Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela a una altura de 2000 m, y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire !upongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaid paracaidista ista en cada cada instant instante, e, con constan constante te de proporc proporciona ionalida lidad d "0 #s$m #s$m con el paraca%das cerrado, y &0 #s$m con el paraca%das abierto !i el paraca%das se abre a los los die' die' segu segund ndos os del del lan' lan'am amie ient nto, o, all allar ar el inst instan ante te apro aproi ima mado do en el que que el parac paracaid aidist ista a llega llega al piso piso *+u *+ull es su veloc velocida idad d en ese ese insta instante nte- (+on (+onsid sidere ere la m g=10 2 gravedad como seg ) !olución. /or la segunda ey de #eton ma= F neta
m
dv = mg +kv dt dv k − v = g dt m
s decir,
3l resolver resolver esta ecuación ecuación lineal, tenemos ∫ mk dt
4actor integrante,
=e
e
k t m
5ultiplicando esta ecuación diferencial por el factor
integrante, tenemos e
(
k t m
dv k + v dt m
)=
ge
(
m
k t m
t d e k v dt
6ue equivale a
)
=
ge
7ntegrando respecto a t, tenemos −
k
mg m v= +C e k
m t k
e
k t m
k
t m v = g e m + C k
t
3plicando 3plicando las condiciones condiciones iniciales, iniciales, aciendo aciendo
v ( 0 ) =v 0 ,
v0 =
mg mg + C C = v − 0 k k
ntonces la ecuación de la velocidad en cualquier t
(
−k t
)
mg mg m v ( t )= e + v0 − k k
v ( t )=
8eniendo en cuenta que
(
dx dt , y aciendo
x ( 0 )= x 0 , se llega a que
−k
)
dx mg mg m t = + v 0− e dt k k
7ntegrando respecto a t −k
−k
2
mg m m t m g m t x = − e + 2 e + C k k k −k
−k
t m 2 g t m − m x 0= v 0 e + 2 e m + C
ntonces,
k
m C = x 0+ v 0 e k
k
−k t m
2
−
m g 2
k
−k t
em
−k t
mg m x ( t )= t − v 0 e m k k
9e donde,
(
)
2
+
m g 2
k
(
k
−
e
−k t m
−k
2
−k
t t m m g + x 0 + v 0 e m − 2 e m k k
)
mg m mg m t m mg x ( t )= t − v 0− e + x0 + v 0− k k k k k
(
:eagrupando,
+onsiderando la gravedad como
v (t )=
3
−
100 3
−
k
3
−
e
10
g=10
t
y
) x +
0
m seg
2
x 0=0 , v 0 =0 y k =30 Ns / m ,
est cerrado, donde 100
)(
t mg m mg m 1 −e x ( t )= t + v0 − k k k
y la tapa inicial en la que el paraca%das
x ( t )=
100 3
t +
3
−
1000
10
e
9
t
t =10
uego a los die' segundos, v ( 10 ) ≈ 31.6737
m s
; la distancia recorrida por el paracaidista durante los primeros die' segundos ser aproimadamente x ( t )=227,7541 m
/ara la segunda etapa, es decir, cuando el paraca%das est abierto, se toma como N . s k = 90 t =0 instante aquel en el que el paraca%das se abre y m , con lo que se x ( 0 )=227,7541 m y v ( 0 )=31.6737
tiene
ntonces,
x ( t )=
100 9
v ( t )=
100 9
9
+
20,5626 e
−
t −22,8473 e
9
−
t −22,8473 e
s decir, que
9
10
t +
9
10
t
y
250,6014
x ( t )=2000 tenemos,
ntonces, como 100
−
m s
10
t +
250,6014=2000
−9 t
t =2,0563 e 10
+ 157,4459
n la anterior ecuación el t
−9 t
2,0563 e 10
se desprecia para valores de tiempo
relativamente grandes (mayores que 10), es decir, este valor tiende a cero, entonces, t =157,4459 seg 9e aqu% se deduce que el paracaidista tarda aproimadamente, 10 seg + 157,4459 seg =167,4459 seg en llegar al suelo desde que se arrojó del avión 100 Km
a velocidad de
9
seg
= 11,11
Km seg