. a ema lea ~
cawalao BIANCHINI e Herval PACCOLA
Apresenta~ao E com enorme satisfayao que trazemos aos colegas de magisterio e estudantes esta nova ediyao de Matematica para 0 2 Q grau. Mantivemos aqui 0 compromisso de tonur mais agradaveis e produtivos tanto 0 ensino como 0 aprendizado, meta essa tambem presente na ediyao anterior. Voce pode estar questionando a necessidade desta reediyao. Simples: 0 mundo a nossa volta torna-se a cada dia mais e mais dinamico. Dessa forma, por mais atualizado e ajustado que um livro seja, em determinado momento, ele pode estar subestimando assuntos que mereyam uma abordagem mais aprofundada. Assim, acompanhando a moderna tendencia do ensino de estreitar a relayao aprendizado/cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e motivadora, privilegiando sua aplicayao em problemas que estimulem 0 interesse do aluno. Tambem nos exemplos resolvidos enos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar com situayoes retiradas da realidade do estudante. A respeito dos temas estudados, destacamos a inclusao de um capitulo sobre Matematica Financeira, no volume 1, e outro sobre Estatistica, no volume 3. Foram acrescentados em vista de sua import:lncia no mundo moderno e tambem em funyao do elevado numero de questoes sobre esses assuntos nos (tltimos vestibulares. Uma outra novidade desta reediyao e 0 "Tunel do tempo", uma seyao que, como 0 proprio nome sugere, leva 0 aluno a relacionar 0 tema em estudo com 0 momenta historico em que foi desenvolvido. No final de cada capitulo, antes dos "Exerdcios complementares" e dos "Testes", urn resumo do assunto estudado auxilia 0 aluno na resoluyao das atividades. Procuramos tambem aliar linguagem comunicativa, metodologia e rigor conceitual, com vistas a atender as necessidades do estudante, tanto na qualidade de cidadao como na de futuro vestibulando. Temos perfeita consciencia de que nenhum livro substitui 0 trabalho do professor. Mas acreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamos dando a nossa contribuiyao no sentido de auxiliar 0 mestre em sua tarefa de ensinar e formar pessoas. Atendendo a solicitayoes recebidas de diversas partes do pais, este trabalho esta sendo apresentado em duas versoes. Na versao Alfa, as progressoes aritmeticas e geometricas sao estudadas no volume 1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem se inverte. Finalmente, queremos registrar aqui nossos sinceros agradecimentos a todos os professores que, no decorrer desses anos, nos enviaram seu incentiyo na forma de criticas e sugestoes. Esperamos continuar merecendo a mesma acolhida nesta nova ediyao e, para tanto, contamos com 0 seu apoio - e ele que, afinal, torna 0 nosso trabalho mais adequado e eficiente. Os Autores
Sumario Capitulo I - CONJUNTOS
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Primeiras noc;6es Representac;ao de conjuntos ................................. Conjuntos unitarios e conjunto vazio Conjuntos iguais Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alguns slmbolos da linguagem dos conjuntos Subconjuntos Operac;6es com conjuntos Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
1 2 4 4 4 5 7 10 15
Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Introduc;ao Conjunto dos numeros naturais Conjunto dos numeros inteiros . . . . . . . . Conjunto dos numeros racionais Conjunto dos numeros irracionais . . . . . . Conjunto dos numeros reais . . . . . . . . . . Intervalos Operac;6es com intervalos Valor absoluto ou modulo de urn numero
.... ; .... ....
. . . .
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.. .. .. ..
',' . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
23 23 24 25 28 29 30 33 35
Capitulo 3 - FUN<;:OES
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Introduc;ao Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noc;ao de relac;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noc;ao matematica de func;ao Linguagem das func;6es Dominio de uma func;ao real de variavel real Grafico de uma func;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . Analise de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Func;ao bijetora ............... Func;6es inversas Func;ao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
42 43 44 47 49 51 53 54 57 64 67 70
Func;ao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Func;ao do 1 Q grau Estudo do sinal da func;ao do 1 Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. InequaC;6es do 1 Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
79 80 86 87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Capitulo 4 - FUN<;:AO DO 12 GRAU
1. 2. 3. 4.
Capitulo 5 - FUN<;:AO DO 22 GRAU
1. Introduc;ao 2. Grafico da func;ao do 2 Q grau
100 101
3. 4. 5. 6.
Vertice da parabola 104 Raizes da func;ao do 2 Q grau 109 Estudo do sinal da func;ao do 2 Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Inequac;oes do 2 Q grau 113
Capitulo 6 - FUNC;::AO MODULAR
1. Introduc;ao 2. Func;ao definida por duas ou mais sentenc;as 3. Func;ao modular 4. Equac;oes modulares 5. Inequac;oes modulares
123 123 126 132
134
Capitulo 7 - FUNC;::AO EXPONENCIAL
1. 2. 3. 4. 5.
Revisao de potencia de expoente racional Conceito de func;ao exponencial Grafico da func;ao exponencial Equac;oes exponenciais Inequac;oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145 146 147 149 153
Capitulo 8 - LOGARITMOS
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Introduc;ao Definic;ao de logaritmo Propriedades dos logaritmos Sistemas de logaritmos '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades dos logaritmos de mesma base Mudanc;a de base A func;ao logaritmica Dominio da func;ao logaritmica Inequac;oes logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162 162 168 170 171 180 183 186 189
Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;::OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS
1. 2. 3. 4.
Introduc;ao Calculadora cientifica ou tabua de logaritmos? 0 dlculo com logaritmos decimais Algumas aplicac;oes dos logaritmos
197 199 209 214
Capitulo 10 - NOC;::OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA
1. Porcentagem 2. Juros
221 229
Capitulo II -TRIGONOMETRIA NOTRIANGULO RETANGULO
Introduc;ao 239 Revendo conceitos ja estudados sobre triangulos redngulos 240 Aprendendo novos canceitos 241 Popriedades e relac;oes do seno, do casseno e de tangente de urn angulo agudo de urn triangulo redngulo 244 :" . (:omo calcular os valoes das razoes trigonometricas 246 ,_Q .-\ lei dos senos 257 7 .\ lei dos cassenos 259 1. 2. 3. 4.
Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS
1. 2. 3. 4. 5.
Introdus:ao 269 Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Medida de um angulo central 274 0 eiclo trigonometrieo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 0 arco trrigonometrieo 279
Capitulo 13 - FUNC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Introduc;ao 285 A funs:ao sene 286 A funs:ao cosseno 295 Os grafieos das funs:oes sene e eosseno 308 A func;ao tangente 311 Outt'as funs:oes trigonometrieas 318 Relas:oes entre as funs:oes trigonometrieas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Identidades trigonometricas ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Recorreneia a um area do primeiro quadrante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Cilculo dos valores das funs:oes trigonometrieas 332 Func;oes trigonometrieas inversas 336
Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:.o.O
1. 2. 3. 4. 5.
Introduc;ao Arco soma e area diferrens:a 0 arco duplo " 0 area metade Funs:oes trigonometrieas de um area que mede a, em funs:ao da tangente do area metade "..................... 6. Transformas:ao de soma em produto " "
349 351 356 359 362 364
Capitulo IS - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introdus:ao 2. Equac;oes trigonometrieas 3. Inequac;oes tt'igonometrieas
373 374 384
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Capitulo
I I. Primeiras
Conjuntos no~oes
As primeiras nos;oes sobre conjul1tos voce as adquiriu no curso de 1 Q grau. Vamos revelas e ampliar esses conhecimel1tos introduzindo novos simbolos, liteis nao somente no estudo da matematica como tambem em outras areas. Recordemos que se entende por conjunto qualquer coleS;ao de objetos. Esses objetos podem ser de qualquer natureza. Podemos falar em conjul1to de casas, de alunos, de logotipos, de figuras geometricas, de numeros etc. o quadro abaixo mostra um conjunto de logotipos de algumas emissoras de televisao de Sao Paulo.
,r Wi
CULTURIl Fundat;:ao Padre Anchieta
Dm conjunto geralmente e indicado por uma letra maiuscula do alfabeto. Os objetos que compoem um conjul1to sao chamados elementos. Assim, por exemplo, chamando de L 0 conjunto dos logotipos acima, temos que cada um deles e elemento de L. Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A escrevendo-se:
x E A (le-se: x pertence a A)
I
Se x nao pertence ao conjunto A, "cortamos" 0 simbolo com um tras;o, escrevendo:
I x f/= A (le-se: x
nao pertence a A)
I
Esse tipo de indicaS;ao e utilizado em muitas outras situas;oes. Voce pode verificar isso no conjunto a seguir, onde os sinais sao cortados, indicando proibiS;ao.
Proibido fumar.
Proibida a presen~a de cachorros.
Proibido jogar latas e garrafas.
1
Proibido fazer fogueira.
2.
Representa~ao
de conjuntos
Existem varias maneiras de se representar um conjunto. Uma delas e indicar todos os seus elementos entre chaves. Vamos, como exemplo, representar os seguintes conjuntos: a) 0 conjunto A formado pelos algarismos pares do numeral 6280 (extensao aproximada, em quilometros, do Rio Amazonas). Temos: A
=
10,2,6,81
Rio Amazonas.
b) 0 conjunto IN dos nllmeros naturais. Como se trata de um conjunto infinito, nao e possivel enumerar todos os seus elementos. Escrevemos, entao, apenas as primeiros elementos, seguidos de reticencias: IN = 10, 1,2,3, ... } c) 0 conjunto B dos numeros naturais impares menores que 100. Como sao muitos os elementos do conjunto B, por comodidade escrevemos os primeiros elementos, seguidos de reticencias, e finalmente os ultimos elementos. Assim: B = (1,3,5,7, ... ,97,991 d) 0 conjunto T dos numeros que expressam as medidas dos lados do triangulo EDU, sendo ED = 15,2 cm, EU = 16,4 cm e DU = 10,8 cm: T= (15,2; 16,4; 10,81 e) 0 conjunto H dos algarismos do numeral 149 597 870 (disrancia media, em quilometros, entre 0 centro da Terra e 0 centro do Sol). a representas:ao de um conjunto nao repetimos os elementos. Assil11, 0 conjunto H tem exatamente sete elementos. Observe: H = 10, 1,4,5,7,8, 9} Ul11a outra maneira de se representar um conjunto e indicar entre chaves uma propriedade que caracteriza seus elementos. Vamos considerar 0 conjunto:
A
=
(janeiro, junho, julho I
Observe que todos os elementos desse conjunto sao meses do ana e seus nomes comec;:am pela letra j. Essa e uma propriedade caracteristica dos elementos desse conjunto. Podemos, entao, escrever: A = (x Ix e mes do ano cujo nome COl11ec;:a pela letra il (U-se A
e0
conjunto de todo x, tal que x
e mes do ana cujo nome comec;:a pela letra j.)
Veja outros exemplos: a) B = 10,5,10,15,20, ... } b) M = I m) a) t) e) i) c} B = Ixlxe numero natural multiplo de 5} M = {xix e letra da palavra matemtitica)
2
Podemos ainda representar um conjunto utilizando 0 diagrama de Venn, que consiste em colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples. Como exemplo vamos representar 0 conjunto
A={
},
,I
das bandeiras dos palses finalistas da Copa do Mundo de Futebol, de 1994:
A
•
·88 EXERCiclOS PROPOSTOS
_
1. Os conjuntos a seguir estao representados por uma propriedade caracterfstica de seus elementos. Escreva-os indicando esses elementos. a) b) c) d)
A = {x Ix
e um numero natural menor que 10}.
{xix e um numero fmpar maior que 5}. C = {xlxe numero multiplo de 3, maior que 10 e menor que 100}. 0 = {xix e numero natural e 3x 2 - 7x + 2 = O}.
B
=
2. Agora temos 0 inverso. Os conjuntos estao escritos com seus elementos indicados. Escreva-os indicando uma propriedade caracterfstica de seus elementos. a) A = {1, 3, 5, ... } b) B = {segunda-feira, sexta-feira, sabado}
c) C d) 0
= {a, 4, 8, 12, ... , 60} =
{10, 15,20,25, 30}
3. Represente 0 conjunto por uma propriedade que caracteriza seus elementos.
A
o verde o amarelo o azul '0 branco
4. Indica-se 0 numero de elementos de um conjunto A por n(A). Assim, dados os conjuntos abaixo, determine n(A), n(B) e n(C). a) A = {xix e numero natural e x 2 - 12x b) B = {xix letra da palavra Recife}. c) C = {a, 3, 6, 9, ... , 120}
e
5. Dados os conjuntos A relacionar: a)
°
eA
b)
°e
= B
{a, 2, 4, 6} e B
+ 35
=
a}.
= {x Ix 2
c) 2 eA
-
11 x d) 2
3
+ 18 = O}, use
eB
0 sfmbolo
e) 9 eA
E ou f£ para f) 4 e B
3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio A ideia de conjunto em matematica tern urn sentido mais amplo do que aquele que normalmente e sugerido pela propria palavra. Assim e que admitiremos conjuntos com urn so elemento, chamados conjuntos unitarios, e conjunto sem elementos, chamado conjunto vazio. 0 conjunto vazio e representado por 0 ou I }. Veja os exemplos: a) 0 conjunto do mamifero voador e 0 conjunto unitario Imorcego }. b) 0 conjunto dos numeros naturais maiores que 2 e menores que 3 e 0 conjunto 0.
'"c: ~ ""'" (/)
0f-
'"
Cl Cl
I ci
-
o morcego e 0 unico mamffero voador. EXERCiclO PROPOSTO 6. Classifique cada conjunto como unitario ou vazio. a) b) c) d)
A = {xlxe B = {xlxe C = {xlxe 0 = {xlxe
natural natural natural natural
e 2x = 5}. e 2x = 6}. e Ox = 6}. par e primo}.
4. Conjuntos iguais Dois ou mais conjuntos sao iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A e 0 conjunto das letras da palavra "arte": A = la) r, t) c} e Be 0 conjunto das letras da palavras "reta": B = I r, c) t) a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, nao importando a ordem em que foram escritos. Se A nao fosse igual a B, escreveriamos A =F B (le-se: A e diferente de B).
EXERCiclO PROPOSTO 7. Verifique se A = B ou A i' B, nos seguintes casos: a) A b) A c) A
= {x Ix e letra da palavra amoral e B = {x Ix e letra da palavra = {O, 1,2,3, 4} e B = {xix e numero natural menor que 4}. = {2, 5} e B = {xlx 2 - ax + 12 = OJ.
roma}.
5. Conjunto universo o conjunto que tern todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se conjunto universo. Geralmente, urn conjunto universo e representado pela letra U. 4
Consideremos a pergunta: Quais sao os numeros menores que 5? A resposta ira depender do conjunto universo com que se estiver trabalhando. Vejamos: • Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros naturais, teremos como resposta os numeros 0,1,2,3 e 4. Tambem podemos indicar a resposta por S = 10, 1,2,3,41, em que S e chamado conjunto solus:ao. • Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros naturais pares, teremos como conjunto solu<;:ao S = 10,2,4). • Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros inteiros, teremos: S= 1... ,-1,0,1,2,3,4}
EXERCICIOS PROPOSTOS
_
8. Considerando U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} como conjunto universo, determine c) {x E Ulx + 1 = 10} d) {XE Ulx 2 - 9x+ 14
a} {x E UI2 < x < 7} b) {xE Ulx + 3 = 8}
9.
De 0
conjunto solU9ao da equa9ao 2x
2
+
=
conjunto solU9aO de:
= O}
5x - 3 = 0 nos seguintes casos: c) U = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3)
a) U = IN
b) U
0
t-
1 ,---} , 0, 1,--}, 3}
d) U = {-3' -1, ---}, 0, --}, 1, 3}
6. Alguns simbolos da linguagem dos conjuntos Para darmos continuidade aos nossos estudos, vamos introduzir alguns simbolos que irao facilitar nossa linguagem, tornando-a mais precisa.
Implica~ao
e equivalencia
Quando, a partir de uma
afirma~ao p,
concluimos uma outra
afirma~ao
p implica q e escrevemos p => q (le-se: p implica q ou se p entao q).
Exemplos a) Jose e pernambucano
=>
(p)
Jose e brasileiro (q)
(Le-se: se Jose e pernambucano, entao Jose e brasileiro, ou Jose e pernambucano implica que Jose e brasileiro.) b) x = 5 => x 2 = 25
(p)
(q)
c) x e numero par (p)
d) x + 2
(p)
=
8
=>
=>
x e mLlltiplo de 2 (q)
x=8-2 (q)
5
q, dizemos que
Observe nos exemplos c e d que tambem a partir de q podemos conduir p: x e multiplo de 2 ~ x e numero par x=8-2~x+2=8
Nesses casos, dizemos que p e q sao equivalentes e escrevemos p
x e nlimero par
¢=}
¢=}
q (le-se: p e equivalente a q):
x e mUltiplo de 2, ou seja, x e numero par se e somente se x e mUltiplo de 2. x+2=8 Se p
~
qe q
¢=}
~
x=8-2 p, entao p
¢=}
q
No exemplo a, de Jose e brasileiro, nao podemos conduir que Jose e pernambucano (ele poderia ser. catarinense, carioca, paulista etc.). Jose e brasileiro p Jose e pernambucano (0 simbolo ~ le-se: nao implica). No exemplo b, de x 2 = 25, nao podemos conduir que x = 5 (x poderia ser -5), pois (-5)2 = (-5) . (-5) = 25. Portanto: x 2 = 25 =/> x = 5.
Qualquer que seja (v) Vamos resolver a equas:ao 2(3x - 1) = 6(x + 1) - 8 no universo U= 10,1,2,31. Temos:
2(3x - 1) = 6(x + 1) - 8
~
6x - 2 = 6x + 6 - 8
°
~
6x - 6x = 6 - 8 + 2
~
Ox = 0.
Observe que a igualdade Ox = se verifica para qualquer que seja x pertencente a U. Representando a expressao qualquer que seja x por 'r/ x (le-se: qualquer que seja x ou para todo x), podemos escrever:
°
'r/x E U ~ Ox = A solus:ao da equas:ao proposta e 0 proprio conjunto universo, isto e: S =
u.
Existe ao rnenos urn (3) Considere 0 conjunto A*-0. Sendo A*-0, entao existe ao menos urn x, tal que x E A. Representando a expressao existe ao menos urn x par 3x, podemos escrever: A*-0~3xlxEA
o simbolo ~x le-se: nao existe x algum. Exemplos a) Se A = 0, entao ,tlxlx EA. b),tlxEIN12x= 3
Existe urn unico (31) Considerando 0 conjunto universo U = 10, 1,2,3,4,5), existe urn unico valor de x que verifica a sentens:a 2 < x < 4. Representando a expressao existe urn ilnico valor de x por 31x, podemos escrever: 31x E UI2 < x < 4 Exemplos a) Se A e conjunto unitario, entao 31x Ix E A. b) 31x E IN I x - I = 2
6
EXERCICIOS PROPOSTOS 10. Sendo U = {-4, -3, -2, -1,0, 1,2,3, 4}, identifique as senten9as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) X= -4
x2
e) x 2 =16 ~'x=-4oux=4 f) 3x E U 12x = 5 g) 31x E UI3x = -12 h) \lxE U=> Ox= 0
16 b) x = 4 => x = 16 2 c) x = 16 => x = -4 2 d) x = 16 => x = 4 =>
=
2
11. Considerando
0
conjunto A = {1, 3, 5, 6, 7, 9}, identifique as senten9as verdadeiras.
a) \Ix E A => x e numero fmpar' b) 31xE Alxe par
c) 3x E A Ix e divisor de 9 d) }XE A Ix> 10
7. Subconjuntos Considere os conjuntos A = (2,3,5} e B = 11,2,3,4,5,6, 7}. Observe que todo elemento de A e tam bern elemeoto de B. Nessas condi<;:6es dizemos que A e subconjunto de B ou que A esta contido em Be escrevemos A C B. Podemos tambem dizer que B contem A e escrevemos B ::J A. Essa situa<;:ao pode ser graticamente representada assim: B
ul
Em simbolos, temos:
A C B
{=}
{'Ix E A
~
x E B}
Voce, que dentro de pouco tempt:?, provavelmente, estara preocupado em "tirar" sua Carteira Nacional de Habilita<;:ao para dirigir veiculos motorizados, necessitara, entre outtas coisas, conhecer 0 conjunto S dos sinais de transito. o conjunto P, dos sinais de transito que indicam proibi<;:ao, mostrado graficamente a seguir, e urn subconjunto de S.
Sentido proibido
Proibido virar a esquerda
Proibido virar a direita
Proibido
Proibido
retornar
estacionar
Proibido parar
Proibido ultrapassar
Proibido mudar de faixa de trinsito
Proibido
Proibido transito
e estacionar
transito de veiculo de carga
de veiculos automotores
Proibido transito de velculos de tra~iio animal
Proibido transito de bicicletas
Proibido transito de maquina agricola
7
Proibido acionar
Proibido
buzina au sinal sonora
transito de
pedestres
Vejamos outros exemplos: a) Dados A = 13,6,91 e B = IN, temos que: A C B, pois todo elemento de A e tambem elemento de B. b) Sendo A = lxlxe animal mamiferol e B = lcao, baleia), temos que: A ~ B, pois todo elemento de B e tambern elemento de A. c) la, bl cIa, b, cl d) 121 c 121 Se A nao esta contido em B, escreve-se: A r:t. B. Para se ter A r:t. Be necessario que exista pelo menos urn elemento que pertenc;:a a A e nao pertenc;:a a B. Considere os conjuntos A = (1,2,3,41 e B = (1,3,4, Sj ..Temos: A r:t. B, pois 2 E A e 2 r¢. B. Observap:>es 1. Todo conjunto e subconjunto de si mesmo.
I
VA=}ACA
2. 0 conjunto vazio e subconjunto de qualquer conjunto.
I
VA=}0 C A
I
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
12. Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {2, 4}, identifique as sentenyas verdadeiras.
a) A c B
b) A c C
c) C c B
d) B
~
C
13. Determine os conjuntos X que satisfazem a condiyao {2, 3} C Xc {2, 3, 4, 5}.
14. Dados os conjuntos A e B, com A # B e A a) x E B => x E A b) xE B=>x$ A c) x $ B=> x $ A
c
B, identifique as sentenyas falsas. d) x E A => x E B e) xE A=>x$ B
15. Identifique as sentenyas verdadeiras em relayao aos conjuntos A, Be C. a) Se A c Be B c A, entao A = B. b) VB=>0CB.
c) Se C cAe A c B, entao C c B. d) Sex$AeXEB,entaoAcB.
Conjuntos cujos elementos sao conjuntos Os elementos de urn conjw1to podem tambem ser conjuntos. Considere, por exemplo, conjunto M cujos elementos sao: la), lb}, la, b}, e Ic, d}. Temos: M = (la}, lb), la, b), lc) dll
Nesse caso, dizemos que: (al EM e nao lal eM
o mesmo acontece com os outros elementos de M: (bl E M, I a, bl E M, (c, dl E M
8
0
EXERCiclO PROPOSTO 16. Dado
0
conjunto A = {0, {1}, {5}, {1, 5}}, identifique as sentent;:as verdadeiras.
a)0EA b) {0,1,5}EA c) {0} C A
d){1}EA
g) {{1}}cA
e)1EA
h){5}EA i) 5 E A
f) {1} C A
j) {1, 5} E A I) {{1, 5}} C A m) {0, {1}, {5}} C A
Conjunto das partes de urn conjunto Considere, por exemplo,
0
conjunto A
=
{a,
bl. Vamos escrever os subconjuntos de
A:
• com um elemento: {a}, {bl; • com dois elementos: {a, bl.
o conjunto cujos elementos sao todos os subconjuntos de A e chamado conjunto das partes de A e e geralmente indicado por P(A) (le-se: P de A). Lembrando que 0 conjunto vazio e subconjunto de qualquer conjunto, temos: P(A)
= 10,
(af, {b}, {a,
Considerando agora, por exemplo, 0 conjunto B Para isso, escreveremos os subconjuntos de B:
=
bll (m, n, P}, vamos determinar P(B).
• com um elemento: {m), (n}, (p); • com dois elementos: (m, n}, (m, pI, In, pI; • com tres elementos: {m, n, pI. Como 0 C B, temos: P( B)
= {0,
{m f, (n},
{p}, {m, n}, {m, pI, {n, pI, {m, n, PII
Observe que: • no primeiro exemplo ou seja, 2 2 ; • no segundo exemplo seja, 2 3 .
0
conjunto A tem dois elementos e P(A) tem quatro elementos,
0
conjunto B tem tres elementos e P(B) tem oito elementos, ou
De um modo geral, se urn conjunto A tem n elementos,
e dado por 2".
0
numero de elementos de P(A)
Assim, par exemplo, se um conjunto C tem quatro elementos, entao P( C) ted. 2 4 elementos.
EXERCiclOS PROPOSTOS 17. Dado
0 conjunto
_
A = {2, 4, 6, 8}, escreva todos os subconjuntos de A que tenham:
a) um elemento
b) dois elementos
18. Dado 0 conjunto B = {1, 3, 4}, pede-se:
a) 0 numero de subconjuntos de B com dois elementos. b) 0 numero de subconjuntos de B. 19. Forme 0 conjunto das partes do conjunto B = {8, 9}. 20. Sendo x
=
{a, 2, 5}, determine P(x).
21. Escreva 0 conjunto das partes do conjunto A = {p, a, z}.
9
c) tres elementos
22.
De 0
numero de elementos de P(A) nos seguintes casos:
a) A={O,1,2,3,4} b) A={a,m,o,r}
c) A={x!xepare4
23. 0 numero de elementos de um conjunto A e dado por 2", onde n e 0 numero de elementos de A. Entao, se P(A) tem 64 elementos, qual 0 valor de n? 24. 0 conjunto das partes do conjunto B tem 512 elementos. Quantos sao os elementos de B?
8.
Opera~oes
com conjuntos
Diferen~a entre
conjuntos
Dados os conjuntos A = II, 2,3,4,5,6, 7} e B = 12,4,6,8, 9}, vamos escrever 0 conjunto formado pelos elementos de A que nao pertencem ao conjunto B. Obtemos assim 0 conjunto {l, 3, 5, 71, chamado diferen~ entre A e B. Indicando a diferen<;:a entre A e B por A - B (le-se: A menos B), temos: A-B=(1,3,5,7}
Vamos mostrar isso graficamente:
A-B
De urn modo geral: Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferen~ entre A e B pelos elementos de A que nao pertencem a B.
0
conjunto formado
Usando simbolos, definimos a diferen<;:a entre dois conjuntos A e B assim:
IA-
B = (xix E A e x
~ B) I
Voltando aos conjuntos dados, vamos determinar a diferen<;:a B - A. Os elementos de B que nao pertencem ao conjunto A sao 8 e 9. Portanto: B - A = l8,9}
Graficamente, temos:
10
Observas;oes 1. Se A e B sao conjuntos tais que A C B, entio a diferenc;:a B - A e chamada complemental' de A em Be indicada por CRA (le-se: complementar de A em B). Em simbolo, temos:
I CRA = B -
A, em que A C B
I
Graficamente, temos:
A regiao colorida representa
0
complementar de A em B.
2. Em particular, se A e subconjunto do conjunto universo U, 0 complementar de A em relac;:ao a U pode ser representado por A' (le-se: A linha) ou A (le-se: A barra). Assim:
A'
= A = CuA = U - A
u
Exemplo Dados A = {a, b, d}, B
= {a,
b, c, d, c} e U= (a, b, c, d, c,j;gl, calcular:
a)CRA
b)CuA=A
SolUfiio
a) Como A C B, entao a diferenc;:a B - A eo complementar de A em relac;:ao a B:
CRA
b) CuA
= B - A = {c, c}
= A = U- A = lc, c,j;gl
eco
u
ee
eo
eb
er
ed eg
11
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
25. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {3, 5, 7} e
e-
a) A - B
c)
b) A -
d) B - A
e
26. Se B
=
{m, n} e A - B
27. Se B
=
{V; i} e A - B
=
=
e=
{5, 6, 7, 8, 9}, determine:
B
e)
f)
A
{p, q}, quais os possfveis elementos de A? {d, a}, determine A com 0 maior numero de elementos.
28. Determine x e y, sabendo que {2, 4, x, 8} - {2, 4, 5}
e= CAe
29. Dados A = {m, n, p}, B = {m, n, p, q} e
CaA
a)
eCAB
b)
=
{6, y}.
{m, p}, determine:
c)
Cae
30. Dados U = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7} e B = {5, 6, 7, 8}, pede-se:
-
-
-c) A - B
b) B
a) A
Intersec~ao
de conjuntos
Dados os conjuntos A = 11,2,3,4,5,6, 7} e B = 12,4,6,8, 101, vamos escrever 0 conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. Obtemos assim 0 conjunto (2,4,61, chamado interseq:ao entre A e B. Indicando a intersee
Ana
An B = (2,4,6)
Vejamos isso no grafico ao lado. De um modo geral: Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseq:ao de A com B 0 conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A interseCli:ao entre A e Be indicada por A n B. Usando simbolos, podemos definir a interseCli:ao entre os conjuntos A e B assim:
I An B = lxl x E
A
ex E
B}
I
Na intersee
Observa~o:
se An B
b)A=13,5) B = {2, 3,4, 5, 6) AnB=(3,51
=
c) A = 12,3,5} B = 14,61 An B= 0
0, entao os conjuntos A e B sao chamados disjuntos.
12
EXERCiclOS PROPOSTOS 31. Dados A
=
{1, 3, 4, 5, 7, 8}, B
=
_
{1, 3, 5, 6, 9}, C
=
{5, 6, 7, 8, 9} e 0
a) A n B c ) B n C b) A n C d) C n 0 32. Sendo A
=
33. Sendo A
= {x Ix e divisor natural de
{4, 6, x, 8}, B
= {1,
9, 10}, pede-se:
e) (B n C) n 0 f) A n (B n C)
2, 7, y, 9} e A 18} e B
= {6,
n B = {7, 8}, calcule x e y.
= {x Ix e divisor natural de 24},
determine:
a) 0 conjunto A, indicando seus elementos. b) 0 conjunto B, indicando seus elementos. c) 0 conjunto A n B. d) 0 m.d.c. (18, 24).
34. Dados A
= {x E
IN' Ix
e multiplo de 4} e B = {x E
IN' Ix
e multiplo de 3}, determine:
a) 0 conjunto A, indicando seus elementos. b) 0 conjunto B, indicando seus elementos. c) 0 conjunto A n B. d) 0 menor mUltiplo comum de 4 e 3.
Reuniao de conjuntos Dados os conjuntos A = 11,2,3,4,5,6, 7} e B = 12,4,6,8, IO}, vamos escrever 0 conjunto farmado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Obtemos assim 0 conjunto 11,2, 3,4, 5,6, 7, 8, IO}, chamado reuniao ou uniao de A com' B. Indicando a uniao entre os conjuntos A e B por A U B (Ie-se: A uniao B), temos: AU B = 11,2,3,4,5,6,7,8, IO}
Vejamos isso graficamente:
A
B
De urn modo geral: Dados dois conjuntos A e B, chama-se reumao ou uniao de A com B 0 conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A reuniao de A com B e indicada por AU B.
Usando simbolos, podemos definir a uniao de A com B assim: AU B = (xl x E A ou x E B}
13
Na uniao de A com B, podem ocorrer a)A= {O,2,4,51 B = {2, 4, 5, 6} AU B = {a, 2, 4,5, 6}
tre~s
casos, conforme nos mostram os exemplos:
b)A= {O,I,3,5,6} B = {l, 3, 51 AU B = {a, 1,3, 5,61
c)A
{I, 3, 5}
=
B = [2,4} AU B = {I, 2, 3,4, 5}
C) el
e5
e3
(::')
~J
OPOSTOS 35. Sendo A = {2, 5, 8), B = {3, 4, 5, 7, 8), a) AU B b) A U e
_
e = {2, 8) eO = {5, 7, 8), determine:
c) B U 0 d) A U 0
e) (e U 0) U B f) A U (e U 0)
36. Dados A = {x E IN [xe par e menor que 10}, B = {x E IN [2 < x < 8} e
e = {XE IN Ixe divisor de 12},
determine:
a) A U B
b) B U
e
c) AU
e
d) (A U B) U
e
37. Se x E A e x ff; B, identifique as sentenyas verdadeiras.
a)
xE
b) x E (A
(A U B)
38. Sabendo-se que A
c
n
c) x E (A - B)
B)
d) x E (B - A)
S, identifique a sentenya falsa (se achar necessario, construa diagramas).
a) AU B = B
b) An B
=A
c) A - B = 0
d) An B = B
Resolu~ao
de expressoes que associam opera~oes entre conjuntos Vamos agora resolver algumas express6es envolvendo as operac;:6es estudadas: diferenc;:a, complementar, intersecc;:ao e undo.
Exemplos Dados os conjuntos A a) (A U C)
{a, 1,3, 41, B = {2, 3,4, 51, C
=
nB
b) (B
n
=
c) (B - A)
C) U D
{4, 5} e D
=
n
d) (CBC) U (A
Solufao
a) (A U C)
n B = {a, 1, 3,4,51 n {2, 3,4,5} \
b) (B
= {3, 4,5)
-...,..--
[-----_. C) U D = {4, 5} U {5, 6, 7) = {4, 5, 6, 7}
n
~
c) (B-A)
n
C= {2, 5}
d) (CBC) U (A
n
---+
B)
=
n
{4, 51 = {5)
{2, 3) U {3, 4}
=
{2, 3, 4}
_J 14
C
{5, 6, 7}, determinar:
n B)
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
39. Dados os conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6, 7}, C = {5, 6, 7} e 0 = {2, 4}, determine: a) (A n B) U C b) (C U 0) n B c) (A n 0) U (A
n C)
d) (C nO) U A
g) B - CAD
e) (B - A) U 0
h) CA(A n 0) i) (A - 0) U (B - C)
f)
B - (C U 0)
40. Sejam A, Be C tres conjuntos quaisquer e U 0 conjunto universo. Identifique, entre as seguintes afirmayoes, aquelas que sao verdadeiras. a) Se A n B = A, entao A c B. b) Se A c Be A c C, entao A c (B n C). c) x E (A - B) .,. x E A ex(/'. B
41. Dados A
= {1, 2, 3}, B = {1, 2,
a) CB(A n C)
3, 4} e C
= {2,
d) A
n B= 0
e) An B = f)
A
BUS = U
3, 4, 5}, calcule:
b) C(A u c)B
c)
e
42. Se A = {xix numero fmpar eO < x < 10}, B = {x Ix> 0 e 2 < x < 13}, determine:
a) (A n C) U B
b) C - (A
CdB-
=
{a, b, c, d} eN
=
A)
e divisor de 24} e C =
n B)
c) (A
Be definida por M.iN = (M {b, c, e, f}, calcule M.iN.
43. Uma operayao .i entre os conjuntos A e M
ou B = 0
=> A = 0 US
n
n
{xix
e numero par
B) U C N) U (M - N). Sendo
9. Numero de elementos da reuniao entre conjuntos Indicando por n(A) 0 numero de elementos do conjunto A; n(B) 0 numero de elementos B; n(A U B) 0 nllmero de elementos de A U Be n(A n B) 0 numero de elementos de A n B, e valida a seguinte relas:ao:
I
n(A U B)
= n(A) +
n(B) - n(A
n B) I
Verifiquemos a validade dessa relas:ao no esquema abaixo: A--~
.0
n(A U B) = n(A) '----v------J
.b • c
9
Essa relas:ao
5
+ n(B) - n(A n B) ~
+ 6
2
e importante na resolus:ao de certos problemas, como veremos a seguir.
Exemplo 1 Sendo n(A) = 10, n(A
n B) = 3 e n(A U B) = 12, calcular 0 numero de elementos de B.
Soluyiio
+ n(B) - n(A n B), ou seja: 12 = 10 + n(B) - 3 ~ 12 = 7 + n(B)
n(A U B)
=
n(A)
o numero de elementos de B e 5. 15
~
n(B) = 12 - 7
~
n(B) = 5
Exemplo 2 Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou urn trabalho sobre Ecologia, tendo sido indicados dois livros sobre 0 assunto. 0 livro A foi consultado por 26 alunos e 0 livro B, por 28 alunos. Pergunta-se: a) Quantos alw10S consu.ltararn os dois livros? b) Quantos alunos consultararn apenas 0 livro A?
Soluyiio a) n(A U B) = n(A)
n B)
26 + 28 - n(A 54 - n(A n B) n(A n B) = 6
48 48
u
+ n(B) - n(A n B)
= =
Os livros A e B foram consultados por 6 alw10s. b) Entre os 26 alunos que consultaram 0 livro A, existem 6 alunos que consultaram tambern o livro B. Logo, 0 numero de alunos que consultararn apenas 0 livro A e 26 - 6 = 20.
Exemplo 3 Desejando verificar qual 0 jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados constantes da tabela abaixo: A
B
C
AeB
Ae C
Be.C
A, Be C
Nenhum
300
250
200
70
65
105
40
150
Pergunta-se: a) Quantas b) Quantas c) Quantas d) Quantas
pessoas pessoas pessoas pessoas
leem apenas 0 jornal A? leem 0 jornal A ou B? nao leem 0 jornal C? foram consultadas?
u Para resolver 0 problema vamos recorrer aos diagramas. Em A n B n C colocaremos 40 e na regiao complementar de AU B U C,150.
Como n(A
n B) = 70
elementos e ja foram
colocados 40, restam 30 elementos para completar a regiao A
n
u
A
B.
Da mesma forma: 150
n(A n C) - 40 = 65 - 40 = 25 n(B n C) - 40 = 105 - 40 = 65
16
Para completar 0 conjumo A, devemos colocar: 300 - (30
u
A
+ 40 + 25) = 300 - 95 = 205
Da mesma forma: n(B) - 135 = 250 - 135 = US n(C) - 130 = 200 - 130 = 70
Agora, consultando
0
150
diagrama, podemos responder as questoes:
a) 205 pessoas leem apenas 0 jornal A. b) 205 + 30 + 40 + 25 + 65 + US = 480 ou n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B) = 300 + 250 - 70 480 pessoas leem 0 jornal A ou B. c) 205 + 30 + US + 150 = 500 500 pessoas nao leem 0 jornal C. d) 205 + US + 70 + 30 + 25 + 65 + 40 + 150 = 700 Foram consultadas 700 pessoas.
= 480
EXERCiclOS PROPOSTOS 44. Sendo n(A) = 18, n(B) = 22 e n(A n B) = 10, calcule n(A U B). 45. Sendo n(A U B) = 70, n(A) = 30 e n(B) = 60, calcule n(A n B). 46. Num vestibular eram eliminados os candidatos que nao obtivessem a nota minima 3,0 em matematica e redac;:ao. Ap6s a apurac;:ao dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candidatos, sendo 236 em matematica e 210 em redac;:ao. Quantos candidatos foram eliminados nas duas disciplinas? 47. Numa pesquisa sobre as emissoras de teve a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com 0 seguinte resultado: 230 preferem 0 canal A; 250, 0 canal B; e 50 preferem outros canais diferentes de A e B. Pergunta-se: a) b) c) d)
Quantas Quantas Quantas Quantas
pessoas pessoas pessoas pessoas
assistem aos canais A e B? assistem ao canal A e nao assistem ao canal B? assistem ao canal Be nao assistem ao canal A? nao assistem ao canal A?
48. Examinando as carteiras de vacinac;:ao das crianc;:as de uma creche, verificou-se que 60% receberam a vacina Sabin, 80% receberam a vacina contra 0 sarampo e 10% nao foram vacinadas. Pede-se:
a) a porcentagem de crianc;:as que receberam apenas a vacina Sabin; b) a porcentagem das que receberam apenas a vacina contra 0 sarampo; c) a porcentagem das que receberam as duas vacinas.
17
49. 0 quadro abaixo mostra 0 resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do 2Q grau costumam ler:
A
B
G
AeB
AeG
BeG
A, Be G
50
54
40
22
20
16
12
Nenhuma 12
Pergunta-se: a) b) c) d) e)
Quantos Quantos Quantos Quantos Quantos
foram os estudantes consultados? estudantes leem apenas a revista A? estudantes leem a revista Be nao leem a C? estudantes nao leem a revista A? estudantes leem a revista A ou a revista C?
TUNEL DO TEMPO Georg Cantor nasceu na Russia, na cidade de Sao Petersburgo, em 1845. A partir dos 11 anos, mudou-se para a Alemanha, onde iniciou seus estudos de filosofia, fisica e matematica. No campo da matematica dedicou-se especialmente ao estudo da teoria dos nlimeros. Admitindo a ideia de que "numeras:oes definidas podem ser feitas com conjuntos infinitos tao bern quanta com finitos", propos uma serie de definis:oes e Georg Cantor. proposis:oes que deram origem ateoria dos conjuntos. Cantor, considerado hoje urn dos mais notaveis matematicos de seu tempo, recebeu naquela epoca severas criticas pelo seu trabalho. as continuos e duros ataques feitos pe10 alemao Leopold Kronecker (1823-1891) the valeram sucessivos esgotamentos nervosos. Quase no final de sua vida (faleceu em 1918) recebeu 0 reconhecimento pelo seu grandioso trabalho. A teoria dos conjuntos venceu e hoje e aplicada nao somente em matematica como tambem em outras areas do conhecimento humano. Sobre a teoria dos conjuntos, David Hilbert (1862-1943), urn dos maiores matematicos alemaes do seculo XX, assim se expressou: "Ninguem nos expulsara do parafso que Cantor criou para nos".
RELEMBRANDO CONCEITOS • • • • • • • • • •
•
x E A indica que x pertence ao conjunto A. x $. A indica que x nao pertence ao conjunto A. A C B indica que A esta contido em B. A et. B indica que A nao esta contido em B. A ::J B indica que A cantem B. A 1J B indica que A nao cantem B. A U B indica a uniao de A com B. A n B indica a intersecs:ao de A com B. A - B indica a diferens:a entre A e B. CAB = A - B indica a complementar de Bern relas:ao a A. .If indica a complementar de A em relas:ao ao conjunto universo U.
• n(A U B)
=
n(A)
+
n(B) - n(A
n
B).
18
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 50. Se A, B e C sao conjuntos nao-vazios e 0
e0
conjunto vazio, quais das seguintes sentent;:as sao
verdadeiras? a) {xix EO A e x EO B} = A - B b) {xix EO A e x EO B} = An B c) {xix EO A ou x EO B} = A U B
d) {xix EO A ex(/. B} = A - B e) AU 0 = 0 f) AcBeBCC=> AcC
51. Dados os conjuntos A e B, assinale as proposit;:6es falsas. d) 3A IA U B = A e) VA, VB, A - B c A f) Cu(A n B) = CuA n CuB
a) Se A U B = B, entao A C B b) Se A c B, entao CBA = A - B c) VA, VB, (A n B) C A
52. Dados os conjuntos A, Be C, nao-vazios, encontre as proposit;:6es que sao verdadeiras.
a)
x EO A
e
x EO B
x EO (A
=>
n
d) x EO A => x EO A . e) x EO (A U B) => x EO A ou x EO B. f) Se A C B, entao x EO Be x (/. A.
B).
b) x EO A ex(/. B => x EO (A U B). c) x EO (A - B) => x EO A ex(/. B.
53. Nas sentent;:as abaixo, assinale V para as sentent;:as verdadeiras e F para as falsas.
a) {2} C {2, 3}
d) 2 EO {{2}, {3}, (2, 3)} e) 2 C {2, 3}
b) {2} EO {{2}, {3}, (2, 3)} c) 0 C {2}
54. Dados os conjuntos A a) CAC
=
f)
{2, 3} C ({2, 3)}
{1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6} e C = {4, 5}, pede-se:
b) (A - B) U C
n
c) A - (B
C)
d) (A U B) - (A
n
B)
55. Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, B = {1, 2, {1}, {2}}, pede-se: a) A U B
b) A
56. Sabendo que M
=
n B
c) A - B
{2, 3, 4, 5, 6}, M U N
=
d) B - A
{2, 3, 4, 5, 6} e M
n
N = {2, 3, 4}, determine 0 con-
junto N.
57. Se A = {1, 3, 4, 5, 6}, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A
58. 0 conjunto das partes de um conjunto A
n
B = {5, 6}, determine 0 conjunto B.
e indicado por P(A). Se A =
{s, a, I, V, e}, quantos elemen-
tos tem P(A)?
59. Dados os conjuntos A (A U B) - (A
60. Sendo A
n
=
{n,
U,
m, e, r, o} e B
=
{z, e, r, a}, quantos sao os subconjuntos de
B)?
= {1, 3} e B = {2, 3}, determine 0 numero de elementos de P(A)
n
P(B).
61. Sendo P(A) 0 conjunto das partes do conjunto A, quantos sao os elementos de P(P(0))? 62. Dados os conjuntos A, Be A
n
°
B, com 30, 50 e 1 elementos, respectivamente, quantos elementos
tem 0 conjunto A U B?
63. Numa escola, a area de ciencias exatas tem 16 professores, sendo que 6 leeionam apenas matema tica, 5 apenas ffsica e 7 lecionam outras disciplinas distintas de matematica e ffsica. Quantos sao os professores que lecionam matematica e ffsica?
19
64. Uma escola ofereceu a seus alunos aulas de refor<;:o em matematica (M), ffsica (F) e quimica (0).
a numero de alunos matriculados constam da tabela abaixo:
~I~ Pergunta-se: a) b) c) d)
Quantos Quantos Quantos Quantos
alunos alunos alunos alunos
se se se se
inscreveram inscreveram inscreveram inscreveram
apenas apenas para as apenas
para as aulas de matematica? para as aulas de qufmica? aulas de ffsica ou de qufmica? em ffsica e matematica?
65. A determinat;:ao do tipo sanguineo de uma pessoa deve-se a present;:a (ou nao) dos antfgenos A e B no sangue. Se uma pessoa possuir somente 0 antfgeno A, ela e do tipo A; se tiver somente 0 antfgeno B, e do tipo B; se tiver ambos, e do tipo AB, e se nao tiver nenhum e do tipo 0. Num grupo de 70 pessoas verificou-se que 35 apresentam 0 antfgeno A, 30 apresentam 0 antfgeno B e 20 apresentam os dois antfgenos. Quantas pessoas sao do: b) tipo B?
a) tipo A?
c) tipo AB?
d) tipo O?
TESTES
_
66. (U. Cat6lica de Salvador-SA) Sejam A, B, CeO conjuntos nao-vazios e tais que A Nessas condit;:6es, 0 conjunto (B - A) U (C - B) U (0 - C) a) 0 - A
b) A U C
67. (Unifor-CE) Se A a) CA(A n B) b) CdA U B)
= {1},
B
= to,
1} e C
= to,
e verdade que: U CcB = {O, 1}
1, 2}, entao
d)
= {1,
e)
c) Ca(A n B n
c
e) C
c) B n O d ) A
= (1} 2} C) = {O}
e igual a:
CaA
CdA U
B U C)
= (O}
68. (UFCE) Sejam os conjuntos K = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}, P1 = {1, 5, 7} e P2 = {3, 7, 8}. Se P1 = {x E K; x(/: P1 } e P2 = {x E K; x(/: P2 }, entao P 1 n P2 e 0 conjunto: a) {1, 2}
b) {2, 9}
c) {3, 5}
d) {5, 9}
69. (Unirio) Considerando os conjuntos A, Be C, a regiao colorida no diagrama representa: a) b) c) d) e)
AU (C An (C An (B AU (B (A U B) -
B) B) C) C) C
70. (PUC-PR) A regiao assinalada no diagrama representa: a) (A b) (A c) (A d) (A e) (A
n
B) U C - B) U (B - C) n (B - B) n (C n C) - (B n
C) C) 0) C)
c 20
Be CeO.
71. (Vunesp) Se A
n
B
= {a}
eA U B
a) C esta em A e em B. b) C nao esta em A, mas esta c) C nao esta em B, mas esta d) se b a, entao b nao esta e) {b, c, d} c A ou {b, c, d} c
"*
= {a,
b, C, d}, podemos afirmar que:
em B. em A. em A ou b nao esta em B. B.
72. (Imes-SP) Se A e um conjunto finito qualquer, indicamos por n(A) 0 numero de elementos de A. Sendo Be C dois conjuntos finitos quaisquer, assinale a afirmayao verdadeira. a) n(B U C) = n(B) b) n(B U C) = n(B) c) n(B n C) = n(B)
+ + +
n(C) - n(B n C) n(C) + n(B n C) n(C) + n(B U C)
d) n(B n C) = n(B) - n(C) e) n(B U C) = n(B) + n(C)
73. (U. F. Fluminense-RJ) Considerando tres conjuntos P, Q e R diferentes, tais que P n Q n R"* 0, sao feitas as seguintes afirmay6es: I. Pelo menos um dos conjuntos tem mais do que um elemento. II. Pelo menos dois desses conjuntos tem, na sua intersecyao, dois elementos. III. A uniao dos tres conjuntos tem, pelo menos, tres elementos. Entao pode-se concluir que somente: a) a afirmativa I e verdadeira. b) a afirmativa II e verdadeira. c) as afirmativas I e II sao verdadeiras.
d) as afirmativas I e III sao verdadeiras. e) as afirmativas II e III sao verdadeiras.
74. (UEBA) Sejam os conjuntos formados por numeros naturais: A = conjunto dos multiplos de 3, B = conjunto dos divisores de 30 e C pares. 0 numero de elementos de A n B n C e: a) 2
c) 3
b) 0
=
d) 1
75. (UFSE) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que X X - B = {O, 4, 6}. Se A n B = {2, 3}, 0 conjunto A U Be igual a: a) {1, 4, 5) b) {O, 2, 3, 5} c) {1, 2, 3, 4}
conjunto dos numeros
e) 4
A = {O, 1, 5, 6) e
d) {1, 2, 3, 4, 5} e) {O, 2, 4, 5, 6}
76. (Mackenzie-SP) Se A = {3, 7} e B = {7, 8, 9}, entao 0 numero de elementos do conjunto Mtal que An M = {3}, B n M = {8) e AU BUM = {3, 7, 8, 9, 10} e: a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
e) 5
77. (Unifor-CE) Indica-se por n(X) tais que n(A)
a) 3
= 7,
n(B)
=
0 numero de elementos de um conjunto X. Se dois conjuntos A e B sao 5 e n(A n B) = 3, quantos elementos tem 0 conjunto (A - B) U (B - A)?
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
78. (Osec-SP) Os conjuntos A e B tem, respectivamente, 16 e 8 subconjuntos. 0 conjunto A n B tem dois elementos. Quantos elementos tem 0 conjunto A U B? a) 22
b) 9
c) 7
d) 5
79. (PUC-RJ) Dez mil estudantes fizeram exames para as universidades A, Be C; 50% dos estudantes foram aprovados na universidade A; 20% dos que passaram em A tambem passaram em B; apenas 10% dos estudantes que foram aprovados em A e B tambem passaram em C. Quantos estudantes passaram somente nas universidades A e B? a) 900 b) 100 c) 3200
d) 800 e) 1 000
21
e) 3
80. (PUC-MG) Em uma classe de 45 meninas, cada uma delas ou tem cabelos pretos ou olhos castanhos, 35 tem cabelos pretos e 20 tem olhos castanhos. 0 numero de meninas que tem cabelos pretos e olhos castanhos e: a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
81. (Unisinos-RS) Numa pesquisa, realizada em alguns colegios de 22 grau, sobre a preparayaO dos alunos para 0 concurso vestibular 94, foram obtidos os seguintes resultados:
Com base nesses dados, 0 numero de alunos consultados foi: a) 378
b) 414
c) 450
d) 510
e) 514
82. (F. M. Pouso Alegre-MG) Numa cidade foi feito um levantamento para se saber quantas crianyas haviam recebido as vacinas Sabin, Trfplice e contra 0 sarampo. Os dados obtidos foram:
Vacinas
I
Numero de
Sabin
5428
Trfplice
4346
Sarampo
5800
Sabin e Trfplice
812
Sabin e sarampo
904
Trfplice e sarampo
721
Trfplice, Sabin e sarampo
521
crian~as
."
1644
Nenhuma
Entre as crianyas abrangidas pela pesquisa, assinale a alternativa falsa. a) b) c) d) e)
4 233 crianyas receberam apenas a Sabin. 3 334 crianyas receberam apenas a Trfplice. 4 696 crianyas receberam apenas a de sarampo. 874 crianyas receberam pelo menos duas vacinas. Nenhuma.
83. (Mackenzie-SP) Dez mil aparelhos de teve foram examinados depois de um ana de usa e constatou se que 4 000 deles apresentavam problemas de imagem, 2 800 tin ham problemas de som e 3 500 nao apresentavam nenhum dos tipos de problemas citados. Entao 0 numero de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem e: a) 4 000
b) 3700
c) 3 500
22
d) 2 800
e) 2 500
Capitulo
Conjuntos numericos I.
Introdu~ao
Embora a ideia de nllinero acompanhe 0 homem desde os tempos mais primitivos, foram necessarios muitos milhares de anos para chegarmos aos atuais conjuntos numericos. Urn dos responsaveis pelo sistema de numeras:ao decimal, adotado universalmente, foi 0 matematico arabe Mohammed Ibu-Musa Al-Khowarizmi (780-850). Ele escreveu varios livros sobre astronomia e dois sobre aritmetica e algebra. Estes ultiffios tiveram importante papel na hist6ria da matematica. Seu livro De numero hindorum (Sobre a arte hindu de calcular), em que Al-Khowarizmi nos fala sobre os numerais hindus e a forma de opera-los, tornou-se 0 principal vekulo de divulgas:ao dos numeros decimais na Europa ocidental. 0 sistema hindu de numeras:ao foi tao bern exposto, que acabou passando a impressao de que 0 nosso sistema numerico e de origem arabe. Convem ressaltar que Al-Khowarizmi em nenhum momenta manifesta a pretensao de originalidade. Ate pelo contrario: ele assume claramente que 0 sistema decimal e originario da India. Como homenagem a imporrancia de sua obra, Al-Khowarizmi teve seu nome perpetuado em duas palavras do sistema de numeras:ao decimal: • algarismo, para indicar as simbolos hindo-aribicos 0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8 e 9; e • algoritmo, para se referir a qualquer regra especial de processo ou operas:ao. Neste capitulo iremos rever os conjuntos numericos estudados ao longo do curso de 1 Q grau.
2. Conjunto dos numeros naturais o conjunto dos numeros naturais, conforme ja foi visto, e representado pela letra IN: IN Retirando-se do conjunto IN nao-nulos:
0
IN*
=
{O, 1,2, 3, ... }
numero zero, obtemos IN - {OJ
0
conjunto dos numeros naturais
(1,2,3, ... 1
Lembrando que, na representas:ao de dois numeros naturais a e b (com a < b) na reta numerica, 0 numero a fica situado a esquerda de b, temos:
o
2
4
23
x
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
1. Dados os numeros naturais a e b, quais das seguintes sentenyas sao verdadeiras? a) b) c) d) e) f) g) h)
5e 5e 5e 5e 5e 5e 5e 5e
a e b forem pares, entao a + b e par. a e b forem impares, entao a + be impar. a for par e b for fmpar, entao a + b e fmpar. a for par e b for fmpar, entao a . be impar. a e fmpar, entao a2 sera impar. b 2 e par, entao b e par. a e b forem primos entre si, 0 m.m.c. de a e be 0 produto a . b. a e b forem primos entre si, 0 m.d.c. de a e be 1.
2. Responda: a) Qual 0 maior numero natural de dois algarismos cUjo quadrado tern tres algarismos? b) Escrevendo todos os numeros naturais de 1 a 100, quantas vezes escrevemos 0 algarismo 3? 3. Usando quatro vezes 0 algarismo 3, • 0 • 0
e posslvel escrever alguns numerais naturais.
Usando quatro vezes,
0
Por exemplo:
numero 2 ---> (3 : 3) + (3 : 3); • 0 numero 3 ---> 3 . (3 - 3) + 3.
numero zero ---> 33 - 33; numero 1 ---> 33 : 33;
• 0
algarismo 4, escreva todos os numerais naturais de 1 a 10.
3. Conjunto dos numeros inteiros o conjunto dos numeros inteiros e representado pela !etra 7L. 7L Representemos
= {... , -3, 0
-2, -1,0,1,2,3, ... 1
conjunto dos nLlmeros inteiros na reta numerada: -2
-3
o
-I
x
2
Do conjunto dos nllmeros inteiros merecem destaque os seguintes subconjuntos: a) conjunto dos nLlmeros inteiros nao-nulos: (... , -3, -2, -1, 1,2,3, ... j
7L* = 7L - (01 -4
-3
-2
-I
(xE7L1x:;i:01
2
4
x
b) conjunto dos numeros inteiros nao-positivos: 7L-
= {... , -3, -2, -1, OJ =
-4
-3
-2
Ix E 7L I x:OS;
01
o
-I
x
c) conjunto dos nLuneros inteiros negativos: 7L~=
I... , -3,
-4
-3
-2
-2, -lj
=
IxE 7L1 x< OJ
-I
x
d) conjunto dos nLlmeros inteiros nao-negativos: 7L+ = 10,1,2,3, ... j = IN = Ix E 7L I x;:;': OJ
o
24
2
4
x
e) conjunto dos numeros inteiros positivos:
1'.t = {1,2, 3,4, ... J = fN* = {xE 1'.1 x>
01 x
4
2
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
4. Usando os sfmbolos E, ri, C ou :::J, estabelec;;a relac;;ao entre: a) 3 e IN
e) 0 e IN
b) 3 e 7L c) -3elN d) -3 e 7L
f) 0 e 7L* g) Oe7L+ h) 0 e 7L-
i) IN e 7L j)7L_e7L I) 7L* e 7L*_ m) 7L*+ e 7L
5. Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos: a) {x E 7L Ix > -3} b) {xE7Llx~ 2} c) {x E 7L* 1-3 < x < 3} d) {x E 7L+ Ix ~ 4}
e) {x E 7L 1-2 ~ x ~ 2} f) {xE7L*_lx>-2} g) {x E 7L+ Ix < -3} h) {x E L 1-3 < x < 4}
6. Classifique cada sentenc;;a como verdadeira (V) ou falsa (F). a) x 2
b) x 2
c) 3x E 7L I 2x
= 36", x = 6 (x E IN) = 36", x = -6 (x E 7L)
= -5 =0
d) "Ix E 7L '" Ox
4. Conjuntos dos numeros racionais Chama-se nfunero racional todo nllmero que pode ser colocado na forma de razao P q' com p E 1'. e q E 1'.*. Observa~ao: todo numero racional pode ser representado por uma fra~ao (razao) em que numerador e 0 denominador sao primos entre si, ou seja, por uma fra~ao irredutivel. Assim sendo:
• Todo numero inteiro Veja os exemplos: a)
°e
b) - 3 c) 5
e racional.
racional, pois pode ser colocado na forma
1
e racional, pois pode ser colocado na forma ~3 .
e racional, pois pode ser colocado na forma
• Todo numero decimal exato Veja os exemplos: a) 0,5
° 5 1
e racional.
e racional, pois pode ser colocado na forma
b) 2,21
e racional, pois pode ser colocado na forma 25
5 10 221 100
0
• Todo numero decimal peri6dico Veja as exemplos:
e racional.
b) 3,444...
a) 0,444 ...
d) 0,131 313 ...
c) 0,3444
e) -0,21313 ...
Mostremos que as exemplos dadas podem ser colocados na forma : ' com q oF O. a) 0,444 ... Chamando 0,444
de x, podemos escrever:
CD
x = 0,444
Multiplicando as dais membros par 10, temos:
lOx
@ @, vern:
= 4,444...
Subtraindo
0
de
lOx - x = 4,444 ... - 0,444 ... Logo, 0,444 ...
=
b) 3,444... Temos: 3,444...
94
~
9x = 4
~
x =
3
9
e racional.
Portanto
4 =
4
+ 0,444...
=
3
+
31
9
9
c) 0,3444 ...
x
= 0,3444...
lOx = 3,444... 100x
=
34,444...
@-@
CD @ @
= 100x -
lOx
=34,444 ... -
3,444... ~ 90x
=31
~ x
=
13 ~ x
=
31 90
d) 0,131313 ...
CD 100x 13,1313 ... ® ® - CD= 100x - x =13,1313 ... x = 0,1313... =
e) -0,21313 ... x = -0,21313 . lOx = -2,131 3
~ lOx
= -
2 _
~
13
99
0,1313 ... ~ 99x
lOx = -2 - 0,131 3...
~ lOx
=
-211
~
99
=
13
99
~
-211 x=-990
Conhecidos as numeros racionais e indicando par
=
{x Ix
=
: '
em que p E
26
71..
e qE
71..
*}
Vamos destacar as seguintes subconjuntos de <0:
<0* = Ix E <0- = Ix E
<01 x *<0 I x ~ <01 x < <01 x ~ <01 x>
01-> conjunto dos numeros racionais nao-nulos; 0) -> conjunto dos numeros racionais nao-positivos; 01-> conjunto dos numeros racionais negativos; OJ -> conjunto dos nllmeros racionais nao-negativos; 01-> conjunto dos nllmeros racionais positivos.
Representemos na reta numerada, onde ja se encontram fixados as numeros inteiros, as ., . . -3 -1 1 1 7 segull1tes numeros raClOnalS: ~, 4 ' 3' 2 e 3'
•
-3
-2
•
-I
2
-I
4"
I
••
I
•
0
1 I
2
7
32
x
3
Com'em observar que dados as numeros raClonaIS a e b sempre existira entre eles , a+b , tam b'em raClona. . 1 A SSlm, . a numero par exemp 10, entre - 1 e -1 2 4 2 3 _
. , eXlste a numero
~+~ 4
8
2
2
•3
1
4"
x
1
2
8'
EXERCiclOS PROPOSTOS 7. Identifique as senten<;:as verdadeiras. a) -5 E IN
e)
3 5
E
i) 0,12 E '0
b) -5 E lL
f)
3 5
ElL
j) 0,1222... E '0
c) -5 E '0
g)
3 5
E'O
I) lL E '0
3 5
E '0*
d)
°
h)
E '0
8. Escreva na forma
-
m) '0:
u '0- = '0
~ ,q =1= 0, com p e q primos entre si:
a) 0,5
d) 0,55 e) 0,55 .. f) 0,355 .
b) 2,4 c) -0,25
g) 2,1 h) 2,111 ... i) 2,3111...
9. Calcule a valor das express5es: a) 2-
1
+
~
c)
1- 3,15' 0,2 0,3737 ... 2
a - ab 2 1 d) - - - - , para a = -1 e b = - 2a - 3b 2
27
5. Conjunto dos numeros irracionais a fato de sempre existir, entre dois numeros racionais, urn outro numero racional nao significa que os numeros racionais preencham completamente os pontos da reta, 0 que vale dizer que existem pontos da reta que nao representam nluneros racionais. A esses pontos associamos os nfuneros irracionais. Urn exemplo disso e 0 nllmero ,2, que nao e racional, e, no entanto, existe urn ponto da reta que
0
representa, conforme podemos verificar pela figura: I
!1f----------,--+I-------..
o De acordo com
0
1,[2
teorema de Pitagoras: x2 = 1
Mostremos que De fato, se tal que
2
E
+ 1 ~ x 2 = 2 ~ x = "\2
nao e nllmero racional.
,'2 fosse racional, entao deveriam existir dois numeros p e q primos entre si,
-v2 = L, q
ou seja, p
=
E
q.
Elevando ambos os membros ao quadrado, teremos: p2 = 2 q2. Logo, p2 e par e conseqiientemente p e par, pois, se p fosse impar, p2 tambem seria impar. Fazendo p = 2k (k E /l), teremos: 4k 2 = 2 q2 ~ 2k 2 = q2. Logo, q2 e par e entao q e par. a fato de p e q serem pares nos mostra que a hip6tese de p e q serem primos entre si e falsa. Logo, nao existe 0 numero racional : ,tal que ,12 = L. Portanto ,0: e numero irra. al q cIOn . De urn modo geral, toda raiz nao-exata assim como todo nfunero decimal nao-exato e nao-peri6dico sao irracionais. Considere como exemplo 0 numero n = 0,151617 .... Nele, ve-se claramente que a parte decimal tern uma infinidade de elementos formados por pares de numeros sucessivos. Assim, desejando expressar n com mais casas decimais, teriamos: n = 0,15161718 . n = 0,1516171819 etc. Esse numero decimal nao e peri6dico nem exato. Ele e urn exemplo de numero irracional. Vejamos outros exemplos de numeros irracionais: a) Escritos na forma decimal: 0,373 373 337... ; 0,412 413 414 ... ; 2,121 221 222 ... ; 1T = 3,14159 ... b) Escritos na forma de radical:
.J5; -
3;
Vi; V5; 2 E; tfi3.
3 convem lembrar que todo radical pode ser escrito na forma de potencia, como nos exemplos: Observa~o:
28
Racionaliza~ao
de denominadores
Quando 0 denominador de uma fra~ao for um numero irracional escrito na forma de radical, e POSSIVe! racionaliza-Io multiplicando 0 numerador e 0 denominador por um numero conveniente, como nos exemplos: a)
_ 5,,3
=
5 \3
_ 5-\3 --3-
- ,32 2(4 + ,f5)
EXERCICIOS PROPOSTOS 10. Classifique cada um dos seguintes numeros em racional ou irracional. 3
5 2
d) 0,211...
g) ,8
b) 3,6
e) 0,212212221 ...
h)
"\0,25
c)
f)
~8
i)
~25
~
; 0,050050005 ... ;
a)
j) 2 4 1
"\3
11. Dado 0 conjunto {-3,1; -2;
I) 4 2 m) 0,323 334 35 ...
"\1; "\"2}, dest?que 0 subconjunto dos numeros
racionais.
12. Assinale V para as senten<;:as verdadeiras e F para as falsas. Se 8 e b sao dois numeros irracionais, entao: a) b) c) d) e) f)
8 8
+ be um numero irracional. + b pode ser um numero racional.
8' 8'
be racional. be irracional.
existem valores de 8 e b de modo que 8 . be racional. 2 8 pode ser um numero racional.
13. Racionalize 0 denominador das fra<;:6es: a)
b)
5
c)
\~
2
e)
d)
~
\13
2"\3 3"\2
"\2 - 1 2
6
f)
"\6 - "\2
2
+ "\ 15
14. Efetue:
+ 2)2
a)
("\5
b)
("\5 - 2)("\5
c) (2"\5 - 3,2 )2
+ 2)
d) \2(2"\2 - 3\3)
6. Conjunto dos numeros reais Chama-se nu.mero real todo nllmero racional ou irracional, ou seja, 0 conjllnto dos numeros reais (IR) e a rellniao do conjllnto dos numeros racionais (
29
o diagrama ao lado nos mostra a relaS;ao entre os conjuntos estudados. Observe que: r-------------
IR - - - - - - ,
A imagem de todos os nllmeros racionais, juntamente com a imagem de todos os nllmeros irracionais, preenche completameme a reta numerada, chamada agora reta real. Vamos construir a reta real e representarmos nela alguns de seus pontos:
-3
- 2,6
J. /. d------l--\
---+1--+-1
---+1---+-1
-2
-..fi
-I
-1
2"
0
I
l..fi
"4
..f3
-+---1- - + - - 1-----+-+1----'. 2
2,55
1T
x
EXERCICIOS PROPOSTOS 15. Identifique as sentenc;:as verdadeiras.
a)
~E 7L
c)
~E
b)
~E
d)
~E
4
4
4
4
16. Resolva a equac;:ao 2x 2 + 3x - 2
.J5
E 7L
g)
.J5
E
f)
.J5
E
h)
.J5
E IR
= 0 de acordo com 0
0
conjunto universe dado.
c) U = 0 d) U = IR
a) U = 7L b) U =
17. Resolva a equac;:ao ~ - 4x + 2 a) U = 7L
IR
e)
= 0, tendo como conjunto universe:
b) U =
c) U =
0
d) U = IR
7.lntervalos Os subconjumos dos nllmeros reais determinados por desigualdades sao chamados intervalos. Vamos estudar alguns desses intervalos. Para isso vamos considerar dois nllmeros reais II e b, com a < h. • Intervalo fechado: e qualquer conjunto do tipo Ix E IR Ia ~ x ~ hI, geralmente indicado por [a, b). Entao: [a, h) = Ix E IR la ~ x ~ hJ. Os nllmeros reais a e h sao chamados extremos do intervalo.
30
Representas:ao na reta:
•a Exemplo o intervalo fechado de extremos -
•b
~
e2
e escrito
x
[ - ; , 2] =
{~ x E IR
1-;
~
x
~
J
2
e representado na reta numerada assim:
•2
•
x
• Intervalo aberto: e qualquer conjunto do tipo lx E IR Ia < x < b}, geralmente indicado por ]a, h[ ou por (a, b). Entao: ]a, b[ = Ix E IR [a < x < b}. Representas:ao na reta: o
o a
x
b
Observa~o: a bolinha vazia indica que 0 extremo nao pertence ao intervalo e a bolinha cheia indica que 0 extremo pertence ao intervalo.
Exemplo o intervalo aberto de extremos ]- 5, -
2[
= Ix
E IR
1-"/5
-.J5
e -
-fi e escrito
< x < - -fil e representad.o na reta numerada assim: o -../2
o
x
• Intervalo fechado a esquerda e aberto a direita: e qualquer conjunto do tipo Ix E IR la ~ x < b}, indicado por [a, b[ ou por [a, b). Entao: [a, b[ = Ix E IR[ a ~ x < h}. Representas:ao na reta:
-----•• a
Exemplo o intervalo fechado [3,
------_O~---___i.~
x
b
a esquerda e aberto a direita de extremos 3 e
10
e escrito
.,JlO[ = Ix E IR 1 3 ~ x < .,JlO I e representado na reta numerada assim:
-----•. 3
-------O~---___i.~ x
.,JTO
• Intervalo aberto a esquerda e fechado a direita: e qualquer conjunto do tipo Ix E IR la < x ~ b}, indicado por ]a, b] ou por (a) h]. Entao: ]a, b] = Ix E IR la < x ~ b]. Representas:ao na reta:
•b
o a
31
x
Exemplo o intervalo aberto a esquerda e fechado a direita de extremos - 5 e 5 e escrito ]-5,5] = (x E IR 1-5 < x ~ 5) e representado na reta numerada assim:
•
o
-5
x
Sendo a um nllmero real, tambem sao intervalos os seguintes subconjul1tos:
= Ix E IR Ix;, a)
• a
•
]-co, a] = Ix E IR Ix ~ a)
•
•
[a, +co[
a
= Ix E IR Ix > al
0
]-co, a[ = Ix E IR Ix < al
0
]a, +co[
x
x
• •
a
x
a
x
•
]-co, +co[ = IR Observa~o:
x
os simbolos -co e +co sao lidos, respectivamente, menos infinito e mais infinito.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
18. Represente na reta real os intervalos: a) [-3,5]
d) ]-x, 2]
g) (XE 1R1-3 < X< 3)
b) ]-4,2,5]
e) ]3, x[
h) (XE IRlx;;;. 1)
c) ]-2,2[
f)
19. Escreva em cada caso a)
0
0
I
0
•
d)
•
e)
•
f)
x
• -6
i) (XE IRI X<
\10 0
x
x
-\2
x
•
•5
x
8'
c) ]-6, 8]?
0
-10
e) ]-8, 8[? f) ]0, 10[?
d) [-5,5]?
21. Dado 0 conjunto [-5, 5], responda: a) Quantos sao os numeros naturais desse intervalo? b) Quantos sao os numeros inteiros desse intervalo? c) Quantos sao os numeros reais desse intervalo?
32
•
0
7.5
20. Quantos sao os numeros inteiros que pertencem ao intervalo: a) [-10,20]? b) [2, 15[?
,2)
intervalo real representado nas retas:
•3
•
-4
b)
c)
(xE 1R1-2';:;: x,;:;: 2)
•
10
• x
8.
Opera~oes
com intervalos
Vamos estudar a interseG;ao e a reuniao de intervalos.
I ntersec~ao Vejamos tres exemplos da intersecr;ao de intervalos.
Exemplo 1 ]-2, 4[ n [2,6] Graficamente, temos:
-2
2
4
-2 < x < 4 ------9-----,;;---
6
---------o.~
2~x<4
Logo, ]-2, 4[
n
-Solu~
[2,6]
=
Exemplo 2 ]-2,4] n [4, +co[ Graficamente, temos:
[2,4[.
-2 <
x~
4
-2
4
---------+------l~
x~4
4 Logo, ]-2,4]
n
[4, +co[
Exemplo 3 ]-2,4] n ]5, 6[ Graficamente, temos:
4
•
= 14).
-2 < x
~
4
-2>-
4
-----SOlu~
....:,5-~6---. .
5
A intersecr;ao
e0
conjunto vazio. Logo, ]-2,4]
n ]5, 6[ =
0.
Observa~o: os exemplos acima nos mostram que a intersec~o de dois intervalos pode ser urn intervalo, urn conjunto unitmo ou 0 conjunto vazio.
33
EXERCICIO PROPOSTO 22. Determine 0 intervalo correspondente
_
a operagao indicada: d) ]-00,2]
a) [-5,4]n[-2,6] b) ]-1,1]
n
n [-2,
e) [-\3, 5]
[1, 3]
n [2, \ 50 ]
f) (XE IRlx,,;; 3)
c) ]-4, 4[ n ]4, 6[
x[
n
(XE IRlx> -3)
Reuniao Vejamos tres exemplos da reuniao de dois intervalos.
Exemplo 1 ]-2,3] U ]2, 4[ Graficamente, temos:
-2 < x
~
234
-2
3
2
=
Exemplo 2 ]-1,4] U [4,6] Graficamente, temos:
--6----~...:..-<:J>-----____... -2 4 -----Snlu~o
]-2,4[.
-1
-I ---) ----
-1
----<6-----.....;.--t----...
4 _ _-,--6_ _......:.~
-I
u~
Logo, ]-1,4] U [4,6]
=
]-1,6].
Exemplo 3 [1,4] U [5, 7] Graficamente, temos:
1
~
x
~
5
x
~
7
(x E IR 11
~
x
4 ou 5
~
7
•
+
•
•
•
7
-Sol~
Logo, [1,4] U [5,7]
=
~
4 ou 5
34
~
x
~
71.
EXERCiclO PROPOSTO 23. Determine 0 intervalo correspondente
a operayao indicada:
a) [-10,2] U [-3, 5]
d) ]-00, 3] U [1, 4] e) (x E IR Ix < 3) U (3) f) (x E IR Ix;;. 2) U [-2, 2[
b) ]-6, 4[ U [1, 6[ c) ]-oo,3]U[-1,cc[
9. Valor absoluto ou modulo de um numero Ao representarmos os numeros reais na reta, verificamos que: 1 Q) Para todo numero real x existe urn numero real -x, chamado oposto ou simerrico de x, tal que x + (-x) = 0.
-3
-2
-I
o
2
x
Exemplos a) 0 oposto de +3 e -(+3) = -3. b) 0 oposto de - 2 e - (- 2) = 2. c) 0 oposto de zero e zero. 2 Q ) Os pontos que representam dois numeros opostos situam-se a uma mesma distancia do ponto que representa 0 zero. Essa distancia e chamada valor absoluto ou modulo do numero. -4
-3
-2
-I
o
2 •
4 unidades
4
x
4 unidades
Assim, os modulos de -4 e de +4 sao iguai~ a 4. Indicando 0 modulo do numero real x pOl' Ixl (le-se: modulo de x), temos, para plo anterior: 1-41 = 4 e 1+41 = 4
0
exem-
Observando que 0 modulo de urn numero real positivo ou nulo e 0 proprio numero, e que 0 modulo de urn numero negativo e 0 seu oposto, podemos definir: Se x;;': 0, entao Ixl = x. Se x < 0, entao Ixl = -x. Logo, se x = -4, temos: Ixl = 1-41 = -(-4) = 4; sex= O,temos:lxl =101 = 0; se x = +4, temos: Ixl = 1+41 = 4.
EXERCiclOS PROPOSTOS 24. Calcule
0
_
valor das express6es:
a) 2'1-101-4'1-21
d)
b) 110 - 5 . 31 -12' 9 - 101
e)
1-431.1 ~2 1.1-31 I 1- 10 1. ( -5 ) 10
c) 1-12+3'1-511
35
3
25. Quais os valores de x para os quais Ix I = 107 26. Quais os valores naturais de x que verifjeam a desigualdade Ix I , ; ; 57 27. Quais os valores de x E 7L que verifiearn a desigualdade
Ixl , ; ; 57
28. Quais os valores reais de x que verifiearn a desigualdade Ix I ,,;;; 57 29. Reeonhega quais das seguintes sentengas sao verdadeiras. a) Se x E JR, entao
_
~
= 12
·\X
b) Se x E JR+, entao ,x e) Se
X.
=
x.
x E JR, entao .J;2 = Ixl·
d) Se Ixl < IYI, entao x < y. e) Se Ixl = IYI, entao x = y. f) Sex
g) Se x e Y sao numeros reais positivos ex> Y, entao Ix I > IY I. h) Se x e Y sao nurneros reais negativos e x < Y, entao Ix I > IYI. i) Se x e Y sao nurneros reais ex> Y, entao Ixl > IYI.
TUNEL DOTEMPO Os sinais das opera~oes aritmeticas sao hoje de ficil idene aplica~ao. No entanto nem sempre foi assim. Antigamente os matematicos costumavam indicar essas opera~oes usando palavras, como, por exemplo, os termos latinos plus, para indicar "mais", e minus, para indicar "menos". o monge alemao Jordanus Nemorarius, por volta do ana 1200, empregou os slmbolos p e m para indicar as opera~oes de adi~ao e subtra~ao. William Oughtred. Outros matematicos, em diferentes regioes, usavan1 Slmbolos distintos para indicar uma mesma opera~ao. 1sso e bastante compreenslvel devido .a dificuldade de comunicac;:ao naqueles tempos. Somente no inicio do seculo XVI, 0 grande mestre alemao Michael Stifel (1487-1567) comec;:ou a empregar os slmbolos + e - como sinais de operac;:oes da forma usada atualmente. o sinal X, para indicar a multiplicac;:ao, foi utilizado pela primeira vez pelo ingles William Oughtred (1574-1660), em 1631. Nesse mesmo ano, outro ingles, Thomas Harriot (1560-1621), utiliza-se do ponto' para indicar a mesma operac;:ao e 0 frances Rene Descartes (1596-1650) escreve simplesmente ab para indicar a multiplicac;:ao de a por b. Deve-se tambem a Descartes a atual indica~ao de uma potencia. o sinal :, para representar a divisao, apareceu em 1657, tambem atribuldo tifica~ao
r,
a Oughtred, e 0 sinal para indicar radical, surgiu em 1526, no livro eoss, do alemao Christoph Rudolff(1500-1545). Tantos foram os slmbolos apresentados para indicar as operac;:oes aritmeticas que muitos seculos foram necessarios ate chegarmos a uma simbologia universal, adotada nos dias de hoje.
36
RELEMBRANDO CONCEITOS Conjunto dos nllmeros naturais
rN
=
10, 1,2, 3, ... 1
Conjunto dos numeros inteiros 7l. = 1... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... J
Conjunto dos numeros racionais
{xl x
=
=
:
'
com p E 7l. e q E
7l.*}
Sao numeros racionais: • • • •
todo todo todo todo
nllmero nllmero numero nllmero
inteiro; fraciomlrio; decimal exato; decimal peri6dico.
Conjunto dos numeros irracionais Sao numeros irracionais: • todo numero decimal nao-exato e nao-peri6dico; • toda raiz nao-exata. Conjunto dos numeros reais
x xe racional au xe irracional)
IR = 1 I Intervalos reais Intervalo Intervalo Intervalo Intervalo
fechado [a, b] aberto ]a, b[ aberto a direita [a, b[ aberto a esquerda ] a, b]
EXERCICIOS COMPLEMENTARES 30. Escreva na forma fracionaria: a) 0,25 b) 0,2525 ...
e) 1,222 ... 1,022 2 ...
c) 0,2555 ... d) 1,2
f)
31. Escreva na forma de radical: 3
32. Calcule
0
42
e)
(~
r
f)
(2 +
-!5l
valor das potencias: c)
4-2
1
b) 64 3
d) 9 3
c)
1
a) 5-2
1
1
3
b) 6 2
a) 58
d) (0,2r
2
37
g)
(-f2i
33. Calcule
0 valor das express6es:
a)
~1-(~ Y
b)
~1-0,555 ...
c)
8-} ; (
~
e) (5 +.J2) . (5-.J2) + (5 +.J2/ f)
y2 .(f )+ t
d) 8 0 ,666... + 9 0 ,5.
(
_.
35. Dados A
15 .
~8-
15
cu=;r -(+r
g)
)-1
34. Sendo a e b numeros reais nao-nulos, qual a expressao.
~8+
0 conjunto de valores que podemos obter para
a + b ? TaT TbT .
= [-4,5], B = [-2,
a) AU B
6[ e C
determine:
c) (A n C) u B
b)An B
36. Sabendo que x 2 = 91 4 e y3
= [-3,8],
=
d) (A
n
B)
n
e) A - B
C
91 6 , calcule (xy) 10, com x> O· e y> O.
p2 + 3 37. Determine os tres menores valores naturais de p, de modo que a expressao - - - represente um p- 2 numero inteiro. 38. (EsPCEx) Simplifique: a)
(~4+f7 +~4_f7)2
b) 3,818 1... : 2,4545 ...
39. (UFSC) Dados os conjuntos A = {x E iZ' 11 < x,,;; 17), B = {x E IN Ixe imparl e C determine a soma dos elementos que formam 0 conjunto (A n B) - C.
= {x E
IR 19,,;; x,,;; 18j,
40. (Fuvest-SP) Encontre todos os conjuntos de tres numeros inteiros consecutivos cuja soma e igual ao seu produto.
TESTES
_
41. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Efetuando-se 0,35·3 - 0,648: 0,2, obtem-se: a) -31,25
b) -2,19
42. (UFCE) Se P = 8· a) 63
c) 0,726
H- ~
e q = 3m - 2·
b) 65
para para para para para
todo todo todo todo todo
a, a, a, a, a,
b E bE bE bE bE
~ 362
,entao 2.J3(p
c) 67
43. (U. F. Fluminense-RJ) A desigualdade a) b) c) d) e)
d) 2,01
a+b a . b < - - - e verdadeira: 2
*' *'
IR+ tal que a b. IR tal que a b, a . b> O. IR tal que a . b < O. IR+ tal que a = b. IR tal que a> b.
38
e) 7,26
+ q)
e igual a:
d) 69
RELEMBRANDO CONCEITOS
_
Conjunto dos nluneros naturais
IN
=
{O, 1,2,3, ... 1
Conjunto dos numeros inteiros
7L = {... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... j Conjunto dos numeros racionais
~
=
GI = : ' x
com
p E 7L e
q E 7L*}
Sao numeros racionais: • • • •
todo todo todo todo
numero numero numero nllmero
inteiro; fracionario; decimal exato; decimal peri6dico.
Conjunto dos numeros irracionais Sao numeros irracionais: • todo numero decimal nao-exato e nao-peri6dico; • toda raiz nao-exata. Conjunto dos numeros reais IR = {x Ix
e racional ou x e irracional j
Intervalos reais Intervalo Intervalo Intervalo Intervalo
fechado [a, b] aberto la, b[ aberto a direita [a, b[ aberto a esquerda la, b]
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 30. Escreva na forma fracionaria: a) 0,25 b) 0,2525 ...
e) 1,222... f) 1,022 2 ...
c) 0,2555 ... d) 1,2
31. Escreva na forma de radical: 3
32. Calcule
0
c)
42
e)
(~
f)
(2
valor das potencias: 1
a) 5-2
c)
1
1
3
b) 6 2
a) 58
4 -2
d) 9 3
r
1
b) 64 3
2
d) (0,2r
37
+ "\5)0
33. Calcule 0 valor das expressoes: a)
~1-(~ Y
b)
~1-0,555 ...
c)
8+ : (
d) 80,666...
e) (5 f)
r +)+ +r
~
cw;=;r -( ~ r
g)
1
+ 90,5 . (
34. Sendo a e b numeros reais nao-nulos, qual
)2
~8 + f15 . ~8 - f15
2
• (
+ 5 ) . (5-5) + (5 + 2
0 conjunto de valores que podemos obter para
_. jaf a + TbT b ? .
a expressao.
35. Dados A = [-4,5], B = [-2, 6[ e C = [-3,8), determine: b)An B
a) AU B
c) (A
n C) U B
d) (A
n
B)
n
e) A - B
C
36. Sabendo que x 2 = 91 4 e y3 = 91 6, calcule (xy) 10, com x> O· e y> O.
p2 + 3 37. Determine os tn3s menores valores naturais de p, de modo que a expressao - - - represente um p- 2 numero inteiro. 38. (EsPCEx) Simplifique: a)
(~4+
7
+~4--fi)2
b) 3,818 1 ... : 2,454 5 ...
39. (UFSC) Dados os conjuntos A = {XE 1:11 < x,,;;; 17), B = {XE IN Ixe imparl e C = {XE 1R19,,;;; x,,;;; 18}, determine a soma dos elementos que formam 0 conjunto (A
n
B) - C.
40. (Fuvest-SP) Encontre todos os conjuntos de tres numeros inteiros consecutivos cuja soma e igual ao seu produto.
TESTES
_
41. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Efetuando-se 0,35' 3 - 0,648 : 0,2, obtem-se: a) -31,25
b) -2,19
42. (UFCE) Se P = 8·
3
4
c) 0,726
_ -J12
e q
2 b) 65
a) 63
para para para para para
todo todo todo todo todo
a, a, a, a, a,
b E bE bE bE bE
,1\ 326
,entao 2.J3(p
c) 67
43. (U. F. Fluminense-RJ) A desigualdade a) b) c) d) e)
= 3m - 2·
d) 2,01
~
<
'* '*
IR+ tal que a b. IR tal que a b, a . b > O. IR tal que a . b < O. IR+ tal que a = b. IR tal que a > b.
38
~ 2
e) 7,26
+ q)
e igual a:
d) 69
e verdadeira:
4-J3
44. (PUC-MG) Se a = - - e b =
,"2
a)
b)
16 - 3 16 + 3
_
3
~
entao a - b
,3 - ,2
e igual a:
-J3 --J2 "/3 + \2
c)
d)
* 0, e a * b, a expressao
45. (Unifor-CE) Se a e b sao numeros reais positivos, tais que a . b
a- 1 -b- 1
- - - - - e equivalente a: 1
...1. 2
a
- b
-2
a)
~+~
c)
b)
.fa + ,b
d)
a
b
46. (FEI-SP) A frayao
a) 0
a2
+ ab + b 2
'
-Ja+.Jb a b
e)
-Ja + ,iJ b+a
,8 +,b ab
quando a = 93 e b = 92,
e igual a: e)
d) 1
b) 185
185
2
47. (UFSE) Se
A
A = {XIX = ~ e n EIN}
e
B= {X IX=
__ n_ e
n+2
n
EIN-} ,entao 0conjunto
n B e igual a: 1
1
a) 0
d)
2'3
b) ~:
e)
{X!x=-_1- enE }
c)
1
2
48. (Fuvest-SP) Os numeros possivel de ~ y
a)
n+2
1 6
X
e y sao tais que 5 ,,:;;
b)
<0
10 e 20 ,,:;; Y ,,:;; 30. 0 maior valor
e: 1 4
c) -
c) 0 < ab d) ab> 1
1
3
d)
1 2
e) 1
< a < 0 < b < 1. Entao:
49. (Osec-SP) Os numeros a e b sao reais e -1 a) -1 < ab b) ab<-1
X ,,:;;
e) b < ab < 1
50. (Vunesp) Sejam x e y dois numeros reais nao-nulos e distintos entre si. Das alternativas abaixo, a unica necessariamente verdadeira
e:
a) -x < y b) x< x + y
e) x 2 - 2xy
c) y< xy
d) x
2
* y2 39
+ y2 > 0
51. (F. Santo Andre-SP) Para a
=-
+ +, e b
=
0 valor numerico da expressao
1 -b
2
a +--
e:
_ _~--"a'___;__
b2+~ a
a)
39 52
b)
4
c)
5
~
d) 57 52
44
e)
~ 5
52. Sejam os numeros reais a, bee. a) b) c) d) e)
Se Se Se Se Se
a> a> a< a< a>
be be be be be
ae > be, ae> be, ae < be, ae > be, ae < be,
entao entao entao entao entao
e= e;;< e< e< e<
1. 2. 0. 0. -1.
53. (PUC-MG) Sendo x real positivo e y real negativo, a afirmativa correta e: ~
a)
~X2 + y2 =x+y
d)
b)
~x 17 =y
e)
~>
-
x Y
x2 + y2 =y-x
X2 .y2 = x·y
c)
54. (UFPE) Qual das afirmativas abaixo nao e verdadeira, a respeito do numero natural
19·18·17·16·15·14·13·12 -------------? 8·7·6·5·4·3·2·1 a) b) c) d) e)
E par. E multiplo inteiro de 3. E multiplo inteiro de 7. E multiplo inteiro de 13. E multiplo inteiro de 19.
55. (Cesgranrio) A, Bee tentam adivinhar um numero selecionado ao acaso no conjunto (1, 2, ... , 100}. Ganha um premio quem mais se aproximar do numero selecionado. Se A decidiu-se por 33 e B escolheu 75, qual a melhor escolha que C pode fazer? a) 16
b) 32
c) 48
56. (UFPE) Assinale a afirmativa correta. a)
3 +~
---,,~-=_~
3 - ,2
~. . .. I - 2,6 e um numero IrraClona .
b) 0,6% de 3+ e igual a 0,2.
c)
0,178 178 178 0,50505
e um numero real irracional.
40
d) 54
e) 76
57. (Unifor-CE) Se a e b sao numeros reais positivos, a expressao
(a + 2a
+. ++ b
b) . (a - 2a
+. ++ b
b) e equivalente a:
a) (a + b)2 b) (a - b)2
58. (U. F. Santa Maria-RS) Quando se multiplica um numero inteiro N, estritamente positivo, por (0,02)2, esse numero N fica: a) b) c) d) e)
dividido por quatro milesimos. multiplicado por quatro centesimos. diminufdo de 2 500 unidades. multiplicado por 2 500. dividido por 2 500.
59. (Osec-SP) Dados os numeros reais a e b tais que 0 < a < b, entao e sempre verdadeiro que:
a)
~<~ b 2b
d)
~<~ a b
b)
~<~ a b
e)
~<~ a b
c)
2 a
60. (UnB-DF) Sabendo que x e y sao grandezas que tornam verdadeira a afirma<;:ao "se x y < 0", pode concluir-se que:
"*
2, entao y;;. O. a) se x b) sey= -1,entaox=2. c) se y = 1 000, entao x 2. d) se x = 2, entao y O.
"*
"*
41
=
2, entao
Capitulo
Func;6es I. Introdu(:ao o conceito de fill1~ao, urn dos mais importantes da matematica, surge toda vez que procuramos estabelecer uma rela~ao entre duas grandezas variaveis. Assim, se considerarmos urn tanque com 1 200 e de capacidade e uma torneira que despeja nele 30 e de agua por minuto, 0 volume de agua despejada dependera do tempo que a torneira ficar aberta: • apos • apos • apos • apos • apos te cheio.
1 min, sera de 30 e; 2 min, sera de 2 . 30 .e = 60 e; 5 min, sera de 5 . 30 e = 150 e; 10 min, sera de 10 ' 30 e = 300 e; 40 min, sera de 40 ' 30 = 1200
e
e, momento em que 0
tanque ficanl totalmen-
Indicando 0 tempo (em minutos) por teo volume de agua '( em litros) por construir a seguinte tabela:
~"
podemos
Observe que as variaveis t e v se relacionam pela igualdade v = 30 ' t, com 0 ~ t ~ 40. Observe ainda que a cad a valor atribuido avariavel t encontramos urn unico valor para a variavel v. Essa situa~ao constitui urn exemplo de fun~ao. ela dizemos que v e fun~ao de t. A rela~ao v = 30t e chamada lei de associas:ao ou lei de formas:ao da funs:ao. o conceito de fun~ao nao se aplica somente em matematica, mas tambern no desenvolvimento de muitas teorias de varias ciencias. Vejamos outras situa~6es que sao exemplos de tun~6es: • 0 pre~o da taxa de agua a ser paga mensalmente e fun~ao da quantidade de agua consumida. • 0 tempo gasto por urn carro para percorrer determinada disrancia e fun~ao de sua velocidade. • 0 comprimento C de uma circunferencia e fun~ao de seu raio 1', definido pela lei:
C=2'1T'r • A area S de urn quadrado e lei que relaciona S com x e:
fun~ao
da medida de seu lado. Se x for a medida do lado, a
s= x ' x
ou S = x 2
42
y
=
• Os dados da tabela abaixo mostram urn inter-relacionamento entre y e x, dado pela lei: x + 3.
Vamos agora realizar urn estudo sobre fun~6es usando as isso necessitamos da no~ao de par ordenado.
no~6es
sobre conjuntos. Para
2. Par ordenado Ao escrevermos os elementos de urn conjunto, nos 0 fazemos sem a preocupa~ao com a ordem dos mesmos. Desse modo, {a, b, c) = {e, b, al. Se, porem, e dado urn conjunto com dois elementos men, onde necessariamente m deva ser 0 primeiro elemento e n 0 segundo, entao 0 conjunto desses elementos e chamado par ordenado e sera representado par (m, n). Os parenteses em substitui~ao as chaves indicam que a ordem dos elementos deve ser considerada. Assim, se a e b sao numeros reais, entao (a, b) e urn par ordenado de numeros reais, em que 0 primeiro elemento e a e 0 segundo elemento e b.
Propriedade Dois pares ordenados (a, b) e (e, d) sao iguais se e somente se a
I
(a, b) = (e, d)
a = e e b =' d
{=}
=
e e b = d.
I
Exemplos Vamos calcular a e b nos seguintes casos: a) (a, b) = (2,5) b) (a + 1,6) = (5, 2b) SolUfiio:
a) (a, b) = (2,5) De acordo com a propriedade anterior, temos: a = 2 e b = 5.
b) (a + 1,6) = (5, 2b) Temos: a + 1 = 5 ~ a
=
4 e 2b
=
6
~
b = 3.
Grafico cartesiano do par ordenado Todo par ordenado de numeros reais pode ser representado no plano cartesiano por urn ponto. Associandose ao par (a, b) 0 ponto P, cuja representa~ao no plano cartesiano e vista a seguir, dizemos que:
Y Eixo das ordenadas
b
__ P(a, b)
• P eo ponto de coordenadas a e b; • 0 numero a e chamado abscissa de P; • 0 numero b e chamado ordenada de P; • a origem do sistema e 0 ponto 0(0,0).
Eixo das abscissas
o
43
a
• x
Observe a representa<;:ao dos pontos:
a) M(2, 3) b) N( -1,4) c) P(-2, -1) d) Q(3, -2)
N·~I
e) R(4, 0) f) 5(-3,0) g) T(O, 1) h) V(O, -3)
1
T
S
R
-4 -3 -2 -I p.
0 -I
2
3
4
x
-2
~r EXERCiclOS PROPOSTOS 1. Estabeleya a lei que relaciona y com
_
x levando em conta os dados da seguinte tabela:
2. Determine a e b de modo que: a) (a + 5, b + 4) = (2a - 3, 8) b) (3a - 5, 2b + 1) = (3 - 5a, 5 - b)
c) (a 2 - 7a, 3b) = (-12, 5b -4) d) (a, 3a) = (2b - 1, 5b)
3. Represente num mesmo plano cartesiano os pontos A(3, 2),8(-2, -3), C(4, -1),0(0,3), E(-4, 0)
e F(-3, 4).
3. Produto cartesiano Dados os conjuntos A = 12, 3,4) e B = {3, 5), vamos formar todos os pares ordenados onde 0 primeiro elemento pertence a A e 0 segundo, a B. Temos: (2,3); (2, 5); (3, 3); (3, 5); (4,3); (4, 5). Ao conjunto de todos esses pares ordenados chamaremos produto cartesiano de A por B e 0 indicaremos por A X B. Podemos representar graficamente urn produto cartesiano indicando os pares ordenados por meio de flechas.
Portanto: A X B = 1(2,3); (2, 5); (3,3); (3, 5); (4, 3); (4,5)1
44
De urn modo geral: ~,e A e B sao conjuntos nao-vazios, chama-se produto cartesiano de A por B juno de todos os pares ordenados (x, y) em que x E A eyE B, isto e:
A XB
=
0
con-
{(x, y)1 x E A eyE Bl
Observas:ao: se A = 0 ou B = 0, entao A X B = 0. Vejamos algW1S exemplos. Exemplo 1 Dados A = (1, 3} e B
a) A
X
=
{2, 3,41, determinar:
b) B
B
X
=A
c) A 2
A
A
X
Solufao
Temos:
a) A X B = {(I, 2); (1, 3); (1, 4); (3,2); (3, 3); (3, 4)} b) B X A = {(2, 1); (2, 3); (3,1); (3, 3); (4,1); (4, 3)} c) A 2 = A X A = {(I, 1); (1, 3); (3,1); (3, 3)} Observe que
0
produto cartesiano nao
Exemplo 2 Dados A = {3, 4,5) e B
e comutativo, isto e, A
= {I, 21, determinar 0
X
B
*-
B X A.
numero de elementos de A
X
B.
Solufao
o esquema nos mostra que cada elemento de A da origem a dois pares ordenados. Como A tern 3 elementos, entao 0 numero de elementos de A X B e 3 . 2 = 6. De urn modo geral, se A tern m elementos e B tern n elementos, entio A
X
B ted m . n elementos.
EXERCiclOS PROPOSTOS 4. Dados os conjuntos A a) A x B
=
{-2, 0, 2} e B
=
_
{-1, 1}, determine: c) A 2
b) B x A
d) B 2
5. Dados A = {5, 6} e B = {3, 4, 5, 6}, determine 0 numero de elementos de:
a) A x B
b) A x A
6. Sejam A e B dois conjuntos tais que n(A)
= 10 e n(B) = 3. Ache
7. Sendo A e B dois conjuntos, calcule x nos seguintes casos: a) b) c) d)
n(A) n(A) n(A) n(A)
d) B 2
c) B x A
= 6, n(B) = x + 5 e n(A x B) = 54 = 3, n(B) = 7 e n(A x B) = 5x + 1 = x, n(B) = x - 2 e n(A x B) = 48 = 2x - 1, n(B) = x + 3 e n(A x B) =
8x - 1
45
n(A x B).
Exemplo 3 Representar no plano cartesiano os produtos A
a)A= b) A = c) A = d) A =
{1,3,5}eB= {2,31 [1,4] e B = [1, 3[ {21 e B = [-3,3] Ix E IRI x;:' I} e B = Iy E
X
B nos seguintes casos:
IRI y ;3 3}
Solurao a)A= {1,3,5} e B= {2,31 o grafico de A X B e formado pOl' todos os pontos cuja abscissa e elemento de A e cuja ordenada e elemento de B. Logo, A X B = = {(I, 2); (1, 3); (3,2); (3, 3); (5, 2); (5, 3)). Colocando esses pares ordenados no plano cartesiano, teremos sua representac;:ao cartesiana. b) A
=
[1,4] e B
=
-2
---
-
•
o
x
4
2
[1, 3[
Pelos pontos de abscissas 1 e 4, trac;:amos retas perpendiculares ao eixo dos x.
Pelos pontos de ordenadas 1 e 3 trac;:amos retas paralelas ao eixo dos x. Como 3 nao pertence ao intervalo [1, 3[, a reta que passa pela ordenada 3 sera tracejada.
A regIao retangular representa 0 grafico de A X B.
•
4
y
4
.J .................•...... 2
o
.. .
234
x
2
o
Grafico de A
x
o
2
Pelos pontos de ordenadas -3 e 3 trac;:amos retas paralelas ao eixo dos x.
x
4
Grmco de A
Grafico de B
c) A = {21 e B = [-3,3] Pelo ponto de abscissa 2 trac;:amos uma reta perpendicular ao eixo dos x.
D X
B
o segmento de reta que liga 0 ponto (2, -3) ao ponto (2, 3) representa 0 grafico de A X B.
y
2
o
1 2
Grafico de A
x
2
o
x
o
-I
-I
-2
-2
-3
-3
Grafico de B
46
2
3
x
4
Grafico de A
X
B
Ix
d) A =
E IR Ix ~ If e B = {y E IR Iy ~ 3} y
4 3 2
o
2
3
'x
4
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
8. Represente no plano cartesiano os produtos A x B nos seguintes casos:
d) A = [- 2, 3] e B = {3} e) A = [1, 4] e B = [2, 4]
a) A = {-3, -1, 1, 3} e B = {2, 4}
b) A = {1, 4} e B = {-3, -2, 2, 3} c) A = {2} e B = [1, 4]
f) A={XElRlx~1}eB={yElRly~2}
9. Os grcHicos a seguir representam produtos cartesianos de A por B. Identifique, em cada caso, 0 conjunto A e 0 conjunto B. c)
:j
a)
2T
e-,
e)
y
2
-~
, --if-- --. j
-2
I
-I
------+I----.,-I--~~
0
1
o
x
2
• -1 -- -.
x
2
-3
o
4
x
-I
-2
.. :"2r-- ·
-3
d)
b)
f)
y
.-.. :r-., .
y
2 1
-2 _I
0 -I
x
2
-3
-2 -I
-2
4.
No~ao
0 -I
1
2
3
x
-3
-I
-2
-2
de
o
rela~ao
Dados os conjuntos A
=
(1,2, 3} e B
=
(2,3,4, 51, temos:
A X B = {(I, 2); (1, 3); (1,4); (1, 5); (2, 2); (2, 3); (2,4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5)}
47
Destaquemos de A X B, por exemplo, 0 conjunto R formado pelos pares (x, y) que satisfas:am a seguinte lei de associas:ao: x + y = 5, ou seja: R = {(x, y) E A X B I x
+ y = 5)
+ y, com destaque para aqueles cuja soma e 5.
Na tabela abaixo estao todos os valores de x
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
Essa tabela nos mostra que R
e dado por: R
Observe que RCA
X
= ((1,4); (2, 3); (3, 2)}
B.
Consideremos urn outro conjunto S de A X B, cuja lei de associas:ao seja dada por y > 2x, ou seJa: S = {(x, y) E A X BI y > 2x}
o diagrama de flechas nos mostra os casos em que y >
2x.
B
A
Valores de y
Valores de x
Temos, portanto:
S = {(I, 3); (1,4); (1, 5); (2, 5)} Observe que SeA X B. Os conjuntos ReS, subconjuntos de A De urn modo geral:
X
B, constituem exemplos de
rela~6es
de A em B.
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relas:ao de A em B qualquer subconjunto de A X B, isto e: R e uma relas:ao de A em B ** RCA X B
EXERCICIOS PROPOSTOS 10. Dados os conjuntos A em B:
=
{-1, 0, 1, 3} e B
_
= {O,
1, 2, 4, 6, 10j, determine as seguintes rela90es de A
a) R1 = {(x, y) E A x Bly = 2x + 4} b) R2 = {(x, y) E A x BIY= x 2} c) R3 = {(x, y) E A x Bly = 12xl}
11. Sendo A
=
{-2'
-1, -
+, O},
determine:
b) R2 =
48
~X,Y)EA2IY=x+ ~}
= {1, 2, 3, 6, 9}, determine as seguintes relayoes: = {(x, y) E A21 x . y = 18} b) S = {(x, y) E A2 1 x 2 + y2 <
12. Sendo A a) R
20}
13. Determine as seguintes relayoes:
a) R
= {(x,
y) E IN x IN 12x
No~ao
5.
+
Y
=
10}
b) R
matematica de
= {(x, y) E
IN X Zlx
2 + y2
= 25}
fun~ao
Sejam dados, por exemplo, os conjuntos A = {2, 3, 51 e B = (1,3,4,61. Vamos considerar os conjuntos de pares (x, y), tais que x E A eyE B. Sabemos que qualquer urn desses conjuntos e chamado rela~o de A em B; porem, se a rela~ao associar cada e1emento de A a urn <:mico e1emento de B, dizemos que ela e uma fun~o de A em B. Tomemos, por exemplo, 0 conjunto dos pares (x, y) E A X B, definidos pela lei de associa~ao: y = x + 1. Veja 0 esquema: Chamando de R essa R = {(x, y) E A X
rela~ao,
temos que:
BI y = x +
1l,
ou seja:
R = ((2,3); (3,4); (5, 6)} Observe que cada x pertencente a A esta associado a urn f:m.ico y pertencente a B. Nesse caso, a rela~ao e urna fun~o de A em B. Consideremos agora 0 conjunto dos pares (x, y) E A X B, definidos pela lei de associa~ao:
y < x.
Veja
0
esquema: Chamando de S essa
rela~ao,
S = {(x, y) E A X
temos que:
BI y < xl,
ou seja: S
=
((2,1); (3,1); (5,1); (5, 3); (5, 4)}
Nesse caso, nao acontece de cada x pertencente a A estar associado a urn \:mico y pertencente a B. Assim sendo, a rela~ao S n3:o e fun~o de A em B. Observe as re1a~6es de A = {Xl> x 2, X3, x 4 1 em B = {YI, Y2, Y3, Y4, Ysl mostradas nos seguintes esquemas:
Esta rela~ao e fun~o de A em B, pois para cada x de A esta associado urn unico Y de B.
49
Esta relas;ao nao e funs;ao de A em B, pois o elemento X2 de A esta associado a mais de urn elemento de B.
Esta relas;ao nao e funs;ao de A em B, pois o elemento X 3 de A nao esta associado a nenhum elemento y de B.
De urn modo geral: Dados os conjuntos A e B, nao-vazios, e uma relas;ao R de A em B, dizemos que R e uma funs;ao de A em B se para cada x de A existir em correspondencia urn unico y de B.
EXERCICIOS PROPOSTOS 14. Os esquemas abaixo representam relayoes de A em B. Indique as .relayoes que sao funyoes.
A\-_r.t
a)
c)
2.~:~
3.
A
B
~.I
e)
2.~.2 .3 4•
• 4
.A.~B 8.
.6
10.
b)
f)
d)
15. Dados os conjuntos A = (-2, -1, 0, 1, 2) e B = {O, 1, 2, 3, 4}, construa 0 esquema de flechas e, atraves dele, identifique as relayoes que sao funyoes. a) b) c) d)
R1 R2
= {(-2, 0); (-1,1); (0, 2); (1, 3); (2, 4)} = {( -2, 0); (-2, 1); (0, 2); (0, 4)}
Rs
= {( -2,
R4
=
16. Sendo A
2); (-1, 2); (0, 3); (1, 3); (2, 4)} {(O, 0); (1, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4)} = {-1, 0, 1, 2} e B =
{O, 1, 2, 3, 4}, identifique as relayoes que sao funyoes.
a) R 1 = {(x, y) E A x B Iy = x 2 } b) R 2 = {(x, y) E A x B Iy = x + 1} c) R s = {(x, y) E A x B /y = 2x + 1}
50
6. Linguagem das
fun~oes
Dados dais conjuntos nao-vazios A e B, e uma lei f que associa a cada demento x de A urn fullco demento y de B, teremos uma func;:ao fde A em B. 1 Q) Ao conjunto A da-se a nome de dominio da func;:ao. 1ndica-se a dominio da func;:ao fpor D ou D(f). Logo, D(f) = A. 2 Q ) Ao conjunto B da-se a nome de contradominio da func;:ao. 1ndiea-se 0 eontradominio da func;:ao fpor C(f). Logo, C(f) = B.
Conjunto imagem
Dominic
Contradominio
3 Q ) Ao elemento yde B, assoeiado ao elemento xde A, da-se 0 nome de imagem de x, pela func;:ao f 1ndiea-se que yea imagem de x pela notac;:ao y = f(x) (le-se: ye igual a f de x). 4 Q ) Ao conjunto dos elementos y de B, que sao imagens dos elementos x de A, da-se a nome de conjunto imagem au simplesmente imagem da func;:ao. 1ndiea-se a eonjunto imagem da func;:ao par 1m au 1m(f). Para toda func;:ao, 1m C B. 5 Q ) 1ndiea-se que fe uma ftll1c;:ao de A em B pela notac;:ao f: A -> B (le-se: fde A em B). Observas:ao: a ftll1c;:ao tambem poderia ter sido indieada par qualquer outra !etra. Para que uma func;:ao fique bem definida e preciso que sejam dados as conjuntos naovazios A e B e uma lei que assoeie a eada x de A um linieo elemento y de B. Vejamos os exemplos. Exemplo 1 Dados as eonjuntos A = {I, 2, 31 e B = {O, 1,2,3,4,5,6, 7}, eonsideremos a func;:ao f: A -> B, definida par f(x) = 2x + 1 au y = 2x + l. Temos: Para x = 1 => y = 2 . 1 + 1 = 3. Para x = 2 => y = 2 . 2 + 1 = 5. Para x = 3 => y = 2 . 3 + 1 = 7. Logo,f= {(I, 3); (2,5); (3, 7)1.
y=2x+ I (Lei de associa,ao)
1ndiea-se que 3 e a imagem de 1, pela func;:aoj, porf(l) = 3. Da mesma forma, temos: f(2) = 5 e f(3) = 7. o eonjunto imagem dessa func;:ao e 1m(f) = (3,5, 71. Exemplo 2 Dado A = {-2, -1,0, 1, 2}, determinar a eonjunto imagem da func;:ao f: A par f(x) = x 2 . SolUfao
Temos: f( -2) = (-2)2 = 4 f(-I) = (-I? = 1 f(O) = (0)2 = 0
f(I)=1 2 =1 f(2) = 2 2 = 4
Portanto 1m(f) = {O, 1, 4}.
51
->
IR, definida
Exemplo 3 Dada a func;:ao f: IN f(x) = O.
IR, definida por f(x)
-+
= 2x 2
7x
-
+
3, calcular
0
valor de x para que
SolUfiio
f(x) = 0 2x 2 - 7x
11
=
x
=
= 2x 2
0
=}
+3
-
7x
+3
0
=
(-7? - 4· 2· 3 -(-7) ± 5 2·2
=
7 ±5 4
= --
49 - 24 =}
x
=
25
=}
3 ou x
=
\~ = -
5
=
1 $ IN. 2
Como D(f) = IN, entao x = 3.
EXERCICIOS PROPOSTOS
_
17. 0 diagrama representa uma fun<;:ao de A em B. Pede-se: a) f (1) b) f(2) c) f(3)
d) D(f) e) C(f)
f) Im(f)
= 5x - 3, determine:
18. Dada a fun<;:ao f: IR --+ IR, definida por f (x) a) f(-2)
c) f(O)
e) x, sabendo que f (x)
b) f(
d) f(-3)
f)
+)
19. Dada a fun<;:ao f: IR --+ IR, definida por f (x) = 5x
2
8x
-
+
x, sabendo que f (x) = -1
3, calcule:
a) f(-1)
e) x, de modo que f (x) = 0
b) f (0)
d)
f(.J2)
20. Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1} e B =
x, de modo que f (x) = 7
f)
{-3,
+,
0,
1, 2, 3,
1,
determine 0 conjunto imagem
da fun<;:ao f: A --+ B, definida por: a) f (x)
=x+3
b) f (x)
=
Exemplo 4 Sendo f(x - 5)
=
c) f(x) = 3X
3x
21. Dada a fun<;:ao f de IN em IR, definida por f (x)
= x2
-
d) f(x) =
SolUfiio
=
3 . (t + 5) - 8
Logo,f(x)
=
3x
=}
f(t)
=
+ 5, teremos:
3t + 15 - 8
+ 7. 52
=}
E.1 3
3x - 3, determine x, tal que f (x)
3x - 8 uma func;:ao de IR em IR, calcular f(x).
Fazendo x - 5 = t, temos: x = t + 5. Substituindo, emf(x - 5) = 3x - 8, x por t
f(t)
=2
f(t)
=
3t + 7.
= 1.
EXERCiclOS PROPOSTOS 22. Dada a func;:ao ,: IR 23. Na func;:ao ,: IR
--->
--->
IR, definida por , (x
+
IR, definida por '(3x - 2)
24. Dada a func;:ao ,: IR
--->
IR, definida por ,(x
25. Dadas as func;:5es '(3x '(4) + g(-1).
+
1)
= x +
7. Domlnio de uma
1) = 5x - 2, calcule '(x). =
2x + 5, calcule '(4).
+ 2) = x + 2,
2 e g(x - 3)
fun~ao
~~~~.
calcule
= 4x +
7, de IR em IR, calcule 0 valor de
real de variavel real
Vimos que para definir uma funr;ao e necessario conhecermos dois conjul1tos A e B naovazios e a lei que associa a cada elemento x de A urn unico elemento y de B. 0 entanto, e comum definirmos uma funr;ao fapenas pela lei de associar;ao, sem especificarmos os conjuntos A e B. Nesse casa, convencionaremos que A e B sao subconjuntos de IR e diremos que f e uma fun~ao real de variave1 real. o conjunto A, dominio da funr;ao f, sera formado par todos os valores reais de x, para os quais as operar;6es indicadas na lei de associar;ao sejam possiveis em IR. Exemplo Determinar a) y
= Xl +
0
dominio das seguintes funr;6es de variavel real: c) f(x)=_xx-2
3x
e) f(x)=,3x-2 +'\-x+4
1 b) y=x
f)
f(x)
=
SolUfiio
a) y = x 2 + 3x Substituindo x por qualquer numero real, obteremos para y urn valor real. Logo, D( f) = IR. 1 b) )' = x
A expressao
.lx
Logo, D( f)
=
somente tera sentido se x
*- o.
IR*.
c) f(x) =_x_ x-2 A expressao
x 2 somente tera sentido se x - 2 x -
Logo, D(f)
=
IR -
121
ou D(f)
=
Ix E
IR
*-
0, ou seja, se x
*-
2.
Ix *- 21·
d) Y =~3x - 2 Substituindo x por qualquer nlllnero real, obteremos para y urn valor real. Logo, D( f) = IR.
53
e) f(x)
= ~3x -
2
+ ,I-x + 4
Devemos ter simultaneamente:
{
3x - 2
~ 0 ~ 3x ~
-x + 4
~
0
-x
~
Determinemos a
2
~
solu~ao
~ x~ ~
-4
x:S;: 4
~
comum:
2
3"
(51)
4
•
1 •
i
2
4
3"
f) f(x)
-J;+2
=
.,J-x+4 Devemos ter simultaneamente: x + 2 ~ 0 ~ x ~ -2 -x + 4 > 0 ~ -x> -4 ~ x < 4 Logo, D(f) = {x E IR 1-2:S;: x < 4}.
EXERCICIO PROPOSTO 26. Determine 0 dominio das funyoes.
a) Y= 3x
+2
f)
2x - 1
y=
c)
2x - 1 y=-x-2
,!3x + 5 3x + 1 g) y= x2 - 1 x+4 h) y= 2 x -7x+12
d)
Y = ,!3x + 5
i)
Y = ~-3x + 1
e)
y = ~3x + 5
j)
y=
b) Y
= x2
-
4
8. Grafico de uma
I)
5 y= - + 2- x x-2
m)
Y=- + x
n)
Y=-+ x
p)
2x - 1
x-2 2
5
0) Y
-.j3X+5
2
5
= ..-Ix -
.JX+2 2
+ 2x -
1
rx=2 +x-1 Y=,x-2 -x+3
fun~ao
Dada urna rela!tao f( fun!tao ou nao), se representarmos no plano cartesiano tOOos os pares ordenados (x, y), com x E D(f) e y = f(x), abteremas urn conjunto de pontas que e 0 gcifico de f Exemplo 1 Representar no plano cartesiana 0 grifico da fun~ao f(x) Ilio seja: a) D(f) = {-I, 0,1,2, 3}
b)D(f)
=
= 2x -
1, nos casas em que a domi-
{xE IRI-l :S;:x:S;: 3}
54
c) D(f)
=
IR
SolUfiio
a) D(f) = 1-1,0,1,2, 3} Para cada x E D(f), vamos encontrar 0 valor y = 2x - 1. Com isso obteremos os pares (x, y), que representados no plano cartesiano pelos pontos A, B, C, D, Enos dao 0 grifico da funs;ao.
Para Para Para Para Para
x = - 1
°
x = x = 1
=) =) =)
=2
=)
x = 3
=)
x
y = f (- 1) = 2( - 1) y = f (0) 2 . y = f (1) 2.1 y = f(2) 2.2 y = f (3) 2 .3 -
1 = - 3. = - 1. = 1. 1 = 3. 1 = 5.
°- 11
Grmco 5 4
Tabela
-1
°1
-3 -1
A(-I, -3) B(O, -1)
0
-4 -3 -2 -I
1
2
4
5
x
B -I
1
C(1,1)
2
3
D(2, 3)
A_ --
3
5
E(3, 5)
/
/
-2
-3
Observe que os pontos A, B, C, DeE estao apoiados sobre uma reta. Isso acontece para qualquer ponto determinado pela funs;ao y = 2x - 1.
55
Exemplo 2 Construir 0 grafico da funr;ao)' a) D(f) = {-2, -1,0,1,2)
=
f(x) = x 2 - 1, nos seguintes casos: b) D(f) = (x E IR 1-2:;;; x:;;; 2} c) D(f) = IR
SolUfaO
a)
Tabela
Grafteo
x
)'
Ponto (x, y)
-2
3
A(-2, 3)
-1
° ° °
D(I,O)
2
E(2, 3)
b) 0 grafico
-
.E
2
qo, -1)
1
o grafico e 0
3
A.
B(-I, 0)
-1
3
4
B
-3
-
-2 -I
D 0 -I
2
x
3
C
-2
conjunto dos pontos A, B, C, DeE.
e a curva abaixo.
c) 0 grifico da funr;ao y = x 2 - 1 e a curva abaixo. Curvas desse tipo sao chamadas parabolas. y
E
x
x
EXERCICIOS PROPOSTOS 27. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x)
= 2x +
a) O(f)=·{-2,-1,0,1,2} 28. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x)
=
x
2
a) O(f)
=
0
grafico da funt;:ao f (x)
{-3, -2, -1,0, 1)
31. Construa 0 grafico da funt;:ao f(x)
=
=
IR
3 nos seguintes casos:
c) O(f) = IR
4 - x 2 nos seguintes casos:
b)O(f)={XEIRI-3,,;;x";;3}
= 2 x + 1 nos seguintes casos: b) O(f) = [-3, 1] =
a) O(f)= {-2,-1,-f,f,1,1 32. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x)
-
c) O(f)
b) O(f) = [-3,3]
a) O(f) = {-3, -2, -1,0,1,2, 3) 30. Construa
1 nos seguintes casos:
b) O(f)=[-2,2]
a) O(f)={-3,-2,-1,0,1,2,3} 29. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x)
_
~ x
nos seguintes casos:
b)O(f)=IR*
= x 3 , sendo
O(f)
56
= {-2,
-1, 0, 1, 2).
c) O(f)=1R
c) O(f) = IR
9. Analise de graficos Ao examinarmos 0 grifico de uma re!a<;ao R, e possive! obter atraves dele algumas informa<;6es sobre as propriedades que a caracterizam, como par exemplo: • reconhecer se R e ou nao e fun<;ao; • se R for uma fun<;ao, identificar graficamente 0 dominio e 0 conjunto imagem e determinar, se existirem, os valores de x para os quais R(x) = O.
Como reconhecer quando um grafico representa uma fun~ao Exemplo I Verificar se os conjuntos de pontos das figuras constituem grificos de uma fun<;ao com dominio D = (I, 2, 3,4): b)
a) 4
4
.---.
2
• -I
0 -I
I·
2
4
..
-- - -
•
2
x
-I
0 -I
,- -
, -- -
•
.- . 2
4
x
Solurao b) 0 grifico nao representa fun<;ao, pois 0 e!emento x = 2 tem duas imagens: y = 1 e y = 2.
a) 0 grifico representa uma fun<;ao, pois cada xED tem uma unlca imagem.
Exemplo 2 Reconhecer, a seguir, as curvas que representam fun<;6es: a)
b)
y
o
o
x
x
Solurao Para reconhecer se uma curva representa ou nao uma fun<;ao, basta verificar se qualquer reta parale!a ao eixo Oy e que passe por um ponto do dominio: • encontra a curva em um s6 ponto; nesse caso a curva e grifico de uma fun<;ao; • nao encontra a curva ou a encontra em mais de um ponto; nesse caso a curva nao e grifico de uma fun<;ao.
57
Visto isso: a)
b)
o
y
o
x
x Dominio
Existe reta paralela ao eixo y passando por urn ponto do dominio que corte a curva em mais de urn ponto. Essa curva nao e grafico de uma funS;ao, pois para alguns valores de x existe, em correspondencia, mais de um valor de y.
Nao existe reta paralela ao eixo )' passando por urn ponto do dominio que corte a curva em mais de urn ponto. Essa curva e grafico de uma funS;ao.
EXERCiclOS PROPOSTOS 33. Identifique os conjuntos de pontos que representam grafico de fungoes com domfnio D = {-2, -1, 1, 2).
a)
c)
b)
d)
•
•
•
-.
-2 -I
• 2 0
• • -I
• • • • 1
2
• •
•
2
2
• 3 x
-2
•
-I 0
x
2
•
• •2 • •
• 0
x
2
• -I
-I
-2
-2
-2 -I
• • •
-2 -I
0
2
x
-I
-2
-2
34. Identifique os graticos que sao fungoes. a)
c)
g)
e)
D=IR
D
o
x
b)
1 2
x
f)
d)
=[-3.3]
h)
y
D=IR 2
x
-2 -I 0 -I
D=IR
I
2
x
58
-2
x
0
x
Identifica~ao
pelo grafico do dominio e imagem de uma fun~ao Considere a nll1S;aO representada pelo grifico abaixo:
o dominio e 0 conjunto das abscissas x dos pontos do grafico. Na figura, temos:
~{:
.E
3
D(f) = [x E IR
2
o
11
x
6)
A imagem e 0 conjunto das ordenadas y dos pontos do grifico. Na figura, temos:
l
2
3
4
5
!J
Im(f)
x
= ly E
IR
12
Y
EXERCiclO PROPOSTO 35. Determine
dominic e
0
a)
0
conjunto imagem das fungoes. c)
b) y
2
-2 -I
0 -I
-- • 1
2
d)
. o
3 x
x
-2 -I
• -2
0 -I
-2
Zeros de uma
fun~ao
Os valores de x para os quais f(x) = 0 chamam-se zeros ou raizes da funS;ao. Geometricamente os zeros de uma funs;ao sao as abscissas dos pontos onde 0 grafico corta 0 eixo x. No grifico abaixo, temos:
f(l) = 0 e f(5) = 0 Logo, os numeros 1 e 5 sao os zeros da nll1s;ao.
A (1,0) e B (5,0)
o
x
59
Fun~ao
fun~ao
crescente e
decrescente
Considere a fw1~ao fdefinida pelo gratlco. Observe que, no intervalo A, aumentando o valor de x, aumenta tambem 0 yalor de y. Dizemos entao que a fun~ao e crescente no intervalo A. x
I+- A -I+- B --l
o
No intervalo B, aumentando 0 valor de x, o valor de y diminui. Dizemos entao que a fi.ll1~ao e decrescente no intervalo B.
De um modo geral:
a
Sendo XI e X2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com Xl < X2, diz-se que e crescente em A sef(x]) < f(x 2 ) e decrescente sef(x]) > f(x 2 ).
fun~ao
Exemplo Dada a fi.ll1~ao representada pelo grafico ao lado, vamos determinar: a) os zeros da fun~ao; b) os intervalos onde a fun~ao e crescente e decrescente. x
Solurao a) Os zeros da fun~ao sao as abscissas dos pontos onde a curva corta 0 eixo x. Logo, os zeros da fun~ao sao -1, 0 e 1. b) A
fun~ao
e crescente nos intervalos
~ - ~}
=
{X
E
B=
{X
E n
A
n
~}
e
e decrescente no intervalo C =
{X
E n<1-
~ ~ X ~ ~}.
EXERCiclOS PROPOSTOS 36. Determine as zeros das func;:6es representadas graficamente. a)
b)
y
x
c)
x
60
y
37. Nas fun90es reais definidas pelos graticos a seguir, de os intervalos em que cada uma • crescente
e:
• decrescente
a)
b)
c)
x
Valor maximo e valor minimo Consideremos a funs:ao I: IR -+ IR, dada peIo seguinte grafieo:
o
x
-I
v
Esse grafico nos mostra que, para todo x do seu dominio, tem-se:
I(x) ;;. 1(4), pois 1 (4) = -1 e eIa nao assume nenhum valor menor que -1. Nessas condis:6es, dizemos que 4 e urn minimante da funs:ao e 0 valor 1(4) valor minimo. 0 ponto do grafieo onde oeorre 0 valor minima e V( 4, -1). Da mesma forma, para a funs:ao g: IR -+ IR, definida peIo grafieo:
=
-1 eo seu
y
v
x
tem-se que, para qualquer valor de x do seu dominio,g(x) ,;;;; g(3). Nessas eondis:6es, dizemos que 3 e urn maximante da funs:ao e 0 valor g(3) = 4 e 0 seu valor maximo. 0 ponto do grafico onde ocorre 0 valor maximo e V(3, 4). Vamos generalizar esses coneeitos eonsiderando as funs:6es representadas peIos grafieos da pagina seguinte.
61
o grafico ao lado nos mostra que para todo x do dominio da funr;ao temos: f(x)
~
f(xo)
Dizemos entao que X o e urn minimante da funr;ao fe Yo = f(xo) e 0 valor minimo da funr;ao. o ponto do grafico da funr;ao f onde ocorre 0 valor minimo e V{xo, Yo).
o grafico ao lado nos mostra que para to-
x
y
do x do dominio da funr;ao temos:
f(x) ,,;;: f(x o) Dizemos entao que X o e urn maximante da funr;ao fe Yo = f(x o) e 0 valor maximo da funr;ao. o ponto do gra.fico da funr;ao f onde ocorre 0 valor maximo e V(xo, Yo).
o grafico ao lado nos mostra que a funr;ao fnao tern maximante nem minimante.
Fun~io
par e
fun~io
Considerando a funr;ao f(x)
f(-l)
=
f(l)
=
= Xl -
impar
v
f(xol --~ x
x
( y
4, temos:
-3
f(-2) = f(2) = 0 f(-3) = f(3) = 5 x
Isso quer dizer que a funr;ao possui 0 mesmo valor para valores simetricos da variavel. Dizemos entao que a funr;ao e par. Observe que a funr;ao tern 0 grafico simetrico em relar;ao ao eixo y.
62
De um modo geral: Func;:ao par e a func;:ao na qualf(-x) = f(x), "Ix E D(f).
Considerando agora a func;:ao f(x)
f(-2) f(-1)
= =
-8 ef(2) -1 ef(1)
= x 3,
temos:
=
8 ~ f(-2)
=
1 ~f(-1) = -f(1)
=
-f(2)
1sso quer dizer que a func;:ao possui valores simetricos para valores simetricos da variavel. Dizemos entao que a func;:ao e impar.
x
De um modo geral: Func;:ao impar e a func;:ao na qualf(-x)
= -
f(x), "Ix E D(f).
EXERCICIOS PROPOSTOS 38. Considere 0 grafico da funr;:ao f (x) = 3x - 1. Responda: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Qual e 0 domfnio da funr;:ao? Qual e a imagem da funr;:ao? A funr;:ao e crescente ou decrescente? Para que valor de x, f (x) = O? Para que valores de x, f (x) > O? Para que valores de x, f (x) < O? A funr;:ao e par? A funr;:ao e fmpar? A funr;:ao tem algum ponto de minimo ou de maximo?
39. Considere
0
grafico da funr;:ao f (x) = - x 2
+
-2
2
x
4.
Responda: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Qual eo domfnio da funr;:ao? Qual e a imagem da funr;:ao? Para que valor de x, f (x) e crescente? Para que valores de x, f (x) e decrescente? Para que valores de x, f (x) = O? Para que valores de x, f (x) > O? Para que valores de x, f (x) < O? A funr;:ao e par ou fmpar? Qual e 0 maximante da funr;:ao? Qual e 0 valor maximo da funr;:ao?
63
x
40. Considere 0 grafico da fun<;:8.o y
x = 2 .
Responda: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
8
Qual e 0 dominio da fun<;:8.o? Qual e a imagem da fun<;:8.o? Existe x, tal que f (x) = O? A fun<;:8.o e crescente ou decrescente? Existe x, tal que f (x) < O? Para que valor de x, f (x) = 1? Para que valores de x, f (x) > 2? A fun<;:8.o e par? A fun<;:8.o e impar? Para valores de x cada vez menores, 0 valor de f (x) se aproxima de que numero?
2
x
y
41. Considere a fun<;:8.o representada pelo grafico. Responda: a) Qual eo dominic da fun<;:8.o? b) No intervalo [0, 3) a fun<;:8.o e crescente ou decrescente? c) Para que valores de x, f (x) = O? d) Para que valores de x, f (x) < O? e) Qual e 0 maximante da fun<;:8.o? f) Qual e 0 minimante da fun<;:8.o? g) Qual e a imagem da fun<;:8.o?
I o.
Fun~ao
x
bijetora
Consideremos as func;:6es definidas pelos seguintes diagramas de flechas:
Veja que, nesse caso, cada elemento do contradominio B e imagem de um unico elemento do COl1juntO A. Quando isso ocorre, a func;:ao e chamada bijetora.
Veja que, nesse caso, existe elemento do contradominio C que l1aO e imagem de nenhum elemento do conjunto A. Por esse motivo, a func;:ao nao e bijetora.
Veja que, nesse caso, existe elemento do contradominio B que e imagem de mais de um elemento do conjunto A. Por causa disso, a func;:ao nao e bijetora.
De um modo geral: Uma func;:ao f: A -> Be bijetora quando cada elemento do contradominio Be imagem de um (mico elemento do conjunto A.
64
Observa~oes
1. Quando 0 conjunto imagem de uma func;ao for igual ao seu contradominio, elizemos que a func;ao e sobrejetora. 2. Quando para quaisquer Xl e X2 do dominio tais que Xl X2 tivermos f(Xl) f(x-z), dizemos que a func;ao e injetora.
'*
'*
Assim, nos esquemas anteriores temos que: a) j; e sobrejetora e tambem injetora. Dizer que uma func;ao e bijetora e equivalente a elizer que ela e injetora e sobrejetora. Portanto j; e uma fimc;ao bijetora. b) h nao e sobrejetora mas e injetora. c) j;, nao e sobrejetora nem injetora. Podemos reconhecer se uma func;ao e ou nao bijetora au-aves de seu grifico. Para isso u-ac;amos retas paralelas ao eixo X pelos pontos do eixo 0)' que pertencem ao contradominio. Se cada uma dessas retas interceptar 0 grifico em urn unico ponto, a func;ao sera bijetora. Exemplos Considere as func;6es f: A ~ B, com A = representadas pelos graficos:
lX
E IR
11 ,,;;:
X ,,;;:
4) e B
=
(y E IR
11 ,,;;: )' ,,;;:
5),
y
a)
~r
.g
E
~
U
/. /'
t, /
3
/ /
2
I
j; e func;ao bijetora, pois as retas paralelas ao eixo x, que passam pelos pontos do contradominio, cortan1 0 grafico em urn (mico ponto.
/
/ ./
0
I
2
3
4
\
x
J
Do';'inio
b)
h
nao e func;ao bijetora, pois existem retas paralelas ao eixo X que passam pelos pontos do contradominio e cortam 0 grafico em mais de urn ponto.
1(: ~
3+---"'---/---
8 U
2 +----'+----'-=--1 I +-~-""""'----
o
2
4
x
J
c)
it: -7-----~----: o
u
2
I --
o
.h
nao e func;ao bijetora, pois existem retas paralelas ao eixo X que passam pelos pontos do contradominio e nao cortam 0 grifico.
•
:
I
:
2
4
x
J
65
EXERCICIOS PROPOSTOS 42. as esquemas representam func;:6es de A em B. Identifique quais sao sobrejetoras, injetoras ou bijetoras. a)
c)
e)
b)
d)
f)
43. as graficos abaixo representam func;:6es de A em B. Indique quais sao bijetoras. c) A = IR e B = IR:
a) A = [-2,2] e B = [-1, 1]
~
1
0
x
-2
x
-I
b) A
=
IR e B=IR
d) A y
=
[0, 3] e B
=
[0,3] y
o
x
3
x
44. Considerando a func;:ao f de P em Q, representada pelo diagrama abaixo, indique as sentenc;:as verdadeiras (V) e as falsas (F). a) A func;:ao f b) A func;:ao f
e sobrejetora. e injetora.
c) Retirando-se 0 elemento q, a func;:ao tornase sobrejetora. d) Se a flecha
0
Iigasse b com q, terfamos
uma func;:ao bijetora. e) Se retirarmos a flecha
0
e 0 elemento b,
teremos uma func;:ao injetora.
66
I I.Fun~oes inversas Dados A = {-2, -1,0, 1,21 e B definida por f(x) = 2x + 1.
= 1-3, -1, 1,3,51, consideremos a fun<;:ao f:
A
--+
B,
f= {( -2, -3); (-1, -1); (0, 1); (1, 3); (2, 5))
Como f e uma fun<;:ao bijetora, podemos associar a todo elemento y de B urn unico elemento x de A, tal que y = f(x).
-:.~:-2
A essa nova fun<;:ao de B em A chamaremos funs;ao inversa da fun<;:ao f e indicaremos por f-I. Portanto:
-'~::+=+:.-I ,. .0
r
l
=
{(-3, -2);(-1, -1);(1,0);(3, 1);(5,2))
Observe que: • 0 dominio de f e 0 contradominio de f-\ • 0 contradominio de f e 0 dominio de f-I; • se (a, b) Ef, entao (b, a) Ef-I. Determinemos a lei que define f-I(X), no caso em que f(x)
=
2x + 1.
f(x)
Sendo y
=
2x + 1, devemos calcular x
Isolando x em y Comparando
=
0
2x + 1, temos: y
@
e
=
=
f-I(y).
CD
2x + 1 => 2x
=
Y - 1 => x
=
y-l --2-
@ II
,temos:
e conveniente expressarmos a fun<;:ao inversa deixando x como variavellivre. Assim, a lei que define f-I(X) e dada por f-I(X) = x ~ 1 . No entanto, na maioria das vezes, De um modo geral: Dada a fun<;:ao bijetora: f: A --+ B, chama-se funs;ao inversa de f, indicada por f- I , a fun<;:ao f- I : B --+ A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y = f(x).
Exemplo Dada a fuwao )' f: IR -
!3) --+ IR
- {2), definida por y =
sa def
67
2x + 5 x-3 ' determinar a fun<;:ao inver-
SolUfao f(x)
2x + 5 y= x-3
=}
x
=
f-l(y)
fJ\
"--V
2x + 5 Isolando x, temos: y = x _ 3
=}
De
xy - 2x = 3y
+5
CD e ® ,vem:
=}
f-l(y)
1
:
(x - 3)y = 2x
(y - 2)x = 3y
Logo, a func;ao inversa de f
r
=}
=
+5
=}
+
5
xy - 3y = 2x
=}
5
=}
@ II
x = 3y+5 y-2
3; ~ ; , ou, escrevendo em func;ao de x:
er 1, definida de
+
/-1 (x)
=
3x + 5 x - 2
IR - {21 em IR - (31, ou seja:
IR - (21-> IR - {3), definida par r1(x) =
~~
1.
Observas:ao: somente as func;6es bijetoras possuem inversa.
EXERCICIOS PROPOSTOS
_
45. 0 esquema seguinte representa uma fun<;:ao bijetora f, de M em N. Fa<;:a 0 esquema da fun<;:ao inversa.
46. Sendo
,= {(
-3, 2); (-1, 4); (1, 5); (2, 3)} uma fun<;:ao bijetora, escreva a fun<;:ao
,-1.
47. Sabendo que g8 uma fun<;:ao bijetora, g(5) = -4 e g(8) = 3, determine g-1(_4) e g-1(3). 48. De a fun<;:ao inversa de cada uma das fun<;:oes.
a) y = 4x - 1
b)
,(x) = x
+3 2
c)
g(x)
d) Y
=
2x - 1
=
~ (x '" 2)
e) y = 1
~2x + 3
49. Dada a fun<;:ao ,: IR - IR definida por ,(x) = 3x
f)
+ 5,
1
,(x) = 5x + 2 (x '" -2 ) 2x - 1
determine:
a) ,-1(5)
d) ,-1(0,2)
50. Dadas as fun<;:oes reais 'e 9 definidas, respectivamente, por ,(x) a) '-\3)
+ x3
+
g-1(5)
b) g-\O) -
+)
,-1 (
68
=
4x2+ 1 e g(x)
= x-
3, determine:
Grafico da fun~ao inversa Vamos construir num mesmo plano cartesiano os grificos das funs:6es f(x)
=
inversa f-'(x)
= 2x -
1 e sua
x; 1 .
f(x) = 2x - 1 x
II
\'
~
:
I
(x. \') \ ~
x
'
I'
I '
I
t x. \.) •
o
-1
(0, -1)
1
1
(1, 1)
2
3
(2,3)
3
2
(3,2)
I
Observe que os graficos de fe de sua inversa f- 1 sao simetricos em relas:ao a bissetriz dos quadrantes impares. Essa propriedade e valida para toda funs:ao f(x) e sua inversa f-l(X). Em vista disso, conhecido 0 grafico de uma funs:ao f(x), podemos obter 0 grifico da funs:ao f-'(x), caso exista, usando a simetria em relas:ao a bissetriz dos quadrantes impares.
Exemplo Usando a simetria em relas:ao a bissetriz dos quadrantes impares, construir s:ao inversa, nos seguintes casos:
a)
0
grafico da fun-
b) y (
o
69
x
a)
b)
f
x
x
EXERCiclO PROPOSTO 51. Algumas das figuras abaixo representam grcHicos de fun<;:oes. a) Quais dos graficos representam fun<;:oes? b) Quais representam fun<;:oes que admitem fun<;:8.o inversa? c) Usando a simetria em rela<;:8.o a reta y = x, construa 0 grafico daquelas fun<;:oes que admitem fun<;:8.0 inversa. a)
e)
c)
x
x
x
b)
d)
f)
y
x .X
12.
Fun~ao
composta
Consideremos os conjuntos A = (1,2,31, B = {2, 3,4,51, C = {4, 9,16,251 e as funs:6es f: A -+ B definida por y = x + 1 e g: B -+ C, definida por z = y2.
70
o esquema nos mostra que existe uma fun~ao h: A -> C, em que: • h(l) = 4 = g(2) = g(f(l))j' Isso significa que primeiro aplicamos ao elemento x a • h(2) = 9 =g(3) =g(f(2)); fun~aof, obtendof(x), e em seguida aplicamosgem • h(3) = 16 = g(4) = g(f(3)). f(x), obtendog(f(x)), ou seja, h(x) =g(f(x)). A essa fun~ao h: A -> C damos 0 nome de por g 0 f (le-se: g composta com f). De urn modo geral: (g
fun~ao
Dadas as fun~6es: f: A -> Beg: B -> C, chama-se f): A -> C, tal que (g 0 f)(x) = g(f(x)).
composta de g com f e a indicamos
fun~ao
composta defeg a
fun~ao
0
Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1 Dadas as funs:6es f (x) = 3x - 1 e g( x) = x 2 + 2, calcular: a) (gof)(x) b) (fog)(x) c) (fof)(x)
d) (g
0
g)(x)
Solurao
a) (g 0 f)(x) b) (fog)(x) c) (fo f)(x) d) (g 0 g)(x) Exemplo 2 Dadosf(x)
=
= g(f(x)) = g(3x - 1) = (3x - 1)2 + 2 = 9x 2 - 6x + 1 + 2 = 9x 2 - 6x + 3 =f(g(x)) =f(x 2 + 2) = 3(x 2 + 2) -1 = 3x 2 + 6 -1 = 3x 2 + 5 = f(f(x)) = f(3x - 1) = 3(3x - 1) - 1 = 9x - 3 - 1 = 9x - 4 = g(g(x)) = g(x 2 + 2) = (x 2 + 2)2 + 2 = x 4 + 4x 2 + 4 + 2 = x 4 + 4x 2 + 6 2x - 3 ef(g(x))
=
6x
+ 11, calcularg(x).
Solurao f(x) = 2x - 3 ~ f(g(x)) = 2g(x) - 3 Como f(g(x)) = 6x + 11, entao 2g(x) - 3 = 6x
Exemplo 3 Sendog(x)
=
2x - 3 ef(g(x))
=
+ 11 ~ 2g(x) = 6x + 14 ~ g(x) = 3x + 7.
6x - 8, calcular f(x).
~u~o Fazendog(x) = t, temos: 2x - 3 =
t~
2x = t
t+3
+ 3 ~ x = -2-
Substituindo em f (g( x)) = 6x - 8, g( x) por t e x por t f(t) = 6 ( t ; 3) - 8 Logo,f(x) = 3x
+
~ f(t)
= (3t + 3) - 8
1.
71
~
~ 3 ,encontramos:
f(t) = 3t
+ 9 - 8 ~ f(t) = 3t + 1
EXERCICIOS PROPOSTOS 52. Sendo f (x) = 3x - 2 e g(x) = 2x a) f(g(x))
1, determine:
b) g(f(x))
53. Dadas as fun90es f (x) a) f (g(x))
54. Sendo f (x)
+
_ c) f(f(x))
= x + 3 e g(x) = 2x 2
3x - 2 e g(x)
a) f(g(O))
=
x2
3, determine: c) f (f (x))
b) g(f (x))
=
-
-
d) g(g(x))
d) g(g(x))
3, determine:
b) f(g(-1))
c) g(f(4))
d) g(f(-1))
55. Se f (x) = 3x + 7 e f (g(x)) = 6x + 10, calcule g(x).
56. Sendo g(x) = 3x - 5 e f (g(x)) = 12x - 22, calcule f (x). 57. Dados f (g(x)) = 8x + 39 e g(x) = x + 6, calcule f (x). 58. Sabendo que f (x)
=x+
2 e f (g(x))
= 3x +
1, calcule g(x).
TUNEL DOTEMPO Existem evidencias de que 0 homem tern, desde a Antigilidade, a nor;:ao intuitiva de funr;:ao. Algumas dessas evidencias sao tabelas encontradas no Egito, na India e na Grecia, que associam comprimentos da sombra de uma vara a certas horas do dia. A formalizar;:ao da ideia de funr;:ao, no entanto, parece ter ocorrido somente no seculo XVII. Ao que tudo indica, foi Rene Descartes (1596-1650), £l6sofo e matematico frances, Rene Descartes. o primeiro a usar 0 termo fun~o. Ao estudar a relar;:ao entre duas grandezas, Descartes adotou urn sistema de eixos concorrentes, representando a primeira grandeza sobre urn dos eixos e a segunda, sobre 0 outro. Dessa forma ele pode determinar as coordenadas de urn ponto no plano. a sistema de eixos ortogonais que voce utiliza e urn caso particular daquele criado por Descartes. Dai 0 nome sistema cartesiano ortogonal. Posteriormente outros grandes nomes da matematica dedicaram-se tanto a formalizar;:ao como a aplicar;:ao de funr;:6es, cabendo ao matematico suir;:o Leonhard Euler (1707-1783) a introdur;:ao da notar;:ao f(x) universalmente utilizada. Com 0 surgimento da teoria dos conjuntos, 0 conceito de funr;:ao passou a ser estruturado com base na ideia de pares ordenados e na lei que relaciona os elementos desses pares. Nos dias atuais as representar;:6es cartesianas estao em quase todas as atividades humanas, como mostram os meios de comunicar;:ao ao analisar, por exemplo, a variar;:ao da temperatura, das intenr;:6es de voto numa eleir;:ao, ou a oscilar;:ao das ar;:6es nas Boisas de Valores. Essas representar;:6es, alem de possibilitarem anilises rapidas atraves da simples visualizar;:ao de urn grafico, facilitam a monitorar;:ao do fenomeno em desenvolvimento.
72
RELEMBRANDO CONCEITOS
_
Vma relac;:ao fde A em B, tal que cada elemento de A esta associado a um unico elemento de B, e chamada fun~ao de A em B. A e a domlnio e B e a contradominio da func;:ao f Zeros da func;:ao sao as abscissas dos pontos onde a graftco da func;:ao carta a eixo x. Funs:ao crescente e funs:ao decrescente Se para quaisquer XI e X2 do dOmlnio, tais que
Xl
< X2 , temos:
• f(xI) < f(X2), a func;:ao e crescente; • f(x l ) > f(X2), a func;:ao e decrescente. Funs:ao par e funs:ao impar Se para qualquer X do dominio temos:
• f( -x) • f(-x)
=
=
f(x), a func;:ao e par; -f(x), a func;:ao e impar.
Funs:ao injetora Se para quaisquer mada injetora.
Xl
e X2 do dominio, com
XI
*-
X2, temos f(Xl)
*-
f(X2), a func;:ao e cha-
Funs:ao sobrejetora Quando a contradominio coincidir com a conjunto imagem. Fun~ao
bijetora Quando for injetora e sobrejetora.
Funs:ao composta (fo g)(x) = f(g(x)) Fun~ao
inversa Quando a func;:ao f de A em Be bijetora, existe a func;:ao irJversa f- I de B em A.
Os gratlcos de duas func;:6es inversas sao curvas simetricas com relac;:ao do 3 Q quadrante.
a bissetriz do 1
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 59. Dadas as func;:oes f (x)
= 8x -
a) f(-2) b) 9
t ~)
c) h(2)
=
=
0
61. Sabendo que f (x a) f(6)
b)
+ 5)
-2x 2
+ 5x e h(x) = ~ ,calcule: g) f (f(x))
e) f(g (x))
h) f (x)
11 x
+
g(x)
i) g(x), h(x)
g(f(2))
= 2x 2 g(x) = 0
9 - 4x e g(x)
=
d) f- 1(x)
f)
60. Sendo f (x) a) f(x)
4, g(x)
+ 5, determine 1
c) f- (x)
x, de modo que se tenha:
=
= 15x - 8, calcule:
b) f(2x - 1)
73
1
d) g(x)
=
-10
Q
e
62. Dadas as func;:oes f (x) = x - 4 e f (g(x)) = 2x + 3, determine g(x). 63. Dadas as func;:oes f (x) a) f (x)
=
3x - 16 e g(x)
3x - x 2 , calcule x de modo que:
b) f(g(x))
g(x)
=
=
c) f(x)
-10
=
64. Dos conjuntos A e B, sabe-se que Btem tres elementos mais que A e n(A
+
g(x) = -7
x B) = 2n(A) + 30. Quantos
elementos tem 0 conjunto B?
65. De 0 domfnio das func;:oes: a)
Y
.JX
=
x - 4
66. Sendo f(x)
=
3x
b) Y
+1
x - 2 .~
~,calcule
c) Y
6
= -----;;,-------=---x 2 - 7x + 10
d)
Y
f(f(x)).
67. Dada a func;:ao f de A = (1, 2, 3, 4, 5} em B f = {(x, y) EO A x B [y = x 2 - 1}:
=
(0, 3, 8, 15, 24} definida por
e
a) construa 0 grafico de flechas e verifique se f uma func;:ao bijetora; b) determine f- 1(x), se ffor uma func;:ao bijetora.
68. A figura mostra um retangulo de 10 em por
;IL----_'I
6 em. De um dos cantos foi retirado um quadrado de lado x(O < x < 3). Escreva a area y da regiao colorida em func;:ao de x.
ui
--IO-----~
69. 0 grafico ao lado representa uma func;:ao f. Pede-se: a) b) c) d) e) f)
0 domfnio da func;:ao. a imagem da func;:ao. as rafzes da func;:ao. 0 valor maximo de f. 0 valor minimo de f. 0 intervalo onde a func;:ao
e decrescente.
70. Considere 0 grafico da func;:ao f (x) =
3
x
Responda:
e e
Qual 0 domfnio da func;:ao? Qual a imagem da func;:ao? A func;:ao crescente ou decrescente? A func;:ao par ou fmpar? Para que valores de x, f (x) > O? Para que valores de x, f (x) < O? Para valores de x positivos cada vez maiores, 0 valor de f (x) se aproxima de que numero? h) Para valores de x negativos cada vez menores, 0 valor de f (x) se aproxima de que numero?
a) b) c) d) e) f) g)
e e
-6
-3
-2
-I 012 -I
74
x
71. A funyao f: A
-+
2x
+ 10
x _ 1
B definida por f (x) =
tem Im(f)
=
{-10, -5, -4, -2, 8}. De
0
dominio da funyao.
=
72. (Ef,PCEx) Sejam os conjuntos A rel&yoes R,
=
{(x, y) E A
x
B
{1, 2, 3, 4, 5}, B
Iy =
z x } e
R, n Rz.
=
Rz =
{1, 4, 6, 16} e C
~x)
73. (UFCE) Sejam f e 9 funyoes reais de variavel real, tais que f (x) o valor de g(33).
74. (UFSC) Dadas as funyoes f (x)
= ,/5 -
e g(x)
x
{2, 3, 8, 10} e as
y) E B
x
= 2x -
5 e f (g(x))
C Iy= ; } . Determine
1, de 0 valor de (g
2x - 2 _'( ) _ 2x + 2 e 9 x -
75. (F. Salvador-SA) Sabendo-se que g(f (x)) = f(5)
= XZ -
=
0
=
x. Determine
f)(4).
2x + 1 . 1 _ x ' determine
~ ~).
+9
TESTES
_
76. (Osec-SP) Os conjuntos A e B sao tais que {(O, 2), (0, 3), (1, 2), (2, 3)} C A x B. Entao: a) (2, 1) E A x B b) A x B tem 6 elementos. c) A U B = {O, 1, 2, 3} e A
77. (UFES) Se A (A
x
a)
4
B) U (B
d) {(1, 3), (2, 2)} C A x B e) (0, 0) E A x £?
n B = {2}
=
{O, 1, 2} e B
x
A)
=
{O, 2, 4, 5}, entao
c) 12
b) 8
78. (UFSE) Se A = {x E IR I 2 < x < 3} e B junto A x Be: a)
c)
2
o
0 numero de elementos distintos do conjunto
e:
= {y E
IR 11
< Y < 2}, a figura que melhor representa 0 con-
y
e)
.........
2
2
x
b)
o
2
2
o
-0
-0
-0
x
d)
2
o
e) 24
d) 20
2
x
o
2
75
x
o
2
x
79. (Osec-SP) Seja a fungao real definida pela sentenga f (x)
=
x + 1
~
a) Of = {x E IR I x = 1} b) Of = {x E IR I x;;. 1} c) Of = {x E IR I x = -1}
. 0 dominic da fungao
1
'\ '\IX -
e:
d) Of = {x E IR I x = O} e) Of= {XE IRlx> 1}
80. (F. C. Contabeis) Considerando as relagoes binarias
R = {(x, y) E IR x IN, Y = x 2 S
=
~x, y) E ] 1 ,+ L
00 [
1},
-
x IR, Y =
h} ,
-,x -
1
T = {(x, y) E IR x lR,y = ~x - 3 }, pode-se afirmar que: d) apenas T representa fungao. e) apenas R representa fungao.
a) ReS representam fungoes. b) ReT representam fungoes. c) SeT representam fungoes.
81. (UEBA) Sendo f(2x a) 15
+
1) = x b) 5
+
c) 1
82. (PUC-PR) Se f e 9 sao fungoes tais que f (x) x-2 a) - - 2x + 1
b)
2x
2x
c)
+3
+
1 e g(2x - 1) = x, 0 valor de f(5)
+
g(3)
=
e) 8
2x + 1, e f (g(x)) x-2
1
= x,
2x
3
entao g(x)
2x
+8
+1
x-2 0 dominio da fungao f, definida por f(x) = 1 - 2x, intervalo:
83. (U. Cat6lica de Salvador-BA) Se o seu conjunto imagem
e0
a) ]-7,3] b) [-3,7[
c) ]-3,7]
+
3) = 4x 2
+
2
e) ]-3,3]
6x
+
1, V x E IR, entao f (1 - x) vale: 2
e) x 2
c) x + 2x - 4 d) 3x 2 - 2x + 4
a) 2 - x b) 2 + x 2
85. (Unifor-CE) Sao dadas as fungoes f e g, de IR em IR, definidas por f (x) Se f(g(x)) = g(f(x)), entao 0 numero
2
ke igual a:
1
b) - 4
86. (UECE) Seja f: IR ..... IR definida por f (x) entao f(.,J6) a)
-J8
e 0 intervalo ]-3,2],
d) [-3,5[
84. (FEI-SP) Se f (2x
1 a) - -
e igual a:
x-4
_e)
2-x
d)
e:
d) 7
c)
~
d)
4
= kx 2 ,
~ 2
+x
- 1
= 2x +
k e g(x) = 3x - 1.
e) 1
sendo kuma constante positiva. Se f ('\'2)
b)m
c)
.f18
d)m
87. (Osec-SP) Seja f uma fungao real tal que f (x + 1) = (f (X))2 e f (0) = 10. Entao f (4) a) 10
16
= '\3,
e igual a:
b) 100
256
c) 10
76
d) 101
e igual a:
e) 121
88. (Mackenzie-SP) A fungao real definida por f(x)
=
kx + me fmpar, tal que k E IR*, mE IR e f(-1) = 3.
Entao a soma das rafzes da equagao f (f (x)) = f (
b) -3
a) 3
_;2) e: d) -9
c) 0
e) 9
89. (FEI-SP) Dadas as fungoes reais f (x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b, se f [g(x)] = 8x + 7,
0
valor de
a + be: a) 13
90. (UFES) Se f: IR real, entao m
-+
IR, dada par f (x) a:
+ n e igual
= mx + n,
b) 2
a) 3
a)
com m
"* 0, e tal que f (f (x)) d) -1
c) 0
91. (U. F. Santa Maria-RS) Dada a fungao f (x)
= ~ +
c)
= 2f (x)
para todo x
e) -2
1 , 0 grcHico de sua inversa f -1 (x)
e:
e)
y
x
b)
e) 5
d) 6
c) 15
b) 12
x
x
d) y
x
-2
92. (F. C. Contabeis) Considerando f (x) = de dominio D = IR -
a) IR -
x + 3 , a lei que define uma fungao real, bijetora, 2x - 5
{ ; } , pode-se afirmar que 0 domfnio de f- 1 (x)
c) IR
{;}
b) IR - {-3}
d) IR -
e dado por:
e) IR -
{- ; }
1} t2 J
93. (Fuvest-SP) Uma fungao f de variavel real satisfaz a condigao f (x + 1) = f (x) + f (1), qualquer que seja 0 valor da variavel x. Sabendo-se que f (2) = 1, podemos concluir que f (5) e igual a: a)
1
2"
b) 1
c)
5
2"
94. (Mackenzie-SP) Sejam as fungoes reais definidas par f (x valor de g(O) e: a) 0
b) 1
c) 2
77
d) 5
+
3) = x
d) 3
e) 10
+
1 e f (g(x)) = 2x. Entao 0 e) 4
95. (PUC-MG) Duas funyoes sao tais que f(x) a) -9
b) -3
96. (Fesp-SP) Se a funyao f (x) a) 3
b) 5
=
=x+
3 e f[g(x)]
c) 0
5x - 1 1 2 e f- (x)
= 5x +
4. Entao
g( -2) 13 igual a: f(O)
d) 1
=
c) 2
e) 3
2x + 1 m ,0 valor de me:
d) 4
e) 1
97. (UFMG) Observe a figura:
x
Essa figura contem 0 gratico da funyao y = f (x) definida em A = {x E IR 1-7 ~ x ~ 3}. Todas as afirmativas sobre a figura sao corretas, exceto: a soma de todas as rafzes distintas de f (x) 13 negativa. f(-5) < f(6). f(-4) + f(2) > 1. a soma de todos os valores distintos de x, x E A, tais que f (x) e) f(3) - f(-2) < O.
a) b) c) d)
78
= 3, 13 urn nurnero positivo.
Capitulo Fun~ao Fun~ao
I.
do I Q grau
constante
Existem fun<;:6es em que 0 valor de f(x) e sempre mo podemos verifiear no exemplo a seguir. o retingulo da figura ao lado tern 12 em de comprimento e 8 em de largura. Considerando 0 trapezio assinalado, temos:
mesmo para qualquer valor de x, co-
0
x
r----oc---------------,
• a base maior (B) mede (12 - x) em; • a base menor (b) mede x em; • a altura (h) mede 8 em. A area y de urn trapezio 'e dada por f - - - - - - 1 2 ------}.MI
y= B+b· h
f o. ol .
2
No nosso easo temos: (12 - x)
Y
2
=
+
x
.8
~
y
=
+
12 - x
2
x
.8
~
y
=
48
A area do trapezio e 48 em 2 . Observe que a area y nao depende do valor de x, Oll seja, para qualquer valor de x, com x < 12, temos, no nosso easo, sempre y = 48. Fun<;:6es desse tipo sao ehamadas fun~6es constantes. De urn modo geral:
o<
Dado urn numero real k, ehama-se
y
fun~ao
eonstante a fun<;:ao f: IR
--->
IR, definida por
= f(x) = k. Sao exemplos de ull1<;:ao eonstante:
a) f(x)
=
b) y
3
Grafico da
=
fun~io
-6
e)y= -
dominio da ull1<;:ao
d) y
5
=
constante
o grifieo da fun<;:ao eonstante f (x) = Ie e uma reta paralela ao eixo x passando pelos pontos de ordenadas y = k. o
4
e D(f)
=
IR.
A imagem da fun<;:ao e Im(f) = {k}.
79
:I
fix)
=k
Exemplo 1 Construir 0 grifieo da func;:ao f(x)
1.
=
SolUFio Como f(x) = 1 e uma func;:ao eonstante, seu grafieo e uma reta paralela ao eixo x passando pelos pontos de ordenadas y = 1.
]
fix) = I
D( f) = IR e Im( f) = {I} -I
Exemplo 2 Construir a grafieo da func;:ao f: IR+
->
IR definida par f(x)
=
• x
2
01 -2.
SolUFio A fimc;:ao f(x) = -2 e constante no seu dorrlinio D(f) = IR+. Seu grmco e uma semi-reta paralela ao eixo x com origem no ponto (0, -2). D(f)
o
= IR+ e Im(f) = {-2l
x
-I
fix) =-2
EXERCiclO PROPOSTO 1. Canstrua a grafica das func;:6es abaixa: a) f: IR .... IR, dada par y
2.
Fun~ao
= 3 b) f: IR .... IR, dada par y
=
5
c) f:IR .... IR,dadaparf(x) =
3
2
2
do 12 grau
A figura mostra um retangulo ABCD, de lados 18 em e 12 em. Sabre AB marcou-se um ponto M, a x em de B. Par M trac;:ou-se MN II BC. Dessa forma faram obtidos dais rerangulos. o perimetro y do redngulo MBCN assinalado e func;:ao de x definida par:
y = 2x
N
D
C
12
+ 24
Assim, para x = 3 em, teremos:
y = 2(3)
+ 24 =
6
+ 24 = 30
M
A
18-
o perimetro do redngulo sera de 30 em. A area z do mesmo rerangulo em em 2 , tambem func;:ao de x, e definida par: z
= 12x 80
x
B
Assim, para x
3 em, teremos:
=
z = 12 . 3 = 36 2
A area do redngulo sera de 36 em . Cada uma dessas duas func;oes e um exemplo de funs:ao do 1 Q grau. De um modo geral: Dados os numeros reais a e b, com a oF 0, ehama-se funs:ao do 1 Q grau (ou funs:ao afun) a func;ao: f: IR ---> IR definida par y = f(x) = ax + b Nas seguintes func;oes do 1 Q grau, estamos destaeando os valores de a e b: a) f(x) = 3x + 12, em que a = 3 e b = 12. b) y = x - 3, em que a = 1 e b = - 3. e) f(x) = -0,2x, em que a = -0,2 e b = 0. as exemplos seguintes envolvem func;oes do 1 Q grau. Exemplo 1 Dada a func;ao f(x) a) f(3)
2x, ealcular:
=
b)f(x+1)
Solurao a) f(3) = 2 . 3 ~ f(3) = 6 b) f (x + 1) = 2 . (x + 1) ~ f (x
Exemplo 2 Sendo f(3x + 2)
5x
=
+ 1) = 2x + 2
+ 3, ealcular f(8).
Solurao Devemos fazer 3x + 2 = 8 ~ 3x = 6 ~ x = 2. Logo,f(8) = 5(2) + 3 = 10 + 3 = 13. Exemplo 3 Sendof(x + 2)
=
x + 3, calcularf(x - 5) em func;ao de x.
Solurao Fazendo x + 2 = t, temos: x = t - 2. Substituindo esses valares emf(x + 2) = x + 3, vem: f(t) = (t - 2) + 3 ~ f(t) = t + 1 Substituindo t por x - 5, vem: f(x - 5) = (x - 5) + 1 ~ f(x - 5) = x - 4
EXERCICIOS PROPOSTOS
_
2. Dadas as funy6es de IR em IR, identifique aquelas que sao do 1Q grau. a) f(x)=6x-15
b) g(x)
=
-9x + 1
3. Dada a funyao f (x)
a) f(-3)
=
c) h(x)=x 2 +7x
e) f(x)
d) Y = 10 - 4x
f) Y = x-
5x - 2, determine: b)
f(
+)
c) f (0)
81
3
2
x
3
= -+3
5
= 4x + 5, esereva:
4. Sendo f (x) a) f(x - 2)
b) f(3x
5. Dada a fun9ao f (x) a) f(x)
=
+ 4)
8x + 12, determine 0 valor de x para que se tenha:
=0
e) f(x) = 12
b) f(x) = 4
6. Sabendo que f (x
+ 2)
=
10x - 7, pede-se:
a) f(3)
e) f (5)
b) f(1)
7. Sendo f (x
+ 6)
=
8x - 15, determine:
a) f(x)
b) f(3x
+ 2)
8. Uma transportadora realiza servi90s apenas para earga eompleta, eobrando uma quantia inieial de 100 UT (Unidade de Transporte) e mais 5 UT por qUil6metro rodado. Chamando de x 0 numero de quil6metros pereorridos, responda: a) Qual a lei que define 0 pre90 ya ser eobrado em fun9ao de x? b) Quantas UT serao pagas para um transporte de 120 km? e) Se um transporte eustou 300 UT, qual 0 total de quil6metros pereorridos? 9. De uma folha de eartolina retangular de 50 em por 40 em foram retirados 6 quadradinhos de lado x, eonforme nos mostra a figura. Qual a lei que define 0 perfmetro y da parte restante?
Grafico da fun~a.o do I Q grau o grafico de uma fun<;ao do 1 grau e uma reta nao-paralela nem ao eixo x nem ao eixo y. Seu dominio e D(J) = IR e sua imagem e 1m(J) = IR. Q
Exemplo 1 Construir a grifico da fun<;ao y
= 2x +
3 (a
=
2 > 0).
Solurao A fun<;ao y = 2x + 3 e do 1 Q grau e, pOl'tanto, seu grafico e uma reta. Como a tra<;ado de uma reta pode ser feito a partir de dais de seus pontos, vamos atribuir a x dais valores arbitrarios e, consequentemente, encontraremos as valores respectivos de y, Para evitar passiveis erros, podemos determinar um terceiro ponto da reta, que serviri para testar a alinhamento.
Para x = 0 ~ y = 2 . 0 + 3 ~ Y = 3. Para x = - 2 ~ y = 2 ' (- 2) + 3 ~ Y = - 1. Para x = - 1 ~ .y = 2 . (- 1) + 3 ~ y = 1.
Grmco
Tabela .\'
Y
(x, y)
o
3
(0,3)
-2 -1
-1
(-2, -1)
1
(-1, 1)
2
x
Observe que a fun<;ao y = 2x + 3 e crescente. 1sso ocorrera sempre que a coeficiente a do termo em x da fun<;ao for positivo.
82
Exemplo 2 Construir a grafico da
Soluyiio
-
fun~ao
y
= -
2x
+ 3 (a
= -
2 < 0).
Tabela
Graflco (x, y)
1
1
(1, 1)
o
3
(0, 3)
-1
2
'1 3
(2, -1) ,-~
2
,. -3
-2
-1
x
0 -I
Observe que a fi.ll1~ao y = - 2x + 3 e decrescente. Isso ocorrera sempre que a coeficiente a do termo em x da fun~ao for negativo. Em resumo temos: Se a > 0, a fun~ao y = ax + be crescente. Se a < 0, a fun~ao y = ax + be decrescente.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
10. Construa 0 grcHico das fungoes: a) f (x)
=
2x
+5
c) y =
b) f (x) = 5 - 2x
1 x +2 2
11. Classifique em crescente ou decrescente as seguintes fungoes:
=
+ 40
10x
b) Y = -8x
c) Y =
- 2.
x d) f (x) = x - 12 4 12. Dada a fungao y = (3m - 6)x + 8m, determine 0 valor de m, de modo que: a) a fungao seja constante b) a fungao seja crescente c) a fungao seja decrescente a) f (x)
Exemplo 3 Escrever a fun~ao correspondente ao grifico:
x
Soluyiio
o grifico e uma reta nao-paralela aos eixos. Trata-se, pais, de uma fun~ao do 1 llma
fun~ao
do tipo y
=
ax + b.
83
Q
grau, isto
e,
Como os pares (1, 2) e (2, 5) pertencem ao grafico: • substituindo x por 1 e )' por 2, obtemos a + b = 2; • substituindo x por 2 e)' por 5, obtemos 2a + b = 5. Resolvendo
0
. {a+b=2 sistema 2a + b = 5 ' encontramos a = 3 e b = - 1.
Logo, a fun<,:ao
e)' =
3x - 1.
Exemplo 4 Urn autom6vel, com velocidade constante, percorre uma trajet6ria retilinea conforme mostra a figura abaixo: (Espa~o
em km) y
";7' 10
- -;
,
,
o
Calcular
0
tempo em que
x (Tempo em min)
20
autom6vel percorred. 30 km.
0
Solurao
o grafico corresponde a uma fun<,:ao do 1
Q grau, ou seja, uma fun<,:ao do tipo )' • Substituindo x por 5 e )' por 10, obtemos 5a + b = 10. • Substitllindo x por 20 e y por 20, obtemos 20a + b = 20.
Resolvendo
0
sistema {5a + b = 10 ,encontramos a 20a + b = 20
- , A fu n<,:ao e, portanto: y
=
-
2 x 3
=
2 e b= 3
=
ax
+ b.
20 3
+ -20 3
2 20 Para y = 30, obtemos: 30 = - x + - 3 3
x = 35.
=>
o alltom6vel percorrera 30 km em 35 min. EXERCICIOS PROPOSTOS 13. A tabela refere-se
a fun9ao do 1
14. Dada a fun9ao f (x) = ax
Q
+
grau y = ax
2
2
3
6
_ + b.
Qual
e a lei dessa fun9ao?
b, em que f (1) = 11 e f (-2) = 5, pede-se 0 valor de a e de b.
15. De a lei da fun9ao do 12 grau cujo grcifico passa pelos pontos: a) A(2, 8) e B(3, 9)
b) A(2, -3) e B( -2, 5)
84
16. De a lei das func;:6es determinadas pelos graficos: ~
~
c)
y
2
x
x
x
2
t
17. Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajet6ria retilfnea conforme 0 grafico abaixo: (Espa~o em km) y
10j
-
-/
---+----/+______+_______ :
sot
--1.5
lI;
1'5
(Tempo em min)
Em quanta tempo percorrera 15 km?
Zero da fun~ao do I Q grau Cbama-se zero ou raiz da func;:ao do 1 Q grau f (x) f(x) = O. Assim:
f(x) = 0
ax + b = 0
~
Entao a raiz da func;:ao f(x)
=
~
ax + b a valor de x para a qual
ax = -b
~ .'1:
= -
b a
~ . a
ax + be -
Determinemos, como exemplo, a raiz da func;:ao y
=
x-I.
Temos: x-1=O~x=1
o numero 1 e a raiz da func;:ao y = x-I. Observe na figura ao lado que a grafico da func;:ao carta a eixo x no pan to (1, 0).
x
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
18. Calcule 0 zero de cada uma das func;:6es:
a) y = 2x - 8
c) Y= -7x+ 3,5
b) Y = 3x
19. Determine as coordenadas do ponto onde 0 grafico das seguintes func;:6es corta 0 eixo dos x.
a) y = 3x - 1
b) f (x) = 5 - 4x
c) f (x) =
85
2x - 10
4
d) f (x) =
-x
8
3. Estudo do sinal da Estudar
fun~ao
sinal da funs;ao do 1 Q grau y
0
=
ax
do I Q grau
+ b e determinar os valores reais de x, para os
quais se tenha y < 0, Y = 0 ou y > O. Sabemos que y
-b = 0 se x = --. a
Para conhecermos os
valores reais de x de modo que se tenha y < 0 ou y > 0, devemos considerar 0 sinal do termo a. Se a > 0, a funs;ao e crescente. Nesse caso, temos:
x<
-b a
~
y< 0
x>
-b a
=)
y> 0
x
e decrescente.
Se a < 0, a funs;ao Nesse caso, temos:
x<
-b a
=)y>O x
x>
-b a
=)y
Vamos resolver, como exemplos, alguns exerdcios.
Exemplo 1 Estudar 0 sinal da funs;ao y
Solurao Calculemos
y
=0
~
Como a
0
5x - 3.
zero da funs;ao.
5x - 3 =
=
=0
5 > 0, temos
3 5 seguinte esbos;o do grafico:
5x
=)
0
=3
=)
x
=
Entao: 3 • para x < -
5
=)
y < 0;
• para x
= -
3 5
86
~
y= 0;
• para x >
3 5
=)
y> O.
Exemplo 2 Estudar 0 sinal da funs:ao y = - 5x + 3. SolUfiio
Calculemos
y
=0
~
Como a
zero da funs:ao.
0
-5x + 3 =
=0
~
-5 < 0, temos
-5x
= -3
~
x
3 5
=
seguinte esbos:o do grifico:
0
x
Entao:
3 • para x < 5
~
y > 0;
• para x
= -
3
~
5
y
=
• para x > 3 ~ y < O.
0;
5
Exemplo 3 Considerando 0 grifico de j;, ao lado, verificar se y e positivo, negativo ou nulo para os seguintes valores de x: a) x
=
5
b) x
=
1 x
SolUfiio
Observando
0
grifico, nota-se que para x
= 5 tem-se y < 0 e para x = 1 tem-se y > O.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
20. Faya 0 estudo do sinal das seguintes funyoes:
b) Y = - ~ 3
a) y = 3x - 6
d) y=
c) y = 5x
-x- -2 3
21. Determine 0 sinal da funyao y = 3x - 15, quando: a) x = -2
4.
b) x
Inequa~oes
Chama-se formas:
inequa~o
=
2
c) x = 5
d) x= 7
e)
X=
9
do I Q grau
do 1 Q grau na varicivel x toda inequas:ao que se reduz a uma das
ax + b ;:" 0, ax + b > 0, ax + b,;;; 0,
*
ax + b < 0,
em que a e b sao numeros reais quaisquer, com a O. Resolve-se uma inequas:ao do 1 Q grau aplicando-se as propriedades da desigualdade.
87
Exemplo 1 Resolver a inequa<;:ao -5x
+
10
~
0 em U = IR.
Solurao - 5x + 10
~ 0 => - 5x ~ - 10 => 5x ~ 10 => x ~ 2 Logo, S = Ix E IR Ix ~ 21. Tambem poderiamos resolver a inequa<;:ao estudando 0 sinal da fun<;:ao y
y= 0
-5x+ 10
=>
=0
=>
-5x= -10
5x= 10
=>
=
-5x + 10:
x= 2
=>
Como a = -5 < 0, a fun<;:ao e decrescente. Logo, y ~ 0 para x ~ 2. x
Exemplo 2 Resolver a inequa<;:ao 2(2x - 1) - 3( 4x - 2)
~
3 em U
=
IR.
Solurao 2(2x - 1) - 3(4x - 2) ~ 3 4x - 2 - 12x + 6 ~ 3 4x - 12x ~ 3 + 2 - 6 -8x ~ -1 (multiplicando por - 1) 8x
~
1
=>
Logo, S
x
=
1 -
~
{x
8
E IRlx
~ ~l
EXERCiclO PROPOSTO 22. Resolva as inequac;:6es do 1Q grau em IR: a) 3(4x - 9) - 2(x
c) ~_ 2x-~<2
+ 2) > - 4
3 b) ~ _ 6x :;;; 1
2
d)
5
4
3(2x - 4) _ ~ > 0
4
Exemplo 3 Resolver a inequa<;:ao 1 < 3x - 2 a) U
=
IR
~
10, considerando: b) U = 7L
Solurao a) U
=
IR
88
3
Devemos resolver as
inequa~6es
1 < 3x - 2 e 3x - 2 ,,;; 10:
1 < 3x - 2 - 3x < - 1 - 2 -3x < - 3 (multiplicando por -1) 3x> 3 x>l
3x - 2 ,,;; 10 3x ,,;; 10 + 2 3x,,;; 12 x";; 4
•
- - - - J l _ - - - - - - - - -•• I
A
x
intersec~ao
dessas
solu~6es
nos da a
I
4
solu~ao
procurada:
4
----f
i ---~6l_------.... ' - - - -... I
b) Para U
= 7l., 0
Logo, S = Ix E IR 11 < x";;
4
conjunto
solu~ao
eS
=
41.
{2, 3, 4}.
EXERCiclO PROPOSTO 23. Resolva as inequagoes considerando como conjunto universe U a) -3 < 5x + 2 < 7 b) 2:;;; 6x - 10:;;; 2x
= IR,
c) x:;;; 2x - 3 < x + 7 d) 2x - 5 < 3x + 4 < 6x
+
6
Inequa~ao-produto Dadas as
fun~6es
f(x) e g(x), chama-se
inequa~ao-produto toda inequa~ao
f(x) . g(x) < 0, f(x)· g(x) ,,;; 0, f(x)· g(x) > 0 ou f(x)· g(x)
Estudando os sinais de f(x) e g(x), determinaremos remos tambem 0 conjunto solu~ao da inequa~ao.
Exemplo 1 Resolver a inequa~ao (x + 2) . (-2x + 3)
~
0
do tipo:
~
0
sinal do produto f(x) . g(x) e obte-
O.
Solurao Dadosf(x)
= x + 2 eg(x) = -2x + 3, estudemos 0 sinal de cada
Zero da fun~o f(x) x + 2 = 0 ~ x = -2 Como a
=1>
0, a
ftll1~ao
fun~ao.
Zero da fun~o g(x) - 2x + 3 = 0 ~ - 2x = - 3 ~ x
e crescente.
Como a
Sinais de f(x)
= -
2 < 0, a
ftll1~ao
3 2 e decrescente. =
Sinais de g(x)
x
x
89
Colocando em um quadro os sinais de cada fun<;:ao e determinando f(x) . g(x), temos:
0
sinal do produto
3
"2
-2
~
r
f(x)
!
+
g(x)
+
+
+
f(x) . g(x)
+
•
-2
Como queremos f(x) . g(x)
~
3
~Solu
0, temos:
S={xEfRl-2~X~ ~} Exemplo 2 Resolver a inequa<;:ao x· (-2x
+ 4) . (x - 3) < 0.
SolUfao
Dadosj;(x) = x, h(x) = -2x
+ 4 e f,(x) = x - 3, estudemos
Zero de j;(x)
sinal de cada fun<;:ao. Zero de fix)
Zero de h(x)
x=o
+4
- 2x
Sinais de h(x)
yo~
0
=
°
=>
x
=
x-3=0
2
b
x
2~
~
•
Y3
x
Quadro de sinais 0
j;(x) h(X)
2
+
~
+
+
+
•
+
~
f,(x) j;(x) . h(x) . f,(x)
+ +
•
+
6 0
•
6-------6 2
3
Como queremos j;(x) . h(x) . f,(x) < 0, temos:
S = {x E fR
10 < x < 2 ou x > 90
x=3
Sinais de f,(x)
Sinais de h(X)
~
=>
3}.
~
x
EXERCiclO PROPOSTO 24. Resolva as inequa<;:6es: a) (x - 2)(x + 3) > 0 b) (x - 2)( -2x + 8) ~ 0 c) (2x + 10)(-3x + 1) > 0
d) (-x - 2)(-3x - 4) < 0 e) (-x + 1)(-2x + 10)(x + 3) ~ 0 f) 3x(2x - 1)(-3x + 7) < 0
I nequa~ao-q uociente Dadas as funs:6es f(x) e g(x), chama-se inequas;ao-quociente toda inequas:ao do tipo:
f(x) > 0 f(x) ~ 0 f(x) < 0 ou g(x) 'g(x) 'g(x)
f(x) :;;; 0 g(x)
Como a regra de sinais do quociente e igual a regra de sinais do produto, para resolvermos uma inequas:ao-quociente vamos proceder da mesma forma como fizemos na resolus:ao da inequas:ao-produto, tomando-se agora 0 cuidado de colocar g(x) =1= O. Exemplo 1 Resolver as inequas:6es: b) 3x -4 ~O x-2
a) 3x-4 >0 x-2
d) 3x-4:;;;0 x-2
c) 3x -4 <0 x-2
Solufao
Fas:amos f(x) = 3x - 4 eg(x) = x - 2. Estudando os sinais das nms:6es f(x) e g(x), temos: Zero de f(x)
Zero deg(x)
3x-4=0=>x=
4 3
x-2=0
Sinais def(x)
=>
x=2
Sinais de g(x)
x
x
Colocando no quadro os sinais de f(x) e g(x), obteremos as sinais de 4
3"
2 +
f(x)
+
g(x) f(x) g(x)
+
+
+
6 4
3"
91
• • •
•
f(x) g(x)
A llitima linha do quadro de sinais nos fornece as solus:6es das inequas:6es dadas.
f(x) > g(x)
a) Como
°,
S {x
Portanto:
=
4
graficamente temos:
3"
2
-----O)--------
x
E fRlx
~
<
au x>
f(x) ;. 0, comg(x) oF 0, g(x) graficamente temos:
2}.
b) Como
4
3"
x
S {x fRlx ~ ~ au x> 2} f(x) < ° graficamente temos: g(x) ,
Portanto:
c) Como
2
----_.l---------
E
=
4
3"
2
--------------l.~
S G fR I ~
Portanto:
~
f(x) g(x)
d) Como
E
=
< x <
x
2}.
0, comg(x) oF 0, 4
3"
graficamente temos:
2
--------t._----_O>-------l.~
x
S {x
POl"tanto:
=
E fRl
x< 2}.
~ ~
Exemplo 2 Resolver a inequas:ao 3x - 2 ~ 1. x-3 Solufao
3x - 2
---~1
x-3
=>
2x +1 x-3
~
=>
3x - 2 _ 1 ~ x-3
°
0, com x - 3 oF 0.
=>
3x - 2 - (x - 3) ~ x-3 Fazendof(x) = 2x
Zero de f(x)
°
=>
3x - 2 - x
+3
-------~
x - 3
+ 1 eg(x)
=
°
x - 3, temos:
Zero deg(x)
1 2x+1=0=>x=-2
x-3=0
=>
x=3
Sinais de g(x)
Sinais de f(x)
x
92
=>
Quadro de sinais -I
"2
3
•
f(x)
r
+
g(x)
+
f(x) g(x)
+
+
•
6
-I
3
"2
Como queremos
f(x) g(x)
• • •
+
~0
,
Solu~ao
•
com g(x) =F 0, temos:
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
25. Resolva as seguintes inequar;:6es no conjunto IR.
x-3
a) - - > 0
c)
x+2
b)
3x+9 ~O x-4
6x-12 x
>0
3x-4
d) - - < 2
5-2x
e)
--~1
f)
~<2
x+1
x+2
2x-5
26. Resolva as inequar;:6es: a)
(x-2)(4-x) x+3
27. Determine
0
~
0
x(x-4) <0 x+2
b)
domfnio das funr;:6es:
2x+3 b) y=\~
a) f(x) = ,'(x + 1)(x - 6)
Exemplo 3 Resolver a inequa<;:ao - 1
~
5x -8 3-x
~
1.
Solufao
Devemos ter:
5x - 8 ~ -1 3 -x
CD
e
5x - 8 ~ 1 3-x
Resolvendo a inequa<;:ao
CD ' encontramos:
51
Resolvendo a inequa<;:ao
@, encontramos:
52 =
93
=
{x
t
@ E IR I
~ ~
E IR Ix
~
x<
3} .
I; ou x > 3}.
Como as condic,:6es
CD e ®
devem ocorrer simllltaneamente, a solllc,:ao sera: 5 = 51 n 52' 5
II
4"
6 ~
3
• c) 52 - - - - - - -..-------( .• 52 -----;....---.----'----------. • • 4" 51
51 n
•
9
II
5
6
Solu~iio
e:
Entao a soluc,:ao final
EXERCiclO PROPOSTO 28. Resolva as inequac;:oes: a)
-2';;;
3x - 6
,;;; 2
b)
2,;;;
4x - 10
4-x
,;;; 4
3x - 6
I nequa~ao-potencia Dada a func,:aof(x) e qllac,:ao do tipo: [f(x)]"
0
~
nlunero natural n(n
0,
[f(x)]"
~
2), chama-se
> 0, [f(x)]"
~
inequa~ao-potencia toda
0 ou
ine-
[f(x)]" < 0
Vejamos alguns exemplos de resolllc,:ao de inequac,:6es-potencia.
Exemplo 1 Resolver as inequac,:6es: a) (2x - 6)4 ~ 0 b) (2x - 6)4 < 0
c) (2x -
6t >
d) (2x - 6)4
0
~
0
50lurao Como n = 4 (par), entao a potencia (2x - 6)4 nunca sera negativa. Ela sera positiva se 2x - 6 *- 0 e nula se 2x - 6 = O. Em vista disso, temos: a) b) c) d)
(2x (2x (2x (2x
- 6)4 ~ 0 ~ - 6)4 < 0 ~ - 6t > 0 ~ - 6)4 ~ 0 ~
5 = IR 5= 0 2x - 6 *- 0 ~ x*- 3. Logo, 5 = Ix E IR Ix 2x - 6 = 0 ~ x = 3. Logo, 5 = 13).
Exemplo 2 Resolver as inequac,:6es: a) (2x - 6)3 > 0
*-
3).
b) (3x - 5)101 < 0
50lurao A potencia de expoente impar tem sempre
0
sinal da base. Entao:
a) (2x - 6)3 > 0 ~ 2x - 6 > 0 ~ x> 3. Logo, 5 = Ix E IR Ix > 3). b)(3x-5)101<0
~
3x-5<0
~
x<
~.Logo, 94
5
=f
E IRlx <
~}.
EXERCiclO PROPOSTO 29. Determine 0 conjunto soluyao das seguintes inequayoes:
° °
+ 7)4 ;;;, b) (S-2X)2<0 c) (2x + 0,8)6 ,,;; a) (2x
4
d) (
~ -1 S
e) (3x - 6)5>
°
f) (Sx+ 1)3<0 g) (-0,2x + 1,8)7 ,,;;
)8 > °
h) (0,3x
+ 12)9 ;;;,
°
°
RELEMBRANDO CONCEITOS
_
*
Se a 0, y = ax + be uma fun~ao do 1 Q grau. gra.fico da fun~ao e uma reta r que carta 0 eixo dos x num unico ponto, de abscissa
a
x=
-b a
~-.
Para a > 0, a
fun~ao
e crescente e a varia~ao do seu sinal esta mostrada na figura:
x
Para a < 0, a
ftll1~ao
e decrescente e a varia~ao do seu sinal esta mostrada na figura:
x
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 30. Dada a funyao f (x) a) b) c) d)
f (x) f (x) f (x) f (x)
seja seja seja seja
31. Sendo f (x)
= (-2m + 10)x + m
uma funyao uma funyao uma funyao uma funyao
constante. do 1Q grau. crescente. decrescente.
= Sx + 4, pede-se:
a) f(O)
b)
- 4, determine m de modo que:
f( ~ )
d) 0 zero de f (x) e) 0 valor de x para que se tenha f (x)
c) f(2x - 3) 32. Dada a funyao f (3x - 1) ~fW
= 11 x - 10, determine: ~f~
95
= -16.
u
33. No retangulo mostrado na figura, foram retirados: • de cada canto superior, um quadrado de lade x em; • de cada canto inferior, um retangulo de x em por 12 em. Dessa forma, obteve-se a cruz assinalada. De 0 perimetro
-
y dessa cruz.
22 12
12
x 16
34. Determine a raiz de cada uma das a)
fun~6es
representadas pelos graficos: c)
b)
2
x
x
x
peda~os de cartolina retangulares, um de 8 em por 6 em e outro de 4 em por 3 em, foram colados conforme mostra a figura, de modo que a parte superposta resultou num quadrado de lade x em (0 < x < 3).
35. Dois
8
a) De 0 perimetro y do poligono
B
---
ABCDEFGH. b) De 0 perimetro no caso particular de x = 2. c) De 0 valor de x para 0 qual 0 perimetro 36 em.
6
e
x eD 1---,
GI..············
H
F
36. Resolva a
inequa~ao
(x - 5)( -2x - 4)
a) U = IN
~
4
£
0 no conjunto universo dado.
b) U= Z
c) U
37. Escreva a soma das solu~6es inteiras do sistema 1 ,;;;
2x - 3 2
38. Ache 0 maior valor inteiro de x que satisfava a inequavao
=
IR
,;;; 7,5.
x(x - 2) < O.
x+3
men de modo que os pontos P1 (- 2, -1) e P2 ( -1, - 2) pertenvam ao grafico da reta definida por y = nx + m.
39. (U FMG) Determine
0 valor de
40. (UFSC) Sabendo que a f (16).
fun~ao
f (x)
= mx +
n admite 5 como raiz e f (-2)
96
= -63,
calcule 0 valor de
41. (EsPCEx) Determine
0
valor de x pertencente a "l. que satisfa~a a inequa~8.o
42. (PUC-RJ) Ache todos os numeros reais x que
satisfa~am ~ ~
56 - 7x 5x _ 37 :;,. O.
2.
2-x
-4 3 -1 43. (Unicamp-SP) Ache os valores reais de x para os quais vale a desigualdade - - + - :;,. -
2
x
44. (Fatec-SP) Resolva em IR a inequa<;:8.o
x
x + 23 ~ x + 6
x-
x +4 . + 1 < 2x + 20
3x 45. (Faap-SP) Determine 0 valor inteiro de x que satisfaz as desigualdades:
x > 15 x - 1 4 --->X + 3 5
1
46. (F. Oswaldo Cruz-SP) Resolva a inequa<;:8.o (a - 1)x < a - 1, sendo a < 1.
TESTES 47. (U. Sagrado Cora<;:8.o-SP) Para que os pontos A(1. 2) e B(2, -1) f (x) = ax + b, 0 valor de b - a deve ser: a)
2
c) -2
b) 8
perten~am
ao gratico da fun~8.o
e) 4
d) -8
~
48. (U. E. Ponta Grossa-PR) Areta AB, representada abaixo, intercepta a) 8 - 3a
b) 3a - 8
c) 5a
o
0 eixo
d) -3a - 8
4
x no ponto de abscissa: e) -5a
x
49. (Fatec/Ceeteps-SP) Seja P(t, t + 4) um ponto da reta AB dada pela figura abaixo. 0 valor de t e: a)
35
4
b)
35
c) 18
3
d) 10
x
-3
97
e) 14
50. (Unifor-CE) A fun9ao t, do 1Q grau,
e
definida por t (x) corte 0 eixo das ordenadas no ponto de orden ada 5 a) 1
c) 3
b) 2
51. (F. Ibero-Americana-SP)
= 3x + k.
e:
a mais amplo dominio real da fun98.0 definida por t (x) d) ] -00, 2[
b) ]-::0, 2[ U [3, +x[ c) [3, +::o[
e) ]2,3]
a dominio da fun9ao t (x)
d) -3';;; x< 2 e)
a dominio da fun9ao real t (x)
55. (U. F. Vi90sa-MG)
'3}
c)
~]
d = 300 000 . d = 340 . t d = 340 . t 2 d = (300 000 - 340) . d = 340 . t + 300 000
,2
ou
x>
x:. 5 < 1 e: 2x - 3 3x-2
[-1, ~ [
d) [-1, oo[
57. (Unifor-CE) Um raio cai a d metros de uma pessoa. Ela ve a luz do relampago e ap6s t segundos ouve 0 som resultante. Sabendo-se que a luz percorre a distancia d em um tempo desprezivel e que 0 som percorre 340 m por segundo, a f6rmula que da aproximadamente a distancia d em fun9ao do tempo t e: a) b) c) d) e)
,2 }
< x,;;; -
d) {x E IR I x < 5 ou x> 7} e) {x E IR I x < 5}
a conjunto solU9ao da inequa98.0
b) ]- 00,
,3
d) {x E IR; x,;;; --;
a conjunto solu9ao de
a) ]-00, -1]
e:
c) {x E IR; -
a) {x E IR I x> 7} b) {x E IR I x> 7 e x"* 5} c) {x E IR I x < -3 ou x> 5}
56. (Unirio)
x> -2
,2 + x ,3 - x
= \
,2 ,;;; x < \3}
b) {XE IR; ,2- < x<
3-x \ x-2
{x_ 2 e 0 conjunto dos numeros reais x tais que:
x,;;; -3 ou x> 2 b) x < -2 ou x ~ 3 c) -2';;; x,;;; 3
{x E IR; -
=
{X+3-
=
a)
a)
a e:
d) S = 0
a) IR
54. (UFCE)
2x-4 x-2
--- ~
e) S = {x E IR Ix ~ 2}
52. (U. Cat61ica de Salvador-SA)
53. (PUC-MG)
e) 5
d) 4
a conjunto solU9ao da inequa9ao
a) S = {x E IR IX? 2} b) S = {x E IR Ix oF 2} c) S = {IR}
a valor de k para que 0 grafico de t
t
98
~
1
e 0 seguinte intervalo:
,3)
e:
58. (F. Santo Andre-SP) 0 grafico mostra como 0 dinheiro gasto (Y), por uma empresa, na produ-
Y (RS)
gao de 61eo varia com a quantidade de 61eo produzida (x). Assim, podemos afirmar que:
190
a) quando a empresa nao produz nada, nao gasta nada. b) para produzir 2e de 61eo a empresa gasta R$ 76,00.
c) para produzir 1
e de
20
o
5
x (e)
61eo a empresa gasta
R$ 54,00.
d) se a empresa gasta R 170,00, entao ela produz 5e de 6leo. e) para fabricar 0 terceiro litro de 6leo, a empresa gasta menos do que para fabricar 0 quinto litro.
59. (Osec-SP) Dada a inequagao (x - 2)7. (x - 10)4. (x a) {x E IR 1 x < -5} b) {x E IR < x < 10} c) {x E IR -5 < x < 2}
12 I
+ 5)3 <
0, 0 conjunto solugao e:
d) {x E IR 1-5 < x < 10} e) 0
60. (PUC/Campinas-SP) Em uma certa cidade, os taxfmetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximetrica) e mais 0,2 UT por quil6metro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, 0 taxfmetro registrou 8,2 UT, 0 total de quil6metros percorridos foi: a) 15,5
b) 21
c) 25,5
99
d) 27
e) 32,5
Caplt 10
Fun<;ao do 2° grau I.
Introdu~ao
A figura mostra urn quadrado com 20 em de lado. Dele foram retirados: • de eada canto superior, urn quadrado . eujo lado mede x em; • de cada canto inferior, urn retangula de 12 em par x em.
12
Obteve-se assim uma figura em forma de cruz, euja area y e funs:ao de x, definida par:
:~
----'.... .... j
..... :X ..·.... l
y = 400 - 2(12x) - 2(x 2 ) ---,.
...-'
~ Area dos quadrados dos cantos superiores
Area dos recingulos dos cantos uueriores Area do quadrado
Partanto: y = -2x 2 - 24x + 400. A funs:ao aeima definida e urn exempla de funs:ao do 2 Q grau. De urn modo geral:
*
Dados os numeros reais a, be c, com a 0, ehama-se funs:ao do 2 Q grau (au funs:ao quadratica) a funs:ao: f: IR -+ IR definida par y = f(x) = a~ + bx + c Nas seguintes funs:6es do 2 Q grau, estamas destaeando as valores de a, be c: a) b) c) d)
f(x) = 2x 2 + 4x - 10, em que a = 2, b = 4 e c = -10. y = -3x 2 - 5x, em que a = -3, b = -5 e c = 0. y = x 2 - 12, em que a = 1, b = e c = -12. f(x) = 0,23x 2 , em que a = 0,23, b = e c = 0.
° °
EXERCiclOS PROPOSTOS 1. Dadas as seguintes func;:6es de IR em IR, identifique aquelas que sao do 22 grau. a) f (x)
b)
= 3x 2
-
6x
y= _x 2 + 4x
+
1
2x - 8
c) f(x)
=
d) f (x)
= 2x -
6
100
e)
y=
f) y=
5
4
7 x2
8
x -
5 6
2. Dada a func;:ao f (x)
=
(5m - 20)x 2
+ 6x -
8, calcule m de modo que:
a) f (x) seja func;:ao do 2 Q grau.
b) f (x) seja func;:ao do 1Q grau.
3. Para que valores de m a func;:ao y = (m a) func;:ao do 2 Q grau?
9)x 2
2
-
2
5. Sendo f (x) = -4x +
+,
(m - 3)x
+
1 representa:
c)
b)
6. Dada a func;:ao f (x) = 6x
2
f(
c) func;:ao constante?
+)
d) f(-.J2)
calcule:
f( +) =
+
7x + 3, determine:
b) f(-1)
a) f (0)
a) f (x)
-
b) func;:ao do 1Q grau?
4. Dada a func;:ao f (x) = 3x
a)
2
-
f( -21 )
c)
f( "[ )
5x + 1, calcule x de modo que:
b) f (x)
0
=
c) f(x)
1
=
15
7. Uma empresa vende mensalmente x unidades de um determinado artigo. 0 custo (C), em UV 2 (Unidades de Valor), dado por C(x) = 2x - 7x + 10. Calcule 0 custo da produc;:ao em UV para 100 unidades.
e
2. Grafico da o
fun~ao
grafico de uma funs:ao do 2 Q grau
do 22 grau e uma curva aberta chamada parabola.
Exemplo Construir os graficos das seguintes funs:6es do 2 Q grau:
a) y
=
x2
+
b) y = -
3
-
4x
-
4x + 3
21
x2
+
X
SolUfiio
a) y
=
x2
•
Tabela y
Grmeo
Ponto (x, y)
0
3
A(0,3)
1
0
B(I, 0)
2
-1
3
0
D(3,0)
4
3
E(4, 3)
C(2, -1)
x
c Observa-se pdo grafico que: • • • •
a > 0: concavidade voltada para cima
a imagem da funs:ao e rm = (y E fR Iy ~ -I}; os zeros da funs:ao sao x = 1 e x = 3; a funs:ao e decrescente no intervalo {x E fR Ix ~ 2} e crescente no intervalo {x E fR Ix ~ 2}; a funs:ao tem um valor minimo (y = - 1) para x = 2.
101
Tabela I
Grmco
Ponto (x, y)
-2
Y -4
0
0
B(O, 0)
1
1 2
C(l, ;)
2
0
D(2,0)
4
-4
X
I
A( -2, -4)
x
E(4, -4) a < 0: concavidade voltada para baixo
Observa-se pelo grilleo que: • a imagem da funr;ao e 1m
=
{!
E IRly:s; ; } ;
• os zeros da funr;ao sao x = 0 e x = 2; • a funr;ao e ereseente no intervalo {x E IR Ix:S; 1) e deereseente no intervalo {x E IR Ix • a funr;ao tern urn maximo
(y = ;
~
I};
) para x = 1.
Concavidade Examinando os grafieos das funr;oes do exemplo anterior, podemos observar que aquela que apresenta 0 eoefieiente a do termo em x 2 positivo tern a eoneavidade da parabola voltada para eima e aquela que apresenta 0 eoefieiente a negativo tern a coneavidade da parabola voltada para baixo. Essa earaetenstiea eonstitui uma regra geral para toda funr;ao do 2 Q grau y = ax 2 + bx + c.
a>O
a
Exemplo 1 Achar as valores de m para os quais 0 grafico da funr;ao y seja uma parabola concava para cima.
=
(m
+ 2)x 2 + (2m - l)x + 4
SolUfiio
Uma parabola tern a concavidade voltada para cima quando a> O. Logo, devemos ter: m
+
2> 0
~
102
m>-2
Exemplo 2 Escreva a func;:ao do 2 Q grau representada pelo grmco ao lado. Solurao Como 0 grafico e uma parabola, a func;:ao e do tipo y = ax 2 + bx + c. Observa-se pela figura que, entre outros, os pontos (0,5), (2, -3) e (3, -4) pertencem ao grafico. Substituindo esses valores em y = ax 2 + bx + c, obtemos: (0,5) Ef ~ 5 = a' (0) + b· (0) + c ~ c = 5 (2, -3) E f ~ -3 = a' (2)2 + b· (2) + c ~ ~ 4a + 2b + 5 = -3 ~ 4a + 2b = -8 (3, -4) E f ~ -4 = a' (3? + b· (3) + c ~ 9a + 3b + 5 = -4 ~ 9a + 3b = -9 Resolvendo
0
. {4a slstema 9a
Portanto a func;:ao
ey =
x2
x
-3 -2-1
-5
+ = -8 + 2b 3b = -9 ' encontramos a = 1 e b = -6. 6x
-
+ 5.
Avi6es deserevendo areas de parabolas.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
8. Identifique as funy6es quadraticas cujo grafico a)
y= 2x 2
-
3x+ 4
9. Determine m para que de voltada para baixo.
b) f(x) 0
e uma parabola c6ncava voltada para baixo.
= _x 2 + 6x- 9
grafico da funyao f (x) = (3m
10. Qual deve ser 0 valor de k para que concavidade voltada para cima?
0
c) f(x)
+ 1)x 2 +
= x2
d)
(2m - 3)x
grafico da funyao f (x) = (k - 5)x 2
y= -2x 2 + 16
+ 6 tenha a concavida-
+
(2k
+ 3)x - 1 tenha a
11. Determine a funyao do 2Q grau que passa pelos pontos A, 8 e enos seguintes casos: a) A(O, 8), 8(2, 0), C(3, 11) b) A(O, 0), 8(2, 2), C(1, 2) c) A(O, -1), 8(4,3), C(6, 11)
12. De a lei da funyao determinada pelo grafico ao lado. x
103
3. Vertice da parabola Conforme vimos anteriormente, toda parabola tern urn ponto de ordenada maxima ou urn ponto de ordenada minima. A esse ponto chamaremos vertice da parabola e 0 representaremos por V(x v , Yv).
a>O
o Ve
Xv
0
a
X
X
Ve
ponto de ordenada minima.
a ponto de ordenada maxima.
y
Eixo de simetria
r
Eixo de simetria
Para melhor entendermos 0 eixo de simetria de uma parabola, vamos voltar ao grafico da func;:ao y = x 2 - 4x + 3, observando agora que os pontos de abscissas simetricas em relac;:ao a abscissa do venice possuem ordenadas iguais e vice-versa e os pontos da parabola que tern mesma ordenada possuem abscissas simetricas em relac;:ao a abscissa do vertice. Assim:
f(-I) = f(5) = 8 f(O) = f(4) = 3 f(l) = f(3) = 0 p
Generalizando: f(x" - p) = f(x"
p
+ p), para qualquer p.
Em razao disso podemos dizer que a parabola e simetrica em relac;:ao Essa reta e chamada eixo de simetria.
x", paralela ao eixo y.
Exemplo Considerando a parabola construida ao lado, pede-sef(I).
a reta que passa por
4
SolUfao
Como 1 e 5 sao simetricos em relac;:ao ao ponto de abscissa x" = 3, entao f(l) = f(5). Sendo f(5) = 4 ~ f(l) = 4.
2
o
X
v
104
EXERCICIOS PROPOSTOS e Xv = 3 e f (0) = 5. Calcule f (6).
13. A abscissa do vertice de uma parabola
14. Em uma parabola tem-se
Xv
=
_
= -9
5, f (1)
e f (7)
~f~
= -21.
Pede-se:
~f~
= f(3) = -8.
2
15. Em uma funyao do 2 grau sabe-se que f(1)
Calcule xv.
Calculo da abscissa do vertice Dada a funs:ao do 2 Q grau y = ax 2 + bx + c, sendo Xy a abscissa do venice da parabola correspondente, os pontos de abscissas Xy - P e Xy + P possuem ordenadas iguais, isto e: a(xy - p)2
+ b(xy - p) + c = a(xy + p? + b(xy + p) + c
ax~ - 2axyp
+ ap2 + bxy - bp =
=
-4axyp
2axyp
=
2bp
=>
+ 2axyp + at
+ bxy + bp
+ bp
- 2axyp - 2axyp
bp
ax~
=
-
bp
=>
Xy
-b 2a
=
Logo, a abscissa do venice e dada por: ,-x-y-=---;-;----,I.
Calculo da ordenada do vertice -2 ab na funs:ao y = ax 2 + bx + .c, temos: 2 2 2 2 -b 2 +4ac yy = a ( b_)2 + b (_-_b_) + c = _'a_b b_ + C = _b__-_2_b__+_4_ac_ 2 2a 2a 4a 2a 4a 4a 2 Como na equas:ao do 2 Q grau /1 = b - 4ac, podemos escrever: 1 yy = I· Substituindo x por Xy =
~
Ponanto
0
vertice V da parabola da funs:ao y V(_-b, f(--b)) 2a 2a
=
ou
ax 2 + bx
+ ceo ponto:
v(_-b, _-/1 ) 2a 4a
Valor maximo e valor minimo da
fun~io
do 2 Q grau
Examinando os graficos abaixo, observa-se que: y
y
a>O
x
a
x
v Se a > 0, entao para x tern
0
yy
f
=
=
;;
- para x = -b Se a < 0 , entao 2a a fu ns:ao tern 0 seu valor mhimo dado por -b ) -/1 yy= f ( 2a 4a-'
a funs:ao
seu valor minimo dado por -b ) -/1 ( 2a = 4a-'
105
Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1 Dada a fun<;ao y = x 2 a) 0 venice; b) 0 grifico;
2x - 3, pede-se:
-
c) d)
0 0
valor maximo ou minima; conjunto imagem.
SolUfiio
a)
Xv
-b -(-2) 2 = 2a = ~ = 2 = 1
Ll = (-2)2 - 4 - (1) - (-3) = 4
+ 12 = 16
-Ll -16 -16 -- - --4 Y v -- - 4a -- 4(1) 4 Logo,
0
vertice e V(l, -4).
Observas:ao: a ordenada )'V do vertice da parabola poderia ter sido calculada substituindo-se xporx v = 1 emy= x 2 - 2x- 3. Assim:yv= (1)2 - 2(1) - 3 = 1- 2 - 3 = -4. b) Na constru<;ao do grifico atribuiremos a o
-I
X
valores menores e maiores que Gr:illco
2
I Xv
Valores menores
Xv-
Valores maiores
Tabela Ponto (x, y)
x
y
-1
0
A( -1,0)
0
-3
B(O, -3)
1
-4
Vel, -4)
2
-3
C(2, -3)
3
0
I
1m
5 I
• X
D(3,0)
c) Como a = 1 > 0, a fun<;ao admite urn valor minimo que ocorre para minimo e -4. d) 0 conjunto imagem da fun<;ao e 1m = {y E IR Iy;;;, -4). Exemplo 2 Sabendo-se que 0 valor minimo da fun<;ao do 2 Q grau y = (k - 1 )x 2 determinar 0 valor de k.
X
= 1. Esse valor
+ kx + (k - 2) e
-1,
SolUfiio
A condi<;ao para que uma fun<;ao do 2 Q grau admita urn valor minimo e mo em x 2 ser positivo. Devemos ter: k - 1 > 0 ~ k > 1. Q)
106
0
coeficiente do ter-
o valor minimo (ou maximo) de uma func;ao do 2 -/).
.
Nas eondic;oes do problema, temos: - - = -1
Q
grau
@ e dado por )Iv = -/). 4a' II
/). = 4a.
~
4a
Substimindo /). por k2 k2
-
4(k - 1) . (k - 2) e a por k - 1, vern:
-
4(k - 1) . (k - 2)
=
4(k - 1) ~ 3k 2
Resolvendo a equac;ao, eneontramos k Como em
-
8k
= 2 ou k
+4
=
=
0.
2 3
CD k > 1, entao k = 2.
p
D
Exemplo 3 No quadrado ABCD, com 6 em de lado, determinar: a) a area eolorida da figura em func;ao de x; b) 0 valor de x para que essa area seja maxima; c) a area maxima.
x
C
N 6
Solufao
a) A area S da figura colorida e igual a area do quadrado ABCD, menos a area do triingulo PCN e menos a area do triingulo MBN. Entao: S = AoABCD - A.c:.PCN - A.c:.MBN Em em 2 , temos: AoABCD = 6 . 6 = 36 A.c:.PCN
=
A.c:.MBN
=
2
(6 - x) . (6 - x)
2
Logo S = 36 -
,
b) Como a Xv
=
2
-
x2
2
36 - 12x + x 2 x2 - - - - - - =18 - 6x+2 2
- 18 + 6x - -
x2
2
~
S = -x 2 + 6x + 18.
-1 < 0, a func;ao S admite urn ponto de maximo quando x assume
0
valor
-b -6 6 = - - = - - - = - = 3. 2a 2(-1) 2
Logo, a maior area possivel para a figura eolorida
e obtida quando x
c) A area maxima e 0 valor de )Iv da func;ao: Yv = _(3)2 + 6 . (3) + 18 = -9 + 18 + 18 = 27 Logo, a area maxima e 27 em 2 . Com os dados obtidos podemos agora visualizar a figura de area maxima.
107
D
=
3. p
c
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
16. 0 grafico de cada uma das fun90es abaixo e uma parabola. Determine, em cada caso,
0 vertice da
parabola. c) y = 2x 2 - 6x + 4 d) f(x) = -3x 2 + 7x- 2
a) f (x) = x 2 - 9x + 18 2 b) Y = x - 14x + 40
e)y=-x 2 +9 f) f (x)
= 4x 2
16x
-
17. Determine 0 conjunto imagem das fun90es: a)
y= x 2
b) Y =
18. Construa a) y b) Y
2
0
e) y = -6x 2 f) f (x) = x 2
c) f(x) = 5x 2 - 9x d) Y = -x 2 + 4
12x+ 20 -2x + 6x - 4 -
+ 2x + 6
grafico cartesiano de cada uma das fun90es:
= x 2 - 6x + 8 = -x 2 + 4x - 3
c) Y d) Y
= =
x2 - 1 -x 2 + x
19. Construa no mesmo plano cartesiano 0 grafico das fun90es y deles destaque os pontos de intersec9ao.
=
x2
+
2x e y
20. Determine graficamente os pontos de intersecvao dos graficos das fun90es y 21. Para que valor de x a fun9ao y = x 2 - 14x + 24 tern 22. Determine 0 maximante da fun9ao y = -2x 2 23. 0 vertice do grafico da fun9ao y = x 2
+
+ px +
0
=
x
+
2 e a partir
= x 2 e y = - x 2 + 2x + 3.
seu valor minimo?
12x - 10.
q e V(2, -16). Calcule p e q.
24. Determine m de modo que 0 valor minimo da funvao do 22 grau y 25. 0 valor maximo da fun9ao do 2 2 grau y = (m - 1)x 2
+
(m
= (m -
+ 6)x +
1)x 2
-
(2m
+ 2)x + 5 seja -4.
m e 9. Calcule m.
26. 0 custo em R$ para a produ9ao de x unidades de certo produto e dado por: C Calcule 0 valor do custo minimo.
= x2
-
30x + 900.
27. 0 lucro de uma empresa e dado por L = -30x 2 + 360x - 600, em que x eo numero de unidades vendidas. Para que valor de x e obtido 0 lucro maximo? 28. A figura ao lade representa urn quadrado com 20 cm de lado. Pede-se: a) a area y da figura colorida em fun9ao de x; b) 0 valor de x para que essa area seja maxima; c) a area maxima.
29. Numa festa de Sao Joao, a convite de Antonio, Pedro disparou urn rojao. No plano cartesiano (ver figura), a trajet6ria do rojao obedeceu a seguinte lei:
y
= -2x 2 + 45
8x 3
Pergunta-se: a) Ele caiu antes ou depois da fogueira? b) Qual foi a altura maxima atingida pelo rojao?
108
4. Raizes da
fun~ao
do 2Q grau
D,\da a flms:ao do 2 Q grauf(x) = ax 2 + bx + c, os valores de xtais quef(x) = 0 sao chamadm' raizes ou zeros da funs:ao. Portanto, para se obter os zeros de f (x), basta resolver a equas:~:o do 2 Q grau ax 2 + bx + c = O. Vamos como exemplo calcular os zeros das seguintes funs:6es:
a) f(x)
= 2x 2
5x - 3
-
b)f(x)
SolUfao a) f(x) = 2x 2 - 5x - 3 Resolus:ao da equas:ao 2x 2
..
5±7
5x - 3
-
~
!:1 = (- 5)2 - 4 . 2 . (- 3)
=
-x 2 + 12x - 36
=
!:1 = 49
c) f(x)
= x2 +
2x + 2
0: ~
\ !:1 =7
-2 -1 x =--=--
4
I
2
x=--=
2·2
... x
12
2
=-=3
4
o grafico
da funs:ao e uma parabola com a concavidade voltada para cima, pois a > O. Como a funs:ao tem dois zeros reais e diferentes, 0 grafico da funs:ao corta 0 eixo dos x nos -1 pontos cujas abscissas sao XI = e Xz = 3.
2
Veja
esquema:
0
x
b)f(x)
-x 2
=
+ 12x - 36 + 12x - 36 = 0: x 2 - 12x + 36 = 0
Resolus:ao da equas:ao - x 2
- x + 12x - 36 = 0 ~ t:. = (- 12)2 - 4 . 1 . 36 2
~
t:. = 0
12±0
x=---=6
2·1
S
=
161
o grafico da funs:ao e uma parabola com a concavidade voltada para baixo, pois a < e tangente ao eixo dos x no ponto de abscissa x = 6. Veja
0
esquema abaixo. x
109
0, e
c) f(x) =
X
2
+ 2x + 2
Resolu~ao da equa~ao x 2 Ll = 22 - 4 . 1 . 2 ~ Ll
A
equa~ao
s=
+ 2x + 2 = -4 <
nao possui raizes reais.
° =
0:
0.
A fun~ao nao tern raizes reais e portanto a parabola nao corta nem "toea" 0 eixo dos x. Como a> 0, a concavidade e voltada para cima, conforme mostra 0 esquema:
v
x
EXERCiclOS PROPOSTOS 30. Determine
0
_
conjunto S das rafzes das seguintes func;:5es:
2
c) ,(x) = 9x 2 - 12x d) y = - x 2 + 16
a) y = x - 10x + 9 b) ,(x) = x 2 - 6x
e) y= -x 2 -12x- 40 f) ,(x) = x 2 - 9x + 20,25
+4
31. De os zeros das func;:5es esboc;:adas.
s. Estudo do sinal da fun~ao do 2 o estudo do sinal da fun~ao do 2 rem) e analisando
0 esbo~o
-
4x + 1
So/urao = 3x 2
-
4x + 1
a) y
grau
e feito determinando-se os seus zeros (se existi-
sinal das seguintes
0
-(-4)±2 2 . 3
fun~6es
b) y = -x 2 + 6x - 9
Zeros da fun~o Ll = (-4)2 - 4 . 3 . 1 = 16 - 12 = 4 ~ x =
grau
do grafico.
Vamos como exemplo estudar a) y = 3x 2
Q
Q
4 ± 2 6 ~
1
Xl
= -3 e
X2
.Jt; =
do 2 Q grau: c) y = x
2
+ 2x + 3
2
=1
A parabola corta 0 eixo X nos pontos de abscissas 1 e 1. Como a = 3 > 0, sua concavidade esta voltada para cima. 3
x
110
Estudo do sinal Examinando 0 • para x <
esbo~o
do grafico podemos afirmar que:
1-
ou x > 1
=>
Y > 0;
1-
ou x = 1
=>
Y = 0;
3
• para x =
3
• para 1 < x < 1 3
b) y
= - x 2 + 6x -
=>
Y<
o.
9
Zeros da fun~o Ll=6 2 -4·(-I)· (-9)=36-36=0:.
-6 -6 x=--=-=3 2(-1) -2
A parabola tangencia 0 eixo x no ponto de abscissa 3; como a = -1 < 0, sua concavidade esti voltada para baixo. Estudo do sinal Para x*-3 => Y <
c) y
=
x2
o.
Para x
=3
=>
y=
x
o.
+ 2x + 3
Zeros da fun~o Ll = 2 2 - 4 . 1 . 3 = 4 - 12 = -8 A equa~ao nao possui raizes reais. A parabola nao corta nem tangencia 0 eixo x. Como a = 1 > 0, sua concavidade esta voltada para cima.
v
Estudo do sinal Vx E IR => y> 0
Tendo em vista os exemplos feitos, podemos resumir 0 estudo do sinal de uma 2 Q grau da seguinte forma: ' . e di· • Se L1AO > , a fu n~ao tern d uas ralZes reats stIntas, d ad as por Xl = -b Xz=
-b -
Ll
com a parabola cortando
0
x
fun~ao
+ \Ill 2a
eixo dos x nos pontos de abscissas
Xl
e
do e
X2.
2a y
a < 0
x
x
•• Estudo do sinal Para x < Xl ou X> Xz => f(x) > O. Para Xl < X < Xz => f(x) < O. Para X = Xl OU X = Xz => f(x) = o.
Estudo do sinal Para X < Xl ou x> Xz => f(x) < O. Para Xl < X < Xz => f(x) > o. Para X = Xl OU X = Xz => f(x) = o.
111
• Se /). = 0, a fun<;:ao tern duas raizes reais e iguais, dadas por bola tangenciando 0 eixo dos X no ponto de abscissa Xl.
Xl
= X 2 = ;:
,com a para.-
a
a>O y
x
x
Estudo do sinal Para X *- Xl ~ f(x) > Para X = Xl ~ f(x) =
Estudo do sinal Para X *- Xl ~ f(x) < o. Para X = Xl ~ f(x) = o.
o. o.
• Se /). < 0, a fun<;:ao nao admite raizes reais e a parabola nao tern ponto comum com eixo dos x.
0
a
a>O
x
x
Estudo do sinal Yx E IR ~ f(x) < 0
Estudo do sinal Yx E IR ~ f(x) > 0
EXERCICIO PROPOSTO 32. Estude 0 sinal de cad a uma das fungoes do 22 grau, assim definidas: a) y b) Y c) Y d) Y e) y
= x 2 - ax + 15 = _x 2 + 2x + a = 2x 2 - 5x = - x 2 + 4x = x2 - 9
= 3x 2 - 2x + 1 g) y = _x 2 - 4x - 4 2 h) Y = - x + 3x - 5 2 i) Y = - x + X + 2 j) Y = x 2 f) Y
112
Inequa~oes
6.
do 2Q grau
Chama-se inequas:ao do 2 Q grau, na variavel x, toda formas:
inequa~ao que
se reduz a uma das
ax 2 + bx + c ~ 0, ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c ,;;; 0 ou ax 2 + bx + c < 0, em que a, bee sao numeros reais quaisquer, com a oF O. Para resolvermos essas inequa~6es, estudamos primeiramente 0 sinal da fun~ao y = ax 2 + bx + c. Em seguida determinamos os valores reais de x para os quais se tenha, respectivamente: y ~ 0, y> 0, y,;;; 0 ou y< 0 Vejamos alguns exemplos de
resolu~ao
de
inequa~6es do
2 Q grau em IR.
Exemplo 1 Resolver as inequa~6es: a) x 2
b) x
5x + 4 ~ 0 5x + 4 > 0
-
2
-
c) x 2 d) x 2
-
-
5x + 4 ,;;; 0 5x + 4 < 0
Solufao
Em primeiro lugar, estudemos os sinais da fun~ao y = x 2
-
5x
+ 4.
Zeros da funs:ao
Ll
=
(-5)2 - 4 . 1 ·4= 25 - 16
x=
=
9 =)
Ll = 3
-(-5) ± 3 5± 3 =---=) x =lex =4 2 .1 2 1 2
Fa~amos
um
esbo~o
do grafico da
fun~ao:
Levando em conta 0 estudo dos sinais feito no grafico acima, daremos a solu~ao de cada uma das inequa~6es propostas: - 5x + 4 ~ 0 =) b)x 2 - 5x+ 4 > 0 =) c)x 2 -5x+4';;;0 =) d) x 2 - 5x + 4 < 0 =)
a) x 2
S = Ix E IR Ix,;;; 1 ou x ~ 4} S= {xE IRlx< 1 oux> 4} S=(xEIRII';;;x,;;;41 S = {x E IR 11 < x < 41
Exemplo 2 Resolver as inequa~6es:
a) x 2 b) x 2
-
4x + 4 ~ 0 4x + 4 > 0
c) x 2 d) x 2
Solufao
Estudemos 0 sinal da fun~ao y = x 2 - 4x Ll = (-4)2 - 4 . 1 . 4 = 16 - 16 = 0
x=
+ 4.
-(-4) _ 4 _ ---2 2 .1 2
113
-
4x + 4 ,;;; 0 4x + 4 < 0
Fac;:amos urn esboc;:o do grafico da func;:ao:
e\.J
e
2
x
Levando em conta 0 estudo dos sinais feito no grafico acima, daremos a soluc;:ao de cada uma das inequaC;:6es propostas:
a) x 2 b)x 2
-
c) X 2 d) x 2
-
-
-
4x + 4x+ 4x + 4x +
4 ~ 0 ~ S = IR 4> 0 ~ S= {xE IRlx* 2} 4 ~ 0 ~ S = {2}
4 < 0 ~ S= 0
Exemplo 3 Resolver as inequaC;:6es: b) 2x 2
a) 2x 2 + x + 2 > 0
+
X
+
2 < 0
Solurao Estudemos
A
=
1
2
-
0
sinal da func;:ao y = 2x 2
4·2·2
=
1 -16
=
+
X
+
2.
-15 < 0
Fac;:amos urn esboc;:o do grafico da func;:ao:
x
Levando em conta 0 estudo dos sinais feito no grafico acima, daremos a soluc;:ao de cada uma das inequac;:6es propostas: a) 2x 2 b) 2x 2
+x+2> 0 X + 2 < 0
+
~ S = IR ~ S= 0
EXERCiclO PROPOSTO 33. Resolva as inequayoes tendo por conjunto universo U 2
a) x - 4x - 12 > 0 b)x 2 +7x+10
f) 2x
=
IR.
2
x 2 - 6x + 9 :;:;; 0 m)-x 2 -10;;'O n) x 2 + 7x < x - 8 0) x(x + 2) ;;. 3(2x - 1)
;;. 4 - 7 x g)5x 2 -4x>-1 h)3x 2 +12x+12 6x - 1
I)
Exemplo 4 Determinar os valores de m de modo que a func;:ao f(x) para todo x real.
114
= x2
-
6x + 2m + 1 seja positiva
Solufao
o grafico de f e uma parabola concava para cima. Como se deseja f(x) > 0 para todo x real, temos 0 seguinte esbos:o do grafico:
v
x
Entao devemos ter 6. < o. 6. < 0 ~ (-6)2 - 4 . 1 . (2m + 1) < 0 ~ 36 - 8m - 4 < 0 Logo, para m> 4, tem-se f(x) > 0 para "Ix E IR.
-8m < -32
~
~
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
34. Determine os valores de m de modo que a fung8.o f (x) = x 2 valor de x. 35. Determine os valores de kde modo que a fung8.o y todo valor de x. 36. Para que valores reais de m a fung8.o y = _x 2
=
-3x 2
8x
-
+ 3m - 2 seja positiva para todo
+ (k - 1)x +k - _1_ seja negativa para 12
+ (2m - 1)x + m - 2,5
e sempre negativa?
Exemplo 5 Resolver
0
sistema
x 2 - 2x < 3 { 2x 2 ~ 5x - 2
Solufao
Vamos resolver cada inequas:ao separadamente.
CD
x2 x2
-
@
2x < 3 2x - 3 < 0
Rah~:-le3
2x 2 ~ 5x - 2 2x 2 - 5x + 2 ~ 0 1
Raizes: -
2
e2
x
Agora determinemos a intersecs:ao das soluc;:6es de cada inequac;:ao. 1
-I
(I)
2 2" --+----:;;--
(II) (I) n (II)
o conjunto soluc;:ao do sistema e:
S
= { ..
m> 4
E IRI-l < x';;;
115
~
ou 2 .;;; x < 3}.
EXERCiclO PROPOSTO 37, Resolva os sistemas:
{X 2- 4x + 3 ,,;; 0
a)
x
2
-
9x
2
{x 2
b)
+ 14 < 0
x
4x< 0
-
6x + 5 ~ 0
Exemplo 6 Resolver as inequac;oes: a) (x 2
-
5x + 4)(2 - x)(-x 2 + 3x) > 0
-2X2 + 5x - 2
b)
-----,-------~-l 2 -
4
x
SolUtio 2 a) (x - 5x + 4)(2 - x)(-x 2 + 3x) > 0 Estudemos os sinais das func;oes. 2 )'1 = x - 5x + 4 )'2=2-x Raizes: 1 e 4. Raiz: 2.
Montemos
0
quadro de sinais de)'1 '
)'3
= _x 2 + 3x
Raizes: 0 e 3.
)'2 . )'3'
0
2
)'1
+
+
)'2
+
+
+
)'3
+
+
)'1')'2')'3
+
+
..
+
+
0
.. .. ..
+
2
4
Solu~ao
Como devemos ter )'1
' )'2 ' )'3>
S = {x E IR
b)
-2x 2 + 5x - 2 x2
-
4
~-l
~
0, a soluc;ao
10 < x <
e:
1 ou 2 < x < 3 ou x >
-2x 2 + 5x - 2 - - -2 - - - - + 1 x
-
4
116
~
0
~
41
Estudemos os sinais das func;6es. Yl = -x 2
+
Y2 = x 2 - 4 Razzes: -2 e 2.
5x - 6
Razzes: 2 e 3.
e!\e Montemos
0
x
x
..1L.
quadro de sinais de
Y2 -2
2
3
---------~.,...,------J.~
+ +
+
+
+
+
----------------4.t--·--------:l.~
Lso'~s:aoJ
-2
Como devemos tel'
..1L ~
0,
0
conjunto soluc;ao
3
e:
Y2
s=
{x E IR 1-2
<
x
< 2 ou 2 <
x.;;;
31
EXERCICIOS PROPOSTOS 38. Resolva as inequagoes considerando U
=
_
IR.
e)
2x 2 - 3x - 2 - - - c ; ; - - - - - ;" x 2 - 6x + 5
b) (x 2 + 2x- 3)(-x 2 + x+ 2);" 0
f)
x 2 - 8x + 16 ---;;----< 0 -x 2 + 7x - 10
c) (x - 2)(-2x 2 + 5x -2) ~ 0
g)
a) (x 2 + x - 2)(x 2
d) (x
2
-
-
5x) > 0
3x)(x - 1)(-x 2
+
4)
(x - 3)(x 2
- 8x + 12) ;" 0 x 2 -5x + 6
(-x
< 0
h)
+ 4)(x 2 -2x
39.
De 0
0
2
-
10x
+
25)
< 0
+ 3x - 10
domfnio das fungoes seguintes: I 2
a) f(x)=\12x -7x+1
b) f(x)
=
\'(X - 2)(x
117
2
+ 3x)
c) y
=
x(x
Vx
2
-
2
-
4x)
5x + 4
RELEMBRANDO CONCEITOS
_
Se a *- 0,)' = f(x) = ax 2 + bx + c e uma nm<;ao do 2 Q grau. a grafico e uma parabola que tern a concavidade voltada para cima quando a > 0 e voltada para baLXO quando a < 0, e 0 sinal da fun<;ao varia conforme 0 resumo abaixo: ~=o
~>O
~
x x ~=o
~>O
~
x
G
G
x
x
a vertice da parabola tem por coordenadas
D. ) ou V ( -- -b , f (-b )) . - V ( -- -b , 2a 4a 2a 2a
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 40. Dada a fun,,:ao f (x) = (m 2 a) b) c) d)
-
25)x 2
+
(m - 5)x
+
m
+ 5,
calcule m de modo que:
f (x) seja fun,,:ao do 2 Q grau. f (x) seja fun,,:ao do 1Q grau. 0 gratico da fun,,:ao seja uma parabola c6ncava para cima. 0 grafico da fun,,:ao seja uma reta paralela ao eixo dos x.
41. Sendo f (x) = 5x 2 - 11 x
a) f(-1)
+ 2, determine:
b) flO)
c) f
42. Dada a fun,,:ao f: A -+ IR definida por y
=
x2
-
(+)
d) x, de modo que f (x) = 0
6x + 8, determine 0 conjunto imagem de f, sabendo
que A = {1, 2, 3, 4, 5}.
43. Dada a fun,,:ao y = x 2
-
10x, pede-se:
a) 0 vertice da parabola. b) os zeros da fun,,:ao.
c) 0 valor mlnimo da fun,,:ao. d) a imagem da fun,,:ao.
44. Considere a fun,,:ao y = _x 2 + 11x - 18. Determine: a) as coordenadas do ponto maximo da fun,,:ao. b) a imagem da fun,,:ao.
45. Sabendo-se que
0 valor minima da fun,,:ao
46. 0 valor minimo da fun,,:ao f (x) = x 2
-
y=
mx + 15
(k - 1)x
2
+ 3kx -
16
e
-25, calcule
0 valor de k.
e -1. Sendo m um numero positivo, calcule seu valor.
118
47. Escreva a fungao do 2 Q grau correspondente a)
a parabola:
OI\jJ
b)
, I '
_I
0
I
• x
-4
48. Determine
0
vEHtice de cada uma das fungoes do exercfcio anterior.
49. (EsPCEx) A parabola representativa da fungao (: IR --. IR definida par ((x) pelo ponto (1, 0) e seu ponto maximo 0 ponto (3, v). Determine v.
e
=
-2x 2 + bx + c passa
50. (Faap-SP) Qual
0 numero de numeros inteiros estritamente positivos menores ou iguais a 9 que verificam a desigualdade (x 2 - 8x + 7)(x 2 - 13x + 30) ~ O?
51. (Mackenzie-SP) Resolva a inequagao - x 3
+ 6x 2
-
9x ~ O.
52. (Vunesp) Tomando como conjunto universo 0 conjunto U
=
IR - (1}. resolva a inequagao
~
1-x'
2
53. (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajet6ria plana vertical de equagao y
+
2
x +
= -
~
X
+ 2, na qual
os valores de x e y sao dados em metros.
x
Oscar acerta 0 arremesso e 0 centro da bola passa pelo centro da cesta, que esta a 3 m de altura. Determine a distancia do centro da cesta ao eixo y.
54. (IME-RJ) Seja (: IR --. IR uma fungao quadratica tal que ((x) = ax 2 + bx + c, a que a) b) c) d) e)
X1
=
-1 e
X2
=
5 sao as raizes e que ((1)
=
-8:
determine a, b, c. calcule ((0). verifique se ((x) apresenta maximo ou mlnimo, justificando a resposta. de as coordenadas do ponto extremo. faga 0 esbogo do grafico.
55. (Fesp-SP) Qual
e0
dominic da fungao ((x)
=
~ xx2 +_ 19 119
?
.
'* 0, V x E IR. Sabendo
2
56. (Faap-SP) Seja a funyao ((x) = mx + nx + 1, X E IR, onde men sao constantes reais. Sabendose que ((x + 1) = ((x) + 2x + 1 para qualquer x real, pede-se: a) determinar men ap6s analisar ((0) e ((1).
b) calcular ((2).
TESTES
_
57. (PUC-MG) Com relayao
a funyao do 2
a) se -3 < x < 5, entao ((x) < O. b) se x < -3 ou x> 5, entao ((x) c) ((x);;" -16, '
Q
grau ((x) = x 2
e incorreto afirmar que: 1, entao ((x) e decrescente.
2x - 15,
-
d) se x> e) se x = -3 ou x
> O.
= 5,
entao ((x)
= O.
58. (U. Cat6lica de Salvador-SA) Quantos numeros inteiros e estritamente positivos satisfazem a ine_ x+2 x-2 quayao - - < - - ? x-2 x+2 a) Nenhum
b) Um
c) Dois
x
- Intelra . . d a Inequa<;:ao . 59 . (UFSE) S e k e· uma so Iuyao a) 1
b) 1 ou 4
d) Tres 2 -
5x
c) 2 ou 3
b) -1
-
c) 0
61. (UFRN) 0 dominio da funyao definida por ((x)
- k"e Igua I a: 0, entao
4< 2 - x
e) 5, 6, 7, 8 ou 9
e:
d) 1
e) 2
\~ e:
=
a) {x E IR 1-1 ~ x ~ 1 ex*- O} b) IR c) {XE 1R1-1 ~ x~ 1}
~
d) 1, 2, 3 ou 4
60. (UFSE) A soma das soluy6es inteiras da desigualdade x 2 a) -2
+4
x 2 -4x
e) Infinitos
x
d) {x E IR 1-1 < x < 1 ex*- O} e) {xElRlx<1}
62. (UFPE) Considere a equayao x 2 + (k - 4)x - 2k + 4 = O. Indique os valores de k para os quais numero real 3 esta compreendido entre as raizes dessa equayao. a) k
=
0
b) k> -1
c) k
=
63. Considere a funyao h : IR ---> IR dada por h(x) = ax valo ]-00, 4]. Analise as seguintes afirmay6es:
a)
h( ;: )
=
+
bx, a
*-
e) k
=
1 ou k
-b 2
b) a> 0 c) 4 0 valor minimo de h.
e) 0 grafico de h nao passa pela origem.
e
64. (Faap-SP) 0 valor maximo da funyao (: IR b) 6
-->
IR definida por ((x)
c) 3
=
-
d) 16
x2
+ 6x +
7
e:
e) 64
65. (Esal-MG) 0 gratico ao lade corresponde a:
a) b) c) d) e)
y = x 2 - 6x + 8 Y = 2x 2 - 8x Y = x2 - 1 Y = 2x 2 - 2x y = x 2 - 2x
x
120
=
2
O. Admita que a imagem de he 0 inter-
d) 0 grafico de h intercepta a reta y = ~.
4
a) 7
2
d) k < -1
-1
0
66. (Fuvest-SP) Quero construir uma quadra de futebol de salao retangular. Para cerca-Ia, disponho de 60 m de alambrado pre-fabricado e, por uma questao de economia, devo aproveitar 0 muro do quintal (figura abaixo). Quais devem ser as dimens6es dessa quadra para que sua area seja maxima? Muro
a) x = 20 m, y = 10 m b) x = 15 m, y = 30 m c) x=12m,y=18m d) x = 10m, y = 20 m e) x = 8 m, y = 30 m
67. (U. F. Santa Maria-AS) A figura representa graficamente, no plano cartesiano, a funyao polinomial do 2 2 grau f (x) = ax 2 + bx + C, em que a, be C sao constantes reais e f (X1) = f (x2 ) = O. Entao, de acordo com a figura, a afirmayao correta e: y
a) a· b· C < 0 b) a < 0 e C> 0 c) 4ac> b 2
d) b < 0 e c< 0 e) b> 0 e c> 0
68. (UEBA) Uma funyao quadratica possui as rafzes 1 e
~.
Alem disso, sabe-se que 0 seu grafico con-
tem 0 ponto (0, 3). Essa funyao possui um valor minimo igual a:'
b) _ 1 5
a) -1
c)
_ 3
e) _ 1 9
d) -2
2
2 = x - mx + (m - 1), em que m E IR, tem um unico ponto em comum com 0 eixo das abscissas. Entao 0 valor de y que essa funyao associa a
69. (Vunesp) 0 grafico da funyao quadratica definida por y
x=2
e:
a) -2
b) -1
c)
0
e) 2
d) 1
70. (UFAS) Uma bola colocada no chao e chutada para 0 alto, percorrendo uma trajetoria descrita por
y = -2x 2 + 12x, em que yea altura, dada em m. A altura maxima atingida pela bola e de: a) 36m
b) 18m
c) 12m
d)6m
71. (Unifor-CE) Disp6e-se de uma folha de papel retangular, medindo 20 em de largura por 24 em de comprimento. Deseja-se recortar em cada quina da folha quatro quadrados iguais, conforme mostra a figura. Quanto deve medir 0 lade de cada quadrado para que a area da regiao colorida seja maxima? a) 4,5 em b) 5 em
c) 5,5 em d) 6 em
e) 6,5 em
x
x
x
x
--------------
-------------x
x x
72. (U. Estacio de Sa-AJ) 0 lucro L de uma empresa e dado por L = tidade vend ida. 0 lucro sera positive se, e somente se: a) 3 < x< 4 b) x < 1 ou x> 6 c) 1 < x < 6
e)3m
d) 0 < e) x>
121
x < 10 8
- x 2 + 7x -
x
6, em que x e a quan-
e
e
73. Um objeto lanc;ado no espac;o, em um local onde 0 solo plano e horizontal. A sua altura, em rela2 c;ao ao solo, dada pela f6rmula: h(t) = -2t + 12t (h a altura em metros e teo tempo em segundos). A altura maxima que 0 objeto atinge
e
e
e:
a)12m
b) 24m
c)9m
d) 30m
e)18m
e
74. (U. F. Vic;osa-MG) A temperatura de uma estufa, em graus centfgrados, regulada em func;ao do t2 tempo t de acordo com a lei f dada por f (t) = 2 + 4t + 10, sendo t;;. O. Pode-se afirmar que: a) b) c) d) e)
a estufa nunca atinge zero grau. a temperatura sempre positiva. a temperatura mais alta atingida para t = 2. 0 valor da temperatura maxima 18 graus. a temperatura positiva s6 para 0 < t < 5.
e
e
e
e
75. (UFMG) 0 conjunto de todos os valores reais de xque satisfazem 2
-x + 2 -x 2 + 2x - 2
---;:-----
~
a desigualdade
.
1 e:
d) {XE IRllxl ~\2 } e) {xElRlx~-1}
a) {x E IR Ix ~ 0 ou x;;. 2) b) {x E IR Ix ~ 2) c) {xElRllxl;;'1} 76. (Unifor-CE) Se 0 numero real
me soluc;ao do sistema
x2 { x2
-
-
7x + 10 < 0 , entao 1 ;;. 0
e verdade que:
d) -1 ~ m ~ 1 e) m ~-1
a) m> 5 b) 2 < m < 5 c) 1 ~ m < 2
{:::x-x 2
77. (UFMG) Seja b > O. Se 0 sistema de equac;ao y = a) (-2, -4)
-bx + x 2
tem soluc;ao unica, conclui-se que 0 vertice da parabola
e:
b) (-2,4)
c) (2,0)
122
d) (2, -4)
e) (0,4)
Capitulo Fun~ao modular I.
Introdu~ao
As func;:6es estudadas ate 0 momenta foram definidas por uma lmica sentenc;:a, mas isso nem sempre ocorre. Neste capitulo, iremos estudar func;:6es que, em urn subconjunto D 1 do dominio, sao definidas por uma lei e, em urn subconjunto D 2 , mudam de comportamento, obedecendo a uma outra lei, e assim por diante. Consideremos, por exemplo, a seguinte situac;:ao: o prec;:o, em reais, cobrado por uma trans;F"~HiK""':~ portadora de pianos, por seus servic;:os, e calculado da seguinte forma: • para qualquer distancia ate 20 km, urn valor fixo de 500 reais; • para distancias maiores, 500 + 22 . x, em que x eo numero de quil6metros acima de 20. Essas duas sentenc;:as mostram que 0 prec;:o a ser cobrado e func;:ao do nllmero de quil6metros rodados, podendo ser representado assim:
f(x)
2.
=
{500, para x :%:: 20 500 + 22 . x, para x > 20
Fun~ao
definida por duas ou mais
senten~as
A situac;:ao anterior nos mostrou urn exemplo de func;:ao definida por duas sentenc;:as. Vejamos outros exemplos.
Exemplo 1 Considere as seguintes func;:6es:
j;(x) j;,(x)
= =
x, definida para Ix E fR Ix ~ 01 -2, definida para Ix E fR Ix < 01
Construir
0
grafico e dar
0
conjunto imagem.
Solufao
Podemos indicar as func;:6es j;(x) e j;,(x) por uma lmica func;:ao f(x) do seguinte modo:
f(x)
=
{x, se x ~ 0 ,em que D(f) -2, se x < 0
=
fR
A hmc;:ao f(x) assim indicada constitui-se num exemplo de func;:ao definida por duas sentenc;:as.
123
Vejamos
grafico e
0
0
conjunto imagem dessa flms:ao.
Grafico da flms:ao f(x) = X, se x ~ 0
Grafico da funs:ao f(x) = -2,sex<0
y
..
o
..
x
x
2
-I
--------------0--------------2
~0 , se x < 0
= {x'2se x
o grafico da funs:ao f(x)
-
e a reuniao das duas semi-retas.
-2
Observando
0
grafico, verificamos que Im(f)
= IR+ U {-
21.
Exemplo 2 Dada a flms:ao f: IR -> IR definida por:
+ I, se x> 0 I, se -2 < x ~ 0 - x-I, se x ~ - 2
X
f(x)
=
{
construir
0
grafico e dar
0
conjunto imagem de f
SolUfiio
Vamos construir separadamente
f(x) = x + 1 (x> 0)
0
grafico de cada sentens:a:
f(x)
f(x) = 1 (-2 < x ~ 0)
(x
~
-x-1 -2)
=
y
~-----.--_
•
0
x
-2
_I
0
124
y
... _---x
-2
-I",~
x
Reunindo os tres graficos, obteremos
a conjunto imagem
e Im(f)
Exemplo 3 Dada a func;:ao f: IR
-+
x2, se x >
0
f(x)
=
{
construir
= (y
gd.fico de f:
0
-2
_I
0
E IR Iy
~
11.
x
IR definida por:
-1, se -2 ~ x ~ 0 - x - 2, se x < - 2 grafico, dar
0
0
dominio e
conju11to imagem de f
0
SolUfiio
Vamos construir separadamente f(x) = x (x> 0)
2
0
grafico de cada sentenc;:a: f(x)
=
-1
f(x) = -x - 2 (x < -2)
(-2~x~0)
.. ·· ·· ... ..o 4
•
2
x
2
-2
_I
0
x
-2 ",.1
x
0
-I
'.
Reunindo os tres graficos, obteremos
0
grafico de f:
4
a dominio e D(f) = IR. a conjunto imagem e Im(f)
125
=
IR: U (-1).
EXERCiclOS PROPOSTOS 1. Construa
a) f (x)
=
0
_
grcHico e de 0 conjunto imagem das seguintes func;:oes de IR em IR:
{X + 1, se x ;;. 0
d) f (x) =
1, se x < 0
2X - 2, se x;;. 0 -2, se -2 < x < 0 { -2x - 6, se x ~ -2
-4,sex~ -2oux;;.2 -x 2 + 4, se -2 < x < 2
b) f (x) = {-2X + 4, se x ~ 2 x-2, se x> 2
e) fIx) ={x
2
2
c) f(X)={x ,sex;;.o -3x, se x< 0
2. Dada a func;:ao real f (x) =
- x + 3, se x > 1 2, se -1 ~ x ~ 1 ,pede-se: { x + 3, se x < -1
a) f(5)
3.
c) f(-2)
b) f(O)
Fun~ao
modular
Chama-se fun~o modular a fun~ao de IR em IR definida 'por f (x) se 0 se 0 defim~ao, Ix I = ' 0 ' temos: f(x) = Ix I = ' . - x, se x < - x, se x < 0
.
A
{x x;;.
fun~ao
modular
{x x;;.
= Ix I.
Como, por
e, portanto, definida por duas senten~as: f(x) = x, se x;;. 0 e f(x) = -x, se x < 0
Vamos construir no plano cartesiano f(x)=x, sex;;' 0
I
0
I
=
Ix I· f(x)=I·'\C1
y
2
y
x
x
,
a grafico e uma semi-reta fechada com origem no ponto 0(0, 0). Ela e bissetriz do 1 Q quadrante. a a
fun~ao f(x)
f(x)=-x, scx
y
,
grafico da
a grafico e uma semi-reta aberta com origem no ponto 0(0, 0). Ela e bissetriz do 2 Q quadrante.
dominio da fun~ao e D(f) = IR. conjullto imagem da fun~ao e Im(f)
=
IR+.
126
a
grafico e a reuniao das duas semi-retas.
Exemplo 1 Sabendo quef(x)
=
Ix + 11, construir 0
grifico, dar
0
dorninio e conjunto imagem def
Solurao De acordo com a definic;:ao, temos:
x f ()
X
Ix + 1 I = { -
=
f(x)=x+l,
+ 1, se x + 1 ~ 0 . I + 1I , ou seJa: x (x + 1), se x + 1 < 0
sex~-l I
f(x)=-x-l,sex<-l
=
{x + 1, se x ~ -1 . - x-I, se x < - 1
I
f(x)=lx+ll
y
-I x
x
x
o domlnio e D(f) = IR. o conjunto imagem e Im(f) =
IR+.
EXERCiclOS PROPOSTOS 3. Dada a fun«ao ,(x) = Ix a)
0
+ 21,
pede-se: b) 0 conjunto imagem de ,
grafico da fun«ao
4. Sendo ,(x)
= 12x
+ 11,
determine:
a) '(-2)
5. Construa
_
b) 0 grafico de ,
0 grafico da fun«ao
(Sugestao: lembre que
Exemplo 2 Sabendo quef(x) =
,(x) =
c) 0 conjunto imagem de ,
~x2-4X + 4.
~x2-4x + 4
=
~(X-2)2
-Ix + 11, construir 0
=
IX-21.)
grmco, dar
127
0
dominio e
0
conjunto irnagem def
SO/UfaO
De acordo com a definis:ao, temos:
-Ix +
f(x) =
ou seja: f(x)
f(x)
=
11 =
=
-
{-(X + 1), se x + 1 ~ 0 - [ - (x + 1)], se x + 1 < 0 ' -x - 1 se x:;:" - 1 { x + l, 'se x <~- 1 .
Ix + 1 I =
-x - I, se x
~
-I
I f(x)
=x+
I, se x
<
-I
I
f(x)
= - Ix +
II
y
_I
x
a a
dominio e D(f) = IR. conjunto imagem e Im(f)
=
x
0
x
IR_.
EXERCiclOS PROPOSTOS 6. Dada a fun<;:ao modular f (x)
= - 1- x + 21,
a) f(-4)
=
Exemplo 3 Sendo f(x)
pede-se: c) 0 conjunto imagem de f
b) ogrcHicodef
7. Sendo f (x) a) h(x)
_
=
-Ix -
21
e g(x)
=
x
+ 5, pede-se:
f (g(x))
b) h(5)
Ix2 -
6x + 81, construir
=
c) 0 conjunto imagem de h(x)
0
grafico e dar
0
conjunto imagem de f
SO/UfaO
f(x)
2
= Ix - 6x + 81 =
{x 2 - 6x + 8, se x 2 - 6x + 8 ~ 0 -(x 2 - 6x + 8), se x 2 - 6x + 8 < 0
Estudemos 0 sinal da nms:ao h(x) h(x) = 0 => x 2 - 6x + 8 = 0 => Entao f(x)
=
= x2 Xl = 2
6x + 8: e
X2
=4
x 2 - 6x + 8, se x
128
x
f(x) x
:0;:;
=X2
6x + 8, se 2 ou x ;;;;. 4. -
I f(x)
-x 2 < :1': < 4.
-b 2a
=
Jx v
-6 =3 2
-4- =-1 ~= 4a
4
t
=
v=
-b 2a
o
I --
2..
-6 -2
=
se I
f(x)
=
I
x2
-
6x
+8i
=
-4
I
: 2
3
··
4\
x
·· · ·· ·
·· ··
---'_.._ .. '
3
= -4 = + 1
4a
x
3 :4
+ 6x - 8,
-D,.
o -I
2
Zeros da h.ll1<;:ao: 2 e 4. Vertice:
Zeros da fun<;:ao: 2 e 4. Vertice:
Jx v ~v=
=
x
o conjunto imagem e Im(f) = IR+. EXERCICIOS PROPOSTOS Ix 2
_
4x I. construa 0 grafico de f (x).
8. Sendo f (x)
=
9. Sendo f (x)
= Ix 2 +
-
2x I e g(x)
=x+
1, determine:
a) h(x) = f (g(x)) b) h(-1)
c) h( -3)
d)
Exemplo 4 Dada a ftm<;:ao f(x) = tir dele, determinar:
Ix - 21 -
I, construir
0
0
conjunto imagem de h(x)
gratico, dar
SolUfio
De acordo com a defini<;:ao, temos: =
Ix -
..
21 - 1
=
J(x - 2) - I, se x - 2 ;;;;. 0 2) - 1, se x - 2 < 0 '
L- (x -
_{x - +3, 1se x;;;;' <2 2
ou sCJa·f(x) -
-x
conjunto irnagem defe, a par-
c) os valores de x para os quais f(x) > 0 d) os valores de x para os quais f(x) < 0
a) os zeros da fun<;:ao b) 0 conjunto imagem
f(x)
0
, se x
.
129
f(x) = x - 3, se x ;;;. 2
I
f(x) = -x
+ I,
I
se x < 2
f(x) = ! x - 21 - I
y
o
x
-I
,
,
o grafico nos mostra que: a) os zeros da func;ao sao Xl = 1 e X2 = 3 b) 0 conjunto imagem da func;ao e Im( f) c) f(x) > 0 parax< 1 oux> 3 d) f(x) < 0 para 1 < X < 3
= l)' E
IR
I)';;;.
-11
EXERCiclOS PROPOSTOS 10. Dada a fun9ao f (x)
=
Ix + 1 1
a) calcule f (-3).
-
2: b) construa 0 grcHico.
11. Determine 0 conjunto imagem da funQao f (x)
Exemplo 5 Sendo f(x) = Ix
_
1+ Ix - 31, construir 0
c) de
0
conjunto imagem.
= Ix - 31 + 4.
gra,fico de fe dar
0
conjunto imagem.
SolUfiio
De acordo com a definic;ao, temos:
Ix I =
{x, se x;;;. 0
-x, se x < 0
e Ix - 3 I
=
{x - 3, se x ;;;. 3 -x + 3, se x < 3
Entao: Para x < 0
=>
ix i = -x { Ix - 31 =
-x + 3
Para x = 0
=>
ix i = 0 { Ix - 31 =
3
=>
=>
f(x)
f(x)
=
=
0 + 3
130
-x + (-x + 3)
=>
f(x)
=
3.
=>
f(x)
=
-2x + 3,
4.
Equa~oes
modulares
A resolus:ao de equas:oes modulares esta baseada nas seguintes propriedades: • Se Ixl = a e a > 0, entao x = a ou x = -a. • Se Ix I = a e a = 0, entao x = O.
Vejamos alguns exemplos, considerando
Exemplo 1 Resolver a equas:ao j2x +
11
=
0
universo U
=
IR.
5.
SolUtio De acordo com as propriedades, temos:
2x + 1 2x = 4 x=2 Logo,
0
=5
2x + 1 = -5 2x = -6 x = -3
ou
conjunto solus:ao
e S = {- 3, 2}.
EXERCiclO PROPOSTO 14. Resolva as equa<;:oes:
41
a) Ix -
b) 13 - 5xl
=
2
51
e) 13x +
1
=
d) 13x - 21 =
0
=
g)
--.l
h)
2
Exemplo 2 Resolver a equas:ao Ix 2
-
lOx
SolUtio Temos: x 2 - lOx + 20 = 4 x 2 - lOx + 16 = 0 x = 2 ou x = 8
Logo,
0
conjunto solus:ao
+ 51
5x
-
3x I = 4
= 1
1
1=5
I 0,23- x I= 0
x 2 - lOx + 20 = -4 ou x 2 - lOx + 24 = 0 x = 4 ou x = 6
eS =
{2, 4, 6, 8}.
_
15. Resolva as equa<;:oes: -
x;
+ 20 I = 4.
EXERCiclO PROPOSTO a) Ix2 b) Ix 2
I
c) Ix2 2 d) 1x
132
-
6xl
-
8x
=
+
7 13
I
= 1
Exemplo 3 Resolver a equas:ao [5x - 7[
= 5x -
7.
SolUfao
Observe que a expressao entre barras e igual a expressao do segundo membro. Isso pode nos dar a falsa ideia de que qualquer valor de x real venha a ser solus:ao da equas:ao. No entanto, como 0 modulo de urn numero real e sempre positivo ou nulo, entao a equas:ao dada so tern sentido se 5x - 7
Portanto
0
~
0, ou seja, x
conjunto solus:ao e S =
~ 1.-. 5
{x E IR [x ~
~}.
EXERCICIO PROPOSTO 16. Resolva as seguintes equa90es: a) 13x
b) 14 - 8x I
+ 2 I = 3x + 2
Exemplo 4 Resolver a equas:ao
13x + 21
=
4 - 8x
=
c)
1 +1 5X -
= 5x -
+
5x - 8.
SolUfao
A equas:ao dada so e possive! quando 5x - 8 ~ 0, ou seja, x ~ 8 5
CD
Por definis:ao de modulo, temos:
13x + 2[ De
3X =
5x - 8
~
ou { 3x
+ 2 = 5x - 8@
+ 2 = -(5x - 8)
@, temos:
De @,temos:
3x + 2 = 5x - 8 3x - 5x = -8 - 2 -2x = -10 2x = 10 ~ x = 5 (Serve, pois satisfaz a condis:ao Ponanto
0
@
3x + 2 = -(5x - 8) 3x + 2 = -5x + 8 3x + 5x = 8 - 2 8x
=
6 ~ x
=
l.-
4 (Nao serve, pois nao satisfaz a condis:ao
(D.)
conjunto solus:ao e S
=
{5j.
EXERCICIO PROPOSTO 17. Resolva as equa90es: a) 12x - 41
=
x- 1
b)
Ix + 21
=
3x - 6
133
c) 13x - 41 = x - 2
(D.)
Exemplo 5 Resolver a equas:ao 12x - 1 I = 3 x - 8 1
I·
SolUfao
De acordo com a definis:ao, temos: 2x - 1 . 2x - 1 = 3x - 8 2x - 3x = -8 + 1 -Ix = -7 x=7
ou
3X- 8 ou { -(3x - 8)
=
2x - 1 = - (3x - 8) 2x - 1 = -3x + 8 2x + 3x = 8 + 1
5x
=9
~
x
=
f, :}.
o conjunto solus:ao e S =
9 5
EXERCiclO PROPOSTO 18. Resolva as equagoes: a) 14x - 61
= 13x +
b) 12x + 1 I
21
Exemplo 6 Resolver a equas:ao Ixl 2
-
31xl -
10
= Ix -
31
= O.
Solufao
Fas:amos Ix I = y, com y ~ O. Podemos escrever: y2 _ 3y _ 10
=
0 ~ {y = - 2 (Nao serve, pois y ~ 0.) y=5
Como Ixl = y, vern Ix I = 5 ~ x = -5 ou x = 5 o conjunto soluc;:ao e S = (-5, 51.
EXERCiclO PROPOSTO 19. Resolva as equagoes: 2 a) Ixl - 10lxl + 24 = 0 b) Ixj2 + 31xl - 10 = 0
Inequa~oes
5.
2 c) Ixl - 91xl + 20 = 0 2 d) Ixl + 41xl + 5 = 0
modulares
A resolus:ao de inequaS:6es modulares esta baseada nas seguintes propriedades, validas para todo numero a real e positivo: PI) Ix
P2)
I>
Ix I <
a <=> x < -a ou x > a; graficamente, temos: a <=> -a < x < a; graficamente, temos:
-0
o
o
o
-0
Aplicando essas propriedades, vamos resolver algumas inequas:6es modulares.
134
o
x
Exemplo 1 Resolver a inequacrao 12x + 1 1 > 5. SolUfiio
De acordo com PJ , podemos escrever:
2x + 1 < - 5 ~ 2x < - 6 ~ x < - 3 ou
2x
+ 1 > 5 ~ 2x > 4 ~ x > 2
CD
®
Efetuando a unhio, temos: -3
CD----<>-----------,--~
@ G)U@
---:----(0)------------< -3
Logo, S = Ix E IR Ix < -3 ou x>
21.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
20. Resolva as inequagoes: a) Ix + 31> 5
b)
1
2X 6 2-
!;;. 4
c) 13x -
21
>7
21. Ache 0 dominio das fungoes: a)
y=~
Exemplo 2 Resolver a inequacrao Ix -
b)
21
f(x)=~lx-41-1
< 6.
SolUfiio
De acordo com P2 , podemos escrever: -6 < x - 2 < 6
Efetuando a
intersec~o,
~
=- 2 > - 6 ~ x > -4 CD {x-2<6~x<8®
temos:
CD
.......
-4 8 --?------------~-
@
CDn@
------6-----~------~-~.~
L
-4
Logo,S= IxEIRI-4
135
--Solu~iio
EXERCiclO PROPOSTO
_
22. Resolva as inequagoes: a)
Ix + 41
~
b) 13x
10
Exemplo 3 Resolver a inequa~ao
Ix 2 -
+ 91
lOx
c)
~ 12
2x -
4 <6
2
+ 20 I < 4.
SolUfao
Devemos ter -4 < x 2
lOx
-
+ 20 <
x 2 - lOx + 20 > -4 x 2 - lOx + 24 > 0
4, ou seja: x2
e
CD
-
Xl -
lOx lOx
+ 20 < 4 + 16 < 0
@
g(x)
f(x)
Ralzes def(x) x 2 - lOx + 24 = 0 x = 4 ou x = 6
Ralzes de g(x) x 2 - lOx + 16 = 0 x = 2 ou x = 8
Sinais de f (x)
Sinais de g(x) 01 ~ 0
d
x I~
Efetuando a intersec~ao das
solu~6es, 2
e
temos: 4
7---
8
~ ---<0 2
o>------{ _ - _ ) - - -... 4 --So
Logo, a solu~ao
eS =
-0
Ix E IR 12 < x < 4 ou 6 < x < 8}.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
23. Resolva as inequagoes:
a)
Ix 2
6x + 41 < 4
-
c)
24. Ache 0 dominio das fungoes:
a) f(x)
="\
4-lx 2 1
Exemplo 4 Resolver a
inequa~ao
x-2 2x+3
136
Ix 2
-
6xl >
5
Soluyao ou
De acordo com Pl> temos:
x-2 ---;;:.1 fi\ 2x + 3 \.V
x-2
@
--~-1 2x+ 3
x-2
x-2 -1;;:.0 2x+ 3
---+1~0
2x+ 3 x - 2 + 2x + 3
x - 2 - 2x - 3
------;;:.o
------~o
2x + 3
2x+ 3
3x + 1
-x -5
---;;:.0
---~O
2x+ 3
2x+ 3
Estudando separadamente os sinais das funC;6esf(x) = -x - 5 eg(x) = 2x + 3, temos:
Raiz def(x)
Estudando separadamente os sinais das func;6es h(x) = 3x + 1 eg(x) = 2x + 3, temos:
Raiz de h(x)
Raiz deg(x)
-x - 5 = 0 -x = 5 x = -5
3x + 1 = 0 3x = -1
2x + 3 = 0 2x = -3 x=
Sinal def(x)
-
Raiz deg(x)
3 2
x=
Sinal deg(x)
-
2x + 3 = 0 2x = -3
..,
1 3
.:>
x=
Sinal de h(x)
2
Sinal de g(x)
~ ~ ~ ~ -5
e
A soluc;ao de sinais abaixo:
e
x
-t
e
x
CD e mostrada no quadro de
-+
A soluc;ao de sinais abaixo:
2
+ + +
2:
"3
r
r +
+
I - - Solu~ao de 'I'
-3 :
2
6
+ +
-I:
"3~
+
- - Solu~ao de
137
x
-I
2
• • •
-t
@ e mostrada no quadro de
-3
-3
-3:
e
x
• • • •
1!:'
Efetuando a uniiio, temos:
@ (Du@
Logo, S
{XEIRI-S
=
Exemplo 5 Resolver a inequal,:ao
-I
-3 -5
2
3"
•
~
•
• •
II
0 2
-3
-5
-I
3"
lu~ao
5
~x< -~ ou -~
2
3
1 ~1<3. x-I
S~u~o x-2 De acordo com P2' temos: -3 < - - - < 3, ou seja:
x-I
CD
_x_-_2 > -3
e
x-2 x-I
x-I
x - 2 + 3x - 3 ------>0
4x - 5 --->0
x - 2 - 3x
4x
=5
~
x
=
5 4
x-l=O x=1 1 2
=
Sinal de g(x)
~
--h+~x
~ yx
x
Quadro de sinais
5
o
4" +
+
+1 < 0
x-I
Sinal de h(x)
Quadro de sinais
+
-2x
Sinal de g(x)
Y'
~x
~
Raiz deg(x)
-2x + 1 = 0 -2x = -1
2x = 1 ~ x
~
Y+
Raiz de h(x)
x-l=O x=1
Sinal def(x)
.
Vamos estudar separadamente os sinais das funl,:oes h(x) = - 2x + 1 e g(x) = x-I.
Raiz deg(x)
4x - 5 = 0
+3
x-I
Vamos estudar separadamente os sinais das funl,:oesf(x) = 4x - 5 eg(x) = x-I.
Raiz def(x)
@
------<0
x-I
x -}
<3
I
2
1
r>------·~
+
+
I:
+ olur;ao de
+
•
.
~>-----_<'b)_--_:_---l.~ +
(J
~
138
50h r; 0
Efetuando a interseq:ao das solur;6es, temos: I
5
4
2"
CD
~----------...r;;.-----,
@ 2. :,;
I :
(Dn@ Logo, S={xElRlx<
T
4
-.,.......;;,0>--------'-------(0
•
~solu~ao
~
oux> :}.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
25. Resolva as inequayoes: a)
3x 2 x-3
1
3x 2 - -- 1 >3
b)
--+ ; ;1. 2
1
2x + 1
26. Resolva as inequayoes: a)
-41
x - <3 -
b)
I x-2
I
X+2!
- - "';4, x -1
RELEMBRANDO CONCEITOS
_
se x;;;. 0 -x, se x < 0
X,
y
=
Ixl
=
{
Para resolu<;:ao de equac;:6es, considerar que: - selxl = a e a> O,entaox= a ou x= -a; - se Ix I = a e a = 0, entao x = O. Para resoluc;:ao de inequac;:6es, considerando a > 0, temos que: -Ixl > a ~ x < -a ou x> a; - Ix I < a ~ - a < x < a.
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 3x + 2, se x > 0 27. Dada a funyao f(x) a) b) c) d)
f(-10) f(O) f(-3) f(4)
=
2, se -3"'; x",; 0
{ -x-1,sex<-3
,
pede-se: e) 0 grafico da funyao f) 0 conjunto imagem g) os valores de x para os quais f (x) h) os valores de x para os quais f (x)
139
e crescente e decrescente
28. Dada a funyao f (x) =
2x TXT' calcule:
a) f(-3)
b) f(3)
29. Sendo f (x) = x - 1 e g(x) =
c) f(-2)
Ix - 31 ' pede-se:
a) h(x) = f (g(x))
b) 0 gn3fico de h
30. Dada a funyao real definida por y = Ix 2 - 1 I - 3, construa se afirmar que sao verdadeiras as sentenyas: a) b) c) d) e) f)
d) f(2)
0
seu grafico. Em face do grafico, pode-
0 conjunto imagem da funyao e (y E IR Iy:;;. -3). a funyao e positiva para x < -2 ou x> 2. 0 eixo dos ye eixo de simetria do grafico da funyao. a funyao e crescente para -1 < x < 1. os zeros da funyao sao -1 e 1. 0 grafico intercepta 0 eixo dos y no ponto (0, -2).
31. Resolva as equayoes:
a) Ix 2
-
17xl = 30
X2 -
1
Ix + 61 + 5
= 2x
c)
b)
Ix 2
6
c)
1
c)
y="lx 2 -9x+91-9
x+3
I
32. Resolva as inequayoes: a) 10,2x-101 <20
+ 41
4x
b)
-
5xl >
2 :
-6=0
~1 ~ 3 5
1
33. De 0 dominic das funyoes:
x-1 a)
y= IX-21
34. (UFRJ) Considere a funyao y
°
= f (x) definida por:
y = 4x, se ~ x ~ 2 { Y = - x 2 + 6x. se 2 < x ~ 6
°
a) Esboce 0 grafico de y = f (x) no intervalo b) Para que valores de x temos f (x) = 5?
35. (Vunesp) Resolva a equayao x 2 ros reais.
-
31x I + 2
38. (Fuvest-SP) Seja f (x)
13x 2
x
~
6.
= 0, tomando como universe 0 conjunto IR dos nllme-
X-31
x-3 -- = -.
36. (E. E. Maua-SP) Resolva a equayao
37. (Fatec-SP) Resolva a equayao
~
I x+1 -
41
=
x+1
x2
-
4 em IR.
= 12x2 - 1 I, x E IR. Determine os valores de x para os quais f (x) < 1.
39. (Fuvest-SP) Resolva a inequayao x 'Ixl > x.
40. (FEI-SP) Construa
0 gratico da funyao
41. Esboce 0 gratico da funyao f (x) =
11 -
f (x) =
x
+ Ix I
Ixl
x 2 1 no intervalo - 2 ~ x ~ 2.
140
TESTES
_
42. (PUC/Campinas-SP) Na fabrica9ao de ate 500 unidades por mes de certo produto, 0 gasto de uma enpresa e composto por um valor fixe de 750 d61ares mais um custo, por unidade, de 5,50 d6lares. Quando a produ9ao supera 500 unidades, 0 valor fixe nao muda, mas 0 custo por unidade cai para 4,(,0 d6lares. A rela9ao entre 0 gasto mensal G da empresa e 0 numero u de unidades produzidas no mes e dada por: a) {G(U)
G(u)
= 750 + 5,50, se 0 ,,;;; u,,;;; 500 =
750
+ 4,00,
d) G(u) = 750
+
5,50
+
se u> 500 e) fG(u) = 750
b) {G(U) = 750 + 5,50' u, se u,,;;; 500 G(u) = 4,00 . u, se U> 500
lG(u) = 750
4,00
'U,
se
2
U~
0
+ 5,50' u, se 0 ,,;;; u,,;;; 500 + 4,00' u, se U> 500
= 750 + 5,50' u, se 0,,;;; u,,;;; 500 G(u) = 4,00' u, se U> 500
c) {G(U)
43. (Unifor-CE) Relativamente
a fun9ao f, de lR em lR, definida por f (x) = Ix - 1 I + 1, e correto afirmar que:
a) e crescente, qualquer que seja x. b) e decrescente, se x> 1. c) tem um valor minimo para x = 1.
d) tem um valor maximo para x = 1. e) admite raizes reais.
44. (F. Ibero-Americana-SP) Considere a equa9ao Ixl = x - 6. Com respeito 9ao, podemos afirmar que: a) b) c) d) e)
a a a a a
equa9ao nao tem solu9ao. solU9ao pertence ao intervalo fechado [1, 2]. solu9ao pertence ao intervalo fechado [-2, -1]. solU9ao pertence ao intervalo aberto ]-1,1[. solu9ao pertence ao complementar da uniao dos intervalos anteriores.
45. (PUC-MG) A soma das raizes da equa9ao
a) -2
12x -
1 I = 3 e igual a:
c) 0
b) -1
d) 1
46. (Mackenzie-SP) 0 numero de solU90es reais da equa9ao a) 3 47.
0 a)
b) 4
conjunto solU9ao em lR da equa9ao {- 3,.J3}
b)
{-,'3,
-1, 1,
e) 2
4 e:
-
,'3}
a) x< 2 b) x> -1
..1-
d) 1
12x2 - 51 = x 2
e) 2
14 - ~71 = 4 e:
c) 0
c) {-1,1}
48. (FEI-SP) Os valores reais de x, que satisfazem
c)
a solu9ao real dessa equa-
d) 0
a inequa9ao 12x - 1 I < 3, sao tais que: d)
x> 2
e)-1
< x< 2
2
49. (FURRN) 0 dominio da fun9ao f (x) a) x,,;;; -5 b) 0 c) todos os reais
=
,'Ixl +
5 e:
d) x
x'*
~
2
e) todos os reais positivos
50. (Mackenzie-SP) Seja So conjunto solU9ao da inequa9ao a) ]-00, -1[
b) S
c) IR_
141
x ·Ixl < x. Entao lR_ n S eo conjunto: d) 0
e) {-1}
51. (UEBA) A desigualdade 1 < Ix - 21 < 2 se verifica para todos os numeros reais xtais que: a) 1 < x < 3 b) x < 3 ou x> 4 c) 0 < x < 4
d) 0 < x < 1 ou 3 < x < 4 e) x < 1 ou x> 3
52. (UECE) Sejam Z 0 conjunto dos numeros inteiros, M = {x E Z 112x - 31 = Ix - 21}, p= {XE zllx+ 21
= 13x- 41}, e
a) {1, 2, 4}
T= {XE zllx- 31 ~ 2}. Oconjunto (T- M)
b) {2, 4, 5}
c) {3, 4, 5}
53. (UFRN) 0 conjunto soluyao de 1 < Ix - 1 I < 2 a) -1 < x < 0 ou 2 < x < 3 b) -1 < x < 0 c) x < 0 ou x> 2
n (T- P)
e:
d) {1, 2, 3}
e 0 conjunto dos numeros reais x tais que: d) -1 < x < 3 e) 0 < x < 2
54. (UFPE) Indique qual das funyoes de IR em IR pode ser representada pelo grafico abaixo. a) Y=2+M
b) C)
y=2+ Ixl
2
2 + x, se x > 0 y= { 2-x,sex~O
d) y
=3
-
Ix -
1I
2-x,sex:;;.o
e ) y= { 2+x,sex
* 1, e dado por:
y
y
a)
c)
./
2
e)
2
:
/
x
2
x
y
b)
d)
2
-9
0
:1
2
/ x
x
142
0
--" x
56. (F. Ibero-Americana-SP) 0 grafico que melhor representa a fun<;:ao definida por Y
=M2 ) x* 0
e"
I'
X
a)
c)
Y
~L o
e) n.d.a.
x
x
b)
d) Y
o
x
L
57. (u. Sao Francisco-SP) 0 conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a)
c)
x
0 sistema
{IX I ,,;; 2
e:
IYI ,,;; 2
e)
Y
Y
2~---...
2·
Y 2
--
-
1
o
2
2
x
b)
x -2
-I
0
I
d) -I
Y Y
2
2
2
-2
-2
x
58. Qual das fun<;:oes f (x) esta melhor representada no grafico?
x 2 , para x> 2 x + 1, para x < 2 4 -
a) f(x)
=
b) f(x)
=
c) f (x)
= {x - 4, para x,,;; 2 x - 1, para x > 2
{
d) f (x)
= {x
2
- 2, para x < 2 x + 1, para x > 2
2 - x 2 , para x> 2 { x 2 - 4, para x ,,;; 2 2
2
e) f (x) = {4 - x , para x < 2 x + 1, para x > 2
143
GrafteD de ((xl
2 x
59. (Mackenzie-SP) Na figura, temas a grafica da fun<;aa de IR - (-1} em IR definida par ((x) = _1_. A area da regiaa calarida vale: Ix + 11 a) 4 b) 5
7 2
c)
d)
-
9 2
11 e) 2
x
-3
144
Capit 10 Fun~ao exponencial I . Revisao de potencia de expoente racional No curso de 1 Q grau, voce estudou e trabalhou com potencias. Agora, iremos estudar assuntos que envolvem conceitos ja aprendidos e em especial aqueles sobre potencias de base positiva. Antes de iniciarmos esses novos estudos, e conveniente rever alguns conceitos atraves da resolus:ao de exercicios. Para facilitar 0 seu trabalho, mostramos no quadro as principais informas:6es sobre potencias de base positiva e expoente racional. Propriedades Sendo a e b numeros reais e positivos, com men numeros racionais, sao vaIidas as seguintes propriedades:
Sendo a E IR: , mE 7L en E 7L~, temos: • se m> 1, entao am = a' a' a' .... a; '----v------J m fatores
• se m • se m
= 1, entao am = a; = 0, entao am = 1;
• se m
= -1, entao am
• se m < -1, entao am • am/"
=
1/
1 a
=
=
• (a . b)11l
( ~ YIIl;
=
am . bm
.(~)m=~ b
b'"
am
Observa~o: as consideras:6es feitas para potencia de expoente racional sao vilidas para potencia de expoente real.
EXERCiclOS PROPOSTOS 1. Calcule 0 valor das potencias:
Y
a) 53
d)
b) 104
e) (0,22)2
c)
(~
y
(1+
f) (0,22 ..
g)
h)
l
i)
C,2Y
CrrJ (': J 145
j) 2- 3
n)
(~
y
I)
(~
r
0) (0,85)1
m)
(~
y2
p) (0,3)-2
1
2. Considerando a > 0 e b > 0, reduza a uma s6 potencia: 4 2 a) a . a. a
f)
2 3 b) a . a-I. a
2 5 g) a : a-
m) -
c) am + 2. a5 - m
h) (a 2)3
n) 3 x . 2 x
d) a 6 : a 4
i)
3
e) a : a
5
a6 : a 6
I)
a2
.
b2
a3
(a 3)X
0)
j) (aX)X + 1
p)
b3 3x
5x
3. Escreva na forma de potencia de expoente fracionario: c)
.J1OX+1
e)~
d)
~2x
f)
,'(~
r
+4
4. Escreva: a) b) c) d) e)
2 x + 3 como produto de duas potencias de base 2. 5 2X + 1 como produto de duas potencias de base 5. 3 x - 2 como quociente de duas potencias de base 3. 102X - 1 como quociente de duas potencias de base 10. 1 como potencia de base 10.
2. Conceito de
fun~ao
exponencial
Considere a seguinte situac;:ao: Numa certa cultura de bacterias, observou-se que 0 numero de individuos duplicava a cada hora. Considerando uma populac;:ao inicial de 4 bacterias, teremos: • ap6s a 1'" hora, 0 numero de bacterias sera de: Y1 = 4 . 2 = 8 bacterias; • ap6s a 2'" hora, 0 numero de bacterias sera de: Y2 = (4' 2) . 2 = 4 . 2 2 = 16 bacterias; • ap6s a 3;[ hora, 0 numero de bacterias sera de: Y3 = (4 . 2 2 ) . 2 = 4 . 2 3 = 32 bacterias. Procedendo dessa forma, e facil concluir que a lei que expressa 0 numero de bacterias (y) em func;:ao do tempo em horas (x) e definida por:
Estamos pois diante de urn novo tipo de func;:ao, chamada fun~o exponencial pelo fato de apresentar variavel como expoente. Sao muitos os acontecimentos que ocorrem obedecendo a leis expressas por func;:oes exponenciais. Assim, por exemplo: • 0 total de dinheiro existente numa caderneta de poupanc;:a que rende 5% ao mes e calculado pela lei: M= C' (1 + 0,05)"'
I
I,
em que Ceo capital empregado e a variavel x e 0 numero de meses de aplicac;:ao; • 0 processo de desintegrac;:ao radioativa de uma massa m de carbono 14 que e reduzida a uma massa Y em t anos segundo a lei: r---------,
146
De um modo geral: Dado um numero real a, positivo e diferente de 1(a E IR: e a exponencial de base a a funs;ao f: IR ~ IR: definida por:
f(x)
*-
1), chama-se fun~o
= aX
Assim, sao exemplos de funs;6es exponenciais: a) f(x) = 2 x (nesse caso a base e 2). b) f(x) = (0,4)X (nesse caso a base e 0,4). c) f(x)
=
«2 + 1)X (nesse caso a base e "\ 2
+ 1 ).
EXERCiclO PROPOSTO 5. Nas funQ6es definidas pelas sentenQas abaixo, identifique aquelas que sao exponenciais e indique a base correspondente: a) y
= 5x
b) Y
3. Grafico da
= SX
c) y
fun~ao
=(
~
Y
d) Y = x
5
exponencial
Analisemos a representas;ao grifica das funs;6es exponenciais por meio de alguns exemplos. Exemplo 1 y = f(x) = 3x (nesse caso a base e 3). Vamos construir uma tabela de pontos pertencentes ao grafico cartesiano da funs;ao, atribuindo valores arbitrarios a x e, em seguida, calculando 0 valor de f(x) para cada um desses valores. Tabe1a Grilleo x
y
-2
-
-1
-
I
(x, y)
1 9
( -2,
~)
x= -2
1 3
( -1,
~
x= -1
=>
y= 3- 2
=>
y= 1
y = 3'
9
)
°
1
(0, 1)
1
3
(1, 3)
I
2
9
(2,9)
]
x=O x= 1 x=2
=> => =>
=>
y = 3- 1
=>
y= 1 '"l
y= 3° y= 3 1 y= 32
=> => =>
y= 1 y= 3 y=9
"
Assintota
Observe que a funs;ao
e crescente.
Observe que, quanta menor for 0 valor de x, mais os pontos do grafico da funs;ao se aproximam da reta suporte do eixo x, sem no entanto atingi-la. Quando isso ocorre, a reta e chamada assintota a curva. Exemplo 2
y
= f(x) = ( ~
r(
Agora a base e
~ .) 147
Procedendo do mesmo modo que no exemplo anterior, temos:
Tabela x
v
(x, 1')
-2
9
(-2,9)
x=-2=>y= ( 13
)-2
=>y=3 2 =>y=9
-1
3
(-1,3)
x=-l=>y= ( 13
)-1
=>y=3 1 =>y=3
0
1
(0, 1)
1
-
2
-
x=O=>y= ( 13
)0
=>y=l
)1
=>y=
1 3
(1,
~)
x=l=>y= ( 13
1 9
(2,
~)
x=2
y=
=>
(~
y
1
3 =>
y=
~
=_.
Grmco
- - - 9
r=(-t)'
8
Observe que a fim<;ao e decrescente. Observe que, quanto maior for 0 valor de x, mais os pontos do grafico da fun<;ao se aproximam da reta suporte do eLXO x, sem no entanto atingi-la. Areta suporte do eixo x e, por esse motivo, assintota a curva.
7 6
5 4
2
, 1 I -2 -I
r-
1
,I
I
I
2
4
Assintou
• x
Assim, podemos classificar uma fun<;ao definida por y
=
aX em:
crescente quando a> I; decrescente quando 0 < a < I.
Resumindo 0 estudo da fun<;ao y = aX, temos: 1) 0 dominio da fun<;ao e IR, ou seja: D(f) = IR. 2) 0 conjunto imagem da fun<;ao e IR:, ou seja: Im(f) = IR: (note que para "Ix E IR ternos aX> 0). Entao 0 grafico da fun<;ao fica todo acima do eixo x. 3) Em qualquer dos casos, 0 ponto P(O, 1) pertence ao grafico da fun<;ao. 4) A fun<;ao e injetora, pois se XI =1= X 2 , entao a XI =1= a X2 . 5) A fun<;ao e sobrejetora, pois para "lyE IR: existe x E IR tal que y = aX. 6) A fun<;ao e bijetora, pois e injetora e sobrejetora. 7) No caso de a> 1, a fun<;ao e crescente, pois se Xl > X2, entao a XI > a X2 . 8) No caso de 0 < a < 1, a fun<;ao e decrescente, pois se Xl > x 2 , entao a Xt < a X2 .
148
Exemplo Verificar se as funs;6es exponenciais abaixo sao crescentes ou decrescentes (em IR): a) f(x) = 5"
b) y
=
(0,85)"'
c)f(x)
= ( 83 )-'
Solufao
a) f(x) = 5" e crescente, pois 5 > l. b) y = (0,85)"' e decrescente, pois < 0,85 < l.
°
c) Quanto af(x)
=
( 83 )-' ' como
, a Rms;ao e crescente, pois
-.! >
1.
3
EXERCiclOS PROPOSTOS 6. Verifique em cada caso se a func;:ao e crescente ou decrescente e justifique: a) f(x)
b)
y=
=
(3,
(~
W
y
c)
Y= (2- 3)X
e)
y=
Ti
x
d) h(x) = (O,23t
+r
g)
Y = ('\2 + 2)X
h)
Y
= ( '\;
Y
7. Fac;:a a representac;:ao gratica das func;:6es: a) f(x)
4.
= 2x
Equa~oes
b) f(x)
=(
c) f(x) = 2
x
+
d)
1
Y
=
2x + 1
exponenciais
Considere a equas;ao 2" = 8. Ne!a, a variave! x aparece como expoente. que isso ocorre e chamada equas:ao exponencial. Veja outros exemplos de equas:6es exponenciais: a) 5 x = 1
b) 3 x -
2
c) 5 . 2 3X -
= 9'+ 1
1
ma equas;ao em
= 20
Resolver uma equas:ao significa achar os valores da variave! que a tornem uma sentens:a numerica verdadeira. Assim, na equas:ao 2'< = 8, temos que oX = 3 e uma raiz, pois 2 3 = 8. Muitas das equas;6es exponenciais podem, atraves das propriedades, serem transformadas em outras equivalentes que possuam nos dois membros potencias de mesma base (maior que zero e diferente de um). Obtido isso e lembrando que a funs;ao )' = aX e injetora, chegamos a uma equas:~o que envolve somente os expoentes dos dois membros. Dessa forma, voltando a eqllas;ao 2 x = 8, como 8 = 2 3 , temos que:
2x
=
23 ~
X
=
3 (pois a Rms:ao e injetora)
Observas:ao: neste capitulo estaremos estudando apenas equas:6es em que e possivel proceder da forma citada. Para equas:6es nas quais tal procedimento nao seja possive!, llsan1-se OlltroS metodos. No proximo capitulo, veremos algumas dessas equas;6es. Acompanhe com atens:ao os exemplos de resolus;ao de equas;oes exponenciais no conjunto dos nLuneros reais. Exemplo 1 Determinar
a) 2
111
•
0
valor de m nos casos:
2+ = 2 10
b) 6 2111
149
- 1 :
6 111
- 3
= 6+
SolUfaO a) 21/1 . 2 4 = 2 10 Como 21/1 . 2 4 = 2'" +\ temos:
2"'+4=2 10 ~ m+4=lO ~ m=6 o conjunto solus:ao e S = {6 I. b) 6 2111 - 1 : 6'" - 3 = 64 Como 6 2111 - 1: 6 111 - 3 = 6 2111 - 1 - (Ill - 3) = 62111 6 111 + 2 = 6 4 ~ m + 2 = 4 ~ m = 2
I - 111
+ 3 = 6 111 + 2, temos:
o conjunto solus:ao e S = 121. EXERCiclO PROPOSTO
_
8. Calcule 0 valor de x nas equac;:6es: c) 54X+1·5x-1 =5 10
a) 3 x '3 3 =3
f)
(;Y: (;Y-3= (;Y
Exemplo 2 Resolver as eguas:6es: a) 3x = 243 SolUfao a) 3x = 243 Como 243 = 35, temos:
3x = 35 ~
X
'----/
=5
mesma base
o conjunto solus:ao e S = {5 I. b) (
yx (2;)
~
~:
Como 2; =
= (
( ~ )5X = ( ~r3 ~
----..........
~
y~
2; = (
~
5x = -3
~
r
3 ,
entao:
-3 5
x
mesma base
o conjunto solus:ao e
S
= {-
~}.
EXERCiclO PROPOSTO
_
9. Resolva as equac;:6es: a) 2
x
= 16
x
b) 5 - 125 c) 2
3X
= 512
d)
(~)X = l!4
=
0
e) 5 4X
=
f) 103 -
64
_1_ 25 2X
= 1
150
g) 7 5X -
=
2
h) 4 x - 8
i) gx+
3
(+
=0
= 243
r1
Exemplo 3 Resolver a equas:ao
-J3 = 27 x .
Solurao 1
Como \~ = 3 2: e 27 = 33, temos: 1
3
2
1
= (3 3 )" ~ 32: = 3 3X ~ 3x = '--.--/
1 2
~
x=
1 6
mesma base
o conjunto solus:ao e S = {~} . EXERCiclO PROPOSTO 10. Resolva as equaC;:5es:
Exemplo 4 x Resolver a equas:ao 9
( 1 =
3
c)
32 2x + 1
d)
\'3
X
-
2
=
e) 31)( ,2 =
8
f)
= 9
4~
,9
5
2
=
3x- 4
3r;:;;x+3 ,27
)x x 2-
Solurao
Como 9
=
32 e 1 3
=
3- J , entao:
(32t=(3-1t2_X~ 32X=3x-x2 ~ 2x=x-x 2 ~ x 2 +x=0 ~ x1=0 e x 2 =-I '--.--/ mesma base
(0 problema admite duas solus:oes.) I-I, OJ.
o conjumo solus:ao e S =
EXERCiclO PROPOSTO 11. Resolva as equac;:5es:
a) 4 x =
(1) 2 -
x
2 -
x
c) (3Y + 3 = (9)X +
d) [( ~ Exemplo 5 Resolver a equas:ao 2 x + 2·H
1
rr 6:; =
= 24.
Solurao
A equas:ao tambem pode ser escrita assim: 2" + 2 x
151
•
2
12
=
24.
CD
Fazendo 2 x = y, obtemos: y + 2y = 24 => Y = 8 Entao 2 x = 8 => 2 x = 2 3 => X = 3.
" ---./' mesma base
o conjunto solw;ao e S =
{3).
Observa~iio:
quando houver uma troca de variaveis do tipo aX = y, com a positivo, como foi todos os valores negativos de y que ocorrerem deverao ser descartados, pois nesfeita em sas condi<;6es "Ix E IR temos aX > O.
0,
EXERCiclO PROPOSTO 12. Resolva as equac;:6es: c) 2 x +
a) 5 x
+ 5 X + 1 = 150 b) 2 x + 2 x - 1 = 48
Exemplo 6 Resolver as equa<;6es: a) 3 . 2-'+ I - 4 . 2' -
4 -
2x +
1 =
56
d) 3 x + 3 x + 1 + 3 x -
1=
13
27
2 -
6 . 2'
=
-4
2 -
6 . 2'
=
-4
b) 25 1.\'1 - 4 . 5 1'1 - 5
=
0
SolUfao
a) 3 . 2X+
I -
4 . 2' -
2'
2'
.
Como 2'+ I = 2 x . 2 e 2'\'- 2 = - = - - entao: 3 . 2' : 2 - 4 . 22 4' Fazendo 2' = y, obtemos: 6 . Y - Y - 6 . y = -4 => -y = -4 Como y = 2 x => 2' = 4 => 2' = 2 2
=>
Y= 4
=> X
= 2.
~
mesma base
o conjunto solu<;ao e S =
{21.
b) 25 1'[ - 4 . 5 1xI - 5 = 0
CD
Como 25['1 = (5 2/,'1 = (5[·\1 )2, fazendo 5 1'1 = y ,temos: l - 4y - 5 = 0 Resolvendo essa equa<;ao encontramos y = -lou Y = 5. Voltando em ([) : para y = -1 => 5 1x1 = -1, senten<;a falsa para qualquer valor de x; paray= 5 => 51·~1 = 5 => 5 1xI = 51 => Ixl = 1 => x= -1 oux= l. o conjunto solu<;ao e S = {-I, 11.
EXERCiclO PROPOSTO 13. Resolva as equaC;:6es: a) 2 . 5 x
+ 3 . 5x + 1
b) 2 . 6 x
+ 3 . 6x + 1
= 17 _
4 . 6x -
1 =
29
9
d) 9 1x
152
- 4 . 3!xl + 3 = 0
Exemplo 7 Resolver a equac;:ao 4-" - 3 . 2-" -
1
= 52.
SolUfiio
Temos: 4-"
= (2 2
r = (2"? x
2-"-1
= -2 2
Substituindo na equac;:ao dada, temos: (2-"? - 3·
2-" 2
= 52
Fazendo 2-" = y( y > 0)
l -
3y = 52 2
Voltando em 2'x=y~
CD ' vem:
~ 2l- 3y -
104 = 0
~ y=
8 au y
= -13 2
(Esse valor nao serve.)
Q) :
2-"=8
~
2-"=2 3
o conjunto soluc;:ao e S =
~
x=3
13}.
EXERCiclO PROPOSTO 14. Resolva as equac;:oes:
a) 2 . 3x -
1 =
9x
-
7
s. Inequa~oes
b) 5
+ 25 x
= 6 . -5
x
exponenciais
Considere a inequac;:ao 2'x > 8. Ne!a, a variave! x aparece como expoente. Uma inequac;:ao em que isso ocorre e chamada inequac;:ao exponencial. Veja outros exemplos de inequac;:oes exponenciais: b)2-"-1~4 c) 3-"-2 <9X+l d)5'23-"-1~20 a) 5-">25 Resolver uma inequac;ao significa achar as valores da variave! que a tornem uma sentenc;a numerica verdadeira. AsSin1, na inequac;ao 2-" > 8, temos que x = 4, par exemplo, e uma soluc;:ao, pais 2 4 > 8. Muitas das inequac;:oes exponenciais podem, atraves das propriedades, ser transformadas em outras equivalentes que possuam nos dais membros potencias de mesma base (maior que zero e diferente de um). Obtido isso e lembrando que a func;ao y = aX e: • crescente quando a > 1; • decrescente quando 0 < a < 1; recaimos numa inequac;:ao que envolve apenas as expoentes. Dessa forma, voltando a inequac;:ao 2-" > 8 e sendo 8 = 2 3, temos que: 2-" > 2 3 Como nos dais membros as bases sao iguais e maiores que I, a sinal> sera mantido para as expoentes, pais, nessas condic;:oes, a func;:ao exponencial e crescente. Entao x > 3. o conjunto soluc;:ao e S = Ix E IR Ix > 31. Observac;:ao: neste capitulo estaremos estudando apenas inequac;:oes em que e passive! proceder da forma citada. Para inequac;oes nas quais tal procedimento nao seja possivel, usam-se outros metodos. No proximo capitulo, veremos algumas dessas inequac;:oes.
153
Acompanhe com aten<;:ao os exemplos de resolu<;:ao de inequa<;:6es exponenciais no conjunto dos numeros reais.
Exemplo 1 Resolver a inequa<;:ao (0,7t ",;
7 10
SolUfiio
Como ~ = (07)1 , , ten10S:
10
(0,7t",; (0,7)1 mesma base
Sendo as bases iguais, positivas e menores que 1,0 sinal"'; sera trocado por condi<;:6es, a fun<;:ao exponencial e decrescente. Entao x ~ 1. o conjunto solu<;:ao e S = (x E IR Ix ~ 1).
~,
pois, nessas
EXERCiclO PROPOSTO 15. Resolva as inequa90es: a) 5
x > 625
b) 2 x < 64
c)
(+ Y
1 16
d)
( 2 Y
e)
(~Y<1:
5
8
> 125
g) 2x2
+ 20
> 29x
h) (3 X)X ~ 3
f) (0,1)X ~ 0,001
",:;-
Exemplo 2 Resolver a inequa<;:ao (
~ }~-l < 9
4
SolUfiio
Como
2
9 3 (3)2 4=2"2= 2 =(2 3
)-2
1
temos: mesma base
As bases sao iguais, positivas e menores que 1. Entao x-I> - 2 o conjunto solu<;:ao e S = (x E IR Ix > -1).
~
x > -1.
EXERCiclO PROPOSTO 16. Resolva as inequa90es:
7 2
d) (0,1)X < 100
",:;-
154
Exemplo 3 Resolver a inequas:ao
C0,5 Y ,; :; 8.
Solurao
vo:s
Temos:
= (
~ )+ = 2(-+).
Entao:
(2
-+r ,; :; 2 ~ 2- ~ ,; :; 2 3
3.
Como as bases sao iguais e maiores que 1, temos: -x ,;;:;; 3 ~ -x';;:;; 9 ~ x ~ -9
3 Observa~o: lembre-se de que, ao multiplicar os dois membros de uma inequa<;ao por um munero negativo, ela muda de sentido. No nosso caso, multiplicamos os dois membros por -1. o conjul1to solus:ao e S = {x E IR Ix ~ -9}.
EXERCiclO PROPOSTO 17. Resolva as inequa90es: a)
ff > 9
b)
~<~
Exemplo 4 (X - 36 '3 . Reso 1ver a mequa<;ao
4
1)
>
6"
+1.
Solurao Temos: (6 2 )
( XI) 3
> 6" + I ~ 6
~ 3
-2
> 6"
+ 1.
mesma base
Como as bases sao iguais e maiores que 1, temos: - 2 > x + 1 ~ 2x - 6 > 3x + 3 ~ x < -9 3 o conjunto solus:ao e S = Ix E IR Ix < -9). 2x
EXERCiclO PROPOSTO 18. Resolva as inequa90es: x
2
a) 7 3X
- 2
< 49
e)
83'-3',,;;; 32 x -
b) 5 x -
1
> 125
f)
3r:;+1 \2 <16
c) ( -
2 5
)X+
2
> 0,4
2
h) 0,1 x > 0,1
155
2
Exemplo 5 Resolver a inequa<;:ao
@ 1- ~ 3- x 3 \
CD SolUfiio
Devemos ter simultaneamente: e
CD
@
CD 13
~ 3- x ~ 3- 1 ~ 3- x ~ -1 ~ -x ~ x ~ 1, pois as bases sao iguais e maiores que 1. 2 3
(pelo mesmo motivo) A solu<;:ao
e CD n @. Esbo~o
grilleo
2
-3
CD
• •
1
@
0
(Dn @
ci 2 -3
o conjunto solu<;:ao e S =
I
i
~sol~~ao
•
{x E IR 1- ~ < x~ I} .
EXERCiclO PROPOSTO 19. Sendo U = IR, resolva as inequayoes: a) 3 ~ 3 x < 27
b)
1
5
< 5 x ~ 25
c)
~ < 3-x < gx+ 9
d)
( -5 yx + 1 < (5 3 3
2
r-
156
1
~~(+Y~4
e)
< 53
f)
(
2~ Y~ (+
r (+ YX-3 <
RELEMBRANDO CONCEITOS )' =
aX, com a E IR: e a
*-
_
1 e uma fun<;:ao exponencial de base a.
o dominio eIRe a imagem e IR:. A fun<;:ao e injetora e sobrejetora, portanto, bijetora. a>l
O
x
x
o ponto P(O, 1) pertence ao grafico. A fun<;:ao e decrescente.
o ponto P(O, 1) pertence ao grafico. A fun<;:ao e crescente.
Para resolver equa~oes exponenciais procure transformar (se passive!) os dois membros em potencias de mesma base e "trabalhar" s6 com os expoentes, pois a £1.1I1<;:ao e injetora. Para resolver inequa~oes exponenciais procure transformar (se possive!) os dois membros em potencias de mesma base e "trabalhar" s6 com os expoentes: • mantendo 0 sinal que a inequa<;:ao apresentar quando a> 1, pois a fun<;:ao e crescente; • invertendo 0 sinal que a inequa<;:ao apresentar quando 0 <.a < 1, pois a n.ll1<;:ao e decrescente.
EXERCICIOS COMPLEMENTARES 20. Identifique com V as sentenyas verdadeiras e com F as falsas.
>(+ Y
c)
(+ r >( +y
d)
5
a) 2
2
b)
(+ y4>5 ( 35 )-3 <(5-3 )-1 -
21. Reconheya, entre as sentenyas abaixo, aquelas que sao verdadeiras. a) Se a> 1 e am > an, entao m > n. b) Se 0 < a < 1 e am> an, entao m < n. c) Se m> n e am < an, entao a > 1. 22. Dada a funyao f (x)
a)
d) Se m > n e am < an, entao 0 < a < 1. e) Se m > n e 0 < a < 1, entao am < an. f) Se m < n e a > 1, entao am < an.
= 2 x, pede-se:
f(3)
c) 0 valor de x para que se tenha f (x) = 1
b) f(-1)
d)
23. Dadas as fun y6es f (x) = a) f (x)
=
g(x)
b) f (x) < g(x)
(+y2 -7
e g(x)
=
(
0
valor de x para que se tenha f (x) =
+yx -1,
c) f (x)
157
determine x real de modo que:
> g(x)
d) f(x) =
(
1 16
1 -3
)11
24. Resolva as equag5es, considerando U = IR. a)
(+Y=
b) 2 c)
3x
-
1
(.J3)
= (
x+2
9-
h) (3 X
2
+Y
t- 3 =
1
9
(0,7)2x2 = (
i)
Y-
1~
Sx
27
=
4/
x d) 5· 2 = 40
I)
e) 3. 5 2x + 3 = 15 3 102x + 3 =100 f)
m) 10 . (0,2)X = 2 . (0,2)3
3x-1
g)
(0,5)
-4-
25. Determine
n) 5,(
=~
0) (0,1)
8
0
(0,1(2_ X =,110 x - 1
~
Y
=2.(
~
y-x
3x-1..
3 = 1001-2X
= IR.
conjunto solugao das equag5es, sendo U
e) 5 . 2 x + 2 - 3 . 2 x - 2 - 308 = 0 f) 2· 3 x + 5 . 3 x - 1 = 4 . 3 x + 1 - 75 g)2 x +4 x =20
a) 2 x + 2 + 2 x - 3 = 132 b) 3 x + 2 - 3 x = 24 c) 5 x + 1 +5 x - 2 =630 d) 2 x + 1 _ 2 2 - x = _ 7
h) 9 x - 3 x + 2 = 3 x - 9
26. Resolva as inequag5es no conjunto universe U = IR. x a) 10 - 1 .;; 0
d) (.J3)x-s> 9
b)
(~
r ~y
x e) 2 -
c)
(22
Y+1<_8
f)
«
x
g) 4X+ 2
(t y
9r (9 r 2
2
8
<
(2 X)X -
h) (5 --
+X
~ 2
2.;;
125
i)
2
x2
27. Determine os valores reais de x para os quais sejam validas as sentengas: c) ( d)
52
1 )4X-2
2
<2
< 52x + 1 <
2X
<8 -"- + 3
5 2
2<23X + 1 <8
28. Sendo U = IR , resolva
0
sistema
1 x 3x { -- .;; 5 < 125
1
5
8X
29. (Fuvest-SP) Resolva
30. (UFSC) Dado
0
0 sistema
sistema
31. (E. E. Maua-SP) Resolva
{5
•
4Y
= ~
{ 4 x ·2- Y
X
4
1~5
,calcule 0 valor de (x' y)3.
5 2X + 3y 0 sistema
{3
.
=2
- Y = 3 x + Y = 243
x+y
=
5
= 1
158
< 8-X+ 3
+ 16
~
x
24
~--
+
(
+
5
yox
32. (Unifor-CE) Mensalmente a produyao em toneladas de eerta industria e dada pela expressao y = 100 - 100 . 4 -O,05X, na qual x e 0 numero de meses eontados a partir de uma eerta data. Ap6s quantos meses a produyao atingira a marea de 50 toneladas? 33. (UFMG) Resolva em IR a equayao ((1 024 x
n
x
= 2 1,25.
TESTES
_
34. (Unifor-CE) Das figuras abaixo, a que melhor representa f(x) = (
~
Ye:
0
grafieo da funyao fde IR em IR definida por
e)
a)
y
e)
5
x
"4
x
V
°
x
d)
x
x
35. 0 grafieo abaixo representa a funyao y = aX
+ b.
Entao a
+ b e igual
a:
a) -2
b) 1 e) 2 d) 3 e) 0
x
-2
36. (UFMG) Seja f(x) = 3 x
-
~ 4
uma funyao real de variavel real. 0 eonjunto que eontem todos os va-
lores reais de x para os quais f (x) = f (x - 1) e: a) {x E IR I 0 ,,;; x
< 2} b) {x E IR I 2 ,,;; x < 3} e) {x E IR I 3 ,,;; x,,;; 4}
d) {x E IR I 4
< x,,;; 5}
e) {x E IR I 5 < x,,;; 6}
159
37. (UFMA) Resolva a equar;:ao 2 x a) x= 8 b) x = 6
1
+ 2x + 3 + 2x -
2
+
2 x = 2496.
e) x = -7
c) x= 7
d) x= 9
38. (FURRN) A solur;:ao da equar;:ao 2 x + 1 ~ x < 2 b) -2 < x< 2
23
-
c) 2 <
a) -1
6 = 0 pertence ao intervalo:
- x -
x< 4
d) 2 < x
~
e) -2
~
2
4
39. (F. C. Contabeis) Da solur;:ao da equar;:ao 3 x -
1
+ 3x+ 1 +
x
3 = 351 resulta um numero:
a) multiplo de 2.
d) primo.
b) divisor de 3. c) equivalente a
e) recfproco de 13. 13
3
e igual a:
40. (Vunesp) A soma das solur;:oes da equar;:ao 2 6 ,x + 8 = 9· 2 3 ,x a) 1
b) 2
0
c)
e) 3
d) 4
~'10005
41. (U. F. Ouro Preto-MG) A soma das solur;:oes da equar;:ao 100(10 X ) = c) 0
b) -1
a) -2
42. (Mackenzie-SP) A solur;:ao real da equar;:ao 4 x a) [-2,-1]
3x -
= -2 ou x = 3} b) {x E IR Ix = 2 ou x = -3}
a) {x E IR Ix
=
-2 ou x
44. (UFRN) A equar;:8.o 4 2X -
=
45. A raiz da equar;:8.o (7 X
-
2x
12 . 2
-
1
esta no intervalo:
x
+ 32
e) ]1,2] =
0
e:
-3}
2 -
17 . 4 x - 2
+
1 = 0 tem solur;:oes no intervalo:
d) [8,13]
c) [6,7]
2,10). (7 X + 2,10 ) = 9
c) real negativo.
b) inteiro negativo.
d) inteiro positivo.
46. (Osec-SP) 0 valor de f (x) =
2(3X - 2),
sendo que 4 x - 2 . c) 16
b) 8 X
47. (U. Uberaba-MG) Se a equar;:ao
(25
+ 125)
e) [-2, -1]
e um numero:
a) irracional positivo.
a) 4
2 2x -
d) 0 e) {xElRlx=20ux=3}
b) [4,5]
a) [0,2]
-
d) ]-1,0]
43. (Faap-SP) 0 conjunto solur;:ao da equar;:ao exponencial 2
c) {x E IR Ix
3 x + 0,5
0,5 =
c) ]0,1]
b) ]2,3]
e) 2
d) 1
-
e:
= 5 x +1
2
x
-
8 = 0,
d) 128
e: e) -2
admite como solur;:oes os numeros reais a
6 e b, pod em os afirmar que:
a) b)
~ b
1
=
a+b
=
0
c) a· b = 2 d) a· b
=
1
160
e) a - b = 0
48. (UFSE) Sejam
x e yos numeros reais que tornam verdadeiras as sentenc;:as
Nessas condic;:6es, 0 valor de
1 9
a)
b)
49. (Unifor-CE) Se
xey
2X + Y { 2x -
-
2
=
Y-
2
=0
30 .
x Y e:
1
e) 9
d) 8
c) 1
8
32X + Y = 1 sao numeros reais tais que
{ 3x -
-.l.
2y =
, entao
x - y e igual a:
9
3 5
a)
b)
4 5
d) - ~ 5
6 5
c)
e) -
~ 5
X
50. (F. Ibero-Americana-SP) Se (x, y) e soluc;:ao do sistema a) 11
b) 3
6
c)
51. 0 conjunto soluc;:ao em IR da inequac;:ao [( 23
a)
{xEIR1X
)X]+ c)
b) {x E IR 1-2 ",; x",; 2)
c) x
x< 3
{x E x'" :} IR
1
d) {x E IR 12 ",; x",; 3)
52. (U. Cat61ica de Salvador-SA) 0 numero real
b)
e) 5
d) 4
"'+}
a) X= 0
2 +3 Y =11 2 x _ 3 Y = 5 ,entao x + ye igual a:
{
xe
tal que 3- x . gX > 27 x +
=1
e)
1
se, e somente se:
x<-
3 2
d) -3 < x < 3
2
53. (PUC/Campinas-SP) Considere a sentenc;:a a 2X + 3
> a8 ,
na qual x e uma variavel real e a e uma
constante real positiva. Essa sentenc;:a e verdadeira se, por exemplo: a)
x=3ea=1
d) x e) x
b) x = -3 e a > 1 c) x = 3 e a < 1
ea< 1 e a> 1
= -2 = 2
54. (UESA) Uma populac;:ao de bacterias no instante t e definida pela func;:ao f (t) = C' 4
kt
,
em que t e
dado em minutos. Se a populac;:ao depois de 1 minuto era de 64 bacterias e depois de 3 minutos, de
256, conclui-se que a populac;:ao inicial era de: a) 32 bacterias.
d) 2 bacterias.
b) 16 bacterias.
e) 1 bacteria.
c) 8 bacterias.
55. (U. Sao Francisco-SP) 0 censo realizado numa cidade apontou uma populac;:ao de 250 mil habitantes e um crescimento populacional de 2% ao ano. Chamando de ya populac;:ao em milhares de habitantes e de
x 0 tempo em anos a partir da data do censo, a func;:ao que permite projetar a populac;:ao
futura dessa cidade em func;:ao do tempo e:
+ 1,02 x 250 + 1,02x
a) y = 250 b) c)
Y= Y = 250 . 1,02 x
d) Y = 250 e) y = 250
161
+ 0,02x + 2x
Capitulo
Logaritmos Introdu~ao
I.
Ao estudar fun~ao exponencial, vimos como resolver uma equa~ao exponencial quando e POSSIVe! obter potencias de mesma base nos dois membros da equa~ao. Isso, no entanto, nem sempre ocorre, como par exemplo na equa~ao: 5
x
=
12
Sao muitos os acontecimentos em que aparecem
equa~6es
como essa. Vejamos a seguinte
situa~ao:
o
numero de indivlduos de uma
popula~ao
de bacterias no instante t e definido pe!a
fun~ao:
f(t) = 30· 31095t, em que teo tempo em minutos. Deseja-se saber ap6s quantos minutos essa popula~ao chegara a 11 100 bacterias. De acordo com os dados do problema, temos: 11100 = 30 . 3 1 095t ~ 31095t = 370 E agora? Veja que nao e POSSIVe! obter potencias de bases iguais nos dois membros. Que fazer? Estudar logaritmos, pois urn dos objetivos desse estudo e justamente fornecer condi~6es para a resolu~ao de equa~6es desse tipo.
2.
Defini~ao
Cultura de bacterias.
de logaritmo
Sejam a e b nllmeros reais, positivos, com a =F 1. Chamamos logaritmo de b na base a 0 numero real x tal que aX = b. 1ndicaremos que x e logaritmo de b na base a escrevendo x = log" b, em que: • be 0 logaritmando (ou antilogaritmo); • x e 0 logaritmo; • a e a base do logaritmo. Entao, lembrando que somente os numeros positivos e diferentes de 1 podem ser base, temos: Logaritmo de urn numero positivo, em uma certa base positiva e diferente de 1, e expoente ao qual se deve elevar a base, de modo a se obter 0 numero.
162
0
Guarde bem isto: obtemos
loga b = x
**
b = aX
~
elevando
Assim: a) logs 25 = 2, pais 52 = 25; b) log..!.. 4 = -2, pais (
21
)-2 = 4.
2
Vejamos alguns exemplos onde estaremos aplicando a
defini~ao
de logaritmos.
Exemplo 1 Calcular a valor de: a) log2 16
b) log36 6
c) log
I
9
d) log9 '\3
27 SolUfaO
Indicando a valor procurado par x, temos: a) log2 16 = x => 2 x = 16 => 2 x = 2 4 => Portanto log2 16 = 4.
t
b) log36 6 = x => 36~ = 6 => (6 2
X
= 4
= 6 => e~ = 6 1 => 2x =' 1 => x
=
1 2
Portanto log36 6 = ~. 2 1 ) c)log-&-9=x=> ( 27
x
=9=>
[(
31
)3] ~ =3 2
2 3
=>x=-Portanto log
1
9 = - -
27
Portanto log9
2
.
3
3 =
~ 4
EXERCICIOS PROPOSTOS 1. Usando a defini<;:ao de logaritmos, calcule
a) log2 32
=
x
b) x
=
log 1 -
0
_
valor de x nos seguintes casos:
1
c) log255 = x
3 9
2. Determine 0 logaritmo do numero 8 na base 0,5.
163
d) x = logo,1 0,01
3. Encontre 0 valor do logaritmo do numero 49 na base .fT. 4. Calcule 0 valor das somas:
a) log 1 16
~+
log3 -J243
2
5. Ache 0 valor de y nos seguintes casos:
~ + logo01 100
a) y = 2 log5 25 - 410g 2
8
.
1 8 2 1 1 b) Y = - log 2 + - log16 64 - - log2 3" 27 3 2 4 2
c) y = [log 5 (log 3 243)] 2
Nos pr6ximos exemplos, iremos fazer uso da defini~ao de logaritmos para resolver equalogaritmicas, que sao aquelas que apresentam a variivel na base, no logaritmando ou no logaritmo. ~6es
Exemplo 2 Resolver as equa~6es: c) (lOg4 x/ - 4 lOg4 X + 3 = 0 d) lOg2 [2 + lOg2 (x - 1)] = 1
a) lOg3 (2x + 31) = 4 b) lOg2 (x 2 - 7x) = 3
Solurao a) lOg3 (2x + 31) = 4 De acordo com a defini~ao de logantmos, qual devemos impor a seguinte Por
logaritmando deve ser positivo, razao pela 31 2x + 31 > 0 2x> -31 x> 2
restri~ao:
0
=)
=)
defini~ao, temos:
,-------A lOg3 (2x+ 31) = 4
=)
2x+ 31 = 3 4
Como esse valor satisfaz a
restri~ao
=)
2x+ 31 = 81
x= 25
=
125)
7x) = 3 x 2 - 7x > 0 x < 0 ou x> 7 A defini~ao de logaritmos nos garante que: lOg2 (x 2 - 7x) = 3 x 2 - 7x = 2 3 x 2 - 7x = 8 x=8 -
Restri~ao:
=)
=)
=)
Como -1 e 8 satisfazem a
restri~ao,
temos:
5=1-1,81 c) (lOg4
=)
imposta, temos: 5
b) lOg2 (x 2
2x= 50
=)
X)2 -
Restri~ao:
4 lOg4 x> 0
X
+3
=
0
164
=)
x2
-
7x - 8 = 0
=)
x = -lou
Fazendo log4
X
=
Y
CD ' podemos escrever: y2 - 4y + 3
=
0
Resolvendo essa eguac;:ao, encontramos y = 1 ou Y = 3. Voltando em Para y = 1, temos: log4 x = 1 => x = 4. Para y = 3, temos: log4 x = 3 => x = 4 3 => X = 64. Como os dois valores de x encontrados satisfazem a restric;:ao, temos:
CD :
s= d) log2 [2 + log2 (x - 1)]
=
1
I x-I> 0 I
Restric;:oes:
14,64}
12 + log2 (x -
e
CD
-
Temos: log2 [2 =>
x-I = 2 0
x-I = 1
®
=>
2 + log2 (x - 1) = 2 1
~
--
log2 (x - 1) = 0
=>
=>
~
x = 2.
=>
Verificac;:ao das restric;:oes para x
CD
I
@
+ log2 (x - 1)] = 1 -- --" =>
1) > 0
=
2:
x-1>O 2 - 1 > 0 (verdadeiro) 2 + log2 (x - 1) > 0 2 + log2 (2 - 1) > 0 2 + log2 1 > 0 2 + 0 > 0 (verdadeiro) Logo, 2 e raiz e 0 conjunto soluc;:ao
e S = Pl.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
6. Use a definiyao de logaritmos para calcular 0 valor de x nos seguintes casos: 1 e) log 3 x = 4" 2
a) log2 x = 6
b) log
1
X
=4
f) log
c) log'2
X =
+
3) = 1 1 '2
I) log10 (x
2
+ 3x)
m) log 1 (x 2
8x
-
2' 7. Determine
0
conjunto soluyao das equayoes:
a
a) (log 2 X)2 - 5 log2 X + 4 = b) (log3 X)2 - 2 log3 X - 3 = 0
+ 52) = 2
2
h) 10 94 (x - 1) =
d) log 0,01 X = -2
12x
-
1
g) log2 (2x
6
2
5 X = --
8
3
i) logs (x
a
c) (Iog a X)2 - 2 loga x = d) 16 (log 2 x)2 - 17 log2 x
165
+1
=
0
= 1
+ 14)
=
-1
8. Resolva as equac;:6es: a) 1093 [3
+ 1092 (x +
1)] = 1
d) 109..l 2
[2 + 109..l (x + +)] -2
e) 1092 {1093 [2 c) 1094 [15
+ 1092
(x - 3)]
=
2
f)
=
2
+ 1094 (x -
4)]} = 0
1092 [1093 (x + 21)] = 2
Exemplo 3 Resolver as equac;:6es: a) logx 10 = 3
b) log(x_ 2) 9 = 2
c) log(x+
5)
64 = 3
SolUfiio
a) logx 10 = 3 Por definic;:ao, a base de urn logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. Devemos entao impor as seguintes restric;:6es:
I-x->-O---'I e I
x '1= 1
® ~
Temos: logx 10 = 3
=>
'-.---"
x 3 = 10
=>
x =
V!O.
Verificac;:ao das restric;:6es:
CD ®
VlO VlO
> 0 (VerdadeirO)} '1= 1 (verdadeiro)
o conjunto soluc;:ao e
S =
Ir-
->-0---'1
X- - -2
3 r;-;:;-
\110
e raiz.
{V!O I.
b) log(x_ 2) 9 = 2 Restric;:6es:
=>
e
I
x - 2 '1= 1
@ ~
Temos: log(x-2) 9 = 2
=>
(x - 2)2 = 9 => (x - 2)2 = 3 2
~
Como os expoentes sao iguais e pares, devemos ter:
x-2=3=>x=5 ou
x-2=-3=>x=-1
Verificac;:ao das restric;:6es: Para x = -1 1 - 2 > 0 (falso) => -1 nao
CD -
Para x = 5 5 - 2 > 0 (verdadeiro) }
CD
@ 5 - 2 '1= 1 (verdadeiro) o conjullto soluc;:ao e S = (5}.
=>
5
e raiz. e raiz. 166
c)
109(X+5)
64
=3
Ix+5>
Restri'roes:
0
I
I
e
x + 5 =/= 1
@ ~~
Temos: log~ 64 = ~ ~ (x + 5)3 = 64 ~ (x ~I'-
+ 5)3 = 4 3.
_
Como os expoentes sao iguais e impares, teremos:
x+5=4
~
x=-I
Verifica'rao das restri'roes:
CD -1 + 5 > 0 (Verdadeiro)} ® - 1 + 5 =/= 1 (verdadeiro) o conjunto solu'rao e S =
~
.
e raiz.
-1
{- 11.
EXERCiclO PROPOSTO 9. Resolva as equa<;:oes: a) logx 16 = 2 b) logx5 = 4 c) logx 729 = 3
d) log(x_ e)
2)
IOg(2x _ 3)
f) log(x _ 5)
g) log (x + 4) 49 = 2 h) log(x+ 2) 81 = 4 i) log (3x + 1) 32 = 5
16 = 2 5 = 1 125 = 3
Exemplo 4 Resolver a equa'rao log(." _ 3) (x - 1) = 2. Soluyao Restri'roes:
I
x-I > 0
I ' I
I
x - 3> 0
e
I
x - 3 =/= 1
@ Temos: log(.,,_ x = 5.
3)
(x - 1) = 2 ~ (x - 3)2 = (x - 1) ~ x 2
Verifica'rao das restri'roes: Para x = 2
CD 2 ®2Para x
CD ® @y
=
1 > 0 (verdadeiro) } 3 > 0 (falso) 5
5 - 1 > 0 (verdadeiro) 5 - 3 > 0 (verdadeiro)
~
J
2 nao
~
5
e raiz.
e raiz.
5 - 3 =/= 1 (verdadeiro)
o conjunto solu'rao e S =
{5).
167
-
7x
+ 10 = 0
~ x
= 2 ou
EXERCiclO PROPOSTO 10. Resolva as equac;:6es: a) 109x (5x - 8) = 1 b) 109x (13x - 40) = 2
c) 109(3x _ 10) (x d) 109(x- 3) (2x
2
-
+
10x + 20) = 1 2) = 2
3. Propriedades dos logaritmos Sejarn a, bee nurneros reais positivos, com a oF 1, e x urn nurnero real qualquer. Da definir,:ao de logaritmos decorrem as seguintes propriedades: Primeira propriedade
IlOgn 1
=
0, pois aO
IlOgn a
= 1, pois
=
1
=
a
Segunda propriedade
a1
Terceira propriedade
De fata, fazendo logn b = x, ternos aX = b. Substituindo x por log" b em aX = b, vern: a log " Assirn, temos:
b =
b.
c)
Fazendo uso dessa terceira propriedade, resolverernos
0
(
-
Iog+ 2
_
1
2
)
2
exernplo a seguir.
Exemplo Calcular 0 valor de: a) 2 3 + log2 5 SolUfiio a) 2 3 + log2 5 = 2 3 .
i
og 2 5
2
b) 52 - log s 4 = _5__
= 8 . 5 = 40
=
Slogs 4
c)
7 2 ' log7 3
=
7(log 7 3)' 2
=
25 4 (iog73)2
= 32 = 9
EXERCiclOS PROPOSTOS 11. Calcule
0
a) 109121
_
valor das express6es:
b) 1098 8
c) 5 109 5
8
168
12. Determine 0 valor de a) x = b) x=
510954
e) x f) x
d) x= 23-10925
10109102
= a 2 + 109a 5 =
g) x = 7'0 97 20 - 1097 2 h) x= 310935.10956
= 102.109103 = 8 2 . 1098 4
IR: , com a*,1 e b *' 1, determine N :
13. Sendo a, b E a) N b) N
x nos seguintes casos: c) X = 3 2 + 1093 4
a l09a 3
+
c) N d) N
bl09b 5
= bl09b 10. 109 10 3 =
al09a b
+ blogb a
Quarta propriedade Ilog ll b = logll
C
~
b= c
I
Fazendo logll b = x, podemos escrever: logll b Entao, pela
defini~ao
fun~ao
C = X
de logaritmos: aX = b e
pois a
logll
=
exponencial
a~ =
c, portanto b = c,
e injetora.
Exemplo 1 Fazendo uso da quarta propriedade dos logaritmos, determinar logs (2x - 3) = logs (x + 1).
0
valor de x na
senten~a
SoluFiio . Segundo a defini~ao de logaritmos, existem inicialmente algumas restri<;:6es a serein consideradas, quais sejam: ~
2x - 3> 0
2x> 3
~
x>
3 2
e x+1>O
I
~ x>-l
Assim sendo, a restri<;:ao final para x
e: x >
3 2
A quarta propriedade nos garante que: 2x - 3 = x + 1
Como
0
valor 4 satisfaz
Xl -
2 >
defini~ao
°I'
x = 4
a restri~ao imposta, a solu~ao e x
Exemplo 2 Resolver a equa~ao logaritmica logs (x 2 SolUFiio Conforme a
~
-
2)
=
=
4.
logs (-x), sendo
de logaritmos, devemos impor as seguintes
ou seja, x < -
v2
ou x >
'V
2 ,
e
-x>OI,ouseja,x
e: x
< -
'\2 169
0
universo U = IR.
restri~6es:
A quarta prppriedade nos fornece: x2
-
2
=
-x
Resolvendo essa equac;ao, encontramos x
=
=>
x2
+X
1 ou x
2
-
= -
=
0
2.
o valor x = 1 nao serve, pois nao satisfaz a restric;ao imposta. o valor x = - 2 satisfaz a restric;ao imposta. o conjunto soluc;ao e S = 1- 2). EXERCiclO PROPOSTO 14. Resolva as se9uintes equayoes 109aritmicas: 2
a) 1095 (x + 1) = 1095 (2x - 3) b) 109g (2x + 3) = 109g (x - 5)
Exemplo 3 Determinar logaritmos.
0
c) 10910 (x 2 d) 1097 2x
valor de a na sentenc;a
lo~
So/ufao Devemos considerar a seguinte restric;ao:
(2a - 5)
I 2a -
+ 2) =
10910 (4 - x)
= 1097 (11 x + 6)
= 2, utilizando a quarta propriedade dos
5 > 0
I, ou seja, a >
~.
Na quarta propriedade hi 0 aparecimento de dois logaritmos de mesma base, urn no primeiro membro e outro no segundo. Como 2 = lo~ 16, podemos escrever: lo~ (2a - 5) = lo~ 16 Fazendo uso da quarta propriedade, temos:
2a - 5 = 16
=>
2a = 21
Como esse valor satisfaz
=>
a = 21 2
a restric;ao imposta, a soluc;ao e a = 21
2 Observa~ao: esse problema poderia ser resolvido simplesmente aplicando a definic;ao de 10garitmos, assim:
4 2 = 2a - 5
=>
2a - 5 = 16
=>
2a = 21
=>
a = 21 2
EXERCiclO PROPOSTO 15. Utilizando a quarta propriedade. resolva as equayoes: a) 1092 (x 2
-
7x) = 3
b) 1095 (x - 3) - 2 = 0 .
4. Sistemas de logaritmos Seja a urn numero positivo e diferente de 1. Chamamos sistemas de logaritmos de base conjunto dos logaritmos na base a de todos os numeros reais positivos. Dessa forma, existem infinitos sistemas de logaritmos. No entanto, pela simplicidade e pelas aplicac;oes praticas, dois sao os sistemas de logaritmos mais usados: a) Sistema de base 10: tambern chamado sistema de logaritmos decimais ou vulgares ou ainda de Briggs. a
0
170
Nesse sistema podemos dispensar a indicayao da base 10. De modo que ao escrever log x devemos entender loglo x. Os logaritmos decimais, pela facilidade de seu usa, sao especialmente utilizados na resoluyao de dJculos numericos. b) Sistema de base e: tambem chamado sistema de logaritmos neperianos au logaritmos naturais. Os logaritmos neperianos tambem possuem representayao propria. Assim, a logaritmo neperiano de x pode ser indicado par uma das seguintes formas: loge x, Ln x, In x au Lx
o
numero e
A base do sistema de logaritmos adotada par eper (ver seyao Timel do tempo, na pag. 182) foi a numero irracional e, urn numero realmente fantastico, pais ele aparece de maneira natural na resoluyao de muitos problemas que envolvem nosso cotidiano. Nao podemos aqui deduzir de forma rigorosa esse numero, mas e passiveI ter uma ideia do que ele e. Para isso, vamos considerar a expressao
(1 + ~ )
11
e calcular a seu valor tro-
cando n par 1,2,3, ... , ou seja, com n crescendo indefinidamente. Se voce tiver uma calculadora, pode conferir as dados da tabela a segu!r, na qual colocamos apenas alguns valores para n. Os valores calculados sao aproximados e na tabela estao com no maximo cinco casas decimais. 2
2
2,25
10
5
100
1 000
100000 200000 500000
2,48832 2,593742,704812,71692 2,71827 2,718282,71828
Observe que para valores maiores de n as diferenyas que existirem ocorrerao fora do nosso campo de visao, au seja, apos a quinta casa decimal ... Dessa forma, quando a valor de n cresce indefinidamente, as valores da nossa expressao tenderao a urn numero que e aproximadamente 2,718 28 ... Esse e a numero e. Mais adiante voce vera alguns problemas que, na sua soluyao, necessitam desse numero.
5. Propriedades dos logaritmos de mesma base Veremos agora algumas propriedades envoIvenda logaritmos de mesma base, as quais sao utilizadas no cilculo. Procure compreende-Ias par meio das aplicay6es presentes nos exemplos propostos.
.Logaritmo de um produto Sejam a, b, c E IR: , com a =1= 1. 0 problema £onsiste em encontrar a loga (b . c), conhecendo as valores de loga b e de loga c. Sejam loga b = x e loga c = y. Desse modo, pela definiyao de logaritmo, temos: loga b = x
~
Ib=
aX
I
CD
e loga c = y
~
Ic=
aY
@ 171
I
Multiplicando
CD e ®' temos: b . c = aX . a Y => b· c = aX + Y ~
Aplicando novamente a definir;ao de logaritmo, temos loga (b' c) IlOga (b . c)
=
=
+ y. Portanto:
x
I
loga b + loga c
Observa~oes
1. Indicaremos loga (b . c) tambem por loga b· c. 2. A propriedade vista e generalizada para um produto de mais de dois fatores positivos. Em resumo, se todos os fatores de um produto forem positivos, temos que:
o logaritmo de um produto e igual a soma dos logaritmos dos fatores (na mesma base). Como exemplo, vamos usar essa propriedade na resolw;ao dos exercicios seguintes. Exemplo 1 Aplicar a propriedade do logaritmo de um produto nos seguintes casos: b) log2 2 . 7· 10
a) log3 5 . 4 SolUfiio
a) log3 5 . 4
+ log34
log3 5
=
b) log2 2· 7· 10
=
+ log2 7 + 10g2 10
log2 2
Exemplo 2 Reduzir as seguintes expressoes a urn Unico logaritmo: a) logs 3
+ logs 4
b) log -I 5 + log I 2 + log -I 3 2
2
2
SolUfiio
a) logs 3
+ logs 4
b) log I 5 2
+ log I 2 + log -I 3
=
logs 3 . 4
2
=
=
2
logs 12
log I 5 . 2 . 3 2
=
log I 30 2
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
16. Aplique a propriedade do logaritmo de um produto nos seguintes casos: b)
a) log3 10· 9
log4
2 3 ' 5·7
c) log 3· a· b (a > 0 e b> 0)
17. Reduza as seguintes express6es a um unico logaritmo:
+
a) log3 2 b) log4
3
5
log3 5
+
log4
+
c) log (x
log3 4
10
d) logs (x
3
18. Determine a expressao P cujo logaritmo na base 3 19. Escreva a expressao E cujo logaritmo decimal
20. Se log a
=
m
+n
e log b
+
=
5)
+
e log3 P =
e log E =
log (x - 5)
+
+
,para x
logs (x - 3)
log3 5
log 6
m - n, qual 0 valor de log ab?
172
1)
+
+ log3 2 +
log (2x
+
> 5.
,para x> 3. log3 h
,para h
1) , para x> -
1 2
> O.
21. Se logs a
m e logs b
=
=
n, calcule logs
abo
22. Sabendo que log a + log b = 3, calcule abo 23. Ca'cule a e b sabendo que a + b = 7, log a + log b = 1 e a> b.
Exemplo 3 Resolver a equac;:ao log3 (2x + 1) + log3 (x - 1)
=
3.
Solurao
I 2x + 1 > 0 I CD
Restric;:6es:
I
e
x-I> 0
I@
Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto, temos: log3 (2x
=>
2x 2
-
+ 1) + log3 (x - 1) = 3 x-I = 27
=>
2x 2
-
=>
X -
log3 (2x
+ l)(x - 1) =,}
28 = 0
=> Xl
=4 e
X2
=>
(2x
+ l)(x - 1) = 27
=>
= -7 2
Verificac;:ao das restric;:6es: Para x
=
4
CD 2 . 4 + 1 > 0 (Verdadeiro)} @
4
=>
4 - 1 > 0 (verdadeiro)
Para x
CD
e raiz.
= --7 2
2 ( -; )
+ 1 > 0 (falso)
o conjunto soluc;:ao e S =
-7 _ , . nao e raIz. 2
=>
(4}.
EXERCiclO PROPOSTO 24. Resolva as equayoes: a) log3 (2x + 7) + log3 (x - 1) = 5 b) log (x + 2) + log (10x + 20) = 3
c) log2 (3x + 1) + log2 (9 - x) = 6 d) log2 X + log2 (x - 6) = 4
Logaritrno de urn quociente Determinemos a,b,cE
IR:
0
valor de log" ~ conhecendo os valores de log" b e de log" c (em que c
ea=l= 1).
Seja log" b = x e log" c = y. Pela definic;:ao de logaritmo, temos: log" b = x
=>
I b = aX I e
CD
log" c = y
=>
I c= a I Y
@ 173
Dividindo
Q) por
®' temos: -
~
b = a x- y c
Aplicando novamente a definic;:ao de logaritmo, temos log" b c
x - y. Portanto:
=
Observa~ao: 0 oposto do logaritmo de urn numero e tambem chamado cologaritmo do nlirnero, ou seja, colog" c = -log" c.
Resumindo, temos que, se em uma divisao
o logaritmo do quociente e igual ritmo do divisor (na mesma base).
0
dividendo e
a diferenc;:a entre 0
0
divisor sao numeros positivos:
logaritmo do dividendo e
0
loga-
Exemplo 1 Aplicar a propriedade do logaritmo de urn quociente nos seguintes casos: b) log ~ 2 2
a) logs
23 = logs 3 -
b) log2
21
c) log6 0,2
c) log60,2
logs 2
= log2 1 - log2 2 = 0 - 1 = -1
= log6 ~ = log6 2 - log6 10 10
Exemplo 2 Reduzir as seguintes expressoes a urn unico logaritmo: a) log? 5 - log? 3
b) logs 3 - logs 10
SolUfiio
a) log? 5 - log? 3
=
log? 5 3
b) log,, 3 - log,, 10
=
3 log., -10
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
25. Aplique a propriedade do logaritmo de um quociente nos seguintes casos: a) log5
8
9
b) log3
a+b·
1
c) log - c -
4 174
(a, b,
C
E IR+)
26. Reduza a um s6 logaritmo as express6es:
c) log4 X - log4 (x + 2) ,para x> O. d) log (x - 2) - log (x + 2) ,para x> 2.
a) log3 12 - log34 b) log 5 - log 2
27. Usando a propriedade do produto e a do quociente, desenvolva 0 segundo membro ate onde for possive!. (Os numeros a, bee sao reais e positivos.) a) Y = log2
Cab
b) logs
a be
c)
Iog
2bc
3".9
28. Reduza as seguintes express6es a um unico logaritmo:
b) log4 X
a) log2 5 + log2 3 - log2 7
+ log4 (x - 1) - log4 (x + 1) ,para x > 1.
29. Determine A sabendo que logaritmo na base 3 e log3 A = log3 20 - log3 6.
30. Determine S em funyao de (cujo logaritmo decimal e dado por log S = log 4 + log 31. Sendo loga b = x, calcule loga
34. Calcule
0
0
+ log (3 - log 3.
1 Ii'
32. Sabendo que log4 a - log4 b = 2, calcule
33. Resolva
'IT
a
b
sistema {a + b = 15 _ log2 a - log2 b - 1 valor de log 365 - log 36,5.
Exemplo 3 Resolver a equac;ao 10g6 (2x + 5) - 10g6 (32x + 20)
= -
1.
Solurio Restric;6es:
2x + 5 > 0
I
e
I 32x + 20 >
0
®
CD
Aplicando a propriedade do logaritmo de um quociente, temos: 10g6 (2x
+ 5) - 10g6 (32x + 20) = -1
2x + 5 = ~ 6 32x + 20
=>
10
=>
2x + 5 = -1 g6~
32x + 20 = 12x + 30
=>
x =
Verificac;ao das restric;6es:
CD ®
2·
~ +5>
0 (verdadeiro)
32· ~ + 20 > 0 (verdadeiro) 2
}
=>
1
2
o conjunto soluc;ao e S = {~}. 175
e raiz.
1 2
=>
2x + 5 32x + 20
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
35. Resolva as equar;:6es: a) 1093 (5x b) 109s (x 2
+ 7) - 1093 (2x + 5)
=
c) 1093 X - 1093 (x - 2) = -2 d) 109 (2x - 4) - 109 (10x + 30) = -1
1
2x) - 109s (x - 2) = 2
-
36. Usando as propriedades estudadas, resolva as equar;:6es:
a) 1094 (1 - 3x) = 1 - 1094 (x b) 1096 (1
x) + 1096 (x -
+
+
2)
+)
=0
c) 109 4x
+ 109 x
d) 1092 (x
+ 5) + 1092
- 109 (-11 x (x
+
3)
+ 3) =
3
=
0
+ 1092 (x +
2)
Logaritmo de uma potencia Calculemos agora 0 valor de loga b 1fl conhecendo 0 valor de loga b, 0 valor de me sabendo que a, bE IR:, a 1 e m E IR. Sejam loga bill = x e loga b = y. Queremos, portanto, calclliar 0 valor de x. Aplicando a defini<;:ao de logaritmo, temos:
*"
1fl
loga b =
X
~ I
bill = aX I e loga b = y
~I
b = aY I
0) Elevando
@
@ a potencia m, obtemos: b'"
~
V
= (a
)1fl
Ib
1fl
= a
llly
I
@) ComparandoG)e
@ , temos ~x = '!'",y.
Portanto:
x= m· y
Como x
=
loga b'" e y
=
loga b, sllbstituindo em ~
loga b1fl
® encontramos:
= m . loga b
Assim, por exemplo: ~
a) logs 2 3 = 3 . log5 2
~
b) log3 5- 2 = -2 . log3 5
3
c) log '\ 5
= log 5+= 31 0
. log
Inversamente: a) 2 . lo~ 5
= lo~
52
b)
2
3 . log5 2 176
2
3
,
,--
= log5 2 3 = log5 \ 2 - = log5 ~ 4
5
Vejamos agora alguns exemplos envolvendo as propriedades estudadas. Exemplo 1 Sendo P
5a 3 = --, 3b
com a, bE
IR:, calcular lo~ P.
SolUfiio
Temos: log4 P
= log4
3b
Exemplo 2 Determinar a valor de N nos seguintes casas: a) logs N
=
3 logs 2 + logs 4
b) log N
=
1 + 3 log 2 - 2 log 5
SolUfiio
+ logs 4 ~ logs N= logs 2 3 + logs 4 ~ logs N = logs 8 + logs 4 ~ logs N = logs 8 . 4 ~ logs N = logs 32
a) logs N= 3 logs 2 ~
-~
Mesma base
Pela
4~
b) log N
=
propriedade dos logaritmos, temos N 1 + 3 log 2 - 2 log 5 ~ log N
=
=
32.
log 10 + log 2 3
-
log 52 ~
~ log N= log 10· 2 3 -log 25 ~ log N= log 80 ~ log N= log ~ 25
~5
~ N=
16 5
Mesma base
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
37. Aplique a propriedade do logaritmo de uma potEmcia nos casos a seguir:
38. Reduza
a forma loga x
a) 3 logs 2
as expressoes:
b) 2 log3 4
c) -110g2
d)
~ 3
log 8
39. Sendo a, bee numeros reais positivos, indique como desenvolver 0 segundo membro das expressoes para se obter log N. 5 2
a 2b 3 a) N = - -
d) N = 4b c
~';3
c
177
40. Determine P nos seguintes casos:
+ 3 logs 3
a) logs P
=
logs 4
b) log4 P
=
2 log4 3 - log45
c) log2 P = 3
+2
d) log P
=
3 log 10 + 2 log 100 + 3 log 0,01
e) log P = -.llog 4
2
log2 5
I) log2 P
=
log2 4
+ 2 log
,'2 -
+ -.l log2 8 - 1 2
41. Sendo loga b = x e loga c = y, calcule: a) loga be b) log a
e) loga
.fa
I) loga a
b
e
2
-Jb
b
Exemplo 3 Resolver a equac;:ao 2 . log3 (x - 1) - log3 (2x - 5) = 1
+ log3 (5 - x).
SolUfiio
Restric;:6es:
x-I > 0
I ' I 2x -
CD
5> 0
I
e
I5 -
x> 0
@
Temos: 2 log3 (x - 1) - log3 (2x - 5) = 1
+ log3 (5 - x).
Como 1 = log3 3, a equac;:ao fica: log3 (x - 1)2 - log3 (2x - 5) = log3 3 (x - 1)2
log3
=>
=
log3 [3(5 - x)]
-
2x + 1
= 15 - 3x
=>
x2
-
2x + 1 = 30x - 6x 2
2x - 5 =>
7x 2
-
47x + 76
=
0
=>
x
=
4 au x
=
19 7
Verificac;:ao das restric;:6es: Para x = 4
CD
4 - 1 > 0 (verdadeiro)
@
2· 4 - 5 > 0 (verdadeiro)
@
5 - 4 > 0 (verdadeiro)
=>
=>
(x - 1)2 2x _ 5 = 3( 5 - x)
=>
~~ 19uais
x2
+ log3 (5 - x)
4
e uma raiz.
178
-
=>
75 + 15x
=>
log 102
Parax= -19 7
19 _ 1 > 0 (verdadeiro) 7
@
2· 19 - 5 > 0 (verdadeiro) 7
@
5 -
~
19 7
e outra raiz.
19 > 0 (verdadeiro) 7
S= {4, 1;}.
o conjunto solus:ao e
EXERCiclO PROPOSTO
_
42. Resolva as equac;:5es:
+ 1) - 1093 (x + 5) = 2 b) 1092(3x-7) - 2Io92(X-1) =-1
a) 2 1093 (2x
Exemplo 4 Dados log 2
c) 2 1092 (x + 2) - 1092 X = 3 d) 1 - 109 (2x - 20) = 109 (x - 5) - 109 (3x - 35)
= 0,30103 e log 3 = 0,47712, calcular: b) log ~ill
a) log 32
c) log 25 6
d) log 144
SolUfiio
a) log 32 = log 2 5 = 5 . log 2 = 5 . (0,30103) = 1,50515
b) log
~ 125 = ~ . log 125 = ~ . log 53 = ~ . 3
Precisamos calcular log 5. Lembrando que 5 log 5 = log
Voltando em
210 =
=
. log 5 = :
log 5
CD
10, temos: 2
log 10 - log 2 = 1 - 0,30103 = 0,69897
\lJ: -43
f7\
3 2 09691 log 5 = -4 . (0,69897) = ' = 0,52422
4
c) log 25 = log 25 - log 6 = log 52 - log (2 . 3) = 2 . log 5 - (log 2 + log 3) = 6 = 2 . log 5 - log 2 - log 3 = 2 . (0,69897) - 0,30103 - 0,47712 =
=
1,39794 - 0,77815
d) log 144 = log 2 4
•
= 0,61979
32 = log 2 4 + log 32 = 4 . log 2 + 2· log 3 =
= 4· (0,30103) + 2 . (0,47712) = 1,20412 + 0,95424 = 2,15836
179
EXERCiclOS PROPOSTOS 43. Dados log 2 = 0,301 e log 3
=
0,477, calcule: c)
a) log 12
log~
b)
_
log
3
16
e) log 625
'\ 9
f)
d) log 5
8
log 3'0
44. Sendo log 2 = 0,301 e log 6 = 0,778, calcule:
a) log 3
c) log 15
e) log 80
b) log 24
d) log 36
f)
Mudan~a
6.
20
log '\ 27
de base
Em muitas situac;:6es necessitaremos transformar 0 logaritmo de urn numero em uma certa base para uma outra base. Vamos estudar agora como fazer isso. Mostremos que, sendo a, b, e E IR: , com a 1 e e 1, e verdadeira a afumac;:ao:
*
*
loge b Iog b = " loge a Chamando log" b = x, loge b = ye loge a = z, 0 problema consiste em mostrar que x =
L. Aplicando a definic;:ao de logaritmo, z
loge a =
z ~
a = eZ (Elevando
@ Q) e @
~ aX = eX' z Comparando
Portanto
temos:
os dois membros a x-esima potencia) ~
r
aX = (e Z
~
~ eX. Z = eY ~ x' z = y ~ x = L z
e verdadeira a sentenc;:a: loge b 1o g b = ----'=-=---" loge a
Lei de
mudan~ de
base
Caso particular: se a, bE IR: - ll)' podemos transformar log" b para a base b. Temos: log b "
=
~ I
10gb b log" b log b a .
=
1 log b a
I
Exemplo 1 Transformar em logaritrnos de base 5: a) log32
c) log2 5
180
d) log 3 -1 5
SolUfiio
1
0
1 -#
1
d) log3
1
5
0 .10b , 5
=
16g; 1 - log, 5
log, 3
log, 3
log; 3
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
45. Transforme em 109aritmo de base 10: c)
a) 10957
1091 25
e)
109s \3
f)
1090,28
2
d) 1092
b) 109210
1
25
46. Sendo 1093 7 = a, calcule 1097 3. 47. Dados 109 2 = 0,30 e 109 3 = 0,47, calcule: a) 10932
b) 10923
c)
10 93
1
2
d) 1091 2 3
48. Calcule 0 valor da expressao 1094 3· 1093 2. 49. Simplifique 0 produto 1092 5 . 1093 7 . 1095 3. 50. Sendo a, bee numeros reais positivos e diferentes de 1, calcule 109a b . 109b C . 10ge a. 1
1
51. Sabendo que -1--3
+ -1--3
Exemplo 2 Resolver a eqllas:ao
(x + 6) - log2 (x - 6) = O.
09a
lo~
=
09b
2, calcule 0 valor de abo
SolUfiio
x + 6 > 0
Restris:oes:
Ie Ix-
6> 0
@ Vamos transformar log4 (x + 6) para a base 2: lo~
(x
+ 6)
=
log2(x+6) log2 4
-1
----
-.L . log,- (x + 2
i 181
6)
Assim, a equac;ao dada fica:
1- . lOg2 (x + 6) 2
=>
10g2 (x
+ 6) - 2 . 10g2 (x - 6) = 0
=>
-----... =>
=>
- lOg2 (x - 6) = 0
X
lOg2 (x
+6
=
+ 6) - 10g2
(x - 6)2
x2
=>
x+6
x+6
(x - 6)2 = 0 => lOg2 = 0 => ~ -
12x + 36
=
x+6
x2
-
10 94 (x
+
=>
13x + 30
(X-6)2 =
0
=>
x
=
3 ou x
=
21
=
10
Verificac;ao das restric;6es: Para x = 3
CD
3
II @
3 - 6 > 0 (falso)
Para x
+ 6 > 0 (Verdadeiro)}
=
=>
3 nao e raiz.
10
CD
10 + 6> 0 (Verdadeiro)}
II @
10 - 6> 0 (verdadeiro)
=>
10 e raiz.
a conjunto soluc;ao e S = {10f.
EXERCiclO PROPOSTO 52. Resolva as equa90es 109arftmicas: a) 1095 (x
+
10) = 1
+ 10925 (2x
- 5)
d)
31
b) 1093 (x - 2) = 109g (x + 4)
e) 1092 x
c) 1094 X - 1092 (x - 3) = 1
f) 1093
10) -
+ 10 94 X
X -
=
61
1092 (x
+ 2)
1098 (x - 4)
23
2 109g (x + 6) = -1
TUNEL DO TEMPO as primeiros estudos sobre logaritmos faram feitos, quase simultaneamente, pelo teologo escoces John Napier (1550-1617) e par Jobst Burgi (1552-1632), matematico sulc;o. Napier (ou Neper) foi 0 primeiro a empregar 0 termo logaritmo (do grego logos, razao, e arithmos, numero) em seu livro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrifao das normas dos logaritmos maravilhosos) , de 1614. Seis anos mais tarde, quando os logaritmos ja eram populares, Burgi publicou Arithmetische undgeometrische progresstabulen (Ttibuas de progressiies aritmeticas egeometricas). Neper utilizava-se da base e, motivo pelo qual os logaritmos nessa base sao chamados neperianos. Pouco antes da morte de Neper, 0 matematico ingles Henry Briggs (1561-1631) procurou-o, propondo-lhe algumas modificac;6es no metodo de aplicac;ao dos logaritmos, bem como 0 uso da base decimal. a escoces concordou, mas ja nao tinha energia suficiente para par em pratica tais ideias. Coube entao a Briggs a tarefa pioneira de construir a tabela de logaritmos decimais, publicada em seu livro Arithmetica logarithmica (1624). Dar a razao de os logaritmos decimais serem tambem chamados logaritmos de Briggs.
182
7. A
fun~ao
logaritmica
Sendo a urn numero real, positivo e diferente de 1 (a E logaritmica de base a a fun~ao: IR~ --+
g :
IR definida por g(x)
IR~
- {I}), chamamos
fun~o
log" x
=
Observe que 0 dominio da fun~ao e IR~ , ou seja, somente valores positivos poderao ser atribuidos a x. Vamos analisar dois exemplos. No primeiro, a base e maior que 1 e, no segundo, a base est;} entre 0 e 1 (os dois unicos tipos possiveis de base). Vamos verificar tambem 0 grafico de cada tipo de fun~ao. Exemplo 1 Consideremos a fun~ao definida por y = log3 X ou f(x) = log3 x. Atribuindo valores arbitrarios a x e calculando f(x), obtemos uma tabela de pontos que pertencem ao grifico da fun~ao y = 10g3 x. Tabe1a x -
-
I
I
."
I Ponto
(X, y)
-2
A(~,-2)
log3
1 3
-1
B( ~ ,-1)
log3 1 = Y ~ Y = 3 -I ~ Y = - 1 3
1
0
C(I,O)
log3 1 = Y ~ 3·Y = 1 ~
log3 3 = Y ~ Y = 3 ~ Y = 1
1
9
3
1
D(3,I)
9
2
E(9,2)
1 9
=Y
~
Y = 3- 2
~
Y = -2
q.Y = 3°
~
Y= 0
1
i
log3 9 = Y ~ Y = 9 ~ Y = 32 ~ Y = 2
y
Grmeo ...!.. E
~ [~ ~ ~ x
-2
I
I
y
=10gJ x
I
789
x
=3,5
A
+-
Asslntou
Observe que, por converuencia, atribuimos a x somente valores que sao potencias de expoente inteiro da base, pois desse modo obtemos valores inteiros para ologaritmo. No caso de tomarmos urn valor qualquer para x, por exemplo, x = 3,5, ainda nao sabemos 0 valor de f (3,5) = 10g3 3,5, mas sabemos onde esta esse valor. Veja no grifico que: 1 < log3 3,5 < 2 Observe tambem que, quanta mais 0 valor de x (positivo) "se aproxirna de zero", mais os pontos do grifieo "se aproximam do eixo y", sem, porem, atingi-Io. Desse modo, a reta suporte do eixo y e assmtota a curva.
183
Exemplo 2 Vejamos a func;:ao definida por y Procedendo de maneira analoga fico da func;:ao pode ser esta: I
X
log I
a do
X.
exemplo 1, uma tabela de pontos pertencentes ao gri-
Tabela : Ponto (x, y) Y
A(~,2)
log
1
B( ~ ,1)
log
1
0
C(I,O)
log 1
=
3
-1
D(3, -1)
log-+- 3
= )' ~
9
-2
E(9,
-2)
log I 9
-
-
i
=
1 9 1
"
2
~
I
-
3"
1
=)' ~
9
+, 1 3 +, ,
=
y ~
(~Y=(~Y~y=2
( I)! (1)1 3 3 =
Y ~ ( 31 ) v
=)' ~
1~
=
3 ( 1)-" 1 )v (3
(
3 ~
=
=
31
~ Y= 1
)!
(1)° 3 ~ y= 0
=
(31)-" (13 )-1 ~ y (31)-" (13 )-2 y =
9 ~
=
~
=
-1
= -
2
3
Grmco 2
Os exemplos citados nos levam a classificar uma func;:ao definida por)' = logn x como:
A
x
9
y = log
E I
I
I X
-,-
• crescente quando a > 1 • decrescente quando O
"9 3" ~
Assintota
Resumindo 0 estudo da func;:ao)'
=
logn x, temos:
1) 0 dominio da func;:ao e IR~ , ou seja, somente os numeros positivos possuem logaritmo. 2) 0 conjunto imagem da func;:ao e IR, isto e, qualquer nt1l11erO real e logaritmo de algum numero real positivo, em uma certa base. 3) 0 grafico da func;:ao fica todo a direita do eixo y. 4) Se x = 1 ~ )' = logn 1 = 0, pois aO = 1, ou seja, 0 ponto P(I, 0) pertence ao grifico da func;:ao. 5) Em qualquer base 0 logaritmo de 1 e O. 6) Se x = a(base), temos y = logn a = 1, pois a l = a, ou seja, 0 10gaIitmo da base e l. 7) A func;:ao e injetora, pois, se XI *- X 2 , entao logn XI *- logn X2' 8) A func;:ao e sobrejetora, pois para \/)' E IR, 3x E IR: I)' = logn x_ 9) A func;:ao e bijetora, pois e ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. 10) No caso de a> 1 a func;:ao e crescente, pois, se Xl > x 2 , entao logn XI > logn X 2 . 11) No caso de 0 < a < 1 a func;:ao e decrescente, pois, se XI > X2, entao logn Xl < logn X2Observa~ao: quando
ja, loglo x
a base nao esti\'er escrita, subentendemos que a base
e 0 mesmo que log x.
184
e 10, ou se-
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
53. Construa 0 grafico das funyoes: a) f (x)
=
b) Y
log2 X
= log
1 X 2
54. Verifique quais funyoes sao crescentes e quais sao decrescentes: a) y
=
log4
c)
X
f(x)
= log,3
e)
x
y
= log ,5
X
-2-
b) Y
=
logo,2
d)
X
Y
=
log
f)
3 X
f (x) = log3-' X
5
55. Determine os valores reais de a tais que: a) y = log(a _ 3) X b) y = log(2 _ a) X c) y = log(1 _ a2) X
e crescente, e crescente, e decrescente.
. 56. Dada a funyao f (x)
= 2 x + 1,
a) f(9)
determine: c) 0 valor de x para que se tenha f (x) = 128
b) f(-1)
57. Determine k de modo que 0 ponto (8, k) pertenya ao grafico da funyao f (x) = 1
+
log 2 X.
58. Identifique com V as sentenyas verdadeiras e com F as falsas. a) log5 10 > log5 2
e) log 2 5> log 2 1 -
b) log 1 10 > log 1 2 5 5
f) log23 > 1
c) log 1 10 < log 1 2 -5 -5
g) log
3
d) log3 -
1
3
128> ()
2
1 2 < log3 2 3
h) log a 3 > log a 2
(0 < a < 1)
Observa~o: revendo as resumos feitos para a funs:ao exponencial e para a funs:ao logaritmica, notamos que ambas sao bijetoras e porranto possuem funs:ao inversa.
Representa<;:ao grafica das nm<;:6es:
Representa<;:ao grifica das fun<;:6es:
)' = ( 31
)' = 3x e )' = log3 X
)X e)' = log
I
X
3
y y= • y =x
(+V
• y =x ,,~ Bissetriz
,':""- Bissetriz
o
x
x y=log,x "3
185
Veja que, nos dois casos, os gnificos sao simetricos em relac;:ao a bissetriz do 1 Q e do 3 Q quadrante. ~ _ _. ( 1 Portanto y = log3 x e y = 3· sao fun~oes mversas, 0 mesmo ocorrendo com y =
3 )X
e y
=
log l... x. Como os casos vistos envolvem os linicos tipos de bases possiveis, podemos 3
conduir: As func;:oes f(x) = aX eg(x) = log" x sao fun~oes inversas.
8. Dominio da
fun~ao
logaritmica
Lembrando que na func;:ao logaritmica 0 logaritmando deve ser real e positivo e a base cleve ser real, positiva e diferente de 1, analisaremos alguns exemplos de determinac;:ao de domil1io. Exemplo 1 Achar 0 dominio da func;:ao definida por: a) y
= log3
(12 - 5x)
b)y
= logs (x 2 +
8x + 15)
SolUfiio
a) y
=
log3 (12 - 5x)
Devemos ter:
112 - 5x > 0
Entao -5x> - 12
Portanto
0
dOrnlnio
=)
I
5x< 12
eD=
=)
12 5
x<
{x EO IR Ix<
1~}.
b) Y = logs (x 2 + 8x + 15) Devemos ter:
Ix
2
+ 8x + 15 > 0
A fim de determinar os valores de x que tamam essa sentenc;:a verdadeira, vamos analisar a variac;:ao do sinal da func;:ao f(x) = x 2 + 8x + 15. As raizes def(x) sao determinadas resolvendo a equac;:ao x 2 + 8x + 15 = O. Logo, as raizes sao Xl = -5 e X 2 = -3. o sinal de f(x) varia assim:
x
Como queremos f(x) > 0, a parte que nos interessa e:
----
'o_---l.~
-3
x
Portanto 0 dominio da func;:ao y = logs (x 2 + 8x + 15) e D = Ix EO IR I x < -Sou x > -3}.
186
EXERCiclO PROPOSTO
_
59. Determine 0 dominio das fun90es definidas a seguir: 2
a) f (x) = log3 (3x + 12) b) Y = log (4 - 7x) c) g(x) = log2 (-3x - 1)
f) f (x) = log3 (x + 4x) g) h(x) = log (-x 2 + 8) h) g(x) = logs (-x 2 + 6x - 8)
+
~
2
i) Y = log (x - 6x + 9) j) y = log J... (x 2 + 4)
d) h(x) = logs (- ) e) y = log (3x
Exemplo 2 Determinar
0
2
-
2
4x - 4)
dominio da func;:ao y = log(5X-
Solurao Devemos ter simultanearnente:
I 5x -
12)
12 > 0
5.
I e I 5x -
CD
@
CD
5x - 12 > 0 ~ 5x > 12 ~ x> 12 5
@
5x - 12 oF 1 ~ 5x oF 13 ~ x oF 13 5
Resumindo, temos:
12
D=
o
13
"5
CD
12 oF 1
"5
•
@
¢
CD n ®
6
0
"5
"5
12
•
13
CD e ®, ou seja: D = CD n @ . Entao: 12 < x < -13 ou x > -13} D { x E IR 15 5 5
dominio e a intersecc;:ao de =
A resposta pode tambem ser dada assim: D = {x E
IR Ix > 1:
e x oF
EXERCiclO PROPOSTO 60. Determine 0 dominio de cada uma das fun90es: a) f (x) = log(x _ 3) 10 b) g(x) = IOg(3X + 5) 3
Exemplo 3 Determinar
0
c) log(x _ 3) (5x - 12) 2 d) log(x _ 1) (16 - x )
dominio da func;:ao definida por y = log(x 2 _
187
4)
(2x - 3).
1:}.
SolUfiio
Devemos ter simult::ll1eamente:
I
X
2
-
4 > 0
I ' I X2 -
2
4
-
I
e
I 2x -
@
CD CD x
4 *- 1
3> 0
@
> 0
g(x)
As raizes deg(x) sao -2 e 2. o sinal da fun~ao g(x) varia assim:
x
A solu~ao de
CD e: o
o
-2
®
x2
-
4 *- 1
=>
x 2 *- 5
=>
2
x*-- ,,5
ex*-" 5 ,ou seja:
o
@
2x - 3 > 0
=>
2x > 3
=>
x>
x
n 5
x
3 ,ou seja: 2 3
"2 o
Achando a intersec~ao de
x
0, ® e @, temos: 3
CD
- \5
"
@ (Dn
®
@ n @
"2
-2
~
9
i '
1
..
-----'----"----------'-----~,.:~
2
x
Solu~ao
o domfnio e, portanto, D
=
Ix E
IR Ix > 2 ex*-
188
5
I.
EXERCiclO PROPOSTO 61.
De 0
dominio das seguintes func;6es logaritmicas: 2 b) Y a) y = log(X 2 _ 9) (x - 3x - 10)
=
log(_X2 + 2x) (x
2
-
1)
9. Inequa(:oes logaritmicas Do mesmo modo que ocon-em equaC;:6es logal'itmicas, ocol'l'em tambem inequaC;:6es com logaritmos, as quais chamamos inequa~6es logaritmicas. Sao exemplos de inequaC;:6es logal'itmicas: a) logz (x - 3) - 2 logz (x
+ 1) < 1
Ao eswdal'mos as inequaC;:6es logal'itmicas, devemos tel' cuidados especiais com as restric;:6es a que deve estar submetida a incognita. Na resoluc;:ao das inequac;:6es, procuraremos obter logaritmos de mesma base nos dois membros_ A partir disso, trabalharemos apenas com os logaritmandos, usando 0 fata de a func;:ao ser crescente ou decrescente, con forme mostram os exemplos seguintes.
Exemplo 1 Resolver as inequaC;:6es: a) log3 (2 - 5x)
~
1
b) log
(2 - 5x)
1
~
1
3
Solurao a) log3 (2 - 5x)
Re"",,OO
~
1
I ~ -5x > - 2 ~ 5x < 2 ~
12 - 5x > 0 ~
Temos: log3 (2 - 5x)
1
=>
~
log3 (2 - 5x)
I x < ~ I CD
log3 3.
19uais
o sinal da desigualdade sera mantido para os logaritmandos, porque a base e maior que urn, e nessas condic;:6es a func;:ao e crescente. Entao:
2 - 5x
~
3
=> -
5x
~
3 - 2
=> -
5x
~
1
=>
5x
~
- 1
=>
~ ~-5- @
Resumindo, temos: -I
CD @
5
t
CDn ®
o conjunto soluc;:ao e
2
5
• 5
6
-I
S
=
{x
E
• .. •
2
5
IRI ~l ~
x<
189
~}-
Solu~ao
b) log
(2 - 5x) :s; 1
1 3
A
restri~ao e a mesma determinada no item
Temos que: log
(2 - 5x) :s; log
1 3
1
a, ou seja, x <
1
2
5
CD.
~.
"3 3
o sinal da desigualdade sera invertido para os logaritrnandos, porque a base e um numero entre 0 e 1, e nessas condi~6es a fun~ao e decrescente. Entao: 2 - 5x;;'
l
6 -15x;;'1
=>
=>
15x- 6:s; -1
=>
15x:s; 5
=>
x:s;
3
Resumindo, temos:
@ @
CDn
2
I
5
"3
CD
• • •
+
• I
2
"3
o conjunto solu~ao e S =
®.
1 3
5
Solu~ao
~}.
{x E IR Ix:S;
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
62. Resolva as inequac;:6es: a) logs (2x - 3)
>
2
c) log2
(2; - ~ ) ; " -3
e) log
1
(x + 3) > -2
2
b) log4 (65 - 3x)
< 3
d) log (1 - 2x) ,;;; 2
f)
log
1
(4 - 3x)
< 1
5
63. Determine
0
dominio da func;:ao definida por y
Exemplo 2 Resolver a inequa~ao log2 (x 2
-
lOx
= ~1
- log (x - 2) .
+ 21) ;;. 1 + log2
(x - 3).
Solufiio
Devemos considerar as seguintes a)
x2
-
lOx
restri~6es:
b)~
+ 21 > 0
~
f(x)
As ralzes def(x) = x - lOx + 21 sao 3 e 7. o sinal de f(x) varia assim: 2
A raiz deg(x) = x - 3 e 3. CJ sinal de g(x) varia assim:
/
® - --_/ ~3-";;""'----""~
entao devemos ter:
x < 3 ou x > 7
CD 190
entao devemos ter:
x> 3
@
= log2 2, voltando a inequa<;:ao dada, temos:
Como 1 log2 (x 2 ~ (x 2
lOx
-
-
+ 21)
~ log2 2
+ log2 (x - 3)
lOx + 21) ~ (2x - 6) ~ x 2
~ log2 (x 2
lOx + 21) ~ log2 (2x - 6) ~
-
12x + 27 ~ 0
-
--
v---
hex)
As raizes de hex) = x 2 - 12x o sinal de hex) varia assim:
+ 27 sao 3 e 9.
x
Dessa forma, devemos ter: Compondo as condi<;:6es
CD
1
x:;;;; 3 ou x
CD , @
e
~ 91
@
@, temos: ••
---_f~-------7----9
@ @ Q)n@n @
T x
7
---Solu~ao
o conjunto solu<;:ao e S = Ix E IR Ix ~ 9}. EXERCiclOS PROPOSTOS
_
64. Resolva as inequayoes: a) log2 (x 2
2
+ 3x) < 2
b) IOgO,25 x > -2
c) log
1
(2~ - 5X) ;;. -1
3
65. Determine os valores reais de x que tornem verdadeiras as sentenyas: a) log (2x
+ 4) ,,:; 1 + log (4 -
x)
b) log
1 -
(x
+ 3) + log
2
1 -
(x - 2)":; log
2
1
(9 - x)
2
66. Transforme os logaritmos para uma mesma base, e em seguida resolva as inequayoes: a) logs x;;. IOg25 (2x
+
35)
b) log3 (x - 1) ;;. logg (x - 7)
RELEMBRANDO CONCEITOS Sendo a, bee reais positivos, com a Def"'ni~o
*' 1 e m real, tem-se:
de logaritmo
loga b = x ~ b = ci' loga 1
=
0 e loga a
=
1
191
+ ~ 2
_
Mudan~a
de base (para c =1= 1) loge b I oge a
loga b =
Propriedades
a) a 10ga b
=
b
b)log a (b' c) c) loga -
b c
d)log a b'"
=
=
= loga b + loga c loga b - loga c m' loga
b
A fun~o logarltmica e definida de IR: em IR par y E injetora e sobrejetora, e portanto bijetora. o ponto P(l, 0) pertence ao grafico da fun<;ao.
=
loga x.
Caso de a base ser maior que 1
Caso de a base estar entre 0 e 1
a>l
O
x
x
A fun<;ao
e crescente.
A fun<;ao
e decrescente.
Para resolver equa~6es logaritmicas procure, se possivel, transformar cada membra em logaritmos de mesma base e, lembrando que a fun<;ao e injetora, trabalhe somente com os logaritmandos. Para resolver inequa~6es logaritmicas procure, se possive!, transformar cada membra em logaritmos de mesma base e trabalhe somente com os logaritmandos: a) mantendo para e!es a fun<;ao e crescente; <;ao
mesmo sinal da inequa<;ao quando a base for maior que um, pois
0
b) invertendo para e!es e decrescente.
0
sinal da inequa<;ao quando a base estiver entre 0 e 1, pois a fun-
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 67. Calcule: a) log 100
b) log 10
c) log 1
192
d) log 0,1
e) log 0,01
68. Calcule x nos seguintes casos:
a) log x = 3
c) logx 256 = 2
e) log ~ x =
b) log (x - 2) = -2
d) log (2x _ 3) 125 = 3
f)
1 -2
9
log
2
,3
(x +7x-15)=2
69. Lembrando que al09a b = b, calcule 0 valor das expressoes: a) 3109310 b) 82 + 109a 2 c) 104 -109400 70. Resolva a equayao 5 logs (x 2 71. Determine
0
24) = 2x.
-
domfnio das funyoes:
a) ((x) = log4 (-3x + 12)
c) y = log (3x 2
b) ((x) = logx (x -
d) Y = log(6 _ xl (x
+)
-
7x 2
-
+ 2) 7x
+ 12)
72. Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, determine:
b) log 5,4
a) log 72
c) log 5
32 d) log 243
e) loga 27
c) log 6,25
d) logx 10
e) log2 x
73. Se log x = a e log 2 = b, calcule:
a) 10g..J8x
74. Calcule
0
b) log 5
valor da soma log9 3 + log3 9.
75. Sabendo que __1_ logx 2
+ __1_ + __1_ = 3, calcule 0 valor do produto xyz. logy 2
logz 2
76. Resolva as equayoes:
a) log2 (2x - 2) - log2 (x - 8) = 5 b) IOg3(X2 + 5x+ 15) -log 3 (x+ 3) = 2 c) log [log (3x - 5)] = 0
d) log2 (2x + 10) - log4 (x + 1) = 3 e) log2 x =1 + log4 (x - 1) f) 2 log (x - 3) = log (x + 6) + log (x - 5)
77. Resolva as inequayoes logarftmicas: d) log4 (x + 3) + IOg4 (x - 9) > 3
a) log2 (3x - 2) < 4 b) log3 (
~
-+);;.
e) logs x > IOg25 (2x + 35)
-2
c) log 1 (x 2 + 4X) ~ -1
f)
e0
-
2x - 48) -
log 1 (x - 8) ;;. -4
2
5
78. (Unifor-CE) Qual
log 1 (x 2
2
valor de [logs (25 log2 32)]3?
79. (Esal-MG) Determine os valores (x, y) que sao soluyoes do sistema {3 x + y = 8 1 1 1og3 x + 1og3 Y =
80. (E. E. Maua-SP) Determinar
0
intervalo em que a funyao ((x) =
81. (F. M. Itajuba-MG) Seja a equayao log2 x
log2 (lOg
+
x)
+ a . logx 2 = 2.
a) Para quais valores de a ela admite soluyao real em x? b) Determine 0 valor de a e de x para que ela admita uma (mica soluyao em x.
193
e definida.
82. (Fuvest-SP) Resolva log10
x + 2 . logx 10
3.
=
1
83. (UFPE) Sejam a e b numeros reais positivos, tais que da razao
2. Determine 0 valor
=6
=
log b, 2 log b
log c e que log c
= 45,
calcule 0 valor numerico de y
V~ ~ .
na expressao y = log
85. (Faap-SP) Na igualdade [109 a ; Z
=
-%b
84. (UFSC) Sabendo que log a
e
log2 a - 2 log2 b
2
+ loga (xy) - loga x
r
= Z, sabe-se que a, x eyE IR*, com a "*
1
E IR*. Qual a rela9ao que existe entre as variciveis x e a?
86. (Fuvest-SP) Determine 87. (Fuvest-SP)
0 conjunto das solu90es da equa9ao log2 (x
E dada a fun9ao
f definida por f (x)
=
2
-
1)
=
log(X2 _ 1)2.
log2 X - log4 (x - 3).
a) Determine os valores de x para os quais f (x) .;;; 2. b) Determine os valores de x para os quais f (x) > 2.
TESTES 88. (F. C. Contcibeis) Sendo xy a) 10
=
1000 e log x
b) 100
=
1 + log y, entao x +'y e igual a: d) 1000
c) 110
89. (UFRS) 0 valor de log (217,2) - log (21,72) a) -1 b) 0
e:
c) 1 d) log (217,2 - 21,72)
=
log (21,72)
5 + log 1
3
e iguala:
b) 7
a) 6
a) 2a + b
log (217,2)
e)
90. (UECE) Seja p um numero real maior do que 1. Se log3 (p2)
91. (FEI-SP) Se log 2
e) 1100
=a
e log 3
c)
=
b, escrevendo log
b) 2a - b
p
d) 9
8
~
c) 2ab
~,entao log2 (p +
27
em fun9ao de
a e b obtemos:
2a
d)
e) 5a - 3b
b
92. (Unisinos-RS) Se logx 25 = -2, entao logs x e igual a: a) -2
b) -1
c) 1
d) 2
93. (Fesp-SP) Se log14 7 = x e log14 5 = y, a expressao de IOg35 28 a)
(x
+ y) x
b)
(x
+ 2)
(x + y)
c)
d)
(3 + y)
Y (2 - x) (x
+ y)
194
e)
e: e)
2x (x - y)
4
13)
94. (Fuvest-SP) Sabendo-se que 5P = 2, podemos concluir que log2 100 a) -
2
p
b) 2p
c) 2
+ p2
d) 2
+ 2p
95. (Osec-SP) Se log4 x 3 = 2, entao logs x 2
4 3
c)
96. (U. Cat61ica de Salvador-SA) A expressao log
b) log 18
a) log 77
97. (PUC-PR) Sabendo que 10gA E
p
d) 1
+
2
3
log
+ log
3
4
=
2, log a E
4, loge E
=
8 9
e)
4 5
- log
d) log 4
c) log 7
=
2 + 2p
e)
e:
b) 2
a) 4
e igual a:
6 e logo E
~ e equivaiente a: 55
e) log
=
~ 7
8, pede-se que seja deter-
1
minado 0 valor real positivo y
=
5.J2
a)
[lOgE (A . B . C . 0)] 2 c)
5.J2
6-15
b)
e)
5
6 d)
2-16 5
5-16 2
7
98. (Osec-SP) Sejam x e y numeros reais positivos tais que: log(x+ {
gX _
y)
16
6 . 3x
=
2
+9
= 0
Entao os valores de
x e y,
nessa ordem, sao:
a) 1 e 2 b) 2 e 3
99. (Unifor-CE) No universo IR*, a equayao a) b) c) d) e)
e) 5 e -1
c) 1 e 3 d) 4 e zero
.JTOQ;x = log2 -JX :
possui uma (mica soluyao no intervalo ] 0, 1[. possui uma unica soluyao no intervalo ]0,20[. possui duas soluyoes no intervalo ] 2, 10[. possui duas soluyoes no intervalo [1, 20[. nao possui soluyoes reais.
100. (PUC-MG) A raiz da equayao log2 x a) 2
b)
~
+
log4
X =
c)
1
e igual a:
~
101. (Mackenzie-SP) 0 produto das rafzes da equayao (4 a)
9
b)
1
102. (FEI-SP) A equayao log3 x a) 0
b)
c) 1
3
=
1 3
1
+
d)
+
2~
e) 3~
log3 x) . (4 - log3 x) = 12
d) 3
e:
e) 9
log x 9 tem duas rafzes reais. 0 produto dessas rafzes c) 9
195
d) 6
e) 3
e:
103. (EsPECEx) 0 conjunto solugao da equagao 109x [10924 . 10946 . 10968]
b) {-,3, 0, \ 3 }
a) 0
c)
{v 3 }
d) {-,3"
104. (Fuvest-SP) 0 numero real x que satisfaz a equagao 1092 (12 - 2 X) b) 1092 ,3
a) 10925
c)
= 2 e:
2
3}
= 2x e:
d) 1092,5
105. (Mackenzie-SP) Se a e b sao numeros reais positivos tais que a 2 + b 2
e) 10923
= 7 ab,
109 a
=
k e 109 b
= p,
a +b
entao 109 - - 3 - vale:
a) 2(k
b) 3(k
+ p)
c)
+ p)
d)
~
e) ~
2
7
~ 3
'2) e i9ual a:
106. (Osec-SP) Se 1092 (2 - ,2) = a, entao 1092 (2 + a)
3 2
b) 1 - a
c) 1
+
d)
1 2
e) 2 - a
a
107. (Unirio) Os valores reais de x para os quais 10109a (x a) 4 e 1
c) 4 e -1
b) -4 e 1
d) 4 e 0
c) 3 e 1
b) 2 e 2
d) 3 e 2
- 3x
+ 2)
= 6 109a 10, em que a >
0e a
*" 1, sao:
e) -4e-1
108. (Vunesp) Considere a fungao f definida por f (x) lores respectivos de a e b sao: a) 2 e 1
2
= 109a x.
Se f (a)
=
be f (a + 2)
=
b + 1, os va-
e) 4 e 1
109. (Mackenzie-SP) Assinale 0 intervalo que nao esta contido no conjunto solugao da inequagao 10 9(2'-1 _ 1) 5
a) [ : '
b)
},
~[
~]
< 10 9(2'-1 _ 1) 2: c)
[~,
; [
d) ]1, 2[
196
Capit 10
Calculo e aplicac;6es dos logaritmos decimais I.
Introdu~ao
No capitulo anterior estudamos a funr,:ao logaritmica e aprendemos a resolver algumas equar,:6es e inequar,:6es logaritmjcas. Muitas vezes, depois disso tudo, fica na caber,:a de alguns alunos uma indagar,:ao:
Porque, a primeira vista, a impressao que se tern e de que eles nao se prestam a nenhuma aplicar,:ao pratica. Pois bern, os alunos que assim pensam estao completamente enganados. Acompanhe com atenr,:ao as situar,:6es a seguir. Quando uma fi.mr,:ao se expressa na forma:
f(t)
=
fo· e k ' t,
em que fo e uma constante positiva correspondente a urn valor inicial, e e a base do sistema neperiano de logaritmos eke uma constante positiva, dizemos que essa TI1l1r,:ao tem um crescimento exponencial. o grafico ao lado ilustra uma fi.mr,:ao desse tipo. Se necessitarmos determinar 0 valor de t para uma certa condjr,:ao dada, 0 uso dos logaritmos resolved nosso problema.
197
o
Por exemplo, 0 crescimento de uma populas:ao humana ou de uma populas:ao de bacterias etc. obedece a uma lei do tipo descrito anteriormente, desde que nao haja interferencia externa sobre 0 processo. Mais adiante trabalharemos com uma situas:ao desse tipo. Quando uma funs:ao se expressa na forma: f(t) =
fa·
e- k . t,
f(t}
em que fa e uma constante positiva correspondente a um valor inicial, e e a base do sistema neperiano de logaritmos eke uma constante positiva, dizemos que essa funs:ao tem um decrescimento exponencial. o grafico ao lado ilustra uma funs:ao desse tipo. A desintegras:ao de substancias radioativas obedece a uma lei como essa. Se quisermos calcular, por exemplo, em quanto tempo a quantidade de uma substancia radioativa estara reduzida a metade, teremos de lans:ar mao dos logaritmos. Vejamos mais uma aplicas:ao. Numa danceteria existem dois aparelhos de som de mesma potencia. Quando 0 aparelho A foi Iigado no maximo, mediu-se 0 NIS (Nivel de Intensidade Sonora), dado par 80 dB (decibel). Determinar 0 numero de decibels que se obtem no caso de 0 aparelho B tambem ser ligado no maximo, sabendo que 0 NIS e dado em decibels por:
NIS
= 10
o
IS logIR'
em que IS e a intensidade sonora e IR eo indice unitario (em watt por cm 2 ). Note que a formula para encontrar a solus:ao procurada envolve logaritmos. Esse problema sera resolvido no final deste capitulo. Quer mais? Pois vamos la. Quando voce deixa uma importancia C numa caderneta de poupans:a a uma taxa de 5% ao mes, 0 total de dinheiro existente apos t meses de aplicas:ao e dado por:
p(t)
=
C . (l,05)t
Se desejarmos saber 0 valor de t para uma certa condis:ao dada, devemos utilizar logaritmos para calcula-lo. Aguarde que mais a frente tambem trabalharemos com um exemplo desse tipo. Voce viu amostras de algumas situas:6es de natureza total mente diferente que sao descritas por funs:6es que envolvem logaritmos nos seus dJculos. E existem tantas outras! Acreditamos que agora voce esteja convencido da imporrancia dos logaritmos em nossa vida. Por isso vamos aprender a operar com e1es e final mente resolver alguns problemas de aplicas:ao.
198
'"c
" .s'"'" ~
~ g
L;
a:
0;
...,o
2. Calculadora cientifica ou tcibua de logaritmos? Em todas as equa~6es e inequa~6es logaritmicas vistas ate agora, conseguimos obter bases iguais nos dois membros. No entanto isso nem sempre e possive!. Para podermos resolver problemas nos quais nao se possa igualar as bases, aprenderemos a efetuar dlculos com logaritmos. Dois sao os problemas a serem estudados: a) dado urn numero positivo, achar seu logaritmo; b) dado
0
logaritmo de urn numero, achar
0
numero.
De urn modo geral, as calculadoras cientificas fornecem os logaritmos tanto na base 10 como na base e. Entretanto os nomes das teclas que fazem esses dlculos dependem da marca e tipo da calculadora. Assim, por exemplo, em certas calculadoras voce encontrara as teclas:
log para calcular 0, logari~o dec~al de un: numero. positivo que est~ja no visor; { 10'" para achar 0 numero cUJo logantmo decunal estep mostrado no VISor;
In para achar { eX para achar
0 0
logaritmo neperiano de urn numero positiyo que esteja no visor; numero cujo logaritmo neperiano esteja mostrado no visor. o
'c Sc:
« N
':; ...J
Em outras, voce tera que digitar por exemplo a palavra log, seguida da digita~ao do numero e da ordem de executar a opera~ao, para obter 0 logaritmo decimal desse numero. Existem ainda calculadoras nas quais voce encontrara outros tipos de teclas. t conveniente entao, se voce tern uma calculadora cientifica, verificar no manual de instru~6es quais teclas deverao ser utilizadas nos dlculos. Imaginando que nossa calculadora seja a do plimeiro tipo citado, vamos por exemplo calcular: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0
logaritmo decimal do numero 253; logaritmo neperiano desse mesmo numero; numero cujo logaritmo decimal e aproximadamente 1,30103; numero cujo logaritmo neperiano e aproximadamente 6,335055.
199
Solufao
a)
0
logaritmo decimal do numero 253
I
Dado
I
Calcular
Etapas
o logaritmo decimal do numero 253.
Numero 253.
I
Resultado
1. Digitar 253. 2. Pressionar log.
Aproximadamente 2,40312.
1sso significa que 10 2 ,40312 = 253. b)
0
logaritmo neperiano do numero 253
I
Dado
0
nl1ll1ero cujo logaritmo decimal
I
Dado
Etapas
o logaritmo neperiano do numero 253.
Numero 253.
c)
I
Calcular
0
I
Etapas
I
de um numero e = 6,335055.
I
Resllitado Aproxlinadamente 20.
e aproximadamente 6,335055
Calcular
o logaritmo neperiano o
Aproximadamente 5,53339.
1. Digitar 1,301 03. 2. Pressionar 10"'.
esse logaritmo decimal.
numero cujo logaritmo neperiano Dado
numero que tern esse logaritmo neperiano.
I
Etapas
I
0
1. Digitar 6,335 055. 2. Pressionar eX.
Aproximadamente 564.
_
caso de voce possuir uma calculadora cientifica.)
1. Calcule os logaritmos decimais dos numeros: a) 286
b) 3645
c) 105,76
d) 0,867
2. Calcule os logaritmos neperianos dos numeros dados no exercicio 1. 3. Calcule os numeros cujos logaritmos decimais sao, aproximadamente: a) 2,94399
b) 1,81823
c) 0,96806
d) -0,05749
4. Determine os numeros cujos logaritmos neperianos sao, aproximadamente: a) 7,52077
b) 3,64806
I
Resllitado
EXERCiclOS PROPOSTOS (Apenas para
;
e aproximadamente 1,30103
o logaritmo decimal o numero que tern
d)
Resultado
1. Digitar 253. 2. Pressionar In.
Calcular
de um nllmero e = 1,30103.
I
c) 2,83321
200
d) 6,90776
Bem, voce viu que e "moleza" efetuar d.!culos logaritmicos quando se utiliza uma calculadora cientifica. Mas quando nao temos esse recurso em maos, os dlculos sao um pOllCO trabalhosos. Veremos somente como operar com logaritmos decimais. Caso seja necessario utilizar outra base qualquer, vamos "pass:i-Ia" para a base 10 usando a lei de mudan\=a de base: log" x
Caracteristica e mantissa dos logaritmos decimais Ao calcularmos 0 logaritmo decimal de um numero positivo n, temos dois casos possiveis: • n e uma potencia de base 10 com expoente inteiro; • n nao e uma potencia de base 10 com expoente inteiro. Analisaremos separadamente essas duas situa\=oes. • n
e uma potencia de base 10 com expoente inteiro
Nessas condi\=oes, n pode ser escrito assim: n Dessa forma, temos:
=
10 c, com c E 7L.
~
log n
=
log 10 C
=
c . log 10
=
c. 1
log n
=>
=
c
o resultado deu um numero inteiro! Exemplo 1 Calcular os logaritmos decimais dos seguintes numeros: a) 100 b) 0,001 c) 10000
a) log 100
log 10 2
=
b) log 0,001
=
c) log 10000 d) log 1
=
=
2 . log 10
=
=
2 .1
=>
log 10-
3
=
-3 . log 10
=
log 10
4
=
4· log 10
4·1
log 10°
=
0 . log 10
=
=
0 .1
log 100
-3 . 1 =>
=>
log 1
=>
=
d) 1
2
log 10000 =
-3
log 0,001 =
4
a
E importante destacar que: Somente os numeros que sao potencia de expoente inteiro da base 10 possuem logaritmos inteiros.
201
EXERCiclO PROPOSTO 5. Ache a)
x
• n nao
0
=
logaritmo decimal de x nos casos:
b) x = 0,01
1000
c) x
=
d) x = 0,000 1
1000000
e potencia de base 10 com expoente inteiro
Nessas condi<;:6es, podemos sempre notar que n esta entre duas potencias em que a base 10 e os expoentes sao numeros consecutivos, ou seja:
e
.. {;\r 10 c < n < 10C+ 1 , em que c e,mtelro \..!:.-J
Assim, por exemplo, se n
= 548, temos que:
10 2 < 548 < 10 3 .
CD,
Voltando em pelo fato de a fun<;:ao logaritmica ser crescente quando a base que 1, temos que:
e maior
log 10 c < log n < log 10 c + I, ou seja: c' log 10 < log n < (c + 1) . log 10 :} c < log n < c + 1
Dessa forma concluimos que 0 logaritmo decimal de n "esta entre c e c + 1", ou seja, logaritmo decimal de n "e c virgula alguma coisa". Assim: log n
=
0
c, ... ou ainda log n = c + 0, ...
Ao numero inteiro c chanumos caracteristica do logaritmo decimal de n e aparte decimal 0, ... damos 0 nome de mantissa do logaritmo decimal de n (mantissa significa sobra, excedente). A mantissa do logaritmo decimal de um numero e encontrada numa tabela chamada tabua de logaritmos, apresentada nas paginas 205 a 208. Vamos como exerdcio encontrar a caractedstica do logaritmo decimal do numero n nos seguintes casos: a) n = 134
b) n = 2456
c) n = 0,4
d) n = 0,03
e) n = 8,2
SolUfao a) n = 134 Como 100 < 134 < 1000, ou seja, 102 < 134 < 10 3 , entao: log 10 2 < log 134 < log 103 portanto 2 < log 134 < 3. Assim, log 134 = 2 + 0, ... portanto a caractedstica do logaritmo
f) n = 0,0067
e 2.
b) n = 2456 Como 1000 < 2456 < 10000, ou seja, 10 3 < 2456 < 10\ entao: log 10 3 < log 2456 < log 104 portanto 3 < log 2456 < 4. Assim, log 2 456 = 3 + 0, ... portanto a caractedstica do logaritmo e 3. c) n = 0,4 Como 0,1 < 0,4 < I, ou seja, 10- 1 < 0,4 < 10°, entao: log 10- 1 < log 0,4 < log 10° portanto -1 < log 0,4 < O. Assim, log 0,4 = -1 + 0, ... portanto a caracteristica do logaritmo
e -1.
d) n = 0,03 Como 0,01 < 0,03 < 0,1, ou seja, 10- 2 < 0,03 < 10- 1, entao: log 10-2 < log 0,03 < log 10- 1 portanto -2 < log 0,03 < -1. Assim, log 0,03 = -2 + 0, ... portanto a caractedstica do logaritmo
202
e -2.
e) n = 8,2 .Como 1 < 8,2 < 10, ou seja, 10° < 8,2 < 10 1, entao: log 10° < log 8,2 < log 10 1 portanto 0 < log 8,2 < l. Assim, log 8,2 = 0 + 0, ... portanto a caracteristica do logaritmo
e O.
f) n = 0,0067 Corao 0,001 < 0,0067 < 0,01, ou seja, 10- 3 < 0,0067 < 10- 2 , entao: log 10- 3 < log 0,0067 < log 10- 2 portanto -3 < log 0,0067 < -2. Assim, log 0,0067 = - 3
+ 0, ... portanto a caracteristica do logaritmo e - 3.
Vamos fazer urn resumo para esses exercicios:
Casos em que 0 nlunero era maior que 1
I
Caracteri.stica encontrada
Numero de algarismos da parte inteira I
134
3
2
2456
4
3
8,2
1
0
Observe que, nos casos onde 0 numero era maior que 1, a caracteristica deu de algarismos da parte inteira, menos uma unidade. Guarde bern essa regra, pois isso ocorre sempre!
Casos em que 0 numero estava entre 0 e 1
te
I
Total de zeros iniciais
0
nlimero
Caracteristica encontrada I
0,4
1
-1
0,03
2
-2
0,0067
3
-3
Observe que, nos casos onde 0 numero estava entre 0 e 1, a caracteristica deu exatamennlimero de zeros iniciais, com 0 sinal trocado. Guarde bem essa regra, pois isso ocorre sempre!
0
EXERCiclO PROPOSTO 6. Encontre a caracterfstica do logaritmo decimal dos numeros: a) 54
b) 0,076
c) 875,34
d) 8500
e) 0,768
Antes de aprendermos a encontrar as mantissas, vamos entender uma propriedade muito importante.
203
Imagine que 0 logaritmo decimal de N seja c + m, em que c e a caracteristica e mea mantissa (um nLII11ero entre 0 e 1), ou seja: Caracteristica
log N
= c+
0, ...
Mantissa
e desejamos encontrar 0 logaritmo decimal do produto de N pOl' uma potencia de base 10 e expoente inteiro, isto e, queremos calcular: log (N· 10 k ), em que k e um nLlmero inteiro. Temos:
Entao igual a:
0
log (N· 10 k ) = log N + log 10 k = log N + k· log 10 ~ ~ log (N· 10 k ) = k + log N = k + (c + 0, ... ) logaritmo do produto de N pOl' uma potencia de base 10 e expoente inteiro e Caracteristica
log (N· 10 k )
=
(k
+ c) + 0, ... Mantissa
e portanto tern a mesma mantissa do logaritmo decimal de N. Vamos guardar bem esta propriedade: Os logaritmos decimais de N e de N· 10\ em que k e inteiro, possuem a mesma mantissa. Assim, por exemplo, os logaritmos decimais dos numeros 345; 3450; 0,345; 3,450; 34,5 possuem a mesma mantissa.
EXERCiclOS PROPOSTOS 7. Quais dos numeros seguintes apresentam a mesma mantissa em seus logaritmos decimais? a) 54,56
b) 54,65
c) 0,545
d) 5,456
e) 545,6
8. Sabendo que log 35 = 1,544068, determine:
a) log 3,5
b) log 350
c) log 3500
d) log 0,35
Tabua de logaritmos Agora que ja sabemos encontrar a caracterlstica do logaritmo decimal de qualquer numero e fixamos uma importante propriedade a respeito das mantissas, vamos conhecer a tabua de logaritmos, que poderia ser chamada tabua de mantissas, pois que nela aparecem apenas as mantissas dos logaritmos decimais. A rabua a seguir apresenta as mantissas, com seis "casas" depois da virgula, dos logaritmos decimais dos numeros inteiros de 1 ate 1000.
204
n
mantissa
n
mantissa
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
698970 707570 716003 724276 732394 740363 748 188 755875 763428 770852 778151 785330 792 392 799341 806180 812913 819544 826075 832509 838849 845098 851258 857332 863323 869232 875061 880814 886491 892 095 897627 903090 908485 913814 919078 924279 929419 934498 939519 944483 949390 954243 959041 963788 968483 973128 977 724 982271 986772 991226 995635 000000
0, ... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
000000 301030 477121 602060 698970 778151 845098 903090 954243 000000 041393 079 181 113943 146128 176091 204120 230449 255273 278754 301030 322219 342423 361 728 380211 397940 414973 431364 447158 462398 477121 491362 505150 518514 531479 544 068 556303 568202 579784 591065 602060 612784 623249 633468 643453 653213 662758 672 098 681241 690196 698970
n
mantissa
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
000000 004321 008600 012837 017033 021 189 025306 029384 033424 037426 041393 045323 049218 053078 056905 060698 064 458 068 186 071882 075547 079181 082785 086360 089905 093422 096910 100371 103804 107210 110590 113943 117271 120574 123852 127 105 130334 133539 136721 139879 143015 146128 149219 152288 155336 158362 161 368 164353 167317 170262 173 186 176091
0, ...
n
mantissa
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
176091 178 977 181844 184691 187521 190332 193 125 195900 198657 201 397 204120 206826 209515 212 188 214844 217484 220108 222716 225309 227887 230449 232996 235528 238046 240549 243038 245513 247973 250420 252853 255273 257679 260071 262451 264 818 267172 269513 271842 274158 276462 278754 281033 283301 285557 287802 290035 292 256 294466 296665 298853 301030
0, ...
III 112 113 114 115 116 117 118 119 120 i21 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
205
n
mantissa
200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250
301030 303196 305351 307496 309630 311 754 313867 315970 318063 320146 322219 324282 326336 328380 330414 332438 334454 336460 338456 340444 342423 344392 346353 348305 350248 352183 354108 356026 357935 359835 361728 363612 365488 367356 369216 371068 372 912 374748 376577 378398 380211 382017 383815 385606 387390 389166 390935 392697 394452 396199 397940
0, ...
0, ...
n
mantissa
n
0, ... 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
397940 399674 401401 403121 404834 406540 408240 409933 411620 413300 414973 416641 418301 419956 421604 423246 424882 426511 428 135 429752 431364 432969 434569 436163 437751 439333 440909 442480 444045 445604 447158 448706 450249 451786 453318 454845 456366 457882 459392 460898 462398 463893 465383 466868 468347 469822 471292 472 756 474216 475671 477121
mantissa
n
0, ... 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350
477121 478566 480007 481443 482874 484300 485721 487138 488551 489958 491362 492 760 494155 495544 496930 498311 499687 501059 502427 503791 505150 506505 507856 509203 510545 511 883 513218 514548 515874 517196 518514 519828 521 138 522444 523746 525045 526339 527630 528917 530200 531479 532754 534026 535294 536558 537819 539076 540329 541 579 542825 544068
mantissa
n
0, ... 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400
544068 545307 546543 547775 549003 550228 551450 552668 553883 555094 556303 557507 558709 559907 561 101 562293 563481 564666 565848 567026 568202 569374 570543 571709 572872 574031 575 188 576341 577492 578639 579784 580925 582063 583199 584331 585461 586587 587711 588832 589950 591065 592 177 593286 594393 595496 596597 597695 598791 599883 600973 602060
206
mantissa
n
0, ... 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450
602060 603 144 604226 605305 606381 607455 608526 609594 610660 611 723 612784 613842 614897 615950 617000 618048 619093 620136 621176 622214 623249 624282 625312 626340 627366 628389 629410 630428 631444 632457 633468 634477 635484 636488 637490 638489 639486 640481 641474 642465 643453 644439 645422 646404 647383 648360 649335 650308 651278 652246 653213
mantissa
0, ... 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500
653213 654177 655138 656098 657056 658011 658965 659916 660865 661813 662758 663701 664642 665581 666518 667453 668386 669317 670246 671 173 672098 673021 673 942 674861 675778 676694 677607 678518 679428 680336 681241 682145 683047 683947 684845 685742 686636 687529 688420 689309 690196 691081 691965 692847 693727 694605 695482 696356 697229 698101 698970
n
mantissa 0,
500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550
n
698970 699838 700704 701568 702431 703291 704151 705008 705864 706718 707570 708421 709270 710117 710963 711 807 712 650 713491 714330 715167 716003 716838 717671 718502 719331 720159 720986 721 811 722634 723456 724276 725095 725912 726727 727541 728354 729165 729974 730782 731589 732394 733197 733999 734800 735599 736397 737193 737987 738781 739572 740363
mantissa 0,
000
550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600
n
740363 741152 741939 742725 743510 744293 745075 745855 746634 747412 748188 748963 749736 750508 751279 752048 752816 753583 754348 755112 755875 756636 757396 758 155 758912 759668 760422 761176 761928 762679 763428 764176 764 923 765669 766413 767156 767898 768638 769377 770115 770852 771 587 772 322 773055 773786 774517 775246 775974 776701 777 427 778151
mantissa 0,
000
600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650
778151 778874 779596 780317 781037 781 755 782473 783189 783904 784617 785330 786041 786751 787460 788168 788875 789581 790285 790988 791691 792392 793092 793790 794488 795185 795880 796574 797268 797960 798651 799341 800029 800717 801404 802089 802774 803457 804139 804821 805501 806180 806858 807535 808211 808886 809560 810233 810904 811 575 812245 812 913
207
n
mantissa
n
0, ...
000
650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700
812 913 813581 814 248 814913 815578 816241 816904 817565 818226 818885 819544 820201 820858 821514 822168 822822 823474 824126 824776 825426 826075 826723 827369 828015 828660 829304 829947 830589 831230 831870 832509 833147 833784 834421 835056 835691 836324 836957 837588 838219 838849 839478 840106 840733 841349 841985 842609 843233 843855 844477 845098
mantissa 0, ...
700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750
845098 845718 846337 846955 847573 848189 848805 849419 850033 850646 851258 851870 852480 853090 853698 854306 854913 855519 856124 856729 857332 857935 858537 859138 859739 860338 860937 861534 862 131 862728 863323 863917 864511 865 104 865686 866287 866878 867467 868056 868644 869232 869818 870404 870989 871 573 872 156 872 739 873 321 873902 874482 875061
n
mantissa
n
0, ... 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800
875061 875640 876218 876795 877 371 877947 878522 879096 879669 880242 880814 881385 881955 882525 883093 883661 884229 884795 885361 885926 886491 887054 887617 888179 888741 889302 889862 890421 890980 891 537 892095 892651 893207 893762 894316 894870 895423 895975 896526 897077 897627 898176 898725 899273 899821 900367 900913 901458 902003 902547 903090
mantissa
n
0, ... 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850
903090 903633 904174 904716 905256 905796 906335 906874 907411 907949 908485 909021 909556 910091 910624 911 158 911 690 912222 912753 913284 913814 914343 914872 915400 915927 916454 916980 917506 918030 918555 919078 919601 920123 920645 921 166 921686 922206 922725 923244 923762 924279 924796 925312 925828 926342 926857 927370 927883 928396 928908 929419
mantissa
n
0, ... 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900
929419 929930 930440 930949 931458 931966 932474 932981 933487 933993 934498 935003 935507 936011 936514 937016 937518 938019 938520 939020 939519 940018 940516 941014 941511 942008 942504 943000 943495 943989 944483 944976 945469 945961 946452 946943 947434 947924 948413 948902 949390 949878 950365 950851 951338 951823 952308 952792 953276 953760 954243
208
mantissa
n
0, ... 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950
954243 954725 955207 955688 956168 956649 957128 957607 958086 958564 959041 959518 959995 960471 960946 961421 961 895 962369 962843 963316 963788 964 260 964731 965202 965672 966142 966611 967080 967548 968016 968483 968950 969416 969882 970347 970812 971276 971 740 972 203 972 666 973128 973 590 974051 974512 974972 975432 975891 976350 976808 977 266 977724
mantissa 0, ...
950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000
977724 978181 978637 979093 979548 980003 980458 980912 981366 981819 982271 982723 983175 983626 984077 984527 984977 985426 985875 986324 986772 987219 987666 988 113 988559 989005 989450 989895 990339 990783 991226 991669 992 III 992 554 992 995 993436 993877 994317 994757 995196 995635 996074 996512 996949 997386 997823 998259 998695 999131 999565 000000
3. 0 calculo com logaritmos decimais Bern, agora podemos come<;:ar nossos cilculos. No inicio do capitulo anterior, comentamos que ainda nao tinhamos condi<;:6es de resolver uma equa<;:ao exponencial quando nao era possive! obter potencias de mesma base nos dois membros. Demos como exemplo a equa<;:ao: 5"'
=
12
Agora ji temos condi<;:6es de resolve-la, e e 0 que iremos fazer. Aplicando logaritmos decimais nos dois membros da equa<;:ao dada, obtemos: log 5"'
=
log 12
~
x· log 5
=
~
log 12
x
log 12 log 5
= ---==----
o numero 12 tern dois algarismos na parte inteira, portanto a caracteristica do seu logaritmo decimal e 1, ou seja: log 12
=1+
0, ...
A mantissa, obtida diretamente da rabua, nos di 0,079 181. Assim: log 12
1 + 0,079 181
=
~
log 12
=
1,079181
o numero 5 tem um algarismo na parte inteira, portanto a caracteristica de seu logaritmo decimal e 0, ou seja: log 5
= 0 + 0, ...
A mantissa, obtida diretamente da tibua, nos di 0,698970. Assim: log 5
=
Substituindo na equa<;:ao x
=
x
0 + 0,698 970
~
log 5
=
0,698970
log 12 os valores encontrados, obtemos: log 5
1,079181 0,698970
=
1,543959
Vejamos em seguida mais alguns exemplos, nos quais procuraremos mostrar as situa<;:6es que normalmente OCOlTem nos cilculos com logaritmos. Exemplo 1 Nos necessitamos por algum motivo, em nossos cilculos, encontrar, por exemplo, 0 valor da raiz cubica do numero 729, mas a calculadora "pifou". Como resolver 0 problema? SolUfiio
o uso dos logaritmos resolveri nosso problema.
Chamemos de x
0
729. Assim: x = \729. I
Entao x = 729 3 . Tomando logaritmos nos dois membros, temos: 1
log x
= log 729 3 ~ log x = 1 . log 729 3
209
valor da raiz cubica de
Como 729 tem tres algarismos, a caractedstica do seu logaritmo sera 2 e a mantissa na tabua: 0,862728. Entao: log x
= 1..- . 2,862728 3
log x
=>
= 0,954243
=>
log x
°
e achada
Caracteristica
= +
0,954243 - . . ------' Mantissa
Veja que agora temos 0 problema inverso para a utiliza~ao da tabua, ou seja, conhecemos 0 logaritmo de x e necessitamos achar 0 valor de x. Procurando na tabua um numero que corresponda a uma mantissa de 0,954243, vemos que o numero e 9 ou 90 ou 900 ou ... Como a caracteristica do log x e zero, entao x tem um s6 algarismo na parte inteira, portanto temos x = 9. Assim, a raiz cubica de 729 e 9.
EXERCiclOS PROPOSTOS 9. Determine 0 valor do logaritmo decimal de N nos casos seguintes: a) N
=
756
c) N = 9
b) N = 78
10. Determine 0 valor de x sabendo que: a) log
x
b) log x = 1,929419
= 2,905256
c) log x = 0,845098
11. Utilizando logaritmos, calcule: a)
3~
N = ,343
b) P=,841
Nos exemplos anteriores, nas duas vezes em que foi necessario recorrer a tabua de logaritmos, nao tivemos muito trabalho, pois os numeros procurados la estavam. No entanto isso pode nao ocorrer e nesse caso 0 nosso trabalho aumenta, como mostra 0 exemplo seguinte. Exemplo 2 Ainda com nossa calculadora "pifada", necessitamos encontrar, por exemplo, a raiz cubica de 24,4.
Solurao Chamemos de
Z 0
valor da raiz cubica procurada, ou seja: 3
r----
,,24,4
Z =
=> Z =
1..
24,4 3
Aplicando logaritmos decimais nos dois membros, obtemos: log z
J...
= log 24 4 3 '
=>
log z
1
= - . log 24,4 3
CD
Veja que agora necessitamos do logaritmo decimal do numero 24,4. Sabemos que, pelo fato de 0 numero ter dois algarismos na parte inteira, a caracteristica de seu logaritmo decimal e 1, ou seja: Caracteristica
log 24,4 = 1
+ 0, ... Mantissa
210
A mantissa nao esta na tabua de logaritmos, pois la nao existe 24,4 esta entre dois nllmeros da tabua: 24 e 25. Temos: Para
0
I
numcro
A mantissa
e
0
nllmero 24,4. No entanto
o
I
logaritmo C
24
0,380211
1,380211
25
0,397940
1,397940
Assim sendo, temos que log 24,4 esta entre 1,380211 e 1,397940. Para obtermos uma melhor aproxima~ao do valor do log 24,4, podemos observar da ft.ll1~aO )' = log x.
-----
- -
-
------------------- ---
---
0
grafico
-------------------------
10
A
8
24
25
x
Nesse grafico podemos notar que 0 trecho da curva que vai de A ate B "quase se confunde" com 0 segmento de reta que vai de A ate B (vamos chamar essa reta de r). Isso nos leva a admitir que, se acharmos na reta ra ordenada do ponto de abscissa 24,4, obteremos urn aceitavel valor de log 24,4. Veja urn zoom daquele trecho (feito sem escala):
p Diferen~a
0.017 729
Q
1.380211
0.4 24
A
semelhan~a
24.4
25
dos triangulos da figura nos permite escrever: 0,017729 a
=
_1_ ~ a 0,4
A ordenada do ponto Psera 1,380211 + 0,007092 esse valor na equa~ao encontramos:
0 '
log z ou seja: log z
=
=
31 . 1,387 303
~
=
°
007092
'
=
1,387303. Substituindo log 24,4 por
log z
=
0,462434,
°+ 0,462434.
Agora temos 0 logaritmo decimal do numero z e queremos achar z. Procurmdo a mmtissa 0,462434 na tabua, nao encontramos la esse valor, mas verificamos que ela corresponde a urn nllmero que esta entre 290 e 291.
211
Como a caracteristica do logaritmo decimal de z e 0, entao z tem s6 um algarismo na parte inteira. Portanto 0 valor de z esta entre 2,90 e 2,9l. Se desejarmos uma melhor aproximac;:ao para z, recorreremos novamente ao grafico da func;:ao y = log x.
M
o
I
2
2.90
I
N
4
x
2.91
esse grafico observamos tambem que 0 trecho da curva entre MeN "se aproxima" do segmento de reta de extremidades MeN. Veja um zoom daquele trecho (feito sem escala): Reta
N _ _ 0.463 893
,
0.001 495
0.000036 M ~------a---===.=.-=-.t~z,--------.-I.o--O,462
1--------
2,90
398
0.01 - - - - - - - - 2 . 9 1
A semelhanc;:a dos triingulos da figura nos permite escrever: 0,001495 = 0,01 ~a=000024 0,000036 a '
o valor de z e, portanto, 2,90 + 0,00024, ou seja, 2,90024. Dessa forma, concluimos: ~ 24,4 = 2,90024
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
12. Sabendo que x = 25 e y = 4, determine a valor de log x + log Y. 13. Calcule: a) log 58,5
b) log 8,9
c) log 1 200
d) log 25,36
14. Calcule a valor de x nos casas seguintes: 1
a)
1
5~
x = 38 3
b) x='\384
c)
X
= 53,8 4
15. Calcule a valor de x conhecendo: a) log
x = 0,591
06
b) log x
= 2,265525
212
c) log
x = 1,689309
Exemplo 3 Calcular: a) log x, se x
=
0,324
b) x, se log x = -2,404504
SolUfiio
a) queremos 0 valor de log 0,324
°
Como xesta entre e 1, a caracteristica do seu logaritmo decimal e 0 numero de zeros iniciais, com 0 sinal trocado; pot"tanto, como existe um zero inicial, a caracteristica do seu logaritmo decimal e - 1. Dessa forma temos que:
, log 0,324 = -1
Caracteristica
+
0, ...
'----.r-------'
Mantissa
A mantissa correspondente ao nllmero 0,324 0,510545. Entao: log 0,324 = -1 + 0,510545. CD Esse valor pode ser indicado assim:
ea
mesma do numero 324, ou seja,
1,510545 Essa forma e chamada forma mista ou forma preparada do logaritmo, pois nela estao destacadas: • a parte "antes" da virgula, negativa, e que corresponde a caracteristica; • a parte decimal, positiva, e que corresponde a mantissa. Observe que, se em CDefetuarmos os calculos, obteremos log 0,324 = -0,489495, sendo que este ultimo valor nao nos mostl"a nem a caracteristica nem a mantissa do logaritl110. b) log x = -2,404504 e queremos achar x Observe que esse valor e um numero negativo, de forma que ele nao nos mostra nem a caracteristica nem a mantissa do logaritmo. Vamos portanto "preparar" esse numero. Temos que log x = -2 - 0,404504. Somando e subtraindo 1 ao segundo membro, encontramos: log x = -2 - 0,404504 + 1 - 1 => log x = -2_- 1 + (1 - 0,404504) => log x = -3 + 0,595496 ou 3,595496 Agora sim sabemos que a caracteristica e - 3 e que a mantissa e 0,595 496. Procurando na tabua encontl"amos para essa mantissa 0 nllmero 394. Como a caracteristica e -3,0 numero procurado tem tres zeros iniciais, portanto: x = 0,00394
Exemplo 4 Calcular:
b) In 25
a) Jog 2 15 SolUfiio
a) log2 15 A lei de mudan<;:a de base nos garante que: Jog 2 15
Jog lO 15
= -=-=--
Jog ro 2
213
=>
1,176091
Portanto log2 15
----.:..---- =
3,906889.
0,30103 b) In 25 Temos que In 25 eo mesmo que loge 25. Tomando e = 2,71828 e "passando" para a base 10, encontramos: In 25
loglo 25
1,397940 0,434294
loglo 2,71828
3,218879
=
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
16. Calcule os logaritmos dos numeros a seguir. De tambem, se for rada, destacando a caracterfstica e a mantissa.
a) log 0,536
0
caso, a resposta na forma prepa-
b) log 0,036
c) log 0,001 25
17. Sendo log x = n, determine x nos seguintes casos: a) n
=
b) n
-0,437707
18. "Passando" para a base decimal, calcule
a) N = log3 58
0
-2,376751
valor de N nos casos:
b) N =log 5 45
4. Algumas
=
+ log4 510
aplica~oes dos
c) N = In 10
+ log e
logaritmos
Vamos finalizar este capitulo resolvendo problemas que envolvem alguns dos quais ja citados anteriormente.
0
cilculo de logaritmos,
Exemplo 1 Numa danceteria existem dois aparelhos de som exatamente iguais. Quando 0 aparelho A foi ligado no maximo, mediu-se 0 NIS (Nivel de Intensidade Sonora), dado por 80 dB (decibel). Determinar 0 numero de decibels que se obtem no caso de 0 aparelho B tambern ser ligado no maximo, sabendo que 0 NIS e dado em decibels P~)f: IS NIS = 10 . log IR ' em que IS e a intensidade sonora e IR e
0
indice unitario (em watt por cm 2).
SolUfiio
A primeira vista, poderiamos ser tentados
a imaginar que 0 NIS em decibels seria 160, pelo fata de termos dobrado a intensidade sonora ao ligarmos tambern 0 aparelho B. No entanto isso nao e verdade. Vejamos por que. Chamando de a
ligado apenas
0
IS e de NISI IR aparelho A, temos que: 0
valor de
0
mvel de intensidade sonora em decibels quando
NISI = 10· log a = 80
214
Vamos imaginar agora 0 aparelho B tambern ligado no maximo. Dessa forma, a intensidade sonora duplicou, ou seja, ficou sendo 2· a. Entao:
NIS = 10 . log (2 . a) Tomando log 2
NIS
=
=
~
NIS = 10 . [log 2 + log a]
~
NIS = 10 . log 2 + 10 . log a
0,30103, temos:
10 . (0,30103) + 80
~
NIS
=
3,0103 + 80
Observemos que, duplicada a intensidade sonora,
0
~
NIS = 83,0103 dB
NIS aumentou pouco mais de 3 decibels!
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
19. Se urn aparelho de som ligado no maximo produz 60 dB, quantos decibels serao produzidos se Iigarmos, no mesmo ambiente, mais dois aparelhos de som exatamente iguais ao primeiro? 20. Numa pista de aeroporto urn aviao a jato liga sua turbina. Mediu-se 0 NIS, obtendo-se 120 dB. Se, nas proximidades, outro aviao a jato igual ao anterior tambem ligar sua turbina, quantos dB serao medidos?
Exemplo 2 Num certo pais
0
aumento da populac;:ao ocorre segundo a lei: P(t) = Po . e O,003' 6,
em que Po e a populac;:ao num determinado ano inicial ou ano-base, te 0 numero de anos passados a contar do ano inicial e e e a base do sistema neperiano de logaritrnos. Determinar: a) a populac;:ao, 6 anos ap6s ela ter sido de 200000 habitantes; b) quantos anos deverao passar para que a populac;:ao seja 0 dobro da do ano-base, admitindo que a taxa de crescimento se mantenha. SolUfiio
a) Queremos P(6), sabendo que Po
=
200000.
P(6) = 200000· eO,003 . 6 ~ P(6) = 200000 . 1,018163 = 203632 Ap6s 6 anos a populac;:ao sera de aproximadamente 203 632 habitantes.
b) Queremos a populac;:ao duplicada. Seja to numero de anos tal que esse fato ocorra. Assim sendo, 2 . Po, ou seja: 2 . Po = Po . eO,03' t
0
valor de P( t) devera ser
Simplificando os dois membros por Po, que e urn nlimero positivo, obtemos: 2 = eO,03' t
CD
Veja que a simplificac;:ao feita nos proporcionou uma equac;:ao que nao depende de Po, ou seja, a populac;:ao do ano inicial pode ser qualquer uma. Aplicando logaritmos decimais nos dois membros de temos:
CD '
log 2 = log
eO,03' t
~
0,03 . t· log e = log 2
215
Substituindo log e por 0,434294, encontramos: t --
A populac;:ao sera
0
log 2 -t-0,30103 --'-------0,03 . 0,434294 0,013 029
~
t
=
23,1
dobro da atual ap6s pouco mais de 23 anos.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
21. Se a populayao de certa regiao cresce segundo a lei:
P(t) = Po .
eO,02· t
em que Po e a populayao, num ana inicial qualquer, teo numero de anos apos 0 ano-base e ao qual corresponde a populayao P(t), determine: a) a populayao, 8 anos depois de ter ti~o 500000 habitantes. b) se em 1980 a populayao era de 350000, qual foi a populayao em 1994? c) depois de quantos anos (numero inteiro) podemos garantir que a populayao duplicou? 22. A populayao de uma dada regiao cresce exponencialmente segundo a lei:
P(t) = 600 000 .
e O,025· t
Pergunta-se: a) Qual a populayao daqui a 20 anos? b) Qual a populayao daqui a 40 anos? c) Em quanta tempo, aproximadamente, a populayao dessa regiao triplicara.? 23. Em uma aula de Biologia, um aluno, observando uma cultura de bacterias, fez as seguintes anotayoes:
_------3-:-00-----------4-:-:0----
Sabendo que 0 crescimento dessa cultura obedece a lei: o(t) = 0
o. e
'"c:
'" '"
C>
.§
,::~
k . t
determine:
~
>
:>
a) 0 valor de k. b) a quantidade de bacterias prevista quando 0 tempo for de 25 minutos.
o
u
c:
'" '"
E lL
Exemplo 3 Numa aplicac;:ao de poupanc;:a foi colocada uma import:llcia de R$ 240.000,00. Sabe-se que a lei que mostra 0 total de dinheiro que nela existe e dada por: M(t) = C· (1,25)t, em que teo numero de anos de aplicac;:ao, Ceo capital aplicado e Me tal final. Determine: a) 0 montante, ap6s 4 anos de aplicac;:ao; b) em quantos anos 0 capital triplicara nessa aplicac;:ao.
216
0
montante ou
0
to-
Soluftio
a) Achar M(4). Temos que: M(4)
= 240.000,00 . 1,25 4 M(4)
=>
o
M(4)
=>
= 240.000,00 . 2,4414
=>
585.936,00
=
montante final sera de R$ 585.936,00.
b) Achar
0
numero de anos em que
0
capital triplicara.
Seja to m'tmero de anos para que isso ocorra. Assim sendo: M(t) = 3 . C. Portanto: 3 . C = C' 1,25 t
E importante notar que na senten<;:a acima 0
tatar C pode ser simplificado, portanta a solu<;:ao do problema nao depende de "quanto" foi aplicado inicialmente. Temos: 1,25 t
=
3
Aplicando logaritmos decimais nos dois membros, encontramos: t
log 1,25 = log 3
=>
log 3 log 1,25
t· log 1,25 = log 3 => t = ---="-----
0,477121 ----'----=
4,9
0,096910
o capital devera ficar aplicado por 5 anos (arredondado para cima). EXERCiclO PROPOSTO 24. Uma aplicayao de poupanya e atualizada segundo a seguinte lei: M(t)
= C· 1,3 1 ,
em que teo numero de anos, Ceo dinheiro aplicado e M, a) Ache M quando C = AS 24.000,00 e t = 5. b) Ache 0 menor numero de anos tal que M(t) atinja
0
montante.
valor 4C.
0
Exemplo 4 Num processo de decaimento radioativo, a quantidade residual Qde uma substancia varia em hm<;:ao do tempo conforme a seguinte lei: Q(t) = 1200 . e- 0 ,0002' t, em que 1 200 gramas era a quantidade inicial e t, de da substancia ap6s 150 anos.
0
tempo em anos. Determinar a quantida-
SolUftio
Queremos encontrar Q(150). Portanto temos: Q(150) = 1200 .
e-0.0002· 150
=>
Q(150) = 1200 . 0,970 = 1 164
Entao a quantidade sera de 1 164 graI11as.
EXERCiclO PROPOSTO 25. Num processo de decaimento radioativo, a quantidade residual Q de uma substancia varia conforme a seguinte lei: Q(t)
=
Qo'
e- 0 •OO03 · t , em que
a) Ache Q(800), para Q o = 680 gramas. b) Se para t = 500 tivermos Q(t) = 379, determine Qo-
217
teo numero de anos.
RELEMBRANDO CONCEITOS Mudan~
_
para a base 10 ou
log a para a > 0, b > 0 e b log b '
"* l.
C:ilculo com logaritmos decimais log a
= c + 0, ...
em que c e a caracteristica do logaritmo e mea mantissa, com 0
~
m < 1.
Propriedade irnportante
+ 0, ... , entio, para N inteiro, tem-se que: log (ION. a) = log ION + log a = N + c + 0, ... = (N + c) + 0, ...
Se log a
= c
ou seja, os logaritmos de a e de (ION. a) possuem a mesma mantissa. Determina~ao da
mantissa do log a
= c + 0, ...
Feita diretamente na tabua de logaritmos. Determina~ao da
caracteristica do log a
= c + 0, ...
1 Q caso: a> 1 A caracteristica ceo numero de algarismos da parte i.nteira de a, menos uma unidade. 2 Q caso: 0 < a < 1 A caracteristica e 0 numero de zeros iniciais de a, com
0
sinal trocado.
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 26. Sendo log2 x
= 1,38, calcule log x.
27. Sabendo que x = 15 1000 , diga quantos algarismos possui
0
numero x. (Sugestao: aplique logaritmos
decimais e analise a caracterfstica.)
28. Sabendo que log 3,5 2 = 1,088136, calcule 29. Calcule
0
0
valor de N
=
log 350 + log 35 2.
valor de P nos casos seguintes: 1
a)
P
= 629 4
30. Numa certa calculadora, quando voce fornece um numero negativo ou nulo e pressiona a tecla log, ela simplesmente "trava" e nao executa mais nada ate que seja "destravada". Suponha que voce forneva a essa calculadora um numero N inteiro e positivo. Quantas vezes voce pode apertar seguidamente a tecla log antes que a calculadora "trave", nos casos seguintes: a) N b) N
= =
100? 10?
c) N tem seis algarismos? d) N tem tres algarismos?
31. Na calculadora do exercfcio 30, forneceu-se um numero N e a calculadora ''travou'' ao pressionarmos tres vezes seguidas a tecla log. Determine entre quais potencias de 10 esta 0 numero N.
218
1
32. A popula<;:ao de uma cidade aumenta segundo a lei P(t) = Po . 1,03 , em que: Po e a popula<;:ao num ano qualquer, teo numero de anos ap6s 0 ano-base e P(t) e a popula<;:ao t anos ap6s aquele em que ocorreu Po. a) Se em 1981 a popula<;:ao era de 600 000 habitantes, qual foi a popula<;:ao em 1992? b) Se em 1990 a popula<;:ao foi de 671 968, qual era a popula<;:ao em 1980? c) De quantos em quantos anos a popula<;:ao dessa cidade dobra?
33. Ao estudar uma cultura de bacterias, um pesquisador determinou a seguinte tabela:
•• _
••
O
•
8------1
f------_
•••.
2400
3600
Supondo que 0 numero de bacterias aumente segundo a lei O(t) = 0 0 inicial, determine:
.
ek •
I,
em que 0
0
e 0 valor
a) 0 valor de k. b) 0 nurnero previsto de bacterias ap6s 12 minutos do tempo inicial.
TESTES
_
34. Sabendo que log N = -1,309804, entao a caracterfstica e a mantissa do logaritmo de N sao, respectivamente: a) -1 e 0,309804 b) -2 e 0,309804
c) -1 e 0,690 196 d) -2 e 0,690 196
e) 0 e 0,309804
35. (F. M. Santa Casa-SP) Admitindo-se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, os valores da caracterfstica e da mantissa de log 0,45 serao, respectivamente: a) -1 e 0,66 b) -1 e 0,54
c) -1 e 0,34 d) 0 e 0,66
e) 0 e 0,34
36. (U. E. Ponta Grossa-PR) Sendo log 2 = 0,30 e log 3
=
0,47, entao:
a) log6 10 =
10 77
d) log6 10 =
b) log6 10 =
1 77
e) log6 10
100 77
1 =14,1
1
c) log6 10 = - 0,141
37. (UFSE) Sao dados log10 2 a) -0,22
=
0,30 e IOg10 3
b) -0,12
=
0,48. 0 valor de x
c) -0,08
=
log2 0,6 log2 10 e:
d) 0,88
e) 1,02
38. (Unifor-CE) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, entao log 54 e igual a: a) 1,74
b) 1
c) 0,43
d) 0,41
39. Sabendo que log 20 = 1,301 03 e que log 0,6 = 1,77815, 0 valor de log 120 e: a) 2,07189 b) 2,07919
c) 0,77815 d) -13,16914
219
e) 12
e) 0,03
40. Numa certa calculadora cientffica, quando voce tenta encontrar 0 logaritmo de um numero negativo
ou nulo, ela da uma mensagem de erro. Suponha que nessa calculadora voce digite 0 numero 987654321 e pressione seguidamente a tecla log x. A mensagem de erro aparecera ap6s essa tecla ser pressionada: a) 9 vezes b) 5 vezes
c) 3 vezes d) 4 vezes
e) 2 vezes
41. Na mesma calculadora do teste 40, voce digita um numero inteiro e, ap6s pressionar tres vezes a tecla log x, apareceu a mensagem de erro. Se 0 numero digitado por voce fosse multiplicado por 10 e a tecla log x fosse pressionada seguidamente, a mensagem de erro apareceria ap6s pressionar:
a) 10 vezes b) 13 vezes 42. (Imes-SP) Sendo log 2
c) 3 vezes d) 7 vezes
= 0,301
e) 4 vezes
°
e log 3 = 0,477 1, 0 valor mais pr6ximo de log -J216
a) 3,3343
c) 1,3343
b) 2,3343
d) 1,1680
e) 0,1671
43. (Unifor-CE) Utilizando-se a tabela ao lado, conclui-se que 0 valor de V10 e:
N 1,26 1,58 1,99 2,51 3,16
a) 0,3 b) 1,26 c) 1,58
d) 1,99 e) 2,51
220
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
e:
Caplt 10
o
Na~6es
sabre
Matematica Financeira
I. Porcentagem Ao ler jomal, ao ouvir radio ou assistir teve, e comum encontrarmos noticias como esras:
A LOJA P€CJ{INCHAo esT/{ DNJDO UM IJESC(YflO
PROMOCIONAL f)E 25"% NOS SBJS PREpas NIl SGMIWA {)(} ClJNSVMIlXJf?
Vamos entender 0 que significa cada uma dessas noticias. A primeira informa que, para cada R$ 100,00 que se gasrava de gasolina, houve urn acrescimo de R$ 4,00, passando-se a gastar R$ 104,00. A segunda noticia informa que, para cada 100 eleitores existentes no ana anterior, hoje existem 85. A terceira informa que, na loja Pechinchao, na Semana do Consumidor, de cada R$ 100,00 comprados, somente R$ 75,00 serao pagos, pois R$ 25,00 representam 0 desconto. A quarta informa que, para cada R$ 100,00 aplicados, houve urn rendimento de R$ 6,00 no meso Problemas que envolvem situas:6es como essas sao tipicos de porcentagem. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1 A figura ao lado mostra uma promos:ao numa revenda de carroS. Nessa promos:ao, esta sendo dado urn desconto de 24% para pagamento a vista. Quanto custa, a vista, 0 carro anunciado?
OKm
R$2QOOO -A VISTA:
24'%.-
oesGC)P-4TO
221
SolUfiio
A taxa de desconto e de 24%. Isso significa que, em cada 100 reais marcados, serao descontados 24. Uma regra de tres simples e direta resolve nosso problema: Pres;o marcado (R$)
I
Desconto (R$)
100,00 20.000,00
1
24 ,00 x
Entao:
100,00 20.000,00
=
24,00 x
=}
1 = 24,00 200 x
- -
=}
x
= 4.800,00 (desconto total)
o prec;:o avista sera, pOI-tanto: R$ 20.000,00 - R$ 4.800,00
= R$
15.200,00
Observas;oes 1. Calcular 24% (ou ~ ) de R$ 20.000,00 100 R$ 20.000,00. Assim:
0,24
e0
mesmo que multiplicar 0,24 ou
24 por 100
20.000,00 = R.$ 4.800,00 ou R$ 20.000,00 = R$ 4.800,00
X R$
~ X 100 2. 0 prec;:o a vista poderia ser epcontrado de modo mais direto lembrando que, se em cada R$ 100,00 sao descontados R$ 24,00, entao, para cada R$ 100,00, serao pagos somente R$ 76,00. Assim sendo, 0 prec;:o a vista e encontrado calculando-se 76% de R.$ 20.000,00, ou seja: 0,76 X R$ 20.000,00 = R.$ 15.200,00 Exemplo 2 Um debito de R$ 60.000,00 foi pago ap6s 0 vencimento. Por causa disso houve um acrescimo de 2% no prec;:o, a titulo de Juros e multa. De quanto foi 0 pagamento? SolUfiio
ovamente recorreremos a uma regra de tres simples e direta: Pres;o marcado (R$) 100,00 60.000,00
Acrescimo (RS) 2,00 x
Entao:
_1_0_0-,-,0_0_ = _2_,0_0_ _1_ = _2_,0_0_ x = 1.200,00 (acrescimo) 60.000,00 x 600 x Assim, houve um acrescimo de R$ 1.200,00 portanto, 0 pagamento feito foi de: =}
R$ 60.000,00
=}
+ R$ 1.200,00 = R$ 61.200,00
Observas;ao: 0 resultado poderia ser obtido diretamente, calculando-se (100 + 2 )%, ou seja, 102%, ou ainda 1,02 de R$ 60.000,00. Assim:
1,02
X R$
60.000,00
222
= R$
61.200,00
EXERCiclOS PROPOSTOS 1. Determine: a) 25% de 300 b) 12% de R$ 6.000,00
c) 1,5% de 100 d) 100% de 5,4
e) 120% de 15 I) 30% de 15%
b) 5% de 20%
c) 50% de 50%
2. Determine: a) 35% de 1,2
3. Um autom6vel de R 18.000,00 foi comprado, a) de quanta foi 0 desconto.
a vista, com desconto de 16%. Determine: b) quanta loi pago a vista.
4. Uma mercadoria de R$ 120,00 loi paga depois do vencimento com uma multa de 10%. Quanto se pagou no total?
5. Na venda de certo produto ha um imposto de 10%. Sobre esse imposto,
0 governo pretende cobrar mais 5%. Admitindo-se que isso ocorra, determine a porcentagem do imposto total sobre a venda.
6. A loja A vende uma mercadoria de R$ 4.000,00 com 30% de desconto para pagamento a vista. A 10ja B vende a mesma mercadoria por R$ 3.500,00, mas dando s6 25% de desconto para pagamento vista. Em qual das duas lojas melhor neg6cio comprar? Quanto em dinheiro vai se lucrar comprando-se nessa loja?
a
e
7. Qual das olertas seguintes
e mais vantajosa para 0
comerciante:
a) vender uma mercadoria com 25% de desconto a vista? b) vender com 1 mes de prazo para pagamento e trocando a duplicata por dinheiro, no mesmo dia da venda, num banco que cobra 25% do total da duplicata?
8. Um revendedor de maquinas agrfcolas anuncia um trator por R$ 60.000,00, dando um desconto de 20% para pagamento vista. Em outro revendedor concorrente, 0 mesmo trator esta marcado com o prec;:o de R$ 64.000,00. Para que a segunda loja possa vender, a vista, pelo mesmo prec;:o da primeira, qual a porcentagem de desconto a ser dada?
a
Exemplo 3 Sabe-se que numa sala de aula 20% dos estudantes sao meninos. Determinar dantes nas seguintes situac;:6es: a) existem 12 meninos
b) existem 32 meninas
223
0
total de estu-
SolUfao
a) existem 12 meninos Temos a seguinte regra de tres simples e direta:
Total (estudantes)
Meninos
100 x
20 12
Temos:
100 x
20
--=--=>
12
Assim concluimos que
0
x = 1200 20
=>
x = 60.
total de estudantes
e 60.
b) existem 32 meninas Se 20% sao meninos, entao 80% sao meninas. Assim, temos:
Meninas
Total (estudantes) 100 x 100 Temos: - x
80 32
= - - =>
t
x
3200 80
= - - - =>
x
=
80 32
40.
Assim concluimos que existem 40 estudantes no total.
EXERCICIOS PROPOSTOS
_
9. Determine 0 numero N nos casos seguintes:
e 15% de N e 24% de N
c) Ne 12% de 48 d) 20 N% de 80
a) 36
b) 6
e
e
e) 4,5 N% de 15 f) Ne 1,5% de 45
10. Ache 0 numero de habitantes de uma cidade nos casos a seguir: a) 42% dos habitantes sao do sexo masculino e 116000 do sexo feminino. b) os 312000 do sexo feminino correspondem a 39% do total.
11. Ao comprar uma mercadoria com 25% de desconto, economizei RS 18,50. Qual era 0 pre90 da mercadoria e quanta foi pago por ela?
Exemplo 4 Num certo mes uma telefonista recebeu R$ 600,00 de salario. No mes seguinte, seu salario foi reajustado em 30%, mas como foi descontado x% relativo as suas faltas, ela acabou recebendo apenas R$ 702,00. Determinar x. SolUfao
Se a telefonista naa tivesse faltada, teria recebido: R$ 600,00
+ 0,30
X
R$ 600,00 = R$ 780,00
o desconta referente as faltas foi, partanto: R$ 780,00 - R$ 702,00 = RS 78,00
224
A regra de tres simples e clireta resolve nosso problema:
Temos: 780,00 100,00
Total (R$)
Desconto (R$)
780,00 1 100,00
178~0
=
780 100
78,00
~--=
x
78,00 ~ x x
10,00
=
o desconto foi de 10%. Exemplo 5 Na venda de urn produto, urn comerciante desonesto cobrou de urn consumidor R$ 40,00, mas nao forneceu a devida nota fiscal. Dessa forma, 0 comerciante "embolsou"· os 18% desse valor, relativos ao ICMS (Imposto sobre Circula~ao de Mercadorias e Servi~os). Sabendo que o lucro do comerciante deveria ser de 25% sobre 0 custo da mercadoria, determinar: a) 0 valor do imposto sonegado b) qual foi 0 custo da mercadoria c) a porcentagem real de lucro do comerciante SolUfiio
a)
0
valor do imposto sonegado 0,18
o imposto devido era de:
X
R$ 40,00 = R$ 7,20
b) qual foi 0 custo da mercadoria Chamando 0 custo da mercadoria de C, temos: Lucro
Custo
Como
0
I 0,25· C I
+
C
imposto C
Venda
+
imposto
40,00
e de R$ 7,20, temos:
+ 0,25 . C + 7,20 = 40,00
~
1,25 . C
=
32,80
~
C
= 26,24
o custo foi de R$ 26,24. c) a porcentagem real de lucro do comerciante o lucro do comerciante deveria ser de:
R$ 32,80 - R$ 26,24 Quando ele sonegou
0
=
R$ 6,56
imposto ao nao fornecer a nota fiscal, seu lucro passou a ser de:
R$ 6,56 + R$ 7,20
=
R$ 13,76
Dessa forma temos a seguinte regra de tres simples e clireta: Sobre (em R$)
Lucrou (em RS)
26,24 1 100,00
113~6
Assim: 26,24 100,00
=
13,76 ~ 2624 x 100
=
13,76 ~ 2624 X x x
225
= 1.376,00 ~ x
= 52,44
o lucro do sonegador passou a ser de quase 52,44. Por isso, sempre ao comprar, exija nota fiscal, pois e com governo constr6i hospitais, escolas etc.
0
dinheiro dos impostos que
EXERCiclOS PROPOSTOS
0
_
12. Sabendo que 0 ICMS relativo a venda de certa mercadoria corresponde a 18% de seu prec;o, quanto um comerciante desonesto sonega de imposto ao vender a mercadoria por R$ 150,00 e nao emitir a respectiva nota fiscal? 13. Um comerciante, ap6s efetuar a venda de certa mercadoria, emitiu a devida nota fiscal. Sabendo que o ICMS devido corresponde a 18% sobre 0 valor da venda e que 0 imposto totalizou R 27,00, determine 0 prec;o da mercadoria vendida. 14. No mes de outubro um funcionario recebeu R$ 800,00. No mes seguinte 0 salario dele foi reajustado em 32%. Mas como houve um desconto de x% de vales de antecipac;6es de pagamento, 0 funcionario acabou recebendo a importancia de RS 992,64. Determine x. 15. Sobre uma conca de RS 54.000,00, vencida mas nao paga, 0 devedor foi multado em 20%. Ap6s certo tempo sem que houvesse 0 pagamento, devedor e credor chegaram a um acordo, com 0 credor oferecendo um desconto sobre 0 total da dfvida.
a) Quanto 0 devedor acabaria pagando se 0 desconto dado fosse de 5%? b) Qual seria a porcentagem do desconto se 0 devedor pagasse R$ 59.616,00? 16. Veja a tabela abaixo com os dados sobre os vencimentos de Antonio e Pedro num determinado meso
960,00
y%
RS 48,00
1.200,00
Determine: a) x % relativo as faltas de Antonio b) y % correspondente ao aumento de Pedro
17. Um comerciante decide fazer uma promoc;ao e reduz seus prec;os em 10%. Depois se arrepende e resolve remarcar os prec;os com um acrescimo de 10%. as novos prec;os sao maiores, menores ou iguais aos iniciais? Em que percentual? 18. Sabendo que 0 IPMF, "0 imposto do cheque", representava uma cobranc;a de 0,25% sobre 0 valor de cheques emitidos, determine a quantia relativa ao IPMF cobrada na emissao de um cheque no valor de R$ 8.000,00.
19. Sabendo que
0
IPMF relativo a um cheque foi de R$ 1.612,50, de quanta foi
0
cheque?
20. Quando voce descontava no banco um cheque no valor de R 120.000,00, voce pagava 0,25% sobre essa quantia de IPMF. Nessas condic;6es, qual e a porcentagem correspondente ao IPMF sobre o valor Ifquido recebido?
Exemplo 6 Num certo pais, a infla<;ao acumulada em 2 meses foi de 78,2%. Determinar: a) a infla<;ao do 2 Q mes, sabendo que a do 1 Q foi de 32%. b) a infla<;ao do 1 Q mes, sabendo que a do 2 Q foi de 35%.
226
Solufao
a) a inflar;:ao do 2 9 mes Chamando de x a inflar;:ao do 2 Q mes, temos: 1 9 mes
Mes padrao
I Do 1 Q mes para
100
I
132
178,2
com 32%
com x%
2 Q, houve um aumento de:
0
178,2 - 132
= 46,2
A regra de tres simples e direta resolve nosso problema:
Em
Aumento
132 100
46,2 x
Entao: 132 100
46,2
46,2 . 100 132
--=--~x
x
=
35
A inflar;:ao do 2 Q mes [oi, portanto, de 35%.
b) a inflar;:ao do 1 Q mes Chamando de x a inflar;:ao do 1 Q mes, temos: Mes padrao
I
100
l
I
Q
100
2 9 mes
mes
+x
100 + x + 0,35 . (100 + x)
com x%
com 35 %
Como a inflar;:ao acumulada foi de 78,2 %, temos: 100 + x + 0,35 . (100 + x) - 100 ~
1,35 . x
=
43,2
=
~
78,2 ~
x + 35 + 0,35 . x
=
78,2
~
x = 32
A inflar;:ao do 1 Q mes foi de 32%.
Exemplo 7 VOla academia de ginastica e freqiientada por 400 alunos, dos quais 20% sao homens. Depois de uma promor;:ao, 0 numero de alunas aumenta e a porcentagem de homens cai para ] 6%. Quantas mulheres comer;:aram a freqiientar a academia depois da promor;:ao?
227
"'"
::J Ol
~
a: .2
;0;
z
Solurao Frequentavam inicialmente a academia: 0,20 X 400 = 80 homens 0,80 X 400 = 320 mulheres Chamando de x 0 numero de mulheres que entraram depois da promo<;:ao, a situa<;:ao £leou assim: 80 homens 320 + x mulheres Total:
+x
400
Como 16% desse total sao homens e, como sabemos, existem 80 deles, temos: 0,16 . (400
+ x)
=
80
~
64
+ 0,16 . x
=
80
~
0,16 . x
=
16
~
x
=
100
Assim sendo, entraram 100 mulheres a mais.
EXERCICIOS PROPOSTOS 21. Num certo pais, a inflac;:ao nos ultimos 4 meses foi de 32%, 33%, 34% e 34%. Determine a inflac;:ao acumulada nesses 4 meses. 22. Num certo pais, a'inflac;:ao acumulada nos ultimos 3 meses foi de 86%. Determine: a) a inflac;:ao do 3Q mes, sabendo que a do 1Q foi de 20% e a do 2 Q , 25%. b) a inflac;:ao do 2Q mes, sabendo que a do 1Q foi de 20% e a do 3Q , 24%.
23. A figura mostra um tanque que contem 400 e de agua e 100 de 6leo, 0 qual, por ser menos dense que a agua, fica na parte de cima, e a agua no fundo, de modo que, abrindo-se a torneira, saira somente agua. Determine quantos Iitros de agua devem sair de tal forma que 0 61eo corresponda a 25% do total do Iiquido restante.
e
Agua
24. Na China, existem atualmente cerca de 750 ursos panda, especie em extinc;:ao. Desse total, 52% sao femeas e 0 restante, machos. Suponhamos que elas comecem a morrer, de tal modo que 0 numero de femeas restantes represente apenas 25% do total de animais sobreviventes. Determine: a) quantos sao os machos; b) quantas femeas morreram; c) quantas sobreviveram.
Ursa panda.
228
25. Urn comerciante colocou etiquetas em seus produtos, mostrando os prer;:os de venda, calculados com urn lucro de 25% sobre 0 custo. Desejando numa remarcar;:ao garantir urn lucro de 30% sobre o custo, determine 0 percentual de aumento nos prer;:os das mercadorias.
2. Juros Consideremos a seguinte questao: A imporrancia de R$ 600,00 e aplicada numa instituic;ao financeira a taxa de 6% ao mes (a.m.), durante 3 meses. Qual 0 montante apos esse tempo? Problemas desse tipo, assim como outros sobre aplicac;6es financeiras, descontos etc., sao muito comuns nos dias de hoje. Entendendo por juro 0 pagamento feito pela utilizac;ao do dinheiro aplicado, 0 problema dado e urn tipico problema de caIculo de juros. Existem duas formas de 0 problema ser encarado: a) as juros so serao acrescentados ao capital inicialmente aplicado apos 0 termino da aplicac;ao. Nessas condic;6es dizemos que estamos calculando juros simples. b) as juros serao incorporados ao capital apos cada periodo de tempo (no exemplo dado, o periodo de tempo e de 1 mes). Nessas condic;6es dizemos que estamos calculando juros compostos.
Juros simples o problema apresentado anteriormente, temos:
R$ 600,00 6% ao mes, ou 0,06 ao mes} Mesma unidade de tempo 3 meses
• capital aplicado • taxa % ao mes • tempo em meses Temos que: • apos • apos • apos
0 0
1 Q periodo, os juros serao: 0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00 2 Q periodo, os juros serao: R.$ 36,00 + R$ 36,00 = RS 72,00 3 Q periodo, os juros serao: R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00
Assim,
0
montante (capital mais rendimentos) sera de:
0
R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00 Vamos generalizar, deduzindo uma formula para calcular os juros simples. Sejam:
c = capital aplicado { it
= =
taxa % por periodo de tempo numero de periodos de tempo
Entao, temos: • • • •
apos apos apos apos
0 0 0 0
1 Q periodo, 0 total de juros sera: C· i; 2 Q periodo, 0 total de juros sera: C· i + C· i; 3 Q periodo, 0 total de juros sera: C . i + C· i + C· i; t-esimo periodo, 0 total de juros sera: C· i + C' i + ... + C· z. t parcelas
Assim, a formula qm:"ltt>rnece
0
total de juros simples e:
229
o montante final e de: Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as f6rmulas citadas. Calculando os juros simples, temos:
j = R$ 600,00 . 0,06' 3 = R$ 108,00
o
montante sera de: M = C
+ j = R$ 600,00 +
R$ 108,00
= R$ 708,00
Vejamos mais alguns exemplos. Exemplo 1 Vma pessoa aplica a ters;a parte do seu capital a 5% ao mes, a quarta parte a 8% ao mes e 0 restante a 6% ao meso No fim do mes recebe R$ 1.480,00 de rendimentos. Calcular 0 capital inicial. Solufao
Chamando de C
capital, temos:
0
•
C 3
foi aplicado a 5% a.m.
•
C 4
foi aplicado a 8% a.m.
Entao resta a ser aplicado (a 6% a.m.):
C __ C __ C=_1_2_'_C_-_4_'_C_-_3_'_C 3
5_'_C_
12
4
12
Assim sendo, ap6s 1 mes tem-se:
5·C -5- ' -C + -8- , -C + -6- . 100
3
100
4
100
12
=
1.480 00 '
Multiplicando os dois membros da equaS;ao anterior por 1 200, encontramos:
20· C + 24 . C + 30 . C
=
1.776.000,00
portanto:
C Assim, concluimos que
0
= 24.000,00
capital inicial era de R$ 24.000,00.
Exemplo 2 Determinar em quanto tempo urn capital quadruplicara a juros simples quando aplicado a 10% ao meso Solufao
Chamando de to numero de meses para que urn capital C quadruplique, temos que os juros produzidos sao 0 triplo do capital inicial, ou seja, j = 3 . C. Portanto:
j = C· i·
t =>
3, C = C· i'
t =>
3 . C = C, 0,10 .
t =>
o tempo necessario e de 30 meses, ou seja, dois anos e meio. 230
0,10 .
t
= 3
=>
t
= 30
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
26. Calcular os juros simples produzidos por um capital de RS 36,000,00 quando aplicado:
a) a 8% a,m, em 5 meses b) a 6,5% a,m, em 2 meses c) a 8% a,m" na terga parte de um ana
d) a 5,5% a,m, em meio ana e) a 20% ao ana em 1 ana f) a 0,5% ao dia em 18 dias
27. Um capital de R$ 60,000,00 foi aplicado a juros simples, Determine a taxa de aplicagao, sabendo que: a) b) c) d)
ele ele ele ele
rendeu R$ 12,000,00 em 2 meses, rendeu R$ 36,000,00 em 4 meses, produziu um montante de R$ 78,000,00 em 2 meses, rendeu R$ 1,200,00 em 2 dias,
28. Calcule 0 montan,te de um capital de R$ 6.400,00 aplicado a juros simples, nos casos seguintes:
a) depois de 6 meses, a 7,5% a,m, b) depois de um quarto de ano, a 5,2% a,m, c) depois de 8 dias, a 0,5% ao dia, 29. Calcule 0 tempo em que um capital de R$ 240,000,00 ficou aplicado a juros simples, de modo a:
a) b) c) d)
ter ter ter ter
rendido R$ 76,800,00, a 8% ao mes, rendido R$ 8,640,00, a 0,4% ao dia, duplicado, a 5% ao mes, produzido um montante de R$ 360,000,00, a 10% ao mes,
30. Determine 0 capital que, aplicado a juros simples:
a) rende R$ 12,240,00, a 8,5% ao mes, em 4 meses, b) rende R$ 48,000,00, a 30% ao ano, em 2 anos, c) produz um montante de R$ 79,200,00, a 0,4% ao dia, em 25 dias, 31. Um capital C, aplicado a juros simples, triplicou em 16 meses, A que taxa % ao mes foi aplicado? 32. Para que um capital, investido a juros simples, duplique a 10% a,m" ele deve ficar aplicado durante quanta tempo?
Juros compostos Quando estudamos juros simples, calculamos a montante produzido par R$ 600,00, aplicados a 6% a,m" depois de 3 meses, Obtivemos um montante final de R$ 708,00, No entanto e muito mais COmUlTI as aplica<;:6es serem feitas a juros compostos, au seja, apos cada pedodo de tempo, as juros sao integrados ao capital, passando tambem a render juras, como, par exemplo, nas cadernetas de poupan<;:a. Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos: • apos a 1 Q periodo (mes), a montante sera.:
1,06 . R$ 600,00
=
R$ 636,00
=
R$ 674,16
Q
• apos a 2 pedodo (mes), a montante sera.:
1,06' R$ 636,00 Q
• apos a 3 periodo (mes), a montante sed.: 1,06 . R$ 674,16 = R$ 714,61 Esse e a montante final, representado par M. Observe que esse montante e maiar do que a achado anteriormente, quando utilizamos juros simples.
231
Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma formula para juros compostos. Sejam: C
=
i
=
{ t M
=
capital inicial taxa % por perfodo de tempo numero de periodos de tempo montante final
=
Entao: • apos
0
1 Q periodo (mes),
0
montante sera: M 1 = C
• apos
0
2 Q periodo (mes),
0
montante sera: M2
~ M 2 = [C' (1
• apos
0
+
i)] . (1
+
Q
~ M 3 = [C'
(1
+
i)2] . (1
+
+
i) ~ M 2 = C' (1
3 periodo (mes),
0
montante sera: M3
i) ~ M 3 = C' (1
+
+ i·
=M + j
C
~
M 1 = C' (1 ~
M2 = M 1 • (1 + i)
=>
i· M2
~
M 3 = M2 • (1 + i)
~
i?;
= M2 + i)3.
0
valor Mt>
problema dado, temos:
0
M = R$ 600,00' (1 + 0,06)3
+ i);
i· M j
Procedendo de modo analogo, e fieil conc1uir que, apos t periodos de tempo, que indicaremos simplesmente por M, sera: I-M-=-C-'-(l-+-i)-t--'I Assim, resolvendo novamente
d.lculo de
0
~
M = R$ 600,00 . 1,191 016
~
M = R$ 714,61
Observa~o: na formula para 0 calculo de M aparecem quatro variaveis. Podemos encontrar qualquer uma delas, desde que se conher;:am as outras tres.
Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1 as juros produzidos pela caderneta de poupanr;:a sao juros compostos, pois, apos cada mes, os juros sao incorporados ao capital. Nessas condir;:6es, qual 0 montante produzido por R$ 720.000,00, em 4 meses, a 10% ao mes?
Solurao Temos: M
=
C' (1
+ i)t, em que:
{
~ : ~ 720.000,00 i
=
10% ou 0,1 ao mes}
Mesma unidade de tempo
t = 4 meses
Entao: M = R$ 720.000,00 . (1
+ 0,1)4
~ M = R$
720.000,00 . 1,4641 = R$ 1.054.152,00
o montante final sera de R$ 1.054.152,00. EXERCICIO PROPOSTO 33. A quantia de R$ 60.000,00 foi aplicada a juros compostos. Determine a) depois de 2 meses, a 8% a.m. b) depois de 4 meses, a 7% a.m.
0
montante obtido:
c) depois de 3 dias, a 0,2% ao dia. d) depois de um quarto de ano, a 10% ao mes .
232
Exemplo 2 Qual 0 capital que, aplicada em caderneta de poupan<;:a, produz um montante de R$ 41.674,50 em 3 meses, a 5% aa mes? Solurao Temas: M
=
C' (1 + i)t ~ C
=
(1
em que:
M
+ i) t
'
M = R$ 41.674,50 C =? {
i t
=
5% ou 0,05 ao mes}
Mesma unidade de tempo
= 3 meses
Entia: C
=
R$ 41.674,50 (1,05 )3
R$ 41.674,50 1,157625
=
R$ 36.000,00
o capital aplicada e R$ 36.000,00.
EXERCICIO PROPOSTO 34. Determine a) b) c) d)
produz produz produz produz
0
capital que, aplicado a juros compostos:
um montante de RS 13.996,80, em 2 meses, a 8% a.m. um montante de RS 224.972,80, em 3 meses, a 4% a.m. RS 5.730,48 de juros, em 3 meses, a 6% a.m. RS 480,48 de juros, em 2 dias, a 0,2% ao dia.
Exemplo 3 Determi.l1ar em quantas meses um capital de R$ 240.000,00 produz R$ 37.830,00 de rendimento, quando aplicada a juras campostas, a 5% ao meso Solurao Encontranda inicialmente a mantante final, temos:
= R$ 240.000,00 + R$ 37.830,00 = C' (1 + i)t, em que: M
Entia: M =
M
C { i t
R$ 277.830,00
= R$ 277.830,00 =
R$ 240.000,00
=
5% au 0,05 ao mes }
= ? meses
M esma urn'd a d e d e tempo
Assim:
~ (1 + 0,05/
=
R$ 277.830,00 R$ 240.000,00
Partanta: (1
+ 0,05)t = 1,15763 233
1,15763
Aplicando logaritmos nos dois membros, temos:
~
t· log (1,05) = log 1,157 63
log 1,15763 log 1,05
t =
0,06357 = 3 0,02119
o capital ficou aplicado durante 3 meses. Exemplo 4 Foram aplicados R$ 50.000,00 a juros compostos a 10% a.m. Determinar depois de quanta tempo essa quantia rendeu R$ 23.205,00. SolUfaO
Temos: M Entao:
=
C' (1
+ i)t e M
=
C
+ j, em que teo tempo em meses.
R$ 50.000,00' (1 + O,l)t = R$ 50.000,00 + R$ 23.205,00 ~ ~ 50.000' (l,l)t = 73.205,00 ~ (l,l)t = 1,464 1 Aplicando logaritmos nos dois membros, encontramos: ~
t· log 1,1 = log 1,4641
t =
log 1,4641 log 1,1
0,16557 0,04139
=
4
o tempo de aplica~ao foi de 4 meses. EXERCiclOS PROPOSTOS
_
35. Determine quanta tempo ticou aplicado um capital de RS 200.000,00 a juros compostos, nos seguintes casos: a) 0 mantante tai de R$ 292.820,00, a 10% a.m. b) a mantante toi de R$ 203.015,02, a 0,5% ao dia. 36. Determine a tempo de aplicac;:ao de um capital de R$ 500.000,00 a juros compostos, de modo que: a) a 8% a.m., renda juros de R$ 83.200,00. b) a 0,5% ao dia, renda juros de R$ 5.012,50.
Exemplo 5 A que taxa percentual ao mes foi aplicado, em caderneta de poupan~a, urn capital de R$ 300.000,00 para, na quarta parte do ano, produzir urn montante de R$ 347.287,50? SolUfaO
Como 0 problema pede a taxa percentual ao mes, deveremos trabalhar com meses. Como a quarta parte do ana equivale a 3 meses, temos:
M
=
M C
C' (1 + t·)t, em que {
=
0
R$ 347.287,50
= RS 300.000,00 , i = ? % ao mes t = 3 meses } Mesma unidade de tempo
Entao:
~ (1 + i)t
=
347.287,50 ~ (1 300.000,00
234
+ i)t
=
1,1576
tempo em
Aplicando logaritmos nos dois membros, temos: log [(1 + i)3] = log 1,157 6 ~ 3 . log (1 + i) ~ log (1 + i) ~ 0,021 2 ~ (1 + i) = 1,05
= ~
0,063 6 ~ i = 0,05
A taxa foi de 5% ao meso
EXERCiclO PROPOSTO 37. A que taxa devem ser aplicados RS 120.000,00 a juros compostos, de modo a: a) b) c) d)
produzir um montante de RS 175.692,00 em 4 meses? produzir um montante de RS 142.572,00 na sexta parte do ano? render R$ 17.388,00 de juros em 2 meses? render R$ 961,92 de juros em 2 dias?
RELEMBRANDO CONCEITOS Juros simples
Juros compostos
J=C·i·t M= C+ J
M = C· (1 + i)t
M= C+
J=
J = juros simples = capital aplicado t = numero de periodos de
C
C
i M
= =
_
tempo taxa % por periodo de tempo montante '
=
t =
i M
= =
J
juros produzidos capital inicial numero de periodos de tempo t
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 38. Determine: a) (4%)2 de 600
b) 4% de 600 2
c) (4% de 600) ao quadrado
39. 0 prec;:o do produto A e 65% do prec;:o do produto B, que representa 40% do prec;:o do produto C, que custa R$ 130.000,00. Qual 0 prec;:o do produto A?
a
velocidade constante de v km/h percorre a distancia desde a cidade A ate a cidade B em 10 horas. Em que percentual devera aumentar sua velocidade para fazer 0 mesmo percurso em 8 horas?
40. Um ciclista,
o
15
.c
0-
""~
(fl
.;.
.c c.
'"
N
41. Sobre 0 prec;:o etiquetado de certa mercadoria foram feitas tres remarcac;:oes sucessivas (para cima) de 10% cada uma. Determine 0 percentual da remarcac;:ao total sobre 0 prec;:o original marcado na etiqueta.
235
42. Se
0 prer;:o do combustivel foi reajustado duas vezes num certo mes, sendo 0 primeiro reajuste de 16% e 0 segundo, de 15%, determine 0 percentual do reajuste mensaI do prer;:o.
43. Quais das afirmar;:6es seguintes sao verdadeiras?
a) Ap6s 0 desconto de 15%, um produto passou a custar R$ 60.000,00. Seu prer;:o antes da remarcar;:ao era de RS 69.000,00. b) 20% de 40 €I 0 mesmo que 40% de 20. c) Se a inflar;:ao de um certo mes foi de 30% e a do mes seguinte, de 32%, a inflar;:ao acumulada foi de 62%. d) 35% de 80% €I 28%. e) 8% de 50% €I 0 mesmo que 40% de 10%.
44. Supondo a taxa de aplicar;:ao constante, assinale qual das opr;:6es seguintes €I mais vantajosa para a aplicar;:ao de RS 500.000,00. a) Durante 32 dias e receber de volta R$ 700.000,00. b) Durante 40 dias e receber de volta RS 740.000,00. 45. Para que um capital C, colocado a juros simples durante 2 meses, a 22% ao mes, produza 0 mesmo rendimento de quando aplicado a juros compostos, durante os 2 meses, qual deve ser a taxa % a.m. para a aplicar;:ao?
46. (Faap-SP) Uma certa loja faz a seguinte promor;:ao: "Com pre sua televisao hoje por R$ 142.805,00 e n6s Ihe devolveremos 0 dinheiro daqui a 4 meses". Se a taxa de inflar;:ao €I de 30% ao mes, qual 0 desconto que esta sendo oferecido? 47. A tabela seguinte mostra as varias faixas para desconto do Imposto de Renda (IR) na fonte de pagamento, para janeiro de 1994: Tabela para calculo do IR na fonte em janeiro
isento 15 26,6 35
Ate 642,80 De 642,81 ate 1.253,46 De 1.253,47 ate 11.570,40 De 11.570,41 ate 99.999,99
Determine a) b) c) d)
0
valor do IR a ser descontado na fonte de pagamento se
96,42 241,94 1.213,77
0
ganho da pessoa for:
de RS 350,00 de R$ 900,00 de R$ 1.500,00 Quanto recebera, ap6s descontado 0 IR, uma pessoa cujo salario €I de RS 780,00?
48. A devia a B a importancia de R$ 150.000,00 e efetuou
0 pagamento depositando a importancia na conta de B. No entanto, quando B sacou 0 dinheiro de sua conta, pagou 0,25% de IPMF. Assim sendo, para que B nao tenha side prejudicado, qual a quantia minima que A deveria depositar de modo que B sacasse livre os RS 150.000,00?
49. (Fuvest-SP) Um recipiente contem uma mistura de leite natural e de leite de soja, num total de 200 dos quais 25% sao de leite natural. Qual €I a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a essa mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural?
e,
50. (Vunesp) A diferenr;:a entre 0 prer;:o de venda anunciado de uma mercadoria e 0 prer;:o de custo €I igual a RS 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre 0 prer;:o anunciado, dara ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determine seu prer;:o de custo.
236
51. Na arrecadagao do IPVA (Imposto sobre Propriedade de Vefculos Automotivos) de 1994, 0 governo ofereceu para pagamento total antecipado (ate 14 de janeiro) um desconto de 32%. Para 0 pagamento total com vencimento para 15 de fevereiro, 0 governo retirou 0 desconto. a) Supondo que a taxa de aplicagao de dinheiro nesse perrodo fosse de 40% ao mes, seria mais vantajoso 0 pagamento antecipado com desconto ou 0 pagamento sem desconto? b) A partir de que taxa de aplicagao para 0 dinheiro 0 pagamento em 15 de fevereiro sem desconto seria mais vantajoso? (Resposta com 2 "casas" decimais.)
TESTES 52. (Unisinos-RS) A taxa de evasao escolar no final do 1Q grau brasileiro e uma das mais altas do mundo: aproximadamente 70%. 0 Brasil tem um dos mais altos rndices de analfabetismo, entre os parses subdesenvolvidos mais populosos. (/stoE, 20.10.93.) LONGE DAS AULAS
Faixa etaria
TOTAL
15 a 19
20 a 24
25 a 29
30 a 39
40 a 49
50 e mais
Populagao analfabeta
17.732.692
1.405.489
1.276.786
1.227.484
2.750.534
3.178.937
7.893.399
Consultando os dados da tabela, pode-se afirmar que, aproximadamente: a) b) c) d) e)
10,5% da populagao analfabeta esta na faixa etaria 20 a 24 anos. 20,3% da populagao analfabeta esta na faixa etaria 40 a 49 anos. 17,5% da populagao analfabeta esta na faixa etaria 30 a 39 anos. 6,3% da populagao analfabeta esta na faixa etaria 15 a 19 anos. 44,5% da populagao analfabeta tem 50 anos e mais.
53. (UFRS) Um negociante recebeu uma encomenda de 4,05 t de cafe torrado. Supondo que
0 cafe em grao perea 19% de seu peso na torrefagao, quantas toneladas de cafe em grao precisa 0 negociante torrar para atender exatamente encomenda?
a
a) 3,28
b) 4,00
c) 5,00
d) 6,00
e) 7,69
54. (Osec-SP) Uma pessoa tinha um total de x balas para distribuir. Numa primeira etapa, distribuiu 25% do total e, numa segunda, 40% do numero restante. Se sobraram 18 balas, 0 valor de x e: a) 34
b) 37
c) 38
d) 40
e) 45
55. (UFPI) A fabricagao de um produto numa empresa foi de 120000 toneladas em 1990 e de 145200 toneladas em 1992. 0 aumento anual medio, na fabricagao desse produto, alcangado pela empresa nesse perfodo foi: a) menor que 8% b) entre 8% e 11% c) entre 12% e 15%
d) entre 16% e 19% e) maior que 20%
56. Numa fila, onde comprava ingressos para uma final de campeonato de futebol, um torcedor comenta que vai gastar RS 73,00 com 2 ingressos para cadeiras numeradas e 5 para a arquibancada, enquanto 0 companheiro ao lade vai pagar R$ 74,00 por 4 ingressos para cadeiras numeradas e 2 para a arquibancada. Podemos afirmar, corretamente, que 0 prego do ingresso para arquibancada e: a) R' 16,00 b) R$ 7,00 c) R$ 8,00
d) RS 9,00 e) R$ 10,00
237
57. (Unifor-CE) Dos candidatos inscritos num concurso vestibular, sabe-se que 0 numero de mulheres esta para 0 de homens na razao
11.
A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso e:
b) 42,5%
a) 45%
c) 40%
d) 39,5%
e) 38%
58. (UFSE) Examine a tabela abaixo, que apresenta a variavao percentual do prevo da cesta basica em relavao a semana anterior.
I
SEMANA 3~
semana de outubro
+8%
4~
semana de outubro
+5%
Nessas duas semanas, 0 aumento percentual em relavao a) 13,4%
VARIA<;Ao
b) 12,0%
a 2~ semana de outubro foi de:
c) 9,8%
d) 4,0%
e) 1,12%
59. (Unifor-CE) Um grupo de amigos comprou um presente por RS 630,00. Pretendiam dividir essa quantia entre si, em partes iguais. Como 2 membros do grupo nao puderam cumprir 0 compromisso, cada um dos restantes teve sua parcela aumentada de RS 36,00. 0 numero de pessoas do grupo era, inicialmente: a) 12
b) 15
9
c)
e) 7
d) 8
60. (Fuvest-SP) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condivoes:
a
vista com 30% de desconto sobre 0 prevo de tabela ou no cartao de credito com 10% de acrescimo sobre 0 prevo de tabela. Um artigo que vista sai por RS 7.000,00, no cartao saira por:
a
e) RS 7.700,00
c) RS 10.010,00 d) R 9.800,00
a) RS 13.000,00 b) RS 11.000,00
61. (Mogi-SP) Um comerciante antes de colocar em oferta um determinado produto aumenta 0 seu prevo em 20%. Se 0 desconto proposto e tambem de 20%, 0 comprador pagara pelo produto: d) 0 prevo inicial com um desconto de 4% e) 0 prevo inicial com um desconto de 24%
a) 0 prevo inicial b) 0 prevo inicial com um aumento de 20% c) 0 prevo inicial com um aumento de 4%
62. (Osec-SP) Uma loja de departamentos instrui seus vendedores para calcular 0 prevo da mercadoria, pelo cartao de credito, dividindo 0 prevo vista por 0,80. Dessa forma, podemos concluir que 0 valor da compra sofreu:
a
a) reduvao de 20% b) acrescimo de 20%
c) acrescimo de 80% d) acrescimo de 25%
e) reduvao de 25%
63. Uma loja vendia camisetas com acrescimo de 50% sobre 0 custo. Como as vendas cafram, a loja ofereceu 20% de desconto no prevo de venda, para pagamento a vista, a RS 12,00 a unidade. Se a loja deseja lucrar RS 100,00 com as vendas vista, devera vender:
a
a) 50 camisetas b) 35 camisetas
c) 22 camisetas d) 10 camisetas
e) 15 camisetas
64. (Mackenzie-SP) 0 prevo de compra de um certo produto ex; se for vendido por k, havera, em relavao a x, um prejufzo de 20%. Entao, se for vendido por 3k, havera, em relavao a x, um lucro de: a) 40%
b) 140%
c) 60%
d) 160%
e) 240%
65. (UFPI) Um usuario de cartao de credito paga parte de sua dfvida num determinado mes, deixando RS 12.500,00 para serem pagos no vencimento seguinte. Trinta dias ap6s, ele paga RS 18.125,00. A taxa mensal de juros cobrada pela administradora do cartao foi de: a) 30% ou menos b) 31% a 35%
c) 36% a 40% d) 41% a 45%
238
e) 46% ou mais
Capitulo
I I.
Trigonometria no triangulo retangulo
Introdu~ao
No 1 Q grau, ja estudamos as relac;:oes entre os lados, entre os angulos e entre lados e angulos de um triangulo. Neste capitulo vamos rever algumas dessas relac;:oes e aprender outras novas, para que, com esses conhecimentos e outros a serem estudados, possamos resolver problemas de aplicac;:ao mais complexos, como 0 da situac;:ao a seguir. Imagine por exemplo que numa propriedade rural esteja sendo instalada uma rede de energia eletrica. Para a ligac;:ao entre dois postes quaisquer, 0 eletricista necessita saber a distancia entre eles a fim de calcular a metragem de fio a ser utilizada. Num determinado trecho da propriedade, passa um pequeno rio, e a medic;:ao direta da distancia entre dois postes A e Be impossive!. Veja a ilustrac;:ao:
Como 0 eleu-icista calculara essa distancia? No final deste capitulo, voce podera ajuda-lo a solucionar
239
0
problema.
2. Revendo conceitos ja estudados sobre triangulos retangulos c
Vamos relembrar agora algumas rela~6es importantes entre as medidas dos lados de um triingulo retangulo. Essas rela~6es foram vistas quando voce eursou a sa serie do 1 Q grau. Seja- 0 triingulo retangulo ABC (reto em 1\ C ) e CD a altura relativa a hipotenusa.
a
b h
Ak----
m
n
_~D_ _
Observa~o: nas senten~as
a seguir, quando falarmos em eatetos, hipotenusa, proje~ao e altura, estaremos nos referindo as suas medidas. Com base na semelhanf
afirma~6es:
• Cada eateto e media proporeional entre a hipotenusa e sua proje~ao ortogonal sobre ela, ou seja:
I b2 =
C •
m
I
I a2 =
e
C •
n
I
• A altura relativa a hipotenusa e media proporeional entre os dois segmentos que ela determina na hipotenusa, ou seja:
• 0 produto dos eatetos e igual ao produto da hipotenusa pela altura, ou seja:
• Teorema de Pitagoras o quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos eatetos, ou seja: (aplieado no D. ABC) (aplieado no D.ACD) (aplieado no D. BCD) Fa~amos
agora um problema de
apliea~ao.
Exemplo Um dos eatetos de um triangulo retingulo mede 12 em e a hipotenusa mede 20 em. Determinar quanto mede, em em, 0 outro eateto, a altura relativa a hipotenusa e os segmentos determinados na hipotenusa, pela altura. c
Dados
Solurao
{b = 2012 emem C
a
Aehar L..-----"'---.:.L..:..L---"-----------'>.B
240
{
=
a=~ h=~
m= ? n=?
Aplicando
0
teorema de Pitagoras no triangulo rerangulo ABC, temos a2
EntIo a2 + 144 = 400 Como c· n Temos: m
= a2
+n=
=>
=>
a2
20 . n m
C =>
= 400 - 144
= 256
=>
n =
+ 12,8 = 20
=>
a2 256 20 =>
m
= 256 =>
a = 16. 128 - => n 10
+
= c2 .
b2
=>
n=
= 20 - 12,8
=>
m
= 128. '
= 7,2.
4
Como c· h
= a . b, temos: 20 . h = 16 . 12
=>
h
=
,l-O"12
A'O
=>
h
=
48 5
=>
h
=
9,6.
5
EXERCICIOS PROPOSTOS
.
1. Determine 0 valor de x, ye z nos triangulos abaixo: a)
c)
Z
m
4
Z
16
x
~~
Z
f)
L1i L1i x
..
y
25
Y.~
d)
b)
x
~~
Lh x
e)
_
x+4
~.15
x+2
2. Se a diagonal de um quadrado mede L, quanta mede: a) seu lado?
b) seu perfmetro?
3. 0 lado de um triangulo eqOilatero mede L. Quando mede sua altura?
4. A altura de um triangulo eqOilatero mede h. Quanto mede seu lado? 5. Num triangulo retangulo a hipotenusa mede 3 cm a mais que 0 maior cateto e este mede 3 cm a mais que 0 menor cateto. Quanto mede cada um dos lados do triangulo?
6. Um observador esta a 120 m de distancia do topo de uma torre. Quando ele anda 42 m em direyao ao pe da torre, sua distancia ao topo passa a ser 90 m. Qual a altura da torre?
3. Aprendendo novas conceitos Seja
0
triangulo rerangulo OMP, reta em M. p
x O F ' - - - - - - - - - -.....M
241
1\
Seja x a medida do angulo MOP. Podemos estabelecer entre as medidas de seus lados as seguintes razoes: Sena Seno de x
sa. Indicando temos:
e a razao entre a medida do lado oposto ao angulo 0
1\
0 e a medida da hipotenu-
sena de x por sen x e considerando OP como unidade de comprimento,
sen x = MP OP
= MP = MP 1
Cassena Cosseno de x e a razao entre a medida do cateto adjacente ao angulo hipotenusa. Indicando 0 cassena de x por cas x, temos:
cos x
1\
o
e a medida da
= OM = OM = OM ~ cos x = OM 1
OP
Tangente Tangente de x e a razao entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao angu1\ 10 O. Indicando a tangente de x por tg x, temos:
MP tgx= OM A essas razoes damos 0 nome de razoes triganametricas. Vejamos novan1ente a figura: p
sen x
OL------------'M
cos x
Observas:aa: com a finalidade de facilitar a memorizac;ao, ao falarmos em hipotenusa e em catetos estaremos nos referindo as suas medidas. Desse modo, temos:
sen x
=
cos x =
tg x =
cateto oposto a x hipotenusa cateto adjacente a x hipotenusa cateto oposto a x
cateto adjacente a x
Exempla 1\ Em urn triangulo retangulo ABC (B e reto) sabe-se que a o seno, 0 cosseno e a tangente do menor de seus angulos.
242
=4
em e b = 7 em. Deterrrunar
SolUfao c
= 4 em
Q
0:
=?
AL.--------~ B
c =?
Achamos a medida do lado c aplicando a teorema de Pitagoras:
Como em um triangulo qualquer, ao menor lado op6e-se a menor angulo, entao a meno[ lado mede a, pais 4 <
,/33. 1\
Par quest6es didaticas, sendo ex a medida do angulo A , indicaremos, par exemplo, sen ex simplesmente par sen A. Assim: sen A
=
cos A
=
tgA
a b
=>
sen A
=
4cm 7em
c b
=>
cos A
=
,33.cm 7cm
-
a c
=
=>
tg A
=
4cm
ill em
sen A
=>
=>
=
cos A
4 7 =
,33 7
--
,--
=>
tg A
=
4 ,33
~
au tg A
4\33 33
=
EXERCICIOS PROPOSTOS 7. Determine 0 seno, 0 eosseno e a tangente de cad a um dos angulos agudos de um triangulo ABC, nos seguintes casos: a)
c)
c
'v'
gem
-------"B
AL-----'1'2-cm,-----------' B
C
8. Determine 0 seno, 0 eosseno e a tangente do maior angulo agudo de um triangulo ABC, onde a, be c sao as medidas dos seus lados, nos seguintes easos: a) a b) a
= 4 em, =
b
4 em, b
= 8 em
1\
e 0 angulo C 1\
=
8 em e 0 angulo B
e reto. e reto. 243
9. 0 perfmetro de um triangulo retangulo mede 264 mea hipotenusa mede 110 m. Qual
0
seno do
menor angulo agudo desse triangulo retangulo? A
.
10. Num triangulo retangulo ABC, reto em B, sabe-se que a hipotenusa mede 27,5 em e que sen A = 0,6. Determine quanta mede cada cateto desse triangulo. A
11. Um triangulo retangulo ABC e reto em B. Sabe-se que tg A = 1 e que um dos catetos mede 15 em. Ache 0 perfmetro do triangulo.
4. Propriedades e rela~oes do seno, do cosseno e da tangente de urn angulo agudo de urn triangulo retangulo c
Veremos, em seguida, algumas rela\=oes muito importantes entre as razoes trigonometricas estudadas. Observe 0 triangulo rerangulo ABC da figura ao lado.
A ""-------.J.
.,----
---'--'
~ Temos: sen A = !!- e cos C = !!-. (Deu a mesma coisa!) b b
Temos ainda: sen C
=
~ .!.- e cos A = .!.-. (Deu a mesma coisa!) b
b A
A
Entao, notando que a soma das medidas de A e C e 90° (ou seja, eles sao complementares), podemos tirar uma conclusao importante: Se as medidas de dois angulos somam 90°, outro.
0
seno de um deles e igual ao cosseno do
EXERCICIOS PROPOSTOS
...
_
12. Nas figuras seguintes, determine 0 que se pede: a) sen C, sendo dado cos B =
b) cos 48°, sendo dado
~
c) cos (2x), sendo dado sen x = 0,5.
sen B = 0,2831.
8
c
c B
AL:J·'--------------"'-B
A B
244
13. Determine quanta vale: a) cos (90° - 32°), sendo sen 32° = 0,5299. b) sen (90° - 16°), sendo cos 16° = 0,961 3. c) sen 19°, sendo cos 71 ° = 0,3256.
Calculemos agora sen 2 A + cos 2 A.
0
d) cos (18°30'), sendo sen (71°30') = 0,9483. e) cos x, sendo sen (90° - x) = 0,7236. I) cos (90° - x), sendo sen x = 0,1928.
valor da expressao (sen A)2
Como sen A = !!- e cos A = b 2
sen A
+ (cos A?, a qual tambem indicamos por
C temos b ':
+ cos 2 A
=
(
:
y+ ( ~ y
Mas a 2 + c2 = b2 pelo teorema de Pita.goras. Portanto:
b/l
fji 1\
Observe que esse resultado nao depende do angulo A. 1sso significa que, se procedermos 1\
de modo analogo, teremos para
0
angulo C que sen 2 C
+ cos 2 C
=
1. Entao, concluimos:
Se x e a medida de urn dos angulos agudos de urn triangulo redngulo, temos: sen 2 x Observa~ao:
+ cos2
X =
1
voce vera mais adiante que a relar;:ao acima e verdadeira para qualquer angulo. 1\
Calculemos agora
0
Temos que: tg A
=
valor da tangente de urn dos angulos agudos, por exemplo,
0
angulo A.
a~
C
a
Notemos que:
sen A cosA
=
_b_ ~ C
sen A =!!-. (Deu a mesma coisa!) cos A c
b Entao: tg A
=
sen A cos A
Verifique, como exerdcio, que Resumindo, vamos guardar:
0
mesmo ocone ao calcular tg C.
Se x e a medida de urn dos angulos agudos de urn triangulo retangulo, entao: tg x Observa~ao:
=
sen x cos x
voce vera mais adiante que essa relar;:ao e verdadeira tambern para outros
angulos. Vejamos urn exemplo de aplicar;:ao.
245
Exemplo Se a e ~ sao as medidas de dois angulos agudos de um triangu[o rerangulo e sen a = determinar sen ~, cos ~, cos a, tg a e tg ~.
Solut;iio Como a +
~
= 90°, temos que sen a = cos
Como sen2 a =>
cos 2 a =
+ cos 2a = 1 8 9
=>
Sendo cos a = sen
~,
~
~Sl
temos que sen
=>
entao: cos
(
~ )2
cos a =
2,2 3
cos 2 a = 1 -
=>
cos a =
~,
=>
~
1
3'
= 1 3
cos 2 a = 1 -
1 9
2,2 3
~ =
Calculando as tangentes, temos:
1 sena tg a = - - cos a
tg
Q
t-'
=
sen ~ cos ~
=>
=>
tg a =
tg
~'
-----'~~
2\/2 A'
~ =
1
=>
tg a = -------=-- ou
=>
tg
2,2
~ =
~
2\ 2
Observa~ao: lembrando que em qualquer triangulo rerangulo a hipotenusa lados, concluimos:
o<
e0
maior dos
Para 0° < a < 90° temos: sen a < 1, 0 < cos a < 1 e tg a > 0
EXERCICIO PROPOSTO 14. Sendo
Ct
e [3 as medidas dos angulos agudos de um triangulo retangulo, determine:
a) cos
Ct,
sen [3, cos [3, tg
Ct
e tg [3, sabendo que sen
b) sen
Ct,
cos
Ct,
Ct
e tg [3, sabendo que cos [3 =
c) sen
Ct,
cos
Ct
sen [3, tg e tg
Ct,
sabendo que sen [3 =
Ct
=
1 2 .
~
s. Como calcular os valores das razoes trigonometricas Os valores do seno, do cosseno e da tangente podem ser determinados utilizando uma calculadora cientifica ou fazendo usa de tabelas, chamadas tabuas.
246
No entanto, para alguns angulos, esses valores podem ser determinados facilmente, conforme veremos em seguida. Q
a) Angulo de 45° Consideremos urn quadrado cujo lade mede a unidades. 0 teorema de Pitagoras nos fornece a diagonal d:
a + a = d 2
2
2
=>
2
d = 2a
2
=>
d=
W\
,
cos 45° =
a a
2 .
,'r14-r1°I
I B
A
sen 45° =
1 \2
=>
\2 sen 45° = - 2
=>
cos 45° =
1 \2
=>
cos 45° =
a'\2
Q
,(
=>
wv2 --;=-
'" ,( 'r
c;- ,
Q
Entao, no triangulo redngulo ABC, temos: sen 45° =
,(
\2 2
--
,2
tg 45° =
sen 45°
--
=>
cos 45°
tg 45° = -----l.-
=>
,2 -2
tg 45° = 1
E importante observar que esses valores nao dependem do valor de a. b) Angulo de 60° Seja urn triangulo equilatero cujo lade mede a unidades (ver figura). Como todo triangulo eqiiilatero e tamb6n eqLiiangulo, cada urn dos seus angulos mede 60°. Trar;:ando a altura CH, temos que, sendo o triangulo eqiiilatero, ela sera tambem -
•c h=~ 2
Q
1\
mediana de AB e bissetriz de C. A medida da altura (h = ?) e achada aplicando 0 teorema de Pitagoras no triangulo retangulo AHC:
=>
A
3a 2 4
h2
=
=>
sen 60°
--.
H
Entao: h
Desse modo, temos:
sen 60°
=
=>
a
sen 60° =
a
cos 60°
=
~ a
1
=>
cos 60°
=
a 2d
=>
cos 60°
1
247
=
=
1 2
=
Q
2"
2
B
-J3 sen 60°
_2_ ~ tg 60° = "\ 3 ~ tg 60° = tg 60° = 1 cos 60° 2 Novamente obtivemos valores que nao dependem do valor de a. c) Angulo de 30° Como 30° + 60° = 90°, temos:
sen 30°
= cos 60°
~
sen 30°
cos 30°
= sen 60°
~
cos 30° =
tg 30°
=
sen 30° cos 30°
=
1
2
2 1 _2_ "\3 -2 -
~
tg 30°
=
~
tg 30°
=
1 "\3
OLl
"\3 3
--
Outra vez obtivemos valores que nao dependem do valor de a. Isso e muito importante, pois os resultados serao os mesmos independentemente do tamanho das figuras. Vamos guardar bem os dados da tabela abaixo, na qual se encontra um resumo de todos os valores encontrados.
1 2
--
"\3 2
-2
"\3
1
-
"\2 2
"\2
--
--
3
Se voce lembrar que
-.L 2
eo mesmo que
"\3 2
--
-
1 2
"\3
2L, fica mais facil 2
memorizar a tabela acima.
Vamos agora resolver alguns problemas praticos de aplicas:ao. Exemplo 1 Um foguete e lans:ado a 200 mis, segundo um angulo de inclinas:ao de 60° (ver figura). Determinar a altura do foguete ap6s 4 s, supondo a trajet6ria retilinea e a velocidade constante. SolUfiio
Ap6s 4 s ele percorre 4 . (200 m)
=
800 m.
248
,f
:'-=----- Trajetoria do foguete
," ,
,, ,
,, ,,
,
~/
:
'0~ ' "
,I
,
:-=----- Altura x , ,, , Chao
Temos que: A altura
x 800
=
sen 60°
=>
x = 800. ,3 2
x
=>
= 692,8
e aproximadamente 692,8 m.
Exemplo 2 Suponha que, quando 0 foguete do exemplo 1 estiver a 750 m de altura, uma pessoa, do chao, veja-o exatamente no prumo. a) A que disrancia essa pessoa esra do ponto de lanc;:amento? b) Quantos metros 0 foguete percorreu?
Solufao
f/ f
I
'
! ,"
y:, 750 m
,
,
x
a) Temos que: 750 x A disrancia
=
tg 600
=>
'3
750 x
=>
x =
750
,3
e de aproximadamente 433 m. 249
=>
x = 433
b) 0 foguete percorreu y m, em que:
750 y
= sen 60°
~
y
= 750 \3 2
~
y = 866 m
o foguete percorreu aproximadamente 866 m. Exemplo 3 Uma pessoa esti na margem de urn rio, onde existem duas arvores (B e C na figura). Na outra margem, em frente a B, existe outra arvore A, vista de C segundo urn angulo de 30°, com relas;ao a B. Se a disrancia de B aCe 150 m, qual e a largura do rio, nesse trecho?
Solurao
A
x
Temos:
x
150
=
tg 30° ~ x
c
150m
B
=
150 .
1 d
=> X
= 86,7
A largura do rio e aproximadamente 86,7 m.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
15. Em Lim triangulo retangulo um angulo mede 30° e 0 lade oposto a esse angulo mede 120 m. Calcule quanta mede cada um dos outros lados. 16. A hipotenusa de um triangulo retangulo mede 60 meum dos seus angulos mede 60°. Determine 0 perfmetro desse triangulo.
17. 0 menor cateto de um triangulo retangulo mede 15 cm eo maior dos angulos agudos mede 60°. Ache a hipotenusa. 18. Num triangulo retangulo, um angulo agudo mede a metade do outro. 0 menor cateto mede 25 m. Determine a medida de cada um dos outros lados.
250
19. Um aviao esta a 500 m de altura, quando dele se ve a cabeceira da pista de pouso segundo um angu· 10 de declive de 30°. A que distancia 0 aviao esta da cabeceira da pista?
"'l!':::,::':J;;:'-----------------------------------------
500 m
L---..---
r----
••••• Cabeceira da pista
.....- - - - ' - - - - - - - - - - -Pista --,
--~-~---
20. Um helicoptero e um carro da polfcia perseguem um carro de bandidos. 0 helicoptero esta a 250 m de altura; 0 carro da polfcia esta bem abaixo do helicoptero (no prumo). Do helicoptero 0 carro de bandidos e avistado segundo um angulo de 60°. Qual e a distancia entre 0 carro da polfcia e 0 dos bandidos? ", H
'"
250 m
.......... _ P
- ..
: B
Vimos ate aqui como trabalhar com as razoes trigonometricas de apenas alguns angulos particulares: 30°,45° e 60°. Veremos em seguida como calcular as razoes trigonometricas de urn angulo agudo qualquer. Comentamos anteriormente que, para fazer isso, poderiamos utilizar uma calculadora cientifica ou uma tabela de dados, tabela essa que e chamada de t
251
para encontrar 0 cosseno do angulo que esta no visor; cos- l para encontrar 0 angulo cujo cosseno esta mostrado no visor;
COS {
tan para encantrar a tangente do angulo que esta no visor; { tan- l para encontrar 0 angulo cuja tangente esta mostrada no visor. Exemplo 1 Calcular sen 42°. Solufao
A tabela seguinte esclarece as etapas a serem executadas.
I
Dado
I
Calcular
Urn angulo que mede 42°.
Etapas
I
1. Posicione 0 "modo" em graus (DEG). 2. Digite 42. 3. Pressione sin.
Resultado Aproximadamente 0,6691.
Observa~ao: para 0 calculo de cos 42°, por exemplo, 0 procedimento e 0 mesmo, apenas pressionando a tecla cos no item 3 das etapas do calculo. Se voce tern uma calculadora cientifica, fa~a essa operac;:ao como exerdcio. A resposta e 0,743 1 aproximadamente.
Exemplo 2 1\
Sendo A urn angulo agudo de urn triangulo retangulo tal que cas A
=
0,829 0, determinar
1\
quantos graus mede
0
angulo A.
Solufao
Ainda com a mesma calculadora, construimos a tabela:
I
Dado
I
Calclllar
Etapas
I
Rcsultado
1\
Urn angulo A cujo casseno
e 0,829 O.
Qllantos graus
1. Posicione 0 "modo"
Aproximadamente
1\
mede
0
angulo A .
em graus (DEG). 2. Digite 0,829 O. 3. Pressione COS-I.
34°.
Observa~ao: para 0 calculo do angulo cujo seno fosse 0,829 0, por exemplo, 0 procedimento e 0 mesmo, apenas pressionando a tecla sin- l no item 3 das etapas do calculo. Se "oce tern uma calculadora cientifica, fac;:a, como exerdcio, essa operac;:ao. A resposta sera aproximadamente 56°.
Exemplo 3 1\ Num triangulo retangulo ABC, A mede 23°. Deterrninar tg A. Solufao
Ainda com a mesma calculadora, construimos a tabela da pagina seguinte.
252
I
Dado
I
Calcular
Um angulo que mede 23°.
I
Etapas
1. Posicione 0 "modo" em graus (DEG). 2. Digite 23. 3. Pressione tan.
Resultado Aproximadamente 0,4245.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
(Somente para quem possuir uma calculadora cientffica. Dar a resposta com 4 "casas" decimais.) 21. Calcule: a) sen 33°
b) cos 21°
c) tg 18°
22. Sendo ABC urn trianguio retangulo em B, determine: a) sen A, no caso de A medir 65°. b) cos C, no caso de C medir 72°. c) tg A, no caso de A medir 4JO. A
A
23. Sendo A um angulo agudo de um triangulo retangulo, determine quantos graus mede A, no caso de: a) sen A = 0,5878
b) cos A = 0,3746
c) tg A = 1,4281
b) Calculo das razoes trigonomerricas utilizando a tabua de senos e cossenos Bem, agora que voce viu que "e moleza" trabalhar com as razoes trigonometricas quando temos em maos uma calculadora cientifica, veremos como operar no caso de nao podermos contar com esse recurso. Para isso, necessitamos da seguinte tabua de senos e cossenos, na qual aparecem os senos e os cossenos dos angulos de 1° a 45°. Tabua de senos e cossenos
I Cosseno IAngulo I
I Cosseno
Scno
1° 2° 3° 4° 5°
0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872
0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962
16° 17° 18° 19° 20°
0,2756 0,2924 0,309 0,3256 0,342
0,9613 0,9563 0,9511 0,9455 0,9397
31° 32° 33° 34° 35°
0,515 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736
0,8572 0,848 0,8387 0,829 0,8192
6° 7° 8° 9° 10°
0,1045 0,121 9 0,1392 0,1564 0,173 6
0,9945 0,992 5 0,9903 0,9877 0,9848
21 ° 22° 23° 24° 25°
0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226
0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063
36° 3r 38° 39° 40°
0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428
0,809 0,7986 0,788 0,777 1 0,766
llo
0,1908 0,2079 0,225 0,2419 0,2588
0,9816 0,978 1 0,9744 0,9703 0,9659
26° 27° 28° 29° 30°
0,4384 0,454 0,4695 0,4848 0,500
0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 0,866
41° 42° 43° 44° 45°
0,6561 0,6691 0,682 0,6947 0,7071
0,7547 0,7431 0,7314 0,7193 0,7071
12° 13° 14° 15°
°
Scno
I Cosscno IAngulol
Anguloj
° °
° °
253
°
Scno
°
°
° ° ° ° °
Que tal fazer no seu caderno uma tibua mais completa do que essa, na qual aparecesse tambem uma coluna para a tangente? E s6 dividir 0 valor do sene pelo do cosseno... Vamos aprender a utilizi-Ia, refazendo inicialmente os tres exemplos do item anterior. a) Calcular sen 42°. 1\ b) Dado cos A = 0,829 0, achar quantos graus mede A. c) Calcular tg 23°.
Solurao a) Calcular sen 42°. Procuramos na tibua a linha correspondente ao angulo de 42° e, na coluna correspondente ao seno, encontramos 0 valor 0,669 l. 1\
b) Achar quantos graus mede A, sendo cos A = 0,8290. Procuramos nas colunas do cosseno a valor 0,829 0. Esse valor corresponde ao angulo de 34°. c) Calcular tg 23°. Veja que na tibua que fornecemos nao existe coluna referente possuem essa coluna). No entanto temos que:
a tangente (hi
Buscando na tibua os valores de sen 23° e cos 23°, encontramos sen 23° cos 23° = 0,9205. Efetuando os cilculos, obtemos tg 23 = 0,4244.
=
tabuas que
0,3907 e
Observe que, nesses tres exerdcios, nao tivemos muito trabalho, pois os valores procurados estavam na tabua. Mas isso nem sempre ocorre, como mostram os exemplos seguintes. Exemplol Calcular: a) sen 71 ° b) cos 50°
Solurao a) Calcular sen 71°. o angulo de 71 ° nao consta em nossa tibua, pois ela vai s6 ate 45°. Mas veja: sen 71 ° Entao, como cos 19°
= cos (90° - 71°) = cos 19° (Esse valor esti na tabua!) =
0,9455, temos que sen 71 °
=
0,9455.
b) Calcular cos 50°. o angulo de 50° tambem nao consta em nossa tibua, mas: cos 50° Entao, como sen 40°
= =
sen (90° - 50°)
=
sen 40° (Esse valor esti na tibua!)
0,6428, temos que cos 50°
=
0,6428.
EXERCiclOS PROPOSTOS 24. Utilizando a tabua de senos e cossenos, calcule: a) sen 39°
b) cos 16°
c) tg 29°
b) cos 85°
c) tg 4JO
25. Calcule: a) sen 48°
254
26. Determine 0 valor de N nos seguintes casos: sen 30° + sen 40° a) N = ------,-----,--,---3· cos 12°
2 . sen 54° - 3 . cos 60° 2· sen 30°
b) N =
Exemplo 2 Calcular sen 18°20'. SolUfao
Esse valor nao esta em nossa tabua, mas 0 angulo de 18°20' esta "entre" 18° e 19°. Observe na tabua, na coluna dos senos, que, a medida que 0 angulo cresce, 0 valor do sene tambem cresce. Dessa forma, obteremos llma razoavel aproximac;:ao se utilizarmos uma regra de tn~s simples. Vejamos: sen 18°
°
= 0,309 e sen 19° = 0,3256
Assim, para um acrescimo de 1 0, ou seja, 60 no angulo, houve um aumento nos senos de 0,3256 - 0,3090, ou seja, 0,0166. Entao: I
Aumento no seno
Aumento no angulo 60' ; 20'
0,0166 x
Assim: 0,0166 x
60 20 portanto
0
~
x
= 0,0055
valor de sen 18°20' sera aproximadamente 0,309
°+
0,005 5, ou seja:
sen 18°20' = 0,3145
EXERCICIO PROPOSTO 27. Calcule: a) sen 35°30' b) sen 60°40'
Exemplo 3 Calcular cos 30°40' . SolUfao
Esse angulo nao consta na tabua, mas esta "entre" 30° e 31°. Observe na tibua que, a medida que 0 angulo cresce, 0 valor do cosseno diminui. Procedendo de modo analogo ao do exemplo 2, temos: cos 30°
= 0,866
°
e cos 31 °
°-
= 0,8572
Dessa forma, para um aumento de 1 0, ou seja, 60' no angulo, houve um decrescimo no seno de 0,866 0,8572, ou seja, 0,008 8.
255
cas-
Enhlo: Aumento no angulo
Diminui~ao
60' , 40'
no cosseno
0,0088 x
Dessa forma temos: 60 40
0,0088 x
~
x
=
0,0059
portanto cos 30°40' sera aproximadamente 0,8660 - 0,0059, ou seja: cos 30°40' = 0,8601
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
28. Calcule: a) cos 42°30'
b) cos 30°20'
29. Calcule: b) sen 10°20'
a) tg 25°30'
+ cos
10°20'
Exemplo 4 No inicio deste capitulo vimos 0 problema de urn eletricista que necessitava calcular a distancia entre dois postes, mas a medic;ao direta era impossivel, pois entre os postes passava urn rio. Vamos rever a figura apresentada anteriormente:
/-?--A
Com 0 que estudamos ate aqui, ja temos condic;6es de ajudar tancia entre os postes.
256
0
e1etricista, calculando a dis-
SolUfiio
Chamando de x a disrancia procurada, vamos proceder da maneira seguinte: a) a partir do ponto A, procuremos, em terra firme, encontrar urn ponto C, tal que a triangulo ABC seja redngulo em C; 1\ b) medimos a disrancia de A ate C, bern como a angulo CAB. Sejam, par exemplo, as seguintes valores encontrados: B
A
Nessas
condi~6es,
temos:
= cos 60°
25 x
=}
x = ~ 0,5
x = 50
=}
Dessa forma, concluimos que a distancia procurada e de 50 m.
EXERCICIO PROPOSTO 30. A mediQao direta da disti'mcia entre as pontos A e Be impassive!. Calcule essa distancia, nos casas seguintes: ~
~ B
B
_----_-r-r-
-_RiO
Rio
C
A
6. A lei dos senos Iremos aprender agora uma rela~ao muito importante, envolvendo as medidas dos lados com as senos dos angulos de urn triingulo. Essa rela~ao e chamada lei dos senos. Mostraremos que ela e verdadeira apenas quando urn triangulo for acurangulo. Mais adiante, no momenta oporumo, voce vera como ela e aplicada para qualquer tipo de triangulo .. Assim sendo, tomemos um triangulo acutingulo ABC, no qual a) bee sao as medidas de seus ladas, e mostremos que e verdadeira a seguinte afirma~ao: abc -- = - - - = - - - (lei dos senos) sen A
sen B
sen C
257
Para isso, observemos as figuras a seguir.
'-
A!-I-----:.--~Iil
/'
A~I------,---~IB
A figura da esquerda mostra que: x
b x a
= sen A
=>
f= x
lx
= sen B
b . sen A
=>
= a' sen B
a ---bb . sen A = a . sen B => - sen A sen B
o
A figura da direita mostra que:
L
=
sen B
c
L
y
=
sen B
C •
=>
=>
C •
{
= sen C
y
=
sen B
=
b . sen C
C
=>
b· sen C
sen C
b sen B
b De
CD e ®
, concluimos que
e verdadeira a afirmac;:ao:
a sen A
sen C
b sen B
C
(lei dos senos)
Assim, por exemplo, na figura:
a y
x
45° 10m
podemos facilmente determinar
OS
valores de x, y e
Temos que Ci + 45° + 60° = 180°, portanto A lei dos senos permite escrever:
Ci
Ci
= 75°.
o
y
x
utilizando a lei dos senos. Veja:
10
@ De
CD temos que:
y sen 60°
10
=>
258
y
10 . sen 60° sen 75°
=>
y = 8,97
@
@
De
temos que:
10
x
x =
~
sen 45°
10 . sen 45°
sen 75°
sen 75°
Assim sendo, os lados medem x = 7,32 em, y = 8,97 em e a
=
~
x = 7,32
75°.
EXERCiclO PROPOSTO 31. Determine a)
C/.
0
que se pede em cada caso:
\<;--
=?
b)
x=? y=?
C/.
=
?
x=? y=?
x
3W
x
•
60°
\:L-----------',y 8
~
150 em
1
7. A lei dos cossenos Assim como a lei dos senos, a lei dos cossenos e muito importante para a determinas:ao de lados e angulos de um triangulo. Consideremos um triangulo acutangulo ABC e mostremos que e verdadeira a seguinte afirmas:ao: a2
=
b2 + c 2
-
2 . b· c· cos A
Mais adiante, no momento oportuno, voce vera como aplid.-Ia num triangulo qualquer. Veja a figura ao lado. No triangulo rerangulo CHB, peIo teorema de Pitagoras, temos a2 = h 2 + n\ ou seja: ,c/ a2
=
h 2 + (c - m)2
sen A
= ~ , entao h =
cos A
=
Como {
.!!!...-, entao m
=
b . sen A b . cos A
b
Portanto, como h = b . sen A e m = b . cos A, temos: a2 = (b . sen A)2 + (c - b . cos Ai a2 = b2 • sen 2 A + c2 - 2 . b· C' cos A + b 2 . cos 2 A a2 = b 2 . (sen 2 A + cos 2 A) + c2 - 2 . b· c . cos A 1
Dessa forma concluimos que:
I a2 =
b2
+ c2
-
2 . b . c . cos A
(lei dos cossenos)
I
De modo analogo demonstra-se que: b2
= a 2 + c2
-
2 . a' c· cos B e
259
c2 = a 2 + b 2
-
2 . a' b· cos C
Assim, por exemplo, dado
0
triangulo ABC:
x
40 em
50 em
podemos determinar X, a e ~ utilizando a lei dos cossenos. Pela lei dos cossenos temos: x 2 = 50 2 + 40 2 - 2 . 50 . 40 . cos 60° Substituindo cos 60° por 0,5, obtemos x 2 Aplicando agora a lei dos senos, temos: x sen 60°
50 sen a
----
= 2 100, portanto x =
45,83 - --sen 60° sen a
~
~
sen a = 0, 94
~
~
sen a
45,83.
=
~
45,83
a = 71 °
Como ~ = 180° - 60° - a, temos que ~ = 180° - 60° - 71°, portanto Assim sendo, os valores procurados sao: x = 45,83 m, a = 71° e ~ = 49°. Veja em seguida mais dois exemplos de aplicas:ao do assunto.
~
= 49°.
Exemplo 1 Uma equipe de trabalho parte de urn ponto P, em linha reta, abrindo uma estrada de 1200 m que forma urn angulo de 60° com a reta (ver figura). Uma segunda equipe esta em Qa 1639,23 m da primeira e deve iniciar uma segunda estrada que ligara Qa L. Sob que angu10 deve seguir a segunda equipe equal 0 comprimento da estrada?
0
SolUfiio
",L
1200 m
,.
60°
p
1639,23 m
~
IQ
Achamos x usando a lei dos cossenos:
1 2
x 2 = (1639,23)2 + 1200 2 - 2 . 1639,23 . 1200 . cos 60° ~ x = 1469,69 Usando a lei dos senos, achamos a:
sen a
sen 60°
o angulo deve ser de 45° e 0
1 469,69
~
sen a
=
0, 71
~
a = 45°
comprimento sera 1469,69 m aproximadamente.
260
Exemplo 2 Um observador esta em A e necessita calcular sua distancia ate 0 ponto B, mas este ponto e inacesslvel a ele. No entanto, ele conta com os dados mostrados na figura: Rio
SolUfiio
Pela lei dos cossenos temos que:
x2
=
80 2
+ 1002
-
2· 80· 100· cos 60 0
=>
x2
=
8400
=>
x = 91,65
A distincia procurada e 91,65 m aproximadamente.
EXERCiclOS PROPOSTOS 32. Nas figuras abaixo, determine x. a)
b) 75° 16 em
6em
12 em
Scm
x x
7em
33. Determine a largura do rio. Rio
25m
30°
--_.....::....~======-c;50;-:m=---==-~-
34. Um menino, sentado num muro, observa 0 topo eo "pe" de um predio, conforme a figura ao lado. Determine a altura do predio.
,r
DB DB DB DB
600
2S~--
261
_
TUNEL DO TEMPO "Na maior parte das ciencias uma gera<;ao poe abaixo 0 que outra construiu, e 0 que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na matematica e que cada gera<;ao constr6i urn novo andar sobre a antiga estrutura." Essas palavras do matematico Hermann Hankel retratam o desenvolvimento das teorias matematicas atraves dos seculos. De fato tais teorias nao sao 0 resultado do trabalho de urn s6 homem ou de apenas uma na<;ao, mas sim de uma evoluFranc;:ois Viete. <;ao continua e de muitas gera<;oes. A trigonometria nao foge aregra. Muitas homens em muitas na<;oes - como os egipcios e babilonios - estudaram as razoes entre lados de triangulos semelhantes, mas e na Grecia que encontramos pela primeira vez urn estudo sistematico entre arcos e 0 comprimenta das cordas determinadas por esses arcos. Esse trabalho deve-se ao astronomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.), considerado 0 "pai da trigonometria". E muito provavel ser dele a primeira tabela mostrando valores que relacionavam arcos e cordas. Essa tabela, a primeira tabela trigonometrica, muito contribuiu para 0 estudo da astronomia e serviu de suporte para os trabalhos de muitos astronomos, entre eles Claudio Ptolomeu, que viveu no segundo seculo da era crista. Trabalhando com a inten<;ao de descobrir leis que justificassem 0 movimento dos corpos celestes, Ptalomeu escreveu Syntaxis mathematica, seu livro mais importante, que passou a ser chamado pelos estudiosos de sua obra de Almagesto, que significa "0 maior". Entre os arabes vamos encontrar 0 astronomo Nasir Eddin (1201-1274), responsavel pelo primeiro trabalho sobre trigonometria onde tal materia era tratada de modo independente e nao apenas como auxiliar da astronomia, como acontecia na Grecia e na India. Nesse trabalho sao estudadas as seis fun<;oes trigonometricas usuais e fornecidas as regras para resolver varios casos de triangulos. Na Europa, em fins do seculo XVI e come<;o do seculo XVII, houve urn grande interesse pelos estudos da trigonometria. 0 nome "trigonometria" surgiu nessa epoca, como titulo de uma exposi<;ao feita por Bartholomeus Pitiscus (1561-1613). Entre aqueles que mais contribuiram para 0 desenvolvimento da trigonometria encontra-se 0 frances Fran<;ois Viete (1540-1603), que nao era matematico por profissao, mas sim urn advogado que nas horas vagas se dedicava aos estudos da matematica. Ele usou a trigonometria na resolu<;ao de problemas algebricos e aritmeticos, ampliando assim 0 alcance desse assunto.
RELEMBRANDO CONCEITOS Re1a~oes
a) b) c) d) e) f) g)
_
metricas num triangulo retangulo
h2 = m' n b2 = C' m a2 = c· n a . b = C' h c2 = b2 + a2 (Pitagoras) b 2 = m 2 + h 2 (Pitagoras) a 2 = n 2 + h2 (Pitagoras)
c
b
Q
h
m
AI
262
n
Razoes trigonomhricas num triangulo retangulo M
sen x
tg x
PM
=
OP
cos x =
=--
OM
OM sen x cos x
PM OP , ou seja, tg x =
x
a
p
Se as medidas de dois angulos somarem 90° (ou ~ rad) , entao, igual ao cosseno do outro, ou seja: sen x = cos (90° - x) cos x = sen (90° - x) Sendo x a medida de urn angulo, entao vale a relac;:ao: (sen X)2 + (cos X)2 = 1, ou seja, sen2 x
0
senD de urn deles
e
+ cos 2 X = 1
Valores do seno, cosseno e tangente de alguns angulos
I
Angulo de 30° sen 30° =
-
1 2
Angulo de 45°
2
"\2 sen 45° = - -
"\3 sen 60° = - -
"\2cos 45° = -
cos 60° =
2
2
-\3tg 30° = 3
-
1 2
tg 60° = "\3
tg 45° = 1
Lei dos senos Num triingulo ABC tem-se:
b sen B c
Angulo de 60°
2
cos 30° = "\3
a sen A
I
Lei dos cossenos Num triingulo ABC tem-se: a2 b2 c2
c sen C
= = =
b2 a2
a2
+ c2 + c2
+ b2
-
-
2 . b . c . cos A 2 . a . C • cos B 2 . a . b . cos C
c
,6.
,6.
e
e
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 35. Um triangula retangula tem
1\
0
angulo B reto. Sendo a e c as medidas dos catetos, determine a altura
relativa ao lade AC. 36. Num triangulo retangulo, a hipatenusa mede 10,2 cm a mais que 5,.1 cm a menos que 0 maior cateto. Determine: a) quanta mede cada cateto.
0
menor cateto, e este mede
b) qual 0 sene do maior angulo agudo.
263
37. Um triElngulo retangulo ABC e rete em C. Sabendo que cos A
= 0,6,
determine 0 valor de N nos ca-
sos seguintes: a) N b) N
= sen A + 3 . sen = tg A + tg B
B
+ cos
B
38. Os raios do sol formam um angulo de 60° com
0 nivel do chao. Responda:
a) Qual 0 comprimento da sombra de um predio de 45 m de altura? b) Se a sombra de um predio tiver 30 m de comprimento, qual a altura dele?
39. Na figura seguinte, determine x, ye z.
-r'_ z
,
30°
45°
I,L-==--'y,--------;::ft '::;.---x::---~~I
40. Uma pessoa de 1,70 m de altura ve
0 topo de um predio segundo um angulo de eleva9ao de 60°.
a) Qual a altura do predio, se a distancia da pessoa a ele for 30 m? b) Qual a distancia da pessoa a ele, no caso de 0 predio ter 40 m de altura?
III III III
•
60°
41. 0 ponto A esta numa das margens de um rio e
0 ponto
B, na outra. Determine a distancia de A ate
B, nos casos: a)
b) B B
Rio
A
5
75°
°'>1
A
c
264
42. A distancia de uma pessoa a uma arvore e de 45 m. Essa pessoa tem 1,80 m de altura e 0 angulo de elevac;:ao segundo 0 qual ela ve 0 topo da arvore e de 25°. Determine a altura aproximada dessa arvore.
r.;',-,- --:-.I~--iltI--::-........-:::.,-.~~·,...." . . ·.-_.
:~;';..:~:~:.!;::l:~~.~:~~:.:::::.:-..:::~~~_~'"''~_'''.._.. . ~ . -.
1,80m
43. Quando Pedrinho e seu pai estavam passeando na praia, os raios de sol formavam um angulo de 40° com 0 chao. Determine: a) 0 comprimento da sombra de Pedrinho, sabendo que ele tem 1,20 m de altura. b) a altura do pai dele, sabendo que a sua sombra mede 2 m.
44. Um poste de 5 m de altura tem em seu topo uma luz acesa. Uma pessoa, de 1,80 m de altura, caminha a partir do poste ate um predio distante 15 m. Determine a que distancia a pessoa estara do predio quando sua sombra comec;:ar a atingir 0 predio.
45. A janela de um farol esta situada no ponto medio de sua altura. Alguem, situado nessa janela, ve um barqueiro no ponto A, sob um angulo de 40°, conforme mostra a figura. Ache 0 angulo sob 0 qual 0 barqueiro ve 0 topo do faro!. (Sugestao: use "aquela" tabua construfda no caderno e que tem a col una das tangentes, ou uma calculadora cientffica.)
\
\
\
\
\
\
\
\
,,\ A
265
46. No triangulo a seguir, determine x, ye
CI..
......./
x
Y
.......
65°
35·
I
/
I
100m
47. Determine a, 0 e [3 no triangulo abaixo. '-/
8 l: ~
'-
a
f3
60·
I
/
I
100 m
48. Um piloto de aviao pretende ir de uma cidade X ate uma cidade A e, para tanto, deve tomar 0 rumo 300. Sua chegada e prevista para 3 horas ap6s a decolagem. Ele levanta y~o, determina 0 rumo do aviao, liga 0 piloto automatico e... adormece! Tres horas depois, nao venda a cidade A, 0 pilato percebe que havia determinado erroneamente 0 rumo 270, estando portanto na posigao B. Veja a bussola com os rumos citados: Rume 300.
'.,
'. A
270 ", Rume 270 - -- - . - - - -- - - - -- - - --- - :~X
B
0
5 180
a) Qual 0 rumo que deve tomar para ir de B ate A? b) Quanto tempo demorara para fazer esse percurso? 1\
49. (E. E. Maua-SP) Determine as alturas de um triangulo ABC que e retangulo em A, dados AB = c
e AC
= b.
50. (UFGO) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento dque forma um angulo CI. com a horizontal. Ap6s subir a rampa, essa pessoa estara h metros acima da posigao em que se encontrava inicialmente, como mostra a figura abaixo:
d
----_.-:- - - - - - - - -- -- - - - - - - - - - - - - - - - --- -a) Que relagao existe entre os valores de CI., he d? b) Supondo CI. = 30° e h = 1 m, qual 0 valor de d?
266
51. (Unicamp-SP) Uma rampa de inclinayao constante, como a que da acesso ao Palacio do Planalto em Brasilia, tem 4 metros de altura na SU:1 parte mais alta. Uma pessoa, tendo comeya,io a subi-Ia, nota que ap6s caminhar 12,3 metros sobre a rampa esta a 1,5 metro de altura fm relayao ao solo. a) Faya uma figura i1ustrativa da situayao descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir 0 ponto mais alto da rampa.
TESTES
_
~
52. (U. Cat6lica de Salvador-BA) Na figura ao lado tem-se 0 trifmgulo ABC, retangulo em B, no qual o lado BC mede 8 cm. A altura BH , relativa ao vMice B, mede 4,8 cm. A tangente do angulo /I. BAH e igual a:
a)
,'3
b)
4 3
b) 12
e)
d)
0
cosseno de um angulo
e
1
2
3
5 e a hipotenusa mede
B
e:
8 6 5 4
2
A'----------------'>.C
55. Se os raios solares formam um angulo ex com
0 solo, qual
sombra de um ediffcio com 10 m de altura? (Dado: sen ex
a) 16,6 m
b) 15,5 m
56. (UFRS) 0 valor de sen 30° - cos 60° a) 0
e,
aproximadamente, 0 comprimento da
=
~)
c) 14,4 m
d) 13,3 m
e) 12,2 m
c)
d)
e)
e:
b) 1
57. (UFSE) A area, em centfmetros quadrados, do triangulo representado na figura ao lado
a) 40.J2
d) 25
b) 20,3
e) 10
c)
C
d) 16
c) 14
54. (UFRS) No triangulo retangulo da figura, BC = 10 e cos ex = 0,8. 0 valor de AB a) b) c) d) e)
H
c) 1
53. (U. F. Santa Maria-RS) Num triangulo retangulo, 10 cm. A soma dos catetos, em centfmetros, e: a) 10
A
e:
~ 30°
20.J2
8cm
267
")..1_4
58. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Na figura ao lade tem-se um trapezio is6sceles cujos lados tem as medidas indicadas. A medida ex do angulo assinalado e:
jf
6
I...
c) 30°
a) 60°
59. (Unifor-CE) As diagonais de um paralelogramo formam entre si um angulo de 30° e seus comprimentos sao 2 3 em e 4 em. 0 perfmetro desse paralelogramo, em centimetros, e: a)
2.ff3
b) 4.ff3
c)
1 + '\13
d) 2 + 2'\13
4 + 2'\13
e)
60. (PUC-MG) 0 cosseno do menor angulo interno do triangulo cujos lados medem 2 em, 1 em e 2 em e igual a:
a)
-.!-
61. (UFES) Dado
b) _
c)
4
~
.~ - ~ $
e)
8
e) 7
8
¥
'\V?
3-./'7 8
c)
62. (Imes-SP) Na figura, a) b) c) d) e)
d) ~ 7
4
0 triangulo abaixo, podemos afirmar que 0 valor de cos ex e:
;
~
-.!-
b)
2
0
valor de x e:
20 30 40 50 60
h
63. (Unisinos-RS) Se num triangulo ABCtemos: med (A)
= 30°,
med (B)
= 60° e
med (AB)
= 25 em,
entao med (BC) e, em em, igual a: a)
25$
b)
25'\'2
c)
12,5'\3
d) 12,5'\2
e) 12,5
64. (FEI-SP) Se em um triangulo ABC 0 lade AB mede 3 em, 0 lade BC mede 4 em e 0 angulo interne formado entre os lados AB e BC mede 60°, entao 0 lade AC mede: a)
.J37 em
b) .ff3 em
c)
2'\'3 em
65. (Vunesp) Do quadrilatero ABCD da figura ao la-
d) 3'\3 em
e) 2'\2 em A
do, sabe-se que: os angulos internos de vertices A e C sao retos; os angulos COB e ADB medem, respectivamente, 45° e 30°; 0 lade CD mede 2 dm. Entao, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: a)
.J6 e '\'3
d) '\'6 e
b)
-J5 e-v3
e)
c)
'\'6"" e 2
'\5
..J3 e '\5 '-----------"D
268
Capit
0
2 I.
Trigonometria areos e angulos
Introdu~ao
No capitulo anterior, trabalharnos com virias relas:oes envolvendo as medidas de lados e de angulos de urn triangulo. Entre as relas:oes estudadas estavam as razoes trigonometricas de angulos agudos: seno, cosseno e tangente. o ramo da matematica que estuda esses tipos de relas:oes e chamado trigonornetria (do grego trigonon, triangulo, e metria, medis:ao, ato de medir). Os prirneiros estudos sobre trigonometria tiveram origem nas relas:oes existentes entre lados e angulos num triangulo e datam de muito tempo. Neste capitulo, prepararemos 0 terreno para 0 estudo de algumas novas funs:oes, chamadas fun~5es trigonornerricas, entre as quais as fllns:oes seno e cosseno. Essas funs:oes sao muito importantes, pois inurneros fenomenos que ocorrem em nossa volta sao descritos pOl' funs:oes desse tipo. Assim, pOl' exemplo, ocorre com a eletricidade, com as ondas sonoras, com estudos topograficos etc.
2. Arcos e angulos Dois pontos A e B quaisquer, tornados sobre uma circllnferencia, dividem-na em duas A oe partes, cada uma delas chamada arco da circunferencia. A figura ao lado mostra 0 arco A:B. Nele, o ponto A e a sua origem e B, a sua extrernidade. A medida do comprimento do arco AB pode ser feita utilizando-se qualquer das unidades usadas para rnedir seu raio, como 0 metro, 0 centimetro etc. As unidades mais comumente usadas sao 0 grau e 0 radiano. • Medida de urn arco utilizando
0
grau como unidade
Com relas:ao ao grau, ja sabemos que e uma unidade de medida de urn arco de circunferencia, tal que:
Urn grau (1°) corresponde a
1 da circunferencia onde esta 360
Portanto a circunferencia tern 360 0 .
269
0
arco a ser medido.
Sabemos ainda que:
I 1° tem 60' e I' tem 60" I e que, a partir de segundos, voltamos a utilizar 0 sistema decimal, usando decimos, centesimos etc. (de segundo). Assim: a) 12° 20' significa 12 graus e 20 minutos; b) 5° 10' 30" significa 5 graus, 10 minutos e 30 segundos; c) 30° 15'10,5" significa 30 graus, 15 minutos, 10 segundos e 5 decimos de segundo. Vejan10s um exemplo de aplica~ao. Considerando-se um rel6gio com pomeiro das horas e ponteiro dos minutos, calcular: a) b) c) d) e)
0 0 0 0 0
deslocamento do ponteiro das horas em 1 hora. deslocamento do ponteiro das horas em 1 minuto. deslocamemo do ponteiro dos minutos em 1 hora. deslocamento do ponteiro dos minutos em 1 minuto. menor arco determinado pelos dois ponteiros quando for 3 h 10 min.
Soluriio a) Veja 0 que ocorre, por exemplo, das 3 h as 4 h. 12
12
Notando que 0 mostrador esta dividido em 12 partes iguais (uma para cada hora), entao, para cada hora, corresponded um deslocamemo de 360° --:- 12, ou seja, em 1 hora 0 ponteiro das horas se desloca 30°. b) Ta sabemos que em 1 hora (60 min) 0 pomeiro das horas se desloca 30°, Temos a seguinte regra de tres simples e direta: Tempo (min) Deslocamento (graus) 60 - - - - - - - + > 3 0 1 - - - - - - - -.... x 60 Temos que: - 1
30 x
= -- ~
60 . x
=
30
~
x
= -
1 ou 0, 5. 2
Entao, em cada minuto 0 ponteiro das horas se desloca 0,5°, ou seja, 30', c) Em 1 hora 0 pomeiro dos minutos da uma volta completa, ou seja, 0 deslocamento e de 360°. d) Em 1 hora (60 min) 0 ponteiro dos minutos se desloca 360°. Temos a regra de tres simples e direta mostrada a seguir.
270
Tempo (min) Deslocamento (graus) 60 - - - - - - - + . 360 1 x Entio: 60 = 360 1 x
=>
60 . x = 360
Porranto, em eada minuto e) Vamos analisar
0
0
=>
x = 6.
ponteiro dos minutos se desloea 6°.
que oeorre desde as 3 hate 3 h 10 min. 12
12
l 3 h 10 min
3h
As 3 h 0 areo era de 3 . 30°, ou seja, 90°. 1 Nos 10 min 0 ponteiro das horas se desloeau 10· - grau, ou seja, 5° (aumentou 0 area). 2 Nos mesmos 10 min 0 ponteiro dos minutos se desloeou 10 . 6°, ou seja, 60° (diminuiu o areo). Entao 0 area proeurado mede: 90° + 5° - 60° = 35°. o menor area as 3 h 10 min mede 35°.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
1. Um rel6gio tem 0 ponteiro de horas e 0 de minutos. Determine 0 deslocamento do ponteiro das horas depois de passados:
a) 4 h b) 25 min c) 2 h 15 min
2. Nesse mesmo rel6gio, determine 0 deslocamento do ponteiro dos minutos depois de passados: a) 20 min
b) 30 min 30 s
3. Ainda com 0 mesmo rel6gio, calcule 0 menor dos angulos determinados pelos ponteiros quando marcarem: a) 3 h 20 min
b) 1 h 15 min
4. Um rel6gio perdeu 0 ponteiro dos minutos, mas ainda tem 0 das horas. Num determinado momento, esse ponteiro esta posicionado como mostra a figura ao lado. Que horas sao?
c) 7 h 30 min
0
" ,130
, , ,
~
271
• Medida de urn arco usando
0
radiano como unidade
Vamos entender 0 que e radiano atraves da situac;ao a seguir. Urn ciclista comec;a a rodar sua bicicleta para a direita ...
Chao
A
... e, quando percebe que no chao existe tinta vermelha, que esra "pintando"
)
0
pneu ...
Chao
A
... de para. S6 que, ao parar, de ja havia ava.l1c;ado lUna dist3..l1cia igual ao raio da roda da bicicleta.
Chao
A
o ciclista volta, de fe, para a posic;ao inicial.
r
-
Chao
Posic;ao inicial.
Chao
272
Pois bem,
0
ciclista voltou
a posirrao
inicial mas, nisso, uma parte do pneu foi pintada de
vermelho! Exatamente a parte correspondente ao arco
e igual ao do raio.
H' da figura e eujo eomprimento
Um area eujo eomprimento e igual ao do raio da circunferencia onde se eneantra mede 1 radiano e e indicado por 1 rad. No nosso exemplo, Entao, definimos:
H'
mede 1 rad.
Radiano e uma unidade de medir arcos. E um arco de eamprimento igual ao raio da circunferencia onde esta 0 area a ser medido. Observa~o: e importante notar que, como 0 comprimento de uma circunferencia e dado por C = 2 . 7T . r, em que rea medida do raio, entio, em radianos, a circunferencia toda ted.:
1
2 . 7T . f
f
rad, ou seja, 27T rad (7T vale aproximadamente 3,14).
1
Dessa forma, para uma circunferencia qualquer, temos que 360° correspondem a 27T rad, ou sep:
I
11800 earrespondem a 7T rad.
A transformarrao da medida de um arco dada em graus para radianos (e vice-versa) e feita simplesmente aplicando-se uma regra de tres simples e direta. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1 Exprirnir 150° em radianos.
900
Solufao
Temos a regra de tres simples e direta: Arco (graus)
t
Arco (rad)
• 7T
180 150
,
x
00
1800
I
6
Entao:
1-8'0 l-s6
7T x
=>
57T
6x
57T 6
2700
=> X - - -
5
'IT
"2
o arco mede
57T - - rad. 6
Exemplo 2 Exprimir
'IT
7T rad em graus. 6
SolUfao
Como 7T rad corresponde a 180°, entao 0 7T ra d correspond era a -180 300 . . - - , ou seJa, I
6
6
273
0
Exemplo 3 Exprimir em graus
0
arco de ~ rad. 50
SolUtiio Como
'JT
rad corresponde a 180°, entao ~ rad correspondera a 50
180° 50
Vamos dividir 180° por 50: 30°
(resto)
1800' 300' 00
60 1800' X
Resto
~ 36'
o area procurado mede 3° 36' . EXERCICIOS PROPOSTOS
_
5. Exprima em radianos: a) 60 0
6.
d) 120 0
De em graus: a)
321T
rad
b)
31T rad 4
c)
71T rad 6
d)
~ rad
15
7. Transforme: a) 10 em radianos
b) 1 rad em graus
3. Medida de urn angulo central Virnos em nossos estudos de 1 Q grau que urn angulo, com vertice no centro de uma circunferencia, e chamado angulo central. 1\ A figura abaixo mostra 0 angulo central AGB .
O_-----.,:..:.A--
E muito eanveniente adotar como unidade de medida de urn angulo central determina na circunferencia urn arco unitario. Dessa forma:
o numero que exprime a medida do angulo do arco AB. 274
0
angulo que
1\
AGB e
0
mesmo que exprime a medida
Assim b) Se a unidade de medida for 0 radiano e 0 ...----.. 1T area AB medir, por exemplo, rad, 6
a) Se a w1idade de medida tor 0 grau e 0 area AB medir, por exemplo, 60°, entao 1\
o angulo AGB tambem medira 60°.
1\
entao
angulo AGB tambem medinl
0
rad.
1T
6
..-- -i- rad Oe-.l.-----4.,..A'-----
OF---'----+,---
-i- rad Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1 A eireunfereneia da figura abaixo tem 8 em de raio. Um inseto parte do ponto A e anda so1\ bre ela ate 0 ponto B. Sabendo que a medida do angulo central AGB e 60°, determinar quantos eentimetros andou 0 inseto.
Oe----'------tA
SolUfiio
Temos a seguinte regra de tres simples e direta:
Angulo central
Comprimento do areo (em)
(graus)
2 . 1T • 8
360 60
f
x
Entao: 360 60 Portanto
0
2 .
1T .
x
8
=>x=
2 .
1T •
8 . 60
360
=>x
3,14 . 8 3
=>
x = 8,37
inseto andou aproximadamente 8,37 em.
Exemplo 2 Numa eireunfereneia que tem 28 em de diametro, um areo tem 12 em de eomprimento. Qual e a medida (em rad) do angulo central earrespondente?
275
SolUfiio
Se 0 diametro mede 28 em, entao e direta:
raio mede 14 em. Temos a seguinte regra de tres simples
0
Comprimento do arco (em)
Angulo central (rad)
2 . 'IT ' 14 12
2·'IT x
1 Portanto: 2 . 'IT . 14
2·'IT
=---=>x=
12
Assim sendo,
0
X
2 ' 12 2 ' 14
=>
=
x
0,86
angulo central mede aproximadamente 0,86 rad.
Observa~o: de urn modo geral, ehamando de So eomprimento de tun area, de a a medida, em radianos, do angulo central eorrespondente, e de l' a medida do raio, temos a seguinte regra de tres:
Comprimento do arco
Medida do angulo central (em rad)
~'IT
1
Entao: portanto
S Utilizemos essa formula para solueionar Como S = 12 em e
l'
0
IS
=
a' r
I
problema dado.
= 14 em, temos:
12 em = a' 14 em => a =
Exemplo 3 Determinar quanto mede
0
12 14
=>
a
=
0,86 rad
raio de uma eireunfereneia, sabendo que urn area que mede 10 em
earresponde a urn angulo central de
~ radianos. 6
SolUfiio
Seja r a medida do raio, em em. Temos a regra de tres simples e direta:
(
Comprimento do arco em )
Angulo central I (rad) 2·'IT
2''IT'r
Assim sendo:
I
5
10
6 2·'IT 5
6 5
r
=---=>--=-=>r
10
6 Portanto
0
raio da eireunfereneia mede 12 em.
276
6 . 10
5
=>
r
= 12
EXERCiclOS PROPOSTOS (Para os exercfcios seguintes, usar
'IT =
3,14.)
8. Determine: a) 0 comprimento de um arco de circunferencia (em cm), sabendo que ela tem 12 cm de raio e 0 angulo central correspondente mede 20°. b) 0 angulo central (em rad) correspondente a um arco de 15 cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 20 cm. c) a medida do raio de uma circunferencia (em cm), sabendo que nela um angulo central de 15° corresponde a um arco de 30 cm. 9. Aroda dianteira de uma bicicleta tem 40 cm de raio.
a) Quantos metros ela percorre ao dar 5 000 voltas? b) Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420 m?
4. 0 cicio trigonometrico Quando em nossos estudos de 1 Q grau estabelecemos a ideia de eixo, na verdade fizemos foi 0 seguinte: a) Tinha-se uma reta.
0
que
b) Tomou-se um de c) Estabeleceu-se um d) Estabeleceu-se uma seus pontos. sentido positivo. unidade de medir.
o
o
o
•
•
+
I
• •
•+
Que tal fazermos isso com uma circunfercncia? Veja: a) Temos uma circunfercncia.
b) Tomemos um de c) Estabele<;:amos um d) Estabele<;:amos 0 seus pontos como sentido positivo radiano como para as arcos. origem dos arcos. unidade de medida de arcos. +
o.
0·-------1
0.· - - - - - - - A
277
+
O•. -------~A
Dessa forma, obtemos um ciclo trigonometrico. Entao: Ciclo trigonometriea ou simplesmente ciclo e uma raio mede 1.
circunfef(~ncia orientada,
na qual
0
Considerando entao um ciclo trigonometrico, podemos estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com origem no centro do ciclo. Dessa forma, 0 plano cartesiano fica dividido em quatro regioes, cada Llma chamada quadrante. Veja a figura: Eixo d.s ordenad.s
8 I" quadrante
2" qu.dranee
A,
A
-------'~~-----:~---_ff.'-----'~
°1'--....--""1
3" quad ranee
Eixo das abscissas
4" qu.dranee
8,
Assim, na figura:
CD
® D
E
A
° F
x
dizemos que:
• AD • Ai' ...----... • AF • AG
G
®
e um area do 1 Q quadrante; e um arco do 2 Q quadrante; e um arco do 3 9 quadrante; e um arco do 4 Q quadrante.
Observe agora a figura:
Notemos que a cada numero real x earresponde um ponto P do ciclo, tal que
o ponto Pea imagem de x no ciclo.
278
AI> mede x.
Observa~ao: e importante observar que a eada x E IR corresponde urn s6 ponto P, mas para eada ponto P existem infinitos arcos de origem A e extremidade P e, conseqiientemente, infinitos valores de x. - r ad Veja urn exemplo disso nas figuras seguintes. Os areos de medidas ~ rad, -1311" 6 ' 6
2511" I'ad e -1l1T ra d possuem a mesma ongem . A e a mesma extreml'd ad e P.
6
6
i
::..!..!..E rad
251T rad
131T rad
rad
6
6
6
(i rad e rnaiS)
(-i- I voltamaiS) rad e
2 voltaS
Esse fato sugere a ideia de definirmos urn arco trigonometrieo.
s. 0
arco trigonometrico
Seja ao a medida de urn areo AP em radianos, tal que 0 ~ ao < 211". Chamamos area trigonometrico 0 conjunto dos numeros a do tipo: 1 volta
a = ao + k· 211", onde k E 7L, ou seja, k E {... , -2, -1,0,1,2, ... 1
Assim: • se k = 0, obtemos a
=
ao, que e a primeira determina<;:ao positiva do area
AP;
• se k = -1, obtemos a = ao - 211", que e a primeira determina<;:ao negativa do areo
AP.
No ultimo exemplo visto, ~ rad e a primeira determina<;:ao positiva do arco 6
AP,
2511" . etc.; -1l1T . . d etermma<;:ao ' - ne1311" - - ra d'e a pnmelra - ra d'e a segund a, - rad'e a tereeu'a 6 6 6 gativa.
Observa~ao: no easo de ao ser a medida do area AP em graus, tal que 0° ~ ao < 360°, ehamamos arco trigonometrico 0 conjunto dos numeros a do tipo:
a do
=
ao + k . 360 0 , onde k E 7L
Na pratiea, 0 eneontro da primeira determina<;:ao positiva e feito, inieialmente, encontran0 numero de voltas.
Exemplo 1 Obter a primeira determina<;:ao positiva dos arcos eujas medidas sao:
a) 125 0
b) 1250°
e)
279
1311" rad 3
d) 380 0 30'
SolUfiio
a) 125° Como 0° < 125° < 360°, entao a primeira determinas:ao positiva e 125°.
b) 1250° Observando que cada 360° cOlTesponde a uma volta no cicIo, temos que: 1250° 1360° 170° 3 (voltas) portanto 1250° = 3 . 360° + 170°. Entao a primeira determinas:ao positiva e 170°. 13'JT c) - - rad 3 Lembrando que cada 2'JT rad corresponde a uma volta no cicIo, temos: 13'JT - rad = 12'JT road + 'JT rad 333
=
4'JT rad + 'JT 3
rad
2 voltas
Assim sendo, a primeira determinas:ao positiva e d) 380° 30' Temos que: 380° 30'
=
360°
+ 20° 30
'JT rad. 3
I
1 volta
Entao a prirneira determinas:ao positiva e 20° 30
I •
Exemplo 2 Calcular a primeira determinas:ao positiva e a primeira determinas:ao negativa dos areas cujas medidas sao: b) 400°
d) -15'JT rad 2
c) -800°
SolUfiio
a) -45° Essa e a prirneira determinas:ao negativa. Como a primeira determinas:ao negativa do arco trigonometrico a = ao + k . 360°, com k E 71, ocorre quando Ie = -1, ternos que: -45°
ao - 1 . 360°
~
315°~
ao = 360° - 45°
~
ao = 315° Entao a primeira determinas:ao positiva e 315° e a primeira determinas:ao negativa e -45°. Veja a ilustras:ao: =
O_----.A
280
b) 400° Temos que 400° = 360° + 40°. Assim sendo, primeira determina<;:ao positiva e 40°. o area trigonometrico e, portanto:
a
a
=
40° + k . 360°, k E 7L
Como a primeira determina<;:ao negativa ocorre quando k = - 1, temos:
a
=
40° - 360°
~
a
= -
320°
Dessa forma conduimos que a primeira determina<;:ao positiva e 40° e a primeira determina<;:ao negativa e -320°. Veja a ilustra<;:ao:
c) -800° Note que cada - 360° corresponde a uma volta no cido, dada no sentido negativo. Entao:
-800°
=
-360° - 360° - 80° ~
2 voltas
Assim, a primeira determina<;:ao negativa e - 80°. Como no area trigonometriea a = ao + Ie' 360°, k E 7L, a primeira determina<;:ao negativa ocorre quando k = - 1, temos:
d) -15'IT rad 2 Como cada - 2 'IT rad corresponde a uma volta no cido, dada no sentido negativo, temos que: -15'IT rad =
-12'IT rad _ 3'IT 222
rad = - 6'IT rad _ 3'IT '-------v-----2
rad
3 voltas
Assim,
a
=
-3'IT
rad e a pnmelra determina<;:ao negativa. Como no area trigonometriea 2 ao + k· 2'IT, k E 7L, a primeira determina<;:ao negativa ocorre quando k = -1, temos: 3'IT
'IT
2
2
Dessa forma conduimos que a primeira determina<;:ao positiva e termina<;:ao negativa e
-3'IT
2
rad.
281
'IT
2
rad e a primeira de-
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
10. De a primeira determinacao positiva dos areos eujas medidas sao: a) 54°
b) S40°
e)
;
rad
d)
19'iT
rad
4
11. Caleule a primeira determinacao negativa dos areos eujas medidas sao: a) 64°
b) 540° 24'
e)
5;
rad
d)
rad
15'iT
2
12. Obtenha a primeira determinacao positiva e a primeira determinacao negativa dos areos de medidas: a) -100°
b) -SOO°
13. No area trigonometrieo
e)
-~'iT rad
d)
rad
-1;'iT
a = ao + k· 2 'iT, k E &'., ealeule:
3'iT a) a primeira determinacao negativa, se a primeira determinacao positiva for -S- rad. b) a primeira determinacao positiva, se a primeira determinacao negativa for
-5'iT 6
rad.
14. No area trigonometrieo a = ao + k· 360°, k E &'., ealeule: a) a primeira determinacao negativa, se a primeira determinacao positiva for 145°. b) a primeira determinacao positiva, se a primeira determinacao negativa for -240°.
RELEMBRANDO CONCEITOS Veja a figura ao lado. o nllmero que exprime a medida do angu/\
10
central AGB e
medida do area
0
mesmo que exprime a
AB.
o ~------'A-
Unidades de medida de arco (ou de angulo central) 1 Grau, indieado por 1 0 , eorresponde a _1_ da eireunfercneia onde esta medido. 360 1 grau tern 60 minutos, ou seja: 1 0 = 60'. 1 minuto tern 60 segundos, ou seja: I' = 60" .
0
area a ser
1 Radiano, indieado por 1 rad, eOlTesponde ao area eujo eomprimento e igual ao raio da eireunfercneia onde esta 0 area a ser medido. o eamprimento (S) de urn area eujo angulo central, em radianos, mede a e 0 raio mede r e dado por:
I
S = a' r
I
Arco trigonometrico
a = ao + k· 21T, k E 7L, com 0 "" ao "" 21T, e ehamado area trigonometrieo. Para k = 0, obtemos a = ao, ehamada primeira determinas:ao positiva do areo. Para k = -1, obtemos a = ao - 21T, chamada primeira determinas:ao negativa do areo.
282
EXERCICIOS COMPLEMENTARES
_
15. Quando Pedrinho comprou sua bicicleta, 0 pneu era bem borrachudo e tinha 35 cm de raio. Nessa
epoca, para ir de sua casa a escola, 0 pneu girava 345 vezes. Depois de muito usc, 0 pneu ficou "careca", tendo perdido 0,5 cm de sua casca. Quantas vezes aroda da bicicleta devera girar para fazer 0 mesmo trajeto, agora com pneu "careca"? (Usar 7T = 3,14.) 16. 0 rel6gio de parede de um matematico tem
mostrador circular e perdeu 0 ponteiro dos minutos; s6 ficou 0 ponteiro das horas. No entanto 0 matematico nao se incomoda muito com isso, pois, quando quer saber as horas, ele mede 0 angulo que 0 ponteiro forma com a reta que passa pelo numero 12 e pelo centro do mostrador. 5e numa manha, ao acordar, a posiyao do ponteiro das horas era igual a da figura ao lado, responda: A que horas exatamente ele acordou?
17. Na figura ao lado, vemos dois roletes circulares. Quando 0 rolete maior gira, atrito faz com que 0 menor gire tambem. Considerando que os raios dos roletes medem 45 cm e 25 cm, responda:
°
a) Quantas voltas completas dara 0 pequeno, se 0 grande der 68 voltas? b) Quantas voltas completas deu 0 grande, se 0 pequeno fez 1 251 voltas?
•
•
18. Uma pedra esta amarrada na ponta de um barbante e a outra ponta esta presa em 0 (ver figural. Ela executa 0 movimento de um pendulo de rel6gio desde A ate a. 5e 0 barbante mede 32 cm e 0
angulo
ADa
e de
~ rad, determine quantos centfmetros percorre a pedra. ....... 0
19. Numa pista de autorama uma curva tem 60 cm e e arco de uma circunferencia. 5e 0 angulo central
correspondente e de
1~ rad, determine
0
raio da circunferencia.
283
TESTES 20. (Fesp-SP) A medida em radianos de um arco de 12° a) ~ 15
b)
~
c) ...21:.-
12
8
e: d)
6
'IT
e)
10
21. 0 angulo agudo formado pelos ponteiros de um rel6gio quando ele marca 1 h 20 min a) 120°
b) 110°
c) 100°
d) 90°
22. (UFPI) Supondo que
e:
e) 80°
0 movimento dos ponteiros de um rel6gio seja continuo (nao aos saltos), 0 angulo que esses ponteiros formam quando 0 rel6gio marca 11 horas e 45 minutos
a) 60° 30'
e:
b) 72°
c) 60°
23. (U. Bauru-SP) Na figura ao lade tem-se 5 arcos de circunferencias concentricas e igualmente espa<;:ados entre si. Sabendo-se que a soma dos comprimentos desses arcos igual ao comprimento da circunferencia maior, assinale a alternativa que indica a medida do angulo central comum a todas as circunferencias:
e
a) 120° b) 90° c) 72°
d) 60° e) 45°
24. (Faap-SP) Dois ciclistas percorrem, no mesmo sentido, uma pista circular de 50 metros de diametro. A cada volta, 0 primeiro percorre 2,5 m a mais do que 0 segundo. Supondo que mantenham 0 mesmo ritmo, 0 primeiro ciclista tera percorrido 1 radiano a mais do que 0 segundo ap6s: a) b) c) d) e)
20 voltas 15 voltas 10 voltas 5 voltas 2,5 voltas
284
d) 82° 30'
e) 85°
Caplt 10
3 I.
Fun~6es trigonometricas
Introdu~ao
Todos, seguramente, ja tiveram oportunidade de ver uma roda-gigante em algum parque de diversoes, ou mesmo pela televisao. Alguns ate ja "andaram" nela. Agora imagine uma roda-gigante cujo raio tenha, digamos, 8 metros, e que 0 setor de embarque/desembarque, que chamaremos de Blvel, seja como 0 mostrado na figura. Voce vai entrar em um de seus compartimentos, e aroda vai girar no sentido antihorario. Quando ela come~a a girar, a sua posi~ao relativamente ao nlvel come~a a mudar. A tabela seguinte mostra de metro em metro a sua posi~ao. Posi~ao
Voce cstar.l
subindo subindo
rd.ltiva ao nivc) am 1 111 acima 2 m acima ... 7 m acima 8 m acima
descendo descendo ... descendo descendo
7 m acima 6 m acima ... 1 m acima am
descendo descendo ... descendo descendo
1 m abaixo 2 m abaixo ... 7 m abaixo 8 m abaixo
subindo subindo
7 m abaixo 6 111 abaixo ... 1 m abaixo am
... subindo subindo ...
...
subindo subindo
I
Sua
I
posi~ao
altura maxima
scra indicada por a 1 2 ... 7 8
esta no nivel
7 6 . .. 1 a
Obscrvas:ao esta no nivel
I
-1 -2 . ..
altura minima
-7 -8
-7
esta no nlvel
285
-6 ... -1 a
Entao, se estabelecermos um sistema cartesiano ortogonal com origem no centro da roda-gigante, e considerando a roda-gigante como uma circunferencia na qual a sua posis:ao num certo instante qualquer e M, teremos 0 grafico ao lado.
Veja que, para cada numero real x, existe em correspondencia um ponto M, tal que 0 arco e, para cada arco .AM" , existe em correspondencia um numero real que varia desde -8 ate 8, e que representa a sua altura com relas:ao ao nlvel. Entao, temos que a altura e uma funs:ao de x. Poderiamos chamar essa funs:ao de "funs:ao roda-gigante" . Note que, se aroda continuar a girar, voce passara novamente pelas mesmas posis:6es anteriares. 1sso significa dizer que a nossa funs:ao e peri6dica. Voce entendeu bem essa funs:ao? Que bom! Assim voce entendera a funs:ao sene com bastante facilidade.
.AM" mede x,
2. A
fun~ao
sene
Eixo das ordenadas
8
Agora que ja aprendemos 0 que e um ciclo trigonometrico, e ate ja andamos de roda-gigante, vamos definir uma funs:ao muito impartante: a funs:ao seno. Voce vera que ela e bastante parecida com a nossa "funs:ao roda-gigante". Para tanto, tomemos um sistema cartesiano ortogonal de origem 0, e um ciclo trigonometrico de centro em 0, onde A e a origem dos arcos, como mostra a figura ao lado. Agora observe a figura abaixo. +1
--+---~~---+--J~
Eixo das abscissas
Eixo dos senos
--
Varia~ao _A~,~ do sene
::+---,-----=-_-.>-:A_~Eixo das abscissas
_I 't'
8,
Raio I
~
Para cada numero real x existe em correspondencia um ponto M, tal que 1\ mede x, e 0 angulo AO)\{ tambem mede x.
286
0
arco
.AM"
Chamando de a a abscissa do ponto M, e de b a sua ordenada, temos: M(a, b)
o numero b, ordenada do ponto Me chamado sene de x, e e indicado por: sen x Por esse motivo,
0
=
b
eixo das ordenadas e tambem chamado de eixo dos senos.
Defil1imos a funcrao sene como:
I f:
IR
~ IR tal que f(x)
=
sen x
Partindo do ponto A, vamos dar uma volta completa no cicio. Dessa forma, observando as ordenadas dos pontos A, B, Al e Bi> podemos informar os valores da fun<;ao sene para alguns arcos. Veja: Medida x do arco em radianos:
IExtte~idade do
"'wi
o
valor de sen x
esta no ponto:
Ornenada, do ponto I e:
0
A(l,O)
0
1T 2
B(O,l)
1
1T
A I (-l,O)
0
sen 1T
--
31T 2
Br(O, -1)
-1
31T sen - 2
=
-1
21T
A(l,O)
0
sen 21T
=
0
-
e:
sen 0 sen
0
=
21T
1
= =
0
Vamos fazer uma analise mais detalhada da funcrao sene: • 0 dominio da funcrao f(x) = sen x e IR. • 0 conjunto imagem da funcrao f(x) = sen x e Im(f) = ly E IR 1-1 ~ y ~ I}, au seja: Im(f) = [-1, 1]. • A funcrao e peri6dica. Dizemos que uma funcrao f: IR ~ IR peri6dica se, para qualquer x E IR, tivermos:
e
f(x
+ p)
=
f(x), com p E IR
CD
o menor valor positivo de p tal que G) ocarra e chamado periodo da funcrao f Assim sendo, como todos as valores do sene encontrados na primeira volta no cicio se repetem nas voltas subsequentes, entao, para qualquer x E IR temos que: k
e0
nllinero de voltas
Eixo des senos
@ o menor valor positivo tal que @ sen( x
+ k . 21T)
Trocando k par 1 em
=
sen x
®'
sen x
ocorra e k encontramos:
=
=sen (x + k . 21T)
1.
Periodo
sen(x
+ 1 . 21T) = sen.':
~
sen(x
+ 21T) = sen x
Dessa forma conclufmos que a funcrao f(x)
e peri6dica de periodo 21T rad.
=
287
sen x
Eixo dos abscissas
• Sinal da fun~o y ch-antes, temos:
= sen x: analisando 0 sinal da func,:ao y = sen x em cada urn dos qua-
1° quadrante
22 quadrante
3° quadrante
4° quadrante
Seno positivo
Seno positivo
Seno negativo
Seno negativo
• A func,:ao f(x) Veja as figuras:
=
Resumo
sen x e uma func,:ao impar. Eixo dos senos
Eixo dos senos
sen x
sen x
A
sen (-x)
sen (-x)
Nos dois casos temos sen( - x) Assim, concluimos:
y
=
=
-sen x. Isso ocorre para qualquer x E IR. sen x e func,:ao impar.
Observas:ao: muitas vezes necessitamos encontrar 0 seno de urn arco que esta medido em graus, como, por exemplo, sen 60 0 . Devemos entender isso como uma composic,:ao de duas func,:6es: a) A primeira faz corresponder a 60 0 b) A segunda faz corresponder ao ponto do urn ponto do ciclo. ciclo a sua ordenada.
p
p sen 60°
A
A
x
o
Na pratica, procuramos exprimir a sua medida em radianos. Assim, sen 60 0
x
= sen
~. 3
Essa observac,:ao, com as oportul1as adaptac,:6es, sera valida para as outras func,:6es trigonometricas que estudaremos mais adiante.
288
Grafico da
fun~ao
y
sen x
=
Quando vimos a trigonametria no triangulo rerangulo, aprendemos que: 1 -/2: \~ sen 30 0 = sen 45 0 = - - e sen 60 0 = - 2 ' 2 2
Utilizando esses valores, e observando a comportamenta da ordenada de um ponto P que se move sabre a cicIo no sentido anti-hor;irio, dando uma volta completa, podemos construir a tabela.
Tabela x rad
f(x)
= sen
x
cresce de 0 a - 'IT
\2 cresce de 0 a - 2
cresce de -'IT a - 'IT 4 2
cresce de
cresce de -'IT a 3'IT 2 4
decresce de 1 a
3'IT- a 'IT cresce de -
decresce de _2_ aO 2
4
4
2
2
al 2 2
--
-12
cresce de 'IT a -5'IT -
decresce de 0 a - - 2
4
5'IT cresce de - - a 3'IT 4 2
-..Ji decresce de - - a - l 2
cresce de 3'IT a 7'IT 2 4
cresce de - 1 a - -22
7'IT cresce de - - a 2'IT
--f2 cresce de -aO 2
-
4
Fizemos x variar de 0 a 2 'IT levando em conta a fata de ser a fun<;:ao y de periodo 2'IT . 0 grafico da fun<;:ao y = sen x e chamado senoide.
=
sen x peri6dica,
Grillco
Conjunto imagem
Sen6ide 1
- - -
- -~---.: Repeti~ao
x
1T
T Repeti~ao
-I
...:
Periodo
21T
----------
289
Resumindo, temos: 1) Func,:ao y = sen x ouf(x) = sen x. 2) 0 dominio e D(f) = IR. 3) 0 conjunto imagem e Im(f) = [-1, 1]. 4) A func,:ao e peri6dica, de periodo 2 'IT rad. S) 0 sinal de func;ao e: • positivo no 1 Q e no 2 Q quadrante; • negativo no 3 Q e no 4 Q quadrante.
6) A func;ao e impar. 7) A func;ao e: • crescente no 1 Q e no 4 Q quadrante; • decrescente no 2 Q e no 3 Q quadrante.
Van10s agora analisar 0 comportamento de algumas func;6es que envolvem 0 seno. Exemplo 1 Determinar 0 dominio, a imagem, 0 grafico e 0 periodo das func;6es defmidas por: a) y = 2 . sen x
b) J' = - 3
+ sen x
SolUfao a) y = 2 . sen x
b) y
+ sen x
= -
3
Tabela
Tabela
y
0
0
0
'IT 2
1
2
'IT
0
0
3'IT 2
-1
-2
2'IT
0
0
=
-3
+ sen x
0
0
-3
'IT 2
1
-2
'IT
0
-3
3'JT 2
-1
-4
2'IT
0
-3
-
Grafico
Grafico y
y
2
" 2:
Conjunto 2 imagem I
0 Conjunto_1 imagem -2
x
3"
"
"2
2"
x
-3
-4
Periodo 2"
Periodo 2"
o dominio e D(f) = IR. A imagem e Im(f) = [-2,2], ou seja: Im(f) = {y E IR 1-2 ~ Y ~ 21. D periodo e 2 'IT rad.
o dominio e D(f) = IR. A imagem e Im(f) = [-4, -2], ou seja: Im(f) = lyE 1R1-4~y~ -2}. o periodo e 2 'IT rad. 290
EXERCICIOS PROPOSTOS
_ y
1. Na figura ao lado, as medidas dos areos
AM; , AM; , AM;, AM; , AM;, , AM; e AM; , em radianos, sao respeetivamente xs, xe e X7' Determine: a) b) e) d) e)
sen X1 sen X2 sen X4 sen Xs sen x3 + sen x7
1 3
X1' X2' X3' X4'
-
sen xe
~;
e) -sen (
sen 45°
e) sen (-60°) = sen 60° dominio, a imagem, =
0
periodo, e eonstrua
sen (
~
)
=
sen (
~
)
-3
"'2
0
1~
)
~;
) = sen (
1~
)
) = sen (
1~ )
grafieo das fun90es:
b) Y = -2 + sen x
3 . sen x
=
_I
) = - sen (
~;
f) sen (
Exemplo 2 Construa 0 grifico e determine a) f(x)
x
""4
e uma fun9aO impar, verifique quais das senten9as abaixo sao ver-
b) -sen (-45°)
a) f (x)
0
""4
d) sen (
0
2:
-I
a) sen (-30°) = -sen 30°
3. De
1
1
4
2. Lembrando que a fun9ao sene dadeiras:
=
4
0
dominio, a imagem e
0
perfodo das funs:6es:
b) sen (-2x)
Solufao
a) f(x)
Observe a coluna auxiliar colocada na tabela abaixo. Nela estao sendo atribufdos valores ao area ~ desde 0 rad ate 2'IT rad. 2 Tabe1a f(."() = sen (
~)
Rascunho
0
0
0
x
'IT 2
'IT
1
x
'IT
2'IT
0
3'IT 2
3'IT
-1
4'IT
0
-
2'IT ~
...
2 2 -
x 2 X
2
x
291
2
=0
x=O
~
'IT 2 = 'IT
~
3'IT 2 = 2'IT
x = 'IT
~
x = 2'IT ~
~
X
X
= 3'IT
= 4'IT
Os valores que serao utilizados na constrw;:ao do grifico estao nas colunas destacadas.
Grmco y
Conjunto imagem I
'IT
x
Periodo 4'IT
D(f) = fR. Im(f) = [-1,1].
o periodo e 41T rad. b)y= sen(-2x) Procedendo como no exemplo anterior, temos:
Tabela
)' = sen (-2x) 0
0
-1T
31T 2
-1T -4 -1T -2 -31T 4
21T
-1T
2
1T
Rascunho
0
-2x
=
1
-2x
= -2
0
-2x
=
~
1T
-2x -_
-1
0
1T
31T 2
Grmco
I
Conjunto imagem
x
Periodo -rr
Entao: D(f) = fR .
.,jm~f) == [.-1, 1].
o periodo e 1T, pois 0
- (- 1T) = 0
+ 1T
=
1T.
292
0
=
~ ~
0
x
X
~
x =
-1T 4 -1T 2
=
x =-31T --
4
Observas:ao: nestes dois ultimos exerdcios houve mudanc;:a de periodo. Essa mudanc;:a ocorre quando multiplieamos 0 areo por uma constante (nao-nula e diferente de 1). De urn modo geral tcmos que Conferindo isso, temos: a) No caso y
b) No caso y
0
periodo da func;:ao y = sen kx e dado por
= sen ~ vern k = ~ . 0 periodo e
=
sen (-2x) ternos k = -2.0 periodo
2'TT
I~ I 2'TT e T=2T
2'TT 1
-- =
f~
(k =F 0).
4'TT .
2
=
2'TT
2
'TT.
=
EXERCiclOS PROPOSTOS 4. De
0
domfnio e a imagem das funyoes:
a) Y= sen (
5. De
0
a) y
_
~
)
x c) f(x) = sen ( -3 )
b) f(x) = sen(-3x)
perfodo das funyoes seguintes:
= sen
6. Construa
0
(7x)
b) f (x)
=
sen (
~
)
-3x ) c) f (x) = sen ( -2-
gratico das funyoes:
a) y = sen ( ; ) b) f(x) = sen (-x)
7. Na funyao f (x) a)
5'TT
3
=
sen (k . x), determine k de modo que 0 perfodo da funyao seja:
rad
b) ~ rad
6
Exemplo 3 Construir 0 grifico e dar a)f(x)=sen(x+ ; )
0
dominio, a imagem e
b) y
Solufao
a) f(x)
=
sen (x
0
+ ; ) 293
periodo das func;:oes seguintes:
=-1+2
. sen (
~
)
Procedendo como no exemplo anterior, temos a seguinte tabela:
Tabela
(x + -i-) rad
f(x)
(x + t )
= sen
Rascunho
0
--
-'IT 2
0
x+
'IT 2
0
1
x+
'IT 2
0
x+
3'IT 2
'IT
-1
x+
2'IT
3'IT 2
0
x+
-
-
'IT
-'IT 'IT =0 x= 2 2 1T 1T x=O 2 2 1T 1T = 'IT x= 2 2 1T 3'IT -X = 'IT 2 2 1T = 21T x= 31T 2 2 ~
~
~
~
~
Grmco
1T
o
x
-I Periodo 20
D(f) = IR. Im(f) = [ -1, 1]. o periodo e 2 'IT rad. b) y
= -
1 + 2 . sen (
~
)
Veja que agora na tabela aparecem varias colunas auxiliares.
Tabela x rad
0
0
0
0
-1
-1T
2
3'IT 2
1
2
1
1T
3 'IT
0
0
-1
3'IT -
--
91T 2
-1
-2
-3
2 'IT
6 'IT
0
0
-1
2
294
I
Grafico
o 57T
61T
X
Conjunto imagem
-2 -3 Periodo 67T
D(f) = fRo Im(f) = [-3,1]. o periodo e 6 'IT rad.
EXERCiclOS PROPOSTOS 8. De
0
_
perfodo das fungoes seguintes:
a) f (x)
= sen (x - : )
9. Construa
0
b) Y
gratico e de a imagem e
a) f (x) = sen (x -
: )
0
=
c) y
2 + sen ( 3; )
=
-3 +
sen (
3; )
perfodo das fungoes seguintes:
b) Y = sen (3x - 1T)
c) f (x) = 2 - 2 . sen (x + 1T)
10. Sabendo-se que a e b sao numeros reais positivos e tais que y = a + b . sen (c· x), determine:
a)
a e b de modo que a imagem da fungao seja [-1, 2].
b) a, bee de modo que a imagem seja [-6, -1] e
3. A
fun~ao
cosseno
Voce esta lembrado da "func;:ao rodagigante" que vimos no inicio deste capitulo, quando aprendemos a func;:ao seno? Pais bern, vamos imaginar que voce esta naquela mesma roda-gigante, que gira no sentido anti-hodrio. A reta vertical que passa no ponto 0, chamaremos de marco. Num dado instante, voce esta no ponto M, canforme mostra a figura ao lado.
295
0
perfodo
21T 3
Chamaremos de deslocamento lateral a sua posic;:ao com relac;:ao ao marco. Dessa forma, quando aroda comec;:a a girar, 0 seu deslocamento 'lateral coinec;:a a mudar. A tabela seguinte mostra 0 deslocamento lateral de metro em metro. Voce estara indo pa,"a ...
esquerda
I
Sua posi~ao relati\'a ao marco 8 rna direita 7 m a direita
Obser\'a~ao
I
desloc. maximo a direita
IS'"lateral d.,I'~,m~n'n scr.1 indicado por 8 7
...
...
...
esquerda esquerda esquerda
2 m a direita 1 rna direita Om
2
esquerda esquerda
1 m a esquerda 2 m a esquerda
1
esta no marco
0 -1
-2
...
...
...
esquerda esquerda
7 m a esquerda 8 m a esquerda
-7 -8
direita direita
7 m a esquerda
-7
6 m a esquerda
-6
...
...
...
direita direita direita
2 m a esquerda 1 m a esquerda Om
-2
direita direita
1 m a direita 2 m a direita
2
...
...
...
direita direita
7 m a direita 8 m a direita
desloc. maximo a esquerda
esta no marco
-1 0 1
desloc. maximo a direita
7 8
Entao, estabelecendo urn sistema cartesiano ortogonal com origem no eixo da roda-gigante, e considerando esta uma circunferencia na qual sua posic;:ao num certo instante qualquer e M, teremos: Marco Eixo dos senos
_-+-
....,.. a
...........A---J~
Eixo das abscissas
Veja que para cada numero real x existe em correspondencia urn ponto M, tal que 0 area .AM'". mede x, e para cada area .AM'" existe em correspondencia urn nllmero real que varia desde -8 ate 8, 0 qual representa a seu deslocamento lateral com relac;:ao ao marco.
296
Entao, temos que 0 seu deslocamento lateral e uma funr;:ao de x. Poderiamos chamar essa funr;:ao de "funr;:ao deslocamento lateral". Note que, se aroda continuar a girar, voce passara novamente pelas mesmas posir;:oes anteriares. Por esse motivo dizemos que a funr;:ao e peri6dica. Se voce entendeu bern essa nossa ftmr;:ao, voce entendera com facilidade a fun~o cosseno, que iremos definir agora. Para isso tomemos urn sistema cartesiano ortogonal de origem 0, e um cido trigonometrico de centro em 0, onde A e a origem dos arcos, como mostra a figura: Eixo das ordenadas
au dos senos
--+-------"jt------e-:A---J~Eixo das abscissas
o
Observe a figura seguinte.
Eixo dos senos
-=..........+-_-4~A'-- ...... Eixo dos cossenos
AI.-
Raio I Varia~ao
do cosseno
-I
Para cada numero real x existe em correspondencia um ponto M, tal que 1\ mede x, e 0 angulo AOM tambem mede x. Chamando de a a abscissa do ponto M, e de b a sua ordenada, temos:
0
arco
M(a, b)
o numero a, abscissa do ponto M, e chamado cosseno de x, e e indicado par: cosx=a Por esse motivo, 0 eixo das abscissas e tambern chamado de eixo dos cossenos. Definimos a funr;:ao cosseno como:
I f:
IR
-+
IR tal quef(x)
297
=
cos x
I
.AA?
Partindo do ponto A, vamos dar uma volta completa no ciclo. Dessa forma, observando as abscissas dos pontos A, B, Al e B j , podemos informar os valores da fi.m~ao cosseno para algw1S arcos. Veja: Mcdida x do are<> em radianos:
""'!
IEx"e'~';d'dc
c:
0
A(I, 0)
1
-7T
B(O, 1)
0
7T
A,(-l,O)
-1
37T-
Bj(O, -1)
0
27T
A(l, 0)
1
2
2
o
Abscissa do ponto
do csta no ponto:
I
valor de cos x e: cos 0 = 1 cos
7T
2
=0
cos 7T = -1 cos
37T
2
= 0
sen 27T = 1
Como fizemos com a fun~ao seno, vamos fazer uma analise mais detalhada da fun~ao cosseno: • 0 dominio da fim~ao f(x) = cos x e IR. • 0 conjunto imagem da fi.m~ao f(x) = cos x e Im(f) = ( y E IR 1-1 ~ Y ~ I}, ou seja: Im(f) = [-1, 1]. • A fi.m~ao e peri6dica de periodo 27T rad, pois para qualquer valor de x temos que: cos (x
+ k . 2 7T)
=
cos
X
n Q de voltas
• Sinal da fun~ao y drantes, temos: I· quadrante
= cos x: estudando 0 sinal da fun~ao y = cos x em cada urn dos qua-
2Q quadrante
3· quadrante
4· quadrante
Resumo
A
Cosseno positivo
Cosseno negativo
• A fi.m~ao f(x) = cos x e uma Observemos as figuras abaixo:
Cosseno negativo
fun~ao
par. Eixo dos senos
Eixo dos senos
_-+-
Cosseno positivo
--:+~....---1""A-... Eixo dos
--+--_l+--::+----t""A-... Eixo dos
cossenos
cossenos
298
Nos dais casas temos cos (- x) Entao, concluimos:
y
Grafico da
fun~ao
cos x. Isso ocorre para qualquer x E IR.
=
=
y =
cos x
e fun<;:ao par.
COS X
Devido a periodicidade da fun<;:ao, faremos a grafico cartesiano, fazendo x variar de 0 a 2TI. 0 grafico da fun<;:ao y = cos x e chamado cossenoide. Tabe1a x rad
I
cresce de 0 a - TI 4
f(x) = cos x
,/2"
decresce de 1 a
2 r;:;:-
cresce de - TI a - TI 2 4
decresce de 2LaO 2
cresce de - TI a 3TI 4 2
deeresee de 0 a ~ 2
3TI - aTI cresce de 4
decresce de - - - a-I 2
cresce de TI a
--12
--12
45TI
cresce de - 1 a - - 2
--12
5TI cresce de - - a -3TI 4 2
cresce de - - a O 2
71T cresce de 3TI a 2 4
cresce de 0 a
cresce de 71T a 2TI 4
cresce de _2_ a 1 2
5
--
2
Grilleo
Conjunto imagem
Cossen6ide
Repeti~ao
Repeti~ao
o -I Periodo 2"
299
Em resumo, temos: 1) Func;:ao y = cos x ou f(x) = cos x. 2) 0 dominio e D(f) = IR. 3) 0 conjunto imagem e 1m(f) = [-1, 1]. 4) A func;:ao e peri6dica, de periodo 2'7T rad. S) 0 sinal da func;:ao e: • positivo no 1 Q e no 4 Q quadrante; • negativo no 2 Q e no 3 Q quadrante.
Exemplo 1 Construa 0 grafico, determine a) y
=
0
6) A func;:ao e par. 7) A func;:ao e: • crescente no 3 Q e no 4 Q quadrante; • decrescente no 1 Q e no 2 Q quadrante.
dominio e a imagem das func;:6es definidas por:
2 . cos x
b) y
= -
3
+ cos x
b) y
= -
3
+ cos x
SolUfao
a) y
=
2 . cos x Tabela
x
f.hi
X
("t),
Tabela \ == .2 .
0
1
2
'7T 2
0
0
'7T
-1
-2
--
3'7T 2
0
0
2'7T
1
2
-
(l)~ X
x
{'.ld
X
(l)~
r =
-3 +
0
1
-2
'7T 2
0
-3
'7T
-1
-4
3'7T 2
0
-3
2'7T
1
-2
-
Gratlco
(OS
x
Gratlco
yt
COO,"J
1T
31T
con;:1---2"-------2
imagem
21T ------"--
imagem _ 21
-r---~
D(f) = IR. 1m(f) = [-2,2].
D(f) = IR. 1m(f) = [-4, -2].
300
21T_-'J)O~X
I
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
11. A 'igura mostra um cicio trigonometrico no qual
:4M;', AM; , Ji.M;,
as medidas dos arcos
:4A.1;, .AM;
AM;
e
tivamente x 1 , x 2 ' a) b) c) d) e) f)
cos X1 cos X2 cos X4 cos X7 cos xa cos X3
sao, em radianos, respec-
X3' X4'
+ 2 . cos x 5
x 5 e X6' Determine:
-
cos x 6
12. A figura ao lado mostra um cicio trigonometrico,
no qual os diametros AA 1 e BB 1 foram divididos em 10 partes iguais. Chamando as medidas dos arcos :4M;', AM; , Ji.M;, AM 4 , AM 5 , AM;, AM; e AM; respectivamente de X1' X2' X3' X4' X5' X 6' X 7
a) b) c) d)
e xa, determine:
sen x 1 cos X3 sen x 5 cos X7
13. Na figura do exercicio anterior, determine 0 valor de N nos casos:
a) N = cos X2 + sen X4 + cos X6 - 2 . sen x a b) N = 2 . (sen x 1 - cos x 7 ) - 3 . (sen x 5 - cos
X3)
14. Lembrando que a funr;:ao cosseno e uma funr;:ao par, verifique quais das sentenr;:as abaixo sao verdadeiras: a) cos (-30°)
=
-cos 30°
d) cos (
~;
b) -cos (-45°) = cos 45°
e) - cos (
c) cos (-60°) = cos 60°
f) cos (
) = - cos (
~;
~;
) = cos (
) = cos (
1~
)
1~
)
1~ )
15. Dar 0 dominio, a imagem, 0 periodo e 0 grafico da funr;:ao:
a) y = 3 . cos x b) f(x) = -2-cosx
Exemplo 2 Construa 0 grafico e determine a) y = cos (
~
)
0
dominio, a imagem e
0
periodo das func;:oes:
b) f (x) = cos (- 2x )
301
SolUfiio a) )' = cos (
~
b)f(x) = cos (-2x)
)
Observe a ealuna auxiliar na tabela abaixo.
Observe a eoluna auxiliar na tabela abaixo.
Tabela
Tabela
\: .... rad
xrad
2
y
x = cos (2-)
-2x rad
0
0
1
'IT 2
'IT
0
'IT
2'IT
-1
3'IT 2
3'IT
0
--
3'IT 2
-'IT -2 -3'IT 4
1
2'IT
-'IT
-
2'IT
....
4'IT
'f(x)=cos(-2x)
xrad
I
I
-
0
0
1
'IT
-'IT --
0
2
4
'IT
_I.
-1 0
1
'--
Grwco
Grafico
Conjunto
I Conjunto Imagem
imagem
o x
x -I Periodo
D(f) = IR.
Im(f)
1i
D(f) = IR.
= [-1, 1].
Im(f)
=
[-1,1].
Como na fun~ao seno, tambem 0 periodo da fun~ao cosseno muda quando 0 area x apa· rece multiplicado por urn numero k (Ie -:/= 0 e k -:/= 1). 0 valor do periodo e obtido da meso rna forma que foi feita para a fun~ao seno, ou seja, dividindo·se 2'IT rad por Ikl, ou seja, 2'IT
p=
W·
Assim: • no easo a,
0
area aparece multiplicado por
P=
2'IT
l..., portanto 0 2
-- =
periodo e
4'IT
I; I • no caso b,
0
arco apareee multiplieado por - 2, portanto
p=
1-2 1 302
= 'IT
0
periodo e
EXERCiclOS PROPOSTOS 16. De
0
_
perfodo das fun<;:oes definidas por:
a) y = cos
ax
b) ((x) =
cos (-5x)
c) y
= cos ( 5; )
d) ((x) = -1
+ cos
(
~
)
17. Construa 0 grafico e de 0 perfodo e 0 conjunto imagem das fun<;:oes: a) y
= cos
b) Y
( ; )
= cos
Exemplo 3 Dar 0 dominio, a imagem, a periodo e a grafico da
y
=
+ 2 cos
1
(-3x)
fun~ao
definida par
(x - ; ).
SolUfiio
Tabela
(x -
I
I x rad
'iT ) rad 2 ,
I I
cos (
X -
;
)
.
i 2 cos ( x - 'iT ); y = I + 2 cos ( x - ;
2 .
'iT 2
1
2
3
'iT
0
0
1
'iT
3'iT 2
-1
-2
-1
--
3'iT 2
2'iT
0
0
1
2'iT
--
5'iT 2
1
2
3
-
0 -'iT
2
-'iT x2 'iT x2
=0 'iT 2
=>
)
I
-
--- ---
3'iT 'iT 'iT 'iT x= = 'iT => x= = 2'iT , x, x2 2 2 2 'iT 3'iT => X = 2'iT => X = 'iT; x2 2
=>
5'iT x= - - , 2
Grmco
Conjunto
2
imagem
o -I
Periodo 21T
303
D(f) = IR. Im(f) = [-1, 3]. Periodo = 2'iT rad.
EXERCiclO PROPOSTO 18. Nas fun90es abaixo, construa 0 grcHico, de 0 conjunto imagem e 0 perfodo. a) y = -1 + 2 . cos
(x - ; )
b) Y = 2 - cos (2x - 'IT)
Exemplo 4 Determinar para quais valores de k existe x tal que: a) sen x
=
3k + 5 2
=
3k + 5 2
b) cos x
=
k 2 + 9k + 7 7
Solufiio
a) sen x
Como para qualquer valor de x tem-se -1 :s;; sen x :s;; 1, entao:
CD
,
(
-1:s;;
3k + 5 :s;; 1 2
@ A condir;:ao
CD nos fornece:
3k+5~-1=>3k+5~-2=>k~
7 3
2
A condir;:ao
@
3k + 5 :s;; 1 2
=>
nos fornece:
3k + 5 :s;; 2
=>
k:s;; -1
o conjunto solur;:ao e a intersecr;:ao de
CD com
@. Entao:
7
-3
CD
-I
@ S=
(Dn@
-I Solu~io
Portanto a conjunto solur;:ao
e:
304
EXERCiclOS PROPOSTOS 16. De
0
_
perfodo das fun<;oes definidas por: b) f(x) = cos (-5x)
a) y = cos 8x
d) f(x) = -1 + cos (
c) y = cos ( 5; )
~
)
17. Construa 0 grafico e de 0 perfodo e 0 conjunto imagem das fun<;oes: a) y = cos ( ; )
b) Y = cos (-3x)
Exemplo 3 Dar 0 dominio, a imagem,
y
=
periodo e
0
gd.fico da fun<;:ao definida por
(x - ; ).
+ 2 cos
1
0
Solufiio
Tabela
(x - ;
) rad
I
x rad
I
I
cos (
X _
) ~ 2 cos!
1T
2
I
x- ;
) I
.v = 1 + 2 cos I x
0
-'li'
1
2
3
-'li'
'li'
0
0
1
'li'
3'li' 2
-1
-2
-1
--
3'li' 2
2'li'
0
0
1
2'li'
--
5'li' 2
1
2
3
2
2
'li' 2 'li' x2
x-
=
0
'li' 2
=>
'li' 'li' x= - , x2 2 'li' => X = 'li'; x2
-'=
'li'
=>
3'li' 2
x=
-
3'li' , x2
=> X =
'li' 2
=
2'li'
=>
-
;
)
5'li' x= - - , 2
2'li'
Grafico
Conjunto imagem
2
o -I Periodo 27T
303
D(f) = fRo Im(f) = [ -1, 3]. Periodo = 2'li' rad.
EXERCiclO PROPOSTO 18. Nas funt;:oes abaixo, construa
a) y = -1
+ 2 . cos
0
grafico,
de 0
conjunto imagem eo perlodo.
(x - ; )
b) Y = 2 - cos (2x - 'Ii)
Exemplo 4 Determinar para quais valores de k existe x tal que: a) sen x
=
3k
+5
2
b) cos x
=
~
~
k 2 + 9k + 7 7
SolUfiio
a) sen x
=
3k
+5
2
Como para qualquer valor de x tem-se -1
sen x
1, entao:
CD f
,
-1 ~ 3k + 5 ~ 1 2
@ A condis;ao
Q) nos fornece:
3k+5~-1=>3k+5~-2=>k~
7 3
2
A condis;ao
@
3k + 5 ~ 1 2
=>
nos fornece:
3k + 5 ~ 2
=>
k~ - 1
o conjunto solus;ao e a intersecs;ao de Q) com @. Entao: 7
-3
,
CD
-I
@ S=
Portanto
0
CD n
@
conjunto solus;ao
t
-I
L-solu~lio
e:
304
b) cos x
=
k2 + 9k + 7 7 ~
Como -1
cos x
~
1 para qualquer valor de x, devemos ter:
CD -1
k 2 + 9k + 7 7
~
1
~
@
CD nos fornece:
A condic;:ao
k 2 + 9k + 7 7
~ -1 => k
2 + 9k + 7 ~ -7
Calculando as raizes de f(k) = k 2 + 9k
o sinal da func;:ao f(k) = k2 + 9k +
=>
k2 + 9k + 14 ~
°
+ 14, encontramos k = -7 ou k = -2. ~
Como f(k)
14
CD
varia assim:
0, a solw;:ao da condic;:ao
e:
•
)0
x
-7
-2
X
L - - Solu~ao
Solu~ao-
®
A condic;:ao
nos fornece: k 2 + 9k + 7
~ 1 => k
7
2
+ 9k + 7 ~ 7
=>
k2 + 9k ~
°
Calculando as raizes deg(k) = k 2 + 9k, encontramos k = -9 ou k = 0.
o sinal de
g(k)
=
k2 + 9k varia assim:
®
)0
e a intersecc;:ao de
-9
-7
•
•
s= (Dn@
-7 5
0
.Il~a
conjunto soluc;:ao
L-Solu~a
•
0
CD com ®.
CD ® Portanto
0, a solw;:ao da condic;:ao
e: -9
x
A soluc;:ao final
~
Como g(k)
-2
0
~
r
•
-2
)0
1 Ii
)0
0
u~ao
e:
S = {k E IR 1-9 ~ k ~ -7 ou -2 ~ k ~ 0)
305
)0 x
EXERCiclO PROPOSTO
_
19. Determine para quais valores reais de p existe x real tal que: a) sen x
b) cos
=
x=
7p
+3
c) sen x
5
4 - 9p 7
d) cos
Exemplo 5 Determinar para quais valores de p a sentens:a sen x
p2 - 10p
=
12
p2
x=
+
7p
4p - S
3
= ----=-~2-p
+ 12
+3
pode ser verdadeira.
SolUfiio
Conforme vista no exemplo anterior, devemos ter:
CD 4p - S
-1 ::;;
::;; 1
2-p
@ A condis:ao
CD nos fornece: 4p-S ~-1
2-p
Observa~iio: nao podemos multiplicar os dois membros por (2 - p), pois (2 - p) nem sempre e positivo! Dessa forma prepararemos melhor essa inequa~ao e, em seguida, analisaremos os sinais do numerador e do denominador.
Temos: f(p)
4p - S
2-p
~
-1
~
4p - S
2-p
+1
~
0
~
4p - S + (2 - p)
3p - 3
2-p
2-p g(p)
a) anilise do numerador f(p) = 3p - 3 A raiz def(p) = 3p - 3 e 1, e 0 sinal def(p)
=
3p - 3 varia assim:
x
306
b) anaIise do denominador g( p) = 2 - P A raiz de g(p) = 2 - P e 2, e 0 sinal de g(p)
= 2 - P varia assim:
x
Lembrando que 0 denominador deve ser sempre diferente de zero, vamos fazer uma tabela com os sinais do numerador e do denominador, para determinarmos como varia 0 sinal da fra<;ao de @.
Tabela 2
+
+
+
+
+ 2
@ , devemos ter 0 quociente maior ou igual a zero, entao, a solu-
Como, de acordo com <;ao parcial que corresponde
a condi<;ao CD e: 51
A condi<;ao
@
= {p E IR 11
~
P < 2}
~
1
nos oferece:
4p - 5 2 -p Procedendo como no estudo da condi<;ao
4p - 5 2
-p
1
~
~
0, temos que: 4p - 5
4p - 5 - (2 - p) ~
-1~O ~
2-p
5p - 7 ~ 0
2-p
2-p
tiV'
\t::!.J
c) anaIise do numerador h(p) = 5p - 7 A raiz de h(p)
=
5p - 7
e !...-, e 0 5
sinal de h(p)
=
5p - 7 varia assim:
x
o
sinal do denominador g(p)
=2
- P ja foi analisado quando estudamos a condi<;ao
307
0.
Construindo a tabela de sinais do numerador e do denominador de
® ' temos:
Tabela 7 5
2
+
+
+
+
+ Solu~io-~
® deve ser menor respondente a condis:ao ® e: o quociente
de
A solus:ao final
2 Solu~io
-------'
ou igual a zero. Entao, a solw;:ao parcial cor-
~ E IR Ip ~ ~
52 =
7 5
ou P > 2}
e a intersecs:ao de 51 com 52' Entao: 7
5
I
2
----4~----~--- ------:l.~
•
SOlu~aol_- j Portanto a solus:ao final
o
r
• 7
2
5
e: 5=
~EIRI-l~P~ ~}
EXERCiclO PROPOSTO 20. Determine para quais valores de k a sentenc;:a abaixo pode ser verdadeira: a) sen x
=
8 - 5k k _ 3
4. Os graficos das
b) cos x
fun~oes
k - 2
= k-=-4
seno e cosseno
Agora que voce ja aprendeu a construir graficos de funs:6es envolvendo senD e cosseno, vamos conversar um pouco sobre os graficos aprenclidos. Falamos em roda-gigante tanto quando estudamos a funs:ao senD como quando estudamos a funs:ao cosseno. Roda-gigante nos lembra parque de clivers6es, e parque de clivers6es nos lembra montanha-russa. Falando em montanha-russa, voce nao reparou nada quando estudou aqueles grificos? Pois e, eles sao como uma montanha-russa, s6 que apenas com movimentos de "sobe-descevai em frente".
308
Assim, existe uma "montanha-russa seno", e uma "montanha-russa cosseno". Vamos imaginar dois amigos, urn na montanha-russa seno e outro na montanha-russa cosseno, que estao uma ao lado da outra. Veja que dificilmente eles estarao urn ao lado do outro, ocorrendo isso apenas em alguns pontos particulares.
y
Montanha-russa seno
Montanha-russa cosseno
Vamos construir numa s6 figura as duas montanhas-russas. Agora e f;kil observar alguns pontos onde os dois amigos estarao urn ao lado do outro.
Montanha-russa cosseno Montanha-russa sene
Passarao perto
Repare bern na ultima figura que, se a montanha-russa cosseno fosse deslocada de, por exemplo, ~ rad para a direita, as duas montanhas-russas ficariam exatamente iguais, de tal 2 forma que os dois amigos poderiam ir ate conversando, cada urn na sua montanha-russa. Vill que legal? Vamos analisar melhor 0 que foi dito. Para isso construiremos dllas novas figuras, onde aparecem .tanto 0 grifico da fun~ao senD como 0 da fun~ao cosseno. Nelas, destacamos dois valores para
x:urn valor aqualquer, e 309
0
valor ( ;
a) .
Veja a
p~imeira
figura:
sen a =cos(~- a) x
Ela nos mostra que: • 0 valor da funs:ao seno para x
e0
= a
( mesmo da ftms:ao casseno para x
)
=
a.
;
Veja a outra figura: 11' - a) cos a = sen ( '2
x
Ela nos mostra que: • 0 valor da funs:ao cosseno para x
a e 0 mesmo da funs:ao seno para x
=
( =
;
) a.
Essas duas afirmas:oes ja haviam sido vistas no caso de x ser a medida de urn angulo agudo de urn triangulo redngulo. Na verdade, e1as sao verdadeiras para qualquer valor de x! Dessa forma, para qualquer valor de x tem-se: sen
x
=
x)
cos ( ;
e cos
x
=
sen ( ;
x)
EXERCiclOS PROPOSTOS 21. Determine a que se pede em cada caso: a) cos ( ;
-
x) ,sendo sen x
~
b) sen ( ;
-
x) ,sendo cos x
5 .
22. Dados sen
=
( ; -a) =
=
1
-0,8 e cos b
N=
= 0,25, 3 . cos
4 . sen ( ;
c) sen x, sendo cos
-x ( -To) 2
d) cos x, sendo sen
( ; - x)
determine a valor de N:
a - 2 . cos b -
310
b) +
2 . cos a
2 5 =
-0,5.
s.
A
fun~ao
tangente
Quando estudamos as funs:oes seno e cosseno, fizemos uso da imagem fornecida pOl' uma roda-gigante para melhor compreendermos essas duas funs:oes. Vamos estudar agora uma nova nms:ao trigonometrica: a fun~ao tangente e, para tornar isso mais interessante, faremos uso novamente de uma roda-gigante. Voce sabe que reta tangente a uma circunferencia e uma reta que possui apenas um ponto em COml1111 com a CirCW1ferencia, e certamente alguma vez voce ja tras:ou uma l'eta como essa. Assim sendo, na roda-gigante, vamos considel'ar um eL\':o tangente a circunferencia no ponto A, ponto de embarque/desembal'que, conforme mosU-a a figura seguinte: Eixo tangente
Vm seu colega vai giral' na roda-gigante, enquanto voce, posicionado no chao, ao lado da roda, vai fical' observando. Em cada posis:ao que ele estivel', voce estara imaginando a reta que passa por ele e pelo cenu-o da roda-gigante, e tentando localizar 0 ponto T no qual a l'eta encontra 0 eixo tangente. As figuras seguintes mostram algumas posis:oes da roda-gigante destacando 0 ponto T, quando ele existe.
Enquanto aroda estiver parada, 0 ponto T coincide com 0 ponto A. Quando aroda comes:a a girar, voce ira notal' que 0 ponto Tvai se distanciando do ponto A, cada vez mais, cada vez mais... Quando seu colega estiver no ponto mais alto da roda-gigante, voce nao conseguira localizar mais 0 ponto T, pois 0 ponto T nao existe! Quando ele passar do ponto mais alto, e comes:ar a descer, voce notara que 0 ponto Treaparece, bem longe de A, mas na parte de baixo do eixo tangente. A medida que aroda continuar a girar, voce notara que 0 ponto T se aproxima cada vez mais do ponto A, mas sempre na parte de baixo. Quando seu colega atingil' 0 nivel, novamente 0 ponto Tvolta a coincidir com 0 ponto A. Ate al a roda-gigante ja deu meia volta. Continuando a girar ate completar a primeira volta, voce ira notar que 0 ponto T passara pelas mesmas posis:oes anteriores, e dai em diante, nas pr6ximas voltas dadas, tudo se repetira.
311
Assim, para cada
posi~ao
M que seu colega estiver na roda-gigante, existe em correspon-
dencia urn arco .AM que mede x, e existe em correspondencia urn desnlvel do ponto T com rela~ao ao ponta A. Dessa forma, 0 desnivel do ponto T com rela~ao ao ponto A e uma fun~ao de x. Alem disso, pelo fata de 0 ponto Tassumir as mesmas posi~6es apos a primeira meia volta, dizemos que essa fun~ao e periodica. Se voce entendeu bern isso, nao ten! dificuldade de entender a nova fun~ao que iremos agora estudar, chamada fun~o tangente. Para isso, tomemos urn sistema cartesiano ortogonal de origem 0 e urn ciclo trigonometrico de centro em 0, no qual A e a origem dos arcos, conforme mostra a figura: Eixo dos senos au
das ordenadas
--+------=.----4i-'-.... Eixo dos cossenos au das abscissas
Observe agora a figura. Nela foi tra~ado urn eixo que passa em A e e paralelo ao eixo dos senos. (0 sentido positivo desse eixo e indicado pela ponta da flecha.) Esse eixo e chamado eixo das tangentes. TI Para cada x E IR, tal que x*-2 + k· TI, com k E
7l.,
Eixo das tangentes
T(I. t)
A,
.------;~......:>.:'-----
..'---..... Eixo dos cossenos
corresponde urn unico ponto M
tal que .AM'mede x. X+1T Nessas condi~6es, a reta r que passa pOl' 8, Me pOl' 0 sempre encontra 0 eixo das tanRaio I gentes. Chamando de T esse ponto de encontro, e de t a sua ordenada, como a abscissa de sempre 1, entao as suas coordenadas serao: T(l, t)
Chamamos de tangente de x
nlimero real t, e
0
0
indicamos pOl':
tg x = t Entao, definimos como
fun~o
tangente
a func;:ao:
f: R 1 -> IR tal quef(x)
onde R 1
=
{x E IR Ix *-
; +k
.
TI,
k E
= tg x
7l.} .
Em seguida sera feita uma analise completa dessa
312
fun~ao.
• 0 dominio da hllls;ao y = tg x e R} =
{X E IR Ix *' ;
+k .
'TT,
k E
z}.
Dessa forma nao fazem parte do dominio as valores de x correspondentes a todos as areas de extremidade em B au B} (veja figura). Note que para esses areas nao haveria ponto de intersecs;ao T • A imagem da fi.ll1s;ao y = tg x e IR, au seja, 1m(f) = IR. • Periodo: a hllls;ao e peri6dica, de periodo 'TT rad. Observando a figura anterior, consideremos a ponto £1 simetrico de M com relas;ao ao ponto 0. Notemos que, se AM mede x, entao .AI; mede x + 'TT e, alem disso, esses arcos possuem a mesma tangente! De um modo geral, temos: tg x = tg(x Para k = 1 temos que tg x = tg(x +
• Sinal da temos:
fun~ao
y
= tg x:
12 quadrante
22 quadrante
Tangente positiva
Tangente negativa
'TT)
+ k·
'TT),
kE Z
e entao a periodo e
32 quadrante
42 quadrante
Tangente positiva
Tangente negativa
N,
=
rad.
estudando a sinal dessa hll1s;aO em cada um dos quadrantes,
[
I
• A funs;ao y
'TT
Resumo
I Q,
tg x e impar.
Observe as figuras: Eixo dos senos
Eixo das tangentes
Eixo das tangentes
-+----.,,-t-.;J"-----t'-'---., Eixo
dos cossenos
tg (-x)
Nos dais exemplos temos tg( - x) tg x existe. Concluindo:
y
=
T
-tg x. Isso ocorre para qualquer valor de x em que
tg x e funs;ao impar.
313
Grafico da
fun~ao
y = tg x
Mesmo sabendo que a funr;:ao e peri6dica, de periodo 1T, faremos x variar desde 0 ate 21T rad. o numero real 8 que aparece na tabela e urn numero positivo que tende a zero. Isso significa que a - 8 e urn numero que se aproxima de a, mas e menor que a; a + 8 e urn numero que se aproxima de a, mas e maior que a. Tabela ,
x rad
cresce de 0 para (
y
~
cresce de 0 para +00
- 8)
e igual a - 1T 2 cresce de (
tg x
nao existe
~
+ 8) ate 1T
cresce de -00 a 0
cresce de 1T para ( 3; _ 8)
cresce de 0 para + 00
e igual a 31T
nao existe
cresce de (3; + 8) ate 21T
cresce de - 00 a 0
2
Vamos entender 0 que esses sfmbolos significam. Na primeira linha aparece "x cresce de 0 para ( ; - 8)" e "y
=
tg x cresce de 0 para
+00". Isso significa que, quando x se aproxima de ~ por valores menores que ~,ou seja, 2 2 mantendo-se no 1 Q quadrante (indicamos por x
-+ ;
- ), 0
ponto T, intersecr;:ao da reta
+-+
OM com 0 eixo das tangentes, esta cada vez mais lange de A, ou melhor, a nfunero tg x cresce cada vez mais. Observe 0 grafico: o ponto de intersec~ao esti cada vez mais longe de A...
"1"1-.
... quando x se aproxima de
---t--,,;'----t'-'-~
por valores menores que
Eixo das tangentes
Simbolicamente indicamos:
314
Quando x
=
~ a tangente niio existe, pois nao hi ponto de intersecc;:ao da reta que
2 passa por 0 e M com
0
eixo das tangentes, pois essa reta
e paralela ao eixo.
Veja a figura: Paralelas
Vejarnos
0
que ocorre quando x
=
~
2
+ e, com e positivo e tendendo a zero.
Nessas condic;:6es x se aproxima de ~ mas mantendo-se no 2 2 quadrante, ou seja, por 2 valores maiores que ;
(indicamos por x
~ ; +) .
Note que, quanto mais proximo x estiver de ~) mais longe de A estari 0 ponto T 2 intersecc;:ao da reta que passa por 0 eM com 0 eixo das tangentes (agora no sentido negativo). 1sso significa que 0 nUmero tg x decresce cada vez mais. Veja
0
grifico:
-T 2f . .
Quando x se aproxima de par valores maiores que
ponto de intersec~ao esta cada vez mais longe de A.
... 0
'\Sentido negativo Simbolicarnente, temos:
Do mesmo modo analisamos
0
que ocorre quando x passa por
exerdcio. Utilizando as informac;:6es contidas na wtima tabela, construimos y = tg x. Esse grifico e chamado tangentoide.
315
37T 2 0
Fac;:a isso como grifico da func;:ao
Grilleo
~
Conjunto imagem
x
Perfodo'IT
Resumindo, temos: 1)
Fun~ao
y
tg x ou f(x)
=
2) 0 dominio
e D(f)
=
{X
tg x.
=
E IR
Ix *- ; + k
.
'IT,
kEd}.
3) 0 conjunto imagem e Im(f) = IR. 4) A fun~ao e periodica, de periodo 'IT rad. S) 0 sinal da fun~ao e: • positivo no P e no 3 Q quadrante; • negativo no 2 Q e no 4 Q quadrante. 6) A hll1<;ao e impar. 7) A fun<;ao e crescente em todos os quadrantes.
Observas:oes 1. E comum utilizarmos os valores de sen x e de cos x quando necessitamos achar tg x utilizando a rela~ao: tg x
0
valor da
sen x cos x
=
Lembremos que ja utilizamos essa rela<;ao quando x era a medida de urn dos angulos agudos de urn triangulo retingulo. No entanto, essa rela<;ao e verdadeira para qualquer valor real de x tal que cos x *- O. 2. 0 periodo da fun~ao )' = tg (kx) (k *- 0) e dado por 1:1' Assim, por exemplo, a hll1<;ao
)' = tg 8x e periodica, de periodo
1;1' ou seja,
;
rad.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1 Achar 0 dominio e a) y
= tg
0
(x + ~ )
periodo das fun<;oes: b) f(x) = tg (4x)
316
SolUfiio
a) y
=
(x + :
tg
)
Devemos ter:
'IT
X
=,xi=
o dominio e:
'IT
+ 4
- ~ + lz . 'IT Ie
'IT
4'
2
f
D(f) =
+ Ie • 'IT, Ie E 7L
i="2
E IRlx i= :
E 7L
+k·
=,
'IT,
=,
x i= ~ + Ie • 'IT, Ie E 7L
4
Ie E 7L}
o periodo e 'IT rad. b) f(x) = tg (4x) Devemos ter: 4x i=
Portanto,
2
e:
dominic
0
o periodo e 4'IT
+k·'lT IzE7L ,
'IT
{x
D(f) =
=,
E IRlx i=
= 43
SolUfiio
E 7L} .
e tg x
=
=
-4 5 .
-,7 3
t
a) tg x = ?
=
Temos: tg x
tg x
+ k· : ' k
-3 e cos x 5
=
quadrante do arco x, sendo cos x
0
~
rad.
Exemplo 2 Determinar 0 que se pede: a) tg x eo quadrante do arco x, sendo sen x
b) sen x e
xi= ~ +k' ~ kE7L 8 4 '
-3 5
= -4
sen x . Entao: cos x
=,
tg
X
=
• Sinal do seno • Sinal do cosseno
3 4
5 Como
0
sene e
0
cosseno sao negativos, concluimos que x
e do 3
Q
quadrante (ver figura).
b) sen x = ? Temos que tg x
sen x
=
3
=
sen x cos x 3 4
=,
Como 0 sene e negativo e figura do item a).
=,
sen x
sen x 0
=
tg x . cos x. Entao:
=
cosseno
e positivo, concluimos que x e do 4 317
Q
quadrante (ver
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
23. De 0 perfodo de cada uma das funQoes: a) y = tg
(x - ~ )
b) ((x) = tg (
24. Determine a) y = tg
b)
Y = tg
0
26. De
7T
~)
d) ((x)
=
2;)
tg (
~
-
;
)
domfnio das funQoes seguintes:
(x +
~
)
c) y = tg (-
(2X - ;)
25. Na funQ8.o ((x) a)
c) y = tg (
~)
d) ((x) = tg ( 5; + ; )
= tg (m . x), determine 0 valor de m tal que 0 perfodo da funQ8.o seja:
rad
~
b)
4
rad
c)
rad
27T
3
0 domfnio e 0 perfodo de cada uma das funQoes:
a) y = 2 . tg ( 23x
- 67T
)
b) ((x)
(;
= 3 + tg
-
~
)
27. Determine 0 quadrante do arco que mede x, nos casos seguintes: a) (sen x) . (cos x)
6. Outras
>0
b) (sen x) . (tg x)
<0
c) (tg x) . (cos x)
<0
fun~oes trigonometricas
Existem ainda outras tres func;:6es trigonometricas, as quais serao mostradas apenas como relac;:6es com 0 seno e com 0 cosseno. cos x Vma delas e a fun~ao cotangente de x, definida por cotg x = - - - , para todo x E IR sen x tal que sen x -=/= 0, ou seja:
D(f)
=
Ix E IR x
, E interessante observar que, como tg x
=
existir e nao for nula. Outra delas e a que cos x
-=/=
fun~ao
-=/=
k·
sen x cos x
---,
TI,
k E Z}
temos cotg x
secante de x, definida por sec x
=
{x
E IR Ix
-=/=
+k .
;
TI,
que sen x
-=/=
---,
k E
A outra e a fun~ao cossecante de x, definida por cossec x
=
0, ou seja:
D(f)
=
Ix E IR x
-=/=
k·
TI,
para todo x E IR tal
z} 1 sen x
---,
para todo x E IR tal
k E Z}
Como exerdcio, fac;:a um estudo completo dessas func;:6es, seguindo ja vistas.
318
1 sempre que tg x tg x
--
1 cos x
=
0, ou seja:
D(f)
=
0
roteiro das func;:6es
EXERCiclO PROPOSTO 28. Determine
0
que se pede em cada caso:
a) cotg x, sendo sen x b) tg
-,3
=
- 2 - e cos x
1
=
2'
f)
x, sendo cotg x = 3.
sec x, sendo cos x =
-,5 3
g) cos x, sendo sec x = "\ 7 .
c) cotg x, sendo tg x =
-4 5 '
d) sec x, sendo cos x =
~
-,7
h) cossec x, sendo sen x = - 8 - ' i) sen x, sendo cossec x = -10.
.
e) cos x, sendo sec x = -5.
7.
Rela~oes
entre as
fun~oes trigonometricas
Agora que estudamos as varias func;:oes trigonometricas, veremos algumas importantes relac;:oes entre elas. A figura abaixo mostra um ciclo trigonometrico, no qual foi destacado um arco AM que mede x rad.
B
Urn zoom (ou seja, urn detalhe ampliado) no triangulo rerangulo OMM1 nos fornece: M
sen x
x
o.L------c-o-s x----L:.J M1 Aplicando nele
0
teorema de Pitagoras, obtemos: (senx)2
+ (COSX)2 =
p~
(senx)2
+ (COSX)2 = 1
A igualdade acima costuma ser indicada assim:
I sen 2 x
+ cos2 X
=
1
I
319
Relac;:ao fundamental
Observas:ao: a rela<;:ao vista e verdadeira para todo x real, mesmo quando a triangulo nao existe, au seja, quando a ponto M coincidir com B, AI au A. Urn zoom no triangulo rerangulo OAT nos fornece: T
,,\M /'
~ tg x
#
sen
x
~x
~ 0
cos
M,
X
A
Os triangulos OMIM e OAT sao semelhantes, pais possuem angulos de mesma medida. Assim sendo, seus lados hom610gos sao proporcionais. Portanto: OT = OA OM OMI
=>
1 cos x
OT 1
=>
OT = sec x
*
A rela<;:ao acima e verdadeira para todo x tal que cos x o. E importante que voce observe na figura que sec x se identifica com OT. Sabendo portanto que OT = sec x, temos: T
tg x
x
o
A
Aplicando a teorema de Pitigoras no triangulo rerangulo OAT, encontramos: 1
+ (tg X)2
=
(sec X)2
=
sec 2 x
Essa rela<;:ao costuma ser indicada assim: I 1
+ tg 2
X
A rela<;:ao acima e verdadeira sempre que as fun<;:6es nela envolvidas existam, au seja, quando M nao coincidir com B au com B j • Nem disso, temos: 1
+ cotg 2
X
= 1+
cos 2 x sen
2
x
sen 2 x
+ cos 2
X
?
sen- x
1 + cotg 2
X
=
320
cossec 2 x
_-=l=----_ = cossec 2 x, au seja: sen 2 x
I
Resumindo, temos que, para qualquer valor real de x para validas as seguintes afirmas:oes:
0
qual as funs:oes existem, sao
sen 2 x + cos 2 X = 1 1 + tg 2 X = sec 2 x 1 + cotg 2 X = cossec 2 x Observas:ao: relas:oes desse tipo, que fornecem sentens:as numericas verdadeiras para qualquer valor de x para 0 qual as funs:oes existem, sao chamadas identidades. Em seguida vamos resolver alguns problemas que envolvem as relas:oes acima.
Exemplo 1
=
Sabendo que sen x
1 ,com 4
'IT
2
determine:
'IT,
a) cos x
b) tg x
SolUfao
a) cos x
=
Temos que sen 2 x =>
cos 2
X
+ cos 2 X = 1 =>
(
y
~
+ cos 2 X = 1 => cos 2 X = 1 -
~.
=
16
Como x e do 2 Q quadrante,
0
valor do cosseno e negativo.
,---
15 = '\ 16
Portanto: cos x
,ou seja, cos x
b) tg x = ?
Como tg x
sen x cos x
=
=>
tg x
=
1 4
=
-1
ou
'\15
Exemplo 2 r-
Sendo tg x = '\ 2
com
'IT
<
3'IT
X
< --, achar 0 valor de: 2
a) cos x
b) sec x
c) sen x
SolUfao
a) cos x = ? Temos que 1 + tg 2 Entao: 1 =>
1 cos 2
Como
0
X
= sec 2 x.
+ ( '\2 )2 = sec 2 x =
3
=>
cos 2
X
=>
sec 2 x = 1
+2
=>
( __ 1_)2
cos x
= .-L. 3
X
cosseno e negativo no 3 Q quadrante, temos: cos x
=
1
'\ 3
=>
321
cos x
=
= 3
=>
11 6
=>
b) sec x = ? 1 Temos sec x = cos x
1
sec x =
=>
------,o~
-./3
-3 ./3
sec x =
=>
r;;;;-
=>
sec x = --v3 .
3 c) sen x = ? sen x cos x
Temos que
= tg x.
-./3 ~ Entao sen x = cos x . tg x = - - . -V 2
sen x =
=>
3
-0/6 3
EXERCICIOS PROPOSTOS
_
29. Das sentenyas abaixo, determine as verdadeiras: a) b) c) d) e)
sen 2 (60°) + cos 2 (60°) = sen 2 (20°) + sen 2 (70°) = sen (25°) + cos (25°) = 1 sen 2 (35°) + cos 2 (55°) = sen 2 (15°) + cos 2 (15°) =
f)
1 - sen 2
(
:
)
= cos 2
1 1 1 sen 2 (20°) :
(
+ cos 2 (20°)
)
30. Determine:
-3
= 5 ' com
a) sen x, sabendo que cos x
~
b) cos a, sendo 0 < a <
e sen a
2
x do 2Q quadrante.
= ~ . 4
c) sen x, sabendo que x
e do 3
d) cos x, sendo sen x
- 2 - e x do 4Q quadrante.
=
e) sen (-x), sendo cos x f)
Q
quadrante e que cos x
--./3
1
2
=
0
=
+
e xe do 4Q quadrante.
que se pede em cada caso:
a) sen x e tg x, sabendo que x
e do 2
b) tg x, sabendo que cotg x
3'
Q
quadrante e que cos x =
14
=
To
2'
=8e0<
x
<
d) cossec x, sabendo que tg x
=
5 e que x
c) tg x, sendo sec x
,5
e) cos x e sen x, sendo tg x = -3- e f)
To
2'
eO < x <
cos x, sabendo que sen (-x)
31. Determine
-1
= 2 .
sen x + cos x, sendo tg x
=
-4 5 e
To
e do 1
< To
2
Q
X
<
quadrante.
3To
2'
< x<
322
To.
-3 4
.
Exemplo 3 Determine bern
0
valor de m tal que sen x
1+m
=
5
e que cos x
=
-
2m 5
--.
D etermme . tam-
quadrante do arco x.
0
Solu~iio
@ Sabemos que -1 :;;;: sen
x:;;;:
Sabemos ainda que sen 2 x
1+m
5
(
1 e que -1 :;;;: cos
1 + 2m + m 2
4m 2
25
25
------+--
1 =>
+ 2m + m 2 + 4m 2 = 25 => 5m 2 + 2m - 24 = 0
Resolvendo essa equa<;ao encontramos m • Para m
1.
+ cos 2 X = 1. Entao:
)2 + (2 m )2 - 5 - =1=>
=> 1
x:;;;:
=
2 ou m
=
12 5
e cos x
=
--
= 2, obtemos: sen x =
3 5
4 5
CD
Para esses valores, tanto a condi<;ao como a condi<;ao @ sao verdadeiras. Entao, m = 2 e uma solu<;ao do problema. Como sen x e positivo e cos x negativo, e do 2 Q quadrante. • Para m
=
0
arco x
12 5 'obtemos' · .
- --
sen x
7 25
=
---
e cos x =
CD
24 25
®
Para esses valores, tanto a condi<;ao como a condi<;ao sao verdadeiras. 12 , 1 d bl C , . e cos x e,pOSltIVO, . . E ntao, m = - 5 e outra so u<;ao 0 pro ema. omo sen x e negatIvo entao
0
arco x e do 4 Q quadrante.
EXERCICIO PROPOSTO 32. Determine 0 valor de m, equal 0 quadrante do arco x, de modo que se tenha:
m,'5
m + 1 e cos x 3
a) sen x
= ---
= ---
b) sen x
=
3m 8
,55m 8
c) cos x
=
,7m
3
ecosx=
- 2 - e sen x
=
-3m 2
323
8. Identidades trigonornetrieas Vimos no item anterior a nos:ao de identidade. Vamos mostrar agora quando uma sentens:a do tipo f(x) = g(x) e uma identidade. Se a sentens:a f(x) = g(x) for realmente uma identidade, urn born caminho para pravar isso consiste em transformar 0 membra que apresenta expressao mais complicada na expressao do outro membra. Para isso lltilizaremos as regras usuais da Algebra e as relas:oes trigonometricas. Caso os dois membras apresentem expressoes igllalmente complicadas, podemos transformar, cada urn deles, em uma mesma expressao mais simples que as anteriores. Exemplo Verificar a identidade cotg x
= cossec x -
f(x)
sen x 1
+ cos
X
I
g(x)
So/urao A expressao do 2 Q membra g(x) e a mais complicada. Temos:
g(x)
= cossec x -
sen x 1 + cos x
sen x 1 + cos x
sen x
1
+ cos x - sen 2 x sen x (1 + cos x) 1
~
1 - sen 2 x + cos x g(x)=------sen x (1 + cos x)
cos 2 X + cos x sen x (1 + cos x)
cos x . -9--+-oos-x; sen x . -tJ-+-co x
=
cos x sen x
=
1
= cotg x = f(x) Entao f(x)
= g(x)
e verdadeira para qualquer valor de x onde as funs:oes estao definidas.
EXERCiclO PROPOSTO 33. Verifique as seguintes identidades: a) sec x + cotg x = (cossec x) . (cos x + tg x) b) sec 2 e + cossec 2 e = sec 2 e . cossec 2 e c) tg 2 e + tg 4 e = sec 4 e - sec 2 e
9. Reeorreneia a urn area do prirneiro quadrante A figura mostra urn ciclo trigonometrico de centra 0, em urn sistema de coordenadas cartesianas ortogonais de origem em O. Sabemos que cada uma das quatro regioes do plano OXY, assim obtidas, e chamada quadrante.
Eixo dos senos 2° quadrant.
_+-__---:~---+A~EiXOdos 0l'----.,r-~I
3° quadrant.
324
1° quadrant.
cossenos
4° quadrant.
Nosso objetivo agora e: dado um arco .A::M de medida x (nao do 1 Q quadrante), encontrar, no 1 Q quadrante, um arco de medida Xl> cujas fun~6es trigonometricas tenham, em valor absoluto, os mesmos valores das do arco x. Isso significa dizer que iremos procurar um arco XI do 1 Q quam'ante, tal que: em que f e uma das fun~6es trigonometricas. o arco Xl do 1 Q quadrante e chamado areo auxiliar. Seja portanto X a primeira determinaS;ao positiva do arco dado. Temos os seguintes casos a considerar: X e do 2 Q , ou do 3 Q OU do 4 Q quadrante. Veremos isso caso a caso.
Recorrencia ao 12 quadrante quando tern extrernidade no 22 quadrante
.-------....
arco AM
0
t
EiXO dos
senos A figura mostra 0 arco .A::M , que mede X. x Tomando no cido 0 ponto M], simetrico do sen x e sen (7T - x) ponto M com rela~ao ao eixo dos senos, temos M que a medida de ~ ('IT - x). Dois arcos, um de medida X e outro de -++-----,-;"j-_ _+-+_~ Eixo dos medida ('IT - x) sao chamados areos supleo cossenos mentares. Um deles e 0 suplemento do outro. Observando a figura, vemos que os arcos cos (7T - x) cos x .A::M e AM; possuem: • 0 mesmo seno, • cossenos simetricos (ou seja, mesmo valor absoluto e sinais contrarios).
e
Dessa forma, temos: sen x = sen ('IT - x) cos x = -cos ('IT - x) tg x =
cotg x
=> tg x = - tg ('IT - x)
sen ('IT - x) - cos ('IT - x) - cos ('IT - x) sen ('IT - x)
=
sec x = cossec x
1 cos x
=
1 sen x
=> cotg x = -cotg ('IT - x)
1 - cos ('IT - x)
=>secx=-sec('IT-x)
1 sen ('IT - x)
=> cossec x = cossec ('IT - x)
Resumindo, se ~ < x < 'IT, temos: 2 sen x = sen ('IT - x) cos x = -cos ('IT - x)
tg x = - tg ('IT - x) cotg x = -cotg ('IT - x)
sec x = -sec ('IT - x) cossec x = cossec ('IT - x)
Achar AM; bem como as respectivas fun~6es trigonometricas e ao 1 Q quadrante.
325
0
mesmo que "reduzir"
Exemplo Reeorrendo a urn areo do 1 Q qlladrante, expressar sen x, eos x e tg x dos areos eujas rnedidas sao: 2'IT 3'IT a) x = 135° b) x = -210° d) x = rad e) x = 840° e) x = 4 rad 3 So/urao a) x = 135° o areo auxiliar do 1 Q qlladrante rnede 180° - 135° Entao: rsen 135°
=
sen 45°
cos 135°
=
-cos 45°
tg 135°
=
-tg 45°
45°.
"\/2
=
=
=
2 =
-1
b) x = -210° (Observe que agora 0 arco e negativo.) Veja a figura. Ela rnostra que a prirneira deterrninas:ao positiva do arco rnede 360° - 210° = 150° e tern a extrernidade no 2 Q qlladrante. o areo auxiliar do 1 Q qlladrante rnede 180° - 150° = 30°. Entao: 1 sen (-210°) = sen 150° = sen 30° = 2 cos (-210°) tg (-210°) e) x
ISO·
"
_ 210·
o
A
= eos 150° = -cos 30° = 3 3
= tg 150° = -tg 30° =
= 840°
840° 1360° 120°
2 (voltas)
Os valores das nUW6es trigonornetrieas do arco que rnede 840° sao os rnesrnos das funs:6es trigonornetrieas do arco que mede 120° (areo do 2 Q quadrante). o areo auxiliar do 1 Q quadrante rnede 180° - 120° = 60°. Entao: 3 sen 840° = sen 120° = sen 60° = 2 eos 840° tg 840° d) x
=
= cos 120° = -eos 60° =
= tg 120° = -tg 60° =
1 2
-.J3
2'IT rad 3
o areo amdliar do 1
Q
qlladrante rnede 'IT -
2'IT 3
326
'IT
3
(rad).
Entao: 2TI sen - 3
2TI cos - 3
=
TI
sen
,3 -2
"
.)
=
-cos
-
TI 3
1 2
,.-
TI 2TI tg - - = -tg 3 3
e) x
-
-\3
3TI rad
=
4
a
Entao: sen
-
cos
-
3TI
4 3TI
4
tg 3TI
sen
=
-cos
= -tg
4
,.-
4 TI
-J2
--
4
TI
4
(rad).
,2 -2
TI
=
TI "4
3TI 4
arco auxiliar do 1 Q quadrante mede TI -
2
= -1
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
34. Recorrendo a um arco do 1Q quadrante, fornec;:a os valores de sen x, cos x e tg x nos casos abaixo: a) x= 1500
5'll' b) X= - - rad 4
35. Recorrendo a um arco do 1Q quadrante, determine cotg
a) x= 1200
b) X=
4'll' 5
17'll' d) x= - - rad 6
c) X= 12000
rad
x, sec x e cossec x, nos casos seguintes: c) X= -240°
36. Simplifique:
3·'ll' sen 164° . cos 130° . tg - 5 a)
N
=
2·'ll' tg - 5 - . sen 884° . cos 50°
3·'ll' sen(-2300) . cos - 4 - . tg 460° b)
N
= -----------'-----tg 80° . sen 50°
Recorrencia ao 12 quadrante quando tern extrernidade no 3 2 quadrante
0
----------arco AM
A figura da pagina seguinte mostra 0 area.A.M', que mede x. Tomando no cicio 0 ponto M 1, simetrico do ponto M, com rela<;:ao ao centro 0, temos que a medida de ~ e (x - 1T ). Dois arcos, urn de medida x e outro de medida (x - 1T), sao chamados arcos explementares.
327
y
Eixo dos senos
X -11
cos (X - To)
cos x
_+-_....!--_*_~_+A_~ X
Eixo dos cossenos
X
M
Observando a figura, vemos que os arcos AM e .AM; possuem senos simetricos (ou seja, mesmo valor absoluto e sinais contrarios) e cossenos tambem simetricos. Nessas condi<;6es, temos: sen x = -sen (x - 1T) cos X = -cos (x - 1T) tg x
-----'----------'--- =
- cos (x - 1T) -sen (x _ 1T)
cos x sen x
cotg x = sec x
-sen (x - 1T) - cos (x - 1T)
sen x cos x
-- -
=
1 cos x
cossec x
1 -cos (x - 1T)
=
1 1 ---------,-----,-
= =
-sen (x - 1T)
sen x
Resumindo, se 1T < sen x cos X
= cotg (x -
---------,-----,-
=
X
tg (x - 1T)
1T)
-sec (x - 1T) - cossec (x - 1T)
< 31T, temos que: 2
sec x = -sec (x - 1T) cossec x = -cossec (x - 1T)
tg x = tg (x - 1T) cotg X = cotg (x - 1T)
-sen (x - 1T) -cos (x - 1T)
Exemplo Recorrendo a urn arco do 1 Q quadrante, determine sen x, cos x e tg x, para os arcos x abaixo: a) x = 240° b) x = 51T rad c) x = -140° d) x = 200°20' 4
Soluyao a) x = 240° o arco auxiliar do 1 Q quadrante mede 240° - 180° Entao: sen 240 0
= -
cos 240°
=
tg 240 0
=
sen 60°
=
-cos 60 0
=
tg 60 0
=
\
,3 2 1
--
2
3
328
= 60°.
b) x =
5'IT rad 4
o arco auxiliar do 1
Q
quadrante mede 5'IT - 'IT =
4
'IT
4
Entio: sen
-
cos
-
--12
5'IT 'IT = -sen 4 4
--
2 ,-,2 -2
'IT 5'IT = -cos 4 4
tg - 5'IT = tg 'IT 4 4
=
1
c) x = -140° A primeira determinas:ao positiva desse arco e 360° - 140° = 220°. o arco auxiliar do 1 Q quadrante mede 220° - 180° = 40°. Entao: sen (-140°) = sen 220° = -sen 40° cos (-140°) = cos 220° = -cos 40° tg (-140°) = tg 220° = tg 40°
d) x
200°20 arco auxiliar do 1 Q quadrante mede 200°20 I Entao: sen 200°20 = -sen 20°20 cos 200°20 = -cos 20°20 tg 200°20 I = tg 20°20 I =
I
o
I
I
I
I
-
180°
=
20°20
I •
EXERCICIOS PROPOSTOS
_
37. Recorrendo a um arco do 1Q quadrante, determine sen x, cos x e tg x nos casos:
a) x = -120°
b) x =
8T1
rad
c) x = -150°
7
38. Recorrendo a um arco do 1Q quadrante, determine
N
=
cotg 225°
0
valor de N sendo:
-3T1 ) . + tg ( -4-
Reeorrencia ao 12 quadrante quando tern extrernidade no 4 2 quadrante
0
---------areo AM
A figura da pagina seguinte mostra 0 arco AM, que mede x. Tomando no cicio 0 ponto M 1, simetrico do ponto M com relas:ao ao eixo dos cossenos, temos que a medida de ~ e (2'IT - x). Dois arcos, um de medida xe outro de medida (2 'IT - x), sao chamados areos replementares.
329
rtEixo dos senos
2" -x
- - / - - - - - - k -__ -+-.. Eixo dos D
x cossenos
M
x
Observando a figura, vemos que os arcos AM' e .AM; possuem senos simetricos (mesmo valor absoluto e sinais contrarios) e 0 mesmo cosseno. Nessas condi~oes, temos: sen x = -sen (27T - x) cos x = cos (27T - x) tg x = -tg (27T - x) cotg x = -cotg (27T - x) sec x = sec (27T - x) cossec x = -cossec (27T - x) Exemplo 1 Recorrendo a urn arco do 1 Q quadrante, determinar sen x, cos x e tg x nos casos: 97T a)x=300° b)x= rad c)x=675°
5
SolUfio
a) x = 300 0 o arco auxiliar do 1 Q quadrante mede 360 0 Entao:
300 0 = 60 0 •
'\13 2
sen 300 0 = -sen 60 0 = cos 300 0 = cos 60 0 =
-
1 2
tg 300 0 = -tg 60 0 = -·,J3
97T b) x = -5- rad
o arco auxiliar do 1
Q
quadrante mede 27T -
Entao:
97T 7T -sen 5 5 97T 7T cos - - = cos 5 5
sen
tg
--
97T 5
7T -tg 5
330
97T 5
7T 5
c) x = 675° Temos: 675°
360° + 315°
=
1 volta
o orco auxiliar do 1 Q quadrante mede 360° - 315° Entao: sen 675°
-sen 45°
=
=
45°,
=
r-
'\2
cos 675° = cos 45° = - 2 tg 675°
=
-tg 45°
-1
=
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
39. Recorrendo a um area do 1Q quadrante. calcule sen x e cos x nos casas: a) x
= 690°
b) x
15w = - rad
c) x
4
= -60°
d) x
-w = - rad
40. Calcule a valor de N nos casas seguintes: a) N
=
sen 150° + 2 ' cos 225° - tg (-45°)
b) N
=
3 . cos ( 3; ) - 2 . sen ( 1~w ) - sec ( 1 ~ )
c) N
= sen 390° - 2 . cos 150° + tg 240° - cos (-120°)
d) N = cos ( 5; ) - sen (
-~w
)
+ 2 . sen ( 5; ) + cos ( 9; )
Exemplo 2 Simplificar: sen (~ - x ) . cos ( 3; + x ) N=-----------cos (' ~ + sen ('IT +
x) .
x)
So/urao Temos que:
x) = cos x cos ( 3; + x) = cos [2'IT - ( 3; + x)] = cos ( ; - x) = sen x cos ( ; + x) = -cos ['IT - (~ + x)] -cos ( ; - x) -sen x sen ('IT + x) = -sen [('IT + x) -'IT] -sen x sen
(~
-
=
=
Substituindo as valores encontrados, obtemos: cos sen cos N = - - - - - - - - - = - - - = cotg x -senx'(-senx) sen x
x.
x
x
331
6
EXERCiclO PROPOSTO 41. Simplifique as express6es abaixo, considerando 0 a) y
= sen ( 3; -
b) Y
=
sen
x) + cos (
x) - 2 sen ('IT + x)
+
;
'IT
< x < 2'
(x - f ) + 2 cos (x - -T)
4 cos (3; + c) y= sen ('IT +
x) + sen ('IT - x)
x) - tg (
;
+
x)
+ cos
(-x) - cotg (x _ 3; )
f - x) .cos ( f + x) sen ( ; + x) . cos ( ; - x)
sen ( d) Y
=
10. Calculo dos valores das fun~oes trigonometricas Quando estudamos a trigonometria no triingulo reta.ngulo, aprendemos a calcular as valores das fi.ll1~6es trigonometricas para a.ngulos menores que 90°. Naquela oportunidade, voce aprendeu a utilizar uma tabela de valores para calcular senos e eassenos daqueles ingulos. Pais bem, com a usa daquela tabela, agora temos condi~6es de calcular as valores das diversas fun~6es trigonometricas de um area que mede x, para qualquer valor de x! Se tivermos em mao uma calculadora cientifica, a calculo e imediato, eamo ja foi vista naquela oportunidade. Como complemema<;ao, daremas apenas um exemplo onde ocorrem calculos aproximados, utilizando a tabela reproduzida abaixo. Tabua de senos e cossenos ,
Seno
ICosseno I
16° 17° 18° 19° 20°
0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420
0,961 3 0,9563 0,9511 0,9455 0,9397
31 ° 32°
0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 0,9848
2P 22° 23° 24° 25°
0,3584 0,3746 0,3907 3,4067 0,4226
0,9816 0,978 1 0,9744 0,9703 0,9659
26° 27° 28° 29° 30°
0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000
St..'no
I Cosseno I
An:o
1° 2° 3° 4° 5°
0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872
0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962
6° 7° 8° 9° 10°
0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736
11° 12° 13° 14° 15°
0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588
ArCl)
:
I
332
Arco
I
Sena
I Cosseno
34° 35°
0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736
0,8572 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192
0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063
36° 37° 38° 39° 40°
0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428
0,8090 0,7986 0,7880 0,7771 0,7660
0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 0,8660
41 ° 42° 43° 44° 45°
0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071
0,7547 0,7431 0,7314 0,7193 0,7071
33°
Exemplo Calcular 0 valor de: N = cos 140° - sen 100°
+ sen 230° - tg 320°
[1]
SolUfaO Faremos uso: • do que vimos sobre recorrencia a arco do 1 Q quadrante; • da tabela dos valores de senos e cossenos; • do conhecimento de que, quando dois arcos somam 90°, 0 sene de urn deles e igual ao cossene do outro. Assim, calculando separadamente cada parcela do segundo membra de [1], temos: cos 140° = -cos 40° = -0,7660 sen 100° = sen 80° = cos 10° = 0,9848 sen 230° = -sen 50° = -cos 40° = -0,7660
tg 320°
=
-tg 40°
= -
sen 40°
0, 642 8
cos 40°
0,7660
= 0,8392
Substituindo esses valores em [1], encontramos: N
=
-0,7660 - 0,9848
+ (-0,7660) - 0,8392
=
-1,8240
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
42. Calcule: a) sen 43° b) cos 11JO
c) tg 148° d) sec 138°
e) sen 250° f) cotg 254°
g) cossec 312°
h) sen 340°
43. Calcule a valor de P: a) P = 3 . cos 310° - 4 . sen 95° + 2 . tg (-56°)
b) P = tg (285°) + 2· cos (-215°) sen (-134°) - tg (330°)
Complementos sobre a lei dos senos e a lei dos cossenos Quando estudamos a trigonometria no triangulo, vimos duas leis muito importantes: a lei dos senos e a lei dos cossenos. No entanto, naquela oportunidade, a veracidade dessas duas leis apenas se referia a urn triangulo acutangulo. Agora que ja aprendemos as fi.1l1c;:6es trigonometricas de quaisquer arcos (ou quaisquer angulos), e importante saber que aquelas duas leis sao verdadeiras para qualquer triangulo. Assim, para um triangulo ABC qualquer,
'~ A
B
c
sao verdadeiras as seguintes afirmaC;:6es:
Lei dos senos
a sen A
b sen B
Lei dos cossenos c sen C
a2 2
b c2
333
= b2 + c2 = a 2 + c2 = a 2 + b2 -
2 . b· c· cos A 2 . a· c· cos B 2 . a· b· cos C
Exemplo 1 No triangulo ABC mostrado na figura ao lado, determine 0 valor de x, utilizando a lei dos eossenos.
c x 30 em
40 em
A
B
Solurao Aplieando a lei dos eossenos, temos: Xl
1600 + 900 - 2 . 30 . 40 . cos (120°)
=
~
Xl
=
2 500 - 2400· (-
~ Xl
= 3 700
~ X
~
)
~
~
= 60,82
o valor de X e aproximadamente 60,82 em. Exemplo 2 No triangulo ABC mostrado na figura ao lado, determine 0 valor de x e de y, utilizando a lei dos senos.
C
~",m A
~
~.
B
x
Solurao Como 0 triangulo tem dois angulos medindo 30°, ele e isosceles, portanto y = 45 em. o angulo C mede 180° - 30° - 30°, ou seja, C mede 120°. Conforme 0 problema exige, utilizaremos a lei dos senos. Temos:
45 sen 30°
45 sen 30°
x ----~x sen 120°
45'~
45 . sen 120° sen 30°
___2_~ x = 45· --/3
1 2
Entao x = 45..J3 em.
EXERCiclO PROPOSTO 44. Calcule os elementos desconhecidos nos triangulos abaixo. a)
c)
b)
;rc/....
Q
'---'
15°
Cl.
// "A1"-
Cl.
65 m
x
Y 45°
30° - - 50em
~
B
A
45° 60 I>]
334
120°
C
~L._--,~,----.:::,.
y
x
TUNEL DO TEMPO A ideia da fun<;:ao corda, precursora da nossa fun<;:ao seno, foi trabalhada com bastante intensidade durante muitos seculos anteriores a Ptolomeu. No seu Almagesto, obra composta de 13 livros, em que sao estudados os movimentos dos planetas, aparece uma tibua da fun<;:ao corda, desde 0,5 grau ate 180 graus, de meio em meio grau. A fun<;:ao corda relacionava urn arco de circunferencia com a corda respectiva. Com a natural evolu<;:ao do pensamento matemitico, quando alguem pensou em utilizar uma tibua relacionando a metade da corda de urn arco duplo, estava inventada a nossa fun~o seno, que em latim era designada sinus. Hi registros de que, por volta do secu10 V de nossa era, 0 matemitico hindu Aryabhata ji calculava essas semicordas. Fun~ao
Fun~ao
corda
seno
5emicorda Raio
Corda
Raio
Relaciona a corda com ex.
Relaciona a semicorda com
13.
o termo co-sinus foi utilizado pela primeira vez no seculo XVII, por Edmund Gunter, para indicar 0 sene do complemento, combinando as palavras "complemento" e "sinus", que em pOl·tugueS ficou cosseno. Ideias equivalentes as nossas conhecidas fun<;:6es tangente e cotangente apareceram hi mais de tres milenios, tanto em dlculos relativos a constru<;:ao de pira.mides, como em dlculos envolvendo relogios de sol. Esses relogios mostravanl a rela<;:ao entre as horas do dia com 0 comprimento da sombra de uma vara, chamada gnomon. No caso de a vara ser vertical, a sombra era projetada no chao, e no caso de ser horizontal, a sombra era projetada numa parede. Veja isso nas figuras seguintes. ~ol
~Ol
~~"
Haste vertical (a)
l>; \, Haste horizontal (a)
'[' ' '1 ..
= tgS '"""
sf"" b
n;;;;;;;;;;;;;;;;,)'",,,;)
a=cotg
~ 50mbra horizontal (b)
,,
Rel6gio de sol situado em Tiradentes - MG.
335
I I.
Fun~oes trigonometricas
inversas
Quando, em estudos anteriores, aprendemos os conceitos de func;:ao inversa, vimos que somente as func;:oes bijetoras (ou seja, injetoras e sobrejetoras) tinham inversa. Veremos agora como ajustar aqueles conceitos para as func;:oes trigonometricas aprendidas.
Fun~ao
arco-seno
Van10s rever a definic;:ao da func;:ao sene: f: IR
--+
IR tal quef(x)
=
sen x
Agora veja 0 grafico dessa func;:ao:
__ L
_
- r - -
- - - - -; . ,JI'
--
0,"
-31T -2-
......
-7T
2
............- ...._..:,
" x
' -
-I
Por ele, vemos que a func;:ao nao e sobrejetora, pois a imagem dela e 1m (f) = [-1,1] e o seu contradominio e IR. A figura mostra tambem que a func;:ao nao e injetora, pois, para urn mesmo valor Xl E IR, existem infinitos valores de x, tais que sen X = sen Xl' como, por exemplo, sen
'IT -3'IT ) = 1 "'2 = sen ( -2-
Entao, nas condic;:oes apresentadas, a func;:ao y = sen X nao possui inversa. No entanto, podemos restringir 0 contradominio ao conjunto [ -1, 1], intervalo esse onde estao todos os valores de sen X para qualquer X E IR. Fazendo isso, a func;:ao e sobrejetora. Vamos agora restringir 0 dominio, de modo que a func;:ao seja tambern injetora. Existem infinitos intervalos onde tal peculiaridade ocorre, como, por exemplo, L = [ ; ; 3;] (veja figura). No entanto, convencionamos adotar para domlnio 0 intervalo
[ - ; ; ; ] , no qual a mesma peculiaridade tambem ocorre. Dessa forma ternos a func;:ao P : [ - ; ; ; ]
--+
[-1, 1], definida por P(x)
=
sen x.
Nessas condic;:oes a func;:ao e bijetora e, portanto, tern inversa. Ela e definida assim:
p- I
: [
-1, 1]
--+ [ -
;
;
;]
tal que p- 1 (y)
= arc sen y (entende-se:
336
arco cujo seno e y).
Veja
0
esquema: Dominic
F
x = arc sen y
Exemplo 1 Achar y nos casos seguintes: a) y
=
arc sen ~ 2
b) y
= arc sen ( --"\3 2- )
c) y
=
3 . cos (arc sen
~
)
SolUfao 1T
1T
2
2
--:;;;;y:;;;;-
a)
y
1 2
= arc sen
e
=>
sen y = Portanto: y
=
y
=
1T
6 a
1 2
rad.
1T
6
-Ii
2"
b)
7T
"2
y
=
arc sen
-.J3 ) ( --2-
=>
e
3
-/3
seny =
a
2
-Ii
Portanto: y c) y
=
=
3
3
rad.
3 . cos z
-~:;;;; z~ ~
2 Chamando z
=
arc sen
4 7
sen z
2 4 7
=
e
y
=
3 . cos z
C omo cos 2 z + sen 2 z = 1 => cos z 1T 1T , .. - - :;;;; z ~ - , seu cosseno e POS1UVO.
2
" = + "\ ' 1 - sen-
2
337
z , pOlS, como z e' ta1 que
Entao: cos z
~1
=
Assim sendo: y
Exemplo 2 Sabendo que y
=
=
-
~
3·
-J33
49
cos z
=>
=
-J33 7
7
arc sen 0,4, determine aproximadamente
0
valor de y.
SO/UfaO
'IT
'IT
2
2
--~y~-
Y = arc sen 0,4 =>
e
{
sen y = 0,4
Nesse caso, 0 valor do seno nao e de nenhum arco conhecido. Assim, se desejarmos saber aproximadamente 0 valor de y, devemos fazer uso da tibua de valores ou de uma calculadora cientifica. Utilizando a tabua de valores de senos e cossenos, vemos que 0 valor de yesta entre 23° e 24°.
EXERCICIOS PROPOSTOS
_
45. Determine a valor de y nos casas: a) y
.J2 ) = arc sen ( -2-
b) y= arc sen
c) y
(-+)
= 2 . arc sen 0,342
d) Y = arc sen (-1) + arc sen 0,5
46. Calcule y nos casas seguintes:
a) y
= 2 . cos (arc sen 0,8)
b) Y = sen (arc sen 0,5) + cos (arc sen 0)
47. Determine a valor de N: a) N
= 0,5 + cos [arc sen (- : )]
Fun~ao
b) N
=
tg [arc sen (
~
)]
arco-cosseno
Do mesmo modo que a fun<;:ao seno, a fun<;:ao cassena, definida por f: IR --> IR tal que f(x) = cas x, nao e bijetora e, portanto, naa tem inversa. Restringindo 0 cantradominia aa intervala [ -1; 1], a fun<;:aa e sabrejetora. Convencianamos restringir 0 dominio ao intervalo [0; 'IT], no qual a fun<;:ao e injetora. Dessa forma temos a fun<;:ao: P: [0; 'IT]
Agora, entaa, a fun<;:aa p-l : [
-1; 1]
-->
-->
[-1; 1] tal que P(x)
=
cas x
e bijetora e, portanto, tem inversa:
[0; 'IT] tal que
P~ 1
(y) = arc cas y (entende-se: area enja cassena
338
e y).
Veja
0
esquema: F
Contradominio
x = arc cos y-
Exemplo 1 Determinar y: a) y = arc cos (
~
b) y = arc cos
)
2- ) (--\~
SolUfiio
a)
1T
"3
y
=
arc cos (
~
)
e
=>
=>
cos y
Portanto: y =
=
y
=
'IT
3 1T
1 2
o
rad.
;
b)
y
=
arc cos
--13 ) ( --2-
=>
e
cos y =
Portanto: y
Exemplo 2 Determinar
0
=
5'IT
6
rad.
dominio da hll1\=ao:
a) f(x) = arc sen (x - 3)
+ arc cos (x 2
-
10)
SolUfiio
Devemos ter simultaneamente:
@) -1 ""'x-3"'" 1
e
® 339
-1 "'" x
2
-
10 "'" 1
A condic;ao x-3;;'-1
CD nos fornece: ~
x;;' 2
A condic;ao @ nos fornece: x-3::;;I~x::;;4
A condic;ao
@
nos fornece: g(x) r
x2
-
10 ;;, - 1
~
x2
-"---." - 9
As ralzes da func;aog(x)
=
;;, 0 x2
9 sao -3 e 3.0 sinal dessa func;ao varia assim:
-
x
Comog(x) ;;, 0, entao, a condic;ao
@
se resume em: x::;; -3 ou x;;, 3.
A condic;ao ~ nos fornece: x2
As ralzes da func;ao h(x)
=
x2
-
-
10 ::;; 1
~
11 sao -"\11
x2
-
11 ::;; 0
e"\ 11 . 0 sinal dessa func;ao varia assim:
x
Como h (x) ::;; 0, a condic;ao Assim sendo, temos:
CD
®
se resume em: -"\ 11 ::;; x::;; "\ 11 .
-,II
-3
2
'\11
4
~
@ @
® (Dn@n @ n ®
• )i
•
o domlnio da func;ao e D(f) = (x E
.
t
..
i
~ IR
13 ::;; x::;; "\lll. 340
Solu~ao
EXERCICIOS PROPOSTOS 48. Determine y sabendo que:
a) y = arc cos ( b) Y
=
J[ )
c) y = arc cos 0,5
+ arc cos (-0,5)
-j2 ) d) Y = 2 . arc cos ( -2-
arc cos (-1)
49. Calcule a valor de N para: a) N = arc cos 0,9703 b) N = sen [arc cos ( : )]
c) N = tg [arc cos (
~
+ cos [arc sen (-0,5)]
)]
50. Determine a dominio das fungoes: a) y = arc sen (3x - 11) b) Y = arc cos (x 2 - 1) c) f (x) = arc sen (3 + x)
Fun~ao
+ arc cos (2x + 8)
arco-tangente
A fun<;ao tangente foi definida assim:
f: IR] -.IR tal quef(x)
=
tg x, com IR j = {x E lR[x =F ;
+ k·
'IT,
kE
z}
Nessas condi<;6es a fun<;ao e sobrejetora, pois tg x assume qualquer valor real, mas nao e injetora. Desse modo nao e bijetora e, portanto, nao tern inversa. Vamos restringir 0 dominio a um intervalo onde ela assuma todos os valores reais e, alem russo, seja injetora. Existem infinitos intervalos onde isso ocorre. Convencionamos restringir
0
dominio ao intervalo aberto ] - ; , ; [ . A fun<;ao fica
assim determinada: P
··]-'IT2 ,'IT2
[ --. IR, definida por P(x) = tg x
A hll1<;ao agora e bijetora e, portanto, tem inversa: p-] : IR --. ] - ; , ; [ , definida por P- 1 (y) = arc tg y (arca cuja tangente e y).
Veja a esquema: Contradominio
x = arc tg y
y = tgx
341
Exemplo Determinar y nos casos abaixo:
,3 .
a) y
=
arc tg
b) y
=
arc tg 1 + arc tg (
~
)
SolUfiio
a) y = arc tg ,13 11' 11' -< y<-
2
Temos que:
e tg y
b) y
=
o
2
= ,3 ~ y =
~ tg 1 + arc tg
(
l
z
11'
-1T
3
2
+) )
-~
2
Chamando z = arc tg 1
~
< z < ~ 2
e tg z
=>
=
z
== ~
4
rad
1
-~
2
Chamando
arc tg (
t =
~) ~
=
z +
t ~
Y=
11' "4"
rad +
~ t =
e tg
Como y
2
11'
6
t
=
11'
rad
6
.J3 3
rad ~ y
=
511' 12 rad.
EXERCiclO PROPOSTO 51. Determine y nos casas: a) y
=
arc t9 (-1)
b) Y = arc t9
( .J3) --3-
c) y
= sen (arc t9 2) + cos (arc t9 3)
d) Y = t9 (arc t9 4) - arc t9 1
342
RELEMBRANDO CONCEITOS Resumo das principais Fun~ao
I
fun~oes
y = sen x
_
trigonomhricas
y = cos x
I
f
y= E IR Ix
tg."(
*' ;
Domfnio
IR
IR
Imagem
[-1,1]
[-1, 1]
IR
Periodo
2 'IT rad
2 'IT rad
'IT rad
Sinais nos quadrantes
+ no 1 e 2 Q
Q
- no 3 e 4
R1 =
Q
+ no 1 e 4
Q
Q
- no 2 e 3
Q
Q
Q
+ k . 'IT, k
+ no 1 e 3 Q Q
- no 2 e 4
E IR}
Q
Q
A figura mostra urn ciclo com as principais fun<;6es trigonometricas: Eixo dos
Eixo das
senos
tangentes M"
-I
-I
Algumas
rela~oes
Seno sen (-x)
importantes (para os arcos onde as
I
estao dermidas)
I
Cosseno
= -sen x cos (-x) = cos x
-1- = cossec x sen x
fun~oes
1 cos x
--
= sec x
I
I
5eno e
Tangentc.:
tg (-x)
= -tg x
sen 2 x
c()s~eno
Di\ersas
sen x cos x
+ cos 2 X = 1
1
- - = cotgx sen ( ; - x) = cos x tg x
--
0
periodo e dado por:
p= -2'IT rad Ikl Para fun<;6es onde aparecem tg (kx) ou cotg (kx),
P=
'IT TkT rad
343
0
periodo e dado por:
= cotg x
--
cos ( ; - x)= sen x 1
Para fun<;6es onde aparecem sen (kx) ou cos (kx),
cos ." sen x
+ tg 2
= tg x
X
= sec 2
x
Fun~oes
trigonometricas inversas
Fun<;:aa area-sena
Fun<;:aa area-eassena
y = arc sen x
y
Fun<;:aa area-tangente
= arc cas x
y
arc tg x
=
'IT
"2
o
'IT
-'IT
T
-~
2
< y < ~ 2
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 52. Sabendo que f (x) = 3 sen
(2X - : ), assinale as afirmayoes corretas:
. d0 da f unyao - e. 23'IT a ) 0 peno
d ra.
e [-3, 3].
b) A imagem da fun y8.o
e 'IT rad. A imagem da funy8.o e [-1, 1].
d) 0 perfodo da fun y8.o e)
c) 0 grafico da fun y8.o intercepta 0 eixo yem 3 pontos.
53. Sendo f (x)
a) f (
~
-T x) = 4 cos ( 'I 2
+ 2 cos x,
determine:
c) f (0)
) 3
54. Sabendo que tg x = -4 ,calcule
0 valor da express8.o
55. Simplifique a express8.o: sen ( ;
56. Sabendo que sen
x=
-
5' com
x
4 sen x
x) . cos (x - ; ) . tg x, para x"* ; -'- k7r, k E
4
-
5 cos
+ 2f ( ; ) + 3f ('IT)
180 < 0
x < 270
0 ,
calcule 0 valor de N =
sec x tg
+ cossec x
x+
cotg
57. Das afirmayoes abaixo, encontre as verdadeiras: a) sen
(; - x)
- cos x = 0
- = sen ( - } b) cos ( x - 'IT) 2 c) cos
(2X - : )
= -cos ( :
x) -
2X)
d) cos
(5X - ; )
e) sen
(4X - ; )
=
-sen ( ;
f) sen
(2X - ; )
=
sen ( ;
344
=
cos ( ;
-
5X) -
-
7L
4X)
X)
x
~
58. (UFSC) Conhecendo 0 valor de sen x =
ex E [0, ; ] , calcule
sec2 x . cotg x - cossec x . tg 6 . sen x . cossec 2 x
(
0 valor numerico da expressao:
X )-1
59. (U. F. Ouro Preto-MG) Determine os valores de x sabendo-se que 0 "" a "" tg {
a
x+
=
sec a
2'TT e que:
1
2
= ,'x + 2
60. (UFPE) Seja 8 um angulo em radianos, compreendido entre 0 e
1
_
sen 8 -
fr( --x=-1' 1)
V2
~2"
,tal que cos 8 =
~
\ 5
(x - 2) e
.
Determine 2x.
61. (Mogi-SP) Transforme a expressao
COS (
t + cotg t ) em um produto de duas fungoes. t + tg t
sec
62. (UFMG) Seja ((x) = a + b· sen c· x, com a, b, c numeros reais positivos, uma fungao peri6dica de
. d 2' 3'TT
peno 0
a) Determine c. b) Sabendo-se que a imagem de (e 0 intervalo [3, 5], determine a e b. c) Determine os valores de x on de (assume seu valor maximo.
63. (Fuvest-SP) Prove que cos
3'TT 10
= sen
'TT 5'
64. (Fuvest-SP) Considere uma circunferencia de centro 0 e raio 2 em tangente a reta t no ponto T. 1\ Seja x a medida do angulo AOT, onde A e um ponto da circunferencia e 0 < em fungao de
x < ; . Calcule,
x, a area do trapezio OABT sendo B
o ponto da reta t tal que AB e paralelo a OT.
65. Sabendo que x
N = cos
"* k·
(3; -
;
,k E 7L, simplifique:
x) + sen (x -
'TT) + tg
( ;
- x)
+ tg
(3; +
x) .
TESTES
_
66. (PUC/Campinas-SP) Seja a fungao (: IR -+ IR, definida por ((x) = 2 - 3 cos x. 0 conjunto imagem de ( e 0 intervalo: a) [-1,1]
b) [-1,5]
67. (Osec-SP) Um valor de x que satisfaz a) -5°
b) 15°
c) [-5, -1]
a igualdade sen c) 35°
345
d) [-5,5]
e) IR
(75° - 2x) = cos (10° + x) e: d) 45°
e) 30°
68. (PUC/Campinas-SP) Seja a func;:ao f, de IR em IR, definida por f (x) = cos x. a) f
e crescente se 0 < x <
b) 0 perfodo de f c) f(x)
69. (Mackenzie-SP) Se A
a) 1
=
e=
< x < 2'TT.
e decrescente em ['TT, 2'TT].
7'TT 2'
sec x - cossec x ) e cos x 1 - cotg x
(
1
1
= -5
c) 0
2
_ _3_,
,'10 b)
~ < e< 2
=
,entao logs A vale:
d)
1
e) -1
2
'TT, entao 0 valor de ,2cotg
e+
1:
e que 'TT
<
X
5
= - 12
< 3;
e e:
,10
,podemos afirmar que:
d) sen x
13
cossec 2
d)
c) 3
5
71. (FEI-SP) Sabendo que tg x
b) sec X= -
23'TT
d) f (x) < 0 se e) f
b)
a) 2
a) cotg x
.
e 'TT.
< 0 se 3'TT < x <
70. (UECE) Se cos
;
E correto afirmar que:
=
12 13
e) n.d.a.
5 5
c) cos X= - 13
x pertence x + cossec x
72. (PUC-PR) Se 1 + tg
ao 4 2 quadrante e sec
----=-------1 + cotg x - cossec x a) -1
x = ..J2,
entao a expressao
e igual a:
b) 0
d) -2
c) 1
e)
73. (PUC-PR) Sendo x um numero real em que as func;:6es sao definidas e cos x - sec x - tg x zero, a expressao
tg x + sec x b) 1 - cos x
a) 1
b) -sen 60°
75. (Unisinos-RS) Se f: IR ..... IR
f('TT) + f(
a) -3
T)
denominador diferente de
e igual a: c) 1 + cos x
74. (U. Cat61ica de Salvador-SA) 0 valor de cos 2400° a) -sen 30°
0
00
d) sen x
e) -sen x
e igual ao valor de:
c) cos 30°
e uma func;:ao definida por f (x)
d) cos 60°
= sen x +
e) cos 300°
cos x, 0 valor de
e: b) -2
c) 0
346
d) 1
e) 2
76. (FURRN) As sentengas sen x = a e cos x = mente se:
a) a
= -5
b) a = -5 ou a = -1
2.ja=1 sao verdadeiras para todo x real, se e so-
c) a*-5 ou a*-1
d) a
=5
ou a
= -1
e) a
77. (F. Ibero-Americana-SP) as valores de m para que se tenha, simultaneamente, sen x cos x = m
b) 1
,'3
Oll
78. (U. F. Ouro Preto-MG) Se cos x
2n - 1 (n _ 1)2
a)
.J3
- - ou ,,2
n-
1
entao
tg 2 X
(n
~
b)
8
~
3
+1 +1 d)
+ 1)2 ( 2X
1 ou 4
e)
1 3
e igual a: + 1)2 2n + 1
(n - 1)2
(n
e)
2n
+
1
-~) 4 e'. e) -
d) 2'Ti
c) 'Ti
4
,f3
2
cotg 2 x
n- 1
c)
,,'2
d) - - o u - -
2
= -n-'
2n - 1 b) -n-2-
~
c)
79. (Mackenzie-SP) a perfodo da fungao dada por y = sen a)
m - 1e
,'3 sao:
~
a) 0 ou
=
=1
80. (UFRS) a grafico representa a fungao f, definida no conjunto dos numeros reais, dada por:
'Ti
2
y 2
a) f (x) = 1 - sen x b) f(x) = 1 + sen x c) f(x) = sen (x + 1) d) f (x) = sen
(x +
; ) x
+ 'Ti)
e) f(x) = sen (x
81. (Fuvest-SP) A fungao que melhor se adapta ao grafico a) y =
11 + sen x I
b) y =
Icos
c) y = 1 d)
;
e:
I
+ cos 2x
Y = sen x + cos x
e) y
=
1
+ Isen
o
2x I
7T
4"
7T
7T
T
x
82. (F. C. Chagas-SP) Na figura abaixo tem-se parte do grafico da fun gao definida por y = a cos bx. as numeros a e b sao tais que:
x
a)
Ibl
=
28
b)
a
=
2b
c) a
+b
347
=
3
d) a· b
=
6
e)a-b=-1
83. (Unifor-CE) Para todo
x*- k'IT,
onde k E "l, a expressao 2 . cos ('IT -
x) . sen ('IT + x) . tg
( ;
x)
-
e equivalente a: a) sec 2 x
e) 1 - sen 2x
84. (ITA-SP) A expressao trigonometrica
1 (cos 2
x - sen 2
para
x
E
] 0,
X)2
'IT x*-4 ' e•.tgua I a: a) sen 2x
b) cos 2x
85. (Mackenzie-SP) Se x E IR, x"* a) sen x = sen (-x) b) cos x = - cos x c) log (sen x) = log Isen x
c) 1
d)
°
e) sec x
k'IT, k E "l, entao a unica alternativa sempre verdadeira e: 2 d) sen (log x) = sen Ilog x e) tg [arc tg (x)] = x
I
348
I
;
[,
Capitulo
4 I.
Formulas de transforma~ao
Introdu~ao
Outra vez iremos fazer uso da rada-gigante, com 0 intuito de que ela nos auxilie a entender urn novo assw1to. A rada-gigante, que tern 8 metros de raio (indicaremos por r), e na qual voce ira radar a partir do ponto A, e mostrada na figura.
~~;;-=:=~t'~~I~¥",~_N_iv...,el de embarque/desembarque
Se a rada girar, por exemplo, 30°, e fkil saber qual sera sua altura em relas:ao ao nive!. A figura mostra isso. Nela, chamando de x a sua altura em relas:ao ao nivel, vemos que:
x
~ = sen 30° ~ x = r· sen 30° r Agora
e s6 trocar r por 8 m e sen 30° por 1.-, e obtemos 0 2
valor da altura, que
e 4 m.
Se a rada tivesse girado 45°, no lugar de 30°, ainda seria fkil encontrar a sua altura em relas:ao ao nive!. A figura mostra isso. Nela, chamando de ya sua altura em relas:ao ao nivel, vemos que:
L 1"
Agora,
4·
= sen 45° ~ y =
1··
sen 45°
e s6 trocar 1" pOl' 8 m e sen 45° pOl' ~, e obtemos 0 2
.J2 m.
valor da altura, que
e
Imagine agora que voce desejasse saber a sua altura em relas:ao ao nivel, se a rada, a partir de A, girasse 30° e, em seguida, mais 45°, ou seja, tivesse girado 75°.
349
Para isso, vamos sobrepor os dois triangulos das duas ultimas figuras. Veja, na figura ao lado, que desejamos na verdade encontrar a altura do ponto D em rela~ao ao rllvel.
J5d.
D r ' sen 45°
45°
, "wo '.
.=""'"
1
30°
o
.
E
.' "A
------
D r ' sen 45°
Vamos colocar mais alguns elementos na nossa figura. Veja que LE foi tra~ado paralel0 a HM. Assim, temos que HL = ME [1]. 1\
Veja ainda nessa figura que 0 angulo LDE tambem mede 30°, pois os seus lados sao perpen1\ diculares aos do angulo MOE, que mede 30°. A altura procurada corresponde a medida do segmento HD, com HD Vamos entao encontrar LD e depois HL. ~
= LD +
HL.
• encontro de LD r . sen 45°
Urn zoom no triangulo redngulo LDE nos mostra que:
LD r . sen 45°
r/
= cos 30°
Assim, 0 valor de LD e dado pOl':
e:-----E
LD = r' sen 45° . cos 30°
[2]
• encontro de HL
r . sen 45°
A figura mostra urn zoom no triangulo retangulo OED. Nesse triangulo temos: E
OE r
=
cos 45°
=>
DE
=
r . cos 45°
o E
A figura mostra agora um zoom no triangu10 redngulo OME. Temos:
ME r . cos 45°
=
sen 30°
=>
ME
Como de [1] temos que HL
=
=
HL
r' cos 45°
r . sen 30° . cos 45° 300
ME, entao
= r'
sen 30° . cos 45°
[3]
Assim, como HD = HL + LD, substituindo os resultados encontrados em [2] e [3], obtemos: HD = r' sen 30° . cos 45° + r' sen 45° . cos 30°, ou seja, HD = r' (sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°) [4] Trocando r por 8 m e os valores das mos a altura procurada.
HD
=8
m .
(.l. 2
fun~6es
trigonometricas acima indicadas, encontra-
.
Altura procurada
-J2 + -J2 . -J3 ) = 8 2
2
2
350
m . (
-J2 + .J6 ) = 2(-J2 + .J6) 4
m
2. Areo soma e areo
diferen~a
Vamos retomar uma das figuras utilizadas no item anterior:
D
• Vimos que: HD
(sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°)
= r'
[4]
A figura ao lado mostra em detalhe 0 trimguio redngulo OHD. Nele vemos que:
HD
=
r' sen (30°
+ 45°)
30°+45°
0
H
Substituindo esse valor em [4], obtemos: r' sen (30°
+ 45°)
= r'
(sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°)
Dividindo os dois membros por r, encontramos: sen (30° + 45°)
=
sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°
Essa llitima sentens:a pode ser generalizada para dois arcos cujas medidas sejam a e b quaisquer. Teremos dessa forma descoberto llma formula que fornece 0 seno do arco de medida (a + b), desde que se conhes:am as funs:6es trigonometricas do arco de medida a e do arco de medida b. A formula que fornece 0 seno do arco soma de a com be:
I sen (a +
b) = sen a . cos b + sen b . cos a
I [5]
A partir dessa formula, podemos encontrar outras, tambem muito importantes:
• formula para achar sen (a - b) Lembrando que sen (a - b)
sen [a + (-b)], aplicando a formula [5] obtemos:
=
sen [a + (- b)] di
=
sen a . cos ( - b) + sen ( - b) . cos a
Como cos (- b) = cos be sen (- b) = -sen b, substituindo encontramos a formula que seno do arco diferenp de a com b:
0
I sen (a -
b)
=
sen a . cos b - sen b . cos a
I [6 ]
• formula para achar cos (a + b) Temos que: cos (a + b)
= sen [ ; - (a + b)] = sen [ ( ; - a ) - b] 351
Aplicando a f6rmula [6], obtemos: cos (a Como sen ( ; -
+ b)
=
sen ( ; - a) . cos b - sen b . cos ( ; - a )
a) = cos ae cos ( ; - a) = sen a, vern:
I cos (a + b) = cos a· cos b -
I
sen a . sen b
[7]
• formula para achar cos (a - b) Sabemos que cos (a - b) cos (a - b)
=
cos [a
+ (-b)]. Podemos entao aplicar a f6rmula [7].
= cos [a + (-b)] = cos a· cos (-b) - sen a· sen (-b)
Entao, como cos (-b)
=
cos be sen (-b)
I cos (a -
b)
= cos
-sen b, temos:
=
I [8]
a . cos b + sen a . sen b
Vejamos alguns exemplos de aplica<;:ao das f6rmulas que dao os valores do seno e do cosseno do arco soma (a + b) e do arco diferen<;:a (a - b).
Exemplo 1 A figura mostra, num cicio trigonometrico, urn arco .AM", que mede a e urn arco JfiJ', que mede b. Determinar em qual quadrante esta 0 arco de origem A, que mede:
Eixo dos senos
_+-_-+-_=....
a) (a + b) b) (a - b)
-I
0
"2
~A-.. Eixo dos cossenos
Solurao a)(a+b) A figura nos mostra que: 3 1 sen a = - , com a do 1 Q quadrante, e cos b = - - , com b do 2 Q quadrante. 5 2 Vamos determinar sen (a + b) e cos (a + b) e, com os resultados obtidos, determinar em qual quadrante esti 0 arco que mede (a + b). Sabemos que: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a e que cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b Achamos cos a assim: sen 2 a + cos 2 a = 1
=>
cos 2 a = 1 -
Como a e do 1 Q quadrante,
0
9
cos 2 a =
=>
25
16
25
seu cosseno e positivo, pOl"tanto: cos a
=
4 5
Achamos sen b assim: sen 2 b
=
1 - cos 2 b
=>
sen 2 b
=
1 -
1
4
=>
352
sen 2 b =
3 4
Como
be do 2
Q
quadrante,
0
e positivo, portanto:
seu seno
r-
,,3 sen b = - 2 Dessa forma, temos: sen (a + b) =
-
cos (a + b) =
-
~) +
3 5
(-
4 . 5
(- ~ )
./3"
-
--
2
-
4 5
.J3
3 5
--
2
~
sen (a + b) =
~
cos (a + b) =
-3 + 4 ../3" (positivo) 10 -4 - 3 .
,f3
10
(negativo)
Como sen (a + b) e positivo e cos (a + b) e negativo, concluimos que 0 arco que mede + b) tem sua extremidade no 2 Q quadrante, conforme mostra a figura.
(a
Y Eixo dos senos
Seno Cosseno
G)
Seno
8
Cosseno
G)
G
-+----,---::+------c:--~A'___:J~ Seno
0
Cosseno
a
0
Seno
Eixo dos x cessenos
0
Cosseno
G)
b) (a - b) Calculamos sen (a - b) e cos (a - b), utilizando os dados obtidos no item a.
sen (a - b)
= sen a . cos
~
b - sen b . cos a
sen (a - b)
= ~ . (- ~ ) -
\13
2
4 5
Entio: sen (a - b)
=
-3 - 4 . "3 10
cos (a - b) = cos a' cos b + sen a' sen b Entio:
~
(negativo)
cos (a - b) =
~
. (-
~
) +
~
r-
cos (a - b) =
-4 + 3 . ,3 10 (positivo)
Como sen (a - b) e negativo e cos (a - b) e positivo, concluimos que 0 arco de medida (a - b) tem extremidade no 4 Q quadrante, conforme mostra a figura do item a.
Exemplo 2 Achar 0 valor de sen 105 0 .
Solurao Temos que: sen 105° = sen (60° + 45°) Como sen (60 0 + 45°) = sen 60° . cos 45 0 sen 105°
=
13
+ sen 45° . cos 60°, entio:
-fi + -_. -fi 2 2
--' --
Como exercicio, calcule
2
0
1 2
~
sen 105 0
=
6
+-fi 4
valor de cos 105°, e verifique que a resposta sera
353
-fi--J6 4
EXERCiclOS PROPOSTOS 1. A figura mostra um cicio trigonometrico, no qual aparecem:
que mede b.
c) um area
AM AiV JJ5'
d) um area
AD
que mede d.
a) um area b) um area
que mede
a. Eixo dos senos
que mede c.
3
N
4'
I
T Determine: a) sen (a + b) cos (a c) sen (b d) cos (b + e) sen (a f) cos (a +
I
T b) b) c)
0
p
c)
Q
d) d)
2. Usando a mesma figura do exercicio anterior, determine em qual quadrante esta a extremidade do area que mede:
a) (a + c)
b) (d - b)
~
3. Sabendo que cos x = a) sen
(x +
;)
com x do 12 quadrante, determine:
b) cos ( ;
-
x)
c) sen ( ;
-
x)
3;
d) cos (
+ x)
4. Calcule a que se pede em cada caso: a) sen (a
+ b)
e cos (a
+ b)
sabendo que sen a
a do 12 quadrante, e que
1
= - 2 ' com b do 42 quadrante.
sen b
b) cos (a - b) e sen (a - b), sabendo que sen a b do 4 Q quadrante.
4
7T
= 5' com 2 <
5. Calcule: a) cos 75 0
b) sen 15 0
6. Determine tg (a sen b =
2 ' com
31
cos a = -
21
+ b)
c) cos (
1~
a<
7T
e que cos b
d) tg 105
)
1
= 2
com
0
sabendo que:
com b do 22 quadrante. com a do 3 2 quadrante.
Observa~ao: 0 ultimo exercicio proposto sugere que desenvolvamos uma formula para encontrar 0 valor de tg (a + b) e de tg (a - b), quando se conhecem os valores de tg a e de tg b. Veja:
tg (a
+ b)
=
sen (a cos (a
+ b) + b) , com
(a
+
b)
*-
'IT
2
+k''ITekE71.
Dessa forma podemos escrever: tg (a + b)
=
sen a . cos b + sen b . cos a cos a . cos b - sen a . sen b
354
CD
Considerando a
=1=
;
+ k . 1T e b =1=
+ k·
;
1T,
com k E 7L, temos que tanto cos a como
cos b sao diferentes de zero. Assim sendo, podemos dividir numerador e denominador de pOl' cos a . cos b. Entao:
CD
tg (a + b)
sen a' G0 b + cos a . cos-lJ _cos a-' SOS b _ cos-a' _cos~lJ
=
tg (a
+
sen b '_C0S cos-a' cos sen a . sen cos a' cos
a
b b b
tg a + tg b 1 - tg a . tg b
b) =
De modo analogo determinamos tg (a - b):
tg (a - b) Fa~a
tg a - tg b 1 + tg a . tg b
=
como exercicio esse dlculo.
Exemplo 1 A figura mostra urn cicio trigonometrico. Nela vemos: • urn arco AM que mede a. • urn arco AN que mede b. Determinar: a) tg (a + b) b) tg (a - b)
Eixo das
tangentes Eixo dos
senos 2,5
-+-------::f----~~----"-~ Eixo dos
o
SolUfao
A figura nos mostra que: tg a = 1 e tg b Como tg (a
+ b)
=
tg a + tg b 1 - tg a' tg b ' temos:
tg (a Como tg (a - b)
=
= 2,5
+ b)
=
1 + 2,5 _ 3,5 _ -35 _ -7 1 - 1 . 2,5 - -1,5 - 15 - -3-
tg a - tg b _ 1 + tg a . tg b ' entao:
tg (a - b)
=
1 - 25 = -1,5 = -15 = -3 , 1 + 1 . 2,5 3,5 35 7
Exemplo 2 Calcular tg 75 0 conhecendo tg 30 0
=
-J3
--
3
e tg 45 0
355
=
1.
cossenos
SolUfiio
+ 30°
Como 45°
=
75°, temos:
+ _3_
1
3
- - - - - - =>
1-1'
=>
(3 + (3 -
3 +.f3 = ------=~
tg 75°
"/3
3 -
.f3) . (3 + .f3) .f3) . (3 + 3)
.f3 3
+ 6\~ = 2 + .f3
12
6
EXERCiclOS PROPOSTOS Eixo dos
7. A figura mostra um cicio trigonometrico. Nele vemos:
tangentes Eixo dos
Aiiif AN AP
• um arco • um arco • um arco
que mede b. que mede c.
Determine:
--+---------"....----~l-'-t----'----.Eixo dos
o
a) tg (a + b) b) tg (a - b)
cossenos
c) tg (b + c) d) tg (c - a)
8. Determine a) tg 30°
0
--,.
valor de tg 15°, sabendo que:
= ..J3 3
=1
e que tg 45°
9. Calcule tg 105°. sabendo que tg 60° = 10. Calcule tg (x
+ y)
..J3
b) tg 45°
=
1 e que tg 60°
e que tg 45°
=
1.
= ..J3
e tg (x - y):
= 3 e tg y =
a) tg x
,f.
senos
que mede a.
b) tg x
2
=
-5 e tg y
=
-4
c) tg x
= ,'2
e tg y
= ..J3
3. 0 area duplo Urn caso particular interessante e muito importante ocorre quando, nas formulas do seno, cosseno e tangente do arco (a + b), fazemos b = a. Observe: sen (a
+ lJ)
= sen a . cos b
a =>
a
sen 2a
cos (a
+
=
a
tg (a
=
+Y a
sen (a
a
+ a)
= sen a . cos a
+ sen a . cos a
=>
2a
Y~ = cos a . cos b - sen a . sen b
cos 2a
=>
2 . sen a . cos a
a =>
+ sen b . cos a
2
=>
cos (a
a
+ a)
= cos a . cos a - sen a . sen a =>
2a
2
cos a - sen a tg a + tg , 1 - tg a' tg b a
a
=>
tg (a
+
a) =
2a
356
tg a + tg a 1 - tg a' tg a
=>
tg 2a
=
2 tg a 1 - tg 2 a
Resumindo, guarde bern estas formulas:
=2
sen 2a cos 2a tg 2a
. sen a . cos a cos 2 a - sen 2 a 2 tg a 1 - tg 2 a
=
=
Exemplo 1 Na figura vemos urn ciclo trigonometrico. Ne1e e mostrado urn arco.A:M' que mede a.
Eixo dos senos
1. 5
Determinar: a) b) c) d)
sen 2a. cos 2a. em que quadrante esta sen 3a.
- + - - - -..- - - -....~ Eixo dos 0
o
arco que mede 2a.
cossenos
SO/Ufao
a) sen 2a. Sabemos que sen 2a
2 . sen a . cos a. 3 Sabemos ainda que sen a = 5' com a do 2 Q quadrante. =
Achando cos a, encontramos: sen 2 a
+ cos2 a
1
=
~
cos 2 a
9
1 -
=
25
~
=
cos 2 a
Como a e do 2 Q quadrante, seu cosseno e negativo. Entao: cos a
16
25
=
4 5
Dessa forma: sen 2a b) cos 2a. Como cos 2a
= cos2 a -
2·
=
~
. (-
~
~
)
~ - ~ ~ cos 2a = 25
25
c) em que quadrante esta 0 arco que mede 2a. Como sen 2a < 0 e cos 2a > 0, concluimos que 4 Q quadrante.
sen 3a
=
(-
0
7 25
arco que mede 2a tern extremidade no
+ a), temos:
sen 3a
~
24 25
=
sen 2 a, temos:
cos 2a =
d) sen 3a. Como sen 3a = sen (2a
sen 2a
~~
)
=
sen 2a . cos a . (-
~
)
+ ( 357
+ sen a . cos 2a
~
~
sen 3a
) .
(;5)
~
117
= 125
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
11. Veja a figura. Ela mostra um cicio no qual aparecem:
• um arco • um arco • um arco
AM' AfV fiJJ
Eixo dos senos
Eixo d.s tangentes
que mede a. que mede b. que mede c.
Determine: --t--+-----:::.-------4f-'--'---. Eixo dos
a) b) c) d)
sen 2a cos 2b sen 3b cos 3a e) tg 2c
-1
2"
0
cossenos
-3
"5
N
12. Determine:
a) sen 2x, sabendo que sen x = ~ e x 5 b) cos 2x, sendo sen x = -
.-!.4
e do 1
Q
quadrante.
com x do 3Q quadrante.
c) tg 2x, sabendo que tg x = 5. d) tg 2a, sendo sen a = ~ com 0 < a <
5
13. Sabendo que cos x = -
-±-, com x do 3
Q
5
a) 2x
'IT
2
quadrante, determine 0 quadrante do arco que mede: b) 3x
Exemplo 2 Dada a func;:ao definida par f(x) a) 0 periodo
=
6 . sen x· cos x, determinar: b) a imagem
SolUfiio
a) determinac;:ao do periodo Temos que: sen 2x
f(x)
=6
Dessa forma
. sen x . cos x 0
~
f(x)
=
periodo da func;:ao sera:
3 . (2 . sen x . cos x) 2'IT __ Ik I
2'IT __ 121
2'IT
2
~
f(x)
=
'IT.
=
3 . sen (2x)
o periodo e 'IT rad. b) determinac;:ao da imagem Temos que: f(x) = 3 . sen (2x). Como 0 menor valor que sen (2x) pode assumir e -1, entao 0 menor valor que f(x) assume e 3 . (- 1) = - 3. Como 0 maiar valor que sen (2x) pode assumir e 1, entao 0 maiar valor que f(x) assume e 3 . 1 = 3. Dessa forma concluimos que 0 conjunto imagem e: 1m (I) = [-3,3]
358
EXERCiclO PROPOSTO 14. Dar
0
perfodo e a imagem de cada uma das fungoes:
y
_ -'---(2_·---'tg::.,------:x)_ (1 - tg 2 x)
a) y = 10 . sen x . cos x
c)
b) y=cos 2 x-sen 2 x
d) Y = 2 . sen ( ; ) . cos ( ; )
=
4. 0 area metade Nosso objetivo agora e achar os valores das funy6es trigonometricas do arco que mede
~ ,conhecendo os valores das funy6es trigonometricas do arco que mede a. Suponhamos que se conheya cos a. A partir desse valor, determinaremos os valores de
a cos 2a e tg 2' a p ara lSS0, . c. ' c.' Ia: sen 2' laremos uso d a segumte lormn cos 2x = cos 2 X
-
sen 2 x
Ajustando essa formula ao nosso problema, fazendo 2 x = a, temos:
a cos a = cos 2 !!...- - sen 2 2 2 a
Como cos 2
a temos' 1 - se11 2 2' .
2
a a - sen 2 2 2
cos a = 1 - sen 2 -
=>
=>
Se em
0
sen
2 sen 2
a
2
a
1 - cos a
2
11 -
=>
sen 2
a 2
1 - cos a => 2
cos a 2
= ±~
substituirmos sen 2 ~ por 1 - cos 2 ~, obteremos:
cos a = cos 2 a 2
(1 - cos
~)
2
=>
a Como tg 2
sen a2 cos - a 2
=>
cos
(com
cos a =
a
2:
2cos
a_I
2
2
11 + cos
= ±~
2
~ *- ; + k
11 -
tg -a = + 2 -~ 1
359
+
.
'IT,
cos a cos a
=>
cos2 a
2
a
k E
7l..), temos:
1
+
cos a => 2
Exemplo 1
~, com a do
Sabendo que cos a =
a
a) sen 2
1 Q quadrante, determinar:
b) cos
a
2
c) tg
So/ufao Ja sabemos os resultados, pois, sendo a do 1 Q quadrante, com cos a
. a portanto = 30° 2 Dessa forma, as respostas serao: a 1 sen 2 = sen 30° = 2 -
cos
a tg = tg 30° = 2
= 21 ' teremos a =
-J3
a = cos 30° = 2
-
2a
2 -
1 2
13 -2-
1 =13 -13 3
No entanto, iremos calcular novamente esses valores, fazendo uso das formulas vistas. a) sen
2a a
Ternos que 2 e do 1 Q quadrante, portanto seu seno sera positivo. Assim:
;l-~ sen!!:...-=+'\I 2 \
2
2
~l-
_ 1
\4
2
a
b) cos 2 Como
a
2
esta no 1 Q quadrante, seu cosseno tambem e positivo. Assim:
co,
~2 ~ + ~ 1+; ~ 'I1+4 ~ -132 2
c) tg -.!!.2
Tambem
0
valor da tg ~ e positivo, pois ~ e do 1 Q quadrante. Assim:
11
"v 3 = -'\-3- = -3-
360
60°,
Exemplo 2 Sabendo que cos a a) sen
= -
:
,com a do 3 Q quadrante, determinar:
a
2
b) cos
a
2
SolUfiio
~ < 135°, portanto 0 arco que mede ~ tera. extre-
Como 180° < a < 270°, entao 90° < rnidade no 2 Q quadrante. a) sen
a
2
Temos:
sen ~ 2 b) cos
=
+
1-( f)
9 10
2
_ 3 _ 3· 10 - ~ 10
a
2
Temos:
i1 +(f)
a
cos
2
2
= -\
Observas:ao: se, no lugar de conhecermos cos a, conhecermos sen a ou tg a, podemos, a partir desses elementos conhecidos, determinar cos a, e aplicar as mesmas formulas utilizadas acima.
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
15. A figura mostra num cicio trigonometrico alguns arcos, dentre os quais: • um arco ;;fJ\;r que mede a. • um arco
Afil que mede
b.
Eixo dos senos
Determine: a) sen
~
b) cos
~
c) tg
~
N
a
d) sen e) cos f) tg
-
_; t \ ,
2
a -
-+--+----:;:........,,-----It-'-. . Eixo dos
o 1.
2
5
a 2
361
cossenos
16. Na figura do exercfcio anterior, 0 arco
AfS mede
~
a) sen
c. Determine:
b) cos
~
(Sugestao: a figura mostra sen a. Ache cos a, e depois aplique as formulas.)
~ e cos ~ , nos casos seguintes:
17. Calcule 0 valor de sen
b) a = 45°
a) a = 30°
18. Sabendo que tg a =
~
c) 2· sen a
, com a do 1Q quadrante, determine cos
~
= -1, e 'IT < a <
3'IT 2
.
(Sugestao: a partir do que se conhece, determine cos a, e depois aplique a formula correspondente
~
ao cos
5.
.)
Fun~oes
trigonometrieas de um area que mede 0, em fun~ao da tangente do area metade ~ ,e queremos achar os valores das fun~6es trigonometricas de
Agora conhecemos tg
urn arco que mede a. Veremos apenas como calcular tg a, cos a e sen a. a) tg a
=
?
Temos tg 2a
=
2 tg a 1 - tg 2 a
. Entao: a*- ~ +k·"IT kE71.
a 2 tg2 tg a = - - - 2 1 - tg .!!2
b) cos a
=
2
a
2
'
"IT
*-
2
+ k·
"IT,
k E 71.
?
a Temos que tg -2
= 2:,
(I1 - cos a
v
+ cos
a
. Entao, elevando os dois membros ao quadrado,
obtemos:
- cos a -1 - - - = tg 2 - a 1 + cos a 2 =}
cos
a( 1 + tg
2
=}
~)
1 - cos a = tg 2
= 1 - tg 2
-
a + cos a . tg 2 - a ~ 2 2
~. Portanto:
cos a
=
1 - tg 2 ~ --=2_ 2 1 + tg ~ 2
362
c) sen a = ? sen a Como - cos a ternos:
= tg a
=>
sen a
= cos
a . tg a. Substituindo pelos valores ja encontrados,
2· tg ~
sen a
_ _ _--'2"'---_ . Enbio:
=
(1 - tg-2- ;-) =
sen a
a 2· tg 2 -----=-1 + tg 2 ~ 2
Exemplo a
Sabendo que tg 2
=
-4, determinar, utilizando as formulas vistas, os valores de:
a) sen a
c) tg a
b) cos a
Solurao
a) sen a = ? Temos:
2. tg _a_ sen a
2· (-4) _ -8 1 + 16 17
= _ _-----"2"-1 + tg ~ 2 2
b) cos a = ? Temos: cos a
1 - tg 2 ~ ---"'-2_ 1 + tg 2 ~ 2
=
1 - (-4)2 1 + (-4)2
=
-15 17
c) tg a = ? Temos:
2. tg _a_ tg a
=
--'"2'-----1 - tg ~ 2
2 . (-4) _ -8 _ 8 ----1 - (-4)2 -15 15
2
EXERCiclOS PROPOSTOS 19. Sendo tg ~ = 2, calcule: 2 a) sen a b) cos
a
_
c) tg a
363
d) cotg a
20. Conhecendo tg
a = 2 2
-J3,
determine:
a) sen 2a
b) cos 2a
(Sugestao: ache antes sen a e cos a.)
Transforma~ao
6.
de soma em produto
Vamos resumir novamente as formulas ja estudadas na adic,:ao de arcos: sen a . cos b + sen b . cos a
CD
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
@
sen (a + b)
=
® ®
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Combinando de maneira conveniente essas formulas, obtemos algumas importantes relac,:6es que nos permitirao transformar alguns tipos de somas em produtos. 1sso sera muito usado ao resolvermos equac,:6es, futuramente. Fac,:amos inicialmente a + b = pea - b = q. Desse modo, temos: a {a
+)r= p! + -)/= q
2a
=
p+ q
~
a
=
Portanto: b = P -
0
Somando sen (a + b) Subtraindo sen (a + b) Somando cos (a + b) Subtraindo cos (a + b)
~ 2
P +2 q ~ b = 2p - P - q ~ b = P - q 2 2
e @, obtemos: + sen (a - b) = 2 . sen a' cos b @ de obtemos: - sen (a - b) = 2 . sen b· cos a e @, obtemos: + cos (a - b) = 2 . cos a . cos b de @, obtemos: - cos (a - b)= -2 sen a . sen b
0,
@
@
Substituindo os valores de a e b, teremos: sen
p + sen q = 2 . sen
p+q 2
p-q
. cos - - 2
p-q
p+q
sen p - sen q = 2 . sen' --2- . cos --2-
p+q
p-q
cos P + cos q = 2 . cos - - - . cos - - -
2
cos
p - cos q = - 2 sen
p+q 2
2
. sen --2-
Essas formulas sao importantes e devem ser memorizadas. Vejamos alguns exemplos de aplicac,:ao.
364
p-q
Exemplo 1 Tran::-formar em produto: a) N = sen 4x + sen 6x b) N = 1 - sen 4 x c) N ,= 1 + cos x d) N ,= cos 8x - cos 2x Solufao
a) N
=
sen 4 x p
+ sen 6 x q
Usando a primeira das formulas vistas, obtemos: N = 2 . sen =?
N
=
4x + 6x
2
. cos
4x - 6x =?
2
N = 2 . sen (Sx) . cos ( - x)
=?
2 . sen Sx . cos x
b) N = 1 - sen 4x Substituindo 1 por sen
'IT 2:' obtemos:
N
=
'IT
2 - sen 4x.
sen
p
q
Usando a segunda formula, obtemos:
=?
N
=2
. sen
(~
- 2x) . cos
(~ + 2x)
c) N = 1 + cos x Substituindo 1 por cos 0, obtemos: N
=
cos 0
+ cos x.
p
q
2 . cos
~
Usando a terceira formula, obtemos: N
=
2 . cos 0
Como cos (-
d) N
=
~x
~
)
. cos 0;
X
=?
N
=
. cos (-
= cos -x , teremos: N = 2 . cos x . cos x 2
2
2
~
)
=?
N
=
cos 8x - cos 2x p
q
Usando a quarta formula, obtemos: N
= -
2 . sen
8x - 2x 8x + 2x . sen 2 2
=?
365
N
=
-2 . sen (Sx) . sen (3x)
2· cos 2
x 2
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
21. Transforme em produto: a) y = sen 10x b) y
+ sen
c) y = sen 5x - sen 2x
4x
= cos 7x + cos x
d) y = cos (
22. Escreva N em forma de um produto: a) N = 1
+ sen 6x
c) N = sen
b) N = 1 - cos 2x
d) N
Exemplo 2 Transformar N num produto: a) N = sen x - cos x
b) N
=
~
x
x+ sen (x +
+ cos
1
) - cos
( ;
= sen lOx +
-
:)
x)
sen 8x + sen 6x + sen 4x
Solufao
a) N = sen x - cos x Nesse caso, nenhuma das formulas vistas
e aplicavel. Podemos, entretanto, trocar cos x por
sen ( ; - x ), ou trocar sen x por cos ( ; - x ). Trocando, por exemplo, cos
xpor sen ( ; - x), encontramos: N
= sen x -
sen ( ; - x )
Agora existe formula para tral1sforma<;:ao em produto. Temos:
(x - : ) . cos: ,'2 . sen (x - : ) Fas:a novan1ente esse exerdcio, substituindo sen xpar cos ( ; - x) e confira ~
N
=
2 . sen
=
0
b) N = sen lOx + sen 8x + sen 6x + sen 4x Aplicando duas vezes a formula da soma de senos, obtemos: N 2 lOx + 8x lOx - 8x + 2 . sen 6x + 4x . cos 6x - 4x = sen 2 . cos 2 2 2 ~ N = 2 . sen 9x . cos x + 2 . sen 5x cos x Colocando 2 . cos x em evidencia, temos: N = 2 . cos x . (sen 9x + sen 5x)
9x -2 5x ] N = 2 . cos x· [2· sen 9x + 2 5x . cos ------::--N N
= =
2 . cos x· [2' sen 7 x . cos 2x] 4 cos x . cos 2x . sen 7 x
366
resultado.
EXERCiclO PROPOSTO 23. Escreva y em forma de produto nos casas seguintes:
y y y
a) b) c) d)
= cos 3x
+ sen
x
= sen 5x - cos x
= sen 10x + sen 6x + sen 8x + sen 4x y = cos 3x + cos x - cos 7x - cos 5x
Exemplo 3 Transformar N numa soma ou diferenc;:a de func;:oes trigonometricas, sabendo que N = 2 . sen 6 x . cos x. SolUfiio
Esse problema faz 0 inverso dos vistas anteriormente. Procuraremos identificar a expressao de N com alguma das formulas aprendidas. Assim sendo, identificamos:
N
=
2 . sen 6x . cos x com a formula sen p + sen q = 2 . sen p+q 2 . cos p-q 2
Devemos ter:
p+q 2 Resolvendo
0
=
p- q 2
6x e
=
x
sistema:
p + q = 12x { P - q = 2x encontramos: p = 7 x e q = 5x. Entao: N = sen 7x + sen 5x.
EXERCiclO PROPOSTO 24. Expressar N como uma soma au uma diferenya de funyoes trigonometricas: a) N
=
2 . cos 8x· cos 4x
b) N
=
-2 . sen 4x· sen 2x
c) tv
=2
. sen 2x· cos 8x
RELEMBRANDO CONCEITOS
_
FORMULAS IMPORTANTES (Para os areos onde as fun~oes estao defmidas) Areo soma sen (a cos (a tg ( a
+ +
b) b)
+ b)
=
Areo
= sen a . cos b + sen b . cos a
= cos a
. cos b - sen a . sen b
tg a + tg b 1 - tg a' tg b
diferen~
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b tg(a-b)=
367
tg a - tg b 1 + tg a· tg b
Arco duplo
sen 2a cos 2a
tg 2 a
=
= =
2 . sen a . cos a cos 2 a - sen 2 a
2· tg a 1 - tg 2 a
Outras formulas importantes
+ ~ 1 - cos a sen a =_ ~
2
2
a
cos a
cos
2
I 1 ±~
=
a tg ~ =± 2
sen
+ cos a 2
1 - cos a 1 + cos a
2· tg ~ 2
a=~----
1 + tg 2 ~ 2
1 - tg 2 ~ 2 cosa=-~--1 + tg 2 ~
2
tga=
Transformas:ao de soma em produto
sen
p + sen q = 2 . sen p; q . cos p- q
sen p - sen q = 2 . sen --2- . cos cos p
= -2
2
p+q 2
p+q
p-q
p+q
p-q
+ cos q = 2 . cos --2- . cos
cos p - cos q
p-q
. sen --2- . sen
2
2
368
2. tg _a_ 2_ 1 - tg 2 ~ 2
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 25. Sabendo que sen x
= ~
e cos y
= : ' com x do segundo e y do 4 Q quadrante, determine tg (x + y).
26. Determine 0 valor maximo e 0 valor minimo da func;:ao: y = 5 sen (3x) cos (3x), para 0 < x < 1T.
27. Sabendo que y = 2 arc cos (-
~
), determine tg
28. Sim lifi ue: = sen (10x) + sen (2x) p q Y cos (10x) - cos (2x)
y.
2
+
2
cos (2x) - sen (2x) 2 sen (2x) . cos (2x)
29. Calcule 0 valor de: a) (sen 15°
+
cos 15°)2
30. (Fuvest-SP) Calcule: a) sen 15° b) a area do polfgono regular de 24 lados inscrito no cfrculo de raio 1.
31. (Faap-SP) Qual
0
valor numerico da expressao 5 cos (2x)
32. (UFCE) Dado y = cos [2 arc sen (
33. (U. F. Uberlandia-MG) Sendo y
34. Calcule: tg [2 arc tg (
+)
+
=
~
)
J. calcule
tg [arc sen (-
arc tg
+
10 sen 2 x, para qualquer x E IR?
0 valor de 25y.
~
5 ) - arc cos ( 13 )], determine 0 valor de y.
(-+)] .
TESTES
_
35. (FMU/FIAM-SP) 0 cosseno de 105° vale: a)
.J2 + .J6 4
b)
-J4
36. (F. Ibero-Americana-SP) Dado sen x =
_ "'4
c)
4
d)
4
-/6 - . . '2 4
e)
2x.
, calcule cos
a) cos 2x =
d) cos 2x = 'I
b) cos 2x =
e) cos 2x
~
2
~ v"4
=
c) cos 2x =
37. (U. E. Ponta Grossa-PR) Sendo cotg ( a) sen a
.J3 = -
b) sen a
=
c) sen a
= -1
2
.. 2 2
~
)
= . . ;- ,entao e correto afirmar que: d) sen a
=
e) sen a
=
2
369
-
1
2
.. 3 2
38. (UFCE) Se tg
e
-2-
=
-/5 _ -4- , entao 0 <
39. (FURRN) Se sec x
-13
= -5-
12
e 'IT <
<
3'IT
2' 0 c)
144
40. (U. F. Santa Maria-RS) Se f (x) a) 2 sen 2x
X
125
b)
13
20-/5 13: _1_+ _1_ sen e tg e d) 40
c) 35
b) 30
a) 25
a)
'IT -2 e 0 valor de
e<
=
valor de sen 2x 13:
120 169
d)
-12 13
e)
-120 169
sen x, entao, para todo x real, f (2x) 13 igual a:
b) 2 f(x)
c) 2 sen xcos x
e) cos 2 x
d) [f(x)f
41. (U. E. Ponta Grossa-PR) Sejam a um arco do 12 quadrante e [3 um arco do 22 quadrante tais que
cos a
= 0,8
e sen [3
a) 0,00
= 0,6. 0
valor de sen (a + (3) 13:
b) 1,40
c) 0,96
d) 0,48
sen (90° - a) + cos (-a) sen 2a b) cossec a c) sec a
42. (U. Uberaba-MG) A expressao a) tg a
2 sen
43. (FEI-SP) Simplificando a) 1
b)
b)
4 , com sen 2x 1= -1, obtemos:
1 + sen 2x c) 2
cos (a
45. (UFSE) A expressao sen 2x
+
e) cotg a
d) cos a
cos
4
sen a cos a
44. (FEI-SP) Transformando a expressao
+
13 identica a:
(x - ~ ) (x + ~ )
b) 0
a) sen (a
e) 0,70
b)
+ +
e) 1 - 2 sen x
d) cos 2x sen b onde existir, temos: cos b
c) cotg ( a ;
b)
d) tg ( a ;
b)
e)
sen (a
+
b)
+ cos 2x + 2 sen 2 x 13 equivalente a:
a) 2 sen x (1 + sen x) b) (1 + cos X)2 c) (sen x + cos X)2
d) 1 - 2 sen x cos x e) 1 + cos 2 X - sen 2 x
46. (Fuvest-SP) 0 valor de (sen 22°30' + cos 22°30')2 13: a)
3 2
b)
2+-13 2
47. (Mackenzie-SP) Com relac;:ao mac;:6es:
c)
2+.J2 2
a func;:ao definida por y =
I. 0 seu perfodo 13 'IT. II. 0 maior valor que y pode assumir 2. III. y> 0 se x pertence ao 32 quadrante. Entao sao verdadeiras: a) somente I e III. b) somente III. c) somente II e III.
d) 1
cos 2 X sen 2x
- - - , x 1= k'IT, k E Z, considere as afir-
e
d) somente I. e) somente I e II.
370
e) 2
48. (Unifor-CE) 0 periodo da funQao t, de IR em IR, definida por t (x) 1T
a)
b)
3
-
21T
c) 1T
3
49. (Fuvest-SP) A tangente do angulo 2x tg 2x =
X
2 tg 2 1 - tg
x
.
+
e:
e) 21T
2
funQao da tangente de x pela seguinte formula:
c) 0,50
50. (Fuvest-SP) 0 valor de (tg 10° a)
e dada em
-
31T
Calcule um valor aproximado da tangente do angulo 22°30' . b) 0,41
a) 0,22
d)
= cos 2x cos x - sen 2x sen x,
+
cotg 10°) sen 20°
b) 1
d) 0,72
e) 1,00
e: d)
c) 2
5 2
e) 4
51. (Mackenzie-SP) Na figura, a circunferencia de centro 0 tem raio 1. Nessas condiQ5es, 0 numero real tg ~
+ cotg ~
e sempre igual a:
2
a)
sen a
b) c)
+
d) 2 cossec
cos a
+
2 sen a
+
2 cos a
0:
e) 2 sec a
52. (Mackenzie-SP) A area do triangulo OPO assinalado na figura a)
-
15
4 15
b) c)
e:
8
2
d) 3 e) 4
0
53. (Unifor-CE) Se 0 < a < 1T e a
a)
-.../3
b)
54. (FEI-SP) Se cotg x + tg x
=
_.../3 2 =
x
arc cos (- ' ; ), 0 valor de tg 2a
c)
3, entao sen 2x
1
d)
2
e igual a:
a) -
1 3
d)
-
3 2
e) n.d.a.
b)
I
c) 3
371
-
2 3
e: e)
,3
55. (UFPE) Com relaC;;ao
a figura abaixo, indique a alternativa falsa. B
a
a) 0 comprimento do segmento BD e 15,'3 m. b) 0 triangulo ABC e isosceles. c) 0 angulo
e=
d) tg
e e igual a soma dos angulos 2e
e a.
3 3
e) A area do triangulo ABC eo dobra da area do triangulo BCD.
56. (Unisinos-RS) Na figura, A e B sao vistos de C sob um angulo de
27T 3
rad.
Se CA = CB = 10m, AB mede, aproximadamente: a) 14,14 m
sen
1T
b) 17,32 m
c) 18 m
= 0,5
6 COS
'iT
= 0.866
6 tg ~ = 0,577 6 sen ~ = 0,866 3 cos ~ = 0,5 3
tg
1T
= 1,732
3
372
d) 28,66 m
e) 30 m
Equa~6es
e inequa~6es trlgonometrlcas
.
I.
,.
Introdu~ao
Seu Elias e jardineiro numa cidade do interior. Por sinal, urn otimo jardineiro. Dias atras, ele recebeu uma incumbencia que esta the trazendo uma bela dor de cabec;:a. Ele deve construir urn canteiro de forma triangular com 80 m 2 de area, com urn lado medindo 20 m e 0 outro lado, 16 m. Alem disso, perguntaram a ele qual seria 0 angulo entre esses dois lados. Como seu Elias nunca estudou trigonometria, ele esta em serias dificuldades para executar tal tarefa. Vamos ajuda-Io? A Figura ilustra 0 problema. Nela, a base do triangulo foi tomada como sendo 0 lado a que b mede 20 m, e a altura relativa a esse lado foi chamada de h. A area do triangulo e dada por: A = (a· h) 2
onde
o
h
= sen
b
~
a
h
=
b . sen a
Entao, a area do triaogulo e: A=
a . b . sen a 2
~
sen a
2· A --b- com 0° < a < 180 0
=
a'
Substituindo a por 20 m, b por 16 meA por 80 m2, obtemos: sen a
=
1 2
Dessa forma, estamos querendo encontrar urn angulo a que tenha seno maior que 0° e menor que 180°. Duas sao as solw;6es possiveis: a sen 30°
=
=
30° ou a 1 2
=
150°, pois:
e sen 150°
As figuras seguintes ilustram essas duas soluc;:6es.
373
=
1 2
1 2
Para que pudessemos resolver
problema do seu Elias utilizamos a
0
sen ex
=
21
equa~ao:
com 0° < ex < 180°.
Essa equa~ao e urn exemplo de equa~ao trigonomhrica. Neste capitulo, veremos os principais tipos de equac;:6es trigonometricas.
2.
Equa~oes
trigonometricas
Chamamos de equa~o trigonometrica qualquer equac;:ao na qual a incognita faz parte do arco (ou angulo) de alguma nll1c;:ao trigonometrica. Dessa forma, sao exemplos de equac;:6es trigonometricas: a) 3 . sen x
+ 4 . cos x = 1
x= cotg (x + : ) c) sen (x - ~ ) = cos (2x + : b) tg
)
Resolver uma equac;:ao desse tipo significa encontrar os valores de x, caso existam, que a tornem uma sentenc;:a numerica verdadeira. Nao existe urn metodo unico para resolver todas as equac;:6es trigonometricas. No entanto, a maioria delas pode ser transformada (utilizando relac;:6es ja aprendidas) em outras mais simples, mas equivalentes, ou seja, de mesma soluc;:ao. Na verdade, uma grande parte delas pode ser solucionada se soubermos resolver as seguintes equa~6es fundamentais: a) sen x = sen a b) cos x = cos a c) tg x = tg a Vejamos separadamente cada uma delas.
Equa~ao do tipo sen x
=
sen a
A figura abaixo mostra urn cicio trigonometrico, com urn arco y
M "IT-a _
AM' cuja medida e a.
Eixo dos senos
_
:r. 1
a Seno~
_+-
-::.
.;.:.A_. Eixo dos cossenos
o
x
Note que todos os areos de extremidade em M possuem 0 mesmo senD do arco a. Tambem possuem 0 mesmo seno de a todos os areos de extremidade em Ml> onde M j e simetrico de M com relac;:ao ao eixo dos senos.
374
Dessa forma, eonclulmos:
sen x
sen a
=
Vejamos alguns exemplos de
**
a + k· 21T ou x = 1T - a + k . 21T, k E 7L X
{
resolu~ao
=
de
equa~6es
que reeaem nesse tipo.
Exemplo 1 Resolver as equa~6es: a) sen x = sen ( 1TS )
b) sen x
=
0,5
e) sen x
=
-1
Solurao a) sen x
=
sen ( 1TS )
Entao:
Portanto: X
[
~ + It . 21T ou
=
S
x=
'
71T +k'21T,kE7L S
o conjunto solu~ao sera: S=
{x
x= ;
E IR I
+ k . 21T, ou
X
= 7; + k . 27T, k E
~
b) sen x = 0,5 Uma
solu~ao
ex =
1T 6 rad, Y
pOlS sen
( ~) 6
Eixo dos senos
= 05 ' .
Entao: sen x
= sen
( 1T6 )
-+----=..:'-'-'----;!!.:.---~~ x
Eixo dos cos sen os
Observe na figura que todos os areos eom extremidade em M ou em M j sao solu~6es da equa~ao dada. Dessa forma, 0 conjunto solu~ao e:
s = -G
E IR Ix = :
+ k 21T, ou 375
X
= 5; + k . 21T, k E 7L}
e) sen x = -1
U rna so1uc;:ao e' x
3TI-
=
ra d ,
2
. sen
pOlS
(3; )
t
-1.
y Eixo dos senos
Entao: sen x = sen 3TI 2 -1
I-----;:o,.----ji-'--~xEixo dos cossenos
Observe na figura que somente os areos de extremidade em M sao soluc;:6es. o conjw1to soluc;:ao e, portanto:
S=
f
E IRlx = 3; + k . 2TI, k E
o
z}
3.".
T
OS
1. Resolva as equayoes abaixo:
3: )
a) sen x = sen (
~;
b) sen x - sen ( c) sen x
=
"\3 d) sen x = - -2-
a
) =
a
e) 2 . sen x =
"\2
f) sen x - 1 =
a
Exemplo 2 Resolver as equac;:6es: a) 2 . sen (2x) + 1 = 0 b) 2 . sen
(x - ~ )
=
-J2
e) 2 . sen 2 x + 5 . sen x = 3, eom 0 < x < 2TI SolUfiio
a) 2 . sen (2x) Temos:
+1=
0
2 . sen (2x) Uma soluc;:ao
e 2x = -7TI- rad, pois sen 6
Entao, sen (2x) Portanto, para
7TI
2x = - 6
=
0
=
sen (
7; ).
-1
~
sen (2x)
=
1 2
( 7TI ) = - 12 . 6
area 2x, temos:
+ k . 2TI
ou
2x = TI -
7TI - + k . 2TI, k E Z 6
o eonjunto soluc;:ao e: S={XEIR1X= 7TI +kTIoux= -TI +kTI,kEZL 12 12 jI
376
(X - ; ) = Ii
b) 2 . sen
(x - ; ) = .fi ~ sen (x - ; ) = ' ; . -f, temos: sen (x - ; ) sen : .
Temos: 2 sen Como sen :
=
=
Desse modo, concluimos:
1T 3
x-
~
1T + k . 21T 4
x= 71T + k. 21T 12
1T =1T- 1T + k . 21T, k E 7L 4 3
OU X _
OU X
~
= 131T + k· 21T, k E 7L 12
o conjunto solw;:ao sera: S=
{
71T x E IR I x = - + k . 21T,
12
OU X
131T = - + k . 21T, k E 7L}
12
c) 2 sen 2 x + 5 sen x = 3, com 0 < x < 21T Vamos fazer a seguinte mudanc;:a de variavel:
CD
y = sen x com - 1 ~ y ~ 1 @ Assim, temos: 2y 2 + 5y - 3 = 0 (equac;:ao do 2 Q grau em y) t::. = (+ 5)2 - 4 . 2 . (-3) = 25 + 24 = 49 ~ "\ t::. = 7
y Entao: y
-5 ± 7
= ---
-5 ± 7
{
4
1 2
ou
~y=---
2·2
=
y
= -
3 (Esse valor nao serve; veja
o Unico valvr possIve! de y e 1..-; substituindo em CD temos: sen x = 2
Assim: x = ~ + k· 21T
®.)
1 2
= 51T + k· 21T. ,-_6"-r_ _~
OU X
6
®
@
Como 0 < x < 21T, faremos k variar ate que isso seja conveniente. Veja: Para k < 0, tanto a condic;:ao
x,
0
@ como a condic;:ao ® fornecerao valores negativos para
que nao convem ao problema.
Para k
= 0, a condic;:ao
Para k = 0, a condic;:ao
@ fornece x =
® fornece x =
1T 6
51T 6
377
Para k > 0, tanto a condis:ao @ como a condis:ao res que 211" rad, 0 que nao convem ao problema. Portanto,
0
®
fornecerao valores de x maio-
conjunto solus:ao e: 5 = {11"
6'
511"} 6
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
2. Resolver as equag6es:
a) sen (3x)
b) sen
=
sen ( 5; )
(x - : )
=
d) sen
(5X - ; ) - sen (3X +
e) 2 . sen 2 x + 7 . sen x - 4
;-
f) sen 2 x - 1
c) sen 2 x - 7 . sen x = -6
=
= 0,
0, para 0 ~ x ~
; ) =0 para 0 < x <
1T
1T
3. 0 triangulo mostrado na figura tem 50{3 m 2 de area. Determine a medida do angulo
ct.
~ 20 m
Equa~ao
do tipo cos
X =
cos a
A figura mostra urn ciclo trigonometrico com urn arco AM que mede a. Note que todos os areos de extremidade em M possuem 0 mesmo cosseno do arco de medida a. Tambem possuem 0 mesmo cosseno de a todos os arcos de extremidade em Mj, onde M] e simetrico de M com relas:ao ao eixo dos cossenos.
Y Eixo dos senos Cosseno o
-+--------"a....-=-......"----~----'~x -0
Assim, concluimos:
I
cos x
=
cos a
¢*
x
= :::'::: a
Exemplo Resolver: a) cos x = cos ( 3; ) b) 4 . cos 2
X -
c) 2 . cos (5x)
12 . cos x =
+5
=
0
1 para 0 < x < 11"
2
378
+ k . 211", k E 7L I
Eixo dos cossenos
SolUfiio
a) cos x
= cos
( 38'iT )
Devemos ter:
+ k . 2'iT, k E 7L
x= ± 3'iT 8
o conjunto solus:ao e: S
b) 4 cos 2
X -
f
=
E IR Ix
=
+ k . 2'iT, k E 7L}
± 3;
12 cos x + S = 0
CD Fazendo y = cos x, com -1 :;;;; y:;;;; 1, temos a equas:ao do 2 Q grau 4 y 2 t1
= (-12)2 - 4 . 4 . S
~
t1
= 144 - 80
~
t1
y= -(-12) ± 8 Entao: y = - - ' - - - ' - - 2·4
20
12 ± 8
, ' v'al or possive 'ld ' -1 . P ortanto: cos x 0 LlI1lCO eye
2
2
\
1 2
= -1 . 2
• 3
I
1
2
o conjunto solus:ao e: S
=
f
E IR Ix
=
±
~
+ k . 2'iT, k E
c) 2· cos (Sx) = 1, para 0 < x< 'iT 2 Temos:
21
cos (Sx) =
Uma solus:ao
e Sx = ~
Entao: cos (Sx) = cos (
rad, pois cos (
~
~
) =
).
379
~
+S
(Esse valor nao serve; veja
~ ) = ~, temos que cos x = cos ( ~ ). 3
12y
=
O.
"\ t1 = 8
ou
8
-
~
~
8
y=
Como cos (
= 64
7L}
CD.)
Dessa forma, devemos ter: 5x = ± ~ 3
x
+ k· 2"IT, k E 7L, ou seja:
= ~ + k· 2"IT !l E 7L ou x = - ~ + k· 2"IT k E 7L 15
5 "
15
5
J
'
@ Como
°<
x < ~,faremos k variar ate que seja conveniente. Assim: 2
Para k < 0, nem a condi<;:ao
Q) nem a condi<;:ao
®
fornecem valores para x entre
°
c
~ rad. 2 Para k = 0, a condi<;:ao
fl\
\:.J
= ~ (serve).
fornece: x
15
Para k = 0, a condi<;:ao
® fornece valor negativo para x (nao serve).
Para k = 1, a condi<;:ao
Q) fornece: x
Para k
= 1, a condi<;:ao
®
Para I~ ~ 2, nem a condi<;:ao
=
fornece: x
~~
(serve).
= ~ (serve). 3
G) nem a condi<;:ao
® fornecem valores entre °e
;
rad.
o conjumo solu<;:ao e: s
7"IT -"IT- - - "IT} { 15' 15 ' 3
EXERCiclO PROPOSTO 4. Resolva as equayoes seguintes: a) cos (5x)
=
d) cos (2x) = cos (x + :), para 0 < x <
cos ( 3; )
e) 2· cos 2
b) 1 + 2 . cos (3x) = 0 c) cos 2 X = cos x
Equa~ao
do tipo tg
X =
X
tg a
"IT
+ 11 cos x - 6 = 0, para 0 < x <
Eixo dos
senos
t
"IT
t
EiXO das tangentes
T
A figura mostl·a um cicio trigonometrico com um arco AM que mede a. ote que todos os areos de extremidade em LVi possuem a mesma tangente do arco de medida a. Tambem possuem a mesma tangente de a todos os areos de extremidade em LViI> on de LVii e simetrico de LVi com rela<;:ao ao centro do cicio.
380
Tangente
-+-----+.,----....-....Eixo dos o cossenos Ii
+a
Dessa forma, concluimos que:
' l
x = a
tg
X
=
tg a
{=?
+ k . 2TI
OLl
X
TI
=
+ a + k . 2TI, Ie
E 7L
Resumindo, temos:
I tg x =
tg a
x = a
{=?
+ k . TI, k E 7L
I
Exemplo Resolver as equac;:6es: a) tg x = tg (
3; )
b) tg (3x)
~
tg (
=
) para 0 < x < ;
c) tg (2x)
=
SolUfiio
a) tg x = tg ( 37TI )
o conjul1to soluc;:ao e:
f
S
E IR Ix
=
+ Ie . TI, k E 7L}
3;
TI) para 0 < x < 2 TI b) tg (3x) = tg ( 8
Devemos ter: 3x =
-TI + Ie' 8
TI, k E 7L => x =
Faremos k variar ate que seja conveniel1te. Para Ie < 0 obtemos valores negativos para x, Para Ie = 0
=>
TI x = - - (serve). 24
Para Ie = 1
=>
x =
TI 24
+
Para k = 2 . => x =
TI 24
+ 2TI
TI
3
3
=>
x =
=> ,"(;
9TI ,24
0
TI +k'~ kE7L 24 3 '
que l1ao cOl1vem ao problema.
3TI
=> X = - -
8
(serve).
= 17TI (fora do intervalo fornecido). 24
Nenhum outro valor de k servira. Assim sendo, 0 conjunto soluc;:ao e:
S={~ ~} 24' 8 381
c) tg (2x)
-,3
=
3
Um valor passive! para 2x e 5TI
6 '
5TI
5TI
tg -
TI
sen -
sen - -
=
6
pais:
6 -----"--5TI
-sen -
6 TI
cos - -
-cos -
6
TI
6 3
TI
cos -
6
6 5TI
Entao, temos: tg (2x) = tg ( 5TI ). Portanto: 2x =
\
. 6
6
+ k·
TI,
k
EO
7L.
I
o conjunto solu~ao e: S =
tIx
EO
x
rR I
+ It .
5TI
=
12
~
2 '
It
EO
7L}
EXERCICIO PROPOSTO 5. Resolva as equa90es:
a) tg (2x) = tg ( : )
d) tg (x - ; ) - tg (
b) tg(5x)=-1paraO
e) tg (4x) = tg (x -
c) 3· tg x = ,3
f) tg (x -
2
Outros tipos de
=
=0
: )
; ) = tg (2x)
equa~oes
Vejamos agora OLltroS tipos de
Exemplo Resolver as equa~6es: a) sen (7x) + sen (4x)
~)
equa~6es
trigonometricas.
0
b) sen x
+ cos
4x = 0
SolUfao a) sen (7x) + sen (4x) = 0 Observe que e posslvel transtormar a 1 Q membro em um produto; aJem disso,
e zero. Assim sendo, Iembrando que sen p + sen q = 2 . sen
2 Q membro
0
p + q . cos p - q temos' 2
2" llx
2 . sen
7x
+ 2
4,'1:;
. cos
7x - 4x
2
=
0
=>
sen
382
llx . cos 3.\' 2 2
= 0 =>
:: 3: [ cos
2
~O =
0
11x
=k·
= sen 0 ,tenlos: 11x
Pal"a sell 11 x 2
2
o
= k . 21T
=> X
= k . -21T-
11'
1T, k E lL. Portanto:
Il E lL
1T , tenlOS: -3x Para cos -3x - = cos 2 \ 2I 2
+
1T 2
Il . 1T, Ie E lL. Entao:
o 3x = 1T + k . 21T
=
=> X
+
1T
3
Il'
k E lL
21T
3 '
o conjunto solll<;ao e: 1T E IR I x = 3
+ k . -21T- Oll
Il'
X
3
k E lL}
21T
11'
b) sen x + cos 4x = 0 Observe que agora aparecem fun<;6es diferentes, no en tanto , podemos trocar sen x par cos ( ;
sen x
=>
- x ) Oll trocar cos (4x) por sen ( ; - 4X). Fazendo esta Lutima troca, obtemos:
+ sen ( ; -
sen' x ,= sen (4X -
4x- ~ 2
Entao
;
=0
=>
)
sen (4X -
=>
= x + k·
sen x
= -sen ( ;
3x =
21T =>
x=
1T
1T 2
+ 1c.
=
'IT -
X
- 4X) =>
) = sen x
;
ou 4x -
=>
4X)
+ Ie . 21T, k E
lL
1T 2
+
Il . 21T
Oll
=>
5x = 1T
+
1T 2
+ Ie . 21T, Ie
21T
"
6
;)
ou 31T x= - 10
Portanto,
0
+ k·
21T Ie E 7L 5 '
conjunto solu<;ao
S={~ElRlx=:
e: + fl'
ou x
3
383
31T 10
+ k . 5
E 7L
EXERCiclO PROPOSTO 6. Resolva as equa<;:6es trigonometricas: a) sen (5x) + sen (3x) = 0 b) sen (5x) + cos x = 0 c) sen (4x) = -sen (x -
3.
Inequa~oes
d) cos (6x) + cos (4x) = 0 e) sen (4x) - sen (2x) = 0
:
f) cos (2x)
)
+ sen
x = 0
trigonometricas
No inicio deste capitulo vimos 0 caso do seu Elias, 0 jardineiro que estava com problema para atender a uma encomenda, problema esse que nos ate 0 ajudamos a resolver. Vamos rever? Seu Elias deveria construir urn canteiro triangular que tivesse um lado medindo 20 m, outro lado medindo 16 m, e com area de 80 m 2 ; tam bern perguntaram a ele qual 0 angulo formado pe10s dois lados citados. Vamos imaginar agora a seguinte encomenda: urn canteiro triangular com um lado medindo 20 m, outro lado medindo 16 m, nus que tivesse no minimo 80 m 2 de area. Qual deveria ser 0 angulo entre os dois lados citados? A figura mostra urn triangulo ABC. Ne1a, a base do triangulo foi tomada como sendo 0 lado a que mede 20 m, e a altura relativa ao lado a, medindo h. A area do triangulo e dada pOl': ..j';A
,,
At:.
,,
= b
onde
!!.-
=
b
sen a ~ h
.....L -
----'
~8
a . b . sen a - - - - - - com 0° < 2 0
-"':
Cj-41
Assim sendo, a area e dada pOl':
Para que
,,:h ,,
b . sen a.
=
a
< 180°
triangulo ABC seja uma solucrao do nosso problema, devemos ter:
At:.
a . b . sen a -----2
~
80
~
~
80, ou seja:
a' b . sen a ~
160
~
sen a
~
160 a . b
Substituindo a pOl' 20 e b por 16, obtemos: sen a
Sabemos que sen 30°
=
l
2
~
160 20 . 16
~
e que sen 1500
=
sen
a
~
1 2
1 2
Para qualquer angulo a entre 30° e 150°,0 valor de sen a e maior que 1 2 Nessas condicroes 0 problema proposto tern infinitas solucroes, pois qualquer \'alor real de a, tal que 30° :;::; a :;::; 150°, torna a sentencra verdadeira. A figura da pagina seguinte ilustra isso.
CD
384
Qualquer ponto deste arco pode ser 0 vertice A 1T
\b:~--- 6" /300 C
20 cm
B
0,
A inequas:ao utilizada para resolver nosso problema, e um exemplo de inequa~o trigonomhrica, pois a incognita esta associada afL1I1s:ao seno, que e uma fL1I1s:ao trigonometrica. De um modo geral, chamamos de inequas:ao trigonometrica qualquer inequas:ao onde a incognita esta associada a alguma das funs:oes trigonometricas. Sao exemplos de inequas:oes trigonometricas: a) cos
(3X
:) > cos x
b) sen
(4X
;) ~ cos
(x + :
)
Do mesmo modo que fizemos para as equas:oes trigonometricas, estudaremos alguns tipos fL1I1damentais de inequas:oes. Em geral, as inequas:oes trigonometricas recaem naqueles tipos fundamentais atraves de transformas:oes convenientes.
Inequa~oes trigonometricas
do IQ tipo
Sao inequas:oes que podem ser colocadas numa das formas seguintes: sen x > a, ou sen x
~
a,
OLl
sen x < a ou sen x
~
a, com -1
Observe a figura: Eixo des senos
Arcos x tais que sen x
_+
~
't-'-A,--.... Eixo dos cossenos
".,.,.....L.i~,..
Arcos x tais que sen x < a
Exemplo 1 Resolver as inequas:oes trigonometricas:
a) sen x < ~ 2
=a
b) 2 . sen x
385
~
\3
~
a
~
1
Solurao a) sen x < Percorrendo e sen (
cicio no sentido positivo, a partir de A, notamos que sen ( ; )
0
2; ) ';
Veja a figura: Eixo dos senos
Onde estiio as extremidades _l----~~ dos areos proeurados
_¥
.,.
-t>-!A:l-.... Eixo dos eossenos
o
conjunto solus:ao e obtido percorrendo 0 cido no sentido positivo, a partir de A, ate completar uma volta, e em seguida generalizando. Dessa forma, os arcos x procurados sao tais que:
< ~ + k . 21T
o + k . 21T OS; X
OU
3
21T + k . 21T < 3
X
< 21T + k . 21T, k E 7L
o conjunto solus:ao e, portanto: s= b) 2 . sen x
~
f
E IR Ik . 21T OS; X < ; + k . 21T ou 2; + k . 21T <
,'3
~ sen x ~
Utilizando a mesma figura do item a, temos que
S
0
< 21T + k . 21T, k E 7L}
"\ 3
Temos que 2 . sen x ~
Exemplo 2 Determinar
X
=
{x I; + E IR
k . 21T
OS; X
0
conjunto solw;:ao e:
OS;
2; + k . 21T, k E
conjunto solus:ao da inequas:ao: Isen (4x) I <
386
1 2
~
Solufao
Devernos ter:
CD ~ < sen (4x) < 1 2
2,
@ A condic;:ao
CD nos di sen (4x) > -
1 2
A condic;:ao
CD e
@
nos di sen (4x) <
-~-------;d----... 4
---'t-------;:I-------f4
Como
@
devem ocorrer simultaneamente, fazendo a intersecc;:ao, temos: Eixo dos senos
1T
----£).---~------Q
0
cicIo no sentido positivo, a partir de A, e generalizando, temos:
o + k . 21l" ~ 4x <
1l"
6
1111" - + k . 21l" < 4x < 6
Portanto S
=
0
t
~ Onde estao as extremidades ~ doarco3x
----'-'A~~ Eixo dos cossenos
_-&-_ _-----;::I
Percorrendo
"6
+ k . 21l" 21l"
+ k . 21l" < 4x <
51l"
6
1l" 24
1l" 2
+ k . 21l" ou
51l" 1l" 71l" 1l" ou --+k'-
111l" 1l" 1l" 1l" kElL} --+k'-
6
e:
xElRlk'-~x<--+k'-
24
71l"
+ k . 21l", k E lL
conjunto soluc;:ao 1l" 2
OU
2
2 '
387
1 2
E E ciclos P OPOSTOS
_
7. Resolva as inequag5es: x~
a) sen
-f2
b) sen x,,;,-
-2-
-f2 2
c) sen (5x)
~
d) 2 . sen x
0
~
-1
8. Resolva: a) [sen (3x) [ ,,;,
~
b) [sen (4x) [
2
Inequa~oes
~ ~ , para 0 ,,;, x,,;, ~ 2
c)
2
12 . sen (5x) [ > .J3
trigonometricas do 22 tipo
Sao inequayoes que podem ser colocadas numa das formas seguintes: cos x > a, ou cos x
~
a, ou cos x < a, ou cos x :s: a, com - 1 :s: a :s: 1
Observe a figura: Arcos x tais que cos x :::; a
Arcos x tais que cos x > a
.k/
w.-_ _~+--__ .~.a:.A~Eixo dos cossenos I'
Exemplo Resolver as inequayoes trigonometricas: -1 a) cos x < - 2
b) cos (3x)
~
-J2 2
SolUfiio
a) cos x <
-1 2
Procedendo como nos exemplos anteriores, temos: cos ( 2; )
_ -1 2
e cos ( 4; )
-1 2
Eixo des senos
Onde estao as extremidades dos areos procurados
i--o---=O+----.A~---. Eixo dos
cossenos
388
o conjunto solwrao e: S
~
b) cos (3x)
=
rJ
h
E IR I -3-
+k.
2'IT
<
X
<
~ -3-
+k .
~ 2'IT, k E ZJ
52
Procedendo como nos exemplos anteriores, temos: cos ( :
)
_5
---
2
7; )
e cos (
5
---
2
Veja a figura: Eixo dos senos
--+----O::+-----=~"A"--..... Eixo dos
cossenos
o conjunto solu~ao e: 2'IT 'IT 2'IT 7'IT 2'IT 2'IT 2'IT S = { xEIR Ik·--~x~-+k·-ou --+k·--~x<--+k·-kEZ} 3 12 3 12 3 3 3 '
EXERCiclOS PROPOSTOS
_
9. Resolva as inequac;oes:
-1
a) cos
X;;"
2
b) 2 . cos x <
c) cos (5x) >
-../s
1
2
d) cos (2x) < 0
10. Resolva:
a) Icos
xl .:;
...f3
-2-
Inequa~oes Sao
inequa~oes
tg
X
b) Icos
xl > ~
c) 2 . cos 2
2
X
+ cos x < 0
d)
1 < cos x < 1 2
trigonometricas do 32 tipo
que podem ser colocadas numa das formas seguintes:
> a, ou tg x
~
a, ou tg x < a, ou tg x
389
~
'IT
a, com x*-- + k . 'IT, k E Z 2
A figura seguinte ilustra isso: Arcos x tais
que tg x > a
I
Eixo dos
senos
Arcos x tais que tg x =a
Arcos x tais
que tg x < a
-+-----,i<=--------'lIi-'-'--.-l~
Eixo dos
cossenos Arcos x tais
que tg x < a
Eixo das tangentes
Exemplo Resolver as inequaC;:6es trigonometricas: a) tg
x;",
.J3
b) 3 . tg (2x) <
.J3
SolUfao
a) tg x;", .J3 Percorrendo
0
ciclo no sentido positivo, a partir de A, temos:
Veja a figura: Eixo dos
senos
'IT
T
--+---=----+.=-------.>'-'-----:l~
Onde est3.0 as areas x tais que tg x ;;. , "3
Eixo dos
cossenos
Eixo d.s
tangentes
o conjunto soluc;:ao e, portanto: 11'" + k· 211'" S = { x E IR 13 b) 3· tg (2x) <
~
X
< -11'" + k· 211'" ou -4rr + k· 211'" 2
3
~
X
< -31T + k· 211'" k E 7l.} 2'
..J3
Devemos ter: tg (2x) <
3 3
..J3 . Procedendo da forma anterior, observamos que 3
..J3 3
390
Eixo dos
senos
, 3 -3Onde estao as areas 2x
,'3
tais que tg 2x < -3-
.---::~~---.1
- __----+,.!"=----+-'--.... Eixo dos cossenos
3'ii
Eixo dos
T
tangentes
Entao:
o + k . 2'IT ,;;;; 2x <
'IT + k . 2'IT ou 6
+ k . 2'IT < 2x < 7'IT + k . 2'IT ou
'IT
2
6
3'IT + k. 2'IT < 2x < 2'IT + k· 2'IT, k E 7L 2 Portanto S
=
{
X
0
conjunto solus:ao
e:
'IT + k . 'IT 12
E IR Ik . 'IT ,;;;; X < -
3'IT k· 'IT < 4+
X
OU
-
'IT
4
T + k . 'IT < X < -7'I+ k . 'IT ou
12
<'IT + k· 'IT, k E 7L}
EXERCiclO PROPOSTO 11. Resolva as inequayoes seguintes: a) tg (3X) <
,"3
c) tg (
b) 0 < tg x,,;: 1
~
e) tg 2
) > 1
d) 13·tg(5x)!,,;:
X -
,"3
RELEMBRANDO CONCEITOS Equa~6es
_
trigonoffihricas
Tipo
Solus:ao
I X
sen
X
= sen a
cos
X
= a + k· 2'IT ou
X
= 'IT - a + k· 2'IT, k E 7L x = a + k· 2'IT ou x= -a + k· 2 'IT, k E 7L
= cos a
x = a + Il . 'IT, k E 7L
tg x = tg a
391
tg x < 0
Inequas;oes trigonomhricas
I
Tipo
Solus;ao
Eixo des senos
Arcos x tais que sen x >
sen
X
> a
Q
iI'
sen x;3 a sen
X
<
a
sen
X ~
a
'I-_ _==it'= Arcos x tais que sen x ;:;: a
--+-----;d--------l.o.:A'----.. Eixa das cassenas
com
cos
X
Arcos x tais que cos x ;:;: a
> a < a
"'A'Z
a
- .......----;:;t----.=l-.....:.:.L-?x~
cos x;3 a cos
X
cos
X ~
Areas x a
com
-1
~a~
tg
X
1
Arcos x tais que tg x> a
>a
tgx< a tg
X ~
~ Arcos
x tais que tg x = a
y
tg x;3 a Arcos x tais
que rg x < a
a
com X =1=
-
'IT
+
2 onde
k·
x
1T,
Arcos x tais que tg x < a
kE Z
EXERCiclOS COMPLEMENTARES 12. Quais as soluyoes da equay8.o tg 5x = 1, no intervalo
392
'IT
2
< X<
'IT?
13. Sabendo que 2 sen (2x) cos (2x) = cos 2 (2x) - sen 2 (2x), determine x sabendo que 0 < x < 7T. 14. Resolva a equa9ao: 2 sen 2
x- 9 cos
( ;
x)
-
+ 4 = O.
15. Para quais valores de x tais que 0 ,,;;; x < 27T, a senten9a sen (2x)
=
sen x
e verdadeira?
16. (U. F. Vi90sa-MG) Determine as solU90es da equa9ao cos 2x + sen 4x = 0, para -
< x,,;;;
;
;
17. (Unicamp-SP) Ache os valores de x, com 0° ,,;;; x < 360°, tais que 2 cos 2 x + 5 sen x - 4 :;" O.
18. Resolva 0 sistema de inequa90es:
x> 0 1 cos x< -
a) {sen
o < tg x,,;;;
b)
{ sen x>
2
+ sen
19. (Cesgranrio) Resolva a equa9ao (cos x
1
1
=
X)2
+
-
2
TESTES
_
20. (UEBA) No intervalo [0, 27T], a equa9ao trigonometrica tg x a) nao possui raizes. b) possui uma unica raiz. c) possui exatamente duas rafzes.
= -2,
a) S = { ; , ; }
c) S
b) S= {7T' ;}
d) S=
a) ~ rad
com 0 ,,;;; x,,;;; 27T.
e)
= f7T' ;} {7T'
S= {2; , 4;}
3;}
x um arco do 1Q quadrante, a solu9 ao da eq ua9ao 4 sen 2 x = 2(-2 cos2 x + b)
8
-1:
d) possui exatamente tres rafzes. e) possui uma infinidade de rafzes.
21. (Fuvest-SP) Resolver a equa9ao sec x
22. (Faap-SP) Sendo
=
~ rad 4
c)
~ rad
2
d)
~ rad
e)
6
23. (UFES) A soma de todos os valores distintos de ex, 0 < ex < 27T que satisfazem sen 2ex = 2 sen 2 ex, e: a)
•
77T 2
b)
27T 3
24. (Unifor-CE) As solU90es de sen x - cos x:;"
a) ~ :$:;X~ 4 b)
-
~~x:s;
4
25. (Imes-SP)
7T 2
c)
7T 3
d) O,,;;;X,,;;;
a valor de x E
57T 3
c)
d)
3
a equa9ao
57T 2
e)
6
7T 4
e) x
=0
ou
27T
x = - 7T 2
7T 6
IR na equa9ao cos x + sen 2 x + 1 = 0, para todo k inteiro, e:
a)
x = 7T + k7T
c) X = 7T
b)
x = 7T + 2k7T
d) x
=
+~ 2
k7T
393
e)
x = 2k7T
sen x)
~ rad
0, no intervalo [0, ; ], sao tais que:
~ :s:;x~
4
e:
°,,;
26. (Cesgranrio) Se a) ~ e
3
x,,;; 11", as raizes da equa9ao cos 2 x - sen 2 (11" - x) = ---.!.- sao: 2 c)
1T
b) ...2:.- e 4
°e 11"
e) ...2:.- e 11" 2
d) ...2:.- ou 6
27. (F. C. Chagas-BA) As solU90es da equa9ao cos 2 x
11" 311" c) 2,11"e
311" e 211" 2
a) 0,
+ cos x = 0, no intervalo [0, 211"], sao: 11" e) 2,11",
2
11" b) 0, -e'ii 2
d) 0,
311" e 211" 2
; ,11" e 2'IT
28. (FGV-SP) No intervalo [0, 211"] a soma das raizes da equa9ao sen 3 x - 3 . sen 2 x . cos x + 3 . sen x . cos 2 X - cos 3 X =
°e:
11" 2
a)
b) 11"
c)
311" 2
e)
d) 211"
°
sen 2 x - sen x 29. (Mackenzie-SP) A solU9aO da inequa9ao --=------,---- > 2 sen x - 1 real, tal que:
511" 2
no intervalo [0, 211"]
e dada por x
a) 0,,;; x,,;; 11" b) ...2:.- < x<...2:.2 6 c)
...2:.-,,;; x< 2
...2:.- < x< 2
ou
511" 6
°< x <
e)
11"
511" <
ou
6
6
°
c) 2
b) 1
31. (F. M. Santa Casa-SP) Qual
sen (x + y) { sen (x - y) a) 1
= =
°°
, onde
+ 14 cos 2 x
d) 3
e)
°no intervalo
4
°,,; x ,,;; 11" eO";; y ,,;; 11"? c) 3
32. (Fatec-SP) Se A = {x E [0, 11"] Isen 3 x
de elementos do conjunto
e:
b) 2
+ 3 cos 2
d) 4 X
+ 3 tg 2
X =
e) 5
3 sec 2 x - 2 sen xl, entao 0 numero d) 4
c) 3
33. (Especex) 0 conjunto solU9aO da equa9ao (
+-
sen
2
e) 5
6) cos 36 = 0, sendo
°,,; 6 ,,;; 11", e:
a) $
=
{o, ; , 2; , 3Z}
c) $= { 6'4'3'2'6
b)
=
{o, ; , 2;}
d)
$
=
e 0 numero de solu90es do sistema
b) 2
a) 1
< 11"
511" 6
30. (Mackenzie-SP) 0 numero de rafzes da equa9ao sen 2 x - 9 . cos x [0, 211"] e: a)
X
11"
394
$ =
11"
{; , ;
'IT
,
;
11"
,
511"}
3Z ' 5;}
34. (Especex) 0 conjunto soluyao da equayao tg x a)
S~ =
b) S
c)
=
=
d) S =
;
+ 2k'IT ou
X =
2;
+ 2k'IT, k
E
=
;
+ 2k'IT ou
X =
3; + 2k'IT, k
E
Ix =
;
+ 2k'IT ou
X =
5; +
;
+ 2k'IT ou
X =
3;
E IR I x =
~ E IR Ix
S {x
E IR
+ 3 cotg x
~ E IR Ix
=
2kro, k E
+ 2k'IT, k
E
=
5 sec x, para x E IR, e:
z} z} z} z}
35. (Mackenzie-SP) Se 2x E [0, 2ro], entao os pontos x do cicio trigonometrico correspondentes as soluy6es do sistema
{~;::;; 0 pertencem ao:
a) 12 quadrante somente. b) 22 quadrante somente. c) 32 quadrante somente.
d) 42 quadrante somente. e) 12 OU 42 quadrante.
395
Respostas Capitulo I - CONJUNTOS d) {2}. b) {7, 9,11, ...} c) {12, 15, 18, ... ,96, 99} 1. a) {a, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9} 2. a) {x Ix numero natural imparl b) {x Ix dia da semana cujo nome come9a pela letra s} c) {x Ix e numero natural multiplo de 4 e menor ou igual a 60} d) {x Ix numero natural multiplo de 5 e 1 ~ x ~ 30} 3. {xix e cor da bandeira brasileira} c) n(C) = 41 4. a) n(A) = 2 b) n(B) = 5 d) 2 E B e) 9 fl A f) 4 fl B 5. a) E A b) fl B c) 2 E A 6. a) vazio b) unitario c) vazio d) unitario 7. a) A = B b) A B c) A B d) S = {2, 7} 8. a) S = {3, 4, 5, 6} b) S = {5} c) S = 0
e e
°
e
°
°
*
9. a) S = {}
b) S
=
*
{~}
c) F d) F b) V Verdadeiras: b, c, d Verdadeiras: a, c, d {2, 3}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5} e {2, 3, 4, 5} Falsas: a, b, e Verdadeiras: a, b, c Verdadeiras: a, c, d, g, h, j, I, m a) {2}, {4}, {6). {8}
10. a) V 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
c) S={-3}
d) S = {-3,
e) V f) F
g) V h) V
~}
~ ~,~,~,~,~,~,~,~,~,~,~,~
c) {2, 4, 6}, {2, 4, 8}, {2, 6, 8}, {4, 6, 8} 18. a) 3 b) 8 19. P(B) = {0, {8). {9}, {8,9}} 20. P(x) = {0, {O}, {2}, {5). {a, 2}, {a, 5}, {2, 5}, {a, 2, 5}} 21. P(A) = {0, {p}, {a}, {z). {p, a}, {p, z}, {a, z}, {p, a, z}} 22. a) 32 b) 16 c)4
23.6 24.9 25. a) {1, 2, 4, 6} b) {1, 2, 3, 26. P e q ou p, q e m ou p, q e n ou 27. A = {v, i, d, a} 28. x = 6 e y = 8 29. a) {q} 30. a) {2, 6, 8} 31. a) {1, 3, 5} b) {5, 7, 8} 32. x = 7 e y = 8 33. a) A = {1, 2, 3, 6, 9, 18} b) B = {1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24} 34. a) A = {4, 8,12,16, ...} b) B= {3, 6, 9,12,15, ... } 35. a) {2, 3, 4, 5, 7, 8} b) {2, 5, 8} c) {3, 4, 5, 7, 8} 36. a) {a, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12} 37. Verdadeiras: a, c 38. Falsa: d 39. a) {2, 3, 5, 6, 7} b) {2, 5, 6, 7} c) {2, 4}
4} p, q,
d) 256
c) {6, 8, 9}
d) 0
e) {8, 9}
f)
{1, 2, 4, 6}
men
b) {n} b) {1, 2, 3} c) {5, 6, 9}
c) {n, q} d} {6, 9}
c) {2, 5, 6, 7, 8} e) {6, 9} f) {5}
c) A n B = {1, 2, 3, 6} d) m.d.c. (18,24) = 6 c) A n B = {12, 24, 36, ... } d) m.m.c. (3,4) = 12
d) e) f) c) d)
d) {2, 3, 4} e) {2, 4, 5, 6, 7} f) {3}
396
{2, {2, {2, {a, {a,
5, 7, 8} 3, 4, 5, 7, 8} 5, 7, 8} 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} 1,2,3,4,5,6,7,8, 12}
g) {2, 5, 6, 7} h) {3} i) {2, 3}
40. Verdadeiras: a, b, c, e, 41. a) {1, 4} 42. a) B 43. M!:l N = {a, b, C, d) 44.30
t b) {5} b) C
c) {2, 3, 5} c) {1, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
45.20
46. 47. 48. 49.
116
a) 80 b) 150 c) 170 d) 220 a) 10% b) 30% c) 50% a) 110 b) 20 c) 38 d) 60 50. Verdadeiras: b, c, d, t 51. Falsas: b, t 52. Verdadeiras: a, b, c, e b) V c) V d) F e) F 53. a) V b) {1, 2, 4, 5} c) {1, 2, 3, 4} d) {1, 54. a) {1, 2, 3} 55. a) {1, 2, {1}, {2}, {1, 2}} b) {{1}, {2}} c) {{1, 2}} 56. N = {2, 3, 4} 57. B = {2, 5, 6, 7} 58.32
e) 70
t) V 2, 4, 6} d) {1, 2}
59. 16 60.2 61. 2
62.70 63.2 64. a) 20 65. a) 15 66. a 67. c 77. d 78. d
68. b 79. e
69. d 80. b
d) 5 d) 25
c) 57 c) 20
b) 10 b) 10
70. c
81. c
72. a 83. b
71. d 82. d
74. a
73. e
75. d
76. c
Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS 1. Verdadeiras: a, c, e, t, g, h
2. a) 31
b) 20 3. Existem muitas soluc;:oes. Par exemplo: 0 = 44 - 44; 1 = 44 : 44; 2 = (4 : 4) + (4 : 4); 3 = (4 + 4 + 4) : 4; 4 = 4 . (4 - 4) + 4; 5 = (4 . 4 + 4) : 4; 6 = 4 + (4 + 4) : 4; 7 = (44 : 4) - 4; 8 = (4 + 4) + (4 - 4); 9 = (4 + 4) + (4: 4); 10 = (44 - 4) : 4 4. a) 3 E IN d) - 3 E ;E g) 0 E ;E~ j) ;E_ C ;E b) 3 E ;E e) 0 E IN h) 0 E L I ) ;E* ~ ;E~ c) -3 fi IN t) 0 fi ;E* i) C;E m) ;E~C ;E 5. a) {-2, -1,0,1, ...} c) {-2, -1, 1, 2} e) {-2,-1,O,1,2} 9)0 b) {..., -2, -1,0,1, 2} d){O, 1,2,3, 4} t) {-1} h) {-2, -1, O} 6. a) V b) F c) F d) V 7. Verdadeiras: b, c, d, g, h, i, j, I, m
.2-
d)
11 20
g)
21 10
b)~
e)
5 9
h)
19
1 c) - -
t)
16 45
i)
8. a)
2
5
4
7
b)
9. a) (3
9 45
~
c) 0,99
3
10. Racionais: a, b, d, t, h, I; irracionais: c, e, g, i, j, m
11. {-3,1; -2;
104
~; '.1") 397
d)
_ 5
2 .
12. Verdadeiras: b, e, f; falsas: a, c, d 13. a)
b)
5-12 2
c) 2('\12
.J3
d)
r;::-
+ 1)
e)
.J6 + -12
f)
3
17. a) 0
~}
d)
b) - - o - - -....._ _-.~
e)
-4
2.5
d) 4 -
c) 0
d) {-2,
,'2', 2
{2 -
--0>__----.-• 3
2
-2
19. a) [-4,3]
c) ]-6,
--12[
d) {2 - ,~, 2 + ,~}
g)
~
h)
•
-3
3
,.~
e) ] -00,
b) 13
c) 14 b) 11
d) 11
b) {1}
a) [-10,5]
b) ]-6,6[
c) 0 c) IR
d) [-2,2] d) ]-x, 4]
c) 3
d)
b) -3 25.x=-10oux=10
~}
,2
a) 31 a) 6 a) [-2, 4]
24. a) 12
3,'13
i)
~
2
d) ]7,5; oo[
b) [1,)1Q[
+ ,~}
~
2
f)
_ _~ -2
20. 21. 22. 23.
6(,15 - 2) 11
c) 38 - 12,10
c)
b) 0
...- - -••-~~. -3 5
c)
3
2
14. a) 9 + 4-J5 b) 1 15. Verdadeiras: b, d, g, h 16. a) {-2} b) {-2,
18. a)
.J6
~
]
f) ]-10,10] e) 15 f) 9 c) infinitos e) [2,5] f) ]-3,3] e) ]-00,3] f) [-2,00[ 5 e) - -
1
10
-
f)
3
17 12
26. 0, 1, 2, 3, 4, 5 27. -5, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5 28. {x E IR I - 5 ~ x ~ 5} 29. b, c, g, h 30. a)
1
4
b)
31. a)
~53
32. a)
25
b) 4
1
b) -
33. a)
1
2
25 99 b)
2 3
c)
23 90
d)
6
e)
5
11
9
46 45
f)
d) ~9
\6 3 1
c)
2
c)
16
9
34. {-2, 0, 2} b) [-2, 5] 35. a) [-4, 6[ 36. 91 40 37. 1,3 e 9 38. a) 14 b) J.±39. 15 9 40. {-1, 0, 1}, {-3, -2, -1}, {1, 2, 3} 41.b 42.d 43. a 44. a 45.c 52. d 53. d 54. c 55. b 56. d
d) 25
e)
5
3
f) 1
d) 13
g)
2
f) 7
h)
g)
c) [-3, 6[
d) [-2, 5]
e) [-4, -2[
46.d 57. b
48.d 59. b
50.e
398
47.d 58. e
49. a 60. d
3
16
2
51.c
Capitulo 3 - FUNC;:OES 1. Y = 2x + 1 2. a) a = 8 e b
=
b) a
4
3.
=
1eb
4 3
=
= 3 au
c) a
a
=4eb=2
d) a = 5 e b = 3
y
F, __
4 3 D
---- - e
2
E
A
-2
4
--->--+-----:+-----+---;~~
-4 -3
e-
-3
B
4. a) b) c) d) 5. a) 6.30
A x 8 8 x A
x
0 -I
{(-2, -1), (-2,1), (0, -1), (0, 1), (2, -1), (2,1)} {(-1, -2), (-1, 2), (-1, 0), (1, -2), (1, 2), (1, O)} A 2 = A x A = {(-2, -2), (-2,0), (-2,2), (0, -2), (0, 0), (0, 2), (2, -2), (2,0), (2, 2)} 8 2 = 8 x 8 = {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)} 8 b) 4 c) 8 d) 16 = =
7. a) 4
b) 4
c) 8
b)
8. a) e-
e
- e 4
c)
y
e
4
e ~
- -- e
-i
- e------e
2
, , _I
-3
0
d) 2
•
o
x
-2
1
• -
-.
- -e
-- - - -
4
o
x
2
x
- - - - - -e
-3 - e- - - - - - - - ...
f)
e)
d)
4
2
-2
o
x
o
9. a) A={-2,0,2}e8={-2,-1,1,2} b) A = {- 2, -1, 0, 1, 2} e 8 = {2} c) A = {2} e 8 = {y E IR 1-3 < Y < 3}
399
4
x
o
x
d) e) f) 10. a) b) c)
A
= {x E
A
= {x E
IR 1-3 :;;; x:;;; 3) e B = {y E IR 1-2 :;;; y:;;; 2) IR 1-3 < x:;;; 4) e B = {2) A = {XE IR Ix:;;, -3) e B = {yE IR Iy:;;. -1) R1 = {(-1, 2), (0,4), (1, 6), (3, 10)) R2 = {(-1, 1), (0, 0), (1, 1)) R3 = {(-1, 2), (0, 0), (1, 2), (3, 6))
11. a) R1 =
{(-2, -f). -1),(-f, -2)}
b) R {(-1, -f).(-f, o)}
(-1,
2 =
12. a) R = {(2,9), (3, 6), (6, 3), (9, 2)) b) S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3))
13. a) R = {(O, 10), (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2), (5, 0)) b) R = {(O, 5), (5, 0), (3, 4), (4, 3), (0, -5), (3, -4), (4, -3)) 14. a, b, e
15. a)
c)
b)
d)
16. a, b 17. a)
b)
1a
~
1
2
c)
2
e)
4
d) {1, 2, 3)
3
~
-13
19. a) 16
3
b)3
20. a) {2, 3, 4)
c) -
c) -3
-2 1
4
f)
d)
13 - 8-/2
b) {-3, 0, 3)
d) -18
5
c)
21. 4
22. 5x - 7 23.9
24.
3
4
25. 18
400
{~, 1, 3}
{~ , ~ , ~} f) ~ 5
e) 1
x = 1 au x = - 3
e)
{~,2, ~,3, ~}
f) x
d)
= 2 au x =
{o, ~}
2 5
26. a) IR
f) {x E IRlx
b) IR c) {x E IR Ix
{x
d)
> -
. I) {xE 1R*lx* 2}
* -1 ex * 1} * 3 e x * 4} {x E IR Ix ~ ~}
m) {x E IR Ix > 2} n) {x E 1R*lx > -2}
g) {x E IR Ix h) {x E IR Ix
* 2}
x;;. - ~}
E IR I
i)
j) {x E IR Ix ;;. -
e) IR
Y
27. a)
~}
~
ex
0) {x E IR Ix;;. 2}
* ~}
p) {x E IR Ix;;, 2}
c)
b)
• •
..:,
-2
_I
0
x
2
x
x
, .-
-3
28. a) •
--
6
•
.
Y
b)
c)
b)
c)
• 0
-3 -2 -I
2
3 x
• -2 • -3
YJ 29. a)
-3
-2
•
•
3
_I
0
-5
• 2
3
•
x
-5
401
30. a)
b)
4
c)
•
2
• -3
-2
• _I
I
x
0
-3
31. a)
-2
_I
x
0
-3
-2
-1,0_11
2
x
-I
b) 4 •
2 - •
• -2
•
o
-I
x
2
2
-I
•
-
-2
•
-4
-4 \
y
32.
•
8
I -2
-
•
-I
o •
I
2
-2
x
-I
-8
402
x
33. bed 34. a, c, g, h 35. a) b) c) d)
= {-1, 0, 1,2, 3} elm = {-2, -1,0,1, = [0, 4] e 1m = {y EO IR 1-3 ~ Y ~ 2} D = IR e 1m = 1R*r
D D
D = {x EO IR 1-2
~
x
~
2}
3} e 1m = {y EO IR 1-2
36. a) -2 e 1
Y ~ 5}
~
c) -2, 1 e 4
b) -3
37. a) Crescente: ]-00, -2] e [0, 00[. Decrescente: [-2,0] b) Crescente: ] -00, 3]. Decrescente: [3, +oo[ c) Crescente: nao existe. Decrescente: IR 38. a) IR b) IR c) Crescente 39. a) b) c) d) e)
IR {y EO IR Iy
31
d) x =
1
g) Nao
3
h) Nao
i) Nao
g) x < h) Par
4}
]-00,0] [0, +oo[ -2 ou 2
i) 0 j) 4
IR
40. a)
f) x<
3
-2 < x < 2 - 2 ou x > 2
f) ~
1
e) x>
c) Nao d) Crescente
b) 1R*r
c)-3,-1,1e5 d) -1 < x < 1
41. a) [-3,5] b) Crescente
g) x> 1 h) Nao
e) Nao f) x = 0
i) Nao j) Zero
g) {yEO
e) 3 f) 0
1R1-3~ y~4}
42. Sobrejetoras: a, c, d, f; Injetoras: b, c, d; Bijetoras: c, d
43. b, c 44. Verdadeiras: c, d, e. Falsas: a, b
45.
46.
,-1
= {(2, -3), (4, -1), (5,1), (3, 2))
47. g-1(_4) 48. a) b)
,-1 ,-1
=5e
(x) =
=8
~
c) 9 -
d) 5 b) - 3
37 4
51. a) a, b, d, e, f
1
(x) =
4
(x) = 2x- 3
49. a) 0
50. a)
g-\3)
,-1
(x)
=
2x - 1 x - 2
x3
-
2
c)
b) 3
b) a, b, d, f
403
(
x oF
3
2)
e)
f) - - 11
6
,-1 ,-1
(x)
= ~x -1
(x)
= x+2
d)
2x - 5
8 5
(x oF
~
)
c)
0
@
.".+ '\
//1-
'\
,
0 0 ,
y
®
x
x
eD
.".1-
'\
.".1-
'\
x x
52. a) 6x + 1 53. a) 2x 2 54. a) -11 55. 2x + 1 56. 4x - 2 57. 8x - 9 58. 3x - 1
b) 6x - 3 b) 2x 2 + 12x
d) f
-1
(x) =
X
9
4
4
8
61. a) 7 62. 2x + 7 63. a) x = -4 au x = 4 64.8 65. a) {x E IR Ix;;. 0 e x"* 4}
b) x
=
1 au x
=2
b) {XE IRlx> 1}
5x + 1 66. - - -
x+
+
e) -16x 2 + 40x - 4 f) -228 1 b) 5 au c) 5 2 b) 30x - 98
b) -3 c) 1
d) 4x + 3 4 2 d) 8x - 24x
c) 9x - 8 c) x + 6 c) 97
15
b) -8
59. a) -20
60. a)
+
1
67. a)
b) f -\x) = {(0,1), (3, 2), (8, 3), (15, 4), (24, 5)}
404
+ 15
d) 22
g) 64x - 36 h) -2x 2 + 13x- 4 i) -4x + 10
d)
c) x
=
5
2
au 3
3
c) {x E IR Ix"* 2 e x"* 5}
d) {x E IR Ix
> 4}
68. Y = 60 - x 2 69. a) [-2, 2] 70. a) IR* b) IR* 71. {-2' -1, -
72. 0 82. d 93. c
~
b) [0, 2] c) 1 c) Decrescente
d) 2 d) fmpar e) IR-,
f) [-1,1] g) Zero h) Zero
e) 0 f) IR~
, 0, 3}
73. 9 (33) = 19 83. b 84. e 94. c 95. b
74. 0
76. d 87. a
75. 6 86. d 97. d
85. a 96. b
77. d 88. e
79. e 90. b
78. c 89. d
80. c 91. e
81. b 92. d
Capitulo 4 - FUNC;:AO DO IQ GRAU b)
1. a)
y
y
c)
2
0
x
0 -I
0
x
x
-2
2. a, b, d, f 3. a) -17
~
~
-1
4. a) 4x - 3 3 5. a) -2 6. a) 3 7. a) 8x - 63 8. a) y = 100 + 5x 9. Y = 4x + 180
10. a)
d) 5,2 - 2
-2
+9
b) 12x+ 21
c) x
b) -1
c) 0
b) -17 b) 24x - 47 b) 700 UT
c) 23
c) 40 km
b)
c) y
11. a) Crescente 12. a) m = 2 13. Y = 4x - 6 14. a = 2 e b = 9 15. a) y = x + 6 16. a) y = 3x - 4 17. 25 min 18. a) x=4
19. a)
(-t, 0)
o
x
x
b) Decrescente b) m> 2
c) Decrescente
d) Crescente c) m < 2
b) Y
=
+ 1 2x + 3
c)
b) x
=
0
c) 0,5
b) Y = -2x
b)
(~,
0)
c) (5, 0)
405
y = -3x + 1
d) (0,0)
2
x
20. a) x b) x
< 2 => Y < 0; x = 2 => Y = 0; x > 2 => Y > O. < 0 => Y> 0; x = 0 => Y = 0; x> 0 => Y < O.
e) x < 0
=>
Y < 0; x = 0
=>
Y = 0; x> 0
=>
Y > O.
2 2 2 d) x < -3 => Y > 0; x = -3 => Y = 0; x> -3 21. a)
b) Y < 0
Y< 0
22. a) {x EO IR Ix
>
2,7}
b)
{xEOlRlx~ 1~}
<
x<
d) y> 0
~}
{xEOlRlx>-~}
e) {x EO 1R13
{x
<
e) {x EO IR 1-3
~
~
f) {x EO IR I0 < x <
25. a) {x EO IR Ix < -2 au x> 3} b) {x EO IR Ix ~ -3 au x> 4}
f) {x EO IR Ix <
+
~
au x >
1;}
b) {x
EO IR 1-2
1:}
~ x~
29. a) IR
e) {-0,4}
b) 0
d)
30. a) m = 5
{x
f)
EO IRlx"* ; }
EO 1R11
au x >
{x
g) {x EO IR Ix;;;. 9}
~}
< -
EO IRlx
e) 10x-11
= ~- ~
b)
3
2}
~ x~ ~} h)
e) m < S
b)7 3
{x
~- ~
e) {x EO IR Ix > 2}
b) m"* 5
31. a) 4
32. a) f (x)
b)
~}
~}
au x >
27. a) {x EO IRlx~ -1 au x;;;. 6}
{x
3 0} 7
1 au x;;;. S}
b) {x EO IR Ix < -2 au 0 < x < 4}
28. a)
EO IRlx >
d) {x EO IRlx > -
26. a) {x EO IR Ix < -3 au 2 ~ x ~ 4}
EO IR Ix
y> 0
< x< 6} < x~ 1}
d) {x EO 1R1-1 e) {x EO 1R1-2
e) {x EO IR Ix < 0 au x> 2}
e)
~}
x< x
f
d)
~ x< 10}
EO 1R1-2
d)
b) {x EO IR Ix ~ 2 au x;;;. 4} EO IRI-S
e)
~ x~ 2,S}
24. a) {x EO IR Ix < -3 au x> 2}
{x
Y < O.
e) Y = 0
23. a) {x EO 1R1-1 < x< 1} b){XEO 1R12
e)
=>
{x
EO IRlx;;;. -40}
d) m> S d)
4 x= - S
e) x = -4
25 3
33. Y = 76
34. a)
-+
b)
35. a) y = 42 - 4x 36. a) {O, 1, 2, 3, 4, 5} 37. 42 38. 1 39. m = -3 en 42.
S= {x
EO IRlx
~ ~
au
2-
e) 2
2
b) 34 em b) {-2, -1,0,1,2,3,4, 5}
= -1
40. 99
e) 1,5 e) {x EO IR 1-2
~
x
~
S}
41. x = 8
x 2} >
43. S = {x EO IR Ix < 0 au x;;;. 2} 44. S = {x EO IR Ix ~ -8 au -4 < x < 2} 45.18 46. {x EO IRlx> 1} 47. b 54. aSS. d 56. e 57. b 58. e
48. b
49. d
e
60. b
59.
406
50.
e
51. b
52. e
53. a
Capitulo 5 - FUNC;:AO DO 22 GRAU 1. a, b, f 2. a) m 3. a) m
*4 * 3 e m * -3 1
5. a)
b)
2 1
3
2
+8 6x + 4
11. a) Y = Sx - 14x
16. a)
d) 9-7,2
1
c)
2
-
3 2 7
c) -"60u2
8. bed
10. k > 5 12. f (x) = 2x 13. 5 14. a) -9 15. Xv = 2
c) m = 3
b) 0 au "6
7. 19.310 UV
2
4
5
1 2
0U
m=
c) 1
b) 13
4. a) 3
6. a)
b)
b) m = -3
-
b)
y= _x 2 + 3x
c) f (x)
1
= 2
x
2
-
X -
1
b) -21
v(~ -~) 2' 4
b) V(7, -9)
17. a) {y E IR IY;;. -16}
c)
v(~
d)
v( ~ , ~~ )
2'
_...!..) 2
c) {rEIRIY;;.-
d) {yE IRIY~ 4}
e) V(O,9)
f) V(2, -16)
~~}
e) {y E IR jy ~ O}
f) {y E IR IY;;. S}
c)
18. a)
2
o
x
x
-I
-I
-2
b)
y
d)
x
x
407
19.
20.
(1,3) (-2,0) x
x
-2
21. 7 22.3 23. P = -4 e q
= -12 = 2 ou m = 5 m=0
24. m
25.
26. c = R$ 675,00 27. x
=6
28. a) y = - x 2
+ 3x +
e) y = 342,25 em 2
b) x = 1,5 em
340
29. a) depois
b) 40
b) S={0,6}
30. a) S={1,9}
e) S=
{~}
d) S={-4,4}
e) S=0
31.a)1e5 b)-4 e)Oe2 32. a) x < 3 ou x> 5 => Y > 0; x = 3 ou x = 5 => Y = 0; 3 < x < 5 => Y < 0 b)
x < -2 ou x> 4 => Y <
e) x < 0 ou x >
5
"2
d) x < 0 ou x> 4
=>
e) x < -3 ou x> 3
=>
0;
= -2 ou
x
= 4 => Y = 0; -2 <
Y > 0; x = 0 ou x =
Y < 0; =>
x
x
= 0 ou
x
5
"2
= 4 => Y = 0; 0 <
5
"2
=>
=>
Y< 0
x < 4 => Y > 0'
Y> 0; x = -3 ou x = 3 => Y = 0; -3 < x < 3
f) 'IX E IR => Y > 0 g) x = -2 => Y = 0; x oF -2
d)5
x < 4 => Y > 0
Y = 0; 0 < x <
=>
f) S= { ; }
=>
Y< 0
Y< 0
h) 'IX E IR => Y < 0 i) x < -1 ou x > 2 => Y < 0; x = -1 ou x = 2 => Y = 0; -1 < x < 2 = Y > 0 j) x = 0 => Y = 0; x oF 0 => Y > 0
33. a) {XE IRlx< -20ux>6}
1-5
f) {x E IR Ix
b) {x E IR < x < -2} e) {x E IR Ix ~ -4 ou x ~ 5} d) {XE IRIO ~ x~ 2}
g) IR h) 0 i) IR
e) {x E IR Ix ~ -5 ou x ~ 5}
j)
{x
~ - 4 ou x ~ ~}
m)0 n) {x E IR
0) E IR I
x
34. m> 6 35. -10 < k < 0 36. -~ < m < ~
2
I) {3}
2
408
oF
~}
1-4 <
x < -2}
{xElRlx~10ux~3}
37. a) {x E IR
12 < x ~ 3}
b) {xEIRI0
38. a) {x E IR Ix < -2 au 0 < x < 1 au x> 5} ~ x~
b) {xE 1R1-3 c)
{x
-1 au 1
~ x~
e) {x E IRlx
2}
f)
~ ~}
E IRlx
b) c)
au 1 < x
~ 2 au x
> 5}
{x E IR Ix < 2 au x> 5}
g) {XE IRlx~ 6}
d) {x E IR [-2 < x < 0 au 1 < x < 2 au x> 3}
39. a) {x E IR Ix
f
~-
h) {x E IR Ix < 4}
~ -+ au x ~ ~}
{x E IR 1-3 ~ x ~ 0 au x ~ 2} {x E IR Ix = 0 au x> 1 ex*- 4}
40. a) m *- -5 em*- 5
b) m
=
c) m < -5 au m > 5
-5
d) m
=5
1
5
41. a) 18
b) 2
c) 0
d)
42. 1m = {-1, 0, 3} 43. a) V(5, -25)
b) {0,10}
c) -25
d) {y E IR IY ~ -25}
44. a) (
11
49)
2'4
45. k = 2 46.8 47. a) Y = x 2
-
b) Im(f)
4x + 3
b)
48. a) V(2, -1)
=
{r
E IRIY
Y = -x 2 + 4x - 4
c)
b) V(2,0)
c)
~
au 2
::}
y = x2 +
X
+
1
v(-f, ~ )
49.8 50.6 51. IR+ 52. {XE IRlx< 1} 53.7
54. a) a
= 1, b = -4,
c
= -5
b) f(O)
= -5
c) f(x) tem valar minima, pais a
=1>0
d) (2, -9)
e)
x
55. S
= {x E IR 1-3 < x ~ = 1en=0
-1 au
x> 3}
56. a) m
b) 5
57. d
58. b
59. a
60. a
61. a
62. d
63. a
64. d
65. e
66. b
68. b
69. d
70. b
71. c
72. c
73. e
74. d
75. b
76. b
77. d
409
67. a
Capitulo 6 - FUN(:AO MODULAR 1. a)
c)
y
y
e)
4
x
b)
x
d)
-4
x
2. a) -2
c) 1
b) 2
3. a)
4. a) 3
y
x
6. a) -6
5.
2
410
b)
b)
y
c) IR+
7. a) h(x) = - Ix +
31
b) h(5) = - 8
c) 1m = IR_
8.
x
2
9. a) h(x) = Ix + 4x + 10. a) 0
31
b) h(-1)
=0
b)
-3
c) 1m
= {y E IR IY;;. -2}
11.lm={yElRly;;'4}
12. a)
2
b) 1m
x
= {yE IRIY;;. 3}
13.
-I
x
411
c) h(-3) = 0
14. a) S
=
b) S =
{3, 5}
c) S
{~ ,~
d) S
= {=
f
17. a) S
{3'
=
E IRlx
f) S =
d) S
~ - ~}
~}
18. a) S= { ; , S}
= {2,
b) S =
{x
b) S
{4}
=
6, 4 -
c) S = {x E IRlx < -
~
au x>
=
{~, ~1}
2, 4
E IRlx,,;;;
+
c) S
{-2, 2}
b) S={xEIRI-7,,;;;x";;;1}
d) S
=
23. a) S = {x E IR [0 < x < 2 au 4 < x < 6} b) S = {x E IR I 2 - 7 ,,;;; x,,;;; 1 au 3 ,,;;; x,,;;; 2 +
=
{-5, -4,4, 5}
d) S= 0
{x
IR [x,,;;; 3 au x ~ 5} IR 1-4 < x < S} E IR
1-
+x <
<
~}
14}
b) 0 = {x E IR Ix,,;;; 0 au 2,,;;; x,,;;; S au x ~ 10}
E IR Ix ,,;;; - S au x
~ ~
26. a) S = {x E IR Ix < 1 au x >
~}
b) 2
e x 1= 3} b) S
=
{x E IR 1-
~
b) S = {x E IR Ix,,;;;
c)
+
< x < -
~
2
f) 1m
e)
au x
e x 1= -
~ 2}
d) 14
=
{y E IR Iy
~
2}
g){xElRlx~O}
h) {x E IR Ix,,;;; -3}
28. a) -2
o
x
b) 2
[x ~ 2~}
7}
c) S={xElRlx<3-.J14au13+
24. a) 0 = {x E IR 1-2";;; x,,;;; 2}
-3
E IR
3} = {x E = {x E
27. a) 9
S= {x
c)
~}
b) S c) S
= {x
{~}
r-2}
~}
21. a) S = {x E IR [x ~ 2 au x,,;;; -2} 22. a) S={xEIRI-14,,;;;x";;;6}
25. a) S
h) S =
c) S= 0
b) S= {-4.
19. a) S = {-6, -4,4, 6} b) S 20. a) S={xElRlx<-Saux>2} b) S = {x E IR Ix,,;;; -1 au x ~ 7}
g) S = {-14, 16}
../2, 3 + ../2, 7}
c) S = {-1, 3 -
b) S={-1,4}
~}
= {-
e) S
{~ , ~}
15. a) S={1,2,3,4}
16. a) S =
~ , - ~}
c) -2
412
d) 2
~}
29. a) h(x) = Ix -
31 -
1
b)
30.
x
Verdadeiras: a, b, c, f.
31. a) S
= {2
"
15 17 -
,/469
2
'
17
+
.J409}
b) S
2
= {11)
32. a) S={xEIRI-50 6) c) S = {x E IR Ix
~ -2 au x;;;. ~}
*'
33. a) D = {x E IR Ix 2) b) D = {x E IR Ix ~ -1 au x;;;. 5} c) D = {x E IR Ix ~ 0 au 3 ~ x ~ 6 au x;;;. 9}
34. a)
y
b)
x
35. S = {-2, -1, 1, 2} 36. S = {XE IRlx< -1 au x;;;. 3}
413
x = 24
au
x =5
37. S = 0 38. S={xEIR*I-1 1} 40.
41.
x
42. e 53. a
43. c 54. e
44. a 55. d
45. d 56. a
46. a
47. d
57. e
58. e
48. e 59. a
49. c
50.
a
51. d
52. b
Capitulo 7 - FUNC;:AO EXPONENCIAL 1. a) 125
d)
~
J.) - 1 8
g) 2
16
b) 10000
e) 0,0484
h)
JL
c) ~ 25
f)
---±81
i)
~
2. a) a7
I)
4
~
m)
16
n) 1 0) 0,85
3
~
p)
100
25
9
d) a 2
g) a7
j) ax2 + x
n) 6
b) a4
e) a- 2
h) a6
I) (a . b)2
0)
c) a7
f) aO = 1
i) a 3x
3. a) 2
4 5
4. a) 2 x . 2 3
x+1 c) 10-2-
1
b) 2 2
b) 52x . 5
5. b) (base: 5) e c) (base:
c)
+)
(~
~ 3
2
3x
e)
d)
32
3
10 2x
10
+
esta entre 0 e 1
d) Decrescente, pois a base 0,23 esta entre 0 e 1 e) Crescente, pois a base 'IT = 3,14 e maior que 1 f)
Crescente, pois a base
g) Crescente, pois a base
3
= 1,73 e maior que 1
.J2 + 2 = 1,41 + 2
h) Decrescente, pois a base
=
3,41
e maior que 1
.J3 = 0,57 esta entre 0 e 1 3
414
5
(~
y
p) a6
2x.,..1
3
esta entre 0 e 1
c) Decrescente, pois a base 2 -3 =
y
x
d)
e maior que 1
6. a) Crescente, pois a base 3,1 b) Decrescente, pois a base
m)
x
f)
(~
e) 10°
r;4
7.
a)
c)
o
b)
1
2
3
o
x
~
x
-I
8. a) -2
b)
-
3 2
-I
~
d)
c) 2
c) S = {3}
e) S = {-
b) S = {3}
d) S = {3}
f)
S=
c) S= {-
;O}
{~}
b) S=
t~}
0
1
2
e) 7
3
9. a) S = {4}
10. a) S=
2
x
3
y
d)
y
1
~}
{~}
f)
g) S =
{~}
h) S =
{~}
d) S= {10}
x
-3
i) S = {-
e) S= {3}
f)
S= {-8}
11.a)S={-1,O}
b)S={2,6}
c)S={-3,8}
d)S={-2,2}
12.a)S={2}
b)S={5}
c)S={2}
d)S={-2}
13.a)S={O}
b)S={-1}
c)S={4}
d)S={-1,O,1}
14. a) S= {1}
b) S= {a, 1}
15. a) S={xElRlx>4} b) S = {x E IR Ix < 6} c) S = {x E IR Ix ~ 4} d) S={xElRlx<3}
e) S = {x E IR Ix < 2} f) S = {x E IR Ix ~ 3} g) S = {x E IR Ix < 4 ou x> 5} h) S = {XE IRlx~ -1 ou x~ 1)
16. a) S = {x E IR Ix > -3}
c) S
b) S= {XE
IRlx~
-1}
=
{x
E IRlx
> -
d) S = {x E IR Ix > -2}
415
~}
~}
17. a) S = {x E IR Ix > 4} b) S
=
18. a) S
=
=
{x
e) S = {x E IR Ix;;;. 3}
E IR Ix
<
~}
{x E IR 11
~
f) S={xElRlx<11} g) S = {x E IR Ix ~ 2 ou x;;;. 5} h) S = {x E IR 1-1 < x < 1}
x < 3}
c) S=
b) S={xEIRI-1
{xEIRI-~
b)
23. a) x = 2 ou x = 3
b) x < 2 ou x> 3
24. a) S = {4}
{~}
c) S = {4}
~
c)
2
h) S = {1, 2}
I) S= {1, -2}
0) S =
f) S= { ; }
i) S =
= {3} = {-1} d) S =
{x
E IR I
{x
x< -
E IR I
f)
37. a 48. e
= {4} = {2}
~}
g) S = {x E IR Ix < 1} h) S = {x E IR 1-8 ~ x ~ -3} i) S = {x E IR Ix ~ -8 ou x;;;. -2}
S={1}
c) S= {xEIR1i
x < 2}
d) S =
30. 64 31.
38. e 49. e
g) S = {2} h) S = {a, 2}
< x < 2}
e) S = {x E IR 1-4
{x
39. a 50. d
+x
E IR I
<
~}
{~}
S= {(-1, 1)}
32. 1a
33.
40. a 51. b
42. e 53. d
43. e 54. a
41. a 52. e
<
44. a 55. c
34. d
35. e
45. d
46. c
CapItulo 8 - LOGARITMOS 1. a) x = 5 2. -3
b) X= 2
1 c) X=-
2
3.4 4. a)
11
{~}
m) S = {4}
~ ~ x< ~}
29. X= aey= -1 36. a 47. c
{~ '2} e) S f) S
27. a) S= {XE IRlx> 1}
=
d) -2 ou 2
c) 2 < x < 3
e)S={-1}
b) S = {x E IR Ix > 5} c) S = {x E IR Ix < -4}
28. S
d) -4
n) S = { ; }
S={xElRlx~a}
~
a
j)S={1:}
c) S d) S
{x E IR la
f) S = {x E IR Ix < 3} e) F f) V
g) S = {1:}
b) S={1}
=
S={xEIRI-2~x~2}
d) S = {3}
25. a) S = {5}
b) S
d) S = {x E IR Ix < -1} c) V d) F
21. a, b, d, e, f 22. a) 8
26. a)
~}
d) S = {x E IR Ix < -2}
2~ ~ F
b) S =
E IRlx;;;.
{x E IR Ix < -6}
b) S = {x E IR Ix > 4} c) S = {x E IR Ix < -1} d) S = {x E IR 1-2 ~ x ~ 2}
19. a) S
{x
c) S =
b)
4
416
1 3
d) X= 2
5. a) 15
b)
6. a) 64
c) 8
1 81
b)
8. a) S = {O}
b) S = { -
9. a) S = {4}
c) S
b) S= {~}
b) 2
13. a) 5a 2
,
c) S = {1, 64}
= {9}
19. E
24. a) S = {10}
d)
8 5
20.
-
c) S
2-
{~}
= {7} e) 4
h) 6
d) a + b d) S = {6}
+ 109
a
d) 1095 (x 2
22.
=~, ~1}
+ 109 b -
2x - 3)
23. a = 5 e b = 2
1 000
d) S = {8} c) 109(a
+
b) - log c
x-2
c) 10 94 _x_
2
1Z'2}
9) 10
25)
b) 10931 - 10934 = -10934
b) 109
d) S
c) 1093
21. m + n
2 m
{2,
i) S =
f) 16
+ 10945 + 10947
= {8}
25. a) 1095 8 - 1095 9
26. a) 1093 3 = 1
9) S = {3}
e) 9
=
f) S = {60}
e) S = {8}
c) 3 c) S = {-2, 1}
2 3
m) 2 au 6
2 d) S
d) S = {O}
c) 109 (x 2
= 12x + 6
:,:'\6
f) S = {10} h) S = {1} c) S = {10} c) 8 d) 2
b) 1094 -
b) S
j)
e) S = {4}
c) 36
I) -5 au 2
i) 3 au 9
27}
b) 1094 2
18. P = 10 h
1 2
h) 3
c) S = {5}
+ 10939
17. a) 109340
- -
2'/10 5
b) 8 b) S= 0 b) S = {28}
14. a) S = {4} 15. a) S = {-1, 8}
16. a) 109310
~}
9)
d) S = {6} b) S = {5, 8} b) 1
10. a) S = {2} 11. a) 0 12. a) 4
{~
c) 1
2
f)
b) S =
7 2
-!3
e)
d) 10000
7. a) S = {2, 16)
-
d) 1 0 9 - x+2
x+2
27. a) 1092 a + 1092 b - 1092 C b) 1095 a - 1095 b - 1095 C c) 1092 + 109 b + 109 c - 1093 - 109 a 28. a) 1092
29.
~
b) 1094
7
3
4'lTr 30. S = -3
10 3
32. ~ = 16 b
33. a b) S = {25}
35. a) S = 0 36. a)
x2 - x x +1
S {-1' - ~} =
37. a) 310942
=
~ 2
b) S
= {1}
b) 210957
31.
= 10 e b = 5
34. 1 d) S = {7}
c) S= 0 c) S
c) -log 4 3
417
-x
=
{1}
d)
~ 3
d) S = {-1, 1}
.10925
e) 2 10 9
1
2
~ 4
38. a) 10958 39. a) log N
b) log N
40. a) P
108
41. a) x I y 42. a) S {4} 43. a) 1.079 44. a) 0.477
46.
2 log 1
I
a
310g b
I
4 log
a
b) x
c
9
b) S b) 1.005 b) 1.380
{3.5} c) 0,083 c) 1,176
1 log 2
10
e1) 2x
I
log
log 4 I 5 log b
e1) P
200
c) 3x
Y
1 log 2 2
e1) log N
c) P
5
e1) log 4
c) log N
2 log b
b) P
1 2
c) 109
log
log 7 log 5
45. a)
b)
b) 109316
I
3y
c) S {2} e1) 0.699 e1) 1.556
a I
2 log
1 25
e) P
1 2
e)
e)
e1)
log 25 log 2
f)
log
a
4 2
f) P
4
x
2
e1) S
c)
3 5
c
f)
e) 2.796 e) 1,903
log 25 log 2
310g b
log 5
{15) f) 4.770 f) 0.065
1 . log 3 2 log 6 log 8 log 2
a
47. a) 0.638
b) 1,567
c)
eI)
0,638
0.638
1
48.
2 49. 50. 51. 52. 53.
log27
1 9 a) S a)
{15}
b) S
{5}
c) S
{4}
eI) S
{6}
e) S
{2}
f) S
{3}
c)
2
- 1 - - - - - - - - . -...
9
b)
418
x
54. Crescentes: a, c, e; decrescentes: b, d, f 55. a) a > 3 e a "* 4 b) a < 2 e a "* 1 56. a) 1 024 b) 1 57.4 58. Verdadeiras: a, c, d, f; falsas: b, e, g, h 59. a) D = {x E JR Ix > -4} f) D
~}
b) D =
{x
E JR I
c) 0 =
{x
E JRlx < -
d) D =
e) D =
60. a) 0
=
t
t
x<
~}
~
E JRlx < -
i) D = {XE JRlx"* 3}
j)D=JR
au x> 2}
~
c) 0 = {x E JR 13 < x < 4 au x> 4}
e x "* -
61. a) D b) D
= =
{x E JR Ix < -M {x E JR 11 < x < 2}
62. a) S
=
{x E JR Ix > 14}
~} <
- 10
au
d) 0 = {x E JR 11 < x < 2 au 2 < x < 4}
x
{x
E JRlx;3
<
-3 au x> 5}
d) S = { X E JR 1- 299
.,:;
x <
1}
2
e) S={xEJRI-3
b) S={xEJRI+
{x E JR Ix < -4 au x> O}
h) 0 = {x E JR 12 < x < 4}
{x E JR Ix > 3 e x "* 4}
b) D = {x E JR Ix > -
=
g) D = {XE JRI-2·J2 < x< 2.J2}
~}
E JR Ix >
c) -1
~}
f) S =
{x
~~}
E JRlx <
63.0 = {xE JRI2 < x":; 12} 64. a) S = {x E JR 1-4 < x < -3 au 0 < x < 1} b) S = {x E JR' 1-4 < x < 4} c)
S=
65. a) S 66. a) S 67. a) 2
= =
{x E JRI-+.,:; x
<
0
au ;
{x E JR 1-2 < x.,:; 3} {x E JR IX;3 7} b) 1
68. a) 1 000
b) 2,01
b) D = {x E JR Ix
72. a) 1,86 2a
+ 3b 2
>
3}
b) S = {x E JR 13 .,:; x < 9} b) S = {x E JR 17 < x.,:; 10 au X;3 19} c) 0 d) -1 e) -2
c) 16
69. a) 10 b) 128 70. S = (6} 71. a) D = {XE JRlx< 4}
73. a)
< x.,:;
+ 1 e x "*
e) ~ 4
d) 4
f) 2
c) 25 c)
0=
d) 2 {x E JRlx <
+
au x >
2}
d) 0 = {x E JR Ix < 3 au 4 < x < 6 ex*- 5}
b) 0,74
c) 0,7
d) -0,9
e) 1,6
b) 1 - b
c) 2 - 4b
d)
e) ~ b
419
1
a
74.
5
75. xyz = 8
2
76. a) S= {\2;}
S={XEIRI~
77. a)
b) S={-2,6}
b) S={XEIRIX>
78.27 81. a) a,,;; 1 82. x = 10 ou x = 100 83.4 84. 180 r=-
85. x 86. 87. 88. 99.
S
= = {
~1}
c) S={5}
d) S={3}
e) S={2}
c) S={XEIR\x";;-50ux;;'1}
d) S={xElRlx>13}
79. S= {(1, 3), (3, 1)} b)a=1ex=2
f) S= {39} 7
e) S={xElRlx>7}
f) S={xEIR18
80. {XE IRIO <
X< 1}
a'z
--I3,
.J3}
a) S = {x E IR 14,,;; x,,;; 12} c 89. c 90. c 91. e d 100. c 101. e 102. e
92. b 103. c
b) S = {x E IR [3 < x < 4 ou X> 12} 93. d 94. e 95. e 96. e 97. e 107. c 108. a 104. e 105. e 106. b
98. c 109. a
Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS e) -1,545 16 a) 2,456 37 b) 3,561697 c) 2,024321 d) -0,061 981 a) 5,65599 b) 8,20111 c) 4,66117 d) -0,14272 a) 879 b) 65,8 c) 9,2909 d) 0,876 a) 1 846 b) 38,4 c) 17 d) 1000 b) -2 d) -4 5. a) 3 c) 6 b) -2 e) -1 6. a) 1 c) 2 d) 3 7. a, d, e b) 2,544068 d) -0,455932 8. a) 0,544068 c) 3,544068 9. a) 2,878522 b) 1,892095 c) 0,954243 b) 85 10. a) 804 c) 7 b) 29 11. a) 7 12. 2 13. a) 1,76714 b) 0,9491277 c) 3,079181 d) 1,40407 b) 3,287505 c) 2,708293 14. a) 3,361 936 b) = 184,3 c) = 48,9 15. a) = 3,9 16. a) log 0,536 = -0,270835 ou log 0,536 = 1,729165 caract -1 e mantissa 0,729165 b) log 0,036 = -1,443697 ou log 0,036 = 2,556303 caract -2 e mantissa 0,556303 c) log 0,001 25 = -2,90309 ou log 0,001 25 = 3,09691 caract -3 e mantissa 0,09691 b) = 0,0042 17. a) = 0,365 b) 6,86239 18. a) 3,69597 c) 2,73688 20. = 123 dB 19. = 64,77 dB b) = 463095 21. a) = 586755 c) = 35 anos 22. a) = 989233 b) = 1 630969 c) 44 anos 23. a) = 0,0288 b) = 6 163 b) 6 anos (arredondado para cima) 24. a) R$ 89.110,32 b) = 440 gramas 25. a) = 535 gramas 26.0,4154 27.1177 28.5,6322 29. a) =5 b) 2,4211 30. a) 3 b) 2 c) 3 d) 3 31. Entre 10° e 10 1 32. a) = 830 540 b) = 500 000 c) = 23 anos e meio 33. a) 0,05 b) = 4 370 c) 23 anos 34. d 35. a 36. d 37. a 38. a 39. b 40. d 41. e 42. d 43. c 1. 2. 3. 4.
420
Capitulo 10 - NOC;:OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA 1. a) 75 b) R 720,00 2. a) 42% 3. a) I~$ 2.880,00 4. R$ 132,00 5. 10,5% 6. a) na loja 8 7. Mesma coisa.
8.25% 9. a) 240 10. a) 200 000
b) 25
c) 1,5
d) 5,4
f) 4,5%
e) 18 c) 25%
b) 1% b) R$ 15.120,00
b) RS 175,00
c) 5,76
d) 25 b) 800000
f) 0,675
e) 30
11. R$ 74,00 e foi pago R$ 55,50 12. R$ 27,00 13. R$ 150,00
14.6% 15. a) R$ 61.560,00 16. a) As faltas de Antonio correspondem a 5% 17. Ficam menores em 1% 18. RS 20,00 19. R$ 645 000,00 20. = 0,25063%
b) 8% b) 30% foi 0 aumento para Pedro
21. Aproximadamente 315,24% 22. a) 24% b) 25% 23. 100 Iitros 24. a) 360 b) 270 25. de 4% 26. a) R$ 14.400,00 c) R$ 11.520,00 d) R$ 11.880,00 b) R$ 4.680,00 27. a) 10% ao mes b) 15% ao mes c) 15% ao mes 28. a) R$ 9.280,00 b) RS 7.398,40 29. a) 4 meses b) 9 dias c) 20 meses 30. a) R$ 36.000,00 b) R$ 80.000,00 31. 12,5% ao mes 32. 10 meses 33. a) R, 69.984,00 b) R$ 78.647,76 c) R 60.360,72 34. a) R$ 12.000,00 b) R$ 200.000,00 c) RS 30.000,00 35. a) 4 meses b) 3 dias 36. a) 2 meses b) 2 dias 37. a) 10% a.m. b) 9% a.m. c) 7% a.m. 38. a) 0,96 b) 14400 39. R$ 33.800,00
40.25% 41. 33,1% 42. 33,4% 43. b, d, e 44. a e melhor 45. 20% ao mes 46. 35,01% 47. a) isento b) R$ 38,58 48. No minimo R$ 150.375,94 49. 50 litros 50. R$ 6.000,00 51. a) Melhor antecipado com desconto 52. e 53. c 54. d 55. b 56. d 63. a 64. b 65. d
c) R$157,06
c) 120
e) R$ 7.200,00 f) R$ 3.240,00 d) 1% ao dia c) RS 6.656,00 d) 5 meses c) RS 72.000,00
d) RS 79.860,00
d) R 120.000,00
d) 0,4% ao dia c) 576
d) R$ 759,42
b) a partir de 47,06% ao mes 58. a 59. e 60. b
57. a
421
61. d
62. d
Capitulo II - TRIGONOMETRIA NO TRIANGULO RETANGULO 1. a) x = 20, Y = 21,33 e z = 26,66 b) x= 19,2, y= 10,8 e z= 14,4 c) x = 2,65, Y = 2,34 e z = 3,54 2. a)
3. 4.
L$ 2
d) x = 16,43, Y = 22,25 e z = 24,37 e) x= 15,y=26,67ez=33,34 f) 4
b) 2$ L
L$
2
2$ h 3
5. 9,12,15 6.72 m 7. a) sen A =
3
4 5' tg A =
5' cos A =
3
4' sen
4
3
5' cos C = 5' tg
C=
C=
4 3
2.j2 2 ,2 b) sen 8 = -2-' cos B = -2-' tg B = 1, sen C = -2-' cos C = -2-' tg C = 1
= 0,6,
c) sen A
8. a) sen B =
9.
cos A
= 0,8, tg A = 0,75,
2$ - 5 - , cos B
=
$ -5- , tg B
sen B
= 0,8,
=2
= 0,6, tg B = 1,33 $ 1 rr> C = -2-' cos C = 2' tg C = ,,3
cos B
b) sen
3
5
10. 22 em e 16,5 em 11. (30 + 15 2) em 12. a)
83
13. a) 0,5299 14. a) cos
15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
Ct
=
,'3
b) 0,2831
c) 0,5
b) 0,961 3
c) 0,3256
-2-' sen
2
13 =
$
-2-' cos
$
b) sen a.
=
-2-' cos a.
c) sen
=
5 ' cos Ct = 5' tg
Ct
4
=
-2-' sen 3
d) 0,9483 1
13 = 2' tg
13 =
a.
$
-2-' tg
Ct
= =
e) 0,7236
,3
-3-' tg 1, tg
13 =
f) 0,1928
13 = ,3 1
4
Ct
= 3
240 m e aprox. 207,8 m aprox. 141,96 m 30 em 50 m e aprox. 43,3 m 1 000 m aprox. 433 m a) = 0,5446 a) = 0,9063 a) = 36° a) = 0,6293 a) = 0,7431 a) = 0,3894 a) = 0,5807 a) = 0,7373 a) = 0,4769 a) = 96 m a) Ct = 75°, x = 104 em e y = 104 em
c)
c)
= 0,3249
= 1,0724 = 55°
c) c) = 0,5543
c)
422
= 1,0724
32. a) x= 17,34 em 33. = 21,65 m 34. = 56,8 m
36. a)
0
b)
menor mede 15,3 em e
0
maior, 20,4 em
b)
-
4 5
25 12 b) = 52 m
37. a) 3,4 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51.
x= 44°
b)
a) = 26 m a) x = 20 em, Z = 20 em e y = 14,64 em a) = 53,6 m a) = 187 m = 22,78 m a) = 1,43 m 5,40 m = 6]0 x = 92 m, y = 58 m e IX = 80° a = 95 m, ~ = 55° e 8 = 65° a) rumo 15 uma mede b, outra mede C, e outra mede a) h = d . sen Ct a)
C
b) b)
= =
22,11 m 194 m
b)
=
1,68 m
b) . sen b) b)
poueo mais de uma hora e meia
B ou b . sen C d = 2m 20,5 m
'~"I-d--1 \,~4m 52. b 63. e
53. e 64. b
54. b 65. e
55. d
56. a
57. e
58. a
59. d
60. e
61. d
Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS 1. 2. 3. 4.
a) a) a) 4h
120° 120° 20° 20min
b) 12°30' b) 183° b) 52°30'
e) 67°30'
5. a) ~ rad b) ~ rad 3 6 6. a) 120° b) 135° 7. a) aprox. 0,01745 rad b) aprox. 57° 8. a) aprox. 4,19 em b) aprox. 43° 9. a) 12560 m b) 3750 voltas
~ rad 4 e) 210°
d)
e)
2'li rad
3 d) 12°
e) aprox. 115 em ~ rad
10. a) 54°
b) 120°
e)
11. a) -296°
b) -(179°36')
e) - ~ rad 3
d)
3'li rad
4
8
d) - ~ rad
2
e)
e 260° e 1g determinagao negativa e -100° e 280° e 1g determinagao negativa e - 80° 1g determinagao positiva e 13'li rad e 1g determinagao negativa e -
d)
19
12. a) 1g determinagao positiva b) 1g determinagao positiva
8
13. a) -
determinagao positiva 13'lT
rad
e
3'lT rad e
4
19
determinagao negativa b)
8
423
7'lT rad 6
e-
3'li rad
8
5'lT rad
4
62. b
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
a) -215 0 350 voltas 5h 30min a) 122 5,03 em = 229,3 em a 21. e
b) 120 0
b) 695
22. d
23. a
24. e
Capitulo 13 - FUNC;OES TRIGONOMETRICAS 1
1. a)
~
b)
4
1
e)
2
~
d) -
2
2. a, b, d, e 3. a) D( f) = IR Im(f) = [-3,3]
b) D(f)
=
e)
5 4
IR
Im(f) = [-3, -1] periodo
perfodo = 2"IT rad
= 2"IT rad
37T
'IT
"2
"2
'IT
2'IT
0
X
x
Conjunto- I imagem
-2
4. a) D(f) = IR e im(f) = [-1, 1] 2"IT
5. a)
7
b) D(f)
=
IR
e Im(f)
=
e) D(f)
[-1, 1]
e)
b) 10"IT rad
rad
y -------------
- -..;--;.:>.-,-- - - - - - - - - - - - - -,-
Y";;'-"'--
- - - - - - - - - - - r
o , 27T
, -I
--------------------"
I b)
x
-I
I
-
424
4"IT
3
6. a)
I
-
Periodo 21i
-3 ...-_--'p:.::e:.:;riO:.:d:::.-O.::.:2'IT - - ., 1
-
=
IR e Im(f) rad
=
[-1,1]
7. a) ±:
6
b) ±: 12
5
8. a) 21T rad
9.
161T
b)
rad
41T
c)
3
rad
3
a)
Conjunto imagem
'j
I -- -
-1- -
- -
- _--~~_
- -
o 'IT
x
2" ,- - - - .1-
_I
,,
-
-
-
-
-
-
_
~
, , ~
-
-
'
.t - - - - - - _•..,.--........-~
-
Periodo 2'IT
'~
Im(f) = [-1, 1], periodo = 21T rad b)
Conjunto Imagem
'j 1
-
o -I
--- ---
=
Im(f)
, ,
[-1, 1]
,
----I
---l-
~_...:.P-=erc.:.:io:.=d:=..:o 21T
.'...
periodo =
rad
:
3~
c)
Conjunto Imagem
Yj
,-------
4--
Im(f)
o -'IT
= [0. 4] = 21T rad
periodo
,'IT
,
'IT
2" T Periodo 2'IT -------------.;
10. a) a= 11. a)
3 4
1 2
eb=
-
b)
3 2
b) a = - -7 b = 2 ' 1 2
c)
-
1 4
d)
425
-
1 2
e)
-
5 2
1 4
ec=±:3 f)
1 2
2 5
12. a)
13. a)
-
b)
12
b)
5
-
2 5
c)
-
1
d)
5
-
1
5
-~ 5
14. C, f 15. a)
_L
_
1 --
o x
-I
,, -2
,
D(f) = IR Im(f) = [-3, 3] perfodo = 2'11" rad
- - - - -.,
-3 Periodo
21T
b) y 1T
o
2
1T
x
, --~I-----------.,, ,
-I ----------~~
-2 --- -- - -
-3
Periodo
+--
16. a) ~ rad 4
b)
2'11" 5
D(f) = IR Im(f) = [-3, -1] perfodo = 2'11" rad
21T
rad
c)
6'11" 5
rad
d) 8'11" rad
17. a) y 1
o
61i
1T
-I
- - Periodo
61T
Im(f) = [-1, 1] perfodo = 6'11" rad
426
X
b) (Iembre que cos (-3x) = cos (3x)) y
Im(f) = [-1, 1] Perfodo
2'IT
perfodo =
27T
3
3
rad
18. a)
I -
7T
Conjunto im.gem -I
-2
-
-3 Periodo 2'ii
b)
Im(f) = [-3, 1] perfodo
y Conjunto Im.gem
3
2
o
7T
"4
1T
"2
31i
iT
"4
57i
3ii
"4
"2
Periodo'IT
19. a)
b)
~ E IR 1- ~ ~ p ~ ~}
x
Im(f) = [1,3] perfodo
=
'IT rad
c) (p E IR t 0 ~ p ~ 4 ou 6 ~
~ E IRI-+ ~ p ~ ~1} 427
P ~ 10j
=
2'IT rad
20. a)
{k E IR I ~ ~ k~
21. a)
~1}
2 3
b) {k E IR I k
b)
2 5
c} _
1 5
~ 3}
d) -0,5
22. ~ 6 23. a) '1T rad
c)
b) 2'1T rad
24. a) D(f)
=
{x E IRlx"*
~~
+ krr, k
b) D(f)
=
{x E IRlx"*
~;
+ k; , k
= ±1
25. a) m
26. a) D(f)
= {x
-~'1T
b) D(f) = {x E IRlx"*
4 30. a) 5
3 2
,7
b)
31. a) sen x
5 4
d)
-
-
c)
-J63
32. a) m
{x E IRlx"* -;'1T - k3'1T, k E Z}
E Z} e perfodo
= 2; rad
c) 32 au 42 quadrantes
e)
1 5
g)
f)
-3,5 5
h)
d) -
d)
1 2
1
i)
7
10
-8,7 7
_
,3
,3
f)
2
2
.J26 5
= -3,'14 e sen x = 14
,70 14
,41
f) quadrante, au m
,7
e)
e) cos x
= - ~ , com x do
1
e perfodo = 5'1T rad
3
32
E
1
f7 e tg x = - .J7 = -'-'4
+ k· 3; , k
c) m = ±32
_ ,3 2
c)
4
~~
d) D(f) = {x E IRlx"*
3 14
b)
d) 2'1T rad
b) 2 2 au 3 2 quadrantes
c)
1 3 29. a, b, e, f b)
rad
= ±4
- k5'1T, k E
27. a) 12 au 3 2 quadrantes 28. a) -,/rj 3
E Z}
+ k· 2; , k
E IR I x"* 4;
c) D(f) =
E Z}
b) m
3'1T 2
41
= 1, com x do 12 quadrante
b) m
= 1, com x do 12 quadrante, au m = -1, com x do 3 2 quadrante
c) m
= ~, com x do 42 quadrante, au m = - ~ , com x do 22 quadrante 2
2
33. demonstra98.o 34. a) sen 150 0 = sen 30 0 b) sen
3; = sen
:
1
=
0
+,
cos
c) sen 1 200 0 = sen 1200 = sen 60 0 = tg 1 200 = tg 120 = -tg 60 = 0
0
,/rj
= 2"' cos 150 = -cos 30 = --2-' tg 150 = -tg 30 =
0
0
3; = -cos
-J3 2
'
:
= -
0
~
, tg
0
3; = -tg
cos 1 200 0 = cos 1200 = -cos 60 0 =
-.;3
428
_,3 3 :
=-1
2 '
1
17'IT 5'IT = sen - 'IT d) sen - - = sen 666
=-
=-
4'IT 5
,sec 120°
5'
= cotg 120° =
=-
4'IT 5
sec
-cotg 60°
=-
6
sec 60°
~
sec
5'
=
78'IT =
=
=
-sen 30°
sen 210°
= tg 30°
-cos
'IT T'
1
= -2'
2
8'IT -_ tg ~
tg
7
7
cos (-150°)
= cos 210° =
15 'IT = -sen 4
40. a) N
=
41. a) sen
-"12
b)
42. a) 0,6820
=
105°, x
45. a) ~ rad 4 47. a) 1,1
-T =
)
e cos (-60°)
-+,
=
_ ,3 2'
=
cos (200°10')
,3 2-
2
cos 60°
e cos (- ;
= ,2 - 2
=
= cos 330° = cos 30° = 4
)
=
= ~ cos ( ; )
1 + 2,3
c)
(-cos x - 2 sen x) (5 sen x)
d)
c) cos x - sen x
3+,2 2
+ tg x + cotg x
d) -1
g) -1,3456 h) -0,3420
e) -0,9397 f) 0,2867
b) 37,846
= 36,60 cm, y = 25,88 cm b) - ; rad
b)
=
= cos ~ = ,,2
3-
d) -1,3456
43. a) -5,021 4
cos 690°
15'IT 4
cos
c) -0,6248
b) -0,4540
44. a) a
=
b) N
2
-J2
+,
2'
4
-sen ( ;
+ 3-
x - cos x
-
'lT
-sen 60°
=
d) sen (- ; )
,cos 30°
3
= sen 330° = - sen 30° = -
=
= -2,
.j3
=
38.2
c) sen (-60°)
-sec 60°
~
d) sen (560°10') = sen (200°10') = -sen (20°10'), cos (560°10') = -cos (20°10'), tg (560°10') = tg (200°10') = tg (20°10')
b) sen
5
= -~ cos 240° = -cos 60° = - ~ tg 240° = tg 60° = ,3 2 ' 2 ' cos
39. a) sen 690°
= cossec ~
4'IT 5
3
'IT 78'IT = -sen T'
tg (-150°)
3
= cossec 120° = cossec 600 = 2" 3
-sen 60°
c) sen (-150°)
6
= -2, cossec 120° = cossec 600 = 2,3
cossec
b) N= -
37. a) sen 240°
3 -2-'
'IT
-cos
= - ~ , sec (-240°) = sec 120° =
1
b) sen
= cos 5'IT =
3
3
~
cotg
cossec (- 240°)
=
= - .j3
6
cotg 60°
c) cotg (-240°)
36. a) N
,T3
-tg
6
35. a) cotg 120° b) cotg
~
= tg 5'IT =
17'IT 6
tg
17'IT 6
2' cos
3,55 55
c) 40°
48. a)
'IT
6
b) 200,76 m
d) -~ rad
3
b) 'IT rad
rad
429
c) a
= 30°, f3 = 30°, x = Y = 37,53 m
46. a) 1,2
c) 'IT rad
b)
d)
3 2
~ rad 2
49. a) 14°
{x {x
50. a) D(f) =
b) D(f) =
51. a) y
=
4'IT
-
E
IRI 1~ ~ x ~ ~
E
1R1-,'2 ~
7
,3
b) -
2
4
c) 4
5
55. sen 2 x
3"
54.
59. x = 3 au x = -1
{x
c)
64. A = 4 sen x - 2 sen x . cos x 69. a 70. a 71. c 72. a 80. b 81. e 82. a 83. d
63. demonstravao 66. b 67. a 68. c 77. a 78. a 79. c
d) 4-~ 4
10
a=4 e b=1
b)
+ .ffO
4$
c)
58. 12
3"
62. a)
4 3
~ ,'2}
57. a, d, e
61. cos t· cotg t
-
{xEIRI-4~X~ -;}
c) D(f) =
6
53. a) 2 +
-5
x
c)
b) y= -~ rad
rad
52. b, d 56.
6 + 5 3 10
b)
E
60. 5
x
IR I = 3;
73. e 84. c
+ k
3; , k
65. -2 sen x 74. a 75. b 85. e
E
~
76. e
Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:AO
1. a)
3$ - .ff 8
3 - .J2f 8
b)
2. a) 3 2 quadrante
4. a) sen (a + b) = 0 e cos (a + b) =
5. a )
-3 - 4 3 10
-/6 - ...ff 4
$
10. a) tg (x + y)
b) tg (x
11. a)
12. a)
+ y)
e sen (a - b) =
4
= -1
-$ 2
4.J2f
25
13. a) 12 quadrante
2
9 19
4 - 3,'3 10
-/6+...ff 4
b)
--.-!-
c) 0,2
d) -9
22
V3
b) 2 -
=
,3
4
c)
7. a)-~ 2
.J8 + $
8. a) 2 -
f)
1
-/6-...ff
b)
~-1
6.
e) 1
,'Ef - ,"2
c)
b) 1
=
3,7 8
b) 22 quadrante
3. a) 1
b) cos (a - b)
d)
c) -1
e tg (x - y)
1
= 7
e tg (x - y) =
b)
b)
7 25
c) tg (x
+ y)
=
2 +$ 1 - ,f6 e tg (x - y)
...ff-~3 =
1+
1
21 117
c)
d) 1
125
2-
c)
8
b) 42 quadrante
430
-
5
12
e)
d)
24 7
12 5
6
14. a) perfodo = 'IT rad e Im(f) = [-5, 5] b) perfodo
'IT rad e Im(f)
,TO
15. a)
5
=
[-1, 1]
,,'15
b)
5
~ = -
c) sen
-
b) Y
a 2
=
=
sen 15°
sen 22°30'
3
2+ 2
a 2
2a =
13 + 2,113 26
4 5
3 b) - -
21. a) y
= 4'IT
d}
~2
'3
2'
,'2
...,/2 -
=
,3 2
e)
-
f
=
a
-,'2 - ,'3
2
2
4 - -
c)
5
= cos 15° =
2
e cos
2
e cos
a
e cos
d)
3
-
=
-
[-1, 1]
1 2
f)
- \3
= 2 cos 4xcos 3x
d) Y
+ 3X) cos ( :
,'3
2
cos 22°30'
= ,2 +2,2
,3 20. a) 2
y = 2 sen ( 3; ) cos
c)
= 2 sen ( :
,2 +
3 4
-
= 2 sen 7 x cos 3x
22. a) N
rad e Im(f)
IR
5
b) sen
-
d) perfodo
=
rad e Im(f)
b) 2,'5
17. a) sen
18. cos
= ;
c)
,'55
16. a)
19. a)
=
c) periodo
= 2 sen ( 3: )
sen
b)
-
1 2
(7; ) (; )
- 3X)
b) N = 2 sen 2 x
= 2 sen
c) N
(x +
; ) cos ( ; ) au N = 2 cos 2
:
~
-
)
d) N = 2 cos ( :
-
~
) cos (
23. a) y = 2 sen ( :
-
x)
cos ( :
- 2X)
c) y
=
4 cos (2x) sen (7x) cos x
)
cos (2X
+ :)
d) Y
=
4 cos x sen (4x) sen (2x)
b) Y = 2 sen (3X -
:
24. a) N = cos 12x + cos 4x 25. -~ 7 26. Valor maximo 27. 28.0
3
29. a)
3 2
~
(
-
b) N
=
:
)
cos 6x - cos 2x
c) N = sen 10x - sen 6x
= 2,5 e valor minima = -2,5
b)~
31. 5
32.7
33.
41. a 52. b
42. b 53. a
43. a 54. d
6 4
30. a)
2
63 16
34.1 44. d 55. d
35. e 45. c 56. b
,'2
36. a
46. c
431
b) S =
3(,'6 -
37. a
38. a
47. a
48. b
2)
unid. de area
39. c
49. b
40. c
50. c
51. d
Capitulo 15 - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS 1. a)
S= ~
b) S =
Ix
. l
E IR
Ix =
E IRlx =
c) S = {x E IR Ix
S d) S
2
= {x E IR =
e)
S
f)
S
=
=~
Ix =
=
;
Ix = ;
lIx E
IR Ix = 5'IT 24
b) S =
~E
IR I x =
c) S
~ E IRlx =
=
d) S =
e)
S
f)
S
lIx E
= {; ,
:
+ k2'IT
=
7'IT 12
:l},
x
au
+ k2'IT, k
~;
E
+ k2'IT, k
:l} :lJL
E
respasta equivalente a:
4; + k2'IT au x
) S =
.a
=
k2'IT au x = 'IT + k2'IT, k E
IR I x =
E IR
5'IT 12
+ k2'IT au x
= k'IT, k E
~ E IR Ix ~E
3;
+ k2'IT au x + k2'IT, k
+ k·
= -
=
:l}
+ k2'IT, k
;
3;
+ k2'IT, k
x
~ + k·
E
:l} :l}
E
:l}
E
2'IT au 3
+ k2'IT au x E
:l}
IR Ix = 5'IT + k'IT au 12
x
=
2'IT k E 3'
8
\~
=
; + k2'IT, k
=
+ k2'IT, k
E
5'Ti + k . ~ k E 48 4 '
5;}
= {;}
3. 60 0 au 1200 4
S = Ix E IR Ix = ± 37T + k· 27T k E . a) 20 5'
l
:lJL :l}
b) S =
~ E IR Ix
= ± 2; + k· 2; , k
E
c) S
=
~ E IR Ix
= ± ; + k . 2'Ti
= k . 2'Ti, k
d) S
= {: '
e) S
= {;}
~;}
=
~ E IR Ix
b) S
=
{~~ , ~~}
c) S
=
5. a) S
f
au x
E IRlx
= ; + k· ; , k
= ; + k'Ti, k
E
E
:l}
:l} 432
E
:l}
:l} :lJL
:lJL
d) S = {x EO IRlx = 1;; + k'IT, k EO;E} e) S =
f)
f
S = 0
6. a) S = 0
1~
EO IRlx = -
+ k· ; , k
EO IR Ix = - ;
- k'IT, k EO ;E} mesma que: S = { x EO IR I x = -
~
EO IR Ix = k·
b) S = Ix EO IRlx = _2..
L
c)
8
S = Ix EO IRlx =
L
d) S =
f
EO IRlx =
+ k . 2..
~
+ k·
EO IR Ix = k'IT au x =
f)
EO IR Ix = ;
L
c
4
~
3:
+ k2TI ,,;;; x,,;;;
L
d) S = 0
L
11'IT + k. 2'IT ,,;;; 18 3 b)
s=IxEOIRI~";;;x,,;;;
c)
S =
L 24 fx EO IRI~ + k· L 15 4'IT + k. 2'IT < 15 5
X ,,;;;
+ k . 2TI, k EO
~
~
7'IT + k2'IT, k EO ;EL 4 ., j
55'
+ k2TI
~+ 18
X
EO ;E}
+ k· 2; , k EO
2.. + k : 2TI
X ,,;;;
EO IRlk2'IT ,,;;; x,,;;; 7;
8. a) S = Ix EO IRlk· 2TI ,,;;; 3
EO ;E}
3'
+ k· ; , k EO ;E}
+ k2'IT au x = ;
) S = Ix EO IR I k· 2'IT ,,;;; 5
+ k.~ k
+ k'IT, k
au x = ;
7. a) S = 0 EO IR I ~ + k2TI ,,;;; x,,;;; b) S = Ix E IR I 5'IT
au
k EO ;EL
1.~~
j
+ k2'IT ,,;;;
k· 2-r. au 5TI 3 18
< 2'IT + k. 2'iT 3
3 '
X
S=0EOIRI~
c)
S =
lJ.
d) S = 0
~
2'IT ,,;;; x,,;;; 7TI 3 18
z} + k.
2'IT au
3
k EO ;E}
5'IT au 7TI ,,;;;x,,;;; 11'IT} 24 24 24 2'IT < 5 X
<
X
< 2'IT + k· 2'IT au 15
~+ 3
+k2'IT
2'IT 'IT EO IRlk· -5-
EO IR I
< 2'IT + k2'IT, k EO
+ k·
5
k. 2TI k EO ;EL 5' j
9. a) S = 0 EO IR Ik2'IT ,,;;; x,,;;; 2; + k . 2'IT au 4; + k2'iT ,,;;; b)
;L
k EO ~
k· 2'IT au x = 2.. + k· 2'IT k EO ;EL 5 4 3' j
20
e) S = 0 S = 0
au x = 2.. 4
2
8'IT + kTI,
+ k'IT. k EO ;E}
au x = ;
~+
1~
EO ;E}
+ k'IT <
X
<
1~'IT
+k2TI,kEO;E}
+ k·
52'IT
3:
au
+ k'IT, k EO
433
3'IT + k·
~
X
< 2'IT + k2'IT, k EO ;E}
2'IT 2'IT -5-
+ k·
:L
2'IT -5-' k EO;EJ
10. a) S = Ix E IR I~ + k2Ti
'l
b)
6
< 2Ti + k2Ti, k E
X
S = (x E IR I~ + k2Ti <
d)
S = {x E IR Ik2Ti <
t
~X~
11Ti + k2Ti k E 6'
zlj
l
~
3
~ 2
+ k· 2Ti < 3
~E
3
< ;
X
<
X
~ ~
c)
3Ti + k6Ti < S = { x E IR 1-4
X
d) S = Ix E IR 1 k· 2Ti
l
5 11Ti + k. 2Ti 30 5
S =
~ E IRlk2Ti <
~
X
~
X
X
9
2
30
~
5
4
k. 2Ti
5 '
z}
< 4Ti + k. 2Ti au 9 3
X
5; + k2Ti, k E
+ k· 2Ti au ~ + k· 2Ti 5 6 5
~ 2Ti +
~
X
15Ti < -3Ti- + k6Ti au - + k6Ti <
~~
<
< 2Ti + k2Ti, k E
zlj
Z}
+ k2Ti au Ti + k2Ti < X
X
< 3Ti + k2Ti, k E 2
+ k· 2Ti au ~ + k. 2Ti < 3 6 3
< 2Ti + k. 2Ti k E 3 3 '
X
S =
1
~
X
3
+ k2Ti au 5; + k2Ti <
b)
IR k2Ti <
z}
< 2Ti + k2Ti au 4Ti + k2Ti <
X
2
) S = Ix E IRlk· 2Ti
e)
6
2Ti +k2Ti
l
c)
.a
5Ti + k2Ti au 7Ti + k2Ti
S=JxElRlk2Ti~X<~+k2TiaU 5; + k2Ti <
11
~X~
6
k E
~
Z}
9Ti- + k6Ti, k E Z~ < 2
X
X
~
7Ti + k. 2Ti au 30 5
Z}
+ k2Ti au Ti + k2Ti <
X
< 5; + k2Ti, k E
~
13Ti 12. - a u177i" -20 20 5Ti 9Ti 13Ti 13. Ti 16'16'16'~ 14. S =
~ E IR Ix
= k2Ti + ;
au x = k2Ti + 5; , k E
Z}
Ti 5Ti 15. 0, 3' Ti, 3 16. -~e~ 12 4 17. 30 0 ~ x ~ 1500 18. a) S
=
~ E IR I ;
+ k2Ti <
X
b) S
=
~E
+ k2Ti <
X
19. S = 20. c 31. c
IR I ;
< Ti + k2Ti, k E Z}
~ ~
+ k2Ti, k
E Z}
I, 7Ti I, x E IR Ix = 1\Ti + - au x = 1\Ti + -11Ti - , k E Z~
t
21. e 32. b
12
22. d 33. d
23. d 34. c
12
24. a 35. b
25. b
434
26. d
27. c
28. c
29. e
30. e
Para Abeh, Ma, Ayeeyo (vovó), Mahad e à memória querida de Haweya
http://groups.google.com/group/digitalsource
