CAPÍTULO
2 Métodos de solución de ED de primer orden
2.6
Ecuacio Ecua ciones nes dife diferen rencial ciales es exa exactas ctas
Antes de abordar este tema sugerimos al lector revise la última sección de este capítulo, la cual trata sobre algunos algunos conocimientos conocimientos básicos básicos y necesarios necesarios del cálculo cálculo de varias varias variables. variables. Ahí se define define la diferenci diferencial al exacta o total de una función de dos variables f.x;y/ de la siguiente manera: df D
@f @x
dx C
@f @y
dy :
Comenzamos entonces con una definición básica. Una expresión M.x;y/dx C N.x;y/dy D 0 es una ecuación diferencial exacta si cumple alguna de las
siguientes condiciones equivalentes: 1. M.x;y/dx C N.x; N.x; y/dy es la diferencial exacta de una función f . 2. Existe una función f.x;y/ tal que df D 3. Existe una función f.x;y/ tal que
@f @x
dx C
@f D M.x; M.x; y/ @x
@f @y
dy D M.x;y/dx C N.x; N.x; y/dy.
&
@f D N.x;y/. @y
Si M.x;y/dx C N.x; N.x; y/dy D 0 es una ecuación diferencial exacta, entonces se puede expresar como df .x; y/ D 0 para alguna función f.x;y/, por lo que df .x;y/ D 0 , f.x;y/ D C ;
donde C es una constante arbitraria. Diremos entonces que f.x;y/ D C , con C 2 exacta M.x;y/dx C N.x;y/dy D 0. 1
R,
canek.azc.uam.mx: 14/ 1/ 2010
1
es la solución general del la ecuación diferencial
2
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 2.6.1 Mostrar que la ED .3x 2 y/dx C .3y2 x/dy D 0 es exacta y que tiene por solución general x 3 xy C y 3 D C . H
En efecto,
@f D 3x 2 y @x
f.x;y/ D x 3 xy C y 3 )
&
@f D x C 3y2 : @y
Luego: df D
@f @f dx C dy D .3x 2 y/dx C .3y2 x / d y : @x @y
Por lo que: .3x2 y/dx C .3y2 x/dy D 0 es una ecuación diferencial exacta.
Su solución general es f.x;y/ D C . Esto es: x 3 xy C y 3 D C :
Ejemplo 2.6.2 Mostrar que la ED .sen y Cy sen x/dx C.x cos y cos x/dy D 0 es exacta y que tiene por solución general x sen y y cos x D C . H
En efecto, f.x;y/ D x sen y y cos x )
@f @f D sen y C y sen x & D x cos y cos x : @x @y
Luego: df D
@f @f dx C dy D .sen y C y sen x/dx C .x cos y cos x/dy D 0 es una ED exacta : @x @y
Y su solución general es f.x;y/ D C . Esto es: x sen y y cos x D C :
En los dos ejemplos anteriores, la solución general f.x;y/ D C , cuya diferencial total df aparece en la ecuación diferencial exacta df .x; y/ D 0, fue proporcionada. Sin embargo, usualmente no sucede así, pues tenemos la ED y buscamos su solución. Esto plantea las interrogantes: 1. ¿Qué hacer cuando no se conoce la función f.x;y/, solución de la ecuación diferencial?. 2. ¿Cómo identificar si una ecuación en su forma diferencial es exacta?. 3. Y una vez identificada, ¿cómo calcular o determinar la función f.x;y/, solución de la ecuación diferencial?. Las respuestas a estas preguntas están dadas en el siguiente teorema. Teorema. Si M.x; y/, N.x; y/,
@M @N , & son funciones continuas en una región rectangular @y @x RD
entonces
.x;y/ 2 R
2
a < x < b &˛ < y < ˇ
M.x;y/dx C N.x;y/dy D 0 es exacta si y solo si
;
@M @y
D
@N @x
2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
3
en cada punto .x;y/ 2 R. El teorema anterior es equivalente al siguiente teorema: Teorema. Si M.x; y/, N.x; y/,
@M @N , & son funciones continuas en una región rectangular @y @x RD
.x;y/ 2 R
2
entonces existe f.x;y/ tal que @f D M.x; y/ @x
&
a < x < b & c < y < d
;
@f @M @N D N.x;y/ si y solo si D @y @y @x
en cada punto .x;y/ 2 R. Vamos a dar un esbozo de la demostración de este teorema. ))
Si existe f.x;y/ tal que H
En efecto
@f @x
También
@f @y
@f @x
&
D M.x;y/
D M.x; y/ )
D N.x; y/ )
@
@x
@y
D N.x;y/ entonces
M.x;y/ D
@y @
@f
N.x; y/ D
 Ã
D
 Ã
D
@
@f
@y @ @x
@x
@f
@y
@ @y @ @x
@M @y
D
@N @x
.
f x D f xy :
f y D f yx :
Pero f xy D f yx por las condiciones de continuidad de la hipótesis del teorema. Por lo tanto: @M @N D : @y @x
Esta igualdad es la que nos permite identificar a una ED exacta.
()
Si H
@M @N @f D entonces existe f.x;y/ tal que D M.x;y/ @y @x @x
&
@f D N.x;y/. @y
Para demostrar la existencia de la función f.x;y/ debemos construirla de tal manera que cumpla
con las condiciones
@f D M.x; y/ @x
Partiendo de la primera condición x
@f @x
&
@f D N.x;y/. @y
@f D M.x; y/ e integrando con respecto a x se tiene: @x
x
dx D
x
M.x;y/dx ) f.x;y/ D
M.x;y/dx D P.x;y/ C h.y/;
@
(2.1)
donde P.x;y/ D M.x; y/ & h.y/ esla constante de integración, que en este caso debe ser una función @x únicamente de y . Derivando respecto a y esta función f.x;y/ @f @y
D
Al utilizar la segunda condición @f @y
@
0
@y
@f @y
ŒP.x; y/ C h.y/ D P y .x;y/ C h .y/:
D N.x;y/ se tiene: 0
0
D N.x;y/ , P y .x;y/ C h .y/ D N.x;y/ , h .y/ D N.x; y/ P y .x; y/;
4
Ecuaciones diferenciales ordinarias de donde, integrando con respecto a y : y
h.y/ D
N.x;y/ P y .x;y/ dy:
Finalmente sustituimos h.y/ en (2.1) y se obtiene: y
f.x;y/ D P.x;y/ C
N.x; y/ P y .x;y/ dy:
que es la función buscada. El desarrollo anterior es precisamente el procedimiento que debemos seguir para la obtención de la función f.x;y/.
Comentarios a la demostración: 0
1. Para la obtención de h.y/, integramos con respecto a y la expresión de h .y/: 0
h .y/ D N.x;y/ P y .x;y/ 0
Al efectuar la integración supusimos que h .y/ sólo depende de y . Comprobemos que esto, en efecto, es cierto. Vamos a verificar que no depende de x demostrando que
@ @x
0
h .y/ D 0.
Estamos considerando que: 0
h .y/ D N.x;y/ P y .x;y/ D D N.x;y/
@ @y x
D N.x;y/
@ @y
x
M.x;y/dxD
@ M.x;y/dx D @y
x
x
.x;y/dx D
@ .x;y/dx @y
y que
x
D N.x;y/
@
M y .x;y/dx
@x
x
.x;y/dx D .x;y/
Derivamos con respecto a x : @ @x
0
h .y/ D D
@ @x @ @x
Ya que, por hipótesis se tiene,
x
N.x;y/
N.x;y/
@
@x
M y .x;y/dx D x
M y .x;y/dxDN x .x;y/ M y .x;y/ D 0:
@M @N D : @y @x
2. Para la obtención de la función f.x;y/ pudimos haber partido de la segunda condición para luego llevar a cabo un desarrollo análogo al realizado: a. Integrar N.x;y/ con respecto a y para tener f.x;y/. b. Derivar el resultado del paso anterior con respecto a x para tener c. Utilizar la primera condición
@f @x
D M.x; y/.
0
d. Despejar h .x/ de la ecuación anterior. e. Integrar respecto a x para obtener h.x/.
@f @x
.
@f @y
D N.x;y/,
2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
5
f. Sustituir h.x/ en f.x;y/ para así tener la función buscada. Ejemplo 2.6.3 Resolver la ED: H
.3x2 y/dx C .3y2 x/dy D 0.
Primero verificamos que la ED es exacta:
.3x 2 y/dx C .3y2 x/dy D 0 ) M D 3x 2 y & N D 3y2 x ) ) M y D 1 & N x D 1 ) ) M y D N x ) la ecuación diferencial es exacta ) ) Existe una función f.x;y/ tal que df D M dx C N dy ) @f @f dx C dy D M dx C N dy ) @x @y @f @f ) Existe una función f.x;y/ tal que D M & D N: @x @y ) Existe una función f.x;y/ tal que
@f
Luego la resolvemos, es decir, debemos determinar la función f.x;y/. Partimos de D M , e integramos @x con respecto a x : x
@f @x
x
dx D
x
M dx ) f.x;y/ D
x
M dx D
 Ã
2
.3x y/dx D ¡ 3
x3 3 ¡
) f.x;y/ D x 3 xy C h.y/
yx C h.y/ )
(2.2)
Nuestro objetivo ahora es encontrar h.y/, para determinar totalmente a f.x;y/. Derivamos la expresión anterior con respecto a y : @f @ 3 D Œx xy C h.y/ D 0 x 1 C h .y/ D x C h .y/: @y @y 0
Utilizamos la condición
@f @y
0
D N : x C h .y/ D 3y2 x: 0
0
Despejamos h .y/: h .y/ D 3y2 : 0
Integrando con respecto a y se obtiene:
h.y/ D
2
 Ã
3y dy D ¡ 3
y3 3 ¡
C C 1 D y 3 C C 1 :
Sustituimos h.y/ en (2.2) para obtener: f.x;y/ D x 3 xy C y 3 C C 1 :
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es: f.x;y/ D C 2 ) x 3 xy C y 3 C C 1 D C 2 ) ) x 3 xy C y 3 D C:
Ejemplo 2.6.4 Resolver la ED:
.sen y C y sen x/dx C .x cos y cos x/dy D 0.
6
Ecuaciones diferenciales ordinarias Primero verificamos que la ED es exacta:
H
.sen y C y sen x/dxC.x cos y cos x/dy D 0 ) M D sen y C y sen x )
M y D cos y C sen x N x D cos y C sen x
y
@f dy D @y
y
N dy ) f.x;y/ D
@f @f D M & D N: @x @y
@f D N e integramos con respecto a y : @y
y
N D x cos y cos x )
) M y D N x ) la ED es exacta )
) Existe una función f.x;y/ tal que
Luego encontramos f.x;y/. Partimos de
&
y
N dy D
.x cos y cos x/dy D x sen y .cos x/y C h.x/ )
) f.x;y/ D x sen y y cos x C h.x/:
(2.3)
Derivamos con respecto a x : @f @x
Utilizamos la condición
D @f @x
@ @x
0
Œx sen y y cos x C h.x/ D sen y y. sen x/ C h .x/: 0
D M para despejar h .x/: 0
0
sen y y. sen x/ C h .x/ D sen y C y sen x ) h .x/ D 0: Integrando se obtiene: h.x/ D C 1 :
Sustituimos h.x/ en (2.3) para obtener: f.x;y/ D x sen y y cos x C C 1 :
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es: f.x;y/ D C 2 ) x sen y y cos x C C 1 D C 2 ) ) x sen y y cos x D C:
Ejemplo 2.6.5 Resolver la ED: H
.2e 2x sen 3y C 3e 2y sen 3x/dx C .3e2x cos 3y 2e 2y cos 3x/dy D 0.
En este caso: M D 2e 2x sen 3y C 3e 2y sen 3x )
&
«
N D 3e 2x cos 3y 2e 2y cos 3x )
M y D 2e 2x .3 cos 3y/ C .3 sen 3x/2e 2y
D 6e 2x cos 3y C 6e 2y sen 3x
N x D .3 cos 3y/2e2x 2e 2y .3 sen 3x/
D 6e 2x cos 3y C 6e 2y sen 3x
) M y D N x :
De lo anterior, la ED es exacta. Entonces existe una función f.x;y/ tal que @f @x @f
Partimos de
@x x
&
D M
@f @y
D N:
D M e integramos con respecto a x :
@f dx D @x
x
x
M dx ) f.x;y/ D
x
M dx D
D .sen 3y/
e
2x
.2e 2x sen 3y C 3e 2y sen 3x/dx D
2 dx C e
2y
.sen 3x/3dx D
D .sen 3y/e 2x C e 2y . cos 3x/ C h.y/ ) ) f.x;y/ D e 2x sen 3y e 2y cos 3x C h.y/:
(2.4)
2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
7
Derivamos con respecto a y : @f @y
Utilizamos la condición
@f @y
D e 2x .cos 3y/3 .cos 3x/2e2y C h .y/: 0
0
D N para despejar h .y/:
3e 2x cos 3y 2e 2y cos 3x C h .y/ D 3e 2x cos 3y 2e 2y cos 3x ) h .y/ D 0: 0
0
Integrando se obtiene: h.y/ D C 1 :
Sustituimos h.y/ en (2.4) para obtener: f.x;y/ D e 2x sen 3y e 2y cos 3x C C 1 :
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es: f.x;y/ D C 2 ) e 2x sen 3y e 2y cos 3x C C 1 D C 2 ) ) e 2x sen 3y e 2y cos 3x D C:
Ejemplo 2.6.6 Resolver la ED: H
.ye xy C 2x 1/dx C .xe xy 2y C 1/dy D 0.
Verificamos que la ED es exacta:
«
M D ye xy C 2x 1 ) M y D y.e xy x/ C e xy .1/ D e xy .xy C 1/ N D xe xy 2y C 1 ) N x D x.e xy y/ C e xy .1/ D e xy .xy C 1/
) M y D N x ) la ED es exacta.
Entonces existe una función f.x;y/ tal que @f D M @x
Partimos de y
@f @y
@f @y
D N e integramos con respecto a y : y
dy D
@f D N: @y
&
y
N dy ) f.x;y/ D
y
N dy D
y
.xe
xy
2y C 1/dy D
) f.x;y/ D e xy y 2 C y C h.x/:
(2.5)
Derivamos con respecto a x : @f @ xy D Œe y 2 C y C h.x/ D e xy y C h .x/: @x @x 0
Utilizamos la condición
@f @x
0
D M para despejar h .x/: ye xy C h .x/ D ye xy C 2x 1 ) h .x/ D 2x 1: 0
0
Integrando se obtiene: h.x/ D
.exy x 2y C 1/dy )
.2x 1/dx D x 2 x C C 1 :
8
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Sustituimos h.x/ en (2.5) para obtener: f.x;y/ D e xy y 2 C y C x 2 x C C 1 :
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es: f.x;y/ D C 2 ) e xy y 2 C y C x 2 x C C 1 D C 2 ) ) e xy y 2 C y C x 2 x D C:
Ejemplo 2.6.7 Determinar el valor de la constante k de modo que resulte exacta la siguiente ecuación diferencial: .kx 2 y C e y / dx C .x 3 C xe y y/dy D 0: H
Para esta ED se tiene: M D kx 2 y C e y ) M y D kx 2 C e y : N D x 3 C xe y y ) N x D 3x 2 C e y :
La ecuación diferencial es exacta si se cumple M y D N x ) kx 2 C e y D 3x 2 C e y ) kx 2 D 3x 2 ) k D 3:
Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta cuando k D 3.
Ejemplo 2.6.8 Obtener alguna función M.x; y/ de modo que la siguiente ecuación diferencial sea exacta: M.x;y/dx C .x 3 C xe y y/dy D 0: H
Partimos del conocimiento de la función N.x; y/: N D x 3 C xe y y ) N x D 3x 2 C e y :
La ecuación diferencial es exacta si cumple: M y D N x )
@M @y
D 3x 2 C e y :
Entonces, integrando esta última expresión se tiene: y
@M @y
y
dy D
y
2
y
.3x C e / dy ) M.x; y/ D
.3x 2 C e y / dy D 3x 2 y C e y C h.x/:
Donde h.x/ es cualquier función de x , esto es, que no dependa de y . M.x; y/ podría ser, entre otras funciones: M.x; y/ D 3x 2 y C e y C arctan xI
donde h.x/ D arctan x:
M.x; y/ D 3x 2 y C e y C x ln xI
donde h.x/ D x ln x:
M.x; y/ D 3x 2 y C e y C C I
donde h.x/ D C:
Ejemplo 2.6.9 Determinar alguna función N.x;y/ de modo que la siguiente ecuación diferencial sea exacta: .y 2 cos x 3x 2 y 2x/dx C N.x;y/dy D 0:
2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
9
Partimos del conocimiento de la función M.x;y/:
H
M D y 2 cos x 3x 2 y 2x ) M y D 2y cos x 3x 2 :
La ecuación diferencial es exacta si cumple: @N D 2y cos x 3x 2: @x
M y D N x )
Entonces, integrando: x
@N dx D @x
x
x
2
.2y cos x 3x / dx ) N.x; y/ D
.2y cos x 3x 2 / dx D 2y sen x x 3 C h.y/:
Donde h.y/ es cualquier función de y , esto es, depende de x . N.x;y/ podría ser, entre otras funciones, cualquiera de las siguientes: N.x;y/ D 2y sen x x 3 C ln yI
donde h.y/ D ln y:
N.x;y/ D 2y sen x x 3 ye y I
donde h.y/ D ye y :
N.x;y/ D 2y sen x x 3 C C I
donde h.y/ D C:
Ejemplo 2.6.10 Resolver el siguiente PVI: 2
3y C 2y sen 2x D
4 cos 2x 6xy y I con y.0/ D 1: 1 C y2
Â
Ã
0
Primero obtenemos la solución general de la ecuación diferencial y luego aplicamos la condición inicial:
H
2
3y C 2y sen 2x D ) 3y2 C 2y sen 2x D 2
 cos  cos  cos Â
4
2x 6xy
y2
1C 4 2x 6xy 1 C y2
) .3y C 2y sen 2x/dx
2x 6xy
) .3y2 C 2y sen 2x/dx C 6xy cos 2x C
Tenemos entonces: M D 3y2 C 2y sen 2x ) N D 6xy cos 2x C
M y D 6y C 2 sen 2x
4 1 C y2
N x D 6y C 2 sen 2x
)
) Existe una función f.x;y/ tal que
Partimos de x
@f @x
@f
0
y ) dy ) dx
4 1 C y2 4
à Ã
dy D 0 )
1 C y2
dy D 0:
) M y D N x ) la ED es exacta )
@f D M @x
&
@f D N: @y
D M e integramos con respecto a x :
@x
x
dx D
«
à Ã
x
M dx ) f.x;y/ D
x
M dx D
.3y2 C 2y sen 2x/dx D 3y2 x C y. cos 2x/ C h.y/ )
) f.x;y/ D 3y2 x C y. cos 2x/ C h.y/:
(2.6)
Derivamos con respecto a y : @f @y
D
@ @y
Œ3y2 x C y. cos 2x/ C h.y/ D 6xy cos 2x C h .y/: 0
10
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Utilizamos la condición
@f D N para despejar h .y/: @y 0
0
6xy cos 2x C h .y/ D 6xy cos 2x C
4 4 ) h .y/ D : 2 1Cy 1 C y2 0
Integrando se obtiene: h.y/ D
4 dy D 4 arctan y C C 1 : 1 C y2
Sustituimos h.y/ en (2.6) para obtener: f.x;y/ D 3xy 2 y cos 2x C 4 arctan y C C 1 :
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es: f.x;y/ D C 2 ) 3xy 2 y cos 2x C 4 arctan y C C 1 D C 2 ) ) 3xy 2 y cos 2x C 4 arctan y D C:
Finalmente se aplica la condición inicial: y.0/ D 1 ) y D 1 & x D 0: 3.0/12 1 cos 0 C 4 arctan 1 D C ) 0 1 C 4
Á 4
D C ) C D 1:
Por lo tanto la solución del PVI es: 3xy 2 y cos 2x C 4 arctan y D 1:
y cos x C 2xe y C 1 C .sen x C x 2 e y C 2y 3/y D 0. 0
Ejemplo 2.6.11 Resolver la ED: H
Se tiene que: .y cos x C 2xe y C 1/dx C .sen x C x 2 e y C 2y 3/dy D 0:
Entonces y
y
M D y cos x C 2xe C 1 )
M y D cos x C 2xe
N D sen x C x 2 e y C 2y 3 )
N x D cos x C 2xe y
«
(2.7)
ya que M y D N x ; entonces (2.7) es una ED exacta.
Por lo tanto, existe f.x;y/ tal que f x D M & f y D N . Partiendo de:
f x D M D y cos x C 2xe y C 1:
Integrando con respecto a x : x
x
f x dx D
M dx )
x
) f.x;y/ D
x
M dx D
x
y
.y cos x C 2xe C 1/dx D y
cos x dx C 2e
) f.x;y/ D y sen x C x 2 e y C x C h.y/:
y
x dx C
dx )
(2.8)
Derivando parcialmente con respecto a y : f y D sen x C x 2 e y C h .y/: 0
0
Utilizando la condición f y D N para despejar h .y/: f y D N D sen x C x 2 e y C 2y 3:
2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
11
Se obtiene: sen x C x 2 e y C h .y/ D sen x C x 2 e y C 2y 3 ) 0
0
) h .y/ D 2y 3:
Integrando: h.y/ D y 2 3y C C 1 :
Sustituyendo h.y/ en (2.8), obtenemos: f.x;y/ D y sen x C x 2 e y C x C y 2 3y C C 1 :
Entonces la solución general de la ED dada, es: f.x;y/ D C 2 ) ) y sen x C x 2 e y C x C y 2 3y C C 1 D C 2 ) ) y sen x C x 2 e y C x C y 2 3y D C:
.2xy C 2y 2 e 2x sen x/dx C .x 2 C 2ye 2x C ln y/dy D 0I con y.0/ D 1.
Ejemplo 2.6.12 Resolver el PVI: H
Se tiene: M D 2xy C 2y 2 e 2x sen x )
M y D 2x C 4ye 2x
N D x 2 C 2ye 2x C ln y )
N x D 2x C 4ye 2x
«
) M y D N x entonces la ED es exacta.
Por lo tanto existe f.x;y/, tal que f x D M & f y D N . Partiendo de f y D N D x 2 C 2ye 2x C ln y:
Integrando con respecto a y : y
y
f y dy D
N dy )
y
) f.x;y/ D
y
N dy D
2
.x C 2ye
2x
C ln y/dy D x
2
dy C 2e
2x
) f.x;y/ D x 2 y C y 2 e 2x C y ln y y C h.x/:
y dy C
ln y dy ) (2.9)
Derivando parcialmente con respecto a x : f x D 2xy C 2y 2 e 2x C h .x/: 0
0
Utilizando la condición f x D M , para despejar h .x/, se tiene que: 2xy C 2y 2 e 2x C h .x/ D 2xy C 2y 2 e 2x sen x ) 0
0
) h .x/ D sen x ) ) h.x/ D cos x C C 1 :
Sustituyendo h.x/ en (2.9) se obtiene: f.x;y/ D x 2 y C y 2 e 2x C y ln y y C cos x C C 1 ;
entonces la solución general de la ED, es: f.x;y/ D C 2 ) ) x 2 y C y 2 e 2x C y ln y y C cos x C C 1 D C 2 ) ) x 2 y C y 2 e 2x C y ln y y C cos x D C:
12
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Considerando que la condición inicial y.0/ D 1 ) x D 0 & y D 1, se obtiene: 02 1 C 12 e 0 C 1 ln.1/ 1 C cos.0/ D C ) 0 C 1 C 0 1 C 1 D C ) C D 1:
Por lo tanto, la solución del PVI es: x 2 y C y 2 e 2x C y ln y y C cos x D 1:
Ejemplo 2.6.13 Resolver la ED:
dy ax C by D I dx bx C cy
con a; b & c constantes.
H
dy ax C by D ) .bx C cy/dy D .ax C by/dx ) dx bx C cy ) .ax C by/dx C .bx C cy/dy D 0:
Se tiene entonces: M D ax C by ) N D bx C cy )
M y D b N x D b
) M y D N x ) la ED es exacta.
Entonces existe f.x;y/ tal que f x D M & f y D N . De f x D M se obtiene al integrar: x
f.x:y/ D
x
M dx D
x2 .ax C by/dx D a C byx C h.y/: 2
(2.10)
Derivando parcialmente con respecto a y : 0
f y D bx C h .y/: 0
Utilizando la condición f y D N , para despejar h .y/, se tiene que: 0
0
bx C h .y/ D bx C cy ) h .y/ D cy ) ) h.y/ D c
y2 2
C K 1 :
Sustituyendo h.y/ en (2.10), obtenemos: f.x;y/ D
1 2 1 ax C bxy C cy 2 C K 1 : 2 2
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es: 1 2 1 ax C bxy C cy 2 C K 1 D K 2 ) ax 2 C 2bxy C cy 2 C 2K 1 D 2K 2 ) 2 2 2 ) ax C 2bxy C cy 2 D K:
Ejemplo 2.6.14 Resolver la ED: H
.e x sen y 2y sen x/dx C .e x cos y C 2 cos x/dy D 0.
Se tiene: x
M y D e cos y 2 sen x
x
N x D e x cos y 2 sen x
M D e sen y 2y sen x ) N D e cos y C 2 cos x )
x
«
) M y D N x ) la ED es exacta.
2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
13
Entonces existe f.x;y/ tal que f x D M & f y D N . De f y D N se obtiene al integrar con respecto a y : y
f.x;y/ D
y
N dy D
.e x cos y C 2 cos x/dy D e x sen y C 2y cos x C h.x/ )
) f.x;y/ D e x sen y C 2y cos x C h.x/:
(2.11)
Derivando parcialmente con respecto a x : f x D e x sen y 2y sen x C h .x/: 0
0
Utilizando que f x D M para despejar h .x/ se tiene: e x sen y 2y sen x C h .x/ D e x sen y 2y sen x ) h .x/ D 0 ) 0
0
) h.x/ D C 1 :
Sustituyendo h.x/ en (2.11), se obtiene: f.x;y/ D e x sen y C 2y cos x C C 1 :
Por lo tanto la solución general es: f.x;y/ D C 2 ) e x sen y C 2y cos x C C 1 D C 2 ) ) e x sen y C 2y cos x D C:
.ye xy cos 2x 2e xy sen 2x C 2x/dx C .xe xy cos 2x 3/dy D 0.
Ejemplo 2.6.15 Resolver la ED: H
Se tiene: M D ye
xy
N D xe
xy
xy
cos 2x 2e sen 2x C 2x ) cos 2x 3 )
M y D .yxe N x D .xye
xy
xy
Ce
xy
Ce
xy
/ cos 2x 2xe
xy
/ cos 2x 2xe
xy
sen 2x sen 2x
«
)
) M y D N x ) la ED es exacta.
Entonces existe f.x;y/ tal que f x D M & f y D N . Integrando con respecto a y la última igualdad: y
f.x;y/ D
y
N dy D
y
.xe
xy
cos 2x 3/dy D cos 2x
e
xy
x dy 3
) f.x;y/ D e xy cos 2x 3y C h.x/:
dy )
(2.12)
Derivando con respecto a x e igualando a M : f x D 2e xy sen 2x C ye xy cos 2x C h .x/I 0
M D ye xy cos 2x 2e xy sen 2x C 2xI 2e xy sen 2x C ye xy cos 2x C h .x/ D ye xy cos 2x 2e xy sen 2x C 2x: 0
0
Entonces, despejando h .x/ e integrando: h .x/ D 2x ) h.x/ D x 2 C C 1 : 0
Sustituyendo h.x/ en (2.12), obtenemos: f.x;y/ D e xy cos 2x 3y C x 2 C C 1 :
Por lo tanto, la solución general de la ED es: f.x;y/ D C 2 ) e xy cos 2x 3y C x 2 D C:
14
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejercicios 2.6.1 Ecuaciones diferenciales exactas. Soluciones en la página 15 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas.
1. .3x 2 C 2xy 2 2x/dx C .3y2 C 2x 2y 2y/dy D 0. 2. .2xy e 2y / dx C .x 2 C xe 2y y/dy D 0. 3.
Â
y sen x C sen y C
1 x
Ã
Â
dx C x cos y cos x C
1 y
Ã
dy D 0.
4. .4x 3 y C y 3 2x/dx C .x 4 C 3xy 2 3y2 / dy D 0. 5. .y cos x C 2xe y x/dx C .y C sen x C x 2 e y / dy D 0. 6. .e x sen y C 2y sen x 2x/dx C .e x cos y 2 cos x C 2y/dy D 0. 7. .4x 3 C 4xy 1/dx D .1 2x 2 2y/dy . 8. .y ln x C y/dx C .x ln x e y / dy D 0. 9. Œy sec 2 .xy/ C sen x d x C Œx sec 2 .xy/ C sen ydy D 0.
 10. Â
1 sen y
x
ÂÃ y
y y 2 cos C 1 dx C x x
Á Ã
Â
y 1 x cos 2 sen x x y
Á
x
ÂÃ y
1 C 2 y
Ã
dy D 0.
x y ye C 2 y D 2 xe x . 2 2 x Cy x Cy
11.
Ã
y
0
2
2
12. .y sen.2x/ 2y C 2y 2 e xy / dx .2x sen 2 x 4xye xy / dy D 0. 13. .2xy e 3y / dx C .x 2 kx e 3y 3y2 / dy D 0. Resolver los siguientes PVI.
14. y 2 cos x 3x 2 y 2x dx C 2y sen x x 3 C ln y dy D 0 15. .y C xe x C 2/ dx C .x C e y / dy D 0
con y.1/ D 0.
16. .e y sen x C tan y/ dy e y cos x x sec 2 y dx D 0 17.
Â
xCy 1 C x2
Ã
dx C .y C arctan x/ dy D 0
con y.0/ D e
con y.0/ D 0.
con y.0/ D 1.
18. Determinar los valores de las constantes A y B que hacen exacta a la ecuación diferencial:
y 3 y 2 sen x 2x dx C Axy 2 C By cos x 3y2 dy D 0:
19. Obtener una función M.x;y/ de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial: M.x;y/dx C .e x cos y C 2 cos y/ dy D 0:
20. Obtener una función N.x;y/ de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial: N.x; y/dy C
Â
x2 y2 x2y
Ã
2x dx D 0:
2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
15
Ejercicios 2.6.1 Ecuaciones diferenciales exactas.Soluciones, página 14
1. x 3 C x 2 y 2 x 2 y 2 C y 3 D C 2. La ED no es exacta. 3. x sen.y/ y cos.x/ C ln j xy j D C . 4. x 4 y C xy 3 x 2 y 3 D C . 5. 2y sen.x/ C 2x 2e y x 2 y 2 D C . 6. e x sen.y/ 2y cos.x/ C y 2 x 2 D c 7. x 4 C 2x 2y C y 2 x y D c 8. xy ln.x/ e y D c 9. tan.xy/ cos.x/ cos.y/ D c x y cos y x
ÂÃ
Á 10. sen x
x
y
Cx
1 D C y
y
11. e xe C e ye C arctan 2
1 2
12. 2e xy 2xy y cos.2x/ C
x y
ÂÃ
Dc
y Dc 2
13. La ED será exacta si k D 3 14. y 2 sen.x/ C y ln j y j D x 3y C x 2 C y 15. xy C e y C xe x e x C 2x D 3 16. e y cos.x/ x tan.y/ D 1 17. y 2 C 2y arctan.x/ C ln.1 C x 2 / D 1 18. La ED será exacta si A D 3 y B D 2 19. M.x; y/ D e x sen.y/ C k.x/, donde k.x/ es cualquier función de x con derivada continua. 20. N.x;y/ D
y2 x2 xy 2
C k.y/ Donde k(y) es cualquier función de y con derivada continua.