EJERCICIO RETICULARES

PREDIMENSIONADO DE LOSAS FORJADOS RETICULARES Y VIGAS COMPROBACIONES PARA NO CALCULAR DEFORMACIONES

MÉTODO EXTRAÍDO DE LA EHE-98 22.4.3 Método directo Para cargas verticales, estas placas pueden analizarse estudiando, en cada dirección, los pórticos virtuales que resulten siempre que se cumplan las limitaciones indicadas en 22.4.3.1. La determinación de los esfuerzos de la placa y los soportes en los diferentes pórticos virtuales podrá realizarse simplificadamente de acuerdo con 22.4.3.2. 22.4.3.1 Campo de aplicación Para que sea de aplicación este método deberán cumplirse las siguientes condiciones: •

a) La malla definida en planta por los soportes, será sensiblemente ortogonal. Se entiende por malla sensiblemente ortogonal aquélla en la que ningún soporte se desvíe, respecto a la línea de ejes que define al pórtico considerado, más del 10 por 100 de la luz normal al mismo correspondiente a la dirección en que se produce la desviación (figura 22.4.3.1).

1

Figura 22.4.3.1

•

b) La relación entre el lado mayor y menor del recuadro no debe ser mayor que 2.

•

c) La diferencia entre luces de vanos consecutivos no debe ser mayor que un tercio de la luz del vano mayor.

•

d) La sobrecarga debe ser uniformemente distribuida y no mayor que 2 veces la carga permanente.

•

e) Deberán existir tres vanos como mínimo en cada dirección.

22.4.3.2 Esfuerzos en las secciones críticas Los momentos flectores en las secciones críticas, en cada dirección, se determinarán a partir del momento M0 definido a continuación:

M0 =

( g d + qd ) * l p * l12 8

donde: gd Carga permanente de cálculo aplicada en el recuadro estudiado. qd Sobrecarga de cálculo aplicada en el recuadro estudiado. l1 Distancia entre ejes de soportes en la dirección en la que se calculan los momentos. lp Anchura del pórtico virtual analizado. Los momentos de las secciones críticas en apoyos y vanos se definen como un porcentaje del momento M0, de acuerdo con los valores definidos en la tabla 22.4.3.2.

2

Tabla 22.4.3.2 Caso A Caso B Caso C Momento negativo en apoyo exterior

30%

0%

65%

Momento positivo en vano

52%

63%

35%

Momento negativo en apoyo interior

70%

75%

65%

•

Caso A: Placa elásticamente empotrada en los soportes de borde.

•

Caso B: Placa apoyada en el borde.

•

Caso C: Placa perfectamente empotrada en ambos bordes, o con continuidad en ambos apoyos (vano intermedio).

Para apoyos interiores se tomará como momento en el apoyo el mayor de los dos determinados según ambos vanos contiguos. En el caso de vanos extremos encuadrados en el caso A de la tabla 22.4.3.2, la viga o zuncho de borde debe calcularse para soportar por torsión una fracción del momento considerado en el extremo de la placa. En el caso de vanos extremos encuadrados en el caso A de la tabla 22.4.3.2, los soportes de apoyo deben dimensionarse para resistir el momento considerado en el extremo de la placa.

Los soportes interiores se dimensionarán para resistir un momento desequilibrado definido de acuerdo con la siguiente expresión:

[

M d = 0,07 * ( g d + 0,5q d ) * l p1 * l112 − g d * l p 2 * l122

]

donde: l11, l12 Dimensiones l1, correspondientes a los vanos contiguos del soporte estudiado lp1, lp2 Dimensiones lp, correspondientes a los vanos contiguos del soporte estudiado A cada tramo de soporte, superior o inferior, se le asignará una fracción del momento a resistir, proporcional a su rigidez.

3

22.4.4 Método de los pórticos virtuales Para cargas verticales y horizontales, estas placas pueden analizarse estudiando, en cada dirección, los pórticos virtuales que resulten siempre que se cumplan las limitaciones indicadas en 22.4.4.1. La definición de las características de las barras que representan la placa y los soportes se obtendrán de acuerdo con los criterios expuestos en 22.4.4.2. La determinación de los esfuerzos de la placa y de los soportes se realizará calculando los pórticos equivalentes resultantes para todas las hipótesis de carga y teniendo en cuenta las combinaciones más desfavorables. 22.4.4.1 Campo de aplicación La hipótesis fundamental de este método reside en la no interacción entre pórticos virtuales. Por ello, en las situaciones en que tal interacción pueda ser significativa, no deberá utilizarse. La interacción entre pórticos puede aparecer en las siguientes situaciones: •

- asimetrías notables en planta o en alzado (de geometría y rigidez).

•

- existencia de brochales.

•

- estructuras sensiblemente traslacionales.

•

- existencia de elementos de rigidización transversal (pantallas, núcleos).

•

- acciones no gravitatorias en estructuras no uniformes.

•

- fuerte descompensación de cargas o de luces.

22.4.4.2 Características de rigidez de las vigas y soportes del pórtico virtual Para cargas verticales se seguirán los siguientes criterios: •

- Para la definición de la inercia de las vigas que representan la placa se considerará la inercia bruta correspondiente al ancho total del pórtico virtual teniendo en cuenta la variación de rigidez existente a lo largo de la barra.

•

- Para la definición de la inercia de los soportes, teniendo en cuenta el efecto producido por el atado torsional conferido transversalmente por la placa, se considerará una rigidez equivalente Keq de acuerdo con la siguiente expresión:

4

•

1 1 1 = + K eq K c K t

donde: Kc Rigidez bruta del soporte. Kt Rigidez de los elementos de atado torsional (figuras 22.4.4.2.a y b). Se define como elemento de atado torsional del soporte, la porción de placa de ancho igual a la dimensión c, del soporte o del capitel y de longitud igual al ancho del pórtico virtual. Figura 22.4.4.2.a

Figura 22.4.4.2.b

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎜ 9 EcC ⎟ Kt = ∑ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎛ C2 ⎞ ⎟ ⎜ l2 ⎜⎜1 − l ⎟⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

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donde: Ec Módulo de deformación longitudinal del hormigón. C Rigidez a torsión del elemento de atado torsional. l2 Dimensión transversal del recuadro adyacente al soporte considerado. C2 Dimensión perpendicular al pórtico virtual del soporte considerado. Para pórticos interiores, Kt resulta de la suma de la rigidez torsional de los elementos de atado torsional existentes a ambos lados del soporte considerado. Para pórticos exteriores, Kt es la rigidez a torsión del elemento de atado torsional del único recuadro adyacente al soporte considerado. Para la definición de C puede adoptarse la siguiente expresión (figura 22.4.4.2.b)

⎛ x⎞ y C = ⎜⎜1 − 0,63 ⎟⎟ x 3 , siendo x < y y⎠ x ⎝ Para cargas horizontales se seguirán los siguientes criterios: •

- Para la definición de la inercia de las vigas que representan la placa se considerará la inercia bruta correspondiente a un ancho igual al 35 por 100 del ancho del pórtico equivalente, teniendo en cuenta la variación de rigidez existente a lo largo de la barra.

•

- Para la definición de la inercia de los soportes se seguirán los criterios expuestos para cargas verticales.

22.4.5 Criterios de distribución de momentos en la placa La distribución de momentos debidos a cargas verticales en las secciones críticas, apoyos y vano, a lo largo de la placa, obtenidos según los procedimientos indicados en 22.4.3 y 22.4.4, se realizará de acuerdo con los criterios definidos en las tablas 22.4.5.a y b. Tabla 22.4.5.a Momentos negativos En soporte interior En soporte exterior Banda de soportes

75%

100%

Banda central

25%

20%

6

Tabla 22.4.5.b Momentos positivos En ambos casos Banda de soportes

60%

Banda central

40%

Los momentos debidos a cargas horizontales deberán ser absorbidos en el ancho de la banda de soportes. 22.4.6 Criterios de distribución de momentos entre la placa y los soportes Cuando en la unión entre losa y soporte actúe un momento Md, se supondrá que se transmite al soporte por flexión una fracción del mismo igual a kMd y la fracción restante (1-k)Md se transmite por tensiones tangenciales. Para la definición del coeficiente k pueden tomarse, simplificadamente, los valores indicados en la tabla 22.4.6 Tabla 22.4.6 c1/c’2 0,5 k

1,0

2,0

3,0

0,55 0,40 0,30 0,20

donde: c1 Dimensión del soporte paralela a la excentricidad de la carga o a la dirección del pórtico virtual analizado. c'2 Dimensión del soporte perpendicular a la excentricidad de la carga o a la dirección del pórtico virtual analizado, en soportes interiores o de esquina, y dos veces tal dimensión en soportes de fachada. Para resistir la parte de momento kMd, transmitido por flexión, deberá disponerse en la placa la armadura necesaria concentrada en un ancho igual al ancho del soporte más 1,5 veces el canto de la placa o ábaco a cada lado. La fracción (1-k)Md deberá ser absorbida por torsión, en el zuncho o viga de borde o atado torsional. Asimismo esta fracción de momento deberá ser tenida en cuenta en la distribución de tensiones tangenciales en el perímetro de punzonamiento (Artículo 46º).

7

EJERCICIO

La figura representa un forjado reticular de un centro comercial con luces de 7x8 metros con nervios de 15 cm de espesor y entre-ejes de 85 cm. * Las acciones a considerar serán: Peso propio

A determinar

Cargas muertas

1,2 KN/m2

Sobrecarga de uso

4 KN/m2

pavimento uso comercial

8

* Los coeficientes de ponderación de las acciones serán: Coeficiente de seguridad sobre acciones permanentes γ f = 1,35 Coeficiente de seguridad sobre acciones variables γ f = 1,50 * Los materiales a emplear serán: Acero B500S γ S = 1,15 Hormigón HA-25/B/20/I γ C = 1,50

1.- PREDIMENSIONADO DEL FORJADO Según la tabla del artículo 50 de la EHE 08 la relación L/d debe ser inferior a 23 para no tener que comprobar el estado de deformaciones. La luz mayor es de 800 cm, luego si: L/d<23

→

L/23
d> 800 / 23 >34,80 cm a este valor del canto útil para determinar el canto del forjado habrá que sumarle medio diámetro de las barras de armado y el recubrimiento. Respecto al diámetro de las barras, dadas las luces podemos pensar en que algunos refuerzos deberán ser de diámetro 20 mm. En cuanto al recubrimiento nos encontramos en un ambiente protegido tipo I, el recubrimiento será de 30 mm. Por tanto el canto mínimo del forjado será 34,8 +1 +3= 38,8 cm. Consideraremos pues un canto de 40 cm.

1.1.- Predimensionado ancho mínimo: Considerando la hipótesis de armar cada nervio con 2 barras del 20 se puede estimar el ancho mínimo del nervio en: Ancho mínimo = 2*30 (recubrimiento) + 2*8 (estribos) + 2*12 +1*20 (armado) +2*20 (separación mínima) = 160 mm. Se considera aceptable un ancho de nervio de 150 mm dado que el elemento aligerante sirve de recubrimiento. Tabla de predimensionamiento: Capa de compresión

50 mm

Ancho de nervio

150 mm

r geo

30 mm

Intereje

850 mm

9

PESO PROPIO FORJADO

Capa compresión Nervios

(m3)

Peso específico (kg/m3)

Peso retícula (kg)

(kg/m2)

0,05

0,036

2500

90,313

125

0,35

0,081

2500

203,438

281,574

Ancho

Largo

Alto

Volumen

(m)

(m)

(m)

0,85

0,85

0,15

1,55

Peso unidad Aligerante 3 Uds

0,23

0,7

0,35

Uds 3,000

(kg) 37

Peso

Peso retícula (kg) 111 TOTAL

Peso (kg/m2) 153,633 560,208

560,208 Kg/ m2 = 5,6 KN/m2

10

2.- CÁLCULOS DE ESFUERZOS Cargas permanentes: Peso propio 5,6 KN/m2 Solado 1,2 KN/m2 Total cargas permanentes: (5,6+1,2) *1,35 = 9,18 KN/m2

Sobrecargas de uso: 4 KN/m2 * 1,5= 6 KN/m2

TOTAL: 15,18 KN/m2

3.-CÁLCULO DEL MOMENTO ISOSTÁTICO EN LA DIRECCIÓN “X” M0=

( g d + q d ) * l p * l12 15,18 * 8 * 7 2 = =743,82 KN*m 8 8

3.1- Vano extremo: 3.1.1.-Reparto de M0 en apoyos y centro de vano Tabla 22.4.3.2 Caso A Caso B Caso C Momento negativo en apoyo exterior

30%

0%

65%


52%

63%

35%


70%

75%

65%

En el vano extremo estamos en el Caso A.

APOYO DORSAL

APOYO FRONTAL

VANO EXTREMO

11

3.1.2.-Reparto del momento isostático Momento negativo en el apoyo dorsal: 0,30*743,82= 223,15 KN*m Momento positivo en el vano: 0,52*743,82= 386,79 KN*m Momento negativo en el apoyo frontal: 0,7*743,82=520,67 KN*m

Expresión gráfica de los valores de la tabla 22.4.5 a y 22.4.5 b

3.1.3.-Reparto de banda central y banda de pilares Apoyo dorsal (momentos negativos): Banda de pilares 1*223,15= 223,15 KN*m Banda central 0,2*223,15=44,63 KN*m Centro del vano (momentos positivos): Banda de pilares 0,6*386,79= 232,07 KN*m Banda central 0,4*386,79=154,72 KN*m Apoyo frontal (momentos negativos): Banda de pilares 0,75*520,67= 390,50 KN*m Banda central 0,25*520,67=130,17 KN*m

12

3.1.4.- Reparto por nervio en cada banda Puesto que en cada pórtico la banda de pilares (4 metros de ancho) se encuentra entre dos mitades de banda central (2metros cada mitad) los esfuerzos por nervios son: Apoyo dorsal (momentos negativos): Banda de pilares 223,15* Banda central 44,63*

0,85 = 47,42 KN*m 4

0,85 = 9,48 KN*m 2+2

Centro del vano (momentos positivos):

0,85 = 49,31 KN*m 4 0,85 Banda central 154,72* = 32,87 KN*m 2+2

Banda de pilares 232.,07*

Apoyo frontal (momentos negativos):

0,85 = 82,98 KN*m 4 0,85 Banda central 130,17* = 27,66 KN*m 2+2

Banda de pilares 390,50*

3.1.5.- Dimensionamiento de armadura A partir del momento, basándonos en el Anejo 7 de la EHE 08 para flexión simple, obtenemos: Apoyo dorsal. Banda de pilares. Md: - 47,42 KN*m fcd : 0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

d=400-(30 recubrimiento+ 16 diámetro barra transversal + 10 medio diámetro barra longitudinal)=344 U0: fcd*b*d = 14,17 * 850 * 344 = 4.143.308 N = 4.143,31 KN

13

Primero, comprobaremos que el momento frontera es superior a nuestro momento. Xl = 0,625 *d = 0,215 m X ⎞ ⎛ M f = 0,8 * U 0 * X l ⎜1 − 0,4 l ⎟ = 534,49 KN*m d ⎠ ⎝ Por lo tanto : US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜1 − 1 − ⎜ U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 140,22 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 3 ø 10 además de los 2 ø 8 que ponemos de montaje. Centro del vano. Banda de pilares. Md: 49,31 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Primero, comprobaremos que h0 es menor que 0,8 xf Xl = 0,625 *d = 0, 215 m;

0,215*0,8=0,172

0,05<0,172 A continuación comprobamos que: Md ≤ UTC*(d-0,5h0) UTC*(d-0,5h0)=192,06 KN*m. Por lo que procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior

14

US2 = 0

⎛ 2M d ⎞ ⎟ = 145,91 KN US1 = U 0 ⎜1 − 1 − ⎜ ⎟ U d * 0 ⎝ ⎠ Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 1 ø 12 además de los 2 ø 12 que dispusimos de montaje.

Apoyo frontal. Banda de pilares. Md: - 82,98 KN*m fcd : 0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

U0: fcd*b*d = 14,17*850*344 = 4.143.308 N =4.143,31 KN Puesto que el momento frontera es mayor a nuestro momento, como hemos comprobado anteriormente: US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 * d ⎝

⎞ ⎟ = 248,68 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 1 ø 12 + 2 ø 16 además de los 2 ø 8 que dispusimos como armadura de montaje.

Apoyo dorsal. Banda central. Md: -9,48 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0,8 xf Md ≤ UTC*(d-0,5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior

15

US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 * d ⎝

⎞ ⎟ = 27,65 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que tendríamos suficiente con los 2 ø 8 que dispusimos de montaje.

Centro del vano. Banda central. Md: 32,87 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0,8 xf Md ≤ UTC*(d-0,5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 * d ⎝

⎞ ⎟ = 96,68 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que tendríamos suficiente con los 2 ø 12 que dispusimos de montaje. Apoyo frontal. Banda central. Md: -27,66 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN

16

UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN

Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0,8 xf Md ≤ UTC*(d-0,5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 * d ⎝

⎞ ⎟ = 81,20 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 1 ø 12 además de los 2 ø 8 que dispusimos como armadura de montaje.

3.2- Vano Central: 3.2.1.-Reparto de M0 en apoyos y centro de vano En el vano central estamos en el Caso C.

APOYO DORSAL

APOYO FRONTAL

VANO CENTRAL

3.2.2.-Reparto del momento isostático en vano central Momento positivo en el segundo vano: 0,35*743,82= 260,34 KN*m Momento negativo en apoyo frontal del segundo vano: 0,65*743,82= 483,48 KN*m

17

*El momento dorsal de este vano, está calculado anteriormente como momento frontal del vano anterior.

3.2.3.-Reparto de banda central y banda de pilares Apoyo dorsal (momentos negativos): o

Calculado anteriormente.

Centro de vanos centrales (momentos positivos): Banda de pilares 0,6*260,34= 156,2 KN*m Banda central 0,4*260,34=104,12 KN*m Apoyo frontal de vanos centrales (momentos negativos): Banda de pilares 0,75*483,48= 362,61 KN*m Banda central 0,25*483,48=120,87 KN*m 3.2.4.-Reparto por nervio en cada banda Puesto que en cada pórtico la banda de pilares (4 metros de ancho) se encuentra entre dos mitades de banda central (2metros cada mitad) los esfuerzos por nervios son: Apoyo dorsal: • Calculado anteriormente Centro del segundo vano:

0,85 = 33,19 KN*m 4 0,85 = 22,13 KN*m Banda central 104,12* 2+2


Apoyo frontal del segundo vano (momentos negativos): 0,85 Banda de pilares 362,61* = 77,05 KN*m 4 0,85 Banda central 120,87* = 25,68 KN*m 2+2

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3.2.5.-Dimensionamiento de armadura A partir del momento, basándonos en el Anejo 7 de la EHE 08 para flexión simple, obtenemos: Centro del segundo vano. Banda de pilares. Md: 33,19 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0,8 xf Md ≤ UTC*(d-0,5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 * d ⎝

⎞ ⎟ = 97,63 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 1 ø 8 además de los 2 ø 12 que dispusimos de montaje.

Apoyo frontal del segundo vano. Banda de pilares. Md: 77,05 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN

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Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0,8 xf Md ≤ UTC*(d - 0,5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 * d ⎝

⎞ ⎟ = 230,39 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 4 ø 12 además de los 2 ø 8 que dispusimos de montaje. Centro del segundo vano. Banda central. Md: 22,13 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0,8 xf Md ≤ UTC*(d - 0,5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 * d ⎝

⎞ ⎟ = 64,84 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos tendríamos suficiente con los 2 ø 12 que dispusimos de montaje. Apoyo frontal del segundo vano. Banda central. Md: 25,68 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5 20

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0,8 xf Md ≤ UTC*(d -0,5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 * d ⎝

⎞ ⎟ = 75,34 KN ⎟ ⎠


21

4.-CÁLCULO DEL MOMENTO ISOSTÁTICO EN LA DIRECCIÓN Y” M0=

( g d + q d ) * l p * l12 15,18 * 7 * 8 2 = =850,08 KN*m 8 8

4.1- Vano extremo: 4.1.1.-Reparto de M0 en apoyos y centro de vano Tabla 22.4.3.2 Caso A Caso B Caso C Momento negativo en apoyo exterior

30%

0%

65%


52%

63%

35%


70%

75%

65%

En el vano extremo estamos en el Caso A.

APOYO DORSAL

APOYO FRONTAL

VANO EXTREMO 4.1.2.-Reparto del momento isostático Momento negativo en el apoyo dorsal: 0,30*850,08= 255,02 KN*m Momento en el vano: 0,52*850,08= 442,04 KN*m Momento negativo en el apoyo frontal: 0,7*850,08=595,06 KN*m

22

Expresión gráfica de los valores de la tabla 22.4.5 a y 22.4.5 b

4.1.3.-Reparto de banda central y banda de pilares Apoyo dorsal (momentos negativos): Banda de pilares 1*255,02= 255,02 KN*m Banda central 0,2*255,02=51 KN*m Centro del vano (momentos positivos): Banda de pilares 0,6*442,04= 265,22 KN*m Banda central 0,4*442,04=176,82 KN*m Apoyo frontal (momentos negativos): Banda de pilares 0,75*595,06= 446,29 KN*m Banda central 0,25*595,06=148,77 KN*m

4.1.4.- Reparto por nervio en cada banda

23

Puesto que en cada pórtico la banda de pilares (3,5 metros de ancho) se encuentra entre dos mitades de banda central (1,75 metros cada mitad) los esfuerzos por nervios son: Apoyo dorsal: (momentos negativos) Banda de pilares 255,02* Banda central 51*

0.85 = 61,93 KN*m 3,5

0.85 = 12,39 KN*m 1,75 + 1,75

Centro del vano (momentos positivos):

0.85 = 64,41 KN*m 3,5 0.85 Banda central 176,82* = 42,94 KN*m 1,75 + 1,75


Apoyo frontal (momentos negativos):



4.1.5.- Dimensionamiento de armadura A partir del momento, basándonos en el Anejo 7 de la EHE 08 para flexión simple, obtenemos: Apoyo dorsal. Banda de pilares. Md: - 61,93 KN*m fcd : 0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1.5

U0: fcd*b*d = 14,17*850*344 = 4.143.308 N =4.143,31 KN

Primero, comprobaremos que el momento frontera es superior a nuestro momento. Xl = 0,625 *d = 0,215 m

24

X ⎛ M f = 0,8 * U 0 * X l ⎜1 − 0,4 l d ⎝

⎞ ⎟ = 534,49 KN*m ⎠

Por lo tanto : US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 184,12 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 3 ø 12 además de los 2 ø 8 que ponemos de montaje. Centro del vano. Banda de pilares. Md: 64,41 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN

Primero, comprobaremos que h0 es menor que 0,8 xf Xl = 0,625 *d = 0, 215 m;

0,215*0,8=0,172

0,05<0,172 A continuación comprobamos que: Md ≤ UTC*(d-0,5h0) UTC*(d-0,5h0)=192,06 KN*m.

Por lo que procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜1 − 1 − ⎜ U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 191,67 KN ⎟ ⎠

25


Apoyo frontal. Banda de pilares. Md: - 108.38 KN*m fcd : 0.85*

25 = 14,17 N / mm 2 1.5

U0: fcd*b*d = 14,17*850*344 = 4.143.308 N =4.143,31 KN Puesto que el momento frontera es mayor a nuestro momento, como hemos comprobado anteriormente: US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 328,04 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 1 ø 12 + 3 ø 16 además de los 2 ø 8 que dispusimos como armadura de montaje.

Apoyo dorsal. Banda central. Md: -12,39 KN*m fcd :0.85*

25 = 14,17 N / mm 2 1.5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa:

fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0.8 xf Md ≤ UTC*(d-0.5h0)

Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

26

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜1 − 1 − ⎜ U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 36,17 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que tendríamos suficiente con los 2 ø 8 que dispusimos de montaje.

Centro del vano. Banda central. Md: 42,94 KN*m fcd :0,85*

25 = 14,17 N / mm 2 1,5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0.8 xf Md ≤ UTC*(d-0.5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 126,76 KN ⎟ ⎠


Apoyo frontal. Banda central. Md: -36,13 KN*m fcd :0.85*

25 = 14,17 N / mm 2 1.5

UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN

27

UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0.8 xf Md ≤ UTC*(d-0.5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 106,39 KN ⎟ ⎠


4.2.-Vano central. 4.2.1.-Reparto de M0 en apoyos y centro de vano En el vano central estamos en el Caso C.

28

APOYO

APOYO

DORSAL

FRONTAL

VANO CENTRAL

4.2.2.-Reparto del momento isostático en vano central Momento positivo en el segundo vano: 0,35*850,08= 297,53 KN*m Momento negativo en apoyo frontal del segundo vano: 0.65*850,08 =552,55 KN*m *El momento dorsal de este vano, está calculado anteriormente como momento frontal del vano anterior.

4.2.3.-Reparto de banda central y banda de pilares Apoyo dorsal (momentos negativos): • Calculado anteriormente. Centro del segundo vano (momentos positivos): Banda de pilares 0.6*297,53= 178,52 KN*m Banda central 0.4*297,53=119,01 KN*m Apoyo frontal del segundo vano (momentos negativos): Banda de pilares 0.75*552,55= 414,41 KN*m Banda central 0.25*552,55=138,14 KN*m

4.2.4.-Reparto por nervio en cada banda Puesto que en cada pórtico la banda de pilares (3,5 metros de ancho) se encuentra entre dos mitades de banda central (1,75 metros cada mitad) los esfuerzos por nervios son: Apoyo dorsal: • Calculado anteriormente Centro del segundo vano:

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Apoyo frontal del segundo vano (momentos negativos): 0.85 Banda de pilares 414,41* = 100,64 KN*m 3,5 0.85 Banda central 138,14* = 33,55 KN*m 1,75 + 1,75

4.2.5.- Dimensionamiento de armadura A partir del momento, basándonos en el Anejo 7 de la EHE 08 para flexión simple, obtenemos:

Centro del segundo vano. Banda de pilares. Md: 43,35 KN*m

25 = 14,17 N / mm 2 1.5 UTC: fcd*b*h0 = 14,17*850*50 = 602.083,33 N = 602,08 KN

fcd :0,85*

UTa: fcd*(b-b0)*h0 = 14,17*(850-150)*50 = 495.950 N = 495,9 KN Como ya hemos comprobado que h0 es menor que 0.8 xf Md ≤ UTC*(d-0.5h0) Procedemos a dimensionar igual que en el caso anterior US2 = 0

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 128 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 1 ø 10 además de los 2 ø 12 que dispusimos de montaje. Apoyo frontal del segundo vano. Banda de pilares

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Md: 100,64 KN*m

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 303,68 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos tendríamos que disponer además de los 2 ø 12 que dispusimos de montaje, 1 ø 20+1 ø 16

Centro del segundo vano. Banda central Md: 29,05 KN*m

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 85,33 KN ⎟ ⎠

Consultando las tablas de armado observamos que haría falta 4 ø 12 además de los 2 ø 8 que dispusimos de montaje. Apoyo frontal del segundo vano. Banda central. Md: 33,55 KN*m

⎛ 2M d US1 = U 0 ⎜⎜1 − 1 − U0 *d ⎝

⎞ ⎟ = 75,34 KN ⎟ ⎠


5.-CÁLCULO DE CORTANTE EN NERVIOS Aunque es usual dar a los ábacos una dimensión entre 1/6 y 1/5 de la luz, en el plano adjunto tenemos las dimensiones de los ábacos reales. A continuación vamos a estudiar el cortante en los nervios que confluyen en el pilar 17 ya que es el ábaco donde menos nervios acometen, 4 por cada cara, en total 16.

31

Vd = ( g d + qd )* (l1 * l p − Ap * A1 ) = 15,18(7,0 * 8,0 − 2,7 * 3,0 ) = 727,12 KN donde Ap y Al son las dimensiones del ábaco. El cortante por nervio será 727.12/16= 45.44KN La colaboración del hormigón será: VCU =

ξ = (1 + 200 / d ) =1,76 <2

0.15

γC

ξ (100 ρf ck )1/ 3 bo d

Siendo d el canto útil en milímetros

ρ es la cuantía geométrica de tracción, es decir la armadura de negativos en el punto a considerar, en el sentido “x” disponíamos 2 ø 8 de montaje y añadíamos 1 ø 12 + 2 ø 16. ρ =

As + Ap b0 d

=0.012

Vcu= 28,156 KN valor que representa la colaboración del hormigón, el acero deberá absorber la diferencia hasta el cortante. Vsu= Vd – Vcu= 45,44 – 28,15=17,29 KN

La figura representa una sección de nervio con armado a cortante mediante dos ramas, los elementos de refuerzos (aviones en el argot) sirven para situar correctamente el armado inferior sin necesidad de separadores.

32

Para armaduras dispuestas formando 90 grados, la colaboración del acero será: Para una sección Aα siendo α =90 Vsu= A90*fy90,d*0,9*d fy90,d. Tensión admisible del acero a esfuerzo cortante: 400 N/mm2 A90 =140 mm2 /m. Dado que el ø 6 está en desuso, dispondremos la armadura en varillas de

ø 8. Con una rama cada 20 cm disponemos de suficiente

armado.

La pieza representada permite mejorar la resistencia a cortante del nervio mediante una rama con la separación que se quiera, debe ser atada a la armadura principal.

6.-COMPROBACIÓN DEL ESTADO LÍMITE DE PUNZONAMIENTO. Artículo 46 EHE 08 La superficie o área crítica se define a una distancia igual a 2d desde el perímetro del soporte, siendo d el canto útil de la losa, calculado como la semisuma de los cantos útiles correspondientes a los armados en dos direcciones ortogonales. Al disponer el armado en dos direcciones el canto útil en uno y otro sentido diferirá en el diámetro de las barras empleadas en el otro sentido, como hemos visto a la hora de calcular el canto útil a lo largo del ejercicio. En general, los planos de armados no definen la posición de las barras a lo alto de una sección y en obra se elige un sentido u otro aleatoriamente. Si bien se recomienda que se dispongan las barras que tengan el mayor canto útil en el sentido de la luz mayor, esto no siempre queda claro. Por tanto es preferible considerar el canto útil menor en los dos sentidos.

33

El área crítica se calcula como el producto del perímetro crítico u1 por el canto útil d. La determinación del perímetro crítico u1 se realiza según las figuras representadas para pilares interiores, de borde o de esquina según dibujo. No será necesaria armadura de punzonamiento si se verifica la condición:

τ sd ≤ τ rd donde el primer término es la tensión nominal de cálculo en el perímetro crítico

τ sd

Fsd , ef u1d

Fsd , ef es el esfuerzo efectivo de punzonamiento de cálculo, teniendo en cuenta el efecto del momento transferido entre losa y soporte.

Fsd , ef = β Fsd simplificadamente

β = 1.15 para pilares interiores β = 1.40 en soportes de borde β = 1.50 en soportes de esquina Fsd es el esfuerzo de punzonamiento de cálculo u1 es el perímetro crítico definido anteriormente; d es el canto útil de la losa

τ rd es la tensión máxima resistente en el perímetro critico τ rd = f cv

0.18

γc

ξ (100 ρf cv )1 / 3

es la resistencia efectiva del hormigón a cortante en N/mm2 de valor 15 N/mm2 en caso de control indirecto del hormigón

f cv = f ck resistencia a compresión del hormigón <60 N/mm2

34

ρ = ( ρ x ρ y ≤ 0,02 En nuestro ejercicio para el pilar 17 u1=(400*4+2π*2*344)=5.922,8 mm2 β=1,15 Fsd=727,12 KN

τ sd =

727120 *1,15 =0,41N/mm2 5.922,8 * 344

ρx=

1 + 1,131 + 4,02 15 * 34,4

ρy=

1 + 1,131 + 6,03 =0.016 15 * 34,4

=0.012

ρ=0,014

τ rd =0,58N/mm2 Por lo que no será necesaria armadura de punzonamiento

35

EJERCICIO RETICULARES

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