1. Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguientes siguientes ¿Qué cantidad cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo? Jugo de Naranja
Jugo de Toronja
Jugo de Existenci Costo Arándan a [$/gal] o [gal] Bebida A 40 40 0 200 1,50 Bebida B 5 10 20 400 0,75 Bebida C 100 0 0 100 2,00 Bebida D 0 100 0 50 1,75 Bebida E 0 0 0 800 0,25 Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida. Solución: Objetivo: Minimizar costos cumpliendo todos los requisitos. Variables: Constantes
X i : cantidad de bebida " i" en galones incorporada al ponche ( i=A..E ) Ci : costo por galón de bebida tipo " i". Ni : porcentaje de jugo de naranja en bebida tipo " i". T i : porcentaje de jugo de toronja en bebida tipo " i". Ai : porcentaje de jugo de arándano en bebida tipo " i". Ei : existencia de bebida tipo "i" E
Función Objetivo: Min
∑ X
i
⋅ Ci
i = A
Restricciones: E
1)
∑ X
≥ 500
i
(Cantidad de ponche requerida)
i = A
E
2)
E
∑ X
i
⋅ N i ≥ 0.2 ⋅
i = A
E
∑ X ⋅ T ≥ 0.1 ⋅∑ X i
i
i = A
i = A E
∑ X ⋅ A i
i = A
(Proporción de jugo de toronja requerida)
i
E
4)
(Proporción de jugo de naranja requerida)
i
i = A
E
3)
∑ X
i
≥ 0.05 ⋅
∑ X
i
(Proporción de jugo de arándano requerida)
i = A
5) X i ≤ E i ∀ i = A..E 6) X i ≥ 0 ∀ i = A..E
(No más de la existencia por bebida) (Naturaleza de las variables) 1
2. Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta: ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades? Solución: Objetivo: Maximizar utilidades. Supuestos: Los obreros trabajan las 40 horas semanales,
.
no menos
Variables:
X i : cantidad de productos tipo " i" fabricados (i=1..3). Z j=1..2). j : horas extra trabajadas por obreros tipo " j" ( 1 int ermedio 1 obrero no calificado i = 2 int ermedioque se temrina j = 2 obrero calificado 3 terminado Función Objetivo: Max U = I − C I = 6.5 ⋅ X 1 + 15( X 2 + X 3 ) (Ingresos por venta) C = 2 ⋅ 40 ⋅ 0.4 + 0.6 ⋅ Z 1 + 1 ⋅ 40 ⋅ 0.6 + 0.9 ⋅ Z 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 40 + Z 1 + 2.4 ⋅ 1 ⋅ 40 + 2.4 ⋅ Z 2
(Costos por salarios y gastos de operación)
Restricciones: 1)
2)
3)
X 1 ≥ 100 X 1 ≤ 150
(Demanda de productos intermedios)
0.5( X 1 + X 2 ) + 0.6 ⋅ X 3 = 80 + Z 1
Z 1 ≤ 20
(Horas de trabajo de obrero no calificado)
0.25 ⋅ X 1 + 0.75 ⋅ X 2 + 0.5 ⋅ X 3 = 40 + Z 2
Z 2 ≤ 10
(Horas de trabajo de obrero calificado)
2
4)
X i
≥ 0 y enteros ∀ i = 1..3
Z j
≥ 0 ∀ j = 1,2
(Naturaleza de las variables)
3. Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después. Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio de año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6. Formule el modelo de programación lineal para este problema. Solución: La situación se puede ilustrar gráficamente como: 1
2
3
4
5
XA1 XA2 XD1
XA3 XA4
XB1 XB2 XB3 xC2 XD5 Las líneas segmentadas indican el término del año en curso y el inicio del año siguiente. Las flechas representa la duración de cada una de las inversiones, antes de obtener los retornos. Se debe considerar que al inicio de cada año sólo se puede destinar a inversión el dinero proveniente de inversiones que terminan en ese momento, o bien que sean excedentes del período inmediatamente anterior. Objetivo: Maximizar utilidades al final del quinto año. Variables:
X ij : cantidad invertida de tipo " i" (i=A..D) al inicio del año " j" ( j=1..5) Z j : excedente no invertido al inicio del año "j" ( j=1..4).
Función Objetivo: Max
1.4 ⋅ X A 4 + 1.7 ⋅ X B 3 + 1.9 ⋅ X C 2 + 1.3 ⋅ X D 5
Restricciones: 1) 2)
X A1 + X D1 + X B 1 + Z 1 = 60000
(Inversiones al inicio del año 1)
X A 2 + X B 2 + X C 2 + Z 2 = 1.3 ⋅ X D1 + Z 1 (Inversiones al inicio del año 2) 3
3) 4) 5)
X A 3 + X B 3 + Z 3 = 1.4 ⋅ X A1 + Z 2
X A 4 + Z 4 = 1.4 ⋅ X A 2 + 1.7 ⋅ X B 1 + Z 3 X D 5 = 1.4 ⋅ X A 3 + 1.7 ⋅ X B 2 + Z 4
6) X ij , Z j
≥0
(Inversiones al inicio del año 3) (Inversiones al inicio del año 4) (Inversiones al inicio del año 5)
(Naturaleza de las variables)
4. Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvataje).
Vehículo
Costo [US$]
Automóvil Camioneta Jeep
7000 6500 5800
Ingresos primer año [US$] 3000 2300 2100
Ingresos segundo año [US$] 5400 5300 5000
Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El costo del crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$2000000 para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para efectos de financiamiento (es decir, US$100 hoy valen US$85 dentro de un año). Todo excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse en pagos futuros. Formule un modelo de programación lineal para el problema. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. Solución: Objetivo: Maximizar utilidades. Variables:
Constantes:
X i : cantidad de vehículos tipo " i" comprados inicialmente ( i=1..3). Y ij : dinero pagado en vehículos tipo " i" al inicio del año " j" ( j=1..3). Z ij : saldo al inicio del año " j" en vehículos tipo " i". 1 autos i = 2 camioneta 3 jeeps Ci : costo del vehículos tipo " i". Iij : ingresos por vehículo tipo " i" durante el año " j".
Función Objetivo: 4
3
Max
∑ (0.85 ⋅ I
z =
)
2
i1
+ 0.85 ⋅ I i 3 ⋅ X i −
i =1
3
∑ (C
i
⋅ X i + 0.14 ⋅ Z i1 + 0.14 ⋅ Z i 2 )
i =1
Restricciones: 3
1)
∑Y
≤ 2 × 106
i1
(Capital Inicial)
i =1
2) Y i1 ≥ 0.2 ⋅ C i ⋅ X i ∀ i = 1..3 (20% inicial mínimo) 3) Z i1 = C i ⋅ X i − Y i1 ∀ i = 1..3 (Saldo inicial) 3
4)
3
∑ (Y
+ 0.14 ⋅ Z i1 ) ≤
i2
i =1
∑I
i1
⋅ X i (Gastos no pueden ser mayores al ingreso del primer año)
i =1
2
5)
∑Y
≥ 0.5 ⋅ C i ⋅ X i
ij
∀ i = 1..3 (50% del préstamo pagado al inicio año 2)
j =1
2
6) Z i 2 = C i ⋅ X i −
∑Y
ij
∀ i = 1..3 (Saldo al inicio del año 2)
j =1
3
7) 1.14 ⋅
3
∑ Z
i2
i =1
8)
X i
≤
∑I
i2
⋅ X i
(Gastos no pueden ser mayores al ingreso del segundo año)
i =1
≥ 0 y enteros ∀ i = 1..3
Y ij , Z j
≥ 0 ∀ i = 1..3 × j = 1..3
(Naturaleza de las variables)
5. Considere el problema de programación de la producción de un conjunto de m tipos diferentes de artículos para los próximos n meses en una fábrica. En cuanto al uso de materias primas, el costo de producción de cada artículo de tipo i se estima en ci. La producción de un artículo tipo i requiere moi horas de mano de obra, disponiendo la fábrica de h j horas de mano de obra durante el mes j. En ciertos meses, la fábrica puede emplear horas extras para aumentar sus recursos de mano de obra. En general, se puede denotar por st j la cantidad máxima de horas extras disponibles en el mes j, cada una de las cuales tiene un costo unitario de cst. La demanda de artículos tipo i en el mes j se estima en dij, las cuales necesariamente deben ser satisfechas. El exceso de producción puede ser almacenado a un costo mensual unitario de s. Existe capacidad para almacenar un volumen máximo de v , pudiéndose representar por v i el volumen de un artículo de tipo i. Políticas de producción exigen que al final del período bajo consideración exista un inventario mínimo de si unidades de artículos tipo i. Formule un modelo de programación lineal que permita planificar la operación de la fábrica durante los próximos n meses de forma tal de minimizar el costo total. Solución: Supuesto: Se trabaja por lo menos el total de horas " hj" de cada mes, nunca menos. 5
Objetivo: Minimizar costos. Variables:
Xij : Cantidad de artículos tipo " i" (i=1..m) producidos en mes " j"( j=1..n). Z j : Cantidad de mano extra empleada en mes " j". Vij : Cantidad de artículos tipo " i" almacenados en mes " j". m
Función Objetivo:
n
∑∑c
i
⋅ X ij +
i =1 j =1
n
m
n
∑cst ⋅ Z + ∑∑s ⋅ V j
j =1
ij
i =1 j =1
Restricciones:
moi ⋅ X ij = h j + Z j ∀ j = 1..n i= 1 Z j ≤ st j m
1)
2)
∑
(Capacidad de mano de obra mensual normal y extra)
X i1 = d i1 + V i 1 X ij + V ij −1
∀ i = 1..m = d ij + V ij ∀ i = 1..m × j = 2..n
(Se debe satisfacer la demanda mensual con artículos producidos y/o almacenados) m
3)
∑v ⋅ V i
ij
≤ v ∀ j = 1..n
(No se puede almacenar más que la capacidad de la bodega en cada
i =1
mes)
4) V in ≥ s i ∀ i = 1..m (Inventario final mínimo por tipo de artículo) 5)
X ij ,V ij Z j
≥0
y enteros
≥ 0 ∀ j = 1..n
∀
i
= 1..m × j = 1..n
(Naturaleza de las variables)
6
