introduccion a las ecuaciones diferencialesDescripción completa
Descripción: aplicacion de las ecuaciones diferenciales al modelamiento del vaciado, drenado de un tanque, recipiente.
ECUACIONES DIFERENCIALES
ecuaciones diferencialesDescripción completa
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Ejercicios de ecuaciones diferenciales resueltos
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¡¡APRUEBE SU EX A M EN CON SC HA UM !!
cuaciones 3 a E D IC IÓ N
Richard Bronson
Gabriel Costa
563 PROBLEMAS COMPLETAMENTE RESUELTOS CIENTOS DE PROBLEMAS DE PRÁCTICA CON RESPUESTAS UN CAPÍTULO NUEVO SOBRE MODELADO LA GUÍA IDÓNEA PARA NOTAS SOBRESALIENTES
|Mc
Graw Hill
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SÍ
C Á LC U LO
í II YIII
S? M ODELADO MATEMÁTICO
E c u a c io n e s DIFERENCIALES
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E c u a c io n e s DIFERENCIALES T e rce ra ed ició n
RICHARD BRONSON F airleigh D ickin son U n iversity
GABRIEL B. COSTA United. S ta tes M ilita ry A c a d e m y / S eton H a ll U n iversity
R evisor técnico
Raúl Gómez Castillo In stitu to T e cn oló gic o y d e E s t u d i o s S u p e r i o r e s d e M on terrey, C am pus Estado de M éxico
Me Graw MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA LISBOA • MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO
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C o n t e n id o
A c e r c a d e lo s a u t o r e s ...............................................................................................................................................
XI
P r e f a c i o ............................................................................................................................................................................... X I I I C A P ÍT U L O 1
C o n c e p t o s b á s i c o s ...................................................................................................................................................... E c u a c io n e s d i f e r e n c ia le s .................................................•.......................................
C A P ÍT U L O 3
2
S o l u c i o n e s .......................................................................................................................................................................
2
P ro b le m a s d e v a lo r in ic ia l y d e v a lo res en la fron tera
U n a in t r o d u c c ió n a lo s m o d e lo s y a lo s m é to d o s c u a lit a t iv o s .........................................................
9
M o d e lo s m a t e m á t i c o s ...............................................................................................................................................
9
E l “c ic lo d e lo s m o d e lo s ” .......................................................................................................................................
9
M é to d o s c u a l i t a t i v o s ..................................................................................................................................................
9
C la s if ic a c io n e s d e la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n F o rm a está n d a r y fo rm a d ife ren cia l
E c u a c io n e s l i n e a l e s .....................................................................................................................................................
14
E c u a c io n e s d e B e r n o u l l i ..........................................................................................................................................
14
E c u a c io n e s h o m o g é n e a s ..........................................................................................................................................
14
E c u a c io n e s s e p a r a b le s ..........................................................
15
E c u a c io n e s ex a c ta s .....................................................................................................................................................
15
E c u a c io n e s d if e r e n c ia le s s e p a r a b le s d e p r im e r o r d e n ..................................* ...................................
21
S o l u c i ó n ,g e n e r a l ......................... .'............................................................................... ? ...........................................
21
S o lu c io n e s al p r o b le m a d e v a lo r in ic ia l
21
.............
R e d u c c ió n d e e c u a c io n e s h o m o g é n e a s ..........................................................................................
21
E c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n e x a c t a s ..........................................................
31
D e f in ic ió n d e la s p r o p ie d a d e s ...............................................................................................................................
31
M é to d o d e s o l u c i ó n .....................................................................................................................................................
31
F a cto re s d e i n t e g r a c i ó n ................................................................................................................ '...........................
32
E c u a c io n e s d if e r e n c ia le s lin e a le s d e p r im e r o r d e n
M é to d o d e s o l u c i ó n .....................................................................................................................................................
42
R e d u c c ió n d e e c u a c io n e s d e B e r n o u l l i .............................................................................................................
42
A p lic a c io n e s d e la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n .....................................................
50
P r o b le m a s d e c r e c im ie n to y d e c a i m i e n t o ........................................................................................................
50
P r o b le m a s d e te m p e r a tu r a ........................................................................................................................................
50
P r o b le m a s d e c a íd a d e c u e r p o s .............................................................................................................................
50
P r o b le m a s d e d i s o l u c i ó n ..........................................................................................................................................
52
C ir c u ito s e l é c t r i c o s .....................................................................................................................................................
52
T r a y ecto r ia s o r t o g o n a l e s ..........................................................................................................................................
53
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VIII
C o n t e n id o
C A P ÍT U L O
E cuacion es diferenciales lineales: teoría de soluciones .......... ...................................................
E l w ro n sk ia n o ............................................ ......................................... Ecuaciones no h om ogén eas......................................................................................................................
74 74
E cuacion es diferenciales lineales h om ogéneas de segun d o orden con coeficientes c o n s t a n t e s ...................................................................................................................
83
Comentario introductorio ........................................................................................................................ La ecuación característica........................................................................................................................ La solución g e n e r a l................................................................................................................
83 83 84
C A P ÍT U L O 10 E cuacion es diferenciales lineales h om ogéneas de n-ésim o orden con coeficientes c o n s t a n t e s ....................................-..............................................................................
89
8
C A P ÍT U L O 9
C A P ÍT U L O 11
La ecuación característica..............................
89
La solución g e n e r a l.......................
90
E l m étod o de los coeficientes in d eterm in a d o s..............................................................................
94
Forma sim ple del método ........................................................................................................................ G en era lizacion es........................................................................................................................................ M odificaciones ........................................................................................................................................... Lim itaciones del m é to d o ..........................................................................................................................
94 95 95 95
C A P ÍT U L O 12 V ariación de p a r á m e tr o s...........................................................................................................
C A P ÍT U L O 13 C A P ÍT U L O 14
C A P ÍT U L O 15
C A P ÍT U L O 16
C A P ÍT U L O 17
103
El m étodo .............................................. ..................................................................................................... A lcance del m é to d o ....................................................................................................................................
103 104
P rob lem as d e valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales ......................................
110
A plicaciones d e las ecuaciones diferenciales lineales de segun d o orden ...........................
114
Problemas de r e s o r te s..................................... Problemas de circuitos eléctricos ...........................................................................................r .............
114 115
Problemas de flotación ...................................................................................................... Clasificación de so lu c io n e s.............................................................
116 117
M a t r ic e s ......................................................................................................................................................
131
Matrices y v e c t o r e s .................................................................................................................................... Suma de matrices ...................................................................................................................................... Multiplicación escalar y de m atrices......................................................................................................
131 131 132
Potencias de una matriz cu ad rad a.......................................................................................................... Derivación e integración de matrices ................................................................................................... La ecuación característica........................................................................................................................
132 132 133
e A‘ ..................................................................................................................................................................
140
D e f in ic ió n ..................................................................................................................................................... Cálculo de .............................................................................................................................................
140 140
R ed u cción de ecu acion es diferenciales lineales a un sistem a d e ecu acion es de prim er o r d e n .............................................................................................................
148
U n ejem plo .................................................................................................................................................. Reducción de una ecuación de n-ésim o orden ............................................... Reducción de un sis te m a ...........................................................................................................................
148 149 150
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C
o n t e n id o
IX
C A P Í T U L O 1 8 M é t o d o s g r á fic o s y n u m é r ic o s p a r a r e s o lv e r e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n ..........................................................................................................................................................
C A P ÍT U L O 19
157
C a m p o s d i r e c c i o n a l e s ...............................................................................................................................................
157
M é to d o d e E u l e r ...................................................•.....................................................................................................
158
E s ta b ilid a d ......................................................................................................................................................................
158
M é t o d o s n u m é r ic o s a d ic io n a le s p a r a r e s o lv e r e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n .......................................................................................................................................................... C o m en ta rio s g en era les
M é to d o d e R u n g e - K u t t a ..........................................................................................................................................
177
M é to d o d e A d a m s -B a s h fo r th -M o u lto n .............................................................................................................
177
M é to d o de M i l n e ..........................................................................................................................................................
O rd en d e un m é to d o n u m é r i c o .............................................................................................................................
178
M é t o d o s n u m é r ic o s p a r a r e s o lv e r e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e s e g u n d o o r d e n a t r a v é s d e s i s t e m a s ..................................................................................................................................................
195
E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e se g u n d o ord en ..................................................................................................
195
M é to d o d e E u l e r ..........................................................................................................................................................
19 6
M é to d o d e R u n g e - K u t t a ..........................................................................................................................................
196
M é to d o de A d a m s -B a s h fo r th -M o u lto n .............................................................................
196
L a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e ...........................................................................................................................
211
P ro p ie d a d es d e las tran sform ad as d e L a p l a c e ................................................................................................
21 1
F u n c io n e s d e otras va ria b les in d e p e n d ie n te s
M a n ip u la c ió n d e n u m erad ores ..........................................................................................
C A P ÍT U L O 25
C o n v o lu c io n e s y f u n c ió n e s c a ló n u n it a r io .................................................................................................
224 225 233
C o n v o l u c i o n e s ...............................................................................................................................................................
233
F u n c ió n e s c a ló n u n it a r io ..........................................................................................................................................
233
T r a n s la c io n e s ..................................................................................................................................................................
234
S o lu c io n e s d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s lin e a le s c o n c o e f ic ie n te s c o n s t a n t e s p o r m e d io d e la s t r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e .............................................................................................
242
T ra n sfo rm ad as d e L a p la ce d e d e r i v a d a s ...........................................................................................................
242
S o lu c io n e s d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s
S o lu c io n e s d e s is t e m a s lin e a le s p o r m e d io d e t r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e ............................. E l m é to d o
C A P ÍT U L O 26
211
D e f i n i c i ó n .......................................................................................................................................................................
M é to d o s c u a li t a t iv o s .................................................................................................................................................
S o lu c io n e s d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s lin e a le s c o n c o e f ic ie n te s c o n s t a n t e s p o r m e d io d e m é to d o s d e m a t r ic e s
C A P ÍT U L O 2 7 S o lu c io n e s en se r ie s d e p o te n c ia s de ecu acion es d ife ren cia les lin ea les c o n co eficien te s v a r i a b l e s ...........................................................................................................................
262
E cuaciones de segun d o o r d e n ...................................................................................................................... F unciones analíticas y puntos ordinarios ................................................................................................
26 2 262
So lu cio n es alrededor del origen de ecuaciones h o m o g é n e a s ........................................................... So lu cio n es alrededor del origen de ecuaciones no h o m o g é n e a s .......................................................
263 263 264 264
Problem as de v a lo í in ic i a l .............................................................................................................................. S o lu cio n es alrededor de otros p u n t o s ........................................................................................................ C A P ÍT U L O 2 8 S o lu cio n es en se r ie s alred ed o r de un p u n to sin g u la r r e g u l a r ....................................................
275
Puntos singulares r e g u la r e s........................................................................................................................... M étodo de F r o b e n iu s........................................................................................................................................ S o lu ció n general ...............................................................................................................................................
275 275 276
C A P ÍT U L O 2 9
C A P ÍT U L O 3 0
C A P ÍT U L O 3 1 . C A P ÍT U L O 3 2
C A P ÍT U L O 3 3
C A P ÍT U L O 3 4
A p é n d ic e A A p é n d ic e B
A lg u n a s ec u a c io n e s d ife ren cia les c l á s ic a s ...........................................................................................
29 0
E cuaciones diferenciales c l á s ic a s ...............................................................................................................
290
S o lu cio n es p olin om iales y conceptos a so c ia d o s............................................................................
290
F u n c io n e s g a m m a y d e B essel .................................................................................................................
295
F unción gam m a ................................................................................................................................................ F un cion es de B e sse l ............................................
295 295
O peraciones algebraicas sobre series infinitas .......................................................................................
296
U n a in tr o d u cc ió n a la s ecu a cio n es d iferen ciales p a r c ia le s ........................................................
304
C on cep tos introductorios ................................................. , ................................................................. . . 3 0 4 S o lu cio n es y técn icas de s o lu c ió n .............................................................................................................. 305 ..................................................................
309
Form a e s tá n d a r .................................................................................................................................................. S o lu c io n e s ............................................................................................................................................................
P ro b le m a s d e v a lo r d e la fron tera de segu n d o ord en
309 31 0
Problem as de valor p r o p io ........................................................................................................................... ■. Problem as d e S turm -L iouville ..............................................
31 0 31 0
Propiedades de lo s problem as de S tu r m -L io u v ille ................................................................................
31 0
E x p a n sio n e s de la s fu n c io n e s p r o p i a s ...................................................................................................
31 8
F unciones suaves a t r o z o s ..............................................................................................................................
318
S eries de Fourier d e tipo s e n o ....................................................................................................................... S eries de Fourier d e tipo cosen o ........................................................................................
319 319
U n a in tr o d u cc ió n a la s ecu a cio n es en d iferen cia s ...........................................................................
325
Introducción ....................................................................................................................................................... C lasificacion es .................................................................................................. S o lu c io n e s ............................................................................................................................................................
325 325 326
T ra n sfo rm a d a s d e L a p l a c e ..................................................................
33 0
A lg u n o s c o m e n ta r io s so b re tecn o lo g ía .................................................................................................
336
C om entarios in trod u ctorios.....................................................
'...........
33 6
T I-89 ...................................................................................................................................................................... M A T H E M A T I C A ................................................................................................................................................
337 337
R e sp u e sta s a lo s p ro b lem a s a d icio n a les ...............................................................................................
338
ín d ic e a n a lít ic o .......................................................................
382
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RICHARD BRONSON e s
d o c to r y p r o fe so r d e m a tem á tica s d e F a ir le ig h D ic k in s o n U n iv ersity . E n 1 9 6 8 , o b tu v o e l
d o c to r a d o en M a te m á tic a s A p lic a d a s e n e l S te v e n s In stitu te o f T e c h n o lo g y . E l d o c to r B r o n s o n h a s id o ed ito r a s o c ia d o d e l p e r ió d ic o S i m u l a t i o n , e d ito r d e S I A M N e w s , y co la b o ra d o r d e B e ll L a b o ra to ries. H a d irig id o in v e s tig a c io n e s a c e r c a d e m o d e lo s m a te m á t ic o s y s im u la c ió n p o r c o m p u ta d o r a e n T e c h n io n , e n I s r a e l, y e n W h a rto n S c h o o l o f B u s s i n e s s , d e la U n iv e r s ity o f P e n n s y lv a n ia . E l d o c to r B r o n s o n c u e n ta c o n m á s d e trein ta a r tíc u lo s t é c n ic o s y lib r o s.
GABRIEL B. COSTA e s
d o cto r, s a c e r d o te c a tó lic o y p ro feso r e n C ie n c ia s M a te m á tic a s e n la U n ite d S ta te s M ilita r y
A c a d e m y , e n W e s t P o in t, d e N u e v a Y ork , e n d o n d e a d e m á s f u n g e c o m o c a p e llá n . E l d o c to r C o s ta c u e n ta ta m b ién c o n u n a r e s id e n c ia e n S e to n H a ll U n iv e r s ity . E n 1 9 8 4 , o b tu v o e l d o c to r a d o e n e l área d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s e n e l S te v e n s In stitu te o f T e c h n o lo g y . E n tre la s a fic io n e s a c a d é m ic a s d e G a b riel B . C o s ta e stá n la e d u c a c ió n d e la s m a te m á tic a s y e l s a b e r m e t r i c s , la b ú sq u e d a d e l c o n o c im ie n to o b je tiv o d e l b é is b o l.
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C onceptos b á s ic o s
1
ECUA C IO N ES D IFE R E N C IA L E S U n a e c u a c i ó n d if e re n c ia l e s u n a e c u a c ió n q u e in volu cra una fu n c ió n d e sc o n o c id a y su s derivadas.
EJEMPLO 1.1.
Las siguientes son ecuaciones diferenciales que incluyen la función desconocida y.
dy
( 1. 1)
= 5x + 3
dx
dy
= 1
( 1.2 )
dx
4 — r- + (senjc)— f + 5xy = 0 dx3
( 1 .3 )
dx¿
\3 d 2y
( 1 .4 )
+ 3y
dx
d t2
4 ^ = dx2
0
( 1 .5 )
U n a e c u a c ió n d ife ren cia l e s una ec u a c i ó n d if e re n c ia l o r d i n a r i a (E D O ) s i la fu n ción d e sc o n o c id a d ep en d e so la m en te de una variab le in d ep en d ien te. S i la fu n c ió n d e sc o n o c id a d ep en d e d e d o s o m ás variab les in d ep en d ien tes, la e c u a c ió n d ife ren cia l e s u n a e c u a c i ó n d if e re n c ia l p a r c i a l (E D P ). C o n e x c e p c ió n d e los c a p í t u l o s 3 1 y 34, e l en fo que p r i n c i p a l d e e s t e lib ro s e r á s o b r e e c u a c i o n e s d if e re n c ia le s o rdin a r ia s.
EJEMPLO 1.2. D e las ecuaciones (7.i ) a la (1.4) son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias, pues la función desco nocida y depende únicamente de la variable x. La ecuación (1.5) es una ecuación diferencial parcial, pues y depende tanto de la variable t com o de la x E l o r d e n de una e c u a c ió n d iferen cia l e s el orden d e la m a y o r d erivada q u e aparece en la ecu a ció n .
EJEMPLO 1.3. L a ecuación (7.7) es una ecuación diferencial de primer orden; (7.2), (1.4) y (7.5) son ecuaciones diferenciales de segundo orden. [Obsérvese en (1.4) que el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación es dos.] La ecuación (1.3) es una ecuación diferencial de tercer orden.
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2
C a p ít u l o 1
C
o n c e p t o s b á s ic o s
NOTACIÓN Las expresiones y', y", y'", y<4), . .., y (n) se usan a menucio para representar respectivam ente a la primera, la segunda, la tercera, la cuarta, . . l a n -ésim a derivada de y con respecto a la variable independiente en consideración. D e este m odo, / ' representa d 2y / d x 2 si la variable independiente es X, pero con d 2y / d p 2 se representa que la variable indepen diente e s p . O bsérvese que lo s paréntesis se usan en >>w para distinguirla de la n-ésim a potencia, y". Si la variable independiente es tiem po, generalm ente denotado por í, las com illas a m enudo se reem plazan por puntos. A sí, y, y y ¡y representan dyldt, d 2y / d t 2 y tPyld P , respectivam ente.
SOLUCIONES U n a solución de una ecu ación diferencial en la función y desconocida y la variable independiente x en e l intervalo 3>, e s una función y(x) que satisface la ecuación diferencial de manera idéntica para toda x en $ . EJEMPLO 1.4.
¿Es y(x) = c, sen 2x + c 2 eos 2x una solución de y" + 4y = 0, donde c, y c 2 son constantes arbitrarias?
Derivando y, tenemos que y' = 2c, eos 2x - 2c 2 sen 2x y y" — - 4 c , s e n 2 x - 4 c 2 cos2x De aquí que,
y" 4 . 4 y = (- 4 c , sen 2x - 4c 2 eos 2 x ) + 4(c, sen 2x + c 2 eos 2x) = (—4c, + 4 c ,)s e n 2 x + (—4c 2 + 4c 2 )cos2x =
0
Por esto, y = c, sen 2x + c 2 eos 2x satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x y es una solución en el intervalo (_OOj 00). EJEMPLO 1 .5.
Determine si y = x1 - 1 es una solución de (y' ) 4 + y 2 = -1 .
Obsérvese que el lado izquierdo de la ecuación diferencial debe ser no negativo para cada función real y(x) y cualquier x, puesto que es la suma de términos elevados a la segunda y cuarta potencias, en tanto que el lado derecho de la ecuación es nega tivo. Debido a que ninguna función y(x) satisfará esta ecuación, la ecuación diferencial no tiene solución. V em os que algunas ecu acion es diferenciales tienen un número infinito de solu cion es (ejem plo 1.4), m ientras que otras ecu acion es diferenciales no tienen solu ción (ejem plo 1.5). Tam bién es p osib le que una ecu ación diferencial ten ga exactam ente una solu ción . Considere (y ' ) 4 + y 2 = 0, que por idénticas razones a las expresadas en el ejem plo 1.5 só lo tien e una solu ción y = 0 . U na so lu ció n p a r t i c u l a r d e una ecu ación diferen cial es cualquier solu ción única. La so lu ció n g en era l de una ecu ación diferencial e s e l conjunto de todas las solu cion es. EJEMPLO 1.6 . La solución general a la ecuación diferencial del ejemplo 1.4 se puede demostrar que es (véanse capítulos 8 y 9) y = c, sen 2x + c 2 eos 2x. Es decir, cada solución particular de la ecuación diferencial tiene ésta como forma general. Algunas soluciones particulares son: a) y = 5 sen 2x - 3 eos 2x (con c, = 5 y c 2 = -3 ), b) y = sen 2x (con c, = 1 y c 2 = 0) y c) y s 0 (con c, = c2 = 0). La solu ción general de una ecuación diferencial no se puede expresar siem pre por m edio de una fórm ula única. C om o un ejem plo, considere la ecuación diferencial y' + y 2 = 0, que tiene dos solu cion es particulares y = 1/jc y y = 0.
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE VALORES EN LA FRONTERA U n a ecuación diferencial acom pañada de con d icion es subsidiarias sobre la función desconocida y sus derivadas, todas dadas al m ism o valor de la variable independiente, constituyen un p ro b le m a d e v a lo r inicial. Las con d icion es subsi diarias son condiciones iniciales. Si las con d icion es subsidiarias se dan a m ás de un valor de la variable independien te, el problem a es un p ro b le m a d e valores en la fro n tera y las con d icion es son las co n dicion es en la fron tera.
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P roblem as
resu elto s
3
EJEMPLO 1 .7 . El problema y" + 2y' = ex; y(n) = 1 , y \ i i ) = 2 es un problema de valor inicial, porque las dos condiciones sub sidiarias están ambas dadas e n x = n. El problema y" + 2 y '= e1; y(0) = 1,>'(1) = 1 es un problema de valores en la frontera, porque las dos condiciones subsidiarias están dadas para los diferentes valores x = 0 y x = 1 . U n a so lu ció n para un problem a de valor in icia l o bien d e valores en la frontera e s una función y( x ) que resu elve a la ecu a ció n diferen cial y adem ás satisface a todas las con d icion es subsidiarias.
PROBLEM AS RESUELTOS 1 .1 .
D eterm in e e l orden, la fu n ción d esco n o cid a y la variable in d ep en diente de cada una de las sigu ien tes ecu a c io n e s diferenciales: a)
y ' " - 5 x y ' = e*
c)
2 d i , di s” — 5x- + st « — = ¡ s ds2 dJ-s
a) b) c) d)
1 .2 .
d)
l y + f 2 y - (sen r )^ y = í 2 - t +
5
¿ V
5
dp
db"°
1
+ ¿>7 - f >5 = i
dp
Tercer orden, porque la derivada de mayor orden es la tercera. La función desconocida es y; la variable independien te es x. Segundo orden, porque la derivada de mayor orden es la segunda. La función desconocida es y; la variable indepen diente es t. Segundo orden, porque la derivada de mayor orden es la segunda. La función desconocida es í; la variable indepen diente es s. Cuarto orden, porque la derivada de mayor orden es la cuarta. Al elevar derivadas a varias potencias no se altera el número de derivadas implicadas. La función desconocida es b\ la variable independiente es p.
D eterm in e el orden, la fu n ción d esc o n o c id a y la variable in d ep en diente d e cada una de las sigu ien tes ecu a c io n e s diferen ciales: . a)
d 2x 2 y — s- = y
c)
2jc + 3i: —5 x = 0
á) b)
Segundo orden. La función desconocida es x; la variable independiente es y. Primer orden, porque la derivada de mayor orden es la primera, aun cuando esté elevada a la segunda potencia. La función desconocida es x, la variable independiente es y. Tercer orden. La función desconocida es x\ la variable independiente es t. Cuarto orden. La función desconocida es y; la variable independiente es t. Obsérvese la diferencia de notación entre la cuarta derivada yí4), con paréntesis, y la quinta potencia y5, sin paréntesis.
c) d)
1 .3 .
b)
+ 1
b)
+ 1
d)
(¿ x f y —- = ;c2 + l
1 7 y (4) —í 6 y <2) —4 .2 y 5 = 3 c o s f
D eterm in e si y (x ) = 2e~x + xe~x e s una so lu ció n de y" + 2y' + y = 0. Derivando y(x), se sigue que y'(x) = - 2 e ~ x -I- e~x - xe~x = - e ~ x - xe~x y"(x) — e~x - e~x -I- xe~x = xe~x Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial, obtenemos y" +
2
y' + y = xe~x + 2 ( - e ~ x - xe~x) + (2e~x + xe~x) =
Por lo tanto, y(x) es una solución.
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0
4
1.4.
C a p ít u l o 1
C
o n c e p t o s b á s ic o s
¿Es y(x) = 1 una solución de y" + 2 / + y = x? A partir de y(x) s 1, tenemos que y'(x) * 0 y y"(x) & 0. Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial, obte nemos y' +
2 y' +
y=
0
+ 2 (0 ) + l = l * x
De este modo, y(x) s 1 no es una solución. 1.5.
D em uestre que y = ln x es una solución de xy"+ / = 0 en $ = (0, °o) pero no es una solución en $ = (-<», <»). En (0, x ) tenemos >' = 1/x y >■"= - l/x2. Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial, obtenemos
xy*+y' = x ( ~ ) + i = De este modo, y = ln x es una solución en ( 0 ,»). Observe que y = ln x no podría ser una solución en negativos y pa'a el cero. 1.6.
0
®), pues el logaritmo no está definido para los números
Dem uestre que y = l/íx 2 - l ) e s una solución de y + 2 x f = 0 en 3> = ( - 1 ,1 ) pero no en cualquier intervalo más grande que contenga a $ . En (-1, 1), y = l/fjc2 — 1) y su derivada y' = - 2x/(x2 - l )2 son funciones bien definidas. Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial, tenemos /
„
2
y + 2 x y 2 = ------
2x
(x —1)
1
r- + 2x -5 -----
=0
X —1
De este modo, y = XI(x2 - 1) es una solución en $ = ( - 1 ,1 ) . Note, sin embargo, que l/fx2—1) no está definida en x = ±1, y por lo tanto no podría ser una solución en ningún intervalo que contenga cualquiera de estos dos puntos. 1.7.
Determ ine si cualquiera de las funciones a) y t = sen 2x, b) y 2 (x) = x o c) y 3 (x) = i sen 2x es una solución para e l problema de valor inicial y" + 4y = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1. o) yi(x) es una solución para la ecuación diferencial y satisface la primera condición inicial y(0) = 0. Sin embargo, y t(x) no satisface la segunda condición inicial (y¡(x) = 2 eos 2 x; y¡(0 ) = 2 eos 0 = 2 * 1 ); de aquí que no sea una solución para el problema de valor inicial, b) y 2(x) satisface ambas condiciones iniciales, pero no satisface la ecuación diferencial; por eso, y2(x) no es una solución, c) y 3(x) satisface la ecuación diferencial y ambas condiciones iniciales; por lo tanto, es una solución para el problema de valor inicial.
1.8.
H alle la solución para el problema de valor inicial y' + y = 0; y(3) = 2, si la solución general para la ecuación diferencial se sabe que es (véase capítulo 8 ) y(x) = c¡e~x, donde C] es una constante arbitraria. Puesto que y(x) es una solución de la ecuación diferencial para cada valor de q , buscamos el valor de q que también satisfaga la condición inicial. Obsérvese que y(3) = q e -3. Para satisfacer la condición inicial y(3) = 2, es suficiente esco ger q , de modo que q e ' 3 = 2, es decir, escoger q = 2e3. Sustituyendo este valor por q en y(x), obtenemos y(x) = 2 e 3e'* = 2 e3'* como la solución del problema de valor inicial.
1.9.
H alle una solución para e l problema de valor inicial y" + 4y = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1, si se sabe que la solución general para la ecuación diferencial (véase capítulo 9) es y(x) = q sen 2x + c 2 eo s 2x. Dado que y(x) es una solución de la ecuación diferencial para todos los valores de q y c 2 (véase el ejemplo 1.4), bus camos aquellos valores de q y c 2 que también satisfagan las condiciones iniciales. Note que y(0) = q sen 0 + c2 eos 0 = c2. Para satisfacer la primera condición inicial, y(0) = 0, elegimos c2= 0. Además, /( x ) = 2 q eos 2x - 2c 2 sen 2x; de este
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P roblem as
resu elto s
5
modo, /(O ) = 2ci eos 0 - 2c 2 sen 0 = 2c¡. Para satisfacer la segunda condición inicial, y'(0) = 1, escogem os 2C] = 1, o c¡ = i . Sustituyendo estos valores de C\ y c2 en y(jc), obtenemos y{x) = i sen 2x como la solución del problema de valor inicial. 1 .1 0 .
Encuentre una solu ción para el problem a de valores en la frontera y" + 4y = 0; y (n / 8 ) = 0, y(7t/6) = 1, si la so lu ció n general para la ecu ación diferencial e s y(x) = Cj sen 2x + c 2 eo s 2x. Observe que
y(f)=C ‘Sen(í)+C 2C 0S(í)=C l(^)+Cj(i^) Para satisfacer la condición y( 7t/ 8 ) = 0, necesitamos
< i( |> / 2 ) + c 2 (±> / 2 ) =
Además,
0
U)
> ( f ) = «. Sen( f ] + ^ c o s ( f ) = c, ( ¿ ^ ) + Cj ( ¿ )
Para satisfacer la segunda condición, y( 7¡/6 ) = 1, precisamos
iV 3 c 1 + | c 2 = l
(2)
Resolviendo (1) y (2) simultáneamente, hallamos 2
Ci=_Cz=7n Sustituyendo estos valores en y(x), obtenemos
2
y(x) = —¡=— (sen 2x —eos 2x) V 3 -1 como la solución al problema de valores en la frontera. 1 .1 1 .
Encuentre una solu ción para e l problem a de valores en la frontera y" + 4y = 0 ; y (0 ) = l,y ( n / 2 ) = 2, si se sabe que la solu ción general para la ecu ación diferencial e s y( x) = c¡ sen 2x + c 2 eo s 2 r. Puesto que y(0) = Ci sen 0 + c 2 eos 0 = c2, debemos escoger c 2 = 1 para satisfacer la condición y(0) = 1. Dado que y(;t/2) = c( sen tt + c 2 eos 7C= - c 2, debemos elegir c 2 = - 2 para satisfacer la segunda condición, y(x/2) = 2. Así, para satis facer ambas condiciones en la frontera de forma simultánea, requerimos que c 2 sea igual a 1 y a - 2 , lo cual es imposible. Por lo tanto, no existe una solución para este problema.
1 .1 2 .
D eterm in e C\ y c 2 de m od o q u e y{ x ) = c¡ se n 2x + c 2 e o s 2 x + 1 satisfa g a la s c o n d ic io n e s y ( 7t/ 8 ) = 0 y y '(* / 8 ) = V2 . Obsérvese que
y(f)=Cl
C ícos(7)+1=Cl(l^)+Cí(Í^)+1
Para satisfacer la condición y(n/ 8 ) = 0, necesitamos que Ci (4V2) + e 2 ( i V2) + 1 = 0, o de manera equivalente, Cj + c 2 = - V
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(2 )
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C a p ít u l o
1
C
o n c e p t o s b á s ic o s
Dado que y'(x) = 2c, eos 2x - 2c2 sen 2x,
y' ( l ) = 2ClCOS( í ) _ 2CíSen( f =
2 c,
[iV
2
)-
2 c2
= \Í2cl - V2 c 2
Para satisfacer la condición y'(n/8 ) = V2, necesitamos que y¡2c, - V3c2 = V5, o de manera equivalente, c, —c 2 =
Resolviendo simultáneamente (!) y (2), obtenemos c, = - j ( y j 2 - 1) y c 2 = 1.1 3 .
(2 )
1
j (t/2
+ 1).
Determ ine c , y c 2 de m odo tal que y(x) = c , « 21 + c 2 c í + 2 sen x satisfaga las condiciones y(0) = 0 y y'(0) = 1. Porque sen 0 = 0, y(0) = c, + c2. Para satisfacer la condición y(0) = 0, necesitamos que c , + c2 = A partir de
( /)
0
y'(x) = 2c,e2* + c2e* + 2 eos x
tenemos que y'(0) = 2c, + c2 + 2. Para satisfacer la condición y' (0) = 1, necesitamos que 2c, + c 2 + 2 = 1, o bien 2c , +
c2
= -1
(2 )
Resolviendo simultáneamente (1) y (2), obtenemos c , = - l y c2= 1.
PROBLEMAS ADICIONALES En los problemas del 1.14 al 1.23, determine a) el orden, b) la función desconocida y c) la variable independiente para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas. 1.14.
(y")2 ~ 3 y y ' + x y = 0
1.15.
x 4 y(4) + xym = e*
1.16.
t 2's—ti = l —sení
1.17.
y(4) + xy'" + x2y" - x y ' + se a y = 0
1.18.
=--2 = y 2 + l dy"
1.19.
1.20.
1.22.
1.24.
d 2y dxl
+ y= *
f)
1.23.
y(6) + 2 y V 3) + 5y 8 = e I
¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y' - 5y = 0? a) y = 5,
1.25.
-
b) y = 5x,
c) y = x5,
d) y = eSx,
e) y = 2e5*,
¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y' - 3y = 6 ? a) y = -2 ,
b) y = 0,
c ) y = e3x- 2 , d) y = e2x- 3,
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e) y = 4e3x- 2
P
1.26.
f>)y = - y .
c) y = e ' ,
d) y = e ' - \ ,
e )y = - 7 e ' - i
¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial dy/di = y / t i a) y = 0,
1.28.
7
¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y - 2 t y = t l a) y = 2,
1.27.
r o b l e m a s a d ic io n a l e s
b) y = 2,
c) y = 2t,
d) y = -3 /,
e)
y = í2
¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial? dy 7 y * + x * dx~ xy3
a) y = x, 1.29.
b) y = x>- x A,
b) y = sen x,
c) y = 4e~x,
d) y = 0,
e) y = i
*2
+ 1
¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y" - xy' + y = 0? a ) y = x2,
1.31.
d) y - ( x i - x i ) w
¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial y" - y = 0? <0 y = ¿‘,
1.30.
c) y = >lxt - x t ,
b) y = x,
c ) y = l - x 2,
d ) y = 2xl - 2 ,
e)
y=0
¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial x - 4 x + 4x = e'l a) x = e',
b) x = e*,
c) x = e2* + e',
d) x = te21 + e \
e) x = e2' + te1
En los problemas del 1.32 al 1.35, halle c de modo tal que x(t) = ce21 satisfaga la condición inicial dada. 132.
x(0) = 0
1.33. x(0) = 1
1.34. x ( l) = 1
1.35. x(2) = - 3
En los problemas del 1.36 al 1.39, halle c de modo tal que y(x) = c (l - x 2) satisfaga la condición inicial dada. 1.36.
y(0) = 1
1 3 7 . y ( l) = 0
1.38. y<2) = 1
1 3 9 . y ( l) = 2
En los problemas del 1.40 al 1.49, halle C\ y c 2 de modo tal que y(x) = C! sen x + c2 eos x satisfaga la condiciones dadas. Determine si las condiciones dadas son condiciones iniciales o condiciones en la frontera. 1.40.
y(0) = 1, y'(0) = 2
1.41.
y(0) = 2, y'(0) = l
1-42‘>(lH y'[Í\=2
143‘ = >(fj=1
1.44.
y'(0) = l,
y ' ( |] = l
1.45. y(0) = l,
1.46.
y(0) = l,
y{n) = 2
1.47.
y(0) = 0. y'(0) = 0
1.48.
y [ f ) = 0.
1.49.
y(0) = 0, y ' ( | j = l
y ( |) = l
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y '(« )= l
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C a p ít u l o 1
C onceptos
b á s ic o s
En los problemas del 1.50 al 1.54, halle los valores de c¡ y c 2 de modo tal que las funciones dadas satisfagan las condiciones ini ciales prescritas. y(x) -
1.51.
y(x) = c¡x + Ci + xl - 1;
>
/ ( 1) = 2
1.52.
y(x) =
O II O *
/(O ) = 0
1.53.
y{x) = Ci sen x + c 2 eos x + 1 ;
y<*) = 0 .
O II
1.54.
y(x) = qe* + c-¡x(? + r V ;
>0 ) = l .
/( ] ) = -!
+ eje2* + l e 1*-.
/ ( 0) = -l
i
+ e2e~* + 4 sen x\
II
1.50.
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U n a in t r o d u c c ió n a LOS MODELOS Y A LOS MÉTODOS CUALITATIVOS
MODELOS MATEMÁTICOS L o s m o d e l o s m a t e m á t i c o s se p u ed en pensar co m o ecu acion es. En este cap ítulo, y e n otras partes d el libro (por ejem plo, véan se lo s capítulos 7 , 14 y 31), considerarem os ecu acion es que m odelan ciertas situaciones d el m undo real. Por ejem plo, cuando con sid eram os un sim ple circuito eléctrico de corriente directa (C D ), la ecu ación V = RI representa el m o d elo de la caída de voltaje (m edida en voltios) a través de una resistencia (m edida en oh m ios), donde I es la corriente (m edida en am perios). Esta ecuación se denom ina L ey d e O hm, llam ada así en honor de G. S. Ohm (1 7 8 7 -1 8 5 4 ), físic o alem án. Una v ez construidos, ciertos m odelos se pueden usar para predecir m uchas situaciones físicas. Por ejem plo, el pronóstico del tiem po, el crecim iento de un tumor, o el resultado de la rueda de una ruleta, todos e llo s se pueden conectar con alguna form a de m od elos m atem áticos. En este capítulo consideram os variables que son continuas y cóm o se pueden usar las ecu acion es diferenciales en la aplicación d e lo s m odelos m atem áticos. En e l capítulo 34 se introduce la idea de ecu acion es en diferencias. Estas son ecu acion es en las que consideram os variables d isc retas; es decir, variables que só lo pueden aceptar ciertos valores, tales co m o números enteros. Con escasas m odificacion es, todo lo que se presenta acerca de lo s m odelos con ecu acion es diferenciales se p uede tomar también com o cierto para lo s m odelos con ecu acion es en diferencias.
EL “CICLO DE LOS M ODELOS” Supongam os que ten em os una situación de la vida real (querem os encontrar la cantidad de material radiactivo en cierto elem ento). L a investigación debe ser capaz de construir un m od elo para esta situación (bajo la form a de una ecuación diferencial “m uy d ifícil”). S e puede usar la tecn olog ía para ayudam os a resolver la ecu ación (lo s programas d e com putación n os dan una respuesta). Las respuestas tecn o ló g ica s so n lu ego interp retadas o co m u n ica d a s a la luz de la situación de la vida real (la cantidad de m aterial radiactivo). La figura 2-1 ilustra este ciclo.
MÉTODOS CUALITATIVOS Construir un m o d elo puede resultar un proceso prolongado y difícil; su ele llevar varios años de in vestigación. Una v e z form ulados, quizá sea virtualm ente im posible resolver lo s m odelos de m odo analítico. E ntonces, el investigador cuenta con dos opciones: Sim plificar, o “hacer pequeños cam bios al m od elo para mejorarlo” y hacerlo m ás m anejable. É ste es un en fo que válid o, siem pre y cuando la sim p lificación no com prom eta excesivam ente la con exión con e l “m undo real" y, por lo tanto, su utilidad.
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C a p ít u l o 2
U
n a in t r o d u c c ió n a l o s m o d e l o s y a l o s m é t o d o s c u a l it a t iv o s
Figura 2-1
•
Dejar el m od elo tal com o está, y usar otras técnicas, tales com o m étodos gráficos o num éricos (véan se los capítulos 1 8 , 19 y 2 0 ). E sto representa un enfoque cualitativo. En tanto que no tengam os una solu ción exac ta, analítica, en cierta form a obtenem os a l g o de inform ación que puede arrojar cier ta lu z sobre el m odelo y su aplicación. Las herramientas tecn ológicas pueden ser de extrem a ayuda en este en foqu e (véase el apén d ice B ).
PROBLEMAS RESUELTOS L o s problem as 2.1 a 2.11 tratan con varios m odelos, m uchos de los cuales representan situaciones del m undo real. A sum a que lo s m odelos son válidos, inclusive en lo s casos en donde algunas de las variables son discretas. 2 .1 .
D iscuta e l m odelo: 7> = 3 2 + 1.8 Tc . Este modelo convierte temperaturas de grados de la escala Celsius a grados de la escala Fahrenheit.
2 .2 .
D iscuta el m odelo: P V = nRT. Éste modela a los gases ideales y se conoce como Ley de un gas perfecto. Aquí, P representa la presión (en atmós feras), Ves el volumen (en litros), n es el número de moles, R es la constante universal de los gases (/? = 8.3145 J/mol K) y T es la temperatura (en kelvins).
2 .3 .
¿Q ué n os dice la ley de B oyle? La ley de Boyle establece que, para un gas ideal a temperatura constante, PV = k, donde P (atmósferas), V (litros) y * es una constante (atmósferas-litros). Otra forma de establecer esto es que la presión y el volumen son inversamente proporcionales.
2 .4 .
D iscuta e l m odelo: / = — . dt Esta fórmula se usa en electricidad; / representa la corriente (amperios), q representa la carga (culombios), t es el tiempo (segundos). Los problemas que incluyan este modelo se presentarán tanto en el capítulo 7 como en el capítulo 14.
2 .5 .
d 2y dy D iscuta el m odelo: m —p Tr + &----a-—- + ky = F(t). dt2 dt Éste es un modelo clásico: sistema forzado de masa-resorte. Aquí, y es el desplazamiento (m), t es el tiempo (seg), m es la masa (kg), a es una constante de fricción o amortiguamiento (kg/seg), k es la constante del resorte (kg/seg2) y /'(;) es la función de forzado (N).
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P roblem as
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Las variaciones de este modelo se pueden usar en problemas que van desde absorbedores de golpes en automóviles hasta para responder a aspectos de la columna vertebral en seres humanos. La ecuación diferencial usa varios conceptos clásicos, incluyendo la segunda ley de Newton y la ley de Hooke. Volveremos sobre esta ecuación en el capítulo 14. 2 .6 .
C onsidere que M(t) representa la m asa de un elem en to en k g. S uponga que la investigación ha dem ostrado que la tasa d e decaim ien to instantáneo d e este elem en to (kg/añ o) e s proporcional a la cantidad presente: Af'(í) « M(t). E stablezca un m odelo para esta relación. La relación de proporcionalidad A f(0 a M(t) se puede convertir en una ecuación introduciendo una constante de proporcionalidad, k (1/año). De este modo, nuestro modelo se transforma en Aí'(i) = kM(t). Observamos que k < 0, porque M(t) está decreciendo en tamaño. Esta ecuación se clasificará como “ecuación separable" (véase capítulo 3). La solución de este tipo de ecuación diferencial, que se describe cualitativamente como “decaimiento exponencial", se tratará en el capítulo 4.
2 .7 .
C onsidere e l problem a anterior. Suponga que la investigación reveló que la tasa de d ecaim iento es proporcio nal a la raíz cuadrada de la cantidad presente. Establezca e l m odelo para esta situación.
rr~ ltg1/2 . A/'(r)oc VA/(r) impiicaque A/'(l) = fcv Aí(f). Aquí observamos que las unidades de k s o n . La solución para este tipo de ecuación diferencial se verá en el capítulo 4. a”° 2 .8 .
E stab lezca e l m odelo para una población P(r), si su tasa de crecim iento es proporcional a la cantidad presen te en el tiem po t. Este problema se deriva del problema 2.6; es decir, tenemos un modelo de “crecim iento exponencial”, P'(t) = kP(t), donde k > 0 .
2 .9 .
S u p on ga que la p ob lación d escrita en e l problem a 2 .8 tien e una co m p o sició n in icia l d e 1 0 0 0 . E s decir, P (0 ) = 1 0 0 0 . A usted le dijeron tam bién que la solu ción de la ecu ación diferencial F ( t ) = kP(t) está dada por P(r) = 1 0 0 0 e fe, donde t está en años. D iscuta este m odelo. Dado que k > 0, sabemos que P{t) se incrementará exponencialmente conforme t — Estamos obligados a concluir que éste no. es (muy probablemente) un modelo razonable, debido al hecho de que nuestro crecimiento es ilimitado. Sin embargo, agregamos que este modelo podría ser de utilidad en un corto periodo. "¿Qué tan útil?” y “¿en qué tan corto periodo?” son preguntas que se deben buscar cualitativamente, y dependen de las limitantes y los requerimientos del problema particular que se tenga.
2 .1 0 . C onsidere las hipótesis d e lo s d o s problem as previos. A dem ás, suponga que la tasa de crecim iento de P (f) es proporcional al producto de la cantidad presente y cierto térm ino de “p ob lación m áxim a”,
100 000
- / >(í),
donde 100 0 0 0 representa la capacidad guía. Es decir, P(f) —» 100 0 0 0 , mientras que í —> La introducción d e la constante de proporcionalidad k nos con d u ce a la ecu ación d iferencial, P'(t) = k P (í)(100 0 0 0 - P(t)). D iscuta este m odelo. Si P(t) es mucho menos que 100 000, la ecuación diferencial se puede aproximar como P'it) = fcP(r) (100 000) = KPíf), donde K = 1(100 000). Esto aproximaría de manera muy cercana el crecimiento exponencial. Así, para “peque ños” P(t), debería haber una pequeña diferencia enríe este modelo y el modelo anterior que se discutió en los problemas 2.8 y 2.9. Si P(r) es cercana a 100 000 (lo que significa que 100 000 - P(t) <* 0), entonces la ecuación diferencial se puede _ aproximar como P'(t) «= kP(i)(0) = 0. Una solución aproximada para esto es P(t) = 100 000, pues sólo una constante tiene una derivada igual a 0. D e modo que “a largo plazo”, P(t) se “nivela” con 100 000, la capacidad guía de la población. En este problema, usamos un enfoque cualitativo: pudimos descifrar cierta información y expresarla de una mane ra descriptiva, aunque no teníamos la solución de la ecuación diferencial. Este tipo de ecuación es un ejemplo de un modelo loeístico de población y se usa extensivamente en estudios sociológicos. Véase también el problema 7.7. 2 .1 1 . A lgu n as v e c e s las ecu acion es diferenciales están “acopladas” (véan se capítulos 17 y 25); considere el sigu ien te sistem a:
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2
U na
in t r o d u c c ió n a l o s m o d e l o s y a l o s m é t o d o s c u a l it a t iv o s
-
= 2R -3R F
% _
= _ 4 F + 5 /? F
»>
dt A quí, R representa el núm ero de con ejos de una población, en tanto que F representa el núm ero de zorros, y r es el tiem po (m eses). A sum a que este m odelo refleja la relación entre conejos y zorros. ¿Q ué nos d ice este m odelo? El sistema de ecuaciones (?) refleja una relación “predador-presa”. Los términos RF en ambas ecuaciones se pue den interpretar como un “término de interacción". Es decir, ambos factores son necesarios para tener efecto sobre las ecuaciones. Vemos que el coeficiente de R en la primera ecuación es +2; si no existiese ningún término RF en esta ecuación, R se incrementaría sin límite alguno. El coeficiente -3 de RF tiene un impacto negativo sobre la población de conejos. Poniendo nuestra atención en la segunda ecuación, vemos que F está multiplicado por - 4 , lo que indica que la población de zorros disminuiría si no interactuara con los conejos. El coeficiente positivo para RF indica un impacto positivo sobre la población de zorros. Los modelos predador-presa se usan de manera extensa en muchas áreas desde poblaciones de la vida silvestre hasta en la planeación de estrategias militares. En muchos de estos modelos se emplean métodos cualitativos.
PROBLEMAS ADICIONALES 2.12.
Usando el problema 2.1, encuentre un modelo que convierta temperaturas de grados en la escala Fahrenheit a grados en la escala Celsius.
2.13.
V La ley de Charles establece que, para un gas ideal a presión constante, — = /c, donde V (litros), T (kelvins) y k es una constante (litros/F). ¿Qué nos dice este modelo? ^
2.14.
Discuta la segunda ley del movimiento de Newton: F = ma = m — - m dt
. dt
2.15.
Suponga que un cuarto está siendo enfriado de acuerdo con el modelo T (t) = V 5 7 6 - /, donde t (horas) y T (grados Celsius). Si comenzamos el proceso de enfriamiento en t = 0, ¿cuándo dejará de funcionar este modelo? ¿Por qué?
2.16.
Suponga que el cuarto del problema 2.15 se está enfriando de tal modo que T{t) = t 2 - 2 0 r W 5 7 6 , donde las variables y condiciones son como las de dicho problema. ¿Cuánto tiempo tomará enfriar el cuarto hasta su temperatura mínima? ¿Por qué?
2.17.
Considere el modelo discutido en el problema 2.5. Si asumimos que el sistema está “no amortiguado” y “no forzado”, es d 2y decir F(r) = 0 y a = 0, la ecuación se reduce a m —£+!ry = 0. Si hacemos que m = 1 y 4 para una posterior simpliñcidad, ■i dt d y . , • • tenemos que — ¿ + 4 y = 0. Supongamos que sabemos que y(0 = sen 2 1 satisface el modelo. Describa el movimiento de dt2 desplazamiento, y(í).
2.18.
Considere el problema anterior. Encuentre a) la función de velocidad; b) la función de aceleración.
dy 2.19. Considere la ecuación diferencial — = ( y - l ) ( y - 2 ) . Describa a) el comportamiento de y en y = 1 y y = 2; b) ¿qué sucede dx con y si y < 1 ?; c) ¿qué sucede con y si
1
< y < 2 ?; d) ¿qué sucede con y si y > 2 ?
2.20. Suponga que un compuesto químico, X, es tal que su tasa de decaimiento es proporcional al cubo de su diferencia a partir de una cantidad dada, M, donde tanto X como M están dados en gramos y el tiempo está medido en horas. Realice el modelo de esta relación mediante una ecuación diferencial.
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P
r o b l e m a s a d ic io n a l e s
13
2.2 1 .
Suponga que A y B son dos tanques interconectados por varias tuberías y desagües. Si A(j) y B(t) representan el número de galones de azúcar líquida en el tanque respectivo en e l tiempo t (horas), ¿qué representan A'(t) y
2.2 2 . -
Considere el problema 2.21. Suponga que el siguiente sistem a de ecuaciones diferenciales da el m odelo de la m ezcla de los tanques: ¿A . , „ — — aA + bB + c dt
( 1)
— dA -f- eB -L f
donde a, b, c, d, e y / s o n constantes. ¿Qué le está sucediendo al azúcar líquida y cuáles son las unidades de las seis con s tantes?
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C l a s if ic a c io n e s DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN FORM A ESTÁNDAR Y FORMA DIFERENCIAL L a f o r m a es t á n d a r o n o rm a l para una ecu ación diferencial de prim er orden en la fun ción d escon ocid a y(x) es y' = f ( x , y )
(3.1)
d on d e la derivada y só lo aparece sobre el lado izquierdo de (3.1). A unque no todas, m uchas de la s ecu acion es d ife ren ciales de prim er orden se pueden escribir en la form a estándar por m edio de la resolu ción algebraica de y ' hacien d o q u e /O , y ) sea igual a la parte derecha de la ecu ación resultante. El lado derecho d e (3.1) siem pre se puede escribir com o el cocien te de otras dos fu n cion es, M(x, y) y - N ( x , y). E n ton ces, (3 .1 ) se con vierte en d y /d x = M (x, y ) / - N ( x , y), la cu al e s equivalente a la f o r m a diferen cial M ( x , y ) d x 4- N ( x , y ) d y = 0
(3.2)
ECUACIONES LINEALES C on sid ere una ecu a ció n diferencial en la form a estándar (3.1). S i f ( x , y ) se puede escribir co m o f ( x , y ) = - p ( x ) y + q(x) (es decir, co m o una fu n ción de x m ultiplicada por y, m ás otra fun ción de x), la ecu ación d iferencial e s lineal. Las ecu a cio n es d iferen ciales lin eales de prim er orden siem pre se pueden expresar com o y’+ p(x )y= q (x ) L as ecu a cio n es lin ea les se resuelven en el capítulo
6
(3.3)
.
ECUACIONES DE BERNOULLI U n a ecu ación d iferencial de B e m o u l l i es una ecu ación de la form a y ' + p ( x ) y = q(x)yn
(3.4)
donde n denota un núm ero real. Cuando n = 1 o n = 0 , una ecu ación de B e m o u lli se reduce a una ecu ación lineal. Las ecu a cio n es de B em o u lli se resu elven en el capítulo
6
.
ECUACIONES HOM OGÉNEAS U n a ecu ación d iferen cial en su form a estándar (3 .1) e s hom o g én ea si f(tx ,ty) = f ( x , y ) para cualquier núm ero real t. L as ecu acion es h om ogén eas se resu elven en el cap ítulo 4.
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(3.5)
P
ro blem as resuelto s
15
Not a: E n e l siste m a gen eral d e las ecu a cio n es d iferen cia les, la palabra “h o m o g é n e a ” tien e un sig n ifica d o c o m p letam en te diferen te (v é a se cap ítu lo 8 ). S ó lo e n e l con texto d e las ec u a c io n e s d iferen cia les d e prim er orden “h o m o g én ea ” tien e en realidad el sig n ifica d o d efin id o antes.
ECUACIONES SEPARABLES C o n sid ere una ecu a ció n d iferen cial d e la form a (.3.2). S i M (x, y ) = A (x ) (una fu n ció n s ó lo d e x) y N(x , y ) = B(y) (una fu n ció n só lo d e y), la ecu a ó ió n d iferen cial e s s e p a ra b le , o presenta su s v a r i a b le s s e p a r a d a s . L as ecu a cio n es separables se resu elv en en e l ca p ítu lo 4.
ECUACIONES EXACTAS U n a ecu a ció n d iferen cial en form a d iferen cial (3.2) e s ex acta si d M (x ,y )
d N (x ,y)
dy
8x
L as e cu a cio n es exactas se resu elven en el cap ítulo 5 (d on d e se da una d efin ició n m ás p recisa d e exactitu d ).
PROBLEM AS RESUELTOS 3 .1 .
E scrib a la ecu a ció n d iferen cial x y ' - y 2 = 0 en su form a estándar. Resolviendo para / , obtenemos y' = y2/* que tiene la forma (3.1) con f(x, y) = y2/*.
3 .2 .
E scrib a la ecu a ció n d iferen cial exy ' + e ^ y = sen x en su form a estándar. Resolviendo para y’, obtenemos exy ’ = - e 2xy + senx o bien
y' = - e xy + e~x sen x
que tiene la forma (3.1) confite, y) = - e xy + e~x sen x. 3 .3 .
E scrib a la ecu a ció n d iferen cial (y' + y ) 5 = sen (y'lx) e n form a estándar. Esta ecuación no se puede resolver algebraicamente para y', y no se pu ede escribir en la forma estándar.
3 .4 .
E scrib a la ec u a c ió n d iferen cial y ( y y ' - 1) = x en form a d iferen cial. Resolviendo para y', tenemos y 2y ' - y = x
y2y' =jc+y i *+y y = — í— y
o bien
(1)
que está en forma estándar con fix, y) = (x + y)/y2. Hay un número infinito de formas diferenciales diferentes asociadas con ( i) . Cuatro de tales formas son: a)
Tóm ese M ( x ,y ) = x + y, N(x, y) = -y 2. Entonces
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C
a p ít u l o
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l a s if ic a c io n e s d e l a s e c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n
y ( /) es equivalente a la forma diferencial (x + y)<íi + ( - y 2)rfy =
0
y2 Tómese M (x ,y) = - 1, N(x,y) = —— . Entonces x+y M(x.y) -N (x,y)
_*+ y y1
-1
- y 1 / (x + y)
y ( /) es equivalente a la forma diferencial
(~l)dx +
c)
dy =
x+ y
0
Tómese A/(jr,y) = ^ y ^ , N(x, y) = - ^ - . Entonces M(x,y)
(x + y ) / 2
-N (x,y)
-(-y
2
x+ y
/ 2)
y2
y (1) es equivalente a la forma diferencial
- y2 dy = d)
0
Tómese .Vi(x, y) = - í —^ , N(x, y) = ^-r. Entonces x x M(x,y )
(—jc —y) / x 2
-N (x ,y )~
—y 2 1x1
x+ y ~
y2
y (f) es equivalente a la forma diferencial - X~ y \ x . , i >2
3 .5 .
Escriba la ecuación diferencial d yldx = ylx en forma diferencial. Esta ecuación tiene un número infinito de formas diferentes. Una de ellas es
dy = - d x que se puede escribir en la forma (3.2) como |r¿ c + (-l)
0
W
ydx + ( -x ) d y =
0
(2)
Multiplicando (1) por x, obtenemos
como una segunda forma diferencial. Multiplicando (1) por l/y, obtenemos
—dx-\— - d y = x y
0
(3)
como una tercera forma diferencial. Incluso otras formas diferenciales se deducen de (1) multiplicando esa ecuación por cualquier otra función de x y y.
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P
roblem as
resuelto s
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E sc r ib a la e c u a c ió n d ife r e n c ia l (x y + 3 ) d x + ( 2 x - y 2 + l ) d y = 0 e n fo rm a estándar. Esta ecuación está en forma diferencial. La reescribimos así ( 2 x - y 2 + \)d y = -(x y + l)d x que presenta la forma estándar dy
- ( x y + 3)
dx
2x -y2+ l
o bien
y =
xy+3 y¿-
2x
-l
D e te r m in e s i la s sig u ie n te s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s so n lin e a le s. a)
y' = (sen x )y+ ex
b) y' = x s e n y + e x
c)
/ = 5
d)
y = y2 +x
e)
/+ x y
f)
g)
y + x y = e xy
h)
/ + - =
5 = 0
x y ’+ y = yjy
0
y a)
La ecuación es lineal; aquí p(x) = - sen x y q(x) = e*.
b)
La ecuación no es lineal, debido al término sen y.
c)
La ecuación es lineal; aquí p(x) = 0 y q(x) = 5.
d)
La ecuación no es lineal, a causa del término y 2.
e)
La ecuación no es lineal, a causa del término y5.
f)
La ecuación no es lineal, a causa del término y xrí.
g)
La ecuación es lineal. Reescríbala com o y' + (x - d ) y = 0 c o n p(x) = x - e * y q{x) = 0.
h)
La ecuación no es lineal, a causa del término 1ly.
D e te r m in e s i c u a le s q u ie r a d e la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e l p ro b lem a 3 .7 s o n e c u a c io n e s d e B e r n o u lli. Todas las ecuaciones lineales son ecuaciones de Bernoulli con n = 0. Adem ás, tres de las ecuaciones no lineales, e ) , f ) y h), lo son también. R eescrib ae) c o m o / = -.xy5; ésta tiene la forma (3.4) c o n p(x) = 0, q(x) = - x y n = 5. Reescriba f ) com o
y + I y = Iy > « X X Ésta tiene la forma (3.4) con p(x) = q(x) = l l x y n = 1/2. R eeescriba h) com o y' = -x y -1 con p(x) = 0, q(x) = - x y n = - 1 . D e te r m in e s i la s sig u ie n te s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s s o n h o m o g é n e a s: \ a)
a)
I y+ x y = x
b)
I y2 y = —
\ c)
*
I y '=
'
2 x y e x/y x2+ y
2
sen —
La ecuación es hom ogénea, pues a. ¡y + tx r (y + x ) y+x /(tx .r y ) = ------- = -— ----------- ¿-------= / ( x , y ) tx
b)
tx
X
La ecuación no es hom ogénea, porque
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. d) '
, x2 + y y = — Ti '
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a p ít u l o
_• c)
3
C
l a s if ic a c io n e s
d e l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c ia l e s
La ecuación es hom ogénea, pues
2(txX0>)eu/,y
t l 2 x yet ,y
(tx) 2 + ( iy ) 2 sen — ty
r2 x 2 + t 2y 2 s e n y
2 , 2
x +y
d)
3 .1 1 .
( » ) + < y . t 2 * 2 + / y _ tx2 + y , , 3
3 3
(tx )
2 3
(V
rx J
D e te r m in e s i la s sig u ie n te s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s so n sep arab les: a)
s e n x d x + y 2d y = 0
a) b)
La ecuación diferencial es separable; aquí M{x, y ) = A(x) = sen x y A/(x, y) = B(y) = y2. La ecuación no es separable en su forma presente, pues M(x, y) = xy1 no es una función sólo de x. Pero si dividim os ambos lados de la ecuación por x1y2, obtenem os la ecuación (Mx)dx + ( - l) d y = 0, que es separable. Aquí, A(x) = 1/x y B (y )= -l.
c)
La ecuación no es separable, pues M(x, y) = 1 + xy, que no es una función sólo de x.
b)
x y 2d x - x 2y 2d y =
c)
0
(l + x y )d x + y dy = 0
D e te r m in e s i la s sig u ie n te s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s s o n ex a c ta s. a) a) b)
3 .1 2 .
x sen —
La ecuación no es hom ogénea, puesto que
f{tx,ty) —
3 .1 0 .
d e p r im e r o r d e n
3 x 2y d x + ( y + x l ) d y = 0
b)
x y d x + y 2d y = 0
La ecuación es exacta; aquí M ( x , y ) = 3x 2 y, N ( x , y ) = y + x 3 y d M / d y = dN/dx = 3x2. La ecuación no es exacta. Aquí M (x, y) = xy y N ( x , y) = y 2 ; de aquí que d M /d y = x , dN/dx = 0 y d M /dy * dN/dx.
D e te r m in e s i la e c u a c ió n d ife ren cia l y ' = y t x e s exacta. La exactitud sólo se define para ecuaciones de la forma diferencial, no para la forma estándar. La ecuación dife rencial dada tiene muchas formas diferenciales. Una de tales formas está dada en el problema 3.5, ecuación (7), com o
- d x + — dy = * y
0
Aquí M (x, y ) = x /y , N ( x , y ) = —1, dM
1
_8N
dy
x
dx
y la ecuación no es exacta. Una segunda forma diferencial para la m ism a ecuación diferencial está dada en la ecuación (3) del problem a 3.5 así
—d x- 1— -d y = x y
0
A quí M(x, y) = 1/x, N(x, y) = -1 /y ,
— = 0= — dy
dx
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P
r o b l e m a s a d ic io n a l e s
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y la ecuación es exacta. D e este m odo, una ecuación diferencial dada tiene m uchas formas diferenciales, algunas de las cuales pueden ser exactas. 3 .1 3 .
D e m u e str e q u e u n a e c u a c ió n se p a r a b le sie m p r e e s ex a cta . Para una ecuación diferencial separable, M(x, y ) = A(x) y N(x, y) = B(y). D e este m odo, 9 M (x ,y)
d A (x )
dy
dy
Q
d N (x,y)
dB(y)
dx
dx
Q
D ado que d M / d y = d N /dx la ecuación diferencial es exacta. 3 .1 4 .
U n te o r e m a d e la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e p rim er ord en e s ta b le c e q u e
s í/
( jc, y ) y d f (x , y ) / d y so n c o n tin u a s
e n un r e c tá n g u lo 91: \x - x 0 1< a , \y - y 0 1< b , e n to n c e s e x is te u n in te rv a lo alred ed o r d e x 0 e n e l cu a l e l p r o b le m a d e valor in ic ia l y ' = f ( x , y ) \ X ^ o )= )'o tien e una ú n ica so lu c ió n . E l p ro b lem a d e valor in icia l y = 2 ^ /fy l; y ( 0 ) = 0 tien e la s d o s s o lu c io n e s y = x \ x \ y y = Q. ¿ V io la e s te r e su lta d o e l teo rem a ? N o. A quí, f ( x , y ) = 2 j \ y ] y, por lo tanto, d f /d y no existe en el origen.
P R O B L E M A S A D IC IO N A L E S En los problemas del 3.15 al 3.25, escriba las ecuaciones diferenciales dadas en la form a estándar. 3.15.
xy' + y 2 =
3.1 7 .
3.16.
e xy ' —x = y'
(y') 3 + y J + y = se n x
3.18.
jcy' + c o s fy '-f y ) = l
3.19.
eW+y) _ x
3.20.
( y 1)2 —5 y ' +
3.21.
( x - y ) d x + y 2d y = 0
3.22.
^ ^ d x -d y = 0 x -y
3.23.
dx + ^ - d y = 0 x -y
3.24.
(e2x - y ) d x + exd y = 0
3.25.
d y + dx = 0
0
6
= (J c+ y X y , _ 2 )
En los problem as del 3 .2 6 al 3.35, se dan ecu acion es diferenciales tanto en su form a estándar com o en su form a diferencial. Determ ine si las ecuaciones en la forma estándar son hom ogéneas y /o lineales y, si n o son lineales, si son de Bernoulli; determ ine si las ecuaciones en forma diferencial, tal com o están dadas, son separables y /o exactas. 3 .2 6 .
y 1 = xy;
xydx - d y = 0
3 .2 7 .
y ' = xy,
xdx ——d y = 0
y 3.2 8 .
y = x y + l ; (x y + l)dx - d y = 0
3.2 9 .
/ = t ; y
^ d x -d y = 0 y
x2 y ' = - 5-;
- x 2d x + y 2d y = 0
2
3.3 0 .
2
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C a p ít u l o 3
C
l a s if ic a c io n e s d e l a s e c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n
3.31.
y' = —— ; 2xydx + x2dy = 0 x
3.32.
/ =x ¿y + y 3
3.33.
y' = ~ Y —-—r ; xy2dx + (x2y + y 2)dy = 0 x y+y
3.34.
y' = x 3y + xy3-, (x2 + y 2)dx —— dy —0
xy2d x - ( x 2y + y 3)dy = 0
?y
3.35.
y' = 2xy + x\ (2xye~x2 + xe~%1)dx —é~* dy = 0
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E c u a c io n e s DIFERENCIALES SEPARABLES DE PRIMER ORDEN SO L U C IÓ N G EN ER A L L a so lu c ió n para una ecu a ció n sep arab le d e prim er orden (v é a se ca p ítu lo 3)
es
A(x)dx + B (y)dy = 0
{ 4 .1 )
J A(x)dx + J B (y)dy = c
(4 .2 )
d o n d e c rep resen ta una co n stan te arbitraria. L as in teg ra les ob ten id a s en la e c u a c ió n (4 .2 ) p u ed en ser, para to d o s lo s p ro p ó sito s p rácticos, im p o s ib le s d e c a l cular. En ta les c a s o s, las té c n ic a s n u m éricas (v é a n se lo s c a p ítu lo s 1 8, 19 y 2 0 ) s e u san para ob ten er u n a so lu c ió n ap roxim ada. In c lu so si se p u ed en realizar las in teg ra cio n es q u e se in d ica n e n (4 .2 ), tal v e z n o se a p o sib le reso lv er a lg eb ra ica m en te para y en térm in os d e x. E n tal c a s o , la so lu c ió n q u ed a en la fo rm a im p lícita.
SO L U C IO N E S AL PR O BLEM A DE VALOR IN IC IA L L a so lu c ió n al p rob lem a d e v alor in icia l A ( x ) d x + B ( y ) d y = 0;
y(jc 0 ) = y 0
(4 .3 )
p u e d e ob ten erse, c o m o d e costu m b re, u tiliza n d o e n prim er lu gar la e c u a c ió n (4 . 2 ) para reso lv er la e c u a c ió n d ife ren c ia l y lu e g o a p licar la c o n d ic ió n in icia l para ca lcu la r c d irectam en te. D e m anera alternativa, la so lu c ió n para la e c u a c ió n ( 4 .3 ) s e p u ed e ob ten er a partir d e
XA ( x ) d x + f y B ( y ) d y = *o J y<>
0
(4 .4 )
S in em b argo, la e c u a c ió n (4 .4 ) tal v e z n o d eterm in e la so lu c ió n d e ( 4 . 3 ) d e m a n e r a ú n i c a ; e s decir, (4 . 4 ) p u e d e ten er m u c h a s so lu c io n e s , d e la s c u a le s só lo u n a satisfará e l p rob lem a d e v alor in icia l.
R E D U C C IÓ N DE EC U A C IO N ES H O M O G É N E A S L a ec u a c ió n d ife ren cia l h o m o g é n e a
(4 .5 )
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21
22
C
a p ít u l o
4
E c u a c io n e s
d i f e r e n c ia l e s s e p a r a b l e s d e p r i m e r o r d e n
q u e tien e la propiedad d e q u e f i r . O0 = A X
( 4.6)
dy dv 2L = v + x — dx dx
(4.7 )
ju n to co n su corresp on d ien te derivada
L a ecu a ció n resultante en la s variab les v y x se resu elve co m o una ecu ación d iferen cial separable; la so lu c ió n q u e se requiere para la ecu a ció n ( 4 .5 ) se ob tien e por m ed io d e una su stitu ción h acia atrás. D e m anera alternativa, la so lu ció n para ( 4 .5 ) ¿e puede obtener v o lv ien d o a escribir la ecu a ció n d iferen cial c o m o dx
1
~dy~ f (.x ,y )
{ 4 S)
x = yu
(4.9)
y lu e g o su stitu yen d o
y la d erivada corresp on d ien te dx ^
du = U+ y Ty
W)
en la ecu a ció n (4.8). D e sp u é s de sim p lificar, la ecu a ció n d iferen cial resultante será una con variab les (esta v e z , u y y ) separables. C o m ú n m en te, resu lta in d istin to q u é m éto d o d e so lu ció n se u se (v é a n se p rob lem as 4 .1 2 y 4 .1 3 ) . S in em b argo, a lg u n a s v e c e s una de las su stitu cio n es ( 4 .6 ) o ( 4 .9 ) e s d efin itivam en te superior a la otra. En tales c a s o s, la m ejor su stitu ció n por lo g en eral resu lta evid en te a partir de la form a de la propia ecu a ció n d iferen cial. (V é a se prob lem a 4 .1 7 .)
PRO BLEM AS RESUELTOS 4 .1 .
R esu elv a x d x —y 2d y = 0. Para esta ecuación diferencial, A(x) = x y B(y) = - y 2. Sustituyendo estos valores en la ecuación (4.2), tenemos
f xdx + J ( ~ y 2)dy = c
la cual, después de aplicar las operaciones de integración indicadas, se convierte en x?/2 - y3/3 = c. Resolviendo explíci tamente para y, obtenemos la solución como
y = ( |*
4 .2 .
2
+ * f 3: * = - 3 c
R esu elv a y ' = y 2x \ Primero volvem os a escribir esta ecuación en la forma diferencial (véase capítulo 3) x 3dx - (1 / y 2 )dy = 0. Luego A (x) = x 3 y B(y) = —1 / y 2. Sustituyendo estos valores en la ecuación (4.2), tenemos
J x 3dx + J
(-1
l y 2)dy = c
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P ro blem as
r esuelto s
23
o, realizando las operaciones de integración indicadas, x* / 4 + 1/ y = c. Resolviendo explícitamente para y, obtenemos la solución así X
~ 4
X
* = - 4c R esu elv a ^ dx
. y
Esta ecuación se puede volver a escribir en la forma diferencial (x 2 + 2)dx - y dy =
0
la cual es separable con A ( x ) = x 2 + 2 y B(y) = - y . Su solución es J (x 2 + 2 )dx —J y dy = c
o bien
^x3+
2
x -iy
2
= c
Resolviendo para y, obtenemos la solución en forma implícita como
■> 2 ,
y = -x
+4x + k
con k = -2 c . Resolviendo implícitamente para y, obtenemos las dos soluciones
y= ^ x
3
+ 4x + k
y
y = - ^ |x
3
+ 4x + k
R esu elv a y' = 5y. Primero vuelva a escribir esta ecuación en la forma diferencial 5 dx - (1 / y )dy = 0, la cual es separable. Su solución es J 5 d x + J ( - l / y ) d y —c o bien, realizando las operaciones de integración, 5x - ln |y |= c. Con el fin de resolver explícitamente para y, primero volvem os a escribir la solución com o ln |y| = 5x - c y luego tomamos el exponencial de ambos lados. D e este modo, «*"W = e >x~c. Notando quee 1"^ = |y |, obtenemos |y| = e5xe~c, o y = ± e ~ ce ,x. La solución está dada explícitamente por y = keSx, k = ± e ~ c. Obsérvese que la presencia del término (-1 /y ) en la forma diferencial de la ecuación diferencial requiere de la restricción y * 0 en nuestra deducción de la solución. Esta restricción es equivalente a la restricción k * 0, pues y = ke5x. Sin embargo, por inspección, y = 0 es una solución de la ecuación diferencial tal como se dio originalmente. D e este modo, y = ke5x es la solución para toda k. La ecuación diferencial dada originalmente también es lineal. Véase el problema 6.9 para un método alternativo de solución. R esu elv a y 1 =
*+ ^ y4 + f Esta ecuación, en forma diferencial, es (x + 1)dx + ( - y 4 —1)dy = 0, la cual es separable. Su solución es f (x + 1 )dx + f ( —y 4 —l)dy = c o, llevando a cabo las operaciones de integración, x1
y5
T + * - — >= ‘ Puesto que es algebraicamente imposible resolver esta ecuación de manera explícita para y, la solución debe quedar en su presente forma implícita.
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24
4 .6 .
C a p ít u l o 4
E c u a c io n e s
d if e r e n c ia l e s s e p a r a b l e s d e p r im e r o r d e n
R esuelva d y = 2 t ( y 2 + 9 ) d i. Esta ecuación se puede volver a escribir como dy —2 tdt = 0 y2 + 9 la cual es separable en las variables y y r. Su solución es
J V S rJ “
-
o bien, realizando las integrales dadas, -arctan - —r2 = c 3 3 Resolviendo para y, obtenemos
arctan -
= 3(í2 + c)
^ = tan (312 + 3c) o bien
y = 3tan (3t2 + k)
con k = 3c. 4 .7 .
R esu elv a — = x 2 - 2 x + 2. dy Esta ecuación se puede reescribir en forma diferencial de
-dt = 0
x -2x + 2 la cual es separable en las variables x y I. Su solución es
[dt = c J x3 - 2 x + 2
•>
Calculando la primera integral al completar el cuadrado, obtenemos
f—
±
[dr = c
J (x -l)2+ l o bien
■>
arctan(x —1) —t = c
Resolviendo para x como función de r, obtenemos arctan ( x —l) = r + c x —1 = ta n (r + c ) ob ien 4 .8 .
x=
l+
tan(r + c)
Resuel^va e*dx - y d y = 0; y (0 ) = 1. La solución para la ecuación diferencial está dada por la ecuación (4.2) así
J e*dx + f (~y)dy = c
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P ro blem as
resu elto s
25
o bien, realizando las operaciones de integración indicadas, se obtiene y 2 = 2e* + k, k = —2c. Aplicando la condición inicial, obtenemos (1 ) 2 = 2c° + k, 1 = 2 + 1 o bien k = - 1 . De este modo la solución al problema de valor inicial es y2 =
2 e'
—1 o bien y = \¡2ex — 1
[Obsérvese que no podemos elegir la raíz cuadrada negativa; pues entonces >>(0) = - 1 , lo que viola la condición inicial.] Para aseguramos de que y sigue siendo real, debemos restringir x de modo talque 2ex —1 > 0. Para garantizar que y' existe [obsérvese que y'(x) = dy/dx = ex.'y], debemos restringir x, de modo que 2ex - 1 *■ 0. Estas condiciones juntas implican que 2 e* —i > 0 , o bien x > ln j. 4 .9 .
U s e la ecu a ció n {4 .4 ) para resolver e l problem a 4.8. Para este problema, x 0 = 0 , y 0 = 1, A(x) = ex, y B( y) = - y . Sustituyendo estos valores en la ecuación {4.4), obtenemos J o e X d x + f l’ (-~y)dy = 0 Llevando a cabo estas integrales, tenemos
Íi
=
'
0
o bien
e* —e° +
-y2
-4 H
De este modo, y 2 = 2c 1 - 1 y, tal como en el problema 4.8, y = •J2ex —1, x > ln ^ . 4 .1 0 .
R esu elv a x eo s x dx + {l —6 y 5 )dy — 0; y ( n ) = 0. Aquí,
xq
= K ,y 0 — 0 , A(x) = xcosjcy B(y) = l -
6 y 5.
Sustituyendo estos valores en la ecuación {4.4), obte
nemos
J* xc osxdx + j ' y( l - 6 y 5)dy = 0 Calculando estas integrales (la primera mediante integración por partes), encontramos que x s e n x |j + c o s x |^ + ( y —y6)|^ = o b ien
0
x se n x + c o s x + l = y6 - y
Dado que no podemos resolver esta ecuación explícitamente para y, debemos conformamos con su solución en su presente forma implícita. 4 .1 1 .
R esu elv a y ' =
x Esta ecuación diferencial no es separable, pero es homogénea, tal com o lo muestra el problema 3.9a). Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en la ecuación, obtenemos v+ x
dv xv + x = -------dx x
que se puede simplificar algebraicamente a
dv x — = 1 ob ien dx
1 —dx —dv = x
0
Esta última ecuación es separable, su solución es
f ± d x - f d V= C la cual, al ser evaluada, da v = ln |x| - c, o bien v = ln |fc c |
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(1)
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C
-
4.12.
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E c u a c io n e s
d if e r e n c ia l e s s e p a r a b l e s d e p r i m e r o r d e n
donde hemos colocado c = —In|fc| y observamos que ln |x| + ln |fc| = ln |fct|. Finalmente, sustituyendo v = y/x hacia atrás en (1), obtenemos la solución a la ecuación diferencial dada com o y = x ln |fcx|. R esu elv a y ' = - -
.
*r Esta ecuación diferencial no es separable. En cambio, presenta la forma y' =j[x, y), con ,, N 2y*+x* f ( x , y ) = -J— 3—
donde
f{tx,ty)=
2 (ty )4 + ( t x ) 4
f 4 (2 y 4 - r x 4 )
2y4 -M 4
— = ------j - — 5- — = ------- 5— = f ( x , y ) (ttXry) ' (ay3) ay 3
de modo que es homogénea. Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en la ecuación diferencial dada, obtenemos ,
V+ X
dv
2(xv)*+x*
= — ------------; -----
dx
x(xv)}
la cual se puede simplificar mediante operaciones algebraicas para obtener dv v4 + l x — = — ;— dx v3
L. ornen
j v3 A —d x — ;------ dv = 0 x v4 + 1
1
Esta última ecuación es separable; su solución es 1 f -d x - f •> X
J
— d v —c V
-1-1
Integrando, obtenemos ln |x| - ^ ln(v 4 + 1) = c , o v4 + l = (fcx) 4
W
donde hemos colocado c = —ln|tc| y luego usado las identidades ln|x| + In|*| = ln|Jfct| y 4ln |fcx|= ln(fct )4 Finalmente, sustituyendo v = ylx de regreso en la ecuación (7), obtenemos y 4 = q x 8 - x 4 (c, = it4 )
4.13.
R esu elv a la e c u a c ió n d iferen cial del problem a 4 .1 2 u san d o la s ecu a cio n es ( 4 .9 ) y (4.1 0). En primer lugar volvemos a escribir la ecuación diferencial de este modo dx dy
xy 3 2 y4
+ a4
Luego, sustituyendo (4.9) y (4.10) en esta nueva ecuación diferencial, obtenemos M +yj ü = tg Q y 3 dy 2 y4 + ( y u ) 4 que mediante operaciones algebraicas se puede simplificar y convertir en du _
u + u3
>" d y ~ ~ 2 + u*
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(2)
P ro blem as
o bien
- d y + - + U du = y u+ u
r esu elto s
27
(1)
0
La ecuación ( 1) es separable; su solución es '2 + h 4
fJ ~y dy+ JJ ~u +7~u s du = c La primera integral es In Jy|. Para evaluar ia segunda integral, usamos fracciones F aciales sobre el integrando para obtener
u + u3
m(1 + u 4 )
u
1+ u 4
Por lo tanto, >2
+ u4
J u + u5
= f - d u - f —^—r d u = J u J 1 + u4
2 1 n|u| ——ln(l
M
4
+ u4 )
La solución para ( !) está en ln|y| + 2In|u| —-|-in(l + u4) i4 ) = cc,, la cual se puede reescribir como coi ty 4 u 8 = l + u 4
W
donde c = —-i- ln|ác|. Sustituyendo u - x / y d e regreso en (2), nuevamente tenemos (2) del problema 4.12.
4.14.
R esu elv a y ' — - ! ‘Xy
x —y 2
Esta ecuación diferencial no es separable. En cambio presenta la forma y' =f(x, y), con f ( * . y ) = - £ •— .2
X —yL
. , donde
ti~ * \ 2 «
de modo que es homogénea. Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en la ecuación diferencial tal como se dio original mente, obtenemos dv 2x(xv) v+ x— = dx x 2 - (xv ) 2 la cual se puede simplificar algebraicamente así d v ____v(v 2 + 1 ) dx o bien
v2 — 1
-d r + — — dv = x v(v + 1)
( !)
0
Utilizando fracciones parciales, podemos expandir ( !) de la siguiente forma I ¿ x + Í—- + - ^ ~ |d v = X [ V V + 1J
0
(2 )
La solución para esta ecuación separable se encuentra integrando ambos lados de (2). Al hacer esto, obtenemos ln |x| —ln |v| + ln(v 2 + 1) = c, que se puede simplificar así x(v 2 + l ) = *v (c = ln|*|) Sustituyendo v = y/x en (3), encontramos que la solución de la ecuación diferencial dada es x 2 + y 2 = ky.
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(3)
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C
4 .1 5 .
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E c u a c io n e s
d i f e r e n c ia l e s s e p a r a b l e s d e p r i m e r o r d e n
x 2 + y2 — *y Esta ecuación diferencia! es homogénea. Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en ella, obtenemos i
R esu elv a y =
,
v+x
dv dx
x 2 + (xv )2
=
1 —
x(xv)
que se puede simplificar algebraicamente así dv l .. x — = - ob ten dx v
. . - d x —vov x 1
n = 0
La solución para esta ecuación diferencial separable es ln|x| —v 2 / 2 = c, o de manera equivalente v 2 = ln x 2 + *
(k = —2 c)
(1)
Sustituyendo v = y I x en (1), encontramos que la solución a la ecuación diferencial dada es y 2 = x 2 Inx 2 + Jbr
4.16.
x 2 + v2 R esu elv a y ' = ------ — ; y (l) = - 2 . xy La solución para la ecuación diferencial está dada en el problema 3.15 com o y 2 = x 2 ln x 2 + kx2. Aplicando la condición inicial, obtenemos (—2 ) 2 = ( 1 )2 ln (l )2 + k(l)2, o bien k = 4. (Recuerde que ln 1 = 0 .) D e esta forma, la solución al problema de valor inicial es y 2 = x 2 ln x 2 + 4 x 2
o bien y = - J x 2 ln x 2 + 4 x 2
Se toma la raíz cuadrada negativa, para ser consistente con la condición inicial.
4.17.
, 2 x v e {x,y)l R esu elv a y = -----------y l + y 2e (xiy)' + i x 2é x ly 'i‘ '
La ecuación diferencial no es separable, pero es homogénea. Observando el término (x/y) en el exponente, inten tamos la sustitución u = xJy. que es una forma equivalente de (4.9). Volviendo a escribir la ecuación diferencial com o dx
y 2 + y 2e(x,yf + 2 x 1e(xlyí‘
dy ~
2
xye(" y)!
tenemos que usar las susdtuciones (4.9) y (4.10), y simplificando, du 1 + e“’ y— = rdy 2ue
.. ob ien
1 , —d y y
2ue“' . . rd u = 0 e“
1+
Esta ecuación es separable; su solución es l n |y |- ln ( l + e“’ ) = c que se puede volver a escribir como y = k( 1 + e“' )
(c = ln|A|)
Sustituyendo u = x/y en (1), obtenemos la solución de la ecuación diferencial dada com o y = * [l + e<">,>’ ]
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(1)
P
4.18.
roblem as
resuelto s
29
P r u eb e q u e to d a s la s s o lu c io n e s d e la e c u a c ió n ( 4 .2 ) s a t is f a c e n la e c u a c ió n ( 4 . 1 ) . Vuelva a escribir (4.1) com o A (x ) + B ( y ) y ' — 0. Si y(x ) es una solu ción , debe satisfacer la ecuación de manera idéntica en x ; de aquí que, A ( x )+ B [y (x )]/(x ) =
0
Integrando am bos lados de esta ecuación con respecto a x, obtenem os
J
A (x )d x
+j B [ y ( x ) \ y ' ( x ) d x = c
En la segunda integral, haga el cam bio de variables y = y(x), por e llo d y = y'(x) dx. El resultado d e esta sustitución es (4.2).
4.19.
P r u eb e q u e to d a s la s s o lu c io n e s d e l s is te m a ( 4 . 3 ) s o n s o lu c io n e s d e ( 4 .4 ) . Siguiendo el m ism o razonam iento del problem a 4 .1 8 , excep to que ahora integram os de x = Xq a x = x, obtenem os A(x)dx + £
B (y(x )]y'(x )d x = 0
La sustitución y = y(x) da nuevam ente el resultado deseado. O bserve que m ientras que x varía de
xq a
x, y varía de y(x<¡) =
>o a y(x ) = >•
4.20.
P ru eb e q u e s i y ' — f ( x , y ) e s h o m o g é n e a , e n to n c e s la e c u a c ió n d ife r e n c ia l s e p u e d e ree sc r ib ir c o m o / = g ( y / x ) , d o n d e g ( y l x ) d e p e n d e s ó lo d e l c o c ie n t e y / x . Tenem os que f ( x , y ) = f ( t x , t y ) . C om o esta ecuación es válida para toda r, debe ser válida, en particular, para t = 1Ix. A sí, f ( x , y ) = f ( \ , y / x ) . S i ahora definim os g ( y / x ) = f ( \ , y / x ) , entonces ten em os y ' = f ( x , y ) = f ( 1, y I x ) — g ( y / x), tal com o se pide. O bserve que esta forma sugiere la sustitución v = y /x que e s equivalente a (4.6). Si, arriba, hubiéram os colocad o t = l / y , entonces f i x , y) ~fi,x/y, 1) = h(x, y), lo que sugiere la solu ción alternativa (4.9).
4.21.
U n a f u n c ió n g ( x , y ) e s h o m o g é n e a d e g r a d o n s i g ( t x , t y ) = t ng ( x , y ) p ara to d a t. D e te r m in e s i la s s ig u ie n t e s f u n c io n e s s o n h o m o g é n e a s y, d e se r a s í, e n c u e n tr e su grad o:
4.22.
a)
ry + y2,
b)
x + y s e n ( y / x ) 2,
c)
x i + x y 2e x/y
y
d)
x + xy
a)
(tx)(ty) + (ty)2 = t 2 ( x y + y 2 ); hom ogénea de grado dos.
b)
tx + ty sen I
c)
(tx)3 + (tx)(ty)2 ett,ly = t 3( x 3 + x y 2e xly)\ hom ogénea d e grado tres.
d)
tx + (tx)(ty) = te + t 2xy\ no hom ogénea.
J*
ty f | = t x + y sen I —
; hom ogénea de grado uno.
L a s ig u ie n t e e s u n a d e f in ic ió n a ltern a tiv a d e u n a e c u a c ió n d ife r e n c ia l h o m o g é n e a : u n a e c u a c ió n d ife r e n c ia l M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 e s h o m o g é n e a si ta n to M ( x , y ) c o m o N ( x , y ) s o n h o m o g é n e a s d e l m is m o g r a d o ( v é a s e p r o b le m a 4 .2 1 ) . D e m u e s tr e q u e e s ta d e f in ic ió n c o m p r e n d e la q u e s e d io e n e l c a p ítu lo 3. S i M(x, y ) y N(x, y ) son h om ogéneas de grado n, en tonces
-N (tx ,ty)
- t nN ( x , y )
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-N (x ,y )
30
C
a p ít u l o
4
E c u a c io n e s
d if e r e n c ia l e s s e p a r a b l e s
d e p r im e r
orden
P R O B L E M A S A D IC IO N A L E S En lo s problemas d el 4 .23 al 4.45, resuelva las ecuaciones diferenciales o lo s problem as de valor inicial dados. 4.2 3 .
xdx + ydy = 0
.4 .2 4 .
4.25.
dx + - 7 -
4.26.
x d x - y 3 dy = 0
(t + \ ) d t — T d y = 0
y
y
4 .2 7 .
—d x - —dy = 0 x y
4.28.
—d x + d y = 0 x
4 .2 9 .
xd x + -d y = 0
4.30.
(t2 + \ ) d t + (y2 + y ) d y = 0
4.31.
í -d d, -t -L-’ -^2- dd vy = (0
4.32.
dx
*
1
—dy = 0
1+ y
y
•
4.33.
d x —dy = y -6 y + 1 3
4.35.
/=f2y
4.36.
4.37.
— = y2 dx
4.38.
^ = x 2 r2 dt
4.39.
dx _ x _ =± dt t
4.4 0 .
f^ = dr
4.4 1 .
s e n x d x + y d y = 0;
4.42.
(x 2 + l ) d x + - d y = 0; y .
4 .43 .
x e^ d x + C y 5 - l ) d y = 0 ;
4.34.
0
y (0 )= -2 .
y( 0 ) =
0
y = -V dy _ x =
+1
dx
y
3
+5y
4 .44.
y(—1) = 1
y (3 )= -l y+1
4 .45.
— = dt
8
- 3x;
x (0 ) = 4
En los problemas d el 4 .4 6 al 4.5 4 , determ ine si las ecuaciones diferenciales dadas son hom ogéneas y, de ser así, resuélvalas.
4.46.
y' = X
. 4 .4 8 .
, x +2y y = 7
4 .4 9 .
/_ y =
2x+
y
■*y 4.50.
4 .5 2 .
.2 , „ 2 / = ^ t £ 2 xy
4-51.
y= -
4 .5 3 .
+ s fx y
4 .5 4 .
y -x /=
x y + ( x y.2)n!/3
, x 4 + 3 x 2 y2 + v 4 y = V
xy
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E c u a c io n e s DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EXACTAS DEFINICIÓN DE LAS PROPIEDADES U n a ecu a ció n diferen cial M (x ,y )d x + N (x ,y )d y = 0
(5.1)
dg(x, y ) = M (x , y ) d x + N ( x , y ) d y
(5.2)
e s ex acta si ex iste una fu n ción g(x, y ) tal que
P r u e b a d e ex a c t i t u d :
S i M(x, y ) y N(x, y ) son fu n cion es con tinu as y tien en prim eras derivadas parciales con tinu as sobre algún rectángulo del plan o x y, en ton ces (5 .7 ) e s exacta si y só lo si d M (x , y ) _ dN (x, y) 3y
3
dx
M ÉTODO DE SO LUCIÓ N Para reso lv er la ecu a ció n (5 .7 ), asu m ien d o que e s exacta, prim ero reso lv em o s la s ecu acion es
< 5 .0
dx
^ Ü Ü .« < - .5 ) dy
(5 .5 )
para g(x, y). L a so lu ció n para (5 .7 ) en ton ces está dada im plícitam ente por g(x, y ) = c
(5 .6 )
d on d e c representa una con stan te arbitraria. L a e c u a c ió n ( 5 .6 ) e s in m ed ia ta d e la s e c u a c io n e s ( 5 .7 ) y (5 .2 ). S i ( 5 .2 ) s e su stitu y e en ( 5 .7 ), o b te n e m o s dg(x, y(x)) =
0
. Integrando esta ecu ación (obsérvese que p od em os escribir 0 c o m o
0
dx), tenem os í d g ( x , y ( x ) ) = J 0 dx,
la cu al, a su v ez, im p lica (5.6).
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32
C
a p ít u l o
5
E c u a c io n e s
d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n e x a c t a s
FACTORES DE INTEGRACIÓN En general, la ecuación (5.1) no es exacta. O casionalm ente, es posible transformar a (5.1) en una ecuación diferencial exacta por m edio de una sensata m ultiplicación. Una función l(x, y ) es un f a c t o r d e integración para (5.1) si la ecuación l(x, y ) [ M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y ] = 0
(5.7)
e s exacta. U na so lu ció n para (5.1) se obtiene resolviendo la ecu ación diferencial exacta definida por (5.7). A lgu n os d e los factores de integración m ás com u nes se muestran en la tabla 5-1 y en las con d icion es siguientes: Si — N
dM
dN
¡ g ( x ) una función só lo de x, entonces
dx I(x, y ) = e1' Mdx (d \í
dN
(5.8)
^ h ( y ) , una función sólo de y , entonces
dx I ( x , y ) = e ÍH^
(5.9)
Tabla 5.1
Grupo de térm inos
Factor de integración I(x, y)
D iferen cial exacta d g(x, y) xdy-ydx
1
y d x - x dy
J y\
x2
ydx-xdy
e- %
1
ydx-xdy
fx )
y2
y2
U J
)
i
y dx-xdy
x^ - ^ = ¿ íln yj *y i
ydx-xdy
xdy- y ^ = Á **+y V
x2+ y2 1
ydx + xdy
y d x + x d y =dQnxy) xy
*y
ydx+xdy
— . n>l (xyT
x2 +y2
I
(xyy
-1
L ( n - ix ^ r ‘J
xí + yi
nM
1
ydy+xdx ( x 2 + y 2 )"
(x 2 + y 2 )" ’ aydx+bxdy (a, b constantes)
ydx+xdy
1
ydy+xdx
ydy+xdx
^ A x)
x < " ' y h-'
L2 J
J -1
L2 ( n - l ) ( x 2 + y 2 ) ' 1-1 J
x a-' y b- ' ( a y d x + b x d y ) = d ( x ay h)
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P roblem as
r esu elto s
33
Si M = y f ( x y ) y N = x g(xy), entonces
<5 - r o >
En general, lo s factores de integración so n d ifíc ile s de descubrir. S i una ecu ación diferen cial no presenta una de las form as dadas antes, en ton ces e s probable que la búsqueda de un factor d e integración no tenga éxito, para lo cual s e recom iendan otros m étod os de solu ción .
PROBLEM AS RESUELTOS 5 .1 .
D eterm in e si la ecu ación diferen cial 2 x y d x + ( l + x 2 ) d y = 0 e s exacta. Esta ecuación tiene la forma de la ecuación (5.1) con Ai (x, y) = 2xy y N(x, y) = l + x 2. Puesto que d M /dy = dN/dx = 2x la ecuación diferencial es exacta.
5 .2 .
R esu elva la ecu a ció n d iferencial dada en el problem a 5 .1 . Fue demostrado que esta ecuación es exacta. Ahora determinemos una función g(x, y) que satisfaga las ecuaciones (5.4) y (5.5). Sustituyendo M (x, y) = 2xy en (5.4), obtenemos dg/dx - 2xy. Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x, hallamos j ^ - d x = ¡2xydx
o bien
g(x, y) = x 2y + h(y)
(1 )
Obsérvese que cuando integramos con respecto a x, la constante (con respecto a x) de integración puede depender de y. Ahora determinamos h(y). Derivando (1) con respecto a y, obtenemos d g / d y = x 2 + h'(y). Sustituyendo esta ecua ción junto con N(x, y) = l + x 2 en (5.5), tenemos x 2 + h'(y) = 1 + x 2
o bien
A'(y) = l
Integrando esta última ecuación con respecto a y, obtenemos h(y) = y + c, (ci = constante). Sustituyendo esta expresión en ( 1 ) se tiene g(x, y ) - x 2y + y + c i La solución de la ecuación diferencial, que está dada implícitamente por (5.6) como g(x, y) - c es x2y + y = c2
(c 2 = c - C [ )
Resolviendo para y explícitamente, obtenemos la solución así y = c 2 / (x 2 + 1). 5 .3 .
D eterm ine si la ecu a ció n diferen cial y d x - x d y = 0 e s exacta. Esta ecuación tiene la forma de la ecuación (5.1) con M(x, y) = y y N(x, y) = -x .A q u í dM
,
ir 1
dN
,
que no son iguales, de modo que la ecuación diferencial dada no es exacta. 5 .4 .
D eterm ine si la ecu a ción diferen cial ( x + sen y ) d x + ( x c o s y - 2 y ) d y =
0
e s exacta.
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34
C a p ít u l o 5
E c u a c io n e s
d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n e x a c t a s
Aquí M (x, y) = x + sen y y N(x, y) = x eos y - 2 y. De este modo, dM/dy = dN/dx = eos y, y la ecuación diferencial ' es exacta.
5 .5 .
R esu elva la ecu ación diferencial dada en el problem a 5.4. Ya se demostró que esta ecuación es exacta. Ahora buscamos una función g(x, y) que satisfaga (5.4) y (5.5). Sustituyendo M(x, y) en (5.4). obtenemos dg/dx = x + sen y. Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x, encontramos que í ^ d x = J (x + s e n y )¿ t dx o bien
g(x, y) = ^ x 2 + x s e n y + h ( y )
(1)
Para hallar h(y), derivamos ( / ) con respecto a y, obteniendo d g / d y = x eos y + h \ y ) , y luego sustituimos este resul tado junto con N{x, y ) = x c o s y - 2 y en (5.5). Así, hallamos x eos y + t í (y) = x eos y -
2y
o bien
tí ( y )
= -2
y
de lo cual se sigue que h ( y ) = - y 2 + c,. Sustituyendo esta /i(y) en ( /), obtenemos
?(*. y) = ^ x 2 + x s e n y - y J + c,
La solución de la ecuación diferencial está dada implícitamente por (5.6) como
1 ,
,
- x z + x sen y -y =c2
5 .6 .
(c 2 = c - c 1)
R esu elva y ' = - ? - Í 2 £ — . 2y-xe Volviendo a escribir esta ecuación en forma diferencial, obtenemos (2 + ye*, ) d x + ( x e I>' - 2 y ) d y = 0 Aquí, M(x, y) = 2 + ye xy y N(x, y) = xer> - 2 y y, pues dM/dy = dN/dx = e” + xye^, la ecuación diferencial es exacta. Sustituyendo M(x, y) en (5.4), encontramos que d g / d x = 2 + yexy \ integrando luego con respecto a x, obtenemos
¡ ^ ■ d x = l í 2 + ye ^ ] d x ox o bien
g(x, y ) =
2
x+e** + h (y )
(/)
Para hallar h(y), primero derivamos ( /) con respecto a y, obteniendo dg /d y = xe** + tí(y )\ luego sustituimos este resultado junto con N(x, y) en (5.5) para obtener xev + tí(y ) = xe** -
2y
o bien
t í (y) = - 2 y
Luego sigue que h ( y ) = - y 2 + c ,. Sustituyendo esta h(y) en (1), obtenemos g(x. y ) = 2 x + e xy - y
2
+ c,
La solución a la ecuación diferencial está dada implícitamente por (5.6) así 2x+ev - y 2 = c2
(c 2 = c - c , )
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P
5 .7 .
ro blem as resuelto s
35
D eterm in e s i la e c u a c ió n d iferen cia l y 2d t + ( 2 y t + l ) d y = 0 e s e x a c t a . Ésta es una ecuación para la función desconocida y(t). En términos de las variables t y y , tenemos que M (l, y) = y 2, N( t, y ) = 2 y t + l, y dM d , 3. _ 3 dN -^r = — (y2 ) = 2 y = - ( 2 y t + 1) = — dy ay di di de modo que la ecuación diferencial es exacta.
5 .8 .
R esu elv a la ecu a ció n d ife ren cia l dada en e l p rob lem a 5.7. Ya se demostró que esta ecuación es exacta, así que el procedimiento de solución dado por las ecuaciones (5.4) hasta la (5.6), con t reemplazando a x, es aplicable. Aquí
Ü£ = v* di Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a t, obtenemos
,
J|*-!>■=<" o bien
g(x, y ) = y 2t + h(y)
(i)
Derivando (1) con respecto a y, obtenemos
| = 2yr + ^ dy dy Por eso,
2 yt+ — = 2yt + l dy
donde el lado derecho de esta última ecuación es el coeficiente de d y en la ecuación diferencial original. Se sigue que
— = i
dy
h(y) = y + c x, y (1) se convierte en g(t, y) = y 2i + y + c¡ . La solución a la ecuación diferencial está dada implícitamente por (5.6), así y 2t + y = c2
( c2 = c - c ¡ )
Podemos resolver explícitamente para y mediante la fórmula cuadrática, por lo tanto - l ± J l + 4 c 2t
>=----- n— 2r 5 .9 .
D eterm in e si la e c u a c ió n d iferen cial
(2 x 2t - 2 x 3) d t + ( 4 x 3 - 6 x 2t + 2 x t 2 ) dx = 0 e s exacta. Ésta es una ecuación para la función desconocida x(t). En términos de las variables t y x , encontramos que
(2 x 2t - 2 x 3) = 4 x l - 6 x 2 = - ( 4 x 3 - 6 x 2t + 2 x t 2) ox
dt
de modo que la ecuación diferencial es exacta.
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(2)
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5 .1 0 .
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d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n e x a c t a s
R esuelva la ecu ación diferen cial dada en e l problem a 5.9. Se ha demostrado que esta ecuación diferencial es exacta, así que el procedimiento de solución dado por las ecua ciones de la {5.4) a la {5.6), con l y x reemplazando a x y y, respectivamente, es aplicable. Buscamos una función g(t, x) que tenga la propiedad de que dg sea el lado derecho de la ecuación diferencia] dada. Aquí dg ? l = 2 x2t - 2 x 2 di Integrando ambos lados con respecto a t, tenemos
f — d t = f (2x2l - 2 x 3)di 1 di 1
o bien
g{x, t) = x2t - 2 x 3r + h{x)
( /)
Derivando ( /) con respecto a x, obtenemos dg „ 2 r i dh -¿■ = 2xt2 - 6 x 2t + — dx dx
De aquí,
2x t2 -
6 xJr + —
= 4x 3 - 6 x 2 r + 2 » 2 dx donde el lado derecho de esta última ecuación es el coeficiente de dx en la ecuación diferencial original. Se sigue que
— = 4jc3 dx Ahora h(x) = x* + c,, y (i) se convierte en g(t, x) = x2!2 - 2 x 3t + x4 +c¡ = (x2 - x t ) 2 + c¡ La solución para la ecuación diferencial está dada implícitamente por (5.6) como (x 2 - x t ) 2 = c 1
(c 2 = c - c , )
o bien, tomando las raíces cuadradas de ambos lados de esta última ecuación, así x l - x t = ci
c¡=±Jc^
(2 )
Podemos resolver explícitamente para x con la fórmula cuadrática, de donde r± J t 2 + 4 c , x = — 2--------- — 2 5 .1 1 .
R esu elva y ’ = — —x-', y ( 2 ) = - 5 . l+ x La ecuación diferencial tiene la forma diferencial dada en el problema 5.1. Su solución está dada en (2) del problem a5.2como x2y + y = c2. .Usando la condición inicial, y=-5cuandox'=2, obtenemos (2) 2 ( - 5 ) + ( - 5 ) = c2, o bien c 2 = -2 5 . Por lo tanto, la solución al problema de valor inicial es x2y + y = - 2 5 o bien y = -2 5 / (x2 +1).
5 .1 2 .
R esu elva v = — - — ;
-V 2
2yr + l
>(1) = —2.
Esta ecuación diferencial en su forma estándar tiene ¡a forma diferencial del problema 5.7. Su solución está dada en (2) del problema 5.8 como y 2l + y = c^Usando la condición inicial y = - 2 cuando r= 1, obtenemos (-2 )z ( l) + ( - 2 ) = c2, o bien c 2 = 2 .
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ro blem as
resu elto s
37
La solución para el problema de valor inicial es y2* + y = 2, en forma im plícita. R esolviendo para y directamente, usando la forma cuadrática, tenem os -l-s /l +81
y
2?—
donde el signo negativo frente al radical se eligió para ser consistente con la condición inicial dada.
5.13.
R e s u e lv a x = — 2 a ^ 4 x 3 - 6 x t + 2x t2
x ( 2 ) = 3.
Esta ecuación diferencial en su forma estándar tiene la forma diferencial del problema 5.9. Su solución está dada en (2) del problema 5.10 com o x 2 - xf = c3. Usando la condición inicial x = 3 cuando 1 = 2, obtenemos (3 )2 - 3(2) = c 3, o c 3 = 3. La solución para el problema de valor inicial es x 2 + xt = 3, en forma im plícita. R esolviendo para x directamente, usando la fórmula cuadrática, tenemos
x = —(t + \ l t 2 +12)
2
donde el signo positivo frente al radical se eligió para ser consistente con la condición inicial dada. 5 .1 4 .
D e te r m in e s i - l / x
2
e s u n fa cto r d e in te g ra ció n para la e c u a c ió n d ife r e n c ia l y d x - x d y = 0.
En el problema 5.3 se demostró que la ecuación diferencial no es exacta. M ultiplicándola por - l / x 2, obtenemos
~(ydx~xdy) = 0 x
o b ien
- £ ¿ x + —dy =
x
x
0
•
00
La ecuación ( ! ) tiene la forma de la ecuación (5 .1) con M ( x , y ) = - y / x 2 y N ( x , y ) = l l x . Ahora
8y
A Í r z l-— - ^ í 0 - — 3 y lix 2 J x 2 d x (,x j dx
así que ( ! ) es exacta, lo que im plica que - l / x 2 es un factor de integración para la ecuación diferencial original.
5.15.
R e s u e lv a y d x - x d y = 0. Usando los resultados del problema 5.14 podem os volver a escribir la ecuación diferencial com o xdy-ydx _ Q x2 la cual es exacta. La ecuación ( ! ) se puede resolver usando los pasos descritos en las ecuaciones (5.4) a la (5.6). D e manera alternativa, de la tabla 5-1 vem os que ( ! ) se puede reescribir com o d(y/x) = 0. Por lo tanto, por integra ción directa, tenem os y/x = c, o y = ex, com o la solución.
5.16.
D e te r m in e si - 1 / (xy) e s tam b ién un fa cto r d e in teg ra ció n para la e c u a c ió n d ife ren cia l d e fin id a en e l p ro b lem a 5 .1 4 . M ultiplicando la ecuación diferencial y d x - x d y = 0 por - l( x y ) , obtenem os -(yd x -x d y)= xy
0
o b ie n
- —d x + —d y = 0 x y
( !)
La ecuación ( ! ) tiene la forma de la ecuación (5.1) con A f(x, y) = - l / x y N ( x , y ) = 1 /y . Ahora
^ H = Í .Í _ l V o = —íi) = — dy
dyl, x )
dx^yJ
dx
de m odo que ( ! ) es exacta, lo cual im plica que - 1 /xy es también un factor de integración para la ecuación diferencial original.
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5.17.
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d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n e x a c t a s
R esu elva el problem a 5 .1 5 usando el factor de integración dado en e l problem a 5.16. Usando los resultados del problema 5.16, podemos volver a escribir la ecuación diferencial como =0
. xy
(7)
la cual es exacta. La ecuación (7) se puede resolver usando los pasos descritos en las ecuaciones de la (5.4) a la (5.6). De manera alternativa, vemos de la tabla 1-5 que (7) se puede reescribir como d [In (y/x)] = 0. Luego, por integra ción directa, ln (y /x ) = c,. Tomando la exponencial de ambos lados, encontramos que y / x = ec\ o finalmente
y = cx
5.18.
(c = ec' )
R esu elva ( y2 - y ) d x + x d y = 0. Esta ecuación diferencial no es exacta y ningún factor de integración es inmediatamente evidente. Obsérvese, sin embargo, que si los términos se agrupan estratégicamente, la ecuación diferencial se puede volver a escribir como
- ( y d x - x d y ) + y i dx = 0
(i)
El grupo de términos entre paréntesis tiene muchos factores de integración (véase tabla 5-1). Tratando cada factor de integración en forma separada, encontramos que el único que hace que toda la ecuación sea exacta es l(x, y) = 1 / y . Utilizando este factor de integración, podemos reescribir (7) como
_ydx-xd¿+ldx=Q y
(2)
Dado que (2) es exacta, se puede resolver usando los pasos descritos en las ecuaciones de la (5.4) a la (5.6). Alternativamente, vem os de la tabla 5-1 que (2) se puede volver a escribirc o mo - d( x / y) +l d x = 0, o com o d(x/y) = 1dx. Integrando, obtenemos la solución
x
—- x + c
y
5.19
ob ien
x y = -----x+c
R esu elva ( y - x y 2 ) d x + ( x + x 2y 2 ) dy = 0. Esta ecuación diferencial no es exacta, y ningún factor de integración es inmediatamente evidente. Observe, sin embargo, que la ecuación diferencial se puede reescribir como
( y d x +x dy ) +( - x y 2 d x + x 2y2dy) = 0
(7)
El primer grupo de términos tiene muchos factores de integración (véase tabla 5-1). Uno de estos factores, concretamen te 7(x, y) = 1/(xy)2, es un factor de integración para toda la ecuación. Multiplicando (7) por l/(xy)2, encontramos que
y d x + x d y | - xy 2 d x + x 2y 2dy (xy ) 2
( W )2
o, de manera equivalente,
*
3 * . i* -*
Dado que (2) es exacta, se puede resolver usando los pasos descritos en las ecuaciones de la (5.4) a la (5.6). Alternativamente, de la tabla 5-1 vem os que
íM-1
ydx+xdy ( xyï1
V ?,
de modo que (2 ) se puede volver a escribir como d\ — |= —d x - l d y
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roblem as
resuelto s
39
Integrando ambos lados de esta ecuación, encontramos
— = l n |x |- y + c xy que es la solución en su forma implícita. 3yx2 5 .2 0 .
R e su e lv a y = x3+
2
y4
Reescribiendo esta ecuación en forma diferencial, tenem os (3yx2 ) d x + ( - x 3 - 2 y * ) d y = 0 la cual no es exacta. Adem ás, no hay ningún factor de integración inmediatamente evidente. Podemos, sin embargo, vol ver a arreglar esta ecuación así x 2( 3 y d x - x d y ) - 2 y * d y = 0
(!)
El grupo entre paréntesis es de la forma ay dx + bx dy, donde a = 3 y b = - 1 , que tiene un factor de integración x 2y~2 . Dado que la expresión entre paréntesis ya está m ultiplicada por x 2, probam os un factor de integración de la forma !(x, y) = y~2. M ultiplicando ( l) p o r y ' 2 tenemos x 2y~2 (3x dx - x d y ) - 2 y J d y = 0 que se puede simplificar (véase tabla 5-1) a d ( x 3y - ' ) = 2 y 2 d y
(2)
Integrando ambos lados de (2), obtenemos x 3y - ' = í y 3 + c
3
com o la solución en forma implícita.
5.21.
C on v ierta y ' = 2 x y - x e n u n a e c u a c ió n d ife ren cia l exacta. Volviendo a escribir esta ecuación en forma diferencial, tenem os (~ 2 xy + x ) d x + d y =
0
(1)
Aquí, M ( x , y ) - - 2 x y + x y N (x , y ) = l . Pues y
dy
ÍÍ-O dx
no son iguales, (1) no es exacta. Pero dM , dy
9 iv \_ (-2 x )dx J
(° )= -2x
1
es una función só lo de x. U tilizando la ecuación (5.8), tenem os I(x, y) = e* 2xdx = e * com o factor de integración. Multiplicando (1) por e~x , obtenemos (-2xye~*‘+ x e~ x')dx + é~*'dy = 0 que es exacta. 5 .2 2 .
C o n v ierta y 2 d x + x y d y = 0 e n una e c u a c ió n d ife ren cia l ex a cta . Aquí, M ( x , y ) = y 2 y N(x , y ) = xy. Pues dM
17
„
dN
y y
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no son iguales, ( / ) no es exacta. Pero 1 (d M M ^ dy
dx
2y-y_l
J
y2
y
es una función sólo de y. Usando la ecuación (5.9), tenemos !(x, y) = e~^^,) = e = 1/y. com o un factor de integración. Multiplicando la ecuación diferencial dada por l ( x , y ) = 1/y , obtenemos la ecuación exacta y d x + x d y = 0. 5 .2 3 .
> x y 2 —y C onvierta y = en una ecu a ció n d iferen cial exacta. x Volviendo a escribir esta ecuación en forma diferencial, tenemos y(l-xy)dx+ xdy = 0
( /)
Aquí M (x, y) = y( 1 - xy) y N(x, y) = x. Pues dM
V
.
,
dN
*
y
,
a *"
no son iguales, ( /) no es exacta. Sin embargo, la ecuación (5.10) es aplicable y proporciona el factor de integración
I(x, y ) =
1
-1
x [ y ( l- x y ) ] - y x
(xy)2
Multiplicando (1) por l(x, y), obtenemos
V L ld x — L d y^ xy
0
que es exacta.
PROBLEM AS ADICIONALES En los problemas del 5.24 al 5.40, pruebe si las diferentes ecuaciones diferenciales son exactas y resuelva aquellas que lo sean. 5.24.
( y + 2 x y 2)dx + (l + 3x2y 2 + x)dy = 0
5.25.
(xy + l ) d x + ( x y - l ) d y = 0
5.26.
eJ‘ ( l x 2y - x 2)dx + eI'dy = 0
5.27.
3x 2 y J dx + (2 x 3y + 4 y 3)dy = 0
5.28.
ydx+xdy = 0
5.29.
(x-y)dx+ (x+ y)dy = 0
5.30.
(y sen x + x y c o sx )d x + (x se n jt + l)íiy = 0
531.
-É -dt + ^ d y = 0 I2 l
5.32.
-2 ld t+ -\rd y = 0 r t2
533.
y2d t + t 2dy = 0
5.34.
(4r 3y 3 - 2fy)dr + (3t*y2 - t 2) d y = 0
5.35.
2 ^ ¿ d r~ L < fy = 0 ‘ y ty
5.36.
(t2 - x ) d t - t d x = 0
5.37.
(t2 + x 2) d t + ( 2 t x - x ) d x = 0
5-38.
2xe2,dt + (\ + e 2,)dx = 0
5.39.
sen i eos x df —sen x eos [ dx = 0
5.40.
(eos x + x c o s t ) d t + (sen r - í sen x) dx = 0
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roblem as
a d ic io n a l e s
E n lo s problem as d el 5.41 al 5 .5 5 , en cu en tre un factor de integración adecuado para cada ecu ación diferencial y resuelva. 5 .4 1 .
(y + \)d x -x d y = Q
5 .4 3 .
(.x 2 + y + y 2 ) d x - x d y =
5 .4 5 .
5 .4 2 .
ydx + (l-x )d y = 0
5 .4 4 .
( y + x 3y 3) d x + x d y = 0
( y + x 4y 2 ) d x + x d y = 0
5 .4 6 .
( 3 x 2y —x 2 ) d x + d y = 0
5 .4 7 .
dx-2xydy = 0
5 .4 8 .
2xydx + y 2 dy = 0
5 .4 9 .
ydx+3xdy = 0
5 .5 0 .
^ 2 x y 2 + -^- ^bc + 4 x 2y d y =
5 .5 1 .
x y 2 d x + ( x 2y 2 + x 2y ) d y =
5.5 2 .
x y 2 d x + x 2y d y = 0
5 .5 3 .
( y + x 2 + xy2 ) dx - x dy =
5 .5 4 .
( x 3y 2 - y ) d x + ( x 2y 4 - x ) d y =
5 .5 5 .
3x 2y 2 d x + { 2 x i y + x 3y 4 ) d y =
0
0
0
0
0
E n lo s p roblem as d el 5 .5 6 al 5 .6 5 , resu elva lo s problem as d e valor in icial.
5 .5 6 .
P roblem a 5 .1 0 c o n * ( 0 ) = 2
5 .5 7 .
P rob lem a 5 .1 0 co n
5 .5 8 .
P roblem a 5 .1 0 con ;c(l) = - 5
5 .5 9 .
P rob lem a 5 .2 4 co n y ( l) = - 5
5 .6 0 .
P roblem a 5 .2 6 co n y ( 0 ) = - l
5 .6 1 .
P rob lem a 5.31 co n y ( 0 ) = - 2
5 .6 2 .
P roblem a 5.3 1 c o n > (2 ) = - 2
5 .6 3 .
P rob lem a 5 .3 2 co n y (2 ) = - 2
5 .6 4 .
P rob lem a 5 .3 6 c o n x ( l) = 5
5 .6 5 .
P rob lem a 5 .3 8 co n x ( l ) = - 2
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jc(2 )
=0
0
4'
E c u a c io n e s DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
6
M É T O D O DE SO L U C IÓ N
U n a e c u a c ió n d ife ren cia l li n e a l d e p rim er ord en tien e la form a (v é a se ca p ítu lo 3 )
y p ( x ) y - q(x)
(6.1)
I( x ) = e ]* x)i'
{6.2)
U n fa cto r d e in teg ra ció n para la e c u a c ió n (6.1) e s
q u e d e p e n d e s ó lo d e x y e s in d e p e n d ie n te d e y. C u an d o a m b o s la d o s d e (6.1) s e m u ltip lic a n p o r I(x) la e c u a c ió n resu lta n te
/ (x ) y + p (x )I (x )y = l(x )q (x )
(6.3)
e s ex a cta . E sta e c u a c ió n s e p u e d e r e s o lv e r p or m e d io d e l m éto d o d esc rito e n e l ca p ítu lo 5 . U n p ro ced im ien to m ás s im p le c o n s is te en reescrib ir la e c u a c ió n ( 6 .3 ) a sí
^ = /* ( x )
dx
integrar a m b o s la d o s d e esta ú ltim a e c u a c ió n c o n resp ecto a jc, y lu e g o reso lv e r para y la e c u a c ió n resu ltan te.
R E D U C C IÓ N D E E C U A C IO N E S DE B E R N O U L L I
U n a e c u a c ió n d ife ren cia l d e B e m o u lli tie n e la form a
/ + P ( x ) y = q ( x ) y"
(6.4)
Z = y1“"
(6.5)
d o n d e n e s u n n ú m ero real. L a su stitu ció n
tran sform a a (6.4) en u n a e c u a c ió n d ife ren cia l lin ea l en la cu a l la fu n ció n d e sc o n o c id a e s z(x ).
42
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P roblem as
resuelto s
43
PR O BLEM A S R ESUELTOS 6 .1 .
E n cu en tre un factor d e in tegración para y' - 3 y =
6
.
La ecuación diferencial tiene la forma de la ecuación (6.1), con p(x) = - 3 y q(x) =
6,
y es lineal. Aquí
/ p ( x )d x = f —’i d x = - 3 x de m odo que (tí. 2) se convierte en
( 1)
I ( x ) = e ¡i*x)dx = e - 3x 6 .2 .
R e su e lv a la ecu a ció n d ife ren cia l d e l p ro b lem a anterior. Multiplicando la ecuación por el factor de integración definido por (1) del problema 6.1, obtenemos e_ 3jry ' - 3 e _3ly = 6e~3x ob ien — (ye-3*) = 6e~3x dx Integrando ambos lados de esta última ecuación con respecto a x, obtenemos f — (ye~3x)dx = f 6e~3xdx J dx J ye~3x = - 2 e ~ 3x + c y = ce3x - 2
6 .3 .
E n cu en tre un factor d e in teg ra ció n para y ' - 2x y = x. La ecuación diferencial tiene la forma de la ecuación (6.1), con p(x) = -2 x y q(x) = x, y es lineal. Aquí fp(x)dx = f ( - 2 x ) d x = - x 2 de m odo que (ó. 2 ) se convierte en
( 1)
I ( x ) = e ^ p<-X)ix =■«-**
6 .4 .
R esu elv a la e c u a c ió n d ife ren cia l d e l p ro b lem a anterior. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración definido por (1) del problema 6.3, obtenemos
e - ^ y - 2 x e ~ x,y = xe~x' o b ien — \ y e - x’ \ = xe~x’ dx1 1 Integrando ambos lados de esta última ecuación con respecto a x, encontramos que d . f — (ye~x> )dx = f xe~x’dx J dx J ye
-x ’
1 s
,
= - —e
+c
y = c e -----1 . 6 .5 .
2
E n cu en tre u n fa cto r d e in tegración para / + ( A / x ) y = x 4 . La ecuación diferencial tiene la forma de la ecuación (6.1), con p ( x ) — 4 /x y q(x) = x 4, y es lineal. Aquí
J p ( x ) d x = J '^ á x = 41n|x| = ln x 4
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44
C
a p ít u l o
6
E c u a c io n e s
d i f e r e n c ia l e s l in e a l e s d e p r i m e r
orden
de modo que (6.2) se convierte en
!(x)= M x)áx = ¿ax‘ =x* 6 .6
.
(1)
R esu elv a la e c u a c ió n d iferen cia l d e l p rob lem a anterior. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración definido por (7) del problema 6.5, obtenemos
*
x 4 y '+ 4 x 3y = x s
o bien
— (yx4 ) = x % dx
Integrando ambos lados de esta última ecuación con respecto a x, obtenemos 4 1 9 , yx = —x + c 9 6 .7 .
u* ob ten
C 1 j y = —r + —x x4 9
R esu elv a / + y = se n x. Aquí p(x) = 1; por lo tanto 7(x) = e^ldx = ex. Multiplicando la ecuación diferencial por /(x), obtenemos exy ' + e xy = ex sen x
ob ien
— (yex) = e* senx dx
Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x (para integrar el lado derecho, usamos dos veces integración por partes), encontramos que ye* = —e '1 (senx —c o s x )-i-c
ob ien
2
6 .8
.
y = ce~x + - s e n x - - c o s x
2
2
R esu elv a e l p ro b lem a de valor in icia l y ' + y = se n x; y ( t t ) = 1. D el problema 6.7, la solución de la ecuación diferencial es 1 1 y = ce -* + — s e n x ----cosx
2
2
Aplicando directamente la condición inicial, obtenemos I = y ( n ) = ce~x + —
2
D e este modo,
c = -e*
2
y = —e*e~x + i s e n x —i c o s x = —(e*~* + sen x —c o s x ) 7
6 .9 .
o b ien
2
2
2
2
R esu elv a y ' - 5 y = 0. Aquí, p (x ) = —5 y 7(x) = e ^ ~ !>dx = e~,x . Multiplicando la ecuación diferencial por 7(x), obtenemos e~Sxy ' —5e~5xy =
0
ob ien
— (ye~, x ) = 0 dx
Integrando, obtenemos ye~5x = c o bien y = ceix. Obsérvese que la ecuación diferencial también es separable. (Véase problema 4.4.)
6 .1 0 .
dz xz = - x . dx Ésta es una ecuación diferencial para la función desconocida z(x). Tiene la forma de la ecuación (6.1) con y reem plazado por z y p (x) = q( x) = —x. El factor de integración es
R e s u e lv a
7(x) = e ^ ~ x)dx = e
,*í / 2
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P
ro blem as resuelto s
45
Multiplicando la ecuación diferencial por ¡(x), obtenemos e ~x7 2 — _ xe~x'/2z = -x e~ * '/2 dx o bien
—-(ze*-*1^2 ) = —xe~x*^2 dx
A l integiar ambos lados de esta ecuación, tenemos ze~x‘^2 = e~x't2 + c de donde
6.11.
z(x) = ce x'^2 +
1
R e su e lv a e l p rob lem a d e valor in icia l z ' - x z — x; z ( 0 ) = - 4 . La solución para esta ecuación diferencial está dada en el problema 6.10 como z(x )= l+ c e * ¡2 Aplicando directamente la condición inicial, tenemos - 4 = z(0) = 1 + ce0 = 1 + c o bien c = - 5 . D e este modo z ( x ) = l - 5 e x‘/2
6.12.
R esu elv a z ' ——z = —x A.
x
3
Ésta es una ecuación diferencial lineal para la función desconocida z(jc). Tiene la forma de la ecuación (6.1) con reemplazada por z. El factor de integración es
y
I(x) = eSí-^ x)dx =
x~2z ' - 2 x ~ * z = —x 2 3
o bien
— (x _ 2 z) = —x 2 dx 3
Integrando ambos lados de esta última ecuación, tenemos -i 2 , X 2Z = — X 3 + C 9 2
de donde
6.13.
*(*) = cx 2 + - x s 9
R esu elv a —
dt
+ ;---------- 2 = 4.
10 + 2 1
Ésta es una ecuación diferencial lineal para la función desconocida Q(t). Tiene la forma de la ecuación (ó. 1) con y reemplazada por Q, x reemplazada por t, p ( t ) = 2/(10 + 2r) y q(t) = 4. El factor de integración es I( t ) =
2
r
(t > -
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5)
46
C
a p ít u l o
6
E c u a c io n e s
d i f e r e n c ia l e s l in e a l e s d e p r i m e r o r d e n
Multiplicando la ecuación diferencial por/(r), obtenemos (1 0 + 2 » ) ^ + 2 2 = 40 + dt o bien
^~[(10 + 2»)2] = 40 +
8»
8»
Integrando ambos lados de esta última ecuación, tenemos (10 + 2 r)2 = 40» + 4 »2 + c
. 40»+ 4 »2 + c C(») = — --------------10 + 2 »
de donde
6.14.
,
(t> -5 )
dO 2 R esu elv a e l problem a d e valor in icia l —— q--------------Q = 4; 0 ( 2 ) = 100.
dt
10 + 2»
La solución a esta ecuación diferencial está dada en el problema 6.13 com o
* > - * £ 5 “
•> -»
Aplicando directamente la condición inicial, tenemos 100
= g ( 2 ) = 4 0 (2 )+ _4(4) + c
10 + 2 (2) o bien c = 1304. De este modo ,
' m 6.15.
R e s u e lv a
dT
1-
4 »2 + 40» + 1 3 0 4
-------- 57TÍO—
,
( ,> - !)
k t = 1001:, d on d e k d en ota una constante.
dt Ésta es una ecuación diferencial para la función desconocida T(t). Tiene la forma de la ecuación (6.1) con y reem plazada por T, x reemplazada p o r», p(t) = k y q(t) = lOOfc. El factor de integración es l ( t ) = eSk,u = e b Multiplicando la ecuación diferencial por /(»), obtenemos eh — + keh T = \0 0 k e b dt
o bien
— (Teb ) = l0 0keb dt
Integrando ambos lados de esta última ecuación, tenemos Teb — 100eh + c de donde
6.16.
T (t) = ce~b + 100
R esu elv a y ' + x y = x y 2.
(6.4) sigue
Esta ecuación no es lineal. Sin embargo, es una ecuación diferencial de Bem oulli que tiene la forma de la ecuación con p(x) = q(x) - x y n = 2. Hacemos la sustitución sugerida por (6.5), específicamente, z = y 1 -2 = y-1 , de lo que
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P
roblem as
resuelto s
47
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación diferencial, obtenem os Z , x x — r- + — = - r Zl Z z2
o bien
z —xz = - x
Esta última ecuación es lineal. Su solución se encuentra en e l problema 6 .1 0 com o z = ce* de la ecuación diferencial original es
6.17.
1
1
Z
ce*'12 + 1
'2
+ 1 . Entonces, la solución
R e s u e lv a y ' —^ y = x * y ^ 3 .
Ésta es una ecuación diferencial de B em oulli con p ( x ) = - 3 /j c , q ( x ) = x 4 y n = | . Utilizando la ecuación (6.5), hacem os la sustitución z = y 1- ( V3) = y 2''3. D e este m odo, y = z ^ 2 y y ' = | z 1/ 2 z'. Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial, obtenem os
—z*/2 z '——Z3/ 2 = x *z^ 2 2 x
o bien
z - - z = -x i x 3
Esta última ecuación e s lineal. Su solución se encuentra en el problema 6.12 com o z = ex 2 + | x 5. D ado que z = y 2^ , la solución del problema original está implícitamente dada por y 2/3 = ex 2 + | x 5, o explícitamente por y - ± { c x 2 + | x 5) 3^2.
6.18.
D em u e str e q u e e l fa cto r d e in te g ra ció n h a lla d o e n e l p ro b lem a
6
.1 e s ta m b ién un fa cto r d e in teg ra ció n tal c o m o
s e le d e fin e e n e l c a p ítu lo 5 , e c u a c ió n (5 .7 ). La ecuación diferencial del problema 6.1 se puede volver a escribir com o
4 = dx
3,
+ 6
que tiene la forma diferencial d y = ( 3 y + 6)dx
o bien
(3 y +
6
)á x + ( - l ) 4 y = 0
(7)
M ultiplicando (7) por el factor de integración I {x) = e~3* , obtenem os (3ye_3jt + 6e~}* ) d x + { - e - 3x) d y = 0
Estableciendo
M ( x , y ) = 3ye~3x + 6 e ~ 3* dM
tenem os
ay
y
(2)
N ( x , y ) = - e ~ 3x
, _ 3x dN = 3e = —— ax
de lo cual concluim os que ( 2 ) es una ecuación diferencial exacta.
6.19. ■ E n cu en tre la fo rm a g e n e r a l d e la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 6 .7 ). M ultiplicando (6.7) por (6.2), tenem os « /* * > * y + e ¡f ,-x)d* p { x ) y = e S^ x)dxq ( x )
Puesto que
?(*><&j = eJ pWdx
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(7)
48
C a p ít u l o 6
E c u a c io n e s
d if e r e n c ia l e s l in e a l e s d e p r im e r o r d e n
se sigue que a partir de la regla de derivación del producto tenemos que el lado izquierdo de ( / ) se iguala a — De este modo, ( / ) se puede volver a escribir así ^
í\
.jg/t-MAy] = e /r(-)A ,W
(2 )
Integrando ambos lados de (2) con respecto a jc, tenemos
f í \ M ')iz¥
=f eI PWdXcl(x)dx (¿)
e¡PWiXy + C¡ = J q ( x ) d x
o bien
Finalm ente, estableciendo q je c¡ = - c y resolviendo (3) para y, obtenemos y=
e/o W *
PROBLEMAS ADICIONALES En los problem as del 6.20 al 6.49, resuelva las ecuaciones diferenciales dadas.
6.20.
tdx
6.21.
+ 5> = °
0
?dx - 5> = °
6.23.
£ + 2*, = 0 dx
y '+ 3 x 1y -- 0
6.25.
y '—x 2y = 0
0
6.27.
y '+ - y a:
6.29.
> '- - > = 0 X
631.
y ' - l y = e*
633.
y ' - 7 > = s en 2 x
6.22.
— - 0 .0 1 y = dx
6.24. 6.26.
/ - 3 x “y =
6.28.
y ‘+ - y = 0 X
£
1
632.
II
o
II
6.30.
=0
- n ,
J
6.35.
6.36.
/ = cosa:
6.37.
> '+ > = > 2
6.38.
x y '+ y = x y l
6.39.
y '+ x y = 6 x j y
6.40.
y ' + y = y 2.
6.41.
y '+ y = y~2
6.42.
y ' + y = y 2e*
6.43.
— + 50y = 0 dt
6.44.
* - ± z=o
6.45.
dN — = kN , (k = una constante) dt
*
21
h
y '+ x 2y — a:2
>v
6.34.
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P r o b l e m a s a d ic io n a l e s
R esuelva lo s siguientes problem as de valor inicial.
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A p l ic a c io n e s DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
7
FR O BLEM A S D E C R E C IM IE N T O Y D EC A IM IENTO S u p o n g a m o s q u e N (t) d en o ta la cantidad d e su stan cia (o p o b la ció n ) q u e está en crec im ien to o b ien en d ecaim ien to. S i a su m im o s q u e d N /d t, la razón d e ca m b io en e l tiem p o de esta can tidad de su stan cia, e s p rop orcion al a la cantidad d e su stan cia p resen te, en to n c e s d N /d t = kN , o bien
-d » - k N dt
= 0
(7 .1 )
d o n d e k e s la co n sta n te d e p rop orcion alid ad . (V é a n se p rob lem as 7 .1 -7 .7 .) E sta m o s a su m ien d o q u e N (t) e s una fu n ció n d erivab le, y p or lo tanto con tin u a, en e l tiem p o. Para lo s p rob lem as d e p o b la ció n , d o n d e N (t) e s realm en te d iscreta y valuada por un n ú m ero en tero, esta h ip ó tesis e s in correcta. N o o b s tante, (7 .1 ) aún p rop orcion a una buena a p roxim ación a las le y e s físic a s que gob iern an tal sistem a. (V é a se prob lem a 7 .5 .)
PR O BLEM A S DE TEM PER A TU R A L a le y d e l en fria m ien to d e N e w to n , q u e e s ig u a lm en te a p lica b le para e l ca len ta m ien to , e s ta b le c e q u e la ra zó n d e c a m b io en e l tie m p o d e la te m p e r a tu r a d e un c u e rp o e s p r o p o r c io n a l a la d ife re n c ia d e te m p e r a tu r a en tre e l cu erp o y e l m e d io q u e lo rodea. A q u í, T d en ota la tem peratura del cu erp o y Tm la tem peratura del m e d io circundante. E n ton ces, la razón d e ca m b io e n e l tiem p o d e la tem peratura d el cu erp o e s d T /d t, y la le y d e en friam ien to d e N e w to n s e p u ed e form u lar c o m o d T / d t = —k ( T —Tm), o c o m o
— + k T = kTm dt m
(7 .2 )
d o n d e k e s una co n sta n te de p rop orcion alid ad p o s itiv a . U n a v e z q u e k se e s c o g e p o sitiv a se req u iere e l sig n o m en o s e n la le y d e N e w to n para h acer q u e d T /d t se a n egativa e n un p ro ceso d e en friam ien to, cu an d o T e s m ayor q u e Tm. y p o sitiv a en un p r o c e so d e calen tam ien to, cu an d o T e s m en or q u e Tm (v éa n se p rob lem as 7 .8 -7 .1 0 ). •
PR O BLEM A S DE C AÍDA DE C U ER PO S C o n sid é r e se un cu erp o de m a sa m q u e c a e v ertica lm e n te y q u e s ó lo está s ie n d o in flu id o p or la graved ad g y una resisten cia d el aire q u e e s p rop orcion al a la v e lo cid a d d el cu erp o. A sú m a se q u e tanto la gravedad c o m o la m asa per m a n ecen co n sta n tes y, por co n v en ien cia , e s c ó ja s e la d irecció n d esc en d e n te c o m o p ositiva.
50
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P ro blem as
d e c a íd a d e c u e r p o s
51
S e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e S e w to n : L a fu e rz a n eta q u e actú a sobre un cu erp o e s ig u a l a la razón d e ca m b io d e l m om en to d e l c u e rp o re sp e c to a l tiem p o ; o bien, p a r a una m asa con stan te
(7.3) d o n d e F e s la fu e r z a n eta so b re e l c u e rp o y v la v e lo c id a d d e l cu erpo, a m b a s en e l tiem p o t. Para el problem a que n os ocupa, existen d os fuerzas que actúan sobre e l cuerpo: 1) la fuerza debida a la gravedad dada por e l p eso w del cuerpo, que se igu ala a m g, y 2 ) la fuerza debida a la resisten cia d el aire dada por - k v , donde k > 0 e s una con stan te de proporcionalidad. S e n ecesita e l sig n o m en os porque esta fuerza se op on e a la velocidad; e s decir, actúa en la dirección ascen dente, o negativa (véase figura 7 -1). La fuerza neta F sobre el cuerpo es, por lo tanto, F = m g - k v . S u stituyendo este resultado en (7 .3 ), ob tenem os , dv m g — kv = m — dt
o bien
(7 .4 )
c o m o la ecu a ció n d e m ov im ien to para e l cuerpo. S i la resisten cia d el aire e s d esp reciab le o no existe, en tonces k = 0 y (7 .4 ) se sim p lifica a dv — = g
(7 .5 )
(V éa se problem a 7 .1 1 .) C uando k > 0, la velocid ad lím ite v( está definida por
(7 .6 )
Cuerpo que cae
V
mg V0 gal
Suelo
/g al/m in
Dirección x positiva
Figura 7-1
Figura 7-2
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52
C a p ít u l o 7
A
p l ic a c io n e s d e l a s e c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s o e p r im e r o r d e n
A d verten cia : Las ecu a cion es (7 .4 ), (7 .5 ) y (7 .6 ) só lo son válidas si se satisfacen las con d icion es dadas. Estas ecu a cio n es no son válidas si, por ejem plo, la resistencia del aire no e s proporcional a la velocidad sin o al cuadrado d e la velocidad, o si la dirección ascendente se tom a com o positiva. (V éan se los problem as 7 .1 4 y 7 .1 5 .)
PROBLEMAS DE DISOLUCIÓN C on sid érese un tanque qué inicialm ente con tien e Vogal de salmuera que con tien e a Ib de sal. Otra solu ción de sal m uera, que contiene b Ib de sal por galón, se vierte en el tanque a una tasa o ritmo de e gal/m in en tanto que, fim u ltáneam ente, la solu ción bien agitada abandona el tanque a un ritmo d e /g a l/m in (figura 7 -2). El problem a e s en con trar la cantidad de sal en e l tanque en cualquier tiem po t. A q u í, Q denota la cantidad (en libras) de sal que se encuentra en e l tanque en cualquier tiem po t. La razón o tasa de cam bio de Q respecto al tiem po, d Q /d t, se iguala al ritmo al cual la sal ingresa al tanque m en os el ritmo al cual la sal deja e l tanque. La sal entra al tanque a un ritmo de b e lb/m in. Para determ inar e l ritm o al cual la sal abandona el tanque, primero ca lcu lam os e l volu m en de salm uera en e l tanque en un tiem po t determ inado, que es el volum en inicial V0 m ás el volum en de salm uera e l agregado m enos e l volum en de salm uera f t extraído. A sí, e l volum en de salm uera en cualquier tiem po es V0 + e t - f t
(7.7)
L a concentración de sal en el tanque en un m om ento dado es Q /(V0 + e t - f t) , de lo que se desprende que la sal sale d el tanque a una tasa de
/
dQ D e este m odo,
o bien
lb/m in V0 + et - f t
= b e —f V0 + e t - f t
dt
dQ dt
f
Q = be
' V0 + ( e - f ) t
(7.8)
(V éan se problem as 7 .1 6 -7 .1 8 .)
CIRCUITOS ELÉCTRICOS L a ecuación básica que gobierna la cantidad de corriente I (en am perios) en un circuito RL sim p le (figura 7-3 ) co n sistente en una resistencia R (en oh m ios), un inductor L (en henrios) y una fuerza electrom otriz (abreviado fem ) E (en v oltios) es
7d t +7/ L =7 L
(79)
Para un circuito RC con sistente en una resistencia, una capacitancia C (en faradios), una fem , y sin inductancia (figu ra 7 -4 ), la ecuación que gobierna la cantidad de carga eléctrica q (en cu lom b ios) sobre el capacitor es
^■ + — q = ~ dt RC R
(7 .1 0 )
/ = — dt
(7-11)
L a relación entre q e l e s
(V éa n se problem as 7 .1 9 -7 .2 2 .) Para circuitos m ás com p lejos, véase e l capítulo 14.
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P
roblem as
resuelto s
53
I F igu ra 7-4
T R A Y E C T O R IA S O R T O G O N A L E S C o n sid é r e se una fa m ilia d e cu rvas d e un parám etro e n e l p la n o x -y d e fin id a por F (x ,y ,c ) = 0
( 7 .7 2 )
d o n d e c in d ic a e l p arám etro. E l p ro b lem a c o n sis te en en con trar otra fa m ilia d e cu rvas d e un p arám etro, lla m a d a s las tr a y e c to r ia s o r to g o n a le s d e la fa m ilia ( 7 .7 2 ) y d ad as a n a lítica m en te por G (x , y , k ) = 0
(7 .7 5 )
d e m o d o tal q u e c a d a cu rv a d e esta n u ev a fa m ilia ( 7 .7 5 ) in te rsecte e n á n g u lo s re c to s a ca d a cu rva d e la fa m ilia o r ig i n al ( 7 .7 2 ). P rim ero d e r iv a m o s im p líc ita m e n te ( 7 .7 2 ) c o n r e sp e c to a x , lu e g o e lim in a m o s c en tre e s ta e c u a c ió n derivad a y (7 .7 2 ). E sto da u n a e c u a c ió n q u e c o n e c ta x , y y y \ la c u a l r e s o lv e m o s para y ' para ob ten er una e c u a c ió n d ife ren cia l d e la fo rm a
dx
= /( * .> )
{ 7 .1 4 )
L a s tra y ecto ria s o r to g o n a le s d e ( 7 .7 2 ) s o n la s s o lu c io n e s de dy _
1
d x ~ ~ f ( x ,y )
( 7 .7 5 )
( V é a n s e p ro b lem a s 7 .2 3 - 7 .2 5 .) Para m u c h a s fa m ilia s d e cu rv a s, n o s e p u ed e re so lv e r e x p líc ita m e n te para d y ld x y ob ten er u n a e c u a c ió n d ife ren cia l d e la fo rm a (7 .7 4 ). N o s e co n sid e r a n ta le s cu rv a s en e s t e lib ro.
P R O B L E M A S R E SU E L T O S 7 .1 .
U n a p erso n a d e p o sita $ 2 0 0 0 0 e n una cu en ta d e ah orro q u e p aga 5 p o r c ie n to d e in te rés an u al, c o m p u e sto en fo rm a co n tin u a . E n cu en tre a ) la ca n tid a d en la c u en ta lu e g o d e tres a ñ o s, y b ) e l tie m p o req u erid o para q u e la c u e n ta d u p liq u e su valor, a su m ie n d o q u e n o h a y retiros ni d e p ó s ito s a d ic io n a le s. Aquí, N (t) indica e l balance en la cuenta en cualquier tiem po t. Inicialm ernte, N (0) = 20 000. El balance de la . cuenta crece por m edio de los pagos de intereses, que son proporcionales a la cantidad de dinero en la cuenta. La con s tante de proporcionalidad es la tasa de interés. En este caso, k - 0.05 y la ecuación (7.7) se convierte en — -0 .0 5 N = 0 dt Esta ecuación diferencial es tanto lineal com o separable. Su solución es N ( t) = ce 0 05'
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(7)
54
C
a p ít u l o
7
A
p l ic a c i o n e s d e l a s e c u a c i o n e s d if e r e n c ia l e s d e p r i m e r o r d e n
En r = 0, N(0) = 20 000, que cuando se sustituye en (1) da 20 0 00
= ce 0 05(0) = c
Con este valor de c, (1) se convierte en N (t) = 20 OOOe005'
(2)
La ecuación (2) da el balance en dólares de la cuenta en un determinado tiempo t. a)
Sustituyendo r = 3 en (2), encontramos que el balance luego de tres años es N ( 3) = 20 000e° °5<3) = 20 000(1. 161834) = $23 236.68
b)
Buscamos el tiempo t en el que e l balance sea N (t) = $40 000. Sustituyendo estos valores en (2) y resolviendo para t, obtenemos 40 000 = 20 000e° 051 2
= e 0 05'
ln|2| = 0.05r r = — ln|2| = 13.86 años 0.05 1 1 7 .2 .
U n a p ersona d ep o sita $5 0 0 0 e n una cu en ta que acum ula interés co m p u e sto de m anera con tinu a. A su m ien d o q u e n o hay ex tra ccio n es n i d e p ó sito s a d icio n a les, ¿cuánto habrá en la cu en ta d esp u és de sie te añ os si la tasa d e in terés es d e l 8 .5 por cien to co n sta n te durante lo s prim eros cuatro añ os y d e l 9 .2 5 p or cie n to con stan te lo s tres años sig u ien tes? Aquí, N(t) denota el balance de la cuenta en un tiempo t. Inicialmente, N(0) = 5 000. Para los primeros cuatro años, k = 0.085 y la ecuación (7.7) se convierte en — - 0 .0 8 5 V = 0 dt Su solución es N (t) = ceo m '
(0 < r < 4 )
(/)
En t = 0, N{0) = 5000, lo cual cuando se sustituye en (7) da 5 0 0 0 = ce 0 085(0) = c y (7) se convierte en N ( r ) = 5 0 0 0 e ° 085'
( 2)
(0 < f < 4 )
Sustituyendo t = 4 en (2), encontramos que el balance luego de cuatro años es N ( t) = 5 000e° 085(4) = 5 000(1.404948) = $7 024.74 Esta cantidad también representa el balance para el com ienzo del periodo de los últimos tres años. En los tres últimos años, la tasa de interés es de 9.25 por ciento y (7.7) se convierte en d/V
- 0 .0 9 2 5 IV = 0
(4 < r < 7 )
dt Su solución es 7V(r) = cea m 5 t
(4 < í< 7 )
(3)
Para t = 4 , 7V(4) = $7 024.74, que al ser sustituido en (3) da 7 024.74 = cea0W3<4) = c(l .447735)
o bien
c = 4 852.23
y (3) se convierte en 7Vr(r) = 4 852.23e
(4 < t < 7)
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(4 )
P
ro blem as resuelto s
55
Sustituyendo í = 7 en (4), encontramos que el balance después de siete años es N ( l ) = 4 8 5 2.23e00925(7> = 4 852.23(1.910758) = $9271.44
7.3.
¿ Q u é tasa d e interés con stan te se requiere si e l d ep ó sito in icia l c o lo c a d o en una cu en ta q u e acum ula interés co m p u esto co n tin u a m en te d eb e d u p licar su valor en se is añ os? El balance N(t) en la cuenta en cualquier tiempo t está gobernado por (7.1) dN - — kN = 0 dt que tiene com o solución N (t) = ce1“
(I)
N o nos dan una cantidad por el depósito inicial, de modo que lo indicamos com o iV0. En t = 0, N(0) = N0, que cuando se sustituye en (1) da N0 = ce*(0> = c y (1) se convierte en
N(f) = A'0e*'
(2)
Buscamos el valor de k para el cual N = 2N0 cuando r = 6 . Sustituyendo estos valores en (2) y resolviendo para k, encon tramos que 2N 0 = N 0ekm e6k = 2 6*
= ln | 2 |
* = i l n |2 | = 0 .1 l5 5
6
Se requiere una tasa de interés del 11.55 por ciento.
7.4.
S e sa b e qu e un cu ltiv o d e b acterias crec e a un ritm o p rop orcion al a la can tidad p resen te. D esp u é s de una hora, se ob servan en e l c u ltiv o 1 0 0 0
co lo n ia s; y lu e g o d e tres horas, 3 0 0 0
c o lo n ia s. E ncuentre a.)una ex p resió n
para e l n ú m ero ap ro xim ad o d e c o lo n ia s d e b acterias p resen tes en e l c u ltiv o en un tiem p o t y b) e l núm ero ap roxim ado de c o lo n ia s d e bacterias q u e había origin alm en te en e l cu ltiv o . a)
Aquí, N(t) indica el número de colonias de bacterias en el cultivo en un tiempo t. D e (6.1), dN /dt - kN = 0, que es tanto lineal com o separable, su solución es N (t) = ceh
W
En f = 1, N = 1 000; de aquí 1000
= ce*
(2 )
En / = 4, N = 3 000; de aquí 3000 = ce4*
(3 )
Resolviendo (2) y (3) para k y c, encontramos que * = —ln 3 = 0.366 3
y
c = 1 OOOe“036* = 694
Sustituyendo estos valores de k y c en (1), obtenemos N ( 0 = 694e0 366' como la expresión para la cantidad de bacterias presentes en cualquier tiempo t. b)
Requerimos N en t = 0. Sustituyendo t = 0 en (4), obtenemos N (0) = 6 9 4 e
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.< - « » f r - f t « 2.0(1.6299149) 5.7798739, M 3xj 3(2.0/ Vi»»« U ubi» 20-6. TabU 20-6 M é to d o ; M É T O D O D E A D A M S -B A S H F O R T H -M O L ’LTO N P r o b le m a : 3 4 * /" - x f * > - 0 : >< 1 ) - 4 . / ( 1 ) * 2 S o lución verdader»
h m 0 .2
»X») » » ♦ 3jtv>
** X»
•4«
__ _
4 .0 0 0 0 0 0 0
2 .0 00 0 0 00
4 00 0 0 0 0 0
4 .3 8 7 3 7 1 5
1.8855447
4 .3 873757
1.4
_
47560600
1.7990579
4.7560668
1.6
—
5 .1 0 8 8 1 2 3
1 73 0 9 9 8 0
5.1088213
P>» 10 1.2
m—
1.8
5 .4 4 9 0 2 6 0
1.6767876
5 .4 4 9 3 9 8 2
1.6757705
54493212
2.0
5.7 7 9 6 7 9 3
1.6303746
5.7 7 9 8 7 3 9
1 6299149
5.7797632
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206
C a p itu lo 2 0
M é t o o o s n u m é r i c o s p a r a r e s o l v e r e c u a c io n e s d i f e r e n c i a l e s d e s e g u n d o o r d e n
2 0 .1 1 . U tilice el m étod o de A d am s-B ashforth -M ou lton para resolver y* - y - .r. y<0) = 0 . y '(0 ) = 1 en el intervalo [0 . 1) con h = 0 .1. Del problema 20.1 tenemos f ( x . y. ; ) = : y /?(*. y. I) = y 4- x y de la tabla20-3 que
*o = °
>o = 0
=o= 1
X| - o .l
y, = 0.1003333
r, = 1.0100083
Xj
o.2
y , = 0.2026717
z2 = 1.0401335
jt} = 0.3
y 3 = 0.3090401
z , = 1.0906769
Usando (20.6) calculamos = So = 1
v; =
yf = i) = 1 .0 1 0 0 0 8 3
I2 = 1.0401335
y, =
IJ =
1.0906769
4 = . vo + * o = o + o = o = y, r J , = 0.1003333 - 0.1 = 0.2003333 = Vj - .rj = 0 .2 0 2 6 717 4- 0 .2 = 0 .4 0 2 6 7 17 = y} 4- x- = 0.30904014- 0 .3 = 0.6090401
PROBLEMAS RESUELTOS Continuando de esta m anera generamos la tabla 20T abla 20-7 M étodo: M É T O D O DE A D A M S -B A S H F O R T H -M O l LTOS P roblem a:
" - y = jc: y(0 ) = 0 . y '( 0 ) = 1
h-.= 0.1 PZ*
y.
0 .0
—
—
0 .0 0 0 0 0 0 0
1.0000000
0.0000000
0 .1
—
—
0.1003333
1.0100083
0.1003335
—
—
0.2023717
1.0401335
0.2026720
1.0906769
0.3090406
0 .2
2 0 .1 2 .
Solución v erdadera Y
py*
0 .3
—
—
0.3090401
0 .4
0 .4 2 1 4 9 7 0
1.1621432
0.4 2 1 5 0 4 6
1.1621445
0.4215047
0 .5
0 .5 4 2 1 8 3 2
1.2552496
0 .5 4 2 1 9 1 0
1.2552516
0.5421906
0 .6
0 .6 7 3 3 0 0 0
1.3709273
0 .6 7 3 3 0 8 0
1.3709301
0.6733072
0 .7
0 .8 1 7 1 6 0 4
1.5103342
0 .8 1 7 1 6 8 7
1.5103378
0.8171674
0 .8
0 .9 7 6 2 0 5 0
1.6748654
0.9 7 6 2 1 3 8
1.6748699
0.9762120
0 .9
1.1530265
1.8661677
1.1530358
1.8661731
1.1530335
1 .0
1.3503954
2.0861557
1.3504053
2.0861620
1.3504024
F orm ule e l m éto d o d e A d am s-B ash forth -M ou lton para el sistem a (2 0 .2 ).
é t o d o s n u m é r i c o s p a r a r e s o l v e r e c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s
y ,* , = y„ , +
correctores:
DE SEGUNDO ORDEN
+ 4y¡] + y ' . , ) h
* .* 1 = Z . . , + 3 < P ^ - l + 4 ^ + l á - | )
2 0 .1 4 .
U tilíc e el m éto d o de M iln e para resolver y " - y = x\ v (0 ) = 0 , y ' ( 0 ) = 1 en e l intervalo [0. 1] con A = 0.1 Todos los valores de inicio y sus derivadas son idénticas a las dadas en el problema 20.11. Usando las fórmulas dadas en el problema 2 0 .13. calculamos
n * 3:
P>'a = yo + 2 v J “ >2 + 2>í > _ 0 x ü y i í '2 (1 .0 9 0 6 7 6 9 )-1 .0 4 0 1 3 3 5 + 2(1.0100083)] = 0 .4 2 1 4 9 8 3
P r o b l e m a s a d ic io n a le s pz< = p y , - < - x , = 0.5421838 - 0.5 = 1.0421838
y» = >}
~(P >í ~ 4 y i * > í)
= 0.3090401 - y
1.2552500 - 4(1.1621445)+1.0906769'
= 0.5421903
Jj = z , ~ ^ ( p z ' f - * - 4 ^ - ; ' ) = 1.0906769 + y
1.0421838 - 4(0.8215045) - 0.6090401;
= 1.2552517 Continuando de esta manera generamos la tabla 20-8.
Tabla 20-8 M étodo: MÉTODO DE MILNE P roblem a: v" - y = x: >(0) = 0. y'(0) = 1 h = 0.1 xn P>«
y.
»*/!
Solución verdadera Yfx) = e, - e " - x
0 .0
—
—
0.0000000
1.0000000
0.0000000
0.1
—
—
0.1003333
1.0100083
0.1003335
0 .2
—
—
0.2026717
1.0401335
0.2026720
0.3
—
—
0.3090401
1.0906769
0.3090406
0.4
0.4214983
1.1621433
0.4215045
1.1621445
0.4215047
0.5
0.5421838
1.2552500
0.5421903
1.2552517
0.5421906
0 .6
0.6733000
1.3709276
0.6733071
1.3709300
0.6733072
0.7
0.8171597
1.5103347
0.8171671
1.5103376
0.8171674
0.8
0.9762043
1.6748655
0.9762120
1.6748693
0.9762120
0.9
1.1530250
1.8661678
1.1530332
1.8661723
1.1530335
1.0
1.3503938
2.0861552
1.3504024
2.0861606
1.3504024
PR O BLEM A S AD ICIO N ALES 20.15.Reduzca el problema de valor inicial y‘' + y = 0: y(0) — 1. y'(0) = 0 al sistema (-(' /> 20.16.
Reduzca el problema de valor inicial y'— y =
20.17.
Reduzca el problema de valor inicial Zyy" - ix y '-y ' -*• 2(sen a)y* = 6: ><1) = 0. y 'f l) = 15 al
20.18.
Reduzca el problema de valor inicial
xí
}i0) = 0. y (0) = —I al sistema t . f t /'■ sistema (20.I ).
- J t V + - L v '(0 ) = 2. v*(0) = 3 alsistema (20.71
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jo "
209
210
C a p ítu lo
2 0 .1 9 .
20
M é to d o s n u m é r ic o s p a r a r e s o l v e r e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e s e g u n d o o rd e n
U tilice el m étodo de Euler con 6 = 0.1 para resolver el problema de valor inicial dado en el problema 20.15 en el tntenj. lo [0. 1).
2 0.20.
U tilice el m étodo de Euler con h = 0.1 para resolver el problema de valor inicial dado en el problema 20.16 en el intern-
20 .2 1 .
U tilice el m étodo de Runge-Kutta con h = 0.1 para resolver el problem a de valor inicial dado en el problema 20.15 en el
20.22.
U tilice el m étodo de Runge-Kutta con h = 0.1 para resolver el problem a de valor inicial dado en el problema 20.16 en el
lo [0. 1).
intervalo [0, 1].
intervalo |0 , 1120.23.
U tilice el m étodo de A dam s-Bashforth-M oulton con 6 = 0.1 para resolver el problem a de valor inicial dado en el proble ma 20.2 en el intervalo [0. 1]. O btenga adecuados valores in iciales de la tabla 2 0-4.
20.24.
U tilice el m étodo de A dam s-Bashforth-M oulton con 6 = 0.1 para resolver el problem a de valor inicial dado en el proble ma 20.15 en el intervalo 10, 1].
20.25
U tilice el m étodo de A dam s-Bashforth-M oulton con h = 0.1 para resolver el problem a d e valor inicial d a d o en el proble. ma 2 0.16 en el intervalo [0. 1].
20.26.
U tilice el m étodo de M ilne con h - 0.1 para resolver el problem a de valor inicial dado en el problema 20.2 en el interva
20.27.
U tilice el m étodo de M ilne con h = 0 . 1 para resolver el problem a de valor inicial dado en el problema 20.15 en el inter
lo [0 .1 ]. Obtenga adecuados valores in iciales de la tabla 20-4.
valo 10. 1J. 20.28.
Formule el m étodo m odificado de Euler para el sistem a ( 2 0 .1).
20.29.
Formule el m étodo de Runge-Kutta para el sistem a (20.2).
20 JO.
Formule el m étodo de M ilne para el sistem a (20.2).
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La
t r a n sfo r m a d a
de
L a pl a c e
21
D EFIN IC IÓ N Establezcam osfi.x) Para 0 < x < 0 0 y s denotando una variable real arbitraria. La transformada d e ÍMplace d ef(x ), designada o bien por % { / ( * ) } o bien F(s), es
{ / ( * ) } = F (s) = f >
“ f(x )d x
(2U )
para todos lo s valores de s para lo s cu ales la integral im propia converja. La convergencia ocurre cuando el límite
lím f
e~u f ( x ) d x
(21.2)
existe. Si este lím ite no ex iste, la integral im propia diverge y J{x) no tiene transformada de Laplace. Cuando se evalúa la integral en la ecu ación ( 2 1.1), la variable r se trata com o una constante porque la integración es con respecto a x. Las transformadas de L aplace para un núm ero de fu n cion es elem en tales se calculan en los problemas del 21.4 al 21.8; y en el apéndice A se dan transformadas adicionales.
PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE LA PLA C E P ro pieda d 21.1
( U n e a l i d a d .)
S i < £ { /( * ) } = F (s ) y 2 { « ( * ) } = G W .
e n to n c e s
para cualquiera de las dos cons
tantes c t y c 2 2 ( c , / ( x ) + c2g (x )} = 0 , 2 { / ( x ) } + c 2¿£ { « ( x )} = c , F ( í ) + e2G(s>
Pro p ied ad 21.2.
(2 7 J )
Si '& { / ( * ) } = F (s ). en tonces para cualquier constante a 2 { e axA x ) } = F ( s - a )
Pro piedad 21.3.
S i X { / ( * ) } = F (s ). entonces para cualquier número entero positivo n
¡ £ { x nf ( x ) } = ( - \ ) n ~ 2 { n s ) }
Pro piedad 21.4.
S i 2 { / ( * ) } = F ( i) y si l í m ^
existe, entonces
*> 0
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211
212
C a p í t u l o 21
L a t r a n s f o r m a d a d e L a p la c e
< e j i/( x ) | = f'F U )d t
P r o p i e d a d 21.5.
(21.6)
Si ¿ £ { / ( x ) } = F(s). entonces
(21.7) P ro p i e d a d 21.6.
Si f t x ) es periódica con periodo co. es decir, f ( x - ( ú ) = f { x ) . entonces f " V “ /(x )d x Jo 2 { /< * ) } = = 1- e
(21.8)
F U N C IO N E S D E O T R A S V A R IA B L E S IN D E P E N D IE N T E S Para consistencia solam ente, la definición de la transformada de Laplace y su s propiedades, las ecuaciones (21.1) y (21.8) se presentan para funciones de x. E llas son igualm ente aplicables para fun cion es de cualquier variable inde pendiente y se generan reem plazando la variable x en las ecu acion es anteriores por cualquier variable de interés. En particular, la contraparte de la ecuación (21.1 ) para la transformada de Laplace de una función t es
2 {/(» )} = f ( * ) = f V ”f(t)dt
P R O B L E M A S R ESUELTO S
21.1.
/» K 1 Determine si la integral im propia / — d x converge. x Dado que
lím r " — dx = lím f——| =lítn K— J 2 x '-
» -* 4
xjjj
* -4
K
+
2)
2
la integral impropia converge al valor de
21.2.
Determine si la integral im propia f J
9
i dx converge. x
Dado que
lím f i d x = lím ln x = lím (InR - ht9) = * - « J* x » K~ « la integral impropia diverge.
21-3.
Determine aquellos valores de s para los cuales la integral
f
J o
e~ “ dx converge.
Para s = 0. n - “dx = f~e-<0*"dx = lím f \l) < ¿ * = lím x. = lim R =
Jo
Jo
a - « Jo
*—•. lo
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* -»
P r o b l em a s r e s u e l t o s
213
de aquí que la integral diverge. Para s * 0, *
I e~a dx - lira f f "dx = lím Jo a—»Jo a—»
.¿H~ *
u\xr,0
~ a™ cuando j < 0 . - s R > 0; de aquí el límite es » y la integral diverge. Cuando r > 0 , ~sR < 0; de'aquí. el límite es 1/j y la integral converge. .4.
E ncuentre la tra n s fo rm a d a d e Laplace d e / ( . t ) = 1 .
Usando la ecuación (21.1) y los resultados del problema 21.3, tenemos F(r) = í£ { l} =
e~"(l)dx = -
(p a r a r > 0 )
(Véase también la entrada 1 en el apéndice A.) .5.
E ncuentre la tra n s fo rm a d a de Laplace d e f l x ) = x 2.
Usando la ecuación (21.1) y dos veces la integración por partes, encontramos F ( r ) = < e {*J} = / J W
e
= lím
d r = Um f * x 2* - a d x
2*
.-u
^
. - í
— T*
xmO
.. i = lím *— Para s < 0, límR_
R s
e
2R 2 - ~ r e " — re s1 s3
2 + -r i I
\ - ( R 2/ s ) e ~ ,R! = oo. y la integral impropia diverge. Para s > 0, del repetido uso de la regla de LHópital.
tenemos que
=,^¡7^)=0 -2 R lím
R-m
se*
= lím *-cc
aV*) °
También, Um„^„ [ - ( 2 / r 3 )e'** ] = 0 directamente; por esto, la integral converge, y F(s) = 2/ s i Para los casos especiales de i = 0. tenemos f V “ xJ d x = l"°e~m x 2dx = Um f V d i = Um - ~ = oo
Jo
Jo
*—« i
* - « ,J o
Finalmente, combinando todos los casos, obtenemos í f { x Jj = 2 / i s , í > 0 . 21 .6 .
(V éase
también la entrada 3 del apéndice
E n c u e n tre 2 j e “ }.
Usando la ecuación (21.1) obtenemos F (r)= 2 (e “ }=
— lírn = um R~+m ^-*09 ° - s L o 1 (para r > a ) r —o
. lím
- 1
a -s
O bsérvese que cuando J < o. la integral im propia diverge. (V éase tam bién la entrada 7 del apéndice A.>
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214
C a p itu lo
21
L a t r a n s f o r m a d a d e L a p la c e
2 1 .7 V E ncu en tre Í 6 { s c n a t } . Usando la ecuación (21.1) y dos veces la integración por partes, obtenemos
££{sena*} = f 1 ‘ Jo
e~“ sena.r¿* =
=- lím
— lím
lím f r-^ Jo
- s e “ sena*
ae"“ co sa * l
- s e sR sen ai? - » i
:-r rx‘ + a ‘
e~” sa¡ axdx
ae lR eos aR a n . V * -»
(para I > 0)
(Véase también la entrada 8 del apéndice A.)
21.8.
2 { /( * ) } = J V
x<2
3
jr> 2
“ /(* )d * = J V * V d * + / V
p2
=
i
Jo
,
ei
)xdx + 3 lím
“ ( 3 ) « i*
nR
f
R—v>J 2
e 2(|- ' ) 1 3 ., r = --------------------— tim e 1 -r 1 -r s
21.9.
e1 Encuentre la transform ada d e L ap lace de f ( x ) =
t
e~a dx = --------i —s
„
—
|X-- a
lím e- “ |
j* -.
'*• 2
*, _2j1 l - e - « " » 3 - e 2 = -------------------1— e 1 s —1 r
Encuentre la transform ada d e L ap lace de la fu n ción graficad a en la figura 2 1 -1 . í-1 m =
1
x<4 jc>
4
m
1 2
3
4
_i___ I_____ i 5 6 7
-i
www.FreeLibros.me Figura 21-1
i__ L. 9
8
, n, (p a ra j> 0 )
P roblem as
^ { /(* > } =
resueltos
215
= / o‘ « - ” ( - l ) ¿ r + / 4V “ (1) dx l - f lím x -0
= í_ !l_ I+ 5
5
e~a d x
f
K -» J 4
[— e~ *' -f.1^ -4»
Km / í —*so [
Z i - 4' i , = -------------- (para i j
í
5
5
> 0)
21.10. Encuentre la transformada de Laplace de f ( x ) = 3 + 2 * 2. Usando la propiedad 21.1 con los resultados de los problemas 21.4 y 21.5, o de manera alternativa, las entradas I y 3 (n = 3) del apéndice A. tenemos
F (j) = 2 { 3 + 2 x 2} = 3 2 { 1 } + 2 2 { * J}
21.11. Encuentre la transformada de Laplace de f ( x ) = 5 sen 3 x - \ 7 e ~ 2x. Usandola propiedad 21.1 con los resultados de los problemas 21.6 (a = -2 ) y 21.7 (a = 3), o de manera alternativa. las entradas 7 y 8 del apéndice A. tenemos
F(s) = 2 {5 sen 3jc - H e"2' } = 5 2 {sen 3a} - 1 7 2 { e '2* } _ 1 ___ | _
1 5 ___ 17_ s+ 2
= 5l 7 T o ? ' - 17 r—(—2) J j 2 + 9
21.12.
Encuentre la transformada de Laplace de f ( x ) = 2 s e n .r + 3 c o s 2 x Usando la propiedad 21.1 con las entradas 8 (a = 1) y 9 (o = 2) del apéndice A. tenemos F(s) = 2 {2 sen x + 3cos2*} = 2 2 {sen jr} + 3 2 {eos 2a} ;
21.13.
1 13 1 -___ 2 - + - J Í í2+ l j2+ 4 r2 + l í 2 + 4
Encuentre la transformada de Laplace de f { x ) = 2 x 2 — 3x + 4. U sando la propiedad 21.1 repetidam ente con las entradas 1 .2 y 3 (n - 3) del apéndice A. tenemos
F (s) = ¡ e {2je2 - 3x + 4 } = 2¡£ { j r } - 3¿£{*} + 4¿e{l}
21.14.
Encuentre 5£{.re4 i } .
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Este problem a se puede hacer de tres maneras.
216
C a p it u l o 21
a)
L a t r a n s f o r m a d a d e L a p la c e
U sando la en trad a 14 del ap én d ice A co n n = 2 y a = 4. d irectam en te te n e m o s que
t f / « 4* } - -----!— 5*
b)
1
(l-4 )2
E stablecem os f ( x ) = Jt. U sando la p ropiedad 21.2 con a = 4 y la e n tra d a 2 d el a p é n d ic e A, te n e m o s
F (í)-2 { /M } = íe { * } 4 S
c)
Establecem os / ( a ) = e 4*- U san d o la p ro p ie d a d 2 1 .3 co n n - 1 y lo s re s u lta d o s d e l p ro b le m a 2 1 .6 , alternativa, la entrada 7 del apéndice A co n a - 4, e n co n tra m o s q u e
o de
m anera
f ( r ) = £ { / ( * ) } =
'
d s\s-i)
(r —4 )
21.15. Encuentre 5 í{ < T J * s c n 5 x } . Este problema se puede hacer de dos maneras. i)
Usando la entrada 15 del apéndice A con b = —2 y a - 5, directamente tenemos que
{e~u sen 5 x }
’ b)
------------
5______
[ a - ( - 2 ) f + (5)J
( i + 2 ) 2 + 25
Establecem os^) = sen Sx. Usando la propiedad 21.2 con a = - 2 y los resultados del problema 21.7, o de manera alternativa, la entrada 8 del apéndice A con a = 5, tenemos f(r ) = 2 { / ( a ) } = ^ { se n 5 a } = s +25
2 { e ' J* sen 5 a } = F(s - ( - 2 ) ) = F ( , + 2 )
--------- 1 --------
(s + 2)*+25 21.16. Encuentre 2 { j : c o s i / 7 x } . Este problema se puede hacer de dos maneras. -)
Usando la entrada 13 del apéndice A con
2 { ,c o s V ? ,} - - í L
tenernos'"" '' ^
lÍ
^ I L = _ £ lz L
U“ ndo la ProP'«dad 21.3 con n - 1 y la entrada 9 del apéndice A con a = s/7.
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P ro b le m a s r e s u e lto s
217
X l x c o s j l x ) = - Í - ( t Í - ) = X - '- 1 '
'
t is l j* + 7
J
(r2 + 7)2
2 1 .17. E ncuentre # { < • J c o s 2 . t } . Tomamos /(■*) = * c o s 2x. D e la entrada 13 del apéndice A con a = 2, obtenemos n \ = ■s1 - * F(s) (r2 + 4 ) 2 Luego, de la propiedad 21.2 con a = - I , í£ {« -'.* eos 2 *} = F ( í + 1 ) = - - - + 1 ) 2 - 4 [(•J + 1)2 + 4]
21.18 .
Encuentre i f { x 7 /: } . Definimos f ( x ) = -Jx. Entonces x v l = x i J x = x ' f ( x ) y de la entrada 4 del apéndice A, obtenemos F ( í) = X { / ( * ) } = £ « {V I} = Luego, de la propiedad 21.3 con n = 3. tenem os que
que concuerda con la entrada 6 del apéndice A para n = 4.
21.19.
Encuentre X
sen 3x1
1
x
J‘
Tomando f ( x ) = sen 3r, encontramos, de la entrada 8 del apéndice A con a = 3. que
ob ien
F ( ,) “ 7 T 9
Entonces, usando la propiedad 21.4, obtenemos
f : lim arctan — /t-.® 31, :
lim j
— ir 2
2 1 .2 0 .
E n c u e n tre
arctan ^ - arctan 3
í)
a re la n -* 3
s e n ü íd f j .
Tom ando / ( , ) = «n h 2r. tenem os / < * ) « s e n b 2 * De aquí se desprende, de te entrada 10 del apétxbce A con a = 2 que F ( s ) = 2 / ( j J - 4 ) , y luego, de la propiedad 21.S que
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218
C
a p it u l o
21
La
transfo rm ada de
L aplace
a { / ; senh2Trfí} = i ( ? ^ ) = s( s - 4 )
21 .2 1 .
D em uestre que si f ( x + (ú) = —f ( x ) , en tonces [ a r a f{x)dx
Dado que / ( * + 2(0) = f [ ( x + a » + e>¡ =
f ( x + o}) = - [ - / ( X ) ] = f ( x )
fix) es periódica con periodo 2ta. Luego, usando la propiedad 21.6 con a) reemplazada por 2
r e - ” X x ) d x + f 2ae - « f ( x ) d x
Sustituyendo y = x - (o en la segunda integral, encontramos que f 2% - ” / ( x ) d x = f \ ~ « y ^ f ( y + co)dy = e - > / V ” [ - / ( » ] dy
La última integral, al cambiar la variable muda de integración para regresar a x, se iguala a
De este modo.
l - e ~ 2m = o - * - “•)f ° e - u f ( x ) d x _ J V ( l - e - ~ K l + e - - ')
"
“ /< x > k
l + e">
/«
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P ro b le m a s r e s u e lto s 2 1 .22 .
219
E ncuentre ¿f: { / ( * ) } para la on d a cuadrada m ostrada en la figura 21-2. Este problema se puede hacer de dos maneras. a)
Obsérvese q u e / « es periódica con periodo cu = 2 y en el intervalo 0 < * < 2 se puede defirnr analíticamente por f(x )=
11 -1
0ñ < x» <
De la ecuación (2 /.S ) tenemos
x { n .> } . £
r ' u* l-e~ u
Puesto que / o2e - “ /( x ) d x = / V - ( 1 ) A + / V » ( - 1 ) * = - ( e - J l - 2 e - ' + l ) = i ( e - ' - l )2
se desprende que
F (s) =
l-< (e~J - 1)2 ___________________
s ( l - e -20
j ( l - e - 'K l + e " )
l-e -
e, l l p Q + e -‘ ) b)
:
t P - r *
x(l + e " ) —
¡(e*'2 + e~ s'2)
=
i
,r
— ta n h —
s
2
La onda cuadrada J(x) también satisface la ecuación fi.x + 1) = -fix). De este modo, usando (I) del problem a 21.21. con co= 1. obtenemos
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220
21.23.
C a p ít u l o 21
La
tr a n sfo r m a d a de
La p l a c e
Encuentre la transformada de Laplace de la función graficada en la figura 21-3. Obsérvese que ./LO es periódica con periodo 0J = 2-t, y en el intervalo 0 < x < 2it se puede definir analítica««,,: por /(* ) =
x
0 á a r< ? r
2 jt - x
n
De la ecuación (21.8) tenemos
Dado que
j Q e ~ " f(x )d x =
e~“ x d x + f j * e ~ " ( 2 l t - x ) d x
= V
2" - 2«~” + 1 ) = W
s
sL
” - 1)2
se desprende que 2 f / ( x)\ = (1A 2X e-,,1- l ) 2 1 - e 211
( l/s 2)(e~*t‘ - 1)2 ( l - e “*JXl + « “w )
_ _ 1_ 1 - e - * '
1, . « ^ 7 l = — tanh —
r2
21.24.
Encuentre ¿ e je 42* f * j e ' 4' sen3rdrj.
Usando la ecuación (21.4) con u = ^ en los resultados del problema 21.19, obtenemos
j ~ e‘ 4' sen 3*} = ^ - arctan D e la ecuación ( 2 1 .7 ) ah o ra se desprende que
^ { / o 7* ' Mn3' * J = | p i a r c t a n ¿ y í y entonces por la propiedad 21.3 con n = 1,
Sen3íd' l = A - i a r « a n i ± i + - , J
2j
3
1_____
j j 9 + ( r + 4 ) 2]
sando la ecuación ( 2 1 .4 ) con a = 4, co n c lu im o s q u e la tra n sfo rm a d a re q u e rid a es
2 1 J 5 . Encuentre las transfonnadas de Laplace en a) ,, b) Usando las entradas 2 ,7 y son, respectivamente,
8del anínH; ■
tC
y c)
sen ar, donde a indica una constante.
s con x reemPÍazada por /, encontram os que las transformadas de Laplac®
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P ro b le m a s a d ic io n a le s
a)
21.26.
2 {r} = 4 J
b)
2 { e "} = 1
J
—
5 -fl
c)
221
¡£ { x n a t } = — ± 5*+az
Encuentre las transformadas de Laplacc de a) 0 2, b) eos a6, c ) e™ sen aQ, donde a y b indican constantes Usando las entradas 3 (con n = 3) 9 y 15 del apéndice A con Jt reemplazada por 0. encontramos que las transfor madas de Laplace son, respectivamente
2 Í0 : } = 4 1 1 s*
a)
*>
Í2{cosoS} = - j ——T
c)
*2 + a 2
2{e*sen o0} = ------- 5____ 1 1 (i-b f+ a 1
PROBLEMAS ADICIONALES En los problemas del 21.27 al 2 1.42 encuentre las transformadas de Laplace de la función dada utilizando la ecuación ( 2 7 1) 21.27.
/ ( ; t) = 3
21.28.
/(* ) = 75
212 9 .
f ( x ) = e 2*
21.30.
/ ( * > = e~6x
2U 1.
/(x ) = x
21.32.
/(* ) = -8 x
21.33.
/ ( x ) = co s3 x
21.34.
f ( x ) = cos4x
21-35.
/ ( x) = eos bx, donde b denota una constante
21236.
f(x ) = xe-u
21-37.
f (x ) —xebx. donde b denota una constante
21.38.
/ W = .r3
-
H;
21.40.
/(* )=
21.41.
f( x ) en la figura 21-4
o s ;> :
21.42.
1
0
e*
l< x < 4
0
x>4
f ( x ) en la figura 21-5
Hn los problemas del 21.43 al 21.76, use el apéndice A y las propiedades 21.1 a 21.6, cuando sea adecuado, para encontrar las transformadas de Laplace de las funciones dadas.
/(x) > =2+3x / ( x ) ~ 2x+ 5 » e n 3 x 2x2eoshx xJscn4x tsenhtdt
e 1’ cos i dl
21.74.
f i x ) en la figur« 21-<
21.76.
f i x ) en la flgura 21 -1
/(x) cn la figura 21-7
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Figura 21-6
Figura 21-7
/<*)
F igura 21-8
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22
T r a n sf o r m a d a s in v e r sa s de
L aplace
DEFINICIÓN Una transformada inversa de Lapla ce de F (j), designada por { F ( i ) } , e s otra f u n c i ó n ^ ) que tiene la propiedad de que ¡£ { / ( * ) } = F( s). Esto presume que la variable independiente de interés es x. S i, en cam bio, la variable inde pendiente de interés es r. entonces una transformada inversa d e Laplace de F(s) e s /fr ) donde £ £ { /( r ) } = F (s). La técnica más sim ple para identificar las transformadas inversas de Laplace con siste en reconocerlas, ya sea de memoria o bien con una tabla tal com o la del apéndice A (véan se lo s problem as del 22.1 al 2 2 .3 ). S i F (r) no está en una forma reconocible, entonces ocasion alm en te se p uede transformar en tal form a m ediante una manipulación algebraica. Obsérvese del apéndice A que casi todas las transformadas de L aplace son cocien tes. El procedimiento adecuado es convertir primero el denom inador a una form a que aparezca en e l apéndice A y lu ego e l numerador.
MANIPULACIÓN DE D EN O M IN A D O R ES El m étodo de com pletar el cuadra do convierte un p olin om io cuadrático en la sum a de cuadrados, una forma que aparece en muchos de los denom inadores del apéndice A. En particular, para la cuadrática as2 + b s + c, donde a, b y c denotan constantes.
a s 2 + bs + c = a r2 + —s 4- c
= a a
-bèl
\2 a ) + c—
+ c - — b 4a
4a
= a(s 4- k f + h1 donde * = b / 2 a y h = j e - ( b 1 f i a ) . (Véanse los problemas del 22.8 al 22.10.) El método de fracciones parciales transforma una función de la forma a(s)/b(s), donde tanto a(r) com o b(s) son polinom ios en r, en la suma de otras fracciones tales que el denominador de cada nueva fracción es o un polinomio de primer grado o un cuadrático elevado a alguna potencia. El m étodo sólo requiere que (1) el grado de a(s) sea menor que el grado de b(s) (si éste no es el caso, realice primero la división extensa y considere el término remanente) y (2) ¿>(s) sea factorizado com o el producto de polinom ios distintos lineales y cuadráticos elevados a varias potencias.
224
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P roblem as
resu eltos
225
El m étodo se lleva a cab o c o m o sig u e. Para cada factor d e b(r) d e la form a (r - a ) m asignam os una sum a de m fracciones, de la form a A\ s-a
|
A2 ^ j . (s - a ) 2
|
K ( s - a)m
Para cada factor de b(s) d e la form a ( r 2 + bs + c )p a sign am os una su m a de p fracciones, de la forma B\S -t- C]
s7 h b s i - c
,
4- C2
^
(s7 + bs + c ) 2
|
4- C p
( s7 + b s + c y
Aquí A,, B, y C k(i = 1, 2 m \ j , k - 1, 2 p ) son con stan tes que se d eben determinar aún. E stab lezca la fracción o rig in a l a(s)/b(s) ig u a l a la sum a d e la s n u evas fracciones recién construidas. Elim ine denom inadores de la ecu a ció n d e fraccion es resultante y lu eg o ig u a le los coeficien tes de las m ism as potencias de s. obteniendo de este m od o un co n ju n to d e ecu a cio n es lin ea les sim u ltán eas en las constantes desconocidas A,, Bj y C*. Finalm ente, resuelva estas e c u a c io n e s para A¡, Bj y C k. (V éa n se lo s problem as del 22.11 al 22.14.)
MANIPULACIÓN DE NUMERADORES U n factor s - a en los num eradores se p u ed e escrib ir en térm in os d el factor s - b, donde ambos a y b son constantes, a través de la identidad s - a = (s - b) + (b - a). La con stan te m ultip licativa a en el numerador se puede escribir explícitam ente en térm inos de la con stan te m ultip licativa b por m ed io de la identidad.
a = Ub) b
Ambas identidades generan transform adas inversas d e L ap lace que son recon ocib les cuando se combinan con. P ropiedad 22.1.
( L in ea lid a d .)
S i la s transform adas inversas d e L aplace de d os funciones F(s) y Gis) existen. en ton ces para cu alesqu iera con stan tes C! y c 2, 1 { c , F ( i ) + C jG (s)} = q c T 1 { F ( j ) } + c2
(Véanse lo s problem as del 2 2 .4 al 2 2 .7 .)
PROBLEMAS RESUELTOS 22.1.
Encuentre
|i j .
Aquí F(s) = lis . Ya sea del problema 21.4 o de la entrada 1 del apéndice A. tenemos -é{>} “ V s - Por 10
2-'{V*}=i. 22.2. Encuentre
11—~ g j '
Ya sea del problem a 21.6 o de la e ntrada 7 del apéndice A con a =
Por lo tanto,
2Í r b | - “ www.FreeLibros.me
8. tenemos
226
2 2 .3
C a p ít u l o 2 2
T ra nsfo r m a d a s
E ncuentre
1j
La p l a c e
in v e r sa s oe
5 ^ j.
D e la entrada 9 del apéndice A con a = N/6. tenemos
2
{cosV 6 j^ = —— ^-7 — = — í __ 1 ' T T U Z f i J+ 6
Por lo tanto.
2 2 .4 .
Encuentre X ~ l
5j
La función dada es similar en forma a la entrada 12 del apéndice A. Los denominadores se vuelven idénti-o, tomamos ios a = 1. Manipulando el numerador de la función dada y usando la propiedad 22.1, obtenemos 1 ( 2 r) _ <£-1 ¡ 5J l( * 2 + l ) 2 J (r2 + l)2
22.5.
3 „_] í 2
2r
K«en*
l ^ + D2 )
‘li}'
Encuentre '■£"
La función dada es similar en forma a la entrada 5 del apéndice A. Sus denominadores son idénticos- manipulando el numerador de la función dada y usando la propiedad 22.1. obtenemos
x~l
1 v'ff
77
.
22 .6 .
■íir 7 7
= -L < £-1 ■Jz
Æ
j_
77
T *7x
1
Encuentre X~ El denominador de esta función es idéntico al denominador de las entradas 10 y 11 del apérdice A con <2*3. Usando la propiedad 22.1 seguida por una simple manipulación algebraica, obtenemos
= c o s h 3 x + -2 '' • 3
22.7.
Encuentre X 1 ( i — 2 )2 + 9
rr í = cosh 3* + -sen h 3x 4 * - ( 3 ) I* 2I
]•
El denominador de esta función es idéntico a los denominadores de las entradas 15 y 16 del apéndice A con a * y b = 2. Tanto la función dada como la entrada 16 tienen la variable s en sus numeradores, de modo que están más cerca namente aparejadas. Manipulando el numerador de la función dada y usando la propiedad 22.1, obtenemos
-
- * " “ » ■ * * * " (! (¡T c i7 7 9 ¡ i
- elx eos 3x + - Í T 1 { A — r } = ‘ u eta 3* + \* * * *“ 3x 3 l( r - 2 ) 1 + 9j 3
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P r o b l em a s r e s u e l t o s
22.8.
Encuentre X
U2-2
227
L_ í -+ 9J
Ninguna función de esta forma aparece en el apéndice A. Pero, completando el cuadrado, obtenemos
s 2- 2s + 9 = (s 2 - 2 s + l ) + ( 9 - l ) = ( s - l )2 + (Vg)í _
, aqU'
1 s2
-2
s
+ 9
í l l ______ s/8 l -s/8 j (s - 1)2 + (V5)1
1 ( s - 1)2 + ( s / 8 ) 2
Luego, usando la propiedad 22.1 y la entrada 15 del apéndice A cón a = VÜ y 6 = 1 y 6 = 1. encontramos que
Í T '|- 5 — ]• = —L i g - ' --------- ^ U 2 —2 j + 9 J sfe (s-
22.9.
Encuentre X
...
11 , 5 + 4— | U
+ 4 i+ 8 j
Ninguna función de esta forma aparece en el apéndice A. Completando el cuadrado en el denominador tenemos r2 + 4 s + 8 = ( í 2 + 4 s + 4 ) + (8 —4 ) = (j + 2 ) 2 + (2)2 r + 4
j + 4
í 2 + 4 í + 8 “ (s +
0 4 aqUÍl
2)2 + (2)2
Esta expresión tampoco se encuentra en el apéndice A. Sin embargo, si volvemos a escribir el numerador como j + 4 = (s + 2) + 2 y luego descomponemos la fracción, tenemos s + 4 í2
í.+ 2
+4í + 8
(s +
2
2)2 + (2)2
(s + 2)2 + ( 2 ) 2
Entonces, de las entradas 15 y 16 del apéndice A, -if
«+ 4 _ l _ g - ,f
1í2+ 4 í + 8J
J ± 1 ____ U £ - >
l(.r+ 2)2+(2)J
(r + 2)2 + (2)2
= e_2í eos 2 x + e_2í sen 2x
22.10.
Encuentre X 1 í ■y S-T—— l . I s 2 + 3 í + 4J Ninguna función de esta forma aparece en el apéndice A. Completando el cuadrado en el denominador, tenemos
í 2 _ 3í + 4 = [s 2 - 3 í + f ) + ( 4 - f ) = [ s - | )
de modo que
s+2 j2 _ 3 ., +
_
sJ + 22
4
fot Ahora volvemos a escribir el numerador como
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+
[ f )
228
C a p ít u l o 2 2
T r a n s f o r m a d a s in v e r s a s de La p l a c e
Entonces
<£-'1 . S + 2 U g -1 Ir 2 + 3s + 4j
3
V? 2
2
H [íf
H [#i
eos — x + • J ïe(3/2)* sen— * 2 2
=
22.11.
—
U se la función parcial para descom poner ( j + 1X*J + 1) Para el factor linea! s + 1 asociamos la fracción A/(.r + 1); mientras tanto, para el factor cuadrático r2 + 1 asociamos la fracción (Bs + C ) / ( s 2 + 1). Luego establecemos A
^ Bs + C
s + l " í 2+ l
(/)
l = A(rJ + l ) + ( f l s + C X í + l)
(2)
( í + 1Xí 2 + 1) Eliminando denominadores obtenemos
0 bien
r2(0) + s(0) + 1 = j 2(A + B) + s(B + C ) + { A + C)
Igualando los coeficientes de las mismas potencias de s, concluimos que A + fl = 0. B + C = O yA + C = l .L a solución de este conjunto de ecuaciones es A = ^, B = —4 y C = | . Sustituyendo estos valores en ( /) obtenemos la descomposi ción de las fracciones parciales i 1 ( i + lX s2 + l)
i jL _ h__ l i Z J . l+ l s2 + l
El siguiente es un procedimiento alternativo para hallar las constantes A. B y C en (/). Dado que (2) debe cumplirse para toda 5, lo debe hacer en particular para s = -1 Sustituyendo este valor en (2), inmediatamente encontramos A = La ecuación (2) también debe cumplirse para s = 0. Sustituyendo este valor junto con A = \ en (2), obtenem os C = f Finalm ente, susutuyendo cualquier otro valor de s en (2), encontramos que B = - f
22.12.
U se fracciones parciales para descom poner (í j + 1 X í 2 + 4
j
+ 8 )'
Para los factores cuadráticos s 1 + l y s 2 + 4 r + 8, asociamos las fracciones (A j + B ) / ( j 2 + 1) y ( Cs+D) / ( r + 4 s + 8). Establecemos .
(J2 + lX r 2 + 4 j +
8)
rJ + l + íJ +4r +
(f)
8
y elim inam os denom inadores para obtener 1s
o bien
(A s +
BXs2 +
4 j + 8) + (C r + D X r 2 + 1 )
í 3(0) + Í 2(0 ) + 1( 0) + 1 s j J (A + C) + s J (4 A + B + D ) + r (8 A + 4 B + C ) + ( 8fl + D )
Igualando los coeficientes de las m ism as potencias de s o b ten em o s A + C « 0. 4A + B + D « 0, 8A + D = 1. La solución de este conjunto de ecuaciones es
8B +
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4B + C
»0y
P roblem a s 7 P or lo tan to ,
4
r esu eltos
229
9
— ----------i ----------------= _ 65 * + 65 , 6 5 * + ¿L (s + l)(.r + 4 s + 8 ) j2+ l j 2 + 4í +
2 2 .1 3 . U se fra ccio n es p arciales para d escom p on er - — ~ ~ ~ -------.
( í - 2 X s + l)
b l e c e J c T ' ° $ faC'0re$ 1ÍnealCS ' “ 2 * * + 1 asociamos’ respectivamente, las fracciones A / ( s - 2) y B / ( , + l ) . Estas +3
_
A
B
( s- 2y, s + l) ~ s - 2 + s + \ y, eliminando denominadores, obtenemos s + 3 = A (j —1) + B ( i - 2 )
^
Para encontrar A y B usamos el procedimiento alternativo sugerido en el problema 22.11. Sustituyendo r = -1 y luego r = 2 en ( /), inmediatamente obtenemos A = 5/3 y B = -2 /3 . De este modo, + 3
j
_
5/3
(s - 2X s + 1) í —2
2/3 J+l
8
22 .1 4 . U se fra ccio n es p arciales para d escom p on er “7 ^ 2 — ~—
Obsérvese que s2 - s - 2 se factoriza así ( í - 2X í + 1). Para el factor J3 = ( j - 0)’ , que es un polinomio lineal elevado a la tercera potencia, asociamos la sum aA |/r -t-A^^ + Aj/s3 . Páralos factores lineales ( s - 2 ) y (r + 1), asociamos las fracciones B/(s - 2) y C / ( s + 1). Entonces
s 3 ( s 2 — j — 2)
s *L + * í + * 1 + - í — + — s s2 J3 s - 2 j +
1
o bien, eliminando denominadores,
8 = A,s2(s - 2Xs + 1) + A2s(s -
2Xr + 1) + A,(r -
2Xr + U + B s\s + 1) + C s\s - 2)
./-> o/'i D 1/1 y Tomando s = - 1 . 2 y 0, consecutivamente, obtenemos, respetivamente,. C - 8/3, ^ ^ V s = 1 y s = - 2 , y simplificando, obtenemos las ecuaciones A, + A2 y i -3 y A2= 2. Obsérvese que cualesquiera otros dos valores para s (no - 1 ,2 o tes pueden ser diferentes, pero la solución será idéntica. Finalmente
s V
2 _ - í - 2)
3 s
2 í3
+
'«rvirían1las ecuaciones resultan-
+ s~2
, + l
¡.15. E ncuentreíÉ l | ----- 7 7 7 ”— í \ f ' Ninguna función de esta forma aparece en el apéndic 22.1, obtenemos
U—
—
—
~ f 1 1
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s —4. Lüt^O. CligJCfKlo ^ ¡ob¡ciooes A¡.
230
C a p ítu lo 2 2
T r a n s f o r m a d a s in v e r s a s o e L a p la c e
2 2 .1 6 . Encuentre
22.1.
s\s2
Ninguna función de esta forma aparece en el apéndice A. Usando los resultados del problema 22.14 v la DrooieH^t obtenemos ' proPled*o
= - 3 + 2 a - 2 ^ + i . e 2- ' + i e - « 3 3 22.17.
Encuentre <í + 1 X í j Usando el resultado del problema 22.11, y observando que -ix + J L 7S + 2 s2 + 1
’ í * il 2 ( J2 + 1 J
encontramos que
kâl-^'lTîïl-ï^lTTîhï^lTTî)
(J + lX í
1 -X 1 1 = —e ——cosarH— sena: 2 2 2 22.18.
Encuentre ¡£~l
1
{( í 2 +1X s 2 + 4 í + 8) Del problema 22.12 tenemos
(.
1(4 +1X j Ì + 4 s + 8)
— SE~l
*
4 ^ 7 65 65
s 2+ l
+ 2 -'
l¡Hs
(a2 + 4 j + 8)
El primer término se puede evaluar fácilmente si observamos que 4 65*
7
fJ + l 8=
l
6 5 j ,s + l
(e sj^ + l
+ 2)2 + ( 2 ^ Uy
9
T7’ + ~
rJ + 4 j + 8
4 í + 2 2 , 1 65
Por lo tanto.
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P roblem a s
22.19. Encuentre X
1 í (j j
+ 4)
Por el método de las fracciones parciales obtenemos
- 4 ----------! £ + fci!ÛÜ!
s(s + 4 )
s
rl +4
De este modo,
PROBLEMAS ADICIONALES Encuentre las transformadas inversas de Laplace, com o una función de x, de las siguientes funciones: 22.20.
22.22.
is1
A
42
22 .2 3.
4
s2
r
5
í
22.24.
„ 22.21 .
2 2 .25.
—
22.27.
- H 3s + 9
2s - 3
“
(7 ^ 2 ?
— 2- i ( a + 5)
22J1*
(7 + Î7
22.33.
~
22J5,
(s + 1)1 + 5
4
s 22.26.
s-2
s+ 2 12
1 22.28.
3s’ 2230.
22.32.
.2 ------
T
( s J + 3)
2234.
-------- ----------
(s - 2 )1 + 9
2236.
2237.
+. 1
(í-1 )3 + 7 2238.
2239.
!--------
s —2 í + 2 i i --------s1 - j + 1 7 / 4
22.40.
-L
22.42.
-------
2141.
—
s +4
r —-
2sJ + l J i +T
s + 3s + 5
2»3
(s - lXsr3 +
l)
2243‘
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3
¡ 7 + 2s + 5
-? ~ l
adicionales
231
232
C a p ítu lo
22
T r a n s f o r m a d a s in v e r s a s d e L a p la c e
22.45. 22.44.
22.46.
5+ 2 53
( s 2 + 1)( í - D
22.47.
—i + 6
53 + 3s
2 5 -1 3 2 2 .4 8 .
- 4 5 + 13)
2 2 -4 9 ,
7 (5 2
2 2 -5 L
(s2 + 9 ) 2
s
22.50.
2(s —1)
(1/2)5
1/2 2 2 ,5 2 ‘
2 ( í — 1)( í 2 — í — 1)
O - IX-s2 -
22-53‘ í
- 1)
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252 4- 45 + 5 /2
52 + 25 + 5 /4
CONVOLUCIONES Y FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
23
C O N V O L L C IO N E S La convolución de d os f u n c i o n e s ^ ) y g(x) es
f ( x ) * g ( x ) = [ Xf ( t ) g ( x - t ) d t
(23.1)
J o
T eorema 23.1 .
f(x )* g (x ) = g (x)*f(x).
T eorema 23.2.
( T e o r e m a d e la c o n v o lu c ió n .)
Si
{ / ( * ) } = F ( s ) y r£ { g M } = G ( s ) , entonces
D e lo que se desprende, de esto s d os teorem as, que X - 1{ F (s )G (j)} = f ( x ) * g ( x ) = g (x ) * f ( x )
(23.2)
S i una de las dos con v o lu cion cs en la ecu ación (2 3 .2 ) es m ás sim p le de calcular, en tonces se elig e esa convolución cuando se determ ina la transformada inversa de L aplace de un producto.
FU NC IÓ N ESC A L Ó N U N ITA R IO L a fu n c ió n esca lón unitario u(x) se d e fin e c o m o
u(x) =
0
x<0
1
x>0
C om o consecuencia inmediata de la definición, tenem os que para cualquier niimero c, [0
»<
La gráfica de u(x - c) está dada en la figura 23-1. 233
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234
C a pít u l o 2 3
C o n v o l u c io n e s
y f u n c ió n e s c a l ó n u n ita r io
k< * - c)
Figura 23-1
T eore m a 23.3.
X { u ( x - c ) } = l- e~a .
TRANSLACIONES Dada una función f{x ) definida p o r x £ 0, la fu n ción
« (x -c )/(x -c )= | ° l/(x -c )
x>c
representa un desplazam iento, o translación, de la fu n ción /fjc) por c u n id ad es e n la d irecció n x p ositiva. Por ejemplo, si f [x ) se da gráficam ente por m ed io de la figura 2 3 -2 , en to n c e s u ( x —c ) f ( x — c ) está dada gráficam ente por la figu ra 23-3.
a (i-c )/(i-c )
T eorema 23.4.
Si F ( s ) = X { / ( x ) } , entonces
X {u (x - c ) / ( x - c )} = e~a F ( s ) En forma inversa,
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P roblemas
resueltos
235
PROBLEMAS RESUELTOS 2 3 .1 .
Encuentre
f{x)*g{x)
cuando
f ( x ) = e}* y g (x )= e2'.
A q u í f ( l ) = « \ g ( x - t ) = e 2(1-, \ y
f (x )‘ g(x)= J
e * e 2'J ~'>dt = j ’ e 2' e 2,e~2' dt
= f2' / 0 ¿ d t = e2’ V
23.2
= e u (e* - l ) = e 3’ - e 2‘
Encuentre g ( x ) * / ( x ) para las d o s fu n cio n es d e l p rob lem a 23.1 y verifiq ue el teorem a 23.1. Con / ( x - f ) = e 3,i" ’ y g ( t) = e 2'. g(x)‘ f(x) = j ’ g (t)f(x -t)d , = = e 3* f e~'d¡ Jo
= e 3* - e ■
.1-0
= eu ( - f ’ + l) = eu - e 2* que, del problema 23.1 se iguala con /( x ) * g ( x ) .
23J .
Encuentre f ( x ) * g ( x ) cu an d o / ( x ) = x
y g ( . t ) = x 2.
Aquí f ( t ) = t y g ( x - r ) = ( j c - r ) 2 = x J - 2 x t + / 2 . /(x )* g (x )= f
J 0
Deeste modo,
r(x2 —2xr + i 2 )di
= x2 f ' t d t - 2 x f t 2d t + f ' i ’d' Jo
2 X2
= x2
Jo
2
23.4.
Jo
_ X3 x4 1 4 2x 1------ --- --------
3
4
12
E n c u e n t r e # " 1 ! - ; — !---------1 por co n volu cion cs. U - 5 r + 6J O bsérvese que
i
i
j 2 —5 í a- 6
(j-3 X í-2 )
i____ i _ s -is-2
D efiniendo F ( j ) = 1 / ( j - 3 ) y C ( j ) = 1 / ( í - 2 ) . d e l a p én d ice A tenem os que / ( x ) = e 3’ y *
33.5.
Encuentre #
1 | - j —- y | por convolucioncs.
O bsérvese que
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236
C apítulo 23
C onvoluciones
y función escalón unitario
Definiendo F (.v)= 1 / ( j - 1 ) y G ( s) = l/(a -f 1), del apéndice A tenemos que f ( x ) = e ‘ y g(x) = e~' (23.2) se desprende que
D eU et<
X.-' j ^ - 4 = 6 Í T l {F(í)G
f
er« - ('~ndt = 6 e * f e2ldt Jo
Jo
= te~ x
1 2 3 .6 .
E ncuentre X
1
,J '- 1 ------
= 3eJ - 3 e *
por circunvoluciones.
i(r : + 4 )
Obsérv ese que 1
1
j(í2 + 4 )
s j
I 2+4
Definiendo F ( s ) ~ 1/a y G ( s ) = \ / ( s 2 - 4 ) . del apéndice A tenemos que f ( x ) = 1 y g (jc)= jsen 2 .t. De la ecuación (23.2) se desprende que
XT
1 s ( .r + 4 )
= S - , {F (s )G (í)} = í ( . t ) * / U )
= f * g ( t ) f ( x ~ ' ) d t = / J j i s e n 2 tj(l)¿t = -(l-c o s 2 jt) 4 Véase también el problema 22.19.
23 .7 .
Encuentre X
Si
1 |u - i) 2
por con v o lu cio n es.
definimos F ( s ) —G (s ) = l/(s X~
1). entonces /
(x) = g(x) = ex y
‘ ¡ 7 7 7 } = 2-1 í f(í)C (i)} = /«**< *> = J j ( , ) g( x - ,) d , = J oXe'ex-'d, = ex í (l)dr = Jo
2 3 .8 .
xex
U se la definición de la transformada de Laplace para encontrar X { u (x —c )} y d e allí d e m u e s tr e el teorem a 2 3 .3 . De la ecuación (21.1) tenemos directamente que
X { u ( x - c ) } = J i e ~ " ( u ( x — c )d x = = f
Jt
e - “ (0)dx + J
e “ dx = lim f r ~ " d x — Km í —» “ ( <
•c -e ”K
(s ir > 0 )
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)dx
P ro b le m a s r e s u e lto s 23.9.
237
G rafiquc la fu n ció n f ( x ) - u ( x - 2 ) - u ( x - 3). Obsérvese que
u (.t - 2 ) =
0
.r < 2
1
jt >
2
y
/ ( * ) = u(x - 2) - u(jt - 3) =
De este modo.
u ( .r - 3 ) =
0
*< 3
1 *>3
0 -0 = 0
x<2
1 -0 = 1
2< *< 3
1-1=0
x>3
cuya gráfica está dada en la figura 23-4.
2 3 .1 0 .
G rafique la fu n ció n / ( x ) = 5 - 5 u ( x - 8 ) para * > 0 . Obsérvese que
f(x )= 5 -5 u (x -8 ) =
De este modo.
5
*<8
0
x>8
La gráfica de esta función, c u a n d o x 2 0 , está dada en la figura 23-5.
u (x -2 )-u (x -3 )
A
-l_ 10
Figura 23-5
Figura 23-4
23.11.
12
U se la función escalón unitario para dar una representación analítica de la función f i x ) graficada en la figura 2 3 -6 . Obsérvese quejas) es la función g{x) = x , x > 0 , trasladada en cuatro unidades en la dirección * posiüva. De este modo. f ( x ) —u(.» - 4)g(x - 4 ) = (a —4)u(* - 4).
23.12.
U se la función escalón unitario para dar una descripción analítica de la función gi r) graficada (O, = ) en la figura 2 3 -7 . Si en e l subintcrvalo (0. a) la gráfica es idéntica a la figura - 3 Tomando fia ) como la represcniación de la función graficada en la figura 23-2. Entonces. í(t> = /(<> ' u fa -n )l
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238
C a p ítu lo 2 3
C o n v o l u c io n e s y f u n c ió n e s c a l ó n u n i t a r i o
fU) (*>
Figura 23-3
0
x<4
(x -4 )2
x > 4
23.13. Encuentre ¿£{,g(.r)} si g ( x ) -
Si definimos fix) - x2, entonces g(x) se puede dar en forma compacta com o # (x ) = u ( x - 4 ) /(.r - 4 ) = uix - ¿ ( x - i ) 2. Entonces, observando que 2 { / ( x ) } = F (s) = 2 / í 3 y usando el teorema 23.4. concluimos que
¡£ {g(x)} = 2 { « ( x - 4 * x - 4 )2 } = e - Jí A
23.14.
0
x< 4
x2
x> 4
Encuentre # { g ( x ) } si g ( x ) =
"Tí
funcW nJW ,alque
como ^ r T -° ufdr iUna n * - * ) = x \ Una vez hecho esto, gix) se puede volver a escribir como g(x) - u(x - 4 ) /( x - 4) y se puede aplicar el tcorema 2? 4 A hora,/(a _ 4 ) = x2 sólo si
{u(x - 4 )/(jt - 4)} = e~*' \ 1 . + A + Ü>) U 3 a2 JJ
Demuestre el teorema 23.1 Haciendo la sustitución t » x - < en ct
/(U
u . lado derecho de la ecuación (2 3 ./) tenemos
*(•») = J o /( f) g (x - t ) d t m
~ f,
x)g{tX ~dr)
T)dr = / o'g ( r ) /( a - r ) ¿ /r
= * ( J t) * /( x )
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P roblem as
resuelto«
239
2 3 .1 6 . D e m u e s tre q u e / ( . t ) * [g< x ) + A (x )] = / ( . t ) * g ( x ) + / ( x ) * / t( x ) .
/( x )* ; g (x ) + A(x)j =
f(t)[g < x -i)J -h (x -t)]d t
= / o !/(« ‘) í ( x - l ) + / ( f ) f c ( x - f ) ; d r “ / o f ( , M * - i ) d t + J o f{t)h (x-i)d t = /(x ) * g < x )+ /(x )* /i(x )
23.17. La siguiente ecu a ció n se llam a ecu ación integral d e l tipo d e convo lución. A sum iendo que la transform ada d e L aplace para y (x ) ex iste, reso lv em o s esta ecu ación y los siguientes ejem plos, para y(x)
dos
jr y ( x ) = * + f y (r )s e n (x - t ) d t o Vemos que esta ecuación integral se puede escribir com o y(x) = .r + y(x) * sen x. Tomando la transformada de Laplace i£ de ambos lados y aplicando el teorema 23.2. tenemos
ÍÉ{y } = ÍC {x }+ 2 { y } 2 { Sen x } = ^ + 2 { y } 7 ^ I . Resolviendo X { y } tenemos
2 { .v } = ^
.
X* Esto implica que y{x) = x 4- — , que es por cierto la solución, tal com o se puede verificar por sustitución directa, como sigue: 6
jr-f
íK
scn(x - t ) d t = xA
x}
0
6
= y( x)
23.18. U se las transformadas de L aplace para resolver la ecu a ció n integral del tip o de convolución: X
y (x ) = 2 - j y íD e ' - ' d t 0 Aquí tenemos y(x) = 2 - yix) *e*. Continuando como en el problema 23.17 encontramos que
que da yix) = 2 - 2x como la solución buscada. 23.19.
U se las transformadas de Laplace para resolver la ecu ación integral del tipo de convolución:
y (x ) = x ’ + J 4 > i t ) d t
Observando que y(x) = x 3 4-4 «y(x) encontramos que l f { y } ■* , 6 ■ queda y (x )= — (--I t r * ' como la solución buscada. 1 (* -< ) M
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4x
Sr )
'* 0
C v + n .n .0 2 3
C o n v o lu c io n e s y fu n c ió n e s c a ló n u n ita r io
PR O B L E M AS A D IC IO N A L E S
2 3 .2 0 .
Encuentre
23.21.
Encuentre 2* t.
2 3 .2 2 .
Encuenlre 4jt * 7 '.
23.23.
Encuentre eA* *e"j4.
23.25.
Encuentre x ‘ x e ' .
23.27.
Encuentre .r*cosx.
2 3 .2 4 .
Encuentre x ’ c '.
2? .26. Encuentre 3 * sen 2,t.
En los problemas del 23.28 al 23.35 use convoluciones para encontrar las transformadas inversas de Laplace de las funciones dadas. t 23.28.
23.30.
7V2Q
(í - I X í - 2 )
2
1 U X i) 1
23-31.
s: + 3 í-4 0
í ( í + l) 3
23.32.
23.33.
23.34.
7(7+1) i j(7 + 4 )
con f(j)=l/.c2 y
G (s) =
í/(7 +
4). Compare con el problema 23.6.
2 3 .35.
s(7 + 9 )
23 .36.
Grafique f ( x ) = 2 u ( x - 2 ) - u ( x - 4 ).
23.37.
Grafique f ( x ) = u ( x - 2 ) - 2 u ( x - 3 ) + u ( x - 4 ) .
3( 7 +
9)
23.38. Use la función escalón unitario para dar una representación analítica para la función graficada en la figura 23-8.
Figura 23-8
23.39.
Grafique / ( x ) = u ( a - j t ) c o s 2 ( j c - / c ) .
23.40.
G rafique f ( x ) = ~ ( x - ¡)~u(x - 1).
En los problemas del 23.41 al 23.48, encuentre í£ {g (x )} para las funciones dadas. ( 23.41.
0
ÍO 23.43.
x>,
jc < 3 x> 3
[0 23.45.
jt< 1
8 W = ( s e n U _ 1)
*W = [ ^ - 5
23.42.
[ 0 * (* > -{ „ _
23.44.
S (x ) =
x> 5
0
x<
*>
(0 2 3 .4 6 .
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x< x>
|x + l
I
x<5
3
x<5 jt> 5
P roblem as
0 23.47.
x<2
~ e'~s
23.48.
g( x) ~
x> 2
0
x<2
x’ + l
x>2
a d ic io n a l e s
En los problemas del 23.49 al 23.55 determine las transformadas inversas de Laplace de las funciones dadas. 23.50.
23.49.
s +4
u !l 777 '" ' 23.53.
-~ e~ ’ s 4* 3
23.55.
-V «"” 5¿
23 56. D em uestre q u e para c u a lq u ie r constante k.
23.52.
_ 1 _ e~‘> 5 -3
23.54.
- L f - 2' í3
g ( x )~ k f(x )* g (x )..
En los problemas del 23.57 al 23.60 asuma que la transformada de Lapiace para v(x) existe. Resuelva para y{x). X
23.57.
)
23.58.
y<.x) = t x + J y ( t ) d t 0
23.59.
> W = 1 + f {t - x ) y { t ) d t 0
23.60.
y ( x ) = ] ' ( r - .r ) y ( f ) d i
x
x
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S o l u c io n e s
de
e c u a c io n e s
DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES POR MEDIO DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE DERIVADAS Indique á£{y<.r)} por y(sj. Entonces bajo amplias condiciones, la transformada de L ap lace d e la n -ésim a derivada (n = 1.2. 3 ....) de y(x) es
se
d" y dx "
= s " Y ( s ) - j" -'y (0 )- s"-2y'(0)-------- ív(,,- 2)( 0 ) - > (*"I)(0)
(24.1)
Si las condiciones iniciales sobre y(x) en x = 0 están dadas por y ( 0 ) = c0 , entonces (24.1)
> '(0 ) = c , .........y ' - 'H O ) = c ,,.,
(24.2)
se puede volver a escribir como J d 'y dx"
— s ny ( .t ) —coj "_1 - q s " ' 2 ---------
(2 4 .3 )
Para lo s casos esp ecia les de n = 1 y n = 2. la ecu a ció n ( 2 4 .3 ) se sim p lifica a
£ { /(* )} « = íy o ) - c 0
se { / ( * ) } = J! V(.r) - CqS - c,
242
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(2 4 .4 )
(2 4 .5 )
P roblem as
r esu eltos
243
SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES La', tra n s fo rm a d a s de L aplace se usan para resolver problem as de valor inicial dados por la ecuación diferencial lineal j e n-ésim o orden con c o e fic ie n te s con stan tes
junto con las co n d icio n es in icia les esp e cifica d a s en la ecu a ció n (24.2). Primero, se toma la transformada de Laplace de ambos lados de la ecu a ció n ( 2 4 .6 ). para d e a llí obtener una ecu a ció n algebraica para F(.s). L uego se resuelve para Lis) al gebraicamente, v por ú ltim o se tom an las transform adas inversas de Laplace para obtener v(,r) = 1{Y(s)}. A diferencia d e lo s m éto d o s an teriores, d on d e prim ero se resu elve la ecu ación diferencial y lu ego se aplican las condiciones in icia les para evaluar las co n sta n tes arbitrarias, e l m étod o de la transformada de Laplace resuelve todo el problema de valor in icial en un p aso. H ay d o s ex cep cio n es: cu an d o no se esp ecifican con d icion es iniciales y cuan do las co n d icio n es in ic ia le s no están en .v = 0 . En estas situ a cio n es. c 0 hasta c„ en la s ecu acion es (24.2) y (24. J) siguen siendo arbitrarias y la so lu c ió n a la e c u a c ió n d ife ren cia l ( 2 4 . 6 ) se halla en térm inos de esta s co n stan tes. É stas se evalúan lu eg o separadam ente cu an d o se p rop orcion an c o n d ic io n e s subsidiarías adecuadas. (V éan se los problem as del 24.11 al 2 4 .1 3 .)
PROBLEMAS RESUELTOS 24.1.
R esuelva v ' - 5 y = 0; y ( 0 ) = 2. Tomando la transform ada de L aplace de am bos lados de esta ecuación diferencial y usando la propiedad 24 4. obtenemos '£ (y 'j - 52f {y } = £ { 0 } . Luego, usando la ecuación (24.4) con c0 = 2- encontramos
2 \sY (s)-2 ]-5 Y (s) = Q
de lo cual
Y ( s ) = — -^
Finalmente, tom ando la transform ada inversa de L aplace de FU), obtenem os
24.2.
R esuelva y' — 5 y = e 5* ; y ( 0 ) = 0 . Tomando la trans 24.4. encontram os que nemos [íF (í)-0 ] -
5
F (4 ) = ~
de lo cual
Finalmente, tomando la transformada inversa de Y(s). obtenemos
(véase apéndice A. entrada 14). 24-3.
R esuelva >•' + y = sen x 4, v (0 ) = 1. To m an d o la tra n sfo rm a d a de L a p la c e d e am b o s la d o s d e e sta ecuación diferen c.al obtenem os
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C a p itu lo 2 4
i
S o lu c io n e s de e c u a c io n e s d ife re n c ia le s lin e a le s c o n c o e fic ie n te s c o n s ta n te s
Y{s) encontrarnos
1
(r + lX* +1)
í+ l
T om ando la transform ada inversa d e L aplacc. y u san d o el resultado del p roblem a 22.17. obtenem os
X J‘> - g ' l { ^ ) > = g - 1j ( s + 1x s i T n l + g - 1| 7 ^ | ; | i <. - * _ I c o s x + i s e n x | + e - ' = | e " , - ¿ c o s * + ^
R esuelva y" + 4 y = 0; y {0 ) — 2. y (0 )
2.
Tom ando las transform adas d e L aplace. te n e m o s ¡£ { y '} + 4 3 {>} - X {0 } . L uego, usan d o la ecuación (24.5) con c0 »
2 y cj
= 2, obtenem os [ í J T ( í) - 2 j - 2 ] + 4 X ( í) = 0
r w(í)=.2í+2 , 2+4
o bien
2í
,: +4
i
2+ 4
Finalm ente, tom ando la tran sfo rm ad a inversa de L ap lace, o b te n e m o s
j+ ¡f'
* a ) = ¡ f ' { /(s )} = 2 X -'
j ^
)
= 2 c o s 2 a + sen 2a
Resuelva y" — 3 y , + 4 y = 0; y (0 ) = 1, >',( 0 ) = 5. Tomando las transformadas de Laplace. tenemos 2 {y*} - 3 2 {y'} + 4 2 {y} = i£ { 0 } . Luego, usando ambas ecuaciones (24.4) y (24.5) con c0 = 1 y c , = 5, tenemos ( í 2T ( í ) - i - 5 ] - 3 [ í Y ( s ) - lj + A Y (s ) = 0
j +2 K (í)= -y - , , . s2 -3 s + 4
obien
Finalmente, lomando la transformada inversa de Laplace y usando el resultado del problema 22.10. obtenemos