE CAUCHY-EULER Segundo Departame Departamental ntal

Con lo anteriormente tratado hasta aquí, podemos hacer las afirmaciones siguientes: 1.

Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal no homogénea:

y"  p(x) (x)y'  q(x) (x)y  g(x) (x)

(1)

Siempre y cuando conozcamos la solución general  ( x )  c11( x )  c 2 2 ( x ) de la ED lineal

(x)y'  q(x) (x)y  0 . homogénea asociad asociada a y"  p(x) 2.

Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal con coeficientes constantes

ay "  by '  cy  g( x) x) 3.

(2)

Aplicando primero el método de reducción de orden y luego el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal.

y"  p(x) (x)y'  q(x) (x)y  g(x) (x) Con el conocimiento de solo una solución

(3)

y   1( x ) de la ED lineal homogénea asociada

y"  p(x) (x)y'  q(x) (x)y  0

(4)

Sobre So bre la lass do doss pr prim imer eras as af afir irma maci cion ones es ya he hemo moss ej ejem empl plifific icad ado; o; y ah ahora ora no lo ha harem remos os so sobre bre la úl últi tima ma afirmación.

1

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EJERCICIOS

RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE CAUCHY-EULER

xy '' y '  0; y1  ln x

1.

Primero mediante la reducción de orden, se obtiene otra solución y 2 de la homogénea asociada y luego se aplica variación de parámetr parámetros os para determinar una solución particular. Para obtener y 2 , se propone y 2  uy1

y 2  ln x  u 

e  dx y12(x)  p(x)dx

Sabemos que y2  y1



(x)y'  q(x) (x)y  0 Reescribimos la ecuación de la forma y"  p(x) y "

1 x

y'  0  y 2  ln x



1

 dx e x 



e ln x

dx  y 2  ln x dx  ln2 x ln2 x 1 1 dx  x dx  y  lnx     dx  xdu y 2  lnx d x u l n x d u  2 ln2 x x ln2 x  x





Realizamos el cambio de variable en la integral

y 2  ln lnx



xdu du    y 2  ln y ln l n x lnx u 2du  2 2 2 xu u







Por lo tanto tenemos que

y  c1y1  c 2 y2  y  c1 ln x  c 2   1

 c1  0 y c2  1  y2  1 Ahora se apl aplica ica vari variaci ación ón de par parámet ámetros ros propon p roponiend iendo: o:

yp  u1y1  u2y 2 Con y1  ln x 2.

y con y 2  1

x2 y '' 3xy ' y  0; y(1)  0, y '(1)  4

Tenemos que

y  xm y '  mxm1 y"  m(m  1)x m2 Sustituyendo la ecuación diferencial la función propuesta y sus derivadas correspondientes tenemos ten emos que

x 2 m(m  1)x m2   3x mx m1   x m  0  x 2 m2  m  xmx 2  3xmx mx 1  x m  0  xm  m2  m  3m  1  0  x m m2  2m  1  0 Por lo tanto trabajamos con la ecuación auxiliar que es la siguiente:

m2  2m  1  0  m  1 m  1  0  m1  1 m2  1 Por lo tanto la solución general es:

y  c1x

m1

 c 2xm  y  c1x1  c2 x1 ln x 2



Por lo tanto con la primera condición inicial 1

1

y( x )  c1x  c2 x1 ln ln x  0  c1  1  c2  1 ln(1)  0  c1 Sustituyendo la segunda condición inicial tenemos:

y  4 x 1

y'(1 y'(1)  4 

 

y '( x )  c1  c 2  x 1 4  c1  c2 1



2

1 x



1 x

 

ln x   4  c1  c 2 x 2  x 1 ln x   2

 1 ln 1   4  c1  c 2  c 2  4  1

Sustituyendo el valor de las constantes en la solución general tenemos que:

y  4x 1 ln x  y 

4 lnx x

Ahora comprobamos el resultado en Mathematica 10 tanto la solución general y con condiciones iniciales

3.

x2 y '' 2xy ' 2y  0

Tenemos que

y  xm y '  mxm1 y"  m(m  1)x m2



x 2 m(m  1)x m2   x mx m1   4x m  0  x 2 m2  m  xmx 2  xmx mx 1  4x m  0  xm m2  m  m  4   0  x m m2  4   0 Por lo tanto trabajamos con la ecuación auxiliar que es la siguiente:

m2  4  0  m2  4  m  2i m1  2i m2   2i Por lo tanto la solución general es:

y  x c1 cos   ln x   c 2   ln x   y  c1 cos  2 ln x   c 2sen 2 ln x  Ahora comprobamos el resultado en Mathematica 10 tanto la solución general y con condiciones iniciales

4.

x 2y '' 2y  0

Tenemos que

y  xm y '  mxm1 y"  m(m  1)x m2 Sustituyendo la ecuación diferencial la función propuesta y sus derivadas correspondientes tenemos ten emos que 2



(

1)

m2



2

m

0



Por lo tanto trabajamos con la ecuación auxiliar que es la siguiente:

m2  m  2  0  m  1 m  2   0  m1  1 m2  2 Por lo tanto la solución general es:

y  c1x

m1

 c2xm  y  c1x1  c2x2 2

Ahora comprobamos el resultado en Mathematica 10 tanto la solución general y con condiciones iniciales

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