INSTITUTO DE INGENIERIA
R MELI O HERNÁNDEZ
MARZO 1975
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
R MELI O HERNÁNDEZ
PRO PROFESORES FESORES INVESTIG INVESTIGADO ADORES RES, , FACULTAD FACULTAD DE IN INGENIERÍA GENIERÍA UNAM
R MELI O HERNÁNDEZ
PRO PROFESORES FESORES INVESTIG INVESTIGADO ADORES RES, , FACULTAD FACULTAD DE IN INGENIERÍA GENIERÍA UNAM
RESUMEN
1.
INTRODUCCIÓN
2.
EFECTOS DE LAS DISTORSIONES ANGULARES EN LA MAMPOSTERÍA.
1
PROGRAMA EXPERIMENTAL
5
2.1
Justificación y descripción del programa experimental
5
2.2
Resultados de ensayes en muretes
8
2.3
Resultados de ensayes en muros
3.
DAÑOS POR HUNDIMIENTOS DIFERENCIALES EN ESTRUCTURAS
10
DE MAMPOSTERÍA. OBSERVACIONES DE CAMPO
17
3.1
Alcance
17
3.2
Resultados de la observacione s de campo
18
3.3
Otros estudios
21
3.4
Conclusiones
23
4.
EVALUACIÓN DEL DAÑO
27
4.1
Objeto y planteamiento
27
4.2
Respuesta de los usuarios
29
4.3
Costo de reparación
30
4.4
Daño total
32
5.
CRITERIOS DE DISEÑO PARA CIMENTACIONES SOMERAS SOBRE SUELOS COMPRESIBLES
35
6.
CONCLUSIONES
41
7.
REFERENCIAS
47
TABLAS Y FIGURAS
49
APÉNDICE A.
ANÁLISIS DE MUROS CON DIFERENTES ESTADOS DE CARGA Y CONFINAMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS
63
APÉNDICE B. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES EMPLEADOS EN LOS ENSAYES
73
APÉNDICE C. ENSAYES EN MURETE
77
APÉNDICE D. ENSAYES EN MUROS
85
APÉNDICE E.
EVALUACIÓN DEL DAÑO
101
E.1
Respuesta humana al agrietamiento
101
E.2
Costo de reparación
103
APÉNDICE F.
PROCEDIMIENTO DE OPTIMACIÓN DE CIMENT ACIONES CON BASE EN EL DAÑO POR HUNDIMIENTO
113
F.1
Procedimiento general
113
F.2
Costo de construcción en función del hundimiento diferencial Calculado
F.3
Incertidumbre en la valuación de los hundimientos diferenciales
F.4
117
119
Obtención de soluciones al procedimiento de optimación
121
ABSTRACT
To establish rational criteria for the design of small masonry structures against differential settlements, different studies were performed.
In a laboratory program the relation between wall cracking and distortion was analyzed, considering the effect of the most important variables, i.e., type of unit, mortar, wall reinforcement, vertical load and rate of distortion; 200 small walls and 26, full scale walls were tested.
A field survey of the settlement and amount of cracking of small buildings founded on clay was carried out.
The damage caused by the wall cracking was evaluated based on the cost of repair and the user's response.
An
optimization
criteria
based
on
the
expected
total
cost,
including
construction and repair, was established. Using the results obtained in the above
mentioned
studies
for
the
main
design of the wall footing are given.
variables,
recommendations
for
the
RESUMEN
El objetivo de este estudio es establecer un criterio de diseño por hundimientos
diferenciales
en
construcciones
de
muros
de
carga
de
mampostería
sobre terreno compresible, con base en la optimación del costo total incluyendo el daño esperado. Para ello, se realizaron tres etapas:
a)
Programa y
experimental
agrietamiento
para
en muros
determinar
la
relación
entre
distorsión
de mampostería, considerando como princi-
pales variables: tipos de pieza, mortero, estructuración, carga vertical y velocidad de deformación
b)
Estudio en campo para conocer la relación entre hundimiento de las construcciones y agrietamiento en los muros
c)
Evaluación del daño económico que se deriva del agrietamiento de los muros y la reacción de los usuarios ante el estado de sus viviendas.
Con el programa experimental, en que se ensayaron cerca de 200 muretes y 26 muros a compresión diagonal, se determinó la relación distorsión-agrietamiento para distintas condiciones estudiadas.
Las observaciones de campo dieron resultados poco confiables debido principalmente a la falta del nivel original de referencia ya la poca precisión con que se podían medir los hundimientos; sin embargo, se obtuvieron algunas conclusiones de carácter cualitativo.
Con dichos estudios y los discutidos en el inciso c, se planteó un criterio de optimación con base en el costo esperado total que incluye los costos de construcción y el esperado por daños. Alimentando el modelo con datos típicos, se establecieron valores permisibles de deformación angular para muros de mampostería.
1
1.
INTRODUCCIÓN
La mampostería de tabiques y bloques es un material de empleo muy difundido en
construcciones
para
vivienda,
en
las
cuales
cumple casi
siempre
una
función estructural en muros de carga. Un inconveniente de este material es su incapacidad para soportar deformaciones angulares de cierta consideración, como las que pueden ser producidas por sismos o hundimientos. La experiencia de daños por ambas causas es muy amplia. En las zonas de terreno compresible del Valle de México, los agrietamientos en muros de mampostería por hundimientos diferenciales de la construcción han sido particularmente graves y frecuentes.
Los daños por hundimientos en una construcción dependen de la configuración de asentamientos diferenciales. En la fig 1 se muestra una representación gráfica del fenómeno y se definen los términos empleados (hundimiento total
2
y diferencial, distorsión, inclinación, etc). La estimación de los daños está sujeta a incertidumbres considerables que proceden de la variabilidad de las propiedades del suelo, de la poca precisión con que se pueden calcular los asentamientos diferenciales y de la dificultad de determinar los daños que estos producen en la construcción.
Al considerar las incertidumbres que existen en los distintos pasos de la evaluación de daños por hundimientos, convendrá plantear la estimación en términos probabilísticos, en función del daño esperado, por ejemplo, o sea el que se obtiene multiplicando cada nivel de daño por la probabilidad de su ocurrencia. La elección entre distintas soluciones de cimentación podrá hacerse
entonces
tratando
de
minimizar
el
costo
de construcción más
el
debido a daños que puedan producirse.
Este planteamiento es el que se trata de establecer en este trabajo, en el cual se ha procurado
obtener
la solución necesaria
para la solución de
las distintas etapas del diseño.
El estudio se ha enfocado esencialmente a construcciones de muros de carga sobre zapatas corridas en suelos muy compresibles.
La parte principal del estudio está constituida por un programa experimental para la determinación de la relación entre la distorsión y el agrieta-
3
miento
en
los
muros
de
mampostería,
considerando
como
principales
variables: tipos de pieza y de mortero, estructuración, carga vertical y velocidad de deformación.
Otra etapa del estudio se refiere a la determinación directa en el campo de la
relación
entre
los
hundimientos
de
las
construcciones
y
los
agrietamientos de sus muros.
También se intentó evaluar las consecuencias del agrietamiento de los muros en cuanto al daño económico que se deriva y a la reacción de los usuarios ante el estado de sus viviendas.
Con la información recabada se trató de integrar un criterio de revisión de cimentaciones por efectos de hundimientos y de establecer hundimientos permisibles para casos usuales.
5
2.
EFECTOS DE LAS DISTORSIONES ANGULARES EN LA MAMPOSTERÍA. PROGRAMA EXPERIMENTAL
2.1
Justificación y descripción del programa experimental
Para plantear el diseño de cimentaciones por hundimientos diferenciales es necesario
conocer las
características del agrietamiento
producido por las
deformaciones angulares en la mampostería. En particular interesará conocer:
a) a qué deformación angular se produce el primer agrietamiento b) cómo progresa el agrietamiento
para deformaciones
mayores
a
la del
primer agrietamiento c) cuál es la rigidez de los muros ante deformaciones angulares
Además, es importante estudiar el efecto en las propiedades anteriores de algunas variables principales:
6
a) tipo de pieza y mortero
b) velocidad de deformación
c) estructuración del muro (tipo de refuerzo y confinamiento)
d) carga vertical sobre el muro
e) recubrimiento
Se realizó un programa experimental para obtener la información anterior. Se buscó un procedimiento de ensaye que reprodujese las condiciones a que se ve sujeto un muro por hundimientos diferenciales, que fuese sencillo y permitiese estudiar el efecto de las variables.
Lo que se quería representar era el efecto de una deformación de cortante puro.
Se consideraron distintos
sistemas de carga
cuyo efecto se estudió
mediante un análisis por elementos finitos, cuyo resultado (Apéndice A) indicó que, sujetando el espécimen a una compresión diagonal, se obtenía una distribución de esfuerzos y deformaciones semejante a la deseada, tanto para un
muro
sin
refuerzo
como
para
uno
con refuerzo
exterior.
Dado que
esta
condición de carga se puede proporcionar con relativa facilidad, se eligió para el programa experimental.
Para reproducir los efectos de algunas variables (por ejemplo, el refuerzo) es necesario ensayar muros de dimensiones relativamente grandes; sin embargo, para cubrir todas las variables que se requieren estudiar es necesario
7
un número muy elevado de ensayes que sería impráctico realizar en especímenes grandes. Por tanto, se dividió el programa en dos partes.
La primera consistió en ensayes de muros de aproximadamente 2 x 2 m (fig 2). Se estudió principalmente el efecto del tipo de estructuración, de la carga vertical y del recubrimiento. Se realizaron 26 ensayes de este tipo, variando también el tipo de pieza y de mortero.
La segunda consistió en el ensaye de muretes de aproximadamente 40 x 40 cm, también sujetos a compresión diagonal (fig 3). Resulta fácil de ejecutar y se ha demostrado en otros estudios (refs 1 y 2) que proporciona resultados en diversos aspectos representativos del comportamiento de muros de mayores dimensiones. En estos especímenes se estudió el efecto de la velocidad de carga y del tipo de pieza y mortero, y se efectuó un total de 200 ensayes de este tipo. En esta prueba no es posible analizar el comportamiento después del
agrietamiento,
ya
que
por
lo
general
ocurre
una
falla
brusca.
Este
aspecto se estudió únicamente en los muros de 2 x 2 m.
Algunos materiales fueron de empleo común y otros de interés para la institución patrocinadora del estudio. Se incluyeron dos tipos de tabique recocido,
seis de tabique
extruido con
diferentes perforaciones
y
un tabique
sílico-calcáreo. En cuanto al mortero, se estudiaron tres proporcionamientos cemento-cal-arena práctica.
En
el
que
cubren
Apéndice
B
el
intervalo
de
se describen en
calidades
detalle
consignan sus principales propiedades mecánicas.
los
empleadas materiales
en
la
y
se
8
El Apéndice C describe los ensayes realizados en muretes. Las conclusiones que se derivan de esta parte del estudio se consignan en el subcap 2.2.
El estudio experimental en muros se describe con cierto detalle en el Apéndice D y sus conclusiones se encuentran en el subcap 2.3.
2.2
Resultados de ensayes en muretes
Se realizaron ensayes con cuatro velocidades de deformación; en la más rápida, el espécimen se llevó a la falla en 20 min, aproximadamente, y en la más lenta en un lapso de dos meses.
Analizando los resultados (tabla C1) se observa que no existe variación definida en el esfuerzo y la deformación angular de agrietamiento al cambiar la velocidad de deformación. Esto es contrario de lo que se esperaba, ya que se suponía que al ser más lenta la velocidad de carga, disminuirían la resistencia y la rigidez y posiblemente aumentaría la deformación de agrietamiento.
Probablemente, para velocidades
de deformación
muy inferiores a
las consideradas habrá algún cambio en las propiedades en estudio, pero no en el intervalo estudiado; por lo anterior se consideraron los resultados en
conjunto.
En
la
tabla
1,
los
valores
consignados
para
las
distintas
propiedades son el promedio de los obtenidos con diversas velocidades.
El comportamiento observado se tratará en términos del esfuerzo cortante de falla, de la deformación angular de agrietamiento y de la rigidez angular.
9
El esfuerzo, de agrietamiento varió entre 2 y 10 kg/cm², siendo mínimo para tabiques con grandes perforaciones verticales (tipos V, VIII y IX) pegados con mortero pobre, y máximo para tabiques con pequeños hueco (tipo panal o rejilla, IV y VI) pegados con morteros ricos en cemento. En tabique recocido se obtienen resultados intermedios.
En las piezas con perforaciones verticales grandes, el área de contacto con el mortero es muy reducida y, por ser las superficies lisas, la adherencia con el mortero es muy tangenciales en las
baja;
por tanto, se obtienen
juntas para esfuerzos
fallas por
relativamente
esfuerzos
pequeños.
En las
piezas con agujeros pequeños, el mortero penetra en estos dando lugar a un anclaje mecánico, de manera que, para que pueda abrirse la junta, tiene que fallar el mortero en tensión o cortante; se obtienen por tanto resistencias muy altas para morteros de buena calidad, pero no para morteros pobres. En el tabique recocido la rugosidad de las superficies permite la penetración del mortero y da lugar a una adherencia relativamente alta y, por consiguiente, a buenas resistencias, que se ven poco afectadas por la calidad del mortero debido a que la falla ocurre esencialmente por debilidad del tabique en tensión.
En cuanto al efecto del mortero en la resistencia, se observa que existe una reducción del 50 por ciento en ella cuando se emplea mortero 1:2:9 con respecto
al
común
por
proporcionamiento las
razones
1:0:3
cemento:cal:arena,
ya expuestas. Entre
los
excepto
para
tabique
proporcionamientos 1:0:3
1:1:6 la diferencia es en general bastante reducida.
y
10
La deformación angular del agrietamiento fue aproximadamente 0.001, excepto para
los
tabiques
con
huecos
grandes
y
para
el
sílico-calcáreo,
en
los
que fue del orden de la mitad. En estas piezas se aprecia además una reducción en la deformación de agrietamiento al bajar la calidad del mortero. Hay
que
hacer
notar
que
las
deformaciones
angulares
de agrietamiento
son
muy bajas en comparación con los valores que usualmente se consideran admisibles en el diseño estructural.
Para el módulo de cortante al agrietamiento se encontraron
valores
entre
3 000 y 15 000 kg/cm², correspondiendo los más altos a las piezas de mayor resistencia y a los morteros más ricos en cemento.
2.3
Resultados de ensaye en muros
A continuación se resumen los principales resultados obtenidos de los ensayes descritos en el Apéndice D, en que muros de 2 x 2 m se sometían a cargas de compresión diagonal que provocaban deformación angular creciente en forma
aproximadamente
constante
con el tiempo.
La velocidad de defor-
mación era tal que provocaba el agrietamiento diagonal en una semana más o menos; ocurrido el agrietamiento, se aumentaba la velocidad de deformación hasta provocar la falla total del muro en tres semanas, aproximadamente.
Para simular el confinamiento proporcionado al muro por los sistemas de piso y muros transversales adyacentes, o por castillos y dalas, los especímenes se rodearon con un marco delgado de concreto (Apéndice D).En algunos casos se
colocó
además
refuerzo
en
el
interior
de
los
huecos.
Los
resultados
11
completos se presentan en la tabla D1 y se comparan con los resultados en muretes de la tabla 1.
El esfuerzo cortante de agrietamiento varió entre 2.5 y 8 kg/cm², observándose la misma influencia de la calidad del mortero y del tipo de pieza que se dedujo de los ensayes en muretes. El esfuerzo de agrietamiento fue sistemáticamente menor que el cuerda con
lo observado
observado en el ensaye en muretes, lo que con-
en otros
estudios.
La relación entre resistencia
de muros y muretes fue, en promedio, 0.8.
La reserva de carga después del agrietamiento resultó muy pequeña. En la casi totalidad de los casos, la carga máxima fue igual o ligeramente superior a la de agrietamiento (tabla D1).
Respecto a la distorsión del agrietamiento, se lograron valores semejantes, aunque frecuentemente menores
que
los
obtenidos
en muretes: del
orden
de
0.001 para tabiques recocidos y para los tipos rejilla, de aproximadamente 0.0005 para tabiques huecos con mortero rico en cemento y 0.0003 para los pegados con mortero pobre.
La mayor resistencia y deformación de agrietamiento registrada en los muretes se debe probablemente al mayor confinamiento que proporcionan en estos ensayes las placas de apoyo para la trasmisión de la carga. A pesar de esta diferencia
sistemática,
se
estima
que
los
ensayes
en muretes
pueden em-
plearse para el estudio del comportamiento de muros si se hacen las correcciones adecuadas a los resultados.
12
En cuanto a la rigidez de los muros, los módulos de cortante obtenidos fueron muy variables aun para piezas y morteros semejantes. Los valores medios resultaron aproximadamente 4 000 kg/cm² para tabiques recocidos y tabiques huecos, y 7500 kg/cm² para tabiques rejilla o panal con mortero de buena calidad; el coeficiente de variación del módulo de rigidez fue en ambos casos del
50
por
ciento.
Respecto
a
los
valores
obtenidos
en
los
ensayes
de
murete para el módulo de rigidez al cortante, se tienen diferencias en algunos casos importantes pero no sistemáticas.
De los resultados de la tabla D1, se deduce que el tipo de confinamiento (tamaño del marco confinante) no tiene una influencia significativa en el esfuerzo y
distorsión de agrietamiento
ni en la rigidez; por
tanto, son
comparables los resultados obtenidos con distintos marcos, ya que estos sólo afectan el comportamiento colado
en
los
huecos
de
después del agrietamiento. El refuerzo interior las
piezas
aumenta
apreciablemente
la
rigidez
y la resistencia, pero aparentemente reduce la distorsión de agrietamiento.
La presencia de carga vertical sobre el muro aumenta en forma significativa la resistencia y distorsión de agrietamiento; su efecto en la rigidez no es muy claro; en algunos casos se observó un incremento de la rigidez y en otros una disminución con la carga vertical. El efecto de la carga vertical en la resistencia del muro, se estudia cuantitativamente en el Apéndice D.
Lo anterior indica que los muros de pisos inferiores sujetos a cargas verticales de cierta consideración serán menos sensibles a los hundimientos dife-
13
renciales
que
los
de pisos
embargo,
hay
superiores,
ciable;
sin
que
tomar
mayores
hundimientos diferenciales
en
en que cuenta
en los
pisos
la carga que
en
vertical es despregeneral
inferiores que
se
presentan
en los
supe-
riores, debido a que parte de los hundimientos suceden durante la construcción.
La presencia de un aplanado sobre el muro incrementa su resistencia en forma apreciable. Se encontró que la contribución de un aplanado de yeso es de aproximadamente 1 kg/cm²/cm de recubrimiento, mientras la de uno de cemento es
del
doble,
aproximadamente.
La
distorsión
de
agrietamiento
también
aumentó cuando el muro tenía un aplanado de yeso o de cemento; esto es contrario a la creencia general de que el yeso, por ser más frágil y menos deformable que la mampostería, debería acusar agrietamiento antes que esta.
El comportamiento después del agrietamiento se rige esencialmente por las características del refuerzo exterior; cuando el marco de concreto es débil, la resistencia disminuye en forma continua y rápida al aumentar la deformación después del primer agrietamiento, mientras que para castillos robustos se tiene una ductilidad considerable.
Una medida del comportamiento postagrietamiento
es la relación distorsión
agrietamiento, o sea entre la deformación angular y el ancho de grieta que sufre el muro. Aunque esta relación depende de las características de la mampostería
y
del confinamiento,
puede establecerse una expresión general
aproximada
w =α (γ –γ 0)
14
donde w es el ancho de la grieta, γ la distorsión del muro y γ 0 la distorsión que provoca el primer agrietamiento.
Resumiendo los datos experimentales, se obtuvieron para α y γ 0 los valores anotados en la tabla 2, en que se distinguen los muros de tabique macizo o panal de los de huecos grandes. La distorsión de primer agrietamiento, γ 0 , crece con la carga vertical y el factor de proporcionalidad puede considerarse aproximadamente como
1+
δ E γ 0
siendo σ el esfuerzo vertical promedio en el muro y E el módulo de elasticidad.
Para valores de E y γ 0 representativos de los tabiques empleados, el incremento con la carga vertical resulta ser de aproximadamente
1 + 0.05 σ
si σ se expresa en kg/cm².
Como puntos indicativos del comportamiento postagrietamiento se han considerado 0.5 mm;
las
distorsiones:
a)
la
que corresponde
a
un
ancho
de grieta
de
b) la relativa a la iniciación del daño en los elementos de confi-
namiento y c) la debida a la pérdida de capacidad estructural del muro, o sea la correspondiente a la zona descendente de la curva carga-deformación.
15
Estos valores se consignan en la tabla 2, en la cual se han hecho corresponder los resultados de muros can castillos delgados al caso de muros sin refuerzo, o sea en que solo existe confinamiento de elementos de piso y muros
transversales,
y
los
resultados
de
muros
con
castillo
grueso
al
de
muros reforzados con castillos y dalas con las características y espaciamientos
que
especifica
el
Reglamento
de
Construcciones
para
el
Distrito
Federal. No se ha hecho la distinción entre muros con aplanado o sin él, a pesar de que los resultados demuestran que para los de tabique hueco, la presencia
del
agrietamiento.
aplanado
incrementa
sensiblemente
la
distorsión
de
primer
17
3.
DAÑOS POR HUNDIMIENTOS DIFERENCIALES EN ESTRUCTURAS DE MAMPOSTERÍA. OBSERVACIONES DE CAMPO
3.1
De
Alcance
la observación
derivar
directa
conclusiones
del
objetivas
comportamiento de sobre
la
las
relación
estructuras
entre
los
se pueden
hundimientos
y
el agrietamiento de la mampostería.
A pesar de que se preveían dificultades por no contar con niveles de referencia fijados desde el comienzo de la construcción, se realizaron observaciones de campo
en unidades habitacionales con
problemas
de agrietamiento,
para determinar si se podían establecer relaciones aproximadas entre algunos parámetros que representaran gruesamente las características principales del hundimiento y el agrietamiento.
18
Además,
se
realizó
una
revisión
de
la
literatura
existente
acerca
de
las
observaciones de campo sobre el efecto de hundimientos en las estructuras.
Con base en las observaciones de campo, en los resultados de otros estudios y en los resultados experimentales, se propusieron algunos límites para los hundimientos que corresponden a distintos niveles de daño.
3.2
Resultados de las observaciones de campo
Interesaban das
sobre
principalmente construcciones de uno suelos
compresibles
mediante
zapatas
y
de dos
corridas.
niveles Como
cimenta-
caso
repre-
sentativo se eligió la unidad habitacional Villa Coapa, donde existen construcciones miliares
dúplex y
de
cinco
unifamiliares niveles
sobre
con una
ese
tipo
de cimentación, y
cimentación
rígida
y
multifa-
parcialmente
compensada.
Los edificios de varios niveles no mostraban agrietamientos por hundimientos, mientras notables,
en
las
casi
dúplex tipo se
viviendas
dúplex,
exclusivamente muestra
en
la
en fig
de las 4a,
dos
niveles,
plantas donde
se
existían
altas.
La
observa
la
agrietamientos planta
de
distribución
una de
muros y castillos.
En casas en que se permitió el acceso se realizó una nivelación del piso de las
habitaciones en diversos puntos (fig 4b). Al mismo
ancho y trayectoria de grietas en los muros dañados.
tiempo se midió
el
19
Se
estudiaron
inicialmente
los
asentamientos
diferenciales
en
los
extremos
de los muros y su efecto en el ancho de grieta. Se observó (fig 4c) que el agrietamiento correspondía a pequeñas y variables distorsiones de los muros (entre
0.0001
y
0.003)
y
que,
con
las
mismas
distorsiones,
muchos
otros
muros no estaban agrietados.
En busca de una mejor correlación, se emplearon índices más generales para describir
el hundimiento
y
el agrietamiento. Se tomó como índice del
dimiento en cada dirección
el cociente del
a
extremo
la
distancia
mínima
al
de
la
asentamiento diferencial construcción
(γ
=
hun-
máximo
dmáx/I1 según
la fig 1). Como índice del agrietamiento se definió para cada dirección de la construcción un ancho de grieta pesado en la forma
Iw
=
Σwi Ii ΣIi
siendo Ii la longitud de un muro y wi el ancho de grieta en el mismo.
La relación entre ambas variables se muestra en la fig 5a, observándose que, en las construcciones que presentaron daños, la distorsión media se encontraba entre
0.001
y
0.01;
dentro
de
este
intervalo
en
las
plantas
bajas
no
se observó prácticamente agrietamiento alguno, mientras en las plantas altas el ancho de grieta pesado no mostró una correlación definida con el índice del hundimiento.
Al anotar que los anchos de grieta eran muy uniformes en los distintos muros y
que
los
valores
medidos
eran
poco
confiables
debido
a
diversas
repara-
20
ciones, se definió un índice más burdo del agrietamiento basado en el porcentaje de muros dañados en la construcción. Se definieron tres niveles para este índice,
correspondientes
aproximadamente
a
15,
30
y
60
por
ciento
de
muros agrietados, respectivamente. La fig 5b muestra la gráfica que relaciona este
índice
entre
las
con
dos
el
hundimiento,
variables, ya que
apreciándose
que
la distorsión media
no
hay
para los
correlación tres niveles
es prácticamente la misma e igual a 0.005.
La falta de correlación entre las dos variables estudiadas puede deberse en parte
a
la
falta
al desconocimiento
de
precisión
de los
en
niveles
las
nivelaciones,
pero
originales de referencia.
principalmente Las
mediciones
se ven sensiblemente afectadas por los defectos constructivos, como el espesor no
uniforme
de
las
losas
y
de
los
pisos;
hay
que
considerar
que
un
error
de 3 mm corresponde a una deformación angular del mismo orden de la que produciría el agrietamiento.
Otra razón de la falta de correlación es la poca precisión con que se podía definir
en
muchos
casos
el
ancho
de
grieta,
ya
que
diversos
muros
habían sido reparados previamente.
En
resumen,
de
las
observaciones
de
campo
realizadas
no
puede
obtenerse
ninguna conclusión la relación cuantitativa acerca de la relación entre los hundimientos y el agrietamiento.
21
3.3
Otros estudios
En el Instituto de Ingeniería se habían intentado dos programas de observación de
efectos
de
hundimientos
en
construcciones
de
muros
de
mampostería,
y aun cuando ninguno de los dos estudios dio lugar a una publicación formal, los datos originales y su interpretación preliminar están disponibles.
El a
primero un
de dichos estudios,
conjunto
de
edificios
sufrió asentamientos
con
realizados muros de
por
M.
carga
apreciables. En estos
Madinaveitia,
de
bloque de
edificios
se refiere
concreto,
que
se siguió la historia
de hundimientos desde el comienzo de la construcción.
Se observó agrieta-
miento
tres
en
muchos
tracción, haber
de
cambios
los
de
muros
debido
temperatura
y
aparentemente hundimientos;
sido el preponderante. Se notó que
último piso, no había
disminuyendo rápidamente
correlación
entre
a
este
último
el agrietamiento
en los
pisos
factores:
era
inferiores;
el asentamiento diferencial
no
con-
parece
mayor
en el
además,
de un entreje
y
que el
nivel de agrietamiento de los muros correspondientes.
El segundo programa de observación, realizado varios años después, se refiere a
otros
edificios
del
mismo
conjunto.
De
los
datos
accesibles
se
obtuvo la gráfica de la fig 6, que relaciona la distorsión media del edificio con Se
el
índice
aprecia
que
de
agrietamiento,
no
hay
correlación
Iw ,
descrito
definida
en
entre
la las
sección dos
anterior.
variables;
en
cambio, el nivel de agrietamiento es mayor en los pisos superiores.
De los estudios realizados en otros lugares, los más significativos corresponden a la recopilación e interpretación de datos presentados por Skempton
22
y McDonal (ref 3) y a la ampliación de dicho estudio realizada recientemente por
Grant
y
otros
(ref
4).
El
enfoque
de
estos
trabajos
es
encontrar
el valor de la distorsión a partir del cual ocurre algún tipo de agrietamiento en
la
construcción,
sin
tratar
específicamente
el
nivel
de
daño
como
variable para relacionarlo con el hundimiento. No se encontró una correlación definida de
los
entre muros
el
hundimiento
correspondientes,
diferencial sino
de
únicamente
un
entre
entreje el
y
el
daño
hundimiento
dife-
rencial máximo del edificio y la presencia o ausencia de daño en el mismo. La
fig
7
muestra
los
resultados.
mampostería (fig 7b), una ramente
las
construcciones
Para
edificios
distorsión angular dañadas
de
las
con
de 1/300
no
muros
de
carga
de
separa bastante cla-
dañadas.
Para
edificios
con
marcos no existe una distinción tan neta, pero la distorsión límite es solo ligeramente en el
mayor. La
sentido
de
que
fig
7c justifica
si se
consideran
la
afirmación
entre ejes
del
párrafo
particulares,
anterior
se
pierde
mucha correlación.
Otra conclusión del trabajo de Grant (ref 4) es que la velocidad de hundimientos no influye en forma importante en la presencia o ausencia de daños. Esto se confirma con los datos de la fig 8. Sin embargo, en caso de velocidades la
extremadamente lentas de hundimientos sí se encontró un aumento en
deformación
que
en
las
necesaria
arcillas
para
del Valle
producir de
México
el la
agrietamiento. consolidación
Debe
recordarse
ocurre
en forma
particularmente lenta.
Finalmente, distintos autores han propuesto límites de distorsiones admisibles para
diversos
tipos
de
estructuras.
Se
cree
que
estos
límites
se
23
basan en la intuición y experiencia personal más que en información de estudios específicos sobre el tema. La fig 9a muestra los límites propuestos por
Bjerrum
(ref
5)
,
y
la
9b
los
especificados
por
el
Reglamento
para
el Distrito Federal.
3.4
Conclusiones
Las
observaciones
tativamente base la
en
de campo
confirmaron
el agrietamiento
mediciones
imposibilidad
a
y
los
posteriori.
de tener
niveles
la dificultad de relacionar cuanti-
asentamientos Los de
problemas referencia
de las se
construcciones con
deben
esencialmente
confiables con
a
respecto a
los cuales medir los hundimientos, y en parte también a que las reparaciones que
se efectúan en las
construcciones desvirtúan las mediciones del agrie-
tamiento.
Se confirmó que cuanto
a
los
el índice del
daños
ocasionados
hundimiento a
la
diferencial
construcción
es
más significativo en la
distorsión
medida,
o sea la que se mide como el hundimiento diferencial máximo dividido entre su distancia al
extremo
más cercano
de la
construcción,
y
también
que
la
medición directa de la distorsión de cada muro no mejora la predicción del agrietamiento,
debido
juego
pequeñas
son
tan
probablemente que
a
resultan
que
las
deformaciones
fácilmente
alteradas
que
por
entran
los
en
errores
de medición.
En
cuanto
específicos
a
los (como
índices el
de
ancho
agrietamiento, pesado
de
se
grieta)
concluye no
son
que
muy
parámetros
útiles
muy
debido
a
24
la
poca
precisión
con
que
pueden
determinarse.
Se
considera
preferible
definir niveles de daño en función de los procedimientos de reparación que se requieren y del número de muros que sufre cierto tipo de daño; para este fin
no son muy útiles
tamaños
de
grieta
las
observaciones
observados
variaban
de
en
campo del estudio,
un
intervalo
ya
demasiado
que
los
estrecho
(entre 0.1 y 0.5 mm).
Respecto
al
daño
en
un
muro
aislado,
los
niveles
de
agrietamiento
que
se
consideran críticos y las distorsiones que dan lugar a ellos se definen en la tabla 2 a partir de los resultados experimentales.
Para la construcción en su conjunto, se propone definir niveles de daño en función otros
del
muros
agrietamiento serán
menores
de los o
muros
nulos.
Se
más
dañados, recordando que
propone
identificar
cuatro
en los niveles
de daño.
D1
grieta reparable sin necesidad de procedimientos elaborados de refuerzo (ancho de grieta menor de 0.5 mm)
D2
grieta que empieza a afectar elementos de refuerzo y requiere fortificación de los muros
D3
agrietamiento que afecta radicalmente la capacidad del muro y obliga a reestructuraciones y reparaciones de consideración en la construcción
D4
la distorsión general de la construcción es tal que obliga a su demolición.
25
En la fig 9c se proponen hundimientos diferenciales límite para los cuatro niveles y
de
daño
de la carga
en
función
vertical. Los
del
tipo
valores
experimentales de esta investigación
de
material,
del
tipo
propuestos se basan y
en las
de
en los
refuerzo
resultados
recomendaciones de otros au-
tores. Se tomó en cuenta que la distorsión media que corresponde al primer agrietamiento
en las
construcciones es notablemente mayor
que la que causa
el primer agrietamiento en los muros ensayados con el procedimiento empleado en
este
trabajo,
debido
a
las
holguras
y
reacomodos
que
existen
en
las
construcciones, a que el efecto de la carga por compresión diagonal es más crítico
que las condiciones
velocidad
de
distorsión
en
reales las
de solicitación en
construcciones
es
el
mucho
muro y
más
lenta
a
que que
la las
que se tuvieron en los ensayes de laboratorio.
Los limites propuestos en la fig 9c distinguen muros reforzados con castillos de
los
no
reforzados;
se
entiende
que
en
los
reforzados,
los
castillos
y dalas deben cumplir con los requisitos de refuerzo y espaciamiento fijados en el Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal.
27
4.
EVALUACIÓN DEL DAÑO
4.1
Objeto y planteamiento
De
acuerdo
con
permisibles daño por tación
se
planteamiento fijarán
con
esbozado
un
en
criterio
el
cap
tendiente
agrietamiento, sino tratando de minimizar
más
necesario
no
el
el
de
los
cuantificar
daños en
debidos
alguna
a
forma
los
a
Para
consecuencias
hundimientos
evitar
el costo
hundimientos. las
1,
de la cimen-
lo de
cualquier
anterior los
es
agrieta-
mientos en los muros. Su evaluación debe hacerse tomando en cuenta distintos factores:
costo
de
reparación,
pérdida
de
rentabilidad,
molestias
al usuario y daño a la reputación de las personas e instituciones involucradas en el proyecto.
El
costo
de
reparación
es
el
necesario
para
regresar
la
vivienda
a
sus
condiciones originales. Dado que los hundimientos aumentan en forma continua
28
con a
el
tiempo,
también
agrietarse después
lo
hará
el
agrietamiento
y
los
muros
volverán
de reparados, mientras el hundimiento continúe; este
hecho se ha comprobado en las observaciones de campo descritas en el capítulo anterior.
Por
tanto,
el
costo
dependerá
de
la
política
de
reparación
(cuándo debe hacerse) y de la historia de hundimientos.
La
pérdida
del
inmueble
rige se
de
rentabilidad por
cuando en
halla.
los
lugar
También
consiste
daños de la
se
en
sufridos
por
reparación
cumple
la
reducción el
se opte
parcialmente
que
sufre
el
valor
hundimiento.
Este
por
vivienda como
cuando
dejar la se
repara
la
criterio
vivienda,
ya que existen ciertas pérdidas durante los trabajos o por la mala publicidad que se da al inmueble.
La respuesta del usuario, o sea su reacción negativa ante los distintos grados de
daño
de
su
vivienda,
debe
definir
la
política
de
reparación,
ya
que existen niveles de agrietamiento que no son advertidos o a los que no se les da
importancia,
siente molesto cuales
por
la
se preocupa por
o
bien,
mala
niveles
frente
apariencia de
la seguridad
de
a
los
cuales
su vivienda o
la construcción.
el
usuario
aquellos
ante
se los
La identificación
de estos niveles es importante.
A
continuación
con
base
global.
en
se
los
presentan distintos
los
estudios
factores;
realizados
después
se
dará
para una
la
evaluación,
interpretación
29
4.2
Respuesta de los usuarios
Se realizó, durante el levantamiento de grietas y hundimientos, una encuesta informal para determinar la actitud de los usuarios hacia el agrietamiento. Se les pidió mencionaran los problemas más importantes que encontraban en sus casas y en la unidad habitacional en general. La casi totalidad daba una importancia secundaria al agrietamiento de su vivienda, y mayor significación a las carencias de tipo municipal y social, principalmente vigilancia, mantenimiento de calles y jardines, transporte público, servicios médicos, mercados y centros sociales (Apéndice E).
Al preguntárseles específicamente acerca del agrietamiento, muchos de los entrevistados se quejaron del mal aspecto que este daba a sus viviendas y solo un 10 por ciento mostró preocupación por la seguridad de las construcciones.
Posteriormente se realizó otra encuesta, más formal, tendiente a determinar cómo variaba la intensidad de la reacción de los usuarios con la magnitud del agrietamiento de su vivienda.
La intensidad del agrietamiento se calificó de 0 a 3 con base en el porcentaje de muros agrietados, correspondiendo el nivel 0 a viviendas no dañadas y
los
niveles
1
a
3
y 60, aproximadamente.
a
los
porcentajes
de
muros
agrietados
del
15,
30
30
Para medir la intensidad de la reacción se presentaron los dos cuestionarios reproducidos
en
el
Apéndice
E.
En
el
primero
se
pidió
un
ordenamiento,
según su importancia, de distintos problemas posibles de la vivienda, entre ellos el agrietamiento, y en el segundo, una manifestación más directa de la actitud del usuario hacia el agrietamiento.
La interpretación del primer cuestionario se hizo en función de la calificación
promedio
alcanzada
por
el
problema
de agrietamiento
con
respecto a
los problemas restantes. En la tabla E1 (Apéndice E), se aprecia que existe un incremento progresivo y significativo en la calificación del agrietamiento al aumentar el nivel del mismo.
Como
conclusión
aumenta
de
la
encuesta
puede
en forma proporcional al nivel
decirse
que
la
reacción
del
usuario
de agrietamiento; sin embargo, para
los niveles de agrietamiento que se presentaban en las viviendas estudiadas, el problema mantenía un carácter secundario con
respecto a otros problemas
de la unidad habitacional.
4.3
Se
Costo de reparación
obtuvo
mediante
un
cuestionario
dirigido
a
especialistas
en
estimación
de costos de construcción (Apéndice E).Incluía distintos anchos de grietas, diferentes
tipos
de
acabado
y
de
estructuración.
No
se
especificaba
ningún método particular para la reparación, indicando únicamente que había necesidad de que la vivienda volviera a sus condiciones originales.
31
El costo
de reparación,
D, se relacionó
con
la inversión
inicial
de cons-
trucción de la vivienda, C0 ; los montos de reparación de muros aislados se transformaron a costo total de reparación de una vivienda para cada uno de los
cuatro
niveles
de
daño
considerados
en
el
capítulo
anterior
(D1 ,
D2 ,
idénticos
con
D3 y D4 ), haciendo las siguientes hipótesis:
a)
Se
consideró
una
vivienda
típica
de
dos
niveles
una densidad de 1.8 m² de muro por cada m² de área de construcción (Este
valor
se
obtuvo
en
la
ref
6
del
análisis
estadístico
de distintos conjuntos habitacionales de México, D. F.). Se consideró, de
yeso
para todos o
aplanado
los de
muros
de tabique
cemento
en
común, un recubrimiento
ambas
caras,
y
los
muros
de
tabique extruido se supusieron aparentes
b)
Para
la
distorsión
γ i que
corresponde
al
nivel
de
daño
Di
en
un muro aislado, se consideró que sólo 30 por ciento de los muros de
la
planta
correspondiente
alcanzaban
ese
nivel
de
daño,
y que el resto tenía daños menores
c)
Se
consideró
una
variación
continua
del
costo
de
reparación
al aumentar el hundimiento diferencial.
La evaluación de los costos se describe en el Apéndice E2 y su resultado se muestra D/Co,
en la fig
con
10a, donde
se relaciona
el costo relativo de reparación
la distorsión de la construcción; se distingue únicamente la so-
lución a base de muros de tabique hueco de la solución de los construidos con tabique macizo.
32
Se hace nivel
notar
que
la
relación
obtenida
de hundimiento, se refiere
criterios
de
reparación
hasta
a
entre el
costo
de
reparación
y
el
un tipo de construcción particular y
cierto
punto
arbitrarios;
sin
embargo,
a
cabe
suponer que el rango de la relación mencionada para otros casos en vivienda de bajo costo, no debe diferir considerablemente de la propuesta.
4.4
Daño total
Además del gasto necesario para la reparación, el daño incluye los perjuicios que con
sufren
las
personas
e
el respectivo tiempo y
reclamaciones, grandes
las
reparaciones
proyectos
instituciones
y
erogaciones
pérdidas
habitacionales,
se
involucradas
en
el
proyecto,
indirectas relacionadas con las
de
prestigio,
hallan
al
involucradas
respecto,
en
los
instituciones
que
necesitan cuidar mucho su prestigio, por lo que dichas pérdidas son de particular
trascendencia. En
forma
tentativa
el daño se
considerará
igual
al
valor del costo de reparación.
En
la
fig
10a
se
presentan,
en
escala
logarítmica,
los
valores
del
daño
total, relativo al costo de construcción, correspondientes a distintos niveles de distorsión angular. Se aprecia que los puntos se alinean aproximadamente según
una
recta,
por
lo
que,
suponiendo
una
variación
del daño con la distorsión, puede aceptarse una relación del tipo
d
=
D Co
=
b'
a' γ
para γ o
≤ γ ≤ γ M
continua
33
o
bien
en
forma
adimensional,
el
daño
puede
expresarse
en
función
de
la
relación entre la distorsión que sufre la obra y el valor que normalmente provoca la presencia del primer agrietamiento, haciendo ν = γ / γ o
d = 0,
si
ν < 1
d = a νb,
si
1
d = dM,
si
ν > νM
≤ ν ≤ νM
estas relaciones se muestran en la fig 10b para muros de piezas macizas con castillos
y
de
piezas
huecas
con
refuerzo
interior,
para
los
cuales
las expresiones son, respectivamente
d = 0.015 ν1.63
d = 0.015 ν1.31
Dichas relaciones se obtuvieron en forma arbitraria, tanto en la estimación de los costos de reparación como en la asignación de los costos adicionales. Sin
embargo,
se
observará
que
a cambios en los costos de daño.
la
solución
óptima
no
es
muy
sensible
35
5.
CRITERIOS DE DISEÑO PARA CIMENTACIONES SOMERAS SOBRE SUELOS COMPRESIBLES
En diseño de cimentaciones cuando éste se rige por hundimientos, se suele revisar que el asentamiento total, la distorsión y la inclinación de la construcción, calculadas con cierto procedimiento, no excedan de valores aceptados como permisibles; por ejemplo, se acepta generalmente una distorsión admisible de
1/300
exceda
de
y
se
este
factores que
revisa
que
límite.
Sin
intervienen
el
valor
embargo,
calculado
para
la
construcción
no
considerando
la
gran
variabilidad
de
en el cálculo
(propiedades del
subsuelo y
de la
estructura) y la escasa precisión de los procedimientos de análisis de hundimientos, sería aventurado asegurar que la construcción no presentará distorsiones mayores que las calculadas o que, aun si las distorsiones no exceden de
las
estimadas,
no
habrá
daño
en
la
construcción.
De
hecho,
sea
cual
fuere la distorsión calculada, existe una probabilidad finita de que ocurran daños por esta causa.
36
En vista de las grandes incertidumbres involucradas, el problema se presta a un tratamiento probabilístico que reconozca abiertamente el carácter aleatorio de las variables en juego. La elección de la cimentación más adecuada puede hacerse con un criterio de optimación en que las distintas alternativas se
comparen
con
base
en
el
costo
de
construcción
más
la
esperanza
del
daño debido a hundimientos.
Diversos
aspectos
probabilísticos
de
han
la
optimación
sido
de
analizados
cimentaciones
por
Rosenblueth
basada
en
(ref
7).
criterios En
este
capítulo se pretende establecer primero un procedimiento general para elegir entre
distintas
alternativas
de
cimentación
cuando
el
diseño
está
por hundimientos diferenciales. Posteriormente, se emplearán los obtenidos
en
el
estudio
junto
con
otros
construcciones para vivienda económica, con propuesto
a
casos
típicos
y
obtener
datos
el fin
valores
regido
resultados
representativos
de aplicar
de
el criterio
de la distorsión angular cal-
culada, para los cuales se diseñen cimentaciones cercanas a la óptima.
La deducción
del
F.
resumida,
En
forma
procedimiento se
trata
de optimación se desarrolla en el Apéndice de
elegir
la
solución
que
haga
mínimo
el
costo total, C, calculado como
C = CO +E[D]
donde
CO
es
el
costo
de
que
se
supone
puede
calcularse
con buena aproximación; por tanto, se considerará como una variable determinística, y E [ D] la esperanza del daño que puede ocurrir por hundimientos diferenciales.
No
se
considera
en
este
tratamiento
la
posibilidad
37
de daños difieren
por
otras
entre
hundimientos.
causas
sí más Tampoco
y
que se
se
supone
en su
que
las
cimentación
considera
la
y
alternativas
en
comportamiento
actualización
del
estudio
en
costo
no
cuanto a de
daño
(ref 7), ya que es difícil predecir cuándo va a ocurrir este. La esperanza del daño puede plantearse en función de la variable adimensional
ν = γ / γ o
donde γ es la distorsión angular que se presenta en la construcción, y γ o la distorsión
angular
variables
se
variación
y
a
partir
consideran por
como
facilidad
de
de
la
cual
aleatorias cómputo,
comienzan y,
se
por
las
supone
a
surgir
daños.
características
poseen
Ambas de
su
distribuciones
de
probabilidades logarítmico-normales.
La esperanza del daño se obtiene como
E[D] =
D( ν) fN( ν) d ν
1
en que D( ν) es la función que relaciona el daño total con la distorsión angular relativa, y fN( ν) es la función de densidad de probabilidad ( ν)
Aceptando
la relación propuesta
en el capítulo anterior entre daño y hun-
dimiento diferencial, o sea d( ν) = 0
si
ν < 1
d( ν) = a νb
si
1 < ν < νM
d( ν) = dM
si
ν > νM
38
donde d = D/Co
y resolviendo la integral, se obtiene la siguiente expresión para el cálculo del costo total*
−Uo log ν M − m K log ν M − Uo − φ + ae 0 φ σ σ σ
c = Co 1 + d M 1 − φ
en que φ representa la función de probabilidad acumulada para la distribución normal
estandarizada;
los
parámetros
se
definen
en
el
Apéndice
F.
La
aplicación de la expresión anterior es sencilla una vez recabados los parámetros correspondientes del caso en estudio, y mediante ella pueden compararse distintas soluciones.
Se pretende ahora obtener la solución del procedimiento de optimación planteado, para el diseño de cimentaciones de construcciones para vivienda económica a base de muros de carga sobre zapatas corridas.
Nuevamente la so-
lución se presenta en forma detallada en el Apéndice F y se resume a continuación.
Se supone que ancho
de
sus
las
distintas
zapatas
y
que
soluciones difieren entre sí únicamente en el en
un
intervalo
de
soluciones no muy alejadas
de la óptima, el costo de construcción aumenta en forma inversamente proporcional al hundimiento diferencial calculado.
*
La solución ha sido obtenida por L. Esteva en un trabajo no publicado.
39
El problema se resolvió empleando para los distintos parámetros los valores que se consideraron como mejores estimaciones de ellos; además, se hicieron variar sus
valores
dentro de intervalos que
estudiar la sensibilidad de la solución a metros;
se
consideró
que
el
costo
de
la
se consideraron posibles para
las
variaciones de dichos pará-
cimentación
es
8
por
ciento
del
costo total de la construcción (ref 6) cuando νc = 1.
Para el costo de daño definido por los parámetros a, b, d M , γ M , m, γ o , se distinguen y
dalas,
los
casos
de
muros
de
muros
de
piezas
y
de
piezas
huecas
macizas
con
confinados
refuerzo
en
el
por
castillos
interior
de
los
huecos, para los cuales los parámetros se obtuvieron en el capítulo anterior y se muestran en la fig 10.
En
cuanto
a
los
parámetros
estadísticos
de
las
dos
variables
aleatorias
relacionadas con la distorsión que ocurrirá en la estructura y la distorsión que
dispara
el
daño,
se
deduce,
de
acuerdo
con
los
razonamientos
del
Apéndice F, que el coeficiente de variación de la distorsión de la cimentación puede
variar
entre
0.3
y
0.8.
El
valor
mínimo
corresponde
al
caso
en que las propiedades del suelo se hayan determinado a partir de pruebas en muestras inalteradas obtenidas de sondeos en el sitio de la construcción y,
además,
los
hundimientos
se
hayan
calculado
con
métodos
que
tomen
en cuenta la interacción suelo-cimentación y la rigidez de la superestructura. El
valor
máximo
corresponde
al
caso
en
que
las
propiedades
del
suelo
se hayan estimado indirectamente a partir de resultados de sondeos en zonas cercanas a la de interés, y en que los hundimientos se hayan calculado con procedimientos burdos.
40
Las
observaciones
realizadas
en
este
estudio
indican
grande para la distorsión que inicia el daño,
que
una
variabilidad
muy
puede representarse con
un coeficiente de variación del orden de 0.5.
Los datos anteriores dan lugar a que el coeficiente de variación de ν puede variar entre 0. 6 y 1. Se tomó como valor más representativo V ν = 1.
En la fig 11 se muestran los resultados para ambos tipos de muros considerados. Se
aprecia que
la
solución
óptima
corresponde
a
un
valor
νc de
de
1.3 para muros de piezas macizas con castillos (caso 1) y 1.7 para muros de piezas huecas con refuerzo interior (caso 5).
Se resolvieron
también los
casos en
que
el
costo
del daño por
indirectos
es el triple del supuesto inicialmente, o sea que el costo del daño es el doble del que se consideró, en que el costo de la cimentación varía en forma inversamente calculado
proporcional
(caso
2),
y
en
con que
el
cuadrado
V ν vale
0.6
del
en
hundimiento
lugar
de
1.0
diferencial
(caso
4).
Los
resultados, mostrados también en la fig 11, indican que el valor de νc para la
solución
óptima
para
muros
de
tabique
macizo
con
castillos
no
cambia
radicalmente, ya que permanece en el intervalo de 1.2 a 1.4.
Lo anterior indica que la solución más económica es diseñar las cimentaciones para
un
hundimiento
diferencial
calculado
nominalmente inicia el agrietamiento a
que,
probablemente,
tenga
lugar
ligeramente
mayor
visible; aunque tal
algún
agrietamiento
en
que
el
que
criterio dé lugar la
construcción,
las consecuencias de este daño son menores que el costo de incrementar la rigidez y área de cimentación.
41
6.
El
CONCLUSIONES
programa
muros
a
experimental,
compresión
agrietamiento
de
en
diagonal
la
que para
mampostería,
se
ensayaron
estudiar dio
lugar
las a
cerca
de
200
muretes
características las
siguientes
y
26
distorsiónconclusiones
principales.
-
La resistencia, rigidez y deformación angular de agrietamiento, no varían en forma es
tal
que
el
muro
significativa es
llevado a
cuando la velocidad la
γ o ,
de distorsión
falla en un lapso
comprendido
entre 10 min y 2 meses. Sin embargo, para velocidades de deformación mucho menores, como las que generalmente corresponden a hundimientos en arcillas, seguramente el agrietamiento ocurrirá para distorsiones significativamente mayores.
-
En el intervalo sólo
ligeramente
de proporcionamientos usuales, el mortero la
deformación
de
agrietamiento,
y
en
modifica
forma
más
42
importante la resistencia y rigidez. La reducción más importante en estas propiedades se tiene cuando se emplean morteros pobres con piezas de alta resistencia.
-
Las mamposterías de piezas con alto porcentaje de huecos se agrietaron a distorsiones significativamente menores que las de piezas macizas. Los valores medios son 0.0005 para el primer caso y 0.001 para el segundo.
-
La presencia de carga vertical sobre los muros aumenta significativamente la resistencia y la deformación de agrietamiento de la mampostería; en 2.3 y en el Apéndice D se presenta la forma en que puede tomarse
en
cuenta
el
efecto
de
esta
variable
en
la
distorsión
y
en la resistencia.
-
El confinamiento exterior (castillos y dalas) prácticamente no influye en la resistencia y deformación de agrietamiento de la mampostería, aun
cuando
después de
su
del
influencia
es
definitiva
primer agrietamiento. Los
soportar
deformaciones
varias
muros
veces
en
el
comportamiento
confinados son superiores
a
capaces la
que
produce el primer agrietamiento, sin que se vea afectada su capacidad de carga.
-
El refuerzo en el interior de piezas huecas aumenta la fuerza cortante resistente
pero
no
la
deformación
de
agrietamiento,
y
para
las
cantidades de refuerzo comúnmente empleadas da lugar a un comporta-
43
miento
postagrietamiento
confinados a
estos
por
muros
castillos como
no
definitivamente y
dalas.
reforzados.
Por En
inferior tanto;
el
al
de
los
muros
se considerarán aquí
Apéndice
D
se
propone
un
método para calcular la resistencia cuando se tiene refuerzo interior.
Las
observaciones
de campo
sobre los efectos de hundimientos diferenciales
en agrietamientos de viviendas de conjuntos habitacionales dieron resultados muy pobres debido a la poca precisión con que se podían medir dichos hundimientos. Las conclusiones que pudieron obtenerse fueron:
-
Para un hundimiento. dado, los muros de planta baja sufren daños mucho menores que los de plantas altas.
-
Las
distorsiones
medidas
para
las
que se
ha
observado dan lugar
a
agrietamientos de los muros, son 2 ó 4 veces mayores que las que se registraron en los ensayes de laboratorio.
-
El índice más representativo del hundimiento, en cuanto a daños en muros, es la distorsión calculada
como el hundimiento
diferencial,
máximo dividido entre la distancia mínima al extremo de la construcción con hundimiento diferencial nulo.
Tomando en cuenta los resultados experimentales y las observaciones de campo de este trabajo así corno las conclusiones de otros estudios, se considera a
los
siguientes
como
valores
distintos niveles de daño:
esperados
para
la
distorsión
que
provoca
44
γ o
deformación que causa el primer agrietamiento en los muros; se propone 0.002 para muros de piezas macizas confinados con castillos y dalas, y 0.001 para muros de piezas huecas sin confinamiento exterior
γ 1
deformación que causa una grieta con un ancho promedio de 0.5 mm; se propone 0.005 en todos los casos
γ 2
deformación que afecta los elementos de refuerzo interior o exterior y que implica una fortificación de la estructura; se propone 0.0125 para muros con refuerzo exterior y 0.0100 para muros sin refuerzo exterior
γ 3
deformación que obliga a la demolición de la estructura; se propone 0.033 en todos los casos
Se trataron
de evaluar
las
consecuencias
de
los
daños
en
la
construcción
desde diversos puntos de vista. Se apreció que la reacción de los habitantes de las viviendas hacia niveles de agrietamiento aun de cierta importancia, no es tan intensa como hacia otros problemas de los conjuntos habitacionales. Se
comprobó
continua
con
que el
la
nivel
intensidad de
de
agrietamiento.
costos de reparación correspondientes a en
cuenta
los
costos
perjuicios indirectos a
de
esta
reparación,
las
Se
reacción hicieron
crece
estimaciones
distintos niveles
la
reacción
de
en
los
de daño. usuarios
forma de
los
Tomando y
los
instituciones involucradas, se planteó una re-
lación entre el daño y la distorsión de la construcción.
Se planteó un criterio de optimación con base en el costo esperado total, que incluye los costos de "construcción y el esperado de daños. Se obtuvo
45
una expresión general para el costo total en función de algunos parámetros de
la
construcción;
su
empleo
permite
comparar
dos
o
más
soluciones
que puedan presentarse para una vivienda tipo de un conjunto habitacional.
Alimentando que
la
el
modelo
solución
diferenciales
con
óptima
valores
requiere
ligeramente
mayores
típicos
diseñar que
el
de la
los
parámetros,
cimentación
valor
que
para
se
encontró
hundimientos
nominalmente
causa
el
primer agrietamiento.
Esto da lugar a que, tomando en cuenta los valores de
γ o que se acaban de
establecer, deberían diseñarse las cimentaciones para el tipo de construcción aquí tratado, para que la distorsión calculada debida a hundimiento sea
0.0025
para muros de piezas macizas confinadas con castillos y dalas
0.0015
para muros de piezas huecas no confinadas con castillos y dalas
Dichos valores se han obtenido como los óptimos en el sentido de que para estas distorsiones es de esperarse algún agrietamiento en ciertos muros de la
construcción;
sin
embargo,
el
costo
de
reducir
significativamente
la
probabilidad de que ocurra este daño resulta mayor que el de repararlo. La solución en
dos
y
los
niveles
valores con
muros
para construcciones con las
distorsiones que
propuestos de
mayor
den
carga
han
sido
sobre
obtenidos
zapatas
número de pisos y
lugar
corridas;
se
viviendas
estima
que
otro tipo de cimentación,
a soluciones óptimas
nificativamente de las mencionadas.
suponiendo
no deban diferir sig-
46
En los
reglamentos
modernos,
por
ejemplo
el propuesto
por
el Departamento
del Distrito Federal, se fijan los que se llaman estados límite de servicio, o
sea
condiciones
adecuado
de
la
tales
que
construcción.
si
se
Uno de
rebasan los
se
afecta
el
funcionamiento
estados límite
que
hay que fijar
es el de hundimientos diferenciales; con base en los resultados del estudio y en los comentarios anteriores, parece adecuado fijar como estados límite para que el
hundimientos se acaban de
daño
diferenciales establecer,
probable
en
la
aquellos
ya que
que
dan
lugar
si se aceptaran
construcción
sería
de
a
las
distorsiones
distorsiones mayores
importancia
y
su
costo
de reparación, alto.
Se espera que los resultados obtenidos en este trabajo logren un mejor conocimiento de la relación distorsión-daño en muros de mampostería, pero se necesitan estudios adicionales sobre el comportamiento de estructuras reales, su relación distorsión-daño observada y la cuantificación de los daños por hundimientos, para poder fijar procedimientos de diseño más confiables.
47
7.
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R
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probabilistic analysis", Research
report
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R74-9,
Depart-
49
50
51
52
a) Compresión diagonal
b) Compresión diagonal y carga vertical
Fig 2. Ensaye de muros en compresión diagonal
Fig 3. Ensaye de muretes en compresión diagonal
53
54
55
56
57
58
59
60
61
63
APÉNDICE A.
ANÁLISIS DE MUROS CON DIFERENTES ESTADOS DE CARGA Y CONFINAMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS
Un
asentamiento
en un muro.
diferencial
Puede
produce
esencialmente
una
pensarse en diferentes condiciones
deformación
angular
de carga para llegar
a condiciones de deformación del tipo de las producidas por hundimientos.
Para tener una idea cualitativa de la distribución de esfuerzos y deformaciones, y
de
la
rigidez de
un
muro
ante distintas
condiciones de carga
y
confinamiento, se llevó a cabo un análisis mediante la técnica de elementos finitos.
Se escogieron los cuatro diferentes estados de carga mostrados en la fig A1. La primera condición de carga es similar a la producida por un estado de esfuerzo cortante puro; en la segunda condición, el cambio angular resulta de una carga diagonal equivalente; en la tercera, la fuerza horizontal está distribuida en el extremo superior y, en la última, la fuerza vertical produce tensiones en el muro en lugar de comprimirlo.
64
Con esas cuatro condiciones de carga se analizaron tres diferentes estructuraciones del muro (fig A2):
a) sin marco confinante
b) con marco confinante delgado
c) con marco confinante grueso
Se supuso que los materiales son elásticos e isotrópicos y se consideraron relaciones entre (Ec/Em)
de
1,
2,
el 10
módulo y
30.
de elasticidad Para
ambos
del
marco
materiales
confinante
se
supuso
y
un
el muro
módulo
de
Poisson de 0.30.
Con dichas variables se efectuó el análisis, calculándose para cada uno de los muros su deformación angular y módulo de rigidez como
γ = │εc│ + │εt│
G = v / γ
donde
La
v
esfuerzo cortante promedio en el muro
εt
deformación unitaria de la diagonal de tensión
εc
deformación unitaria de la diagonal de compresión
primera
expresión
la deformación
sufrida
para por
el
cálculo
un
cuerpo
de
la
elástico
distorsión ante
un
γ ,
se
estado
obtiene de
de
esfuerzo
65
cortante puro (fig A3), despreciando la diferencia
│εt│
│εc│ en
-
comparación
con el número 2.
En la tabla A1 se presenta la relación de la rigidez del muro al módulo de elasticidad
del
mismo
para diferentes estados
de carga
y tipos
de estruc-
turación; el valor de Ec/Em = 1 corresponde a muros sin marco exterior.
En dicha tabla se observa que la diferencia en rigidez para las condiciones de carga B, C y D es muy pequeña, tanto cuando hay confinamiento como cuando no lo hay. Se nota, asimismo, que al aumentar la rigidez del confinamiento respecto a la del muro, la rigidez del conjunto varía sólo ligeramente. Es importante señalar que, para una determinada relación de E c/Em y
una carga
en particular, el aumento en la rigidez en presencia del marco más robusto no es mayor de 10 por ciento con respecto al caso de marco delgado.
Comparando ahora la rigidez del sistema de carga A con los de los demás, se observa
que
hay
una
diferencia significativa, que se acentúa
a
medida que
se reduce la relación Ec/Em; esto se debe a que tal tipo de carga produce una distribución de esfuerzos más próxima a uniforme en comparación con los otros, teniéndose así menos deformación angular y por tanto mayor rigidez.
En la fig A4 se compara la distribución de esfuerzos normales a la diagonal de
compresión,
observándose
que
esta
es
muy
semejante
para
los
sistemas
de carga A y B, mientras que hay una diferencia respecto a los demás estados de
carga.
Asimismo,
el
valor
de
los
esfuerzos
sobre
la
diagonal
del
sistema A no difieren, en promedio, en más de 10 por ciento de los del sis-
66
tema
B.
En la
tabla A1
se
comparan
los
esfuerzos máximos de tensión, ob-
servándose que existe poca diferencia entre los distintos casos.
En la fig A5 se compara la configuración deformada para las dos primeras condiciones cuando
de
existe
carga, marco
observándose
exterior
(fig
que A5a)
son
bastante
excepto
para
similares las
entre
sí
deformaciones
locales debidas a la concentración de las cargas de compresión que son importantes cuando no hay marcos (fig A5b).
Con base en el análisis efectuado, se consideró que el ensaye de compresión diagonal
es
razonablemente
representativo
de
la
condición
deseada,
y
que tener un marco confinante relativamente delgado, no modifica sustancialmente los esfuerzos con respecto al caso sin marco; por tanto, mediante un marco delgado puede reproducirse el efecto del confinamiento en un muro de una estructura real, el cual hace que se soporten deformaciones mucho mayores que la de agrietamiento diagonal antes de la falla.
67
68
69
70
71
73
APÉNDICE B. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES EMPLEADOS EN LOS ENSAYES
Se estudiaron nueve
diferentes tipos
de piezas seleccionadas
de acuerdo
con el patrocinador del estudio, a fin de cubrir los materiales que dicha institución
pensaba
emplear
para
construcción
de
viviendas
económicas.
Se incluyeron dos clases de tabique rojo recocido, seis tabiques extruidos, tres
de
los
cuales
eran
perforados,
tres
tipos
rejilla,
y
un material
sílico-calcáreo. En la fig B1 se muestran los distintos tipos de pieza, y
en la tabla
B1 se consigna su resistencia
en compresión,
determinada
mediante ensayes estándar.
Otra propiedad importante es la resistencia del material cuando esta forma parte de una pila junteada con determinado mortero. El ensaye se realizó conforme
se
describe
en
la
ref 2,
empleando
tres
tipos
de
mortero
con
proporción de cemento-cal-arena 1:0:3,1:1:6 y 1:2:9. El proporcionamiento de
los
componentes
del
mortero
es
por
volumen,
según el operario, para hacer trabajable la mezcla.
con
el
agua
necesaria
74
Mediante dichos ensayes se determinó la resistencia en compresión y la curva esfuerzo-deformación,
de
la
cual
se
resultados se presentan en la tabla B1.
obtuvo
el
módulo
de
elasticidad.
Los
75
76
Fig B1. Piezas empleadas en el estudio
77
APÉNDICE C. ENSAYES EN MURETES
El murete es el espécimen que se utilizó para estudiar el efecto del tipo de pieza de
y
material,
agrietamiento,
angular.
El
y
otra
en
la
murete por
y
el
de
rigidez está una
la
y
velocidad
resistencia
formado
serie
de
por
un
hiladas
de de
carga la
tabique que
en
las
mampostería y
hacen
medio
características ante
en
un
una
cambio
dirección
tenga
una
forma
aproxi-
construyeron
los
muretes
madamente cuadrada (fig 3).
Las
piezas
y
los
morteros
con
los
que
se
están
descritos en el Apéndice B.
Para
el ensaye
de
los
especímenes se
construyó
un
dispositivo
(fig 3)
en
el que se coloca el murete, formando sus juntas un ángulo de aproximadamente 45º respecto a la horizontal.
78
La carga
se proporciona mediante un gato hidráulico previamente
calibrado,
que reacciona contra un marco exterior y trasmite carga al muro mediante una placa
en
ángulo
dispositivo
con
permite
una
longitud
de
apoyo
de
5 cm
(fig
3).
Este
sostener la carga en el murete y dar diferentes velo-
cidades de deformación hasta la falla.
Se
ensayaron
angular,
los
que
muretes
equivalían
a
a
cuatro
diferentes
proporcionar
al
velocidades
murete
un
cambio
deformación angular
de
0.001 radianes cada 10 min, 3 h, 2 días y 45 días en cada caso.
La deformación de
las
angular
diagonales
se calculó
del
murete,
a
partir de las
medidas
deformaciones
mediante
un
unitarias
deformímetro
tipo
Whittemore, cuyos extremos de medición descansaban sobre unas placas colocadas en el tercio central de ambas diagonales (fig 3).
La
modalidad
de
de
deformación
ensaye tales
consistió
que,
en
sumados,
proporcionar dieran
la
al
espécimen
deformación
incrementos
angular
deseada
en el tiempo requerido.
Para
la
primera
velocidad,
el
ensaye
se
realizó
en
forma
continua
hasta
la falla; para las otras velocidades de carga se retiraba el gato hidráulico, sosteniéndose
la
carga
mediante
los
tornillos
de
ajuste
de
la
parte
fabricados
con
nueve
central del dispositivo de ensaye (fig 3).
En
esa
forma
distintos
se
realizó
materiales
y
el
tres
ensaye
en
diferentes
los
muretes
morteros,
bajo
las
cuatro
mencio-
79
nadas
velocidades
esfuerzo
cortante
muestran
curvas
formación
de
deformación.
(v)
contra
típicas.
cada
deformación
Se
correspondientes
Para
registraron
al
murete
valores
agrietamiento
y
obtuvo
( γ );
angular los
se
a
la
en de
la
la
curva
fig
C1
esfuerzo
falla.
Se
y
se de-
calculó
el valor de la rigidez G para 50 por ciento del esfuerzo máximo y su deformación obtuvo
angular
otra
correspondiente,
rigidez
del
murete
llamándose al
dicha rigidez G K ;
agrietamiento,
G agr ,
con
también los
se
valores
del esfuerzo y deformación de agrietamiento.
Se observaron dos se consigna como
tipos 1, en
de falla la
cual
predominantes: por
la
grieta
atraviesa
tensión
diagonal,
que
tanto el tabique como
las juntas, y la falla por cortante (tipo 2) en que la grieta corre siguiendo las
juntas
del
mortero.
En
la
fig
C2
se
presentan
estas
fallas
características. Se designó como tipo 3 el caso en que había una combinación de los dos primeros modos principales de falla.
Para el tabique rojo la forma predominante de falla es por tensión diagonal, no
importando
la
calidad
del
mortero;
esto
se
debe
a
que
el
material
es de baja resistencia. Para los muretes con tabiques perforados (V, VIII y IX) y para los de sílico-calcáreo (X) unido con mortero 1:2:9, la forma de falla rejilla
predominante la
falla
fue
fue por
la de
cortante.
tensión
Para
diagonal
los
cuando
tabiques se
tipo
usaron
panal
morteros
o de
buena calidad, y de cortante para morteros pobres.
En
la tabla
cada
valor
C1 se el
consignan
promedio
de
los
por
resultados de los
lo
menos
tres
ensayes, representando
pruebas.
En
la
tabla
1
se
80
resumen
los
datos
de
la
tabla
Cl,
representando
los
valores
el
promedio
de los obtenidos a diferentes velocidades.
Las
curvas
pequeña,
esfuerzo-deformación de
rigidez
muy
comprenden
alta;
una
zona
inicial,
un
tramo
después
relativamente
aproximadamente
lineal hasta la carga máxima a la que corresponde en general una falla brusca, aun
cuando
en
algunos
casos
se
tenía
un
tramo
aproximadamente
horizontal
antes de la falla.
La interpretación de resultados y principales conclusiones se tratan en 2.3.
81
82
83
84
a) Falla por tensión diagonal
b) Falla por las juntas
c) Falla combinada
Fig C2. Tipos de falla de muretes en compresión diagonal
85
APÉNDICE D. ENSAYES EN MUROS
De estos ensayes se obtuvo la información más relevante en cuanto al efecto de
los
hundimientos
diferenciales,
ya
que
permitían
conocer
el
compor-
tamiento después del agrietamiento y estudiar el efecto de diversas variables en la relación distorsión-daño.
Se ensayaron (Apéndice calidad
26 muros
B).Se
(1:0:3)
construidos
con
emplearon
únicamente
y
pobre
el
más
los dos
(1:2:9)
9
tipos
tipos y
se
de
de pieza
considerados
mortero,
el
estudiaron
tres
de
mejor
formas
de
estructuración:
a) Un
marco
perimetral
de
concreto
de
7
cm
de
peralte
y
del
del muro, reforzado con dos varillas No 4
b) Un marco perimetral de 15 cm de peral te, con 4 varillas No 4
espesor
86
c) Un marco perimetral de 7 cm de peralte y además 3 castillos colados en los huecos de las piezas perforadas y reforzados con una varilla No 4 en cada castillo
La finalidad
del
refuerzo confinante no era
tanto
representar
el efecto
de un marco real en la estructura," sino más bien reproducir las condiciones de confinamiento que existen en las estructuras por efecto de los elementos que
limitan
su
perímetro
(muros
transversales,
castillos,
sistemas
de piso y dalas).
Como
variables
adicionales
se
estudiaron
el
recubrimiento
de
los
muros
(aplanado de yeso y de cemento) y la carga vertical.
La disposición del ensaye se muestra en la fig 2. Se aplicaba una carga diagonal por medio de un sistema de tensores y zapatas y se registraban las deformaciones
de
las
dos
diagonales
mediante
un
dispositivo
a
base
de
extensómetros mecánicos.
Se daban
incrementos
de deformación
constantes cada 24 h, y
se corregía
la presión dos o tres veces al día para mantener la deformación deseada. Los incrementos diarios correspondían a una distorsión de aproximadamente 10-5;
esta velocidad
diagonal, falla
y
en 3
se
se mantenía
aumentaba
constante
progresivamente
hasta la
el
primer agrietamiento
velocidad
semanas, aproximadamente. Se llevaba
hasta
obtener
la
un registro carga-defor-
mación y deformación-tiempo, y otro de la distribución y ancho de las grietas; este último se medía en varias secciones en dirección perpendicular
87
a la de la grieta, considerando como ancho representativo la suma de los valores medidos a lo largo de la diagonal de tensión.
La tabla D1 muestra las características de los especímenes ensayados y resume los resultados obtenidos.
La fig D1 muestra algunas configuraciones de agrietamiento para muros de distintas características; se distinguen los dos tipos de falla observados en
los
ensayes
diagonal
en
el
en
muretes:
tabique,
a)
y
falla
b)
falla
por que
las se
juntas y produce
falla por tensión
por
cortante
en
los
extremos de los castillos.
La
fig
D2
muestra
algunas
curvas
típicas
esfuerzo
cortante
(v)
contra
deformación angular (γ ) ; se aprecia que el comportamiento es sensiblemente lineal
hasta
el
agrietamiento,
después
del
cual
se
tiene
una
ligera
reserva de carga y una ductilidad apreciable cuando el marco exterior es robusto (15 cm de peralte), y una disminución continua de la resistencia al aumentar
la
deformación
para
marcos
delgados
(fig
D2a).Asimismo,
en
la
fig D2b se aprecia el efecto del mortero en la resistencia del muro.
En la fig D3 se muestran algunas curvas deformación angular ( γ ) contra ancho de
grieta
en
todo
el
(ω );
se
aprecia
intervalo,
lo
cómo
cual
esta
lleva
relación a
es
considerar
sensiblemente que
se
trata
lineal de
una
relación esencialmente geométrica; sin embargo, si así fuera, se tendría una misma
pendiente
en
todos
los
casos;
el
hecho
de
que
esto
no
se
cumple
88
indica la relación γ – del
primer
ω se ve afectada por la magnitud de deformación
agrietamiento
y
por
las
características
de
los
materiales
y el refuerzo.
En la tabla D1 se consignan los valores de las deformaciones y esfuerzo correspondientes al primer agrietamiento, el esfuerzo máximo y el correspondiente a una deformación angular de 5 por ciento; este último valor se consideró
como una
medida de la ductilidad del
comportamiento,
ya que a
esta deformación correspondía en general el agrietamiento de los castillos y una disminución brusca de la resistencia.
De la fig D2 se deduce el efecto del refuerzo en el comportamiento de los muros; se aprecia que para los tabiques de alta resistencia al variar el tamaño del castillo no se produce diferencia importante en los parámetros significativos de la curva, mientras que para el tabique rojo se incrementa la rigidez del conjunto al aumentar el tamaño del castillo. La presencia de
castillos
colados
en
el
interior
de
los
huecos
aumenta
la
rigidez
y resistencia, pero reduce, para el único caso estudiado, la deformación de agrietamiento. El efecto del refuerzo es determinante en la ductilidad.
En la fig D4 se comparan las curvas carga-deformación de muros con diferentes recubrimientos, observándose un incremento en la resistencia especialmente cuando el recubrimiento es de mortero de cemento; en contra de lo que podría esperarse, la deformación de agrietamiento es mayor cuando existe recubrimiento, aun cuando sea aplanado de yeso.
89
En la fig D5 se aprecia el efecto de la carga vertical en la forma de la curva, observando que aumenta la resistencia y no se reduce la ductilidad del muro cuando está sujeto a cargas verticales.
Las figs D3 y D6 muestran el efecto de distintas variables en la relación distorsión-ancho de grieta, apreciándose que las que más influyen en esta relación son el tamaño del castillo exterior y la carga vertical.
El incremento en la resistencia al corte debido a presencia de carga vertical en el muro, puede calcularse en forma aproximada a partir del esfuerzo cortante resistente del muro sin carga vertical en la siguiente forma:
En ausencia de carga vertical se tiene que el esfuerzo de tensión máxima es casi igual al esfuerzo cortante promedio, según el análisis teórico del Apéndice A. Suponiendo que el esfuerzo máximo de tensión de falla es el mismo cuando obra carga vertical y que se puede considerar el material como elástico e isótropo, de la teoría de esfuerzos principales se tiene
σ t=
σ x+σ y 2
+
σ x+σ y v + 2
2
2
donde
σx
esfuerzo en la dirección x; nulo en este caso
σy
esfuerzo en la dirección y, debido a la carga axial en este caso
σt
esfuerzo máximo de tensión (que será igual a vo)
vo
esfuerzo cortante del muro sin carga vertical
v
esfuerzo cortante si el muro tiene carga vertical
90
Despejando v²
v² =v²o +vo σy
Aplicando
esta
resultados
de
expresión
la
tabla
D2,
a
15-24,18-22
donde
se
y
4-20
manifiesta
se
una
obtienen
buena
los
aproximación
entre los valores medidos y los calculados.
Para predecir teóricamente la contribución del acero a la resistencia en los muros con refuerzo interior, se presenta la dificultad de ignorar cuál el
esfuerzo
en
el
acero
cuando
el
muro
se
agrieta.
En
la
tabla
D1,
se
observa que los valores de la distorsión de agrietamiento para muros con refuerzo interior es muy baja, del orden de 0.0005, lo cual confirma que al agrietamiento no fluye el acero de refuerzo. Si se supone que esta deformación angular se distribuye simétricamente, de la fig D7 se deduce que la
deformación
unitaria
en
las
varillas
interiores
es
del
orden
de
0.000354, lo cual implica un esfuerzo de 750 kg/cm².
En la tabla D3 se consigna el incremento debido a la presencia del refuerzo interior, el cual se calculó haciendo las siguientes suposiciones:
a) el
esfuerzo
del
acero
y
castillos
interiores
está
uniformemente
repartido
b) hay igualdad de deformaciones de mampostería y acero
c) la deformación unitaria promedio del acero interior es 0.000354
d) a
fuerza
total
la diagonal.
del
acero
y
castillos
interiores se
proyecta
sobre
91
De lo anterior se concluye que el aumento puede predecirse, al menos mediante estos ensayes, con buena aproximación.
El efecto que produce el recubrimiento es distribuir y uniformar el estado de
esfuerzos
en
el
muro
haciendo
menos
críticas
las
trayectorias
de
las juntas. Cuantificando la contribución del recubrimiento (aquí los muros tenían
aplanado
en
una
sola
cara)
,
se
vio
que
el
aplanado
de
yeso
contribuía con una resistencia promedio al cortante de 1.25 kg/cm², mientras que el de mortero lo hacía con 2.0 kg/cm², aproximadamente. Se tenía un
espesor
de
aplanado
de
alrededor
de
1
cm,
lo
cual
representó
un
incremento de casi 50 por ciento en la resistencia respecto al muro sin aplanado.
93
94
95
a) Por tensión diagonal
b) Por cortante
c) Combinada
Fig D1. Formas de falla en muros
96
97
98
99
100
101
APÉNDICE E. EVALUACIÓN DEL DAÑO
E.1
Respuesta humana al agrietamiento
Se efectuaron dos encuestas en la unidad habitacional de Villa Coapa; en la primera se trató de medir la intensidad de la reacción al agrietamiento frente a la de diversos problemas de la unidad; en la segunda, la comparación se hizo con respecto a problemas de sus propias casas.
La primera encuesta se realizó informalmente durante el tiempo en que se hacía
el
levantamiento
de
los
daños.
Sus
resultados
se
describen
en
el
texto de este informe.
La segunda se dividió en dos partes; en la primera se trató de relacionar la actitud
hacia
el agrietamiento
con
otros
problemas
de las
viviendas; en la
segunda, se observó su impresión directa hacia el agrietamiento. En la fig E1
102
se muestra el cuestionario empleado para la primera parte, y en la E2 el correspondiente a la segunda; para la interpretación de estos cuestionarios se distinguieron las viviendas con niveles de daño 0, 1, 2 y 3, que correspondían respectivamente a un porcentaje de muros agrietados de 0, 15, 30 y 60.
En el primer cuestionario se pedía se clasificaran los problemas en orden decreciente conforme el criterio del habitante; al problema que quedaba en primer lugar se le asignaba una calificación de 6, al segundo de 5 y así sucesivamente. La calificación promedio correspondiente a cada pregunta se muestra en la tabla E1. Del estudio de estos datos se concluye que para las habitaciones de viviendas con nivel de agrietamiento 0 (parte baja del dúplex), el principal problema son las filtraciones de agua y/o humedades, siguiendo en importancia, los ruidos de una a otra casa y la falta de closets. Para el nivel 2 la preocupación mayor son las cuarteaduras, y después la comunicación de ruidos entre casas y la falta de ventilación. Al nivel de agrietamiento 3 le corresponde como problema principal las cuarteaduras, y en menor grado la poca ventilación y los ruidos de una a otra casa; o sea en general, que al aumentar el nivel de daño crece la calificación de la pregunta referente al agrietamiento.
La última parte de la encuesta consistía en medir la actitud de los usuarios respecto al nivel de agrietamiento de su habitación; esto se hizo para las preguntas
de la fig E2, y la actitud se calificó mediante una escala de
Liker∗, donde primero se determina la frecuencia de la respuesta a cada pre-
∗
Edwards, A, Techniques of attitude scale construction, Appleton Century Crofts Inc., Nueva York (1957)
103
gunta, asignándose un valor obtiene
un
promedio
de
escalar a cada tipo de respuesta; después se
respuesta
de
cada
pregunta
para
cada
índice
de
agrietamiento.
En la tabla E2 se presenta un resumen de los resultados: en la primera pregunta la mayoría "está de acuerdo" con ella, habiendo diferencia significativa de los afectados con niveles 2 y 3 de daños con respecto a los otros. En cuanto a que si las cuarteaduras presentan peligro de colapso, la posición
general
es
"incertidumbre",
con
ligera tendencia
a
la negación del
hecho. Por último, también tienen "incertidumbre" respecto a la proposición de que las cuarteaduras aparecen a causa de la mala calidad de la construcción habiendo diferencia significativa para el nivel de daño 3, donde se asegura que la proposición es cierta.
Resumiendo, se puede decir que el criterio general de los usuarios respecto al agrietamiento de su vivienda es el siguiente: le importan más otros aspectos del medio ambiente que las cuarteaduras; en cuanto a problemas de su habitación, a medida que aumenta el nivel de daño se incrementa la preocupación por
las
cuarteaduras,
afirmando
que
dan
mal
aspecto
y
quizás pueda
acarrearles una desgracia; no están seguros de que la mala calidad de la construcción sea la causante de las cuarteaduras.
E.2
Costo de reparación
La fig
E3 muestra
el cuestionario que
se presentó a
varios especialistas
en
costos de construcción a fin de estimar los gastos de reparación de muros, considerando diferentes tipos de material, estructuración y nivel de agrietamiento.
104
El resultado de las opiniones recibidas y el costo asignado a la reparación de un muro expresado como porcentaje del costo inicial del mismo, para cada una de las variables involucradas, se presenta en la tabla 3.
Los cuatro niveles de daño están asociados a sendos métodos de reparación.
N1
implica resane de yeso o mortero y pintura (ambas caras)
N2
requiere abrir la grieta, rajuelear, resanar y pintar
N3
necesita reparar dalas y castillos, adicionar nuevos elementos no estructurales
N4
daño no reparable, implica
demolición de la construcción de la
que hay cierta recuperación de materiales.
Para fines de análisis de optimación de cimentaciones, a cada nivel de daño se asignó un costo correspondiente al caso de muros de tabique recocido con yeso, y pintura en ambas caras; los costos fueron:
N1
$ 30/m² de muro
N2
$ 60/m² de muro
N3
$120/m² de muro
N4
0.9 del costo total de la vivienda
Para relacionar dichos costos con los de construcción se hicieron las siguientes hipótesis:
a)
vivienda de dos pisos iguales
b)
1.8 m² de muro/m² de construcción
105
c)
costo total de construcción de $1 000.00/m²
d)
cuando se alcanza la distorsión que inicia cierto tipo de daño, este no se presenta inmediatamente en todos los muros sino sólo en cierta
fracción
de
ellos;
las
proporciones
supuestas
para
los
distintos niveles de daño, correspondientes a las distorsiones límite propuestas fueron:
Distorsión γ o:
30
por
ciento
de
los
muros
de
planta
alta
sufren
daño N1; los de la planta baja están intactos.
Distorsión γ o':
50 por ciento de los muros de planta alta y 30 por ciento de planta baja sufren daño N1.
Distorsión γ 1:
30
por
daño
ciento
N1,
y
50
de
los
por
muros
ciento
de el
planta daño
N2.
alta
sufren
En
planta
baja 50 por ciento sufren daño N1.
Distorsión γ 2:
en la planta alta 50 por c iento de d año N2, y 50 por ciento de daño N3; además, en planta baja hay 30 por ciento de daño N1, 40 por ciento de daño N2 y 30 por ciento de daño N3, así como daños en otros elementos por $50.00/m².
Distorsión γ 3:
Requiere demolición, se recupera 10 por ciento del costo.
Con los datos y criterios mencionados se obtuvieron los costos relativos de daño propuestos en la fig 10.
107
108
109
110
111
113
APÉNDICE F.
PROCEDIMIENTO DE OPTIMACIÓN DE CIMENT ACIONES CON BASE EN EL DAÑO POR HUNDIMIENTO
F.1
Procedimiento general
Se considera como cimentación óptima aquella para la cual es mínimo el costo total, C, calculado como
C = Co + E[D]
en que Co es el costo de construcción y E (D) la esperanza del daño que pueda ocurrir por hundimientos diferenciales. No se toma en cuenta la posibilidad de daño por otras causas y se supone que las alternativas en estudio no difieren entre sí más que en su cimentación y en su comportamiento en cuanto a hundimientos. Se tiene
E[D] =
γ 0
D(γ ) fΓ(γ )dγ
114
donde
γ
distorsión
fΓ(γ )
función de distribución de probabilidades
D(γ )
función
que
define
el
costo
del
daño
para
cada
valor
de
la
distorsión
γ o
distorsión a partir de la cual comienzan a presentarse daños en la construcción
La distorsión γ que aparecerá en la construcción puede considerarse igual al valor que se calcule con la teoría empleada, multiplicado por un término que será una variable aleatoria que representa el error en el cálculo, debido a la variabilidad de las propiedades del suelo y la estructura, y a la falta de precisión del método de cálculo:
γ = Φ γ o
En forma semejante, la distorsión, γ o , que inicia el daño en la construcción puede plantearse en función de un valor nominal, γ oc , multiplicado por un término, ψ , que es una variable aleatoria que representa el error en esa variable:
γ o = ψ γ oc
El criterio de optimación puede plantearse en función de luna nueva variable
ν
=
γ φ γ c = γ o ψ γ oc
115
Por las características de las variables φ y ψ , y por facilidad de cómputo, puede suponerse para ambas una distribución de probabilidades logarítmiconormal definida para cada caso por dos parámetros: mφ, vφ y mψ , vψ . En el caso en que las estimaciones de γ c y γ 0 sean designadas se tiene
mφ = mψ = 1
La variable ν tendrá también distribución logarítmico-normal con parámetros
m ν =
mφ
γ c
m ψ γ oc
,
2
v ν
=
2
vφ
+
2
v ψ
La expresión para el cálculo de la esperanza del daño puede expresarse en función de ν como
E(D) =
D( ν) fN( ν) d ν
1
De acuerdo con lo propuesto en el capítulo anterior, el daño puede plantearse en relación con el costo de construcción, o sea
d =
D C0
;
E(D) = C E(d)
Para esta variable se ha propuesto la relación d( ν) = 0
si ν < 1
d( ν) = a νb
si 1
d( ν) = dM
si ν > νM
≤ ν ≤ νM
116
Dich Dicha a rela relaci ción ón se mues muestr tra a en la fig fig 10, 10, en la que que νM y dM correspo corresponden nden al límite mit e para para el cua cual l hay que que dem demol oler er la con const struc rucci ción ón y se con consid sider erará arán n deter determiminíst nístic icos os; ; a y b son son cons consta tant ntes es que que depe depend nden en del del tipo tipo de estr estruc uctu tura raci ción ón y de construcción.
En este este caso caso
ν M E[d] E[d] =
a νb fN( ν) d ν +
dM fN( ν) d ν = I1 + I2
νM
1
L ν M – m σ
I2 = d M [ 1 − FN ( ν M )] = d M 1 − φ
dond donde e FN es la funci función ón acu acumu mulad lada a de la distr distrib ibuci ución ón log logar arítm ítmic ica-n a-nor ormal mal y φ es la fun función ción acu acumula mulada da de distribu distribución ción normal. normal. Ade Además más
m = E [ L ν] = L m ν -
σ2 2
y 1] ] σ² = Var [L ν] = L [ Vν2 + 1
En las las expr expres esio ione nes s ante anteri rior ores es, , L( ν) indi indica ca loga logari ritm tmo o natu natura ral. l. La solu soluci ción ón de la inte integr gral al I1 se obtie obtiene ne como como∗: k0
I1 = ae
L ν M − µ0 µ − φ − 0 φ σ σ
en que que 2 2
ko = m b +
∗
b σ 2
y
µ0 = m + b σ²
La solu soluci ción ón ha sido sido obte obteni nida da por por L. Este Esteva va en un trab trabaj ajo o no publ public icad ado. o.
117
Por tanto tanto, , la esp esper eranz anza a del dañ daño o res resul ulta ta de la exp expre resió sión n
L ν M − m + aek0 σ
E [ D ] = C0 d M 1 − φ
Para Para
eleg elegir ir
entr entre e
dive divers rsas as
solu soluci cion ones es
φ
L ν M − µ0 µ − φ − 0 σ σ
alte altern rnat ativ ivas as
debe deberá rá
esti estima mars rse e
su
cost costo o de cons constr truc ucci ción ón Co y calc alculars arse el valor de E(D E(D) en funci nción de los pará paráme metr tros os que que se teng tengan an para para cada cada caso caso, , así así como como eleg elegir ir la solu soluci ción ón para para la cual Co + E(D) E(D) resul resulte te meno menor. r.
F.2
Costo de construcción en función del hundimiento diferencial calculado
Sea Sea un proy proyec ecto to de vivi vivien enda da econ económ ómic ica a cuya cuya únic única a vari variab able le por por defi defini nir r es la solu soluci ción ón de la cime ciment ntac ació ión. n. El cost costo o de la cons constr truc ucci ción ón pued puede e cons consid ider erar arse se form formad ado o por por una una part parte e que que no depe depend nde e de la cime ciment ntac ació ión n y otra otra que que es func funció ión n de la solu soluci ción ón de cime ciment ntac ació ión n empl emplea eada da. . En gene genera ral, l, el cost costo o de la cime ciment ntaación ció n será será una una fun funci ción ón decr decreci ecient ente e del del asen asentam tamien iento to dif difer erenc encia ial l máx máximo imo que que se admi admite te en la cons constr truc ucci ción ón. . En el caso caso en que que el hund hundim imie ient nto o se limi limite te inincrem rementa ntando
el
anch ncho
de
la
zapata ata
y
por por
ende
dismi sminuye uyendo
la
pres resión de
cont contac acto to, , pued puede e pens pensar arse se que que el cost costo o de la cime ciment ntac ació ión n aume aument nta a en form forma a prop propor orci cion onal al al cuad cuadra rado do del del anch ancho o de la zapa zapata ta, , ya que que las las prop propor orci cion ones es de esta esta se mant mantie iene nen n
apro aproxi xima mada dame ment nte e
cons consta tant ntes es. .
Si adem además ás se supo supone ne que que el
hundi hun dimie mient nto o difer diferen encia cial l es inver inversam samen ente te propo proporc rcion ional al al anch ancho o de la zap zapat ata, a, se tiene tiene
Costo Costo cim cimenta entación ción =
α' γ 2 c
=
α ν2 c
118
Esta Est a var varia iació ción n del del cost costo o con con el hundi hundimi mient ento o dife diferen renci cial al pue puede de ser ser demas demasia iado do rápid ráp ida, a, ya que que exist existen en otr otras as forma formas s de lim limita itar r los hun hundim dimie iento ntos s dif difere erenc nciaiales les adem además ás de aume aument ntar ar el anch ancho o de la zapa zapata ta. . Pued Puede e cons consid ider erar arse se como como alalterna ter nativ tiva a una una vari variaci ación ón del del costo costo inv inver ersam sament ente e pro propor porci ciona onal l al hun hundim dimie iento nto diferenc diferencial, ial, o sea:
Costo Costo cimentac cimentación ión =
α νc
De acue acuerdo rdo con con un análi análisi sis s est estad adíst ístico ico de div diver ersos sos proye proyect ctos os de con const struc rucci cioones habit habitac acion ional ales es (ref (ref 6), el cost costo o de la cim cimen entac tación ión repre represe senta nta, , en prom promeedio, dio, poco poco meno menos s de 8 por por cien ciento to del del cost costo o tota total l de la cons constr truc ucci ción ón. .
Si se supo supone ne que que este este cost costo o es repr repres esen enta tati tivo vo del del caso caso en que que la cime ciment ntac ació ión n se ha calc calcul ulad ado o
para para una una
dist distor orsi sión ón igua igual l
a
la que que
nomi nomina nalm lmen ente te disp dispar ara a
el daño daño; ; o sea sea
γ c = γ oc oc
γ c = 1
o
para para el cual cual
Costo Cos to cim cimen entac tación ión = 0.0 0.08 8 C01 =
α ν2 c
=> α= 0.08 C01
Por tanto, tanto, par para a una cim cimenta entación ción cualquie cualquiera ra C0 C01
=
0.92
+
0.08
ν2 c
Al cons conside iderar rar la alt alter ernat nativ iva a prop propues uesta ta en que que el costo costo de cim ciment entac ación ión es in-
119
versamente proporcional a la distorsión calculada, el costo total de una cimentación cualquiera en función del costo de una cimentación para νoc = 1.0 resulta
C0 C01
F.3
=
0.92
+
0.08
ν c
Incertidumbre en la valuación de los hundimientos diferenciales
El hundimiento de una construcción sobre suelo compresible depende de las cargas aplicadas, de la rigidez de la estructura y cimentación, y de las características del subsuelo. Para un suelo arcilloso como el de la ciudad de México estas particularidades están definidas por la curva de consolidación. Díaz Padilla y Vanmarke (ref 8) realizaron un estudio probabilístico para analizar la influencia de la variabilidad de los distintos factores en la
incertidumbre
sobre
el
valor
del
hundimiento
diferencial
máximo,
con
los siguientes resultados:
La variable que más puede influir en el hundimiento es la carga de precompresión que se ha presentado con anterioridad sobre el suelo; la variación en las pendientes del tramo de recompresión y del tramo virgen, tiene menor influencia en la variabilidad del hundimiento. Las cargas que actúan sobre el suelo no tienen gran variabilidad, ya que se deben en gran medida a cargas muertas que pueden estimarse con relativa precisión. La incertidumbre en el valor de la rigidez de la estructura y cimentación influye relativamente poco, ya que cambios apreciables en la rigidez dan lugar a pequeñas variaciones en el hundimiento diferencial; esta variable puede modificar los
120
resultados para hundimientos grandes debido a la progresiva pérdida de rigidez de la estructura por el daño que provocan los hundimientos. Una fuente apreciable de incertidumbre puede ser la falta de precisión del método empleado para determinar hundimientos.
En el estudio mencionado se determinaron los hundimientos diferenciales bajo una zapata corrida para una amplia gama de valores de las variables, estudiando los intervalos de variación de la incertidumbre en el hundimiento diferencial calculado. De los resultados se deduce que el coeficiente de variación de este hundimiento se puede plantear como
2
V∆ máx
=
2
Vη
+
2
Vf
en que Vf es el coeficiente de variación que representa la contribución de la variabilidad de las propiedades del subsuelo que para los casos extremos estudiados, varía entre 0.25 y 0.5; Vη es el coeficiente de variación que representa la falta de precisión del modelo para el cálculo de hundimientos, el cual puede considerarse como mínimo 0.2 cuando se haga un análisis riguroso, y la rigidez de la superestructura puede determinarse con precisión o no influye en los hundimientos. Un valor representativo de casos en que se emplean métodos burdos y la rigidez de la estructura sea difícil de estimar como las de mampostería, es del orden de 0.5.
Por lo anterior, el coeficiente de variación de los hundimientos diferenciales calculado puede considerarse que varía entre 0.3 y 0.7.
121
Para los proyectos que interesan en los que las propiedades del suelo se determinan en la mejor de las hipótesis en algunos puntos representativos de la zona por construir y no en cada lote particular, y en los que además los hundimientos diferenciales dependen fuertemente de la rigidez de la superestructura, en cuya estimación pueden cometerse errores apreciables, el valor de
V∆ máx
estará probablemente cerca del límite superior especificado en el
párrafo anterior.
F.4
Obtención de soluciones al procedimiento de optimación
a)
Costo del daño
La relación daño-hundimiento está dada por
ν < 1
E[d] = 0 E[d] = a νb
1
E[d] = dM
≤ ν ≤ νM ν > νM
Se considerarán los casos de muros de piezas macizas con castillos y de piezas huecas con refuerzo interior, para los cuales se han obtenido los parámetros CASO A1
a = 0.015
b = 1.63
νM = 16.7
macizas
B1
a = 0.15
b = 1.31
νM = 33.3
huecas
dM = 1.5
Además, para estudiar la sensibilidad de la solución a variaciones en el costo del daño, se considerará un daño tres veces mayor que el obtenido con la expresión anterior, ya que el costo del daño indirecto es muy variable. Esto equivale a tomar
122
b)
A2
a = 0.045
b = 1.63
macizas
B2
a = 0.45
b = 1.31
huecas
dM = 4.5
Costo de construcción
Se considerarán dos casos:
C0
1)
C01 C0
2)
c)
C01
=
0.92
+
=
0.92
+
0.08
ν c 0.08
ν2 c
Variabilidad de los parámetros
Interesa 2
V ν
=
2
Vφ
+
2
Vψ
y m ν = mφ mψ νc Se considerará mφ = mψ = 1 De acuerdo con F.3, se tomará 0.3
≤
y
Vφ
≤
0.8
Vψ = 0.5
por tanto m ν = νc 0.6
≤
V ν
≤
1.0
El problema se resolverá para los dos valores extremos de
1) V ν = 0.6
2) V ν = 1.0
123
d )
Procedimiento de optimación
Empleando la expresión propuesta se tiene
C C01
0.1 = 0.92 + α ν c
L ν M − m + aek0 φ 1 + d M 1 − φ σ
L ν M − µ0 µ − φ − 0 σ σ
Para los distintos casos propuestos se darán valores a νc y se calculará
localizando gráficamente el valor que hace mínima esta variable
e)
Solución de un caso particular
Se tomará el caso A1 para el costo del daño
a = 0.015
νM = 16.7
b = 1.63
el caso 1 para el costo de la cimentación C0 C01
=
0.92
+
0.08
ν c
y el caso 2 para la variabilidad de los parámetros
V ν = 1
2
Entonces σ²= L( Vν + 1) = L 2 = 0.693
σ = 0.832
dM = 1.5
C0 C01
124
Como primer valor se tomará
νc = 1
m =
L 1 -
σ2 2
= - 0.346
µo = m + b σ2 = -0.346 + 1.63 x 0.693 = 0.784 2 2
ko = m b +
C01
c0g
2
= -0.564 + 0.912 = 0.357
0.08 L 16.7 − 0.784 L 16.7 + 0.35 − 0.784 + 0.15 e0.357φ = 0.92 + −φ 1 + 1.5 1 − φ 1 0 . 832 0 . 832 0 . 832
C
C
b σ
= 1 [1+1.5(1-0.99993)+0.0214(0.993-0.174)] = 1+0.0001+0.0174 = 1.0175
Para
νc = 1.5
m = L 1.5 - 0.346 = 0.059
µo = 0.059 + 1.13 = 1.189 ko = 0.096 + 0.92 = 1.016
C C01
0.08 = 0.92 + 1.5
2.82 − 0.06 − 1.19 1.016 2.82 − 1.19 φ + 0.015e − φ 1 + 1.5 1 − φ 0 . 832 0 . 832 0 . 832
= 0.9733 [1+1.5(1-0.99955) + 0.0414(0.975-0.111)]= 1.0088
125
Para
νc = 1.7
m = 0.185
µo = 1.315 ko = 1.222
c0 c01
=
1.0127
Para
νc = 1.3
m = 0.162
µo = 0.968 ko = 0.656 C
c01
En
la
deduce
fig que
11
se
=
1.0063
presentan
C0/C01 es
mínimo
los
valores
para
νc =
de
C0/C01
1.3.
contra
los
Análogamente,
las gráficas para los otros valores de los parámetros.
de
se
νc ; se obtienen
