“Universidad naCiOnaL FederiCO viLLarreaL” ESCUELA PROFESIONAL DE TURISMO Y DE NEGOCIOS INTERNACIONALES DOCENTE:
QUISPE SÁNCHEZ, JULIO
ASIGNATURA:
ESTADÍSTICA PARA LOS NEGOCIOS
TURNO:
TARDE
AULA:
C1-1
TEMA:
PRUEBA DE HIPÓTESIS
INTEGRANTES: BARRETO TULLUME, CRISTINA CERPA HUARCAYA, JHORDAN DEL ROSARIO DIOS, JOCELI HINOSTROZA CHAHUA, CAROLINE ROJAS ARCOS, MARICIELO
LIMA – PERÚ
2017
EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPÓTESIS 1. Se ha dado la siguiente información: H0 : µ = 50 H1 : µ ≠ 50 La media muestral es 49, y el tamaño de la muestra, 36. La desviación estándar de la población es 5. Utilice el nivel de significancia de 0.05. α = 0.05 z=
ẋ− µ Ó √𝒏
-1.96 -1.2
z=
𝟒𝟗− 𝟓𝟎 𝟓 √𝟑𝟔
= -1.2
1.96
a) ¿Es ésta una prueba de una o de dos colas? Es una prueba de dos colas. b) ¿Cuál es la regla de decisión? Se acepta H0 si: -1.96 ≤ z ≤ 1.96, de lo contrario, se acepta H1. c) ¿Cuánto vale la magnitud estadística de la prueba? z = -1.2 d) ¿Cuál es la decisión respecto a H0? Como z = -1.2 cae en la región de aceptación, Ho se acepta. e) ¿Cuál es el valor p? p = 0.5000 – 0.3849 = 2(0.1151) = 0.2302 Por lo tanto, es evidencia de que H0 es verdadera ya que p sobrepasa el 0.10.
2. Se dispone de la siguiente información: H0 : µ ≤ 10 H1 : µ > 10 La media muestral es 12 para una muestra de 36. La desviación estándar de la población es 3. Utilice el nivel de significancia de 0.02. α = 0.02
z=
ẋ− µ Ó √𝒏
z=
𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 𝟑 √𝟑𝟔
=4
2.327
4
a) ¿Es ésta una prueba de una o de dos colas? Es una prueba de una cola. b) ¿Cuál es la regla de decisión? Se acepta H0 si: z ≤ 1.96, de lo contrario, se acepta H1. c) ¿Cuánto vale la magnitud estadística de la prueba? z=4 d) ¿Cuál es la decisión respecto a H0? Como z = 4 cae en la región de rechazo, Ho se rechaza. e) ¿Cuál es el valor p? No existe valor con z = 4, por lo tanto, p no es verdadera por ser nula. 3. Una muestra de 36 observaciones se selecciona de una población normal. La media muestral es 21, y la desviación estándar de la muestra, 5. Utilice el nivel de significancia de 0.05. H0 : µ ≤ 20 H1 : µ > 20
α = 0.05
z=
ẋ− µ Ó √𝒏
z=
𝟐𝟏 − 𝟐𝟎 𝟓 √𝟑𝟔
= 1.2
1.2 1.96 a) ¿Es ésta una prueba de una o de dos colas? Es una prueba de una cola. b) ¿Cuál es la regla de decisión? Se acepta H1 si: z < 1.96, de lo contrario, se acepta H0. c) ¿Cuánto vale la magnitud estadística de la prueba? z = 1.2 d) ¿Cuál es la decisión respecto a H0? Como z = 1.2 cae en la región de aceptación, Ho se acepta. e) ¿Cuál es el valor p? p = 0.5000 – 0.3849 = 0.1151 + 0.5000 = 0.6151 Por lo tanto, es evidencia de que H0 es verdadera ya que p es mayor a 0.10. 4. Una muestra de 64 observaciones se selecciona de una población normal. La media muestral es 215, y la desviación estándar de la muestra es 15. Utilice el nivel de significancia de 0.03. H0 : µ ≥ 220 H1 : µ < 220 α = 0.03
z=
ẋ− µ Ó √𝒏
z=
𝟐𝟏𝟓 − 𝟐𝟐𝟎 𝟏𝟓 √𝟔𝟒
= 2.67
-2.17
2.67
a) ¿Es ésta una prueba de una o de dos colas? Es una prueba de una cola. b) ¿Cuál es la regla de decisión? Se rechaza H0 si: z < -2.17, de lo contrario, se acepta H0. c) ¿Cuánto vale la magnitud estadística de la prueba? z = 2.67 d) ¿Cuál es la decisión respecto a H0? Como z = 4 cae en la región de aceptación, Ho se acepta. e) ¿Cuál es el valor p? p = 0.5000 – 0.4962 = 0.0038 + 0.5000 = 0.5038 Por lo tanto, es evidencia de que H0 es verdadera ya que p sobrepasa a 0.10.
5. El fabricante de la llanta radial X-15 con cinturón de acero, para camiones, afirma que el millaje medio del neumático en estado útil es de 60,000. La desviación estándar de los recorridos es de 5,000. Una empresa camionera compro 48 llantas y halló que la duración media para sus camiones fue de 59,500 millas. ¿La experiencia de tal compañía es distinta de la expresada por el fabricante al nivel de significancia de 0.05? Datos: µ= 60,000 ѳ= 5,000 n=48 x=59,500
z=± 1,96 Ho: µ= µo Ha: µ <µo Solución: z= x - µ / ѳ / √𝑛 z= 59,500 -60,000/ 5,000/ √48 z= - 0,693 Rpta: Si se acepta Ho, es decir que el millaje es de 60,000
6. Una cadena de restaurantes (Mac Burger) afirma que el tiempo medio de espera de clientes por atender esta distribuido normalmente, con una media de 3 minutos y una desviación estándar de 1 minuto. El departamento de aseguramiento de calidad halló en una muestra de 50 clientes en un cierto restaurante, que el tiempo medio de espera era de 2.75 min. Al nivel e significancia de 0.05. ¿Se puede concluir que dicho tiempo es menor que 3 min? Datos: µ=3 minutos ѳ=1 minuto n=50 x=2.75minutos z=± 1,96 Ho: µ= µo Ha: µ <µo Solución: z= x - µ / ѳ / √𝑛
z= 2.75 – 3 / 1/ √50 z= - 1.76 Rpta: Si se acepta Ho, es decir que es menor a 3 minutos.
7. Una encuesta nacional reciente halló que estudiantes de bachillerato miraban un promedio (media) de 6.8 videos por mes. Una muestra aleatoria de 36 alumnos universitarios reveló que el número medio de videos observados el mes pasado fue de 6.2, con una desviación estándar de 0.5. En el nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluirse que los estudiantes de universidad ven menos videos al mes que los de bachillerato? Datos: µ= 6.8 ѳ= 0.5 n=36 x=6.2 z=± 1,96 Ho: µ= µo Ha: µ <µo Solución: z= x - µ / ѳ / √𝑛 z= 6.2 – 6.8 / 0.5/ √36 z= - 7.2 Rpta: Se rechaza Ho, es decir que los estudiantes universitarios no ven menos que los de bachillerato.
8. Cuando Isabel Benítez fue contratada como camarera en un restaurante, se le dijo: “Puedes obtener, en promedio, más de $20 (dólares) al día por propinas”. A los primeros 35 días de su trabajo en el restaurante, el importe medio diario de las propinas recibidas fue de $24.85, con una desviación estándar de $3.24. Al nivel de significancia de 0.01, ¿puede la señorita Benítez concluir que está ganando más de $ 20 por las propinas? Datos: µ= 20 ѳ= 3.24 n=35 x=24.85 z=± 2,575 Ho: µ= µo Ha: µ <µo Solución: z= x - µ / ѳ / √𝑛 z= 24.85 – 20 / 3.24/ √35 z= 8.85 Rpta: Si se acepta Ho, es decir que la señorita Benítez está ganando más de 20 dólares por propinas. 9.- Una muestra de 40 observaciones se selecciona de una población. la media muestras es de 102 y la desviación estándar de la muestra es 5. una muestra de 50 observaciones se selecciona de una segunda población. La media muestral vale 99
y la desviación estándar 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis utilizando el nivel de significación de 0.04 a) ¿Es esta una prueba de una o de dos colas? Esta es una prueba de hipótesis de dos colas b) Establezca la regla de decisión Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa c) Calcule el valor del estadístico de prueba Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1 DATO: N1: 40 X1: 102 S1: 5
N2:50 X1:99 S2:6
X1 – X2
Z=
Z=
102 – 99
S12 + S22
5 2 + 62
N1
40
N2
50
3
Z=
0,625 + 0,72
Z= 2,59
d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa. Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05 -2,05
2,05
-2,59
e) Cuál es el valor p?
2,59
Z = 2,59; Área :0,4952 P =0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 P
= 0,0096
10.- Una muestra de 65 observaciones se seleccionó de una muestra. La media de la muestra es 2.67 y la desviación estándar, 0.75. Una muestra de 50 observaciones se toma de una segunda población. La media de la muestra es 2.59 y la desviación estándar 0.66. efectué la siguiente prueba de hipótesis utilizando el nivel de significancia de 0.08 a) ¿Es esta una prueba de una o de dos colas? Esta es una prueba de hipótesis de dos colas b) Establezca la regla de decisión Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa c) Calcule el valor del estadístico de prueba Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1 N1: 60 X1: 2.67 S1: 0.75
N2:50 X1:2.59 S2:0.66
Z=
X1 – X2
Z=
S12 + S22 N1
N2
2.67– 2.59 0.752 + 0.662 60
50
Z = 0.61
d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Como su valor calculado Z (0.61) < 1.42; dado que el valor de Z es menor al valor crítico, procedemos a rechazar la hipótesis alternativa. e) Cuál es el valor p? Z = 0.61; Área :0,2291 P =0,5 - 0,2291 = 0,2709 * 2
P
= 0,5418
11.- Una empresa de bienes raíces está preparando un folleto que cree puede ser de interés para compradores de casa potenciales en las áreas de Ross Ford y northwood de una ciudad. Un elemento de interés es el tiempo que el propietario que vende ha ocupado el inmueble. una muestra de 40 casas vendidas recientemente en Ross Ford indica que el tiempo medio de propiedad fue de 7.6 años, con una desviación estándar de 2.3años una muestra de 50 casas en northwood señalo que dicho tiempo medio fue 8.1 años, con una desviación estándar de 2.9. en el nivel de significancia de 0.05¿se puede concluir que los residentes de Ross Ford tenían en propiedad sus casas por un periodo más corto? Utilice el procedimiento de cinco pasos para la prueba de hipótesis. Calcule el valor de P e interprételo.
N1: 40 X1: 7.6 S1: 2.3
N2:50 X2:8.1 S2:2.9
Z=
X1 – X2
Z=
S12 + S22
Planteando H0 Y H1
N1
7.6 – 8.1 2.32 + 2.92
N2
40
50
H0: u1 > u2 H1: u1 < u2
Nivel de significación: 0.05
Calculando P
Z= - 0.54
Z= 0.54; área: 0.2054 P= 0.5 – 0.2054 * 2 P= 0.2946 * 2 P= 0.5892
12.- Un estudio se realiza comparando el costo de alquiler o renta un departamento de una recámara en Cincinnati una muestra de 35 departamentos en Cincinnati mostró que el valor medio de las rentas era de $370. con una desviación estándar de $30. una muestra de 40 departamentos de Pittsburgh señalo que la renta media
es de $380, con una desviación estándar de $26. al nivel de significancia de 0.05, ¿existe una diferencia en las rentas medias entre Cincinnati y Pittsburgh?
N1: 40 X1: 7.6 S1: 2.3
N2:50 X2:8.1 S2:2.9
Formulación de hipótesis H1: u1 = u2 H0: u1 = u2
Especificación del nivel de significación: 0.05 Selección de la estadística a docimar: (X1 – X2) – ( u1 – u2) T=
(n1- 1) S12 + (n2 -1 )S22 X N1 + N2 - 2
n1 + n2 n1 ( n2)
(7.6 – 8.1 ) – ( 0)
T=
(40- 1) 2.32 + (50 -1 )2.92 X 40 + 50 - 2
40 + 50 40( 50)
– 0.5 T= 206.31 + 412.09 88
90 X
2000
T = -0.89
13. Un analista financiera se interesa en comparar las tasas de transacciones comerciales –en porcentaje- de acciones en participación relacionadas con el petróleo, con otros valores, como los de GE o IBM. Seleccionó 32 acciones relacionadas con el petróleo, y 49 con otros campos accionarios. El promedio de las tasas de las acciones petroleras es de 31.4%, y la desviación estándar vale 5.1%. Para las otras acciones los valores respectivos de media y desviación estándar fueron de 34.9% y 6.7%. ¿Existe
una diferencia significativa en dichas tasas de los dos tipos de acciones de acciones? Las hipótesis nula y alternativa son: H: µ1 = µ2 Ⱨ: µ1 ≠ µ2 a) ¿Es èsta una prueba de una o de dos colas? ¿Cuál es su razonamiento? Esta es una prueba de dos colas, debido a que la hipótesis alternativa no establece una dirección. b) Utilizando el nivel de significancia de 0.01, ¿Cuál es la regla de decisión? Establecimiento de los criterios de decisión
0.01/2
0.01/2
-2.327 2.327 Decisión: -2.327 ≤ Z ≤ 2.327, acepto H En caso contrario, acepto Ⱨ c) Determine el valor estadístico de prueba, y llegue a una decisión considerando Ⱨ , explique el significado de tal conclusión. Realización de cálculos (𝑋1 − 𝑋2) Z= ⁄ 𝑆12 𝑆22 √ + 𝑛1 𝑛2 Z=
(0.314 − 0.349) ⁄ (0.051)2 √ + 32
(0.067)2 49
0.035
Z = - 0.013153 = -2.66 Conclusión: se llega a una conclusión que el valor Z=-2.66 está dentro de la región de rechazo, utilizando el nivel de significancia de 0.01 14. Se plantean las hipótesis siguientes: Ho: ≤ 0.70 H₁: > 0.70
Una muestra de 100 observaciones revelo que p=0.75. Al nivel de significancia de 0.05, ¿puede rechazarse la hipótesis nula? Depende de la formulación de hipótesis a) Establezca la regla de decisión. Establecimiento de los criterios de decisión
0.05
0.4500 0.5000
-1.65 Valor critico Decisión:
Escala de Z
Z0 ≥ -1.65, Acepto H0 Z1 < -1.65, Acepto H1 b) Calcule el valor estadístico de prueba. Zc =
p- π √𝝅(𝟏 − 𝝅)/𝒏
=
0.75 – 0.70
= 1.0869
√𝟎. 𝟕𝟎 (𝟏 − 𝟎. 𝟕𝟎) /𝟏𝟎𝟎
El valor de Z= 1.0869, este valor cae en la región de aceptación, con el nivel de significancia de 0.05. Expresado en otros términos, la evidencia obtenida no fundamenta la aseveración y acepta Ho.
c) ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Como cae en la región de aceptación, se acepta la hipótesis nula con significancia de 0.05. 15. Se establecen las siguientes hipótesis: Ho: = 0.40 H₁: ≠ 0.40 Una muestra de 120 observaciones revelo que p=0.30. Al nivel de significancia de 0.05. ¿Puede rechazarse la hipótesis nula? Depende de la formulación de hipótesis. a) Establezca la regla de decisión. Establecimiento de los criterios de decisión
0.05/2 0.4500
0.4500
0.05/2
-1.96 1.96 Valor critico Decisión: -1.96 ≤ Z ≤ 1.96, acepto H En caso contrario, acepto Ⱨ
Escala de Z
b) Calcule el valor estadístico de prueba. Zc = p- π = 0.30 – 0.40 √𝝅(𝟏 − 𝝅)/𝒏 √𝟎. 𝟒𝟎 (𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟎) /𝟏𝟐𝟎
= -3.165
El valor de Z= -3.165, este valor cae en la región de rechazo, con el nivel de significancia de 0.05. Expresado en otros términos, la evidencia obtenida fundamenta la aseveración y acepta H1. c) ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Como cae en la región de rechazo, se descarta la hipótesis nula con significancia de 0.05 16. El National Safety Council informa que 52% de los automovilistas que usan las autopistas estaunidenses son varones. Una muestra de 300 autos que ayer viajaron hacia el este por la Autopista de Ohio, revelo que 170 fueron conducidos por hombres. Al nivel de significancia de 0.01, ¿se puede concluir que una mayor proporción de varones conducían por la autopista de Ohio, que lo que indican las estadísticas nacionales? Paso 1: Se establece la hipótesis. Ho: π ≤ 0.52 H₁: π ˃ 0.52 Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: α = 0,01 Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba: P = 170 / 300 = 0,56 Zc =
p- π √𝝅(𝟏 − 𝝅)/𝒏
=
0.56 – 0.52
√𝟎. 𝟓𝟐 (𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟐) /𝟑𝟎𝟎
= 1.38
El valor calculado de Z=1.38, está en la región de aceptación, por lo que se descarta la hipótesis nula en el nivel de significación de 0.05.
17. Un artículo reciente en la publicación USA Today reportó que sólo hay un empleo disponible para uno de cada tres egresados de universidad. Las principales razones aportadas fueron que existe una sobreexplotación de estos últimos, y una economía débil. Supongo que una encuesta entre 200 egresados recientes de la institución a la que usted asiste, reveló que 80 tenían empleo. Al nivel de significancia de 0,02, ¿Se puede concluir que tienen trabajo una proporción mayor de egresados de la institución. Paso 1: se establece la hipótesis nula y alternativa. De cada tres graduados solo uno consigue Empleo, esto quiere decir que 1/3 parte tiene trabajo, π=0,33 Ho: π = 0,33 H₁: π ˃0,33 Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: α = 0,02 Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba: P = 80/200 = 0, 40 Zc =
p- π √𝝅(𝟏 − 𝝅)/𝒏
=
0.40 – 0.33
= 2, 12
√𝟎. 𝟑𝟑 (𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟑) /𝟐𝟎𝟎
Paso 4: Se formula la regla de decisión. La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es mayor que2, 06. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario. Para calcular el valor de Z tabular se hace lo siguiente: Es una prueba de una cola, α = 0,02, entonces ¿Qué valor debe tener Z?, para una probabilidad de 0,480 = (0,5 – 0,02), P (0 a Z) =0,480 implica que Z = 2,06 Paso 5: Se toma la decisión Dado que 2,12 > 2,06 (Zc > Zt), entonces se rechaza la hipótesis nula. Puede concluirse que una proporción mayor de estudiantes de la escuela tienen empleo.
18. La empresa Chicken Delight asegura que 90% de sus pedidos se entregan dentro de los 10 minutos siguientes al momento de ordenarlos. Una muestra de 100 pedidos reveló que 82 se cumplieron en el tiempo prometido. Al nivel
de significancia de 0,10. ¿Se puede concluir que menos del 90% de las órdenes se entregan en menos de 10 minutos? Paso 1: se establece la hipótesis nula y alternativa Ho: π >= 0,90 H₁: π < 0,90 Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: α = 0,10
Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba: P = 82/100 = 0, 82 p- π
Zc =
√𝝅(𝟏 − 𝝅)/𝒏
=
0.82 – 0.9
= 2.66
√𝟎. 𝟗 (𝟏 − 𝟎. 𝟗) /𝟏𝟎𝟎
19. Una investigación en la Universidad de Toledo indica que 50% de los estudiantes cambian su área principal de especialización después del primer año en el programa de estudios. Una muestra aleatoria de 100 alumnos en la escuela de administración reveló que 48 de ellos cambió dicha área después del lapso mencionado. ¿Ha habido un decremento significativo en la programación de estudiantes que cambian su área de especialización después del primer año en el programa ?Realice la prueba al nivel de significancia de 0,05. Paso 1: se establece la hipótesis nula y alternativa. Ho: π = 0,50 H1: π<0,50 Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: α = 0,05 Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba: Para calcular la proporción muestral se divide el número de estudiantes que cambiaron de área en la muestra, entre el total de muestra, esto es p = 48/100 = 0,48. Zc =
p- π √𝝅(𝟏 − 𝝅)/𝒏
=
0.48 – 0.50
√𝟎. 𝟓𝟎 (𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟎) /𝟏𝟎𝟎
= -0.40
Paso 4: Se formula la regla de decisión. La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es menor que-1,65. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario. Para calcular el valor de Z tabular se hace lo siguiente: Es una prueba de una cola, α = 0,05, entonces ¿Qué valor debe tener Z?, para una probabilidad de 0,4500 = (0,5– 0,05), en la tabla aparece la probabilidad 0,4505 entonces se toma esta probabilidad para resolver el ejercicio, esto quiere decir que P (0 a Z) = 0,4505 implica que Z = 1,65. Se utiliza -1,65 porque la hipótesis alternativa indica que la zona de rechazo se ubica en la cola izquierda de la distribución normal estándar. Paso 5: Se toma la decisión Dado que -1,65 < -0,40 ( Zt < Zc), entonces NO se rechaza la hipótesis nula, por tanto no hay evidencia estadísticamente significativa de que hubo una reducción en la proporción de estudiantes que cambian de área en el primer año en el programa. 20. Las hipótesis establecidas son: H₀: 1<=2 H₁: 1>2
Una muestra de 100 observadores de la primera población indicó que X1 es 70: Una muestra de 150 observadores de la segunda población reveló que X2 vale 90. Utilice el nivel de significancia de 0,05 para probar la hipótesis.
a) Exprese la regla de decisión La prueba es de una colas ya que Ho; ₁ <= ₂ y H; ₁> ₂, por lo tanto: La Z está dentro de la zona de aceptación +1.96 significa que la hipótesis nula si se acepta.
b) Calcule la proporción combinada. Relación de proporción combinada= Po= número total de éxitos = 70+ 90 = Número total en las muestras 100 + 150
c) Obtenga el valor estadístico de prueba. P1= 70
= 0.7
160 =0.64 250
100 P2= 90 = 0.6 150 Z=
0.7 – 0.6
=
0.002304 +0.001536
0.10
= 1.61
0.0619677335
21. La hipótesis Ho y H1 son: Ho; π = π2 H1= π1=/ π2 Una muestra de 200 observaciones de la primera población reveló que X1 es 170. Una muestra de 150 observaciones de la segunda población dio por resultado una X2 de 110. Utilice el nivel de significancia de 0.05. a) Exprese la regla de decisión La prueba es de dos colas ya que Ho; π = π2 y H1= π1=/ π2, por lo tanto: La Z no está dentro del intervalo de – 1.96 y +1.96 significa que la hipótesis nula si se rechaza.
b) Calcule la proporción combinada. Relación de proporción combinada= po= número total de éxitos = 170+ 110 = 280 =0.8 Número total en las muestras c) Obtenga el valor estadístico de prueba. P1= 170 150 P2= 110 200
= 1.13 = 0.55
Z = 1.13 – 0.55 = 0.58 = 13.45 0.00106 +0.0008
0.04312
150 + 200
350
d) ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? La hipótesis nula se rechaza, ya que no está dentro del intervalo. Dicho en otras palabras, la hipótesis de que la relación proporcional de la primera muestra es igual a la segunda muestra, se rechaza en el nivel de 0.05, Es poco probable que una diferencia tan grande entre las dos relaciones proporcionales de muestra puedan deberse al azar. La probabilidad de cometer un error de Tipo i vale 0.05 que es igual al nivel de significancia que se seleccionó antes de que se iniciara el estudio. Esto indica que hay un riesgo del 5% de rechazar la hipótesis verdadera de que pi1= pi2. El valor p es 0 por que la probabilidad de encontrar un valor de z menor que -13.45 i mayor que 13.45 es casi 0 . Hay poca probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera.
22. La familia Damon posee un extenso viñedo en el oeste del estado de Nueva York. Las viñas o vides deben ser rociadas con insecticida al inicio de la temporada de crecimiento, para protegerlas contra diversos insectos y enfermedades. Dos nuevos insecticidas han aparecido recientemente: Perrod 5 y Action. Con el fin de probar su efectividad, se seleccionaron tres largas filas y se les aplicó Pernod 5, y otras 3 fueron rociadas con Action, Cuando las uvas maduraron, 400 de las vidas tratadas con el primer plaguicida fueron revisadas en busca de infestación. Asimismo, una nuestra de 400 viñas rociadas con el producto fueron examinadas. Los resultados son: INSECTICIDA
Pernord 5 Action
NÚMERO DE VIÑAS REVISADAS(Tamaño de la muestra) 400 400
NÚMERO DE VIÑAS INFESTADAS 24 40
A nivel de significación de 0.05 ¿puede decirse que existe una diferencia en la proporción de viñas infestadas en las que utilizó Pernod 5, en comparación con las viñas en las que se usó action?
P1 =24 = 0.06 400 P2 = 40 = 0.1 400 a) Calcule la proporción combinada.
Relación de proporción combinada= po= número total de éxitos = 24 + 40 = 64 = 0.08 Número total en las muestras
400 + 400
800
b) Obtenga el valor estadístico de prueba.
Z = 0.06 – 0.1
=
0.58
= 30.23
0.0000184+ 0.000184 0.01918 La Z no está dentro de los intervalos por lo tanto, la hipótesis de que la relación proporcional de la primera muestra es igual a la segunda muestra, se rechaza en el nivel de 0.05, Es poco probable que una diferencia tan grande entre las dos relaciones proporcionales de muestra puedan deberse al azar. La probabilidad de cometer un error de Tipo i vale 0.05 que es igual al nivel de significancia que se seleccionó antes de que se iniciara el estudio. Porque la probabilidad de encontrar un valor de z menor que -30.23 i mayor que 30.23 es casi 0. Hay poca probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera, en otras palabras no puede decirse que existe una diferencia en la proporción de viñas infestadas en las que utilizó Pernod 5, en comparación con las viñas en las que se usó action.
23. La organización Roper realizó encuestas idénticas en 1977 y 1997. Una pregunta formuladas a las mujeres fue : ”¿La mayoría de los hombres son básicamente amables, corteses y considerados? El estudio de 1977 reveló que de 3000 mujeres interrogadas, 2010 contestaron afirmativamente. En 1997 el resultado fue que 1530 de las 3000 mujeres en al encuesta consideraron que los varones eran amables, corteses y considerados. Al nivel de significancia de 0.05 ¿puede concluirse que las féminas creen que los hombres son menos amables, corteses y considerados en 1997, comparando con los que 1977? P1 =2010 = 0.67 3000 P2 = 1530 = 0.51 3000 a) Calcule la proporción combinada.
Relación de pc= po= número total de éxitos = 2010 + 1530 = Número total en las muestras
3540 = 0.59
3000+ 3000
6000
b) Obtenga el valor estadístico de prueba.
Z = 0.67 – 0.51 0.000080633 + 0.000080633
=
0.16
= 1.259936271
0.012699055
La Z si está dentro de los intervalos por lo tanto, la hipótesis de que la relación proporcional de la primera muestra no es igual a la segunda muestra, se acepta en el nivel de 0.05, Es muy probable que una diferencia tan grande entre las dos relaciones proporcionales de muestra puedan deberse al azar. La probabilidad de cometer un error de Tipo i vale 0.05 que es diferente al nivel de significancia que se seleccionó antes de que se iniciara el estudio. Porque la probabilidad de encontrar un valor de z menor que -1. 259936271 i mayor que 1.259936271 es bastante. Hay mucha probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera, en otras palabras puede concluirse que las féminas creen que los hombres son menos amables, corteses y considerados en 1997, comparando con los que 1977. 24. A una muestra nacional en Estados Unidos de ciudadanos republicanos y demócratas influyentes, se les preguntó – como parte de una encuesta global si estaban a favor de disminuir las normas de protección ambiental de manera que pudiera utilizarse como combustible, carbón de alto contenido de azufre en plantas térmicas de energía. Los resultados fueron: Republicanos Número muestreado Número a favor
Demócratas
1 000
800
200
168
Al nivel de significancia 0.02, ¿Puede concluirse que hay una proporción mayor de demócratas a favor de “suavizar” las normas? Paso 1: H1 ≥ H2 H1 < H2
Paso 2: α = 0.02 Paso 3:
z=
𝑃1−𝑃2 𝑃𝑐(1−𝑃𝑐) 𝑃𝑐(1−𝑃𝑐) √ + 𝑛1 𝑛2
Paso 4: α = 0.02
-2.5
-0.53
0
200
P1 = 1000 = 0.2 168
P2 = 800 = 0.21 200+168
Pc = 1000+ 800 = 0.20 Paso 5:
z=
0.2 −0.21 0.20(1−0.20) 0.20(1−0.20) √ + 1000 800
= - 0.53
El valor de z (-0.53) cae en el área de aceptación con un nivel significativo 0.02. En conclusión, se puede decir que la proporción de republicanos será mayor o igual a la proporción de demócratas. 25. El departamento de Investigación en la casa matriz de una compañía aseguradora, realiza una investigación acerca de las causas de accidentes automovilísticos, las características de los conductores, etc. Se seleccionó una muestra aleatoria de 400 pólizas de seguros expedidas a personas solteras. Se descubrió que, en el período anterior de tres años, 120 sufrieron al menos un accidente automovilístico. En forma semejante, una muestra de 600 pólizas expedidas a personas casadas reveló que 150 habían tenido al menos un accidente. Al nivel de significancia de 0.05, ¿Hay diferencia significativa en las proporciones de personas solteras y casadas que sufrieron un accidente durante un lapso de 3 años? n1 = 400
n2 = 600
x1 = 120
x2 = 160
Paso 1: H1 = H2 H1 ≠ H2 Paso 2: α = 0.05 Paso 3:
𝑃1−𝑃2
z=
𝑃𝑐(1−𝑃𝑐) 𝑃𝑐(1−𝑃𝑐) + 𝑛1 𝑛2
√
Paso 4: 𝛼 2
𝛼
= 0.025
2
-1.96
0
= 0.025
1.74 1.96
120
P1 = 400 = 0.3 150
P2 = 600 = 0.25 120+150
Pc = 400+ 600 = 0.27 Paso 5:
0.30 −0.25
z=
0.27(1−0.27) 0.27(1−0.27) + 400 600
= 1.74
√
El valor de z (1.74) cae en el área de aceptación con un nivel significativo 0.05. En conclusión, se puede decir que la proporción de personas solteras y casadas serán iguales. 26. Considerando la tabla 9-1 y el ejemplo presentado. Con n = 100, ð = 400, xc = 9 922, y µ1 = 9 880, verifique que la probabilidad de un error de Tipo II, es 0.1469. n = 100 z=
Xc−µ1 𝜎 √𝑛
𝜎 = 400 =
c
= 9922
9922−9880 400 √100
=
42 40
µ1 = 9 880 = 1.05
0.3531
La probabilidad de un error tipo II sea 0.1469, se obtiene mediante: 0.5000 – 0.3531= 0.1469. 27. Considerando la tabla 9-1 y el ejemplo presentado. Con n = 100, ð = 400, xc = 9 922, y µ1 = 9 940, verifique que la probabilidad de un error de Tipo II, es 0.6736. n = 100 z=
𝜎 = 400
Xc−µ1 𝜎 √𝑛
=
c
= 9922
9922−9940 400 √100
=
−18 40
µ1 = 9 940 = -0.45
0.1736
La probabilidad de un error tipo II sea 0.6736, se obtiene mediante: 0.5000 – (-0.1736) = 0.6736. 28. Una nueva empresa de técnicas para observación y control del peso de personas, Weight Reducers International, anuncia que quienes adopten sus métodos perderán, en promedio, 10 libras (lb) en las primeras dos semanas. Una muestra aleatoria de 50 personas que adoptaron el nuevo programa de reducción de peso, reveló que la pérdida media es de 9 lb. La desviación estándar de la muestra se calculó en 2.8 lb. Al nivel de significancia de 0.05, ¿Se puede concluir que los adoptantes perderán en promedio menos de 10lb? Determine el valor p. µ = 10
n = 50
=9
Paso 1: H0: µ ≥ 10 H1: µ <10 Paso 2: α = 0.05 Paso 3:
z=
𝑥−µ 𝜎 𝑛
√
Paso 4: α = 0.05
𝜎 = 2.8 α = 0.05
-2.53 Paso 5:
z=
-1.65
9−10 2.8 50
= - 2.53
0 0.4943
√
El valor de p es: p = 0.5 - 0.4943 = 0.0057 El valor de z (-2.53) cae en el área de rechazo con un nivel significativo 0.05. Se llega a la conclusión que los adopten este tratamiento perderán menos de 10 lb. 29. La empresa Dole Pineapple, Inc. Está preocupada de que las latas de 16 onzas (oz) de rebanadas de piña se están llenando en exceso. El departamento de control de calidad tomó una muestra aleatoria de 50 envases y encontró que el peso medio aritmético es de 16.05 oz, con una desviación estándar de la muestra de 0.03 oz. En el nivel de significancia de 5%, ¿puede concluirse que el peso medio es mayor que 16 oz? Determine el valor p. n=50 𝑋̅=16.05 σ=0.03 α=0.05 SOLUCIÓN 1. FORMULACION DE LA HIPOTESIS H0 : µ= 16 onzas H1 : µ > 16 onzas 2. ESPECIFICACION DEL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN α=0.05
3. SELECCIÓN DE LA ESTADISTICA A DOCIMAR 𝑧=
𝑋̅ − µ σ √𝑛
4. ESTABLECIMIENTO DE LOS CRITERIOS DE DECISIÓN
Decisión: Z0 ≤ 1.96, Acepto H0 Z1 > 1.96, Rechazo H1
5. REALIZACIÓN DE CÁLCULOS 𝑧0 =
16.05 − 16 0.03 √50
𝑧0 =
𝑧0 =
0.05 0.03 7.07 0.05 = 12.5 0.004
VALOR P: Para docimar la hipótesis nula, se calcula la probabilidad de obtener una media muestral de 16.05 onzas o más, de una población donde la media es 16 onzas. 𝑃(𝑥 ≥ 16.05) = 𝑃(𝑧 ≥ 12.5) = 𝑃(0 ≤ 𝑧 ≤ ∞) − 𝑃(0 ≤ 𝑧 ≤ −2.1) = 0.5 − 0.3944 = 0.1056 6. TOMA DE DECISIONES Puesto que z0 = 12.5 cae en la región de rechazo, se rechaza H0 al nivel de aceptación del 5%. Esto quiere decir que el promedio de peso no es de 16 onzas.
Utilizando el nivel de significación 0.05, se acepta la hipótesis alternativa porque la probabilidad de obtener una media muestral de 16.05 onzas es 0.1056 y es menor a 0.05. Por ello la pérdida de 16 onzas es falso. 30. El Consejo de Educación de Peoria desea considerar un nuevo programa académico que patrocine el Departamento de Educación, del gobierno de Estados Unidos. Para que se considere la solicitud de fondos federales, el ingreso medio por familia no debe ser de más de $15000 (dólares). El consejo contrató a una empresa de investigación para reunir los datos necesarios. En su informe, la misma indicó que el ingreso medio (aritmético) en el área es de $17000. Además, se señaló que se estudiaron 75 familias y que la desviación estándar de la muestra es $3000. ¿Es posible que el consejo argumente que la diferencia entre el ingreso medio resultante de la investigación muestral y la media especificada por el Departamento de Educación se deba al azar (muestreo)? Utilice el nivel 0.05. n=75 𝑋̅=17000 σ=3000 α=0.05 SOLUCIÓN 1. FORMULACION DE LA HIPOTESIS H0 : µ = 15000 dólares H1 : µ < 15000 dólares 2. ESPECIFICACION DEL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN α=0.05 3. SELECCIÓN DE LA ESTADISTICA A DOCIMAR 𝑧=
𝑋̅ − µ σ √𝑛
4. ESTABLECIMIENTO DE LOS CRITERIOS DE DECISIÓN
Decisión: Z0 ≥ -1.96, Acepto H0 Z1 < 1.96, Rechazo H1
5. REALIZACIÓN DE CÁLCULOS 𝑧0 =
17000 − 15000 3000 √75 𝑧0 =
𝑧0 =
2000 3000 8.66 2000 = 5.77 346.42
6. TOMA DE DECISIONES Puesto que z0 = 5.77 cae en la región de aceptación, se acepta H0 al nivel de aceptación del 5%. Esto quiere decir que es posible que el consejo argumente que la diferencia entre el ingreso medio resultante de la investigación muestral y la media especificada por el Departamento de Educación se deba al azar. 31. Una empresa de venta de bienes raíces a nivel estatal, Farm Associates, se especializa en ventas de propiedades rurales en el estado de Nebraska. Sus registros indican que el tiempo medio de venta de una granja es de 90 días. Debido a recientes condiciones de sequía, estima que el tiempo de venta medio será ahora mayor a 90 días. Un estudio a nivel estatal de 100 granjas vendidas recientemente reveló que el tiempo de venta medio era de 94 días,
con una desviación estándar de 22 días. Al nivel de significancia de 0.10, ¿se puede concluye que el tiempo de venta ha aumentado? n=100 𝑋̅=94 σ=22 α=0.1 SOLUCIÓN 1. FORMULACION DE LA HIPOTESIS H0 : µ= 90 días H1 : µ > 90 días 2. ESPECIFICAION DEL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN α=0.1 3. SELECCIÓN DE LA ESTADISTICA A DOCIMAR 𝑧=
𝑋̅ − µ σ √𝑛
4. ESTABLECIMIENTO DE LOS CRITERIOS DE DECISIÓN
Decisión: Z0 ≤ 1.645, Acepto H0 Z1 > 1.645, Rechazo H1
5. REALIZACIÓN DE CÁLCULOS
𝑧0 =
90 − 94 22 √100
𝑧0 =
𝑧0 =
−4 22 10 −4 = −1.82 2.2
6. TOMA DE DECISIONES Puesto que z0 = -1.82 cae en la región de aceptación, se acepta H0 al nivel de aceptación del 10%. Esto quiere decir que el tiempo de venta se ha incrementado.
32. De acuerdo con el presidente del sindicato local, el ingreso bruto de plomeros en el área de Salt Lake City tiene una distribución normal, con una media de 30000 dólares y una desviación estándar de 3000 dólares. Recientemente, un reportero de investigación para un canal de televisión encontró, en una muestra de 120 técnicas de plomería, que el ingreso bruto medio era de 30500 dólares. Al nivel de significancia de 0.10. ¿Se puede concluir que el ingreso medio no es igual a 30000?
33. Un artículo publicado recientemente en la revista Vitality reporto que el tiempo medio libre por semana para los hombres estadounidenses, es de 40 horas. Se puede creer que esta cifra es muy grande y decidir realizar una propia prueba. En una muestra aleatoria de 60 hombres, uno encuentra que la media es de 12.2 horas. ¿Puede concluirse que la información en el artículo es falsa? Utilice el nivel de significancia 0.05.
34. Un noticiero de la televisora NBC, en un enfoque sobre el costo de la gasolina, reporto la otra noche que el precio medio nacional (en EUA) es de 1.25 dólares por galón del hidrocarburo regular sin plomo, en las estaciones de autoservicio. Una muestra aleatoria de 35 estaciones en el área de Saint Lake City, revelo que el precio medio era 1.27 dólares por galón y que la desviación estándar valia 0.05 dolares por galon.Al nivel de significación de 0.05 ¿Se puede concluir que el importe de la gasolina es mayor en el área de Saint Lake City?
35. La empresa Rutter Nursey Company empaca su abono de corteza de pino en sacos de 50 libras (Ib). Desde hace mucho tiempo el departamento de empaquetado reporta que la distribución es normal y que la desviación estándar de este proceso es de 3 Ib por saco. Al final de cada día, Jeff Rutter, gerente de producción, pesa 10 empaques y calcula el peso medio de la muestra. A continuación se encuentran los pesos de 10 sacos de la producción de hoy. 45.6
47.7
47.6
46.3
46.2
47.4
49.2
55.8
47.5
48.5
a) ¿Puede el señor Rutter concluir que el peso medio de los empaques es menor que 50 Ib? Utilice el nivel de significancia de 0.01. Paso 1: H0 = 50 H1 ≠ 50
Paso 2: α = 0.01 Paso 3: 𝑥−𝜇 t= 𝑠 ⁄√𝑛
Paso 4: α = 0.01
-2.58 ≤ t0 ≤ 2.58, acepto H0 En caso contrario, acepto H1 Paso 5: Z0= =
48.18−50 3⁄ √10
= - 1.92
b) En un reporte breve, diga por qué el señor Rutter puede utilizar una distribución z como valor estadístico de prueba.
Porque el valor z está dentro de la región de aceptación.
c) Calcule el valor de p. P = 0.5000 – 0.4726 P= 0.0274 * 2 (son dos colas) = 0.0548. Es mayor que el nivel de significancia; por lo tanto, no se rechaza la hipótesis 36. En una encuesta nacional reciente, la asignación media de sostenimiento semanal por parte de sus padres para un(a) niño(a) de nueva años de edad, se reportó que es de $3.65 (dólares). Una muestra aleatoria de 45 infantes de 9 años en cierta región, reveló que la asignación media es de $3.69 con una desviación estándar de $0.24. Al nivel de significancia de 0.05, ¿existe una diferencia en la cantidad asignada media nacional y la asignación media regional para niños de esa edad? Paso 1: H0 = 3.65 H1 > 50 Paso 2: α = 0.05 Paso 3: 𝑥−𝜇 t= 𝑠 ⁄√𝑛
Paso 4: α = 0.05
Z0 ≤ 1.65, acepto H0 Z0 < -1.65, acepto H1
Paso 5: 3.69−3.65 Z0= = 0.24 ⁄ √45
Z= - 1.12 Si existe gran diferencia ya que la asignación media nacional no representa a la asignada de dicha región.
37. La Fuerza Aérea de EUA entrena al personal de computación en dos bases, Cass AFB y Kingston AFB. Se aplicó un examen final común. Como parte de un estudio actual del programa de entrenamiento, ha de realizarse una comparación de los resultados de las pruebas finales. ¿Existe alguna diferencia significativa en los resultados terminales de los dos programas educativos? Utilice el nivel de significancia de 0.04. Explique su decisión al comité que estudia el programa.
Cass AFB
Kingston AFB
Número muestreado Calificación media Desviación estándar muestral
Paso 1: H0: 𝜇1 = 𝜇2 H1: 𝜇1 > 𝜇2
Paso 2: α = 0.04 Paso 3: Z=
(𝑋1−𝑋2)−(𝜇1− 𝜇2) 2
2
√𝜎1 +𝜎2
𝑛1 𝑛2
Paso 4: α = 0.04
Z0 ≤ -1.75, acepto H0 Z0 > 1.75, acepto H1
40
50
114.6
117.9
9.1
10.4
Paso 5: Z0 =
(114.6−117.9)−(0) 9.1 10.4 + 40 50
√
Z= - 5
Puesto que Z0 cae en la zona de rechazo, se acepta H1 38. A la empresa Corrigan Industries se le ha otorgado un gran contrato para suministrar partes de tubería a Angus Oil, una compañía perforadora en el área de Escocia-Irlanda. Anteriormente, dos subcontratistas especializados en productos de acero han proporcionado a Corrigan suministros de alta calidad como tuercas, pernos, barras de acero y cubiertas. Uno de los intereses de Corrigan es el tiempo de entrega de dos empresas subcontratistas: Jackson Stell, y Alabama Distributors. La cuestión a investigar es si existe una diferencia en los tiempos de entrega de las dos compañías de subcontratación. Muestras aleatorias de los archivos de Corrigan Industries revelaron los siguientes datos estadísticos acerca de los citados tiempos de entrega: Jackson Steel
Alabama Distributors
Número en la muestra
45
50
Tiempo medio de entrega (días)
20
21
Desviación estándar muestral (días)
4
3
Al nivel de significancia de 0.05, ¿existe una diferencia en los tiempos de entrega? Determine el valor p. Paso 1: H0: 𝜇1 = 𝜇2 H1: 𝜇1 > 𝜇2
Paso 2: α = 0.05 Paso 3: Z=
(𝑋1−𝑋2)−(𝜇1− 𝜇2) 2
2
√𝜎1 +𝜎2
𝑛1 𝑛2
Paso 4: α = 0.05
Z0 ≤ -1.65, acepto H0 Z0 > 1.65, acepto H1
Paso 5: Z0 =
(20−21)−(0) 4
3
√ + 45 50
Z= - 2.59
Puesto que Z0 cae en la zona de rechazo, se acepta H1. El valor de P sería 0.0048; se llega a la conclusión de que la probabilidad de encontrar un valor Z de 2.59 o
menor, cuando la hipótesis nula se verifica, es o.48%. Por consiguiente, es probable que la hipótesis nula no sea verdadera. 39. Un funcionario del Departamento de Carreteras en el estado de Iowa, desea comparar el tiempo útil, en meses, de dos marcas de pintura utilizadas para pintar franjas señaladoras en las carreteras. El número medio de meses que duró la Cooper Paint fue 36.2, con una desviación estándar 1.14 meses. El funcionario reviso 35 trabajos en carretera. Para la pintura King Paint, el número medio de meses fue 37.0, con una desviación estándar 1.3 meses. El funcionario reexaminó 40 trabajos de pintado. Al nivel de significancia de 0.01, ¿existe alguna diferencia en la duración útil de las dos pinturas? Calcule el valor p.
N1 = 35
N2 = 40
X1 = 36.2
X2 = 37.0
Paso 1: H0 = H1 H0 ≠ H1 Paso 2: α = 0.01 Paso 3: 𝑃1−𝑃2
z=
𝑃𝑐(1−𝑃𝑐) 𝑃𝑐(1−𝑃𝑐) + 𝑛1 𝑛2
√
Paso 4:
H0 se
H0 se
rechaza
rechaza
H0 no se rechaza
-3.33
-1.96
0
1.96
3.33
Paso 5: P1 = P2 =
Pc =
36.2 35 37 40
= 0.93
73.2 75
= 1.03
= 0.98
Calculando z: 1.03−0.93
z=
0.98(1−0.98) 0.98(1−0.98) + 35 40
√
z=
0.10 0.03
= 3.33
El valor Z calculado está en el área de rechazo. Por tanto, existe una diferencia muy grande en la duración útil de las dos pinturas. Y el valor p es cero porque hay una mínima probabilidad de encontrar un valor mayor de 3.33 y menor que -3.33.
40. Un ingeniero industrial de una empresa desea determinar si se producen más unidades en el turno de la tarde que en el primero. Una muestra de 54 trabajadores del primer turno mostró que el número medio de unidades producidas fue de 345, con una desviación estándar de 21. Una muestra de 60 trabajadores del turno vespertino indicó que el número medio de unidades producidas fue de 351, con una
desviación estándar de 28 unidades. Al nivel de significancia de 0.05 ¿es mayor el número de unidades elaboradas en el turno de la tarde?
Paso 1: H0 = H1 H0 ≠ H1
Paso 2: α = 0.05
Paso 3:
z=
𝑋1−𝑋2 𝑠2 𝑠2 + 𝑛1 𝑛2
√
Paso 4:
Valor p
Valor p H0 se
H0 se
rechaza
rechaza H0 no se rechaza
-1.96 -1.3
Paso 5: X1 = 345
X2 = 351
N1 = 54
N2 = 60
S1 = 21
S2 = 28
0
1.3
1.96
Calculando z:
z=
345−351 √
z=
21" 28" + 54 60
−6 4.61
= -1.3
El valor “z” calculado queda en el área de aceptación de la hipótesis nula. Por tanto, no es posible rechazar la posibilidad de que ambas unidades elaboradas sean iguales.
41. Una empresa de calefacción y acondicionamiento de aire emplea a Larry Clark y a George Munren para realizar visitas de servicio a fin de reparar calefactores y unidades de aire acondicionado en casas. A Tom Fry, el dueño de la compañía, le gustaría saber si existe una diferencia en el número medio de servicios que hacen por día. Una muestra aleatoria de 40 días el año pasado mostró que Larry Clark realizó un promedio de 4.77 visitas por día, con una desviación estándar de 1.05 labores por días. Para una muestra de 50 días, George Munren realizó un promedio de 5.02 servicios por día, con una desviación estándar de 1.23 por día. Al nivel de significancia de 0.05, ¿existe alguna diferencia en el número medio de visitas por día entre los dos empleados? ¿cuál es el valor p?
Paso 1: H0 = H1 H0 ≠ H1
Paso 2: α = 0.05
Paso 3:
z=
𝑋1−𝑋2 𝑠2 𝑠2 + 𝑛1 𝑛2
√
Paso 4:
H0 se
H0 se
rechaza
rechaza H0 no se rechaza
-13.7
-1.96
0
1.96
13.7
Paso 5: X1 = 40
X2 = 50
N1 = 4.77
N2 = 5.02
S1 = 1.05
S2 = 1.23
Calculando z: 40−50
z=
1.05" 1.23" + 4.77 5.02
√
z=
−10 0.73
= -13.7
El valor “z” calculado de 13.7 se encuentra en el área de rechazo de la hipótesis nula. Por tanto. si existe diferencia en el número de visitas que hacen por día los empleados. Y el valor p es cero porque que la hipótesis nula es falsa.
42. Un productor de café está interesado en saber si el consumo medio diario de bebedores de café normal es menor que el de los que toman la bebida descafeinada. Una muestra aleatoria de 50 bebedores de café regular mostró una media de 4.35 tasas al día con una desviación estándar de 1.20 tasas por día. Una muestra de 40 bebedores del producto descafeinado mostró una media de 5.84 tasas al día con una desviación estándar de 1.36 tasas por día. Utilice el nivel de significancia de 0.01. ¿Calcule el valor de p? SOLUCION: 𝑍=
(𝑥1 − 𝑥2) − (𝑢1 − 𝑢2) √(
𝑍=
𝜎2 𝜎2 )+ 𝑛 𝑛
(4.35 − 5.84) − (0) √(1.44) + 1.8496 40 50 𝑍=
−1.49 0.07504
𝑍 = 1.9856 𝑝 = 0.5 − 1.9856 = −1.4856
43. El consejo directivo de la empresa ANCHOR POINTE MARINA se halla estudiando el uso de barcos entre sus miembros. Una muestra de 30 socios que tiene embarcaciones de 10 a 20 pies de longitud (eslora), mostró que el pasado mes de julio las utilizaron un promedio de 11 días. La desviación estándar de la muestra es de 3.88 días. Para una muestra de 40 miembros con barcos de 21-40 pies de eslora, el numero promedio de días que usaron sus embarcaciones en el citado mes de julio, fue de 7.67, con una desviación estándar de 4.42 días. Al nivel de significancia de 0.02, podrá ¿el consejo directivo concluir que las personas que tienen naves menores las utilizaron más frecuentemente?
SOLUCION: 𝑍=
(𝑥1 − 𝑥2) − (𝑢1 − 𝑢2) √(
𝜎2 𝜎2 ) + 𝑛 𝑛
𝑍=
(11 − 7.67) − (0) 3.882 7.672 √( ) + 30 40
𝑍=
3.53 1.9725
𝑍 = 1.5209 RPTA: si puesto que el resultado de la probabilidad arrojado se encuentra dentro de la zona de aceptación. 44. El llamado índice de nebulosidad (fog. index) sirve para medir la dificultad para medir la dificultar de lectura del texto escrito. La determinación de tal índice implica los siguientes pasos: (1) encontrar el número medio de palabras por oración (2) obtener el porcentaje de palabras con 3 o más silabas (3) el índice de nebulosidad es de 40% de la suma de (1) y (2). El índice para una muestra de 36 artículos de una revista científica mostro una media de 11.0 y una desviación estándar de 2. 65. Una muestra de 40 artículos de publicaciones de comercio dio una media de 8.9 y una desviación estándar de 1.64. Al nivel de significancia de 0.01, ¿el índice para las publicaciones científicas es significativamente mayor? SOLUCION: 𝑍=
(𝑥1 − 𝑥2) − (𝑢1 − 𝑢2) √(
𝑍=
𝑍=
𝜎2 𝜎2 ) + 𝑛 𝑛
(11 − 8.9) − (0) 2.652 1.642 √( ) + 36 40 2.1
√(0.1950) + 0.06724 𝑧=
2.1 0.5120
𝑧 = 4.1015
45. Tina Dennis es la directora de contabilidad en la empresa MEEK INDUSTRES cree que los problemas de flujo de efectivo en MI se deben a la cobranza lenta de cuentas por cobrar. Estima que más del 60% de las cuentas tienen un atraso de
más de 3 meses. Una muestra de 200 cuentas señalo que 140 contaban con más de 3 meses de retraso. Al nivel de significancia de 0.01, ¿se puede concluir que más del 60% de las cuentas tienen un atraso de más de 3 meses? SOLUCION: 𝑍=
𝑍=
𝜋 = 0.01 𝑍=
𝑝−𝜋 √𝜋(1 − 𝜋) 𝑛 𝑝−𝜋 √𝜋(1 − 𝜋) 𝑛 𝑝=
𝑥 140 = = 0.7 𝑛 200
0.7 − 0.01 √0.01(1 − 0.01) 200 𝑍=
0.69 √0.099 200
𝑍=
0.69 0.007
𝑍 = 0.683 RPTA: si se puede concluir que más del 60% de las cuentas tiene una atraso puesto que el resultado se encuentra en zona de aceptación.
46. La política de una comisión de tránsito suburban transita authority es agregar una ruta de autobuses si más de 55 % de los viajeros potenciales indican que la utilizarían. Una muestra de 70 usuarios revelo que 43 tomarían una vía propuesta de Browman park al área de central. Utilizar nivel de significancia de 0.05. Ho: p< 0.55 H1: p> 0.55
La proporción en la muestra se determina con: 43
p = 70=0.61428 q = 1 − 0.61428 = 0.38572
El cuantil −zα correspondiente al nivel de significación 0.05 es igual a −zα =-1,64 El valor del estadístico de contraste es:
𝑍𝑐 =
𝑝 − 𝑝0 √p0 × q0 𝑛
=
0.61 − 0.55 √0.61(1 − 0.61) 70
=
−0.04 = −0.6901 0.0579
Rpta: H0 es rechazada, ya que z prueba -1.64 es menor que z tabla -0.6901. 47. La agencia Viajes crowder sabe que 44 % de las personas que desean que esta empresa les planee unas vacaciones, quería viajar a Europa. Una demanda de 1000 planes fue seleccionada al azar de los archivos. Se halle que 480 personas querían ir a Europa de vacaciones. Pruebe nivel de significancia de 0.05. Ho: p< 0.44 H1: p> 0.44
La proporción en la muestra se determina con: 480
p = 1000=0.43 q = 1 − 0.43 = 0.57
El cuantil −zα correspondiente al nivel de significación 0.05 es igual a −zα =1,65 El valor del estadístico de contraste es:
𝑍𝑐 =
𝑝 − 𝑝0 √p0 × q0 𝑛
=
0.43 − 0.44 √0.43(1 − 0.43) 1000
=
−0.01 = −2.01991 0.0049507
Rpta: Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa, ya que z prueba -1.64 es mayor que z tabla -2.0199, por lo que es cierto que al menos unos de sus aparatos necesitaban algún tipo de reparación.
48.Un fabricante de televisores encontró 10% o menos de sus aparatos necesitaban algún tipo de reparación en los primeros dos años de funcionamiento. En una muestra de 50 televisores hace dos años,9 necesitaban reparación. Al nivel de significancia de 0.05. Determine el valor de p. Ho: p< 0.10 H1: p> 0.10
La proporción en la muestra se determina con: p=
9 = 0.18 50
q =1-0.18=0.82 El cuantil −zα correspondiente al nivel de significación 0.05 es igual a −zα =1,65 El valor del estadístico de contraste es:
𝑍𝑐 =
𝑝 − 𝑝0 √p0 × q0 𝑛
=
0.18 − 0.10 √0.18(1 − 0.18) 50
=
0.08 = 1.041165 0.0076837
Rpta: Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, ya que z prueba 1.64 es mayor que z tabla 1.04, por lo que es cierto que al menos unos de sus aparatos necesitaban algún tipo de reparación.
49. Un planificador urbano asegura que en EE.UU. 20 % de todas las familias que alquilan condominios se mudan durante cierto año. Una muestra de 200 familias que arriendan condominios en Dalas, revelo que 56 han cambiado de residencia durante el último año. Nivel de significancia 0.05. determine valor P Ho: p< 0.20 H1: p> 0.20
La proporción en la muestra se determina con: 56
p = 200=0.28 q =1-0.28=0.72
El cuantil −zα correspondiente al nivel de significación 0.05 es igual a −zα =1,65 El valor del estadístico de contraste es: 𝑍𝑐 =
𝑝 − 𝑝0 √p0 × q0 𝑛
=
0.28 − 0.20 √0.28(1 − 0.28) 200
=
0.08 = 2.5197 0.03174
Rpta: H0 es rechazada, ya que z prueba 1.64 es menor que z tabla 2.5, por lo que es cierto que 20 % de todas las familias que alquilan condominios se mudan durante cierto año. 50.-Supóngase que el fabricante del medicamento llamado advil desarrollo una
nueva fórmula que parece ser más efectiva para aliviar el dolor de cabeza, nivel de significancia es igual a 0.05 n1 es igual a 200; n2 es igual a 300. De los 200 usuarios 180 indicaron que la medicina era más efectiva y de los 300 usuarios 261 afirmaron que era más efectiva ¿Qué medicina es más efectiva?
51. Supóngase que una muestra aleatoria de 1000 ciudadanos nacidos en estados unidos revelo que 198 estaban a favor de la reanudación de las relaciones diplomáticas con cuba. De manera semejante, 117 de una muestra de 500 ciudadanos nacidos en el extranjero estaban a favor de ello. Al nivel de significancia de 0.05
52.- Existe alguna diferencia en la proporción de hombres universitarios en comparación con la de mujeres universitarias, que fuman al menos una cajetilla de cigarros al día, una muestra de 400 mujeres revelo que 72 fumaban al menos una cajetilla al día. Otra muestra de 500 varones revelo que 70 fumaban al menos una cajetilla al día al nivel de significancia de 0.05¿existe alguna diferencia entre la
proporción de hombres y la proporción de mujeres que fuman al menos una cajetilla por día?
53.- uno de los principales fabricantes de automóviles en estados unidos estudia su póliza de garantía de dos años y 24000 de recorrido. La garantía cubre el motor, la trasmisión y el sistema de todos los autos nuevos hasta por dos años o 24000 millas. El departamento de aseguramiento de calidad del fabricante cree que el número medio de millas de recorrido es mayor que 24000. Una muestra de 35 automóviles reveló que el recorrido es mayor que 24421 con una desviación estándar de 1944
54. Una máquina expendedora de refresco se fija para despachar 9.00 onzas (oz) de líquido por vaso, con una desviación estándar de 1.00 oz. Al fabricante de la máquina le gustaría ajustarla de modo que para muestras de tamaño 36, se tenga 5% de las medias muestrales será mayor que el límite de control superior, y 5% de las medias de muestra será menor que el límite de control inferior. Solución: a) ¿A cuál valor debe fijarse el límite de control? 9.00 ± 1.65 (
1
) √36
9.00 ± 0.275 Para 9.00 + 0.275: 9.00 + 0.275 = 9.275 Para 9.00 – 0.275: 9.00 – 0.275 = 8.725
De esta manera determinamos que los límites son 8.725 y 9.275.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que si la media de la población cambia a 8.9, este cambio no será detectado?
z=
8.725 − 8.900 1 √36 Z = - 1.05
p(z > - 1.05) = 0.5000 + 0.3531= -1.05 c) ¿Cuál es la probabilidad de que si la media de la población cambia a 9.3, tal cambio no se detecte?
z=
9.275 − 9.300 1 √36 Z = - 0.15
p(z < - 0.15) = 0.5000 + 0.0596 = 0.4404
55. Los propietarios del centro comercial Franklin Park Mall están estudiando los hábitos de compra de sus clientes. A partir de estudios anteriores, los dueños tienen la impresión de que un comprador común pasa 0.75 horas en el establecimiento, con una desviación estándar de 0.10 horas. Recientemente los propietarios del centro han ampliado incluyendo algunos restaurantes de especialidades diseñadas para mantener más tiempo a los clientes en el centro citado. Se ha contratado a una
empresa de consultoría, Brunner and Swanson Marketing Enterprises, para evaluar los efectos causados por los restaurantes. Una muestra de 45 clientes reveló que el tiempo medio de permanencia en el centro comercial aumento en 0.80 horas. Elabore una prueba de hipótesis para determinar si el tiempo medio de permanencia es de más de 0.75 horas. Utilice el nivel de significancia de 0.05. Solución: Datos: 𝝁 = 0.75 σ = 10 n = 45 = 0.8 α = 0.05 Ho ≤ 0.75 Ho = 0.75
El valor más cercano a 0.45 es 0.4505 → 1.65 Ahora hallamos el valor de Z
z=
0.80 − 0.75 0.10 √45 z = 3.35
Rpta: Entonces como 3.35 cae en la región de rechazo no se acepta Ho, por lo tanto se determina que el tiempo medio de permanencia es más de 0.75 horas.
56. Se dan las siguientes hipótesis nula y alternativa. 𝐻𝑜: 𝜇 ≤ 50 𝐻1: > 50 Supóngase que la desviación estándar de la población es 10.La probabilidad de un error de Tipo I se fija en 0.01, y la probabilidad de un Error de Tipo II, en 0.30.Considere que la media de la población cambia de 50 a 55. ¿Qué tan grande es necesaria una muestra para cumplir con estos requisitos? Solución:
50 + 2.33
55 − .525
10 √𝑛 10 √𝑛
𝑛 = (5.71)2 n = 32.6
Rpta: Se necesita una muestra de 32.6.
