QA 371 B72002 ROBERT L. BORRELLI COURTNEY S. 1111111 1111111111 11111 11111 11111 11111 11111 Illll 11111 1111 1111
0233003104 ECUACIONES DIFERENCIALES . UNA PERSPECTIVA DE MODELACION . "
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ecuaciones diferenciales
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ecuaciones diferenciales Una perspectiva de modelación
Robert L. Borrelli • Courtney S. Coleman
•
Traducción Yazmín Juárez Parra Revisión técnica 1 nacía Barradas Bribíesca '
OXFORD UNIVERSITY PRESS
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OXFORD UN IV ERSITY PRESS
Antonio Caso 142, San Rafael, Delegac ión Cuauhtémoc, c.p 06470, México, D.E Te!': 55924277, Fax: 57053738, e-mail: oxford@oupmex .com.mx Oxford Un iversity Press es un departamento de la Universid ad de Oxford . Promueve el objetivo de la Universidad relativo a la excelencia en la investigación, erudición y educación mediante publicaciones en todo el mundo en Oxford New York Auck land Cape Town Da! es Salaam Hong Kong Ka!achi Ku ala Lumpur Madrid Melbourne Mexico C ity Nairobi New Delhi Shanghai Taipei Toronto Con ofic inas en Argentina Austria Brazil Chile Czech Republi c France Greece Guatemala Hungary Italy Japan Poland Portugal Singapore South Korea Switzerland Thailand Turkey Ukraine Vietnam Oxford es una marca registrad a de Oxford University Press en el Reino Unido y otros países. Publ icado en México por Oxford University Press México, S.A. de C. V División: Univers itaria Área: Matemáticas
Sponsor editor: Jorge Alberto Ruiz González Edición: Ester Alizeri Fernández Sergio Gerardo López Hern ández Producción: Jorge A. Martínez J iménez Parlada: José Ca rlos Quezada García
ECUACIONES DIFERENCIALES Todos los derechos reservados © 2002, respecto a la primera edic ión en español por Oxford University Press Méx ico, S.A. de c.V N inguna parte de esta publicación puede reproducirse, almacenarse en un sistema de recuperación o transmitirse, en ninguna forn1a ni por ningún medio, sin la autorización previa y por escrito de Oxford Un iversity Press México, SA de C. V Las consultas relativas a la reproducción deben enviarse al Departamento de Derechos de Aulor de Oxford University Press México, S.A. de c.v, al domic il io que se señala en la parte s uperior de esta página. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Ed itorial Mex icana, registro número 723. ISBN 970-613-6 11-8 Traducido de la primera edici ón en inglés de Differential equations: a modeling perspeclive Co pyri ght © 1998 by John Wiley & Sons, In c ISBN 0-47 1-04230-7
Alfaomega Grupo Editor es distribuidor exclusivo para todos los países de habla hispana de esta coedición realizada entre Oxford University Press México, SAo de C. V y Alfaomega Grupo Editor, SAo de C. V
ISBN 970-15-1136-0 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C. V Pilágoras 1139, Co l. Del Valle, 03100, Méx ico, D.E Impreso en México Primera reimpresió n: septiembre de 2005 Esta obra se terminó de imprimir en septiembre de 2005 en Litográfi ca Cozuga, SA de C. v., Calzada Tlati lco Núm. 78, Col. Tlatilco, 02860, Méx ico, D.F. , sobre papel Bond Editor Alta Opacidad de 75 g. El tiraje fue de 2 000 ejemplares.
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Agradecimientos Prefacio Perspectiva de los estudiantes
IX XI XV
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Una aventura de modelación Representación visual de las curvas solución En busca de fórmulas de solución Modelación con EDO lineales Introducción a la modelación y a los sistemas Ecuaciones diferenciales separables Sistemas planos y EDO de primer orden Píldoras para el resfriado Cambio de variables y modelos de persecución Técnicas de fórmulas de solución en las que intervienen EDO de primer orden
104
Existencia y unicidad Extensión y comportamiento de largo plazo Sensibilidad Introducción a las bifurcaciones Soluciones aproximadas Ejecución en computadora Método de Euler, la EDO logística y el caos
107 117 131 141 149 159 167
Resortes: modelos lineales y no lineales Ecuaciones diferenciales de segundo orden y sus propiedades EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, I EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes, II Soluciones periódicas y movimiento armónico simple Ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes 3.7 Teoría general de las EDO lineales Resumen de los operadores polinomiales con coeficientes constantes
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
1 11 18 29 41
57 69
82 93
179 191
202 214 223
228 242 254
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VI
4.1 4.2 4.3 4.4
Leyes de Newton y el péndulo Pulsaciones y resonancia Modelación de la respuesta de frec uencia Circuitos eléctricos
257 269 278 289
303 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Sistemas de primer orden Propiedades de los sistemas Modelos de especies que interactúan Modelos depredador-presa La plaga de zarigüeyas: un modelo en potencia
303 317 332 343 352
539 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Introducción a la transformada de Laplace Cálculo de la transformada Aplicaciones de la transformada: seguimiento de automóvi les Convolución La convolución y la función delta Tablas de transformadas de Laplace
539 368 380 392 397 404
407 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11
Rastreo de plomo a través del organismo Introducción a los vectores y las matrices Sistemas de ecuaciones lineales Valores y vectores característicos de matrices Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes Sistemas lineales homogéneos: valores característicos complejos Retratos orbitales Sistemas no homogéneos y la matriz exponencial Estados estacionarios de sistemas lineales no homogéneos Flujo de plomo, filtro de ruido: estados estacionarios Teoría general de sistemas lineales
407 414 421 434 445 457 466 480 490 501 509
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VII
517 <;17
8.1 Estabilidad de sistemas lineales 8.2 Estabilidad de un sistema casi lineal Estabilidad de sistemas planos perturbados . 8.3 Sistemas conservativos 8.4 Funciones de Lyapunov
517 527 538 539 551
561 9.1 9.2 9.3 9.4
Ciclos Comportamiento de largo plazo Bifurcaciones Caos
561 571 582 595
613 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9
Vibraciones de una cuerda Funciones ortogonales Series de Fourier y aproximación media Serie trigonométrica de Fourier Semiintervalo y serie de Fourier exponencial Problemas de Stuhn-Liouville Separación de variables La ecuación de 'calor: profundidad óptima para una cava Ecuación de Laplace
11. Se/Ue.d,~: ~ de Be&UJ If ~de.f~
'-~
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8
Resortes deteriorados y temperaturas permanentes Series solución cerca de un punto ordinario Polinomios de Legendre Puntos singulares regulares Series solución cerca de puntos singulares regulares, 1 Funciones de Bessel Series solución cerca de puntos singulares regulares, 11 Temperaturas estables en esferas y cilindros
613 624 632 640 650 656 661 672 685
693 693 701 712 720 728 735 749 761
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VIII
771 A.l Vibraciones de una cuerda A.2 Proceso de Picard para resolver un problema de valor inicial A.3 Extensión de soluciones A.4 Sensibilidad de las soluciones a los datos
771 773 781
783 789
B.l B.2 B.3 B.4 B.5 B.6
Funciones de ingeniería Series de potencias Números complejos y funciones complejas-valuadas Álgebra y funciones trigonométricas útiles Resultados útiles del cálculo Cambio de escala y unidades
790 792
795 798 799 803 809 821
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Estamos en deuda con tres maravillosas personas que colaboraron con nosotros en esta obra. Tony Leneis es el autor principal de ODETooIkit, una poderosa interfaz interactiva constituida por una serie de instrucciones para el dispositivo de resolución de ecuaciones diferenciales DEQSolve que se utilizó para crear todas las gráficas. Dave Richards tiene una notable visión para la composición y las ilustraciones, y en cada página se hace patente su habilidad tipográfica con BT0. Jenny Switkes nos ayudó en todos los aspectos relacionados con el texto. Su buen humor, paciencia y notables aptitudes fueron de gran valía. Fue un verdadero placer trabajar con estos tres talentosos colegas. Agradecemos también a muchas otras personas que contribuyeron para llevar a cabo esta obra. El profesor Beverly West nos hizo muchas sugerencias acertadas. Will Suckow se encargó del diseño de las simpáticas computadoras animadas que pueblan todo el texto. Sally Arroyo aportó excelentes ideas de diseño. Kevin Carosso, Ned Freed y Dan Newman son los autores de DEQSolve, que se basa en LSODA, que a su vez desciende de DIFFSUB, de C. W. Gear; DIFFSUB forma parte de ODEPACK, creación de Alan Hindsmarsh en Lawrence Livermore National Laboratories. Asimismo, queremos agradecer al departamento de matemáticas y a la administración del Harvey Mudd College por su apoyo y su estímulo. Queremos extender de manera especial nuestra gratitud a Tiffany Amal, Claire Launay y Joel Miller, quienes contribuyeron de muchas maneras importantes en las fases finales del proyecto. También queremos dar las gracias a los siguientes alumnos, que hicieron mucho para mejorar el libro y los problemas: Aron Archer, Patri Forwalter-Friedman, Motoya Kohtani, Aaron Lamb, Christie Lee, Dan López, Susan McMains, Robert Prestegard, Justin Radick, Marie Snipes, Kal Wong, Xuemei Wu, Kaiqi Xiong y ~ob Zirpoli. Los autores estamos en deuda con quienes revisaron las versiones anteriores de este texto; sus comentarios y sugerencias fueron de gran valor. En particular, queremos agradecer a los profesores David Arnold, Ulrich Daepp, Steven R. Dunbar, Rahim Eighanrni, Richard. Elderkin, Mark Farris, Roland di Franco, Mark Fuller, Ben Fusaro, Matthias Kawski, David Kraines, David Lemer, Zhongyuan Li, Michael Montano, Michael Moody, Mike Pepe, Karl E. Petersen, Bhagat Singh, Ed Spitznagel, Kenneth Stolarsky, David Voss, Rich West y Christina M. Yuengling. Además, agradecemos a los siguientes alumnos revisores: Matthew Anderson, Shannon Holland, Kevin Huffenberger, ltai Seggev y Treasa Sweek. Por supuesto, la responsabilidad de los errores es nuestra. Por último, tenemos una deuda de gratitud con Barbara Holland, nuestra editora de matemáticas en Wiley, por su generoso apoyq, consejos y estímulo durante la redacción del libro. Te lo agradecemos de corazón, Barbara. R. L. Borrelli
C. S. Coleman
[email protected] [email protected] Claremont, agosto de 1997
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Las ecuaciones diferenciales son una poderosa herramienta en la construcción de modelos matemáticos para el mundo físico. Su aplicación en la industria y la ingeniería es muy extensa y cumplen tan bien su cometido que se han convertido en uno de los instrumentos de modelación más fructíferos. A ello debe agregarse que la actual es una época sumamente propicia para estudiarlas porque los medios computarizados de resolución interactiva pueden generar con rapidez y sin problemas representaciones gráficas sorprendentes muy provechosas para entender las propiedades de los sistemas dinámicos. (j~
Jei cwz.do. if rk la ~
•
Éste es un libro introductorio para estudiantes de ciencias, matemáticas e ingeniería; sus temas centrales son la visualización gráfica y la modelación. Desde los primeros capítulos se exponen los sistemas diferenciales y los métodos numéricos, y se alienta a los estudiantes a que utilicen desde el principio medios numéricos de resolución. Nuestro objetivo es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar por qué y que les transmita nuestro entusiasmo y gusto por el estudio de las ecuaciones diferenciales. Si bien se adopta la perspectiva moderna sobre los sistemas diferenciales como sistemas dinámicos en desarrollo, se conservan los temas y objetivos de un curso normal. Se exponen temas de suma actualidad, como sensibilidad, comportamiento de largo plazo, bifurcación y caos, pero también las fórmulas de solución y la teoría que se espera en un primer curso.
•
En esta obra se da por sentado que el estudiante tiene conocimientos de cálculo de una variable. En pocas secciones (casi todas de los últimos capítulos) se requiere cierto conocimiento básico de derivación parcial. Debido a que los conceptos lineales se presentan a medida que se necesitan, no se presupone un curso de álgebra lineal. Para aprovechar al máximo este texto los alumnos deben contar con medios numéricos de resolución, pero de igual modo pueden aprender bien incluso sin ningún medio de ésos.
•
No se precisan conocimientos de programación para utilizar este libro. En la actualidad existen numerosos medios de resolución de ecuaciones diferenciales que no exigen que el usuario sea experto en computación. Entre ellos se cuentan las calculadoras manuales, computadoras personales, estaciones de trabajo o grandes sistemas de cómputo. No se da preferencia a ninguno de ellos.
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XII
• Método de sistemas dinámicos. En el texto se adopta un método de sistemas dinámicos por medio del cual se modelan los procesos naturales que evolucionan con el tiempo. Se abordan las cuestiones básicas de existencia, unicidad, comportamiento de largo plazo y sensibilidad a los datos como temas recunentes. • Modelación matemática. Cada cuadro narra una historia: la elaboración de un modelo es como dibujar un cuadro del sistema, e interpretar la solución de las ecuaciones del modelo es . como contar una historia. Existe un gran número de modelos en el texto a partir de los cuar-t~\;!~~ ~l'::s les se puede elegir. Algunas secciones están dedicadas por completo a uno solo de ellos, pe. \/. ~ ro en casi todo el libro los modelos comprenden únicamente una parte de una sección. Por . / tanto, el texto permite flexibilidad en el tratamiento de la modelación .
•
~
• Énfasis en la visualización gráfica. Las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria son funciones cuyas gráficas conesponden a curvas, las cuales pueden generarse por computadora y dar una prueba visual convincente de las deducciones matemáticas, así como una clara comprensión de complicadas fórmulas de resolución. Cada gráfica de este texto viene con la información necesaria para reproducirla. Estas gráficas son el resultado real de un medio numérico de resolución, no interpretaciones artísticas. El libro y los cientos de gráficas de soluciones destacan esta conexión visual con la teoría. • Los medios numéricos de resolución se utilizan desde el principio. Con la gran disponibilidad de medios numéticos de resolución excelentes y económicos, tiene sentido introducir un método de solución numérica desde el principio, de modo que los estudi antes empiecen a examinar la geometría de las soluciones y cómo cambian éstas cuando se modifican los elementos de una ecuación diferencial. La introducción de las computadoras en el curso produce un marcado interés en la comprensión de los sistemas dinámicos . Las propiedades básicas de los sistemas dinámicos son una valiosa henamienta para interpretar la presentación visual de las soluciones de ecuaciones diferenciales. • Los sistemas se presentan desde el principio. Desde el comienzo se abordan los sistemas simples de ecuaciones diferenciales en forma directa durante el proceso de modelación, ya que es natural hacerlo así. Esto no representa un problema porque los medios computarizados de resolución de ecuaciones pueden manejar un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con la misma facilidad que resuelven una sola ecuación diferencial. • Apéndices. En el apéndice A se encuentran las demostraciones de los fundamentos matemáticos de las ecuaciones diferenciales . En el B se incluye material de apoyo útil.
• Conjuntos de problemas. Los problemas constituyen la parte central del libro. En la mayor parte de las secciones hay problemas para los que debe emplearse un medio numérico de resolución (se indican con un icono de computadora). Numerosas secciones contienen proyectos abiertos apropiados para un equipo de alumnos (se destacan con un icono de saludo de manos). Las respuestas a los problemas con números subrayados vienen al final ; las de www los que están marcados con el icono www se encuentran en el sitio web de Wiley, en http://www.wilwy.comlcollege/bonelli.
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XIII
Son posibles muchos cursos basados en este libro; a continuación se presenta un curso de un semestre para alumnos que por vez primera tienen contacto con las ecuaciones diferenciales. Capítulo 1: Capítulo 2: Capítulo 3: Capítulo 4: Capítulo 5: Capítulo 7: Capítulo 8: Capítulo 9:
secciones secciones secciones secciones secciones secciones secciones secciones
1.1 a 1.7 2.1 a 2.6 3.1 a 3.6 4.1, 4.2 o 4.3 5.1, 5.2 Y 5.3 o 5.4 7.1 a 7.7 8.1, 8.2 9.1, 9.2
Las secciones de los capítulos 8 y 9 pueden sustituirse por material de los capítulos 10 u 11 si es más apropiado para el curso. g~
•
En el Student Resource Manual (MRA; manual de recursos para el estudiante) se proporcionan las soluciones completas (junto con gráficas) de cada inciso de los problemas pares (no se incluyen los problemas de equipo). Asimismo, donde es apropiado se dan amplias demostraciones de los teoremas que se presentan. En el sitio web de Wiley se encuentra una muestra de soluciones del MRA para los problemas marcados con www . Los autores, junto con William Boyce, han creado un conjunto de experimentos con gráficas por computadora y proyectos de modelación (también publicado por Wiley) con el título de Differential Equations Laboratory Workbook (libro de ejercicios para el laboratorio de ecuaciones diferenciales), con el que se complementa un curso de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el apéndice de ese libro de ejercicios se ofrece un repaso casi telegráfico de tres ambientes de modelación: procesos de tasa de cambio, circuitos eléctricos y mecánica. También s'e incluyen muchas gráficas de soluciones de ecuaciones diferenciales que sirven como referencia visual útil. El libro que tiene usted en las manos es una parte independiente de ese libro de ejercicios, aunque ambos se complementan entre sí. Para conocer los suplementos el profesor debe recurrir a la editorial.
•
A mi esposa, Ursula Marie, cuya paciencia y comprensión a veces llegaron al límite a causa del programa de trabajo extraordinario que se necesitó para crear este libro. Como bien lo expresó Petrarca: Tu che dentro mi vedi e' 1 mio mal senti / et sola puoi finir tanto do lore / con la tua ombra acqueta i miei lamenti. (RLB) Este libro está dedicado a mi maravillosa y paciente esposa, Julia, y a nuestros hijos, sus esposas y nuestros nietos: David, Sally, Elizabeth, Brittany, Rebecca, Timothy, Margaret, Chuck, Erica, Katie, Diane, David y Christopher. (CSC)
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Somos los estudiantes que ayudamos a que este libro quedara perfecto. Nuestra experiencia con esta labor empezó cuando tomamos el curso de ecuaciones diferenciales, en el que utilizamos la edición preliminar. Luego, de algún modo (del cual sabemos poco) nos absorbió el proyecto. Al empezar no teníamos la menor idea de en qué nos metíamos. Hemos descubierto algo: es difícil escribir un libro de texto bueno y completo. Si hubiésemos previsto la cantidad de trabajo que nos aguardaba, sobre todo en las etapas finales, habríamos preferido unas buenas vacaciones de verano. Sin embargo, creemos que valió la pena. Se nos asignó una misión: aplicar nuestra propia experiencia con el texto a fin de mejorarlo para el alumno. Leímos cada capítulo con espíritu crítico e hicimos sugerencias acerca de cómo podría facilitarse la comprensión de los ejemplos y explicaciones. Conocíamos bien algunos capítulos, de modo que sabíamos qué cambios los mejorarían. No obstante, desconocíamos por completo otros y tuvimos que asumir nuestro papel de alumnos para estudiar lo expuesto por primera vez (sin ayuda del profesor). Cuando terminábamos un capítulo, entregábamos pilas de sugerencias a los autores, quienes tomaban en cuenta todos los comentarios y los usaban para ponerse de acuerdo no sólo entre ellos, sino también con nosotros, sobre cómo podría mejorarse el libro. Algunas secciones necesitaban cambios menores; otras tuvieron que ser escritas de nuevo. y podemos ver plasmados nuestros comentarios y sugerencias no sólo en los cambios ligeros sino también en los de trascendencia. Consideramos que estos cambios han mejorado el libro. Desde el principio esta obra fue un poco distinta de las demás, y sigue siéndolo. Su énfasis en la modelación da un propósito a las ecuaciones diferenciales. No se limita a enseñar a los alumnos cómo resolver ecuaciones diferenciales que modelan una situación; les muestra también cómo construir el modelo. El acento en el análisis gráfico y la visualización hace que los conceptos sean más intuitivos. Los numerosos ejemplos contribuyen a lograr una mejor comprensión. Con este nuevo enfoque se facilita el acceso a los conceptos relacionados con las ecuaciones diferenciales. Esperamos que nuestro trabajo, que se fundó en la óptica de los alumnos, sirva de apoyo para los estudiantes que lo utilicen. ¡Buena suerte!
Tyffany Amal Claire Launay Joel Miller
2000 2000 2000
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Capítulo Velocidad inicial
= 20
mis
1
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1
3
11
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1
5
O
O .0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Tiempo (s)
Lance una pelota al aire. ¿Le lleva más tiempo subir o bajar? Revise el ejemplo 1.5.5.
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
¿Cuántas toneladas de pescado pueden recogerse al año sin exterminar la población? Cuando duplica la dosis de medicamento contra el resfriado, ¿se queda dormido en la clase de matemáticas? ¿Tarda más en subir una pelota que en caer? En este capítulo se modelan los procesos naturales por medio de ecuaciones diferenciales a fin de responder éstas y muchas otras preguntas.
1.1
Una aventura de modelación Las ecuaciones diferenciales ofrecen poderosas herramientas para explicar el comportamiento de procesos con cambios dinámicos. Utilizaremos tales herramientas para responder preguntas acerca de procesos que de otra manera son difíciles de contestar. Considere, por ejemplo, la población de peces de uno de los grandes lagos. ¿Qué tasa de pesca conserva en cantidades aceptables la población de peces y la industria pesquera? Emplearemos ecuaciones diferenciales para determinar cómo cambia la población de peces a lo largo del tiempo con base en las tasas de nacimiento, muerte y captura. La clave que indica que puede usarse una ecuación diferencial para describir lo que sucede radica en las palabras tasas de nacimiento, muerte y captura. La palabra clave es tasas. Las tasas son una derivada con respecto del tiempo, pero ¿qué cantidad va a derivarse en este caso? Midamos la población de peces vivos en el instante t entre el tonelaje
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2
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
total y(t), con el tiempo en años. Entonces la tasa de cambio neta de la población de peces expresada en toneladas de pescado por año es dy(t)/dt, que se escribe y'(t) o, simplemente, y' . En cualquier instante t, se tiene y'(t) = tasa de nacimiento - tasa de muerte - tasa de captura
(1)
donde cada tasa se mide en toneladas por año. Supóngase que las tasas de peces inmigrantes y emigrantes de los ríos que se comunican con el lago se anulan entre sí, de modo que no es necesario escribirlas en (1). De la observación minuciosa de numerosas especies durante muchos años se sabe que la cantidad de peces que nacen y mueren es proporcional al tamaño de la población: Tasa de nacimiento en el instante t: by(t) Tasa de mortalidad en el instante t: (m + cy(t))y(t) donde b, m y c son constantes de proporcionalidad no negativas. La dificultad radica en que al coeficiente de mortalidad natural, m, se suma el término cy(t), lo que explica la sobrepoblación. A medida que crece la población en un hábitat estable, la tasa de mortalidad suele crecer mucho más rápido de lo que puede explicarse con un solo coeficiente constante m . El término de "sobrepoblación" es necesario para modelar este factor de mortalidad acelerado. Unamos ahora todas las piezas y creemos un modelo.
Construcción del modelo matemático
1& Si H es una constante positiva, entonces se trata de un modelo de captllra de tasa cOlIstante.
Sea H la tasa de captura. Entonces, con la ley que se expresa con (1) tenemos una ecuación diferencial para y(t): y'
= by -
(m + cy)y - H
o bien, y' = ay - cy2 - H
(2)
donde a = b - m se supone positiva. Una ecuación como la (2), con una función por determinar de una sola variable y sus derivadas, se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO). En relación con el modelo de pesca, cabe señalar que la observación de una población real de peces da una idea muy precisa de las tasas de natalidad y mortalidad (por tanto, se supone que a y c son valores conocidos) y que la tasa de captura H está controlada. Entonces queda por determinar el tonelaje y(t) a partir de la EDO (2) . Una función y(t) para la que y'(t) = ay(t) - c(y(t))2 - H
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3
1.1 / Una aventura de modelaci6n
1& Suele decirse que y(t) satisface una EDO para indicar que y(t) es
una solución de la EDO.
para toda t en un intervalo se denomina solución de la EDO (2). Puede calcularse el valor Yo de y(t) en cualquier instante to, Y con seguridad debe ser un factor fundamental para predecir valores posteriores de y(t). La condición y(to) = Yo se llama condición inicial. Al medir el tiempo a partir de to hemos creado un problema cuya solución y(t) son las toneladas de peces predichas para el futuro:
Modelo matemático para la población de peces a través del tiempo Dadas las constantes a y c, la tasa de captura H y los valores to YYo, calcule la función y(t) para la que y' = ay- cy2-H,
y(to) = Yo
(3)
en algún intervalo t que contenga ato.
La EDO y la condición inicial en (3) constituyen un problema de valor inicial (PVI) para y(t). En el capítulo 2 veremos que el PVI general (3) tiene una solución única en algún intervalo t si la tasa de captura H es una constante, o si H es una función continua de tiempo. Es bueno saber que enfrentamos un problema que tiene exactamente una solución, pese a que aún no sabernos cómo obtenerla. Es corno saber de antemano que sí embonan todas las piezas de un rompecabezas. ¿Cómo describiremos la solución y(t) del PVI (3)? ¿Con palabras, gráficas o fórmulas? Utilizaremos las tres cosas.
Fórmula de solución para el PVI (3) sin sobrepoblación Hemos construido un modelo general de PVI para el tonelaje de peces. A fin de describir la resolución, quizá sea mejor no atacar todo el problema de valor inicial, sino analizar primero los casos particulares. Pensamos que no hay sobrepoblación (entonces c = O) Y empecemos con un valor conocido Yo. Se obtiene entonces el siguiente PVI: obtenga y(t) de modo que y' = ay -H,
y(O) = Yo,
t c. O
(4)
Supóngase que a, H y Yo son constantes no negativas. En seguida exponernos un método para hallar una fórmula de solución para el PVI (4). Digamos que y(t) es una solución del PVI (4), es decir, y'(t) = ay(t) - H,
y(O) = Yo
(5)
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Ecuaciones diferenciales
1& Explicamos este método en la sección 1.3.
de primer orden y modelos
7.1/
Al pasar los términos de la EDO de (5) al miembro izquierdo y multiplicar por e-al se obtiene e-at(y' - ay + H) = O
(6)
En virtud de que (e-al)' = - ae:" y (e-aty(t))' = e-aly'U) - ae-at y(t), la EDO (6) se convierte en -al H ( e y--e a
-al)' = O
~ F ción e:
Del cálculo sabemos que las funciones cuya derivada es cero son funciones constantes. Por tanto, para cierta constante C se tiene H e-al y ()t --e a Si t
= O en la fórmula
=at
curva:
fica de
(7)
=c
(7), entonces podemos resolver para C. Se obtiene H yo--=C a
(8)
ya que y(O) = yo. Por consiguiente, al multiplicar por e" cada miembro de la fórmula (7), emplear el valor de C dado en (8) y reordenar los términos, se observa que la solución del PVI (4) tiene la forma y(t)
y' = y.
= ~H + ( Yo -
o
H) e al ,
~
(9)
para t > O
y'=y-5/3,O
20
20
15
15
-v;
-,
-v; ee
'"
"O
ee
<>e glo
~
"O
'"
glO
g
'"
'"
....... 2
4
4
t (años)
Figura 1.1.1 Crecimiento exponencial PVI (4) con a = 1, H = O.
~
(sin captura):
I
(años)
6
lO
Figura 1.1.2 Crecimiento exponencial y decrecimiento (con captura): PVI (4) con a = 1, H = 5/3.
1& En nia con 5 de resol usted so
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7.7/ Una aventura de modelación
lJ§f" Recuerde: una solució" es una función; una curva soluciólI es la gráfica de una solución.
Para completar el proceso es conveniente comprobar que la función y(t) dada en (9) es en realidad una solución del PVI (4). ¿Qué nos indica la fórmula (9) sobre la población de peces? Primero, si el tonelaje inicial Yo es exactamente H/a , entonces a partir de (9) se obtiene y(t) = H/a para toda t 2 O. Esta solución constante y(t) = H/a se denomina solución de equilibrio . Segundo, obsérvese que si Yo es un poco mayor que H/a, entonces empieza el crecimiento exponencial; si es menor, se extingue la población de peces debido a que hay un instante t* > O tal que y(t*) = O. La gráfica en el plano ty de una solución y(t) de una EDO recibe el nombre de curva solución . En la figura 1.1.1 se muestra el crecimiento exponencial de la población cuando no hay pesca (H = O). En la figura 1.1.2 se observa tanto el crecimiento como el decrecimiento exponencial a partir del equilibrio si hay pesca (H = 5/3 toneladas anuales). Estas dos gráficas se obtienen directamente con la fórmula (9) y software para trazar gráficas. Si Yo < H/a pronto se extinguirá la población, pero si Yo > H/a , entonces crece sin límite (lo cual nunca sucede en la realidad). Por consiguiente, necesitamos un modelo mejor. Quizá sea indispensable tener en cuenta el término de la sobrepoblación.
Sobrepoblación sin captura de peces Omitamos por el momento el término de la captura de la EDO y usemos otra vez el término de la sobrepoblación para obtener el PVI y' = ay- cy 2,
y(O) = Yo'
t2 O
(lO)
donde a, c y Yo son constantes positivas. Aunque hay una fórmula para resolver el PVI (lO) (véase el ejemplo 1.6.5), no es fácil obtenerla, por lo que se requiere otra forma de describir la solución de tal problema. Hay programas de computadora denominados medios numéricos de resolución con los que se obtienen aproximaciones muy precisas de la solución de un PVI como el (10), incluso cuando no hay fórmula de solución. Veamos qué puede hacer uno de esos medios con el PVI (lO). En la figura 1.1.3 se ilustran curvas solución aproximadas para el PVI (lO) con a = 1, e = 1/12: y' = y - l / 12,
Empiece la calistenia con su medio numérico de resolución realizando usted solo la figura 1.1.3.
lJ§f"
y(O) = Yo'
Yo = varios valores positivos, t 2 O
(11)
Hemos establecido el intervalo de tiempo de resolución en la computadora en O::; t::; 10 a fin de predecir el tonelaje futuro y el intervalo de tonelaje en O::; y::; 20; los tonelajes negativos carecen aquí de sentido. ¿Qué se sugiere en la figura 1.1.3 acerca del tonelaje de peces en evolución a medida que transcurre el tiempo? Primero, al parecer hay dos niveles de equilibrio, y(t) = 12 para toda t 2 O Y y(t) = O para toda t 2 O. ¿Son éstas soluciones reales de la EDO de (11)? Sí, ya que las funciones constantes y(t) = 12 Y y(t) = O satisfacen la EDO, como puede comprobarse mediante sustitución directa. Algo interesante es que al parecer el equilibrio superior atrae a las demás curvas solución no constantes en el cuadrante de pobla-
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
ción y ~ 0, t ~ O. Por sí sola, la población de peces tiende al equilibrio sin importar cuál sea la población inicial. Como utilizaremos con frecuencia algún medio numérico de resolución, veamos cómo funcionan.
Algunas sugerencias para usar un medio numérico de resolución A través del medio numérico de resolución se obtiene el trazo de un valor aproximado de la solución y(t) en cientos de instantes; luego estos puntos (instantes) se unen en la pantalla de la computadora por medio de segmentos de recta. Cuán bien se aproxime la gráfica a la solución real depende de la calidad del med io. Los analistas numéricos han realizado un trabajo sobresaliente al construir medios de resolución confiables; nosotros tenemos mucha confianza en los nuestros. Por el momento, sólo nos ocuparemos de los aspectos básicos para usar el medio . Lo primero es escribir el PVI en la forma y' = fU, y ),
y(to) = Yo
porque el medio debe conocer la funciónj(t, y) y el punto inicial (to, Yo). Puesto que dy/dt es la tasa de cambio con respecto al tiempo de la solución y(t) del PVI, suele llamarse a f(t, y) función de cambio. A continuación, debemos especificar un intervalo de tiempo de resolución que abarque del punto inicial to al punto final ti . Se dice que el PVI se resolverá hacia adelante si t) > to Y hacia atrás si t) < too
20 •
20 .
y'=y -y2/ )2 -S/3,
0 :syo:S 20
y= 12
y =o
la t (años)
Figura 1.1.3 Sobrepoblación, sin captura: soluciones de equilibrio y = O, 12; PVI (11) .
10
t (años)
Figura 1.1.4 Sobrepoblación, captura: soluciones de equilibrio y = 2, 10; PVI (12).
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1.1/ Una aventura de modelación
lJZilf' En el manual de recursos para el estudiante se brinda más información sobre cómo utilizar los medios numéricos de resolución.
Es indispensable indicar al medio cómo debe mostrar las curvas solución. Para ello, antes de ordenarle que encuentre y trace las gráficas de tales curvas, se establece el tamaño de la pantalla (es decir, los intervalos de los ejes). Hay dos razones para hacerlo así: • Los medios bien diseñados a menudo se desactivan automáticamente cuando la curva solución excede el área de pantalla especificada debido a una mala selección del intervalo de tiempo de resolución. Esto evita que la computadora realice cálculos inútiles (y quizá que falle). • Algunos medios tienen valores preestablecidos que ajustan la dimensión de la pantalla de forma automática para la curva solución en el intervalo de tiempo de resolución. En caso de tener una curva solución demasiado grande no se verá mucho en la pantalla. La elección del tamaño de la pantalla correcto para obtener todas las características que se desean examinar es un arte y una ciencia al mismo tiempo. La habilidad para configurar la dimensión de la pantalla mejora con la experiencia. Con lo visto hasta ahora estamos listos para volver al modelo de población de peces. Abordemos nuevamente el tema de la industria pesquera para ver qué sucede.
Sobrepoblación y captura de peces Empecemos por incluir una pesca moderada, digamos, H = 5/3 toneladas por año, de modo que el PVI (11) se convierte en
y' = y_l 12
_1 = -J..-(y-2)(y-1O) 3
12
'
y(O) = Yo
~ o,
(12)
Con un medio numérico de resolución se trazan las curvas solución aproximadas del PVI (12) para los valores positivos de Yo (fig. 1.1.4). Hay dos soluciones de equilibrio: Y = 2 Y Y = 10, para toda t. La recta de equilibrio superior aún atrae las curvas solución, pero no 20
y' = y - yl12 - 4,
20 -
o < Yo < 20
y' = y- y2112 -H(/), H(t)
=
{4,O,
o
o~ / < 5 /? 5
15
y= 12
t(años)
10
Figura. 1.1.5 Extinción; PVI (13) para varios valores de Yo-
6
10
/ (años)
Figura 1.1.6 La prohibición de la pesca durante un periodo de cinco años reestablece la población de peces; PVI (14).
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
a todas. Las que comienzan debajo de esa recta se curvan hacia abajo, hacia la extinción. Este modelo de una tasa de captura baja emite una señal de alerta amarilla: la pesca moderada no parece ser muy dañina, al menos si el tonelaje inicial Yo es lo suficientemente alto; sin embargo, incluso una tasa de captura moderada podría causar la extinción si el nivel de población inicial es bajo. No obstante, éste es un escenario en el que tanto la población de peces como la industria pesquera sobreviven bien. Supóngase ahora que no hay restricciones para los pescadores y que la tasa de captura es mucho más alta; digamos que aumenta a 4 toneladas por año. Se tiene entonces el siguiente PVI con captura enorme: 2
I
Y
Y =y- U - 4,
y(O) = Yo,
t~O
(13)
Esta vez, si queremos obtener las soluciones de equilibrio con y' = O y utilizamos la fórmula para la ecuación cuadrática a fin de calcular las raíces de Y - l /12 - 4, descubriremos que no hay ninguna. De hecho, y' siempre es negativa; en la figura 1.1.5 se observa la catástrofe que eso implica.
Prohibición de pesca No podemos permitir que se extinga la población de peces. Veamos qué sucede con el modelo si después de cinco años de pesca a una tasa de 4 toneladas por año se prohíbe esa actividad durante cinco años. Ahora la tasa de captura está dada por la función H()
t =
{4, O::;; t < 5
O, 5::;; t::;; 10
y el PVI es 2
y' = y -
~2 -
H(t),
y(O) = Yo'
O::;; t::;; 10
(14)
Por fortuna, se sabe que aun cuando la tasa de pesca sea una función de activación y desactivación como H(t), un problema de valor inicial como el (14) tiene una solución única y(t) para todo valor de Yo. No tenemos una fórmula para y(t), pero con el medio numérico de resolución se obtiene una buena idea de su comportamiento. Como era de esperarse, se rescata a la población de peces de la extinción si Yo es grande. En la figura 1.1.6 se observa que luego de cinco años de pesca intensa la población sobreviviente se dirige al nivel de Y = 12. Hemos salvado a los peces, pero a costa de la industria pesquera. En la figura 1.1.6 se muestra un rasgo extraño no visto en ninguna de las otras gráficas: esquinas en las curvas solución. Éstas aparecen precisamente en t = 5, cuando la captura se detiene de súbito. Así, en las gráficas se observa una discontinuidad en la tasa de captura como un cambio repentino en la pendiente de una curva solución. No debe sorprender, ya que la pendiente de una solución y(t) es la derivada y'(t), y y'(t) en la EDO (14) se relaciona con la tasa de activación y desactivación de captura.
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1.1/ Una aventura de modelación
Comentarios Hemos creado un modelo matemático por medio de EDO para los cambios en el tamaño de la población, un modelo que incluye controles internos (el factor de sobrepoblación) y externos (la tasa de pesca). Obtuvimos fórmulas para las soluciones del modelo matemático en un caso simple; utilizamos un medio numérico de resolución para trazar las gráficas de las soluciones en los casos más complejos, e interpretamos las soluciones en términos de lo que sucede con la población de peces. El modelo aquí presentado tiene sus defectos, como todos. Sin embargo, el proceso de modelación nos ha permitido examinar las consecuencias de varias suposiciones acerca de la tasa de cambio de la población de peces. Hay muchos medios de resolución buenos que exigen muy poca o ninguna habilidad de programación. En esta obra no presuponemos un medio específico.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
IBW El subrayado indica una respuesta al final del libro
2.
IBW Los iconos de computadora indican que debe usar un medio numérico de resolución.
_
3.
(Crecimiento exponencial.) Supóngase que el PVI modelo para una población de peces está dado por y'(t) = ay(t), y(O) = Yo, donde a y Yo son constantes positivas (sin
sobrepoblación ni captura). (a) Obtenga una fórmula de solución para y(t). (b) ¿Qué sucede con la población a medida que transcurre el tiempo? ¿Se trata de un modelo objetivo? Explique por qué. (Control por sobrepoblación Y captura.) El PVI y' = y - y2/9 - 8/9, y(O) = Yo, donde Yo es una constante positiva, es un caso especial del PVI (3). (a) ¿Cuál es el coeficiente de sobrepoblación y sus unidades? ¿Cuál es la tasa de captura? (b) Obtenga los dos niveles de equilibrio positivo. [Sugerencia: calcule las raíces de y - y2/9 - 8/9.] (e) Trace las gráficas de las curvas solución del PVI para distintos valores de Yo. Utilice los intervalos O:::; t:::; 10, O:::; y:::; 15. Interprete lo que observa en términos del futuro de la población de peces. (Reabastecimiento .) El reabastecimiento de la población de peces con R toneladas de peces anuales da lugar a la EDO modelo y' = ay - cy2 + R, donde a y c son constantes positivas. (a) Explique cada término de la EDO modelo. (b) Pruebe el modelo en el PVI y' = y - y2/ 12 + 7/3, y(to) = Yo para distintos valores negativos de to YYo. ¿Qué pasa con las curvas solución si avanza o retrocede el tiempo? Utilice los intervalos O:::; t:::; 10, O:::; y:::; 25 para la pantalla. Interprete lo que observa. (Captura y reabastecimiento periódicos.) Considere el PVI y' = y - y2 + 0.3 sen(21tt), y(to) = Yo·
(a) Explique el significado de la EDO en términos de una población de peces. Trace las curvas solución para to = O y valores de Yo en el intervalo de O a 2. Utilice
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Ecuaciones diferenciales
de primer orden y modelos
1.2/
20 20
15 15
-;;;os "O os
"
'" g '"
-;;;-
1&
'"ee
consu del n para,
"O
"
§ -=:-
10
10
'"
t (años)
Figura 1.1.7 Temporada (problema 7).
www
5.
corta de captura de peces
t (años)
Figura 1.1.8 Temporada (problema 7).
larga de captura de peces
los intervalos O ~ t ~ 10, O ~ Y ~ 2. Haga lo mismo para to = 1,2, ...,9 Y Yo = O. Interprete lo que observa en términos de la población de peces. (b) Explique por qué se parecen las curvas solución que comienzan en (to, Yo) Y (to + 1, Yo). En el rectángulo O ~ t ~ 10, -1 ~ Y ~ 2, trace la curva solución que pasa por el punto to = 0.5, Yo = O. ¿Por qué carece de sentido esta curva en términos de la población de peces? (Captura con esfuerzo constante.) Los modelos de esta sección sufren de un defecto. En niveles bajos de población no puede mantenerse por mucho tiempo una tasa de captura alta y fija porque se exterminaría la población. Un modelo más seguro (para los peces) es y' = ay - cy2 - Hoy, y(O) = Yo, donde a, e, Ho Y Yo son constantes positivas. En este modelo, cuanto menor sea la población menor será la tasa de captura. (a) Interprete cada término de la EDO. ¿Por qué se denomina captura con esfuerzo constante? (b) Para los valores de Ho menores que a, explique por qué con el modelo se obtienen curvas solución similares a las de la figura 1.1.3, pero posiblemente con una población de equilibrio diferente y estable. (Captura intensa, captura moderada.) ¿Qué sucede cuando tras un periodo de captura intensa sigue otro de cinco años de captura moderada? Combine los PVI (12) y (13) Y suponga que y' = y - y2/12 - H(t), donde H(t)
={~i3,
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1.2/ Representación visual de las curvas solución
Si se mete en líos consulte la sección "Tips" del manual de recursos para el estudiante.
Il@f
Trace las curvas solución para O:S; t :s; 10, O:S; Y :s; 20 e interprete lo que observa. Trace las rectas y = 10 Y Y = 2 en la gráfica y explique su importancia para la población para t e: 5. (Captura estaciona!.) Digamos que la captura es estacional, "activa" para los primeros meses del año e "inactiva" para los restantes. La EDO es y' = ay - cy2 - H(t), donde H(t) tiene el valor Hi, durante la estación activa y O durante la inactiva. Los primeros dos meses de cada año constituyen la estación de captura en la figura 1.1.7 y los primeros ocho meses en la figura 1.1.8; en ambas figuras a = 1, e = 1/12, Ho = 4. Reproduzca las gráficas de esas figuras. Explique lo que observa en términos del comportamiento de la población. [Sugerencia: pruebe H(t) = Ho oc(t, d, 1), donde d = 100(2/12) = 50/3 para una estación de dos meses y d = 100(8/12) para otra de ocho meses. En el apéndice B.1 se ofrece más información acerca de la función oc.]
10
eces
1.2 Yo
Representación visual de las curvas solución
=
y (fa que térecto. a de para osia.
En la sección anterior utilizamos un medio numérico de resolución para trazar las curvas solución de algunas ecuaciones diferenciales y aceptamos los resultados sin objeción, lo cual representa una práctica arriesgada porque toda computadora y todo programa tienen sus limitaciones. Siempre es bueno contar con más de una forma de considerar las cosas de modo que sea posible comprobar los resultados de distintas maneras. En esta sección se muestra cómo representar visualmente el comportamiento de una curva solución con base en la ecuación diferencial misma, en lugar de confiar únicamente en el resultado de la computadora como solución. Sin embargo, es necesario hacer primero una breve digresión. Existen buenas razones para haber escrito las ecuaciones diferenciales consideradas hasta el momento en laforma normal y' = f(t,y)
cap12) Y
(1)
dondef(t, y) es una función definida en cierta parte (o en todo) del plano ty. Por ejemplo, la mayor parte de los medios numéricos de resolución sólo aceptan EDO escritas en la forma normal. Además, la teoría general de EDO sólo se aplica a ecuaciones diferenciales de esta forma. Definamos ahora lo que se entiende por una solución de la EDO (1). Una función y(t) definida en un intervalo t de 1es una solución de la EDO (1) si f(t, y(t)) está definida y y'(t) = f(t, y(t)) para toda t en I. Con esta definición y la forma normal, es posible fundamentar una explicación general de la relación que existe entre las soluciones y(t) de la EDO (1) y sus curvas solución correspondientes.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Curvas solución
1& ¿De modo que no hay fónnula de solución?
y
'" --0
En los ejemplos de la sección anterior vimos que las EDO pueden tener muchas soluciones; tuvimos suerte de encontrar una fórmula para una de las EDO más simples. En la sección 2.1 veremos que en ciertas condiciones favorables, las EDO tienen soluciones aun cuando no siempre sea posible hallarles fórmulas explícitas. Con esta premisa, podemos usar un medio numérico de resolución para trazar las curvas solución aproximadas. A menudo recurriremos a la teoría y a los métodos geométricos para examinar las propiedades de las soluciones sin la ventaja de las fórmulas de solución. Considere la EDO normal y' = f(t, y), donde f(t, y) está definida en un rectángulo cerrado R, es decir, un rectángulo que contiene sus rectas frontera. Si (to, Yo) es algún punto R y sify la af/ay son continuas en R, entonces (como se mostró en la sección 2.1) existe exactamente una solución y(t) para el problema de valor inicial (PVI) y' = f(t, y),
y(to) = Yo
(2)
El punto (to, Yo) en R se denomina punto inicial para el PVI. La curva solución para y(t) comprende el límite de R tanto para t > to como para t < too En otras palabras, la curva solución no se detiene en forma repentina dentro de R . La única posibilidad para resolver el PVI (2) para todo punto (to, Yo) en R implica que ningún par de curvas solución de la EDO y' = f(t, y) puede intersecarse en R. Podemos considerar R cubierto por curvas solución, con cada punto de R en exactamente una solución. Al saber que el PVI (2) tiene una solución única, podemos utilizar un medio numérico de resolución para calcular y trazar curvas solución aproximadas. En el capítulo 2 veremos que los medios numéricos de resolución siguen un proceso paso por paso para generar los puntos aproximados en una curva solución y luego graficar las soluciones aproximadas uniendo esos puntos por medio de segmentos de recta. Veamos ahora algunas interpretaciones geométricas.
Geometría de las curvas solución y y=y(t)
y'(I) = f(t, ji) = tan
e
1& Ésta es una fonna práctica de reconocer geométricamente curvas solución.
Hay una forma de ver la posibilidad de resolver el PVI (2) que apela a la intuición geométrica y se presta a adoptar un enfoque gráfico para hallar las curvas solución. La EDO tiene como característica que en cada punto (t, y) de R el número f(t, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva solución que pasa-por ese punto (véase la-figura del margen). Por otro lado, supóngase que la gráfica de una función y(t) se sitúa en R . Entonces y(t) define una curva solución de y' = f(t, y) si en cada punto et, y) sobre su gráfica la pendiente de la recta tangente tiene el valor f(t, y). Ésta es la forma geométrica de expresar que y'(t) = f (t, y(t)), es decir, y(t) es una sclución para la EDO. Este cambio de perspectiva nos ofrece una forma imaginativa de ver las curvas solución de la EDO. Si se trazan segmentos de recta cortos con pendientesf(t, y) y centrados en una cuadrícula de puntos (t, y) en R obtenemos un diagrama denominado campo de direcciones.
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1.2/ Representación visual de las curvas solución
Un campo de direcciones sugiere curvas en R con la propiedad de que en cada punto sobre cada curva la recta tangente a ésta en ese punto apunta en la misma dirección que el segmento de recta del campo de direcciones en el punto. Este procedimiento revela curvas solución de mar).era muy semejante a la forma en que la limadura de hierro esparcida sobre un papel y atraída por los polos de un imán deja ver líneas del campo magnético. Dada la función de tasa de cambio f(t, y), es posible trazar a mano segmentos de recta de un campo de direcciones, pero es mucho más fácil hacerlo con un medio numérico de resolución; la mayor parte de éstos puede realizarlo, incluso muchos de ellos permiten al usuario elegir la densidad de los puntos de la cuadricula, así como la longitud de los segmentos. En seguida se ilustran estas ideas por medio de un ejemplo.
Ejemplo 1.2.1
Un campo de direcciones y una curva solución
En la figura 1.2.1 se muestra un campo de direcciones para la EDO y' = Y - t2
lI:ilf' La relación de aspecto hace que los círculos trazados parezcan elipses.
Casi pueden .verse las curvas solución. Son ascendentes si y > t2 porque y' es positiva; son descendentes cuando y < t2 . Los segmentos de recta del campo en la figura tienen la misma longitud, aunque a primera vista no parezca así. Esto se debe a que la longitud de una unidad vertical en la pantalla de la computadora no es la misma que la de una unidad horizontal. La relación de la primera respecto de la segunda es la relación de aspecto de la pantalla. Tracemos ahora la curva solución que pasa por el punto inicial to = 0, Yo = 1. En la figura 1.1.2 se ilustra esta curva extendida hacia delante y hacia atrás con respecto al tiempo a partir de to = hasta que sale del rectángulo definido por la pantalla. Observe cuán bien se ajusta la curva solución al campo de direcciones.
°
Las isoclinas nulas, o curvas con inclinación cero de y' = f(t, y) están definidas por f(t, y) = O. Por ejemplo, en la EDO y' = Y - t2 se observa que f(t, y) = y - t2 , así que la isoclina nula es la curva definida por y = t2 (la curva discontinua de la figura 1.2.2). La isoclina nula divide el plano ty en la región arriba de la parábola (y > t2 ), donde las curvas solución ascienden, y la región debajo de ésta (y < t2 ), donde descienden. Las curvas solución cortan la curva con pendiente cero porque el segmento de la recta de dirección con centro en un punto en la isoclina es horizontal. En general, las isoclinas nulas no son curvas solución. Sin embargo, si Yo es una raíz de una funciónf(y), entonces la función constante y = Yo es una isoclina nula y una curva solución para la EDO y' = fu)
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Ecuaciones diferenciales
de primer orden y modelos
1.2 / RE
y' = y_t2 ,
\
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/
I
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2.0
1.5
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0.5
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0.0
'
-0.5
-1.0
Figura 1.2.1 Campo de direcciones (ejemplo 1.2.1).
Figura 1.2.2 Curva solución (línea continua) que pasa por el punto (O, 1) (ejemplo 1.2.1); curva isoc1ina nula (línea discontinua).
Por ejemplo, las rectas horizontales y = 1, y = 2 Y Y tiempo isoc1inas nulas y curvas solución de la EDO ~ En la sección 2.2 se analizan de forma pormenorizada las soluciones de equilibrio.
=
Figur: solucii
3 en el plano ty son al mismo
y' = (y - 1)(y - 2)(y - 3) Tales curvas reciben el nombre de curvas solución de equilibrio; las soluciones que las generan, el de soluciones de equilibrio. Determinación
de las soluciones
de equilibrio
Para determinar las soluciones de equilibrio de la EDO y' = f(y), primero establezca f(y) = O Y resuelva para y. Si Yo es un número tal quef(yo) = O entonces la función constante y = Yo, para toda t, es una solución de equilibrio.
Ejemplo 1.2.2
o
Soluciones
de equilibrio
Considere la EDO y' = 12y - -; - 20, que modela una población de peces capturada a una tasa constante. Ahoraf(y) = 12y - y2 - 20, Y como la ecuación 12y - y2 - 20 = O tiene como raíces a Yo = 2 Y Yo = 10 se tienen dos soluciones de equilibrio: y = 2, para toda t y Y = 10, también para toda t. A continuación se da otro ejemplo en el que el campo de direcciones sirve de guía a lo largo de las curvas solución.
I@'
El
conside blación captura.
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os
15
1.2 / Representación visual de las curvas solución
y'
= y-
y2 - O.2sen t ·1.09
1.5
1.0
0.5
~ 0.0
-0.5
-1
a la Figura 1.2.3 Campo de direcciones y algunas curvas solución para la EDO (3). o
Ejemplo 1.2.3
Figura 1.2.4 Amplificación de una parte de la figura 1.2.3 con centro en el punto (6.50, 1.07).
Captura en función del tiempo Considérese un modelo de EDO para una población de peces cuya ecuación de captura y reabastecimiento adopta la forma sinusoidal:
las En la sección 1.1 consideramos la población logística de captura. I@"
ea ns-
y' = y - y2_ 0.2 sent
(3)
Con el medio numérico de resolución obtuvimos el campo de direcciones y las curvas solución de la figura 1.2.3 para esta EDO. Casi puede verse el trazo de las curvas solución a lo largo del campo de direcciones. Al parecer, si la población inicial no es muy pequeña, entonces la curva de población resultante cobra la forma de una curva sinusoidal con periodo 2n, que no es sino el periodo de la función de captura y reabastecimiento H(t). No lo hemos comprobado, pero las pruebas visuales son muy contundentes.
Compresión, expansión y ampliación Las curvas solución de la figura 1.2.3 no son tan fáciles de graficar como se podría suponer. ¿Cuál punto inicial del eje de las abscisas elegiría para que la curva solución pase por el "punto objetivo" (7.5, -1)? La elección del punto inicial exacto es muy difícil porque muchas curvas solución cortan el eje y muy cerca de la curva solución deseada. Si el punto inicial elegido difiere ligeramente del correcto el resultado será una curva solución que se desviará del objetivo por un amplio margen. ¿Por qué es tan difícil dar en el blanco? Resulta evidente de la gráfica que dos curvas solución cualesquiera de la EDO se juntan o se apartan sin límite cuando t ---¿ +00. Para trazar
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
la curva solución que pasa por (7.5, -1), elija (7.5, -1) como punto inicial y resuelva hacia atrás con respecto al tiempo hasta que la curva solución toque al eje de las y. Las curvas solución de la mitad superior de la figura 1.2.3 parecen confluir y tocarse dentro del rectángulo R definido por la pantalla. No obstante, sabemos que esto no sucede por la siguiente razón: compare la EDO (3) con la EDO (2) para obtener la función de tasa f(t, y)
1& Compruébelo mediante un acercamiento con su medio numérico de resolución.
=y -
y2 - 0.2 sen t
Las funcionesf(t, y) y af/ay = 1 - 2y son funciones continuas en todo el plano ty y en teoría nos indican que las curvas solución de la EDO (3) nunca se tocarán. Por tanto, nuestro cómodo mundo de la teoría se enfrenta con el problema práctico de mostrar los datos en la pantalla de una computadora. Como la pantalla tiene un número finito de píxeles, no es posible distinguir los puntos con una separación menor de un pixel, lo que explica la evidente contradicción. En la figura 1.2.4 separamos mediante una amplificación las curvas que en apariencia se tocan. Cuando se hace un acercamiento del campo de direcciones y las curvas solución, parece que los segmentos de recta del campo son paralelos y las curvas solución son rectas paralelas muy cercanas entre sí.
Comentarios
1& Intente repetir estas condiciones como una mantra.
Hemos visto cómo reconocer geométricamente las curvas solución de y' =f(t, y) al observar el campo de direcciones determinado por la función de tasa de cambio f Asimismo, vimos que las isoc1inas nulas [dondef(t, y) es cero] dividen el plano ty en dos regiones, una donde las curvas solución ascienden y otra donde descienden. Con todo lo anterior se observa la íntima relación entre la función de tasa de cambio y el comportamiento de las curvas solución. También explicamos las condiciones (la continuidad de f y afldy en un rectángulo R) en las que puede asegurarse que el PVI y' =f(t, y), y(to) =Yo tiene una curva solución única en R, aun cuando no haya fórmula de solución conocida.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ (La prohibición de pesca podría llegar demasiado tarde.) Supóngase que una población de peces se modela con el PVI y' = Y - i/12 - H(t) , y(O) = Yo donde H(t) = 4 para O:S; t:S; 5, H(t) = O para 5:S; t:S; 10. Estime el valor más pequeño de Yo tal que la población se recupere al término de la prohibición. Explique las razones de su estimación. [Sugerencia: véase la figura 1.1.6.] (Soluciones de equilibrio.) Primero determine las soluciones de equilibrio para cada EDO. Luego explique con palabras cómo se comportan las curvas solución en dese-
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17
1.2/ Representación visual de las curvas solución
quilibrio en distintas regiones del plano ty. Después grafique un campo de direcciones y las curvas solución en el rectángulo. [Sugerencia: obtenga el signo de y' arriba y abajo de cada solución de equilibrio.] (a) y' =i-lly +lO, Itl~l, - 5~y~15
(b) y'= lyl-i, Itl~5, IYI~2
(e) y'=sen(2ny/(1+y2)), Itl~5, I YI~2 Utilice un medio numérico de resolución para trazar las curvas solución de las EDO. Utilice las cuatro condiciones iniciales y(O) = -3, -1, 1, 3 Y los intervalos O ~ t ~ 4, -4 ~ Y ~ 4. Sombree (o describa con palabras) las regiones donde ascienden las curvas solución. [Sugerencia: grafique las isoclinas nulas para obtener los límites de estas regiones. Antes de utilizar el medio numérico, escriba la EDO en forma normal.] (a)
y' + y = 1
(b)y'+y=t
(e) y' + y
=t +
(d) y'
1
=
sen(3t) - y
(Campos de dirección, isoclinas nulas y curvas solución.) Utilice un medio numérico que brinde la opción de graficar campos de direcciones para trazar uno para cada EDO en el rectángulo, I t I ~ 2, Iy I ~ 3. En la misma gráfica trace las isoclinas nulas. Utilice el medio para trazar las curvas solución que pasan por los puntos t = O, Y = O, ±2. Explique por qué cabe esperar que cada curva solución pueda ir de una arista del rectángulo a otra.
= -y + 3t y' = sen t sen y
(a) y"
www
11 5.
\lE Las www indican que la solución de este problema se encuentra en el sitio web de Wiley en www.wiley.comlcollege/borrelli.
(d)
= y + cos t (e) y' = sen t + sen y (b) y'
(e) y' (1) y'
= sen(ty) = sen(t + y)
(Ampliación para separar las curvas solución.) Utilice el medio numérico de resolución y trace las curvas solución del PVI y' = -2y + 3é, y(O) = Yo, para Yo = -5, -4, ... , 4, 5 sobre el rectángulo ty O ~ t ~ 3, -5 ~ y ~ 20. Para separar las curvas solución que en apariencia se juntan, amplíe la esquina superior derecha del rectángulo ty y observe si se separan las curvas. Describa e interprete lo que observa en cada gráfica. (¿Por qué se detienen las curvas solución?) Use el medio numérico de resolución para graficar un campo de direcciones en el rectángulo indicado y trace las curvas solución que pasan por los puntos iniciales indicados hasta donde sea posible en la dirección positiva del rectángulo. Si de pronto se detiene una curva solución o si ya no responde el medio, explique qué sucede. ¿En qué situación las isoclinas nulas no son las únicas que separan la región donde las curvas solución son ascendentes de la región donde son descendentes? [Sugerencia : Exprese cada EDO en la forma normal y' = f( t, y) Y localice los lugares del rectángulo donde f no es continua.] (a) (b)
= -1, 2yy' = -t, 2yy'
= 1; O ~ t ~ 1.5, -0.5 ~ y ~ y(-2) = 1.4, 1.5; - 2 ~ t ~ 1, -1 ~ y(O)
1.5
Y
~
2
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
~. 7. lBf Con el saludo de manos se indica un proyecto para trabajar en equipo.
1 .3
(Construya sus propias EDO.) Elabore sus propias EDO de primer orden con campos de dirección y curvas solución atractivas, raras, hermosas. Luego cree una EDO que haga inoperante su medio de resolución. Explique por qué éste tiene dificultades.
En busca de fórmulas de solución Las soluciones de una EDO pueden buscarse en dos niveles: puede buscarse una fórmula que describa una solución, o bien, pueden buscarse curvas solución con un medio numérico de resolución. El procedimiento de hallar soluciones de ecuaciones diferenciales en cualquiera de esos dos niveles se denomina resolución de una ecuación diferencial. En esta sección el objetivo será hallar fórmulas de solución. ¿Cómo pueden obtenerse fórmulas de solución para las EDO? Una forma es mediante una buena conjetura. La interferencia de una solución tiene una larga y honrosa historia como mecanismo para determinar soluciones, pero ciertas ecuaciones diferenciales ponen a prueba el ingenio de cualquier persona para inferir una fórmula de solución. Muy pronto veremos qu.e nuestra chistera de trucos (incluida la conjetura) para hallar fórmulas de solución es muy pequeña. Es aquí donde viene bien un medio numérico de resolución, con el que es posible encontrar y graficar soluciones numéricas aproximadas aun cuando no haya fórmula de solución a la vista. No obstante, un importante tipo de EDO sí tiene fórmulas de solución, por lo que primero daremos una descripción de ese tipo.
EDO de primer orden: ¿lineal o no lineal? El orden de una EDO corresponde al de la derivada más alta de la función por determinar incluida en las ecuaciones. Por ejemplo, y' = Y + sen t es una EDO de primer orden. Todas las EDO de las secciones anteriores son de primer orden. Más adelante, en las secciones 1.5 y 1.6 veremos algunas de segundo orden, como ésta
yl! = - 9.8 + O.15 y' yen la sección 1.7, como esta otra, también de segundo orden
, yl!
-k - (y+R)2
donde k y R son constantes positivas. En seguida analizaremos con detalle un tipo de EDO de primer orden que suele encontrarse al modelar los procesos naturales. Una EDO de primer orden es lineal si puede escribirse en la forma
y' + p(t)y = q(t)
(1)
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19
7.3 / En busca de fórmu las de solución
donde p(t) y q(t) son funciones que no dependen de y, pero podrían depender de t. Las EDO escritas como en (1) tienen laforma lineal normal . La EDO t2y' = ely + sen 3t es de primer orden y lineal porque al dividir entre t2 puede escribirse en la forma lineal I
sen3t
el
y -y = -2 t2 t
Las EDO de primer orden que no pueden escribirse en la forma (1) son no lineales . En la sección 1.1 vimos la EDO de primer orden y'-ay=-H
(2)
donde a y H son constantes. La EDO (2) es una EDO lineal de primer orden escrita en forma lineal normal. Ya vimos que las soluciones de la EDO (2) están descritas por la fórmula
H(
H)
al
y = ~ + Yo - ~ e
donde Yo es cualquier constante. En la sección 1.2 empleamos un medio numérico de resolución para obtener las curvas solución aproximadas de la EDO no lineal de primer orden
y' = y -
i
- O.2sent
(3)
En la figura 1.2.3 se ilustra el resultado. La EDO (3) es no lineal porque el término y2 impide que pueda escribirse en la forma lineal normal (1). Sin importar si la EDO es lineal o no, a menudo se recurre a la integración para construir una fórmula para las soluciones.
Obtención de fórmulas de solución El teorema B.5.5 del apéndice B tiene forma tradicional del teorema fundamental del cálculo.
1&
Teorema 1.3.1
El teorema fundamental del cálculo es una herramienta básica en la búsqueda de fórmulas de solución para las EDO. El concepto básico en el teorema es la antiderivación: la antiderivada de una funciónftt) es una función F(t) tal que F'(t) = ftt). Empecemos por obtener las soluciones de la EDO y' = ftt).
Teorema de la antiderivada. Supóngase que F(t) es una antiderivada de una función continuaf(t) en un intervalo t. Entonces, todas las soluciones de la EDO y' = f(t)
están dadas en el intervalo t por y = F(t) +
e,
donde
e es cualquier constante
(4)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Para ver esto, supóngase que y(t) es una solución de y' = f(t), que F(t) es una antiderivada de f(t) y que to es un punto en el intervalo t. Luego, al integrar desde to hasta t y utilizar el teorema fundamental del cálculo, se observa que y(t) - y(to):::
st y'(s)ds :::st f(s)ds ::: F(t) - F(to) to
to
para toda t en el intervalo, de modo que y(t) tiene la forma F(t) + una constante [la constante e en la fórmula (4) es y(to) - F(to) en este caso]. Por otro lado, y = F(t) + e es una solución de la EDO y' = f(t) para cualquier valor de la constante e, de manera que hemos obtenido todas las soluciones de la EDO.
El teorema de la antiderivada es la fuente de muchos métodos para obtener fórmulas de solución de las EDO. Podríamos decir que es la madre de todos los métodos. A continuación lo aplicaremos para determinar las soluciones de varias EDO.
Ejemplo 1.3.1
¡Sólo integre!
Puesto que (sen t)' ::: cos t, a partir del teorema"1.3.1 se observa que todas las soluciones para la EDO
y' ::: cost están dadas por la fórmula y(t) ::: sent + e,
e es cualquier constante
En seguida presentamos un ejemplo de cómo se aplica el teorema de la antiderivada a fin de obtener una fórmula de solución para una EDO lineal de primer orden normal.
Ejemplo 1.3.2
Prepare una EDO lineal para la integración
Supóngase que y(t) es una solución de la EDO lineal en la forma lineal normal y'-2y ::: 2
(5)
Multiplique cada miembro de la EDO por la función e-2t para obtener la identidad e- 2t y'(t) _ 2e- 2t y(t)::: 2e- 2t
(6)
Como e- 2t nunca es cero, toda solución de la EDO (6) lo es también de la EDO (5), y viceversa. La regla del producto para las derivadas establece que
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21
7.3 / En busca de fórmulas de solución
y por tanto la identidad (6) puede escribirse como (7)
El truco de multiplicar la EDO (6) por e-2t no es resultado del capricho. El objetivo fue obtener la EDO (7). Ahora aplicaremos el teorema 1.3.1 a la EDO (7) para obtener
donde
e es cualquier constante. Multiplique la ecuación anterior por e2t : y=_1+e 2t C,
para toda t
Ahora tenemos una fórmula para todas las soluciones de la EDO (5). Multiplicar ambos miembros de la EDO (5) por e- 2t resultó ser una buena estrategia. Se preguntará cómo dimos con el factor mágico e-2t . Más adelante verá cómo elegir tales "factores de integración" para las EDO como la (1).
Método del factor de integración para las EDO lineales Considérese la EDO lineal normal de primer orden y' + p(t)y = q(t)
~ En el teoremaB.5.7, apéndice B.5, se da una explicación más amplia de la regla de la cadena.
(8)
donde el c'o,eficiente p(t) y el término independiente o entrada q(t) son funciones continuas en un intervalo t de l. Si q(t) = Opara toda ten l , entonces se dice que la EDO (8) es homogénea . De otro modo, la EDO (8) es inhomogénea por la entrada q(t) . Obtengamos una fórmula para todas las soluciones de la EDO (8). Con el siguiente método obtendremos una fórmula para todas las soluciones. Supóñgase que P(t) es cualquier antiderivada del coeficiente p(t) de la EDO (8) en el intervalo l ; es decir, P'(t) = p(t) en l . La función exponencial eP(t) se denomina facto r de integración o factor integrante para la EDO (8). Por medio de la regla de la cadena se tiene que (eP(t»)'= eP(t) P'(t) = eP(t) p(t) y, por tanto, obtenemos la identidad
I
[eP(t)y(t)
r
= eP(t)y(t)' + eP(t) P'(t)y(t)
= eP(t)y'(t) + eP(t) p(t)y(t) = eP(t) [y'(t) + p(t)y(t)]
(9)
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22 En el teorema B.5.7, apéndice B.5, se da una explicación más amplia de la regla de la .cadena.
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Emplearemos la identidad (9) para resolver la EDO (8). Supóngase que y(t) es una solución de la EDO (8) en el intervalo 1. Al multiplicar la EDO (8) por el factor de integración eP(tl, obtenemos la identidad eP(t)[y'(t) + p(t)y(t)] = eP(t) q(t)
que, debido a la identidad (9), puede escribirse como [eP(t)y(t)
r
= eP(t) q(t)
(10)
Supóngase que R(t) es una antiderivada de eP(t)q(t). Como R'(t) = eP(t)q(t), tras aplicar el teorema 1.3.1 a la EDO (10) se obtiene
donde C es una constante. Después de multiplicar cada miembro de la igualdad por e",P(t) , se tiene una fórmula para la solución y(t) de la EDO (8) que empezamos con: y = Ce -P(t)
~
De otra forma, demuestre directamente que y(t) en (11) resuelve la EDO(8).
+ e -P(t) R(t)
(11)
donde C es una constante. En virtud de que P(t) y R(t) están definidas en el intervalo t de l , donde p(t) y q(t) son continuas, se observa que la solución está definida en 1. Así, hemos demostrado que toda solución y(t) de la EDO (8) tiene la forma (11) para algún valor de la constante C. Pero, ¿qué valores de C en la fórmula (8) producen en realidad una solución de la EDO (8)? ¡Cualesquiera! Para verlo, empiece con cualquier constante C para definir una función y(t) por medio de la fórmula (11) y luego invierta los pasos anteriores para comprobar que la función y(t) es una solución de la EDO (8). En resumen, éstos son los pasos que seguimos para obtener la fórmula (11): Cómo resolver una EDO lineal de primer orden
~
Pasar por alto este primer paso puede ser fatal.
1. 2. 3.
4. 5.
Escriba la EDO en la forma lineal normal y' + p(t)y = q(t) e identifique el coeficiente p(t) y el término independiente q(t). Calcule una antiderivada de P(t) para p(t); cualquiera servirá. Multiplique la EDO por el factor de integración eP(t) y escriba la nueva EDO como
Calcule una antiderivada de R(t) para eP(t)q(t); cualquiera servirá. Aplique el teorema de la antiderivada (1.3.1) a la nueva EDO, multiplique y reordene los términos para hallar la fórmula de solución general (11).
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7.3 / En busca de fórmulas de solución
Puesto que la fórmula (11) abarca todas las soluciones de la EDO (8), se denomina solución general de la EDO. Una consecuencia de nuestro proceso constructivo de solución es que después de cualquier elección de las antiderivadas P(t) y R(t) como se describió antes, las soluciones de la EDO (8) siempre cobran la forma (11). En la fórmula (11) esto no resulta evidente, pero el proceso de construcción no miente. Como la constante e en la fórmula de solución general (11) es arbitraria, se observa que la EDO (8) tiene infinidad de soluciones, una para cada valor de la constante C. Entonces, valorell distintos para la constante e en la fórmula (11) producen curvas solución que nunca se tocan en l. Para demostrarlo, introduzca dos constantes, el y e2 , en la fórmula (11) para obtener dos soluciones, YI(t) y Y2(t). Al restar, se obtiene
Pero las funciones exponenciales nunca tienen el valor O y el y e 2 son distintas. Por tanto, YI(t) y Y2(t) nunca son iguales para ningún valor de ten 1, y las dos curvas solución jamás se tocan. Para adoptar el procedimiento anterior debe contarse con gran experiencia para hallar las antiderivadas. Si usted carece de práctica, a continuación presentamos una tabla resumida de las antiderivadas que necesitará en este texto. Tabla 1.3.1 Algunas antiderivadas útiles
•
Para cualquier constante a:#=
f f •
f Ejemplo 1.3.3
o:
eal te al dt = -;;'l(at -1),
1 1 tsenatdt = --tcosat+ 2 senat, a a
f f
eal 22 2 al t e dt =--¡;(a t - 2at + 2)
11 ' tcosatdt = -tsenat+ 2 cos at a a
Para cualesquier constantes a y b, donde ambas no pueden valer cero: al e cosbtdt =
e al 2 2 (acosbt + bsenbt), a +b
f
ealsenbtdt =
e al 2 2 (asenbt - bcosbt) a +b
Utilice un factor de integración y obtenga la solución general
Considere la EDO del ejemplo 1.2.1: ,
Y -y=-t
2
(12)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Esta EDO ya tiene la forma lineal normal con p(t) = -1 Yq(t) = -t2; estas funciones son continuas en toda la recta real. Por medio de la notación del procedimiento anterior se observa que P(t) = -t Yel factor de integración es e-l. Al multiplicar la EDO (12) por e- I, se tiene (13) Así, por medio de la tabla 1.3.1 vemos que R(t) = e-I(? + 2t + 2) es una antiderivada de Al aplicar el teorema 1.3.1 a la EDO (13), obtenemos
-t2e- l •
(14) . donde C es cualquier constante. Al multiplicar la ecuación (14) por é, se observa que todas las soluciones de la EDO (12) están dadas por la fórmula de solución general y = Ce
l
+ t 2 + 2t + 2
donde C es cualquier constante. Apliquemos ahora el método de la solución general para resolver un problema de valor inicial.
Resolución de un problema de valor inicial La constante C de la fórmula (11) cumple un papel importante en la resolución del PVI.
Ejemplo 1.3.4
Obtenga la solución general, resuelva un PVI La siguiente es una EDO en la forma lineal normal con p(t) y' + 2y = 3e
= ? y q(t) = 3et:
l
(15)
Puesto que 2t es una antiderivada de 2, e 21 es un factor de integración. Multiplique cada miembro de la EDO (15) por e21 y aplique el teorema 1.3.1 para obtener e 21 y' + 2e 21 y = 3e 31
Entonces, como e2ly' + 2e21y tiene
= (e2Iy), por la fórmula de la derivación de un producto, se (e 2I y)'=3e 31
e 2l y = C+e y = Ce -21
31
+ el ,
para toda t
(16)
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7.3/ En busca de fórmulas de solución
donde C es cualquier constante. Con la fónnula (16) se obtiene la solución general de la EDO (15). Al establecer una condición general se determinará C. Por ejemplo, para hallar la solución del PVI t y' +2y = 3e ,
establecemos y
y(O) =-3
(17)
= -3 Y t = O en la fónnula (16): - 3 = e-2.OC + e O =C + 1
y, por tanto, C = --4. Al sustituir C en la fónnula de solución (16) por --4 obtenemos la solución del PVI (17): y = --4e-2t
+ et,
-oo
Si hubiésemos utilizado la condición inicial y(l) = O en el PVI (17) en lugar de y(O) = -3, entonces habríamos encontrado que C = - e3 , por lo que la fónnula de solución sería y = _e 3e-2t + el. La fónnula y = Ce-2t + el para todas las soluciones de y' + 2y = 3e1 es muy útil cuando se desea describir el comportamiento de largo plazo de las soluciones. Como e-2t ~ O cuando t ~ +00, a partir de (16) se observa que todas las soluciones se parecen cada vez más a la solución y = el cuando t aumenta. El procedimiento constructivo utilizado en el ejemplo 1.3.4 indica que un PVI relacionado con una ecuación diferencial lineal tiene exactamente una solución, lo cual es correcto.
Teorema 1.3.2
Existencia y unicidad. Supóngase que p(t) y q(t) son continuas en una intervalo t de 1 y que to es cualquier punto en I. Si Yo es cualquier número, entonces el PVI y' + p(t)y
= q(t),
y(to)
=Yo
(18)
tiene una solución y(t) definida en todo el intervalo 1 (existencia) y no hay otra solución (unicidad).
Comprobemos este teorema de la siguiente manera. De acuerdo con la fónnula de solución (11), la solución general de la EDO en (18) es y(t) = Ce-P(t) + e-P(t)R(t),
ten 1
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
donde P y R son las respectivas antiderivadas de p(t) y eP(llq(t) y e es una constante arbitraria. Para satisfacer la condición y(to) = Yo, sustituyamos to YYo en la fórmula de solución; el resultado es
Esta ecuación algebraica para e tiene la solución única significa que el PVI (18) tiene una solución única.
e = yoeP(tol -
R(to), lo que
El teorema de existencia y unicidad brinda los fundamentos para todas las aplicaciones de los PVI lineales de primer orden porque garantiza que el PVI tenga exactamente una solución.
Comentarios Nuestra búsqueda de fórmulas de solución ha rendido frutos en relación con las EDO lineales de primer orden. La única herramienta necesaria fue el teorema fundamental del cálculo en la forma del teorema de la antiderivada (teorema 1.3.1). Por tanto, observamos que las EDO lineales de primer orden tienen fórmulas de solución explícitas. Sin embargo, hay un inconveniente: es posible que no podamos hallar las antiderivadas requeridas; entonces podría no ser particularmente útil la fórmula de solución. No obstante, siempre tenemos la posibilidad de usar un medio numérico de resolución para trazar las curvas solución aproximadas de una EDO aun cuando no deje ver nada nuevo la fórmula de solución.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
Determine el orden de cada EDO. Identifíquelas como lineal o no lineal en Y y escnbalas en la forma lineal normal. [Sugerencia: para el inciso (d) obtenga dy/dt.] (a) y' = sent - t3y (d) dt/dy
= 1I(t2 -
ty)
(e) y" - t2y
(g) éy" + (sent)y' + 3y = 5é 2.
= sent + (y/)2
(h) (y"/)2
(f) y'
= (1+
t2)y" - cost
= y5
(Determinación de soluciones.) Las funciones exponenciales simples como y = e rl suelen ser soluciones de EDO. Obtenga todos los valores de la constante r de modo que y = e rt sea una solución. [Sugerencia: introduzca e rl en la EDO y determine los
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1.3/ En busca de fórmulas de solución
valores de r que produzcan una solución. Por ejemplo, y = e rt resuelve y' - y = O si re rt - e rt = (r - 1)e rt = O. Puesto que e rt 7; O, se debe tener r = l. Por tanto, y = el es una solución de la EDO.] ~ y'"' indica la n-ésima derivada de y(t).
3.
(a) y' + 3y = O
(b) y" + 5y' + 6y = O
(e) y(5) - 3y(3) + 2y' = O
(d) y" + 2y' + 2y = e-t
(Determinación de soluciones.) A veces, los múltiplos de una potencia de t resuelven una EDO. Obtenga los valores de la constante r de modo que y = rt3 sea una solución. (a) t2y" + 6ty' + 5y = O
(b) t2y" + 6ty' + 5y = 2t3
(e) t4y' = y2
4. _ (Determinación de soluciones.) La elección correcta del valor para r podría aportar una solución y = tr de una EDO. Obtenga todos los valores de la constante r de modo que y = t r sea una solución. (b) t4y(4) + 7tV" + 3t2y" - 6ty' + 6y = O
(a) t2y" + 4ty' + Y = O
5.
(Aplicación del teorema de la antiderivada.) Utilice el teorema 1.3.1 para obtener todas las soluciones de cada caso. [Sugerencia: escribay" como (y')' y y'" como (y")'.]
(e) y' = e-t cos 2t
(a) y' = 5 + cost
(d) y"
=O
(e) y" = sent, y(O) = O, y'(O) = 1
(g) y" + y' = el
6.
= 2
[Sugerencia: observe que (ely')' = ely" + ely'.]
(Determinación defórmulas de solución.) Por medio del teorema 1.3.1 obtenga todas las soluciones. [Sugerencia: en los incisos (a) a (e) multiplique cada miembro de la EDO por el.] (b)y'+y=t
(e) y' + y = t + 1
(d) 2yy' = 1 [Sugerencia: obsérvese que .(y2), = 2yy']
www 7.
J!2. y'"
(e) 2yy' = t
(Factores de integración.) Obtenga la solución general de cada EDO por medio de
un factor de integración. (a) y' - 2ty = t
(d) 2y' + 3y
= e-t
(b) y' -y = e 2t_l
(e) y' = sen t - Y sen t
(e) t(2y - 1) + 2y' = O
(l) y' + y = te-t + 1
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
8.
(Resolución de un PVI, comportamiento de largo plazo.) Primero determine la solución general de la EDO. Luego utilice la condición inicial y determine la solución del PVI. Por último, explique el comportamiento de la solución cuando t ~ + oo. (a) y' + y = e-I, y(O) = 1
(e) y' + 2ty
= 2t,
y(O)
(b) y' + 2y
=1
= 3,
= -1
y(O)
= cost,
(d) y' + (cost)y
y(n)
=2
Por medio de un medio numérico de resolución trace la curva solución de cada PVI del problema 8 .en el intervalo t dado y compare con la gráfica de la solución "verdadera". (b) [-1, 5]
(a) [-2,6]
10.
(e) y' = (tant)y + t sen2t,
I ti < 1TI2
(d) y'
= ylt + t",
= sent,
t> O;
t
~
(b) (sent)y' + (cost)y = 0,0< t < n;
y(31li4) = 2; t
~
(e) y' + (cost)y = 2cos t, 0< t < n;
y(1TI2)
(d) y' + (2Jt)y = (cost)lt2, t> O
y(n)
t> O, n entero
y(n) = 1/n;
= 3;
= O;
t
t ~
~
+00
0+
0+
0+, t
~
+00
Utilice un medio numérico de resolución para trazar la solución de cada PVI del problema11 en el intervalo dado y compare con la solución "verdadera". (a) [0, 50]
~ 1I 13.
(b) (3t - y) + 2ty' = O, t> O
(Resolución de un PVI.) Determine la solución general de la EDO en el intervalo t indicado. Después, utilice la condición inicial para hallar la solución del PVI. Por último, explique el comportamiento de la solución cuando t tiende al valor especificado.
(a) ty' + 2y
11 12.
(d) [-8, 8]
(Uso de un factor de integración.) Obtenga la solución general de cada EDO en el intervalo t indicado por medio de un factor de integración. Explique el comportamiento de las soluciones cuando t ~ 0+. Explique el comportamiento de las EDO en los incisos (a), (b) y (d) cuando t ~ +00. (a) ty' + 2y = t2, t > O
11.
(e) [-5, 5]
(b) [0,3]
(e) [O, 3]
(d) [0,4]
(Construya su propia EDO lineal.) Elabore varias EDO lineales para las cuales una fórmula de solución no sea útil para decidir cómo se comportan las soluciones. Utilice el medio númerico de resolución para investigar qué sucede con éstas si t aumenta o disminuye. Por ejemplo, pruebe con la EDO y' + 2ty = 1/(1 + t2 ) .
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29
7.4/ Modelación con EDO lineales
1 .4
Modelación con EDO lineales Por medio de las EDO lineales de primer orden pueden representarse procesos de todo tipo, desde cambios de concentración de un contaminante en un depósito de agua hasta el aumento de temperatura cuando se trata de cocinar un huevo duro. En esta sección modelaremos uno de estos procesos y dejaremos los demás para los problemas. Después abordaremos desde otra perspectiva la fórmula de solución obtenida en la última sección, la cual revela una estructura simple' para las soluciones de la EDO lineal de primer orden; emplearemos esa estructura para entender qué pasa con nuestros modelos.
Ley de equilibrio y un modelo compartamental Las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen surgir en las aplicaciones como resultado de un principio fundamental: si y(t) denota el tamaño de una población o la cantidad de una sustancia en un compartimiento en el instante t, entonces la tasa de cambio y'(t) puede calcularse como el caudal de entrada menos el de salida del compartimiento. Este principio se formaliza como la ley de equilibrio. Tasa de
Tasa de
~
Ley de equilibrio: tasa de cambio neta = tasa de entrada - tasa de salida. Aplicaremos la ley de equilibrio a procesos de mezcla.
Ejemplo 1 .4.1
Tasa del lOc(t) entrada
Depósito
Tasa de salida O.ly(t) \,
PVI modelo para la acumulación de un contaminante
Un depósito contiene 100 galones de agua contaminada en los que están disueltos Yo libras de contaminante. El agua contaminada empieza a fluir al depósito a una tasa de 10 gal por minuto. La concentración del contaminante en esta corriente de entrada en el instante tes c(t) libras por galón. La solución del depósito se mezcla de manera uniforme y el agua contaminada fluye a una tasa de 10 gal por minuto. Obtenga el PVI para la cantidad de contaminante y(t) en el depósito. Imagine que el depósito es el compartimiento que ocupa el contaminante y aplique la ley de equilibrio a fin de obtener una expresión para y'(t). El tiempo inicial es O, de modo que Yo es la cantidad de contaminante en el agua en el instante t = O. El contaminante se vacía en el depósito con una tasa de entrada de lb gal ) . ( c(t)lb ) = lOc(t)-. ( 10-. mm gal mm
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30
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
El contaminante sale del depósito a una tasa de
g~l ).(y(t)~) = ( 10 mm lQO gal
O.ly(t)~ mm
en virtud de que el agua contaminada fluye a 10 ga1Jmin y la concentración de contaminante en el depósito y en la corriente de salida en el instante tes (y(t)/100) lb/gal. La ley de equilibrio establece que y'(t) = tasa de entrada - tasa de salida = lOc(t) - O.ly(t)
El PVI correspondiente es y'(t) + O.ly(t) = lOc(t) ,
t:2: O
(1)
que es nuestro modelo. Las fórmulas matemáticas son abundantes, pero es necesario reflexionar y tener conocimientos teóricos para entender su significado. Una forma de llevar a cabo lo anterior es fijarse con detenimiento e interpretar cada parte de una fórmula. Antes de resolver el PVI (1), tomaremos un instante para examinar con mayor detalle la fórmula de solución de una EDO lineal de primer orden.
El resultado depende de los datos iniciales y de la entrada El resultado de un proceso depende de los datos iniciales y de la entrada; en el contexto de una EDO lineal de primer orden, puede describirse tal dependencia de una forma muy precisa.
Teorema 1.4.1
Respuesta a los datos y a la entrada. Supóngase que p(t) y q(t) son continuas en un intervalo 1 que contiene a to Y que P(t) es cualquier antiderivada de p(t). Entonces el PVI y ' + p(t)y = q(t),
(2)
tiene solución única, que puede escribirse como una fórmula e interpretarse en términos de los datos iniciales y la entrada q(t): y(t) =
eP(lo) yoe-P(l )
+ e-P(l )
f
eP(s) q(s)ds,
ten 1
(3)
lO
Respuesta total
= respuesta a los datos iniciales + respuesta a la entrada
Para demostrar lo anterior, observe que la fórmula de solución general para y' + p(t)y = q(t) es y=
Ce-P(t)
+ e - P(t ) R(t)
(4)
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1.4 /
31
Mode lación con EOO lineales
donde e es cualquier constante y P(t) y R(t) son antiderivadas de p(t) y eP(t)q(t), respectivamente. Tomemos una antiderivada específica de eP(I)q(t): R(t) = SI eP(s) q(s)ds
(5)
lo
Ahora bien, sea y
Por tanto
e=
= Yo Y t = to:
eP(to)yo
y se deduce entonces la fórmula de solución (3).
Usaremos con frecuencia la interpretación de respuesta, en particular en las aplicaciones, ya que a partir de la fórmula (3) se ve exactamente cómo cambia el valor inicial Yo Y en la función independiente q(t) afectará la salida y(t). Puesto que la fórmula (3) define una solución y(t) para el PVI (2) para cualquier opción de Yo Y q(t), observamos que
(6)
Respuesta inicial a los datos resuelve el PVI y' + p(t)y = O,
(7)
[sólo introduzca q(t) = O en la fórmula (3)] y que Respuesta a la entrada
y(t) = e-P(t) SI eP(s) q(s )ds
(8)
lo
resuelve el PVI y' + p(t)y = q(t),
(9)
[sólo introduzca Yo = O en la fórmula (3)]. Al sumar los miembros derechos de (6) y (8) se obtiene la respuesta total.
Análisis de la respuesta para el modelo de contaminante Ahora que sabemos algo de la estructura de las soluciones para las EDO lineales de primer orden volvamos al modelo de acumulación de contaminante para analizar e interpretar sus soluciones.
Ejemplo 1.4.2
¿Cuánto contaminante hay en el depósito?
Resolvamos el PVI (1). Después de multiplicar por el factor de integración eO.11 , la EDO en (1) se convierte en eO. 1t [y'(t) + O.ly(t)] = [eO. 11 y(t)]'
=e011 lOc(t)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
25
(curva de línea continua) y' + O.ly = 2 ,+ sen t, y(O) = 15 Cantidad total y(t) de contaminantli! en\ el depósito
,
,-,
15
\
//
\\
10
"
/(~l¡;nes cortos) y' + O.ly = 2 + sen t, _ ;' Respuesta al flujo de entrada
y(O)
=O
'-'
\:
\/
/",- " ,,
,
! ! ¡
,,,
", (guiones largos) y' + O. ly = 0, ", Respuesta a la cantidad inicial .............
,
.....
10
°
20
y(O)
= 15
_-------30
40
50
60
t (min)
Figura 1.4.1 Acumulación de contaminante en el depósito (ejemplo 1.4.2). Así, por el teorema 1.4.1 y(t) = Yoe-O· 1t +e-O·1t
Respuesta total
S; eo.1S[lOc(s)]ds,
t 2>: O
(10)
= respuesta a la cantidad inicial + respuesta al flujo de entrada
En el primer término del miembro derecho de la fórmula (10) se muestra la cantidad de contaminante-en descenso en el depósito si se agregara agua pura y saliera agua contaminada a la misma tasa. El segundo término representa la cantidad de contaminante en el depós~ instante t debida únicamente a la corriente de entrada de aguaco'ntaminada. A la larga se espera que domine el segundo término. Es la linealidad de la EDO la que permite desligar el efecto de la cantidad inidal de contaminante del de la corriente de entrada. Lo anterior puede ilustrarse si se grafican por separado los términos de la fórmula (10). Para ser más específicos sea Yo = 15lh Y supón-, t gase una concentración de entrada c(t) que varía en forma sinUSOIdal respecto ~ una media de 0.2 lb de\contaminante por galón. Digamos que c(t) = 0.2 + 0.1 sent ~ Podría haberse usado también un paquete de software simbólico.
(11)
Pudimos haber usado una antiderivada de la tabla 1.3.1 para resolver la integral de la fórmula (10), pero mejor empleamos el medio numérico de resolución a fin de resolver de forma directa el PVI (1). En la figura 1.4.1 se ilustra el resultado. Se trazaron las
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33
1.4 / Mode /ación con EDO linea /es
(curva de línea continua) y' + 0.1Y = 2Ipaso (20 - t); (guiones largos) y' + O.ly = O, (guioRes cortos) y' + o 1)' - ~aso (20 - t) ,
25
y(O) = 15 y(O) = 15 y(O) = O
20 ,
.......\
,-'
..
,,
,,
,, \ 10
,/ Respuesta al ... \': flujo de entrada \.
l\
,/
5
Cantidad total de contaminante en el depósito
, ' - ", , \, ,,,'
15
/
:' :' " "
\
"
\ 'Io. "
"lo.
\\,
"'' ' ' ,
Respuesta,.a la cantidad inicial
' .. ...
"'" ....
.....
_-------------
....... ............ -
0L----+----__ ~~~~~~~~~~ 10 20 40 60 o 30
t (min) ·
Figura 1.4.2 Respuesta a la limpieza de la corriente de entrada (ejemplo 1.4.3). curvas de "respuesta a la cantidad inicial" y de "respuesta al flujo de entrada" al aplicar el medio de resolución a los respectivos problemas de valor inicial (7) y (9). Con el tiempo, la cantidad de contaminante en el depósito al principio se vuelve casi irrelevante; lo que determina la cantidad de contaminante en el flujo de salida es el contaminante en la corriente de entrada. Parece que la respuesta de largo plazo de la EDO a una entrada que oscila es una salida también oscilatoria con la misma frecuencia que la entrada. En la sección 2.2 daremos más (muchos más) detalles de este curioso comportamiento.
Limpieza del suministro de agua: funciones escalonadas
Las funciones escalonadas sirven para activar y desactivar las entradas y los parámetros.
I@'
Las funciones escalonadas sirven para intercambiar la corriente media de una EDO modelo a otra. La función escalonada básica se define como: O, t < paso(t) = { 1, t;:::
°°
(12)
Con esta función podemos trabajar como con cualquier otra. Por ejemplo,
, (t - 5) = {O, t<5 3esca1on 3, t;::: 5 I@' En el apéndice B.1 se describen las funciones de ingeniería.
Y
' (15 - t ) = - 4 escal on
{-4,O,
t:::;;15 t > 15
Al igual que otras funciones lineales por partes las escalonadas se emplean con frecuencia para modelar el comportamiento activación-desactivación de los procesos natura-
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
les. Podemos llamarles funciones de ingeniería . A continuación se da un ejemplo donde es útil una función escalonada.
Ejemplo 1.4.3
Limpieza del suministro de agua
En relación con el modelo del ejemplo 1.4.1, supóngase que la concentración de contaminante en el flujo de entrada c(t) es 0.2 lb/gal, pero que 20 minutos después se filtraron los contaminantes del flujo de entrada. Es posible expresar c(t) en términos de la función escalonada de la siguiente manera: c(t) = 0.2 escalón(20 - t),
t
c.
O
(13)
c. O
(14)
Por tanto, el PVI modelo y' + O.l y(t) = lOc(t),
y(O) = Yo,
t
tiene, por medio de la fórmula (10) , la solución y = yoe-D·II
+ e-D· lt f~ eo. IS[2escalón(20 - s)]ds,
(15)
t c. O
Observe que la integral de la fórmula (15) cambia de forma en t = 20:
i° t
eo.IS[lOc(s)]ds =
{f
ls lt eO. [10 · 0.2]ds = 20(eO -1) ,
fa
eo.IS [lO· 0.2]ds = 20(e 2 - 1),
°20
OS; t
S;
20
t>20
Es posible sustituir esta integral en la fórmula (15) y obtener la fórmula de solución 0 1t _ e-D.lt +{20(I _e ), y - yo 20(e2 _ 1)e-0 1t,
Casi todos los dispositivos aceptan funciones escalonadas.
I@'
Por medio de esta fórmula podemos trazar las gráficas de las soluciones; también podemos usar un medio numérico de resolución para resolver en forma directa el PVI (14). Es preferible seguir este último método. En la figura 1.4.2 se observa la variación en la concentración de contaminante en el depósito si yo = 15 lb. Las esquinas de las dos curvas solución se deben a la discontinuidad en t = 20 en la función escalonada que se empleó para modelar la corriente de entrada.
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35
7.4 / Modelación con EDO lineales
El conjunto de soluciones de una EDO lineal de primer orden tiene una estructura que suele utilizarse para obtener las soluciones sin necesidad de muchos factores de integración. Veamos cómo funciona este método.
Otro método para hallar una fórmula de solución Hay una manera de encontrar una fórmula para todas las soluciones de la EDO lineal de primer orden distinta del método de factores de integración presentado en la sección 1.3. En la práctica, los ingenieros y los científicos utilizan este otro método para resolver EDO lineales. En seguida presentamos el resultado que se necesita.
Teorema 1.4.2
Estructura de las soluciones. Supóngase que p(t) y q(t) son continuas en un intervalo I. Entonces la solución general y(t) de la EDO lineal no homogénea y' + p(t)y = q(t)
(16)
está dada por y(t) = yuCt) + Yd(t), para toda ten 1
(17)
donde yuCt) es la solución general de la EDO homogénea y' + p(t)y = O
(18)
y yit) es cualquier solución particular de la EDO no homogénea (16) (cualquiera servirá).
Para ver por qué se cumple esto, considérese cualquier solución particular Yd(t) de la EDO explícita (16); puede ser cualquiera. Ahora demostraremos que y(t) es una solución de ) a EDO (16) si y sólo si la función w = y - Yd es una solución de la EDO homogénea (18). Este hecho resulta del cálculo w' + pw = (y - Yd)' + p(y - Yd) = (y' + Py) -
(Yd
+ PYd)
=q- q =O
Por tanto, esto significa que y = Yu + Yd, donde Yu es la solución general de la EDO homogénea (16). Ya vimos que Yu = Ce-P(tl, donde C es una constante y P(t) es una antiderivada del coeficiente p(t) . El siguiente es un ejemplo donde se aplica el teorema 1.4.2 para determinar la solución general.
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Ejemplo 1.4.4
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Buenas conjeturas
La forma homogénea de la EDO y' + y
= 17 sen
(19)
4t
es y' + y = O, cuya solución general es Yu = Ce-t. Así, la solución general de la EDO no homogénea (19) tiene la forma y = Ce-t + yit)
donde C es una constante y Yd es una solución particular. Podríamos seguir el procedimiento de la última sección para obtener una solución particular, pero existe otra forma. Como la función de entrada es 17 sen4t, una buena conjetura para una solución particular sería lE'f Por suerte contamos con la entrada sinusoidal.
Yd = Asen4t + Bcos4t
(20)
donde A Y B son constantes por determinar. Para ver esto, sustituya esta forma de Yd en el miembro izquierdo de la EDO (19) para obtener Yd + Yd = 4 Acos4t - 4Bsen4t + A sen4t + Bcos4t = (A - 4B) sen4t + (4A + B)cos4t
Por consiguiente, para que Yd en (20) resuelva la EDO (19) debemos tener (A - 4B)sen 4t + (4A + B)cos 4t
= 17 sen 4t
La única forma de que se cumpla esta igualdad para toda t es que A y B satisfagan las ecuaciones A-4B = 17,
4A + B = O
Al despejar A al multiplicar la segunda ecuación por 4 y sumar después las dos ecuaciones, se observa que A = 1. Por tanto, B = -4; al sustituir estos valores en la solución de prueba (20), se obtiene una solución particular, Yd
= sen4t - 4 cos 4t
La solución general es entonces y = Ce-t + sen4t ~ 4cos4t,
C es cualquier constante
(21)
de modo que valió la pena el método de conjetura. La fórmula de estructura (17) a veces revela propiedades interesantes de las soluciones.
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37
con EDO lineales
20
y' + y
=
17 sen 4t
15
19) 10
no
o ~e-5
20) -10 O
2
i
3
4
5
6
en Figura 1.4.3 Todas las soluciones son atraídas hacia la solución periódica yit) - 4cos4t (curva de línea continua) (ejemplo 1.4.5).
Ejemplo 1.4.5
las
= sen4t
Atracción hacia una solución periódica única En el ejemplo 1.4.4 mostramos que todas las soluciones de la EDO y' + y = 17 sen 4t tienen la forma y = Ce:' + yit), donde yit) = sen4t - 4cos4t y C es una constante arbitraria. Como Ce:' ~ O cuando t ~ +00, se observa que todas las soluciones son atraídas hacia la solución simple Yd(t), de manera que la EDO tiene una solución periódica única. El periodo es n/2, exactamente el mismo que para la entrada 17 sen4t. En la figura 1.4.3 se observa la fuerte atracción de las soluciones hacia Yd~
Comentarios '0-
de
1)
En esta sección vimos cómo interpretar las fórmulas para la solución general de una EDO lineal y para la solución de un PVI correspondiente. Éste es un aspecto crucial cuando se utiliza un PVI para modelar un proceso natural; así lo corrobora la aplicación de la ley de equilibrio al proceso de concentración de contaminante.
Problemas www 1.
~
_
(Contaminación.) Se bombea agua residual contaminada a razón de 1 gallmin en un depósito que contiene 1000 gal de agua limpia y sale del depósito una mezcla uniforme a la misma tasa.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
11 2.
11 11
I@" En el apéndice B.l se profundi za en la oc(t, d, T) ; tamb ién puede consultar la secc ión "Tips" del manual de recursos para el estudiante (editado únicamente en inglés) .
11 11 3.
4.
(a) Calcule la cantidad y(t) de desechos en el depósito en el instante t. ¿Qué sucede cuando t --7 +oo? (b) ¿Cuánto tarda la concentración de desechos en alcanzar 20% de su nivel máximo? (e) Después de una hora, se detiene la entrada de agua residual y se bombea agua limpia a razón de 1 gal/min . Utilice una función escalonada y construya un PVI modelo para esta situación. Con un medio numérico de resolución trace y(t) en el intervalo de tiempo O:S; t :s; 1500. ¿Qué ocurre cuando t --7 +oo? Explique lo que observa. (Contaminación.) Empieza a fluir agua con una concentración de contaminante Co lblgal a razón de 1 gal/min hacia una tina que contiene 10 gal de agua mezclada con 10 lb de contaminante. La mezcla sale a razón de 1 gal/min. (a) Calcule la cantidad y(t) de contaminante en la tina en el instante t. Obtenga el límt 4 += y(t). (b) Grafique y(t) en el intervalo O:S; t:S; 40 para valores de Co en el intervalo 0.1 :s; co:S; 2. Incluya Co = 1.0 Y los valores de Co arriba y abajo de 1.0. Explique por qué cuando t --7 +00, y(t) --7 lOco. (e) Supóngase que Co = 1 para los primeros 10 minutos y luego un filtro muy eficaz elimina todo el contaminante del fluj o de entrada. Encuentre el PVI modelo y utilice una función escalonada para representar la entrada. Como en la fig ura 1.4.2, use un medio numérico de resolución para graficar la respuesta total , la respuesta a los datos iniciales y la respuesta a la entrada. Si es posible, trace las tres curvas en la misma gráfica; de lo contrario, utilícelas con las mismas escalas para t y y . ¿Qué sucede cuando t --7 +oo? (d) Repita el inciso (e) , pero con un filtro ineficaz que sólo elimine el 50% de contaminante. Repita el inciso (e), pero con un filtro eficaz que sólo utilice 10 minutos al prin(e) cipio de cada hora. Grafique para O:S; t:S; 150, -5 :s; y:S; 15 . ¿Qué sucede con cada respuesta cuando t aumenta? [Sugerencia: utilice la función ocCt, 100/6, 60).] (Solución salina.) Una solución que contiene 2 lb de sal por galón empieza a fluir a un depósito de 50 gal de agua pura a una razón de 3 gal/min. Después de 3 minutos la mezcla empieza a salir a 3 gal/min. (a) ¿Cuánta sal hay en el depósito cuando t = 2 min? ¿Y cuando t = 25 min? [Sugerencia: resuelva dos PVI: para to = O y para to = 3.] (b) ¿Cuánta sal hay en el depósito cuando t --7 +oo? ¿Puede adelantar un valor sin hacer ningún cálculo? (Conjetura acertada y coeficientes indeterminados.) Obtenga una solución particular para la EDO lineal; primero trate de conjeturar la forma de la solución, luego determine los coeficientes. Después obtenga la solución general (a) y' + Y = t2 [Sugerencia: utilice Yd (e) y' + 2y =
e- 2t
= At2
[Sugerencia: utilice Yd =
(e) y' + Y = 5cos2t
+ Bt + C.]
Ate- 2t .]
(b) y' + ty
= t2 -
(d) y' + 2y = 3e-
t+ 1 t
(f) y' + Y = e-t cost
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7.4 / Mode/ación con EDO linea les
5. (Comportamiento de largo plazo.) Describa el comportamiento de largo plazo (es decir, cuando t ~ +(0) de todas las soluciones de la EDO correspondiente en los incisos (a) a (f) del problema 4 mediante la fórmula de solución general. Justifique sus conclusiones. 6. (Más conjeturas y coeficientes indeterminados.) Para todos los valores de las constantes a, b, c obtenga la solución particular de cada EDO. (a) y' + ay = bcost + csent
(b) y' + ay
= bt + c,
a 7:-
°
(Comportamiento de largo plazo.) Obtenga las soluciones de la EDO homogénea y' + 2ty = y describa qué sucede cuando t ~ +00. Utilice un medio numérico de resolución para trazar varias soluciones de la EDO no homogénea y' + 2ty = q(t) en un intervalo de tiempo suficientemente largo de modo que pueda conjeturar qué sucede con su solución general cuando t ~ + oo. ¿Por qué en este caso tiene poco uso la solución general?
°
(a) q(t) = 1
(e) q(t)
= 1 + t2
(b) q(t) = (1 + 2t2 )-1
(d) q(t)
= 1 + 2t2 [Sugerencia: conjeture una solución Yd =A
+ Bt.]
8. (Comportamiento de largo plazo.) Los ejemplos de esta sección pueden dar la impresión de que cuando t ~ + 00 la solución general y(t) de la EDO homogénea y' + p(t)y = tiende a O, por tanto, la solución general y(t) de la EDO no homogénea y' + p(t)y = q(t) tendería a una solución particular yit) cuando t ~ +00. Demuestre que esto no siempre es así. Para ello, construya una EDO lineal y' + p(t)y = q(t) donde haya una solución de la EDO homogénea (q = O) que tienda a +00 cuando t ~ +00, Y haya alguna solución yit) de la EDO no homogénea tal que yit) ~ cuando t ~ +00. 9. Con un medio numérico de resolución trace las soluciones de los PVI dados.
°
_
°
(a) Trace las soluciones de los PVI y' + y = 0, y(-5) = 0, ±2, ±4, -5::;; t::;; 10. (b) Grafique la solución y = yit) del PVI y' + y = tcos(t2 ), y(-5) = 0, -5::;; t::;; 10. (e) Trace las soluciones de los PVI y' + y = tcos(t2 ), y(-5) = 0, ±2, ±4, donde -5::;; t::;; 10.
_ 10.
_11.
Utilice (a) y (b) para explicar el comportamiento de las soluciones. ¿Qué sucede cuando t ~ + oo? Grafique las soluciones de los PVI y' = - (cost)y + sent, y(-10) = -6, -2, O, 5, I ti < 10 Yexplique por qué no sirve de mucho en este caso una fórmula de solución general. Utilice un medio numérico de resolución o una fórmula de solución para trazar las curvas solución. (a) y' = (1 - y)(sent); y(- 1l12) = -1, O, 1; -1l12::;; t::;; 210 (b) y' + y = te-t + 1; y(O) = - 1, O, 1; - 1::;; t::;; 3
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40
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
(e) ty' + 2y = t2; y(2) 2; -4 < t < O
= O, 1,2;
O < t < 4. Haga lo mismo para y(-2)
¿Qué sucede con cada curva solución cuando t (d) y'
= ytant + tsen2t;
y(O)
= -1 , 0,1;
~
= O, 1,
O?
- rc/2 < t < rc/2
12¡ (Ajuste d(!, la entrada.) La salida y(t) del PVI \y'(t) + P t)y(t) = q(t), y(O) = Yo, debe mantenerse en el nivel Yo para t ~ O. Determine una entrada q(t) con la que se lleve a cabo la tarea. 13. (Soluciones no acotadas.) Supóngase~qu e q(t) es continua para toda t y que y' + y = q(t) tiene ~na solución particular yit) con la propiedad de que Yd(t) ~ + 00 cuando t ~ + 00. Explique por qué todas las soluciones tienen esta prqpiedad. 14. En los cuadros sombreados se presentan principios de modelación.
I@"
(Ley deNewton del enfriamiento.) De acuerdo con la ley de Newton del enfriamiento (o calentamiento), la tasa' de cambio de la temperatura de un cuerpo es propor-
cional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. Escriba una EDO modelo para la temperatura del cuerpo, dada la temperatura del medio m(t). ¿Es positiva o negativa la constante de proporcionalidad? (b) (Un caballo enf ermo.) Un veterinario desea saber la temperatura de un caballo enfermo. Las lecturas del termómetro siguen la ley de Newton. Al momento de insertar el termómetro marca 82 0F. Después de tres minutos la lectura es de 90 °F Y tres minutos más tarde de 94 0F. Una convulsión repentina destruye el termómetro antes de la lectura final. ¿Cuál es la temperatura del caballo? (e) (Enfriamiento de un huevo.) Un huevo duro se saca de una cacerola con agua caliente y se pone a enfriar en la mesa. Al principio, la temperatura del huevo es de 180 0F. Después de una hora es de 140 0F. Si la temperatura de la habitación es de 65 °F, ¿en qué momento tendrá el huevo una temperatura de 120, 90 Y 65 °F? ~ (d) (Un cuerpo frío enfría un medio caliente.) En una cacerola con agua caliente se coloca un huevo frío. Conforme se entibia el huevo se enfría el agua. Construya una EDO modelo para la temperatura del huevo y otra para la del agua. ¿Qué sucede con las dos temperaturas cuando t ~ + oo? Explique qué piensa hacer. 15. (Interés compuesto continuo.) Algunos bancos pagan un interés compuesto por los ahorros; por ejemplo, si la tasa de interés es de 9%, entonces la EDO para el dinero en la cuenta es A' = 0.09 A. (a) ¿Qué tasa de interés anual es equivalente a 9% de interés compuesto continuo? (b) ¿Cuál es la tasa de interés si en ocho años se duplican los fondos con un interés compuesto continuo? (e) ¿En cuánto tiempo A dólares invertidos en una cuenta de ahorros con interés compuesto continuo se duplicarán si la tasa de interés es 5, 9 y 12%? 16. (Regla del 72.) Dos reglas empíricas comunes son la "regla del 72" y la "del 42". Ambas establecen que el número de años para que el dinero invertido con un interés de r% se incremente en 100% o en 50% está dado por 72/r o 42/r, respectivamente.
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1.5 / Introducción a la mQdelación y a los sistemas
Con la suposición de que el interés es compuesto y continuo, demuestre que estas reglas sobrestiman el tiempo requerido. ~ 17. (Interés compuesto.) Al final de cada mes Wilbert deposita una cantidad fija de dinero en una cuenta de ahorros. Su intención es comprar un automóvil que cOl'tará 12 400 dólares. Ya tiene 5 800 dólares ahorrados. Si gana un interés compuesto continuo de 7% sobre sus ahorros y tiene un ingreso mensual de 2 600 dólares por mes, ¿a qué cantidad debe limitar Wilbert sus gastos mensuales si quiere ahorrar lo suficiente para comprar el automóvil en un año?
1.5
Introducción a la modelación y a los sistemas La modelación es el proceso de reconstrucción de un proceso natural de su:medio a una forma llamada modelo, el cual puede analizarse por medio de técnicas qUe"entendemos y en las que confiamos. Un modelo es un dispositivo que ayuda al modelador a predecir o explicar el comportamiento de un fenómeno, experimento o suceso. Por ·ejemplo, el lanzamiento de un cohete para ponerlo en órbita. La intuición física por sí sola no puede darnos más que una idea aproximada de qué estrategia adoptar una vel que se lanza el cohete. Puesto que la precisión es trascendental, se construye un modelo matemático del problema por medio de leyes naturales aplicables. Después pueden usarse las ecuaciones, restricciones y elementos de control del modelo para dar una descripción razonablemente precisa de los elementos orbitales del cohete en su curso. En la figura 1.5.1 se ilustra el uso de modelos para explicar los resultados de una situación observable. A amplias partes del ambiente natural se les da una expresión matemática mediante un modelo general en el que todos los resultados posibles quedan descritos por algunos principios básicos. Un problema específico del ambiente se traduce en un problema matemático concreto en el modelo general. Se resuelve el problema matemático (a menudo con una simulación en computadora) y el resultado se interpreta en el entorno natural del problema. Los modelos suelen terminar como un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias en varias funciones por determinar o, en pocas palabras, en sistemas diferenciales . Cuando usamos la palabra sistema se entiende que se trata de mí sistema diferencial. El orden de un sistema es el orden de la derivada mayor que aparece en el sistema. El sistema de primer orden dx/dt = f(t, x, y)
(1)
dy/dt = g(t, x, })
en las funciones per determinai-x(t) y y(t) se encuentra en forma normal porque las derivadas están solas en el miembro izquierdo de las EDO. En los medips numéricos de resolución es preferible introducir los sistemas en la form~ normal.
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Ecuaciones diferenciales
Problema del "mundo real"
1.5/
Modelo matemático
Modelación
¡
I
I Predicción
de primer orden y modelos
Análisis
I I
t Solución
Resultado Interpretación
Figura 1.5.1 Resolución de un problema por medio de la modelación matemática.
e 1& Los sistemas lineales se utilizan con frecuencia en las aplicaciones.
y)
El sistema (1) es un sistema diferencial lineal si las funciones de tasa de cambio f(t, x, y) tienen la forma
y g(t, x,
f(t, x, y) = a(t)x + bU)y + h(t)
(2)
g(t, x, y) = c(t)x + d(t)y + k(t) donde los coeficientes a(t), bU), c(t), d(t) y los términos independientes h(t), k(t) son funciones solamente de t. El sistema (1) es no lineal si las funciones de tasa de cambio no tienen la forma (2). El siguiente es un ejemplo de un sistema no lineal: si 8(t) denota el ángulo de un péndulo en movimiento sujeto a la gravedad y a una fuerza de amortiguamiento, y si v(t) = e', entonces el par 8(t), v(t) resuelve el sistema de primer orden
e
e'
= v,
v' = -0.1 v - 4sen
El sistema (3) es no lineal debido al término -4sen En esta sección estudiaremos dos modelos:
e
(3)
e.
Desintegración radiactiva y su uso en la datación de objetos antiguos. Movimiento vertical: ¿qué le toma más tiempo a una pelota, subir o caer? El estudio de la radiactividad y los cuerpos en movimiento han revolucionado la ciencia, razón por la que hemos optado por modelar los principios básico de estos dos procesos naturales.
cursos brinda acerca
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43
7.5/ Introducción a la modelación y a los sistemas
Modelación de la desintegración radiactiva Ciertos elementos son inestables y, por tanto, decaen en otros elementos por emisión de partículas alfa, beta o fotones. Se dice que tales elementos son radiactivos . Por ejemplo, un átomo de radio podría decaer en átomo de radón, cediendo una partícula alfa en el proceso. El decaimiento de un solo núcleo radiactivo es un suceso aleatorio y es imposible predecir con certeza el momento exacto de tal suceso. No obstante, puede decirse algo definitivo acerca del proceso de decaimiento para un gran número de núcleos radiactivos. Para un conjunto de núcleos radiactivos en una muestra, sería útil saber el número de núcleos radiactivos presentes en un instante específico. Hay muchas pruebas experimentales en las que se sustenta la siguiente ley de decaimiento . Ley de desintegración radiactiva. En una muestra que contiene una gran cantidad de núcleos radiactivos, la tasa con la que disminuye el número de éstos en un instante específico es proporcional al número de núcleos presentes en ese instante.
Sea N(t) la cantidad de núcleos radiactivos en la muestra en el instante t; entonces la ley se traduce en la ecuación matemática N'(t)
1& En el manual de re-
cursos del estudiante se brinda más información acerca de esta dificultad.
Ejemplo 1.5.1
= -kN(t)
(4)
donde k es un coeficiente positivo de proporcionalidad. De acuerdo con las observaciones de gran parte de los procesos de decaimiento k es independiente de t y N. Se dice que un proceso de decaimiento de este tipo es de primer orden con una constante de tasa k. Esta ley en apariencia simple tiene dificultades lógicas de todo tipo porque estamos usando una estructura matemática "continua" para describir sucesos discretos. Es un hecho notable que con esta ley se obtenga un modelo matemático con el que pueden realizarse predicciones precisas.; Apliquemos la ley de desintegración radiactiva para elaborar un modelo matemático que permita predecir cuántos núcleos radiactivos se hallan presentes en una muestra dada en cualquier instante t.
Decaimiento exponencial
Supóngase que hay No núcleos radiactivos en una muestra de un elemento en el instante to. ¿Cuántos núcleos radiactivos N(t) están presentes un instante después? La ley de desin-
; Véase el artículo de E. Wigner, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Physical Sciencies", Commun. Pure Appl. Math. 13, pp. 1-14, 1960.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
tegración radiactiva con la que se describe cómo evoluciona N(t) está dada por el PVI de largo plazo N' = -leN, (5) t? to Por medio del método de los factores de integración (sección 1.3), se observa que el PVI (5) tiene precisamente una solución para cualquier valor de No: N(t)
= Noe-k(t - tol,
t? to
(6)
Una vez conocidas k y No, puede utilizarse la fórmula (6) para predecir los valores de N(t). La tasa de decaimiento k de un elemento radiactivo por lo regular se calcula a partir de la vida media del elemento, que no es sino el tiempo Hequerido para que decaigan la mitad de los núcleos. Algo curioso es que -r es independiente del tiempo cuando empieza el reloj y la cantidad inicial. Por ejemplo, en la fórmula (6) se o bserva que en instantes cualesquiera t? to Y t > O, N
N(t+-r) N(t)
oe
- k(t+-r-to )
N oe
±
= e-k7:
-k(t-to)
Por tanto, si necesitamos que N(t + -r) = N(t), entonces e -k7: ritmos) In2 -r=- y
= ± y (tras sacar los loga(7)
k
y ni -r ni k dependen de to o de No. Ya se ha determinado la vida media de muchos elementos radiactivos por métodos experimentales. Por ejemplo, la vida media -r del radio jj es de alrededor de 1 600 años, por lo que la t~sa de decaimiento del radio tiene un valor aproximado de 0.0004332 (años)- l. La fórmula (6) puede utilizarse paráhacer predicciones acerca del valor de N(t), las cuales pueden comprobarse contra determinaciones experimentales de N(t). A causa de las dificultades lógicas antes mencionadas, parecería sorprendente que con la fórmula (6) se obtuviera una descripción de precisión nota!11e para los procesos de desintegración radiactiva. No obstante, es un hecho de la ciencia experimental contemporánea que esto sea así, por lo menos para los intervalos de tiempo que no son muy largos ni cortos. Los resultados justifican el acto de fe realizado al despreciar los defectos de la ley y el modelo. A continuación presentamos una forma de utilizar la desintegración radiactiva para fechar los sucesos que ocurrieron hace tiempo, incluso antes de tener un registro histórico de los acontecimientos. Las células vivas absorben carbono a partir del dióxido de carbono del aire. Parte del carbono del dióxido es carbono 14 radiactivo (l4C), además del carbono común 12C. El carbono 14 se produce por el choque de los rayos cósmicos con el nitróge-
jj
La científica polaca Marie Curie (1867-7934) recibió el premio Nobel de física en 7903 Y 79 77 por sus experimentos precursores con el radio y otras sustancias radia ctivas.
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105
45
sistemas
no de la atmósfera. Los núcleos de 14C s~ convierten en átomos de nitrógeno al emitir partículas beta. Todos los organismos vivos, o los que alguna vez tuvieron vida, contienen cierta cantidad de núcleos de carbono radiactivo. A finales de la década de 1940, Willard Libbyiii mostró cómo una correcta medición de la tasa de decaimiento de 14C en un fragmento de tejido muerto sirve para determinar el número de años a partir de su muerte. A este procedimiento se Ur denomina datación por carbono radiactivo. En el problema 10 se utiliza esta técnica para fechar la edad de pinturarrupestres en una cueva cerca de Lascaux, Francia. ' Vealllos ahora un tipócompletamente distinto de proceso natural y modelo.
El enfoque de Galileo para el movimiento vertical Supóngase que una pelota se mUeve a lo largo de una línea vertical cérca del suelo. Sin considerar la resistencia del aire, Galileo iv demostró experimentalmente que la pelota se mueve con aceleración constante g, donde g es la constante gravitacional de la Tierra, y que este movimiento es independiente del tamaño, la forma o la masa de la pelota. Con esta información construiremos un modelo para el movimiento. Sabemos que el valor de g es g '"
Ejemplo 1.5.2
9.8 rnJs 2 = 980 crnJs 2 '" 32 pies/s 2
Ecuación diferencial para una bola en movimiento sin resistencia del aire
Supóngase que con y(t) se mide la distancia a partir del centro de una pelota sobre el nivel del suelo en el instante t; entonces la velocidad de la pelota en ese instante es v(t) == y'(t). La aceleración_de-la pelota es a(t) == v'(t) = y"(t). Digamos que el reloj empieza a correr en t = O Y que en el instante y(O) = Ya Y veO) = va. Mientras la pelota está en movi-
iii Willard Libby (1908-1980), químico estadounidense, recibió el premio Nobel de química en 1960 por su trabajo. En su libro Radiocarbon Dating, 2a. ed. (University of Chicago Press, Chicago, 1955) analiza las técnicas utilizadas para llevar a cabo la datación. Este proceso resulta más eficaz con materiales cuya antigüedad es de por lo menos 200 años, pero no mayor de 70 000.
iv Galileo Galilei (1564-1642) fue el primer modelador de los tiempos modernos. Aunque se
Galileo Galilei
le conoce mejor por su trabajo en astronomía, sus experimentos con objetos que dejaba caer desde cierta altura, así como con el movimiento en planos inclinados desembocó en un modelo para los cuerpos que caen que relaciona la distancia recorrida con el tiempo transcurrido, lo que, finalmente, condujo a la ley de la aceleración . Después de tales experimentos Galileo apuntó su telescopio a los cielos y descubrió cuatro de las lunas que giran alrededor de júpiter. Con sus observaciones respaldó el modelo del sistema solar de Copérnico. La conexión entre los mundos matématico y físico encuentra feliz expresión en una frase de Galileo: "La filosofía está descrita en el gran libro del universo, siempre abierto a nuestra mirada ... Y está escrita en el lenguaje de las matemáticas."
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
y
Pelota
miento, el resultado experimental de Galileo implica que y"(t) = -g para toda t en el intervalo O ~ t ~ T, donde T es el instante en que la pelota golpea el suelo. El signo menos indica que la gravedad actúa hacia abajo, en dirección decreciente de y. En resumen, se ve que y(t) es solución del PVI y" = -g, y(O) = Yo, y'(0) = Vo (8) en el intervalo O ~ t
Pi so
Ejemplo 1.5.3
~
T. Llamemos al PVI (8) modelo galiLeano del movimiento vertical.
La EDO en (8) no es válida fuera del intervalo O ~ t ~ T porque no sabemos nada acerca de la pelota antes de t = Oo después del impacto en t = T. Resolvamos ahora el PVI (8). Solución al problema de Galileo de la pelota en movimiento
Supóngase que y(t) es solución del PVI (8). Integre cada miembro de la EDO y" = - g para obtener y' = - gt + e para una constante C. La condición y'(O) = Vo implica que e = vo; por tanto, y' = -gt + Vo
Al integrar cada miembro de y' = -gt + Vo se obtiene y = -gt2/2 + v ot + e, donde e es una constante. Puesto que y = Yo cuando t = O, e debe tener el valor Yo. La solución única y(t) del PVI (8) es
1 2
2
y(t) = Yo + vot - - gt ,
(9)
En la figura 1.5.2 se muestran las curvas solución parabólicas, donde g = 9.8 mls2, Yo = 10 m y Vo (en mis) adopta varios valores. A partir de la fórm ula (9) se observa que si la Tierra no tuviera atmósfera (y, por tanto, ninguna fuerza de fricción redujera la velocidad del cuerpo), entonces los cuerpos en caída vertical cerca de la superficie se moverían del mismo modo, sin importar su tamaño, forma o masa.
El enfoque newtoniano para el movimiento vertical El modelo de Galileo tiene deficiencias; por ejemplo, desprecia la resistencia del aire. Cuando un cuerpo en movimiento vertical se somete a la resistencia del aire, los resultados experimentales de Galileo no permiten construir un modelo que describa con precisión el movimiento del cuerpo. En realidad, el movimiento de un cuerpo a lo largo de la vertical se rige mejor por la siguiente ley: ~
En la sección 4.1 se presenta la versión general.
Segunda ley de Newton (restringida al movimiento vertical). El producto de la masa constante y la aceleración de un cuerpo en movimiento vertical es la suma de las fuerzas externas que se ejercen verticalmente sobre el cuerpo.
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1.5 / Introducción a la modelación y a los sistemas
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Figura 1.5.2 Curvas solución para el problema de la pelota en movimiento (ejemplo 1.5.3).
Issac NewtonV formuló la famosa versión general de esta ley. La fuerza gravitacional sobre un cuerpo de masa m cerca de la superficie de la Tierra se ejerce hacia abajo y su magnitud es mg. Si la fuerza gravitacional es la única que actúa sobre el cuerpo, entonces de acuerdo con la segunda ley de Newton la altura y(t) del cuerpo sobre la superficie terrestre en el instante t satisface la EDO my" = -mg, ya que y" es la aceleración del cuerpo. Por tanto, y" = -g, el mismo resultado obtenido en el ejemplo 1.5.2. Sin embargo, el sentido común nos dice que la resistencia del aire amortiguará el movimiento, por lo que construiremos un mejor modelo que incluya el amortiguamiento.
v
Sir Isaac Newton
Issac Newton (1642-1727) comenzó a trabajar en la ciencia y las matemáticas al entrar en el Colegio de la Trinidad en Cambridge, Inglaterra, en 1661. En 1665 se graduó sin honores y volvió a casa para evitar la peste, que se difundió con rapidez por toda Inglaterra ese . mismo año. Durante los dos años siguientes, descubrió el cálculo, determinó los principios fundamentales de la gravedad y el movimiento de los planetas y reconoció que la luz blanca está compuesta por topos los colores; mantuvo en secreto estos descubrimientos. En 1667, Newton volvió al Colegio de la Trinidad, obtuvo su grado de maestro y permaneció como profesor. Newton continuó su trabajo relacionado con sus antiguos descubrimientos, formuló la ley de la gravitación, teorías básicas de la luz, la termodinámica y la hidrodinámica e inventó el.primer telescopio de reflexión. En 1687 se consiguió persuadirlo de que publicara su obra Philosophae Natura lis Principia Mathematica, que contenía las leyes básicas del movimiento; se le considera uno de los libros científicos más influyentes jamás escritos. A pesar de sus grandes logros, Newton se decía a sí mismo: "Creo que he estado jugando como niño en la ribera divirtiéndome ahora y encontrando después un guijarro más liso o una caracola más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad yace ante mí con todos sus secretos."
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Amortiguamiento viscoso y movimiento de una pelota perforada
Pelota que sube
~-kv y
~ l -mg
En experimentos con un cuerpo de poca densidad y superficie rugosa amplia (p. ej., una pluma, un copo de nieve o un pelota perforada) la resistencia del aire ejerce una fuerza sobre el cuerpo proporcional a la magnitud de la velocidad, pero que actúa en sentido opuesto a la dirección del movimiento. Este tipo de fuerza opositora se denomina amortiguamiento viscoso, y la tasa de cambio constante de amortiguamiento viscoso. Supóngase que y es la medida de la distancia a lo largo de la vertical, con la direc;ción positiva hacia arriba. Entonces, y' = ves la velocidad del cuerpo. La fuerza de oposición está modelada por -kv, donde k es la constante de amortiguamiento viscoso y el signo menos sirve para indicar que la fuerza se opone al movimiento. Supóngase que una pelota perforada de masa constante m se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial va. Entonces, por la segunda ley de Newton para el movimiento vertical, la ubicación y(t) del objeto resuelve el PVI
Pe lota que baja
my" = - mg - ky',
y(O) = O,
leO) = va
(10)
y obtenemos el modelo de amortiguamiento viscoso para el movimiento de la pelota.
Ejemplo 1.5.4
Trayectoria de una pelota perforada
Como y' = v, se tienen que y" lineal en v:
= v'; al reordenar el PVI (10) se obtiene el siguiente PVI
v'+(~)v=-g,
(11)
v(O)=va
Ahora el PVI (11) puede resolverse por medio del factor de integración él/m a fin de tener una fórmula para la velocidad de la pelota perforada: V () t =
mg) -kllm -mg ( v a+k- e k
(12)
Podemos determinar la ubicación de la pelota al sustituir v(t) por y'(t) en la fórmula (12) e integrar después. Se obtiene [con base en y(O) = O] y(t) =
f~[( va + ~g }-kslm - ~g ]dS
g mgs]S~1 -_[ --m ( v a +m- ) e-kslm - k
k
k
s~a
= m(v + mg )(1 _ e-kllm)_ mg t k a k k '
donde T es el instante en que la pelota golpea el suelo.
050t50T
(13)
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1.5 / Introducción a la modelaci6n y a
105
49
sistemas
y' = v, y(O) = O v ' = -9.8 - 3v, v(O) = v o
2.
= v, y(O) = O v' = - 9.8-10v, v(O)=v o
y'
o
:§: ro
~ 1.5
~
"
o. 19 0 1.0
t (s)
2.5
t (s)
Figura 1.5.3 k/m = 3. ¿Qué toma más tiempo, subir o bajar? (ejemplo 1.5.5).
2.5
Figura 1.5.4 k/m = 10. ¿Qué toma más tiempo, subir o bajar? (ejemplo 1.5.5).
De la fórmula (12) se observa que cuando t ~ + 00, v(t) se aproxima a la' velocidad límite =-mglk. La velocidad de la pelota perforada rápidamente se acerca a v = debido a que su masa es pequeña y su constante de amortiguamiento grande. Basta con lanzar al aire una pelota perforada y observar su caída lenta a una velocidad en apariencia constante. ¿Le toma más tiempo a la pelota perforada llegar a su altura máxima o caer desde esa altura? La fórmula (13) no nos permite responder esta pregunta. V=
¿Qué toma más tiempo, subir o bajar? Para decidir si la pelota tarda más en subir o bajar podemos emplear una computadora para graficar y = y(t) y contestar la pregunta mediante inspección visual. La gráfica puede obtenerse por medio de software y la fórmula (13) para y(t). Una mejor forma sería usar el medio numérico de resolución para resolver el PVI k y,I Y" =-g - m
y(O) = O,
y'(0) = V o
(14)
Aunque en algunos medios es posible introducir EDO de segundo orden, en muchos no. Todos aceptan un PV1 para un sistema de EDO de primer orden equivalente al PVI (14). A continuación explicamos cómo convertir el PVI (14) en un sistema de primer orden. Sea y' = V Y con el PVI (15) se obtiene 1&' Éste es un sistema lineal de primer orden.
y' = I
v,
y(O) = O
k m
(15)
v(O) = V o
v =-g- - v ,
Siy = y(t) y v = v(t) es solución del PVI (15), entonces se observa que 11' k I Y =v = - g- - y, m
y(O)
= O,
y'(0)
=Vo
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
y, por tanto, y(t) es solución del PVI (14). En otras palabras, los PVI (14) y (15) son equivalentes. Indiquemos los valores de g, k/m y va y utilicemos el medio numérico para resolver el PVI (15).
Ejemplo 1.5.5
¡la pelota tarda más en caer! Con g = 9.8 mls 2 , k/m = 3 y luego 10 s-l, y con varios valores para va, con nuestro medio obtenemos las gráficas mostradas en las figuras 1.5.3 y 1.5.4. Se observa que la pelota perforada tarda más en caer que en subir, lo cual se hace más evidente a medida que aumenta la velocidad inicial. Una pelota perforada con una velocidad inicial alta y una relación k/m alta, rápidamente alcanza su altura máxima y luego cae con gran lentitud. Utilice una regla para determinar la pendiente del lado plano de la gráfica superior de la figura 1.5.4. La pendi,ente medida es cercana a la velocidad límite - mg/k, cuyo valor es -0.98 mis.
mJ> Las gráficas no son demostraciones, pero son lo más parecido que tenemos.
Con lo anterior no se demuestra que el tiempo de ascenso es mayor que el de descenso; sin embargo, la gráfica es una prueba de esto. Lance al aire una pelota perforada y observe lo que sucede.
Sistemas dinámicos Con estos ejemplos surgen algunos de los componentes esenciales de los modelos para las EDO.
Elementos de un modelo Variables naturales. Un proceso natural se describe mediante un conjunto de variables denominadas variables naturales, las cuales dependen de una sola variable independiente, Para el problema de amortiguamiento viscoso, el tiempo t es la variable independiente; las variables naturales son la posición, velocidad y aceleración de la pelota en el instante t. Leyes naturales. Un proceso natural se desenvuelve con el tiempo de acuerdo con las leyes o principios naturales en los que intervienen variables del mismo tipo. A veces estas leyes surgen de manera empírica (p. ej ., la ley de amortiguamiento viscoso); a veces tienen un significado intrínseco, como en el caso de la segunda ley de Newton. En ocasiones una ley natural se expresa en términos ordinarios, como la ley de equilibrio de la sección 1.4. Una notación apropiada permite dar una estructura matemática a las variables y leyes naturales. Parámetros naturales. Las leyes naturales a menudo incluyen parámetros que deben determinarse en forma experimental; por ejemplo, la constante k de amortiguamiento viscoso es un parámetro.
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1.5 / Introducción a la modelación y a los sistemas Determinación experim ental de los parámetros naturales
~ Datos inic iales --~ Ley que rige la evo lución del proceso natural
--~.~ Res puesta
Entrada --~
Figura 1.5.5 Esquema de un sistema dinámico. En muchas situaciones las leyes naturales describen un proceso que evoluciona con el tiempo, al cual puede considerársele casi siempre la variable independiente .
A veces se usa este formato para destacar las definiciones importantes.
lki1f
•:. Variables de estado, sistemas dinámicos. Las variables de estado son variables naturales cuyos valores en un instante, junto con las leyes naturales del proceso, determinan únicamente valores de estas variables para aquellos valores donde se apliquen las leyes. Un proceso natural (o su representación matemática) descrito por las variables de estado es un sistema dinámico . Se dice que los valores de las variables de estado describen en cualquier instante el estado del sistema dinámico. Por ejemplo, la posición y velocidad son variables de estado para el sistema dinámico de un cuerpo que se mueve verticalmente. El enfoque de los sistemas dinámicos para la modelación, en el que de algún modo interviene la evolución del estado del sistema a través del tiempo, es un concepto moderno en su ámbito, pero de alguna forma ha existido durante siglos. Es nuestro enfoque básico. Al hablar de los sistemas dinámicos se utiliza cierta terminología convencional. A los efectos del medio externo se les denomina datos de entrada para el sistema. A los datos de entrada suele denominárseles términos gobernantes o términos júente ; y se dice que están gobernados tales sistemas. Los valores de las variables de estado en un instante inicial dado son los datos iniciales . El comportamiento de las variables de estado debido tanto a los datos de entrada como a los iniciales es la respuesta (o salida ) del sistema dinámico. En la figura 1.5.5 se resumen los componentes básicos de un sistema dinámico. Cabe agregar algo más acerca de la determinación experimental de los parámetros naturales, un componente de los sistemas dinámicos que suele pasarse por alto. En nuestros modelos, los coeficientes de proporcionalidad tienen una función muy importante en los procesos de modelación y alguien debe determinar sus valores. Esta trascendente tarea suele dejarse a los científicos e ingenieros.
El proceso de modelación Para construir un modelo se requieren herramientas, variables y leyes naturales, pero a menudo se pasa por alto un paso importante. Este último paso del proceso de modelación
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Li sto para la predicción
Proceso natural
Sí
Interpretación de resultados
Va lidación
Solución en casos espec iales
No
Preparac ión para la creación del modelo
Modelo
Figura 1.5.6 Esquema del proceso de modelación. se llama validación del modelo. El modelador debe elaborar definiciones y simplificar suposiciones, a la vez que descubre leyes o principios básicos que gobiernan o explican el fenómeno. El objetivo del modelador es generar un modelo suficientemente general para explicar el fenómeno, pero no tan complejo como para tomar imposible el análisis. En este proceso hay que ceder una cosa por otra. Para confiar en el modelo, el modelador resuelve problemas especiales y confronta el resultado con los datos experimentales. ASÍ, aprende algo de los límites de aplicabilidad del modelo. Por ejemplo, si la ecuación diferencial y" = -g sirviese para modelar el movimiento de una pelota perforada al dejar1<\ caer desde 20 metros, pronto se descubriría la ineficacia del modelo. Los modeladores hablan de intervalos de validez para describir estas limitaciones. En los esquemas como el de la figura l.5.6 se describe el proceso de modelación, pero rara vez los modeladores los siguen de manera inflexible. Como lo sabe todo profesional experimentado, los modelos son efímeros. Un modelo basado en los datos empíricos del día puede resultar inútil al disponer de mejores datos. En cualquier ámbito, los modelos se examinan en forma constante a fin de determinar su precisión al predecir el fenómeno modelado. Al respecto, se requiere una reconsideración detallada de las suposiciones básicas que produjeron el modelo, así como un análisis de las aproximaciones matemáticas utilizadas en los cálculos. Cuando se encuentra que los modelos tienen deficiencias, se modifican o se reemplazan por otros. El avance de la ciencia depende de este proceso.
Problemas de valor inicial Las variables de estado evolucionan a través del tiempo y las tasas de cambio se modelan con derivadas. Tras elegir las variables de estado para un sistema dinámico, surge un mo-
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1.5 / Introducción a la modelación y a los sistemas
.,
_delo matemático que consta de una EDO y las condiciones que permiten asignar valores a esas variables en un instante específico too Como indicamos, estos modelos son problemas de valor inicial (PVI) y las condiciones relacionadas ·con los datos iniciales son las condiciones iniciales . Por ejemplo, y" =
-g-~y', m
y(O) = O,
y'(O) = V o
es un PVI. El número de condiciones iniciales (dos) de este PVI coincide con el orden de la EDO, lo cual es característico de los PVI. El modelo para el movimiento de la pelota perforada nos permite saber qué pasa después de lanzar ésta hacia arriba. Éste es un problema de valor inicial hacia adelante . Las condiciones iniciales de tales problemas se expresan en términos del valor límite de las variables de estado cuando t ~ tt. Otros fenómenos dan lugar a problemas de valor inicial bilaterales donde to se halla en el interior de un intervalo de tiempo. Para completar la caracterización de los problemas de valor inicial, note que en un problema de valor inicial hacia atrás , se busca una descripción de las variables de estado para t < too En el problema lO(a) hay un ejemplo de un PVI hacia atrás.
Comentarios
El arte es la mentira que nos ayuda a ver la verdad. Picasso
El modelo matemático de un proceso natural es un retrato en el lenguaje de las matemáticas. Como todos lo retratos, el modelo destaca ciertas características del original y distorsiona otras. Por tanto, la creación de un modelo es un arte y un procedimiento lógico. Un modelo construido con habilidad puede proporcionar más conocimientos que la observación del proceso natural. Es imposible realizar un análisis preciso y directo de muchos procesos naturales; nuestra única percepción de sus realidades proviene de modelos matemáticos o de otro tipo basados en datos parciales, sentido común científico, experiencia e intuición.
Problemas ______ 1.
2. 3.
~~
____
~
_____________________________
(Desintegración radiactiva.) Una sustancia experimenta una desintegración radiactiva a una tasa proporcional a la cantidad presente y en 25 años 1.1 % de la cantidad inicial No se ha descompuesto. ¿Cuál es la vida media de la Sustancia? (Desintegración radiactiva.) ¿Qué porcentaje de una sustancia perdura después de 100 años si su vida -media es de 1 000 años? (Desintegración radiactiva.) El fósforo radiactivo con una vida media de 14.2 días se utiliza como trazador en estudios bioquímicos. Después de un experimento con 8
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Ecuaciones diferencia les de primer orden y modelos
4.
5.
g de fósforo , los investigadores deben almacenar el material de manera segura hasta que sólo queden 10- 5 g. ¿Durante cuánto tiempo deben almacenarse los recipientes? (Crecimiento de una población.) Una población crece exponencialmente durante T meses con una constante de crecimiento de 0.03 por mes. Luego, la constante aumenta de manera repentina a 0.05 por mes . Después de 20 meses se duplica la población. ¿En qué momento T cambió la constante de crecimiento? [Sugerencia: resuelva y' = 0 .03y, y(O) = Yo en el intervalo O $ t $ T. Luego utilice y(T) como el valor inicial para un problema similar. Sustituya 0.03 por 0.05 y resuelva en el intervalo T $ t $ 20.] (Sin amortiguamiento.) Un cuerpo con masa de 600 g se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 2000 cm/s. Utilice g = 980 Cm/S2 y desprecie la resistencia del aire. Calcule el punto más alto y el instante en que llega la ese punto. [Sugerencia: véase el ejemplo 1.5.3.] (b) Determine la altura del cuerpo y la velocidad después de 3 s. ¿En qué .momento golpea el cuerpo el suelo? (Movimiento vertical de una pelota.) Revise los ejemplos 1.5.2 y 1.5 .3 y conteste las preguntas. (a) ¿Por qué se doblan hacia abajo las curvas solución de la figura 1.5.2? [Sugerencia: recuérdese la relación entre el signo de la segunda derivada de una función y la concavidad de su gráfica.] (b) Trace las curvas solución de la EDO yl! = -9.8 en el plano ty para algunos valores de Yo, vo· (e) Si la pelota se lanza verticalmente desde una altura inicial de 75 m, ¿cuál es su velocidad inicial si permanece en el aire 5 s antes de que se estrelle con el suelo? Compruébelo con una gráfica. (d) Si Yo = O y la pelota alcanza 30 m, determine vo. Compruébelo con una gráfica. (Sin amortiguamiento.) Una persona deja caer una piedra desde un edificio y espera 1.5 s; luego, lanza una pelota de béisbol hacia abajo>·con una velocidad inicial de 20 mis. Desprecie la resistencia del aire. (a) Si la piedra y la pelota chocan contra el suelo al mismo tiempo, ¿cuál es la altura del edificio? (b) Demuestre que si se espera demasiado tiempo para lanzar la pelota hacia abajo, la pelota no puede alcanzar a la piedra. Demuestre que el tiempo de espera máximo para que alcance la·piedra es independiente de la altura del edificio. (Sin amortiguamiento: ¿qué toma más tiempo, subir o bajar?) Supóngase que una pelota es lanzada en sentido vertical hacia arriba con una velocidad inicial Vo desde el suelo. Desprecie la resistencia del aire. ¿Cuál es el tiempo requerido para que la pelota alcance su altura máxima? ¿La pelota tarda lo mismo en subir que en bajar? ¿Cuál es la velocidad de la pelota al chocar contra el suelo? Explique por qué. . (Amortiguamiento viscoso: ¿qué toma más tiempo, subir o bajar?) Supóngase que una pelota perforada con masa m se lanza verticalmente con velocidad Vo desde una altura h y se somete a la resistencia viscosa del aire.
m
6.
11 11 11 7.
8.
www 9 .
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1.5 / Introducción a la modelación y a.los sistemas
•
10.
(a) Demuestre que el PVI y' = v, y(O) = h, v' = - g - (klm)v, veO) = Vo rige la altura y y la velocidad v de la pelota perforada . (b) Supóngase que h = 2 m, g = 9.8 mls 2 y klm = 5 S-1 para el sistema del inciso (a). Utilice un medio numérico de resolución para estimar el tiempo de ascenso y el de caída (regreso a la altura inicial) .para va = 10, 30, 50, 70 mis. Repita'los cálculos con klm = 1, 10. Explique lo que observa. (e) (Demostración de que a la pelota le toma más tiempo bajar que subir.) Supóngase que klm = 1 en el PVI del inciso (a). Calcule el tiempo T requerido para que una pelota con perforaciones llegue a la altura máxima. Sea el tiempo 't' > O tal que y( 't') = h. Demuestre que 't' > 2T. ¿Por qué cree que el tiempo de descenso es mayor que el de ascenso? Compare con los resultados del problema 8. [Sugerencia: seaj(vo) = y(2T) - h, expresej(vo) en forma explícita en términos de g y Vo y demuestre quej(O) = O, dj(vo)/dvo > O para Vo > O.] (Edad de lus pinturas de la cueva de Lascaux.) En 1950 se utilizó un contador Geiger para medir la tasa de desintegración radiactiva del 14C en fragmentos de carbón vegetal en una cueva cerca de Lascaux, Francia, donde hay murales rupestres de varios animales. El contador registró aproximadamente 1.69 desintegraciones por minuto por gramo de carbono, en tanto que para el tejido vivo (como la madera de un árbol) ese número fue de 13.5. Utilice como guía la descripción siguiente para determinar cuándo se quemó la madera para hacer el carbón (y así determinar la edad de las pinturas). En cualquier organismo vivo la relación entre la cantidad de 14C y la cantidad total de carbono en las células es la misma que en el aire. Después que muere un organismo, cesa la ingestión de CO 2 y sólo continúa la desintegración radiactiva. Se sabe que la vida media 't' del 14C es de alrededor de 5568 años . Supóngase que q(t) es la cantidad de 14C por gramo de carbono en el instante t en la muestra de carbón vegetal; q(t) es adimensional porque se trata de una relación de masas. Supóngase que en este momento t =O y que T < O es cuando se quemó la madera. Entonces, q(t) = q(T) para t ~ T. (a) Supóngase que qo es la cantidad de 14C por gramo de carbono en la muestra en t = O. Compruebe que en el intervalo T ~ t ~ O, q(t) es la única solución hacia atrás del PVI
q' =-kq,
T~t~O
(b) Resuelva el PVI del inciso (a) y demuestre que
T =-.!.. ln qT =-~ln q'(T) k qo ln2 q'(O) donde k es la tasa de decillmiento y 't la vida media para el 14c. (e) La lectura de un contador Geiger en el instante t es proporcional a q'(t), la tasa de decaimiento de los núcleos radiactivos en una muestra. Calcule T con los datos del enunciado del problema.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
11. ' (Datación con carbono radiactivo: cambio de escala.) Utilice como guía la descripción siguiente para obtener una solución gráfica para el problema de datación de las pinturas de Lascaux con carbono radiactivo. [Sugerencia: lea el problema 10.] (a) Defina la nueva variable de estado Q(t) = q(t)/qo. Demuestre que este cambio de variables convierte el PVI del ejemplo en la forma Q' = - kQ, Q(O) = 1. Demuestre que el problema de datación puede reformularse como sigue: determine un valor T < O tal que Q(1) = 13.5/1.69. (b) Trace la gráfica de la solución del PVI del inciso (a) hacia atrás con respecto al tiempo y encuentre el valor de T. 12. (Datación de Stonehenge.) En 1977, la tasa de decaimiento del 14C de una pieza de carbón vegetal encontrada en Stonehenge al Sur de Inglaterra fue de 8.2 desintegraciones por minuto por gramo de carbono. Si en 1977 la tasa de decaimiento del 14C de un árbol vivo era de 13.5 desintegraciones por minuto por gramo, estime la fecha en que se erigió la construcción. [Sugerencia: lea el problema 10.] 13. (Datación de una caracola de mar.) Un arqueólogo encuentra una caracola marina que contiene 60% del 14C de una caracola viva. ¿Cuál es la antigüedad de la caracola? [Sugerencia: lea el problema 10.] 14. (Los huesos de Olduvai: datación con potasio y argón.) El desfiladero Olduvai, en Kenya, corta flujos y cenizas volcánicos, así como depósitos sedimentarios. Es el yacimiento arqueológico de huesos y artefactos de los primeros homínidos, considerados por algunos como los precursores del hombre. En 1959, Mary y Louis Leakey descubrieron un cráneo de homínido fosilizado y herramientas de piedra primitivas de mucha antigüedad. Los métodos de datación con carbono 14 resultan inapropiado s para un espécimen de tal edad y naturaleza. Por tanto, la datación hubo de basarse en las edades de los estratos volcánicos situados arriba y abajo. El método utilizado fue el de decaimiento de argón y potasio.
B
~
A' = k1K,
(16)
donde el tiempo t se 'mide hacia adelante a partir del instante en que la ceniza volcánica se depositó alrededor del cráneo.
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7.6/ Ecuaciones diferenciales separables
(a) Resuelva el sistema para determinar K(t), A(t) y C(t) en términos de k¡, k 2 y k = k¡ + k 2 . Sea K(O) = Ko, A(O) = C(O) = O. ¿Por qué K(t) + A(t) + C(t) = Ko para toda t ~ O? Demuestre que K(t) -7 O, A(t) -7 k¡Ko/k Y C(t) -7 k 2K o/k cuando t -7 oo. , (b) La edad T del estrato volcánico es el valor actual de la variable de tiempo t porque el reloj de potasio y argón empezó cuando se sedimentó el material volcánico. Esta edad se calcula al medir la proporción entre argón y potasio en una muestra. Demuestre que dicha proporción es A/K = (k¡ /k)(éT - 1). Demuestre que la edad de la muestra (en años) es (lIk)ln[(k/k¡)(A/K) + 1]. (e) Cuando se hicieron las mediciones reales en la Universidad de California, en Berkley, T (la edad de los huesos) se estimó en 1.75 millones de años. Los valores de las constantes de proporcionalidad son k¡ = 5.76 x lO-Ji/año y k 2 = 4.85 x lO- lO/año. ¿Cuál fue el valor de la proporción medida AlK? ~ 15. (Paleo de nieve.) Durante una nevada continua un hombre comienza a despejar la banqueta al mediodía, removiendo la nieve con una pala a una tasa constante y despejando un camino de amplitud constante. Cerca de las 2 PM el hombre ha quitado la nieve de dos cuadras y la de una más alrededor de las 4 de la tarde. ¿Cuándo comenzó a caer la nieve? Explique el proceso de modelación. [Sugerencia: se requieren más suposiciones para resolver el problema.]
1 .6
Ecuaciones diferenciales separables Hasta ahora sólo hemos abordado el tema de las EDO lineales de primer orden; ya aprendimos a obtener e interpretar una fórmula y las curvas solución graficadas con un medio numérico de resolución. Por tanto, es hora de examinar las EDO no lineales de primer orden. En esta sección veremos las EDO de la formaN(y)y'(t) + M(t) = O, denominadas EDO separables porque, como se indica, las variables y y t están separadas. Como veremos más adelante, hay algunas ventajas si se utiliza x como nombre de la variable en vez de t. Busquemos entonces una fórmula de solución para la EDO separable. N(y)y'(x) + M(x) = O
(1)
Esta EDO suele escribirse como N(y) y' = - M(x), donde el signo igual "separa" los términos en y y los términos en x. Supóngase que N(y) y M(x) son continuas en los intervalos respectivos -] e 1 para y y x. A continuación se expone un procedimiento para resolver la EDO (1)
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de primer orden y modelos
Ecuaciones diferenciales
1& Siga este procedimiento para resolver una EDO separable.
Cómo resolver una EDO separable
1. Separe las variables para escribir la EDO en la forma
N(y)y' + M(x) = O e identifique
los coeficientes N(y) y M(x).
2. Determine una antiderivada G(y) para N(y) y otra F(x) para 3. Todas las soluciones y = y(x) satisfacen la ecuación G(y) +
M(x). F(x)
= e, donde e
es
constante.
Tras usar este procedimiento varias veces le resultará muy sencillo y no tendrá que repasarlo de nuevo. Ahora daremos una explicación de por qué funciona el procedimiento. Supóngase que G(y) es una antiderivada de N(y) en J y que F(x) lo es de M(x) en 1. En otras palabras,
y
J
Irl I
1
dG/dy=
N(y),
para toda y en J, dñl dx = M(x),
para toda x en 1
Si y(x) es una solución de la EDO (1) cuya curva solución permanece en el rectángulo xy definido por 1y por J, entonces la EDO (1) se convierte en
x
= [G(y(x»+
N(y)y'(x)+M(x)
F(x»)' =0
(2)
porque según la regla de la cadena dG(y(x» dx
=
aG dy ay dx
= N(y)y'(x)
La antiderivación de (2) produce entonces G(y(x»+
F(x) =
e
(3)
para alguna constante e y para toda x en el intervalo donde y(x) está definida. Por otro lado, supóngase que y(x) es una función derivable continua cuya gráfica se ubica dentro del rectángulo determinado por 1y J y que y(x) satisface la ecuación (3) para alguna constante C. Entonces al derivar la ecuación (3) por la regla de la cadena se observa que y(x) es una solución de la EDO (1). Así, la ecuación (3) puede considerarse como una definición implícita de la solución general de la EDO (1) para un intervalo de valores de la constante C. La fórmula (3) es implícita' porque no se ha resuelto para expresar explícitamente y como función de x. En seguida se da un ejemplo en el que aplicaremos el método de variables separables.
1.6/ E(
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1.6/ Ecuaciones diferencia les separables
Ejemplo 1.6.1
Cómo separar las variables y resolver LaEDO y' = - x/y
queda en forma separada como yy' + x = O
así, N(y) = y y M(x) = x . Entonces G(y) = y2/2 Y F(x) = x 2/2 son antiderivadas de N y M . Si usamos la fórmula (3), la solución general de la EDO se expresa con [y(x)f + x2 =
2
e
(4)
2
donde e es una constante. Para, cualquier valor de (4) para yen términos de x . Hay dos soluciones
e > O, es posible resolver la ecuación (5)
cada una definida en el intervalo Ixl < .J2C. Con la sustitución directa en la EDO (4) se demuestra que la fórmula (5) define las soluciones. Es interesante pensar que si x es función de y, no sólo y función de x, entonces la EDO (1) puede escribirse como dx
N(y)+M(x) - = O dy
Si no queremos elegir entre x y y, entonces la EDO (1) puede escribirse en la forma diferencial N(y) dy + M(x) dx
=O
Ahora veamos la estructura geométrica de las curvas solución de una EDO separable.
Integrales y curvas integrales Nuestro método de resolución de EDO separables sugiere que necesitamos ciertos términos nuevos . •:. Integrales y curvas integrales. Una función no constante H(x, y) en un rectángulo R es una integral de la EDO Ny' + M = O si para cualquier solución y(x) cuya gráfica esté dentro de R, H(x, y(x)) = e para alguna constante C. El conjunto de puntos
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
en R que satisface H(x, y) = e es una curva integral de la EDO. Si e es una constante no especificada, entonces H(x, y) = e es la solución general implícita de la EDO. Para las antiderivadas G(y) y F(x) definidas anteriormente, la función H(x, y) = G(y) + F(x) es una integral para la EDO (1), así que la ecuación H(x, y) = e define una curva integral de la EDO (1). Estas curvas integrales son curvas de nivel o conto rnos de H. Toda curva solución de la EDO es un arco de alguna curva integral para esa EDO.
Curvas integrales de yy' + x = O
Como vimos en el ejemplo 1.6.1, H (x, y) = y2/2 + x 2/2 es una integral para la EDO separable yy' + x = O. Las curvas integrales son círculos definidos por y2/2 + x 2/2 = constante. I@r Una curva integral podría tener distintas ramas.
Ejemplo 1.6.3
En la EDO de los ejemplos 1.6.1 y 1.6.2 se observa que 11 resolver la ecuación H(x, en términos de x puede conducirnos a más de una solución de la EDO para cada valor de C. En el siguiente ejemplo se muestra que las curvas integrales pueden tener varias ramas.
y)
= e para y
Cuatro curvas solución en las dos ramas de una curva integral
Considérese el PVI yy" -
X
= O,
y(2) = -1
Al seguir el procedimiento antes mencionado con N(y) de realizar las integraciones) Cuando resuel va una PVI tenga cuidado a! escoger el arco o la rama de una curva integra!. I@r
y2/2 - x2/2
(6)
=Y YM(x) = - x, se tiene (después
=e
La función H = y2/2 - x 2/2 es una integral de la EDO. La constante e se determina a partir de la condición inicial x = 2 cuando y = -1, Y se observa que la solución implícita es y2/2 - x2/2 = -3/2, que define una hipérbola que pasa por el punto inicial (2, -1) . La solución explícita y(x) está dada por y = - (x2 _ 3) 112,
x> 3 112
que define el arco continuo que pasa por (2, -1), como se ilustra en la figura 1.6.1. La curva integral hiperbólica definida por (6) contiene tres curvas solución que también se muestran en la figura 1.6.1: y = (x2 - 3)1/2, x> 3 112 , Y Y = ± (x2 _ 3)1/2, x < _3 112 (en la izquierda). A veces no es práctico expresar y como función explícita de x.
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1.6 / Ecuaciones diferencia les separables
10
yy'- x = 0,
(1 - y2)y' + X2 = 0, y(-J) = J/2
y(2) =-J
(----------
_--
(- J,1/2)
'" o
(2,-J)
-1
-2
-IO-1~----~------~------+-----~ 0 -5 10
~
-1.5
__
______ ------~
-1.0
- 0 .5
0.0
x
0.5
1.0
~
1.5
x
Figura 1.6.1 Curva solución (línea continua) sobre una curva integral y212 - x 212 = -3/2 (línea (Ús'continua) " (ejemplo 1.6,3). '.
Ejemplo 1.6.4
,/
+ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
~-~--+_-_-
Figura 1.6.2 Curva solución (línea continua) sobre una curva integral (línea discontinua) (ejemplo 1.6.4),
Curva solución sobre una curva integral
La EDO separable
tiene la integral H(x, y)
=y -
y3/3 + x 3/3 y la solución general (7)
donde e es una constante. No hay una manera sencilla de resolver (7) para yen términos de x y de C. Supóngase ahora que queremos encontrar la curva integral que pasa por el punto (- 1, 1/2). Al sustituir x = - 1 YY = 1/2 en la fórmula (7), se observa que e = 1/8. La solución y(x) del PVI y (-1)
= 1/2
(8)
está definida implícitamente por la fórmula
(9) Observe en la figura 1.6.2 la curva integral en forma de S definida por la fórmula (9). El arco continuo en esta curva integral es la gráfica de la solución y(x) del PVI (8) extendida hacia adelante y hacia atrás desde x = -1 hasta donde llegue.
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Ecuaciones diferenciales de p rim er orden y modelos
Para encontrar el intervalo más largo de x sobre el que se define la gráfica de y(x) del ejemplo 1.6.4, note que y' es infillita cuando y = ±1 [porque y' = x 2/(y2 - 1)]. La sustitución de y = ±1 en la ecuación
~ ¿Impaciente? Vea el ejemplo 1.7.1.
da como resultado x 3 = -13/8 , 19/8. Por tanto _13 1/ 3/2 y 191/3/2 sol1 10s puntos extremos del intervalo más grande de x sobre el que se define esta curva solución. Aún queda, sin embargo, un rmsterio por resolver: ¿cómo se graficó la curva integral de la figura 1.6.2? ¡No usamos ningún trazador de curvas! En la sección 1.7 veremos la respuesta. En los ejemplos 1.6.3 y 1.6.4 se ilustra la utilidad de las curvas integrales para ver las curvas solución de una EDO. De hecho, si trazamos todas las curvas integrales que quedan dentro del rectángulo, entonces veremos de inmediato las curvas solución. En este sentido, las curvas integrales brindan una descripción global de las curvas solución. Terrmnaremos esta sección con dos aplicaciones que suponen EDO separables'.
La EDO logística ~ Consulte más información acerca de la ecuación logística en la sección l.l del manual de recursos para el estudiante.
En la sección 1.1 revisamos una EDO modelo dyldt = ay - cy2
donde a y c son constantes positivas. Esta EDO sirvió para describir una población de peces consideran do la sobrepoblación . La forma más común de esta EDO se origina al asignar r = a y K = alc para obtener la ecuación logística (10) dy/dt = ry (1 - y/K) La constante r se denormna constante intrínseca de crecimiento y con ella se rmde la diferencia entre las tasas de nacirmento y muerte por unidad de población si no hay sobrepoblación. Por ejemplo, r = 0.05 corresponde a una tasa de crecimiento neto de 5% por unidad de tiempo. La constante positiva K es la constante de saturación o capacidad de carga. Como se verá, toda solución y(t) se aproxima a K cuando t ~ + si y(O) es positiva. Obtengamos una fórmula de solución para la EDO logística (10). 00
Ejemplo 1.6.5
Resolución de la EDO logística Escribamos la ecuación logística en la forma diferencial: dy - ry(l - ylK)dt = O
(11)
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1.6 / Ewaciones diferenciales separables
Esta EDO no es lineal, pero es separable. Supóngase que y no es O ni K para evitar la división entre O, y separemos las variables: K
- - - d y - rdt = O (K - y)y
(12)
En la notación de la fórmula (3) se necesita una antiderivada G(y) de K/fy(K - y)] y la antiderivada F(t) = -rt de la función -ro Se usan las fracciones parciales para encontrar G(y): K 1 1 --- =--+-
(K-y)y
K- y
y
Integre para obtener G(y)
= - In
IK - y l + In Iy l
Se tiene la solución general de la EDO (11): - In IK - y l+1n Iyl- rt = c,
y -l =rt+c o 1n l K-y
donde c es cualquier constante. Eleve para obtener - y I= cert,
IK-y
donde C = e c
(13)
Si se elimina el signo de valor absoluto en (13), entonces C puede ser tanto positiva como negativa. Ahora resolvamos y/(K - y) = Ce rt para y:
y = (K - y)Ce rl y(l + Ce!'t) = KCe rt y=
(14)
KCe rt 1+Ce rt
Al evaluar C a partir de la condición inicial y(O) = Yo;::: O, se tiene de (13).que Yo = KC/(1 + C). El despeje de C en términos de Yo da como resultado C = yof(K - Yo). La sustitución de este valor para C en (14) da (después de varias operaciones algebraicas) (15)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
que es la fórmula para las soluciones de la EDO logística (10). Note que si Yo> O, entonces y(t) ~ K cuando t ~ + 00, ya que e-rr ~ O Asignemos algunos valores a r y K.
Ejemplo 1.6.6
Cambio logístico de población
Supóngase que la tasa de crecimiento res 1 (correspondiente a una tasa de crecimiento de 100% por unidad de tiempo) y la capacidad de carga es 12. De la fórmula (15), la fórmula de solución para el PVI y' = (1 - y/ 12)y, y(O) = Yo es y (t) =
12yo t Yo + (12 - yo)e-
Puesto que e- t ~ O cuando t ~ + 00, se observa que y(t) ~ 12yo/(yo + O) = 12, de modo que la población tiende a la capacidad de carga K = 12. Vuelva a la figura 1.1.3 para ver una ilustración de las curvas solución. Las curvas de población en forma de S de la ecuación logística reciben el nombre de curvas logísticas. En la figura 1.1.3 se ilustra la conveniencia de los términos capacidad de carga y población de saturación para Y = K. Los recursos de la comunidad pueden mantener una población de tamaño K , el cual es el límite asintótico de las curvas de población cuando t ~ +00.
Amortiguamiento newtoniano y un paracaidista A parti r de mediciones cuidadosas se sabe que cuando un cuerpo denso se eleva o cae por el aire la magnitud de la fuerza de amortiguamiento es proporcional al cuadrado de la magnitud de la velocidad. Esto se conoce como amortiguamiento newtoniano; compárelo con el amortiguamiento viscoso definido en la sección 1.5 . Supóngase que Y mide la di stancia a lo largo de la vertical con la dirección positiva "hacia arriba". Si se toman en cuenta las fuerzas que actúan sobre el paracaidista, se tiene el problema de valor inicial my" = - mg - kvlvl ,
y(O) = 11,
veO) =
Vo
(16)
donde V = y' Y el signo meilOs del término - kvlv l indica que el arrastre se opone al movimiento. La constante positiva k en (16) es la constante de amortiguamiento ne\Vtoniano. Note que, para un cuerpo que cae, la velocidad v = y' es negativa, así que - kvlvl = kv2.
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65
1.6/ Ecuaciones diferenciales separables
Ejemplo 1.6.7
Amortiguamiento newtoniano: velocidad límite Un paracaidista salta desde un aeroplano a h pies de altura, y es afectado por la resistencia newtoniana del aire. La fuerza de amortiguamiento newtoniano actúa hacia arriba (en la dirección positiva) porque el paracaidista cae y, por tanto, está representada por kv2. Al sustituir y " por v' en el PVI (16) y dividir entre m da como resultado el PVI de primer orden para la velocidad VI
(k)
=-g+ m
V2,
veO) = O
(17)
La EDO de (17) es separable. Después de separar las variables e integrar, es posible demostrar (problema 7) que la solución del PVI (17) es
Compare con la velocidad límite en el caso del amortiguamiento viscoso del ejemplo 1.5.4.
v(t) _ mg - ( k )
I@'
112
e
- At
e-At
1
+1
(18)
donde A = 2(gk/m)1I2. Cuando t ~ +00 se observa que v(t) tiende a la velocidad límite V oo = -(mg/k)'I2. Esta velocidad no se alcanza en realidad porque en algún momento el paracaidista toca el suelo y el modelo (17) del PVI pierde su validez. Se ha estudiado de forma pormenorizada el movimiento de un paracaidista; el amortiguamiento newtoniano ofrece un buen modelo. Si la masa del paracaidista y su equipo es de 120 kg, entonces la constante k del amortiguamiento newtoniano es aproximadamente 0.1838 kg/m y la velocidad límite tiene una magnitud aproximada de 80 mlsec. Este valor es semejante al de las velocidades límite observadas en las caídas libres de los paracaidistas.
Comentarios Históricamente, la EDO N(dy/dx) + M = O se escribía en la forma diferencial Ndy + Mdx = O, razón por la que la materia se llama ecuaciones diferenciales en vez de ecuaciones de derivadas. Debido a la utilidad de la forma diferencial aquí se usa algunas veces, en particular en los problemas. El caso donde N y M son funciones tanto de x como de y se aborda en el problema 10 para el caso especial donde dN/dx = dM/dy.
Problemas ______ 1.
~
_____________________________________
(Pérdida de una solución.) A veces, al reescribir una EDO para separar las variables puede perderse de forma inadvertida una solución. Obtenga todas las soluciones de la EDO y' = 2xy2, pero procure no perder ninguna solución.
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66
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
2.
Encuentre todas las soluciones y = y(x) de cada EDO. [Sugerencia: tenga cuidado con las soluciones que se hayan perdido al separar las variables. Véase el problema l.] (a) dy/dx = -4xy (d) (1 - x)y' = y2
= - xe-X+Y (f) y' = xey- x 2
(e) y'
(b) 2ydx + 3xdy = O (e) y' = -y/(x2 - 4)
Para cada PVI encuentre una fórmula de solución y el intervalo más grande de x sobre el que se defina. Para los incisos (b) y (e), obtenga las fórmulas de solución y también resuelva los PVI con un medio numérico de resolución.
4.
(a) y' = (y + 1)/(x + 1), y(l) = 1
(b) y'
(e) y' = y e- X , y(O) = e (e) y' = - x/y, y(1) = 2
(d)
(e) (tan2 y)dy
11
11
6.
= 1
Para cada EDO encuentre la fórmula de solución general pero no trate de despejar y como función explícita de x. (a) y' = (x2 + 2) (y + l)/xy
5.
= y2/x, y(l)
y' = 3x2/(1 + x 3 ), y(O) = 1 (f) 2xyy' = 1 + y2, y(2) = 3
=
(sen 3 x)dx
(b) (1 + senx)dx + (1 + cosy)dy (d) (3y2 + 2y + l)y ' = xsen (x 2)
=O
(Cambio logístico.) Los problemas siguientes se relacionan con el crecimiento y el decaimiento logísticos. (a) Resuelva los PVI y' = (1 - y/20)y, y(O) = 5, 10, 20, 30. [Sugerencia: véase la fórmula (15). ] (b) Trace las curvas solución del inciso (a) en el intervalo O ~ t ~ 10 Y destaque la capacidad de carga. (e) (Captura.) La EDO y ' = 3(1 - y/12 )y - 8 modela los cambios de una población capturada que sufre cambios logísticos. Encuentre los dos niveles de equiljbrio y explique lo que sucede con las especies si y(O) = 2, 4, 6, 8 o 10. [Sugerencia: siga el análisis del PVI (12) de la sección 1.1] (d) Trace las curvas solución del inciso (e) en el intervalo O ~ t ~ 5 Y destaque los niveles de equilibrio. (e) Una colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley logística, con una capacidad de carga de 5 x 108 individuos y una tasa de crecimiento natural r = 0.01 días- l. ¿Cuál será la población después de dos dias si ésta inició en 1 x 108 individuos? (Movimiento de un proyectil: amortiguamiento newtoniano.) Se observa que un proyectil esférico de 100 lb tiene una velocidad límite de -400 pies/s. (a) Demuestre que la velocidad v del proyectil que experimenta un movimiento vertical ascendente o descendente y sobre el que actúa la resistencia newtoniana del aire se expresa con v' = - g - (gk/w) vlvl , donde la magnitud de k es de 1/1600 Y w = mg es el peso del proyectil.
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1.6 / Ecuaciones diferenciales separables
ti ti www 7. ~
Si se ve en apuros consulte el manual de recursos del estudiante ~ Si necesita ayuda con las fracciones parciales, consulte la tabla 6.2.1.
(b) Modele el movimiento del proyectil como un sistema diferencial en las variables de estado y y v, donde V = y'. (e) Si el proyectil es disparado hacia arriba en sentido vertical desde el piso con una velocidad inicial de 500 pies/s, ¿cuál es su velocidad cuando choca contra el suelo? [Sugerencia: utilice un medio numérico de resolución para hallar la solución del sistema del inciso (b) con las condiciones iniciales convenientes. Utilíce10 también para graficar la solución v = v(t) y y = y(t) como una curva paramétrica en el plano vy. Estime la velocidad de impacto a partir de la gráfica.] (d) (¿Toma más tiempo el descenso?) ¿Qué le toma más tiempo al proyectil del inciso (e), subir o bajar? Explique por qué. Repita el procedimiento para VD = 100,200, ... , 1000 pies/s. [Sugerencia: utilice un medio numérico de resolución y grafique y(t).] (Velocidad newtoniana del paracaidista.) En el ejemplo 1.6.7 se demostró que la velocidad v(t) del paracaidista satisface el PVI V' = -g + KV2/m, veO) = O. Separe las variables y por medio de fracciones parciales y operaciones algebraicas obtenga la fórmula de solución: 112
mg
v(t) =
ti 8.
(
k
)
e - Al - 1 e - Al + 1 '
dondeA=2
k)l/2 (~
(Paracaidista: amortiguamiento newtoniano.) Un paracaidista y su equipo pesan 240 lb [Nota: peso = mg.] En caída libre el paracaidista alcanza una velocidad lími-
te de 250 pies/s. Poco después de que se abre el paracaídas el paracaidista alcanza la velocidad límite de 17 pies/s. Supóngase que el paracaidista salta de un aeroplano a 10 000 pies. Use g = 32.2 pies/s 2 y responda las siguientes preguntas acerca del segundo salto. (a) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir antes de que el paracaidista en caída libre alcance una velocidad de 100 pies/s? [Sugerencia: use la información para determinar el coeficiente k del PVI (16); luego, use la fórmula (18).] (b) Cuando el paracaidista va a 100 pies/s Jira de la cuerda y el paracaídas se abre instantáneamente. ¿Cuánto tiempo le toma. alcanzar una velocidad de descenso de 25 pies/s? (e) ¿Cuánto dura el último salto? ¿Cuál es la velocidad de aterrizaje? 9. (Una población logística con captura.) Un problema de va~or inicial para una población logística con captura a una tasa constante está dado por y' = Y (1 - y/ lO) - 9/10,
~
ti ti 10.
y(O) = Yo
(a) Encuentre la fórmula de solución para este PVI. [Sugerencia: tómese el tiempo suficiente para la realización de las operaciones algebraicas.] (b) Grafique algunas curvas solución para el PVI. (Fórmula de solución para las EDO exactas.) La EDO de primer orden N (x, y) y' + M (x, y) = O
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
es exacta en un rectángulo R del plano xy si M y N son derivables y continuas en R y si hay una función H(x, y) tal que aH/ax = M, aH/ay = N para toda (x, y) en R. A la función H se le conoce como integral de la EDO. Si la EDO es exacta, entonces su solución general es H(x, y) = e, donde la constante e debe elegirse de manera apropiada. Las curvas de nivel de una integral se denominan curvas integrales . Es posible demostrar que la condición de exactitud
~
Esto general iza la defmición de una integral para una EOO separable.
aH/ox = oM/oy
para toda (x, y) en R garantiza que existe una función H con las propiedades deseadas. Entonces, si la EDO satisface la condición de exactitud, todo lo que se necesita hacer para construir la solución general H(x, y) = e es calcular H. Esto puede llevarse a cabo con los siguientes pasos: (1) compruebe que se cumple la condición de exactitud; (2) considere y como constante y evalúe la antiderivada de x M (x, y) dx; escriba H = M (x, y) dx + g (y) en términos de una función desconocida g; (3) entonces
f
f
, aH a f M(x,y)dx=N-a f M(x,y)dx g(y)=--ay ay ay
que resulta de que aH/ay = N (definición de exactitud); (4) la condición de exactitud implica que N - (o/ay) M (x, y) dx es independiente de x (a pesar de las apariencias), ya que
f
~[N-~fM(X,Y)dx]= oN -~[~fM(X,Y)dx] ox . ay ox ay ox oN a = - - - M(x,y)=O ox
ay
f
(a) ~
Se demuestra que las EOO exactas generalizan las EOO separables.
(b) (e)
~
1.7.1.
Revise la figura
(d)
Así, g(y) está dada por cualquier antiderivada de g '(y); (5) H = M (x, y) dx + g(y) es una integral de la EDO, y la solución general es H(x, y) = C. Demuestre que si la EDO es exacta, entonces puede escribirse como d(H(x, y(x»)/dx = O. Concluya que y(x) es una solución de la EDO si y sólo si su curva solución queda en un conjunto de nivel de H. Demuestre que la EDO separable N(y) y' + M(x) = Oes exacta si N y M son continuas. Demuestre que (2y - x) y' = y - 2x es exacta. Encuentre una integral H y la solución general. Trace las curvas integrales en el rectángulo Ixl:=; 5, Iyl :=; 4. Destaque algunas curvas solución y = y(x). (Osos de felpa.) Demuestre que [seny - 2sen(x2 ) sen(2y)]y' + cosx + 2x cos (x2 ) cos (2y) = O es exacta. Encuentre una integral H y grafique varias curvas integrales para Ixl :=; 6, Iyl :=; 10. ¿Cuál es la solución general?
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1.7 / Sistemas planos y EDO de primer orden
'¡
~'
v. 1.7
u.
(e) Demuestre que xeY (y2 + 2y)y' + y 2eY + 2x = O es exacta en el plano xy. Encuentre una integral H y la solución general; trace varias curvas integrales en el rectángulo Ixl ~ . 5, Iyl ~ 4. (1) Demuestre que y'senx seny - cos x cos y = O es exacta en el plano xy. Encuentre una integral H y la solución general; grafique varias curvas integrales en el rectángulo Ixl ~ 5, Iyl ~ 4. (g) Una EDO no exacta puede volverse exacta sise le multiplica por un factor de integración. Demuestre que cosx es un factor de integración para la EDO no exacta cos x dy - (2y sen x - 3) dx = O. Luego, obtenga la solución general y grafique algunas curvas integrales en el rectángulo Ixl ~ 5, Iyl ~ 5. (Comparación entre los amortiguamientos .newtoniano y viscoso.) Diseñe un experimento para determinar con qué tipo de amortiguamiento, newtoniano o viscoso, se describe mejor el movimiento del paracaidista del problema 8. Realice una simulación en computadora y comente los resultados. [Sugerencia: véanse los ejemplos 1.5.4, 1.5.5 Y 1.6.7. El amortiguamiento constante puede determinarse a partir de la velocidad terminal.]
Sistemas planos y EDO de primer orden Hemos modelado casi todos los sistemas dinámicos vistos hasta ahora con EDO sencillas de primer orden en una ,variable de estado. Algunos sistemas dinámicos requieren dos variables de estado, digamos, x y y; por medio de las leyes rectoras se llega a dos ecuaciones de tasa de cambio:
I@' Éste es un sistema normal , ya que ha sido resuelto para x' y y'.
dx = x' = f(t, X, y), dt
dy , . dt =y =g(t; x,y)
(1)
El par de ecuaciones diferenciales se denoniina sistema diferencial plano de primer orden ; el plano 'xy es el espacio de estados . Cuando las funciones de tasa de cambio f y g no dependen de t, se dice que el sistema (1) es autónomo : Los sistemas aparecieron por vez primera en esta obra en (15) de la sección 1.5, donde modelamos una pelota perforada de masa' m que se mueve alo largo de la vertical local, con la posición y y la velocidad v como variables de estado, para obtener el sistema autónomo plano y'=v,
, k v =-g--v
(2)
m
donde g es la constante gravitacional de la Tierra y k la de amortiguamiento viscoso. Obtuvimos soluciones del sistema (2). al observar que la segunda EDO (la ecuación v') se desacopla de la primera. Es posible resolver la primera EDO desacoplada de primer orden para v(t) e insertarla en la otra EDO de primer orden, la cual puede resolverse para y(t).
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Ecuaciones diferencia les de primer orden y modelos
No siempre sucede que una EDO de un sistema plano de primer orden se separe de la otra EDO y, por tanto, deben buscarse otras técnicas de solución. No obstante, primero presentaremos Lffi poco de terminología importante para los sistemas planos .
•:. Soluciones, órbitas, curvas componentes. Las funciones x = x(t) , y = y(t) definen una solución del sistema (1) si x/(t) = f(t, x(t), y(t» , y'(t) = g(t, x(t), y(t» para toda t en un intervalo I. La gráfica paramétrica de x(t) contra y(t) en el plano de estados xy es la órbita de la solución. Las gráficas de x(t) contra t en el plano tx y y(t) contra t en el plano ty son las curvas componentes de la solución. En las figuras siguientes se muestran ejemplos de órbitas y curvas componentes. Ahora contamos con una razón de por qué x suele utilizarse en lugar de t en una EDO de primer orden.
Método del sistema para graficar las curvas solución Es posible obtener las curvas de la EDO de primer orden ~ En ocasiones las fórm ulas de solución pueden obtenerse mediante la técn ica que se usó en el problema lO de la sección 1.6.
Ejemplo 1.7.1
dy . N(x,y)-+ M(x,y) = O . dx ' si se grafican primero las órbitas del sistema plano autónomo
(3)
dx dy (4) - = N(x,y), -;¡;=-M(x,y) dt Este proceso puede explicarse con el razonamiento siguiente: la gráfica paramétrica en el espacio xy de un a solución x = xC!), y = y(t) del sistema (4) es una órbita del sistema. La pendiente dy/dx de la órbita en un punto (x, y) es -M(x, y)/N(x, y) puesto que dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) =-M/N. Las curvas solución de la EDO (3) y, por tanto, de dy/dx = -M/N, son arcos de órbitas del sistema (4), los cuales no contienen tangentes verticales. La EDO dy/dx = -M/N podría resultar difícil de resolver en fomla numérica en las regiones donde se anula el denominador N(x, y) . La técnica antes descrita evita este problema del denominador que se anula, pero con el inconveniente de introducir otra variable de estado. En los ejemplos que siguen se ilustra este método.
Curvas solución de una EDO de primer orden como arcos de órbitas de un sistema
Encuentre la curva solución que pasa por el punto (-1, 112) de la EDO y
(l-l)d +x 2 =0 dx
(5)
/
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1.7 / Sistemas planos y EDO de primer orden
1&' Este método supera a casi todos los programas para graficar curvas de nivel. En el problema 12 hay más al respecto.
donde N = 1 -
y2
YM = x 2 , para lo cual primero se graficará la órbita del PVI del sistema dx 2 dt dy 2 -=-M=-x dt '
-=N=I-y
x(O) =-1
(6) y(O) = 1/ 2
con el punto inicial (-1, 1/2). Se utiliza un medio numérico de resolución para resolver el problema de valor inicial (6) con valores de t hacia delante y luego hacia atrás a partir de t = O hasta que la órbita sale del rectángulo Ixl :::; 2, Iyl:::; 3. La órbita es la curva con forma de S que se ilustra en la figura 1.6.2. La curva solución de la EDO (5) que pasa por (-1, 1/2) es el arco más largo de esta órbita que contiene el punto (-1,1/2) Y no tiene tangentes verticales. La curva solución es el arco continuo mostrado en la figura 1.6.2. A continuación se presenta otro ejemplo donde se utiliza el mismo método, pero con muchos puntos iniciales y órbitas.
Ejemplo 1.7.2
Osos de felpa Considere la EDO de primer orden 2
dy .dx
2
(seny-2 senx sen2y)-=+cosx+2xcosx cos2y=O
(7)
El sistema (4) de primer orden que corresponde a la EDO (7) es " '~
dx 2 = sen y - 2 sen x sen 2 y dt dy 2 - = -cosx-2xcos x cos 2y dt
-
(8)
Las órbitas del sistema (8) mostradas en la figura 1.7.1 se obtuvieron con un medio numérico de resolución usando varios puntos iniciales (xo, Yo) en el rectángulo Ixl:::; 6, Iyl:::; 10. Por ejemplo, la curva que describe la parte inferior del torso y las piernas de los ositos es la órbita del sistema (8) que pasa por el punto (O, nl2) en t = O. En cada caso, la órbita toma valores de tiempo hacia adelante y hacia atrás a partir del punto inicial elegido hasta que la órbita sale del rectángulo o vuelve a su punto de partida (como sucede con las órbitas dentro de un oso). En este ejemplo no hemos elegido los arcos de cada órbita correspondientes a las soluciones Y = y(x) de la EDO original (7) . Debido a que las funciones de tasa de cambio para x(t) y y(t) son funciones periódicas de Y con periodo 2n podría pensarse en la posi-
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
(seny - 2 senx2 sen 2y)y' + cosx + 2x cos x 2 cos 2y = O 10
-5
- 10
+-+---~~-+~~' +-~~+-+---~I~'-+--'~I~~~I
-6
-4
-2
O
2
4
6
x
Figura 1.5.6 Esquema del proceso de modelación. bilidad de que las formas orbitales se repitan con cada incremento de 2n en y, de modo que ésta es la razón por la que se observan tercias de ositos. El ejemplo del osito de felpa sirve para ilustrar cómo el enfoque de sistema perntite ver las curvas solución de una EDO de primer orden en una región amplia; es decir, globalmente. Como las curvas solución son arcos de órbitas sin tangentes verticales, en la figura 1.7.1 se observa con claridad que algunas de ellas existen sólo en intervalos muy cortos de x (véase, por ejemplo, la cantidad de "ojos" de un osito) . En el siguiente tema se analiza cómo aplicar el enfoque de sistemas en la construcción de fórmulas para algunas EDO de segundo orden que se presentan con frecuencia en las aplicaciones.
Métodos de reducción y sistemas planos La solución de algunas ecuaciones diferenciales de segundo orden puede obtenerse si se logra reducirlas a sistemas de primer orden mediante una elección adecuada de nuevas variables. Por ejemplo, la EDO de segundo orden ~
En este caso corrimos con suerte. Para resolver esta EDO sólo deben resolverse ' dos EDO de primer orden consecutivas.
y" = F(t,y')
(9)
donde las derivadas son con respecto a t, se transforma en el sistema y'=V
v' = F(t, v)
(10)
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1.7 / Sistemas planos y EDO de primer orden
al introducir una nueva variable de estado v = y'. La segunda EDO del sistema (10) se separa de la primera EDO, de modo que puede resolverse primero. En los problemas de cuerpos que caen de las secciones 1.5 y 1.6 se ilustra esta técnica de reducción de orden. A continuación se da otro ejemplo.
Ejemplo 1.7.3
Resolución de y" = F(t, y')
LaEDO y" = y' - t
puede resolverse si se iguala v
= y' y
vuelve a escribirse la EDO como v' - v =-t
la~ual es una EDO lineal de primer orden en v con factor de integración e-t. Se tiene la ecuación (ve- t )' = -te-t , que puede resolverse para obtener v = elel + 1 + t, donde el es una constante arbitraria. Recuérdese que y' = v, así que al integrar se obtienen las soluciones
donde
el y e2son constantes arbitrarias.
Cuando la EDO de segundo orden es autónoma se aplica otro método: y" = F (y, y') llF Aquí se aplica de modo sutil la regla de la cadena: v(t) ~ v(y(t)) dv dt
= dv. dy dy dt
(11)
Como t no aparece explícitamente en la ecuación diferencial, podría ser adecuada una variable independiente distinta de t. Se introduce y como la nueva variable independiente y v = y' como una nueva variable dependiente. Por medio de la regla de la cadena, se tiene d 2 y dv dv dy dv y" =-=- =--=- v dt 2 dt dy dt dy
y la EDO (11) se transforma en un par de EDO de primer orden muy diferente de (10) : llF Difícil. Bueno, todos tienen problema con esto.
dv v - = F(y,v) dy
(12)
dy = v(y) dt
La primera EDO de (12) se desacopla de la segunda, por lo que puede resolverse para v(y) por separado como una EDO de primer orden. Una vez que se conoce la solución v(y), es posible resolver la segunda EDO de (12) para y(t) al separar las variables e integrar. A continuación se da un ejemplo.
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Ejemplo 1.7.4
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Resuelva y" = F(y, y')
EIPVI 1 (/)2 Y " =Y - y' -,
Y
Y
y
=1
Y y'
=2
cuando t =O
puede resolverse para y(t) por el método antes mencionado. Al comparar esta EDO con (11) se observa que F(y, y') = [(y')2 - y']/y. Se supone que y > O. Si se introduce y y v = y' como variables, de (12) y de los datos iniciales de los dos PVI de primer orden, se tiene: dv 1 2 v (13a) v - = - v -v=2 cuando y =l dy y y'
d:
y =l
= v(y),
cuando t=O
(13b)
La solución v = O de la EDO en (13a) no es de interés, así que se divide el factor v y se resuelve el PVI resultante dv/dy = (v - l)/y por la técnica del factor de integración para obtener v = l +y Por tanto, el PVI (13b) se convierte en dy dt =v(y)=l+y,
y = 1 cuando t = O
Esta EDO lineal puede resolverse por medio de un factor de integración para obtener 1. Con los datos iniciales y = 1 cuando t = O, se tiene la solución deseada:
y = Cé -
y(t) = 2é - 1
Debemos tener t> -ln2 porque al principio supusimos que y es positiva. A continuación se presenta una aplicación sorprendente de esta técnica de reducción.
Ley inversa cuadrada de la gravitación: velocidades de escape A partir del amplio trabajo astronómico y las leyes empíricas de Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571- 1630) relativos a las órbitas de la Luna y los planetas, Newton centró su atenGión en una sola fuerza: la gravedad. Su ley de la gravitación universal explica el efecto gravitacional de un cuerpo sobre otro. Ley de la gravitación universal. La fuerza F entre dos partículas de masas mi Y m2 separadas por una distancia r es de atracción, se ejerce a lo largo de la línea que une las partículas y tiene una magnitud de
IFI= m¡m22G r
donde G es una constante. Ésta es la ley inversa cuadrada de la gravitación.
(14)
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1.7 / Sistemas planos y EDO de primer orden
G es una constante universal independiente de las masas mi Y m2; en unidades del SI, G = 6.67
X
10- 11 Nm 2lkg 2
Newton demostró que los cuerpos ejercen influencia mutua, como si la masa de cada uno de ellos estuviese concentrada en su centro de masa, siempre que ésta se halle distribuida de manera esférica y simétrica. En este caso r es la distancia entre los centros de masa. Supóngase que se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil esférico de masa m desde la superficie de la Tierra. ¿Puede escapar hacia el espacio exterior? Como veremos, no se necesita fórmula de solución para contestar esta pregunta. Digamos que el proyectil se mueve a lo largo de un eje y perpendicular a la superficie de la Tierra con la dirección positiva hacia arriba (y = O en la superficie). Supóngase que la resistencia del -aire es insignificante, de modo que la única fuerza importante que actúa sobre el cuerpo es la atracción gravitacional de la Tierra, que actúa hacia abajo y, de acuerdo con la ley de Newton de la gravitación universal, se expresa con - mMG (y+R)2
F=--~
donde M es la masa y R es el radio de la Tierra. Para los valores de y cercanos a O, la fuerza gravitacional F se aproxima a la constante - mMG/R2 = - mg, donde g = MG/R2. Esta aproximación para la fuerza gravitacional es muy precisa cerca del suelo, pero en este caso no es apropiada porque queremos ver qué sucede cuando el proyectil está lejos de la superficie del planeta. Con la segunda ley de Newton (véase la sección 1.5) y la información antes mencionada, el movimiento ascendente del proyectil se modela mediante el PVI -mMG my = (y+R)2' 11
y(O) = O,
y'(0) = V o > O
(15)
Si la velocidad inicial Vo es lo suficientemente pequeña, por experiencia se sabe que el cuerpo subirá hasta un punto máximo y luego caerá de regreso a la Tierra. ¿Hay algún valor pequeño para Vo tal que el cuerpo no regrese? Puesto que en la ecuación diferencial del PVI (15) t no interviene en forma explícita, podemos usar el segundo método de reducción de orden. Si y" = V dv/dy, se tiene que dv MG =2' dy (y = R)
v-
V = Vo
cuando y = O
(16)
Cuando se separan las variables y se resuelve el PVI (16), se tiene (17)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
En la fórmula (17) se observa que v2 es positiva para toda y;::: Osiempre que v 5 ;::: 2MG/R. Por tanto, para cualquier valor va > O tal que va;::: (2MG/R)I /2 , se deduce que v(y) > O para toda y;::: O. La razón es que si v(y) :S; O para algún valor y> O, entonces habría una altura h entre O y-y tal que v(h) = O. Sin embargo, por la fórmula (17) se sabe que v2 es la suma de un término no negativo [v5 - (2MG/R)] Y un término positivo [2MG/(y + R)] de modo que v no puede ser cero. Por otro lado, si O < va < (2MG/R)I/2, entonces a partir de la fórmula (1 7) se observa que hay un valor de y para el que v2 = O Y desde ese punto el proyectil comienza a descender a la Tierra.La velocidad va = (2MG/ R)112
¡Los medios numéricos de resolución no pueden hacerlo todo! Il@f'
( 18)
se denomina velocidad de escape del cuerpo, ya que es el valor más pequeño de va con el que el cuerpo nunca regresa. Intente demostrar este hecho con un programa de solución numérica. Observe que hemos contestado la pregunta-original acerca de la existencia de una velocidad de escape sin completar los pasos del proceso de reducción. La velocidad de escape (2MG/R ) 1/2 de un cuerpo desde la superficie terrestre sólo depende de la masa y el radio del cuerpo. Así, la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es aproximadamente de 11.l79 kmls. Las velocidades de escape de los satélites más grandes del sistema solar ya han sido calculadas y se enumeran en el Handbook of Chemistry and Physics. v ¡ A veces puede seguirse el proceso hacia atrás y resolver un sistema si se considera una EDO de plimer orden. Ilustraremos este proceso con un modelo distinto (y controversial).
Competencia destructiva ' En 1916, Lanchestervii describió algunos modelos matemáticos para el combate aéreo, los cuales se han ampliado a una situación de guerra general, no sólo la aérea. Estudiaremos un caso particular de esos modelos. Dos fuerzas, una x y otra y, participan en un combate. Supóngase que x(t) y y(t) denotan el poderío de cada una de ellas en el instante t, donde t se mide en días desde el inicio del combate. No es fácil cuantificar el poderío, incluido, como debe ser, el número de
vi vii
Handbook of Chemistry and Ph ysics, D. R. Lide, ed., CRC Press, Boca Ratón, Florida, 7994 . Frederick William Lanchester (7868- 7946), ingeniero, matemático, inventor, poeta y teórico musical inglés diseñó y produjo algunos de los primeros automóviles. Asimismo, escribió Aerial Flight (Constable, Londres, 7907-7 908), el primer tratado teórico acerca de las sustancias de vuelo. Su libro Aircraft in Warfare (Constable, Londres, 797 6) incluye la ley cuadrada de combate convencional que se estudia en esta sección. Durante la Segunda Guerra Mundial, es decir, 25 años después, el enfoque científico que adopta Lanchester frente a las cuestiones militares cimentó una nueva disciplina, la investigación de operaciones, que ahora se aplica en temas de administración industrial, producción y procedimientos de gobierno, así como en problemas m ilitares.
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77
7.7 / Sistemas planos y EDO de primer orden
combatientes, su presteza a la batalla, la naturaleza y el número de las armas, la calidad de liderazgo y muchos factores piscológicos y otros de naturaleza intangible que si describirlos es difícil lo es aún más convertirlos en variables . Sin embargo, supondremos que es posible cuantificar el poderío de cada fuerza, que x(t) > y(t) significa que la fuerza x es más fuerte que la fuerza y, y que x(t) y y(t) son funciones derivables. El par de valores x(t) , y(t) define el estado del sistema en el instante t. Digamos que es posible estimar la tasa de pérdida antes del combate de la fuerza x (es decir, la tasa de pérdida debida a enfermedades, deserciones y otros contratiempos previos al combate), la tasa de pérdida en combate debida a enfrentamientos con la fuerza y, y la tasa de refuerzo. La tasa neta de cambio en x(t) está dada por la ecuación de equilibrio: X'(t)
= tasa de refuerzo -
tasa de pérdida antes del combate - tasa de pérdida en combate
Para la fuerza y se aplica una EDO similar. El problema consiste en analizar las soluciones x(t) y y(t) del sistema resultante para determinar quién gana el combate. De -l1cuerdo con Lanchester, un sistema modelo de las EDO para un par de fuerzas de combate convencionales que operan a campo abierto con pérdidas insignificantes antes del combate es x' (t) = R¡ (t) - by(t)
(19)
y'(t) = R2 (t) - ax(t)
!lE La interacción entre las EDO de primer ordel) y los sistemas autónomos planos es en ambos sentidos.
donde a y b son constantes positivas' y R¡ Y R 2 son las tasas de refuerzo . Se supone que estas últimas dependen sólo del tiempo, no del poderío de cada fuerza (una suposición dudosa). Para introducir el modelo en el combate real se utilizan las tasas de pérdida en combate by(t) y ax(t) correspondientes a cada fuerza. Lanchester argumenta en favor de la forma específica de los términos de rapidez o tasa de pérdida en combate del sistema (19) de la siguiente manera. Se supone que todo miembro de la fuerza convencional está dentro del alcance del enemigo. También se supone que en cuanto una fuerza convencional sufre una baja, el fuego se concentra en los combatientes restantes. Con esto se indica que la tasa de pérdida en combate de la fuerza x es proporcional al número de enemigos y, por tanto, está dada por by(t) . El coeficiente b es una medida de la eficacia promedio en combate de cada miembro de la fuerza y. Para el término ax(t) se aplica un argumento similar. Al principio de esta sección vimos cómo pueden caracterizarse las curvas de la EDO N(y)y' + M(x) = O en términos de las órbitas del sistema diferencial dx / dt=N(y),
dy / dt = - M(x)
En el siguiente ejemplo se ilustra la utilidad del proceso inverso.
Combate convencional: de un sistema a una EDO de primer orden
El combate entre dos ejércitos sin refuerzos podría modelarse por medio del sistema x' =-by, y' =-ax (20)
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Ecuaciones diferencia les de p rim er orden y modelos
Sean x = x(t) y y = y(t) soluciones del sistema (20) y supóngase que la órbita queda dentro del primer cuadrante del plano xy (es decir, x > O, Y > O). De (20) se tiene que
o bien,
dy
dy/dt
-ax
dx
dx/dt
-by
(21) bydy - axdx = O
una EDO de variables separables. Por tanto, las curvas integrales de la EDO "reducida" (21) son las órbitas del sistema (20). Las únicas suposiciones que hicimos son que x > O Y y> O. Ahora resolveremos la EDO (21) y veremos qué sucede . .
Ejemplo 1.7.6
¿Quién gana?
Supóngase que Xo > O Y que Yo > O representan el poderío de cada una de las fuerzas al principio del combate. Al integrar la ecuación (21) se obtiene 2 bi (t) - ax (t) = bY5 - ax5
I!i" La fuerza x gana si Yo < (a/b)1 /2xo · Por tanto, los ca mbios muy pequeños en las fuerzas iniciales (xo, Yo) podrían afeotar el resultado de un conflicto.
(22)
La ecuación (22) se conoce como ecuación cuadrática del combate convencional. Aunque no es posible decir cómo cambian x(t) y y(t) con el tiempo, la ecuación (22) indica que el punto (x(t), y(t» se mueve a lo largo del arco de una hipérbola a medida que avanza el tiempo. Estas hipérbolas son las órbitas del sistema (20) y se grafican en la figura 1.7.2 para a = 0.064, b·.= 0.1 , Xo = 10 Y varios valores de yo. Las flechas en las curvas muestran la dirección de las fuerzas cambiantes conforme pasa el tiempo. Como x/(t) = -by(t), x(t) disminuye con el tiempo si y(t) es positiva. De manera similar, y(t) disminuye a medida que avanza el tiempo si x(t) es positiva. Una fuerza gana si la otra desaparece primero. Por ejemplo, y gana si bY5 > aX5, ya que como se observa en la ecuación (22), y(t) nunca desaparecería, en tanto que la fuerza x desaparece cuando y(t) disminuye a «bY5 - ax5) / b)lI2 . Así, la fuerza y quiere lin escenario de combate en el que bY5 > ax5; es decir, la fuerza y necesita Una fuerza inicial Yo lo suficientemente grande para que Yo> (a/b)1/2 Xo
(23)
En la figura 1.7.3 se muestran los componentes de la órbita superior de la figura 1.7.2 (a = 0.064, b = 0.1). Los combatientes empiezan iguales en la figura 1.7.3 en Xo = Yo = 10, pero la fuerza y gana porque b = 0.1 , que es un valor más grande que a = 0.064. El modelo simplificado anterior no es real. Si se incluyen las tasas de pérdida antes del combate y las de refuerzo se introduce un cierto elemento de objetividád y entonces sí podría compararse el modelo con batallas históricas. Se han realizado estudios siguiendo estos criterios para la batalla de Ardenes y la de Iwo Jima en la Segunda Guerra Mun-
http://carlos2524.jimdo.com/ y modelos
1.7 / Sistemas planos
eda dene
(21)
lO
79
y EDO de primer orden
y'= -O.ly, x(O) = 10 y' = -O.064x, y(0) = 6, 7, 8, 9, 10
8
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1O
x (unidades de fuerza)
Figura 1.7.2 Arcos de hipérbolas de la ley cuadrada de combate convencional (ejemplo 1.7.6).
I
10
~
.","
l sistema remos la
'2'
..a"
Figura 1.7.3 Curvas componentes de la órbita superior de la figura 1.7.2.
fuerzas al (22) al. Aun22) indidida que en la fin las CUfamo x'(r) disminu-
díal, viii Los resultados de estos estudios se aproximan de manera razonable a las estadísticas del combate real una vez que se determinan los coeficientes a y b. Queda por responder la pregunta de si estos coeficientes podrían estimarse con cierto grado de . precisión antes del combate.
El lado oscuro de la modelación Los modelos de combate dan lugar a interrogante s éticas acerca del uso de las matemáticas. G. H. Hardy, célebre matemático de principios del siglo XX, escribió:
2
o' ya que fuerza x un esceinicial Yo (23) 1.7.2 (a =
Un verdadero matemático tiene la conciencia limpia; no hay nada que reprochar al probable valor que tenga su trabajo; las matemáticas son ... una ocupación inofensiva, inocente. ix Cabe preguntarse si es así de sencillo. Las matemáticas forman parte de las culturas y las sociedades de los matemáticos que las crearon o las descubrieron. Puesto que la guerra y la preparación para ésta siguen siendo una preocupación de la humanidad, no debe sorprender que las matemáticas se apliquen a su estudio y análisis.
O, pero la viii
antes del ces sí poiendo esrra Mun-
Véase, por ejemplo,
es.
Coleman
"Combat
Coleman y O. Orew, eds., Modules of Applied ix
Verlag, Nueva York, 7983. Véase G. H. Hardy, A Mathematician's Cambridge, pp. 740-747, 7967.
Models",
en W Lucas, M. Brown,
Mathematics,
e
vol. 7, cap. 8, Springer-
Apology, 2a. ed., Cambridge
University
Press,
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80
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Problemas _____________________________________________ (Método del sistema para trazar curvas integrales.) Encuentre una integral para cada EDO y grafique las curvas integrales representativas (que en este caso también son las órbitas) en el rectángulo. [Sugerencia: siga el método utilizado en el ejemplo 1.7.1 para graficar las curvas, elija los puntos iniciales en el rectángulo y resuelva hacia adelante y hacia atrás con respecto al tiempo.] (a) (1-i)y' = x 2 -1=0; Ixls3,lyls3 (1 - i )y'+x 2 =0; Ixl S 1.5, lyls2 (Método de sistema para trazar curvas solución.) Trace la curva solución para cada PVI en el intervalo más grande posible. (b)
(a) x2 - 1 + (1- i)y' = O;
(b)(1-i)y'+x 2 =0;
y(-l ) =-2
(e) (2x 2 +2xy)y' = 2xy+ i ;
y(-1)= 0.5
y(-0.5) = 1
(Modelo de combate: ¿quién gana la batalla?) Ca) Reproduzca la figura 1.7.2 de la manera más fidedigna posible. Grafique la órbita con la condición inicial Xo = 10, Yo = 7. ¿Gana o pierde y? eb) ¿Cuánto tiempo tarda en resolverse el conflicto? (Reducción de orden.) Resuelva las siguientes EDO por reducción de orden. Grafique las curvas solución Y = y(t) en el plano ty con varios conjuntos de datos iniciales. [Sugerencia: si Y no está expresada en forma explícita, establezca y' = v , y" = v' . Si t no está expresada en forma explícita, establezca y' = v, y" = v dv/dy.] (a) ty" - y' = 3t 2 (b) y" - y = O (e) yy" + (y') 2 = 1 (d) y" + 2ty' = 2t
www 5.
6.
Al bert Ei nstei n (1879- 1955)
(Reducción de orden.) Resuelva los siguientes problemas de valor inicial. (a) 2yy" = (y' )2 = O,
y(O) = 1,
y'(O) = - 1
(b) y" = y'(1+4/i),
y(O) = 4,
y'(O) = 3
(e) y"= - g - y',
y(O) = h,
y'(O) = O,
g, h son constantes positi vas
(Reducción de orden por variación de parámetros.) Supóngase que z(t) es una solución de la EDO no homogénea lineal de segundo orden z" + a(t)z' + b(t)z = O, donde a(t) y b(t) son continuas en el intervalo I. La función z(t) sirve para hallar las soluciones de la EDO homogenéa y" + a(t)y' + b(t)y =f(t) , donde f(t) es continua en I. (a) Demuestre que y(t) = u(t)z(t) es una solución en 1 de la EDO y" + a(t)y' + b(t)y = f(t) si u'(t) es solución de la EDO lineal de primer orden zu" + (2z' + az)u' = f. (b) Si z(t) t:- O en 1, demuestre que la EDO lineal para u' en el inciso (a) puede escribirse en la forma lineal normal al dividir entre z. Encuentre u'(t) por medio del factor de integración z2eA(t), donde A(t) es una antiderivada de a(t). (e) Obtenga otra solución de tz" - (t + 2)z' + 2z = O para t> O, dado que z = el es una solución .
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81
1.7 / Sistemas planos y EDO de primer orden
!lE Acabamos de desarrollar un problema verdaderamente maravilloso que comprende las ecuaciones de campo de Einstein que, por angosto, no puede contener este margen (se encuentra en el manual de recursos del estudiante).
y
7.
8.
9.
Con el método descrito en el problema 6, obtenga la solución de la EDO t2y" + 4ty' + 2y = sent, t> O, donde se sabe que z(t) = r 2 es solución de la EDO t2y" + 4ty'+ 2y = O. [Sugerencia: primero divida entre t2 para escribir la EDO en la forma lineal normal.] Se perfora un túnel a través de la tierra y se deja caer un objeto de masa m en él. (a) Sin considerar la fricción y la resistencia del aire, escriba una EDO que describa el movimiento del objeto cuando el componente de la fuerza de gravedad en la dirección del movimiento está representado por f = GmM sen 8/(b 2 + y2). (b) Obtenga la solución general de la ecuación de movimiento [Sugerencia: utilice una técnica de reducción de orden. Su respuesta debe quedar en forma implícita con una integral.] (Velocidad de escape en un universo inverso cúbico.) Supóngase que en un planeta de otro universo la magnitud de la fuerza de gravedad obedece la ley cúbica inversa
m
IFI= GmM (y+ R)3
-f~!-+-...... x
donde m es la masa ~el objeto, y su ubicación arriba de la superficie del planeta, M la masa del planeta, G una nueva constante universal y R el radio del planeta. (a) ¿Cuál es la velocidad de escape va de este planeta? (b) ¿Cuál es la relación de va con la velocidad de escape va de la ley inversa cuadrada [ecuación (18)]? (Combate convencional con refuerzos.) Considere el modelo de combate convencio~ . 10. nal con refuerzos (19), donde R¡ y R 2 son constantes positivas. Siga el procedimiento del ejemplo 1.7.5 para obtener una EDO separable de primer orden en las variables x y y . Resuélvala y demuestre que x(t) y y(t) satisfacen la condición
donde C es una constante determinada por los datos iniciales. Sean a = b = 1, R¡ = 2 YR 2 = 3 Y grafique las órbitas cuando (i) x(to) = 3, y(to) = 1; (ii) x(to) = 2, y(to) = 2; (iii) x(to) = 4, y(to) = 2. Asigne flechas a las órbitas para indicar la dirección creciente del tiempo. ¿Quién gana en cada uno de los casos antes descritos? ¿Qué sucede cuando x(to) = R 2/a y y(to) = R¡/b? Dé una explicación en términos del desarrollo del combate. (Cambio de escala y velocidad de escape.) En este 'problema se analiza el concepto de una velocidad de escape desde una perspectiva geométrica. Modifique la escala del PV1(15) con z = y/R Y t = S (R/MG)l/2 Y obtenga un nuevo PVI con las nuevas variables z y s. Sea z'(O) = a y utilice a como parámetro de "velocidad" a escala. Utilice un programa de solución numérica para obtener en la medida de sus posibilidades un límite inferior para la velocidad de escape inicial a. (Método de sistema para trazar una curva de nivel.) Supóngase quef(x, y) es continuamente derivable en una región R donde of/ox y of!oy no tienen ceros comunes. •
~ . 11.
~ . 12.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
~ Cómo usar las EDO para trazar una curva de nivel.
Para cualquier punto (xo, Yo) en R demuestre que la órbita del PVI plano autónomo x' = df/dy,
x(O) = Xo
y' = -df/dX,
y(O) = Yo
es una curva de nivel,j(x, y) =j(xo, Yo), de la funciónj(x, y) que pasa por el punto . [Sugerencia: demuestre que H(x, y) =j(x, y) es una integral del sistema.] Considere la funciónj(x, y) = - x + 2xy + X2 + y2. Utilice el método anterior para graficar varias curvas de nivel paraf en el rectángulo Ixl ::;; 6, Iyl::;; 6.
1.8 Píldoras para el resfriado ¿Qué hace cuando pesca un resfriado ? Si usted es como muchos de nosotros, toma píldoras contra el resfriado. Las píldoras contienen un descongestionante y un antihistamínico para detener los estornudos y el flujo nasal. La píldora se disuelve y libera los medicamentos en el tracto gastrointestinal. De allí, éstos se difunden a la sangre y el touente sanguíneo los lleva a donde tienen su efecto terapéutico. Los riñones y el hígado eliminan de la sangre ambos medicamentos. Las compañías farmacéuticas realizan muchas pruebas para determinar el flujo de un medicamento a través del cuerpo. Para modelar este flujo se trata a las partes del cuerpo como compartimientos y se sigue la pista al medicamento conforme entra y sale de cada uno de ellos. Un medicamento común para el resfri ado sale de un compartimiento (digamos, el tracto gastrointestinal) y pasa a otro (como el torrente sanguíneo) a una tasa proporcional a la cantidad presente en el primer compartimiento . La constante de proporcionalidad depende del medicamento, el compartimiento y la edad y la salud general del individuo. En seguida construiremos un sistema de EDO diferenciales ordinarias con el que se modelará el paso de uno de los medicamentos, por ejemplo el antihi stamínico, por los compartimientos del cuerpo. x x
Edward Spitznagel
El modelo de las píldoras para el resfriado se basa en el trabajo matemático contemporáneo de Edward Spitznagel, profesor de la materia en la Universidad de Washington, Sa n Luis, Missouri. Sus áreas de in vestigación son, en la actualidad, la fa rmacocinética (estudio del flujo de 105 medicamentos a través del cuerpo) y la bioequivalencia (estudio de la eficacia de 105 medicamentos), en las que se utilizan muchos modelos compartimentales. El profesor Spitz nagel empezó su carrera de m atemáticas porque no podía limitar su interés sólo a un área de la ciencia. Se dedica a dar asesoría a una amplia variedad de clientes, sobre todo de la industria farmacéutica y escuelas de medicina . Su recomendación a quienes aspiran a las matemáticas aplicadas es que aprendan cuantas matemáticas puedan porque eso les permitirá ser polifacéticos y aprenderán nuevas ideas sin gran problema. También les aconseja que busquen las oportunidades para aprender a aplicar las matemáticas en el mundo rea l mediante la capacitación en el trabajo.
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83
1.8 / Píldoras para el .resfriado
Una dosis de antihistamina Veamos qué sucede con una dosis de antihistamina una vez que se deposita en el tracto gastrointestinal.
Ejemplo 1.8.1
Modelación de tasas de cambio Supóngase que hay A unidades de antihistamina en el tracto gastrointestinal en el instante O y que x(t) es el número de unidades restantes en algún instante posterior t. Apliquemos la ley de equilibrio: Tasa neta = tasa de entrada - tasa de salida Como. empezamos con A unidades y el medicamento pasa del tracto gastrointestinal hacia la sangre a una tasa proporcional a la cantidad en el tracto, se tiene entonces el PVI
Flujo de medicamento x(t) x(O) = A
Tracto gastrointestina l
k1x
l
y(t) y(O) =0
Tasa de! kv' salida
Sangre
dx(t) = - k x(t) dt l'
x(O) = A
(1)
donde k l es una constante positiva. En la parte superior del esquema al margen se ilustra el PVI. El tiempo se mide en horas y k l en horas- l. Supóngase que el compartimiento marcado como "sangre" incluye los tejidos donde surte efecto el medicamento. La concentración y(t) de antihistamina en la sangre se acumula desde cero, pero después disminuye a medida que los riñones y el hígado trabajan para eliminar las sustancias extrañas de la sangre. Al aplicar la ley de equilibrio a la antihistamina en el compartimiento de la sangre se obtiene el PVI dy(t) dt
- - = k l x(t) - k2 y(t),
y(O) = O
(2)
El primer término en el miembro derecho de la ecuación de tasa de cambio en (2) sirve para modelar el hecho de que la tasa o rapidez de salida de antihistamina del tracto gastrointestinal es igual a la tasa de entrada a la sangre. Con el segundo término de rapidez se modela la eliminación de antihistarnina de la sangre. La constante de eliminación k2 se mide en horas-l . En la parte inferior del esquema al margen se ilustra el PVI (2). Al unir (1) y (2) se obtiene un sistema de dos EDO de primer orden con datos iniciales: dx - = -kx dt I '
x(O) = A
dy -=kl x -k2 y, dt
y(O) = O
(3)
El PVI (3) es nuestro modelo matemático del flujo de una sola dosis de A unidades de medicamento a través de los compartimientos del tracto gastrointestinal y sanguíneo.
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84
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Resolvamos ahora el PVI (3) y determinemos las fórmulas de la cantidad de medicamento en cada compartimiento.
Ejemplo 1.8.2
Crecimiento y deterioro de las concentraciones de antihistamina
Los factores de integración sirven para resolver las ecuaciones diferenciales lineales del PVI (3) una por una, empezando con la primera. Reordene la primera ecuación de tasa de cambio, multiplique por el factor de integración ekl t , integre y por último utilice los datos iniciales para obtener
Sustituya esta fórmula en lugar de x(t) en la segunda ecuación de tasa de cambio, que se convierte en dy k2Y- k ¡ A e - kit -+ dt
y(O) = O
Este PVI lineal se resuelve por medio del factor de integración é2 t . Después de realizar algunos cálculos se obtiene la fórmula
En resumen, se observa que las concentraciones de antihistamina en el tracto gastrointestinal y la sangre están dadas por las fórmulas x(t) = Ae ~ Intente encontrar un a solu ción cuando k, =k2 .
- kl 1,
( -k,t - e -k t)
klA Y( t ) =-_ ._- e k l -k2
I
(4)
Hemos supuesto que k l 7:- k2 , lo cual está justificado, como pronto se verá, por los datos farmacéuticos. A partir de las fórmulas de (4) se observa que las concentraciones de antihistarnina en el tracto gastrointestinal y en la sangre tienden a cero conforme transcurre el tiempo. La concentración en la sangre alcanza un valor máximo en cierto tiempo positivo (véase el problema 4); luego disminuye de nuevo. Las fórmulas de solución (4) con símbolos son abstractas, de modo que introduciremos algunos números.
Ejemplo 1.8.3
Constantes de tasa de cambio
Una compañía farmacéutica estima que los valores de las constantes de tasa de cambio de la antihistamina en las píldoras para el resfriado son k¡ = 0.6931 (horat l ,
k2 = 0.0231 (hora)- I
(5)
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y modelos
85
1.8/ Píldoras para el resfriado
medica-
1.0
x' x'= -0.693 Ix, y'
= -0.693
Ix - 0.023Iy,
x(O)
=
y(O)
=o
Torrente
I
sanguíneo:
o o .S y(t)
0.8
'" e s
eales del e tasa de losdatos
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3
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15
20
I (horas)
I (horas)
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x(O) y(O)
El
0.6
"O
t>
Ix, Ix - k-,y,
t:
"O
'"" "O
1.0
= -0.693 = -0.693
6l,
~
e
y'
Figura 1.8.1 Efecto de una dosis de antihistamina (ejemplo 1.8.3).
Figura 1.8.2 Sensibilidad al coeficiente de eliminación (ejemplo 1.8.4).
Como k2 es mucho más pequeña que kl, la antihistamina permanece en una alta concentración por mucho más tiempo en la sangre que en el tracto gastrointestinal. En la figura 1.8.1 se muestran las concentraciones en un periodo de seis horas según se predijo mediante el sistema (3) si A = 1 Y kl Y k2 están dadas por (5).
trointes-
(4)
Los valores de las constantes de tasa de cambio dados en (5) son para una persona promedio; sin embargo, ¿qué ocurre si alguien no pertenece a este promedio?
los datos
tamina en empo. La (véase el uciremos
ambio de
Ejemplo 1.8.4
Sensibilidad al coeficiente de eliminación El coeficiente de eliminación k2 del medicamento de la sangre a menudo es mucho menor para una persona vieja y enferma que para alguien joven y saludable. Esto significa que para algunas personas las concentraciones de medicamento en la sangre podrían volverse y permanecer excesivamente altas, incluso con una dosis normal, En la figura 1.8.2 se muestran los resultados de un estudio de parámetros en el que se graficaron las concentraciones de antihistamina de la sangre durante un periodo de 24 horas. Esto se hace para k¡ = 0.6931 Y cinco valores de k2, correspondientes a cinco personas de distintas edades y estados de salud. Las variaciones en las concentraciones son una medida de la sensibilidad de las concentraciones de medicamento a cambios en el valor de k2. Determinemos
(5)
ahora el efecto de repetir la dosis.
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86
Ecuaciones diferencia les de primer orden y modelos
Dosis repetidas A pocos de nosotros nos basta con una sola píldora; tomamos varias dosis hasta que nos sentimos mejor. Casi todas las píldoras se disuelven rápido y liberan sus componentes en el tracto gastrointestinal a una tasa constante durante más de media hora. Luego, la dosis se repite cada seis horas para mantener la concentración del medicamento en la sangre. Por lo regular, la tasa de liberación de la antihistamina de la píldora en el tracto gastrointestinal es constante durante corto tiempo, después se detiene por completo hasta la siguiente dosis. Emplearemos una función de activación y desactivación a fin de modelar este tipo de dosificación repetida.
Ejemplo 1.8.5
Una dosis cada seis horas: tasa de suministro de onda cuadrada Supóngase que llegan al tracto gastrointestinal seis unidades de antihistarnina a una tasa constante durante media hora; luego se repite la dosis cada seis horas. El PVI modelo es dx = J(t) - k¡x, dt
x(O) = O
-
(6)
y(O) = O k¡ = 0.6931 (hora)-¡,
k 2 = 0.0231 (hora)-¡
J(t) = 120c(t, 25/ 3, 6)
La función periódica de activación y desactivación 120c(t, 25/3, 6) denota la onda cuadrada de amplitud 12 y periodo de 6 horas, la cual está activada durante media hora al principio de
l (t) = ¡2 oc(t, 25/3,6)
30
x'
= 12 oc(t, 25/3,
6) - O.6931x,
y' = O.6931x - O.0231y,
'" '§
x(O) = O
y (O) = O
25
~
20
.g'"
15
~
en
-g"
:9
lO
:5
20
30
40
t (horas)
Figura 1.8.3 Tasa de suministro de onda cuadrada para la antihistarnina en el tracto gastrointestinal (ejemplo 1.8.5).
lO
20
30
40
t (horas)
Figura 1.8.4 Concentraciones de antihistamina: una dosis cada seis horas (ejemplo 1.8.6).
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de/os
7.8/ Píldoras para e/ resfriado
cada periodo (y, por tanto, libera seis unidades de medicamento en ese intervalo de tiempo) y desactivada en caso contrario. Observe que media hora es 100/12 = (25/3)% del periodo de seis horas. Véase en la figura 1.8.3 la gráfica de J(t).
e nos es en dosis
Cada EDO de (6) es lineal, pero resulta un poco desalentadora la forma rara de la función de entrada J(t). ¿Hay una forma de estudiar las soluciones del PVI (3) sin tener que hallar las fórmulas de solución?
Ejemplo 1.8.6
tasa o es
(6)
87
1& En el apéndice B.l encontrará más información acerca de las funciones de onda cuadrada y de otras funciones de activación y desactivación.
Aumento de la concentración de antihistamina: uso de un medio numérico de resolución .Aunque la técnica del factor de integración utilizada antes también sirve para el sistema (6), hay una integración difícil de realizar porque J(t) se activa y desactiva una y otra vez. Por tanto, utilizamos un medio numérico de resolución que permite manejar funciones , de activación y des activación para obtener la figura 1.8.4, donde se muestra que la cantidad de antihistamina en el tracto gastrointestinal aumenta con rapidez a medida que se disuelve la píldora contra el resfriado, pero luego disminuye casi a cero antes de ingerir la siguiente dosis. En la sangre esto es otra historia, ya que el valor pequeño del coeficiente de eliminación mantiene altas las concentraciones de antihistamina. Incluso después de 48 horas las concentraciones en la sangre dan pocas señales de aproximación a algún tipo de equilibrio. 60
drada io de
x' = 12 oc(t, 25/3, 6) - 0.6931x, y' = 0.6931x - k2y, x(O) = o, y(O) = o
50
,-, ,,
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OJJ
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o
20
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'"
8
10
O
O
20
40
60
80
100
t (horas)
: una
Figura 1.8.5 Zona terapéutica para la antihistarnina (ejemplo 1.8.7).
120
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88
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
JI
•
XI
X3
X2
~
Figura 1.8.6 Cascada lineal de conexión de ramificaciones (ejemplo 1.8.8). Cuando una persona toma píldoras, desea que la medicación en el torrente sanguíneo alcance las concentraciones terapéuticas rápidamente y permanezca en un intervalo seguro. El aumento de las concentraciones en la sangre mostrados en la figura 1.8.4 son motivo de alarma. ¿Qué sucede si se elevan demasiado las concentraciones?
Ejemplo 1.8.7
Sueño en la clase de matemáticas Las concentraciones altas de antihistamina provocan somnolencia, pero las concentraciones bajas son eficaces. Supóngase que el intervalo de seguridad terapéutica para la antihistamina en la sangre va de 5 a 40 unidades. En la figura 1.8.5 se ilustran las cantidades de antihistarnina en la sangre de tres estudiantes de matemáticas con coeficientes de eliminación k2 muy diferentes. A partir de las gráficas se observa que los tres alivian sus síntomas en seis horas. No obstante, con dosis repetidas las concentraciones tienen una diferencia notable. ¿Cuál de los tres estudiantes se queda dormido en la clase de matemáticas? El modelo de píldoras para el resfriado es sólo uno de muchos ejemplos de un modelo comportamental. En el siguiente tema se consideraran algunos modelos comportamentales generales.
Modelos comportamentales
!&' También hay casca-
das no lineales.
Un modelo comportamental consta de un número finito de componentes (o cajas) unidos por flechas. Cada flecha indica que la sustancia de la que se lleva un registro sale de la caja al final de la flecha y entra en la caja adonde llega la punta de la flecha. Los modelos comportamentales más sencillos son las cascadas lineales. Un modelo comportamental es una cascada lineal si (a) ninguna cadena directa de flechas y cajas empieza y termina en la misma caja; y
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89
1.8/ Píldoras para el resfriado
(b) la sustancia sale de la caja a una tasa proporcional a la cantidad dentro de la caja y, cuando entra en otra, lo hace a la misma tasa. Una flecha que apunta hacia una caja sin provenir de otra indica una fuente externa de la sustancia (es decir, una entrada). Estas flechas se marcan con una 1, donde esta letra representa la tasa de entrada de la sustancia. Una flecha que sale de una caja pero no apunta a otra indica que la sustancia sale del sistema desde esa caja. La variable de estado Xi(t) denota la cantidad de la sustancia en la caja i en el instante t. Los símbolos kx i de una flecha que sale de la caja i y entra en la caja} indican que la sustancia sale de i y entra en} a la misma rapidez kx i . Los modelos para el flujo de medicamento contra el resfriado son ejemplos de cascadas lineales. A continuación se presenta un ejemplo más complejo.
Ejemplo 1 .8.8
De cajas y flechas a un sistema de EDO En la figura 1.8.6 se muestra una cascada lineal con dos entradas. Las EDO correspondientes pueden construirse directamente a partir de las cajas y las flechas. El sistema lineal de primer orden de EDO se basa en la ley de equilibrio aplicada a cada caja: X~ = I¡ - k¡x¡
x~ = - kzx2
x) = 13 + k¡x¡ + kzx2 - k 3x 3 - k 4 x 3
(7)
x~ = k3x3
Xs = k 4x 3 -
ksxs
El sistema 7 puede resolverse de arriba abajo, una EDO a la vez. Con el proceso inverso es posible construir un modelo de cascada lineal de cuadros y flechas como el de la figura 1.8.6 a partir de un sistema de EDO lineales como el (7). Las EDO que modelan una cascada lineal se denominan cascada lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias; el sistema siempre puede resolverse de arriba abajo, como en el ejemplo 1.8.8. Las cascadas lineales sirven para modelar otros fenómenos físicos además del flujo a través de compartimientos. Por ejemplo, en un proceso de desintegración radiactiva un . elemento se convierte en otro, el cual a su vez da lugar a otro, etcétera, hasta que el proceso termina en un elemento no radiactivo estable. En este caso cada compartimiento corresponde a un elemento distinto.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Comentarios
1& Las sugerencias de la sección 1.1 del manual de recursos para el estudiante amplían la información acerca del tamaño de paso ·interno.
Para resolver una cascada de PVI es útil un medio numérico de resolución, sobre todo si ciertas tasas de entrada son funciones de activación y desactivación como las ondas cuadradas. Si usted utiliza un programa en este caso, es posible que deba establecer el tamaño de paso interno máximo en un valor sumamente pequeño para que el medio detecte cada uno de los tiempos de activación y desactivación. Aunque las funciones de activación y desactivación para la tasa de entrada son discontinuas, aún son aplicables las fórmulas de solución de las secciones 1.3 y 1.4 para PVI lineales de primer orden. Imagine una sucesión de PVI, uno para cada intervalo entre los puntos de ruptura de la función de tasa de cambio. El valor final de un intervalo se convierte en el inicial para el siguiente. Es posible que las curvas solución resultantes tengan esquinas, pero serán continuas. Como ejemplo, véase la figura 1.8.4.
Problemas _____________________________________________ 1.
(De cajas y flechas aEDO.) Escriba el sistema de PVI lineales de primer orden y modele cada una de las cascadas lineales siguientes; resuelva y describa lo que sucede en cada compartimiento cuando t ~ oo. [Sugerencia: véase el ejemplo 1.8.8.]
x
(a)
~ 2x
y
x(O) = 1, y(O) = z(O) = O
z
x(O) = y(O) = z(O) = O
(b)
0.2x
z
1= 1 +sent
x(O) = y(O) = O
2x (d)
x(O) = y(O) = z(O) = O
x
z
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1.8/ Píldoras para el resfriado
91
2.
(De EDO a cajas y flechas.) En cada caso trace y etiquete el diagrama de cajas y flechas. (a) x' = S-x,
y' = x-5y
(b) x'=-x/2,
y'=I-y/3,
(e) x' = -x,
3.
Il 4.
www
11 5.
6.
y' = xl2-3y,
z'=x/2+y/3 z' = x/2+3y-2z
(Una dosis de antihistamina.) Supóngase que A unidades de antihistamina están presentes en el tracto gastrointestinal y B unidades en la sangre en el instante O. (a) Resuelva el PVI (3) con la condición inicial y(O) = O sustituida por y(O) = B. (b) Utilice un medio numérico de resolución para hallar la solución del PVI (3) pero con x(O) = 1, y(O) = 1, k¡ = 0.6931 , k2 = 0.0231, o:s; t:S; 6. Grafique las concentraciones de antihistamina en el tracto gastrointestinal. Estime la concentración más alta de antihistamina en la sangre y el tiempo para alcanzarla. (Tiempo de dosificación máximo.) Demuestre que el medicamento en el torrente sanguíneo alcanza el máximo después de una sola dosis cuando t = (lnk¡ - lnk2 )/(k¡ k 2 ) , k¡:f:. k2 . [Sugerencia: utilice el modelo creado en los ejemplos 1.8.1 y 1.8.2.] (Una dosis: sensibilidad a k¡.) Sea A = 1, mantenga el valor de k2 = 0.0231 como en el ejemplo 1.8.3, pero permita que k¡ varíe. (a) Utilice un medio de resolución numérica para el sistema (3), muestre los efectos sobre las concentraciones de antihistamina en el torrente sanguíneo si k¡ = 0.06931,0.11,0.3,0.6931, 1.0 Y 1.5. Trace las gráficas para un periodo de 24 horas. ¿Por qué las gráficas para los valores más grandes de k¡ cortan las gráficas para los valores más pequeños? (b) Es necesario mantener las concentraciones de medicamento dentro de un intervalo fijo para que sean terapéuticas y seguras. Supóngase que el intervalo deseado para las concentraciones de antihistamina en la sangre va de 0.2 a 0.8 por una unidad de dosis ingerida una vez. Con k2 = 0.0231, calcule los límites superior e inferior para k¡ de modo que las concentraciones de antihistamina en la sangre lleguen a 0.2 en un intervalo de dos horas y permanezcan por debajo de 0.8 durante 24 horas. (Medicación para el resfriado: descongestionante.) Casi todas las píldoras contra el resfriado contienen un descongestionante, así como un antihistamínico. La forma de las ecuaciones de tasa de cambio para el flujo de descongestionante es la misma que para la: antihistamina, pero las constantes de tasa de cambio son diferentes. Los valores de estas constantes de tasa de cambio para una marca de píldoras fueron determinados por el fabricante como k¡ = 1.386 (horat¡ para el paso de la sustancia del tracto gastrointestinal a la sangre y como k2 = 0.1386 (hora)-¡ para eliminarla de la sangre. Las cantidades respectivas de descongestionante en el tracto gastrointestinal y la sangre se denotan por x(t), y(t). Utilice los ejemplos 1.8.1 a 1.8.6 como guías para resolver los siguientes problemas. (a) (Una sola dosis de descongestionante.) Supóngase que en el instante O se hallan A unidades de descongestionante en el tracto gastrointestinal, en tanto que la sangre está libre de descongestionante. Construya un diagrama etiquetado de
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92
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
11 11 11 11 Tasa de e ntrada 1 constante Tracto gastrointestinal
7.
x(l) x(O) = O
k¡x
Sangre
y(t) y(O) = O
11
Tasa de sa lida kV'
11
cajas y flechas y el sistema correspondiente de PVI para el flujo de descongestionante. (b) Resuelva los PVI del inciso (a). Luego establezca A = 1, grafique x(t) y y(t) en un intervalo de tiempo de seis horas y describa lo que sucede con las concentraciones de descongestionante. Compare con la figura 1.8.1. (e) (Sensibilidad al coeficiente de eliminación.) Grafique las concentraciones de descongestionante en la sangre si A = 1, con un valor fijo de k¡ de 1.386 pero con k2 = 0.01386, 0.06386, 0.1386, 0.6386, 1.386. Describa lo que observa. (d) (Una dosis cada seis horas.) Supóngase que el descongestionante se libera en el tracto gastrointestinal a una tasa constante de 12 unidadeslhora durante 1/2 hora y luego cada seis horas. Construya el sistema de modelo de los PVI y grafique las concentraciones de descongestionante en el tracto gastrointestinal y la sangre durante 48 horas (utilice k¡ = 1.386, k 2 = 0.1386). Compare sus gráficas con las de la figura 1.8.4. (e) (Ingestión de pz1doras durante cinco días.) Con los datos del inciso (d), grafique las concentraciones de descongestionante del tracto gastrointestinal y la sangre durante un periodo de cinco días. Haga lo mismo pero ahora con k2 = 0.06386,0.01386. ¿Habrá una acumulación excesiva de descongestionante en la sangre de una persona vieja y enferma? (Dosis continuas de medicamento.) Si un medicamento se introduce en perlas de resinas que se disuelven a tasas distintas, puede asegurarse un flujo constante 1 del medicamento. Véase el dibujo al margen. (a) Utilice la información del diagrama de compartimientos para construir los PVI para x(t) y y(t). (b) Resuelva el sistema del inciso (a) de arriba abajo (supóngase que k¡ *" k2 ). (e) (Aproximación al equilibrio.) ¿Qué sucede con las concentraciones de medicamento en el tracto gastrointestinal y la sangre cuando t ~ oo? (d) (Antihistaminas y descongestionantes.) Con un medio numérico de resolución grafique x(t) y y(t) para 200 horas. Utilice 1 = 1 unidadlhora, k¡ ~ 0.6931 (horat l y k2 = 0.0231 (horat¡ para la antihistarnina. ¿Son cercanas al equilibrio las concentraciones de antihistarnina en la sangre cuando t ~ 200? Repita los cálculos con el descongestionante: k¡ = 1.386 (horat¡, k 2 = 0.1386 (horat¡, O ~ t ~ 100. (e) (El viejo y el mal.) Los coeficientes k¡ y k2 para una persona anciana y enferma pueden ser mucho menores que para alguien joven y saludable. Grafique las concentraciones de descongestionante y antihistamina del tracto gastrointestinal y la sangre si los valores de k¡ y k 2 .son un tercio de los del inciso (d). Interprete las gráficas. (Zona eficaz y segura.) Supóngase que los coeficientes de eliminación k¡ y k2 son un tercio de los valores dados en el inciso (d). Digamos que las concentraciones de antihistarnina en la sangre están diseñadas para llegar y permanecer entre 25 y 50 unidades para una dosis tomada en forma continua a una tasa de 1 unidad por hora. ¿Es esto posible en el periodo del segundo al quinto día?
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93
1.9/ Cambio de variables y modelos de persecución
1.9 Cambio de variables y modelos de persecución Un cambio de variable podría convertir una EDO aparentemente intratable en otra que pueda resolverse por medio de una de las técnicas vistas en este capítulo. En esta sección se mostrará cómo convertir una EDO con un cierto tipo de función de tasa de cambio (definida a continuación) en una EDO separable que puede resolverse por medio de las técnicas de la sección 1.6. En los problemas 9 y 10 se ilustra cómo reducir otras EDO no lineales de primer orden a la forma lineal. Asimismo, se mostrará cómo un cambio de variables en una EDO tiene recompensas computacionales y de modelado de toda clase.
Fu nciones de tasa de cambio homogéneas de orden cero Ciertos tipos de funciones de tasa de cambio se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que vale la pena considerarlas aparte. Aquí se define uno de esos tipos. Se dice que una función continuaf(x, y) es homogénea de orden cero si (1)
f(kx,ky) = f(x,y)
para toda k > O, x, y para la que están definidasf(x, y) y f(kx, ky). A continuación se da un ejemplo.
Ejemplo 1.9.1
Una función homogénea de orden cero La funciónf= (x 2 + y2)1I2/(x + y) es homogénea de orden cero porque se tienef(kx, ky) = «kx)2 + (ky)2)1/2/(kx + ky) = f(x, y). Pero g = (x + l)/(x + y) no es homogénea de orden cero porque g(kx) ky) = (kx + l)/(kx + ky) -:1- g(x, y). Ahora considérese la EDO y' = f(x, y), .donde f(x, y) es homogénea de orden cero. El cambio de variable y = xz convierte a y' en (xz)' = xz' + z y af en f(x,y) = f(x,xz) = f(x ·l,x· z) = f(l,z)
ya que f es homogénea de orden cero (x toma el lugar de k en este caso). Se tiene una EDO en x y z: xz'+z=f(l,z),
o
xz'=f(l,z)-z,
o
1 f(l,z)-z
z
1 x
(2)
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94
Ecuaciones diferenciales
y' = (x2
de primer orden y modelos
+ y2)/(2xy)
2.0
1 .5
1.0 ;:....
0.5
0.0
-0.5
-1.0 -1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
Figura 1.9.1 Curvas integrales de una EDO con una función homogénea de orden cero (ejemplo 1.9.2).
de tasa de cambio
La última EDO de (2) puede resolverse si se integra cada miembro: F(z) = lnlxl + e, donde F(z) es una antiderivada de [f(l, z) - Z]-l y e es una constante. Puesto que z = y/x, (3) Por tanto, una solución de y(x) de la EDO de primer orden y' = f(x, y) satisface la ecuación (3) en algún intervalo x y para algún vaior de C. Veamos cómo funciona esto en la práctica.
Ejemplo 1.9.2
Una EDO con una función de tasa de cambio homogénea de orden cero La funciónfix,
y) = (x2+ y2)/2xy es homogénea de orden cero. Para resolver ,
Y = se introduce la nueva variable
x2 + y2 2xy ,
z con
x:;t:O,
y:;t:O
y = xz para obtener la ecuación
(4)
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7'.9 / Cambio de variables y modelos de persecución
Al separar las variables, se obtiene 2z
,
1
-2 Z = - ,
1-z
x
Z;é
±1
La integración de ambos miembros produce
donde e es la constante de integración. Al reordenar y volver a las variables originales y y x con z = y/x, se tiene y;é ± x
(5)
Al aplicar exponentes a cada miembro de la última igualdad de (5), se tiene y;é ± x
(6)
Se elimina el signo de valor absoluto de (6), se sustituye e-e por una constante K (la cual puede tener cualquier valor real), se multiplica por x y se obtiene la siguiente ecuación: x;é O,
y ;é O
(7)
En la figura 1.9.1 se muestran algunas de las curvas hiperbólicas definidas por (7) para varios valores de K. Para K;é O, las curvas solución y = y(x) de la EDO (4) son los arcos hiperbólicos arriba o abajo del eje x. Por último, observe que y = ± x también son soluciones de la EDO (4). En los problemas de persecución surgen ecuaciones diferenciales ordinarias con funciones de tasa de cambio homogénea de orden cero. Veamos cómo sucede.
Curvas de persecución En los modelos de persecución, el perseguidor caza un objetivo (cuyo movimiento se conoce) mediante una estrategia predeterminada, por ejemplo, dirigiéndose de forma deliberada hacia él. Supóngase que un trasbordador se pone en marcha para cruzar el río hacia el muelle, pero una corriente hace dudar al capitán, quien decide dirigir el trasbordador al muelle. ¿Logrará llegar el trasbordador? Aunque no es del todo obvio, el problema de hallar la trayectoria de persecución donde el objetivo está en reposo finalmente da lugar a la resolución de la EDO de primer orden dy/dx = f(x , y), donde f(x, y ) es una función homogénea de orden cero. En el siguiente ejemplo veremos la razón de esto.
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Ecuaciones diferenciales
de primer orden y modelos
7.9/C
15.0
y 12
10.0
7.5 c-, 5.0
e
¡¡¡¡
x 2.5 Viento 10 x
Figura 1.9.3 Trayectoria de vuelo del ganso para varios valores de e (ejemplos 1.9.3, 1.9.4).
Figura] .9.2 Trayectoria de vuelo del ganso con viento del Sur (ejemplo 1.9.3).
Ejemplo 1.9.3
Modelo matemático
/
/
W
/ /
/
• Nido
/
del vuelo de un ganso a su nido
Un ganso intenta volar de regreso a su nido, que se ubica al Oeste de su posición, pero sopla un viento constante del Sur. El ganso mantiene el curso hacia su nido pero el viento lo desvía. ¿Cuál es la trayectoria de vuelo del ganso? ¿Puede llegar a su nido? Supóngase que la trayectoria del ganso está dada por las ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), donde t es el tiempo, (x(t), y(t)) es la ubicación del ganso en el instante t, (x(O), y(O)) = (a, O) y (x(T), y(T») = (O, O). T es el tiempo desconocido para que el ganso llegue a su nido. Supóngase que el ave puede volar a b kilómetros por hora y que el viento del Sur sopla a una velocidad de w kilómetros por hora. El ángulo de dirección (J (fig. 1.9.2) se modificará a medida que cambie la posición del ave.
~ La velocidad resultante del ganso es la suma vectorial indicada arriba.
dx(t)
--
dt
= -bcose =
=bx (x
2
+y
2 1/2
(8)
)
La tasa de cambio dx/dt es el componente de la velocidad del ganso en la dirección x: La tasa de cambio dy/dt se obtiene de manera similar, tomando en cuenta el viento: dy(t)
--=-bsene+w
(9)
dt
El sistema diferencial (8), (9) puede tratarse como se hizo con el sistema del modelo de combate de la sección 1.7, ya que las funciones de tasa de cambio no contienen el tiempo en forma explícita.
-
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1.9/ Cambio de variables y modelos de persecución
Al dividir la EDO (9) entre la EDO (8) se obtiene la EDO de primer orden en x y y, donde x es ahora la variable independiente. Si se da a la constante e el valor w lb, se tiene el PVI dy
by-w(x 2 +y2)1/2
y - e(x 2 +l)1/2
dx
bx
x
y(a) = O
(10)
La EDO en (10) tiene una función de tasa de cambio f(x, y) homogénea de orden cero, ya que 2 2 k2 2)112 2 2 )1/2 f(kx,ky) = ky - e( k X + y y - e ( x +y =f(x,y) x kx Ahora que ya tenemos el modelo, resolveremos la EDO (lO) para ver qué sucede con el ganso.
Ejemplo 1.9.4
¿Camino a casa o lo que el viento se llevó?
Se establece y
=xz y de la EDO (10) se obtiene una EDO separable 2
2 2 1/2
d dy = x~+z = zx-e(x +x z) dx dx x
=z-e(l+i)l/2
'
o
dz-_ -e (1 + Z2 )1/2 xdx
e (1 + z 2)-112 -dz -_ - dx x
con las soluciones definidas por ln[z + (1 + z2 )1/2 ] = - e In x + e donde e es una constante de integración. No son necesarios los signos de valor absoluto dentro de los logaritmos puesto que x > O Y z > O. Obsérvese que e = e In a porque z = y = O si x = a . Por tanto, 1n[z + (1 + Z2)1/2] = -c1nx + e 1na = 1n(x/a)-G; al aplicar exponentes se obtiene (11)
Escriba (11) como (1 + z2)1I2 = (xlatc - z, eleve al cuadrado y despeje z:
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Puesto que z = y/x, la ecuación de la trayectoria seguida por el ganso es y=
~
¿Por qué el ganso no pudo llegar a su nido si e > 1, es decir, si w > b?
~[(~}-c -(~}+cl
(12)
En la figura 1.9.3 esta trayectoria se grafica para a = 10 y varios valores de e = w /b. Si la velocidad del viento es menor que la del ave (es decir, si e < 1), el ganso llega a su nido (curvas continuas) porque los términos de la fórmula (12) tienen exponentes positivos y, por tanto, tienden a cero cuando x --7 0+. Sin embargo, si e > 1, entonces el exponente del primer término dentro de los corchetes es negativo; así, ese término crece mucho cuando x --7 0+: el ganso se va con el viento.
Preparación para la realización de los cálculos: modificación a escala de las variables A veces se hace un cambio de variables no para reducir una EDO a una forma que tiene gna fórmula de solución conocida, sino para reducir el número de sus coeficientes expresados con símbolos. Por lo general, esto se realiza por medio de un cambio de escala para las variables, es decir, sustituyendo y y t en la EDO y' = fit, y) por s = t/t¡, w = y/y¡, para una elección adecuada de las constantes YI y tI' En el ejemplo siguiente se muestra cómo llevar a cabo lo anterior.
Ejemplo 1.9.5 ~
Esta EDO se obtuvo en la sección 1.6.
Cambio de escala para las variables velocidad y tiempo La velocidad v(t) de un cuerpo denso de masa m que cae a lo largo de una línea vertical contra una fuerza de amortiguamiento newtoniano es la solución del PVI dv k - = -g - - vlvl, dt m
~ En el teorema B .5.7 del apéndice B.5 se detalla la regla de la cadena.
(13)
veO) = Vo
donde g y k son las constantes gravitacional y de amortiguamiento, respectivamente. Se mostrará que con un cambio de variables para el tiempo y la velocidad puede modificarse el número de parámetros del PVI (13) de cuatro (g, k, m y vo) a sólo uno. Digamos que t = tls Y v = VI w(las constantes positivas tI y VI por determinar). Entonces por la regla de la cadena el PVI (13) se convierte en dv dv dwds VI dw k - = - - - = - - = -g - - vlwlvlwl, dt dw ds dt tI ds m
w(O) = veO) VI
http://carlos2524.jimdo.com/ ymodelos
99
1.9/ Cambio de variables y modelos de persecución
3
(12)
wlb. Si la a su nido sitivos y, nente del a cuando
dw/ds = -1 -wlwl w(O) = -3, -2, ... ,3
2
,-...
'"
"@ u
'" '"
"t:l "t:l
'ü o
O
Q}
¿
~
-1
-2
a que tieeficientes ambio de t s e tlu, siguiente
-3
2 t (tiempo a escala)
O
Figura 1.9.4 Perfiles de velocidad a escala (ejemplo 1.9.5).
Al multiplicar por
ti/VI
y sustituir Iv¡wl por v¡lwl (lo cual es válido, ya que dW = _ t¡g _ t¡kv¡ ds
a vertical
(13)
4
3
v¡
w
Iwl,
w (O) = veO)
V¡
> O): (14)
v¡
m
El PVI (14) se ve más complicado que el (13), pero aún no hemos elegido los valores para t¡ y VI' En particular, escogeremos las constantes de escala t¡ y v¡ de modo que los coeficientes de la EDO tengan un valor de 1. Para hallar los valores apropiados de t¡ y v¡ trabajaremos hacia atrás: = 1,
t¡g/v¡
t¡ = v¡/g,
t¡ kv¡ / m = 1,
y, por tanto,
kv~ / mg = 1,
y, por tanto,
v¡ = (mg/ k)¡/2,
). Enton-
Con estos valores de
t¡
y
VI,
t¡ = (m/kg)¡/2
el único parámetro
que queda en el PVI con cambio de
variable di»
Ts=-l-W
Iwl,
w (O) = wa = (k/
mg )¡/2
va
(15)
http://carlos2524.jimdo.com/ 100
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
es Wo. ¡El cambio de variables ha reducido el PVI (3) con cuatro parámetros al PVI (15) con sólo uno! En la figura 1.9.4 se ilustran algunas curvas solución de la EDO (15) para varios valores de wo. Todas las curvas solución tienden a la solución de equilibrio W = -1 cuando aumenta s. Esto significa que para valores cualesquiera de vo, g , k Y m, la solución del PVI (13 ) tiende al valor límite v = _(mg/k)l/2.
I@' En el apéndice B.6 se encuentran más ej emplos sobre este tema.
Hay varias razones para realizar el cambio de variables en una EDO antes de resolverla. En ocasiones sólo pueden medirse combinaciones de parámetros, no los parámetros individuales. En el ejemplo 1.9.5, el nuevo cambio de variables redujo el conjunto de cuatro parámetros originales g, k, m y Vo a un solo parámetro (k/mg)1I2 vo . Hay otra ventaja de trabajar con variables a escala: no cabe la preocupación por las unidades. Para ilustrar lo anterior, en el ejemplo 1.9.5 la variable a escala s no tiene unidades (es decir, es adimensiona!) . Esto resulta del hecho de que (m/kg)1/2 tiene unidades de tiempo porque k tiene unidades de masa/distancia y g tiene unidades de distancia/(tiempo)2. De manera similar, W no tiene unidades, lo que significa que si las distintas cantidades del PVI (13) se miden en pies o metros, horas o segundos, gramos o slugs, no afecta en absoluto si el PVI (15) se utiliza para el cálculo y análisis.
Comentarios Cambiar variables para simplificar una EDO es todo un arte y ya ha corrido mundo. Para quien desee consultar varios cientos de ejemplos puede revisar el manual Exact Solutions for Ordinary Differential Equations.x i
Problemas _____________________________________________ 1.
(Funciones de razón de cambio homogéneas de orden cero.) Para cada EDO encuentre una fórmula que defina en fOlIDa implícita las curvas solución. [Sugerencia: cambie las variables de y a z por y = xz y resuelva como en el ejemplo 1.9.2.] (a) y' = (y + x)/ x
(b) (x- y )dx+(x -4y )dy=O
(e) (x 2 -xy- l )dx-xydy = O
(d) (x 2 -2l)dx+ xydy=O
(e) x 2 y'=4x 2 +7xy+2l
xi
Andrei D. Polyanin y Valentin Zaitsev, Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, CRC Press, Boca Ratón, Florida, 1995.
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7.9/ Cambio de variables y modelos de persecución
11 2. 3.
4. 5.
6.
Aplique el método del ejemplo 1.7.2 para trazar las curvas solución de los incisos (a) a (e)" del problema 1. Destaque los arcos de las órbitas que son curvas solución. (De no separables a separables.) Las EDO no separables pueden volverse separables mediante un cambio de variable. Para cada uno de los siguientes casos, demuestre este proceso y resuelva la nueva EDO. Luego encuentre la solución de la EDO original. [Sugerencia: sea z = x + y en los incisos (a), (d); y z = 2x + y en el inciso (b).] (a) dy/ dx = cos(x + y)
(b) (2x+ y+1)d.x+(4x+2y+3)dy = O
(e) (x + 2y -1)d.x + 3(x + 2y)dy = O
(d) e-Y (y' + 1) = xe x
Utilice la sustitución y = ZI/2 para resolver el PVI yy" + (y')2 = 1, y(O) = 1, y'(O) = O. (Otra forma de obtener la fórmula de solución (15) de la sección 1.6.) La EDO logística dada por y' = r(l - y/K) Ypuede resolverse mediante un cambio de la variable dependiente z = 1/y, que transforma la EDO logística en la EDO lineal z' = -rz + r/K. (a) Demuestre que la EDO para z es como se afirma. (b) Resuelva la EDO para z y luego demuestre que y(t) es la fórmula de solución (15) de la sección 1.6 si y(O) =Yo YY = 1/z. (Reducción a la forma lineal.) Considere la EDO y'(t) = (a + by)(c(t) + d(t)y)
donde a y b son constantes, b;f. O Y c(t) Y d(t) son continuas en algún intervalo t de I. (a) Demuestre que el cambio de variables y = (l/z - a)/b convierte la EDO en la EDO lineal dz/ dt = [ad(t) - bc(t)]z - d(t)
(b) Obtenga todas las soluciones de la EDO y' = (3 - y)(2t + ty)
7.
8.
(Cambio de escala para la EDO logística.) Demuestre que la EDO logística P'(t) = r(l - P(t)/K) P(t) puede transformarse en x'(s) = (1 - x(s))x(s) si se hace que x = P/K Y t = sir. ¿Por qué sería conveniente hacer este cambio de escala antes de usar una computadora para examinar el comportamiento de largo plazo de alguna población cambiante de manera logística? (Cambio de escala para el PVI de la bola peiforada.) La velocidad de una bola perforada que se mueve en sentido vertical sujeta a amortiguamiento viscoso está dada por la EDO v' = -g - (k/m)v, donde g, k Y m son constantes positivas. Modifique la magnitud de las variables de estado y tiempo de modo que la EDO a escala carezca de estas constantes. Resuelva la nueva EDO y saque una conclusión acerca de la velocidad límite para la EDO original. [Sugerencia: sea t = aT, V = bV; véase el ejemplo 1.9.5.]
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102
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
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(EDO de Bernoulli.) La EDO dy/dt + p(t)y = q(t)yh es la EDO de Bernoulli. xii (a) Demuestre que el cambio de variable z = yl-b cambia la EDO de Bemoulli, donde b es una constante, b t: O, 1 a la EDO lineal dz/dt + (1 - b)p(t)z = (1 - b)q(t). (b) Demuestre que la EDO logística y' = r(l - y/K)y es una EDO de Bemoulli con b= 2. (e) Encuentre las soluciones de dy/dt + rly = y-4, t> o. Grafique las soluciones para t> O, Iyl ~ 5. (d) Obtenga todas las soluciones de dy/dt - rly = _y"-I/2, t> O. Grafique las soluciones para t > O, 1 ~ Y ~ 2. 10. (EDO de Riccati). La EDO de Riccati xiii es dy/dt = a(t)y + b(t)y2 + F(t). Si F(t) = O, la EDO es un caso especial de la EDO de Bemoulli (problema 9). La EDO de Riccati puede reducirse a una EDO lineal de primer orden si se conoce una solución [véase el inciso (a)]. Los incisos (b) a (e) contienen ejemplos. (a) Sea g(t) una solución de la EDO de Riccati. Sea z = [y - g]-I. Demuestre que dz/dt + (a + 2bg)z = -b, la cual es una EDO lineal de primer orden en z. Si z(t) es la solución general de la EDO lineal, demuestre que la solución general y(t) de la EDO de Riccati es y = g + l/z. (b) Demuestre que la EDO dy/dt = (1 - 2t)y + ty2 + t - 1 tiene una solución y = 1. Sea z = (y - 1)-1 Y que dz/dt = - z - t. Encuentre la solución general y(t) de la EDO original. (e) Obtenga todas las soluciones de dy/dt = e-1y2 + y - el. [Sugerencia: primero demuestre que y = el es una solución.] (d) Demuestre que y = t es una solución de dy/dt = t3 (y - t)2 + yr l , t> O, luego encuentre todas las soluciones. (e) Demuestre que el modelo de captura del problema 9, sección 1.6, es una EDO de Riccati y resuélvala. 11. (Trayectoria de vuelo de un ganso, viento del Sudeste.) (a) Prepare el problema de la trayectoria de vuelo de un ganso que vuela a velocidad b, con viento del Sudeste a una velocidad de ID = b/-f2, y el ganso comienza en x = a > O, Y = O. Resuelva el problema de valor inicial en forma implícita
9.
iI iI
xii lacques
Bernoulli (1654-1705) introdujo las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y su hermano lean (1667-1748) las resolvió, pero Cottfried Leibniz (1646-1717) las resolvió como lo hacemos nosotros. Los hermanos Bernoulli pertenecieron a una notable familia suiza que prohijó ocho famosos matemáticos en sólo cuatro generaciones. Leibniz, matemático y filósofo alemán, descubrió el cálculo aproximadamente al mismo tiempo que Newton pero independientemente de él. Ambos se disputaron el crédito del descubrimiento.
xiii
El matemático italiano lacopo Riccati (1676-1754) analizó casos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias que hoy llevan su nombre, pero fueron 105 hermanos Bernoulli quienes en realidad obtuvieron las soluciones.
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1.9/ Cambio de variables y modelos de persecución
11 ~
11 12.
Cría
x
(no intente despejar yen términos de x). [Sugerencia: véase el ejemplo 1.9.3. Observe que x' = -bcos e- b/2, y' = - bsen e + b/2. Utilice una tabla de integrales.] (b) Sea b = 1, a = 1, 2, ... , 9 Y grafique las trayectorias. [Sugerencia: utilice un medio numérico de resolución en el sistema x' = .... , y' = ... que modela la trayectoria de vuelo.] ¿Llega el ganso a su nido? ¿Se pasa de su nido? (El ganso y un nido movible.) Un día sin viento un ganso ve a su cría a bordo de una balsa a mitad de un río que se mueve a 8 yardas/s. Cuando la balsa se encuentra en dirección opuesta al ganso está a 30 yardas de distancia y de inmediato vuela para salvar a su cría de caer por una cascada de 60 yardas. Si el ganso vuela directamente hacia la balsa a una velocidad constante de 10 yardas por segundo, ¿logrará rescatar a su cría antes de caer por la cascada? Utilice como guía la siguiente descripción. En t = O coloque la balsa y el ganso en el plano xy en el origen y en (30, O), respectivamente. Sea y positiva la dirección de la corriente. La trayectoria paramétrica (x(t), y(t)) seguida por el ganso en el plano xy tiene las siguientes propiedades: el vector de velocidad del ganso en el instante t, (x'(t), y'(t)) siempre apunta hacia la balsa y siempre ((x')2 + (y'?) 112 = 10 yd/s. Por tanto, si el ganso está en (x, y) en el instante t, entonces la balsa está en (O, St) y hay un factor k > O (el cual podría depender de x, y y t) tal que x' = k(-x), y' = k(St - y). Puesto que (x')2 + (y'? = 100, se encuentra que k = 1O/(x2 + (St - y)2)1I2 Y se tiene el PVI
-lOx
1&' Éste es un sistema plano no autónomo.
x' = ---,,,--------;;--;-""'" 2
x(O) =
, 1O(8t- y) y = (x 2 +(St_y)2)1/2 '
y(O) = O
(x
+ (St -
y)2il2 '
30
En virtud de que las funciones del sistema dependen de t, no puede aplicarse directamente la técnica utilizada en el ejemplo 1.9.3. No obstante, el sistema está escrito en la forma normal y, por consiguiente, puede usarse un medio numérico de resolución para obtener la solución y graficar una órbita de este sistema a fin de determinar si el ganso rescata a su cría. Si el ganso llega a tiempo, ¿cuánto se tarda?
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104
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Técnicas de fórmulas de solución en las que intervienen EDO de primer orden Técn icas explícitas Multiplique la EDO por un factor de integración eP{t) , donde P(t) == S p (t) dt, y a continuación utilice el teorema de la antiderivada (véase el ejemplo 1.3.3 y el procedimiento de la página 22).
1. EDO lineal y' + p(t)y == q(t)
Los coeficientes k¡ , k 2 Y k3 podrían depender de t. Resuelva primero la EDO lineal para x(t), inserte x(t) en la segunda EDO lineal, que puede resolverse después como una EDO lineal para y(t). (Véanse los ejemplos 1.8.1 y 1.8.2.)
2. Cascada lineal X'
== k¡x+ f(t)
y' == k 2 x + k3 y + g(t)
Técnicas implícitas 1. Variables separables N(y)y' + M(x) == O
Calcule las antiderivadas F(x) ==S M(x) dx, G(y) ==S N(y) dy. Las curvas de nivel definidas por F(x) + G(y) == e, para una constante e, son las curvas integrales de la EDO en el plano xy . Un arco de una curva integral sin tangentes verticales es una curva solución de la EDO. (Véanse los ejemplos 1.6.1 y 1.6.3. Asimismo, véase el procedimiento de la página 58.) Para aprender otra forma de graficar las curvas integrales véase el ejemplo 1.7.1.
2. EDO exacta N(x,y)y' + M(x,y) == O
R
Obtenga una función F(x, y) con dFldX == M Y dF/dy == N en R; luego escriba F(x, y) == e, una constante, y resuelva para y. La función F(x, y) es una integral de la EDO y las curvas solución pueden verse por medio de curvas integrales (véase el problema 10, sección 1.6).
3. Forma diferencial de la EDO M( x,y)dx+ N(x,y)dy == O
Forma conveniente de escribir una EDO para y(x), o bien, como una EDO para x(y):
dM == -dN en un rectangu , 1o dy dX
-
o
dx M-+N==O dy
Técnicas de sistemas 1. Sistema plano autónomo dx -==N(x,y), dt
dy dt == -M(x , y)
Los arcos de las órbitas del sistema en el plano xy sin ninguna tangente vertical son curvas solución de la EDO de primer orden dy/dx = -M/N (véase el ejemplo 1.7.5).
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Técnicas de fórmu las de solución en las que intervienen EDO de primer orden
2. EDO general N(x,y)y' + M(x,y) =
°
Convierta la EDO de primer orden en un sistema plano autónomo dx - = N(x,y) dt dy dt = -M(x,y)
cuyas órbitas sean curvas solución compuestas de la EDO (véase el ejemplo 1.7.2).
Cambio de variables 1. Ecuación de Bernoulli y' + p(t)y = q(t)l b"/:.O,l
2. Ecuación de Riccati y' = a(t)y + b(t)l + F(t)
Cambie la variable de estado a z = yl - h para obtener la nueva EDO z' + (1 - b)pz = (1 - b)q, que es lineal en z (véase el problema 9, sección 1.9).
Si se conoce una solución de la ecuación de Riccati, entonces toda solución y(t) tiene la forma y(t) = g(t) + lIzCt), donde z(t) es solución de la EDO lineal z' + (a + 2bg)z = -b (véase el problema 10, sección 1.9). Cambie la variable de estado z = (a + by)- 1 para obtener la nueva EDO
3.LaEDO y' = (a + by)(a(t) + f3(t)y) donde a y b son constantes y b"/:. O.
z' = [af3(t) - ba(t)]z - f3(t), que es lineal en z (véase el problema 6, sec-
4. Función de razón de cambio homogénea de orden cero y' = f(x,y), donde
Cambie la variable de estado a z = ylx para obtener una nueva EDO, xz' = f(1, z) - z, cuyas variables sean separables (véase el ejemplo 1.9.2).
ción 1.9).
f(kx,ky) = f(x,y)
5. EDO en coordenadas polares Escriba y' = f(x, y) en la forma polar; busque las soluciones r = r( 8) de la nuevaEDO
Cambie las variables x y y a la forma polar por medio de x = rcos O, y = rsen O. Si r = r( O) es una curva solución de la EDO, entonces r( O)
satisface la EDO (véase el manual de recursos del estudiante, sección 1.9):
dr
(dr)
-senO + rcosO = f(rcosO, rsenO) - cosO - rsenO dO dO
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Ecuaciones diferencia les de primer orden y modelos
Reducción de EDO de primer orden 1. Método de parámetros variables y" + a(t)y' + b(t)y = J(t)
2.
y" = F(t, y') F es independiente de y
Sea z(t) una solución conocida de z" + a(t)z' + b(t)z = O. Entonces, toda solución y(t) de y" + a(t)y' + b(t)y = J(t) está dada por y = uz, donde u(t) resuelve la EDO zU" + (2z' + az)u' = f, que es lineal de primer orden para v = u' (véase el problema 6, sección 1.7). La variable de estado v = y' resuelve la EDO de primer orden v' = F(t, v) .
f
La variable de estado y = 3. y" = F(y,y') F es independiente de t
v(t) dt (véase el ejemplo 1.7.3).
Introduzca y como una nueva variable independiente y considere la variable de estado v = y' como una función de y: v = v(y). Como y" = (dv/dy)v, se infiere que v resuelve la EDO de primer orden v(dv/dy) = F(y, v). Observe que y(t) resuelve la EDO dy/dt = v(y) (véase ejemplo 1.7.4).
Oscilación forzada y' + PoY = q(t) O :t= Po = constante, q(t) es continua en partes, periódica con un periodo T
Tiene una solución periódica única con periodo T generado por la condición inicial y(O) = Yo, dada por (véase el teorema 2.2.4).
T [ T ]-lio ePos q(s)ds
'Yo = ePo - 1
http://carlos2524.jimdo.com/ modelos y' = 3y sen y + t 4 I
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Elija un punto inicial en el borde izquierdo
y utilice un programa de resolución numérica para dar en el objetivo (0, 2) con una curva solución. ¿Problemas? Vea el ejemplo 2.1.3 y el problema 6 de la sección 2.1.
o por la ).
Problemas de valor inicial y SUS soluciones aproximadas
El teorema de existencia y unicidad de la sección 2.1 explica por qué la dinámica natural se ajusta bastante bien a la descripción matemática dada por un problema de valor inicial. En este capítulo se responden las cuestiones básicas acerca de las soluciones de problemas de valor inicial, su comportamiento y sensibilidad de largo plazo, así como sus aproximaciones numéricas. En la última sección llegaremos al caos, fenómeno que nos revelará algunas propiedades atractivas de los sistemas dinámicos.
2.1
Existencia y unicidad
En la íntima relación entre los procesos que evolucionan de manera natural y los problemas de valor inicial (PVI) radica la importancia central de éstos. Los modeladores explotan esta conexión al aplicar el conocimiento matemático que tienen de los problemas de valor inicial para predecir el comportamiento de los procesos naturales. Ésta es la razón de que deba aprender cuanto sea posible acerca de los PVI y los fundamentos matemáticos de esta relación. Dicho de otro modo, el análisis de un modelo matemático equivale a un examen del PVI asociado.
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108
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Gran parte del capítulo 1 se dedicó a la obtención de fórmulas de solución para el PVI de primer orden y' = fU, y), y(to) = Yo, para distintos tipos de funciones de tasa de cambio f Pero ¿cómo describir una solución y su comportamiento cuando no es posible hallar ninguna fórmula de solución? ¿Cómo saber incluso que el problema tiene una solución si no puede construirse una fórmula para él? ¿Cómo saber que el problema tiene una solución única? En esta sección empezaremos a dar respuestas que no requieren fórmulas de solución. 1& ¡Soluciones numéricas aproximadas y sus gráficas al rescate !
Preguntas básicas acerca de los problemas de valor inicial Comencemos por plantear las preguntas básicas que abordaremos en este capítulo, en el que denominaremos a la función de tasa de cambio f(t, y) y al valor inicial Yo datos para un PVI. En la práctica los datos surgen como resultado de mediciones y observaciones.
Cuestiones básicas acerca del PVI y' =f(t, y), y(to)
=Yo
Existencia. ¿En qué condiciones el PVI tendrá por lo menos una solución? Unicidad. ¿En qué condiciones el PVI tendrá a lo sumo una solución? Extensión y comportamiento de largo plazo. ¿Cuán lejos puede extenderse una solución hacia el futuro y hacia el pasado? ¿Cómo se comporta una solución cuando t toma valores grandes? Sensibilidad. ¿Cuánto cambia una solución si cambian los datos f, Yo? Descripción. ¿Cómo puede describirse la solución?
Calculo, luego existo
Las condiciones simples de la función de tasa de cambio f producen respuestas satisfactorias para las preguntas básicas. En esta sección se estudia la existencia y la unicidad; la extensión y el comportamiento de largo plazo en la sección 2.2 y la sensibilidad en la sección 2.3. Al final de la sección 2.3 se resumen las respuestas a las primeras cuatro preguntas mediante el teorema fundamental. De la sección 2.5 a la 2.7 se describe una forma de contestar la quinta pregunta con una explicación de cómo describir las soluciones de los PVI por medio de aproximaciones numéricas.
Existencia y unicidad El punto de partida de cualquier análisis general acerca de los problemas de valor inicial es la pregunta de si hay algo que estudiar, es decir, si un PVI tiene solución o no. En caso afirmativo, si es sólo una. Contestemos ambas preguntas.
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1 09
2.1/ Existencia y unicidad
Teorema 2.1.1 y
Teorema de existencia y unicidad. Supóngase que las funcionesfit, y) y afit, y)/ay son continuas en un rectángulo cerrado R del plano .xy y que (to, Yo) es un punto dentro de R. Entonces, el PVI y':=: f(t,y),
Yo
~
r:::===l
-~
En los apéndices A.l a A.2 se ofrece una demostración completa del teorema.
(1)
tiene una solución y(t) en un intervalo t de 1 que contiene a to (existencia), pero no más de una solución en R en cualquier intervalo de t que contenga a to (unicidad) .
A continuación se describe la idea principal en que se fundamenta la demostración de que existe una solución. Al integrar cada miembro de la EDO (1) de to a t y al usar la condición inicial y(to) :=: Yo, se encuentra que una función y(t) es una solución del PVI (1) en algún intervalo 1 que contiene a to si y sólo si y(t) resuelve la ecuación integral t
t
r
r
to
to
y(t) - y(to ):=: y'(s)ds :=: f(s,y(s))ds J J
que puede escribirse como t
y(t):=: Yo +
r f(s,y(s))ds J
ten 1
(2)
to
En las integrales anteriores s representa la variable de integración para no confundirla con la variable independiente ten el límite superior de las integrales. Hay un algoritmo ingenioso que conduce a una solución y(t) de la ecuación (2). El primer paso del algoritmo es igualar yo(t) :=: Yo. Supóngase ahora que el algoritmo ha generado y¡(t), ... , Yn(t) . Para hallar la iteración Yn + ¡ (t), se sustituye yis) por y(s) en el miembro derecho de la ecuación (2), se integra y se denota el resultado con Yn + ¡ (t). Por tanto, se tiene yo(t) :=: Yo y¡ (t) :=: Yo +
f
f(s , Yo )ds
lO
l
Yz (t):=: Yo +
Jr f(s,y! (s))ds to
Yn+¡(t):=:yo+
JrIO f(s ,Yn (s))ds
(3)
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas 2.1/Exl
Las funciones yo(t), y¡(t), Y2(t),... se denominan iteraciones de Picardi y al proceso de generarlas se le conoce como esquema de iteración de Picard. Las iteraciones Yn(t) convergen en una solución y(t) de la ecuación integral (2) y, por tanto, del PVI (1), pero la demostración es difícil y se deja para el apéndice A.2. En el apéndice A.1 se da la demostración de unicidad. Cuando aplique el teorema asegúrese de comprobar que las funcionesj{t, y) y dj{t, y)/dy sean continuas en un rectángulo común R que contiene a (to, Yo). En los casos particularmente simples, las iteraciones de Picard podrían calcularse en forma manual y la solución exacta podría identificarse desde las primeras iteraciones, como se muestra a continuación. En los casos más complicados las integrales del esquema de Picard (3) pueden evaluarse numéricamente y graficarse por medio de un programa de matemáticas de propósitos generales como Maple. ti
Ejemplo 2.1.1
Iteraciones de Picard para un PVI simple
ll'W Enti ciones el presiones t3 cos(3t etcétera.
La solución del PVI y(O) = 1
y'=-y,
es y(t) = e =. Apliquemos las iteraciones al PVI. Las primeras son yo(t) = 1 y¡ (t) = 1- f>odS = 1- f~ 1ds = 1- t Yz(t)=l-
Jry¡(s)ds=l-
Jr(l-s)ds=l-t+t
Y3(t)=1-
Jr Yz(s)ds=l-
J (l-5+s
o t
o
o
r
2
/2 2.0
2
o
/2)ds=1-t+t
2
/2-t
3
/6 1.5
Pronto se nota que cada iteración de Picard es sólo una suma parcial de la serie de Taylor 1-t+t2
/2_t3 /6+···
"'-
de la función e-t. En la figura 2.1.1 se muestran las gráficas de varias iteraciones en el intervalo O:S; t:S; 5, así como la gráfica de la solución y = e-t. Observe la alternación de signos en la serie y la forma en que se alternan hacia arriba y hacia abajo las iteraciones de Picard alejándose de la gráfica de la solución. ¿Existe alguna relación? i
ii
Charles Emile Picard
Charles fmile Picard (1856-1941) -no confundirlo
con jean-Luc
1.0
Picard- fue un eminente
matemático francés y el secretario permanente de la Academia de Ciencias de París. Su trabajo matemático incluye resultados profundos en el análisis complejo, fOP y fOO. Marca registrada de Maple Waterloo, Inc., Waterloo, Canadá.
0.5
0.0
-0.5
-1.0
o
Figura 2 nuas) COI tinua). Vt
http://carlos2524.jimdo.com/ c>
2.1 / Existencia
de gevergen ostraión de 1, y)/dy armennexación, En se nuenera-
111
y unicidad
Las iteraciones de Picard no siempre pueden producirse mediante la integración simbólica debido a que los integrando s podrían ser mucho más complicados. Como alternativa, se elige un intervalo 1y se generan las iteraciones del esquema de Picard (3) mediante integración numérica en l. En el siguiente ejemplo no es posible obtener una fórmula simple incluso para Yl (t).
Ejemplo 2.1.2
Iteraciones de Picard para un PVI complicado No hay fórmula en términos de funciones elementales para la solución del PVI
lBlf Entiéndase porfunciones elementales
y(O) = 1,
ex-
presiones como t' + sen t, t3 cos(3t + 5), et' - 5, etcétera.
. Por tanto, planteemos el esquema de iteración de Picard. yo(t) = 1 Yl (t) = 1 +
S; (s2 + Y6 (s) + 1)112sen(syo (s»ds
Y2 (t) = 1 +
1
= 1+
S; (s2 + 2)112sen s ds
2 2 112 (s + Yl (s) + 1) sen(sYl (s»ds
1
o
.
En la figura 2.1.2 se muestran las gráficas de algunas iteraciones aproximadas. La iteración Y20(t) está tan cerca de la solución y(t) generada por nuestro medio númerico de resolución en el intervalo O S t S 2.5 que es imposible separar las gráficas.
2.0
y'=-y,
3.0
2
y' =(t
+ i + lt2sen(ty),
y(O)= 1
YlO 1.5
Yo
Taylor
1.0
'" 1intersignos de Pi-
2.5
0.5
0.0
-0.5
inente . Su tra-
2.0
'"
1. 5 Yo 1.0 t-~~----------~----------------~
0.5
-1. o
Figura 2.1.1 Las iteraciones de Picard (curvas continuas) conducen a la verdadera solución (curva discontinua). Véase el ejemplo 2.1.1.
Figura 2.1.2 Convergencia Picard (ejemplo 2.1.2).
de algunas iteraciones de
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Problemas de va lor inicial y sus soluciones aproximadas
El esquema de iteración de Picard no constituye un mecanismo eficaz para generar soluciones numéricas aproximadas de un PVI por la necesidad de aproximar las integrales en cada paso. En la sección 2.5 presentaremos métodos prácticos de aproximación en los que no se requiere hacer ninguna integración pero aún convergen en la solución (normalmente). El teorema de existencia y unicidad tiene una consecuencia importante.
Teorema 2.1 .2
No se unen las curvas solución. Sify af/ay son continuas en un rectángulo R, entonces no pueden juntarse en R dos curvas solución distintas de y' = f(t, y) . A continuación se explica cómo comprobar este resultado. Supóngase que dos curvas solución se unen en algún punto (to, Yo) en R. Entonces el PVI y' = f(t, y), y(to) = Yo tendría dos soluciones en algún intervalo 1 que contenga a to, lo que contradice la parte de unicidad del teorema 2.1.l. Por consiguiente, las curvas solución no pueden juntarse. Si la función de tasa de cambio f satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad en el rectángulo definido por la pantalla de su computadora, entonces cualquier cruce aparente de las curvas solución sólo se debe a la capacidad de resolución finita del aparato. Ilustremos los teoremas 2.1.1 y 2.1.2.
Ejemplo 2.1.3
Curvas de solución para. la figura del principio del capítulo
La funciónf = 3yseny + t es continua para todos los valores de t y y, como lo es aj/ay = 3seny + 3ycosy. Así, los teoremas 2.1.1 y 2.1.2 nos confirman que por todo punto (to, Yo) y' = 3yseny + t
(4)
del plano ty pasa exactamente una curva solución de la EDO En la figura 2.l.3 se ilustran varias curvas solución de la EDO (4). Las dos curvas solución que empiezan en to = -6, Yo = 1.8, 2.0, al parecer encierran una amplia región de la pantalla. Observe que las curvas solución que empiezan juntas en el eje de las ordenadas en t = -6 aparentemente se apartan conforme aumenta t. Esto hace casi imposible usar un medio numérico de resolución para generar las curvas mostradas dentro de la región si se empieza en to = - 6. Para trazar estas curvas se empieza con los puntos iniciales dentro de la región y se resuelve hacia adelante y hacia atrás con respecto al tiempo hasta que las curvas solución salen de la pantalla. En apariencia las curvas se juntan, pero sólo es una ilusión causada por el tamaño finito de píxeles.
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113
2.1 / Existencia y unicidad
y'=3yseny+t
ty' - y = /2 COS/,
)'(0)=
o
,,1
- 1
Figura 2.1.3. Curvas solución de la EDO (4) con varios valores iniciales (ejemplo 2.1.3). ¿En realidad se juntan estas curvas?
Figura 2.1.4. Un PVI con un número infinito de soluciones (ejemplo 2.1.4). Para trazar las curvas solución se resuelve hacia adelante y hacia atrás a partir de los puntos extremo.
Casos excepcionales Si no se satisfacen las condiciones de existencia y unicidad [es decir,jU, y) o dj(t, y)/dy no son continuas], se anulan todas las expectativas. Un problema de valor inicial podría no tener solución, tener sólo una o un número infinito.
Ejemplo 2.1.4
Un PVI con un número infinito de soluciones, otro con ninguna La EDO lineal de primer orden
ty' - y = t 2 cos t
(5)
tiene la forma lineal normal en el intervalo t > O (o bien, t < O)
y' - ylt = tcost
(6)
Aquí, la función f(t,y) = tcost + ylt es discontinua en t= Oy, por tanto, no es posible aplicar el teorema 2.1.1 en ningún rectángulo que cruce el eje de las ordenadas. Multiplique la EDO (6) por el factor de integración e - f (lIl)dl = e-lo/ = lit para obtener
(y' - y lt)lt = (y lt)' = cost Mediante la integración se obtiene ylt = sent + C, donde C es cualquier constante, o
y = tsent+Ct
(7)
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Con la fórmula (7) se define la solución general de la EDO (5) para toda t (incluso t = O), lo cual puede comprobarse al sustituir en la EDO: ty' - y = t(tsent + et)' - (tsent + Ct) = t 2 cost
Las soluciones de (7) están definidas para toda t y satisfacen la condición y(O) = O. Por consiguiente, el PVI ty' - y = t 2 cost,
y(O) = O
(8)
tiene un número infinito de soluciones (figura 2.1.4). Pero si sustituirnos la condición inicial y(O) = O por y(O) = 1, no hay ninguna solución. A veces una discontinuidad en la función de tasa de cambio no causa ninguna dificultad . •:. Continuidad por pedazos. Una función q(t) es continua por p edazos en el intervalo 1, a :S; t:S; b, si existen los límites unilaterales jjj q(tt) y q(tü) para toda to en 1 y coinciden para un número finito de puntos en l. La función q(t) es continua por pedazos en la recta real si es continua por pedazos en cada intervalo. Las discontinuidades de estas funciones se llaman discontinuidades de salla
1-------" q(IO)
~ En el apéndjce B.J se dan más detalles acerca de éSlas y otras funciones de aclivación y desactivación.
Una función continua q(t) también es continua por pedazos, pero los límites unilaterales q(tt) y q(tü) tienen el mismo valor para toda t. La función escalonada es un ejemplo de una función continua por pedazos que no es continua. Con una ligera generalización de la definición de una solución, el PVI lineal y' + p(t)y = q(t), y(to ) =Yo
~
La gráfi ca de respuesla de la fi gura 2.1.5 reúne las condjciones de solución del PVI (9) en esle sentido generalizado.
Ejemplo 2.1.5
aún tiene solución sólo si p(t) es continua, pero q(t) sólo es continua por pedazos. Se permite como solución una función continua y(t) cuya derivada y'(t) es continua por pedazos y y(t) satisface la EDO en todos los puntos de continuidad de q(t) . La fórmula de solución del teorema 1A.l sigue siendo válida en este caso. En seguida se da un ejemplo.
Respuesta a la función escalonada y entradas de pulsos En la gráfica superior de la figura 2.1 .5 se ilustra la entrada de escalón para el PVI
Y'+y=escalón(t-l)={~: : ~ :. y(O) = 112, t~O
jjj
(9)
Los símbolos q(tt )[respectivamente, q(tü)] denotan el límite de q(t) cuando t se aproxima a to con valores de t mayores [o menores que] to.
http://carlos2524.jimdo.com/ proximadas
uso t = O),
115
2.1 / Existencia y unicidad
i
y' + y = escalón(t -1),
y(O) = 1/2
~
a
1.3
0.8
"
0.3
..
~
) = O. Por
~ ~ -o.
y(O) = /2
0.8
"O
'"
~
y' + y = escalón (t-1) - escalón (t- 2),
1.3
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2
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(8) iciónini-
'!' o,o.~ ~
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dificultad. en el ina toda to continua discon-
0.9 -;:;';( 0.7
Q
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0.5
1:>::
o
0.3 0.1 -0.1
1
2
3
Figura 2.1.5 Respuesta y(t) (parte baja) a la entrada de escalón (parte superior) (ejemplo 2.1.5).
Figura 2.1.6 Respuesta y(t) (parte baja) a la entrada de pulso (parte superior) (ejemplo 2.1.5).
Para resolver el PVI (9) emplearemos el factor de integración el y el teorema 1.4.1, con lo que obtenemos y(t) = e -1/2
S;
+ e -1
eS escalón (s -1)ds
donde se ha utilizado el hecho de que escalón (t - 1) sólo se activa en t = 1. En la figura 2.1.5 se ilustra cómo la curva solución continua cambia en forma repentina su pendiente y concavidad en t = 1. En la figura 2.1.6 se muestra la respuesta del PVI y'
+y
= escalón(t -1) - escalón(t - 2),
y(O) = 1/2,
donde la entrada es la función de pulsos que aparece en la gráfica superior.
(9)
se aproxi-
Por tanto, como se sugiere en este ejemplo, en los PVI relacionados con EDO lineales puede aceptarse una función de activación y desactivación como entrada sin gran dificultad,pero podría haber picos en la curva resultante.
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116
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Comentarios acerca del teorema de existencia y unicidad La observación nos lleva a creer que los procesos naturales son repetibles en el sentido de que si se ejecuta el proceso de nuevo con la misma dinámica y las condiciones iniciales, el resultado será el mismo. Nuestra intención es modelar el PVI para que el proceso tenga la misma propiedad; con el teorema 2.1.1 se establecen las condiciones en las que así sucede. Además, antes de usar un medio numérico de resolución para hallar la solución aproximada de un PVI, debe estar seguro de que hay exactamente una solución. De lo contrario, el resultado del medio tendría poco significado; su aproximación podría ser buena o mala. Sin embargo, con el teorema 2.1.1 se garantiza que hay una solución por aproximar.
Problemas _____________________________________________ 1.
(Se aplica el teorema de existencia y unicidad.) Compruebe que existe exactamente una solución para cada uno de los siguientes PVI mediante la comprobación de las hipótesis del teorema de existencia y unicidad. [Sugerencia: no se moleste en hallar una fórmula de solución.] (a) y' = /y - l ,
(e) y' =
2.
3. 4.
5.
Itllyl,
y(O) = O
(b) y' = ltli-1I(3 y +t),
y(O) = 1
y(O) = 1
El teorema de existencia y unicidad no se aplica al siguiente PVI. (a) ¿Por qué no se aplica el teorema 2.1.1 a 2tyy' = t 2 + i , y(O) =1? (b) Demuestre que Y 1 = t 2 y Y2 = t 2 escalón(t)y ty' = 2y, y(O) = O, - 0 0 < t < oo. son soluciones del PVI. ¿Por qué esto no contradice al teorema 2.1 .1? Obtenga las soluciones del PVI ty' - y = t n+ 1 , y(O) = O,para cualquier entero positivo n. Demuestre que el PVI y' = Iy l, y(O) = O tiene una solución única incluso si no se satisfacen las hipótesis del teorema de existencia y unicidad. [Sugerencia: primero obtenga la solución general para y ~ O Y luego para y ;: O: O.] (Posibilidad de solución de un PVI.) El PVI siguiente no cumple las condiciones del teorema de existencia y unicidad. Si tiene soluciones, calcúlelas. Si no hay ninguna, explique por qué. (a) y' = y escalón(t), y(O) = 1 (b) 2yy' = - 1, y(l) = O (e) y' = (1 - i )112, y(O) = 1
11 6.
(Figura del principio del capítulo 2: ninguna fórmula de solución.) Para la EDO no lineal y' = 3 seny + t de la figura del principio del capítulo no se conoce fórmula de solución homogénea, de modo que se debe optar por un campo de direcciones o por un medio numérico de resolución de EDO para ver cómo se comportan las curvas solución. (a) Grafique un campo de direcciones en el rectángulo, -6 ~ t ~ 3, - 2 ~ y ~ 4. Trace algunas curvas solución sugeridas por el campo de direcciones. Vuelva a
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2.1 / Existencia y unicidad
7.
•
: • 8.
graficar el campo de direcciones con una cuadrícula más fina y vea si las curvas necesitan un ajuste. Utilice un medio numérico de resolución para comprobar la precisión de sus trazos. Registre sus observaciones acerca. del uso de los campos de dirección para trazar las curvas solución. (b) Tome los puntos iniciales to = - 6, 1.8 ~ Yo ~ 2, resuelva hacia adelante para 10 unidades de tiempo y trate de acertar en el punto objetivo (O, 2). ¿Cuál es la dificultad? ¿Hay otra forma de ganar? (Discontinuidad en la EDO normalizada.) La EDO lineal ty' + Y = 2t tiene la forma normal y' + ylt = 2 y p(t) = lit es discontinua en t = O. (a) Obtenga las soluciones de ty' + y = 2t. (b) Demuestre que el PVI ty' + y = 2t, y(O) = O tiene exactamente una solución, pero si y(O) = Yo f:. O, no hay ninguna solución. ¿Por qué .esto no contradice al teorema de existencia y unicidad? (e) Grafique varias soluciones de la EDO en el intervalo It l ~ 5 . (Discontinuidad de salto en la función de tasa de cambio.) Grafique la solución de cada PVI en el intervalo O ~ t ~ 2. Explique cualquier característica rara de la gráfica en términos de un rasgo del PVI. (a) y' + 2y = q(t), y(O) = O,
donde q(t) = escalón(l - t)
(b) y' + p(t)y = O, y(O) = 2,
donde p(t) = 1 + escalón(l - t)
www 9.
(Iteraciones de Picard.) Obtenga las iteraciones de Picard yo(t) , Y I(t), .. ., Y4(t) para el PVI y' = y, y(O) = 1. Demuestre que Y4(t) consta de los primeros cinco términos de la serie de Taylor para la solución y = el. ~ 10. (Problemas con la función de tasa de cambio.) A continuación se presentan dos PVI con sus propias dificultades. ¿Qué sucede? (a) Examine el PVI ty' - 2y = P escalón(t), y(1) = O. Compruebe que hay exactamente una solución definida en el intervalo t ~ O pero un número infinito de ellas en todo el eje de las abscisas. ¿Por qué esto no contradice el teorema de existencia y unicidad? (b) Considere el PVI y' = 3y 2/3, y(O) = O. Determine fórmulas para un número infi1& ¿Problemas? Vea nito de soluciones en - 0 0 < t < 00 ¿Por qué no tiene aplicación aquí el teorema más adelante el problema de existencia y unicidad? 4 de la sección 2.2.
2.2
Extensión y comportamiento de largo plazo El teorema de existencia y unicidad es un poco vago acerca de la longitud de los intervalos de tiempo en los que están definidas las soluciones, pero no hay inconveniente si usamos el medio numérico de resolución. Sólo debemos indicarle que grafique la solución de un PVI en intervalos de tiempo cada vez más grandes; por lo que se observa, la curva solución que resulta se extiende por ellos hasta que finalmente sale de la pantalla (o falla el medio). Si se
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
vuelven a establecer las dimensiones de la pantalla es posible ver qué sucede con las curvas solución conforme avanza el tiempo. Lo interesante es observar si permanecen acotadas para valores grandes de t o si crecen sin límite. Una solución está acotada en t;::: O si existe una constante M;::: O tal que ly(t)1::; M , para t;::: O. Podemos buscar casos en los que las gráficas se aproximen a los valores de equilibrio cuando t toma valores grandes, y otros en los que las curvas solución sean atraídas hacia una curva solución periódica. A veces estas preguntas hallan respuesta mediante una fórmula para las soluciones, pero es un hecho notable que a menudo pueden contestarse preguntas como éstas sin una fórmula de solución. En esta sección estableceremos los fundamentos para este método.
Extensión de una solución
y
a
b
La redundancia es parte de la definición de una solución de una EDO. Si y(t) , definida en un intervalo 1, es una solución de una EDO, entonces y(t) restringida a cualquier subintervalo de 1 es también una solución. No es útil distinguir entre estas soluciones puesto que todas ellas son "piezas" de la solución original y(t) en /. Pero ¿qué pasa si hay una solución z(t) en un intervalo más grande que contiene a 1 con y(t) = z(t) para t en I? En este caso se dice que la solución z(t) es una extensión de la solución y(t) . ¿Es posible extender una solución de la EDO y' = f( t, y)? Puesto que no se tiene ninguna fórmula de solución, es posible hacer lo siguiente: supóngase que la función de tasa de cambio f(t, y) y su derivada of/oy son continuas en un rectángulo cerrado R en el plano ty (considere que R es la parte del plano ty mostrado en la pantalla de la computadora). Ahora supóngase que y(t) , a ::; t::; b define una curva solución de y' = f( t , y) dentro de R. Si el punto extremo (b , y(b)) está dentro de R, entonces el teorema de existencia y unicidad (teorema 2.1.1) significa que la solución única z(t) del PVI z' = f(t ,z),
I@' En las recomendaciones sobre cómo usar programas de solución numérica de la sección 2.6 del manual de recursos para el estudiante se amplía la información sobre este tema.
Teorema 2.2.1 I@' En el apéndice A.3 se da una demostración completa.
z(b)= y(b)
extiende la solución y (t) a la derecha de t = b. Con una construcción similar se extiende y(t) a la izquierda de t = a si el punto extremo (a , y(a)) no queda en el límite de R. No se recomienda este procedimiento para hallar las extensiones por medio de medios numéricos de resolución. Ahora podemos comenzar a responder el tema de cuánto es posible extender una solución. Principio de extensión. Supóngase quefy of/oy son continuas en un rectángulo cerrado y acotado R. Si (to, Yo,) está dentro de R, entonces la curva solución del PVI
y' = f (t, y ),
(1)
puede extenderse hacia atrás y hacia adelante con respecto al tiempo hasta que toca el límite de R.
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ximadas
119
2.2/ Extensión y comportamiento de largo plazo
y'
lascurcotadas siexisquelas trosen esestas chonolución.
4 \ \
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t Figura 2.2.1 Curva solución extendida al máximo (ejemplo 2.2.1).
nenindetasa el plautadodentro nciay
En otras palabras, la curva solución del PVI (1) puede extenderse tanto que si "des aparece" lo hace fuera de R. Daremos un nombre a las soluciones que se extienden cuanto sea posible hacia adelante y hacia atrás con respecto al tiempo . •:. Solución extendida al máximo. Una solución y(t) de una EDO en un intervalo 1 está extendida al máximo si ya no es posible extenderla a un intervalo mayor que I.
xtiende .No se uméri-
A partir de ahora, al referimos a una solución debe darse por sentado que hablamos de una solución extendida al máximo. Los campos de dirección (véase la sección 1.2) son una herramienta importante para entender el comportamiento de las curvas solución y, en particular, brindan pistas acerca de cómo puede extenderse una curva solución. En el primer ejemplo se ilustran estas ideas.
er una
cerra(1)
Ejemplo 2.2.1 1&' Recomendación para el uso de la computadora: al introducir la función de tasa de cambio, no olvide escribir los paréntesis extra del denominador.
Desaparición
de una solución
Utilizamos un medio numérico de resolución numérica para trazar la curva solución del PVI y' == _t2 /[(y
+ 2)(y
- 3)],
y(O) == O
(2)
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1& En el problema 2 se dan más detalles acerca de este ejemplo.
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
para valores mayores y menores que to = O tan grandes como sea posible (figura 2.2.1). Nuestro medio se detuvo cuando la curva solución llegó a las rectas y = -2, 3. ¿Por qué lo hizo? El denominador de la función de tasa de cambio del PVI (2) es cero si y = -2 o 3, de modo que la pendiente es infinita y no se satisfacen las condiciones del principio de extensión. En cambio, se cumplen en el rectángulo R mostrado en la figura 2.2.1 y la curva solución del PVI se extiende de un borde a otro de R. Sin embargo, la curva solución extendida desaparece fuera de R cuando toca las rectas y = -2 y Y = 3. Las rectas casi verticales del campo de direcciones de la figura 2.2.1 cerca de los extremos de la curva son indicaciones visuales de que la curva solución está a punto de desaparecer. Cuando la función de tasa de cambio f(t, y) de la EDO (1) satisface las condiciones del principio de extensión en todo el plano ty, podría pensarse que toda solución puede extenderse a toda la recta real (es decir, - 00 < t < 00), lo cual sería un error. Algunas EDO que al parecer no presentan complicaciones tienen soluciones que crecen sin límite cuando t se aproxima a un valor finito. Cuando esto sucede se dice que la solución tiene un tiempo de escape finito .
Ejemplo 2.2.2
De aquí al infinito en un parpadeo Se trata de encontrar la solución extendida al máximo del PVI (3)
y(O) = 1
Supóngase que y(t) es la solución del PVI (3), donde y(t) tiene a t = O. Al separar las variables en la EDO, se tiene y-2(t)y'(t) = (_y-l), = 1,
i=
O en un intervalo 1 que con-
paratodatenI
(4)
Al aplicar el teorema de la antiderivada, se tiene la solución general de y' = y2: _ y-l = t + e,
para toda ten 1
donde e es una constante. Si se usa la condición inicial y(O). = 1, se observa que Al sustituir e = - 1 en (5) y resolver para y se obtiene la solución 1& Se dice que esta so- , 1 lución se "escapa al infiiripara toda ten 1 y(t) =1- , to para un valor de tiempo finito".
(5)
e = - l. (6)
-t
De la fórmula (6) se observa que el intervalo más grande de 1 en el que la solución es válida es - 00 < t < 1. Por tanto, a partir de su punto inicial to = O, Yo = 1, la solución se escapa al infinito en sólo una unidad de tiempo puesto que y(t) ~ + 00 cuando t ~ 1-. Véase la figura 2.2.2. Hay un tipo importante de EDO de primer orden de la que puede hablarse mucho acerca de la extensión y el comportamiento de largo plazo de las soluciones sin tener que recurrir a una fórmula de. solución. Acontinuación analizaremos este tipo de EDO.
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2.2/ Extensión y comportamiento de largo plazo
121
Análisis de signos, soluciones de equilibrio y líneas de estado 1& Estudiamos la EDO autónoma por primera vez en la sección 1.7.
1& En las figuras 2.2.2 y 2.2.3 se muestran estas bandas.
1& La
propiedad de traslación funciona sólo para las EDO autónomas.
Ejemplo 2.2.3
Una EDO es autónoma si la función de tasa de cambio no depende de la variable independiente t. Considere la EDO autónoma y' = fiy) y supóngase quefiyo) = O. Entonces, un segmento de recta del campo de direcciones centrado en algún punto de la recta horizontal y = Yo tiene una pendiente cero. No obstante, la recta y= Yo tiene pendiente cero en todas partes y se ajusta a un campo de direcciones. Por tanto, la función constante Y = Yo para toda t es una solución de la EDO y' = fiy), conocida como solución de equilibrio. Observe que las soluciones de equilibrio están definidas en - 0 0 < t < 00 , de modo que están extendidas al máximo. Supóngase ahora que la función de tasa de cambio fiy) y su derivada df/dy son continuas para toda y. Entonces, por el teorema de existencia y unicidad (teorema 2.1.1) se observa que todo punto (to, Yo) en el plano ty tiene una curva solución única que pasa por este punto. ¿A qué se parecen las soluciones extendidas al máximo? Las rectas de la solución de equilibrio dividen el plano ty en regiones horizontales parecidas a bandas. Se observa que toda curva solución no de equilibrio está confinada a una sola banda, ya que de otro modo alguna otra curva solución debe cruzar una recta de equilibrio, lo cual viola la propiedad de unicidad del teorema 2.1.1. Así, toda curva solución está atrapada y debe permanecer siempre dentro de una sola banda, sin importar cuánto se extienda la curva. Si una banda está acotada por arriba y abajo por las rectas de solución de equilibrio, entonces ninguna curva solución de esa banda puede escapar al infinito en un tiempo finito. De hecho, toda cur,:"a solución de cada banda puede extenderse en todo el intervalo - 0 0 < t < 00 (lo que se deduce del principio de extensión). Sin embargo, las curvas solución arriba de la recta superior de equilibrio (o abajo de la recta inferior) podrían escapar al infinito en un tiempo finito, como se observa en el ejemplo 2.2.2. . Para una EDO autónoma y' = f(y), las rectas del campo de direcciones centradas en una recta horizontal (y = constante) son paralelas. Esto significa que si una curva solución es desviada a la derecha o a la izquierda del eje de las x, entonces también es una curva solución porque aún se ajusta al campo de direcciones. En otras palabras, la forma de una curva solución de una EDO autónoma no depende de cuándo empieza a contar el tiempo. Ésta es la propiedad;de traslación de las curvas. solución de una EDO.
Dos ejemplos de traslación de curvas solución en el tiempo En la figura 2.2.2 observe que para una EDO
todos los segmentos del campo de direcciones centrados en cualquier recta horizontal son paralelos. Esto significa que el tiempo de traslación de cualquier curva solución es otra curva solución. Trace dos reglas horizontales en -la figura 2.2.2 arriba de la recta de equilibrio y = O. Las curvas solución visibles entre las rectas son traslaciones entre sí con res-
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122
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
y'
y'=f(y)=/
= f(y) = O.l(y-3)(y
-1)(y+ 1)
I I I
I I /111111/111// I //J///¿///¿/// ///¿/// h///h///h///h///¿///h///
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1, /,
t~::_-::_-::_-::_-::_:::: /=0
'" -1
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-3~~~~-*~~~~~~~~~~~~~ -3
-1
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,:~ ::~ -5
Línea de estado
Figura 2.2.2 Campo de direcciones y curvas solución para una EDO autónoma (ejemplos 2.2.2 y 2.2.3).
-3
2.2/ Ex
1& En nos se ut cuencia, bien.
/=0 /<0
/=0 />0 /=0 /<0 -1
1
3
5
Línea de estado
Figura 2.2.3 Cuatro bandas, una solución de equilibrio estable y dos inestables (ejemplos 2.2.3 y 2.2.4).
pecto al tiempo. Como vimos en el ejemplo 2.2.2, una de estas curvas se escapa al infinito en un tiempo finito, así que por la propiedad de traslación, todas las curvas solución arriba de y = O se escapan al infinito en un tiempo finito. LaEDO 1& El factor 0.1 se colocó en la función de tasa de cambio para producir una gráfica atractiva.
y' = O.l(y - 3)(y -l)(y
+ 1)
tiene tres rectas de equilibrio: y = 3, y = 1 Y Y = -1. Por tanto, cada curva solución de la EDO que empieza dentro de una de las bandas horizontales del plano ty creado por las rectas de equilibrio debe permanecer en esa banda. Observe de nuevo que todas las curvas solución de una banda se parecen (figura 2.2.3). En el siguiente ejemplo se dará una explicación acerca de las rectas verticales con puntos y flechas a la izquierda de la figura 2.2.2 y a la derecha de la figura 2.2.3. Es un hecho notable que con sólo conocer el signo algebraico de una función continua j(y) en el eje de las ordenadas sea posible trazar cualitativamente las curvas solución precisas de la EDO y' = j(y) en el plano ty. Esta técnica, denominada análisis de signos, se
y
Y2 f-_-'-'ftyéf')'-'=:..::O'-----:
fty) >
,, .
°
1& En el manual de recursos para el estudiante se muestra por qué esto es verdad.
describe a continuación. Supóngase que Yl < Y2 son dos ceros consecutivos de j(y), por tanto j(yl) = j(y2) = O, peroj(y) 1= O entre Yl y Y2' Puesto quej(y) es continua,j(y) no puede cambiar de signo en la banda Yl < Y < Y2' El signo puede descubrirse si se evalúaj(y) en algún punto conveniente entre Yl y Y2. Supóngase que f es positiva en la banda, de modo que la solución y(t) que pasa por un punto (to, Yo), Yl < Yo < Y2, debe crecer cuando aumenta t. Ahora sabemos que la curva solución extendida al máximo está definida en todo el eje t y permanece en la banda. Puede demostrarse que la solución y(t) tiene los valores límite: lím y(t) = Yl 1-7~
Y
lím y(t) = Yz 1-7+00
Teore
1& En cursos pa da una de te hecho.
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123
2.2 / Extensión y comportamiento de largo plazo
HE En análisis de signos se utiliza con gran frecuencia, así que apréndalo bien.
Ejemplo 2.2.4
Se cumple un resultado similar sif(y) < O para YI < Y < Y2. El comportamiento de largo plazo de las curvas solución en la banda está determinado por el signo de fiy); de ahí es de donde proviene el término análisis de signos.
Análisis de signos y líneas de estado Apliquemos el análisis de signos a la primera EDO del ejemplo 2.2.3: y' = y2
La función autónoma de tasa de cambiofiy) = y2 es cero sólo en y = O. Puesto quefiy) es positiva si y;j. O, por el análisis de signos se sabe que las curvas solución de la mitad superior del plano ascienden y se alejan de y = O cuando t aumenta, en tanto que las de la mitad inferior del plano ascienden y tienden a y = O. Este comportamiento puede resumirse en una línea de estado , la cual es una recta y vertical con los puntos de equilibrio identificados por puntos y conf(y) identificada como positiva o negativa en puntos no de equilibrio. Observe la línea de estado a la izquierda de la figura 2.2.2. Las flechas que tiene indican que el punto correspondiente a (t, y(t)) en una curva solución se mueve hacia arriba conforme avanza el tiempo. Apliquemos ahora el análisis de signos y tracemos un línea de estado para la segunda EDO y' = O.l(y - 3)(y - l)(y + 1)
del ejemplo 2.2.3. La función de tasa de cambio fiy) = 0.1(y - 3)(y - 1)(y + 1) es cero en los valores y de 3, 1 Y -1. La línea de estado para esta EDO puede observarse a la derecha de la figura 2.2.3. Por el análisis de signos se sabe que cuando t aumenta, las soluciones no de equilibrio se mueven como lo indica la flecha correspondiente en la línea de estado de cada banda. El movimiento es hacia una solución de equilibrio (pero sin alcanzarla) o hacia + 00 o - oo. Cuando un punto y(t) de la solución no de equilibrio se mueve a lo largo de su intervalo en la línea de estado, el punto (t, y(t)) sigue el movimiento a lo largo de la curva solución en la banda que corresponde al intervalo. Como puede imaginar por los ejemplos anteriores, el análisis de signos puede darnos una buena idea del comportamiento de largo plazo de una solución acotada de una EDO autónoma. El análisis de signos constituye la parte central de la demostración del siguiente resultado fundamental:
Teorema 2.2.2 HE En el manual de recursos para el estudiante se da una demostración de este hecho.
Comportamiento de largo plazo. Supóngase que fiy) y df/dy son continuas para toda y y que y(t) es una solución de la EDO autónoma y' = f(y)
que está acotada para t ~ O (respectivamente, t ~ O). Entonces cuando t ~ + 00 (t y(t) se aproxima a una solución de equilibrio de la EDO.
~
- 00),
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Observe de nuevo la figura 2.2.3 como ilustración de este teorema. Las curvas solución en la banda -1 < Y < 1 suben hacia la recta de equilibrio y = 1 cuando t ~ +00 , Ycaen hacia esa recta de equilibrio y = -1 cuando t ~ -00 . Por tanto, al parecer las soluciones de equilibrio de una EDO autónoma de primer orden determina los valores límite del pasado y el futuro de cada solución acotada. En el capítulo 9 veremos que las soluciones de equilibrio también desempeñan un papel muy importante en el análisis del comportamiento de largo plazo de las soluciones acotadas de un sistema autónomo plano de EDO. A continuación se muestra que las EDO lineales de primer orden aún guardan algunas sorpresas.
Comportamiento de largo plazo para las soluciones de las EDO lineales: estados estacionarios ¿Qué sucede con las soluciones de una EDO lineal de primer orden cuando t ~ +oo? En el marCo que vamos a describir, puede decirse lo que significa exactamente el comportartúento de largo plazo. Empezaremos con una definición: una solución constante o periódica de una EDO lineal de primer orden es un estado estacionario si la solución atrae a las demás soluciones cuando t ~ + 00 . El siguiente es un ejemplo de una solución de estado estacionario constante.
Ejemplo 2.2.5
Estado estacionario constante Por medio de factores de integración, se observa que la solución general de la EDO lineal y' + y=l
está dada por la fórmula y= Ce - l +1
donde C es una constante arbitraria. La solución de equilibrio y = 1 es una solución de estado estacionario, puesto que atrae todas las soluciones cuando t ~ + 00 (figura 2.2.4). En los ejemplos anteriores se ilustra el resultado siguiente acerca de los estados estacionarios constantes.
Teorema 2.2.3
, Estado estacionario constante. Supóngase que Po > O Y qo son constantes. Entonces la EDO y' + Poy = qo
tiene la solución única de estado estacionario y = qolPo.
(7)
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aproximadas
2.2 / Extensión y comportamiento
125
de largo plazo
y' + y = 1 + sen4t - 2cos6t
y'+y=l
as solución , y caen ha-
,'-"
primer ora.En el ealmuy imtadasde un
-,
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>-
\ \ \ \ \ \ \
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EDO ~ +oo? En
Figura 2.2.4 El estado estacionario es una solución de equilibrio y = 1 (ejemplo 2.2.5).
comportate o perióión atrae a Ya comprobamos esto antes, en la sección lA. Il@f
e.
Figura 2.2.5 El estado estacionario es una solución periódica no constante (ejemplo 2.2.6).
Este resultado se sigue del hecho de que Yu = Ce -Po' es la solución general de la EDO homogénea y' -+ PoY = O, en tanto que Y d = qolpo es una solución particular de la EDO no homogénea. Por tanto, la solución general de la EDO (7) es y = Yu + Yd, que es y=Ce-Po'
+qolpo
a partir de la que se observa que y(t) ~ qolpo cuando t ~ + 00 EDO lineal
Observe que si Po < O, entonces qolpo aún es una solución de equilibrio, pero no es un estado estacionario porque no atrae las soluciones cuando t ~ +00 (las repele). Veamos ahora una EDO con una entrada periódica.
Ejemplo 2.2.6 ciónde esa 2.2.4).
•
Estado estacionario
periódico
De acuerdo con las fórmulas de solución de las secciones 1.3 y 1.4, la solución general de la EDO lineal con entrada periódica q(t) = 1 + sen4t - 2 cos 6t
tadosesta-
y'
+ y = 1+ sen4t - 2cos6t
está dada por
y = ce'
+ e-t
Jro e [l + sen4s - 2cos6s]ds . t
S
(8 )
(7)
Aunque pudimos haber usado una tabla de integrales para expresar la integral de la fórmula (8) como una suma de senos y cosenos, optamos por un medio numérico de resolución
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
para graficar las soluciones aproximadas. En la figura 2.5.5 se muestra que después de un tiempo las soluciones parecen periódicas. De hecho, la EDO tiene un solo estado estacionario periódico de atracción con periodo T = 'Ir (el periodo de la entrada). En el ejemplo 2.2.6 se ilustra un caso especial del siguiente resultado general.
Teorema 2.2.4
Oscilación periódica forzada. Si Po es una constante positiva y q(t) es una función periódica continua por pedazos con periodo T, entonces la EDO
En el problema 12 se describe una demostración de este resultado.
(9)
y' + PoY = q(t)
~
tiene una solución periódica única Yd(t) con periodo T cuyo valor inicial es Yd (O)=e PoT
_l)-II:
q(s)ePOSds
Esta solución yi t) atrae todas las soluciones cuando t estacionario.
--7 + 00 ;
(10) por tanto, es un estado
Una solución de la EDO (9) que tiene el mismo periodo que q(t) se llama oscilación pe riódica fo rzada.
La fórmula (10) para el valor inicial de la oscilación periódica forzada de estado estacionario suele ser muy complicada para ser práctica, así que un medio numérico de resolución constituye casi siempre la mejor manera de conducir al estado estacionario. Así lo hicimos en la figura 2.2.5. Si Po es una constante negativa, la EDO (9) aún tiene una solución periódica cuyo punto inicial está dado por la fórmula (10), pero esta solución repele las demás soluciones cuanto t --7 + 00 y, por tanto, no es un estado estacionario. En el último ejemplo de una oscilación periódica forzada de estado estacionario se ilustra cómo responde una EDO lineal de primer orden a una función de entrada de activación y desactivación periódica. El ejemplo se adaptó con permiso de un artículo de A. Felzer, publicado en CODEE, el invierno de 1993 (pp. 7-9).
Ejemplo 2.2.7 ~
Puede seguir este ejemplo aun sin saber nada de ci rcuitos eléctricos, pero en la sección 4.4 se ofrece una explicaci ón de los términos.
¿Pasará el mensaje?
Un problema rutinario en ingeniería eléctrica es encontrar las frecuencias que pueden transmitirse por un canal de comunicaciones (digamos un cable coaxial) y que puedan reconocerse aún en el otro extremo. Uno de los canales más simples es el circuito eléctrico que se muestra en la página siguiente. La fuente de voltaje Vs(t) es el mensaje enviado y el voltaje de salida Vo(t) es el mensaje recibido. La EDO lineal utilizada como modelo para la determinación del mensaje recibido, dado el mensaje enviado, es la ecuación del circuito Re
V¿ +_l_vo = _l-vs Re Re
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127
2.2/ Extensión y comportamiento de largo plazo
1. 5
1.5
Vó + Vo = oc(t , 50, 1), Vo(O) = O
entrada de 1000 hertz
Vó + Vo = oc(t,50,25), Vo (O) =0
entrada de 40 hertz
1. 0
1.0 ~
11")
'"<$
oV)
'Bo' -}
11")
'tfo
0.5
0.5
.j O. o
0.0
4
6
25
lO
50
75
lOO
125
t (milisegundos)
t (milisegundos)
Figura 2.2.6 Entrada de alta frecuencia (línea discontinua) Figura 2.2.7 Entrada de baja frecuencia (línea discontiy respuesta distorsionada (línea continua) (ejemplo 2.2.7). nua) y respuesta (línea continua) (ejemplo 2.2.7).
Las variables R y C son la resistencia y la capacitancia del circuito. Supóngase que el valor de RC es 1 y que Va inicialmente vale O. Se tiene el PVI V¿ oc(t, 50, 1)
,..., . I I
I I
I I
2
1& El circuito funciona como filtro de paso bajo.
+ Va
=
y. (t),
VaCO) = O
(11)
Enviemos un mensaje Vs(t) de ondas cuadradas de varias frecuencias . El problema es elegir un intervalo de frecuencias tal que el mensaje recibido Va(t) sea lo más cercano posible al mensaje enviado. Se establece Vs(t) = oc(t, 50, T), así que el periodo es T y la onda está "activada" para la primera mitad de cada periodo. ,¿Qué valores del periodo Tproducirán un mensaje de salida Va(t) que se parezca al mensaje enviado? En las figuras 2.2.6 y 2.2.7 se muestra el mensaje enviado (línea discontinua) y el mensaje recibido (línea continua) si T es, respectivamente, 1.0 y 25 milisegundos, correspondientes a las frecuencias respectivas de 1000 y 40 hertz (es decir, ciclos por segundo). Aunque podrían aplicarse las fórmulas de solución de la sección 1.4, habría que realizar una integración difícil debido a la onda cuadrada, así que utilizaremos un medio númerico de resolución. Son las ondas cuadradas de periodo largo (baja frecuencia) las qúe emergen del canal casi sin cambio. Por tanto, si se quiere que pase el mensaje, debemos cifrarlo como una combinación de ondas cuadradas de baja frecuencia. En este ejemplo se muestra en acción' el teorema de oscilación periódica forzada. La atracción de las soluciones a la solución. periódica de estado estacionario se ve con claridad en las figuras 2.2.6 y 2.2.7. Observe el cambio grande en la respuesta de estado estacionario debido al cambio en la frecuencia de entrada. Esta sensibilidad de una salida a un cambio de parámetro es el tema de la siguiente sección.
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Comentarios Cuando un ingeniero diseña una parte de una máquina, es de suma importancia que se entienda del todo el comportamiento dinámico de largo plazo de la parte. Puesto que a menudo el comportamiento se modela con una ecuación diferencial, lo que sucede con la·s soluciones de las EDO durante largos intervalos de tiempo se ha convertido en un área de investigación fundamental tanto en ingeniería como en matemáticas.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
.1.
(Soluciones extendidas al máximo.) Encuentre una fórmula de solución para la solución extendida al máximo de cada PVI siguiente. Describa el intervalo t en el que está definida la solución extendida al máximo. Trace la gráfica de esta solución. Compruebe su gráfica por medio de un medio numérico de resolución. (a) yy' = - t,
2.
y(O) = 1
(b) 2y'+l=0,
y(O) = - 1
(Principio de extensión.) A continuación se analizan las soluciones extendidas al máximo. (a) (Fórmula de solución para el ejemplo 2.2.1.) Por separación de variables, demuestre que la solución y = y(t) del PVI y' = _ t 2 / [(y + 2)(y - 3)],
y(O) = O
satisface la ecuación 2 y 3 - 31- 36y = -2t 3 . Demuestre que t = _(22) 1/3si y = = (81/2)1 /3 si y = 3. Explique por qué la solución y(t) no puede extenderse más allá del intervalo -(22)1/3 < t < (81/2)1 /3 . (b) Utilice un medio numérico de resolución para graficar la solución extendida al máximo del PVI (31- 4)y' = 3t 2 , y(O) = O -2 Y que t
•
3.
4.
Calcule el intervalo t en el que está definida la solución extendida al máximo. [Sugerencia: determine el intervalo exacto de t integrando cada miembro de la EDO y usando los datos iniciales.] (Escape finito.) Demuestre que la solución del PVI y' = 1- 1, y(O) = Yo, donde Yo < -1, escapa al infinito en un tiempo finito . Calcule el tiempo de escape como función de Yo. (Uso de la propiedad de traslación.) Considere el PVI y' = 31/3 , y(to) = O. (a) ¿El PVI satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad para cualq uier valor to? Explique las razones. (b) Demuestre que YI = O YY2 = t3 son soluciones del PVI y' = 31/3 , y(O) = O. (e) Calcule cuantas soluciones del PVI sea posible. [Suge rencia: traslade Y2(t). ]
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2.2/ Extensión y comportamiento de largo plazo
(Análisis de signos.) Obtenga las soluciones de equilibrio de las EDO siguientes y trace sus gráficas. Trace las curvas solución representativas arriba, abajo y entre las curvas de equilibrio. Para cada solución acotada y(t), calcule los lím t _ Hoo y(t) y el
5.
límH~y(t)·
(a) y' = (1- y)(y + 1)2 '
(b)
y' = sen(y /2) 2
6.
ti www
1 .7.
1& Las funciones de tasa de cambio cuadrática conducen a soluciones que se escapan al infinito en un tiempo finito.
(e) y'=y(y-l)(y-2) (d) y'=3y-ye Y (Sube, baja.) Trace las curvas solución de la EDO siguiente. (a) Sea R el rectángulo li l ~ 6, Iyl ~ 8. Imagine que R se llenará con las curvas solución de la EDO y' = -ycost. ¿En qué parte de R suben las curvas? ¿En qué
parte bajan? (b) Elabore un esquema aproximado de R de las curvas solución para la EDO. Tra-
ce las isoclinas nulas. Utilice campos de dirección y análisis de signos para trazar las isoclinas nulas y algunas curvas solución para las siguientes EDO. Compruebe sus trazos por medio de un medio numérico de resolución para graficar las curvas solución. (a) y' = (y+3)(y-2)
(b) y' = 2t- Y
(e) y' = ty-1
(d) y'=(l-t)y
(e) y' + (sent)y = tcost
(f) y' = y_t 2
8.
(Escape finito.) Supóngase que y(t) es una solución distinta de cero de y' = f(t, y) y que, para alguna constante c > 0,1 satisface la desigualdad f(t, y) 2: cy2, para toda t 2: O Y Y 2: O. Demuestre que y(t) se escapa al infinito en un tiempo finito. [Sugerencia: supóngase que y(O) > O. Escriba y' - cy2 2: O como y_2y' - c 2: O para algún intervalo O ~ t ~ T. Entonces (_y' - ct)' 2: O; ¿qué nos dice esto acerca de _y-l - ct?] 9. (Tiempo de escape finito e iteraciones de Picard.) Considere el PVI y' = y2, y(O) = 5. (a) Calcule la solución extendida al máximo para el PVI. Describa el -comportamiento de esta solución cuando t se aproxima a los puntos extremos del intervalo donde se define la solución. (b) Grafique las iteraciones de Picard Yo, y], ... , Y12 para el PVI. Describa estas iteraciones a la luz de su respuesta al inciso (a). [Sugerencia: utilice un programa de integración numérica en vez del cálculo simbólico.] (¿Pasará el mensaje?) Grafique las soluciones de V¿ + Va = oc(t, 50, T), VaCO) = O, ti lO. T = 0. 1,10, 50 milisegundos. ¿Cuán parecido es el mensaje recibido al enviado? [Sugerencia: véase el ejemplo 2.2.7.] (Comportamiento de largo plazo.) Grafique varias soluciones para cada una de las 11. EDO. Describa el comportamiento de largo plazo deJas soluciones y explique las razones por las qué espera tal comportamiento. (a) y' = Y + 30c(t, 25, 3), O ~ t ~ 20 (b) y' + 0.75y = 30c(t, 50, 1), O ~ t ~ 20
i
ti
(e) y' = 30c(t, 50, 2), O ~ t
~
(e) y' + Y = sen3t, O~ t ~ 10
5
(d)y'+0.2y = oc(t, 50, 1),
0~t~25
(f) y' + 0.5y = 20t(t, 50, 2), O~ t
~
20
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130
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
~ 8 12. (Oscilaciones periódicas forzadas.) Complete el primer problema de abajo para comprobar el teorema 2.2.4. Luego resuelva los demás para ver qué sucede en diversas situaciones periódicas. Demuestre que hay exactamente un valor Yo para el cual el PVly' + PoY = q(t), y(O) = Yo, tiene una solución periódica de periodo T para cualquier constante Po '# Y cualquier función periódica continua q(t) con periodo T. [Sugerencia : utilice una fórmula de solución de la sección 1.4 y el hecho de que una función continua y(t) tiene periodo T si y sólo si y(t + 1) = y(t) para toda t.] Grafique la solución del PVI y' + 0.5y = sww(t, 50, 4), y(O) = 2, en el inte.::valo ~ t ~ 24. Aun cuando Yo = 2 no es en este PVI el valor correcto para generar la oscilación periódica forzada, se puede ver la oscilación en la gráfica de la solución para t grande. ¿Por qué sucede esto? ¿Resultaría cierto lo anterior para cualquier valor distinto de cero de la constante Po? ¿Por qué? Sustituya Po en el PVI por una función periódica continua p(t) con el mismo periodo T que q(t). Si p(s)ds '# O, entonces demuestre que existe una sola oscilación periódica forzada de periodo T. [Sugerencia: proceda como antes pero ahora con estos hechos: si Po(t) = f~p(s)ds, entonces Po(t + T) = Po(t)
°
~ En el apéndice B.I se ofrece más información sobre las funcio nes de activación y desactivación, como SWW( I. d. 7) .
°
f;
+ Po (T), y
r
t+T P. (s) d P (T) t P. (s) T e o q(s) s=e o Jo e o q(s)ds
f
.
paracualqUler valor de t.]
Explique la existencia de las oscilaciones periódicas forzadas para la EDO no homogénea y' + p(t)y = q(t), donde p y q tienen un periodo común T, excepto que p(s)ds = O. Dé algunos ejemplos para ilustrar sus conclusiones. ~ . 13. (S.O.S.) La abreviatura S.O.S es la clave universal para enviar un mensaje de auxilio. En la clave Morse internacional, S.O.S. se representa con tres pulsos cortos, tres largos y luego otros tres pulsos cortos. Utilice combinaciones de ondas cuadradas para cifrar un S.O.S. repetido. Simule el envío de un mensaje por el cable coaxial modelado por V + V o = ~ En el apéndice B.l encontrará más informaVs(t), donde Vs(t) es su mensaje. ción sobre las funciones Ajuste los periodos (frecuencias) de modo que el mensaje se entienda en el exde activación y desactitremo de recepción. vación. Ahora utilice el circuito de cable coaxial modelado por RCV + V o = Vs(t) y elija varios valores de la constante positiva Re. ¿Es recibida su petición de ayuda? ¿Qué valores de RC funcionan mejor? Cuando escriba su informe, asegúrese de describir qué hizo y por qué, y anexe las gráficas de los mensajes enviados y recibidos. ~ . 14. (Sensibilidad a la frecuencia de entrada.) En el ejemplo 2.2.7 vimos que la solución Vo(t) del PVI Vó+Vo = oc(t, 50, T) es muy sensible a cambios en el valor de T. Explore la sensibilidad mediante un medio numérico de resolución y otras funciones de entrada periódicas con periodo T. En particular, sustituya oc(t, 50, 1) por sen(Tt/2n), cos(Tt/2n), ot(t, 10, 1) y sen(Tt/2n) + sen(2Tt/n) .
g
o
o
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2.3/ Sensibilidad
2.3 Sensibilidad Un sistema dinámico, digamos un circuito eléctrico, un reactor químico o una sonda espacial, debe diseñarse de modo que pueda absorber pequeños choques y perturbaciones y permanecer aún en las tolerancias de operación especificadas. Este problema de diseño puede expresarse en la siguiente forma:
Control de un sistema
Una perturbación persistente o un cambio en las condiciones iniciales esperadas, incluso de pequeña magnitud, podrían tener un efecto acumulativo que al paso del tiempo forzará la salida de valores altos inaceptables. ¿Es posible predecir y entonces evitar esta respuesta? El término genérico para los cambios en el resultado de un problema de valor inicial debido a cambios en los datos es sensibilidad. Cómo medir la sensibilidad es la cuarta de las preguntas básicas que se plantearon al principio del capítulo. La mayor parte de lo que se estudia en esta sección se relaciona con la sensibilidad de los PVI lineales de primer orden, pero al final de la sección ampliaremos los resultados al PVI general de primer orden y resumiremos todo mediante un teorema fundamental. Comencemos con un estudio de sensibilidad que puede manejar un medio numérico de resolución.
¿Qué sucede cuando cambia un parámetro? Los sistemas suelen tener parámetros que pueden ajustarse para "sintonizar" el comportamiento de cierta respuesta deseada. Por ejemplo, en la sección anterior se ajustó la frecuencia de una señal de salida para lograr la respuesta óptima en un canal de comunicaciones (ejemplo 2.2.7). Un buen uso de un medio numérico de resolución consiste en mostrar cómo cambia la respuesta de un PVI de primer orden cuando cambian los parámetros de la función de tasa de cambio. Casi todos los medios numéricos pueden manejar sistemas; en el primer ejemplo se ilustra cómo pueden utilizarse los sistemas para ver la sensibilidad. Si su medio no está preparado para llevar a cabo un análisis de sensibilidad, hay una forma para lograr que funcione . El primer paso es convertir los parámetros en variables de estado y luego ampliar la EDO a un sistema.
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Ejemplo 2.3.1
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Cómo lograr que se lleve a cabo un estudio de parámetros con el programa
¿Cómo cambia la solución del PVI lineal y' = -ysent+ctcost, y(-4) =-6
(1)
cuando cambia el parámetro c? Los medios numéricos para las EDO funcionan bien con variables de estado, pero con algunos no es posible manejar parámetros de sistema porque se vuelven inoperantes. Para poder usar el medio se lista el parámetro c como una variable de estado cuya EDO es c' = O. Si se elige c(to) = co, entonces c(t) = Co para toda t. Preparemos entonces el programa para resolver el sistema: y ' = -ysent + ctcost, y( - 4) =-6 c'
= O,
(2)
c (-4) = Co
para varios valores de co. El componente y = y(t) del par de soluciones y(t), c(t) de (2) es solución del PVI (1) para el valor c = co. Si se superponemos las gráficas de y(t) contra t para varios valores de co, se verá cuán sensible es la solución del PVI a cambios en co. En la figura 2.3.1 se muestran las gráficas de y(t) para los valores de Co = 0.7, 0.8, ... , 1.3 (las gráficas se leen de abajo arriba). Para -4::; t::; -1 Y valores de c en el intervalo 0.7::; c::; 1.3, al parecer las soluciones del PVI (1) se alejan entre sí a,medida que t aumenta en el intervalo -4::; t::; -1. No obstante, la sensibilidad depende en gran medida del intervalo de tiempo. Vea lo que sucede en el intervalo de tiempo mayor -4::; t::; 4 (figura 2.3.2); si quiere una sorpresa, vea el comportamiento de la solución en el intervalo de tiempo -4::; t::; 20 (problema 1). Por tanto, la sensibilidad depende mucho del intervalo en consideración. Los ejemplos son una buena forma de exponer la sensibilidad, pero se necesita la teoría para profundizar nuestro conocimiento, así que lo siguiente es desarrollar esa teoría. El punto de partida es estimar la magnitud de la respuesta de un PVI lineal.
¿Cuán grande es la respuesta de un PVI lineal? Contestaremos esta pregunta para el PVI y'
+ p(t)y = q(t),
y(O)
= Yo,
(3)
ten 1
donde p(t) y q(t) son continuas en el intervalo 1 (suposición que adoptaremos a lo largo de esta sección), que es el intervalo O::; t::; T para algún número positivo T, o bien, el intervalo infinito O::; t::; + oo. La fórmula para la solución del PVI (3) se deduce de las secciones 1.3 y 1.4: P(t) =
S; p(s)ds,
ten 1
(4)
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133
2.3 / Sensibilidad
10
y'=-ysent+ctcost,
y(-4)=-6
y'=-ysent+ctcost,
15
'c = 0.7, 0.8, .. . ,1.3
y(-4)=-6
c = 0.7, 0.8, ... ,1.3 10
-5 -5
- 10~---+~~~~~~~~~~~~~
-4.0
-3 . 5
- 3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
Figura 2.3.1. Sensibilidad de salida a los cambios en un parámetro (ejemplo 2.3 .1).
Figura 2.3.2. Las cosas se ven distintas en un intervalo de tiempo más largo (ejemplo 2.3.1).
Es posible hallar un límite superior para ly(t) 1sólo con información mínima acerca del coeficiente p(t) y la entrada q(t).
Teorema 2.3.1
Entrada acotada- salida acotada (EASA). Supóngase que hay constantes positivas Po y M tal que se cumplen las siguientes desigualdades: p(t) ~ Po,
Iq(t)1~ M,
para toda t ~ O
Entonces la solución y(t) del PVI (3) satisface la desigualdad ~
En el manual de recursos para el estudiante se presenta la demostración de esta estimación de la cota superior.
(5)
En particular, Iy(t) I está acotada por una constante: ,
ly(t)1 ~
M
[Yo [+ -, Po
'
'
para toda t ~ O
(6)
De hecho, la desigualdad (5) se cumple si Po es negativa y hay una cota similar (pero más simple) sipo = O. A continuación se explica cómo obtener la desigualdad (6) a partir de la (5). Puesto que se supone que la cota inferior Po es positiva en el valor de p(t), se ve que los valores de e -PoI y 1- e -PoI están entre O y 1 para toda t ~ O. Esto significa que
e-Pot [yo [ ~ [Yo[,
M (1_e-Pot)~ M, para toda t~O Po
Po
A partir de (7) y de la desigualdad (5), se deduce la desigualdad deseada (6).
(7)
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Problemas de va lor inicial y sus soluciones aproximadas
En el teorema 2.3.1 se establece que en las condiciones expresadas, si la entrada q(t) está acotada en magnitud para toda t ~ 0, entonces !y(t) ! no puede crecer sin límite, lo cual ciertamente es tranquilizador y de vital importancia en el diseño de ingeniería. Las cotas sobre !y(t)! dadas en (6) pueden utilizarse como herramienta de diseño, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3.2
Mantenga la reacción controlada Un compuesto químico A se convierte en un compuesto B en un reactor. El reactor es un depósito que contiene un volumen Vo de una solución de A y B. ¿Qué cantidad de A queda en el depósito en el instante t después que comienza la reacción? Supóngase que y(t) es la concentración en gramos de A por litro de solución y que la reacción A ~ B puede modelarse por medio de la ley d e tasas de cambio de primer orden: dy ==_ky dt
(8)
donde k es una tasa constante positiva. iv Con el paso del tiempo, la concentración y(t) diskt minuirá de forma exponencial a partir del valor inicial: y(t) == y(O)e- . En la vida real se tiene que lidiar con válvulas con fugas, llaves de paso abiertas y cosas similares por donde se pasan a la mezcla pequeñas cantidades de A en tanto se lleva a cabo la reacción. Supóngase que r(t) es la tasa desconocida a la que A gotea en el reactor y que V(t) es el volumen de solución en el recipiente. Entonces, a partir de la ley de equilibrio, Tasa de acumulación == tasa de entrada - tasa de salida se concluye que dy == r(t) _ky dt V(t)
donde r/Ves la tasa de incremento de la concentración del compuesto químico A en el depósito debido al flujo de entrada. Se supone que V(t) > V o para algún número positivo V o (es decir, el depósito no se seca). Si estimamos que el flujo de entrada r(t) nunca excede una constante positiva ro, entonces por la estimación EASA (6) se deduce que ¡y(t)¡ ~ y(O) + ~ kVo
(9)
puesto que Po == k, y(O) ~ O,yO < r(t) / V(t) ~ ro / Vo . Supóngase que en los criterios de diseño del reactor se especifica que la concentración y(t) en el depósito nunca debe ser mayor que un valor fijo K. Por medio de la desigualdad iv
Para un químico, la ecuación (8) es una ley de tasas de primer orden, en tanto que las leyes de tasas como dy/dt = _ky2 son de segundo orden.
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2.3/ Sensibilidad
(9), se observa que las restricciones de operación y diseño como 1 2
y(O) S; -K,
garantizarán que se cumplan los criterios de diseño. A partir de los resultados se observa que es posible hallar cotas superiores para la magnitud de la respuesta de un PVI lineal si se cuenta con alguna información (no mucha) acerca de p(t) y la entrada q(t) . A continuación determinaremos los criterios para mantener la respuesta dentro de una región operacional en relación con una respuesta "ideal" incluso si no se conocen con precisión la entrada y el valor inicial.
Cómo mantener la respuesta dentro de límites especificados En las especificaciones de diseño para un sistema se requiere que la respuesta se desvíe de una respuesta ideal no más de una tolerancia especificada. El diseño del modelo debe ser de tal modo que las incertidumbres del valor inicial y la entrada sean lo suficientemente pequeñas para asegurar que la salida cumple con las especificaciones. Pero ¿qué se quiere decir con "suficientemente pequeñas"? Supóngase que el diseño ideal da como resultado la respuesta y(t) , que es la solución del PVI y' + p(t)y = q(t), y(O) = a, ten 1
(10)
donde 1 está en el intervalo O S; t S; T. Las incertidumbres operacionales en q(t) y a, sin embargo, producen la respuesta real Z(t), que es la solución de un PVI distinto: Z' + p(t)Z = m(t),
Z(O) = b, ten 1
(11)
donde b es el valor inicial real y m(t) la entrada real. En el teorema siguiente se dan las cotas superiores en la desviación Iy(t) - Z(t) I a partir de la respuesta ideal en términos de las cotas superiores en las diferencias de datos la - b l Y Iq(t) - m(t) 1.
Teorema 2.3.2
Estimación de la desviación. Supóngase que existen constantes positivas Po Y M tales que se cumplen las siguientes desigualdades: p(t) ~ Po
Y Iq(t) - m(t)1S; M,
ten 1
Si y(t) y Z(t) son las soluciones respectivas de los PVI (10) y (11), entonces se tiene la siguiente estimación para Iy(t) - Z(t) I: ten 1
(12)
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Como puede observarse al restar los términos del PVI (11) de los términos correspondientes del PVI (lO), la función y(t) - Z(t) es solución del PVI (y - Z)' + p(t)(y - Z) = q(t) - m(t), (y - Z)(O) = a - b, ten J
Entonces la desigualdad (12) se deduce de la desigualdad (5) con la sustitución de y en (5) con y - Z y Yo con a - b. En el siguiente ejemplo veremos cómo usar las estimaciones en la desviación Iy(t) - Z(t)1 para satisfacer las tolerancias prescritas.
Ejemplo 2.3.3
Especificaciones de diseño para el modelo de una mezcla Una solución salina fluye a un depósito, se mezcla con la solución del depósito y sale la mezcla. En condiciones ideales de operación, supóngase que se tiene Flujo de entrada: 10 gal/min Volumen de solución en el depósito: 100 gal Flujo de salida: 10 gallmin Cantidad inicial de sal en el depósito: 15 lb Concentración de sal en el flujo de entrada: 0.2 lblgal
I@' Utilice la ley de equilibrio para obtener esta EDO.
Si y(t) es la cantidad de sal en el depósito en el instante t, entonces y(t) es solución del PVI "ideal" ·1O = 2-0.1y Y , = 0.2·10- L 100 '
y(O) = 15
(13)
Sin embargo, supóngase que en realidad la concentración de sal en el flujo de entrada no es exactamente 0.2 lblgal y que no se tiene certeza de la cantidad inicial de sal en el depósito. Por tanto, la cantidad real de sal Z(t) en el depósito satisface otro PVI: Z' = m(t) - O.lZ,
Z(O) = b
(14)
donde m(t) y b podrían ser distintos de los valores 2 y 15, respectivamente. En las especificaciones de diseño se requiere que para una constante prescrita K, Iy(t) - Z(t)1 :::;; K,
para toda t ~ O
(15)
¿Es posible cumplir las especificaciones? A fin de satisfacer los criterios de diseño es necesario poner límites operacionales en las desviaciones de la concentración del flujo de entrada y del valor inicial respecto a los valores ideales. En el ejemplo siguiente se muestra una forma de llevar a cabo lo anterior.
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137
2.3 / Sensibilidad
Ejemplo 2.3.4
Cómo satisfacer las especificaciones de diseño Como continuación del problema presentado en el ejemplo 2.3.3 , a partir del teorema 2.3.2. se observa que la desviación y(t) - Z(t) en la salida satisface la desigualdad
~ e- 0 . 1t I15 _ bl+ 12 -
m(t)111_ e-{)·lt l 0.1 ~ 115 - bl + 1012 - m(t)l, para toda t 2 O
Iy(t) - Z(t)1
como O < e- 0 . 1t ~ 1 para toda t 2 O. Es posible garantizar que Iy(t) - Z(t) I no es mayor que la desviación permisible K si se establece que 115 -
bl + 1012 -
m(t)1 ~ K,
para toda t 2 O
y esto puede lograrse si se establece que para algún número r, O ~ r ~ 1, 115 -
bl ~ rK
y 1012 - m(t)1~ (1 - r)K
(16)
En la figura 2.3.3 se ha tomado K = 2 y r = 1/2, de modo que la mitad de la desviación permisible de K = 2 se asigna a la incertidumbre en la cantidad inicial y la otra mitad a la incertidumbre en la concentración del flujo de entrada. La curva solución de la solución ideal y(t) del PVI (13) es la curva continua y las curvas discontinuas y(t) ± 2 acotan la "banda de tolerancia". La curva solución de la solución trazada con guiones más cortos corresponde a la solución de desviación Z(t) del PVI (14) donde m(t) se toma como 2 - 0.09 sen(t/3) y b = 14.1. Obsérvese cómo la curva solución permanece en la banda de tolerancia. '"o 1::
y' =2- 0.l y,
23
oo
. ¡'J d
o
y (0)=15
Z' =2 -0.09 sen(t!3),
Z(O)
~
=14.1
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21
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17
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Z(O) = 15.09
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~
-;?
y(0)=15 z' = 2+0.08oc(t, 50, 20), y'= 2 -0.1y ,
" 19 ~
19
;;l
N
23
13
10
20
30
40
so
60
t (minutos)
Figura 2.3.3. Permanencia dentro de una banda amplia de tolerancia de amplitud 2 (ejemplos 2.3.3, 2.3.4).
'" 13 ~0~~-1~0~~~ 20-----3~0-----4~0~--~50--~60
t (minutos)
Figura 2.3.4. Permanencia dentro de una banda de tolerancia estrecha de amplitud 1 (ejemplos 2.3.3, 2.3.4).
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
En la figura 2.3.4 se muestra el mismo tipo de comportamiento pero con un límite más estricto K = 1 Y la restricción más rigurosa para los datos iniciales correspondientes a r = 1/10 en (16) y 1 - r = 9/ 10. La curva trazada con los guiones más cortos es la solución del PVI (14) donde b = 15.09 Y m(t) = 2 + 0.08 oc(t, 50, 20). Con estos teoremas y ejemplos se obtiene una medida de la sensibilidad de un PVI lineal de primer orden a los cambios respecto a los datos. Sin embargo, ¿qué pasa con la sensibilidad de un PVI general de primer orden?
Sensibilidad y el teorema fundamental para las EDO de primer orden En los ejemplos 2.3.3 y 2.3.4 se ilustra la siguiente propiedad de los PVI lineales: dada cualquier cota de tolerancia para la salida, es posible imponer cotas a la desviación en los datos (en este caso a la entrada y al valor inicial) de modo que las desviaciones de salida cumplan con las tolerancias requeridas en un intervalo dado de tiempo. Por tanto, los cambios pequeños en los datos no pueden producir cambios repentinos en la salida. La sensibilidad a los cambios de esta naturaleza en los datos suele denominarse continuidad respecto a los datos En condiciones apropiadas se cumple una propiedad similar de sensibilidad para las soluciones del PVI general y' = f(t,y), ~
En el apéndice A.4 se retoma la cuestión de la sensibilidad/discontinuidad para el PVI (17).
Teorema 2.3.3
(17)
La propiedad de sensibilidad establece que la solución del PVI (1 7) permanece dentro de los límites prescritos en un intervalo de -t lo suficientemente pequeño que contiene a to si los valores de la función de tasa de cambio f(t, y) permanecen dentro de los límites impuestos para toda (t, y) en un rectángulo R que contiene a (to, Yo), Y los datos iniciales permanecen dentro de un intervalo y impuesto que contiene a Yo. Este tipo de sensibilidad se conoce también como continuidad respecto a los datos . Si la solución del PVI (17) varía en forma continua respecto a los datos, entonces se ha dado respuesta a la cuarta pregunta básica acerca de los PVI planteada en la sección 2.1. En el teorema final se resumen las respuestas a las cuatro preguntas descritas aquí y en las secciones 2.1 y 2.2. Teorema fundamental para las EDO de primer orden. Considérese el PVI y' = f(t,y), y(to ) = Yo Supóngase que las funcionesf(t, y) y CJf(t, y)/CJy son continuas en un rectángulo R en el plano ty, y que el punto (to, xo) está dentro de R. Existencia, unicidad, extensión. El PVI tiene exactamente una solución y(t) en un intervalo 1 de t que contiene a to, e 1 puede extenderse de modo que los puntos extremo de la curva solución estén en el límite de R. Sensibilidad/continuidad. La solución y(t) es continua respecto a los datosfy Yo para un intervalo de tiempo suficientemente pequeño que contiene ato.
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2.3 / Sensibilidad
Reformularemos este teorema en capítulos ulteriores para aplicarlo a EDO de orden superior y a sistemas de EDO de primer orden.
Comentarios La sensibilidad/continuidad respecto a los datos es una característica de casi todos los procesos naturales, motivo por el que la incluimos en el teorema 2.3.3 . Se dice que un problema de valor inicial está bien planteado si posee las propiedades de existencia, unicidad y sensibilidad/continuidad. Por intuición y experiencia sabemos que muchos PVI que surgen como modelos de procesos naturales deben ser bien planteados a fin de que sea posible utilizarlos para dar información precisa acerca de la evolución del proceso a través del tiempo. Esto también es importante para estimular un proceso dinámico mediante el uso de un medio numérico de resolución, ya que éste introduce "errores", esto es, con el medio se aproximan las funciones d,e tasa de cambio y (a menudo) los datos iniciales para construir una solución aproximada. La propiedad de sensibilidad/continuidad es esencial si hemos de confiar en los resultados del programa.
Problemas _____________________________________________
3.
(Continuación del ejemplo 2.3.1.) Considere los PVI y' = -ysent + ctcost, y( -4) = - 6, c = 0.7,0.8, ... ,1.3 Grafique las siete curvas solución para Itl:S; 4 Yluego para-4 :s; t:S; 20. Haga conjeturas acerca del comportamiento de largo plazo si Ic - 11:s; 0.3. (Reabastecimiento.) Una población es reabastecida de tiempo en tiempo con nuevas reservas. Supóngase que la ecuación de evolución es P'(t) = -r(t)P(t) + R(t), donde todo lo que sabemos acerca de r y R es que para t ~ O, O < ro:S; r(t) y IR(t) I :s; Ro para ciertas constantes positivas ro y Ro. Si P(O) = Po > O, estime un límite superior razonable para P(t) . [Sugerencia: utilice EASA.] (Solución salina.) Una tina contiene 100 galones de salmuera en la que hay disueltas
5 libras de sal. Se agrega más salmuera a la tina a una tasa de r galones por minuto con una concentración de c(t) libras de sal por galón. La solución se mezcla por completo y sale a una tasa de r galones por minuto. Por seguridad, la concentración en la tina nunca debe ser mayor de 0.1 libras de sal por galón. Supóngase que para t ~ O Y algunas constantes positivas ro, rl Y co, que O < ro:S; r:S; r l Y O:S; c(t):S; Co· ¿Qué condiciones deben cumplir ro, rl Y Co para que la operación sea segura? (La sensibilidad depende del intervalo del p arámetro, del lapso.) Trace las curvas solución de los PVI y' = - cy/t, y(lO) = 3, O < t:S; 30, donde c = - 1.5, -1.0. -0.5, ... , 1.5. Explique qué pasa con la sensibilidad cuando cambia c para cada uno de los in-
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
No olvide configurar los límites para ver en la pantal la las curvas solución.
tervalos dados para e y.para t: le + 11::; 0.5, O < t::; 10; le + 11 ::; 0.5 , pero 10::; I ::; 30; le - 11::; 0.5 , 0< t::; 10; le - 11::; 0.5, 10::; t::; 30.
I@"
5.
1\
(¿ Sensible o insensible?) Resuelva cada uno de los PVI siguientes. ¿Es sensible o insensible la solución en el intervalo dado a cambios en el valor inicial a o parámetro e?
Explique sus respuestas. (a) La solución de y' == -y + e - 1, y(O) == a, se denota por y(t, a). Calcule Iy(t, a) y(t, b)1 para t ~ O Y conteste las preguntas sobre la sensibilidad. [Sugerencia: demuestre primero que y(t, a) == ae- I + te -l .] (b) La solución de y' := -y + e, y(O) == 1 se denota por Ye(t). Se requiere que le - 51 ::; 0.1. Calcule IYe(t) - ys(t)1 para t ~ O Y conteste las preguntas anteriores acerca de la sensibilidad. (e) La solución de y' == -y + et, y(O) == a, se denota por Ye(t, a). Calcule IYe(t, a) y¡(t, b)1 para O::; t::; 10 Y conteste las preguntas anteriores acerca de la sensibilidad. 6. (Sensibilidad a los cambios de parámetro.) Grafique las soluciones respectivas de Vó + Vo == oc(t, 50, T) , Vo (O) == O, T == 0.1, 10, 50 milisegundos en los respectivos intervalos de tiempo O::; t::; S, S:= 1, 100,500. ¿Cuán parecido es el mensaje recibido, Vo(t), al mensaje enviado, ot(t, 50, T)? [Sugerencia: consulte en el apéndice B.I información acerca de la función ot.] 7. (No es posible mejorar la estimación (5).) Demuestre que la desigualdad
www 8.
9.
de la estimación (5) no puede mejorarse. [Suge rencia: resuelva el PVI y' + PoY == M, y(O) = Yo, donde Po, M Y Yo son constantes positivas.] (Validez limitada de EASA.) Demuestre que la hipótesis p(t) ~ Po> Oen EASA no puede extenderse a la condición p(t) > O. [Sugerencia: demuestre que el problema y' + (t + 1)-2 Y == el/(I+ 1), t;:::: O, tiene soluciones acotadas incluso si p (t) > O Y Iq(t)l::; e para toda t;:::: O. (Validez limitada de EASA.) Demuestre que la ecuación y' + y == t tiene soluciones acotadas en el intervalo O::; t, con lo que demostrará que la hipótesis Iq(t) I ::; M no puede eliminarse de EASA.
10.
(Falla de EASA para una EDO no lineal.) Con lo siguiente se demuestra cuán mal pueden resultar las cosas en presencia de una no linealidad incluso si las soluciones de una EDO homogénea tienden a cero cuando t ~ + 00 Y el término independiente está acotado. (a) Demuestre que y(t) ~ O cuando t ~ + 00 si y(t) es solución de la EDO y' == -y/(l + y2). (b) Demuestre que toda solución y(t) de la EDO no homogénea y' := -y/(l + y2) + 1 satisface la desigualdad y'(t) ~ 1/2, para toda t ~ O. [Sugerencia: por medio del cálculo estime el valor mínimo de - Y/el + y2) + l.]
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2.3 / Sensibilidad
11
(e) Al integrar la desigualdad del inciso (b), se tiene y(t) ¿ t/2 + e, donde e es una constante. Demuestre que si y(t) es solución de la EDO del inciso (b), entonces y(t) no tiene límite cuando t ~ + (d) Trace algunas curvas solución para las EDO de los incisos (a) y (b) para O ~ 00 •
~
2.4
10, Iy l
~
5.
Introducción a las bifurcaciones Las soluciones de equilibrio desempeñan un papel importante en la determinación del comportamiento .de las soluciones de una EDO autónoma de primer orden, como vimos en la sección previa. Ahora veremos qué sucede cuando la función autónoma de tasa de cambio depende de un parámetro c: y' = f(y , e)
1&' Para un valor fijo de
e, las curvas solución en equilibrio son rectas horizontales.
y y, l::-_fL-'(uy,.,.c..::c!.:.)=:..:0' ---_
f (y. e) >
°
y, I -- ,f ,(y- ,.-c'')='0;---
(1)
Para cada valor de c las soluciones de equilibrio de la EDO (1) son los ceros de la función de tasa de cambio !(y, c), y las curvas solución de equilibrio son líneas rectas que dividen el plano ty en dos bandas horizontales. Dentro de cada bandaftiene un signo fijo , y las curvas solución suben o bajan conforme avanza el tiempo alejándose de una de las líneas de acotamiento y aproximándose a la otra. Si c cambia un poco, entonces las bandas se ampliarán o reducirán un poco; sin embargo, se espera que el aspecto general de las curvas solución no cambie mucho. Esta idea es razonable, pero a menudo equivocada. Cuando se cambia el valor de c, cambian las soluciones de equilibrio de la EDO (1). En los valores críticos de c, podría dividirse una solución de equilibrio (es decir, bifurcar) en varias soluciones de equilibrio, o juntarse o incluso desaparecer por completo. Después que ocurre una bifurcación, podría alterarse en forma considerable el comportamiento de largo plazo de las soluciones de equilibrio. En un proceso natural modelado por la EDO (1), el parámetro c podría ser controlado externamente por el ambiente, de modo que las condiciones naturales podrían ocasionar una bifurcación y causar que el proceso natural experimente un cambio de carácter. El seguimiento de estos cambios a medida que cambia el parámetro c se llama análisis de bifurcación. A continuación se presentan los pasos de este análisis.
Análisis de bifurcación de la EDO y' = f(y, c) Los pasos del análisis de bifurcación de la EDO y' = f(y, c) son: Parte (i): siga las soluciones de equilibrio a medida que se mueven, se juntan, se dividen o desaparecen con los cambios de c. Parte (ii): describa los efectos de estos cambios en el comportamiento de largo plazo de las soluciones de equilibrio. Parte (iii): resuma el comportamiento en un diagrama de bifurcación.
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Pueden ocurrir muchos patrones de bifurcación cuando el parámetro c en la EDO (1) se mueve a lo largo del eje c. En esta sección se presentan dos tipos : la bifurcación nodo-silla y la de horquilla. v
Captura y reabastecimiento de una población: bifurcación nodo-silla La pesca en los océanos está bajo un escrutinio constante porque se cree que la sobreexplotación ha llevado a grados de riesgo a varias especies de peces como el bacalao (en el Atlántico) y el salmón (en el Pacífico). ¿Cómo puede remediarse la situación? En la actualidad se prueban tres estrategias: reducir el límite permisible de captura de peces (los pescadores se oponen por completo), restringir la pesca a una estación fija cada año (aceptable para la mayoría de los pescadores, pero con quejas considerables), o bien, crear formas para reabastecer la población de peces (a los pescadores les gusta este enfoque). La disminución de las poblaciones de peces no sólo se debe a una captura excesiva; la contaminación de arroyos, ríos y el océano mismo es un factor importante. El modelo de bifurcación descrito a continuación es un punto de partida para pensar en los efectos de largo plazo de varias políticas de captura y reabastecimiento. Un modelo simple para la población con cambios logísticos que experimenta captura y reabastecimiento es
P' = r
IIF En las secciones 1.1 y 1.6 encontrará más in-
formación sobre la captura de peces y poblaciones logísticas.
(1- ~)p +
Q,
P(O) = Po
(2)
donde P(t) es la población en el instante t, y r> O, K> O, Po ~ O y Q son constantes. La población está siendo capturada si Q es negativa y reestablecida si Q es positiva. ¿Qué sucede con los niveles de población si cambia la tasa Q de captura y reabastecimiento? Si esta tasa rebasa un nivel crítico, la naturaleza de las curvas solución cambia en forma considerable. Se dice que ocurre una bifurcación en-el valor crítico. Bifurcar significa "separar en dos ramas", y pronto veremos cuál es la precisión del término para describir lo que ocurre con la población. Es un tanto confuso seguir la pista de varios parámetros, así que el primer paso en el estudio del comportamiento de las soluciones del PVI (2) cuando cambia Q es deshacerse de cuantos parámetros sea posible. Lo anterior puede llevarse a cabo mediante un cambio de las variables de tiempo y población. Hagámoslo ahora.
v
En la sección 9.3 se da una explicación del extraño nombre si lla-nodo, en tanto que la adopción del térm ino horquill a se aclara al fina l de esta sección.
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143
2.4 / Introducción a las bifurcaciones
Ejemplo 2.4.1
1& En el apéndice B.6 se amplía la información acerca del cambio de variables.
Cambio de variables Supóngase que P = ay y t = bs, donde a y b son las constantes positivas del cambio de escala por determinar; y y s son las nuevas variables a escala para la población y el tiempo, respectivamente. La inserción de estos cambios en el PVI (2) y tras aplicar la regla de la cadena dio lugar a la transformación del PVI para y(s): dP dt
= dP
dy ds dy ds dt
=!!... dy = r b ds
(1- ~K
y)ay + Q
(3)
P(O) = Po = ay(O)
donde hemos utilizado el hecho de que dP/dy = a y ds/dt = d(t/b)/dt = l/b. Después de multiplicar la EDO en (3) por b/a y la condición inicial por l/a, se tiene el PVI
a)
dy ( 1- - y y+-Q, b ~ -=br y(O) =ds K a a
(4)
Es posible simplificar el PVI (4) para y, la población a escala, si se establece
a = k,
b=.!. , r
bQ Q C=-=-, a rK
P, _o
Yo - -
K
para obtener el PVI transformado dy ds = (l - y)y+c,
y(O) = Yo
(5)
con sólo dos parámetros c y Yo en vez de los cuatro parámetros r, K, Q y Po del PVI (2). Obsérvese que c desempeña el papel del término de captura y reabastecimiento en el sistema con cambio de escala. De aquí en adelante se realiza un análisis de bifurcación para el problema de población a escala (5) y las conclusiones se extenderán a la EDO original. Primero, veamos cómo dependen las poblaciones de equilibrio del parámetro de captura c.
Ejemplo 2.4.2
Análisis de bifurcación del PVI (5); parte (i) Los ceros de la función de tasa de cambio en el PVI (5) son las poblaciones de equilibrio. Con la fórmula cuadrática se determinan los ceros YI, Y2 de la función de tasa de cambio (l - y)y + c son:
1 1 1/2 YI =---(1+4c) ,
2
2
1 1 1/2 Y2 =-+- (1+4c)
2
2
(6)
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
fu, e) = (1 - y)y + e 0.3
dy/ds = fu, -0.16) = (1 - y)y - 0.16 = - (y - 0.2)(y - 0.8) \. 5
c =O
O 2 1.0
'<>
Y, =0.8
O. I
~
'"
- 0. 1
- O. , - 0 .5
1.5
y
~
f
f= O f>O
0.5
:~ O
I
,
3
4
5
f =O f
Línea de estado
Figura 2.4.1 Gráficas de la función de tasa de cambio f Figura 2.4.2 Pesca moderada (e = -0.16); por tanto, las (y, e) para cinco valores de e: bifurcación silla- nodo en curvas solución arriba de YI = 0.2 tienden al nivel de saturación Y2 = 0.8 (ejemplo 2.4.3). e = -0.25 (ejemplo 2.4.3). En las fórmulas de (6) se ve que • No hay equilibrios si e < -0.25. • Aparece un solo equilibrio en e = - 0.25. • Hay dos equilibrios si e > -0.25 . Por tanto, la bifurcación ocurre en e = - 0.25. Con esto se completa la primera parte del análisis de bifurcación. Ahora veamos cómo se comportan las curvas de población cuando se recorre el parámetro e hacia arriba a e = O.
Ejemplo 2.4.3
Análisis de bifurcación del PVI (5): parte (ii) En la figura 2.4.l se muestra una gráfica de la función .de tasa de cambio j(y) = (1 - y)y + e contra y para varios valores de c. A partir de esta gráfica pueden leerse las propiedades de las curvas solución de Y' = (1 - y)y + e cuando cambia e. La extinción ocurre siempre si la tasa de captura e < -0.25, ya que en este caso la función de tasa de cambio siempre es negativa. En e = -0.25 hay una sola línea de equilibrio y = 0.5. Las curvas solución arriba de la línea descienden hacia ésta y las que están abajo disminuyen y cortan la línea de extinción y = O. Ésta es una situación riesgosa para la población de peces debido a que una perturbación podría llevarla por debajo del nivel de equilibrio y entonces sería inevitable la extinción. Se establece e = -0.16 (un valor arriba del nivel de bifurcación de e = -0.25) y se procede a hacer algo de captura. Las líneas de equilibrio son ahora YI = 0.2 Y Y2 = 0.8 porque al factorizar la función de tasa (1 - y)y - 0.16 de cambio se obtiene -(y -0.2)(y - 0.8). Las curvas de población arriba de YI = 0.2 suben hacia el nivel de equilibrio de saturación Y2 = 0.8, pero las que están abajo de YI = 0.2 disminuyen y finalmente se extingue la población (figu-
http://carlos2524.jimdo.com/ s aproximadas
2.4 /Intrqducción
145
a las bifurcaciones
y' ~ (1 - y)y + e
, dylds = f(y, O) = (1- y)y
1.5
1.5
f
e ~ -0.33 -0.25
o
-0.16 -0.09
o .¡::
J
@
'g.
f~O
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J~O
1 O
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J>O 1
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c-, 0.5
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). •••
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.
<=1
f
Linea de estado
or tanto, las nivelde sa-
-o. Línea de estado
'E'" 5
+--+~~-'>-~~-+-~---"'-~~~ •
1
•......•.. -~
O
Parametro de bifurcación e
Figura 2.4.3 Sin pesca (9 :::::O) implica que las curvas solución dentro del cuadrante de población se aproximan al nivel de saturación y = 1 (ejemplo 2.4.3). ',:
Figura 2.4.4 Líneas de estado y diagrama de bifurcación de silla-nodo para dy/ds = (l - y)y + C [ejemplo 2.4.4}. ,
ra 2.42):,Est~,comportamiento se cifra en la línea de estado a la derecha de la figura 2.4.2. ',. Si.e = O no hay captura ni reabastecimiento y las líneas de equilibrio son y¡ = O Y Y2 = 1. En la figura 2.4.3 se muestran estas líneas de equilibrio y otras curvas solución. La curva superior atrae a las curvas solución cercanas, pero la línea inferior las repele. Las curvas solución de Ia figura 2.4.3 debajo de la línea y = O 1)0 tienen significado físico (¿pesca negativa?). En la línea de estado a la-izquierda deja figurase resume este comportamiento. :q .
.La presencia repentina de un.punto de equilibrio y, su división en dos cuando el pará. metro e cruza un valor crítico es un ejemplo de¡ una l?Jlurcación silla-nodo. Pertenece al tipo de bifurcaciones tangentes. denominadas .así porque en el. valor de e donde ocurre la bifurcación la gráfica de j enelplano yfes,tangente aleje y (véase la parábola correspondiente a e = -0.25 en la figura 2.4.1). A continuación veremos otro tipo de diagrama: un diagrama de bifurcación silla-nodo.
amos cómo 'ba a e = O.
(l-y)y +c dadesde las re si la tasa es negativa. a de la línea ncióny = O. rbaciónponción. y se proce.8porque al .8),Las cur'ónY2= 0.8, ación(figu-
Ejemplo 2.4.4
. Análisis de bifurcación silla-nodo: parte (iii) Resumamos lo aprendido, hasta ahora en un diagrama, de bifurcación (figura 2.4.4). En , las gráficas de las curvas de los puntos de equilibrio Y1 ;:= 1/2 - (1/2)(1 + 4¿5112, Y2 = 1/2 + (1/2)(1 + 4c)1/2 de este diagrama se sigue el acuerdo de que los arcos continuos sirven para denotar atracción y los arcos con trazos discontinuos paraindicar repelenciar Cada punto de equilibrio Y2(C) en el arco continuo atrae los puntos sobre la recta vertical que pasa por Y2 y arriba del arco discontinuo. Cuanto mayor sea la separación vertical entre'~bs ar.cos continuosy discontinuos, mayor será la "región" de atracción de Y2' Las cinco líneas de estado verticales corresponden a cinco valores de c.
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
f(y, e) = (c- i)y ¡
y' = fiy, - 1) = ( 1 - I )y =O
I
Soluciones de equilibrio: y
II
f
I
I
II I I I
I
I
f=O
-1
f >O 0.5
1 O
1.5
2. O
2.5
3. O
y
Figura 2.4.5 Gráficas defiy, c) para cuatro valores de c.
Lí/lea de estado
Figura 2.4.6 Antes de la bifurcación: c = -1.
Este diagrama de bifurcación engloba toda la historia de la bifurcación, captura y cambio logístico. A la izquierda se observa el desastre para los peces y, a la larga, para los pescadores, pero a la mitad del diagrama se observan buenos tiempos tanto para los peces como para los pescadores. ¿Cuál es la historia en el extremo derecho donde c es positiva? Por último, volvamos al PVI original (2) donde intervienen P(t) y los parámetros r, K, Q y Po. El punto de bifurcación c = -0.25 corresponde al valor Q = - rK/4, con el que se define la tasa de captura crítica de rK/4 unidades de población por unidad de tiempo. El análisis hasta este punto ha sido matemático, pero tiene repercusiones profundas para las especies capturadas. Esto implica que si la tasa de captura rebasa el valor crítico de rK/4 , entonces la especie está condenada. Sin embargo, si la tasa de captura está por debajo del nivel crítico, entonces la especie tiene posibilidades de supervivencia.
Bifurcación de horquilla Las soluciones de equilibrio pueden apartarse, unirse o desaparecer de muchas formas cuando cambia un parámetro. Una de ellas es la bifurcación de silla-nodo recién explicada. Otra es la bifurcación de horquilla , otro tipo de bifurcación tangente. A continuación se da un ejemplo. La EDO no lineal autónoma
(7) contiene un parámetro c. Las soluciones de equilibrio de la EDO (7) están dadas por YI =0,
Y2
= C 1/2 ,
Y Y3
= -c 1/2
(8)
http://carlos2524.jimdo.com/ oximadas 2.4 / Introducción
2f~
1<0 /<0
1=0
147
a las bifurcaciones
y'= (c-y)y
y' = I(y, 2) = (2-l)y
Punto de atracción: Y2 = cl12 /<0
1>0
/=0
~ YI
o ;
1=0
= O,
Y2
=.J2,
Y3
= -.J2
+
Punto de atracción ~~~?_~:_'::~_:~~~_i:~:!:.L:_~. Punto de ifurcación
~
1<0 -1
/>0
-2
Línea de
estado
/> a
1=0 1>0 Línea de estado
0.0
0.5
1.0
1.5
2.5
2.0
t
,
Figura 2.4.7 Después de la bifurcación: e = 2. ptura y a, para aralos de e es
3. O
_
-2+---~~---+----~~--+---~--~~ -1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2. O
Parámetro de bifurcación e
Figura 2.4.8 Diagrama de bifurcación de horquilla.
Para los valores negativos de e la única solución de equilibrio es YI' Cuando el valor de e aumenta y pasa por O, el equilibrio y = O se bifurca-en tres equilibrios: YI, Y2, Y3' En la figura 2.4.5 se muestran las gráficas de la función de tasa de cambio /(y, c) = (c - Y2)Y para e = -1, O, 1,2. Para cada e positiva la grafica de/corta al eje de las ordenadas en los tres puntos YI = O, Y2 = cl12 y Y3 = -c.lI2. En el valor de bifurcación e = O la gráfica de / es tangente al eje y en YI = O. En las figuras 2.4.6 y·2.4.7 se muestran las líneas de equilibrio y otras curvas solución para c = -1 (antes de la bifurcación) y e = 2 (después de ella). El equilibrio y = O es de atracción antes de la bifurcación, pero se vuelve de repelencia en ésta y transfiere su carácter de atracción a los dos nuevos equilibrios distantes y = Y2, Y3. En la figura 2.4.8 se ilustra el diagrama. de bifurcación de horquilla para la EDO (7). Ahí se observan los valores de equilibrio como funciones del parámetro de bifurcación c. Los arcos de línea continua corresponden a las solucior¡.es de equilibrio atrayentes y los de línea de trazos discontinuos a las soluciones de equilibrio repelentes. Nótese, por ejemplo, que un punto P sobre el arco parabólico inferior Y3 = _c1l2 atrae a los puntos sobre la recta vertical que pasa por P y debajo de la línea de trazos discontinuos YI = O. En la figura 2.4.8 puede verse por qué recibe el nombre de bifurcación de horquilla. Se deja como ejercicio al lector que trace las rectas de estado verticales en la figura 2.4.8.
s r, K, que se po. El aralas erK/4, ajodel
armas plicauación
Comentarios (7) En la sección 9.3 se dan ejemplos de bifurcaciones para un sistema autónomo de EDO. I@f
(8)
No es coincidencia que en el valor de e donde ocurre la bifurcación la gráfica defiy, c) en el plano y/sea tangente al eje y. Esto se cumple tanto para la bifurcación silla-nodo como para la de horquilla. De hecho, esa clase de comportamiento tangente es, por lo general, la pista de que ha ocurrido una bifurcación de algún tipo.
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148
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Los cambios radicales en el comportamiento de las curvas solución son claramente observables cuando un parámetro pasa por un valor de bifurcación, pero sólo después de un lapso muy largo. Esto se debe a que en un tiempo corto las soluciones cambian en forma continua como funciones de los datos y, por tanto, los cambios pequeños en los datos equivalen a cambios pequeños en las soluciones.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Bifurcaciones de silla-nodo.) Explique por qué hay una bifurcación sill a-nodo en algún valor del parámetro c. En cada caso esboce el diagrama de bifurcación silla-nodo usando arcos de línea continua para los equilibrios de atracción y de línea discontinua para los de repelencia. [Sugerencia: véase la explicación de los ejemplos 2.4.2 y 2.4.3 Y los párrafos que vienen después de esos ejemplos.] (a) y'=c-/
11 2. 3.
' www 1&
Sí, otro tipo de bi-
furcación.
11 5.
(e) y'=c+2 y +/
(Bifurcaciones de silla-nodo.) Trace las curvas solución de los PVI del problema 1 (a) a (e) para los valores de c antes mencionados, en y debajo del valor de la bifurcación de silla-nodo y describa el comportamiento de largo plazo de las curvas cuando aumenta el valor de t. (Bifurcaciones de horquilla.) Para cada una de las EDO siguientes, explique por qué hay una bifurcación de horquilla en -algún valor del parámetro c. Trace el diagrama de bifurcación de horquilla con arcos ·de línea discontinua para los equilibrios de repelencia y de línea continua para los de atracción. (a) y'=(c - 2/)y
11 4.
(b) y' = c-2y+ /
(b) y' = -(c + /)y
(a) a (e) (Bifurcaciones de horquilla). Trace varias curvas solución de las EDO del problema 3 (a) a (e) para los valores anteriores de c, en y debajo del valor de la bifurcación de horquilla y describa el comportamiento de largo plazo de las curvas conforme aumenta t. (Bifurcaciones trascríticas.) En una bifurcación trascrítica , cuando cambia el parámetro c de la función de tasa de cambio para la EDO y' = f(y, c) , un par de soluciones de equilibrio, una de atracción y otra de repelencia, se juntan y luego se separan a la vez que intercambian sus propiedades de atracción y repulsión en el proceso. Es decir, una solución de equilibrio pasa por la otra pero al mismo tiempo cambia su carácter de atracción o repelen cia. Explique por qué cada una de las siguientes EDO tiene una bifurcación trascrítica. Trace el diagrama de bifurcación (arcos de línea discontinua para los equilibrios de repelencia y de línea continua para los de atracción). Luego grafique las curvas solución de las EDO para los siguientes valores de c, en y arriba de los valores de bifurcación. (a) y'=cy- /
(b) y'=cY+lO/
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149
2.4 / Introducción a las bifurcaciones
6.
7.
2.5
(¿ Demasiado tarde para salvar de la extinción a una población?) En relación con el texto y la explicación acerca de la EDO del modelo de población capturada p' = r(l - P/K)P - H, H > rK/4 explique por qué si el valor de P es cercano a O, entonces
restringir la tasa de captura a un valor ligeramente menor que el valor de bifurcación de rK/4 no evitará la extinción de la población. ¿Qué sucede si se prohíbe por completo la captura en este caso? ¿Es posible salvar la especie? (¿ Cuántas licencias de caza deben autorizarse?) La población de patos alrededor de un refugio de cacería se modela por medio de la EDO p' = (1 - P/lOOO)P - H, donde H es la tasa de captura. (a) ¿Cuántas licencias deben expedirse al año para que la población de patos tenga posibilidades de sobrevivencia? A cada cazador se le permite cazar 20 patos por año. (b) Supóngase que se expiden N licencias, donde N es menor que el número máximo del inciso (a). ¿Qué valores de la población inicial de patos conduce a la extinción total de la especie? Explique por qué.
Soluciones aproximadas Por el teorema de existencia y unicidad 2.1.1 sabemos que el PVI y' = f(t,y),
1&
Por fin veremos có-
mo operan los programas de solución numérica.
(1)
tiene una solución única en un intervalo que contiene a to si el comportamiento de la función de tasa de cambio f(t, y) es lo suficientemente bueno. ¿Cómo describiría esta solución? El conjunto de funciones de tasa de cambio feto y) para las cuales es posible encontrar una fórmula de solución del PVI (1) es notablemente pequeño, de modo que en general el método de fórmula de solución no es una opción viable. Como hemos visto, aun cuando es posible encontrar una fórmula de solución, no siempre da información. A falta de una fórmula de solución, ¿de qué manera se describe la solución? A continuación se presentan algunos procedimientos numéricos para hallar los valores aproximados de la solución y(t) del PVI (1) en un conjunto discreto de tiempos cercanos ato.
Método de Euler El método de campo de direcciones utilizado en la sección l.2 para caracterizar las curvas solución de una EDO de primer orden indica otras técnicas para determinar las soluciones numéricas aproximadas del PVI (1). El método de Euler es el más simple de estos métodos de aproximación. Digamos que se desea aproximar el valor de la solución del PVI (1) en algún tiempo futuro T. Primero, se divide el intervalo to ~ t ~ T con N escalones iguales de tamaño h:
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
h=(T-to)/N
n = 0,1, 2, ... ,N
tn = to +nh,
Sabemos que (to, Yo) está en una curva solución. Para hallar una aproximación a y(t!), sólo se sigue la recta tangente a la curva solución que pasa por (to, Yo) hasta tI' Puesto que la pendiente de la recta tangente a la curva solución en (to, Yo) es f(to, Yo), se observa que
es una aproximación razonable a y(tl) si h es pequeño. Con (t" YI) como base y suponiendo que (ti, YI) está sobre la curva solución deseada, es posible construir una aproximación Y2 para y(t2) en la misma forma:
Como es muy probable que (t" YI) no esté sobre la curva solución deseada, el valor calculado de Y2 también adquiere un error a partir de esta fuente. Este cálculo puede repetirse N veces para obtener una aproximación YN al valor de y(I) de la solución verdadera del PVI (1) en t = T. A este proceso se le denomina método de EL/ter.v i .:. Método de Euler. Para el PVI y'
= f(t, y), y(to) = Yo ,
Yn = Yn - I + hf(tn-I' Yn-I) '
el esquema recursivo (2)
se denomina método de Euler con tamaño de paso h. Al unir los puntos (to, Yo), (t" YI) ,"" (tN, YN) mediante una línea discontinua se obtiene la aproximación de la solución de Euter a la curva solución verdadera del PVI (1). A continuación se dan dos ejemplo de una solución de Euler.
vi
Leonh ard Euler
Leonhard Euler (1707- 7783), originario de Suiza, fue uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. También fue uno de los autores más prolíficos en cualquier rama de esta disciplina, ya que escribió infinidad de documentos de matemáticas puras y aplicadas. Sus aptitudes para las matemáticas fueron inmensas, lo cual condujo a un físico a expresar con admiración que "Euler realizaba los cálculos sin esfuerzo aparente, del mismo modo que los hombres respiran o las águilas se sostienen en el aire". Padeció ceguera los últimos 77 años de su vida, pero dictó su aparentemente interminable flujo de resultados matemáticos hasta el día de su muerte. El gobierno suizo está a punto de terminar un proyecto monumental para publicar las obras de Euler (hasta ahora 100 volúmenes enormes).
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151
2.5 / Soluciones aproximadas
y' = y,
15.0
y(O) = 1 y(O)
y ' = ysen3t.
2.5
1
=
12 . 5 2.0
10.0
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7.5
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I
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I
2
Figura 2.5.1 Curvas solución verdaderas (línea conti- Figura 2.5.2 Curva solución verdadera (línea de trazo nua) que pasan por los puntos de Euler (círculos); la lí- continuo) y solución de Euler (línea discontinua) con nea quebrada corresponde a la solución de Euler para el h = 0.2 (ejemplo 2.5.2). PVI (3) con h = 1 (ejemplo 2.5.1).
Ejemplo 2.5.1
Un PVI simple y una solución de Euler En la figura 2.5.1 se ilustra la geometría del método de Euler con h = 1 para el PVI y' = y,
(3)
y(Q) = 1
En este casof(t, y) = y, entonces se tiene Yn =Yn-I +hf(t, Yn-I)=Yn-1 +hYn_1 =2Yn_l'
n=O, ... ,N
(4)
Con los números Yn producidos con el método de Euler se subestiman en forma sistemática los valores de la solución verdadera, y = é. De hecho, se ve que YI = 2yo = 2, Y2 = 2YI = 4, ... , Yn = 2Yn_1 = 2 n, pero el verdadero valor es yen) = en"" (2.71828r, de modo que el error en - 2n crece de manera considerable cuando n aumenta. Las curvas de trazo continuo de la figura 2.5.1 son las curvas solución verdaderas de los PVI correspondientes, n = 0,1,2,3
donde Yn es la estimación de Euler para e ln • La imprecisión de la solución de Euler en este caso se debe en gran parte a que el tamaño de paso h = 1 es demasiado grande.
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152
Problemas de valor inicial y slls solllciones aproximadas
y'= y.
15. o
h
10.0
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0.75
0. 0
0 . 50
Figura 2.5.3. Solución verdadera (curva continua) y·soluciones de EuJer (curvas discontinuas) (ejemplo 2.5.3).
Ejemplo 2.5.2
,
1,'1
/
/ /
"
,.," , ,.,
,
/
/
/ ' .......
/ " .',\
¡?/'" \
1. 75
/
/
5.0
.-
y(o) = 1
/,~.~ ,
,/ 1
,, ,, , ,
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.-
/
0.5
,0.1
y ' = ysen3/.
2 .00
/ ,,
/
2.5
,,
¡
12 . 5
'"
=1
y(o)
Figura 2.5.4. Solución verdadera (curva continua) y soluciones de Euler (curvas discontinuas) (ejemplo 2.5.3) .
Otro PVI y solución de Euler
Se trata de encontrar una curva solución aproximada para el PVI y(O) = 1,
y' = ysen 3t, Sea h = 0.2, N vierte en
= 20, entonces tn = (0.2)n,
n
Yn = Yn - I +0.2YIl_1sen3tll _ l ,
= O,
O :::; t :::; 4
(5)
1, .. ., 20. Así, el método de Euler se con-
n = 1, 2, ... ,20, con Yo = 1
(6)
El PVI lineal (5) tiene solución única y = exp[(1 - cos 3t)/3]. En la figura 2.5.2 se muestra la solución verdadera (curva de línea continua) y la solución de Euler (línea discontinua) . De nuevo se observa que con el método de Euler puede obtenerse solamente una solución aproximada burda para el PVI si h no es suficientemente pequeña. Pese a la inexactitud de la aproximación de Euler es posible demostrarse que sify of/oy son continuas (como en estos ejemplos); entonces el error puede hacerse tan pequeño como se desee si se toma un tamaño de paso lo suficientemente pequeño. Veamos qué sucede cuando se hace más pequeño el tamaño de paso para los ejemplos 2.5.1 y 2.5.2.
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153
2.5 / Soluciones aproximadas
Ejemplo 2.5.3
Pasos más pequeños Apliquemos el método de Euler para aproximar las soluciones de los PVI de los ejemplos 2.5.1 y 2.5.2. En las figuras 2.5.3 y 2.5.4 se observa que, para estos PVI, cuanto más pequeño sea el tamaño de paso mejor es la aproximación de Euler.
Métodos de un paso El método de Euler para obtener soluciones aproximadas del PVI (1) es un ejemplo de método de un solo paso . Con estos métodos se obtiene un valor aproximado para la solución del PVI (1) en un punto T seleccionado de la siguiente manera. Supóngase que T> to. Elija una sucesión creciente t¡, t2, ... , tN con tN = Ty ti > to, Y defina el tamaño de paso h n = trI - tn_1 en el paso n para n = 1,2, ... , N. A partir de Yo Y una función A(t, y, h), con el método de un solo paso se calcula una aproximación Yn para y(tn ) por medio de un esquema de discretización (7) n=l, 2, ... , N Para calcular Yn sólo se requiere el valor de Yn- I (de ahí el nombre de "método de un solo paso"). En el método (7) se utiliza el valor dado Yo para generar YI, YI para generar Y2> etcétera, hasta completar el proceso con el cálculo de YN, que es una aproximación de y(I). La función A recibe el nombre de función de pendiente aproximada para y(t) en t,,_1 puesto que Yn
-
Yn- I = Yn
t n - tn _ 1
Yn-I = A(t y n-I' nhn
-
I'
h) n
donde la última desigualdad proviene de (7). Como veremos, la función de pendientefltn_l, Yn-l) utilizada en el método de Euler no siempre es la mejor opción para A(tn-¡' Yn- I, h n).
La aproximación a la solución del PVI (1) por el esquema discreto de un paso (7) tiene una interpretación sencilla. Para cadaj = 1, .. ., N, una el punto (tj _ ¡, Yj _ 1) con (tj, y) por medio de un segmento de recta para formar un trayectoria de línea quebrada de (to, Yo) a (tN, YN)' Esta trayectoria aproxima la gráfica de la solución y(t) (véase el esquema en la figura 2.5.5). j .
. Errores ·Estimemos cuánto se desvían las aproximaciones YI, Y2, :", YN generadas por el método de un solo paso de los valores exactos y(tl), y(t2),"" y(tN)' Sise utilizan los cálculos aritméticos precisos (es decir, sin redondear ni suprimir cadenas decimales), la desviación
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154
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
es el error de discretizaóón global en el n-ésimo paso. Hay una versión local del error debida a la discretización. Al momento en que se llega al punto (tn-¡' Yn-l) en la trayectoria de aproximación de línea quebrada, en el esquema (7) se "pasan por alto" los resultados previamente calculados. En el siguiente paso todo lo que cabe esperar es estimar la diferencia entre Yn como se expresa en (7) y y(tn)' que es el valor en tn de la solución "verdadera" del PVI
La magnitud
~ Los diseñadores de software utilizan esta versión local de errores para controlar los errores globales porque es más fácil estimar los errores locales que los globales.
se llama error de discretización local en el paso n. El error de discretización global En se debe a los errores locales e¡, ..., en-l que producen los valores exactos y¡, ... , Yn-l. Véase la figura 2.5.5. Los métodos de un paso pueden clasificarse de acuerdo con el orden de magnitud de los errores de discretización globales en que se incurre cuando se aplica el método.
.:. Orden de un método de un paso. Supóngase que la solución del PVI Y' = f(t,y),
se aproxima mediante el esquema (7) con un tamaño de paso fijo h = (T - to)/N. Si hay constantes positivas M y p tales que para toda N,
el método (7) es de orden p. Se sabe que el de Euler es un método de primer orden. Obsérvese que sin importar el orden de un método, cuanto más pequeño sea el tamaño de paso h más pequeño será la cota sobre EN' Es fácil ajustar el tamaño de paso cuando se ejecuta un método de un paso en una computadora. Para un método de cuarto orden (es decir, p = 4), el hecho de cortar el tamaño de paso a la llÚtad da como resultado una disllÚnución de 16 veces en la cota superior de EN porque (h/2)4 = h4/16. Sin embargo, al dividir a la llÚtad el tamaño de paso para un método de un paso (p = 1) se obtiene solamente una disllÚnución del doble en la cota superior. Esto indica que cuanto mayor sea el orden del método, más precisa será la aproximación de la solución del PVI (1). En casos específicos esto podría resultar falso debido a que la constante M podría ser más grande para un método de orden mayor que para un algoritmo de orden menor. Asimismo, los métodQs de orden superior suelen implicar más cálculos y evaluación de funciones, y los consiguientes errores de redondeo podrían contrarrestar las ventajas del método. Aun así, el orden de un método es una buena indicación de su precisión.
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itnsdss
155
2.5/ Soluciones aproximadas
y
llega uerna do lo ue es
y(T)
y = y(t)
<,
En
ji(t) Yo
Yn
YI
En se
Yn-I
se la d de
to
ti
tn-1
t;
T
Figura 2.5.5. Aproximación de línea quebrada a la solución verdadera: errores de discretización. ?Y.Si
En seguida se describen algunos otros métodos de aproximación.
Método de Heun Es posible convertir el método de Euler en un método de segundo orden si se calcula la función de pendiente aproximada al promediar las pendientes en tn _ 1 Y en i; El método de Euler se utiliza para hallar una primera aproximación a Yn de modo que pueda calcularse la pendiente en Yn)' Se tiene
«,
.:. Método de Heun. El método de Heun vii es el método de segundo orden y un solo paso, éste con tamaño constante h, para el PVI y' = f(t, y), y(to) = Yo, dado por Conocido también como método de Euler mejorado.
IIE
será fal-
que impoena
Yn = Yn-I
h
+ '2[!(tn-I,Yn-l)
+ !(tn,Yn-1
+h!(tn-I,Yn-l))]
(8)
En el ejemplo 2.5.4 y la figura 2.5.6 se da una ilustración del método.
vii
Karl Heun (1859-1929) dedicó su trabajo a la mecánica clásica y la matemática aplicada.
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Métodos de Runge-Kutta Los métodos de Runge-Kutta v iii son algoritmos de un paso en los que se utilizan promedios de la función de pendiente fit, y) en dos o más puntos en el intervalo [tn _ ¡, tn] para calcular Yn- El método de Heun es un método de Runge-Kutta de segundo orden. El método de cuarto orden que presentamos a continuación es el más usado de todos los algoritmos de un paso. En este método se utiliza un promedio ponderado de pendientes en el punto medio tn -l + h/2 Y en los puntos extremo tn _;' Y tn-
.:. Método de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4). Para el PVI y' = f(t, y) , y(to) Yo, el método de Runge-Kutta de cuarto orden es el método de un paso h Yn=Yn-¡+6(k1 +2k2 +2k3 +k4 )
donde h es fija, tn
=
(9)
= tn-l + h, Y
Puede demostrarse que RK4 es una generalización de la fórmula de Simpson para aproximar una integral (véase el problema 5). En el siguiente ejemplo se comparan los tres métodos de aproximación anteriores.
Ejemplo 2.5.4
Comparación de métodos numéricos
El problema de valor inicial y' = y, y(O) = 1, tiene la solución única y = é. En la figura 2.5.6 se grafican las aproximaciones que utilizan los métodos de Euler, Heun y RK4 en el intervalo O::; t::; 4. Como se esperaba, con los métodos de mayor orden se logra más precisión que con los de menor orden. La precisión mejora a medida que se reduce el tamaño de paso de 0.5 a 0.25. Hasta este momento sólo hemos hablado de aproximar la solución de una EDO de primer orden. ¿Cómo podemos aproximar las soluciones de un sistema de varias J;l,DO?
v iii
C. D . T. Runge
C. D. T. Runge (1856-1927), alemán que trabajó en matemáticas aplicadas, realiz ó un trabajo notable en análisis numérico y ecuaciones diofantinas. M. W. Kutta (1867-1944),
también alemán que trabajó en matemáticas aplicadas, contribuyó a cimentar las bases de la teoría de los planos aerodinámicos.
http://carlos2524.jimdo.com/ oximadas
157
2.5/ Soluciones aproximadas
60
prorne-
y'=y,
y(O) = 1
Tiempo 0.0 0.5 1.0 1.5
Euler 1.0000 1.5000 2.2500 3.3750
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Tiempo
50
In] para
.El més algoes en el
40
'"
h =0.5
30
..20
,y(to)
=
.' .'
Heun 1.0000
RK4
5.0625 7.5933 11.3906 17.0359 23.6239
1.6250 2.6406 4.2910 6.9729 11.3310 18.4123 29.9208 48.5213
1.0000 1.6454 2.7174 4.4796 7.3840 12.1720 20.0643 33.0756 54.5230
Euler 1.0000 1.2500 1.5625 1.9531 2.4414 3.0518 3.8147 4.7684 5.9605 7.4506 9.3132 11.6415 14.5519 18.1889 22.7374 28.4217 35.5271
Heun 1.0000 1.2813 1.6416 2.1033 2.6949 3.4521 4.4239 5.5681 7.2623 9.3048 11.9217 15.2747 19.5707 25.0730 32.1273 41.1631 52.7402
1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7182 3.4902 4.4815 5.7543 7.3887 9.4872 12.1817 15.6415 20.0839 25.7881 33.1124 42.5169 54.5924
exp t 1.0000 1.6487 2.7183 4.4817 7.3891 12.1825 20.0855 33.1154 54.5981
10
O O
(9) 60
y' = y,
y(O) = 1
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00
50
RK4/
,/Heun
40
h = 0.25
'"
30
.. ..
20
apro10
es.
..... -
o
..,/
--_ .......
.'
.'
...·/Euler
o
RK4
exp(t) 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 3.4903 4.4817 5.7546 7.3891 9.4877 12.1825 15.6426 20.0855 25.7903 33.1154 42.5211 54.5981
Figura 2.5.6 Soluciones aproximadas (ejemplo 2.5.4). figura 4en el ás prerama-
primer
Método de Euler
y RK4 para sistemas
Los métodos numéricos para aproximar las soluciones de una EDO de primer orden pueden extenderse para aproximar las soluciones de un sistema de EDO de primer orden. Extendemos entonces el método de Euler y el RK4 para el PVI x' y'
un tra1944),
bases
= f(t, = g(t,
x, y),
x(to)
x, y),
y(to)
= Xo = Yo
(10)
El método de Euler para el PVI tiene la misma interpretación que para el caso de la EDO sencilla. Se calculaj(r¿ xo, Yo) Y g(to, Xo, Yo) alejándose del punto (xo, Yo) a lo largo del campo vectorial (j(to, Xo, Yo), g(to, Xo, Yo)) del sistema del PVI (10) para obtener una aproximación de Euler (Xl, Yl) para (x(to + h), y(to + h)), donde h es el tamaño de paso fijo.
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Problemas de va lor inicial y sus soluciones aproximadas
El algoritmo de Euler para el PVI (lO) está dado por t n = tn- 1 +h x n =x n_1+h!Ctn_1 , xn-I,Yn-l)
y" = Yn-l + hg(t,,_I' xn_1 ,Yn- I)
Como antes, éste es un algoritmo de primer orden. El algoritmo RK4 para el PVI (10) está dado por t" = t,,_l +h h
Xn = x,,_1+6(kl +2~ + 2k3 +k4 ) h Yn = Yn-l +6(PI +2P2 +2P3 + P4)
donde h es tamaño de paso fijo y
h) h h k3 =! ( tn_1 +2' Xn- 1 +2 k2' Yn-I +2 P2
h) h h P3 =g ( tn- 1 +2' Xn_1 +2 k2' Yn-I +2 P2
k4 = !(tn-I + h, Xn- 1 + hk3, Yll - 1 + hp3)
P4 = g(tn_1 + h, Xn _1+ hk3" Yn - l + hp3)
Como lo indica la abreviatura, RK4 es un método de cuarto orden. El método de Euler y el RK4 pueden extenderse a sistemas con cualquier número de EDO de primer orden.
Comentarios Existen muchos métodos para hallar las soluciones numéricas aproximadas de problemas de valor inicial. ix El método de Euler tiene la ventaja de ser simple de visualizar y ejecutar, pero no es el más práctico para los medios numéricos de resolución. El método RK4 brinda una combinación de precisión y eficacia que lo hace una excelente opción para un método de un solo paso.
ix
Si desea consultar una fuente muy amena de métodos de aproximación para PVI, véase el libro del renombrado analista numérico estadounidense L. F. shampine, N umeri ca l So lution of Ordinary Differential Equati ons, Chapman & Hall, Nueva York, 1994.
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2.5/ Soluciones aproximadas
159
Muchos de los medios numéricos comerciales utilizan métodos de varios pasos; la función de pendiente aproximada se calcula a cada paso a partir de las pendientes en varios de los puntos solución previamente calculados. Algunos medios tienen la capacidad de adaptarse al ajustar de manera automática el tamaño de paso y el método numérico para satisfacer las necesidades inmediatas de cálculo. Muchos de ellos permiten al usuario seleccionar un método específico de una lista que comprende el método de Euler, RK4 y un método con capacidad de adaptación. El medio numérico que utilizamos nosotros se basa en LSODA, un método de varios pasos con capacidad de adaptación cuyos orígenes se remontan a DIFFSUB de C. W. Gear y ODE-PACK, creado por Alan Hindmarsh en Lawrence Livermore National Laboratories.
Problemas
www
.1.
Pl)
.2. .3.
P2)
4.
_
Utilice el método indicado para estimar y(l) si y' = -y, y(O) = 1, h = 0.1. En (a) y (e) trace los polígono s de aproximación. (a) Método de Euler (b) Método de Heun (e) RK4 (Comparación de Euler y RK4.) Utilice el método indicado para estimar y(l) si y' = -y,y(O) = 1, h = 0.01, 0.001 Y 0.0001 Y trace los polígonos de aproximación. (a) Método de Euler (b) RK4 (Comparación de Euler y RK4.) Utilice el método indicado para estimar y(1) si y' = + t2, y(O) = O, h = 0.1, 0.01, 0.001 Y grafique los polígonos de aproximación. (a) Método de Euler (b) RK4 Demuestre que para cada uno de los siguientes YN(T) ~ y(T) como N ~ 00, donde T> O es fija, h = T/N Y {YN(T):N = 1,2, ... } es la sucesión de aproximaciones de Euler a y(T).
-l
(a) y' = 2y, y(O) = 1
Euler en.
5.
(b)
y' = -y,
La fórmula de Simpson para aproximar la integral b~a [f(a)+4~(
emas jecuRK4 aun
se el Solu-
Demuestre que el RK4 para el PVI y' cada paso.
2.6
= f(t),
y(O) = 1
S: f(t)dt
a;b)+
es
f(b)]
y(to) = Yo, da la fórmula de Simpson en
Ejecución en computadora Si bien los cálculos necesarios para ejecutar un algoritmo numérico de resolución de EDO pueden realizarse de forma manual, difícilmente se consideraría eso una forma eficaz de hacerlo. Es preferible emplear paquetes de software. Éstos contienen programas modernos de resolución numérica basados en los algoritmos de Runge-Kutta de la sec-
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Problemas de va lor inicial y sus soluciones aproximadas
ción 2.5 Y métodos multipaso en lo que se utilizan aproximaciones de varios pasos antes del paso actual. Los programas tienen muchas funciones para el control de errores. Las gráficas solución de este libro pueden reproducirse razonablemente bien con la mayor parte de estos programas.
Uso de programas de solución numérica Al usar un programa de solución numérica para el PVI
y
y' = f(t,y), Yo __
~
debe introducirse la función.f(t, y), los datos iniciales to Y Yo Y un intervalo para el tiempo de solución. También debe introducirse las dimensiones de un rectángulo R en el plano xy que contiene el punto (to, Yo) . En muchos programas no es necesario especificar un tamaño de paso ni las dimensiones del rectángulo R. En vez de eso el usuario indica una tolerancia de error y el programa calcula, adaptándose a cada paso, un tamaño de éste mediante el que se logte la tolerancia. El rectángulo R podría construirse de manera automática para ajustar la gráfica después que ha concluido el proceso de solución. Para evitar el tiempo excesivo de procesami ento, el usuario tiene casi siempre la opción de indicar un tamaño de paso mínimo permisible o un número máximo de evaluaciones de la función. Si la necesidad de precisión es muy alta, se rebasarían estas restricciones y el resultado sería un mensaje de error. Además de la solución numérica real, el programa podría brindar información importante a partir de la cual se tomaría una decisión para cambiar un parámetro. Esta información podría ser el tamaño de paso, el número de evaluaciones de la función , el de pasos del intervalo en una ejecución del programa, o bien, una estimación del error local en la soluciónacumulado durante una ejecución. La consideración de estos resultados podría indicar que se disminuyan o aumenten las tolerancias de error si los errores reales difieren en forma importante de las estimaciones para el peor de los casos; o bien, que se ejecute una técnica distinta en la que se utilice un número diferente de evaluaciones de la función.
¿Debe confiar en el programa? Casi todos los programas comerciales producen aproximaciones muy precisas para la mayor parte de los problemas de valor inicial. No obstante, incluso los programas más modemos generan valores aproximados. El usuario debe estar consciente de que en ocasiones las cosas pueden salir muy mal.
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2.6 / Ejecución en computadora
Cálculos aritméticos inexactos ___________________ En todo proceso por etapas hay una fuente importante de errores debido a que en general no es posible realizar una evaluación precisa de las funciones. Todo cálculo hecho por una máquina (o un humano) suprime las cadenas decimales largas; por ejemplo, la fracción 1/3 podría tomarse como 0.33333, n como 3.14159 y e podría evaluarse como ,2.71828. Éstos son ejemplos de errores de redondeo, pequeños en lo individual pero con un efecto devastador cuando se acumulan. El error total de un cálculo abarca los errores debidos a la fórmula de aproximación utilizada y los errores a causa del redondeo. Por ejemplo, los valores YI, Y2>'" generados con un método de un solo paso no pueden calcularse con precisión infinita y, por tanto, debe considerarse que el error total tiene un componente debido al error por redondeo, así como a la elección de la función específica de pendiente aproximada que se aplicó en el proceso de discretización (que vimos en la sección anterior). El redondeo 'tiene la desagradab1e' característica de que cuantas más sean las operaciones realizadas, mayores son las posibilidades de que crezca el error a medida que se propaga por el esquema. Por tanto, si queremos calcular un valor aproximado' y* para la solución y(t) de un PVI en t = t*, debemos encarar la siguiente disyuntiva. Si optamos por un tamaño de paso muy pequeño podemos hacer que el error de discretización en t* sea tan pequeño como queramos. Sin embargo, puesto que debemos realizar muchas más operaciones para aproximar y(t*), esto será a expensas de una acumulación de errores de redondeo. No es fácil decir qué tamaño de paso reducirá el error total.
Problemas en la elección del tamaño de paso ----"_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Un tamaño de paso demasiado pequeño no sólo dificulta el trabajo a la computadora, sino que también podría desembocar en errores de' redondeo grandes. Pero como se muestra en el siguiente ejemplo, un tamaño de paso demasiado grande podría provocar errores globales considerables que destruirían las características de la solución.
Ejemplo 2.6.1
Solución de Euler falsa para la EDO logística
Aproximemos la solución del PVI logístico y' = 9(1- y)y,
y(O) = 1.25
(1)
El método de Euler aplicado al PVI (1) genera la sucesión' de valores YI, Y2,'" dados por YI! = Yn- l
+ 9h(1 -
Yn-I )Yn- l,
n = 1,2, ...
(2)
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162
Problemas de va lor inicial y sus soluciones aproximadas
y'
= 9(1
- y )y,
= 1.25
y (O)
y'
= - y',
= -0.5
--------"
-2
",
1.0 , \
1\' 1\1
,, ,, ,,
0.5
y(O)
" " " "
¡
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\
-4
\ \
\ \
1,
~
-6
-8
10
Figura 2.6.1 Solución de Euler (línea discontinua), solución verdadera (línea continua): h = 0.29 (ejemplo 2.6.1).
- 10
,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
+-~--------~----------~~--~,~--~~~
Figura 2.6.2 Solución de Euler (línea discontinua), solución verdadera (línea continua): h = 0.15 (ejemplo 2.6.2).
donde h es el tamaño de paso. En la figura 2.6.1 se muestra la solución de Euler (línea discontinua) para el PVI (1) cuando h = 0.29 Y la curva solución verdadera (línea continua) (o, mejor dicho, la solución numérica de mayor precisión obtenida con un programa LSODA). Si no supiésemos ya por los ejemplos 1.6.5 y 1.6.6 que la solución del PVI (1) tiende a y = 1 cuando t ~ + 00 ,jamás habríamos predicho ese comportamiento a partir de la solución de Euler. En la siguiente sección ahondaremos en el comportamiento aparentemente caótico de algunas aproximaciones de Euler a la solución de un PVI logístico. Para un problema de valor inicial cuya solución no tiene buen comportamiento, el proceso de discretización podría introducir algunos errores, ante lo cual el modelador debería tomar precauciones. Por ejemplo, si la solución escapa al infinito en un tiempo finito, con los métodos estudiados hasta ahora no podríamos detectarlo.
Ejemplo 2·.6.2
Seguimiento de las soluciones que escapan al infinito en un tiempo finito Apliquemos el método de Euler con tamaño de paso h
y' =_y2,
= 0.15 para resolver el PVI
y(O) = - 0.5
(3)
El resultado es la curva de línea discontinua de la figura 2.6.2. Puesto que al parecer la EDO tiene un comportamiento aceptable, nos inclinamos a aceptar esto como una solución aproximada de precisión razonable para el PVI (3). Sin embargo, la EDO y' = _y2 es separable y tiene solución exacta. La solución extendida al máximo para el PVI (3) es y(t) = 1I(t - 2),
t<2
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163
2.6 / Ejecución en computadora
y' = 1- tseny,
y(O) = 1
y' = 1- tseny,
y(O)
=1
- 1
Figura 2.6.3 Solución verdadera (curva continua), solu- Figura 2.6.4 Solución verdadera (curva continua), soluciónde Euler (curva discontinua): h =0.15 (ejemplo 2.6.3). ción de Euler (curva discontinua): h =0. 1 (ejemplo 2.6.3). Ili!f En el ejemplo 2.2.2
se ofrece más infonnación sobre el tiempo de escape finito.
que escapa a - 0 0 cuando t ~ 2- (la curva con línea continua de la figura 2.6.2). En la solución numérica no se percibe ese hecho. Lo que sucedió es que la solución de Euler avanzó en t = 2 Y se unió con las otras curvas solución. La inspección de la EDO no revela nada acerca de un tiempo de escape finito y, si no conociésemos la verdadera solución habríamos optado por aceptar la solución aproximada de la figura 2.6.2. Las implicaciones de esta observación son aleccionadoras, ya que el comportamiento de la solución calculada podría no indicar nada acerca del comportamiento de largo plazo de la solución verdadera.
Degradación de largo plazo __________________ Es posible que los programas de solución numérica paso por paso no sigan muy bien, las curvas solución hacia el final de los intervalos largos de t. En ocasiones, el error acumulado crece tan rápido que oscurece los rasgos de largo plazo de la curva solución. En el siguiente ejemplo se ilustra este hecho.
Ejemplo 2.6.3
Una buena solución de Euler adopta un comportamiento extraño Si aplicamos el método de Euler con h = 0.15, 0:5: t:5: 30, para resolver el PVI y' = 1- tseny,
y(O) = 1
y graficamos la solución, se observa un fenómeno extraño (figura 2.6.3). Al comparar la solución de Euler (línea discontinua) con la solución real (línea continua), se nota que la concordancia es buena, si no es que perfecta, para 0:5: t:5: 3, pero después se vuelve extraordinariamente buena para un intervalo largo de tiempo. Por último, alrededor de t = 24
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Sería revelador utili zar el método en las figuras 2.6.1 a 2.6.4 en vez del método de Euler.
lrW
la precisión de Euler parece degenerar en forma alarmante. Si se elige un tamaño de paso más pequeño al parecer sólo se retrasa el comportamiento anómalo de la solución de Euler (figura 2.6.4). El que el método de Euler sea de primer orden no informa nada acerca de su comportamiento de largo plazo.
Comentarios Aunque sólo hemos ilustrado las falsedades de la computadora para el método de Euler ésas y otras imprecisiones podrían ocurrir sin importar el programa y el algoritmo utilizado. A las observaciones anteriores pueden añadirse las siguientes: • Las computadoras sólo reconocen una cantidad finita de números. Por tanto, si en una computadora se registran números cuya magnitud es menor o mayor de los que reconoce, se dará lugar a una condición conocida como desbordamiento negativo (o positivo ). • Con los métodos descritos en la sección 2.5 se obtienen aproximaciones a los PVI que convergen en una solución verdadera cuando se utilizan cálculos aritméticos exactos y el tamaño de paso tiende a cero. Pero debido a que esto no es posible, las técnicas prácticas para hallar tales aproximaciones requieren una ingenuidad considerable. • Aunque, en teoría, ir hacia adelante a lo largo de la solución de un PVI, y luego regresar, conduce al valor inicial exacto, podría resultar falso cuando se utiliza un programa de solución numérica (véanse los problemas 2 y 3). El lector no debe desalentarse por el mal comportamiento de los programas elementales descritos en los ejemplos anteriores. A menudo es posible lograr resultados satisfactorios con los algoritmos de aproximación descritos en este capítulo, pero un buen programa universal utiliza más que un simple método de un solo paso. Como dijimos, las gráficas de soluciones de ecuaciones diferenciales de esta obra se obtuvieron con un programa muy poderoso y son muy precisas (es lo que creemos).
Problemas ________ www 1.
11 11 2.
~
___________________________________
(Tasas altas.) Considere el PVI y' = y3, y(O) = 1. (a) Utilice la separación de variables para hallar una fórmula de solución extendida al máximo del PVI. ¿En qué intervalo de t está definida la solución? (b) Grafique una solución de Euler en el rectángulo O:::; t :::; 1, O :::; y:::; 20. Utilice h = 0.05. (e) Grafique la solución exacta obtenida en el inciso (a) y la solución de Euler encontrada en el inciso (b) en el mi smo rectángulo. Explique lo que observa cerca de t = l/2. (Reversibilidad de un método de aproximación.) Si se utiliza un programa de solución numérica para resolver un PVI hacia adelante con respecto al tiempo, y luego
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2.6 / Ejecución en computadora
VE Los sistemas dinámicos son reversibles, pero es probable que las soluciones obtenidas con un programa de solución no lo sean.
• •
3.
hacia atrás, podría devolver un número que de ninguna manera está cerca del valor inicial. En este problema se considera este hecho desafortunado de las computadoras. (a) Supóngase quej(t, y) satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad (teorema 2.1.1) y que y = y(t), to::; t::; tI resuelve el PVI hacia adelante y' = f(t, y), y(to) = yo. Demuestre que esta misma función y(t) define una solución z = y(t) del PVI hacia atrás z' = f(t, z), Z(tl) = y(tl), to::; t::; tI Y que, por tanto, z(to) debe ser yo. (b) Utilice el RK4 con tamaño de paso h = 0.1 para hallar y graficar una solución aproximada del PVI y' = 3yseny - t, y(O) = 0.4, en el intervalo O::; t::; 8. (e) (Un buen programa hace mallas cosas.) Con el valor para y(8) calculado en el inciso (b), utilice el RK4 para resolver el PVI hacia adelante z' = 3zsenz - t, z(8) = y(8), de t inicial = 8 a t final = O. Grafique la solución. ¿Cuán cerca está z(O) de 0.4? Explique cualquier diferencia importante. (Más acerca de la reversibilidad.) Como se hizo notar en el problema 2, sif(t, y) satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad, entonces el PVI y' = j(t, y), y(to) = Yo, to::; t::; tI, es reversible en teoría, pero la experiencia con los programas de solución numérica muestra que en la realidad es distinto. En este problema el lector experimentará con un PVI lineal y demostrará que es posible superar las dificultades prácticas de trabajar con un PVI hacia atrás (pero sólo en parte) si se acorta la etapa de tiempo. (a) Obtenga todas las soluciones de la EDO lineal y' + 2y = costo Demuestre que cuando t ~ + las soluciones se aproximan a la solución específica yp = 0.4 00 ,
cost + 0 .2sent. •
• •
. 4.
•
Trace las curvas solución en el rectángulo O::; t::; 20, Iy l ::; 1.5 usando como puntos iniciales (O, 0.4), (O, ±1.5) y varios puntos arriba y abajo del rectángulo. Observe que las soluciones convergen en la solución yP(t) cuando t aumenta. Utilice el RK4 con tamaño de paso h = 0.1 para resolver el PVI con y(O) = 0.4 (e) Y trace una aproximación a y/t) para O::; t::; 20. (Buen programa, mal comportamiento.) Con el valor de y/20) encontrado en el (d) inciso (e), resuelva el PVI z' + 2z = cost, z(20) = yp(20), hacia atrás a partir de t inicial = 20 a t final = O, de nuevo con RK4 con h = 0.1. ¿Qué es lo que sucede? ¿Cómo explicaría la dificultad? [Sugerencia: las soluciones exactas convergen en Yp(t) si avanza el tiempo, pero divergen de y/t) si retrocede el tiempo. La naturaleza aproximada de las soluciones calculadas indica que el punto calculado (20, yp(20» no está exactamente en la curva solución de y = yp(t).] Repita el inciso (d), pero ahora con h = 0.01, 0.001. ¿Observa alguna mejo(e) ría? (Comportamiento de largo plazo.) En los problemas siguientes se muestra cómo al acortar el tamaño de paso se afecta el comportamiento de largo plazo de las soluciones aproximadas. (a) Utilice el método de Euler con tamaño de paso h = 0.1 para graficar una solución aproximada del PVI y' = 1 + ty cos y, y( O) = 1, O::; t ::; 28. Repita el procedimiento con h = 0.01. Describa lo qUe observa. (b)
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
(b) Repita el inciso (a) pero ahora con el RK4 . •
5.
~
Muestra que debe tener cuidado de no leer de más en una solución numérica.
•
6.
7.
•
11 8. ~
Si se ve en apuros, vea el ejemplo 3.5.2.
(Comportamiento cualitativo de las aproximaciones numéricas.) En los problemas
se observa que las soluciones aproximadas no siempre describen fielmente las propiedades cualitativas de las soluciones exactas. (a) (EDO logística.) Por medio de la separación de variables resuelva el PVI y ' = (1- y)y, y(O) = yo. ¿Qué sucede con la solución cuando t --7 + 00 si Yo > O? Utilice un dispositivo de graficación para trazar esta solución en el intervalo O:S; t :s; 8 cuando Yo = 2. Luego aplique su mejor programa de solución numérica al mismo PYI. ¿Cómo se compara esta solución aproximada con la solución verdadera? (b) Resuelva el PVI del inciso (a) por medio del método de Euler con h = 0.75 Y Yo = 2, Y grafique la solución de Euler en O:S; t:S; 8. ¿La solución de Euler se comporta cualitativamente del mismo modo que las soluciones del inciso (a)? Explique las diferencias. (e) Repita el inciso (b), pero con h = 1.5 Y Yo = 1.4. (d) Repita el inciso (b), pero con h = 2.5 Y Yo = 1.3 . (Sucesiones convergentes de Euler.) Considere el PVI logístico y' = r(l - y)y, y(O) = Yo > O, donde r es una constante positiva. Las iteraciones de Euler son generadas mediante Yn = YII - l + rh(l- Yn-J)' n = 1, 2, ... , y h > O. La solución de Euler depende del parámetro a = rh, no de r o h por separado. Para cada uno de los intervalos de parámetro O < a:S; 1 Y 1 < a:S; 2, las soluciones de Euler exhiben propiedades cualitativamente distintas de largo plazo. Realice las simulaciones siguientes. (a) Sea r = 10, h = 0.05 (por tanto, a = rh = 0.5). Construya y grafique las soluciones de Euler para cada uno de los valores iniciales Yo = 0.3, 2.0. Compare las soluciones de Euler con la curva solución exacta en O:S; t:S; 1 (para Yo = 0.3) y en O:S; t:S; 0.5 (para Yo = 2.0). Explique las diferencias cualitativas. (b) Sea r = 100, h = 0.015 (por tanto, a = rh = 1.5). Construya y grafique las soluciones de Euler para cada uno de los valores iniciales Yo = 0.5, 1.5. Compare las soluciones de Euler con la curva solución exacta en O:S; t:S; 0.1 (para Yo = 0.5) Y en O:S; t:S; 0.15 (para Yo = 1.5). Explique las diferencias cualitativas. (Análisis de signos y soluciones aproximadas.) Considere el PYI y' = - y(l- y)2, y(O) = 1.5. (a) Demuestre por análisis de signos (sección 2.2) que las curvas solución arriba de la recta de solución y = 1 caen hacia esa recta, en tanto que las curvas solución debajo de la recta desaparecen con el tiempo. (b) Grafique las soluciones aproximadas dadas por el método de Euler con tamaño de paso h = 0.1, 0.5, 1, 1.5 Y 2. Comente las propiedades dignas de mención. (Tasas de muestreo y designación alterna.) Todas las soluciones del sistema lineal autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias, x' = y, y' = -4x, están dadas por las fórmulas de solución x = A sen (2t + ~ ) , y = 2A cos (2t + ~), donde A y ~ son constantes arbitrarias. En este problema se muestra que si se examina o muestrea una solución calculada en intervalos de tiempo relativamente largos, las gráficas resultantes pueden ser muy engañosas.
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2.6/ Ejecución en computadora
(a) Trace las gráficas componentes tx y ty y las órbitas xy de las soluciones con puntos iniciales Xo = O, Yo = 1 Y luego con Xo = O, Yo = 2. Describa estas gráficas. (b) Con el método RK4 para sistemas (sección 2.5), resuelva el PVI x' = y, x(O) = O, y' = -4x, y(O) = 1, en el intervalo de tiempo O $; t $; 100 con tamaño de paso h = 0.1. Grafique x(t) en el plano tx. (e) Con el tamaño de paso h = 0.1 del inciso (b), sitúe únicamente el quinto punto calculado de x(t). Repita el procedimiento, pero ahora sitúe sólo el décimo punto y luego el vigésimo. Explique las diferencias en estas gráficas a partir de la gráfica del inciso (b).
2.7
Método de Euler, la EDO logística y el caos En varias secciones de los capítulos 1 y 2 explicamos el método de Euler y la EDO logística, pero ¿qué tienen que ver ambos con el caos? Un estado caótico es una condición de confusión y desorden, y es difícil encontrar algo caótico en las fórmulas precisas del método de Euler o en la EDO logística y sus soluciones. El único indicio de que pudiera haber una relación se observa en la figura 2.6.1, donde una solución de Euler de una EDO logística específica al parecer se mueve de un lado a otro. En esta sección veremos el comportamiento de largo plazo y el movimiento caótico de las soluciones de Euler de una EDO logística para diversos tamaños de paso.
M étodo de Euler para la EDO logística con cambio de escala ~ La EDO logística general p' = (l - P/K)P se modificó mediante un cambio de variable a y' = (1 - y)y en la sección 2.4.
El método de Euler con tamaño de paso h aplicado al PVI logístico con cambio de escala y' = (l - y)y,
y(O) =
Yo> O
(1)
donde y' denota a dy/ds, da el algoritmo de Euler específico
n = 1,2, ...
(2)
Como se describió en la sección 2.5, los valores de Euter Yn producen los puntos de Euter (nh, Yn) en los vértices de la solución de Euler de línea quebrada que aproxima la solución exacta del PVI (1). Si h es pequeña, entonces la solución de Euler produce una aproximación muy buena de la solución verdadera. Por lo menos eso parece si Yo no está muy alejada del valor de equilibrio de 1 y si se toma un gran número de pasos de modo que modo que se amortigüe el movimiento inicial de la solución de Euler.
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
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40
Figura 2.7.1 La solución de Euler (línea discontinua) tiende a y = 1 para h = 1.65 (ejemplo 2.7.1).
100
50
50
150
s
Figura 2.7.2 La solución de Euler (línea discontinua) tiende a la solución de Euler con ciclo de dos valores: h = 2.1 (ejemplo 2.7.2).
Duplicación de periodo En la siguiente secuencia de ejemplos se muestra una extraña pauta de sucesos cuando se aplica el método de Euler para valores crecientes de h. La curva de línea continua de las figuras 2.7.1 a 2.7.4 es la gráfica de la solución verdadera de la EDO y' = (1 - y)y, con el valor correspondiente de y(O).
Ejemplo 2.7.1
La solución
de Euler tiende a la solución
verdadera
En la figura 2.7.1 se muestra la solución de Euler (línea discontinua) del PVI (1) si h = 1.65, Yo = 1.3. Después de cierta incertidumbre inicial, los valores de Euler Ynse fijan en la repetición del número 1. Los valores Yn = 1, para toda n, definen una solución periódica 1, 1, 1,... del algoritmo de Euler (2). Éste es un ejemplo de unciclo de un valor. Es S910 para los valores de h después de 2 que ocurre un comportamiento interesante, así que probemos con los valores de h = 2.1, 2.5, 2.56, 2.567 y, luego, el caos en 2.65.
Fig cor (eje
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169
2.7 / Método de fuler; la fOO logística y el caos
y' = (l-y)y,
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150
Figura 2.7.3. Aproximación a una solución de Euler ,Figura 2.7.4. Aproximación a una solución de Euler con ciclo de 4 valores (línea discontinua): h = 2.5 con ciclo de 8 valores (línea discontinua): h = 2.56 (ejemplo 2,7.4), (ejemplo 2.7.3).
Ejemplo 2.7.2
Aparece un ciclo de 2 valores: h = 2. 1 En la figura 2,7,2 se muestra lo que sucede con los valores de Euler Yn cuando h = 2.1 Y Yo = 1.3, Las coordenadas de los puntos superiores e inferiores de la solución de Euler (línea discontinua) que se muestran en la figura 2.7.2 son t = nh, Y = Yn' n = 1, 2, ... Estos valores al parecer se estabilizan en una sucesión periódica, después de cierta confusión inicial, oscilando entre los valores Y n "" 1.13 Y Yn+l "" 0.83 para un valor de n suficientemente grande. Se dice que la sucesión periódica 1.13,0.83, 1.13,0,83,." es un ciclo de 2 valores 0 2-ciclo porque siempre se repiten dos valores una y otra vez, Hay un segundo 2-ciclo 0,83, 1. 13, 0.83, 1. 13, ... que es el primer ciclo desplazado por un semiperiodo. Después de cierta experimentación, parece ser que para cualquier Yo cercana a 1 (pero no igual a 1) la solución de Euler que resulta para h = 2.1 es atraída por una solución de Euler con ciclo de 2 valores, Esta propiedad de atracción es la razón de que podamos ver estas soluciones. Ya definimos un ciclo de 2 valores; definamos ahora un ciclo de k valores. Una solución para el PVI logístico (1) genera un ciclo de k valores si se repiten los mismos k
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
2.7 l.
1.,
valores de Euler Yo, y¡, ... , Yk-¡ en ese orden, siempre:
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Yo, y¡, ... , Yk-¡' Yo, y¡, ... , Yk-¡""
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Si k es el entero más pequeño para el que ocurre esta repetición, entonces k es el periodo del ciclo. Por ejemplo, para un valor de h pequeño el algoritmo de Euler (2) tiene un solo ciclo positivo de un valor, Yn = 1, para toda n, y todas las soluciones de Euler con Yo cerca de 1 son atraídas a la solución de Euler con ciclo de un valor. La solución de Euler de la figura 2.7.2 es atraída a un ciclo de 2 valores. Ahora incrementemos el tamaño de paso y veamos qué pasa con la aproximación de Euler a una solución de Euler con ciclo de 4 valores.
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Ejemplo 2.7.3
Aparición de un ciclo de 4 valores: h
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En la figura 2.7.3 se muestra que la solución de Euler (línea discontinua) con h = 2.5 YYo = 1.3 es atraída a una solución de Euler con ciclo de 4 valores. Aunque no se muestra en la figura, la solución de Euler que empieza con cualquier valor de Yo lo suficientemente cercano a 1.3 es atraída hacia este ciclo de 4 valores.
Figl una: (ejer
Hemos elegido varios intervalos de tiempo (correspondientes a varios números de pasos de Euler) en los que se grafican las soluciones de Euler. En cada caso se va lo suficientemente lejos para ver que se estabilice la solución, pero no tanto que pierda claridad. Intentemos duplicar el periodo de nuevo (de 4 a 8) mediante un pequeño.incremento de h.
Ahora aparece un ciclo de 8 valores:
h = 2.56
Sea h = 2.56 YYo = 1.3 (de nuevo) y la solución de Euler es atraída hacia una solución de Euler con ciclo de 8 valores (figura 2.7.4). 1&
Cada vez es más difícil detectar los ciclos debido a los segmentos que suben y bajan; por tanto, de aquí en adelante sólo graficaremos los puntos de Euler (t,,, Yn), donde Yn son los valores de Euler, y omitiremos los segmentos de conexión. En la figura 2.7.5 se muestran estos puntos después de otra duplicación del periodo cuando h aumenta de 2.56 a 2.567.
Ejemplo 2.7.5
Un ciclo de 16 valores:
h
= 2.567
En la figura 2.7.5 se muestra que si h = 2.567 Y Yo = 1.2, entonces la solución de Euler tiende a una solución de Euler con ciclo de 16 valores. No es fácil ver los 16 niveles de los puntos de Euler. Nótese la banda vacía alrededor de la recta Y = 1. En apariencia, los puntos de Euler se mantienen alejados de la solución verdadera del PVI y' = (1- y)y,
y(O)
= 1.2
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http://carlos2524.jimdo.com/ 171
2.7 / Método de Eulet, la EDO logística y el caos
y' = (1 - y)y,
1.4
y(O) = 1.2
y'
= (1 -
y)y,
y(O)
= 1.2
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Figura 2.7.5 Aproximación a los puntos de Euler de una solución de Euler con ciclo de 16 valores: h = 2.567 (ejemplo 2.7.5).
Figura 2.7.6 Movimiento caótico de los puntos de Euler: h = 2.65 (ejemplo 2.7.6).
¿Dónde termina la duplicación del periodo? ¿Qué sucede después que termina? Se sabe que hay una sucesión convergente de tamaños de paso 2 = hl < hz < ...
e
1&'
El caos
comienza
con h > h*.
Ejemplo 2.7.6
< hk < ...
con hk ~ h* cuando k ~ 00 , donde h* es un número específico un poco menor que 2.65, de modo que cuando h aumenta con cada hs; un ciclo atrayente 2k se bifurca en un ciclo atrayente 2k+l. Éste es un ejemplo de una sucesión de bifurcaciones con duplicación de periodo. Los valores de h utilizados en los últimos cuatro ejemplos fueron seleccionados de los intervalos (hl, h2),···, (h¿ h5)' Por consiguiente, veamos qué sucede con un valor de h mayor que h*.
Comportamiento caótico: h
= 2.65,
Yo
=
1.2
En la figura 2.7.6 se ilustran los puntos de Euler que con toda claridad tienen un movimiento un poco caótico. La única característica distintiva de la figura es que (como en el ejemplo 2.7.5) tales puntos salen de una banda estrecha centrada en la recta y = 1.
Diagramas de bifurcación por caos En años recientes los matemáticos, científicos, ingenieros y economistas han intentado crear una teoría de dinámica caótica que ofrezca una manera de modelar el comportamien-
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
to aparentemente aleatorio, pero definido con precisión. En el intento de tratar de comprender esto, el ejemplo del algoritmo de Euler para el mapeo logístico ha desempeñado un papel central. Como vimos en la sección 2.4, los diagramas de bifurcación sirven para mostrar en forma gráfica qué sucede cuando cambia un parámetro. Lo mismo puede hacerse para el algoritmo de Euler con parámetro h. Lo que se quiere ver en el diagrama son los valores de Euler (para una h dada) que representan el comportamiento de largo plazo (es decir, los valores grandes de n), ya sea con un ciclo de dos valores, de cuatro, caótico o con cualesquiera. A continuación se describe cómo llevar a cabo la construcción.
Construcción de un diagrama de bifurcación El comportamiento de los valores de Euler Yn para cada sucesión de valores de h puede investigarse mediante la construcción de una gráfica en el plano hy como sigue: • Elija un valor para Yo cercano a 1.2. • Elija un valor de h en el intervalo O < h S; 3. • Elija un valor de N lo suficientemente grande para que los valores de Euler y¡, .. ., YN revelen cualquier ciclo de atracción. • Elija un entero positivo J y calcule los valores de Euler YI , ... , YN+J. • Sitúe los puntos (h, y¡) en el plano hy para N < i S; N + J. • Elija otro valor de h y repita el proceso.
I@" La figura 2.7.7 cambia un poco si se el igen otros valores de Yo cercanos a 1.2.
Los valores YI ,"" YN se eliminan en el quinto paso de la construcción para eliminar cualquier movimiento aleatorio inicial. Esto significa que si se nota tal movimiento en los valores de Euler, lo que en realidad representa es un comportamiento caótico de largo plazo. En la figura 2.7.7. se muestra lo que sucede si este proceso se realiza en el intervalo 1.6 S; h::; 3 para 1400 valores de h igualmente espaciados con'N = 500 y J = 200. Los ciclos de atracción de 1, 2, 4 Y 8 valores se observan con claridad a la izquierda del diagrama, pero luego se mueven a una región borrosa donde no es claro qué ocurre con los valores de Euler para un valor de h en particular. Al parecer hay un ciclo de atracción de 6 valores para h "" 2.628 Y un ciclo de atracción de 5 valores para h "" 2.740. Estos ciclos se ven con más claridad en la figura 2.7.8, en la cual se amplía la región para el intervalo 2.6 ::; h S; 2.9. No obstante, la característica más sorprendente es la banda ancha vertical de color blanco que empieza en h =.J8 (se ha demostrado que este valor es preciso), donde hay un ciclo de atracción de 3 valores. Se ha demostrado que si existe un ciclo de 3 valores (de atracción o no) también existen ciclos de cualquier periodo. Este resultado se cumple no sólo para el algoritmo de Euler sino para cualquier algoritmo y" = F(Yn _1),donde F es continua en la recta reaL Debido a que algunas personas definen el caos como la presencia de ciclos de cualquier periodo, es de considerable importancia la existencia y ubicación exacta de ciclos de 3 valores. Para un valor dado de h se sabe que a lo sumo hay un ciclo de atracción. Aun-
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das
173
2.7 / Método de Eulet; la EDO logfstica y el caos
ill-
do
Yn
1 .50
= Yn-l + h(l-
Yn-l )Yn-l
0[-
alde los es-
l. 25
1. 00
?-.
0.75
0.50
0.25
h YN
Figura 2.7.7 Diagrama de bifurcación del algoritmo logístico de Euler.
a-
que pudiera haber muchos ciclos, por los cálculos sólo se observan los ciclos de atracción. Existe una creencia muy difundida de que lo que se observa en cada porción vertical de la región borrosa de las gráficas de las figuras 2.7.7 y 2.7.8 es resultado de un movimiento caótico no periódico. A propósito, los "rayos curvados" de la figura 2.7.8 que emanan del punto h "" 2.68, Y = 1 no son artefactos computacionales.
o. .6
El periodo tres indica caos
l-
a,
Exploremos la importancia de los ciclos de periodo 1,2,4, 8, ... presentados en esta sección y exactamente qué función desempeña un ciclo de periodo 3 en la historia del caos. Empezaremos con un orden inusual de los enteros positivos:
n 3>-5>-7>-···
$ W Ésta es la sucesión de Sarkovskii de los enteros positivos.
2·3 >- 2·5 >- 2·7 22.3>-
22.5>-
22·7
>- ... >- ...
n
e
Los enteros impares mayores que 1 se enumeran en orden ascendente al frente de la sucesión. Luego, cada uno de estos números impares se multiplica por 2 y se listan; después, los enteros impares se multiplican por 22, y así sucesivamente, hasta que se listan todos lo
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
1.50
1
Yn =Yn-I
+ h(l -
Yn- I )Yn- I
1 . 2 5 ~1~ :~l~If¡"I~i ··'~~!l~~("'"~~'!",!,';¡¡'.!':"~·¡!SJ:i!\ll\':~ '1!1¡~;~::j;i;~~1\'m¡'!:~¡;: ... ... ': ¡Ij
"1. +.
0.75
t
+ + f l,
11
'1
J'
:: f -':_;'~_~+I~_~"' +I_~~lf~I'_:¡'_~~:"- <1 +-_ " __
2.6
_
2.7
__
2. 8
2.9
h
Figura 2.7.8 Ampliación de una parte de la figura 2.7.7.
números positivos excepto las potencias de 2. A continuación se enumeran las potencias de 2 en orden descendente, .. . >- 2 4 >- 2 3 >- 2 2 >- 2 1 >- 2 0 = 1. ¿Cuál es la relación de esta sucesión con el caos? En 1964 el matemático ruso A. N. Sarkovskii demostró un teorema notable acerca de las funciones continuas y esta sucesión.
Teorema 2.7.1
Teorema de Sarkovskii. Supóngase que j{y) es cualquier función continua de valores reales, - 00 < y < 00 • Si el algoritmo Yn = f(Yn - l)' Yo = a, n = 1,2, ... tiene un ciclo de periodo menor k y si p es cualquier entero que sigue a k en la sucesión de Sarkovskii, el algoritmo tiene un ciclo de periodo p. El aspecto sorprendente de todo esto es que con una hipótesis muy débil (j es continua) se obtenga una conclusión tan contundente. En nuestro trabajo aquí hemos usado el algoritmo de Euler con f(y) = y + h(l - y )y
que, para cada valor de h, es continuo para los valores de y. En la figura 2.7.7 se comienza a la izquierda con valores de h mediante los que se obtienen ciclos con periodos de potencias de 2 (véase la cola de la sucesión de 8arkovskii). Sin embargo, hay pruebas de un ciclo de atracción de periodo 6 si h "" 2.628. Con la situación del número 6 en la sucesión se concluye que para este valor de h, la funciónj{y) tiene ciclos de periodo 10, 14, 18 y, de hecho, ciclos de todos los periodos (excepto quizá 3,5, 7, ... que preceden a 6 en la su-
http://carlos2524.jimdo.com/ 2.7 / Método de Euler, la EDO logística y el caos
175
cesión). ¿Por qué no aparecen estos ciclos en la figura 2.7.7? Se sabe que para cada valor de h el algoritmo de Euler tiene a lo sumo un ciclo de atracción. A fin de ver uno (de un número infinito) de estos ciclos con otros periodos, tendríamos que elegir exactamente el valor inicial derecho, ya que estos ciclos no son de atracción. Es posible hacer un análisis similar para el valor de h '" 2.740 donde f tiene en apariencia un ciclo de atracción de 5 valores. En este caso,ftiene ciclos de todos los periodos (excepto quizá 3). Lo anterior nos deja con el ciclo de tres valores, que es donde James YorkeX entra en la historia del caos. En 1975 Yorke y su colega T. Y. Li publicaron un artÍCulo titulado "Periodo tres indica caos". Yorke fue el primero en usar la palabra "caos" en este contexto. Desde que apareció ese artÍCulo fundamental, matemáticos, científicos, ingenieros, economistas y muchos otros trataron de interpretar, entender y modificar el significado del caos. En la bibliografía aparecen, por lo general, otras definiciones, pero el tema aún sigue en un estado de caos.
Comentarios En años recientes, matemáticos y científicos de todo el mundo han estudiado la aparición del caos en sistemas dinámicos determinísticos que modelan cualquier cosa, desde el comportamiento de largo plazo del movimiento planetario hasta la dinámica turbulenta de los nubarrones que desatan tormentas. Los científicos y los matemáticos se interesan en los sistemas dinámicos donde se observan signos de caos y han buscado explicaciones para este extraño comportamiento. El aspecto notable de todo esto es que los sistemas dinámicos son determinísticos en el sentido de que cualquier estado futuro del sistema queda completamente determinado por su estado inicial. Por tanto, ¿cómo puede ocurrir el caos? Hemos arrojado un poco de luz al respecto en el contexto de la ecuación logística discreta. A continuación se enumeran algunas referencias donde se dan detalles acerca de la dinámica caótica. • R. L. Devaney, An-Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2a. ed., Addison-Wesley, Nueva York, 1989.
x
James Yorke
James Yorke es profesor de matemáticas en el Instituto de Ciencias Físicas y Tecnología de la Universidad de Maryland. En 1972, un colega le dio a Yorke una copia del artículo de Lorenz de 1963 " Deterministic Nonperiodic Flow", que lo había impresionado y fue de gran influencia para que Yorke trabajara en la dinámica caótica. Durante años, Yorke ha tenido la oportunidad de trabajar con científicos e investigar problemas fascinantes de una amplia variedad de disciplinas. Entre otros proyectos, convenció al gobierno federal de Estados Unidos de cambiar las formas de control de propagación de las enfermedades, sostuvo correctamente que fallaría el sistema de racionamiento de gasolina par-impar de la década de 1970 y demostró que una fotografía de una manifestación pacifista fue tomada una hora antes de lo que afirmaba el gobierno. Como confirmación de la importancia de estudiar el desorden determinístico de lo que llama caos, Yorke dijo : "Las personas se preguntan de qué sirve el desorden. Bueno, al menos debemos conocerlo antes de enfrentarlo."
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Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
•
T. Y. Li YJ. A. Yorke, "Period Three Implies Chaos", American Mathematical Monthly
82, 1975, pp. 985-992. • M. Martelli, Discrete Dynamical Systems and Chaos, Longman/Wiley, Nueva York, 1992. • P. Saha y S. H. Strogatz, "The Birth ofPeriod 3", Mathematics Magazine 68,1995, pp. 42-47. • P. D. Straffin, "Period Points of Continuous Functions", Mathematics Magazine 51, 1978, pp. 99-105.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Ciclos de 2 valores.) Demuestre que para cualquier h > 2 la relación de recurrencia Yn+l = Yn + hYn(l- Yn-l)' para un determinado valor de Yo
•
www
2.
.3.
•
4.
tiene precisamente dos valores de Yo, (h + 2 ± ~ h 2 - 4) / 2h, en el intervalo O< Yo < (1 + h)/ h que dan lugar a ciclos de dos valores. [Sugerencia: sea u uno de estos valores de Yo Y establezca v = u + hu(l - u). Entonces para que u dé lugar a un ciclo de dos valores, debe tenerse u = V + hv(l - v).] (Duplicación de periodo.) Sea h = 0.023. Construya la solución de Euler para y' = 100y(1 - y), y(O) = 1.3, O::; t::; 1. Compare el>ta solución de Euler con la curva solución exacta. Repita esta simulación con h = 0.025. ¿Se estabilizan tarde o temprano-los valores de las soluciones de Euler en algún patrón? En caso afirmativo, ¿cómo describiría éste? (Movimiento caótico.) Investigue las soluciones de Euler para y' = ry(l - y), y(O) = 1.2, con tamaño de paso h, donde rh = 2.65. (a) Sea r = 1 Y h = 2.65. Trace el polígono de Euler que empieza en y(O) = 1.2 en cuatro intervalos: [O, 100], [lOO: 200], [200, 300], [300, 400]. ¿Nota algún patrón? Interprete lo que observa. (b) Sea r = 2.65 Y h = 1. Grafique el polígono de Euler que empieza en y(O) = 1.2 en los cuatro intervalos: [O, 100/2.65], [100/2.65, 200/2.65], [200/2.65, 300/2.65], [300/2.65,400/2.65]. ¿Por qué estas gráficas se ven exactamente como las del inciso (a)? ¿A qué se parecerían los polígonos de Euler correspondientes a r = ro > O, h = ho > O, y(O) = 1.2 si roho = 2.65 Y si las gráficas se trazaran en [O, lOO/ro], [lOO/ro, 200/ro], etcétera? Explique por qué . (Movimiento caótico.) Construya las iteraciones de Euler con h = 2.75 para el PVI logístico y' = y( l - y), y(O) = Yo, en el intervalo O::; t::; 2000, donde Yo = 0.25, 0.5, 0.75, 1.2. Trace las gráficas para cada valor de Yo. ¿Nota algún patrón en las iteraciones? [Precaución: resuelva este problema sólo si su programa de solución numérica traza las iteraciones sin unir las líneas.]
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177
2.7 I Método de Euler; la EDO logística y el caos
~ 5.
(Diagramas de telaraña.) En esta sección aplicamos el método de Euler con tamaño de paso h al PVI logístico dy/ds = (1 - y)y, y(O) = Yo, con lo que se obtuvo el algoritmo Yn = Yn- I + h(l - Yn- I )Yn-I' n = 1, 2, ... , N. Graficamos la sucesión YI,···, YN para obtener las gráficas ilustradas en esta sección. Con los diagramas de telaraña se tiene otra sencilla manera geométrica de "ver" a qué se parecerá la solución de Euler. Siga la descripción que se da a continuación para aprender cómo funcionan los diagramas de telaraña. Vuelva a escribir el miembro derecho de y" = Yn- I + h(l- Yn-I )Yn- I' completando el cuadrado en la expresión cuadrática para Yn- I a fin de obtener
YI1
=-h(
Yn-I
_1+h)2+(1+h)2 2h 4h
Grafique YIl contra Yn- I· ¿Para qué valor positivo Y: _I de Yn-I es YIl = O?Demuestre que el valor Yn-I = (1 + h)/h produce el valor máximo de YIl . ¿Cuál es ese valor máximo? ¿Qué valores de Y~~I y Y~~I hacen que Yn = 1? Demuestre que para O ~ h ~ 3, ~ es menor o igual que el valor máximo de Yn. Concluya que para O ~ h ~ 3, si O ~ Yo ~ (1 + h)/h, entonces y" Y2, ... están en el intervalo [O, (1 + h)/h]. Superponga la recta Yn =Yn- I sobre la parábola obtenida al graficar y" contra Yn-I y demuestre que la sucesión de Euler YI, Y2, ... puede construirse como sigue: 1. Trace una recta vertical discontinua desde Yo a la parábola para obtener YI. 2. Luego, dibuje una recta horizontal discontinua sobre la recta YIl = Yn- I. 3. Trace una recta vertical discontinua otra vez hacia la parábola para obtener Y2. 4. Repita estos pasos. Este proceso se ilustra en las siguientes gráficas para los casos O < h < 1, 1 < h < 2 y 2 < h < 3, respectivamente. A partir de estas gráficas puede inferirse mucho acerca del comportamiento de las sucesiones de Euler Y¡, h, ... , las cuales suelen recibir el nombre de -diagramas de telaraña. Describa el comportamiento de la solución de Euler predicho por cada gráfica. ¿Por qué la tercera gráfica indica una aproximación a un ciclo de 4 valores?
y:
(1) h
= 0.75,
Yo
=2
(2) h
= 1.5,
Yo
= 1.4
(3) h = 2.5,
Yo = 1.3
1.50
1.25
······n··--- ...
u
..n n...
:: :: ::
········T······jt.~~~~~'"''''''''''
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178
Problemas de valor inicial y sus soluciones aproximadas
Elija algunos valores para h. Trace a mano los diagramas de telaraña y prediga el comportamiento de la solución. Trace las curvas solución y compárelas con sus predicciones. ~ 6.
(Comportamiento de las soluciones de Euler.) Dé una justificación convincente para la siguiente descripción general del comportamiento de las soluciones de Euler para el PVI y' = y(l - y), y(O) = Yo en los regímenes de parámetros indicados. ¿Qué implica este comportamiento acerca de la elección del tamaño de paso h? [Sugerencia: es posible que desee usar los diagramas de telaraña (véase el problema 5).]
Para 0< h ~ lla sucesión de Euler {Yn} generada por alguna elección del punto inicial Yo en el intervalo O < Yo < (1 + h)/ h se comporta como sigue: (a) Si O < Yo < 1, entonces {Yn} aumenta constantemente hacia 1 cuando n ~ 00 • (b) Si Yo = 1 o l/h, entonces Yn = 1, para n ~ 1. (c) Si 1 < Yo ~ l/h, entonces {Yn} decrece constantemente hacia 1 cuando n ~ oo. (d) Si l/h < Yo < (1 + h)/h, entonces O < YI < 1 Y {Yn} aumenta hacia 1 cuando n~oo
•
.
Para 1 < h ~ 2 la sucesión de Euler {Yn} generada por la elección inicial de Yo en el intervalo O < Yo < (1 + h)/h se comporta como sigue: (a) Si O < Yo < l/h, la sucesión de Euler {Yn} aumenta constantemente hasta que YN> 1 para alguna N; para n > N, {Yn} alterna respecto a 1 en tanto que se aproxima en forma constante a 1 cuando n ~ 00 • (b) Si Yo = l/h o 1, entonces Yn = 1 para toda n ~ 1. (c) Si l/h < Yo ~ 1, entonces {Yn} alterna respecto a 1 en tanto que se aproxima en forma constante a 1 cuando n ~ 00 • (d) Si 1 < Yo < (1 + h)/h, entonces O < YI < 1. De ahí en adelante {Yn} se comporta como se describió en los incisos (a), (b) o (e), según el valor de YI.
•
(Movimiento caótico y duplicación de periodo.) Para h > 2 la sucesión de Euler {Yn} generada por un valor inicial Yo en el intervalo O < Yo < (1 + h)/h no se aproxima a 1 cuando n ~ 00 • ¿Cómo describiría el comportamiento de {Yn}?
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Capítulo
y" + O.ly' +64y = sen(8.6t)
3
y(l3) = -0.75 y'(l3) =1.2
40 35 30
25
t
20 15
---=-s--o-"7----1 o
-Jo-O
-5
y'
La gráfica registra el movimiento de un peso en un resorte en el espacio tridimensional constituido por la posición y, la velocidad y' y el tiempo t. Describa e interprete las proyecciones en los planos ty y yy'. Revise el ejemplo 3.2.2.
5
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Las oscilaciones de un resorte con peso, el movimiento oscilatorio de un péndulo, la corriente alterna en un circuito eléctrico, todos estos fenómenos pueden modelarse con una EDO de segundo orden . Al modelar en éste y en el siguiente capítulo veremos que las EDO no lineales son útiles, pero la aproximación de EDO lineales con fórmulas explícitas sirven para muchas aplicaciones.
3.1
Resortes: modelos lineales y no lineales Rebotamos sobre resortes, dormimos sobre resortes, jugamos con resortes; viajar en automóvil es suave y cómodo gracias a los resortes. Por ello, utilizaremos ecuaciones diferenciales ordinarias para modelar las oscilaciones de varios tipos de resortes; después relacionaremos las soluciones con nuestras experiencias con los resortes físicos. A fin de centrar la atención, supóngase que se añade un peso a un extremo de un resorte carente de masa, en tanto que el otro extremo está fijo al techo. Si se jala el peso hacia abajo y luego se suelta, el sistema masa-resorte oscila hacia arriba y hacia abajo. La naturaleza del movimiento depende de la fuerza del resorte, las fuerzas de fricción, la fuerza gravitacional y cualquier otra fuerza externa que actúa en el cuerpo.
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Ecuaciones diferenciales
,di
Midamos la posición vertical del peso por medio de un eje y que apunte hacia arriba con y = O en la posición neutra donde el resorte no está estirado ni comprimido, Entonces y < O indica un resorte estirado y y > O un resorte comprimido, Con la segunda ley de Newton (sección 1.5) describimos la posición y(t) del cuerpo, de modo que debemos saber qué fuerzas actúan sobre el cuerpo en cualquier instante. Las cuatro fuerzas que consideraremos son: la fuerza del resorte, la fuerza de amortiguamiento, la gravedad y una fuerza motriz exterior. En la figura al margen se muestra un sistema resorte-masa estirado (y < O), una fuerza motrizj(t) que actúa paralela al eje de las ordenadas y una fuerza de fricción representada por el amortiguador (que se ilustra como un cilindro de líquido a través del cual se mueve un pistón). La fuerza gravitacional mg sobre el cuerpo de masa m actúa hacia abajo, en dirección vertical. Los siguientes modelos para el resorte y las fuerzas de amortiguamiento se basan en las observaciones de resortes reales.
1 1 1.
'
1,\ '1
1
de segundo orden
Amortiguador
~
r f(I)!
Fuerza del resorte y de amortiguamiento
~ En la sección 1,5 vimos el amortiguamiento viscoso,
~ Es posible que para este propósito usted haya visto que se utilizan "di agramas de cuerpo libre",
Fuerza del resorte. La fuerza S(y) ejercida por un resorte sobre un cuerpo actúa paralela al eje del resorte (el eje y) en una dirección para regresar el resorte al estado neutro y = O. Fuerza de amortiguamiento viscoso. La fuerza de amortiguamiento viscoso sobre un cuerpo tiene una magnitud proporcional a la velocidad y actúa en dirección opuesta a la dirección de movimiento. En primer lugar, expresamos las curvas que actúan sobre el cuerpo en términos de las variables de estado y y y'. A continuación, al combinar las fuerzas tomamos en cuenta la orientación del eje y ("arriba" es la dirección positiva). Recuérdese que S(y) actúa en dirección opuesta al desplazamiento y y que la fuerza de amortiguamiento actúa en dirección opuesta a la velocidad y'. Al hacer todo esto, se observa por la segunda ley de Newton que la posición y(t) del cuerpo en el instante t debe satisfacer la EDO de segundo orden. my" = suma de fuerzas = S(y) - cy' - mg + j(t)
Ley de Hooke
fuerte
------
Suave
,
donde e es la constante positiva de amortiguamiento viscoso (c = O si no hay amortiguamiento). Mediciones cuidadosas indican que si el desplazamiento a partir del estado neutro es pequeño, entonces la fuerza del resorte S(y) es una función impar, es decir Se-Y) = -S(y). Los modelos comúnmente utilizados para S(y) son
S(y)
,
-----_~
y
Resorte de la ley de Hooke
S(y)=-ky
----'k----
~
(1)
Resorte rígido
S(y)=
Resorte suave
S(y) = -ky+
Resorte viejo
S(y, t) = - k(t)y
-ky-
(2)
iv'
(3)
il
(4) (5)
3.1/Re
k(t)
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on <
181
3.7/ Resortes: modelos lineales y no lineales
k(r) Coeficiente del resorte viejo
vué
e0-
), n
el a-
donde k Yj son constantes positivas y k(t) es una función positiva. Estas fuerzas actúan en dirección opuesta al desplazamiento (para desplazamientos pequeños a partir del estado neutro). En comparación con la fuerza de la ley de Hooke, con la extensión o la compresión la fuerza del resorte rígido se intensifica (y la fuerza del resorte suave se debilita), y el coeficiente del resorte viejo k(t) se debilita con el tiempo (véanse las figuras al margen). La constante k suele llamarse constante del resorte. Los resortes reales pueden comprimirse o estirarse hasta cierto punto; por tanto, es limitado el intervalo de validez de la EDO (1) utilizada como modelo. Empecemos por considerar algunas EDO modelos para el movimiento de un resorte.
Modelos lineales
n
Una EDO lineal de segundo orden escrita en lafarma lineal normal está dada por y" + a(t)y' + b(t)y = c(t)
(6)
donde las funciones a(t), b(t) y c(t) están definidas en un intervalo t común. Para escribir la EDO (1) en la forma lineal normal, se elige S(y) = -ky (ley de Hooke) en la EDO (1), se divide entre la masa m, se reordenan algunos términos y se obtiene e , +-y=-g+k Y" +-y m m
n
t t
.
.
1 f( t ) m
(7)
Ahora veamos cómo puede eliminarse la gravedad en la EDO (7). Supóngase que h > O es la deflexión estática cuando se fija el cuerpo de masa m al resorte (figura al margen). Para hallar el valor de h, obsérvese que para que el cuerpo cuelgue en reposo en el extremo del resorte la fuerza kh ejercida hacia arriba por el resorte debe ser igual a la fuerza gravitacional hacia abajo, es decir, kh = mg. Al sustituir y en la EDO (7) por y = Z - h se obtiene una EDO equivalente en la nueva variable de estado z:
h Deflexión debida alamasa
z" +~z' +~(z-h)=-g+~ m m Z"
m
e ,k+-z=- 1 f( t ) +-z m m m
f(t)
(8)
Obsérvese que ha desaparecido la constante gravitacional de nuestra EDO modelo. Se concluye entonces que el comportamiento de nuestro sistema resorte-masa en la Tierra (en relación con la posición de deflexión estática) sería el mismo en la Luna o en Marte. Sin embargo, puesto que h = mg/k, la posición de deflexión estática depende del valor de g. En el siguiente ejemplo se muestra cómo llevar a cabo la modelación y manejar las unidades.
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Ejemplo 3.1.1 ~ En el apéndice B.6 encontrará más información de las unidades.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Resorte amortiguado y forzado regido por la ley de Hooke: de los datos a la EDO
Un resorte regido por la ley de Hooke se suspende de un apoyo unido a un motor. Con el motor apagado, se cuelga del extremo libre del resorte un peso de 1 lb. La deflexión estática resultante es de 15.36 pulgadas. Un amortiguador proporciona una fuerza de amortiguación - ev, donde v es la velocidad del peso respecto al apoyo, y el valor de la constante de amortiguamiento e es 1.30 x 1O"-4lb-s/pulg. Entonces se enciende el motor y ejerce una fuerza motriz de oscilación vertical con frecuencia de 5.6 radianes por segundo y amplitud de 0.26 f(t) = 0.26 sen(5 .6t) lb
El desplazamiento z(t) del peso se mide desde la posición de deflexión estática. Utilicemos los datos proporcionados para calcular los términos de la EDO (8) para z(t) . Como tenemos el peso mg del cuerpo, primero multiplicamos la EDO (8) por mg: mgz" + egz' + kgz = gf(t)
Se tiene mg = llb, e =1.30 x 10-4 lb - s/ pulg, h = 15.36pulg, g =32 pies/ s 2 = 384pulg/s 2 , y k = mg / h; por tanto, eg = 1.30 x 10-4 x 384 = 0.05 lb/ s kg = (mg / h)g = (1115.36)384 = 25lb/ S2 gf(t) = 384(0.26 sen 5.6t) = 100sen(5.6t) pulg- lb/ s2
Entonces, el PVI que describe el movimiento del peso a partir de un estado inicial de reposo es z" + 0.05z' + 25z = 100sen(5.6t),
z(O) = O, z'(O) = O
donde z se mide en pulgadas. En la sección 3.6 se muestra cómo encontrar la fórmula de solución exacta para cualquier PVI de este tipo. Por el momento, utilizaremos un programa de solución numérica para obtener y graficar la solución z = z(t) (figura 3.1.1). En la figura se ilustra que al peso suspendido por este resorte le espera un viaje digamos agitado. Por experiencia sabemos que un resorte provisto de un peso permanece en reposo, en una posición de equilibrio si ninguna fuerza externa actúa sobre él. Este estado de reposo queda determinado a partir de una solución de equilibrio de la EDO modelo. Por tanto, ahora consideraremos los estados de equilibrio para varios modelos de resorte. ~
Para hablar acerca de las soluciones de equilibrio necesitamos las EDO autónomas. Revise la sección 2.2 para refrescar su memoria.
EDO autónomas: soluciones de equilibrio Una EDO autónoma de segundo orden normalizada tiene la forma y" = F(y, y')
(9)
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183
3.1/ Resortes: modelos lineales y no lineales
donde la función de aceleración F no depende de t. Supóngase que Yo es tal que F(yo, O) = O. Entonces la constante Y = Yo, para toda t, recibe el nombre de solución de equilibrio . En otras palabras, si al principio el sistema está en reposo [es decir, y'(O) = O], cuando y(O) = Yo, entonces permanece así por siempre en este punto. He aquí la explicación. Supóngase que y(t) = Yo para toda t. Entonces, y'(t) = O Y y"(t) = O. Pero F(yo, O) = O por hipótesis; por tanto, y(t) = Yo, para toda t, es una solución del PVI (9). El punto (yo, O) en el plano yy' se llama punto de equilibrio .
Ejemplo 3.1.2
Solución de equilibrio para un modelo de resorte lineal regido por la ley de Hooke La EDO lineal (7) para el resorte regido por la ley de Hooke conJ(t) = O, para toda t, es una EDO autónoma. Al escribir esta ecuación diferencial ordinaria como
se ve por comparación con la EDO (9) que F(y, y') = -(k/m)y-(c/m)y' - g
Sólo hay una solución de equilibrio porque F(yo, O) = O implica que Yo concuerda con el valor de deflexión estática h calculado antes. En el apéndice B.6 se aborda el peliagudo tema de los sistemas de unidades.
1&
= -mg/k, lo cual
Se trata de una EDO autónoma no lineal con tres equilibrios. Nótese que se utilizaron unidades métricas, no las unidades del sistema inglés del ejemplo 3.1.1. 40
z" + 0.05z' + 25z
=
100 sen(5.6t), z(O) = O,
z' (O) = O
20
La forma extraña de esta curva solución es producto de la combinación de dos funciones oscilatorias. En la sección 4.2 ampliaremos esta información.
1&
-20
-40
o
10
20
30
40
t (s)
Figura 3.1.1 Resorte forzado, amortiguado regido por la ley de Hooke (ejemplo 3.1.1).
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184
Ejemplo 3.1.3
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Soluciones de equilibrio para un modelo de resorte suave
La EDO para el resorte suave amortiguado sin forzamiento con g s- l, k/m = 10 s-2, j/m = 0.2 m- 2 s-2 es
=
9.8 m/s 2 , e/m
=
0.2
yl! = -lOy + 0. 2y 3 - 0.2y' - 9.8
Si se usa la notación de la EDO (9) se observa que F(y,y') = -lO y + 0.2 l - 0.2y' - 9.8
Por tanto, las soluciones de equilibrio y satisfacen la condición F(y,O) = 0.2y 3 - 10y -9.8= O
Tras realizar algunos experimentos, se encuentra que y cúbica puede factorizarse como
= -1
es una raíz, y esta ecuación
(y + 1)(0.2/ - 0.2y- 9.8) = O
Al parecer, F(y, O) tiene tres raÍCes: y = -1 Y (por medio de la fórmula cuadrática) y = (1±.,J197)/2 ", 7.52 ,-6.52.
Por consiguiente, las soluciones de equilibrio correspondientes son YI = -1, Y2 '" 7 .52, Y3 '" -6.52,
para toda t
en tanto que los puntos de equilibrio en el plano yy' son (YI, O), (Y2, O), (Y3' O). El primer punto corresponde a la posición de equilibrio estático para el resorte suave, pero resultan extraños los dos puntos de equilibrio distantes. Más adelante ahondaremos en este tema. Algunos programas de solución numérica no aceptan EDO de segundo orden, pero con el siguiente truco, sencillo (presentado en la sección 1.5), se logra que casi todos las acepten.
De una EDO de segundo orden a un sistema de primer orden Supóngase que con y(t) se resuelve el PVI yl! = F(t,y,y'),
y(to) = Yo' y '(to) = V o
(10)
Si se iguala v = y' , entonces se observa que v (t) satisface la EDO v' = F(t, y, v) y la condición inicial v (to) = Va. En consecuencia, el par de funciones y(t), v (t) resuelve el PVI del sistema yl! = v , v' = F(t,y, v) Esta interacción entre la única EDO de orden superior y los sistemas de primer orden es muy útil.
ml!"
y(to) = Yo v(to) = V o
(11)
Por el contrario, si el par de funciones y(t), v (t) resuelve el PVI (11), entonces se ve que y(t) también resuelve el problema (10). El espacio de estado para el sistema diferencial en el PVI (11) es el plano yv. La solución y = y(t), v = v (t) del PVI (11) para los datos iniciales específicos Yo, V o genera una
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3.7/ Resortes: Modelos y no lineales
curva paramétricamente en el plano y'\}, curva que se conoce como órbita del sistema diferencial en el PVI (11). Con las órbitas se muestra en forma gráfica la evolución del estado de un sistema físico modelado con la EDO. Las utilizaremos con mucha frecuencia para este propósito. Un conjunto de órbitas recibe el nombre de representación de estado . En seguida se presenta un ejemplo.
Ejemplo 3.1.4
Retrato de estado para una EDO de un resorte suave
Consideremos de nuevo el PVI para un resorte suave: y" = - lOy+0.2l-0.2y' - 9.8,
y(O)
= Yo'
y'(O)
= va
Al convertir este PVI en un PVI equivalente para el sistema de primer orden se obtiene y' = v,
y(O) = Yo
v' = -lOy + 0.2 y 3 - 0.2v - 9.8,
veO) = va
(12)
En la figura 3.1.2 se ilustra un retrato de estado del PVI (12) para varios valores de Yo Y va. Los tres puntos de equilibrio obtenidos en el ejemplo 3.1.3 se señalan con los puntos sobre la línea v = O.
1&' ¿Alguna ' conjetura acerca del comportamiento del resorte suave cerca del punto de equilibrio izquierdo de la figura 3.1.2?
En el retrato de estado se observa que si se eligen los datos iniciales cerca de los valores de equilibrio estático y = - 1 Y v = O, entonces la solución y = y(t), v = v (t) tiende a oscilar cerca del punto de equilibrio (- 1, O) con una amplitud que decrece continuamente a cero. Pero las órbitas que se originan cerca de los otros dos puntos de equilibrio son muy sensibles a la elección real de los datos iniciales. Con las órbitas que escapan conforme avanza el tiempo se muestran los límites de validez del modelo de resorte suave. Por ejemplo, las dos órbitas de la derecha de la figura 3.1.2 que escapan hacia arriba a medida que transcurre el tiempo corresponderían al resorte suave que experimenta una compresión no acotada. Pero los rizos de un resorte comprimido pronto se apretujan entre sí, de modo que no tiene sentido la compresión infinita. A pesar de las dificultades cerca de los dos equilibrios externos, el modelo permite predecir con gran precisión el comportamiento del resorte suave vibrante cerca del punto de equilibrio en y = -1 , v = O.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
y' = V,
25
V'
=-lOy+O.2l -o.2v - 9.8
15
5
Las flechas ilustran el transcurso del tiempo en las órbitas.
J&
-5
-15
- 25 -12.5
+-~~.~~~-+~~~-r~~~+-~~~~-+-+~--~.~
-7.5
-2.5
2.5
7.5
12. 5
y Figura 3.1.2 Retrato del estado de las órbitas para la EDO del resorte suave (ejemplo 3.1.4).
Después de modelar una situación física y de trazar las órbitas y curvas solucióa, siempre es importante pensar en la interpretación física de las curvas. Como se mostró en los ejemplos, podría ser necesario restringir la validez de un modelo o modificar las ecuaciones de éste. La experiencia con la construcción de modelos indica que sin importar cuál proceso natural se estudie, los mejores modelos suelen tener una formulación matemática no lineal. Entonces, ¿cómo arreglárselas con tantos modelos lineales?
EDO modelos no lineales con buenas aproximaciones lineales A veces los profesionales describen el comportamiento no lineal de los procesos naturales con la siguiente afirmación: "La naturaleza es inherentemente no lineal". Muy interesante, sí, pero aquí veremos que las EDO lineales surgen al modelar los procesos naturales y que los resultados que producen a menudo coinciden muy bien con la realidad física . Por tanto, las EDO ocupan un lugar sumamente especial en la construcción de modelos matemáticos, razón por la que les dedicamos la mayor parte de este capítulo y del siguiente. Las EDO lineales son asimismo muy importantes porque es útil conocer el comportamiento de sus soluciones en la investigación del comportamiento de las soluciones de EDO más generales. En el siguiente ejemplo emplearemos la definición de aproximación lineal de una función F(u, v) en un punto base (uo, vo).
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187
3.1 / Resortes: modelos lineales y no lineales
I@" El valor de la derivada parcial dF(u, V)/dU en el punto (UD, VD) suele escribirse como F.(uo, Vo).
.:. Aproximación lineal. Supóngase que F(u, v) es una función continuamente diferenciable en un rectángulo R en el plano uv y (uo, vo) es un punto dentro de R. Entonces la función G(u, v) dada por G(u, v) = F(uo, v o )+ Fu(uo, vo)(u- uo)+ Fv(uo, vo)(v- v o )
(13)
se denomina aproximación lineal a F(u, v) en el punto base (uo, vo)'
El teorema B.5.15 es el de Taylor. I@"
Ejemplo 3.1.5
G(u, v) se obtiene al aplicar el teorema de Taylor a F(u, v) en el punto base (uo, vo) y mantener sólo los términos constante y lineal en u - Uo y v - vo. Estas ideas sirven para aproximar la EDO no lineal del resorte suave mediante una EDO lineal, donde se utiliza un punto de equilibrio como punto base.
Linealización de la EDO no lineal para un resorte suave Considérese de nuevo el PVI para el resorte suave del ejemplo 3_1.3: y" = -lOy+02l-02y' -9_8,
La EDO tiene la forma y"
y(O) = Yo' y'(O) = Vo
(14)
= F(y, y'), donde F(y, y')=-lOy+02l-02y' -9_8
Linealicemos el PVI (14) cerca del punto de equilibrio y = -1, y' = O en el plano y/_ Para calcular la aproximación lineal G(y, y') para F(y, y') en (-1, O), obsérvese que F(-l, O) = O Y que I@" La notación (--·)1(-1. 0) indica que debe sustituirse y = -1 Yy' = O por las y y y' dentro de los paréntesis.
En consecuencia, se ve que la aproximación lineal para F en (-1, O) es G(y, y') =-9A(y +1)-02y'
EIPVI
, I@"
Sugerencia de cálcu-
lo: en el problema 7 se
ilustra cómo indicar al programa de solución numérica que trace la curvas solución de distintas EDO en la misma gráfica.
y" = -9A(y +1)-02y',
y(O) = Yo'
y'(O) = Vo
(15)
se denomina linealización o aproximación lineal del PVI (14) en el punto de equilibrio estático (-1, 0)_ En la figura 3_1.3 se muestra cuán bien coinciden la curva solución (línea discontinua) del PVI linealizado (15), con Yo = -1 Y Vo = 5, la curva solución (línea continua) del PVI no lineal (14)_ La ligera diferencia de fase (es decir, el retraso de tiempo) entre las dos curvas es una consecuencia de la linealización_ Ambas curvas oscilan con una amplitud decreciente cerca de la posición y = -1 de equilibrio estático. Éste es el tipo de movimiento que se esperaría para un resorte amortiguado cerca del equilibrio estático puesto que la fricción disipa energía en forma gradual y (en este caso) no hay fuerza motriz_ . Como usamos el teorema de Taylor para linealizar el PVI (14), se esperaría que la aproximación diera buenos resultados sólo si los datos iniciales Yo, Vo estuvieran lo suficientemente
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
(sólido): y"=- IOy + 0.2)" - 0.2y' - 9.8,
Yo =-1,
(punteado): y"=-9.4(y + 1) - 0.2y,
yo = - I,
Vo = 5 vo = 5
(sólido): y"= - 1Oy + 0.2)" - 0.2y' - 9.8,
Yo = - 1,
(punteado): y" = - 9.4(y+ 1)-0.2y:
yo=- I,
5.0
Vo = 13.27 v o = 13.27
2 5
o. O -2.5
-1
'"
'"
-5.
o
-2 - 7.5
-3
10
Figura 3.1.3 Curva solución (línea continua) del PVI no lineal (14) con Yo = -1, Vo = 5; curva solución (línea discontinua) correspondiente a la aproximación lineal del PVI (15). Véase el ejemplo 3.1.5.
- 10. o O. O
0.5
1.0
1 .5
2. O
2.5
3. O
Figura 3.1.4 Curva solución (línea continua) del PVl no lineal (14) con Yo = -1, Vo = 13.27; curva solución (línea discontinua) con·espondiente a la aproximación lineal del PVI (15). Obsérvese cuán mala es la aproximación para t;;" 1.5.
cerca de los valores de equilibrio estático Yo = -1, Vo = O. En la figura 3. 1.4 se muestra que si el punto inicial está lejos del de equilibrio (-1, O), entonces la solución (línea discontinua) del PVI linealizado fmalmente se desviaría mucho de la curva solución (línea continua) del PVI no lineal. En este caso, debe tenerse cuidado en cuanto al uso de la EDO linealizada para predecir el comportamiento del resorte.
Comentarios Las EDO de segundo orden que modelan resortes lineales y no lineales se utilizan ampliamente en la ciencia y la ingeniería como guías para entender el movimiento de resortes reales. Las EDO sirven asimismo para modelar muchos fenómenos físicos y, por tanto, hay buenas razones para estudiarlas en forma independiente de cualquier interpretación específica.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(11
(Resorte regido por la ley de Hooke.) Considérese un peso de Ilb suspendido de un resorte no amortiguado y sin fuerza motriz regido por la ley de Hooke. Supóngase que z denota la deflexión del peso a partir de su posición de equilibrio. (a) Si la deflexión estática del peso es de 24 pulg, demuestre que z(t) satisface la EDO z" + 16z = 0, donde z se mide en pulgadas. [Sugerencia: el peso es igual a mg y g es igual a 384 pulg/s 2 .] (b) Supóngase que el peso es empujado 20 pulgadas y es liberado desde el reposo, donde Zo toma cada uno de los valores 15, 10, 5 Y 2 pulgadas. Trace las órbitas
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3.1/ Resortes: modelos lineales y no lineales
11 2.
11 11 www
5
m
11 3.
k
~/T?/
~
resultantes en el espacio de estados zz' e inserte puntas de flecha para indicar el transcurso del tiempo. (e) Trace las gráficas de los componentes tz y tz' para cada una de las órbitas del inciso (b). ¿Qué puede decir acerca del movimiento? Si es periódico, ¿cuál es el periodo? (Resorte amortiguado regido por la ley de Hooke.) Considérese un peso de 11b suspendido de un resorte que sigue la ley de Hooke. Supóngase que z representa la deflexión (en pulgadas) del peso a partir de su posición de equilibrio. Supóngase una fuerza de amortiguamiento viscosa pero sin fuerza motriz que actúe sobre el peso. (a) Si la deflexión estática es de 24 pulg y el coeficiente de amortiguamiento es c = 2.60 x lO-4lb-s/pulg, demuestre que z(t) satisface la EDO z" + O.lz' + 16z = O. [Sugerencia: el peso es mg y el valor de g es 384 pulg/s2 .] (b) Supóngase que el peso es empujado Zo pulgadas y es liberado desde el reposo, donde Zo toma los valores 15, 10, Y 2 pulgadas. Trace las órbitas resultantes en el espacio de estados zz' e inserte puntas de flecha para indicar el avance del tiempo. (e) Trace las curvas componentes de tz y tz' para cada una de las órbitas del inciso (b). ¿Qué puede decir del movimiento del cuerpo y la sucesión de tiempos de tránsito por el eje t? (Resortes no lineales.) Un cuerpo de masa m se fija a la pared por medio de un resorte que se mueve en vaivén a lo largo de su eje en una superficie horizontal sin fricción. Supóngase que y es la medida de desplazamiento del cuerpo a lo largo del eje del resorte a partir de la posición de equilibrio; y < O corresponde a un resorte estirado, y > O a un resorte comprimido. En la figura al margen se muestra el cuerpo con las fuerzas de amortiguamiento viscoso representadas por un amortiguador. La fuerza gravitacional hacia abajo es contrarrestada con una fuerza hacia arriba ejercida por la superficie de apoyo, de modo que la masa se mueve sólo horizontalmente sin ser afectada por la gravedad. Con estas suposiciones, la segunda ley de Newton (interpretada para el movimiento horizontal) indica que my"(t) = S(y(t)) - cy'(t)
donde c > O es la constante de amortiguamiento. Algunas fórmulas posibles para la fuerza de restitución del resorte S(y) están dadas por las ecuaciones (2) a (5). En los incisos (a) a (e) siguientes escriba primero el sistema equivalente como en el PVI (11). Trace en el plano yv las órbitas que pasan por los puntos iniciales dados y grafique las curvas solución correspondientes en el plano ty. Interprete sus gráficas en términos del movimiento de un resorte y explique la "realidad" de cada órbita. Estime los periodos de las soluciones periódicas; ¿disminuye, aumenta o permanece igual el periodo a medida que se incrementa la magnitud de la velocidad inicial?
o.02l,
(a) (Resorte rígido sin amortiguamiento.) y" = -0.2y O::::; t::::; 25; Yo = O, va = O, L 3, 9. (b) (Resorte suave sin amortiguamiento.) y" = - 0.2y + 0.02y 3, O::::; t::::; 30; Yo = O, va =0, 0.4, 0.9; Yo =-5, va = 1.49, 1.51; Yo = 5, va =-1.49, - 1.51.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
(Resorte suave amortiguado.) y"=- y+0.1l-0.1y', O:S;t:S; 40; Yo = O, V o == O, 2.44, 2.46. (d) (Linealización.) Linealice la EDO del inciso (e) en el equilibrio estático Y == O, y' == O. Trace las órbitas del sistema original y del sistema linealizado cerca de este estado de equilibrio, utilizando los mismos datos iniciales para los dos sistemas. Explique la diferencia entre los dos retratos de estado. Con los mismos datos, trace las curvas solución ty de los dos sistemas y explique lo que observa. (Modelación de un resorte accionado por una fuerza magnética.) Como se muestra en la figura al margen, un imán (magneto) está suspendido de un resorte sobre una placa fija de hierro. Supóngase que z es el desplazamiento vertical del imán a partir de su posición de reposo a una distancia b desde la placa. Digamos que la fuerza de atracción magnética es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el imán y la placa y que la fuerza del resorte varía en proporción directa al desplazamiento z. Obtenga la EDO para el movimiento del magneto. ¿Es lineal? (Efecto de la gravedad en el movimiento del resorte.) ¿La gravedad afecta el movimiento vertical de un peso fijado a un resorte duro? ¿A un resorte suave? Compare sus conclusiones con las del resorte regido por la ley de Hooke y explique las razones. (Resorte forzado regido por la ley de Hooke.) En un sistema que se usa como modelo para el resorte regido por la ley de Hooke, supóngase que la constante del resorte es 1.01 N/m y que la masa del cuerpo es de 1 kg. Sobre el cuerpo actúa la fuerza de amortiguamiento viscoso con un coeficiente igual a 0.2 N- s/m y es impulsado por una fuerza periódica (medida en newtons) descrita por la EDO (8) conf(t) == oc(t, 50, 21r). Grafique la respuesta z(t) del sistema si está en reposo en su estado de equilibrio en t == O e interprete lo que observa. [Sugerencia: utilice un programa de solución numérica para hallar la solución del PVI que construyó para modelar el movimiento.] (Más trucos para el programa de solución numérica; otra forma de generar las figuras 3.1.3 Y 3.1.4.) Con algunos programas no es posible superponer las gráficas de dos EDO distintas en el mismo conjunto de ejes. Siga la descripción de abajo para superar esta dificultad y reproducir las figuras 3.1.3 y 3.1.4 con el programa. Considérense los PVI (e)
Distancia b en reposo
11
Placa/
5.
mw En el apéndice B.I se define la función de onda cuadrada oc(t, d, T) .
~ _ 7.
y" = (l - c)( -lOy+0.2l - 0.2y' - 9.8) + c[- 9.4(y + 1) - 0.2y'] y(O) = - 1,
•
y'(O) == 5, 13.27
donde c es una constante. Explique por qué al trazar las soluciones de estos PVI para c == O Y c == 1 se generan las gráficas de las figuras 3.1.3 y 3.1.4. Demuestre que si se denota la variable de estado y' con v, el PVI anterior puede transformase en los PVI equivalentes para un sistema de primer orden: y'= v,
y(O) ==-1
v'== (1 - c)( - lOy+0.2l - 0.2v -9.8) +c[-9.4(y + 1) - 0.2y'], veO) == 5, 13.27 Grafique las órbitas de estos PVI para c == O Y c == 1.
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3.2/ Ecuaciones diferencia les ordinarias de segundo orden y sus propiedades
•
Recomendación para el uso del programa: así es como se obtiene la figura 3.1.3 con el programa utilizado. I@'
3.2
Supóngase que c = c(t) es otra variable de estado y considérense los siguientes PVI para un sistema de primer orden con tres variables de estado: y' =v, v' = (1 - c)( -lOy + 0.2l- 0.2v - 9.8) + c[-9.4(y + 1) - 0.2y'], c' =0,
y(O) =-1
veO) = 5, 13.27 c(O) = Co
Demuestre que si se resuelven estos PVI para Co = OY Co = 1 Y se grafica y contra t en ambos casos, entonces se obtienen las figuras 3.1.3 y 3.1.4. Trace las órbitas. Trace las curvas solución de y" = -y + cl, y(O) = 1, y'(O) = O para c = O, - 0.1, 0.1, O::::; t::::; 50 en la misma pantalla. Realice una interpretación en términos de los tipos de resortes.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y sus propiedades En esta sección enunciaremos un teorema general de existencia, unicidad, sensibilidad y continuidad que se aplica a casi todos los problemas de valor inicial de segundo orden que con seguridad se encontrarán al modelar los procesos naturales. En este teorema se aplican al PVI de segundo orden las mismas interrogantes planteadas en las secciones 2.1 a 2.3 para los PVI de primer orden. Las EDO de segundo orden requieren dos variables de estado (p. ej., la posición y la velocidad en los modelos mecánicos), lo que significa que son necesarias tres dimensiones para graficar el comportamiento de la solución, una dimensión para el tiempo y dos para las variables de estado. En tres dimensiones las curv.as tienen un comportamiento distinto del bidimensional; por tanto, se esperan algunas figuras extrañas e inusuales. Al final de esta sección se ofrece un vocabulario descriptivo y se enumeran algunas de las propiedades que deben tener las gráficas de solución.
Teorema fundamental para un PVI de segundo orden La forma normal para el PVI de segundo orden es y" = F(t, y, y'),
y(to) = Yo ,
(1)
Una función y(t) definida en un intervalo t de J que contiene a to es una solución del PVI (1) si y es una función continuamente diferenciable dos veces en t y si y(t) satisface la ecuación (1) para toda t en J. A medida que t recorre J, el punto (t, y(t), y' (t)) describe una curva en el espacio tyy' denominada curva de tiempo-estado. Los datos del PVI (1) son la función F y los valores iniciales Yo, v o.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Ahora estamos en posibilidades de expresar el siguiente teorema.
Teorema 3.2.1
Teorema fundamental para las EDO de segundo orden. Supóngase que F, dF/dy y dF/dy' son continuas en una caja cerrada B en el espacio tyy' y que el punto (to, Yo, Va) está dentro de B. Entonces Existencia Y unicidad. El PVI y" = F(t,y,y'),
I@" Una caja es cerrada si contiene sus propias caras.
I@" A esto se le denomina continuidad en los datos.
y(to ) = Yo'
y'(to) = V o
tiene solución única y(t) en un intervalo t de 1 que contiene ato. Extensión. El intervalo 1 en que está definida la solución del PVI puede ampliarse hasta que los puntos extremo de la.curva tiempo-estado toquen el límite de B. Sensibilidad y continuidad. La solución del PVI es una función continua de los datos sobre un intervalo lo suficientemente pequeño de t que contiene ato. Este importante teorema es una ampliación directa del teorema 2.3.3 para los PVI de primer orden. La propiedad de existencia y unicidad asegura que un PVI de segundo orden construido para modelar un proceso natural tiene la misma característica de duplicabilidad que el proceso. Por tanto, si resolvemos el PVI dos veces con exactamente los mismos datos, entonces obtenemos la misma solución. La propiedad de sensibilidad y continuidad asegura que incluso con cambios en los datos, la solución del PVI cambiado permanece dentro de una tolerancia especificada de la solución del PVI original si los cambios en los datos son pequeños y si se fija la atención en un intervalo de t lo suficientemente pequeño cerca de too A partir de este punto se supone que las soluciones se extienden hacia adelante y hacia atrás con respecto al tiempo cuan, lejos sea posible, es decir, son extendidas al máximo. Con esto en mente, la conclusión de unicidad del teorema 3.2.1 indica que ningún par de curvas distintas tiempo-estado de la EDO y" = F(t, y, y') pueden tocarse en la caja B. Además, ninguna curva de tiempo-estado·puede acabarse dentro de la caja; por tanto, cada una de ellas 'va de una cara rectangular de la caja a otra. Como el punto inicial (to> Yo> vo) puede colocarse en cualquier parte dentro de la caja, se observa que las curvas tiempo-estado llenan B, donde cada punto está sobre una curva. Podemos decir más si la EDO está en la forma lineal normal y" + a(t)y' + b(t)y = f(t)
pero pospondremos este análisis hasta las secciones 3.3 a 3.7. Veamos ahora algunas gráficas relacionadas con las EDO de segundo orden.
Curvas tiempo-estado, curvas solución, curvas componentes, órbitas Supóngase que y(t) es una solución de la ecuación diferencial y" = F(t,y,y')
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193
3.2/ Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y sus propiedades
y" = -25y - O.5y' 30
y" = -25y-O.5y'
'" ~
4
5
'"
1o
o
2
- 5 - 10
O
2
1
3
4
t
' ,,- 10
',,-
'" ~
"1'
10
y
-l O
-30 -10
-5
10
- 30
-30
O
1
2
3
4
y
Figura 3.2.1 Órbitas y curva que componen el modelo del resorte amortiguado (ejemplo 3.2.1).
-20
- J
o
ay'
JO
2 0
30 :==
Figura 3.2.2 Curvas de tiempo-estado del modelo del resorte amortiguado (ejemplo 3.2.1).
para t en un intervalo 1. Ya hemos definido la curva tiempo-estado relacionada con la solución y(t). Las siguientes son algunas otras, gráficas: la gráfica y(t) del plano ty, denominada curva solución; la curva solución en el plano ty y la gráfica de y'(t) del plano ty' son las curvas componentes; la órbita (o trayectoria) es la gráfica paramétrica de y = y(t), y' = y'(t) en el plano yy' (el plano de estado), donde t es el parámetro. En el primer ejemplo se muestran algunas de estas curvas.
Ejemplo 3.2.1
Curvas para un modelo de resorte amortiguado regido por la ley de Hooke Considérense las curvas que corresponden a las soluciones de los cuatro PVI . y" = -25 y - 0.5y',
y(O) = O, 4, 5, 6,
y'(O) = O
(2)
AquÍ'y es la posición relativa al equilibrio estático de un peso suspendido por un resorte amortiguado que sigue la ley de Hooke, donde se supone que t, y Y los coeficientes de la EDO se miden en algún conjunto consistente de unidades. La función de aceleración F(t,y,y') = -25y - 0 .5y' es continua para toda t, y Y y', al igual que dF/dy = -25 Y dF/dy' = -0.5. En consecuencia, las condiciones del teorema 3.'2.1 se satisfacen en cualquier caja B que contenga los puntos iniciales. En la gráfica de la izquierda de la figura 3.2.1 se muestra el punto-órbita en el origen que corresponde al.equiliThrio estático, así como las otras tres órbitas que giran en espiral hacia el origen a medida que transcurre el tiempo. Las curvas solución correspondientes y = y(t) se ilustran en el plano ty en la párte superior derecha de la figura 3.2.1, en tanto que las otras curvas componentes, y' = y'(t)'\:iel plano ty', aparecen en la parte inferior derecha. Las rectas horizontales y == O, y' = O son las curvas componentes de la solución de equilibrio. En la figura 3.2.2 se observan las cuatro curvas tiempo-estado (la recta vertical corresponde al equilibrio).
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
y"+O.ly' +64y = sen(8 .6t) y(13)
= - 0.75
y'(13) = 1.2 30
20
10 O
;:10
y
7 -'
Figura 3.2.3 Curva tiempo-estado (línea continua) del PVI del principio del capítulo y su órbita (línea discontinua) (ejemplo 3.2.2). Cada una de las gráficas calculadas numéricamente de las figuras 3.2.1 y 3.2.2 informa algo acerca del comportamiento de las soluciones de los PVI en (2), aun cuando no se tiene ninguna fórmula de solución. Por ejemplo, en las curvas solución de la figura 3.2.1 se observa que los tránsitos sucesivos por la posición de equilibrio y = O están separados por un valor aproximado de 0.63 de una unidad de tiempo, un número independiente de las condiciones iniciales. En todas las gráficas se nota que las amplitudes de las vibraciones disminuyen en forma exponencial a cero cuando t ~ + 00 •
Propiedades de curvas y órbitas El teorema 3.2.1 indica que si F, dF/dy y dF/dy' son continuas, entonces las curvas asociadas con la EDO de segundo orden y" = F(t,y,y')
(3)
tienen varias propiedades importantes. Ya hemos mencionado algunas de ellas, aquí las enumeramos todas para facilitar posteriores consultas. • Las curvas de tiempo-estado de la EDO nunca se intersecan. Esto es consecuencia de la unicidad.
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195
3.2/ Ecuaciones difere nciales ordinarias de segundo orden y sus propiedades
y" + O.ly'+64y = sen(8.6t) y(13)
= - 0.75
y'(13) = 1.2 0.5 -1.5 -3.5
y' -5.5 -7 . 5 .;9 . 5
Y 3 0
40
5 0
6 0 -
·
Figura 3.2.4 Otra vista de la curva tiempo-estado (línea continua); la curva solución (línea discontinua) es la proyección en el plano ty (ejemplo 3.2.2).
• Las curvas solución podrían intersecarse. Una curva solución es la proyección de una curva tiempo-estado en el plano ty. Por consiguiente, las curvas solución podrían intersecarse, aun cuando nunca lo harán las curvas tiempo-estado. Si dos curvas solución se intersecan, cada una lo hace con pendiente distinta; de lo contrario se violaría la unicidad. Por ejemplo, las cinco curvas solución mostradas en la parte superior derecha de la figura 3.2.1 se cortan entre sí muchas veces siempre con pendientes distintas. • Las órbitas podrían intersecarse. Una órbita es la proyección de una curva tiempo-estado en el plano de estado yy', de modo que podrían intersecarse dos de ellas. Sin embargo, ambas deben pasar por un punto de intersección en instantes distintos; en caso contrario se violaría la propiedad de unicidad. Una órbita podría incluso cortarse a sí misma. En el siguiente ejemplo se muestra una órbita que se interseca a sí misma.
Ejemplo 3.2.2
Modelo para un resorte amortiguado y con impulso regido por la ley de Hooke En la figura del principio del capítulo se ilustra la curva tiempo-estado del PVI y"+0.1y' + 64y = sen(8.6t),
y(13) =-0.75,
y'(13) = 1.2
(4)
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.' Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
~
Con esto se responden las preguntas planteadas en la figura del principio del capítulo.
Si se proyecta esta curva abajo en un plano yy', se obtiene la órbita. Con distintas escalas sobre los ejes,-en la figura 3.2.3 se ilustra la misma curva tiempo-estado (línea continua) y la órbita (línea discontinua) en el intervalo de tiempo 13 S; t S; 54. La órbita se traza en el plano de estado yy' en t = - 10, de modo que la órbita y la curva tiempo-estado queden visualmente separadas. Obsérvese que la órbita se interseca a sí misma. Los ejes de tiempo y velocidad se intercambiaron y cambiaron de escala en la figura 3.2.4. La curva tiempo-estado es la de tra~o continuo y la curva solución (línea discontinua) es la proyección hacia abajo en el plano ty. Este plano se toma como el plano y' = - 9.5 para evitar la combinación visual de las curvas. Las escalas de los ejes, el tiempo inicial to = 13, la posición Yo = - 0.75 Y la velocidad va = 1.2 se eligieron con sumo cuidado a fin de obtener las gráficas inusuales que se presentan aquí. La elección de otros valores da como resultado otras curvas muy distintas. Las siguientes propiedades se aplican sólo a las curvas de una EDO autónoma y" = F(y, y')
~
Las EDO autónomas de primer orden tienen también esta propiedad de tiempo-desp lazamiento . Véase el ejemplo 2.2.5.
donde F no depende del tiempo. Se supone que F, dF/dy y dF/dy' son continuas y que toda solución de la EDO (5) está extendida al máximo. • Desplazamiento con respecto al tiempo de una curva solución de la EDO autónoma (5). Si y(t) es solución de la EDO (5) en el intervalo to S; t S; ti' entonces para cualquier constante T la función y(t + T) es solución de la misma EDO en.to·-:- T ,S; t S; t i - T. La curva solución para y(t + T) es y(t) desplazada T unidades hacia atrás a lo largo del eje t si T > O, Y hacia adelante a lo largo del mismo eje si T < O. Por tanto, la curva solución de una EDO autónoma en un intervalo t de longitud especificada se vería igual sin importar cuándo se empieza a contar el tiempo, excepto que sería desplazada en una dirección o en la otra a lo largo del eje t para adaptarse al nuevo .tiempo. La misma propiedad se cumple para las curvas tiempo-estado en el espacio tyy'. Por ejemplo, las curvas tiempo-estado de la figura 3.2.2 se desplazarían a lo largo del eje t si se utiliza un.nuevo tiempo inicial distinto de to = 0. ,,· Tiempo inicial para una órbita de una EDO autónoma. Una órbita de una EDO autónoma no depende de cuándo comienza a correr el tiempo (es decir, en to), sino sólo de la duración del tiempo para el que está definida la órbita. La razón es que las curvas tiempo-estado solamente se desplazan a lo largo del eje t cuando se cambia el tiempo inicial, y una órbita es sólo una proyección de una curva tiempo-estado en el plano yy'. Las distintas órbitas de una EDO autónoma no se intersecan. Supóngase que las distintas órbitas (z(t), z' (t)) y (w(t), w' (t)) se intersectan en un punto (yo, Va)· Entonces Z(tl) = W (t2 ) = Yo Y z'(t¡) = w'(t2 ) = Va para t¡ y t2 · Por el ítem anterior, la órbita w (t) podría generarse por medio de cualquier tiempo de inicio (siempre que los intervalos de tiempo tengan la misma longitud), así que seleccionemos las condiciones iniciales para w como w (tI) = Yo y w'(t¡) = va. Entonces se encuentra que z(t) y w(t) resuelven el mismo PVI:
...
"tU
(5)
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197
3.2 / Ecuaciones diferencia les ordinarias de segundo orden y sus propiedades
y" = F(y, y'),
•
y(t¡) = Yo,
y'(t,) = V o
y, por tanto, por unicidad las dos órbitas deben ser idénticas, lo cual es una contradicción. Con esto se demuestra que no pueden intersecarse las diversas órbitas de un sistema autónomo. La órbita de un sistema autónomo que se interseca a sí misma es periódica. Si la órbita no constante de un sistema autónomo se interseca a sí misma después de Tunidades de tiempo (pero no antes), entonces al volver a tomar el tiempo en ·ese punto se observa que la órbita se repite después de cada T unidades de tiempo, de modo que representa un solución periódica de periodo T. En el siguiente ejemplo se ilustra esta propiedad.
Ejemplo 3.2.3
Oscilador armónico La EDO autónoma
La EDO y" + w2y = Ose conoce como el oscilado /' armónico y lo estudiaremos de forma pormenorizada en la sección
1&
3.5.
y"+4y =
°
(6)
modela el desplazamiento a partir del equilibrio estático de un resorte regido por la ley de Hooke sin amortiguamiento ni fuerza motriz, donde todas las cantidades se miden en algún conjunto consistente de unidades. En la figura 3.2.5 se muestran las órbitas (a la izquierda) y las curvas componentes (a la derecha) que corresponden a los puntos iniciales y(O) = 0, y'(O) = O, 1, 2, 3. Según parece las soluciones no constantes son periódicas con un periodo constante T con un valor aproximado de 3.1 (de hecho, T = 'Ir, como veremos en la sección 3.5). ¿Esperaría este comportamiento para el movimiento de un resorte no amortiguado y sin fuerza motriz? Ahora tomemos el resorte lineal regido por la ley de Hooke del oscilador armónico y convirtámoslo en un resorte rígido no lineal.
Ejemplo 3.2.4
Movimiento de un resorte rígido Supóngase que se fija a una pared un bloque de masa m por medio de un resorte rígido. La masa se mueve en vaivén sin resistencia del aire a lo largo de su eje en una superficie horizontal sin fricción. Entonces, si se supone que no hay amortiguamiento, el desplazamiento y(t) satisface la EDO no lineal autónoma · 3 Y" =.- ky - lY
Las fuerzas verticales sobre m se equllibran y, por consiguiente, la gravedad no aparece en laEDO.
1&
°
donde k Yj son constantes positivas. La única solución de equilibrio es y(t) = para toda t, de modo que si se alargara o comprimiera el resorte más allá de la posición de equilibrio y luego se liberara, se esperaría que el sistema resorte- masa volviera al equilibrio. En la figura 3.2.6 se ilustran las órbitas y las curvas componentes si k = 4 Yj = 1. Se utilizan los puntos iniciales del anterior ejemplo, y(O) = 0, y' (O) = 0, 1, 2, 3.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
y"= --4y,
y(O)
= O,
y'(O)
= O, 1, 2, 3
y"= --4y _y3 , y(O)
~.: WNN o
y' o
10
15
20
-2
y
o
10
15
o
- 1
20
10
15
20
-2 - 1
~Jt
-2
';:.., o tI--t+-++-+--H--H'-I-1~
y'(O) - O 1 2 3
o
y' o
t
= O,
5
10
15
20
y
t
Figura 3.2.5 Órbitas y curvas componentes de un osCÍ- Figura 3.2.6 Órbitas y curvas componentes de un molador armónico (ejemplo 3.2.3). delo de resorte rígido (ejemplo 3.2.4). En la figura 3.2.6 de nuevo parecen ser periódicas las soluciones no constantes, pero ahora sus periodos no son constantes, como en el caso de la figura 3.2.5. De hecho, al parecer cuanto mayor es la velocidad y', menor es el periodo (y, por tanto, mayor la frecuencia) . Por ejemplo, la curva solución correspondiente a y(O) = O, y'(O) = 3 tiene ocho "picos" en el mismo intervalo de tiempo O ~ t ~ 20, pero la que corresponde a Yo =O, y' (O) = 1 tiene sólo siete picos. ¿Alguna idea acerca del periodo de una oscilación de amplitud pequeña? ¿Qué pasa con el periodo de una oscilación de amplitud grande? ¿Esperaría que las oscilaciones de un resorte rígido con una fuerza de recuperación adicional modeladas por _jy 3 tuvieran estas propiedades? En las figuras se sugieren muchas propiedades; en el resto de éste y del siguiente capítulo, así como en los problemas analizaremos la validez de estas propiedades.
Comentarios Las gráficas de esta sección se crearon con un programa de solución numérica para el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden y' = V, v' = F(t,y, V),
y(to) = Yo veto) = V o
equivalente al PVI de segundo orden y" = F(t, y , y'),
y(to) = Yo,
Describimos ya este método en la sección 3.1 y lo aplicaremos en todo el capítulo. Aunque no se haga referencia en forma directa al teorema fundamental para las EDO de segundo orden (teorema 3.2.1), sirve de base para toda la teoría y para casi todos los
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3.2/ Ecuaciones diferencia les ordinarias de segundo orden y sus propiedades
modelos y ejemplos del resto de éste y del capítulo 4. Cuando hablamos de la solución de un PVI para una EDO de segundo orden, tenemos en mente las propiedades dadas en el teorema. Si se cambia un poco un parámetro o valor inicial o se hace que t ~ +cx:> , se utiliza de manera implícita las propiedades de continuidad y extensión de una solución. Hasta ahora, en nuestra explicación hemos tenido que confiar en las simulaciones por computadora de las EDO de segundo orden, pero en las secciones restantes centraremos la atención en la construcción de algunas fórmulas de solución reales para las EDO lineales de segundo orden. La figura 3.2.4 es un maravilloso ejemplo de cómo las representaciones gráficas producen a veces ilusiones ópticas engañosas. El "peón" que se ilustra en la figura 3.2.4 es otra vista del mostrado en la figura 3.2.3, pero su base no da la misma idea. Al parecer esto contradice la proyección de este peón en el plano ty. Intente girar la figura 3.2.4 de modo que el peón quede de pie. ¿Nota alguna diferencia?
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
11 1.
Compruebe que cada uno de los PVI siguientes satisface las condiciones del teorema 3.2.1 en el espacio tyy'. Trace las curvas componentes, las órbitas y las curvas tiempo-estado: Si la EDO es autónoma, obtenga las soluciones de equilibrio. Haga conjeturas acerca del comportamiento de largo plazo de las soluciones. (a) (Resorte no amortiguado regido por la ley de Hooke.) y" +y = 0, y(O) = 0, 0.5, 1.0, 1.5, y'(O) = O;
°t
~ ~ 20, Iyl ~ 2, ly'l ~ 3.
(h) (Resorte amortiguado regido por la ley de Hooke .)
y" + O.ly' + 4y = 0, (e)
y(O) = 0,0.5,1.0,1.5, y'(O) = O;
°t
~ ~ 40, Iyl ~ 2,
1y'1~ 4.
(Retroceso en el tiempo.) y" - O.ly' + 4y = 0, y(O) = 0,1, 2, y'(O) = O; - 100 ~ t ~ 0, Iyl ~ 2, 1y'1 ~ 4.
(d) (Oscilaciones verticales de un resorte rígido amortiguado.) y" + 0.2y' + 10y + 0.2/ = - 9.8,y(0)= -4,0, y'(0) = O; (e)
(t)
°~ t ~ 40, - 5 ~ y ~ 3, 1y'1 ~ 9.
(EDO no lineal.)
y"+ (0.ll - 0 .08)y'+/ = 0, y(O) = 0, y'(O) =0.5;
100, - 1.9 ~ y ~ il,
1y'1~ 2.5.
°~ t ~
(Resorte amortiguado y forzado regido por la ley de Hooke.) y" + 0.05y' +25y = sen(5.5t), y(O) = 0, y'(0) = O;
°~ t ~ 40, Iyl ~ 0.4, 1y'1~ 2.1.
(Concavidad.) El signo de la segunda derivada de y(t) determina si la gráfica de y = y(t) es convexa (y" > O) o cóncava (y" < O). Para cada una de las EDO siguientes determine las regiones en el plano ty donde las curvas solución son cóncavas.
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Ecuaciones diferenciales
1
1 I1 1
I I I
83.
!
t[y"y + (y,)2] +y'y = 1,
www
8 5. 6.
7.
y(l) = 1, y'(l) = Vo
con un tamaño de ventana O ~ t ~ 3, Iyl ~ 5. Trace varias curvas solución para varios valores de Vo con Ivol ~ 10. (Resortes oscilantes.) (a) Reproduzca las gráficas de la figura 3.2.6. Estime los periodos de las soluciones. ¿Qué cree que sucederá con los periodos si los datos iniciales son y(O) = O;y'(O) = Vo ya va se le asigna un valor positivo muy grande? (b) Trace la órbita, las curvas componentes y la curva tiempo-estado para el PVI y" + y = cos (l.lt), y(O) = 5; y'(O) = O. Resuelva en el intervalo O ~ t ~ 75. Describa lo que observa. ¿La solución es periódica? En caso afirmativo, ¿cuál es el periodo? Obtenga la fórmula de solución del PVI y"= 2y'y, y(O) = 1, y'(O) = 1.Trace la curva solución y la órbita de este PVI. ¿Cuál es el intervalo más grande de t en el que esté definida la solución de este PVI? [Sugerencia: escriba 2y'y como (y2)'.] Supóngase que F(y) y F'(y) son continuas. Describa un método para hallar todas las órbitas de la EDO y" = F(y). [Sugerencia: multiplique la EDO por y' y escriba y'y" como (y' 2)' /2.] Repita los cálculos para y" = y' F(y). (Una EDO de Euler.) Demuestre que el PVI t2y" - 2ty' + 2y = O, y(O) = O, y'(O) = O tiene infinidad de soluciones. ¿Por qué este hecho no contradice la aseveración de unicidad del teorema 3.2.1? [Sugerencia: busque soluciones de la forma donde C y a son constantes.] (Órbitas de curvas cerradas de un oscilador armónico.) Demuestre que las órbitas no constantes de la EDO general del oscilador armónico y" + OJ2y =0, donde OJ es una constante positiva, son elipses. [Sugerencia: aplique la técnica descrita en el problema 6.] (Órbitas de curvas cerradas de un resorte rígido no amortiguado.) Demuestre que las órbitas no de equilibrio de la EDO y" = -ky - jl, donde j y k son constantes po-
cr:
8.
9.
i
3..
Luego trace las soluciones que satisfagan las condiciones iniciales y verifique que las curvas solución son cóncavas hacia abajo en las regiones adecuadas. (a) y" = -1; y(O) = 1; , y'(O) = 2, O, - 2; utilice la ventana O ~ t ~ 10, -27 ~ y ~ 3. (b) y"= -y; y(O) = 1, O, -1; y'(O) = O; utilice la ventana O ~ t ~ 20, Iyl ~ 1. (e) (Trascendente de Painlevé.ñ La EDO y" = y2 - t es una de las trascendentes de Painlevé (véase la figura 3.2.7), familia de EDO estudiadas por Paul Painlevé (1863-1933). Utilice los valores iniciales y(O) = O, y'(O) = 0.75, 0.925; utilice la ventana O ~ t ~ 10, Iyl ~ 5. [Sugerencia: trace la parábola t = y2; la convexidad-concavidad cambia cuando una curva solución corta la parábola. Véase el problema 10.] Considere el PVI no lineal
dll I
li
de primer orden y modelos
Material tomado de V. Anne Noonburg, "The Painlevé Transcendent", CODEE, primavera de 1993.
F p
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3.2 / Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y sus propiedades
y"= y2_t
y"= i
30
- o.ll - t
----20
10
, ?-.. -2 -10 - 4
-20
2. 5
5.
o
75
10. o
12. 5
15.
-3 0 - 15
o
-10
-5
15
y
Figura 3.2.7 Curvas solucÍón de una trascendente de Painlevé y la gráfica de t = l [problemas 2(c) y lOCa)].
Figura 3.2.8 Tres órbitas de la trascendente de Painlevé perturbada [problema 10(b)] .
sitiva.s, son curvas cerra9as simples .. [Sugerencia: aplique la técnica del problema 6 o un ,método de reducción de orden de la sección 1.7 Y demuestre que las órbitas están dadas por y' = v = ± ( C il / 2)1/2, donde C es cualquier constante positiva.] 10. Los siguientes son ejemplos de EDO no lineales de segundo orden con curvas solución sorprendentes. (a) (De nuevo una trascendente de Painlevé.) La EDO y" = y2 - t es la primera trascendente de Painlevé [véase también el problema 2(e)]. Reproduzca las curvas solución continuas de la figura 3.2.7, donde y(O) = O, - 3.5 ~ y'(O) ~ 0.5. ¿Qué hacen las CJIrvas solución cuando cortan la parábola t = y2 (la curva de línea discontinua)? ¿Por qué las curvas regresan para cortar una y otra vez la parábola? Ahora utilice los datos iniciales y(O) = O, y'(O) = -4, 1 Y conjeture qué sucede con estas dos curvas.cuando t aumenta. (b) (¿Bocinas estéreo? ¿Campanas?) La EDO y"= l - O.ll-t es una perturbación por el término -O.l y 3 de la trascendente de Painlevé del inciso (a). Reproduzca las gráficas orbitales mostradas en la figura 3.2.8 usando y(O) = O, y'(O) = - 3, - 5, - 15, O ~ t ~ 50. ¿A qué se parecen las curvas componentes y las de tiempo-estado 7 (e) Trace las curvas solución de la trascendente y de la trascendente perturbada para y(O) = O, y'(O) = -3, O ~ t ~ 15. Explique por qué están tan cerca las dos curvas. [Sugerencia: véase en el problema 7 de la sección 3.1 una forma de superponer las curvas solución de EDO distintas.] 11. Supóngase que las funciones F(t,y,y'),aF / ay, y aF / ay' son continuas para toda t, y, y~ (a) (Funciones incompatibles.) Explique por qué YI = sent y Y2 = t, - 0 0 < t < 00 no pueden ser soluciones de la misma EDO y" = F(t, y, y'J, sin importar la elección de F.
ki -
.
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
~ _ 12.
(b) (Más incompatibilidad.) Repita el inciso (a) pero ahora con YI = el y Yz = 1+ t + t 3 /3. (Una forma de generar Zafigura 3.2.3.) Explique por qué el procedimiento siguiente permite generar las gráficas de la figura 3.2.3. Considere el sistema diferencial de primer orden con tres variables de estado: y'=v v'= - 64y - 0 .1v+ sen (8.6t)
~
Recomendación para el uso de la computadora: empleamos este método para obtener la figura 3 .2.3.
,
z = fez),
•
3.3
donde
{O,
fez) = 1,
z =O z ;t:O
Resuelva el sistema en el intervalo 13::; t::; 54 en las condiciones y(13) = -0.75, v(13) = 1.2, z(13) = 13 Y trace la curva solución en el espacio xyz. [Sugerencia: observe que z(t) = t.] Repita los cálculos con z(13) = - 10 Y trace la órbita en el espacio xyz. [Suge rencia: z(t) = -10, para toda t.] Reproduzca las gráficas de la figura 3.2.3 siguiendo el procedimiento anterior. Obtenga un procedimiento que permita reproducir las gráficas de la figura 3.2.4.
EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, I Hemos visto cómo utilizar EDO de segundo orden para modelar sistemas naturales; por ejemplo, el resorte oscilante de la sección 3.1. Asimismo, hemos descrito la teoría de las EDO de segundo orden en la sección 3.2. Ahora es momento de buscar algunas fórmulas de solución, lo cual será fructífero en un caso especial muy importante. En ésta y en la próxima sección obtendremos fórmulas de solución que contengan todas las soluciones de la EDO lineal homogénea y" + ay' +by =
°
(1)
donde a y b son números reales. De acuerdo con el teorema 3.2.1, el PVI ,
y"+ay'+by=O, y(to) = yo,
y'(to) = v o
(2)
tiene una solución única y(t) para cada conjunto de valores de to, Yo Y v o. Encontraremos una fórmula para esa solución.
Obtención de fórmulas de solución Una forma de hallar una fórmula de solución para la EDO (1) es hacer una conjetura afortunada. ¿Qué debe conjeturarse? Las EDO lineales homogénas de primer orden como y'+ ay = O, donde a es una constante, tiene soluciones de la forma Ce rt para una cierta cons-
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203
3.3 / EDO linea les homogéneas de coeficientes constantes, I
tante r y cualquier constante C. Encontremos una solución de la EDO (1) de la forma antes mencionada. Al sustituir y = Ce rt en la EDO (1) se obtiene (Ce rt )" +a(Ce rt )'+b(Ce rt ) = r 2Ce rt + arCe rt + bCe rt = Ce rt (r 2+ar+b) = 0
(3)
La última igualdad de (3) es cierta si y sólo si C = O (con lo que se obtiene la solución trivial y = O) o r es una raíz de r2 + ar + b. El polinomio r2 + ar + b es el polinomio característico de la EDO (1) y sus raíces r¡ y r2 son las raíces características de la EDO. En esta sección se supone que r¡ y r2 son reales; en la próxima sección consideraremos el caso complejo. De (3) se sigue que C¡er)t y C2e r2t son soluciones de la EDO (1) para dos constantes cualesquiera C¡ y C2 . De hecho, para dos valores cualesquiera de C¡ y C2 1a suma
(4) también es solución de la EDO (1) porque si se escribe y¡ = e'i t y Y2 = e r2t , entonces (C¡y¡ + C2Y2)" + a( C¡y¡ + C2Y2)' + b( C¡y¡ + C2Y2) = [( C¡y¡)" + a(C¡y¡)' + b( C¡y¡)] + [( C2Y2)" + a( C2Y2)' + b( C2Y2)] =0+0 = 0
donde se ha utilizado el hecho de que C¡y¡ y C2Y2 satisfacen la EDO (1). Utilicemos este método para obtener una fórmula de solución para el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.3.1
Una raíz 'característica positiva y una negativa El polinomio característico para la EDO y" + y' - 2y = O
es r2 + r - 2 = (r - l)(r + 2) con raíces r¡ constantes cualesquiera C ¡ y C2 ,
(5)
= 1, r2 = -2. Por tanto, observe que para dos
Y = C¡e t + C2e -21
es solución de la EDO (5). En la figura 3.3.1 se ilustran algunas curvas solución con un valor común de y(O) pero valores distintos de y'(O). A medida que t aumenta desde cero, la exponencial positiva domina y la exponencial negativa decae; cuando t disminuye a partir de cero sucede lo contrario. Sabemos que la solución general de una EDO lineal homogénea de primer orden tiene una constante arbitraria. Al parecer es posible hallar las soluciones de una EDO lineal homogénea de segundo orden con dos constantes arbitrarias. Pero si r¡ = r2, al parecer se pierde una constante porque y = C¡er)t + C2e r);se convierte en (C¡ + C2 )e r)/. Sin embargo, C¡ + C2 es sólo una constante arbitraria. Encontremos un sustituto para la solución que se "perdió".
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Ecuaciones diferenciales
de primer orden y modelos
33fE
Si r¡ = r2' puede demostrarse por sustitución directa que C2ter1t es una solución de la EDO (1) para cualquier valor de la constante C2. De hecho, en el caso de una raíz repetida I@' El término "perdido" se sustituye con C2te"t .
(6) es solución de la EDO (1) para dos constantes cualesquiera ejemplo.
Ejemplo 3.3.2
Raíces características repetidas El polinornio característico de la EDO
-
C¡ y C2. Consideremos
leO! .
y" + y' /2 + yl16 = O es r2 + r/2 + 1/16 con raíces r¡
=
un
(7)
r2 = -1/4. Se afirma que Y -- C¡e -t/4+ C2 t e -t/4
(8)
donde C¡ y C2 son números reales arbitrarios, es una solución de la EDO (7). Para comprobar lo anterior, sustituya y = C¡e-t/4 + C2te-t/4 en la EDO (7) para obtener ((C¡+ C2t)e-t/4)" =C¡e
+ ((C¡ +C2t)e-t/4)' -t/4(
+(C¡ + C2t)e-;/4 /16
1 1 1)" -t/4( 1 1 1 1 16-g+16 +C2e , -'2+'2+16t-gt+16t
1)
=0
Por tanto, la fórmula (8) define una solución de la EDO (7). En la figura 3.3.2 se ilustran las curvas solución con un valor común de y(O) y valores distintos de y'(O). El exponente negativo - t/4 en la fórmula (8) tarde o temprano hace que las soluciones tiendan a O cuando t -7 +00.
25
25
y"+y'/2+y/16=0 -10 ~ y'(O) ~ 12 (0)= 5,
20 15 15
10 ;:>..,
;>.,
-5
t Figura 3.3.1 Curvas solución; el polinornio característico tiene las raíces 1 y -2 (ejemplo 3.3.1).
t
Figura 3.3.2 Curvas solución; el polinornio característico tiene la raíz repetida -1/4 (ejemplo 3.3.2).
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205
3.3 / EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, 1
Dejamos que usted compruebe el caso general de las raíces repetidas. Si decide realizar los cálculos, observe que en este caso r 2+ ar+ b = (r-r¡)2= r 2 - 2r¡r+ r¡2, y, por tanto, a = - 2r¡ y b = r¡2 . Es un hecho notable que cuando las raíces características r¡ Y r2 son reales, la fórmula (4) define todas las soluciones de la EDO (1) si r¡ :t= r2, Y la fórmula (6) define todas las soluciones de la EDO (1) si r¡ = r2' Diferiremos la justificación de estos hechos para el final de esta sección. Para facilitar la consulta registremos estos resultados .
Teorema 3.3.1
Fórmulas de solución. Supóngase que a y b son constantes y que las dos raíces r¡ Y r2 del polinomio característico r2 + ar + b son números reales. Entonces las fórmulas de (9) dan las soluciones de la EDO y// + ay' + by = O: y = C¡er¡t + C2e r2t , y = C¡er¡t + C2te r¡t ,
sir¡:t=r2 si r¡ = r2
(9)
donde C¡ y C2 son números reales arbitrarios. No existen otras soluciones.
El teorema 3.3.1 tiene algunas consecuencias importantes para la EDO y//+ ay' + by = O: Las soluciones existen sobre todo el eje t. Esto se deduce de la inspección de las fórmulas de solución de (9). La solución trivial y = O, para toda t, es la única solución del PVI y" + ay' + by = 0, y(to) = 0,
y'(to)=O
(10)
Para ver esto, utilice de nuevo las fórmulas de (9). Digamos que r¡:t= r2' Entonces la solución de la EDO y" + ay' + by tiene la forma y = C¡er¡t + C2e r2t. A partir de las condiciones iniciales y(to) = O, y'(to) = O, se tiene C¡er¡to+ C2er2to = O r¡C¡e'ito+r2C2er2to = 0
Si r2 = O, entonces por la segunda ecuación se tiene que e¡ = O, Y de la ecuación anterior se deduce que también e2 = O. Si r2 :t= O, entonces al multiplicar la primera ecuación por -r2 Y sumarla a la segunda se obtiene C¡ (-r2 + r¡ )er¡to = O. En virtud de que r¡ :t= r2 Y er¡t0:t= O, se sigue que el = O y, por consiguiente, e2= O. Con esto se demuestra que la única solución del PVI (10) es y = O, para toda t. El caso para r¡ = r2 procede de manera análoga. Por medio del teorema 3.3.1 es posible determinar las soluciones del PVI (2) muy rápidamente una vez que se conocen las raÍCes características r¡ Y r2' Con las fórmulas de (9) a la mario puede resolverse cualquier PVI. En seguida se da un ejemplo.
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206 Ejemplo 3.3.3
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Obtención de todas las soluciones, resolución de un PVI Para hallar las soluciones de y// + y' - 2y = O obsérvese que el polinomio rZ + r - 2 tiene raíces 1 y -2. Así, por el teorema 3.3.1 se sabe que una fórmula para todas las soluciones es y=
ele /e + ze -z/
donde el y ez son constantes arbitrarias. Ahora encontremos los valores para el y ez tales que diciones iniciales y(O) = O, y' (O) = 3. Se tiene que
o
y = e l / + eze-z/satisfaga las con-
o
0 = y(O) = ele + ele = el + e z 3 = leO) = ele O- 2eze o= el + 2ez
En consecuencia, las constantes
el y e2deben ser el =
y" + l - 2y = O,
y(O) = O,
1 Y e2= - 1, Y la solución del PVI
y'(O) = 3
está dada por la fórmula
y = e t -e -2/ ~ Cierto, cierto, no siempre seguimos nuestro propio consejo.
Siempre es una buena idea utilizar la sustitución directa para comprobar si en realidad se ha encontrado una fórmula de solución del PVI. En el resto de esta sección se plantea la introducción de métodos con operadores que se utilizarán con libertad en secciones posteriores. Un subproducto de todo esto será la comprobación de que las fórmulas del teorema 3.3.1 contienen en realidad todas las soluciones de la EDO y// + ay' + by = O si las raíces del polinomio característico son reales. Por esta razón las soluciones de la ecuación (9) se llaman soluciones generales.
El operador D de diferenciación Considérese un nuevo método para tratar la EDO (1) con el que también se simplifica la resolución de las EDO lineales no homogéneas de coeficientes lineales constantes. Primero, escribamos las expresión y" + ay' + by como
d2
d
- 2 y+a - y+by dt dt Al "factorizar" y a la derecha, la expresión anterior queda como sigue d: ( dt
+ a~+b)[Y] dt
(11)
(12)
Siempre es posible volver a la expresión original (11) al "multiplicar" de nuevo la expresión (12). Los corchetes sirven para recordar que debe aplicar a y el número apropiado de derivadas.
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207
3.3 / EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, I
Lea esto como "el operador D aplicado a y(t) produce l(t)".
~
Después de un tiempo esta notación se vuelve complicada, de modo que se utilizará el símbolo D en lugar de d/dt y el símbolo D2 en vez de d 2/dt 2. Cuando D se aplica a y, tiene la misma función que d/dt; cuando D2 se aplica a y hace las veces de d 2/dt 2 . Por último, la expresión (11) puede escribirse como (D 2 +aD+b)[y] D se denomina operador de diferenciación . Newton utilizó el símbolo D; nosotros también lo haremos. Más adelante veremos que D facilita las cosas. ii Obsérvese que para cualquier constante c se tiene D[cy] = (cy)'= cy'= cD[y],
~
Cuando r = 0, D - r se convierte simplemente enD.
Definamos ahora los operadores D - r y D2 + aD + b para cualesquiera constantes r, a y b mediante las fórmulas operativas
(D- r)[y] = D[y]- ry = y'- ry 2 (D +aD+b)[y] = D 2[y]+ aD[y]+by = y"+ay'+by
(13)
(14)
Veamos cómo funciona el operador D.
Ejemplo 3.3.4
Cómo usar el operador D A partir de las fórmulas (13) y (14) se observa que si y
= sen3t, entonces
(D-2)[sen3t] = D[sen3t]-2sen3t = 3 cos 3t - 2 sen 3t 2 (D - D - 2)[sen 3t] = D 2[sen 3t] - D[sen 3t]- 2 sen 3t
= -9 sen 3t -3cos3t-2sen3t = -11sen3t -3cos3t Nótese que al aplicar D - 2 Y D + 1 en sucesión a sen3t se obtiene (D+ 1) [(D- 2)[sen3tJ] = (D+ 1)[3cos3t- 2sen3t] = -11 sen3t-3cos3t
ii
La notación dy/dt para denotar la derivada de y fue introducida por Leibniz; la escuela alemana la usó en los comienzos del cálculo. Por otro lado, la escuela inglesa siguió a Newton y utilizó D aplicada a y para denotar la derivada de y. La notación de Leibniz puede ser engañosa, pero los alemanes tuvieron mucho más éxito en la creación de nuevos resultados en el cálculo, razón por la que aún se usa esa notación. Aunque es un tanto irónico que a estas alturas se vuelva a la D de Newton, hay un motivo para hacerlo: Newton se sentiría complacido.
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208
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Identidades de operadores
,1
A continuación se presentan tres identidades de operadores que resultarán de suma utilidad:
11
(D - r)[e st ] = (s - r)e st
I
st
] = eS! (D + s- r)[h] 2 st (D + aD+ b)[e ] = e st (s2 + as + b)
(D - r)[h(t)e
(15) (16)
(17)
para constantes cualesquiera a, b, r y s y cualquier función derivable h(t). El cálculo directo con (13) y (14) muestra que estas identidades son válidas (intente hacerlo por su cuenta para mejorar sus habilidades al trabajar con operadores). Para recordar las fórmulas (13) a (17), sólo "multiplique" cada uno de los polinomios D - r y D2 + aD + b por la cantidad encerrada entre corchetes en la forma usual y luego recuerde que D[y] = y' y D2[y] = yl/. A menudo utilizaremos la notación P(D)=D 2+aD+b
lkW Resulta que es el mismo polinomio característico que se presentó al principio de la sección.
Teorema 3.3.2
para escribir la EDO (1) en la forma de operador P(D)[y] = O. A estos operadores simplemente se les denota con P(D) y se les llama operadores polinomiales porque se parecen a polinomios en el operador básico D. El polinomio característico de P(D) es P(r) = r 2 + ar + b. Los operadores polinomiales tienen dos propiedades útiles para resolver EDO lineales no homogéneas de coeficientes constantes. Teorema del operador polinomial. El operador P(D)=D 2+aD+b, donde a y b son constantes, tiene las siguientes propiedades: Propiedad de linealidad. Para cualesquiera constantes C¡ y C2 y cualesquiera funciones y¡(t) y h(t) derivables dos veces, se tiene P(D)[C¡y¡ + C2Y2] = C¡P(D)[y¡] + C2P(D)[Y2]
lkW A esta propiedad se le denomina principio de sllperposiciól1.
(18)
Propiedad de cerradura. Si y¡(t) y Y2(t) son solución de la EDO P(D)[y] = O, entonces también lo es C¡y¡ + C2Y2 para constantes cualesquiera C¡ y C2.
Para demostrar la propiedad de linealidad, obsérvese que D[C¡y¡ + C2Y2] = C¡D[y¡] + C2D[Y2] D 2[C¡ y¡ + C2Y2] = C¡D 2[y¡] + C2D 2[Y2]
Estas propiedades se deducen directamente de las propiedades de la derivada; por tanto 2
'
P(D)[C¡y¡ + C2Y2] = D [C¡y¡ + C2Y2] + aD[C¡y¡ + C2Y2] + b(C¡y¡ + C2Y2) = C¡ (D 2+ aD +b)[yd + C2(D 2+aD+b)[Y2] = C¡ P(D)[ y¡] + C2P(D)[Y2]
La propiedad de cerradura se deduce de la linealidad de P(D) porque P(D)[C¡y¡ + C2 Y2] = C¡P(D)[y¡] + C2 P(D)[Y2] = O
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209
3.3/ EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, I
Utilizaremos este hecho una y otra vez.
I@"
En'consecuencia, y '" C¡y¡ + C:zY2 es una solución de P(D) [y] = Osi y¡ y Y2 son soluciones. A los operadores que satisfacen la propiedad de linealidad se les denomina op eradores lineales . Al escribir la EDO (1) en la forma de operador como P(D)[y] = O se ha visto que P(D) es un operador lineal. Ésta es la razón de que se utilice el término EDO lineal. La expresión C¡w + C2 z, donde wy z son funciones y C¡ y C2 son constantes, surge tan a menudo que merece un nombre: una combinación lineal de w y z. Entonces, la propiedad de cerradura puede enunciarse de nuevo como sigue: cualquier combinación lineal de soluciones de P(D)[y] = O es de nuevo una solución P(D)[y] = O.
Factorización de un operador polinomial Para dos constantes cualesquiera r y s puede apliéarse un operador polinomial, digamos D - s, a una funGión doblemente diferenciable y(t) y a continuación otro, por decir D - r. Definiremos el producto de operadores (D - r) (D - s) mediante la fórmula operacional (D - r)(D - s)[y] = ~D~' r)[(D~ s)[y]]
(19)
"
Si r = s, se escribe (D - r)(D - r) como (D - r)2. Ahora, para cualquier otro par de constantes r y s, (D- r)(D-s) = (D-s)(D - r) No importa el orden que se aplica a D - r y D - s.
I@"
(20)
de modo que el orden de los factores no altera el producto. Es posible demostrar que la igualdad (20) es válida si se evalúa cada uno de sus miembros por medio de la definición (19). Primero obsérvese que (D - r)(D - ,s)[y]
= (D- r)[y' -
sy] = P[y' - sy] - rey' - sy) = (y' - sy)' - rey' - sy) . = y"- (r+s)y'+rs
Así, se ve que (D - r)(D- s) = D 2 -(r+s)D+ rs
(21)
Al intercambiar r y s en (21) se obtiene el mismo resultado para (D - s) (D - r) . Supóngase que el polinomio característico P(r) = r + ar + b del operador P(D)D2 + aD + b tiene dos raíces reales rl Y r2 (las cuales podrían ser iguales). Entonces P(r) puede escribirse como
y se observa que a = de factorizarse como
-( 'i
+ r2 ) Y b =rl r2 . Si se utiliza la igualdad (21) se ve que P(D) pueP(D) = (D- r¡)(D- r2 )
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Como ya dijimos, el orden de los factores no altera el producto. Utilicemos ahora las propiedades de los operadores para completar la comprobación del teorema 3.3.1.
Por qué con el teorema 3.3.1 se obtienen todas las soluciones Seguiremos un enfoque constructivo para demostrar que con las fórmulas del teorema 3.3.1 se describen todas las soluciones de 2
P(D)[y] = (D +aD+ b)[y] = O
(22)
para los casos indicados. Supóngase que rl Y r2 son las raíces características (no necesariamente distintas) de P(r). Entonces la EDO (22) cobra la forma de operador P(D) [y ] = (D - rl )[(D - r2)[y]] = O
(23)
Supóngase que y(t) es una solución de la EDO (23). Queremos demostrar que y(t) debe tener la forma de una de las soluciones enumeradas en el teorema 3.3.1. Apliquemos D - r2 a y y asignémosle el nombre V al resultado: (24) Entonces, por sustitución en la ecuación (23) se sabe que v satisface la EDO lineal de primer orden (D-rl)[v]=V'-líV=O
(25)
puesto que (D - Ií )[v] = (D - rl )[ (D- r2 )[y]] = O. Sin embargo, la EDO (25) es lineal de primer orden y, por tanto, puede aplicarse el método de los factores de integración para determinar todas las funciones v(t) que la resuelven. Las soluciones están dadas por Cl es cualquier número real Por tanto, la solución dada y(t) de la EDO (23) debe ser solución de la EDO lineal de primer orden (26) la cual se obtiene al sustituir V por el er" en (24). Supóngase ahora que rl",¡:. r2' Al aplicar el método de factores de integración a la ecuación (26) se obtiene -r2/ )' _ C ( r,- r2)1 ( ye le Al integrar se tiene que
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3.3 / EOO linea les homogéneas de coeficientes constantes, I
donde e 2 es un número real arbitrario. Puesto que el es una constante arbitraria el /('1 - '2) puede sustituirse simplemente por el . Al resolver para y(t) se obtiene el resultado expresado en el teorema 3.3.1 si '1 -:F '2. Ahora bien, si '1 = ' 2' entonces al multiplicar la EDO (26) por el factor de integración e -',1 se obtiene (ye -,,1 )' = el
Con la integración se obtiene ye -',1 = Clt + C2
donde C2 es una constante real arbitraria. Al resolver esta ecuación para y se obtiene el resultado expresado en el teorema 3.3 .1 para este caso de una raíz repetida. Y, por consiguiente, se ha demostrado que las fórmulas del teorema 3.3.1 captan en realidad las soluciones de P(D)[y] = O si las raíces del polinomio característico son reales.
Cómo usar el método del operador para resolver una EDO no homogénea El método del operador sirve también para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.3.5
Resolución de una EDO no homogénea
Consideremos la EDO no homogénea y" + y' - 2y = sent
(27)
Puesto que D 2 + D - 2 = (D + 2)(D -1), la EDO se escribe como (D + 2)[(D-1)[y]] = sen t
En consecuencia, si se resuelve primero (D + 2)[v] = v'+2v = sent
para
(28)
v, y luego se resuelve (D - l)[y ] = y' - y = V
para y, se obtendrá la fórmula de solución general para la EDO (27). Abordemos primero la EDO lineal de primer orden (28). Al multiplicar por el factor de integración e21 , esta EDO se convierte en (ve
21
)'
21
= e sen t
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Con la tabla 1.3.1 se encuentra una antiderivada del miembro derecho de la ecuación y se integran ambos miembros de esta EDO, con lo que se obtiene . ve 2t = (2/5)e 2t sen t - (l/5)e 2 tcos t + el (29) donde el es una constante arbitraria. Al resolver la ecuación (29) para ve introducirla en la EDO (D - 1)[y] la EDO de primer orden y' - y = (2/ 5)sen t - (l/5)cos t + e e- 2t
=v
se obtiene
l
Al multiplicar por el factor de integración e- t , esta EDO se convierte en "(ye -t), = (2/5)e -t sen t - (l/5)e - tcos t + e¡e- 3t
De nuevo con la tabla 1.3.1 se determina una antiderivada para el miembro derecho de la ecuación y se integran ambos miembros, lo cual da ye- t = - (3/1O)e- t sent - (l/10)e-tcost - (el /3 )e-3t + e 2 ~ En la sección 3.6 veremos una mejor forma de obtener esta fórmula.
donde e2es una constante arbitraria. Al sustituir -e l/3 por sólo el (puesto que constante arbitraria) y resolver para y(t), se tiene y(t) = e l e- 2t + e 2e t -(3/1O)sent - (1/lO)cost
el es una
que es la fórmula de solución general para la EDO (27). Obsérvese que se ha sustituido la EDO lineal de segundo orden (27) por un sistema equivalente de dos EDO lineales de primer orden (D+ 2)[v] = v' + 2v =sent (D -1)[y] = y' - y = V
Comentarios ~ Al final del capítulo se resumen las identidades de operadores para tenerlas como referencia.
Las EDO lineales con coeficientes constantes a menudo se presentan en las aplicaciones (véase el capítulo 4, por ejemplo). En esta sección hemos visto que para encontrar una fórmula de solución general para las EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes es necesario obtener las raíces de un polinomio, el polinomio característico relacionado con la EDO.
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3.4 / EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, //
Problemas
se
1.
29) ne
_
Obtenga la solución general de las EDO siguientes: (a) y" = O
(b) y"
- 2Y
=O
(d) y"-4y=0
(e) 5y"-1Oy'=0 (h) y"+4y'-y=0 (k) y"-2y' +y
=O
(g) y"-6y'
+9y= O (j) 4 y" - 4 y' + y = O
+ y'
(e) y"~4y'+4y=0 (O 2y"+12y'+18y=0 (i) y"+2y'+y=0 (1) y" -lOy' + 25y = O
(PVl) Resuelva los siguientes PVI. Trace las curvas solución.
la
www
3.
(a) y"+y'=O,
y(O) =1, y'(O)=2
(b) y"+3y'+2y=0,
y(O)=O, y'(O)=l
(e) y"-9y=0,
y(0)=2, y'(O)=-l
(d) y"-4y'+4y=0,
y(O)=l, y'(O)=l
(e) y"-2Sy=0,
y(l) = O,y'(l)=l
(O y"+y'-6y=0,
y(O)=l, y'(O) =-1
(Dada una solución, ¿ cuál es la EDO?) Obtenga una EDO de la forma y" + ay' + by = O, donde a2 > 4b, para la que la función dada sea una solución, o bien, explique
por qué no existe tal EDO. (a) et-e-I
(b) e' - te'
(e) e-l+e-21
(d) 1+e-31
(e) e21+ 10000e31
(O e.J2i+ e-.J2i
(g) e"I-3
(h) e
(i) t+2
(j) t2e-1
l2
Obtenga la solución para la que y(-l) = 2, y'(-l) = O.Trace la curva solución. (a)y"=O
s.
6.
o
(a) D-2
(b)D+3
(c)D2+D-6
(d) (D-2)(D+3)
(e) (D+3)(D-2)
(O (D+l)2
Obtenga un operador polinomial P(D) = D2 + aD + b que dé O al aplicarlo a la función indicada y(t).
= 2eS!
(b) y(t)
= e"
+e-t
(e) y(t)
Obtenga una función y(t) tal que (D - 2)[y(t)] (a) f(t)
8.
(e) y"-4y'+4y=0
Aplique cada operador a la función y(t) = e-t.
(a) y(t)
7.
(b) y"+y'-2y=0
= e-t
(b)f(t)=t-l
= f(t),
= te'
(d) y(t)=sent
donde f(t) es la función indicada.
(e) f(t)=sent+4
Obtenga una fórmula de solución general para cada una de las EDO siguientes. [Sugerencia: siga el ejemplo 3.3.5.] (a)y"-y=sen2t (b) y"-y'-2y=cost (e) y"+2y'+y=e-t
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
9. Encuentre una fórmula de solución general para la EDO (D - l)(D + 2)(D - 3)[y] =
O. 10. (Teorema de unicidad.) Demuestre el siguiente resultado: para constantes cualesquiera a, b, to, Yo, v o, el PVI y" + ay' + by = O, y(to) = Yo, y'Uo) = v o, no puede tener más de una solución en cualquier intervalo de t que contenga al punto too [Sugerencia: si u(t) y v(t) son dos soluciones del PVI, entonces demuestre que w(t) = u(t) v(t) también es solución del PVI y" + ay' + by = O, y(to) = Ya. y'Uo) = O.]
3.4
EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes, 11 En esta sección veremos cómo hallar una fórmula para todas las soluciones de la EDO homogénea con coeficientes constantes P(D)[y] = y" - ay' + by = O
I@' Este método no es tan extraño como podría parecer en primera instancia.
Ejemplo 3.4.1
(1)
donde las raíces características son números complejos, no números reales. Para realizar esto de manera eficaz resulta útil hacer que la EDO (1) tenga soluciones de valores complejos. Al parecer ésta podría ser una forma complicada de resolver el problema, pero tenga paciencia y verá la recompensa. Los PVI que se basan en la EDO (1) suelen presentarse mucho en las aplicaciones. Veamos un ejemplo e ilustremos las distintas representaciones gráficas generadas por una solución.
Curvas de un modelo de resorte amortiguado regido por la ley de Hooke Como vimos en la sección 3.1, el PVI de segundo orden para la posición y(t) (con respecto
a la posición estática de equilibrio) de un peso suspendido sostenido por un resorte regido por la ley de Hooke es k y+-y c , = O, Y"+m m
'1
(2)
donde k, m y c son la constante del resorte, la masa del peso y la constante de amortiguamiento, respectivamente. Utilicemos un programa de solución numérico para resolver el PVI (2) con los datos específicos (medidos en algún conjunto consistente de unidades) k/m=65,
c/m = 0.4,
to = 20,
Yo =9,
Vo = 0
(3)
En la figura 3.4.1 se muestra a la izquierda la órbita en espiral hacia adentro regida por el tiempo en el plano yy~ en la parte superior derecha la curva solución y la curva componente y' en la parte inferior izquierda. En la figura 3.4.2 se ilustra la curva tiempo-estado (línea de trazo continuo) en el espacio tyy' y su órbita (línea discontinua) debajo en el plano yy ~
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3.4 / EoO lineales homogéneas con coeficientes constantes, II
y(20) = 9,
y"+OAy'+65y=O,
y'(20) = O
y" +O.4y' +65y=O,
~': ~
75
- 10
20
25
30
y'(20) = O
20
-5
25
y(20) = 9,
15 10
35
t
::~'<~ -10
-5
10
20
25
30
35
y
Figura 3.4.1 Órbita y curvas componentes para el modelo del resorte amortiguado (ejemplo 3.4.1).
lrW En el problema 12 de la sección 3.2 se describe cómo graficamos la figura 3.4.2 con nuestro programa.
Figura 3.4.2 Curva tiempo-estado (línea continua) y su órbita (línea discontinua) (ejemplo 3.4.1).
Las gráficas de las figuras 3.4.1 y 3.4.2 indican que el resorte oscila en torno a su estado de equilibrio con amplitudes que decaen en forma exponencial. Esto tiene mucho que ver con el hecho de que las raÍCes características de la EDO (2), con los coeficientes constantes dados en (3), no sean números reales.
Funciones de valores complejos y soluciones lrW En el apéndice B.3 se dan más detalles acerca de las funciones de valores complejos.
Si la EDO y"+ ay' + by = O surge en un modelo matemático de un proceso natural, entonces los coeficientes a y b son números reales y las soluciones buscadas finalmente son valores reales. Pero ¿y si fuera posible hallar soluciones de valores complejos para esta EDO? ¿Este hecho nos ayudaría a encontrar soluciones de valores reales? A ambas preguntas se da una respuesta afirmativa en los párrafos siguientes. Veremos que el concepto de soluciones de valores complejos de EDO lineales puede resultar muy útil como dispositivo de cálculo casi del mismo modo que los números complejos facilitan el análisis de las raíces y la posibilidad de factorizar los polinomios. ¿Qué significa decir que una función de valores complejos y(t) de una variable real tes una solución de la EDO lineal (1), donde los coeficientes son números reales o complejos? Para contestar esta pregunta, se demuestra que D actúa en las funciones complejas del mismo modo que en las funciones de valores reales. Una función de valores complejos y(t) de variable real t puede escribirse de manera única como una suma y(t) = u(t) + iv(t), donde las funciones u(t) y v(t) son de valores reales. A las funciones u(t) y v(t) se les llama parte real y parte imaginaria, respectivamente, de y(t), y se denotan por Re[y] e Im[y]. Si se utiliza una barra para denotar la conjugación compleja, se observa que si y(t) = u(t) + iv(t) entonces y(t) = u(t) - iv(t).
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Luego, debe definirse la derivada de una función con valores complejos de una variable real , Puede demostrarse que si y(t) = u(t) + iv(t), entonces , y(t +h)-y(t) l' u(t+h)-u(t) 11m = .1m h 11 __ 0 h
IH O
v(t+h)-v(t) + 1' 1'1m --'-- ' - --'-'h__ O
h
si y sólo si existen los límites, Por tanto, es razonable definir el operador de diferenciación D para funciones de valores complejos como sigue: .:. Derivada de una función con valores complejos. Sea y(t) = u(t) + iv(t) una función de valores complejos con una parte real y una imaginaria u(t) y v(t) , respectivamente. Entonces y' = D[y] = D[u + iV] = D[u] + iD[v]
Todas las reglas de diferenciación comunes son válidas para los operadores D y P(D). Es posible demostrar que las propiedades de linealidad y de cerradura del teorema 3.3.2 también se cumplen para cantidades complejas. Si y(t) = u(t) + iv(t) es una solución de 2
P(D)[y] = (D +aD+b)[y] = O
(4)
donde a y b son números reales, entonces u(t) y v(t) son soluciones de valores reales de la EDO (4). Lo ante1ior puede demostrarse por medio de la propiedad de linealidad P(D)[u + iV] = P(D[u] + iP(D)[v] = O+ Oi ~ Si puede hallar las soluciones con valores complejos, entonces obtendrá de inmediato las soluciones co n valores reales,
(5)
Pero dos cantidades complejas son iguales si y sólo si coinciden sus partes reales e imaginarias. Por consiguiente, P(D)[u] = O YP(D)[v] = O. Todas las identidades de operadores polinomiales de la sección 3.3 se cumplen cuando los coeficientes y las rafees son números complejos. En particular, aun cuando las rafees características r[ y r 2 del operador polinomial D2 + aD + b sean números complejos, se tiene D 2 +aD+ b = (D- r[)(D- r2 )
donde el orden de los factores del miembro derecho de la ecuación no altera el producto.
la función exponencial
e (a+ i{3 )f
La función exponencial en, donde r es un número complejo y t es un número real, es una función de valores complejos muy útil. Como lo indica la notación, sería conveniente que la función tuviera las propiedades comunes de las funciones exponenciales. Por tanto, si r es el número complejo a + if3, entonces se esperaría que se cumpliera la ley de los exponentes:
(6)
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3.4 / EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, 11
Ahora debemos ver cómo se definirá ei~ donde yes cualquier número real. Una forma razonable sería sustituir x por iyen la serie de Taylor 12 1 3 In x e = 1+x +-x +-x +· ··+ - x + ... 2! 3! n!
y separar los términos reales e imaginarios para obtener
Las series del paréntesis son series de Taylor para cos yy sen e iY = cosy + isen y, y con y =f3t se tiene la f órmula de Euler
r
Es razonable definir
e i/3t = cos f3t + i sen f3t, para números reales cualesquiera
13, t
(7)
Con (6) y (7) se obtiene la fórmula e(a+i/3)t = ea! cos f3t + iea! sen f3t
(8)
Se deduce que Im[e(a+i/3)l] = ea! sen f3t
Puesto que r = a - if3 para cualquier número complejo r = a + if3, por la fórmula (8) se observa que
(9) Apliquemos el operador D a la función exponencial definida en la fórmula (8).
Ejemplo 3.4.2
Fórmula de derivada para e
Como vimos en la fórmula (7), para cualquier número real 13 la función de valores complejos e i/3t está definida para los valores reales de t como e i/31 = cos f3t + i sen f3t. Por tanto, se tiene D[e i/3tJ = D[cos f3tl + iD[sen f3t] = - 13 sen f3t + if3cos f3t = if3( cos f3t + i sen f3t) = i[3ei/3t
(10)
Aborá; supóngase que r = a + if3 es cualquier número complejo. De (8), ert = e(a+i/3)t = ea! e i/3t, y por medio de la ecuación (10) Yla regla del producto para la diferenciación se tiene que D[e rt ] = D[ea! e i/3t] = D[ea! ]e i/31+ ea! D[e i/3t] = aea! e i/3t + ea! if3 e i/3t = re rl
que es la misma fómula de diferenciación que en el caso de los valores reales de r.
(11)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Para cualquier operador polinomial P(D) = D2 + aD + b, Y cualquier número complejo r; se ve por la fórmula (ll) que, como en el caso real, P(D)[e rt ] = D2[e rt ]+ aD[e rt ]+ be rt rt = r 2e + arert + be rt rt
= e (r
2 + ar+ b) = ert P(r)
(12)
Reunamos algunas de estas propiedades de la función exponencial compleja. Propiedades de la función exponencial compleja, erl
La función e rt de valores complejos definida en (8) para cualquier número complejo r = a + if3 tiene las siguientes propiedades: Re[e rt ] = e at cos f3t , Im[e rt ] = eatsen f3t rt Tt e = e , donde la barra denota la conjugación compleja. rt rt • P(D)[e ] = e P(r), para cualquier operador polinomial P(D). • Si r¡::;:' r2 Y si las constantes K¡ y K 2 son tales que K¡er¡t + K 2e r2t = O, para toda t, entonces K¡ = K 2 =:= O. Para demostrar la última de las propiedades anteriores se aplica el operador D a la identidad K¡er¡t + K 2e r2t = O a fin de obtener la nueva identidad K¡r¡er¡t + K2r2er2t = O, para toda t. Estas identidades se evalúan en t = O para obtener las dos ecuaciones K¡+K2 =0
Y K¡r¡ +K2r2 =0
Si en la primera ecuación se despej a K2 y se sustituye en la segunda, se obtiene K¡(r¡ r2) = O. En virtud de que r¡ ::;:. r2, se deduce que K¡ = O y, por tanto, K 2 = O. Utilicemos ahora las propiedades de ert para obtener más fórmulas de solución.
Obtención de las fórmulas de solución Supóngase que el operador polinomial real P(D) = D 2 + aD + b tiene el par de raíces conjugadas a ± if3. A continuación explicamos cómo resolver P(D) [y ] = O. De acuerdo con la identidad (12) se tiene que P(D)[e(a+i{3)t] = e(a+i{3)t Pea + if3) = O
en consecuencia, e(a+i{3)t es una solución de valores complejos de P(D)[y] = O. Ahora bien, si se utiliza (8) es posible escribir u(t) = Re[e(a+i{J)t] = e cct cos f3t,
v(t) = Im[e(CC+i{3)t] = eatsen f3t
Entonces, a partir de (5) se observa que P(D)[u + iV] = P(D)[u] + iP(D)[v] = O, para toda t
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219
3.4 / EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, 11
y puesto que P(D) tiene coeficientes reales, se deduce que e at cos f3t y eatsen f3t son soluciones de valores reales de P(D) [y ] = O. Como resultado de la propiedad de cerradura para P(D) se nota que (13)
es una solución de P(D)[y] = O para los números reales arbitrarios C¡ y C2. Es un hecho notable que la ecuación (13) describa todas las soluciones con valores reales de P(D)[y] = O, pero diferiremos la justificación de este hecho hasta el final de la sección. Con fines de consulta se da una fórmula de solución general para las funciones con valores reales de P(D)[y] =O sin importar cuáles sean las raíces características. Esto se formula como un teorema, pero en la práctica se trata en realidad de un procedimiento para construir la solución general.
Teorema 3.4.1
~
En estas fórmulas se resume todo lo que hemos visto en las secciones 3.3 Y 3.4.
Teorema para la solución general con valores reales. Supóngase que los coeficientes de P(D) = D2 +aD + b son números reales y que el polinomio característico P(r) tiene las raíces r¡ y r2' Entonces la solución general con valores reales de la EDO P(D) [y ] = O está dada por
y -- C¡e r¡t
+c2e, r2 t
si r¡ y r2 son reales, r¡;f. r2
y = C¡e at cos f3t + C2e at sen f3t, y = C¡e'i
t
+ C2te'i
t
si r¡
= 1'2 = a+if3,
f3;f. O
(14)
,
donde C¡ y C2 son números reales arbitrarios. A continuación se presenta un ejemplo de cómo obtener las soluciones de valores reales cuando las raíces características son números complejos.
Ejemplo 3.4.3
Soluciones con valores reales a partir de so.luciones con valores complejos El polinomio característico de la EDO lineal y" + y' + 100.25y = O
(15)
es r2 + r + 100.25, que tiene las raÍCes r¡ = -112 + lOi Y r2 = -112 - lOi. Por el teorema 3.4.1, la solución general es
donde C¡ y C2 son números reales arbitrarios. En la figura 3.4.3 se muestran las curvas solución de la EDO (15). Obsérvese que las amplitudes disminuyen a medida que t aumenta desde O (debido a los exponentes negativos) y también las oscilaciones (por las sinusoides de periodo n/5).
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Ecuaciones diferenciales
de primer orden y modelos
3.4 / El
Justificación de la fórmula de solución (14) Cuando los coeficientes a y b son valores reales y las raíces características rl Y r2 son valores complejos, es útil encontrar primero todas las soluciones de valores complejos de la EDO homogénea P(D)[y] = O. Los métodos utilizados en la sección 3.3 para establecer el teorema 3.3.1 también son válidos cuando las raíces características son complejas (por eso se definió el operador D como se hizo para funciones con valores complejos). A continuación se presenta el resultado.
Teorema 3.4.2
S entone,
!lE
plejas presen conjug
Teorema para la solución general con valores complejos. Supóngase que a y b son constantes reales (o complejas) y que rl Y r2 son las raíces del polinomio P(r) = r2 + ar + b. Entonces la solución general de valores complejos de la EDO P(D)[y] = O está dada por (16a) y = Kler¡t + K2er2t, si rl 7' r2 y= Kler¡t +.K2ter,t,
si rl
(16b)
= r2
donde KI y K2 son constantes complejas arbitrarias.
Es indispensable tener sumo cuidado de hacer una distinción entre la solución general con valores complejos y la solución general con valores reales. Naturalmente, las solu-
3
y"+ l+100.25y = O y(O)
2
"'-
I
= 1,
!lE
por
1/(0)1:5 20
e
o !lE
se rt dese cilitr
-1
-2
-3
-O. 5
0.0
0.5
1.0
1.5
Figura 3.4.3 Curvas solución oscilantes: raíces de P(r) son - 1/2
±
2.0
lOi (ejemplo 3.4.3).
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3.4/ EDO lineales homogéneas de coeficientes constantes, 11
I@' Si a y b son reales, entonces las raíces complejas de r 2 + ar + b se presentan como pares conjugados.
ciones con valores reales deben aparecer entre el conjunto de las soluciones con valores complejos. Una manera de identificarlas es la siguiente: y(t) es una solución de valores reales si y sólo si y(t) = y(t), para toda t, o en forma alternativa, si y sólo si Im[y(t)] = O para toda t. Ahora justifiquemos el teorema 3.4.l. Si P(D) = D 2+ aD + b tiene coeficientes reales y raíces características complejas rl Y r2, entonces r¡ = a + if3 Y r2 = a - if3, donde f3"* O. Puesto que r¡"* r2, el teorema 3.4.2 da la solución general de valores complejos - K (a+if3)t y - ¡e
+ K 2e (a-if3)t
(17)
donde K¡ Y K 2 son números complejos arbitrarios. Para reconocer las soluciones de valores reales en la fórmula (17) sea y(t) = y(t) para toda t, y se obtiene (donde por conveniencia se establece a + if3 = r) K ¡e r/ + K 2e 1'/ = K le 1'/
+ -K2e r/
o bien, después de ordenar los términos, (KI - K 2 )e rt +(K2 _ K¡)e rt = 0
(18)
Pero, como se hizo notar antes, la ecuación (18) indica que K¡- K 2 = O Y K 2 - K¡ = o. Por tanto, las soluciones reales son como la siguiente y = K¡e r/ + K¡e r/ = 2 Re[K¡e(a+i f3 )I]
(19)
Si se establece K¡ = k¡ + ik2 , donde k¡ y k2 son constantes arbitrarias reales, entonces por la fórmula (19) se tiene (20) Sólo sustituya 2k¡ por C¡ y -2k2 por C 2.
I@'
la cual, si se recuerda que k¡ y k2 son constantes arbitrarias, justifica la afirmación de que las soluciones con valores reales tienen la forma expresada en (14).
Comentarios Al final del capítulo se resumen las identidades de operadores para facilitar cualquier consulta.
I@'
Ahora ya sabemos cómo obtener las soluciones con valores reales de una EDO homogénea y" + ay' + by = O, donde a y b son constantes reales. En la sección 3.6 se muestra cómo encontrar la solución particular de la EDO no homogénea y" + ay' + by = f(t), donde f(t) tiene la forma especial vista en casi todas las aplicaciones.
Problemas _____________________________________________ 1.
Obtenga las soluciones con valores reales de P(D)[y] = O, donde (a) P(D) = D2_2D+2 (b) P(D) = D2-4D+5
(e) P(D) = D2_4D+4
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222
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
2.
(Uso de las soluciones para construir la EDO.) Para cada uno de los casos siguientes escriba la EDO lineal normalizada de menor orden con coeficientes reales constantes para la que la expresión dada es una solución. (a) e- 5t _e-2t [Sugerencia: considere (D+ 5)(D+ 2).] (b) 3e 4t +2te 4t [Sugerencia: considere (D-4)2.] (e) Se-4t sent (d) /3-5i)t
www
.3.
(e) cost + e(2- i)t [Sugerencia: primero encuentre P(D) de modo que P(D)[cost] =O. Luego obtenga Q(D) de modo que Q(D)[e(2-i)t] = O; después considere P(D)Q(D).] Obtenga la solución general con valores reales de cada una de las EDO siguientes. Luego trace las curvas solución en el plano ty para -1::;; t::;; 5, donde y(O) = 1, y'(O) = -6, -3, O, 3, 6. Grafique las órbitas correspondientes en un rectángulo en el plano yy' donde se observen las características principales de las órbitas. Explique los resultados. (a) y"+y'=O
(b) y"+2y'+65y=0
(e) y"+3y'+2y=0
(d)y"+lOy=O
(e) l' - y /9=0
(f) y"-3y' /4+ y/S=0
(PVI) Obtenga la solución real y trace la curva solución. ¿Qué sucede cuando t ~ +oo? y(O) = 1, leO) = O
(a) y" + 2y' + 2y = O,
(b) y" + 4y' + 4y = O, (e) y" + y'-6y =0,
5.
6.
7.
La fórmula de De Moivre viene en al apéndice B.3.
lI:!lf
8.
y(l) = 2,
y'(l) = O
y(-l)=l, l(-l)=-l
(Soluciones que decaen.) Considere la EDO y" + ay' + by = O, donde a y b son constantes reales. (a) Demuestre que si a > O, b > O, entonces toda solución tiende a cero cuando t ~ +00 . (b) Demuestre que si toda solución tiende a cero cuando t ~ 00, entonces a > OYb > O. (SoluCiones acotadas positivamente.) Se dice que una solución y(t) de y" + ay' + by =O, a y b números reales, es acotada positivamente si hay una constante M positiva tal que ly(t)1 ::;; M para toda t ~ O. (a) Demuestre que todas las soluciones son acotadas positivamente si a ~ O, b ~ O, sin que ambas sean cero a la vez. (b) Demuestre que si todas las soluciones de la EDO son acotadas positivamente, entonces a ~ O, b ~ O, sin que ambas sean cero a la vez. (Coeficientes complejos: qué hacer cuando no se aplica el teorema 3.4.1.) W Encuentre la solución general de y" + iy' + 2y = O. (b) ¿Tiene soluciones no triviales de valores reales la EDO del inciso (a)? (e) Encuentre la solución general de y" + iy = O. [Sugerencia: utilice la fórmula de De Moivre para hallar las raíces del polinomio característico.] (Más EDO con coeficientes complejos.) Obtenga las soluciones con valores reales (si existen) de las EDO siguientes. [Sugerencia: factorice el polinomio característico por inspección.] (a) y" +(l+i)y' +iy = O (b) y"+(-1+2i)y'-(1+i)y = O
http://carlos2524.jimdo.com/ 3.5 / Soluciones periódicas y movimiento armónico simple
3.5
223
Soluciones periódicas y movimiento armónico simple Las soluciones periódicas aparecen con mucha frecuencia en las EDO utilizadas en el diseño y análisis de sistemas tales como maquinaria y dispositivos electrónicos. Primero revisemos algunas propiedades de las funciones periódicas y cómo surgen como soluciones de EDO lineales de segundo orden ..Luego veremos cómo surge el extraño fenómeno de adopción de un nombre falso al seguir una función periódica numéricamente.
Funciones periódicas
lE? En lo subsiguiente, cuando se mencione la palabra "periodo" estaremos hablando de "periodo fundamental".
También debe estipularse que fg y af + bg no son funciones constantes. lE?
En el ejemplo 2.2.7 usamos por primera vez la unidad hertz.
lE?
En temas anteriores hablamos de manera informal de las funciones periódicas, pero llegó el momento de anotar todas sus definiciones y propiedades. Una función no constantef(t) definida en la recta real es una función periódica si existe un valor T> O (llamado periodo) tal que j(t + T) = f(t) para toda t. Cualquier múltiplo entero de un periodo también es un periodo. El periodo positivo más pequeño de una función periódica se conoce como periodo fundamental . A partir de ahora el término periodo significará periodo fundamental. Se dice que una función periódica con periodo T completa un ciclo en cualquier intervalo de tiempo T. En otras palabras, el periodo T de una función periódica es el tiempo necesario para que la función complete un ciclo. Por ejemplo, la función .sent completa un ciclo en cualquier intervalo de tiempo de duración 2n. Sif(t) tiene periodo T, entoncesf(mt) tiene periodo Tlm debido a que es el tiempo mínimo necesario para que mt recorra un intervalo de tiempo de duración T. Por ejemplo, senmt y cosmt tienen periodo 2nlm. La amplitud A de una función periódica está dada por la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función. Por ejemplo, la función periódica 1 + 2 cos5t tiene amplitud 2. Si j(t) y g(t) son periódicas con el mismo periodo T, entonces j(t)g(t) y af(t) + bg(t), para constantes arbitrarias a y b (sin que ambas sean cero a la vez), son periódicas con el mismo periodo T. Aunque es menos evidente, sif(t) tiene periodo T y g(t) tiene periodo S, entonces j(t) + g(t) es periódica si y sólo si TIS es un número racional. De hecho, si dos enteros posi~ivos m y n sin factores comunes (distintos de 1) producen el valor común mT = nS, entonces este valor común es el periodo def + g. Por ejemplo, cos2t, cos 3t y cos m tienen los periodos respectivos T¡ = n, T2 = 2n13, y T3 = 2. Puesto que 2T¡ = 3T2 = 2n, la función cos 2t + cos 3t tiene periodo 2n. No obstante, cos 3t + cos nt no es periódica porque T21T3 = n13 , el cual es un número irracional. Existen muchas otras funciones distintas de las sinusoides que también son periódicas. Una que a menudo se presenta en las aplicaciones es la función de onda cuadrada oc(t, d, T). Un término estrechamente relacionado con el periodo de una función periódica es la "frecuencia". La frecuencia f de una función periódica con periodo T está definida como el número de ciclos por unidad de tiempo; por tanto, f = l/T. Por ejemplo, la función sen t tiene periodo T = 2n y frecuenciaf = l/2n, ya que es la fracción de un ciclo ejecutado en una unidad de tiempo. Si el tiempo se mide en segundos, la unidad hertz se utiliza a
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de primer orden y modelos
Ecuaciones diferenciales
3.5/501
0.5
0.5
o.
0.3
0.3
o.
0.1
0.1
>.,
>., -0.1
-n .1
-n
-0.3
-0.3
-n
-0.5 20
40
60
-o
-0.5
100
80
t
t
Figura 3.5.1 Muestreo de movimiento armónico simple en 10 puntos por unidad de tiempo (ejemplo 3.5.2).
Figura 3.5.2 Muestreo de movimiento armónico simple en 5 puntos por unidad de tiempo (ejemplo 3.5.2).
menudo para denotar un ciclo por segundo. Para las sinusoides, como senéúi y cosúJt otra medida de frecuencia ampliamente utilizada es la frecuencia circular, el número de radianes cubiertos por unidad de tiempo. Por ejemplo, la frecuencia circular de senúJt es m, en tanto que la frecuencia es m/21t. Las frecuencias circulares se utilizan sólo con funciones trigonométricas. En lo subsiguiente emplearemos los términos periodo y frecuencia casi con la misma frecuencia, valga la tautología, cuando se hable de funciones periódicas. A continuación examinaremos una EDO cuyas soluciones no constantes son periódicas.
Ejemplo 3.5.1
Movimiento armónico simple Para cualquier número positivo (o, la EDO del resorte no amortiguado y sin fuerza motriz regido por la ley de Hooke P(D)[y]
= y"+m2y = O
(1)
tiene la solución general y = Cl sen
on + C2 cos on
(2)
donde CI y C2 son números reales arbitrarios. Esto se debe a que ±im son las raíces de P(r) = r2 + ofl. Si tanto Cl como C2 son distintas de cero, entonces A = (C( + )112 > O, y la solución general tiene la forma equivalente
ci
y~A
c (isenmt+
-c;
cosmt
)
(3)
Definimos 8 como un ángulo tal que cos 8 = Cl/A, sen 8 = C2/A. Entonces, se observa que la solución general de y' + m2y = O es ' y = A(cos8senmt+
sen8senmt)
= A sen(mt
+ 8)
Figur: en 1 p
Il@fU
dad tri apéndi<
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225
3.5/ Soluciones periódicas y movimiento armónico simple
0.5
0.5
0.3
0.3
0.1
0.1 ;>...
;>...
-0.1
-o
-0.3
-0.3
-0.5
-0.5
.1
t
le
a aen es si
t
Figura 3.5.3 Muestreo de movimiento armónico simple en 1 punto por unidad de tiempo (ejemplo 3.5.2).
Figura 3.5.4 Muestreo de movimiento armónico simple en 0.5 puntos por unidad de tiempo (ejemplo 3.5.2).
e
~ Utilice una identi- . dad trigonométrica del apéndice B.4.
donde la amplitud A es una constante negativa arbitraria y el ángulo de fase es una constante arbitraria (positiva o negativa) puesto que Cl y C2 son arbitrarias. De manera equivalente, y == A cos( tot +
e-
Seguimiento de soluciones periódicas con un programa de solución numérica La detección de las soluciones periódicas de una EDO por medio de un programa de solución numérica puede cobrar un giro extraño. En aras de la sencillez sólo veremos el movimiento armónico simple.
1)
2) r)
Ejemplo 3.5.2
Tasas de muestreo: adopción
de un nombre falso
Por el ejemplo 3.5.1 se observa que la solución general de la EDO
la
3)
y"+4y
O
es la sinusoide y = Asen(2t
e
=
+ e)
con amplitud arbitraria A ¿ O Y ángulo de fase arbitrario e. Todas las soluciones tienen periodo tt. En las figuras 3.5.1 a 3.5.4 se ilustran cuatro gráficas de la solución del PVI y" +4y=0,
y(O) = O,
y'(0) = 1
(4)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
en el intervalo O~ t ~ 100. En la figura 3.5.1 se utilizó el método de Runge-Kutta (RK4) de cuarto orden para aproximar la curva del componente y del sistema equivalente al PVI (4), donde y'= z,
z'=-4y,
y(O)=O,
z(O)=1
en 1000 puntos igualmente espaciados en el intervalo O ~ t ~ 100. El resultado tiene la apariencia de una sinusoide de periodo n (como debe ser). Las gráficas de las figuras 3.5.2 a 3.5.4 se construyeron con exactamente los mismos puntos que la figura 3.5.1, pero con trazos a cada 5, 10 y 20 puntos, respectivamente. Las gráficas se degradan a medida que se sitúan cada vez menos puntos. En la figura 3.5.4, el periodo de la curva solución aproximada al parecer se duplicó a 2n. Puesto que todas estas gráficas se obtuvieron mediante el muestreo de la misma lista de 1000 valores con una aproximación sumamente buena, no debe atribuirse a la precisión del programa este comportamiento extraño. De hecho, este fenómeno siempre se presenta cuando el muestreo de una curva oscilatoria no es suficiente y los puntos se conectan por medio de segmentos de recta. Al parecer las amplitudes sinusoidales empeoran cuando disminuye el número de puntos de muestreo por unidad de tiempo. Por último, como se observa en la figura 3.5.4, cuando hay menos de dos puntos de muestra por periodo la representación gráfica al parecer tiene un periodo más grande (es decir, frecuencia menor). Los ingenieros llaman a esto un "alias", una frecuencia que toma el nombre de la otra. En términos prácticos, ¿qué puede hacerse para corregir la mala representación inherente al representar una función periódica continua mediante un conjunto discreto de puntos? Si el experimentador sabe de antemano el periodo de oscilación, entonces puede establecerse la tasa de muestreo en un valor lo suficientemente alto para aminorar el problema. Sin embargo, en la práctica no se conocen estos periodos y, por tanto, es necesario recurrir a un poco de experimentación antes de aceptar la validez de un resultado gráfico. Veamos ahora las soluciones sinusoidales de un oscilador armónico provisto de una fuerza motriz.
Obtención de las soluciones sinusoidales de una EDO no homogénea ~
En el ejemplo 3.3.5 se utilizan operadores para hallar las soluciones de una EDO explícita específica.
Ejemplo 3.5.3
Aunque "oficialmente" no hemos establecido técnicas de solución para las EDO lineales no homogéneas de segundo orden -no lo haremos sino hasta la siguiente sección-, ya las hemos utilizado en algunos ejemplos. La siguiente es otra de ellas.
Oscilador armónico forzado: un regalo de San Valentín Dotemos de una fuérza motriz al oscilador armónico del ejemplo 3.5.1 con el término de impulsión sinusoidal 3 sen kt, donde k -j; úJ, Y encontremos una fórmula para las soluciones de la EDO (5)
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227
3.5/ Soluciones periódicas y movimiento armónico simple
y" + 36y = 3sen4t.
y(O)= O. y '(O) =
y"+36y=3 sen 4t.
O
y(O) = O. y'(O) = O
1. 25
0.25 0. 15
'"
0 . 05
0.75
- 0 . 05 - 0.15
0.25
-0.25
- 0.25
1. 25
0 . 75 '".,
0. 25
-0.75
-0.25 - 0.75 -1. 2':0'-=.2'5---~o.15------:0~.0-5---0-.~05--0. 1-5-~o.25
-1. 25
y
Figura 3.5.5 Las gráficas de y(t) y y'(t): periodo (ejemplo 3.5.5).
Figura 3.5.6 La órbita periódica en el plano yy' : periodo 11: (Ejemplo 3.5.3).
11:
Adaptaremos un método utilizado para las ecuaciones diferenciales de primer orden del ejemplo 1.4.4. Supóngase que yl..t) es una solución de la EDO (5). Si y(t) es cualquier otra solución, entonces la diferencia z = y - Yd es solución de la EDO (1) y, por tanto, z tiene la forma C¡senwt+ C2coswt[véase la fórmula (2)]. Se deduce que las soluciones de la EDO (5) están dadas por la fórmula
Otro ejemplo de una buena suposición como técnica de solución.
Il@r
Ahora sólo hay que encontrar Yd(t); se podría tomar cualquier solución de la EDO (5) para yl..t). ¿Por qué no inferir tal solución? Puesto que se quiere finalizar con 3 sen kt, podría empezarse con yl..t) = A sen kt + B cos kt para constantes desconocidas A y B, Y después de sustituir Yd en la EDO (5), hacer corresponder los coeficientes de sen kt y cos kt: -Ak 2senkt-Bk 2 coskt+w\Asenkt + Bcoskt) = 3 sen kt En consecuencia, las constantes A y B deben satisfacer las ecuaciones - Ak2+W 2A = 3 Y -Bk2+w 2B= O Al resolver se tiene A
=3/(w 2 Y=
2
k 2 ) YB
3
w - k
2
=O. Así, ahora conjuntamos todo y observamos que
senkt+C¡senwt+C2coswt
(6)
donde C l y C2 son constantes arbitrarias, es la solución general de la EDO (5). A partir de la fórmula (6) se observa que cuando C¡ = C2 = O la EDO (5) tiene una solución de periodo 2n/k. Si k/w es un número racional, entonces la EDO (5) no tiene soluciones periódicas. Si k/w = m/n para ciertos enteros positivos m y n sin factores
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228
Ecuaciones diferencia les de primer orden y modelos
comunes, entonces toda solución de la EDO (5) distinta de Yd(t) es periódica con periodo
=
(3/(m 2 - k 2 » senkt
2n 2n m ·- = n·-
k
m
Por ejemplo, si ro = 6 Y k = 4, entonces puede obtenerse m = 2 Y n = 3, entonces 2nm / k = n = 2nn/ m, y las soluciones de la EDO (5) tienen periodo n. En las figuras 3.5.5 Y 3.5 .6 se ilustran las curvas componentes y la órbita si y(O)
=
O Y y/ (O) = O.
Problemas ____________________________________________ www 1.
2.
4. ~ _ 5.
3.6
(Hechos sobre funciones periódicas.) (a) Demuestre que sij(t) tiene periodo T, entoncesj(mt) tiene periodo Tlm. (b) Supóngase que Jet) y g(t) tienen periodos T y S, respectivamente, con TIS racional. Demuestre que h(t) = Jet) + g(t) es periódica con periodo igual al valor más pequeño k tal que k = mT = nS para enteros positivos m y n. (e) Compruebe la afirmación del inciso (b) graficandoj(t) = sen(2t), g(t) = sen(5t) y f(t) + g(t) en la misma gráfica. ¿Cuál es el periodo de cada función? (d) Explique por qué h(t) = Jet) + g(t) no es periódica si la relación TIS de los periodos de j y g es irracional. Demuestre que la EDO (D 2 + aD + b )[y ] = O, para las constantes reales a y b, tiene una solución periódica si y sólo si a = O Y b > O. Encuentre una fórmula para todas las soluciones de la EDO (D 2 +9)[y] = -3cos2t. ¿Tiene soluciones periódicas la EDO? Explique por qué. 2 ¿Tiene soluciones periódicas la EDO (D + 4 )[y] = sen2t? [Sugerencia: utilice el método del ejemplo 3.5.3 con una suposición para yit) = Atsen2t + Btcos2t, para las constantes A y B. ] (Modulación de la amplitud.) Explique el fenómeno de modulación de las figuras 3.5 .2 y 3.5 .3. Formule una predicción acerca de cómo varía la modulación con la tasa de muestreo y compruebe experimentalmente su predicción.
Ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes Un cuerpo de masa unitaria se sujeta a un resorte regido por la ley de Hooke y oscila con amortiguamiento viscoso respecto a su posición de equilibrio. En el instante t = to el apoyo del resorte comienza a moverse repentinamente de arriba abajo de una forma prescrita. Se ve por la sección 3.1 que la respuesta de este sistema resorte-masa al término de forzamiento fU) es solución de un PVI de la forma y"+ ay'+ by = j(t),
y(to) = yo,
y'(to) = yó
(1)
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En la sección 3.7 veremos la teoría general de las EDO lineales.
Iki?
229
para las constantes a y b. Puede reafirmarse el teorema 3.2.1 diciendo que el PVI (1) tiene solución única en un intervalo 1 de t que contiene a to en el que f(t) es continua. Es bueno saber que el PVI tiene solución única, pero esto no permite encontrar una fórmula para esa solución. En esta sección describimos un proceso que conduce a una fórmula de solución para el PVI (1), por lo menos para los términos de forzamientof(t) en una clase que incluye sinusoides, polinomios y algunas exponenciales. Nuestro método utiliza operadores polinomiales como un dispositivo de cálculo, así que es conveniente recordar las propiedades de estos operadores que nos serán de utilidad.
Propiedades de los operadores polinomiales En la sección 3.3 presentamos el operador de diferenciación D, que usamos para definir los operadores polinomiales lineales de primer y segundo orden D - r y D 2 + aD + b, donde a, b y r son constantes dadas: 2 (D + aD + b)[y] = y"+ ay'+by
(D - r)[y] = y' - ry,
donde y(t) tiene el número necesario de derivadas continuas. En la sección 3.4 vimos que estos operadores tienen s~ntido cuando los coeficientes 1; a y b son números complejos y la función y(t) toma valores complejos. Revisemos algunas identidades para operadores polinomiales de coeficientes constantes 2 P(D) = D +aD+b Estas identidades se resumen en la página 254 al [mal del capítulo.
Iki?
• Si c¡ Y c2 son constantes cualesquiera y y¡ YY2 son funciones con valores reales o complejos diferenciables dos veces, entonces se tiene la propiedad de linealidad P(D)[c¡y¡ (t) + c2Y2 (t)] = c¡ P(D)[y¡] + c2P(D)[Y2]
(2)
• Si las raíces del polinomio característico P(r) = r 2 + ar + b son r¡ Y r2, entonces P(D) puede factorizarse como (D - r¡) (D - r2) y, además, (D- r¡)(D - r2) = (D - r2 )(D - r¡)
(3)
• Para cualquier número complejo s P(D)[e S!] = eS! pes)
(4)
• La identidad (4) puede extenderse a Iki? .Ésta es una nueva
identidad sumamente útil.
P(D)[h(t)e S!] = eS! P(D + s)[h]
(5)
para cualquier número complejo s y cualquier función h(t) diferenciable dos veces. Para demostrar que es válida la identidad del operador de la ecuación (5), obsérvese primero que por la regla del producto para la diferenciación
(6)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Por tanto, al aplicar D a ambos IIÚembros de esta identidad se tiene D2[he
st
]
= D[ D[he st ]] = D[ D[h]e st + hse st ] = D[e st (D+ s)[h]] = est (D+ s)[(D+ s)[h]] = e st (D + s)2[h]
lkW' El uso de estas identidades de operadores para resolver P(D)[y) = f se resume al final del capítulo para consulta.
(7)
Puesto que P(D)[he st ] = D2[he st ] + aD[he st ] + bhe st , a partir de las identidades (6) y (7) se llega a (5). Encontremos ahora algunas formas de utilizar estos operadores polinoIIÚales e identidades para hallar la solución general de una EDO lineal no homogénea tal que P(D) [y] = f
Solución general para una EDO lineal no homogénea La propiedad de linealidad (2) de los operadores polinoIIÚales P(D) resulta muy útil al caracterizar las soluciones de la EDO lineal no homogénea P(D) [y] =f(t).
Teorema 3.6.1
Teorema de la solución general. Supóngase que P(D) = D 2 + aD + b, donde a y b son constantes, y digamos que Jet) es continua para toda t. La solución general de la EDO
(8)
P(D)[y] = j
puede escribirse como lkW' Observe que y d es
una solución particular de la EDO no homogénea, la cual es la razón del subíndice d.
Y = Yd+Yu
donde Yd es una solución particular de la EDO no homogénea (8) (cualquier solución servirá) y Yu es la solución general de la EDO homogénea P(D)[y] = O. Para ver lo anterior, supóngase que por las buenas o por las malas se encontró una solu. ción particular yit) de esta EDO no homogénea de modo que P(D) [yd] = f(t). Ahora bien, si y(t) es cualquier otra solución de la EDO, entonces por la propiedad de linealidad de P(D) se observa que P(D)[y - Yd]
= P(D)[y] -
P(D)[yd ] = j(t) - Jet) = O
Por tanto, y - y d = W es una solución de la EDO homogénea P(D) [y ] si w(t) es cualquier solución de P(D)[y] = O, entonces P(D)[Yd+W] = P(D)[Yd] + P(D)[w]
= O. Por otro lado,
=Jet) + O=Jet)
Así, se observa que la solución general de la EDO no homogénea P(D)[y] = Jet) es yit) , más la solución general Yu de la EDO homogénea P(D)[y] = O. ¿No le recuerda un resultado siIIÚlar para las EDO lineales no homogénea de primer orden de la sección 1.4? Resumamos lo que hemos aprendido acerca de las soluciones de P(D)[y] = f
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3.6/ Ecuaciones diferencia les ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes
Solución general de la EDO (D 2 + aD + b)[y]
=
f
Escriba P(D) = D 2 + aD+ b, donde a y b son números reales. Se necesitan dos cosas para hallar una fórmula para todas las soluciones de la EDO P(D) [y ] = f • Cualquier solución y d de P(D) [y ] = f • Una fórmula para todas las soluciones Yu de P(D)[y] = O; para esto se calculan las raíces de P(r) y se aplica el teorema 3.4.1. Entonces la solución general de P(D)[y] = f está dada por y = Yd + Yu-
Ejemplo 3.6.1
Obtención de una solución particular Para hallar una solución particular y d de la EDO (D 2 - 2D+ l)[y] = 3e-1
(9)
podría usarse la identidad (4) con s = - 1 Y P(D) = D 2 - 2D + 1 para conjeturar que y d tiene la forma Ce- l. Como P(D)[Ce- l ] = CP(-l)e - l = 4Ce- t , con 4C = 3 se tiene que Yd = (3 / 4)e- t es solución de la EDO (9). Cambiemos un poco el término independiente y consideremos la EDO (D 2 - 2D + l)[y] = 3e l
(10)
El método anterior no es válido ahora porque P(1) = O. Así que en vez de eso utilicemos la identidad (5) y supongamos que Yd = h(t)/. Como P(D)[h(t)e l ] = el P(D+ 1)[h1 se observa que si h(t) es solución de la EDO P(D + l)[h] = 3, entonces Yd =h(t)eles solución de la EDO (lO). Debido a que P(D+ 1) = (D+ 1)2 _2(D+ 1)+ 1 = D 2 se tiene que D 2 2 [h] = 3, la cual tiene a h(t) = (3 / 2)t 2como solución. Por tanto, y d = (3/2)t / es solución de la EDO (10).
Ejemplo 3.6.2
Obtención de la solución general de una EDO no homogénea Obtengamos la solución general de la EDO no homogénea y" - y' - 2 y = 4t
(11)
Al escribir esta EDO en la forma de operador P(D)[y] = 4t con P(D) = D2_ D-2, se observa· que el polinomio P(r) = r 2 - r - 2 tiene las raíces reales r¡ = 2 Y r2 = -1. Por consiguiente, por el teorema 3.4.1, la solución general de la EDO homogénea P(D)[y] = O es Yu = C¡e 2t + C2e- t , donde C¡ y C2 son constantes arbitrarias. Intentemos adivinar una' solución y d. Para las constantes A y B escriba y d = At + B. Obsérvese que P(D)[At + B] = - 2At - A - 2B
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
1 '
entonces Yd = At + B es solución de la EDO (11) si - 2A ver se encuentra que A = - 2 YB = 1; por tanto, se tiene y d tantes arbitrarias C¡ y C2
= 4 Y - A - 2B = O. Al resol= - 2t + 1. Así, para las cons-
y = Yd+ y;, = -2t+ 1 + C¡e 2t + C2 e-t es la solución general de la EDO (11). A menudo la función de no homogeneidad es la suma de varios términos, pero en la búsqueda de una solución particular puede tratarse cada sumando por separado, como se muestra en el siguiente resultado.
Teorema 3.6.2
Suma de soluciones particulares. Dado el operador polinomial P(D), supóngase que z(t) es una solución particular de P(D)[y] =f(t) y que w(t) es una solución particular de P(D)[y] = g(t). Entonces se deduce que z(t) + w(t) es una solución particular de P(D) [y ] = f(t) + g(t). La propiedad de linealidad (2) para P(D) establece que
= P(D)[z(t)] + P(D)[w(t)] =J(t) + g(t)
P(D)[z(t) +w t]
por lo que nuestra afirmación es válida. En virtud del teorema 3.6.2,sólo es necesario considerar funciones de forzamiento con un sumando. En el siguiente ejemplo se ilustra la propiedad de suma.
Ejemplo 3.6.3
Suma de soluciones
Obtengamos una solución particular y d de la EDO y" - y' - 2y = 4t + e t
(12)
estimando primero las soluciones particulares de las dos EDO u" - u' - 2u = 4t •
v"-v'-2v = e
Con esto se muestra cómo resolver P(D)[yl= Ae Sl cuando P(S)", 0, Sólo tome yd = (AlP(s »est
I@"
t
(13) (14)
En el ejemplo 3.6.2 vimos que Ud = - 2t + 1 es una solución particular de la EDO (13). Para hallar una solución Vd de (14) se emplea la identidad (4) con P(D) = D 2 - D + 2 Y s = ' 1. Si 'se supone que Vd = Ce l para alguna constante C y con (4) se tiene t
t t t ] = Ce P(l) = Ce (1-1 + 2) = 2Ce 'P(D)[ Ce t I
¡
•
Por tanto, con C = 1/2 se tiene que Vd Yd
= et/2. Por último,
= Ud + Vd = -2t+ 1+ et /2
es una solución particular de la EDO (12). Como pronto veremos, el método de conjetura utilizado en el ejemplo 3.6.2 para hallar una solución particular Yd de la EDO lineal no homogénea P(D)[y] = f(t) sólo funciona
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233
3.6/ Ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes
cuando f(t) es la suma y producto de polinomios, funciones seno y coseno y funciones exponenciales. El método descrito a continuación se denomina método de coeficientes indeterminados ; es un método práctico, aunque a menudo laborioso.
Funciones polinomiales-exponenciales Encontremos una solución particular y d para la EDO no homogénea (D 2 +aD+b)[y] = f(t)
(15)
donde a y b son constantes cualesquiera y f(t) es cualquier función polinomial-exponencial. Una función polinomial-exponencial es cualquier suma finita de términos de la forma Algunos llaman a estas funciones "exponomios",
lElf
AtneSt , donde A y s son números reales o complejos y n es un entero no negativo. Por ejemplo, f(t) = - 3t 2e - t + 2te 2t - 5 es una función polinomial-exponencial, pero ¿por qué t2 e-t
cos 2t también lo es? Puesto que e iO = cosO + isenO, para cualquier número real O, se deduce que e -i(J = cos O- i sen O, Y al resolver para sen O, cos Ose tienen las fórmulas 1'0
'0
cosO="2(e l +e- l
) ,
para todo número real O. Así, puede escribirse t 2e- t cos2t = t2e-t(~e2it + ~e-2it)
que evidentemente es una función polinomial-exponencial. Como resultado del teorema 3.6.2, para hallar una solución particular de la EDO (15) para cualquier función polinomial-exponencial sólo debe obtenerse una solución de P(D)[y] = (D
2
+ aD + b )[y] = At ne st
(16)
donde A Y s son constantes reales o complejas y n es un entero no negativo.
Método de coeficientes indeterminados Por la identidad (5) puede conjeturarse que la EDO (16) tiene una solución particular de la forma y d = h(t)e st
.
De hecho, a partir de la identidad (5) se observa que P(D)[h(t)e st ] = Atne st
que indica que Yd = h(t)e st es solución de la EDO (16) si P(D+s)[h] = At
n
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234
~ Aquí es en donde entra la conjetura.
Ejemplo 3.6.4
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Es razonable conjeturar que h(t) es también un polinomio. Veamos un ejemplo. Uso de los métodos de operadores para encontrar una solución particular Encontremos una solución particular Yd para la EDO (D - l)(D - 2)[y] = tel
Al sustituir h(t)et por y y con la identidad (5) de los operadores se observa que (D - l)(D - 2)[h(t)e l ] = el D(D - 1)[h] = te l
Por tanto, Yd = h(t)e l es solución de la EDO si D(D - l)[h] = t ~ ¿Por qué no el término constante en h? Porque el factor D lo eliminaría.
Si inferimos que h(t) = At2 + Bt, se tiene 2 (D-l)D[At + Bt] = (D - l)[2At + B] = 2A - (2At+ B)
por consiguiente, al comparar los coeficientes se tiene - 2A se ve que A = - 112 Y B = - 1, así que
= 1 Y 2A -
B
= O. Al resolver
2 l Yd = (-(1I2)t -t)e
Este método utiliza la identidad de operadores (5) y el método de los coeficientes indeterminados para hallar una solución polinomial para una EDO lineal de coeficientes constantes con un término independiente polinomial. El procedimiento siguiente se utiliza para completar esta última etapa.
Conjetura de una solución polinomial para (D 2 + aD + b)[y ] = t"
Para las constantes a y b Y cualquier entero n no negativo, las siguientes son algunas conjeturas fructíferas para obtener una solución Yd = h(t) de la EDO (D2 + aD + b)[y] = t n. o Si b::¡. O, supóngase que h(t) =L~=O Aktk . o Si b = O, pero a::¡. O, supóngase que h(t) = L ~:: Akt k . o Si a = b = O, entonces h(t) = t n +2 / [en + 2)(n + 1)] realiza el trabajo. De esta manera puede determinarse una solución y d para (D2 + aD + b)[y] = Ctne rt para cualesquiera constantes a, b, e, r y cualquier entero no negativo n. Sólo utilice la identidad (5) y proceda con un elemento de la lista anterior.
Obtención de una solución particular
Encontremos una solución particular de la EDO (D 2+ 2D+4) [y] = _ 12t 2e<-1+2i)1
(17)
http://carlos2524.jimdo.com/ 3.6/ Ecuaciones diferencia les ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes
235
Las raíces características de P(D) = D2 + 2D + 4 son r¡ = -1 + 2i Y r2 = -1 - 2i, así que puede escribirse P(D) = (D - r¡)(D - r2). Debido a que por la identidad (5) (D- r¡)(D- r2 )[h(t)e'i t ] = e'i t D(D+ r¡ - r2)[h]
se observa que y d (t) = h(t)e"t es solución de la segunda EDO en (17) si D(D + r¡ - r2 )[h] = (D + 4i)D[h] = - 12t 2
(18)
Si el operador de la EDO (18) se escribe en la forma D 2 + aD + b se ve que b = O, así que por el segundo paso del procedimiento de conjetura anterior se infiere que h(t) tiene la forma h(t) = AP+ Bt 2 + et
Al sustituir esta expresión por h en la EDO (18) se obtiene (D + 4i)D[At 3+ Bt 2 + Ct] = (D+ 4i)[3At 2 + 2Bt +c] = D[3At 2 + 2Bt + e] + 4i(3At 2 + 2Bt + e) = 6At + 2B + 12iAt 2 + 8iBt + 4ie
De esta manera, para que h sea solución de la EDO (18) se tiene, por comparación de coeficientes, 12iA = - 12, 6A+8iB = O, 2B+4ie = 0 Al resolver se obtiene que A
= i,
B = -3/4 Y e = -(3/8)i; por tanto, la función
Yd(t) =
(it3 _ ¡t2 _ ~it}(-I+2i)t
(19)
es una solución particular con valores complejos de la EDO (17). Obtengamos ahora una solución Yd de la EDO P(D)[y] = f(t), dondef(t) tiene la forma a y f3 son números reales y n es un entero no negativo.
t ne al senf3t, o bien, tnealcosf3t,
Soluciones con valores reales a partir de soluciones con valores complejos Mostremos ahora cómo obtener soluciones con valores reales de P(D) [y] = f, donde ftoma valores reales, a partir de soluciones con valores complejos de una EDO relacionada. En el siguiente resultado está la clave.
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Teorema 3.6.3
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Soluciones con valores reales y complejos. Supóngase que el operador polinomial 2
P( D)= D + aD + b tiene coefickntes reales y también que se tienen las funciones continuas con valores reales get) y h(t). Entonces y(t) = u(t) + iv(t)
para las funciones con valores reales u(t) y v(t) es una solución de P(D)[y] = g(t) + ih(t)
si y sólo si P(D)[u] = g
y
P(D)[v] = h
(20)
A continuación se explica por qué lo anterior es cierto. La propiedad de linealidad para el operador P(D) establece que P(D)[u + iV] = P(D)[u] + iP(D) [ v]. Puesto que los coeficientes en P(D) son valores reales, se deduce que P(D)[u] y P(D)[v] son funciones con valores reales. Al hacer que correspondan las partes reales y las imaginarias de P(D)[u + iV] y g + ih se obtiene la ecuación (20). Por tanto, si P(D) tiene coeficientes reales, cualquier solución de la EDO homogénea P(D)[y] = O tiene la propiedad de que sus partes real e imaginaria sean soluciones con valores reales de la EDO. En el siguiente ejemplo se muestra el uso práctico del teorema 3.6.3.
Ejemplo 3.6.6
Obtención de soluciones con valores reales a partir de soluciones con valores complejos "
Obtengamos la solución general con valores reales de la EDO (21)
y" +25 y = sen4t
que modela el desplazamiento vertical y de un resorte no amortiguado regido por la ley de Hooke con un término independiente sinusoidal. Por el teorema 3.6.3 si se tuviese una solución Zd de la EDO 4it (22) z"+25 z = e entonces Yd = Im[Zd ] es solución de la EDO (21) porque Im[e4it ] = sen4t.Si se escribe la EDO (22) como P(D)[z] = e4it , con P(D) = D 2 + 25 puede aplicarse la identidad (4) para inferir que Zd es de la forma Zd = Ce4it : Ahora P(D)[Ce 4it ] = CP( 4i)e 4it , y, puesto que P(4i) =1= O, es posible tomar C = l/P(4i), por tanto Z = d
e
4it
(4i) 2+ 25
1
=- e
4it
9
En virtud de que la parte imaginaria de e 4it /9 es (sen 4t)/9 , se observa por el teorema 3.6.3 que una solución particular de la EDO (21) es Yd = (sen 4t)/9. Debido a que las raÍces características de D2 + 25 son rl = 5i, r2 = -5i, por el teorema 3.4.1 se ve que la solu-
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237
3.6/ Ecuaciones diferenciales .ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes
y"+2Sy = sen4t,
~JJ\~~ o
5
10
15
20
y(O) = y'(O) =
y"+2Sy = sen4t,
y(O) = y'(O) = O •
o
1.0
0.5
'", · 0 . o
I .O ~
0.5 '",
- 0.5
0 .0
- 0. 5 -1 . O ¿ i .
o
5
'
10
15
-1. ~0+: . 2--:-5-.--~O.-:-15---0~.0::-+5-- 0.~05--0-15-~O.25
20
t Figura 3.6.1 Curvas componentes (ejemplo 3.6.7).
y.
'l
I@' Todas las soluciones de (23) de la EDO (21) son periódicas con periodo 21r. En el análisis de soluciones periódicas de la sec- · ción ' 3.5 se muestra por qué.
Figura '3.6.2 Una órbita (ejemplo 3.6.7).
ción general de (D 2 + 25)[y] = Oes el cos 5t + e2sen 5t para las constantes arbitrarias reales el y e2. Por último, reuniendo todo, se observa que la solución general de la EDO (21) es 1 y = - sen4t + el sen5t + e2cos5t 9
donde
(23)
el y e2son constantes.Teales cualesquiera.
Impongamos ahora una condición inicial y veamos qué sucede.
Ejemplo 3.6.7 I@' ¿Cómo es que la figura 3.6.2 puede tener un vértice? ¿Se trata de un error?
Otro PVI encantador La solución del PVI y" + 25y = sen4t, y(O) = O, y'(O) = O se obtiene a partir de la fórmula (23) usando los datos iniciales para encontrar las constantes el y e2:
.,
1
4 1 y = - - sen5t+ - sen4t 45 9
(24)
En la figura 3.6.1 se muestran las curvas componentes y en la figura 3.6.2 la órbita sorprendente en el plano yy'. ¿Por qué es periódica la solución (24) con periodo 2n? Esto se debe a que sen 5t tiene perj.odo 2n/5, sen 4t tiene periodo 2n/4 y 5(2n/5) = 4(2n/4) = 2n. . El siguiente es un ejemplo que tiene como término independiente una función coseno.
Ejemplo 3.6.8
De nuevo el resorte regido por la ley de Hooke Consideremos el PVI con una función coseno como término independiente y"+y = cos(l.1t)
y(50)=5,
y'(50) = O
(25)
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238
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Con P(D) = D 2 + L si Zd es solución de la EDO relacionada P(D)[z] = el.litentonces Yd = lR[Zd] es solución de la EDO (25). Si conjeturamos la solución Zd = Cel.l it por la identidad P(D)[Cel.l it ] = CP(1.1i)el.l it se observa que Z = __ I_ e l.lit d
P(l.1i)
es la solución de la EDO P(D)[z] = el. lit . Por tanto, Yd = Re[Zd] = O.~l cos(1.1i)es solución de la EDO (25). La solución general de la EDO en (25) es 1 Y = Cl cost+ C2 sent---cosl.lt 0.21 Las condiciones iniciales se eligieron en el instante inicial to = 50 para obtener la gráfica de la hermosa curva tiempo-estado y la órbita asociada que aparece en la figura 3.6.3. No nos molestaremos en encontrar Cl y C2 . La curva tiempo-estado se traza en el espacio tyy' en el intervalo 50:S; t:S; 125. Obsérvese que la curva tiempo-estado no se interseca a sí misma. Cuando esta curva es proyectada a lo largo del eje t en el plano yy', la órbita que resulta sí se interseca a sí misma, lo cual no es una sorpresa porque la EDO es no autónoma. Ahora encontremos una solución con valores reales para la EDO no homogénea P(D)[y] = At n ea! cos f3t, donde n es un entero no negativo, A, a y f3 son constantes reales y P(D) tiene coeficientes reales: nótese primero que Atnea! cosf3tes la parte real de Atne st , donde s = a + if3. Entonces, a partir de la relación entre las soluciones reales y complejas (véase el teorema 3.6.3), se observa que si Zd es cualquier solución de la EDO P(D)[z] = At ne st , entonces y d = Re[ Zd] es una solución con valores reales de la EDO P(D)[y] = At n ea! cosf3t.
Ejemplo 3.6.9
Respuesta del resorte regido por la ley de Hooke ante la fuerza motriz oscilatoria
Considérese la EDO que modela la respuesta de un resorte amortiguado regido por la ley de Hooke a una fuerza motriz oscilatoria: (26) (D 2+ 2D+ 4)[y] = - 12t 2e- t cos2t Obsérvese que -12t 2e- t cos2t = Re[ _12t 2e(-1+2i)t] , así que analicemos la EDO (D 2 + 2D+ 4)[z] = _12t 2e(-1+2i)t Sin embargo, ésta es preci:samente la EDO considerada en el ejemplo 3.6.5, para la que encontramos la solución particular Z = (it 3 _lt 2 _'lit)e(-1+2i)t d 4 8
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239
3.6/ Ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes
y(50) =5, y'(50) =O
y"+y =cos(l. lt ),
125
~ Recomendación para el uso de la computadora: en el problema 12 de la sección 3.2 se describe có-
mo se obtuvo esta gráfica.
Figura 3.6.3 Curva tiempo-estado (línea continua) de una EDO autónoma y su órbita (línea discontinua) [ejemplo 3.6.8]. Entonces, todo lo que necesitamos es extraer la parte real de Zd para hallar una solución particular de valores reales Yd de la EDO (26). Al hacer esto se tiene Yd = Re[Zd] = Re[(it 3 -~p -
4
= e- t (-t 3sen2t -
~it)e-t (cos2t + isen2t)] 8
~t2 cos2t + ~tsen2t) 4
8
que es mía solución particular de la EDO (26).
Comentarios Si f(t) no es una función polinomial-exponencial, o si P(D) tiene coeficientes no constantes, entonces no funciona el método visto en esta sección para resolver la EDO P(D) [y ] = f Entonces debe usarse el método de variación de parámetros del problema 8 de la sección 3.7 . En nuestro método hemos supuesto tácitamente que se conocen con precisión las raíces del polinomio característico P(r) junto con sus multiplicidades. En general, no es posible contar con tal información precisa si el grado de P ¿ 5. Así, ¿cuál es el valor de nuestras fórmulas y procedimientos de solución si no es posible encontrar de manera explícita la información precisa acerca del polinomio característico requerido para nuestro método? Si se tienen cotas cercanas para las raíces características, entonces las fórmulas de solución suelen ser útiles para obtener soluciones aproximadas o información de las propiedades cualitativas de las soluciones de P(D) [y] =f Muchos paquetes de software comerciales tie-
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
nen programas eficaces para hallar las soluciones aproximadas de todas las raíces de un polinomio. Por tanto, consideramos resuelto el caso donde P(D) tiene coeficientes constantes y f es una función polinomial-exponencial.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Funciones polinomiales-exponenciales.) Demuestre que las funciones siguientes son polinomiales-exponenciales. (a) cos2t-sent (b) tsen 2t (e) t 2 sen2t -(1+t)cos 2 t (d) sen 3 t (e) (l _t )e it cos3t (O (i+t-t2)e (3+i)tsen23t
2.
Exprese cada función del problema lea) a (e) como la parte real de alguna función polinomial exponencial. (Aniquiladores.) Para cada función siguiente encuentre un operador polinomial con coeficientes reales constantes P(D) tales que la función resuelva la EDO P(D)[y] = O. Se dice que tal operador polinomial es un aniquilador de la función. (a) t 2e-it (b) te- t cos2t (e) t+sent (d) sent+cos2t+t 2
3.
4.
5.
Obtenga una EDO homogénea con coeficientes constantes que incluya a et y te-3t entre sus soluciones. [Sugerencia: ¿cuáles deben ser las raíces y multiplicidades del polinomio característico? Considere la sugerencia del problema 2(e) de la sección 3.4.] Resuelva cada uno de los problemas de valor inicial siguientes. (a) y" - 4y = 2 - St,
y(O) = O, y'(O) = S 2 (b) y"+9 y=Slt +l4cos4t, y(O)=O, y'(0)=3 (e) y" + y = lOe 2t , y(O) = O, y'(O) = O (d) y"-y = e-t (2sent+4cost), y(O)=l, y'(0) = 1 (e) y"-3y'+2y=St2+l2e- t , y(O) =O, y'(0) =2
11 6.
(Obtención de fórmulas de solución general.) Obtenga todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales siguientes. Trace las gráficas de solución de los PVI correspondientes con y(O) = O, y' (O) = -1 , O, 1 para los incisos (a) a (h). (a) y" - y' - 2y = 2sent2t (d) y"-2y'+ y =2e t (g) y"+4y'+Sy =e-t +1St
7.
(b) y" - y' - 2y = t 2 + 4t (e) y"+2 y'+ y = etcost (h) y"+4y = e 2it
(PV/.) Resuelva los problemas de valor inicial siguientes. (a) y" - y' - 2y = 2e
l
,
(b) y" + 2y' + 2y = 2t,
y(O) = O,
y'(O) = 1
y(l) = 1,
y'(l) = O
(e) y" - 2y' + y = -te t (O y"+y'+y= sen 2t
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3.6 / Ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes
8.
www
11 V
(Identidades de operadores.) En los problemas siguientes se obtienen algunas identidades útiles. (a) Demuestre que si n es cualquier entero positivo, ro es cualquier constante y h es cualquier función derivable n veces, entonces (D - rot[he 'o !] = e rot Dn[h]. [Sugerencia: utilice n = 1 e itere.] (b) Demuestre que para cualquier polinomio p(t) de grado n - 1 (o menor) que y = p(t)e ro ! es una solución de la EDO de n-ésimo orden (D - ro)"[y] = O para cualquier constante ro. (e) Para el operador polinomial P(D) = D 2 + aD + b, demuestre queP(D)[h(t)e st ] = eS! P(D + s)[h] , donde s es algún número real o complejo y h(t) es alguna función con valores reales o complejos que es suficientemente derivable. 9. --? (Corazones y ojos.) Obtenga una fórmula de solución para y" + 25y = senrot, donde ro i= 5. Trace la curva solución del PVI cony(O) = y/(O) = O, donde ro = 4.Luego, grafique la órbita para O:::; t:::; 20 en el rectángulo Iyl :::; 0.1, -0.5:::; Iy/I:::; 0.3. Repita con ro = 1. Intente superponer las dos gráficas. [Sugerencia: véase el ejemplo 3.6.7.] 10. (Coeficientes indeterminados.) Considere la EDO de coeficientes constantes P(D)[y] = jet), donde P(D) = D 2 + aD + b Y a Y b son constantes. Supóngase que r l Y r2 son las raíces de P(r). (a) Digamos que jet) = Ae st , donde A y s son constantes reales o complejas. Demuestre que una solución particular Yd de P(D)[y] = Ae Sl tiene la forma indicada:
• Sisi= rl , r2 , entonces Yd = [AfP(s)]e st . • Sis = rl , r2 i= rl , entonces Yd •
= [Af(r¡ - r2 )]te Si s = rl , r2 = rI' entonces y d = (Af2)t 2er,t .
'jl
.
[Sugerencia: cuando s es una raíz del polinomio característico, entonces busque una Yd en la forma Yd = h(t)e st y aplique la identidad P(D)[h(t)e SI ] = est P(D + s)[h] para concluir que P(D + s)[h ] = A. Resuelva para h(t) usando coeficientes indeterminados.] (b) Demuestre que la EDO P(D)[ y ] = p(t)e st , donde p es un polinomio y s una constante, tiene una solución particular Yd = q(t)e st , con polinomio q como el siguiente. Si el grado (P) = n, y: Entonces tome n
S
i= rl , s i= r2,
q(t) =
L akt k Y q"+ (a + 2s)q'+ P(s)q = p
k=O Il
S
= rI i= r2
q(t) = t
L a kt k Y q" + (rl -
r2)q'=p
k=O n
S
= r¡ = r2
q () t
= t 2~ L" akt k
Y q" =P
k=O
2
(e) Obtenga una solución particular de (D + 2D+ 10)[y] = te- t cos3t.
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Ecuaciones diferencia les de primer orden y modelos
r;;;,9 11. (Soluciones periódicas de una EDO de primer orden.) Por medio de la siguiente descripción demuestre que la EDO y' + ay = Acosún, donde a, A y co son constantes distintas de cero, tiene una solución periódica única. (a) Primero, demuestre que si Zd(t) es una solución particular de la EDO z' + az = iml Ae , entonces Yd(t) = Re[Zd(t)] es una solución particular de la EDO dada y' + ay = Acoscot. (b) Utilice la fórmula de operadores (D+ a)[Ce iml ] = CUco + a)e iml para obtenerla
solución particular
"7
Zd =
(e)
A(a - ico) 2
a + co
2
e
iml
de la EDO del inciso (a). Sea
Yd = I cos(cot -
es una solución particular de la EDO y' + ay = A cos COI, (d) Escriba la solución general de la EDO y' + ay = A cos cot. ¿Cuántas soluciones (e)
3.7
periódicas tiene su conjunto de soluciones? Ahora adapte el proceso antes descrito a la EDO y' + ay = Asen cot. Repita los incisos (a) a (d), modificados de manera adecuada para manejar el término independiente A sen co t.
Teoría general de las EDO lineales Ahora estudiaremos con mayor detalle el conjunto solución de la EDO lineal de segundo orden en la forma lineal normal y" + a(t)y' + b(t)y = f(t)
(1)
donde los coeficientes a(t) y b(t) y el término independiente f(t) son continuos en un intervalo común 1 sobre el eje t. Aunque la EDO lineal general (1) surge con gran frecuencia en las aplicaciones, rara vez puede encontrarse una fórmula de solución explícita cuando los coeficientes a(t) y b(t) no son constantes. El caso donde a y b son constantes es una excepción importante, como vimos en las secciones anteriores. La ecuación de Euler es otra excepción importante (véase el problema 4). No obstante, puede decirse mucho de la estructura del conjunto solución de la EDO (1), incluso en el caso general. Naturalmente, los programas de solución numérica pueden utilizarse siempre para obtener las curvas solución.
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3.7 / Teoría general de las EDO lineales
Para definir una solución de un PVI sin usar términos difíciles, definiremos las clases de funciones derivables conocidas como conjuntos de continuidad . •:. Conjuntos de continuidad. Supóngase que 1 es un intervalo en el eje t. El símbolo e O(/) denota el conjunto de las funciones continuas sobre l. El símbolo e l (/) denota el conjunto de funciones en e O(/) con una derivada continua en l. El símbolo e\/) denota el conjunto de las funciones en e l (/) cuya segunda derivada es conn \' tinua en l. Para cada entero n > 2, e (/) se define en forma similar. Obsérvese que e (/) está contenida en e (/) si m ~ n. Asimismo, si y¡Ct) y h(t) son dos n funciones cualesquiera en e (/) y si cI Y C2 es cualquier par de constantes, entonces a partir de los cálculos se observa que la combinación lineal c¡y¡ + C2Y2 es también una función n de e (/). En otras palabras, el resultado de aplicar las operaciones de suma y multiplican n ción por una constante a las funciones de e (/) da como resultado una función en e (/). Antes de continuar veamos qué dice la teoría acerca de las soluciones de la EDO (1). n
m
Teorema fundamental para una EDO lineal Es posible hacer más específico el teorema 3.2.1 en el caso de una EDO lineal.
Teorema 3.7.1
IG? Obsérvese que toda solución de la EDO lineal puede extenderse a todo el intervalo l.
Teorema fundamental para una EDO lineal. Para funciones cualesquiera a(t), b(t) y f(t) continuas en un intervalo común 1, para cualquier elección de to en 1 y para cualquier elección de los valores Yo, va' el PVI y" + aU)y' + b(t)y = f(t),
tiene solución única y(t) en
yUo) = Yo'
y'Uo ) = va
e\/), la cual es una función continua de to, Yo,
(2)
Va.
El teorema 3.7.1 tiene varias características importantes: La solución única del PVI (2) está definida en todo el intervalo l. Las soluciones de la EDO en el PVI (2) no escapan al infinito en un tiempo fi nito dentro de un intervalo cerrado 1 donde aCt), b(t) y f(t) son continuas. Los valores de to en 1 y de Yo Y va pueden elegirse de manera arbitraria. El teorema 3.7.1 requiere que se normalice la EDO del PVI (2). El teorema siguiente es una consecuencia del teorema 3.7.1 y se utiliza a menudo para simplificar los cálculos.
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L
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Teorema 3.7.2 IL~' La solución y(t) = O para toda t se Uama solu-
Teorema de los datos que desaparecen . El PVI y" + a(t)y' + b(t)y = O, y(to) = O, y' 'Cto ) = O, donde a(t) y bCt) son continuos en un intervalo 1 que contiene a to tiene la solución única y(t) = O, para toda t en l.
ción ,,-¡¡'ia!.
Para ver esto, nótese que y(t) = O para toda ten 1 es solución del PVI (2) en este caso. La parte de unicidad del teorema 3.7.1 establece que ésta es la única solución. El teorema de los datos que desaparecen indica que ninguna solución no trivial para la EDO y" + aCt)y' + bCt)y = Oes tangente al eje t. En caso de que existiera tal solución y(t), entonces en ese punto to de tangencia se tendría y(to) = O, y'Uo) = O Y entonces el teorema 3.7.2 indicaría que y(t) es la solución trivial, lo cual es una contradicción. En el siguiente ejemplo se muestra qué sucedería si aCt) o b(t) no son continuas.
Ejemplo 3.7.1
Pérdida de unicidad La EDO lineal t 2 y" - 2ty' + 2 y = Otiene un número infinito de soluciones, y = Ct 2 , donde C es una constante arbitraria. Con estas soluciones también se resuelve el PVI t 2 y" _ 2ty' + 2y = O,
I@' En este ejemplo se muestra por qué el teorema 3.7. 1 se enuncia para las EDO normales.
y(O) = O,
y'(O) = O
porque la función Ct 2 satisface las condiciones iniciales. Al parecer esto contradice el teorema 3.7.1, pero no es así. Escrita en la forma lineal normal, la EDO es y"- 2t- 1y' + 2t- 2 y = O
Puesto que los coeficientes a(t) = -2t- 1 y b(t) = 2C2 no son continuos para ningún intervalo 1 que contenga al origen, no se aplica el teorema 3.7.1; por tanto, no hay contradicción alguna. A continuación se presenta el concepto de operadores que actúan en conjuntos de continuidad como un mecanismo conveniente para describir la estructura de conjuntos solución de EDO lineales.
Formulación de operadores de EDO
Codominio
ltW Un operador está completamente definido cuando se conoce su dominio, codominio y acción.
Un operador L actúa sobre algún elemento y en su dominio para producir un elemento L[y] en otro conjunto conocido como su codo1l1inio. Un operador está totalmente definido cuando se dan su dominio y codominio y se conoce su regla de asociación. El rango de un operador es el conjunto de todos los elementos en el codominio que produce en realidad el operador cuando actúa sobre su dominio. Supóngase que el dominio y el codo minio de un operador L son los conjuntos de continuidad C 2 (1) y C°(l), respectivamente, y que la acción de L está dada por y ~ L[y] = y" + a(t)y' + b(t)y,
para y en C 2 (1)
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3.7 / Teoría general de las EOO lineales
El teorema fundamental del cálculo es el teorema B.5.5.
1&
donde a(t), b(t) son continuos en el intervalo 1. Obsérvese que los corchetes encierran la función sobre la que actúa L. L[y] es una función en Co(!) para cualquier yen C 2 (!); esto a menudo se indica con la notación L: C 2 (!) ~ Co(!). En el teorema 3.7 .1 se muestra que la EDO (1) tiene una solución y(t) en C 2 (!) para toda funciónfit) en Co(!); entonces esto significa que Co(!) es en realidad el rango del operador L. Como se esperaba, se utiliza el símbolo D para el operador que actúa sobre un elemento y(t) en C l (!) y produce el elemento y'(t) en Co(!). Por tanto, D: CI(!) ~ CO(!). Por el teorema fundamental de cálculo, toda función continuaf(t) tiene una antiderivada F(t) [es decir, D[F(t)] = fit)]. Esto significa que el rango del operador D es el que corresponde a Co(!). Si y(t) está en C 2 (!), entonces D puede aplicarse dos veces sucesivas para producir la acción y ~ D[D[y]] = y". Este operador se denota por D2 y D2: C 2 (!) ~ Co(!). Para funciones cualesquiera a(t) y b(t) en CO(t) se utiliza la notación P(D) = D
2
+ a(t) + b(t)
para denotar el operador polinomial P(D):C 2 (I) ~ C°(I) para el cual 2
P(D)[y] = D [y] + a(t)D[y] + b(t)y = y" + a(t)y' + b(t)y
e ' (/)
Si se utiliza este operador P(D), la EDO (1) toma la forma de operador P(D)[y] = fit). Es un hecho notable que las conclusiones del teorema de los operadores lineales (teorema 3.3.2) se cumplan incluso cuando el operador polinomial P(D) tiene coeficientes no constantes. Para ver esto, retroceda y vea cómo se justificó ese teorema en la sección 3.3. En lo subsiguiente se supuso que los coeficientes de P(D) eran constantes. Por tanto, puede usarse la propiedad de linealidad y el principio de superposición para el operador P(D) siempre que sea necesario para resolver la EDO P(D)[y] = f Como vimos en las secciones 3.3 a 3.6, si los coeficientes de P(D) son constantes y la funciónfit) es polinomial-exponencial, entonces es posible escribir una fórmula explícita para todas las soluciones de P(D) [y ] = fit). Al realizar lo anterior se vio que el conjunto de todas las soluciones de la EDO homogénea P(D) [y ] = O tiene un papel muy importante. Veremos que este conjunto solución también es útil para caracterizar todas las soluciones de P(D)[y] = fit), aun cuando los coeficientes de P(D) no sean constantes y fit) no sea polinomial-exponencial. El conjunto de todas las soluciones de la EDO homogénea P(D) [y] = Ose denomina e.\fJ{ l cio nulo y se denota por N(P(D». Por tanto, se observa que para P(D) = D 2 + a(t)D + b(t), el conjunto de todas las funciones en C 2(!) llevadas a la función cero por la acción de P(D) es el espacio nulo de P(D).
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Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Conjuntos básicos de soluciones y el espacio nulo de P(D) Primero definamos una cantidad con un nombre extraño . •:. Wronskiano. Para dos funciones cualesquierafy g en CI(l) , la función W[f, g](t) = f(t)g'(t) - g(t)f'(t)
se denomina el wronskiano defy
(3)
g. iii
Por medio de los wronskianos es posible identificar pares de funciones en N(P(D» que permiten describir N(P(D». 1& La solución trivi al y = O, para toda t, no puede pertenecer a ningún conjunto de soluciones básicas.
.:. Conjunto básico de soluciones. Al par de soluciones y ¡ y Y2 de la EDO P(D)[y] = y" + a(t)y' + b(t)y = O, donde a y b están en CO(l), se le denomina conjunto básico de soluciones si W[y¡, Y2 ](t) ~ O para t en 1. En realidad, sólo se necesita comprobar el wronskiano en un solo punto en 1 para ver si el par de soluciones de P(D) [y ] = O es un conjunto básico de soluciones, como se muestra en el teorema siguiente.
Teorema 3.7.3
Teorema de Abel. iv Supóngase que YI(t), Y2(t) son dos soluciones cualesquiera de la EDO P(D)[y ] = O
donde aU), bU) son continuas en un intervalo común l. Entonces el wronskiano = W[y¡,Y2](t) = YIY~ - Y2Y¡ es solución de la EDO lineal de primer orden
W(t)
W'+a(t)W=O
Por tanto, W = O para toda ten 1, o bien W(t) nunca es cero para ten 1. En el último caso {YI' Y2} es un conjunto básico de soluciones.
iii
Hoene Wronski (7778-1853) empezó como soldado y así siguió para convertirse, sucesivamente, en matemático, filósofo y loco.
iv
El noruego Niels Henrik Abel (7802-1829) fue uno de los mejores matemáticos del siglo XIX. Abel, quien vivió en la pobreza y murió de tuberculosis a la edad de 27 años, hizo sus contribuciones matemáticas en el breve espacio de seis años. Aunque su trabajo no fue ampliamente apreciado durante su vida, en la actualidad se le reconoce poniendo su nombre a los conceptos matemáticos que desarrolló: grupos abelianos, integrales abelianas, serie de Abel, cualidad de suma de Abel...
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3.7 / Teoría general de las EDO lineales
Para ver esto, derive W como se da en la fórmula (3) y utilice los hechos P(D)[y¡] = P(D)[y2] = O, lo que indica que y;'= -ay; - bYi' para i = 1,2:
°
y
W' = y{y~ + y¡y~ - y~y{ - Yzy{' = y¡y~ - Y2Y{' = y¡(-ay~ -bYz)- Yz(-ay{ -by¡) = -aW
°
Al resolver la EDO W' + a W = por factores de integración, se tiene la fórmula de Abel donde C es cualquier constante y A(t) es cualquier antiderivada de a(t). La única forma en que W puede ser cero es para C = y, entonces, W es cero en todo el intervalo l.
W(t) = Ce -A(t) ,
Ejemplo 3.7.2
°
Uso del teorema de Abel Las funciones y¡ = sen 2t y yz = cos 2t son soluciones de la EDO lineal y// + 4y = O, para toda t en la recta real, y W = y¡y~ - yzy{ = -2 sen Z t - 2 cos Z t = -2, para toda t. Por el teorema de Abel se deduce que {sen 2t, cos 2t} es un conjunto básico de soluciones para la EDO. La siguiente es la razón de que sean tan importantes los conjuntos básicos de soluciones.
Teorema 3.7.4
.
,
Conjuntos básicos de soluciones y el espacio nulo. Considere la EDO homogénea P(D)[y] = y"a(t)y' + b(t)y =
°
(4)
donde a y b están en C o(/). Si {y¡, yz} es un conjunto básico de soluciones, entonces cualquier solución y de la EDO puede escribirse como una combinación lineal de y¡ y Yz, y = c¡y¡
+ czyz
(5)
para ciertas constantes C¡ y cz, de manera que cada elemento del espacio nulo N(P(D» tiene la forma dada en (5). Este resultado se estableció en la sección 3.3 para P(D) con coeficientes constantes. En el teorema 3.7.4 se generaliza el resultado anterior para el caso de coeficientes no constantes, a(t), b(t). Si c¡ y Cz son constantes arbitrarias, entonces y = c¡y¡ + CZ Y2 es la solución general de la EDO (4). ¿Existe siempre un conjunto básico de soluciones? La respuesta a esta pregunta no es únicamente afirmativa, sino afirmativa con un desquite. Para cualquier a(t), b(t) en C o(/) la EDO P(D)[y] = tiene un número infinito de conjuntos básicos de soluciones. A continuación se explica una forma de encontrar un conjunto básico de soluciones, forma no muy práctica, por cierto. Supóngase que t o está en 1, y ¡ es la solución del PVI
°
°
P(D)[y] = 0,
y(to) = 1,
y'(to) =
P(D)[y]=O,
y(to)=O,
y'(to)=1
Y yz es la solución del PVI
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248
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
y " + Se-t/lOy = O,
y (O)= -6, y'(0 ) = O
30
10
-10
'" - 30
,.
- 50
- 70
50
100
150
200
t
Figura 3.7.1 Algunas gráficas solución de la EDO (6) del ejemplo 3.7.3.
Figura 3.7.2 Movimiento de largo plazo del resorte viejo (ejemplo 3.7.4).
En virtud de que W[YI' Y2 ](to ) = YI (to )y~ (to) - y{ (to)h (to) = 1, se deduce del teorema de Abel que W[YI 'Y2](t)"f;. O, para toda ten 1; por tanto, {YI' Y2} es un conjunto básico de soluciones.
Ejemplo 3.7.3
Obtención de un conjunto básico de soluciones El teorema 3.7.1 establece que las soluciones de t 2y"-2y = O
(6)
están definidas por lo menos en el intervalo -00 < t < O, o el intervalo O < t < +00, porque, después de escribir la EDO (6) en la forma lineal normal y" - (2 / t 2 )y = O, el coeficiente 2 b(t) = -2 / t es continuo en cualquier intervalo que no contenga al origen. Por sustitución directa de y = t a , donde a es constante, en la EDO se observa que t 2y" _ 2 y = t 2a(a _ 1)t a - 2 - 2t a = t a (a 2 _a_ 2) = t a (a-2)(a+ 1)
De manera que si a = 2 o a = - 1, entonces y = t a es una solución de la EDO (6) . Escriba YI (t) = t 2 y h(t) = l/t. Obsérvese que h(t) es una solución en - 0 0 < t < O o en O < t < +00, pero YI(t) es una solución de la EDO (6) en todo el eje t. Puesto que W[YI' h ](t) = t 2 ([2)-2tt - ¡= -3, para t"f;. O, el par de soluciones es un conjunto básico de soluciones y la solución general de la EDO (6) en el intervalo O < t < + 00 (para ser específicos) es 2 y = e¡t +e2/ t
donde
el
Y e2 son constantes arbitrarias.
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249
3.7 / Teoría general de las EDO lineales
Las constantes pueden determinarse a partir de los datos iniciales en algún punto, digamos to = 1. Por tanto, si y(l) = Yo Y y' (1) = v o, entonces el + e2 = Yo Y 2e ] - e2 = vo· Al resolver se obtiene el = (yo + vo)/3 y e2 = (2yo - vo)/3. Si la elección de los datos iniciales en t = 1 es al azar, entonces hay posibilidades de que la solución escape a ±oo cuando t ~ O (porque e2 -j:. O a menos que Vo sea precisamente 2yo). En la figura 3.7.1 se muestran algunas gráficas de solución de la EDO para t > O, incluida la gráfica de la solución Y = 2t2, que surge de las condiciones iniciales y(l) = 2, y' (1) = 4 Y no escapa al infinito cuando t ~ O. Es posible que su programa numérico tenga problemas para generar la gráfica de esta solución porque un error numérico pequeño podría provocar que el programa siga una solución que escapa al infinito cuando t ~ O. Veamos una EDO que modela el movimiento de un resorte viejo.
Ejemplo 3.7.4
El modelo del resorte viejo
Supóngase que un resorte viejo se fija a una pared y a una masa de 1 kg la cual se desliza sin fricción o amortiguamiento sobre una plataforma horizontal. Además, supóngase que la masa se mueve en línea recta y que la posición de la masa se localiza por su desplazamiento desde su posición de equilibrio. La coordenada y se utiliza para el desplazamiento con y > O para el resorte comprimido. El desplazamiento se medirá en metros y el tiempo en segundos. La fuerza del resorte viejo [véase (S) en la sección 3.1] está dada por S(y) = _S-tilO y newtons, y no hay ninguna otra fuerza que actúe sobre el peso. El desplazamiento de este resorte se modela con la EDO lineal 1· y"+Se-t11Oy = O
la cual no tiene coeficientes constantes. En la figura 3.7.2 se muestra qué sucede si el peso es jalado 6 metros y después se libera desde el reposo. Finalmente, el resorte se debilita tanto que el peso cambia de dirección sin sentido. Para concluir, volvamos al problema de caracterizar las soluciones de una EDO no homogénea.
Descripción de todas las soluciones de P(D)
=J(t)
Es posible usar la linealidad del operador P(D) para describir todas las soluciones de la EDO no homogénea P(D)[y] = f(t) exactamente de la misma forma en que hicimos en la sección 3.6 para el caso de los coeficientes no constantes. A continuación se presenta de nuevo, pero expresado para coeficientes no constantes.
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Teorema 3.7.5
Ecuaciones diferenciales de primer orden y modelos
Solución general de P(D)[y] =f{t). Supóngase que {YI ' Y2} es un conjunto básico de soluciones para la EDO lineal homogénea yl! + a(t)y' + b(t)y = O
donde a(t) y b(t) son continuas en un intervalo 1. Para una función dadaf(t) en CO(l), supóngase que yit) es una solución particular de la EDO no homogénea yl! + a(t)y' + b(t)y = f(t)
(7)
Entonces, todas las soluciones de la EDO no homogénea (7) están dadas por la fórmula de solución y = yd
1& Las funciones analí-
ticas reales se definen en el apéndice B.2, ítem 8.
+ clYI + c2Y2,
CI ' c 2
son constantes arbitrarias
En el capítulo 11 se muestra cómo hallar un par de soluciones básicas {YI ' Y2} para P(D) [y ] = O donde los coeficientes a(t) y b(t) son funciones analíticas con valores reales en t = tooHasta entonces, dependemos más o menos de nosotros mismos al buscar fórmulas de solución. En el conjunto de problemas se muestran algunos trucos que funcionan en casos especiales. Es un hecho notable que pueda escribirse una fórmula para una solución particular de una EDO no homogénea P(D)[y] =f(t) en términos de un conjunto básico de soluciones. Este método se describe en el problema 8 y se denomina método de variación de parámetros.
Comentarios Las EDO lineales ocupan un lugar especial en la teoría de las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales ordinarias que surgen de diversos entornos de modelación resultan ser lineales o pueden ser aproximadas mediante una EDO lineal (como vimos en la sección 3.1). Además, la teoría de las EDO lineales es maravillosamente directa y no presenta el comportamiento extraño asociado con las teorías de las EDO no lineales.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
2.
(Espacio nulo, unicidad.) Considere el operador polinomial P(D) = tD 2 + D. .ú!l Obtenga el espacio nulo de P(D) en O < t < oo. [Sugerencia: escriba P(D)[y] como (ty' )'.] (b) Demuestre que el PVI P(D)[y] = 2t, y(O) = a, y'(O) = b, tiene una única solución en algún intervalo 1 que contiene al origen, siempre y cuando a y b sean elegidas de manera adecuada. [Sugerencia: t 2/2 es una solución particular.] (e) ¿Por qué el resultado del inciso (b) no contradice el teorema 3.7.1? Obtenga el espacio nulo del operador P( D) = (1- t 2 )D2 - 2tD y la solución general de P(D) [y ] = O en el intervalo Itl < 1. [Sugerencia: (1 - t 2 )D2 - 2tD = D[(l- t 2 )D].] (PVI.) Primero compruebe que las funciones dadas YI y Y2 son soluciones de la
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251
3.7 / Teoría general de las EDO lineales
EDO. Luego utilice y¡ y h para hallar todas las soluciones del PVI. Trace las curvas solución. -¡ (a) t2y"+ty'y = O, y(l) = O, y'(l) = -1; y¡ =t , h =t (b) t2y" - ty' + y 2
(e) t y"+ty'-4y=0, ~ Ésta es una de las pocas EDO lineales con coeficientes no constantes para las que puede obtenerse una fórmula de solución simple.
4.
= O,
= 1, y(O) = O, y(l)
y'(l) y'(0)
= O; = O;
Y2 = tlnt
y¡ =t, 2
y¡ =t ,
h
= t -2
(EDO de Euler.) Si p Y q son constantes, entonces t2y" + pty' + qy = O, t > O, es una EDO de Euler. (a) Demuestre que la EDO de Euler tiene la solución y = r si r es solución de la ecuación cuadrática Q(r) = r2 + (p - l)r + q = O. Demuestre que y¡ = t'", h = t'2 constituye un conjunto básico de soluciones si r¡ y r2 son raíces reales distintas de Q(r). Si r = a + if3es una raíz compleja, demuestre que y¡ = ta cos(f3ln t),h = tasen(f3lnt) forma un conjunto básico de soluciones para la EDO de Euler. [Sugerencia: escriba ta+i{3como e
5.
z(t)=
f {_l (u(s))
-2
lo
J' a(r)dr]}ds
es una solución de la ecuación en z del inciso (a) si u(t) t:- O para cualquier t en 1. Demuestre que el par de soluciones {u,uz} construido en los incisos (a) y (b) es un conjunto básico de soluciones de la EDO. (d) Obtenga las soluciones de ty' - (t + 2)y' + 2y = O, para t » O, dado que el es una solución. (Reducción de orden con el wronskiano.) Supóngase que P(D) = D2 + a(t) + b(t), donde a(t) y b(t) están en C°(l). Digamos que W(t) = W[y¡,h](t) es el wronskiano de un par de soluciones {y¡, h} de P(D)[y] = O. (e)
6.
exp[-
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Ecuaciones diferencia les de primer orden y modelos
(a) Demuestre que W(t) satisface la ecuación lineal de primer orden W' = -a(t) W, de manera que Westá dada por la fórmula de Abe! W(t)=w(to)ex p[-( a(S)ds] para to, ten! [Sugerencia : derive W directamente y consulte la demostración del teorema 3.7.3.] (b) Utilice la fórmula de Abel para demostrar que si u(t) *- O es una solución de P(D)[y] = O, entonces puede obtenerse una segunda solución v(t) de la EDO al resolver la siguiente EDO lineal de primer orden para v, u(t)v' - u(t)v=ex p[-
www 7.
~ 8.
r
a(S)dsJ
Demuestre que el par {u(t), v(t) les un conjunto fundamental para P(D)[y] = O. (e) Dado que et es una solución de ty" - (t + 2)y' + 2y = O, obtenga una segunda solución v tal que {e t , v} es un conjunto fundamental. [Sugerencia: primero recuerde normalizar la EDQ.] Observe que mediante una elección adecuada de los límites de integración, la solución v puede hacerse idéntica a la solución uz del problema 5(b). (Entrelazamiento de los ceros de un par de soluciones básicas.) Supóngase que a(t) y b(t) son continuas en - 00 < t < 00, y supóngase también que {u(t), v(t)} es un conjunto básico de soluciones para la EDO y" + a(t)y' + b(t)y = O. Demuestre que entre cualquier par de ceros consecutivos de una solución hay precisamente un cero de la otra solución. ¿Por qué las gráficas del margen no son un par de soluciones básicas? (El método de variación de parámetros). Supóngase que P(D) = D 2 + a(t)D + b(t), con a(t) y b(t) en eO(/), que {y¡, Y2} es un par dado de soluciones básicas para P(D)[y] = O, que t o es algún punto en ! y que f es cualquier función en eO(/). Por medio de la siguiente descripción deduzca una fórmula para la solución única del PVI no homogéneo P(D)[y]=f,
(a) Supóngase que la solución tiene la forma yd =
c¡ (t)y¡
(t) + c2 (t)Y2 (t)
y sustituya Yd en la EDO no homogénea P(D)[y] =f Si se supone que c ¡ (t) y C2(t) son elegidas de modo que crY¡ + c~Y2 = O, demuestre que si Yd es solución de P(D)[y] =f, entonces + c~y~ = f· (b) Si W(t) = W[y¡, Y2](t)es el wronskiano del conjunto básico de soluciones {y¡ , Y2}, entonces demuestre que las funciones con parámetros modificados
cryr
lkW El valor de esta fórmula de solución es más teórico que práctico.
c¡ (t)
=
r to
-Y2 (s)f(s) ds, W(s)
y
c2 (t)
=
r to
y¡ (s)f(s) ds W(s)
satisface las condiciones impuestas en cl(t) Y C2(t) del inciso (a), y que Yd =
c¡ (t)y¡
(t) + c2 (t)Y2 (t)
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253
3.7 / Teoría general de las EoO lineales
(e)
es solución del PVI P(D) [y ] =f, y(to) = 0, y' (to) = O. Demuestre que yit) dada en el inciso (h ), podría escribirse en la forma Yd(t)=
srlo K(t,s)f(s)ds
donde K(t, s) es la función kernel (conocida también como kernel de Creen ).
Parece que el kernel de Green K(t, s) depende del conjunto solución básico {YI' Y2}' pero es exactamente el mismo para todo conjunto solución básico.
Ief
K(t s) = y¡ (s)h (t) - y¡ (t)h (s) = y¡ (s)h (t) - y¡ (t)h (s) y¡(s)y~(S)-h(S)y{(s) W[Y¡,h](s) ,
(d) Utilice el método de variación de parámetros obtenido en los incisos (a) a (e) para resolver el PVI y" + y = tant,
y(O) = 0,
y'(O) =
°
(e) Utilice el método de variación de parámetros para resolver y" + 2y' + lOy = 3cos3t, (l)
y(O) = Yo,
y'(O) = yb
Se sabe que la EDO y" + 3y' + 2y = 4sen2t
•
tiene una solución periódica única (en el problema 9 de la sección 4.3 se describe una justificación de esta afirmación). Siga el método de variación de parámetros para hallarla. Luego aplique el método de coeficientes indeterminados. ¿Cuál método es más fácil? (g) El método de variación de parámetros acepta funciones de forzamiento de activación y desactivación sin ninguna dificultad debido a que las funciones continuas por pedazos son integrables. Como es difícil evaluar las integrales donde interviene una función de activación y desactivación, como las de onda cuadrada, es mejor usar un programa numérico si quiere verse cómo se comportan las soluciones. Utilice un programa numérico para resolver la EDO y" + OAy' + y = 20oc(t,50,2n)-1O
con varias condiciones iniciales y luego describa el comportamiento de largo plazo de las soluciones. [En las figuras de la página siguiente se muestran algunas curvas ty y ty' (línea de trazo continuo) y la entrada de onda cuadrada (línea discontinua).]
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254
50
dlll
q¡
Ilq¡ ¡ti
y"
+ O.4y'
50
= 20 oc(t,50,2n) -10
30
'1:
7.1/
y" + 0.4 y' = 20 oc(t, 50, 2n)-1O
30
,!'I
)1
de primer orden y modelos
Ecuaciones diferenciales
10 ;:....
';:....
-10
-10
-30
-30
¡~
-50 10
15
11
(h)
20
25
-50
30
10
15
20
25
30
Repita el inciso (g) con la EDO y"
+y
= lOot(t,25,2n)
¿Observa algo inusual en el comportamiento ¿Alguna explicación?
de largo plazo de las soluciones?
Resumen de los operadores polinomiales con coeficientes constantes Definiciones 1;1
• •
-----------------------
El operador D actúa sobre una función y(t) para producir dy/dt. Con símbolos: D[y]= y'. Al aplicar DaD [y] se obtiene y". Expresado con símbolos: D[ D[y]] = D2[y] = y". Los operadores polinomiales D + P y D2 + aD + b, para las constantes a, b y p, son (D2+aD+b)[y]
(D+ p)[y] = y'+ py,
•
= y"+ay'+by
Para las constantes p y q, el operador aplicado a la función y(t) que produce (D + p)[ (D +q)[y]] se denota por el producto (D + p)(D + q).
Propiedades-----------------------------------------Los operadores polinomiales • Factorización:
P(D) = D2
+ aD + b satisfacen las siguientes identidades.
si r¡ y r2 son las raíces de r2 + ar P(D)
= (D-
r¡)(D-
r2)
= (D-
+ b = 0, entonces r2)(D-
r¡)
1& fune f3t, 1
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255
1.1 / Una aventura de modelación
• Identidades: para el operador polinomial P(D) se tiene que P(D)[e st ] = est pes), para cualquier constante s st st P(D)[h(t)e ] = e P(D + s)[h], para cualquier constante s, cualquier h(t) diferenciable • Linealidad: para las constantes Cl' C2 y dos funciones cualesquiera YI y Y2 diferenciables, P(D)[ClYI
+ C2Y2] = CIP(D)[y¡] + C2P(D)[Y2]
• Cerradura: para cualesquiera constantes Cl' C2 y las funciones diferenciables YI y Y2' P(D)[y¡] = 0,
P(D)[y 2 ] =
° indica que
P(D)[ C¡y¡
+ C2 Y2] =
°
Una fórmula de solución para y" + ay' + by = Ct" erxt cos f3r ~ Estos pasos también funcionan para Ct"e a, sen {3t. pero con Yd = lm[zdl·
Siga estos pasos para obtener una fórmula de solución para una solución particular Yd(t) de la EDO no homogénea P(D)[y] = y" + ay' + by = Ct" e cos f3t rxt
donde a, b, a, 13, C son constantes reales y n es un entero no negativo. 1. Obsérvese que Re[ Ct n e(a+i{3)t] = Ct" ea! cos 13. 2. Busque una solución Zd(t) de la EDO P(D)[z] = Ct" e(a+i{3)t. 3. Si n = y P(a + if3):t O,entonces tome Zd= (CI pea + if3))e(a+iP)I, y Yd= Re[ Zd ] (como resultado del paso 1). 4. Si P( a + if3) = 0, entonces escriba Zd (t) = h(t)e
°
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25
(j"
+ (j' + lOsen(j
=
o
Capítulo
4
15
5
-5
Órbitas de la EDO que modela el movimiento de un péndulo simple amortiguado. ¿Cuál es el comportamiento de largo plazo del péndulo si 80 = O, (Jo = lO? Revise el ejemplo 4.1.2.
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Los modelos que estudiaremos en este capítulo producen EDO de segundo orden, linea les y no lineales, y suponen el movimiento en un campo de fuerzas y el flujo de energía eléctrica en un circuito. Asimismo, daremos una breve introducción al concepto de vectores en mecánica ya las leyes de Kirchhoff de los circuitos. De igual modo, presentamos algunas propiedades importantes de las EDO lineales no homogéneas: pulsaciones, resonancia y modelación de la frecuencia . La principal aplicación en mecánica que veremos en este capítulo se refiere al movimiento de un péndulo.
4.1
leyes de Newton y el péndulo El movimiento de un péndulo oscilante posee cierta fascinación hipnótica. Galileo, Newton, los hermanos Bernoulli y el científico alemán Christian Huyghens (1629-1695) observaron el movimiento de un péndulo, reflexionaron hondamente en lo que vieron y crearon modelos matemáticos para el movimiento. Utilizamos las herramientas de las . ecuaciones diferenciales, vectores geométricos y programas de solución numérica para realizar nuestras propias investigaciones sobre un péndulo oscilante. Comencemos por describir los vectores geométricos y cómo se utilizan para modelar la ubicación, la velocidad y la aceleración de un cuerpo en movimiento.
http://carlos2524.jimdo.com/ 258
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Vectores geométricos Conceptos físicos básicos, como la velocidad y la aceleración pueden representarse como segmentos de recta dirigidos, o flechas, cada uno con cabeza y cola. En esta sección emplearemos letras con el atributo de negritas para denotar tales vectores geométricos. Consideraremos que dos vectores v y w son equivalentes si y sólo si puede lograrse que coincidan mediante traslaciones (las traslaciones conservan la longitud y dirección de los vectores). Vectores equivalentes con diferentes puntos iniciales pueden compartir el mismo nombre. La longitud (o magnitud) de un vector v se denota con Ilvll. El vector cero (denotado por O) se define como el vector de longitud cero sin dirección alguna. La resultante o suma v + w de v y w se define por la ley del paralelogramo como sigue: encuentre un vector equivalente a v cuya cola coincide con la cabeza de w; entonces v + w es el vector cuya cola es la de w y cuya cabeza es la de v. El vector v + w es una diagonal del paralelogramo formado por v y w (figura al margen). Si r es cualquier número real, entonces el producto rv es el vector de longitud Irl IIvll que apunta en la dirección de v si r> O, Y en la dirección opuesta a v si r < O. Producto punto. El producto punto (o producto escalar) de dos vectores u y v, denotado con u . v, es el número realllullllvll cos () si u ni v son el vector cero y () es el ángulo entre ellos. Cuando u o v es el vector cero, el producto punto es cero. Dos vectores diferentes de cero son perpendiculares (u ortogonales) si y sólo si su producto punto es cero. En el problema 1 se indican más propiedades.
p
Derivada. Si el vector u = u(t) depende de t en un intervalo del eje real, entonces la derivada du/dt [o u'(t)] se define como ellírnite de un cociente de diferencias : u'(t) = du = lím u(t + h) - u(t) dt h-'iO h
(1)
si existe ellírnite. i Si u es un vector constante, entonces u' = O. Si u(t) y v(t) son dos funciones vectoriales derivables y r(t) es una función derivable, entonces Se tienen las identidades (u · v), = u' ·v+u·v',
[ro]' = r'u + ro'
que se asemejan a la regla de diferenciación común de un producto. Un marco coordenado en tres dimensiones es una tercia de vectores, denotada con {i, j, k} , los cuales son ortogonales entre sí y de longitud unitaria. Tras reflexionar un poco (y realizar algunos cálculos trigonométricos) se deduce que cualquier vector puede escribirse como la suma de vectores paralelos a i, j y k. Así, para cada vector v hay un conjunto único de
v
Vii
e ingeniería a menudo se encuentra la notación U, en vez de la notación u' para denotar la derivada de una función de tiempo u(t) .
i En los libros de física
http://carlos2524.jimdo.com/ do orden
números VI' V2 Y v3 tal que v = vii + v2j + v3k.Los elementos de la tercia ordenada (VI' v2' V3) se denominan coordenadas (o componentes) de v (figura al margen) en el marco {i, j, k}. En nuestra vida cotidiana hay muchos marcos de referencia en el espacio tridimensional. Es posible imaginar marcos que se mueven en el espacio, o.marcos que están fijos. Supóngase que {i, j, k}.es un marco fijo y que la ubicación de una partícula en movimiento se describe con el vector de posición
se que de los
R = R(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k Si R es derivable, entonces
z
mo sitonces es una númeección
notado o entre rentes . En el
la de-
(1)
n dos en las
{i, j, yreae coico de
259
4.1/ Leyes de Newton y el péndulo
R'(t) = x'(t)i +' y'(t)j + z'(t)k
(2)
m
R'(t) es el vector de velocidad v(t) de la partícula con masa m en el instante t, y v(t) es tangente a la trayectoria del movimiento de la partícula en el punto R(t). Si R'(t) es derivable, entonces x
R"(t) = x"(t)i + y"(t)j + z"(t)k
(3)
es el vector de aceleración a(t) (o v'(z) para la partícula (figura al margen). Expresemos ahora las leyes de Newton en términos de vectores.
Fuerzas y leyes de Newton Newton amplió la idea de Galileo de que el entorno crea fuerzas que actúan sobre los cuerpos provocando que se aceleren. El principio de Galileo y Newton se conoce ahora como la primera ley de Newton. Primera ley de Newton. Un cuerpo permanece en estado de reposo, o de movimiento uniforme en una línea recta (es decir, con velocidad constante) si no hay fuerza externa que actúe sobre él. Los científicos contemporáneos de Newton pudieron demostrar de forma experimental que las fuerzas se comportan como vectores geométricos, es decir, satisfacen la ley de paralelogramo. El efecto de la primera ley de Newton es identificar los marcos de coordenadas que están fijos en el espacio o experimentan una traslación a velocidad constante con respecto a un marco fijo. A tales marcos se les denomina inerciales. De acuerdo con la primera ley de Newton, un marco es inercial si y sólo si un cuerpo no es acelerado con respecto al marco si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es el vector cero O. A continuación se presenta el siguiente principio básico en dinámica.
r
Segunda ley de Newton. Para un cuerpo con aceleración a y masa constante m,
, I
a no-
F=ma donde F es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.
(4)
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260
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Puesto que a = v', la segunda leyii de Newton puede escribirse
F = (mv)'
~ En el apéndice B.6 se ofrece más información de los sistemas de unidades.
(5)
donde v es la velocidad del cuerpo. El producto mv es el momentum del cuerpo. Newton mismo expresó la segunda ley en términos de la razón de cambio de la "cantidad de movimiento", su nombre para el momentum. De hecho, F = (mv)' se cumple sin importar si la masa es constante. Por tanto, de esta forma la segunda ley de Newton establece que "la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo es igual a la tasa de cambio de momentum del cuerpo". Los términos en la segunda ley de Newton deben cuantificarse en algún sistema de unidades. En el sistema MKS (metro, kilogramo, segundo), denominado también sistema SI, la unidad de masa es el kilogramo. La relación en (4) entre masa, aceleración y fuerza sirve entonces para definir una unidad de fuerza como la cantidad de fuerza que acelerará una masa de 1 kg a 1 m/s 2 . Esta unidad de fuerza se denomina newton. En el sistema CGS (centímetro, gramo, segundo) la unidad de fuerza es una dina (1 dina = 10- 5 newtons) , y es la fuerza que acelera una masa de 1 g a 1 cm/s 2 . En estas unidades métricas se considera que la masa, la longitud y el tiempo son cantidades fundamentales, en tanto que la fuerza es secundaria. En el sistema de ingeniería inglés la masa se mide en slugs y la libra (el peso, no la unidad monetaria) es la unidad de fuerza. A menudo se evita un sistema de unidades específico; por consiguiente, las unidades deben indicarse de manera explícita. La tercera ley de Newton arroja cierta luz sobre cómo tratar los sistemas de varios cuerpos, como el sistema Tierra, Luna, Sol y las fuerzas gravitacionales que actúan sobre ellos. Por ejemplo, la Tierra y la Luna ejercen entre sí fuerzas gravitacionales iguales pero opuestas. Tercera ley de Newton. Si un cuerpo A ejerce una fuerza F sobre un cuerpo B, entonces el cuerpo B ejerce una fuerza - F sobre el cuerpo A. Apliquemos las leyes de Newton para modelar el movimiento de un péndulo.
Péndulo simple ---y
: R(t) X'
r(l)
é(t)
El péndulo simple consta de una pesa de masa m suspendida de una varilla rígida de longitud L (y masa despreciable) fija a un apoyo. El péndulo está en equilibrio cuando la pesa y la varilla cuelgan hacia abajo en reposo. Si el pivote en la parte superior de la varilla se coloca en el origen del sistema de coordenadas xy y la posición inicial y la velocidad del centro de masa de la pesa están en el plano xy (figura al margen), la pesa oscila
m
ii La forma de la segunda ley de Newton en (4) es para las denominadas masas puntuales. Para algunas masas distribuidas se permite aplicar (4) como si toda la masa del cuerpo estuviera concentrada en su centro de masa.
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4.1 / Leyes de Newton y el péndulo
DE Observe que la dirección positiva de x es hacia abajo. DE En la sección 1.5 se explicó el amortiguamiento viscoso.
en vaivén en el plano xy o gira de un lado a otro en el pivote. El ángulo Osigue la trayectoria del movimiento de la pesa. Supóngase que el péndulo en movimiento experimenta una fuerza de amortiguamiento viscoso f proporcional a su vector de velocidad y opuesta al movimiento. Digamos que las otras fuerzas que actúan sobre la pesa son la fuerza gravitacional mgi y la tensión T en la varilla. Se obtendrá una expresión para la aceleración de la pesa con respecto al marco ij, se calculará la suma de las fuerzas externas que actúan sobre la varilla y luego se sustituirán estas cantidades en la segunda ley de Newton. Supóngase que R(t) es el vector de posición desde el pivote hasta el centro de masa de la pesa. Si se introducen coordenadas polares en el plano de oscilación con la medición positiva de Oen sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir de la posición vertical, puede escribirse R(t) = r(t)r(t) donde r(t) es la longitud L de R(t) y r(t) es un vector unitario dirigido a lo largo de R(t). Denote con O(t)el vector unitario ortogonal a R(t) que apunta en la dirección creciente de O. Obsérvese que los vectores unitarios r, O, i Yj están relacionados por las ecuaciones r = cosOi +sen~,
0= -senOi + cos ~
i = cosOr-senOe,
j = senOr+cosOO
(6)
Por medio de las fórmulas de (6) y la regla de diferenciación en (2) se observa que r' = (- senOi + cos~)8' = 0'0
{j' = (-cosOi - sen~)8' = -O'r
(7)
A partir de (7) y de que R = Lr(t), donde L es una constante, se nota que v = R' = (Lr)' = LO'O a = R" = (LO'8)' = LO"O+ LO'ir = LO"O- L(O,)2 r
(8)
Para ciertas constantes positivas T y e, las fuerzas externas sobre la pesa son
T
(Tensión) T=-Tr (Amortiguamiento viscoso) f = - ev = - eR' = -eLO'O (Gravedad)
mgi
(9)
mgi = mg(cosOr-senOiJ)
donde se utilizaron las ecuaciones (6) y (8) para obtener expresiones para v e i en términos de O y r. La figura del margen es una representación geométrica de estas fuerzas. Ahora, sustitúyase (8) y (9) en la segunda ley de Newton [fórmula (4)): mR" = suma de fuerzas = T + f + mgi
mLO"O- mL(O,)2r = -Tr- eLO'O+ mg(cos Or- sen 00)
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262
Aplicaciones de ecuaciones di ferencia les de segundo orden
Al igualar los coeficientes de
r y een ambos miembros de la ecuación se obtiene
- mL(e,)2 = -T + mgcose mLe" = - eLe' - mg sen e
(de r)
(10)
(de 8)
Una vez que se ha encontrado la solución e(t) de la segunda EDO en (10), puede escribirse en la primera EDO y es posible determinar la tensión correspondiente T(t). Ahora centraremos plena atención en la segunda EDO. Si el péndulo es movido por una fuerza externa h de la forma h(t)o' la segunda EDO en (10) es
mLe" = - eLe' - mg sen e
= h(t)
(11)
que recibe el nombre de EDO del péndulo simple fo rzado y amortiguado. Aunque el ángulo polar e suele estar restringido al intervalo O::; e::; 2n, o bien a lel::; n, aquí no se hará tal restricción. De hecho, queremos considerar las situaciones en las que al péndulo se le da tanta energía que gira de extremo a extremo respecto a su pivote, de manera que debe permitirse que la variable angular aumente o disminuya sin límite. La EDO en (11) es no lineal en porque el término sene no puede resolverse en términos de funciones elementales. No obstante, con nuestro programa numérico es posible saber mucho del comportamiento de un péndulo, como se muestra en el primer ejemplo para un péndulo simple sin amortiguamiento ni fuerza externa.
e
Ejemplo 4.1 .1
e
Órbitas, curvas solución y un péndulo simple no amortiguado ni forzado La EDO en (11) con e = O y h = O describe el movimiento de un péndulo simple no amortiguado ni forzado. En la figura 4.1.1 se ilustran algunas órbitas en el espacio de estados (es decir, el espacio ee') de la EDO correspondiente
e" + 1.L sen e = O donde se supone que el valor de gIL es 10. Las soluciones de equilibrio e = 2nn, e' = O, para toda t, donde n es cualquier entero, corresponden al péndulo suspendido verticalmente en reposo y proporcionan los puntos de equilibrio en el espacio de estados ee'. Alrededor de cada uno de estos puntos de equilibrio está una región de órbitas ovaladas cerradas que corresponden a las soluciones periódicas de la EDO. Éstos son los movimientos de vaivén comunes del péndulo respecto a una posición de equilibrio vertical. Si el péndulo comienza con velocidad angular suficientemente alta e'o, oscilará por siempre de un lado a otro respecto al pivote. Las órbitas correspondientes son las líneas onduladas arriba y abajo de las soluciones periódicas. Para cada entero n la solución de equilibrio e= (2n + l)n, e' = O, para toda t, corresponde al péndulo en reposo y perfectamente equilibrado sobre el pivote. Las órbitas más difíciles de determinar son las que separan las órbitas periódicas de las que corresponden al giro respecto al pivote. Estas órbitas en la figura 4.1.1, denominadas
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263
4. 7 / Leyes de Newton y el péndulo
10
e"+ IOsenB=O
e" + lOsen 8 = O,
15
8(0) = O
8 10
7
de giro
/ / __---JW----------~s~e~M ~a~tr~iz~-----
e Figura 4.1.1 Órbitas de un péndulo simple no amorti~ guado (ejemplo 4.1.1).
Figura 4.1.2 Curvas solución correspondientes al movimiento periódico, separatriz y de giro (ejemplo 4.1.1).
°
separatrices, tienden de arriba del eje e a los puntos de equilibrio e = (2n + l)n, e' = cuando t ~ +00 Y e= (2n - l)n, e' = cuando t ~ -00 , y viceversa de abajo del eje e. En la figura .4.1.1 se observan seis separatrices completas, tres arriba del eje e y tres debajo de él. En los bordes izquierdo y derecho pueden notarse partes de otras cuatro. Las separatrices representan el movimiento del péndulo alejándose de un extremo a otro, pero sin llegar nunca en realidad. Puesto que las separatrices son órbitas, nunca pueden tocar los puntos de equilibrio, que también son órbitas; de ser así violarían la unicidad. En la figura 4.1.2 se muestran las curvas solución de los PVI el! + 10 sen e =0, ecO) = 0, e/(o) = 3, 5 (movimientos periódicos en vaivén), 7, 8 (movimientos de giro sobre el pivote) y .J4O (movimiento separatriz). El número .J4O es exacto, no así el cálculo aritmético en la computadora, de modo que fue necesario empezar un poco abajo de .J4O para aproximarse aún más a la solución de la separatriz mostrada. Nótese que las dos soluciones periódicas de la figura 4.1.2 tienen periodos diferentes .
°
IIE ¿No le recuerda la figura 4.1.1 la gráfica de la cubierta del libro?
IIE ¿Puede comparar las curvas solución de la figura 4.1.2 con sus órbitas de la figura 4.1.1 ?
La explicación acerca de las órbitas y curvas solución se basa en el examen de las gráficas de las figuras 4.1.1 y 4.1.2, las cuales se obtuvieron por medio de un programa de solución numérica. No obstante, las gráficas de computadora sugieren, no demuestran. Entonces, ¿cómo saber si las propiedades antes mencionadas son reales? Por fortuna estas propiedades pueden demostrarse matemáticamente (problemas 7, 8). ¿Qué sucede con las órbitas si el péndulo está sujeto a amortiguamiento viscoso? En la figura del principio del capítulo se ilustran las órbitas de la EDO modelo de un péndulo con amortiguamiento viscoso: (12) el! + e' + 10 sen e =
°
Veamos con pormenores el retrato de estado.
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Ejemplo 4.1.2
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Órbitas de un péndulo amortiguado: principio del capítulo 4
En la figura del principio del capítulo se muestra que el amortiguamiento disminuye el movimiento de giro del péndulo y, con las excepciones mencionadas a continuación, finalmente provoca la disminución de las oscilaciones alrededor de los puntos de equilibrio (2nn, O) cuando t ~ + 00 • Estos puntos de equilibrio corresponden al péndulo suspendido en reposo. Las órbitas excepcionales se dirigen hacia los puntos de equilibrio ((2n + l)n, O) que corresponden al péndulo en reposo en posición vertical desde su apoyo. Estas órbitas excepcionales son separatrices porque cada una separa las órbitas que a la larga declinan hacia un punto específico (2nn, O) a partir de órbitas cercanas a las que no les sucede esto. Al parecer, las separatrices del principio del capítulo terminan en los puntos de equilibrio (±n, O) cuando t ~ +00 • Las órbitas "onduladas" corresponden a los movimientos del péndulo alejándose de una posición no de suspensión vertical a medida que t aumenta desde -00 y moviéndose a la posición en suspensión cuando t ~ +00. La cuenca de atracción del punto de equilibrio (O, O) es el conjunto de todas las órbitas que tienden a (O, O) cuando t ~ +00. Se trata de la banda ondulada de la figura del principio del capítulo que va de la parte superior izquierda a la inferior derecha. Este patrón de comportamiento orbital se repite de manera periódica a medida que se recorre el eje (J.
Péndulo linealizado Al escribir en forma normalizada la EDO del péndulo simple amortiguado no forzado se tiene ~ Esta EDO es una forma de la EDO (11) donde se sustituyó h(t) por cero.
~ En el teorema B.5.15 se dan más detalles acerca de la serie de Taylor.
(J" = -JL sen(J - '::""(J'
(13)
m
L
La EDO en (13) es autónoma y tiene las soluciones de equilibrio (J = nn, (J' = O, donde n es cualquier entero. Por tanto, si el péndulo empieza desde el reposo en (J = nn, entonces la pesa permanecerá en reposo siempre en esa posición. La representación de las órbitas en la figura del principio del capítulo indica que los movimientos que empiezan cerca del punto de equilibrio (J = O, ()' = O permanecen cerca de ese punto (que corresponde a la pesa suspendida verticalmente por siempre). Del mismo modo que procedimos con el resorte suave del ejemplo 3.1.5 consideraremos los movimientos de breve amplitud cerca del punto de equilibrio (O, O) mediante la linealización de la EDO (13) cerca de ese punto. Si se denota el miembro derecho de la EDO (13) con H((J, ()'), Y luego se desarrolla H((J, ()') en una serie de Taylor respecto al punto base (O, O), manteniéndose sólo los términos lineales, se tiene H(O, O) + Hf)(O, O)()+ Hf)'(O, O)(J' = O_JL(J- '::""(J'
L
m
De esta manera se llega a la linealización de la EDO del p éndulo con amortiguamiento : (JII=_JL(J_'::""(J'
L
m
(14)
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4.1/ Leyes de Newton y el péndulo
1.5
uye el , finaIilibrio ndido l)n, O) órbitas linan e esto. . ibrio os del ta des-
(línea continua) e" + IOsené = o, ecO)= 1, e'(o) = o (línea discontinua) e" + 10e = o, eco) = 1, e'(o) = o
(línea continua) e" + 10 sen e = o, ecO)= 1, e'(o) = o (línea discontinua) e" + 10e = o, eco) = 1, e'(o) = o
1.0
,, ,, ,
,
0.5
0.0 'l:>
-0.5
, 'e
-2
-1.0
,
, -, ' .....
--------
/ "'
,,
.... I
'4
-1.5 10 8
Figura 4.1.3 Curvas solución para el PVI del péndulo simple no amortiguado (línea continua) y del PVI linealizado (línea discontinua) [ejemplo 4.1.3].
Obsérvese la similitud de la EDO (14) con la EDO (8) de la sección 3.1 para el resorte regido por la ley de Hooke. De nuevo se aprecia plenamente la capacidad del método de modelación: aun cuando el péndulo linealizado es un sistema físico distinto del sistema cuerpo-resorte regido por la ley de Hooke mencionado antes, ambos tienen modelos de EDO de la misma forma. Así, los métodos del capítulo 3 permiten resolver la EDO y explicar el movimiento de ambos sistemas físicos. ¿Hasta qué punto concuerdan las soluciones de los modelos lineal y no lineal?
dose
(13) , don= nn, delas iezan
Ejemplo 4.1 .3
~ En el problema 7 de la sección 3.1 se explica una forma de trazar las curvas solución de distintas EDO en la misma gráfica.
11I0:
(14)
Figura 4.1.4 Órbitas para el PVI del péndulo simple no amortiguado (línea continua) y del PVI linealizado (línea discontinua) [ejemplo 4.1.3].
~ En las secciones 4.2 a 4.4 sólo se consideran EDO linealizadas.
Curvas solución, órbitas del péndulo no amortiguado no lineal y linealizado En las figuras 4.1.3 y 4.1.4 se ilustran las curvas solución y las órbitas de los PVI para el péndulo simple no amortiguado (línea continua) y para su linealización respecto a 8 = O, (J = O (línea discontinua) 8
ft
+ l Osen
é
e" +108
= O,
8(0) = 1,
8'(0) = O
= O,
8(0) = 1,
8'(0) = O
La solución 8 = cos 2t del problema linealizado está muy cerca de la solución del problema no lineal (figura 4.1.3), pero hay un retraso importante en el tiempo. Las curvas solución del PVI linealizado abarcan más espacio en un tiempo fijo que las curvas del PVI no lineal. Este ejemplo indica que los modelos para el péndulo lineal y para el no lineal dan resultados similares. Esto es cierto si 18(0)1 y 18'(0)1 son pequeños, pero falso si cualquiera de ellos es grande (véase el problema 5).
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266
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Comentarios Así como se procedió en la sección 3.1, donde la EDO de segundo orden utilizada para modelar el movimiento de un resorte se escribió también como un sistema equivalente de dos EDO de primer orden, es posible proceder con la EDO del péndulo simple forzado y amortiguado. En términos de las variables de estado e y e' =v, se tiene el sistema equivalente para la EDO (11):
e' = v, v' = _ Ksene - ~v + _l- h(t) L m mL
(15)
A menudo es conveniente usar el sistema equivalente y no la EDO para estudiar el movimiento de un péndulo. Por ejemplo, la figura de la cubierta del capítulo y las figuras 4.1.1 y 4.1.4 son más fáciles de interpretar en términos de sistemas.
Problemas ___________________________________________ 1.
2.
(Versión coordenada del producto punto.) Sea u = u¡ i + u2j + u3k Y v = v¡ i + v 2 j + v 3k. (a) Demuestre que ¡¡uf = u~ + + uj para cualquier vector u. (b) Demuestre que u· v = u¡ v¡ + u2 v 2 + u3 v 3 para vectores cualesquiera u y v. [Sugerencia: imagine que u y v tienen sus colas en el origen, luego utilice la ley de los cosenos, la definición de u . v y el inciso (a).] (e) (Simetría.) Demuestre que u . v = v . u para toda u, v. (d) (Linealidad.) Demuestre que (an + f3w)· v=an · v + f3w· v para cualesquiera escalares a, f3 y vectores u, v y w. (e) (Definición positiva .) Demuestre que u . u ~ O para toda u y que u . u = O si y sólo si u = O. (O (Desigualdad de Cauchy- Schwarz .) Demuestre que lu . vi $; lIu ll IIvll para todos los vectores u y v. (Suma de vectores.) Un aeroplano vuela desde el punto P en el espacio. Vuela 20 millas en dirección sur, da vuelta a la izquierda 90 y asciende 8 millas en un ángulo de 100 respecto a la horizontal, da vuelta a la izquierda de nuevo y vuela 42 millas en posición horizontal rumbo al norte. Sean i, j, k las direcciones norte, oeste y hacia arriba a partir de P. ¿Cuál es la posición final del aeroplano con respecto a P? . (Ley del gas ideal.) De acuerdo con la ley del gas ideal, la presión P, el volumen V, la temperatura T y el número de moles (1 mol = 6.02 x 1023 moléculas) n de un gas en un recipiente cerrado satisfacen la ecuación PV = nRT, donde R es una constante universal. Supóngase que un cilindro contiene un gas ideal con un pistón de masa m encima (véase la figura al margen). Digamos que la temperatura es constante y que las únicas fuerzas que actúan sobre el pistón son la gravedad y la presión del gas. Obtenga la EDO para la posición del pistón medida desde el fondo del cilindro. Ob-
ui'
0
-
Pistón
3. --
T
L::== G= as=:::J Cilindro
1
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4.1
I
267
Leyes de Newton y el péndulo
4.
11 5.
6.
www 7.
11
sérvese que P se define como la magnitud de la presión del gas por unidad de área del pistón. (Péndulo linealizado.) Considere un péndulo simple, no amortiguado, linealizado y forzado descrito por e" + g8lL = O. (a) Encuentre el periodo T del péndulo en términos de L y g. (h) Estime la longitud del péndulo cuyo periodo es exactamente 1 s. (e) Si el péndulo mide 1 m de largo y oscila con una amplitud de 1 radián, calcule su velocidad angular en el punto más bajo. Obtenga las aceleraciones en e = ± 1. (Péndulo simple amortiguado y su linealización.) La EDO para el péndulo simple no forzado y con amortiguamiento viscoso es mLe" + cLe' + mg sene = O. (a) Establezca m = 1, c = O, giL = 10 Y trace un retrato de las órbitas del sistema en las variables e, e', e'= v, v'= - lOsene. Utilice las dimensiones de pantalla lel ~ 15, 10'1~ 19. [Sugerencia: véase la figura 4.1.1.] (h) (Figura del principio del capítulo.) Establezca c = 1 de modo que la EDO se convierta en e" + e' + lOsen e = O. Trace algunas órbitas para el sistema equivalente e' = v, v' = - lOsene - v con las dimensiones de pantalla leI ~ 15, Ivl ~ 19. Compare este esquema con el del inciso (a) y con la figura del principio del capítulo. Explique las diferencias. (e) Ahora repita los incisos (a) y (b) pero con la EDO linealizada mLO" +cLe' +m ge = O. Utilice m = 1, giL = 10, c = O (primero) y c = 1 (después). Compare sus gráficas con las obtenidas 'antes para la EDO no lineal y explique las diferencias. (Péndulo de longitud variable.) Demuestre que si la longitud L(t) de un péndulo es una función del tiempo, entonces la ecuación de movimiento del péndulo es mLe" + (2m V + cL)8' + mg sen 0 = F. [Sugerencia: véase la EDO (11) y utilice R' = (Lr)' pero no suponga que L es constante.] (Órbitas de un péndulo simple no amortiguado niforzado.) Una fórmula para las órbitas del péndulo simple no amortiguado ni forzado podría obtenerse directamente de la EDO mLe" + mg sen e = o. (a) Multiplique cada miembro de la EDO por e' para obtener
mLO'e" + mge' sen O =
~
11 8.
[~mL(e,)2 -
mg cose]' 2 Demuestre que (1 / 2)mL(e')2 - mg cose = c, donde c es una constante, son las ecuaciones de las órbitas. Sea giL = 4 Y reproduzca la figura 4.1.1 trazando las órbitas para varios valores de c. (b) (Conservación de la energía.) La energía cinética (KE) del péndulo en movimiento es (1I2)m(Le')2 y la energía potencial (PE) es mgL(l - cose). Demuestre que, dados e y e' en el instante O, la energía total E(t) = KE + PE en el instante t es la misma que E(O) . Explique por qué E(t) = E(O) es la ecuación de una órbita. (Órbitas cerradas de un péndulo simple no amortiguado niforzado). Las EDO mLe" + mgsene = O Y mLe" + mge = O
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268
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
modelan el movimiento de un péndulo simple no forzado ni amortiguado y un péndulo linealizado, respectivamente. En los esquemas de estado de cada EDO se muestra una región de órbitas cerradas que encierran el origen (véase la figura 4.1.1, por ejemplo). Estas órbitas cerradas (o ciclos) corresponden a las soluciones periódicas debido a que las EDO son autónomas. Obtenga y compare los periodos de los ciclos para el péndulo simple y para ellinealizado. Siga la descripción siguiente para demostrar la existencia de ciclos y estudiar los periodos. [Sugerencia: véase también el problema 7.]
\
I
1& Esto es más de lo que le interesará saber de la EDO del péndulo simple.
(Péndulo linealizado.) La ecuación del péndulo linealizado es mL()" + mg() = O. Demuestre que las soluciones no constantes son periódicas de periodo 2n ~ L/ g. Demuestre que las órbitas correspondientes en el espacio de estados ()()' son ciclos elípticos del mismo periodo. Elija un valor para L, haga un bosquejo de los ciclos en el espacio de estados, trace las gráficas componentes y compruebe en forma gráfica la fórmula del periodo . . [Órbitas cerradas de un péndulo simple (no linea!) .] Supóngase que el péndulo simple modelado por mL()" + mg sen () = O se libera desde el reposo cuando () = ()o, donde O < ()o < n. Demuestre que el movimiento posterior es periódico. [Sugerencia: utilice el problema 7 para demostrar que las órbitas son descritas por la relación «(),)2 = (2g / L)(cos() - cos()o), y use las simetrías de esta relación para demostrar que las órbitas son cerradas y, por tanto, representan soluciones periódicas.] (Periodos del péndulo simple.) Sea T el periodo de la órbita con ecO) = e o, e' (O) = O Demuestre que T está dada por
Ir
T -"' 4 fI_L
leo---;======,d=()=~ ~cos()-coS()o
- fi g o
[Sugerencia: puesto que e(t) disminuye inicialmente a medida que t aumenta,
e
()'=-(2g/L)II2(COS()-cos()o). Obsérvese que sigue disminuyendo hasta el instante t = ti para el cual e(t l ) = -eo'] (Integrales elípticas y periodos del péndulo simple.) Demuestre que el cambio de variables k = sen«()o /2), senl/> = (11 k)sen«() /2) da
T- 4
~i1C12
- fi
o
dI/>
~1-k2sen21/>
La integral se conoce como integral elíptica de la primera clase . Sus valores aproximados están tabulados iii para varios valores de k. Por ejemplo, si ()o= 2n/3, entonces k= -J3 / 2, Y el valor de la integral es ~ 2.157. El periodo
ii i
M. Abramowitz e l. A. 5tegun, eds., Handbook of Mathematical Functions (Nationa l Bureau of 5tandards, Wash ington, O.e., 1964); Oover (reimpresión), Nueva York, 1965.
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269
4.2/ Pulsaciones y resonancia
R'
R
correspondiente es "" 8 .628~ L I g, muy diferente del periodo del péndulo linealizado, que es 2n~ L I g "" 6.282~ L I g. ¿Esperaría que el periodo de un péndulo no lineal sea mayor que el del péndulo linealizado? Elija varios valores para L y utilice un programa de solución numérica de EDO para comprobar la estimación anterior para los periodos. • (Valores asintóticos de los periodos del péndulo simple.) Sostenga que T ~ 2n~ L I g cuando 80 ~ o. ¿Por qué esperaría que esto fuera cierto? Se sabe que T ~ cuando 80 ~ n, aunque aquí no se da una demostración completa de este hecho. ¿Por qué razones físicas cabría esperar este resultado? (Insectos que se arrastran.) Cuatro insectos están en las esquinas de una mesa cuadrada cuyos lados son de longitud a. Los bichos comienzan a moverse al mismo tiempo, cada uno arrastrándose a la misma velocidad constante directamente hacia el insecto a su derecha. Encuentre la trayectoria de cada bicho. ¿Se alcanzan alguna vez? En caso afirmativo, ¿cuándo? [Sugerencia: hágase que R(t) = r(t)f apunte del centro de la mesa a uno de los bichos,. donde reO) = al ..Ji y 8(0) = O. Explique por qué el vector de velocidad R/(t) forma un ángulo de 135° con R(t) para t;::: O. ] 00
,
O'
4.2 lti1f En la sección 3.1 se explica el movimiento del resorte.
Pulsaciones y resonancia El movimiento vertical amortiguado de un peso unido a un resorte forzado regido por la ley de Hooke se modela con la EDO lineal a2y" + a¡y' + aoy = f(t)
(1)
donde ao, a¡ Y a2 son constantes positivas y f(t) es la fuerza motriz. En la sección anterior se encontró que el movimiento de un péndulo linealizado amortiguado también satisface la ecuación diferencial que tiene la misma ·forma que la EDO (1). En la sección final de este capítulo se demostrará que el voltaje y la corriente de un circuito eléctrico son modelados cada uno por EDO que se parecen a 1ft EDO (1). Así, una vez más, una EDO tiene muchas interpretaciones. Las técnicas del capítulo 3 muestran que todas las soluciones posibles de la EDO (1) están determinadas cuando se conocen las soluciones de la EDO homogénea a2y" + a¡y' + aoy = O
es decir, las soluciones libres, y una sola solución particular (una solución forzada ) de la EDO (1). En esta sección se exploran las consecuencias de esta observación. Empecemos por considerar las soluciones libres.
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270
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
4.2/1
1.5
2.5
y" + 3y' + 2y = O
y" + y' + 9.25y = O 1.0
1.5
0\
0.5
0.5
=,
'"
1& 1 tivos ( los ea en las
O. O
-0.5 -0.5 -1.0
r' -1.5
-1.5
~ Figura 4.2.1 Curvas solución de una EDO implícita sobreamortiguada.
Figura 4.2.2 Algunas oscilaciones libres amortiguadas para una EDO implícita subamortiguada.
1&
Oscilaciones 1&
3.5.1
Véase
el ejemplo
amor! no os'
libres: periódicas o amortiguadas
Las soluciones libres se comportan de una manera cuando hay amortiguamiento y de otra cuando no lo hay. En el caso amortiguado tales soluciones satisfacen la EDO del oscilador armónico (2)
que proviene de la EDO (1) conj{t) = O con al = O, dividiendo entre a2 Y sustituyendo aO/a2 por k2• Las soluciones de la EDO (2) pueden escribirse como sinusoides: y(t) = Acos(kt
+ 2cy' + k2y
tienei nante de eq
+ 8)
donde A y 8 son números reales cualesquiera; roo = k se denomina frecuencia circular natural del oscilador armónico. Los movimientos descritos por la EDO son periódicos con periodo T = 2n / coo, y persisten siempre. Este movimiento recibe el nombre de movimiento armónico simple, o bien, oscilación periódica libre. Ningún resorte físico o péndulo linealizado puede sostener el movimiento armónico simple, ya que siempre hay algo de amortiguamiento debido a las fuerzas de fricción. Cuando hay amortiguamiento al =1= O, y la EDO (1) puede escribirse como y"
amor
= F(t)
(3)
donde se ha escrito al / a2 = 2c, ao / a2 = k2 y F(t) = f(t)/ a2' Las soluciones libres satisfacen la EDO homogénea
(4)
I@"
la e: func dimr
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271
4.2/ Pulsaciones y resonancia
y puede determinarse calculando las raíces rl Y r2 del polinomio característico P(r) = r 2 + 2er+ k 2 Los valores relativos de e y k dan lugar a los casos que se ilustran en las figuras 4.2.1 a 4.2.2 I@'"
Por medio de la fórmula cuadrática, se tiene 1j,
I 2 k2 r2 = -e ± "Ve -
(5)
Puesto que e y k son números reales positivos, las partes reales de rl Y r2 son siempre negativas, cualesquiera que sean los valores reales de e y k. Para ver esto, nótese que si e < k, entonces rl Y r2 son complejos conjugados con parte real - e < O. Si e ~ k, entonces O$; e 2 - k 2 :S: e 2 , y rl Y r2 son reales y negativas. Por tanto, todas las soluciones libres amortiguadas son transitorias (es decir, se extinguen con el tiempo), pero su naturaleza exacta depende de los tamaños relativos de las constantes e y k. Hay tres casos para las soluciones libres, es decir, las soluciones de la EDO (4). Los resortes con amortiguamiento fuerte no oscilan.
I@'"
Los resortes con amortiguamiento ligero tienen oscilaciones declinantes respecto al punto de equilibrio.
I@'"
Sobreamortiguadas. Si e > k, entonces rl Y r2 son reales, negativas y distintas. Toda solución libre es una combinación lineal de las exponenciales reales decrecientes e r¡/ y e r2/. Véase en la figura 4.2.1 un ejemplo de curvas solución cop sobreamortiguamiento. • Con amortiguamiento crítico. Si e = k, entonces rl = r2 = - e < O Y toda solución libre es el productó de la exponencial decreciente e r¡/ y un polinomio k) + k2 t, donde k) y k2 son constantes. 2 2 • Subamortiguadas. Si e < k, entonces 1j = a + if3 = r2, donde a = -e < OYf3 = ~ k - e . Toda solución es el producto de la exponencial decreciente Ae at y una sinusoide cos(f3t + y), donde A y Y son constantes. EI1 este caso las soluciones son oscilaciones libres amortiguadas con frecuencia circular f3. Véanse en la figura 4.2.2 algunas curvas solución amortiguadas.
•
Prosigamos ahora con las soluciones forzadas.
Oscilaciones forzadas: pulsaciones y resonancia en sistemas amortiguados Quizá desee repasar la explicación sobre las funciones periódicas que dimos en la sección 3.5. I@'"
Cuando las soluciones libres de la EDO lineal son de carácter oscilatorio, las fuerzas motrices sinusoidales podrían producir respuestas peculiares que los científicos llaman resonancia . La excitación de un diapasón"en respuesta a las vibraciones de otro diapasón es un ejemplo de resonancia. La sintonización de los circuitos en los receptores de radio también es un ejemplo muy conocido. El fenómeno de resonancia es de importancia central para la operación de un gran número de dispositivos e instrumentos. Por simplicidad, se toma primero el caso no amortiguado.
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272
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Consideremos la EDO y" + OJ5Y = AcosOJt
(6)
donde OJo, A Y OJ son constantes positivas. La EDO (6) modela un sistema resorte-masa no amortiguado movido por una fuerza sinusoidal de frecuencia circular OJ. La EDO puede presentarse en muchos otros contextos. Puesto que en el análisis sólo emplearemos la EDO y ninguna otra característica del sistema físico, las conclusiones se aplican a cualquier sistema modelado por la EDO. Toda solución libre y == Cl cos OJot + C2 sen OJot es periódica con frecuencia circular OJo. El término independiente de la EDO (6) tiene frecuencia circular OJ, y el carácter de las soluciones de la EDO depende en gran medida de si OJ = OJo o no.
Caso 1: resonancia pura: OJ
= OJo - - - - - - - - - - - - - - - - - -
El problema consiste encontrar una solución particular de valores reales de la EDO (6) con OJ = OJo para lo que se obtiene primero una solución particular con valores complejos de la EDO Z"+ OJ2OZ --
A e iWol
(7) iwot A continuación se explica por qué. Como vimos en la sección 3.6, Re[Ae ] = AcosOJot, de modo que si z(t) es cualquier solución de la EDO (7), entonces y(t) = Re[z(t)] es una solución con valores reales de la EDO (6) con OJ = 0J¡j. Como en el ejemplo 3.6.7, se observa que la EDO no homogénea (7) tiene una solución Zd de la forma (8) 2
"1, •
para alguna constante C. Estableciendo P(D) = D + OJ5 Y con la fórmula de operadores (5) de la sección 3.6, se observa que
'1 ,
h "
P(D)[Zd ] = P(D)[ Cte iwot ] = e iWol P(D + iOJo)[Ct] = e iwot ((D + iOJ
O )2 + OJ5 )[ Ct] iOJof iWol =e D(D+ 2iOJ o )[Ct] = e (D+ 2iOJ o )D[Ct] = e iWol (D + 2iOJ o )[ C] = 2iCOJoeiWoI En virtud de que se quiere que P(D)[Zd ] = Ae iwot ,debe tomarse 2eiOJo=A; por consiguiente, C = Al2iOJo . Por la ecuación (8) se deduce que
A ¡w I Ai . Zd =-.-te o =---t(cOSÚ>ot+l senOJot) 21OJO ' 2OJ o
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4.2/ Pulsaciones y resonancia
y"
(6)
asano puede mos la a cual-
+ 25y = cos 51,
y(O)
= O,
y'(0)
= -10
, 3
,
25
y" + 25y
= cos 51,
y(O)
= O, y'(O) = -1 O
"
=, -1
.~ ,
,
-3
lar OJo. de las
273
"
-5
20
10
30
40
50
.
60.
t " ..•:
y
I
Figura 4.2.3Una curva de solución de la EDO (6) (con to = COa = 5) que muestra resonancia pura.
Figura 4;2;4 La órbita de la Curva de solución de 'la figura 4.2.3. 1
"
0(6)
plejos
Ahora, como se busca una solución-con.valores
(7) oswot, es una
es una solución particular de la EDG.(6).Así, la solución general de la EDO (6) es , A ,'J:) y = el cos wot + e2'sen wot + --tsen wot 2wo
solu(8) dores
,, l'
r con-
reales: de la EDO (6), se nota que
A Yd = Re[Zd] = --tsenwot 2wo
\
donde el y e2 son constantes arbitrarias reales.Jloda solución.de la EDO (6) es la superposición de Una oscilación periódica libre, el cos wot + e2 sen wot con una frecuencia circu.lar natural (90 (y periodoT=2n/wo),.y una oscilación -forzada (la cual es no periódica), Yd = (At)/{2wo) sen wot, que tiene Iaforma de unasinusoide de frecuencia circular Wo y amplitud At/(2w'o) que.crece con el tiempo. Obsérvese quela oscilación forzada es la respuesta del sistema a una fuerza externa periódica cuya frecuencia concuerda exactamente con la frecuencia natural del slstema[ .' Cuandoun.sistema'no amortiguado es forzado con una función sinusoidal que tiene la frecuencia 'natural del sistema, se dice que la oscilación no acotada resultante se debe _.a .resonancia pura' En este caso el sistema responde a una entrada acotada con una salida no acotada. En la figura 4.2.3 se muestra cómo se vería la respuesta de resonancia pura. En la figura 4.2.4 seilustra la órbita correspondiente, que empieza desplazándose en espiral hacia adentro y luego hacia afuera, y se vuelve no acotada cuando t ~ +00. ¿Puede dar alguna explicación acerca de esta oscilación decreciente inicial aun cuando no hay amortiguamiento? ' ,.,
.
,,
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274
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Caso 11: pulsaciones
úJ:I: úJo - - - - - - - - - - --
-------
De la misma manera que en el caso 1, se busca una solución particular de valores reales de y"+co~ y =Acoscot
(9)
obteniendo primero una solución particular con valores complejos para la EDO z" + co~ z = Ae iwt . De nuevo, si P( D) = D 2 + co~, se nota que P(ico) =- co 2 + co~ 1= 0, de modo que puede buscarse una solución particular de la EDO (9) en z mediante la fórmula opert rl iwt racional P(D)[e ] = e P(r) para cualquier número complejo r. Si se toma Zd = Ce para alguna constante C por determinar, se observa que Il@r Vimos esta identidad de operadores en la sección 3.6.
P(D)[ Ce iwt ] = Ce iwt P(ico)
Puesto que se quiere que P(D)[Ce iwt ] sea Ae iwt , se toma CP(ico)= A, o bien, C=A / P(ico) = A / (CO~
_ c(
2
)
y
Zd =
A
iwt
2
coa - co
2
(10)
e
Por consiguiente, la solución particular real y d de la EDO (9) que se busca es A Yd = Re[Zd ] =
2
coa - co
2
coscot
La solución general de la EDO (9) está dada por A
y(t) = Cl cos coot + C2 sen coot + 2 2 cos cot . coa - co
I@> Este argumento apareció por primera vez en el ejemplo 3.5.3.
(11)
donde C l y C2 son constantes reales arbitrarias. La solución y(t) en la fórmula (11) es la superposición de la oscilación periódica libre Cl cos coot + C2 sen coot,con frecuencia circular natural % y una oscilación periódica for2 zada (A/(co~ - c( ))coscot que representa la respuesta del sistema al término independiente, Acoscot. Obsérvese que la frecuencia circular co de la oscilación periódica forzada concuerda exactamente con la de ese término. Asimismo, nótese que si la relación co /% es un número racional, entonces toda solución de la EDO (6) es periódica. La siguiente es la razón. Si m y n son enteros positivos tales que co/coo = m/ n, entonces m/ co = n / coa . En este caso, cada término de la solución general (11) tiene el periodo (2n / co)m = (2n / coa )n. Encontremos la solución única que parte del reposo en y = O. Con la fórmula de solución general (11) se ve que las condiciones iniciales y(O) = 0, y'(O) = indican que Cl = A( co 2 - co~) - 1, C2 = 0, y se obtiene la solución
°
y(t) =
A ' 2
coa - co
2
.' (coscot - coscoot)
Con la identidad trigonométrica En el apéndice B.4 hay más identidades trigonométricas.
I@'
f3 - a
f3 +a
2
2
cos a-cosf3 = 2sen - - sen - -
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275
4.2 / Pulsaciones y resonancia
y" + 25y = cos(5 .6t),
0. 4
y(O) = O, y'(O) = O
,, 0 .2
/ I
I
;>.. 0. 0
1.0
'.,
,, ,
"
y" + 25y = cos(5 .6t) , y(O) = 1, y'(0) = O
1. 5
I I
I
':
;>..
.,
O. O
:,
,
I
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,
,, ,
"
I
,,
- 0.2
0 .5
\, ::'
I
,,
,,
"
- 0 .5
,
,
,,
- 1.0
- 1.5 10
20
30
10
40
20
30
40
t
Figura 4.2.5 Pulsaciones con frecuencia de pulsación circular lenta 0.3 y periodo largo 21'/0.3 "" 20.94 (ejemplo 4.2.1).
Figura 4.2.6 Otro patrón de pulsación con frecuencia de pulsación circul;ldenta 0.3 y periodo largo 21'/0.3 (ejemplo 4.2.2).
para volver a escribir esta solución, se tiene y(t) =
ro
2A roo - ro) ' + ro 2 2 sen - - - t sen - O - -t ( roo - ro 2 2
(12)
que se parece a una sinusoide de frecuencia circular (roo + ro)/2 y amplitud que varía periódicamente con frecuencia de pulsación circular l(ro o+ ro) / 21. Hay una interpretación interesante cuando lroo - rol es pequeño en comparación con roo + ro: el fenómeno de las pulsaciones. En este caso, la respuesta del sistema es una sinusoide de frecuencia circular (roo + ro)/2, pero con una amplitud de variación lenta denominada pulsación , la cual es 'una sinusoide con frecuencia de pulsación circular lenta 1roo - rol/2 (y periodo largo T= 41' /1 roo - rol). Esto puede escucharse en los sonidos intermitentes que aumentan y disminuyen generados por un par de diapasones: midiendo el tiempo en segundos, digamos que un diapasón está afinado a la mitad de Do (258 hertz) y el otro está ligeramente fuera de tono (260 hertz). Así, la frecuencia de pulsación es (260 258)/2 = 1 hertz, en tanto que el tono que se escucha es (260 + 258)/2 = 259 hertz. Consideremos desde el punto de vista gráfico el fenómeno de pulsación.
Ejemplo 4.2.1
Pulsaciones a partir del estado de reposo inicial Con base en el método antes descrito para la producción de pulsaciones, considérese el PVI y" + 25y = cos(5.6t),
y(O) =0,
y'(O) = O
(13)
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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
donde mo~ 5.0, m= 5.6 y A = 1. Este PVI gobernado sinusoidalmente tiene una respuesta que ilustra el fenómeno de pulsación. Por la fórmula (12), la solución del PVI (13) es y(t) = (_1- sen(0.3t»)sen(5.3t) 3.18
En la figura 4.2.5 (línea continua) se traza la curva solución. La pulsación está dada por 1 - - sen(0.3t) 3.18 con frecuencia circular 0.3, periodo 2n /0.3 "" 20.94 Y amplitud 1/3.18. Las gráficas de ±(sen 0.3t) / 3.18 (líneas discontinuas de la figura 4.2.5) envuelven la curva solución del PVI (13). Cada protuberancia de la curva solución tiene una amplitud de tiempo de n/O.3 "" 10.47. La [orina de las pulsaciones depende de los datos iniciales, como se muestra en el siguierlte eje~plo. ' ,
Ejemplo 4.2.2
Pulsaciones a partir de un estado inicial de no equilibrio Cuando un osciladot armónico, inicialmente fuera de equilibrio, es forzado por una sinusoide, entonces ~as pulsaciones se ven distintas de las de la figura 4.2.5 . Es posible observar «sto si se examina la curva solución (figura 4.2.6) del PVI
Y," + 25y ,~ cos(5.6~) 1
.' l '
i\
I
""
y(O) = 1,
leO) = O
(14)
La estru€tura básica de las pulsaciones es la misma que la de la figura 4.2.5. Las protu, berancias están separadas aproximadamente 10.47, pero las oscilaciones no son eliminadas de entre las protuberancias . Con un poco,de experimentación se ob.serva que al parecer la respuesta se traslada a lo largo del eje,t, yJa diferencia entre la altura dejos picos y la profundidad de los valles cambia a medida que cambian los datos inic~ales del;PVI (14)" No obstante, la modulación de la respuestatsiempre retiene su característica más importante: la' frecuencia de pulsación circular Imo - ml/2. Como se hizo notar,Jas pulsaciones pueden experimentarse como la disminución e intensificación intermitentes de la amplitud escuchada cuando vibran dos diapasones a una frecuencia no muy distinta. Este sencillo artefacto permite al oído humano detectar diferencias de frecuencia tan bajas como 0.06%. El fenómWlo de las pulsaciones se aplica en la detección de señales de radio, donde una señal de radio entrante se mezcla con la señal de un oscilador en el receptor para producir una señal nueva con una frecuencia abajo del límite audible. La señal eS aplicada entonces a un detector cuya salida accionará una bocina. Por último, obsérvese que la amplitud máxima 12A/(m5 _ ( 2 )1 de la sinusoide en la fórmula (12) tiende a 00 cuando m ~ mo ; ésta es otra indicación del fenómeno de resonancia.
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277
4.2/Pulsaciones y resonancia
Comentarios Aunque se ha ilustrado la presencia de los fenómenos de resonancia y pulsaciones sólo con la fuerza motriz A cos OH, el fenómeno se presenta con cualquier fuerza motriz de la forma Acosmt + Bsenmt. Si la fuerza motriz tiene la forma F(t)+ Acosmt + Bsenmt,ciertamente"l3e verá algún tipo de pulsación o resonancia si m está cerca de la frecuencia natural, aunque los efectos pudieran estar algo ocultos por la respuesta al término F(t) .
Prob,l emas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-.,.-_ _ _ __ _ _ __ 1.
(Pulsaciones y resonancia.) Obtenga las soluciones de los PVI. ¿Alguna resonancia o pulsaciones?
(a) y" + 9y = 5cos2t, (b) y"+4y=cos3t,
(e) y"+y=cost,
11 2.
4.
y'(0) = O
. y(O)=l,
y'(O) = ,- 1
y(O)=I,
y'(0) = O
(Pulsaciones y resonancia.) Utilice un programa de solución numérica para estudiar las soluciones de la EDO y" + 25y = senmt para los puntos iniciales (y(0), y'(O» de su elección y los valores dados de m. Trace los resultados en gráficas independientes. Compare estas gráficas y registre sus observaciones. Elija los puntos iniciales con los cuales se obtengan gráficas muy distintas. (a)
3.
y(O) = O,
m = 5.6
(b)m=5.2
(e)
m = 5.0
(d) m=7r
(Pulsaciones.) Para m* mo demuestre que la solución del PVly"+m~y=Asenmt, y(O) = O, y'(O) = -A/(mo + m), exhibe el fenómeno de las pulsaciones similar a la gráfj.ca de la figura 4.2.5. [Sugerencia: utilice la identidad trigonométrica sena - sen[3 = 2sen((a- [3)/2)cos((a+ [3)/2).] (Principio de flotabilidad de Arquímedes.) De acuerdo con el principio de Arquímedes, la fuerza boyante que actúa sobre un cuerpo sumergido en forma parcial o por completo en un líquido es igual al peso del líquido desplazado. En equilibrio, la masa del cuerpo es igual a la masa del agua desplazada. Así, un barco de madera con dimensiones idénticas a las de uno de hierro flotaría más sobre el agua. (a) Sin considerar la fricción, demuestre que un bloque plano de madera de cara L2 y espesor h pies que flota en agua sumergido a la mitad actúa como un oscilador arrqónico de periodo 27r~h/2g si se sumerge un poco. [Sugerencia: demuestre que si x es un coordenada vertical desde el punto medio del bloque, entonces (L2 hp/2)x" + L2 pgx=O, donde p es la densidad del agua. ] (b) Suponiendo que no hay fricción, reemplace el bloque del inciso (a) por una esfera boyante de radio R que flota sumergida hasta la mitad y demuestre que si el desplazamiento inicial es pequeño, la esfera actuará como un oscilador armónico de periodo 27r~2R/3g. Demuestre que si el desplazamiento es grande,
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278
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
www ~ . 5.
~ 6.
~ . 7.
se vuelven importantes las no linealidades en la EDO que modela el movimiento y, por tanto, no pueden ser despreciadas. En este caso, se obtiene la EDO de un resorte suave (véase la sección 3.1). (Detección de una oscilación periódica forzada.) Las soluciones de la EDO y" + m~y = Acosmt, donde A, mo, m(mo m) son constantes positivas, son superposiciones de sinusoides de periodo 2n / mo y periodo 2n / m . Dada la gráfica de una solución, ¿es posible detectar la oscilación periódica forzada (es decir, la solución única de periodo 2n/m? ¿Tiene un cambio de fase la oscilación periódica forzada? ¿Son las no constantes las soluciones periódicas? En caso afirmativo, ¿cuál es su periodo? Para contestar estas preguntas, empiece por resolver en forma gráfica los dos PVI y" + 4y = cosmt, y(O) = O, y'(O) = O, m = 3, n . Es posible que quiera encontrar las fórmulas de solución. Suelte una bola hueca bajo el agua y vea qué sucede. Modele la dinámica y explique qué sucede. [Sugerencia: trate de usar un método similar al del problema 4.] Explore el fenómeno de las pulsaciones para un oscilador forzado ligeramente amortiguado. Comience su estudio con la EDO para un resorte forzado y amortiguado regido por la ley de Hooke del ejemplo 3.1.1.
*
4.3 Modelación de la respuesta de frecuencia
'l
Estructuras como puentes y edificios pueden tener frecuencias resonantes aun cuando sean sistemas amortiguados. Una fuerza de oscilación externa a su frecuencia resonante podría inducir de manera imaginable una oscilación de amplitud destructiva. Una teoría del colapso del puente de Tacoma Narrows en 1940 mientras soplaba un viento suave, es que los elementos de soporte a lo largo del puente crearon remolinos sinusoidales cuya frecuencia coincidió con la frecuencia natural del puente. Los tacómetros, sismómetros y vibrómetros basan su operación en el fenómeno de resonancia. Por ejemplo, el tacómetro Frahm es un caja que contiene filas de tiras de acero salientes de frecuencia variable. Cuando se coloca la caja en una máquina que vibra, las tiras con frecuencias cercanas a la de la máquina empiezan a vibrar. En la sección anterior estudiamos las oscilaciones forzadas y la resonancia en los sistemas amortiguados. En esta sección presentamos un método para analizar las oscilaciones en sistemas amortiguados, método que los ingenieros llaman modelación de la respuesta de frecuencia .
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279
4.3 / Modelación de la respuesta de frecuencia
Oscilaciones periódicas forzadas en sistemas amortiguados: ejemplos Consideremos la EDO y" +2cy' +k2y = Fo senrot
°
(1)
donde las constantes c y k son tales que < c < k (el caso no amortiguado). Si se establece que P(D) = D 2+2cD+k 2, se ve que las raíces de P(r) = r 2+2cr+k 2 son . 'k2 - c, 2 rl= - c+ I"V
. ~k2 r2=-c -IV" -c 2
En consecuencia, la solución general de la EDO homogénea y" + 2cy' + ky2 = forma
°tiene la (2)
donde el' e2son constantes arbitrarias. Las soluciones definidas por la fórmula (2) son soluciones libres porque son soluciones de la EDO homogénea. Estas soluciones libres son también transitorias porque tienden a cero conforme avanza el tiempo. Supóngase que puede demostrarse que la EDO (1) tiene una oscilación periódicaforzada, es decir, una solución particular yit) periódica con la misma frecuencia circular ro que el término independiente. Por el teorema 3.6.1 la solución general de la EDO (1) se asemeja a (3)
donde y" está dada por la fórmula (2). Cualquier solución de la EDO (1) que sea periódica debe aparecer en la fórmula de solución general (3) para algunos valores de las constantes el y e2· Si el o e2, o ambas, son diferentes de cero, entonces la solución y = Yu +Yd no puede ser periódica porque Yu es transitoria y no se repite. Por tanto, la única solución periódica está dada cuando el = e2= 0, de modo que la EDO (1) sólo puede tener una solución periódica Yd. Antes de construir la solución periódica de la EDO (1) veamos dos ejemplos.
Ejemplo 4.3.1
Una oscilación periódica forzada Por los métodos de la sección 3.6 se observa que la EDO lineal no homogénea con amortiguamiento y" + y' + y = 13 sen 2t
(4)
tiene la oscilación periódica forzada Yd = -3sen2t - 2cos2t que tiene la misma frecuencia circular que la función gobernante. A partir de la fórmula (2) con c = 1/2 Y k = 1 se observa que las soluciones libres tienen la forma e- t/2 [el cos( .J3t/
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Aplicaciones
13
de ecuaciones diferenciales
de segundo orden
(línea contínua) y" + y '12 + 257y/16 y(O) = y'(O) = O
=
IOOcost
'"
=,
-2
,I
-5
-12
-10
O
10
10
15
20
Figura 4.3.1 Las curvas solución (líneas discontinuas) Figura 4.3.2 Curva solución para un PVI (línea contise aproximan a la única solución periódica forzada (lí- nua), estado permanente (guiones largos) y transitorio nea continua) [ejemplo 4.3.1]. (guiones cortos) [ejemplo 4.3.2]. "
2) + C2 sen( .J3t/2)], y son transitorias. La solución general de la EDO (4) es la suma de las soluciones libres y la oscilación periódica forzada: y = e-t12[ C¡ cos( .J3t/2) + C2 sen( .J3t/2)] - 3sen2t - 2cos2t Las soluciones transitorias oscilan con frecuencia circular .J3/ 2 Y sus amplitudes declinan en forma exponencial. Por tanto, son no periódicas. Por otro lado, la oscilación forzada es periódica y atrae todas las soluciones cuando t ~ + co , Véase en la figura 4.3, 1 las gráficas correspondientes a la oscilación periódica forzada [datos iniciales y(O) = -2, y(O) = -6] Y a otras tres curvas solución [los puntos iniciales son (y(0), y/(O» = (-8, -6), (O, O), (2, 6)]; todas estas curvas tienden a la oscilación periódica forzada Yd cuando t aumenta.
Ejemplo 4.3.2
ih 1"
Respuesta de un sistema amortiguado para una entrada sinusoidal Es posible comprobar que Yd = (60 cost + 2 sent)/9.01 es una solución periódica de la EDO y" + y' /2 + 257y/16
= 100cos t
y, como se dijo, no puede haber otra solución periódica. Nótese por la fórmula (2) con e = 1/4 Y k2 = 257/16 que las soluciones libres están dadas por las transitorias oscilatorias y" = C¡e-t/4 cos4t+
C2e-t14 sen4t
En la figura 4.3.2 se grafica Yd (curva de guiones cortos) y la transitoria y" (curva de guiones cortos), ambas elegidas de modo que y = Yd + y" sea solución del PVI y" +Y' /2+ 257y/16=
y(O)=y'(O)=O
100cost, l
.
La curva continua de la figura 4.3.2 es la curva solución correspondiente.
i\
¡
4.3/
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4.3 / Modelación de la· respuesta de frecuencia .
Construcción de la oscilaci~n periódica forzada Ahora que ya estudiamos las oscilaciones forzadas para dos EDO particulares forzadas por sinusoides estamos en condiciones dé abordar un caso más general. Construyamos la oscilación periódica forzada y d para la EDO lineal no homogénea (5)
Utilizaremos los métodos de la sección 3.6. El primer paso es sustituir el término independiente que representa lá fuerza externa Fo sen mt en la EDO (1) por la función exponencial compleja Foe iW ( Y encontrar una solución particular Zd de la EDO P(D)[z] = Foe iW (
(6)
donde P(D) = D 2 + 2cD + k7. Puesto que Im[Foei())l] = Fo senmt, se deduce que Yd = Im[ Zd] es una solución de la EDO (5). Como
p(D)[~rt] = P(r)e rt , y puesto que P(im) =F 0,
deb~mos
'
para cualquier constante r
buscar una solución particular de la EDO (6) de la forma Zd(t) = Aei())l
donde A es una constante por determinar. Obsérvese que P(D) [ Aei())l] = AP(im)ei())l. Por comparación con (6), se nota que A debe ser tal que
"
AP(im)=Fo
por tanto, A = Fo / P(im). Nótese que PÚm) = (im)2 + 2c(im) + k
=
2
e - m 2 + 2icm
que es distinta de cero .a menos que k = m y c = O. Excepto por ese caso especial, se ve que si se define H(r) por H(r) = 1 / P(r) entonces ' (7)
'. >
"
es solución de la EDO (6). La función H(r) se denominajunción de transferencia de la " EDO (1) y hace la transferencia de la entrada FoeiWtaJa salida Zd(t) .
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282
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Para obtener la parte imaginaria de Zd(t), se racionaliza el denominador para escribir HUm) en la forma a + ib: HUm) =
21 2 k -m +2icm
1 k 2 - m2 - 2icm = k 2-m 2+2icm' k 2-m 2 -2icm 2 2 k _m -2cm 'b . = 2 +z 2 =a+z (k _ m2 )2 + 4c 2m2 (k _ m 2 )2 + 4c 2m2
(8)
Es posible escribir también HUm) en la forma polar, como sigue: HUm) = M(m)ei
(9)
donde la amplitud M y el ángulo polar cp están dados por
M(m)=~a2+b2=
~(k2_
1
m2 )2+4c 2m2
(10)
Puesto que por la fórmula (8) el número Im[H(im)] es negativo, el número complejo HUm) siempre apunta hacia abajo como un vector en el plano complejo, así que el ángulo polar cp(m) está en el intervalo -n S; cp(m) S; O. Ahora, con (9) en la fórmula (7) se observa que Zd
= H(im)Foe iOJl = FoM(m)ei(OJIHP(aJ)) = FoM(m)[cos(mt + cp(m»
Al extraer la parte imaginaria de
Zd'
+ isen(mt + cp(m»]
se encuentra que la sinusoide
Yd = FoM(m)sen[mt + cp(m)] ~ La oscilación forzada representa el comportamiento de largo plazo de las soluciones.
(11)
es una solución de valores reales de la EDO (5). Ésta es la oscilación periódica forzada con frecuencia circular m que queríamos encontrar. Las demás soluciones de la EDO (5) se aproximan a ésta cuando t ~ +00, de modo que Yd se conoce como la solución de estado estacionario.
Ahora que ya se tiene una fórmula para la oscilación periódica forzada, sigamos otro método y grafiquemos la amplitud y el ángulo polar de la solución como funciones de la frecuencia motriz.
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283
4.3 / Modelación de la respuesta de frecuencia
20 -20
10 ~
1 o
-60
Il)
'"O
o
i
-30
-40
-140
U
~----~~~~--~~~~~
10- 1
100 10 1 Frecuencia angular [loglO(m)]
-18 O .\-~--~~~>+-------=::;::::;===e""
10- 1
100 10 1 Frecuencia angular [loglO(m)]
Figura 4.3.3 Gráficas de Bodé: ganancia y cambio de fase (ejemplo 4.3.3).
Modelación de la respuesta de frecuencia y gráficas de Bodé Las funciones para la amplitud y el cambio de fase M(m) y ep(m) como se definen en (10) no dependen de los datos iniciales. Al comparar la fórmula para yd en (11) con la entrada Fo senmt, se observa que la solución de estado estacionario tiene la misma forma sinusoidal que la entrada, pero con amplitud FoM y fase ep. La relación de la amplitud de estado estacionario FoM(m) a la amplitud de entrada Fo es M(m) y se llama ganancia. Si .la ganancia M es mayor que 1 entonces la respuesta tiene una amplitud aumentada, pero si M ,es menor que 1 la respuesta tiene una amplitud reducida. La solución de estado estacionario es desplazada en tiempo ,por lep(m)l/m radianes a la derecha, así que es común referirse a ep(m) como el cambio defase . A las gráficas de ganancia y cambio de fase contra ro (usando una escala de log10 en el eje de ro) se les denomina gráficas de Bodé y brindan información valiosa acerca del sistema. Los ingenieros llaman a la cantidad 20 10glO M(m) la ganancia en decibeles (dB) y utilizan unidades de decibel en el eje de la ganancia. En el eje de ep se utilizan' grados en lugar de radianes. Estas dos gráficas constituyen las curvas de respuesta de frecuencia para el sistema. , En seguida se presenta un ejemplo que muestra las formas características de las gráficas,de Bodé. '
Ejemplo 4.3.3
Gráficas de Bodé Tracemos las curvas de respuesta de frecuencia para la EDO y"+O.2y' + y = Fo senrot Al comparar esta EDO con la EDO (1), se observa que c = 0.1 Y k = 1.0. En la figura 4.3.3 se muestran las gráficas de Bodé para esta EDO.
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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
y" + 2y' + 4y = sen 2t 1.0 0.5 Ñ ¡::l Q)
0.0
'" -0.5 -1. O
0.8
O
168
4
2
10
1 1 1 1 1 1
i
1
=,
.,
:: t..
-0.4
O
1 - -1- - - - - --
---------
m
1 1 1 1 1
.
4
2
1
1
6
1
8
10
t Figura 4.3.4 Obtención de e y k a partir de la respuesta de estado permanente de un sistema (ejemplo 4.3-.4).
Las gráficas de Bodé se utilizan con frecuencia en ingeniería y ciencias porque con ellas se obtiene información visual instantánea de cómo cambian la ganancia y la fase cuando cambia la frecuencia de entradaEn términos del teorema fundamental para las EDOde segundo orden (teorema 3.2.1), estas gráficas dan información acerca de la sensibilidad de la respuesta a cambios en el parámetro m.
Identificación
de parámetros
Hasta ahora hemos utilizado la forma de la EDO, así como fórmulas de solución y programas numéricos para obtener información del comportamiento de-las soluciones. Revirtamos ahora el proceso y supongamos que ya se sabe algo acerca del comportamiento de la solución de alguna EDO de segundo orden desconocida con' términos sinusoidales conocidos para la fuerza externa. ¿Puede aplicarse esta información para saber de qué EDO se trata? Es como resolver un misterio. Contamos con algunas pistas, así que ¿puede encontrarse la EDO "culpable"? En ocasiones se sabe que un sistema puede modelarse mediante una EDO y" + 2ey' + k2y = O . ,
(12)
4.3/M(
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285
4.3/ Modelación de la respuesta de frecuencia
pero los parámetros del sistema e y k no pueden ser medidos con precisión. Si sen úJt para un valor conocido de úJ representa la fuerza en la EDO (12), y si puede determinarse de manera experimental la ganancia M(úJ) y el cambio de fase qJ(úJ) en la fórmula de salida de estado estacionario, entonces las fórmulas de (10) forman una base para determinar las constantes del sistema e y k. En el siguiente ejemplo se muestra cómo se hace esto, pero primero son indispensables algunos detalles trigonométricos. La gráfica de la sinusoide con cambio de fase sen( úJt + cp) puede obtenerse a partir de la gráfica senúJt como sigue: si cp es positiva (o negativa), entonces el desplazamiento de la gráfica de senúJt a la izquierda (o a la derecha) por qJ(úJ) radianes da como resultado la gráfica de sen(úJt+cp) . Esto se deduce de escribir sen(úJt+cp) = sen(úJ(t+ cp / úJ)) .
Ejemplo 4.3.4
Ejemplo de identifica(}ión de parámetros
Considérese el PVI con parámetros desconocidos e y k: y" + 2ey' + k2y
= sen 2t:
y(O)
= 0.5,
y'(O) = 1
(13)
Supóngase que las gráficas de la entrada sen 2t y la salida y(t) son como las que se muestran en la figura 4.3.4. Utilicemos estas gráficas para calcular M(2) y CP(2) Y comparemos estos valores con los valores teóricos obtenidos por medio de (10). Obsérvese que la salida se estabiliza rápidamente en un estado estacionario periódico. Por medio de la recta vertical de trazo discontinuo, se estima que la salida está desplazada a la derecha cerca de unos 0.77 unidades. Puesto que úJ = 2 Y cp/úJ '" 0.77, cp(2) tiene un valor aproximado de -1.54 radianes. Mediante la recta horizontal discontinua se estima que la ganancia M(2) es más o menos de 0.26. Con úJ = 2 Yestas estimaciones para M(2) y CP(2), se concluye por las fórmulas de (10) (tras realizar un buen número de operaciones algebraicas) que k", 2.029 Y e'" 0.961. Estos valores coinciden muy bien con los valores reales utilizados (k = 2, e = 1) cuando se resolvió de forma numérica el PVI (13) y se trazó la curva solución mostrada en la figura 4.3.4.
Resonancia en sistemas amortiguados Tanto en los sistemas amortiguados como en los no amortiguados puede haber resonancia, así que utilicemos las gráficas de Bodé para ver qué sucede. Las formas de las gráficas de Bodé de la figura 4.3 .3 cambian los parámetros e y k del sistema. Observe a partir de las fórmulas de (lO) (con la suposición general de que O < e < k) que M(úJ) es una función continua acotada en úJ ~ O. Es posible demostrar (véase el problema 7) que si k 2 > 2e 2 ,entonces la gráfica de M(úJ) contra úJ se parece a la de la izquierda en la figura 4.3 .3 con un valor único úJr donde M(úJ) alcanza un valor máximo: M(úJ r ) = [
1 r:22]' 2
2e-yk -e
2
I
2
úJ r =-yk-2e
2
El valor úJr se conoce como f recuencia resonante del sistema amortiguado.
(14)
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286
Aplicaciones de ecuaciones diferencia les de segundo orden
Si no hay amortiguamiento (es decir, c = O), entonces la fórmula (10) indica que + 00 cuando ro ~ k, donde k es la frecuencia natural del sistema no amortiguado. Si el amortiguamiento está presente en el sistema, entonces M(ror) puede hacerse arbitrariamente grande si c es suficientemente pequeña.
M(ro)~
Comentarios En esta sección sólo hemos utilizado términos de forzamiento sinusoidales para la EDO (1), pero para cualquier término de forzamiento periódico existe una única oscilación periódica forzada de la EDO (1). En el problema 9 vimos que si a y b son constantes y el término independientefit) es periódico con periodo T, entonces la EDO y" + ay' + by = fit) tiene una respuesta periódica única con periodo T, si no hay soluciones periódicas de la EDO y" + ay' + by = Ode periodo T. Con este resultado sorprendente se obtiene información valiosa del comportamiento de largo plazo de las soluciones de EDO lineales forzadas por funciones periódicas. Compare esto con un resultado similar para la EDO de primer orden en la sección 2.2.
Problemas __________~--~~--------------------------(Oscilación periódica forzada.) Encuentre la única solución periódica de la EDO y" + 2cy' + k2y = Fo cosrot, donde c, k, Fo Y ro son constantes positivas. (Ganancia y cambio de fase.) Utilice la solución del PVI y" +2cy' +4y = 3sen2t,
11 3.
4.
www 5.
y(O) = 0.5,
y'(O) = 0.5
para estimar la ganancia M(2) y el cambio de fase CP(2) para la respuesta forzada de estado estacionario. [Sugerencia: véase la figura 4.3.4 y el ejemplo 4.3.2.] Compare estas estimaciones con los valores exactos calculados de (10). Encuentre la función de transferencia del sistema. (Ganancia y cambio de fase.) Considere la EDO y" + y' + 2 y = Fo sen rot. (a) Utilice un programa de solución para encontrar valores suficientes de la ganancia M( ro) y el cambio de fase cp( ro) y trazar esquemas aproximados de M y qJ contra ro. (b) Utilice las fórmulas de (10) para trazar las gráficas de M(ro) y cp(ro). Compare estas gráficas con los esquemas que trazó en el inciso (a). (Identificación de parámetros.) Encuentre los parámetros c y k del sistema cuyas gráficas de'Bodé se muestran en la figura 4.3.3. [Sugerencia: elija una frecuencia ro y obtenga M y qJ a partir de las gráficas de Bodé. Luego resuelva las ecuaciones de (10) para obtener los valores de c y k. Los valores exactos son c = 0.1 Y k = 1. ¿Cuánto se aproximan a estos valores los que obtuvo por medio de los datos que leyó de las gráficas de la figura 4.3.3?] (Identificación de parámetros.) En un resorte amortiguado regido por la ley de Hooke y modelado por y" +2cy' +ky = O
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r:;;;¡) 7.
r:;;;¡) . 8.
287
la deflexión estática es 0.0127 m, al disminuir las vibraciones amortiguadas de una amplitud de 0.01016 m a una de 0.00254 m en 20 ciclos. Supóngase una masa de 1 kg. (a) Encuentre/la constante de amortiguamiento 2c. [Sugerencia: primero encuentra k, luego cde modo que las amplitudes.declinen por un factor de 4 en un intervalo de tiempo de 20T, donde T = 27r/(k _ c 2 )1I2.] (b) Obtenga la frecuencia resonante úJr Y caleJlle la amplitud máxima de la respuesta de estado estacionario del sistema a una fuerza motriz Acos úJrt. Considere el PVI y// + O.5y/ + 16y = 100 sent, y(O) = O, y/(O) = O. Identifique la respuesta periódic~ y los componentes transitorios de la solución única del PVI. En un solo par de ejes trace la gráfica de solución del PVI junto con los componentes periódi.co y transitorio de la solución del PVI. [Sugerencia : véase el ejemplo 4.3.2 y la figura 4.3.2.] (Ganancia y cambio de fase.) La respuesta de estado estacionario de la EDO y" + 2cy' + k2y = Fo senúJt,con O < c ~ k, puede caracterizarse en términos de un aumento de la amplitud y un cambio de fase aplicados al término de forzamiento sinusoidalfit) . Explore esta conexión mediante la ejecución de las tareas siguientes: Compruebe [por medio de las fórmulas de (10)] que las características generales de las gráficas de M(úJ) y q>(úJ), para constantes positivas fijas k y c con k2 > 2c 2 , son similares a las gráficas de la figura 4.3.3. ¿Cuál es el valor úJr (la frecuencia resonante) donde M(úJ) alcanza un máximo? ¿Cuáles son M(O) y M(úJr )? ¿Cuál es el valor de úJo donde q>(úJ) cambia de inflexión? ¿Qué sucede con la frecuencia úJr Y el valor máximo M(úJr ) determinado en el inciso (a) para valores fijos de k > O cuando c ~ O? Interprete esta observación para un sistema mecánico vibrante generado por la EDO (1) con una constante c de amortiguamiento muy pequeña y un término de forzamiento sinusoidal con frecuencia cercana a la natural (es decir, no amortiguada) del sistema. (Ganancia y cambio de fase.) Modele la respuesta de frecuencia para el PVI y" + 0.2y' + y = cosúJt, y(O) = O, y'(O) = O, mediante las siguientes tareas: Sea úJ = 0.5. Trace la solución del PVI en un tiempo suficientemente largo que la parte transitoria de la solución se vuelva insignificante y la respuesta de estado estacionario sea claramente visible. A partir de la gráfica, determine la amplitud de la respuesta de estado estacionario, compárela con la amplitud de la función de forzamierlto y luego determine la ganancia M. • Ahora determine el cambio de fase cp entre la función de forzamiento y la respuesta de estado estacionario. [Sugerencia: véase la figura 4.3.4.] Explique por qué la amplitud M y el cambio de fase cp no dependen de las condiciones iniciales. Compruébelo repitiendo los pasos anteriores para varios conjuntos de condiciones iniciales. Determine ,la amplitud M y el cambio de fase cp para otros valores de úJ para el PVI. Por ejemplo, elija úJ = 0.25, 0.75, 1, 1.5,2 Y 3. Pruebe con algunos valores de úJ muy cercanos a l . Trace las gráficas de M contra úJ y de cp contra úJ. Resuelva la EDO en forma analítica y determine la respuesta de estado estacio-
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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
r;;;;8 9. ¡r¡¡r Con este problema
se demuestra la existencia de una oscilación periódica forzada: en él se utiliza el método de variación de parámetros (véase el problema 8 de la sección 3.7). Compárese con el teorema 2.2.4.
nario. Encuentre M y q> como funciones de ro. Compare los resultados con los anteriores. (Oscilaciones periódicas forzadas.) Considere la EDO y" + ay' + by = f(t), donde a y b son constante y f(t) es una función periódica continua en la recta real con periodo T. Demuestre que si la EDO y" + ay' + by = O no tiene una solución periódica con periodo T, entonces la EDO no homogénea y" + ay' + by = f(t) tiene solución periódica única de periodo T. [Sugerencia: siga la descripción siguiente.] Demuestre que la solución y(t) de la EDO es una solución periódica con periodo T si y sólo si y(O) = y( 1) y y'(O) = y'(l). [Sugerencia: para demostrar que y(t) se repite en intervalo de tiempo T::; t::; 2T cuando se cumplen las condiciones, sustituya t por s + T en la EDO y comience a tomar el tiempo en s = O.] Supóngase que Y l ' Y2 son soluciones de la EDO homogénea y" + ay' + by = O con YI (O) = 1, y~ (O) = O; Y2 (O) = O, Y2 (O) = l. Supóngase que yf...t) es la solución particular de la EDO no homogénea y" + ay' + by = f(t) dada por la fórmula Yd = c I (i)y¡ (t) + c2 (t)Y2 (t) con c (t)= I
rt -Y2 (s)f(s) ds,
Jo
e
w(s)
(t)=
JI y¡ (s)f(s) ds o
2
W(s)
donde W(s) es el wronskiano de YI y Y2, W = y¡Y2 - y~Y2 . Estas fórmulas se dan en el problema 8 de la sección 3.7. Demuestre que y = YoY¡ + ybY2 + Yd es la solución del PVI
/'+ay'+by = f(t),
y(O) = Yo ,
y'(O) = yb
Por lo anterior, se sabe que las condiciones y(O) = y(l) y y '(O) = y'(l) aplicadas a la solución y(t) anterior se garantiza que y(t) es periódica, y viceversa. Demuestre que estas condiciones para' y son equivalentes a la ecuación de matrices
(I~M(T))[Y~] = [y~(T)] Yo
Yd(T)
donde 1 es la matriz [1 0J Y la matriz M(t) es [YI (T) O 1 y~ (T)
Y2(T)]. Y2 (T)
Supóngase que la matriz 1 - M(1) no es invertible. Entonces hay un vector v diferente de cero con componentes a y f3 tales que (1- M(t))v = O, por tanto
Demuestre que z(t) = ay¡ (t) + f3Y2 (t) es una solución periódica no trivial de la EDO homogénea y" + ay' + by = O, lo cual contradice la hipótesis del sistema.
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289
4.4 / Circuitos eléctricos
La contradicción anterior para nuestra hipótesis establece que 1 - M(T) es invertibIe. Demuestre que la EDO y" + ay' + by = J(t) tiene una solución periódica única con periodo T. Demuestre que los resultados anteriores se cumplen aun cuando f(t) es una función periódica continua por partes, siempre que se permita que la segunda derivada de una solución sea sólo continua por partes. Demuestre que la EDO y" + 4y' + 3y = oc(t, 50, 4) tiene una solución periódica única de periodo T = 4. Sin calcular en realidad los valores de Yo Y y'o necesarios para generar la solución periódica, intente producir una gráfica que aproxime esta solución periódica. ¿Cómo sabe que su gráfica se aproxima a la solución periódica para t grande?
4.4
Circuitos eléctricos Uno de los procesos físicos más importantes que pueden modelarse mediante EDO lineales de segundo orden es el flujo de energía eléctrica en un circuito. Las dos medidas básica de flujo de energía en un circuito son la corriente y el voltaje.
Corriente y voltaje La corriente 1 en un circuito es proporcional al número de portadores de carga positiva que pasan por segundo en un punto del conductor. Por analogía, piense en un río y la cantidad de agua que pasa por segundo en un punto dado. La corriente se mide en amperes ,iv en cuyos términos se definen las otras unidades. Un ampere corresponde a 6.2420 x 10 18 portadores de carga que pasan por un punto dado en un segundó. La unidad de carga es el coulomb , cantidad de carga que fluye por una sección transversal de alambre en un segundo cuando fluye una corriente de un ampere, así que un ampere es igual a un coulomb por segundo. Si J(t) es una corriente en el instante t, entonces la cantidad de carga que pasa por un punto en el intervalo de tiempo ti :::; t:::; t2 está dada por f;2I(t)dt. A medida que la corriente se mueve por el circuito, los portadotes de carga intercambian energía con los elementos del circuito. Este proceso se describe al definir una función V (conocida como función de potencial ) en todo el circuito. La energía por coulomb de
(7775- 7836), un matemático francés y filósofo nato, es conocido por sus contribuciones a la electrodinámica. Se utiliza n 105 nombres de muchos de los primeros investigadores en electricidad para las unidades eléctricas. Se tiene ohms [Georg Simon Ohm (7787- 7854), físico alemán}, henries [joseph Henry (7797- 7878), físico estadounidense}, farads [Michael Fa rada y (7797 - 7867), científico inglés}, volts [A lessandro Vo/ta (7745- 7827), físico italiano} y cou lombs [Charles AL/guste de Coulomb (7736-7806), físico francés).
iv André Marie Ampére
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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
carga que ha sido intercambiada por los portadores a medida que fluyen del punto a al punto b se calcula como sigue
donde Va Y Vb son los valores de la función de potencial Ven los puntos a y b del circuito. La diferencia Vab se llama caída de voltaje o diferencia de potencial de a a b; se mide en joules por coulomb, o volts. Con la analogía del flujo de agua, la caída de voltaje corresponde a la diferencia de presión en los puntos a y b. Las baterías y los generadores eléctricos tienen la propiedad de que pueden mantener una caída de voltaje, denotada con E, entre dos terminales. Para las baterías, la terminal con el potencial más alto se marca con un signo más y la de menor potencial con un signo menos. La energía química interna suministrada por la batería imparte una cantidad constante de energía por coulomb a medida que los portadores de carga se mueven por la batería, y esto da lugar a la función de potencial V por el voltaje nominal del dispositivo. Introduzcamos ahora los elementos de un circuito.
Elementos de un circuito Resistor Fuente + de voltaje extema - L
Es posible usar tres elementos básicos para construir un circuito simple (diagrama al margen): resistor, inductor y capacitor, los cuales se describen a continuación.
Inductor
Resistor _________________________ Capacitor
Cuando la corriente fluye por un segmento de circuito se pierde energía eléctrica, de modo que el potencial en un extremo del segmento es menor que el potencial en el otro extremo. Un segmento de circuito entre los puntos a y b donde se pierde mucha energía se llama resistor. Los elementos de calentamiento y los filamentos de las bombillas, por ejemplo, son buenos resistores y convierten la energía eléctrica en calor y luz. La caída de voltaje a través de un resistor y la corriente que fluye por él son modelados por la ley de Ohm. 1
a~b R Resistor
Ley de Ohm. La caída de voltaje Vab entre los extremos a y b de un resistor es proporcional a la corriente 1 que fluye por el resistor: Vab = RI
La constante R se conoce como la resistencia del resistor. Si la corriente es dirigida de a a b, entonces el voltaje en b es menor que el voltaje en a, y Vab = RI es positiva. La resistencia se mide en ohms (denotada con la letra griega mayúscula omega, Q) si la corriente se mide en amperes y el voltaje en volts.
l.
!~
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4.4 / Circuitos eléctricos
Inductor ______________________________________________ Una corriente eléctrica cambiante I(t) que pasa por un segmento de circuito crea un campo magnético cambiante que induce una caída de voltaje entre los extremos del segmento. Este efecto puede ser muy grande en segmentos de circuito dispuestos de cierta forma (como las bobinas). A estos dispositivos se les denomina inductores .
1
~
Ley de Faraday. La caída de voltaje Vab a través de un inductor es proporcional a la tasa de cambio de la corriente:
G~b L
V =L dI ab dt
Inductor
La constante L se denomina la inductancia del inductor. La ley de Faraday expresa que la caída de potencial no depende directamente de la corriente 1, sino de su tasa de cambio, dI/dt. La inductancia se mide en henries (denotada por H) si el voltaje se mide en volts y dI/dt en amperes por segundo.
Capacitor _____________________________________________ Un capacitar consta de dos placas separadas por un aislante como el aire. Si las terminales a y b del capacitor se-conectan a una fuente de voltaje, se empezarán a acumular cargas de signo opuesto en las dos placas. Se habla de la carga total q(t) en el capacitor; y obsérvese que si q(to) es la carga inicial, entonces
q(t) = q(to) + ft I(s)ds,
para t ~ t o
(1)
lo
Un capacitor es como un depósito utilizado para almacenar agua y proveer una fuente de presión.
1
Go----------1
e
Ley de Coulomb. La caída de voltaje Vab cuando la corriente fluye de a a b a través de un capacitor es proporcional a la carga en el capacitor: ~
~b
Capacitor
Vab(t) = .lq(t) = .l{q(tO)+fl I(S)dS}
e
La constante
e
lo
e recibe el nombre de capacitancia del capacitor.
La capacitancia se mide en farads (denotada por F) si la carga está en coulombs, el voltaje en volts y la corriente en amperes. Debido a que el coulomb es una cantidad -muy grande de carga, un capacitor típico almacenará sólo una pequeña fracción de un coulomb a las tensiones típicas, por lo que e es, en general, muy pequeña (del orden de 10-5
o lO-6F).
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Aplicaciones
de ecuaciones diferenciales
de segundo orden
Las leyes de Ohm, Faraday y Coulomb son empíricas y se basan en muchas observaciones de circuitos simples.
Leyes de Kirchhoff Los circuitos eléctricos constan de uno o más ciclos cerrados, cada uno con resistores, inductores, capacitores o fuentes de voltaje. A fin de modelar la corriente que pasa por un circuito se necesita una fórmula que relacione la caída de voltaje a través de varios componentes de un circuito. Se ha observado que se cumple la siguiente ley de conservación para cada ciclo cerrado de un circuito.
"
b
a
+r~ R
d
Ley de Kirchhoff para el voltaje. Elija los puntos al' a2' ..., an en el circuito y supóngase que la corriente fluye de a¡ a a¡+l' i = 1,2, ..., n(an+l = al)' Entonces
L
Va¡a2 e
+ Va2a3 + ...+ Vana¡
=O
donde VaI.a,+1 . = Va - Va1+1 es la caída de voltaje entre los puntos a¡ Y a¡+l: f
Por ejemplo, considérese el diagrama del margen para un circuito RLC. Digamos que la dirección positiva del flujo de corriente está dada por la sucesión de nodos abcda. Por tanto, se tiene Vab + Vbe + Ved + Vda = O, O bien E(t) = Vab + Vbe + Ved puesto que E(t) = - Vda' Por la forma en que está definido el voltaje, la ley de Kirchhoff para el voltaje es una ley de conservación de la energía. Kirchhoffv propuso también una ley de conservación para la corriente. Ley de Kirchhoff para la corriente. En cada punto de un circuito la suma de las corrientes que fluyen hacia él es igual a la suma de las corrientes que salen. Por ejemplo, en el esquema de la izquierda se tiene 13 + 15 = 11 + 12 + 14' Ahora estamos en condiciones de empezar a modelar circuitos por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias.
l' ,
n 1,
EDO modelo para la carga y la corriente en un circuito RLC . Apliquemos la ley de Kirchhoff para el voltaje a un circuito RLC simple a fin de obtener las EDO que permitan modelar cómo evoluciona con el tiempo la carga en el capacitor y la co-
Gustav Robert Kirchhoff
.i
v Gustav Robert Kirchhoff (1824-7887)
los primeros circuitos eléctricos.
fue un físico alemán que estudió las propiedades de
4.4 /
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293
4.4 / Circu itos eléctricos
b
a
R
:r ~L d
e
rriente en el circuito. Se introducen primero los puntos de referencia a, b, c y d como se muestra en la figura al margen y se indica la polaridad de la fuente externa con los signos más y menos con objeto de tener precisión en cuanto a cómo la fuente externa está conectada al circuito eléctrico. Si aplicamos la ley de Kirchhoff, la corriente que entra en cada punto es igual a la que sale del mismo, lo que permite usar un solo símbolo 1 para la corriente en cada punto de este circuito. En consecuencia, la corriente del circuito es independiente de la ubicación, pero puede cambiar con el tiempo. Puesto que la corriente fluye en la misma dirección y tiene el mismo valor en cada elemento del circuito, puede suponerse que la corriente I(t) en sentido positivo se mueve en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del circuito (como se muestra). Consideremos ahora las caídas de voltaje. Conforme se sigue la corriente por la fuente de voltaje externa, el voltaje aumenta, pero disminuye en cada uno de los elementos del circuito. La ley de Ohm, la de Faraday y la de Coulomb indican l~s caídas de voltaje respectivas Vab=RI(t),
~d =~[q(to)+ C
Vbc=L dI, dt
r
I(S)dS]
lo
La ley de Kirchhoff para el voltaje produce una ecuación para I(t): RI(t) + L -dI + -1 [ q(to ) + dt C
JI I(s)ds]= E(t)
(2)
lo
La ecuación (2) puede convertirse en una EDO de dos maneras. Como q = q(to ) + I(s)ds, entonces q' = I Y q" = r Ahora la EDO (2) puede escribirse en términos de I¿Ocarga q:
f
1 LqN + Rq' + - q = E(t) C
(3)
De otro modo, si E(t) es derivable, es posible derivar la EDO (3) con respecto a t y obtener (puesto que q' = l)
Lr + RI' + ~I = E' C
(4)
El PVI pertinente con to = O para la EDO (4) de la corriente se deduce como sigue: si se conocen la carga inicial qo y la corriente inicial lo, entonces de (2) se tiene RIo + LI'(O) + (1 / C)qo = E(O)
que determina de inmediato a I' (O) en términos de lo, qo y E(O) . Así, es necesario resolver el PVI L/N +RI' +~I = E'(t)
C
1(0) = lo ,
1'(0) = E(O) - Rlo - qo / C L
(5)
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Aplicaciones de ecuaciones diferencia les de segundo orden
La EDO de (5) tiene la misma forma que la EDO del resorte forzado y amortiguado regido por la ley de Hooke, lo mismo que de la EDO del péndulo linealizado forzado y amortiguado. -
la corriente en el circuito: un ejemplo Encontremos las soluciones de la EDO (4) cuando la fuente de voltaje externo es periódica.
Ejemplo 4.4.1
Obtención de la corriente de un circuito RL C forzado Se determinarán las soluciones I(t) de la EDO del circuito simple RLC en serie en (4) cuando L = 20 H, R = 80 Q, C = 1O-2 P, Yel voltaje externo es E(t) = 50 sen2t. Después de dividir entre L = 20, la EDO (4) se convierte en
I"+41' + 51 = 5cos2t El polinomio característico es P(r) = r 2 + 4r + 5, que tiene las raíces r¡ Las soluciones de r + 41' + 51 = O tienen la forma
(6)
=- 2 + i Yr2 =- 2 -
k¡e-21 cost+k2e-2I sent
i.
(7)
donde k¡ y k 2 son constantes arbitrarias reales. En seguida se encuentra una solución particular para la EDO (6). Obsérvese que 2il 5cos2t = Re[5e ], por tanto, si zd es cualquier solución de la EDO z" + 4z' + 5z = 5e
2it
(8)
entonces Re[Zd] = Id es una solución de valores reales de la EDO (6). Es posible encontrar una solución Zd de la EDO (8) con los métodos de la sección 3.6: 2it 2it 2it 5e 5e 5e --d - P(2i) - (2i)2 +4(2i) + 5 - 1+ 8i
Z ----
_ -5- '18i e 2it _ 1 (1 - 8') -le 2il 1+ 8i 1- 8i 13
Por consiguiente, se observa que
1 13
Id(t) = Re[zd] = -(cos2t + 8sen2t)
(9)
es una solución particular de la EDO (6). Nótese que Id es una oscilación periódica forzada. En cualquier instante t la corriente I(t) tiene la forma (10)
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295
4.4 / Circuitos eléctricos
donde k¡ Y k2 son constantes. Los términos k¡ e-2t cos t + k 2e -2t cos t son transitorios y tienden a O cuando t ~ +00. Los otros dos términos de la fórmula (lO) tienen la misma frecuencia que la entrada 5 cos t; representan la corriente periódica de estado estacionario en el circuito.
Construcción de la corriente de estado estacionario en un circuito RCL Con el ejemplo 4.4.1 como guía es posible determinar las soluciones I(t) de la EDO (4), donde R i:- O Y el término E'(t) que representa la fuerza externa está dado por Acos mt. Como las raíces del polinomio característico P( r) = Lr 2 + Rr + 1/ C son raíces complejas conjugadas con partes r~ales negativas, las soluciones de la EDO homogénea son transitorias. Ahora, sólo se' necesita una sola solución de la ecuación no homogéna para completar el análisis. Con el método proporcionado en el ejemplo 4.4.1 se encuentra una solución particular Zd de Lz" + Rz' + ~ z = Ae ilOt C
(11)
y luego se observa que Id = Re[Zd] es una solución particular de valores reales de la EDO (4) con E'(t) = Acosmt. Como las raíces del polinomio caracteFÍstico tienen partes reales negativas, PUm) i:- O, por consiguiente
(12) es una soluCión particular de la EDO (11). Debido a que P(im) = -Lm 2 + 1/C + iRm, es posible racionalizar el denominador [véase (8) en la sección 4.3] y escribir 1/P(im) en la forma a + ib Y luego usar (12) para hallar Id: 1/ P(im) = [(-Lm 2 + 1/C)- iRm]/[(-Lm 2+ 1/C)2+ R 2m 2 ] Id=Re[Zd]= =
A
2 2
2
(1/C-Lm ) +m R
2
2
[(1/C-Lm )cosmt+mRsenmt]
A cos(mtHp) [(1/C-Lm 2 )2 +m2R2]1I2
donde también se utilizó la identidad trigonométrica . acosO+bsenO = (a 2 +b 2 )1I2 COS(OHp) . ."
sen e¡> =
a 2
2 112'
(a +b )
cose¡> =
b · 2 2 ¡/2' -11: < e¡>::; 11: (a +b )
(13)
(14)
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Aplicaciones
de ecuaciones diferenciales
de segundo orden
4.',
La corriente /d de estado estacionario es una oscilación periódica forzada con la misma frecuencia circular roque el término de forzamiento pero con un cambio de fase qJ. El denominador [(1/ e- Lro2)2 + ro2R2 ]112 en la fórmula (14) se denomina impedancia del circuito; tiene una papel similar al de la resistencia R en la ley de Ohm. Para una resistencia fija R, la amplitud A
(15)
de la corriente de respuesta de estado estacionario en (14) a una frecuencia motriz dada to depende de los valores de ro, L y C. Para una R positiva fija y ro, la corriente tiene su amplitud máxima si el término 1/ e - Lro2 en el denominador de (15) es cero, esto es, cuando 1 -=ro Le
2
(16)
Esta observación hace posible sintonizar el circuito RLe para recibir una señal de una frecuencia ro. En el siguiente ejemplo se ilustra esta propiedad.
b
a R
~r~ L
d
1 1" + 0.11' + - /
11 ~~:
...,.
111 1"
.
i~'.
n· l·
e
La sintonía de Mozart Supóngase que una estación de música clásica trasmite a una frecuencia y una estación. de rock a otra. Cuando usted sintoniza la radio en su estación favorita, lo que en realidad hace es seleccionar una onda portadora que trasmite sonido audible (a esto se le conoce como modulación de la amplitud). Veamos cómo puede sintonizarse una frecuencia portadora deseada al reducir severamente las amplitudes de las otras frecuencias. En el circuito que se muestra en el margen tome L= lH,R= O.ln, E(t) = -cos t,-(4/5)cos5t, /(0)=0, 1'(0) = O. Por medio de las dos frecuencias portadoras, sent y sen 5t, el PVI para la corriente se convierte en
e
= E'(t) = sent
+ 4sen5t,
/(0)
= o,
/'(0)
=o
donde la capacitancia e es el parámetro de sintonización. La entrada E'(t) es la suma de las dos frecuencias circulares 1 'y 5. El PVI se resuelve en O::; t::; 75 pero las soluciones se grafican para 50::; t::; 75 después de que ha desaparecido cualquier transitoria. El componente de la frecuencia 5 es evidente en la gráfica superior de la figura 4.4.1; el componente de la frecuencia 1 también está allí, pero no es tan obvio. Si se sintoniza mal el circuito al establecer e = 1/81 (de modo que ~1/e = 9, que está lejos de las frecuencias de 1 y 5) se esperaría no escuchar ninguna entrada y, de hecho, así sucede [véase la línea casi plana (continua) en la gráfica inferior de la figura 4.4.1]. Si se sintoniza correctamente el circuito al elegir e de modo que ~1/ e = ro, puede elegirse con facilidad un componente de frecuencia to en la señal externa. La curva de guiones largos de la frecuencia 1 en la gráfica inferior de la figura 4.4.1 corresponde a fijar e = 1 farad y representa la respuesta del circuito a la entrada sent. De la misma forma,
I
http://carlos2524.jimdo.com/ den
297
4.4 / Circuitos eléctricos
4.25 1.75
.g
-0.75
,~
•.•.• -3.25
15)
-5.75
J
~
50
deli-
12.5
O
6)
7.5
~
i
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~ I( lit 1/;
t
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1/\ \
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/1;
r-,
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/
'
'./
55
Figura 4.4.1 Variación de la capacitancia
ce aito O,
65
/
" "
XI
r
~
60
" "
; ~ \~ ~ : I 1\\ 1; : \1
, t t: , ' ' , ', '' ' , -2.5 "1: , ' ' , " ",; ;J /\/ " -7.5 1\
e-
C=l /" t.. ,\ \ ti
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55
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1/25 "
70
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"
75
sintonizar un circuito (ejemplo 4.4.2).
0-
si e se establece en 1/25 farad de modo que ~1/ e = 5, entonces el circuito selecciona el componente de frecuencia 5 de la entrada y lo amplifica (véase la curva de guiones cortos de la figura 4.4.1).
de
Las señales de frecuencia 1 y 5 están alejadas del espectro de frecuencia. ¿Cambiar la resistencia o la inductancia permitirá sintonizar a Mozart aun cuando la frecuencia de la estación de rock esté más cercana (véase los problemas 7, 9)? Consideremos ahora circuitos más complicados.
0-
ia. el
Circuitos de varios ciclos
a e-
Los circuitos eléctricos con varios ciclos pueden modelarse con EDO para las corrientes que fluyen en los ciclos individuales, como en el ejemplo siguiente.
a-
e0-
ar a,
Ejemplo 4.4.3
Circuito de dos ciclos Considere el circuito de dos ciclos de la figura al margen donde se supone que /1' /2' /3 e /4 tienen las direcciones mostradas (si algunas de las corrientes reales están en dirección contraria, entonces aparecerá el signo menos). A partir de la ley de Kirchhoff para la co-
"
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298
Aplicaciones de ecuaciones diferencia les de segundo orden
1 ~a__~Rv-~b__~R~2.-~d 1, (1)
E t)
rriente en los nodos a y b, la corriente 13 que pasa por el inductor debe ser igual a I[ - 12> en tanto que las corrientes 13 e 14 deben ser iguales. Al aplicar la ley de Kirchhoff para el voltaje a los ciclos interiores, se tiene (suponiendo que qo = O en el capacitor)
l,(t)
R[I[ + L(I[ -
13(t)! L
I~) =
E(t)
R212 +!ll /2(s)ds+L(I~ - /[)=O
C o
Reordene ambas ecuaciones y derive la segunda para deshacerse de la integral: L(I[ -
/D + R[/[ = E(t)
L(I:; -/[')+ R2/~ +!/2 = O C
El tratamiento matemático de tales sistemas lineales acoplados se deja para capítulos posteriores.
Comentarios Las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes modelan muy bien los circuitos RLC. Pueden extenderse con éxito a circuitos de varios ciclos como se sugiere en el ejemplo 4.4.3 y en los problemas 3 y 8. Sin embargo, hay algunas dificultades con el método de la EDO. Por ejemplo, ¿qué sucede si los elementos del circuito no son pasivos sino que cambian con el tiempo? ¿Qué sucede si los elementos están distribuidos por el circuito y no es posible agrupar.Ios en elementos distintos, por ejemplo los resistores, como se ha supuesto? El último caso se ejemplifica por la corriente I y la caída de voltaje Ven una línea de trasmisión larga; en este caso se requiere un modelo donde intervienen ecuaciones diferenciales parciales porque / y V dependen tanto del lugar como del tiempo.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1. ~
(Oscilación amortiguada.) Considere el PVI (5) para la corriente en un circuito RLC. " .. (a) ResuelvaelPVI(5) siR=20Q, L=lOH, C=0.05F, E(t) = 12volts, qo = 0.6 coulombs e /0 = 1 ampere. (b) Demuestre que ocurre una oscilación amortiguada. Trace la gráfica de I = / (t). (e) ¿A qué valor debe incrementarse la resistencia para alcanzar el caso sobreamortiguado?
11
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299
4.4 / Circuitos ,eléctricos
2.
Supóngase que un circuito RLC es cargado por una batería de modo que la carga en el capacitor es qo =10-3 coulomb, en tanto que lo = O. Luego se retira la batería. En cada caso encuentre la carga q(t) en el capacitor y la corriente l(t) en el circuito para t ~ O. [Sugerencia: utilice el PVI (5) con lo = O, E(t) = O, t o = O, qo = 10-3 Yencuentre la corriente. Después use la fórmula (1) para la carga.] (a) L = 0.3 H, (b) L=lH,
(e) L=2.5 H,
www 3.
4.
a
b
5.
R
+r~L d
e
6.
R = 15 Q,
C = 3 X 10-2 F
R=1000Q,
C=4xlO-4 F
R= 500 Q,
C= 10-6 F
Dos capacitores (CI = 10-6 F Y C2 = 2 X 10-6 F) Y un resistor (R = 3 x 10 6 Q) están dispuestos en un circuito como se muestra en la figura. El capacitor C ¡ está cargado al inicio con Eo volts con la polaridad mostrada. El interruptor S está cerrado en el instante t = O.' Determine la corriente que pasa por el capacitor C¡ en función del tiempo. [Sugerencia: aplique la ley de Kirchhoff para el voltaje al circuito de la izquierda, luego al de la derecha. Obsérvese que q¡ (O) = CIEO' q2(0) = -C2EO' donde q¡ y q2 son las cargas respectivas en los capacitores C¡ y C2.] Encuentre la carga q(t) en el capacitor del circuito simple RLC del margen. Supóngase que la carga y la corriente iniciales son cero, R = 20 Q, L = 10 H, C = 0.01 F Y E(t) = 30cos2t volts. Un circuito RLC simple tiene un capacitor con e = 0.25 F, un resistor con R = 7 x 10 4 Q Y un inductor con L = 2.0 H. La carga inicial en el capacitor es cero, lo mismo que la corriente inicial. Si se conecta al circuito un voltaje impreso de 60 volts y se cierra el circuito en t = O, determine la carga en el capacitor para t > O. Estime la carga cuando t = 0.1 s. [Sugerencia: resuelva primero la EDO de la corriente para l(t), luego integre para obtener q(t). Utilice el PVI (5).] (Resonancia.) Considere la EDO (3) para la carga en un circuito RLC (a) Demuestre que si R = O en el circuito RLC simple y el voltaje impreso es de la forma Eo cosOJt, la carga en el capacitor no tendrá límite cuando t ~oo si OJ = 1/-J LC Éste es el fenómeno de resonancia. [Sugerencia: considere la forma de las soluciones particulares.] (b) Demuestre que la carga siempre estará acotada sin importar que OJ se elija, siempre que haya alguna resistencia en el circuito. (Sintonización de un circuito: sensibilidad a la resistencia.) Por medio de la EDO para l(t) del ejemplo 4.4.2 con L = 1 H, C = 1/25 F, R = 1.0,0.1,0.01 Q, estudie gráficamente el efecto de la resistencia en la corriente de salida al sintonizar el circuito a la frecuencia de entrada 5. ¿Qué concluye? Explique por qué. [Sugerencia: considere las fórmulas (10) y (14) de la sección 4.3 .]
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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden
8.
Establezca, pero no resuelva, las EDO para 11,12,13 para el circuito siguiente. L vvv
R¡ ----+-
/¡
+c-
y
----+-
/2
/5
EUl
c:;;¡J
11 9.
c:;;¡J
11 10.
+c_
a
----+-
R¡
b
/31
1/4
R2
Con respecto al ejemplo 4.4.2, sintonice al legendario Grateful Dead variando la resistencia, la inductancia o la capacitancia de un circuito. Considere el caso donde dos estaciones transmiten casi a la misma frecuencia. (Voltajes de encendido y apagado.) En este problema se empezará con el PVI (17) para la carga q(t) en el capacitor del circuito simple mostrado a continuación 1 Lq" + Rq' + - q = E(t),
q'(O) = 10-2,
e
q'(O) =
o
(17)
donde L=20H,
R=80Q,
E
=
50sen2t
y el tiempo se mide en segundos, la carga en coulombs y el voltaje E en volts.
11~~ ':"
r'
R
!', .
11,.,
~l 1,1
, 11,
~r~
L
11,
Utilice un programa de resolución numérica para llevar a cabo cada uno de los procedimientos siguientes.
4.1/
http://carlos2524.jimdo.com/ 4.1 / Leyes de Newton y el péndulo
301
Trace la solución q(t) del PVI (17) Sustituya E por cada una de las funciones (consulte el apéndice B.1) siguientes y grafique la solución q = q(t) del PVI (17). Compare y explique lo que ve. E = 50 oc(t, 50, n) E = 50 ot(t, 50, n) E = 50 occ(t, 50, n) E = 50 paso(t - 10) + 20 paso (30 - t) E = 50 pc(t, 10) E = 50 pt(t, 10) E = 50 poc(t, 10) Realice un estudio de parámetros de los efectos sobre q(t) de variar la resistencia R en el intervalo O ~ R ~ 200. Explique lo que ve.
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Capítulo
5 y ¿Reacción química en una copa? Véase el ejemplo 5.1.5.
Sistemas de ecuaciones diferenciales Los sistemas de ecuaciones diferenciales en 105 que intervienen derivadas de primer orden, pero no de orden superio,", de las variables de estado reciben el nombre de sistemas de primer orden. En este capítulo nos centraremos por completo en tales sistemas, en la teoría que 105 explica yen 105 procesos naturales que se modelan con ellos. Para tal fin emplearemos programas de solución numérica con objeto de observar cómo cambian las soluciones cuando se modifican 105 datos iniciales y 105 coeficientes de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) .
5.1
Sistemas de primer orden Muchos procesos naturales son modelados por sistemas de EDO de primer orden. En esta sección usaremos sistemas diferenciales para modelar una reacción química y las vibraciones de resortes y masas acoplados. Comencemos por repasar cómo puede convertirse una EDO de n-ésimo orden en un sistema equivalente de n EDO de primer orden.
De una EDO a un sistema Hay una forma de encontrar un sistema de primer orden equivalente a la EDO de n-ésimo orden y (l1 ) = g(t,y, y ' , ... ,y(n- l ) )
(1)
l'
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304
Sistemas de ecuaciones diferenciales
Introduzca las nuevas variables _
X¡ -
y,
X
x"
_'
2
-
y,
X2, . .. , XII X
haciendo que
_"
3
-
y,
...,
_
X _¡ -
n
y (11-2 ) ,
(2)
Derive cada miembro de la ecuación (2) y utilice de nuevo las ecuaciones de (2) para encontrar las primeras n - 1 EDO siguientes. Luego utilice la EDO (1) para obtener la última EDO:
X; = y' = x 2 x; = y" = x3 (3) X;' _ l
= y(n - ¡) = x n
x;, = yen) = g(t,xl'x 2 " " , x,) Las variables de este sistema son X l, X2, . .. , XI/" Por tanto, vemos que si y(t) es solución de la EDO (1), entonces las funciones X l (t), ... , xlI(t) definidas por (2) son solución del sistema (3). Por otro lado, si Xl (t), .. ., x l1 (t) es solución del sistema (3), entonces la función y(t) = x¡(t) es solución de la EDO (1) porque en el sistema (3) se muestra que las relaciones de (2) son válidas y esto indica que y(t) es solución de la EDO (1). El sistema (3) y la EDO (1) son equivalentes porque cada solución de una genera una única solución de la otra por el proceso de nombrar las variables (2). Como casi todos los programas de solución sólo aceptan EDO de primer orden o sistemas de EDO de primer orden, este procedimiento de sustituir la EDO (1) por el sistema (3) es crucial para preparar una EDO de orden superior para propósitos de cálculo. A continuación se da un ejemplo de cómo es el ,proceso.
Ejemplo 5.1.1
De una EDO de segundo orden a un sistema Convirtamos la EDO de segundo orden y" + 2/ + 3y - y3 = sen t
(4)
en un sistema equivalente de EDO de primer orden siguiendo estos pasos: 1. Escriba de nuevo la EDO (4) colocando la derivada de orden mayor en el miembro
izquierdo. y" =
-2/- 3y + y3 + sen t
(5)
2. Introduzca las nuevas variables de estado.
(6)
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305
5. 7 / Sistemas de primer orden
3. Derive cada una de las nuevas variables.
x; = y',
x~ =
y"
(7)
4. En (7) sustituya y" por la expresión en (5):
x; = y', s.
x~ = -2y' -3y+ y3 +sen t
Utilice (6) para sustituir y por XI y y' por X2.
x; = x
2
x; = -2x
2 -
3x I +
xi + sen t
(8)
Por tanto, el sistema (8) es equivalente a la EDO (4). Este proceso puede extenderse a una EDO de cualquier orden, pero es necesario aislar la derivada de mayor orden como en el paso (5). Además de lograr que los programas acepten las EDO, los sistemas son importantes porque muchos procesos naturales se modelan con sistemas de EDO. Veamos un proceso físico que puede modelarse con un sistema de primer orden de EDO en cuatro variables de estado.
Ejemplo 5.1.2
Modelación del movimiento de resortes y masas acoplados Fije un sistema de masas y resortes acoplados a la pared y permita que las masas se deslicen en vaivén sobre una mesa lisa. En el equilibrio, los resortes nunca están estirados o comprimidos. Midamos los desplazamientos respectivos de las masas desde sus posiciones de equilibrio x y y con la dirección positiva indicada por las flechas. Supóngase que la resistencia del aire y la fricción por el deslizamiento son insignificantes, de modo que las únicas fuerzas que actúan sobre cada masa son la gravedad, la fuerza vertical de la mesa y las fuerzas de los resortes. La gravedad y la fuerza de la mesa son iguales y de sentido opuesto, así que pueden despreciarse. Digamos que la fuerza de cada resorte es proporcional a su desplazamiento desde su longitud sin estiramiento ni compresión (ley de Hooke) y actúa en una dirección que restauraría el resorte a su longitud de equilibrio. En particular, si los desplazamientos de las masas son x y y, entonces la fuerza del resorte que actúa sobre el cuerpo de masa 1112 es -k2(y - x), donde k2 es la constante positiva de la ley de Hooke para el resorte. Para comprobar que sea correcto el signo algebraico de la fuerza del resorte, obsérvese que si y > x entonces el segundo resorte está comprimido y la fuerza del resorte actúa para descomprimirlo. Por consiguiente, en este caso la fuerza del resorte sobre 1112 debe estar dirigida a la derecha y debe ?er negativa, lo cual se cumple. Por otro lado, se ve que el resorte que une las dos masas ejerce una fuerza k2 (y - x) sobre 1111 igual y de signo contrario a la fuerza que ejerce sobre 1112 [por la tercera ley de Newton (sección 4.1)] . Además, la ley de Hooke indica que la masa 1111 está sujeta también a la fuerza del resorte - k¡x.
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Sistemas de ecuaciones diferencia les
Si se aplica la segunda ley de Newton a cada masa se obtiene un par de EDO acopladas de segundo orden. m 1x" == - k¡x + k 2(y - x ) == -(k 1 +k2 )x + k 2y
(9)
m 2y " == -k2(y - x) == k 2x + k 2y Sin embargo, necesitamos un sistema de EDO de primer orden, así que dividamos las masas e introduzcamos las cuatro variables de estado
Entonces es posible sustituir el sistema (9) por el sistema equivalente de primer orden x~ ==
x' == x 2
x' == x" == 2
(
-k¡ +k2) -- x
m
x; == y' == x
1
¡
+ _k 2 m
1
X
3
( 10)
4
x ' == y" 4
-
k
_2 X
m2
1
k + _2 X m 3 2
y con esto terminamos. Introduzcamos algunos térmi nos y notación para los sistemas .
Estados, sistemas y soluciones El modelo matemático del ejemplo 5.1 .2 es un sistema que contiene cuatro EDO en cuatro variables de estado. Los procesos naturales más complejos podrían dar lugar a más variables de este tipo y EDO más complicadas. Es posible modelar una asombrosa variedad de procesos por medio de sistemas de primer orden de EDO que tienen la forma normal x ~ ==
.t; (t, xl' x 2' ·.. , x n )
x~ == f 2(t,xl'x 2 , .. .,x,)
(11)
en las variables de estado x], ... , X n y la variable independiente t, que representa el tiempo. Las derivadas son con respecto al tiempo y se supone que las funciones de tasa de cambio J¡ son funciones conocidas de tiempo y estado. Pueden darse condiciones iniciales a cada una de las variables de estado, así que tenemos el problema de valor inicial (PVI)
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307
5.1 / Sistemas de primer orden
R(t)
y
x
x; = J;(t,X¡,X 2 , . .. ,Xn )
X¡ (tO) = a¡
X~
x 2 (t0) = a 2
= f 2 (t, xl'X 2 , ... ,X,,)
(12)
donde a¡, . . . , a n son constantes dadas. Un conjunto de funciones x¡(t), .. . , xnCt) definidas en un intervalo 1 de t que contiene a to que satisface las ecuaciones del PVI (12) para toda t en 1 se llama solución del PVI (12). Se supone que 1 es el intervalo más grande en el que está definida la solución x(t); por tanto, la solución está extendida al máximo. El espacio Iftn de las variables de estado (Xl, .. . , Xn) se denomina espacio de estados. La curva de puntos (t, x¡(t), ... , xn(t)) en 1ft" + ¡ es una curva tiempo-estado. A veces es más útil usar una notación compacta para el sistema diferencial en (11) y el PVI en (12). Veamos cómo llevar esto a cabo primero en tres dimensiones. Al elegir tres vectores unitarios mutuamente ortogonales i, j Y k se observa que cada punto puede localizarse por su vector de posición R = xi + yj + zk para números apropiados x, y y z, las coordenadas del punto. Si las coordenadas son funciones de t, se observa que la derivada de R(t), denotada por R'(t), está dada por R'(t) = x'(t)i + y'(t)j + z'(t)k. Resulta poco eficaz seguir escribiendo los vectores en términos de i, j Y k; mejor escribámoslos como un arreglo en columna con las coordenadas en orden descendente. Por ejemplo, x(t) ] R(t) = y(t) [ z(t)
y
X'(t) ] R'(t) = y'(t) [ z'(t)
Obsérvese que R(t) y R'(t) no se escriben con el atributo de negritas cuando se utilizan para denotar los vectores columna coordenados. Estos vectores columna constituyen una manera alternativa de escribir los vectores usando coordenadas. Usaremos este método para escribir el sistema (11) y el PVI (12) en forma abreviada. Adaptemos la explicación anterior a n variables de estado y denotemos el vector de estado x, el vector de estado inicial x O(el superíndice O sirve para recordar que éste es el valor del vector de estado en to) y la función vectorial de tasa de cambio fpor los vectores columna
x=[U Nótese que estos vectores columna se denotan con los símbolos x, x O y f Ahora cuando el vector de estado X varía en forma diferenciable con el tiempo, se observa que puede usarse la notación del vector columna Xl
x(t) =
(t) ] :
[
xn(t)
,
x'(t) =
[
X~(t)] :
x~(t)
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308
Sistemas de ecuaciones diferenciales
El sistema (11 ) y el PVI (12) pueden escribirse entonces en las formas co mpactas x' = f(t , x);
x' = f(t , x),
x(to ) = xO
Emp learemos esta notación para sistem as generales, pero con los específicos por lo general se escri birá cada una de las EDO componentes, Introduzcamo un tipo de sistemas sumamente utilizados para mode lar procesos naturales,
Sistemas lineales Las EDO tienen propiedades especiales y usos que les confie ren un lugar especial en la teoría y las apli caciones: Pues bi en, los sistemas lineales de EDO tienen la mi sma importancia, A continuación se describe cómo se definen: ~
Estos sistemas a menudo rec iben el nombre de si,I'lell/as line(/Ies ,
.:. Sistema diferenciallineaI. Un sistell1a dife rencia! lin ea! en fo rllla norma! es (13) x;, = a" lx¡
+' " + a""x,,) + F"
donde los coeficientes aij y los términos de entrada (o de forzamiento) F¡" , " FII son constantes o func iones de t (pero no de X¡" , " x,,), Esta notac ión puede ilustrarse con el sistema acoplado resorte- masa del ejempl o 5, l ,2 ,
Ejemplo 5.1.3
Notación de sistema lineal para resortes y masas acoplados Tomemos el sistema (10) para un par de resortes y masas acoplados, asignemos algunas condiciones ini ciales, por ejempl o, x¡(O) = L, X2(0) = O, X3(0) = 2 Y X4(0) = O, Y escri bamos todo en La forma vectorial: x ' = f(t,x),
x(O) = x O
donde
x(O)=xO
=l~1
(14)
El sistema de EDO en (14) es un sistema lineal homogéneo porque ti ene la form a (13) con F¡ ='" = F" = O,
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309
5.1 / 5istemas de primer orden
= 1,
(1) : x¡(O)
xiO)
.,
,", ,," ,,,
= O,
x¡(O)
,
"
= 2,
,',
,
o
o
,
,
o
x 4 (0)
=O
," ,
,
a '" Q)
"o
'ü
"t;; - 1
~
I
,1
¡Vo
I
\
\
l'
\
I I
J I
1 \
r
I
I
\ 1\ \
\ I
-2
\
2.5
5.0
= - 2,
xiO)
" ""
00 o
, ,
o
o o
,,
=O
,,,', " "
(, o"
Q)
:~
I
,, ,, ,,
I
I
1
\11I
¡l.;
\ I
1 I
\ ~~
11
7.5
- 1
o
o
I 11
x¡(O)
"o
i
\ I J
\ ~,~
o.
o
l , t
I I
¡l.;
= O,
" " "o
o
~
:\ 1:
xiO)
'"
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o
~
= l,
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r~L\·¡:I\ r\!
'"ro '"ro
(2): x¡(O) /, ,/,,
," :
:' ,,
o
:
o
¡ o.o
¡ 2.5
¡ 5. 0
t (s)
Figura 5.1.1 Oscilaciones periódicas en fase del sistema acoplado resorte-masa (ejemplo 5.1A): masa m¡ (curva continua), masa m2 (curva discontinua).
Figura 5.1.2 Oscilaciones periódicas fuera de fase del sistema acoplado resorte-masa (~jemplo 5.1A): masa mi (curva continua), masa m2 (curva discontinua).
En el capítulo 7 veremos muchos sistemas lineales; por ahora volvamos a la geometría de las soluciones de sistemas, lineales y no lineales.
Espacio de estados, órbitas, curvas tiempo-estado, curvas componentes Una solución de un sistema de EDO de primer orden determina varias curvas cuyo comportamiento destaca varias propiedades de la solución . 1& Vimos por primera vez algunos de estos términos en las secc iones 1.7 y 3.2.
•:. Órbitas, curvas tiempo-estado, espacio de estados, curvas componentes. Supóngase que x = x(t) es una solución del sistema x' =Jet, x), en un intervalo 1 de t. El punto x(t) traza una órbita (o trayec/oria ) en el espacio de estados (o jase ) de las variables Xlo ... , Xw Un conjunto de órbitas es un retrato . El punto (t, x(t)) traza una curva tiempo-estado en el espacio de tiempo-estado de las variables t, XI , X2, ... , XII' La proyección de una curva tiempo-estado sobre el plano tXj es la curva componente Xj. Ilustraremos algunos de estos conceptos mediante un programa de solución numérica para trazar las gráficas asociadas con el sistema acoplado resorte-masa.
Ejemplo 5.1.4
Resortes oscilantes ¿Qué sucede si se comprimen los resortes del ejemplo 5.1.2 al empujar la primera masa un pie a la izquierda [x ¡(ü) = 1] Y la segunda dos pies a la izquierda [X3(Ü) = 2] Y luego se
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
11 1
1: I
~
E:
2,
I
(3): x,(O)
= ..ff/2,
xz{O)
= 0,
x3(0)
= 0,
=
xiO)
°
s.l/sist,
2.5
~ '"
(2)
GJ
8 ro
(1)
1. 5
'""'
8
'"¡)l
-g'"
"'E
0.5
6b '" GJ
~"' -0.5 "O
~
" -'.5 :g u
"
-2
-I--__ 0.0
+-- __
~,~----+--
2.5
5.0
7.5
~,-------< '0.0
'2.5
~ -2
511---'.5
'5.0
t (s)
4 slugs,
= O Y X4(0) = O]?
m2 =
1 slug,
I
3
l~ •
10
+-x3'
3
__
'.0
~,
'.5
de la primera masa (pies)
1& En presenta! comportt
Supóngase que
k, = 40 slugs/s,
2
40 k2 = 3slug/s
2
40 3
x2(0) = O
(15)
x3(0) = 2
x~ = x4' x~ = -xI
r .
•....•... ,
XI(O) = 1
40
x2 =--xI
, l.
xI
.••• , __
0.5
Por el sistema (10) se observa que el PVI modelado con estas condiciones iniciales es x; = x2,
,,
__
0.0
Figura 5.1.4 Oscilaciones periódicas en fase a lo largo de la línea (1), fuera de fase a lo largo de (2), a lo largo de la curva de Lissajous no periódica (3) (ejemplo 5.1.4).
les libera desde el reposo [X2(0) mi =
--~
-0.5
Posición
Figura 5.1.3 Ambas masas oscilan, pero no periódicamente (ejemplo 5.1.4): masa mI (curva continua), masa m2 (curva discontinua).
1& En el apéndice B.6 se definen los slugs y otras unidades.
+-,
-'.0
40
--x3'
3
x4(0) = O
Utilicemos un programa de solución numérica y tracemos las curvas componentes tXI y tX3 en un intervalo de 15 segundos. Las masas oscilan en forma periódica (y en fase) respecto a sus posiciones de equilibrio (figura 5.1.1). Repita el proceso pero empuje la primera masa un pie a la izquierda y la segunda masa dos pies a la derecha del equilibrio [por tanto XI(O) = 1 y X3(0) = -2] Y libérelas desde el reposo. Ahora se ven oscilaciones periódicas fuera de fase (figura 5.1.2), y la frecuencia es mayor. Por último, mueva la primera masa -J3 /2 pies a la izquierda [XI(O) = -J3 /2] pero mantenga la segunda en su posición de equilibrio [X3(0) = O]. En la figura 5.1.3 se muestran las oscilaciones no periódicas de las dos masas. En la figura 5.1.4 se observan las posiciones de las dos masas una con respecto a otra. Los segmentos de recta [(1) y (2)] corresponden a las dos oscilaciones periódicas de las
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311
5.7 / Sistemas de primer orden
figuras 5.1.1 Y 5.1.2. El movimiento no periódico de la figura 5.1.3 da lugar a una curva errante [véase (3)] por un paralelogramo. A ésta se le llama curva de Lissajous. Modelemos ahora un proceso de un tipo muy distinto. Una reacción química es un proceso en el que varias especies se combinan, interactúan y recombinan para formar otras especies. Un reactor químico es un recipiente en que se lleva a cabo la reacción. A los químicos les interesa saber cómo evolucionan con el tiempo las concentraciones de las especies, y para este propósito los modelos matemáticos funcionan mejor que los estudios empíricos.
Oscilaciones extrañas en un reactor químico
u::w En la sección 1.8 se presentaron los modelos comportamentales.
Supóngase que un reactivo se transforma en una reacción química en especies intermedias y éstas en un producto final. Es posible adaptar el concepto de modelo comportamental y la ley de equilibrio para modelar este proceso. Las letras mayúsculas sirven para indicar las distintas especies y las minúsculas para las concentraciones correspondientes. En la reacción representada a continuación, el compuesto W se convierte en el intermediario X, W --7 X, con una tasa de aw. Conforme avanza la reacción, X se convierte en y, X --7 Y, con una tasa bx, y Y se convierte en el producto final Z, Y --7 Z, con una tasa ey. Por tanto, utilicemos un modelo comportamental para describir estas reacciones y escribamos la tasa de cada reacción sobre las flechas.
En virtud de que la tasa de transformación de cada compuesto en otro es proporcional a su concentración, las reacciones son de primer orden, de modo que se obtiene un conjunto de cuatro ecuaciones lineales de tasa de cambio en las concentraciones:
uf
= -aw,
x' = aw- bx,
y'
= bx -
ey,
z' = ey
(16)
Obsérvese que el sistema lineal (16) es una cascada lineal que puede resolverse de arriba abajo. En particular, es posible empezar con una concentración Wo de cada reactivo y obtener w(t) = woe- at . Al sustituir w por esta expresión en la ecuación lineal de tasa de cambio para x y hacer que x(O) = O, por ejemplo, podría resolverse la segunda EDO de (16) para x(t), y así sucesivamente, paso por paso. En el margen se muestran las curvas características para x(t) y y(t): estas concentraciones intermedias alcanzan valores máximos y luego disminuyen de forma exponencial. En fechas recientes han llamado mucho la atención una clase particular de reacciones no lineales denominadas reacciones autoeatalítieas.i En una reacción de este tipo, una especie
¡En 1951, el químico ruso Boris Pavlovich Belousov (1894-1970) descubrió una reacción química específica cuyo comportamiento era como el del autocatalizador, pero nadie le creyó y fue ignorado su trabajo. En contra de su voluntad abandonó su investigación; años
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Sistemas de ecuaciones diferencia les
química promueve su propia producción. En seguida se ofrece un ejemplo: dos unidades de y reaccionan con una unidad de X para producir tres unidades de Y, una ganancia neta de una unidad de Y. En una reacción autocatalítica, la tasa de transformación de una especie química en otra no sigue una ley de tasa de cambio de primer orden. A fin de modelar las reacciones que no pudieran ser de primer orden es necesario introducir un principio de modelación más general denominado ley química de acción de masas. Ley química de acción de masas. Si n moléculas de reactivo XI,.'.' XI1 reaccionan para producir m moléculas de producto PI , ... , P m en una etapa de una reacción, entonces la tasa de disminución de la concentración de cada reactivo y la tasa de aumento de la concentración de cada producto es proporcional al producto de las concentraciones de los n reactivos. Ésta es la ley química de acción de masas . No es necesario que las moléculas de reactivo y producto sean distintas.
1&
Apliquemos este nuevo principio a la reacción modelada por el sistema (16), pero con el paso de reacción X ~ Y aumentado por un paso autocatalítico X + 2Y ~ 3Y. Por la ley de química de acción de masas la tasa de disminución de X en el paso autocatalítico es axy2 (a es una tasa constante positiva), en tanto que la tasa de aumento de Yes 3axy2 - 2axy2 = axy2 . Estas tasas se muestran en el modelo comportamental aumentado
G
bx
aw
-0 2:0 ax
y
ey
-0
Si empezamos con una concentración inicial positiva de W y las concentraciones iniciales cero para las cuatro especies, se tiene el problema de valor inicial no lineal: w
,
= -aUJ,
w(O) = wo
x' = aw- bx _ axy2,
x(O) = O
y' = bx - ey + axy2,
y(O)
z' = ey,
z(O) = O
(17)
=O
más tarde se reconoció la importancia de su trabajo. Belousov tuvo una vida azarosa; empezó como joven revolucionario en la Rusia zarista. Después de la Revolución de 1917, se unió al ejército soviético y ascendió al rango de comandante de brigada . Fue sólo después de su retiro del ejército que empezó su carrera de investigador en química. Una década después de su muerte su trabajo se hizo merecedor al más alto premio de la era soviética otorgado a los civiles. Para más detalles acerca de la química y las matemáticas de estas reacciones, véase P. Gray y s. K. Scott, Chem ical Osc ill ations and Instabilities (Clarendon Press, Oxford, 1990) y S. K. Scott, Chemica l Chaos (Clarendon Press, Oxford, 1991).
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ciales
5.1 / Sistemas
es de
x'
= e-O·002/
y' =
una
313
de primer orden
2.5
-
0.08x- y
0.08x - xy2, x(O) + y(O) =
.,y,
o
=o
x'
y'
= e-0.002/_ 0.08x-xy2, x(O) = o = O.OSx - y + xy2, y(O) = o
2.0
2.0
otra
1 5 K
o
1.
ge-
1.5
0.5 0.0 600
".
1000
800
1.O
ara la
nlos
2.0
1.5
'"
o
o
1.
5
0.5 0.0
0.0
L~~===:;::::::;:::~::=:=====~
0.0
pero . Por talí-
Figura 5.1.5 Las oscilaciones autocatalíticas de las concentraciones se activan y luego se des activan [PVI (19)].
1.O
0.5
1 .5
2.0
2.5
x
Figura 5.1.6 Órbita de la interacción autocatalítica entre los intermediarios [PVI (19)].
Yes
do
Supóngase que el tiempo y las concentraciones han sido modificadas a cantidades adimensionales y que los valores de Wo y de las tasas constantes y a están dadas por
Wo = 500,
a
= 0.002,
b
= 0.08,
e
= 1, a = 1
(18)
Introduzcamos ahora estas ecuaciones de tasa de cambio y los datos iniciales en un programa de solución numérica y veamos qué resulta. Trazaremos las curvas componente x y y. En la figura 5.1.5 se ilustran las oscilaciones inusuales o inesperadas en las concentraciones en los intermediarios. Estas oscilaciones se generan internamente y no se deben a oscilaciones en los factores externos, como temperatura o presión. Obsérvese que tras algunas variaciones iniciales las concentraciones se comportan casi de manera normal hasta alrededor de t = 170 cuando empiezan las oscilaciones violentas en las concentraciones. Las oscilaciones se detienen cerca de t = 600 Y las concentraciones de los intermediarios declinan en forma gradual. En el siguiente ejemplo se tratará parte del modelo autocatalítico como un sistema aislado de dos EDO.
uu-
(17)
,) pe-
unió e su s de do a
Ejemplo 5.1.5
,1
Se sabe por (18) y el primer PVI en (17) que w(t)
= woe-00021 = 500e-00021, por lo que la
segunda y tercera ecuaciones de tasa de cambio en el PVI (17) se convierten en
véa-
990)
"1
Autocatalizador bidimensional
x'
= 0.002w-
y'
= 0.08x
0.08x - xy2
- y + xi,
= e-O·0021-
0.08x _ xy2,
x(O) y(O)
=o =o
(19)
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314
Sistemas de ecuaciones diferenciales
Es posible tratar el PVI (19) numéricamente, yeso es justo lo que haremos. En la figura 5.1.5 se ilustran las curvas componentes y en la 5.1.6 la órbita correspondiente en el plano xy. Nótese la apariencia de la órbita cuando sale de la maraña de las oscilaciones y empieza a volver a x = O, Y = O a medida que la reacción se aproxima a su fin. Por último, en la figura 5.1.7 se muestra la curva tiempo-estado para 7::; t::; 700. La figura de la copa del principio del capítulo es parte de esta figura limitada al intervalo de tiempo 7::; t::; 377. Estudiaremos este sistema no lineal en el ejemplo 5.2.1 yen el problema 6, sección 9.3. En la figura 5.1.7 yen la del principio del capítulo se muestra que al elegir de manera apropiada los intervalos para las variables pueden crearse gráficas curiosas e inusuales que, por decirlo así, cuentan una historia. Este aspecto de la representación de gráficas científicas y matemáticas es de suma importancia, ya que sobre todo se precisa que las gráficas den información del comportamiento de las soluciones. Si la representación gráfica es mala, entonces no surgirá la información.
Comentarios Nuestro propósito ha sido introducir sistemas de primer orden de EDO, las gráficas que generan y algunos de los numerosos procesos que pueden modelarse con estos sistemas, cuya teoría básica describiremos en la siguiente sección.
x' = e-O·002 / - 0.08x - xy2, x(O) = O y' = 0.08x - y + xy2, y(O) = O 400 300 200 100
o. o.--o:s-----;--:O---~----..t 0. 5 ./ . o 1. S 2 .CT" y
Figura 5.1.7 Curva tiempo-estado para el PVI (19).
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5.1 / Sistemas de primer orden
cia/es
Problemas gura plaem-
www 1.
_
(De EDO escalares a sistemas.) Resuelva cada EDO lineal; un sistema equivalente de EDO de primer orden. Para cada sistemas de EDO lineales de primer orden encuentre una sola suélvala y luego utilice estas soluciones para construir todas (a) y" - 4y
=O
(b) y" + 9y
+ Sy' + 4y = O
(e) y"
(e) x{=x2,
(d) xi
= x2,
construya y resuelva uno de los siguientes EDO equivalente, relas del sistema.
=O x~
= -2x¡
- 2x2
(O y"'+6y"+l1y'+6y=0
x~=-16x¡
(Resortes regidos por la ley de Hooke.) El sistema x' = y, y' = -bx - ay + A cos 0Jt es equivalente a la EDO escalar x" = ax' + bx = A cos OJt que modela el movimiento de un cuerpo en un resorte amortiguado y forzado regido por la ley de Hooke. En cada caso, encuentre en forma explícita x(t) y y(t). Luego utilice un paquete de graficación o un programa para resolver numéricamente EDO y trace las graficas componentes x y y, las órbitas y la curva tiempo-estado. Interprete lo que observa en términos del comportamiento del resorte. (a) x'=y,
y'
(b) x'=y,
y'
,
3.
(e) x =y,
y'
(d) x' = y,
y'
(Cascadas.) En los sistemas de cascada lineales (sección 1.8) puede resolverse una EDO a la vez. Encuentre las soluciones explícitas de los PVI en cascada siguientes. Obtenga el valor límite de cada una de las variables de estado cuando t -7 + oo. (a) x{
= -3x¡,
(b) x{=-x¡, (e) x{=-2x¡,
1 l
= -x - y; x(O) = 1, y(O) = O; O S t s 15 = -x - 3y; x(O) = 1, y(O)FO; O s t S 10 = -2Sx + cosSt; x(O) = O, y(O) = O; O S t S 10 = -2Sx + cos(S.St); x(O) = O, y(O) = O; O S t S 30
x~
= Xl'
X3 = -2x¡;
x~=x¡-3X2; x~ =-3x2'
x¡(O) = 10, x2(0)
x¡(O) = 10, x2(0)=20; x3 =2x¡ +3x2;
x¡(O)=l,
= x3(0) = O;
OS t S 10 ,j
o s- s s x2(0)=2,
x3(0)=0;
Osts5
(Resortes acoplados.) Las constantes de los resortes k¡ y k2 Y las masas m¡ y m2 de un sistema de resortes acoplados tienen valores tales que k-frn, + k2/m¡ = 1, k-fm, = a, k2/m2 = 1, donde la magnitud de la constante positiva a es m-fm l- Para estos valores, el sistema (10) se convierte en x¡ = x2' x~ = -xl + ax3, X3 = x4' x~ = x¡ - x3. Para cada uno de los valores de a dados a continuación, trace • Las gráficas de los componentes tx¡ y tX3 para los datos iniciales (.Ja, O, 1, O). • Las gráficas de los componentes tx¡ y tX3para los datos iniciales (-.Ja, O, 1, O). • Las proyecciones sobre el espacio X¡X3X2de la órbita con los datos iniciales (2.Ja, O, O, O). • Las gráficas X¡X3para los datos iniciales (±.Ja, O, 1, O) Y (2.Ja, O, O, O).
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316
Sistemas de ecuaciones diferenciales
Utilice O ~ t los resortes. (a)
a
=
0.05
~
25 e interprete lo que observa en términos del comportamiento de (b)
a
= 0.5
(e)
a
=
0.95
(Órbitas de sistemas autónomos.) Obtenga las fórmulas para las órbitas al resolver dx2/dx¡ = 12/f); tenga cuidado de no perder las órbitas para las que!) = O. Trace algunas órbitas en el rectángulo Ix)1 ~ 10, IX21~ 10.
6.
(a) xí = x) ,
xí = -3 x 2
(e)Xí=X2,
x
[Sugerencia: Véase el ejemplo 1.9.1.]
xí= -e - ,
(Resolución de un sistema lineal.) Las soluciones de la EDO escalar x' = ax tienen la forma G x = xoe ' • Esto indica que las soluciones del sistema x) = ax) + bX2 ' xí = cx) + dX2' donde a, b, c y d son constantes, podría tener la forma X¡ = ae r, + [3é', X2 = rer, + Des" donde r, s, a, [3, r y (5 deben determinarse al insertar x) y X2 en el sistema diferencial e igualar los coeficientes de las exponenciales semejantes. Con esta técnica resuelva los siguientes sistemas.
7. (Ecuaciones químicas de tasa de cambio.) Dados los diagramas siguientes para las etapas de la reacción química, escriba las EDO para las concentraciones. Las cantidades k], k2 , k son tasas constantes positivas. [Sugerencia: La ecuación de tasa de cambio para X en el inciso (a) es x' = -k) xy.] (a) X+Y~Z~W
~ _ 9.
~ _ 10.
(b) X+2Y~Z
(e) X+2Y~6Y + W
(El autocatalizador.) La órbita del autocatalizador bidimensional de la figura 5.l.5 es la proyección de la órbita del PVI (17) en el plano xy. Los siguientes problemas amplían el PVI (17) al variar la concentración inicial w(O) del reactivo w. (a) Resuelva el PVI (17) después de f~ar w(O) = 50, luego 100. ¿Qué características inusuales observa en las gráficas de los componentes x y y en comparación con lo que se observa en la figura 5.l.5? (b) Halle el valor mínimo de w(O) para el que es posible ver las oscilaciones en las gráficas componentes. (e) Trace gráficas como la figura 5.1.7 para meO) = 50, 250, 500, 800. Explique qué observa. (Una reacción química.) Describa el comportamiento de las soluciones del sistema (17) para varios valores de las constantes de tasa de cambio y de w (O). Supóngase que x(O) = y(O) = z(O) = O. (Autocatalizador bidimensional, activación y desactivación de oscilaciones.) Considere las ecuaciones de tasa de cambio para x y y en el PVI (17) con los cuatro parámetros a = 0.002, b = 0.08, c = 1, a = 1 Y con w(t) sustituida por 500e- a ,. Tal vez sea posible activar y desactivar las oscilaciones x y y al cambiar alguno de los cuatro parámetros. Éste es el objetivo del proyecto: cambiar un parámetro arriba o abajo del valor dado hasta que desaparezcan las oscilaciones de las concentraciones de los intermediarios X y Y. Explique entonces por qué cree que eso sucede. No olvide los siguientes puntos.
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31 7
5.2/ Propiedades de los sistemas
Reproduzca las figuras 5.1.5, 5.1.6, 5.1.7. Si con su programa de resolución numérica es posible trazar gráficas tridimensionales, reproduzca la copa de la primera página del capítulo. ¿Qué sucede si traza la curva solución para O::; t::; 2000 en vez de la curva truncada de la copa, 6.5::; t::; 377? Primero varíe el coeficiente b de 0.08 a 0.14, manteniendo fijos lo demás parámetros. ¿Qué sucede? ¿Alguna explicación? Varíe los coeficientes a desde 0.002 y c desde 1, pero mantenga fijos los otros parámetros en los valores dados. ¿Puede detener las oscilaciones de los intermediarios?
5.2
Propiedades de los sistemas La forma normal de un PVI para un sistema diferencial de primer orden es x' = f(t,x),
x(to)=xo
(1)
donde x, fy xO son n-vectores. El vector x es la variable de estado, el vector f es lafunción de tasa de cambio y el vector xO es el estado inicial en el instante tooEn ocasiones es posible encontrar las fórmulas para las soluciones, pero para un sistema que modela un proceso natural complejo esto pocas veces resulta cierto. Así, el interés de este capítulo se centra en las propiedades de las soluciones, no en las fórmulas. Antes de proseguir convengamos en cierta terminología. Una caja es un nombre genérico, en cualquier número de dimensiones, para lo que en una dimensión es un intervalo y en dos dimensiones es un rectángulo. Las cajas pueden extenderse al infinito (p. ej., el primer octante en el espacio tX¡x2 es una caja que llega al infinito). Las cajas siempre incluyen los puntos en sus límites, es decir, son cerradas. El resultado fundamental siguiente garantiza que en condiciones no muy restrictivas sobre la función de tasa de cambio f, el PVI (1) tiene exactamente una solución extendida al máximo y ésta es una función continua de los datos (por datos se entiende xO y 1).
Teorema 5.2.1
Teorema fundamental para sistemas. Considere el PVI x' = f(t , x), x(to) = xO
1;
Espacio x
donde todas las funciones!; y f1fi/dxj son continuas en una caja B en el espacio tx de dimensión (n + 1), Y (to, xo) es un punto interior de B. Existencia. El PVI tiene una solución en un intervalo de t que contiene ato. Unicidad. El PVI tiene a lo sumo una solución en cualquier intervalo de t que contiene ato. Extensión. La solución puede extenderse a un intervalo máximo de t para el que la curva tiempo-estado yace en B y se extiende al límite de B cuando t tiende a cada punto extremo del intervalo. Continuidad/sensibilidad. La solución es continua en los datos xO y f
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318
Sistemas de ecuaciones diferenciales
En lo subsiguiente, sólo consideraremos los sistemas para los que se aplica el teorema fundamental 5.2.1. Para evitar ambigüedades, supóngase siempre que la solución del PVI (1) y la curva tiempo-estado correspondiente se extienden al máximo. Una curva extendida al máximo no puede desaparecer dentro de B. La curva debe cruzar B de un extremo a otro, lo que significa que es posible que la curva escape al infinito si B se extiende al infinito. El teorema fundamental 5.2.1 comprende los teoremas fundamentales 2.3.3 y 3.2.1 como casos especiales. El sistema bidimensional para los intermediarios químicos en una reacción autocatalítica (presentada en la primera sección) ilustra el teorema fundamental.
Ejemplo 5.2.1 ~
Véase el ejemplo
5.1.5.
Soluciones que se extienden al infinito
El PVI que modela el cambio en las concentraciones de A y B de los intermediarios x' = fi (t, x, y) = e-0 0021 - 0.08x - xi, x(O) = O Y'=f2(t, x, y)=0.08x-y + xi,
(2)
y(O) = o
tiene las funciones de tasa de cambio f¡ y 12, continuas para toda t, x y y. Además, las distintas derivadas parciales de primer orden con respecto a x y y
~
Esto no sig nifica que las so luciones estén definidas en - ~ < t < ~. Algunas soluciones podrían escapar al infinito en un tiempo finito
af¡ / ax = - 0.08 - i ,
afi / ay = -2xy
af2 / ax = 0.08 + i ,
af2 / ay = -1 + 2xy
son continuas para toda t, x y y . Esto significa que la curva solución extendida al máximo del PVI (2) atraviesa el espacio txy hacia atrás y hacia adelante en relación con el tiempo. La interpretación del sistema en (2) como modelo para las concentraciones x y y de las especies intermediarias en una reacción autocatalítica carece de validez si t es negativa o si x y y son demasiado grandes. Ningún modelo de autocatalización es válido en todo el espacio tiempo-estado. En el resto del capítulo sólo consideraremos sistemas cuyas funciones de tasa de cambio no dependen explícitamente del tiempo. Esto permite usar técnicas especiales que ofrecen información valiosa acerca del comportamiento de la solución.
Sistemas autónomos, puntos de equilibrio, ciclos 1:
Consideremos el PVI autónomo (es decir, la función de tasa de cambio f no depende de t) x' = f(x),
x(to)
= xO
(3)
donde las condiciones del teorema fundamental 5.2.1 se cumplen en una caja B del espacio tx. Debido a que f no depende de t, podría considerarse una caja S en el espacio x en lugar de la caja B. Puede pensarse que S es una proyección de B en el espacio x a lo largo del eje t. Supóngase que xO está en S y que fo es cualquier número real. Las cuatro conclusiones del
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5.2/ Propiedades de los sistemas
~
Estas propiedades se satisíicieron al considerar las EDO en la sección 2.2 y en sistemas generados por EDO autónomas de segundo orden en el capítulo 3.
Teorema 5.2.2
teorema fundamental 5.2.1 podrían interpretarse ahora en términos de S en lugar de B. Por ejemplo, si la caja S está acotada, entonces la órbita de la única curva solución extendida al máximo del PVI (3) alcanza la frontera de S en algún tiempo finito posterior al tiempo inicial to, o bien, la órbita permanece en S cuando t -7 +00. Hay un resultado similar cuando t disminuye desde too Esto significa que algunas órbitas pueden permanecer estrictamente dentro de S incluso cuando t -7 + 00 o cuando t -7 -oo. Con esto se amplía el proceso descrito en la sección 2.2 para proyectar las curvas solución de una EDO autónoma en una variable de estado sobre una línea de estado. Las soluciones de los sistemas autónomos tienen algunas propiedades notables. Primero, supóngase que x = x(t), a < t < b, es una solución del sistema autónomo, x' = ¡(x). Entonces, para cualquier constante e, la función x = x(t + e), a - e < t < b - e es también una solución, de modo que las dos soluciones determinan exactamente la misma órbita en el espacio de estados porque las dos curvas tiempo-estado tienen la misma proyección sobre el espacio de estado. . A continuación explicaremos por qué órbitas distintas de un sistema autónomo nunca se cruzan. Separación de órbitas. Supóngase que las funciones J¡ y df¡/dXj, i, j = 1, ... , n, son continuas en una caja S en el espacio de estados. Entonces las órbitas en S de dos soluciones extendidas al máximo de x' =¡(x) o coinciden o nunca se cruzan. Para ver por qué esto es cierto, supóngase que las dos órbitas se unen en un punto. Debido a que las funciones de tasa de cambio no dependen del tiempo, se podría reestablecer el reloj de modo que las órbitas estén en el mismo punto al mismo tiempo. Por la propiedad de unicidad para los PVI, las órbitas deben coincidir. Si una solución x(t) permanece constante todo el tiempo es una solución de equilibrio . La curva tiempo-estado correspondiente es una línea recta en el espacio tx paralela al eje t, y la órbita es un punto en el espacio de estados (un punto de equi [íbrío ). Los puntos de equilibrio corresponden a los ceros de la función de tasa de cambio ¡(x). Hay técnicas de computadora para hallar estos ceros, pero casi siempre se determinan por inspección. En seguida se presenta un ejemplo:
Ejemplo 5.2.2
Puntos de equilibrio para un sistema plano
Los puntos de equilibrio para el sistema autónomo plano x' = x - y + x2 - xy y' = _y + x2
(4)
son los puntos (x, 'y) en el plano xy en el que ambas funciones de tasa de cambio son cero: _y+x 2 = O, Y x-y+x 2 -xy=O
(5)
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
La primera ecuación en (5) establece que y gunda ecuación se tiene x - x2
+ x2 -
= X2, y cuando y es sustituida por X2 en la se-
x 3 = O, o x(l- x2) = O
Por tanto, la coordenada x de un punto de equilibrio para el sistema (4) debe ser x = O, x = +1, o bien x = -1. Al usar de nuevo la primera ecuación en (5) se descubren los tres puntos de equilibrio (O, O), (1 , 1), (-1,1). Las soluciones periódicas de un sistema autónomo generan órbitas cerradas en el espacio de estados que se llaman ciclos. Algunas veces es posible hallar por inspección las soluciones periódicas y sus ciclos, otras mediante la construcción real de la fórmulas de solución y otras más con medios teóricos intrincados (como veremos en secciones posteriores). Sin embargo, la única pista de que existe una solución periódica suele encontrarse en la pantalla de la computadora después de usar un programa de solución numérica para graficar las curvas componentes y las órbitas. Los ciclos tienen las siguientes propiedades: • Ninguna órbita puede tocar un ciclo (otra que no sea el mismo ciclo), de nuevo por el teorema 5.2.2 de separación de órbitas. • Una órbita que se corta a sí misma define un ciclo porque en el punto de intersección puede reestablecerse el reloj y generar la misma curva cerrada sobre el mismo intervalo de tiempo. Los ciclos y los puntos de equilibrio desempeñan una labor básica en cómo se comportan las órbitas no de equilibrio en el espacio de estado. Se encargan de dirigir las órbitas cercanas para que tomen una vía u otra. Obsérvese que ninguna otra órbita puede tocar un punto de equilibrio porque esto infringiría el teorema de separación de órbitas. Vayamos al espacio de estado bidimensional de un par de EDO autónomas donde es posible brindar información visual de qué significa esto.
Sistemas autónomos planos, campos de dirección A partir de ahora ea este capítulo consideraremos principalmente sistemas autónomos planos en forma normal:
x' = f(x, y) y' = g(x, y)
(6)
donde las funciones de tasa de cambio escalares de valores realesfy g y sus derivadas parciales de primer orden son continuas en una caja S en el espacio xy. Entonces se sabe que por cada punto (xo, Yo) en S pasa precisamente una órbita extendida al máximo. El espacio de estados del sistema (6) es el plano xy, y una órbita es una curva descrita por el punto extremo del vector de posición
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5.2/ Propiedades de los sistemas
R(t) = x(t)i + y(t)j y
donde x(t), y(t) es una solución del sistema (6), e i, j son los vectores unitarios en las direcciones x y y positivas. Entonces, cuando el punto extremo de R(t) describe la órbita en el tiempo, la velocidad v(t) del punto extremo de R(t) es v(t) = R'(t) = x'(t)i + y'(t)j = f(x, y)i + g(x, y)j
IL'W No debe confundirse el campo de direcciones para las EDO de primer orden con estos . campos de direcciones.
IL'W Una manera discreta de encontrar órbitas, la cual también es útil.
Ejemplo 5.2.3
(7)
Puesto que v(t) es tangente a la órbita, por la ecuación (7) se sabe que no es necesario conocer la trayectoria para hallar v(t) en el punto (xo, Yo) en la trayectoria de "vuelo". Se ve que v en (xo, Yo) es f( xo, yo)i + g( xo, yo)j, Y como es irrelevante el instante t en el que la partícula llega a (xo, Yo), podría considerarse v como una función de x y y, no de t. La longitud Ilv ll de v da la velocidad de la partícula cuando recorre una órbita. Otro dispositivo para entender el comportamit(nto orbital es el campo de direcciones: coloque una retícula en el rectángulo a:S; x:S; b, c:S; y:S; d donde desea estudiar las órbitas. Luego trace un segmento de recta centrado en cada punto (x, y) de la retícula donde la proyección del segmento sobre el eje x tiene longitud If(x, y) 1 y la proyección del eje Y tiene longitud Ig(x, y)l . En seguida modifique los segmentos de modo que no se crucen dos segmentos. El campo resultante de segmentos de recta es un campo de direcciones. Es un hecho notable que una curva continuamente diferenciable en el plano xy sea una órbita del sistema (6) si el vector tangente en cualquier punto (x, y) de la curva es paralelo al vector del campo de velocidad f(x, y)i + g(x, y)j. Por tanto, una curva uniforme en el plano xy es una órbita del sistema (6) si se "ajusta" al campo de direcciones generado por el sistema (6). La recta del campo de direcciones centrada en el punto (x, y) de la retícula suele orientarse con una punta de flecha que apunta en la dirección del vector de velocidad v(x, y) para mostrar la dirección en la que se trazan las órbitas; aquí se utilizan puntos en vez de puntas de flechas. En el siguiente ejemplo se muestra un campo de direcciones para un sistema autónomo plano.
Un campo dé direcdones inusual y algunas órbitas En la figura 5.2.1 se ilustra un campo de direcciones para el sistema del ejemplo 5.2.2: x' = x - Y + x2 - xy,
IL'W En nuestros campos de direcciones utilizamos puntos en vez de puntas de flechas.
y' = _y + x 2
El campo de direcciones indica que las órbitas del sistema se asemejan. Esta representación es especialmente interesante cerca de los tres puntos de equilibrio del sistema: (O, O), (1, 1) Y (-1, 1). En la figura 5.2.2 se muestran las órbitas que se aproximan a (O, O), pero al parecer cambian de dirección. Las órbitas que apuntan hacia (-1,1) no cambian de sentido, pero no pueden alcanzar el punto de equilibrio en un tiempo finito. Al parecer las órbitas emergen (cuando t aumenta desde -00) desde el punto de equilibrio (1, 1) en un movimiento en espiral en sentido contrario al de las manecillas del reloj y finalmente se dirigen hacia el punto de equilibrio (-1, 1).
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Figura 5.2.1 Un campo de direcciones y tres puntos de equilibrio (ejemplo 5.2.3).
Figura 5.2.2 Obsérvese cómo las órbitas se ajustan al campo de direcciones de la figura 5.2.1 (ejemplo 5.2.3).
Ciertas curvas en el plano de estados permiten entender cómo ascienden, bajan y cambian de dirección, así que ahora veremos estas curvas.
Isoclinas nulas o ceroclinas
Este proceso es semejante al {/lIális is de sigilOS de la sección 2.2. ar<:f'
Las curvas del plano.xy definidas porflx, y ) = O se conocen como las isoclinas nulas de x o cemclinas de x para el sistema (6). Las ceroclinas de y se definen por g(x, y ) = O. Las ceroelinas de x se unen con las ceroelinas de y en los puntos de equilibrio del sistema (6). Es importante observar que la función de tasa de cambio f (x, y) tiene signo fijo en cada lado de una ceroelina de x. De manera similar, g(x, y) tiene un signo fijo en cada lado de una ceroelina de y . Las ceroelinas dividen el plano.xy en regiones donde las órbitas ascienden (g > O), descienden (g < O), se mueven a la derecha (j> O) o a la izquierda (j < O). Conocer dónde están estas regiones y los signos defy g dentro de ellas puede ser de gran ayuda para imaginar el retrato de las órbitas ineluso antes de construirlas en la práctica. Un ejemplo nos permitirá imaginar el comportamiento de las órbitas de sistemas lineales autónomos.
Ejemplo 5.2.4
Ceroclinas de un sistema lineal autónomo plano Las ceroelinas del sistema x ' = x+y-4 y' = x - 2y - l
(8)
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323
5.2 / Propiedades de los sistemas
x'
=
x + y - 4,
y'
=
x - 2y - 1
x
x'
=
x + y - 4,
y'
=
x - 2y - 1
x
Figura 5.2.3 Ceroc1inas, arcos orbitales dirigidos en el Figura 5.2.4 Órbitas, campo de direcciones, ceroc1inas (ejemplo 5.2.4) . tiempo que cruzan las ceroclinas (ejemplo 5.2.4). son las rectas definidas por ceroclina de x: x + y - 4 = O,
ceroc1ina de y: x - 2y -1 = O
Las dos líneas cruzan el punto de equilibrio (3, 1) en el plano xy. Las rectas de trazo discontinuo en la figura 5.2.3 son las ceroclinas. Cada sector formado por las ceroc1inas de x y y puede etiquetarse según si x' y y' son positivas o negativas. Por ejemplo, arriba de la ceroc1ina de x, x + y - 4 = Odebe tenerse x + y - 4 > O (sólo compruebe el signo en un punto del sector), así que el análisis de signos indica que una órbita debe moverse a la derecha cuando t aumenta. Pero arriba de la ceroc1ina de y, x - 2y - 1 = O debe tenerse x - 2y - 1 < O. En el sector superior de la figura 5.2.3 las órbitas se mueven a la derecha (x' > O) Y hacia abajo (y' < O). Puede aplicarse a los otros sectores un análisis de signo similar. Con toda esta información sobre los signos de x' y y' a la mano pueden trazarse los arcos de las órbitas cuando cruzan las ceroc1inas. Por ejemplo, el arco en la parte superior izquierda de la figura 5.2.3 empieza en el sector superior cerca de la ceroc1ina de x, se mueve hacia abajo y a la derecha, cruza la ceroc1ina de x verticalmente (puesto que x' = O sobre la ceroclina) y luego da vuelta a la izquierda debido a que en este nuevo sector x' < O. Las ceroc1inas brindan una buena idea del comportamiento de las órbitas. Las puntas de flecha indican la dirección de incremento del tiempo en cada arco orbital. En la figura 5.2.4 se muestran algunas órbitas del sistema (8) generadas con computadora. Obsérvese el buen ajuste entre el campo de direcciones y las órbitas. Tomemos ahora un sistema que vimos en la sección 3.5 como una EDO de segundo orden y démosle el tratamiento de ceroc1inas, campo de direcciones, órbitas y curvas tiempo-estado.
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
x' = y,
y' = - x,
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x(O) = O, 0.5, 1.0, 1.5, y(O) = O
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Figura 5.2.5 Campo de direcciones, ceroclinas (los ejes), punto de equilibrio (origen), ciclos para un oscilador armónico (ejemplo 5.2.5).
Ejemplo 5.2.5
Figura 5.2.6 Cuatro curvas tiempo-estado (arriba) para el oscilador armónico y sus órbitas correspondientes, las cuales son ciclos (abajo) [ejemplo 5.2.5].
El oscilador armónico El sistema del oscilador armónico x' = y ,
donde
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y ' = -úPx
(9)
es una constante positiva, tiene las ceroclinas ceroclina de x: y = O,
ceroclina de y: x = O
y el único punto de equilibrio (O, O). Como vimos en el ejemplo 3.5.1, todas las solucioEstas órbitas se trazan en el plano t = -10 por lo que al parecer no coinciden con las curvas tiempo-estado.
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nes no constantes son periódicas, así que las órbitas son ciclos. En la figura 5.2.5 se ilustran las ceroclinas que cruzan en el punto de equilibrio en el origen; un campo de direcciones y tres ciclos en el caso úJ = l. En la figura 5.2.6 se observan las curvas tiempo-estado con las órbitas abajo' en el plano xy. Nótese cómo la curva constante tiempo-estado x = O, Y = O (que corresponde al punto de equilibrio en el origen en la figura 5.2.5) hace resaltar una recta paralela al eje t en la figura 5.2.6. El sistema (9) es lineal y puede resolverse de manera explícita (véase el ejemplo 3.5.1). El siguiente sistema no es lineal ni resoluble en términos de la funciones elementales, pero el método del campo de direcciones y ceroclinas brinda información del comportamiento de las órbitas.
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5.2 / Propiedades de los sistemas
x' =-x +ysen y, y'=y- x 2 cos x -4
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Figura 5.2.7 Campo de direcciones, ceroclinas (líneas Figura 5.2.8 Algunas órbitas son ciclos, otras entran en discontinuas) y cuatro puntos de equilibrio. La cerocli- la pantalla de la computadora y luego salen cuando t auna de y se abre hacia arriba (ejemplo 5.2.6). menta (ejemplo 5.2.6).
Ejemplo 5.2.6
Un campo de direcciones intrigante: ceroclinas, órbitas El campo de direcciones y las ceroclinas de la figura 5.2.7 para el sistema x ' = - x + y sen y
y' = y - x 2 cos x
muestran que algo inusual sucede cerca de cuatro puntos, que son, al parecer, puntos de equilibrio. Con las ,órbitas trazadas en la figura 5.2.8 se confirma lo que sospechábamos. Al parecer dos de los puntos de equilibrio se apartan de las órbitas que se aproximan. Los otros dos puntos de equilibrio parecen estar rodeados por órbitas cerradas anidadas, es decir, ciclos. Obsérvese cómo las órbitas cambian de dirección cuando cortan las ceroclinas. Estas últimas dividen el rectángulo 1 :s; x:s; 6, -12 :s; y:S; -4 en ocho regiones, dentro de cada una de las cuales x ' y y' tienen signos fijos. Cuando una órbita se mueve horizontalmente a través de una ceroclina de y (o verticalmente a través de una ceroclina de x ) y ' (o x ') cambia de signo. Por ejemplo, tanto x ' como y ' son negativas en la región de la parte superior derecha, de modo que las órbitas descienden a la izquierda cuando t aumenta. La órbita que empieza en x = 6, Y = -4.5 se mueve hacia abajo verticalmente a través de una ceroclina de x, entra a una región donde x' es positiva y da vuelta a la derecha porque x ' es positiva en la nueva región. Los sistemas autónomos planos pueden analizarse por medio de campos de direcciones y ceroclinas, pero estas técnicas no están disponibles para los sistemas planos no autónomos o para sistemas con más de dos variables de estado.
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326
Sistemas de ecuaciones diferenciales
Veamos ahora el efecto de cambiar los parámetros en un sistema de EDO.
Continuidad y sensibilidad del movimiento de un péndulo ¿De qué manera cambian las órbitas cuando cambia algún parámetro de un sistema? En la sección 4.1 presentamos el modelo matemático del péndulo simple amortiguado y representamos algunas de sus órbitas en la figura del principio de ese capítulo. Veamos la segunda EDO no lineal con la que se modela el movimiento de un péndulo de longitud L sin fuerza externa que sostiene una pesa de masa m y sujeto a una fuerza de amortiguamiento: mLx" + cLx' + mg sen x = O
Ya aplicamos esta técnica en el ejemplo 2.3.1. I@>
(lO)
donde e es el coeficiente de amortiguamiento, x es el ángulo del péndulo desde la vertical (la dirección positiva de x es en sentido contrario al de las manecillas del reloj) y x' es la velocidad angular. Divida entre mL, establezca e/m = a, y (para precisar) fije el valor de giL = 10. Para hacer un estudio de sensibilidad de un sistema cuando cambia un parámetro, puede introducirse éste como una nueva variable de estado al agregar otra ecuación diferencial al sistema. Hagamos esto con un sistema equivalente a la EDO (lO). Nuestras variables de estado serán x, y = x', y nuestro parámetro a = e/m. Supóngase que al principio el péndulo está en x = O, tiene velocidad angular de 10 radls y a = 0'0. El PVI correspondiente es x'=y,
x(O) = O
y' = -10 sen x - ay,
y(O) = 10
a'=O,
a(O) = a o
(11)
Se ha convertido a en una variable de estado de modo que pueda usarse en un programa de solución numérica para explorar el efecto de los cambios en a sobre las órbitas xy. De acuerdo con el teorema 5.2.1, la solución del sistema (11) es una función continua de los datos iniciales, lo que significa 0'0 aquí porque se fija Xo en O y Yo en 10. Los cambios pequeños en 0'0 indican cambios pequeños en el ángulo x(t) del péndulo, por lo menos durante el intervalo corto de tiempo (baja sensibilidad). No obstante, un cambio pequeño en a podría ocasionar un gran cambio en las variables de estado x(t) y y(t) mientras transcurre el tiempo (alta sensibilidad). Veamos cómo sucede esto.
Ejemplo 5.2.7
El cambio de masa afecta el movimiento del péndulo En virtud de que a = e/m se observa que al aumentar la masa (o reducir el amortiguamiento constante) en el modelo del péndulo (11) disminuye la magnitud del término de amortiguamiento -ay. Por tanto, un péndulo con una masa grande giraría varias veces en tomo al pivote hasta que las pequeñas fuerzas de fricción disiparan poco a poco la energía y forzaran al péndulo a oscilar cada vez menos respecto a una posición vertical. En la
http://carlos2524.jimdo.com/ 5.2 / Propiedades de
105
x' 13
y'
32 7
sistemas
= y,
x(O)
= - IO sen x -ay,
=O y (O)
a =O
18
= lO
13
0.5 ~------------------2
~------~.~'-------------------
- 2 13
18
-~~-~~-~~
1 1---
o
10
15
20
25
30
x
Figura 5.2.9 Sensibilidad a los cambios del parámetro ex = e/m del péndulo (ejemplo 5.2.7).
Figura 5.2.10 Gráficas del componente x para las órbitas de la figura 5.2.9.
figura 5.2.9 se ilustran cuatro órbitas con el punto inicial (O, 10): ex = O (cero amortiguamiento), ex = 0.3, ex = 0.5, Y ex = 1.75. Las órbitas se grafican en O::;t ::;30. La órbita superior representa al péndulo girando por siempre en sentido contrario al de las manecillas del reloj; es decir, el ángulo x tiende a +00 cuando t ~ +00 , porque no hay fricción para detener el movimiento de giro. El mayor cambio ocurre cuando ex cambia de un valor O a un número positivo, esto es, cuando se activa el amortiguamiento. En la gráfica con ex = 0.3 se muestra cómo la poca fricción (o una masa muy grande) da como resultado un par de vueltas seguidas por oscilaciones decrecientes que se aproximan al punto de equilibrio (4n, O). Si ex = 0.5 , la fricción un poco más intensa (o una masa más pequeña) produce una órbita que da una vuelta y luego oscilaciones cada vez más pequeñas respecto al punto de equilibrio (2n, O). Si ex = 1.75 la fricción mayor (o una masa muy pequeña) evita que el péndulo llegue hasta arriba y pase al otro lado. En la figura 5.2.10 se muestran las gráficas de los componentes de x de estas órbitas. Los componentes permanecen cerrados durante un breve lapso (baja sensibilidad a los cambios en ex en el corto plazo), pero a medida que avanza el tiempo difieren muchos los componentes de x (alta sensibilidad en el largo plazo). Por último veremos cómo pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, particularmente útiles para ciertos tipos de movimiento rotacional.
Sistemas autónomos planos en coordenadas polares Las órbitas del sistema autónomo plano x ' = f(x, y ) y' = g(x, y)
(12)
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
pueden describirse en coordenadas polares r, y
x = r cos
-
f---'- - - - - x
e, donde
e,
y = r sen e
Para transformar las EDO del sistema en coordenadas polares se procede como sigue. Supóngase que x = x(t), y = y(t) es una solución del sistema. Entonces, al derivar cada miembro de las identidades en (13) con respecto a t y usando las EDO, se tiene x' = r' cose - re' sen e = f(rcose, r sen e) y' = r' sen e + re' cos e = g( r cos e, r sen e)
Al despejar r' y
(14)
e' en términos defy g, se tiene
r' = (cose)f(rcose, r sen e)+ (sen e)g(rcose,r sen e) = F(r, e)
y
(13)
(15)
e' = (11 r)[(cos e) g(r cose, rsen e)-(sen e)f(rcose, rsen e)] = G(r,e)
e
~r_~------x
Obsérvese que Xo = ro cos ea, Yo = r sen ea con ro :;te O es un punto de equilibrio para el sistema (12) si y sólo si F(ro, ea) = O, G(ro, ea) = O en el sistema (15). ¿Cómo es el campo de velocidades
v = f(x, y)i + g(x, y)j del sistema (12) relacionado con las funciones F(r, e) y G(r, e) definido en (15)? En cada punto (r, e) del plano r, 6, son los vectores unitarios, donde r apunta hacia fuera a lo largo de r y 6 es ortogonal a r y apunta en la dirección de aumento de e (es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj) . Véase la figura al margen. Con un poco de trigonometría se demuestra que r = cos ei + sen ~ y
(1 =
-sen ei + cos ~
de donde se despejan i y j para obtener i = cos er - seneO,
j = sen er + cos eo
Por tanto, se observa que el vector v = ji + gj del campo de velocidades para el sistema (12) cobra la forma v = fi + gj = (coser - sen eO)f + (sen er+ coseO)g = (f cos e + g sen e)r + (g cos e - f sen e)o = F(r, e)r + rG(r, e)o
que muestra cómo expresar v en términos de r y 6. A continuación se presenta,un ejemplo donde el uso de coordenadas polares lleva directamente a las fórmulas de solución.
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329
5.2/ Propiedades de los sistemas
Ejemplo 5.2.8
De coordenadas rectangulares a polares
En la figura 5.2.11 se ilustra un campo de direcciones para el sistema plano autónomo x' = x - 10y
(16)
y' = lOx+ y
La ceroclina de x, x - lOy = O, Y la ceroclina de y, lOx + y = O, se muestran en la figura como rectas inclinadas. Puesto que el campo de direcciones indica movimiento rotacional de algún tipo, no son sorprendentes las órbitas en espiral de la figura 5.2.12. Lo que sí es sorpresa es que es posible hallar fórmulas de solución para estas órbitas. Para ello, escribamos de nuevo el sistema (16) en términos de coordenadas polares como
1& Las órbitas de la figura 5.2.12 se fOlmaron al resolver hacia atrás en el tiempo a partir de los puntos iniciales (-3, - 3), (3 ,3).
r' = cos e(r cos e - lOr sen e) + sen e(lOr cos e + r sen e) = r
(17)
e' = (11 r)[Ccose(lOrcose + r sen e) - sen e(rcos e -lOr sen e)] = 10
Como estas EDO se desacoplan, es posible resolver cada una por separado para encontrar que (18)
es la solución general del sistema (17) en términos de t y las constantes arbitrarias ro y eo. Se observa que el campo de velocidades v para el sistema (16) puede escribirse como v = (x -10y)i + (lOx + y)j
(19)
=rr+10rO x'=x-lOy, ~o'o'o'
......
...-....--
--.
x' =x-lOy,
y'= lOx+y
--
...........
....
y'
=
lOx+y
, '' ,, ,, '''
,'
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-2
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x
Figura 5.2.11 Campo de direcciones, ceroclinas y pun- Figura 5.2.12 Órbitas en espiral hacia fuera a través de to de equilibrio (ejemplo 5.2.8). las ceroclinas (ejemplo 5.2.8).
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330
Sistemas de ecuaciones diferenciales
Por consiguiente, todas las órbitas son espirales que van en sentido contrario al de las manecillas del reloj y se alejan del origen con velocidad creciente, ya que de (18) y (19), t
V
A
A
== ro e (r + 108)
y la velocidad es
Ilvll == roet Ilr + 10°11 == MI roet La solución general del sistema (16) en coordenadas cartesianas se obtiene de las fórmulas de solución de r, e de (18) mediante las fórmulas x == r cos e y y == r sen e: (20)
e
donde ro y o son constantes arbitrarias. Las coordenadas polares son útiles cuando se sospecha movimiento rotacional, que es principalmente donde las veremos a partir de ahora.
Comentarios Por lo general, se dan por sentadas las propiedades básicas del teorema fundamental 5.2.1 Y no se mencionan de forma específica al tratar con un sistema, lo cual no significa que carezcan de importancia. Sin las garantías dadas en el teorema fundamental 5.2.1 , no habría teoría general de sistemas de EDO debido a que nunca se tendría la seguridad de que un PVI tuviera una solución, o si así fuera, que ésta fuera única o que pudiera extenderse hacia atrás o hacia adelante en el tiempo o que cambiara continuamente con los datos.
Problemas _____________________________________________ wwwll 1.
Compruebe que cada PVI satisface la hipótesis del teorema 5.2.1 para todos los valores de t y las variables de estado. Encuentre las fórmulas para las soluciones. En los incisos (a) a (e) trace las ceroclinas y las nueve órbitas que corresponden a todas las combinaciones posibles de x(O), y (O) == a, b == - 1, O, 2 en el rectángulo Ixl:::'; 3, Iyl:::'; 3. Identifique cualesquiera órbitas que sean puntos de equilibrio o ciclos. (a) x'==y, y' ==- x - 2y (b) x' == 2x, y' == -4 y
(e) x'==y,
y' ==-9x y' ==_x 3
(d) x' == l ,
(e) x' == _ x
[Sugerencia: Observe que x" + 2x' + x == O.]
3
y' ==-y y' == - 26x - 2y,
[Sugerencia: Escriba como dy/dx = _X3/y3. ]
,
z' == z / 2; x(O) == y(O) == z(O) == 1. Trace la proyección de la órbita en cada plano coordenado. Utilice los intervalos Ixl:::'; 1, -4 :::.; y :::.; 3, 1 :::.; z :::'; 15 Y el intervalo de tiempo O:::.; t:::'; 10. (l) x' == y,
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331
5.2/ Propiedades de los sistemas
Encuentre los puntos de equilibrio y los Ciclos; trace las ceroclinas, los campos de dirección y varias órbitas en un rectángulo suficientemente grande para contener varios puntos de equilibrio. Describa qué es lo que observa. (a) x' = x - y2 ,
(e) x ' = 2 + sen(x + y), (e) x ' = 3(x - y),
3.
11
5.
6.
-l
+ 27
(d) x' = y + 1,
= xy
y' = sen 2 3x
y' = y - x
= 3x, y' = - y (e) X' =-X 3 , y'=l
ti
y' = x
y'
Obtenga todas las soluciones. Compruebe que si x = x(t), y = y(t) es una solución, entonces también lo es x = x(t - T) , y = y(t - T), donde T es cualquier constante. Especifique el intervalo en el que está definida cada solución. (a) x'
4.
(b) x' = y sen x,
y' = x - y
(b) x' = 11 x, y' =-y (d) x' = x2(1 + y), y' = - y
Considere el sistema autónomo plano x' = 1 - y2, y' = 1 - x2. (a) Localice los puntos de equilibrio del sistema. (b) Cree un retrato de las órbitas en el rectángulo Ixl ::; 3, Iyl ::; 3. Utilice puntas de flecha en las órbitas para indicar la dirección en que aumenta el tiempo. ¿Hay ciclos? (e) Utilice un razonamiento geométrico con el campo de direcciones para demostrar que la línea y = x se compone de cinco órbitas. IdentifiqUe estas órbitas y utilice puntas de flecha en ellas para mostrar la dirección de aumento del tiempo. [Sugerencia : Podría ayudar si traza primero un campo de direcciones.] (d) Para cada órbita no constante del inciso (e), obtenga una funciónj(t) tal que x = f(t), y = f(t) describa la órbita. Demuestre que la órbita que se origina en x(O) = a, y(O) = a, a < -1 escapa al infinito en un tiempo finito. (Ciclos y puntos de equilibrio.) Supóngase que el sistema autónomo x' = f(x) satisface las condiciones del teorema fundamental 5.2.1 en una caja S en el espacio de estado. Demuestre las siguientes propiedades de curvas solución, puntos de equilibrio y ciclos en S (los conversos son también válidos, pero no se demuestran aquí). (a) Supóngase que x(t) es una solución no constante para la cual x(t) -7 P cuando t -7 T. Demuestre que si P es un punto de equilibrio, entonces IT 1= oo . [Sugerencia: Puesto que x(t) es una función continua de t, x(T) debe ser el punto P si T es finito. Pero esto viola la unicidad del teorema fundamental 5.2.1.] (b) Demuestre que si x = x(t) es una solución periódica no constante, entonces la órbita correspondiente es una curva simple cerrada (es decir, un ciclo). [Sugerencia: Supóngase que el periodo fundamental de x(t) es T y que X(t l) = x(O) para alguna t¡, O < t i ::; T. Entonces y(t) = x(t + t i) también es una solución (¿por qué?) y y(t) = x(t) debido a que y(O) = x(O). Por tanto, x(t) tiene periodo ti ' Demuestre que ti = T.] (Atracción y repulsión: coordenadas polares.) El sistema siguiente ilustra las propiedades de atracción y repulsión de ciclos y puntos de equilibrio.
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
(a) Explique por qué el círculo unitario X2 + y2 X'
•
7.
~ . 8. I!:W' Sensibilidad a los cambios en A. I!:W' Sensibilidad a los cambios en Ct.
5.3
= x - y-x(x
2
+ i),
= 1 es un ciclo del sistema
y' = x+ y - y(x 2 + i)
(21)
y el origen es el único punto de equilibrio. [Sugerencia: Utilice (15) para escribir (21) en coordenadas polares.] (b) Por medio de la forma de coordenadas polares del sistema (21) anterior, resuelva para r(t) y 8(t). Explique por qué todas las órbitas no constantes se aproximan al ciclo cuando el tiempo t -? +00 . (e) Trace un campo de direcciones para el sistema (21), trace las ceroclinas para x y y y grafique las órbitas dentro, sobre y fuera del círculo unitario para Ixl:::; 3, Iyl :::; 2. ¿Por qué se podría llamar al origen un "repulsor" y al círculo unitario un "atractor"? (d) Trace las gráficas componentes de x y y para las órbitas graficadas en el inciso (e). ¿Cuál es el periodo del ciclo? (Aquí está la solución; ¿cuál es el sistema?) Alex Trebek le da dos funciones vectoriales
y le pide las funciones continuamente diferenciables f(x, y, t) y g(x, y, t) de modo que u y V sean soluciones del sistema de EDO x' =f, y' = g. ¿Puede hacerlo? Explique por qué sí o por qué no. (Sensibilidad del movimiento del péndulo.) Considere el sistema del péndulo x' = y, y' = - A sen x-y. Utilice un programa de solución numérica, diversos puntos iniciales y soluciones que retroceden y avanzan en el tiempo para proporcionar un análisis completo de lo que sucede con el movimiento del péndulo cuando el parámetro A varía de cerca de cero a valores muy grandes. Justifique sus afirmaciones. Ahora, en una dirección distinta, considere el PVI (11), en el que interviene el parámetro a , e intente determinar un valor 0'0 tal que la curva solución tienda al punto de equilibrio (n:, O) cuando t -? +00. ¿Qué sucede si el valor de a es un poco distinto de O'o? Interprete todo en términos del movimiento de un péndulo.
Modelos de especies que interactúan En la dinámica de la vida ninguna especie está sola. La supervivencia o florecimiento de una especie descansa en las estrategias de cooperación, competencia y depredación. Es posible entender una pequeña parte del universo biológico si se consideran las interacciones de tan sólo dos especies. En los modelos de combate de la sección 1.7 vimos un ejem-
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333
5.3 / Modelos de especies que interactúan
plo de competencia, pero aquí adoptaremos un enfoque muy distinto. Comencemos con una explicación general del proceso de construcción de modelos para las interacciones entre especies. ii
Construcción de modelos
1& ¿Recuerda la ley de equilibrio de la sección 1.4?
Digamos que x(t) y y(t) denotan los tamaños de población de dos especies en el instante t. También se supone que las dos especies forman una comunidad aislada de las demás influencias -cosa poco verosímil, pero la simplificación suele ser un primer paso en la modelación. Se aplica la ley de equilibrio a cada población: Tasa neta de cambio de una población
= tasa de entrada -
tasa de salida
Supóngase primero que la migración hacia y desde la comunidad es insignificante, de modo que la tasa neta de cambio es la diferencia entre las tasas de nacimiento y de mortalidad, ambas proporcionales al tamaño de la población, así que un modelo para esto es el PVI x' = R¡x, y'
y
Cuadran te de población x
Leah Edelstein-Keshet
= R2 y
x(O) = Xo y(O)
= Yo
(1)
donde R¡ YR 2 son coeficientes de proporcionalidad que miden la contribución del individuo promedio de una especie a la tasa de crecimiento global de esa especie. En el caso más simple cada coeficiente es una constante, positiva si la tasa de nacimientos supera a la de mortalidad, negativa en el caso contrario. En este marco las poblaciones crecen o disminuyen de forma exponencial [p. ej., x(t) = xoeR¡t]. Sin embargo, en la realidad estos coeficientes no son constantes, dependen del tiempo, los tamaños de población, edad de los individuos y muchos otros factores. Promediaremos la variación de tiempo de los coeficientes, de modo que las EDO de (1) sean autónomas. Con distintas elecciones de los coeficientes R¡ y R2 se modelan diferentes tipos de interacciones. Supondremos que R¡ y R 2 son funciones continuamente diferenciables de x y y en una caja S que incluye el cuadrante de población x 2': O, Y 2': O. Esto significa que
¡¡Para más información acerca de los modelos matemáticos en el área biológica consulte el libro Mathematical Models in Biology (McCraw-Hill, Nueva York, 1988), una introducción excelente al tema de la modelación ·de sistemas biológicos. La autora Leah Edelstein-Keshet es una matemática aplicada e investigadora contemporánea que en la actualidad da clases de matemáticas en la universidad de British Columbia. Entre sus intereses de investigación más recientes están la biología molecular (en particular las redes filamentosas de la actina y su dinámica) y los fenómenos de población, como la agregación y la aglomeración en organismos sociales. Su recomendación a los aspirantes a científicos jóvenes es tomar cuantos cursos de matemáticas les sea posible, familiarizarse con las computadoras y perseverar en la a menudo difícil pero gratificante ruta del conocimiento.
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
se aplica el teorema 5 .2.1; por tanto, el PVI (1) tiene solución única para cada elección del punto inicial Xo ~ O, Yo ~ O, lo cual tiene una consecuencia importante.
Teorema 5.3.1
Aislamiento del cuadrante de población. Si (xo, Yo) está en el cuadrante de población, entonces la solución x = x(t), y = y(t) del PVI (1) yace por completo en el cuadrante. La explicación es la siguiente. Los ejes x y y están compuestos de órbitas de las EDO del PVI (1). Razón: x(t) = O, para toda t, es solución de la primera EDO de (1), así que x(t) y la solución y(t) de la EDO y' = R 2 (0, y)y definen las órbitas en el eje positivo y . De manera similar, el eje positivo x también está compuesto de órbitas del sistema. El teorema de separación de órbitas 5.2.2 indica que ninguna órbita del PVI (1) pueden entrar en el cuadrante de población o salir de él; de ser así, la órbita tendría que cortar las órbitas en el eje x o y. En consecuencia, si Xo > O, Yo > O, entonces la solución del PVI extendida al máximo permanece dentro del cuadrante. Las observaciones realizadas en poblaciones reales son congruentes con gran parte de lo que se establece en el teorema 5.3.1. Sin embargo, por razones biológicas hay algo que criticar. A niveles bajos de población, las especies reales a menudo se extinguen en un tiempo finito, aunque el teorema indica que esa extinción, si ocurre, toma un tiempo infinitamente largo. Con base en las observaciones realizadas en muchas poblaciones, diversos biólogos que han estudiado éstas han formulado el siguiente principio.
Esto es muy parecido a la ley quílllica de acció" de masas . lB.1f'
Ley de acc ión de masas para una población. La tasa de cambio de una población debida a la interacción con otra es proporcional al producto de las dos poblaciones. Con las constantes de proporcionalidad se miden los efectos de la interacción sobre las tasas de cambio de las poblaciones. Por ejemplo, si se tienen las ecuaciones de tasa de cambio para dos poblaciones x y y x' = -x + O.OOOlxy,
y' = y - O.5xy
entonces las interacciones entre x y y aumentan un poco la tasa de cambio de la población x (el término + O.OOOlxy) pero son desastrosas para la población y (el término -O.5xy). La ecuación también puede usarse para las interacciones entre los individuos de la misma especie, de modo que se incluyan términos como -0.Olx2 o O.3x2 , lo cual depende de si las interacciones disminuyen o aumentan la tasa de cambio. La ley de acción de masas para una población no es tan rigurosa como, por ejemplo, las leyes de Newton, pero permite convertir las interacciones de la especie en términos de un modelo matemático.
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335
5.3 / Modelos de especies que interactúan
Siete tipos de interacción Supóngase principalmente que Rl y R 2 en elPVI (1) son polinomios de primer grado en x y y. Los coeficientes a, b, a, ... en los modelos siguientes son constantes no negativas. • Ninguna interacción . El sistema donde RI sólo depende de x y R 2 sólo de y x' = R1(x)x
(2)
y'=R2 (y)y
modela una comunidad en la que las especies no se influyen entre sí. La dinámica depredador-presa es el tema de la sección 5.4.
I@'
• Depredador-presa . El sistema x'
= (-a + by)x = - ax+ bxy
(3)
y' = (f3 - cx )y = f3y - cxy
modela una comunidad de depredadores x y su presa y. Las constantes positivas a y f3 son, respectivamente, decaimiento natural y coeficientes.de desarrollo natural . El término de tasa de cambio -ax muestra que sin presa que comer disminuye la población de depredadores; el término de tasa de cambio f3y indica que sin depredación crece la población de presas. Se supone que el número de encuentros entre presa y depredador es proporcional al producto xy de la población de las dos especies, una suposición basada en la ley de acción de masas para una población. Los coeficientes b y - c sirven para medir, respectivamente, la eficacia del depredador para convertir el alimento en fertilidad y la probabilidad de que en un encuentro entre depredador y presa se elimine una presa. • Sobrepoblación . El exceso de población podría disminuir los coeficientes de tasa de cambio RI y R 2 por medio de las interacciones depredador-depredador y presa-presa regidas por la ley de acción de masas para una población. Por ejemplo, una población muy grande podría dar lugar a efectos de sobrepoblación que reducen la tasa de crecimiento. Si por medio de la ley de acción de masas para una población se toman en cuenta los efectos de sobrepoblación en cada una de las especies de un modelo depredador-presa como el sistema (3), entonces se tiene el sistema x' = (-a - ax + by )x
(4)
y ' = (f3 - cx - dy)y
La sobrepoblación se modela con los términos -ax2 y -dy2 de la acción de masas. • Captura . Si la especie x del sistema (1) es capturada a una tasa H, la EDO para x se convierte en (5) En el apéndice B.l se amplía la información de la func)ones de activación y desactivación , como oc(t, d, 1).
I@'
En una forma de captura estacional, la tasa de captura es una función periódica de activación y desactivación, la cual se activa durante un tiempo al principio del año y se desactiva para el resto: x' = R )x - H oc(t, d , 1)
- --_ . -- - - - - - - - - - - - - - - -
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Sistemas de ecuaciones diferencia les
La función H oc(t, d, 1) es la onda cuadrada con periodo de un año y amplitud constante H que está activa para el primer d% de cada año y luego inactiva. Por ejemplo, si el periodo de captura dura tres meses de cada año, entonces d = 25 (es decir, 25% del periodo). En la captura de esfuerzo constante, sin embargo, la tasa de captura es proporcional al tamaño de la población: X'= R¡x-Hx
(6)
donde H es una constante positiva. •
Cooperación. Ciertas interacciones biológicas son de beneficio mutuo. Un ejemplo es una comunidad de hormigas y áfidos. Obsérvense las hormigas en un rosal atendiendo a sus áfidos. Los áfidos se alimentan de la savia de la planta y las hormigas se comen un líquido secretado por los áfidos. Cuando una parte de la planta se marchita, las hormigas llevan sus "vacas" a pastar a otro lado. Esta clase de interacción se denomina cooperación o mutualismo. Un modelo de cooperación basado en la ley de acción de masas para una población es x' = (a+by)x (7) y' = (f3 + cx)y
donde cada especie, si se aísla, tendría un desarrollo natural exponencial (modelado por los términos ax y f3y) . Los términos de acción de masas +bxy y +cxy muestran que cada especie promueve el desarrollo de la otra. Los sistemas como el (7) no permiten modelar poblaciones reales durante mucho tiempo porque el crecimiento explosivo en x y y no es real, pero con una ligera modificación es posible obtener poblaciones acotadas (véase el ejemplo 5.3.2). Competencia. Dos especies podrían competir por un recurso escaso. Un modelo para la interacción competitiva con sobrepoblación es x' = (a - ax - by)x
(8)
y' = (f3 - cx - dy)y Los términos de acción de masas _ ax2, -bxy, -cxy y - dy2 permiten modelar los efectos negativos de poblaciones grandes con base en tasas de desarrollo. 1& Este modelo se analiza en la sección 9.3.
•
Saciedad. El apetito del depredador podría saciarse por hartazgo. Este fenómeno podría modelarse con la siguiente variante del sistema depredador-presa (3): I b , x = -ax+--_ ·xy m+ky
y = I
f3.Y - --C
m+ky
(9)
'xy
Los coeficientes de acción de masas contienen una división entre el término positivo m + ky y, por tanto, tiende a cero si la población de presas y tiende al infinito.
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5.3/ Modelos de especies que interactúan
Apliquemos la capacidad de los programas de solución numérica para entender cómo evoluciona la población. Recuérdese que en todos los modelos de interacción estudiados hasta el momento, los ejes x y y están compuestos de órbitas del sistema. En consecuencia, las órbitas que se originan en el cuadrante de población permanecen allí.
Simulaciones en computadora Los ejemplos específicos y sus órbitas generadas por computadora ayudan a conformar los modelos abstractos. En cada uno de los siguientes modelos se empieza con dos poblaciones que por separado evolucionarían de acuerdo con uno u otro de los modelos x'=(a-ax)x, y'=([3-by)y,
o x'=(-a-ax)x o y'=(-[3-by)y
Pero los términos de acoplamiento de la forma ±cxy conduce a escenarios muy distintos, los cuales se explorarán con simulaciones de computadora. Del mismo modo que en el ejemplo 5.2.4, un primer paso en el análisis de signos de cada modelo consiste en trazar las ceroclinas (las líneas discontinuas de las figuras) y luego determinar los signos de x' y los signos de y' en las regiones entre las ceroclinas. Por medio de este proceso se sabe si las órbitas ascienden (y' > O) o descienden (y' < O), se mueven a la izquierda (x' < O) o a la derecha (x' > O) a medida que aumenta el tiempo. Por ejemplo, si x' es positiva y y' es negativa en una región, las órbitas deben moverse a la derecha y hacia abajo.
Ejemplo 5.3.1
Cooperación y desarrollo explosivo
Las EDO modelo x' = (2 - x + 2y)x = (2 - x)x + 2xy y' = (2 + 2x - y)y = (2 - y)y + 2xy
(10)
representan interacciones de beneficio mutuo (los términos +2xy) y autolimitación (los términos _x 2 y _y2) . Las ceroclinas para la especie x están definidas por (2 - x + 2y)x = Oy consisten en el eje y (es decir, x = O) Y la línea que pasa por el punto (2, O) de pendiente 1/2 (es decir, 2 - x + 2y = O). De manera similar, las ceroclinas para la especie y se definen por (2 + 2x y)y = O Y consisten en el eje x y la línea que pasa por el punto (O, 2) de pendiente 2. Véa -
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338
Sistemas de ecuaciones diferenciales
x'
=
y'
(2 - x+ 2y)x,
=
(2 + 2x- y )y
x'
=
(4-2x + y)x,
8 -
6 -
x
x
Figura 5.3.1 La cooperación da lugar a que las poblaciones crezcan de manera explosiva (ejemplo 5.3.1).
~ En este contexto, una separatriz es una órbita que separa a las órbitas con un tipo de comportamiento cuando f -7 -00 (o cuando f -7 +00) de órbi tas con otro tipo de comportamiento.
Ejemplo 5.3.2
Figura 5.3.2 La cooperación da lugar a la estabilidad (ejemplo 5.3.2).
se en la figura 5.3.1 las ceroclinas (las líneas de trazo discontinuo y los ejes coordenados). Tres de los puntos de equilibrio están en el borde del cuadrante de población, (O, O), (2, O), (O, 2); pero el cuarto, (-2, -2) está fuera. En la figura 5.3.1 se observan algunas de las órbitas en el cuadrante de población x ~ O, Y ~ O. Es evidente que la población se multiplica de manera explosiva. Obsérvense las separatrices que salen de (2, O) Y (O, 2).
El sistema (10) no puede ser válido para especies reales porque las poblaciones se hacen muy grandes demasiado rápido. Así que mejoremos el modelo.
Cooperación estable Una manera de estabilizar el modelo y la población es elevar los costos de la sobrepoblación y disminuir los beneficios de la cooperación: x'
= (4 -
2x + y)x
= (4 -
2x)x + xy
y ' = (4 + x - 2y)y = (4 - 2y)y + xy
(11)
Para cada especie, el incremento en el coeficiente de sobrepoblación de 1 a 2 y la disminución en el coeficiente de mutualismo de 2 a 1 generan un modelo estable y más real que el modelo de crecimiento inestable del sistema (10). Estos cambios en los coeficientes modifican las pendientes de las ceroclinas y mueven su intersección (la cual es un punto de equilibrio) dentro del cuadrante de población. El aumento en el coeficiente de crecimiento natural para cada especie del valor 2 en el sistema (10) al valor 4 en el sistema (11)
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339
5.3 / Modelos de especies que interactúan
cambia la ubicación de las nuevas ceroclinas (líneas discontinuas de la figura 5.3.2) y lleva el punto de equilibrio más adentro del cuadrante hasta el punto (4, 4). Como en el ejemplo 5.3.1, las separatrices vienen de los puntos de equilibrio (2, O) Y (0,2) cuando t aumenta desde - 00 , pero ahora las separatrices se mueven hacia el punto de equilibrio (4, 4). En la figura 5.3.2 se ilustra que las órbitas internas de la población son atraídas hacia un par de regiones con forma de cuña (acotadas por las ceroclinas) cuyo vértice se encuentra en el punto de equilibrio interno. Las gráficas proporcionan pruebas visuales convincentes de que las especies que cooperan tienden a un estado estable de coexistencia. ¿Es posible estabilizar las poblaciones y sobrevivir si ambas especies compiten por recursos limitados? Los dos ejemplos siguientes dan respuestas contrarias a esta pregunta.
Ejemplo 5.3.3
Competencia estable Supóngase que dos especies comparten el mismo hábitat y compiten una con la otra por recursos escasos. Un tipo de dinámica de competencia se modela con X'
= (2 - 2x - y)x = (2 - 2x)x - xy
y' = (2 - x - 2y)y = (2 - 2y)y - xy
llW ¿Podría funcionar mejor la competencia que la cooperación?
(12)
Las ceroclinas de x son el eje y y la recta 2 - 2x - Y = O, en tanto que las ceroclinas de y son el eje x y la recta 2 - x - 2y = O (líneas discontinuas de la figura 5.3.3). Las ceroclinas de x cortan las ceroclinas de y en los puntos de equilibrio (O, O), (1, O), (O, 1) Y (2/3, 2/3). Las órbitas de la figura 5.3.3 son atraídas hacia las regiones en forma de cuña acotadas por las ceroclinas y también por el punto de equilibrio (2/3, 2/3) en el vértice. Las separatrices emergen de los puntos de equilibrio (1 , O) Y (O, 1) Y se dirigen hacia (2/3,2/3). En la figura 5.3 .3 se observa que las especies tienden a un punto de equilibroatractor estable. La competencia no siempre es estable. El siguiente es un ejemplo que desemboca en la extinción.
Ejemplo 5.3.4
Exclusión competitiva Supóngase que se intercambian las ceroclinas inclinadas (líneas discontinuas) en la figura 5.3.3, la ceroclina de x se convierte en una ceroclina de y, y viceversa. El nuevo modelo de competencia es x' = (2 - x - 2y)x = (2 - x)x - 2xy y' = (2 - 2x - y)y = (2 - y)y - 2xy
(13)
El análisis de signos y la posición intercambiada de las ceroclinas trazadas con líneas discontinuas indican un cambio sorprendente en el destino final de cada especie. En relación
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
111
x'
,~,
=
(2 - 2x - y)x,
y'
=
(2 - x - 2y)y
x' = (2 - x - 2y)x,
¡ti rt 11
y' = (2 - 2x - y)y
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0.5
o
1.5
2.
o
x
Figura 5.3.3 Órbitas de competencia estable (ejemplo 5.3.3).
o:w Como en la sección 4.1, las separatrices dividen regiones de comportamiento orbital muy distinto.
x
Figura 5.3.4 Órbitas de exclusión competitiva (ejemplo 5.3.4).
con la figura 5.3.4, se observa que algunas órbitas de la población son atraídas hacia la cuña entre las ceroclinas en la parte inferior derecha; estas órbitas se aproximan entonces al punto (2, O) de equilibrio para la especie x y extinción para la especie y. Las demás órbitas son atraídas hacia la región en forma de cuña en la parte superior izquierda y se aproximan al punto (O, 2) de extinción para x y equilibrio para y. Puede demostrarse que exactamente dos separatrices tienden al punto de equilibrio interno (2/3, 2/3) cuando t -7 +00; otras órbitas podrían moverse cerca del punto, pero siempre se alejan y tienden a (2, O) o a (O, 2) conforme avanza el tiempo. Las dos separatrices yacen a lo largo de la recta y = x y dividen el cuadrante de población en una región (arriba de la línea de separación) favorable a la especie y pero devastadora para la especie x y una región complementaria que favorece a la especie x. Esta característica recibe el nombre de principio de exclusión competitiva porque el cuadrante de población se divide en dos regiones en cada una de las cuales una de las especies prospera y la otra muere. Por último, nótese que parece haber separatrices que salen de (2/3, 2/3) a media que avanza el tiempo; una apunta hacia (2, O) y la otra a (O, 2). Estas simulaciones en computadora permiten comprender los efectos de las interacciones en las poblaciones.
Comentarios
,,~
Los modelos de interacción presentados en esta sección deben estudiarse de forma crítica: • •
I ,~
I
¿Son buenos modelos de poblaciones cambiantes de especies reales? ¿Qué conclusiones son posibles a través del análisis de signos y las simulaciones en computadora? • ¿Pueden ser comprobadas estas conclusiones mediante argumentos matemáticos?
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341
5.3 / Modelos de especies que interactúan
Hemos contestado la segunda pregunta para sistemas de modelos específicos. Las preguntas primera y tercera hallan respuesta para las interacciones depredador-presa en la sección 5.4. En varios ejemplos de los capítulos 8 y 9 se abordan algunas de las cuestiones matemáticas surgidas aquí, preguntas de estabilidad, por ejemplo. Ninguno de los modelos tiene el carácter predictivo explícito de, digamos, los del movimiento de un péndulo. No obstante, desde los decenios de 1920 y 1930, cuando se introdujeron, los modelos han conducido la forma en que los científicos y los matemáticos dan sentido a las interacciones entre las especies. Los estudios de biología de poblaciones suelen empezar con estos modelos, así sea sólo para sustituirlos por algo mejor. iii
Problemas _____________________________________________ 1.
Explique la dinámica biológica; identifique depredadores, presa, competidores, cooperadores; explique el comportamiento de la población en términos de las funciones de tasa de cambio; e identifique los términos de captura y reabastecimiento y su naturaleza. Las constantes a, [3, y, a, b, e, d, H, k, m son positivas. (a) x' = (a - by)x, y' = ([3 - cx)y + H (b) x' = (a - ax - by)x, y' = ([3 - ex - dy )y (e) x' = (a + by)x, y' = (-[3 + ex - dy)y @ x' = (a - ax - by)x, y' = (-[3 + ex - dy)y + (2 + cost) (e) x' = (a + by)x - H oc(t, 25, 1), y' = ([3 + ex - dy)y
(f) x' = (a - ax)x, (g) x' = (a - bz)x,
2.
ex ) y+H . y'= ( -[3+-m+kx y' = ([3 - my - kz)y, z' = (-y + ax + cy)z - Hz
Encuentre las ecuaciones de las ceroclinas de x y de las de y para cada sistema y trace sus gráficas a mano en el cuadrante de población. Halle los puntos de equilibrio. Determine la dirección del movimiento orbital en o a través de las ceroclinas conforme avanza el tiempo. Identifique la naturaleza de las especies x y y (p. ej., depredador, presa, cooperador, competidor). Si al principio las poblaciones están en un punto no de equilibrio dentro del cuadrante de población, ¿qué sucede con x(t) y y(t) cuando aumenta el tiempo? [Sugerencia: Véase el ejemplo 5.3.2.] (a) x' = (5 - x + y)x, y' = (10 + x - 5y)y [Sugerencia: Véase el ejemplo 5.3.l.] (b) x'=(1O -x+5y)x, y'=(5+x-y)y (e) x'=(5-x-y)x, y'=(1O-x-2y)y [Sugerencia: Véase el ejemplo 5.3.4.] (d) x'=(1O-x-5y)x, y' =(5- x - y)y
jjjUn libro básico en biología matemática es el vo lumen enciclopédico (y texto avanzado) del reconocido biólogo matemático j. D. Murray, Mathematical Biology (Springer-Verlag, Nueva York, 7989).
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342
Sistemas de ecuaciones diferenciales
'11 3.
(a) a (d). Utilice un programa para trazar las órbitas, los campos de dirección y las ceroclinas de los sistemas del problema 2(a) a (d). Describa lo que observa en términos del comportamiento de largo plazo de cada especie.
4.
(Modelos de cooperación.) En el modelo de cooperación con términos autolimitantes x' = (2 - x + 2y)x, y' = (2 + 2ax - y) y puede ajustarse el parámetro positivo a para "dirigir" el sistema. (a) Analice el significado del coeficiente 2a en términos de población. (b) Obtenga el valor crítico ao de a que divide el modelo de desarrollo explosivo del ejemplo 5.3. 1 a partir de un modelo estable en el que ambas poblaciones tienden al equilibrio dentro del cuadrante de población a medida que transcurre el tiempo. Trace las órbitas y el campo de direcciones en el cuadrante de población para un valor de a < ao. Repita con a = ao y luego con un valor de a > ao. [Sugerencia: Obtenga el valor máximo ao de a tal que si O < a < ao entonces hay un punto de equilibrio dentro del cuadrante de población.]
11
www
li S.
~ . 6.
(Eliminación de la competencia.) El sistema x' = (2 - x - 2y)x + Hx, y' = (2 - 2x - y)y modela la competencia donde la especie x puede ser reabastecida (H> O) a una tasa proporcional a la población. Con un programa de solución numérica trace las curvas solución, estime el coeficiente de reabastecimiento H de magnitud mínima Ho de modo que se extinga la especie y sin importar su población inicial. Trace las órbitas para los valores de H abajo, en y arriba de Hó , y explique lo que ve. [Suge rencia: Encuentre el valor Ho del coeficiente de reabastecimiento que tenga la propiedad de que cuando H aumente pasando por Ho exista el punto de equilibrio dentro del cuadrante de población a través de un eje.] (Exclusión competitiva.) En el modelo de competencia x' = (ex - ax - bx)x, y' = ([3 - cx)y sólo la especie x tiene un término de autolimitación. Sin tener en cuenta los valores de los coeficientes positivos, ex, [3, a, b, c, se aplica el principio de exclusión compe-
titiva (véase el ejemplo 5.3.4). Explique por qué. Trace las órbitas para los valores que elija para los coeficientes. Explique qué es lo que observa. [Sugerencia: Considere los dos casos aJa> [3/c y aJa ~ [3/c .]
~
117.
~ El cambio de escala reduce el número de parámetros del sistema de 6 a 3. En el apéndice B.6 se dan más detalles.
(Un modelo de competencia: cambio de escala.) Supóngase que usted pertenece a la especie x y puede cambiar las constantes de tasa de cambio en la ecuación x' del sistema (8). Analice qué efecto tiene sobre su competidor cambiar cada una de las constantes de tasa de cambio. Sin embargo, modifique primero la escala del sistema al hacer que x = ku, y = mV y t = nT y luego elija las constantes positivas k, m y n de cambio de escala de tal manera que la nueva ecuación de tasa de cambio para su competidor sea dv/dT = (1 - u - v)v. Su nueva ecuación de tasa de cambio con cambio de escala es du/dT = (a* - a*u - b*v)u. Explique qué sucede cuando afina el sistema al cambiar ,c ada uno de los valores a *, a* y b*. ¿Qué valores de estos parámetros podrían ser tanto reales como óptimos para su especie? Trace y dé una interpretación de la órbitas.
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343
5.4 / Modelos depredador-presa
5.4 Modelos depredador-presa Como resultado de la alta tasa a la que los seres orgánicos tienden a incrementarse se origina de manera inevitable una batalla por la existencia. Todo ser, que durante su vida natural produce varios huevos o semillas, debe sufrir destrucción durante cierto periodo de su vida y durante cierta estación o año esporádico; de otro modo, con base en el principio de incremento geométrico, su número aumentaría con rapidez a tales dimensiones que ningún país podría soportar el producto. En consecuencia, cuando se producen más individuos de los que pueden sobrevivir, debe haber siempre una batalla por la existencia, ya sea un individuo con otro de la misma especie o con los de distintas especies o con las condiciones físicas de la vida. Se aplica la doctrina de Malthus con fuerza múltiple a los reinos vegetal y animal, porque en este caso no puede haber aumento artificial de alimento ni restricción prudente del matrimonio. Aunque algunas especies podrían estar creciendo ahora, más o menos con rapidez, en número, no todas pueden hacerlo, porque el mundo no las soportaría .. . La cantidad de alimento para cada especie da por supuesto el límite extremo al que puede aumentar cada una; pero muy a menudo no la obtención de alimento, sino servir de presa a otros an imales, es lo que determina el número promedio de una especieJv Charles Darwin
En las décadas de 1920 y 1930, Vito Volterra y Alfred Lotka redujeron en forma independiente las interacciones depredador-presa de Darwin a modelos matemáticos. En esta sección se presentan estos modelos.
D epredador y presa El modelo más simple de asociación depredador y presa sólo incluye el desarrollo o el deterioro naturales y la interacción entre depredador y presa. Se supone que las demás relaciones son insignificantes. Nosotros daremos por sentado que la población de presas crece de manera exponencial en ausencia de depredación, en tanto que la de depredadores disminuye de forma exponencial si se extingue la población de presas. La interacción entre depredador y presa se modela por los términos de acción de masas proporcional al producto de las dos poblaciones. El modelo para las poblaciones de depredadores y presas es el sistema depredador-presa (o sistema Lotka- Volferra) X'
= (-a + by)x = -ax + bxy
y' = (e - dx)y = ey - dxy
donde x es la población de depredadores y y la de presas, y las constantes de tasa de cambio a, b, e, d son positivas. Los términos de tasas lineales -ax y ey modelan el decaimien-
iVCharles Darwin, NStruggle por Existence N, The Origin of Species, nueva edición, capítulo 3 (de la 6a. edición en inglés). (Appleton, Nueva York, 1882.)
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344
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50
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
x' = -x + xyllO,
25
y' = y -xy/5 "i:' .8
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5
x (depredador)
Figura 5.4.1 Algunas órbitas cerradas del sistema de- Figura 5.4.2 Gráficas componentes la figura 5.4.1 (ejemplo 5.4.1). predador-presa (ejemplo 5.4.1).
para las órbitas de
to y el crecimiento naturales, respectivamente, del depredador y la presa si uno estuviera aislado del otro (de modo que y ya no es el suministro de alimento para x). Los términos cuadráticos -bxy y -dxy modelan los efectos de la interacción sobre la tasa de cambio de las dos especies: el alimento eleva la tasa de crecimiento de la población de depredadores, en tanto que servir de alimento disminuye la tasa de crecimiento de la población de presas. Las coordenadas de los puntos de equilibrio se encuentran al resolver de forma simultánea las ecuaciones para las ceroclinas, -ax + bxy = O, cy - dxy = O. Los puntos de equilibrio son el origen y el punto (c/d, a/b), que está dentro del cuadrante de población. A continuación se da un ejemplo específico de la tasa de crecimiento de una sistema depredador-presa.
Ejemplo 5.4.1
, ,
I
.,¡
l'
~
,
Órbitas depredador-presa
y gráficas componentes
En las figuras 5.4.1 y 5.4.2 se muestran las órbitas y gráficas componentes del sistema x'
= -x
+ xy/lO,
y'
=y
- xy/5
II Ij
I
'1 , ,9 I
con los puntos de equilibrio (O, O) y (5, 10). Las órbitas de la figura 5.4.1 calculadas numéricamente que pasan por los puntos (5, 20), (5, 30) Y (5, 40) tienen la apariencia de curvas cerradas (es decir, ciclos) que van en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto de equilibrio (5, 10). Las gráficas componentes de la figura 5.4.2 indican que las so-
5.4/ Iv
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enciales
5.4 / Modelos
345
depredador-presa
Tabla 5.4.1 Porcentajes de especies depredadoras en la captura total de peces Puerto
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
1923
Fiume
12%
21%
22%
21%
36%
27%
16%
16%
15%
11%
Trieste
14%
7%
16%
15%
18%
15%
13%
11%
10%
20
luciones son periódicas, que el depredador alcanza su punto máximo después que la presa (¿es lo que usted esperaba?) y que el periodo de una órbita aumenta con la amplitud y, donde la amplitud y de una órbita se mide hacia arriba a partir de dicho punto de equilibrio. 20
Los resultados del cálculo son simples, interesantes y curiosos, pero ¿tienen algo que ver con las poblaciones de especies reales? itas de
Las pesquerías del Adriático y la Primera Guerra Mundial
uviera
ema
as nue curordel las so-
En 1926 Humberto D' Ancona, un biólogo italiano, completó un estudio estadístico de las poblaciones cambiantes de varias especies de peces de las orillas del norte del mar Adriático. Su estimación de las poblaciones durante el periodo que va de 1910 a 1923 se basó en el número de cada especie vendido en los mercados de tres puertos: Trieste, Fiume y Venice. D' Ancona supuso, como nosotros, que los números de varias especies en los mercados reflejaban la abundancia relativa de las especies en el Adriático. En la tabla 5.4.1 se da una parte de los datos. Como suele suceder, los datos no brindaron un apoyo abrumador para alguna teoría específica de poblaciones cambiantes de peces. No obstante, D' Ancona observó que los porcentajes de especies depredadoras fueron por lo general mayores durante e inmediatamente después de la guerra (1914-1918). La pesca se redujo de forma considerable durante la guerra debido a que los pescadores dejaron sus redes para pelear; D' Ancona concluyó que la reducción de la pesca dio lugar al cambio en las proporciones de depredador y presa. Formuló la hipótesis de que durante la guerra la comunidad depredador-presa se aproximó a su estado natural de una proporción relativamente alta de peces depredadores, en tanto que la pesca más intensa de los años de la preguerra y la posguerra perturbaron el equilibrio en favor de las presas. Incapaz de explicar el fenómeno, D' Ancona preguntó a su suegro, el famoso matemático italiano Vito Volterra (1860-1940), si había un modelo matemático que pudiera aclarar la cuestión. En unos meses VoIterra describió una serie de modelos para las interacciones de dos o más especies.
) •
1
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346
Sistemas de ecuaciones diferenciales
El sistema (1) es el más simple de los modelos de Volterra. v
Leyes de Volterra Volterra resumió sus conclusiones acerca de las soluciones y órbitas del sistema x' = -ax + bxy
(1)
y'=cy-dxy
en forma de tres leyes. Supóngase que a, b, e, d, son constantes positivas.
Teorema 5.4.1
Ley del ciclo periódico. Las fluctuaciones de las poblaciones del depredador y su presa son periódicas. El periodo depende de los valores de los coeficientes de la tasa de cambio del sistema (1) y de los datos iniciales. Además, aumenta con la amplitud del ciclo correspondiente. A continuación se explica cómo encontrar una ecuación para los ciclos. Divida la segunda ecuación de tasa de cambio del sistema (1) entre la primera y obtenga dy dx
= cy -
d*.xy -ax+b.xy
=(
y )(~ _ -a+by x
i')
(2)
donde temporalmente se ha sustituido el coeficiente de interacción d por l' para evitar confundirlo con. el símbolo d de la diferencial dx. Al separar las variables en la EDO (2) se tiene que (3)
Vito Volterra
VFinalmente, Volterra escribió un libro relacionado con sus teorías, Les¡;:ons sur la théorie mathématique de la lute pour la vie (Cauthier- Villars, París, 1931; reproducido por University Microtexts, Ann Arbor, Mich., 1976). El biólogo soviético C. F. Cause (o Cauze) probó las teorías de Volterra al llevar a cabo numerosos experimentos de laboratorio con varios microorganismos depredadores y competidores. Publicó sus resultados en The 5truggle for Existence (Williams & Wilkins, Baltimore, 1934); reeditado por Hafner (Nueva York, 1964). D 'Ancona defendió el trabajo de Volterra en un libro en que se usó de nuevo la frase de Malthus y Darwin. The 5truggle for Existence (E. j. Brin Leiden, 1954). A.}. Lotka, un biólogo estadounidense que después fue actuario, llegó de forma independiente a muchas de las conclusiones de Volterra; véase su libro, Elements of Physical Biology (Williams & Wilkins, Baltimore, 1952); reimpreso como Elements of Mathematical Biology (Oover, Nueva York, 1956).
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347
5.4 / Mode los depredador-presa
Al integrar cada término de (3) se observa que una ecuación para las órbitas en el cuadrante de población es
e
(e 1nx - d ' s)+(a 1n y - bx) =
(4)
donde e es una constante. Si se quiere la ecuación de la órbita que pasa por el punto (xo , Yo), donde Xo y Yo son positivas, entonces se calcula e como sigue: (5)
Escribamos la ecuación para las órbitas en términos de exponenciales en lugar de logaritmos. Para llevar esto a cabo eleve a un exponente cada miembro de (4), con base en que e MB = eAe B, e alnfJ = ea ln(fJU) = f3a y e está dada en (5): (eC In x_d" x )(e G In y- by ) = ( eC In Xo _ d oXo )(e ~' In Yo - byo ) (
e
C
Inx -d"x)(
e
e
G
(xc e -dx
In y - by ) - ( c Inxo - d "x o )( a Jn yo -by o )
e
-
e
e
e
e
)(ya e - bY ) = (xoe - dxo )(y~ e -byo )
(6)
donde se ha sustituido d* por d en la ecuación anterior. La fórmula (6) define una curva cerrada simple (es decir, un ciclo) para cada (xo, Yo) f:. (c/d, a/b) dentro del cuadrante de población (véase el problema 6), lo que significa que la solución correspondiente x = x(t), y = y(t) del sistema (1) es periódica. En las órbitas calculadas de la figura 5.4.1 se ilustran algunos de estos ciclos. De manera notable, la población promedio de cada especie en cualquiera de los ciclos es una constante fija . Ésta es la segunda ley de Volterra.
Teorema 5.4.2
Ley de los promedios. En el sistema (1), las poblaciones promedio de depredador y presa durante un ciclo son, respectivamente, c/d y alb. Veamos por qué se cumple la ley de los promedios. Supóngase que x = x(t) , y = y(t) es una solución no constante que define un ciclo de periodo T. Las poblaciones promedio x y y durante un periodo se definen como
i T
X = -1
i T o
T
o
y = -1
x(t)dt,
T
y(t)dt,
(7)
Demostremos que x = cid. Primero se reordenan los términos de la segunda ecuación de tasa de cambio de (1) para obtener x(t) = ~ _...!.. y'(t) d d y(t)
(8)
Luego se integra cada miembro de (8) de O a T, se divide entre T y se utiliza (7) : x-
= -1
i
T
d
T
= -1
i
i
T
T
1 1y'(t) -e dt - - dt T o T o d T o d y(t) e 1 In y(T) - In y(O) e x(t)dt
d
d
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348
Sistemas de ecuaciones diferenciales
debido a que y(T) = y(O). Con un argumento similar se demuestra que demostrada la validez de la ley de los promedios.
y = a/b y queda
La ley de los promedios nos acerca más a los datos reales antes mencionados para la captura de peces, ya que tales datos consisten en promedios. Sin embargo, aún no se toma en cuenta a los pescadores.
Por qué la captura daña al depredador y ayuda a la presa La tercera ley de Volterra explica qué sucede cuando son capturadas dos especies. El modelo más simple es el de captura de esfuerzo constante, en el que la cantidad capturada por unidad de tiempo es proporcional a la población: x' = - ax + bxy- H[x = (-a- H[ + by)x y' = cy-dxy- H 2 y
= (c- H 2 -
(9)
dx )y
Los números negativos H¡ y H 2 son los coeficientes de captura. Cuando hay captura, el punto de equilibrio que está dentro del cuadrante de población se desplaza a la izquierda y hacia arriba a partir de x = c/d, Y = a/b al punto x
= (c- H 2 )/ d, Y = (a+ H¡)/b
(10)
Se supone que H 2 < c. De otro modo, la captura intensa de la presa y no deja suficiente alimento para el depredador y, por consiguiente, esta especie tiende a la extinción [modelada por una coordenada x no positiva para el punto de equilibrio dado en (10)]. Por la ley de los promedios, los que corresponden a la población alrededor de cualquier ciclo están dados por las coordenadas del punto de equilibrio. Puesto que la captura provoca que el punto de equilibrio se mueva hacia arriba y a la izquierda de la posición original en el cuadrante de población, la captura aumenta el promedio de la población de presas pero disminuye el de la población de depredadores.
Teorema 5.4.3
Ley de captura. La captura de esfuerzo constante aumenta el número promedio de presas por ciclo y disminuye el número promedio de depredadores. Antes de poder comparar los datos de la tabla 5.4.1 con las predicciones de la ley de Volterra para la captura, debe reformularse la ley en términos de porcentajes en vez de promedios.
Teorema 5.4.4
Ley de porcentaje de captura. La captura de esfuerzo constante aumenta el porcentaje promedio de presas por ciclo en la población total de peces y disminuye el porcentaje promedio de depredadores por ciclo. Se deja al lector la comprobación del teorema 5.4.4 (problema 4).
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5.4 / Modelos
349
depredador-presa
ueda
30
a la e to-
25
x' = -x + xy/lO - Hx, x(O) = 8 y' = y-xy/5 -Hy, y(O) = 16 H= O,2/5,1,5
H=2/5 20 "'"""
«j
'"•... -5 15 (1)
;:>.,
mo-
H=O
rada
10
(9)
5
a, el erda
O
H=5 O
4
2
.
6
8
10
x (depredador) (10)
Figura 5.4.3 Efectos de la captura (ejemplo 5.4.2).
iente odeuier ovoginal esas
Si los coeficientes de captura en el sistema (9) son demasiado grandes, el punto de equilibrio interno (( e - H 2) / d, (a + H, ) / b) corta el eje y positivo y se extingue una o ambas especies, como se ve en siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.4.2
Efecto de la captura de esfuerzo constante Consideremos el PVI con los mismos coeficientes de captura H¡ = H2 = H:
re-
y de
vez
aje ro-
x' = -x + xy/lO - Hx,
x(O) = 8
y'=y-xy/5-Hy,
y(O) = 16
(11)
En la figura 5.4.3 se observan las órbitas para el PVI (11) con cuatro valores para el coeficiente de captura: H = O (nada de captura), 2/5 (captura ligera), 1 (captura crítica) y 5 (captura intensa). Dos de las órbitas de la figura 5.4.3 indican que cuando no hay captura o cuando es ligera ambas especies sobreviven. Pero si la captura es crítica (H = 1), sólo la presa sobrevive. Si H es mayor que 1, entonces se extinguen tanto depredador como presa. Con la ley de porcentaje de captura de Volterra se responde la pregunta de D' Ancona. Una disminución en la tasa de captura da lugar a un incremento en el porcentaje de depredadores. Véase de nuevo la tabla 5.4.1. Cuando la tasa de captura disminuyó durante los
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350
Sistemas de ecuaciones diferenciales
años de guerra y luego aumentó durante la posguerra, el porcentaje de depredadores aumentó y luego disminuyó, justo como predice el modelo de Volterra.
Validez de la ley de captura de Volterra Desde su formulación, en muchas ocasiones el modelo de Volterra se ha puesto a prueba y recibido apoyo, pero continúa siendo el punto de partida para muchos intentos serios de entender cómo evolucionan las comunidades de depredadores y presas con o sin captura. Una confirmación impresionante de la validez general de la ley de captura de Volterra ocurrió cuando se aplicó el insecticida DDT para controlar un hemíptero que infestó los huertos de cítricos en Estados Unidos de América. El insecto fue traído accidentalmente de Australia en 1868. La cantidad de estos insectos fue controlada (pero no eliminada) mediante la importación de su depredador natural, un tipo particular de mariquita. Cuando se introdujo el DDT como agente de "captura", se esperaba que el hemíptero pudiera ser eliminado por completo. Pero el DDT actuó de manera indiscriminada, matando a todos los insectos impregnados del insecticida. La consecuencia fue que disminuyó el número de mariquitas, en tanto que aumentó la población de hemípteros, liberados ya de la depredación por parte de las mariquitas.
Comentarios La observación de Darwin de que "servir de presa para otros animales es lo que determina el número promedio de una especie" encuentra apoyo por el modelo de Volterra y por los datos de captura de peces en el Adriático. El modelo tiene sus deficiencias: no se toma en cuenta el retraso entre una acción y su efecto sobre la cantidad de pobladores, es dudoso el promedio sobre las categorías de edad, fertilidad y sexo y los parámetros del modelo no cambian con el tiempo. Sin embargo, se aplica la regla de Occam: "Lo que puede explicarse con el mínimo de suposiciones se explica en vano con más".
Problemas _____________________________________________ 1.
(Sistemas de Lotka-Volterra.) ¿Cuál es el depredador y cuál es la presa? Encuentre las poblaciones promedio de presa y depredador. ¿La población va en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto de equilibrio en el primer cuadrante? [Súgerencia: Aplique el teorema 5.4.2. Para determinar la orientación del ciclo, encuentre el signo de x' si x > O YY = O,.y el signo de y' si y > O Y x = O.]
(a) x' = - x + xy,
y' = Y - xy
(e) x' = (-1+0.09y)x,
y' =(5-x)y
(b) x'
= 0.2x -
0.02xy,
y'
= -O.Oly + O.OOlxy
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351
5.4 / Modelos depredador-presa
www 3.
(Estimación de los periodos de los ciclos.) En los incisos (a) a (e) trace el punto de equilibrio y)os ciclos que pasan por los puntos (5, 10) Y (10, 5) para los sistemas del problema 1. Trace las gráficas componentes para las órbitas y utilice estas gráficas para estimar los periodos. (Linealización para estimar los periodos de los ciclos.) Para linealizar un sistema plano x' = f(x, y), y' = g(x, y) respecto a un punto de equilibrio (xo, Yo), expanda cada función de tasa de cambio en una serie de Taylor respecto a (xo, Yo) Y deseche los términos que no sean de primer orden. El resultado se denomina linealización del sistema original en (xo, Yo). Aplique este proceso a las ecuaciones de tasa de cambio para depredador y presa x' = -ax + bxy, y' = cy - dxy a fin de estimar los periodos de los ciclos de población cerca del punto de equilibrio (c/d, a/b) dentro del cuadrante de población. (a) Demuestre que el sistema de ecuaciones linealizadas para el sistema depredador-presa es x' = bcy/d - ac/d, y' = -adx/b + ac/b. (b) Demuestre que para ciertos valores de (O y AlB, x = c/d + A cos (Ot, Y = a/b + B sen (Ot es solución del sistema linealizado del inciso (a). ¿Cuáles son estos valores? Establezca a = b = c = d = 1 Y trace las órbitas y gráficas componentes de los sistemas no lineal y linealizado usando los datos iniciales comunes Xo = 1, Yo = 1, 1.1,1.3, 1.5, 1.9. Grafique en O ~ t ~ 20. Explique las gráficas y compare los periodos de los ciclos de los dos sistemas usando un punto inicial común. (Ley de los porcentajes.) Compruebe el teorema 5.4.4 para los porcentajes de depredadores. [Sugerencia: El sistema para la captura es x' = -ax + bxy - H¡x, y' = cy dxy - H2Y, con H 2 < c. Explique por qué la fracción F del depredador de la captura total promedio es
Il(e) 4.
F=[I+ d(a+H¡)]-¡ b(c- H 2)
Explique por qué F disminuye cuando crecen H¡ y H 2 .
5.
(Captura de una comunidad de depredador y presa hasta la extinción.) Los coeficientes de captura altos H¡ y H 2 podrían provocar la extinción de las especies. En este problema se explora lo que sucede. (a) Explique las gráficas de la figura 5.4.3. (b) Establezca H¡ en un valor positivo fijo en el sistema (9). Demuestre que cuando H 2 --¿ C -, el punto de equilibrio se aproxima al punto (O, (a + H¡)/ b) en el eje y y que si H 2 = c, todos los puntos en el eje y son puntos de equilibrio del sistema (9). (e) Sea H 2 = c en el sistema (9). Demuestre que dy/ dx = (dxy)«a + H¡)x - bxy)-¡. Separe las variables, resuelva y encuentre x como función de y y los datos iniciales xo, Yo, donde Xo > O, Yo > O. (d) ¿Qué cree que ,sucede con la especie capturada a medida que aumenta el tiempo para el caso H 2 = c? Dé una explicación informal, pero con razones para sus conclusiones. Como ayuda, establezca a = b = c = d = 1, H¡ = 0.1 Y trace las órbitas.
Il
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Sistemas de ecuaciones diferenciales
6.
~ _ 7.
5.5
(Las órbitas del sistema Lotka- Volterra son ciclos.) Siga estos pasos para demostrar que para O < K ~ Kü = xge - dxo yg e - byo la gráfica de la órbita definida por la ecuación (6) es una curva celTada simple (es decir, un ciclo) en el interior del cuadrante de población, a menos que K = Kü = a O(be) - OC C (de) -C cuando la gráfica está en el punto de equilibrio (c/d, alb). (a) Demuestre quef(x) = x Ce- dx está definida para x:;::: O, aumenta a partir del valor O en x = O a su valor máximo de MI = cC(de)-c en x = c/d, decrece cuando x crece más allá de c/d, y j(x) ~ O cuando x ~ +00. Demuestre que la función g(y) = yae- by tiene las mismas propiedades, pero su valor máximo es M2 = aO(be)-G obtenido en y = aIb. (b) Demuestre que los valores no negativos de x y y satisfacen la ecuación (6) si K> K*, donde K* = M I M 2 . Demuestre que (6) tiene la solución única x = c/d, Y = aIb si K = K*. (e) Supóngase que res cualquier número positivo, r< MI. Demuestre quej(x) = r tiene dos soluciones, XI y X2, donde XI < c/d < X2. Demuestre que g(y) = r M 2 /f(x) no tiene solución y si x > X2 o X < XI; exactamente una solución, y = a/b, si x = X2 o si x = XI; y dos soluciones YI (x) < a/b Y Y2 (x) > alb, si XI < x < X2. Demuestre que YI (x) ~ alb y Y2 (x) ~ aIb si x ~ XI o X ~ X2. (d) Explique por qué la ecuación (6) define un ciclo dentro del cuadrante de poblaCión si O < K < Kü. (Estrategias de captura.) Supóngase que el sistema (9) modela un sistema depredador-presa y que usted es quien realiza la captura. Digamos que se requiere que 0< X m ~ x(t) ~ XM Y O ~ Ym ~ y(t) ~ YM para toda t, donde se dan los límites de población x m, XM, Ym, YM· Supóngase también que x(O) = c/d, y(O) = alb. Describa cómo elegiría los coeficientes positivos HI y H 2 para mantener cada especie dentro de los límites prescritos. Justifique sus argumentos. Las tasas altas de captura pueden mantenerse si es corta la temporada de captura. Construya y justifique su propia estrategia para maximizar el rendimiento al imponer un límite a la temporada de captura, en tanto se mantiene la población dentro de límites razonables.
La plaga de zarigüeyas: un modelo en potencia El equilibrio ecológico de Nueva Zelanda se trastornó al introducirse la zarigüeya australiana, marsupial cuya talla es la de un gato doméstico y se llama, apropiadamente, Trichosurus vulpecula. Este animal fue introducido en 1830 para comerciar en forma planificada, pero sin depredadores naturales en los bosques de Nueva Zelanda proliferó muy rápido. En la actualidad se estima que existen 70 millones de zarigüeyas y un mínimo de áreas libres de ellas. Cerca de la mitad de la población de este animal, que se ha convertido en receptáculo de un tipo de tuberculosis, está infectada. Esto representa una amena-
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353
5.5/ La plaga de zarigüeyas: un modelo en potencia
za de contagio para el ganado que forma parte importante de la economía de Nueva Zelanda. Se está emprendiendo un esfuerzo intenso para comprender la ecología y la enfermedad de este marsupial. Este esfuerzo incluye la construcción de modelos matemáticos para la dinámica de marsupial y enfermedad. Aquí se trata el más simple de estos modelos. El enfoque será, digamos, telegráfico y se deja el análisis detallado al lector. vi
Modelación de la dinámica de población' y enfermedad Supóngase que P es la población de zarigüeyas y que 1 es la subpoblación infectada, ambas medidas en unidades de decenas de núllón. Nótese que P 2: 1 Y que la población de zarigüeyas es P - I. El modelo dinánúco más sencillo para P(t) e l(t) es P'=(a-b)P - aI
(1)
I'={3l(P-I)-(a+b)l
donde el tiempo t se núde en años, a y b son, respectivamente, los coeficientes del índice de nacimiento y muerte naturales, medidos en unidades de año- 1 y a es el coeficiente del índice de muerte inducida por la enfermedad en unidades de año- l. El número {3 [medido en unidades de (l07 . año ti] es el coeficiente de acción de masas por el que se mide la eficacia de las interacciones al transmitirse la enfermedad de la población 1 de los enfermos a la población P - 1 de animales sanos. Una vez que una zarigüeya se contagia de tuberculosis, nunca recobra la salud, por lo que no hay subpoblación de "recuperados". Este modelo es sólo una aproximación a la realidad y descuida factores tales como la falta de uniformidad (es decir, las variaciones espaciales en los niveles de población) y las diferencias debidas a la estructura de edad de la población de zarigüeyas. Sin embargo, el modelo es sorprendentemente eficaz para dar una idea macroscópica de la situación y tener una indicación del esfuerzo necesario para cambiar el resultado en el largo plazo. N
vi Esta sección se tomó de la nota NPercy Possum Plunders de Craeme Wake, profesor de ma-
temáticas aplicadas en la universidad de Auckland, Nueva Zelanda. La nota apareció en el boletín CODEE (invierno de 7995). Wake y sus colaboradores K. Louie y M. C . Roberts escribieron un artículo detallado, NThresholds and Stability Anal ysis of Models for the Spatial Spread of a Fatal Disease N, que inclu ye otros modelos matemáticos de la dinámica de población de zarigüeyas, y apareció en IMA Journal for Mathematics App lied to Medicine and Biology 10, (7993), pp. 207-226. Wake es un distinguido matemático que disfruta la aplicación de las matemáticas a problemas Nrea lesN como e/,q/de se ana liza en esta sección. Ha empleado técnicas matemáticas para ayudar a resolver Jos misterios de por qué los montones de lana que se envían al extranjero a menudo arden sin llama en los navíos, y por qué se incendian de pronto las tiendas que expenden papas y pescado en Australia. Una excelente referencia genera l acerca de los modelos matemáticos para la diseminación de enfermedades es un artículo de otro distinguido matemático, H. W Hethcote, NQualitative Analysis of Communicable Disease Models N, Math. Biosci. 28 (7976), pp. 335-356.
http://carlos2524.jimdo.com/ 354
Sistemas de ecuaciones diferenciales
Las soluciones no constantes del sistema (1) no pueden expresarse en términos de funciones elementales, así que deben basarse en la teoría matemática y la simulación por computadora para entender el comportamiento de la solución.
Cambio de escala para las variables El sistema (1) tiene cuatro parámetros, a, b, a y [3. Puede hacerse un cambio de variables para las poblaciones P e 1 y el tiempo t a fin de reducir el número de parámetros antes de hacer las simulaciones en computadora: P = hx I@" En el apéndice B.6. se amplía la información acerca del cambio de variables.
1 = jy,
t = ks
(2)
donde h, j Yk son constantes positivas por determinar para el cambio de variables. Del sistema (1), las relaciones de variables dadas en (2) y la regla de la cadena se obtiene dP dP dx ds h dx . = - - - = - - = (a - b)hx - aJY dt dx ds dt k ds . dI dI dy ds j d y . . . - = - - - = - - = [31Y(hx - ly)-(a + b)lY dt dydsdt kds -
(3)
Se escogerán las constantes para centrar la atención en los coeficiente del término en x en la primera EDO del sistema (3) y el término en y en la segunda. Si se establece que h=j = a /[3,
k= lIa,
c=(a-b) /a,
r = (a + b)/a
(4)
entonces se tiene el sistema simplificado de variables y parámetros adimensionales: dx -= cx - y ds dy - = y(x - y) - ry ds y
"'-"-'>->-':""'>"'>"">"">"":>"-"--_
x
I 1
1 I
':
= (x -
y - r)y
Hay una razón para centrar la atención en los parámetros e y r. La manera más factible de reducir la población de zarigüeyas es reducir el Índice de natalidad o aumentar su tasa de muerte natural, esto es, modificar a o b en las fórmulas de (4), para así cambiar e y r. Consideremos la región R, O::; y::; x porque el número de animales infectados no puede exceder toda la población. Puede asegurarse que si O::; Yo::; xo, entonces la órbita que empieza en (xó, Yo) permanece en la región O::; y::; x conforme aumenta el tiempo al requerir que e + r:2: 1 (véase el problema 4). Los puntos de equilibrio del sistema (5) se encuentran al resolver en forma simultánea las ecuaciones de las ceroc1inas ex - y = O Y (x - y - r)y = O para x y y. Se encuentra que los puntos de equilibrio son el origen y el punto cuyas coordenadas son x = r /(l - e),
l'
(5)
y = er /(l - e)
http://carlos2524.jimdo.com/ encíales
355
5.5/ La plaga de zarigüeyas: un modelo en potencia
dx/ds = -x - y,
dy/ds = y(x - y) - 2y
dx/ds
'"~
= y(x
- y) - 2y
e
.::
.:: 4
'0
dy/ds
"O
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(2) o ~--~~-------. o
rl__
2
~~~~I--
~
468
x (población de zarigüeyas)
(3)
Figura 5.5.1 El caso remoto de la extinción de las zarigüeyas: e = -1, r = 2.
(4)
le de tasa e y r. puea que al retánea a que
6
Figura 5.5.2 Otra situación improbable: infectada se extingue si e = O Y r = 2.
la población
El último punto de equilibrio desaparece si e = l. Nótese también que si e = O, entonces (x, O) es un punto de equilibrio en la región R para toda x ~ O. Una meta de la simulación por computadora es determinar si las órbitas de las poblaciones x = x(s), y = y(s) del sistema (5) tienden a un punto de equilibrio o son no acotadas cuando s crece. Esto puede realizarse a través del estudio de las órbitas del sistema (5) para varios valores de e y r.
nxen
(5)
4
x (población de zarigüeyas)
Ejemplo 5.5.1
De la extinción a la explosión Asigne r = 2 en el sistema (5) y trace las órbitas en la región R para e = -1, O, l.5 Y 0.25. En las figuras 5.5.1 a 5.5.4 se-ilustran los resultados. En la figura 5.5.1 e = -1 Y todas las órbitas en R tienden al origen; esto es, cuando s avanza, las zarigüeyas se extinguen (y la enfermedad presumiblemente con ellas). A pesar de las apariencias, las órbitas de la figura 5.5.2 (donde e = O) no son todas asintóticas a un estado de equilibrio único (x, O). Al amplificar la región cercana a (1, O) se observará que las siete órbitas tienden a siete puntos de equilibrio. Cada punto de equilibrio modela una población de zarigüeyas de estado estacionario libre de enfermedad. En la figura 5.5.3 (e = l.5) se muestra una situación desastrosa, pero en la figura 5.5.4 (e = 0.25) se ilustra el intrigante escenario donde la población de zarigüeyas y su subpoblación enferma se acercan a un estado de equilibrio. Esto puede interpretarse en términos de una enfermedad que se vuelve endémica y de las poblaciones sanas y enfermas en equilibrio. En las figuras 5.5.5 y 5.5.6 se muestra una órbita oscilatoria; su aproximación a otro equilibrio endémico (22/19, 11/190) Ylas gráficas componentes correspondientes en el ea-
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Sistemas de ecuaciones diferencia les
so e = 0,05 Y r = 1.1 (algo más real que los valores e = 0.25 , r = 2 de la figura 5.5.4). Pero el tiempo entre máximos sucesivos de la población es tan largo que puede tomar años de observación antes de que pudiera decidirse si los datos ratifican la validez de un modelo como éste, Este modelo para las zarigüeyas pasará a la historia, No se sabe aún si éste o algún otro modelo marcará la brecha para comprender la dinámica de la situación y cómo puede resolverse el problema básico. ¿Alguna idea? dx/ds = 1.5x - y,
20
~
dy/ds = y(x - y ) - 2y
dx/ds = O.25x - y,
15
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"O
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10
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2: o.,
2: o.,
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10
15
20
x (población de zarigüeyas)
Figura 5.5.3 La pesadilla del crecimiento explosivo: e = l.5 , r = 2. dx/ds = O.05x - y, dy/ds = y(x - y) - l.ly x(O) = 7, y(O) = 3.5
~5
ro ro
"O
Ü
y
ro
2: o.,
Figura 5.5.4 Las poblaciones saludables y las infectadas se estabilizan: e = 0,25, r = 2.
!; ~ ilZ= .§
3 .
'ü ~ .o
I
~ 3
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:oo
x (población de zarigüeyas)
1
o
<2l
.5 .§
dy/ds = y(x - y) - 2y
/
d~'D
-1 O
100
200
300
s
1:
l.
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.5
3
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I
'ü -"l
2: 0., -1
x (población de zarigüeyas)
~----------------------~20~ 0 ----------~300
s
Figura 5.5.5 Tendencia a un equilibrio estable donde la Figura 5.5.6 La población explota durante la aproxienfermedad es endémica en niveles bajos de población: mación a los niveles bajos de población x z 1.16 y Y = 0,06: e = 0.05, r = 1.1. e = 0.05, r = l.1.
http://carlos2524.jimdo.com/ 5.5 / La plaga de zarigüeyas: un modelo en potencia
35 7
Comentarios El modelo de tuberculosis y zarigüeyas es uno de tantos de enfermedades formulados durante los últimos 50 años como ayuda para entender la dinámica de la diseminación de las enfermedades. Estos modelos tienen un uso extenso y uno de ellos se describe en el conjunto de problemas.
Problemas _____________________________________________ www 1.
(Brote de una epidemia de sarampión: modelo SIR de Kermack-McKendrick.) Es posible modelar la evolución de una epidemia en una población fija al dividir la población en tres clases distintas: S = Susceptibles , los que nunca han padecido la enfermedad y pueden infectarse I = Infectados , los que tienen la enfermedad y son contagiosos R = Recuperados , las personas que ya padecieron la enfermedad y están recuperadas
11
11
Supóngase que la enfermedad es leve (todos finalmente se recuperan), confiere inmunidad al recuperado y es contagiosa hasta la recuperación del individuo. (a) Sostenga que la evolución de la epidemia podría modelarse con el sistema de EDO no lineales de primer orden S" = -aSI, I' = aSI - bl, R' = bl, donde el parámetro b representa al recíproco del periodo de infección y a representa al recíproco del nivel de exposición de una persona representativa. [Sugerencia: Compare con los modelos de interacción depredador-presa.] (b) Demuestre que el comienzo de una epidemia sólo puede ocurrir si la población susceptible es suficientemente grande. En particular, encuentre el valor umbral para S arriba del cual más personas son infectadas cada día de las que se recuperan. (e) Supóngase que la rubéola dura cuatro días. Supóngase también que la persona susceptible característica tiene contacto diario con 0.3% de la población infectada y que la enfermedad se transmite en 1 de cada 6 contactos con una persona infectada. Encuentre los valores de los parámetros a y b en el modelo SIR. ¿Cuán pequeña debe ser la población susceptible para que esta enfermedad desaparezca sin convertirse en epidemia? Realice una comprobación trazando la gráfica componente para l(t) para su elección de 1(0) y para los valores de SeO) que están 50% arriba y 50% abajo del valor umbral encontrado en el inciso (b) . Grafique en O ~ t ~ 30 Y explique lo que ve. (d) Supóngase que otra enfermedad tiene los valores de parámetros a = 0.001 Y b = 0.08, Y suponga que se introducen a la población 100 individuos infectados. Investigue cómo la diseminación de la infección depende del tamaño de la población al trazar las gráficas componentes S, I Y R para O ~ t ~ 50, 1(0) = 100, R(O) = O Y los valores de SeO) van de O a 2000 en incrementos de 500. ¿Cómo afecta el valor de SeO) la rapidez con la que se extiende la epidemia?
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358
Sistemas de ecuaciones diferenciales
! I (e) Con a = 0.001 Y b = 0.08, encuentre 1 como función de S, lo Y So Ygrafique l(t) contra S(t) para varios valores de So e lo, O < So < 1600, O < lo < 1250. Con una amplificación cerca del origen, vea el comportamiento en el largo plazo. Interprete sus gráficas en términos del modelo. [Sugerencia: d1/dS = -1 + b(aS)-I .] 2. (Cambio de escala para la plaga de zarigüeyas.) Digamos que las poblaciones de zarigüeyas P e 1 se miden en unidades de un millón y que el tiempo se mide en años. Demuestre que si se miden las constantes de escala h y j , k de (2) y (4), respectivamente, en unidades de 10- 7 y (años)-l, entonces x, y y s son variables adimensionales. II ~ Escriba el modelo de las zarigüeyas en términos de los individuos susceptibles, S = P - 1 Y de los infectados, 1. Luego, introduzca las variables de escala z = x - y, y y s (donde x, y y s son como se indican en el texto), escriba las EDO z, y, encuentre los puntos de equilibrio y trace las órbitas para z ~ O, Y ~ O con los valores para c y r como se dan en las figuras 5.5 .1 a 5.5.5. Interprete sus gráficas (amplíelas si es necesario para detectar el comportamiento de largo plazo). 4. Supóngase que R es la región en el primer cuadrante modelada por las líneas y = x y y = O (R incluye sus límites). Demuestre que si c + r ~ 1, entonces las órbitas del sistema (5) que se originan en R permanecen allí cuando aumenta t. ~ 5. (Estudio de parámetros de la plaga de zarigüeyas.) Elabore un estudio de parámetros del modelo de la plaga de zarigüeyas, usando los parámetros de su elección. Explique sus resultados y relacione sus conclusiones con una evaluación de la situación en Nueva Zelanda.
11
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~
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y'
200
= O.Oly
- H escalón(30 - t),
y(O)
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Capítulo
I(t)
6
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4
JO. I
5
20
10
O
30
40
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60
t(días)
=x itas e-
Efecto de un plan de captura de 30 días a una tasa H en una población con crecimiento exponencial. ¿Qué cantidad de captura se considera excesiva (sección 6.2)?
Ex-
La transformada de Laplace
ión
La transformada de Laplace es un operador lineal de amplio uso en la construcción de fórmulas de solución de ecuaciones diferenciales lineales (EDO) con una amplia variedad de términos de forzamiento, entre ellas las funciones de activación y desactivación y las que tienen términos que suponen un retraso. El operador tiene una integral y transforma los problemas de EDO en problemas con una estructura simple.
6.1
Introducción a la transformada de laplace Cuando los matemáticos, ingenieros y científicos utilizan cierto tipo de ecuación para modelar y entender una amplia variedad de procesos naturales tienen un gran interés en encontrar un método eficaz para resolver todas las ecuaciones de ese tipo. Una técnica es transformar las ecuaciones de cierto tipo en otras menos complicadas, resolver éstas y finalmente revertir la transformación e interpretar las soluciones en términos de las ecuaciones originales. En este capítulo se abordan las EDO lineales no homogéneas y los sistemas de EDO con coeficientes constantes, así como ecuaciones con retrasos. Laplace' demostró cómo i
El físico matemático francés Pierre-Simon de Laplace (7749-7827) realizó la mayor parte de su trabajo matemático al aplicar la teoría newtoniana de la gravitación al sistema solar
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360
La transformada de Laplace
transformar las ecuaciones de este tipo en ecuaciones algebraicas que pueden "resolverse" por medios algebraicos. Nuestro objetivo central es explorar este proceso de transformación y cómo revertirlo después para obtener una solución del problema original. El flujo descrito a continuación da lugar a un modelo matemático relacionado con retrasos de tiempo de una clase no vista antes en esta obra. En la sección 6.3 demostraremos que la transformada de Laplace es muy apropiada para este modelo.
Modelo para el seguimiento de automóviles y
~
~
~
Luzroja
[2J
o o
D GJ
[2]
Pierre-Simon de Laplace
Supóngase que varios automóviles se detienen ante la luz roja del semáforo. Luego se enciende la luz verde y acelera el primer auto. Diez segundos después hace lo mismo el segundo. ¿Por qué? Construyamos un modelo que podamos utilizar para responder preguntas como ésta. Muchos estímulos pueden provocar que el conductor en una fila de autos responda con una aceleración o desaceleración: un automóvil veloz atrás, un cambio en la luz del semáforo enfrente, una variación de velocidad del automóvil de adelante. Naturalmente, la respuesta del conductor no ocurre de súbito; primero debe detectar el estímulo y luego decidir si frena o acelera. El automóvil no responde de manera instantánea y contribuye al retraso en la respuesta del sistema automóvil-conductor. Aquí empleamos la palabra automóvil para denotar el sistema automóvil-conductor y referimos al retraso en la respuesta como el tiempo de respuesta del auto. Digamos que el estímulo dominante para el automóvil es la diferencia entre la velocidad del auto de enfrente y su propia velocidad. La respuesta del automóvil, supondremos, es una aceleración si el automóvil de adelante tiene una velocidad relativa positiva y una desaceleración si ésta es negativa, de ahí el término control de velocidad . Supóngase que la magnitud de la aceleración o desaceleración del automóvil es proporcional a la magnitud de la velocidad relativa. La constante de proporcionalidad positiva es la sensibilidad del automóvil al estímulo. Midamos el tiempo desde que el automóvil delantero acelera después que enciende la luz verde. Supondremos que este auto acelera a a pies/s 2 , que todos los automóviles tienen una longitud de 15 pies y que el espacio entre los autos en fila es de cinco pies. La ubicación y/t) del j-ésimo auto en el instante t se mide del semáforo a su defensa fronen conjunto. En su Mécanique Céleste, obra de dos mil páginas publicada en partes entre 1799 y 1825, demostró la estabilidad del sistema solar según sus hipótesis simplificadoras. Laplace no sólo fue un gran matemático, sino también un político destacado. Habiendo examinado y aprobado al joven Napoleón Bonaparte de 16 años para que ingresara en el colegio militar francés en 1785, Laplace sobrevivió la Revolución Francesa y los muchos cambios en la estructura política ga la en 105 años posteriores. Uno se pregunta qué habría pasado con la historia europea si Laplace hubiera reprobado a Napoleón ... hablemos mejor de sensibilidad a los datos.
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6.1/ Introducción a la transformada de Laplace
tal; por tanto, Yj(O) :::;; ,O. Consideremos los tres primeros automóviles de la fila y utilicemos los principios de modelación anteriores para seguir sus posiciones después del cambio de luz. Si se parte de la premisa de que se trata de sistemas automóvil-conductor idénticos y, por tanto, de un tiempo T de retraso y coeficientes de sensibilidad íL comunes, se obtiene el modelo matemático específico en el que intervienen ecuaciones diferenciales con retardo (o retraso)
yj
j = 1, 2, 3
vj ' v~ =a =
v~ (t + T) =
íL[ VI (t) -
(1) V 2 (t)]
v 3(t + T) = íL[v 2 (t)-V 3(t)] Obsérvese el retraso de tiempo T en las ecuaciones de aceleración para los automóviles segundo y tercero. Se tienen las siguientes condiciones iniciales y¡(O)=O,
h(O) =-20,
Y3(0)=-40,
vj(ü)=ü,
j=l, 2, 3
(2)
El propósito de todo esto es encontrar las funciones Yj(t) y, en particular, determinar si ocurre una colisión, esto es, si para algún instante t* y algún entero j = 2, 3, Yj (t*) = Yj _1(t*) - 15, lo cual corresponde a la colisión del j-ésimo con el (j - 1) automóviles. Resolveremos este problema al final de la sección 6.3 después de haber obtenido la transformada de Laplace que será la herramienta principal para hallar la solución.
El operador de la transformada de laplace 1&"
Lea L [j] como "ele
def"·
El operador .L de la transformada de Laplace actúa sobre una función f y devuelve otra función L[f]. Expliquemos cómo funciona . •:. El operador de la transformada de Laplace. La transformada de Laplace de una funciónf(t), ü:::;; t < 00, es un función.L [f] de una variable real s dada por L[f](s)
r= e -si f(t)dt = lím r'l' e - si f(t)dt Jo 'l'-H=J O
(3)
donde la transformada está definida para toda s real para la cual existe el límite en (3). Veamos qué hace el operador de la transformada de Laplace, .L , a algunas funciones elementales.
Transformadas de laplace de las funciones f(t) = c, t, ea, Utilicemos la definición (3) para hallar algunas transformadas de Laplace:
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362
La tra nsformada de Laplace
• La transformada de la función constante f(t)
= e, para toda t ~
.L[c](s) = r~ e-sI. cdt = Um e
-r-H~
Jo
O, es
r-r e-sI dt
Jo
= Um c[_ '!'e-SI ]I=-r = Um c[- .!.e-s-r +.!.e- s.o] S
-r -H~
1=0
S
-r-H-~
S
e e (4) = 0+ -= -, s>O s s porque, si s es positiva, entonces e-s-r ~ O cuando r ~ +00. Se opta por restringir s a valores positivos de modo que exista la transformada. • A continuación se explica cómo transformar f(t) = t, t ~ O, mediante una tabla de integrales [p. ej . la tabla 1.3.1]: ...c[t](s) = -_
r~ e-sl·tdt =
Jo
Um -r-H-oo
r-r e-S1tdt =
Jo
[
1
Um - 2 e - SI (st+l) -r-+I-oo
S
]t=-r 1=0
l'1m [ -sr 1] + 2e 1 -s·o (s · O+ 1) -+ -
-r-)+oo
- Um
s2 es-r
s
[~]+ J..... S2
- -r-)+oo s3 es-r
1 1 = 0 + 2 = 2' s s
s>O
(5)
donde en un punto se utiliza la regla de L' Hopital [derive el numerador sr + 1 Y el denominador s2 e s-r con respecto a r, divida y luego obtenga elUmite cuando r ~ +00]. Una vez más, se requiere que s > O. • Por último, se calcula .L [e al ] de la manera siguiente: .L[eal](s) = r~ e-sI. e al dt = Um
Jo
-r-)+oo
= lím [ _I _ e(a-sll ]I=-r -r-)+oo a - s 1=0 Irllf En la tabla al final del capítulo se enumeran las transformadas de muchas más func iones.
_l' [-a 1-- e
-
1m
-r-)+oo
r e(a-s)1 dt
Jo
1
(a-sl-r ] - - -
s
1 1 = 0 +--=-- , s-a s-a
a-
s
s>a
(6)
En este caso se toma s > a de modo que existe la transformada. Obsérvese que L [f] (s) en estos ejemplos no se define para toda s, sino sólo para valores de s más allá de algún número So que varía de una función f a otra. Esto es característico de la transformada de Laplace y veremos numerosos ejemplos de esta propiedad.
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363
6.1 / Introducción a la tra nsformada de Laplace
En el siguiente ejemplo se sugiere la razón de la utilidad de la transformada en las ecuaciones diferenciales. Se necesitará la fórmula de integración por partes del cálculo: si u(t) y v(t) son funciones continuamente diferenciables para a:::;; t:::;; b, entonces
s:
u(t)v'(t)dt = [u(t)v(t)
]::~ -
S:
u'(t)v(t)dt
Nótese que la integración por partes "mueve" la derivada de v(t) a u(t) .
Ejemplo 6.1 .2
Transformación de una derivada
Supóngase que y'(t) es continua para t ~ O Y que para toda s mayor que alguna So se tiene e-s'/: y (-r) ~ O cuando -r ~ +00 . Entonces se tiene la fórmula .L:[y'](s) = -y(O) + sL[y](s)
(7)
A continuación se da una explicación de esta fórmula fundamental de la transformada. L[y'](s) = lím
r'/: e
- sI
r->+oo J o
y'(t)dt
(integración por partes)
= - y(O) + sL[y](s)
donde (como se mencionó) se ha supuesto que e -sr y (-r)
~
O cuando -r ~
+00.
Antes de aplicar la transformada de Laplace en algunas situaciones prácticas es necesario comprobar otras propiedades de la transformada.
Propiedades de la transformada de laplace
I@"
y así se tiene otro
operador lineal.
Si L[f](s) y L[g](s) están definidas en un intervalo s > so, entonces también lo está L[af + ,6g](s) para cualesquiera con·stantes reales a, ,6. L es un operador lineal porque (si se usan las propiedades de las integrales) SI
L[af+,6g] = Sooo e - (af(t)+,6g(t))dt
= a r e -sI f(t)dt + ,6 S:
e - sI g(t)dt
= aL[f] + ,6L[g ]
(8)
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La transformada de Laplace
En seguida se muestra cómo se usa (8) en un problema específico de transformada: 2t 2t 7 1 ..c[7t - e ] = 7..c[t]-..c[e ] = 2 - - s s-2
donde se han utilizado también las fórmulas (5) y (6). A fin de que la transformada sea útil, debe se posible recuperar f(t) de L [f](s). Supóngase que f(t) y g(t) son continuas para t ~ O Y que coinciden las transformadas para s
~
so:
..c[f](s) = ..c[g](s),
s ~ So
Entonces puede demostrarse que f(t) = g(t), t ~ O. En otras palabras, una función continua puede recuperarse de manera única de su transformada de Laplace. El operador con el que se hace esto es lineal; se denota por L -1 Y se denomina la transformada de Laplace inversa. No es fácil construir una fórmula explícita que describa la acción de L - 1, pero puede obtenerse junto con una fórmula mediante tablas de transformadas como las del final del capítuloJi Por ejemplo, si L[f](s) = lIs 2 para s > O, la única función continua con esta transformada esf(t) = t, t ~ O (véase el ejemplo 6.1.1).
Problemas de valor inicial y transformadas La utilidad de la trasformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial se sugiere con el siguiente ejemplo, en el que se muestra que un PVI puede transformarse en una ecuación algebraica que no contiene derivadas en absoluto.
Ejemplo 6.1.3
Resolución de un problema de valor inicial mediante transformadas de laplace
Considérese el PVI y'(t) + ay(t) = f(t),
y(O) = Yo
(9)
donde a es una constante y f es continua por partes en [O, + 00). Supóngase que L [y'], L[y] YL[f] están definidas en un intervalo común s > so. Aplique L a cada miembro de la EDO en (9) y utilice la linealidad de L para obtener ..c[y'](s) + a..c[y](s) =..c[f](s),
ii
r !~ "
s> So
(10)
La fórmula para L - l[g] tiene que ver con una integral de contorno en el p lano complejo, pero la obviaremos para atenernos a las tablas a fin de hallar las transformadas inversas.
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365
6. 1 / Introducción a la transformada de Laplace
Si ellíml_H~ e-sty'(t) = Opara cada s > so, con la fórmula de la trasformada (7) la fórmula (10) se convierte en s..c[y](s) - y(O) + a.L[y](s) = .L[j](s)
(11)
Al resolver (11) en forma algebraica para L [y ](s) se tiene .L[y](s) = y(O) s+a Ahora debe consultar las tablas al final del capítulo. I@'
+ .L[j](s)
(12)
s +a
Obsérvese que la ecuación algebraica (12) encierra toda la información dada en el PVI (9). Tomemos y(O) = 1 YJet) = 4t 3 e-
.L [4 te
-al] = --~ 24 (s+a)4
Por tanto,
1
24
.L[y](s)=-- + 5 s+a (s + a)
Con base en la linealidad de L
-1
Y en que L
[_1_]
y(t)=.L- 1
s+a
I@' "Fila 11.3 de la tabla" significa "fila tres de la tabla dos".
-1
lleva aL Iyl de regreso a y, se tiene
(t)+.L - 1 [
24 (s+a)
5]
(t)
Ahora, por medio de la fila 1I.3 de la tabla) pel'o hacia atrás, se tiene y(t) =e-ar +t 4e - ar
Con la técnica del factor de integración de la sección 1.3 se obtiene el mismo resultado. La ventaja del método de la transformada es que reduce el problema de resolver un PV1 como el (9) a la inspección de una tabla de transformadas.
Transformada de funciones continuas por partes Ahora seamos específicos acerca de los tipos de funciones que pueden transformarse. Definamos primero un nuevo tipo de funciones . •:. Funciones continuas por partes de orden exponencial. Una función continua por partes j(t), O::::: t, es de orden exponencial si hay constantes positivas M y a tales que Ij(t) I : : : Mear para todo O::::: t < oo . Se denota con E al conjunto de todas estas funciones.
I@' Recuérdese que en la sección 1.4 vimos que todas las funciones continuas también son continuas por partes.
Las sumas, productos y antiderivadas de las funciones en E también están en E. Nótese que si j está en E entonces para alguna constante positiva b se tiene e-br Jet) -7 O cuando t
-7 +00 .
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Ejemplo 6.1.4
La transformada de Laplace
Una función de orden exponencial La funciónf(t) = _lOte70t cost está en E porque es continua en [O, 00) Y
If(t)1 = 10Ite 70t cos ti ::; 1Ote 70t
En este caso se empleó el hecho de que t < el si t
Ejemplo 6.1.5
t~O
::; lOe l e 70t = lOe 71/ , ~
O.
Función de orden no exponencial 2
La función g(t) = e 1 no está en E. Si así fuera, entonces habría constantes positivas M 2 ya tales que e t ::; Me al para t ~ O, de modo que eI(l-a)::; M para t ~ O. Pero esto es falso puesto que eI(l-a) ~ +00 cuando t -¿ +00.
1& A menos que se indique lo contrario, se supone que toda función f de este capítulo está en E.
Ejemplo 6.1.6
Por consiguiente, se observa que las funciones en E pueden volverse no acotadas cuando t -¿ +00 (ejemplo 6.1.4), pero no pueden irse al infinito tan rápido (ejemplo 6.1.5). Es posible demostrar que sif está en E entonces L[f](s) existe para toda s ~ So para alguna So. Ésta es la razón de que se restrinja la atención principalmente a las funciones en E. El siguiente es un ejemplo de la transformada de un función continua por partes.
Transformada de un pulso cuadrado
Supóngase quefit) es la función de pulso cuadrado pc(t, 1) definida por 1, O ::; t < 1 pc (t, 1) = { O, t ~ 1
1 - - - , pc(t, 1)
Véase el diagrama al margen. Entonces para toda s > O, L[f](s) =
1o=
e-st f(t)dt=
11 e- st ·ldt+ f=e-st·Odt = __1 e- st I
t= 1
o
1
S
t=O
1 =-[1e- S ] S
Nótese que la transformada es continua y es diferenciable para todos los órdenes para s > O. Es posible demostrar que sify g son funciones en E y tienen transformadas idénticas en un intervalo s ~ so, entonces fit) = g(t) si f y g son continuas. Por consiguiente, si f es continua en E, entonces L - 1[L[f]] = f. En los puntos dondef o g es discontinua podrían diferir los valores de f y g. Las transformadas de Laplace de funciones en E tienen un buen comportamiento, aun cuando las funciones pudieran tener discontinuidades, como vimos en los ejemplos. Además, las transformadas de las funciones en E decrecen a O cuando s -¿ +00 sin importar el comportamiento de las funciones por sí mismas. En el siguiente teorema se resumen estas dos propiedades.
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6.7/ Introducción
367
a la transformada de Laplace
Teorema 6.1.1
Propiedad de uniformidad y decrecimiento para L [f1. Paraj en E, la transformada de Laplace L [J1(s) existe en alguna semirrecta, s > so. Además, L [J1(s) tiene derivadas de todos los órdenes, y L [J1(s) -7 O cuando s -7 +00. En consecuencia, se observa que la trasformada de Laplace de la función f(t) en la clase E se comporta verdaderamente bien. No sólo L [J1(s) -7 O cuando s -7 +00, sino también L [J1 tiene derivadas de todos los órdenes. No emplearemos este resultado de manera directa, pero será de gran utilidad cuando se verifiquen los errores de cálculo.
sM to es
uan). Es guna nE.
Comentarios En el ejemplo 6.1.3 se demostró que la transformada de una derivada no contiene una derivada. Éste es uno de los motivos de que la transformada de Laplace sea un método alterno útil para resolver EDO lineales, pero hay otras razones. Por ejemplo, las transformadas de Laplace pueden utilizarse para resolver EDO donde hay un retraso de tiempo, lo cual sería difícil con cualquier otro método. El método de la transformada resulta práctico sólo si se dispone de un lista suficientemente larga de transformadas. Por tal razón se dan las tablas al final del capítulo.
Problemas www 1.
_
Encuentre la transformada de Laplace y el intervalo más grande s > So en el que se define la transformada. El número a es una constante y n es un entero positivo. (d) cosat
(a) 3t - 5
2. >0.
(f) tsen at
Obtenga la transformada de Laplace y el intervalo más grande s > So en el que se define la transformada. (a) j(t) = {sent, O,
O ~ t ~ tt t>7r
(b) j(t)={O,
t,
0~t~1 t>1
ticas
fes
(e) jet) = {t,
-
rían
3. aun dertar es-
O~ t~1 t>1
O,
(d) jet) = {~'_ t,
Resuelva cada PVI mediante la transformada ejemplo 6.1.3.] (a) y'
+ 2y
= O,
(b) y' + 2y = e-
+ 2y
[Sugerencia:
véase el
y(O) = 1 3t
(e) y'
de Laplace.
= eit,
,
y(O) = 5 y(O) = O
[Sugerencia: [Sugerencia:
l/(s + 2)(s + 3) = l/es + 2) -l/es trate i como constante.]
+ 3).]
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368
La transformada de Laplace
~ 4.
6.2 Hay cálculo diferencial, cálculo integral y, ahora, cálculo de la trasformada. Vaya variedad.
Il:!lf
Construya un modelo para una fila de tres automóviles y un semáforo. Los autos tienen distintos tiempos de respuesta, constantes de sensibilidad, longitudes y separaciones iniciales.
Cálculo de la transformada La definición de la transformada de Laplace no siempre es la mejor forma de hallar la transformada de una función específica. Para acelerar el proceso se crea un cálculo para transformar una combinación de funciones a partir de las transformadas de las funciones individuales. Asimismo, se establecen algunas reglas generales para calcular las transformadas de Laplace inversas. Para este fin son útiles las fórmulas de fracciones parciales de la tabla 6.2.1. Con objeto de facilitar la consulta, se han colocado las fórmulas en tablas al final del capítulo.
Cálculo de las transformadas de derivadas Para resolver una EDO con transformadas es necesario saber cómo se transforman las derivadas. En la sección 6.1 se mostró cómo transformar 1'. Hay una transformada similar def" y una fórmula general para ..t[f(I1)] (n es un entero positivo). En el siguiente teorema se enumeran estas fórmulas.
Teorema 6.2.1 La fórmula (1) se deduce en el ejemplo 6.1.2.
Transformada del' , f". Supóngase quef y l' están en E y fes continua. Entonces ..t[f'](s) = s..t[f](s) - feO)
Il:!lf
(1)
Supóngase que l' y f" están en E y l' es continua. Entonces f es continua y (2) ..t[f"](s) = s2..tU](s) - sf(O) - 1'(0) Para un entero n ~ 1, supóngase quef(n-l) y j
..t[f(n)] = s"..t[f] -
S"-1 feO)
- sn- 2f'(0) - ... - s¡
En seguida se explica cómo obtener la fórmula (2) a partir de (1) ..t[f"] = ¡;((f')'] = s¡;(f'(s)] - 1'(0) = s{s¡;(f](s) - feO)} - 1'(0) = S2..t[f](S) - sf(O) - 1'(0)
Localice la fórmula (3) en la lista al final del capítulo.
(3)
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6.2/ Cálculo de la transformada
Hay una fórmula acompañante que indica qué se transforma en dnL[f]/ ds n, no en qué se transforma j(n)(t).
Teorema 6.2.2
Transformada de t"f(t) . Supóngase que j está en E. Entonces
(4)
S=
La fórmula (4) se determina derivando e- sI f(t)dt con respecto a s n veces y colocando la derivada bajo el signo de integral. o Resolvamos algunos ejemplos.
Ejemplo 6.2.1
Transformadas de Cos at, Sen at, tCos 2 t, t" • A partir de la linealidad de.L y la fórmula (2) conj(t) L[ _a 2 cos at] = _a 2L[cos at] =
s2L[cos at] S2L[cos
-
= cos at, se observa que
s · cos O-
a sen O
at] - s
s
L [cos at] =
2
(5)
2
+a • Encontremos ahora la transformada de sen at por medio de las fórmulas (1) y (5). Puesto que sen at = (_a- 1 cosat)', se tiene por (1) que S
L[sen at] = SL[ -±cosat] - ( - ±cos s - -;; s2
s 1 + a 2 + -;; =
S2
O)
a + a2
(6)
• A continuación se utilizan las fórmulas (4) y (5) para transformar t cos 2t: L[t cos 2t](s)
=-~L[cos2t](s) = -~[~] = ds
ds s
+4
s22 - 4 (s + 4) 2
• Por último, supóngase que jet) = t n; entonces ¡Cn)(t) = n!. Al resolver la fórmula (3) para.L [f], L[f] =
s:
{L[¡cn)] + sn- Jj(O) + sn- 21'(0) + ... + j(n- J)(o)}
Debido a que L[n!] = n!/s y ¡Ck)(O) = O, k
= O, .. . ,
n-l,se tiene
L[t n ] =1- {n! -+0+···+0} =n!Sil S sn+l
(7)
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370
La transformada de Laplace
Veamos ahora cómo usar la fórmula (2) para resolver un PVI.
Ejemplo 6.2.2
El método de la transformada para resolver un PVI de segundo orden Utilicemos las transformadas para resolver el PVI y" - y = 1,
y(O)
= O,
y'(O)
=1
Se sabe que el problema tiene solución única y que la solución y sus derivadas de todos los órdenes están en E. Transforme ambos miembros de la EDO por medio de la fórmula (2): ..c[y" - y] = ..c[1] s2 ..c[y] - sy(O) - y'(O) - ..c[y] = 11 s ~
Utilizamos fracciones parciales para [s(s -1)r l .
..c [y] =
sy(O) + y'(O) + 1/ s o s~ -1
1 + 11 s
1
1
1
7=1
ses -1)
s-l
s
s>l
Por medio de la fórmula (6) del ejemplo 6.1.1 con a = 1, Y la fórmula (7) con n = O, se tiene y(t) = el -1
Con esto se ilustra de nuevo el uso de la transformada para resolver un PVI. Utilizamos el método de las fracciones parciales del ejemplo 6.2.2. Véanse en la tabla 6.2.1 algunas otras fórmulas de fracciones parciales. Pudimos haber usado los métodos del capítulo 3 para el PVI del ejemplo 6.2.2, pero la técnica de la transformada suele ser más eficaz para resolver un PVI. Nótese que en el método de la transformada intervienen de manera automática los datos iniciales, a diferencia de lo que sucede con los métodos anteriores, en los que los datos se emplearon como algo tardío para evaluar las constantes de integración. Sin importar el método que se utilice, se obtendrá la misma solución siempre que tenga aplicación el teorema de existencia y unicidad. Por supuesto, el método de la transformada dará resultados en la obtención de una fórmula de solución de un PVI sólo si puede hallarse una función de t en el intervalo O::; t < +00 cuya transformada es solución del PVI transformado. En virtud de que con la transformada de Laplace se logra que funciones definidas en un intervalo t estén definidas en un intervalo s, los ingenieros dicen que tales funciones están definidas en el dominio del tiempo o en el domin o de s con base en si la función se halla definida en O::; t < 00 o su transformada de Laplace.
Cálculo de las transformadas de integrales La transformación de la integral de una función es tan fácil como la de su derivada.
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6.2 / Cálculo de la transformada
Teorema 6.2.3
Transformada de una integral. Supóngase quefestá en E ya?: O. Entonces la función F(t) = {f(X)dX, está en E y L,
[JI
a
f(x) dX] = .!.L,[f]
a
S
_.!. r S
Jo
f(x) dx
(8)
.
Como se hizo notar en la sección 6.1, puesto que f está en E la función Con la integración por partes se obtiene la fórmula (8): L,
U~ f(X)dx ] =
S: e-sIU~
= lím
7:-H~[
r
f
está en E.
a
f(x)dx )dt
1
I
]/=7:
S
a
1=0
- - e-sIJ f(x)dx
1 ~
+S
r
Jo
e-Slf(t)dt
Con base en que lím [- '!'eS'rJ7: f(X)dx J =,.0 a
S
7:-H«>
se observa que resulta la fórmula (8).
Ejemplo 6.2.3
Cálculo de una transformada mediante la fórmula (8)
Al integrar por partes, se encuentra que
L,
fo
X l xe dx = te - el
.
+ 1; por tanto
U>~X dx ] = L,[te l ] - L,[e l ] + L,[1]
Por otro lado, de la fórmula (8) con a = O, L,
/ ] [1o
11o
1 I xexdx =-L,(te ] -S
Al igualar estas dos expresiones para que I
0
I xe x dx =l -L,[te]
s
S
L,[f xeXdx],
puede resolverse para L,[te l ] encontrar
o 1
L,[te ] = - - 2 ' (s - 1)
s> 1
El poder del método de la transformada de Laplace se vuelve evidente cuando surgen las funciones de ingeniería en las fórmulas y modelos. La más importante de estas funciones es la de paso o escalón unitario que estudiamos en capítulos anteriores. Veamos cómo se utiliza la función escalón en el cálculo de la transformada.
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372
La transformada de Laplace
Teoremas del corrim iento: la función escalón
cos 1 escalón(1 - 2)
La función de escalón unitario
l, t:::: O escalón(t) = { O, t < O
(9)
el [ escal ón(1 - 1) - escalón(1 - 2))
/ ,
desempeña un papel central en el cálculo de la transformada. Oliver Heavisideiii introdujo la función, que a menudo se conoce como júnción de Heaviside en reconocimiento a sus contribuciones al cálculo de la transformada. El uso principal de la función escalón es "activar" o "desactivar" otras funciones. Por ejemplo, la función cos t escalón(t - 2) se activa en t = 2, la función é escalón(t - 1) - escalón(t - 2) se activa en t = 1 Y se desactiva en t = 2, en tanto que la función t3 escalón(1 - t) se desactiva en t = 1. Muchas funciones de activación y desactivación pueden escribirse en términos de funciones escalón. Un ejemplo es la junción de pulso [es decir, pc(t - a, b - a) con base en el pulso cuadrado pc(t, a), que se define en el apéndice B.l]:
, 2
13 escalón(l - 1)
- 1
1
\
1
pc(t - a, b - a) = escalón(t - a) - escalón(t - b) =
pC(I - a , b -a)
1\
i l
{¿,
a~t
(10)
cualquier otra t
En el siguiente teorema se muestra la importancia de las funciones escalón para hallar las transformadas. \
Teorema 6.2.4
Teorema del corrimien to. Supóngase quejestá en E. Entonces ea1j(t) está en E y ¡;[e al j(t)](s) = ¡;[f](s - a) L[f(t - a) escalón(t - a)] = e-as¡;[j(t)], ¡;[f(t) escalón(t - a)] = e-as¡;[f(t + a)],
donde se define Jet)
¡¡¡
Oliver Heaviside
(11) a:::: O a:::: O
(12) (13)
= O para t < O.
Heaviside (7850-1925) fue un inglés autodidacta que inventó su propio cálculo operativo para resolver ecuaciones diferenciales muchos años antes de que se introdujeran las transformadas de Laplace en la ingen iería con el mismo propósito. Heaviside acuñó los términos inductanc ia y capacitancia e introdujo la ecuación del telegrafista, una ecuación diferencial parcial para el voltaje en un cable en función del tiempo, lugar, resistencia, inductancia y capacitancia. Asimismo, predijo la existencia de una región ionizada reflectora alrededor de la Tierra (la ionosfera). Acongojado por la pobreza y menospreciado en los primeros años de su vida debido a su falta de educación, su genio fue reconocido finalmente y recibió numerosos honores y premios.
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6.2 / Cálculo de la transformada
La fórmula (11) se deduce directamente de la definición del operador de la transformada de ~aplace, de modo que al multiplicar una función en el dominio de tiempo por eat se recorre la variable s de la transformada de L [f](s) por la cantidad a. Para demostrar la fórmula (12), nótese que .L[f(t - a) escalón(t-a)] =
50=e-stf(t -
a) escalón(t-a)dt=
L=e-st f(t - a)dt
= fo=e-s(x+a) f(x)dx = e-as.L[f]
donde se utilizó el cambio de variable t = x + a en la última integral. La fórmula (12) puede considerarse de la siguiente manera: defina que f es O para t < OY corra la gráfica de f a la derecha mediante a. El efecto de transformar esta función trasladada es multiplicar la transformada de la función original por e -QS. Para obtener la fórmula (13), establezca g(t) =1(t - a), de modo que g(t + a) =1(t) en la fórmula (12); luego, renombre a g como f El teorema del corrimiento es un instrumento muy útil en el arsenal del cálculo de la transformada. Practiquemos usándolo. "
Ejemplo 6.2.4
Corrimiento para encontrar una transformada y una transformada inversa El teorema del corrimiento puede usarse para encontrar tanto las transformadas como las transformadas inversas. • Para encontrar la transformada de e-2t cos 3t se utilizan las fórmulas (5) y (11). Se observa que .L[e
-2t
cos 3t] =
/
s+2 2 (s+2) +9
• Para hallar la funciónf(t) cuya transformada es (2s + 3)/(s2 - 4s + 20) se escribe
S2
2s +3 - 4s + 20
2(s - 2) + 7 (s - 2)2+ 16
7[ 4 ]
s- 2 ] =2 [ (s-2)2 + 16 +4 (s - 2)2 +16
De las fórmulas (5), (6) y (11) se observa que f(t) = 2e 2t cos 4t + (7/4 )e2t sen 4t. La función escalón suele utilizarse para ayudar a definir las funciones continuas por partes que surgen a menudo en ingeniería. Veamos ahora cómo se transforman estas funciones.
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Ejemplo 6.2.5
La transformada de Laplace
Transformación de funciones escalón
De acuerdo con la fórmula (13) del teorema del corrimiento, -as
L[escalón(t - a) ] = L[l· escalón(t- a)] = e-asL[l] = _e_,
s>O
s
(14)
que pudo haberse obtenido por integración directa. La transformada de escalón(a - t) es L[escalón(a-t)]=
l
a
e- sr ·1 dt+
O
f=e-sr·O dt= 1_e-as ,
s >0,
a>O
(15)
S
a
Entonces, la fórmula (14) puede usarse para transformar una función que pueda escribirse con funciones escalón, por ejemplo una función "rampa".
Ejemplo 6.2.6
Transformación de una función rampa lineal por partes
En el diagrama al margen se muestra la gráfica de la función
f(t) =
{
1' 2 - t,
O::::: t < 1
O,
2:::::t
1::::: t < 2
Por la fórmula (lO), primero con a = O Y b = 1 Y luego con a = 1 Y b = 2, se observa que f(t) = {escalón(t) - escalón(t -1)} + (2 - t){ escalón(t -1) - escalón(t - 2)} = escalón(t) - (t -1) escalón(t -1) + (t - 2) escalón(t - 2)
Al aplicar la transformada de Laplace, se tiene L[f] = L[escalón(t)] - L[(t -1) escalón(t -1)] + L[t - 2] esdalón(t - 2)]
Por medio de (14) y la fórmula (12) del teorema de corrimiento, se encuentra la transformada -s
-2s
1 -s 1 - 2s 1 S- e +e L [f] =-- e -+e - = - - - - , ; - - s
s2
s2
s2
'
s>O
Una funciónj(t) puede "activarse" en t = a si se multiplica por la función escalón(t - a) para obtener j(t) escalón(t - a). En el ejemplo siguiente se explica cómo transformar tal función.
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6.2/ Cálculo de la transformada
y'
200
(14)
.-...
H escalón(30 - t),
y(O)
=
100
150
'"
., o:! "O o:!
es
= O.Oly -
H=O
e
6 ;:.,
(15)
100
e
'o
'0
3
eo
crÍ-
:oo e,
50
4 5
O
o
10
20
30
40
50
60
t (días)
Figura 6.2.1 Plan de captura de 30 días en una población con crecimiento exponencial.
Ejemplo 6.2.7
que
1& En el apéndice B.4 se da una lista de las identidades trigonométricas.
Cómo transformar
una sinusoide
activada
Con la fórmula (13) en el teorema de corrimiento y una identidad trigonométrica
se tiene
L[(sen t) escalón(t - a)] = e +asL[sen(t + a)] = e -as L[sen t cosa + cos t sen a] =e
-as {
a s a}
cos sen --+--s2 + 1 s2 + 1
la cual no es una fórmula esperada. Consideremos un PVI con un término de forzamiento discontinuo.
Efecto de un plan de captura de 30 días sobre una población da
a)
tal
Supóngase que es posible modelar el crecimiento de una población (piense en "peces") mediante una ley de cambio exponencial. ¿Cuál es el efecto de capturar a la población a una tasa constante durante un lapso fijo (piense en los "pescadores" y en la "temporada de pesca")? Denote con y(t) el tamaño de la población (en toneladas), mida el tiempo en días y suponga que y(O) = A es una constante positiva. Digamos que el coeficiente de tasa de cambio es otra constante positiva k medida en (días)"! y que la captura se realiza a una tasa de H toneladas por día en los 30 días de la estación de captura. Esta situación se modela con el PVI y'(t) = ky(t) - H escalón(30 - t),
y(O) = A
Nuestro objetivo es encontrar una expresión para y(t) para t ~ O.
(16)
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La transformada de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace al PVI (16) y usar la ecuación (15), se tiene para s > k H
sL [y] - A = Id [y] - - (1 - e s
L[y] =~s-k
=~+ s-k
H
ses-k)
- 30s
)
(l_e-30s )
H(! __1_)(l_e-30S ) k
s
s-k
(17)
donde se utilizaron las fracciones parciales para escribir
S(S~k) =-iG- S~k) Al reordenar los términos del miembro derecho de la fórmula (17) para encontrar con más facilidad las transformadas inversas, Ly [] =
A - H/ k s-k
H 1 (1 -e -30s) +H e -30s -1+--
k s
k
s-k
Con L[é ] = (s - k)- l Y las fórmulas (15) y (12), se va hacia atrás en el dominio de t: t
y(t) = (A - H)e kt
k
+ H escalón(30 - t) + H e k (t-30)escalón(t - 30) k k
(18)
La ecuación (18) representa la población cambiante sólo para y(t) > O. Por tanto, la solución tiene sentido para los valores de los parámetros A , H Y k para los que y(t) es positiva. Si H ~ Ak, entonces y(t) > O para toda t ~ O. Si H > Ak, podría suceder que en algún instante se extinguiera la población. En efecto, si se resuelve la EDO original en el intervalo de tiempo O~ t ~ 30 por el método de factores de integración, entonces se nota que si H ~ kA(l - e - 30kt 1 la pobl~ción se extingue en un periodo de 30 días: El modelo no es válido después de la extinción. En la figura 6.2.1 se ilustra la gráfica de las curvas de población para varios valores de la tasa de captura H; las dos tasas más altas desembocan en la extinción.
Fracciones parciales Debido a que son útiles para hallar las transformadas inversas hemos reunido varias fórmulas de fracciones parciales. Las filas de la tabla 6.2.1 son todo lo necesario para resolver los problemas de esta sección.
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6.2/ Cálculo de la transformada
Tabla 6.2.1 Fórmulas de fracciones parciales. A, B, • Paraa:t b:
e, a, b son constantes; s es una variable.
As+B = (Aa+B)/(a-b) + (Ab+B)/(b-a) (s-a)(s-b) s-a s-b
As+B A Aa+B 2 =--+ 2 (s-a) s-a (s-a) As 2 + Bs + e • Paraa:t b: (s-a)(s-b)2
•
D s-a
E s-b
F (s-b)2
=--+--+--~
2 donde D = Aa + Ba + e (b-a)2
E = A _ D,
2 F = Ab + Bb + e b-a
1 s
Comentarios El teorema del corrimiento indica que el cálculo de transformadas puede emplearse para resolver un ecuación de diferencias , como x(t) = ax(t - b) + f(t - b)
(19)
donde a y b > O son constantes y f es una función dada. En la ecuación de diferencias, el valor actual x(t) de la función desconocida depende en forma explícita del valor en el instante anterior t - b (véase en el problema 19 un ejemplo). Como veremos en la sección 6.3, el teorema del corrimiento también es la llave hacia la resolución de las ecuaciones diferenciales con retardo que surgieron en el modelo de seguimiento de automóviles de la sección 6.1. El cálculo de tr.ansformadas también sirve para resolver un sistema lineal (problema 9). Hemos centrado la atención principalmente en las técnicas para calcular la transformada de una función definida en el dominio del tiempo (es decir, funciones de la variable t). Sin embargo, ésta sólo es la mitad de lo que se necesita al usar la transformada de Laplace para resolver un PVI. Una vez que se obtiene la transformada de la solución es indispensable llevar una función en el dominio de s de regreso a una función en el dominio de tiempo. Las descomposiciones de fracciones parciales de la tabla 6.2.1 son útiles para este propósito.
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La transformada de Laplace
Problemas
_
tl¡
1.
(a) sen h at
I ti '.
Encuentre la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones.
(e) t2eal
(b) cos h at a, (d) (1 + 6t)e
(e) te" f(t)
(1) (D2 + l)f(t)
I
(g) (t
+ 1) escalón(t -1)
(h) tea'escalón(t -1)
(i) eal[escalón(t -1) - escalón(t - 2)]
2.
(Uso de las tablas de transformadas.) Utilice e identifique las fórmulas y ejemplos de esta sección o las tablas de transformadas al final del capítulo para encontrar L [f] si se da f y, a la inversa, para encontrar f si se da L [f]. (a) f(t) ==3 escalón(t - 2) - 3 escalón(t - 5)
(b) f(t) ==2 sen t escalón(n - t)
~
(d) f(t) ==6t sen 3t
f(t) ==t¡2eSI ==-Js
(e) L[f] 3.
+2
-.¡;
(1) L[f]
(b) y"
(d) y"
- 2)
y(O) ==O, y/(O) ==1
+ 4 y/ + 4 y ==el, + y ==escalón(t -1),
+ 2y'
y/(O) ==-1
y(O) ==O, v'(O) ==1
+ 2y ==O,
(e) y" - 2y' (1) . y"
y(O) ==1,
+ y ==sen t,
(e) y " - 2y'
- 3y ==escalón(l-
t),
'y(O) ==1,
y'(0) ==1
y(O) ==1,
y/(O) ==O
y(O) ==1,
y'(O) ==O
Encuentra la transformada de Laplace de cada una de las siguientes integrales. (a)
(e)
5.
==ln(s + 5) -ln(s
Utilice la transformada de Laplace para resolver cada PVl. [Sugerencia: utilice las tablas de transformadas, las fórmulas de fracciones parciales de la tabla 6.2.1 y el teorema 6.2.4.] (a) y" - y/ - 6y ==O,
4.
(j) (t - 2)[escalón(t -1) - escalón(t - 3)]
f~ f~
X
(x -l)e
(b)
dx
X
sen (x-n/4)e dx
(d)
f~ f~
(x2 - 2x)dx
e(x-a) cos x dx
(Pulso cuadrado.) Demuestre que para O < a < b, escalón(t - a) - escalómr - b) == pc(t - a, b - a), y encuentre L[pc(t - 1, 3»).
6.2/Cá,
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379
6.2 / Cálculo de la transformada
6.
(Descomposición radiactiva.) Una muestra de un elemento radiactivo se descompone a una tasa proporcional a la cantidad y presente, donde k¡ es la constante de proporcionalidad. Supóngase que en algún instante t = a se permite la entrada de una cantidad adicional del elemento con una tasa constante k2 y en un instante posterior t = b se detiene este flujo.
(a) Demuestre que este sistema puede modelarse con el PVI y' = - k¡y + k2 [escalón(t - a) - escalón(t - b)],
L
7. R
c
y(O) = Yo ,
O< a < b
(b) Utilice la transformada de Laplace para encontrar y(t). Trace la gráfica de y(t) con k¡ = 1, k2 = 0.5, a = 1, b = 10, Yo = 1, O::; t::; 20. (Circuitos.) Un circuito básico LC o RLC tiene una fuente de voltaje que puede activarse o desactivarse. En los problemas siguientes denote las raíces del polinomio característico apropiado con r¡ y r2 (que se supone son distintas, pero no necesariamente reales). Exprese sus resultados como funciones de t, a, r¡ y r2. (a) Encuentre la carga q(t) si R = O Y el interruptor se pone en la posición de encendido en el instante t = a > O: 2
d 1 L - f +- q = Eo escalón(t - a), dt C
(b) Encuentre q(t) si R
q(O)
= O,
q'(O)
=O
= O Y se activa el interruptor en t = a y se desactiva en t =
b, O < a < b: 2
Ld dt
f + -.!...q = Eo[escalón(t - a) - escalón(t - b)], C
q(O)
= O,
q'(O)
=O
(e) Repita el inciso (a) para el circuito RLC modelado .con el PVI 2
L
d d 1 ----f + R.3.. + - q = Eo escalón(t - a), st dt C
q(O) = O,
q'(O) = O
(d) Repita el inciso (b) para el circuito RLC modelado con el PVI 2
Ld dt
8.
www 9.
f +R dqdt +-.!...q = Eo[escalón(t-a) - escalón(t-b)], C
q(O)=O,
q'(O)=O
(Mantenimiento de una especie de presa.) En el modelo del plan de captura de 30 días, encuentre una relación entre A, h Y k con la que se asegure que exactamente 330 días después del final de la captura la población estará una vez más en el nivel inicial A. (Transformada de Laplace para sistemas lineales.) Las transformadas de Laplace podrían utilizarse para resolver algunos sistemas lineales. P{>r ejemplo, si xí = ax¡ + bX2 + f¡(t), xí = cx¡ + dx2 + h(t), con a , b, c y d constantes, entonces al aplicar la transformada a la primera EDO se tiene sL [x¡](s) - X¡ (O) = aL [x¡](s) + bL [X2] (s) + L [fIJes). Hay una ecuación similar para sL [X2](S) - X2(0) . Estas dos ecuaciones podrían resolverse para L [x¡] y para L [X2] en términos de a, b , e, d, L [f¡] Y
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380
La transformada de Laplace
L [1'2], Entonces x¡ (t) y X2(t) se obtienen mediante las transformadas inversas.
Utilice este método para resolver los siguientes sistemas. (a) x; =3x¡ -2x2 +t,
x~ = 5x¡ -3x2 +5,
x¡(0) = x2(0)=0
(b)x; = x¡+3x 2 +sent, x~=x¡-x2 ' x¡(O)=O, x 2(0)=1 ~ 10. (Ecuación de diferencias.) Resuelva la ecuación de diferencias 3x(t) - 4x(t - 1) = 1, donde x(t) = O si t ~ O. [Sugerencia: demuestre primero que L[x(t - l)](s) = e-SL[x].
Luego demuestre que .L:[x] = 1/ [s(3 - 4e- S)] = (1 / 3s)(1 + 4/ 3e- s + .. . + (4/3e- s )', + ...)
mediante series geométricas. Utilice las tablas de transformadas para encontrar una serie para x(t).]
6.3
Aplicaciones de la transformada: seguimiento de automóviles Con frecuencia la fuerza motriz de un proceso natural es periódica: un voltaje periódico energiza un circuito eléctrico, un campo magnético pulsante actúa sobre un peso de hierro suspendido de un resorte, el medicamento entra en el tracto gastrointestinal cada seis horas. Cualquier cálculo práctico de transformadas debe poder manejar funciones periódicas que van desde las sinusoides de contorno suave hasta un tren de ondas cuadradas o triangulares. Encontraremos la transformada de tales funciones en relación con un circuito que tiene una entrada de onda cuadrada. También aplicaremos el método de la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones diferenciales con retardo para el modelo de seguimiento de automóviles que presentamos en la sección 6.1.
Transformada de una función periódica
"ti
Nuestra labor se simplificará si primero consideramos las series geométricas. Si Ixl < 1, entonces la serie geométrica 1 + x + ... + xn + ... = L~=o xn se suma a 1/(1 - x). Utilizaremos la expansión principalmente con x = ± e-as, donde -as < O; por tanto Ixl < 1. Se tienen las series 1-= -- as
1- e
j'
,'
I= e n=O
=
- ans '
__1__ = ' " (- 1)" e -ans 1 + e -as "'-' n=O
(1)
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381
6.3/ Aplicaciones de la transformada: seguimiento de automóviles
Estas fórmulas serán útiles más adelante. A continuación deduciremos la fórmula de la transformada para una función periódica.
Teorema 6.3.1
Transformación de fu nciones periódicas. Supóngase que f es continua por partes y periódica con periodo T. Entonces T
r
L[f] =
(2)
I _TS e-SlIf(u)du l-e Jo
Para ver esto, divida [O, 00) en los intervalos de periodo [O, 11, [T, 211, ... . Entonces L[f]
=
f:
e - sIf(t)dt
=
s:
e - sIf(t)dt +
f:
T e -sIf(t)dt
+ ...
(3)
Realice el cambio de variable t = u + nT en la integral de nT a (n + l)T Y utilice el hecho de que por periodicidad f(t + nD =f(t), para obtener cada n: (n+l)T e-sI f(t)dt
SnT
= IT e - s(u+nT) f(u + nT)du = e - Tns IT e-su f(u)du o
o
(4)
Se observa por (3) y (4) que T
{~, -'"' }{J, ,-" f(U)dU} = Io [_ e -" ~
L[fl =
porque por la fórmula (1),
T
I :=o
e-
Tns
e - suf(u)du
= (1 - e -Ts )- l . Se deduce entonces la fórmula (2).
Veamos cómo se aplica el teorema a una función periódica específica.
Ejemplo 6.3.1
lGf' En la tabla 1.3.1 encontrará ayuda para evaluar esta integral.
Transformada de una sinusoide
Aunque ya se demostró que L[sen at] = a(s2 + a 2 )-1 ahora deduciremos la fórmula por medio del teorema 6.3.1. En este caso el periodo es T = 2n1a. Por la fórmula (2) y una tabla de integrales, se tiene L[sen at] =
En el apéndice B.l se amplía la información acerca de las funciones de activación y desactivación.
1
l-e
-2ml a
127rla e - susenaudu = - 2 a- - 2 O
S
+a
lGf'
Ahora consideraremos los trenes de ondas de activación y desactivación que se utilizan en ciencias e ingeniería.
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La transformada de Laplace
Ejemplo 6.3.2
Encontremos la transformada de la función periódica f = 2 oc(t, 50, 2) - 1 mediante la fórmula (2). En este caso el periodo es 2 y la integral en la fórmula (2) se convierte en
20C(I, 50, 2) - 1
, ,
,
l'
-1
,,
,
, 2',
Transformada de una onda cuadrada
,
,I , ,
L--I
r e-SUf(u)du = r1e-SUdu _ f2 e-su du = .!.(1 - 2e- S + e-2S ) = '!'(1 _ e- S)2 2
Jo
Jo
1
s
S
En consecuencia, por la fórmula (2) y la definición de la tangente hiperbólica, se tiene S 1 '!'(1-e - S)2 _ (1_e- )2 - 1 - e -2s S - s(1 - e -S)(1 + e - S) s 2 s 1- e1e / _ e- s/ 2
..c[f] -
I@r
Recuérdese que
s(l+e- S)
eX _ e- x
tanhx=--eX + e-x
=
~tanh(~).
-:; e s/ 2 +e- s/ 2
(5)
s> O
(6)
La fórmula (6) es el elemento m.2 de la tabla que se encuentra al final del capítulo. Es posible obtener una fórmula más útil para L [f] si se aplica la fórmula (1) para desarrollar (1 + e-s)-l en una serie geométrica. Al hacer esto se tiene [a partir de (5)] A veces es más fácil usar esta fórmula que la (5).
I@r
..c[f] = 1- e-s s(l + e - S)
= 1- e-s s
. _ 1_ 1+ e -s
= 1- e-s i ( - l t e - ns S
,,=0
(7)
=-:;1 (1 -e- S)(l - e -s +e -2s - e -3s + ...) =-:;1 [1 + 2~( - 1)" e - ns ] ~ ,,=1
que es otra forma de escribir L [f].
Un circuito
Le forzado
La corriente 1 en un circuito Le satisface la EDO U" + l/e = E', donde E es el voltaje de entrada. Se divide la EDO entre L, se establece l/Le = o)l y se supone que E/L es el tren de ondas triangulares 2 ot(t, 100, 2) - 1 Y que 1(0) = O, 1'(0) = O. Obsérvese que la derivada de 2 ot(t, 100, 2) - 1 es 4 oc(t, 50, 2) - 2 (excepto en los puntos de esquina donde no hay derivada). Se tiene el PVI I"(t) + 0)2 1(t)
= E'(t) = 3.. [2 oc(t, 50, 2) L
L
1],
1(0) = O,
1'(0) = O
(8)
Para ser específicos, supóngase que 1 se mide en amperes, la inductancia L en henries, e en farads, el tiempo en segundos y E en volts. En el margen se muestran el circuito y las funciones E/L y E'/L (para L = 1).
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383
6.3 / Aplicaciones de la transformada : seguimiento de automóviles
Con la fórmula (5) y la fórmula de la transformada para L [I"] se tiene [puesto que = 1'(0) = O]
1(0) E'IL
4 OC(1. 50, 2) - 2 1
1 1
11 1
-2
1 I
21 1
'---'
Al resolver esta ecuación para la transformada L [1] Y aplicar la fórmula (7) se tiene
1
1
1
'-----'
..c[1]=
2/L s(s2 +co 2 )
2/ L
2 s(s2 + co )
(1+2~(_1)ne-llsl f:t ) +i I,(-1)" L
11=1
(9)
e-lis 2 s(s2 + co )
Si se encuentra L - 1[lIs(S2 + 0)2)] puede usarse el elemento I.3 de la tabla para determinar l(t). Para encontrar esta transformada inversa descompongamos lIs(s2 + 0)2) por medio de fracciones parciales (véase la tabla 6.2. 1): (10) Con la fórmula (10) y el elemento 1I.6 de la tabla, se tiene
. c -I[ S(S2 +co 1 2 ] _ _ 1 . c -I[2.] __ 1 ..c- I[ s ] ) - co 2 s co 2 s2 +co 2 1
1
(11)
= ---coscot 2 2 co co
Al aplicar L - 1 a ambos miembros de (9) e intercambiar L - 1 Y ~ se tiene que l(t) =
3....c -I[S(S2 +1 co 2 ) ]+iL ~ (-l)L-I[e - IIS. l ? ] L ~ S(s2 + co-) n=1
Con (11) Y la fórmula (12) del teorema del corrimiento 6.2.4 se tiene que l(t) =
2 -
-2 (1-
Lco
4
cos cot) + - -2 Lco
L (-1) "[1 - cos co(t - n)]escalón(t - n) =
n= 1
(12)
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La transformada de Laplace
1" + / = 4 oc(t, 50, 2) - 2,
/(0) = O, /'(0)
=
°
ro
~l tJ
~-l
-3
~ 0----------1-0---------2-0---------30 ---------40
~J tyvvvyv -2 L o ---------l~0---------2~0--------~3~0---------40
~:: ~ O
10
20
30
40
t
Figura 6.3.1 Curvas de entrada-respuesta para un circuito Le forzado [PVI (8)].
Este tipo de solución se ve desalentador, pero para cualquier valor positivo de t sólo hay un número finito de términos en la suma porque los términos restantes se desactivan por las funciones escalón. Por ejemplo, si l(t) está dada por 2 Lro
- - 2 (1-
cos (t)t),
O :S: t < 1
2 4 Lro 2 (1- cos rot) - Lro 2 (1- cos ro(t -1)),
1 :S: t < 2
2 4 4 --(1cosrot) - - - (2 1 - cosro(t -1)) + - - (2 1 - cosro(t - 2)), Lro 2 Lro Lro
2:S: t < 3
Véanse en la figura 6.3.1 las gráficas de la entrada de onda cuadrada E'/L, la solución l(t) del PVI (8) e I'(t), donde ro2 = 1 Y L = 1. Resolvamos ahora el modelo de seguimiento de automóviles presentado en la sección 6.1.
Solución del modelo de seguimiento de automóviles de la sección 6.1 En tránsito pesado o en pasajes congestionados como puentes o túneles los automóviles se siguen uno a otro sin poder avanzar o cambiar de carril. En este entorno son comunes las colisiones en la parte posterior del automóvil. La mala conducción es la causa de muchos de estos accidentes, pero algunos al parecer ocurren sin causa evidente. Se han creado modelos matemáticos de seguimiento de automóviles en un intento por entender el fenómeno y ayudar a diseñar controles de tránsito y reglamentos de manejo que promuevan la seguridad y un tránsito eficaz. Analizaremos un modelo de seguimiento de
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385
6.3 / Aplicaciones de la transformada: seguimiento de automóviles
automóviles diseñado para una fila de automóviles detenidos en un semáforo. ¿Qué sucede cuando cambia la luz y acelera el automóvil del frente? ¿Qué podría causar una colisión en alguna parte de la fila conforme acelera cada automóvil? Como se mostró en la sección 6.1, hay un modelo lineal diferencial con retardo para la situación donde hay tres automóviles idénticos en fila: yj = v j ' y
~
v¡
D
=
+ T) = v 3(t + T) =
v~ (t
Luz verde
}
= 1, 2, 3
a (13)
A[V, (t) - v 2 (t)] A[V2 (t) - v 3(t)]
con los datos iniciales dados por y,(O)=o,
Y3(0) =-40,
Y2(0)=-20,
V/O) =0,
}=1,2, 3
(14)
donde y/t) es la distancia desde la luz hasta la defensa del }-ésimo automóvil, vN) es la velocidad del automóvil, a > es la constante de aceleración del automóvil a la cabeza, T es el tiempo de retardo común (o respuesta) y A es el coeficiente de sensibilidad común. Las posiciones de los automóviles en el instante t se obtienen al integrar las velocidades y usar los datos iniciales:
°
1 2
2
t20
y,(t)=-at , y,(t)=-20(j-l)+
f~ vj(s)ds,
} =2,3,
t2
°
(15)
Utilizaremos la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones con retardo del sistema (13) para las velocidades Vit)o Entonces al aplicar (15) se obtendrán las ubicaciones Yit) de los automóviles en el instante t y es posible determinar qué automóviles han chocado. Al aplicar la transformada a las ecuaciones de velocidad en (13) y usar los datos en (14), se tiene
a
..c[v,] = 2
s
(16)
..c[vj(t+T)] = A{..c[Vj _d-..c[v j ]},
v;
}=2,3
n v;
n
(t + = (t + escalón(t + A continuación, se utiliza el hecho de que t + T 2 0, Y la fórmula (12) del teorema del conimiento para evaluar L[V; (t + sigue: Ts Ts ..c[vj (t + T)] = ..c[vj (t + T) escalóri(t + T)] = e ..c[vj (t)] = e s..c[v j ]
n porque
n] como (l7)
Mediante las fórmulas (16) y (17) para} = 2, 3, se tiene ..c[v 2 ] = ..c[v3]
=
A
A
a
Ts..c[V¡]=1 TS· - 2 /l, +se /l,+se s 1
1
A n..c[v ] = 2
/l,+se
(A)2 a n 2 1
/l,+ se
s
(18)
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386
Los desarrollos binomiales aparecen en el punto 9, sección B.2 del apéndice B. I@'
La transformada de Laplace
La velocidad delj-ésimo automóvil de la fila puede determinarse si se aplica L - 1 a (18). Sin embargo, primero se rescribirá L [Vj] en (18) mediante un desarrollo binomial:
a ( ).,
L[V) = 2
s
-
se
_ AJ-I
- a
7:-
s
)j-I(1+ -)., e-TS)-(j-I) s
-(j-I)Ts
e -s--'j-+1'--
(19)
{
Por tanto, por la fórmula (12) del teorema 6.2.4 y el hecho de que L tiene de (19) que paraj = 2, 3
Vj (t) = aAJ- 1{~[t -
- 1[s-n]
= tn-I J(n -1)! , se
(j - 1)T]j escalón[t - (j - 1)T]
lJ ·
- A,._L_=-~ [t (j + 1)!
jT]j+1 escalón[t - jT]
+ ).,2 (j - l)j [t _ (j
(20)
+ I)T]j+2 escalón[t - (j + I)T] _ ... }
2!(j+2)!
Al integrar cada miembro de la fórmula (20) de O a t y usar la fórmula en (15), se tiene paraj = 2,3 1& Esta fónnul a se ve temible pero es fácil de usar.
Yj (t) = -20(j
-1)
{_1_
+ aAJ- 1
(j + 1)!
[t - (j - l)T]j+1 escalón[t - (j - 1)T]
- )., ~[t - jT]j+2escalón [t (j + 2)!
j T]
(21)
+ ).,2 (j - 1)j [t _ (j + I)T]j+3escalón[t - (j + I)T] _ . .. }
2!(j + 3)!
La ubicación del auto delantero está dada por YI (t) =
1 2
2
-at ,
t;:: O
(22)
La serie de la fórmula (21) se ve impresionante, pero las apariencias engañan; no es difícil usarla. Para un tiempo fijo t > O, sólo permanecen algunos términos, y son los del inicio de la serie, ya que los términos restantes son desactivados por las funciones esca-
http://carlos2524.jimdo.com/ 6.3 / Aplicaciones
de la transformada: seguimiento
387
de automóviles
lón. Por ejemplo, para el segundo automóvil de la fila (es decir, j = 2) se observa que su ubicación en el instante t, O ~ t ~ 3T, está dada por
18).
o s .«
-20,
aA
Yz(t) = -20+
3
(t-T)
6
aA
(19)
3
-20+-(t-T) 6
T
T~ t < 2T
,
aA2
--(t-2T) 24
4
(23)
2T~ t < 3T
Hemos llegado a la etapa de construcción del modelo y a la de probar dónde es necesario elegir valores específicos para los parámetros e interpretar los resultados. ¿Habrá colisiones? Supóngase que el automóvil del frente acelera a a = 6 pies/s-. Entonces la distancia entre los dos primeros autos de la fila puede obtenerse con y¡(t) = 3t2, t ~ O, Y Y2(t) de (23). Por tanto, para O s t ~ 3T, la separación es
!, se
20)
O~t~
T (24)
T~ t ~ 2T 2T~ t ~3T
Si y¡(t*) - Y2(t') = 15, los automóviles primero y segundo chocan en el instante t". Es evidente que esto no puede suceder en el primer intervalo de tiempo de T segundos. Du-
ene
50
350
Dominio de colisión: AT::: 12 + s/T2
40
21)
~ '" Q)
Colisión} 15 .
§
'" ~ .;;
,
'o
a
30
~ '"
/ ,, ,,
150
Q)
-e
20
AT= 12+S/T2
<:: 'o
s
0(5,15)
o e,
10
pies
,, ,,, ,,
250
// , ,, , ,
Automóvil 1 50
Automóvil 2//
-----------------------------
22)
2
4
6
Tiempo de respuesta T(s)
didel ca-
Figura 6.3.2 Si (T, Al) está arriba de la curva AT = 12 + 5/'J'2, ocurre una colisión en el intervalo de tiempo [T, 2T]. Véase la ecuación (25).
10
t (s)
Figura 6.3.3 Colisión entre el primer y el segundo automóvil en t= 9.52 s: A= 3, T= 5. El punto T= 5, AT= 15 está en el dominio de colisión.
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388
La transformada de Laplace
rante el segundo intervalo de T segundos, T:::; t:::; 2T, ocurrirá una colisión si YI (t) - Y2(t) pasa de su valor de 3T2 + 20 en t = T a un valor menor o igual que 15 en t = 2T. Por tanto, una condición para una colisión segura en este segundo intervalo de tiempo es que YI (2T) - Y2 (2T) = 12T
2
+ 20 - A,T 3
:::;
15
Esta condición puede escribirse como (25) La desigualdad (25) establece que T y el producto A,T son parámetros importantes. Así, tracemos la curva definida por A,T = 12 + 5/T2 usando como ejes Ty A,T (figura 6.3.2). Si el punto (T, A,T) se ubica en alguna parte de arriba o abajo de la curva, el segundo automóvil golpea al primero en el segundo intervalo de T segundos; se dice que el punto (T, A,T) está en el dominio de colisión. Supóngase que T = 5 s y que A, = 3 S- l . Es directa la comprobación de que (T, A,T) = (5, 15) pertenece al dominio de colisión. Por consiguiente, el segundo automóvil choca con el primero en algún instante t, 5:::; t:::; 10. En la figura 6.3.2 se muestra que ocurre la colisión [es decir, y~ (t) - y; (t) = 15] en aproximadamente t* = 9.52 segundos y 250 pies más adelante del semáforo. Un tiempo de respuesta de T = 5 s y sensibilidad A, = 3 S- l (como antes) da lugar a una colisión durante los primeros 10 s, en tanto que con el mismo tiempo de respuesta pero una menor sensibilidad A, = 1 S- l no hay colisión. Uno podría imaginar que una sensibilidad menor es inherentemente más peligrosa. De hecho, resulta cierto lo contrario debido a que también interviene un tiempo de retraso. La respuesta no ocurre en el instante en que se hace una observación, sino T segundos después, tiempo en el que la situación pudo haber cambiado. La sensibilidad alta podría dar lugar a una respuesta grande para una diferencia de velocidad grande que ya no existe.
Comentarios Los modelos matemáticos de circulación de automóviles son relativamente nuevos y no han tenido la aceptación de, por ejemplo, las leyes de Newton o las leyes de los circuitos eléctricos. En la circulación de automóviles hay muchos elementos desconocidos, otros que no es posible saber y otros más que son aleatorios, como en casi todos los procesos humanos, de modo que no es fácil contar con un modelo completo y simple. Existen otros muy buenos modelos de seguimiento de automóviles en los que se incluyen estímulos como la distancia entre automóviles o la velocidad relativa o la separación del automóvil que va detrás, así como la del que va adelante. En los problemas se dan algunos de estos modelos.
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6.3 / Aplicaciones
de la transformada: seguimiento
389
de automóviles
Problemas 1.
_
Utilice el material de las secciones 6.1 a 6.3 y las tablas de integración para hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. Para comprobar sus respuestas utilice las tablas del final del capítulo. (a) /sen
t
2
(e) t sen at (25)
2.
+ tt / 4)
(d)
t sen at
(h)
t2 el cos t
~
1 (s-a)"
s
(d) 1-es2
(e) (s-l)~-s
-
+1
(f) In s + 3
s
s+2
Por medio de fracciones parciales encuentre la transformada inversa de Laplace de cada una de las siguientes ecuaciones. 1
(b)
s(s + 1)
(d)
s2 + 3
1 s(s + 2)2
3s+ 1 (e) 2 - (s + 2s + 2)(s -1)
(s _1)2 (s + 1)
(e)
1 (s-a)(s-b)
(f)
s+l (s - 2)(s2 + 9)
,
a::t=b
Utilice el teorema 6.2.1, fracciones parciales (tabla 6.2.1) y las tablas del final del capítulo para resolver los siguientes problemas de valor inicial. Trace las curvas solución. (a) y" + 6y' + 5y = t,
y(O) = y'(O) = O
(b) y" + 2y' + Y = el,
y(O) = y'(O) = O
(e) y" - 2y' + 2y = sen t,
y(O)
(d) y" - 4y'
+ 4y
(e) y" - 2y' + Y
y no
uitos s que urna-
(f)
y"
+ 2 y' + y
= 2el
= el
+ cost,
sen t,
= te -1,
(g) ylll + y" + 4y' + 4y = -2,
muy
o la a deelos.
()
(a) ---
a una pero ibiliebido te en pudo a di-
(g) e -31 cos(2t
t
2s
s
AY) = hoca curre O pies
(f)
(b) 3e3s2 +1
(a) l+e-
3.
cos3
Encuentre la transformada inversada de Laplace sin usar tablas. s
.Así, .2). Si autoto (T,
(e) cos2 t
(b) sen ' t
www
IJ
5.
= y'(0) = O
y(O) = 3125,
y'(0)=-4/25
y(O) = y'(0) = O y(O)
= 1,
y(O) = O,
y'(O)
= -2
y'(O) = 1,
y"(O) = -1
(Circuito Le.) La respuesta l(t) del PVI I" + ú)21= 4 oc(t, 50, T) - 2, 1(0) = O, I' (O) = O es sensible a cambios en ú) y en T. Grafique la entrada y la respuesta para O::; t ~ 50 [O ~ t ~ 100 en el inciso (b)] si ú) y T son como se dan a continuación.
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390
La transformada de Laplace
¿La respuesta tiene una apariencia periódica? En caso afirmativo ¿cuál es el periodo? Si no es periódica, describa y explique qué función tiene la respuesta. 2
(a) ro = 1,
6.
T = 5n
(b) ro 2
= 20,
T
= 5n
2
(e) ro =1,
T=2n
(Transformada de onda cuadrada.) Seaf(t) = A oc(t, 50, 2a) - B, A Y B constantes.
Demuestre que
i
..c[f] = A [1 + (-1)" e- Ilas ] _ B s, s [Sugerencia : véase el ejemplo 6.3.2. Utilice la linealidad de L .]
7.
8.
_
.,
. ,".
,
.,
~
9.
(Entradas de onda cuadrada.) Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. Grafique la entrada y la salida. [Sugerencia: utilice el desarrollo del pro-
blema 6.] (a) (Filtro de paso' bajo.) y' + y = oc(t, 50, T), y(O) = O. Primero asigne T = 30, O::::; t::::; 100; luego T = 1, O::::; t::::; 10. Con el PVI se modela un canal de comunicación de paso bajo que transmite señales de baj a frecuencia con mucha menos distorsión que las señales de alta frecuencia. Véase el ejemplo 2.2.7. (b) (Pulsaciones.) y" + 4y = oc(t, 50, T), y(O) = O, y'(O) = O, O::::; t::::; 60. Establezca primero T = 7 Y luego T = 3. Grafique la entrada, y(t) y y'(t). Explique por qué aparecen pulsaciones pronunciadas cuando T = 3. [Sugerencia: el periodo natural es n = 3.14159 .. ., en tanto que el periodo del término que representa el forzamiento es 3. Véase en la sección 4.2 una explicación de las pulsaciones.] (Transformada de onda triangular.) Supóngase que f(t) = A ot(t, 100, a) - B, A Y B constantes. Con base en que L [ot(t, 100, a)] = 2(as 2 )- ' tanh(as/4) , demuestre que
(Entrada de onda triangular.) Resuelva el PVI y' + y = ot(t, 100, T), y(O) = O. Primero fije T = 30, O::::; t::::; 10; luego establezca T = 1, O::::; t::::; 10. Grafique la entrada y la salida. Si el PVI modela un canal de comunicación, ¿cuál entrada, T = 30 o T = 1, se transmite con menos distorsión? Explique por qué. [Sugerencia: véase el
problema 8 y el ejemplo 2.2.7.] 10. (Píldoras para el resfriado y transformadas.) El sistema lineal
~
x' = 120c (t,25/3,6) - k,x,
x(O) = O
.1'
y' = k,x - k2 y ,
y(O) = O
~! 1'"
.:~
,
!',t
"
i,
,
,.1.
donde k , = 0.6931 Y k2 = 0.0231 modela las cantidades x y y de antihistamina en el tracto gastrointestinal y el torrente sanguíneo, respectivamente. El modelo se obtuvo en los ejemplos 1.8.5 y 1.8.6. Aplique los métodos de esta sección para encontrar las fórmulas para las soluciones x(t) y y(t) válidas en el intervalo O::::; t::::; 48.
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391
6.3/ Aplicaciones de la transformada: seguimiento de automóviles
11.
(Modelo de control de velocidad.) Utilice el modelo de control de velocidad del texto para determinar cuáles de los siguientes conjuntos de valores de T y AT darán como resultado una colisión entre los primeros dos automóviles dentro del segundo intervalo de T segundos. [Sugerencia: véase la desigualdad (25).] (a) T
12.
= 1,
AT = 20
(b) T=5, AT=12.3
(e) T=2, AT=14
(Colisión entre el segundo y el tercer automóviles.) El modelo de control de velocidad del texto se utiliza aquí para dar las condiciones de que choquen el segundo y tercer automóviles. (a) Utilice (21) para demostrar que
¡~:'+ aA
05, t
2
Y3(t) =
24
(t-2T)4
5,
2T
2T 5, t < 3T
(b) Utilice (23) y la fórmula del inciso (a) para demostrar que 20,
05, t < 2T T 5, t < 2T 2T 5, t < 3T
ti
13.
(e) Supóngase que a = 6 pies/s 2 . Demuestre que el tercer automóvil choca con el segundo para algún valor de t entre 2T y 3 T si no se han estrellado los automóviles primero y segundo y si 10 5, T2 (AT - 16) AT. (d) Demuestre que si los primeros dos automóviles no se estrellan durante el intervalo de tiempo O 5, t 5, 3T, entonces 8 + 8(1 + 10/(64T2)I/2 < AT < 12 + 5/T2 [Sugerencia: utilice (24).] Trace las tres curvas siguientes en el plano T, AT: AT = 8 + 8(1 + 10/(64T2))I12, AT = 12 + 5/T 2 Y T2(AT - 6)AT = 10 en el intervalo de tiempo 0.4 5, T 5, 0.7. Sombree la región de puntos (T, AT) donde chocan los automóviles segundo y tercero durante el intervalo de tiempo O 5, t 5, 3T, si no se estrellan los dos primeros automóviles. Encuentre tres puntos de la región y explique la realidad de la situación física correspondiente. (Modelo de control de separación.) La distancia entre los autos (es decir, su separación), no la velocidad relativa podría tomarse como mecanismo de control para los automóviles en un semáforo. Para simplificar supóngase que los automóviles son "puntos" en vez de los automóviles de 15 pies utilizados en el texto. (a) Escriba un modelo de seguimiento de automóviles en el que el estímulo para el conductor (j + 1) es la separación desde el automóvil delantero. Supóngase un tiempo de respuesta de T segundos y una sensibilidad de A segundos- l. [Sugerencia: compare con el modelo en (l3) y realice los cambios necesarios.] (b) Repita el inciso (a) pero en una situación donde el estímulo es una combinación lineal del modelo de control de velocidad tratado en el texto y el modelo
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392
La transformada de Laplace
de control de separaciÓn del inciso (a). Utilice los coeficientes de sensibilidad Al y ~ para los modelos respectivos. (e) Para el modelo del inciso (a), supóngase que el automóvil que va a la cabeza acelera desde la señal de alto con aceleración constante a = 6 pies/s 2 y que la separación inicial entre los automóviles es de 5 pies. Estime el movimiento del siguiente automóvil. ¿Existen valores de A, dado el tiempo de retraso T = 2, que darán como resultado un alcance para algún valor de t en el intervalo 2:::;; t:::;; 4? [Sugerencia: utilice (17) y (16) para encontrar L[ví(t + T)). Como en (19), tendrá que usar un desarrollo de serie geométrica antes de tomar la transformada inversa para obtener V2(t).]
6.4
Convolución Cuando se utiliza la transformada de Laplace para resolver un problema de valor inicial, en la transformada de la solución suele intervenir un producto de funciones. Aunque el teorema del corrimiento (teorema 6.2.4) permite encontrar la transformada inversa de ciertos productos especiales, no se tiene un procedimiento general para invertir un producto de funciones. La noción de largo alcance del producto de la convolución llena este hueco.
Producto de la convolución Denotemos L [f1(s) con F(s) y L [g](s) con G(s). Obtendremos una fórmula elegante para L-I[FG]. Definamos primero un nuevo tipo de producto . •:. Convolución. El producto de la convolución f (f*g)(t) =
* g def y g está dado por
f~f(t-u)g(U)du
donde se supone que f y g están en E.
"
Las siguientes son las propiedades básicas del produ<;to de la convolución.
l'
"
I~
JI ~I
Teorema 6.4.1
Propiedades de la convolución. Supóngase que f, g y h están en E. Entonces
* g está en E. 2. ( Conmutación) f * g = g * f 3. (Asociación) (f * g) * h =f * (g * h).
1. ( Cerradura) f
4. ( Distribución) (f + g)
,
.'¡
* h = f * h + g * h.
(1)
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393
6.4 / Convolución
1& En el problema 6 se pedirá al lector que demuestre las demás propiedades.
Sólo comprobaremos la propiedad 2. Sea u = t - ven la integral de la fórmula (1): (f*g)(t) =
=
f~f(t-u)g(U)dU=
t
r
f(v)g(t-v)(-dv)
f(v)g(t - v)dv = f~ g(t - v)f(v)dv = (g * f)(t)
con lo que se demuestra que el producto de convolución es conmutativo. El producto de convolución es el ordenamiento por la transformada inversa de un producto.
Teorema 6.4.2
Teorema de la convolución. Supóngase que f y g están en E y que F y G son sus transformadas respectivas. Entonces se tienen las fórmulas (equivalentes) .1:, -1[FG] = f
u
* g,
.1:,[f * g] = FG
(2)
Comprobemos la segunda fórmula de (2). Supóngase que R es la región en el plano tu definido por O ~ u ~ t, O ~ t (véase la figura en el margen). Entonces si se utiliza (1), se tiene .1:,[f * g] =
fo~ e-sI{f~ f(t -
u)g(U)dU} dt (3)
=
fo~ {f~ e-sI f(t - U)g(U)dU} dt
que puede escribirse como una integral doble en la misma región sombreada R; es decir, 1& Éste es el teorema de Fubini (teorema B.5.11).
Debido a quefy g están en E, son continuas por partes, de modo que la integral doble puede evaluarse con una integral iterada en cualquier orden, es decir, en el orden de la integral iterada (3) o en orden inverso. En el orden inverso se tiene .1:,[f * g] = f: g(U){f e-sI f(t - U)dt} du
(4)
Al hacer el cambio de variable t = v + u en la integral interior en (4) se observa que
=
{s:
e- SUg(u)du }{fo~ e-sv f(V)dV} = GF = FG
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394
La transformada de Laplace
Por consiguiente, hemos establecido la segunda fórmula de (2); la primer fórmula es equivalente. Obsérvese que la transformada inversa de un producto no es el producto de las transformadas inversas. A continuación se ofrece un ejemplo en el que se ilustra cómo puede aplicarse el teorema de la convolución para encontrar la transformada inversa de un producto si se conoce la transformada inversa de cada factor.
Ejemplo 6.4.1
Cómo utilizar el producto de la convolución para encontrar las transformadas inversas Puesto que L [1] = 11s y L [sen t] = s2 + 1)-1, se observa que
..c
-l[ 1+ ]- ..c _1[1]- *..c -l[-1+-] s(s2
1) -
=
s2
S
1
S; 1. sen u du = 1- cos t
la cual es una fórmula encontrada antes mediante el método más largo de fracciones parciales. Mostremos ahora el poder real del producto de convolución y usémoslo para generar una fórmula de solución para las EDO lineales no homogéneas.
Problemas de valor inicial y la convolución Ilustraremos con un ejemplo cuán útil es la convolución para construir una fórmula para la solución de un PVI con una función de entrada arbitraria.
Ejemplo 6.4.2
Solución de un PVI por convolución Supóngase que f(t) está en E; considere el problema de valor inicial y" + y' - 6y = f(t),
y(O) = y/(O) = O
Al aplicar la transformada de Laplace se observa que (s2 + s - 6)L [y]
(5)
= L [f]
y, por tanto,
..c[y] = ..c[f] / (S2 + S - 6)
Si se toman las transformadas inversas y se aplica el teorema de la convolución, y=
f *..c
-I[s2+s - 6 1
]
(6)
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395
6.4 / Convolución
Ahora, mediante fracciones parciales S2
~ 6= ~ [s ~ 2- s~ 3]
+ -
Y por el elemento 1I.3 de la tabla se deduce que 1
- l[ .J;
S2
+S _ 6
]
=
51 e 21 - 51 e -31
(7)
Por medio de (7) y la definición del producto de la convolución se nota que (6) se convierte en y(t)
= f~ {~e2(t-U) - ~e-3(I-U) }f(U)dU
(8)
En virtud de que la función y(t) en (8) es continua, se concluye que debe ser la única solución del PVI (5). Apliquemos el mismo método para resolver el PVI general lineal de coeficientes constantes P(D) [y ]
= (D 2 + aD+ b)[y] = f
y(O) = y/(O) = O
(9)
donde a y b son constantes reales. Transformando el PVI (9), se tiene (S2
+ as + b).J;[y] =.J;[f]
que puede escribirse como P(s).J;[y] = .J;[f]
Al despejar L [ y ] se tiene .J;[y] = .J;[f]
pes)
(lO)
Si se establece g(t) = L -1 [l/P(s)], entonces el teorema de la convolución da la solución del PVI (9) como y(t) =
f~ g(t -
u)f(u)du = g * f
(11)
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La transformada de Laplace
Esto justifica el siguiente resultado:
11 ~ I
Teorema 6.4.3
Solución de un PVI con un producto de convolución. Si P(D) = D 2 + aD + b, donde los coeficientes son constantes reales, entonces la solución del PVI P(D)[y] = Jet), puede escribirse en términos de g(t) y(t) = (g
, ,1
,. ,
y(O) = y/(O) = O
= L -1[l/P(s)]
* f)(t)
=
f;
(12)
y el término de forzamiento j como
g(t - u)j(u)du
(13)
Comentarios
" I
~' r
Ahora se aprecia el poder del producto de la convolución, ya que permite escribir la solución del PVI (12) en una forma que muestra de manera explícita la función de forzamiento. Obsérvese que, dada P(D), es posible construir g(t) = L -1 [l/P(s)] de una vez por todas, sin importar el término de forzamiento. Esto recuerda el método de variación de parámetros (problema 8 de la sección 3.7). Aunque hemos centrado la atención en el operador de segundo orden P(D) = D2 + aD + b, el teorema 6.4.3 puede extenderse a cualquier operador polinomial de coeficientes constantes P (D).
Problemas 1.
Utilice la convolución para encontrar la transformada de cada función. [Sugerencia: cada integral es la convolución de dos funciones.] (a)
f;
(t - u)u du
Jr
(t 2 -2tu+u
t
(e)
2.
_
o
2
)du
(b)
f;
(d)
S; (sen t sen ucosu
sen udu - cos t serr' u)du
Encuentre la transformada inversa de Laplace de cada función por medio del teorema de la convolución. Escriba sus respuestas como productos de convolución, pero no evalúe las integrales. [Sugerencia: escriba cada expresión como el producto de dos funciones para las que pueda hallar sus transformadas inversas.] (a)
(e)
s (S2 + 1)2 s (s + l)(s + 2)3
(b)
(f)
s (s2 + 10)2 s2 +4s + 4 (s2 + 4s + 13)2
(e)
(g)
-
1 s2(s+1)
(d)
..c[f] s2+1
(h)
s (s2 + 9)3 e -3s ..c[j] s3
6.4/C
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397
6.4 /Co nvolución
www 3.
Escriba la solución de cada PVI como un producto de la convolución (no evalúe la integral). [Sugerencia: podrían serIe útiles el teorema 6.2.4 y las fórmulas de fracciones parciales de la tabla 6.2.1.]
= t escalón(t -1), y(O) = y'(O) = O (e) 2y" + y' - y = f(t), y(O) = y'(O) = O (d)
(a) y" + y
O, (e)y"+4y = t - 1,
{
4.
1,
= f(t), y" + 2y' + y = f(t), (b) y" + y
= y'(O) = O y(O) = y'(0) = O y(O)
o:s; t < 1 1:S; t < 2, t? 2
y(O)
= y'(O) = O
Utilice la fórmula g(t) = L- 1 [l/pes)] para construir g(t) para cada uno de los siguientes operadores diferenciales, donde D = d/dt. (b) D
2
+ (1I3)D + 1/36
(e) D3 + 1 [Sugerencia : véanse los comentarios.] 5.
Aplique el teorema 6.4.3 para resolver los siguientes PVI. (a) y" + 6y' + 13y = f(t),
(b) y" + y' /3 + y / 36 = f(t), (e) y'" + y = t, comentarios.] 6.
6.5
= y'(O) = O y(O) = y'(O) = O y(O) = y'(O) = y"(O) = O [Sugerencia: y(O)
véanse los
(Cerradura, asociación y distribución de la convolución.) Supóngase que f, g y h están en E. Demuestre quef * g está en E , que (j * g) * h = f * (g * h) Y que (j + g) * h = f* h + g * h.
La convolución y la función delta El producto de la convolución puede usarse para encontrar la respuesta de un sistema dinámico a una fuerza súbita de amplitud larga y duración corta (como golpear una bola de béisbol). Esto puede modelarse mediante la función delta de Dirac. iv Empezaremos en un
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La transformada de Laplace
plano hipotético, "definiendo" la función delta por una propiedad que se quiere que posea [véase (1) a continuación]. En seguida veremos cuánto puede desarrollarse la teoría y las aplicaciones de la función delta a partir de este frágil principio.
la función delta de Dirac y sus propiedades Comencemos por ampliar los dominios de las funciones f en E a toda la recta real al tomar el valor de f(t) como cero para toda t negativa. Este nuevo conjunto de funciones se denota con El . Ahora ya podemos dar la definición de un objeto muy extraño al que Dirac llamó función generalizada . •:. Función delta de Dirac. Supóngase que existe un elemento (5 en El tal que para toda to;::: O y toda función f en El que es continua en to,
s:
(5(to - u)f(u)du = f(to)
(1)
El elemento (5 se denomina func ión delta de Dirae. En realidad no puede haber más de una función delta de Dirac. Para verlo, digamos que hay dos funciones O(t) y J1(t) en El que satisfacen la definición (1). Entonces, para cualquier punto to donde J1(t) es continua,
s:
(5(to - u)J1(u)du = J1(to)
Por otro lado, si O(t) también es continua en to, entonces con el cambio de variables v = to - u se demuestra que
s:
iv Pau /
Pau l A. D irac
(5(to - u)J1(u)du = J1(to) =
S:
(5(v)J1(to - v)dv = (5(to)
Adrien Maurice Dirac (1902-7984), fís ico teórico británico, fue premiado (junto con Erwin Schródinger) con el premio Nobel de fís ica por su trabajo en mecánica cuántica. Entre otros logros, Dirac describió el movimiento de un electrón mediante cuatro ecuaciones diferenciales simultáneas. Con el hallazgo de estados negativos de energía que predijo con este modelo matemático, Dirac planteó la hipótesis de la existencia de positrones, o antipartículas electrónicas, hipótesis que se confirmó más tarde.
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399
6.5/ La convo lución y la función delta
Por tanto, 8 = f.1 porque 8(t) = f.1(t) en todos los valores de t donde 8 y f.1 son continuas. Ahora supongamos que existe una función delta de Dirac. Es posible que el lector sienta incomodidad con el cálculo de una función que podría no existir; no obstante, proseguiremos por este camino.
Teorema 6.5.1
Propiedades de la función delta de Dirac. Se tiene
f:
8(t)dt = 1,
¡;[8(t - u)] = e-liS
¡;[8](s) = 1,
(2)
Para comprobar la primera propiedad, seaf(t) = escalón(t), que es la función de Heaviside. De (1) puede establecerse que u = t - V Y demostrarse que paso(t) =
f:
8(t - u) escalón(u)du =
f:
8(v) escalón(t - v)dv
(3) =
Por tanto~
f~ 8(v)dv
[puesto que escalón (t - v) = O, si v> t]
f~ 8(v)dv = 1 para toda t> O, Y se demuestra la primera desigualdad de (2).
Para demostrar la segunda propiedad se emplea el teorema de la convolución (teorema 6.4.2):
u:w
Recuérdese que "escalón" es el nombre de la función escalón(t).
¡;[8* escalón] = ¡;[8)¡;[escalón]
(4)
Por otro lado, se tiene que · ¡;[escalón] = ¡;[l]
(5)
y que (después de declarar u = t - v)
¡;[8 * escalón] = ¡;[f; 8(t - u) eSCaIÓn(U)du] = ¡;[f 8(v) escalón(t - v)( - dV)]
(6) = ¡;[ t 8(v) escalón(t - V)dV ] = ¡;[f: 8(v) escalón(t - V)dV ] = ¡;[escalón] = ¡;[1] donde se han utilizado (5(v) = O para v < O, escalón(t - v) = O para v> t, Y la identidad (3). Por (4), (5) Y (6) se observa .que L[{5J = 1. Se deja al lector la justificación de la última identidad en (2) (problema 4).
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400
La transformada de Laplace
La función delta se utiliza a menudo para resolver PVI. Supóngase que P(D) = D 2 + aD + b para las constantes reales a y b. Entonces, el siguiente resultado da una fórmula de solución para un PVI:
Teorema 6.5.2
La función delta y problemas de valor inicial. La solución del PVI P(D)[y] = f,
donde f está en El, está dada por y=
f:
y(O) = y'(O) = O
(7)
(8)
G(t, u)f(u)du
donde para cada u la función z = G(t, u) es la solución del PVI P(D)[z] = S(t - u),
z(O)
= z'(O) = O
(9)
Para ver por qué la fórmula (8) da la solución del PVI (7) se razona como sigue: por el teorema 6.4.3 si g(t) = L - l[lIP(s)] , entonces la solución del PVI (7) está dada por y(t) = =
f;
g(t - u)f(u)du =
f:
f~ g(t -
u)f(u)du
escalón(t - u)g(t - u)f(u)du
(10)
donde se ha aprovechado que fiu) = O si u < O Y escalón(t - u) = O para u > t. Por otra parte, con la fórmula (10) de la sección 6.4 se ve que la transformada de la solución G(t, u) del PVI (9) está dada por ,L;[G(t, u)] = ,L;[S(t - u)] = e-
pes)
us
pes)
(11)
donde también se ha utilizado la tercera identidad de (2). En consecuencia, por (11) y la fórmula (12) del teorema del corrimiento 6.2.4 se observa que G(t, u) = g(t - u) escalón(t - u)
(12)
"
"
Por último, de (10) y (12) se tiene la fórmula buscada (8):
11
y(t) =
f:
G(t, u)f(u)du
:1 Por consiguiente, se ha planteado otra forma de encontrar la solución única de un PVI. Compárese la nueva fórmula con la que se obtuvo en el teorema 6.4.2.
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401
6.5/ La convolución y la (unción delta
¿Existe la función delta de D irac? escalón(T - 1) escalón(l)
I
o
I T
I lo
Por el momento, supóngase que O(t) es una función en El y veamos a dónde nos lleva esto. Digamos que to > O es un punto de continuidad para oy que O(to) > O. Entonces hay un intervalo O < to - T ~ t ~ to en el que O(t) es positiva y continua. Consideremos la función j(t) = escalón(T - t) escalón(t). Entonces, como T - to < O,j(to) = O, que por (1) se tiene 0 = f(to) =
f:
o(to - u)f(u)du =
s:
oCto - u)du
donde también se ha utilizado el hecho de que f(u) = O para u < O Y u> T. Al hacer el cambio de variables v = to - u se observa por la elección de to Y t que 0=
1& Este es lo que
se llama razonamiento hipotético en su máxima expresión ... o en su peor.
IoT
oCto - u)du =
flo
o(v)dv> O
~- T
puesto que hemos supuesto que O(t) es positiva para to - T ~ t ~ too Esta contradicción indica que O(to) no puede ser positiva en ningún punto de continuidad. De manera similar, O(to) tampoco puede ser negativa y, por tanto , desaparece en todo punto donde es continua. Esto significa que el miembro izquierdo de (1) desaparece para toda t, sin importar qué funciónfse elij a de E l. Pero esto es absurdo, de modo que cualquiera que sea O(t) , no es una función en El. TenSamos la sospecha de que a partir de la segunda fórm ula de (2) ya que no puede ser una función , pues cualquier función en El debe tener una transformada que tiende a cero cuando s ---¿ + 00 . Desde los tiempos de Dirac, las "funciones" como ohan sido muy importantes en las aplicaciones. En los tratamientos avanzados de las modemas matemáticas aplicadas se construye una teoría lógicamente rigurosa que incluye objetos, conocidos como disfribuciones, f unciones generali:adas o fun ciones simbólicas que se comportan como la "función delta". Con esto en mente, sigamos usando como si tratara de cualquier otra función.
o
o
o
Fuerzas impulsivas La función opuede usarse para modelar una gran fuerza repentina que actúa sobre un sistema físico.
Ejemplo 6.5.1
¿Qué sucede cuando se golpea un resorte oscilante? Supóngase que el peso pendiente del extremo de un resorte oscilante no amortiguado regido por la ley de Hooke recibe un golpe fuerte. ¿Cómo responde el sistema? Si y es la medida del desplazamiento del peso desde el equilibrio, entonces el sistema puede modelarse con my"(t) + ky(t) = Ao(t - T),
y(O) = a ,
y/(O) =
f3
(13)
donde m es la masa, k es la constante del resorte, A es una constante positiva, T> O es el instante en que el resorte es golpeado y a y f3 son valores iniciales. La "fuerza" AO(t - T)
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402
La transformada de Laplace
se denomina f uerza impulsiva, en tanto que su integral en el tiempo es el impulso . Se divide la EDO de (13) entre m, se establece k/m = oJ y se transforma: (S2
+ ro 2 )L[y] - sa - f3 = Ae- Ts / m Ly [] =
sa + f3 S2
+ ro
2
Ae-Ts/ m
+ ----;;--....,.-S2
(14)
+ ro 2
donde se utiliza la tercera fórmula de (2). Al invertir (14) se tiene y(t) = =
a cos rot + ~ sen rot + mAro sen ro(t - T) escalón(t - T)
(15)
[a-~ sen roT escalón(t'- T)]cos rot + [ f3 + ~ cos roT escalón(t - T)Jsen rot m ro ro m ro
"
donde se utiliza la identidad trigonométrica sen ro(t - T) = sen rot cos roT - cos rot sen roT. La solución y(t) del PVI (13) es continua, pero nótese el ángulo agudo en t = T, en tanto que y'(t) tiene una discontinuidad de salto en t = T (figura 6.5.1). El resorte del ejemplo 6.5.1 continúa oscilando después del golpe impulsivo. ¿Es posible elegir la amplitud y el tiempo de modo que el golpe detenga las oscilaciones?
Ejemplo 6.5.2
Detención de las oscilaciones Si queremos detener las vibraciones del resorte del ejemplo 6.5 .1, debemos elegir A y T de modo que y (t) = O para t > T. Por la fórmula (15) se observa que y (t) = O para t > T si
A f3 - - cosroT = - -
A - - sen roT = a , mro
mro
(16)
ro
,1
Se nota que si f3;f. Oes necesario medir el tiempo del golpe y elegir su amplitud de modo que
1,'
A
m
aro sen roT'
aro tanroT = - -
f3
esto es,
jd ~ I
," 1,/
T '
T = ro1 arc tan ( - aro)
A = maro sen roT
l .
,, 1l ' I
1( ~
'1
,
donde se supone que roT;f. k7r. Con esta elección de T y A, las vibraciones cesan en t = T. En la figura 6.5.2 se muestran las gráficas de y(t) y y'(t) con m = 1, a = 1, f3 = -1 , ro = 1, T = 7rl4 Y A = -li.
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403
6.5 / La convolución y la función delta
';;;' 2
.~
y"
+ y =38(1 - 1),
y(O) = 1,
y'(O) = - 1
+ y = --/28(1 - n/4),
y"
y(O) = 1,
y '(O) =-1
1--- ......... , ' " ,
o
u
'<,~~,
'" :.al os
'"
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;,... o
(/) y(/)
,, ,, ,,
I
,,
,,
,,
,,
I I I I
. . ____ J
I I I I I I I I I
,,
,
'-. . . _-.. . J "
.....
_-----
Figura 6.5.1 Respuesta de un resorte a un golpe en el instante T = 1 (ejemplo 6.5.1).
y '(/)
Figura 6.5.2 Detención de las oscilaciones con un golpe bien cronometrado en T = n/4 (ejemplo 6.5.2).
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ www 1.
Utilice la transformada de Laplace para encontrar la solución de un PVI, donde y(O) = y'(O) = O.
(a) y" + 2y' + 2y = 8(t - n)
(b) y" + 4y = 8(t - n) - 8(t-2n)
(e) y" + 3y' + 2y = sen t + 8(t - n )
(d) y" + y = 8(t -n)cost
(e) y" + y = e l + 8(t - 1)
_
2.
4. 5. 6.
(Resorte forzado.) Un resorte de la ley de Hooke con constante k sostiene un objeto de masa 1 y está sujeto a una fuerzaf(t) = A sen (j)t, (j)2 "* k para t ~ O. A la masa se le da un fuerte golpe repentino hacia arriba en t = 2 que da un impulso de 2 unidades, de modo que la fuerza del golpe es 28(t - 2). Determine el movimiento si el objeto está en reposo en su equilibrio natural en t = O. Grafique la solución cuando k = 1, A = 1, (j) = 2. (Circuito LC forzado.) Supóngase que un circuito LC está sujeto a un voltaje constante Fo. En el instante t = 1, el circuito recibe una fuerte descarga de voltaje 2Fo [es decir, 2FoO(t - 1)]. Encuentre la carga en función del tiempo si q(O) = q'(O) = O. Grafique la carga como función del tiempo si Fo = 10. Supóngase que O(t) existe. Demuestre que L[8(t - u)](s) = e-USo Demuestre que 8(at) = (l /la I) 8(t) , a "* O. [Sugerencia: sustituya t por at en la primera fórmula de (2).] Supóngase quej(t) está en El. Demuestre que 8(t) * f(t) = f(t).
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404
La transformada de Laplace
Tablas de transformadas de Laplace l. Propiedades generales f(t)
1.
f(at)
2. 3.
ea! f(t)
g(s - a)
escalón (t - a)f(t - a)
4.
sn g(s) -
S(Il-I ) feO)
- /n-2) 1'(0) - ... -
/n-I ) (O)
5.
6. 7.
f~f(U)dU f~ (t -
g(s)
s (n -1)! g(s)
u)" - I f(u)du
Sil
8. 9. 10. 11.
r
f(t)
p
f(t) es periódica con periodo p
1
l _ps
-e
-V nt
r e-Sllf(u)du Jo g( .,Js)
~ r~ e- u 2 !4t f(u)du
.,Js
Jo
12. 1
1 (1 - ),
~g
sn
13.
g(u)du
t k= 1
Pea,,) ecx,1
Q,,(a,,)
S
> n_
O
pes) Q(s)
P es un polinomio, grado < n;
1
J n es la {unción de Bessel de la primera clase de orden n . Véase la sección 71. 6.
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'deLaplace
405
Tablas de transformadas de Laplace
11.Transformadas de Laplace especiales f(t)
g(s) = ..c[f] =
l.
(n-l)!/s",
re-sI
f(t)dt
n=l,
2, 3,...
2.2 (n -1)! --'-----'-,
3.
n = 1, 2, 3,...
(s - a)"
4.2
f'(p) P'
( s-a
'-1)(0)
5.
senat
6.
cosat
7.
senh at
8.
cosh at
9.
bt
e -e
>O
(b-a)s b --'-----,a 1= (s-a)(s-b) sen at - at cos at
12. 13.
P
b-a -----,a1=b (s-a)(s-b)
al
10.
1l.
)
tsen at -al
=bt
f(t) =
L.. r
e -e 2(m3 )112
14.1 15.
[1]
1
k-1
k=l
s(e
S -
e r)
donde [t] = mayor entero s t 16.
17.
+bt
e
-e
=at
ln(~) s+b
2
18.
8(t - a)
19.
escalón(t-a)
f'(p) es la (unción gama. Véase la sección 77.6.
-s
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406
La transformada de Laplace
111. Transformadas de funciones definidas gráficamente Gráfica
Función f(t)
1.
g(s)
= ¡;[f] =
r
e - st f(t)dt
ot(l, 100, a)
=
-;-tanh( as) as 4
Función de onda triangular: periodo a
j(1) = 2 OC(I, 50, 2a) - 1
2.
Función de onda cuadrada: periodo 2a
1 -;tanh
(as) '2
n:a
coth -
-1
f(t) = Isen(q,')1
3.
Onda seno rectificada: periodo a
2 2
a s + 1r j{t) =
4.
Onda seno semirrectificada: periodo 2a
5.
Función de onda de dientes de sierra: periodo a
5en('iJ)
OC(I,
(as)
2
50, 2a)
f(1) = 0 5(1, 100, a)
j{t) = escalón(t - a)
Q.
Función escalón s
o
a j{t)
7.
pc(t - a, b - a)
e - as - e -bs s
Función de pulso
o 8.
=
Función de escalera
a
b
:1 ;') o
a
~"'~'I') 2a
3a
1
t
2
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Capítulo
5 000
7
4000 ~
~
5b 3000
§ ~ o
§ 2000
En sangre
¡;:;
1000
-- ____ En tejidos
---=========-----------
o +t~~~~I~~~~I~~__~~1~~~-+I~~~~I O
100
200
300
400
500
t(días) El cuerpo humano absorbe plomo del ambiente. En la figura se muestran las concentraciones de plomo a partir de dos conjuntos de datos iniciales. ¿Alguna suposición de lo que podría suceder después de 250 días?
Sistemas lineales .de ecuaciones diferenciales
Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) lineales surgen al modelar circuitos eléctricos de varios ciclos, el movimiento de resortes acoplados o un péndulo doble, el paso de plomo a través de los diversos compartimientos del cuerpo y en muchos otros entornos. En este capítulo construiremos técnicas que caracterizan las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.
Rastreo de plomo a través del organismo El plomo es un componente de muchos objetos de la vida cotidiana: baterías de automóviles, tuberías de agua, utensilios de vidrio, cerámica, pintura y gasolina. Sin embargo, es tóxico y las concentraciones altas en la sangre y los tejidos da como resultado el deterioro de las capacidades mentales y motrices. Una forma de entender esto es construir un modelo del flujo de plomo en el cuerpo. El plomo entra en el torrente sanguíneo por medio de los alimentos, el aire y el agua. Se acumula en la sangre, los tejidos y sobre todo en los huesos. Parte de él es excretado por los riñones y el cabello, las uñas y el sudor. Construiremos un modelo matemático para el flujo de plomo por cada uno de los tres compartimientos del cuerpo: sangre, tejidos y huesos.
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408
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
1¡
3 Huesos
, ~,
X3(t)
k3¡x¡ k13x3
7.1/
Entrada de plomo
1 Sangre
X¡(t) kO¡x¡
k2¡x¡
2 Tejidos
k¡~2
Orina
xit)
kO~2
Cabello , uñas, sudor
Figura 7.1.1 Transporte de plomo en el cuerpo (ejemplo 7.1.1). El diagrama de la figura 7.1.1 representa el flujo de plomo por los compartimientos del cuerpo numerados como 1,2 Y 3. La cantidad de plomo en el compartimiento i en el instante t se denota con x¡(t). La tasa de transferencia de plomo al compartimiento j desde el compartimiento i es proporcional a x¡(t) (una ley de tasa de cambio de primer orden); la constante de proporcionalidad se denota con la tasa constante kj¡. Se supone siempre que kji ~ O. Si no hay transferencia de plomo al compartimiento j desde el compartimiento i, entonces kji = O. Podría ocurrir una transferencia inversa desde el compartimiento j al i, pero la constante tasa de cambio kij no debe ser igual a kj¡. Los símbolos de cada flecha dan las tasas de salida de un compartimiento y la de entrada en otro. El transporte fuera del compartimiento se denota con un subíndice O; esta región absorbente exterior se denomina pozo.
Ejemplo 7.1.1
Fi~ COI
Construcción de las EDO modelo De acuerdo con la ley de equilibrio, Tasa de cambio = tasa de entrada - tasa de salida Al aplicar esta ecuación al flujo de plomo por los distintos compartimientos de la figura 7.1.1 se tiene el sistema de tres ecuaciones de tasa de cambio:
(1)
del diagrama ~ se
(sangre)
x{ = -(kO¡ + ~¡ + ~¡)x¡
(tejidos)
x~ = k2¡x¡ - (k02
(huesos)
x~ = k3¡x¡ - k13x3
+ k12)x2
+ k¡2x2 + k13x3 + /¡
ra
(2)
pc de in al pl
En la sección 5.2 se da la definición de soluciones de equilibrio. I@"
Supóngase que la tasa de entrada /¡ de plomo en la sangre desde el tracto gastrointestinal y los pulmones es una función de tiempo continua por partes. Si /¡ Y kij son constantes positivas, entonces el sistema (2) tiene una solución de equilibrio única (véase un ejemplo en el problema 1).
http://carlos2524.jimdo.com/ encíales
409
7.1 / Rastreo de plomo a través del organismo
x,(O) =
x3(0) =
~ ~
x,(O)
O;
50000
:,~?-9 ,////
,/,/Huesos 2000
/
o
ti
;,/
8
~
1500
1000 500
40000
a
'"5h o •..
Sangre
30000
u
~
"
o o
/'/
o·
=O =O =O
'"o
/
,:'
Xz(O) x3(0)
,//
~
¡;:;
1800
= O; 1800
x2(0)
::::
o;
20000
a
¡;:;
----7l~."~-----:::::-:-:--:----/;"
10000
Tejidos
/',.'
o
l/ 200
400
600
2000
800
tos del el inssde el 1/); la re que ento i, i, pea dan ra del nomi-
4000
6000
8000
t(días)
t(días)
Figura 7.1.2 Acumulación de plomo a partir de dos conjuntos de datos iniciales (ejemplo 7.1.2).
Figura 7.1.3 Después de 8000 días el contenido de plomo en los huesos aún va en aumento (ejemplo 7.1.2).
El sistema (2) es un modelo plausible, pero ¿qué relación tiene con los datos concretos de personas reales que ingieren bebidas y alimentos contaminados y que respiran aire con trazas de plomo provenientes de la contaminación industrial? Veamos un estudio de caso.
Ejemplo 7.1.2
Un estudio de caso Michael Rabinowitz, George Wetherill y Joel Kopple realizaron un estudio de control de la ingestión y excreción de plomo en voluntarios saludables que viven en el sur de California) Los datos de este estudio se usaron para estimar los valores de la tasa de ingestión de plomo /1 en microgramos/día y las constantes de tasa de cambio kji en (dtasr+:
= 49.3; kOI = 0.0211, kzl = 0.0111, k31 = 0,0039 k02 = 0.0162, k¡2 = 0.0124, k¡3 = 0.000035 /1
(3)
(1)
Con el sistema (2) y los datos de (3) y con dos conjuntos distintos de datos iniciales se tienen los siguientes PVI para rastrear el plomo por los compartimientos del cuerpo:
ama
(2)
I@" En la figura 7.1.2 se muestra una comparación de curvas componentes que utilizan dos conjuntos de datos iniciales. En la realidad, al principio hay algo de plomo en el cuerpo.
X{
= -0,0361x¡
+ 0,0124x2 + 0,000035x3 + 49.3,
Xl
(O) = O; 1800
x~ = O.Olllx¡ - 0.0286x2'
x2 (O) = O; 800
x3 = 0.0039xl -0,000035x3'
x3 (O) = O; 1000
(4)
Apliquemos un programa de solución numérica, En la figura 7.1.2 se muestra la acumulación de plomo en los compartimientos de cuerpo durante un periodo de 800 días.
tinal S
po-
mplo
i Su trabajo se publicó en Science 182 (1973), pp. 725-727, Y posteriormente por Batschelet, Brand y Steiner en J. Math. Bio!. 8 (1979), pp. 75-23.
fue ampliado
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410
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
3000
11 = 49.3 escalón (400 - t)
----------------------------
.-;;- 2500
~
th
Huesos / /-j/
Sangre //
1500
o
§
/
1000
/
g
/
o
8 .9 p...
// Tejidos "::---------------,, ,,";/ ,
í5::: 500
2500
6h 8u
/'
-' 2000
Sangre
'"
-'
//'//
1500
1000
500
/',/ ,-'
o,~~~ '
11 = 49.3 escalón(400 - t) ;V33 escalón(t - 400) Huesos ",/
,-..,
o'" ~
"
2000
8u
g
3000
_____+o~____~o_ _~~~======
o
200
400
600
800
t(días)
Figura 7.1.4 Disminución de las concentraciones de plomo después de que se ha eliminado del ambiente (ejemplo 7.13).
t(días)
Figura 7.1.5 La eliminación del plomo de las pinturas y la gasolina disminuye las concentraciones de plomo (ejemplo 7.13).
En apariencia las concentraciones de plomo en el torrente sanguíneo y los tejidos se estabilizan en los valores de equilibrio después de 200 días, pero la concentración de plomo en los huesos no ha empezado a estabilizarse incluso después de 8000 días (figura 7.1.3). Debido a esto el coeficiente de transferencia kl3 = 0.000035 (día)-I del plomo de los huesos a la sangre es tan pequeño que el esqueleto acumula y almacena plomo como un depósito. De manera notable, sin importar cuáles sean los datos iniciales, las concentraciones de plomo se aproximan a un estado de equilibrio único (aunque esto no es muy claro en las figuras 7.1.2 y 7.1.3 para las concentraciones de plomo en los huesos). En la sección 7.10 comprobaremos este hecho. A partir de ahora utilizaremos los datos iniciales XI (O) = x2(0) = X3(0) = O; el segundo conjunto de datos iniciales indicado en el PVI (4) conduce a conclusiones similares. ¿De qué manera es posible disminuir las concentraciones de plomo? Una forma sería limpiar el ambiente mediante la prohibición del plomo como ingrediente de pinturas, tuberías de agua, utensilios de cerámica y gasolina. Probemos el efecto de una prohibición total y luego una prohibición parcial más real.
Ejemplo 7.1.3
Eliminación del plomo del ambiente Después de 400 días el individuo del estudio descrito en el ejemplo 7.1 .2 se muda a un ambiente totalmente exento de plomo y la ingestión de este elemento disminuye de 49.3 microgramos de plomo por día a cero. Este cambio puede modelarse al sustituir el término de tasa de cambio 49.3 del PVI (4) por 49.3 escalón(400 - t). En la figura 7.1.4 se muestra una disminución drástica de plomo en la sangre y los tejidos y cierta mejoría en la concentración de plomo en los huesos cuando se detiene la ingestión de plomo.
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411
7.1 / Rastreo de plomo a través del organismo
-400)
k01
=0.0211 escalón(400-1)+0.0316escalón(I-400)
3000
H?/
2500 3000
-;;;-
k01
= 0.0211 escalón(400 - t) + 0.211 escalón(l- 400)
E
b1 2000
2500
2000
~
:s ~
....
Sangre
..," ..
1000
Tejidos
500 \,
//
-.....,..c:-,_-__-_- __-_-__-__-_- __-_-__-_ 200
400
600
200
800
Figura 7.1.6 La medicación masiva a partir del día 400 provoca una disminución drástica en las concentraciones de plomo en la sangre y los tejidos (ejemplo 7.104). Puesto sucedería tra lo que minuye a
e eso en
Deos a
En la sección 7.10 se amplían los detalles al respecto. llE
).
s de das 1.10
400
600
800
I(días)
t(días)
as lomo
,,/
o E o ¡¡; 1000
/
/"';;:""';.--------------
'00
Sangre
]. 1500
,,/
..../
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....
/
1500
o
E o
8 o
Huesos/········
o
§
~
//'//
Figura 7.1.7 Un poco de medicamento a partir del día 400 disminuye las concentraciones de plomo en la sangre y en los tejidos (ejemplo 7.104).
que un entorno libre de plomo es algo irreal en el mundo de hoy, veamos qué si se eliminara parte del plomo (no todo) del ambiente. En la figura 7.1.5 se ilussucede con las soluciones del PVI (4) cuando la tasa de ingestión de 49.3 dis33 microgramos de plomo por día. Para modelar este cambio se sustituye 11 =
49.3 en el PVI (4) con 11 = 49.3 escalón(400 - t) + 33 escalón(t - 400). Nótese la disminución de un tercio en las concentraciones de plomo para la sangre y los tejidos en comparación con las concentraciones mostradas en la figura 7.1.2, pero la disminución en la tasa de incremento de la concentración de plomo en los huesos es ligera.
2(0) on-
ería tuión
¿Funcionará esta estrategia? Sí, por lo menos ha funcionado en el sur de California, donde las concentraciones de plomo en el ambiente han disminuido casi la tercera parte. Sin embargo, aún hay muchos casos de intoxicación con plomo: niños que viven en casas antiguas decoradas con pintura a base de plomo, trabajadores de fábricas de baterías. En casos individuales como éstos hay un medicamento que se combina con el plomo y promueve el paso de éste por el cuerpo. Veamos qué sucede cuando se administra tal fármaco. Primero modelaremos los efectos de una dosis enorme y luego de una más reaL
t
I un U Dise en
Ejemplo 7.1.4
Eliminación
del plomo de la sangre
Supóngase que del día 400 en adelante se administra una dosis masiva del medicamento y que el coeficiente de eliminación kOI se incrementa 10 veces a 0.211. Este cambio se modela sustituyendo kOI en el PVI (2) y (4) con k01 = 0.0211 escalón (400 - t) + 0.211 escalón(t - 400), en tanto se mantienen los otros valores dados en (3). En la figura 7.1.6 se muestra lo que sucede. La disminución de plomo en la sangre es súbita, tanto que la
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Sistemas lineales de ecuaciones diferencia les
dosis pudo haber matado al paciente. Una dosis más segura aumenta el valor de eficacia de kO] en 50%, a 0.0316. En la figura 7.1.7 se muestran las concentraciones reducidas de plomo con esta dosis más real.
Los estudios de caso, los modelos de EDO y las simulaciones en computadora tienen gran importancia en este contexto. Lo mismo pasa con la teoría matemática, pero continuaremos esta historia hasta la sección 7.10, pues antes es necesario explicar algunos conceptos en las siguientes secciones.
Comentarios El sistema (2) para el plomo es un ejemplo de modelos comportamentales lineales presentados en las sección 1.8. Cuando el flujo a través de los compartimientos es unidireccional solamente' (como en la sección 1.8), los modelos reciben el nombre de cascadas y es posible resolverlas una EDO a la vez. No obstante, el sistema para el plomo modela el flujo en que entra y sale de los compartimientos, de modo que las EDO del modelo están acopladas y no es posible resolver el sistema EDO por EDO. Se necesitan otros métodos (que veremos más adelante en este capítulo) para explicar el comportamiento de las soluciones en este entorno más general, de modo que por el momento confiaremos principalmente en los programas de solución numérica.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
1\
"
: I
(Plomo en el cuerpo: concentraciones de equilibrio.) En las figuras 7.1.2 y 7.1.3 se muestran las cantidades de plomo en los compartimientos del cuerpo; las de la sangre y los tejidos se aproximan con rapidez a las concentraciones de equilibrio. Lo mismo se cumple para el plomo de los huesos, pero toma mucho más tiempo. (a) Encuentre las concentraciones de equilibrio al igualar a cero las funciones de tasa de cambio del PVI (4) y resolver para X], X2 Y x3 . (b) Utilice el PVI (4) (con el primer conjunto de datos iniciales) y un programa de solución numérica para estimar cuánto tarda el plomo en la sangre para llegar a 85% de su concentración de equilibrio. Repita los cálculos para los tejidos . Podría utilizarse el mismo problema para los huesos, pero el intervalo de tiempo es increíblemente largo. (e) Sustituya la tasa de ingestión de plomo de 49.3 microgramos por día del PVI (4) por la constante 1] (no especificada)." Ahora estime las concentraciones de equilibrio en términos de 1] . Explique por qué las concentraciones de equilibrio se reducen a la mitad si 1] se reduce en 50%.
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nciales
•
11 2. con•
3.
4.
3 se sanLo
de
413
7.1 / Rastreo de plomo a través del organismo
I
Para I¡ = 10, 20, 30, 40, 50, trace la curva componente x3(t); luego, para cada valor de I¡, estime el tiempo que tarda la cantidad de plomo en los huesos en llegar a los 1000 microgramos. (Plomo en el cuerpo: ambiente libre de plomo.) Supóngase que el individuo libre de plomo del ejemplo 7.1.2 [es decir, x¡{O) = X2(0) = x3(0) = O] es expuesto al plomo durante 400 días, luego es llevado a un ambiente libre de plomo (figura 7.1.4). Utilice una computadora para estimar cuánto tiempo tarda la cantidad x3 de plomo en los huesos en bajar a 50% de x3(400); repita los cálculos para 25 y 10%. (Eliminación de una parte del plomo.) En este problema se ve el efecto de reducir la tasa de ingestión de plomo a la mitad y al mismo tiempo utilizar un medicamento para duplicar el coeficiente de eliminación kO¡' (a) Sustituya el valor 49.3 del PVI (4) por 49.3 escalón(400 - t) + 24.65 escalón (t - 400). Explique por qué con esto se modela una reducción de 50% en la tasa de ingestión para t ~ 400. Trace las concentraciones de plomo en la sangre, tejidos y huesos. ¿Observa una disminución de 50% en las concentraciones finales de plomo en la sangre y los tejidos? (b) Deje el término 49.3 del PVI como tal, pero sustituya el coeficiente 0.0361 de la primera EDO por 0.0572 del día 400 en adelante. Esto corresponde a duplicar el valor de kO¡' Trace las concentraciones de plomo en la sangre, tejidos y huesos. ¿Es equivalente la disminución a la observada en el inciso (a)? [Sugerencia: sustituya 0.0361 por 0.0361 escalón(400 - t) + 0.0572 escalón(t - 400) en la primera EDO de (4).] (e) Del día 400 en adelante, modele una eliminación parcial del ambiente y la administración del medicamento como en los incisos (a) y (b). Grafique los resultados y describa los efectos de esta estrategia. (Un sistema de compartimientos.) En el diagrama siguiente se muestra un sistema de compartimientos donde se inyecta una sustancia Q a una tasa de 13 unidades por minuto en el compartimiento 3. La sustancia Q sale del compartimiento i al compartimiento j a una tasa proporcional a la cantidad x¡(t) de Q en el compartimiento i; la constante de proporcionalidad es kj¡' (d)
k23X3
I
k13X3
h
X¡
X3 k3¡x¡
(a)
X2 k2¡x¡
kO¡x¡
k03X3
rio
1 k12X2
Encuentre las ecuaciones diferenciales ordinarias para x¡(t), X2(t) Y X3(t) si
., 1
13 = 1, k3¡ = 3,
~¡
= 1,
kO¡ = 16,
k¡3 = 1, k03 = 5,
k23 = 2,
k12 = 4
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414
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
11 www 5.
11
(b) Encuentre las concentraciones de equilibrio de Q en cada uno de los compartimientos. (e) Trace las tres curvas componentes en un intervalo de tiempo suficientemente largo en el que cada una esté dentro de 90% de su concentración de equilibrio. Supóngase que t ~ O Y x¡(O) = x2(0) = x3(0) = O. (Trazador de inulina.) El agua se mueve de manera unidireccional de la sangre al sistema urinario, pero va y viene entre la sangre (compartimiento 1) y las áreas intercelulares (compartimiento 2). Este movimiento se rastrea al inyectar inulina en la sangre a una tasa de /¡ gramos/hora. Las moléculas de inulina se adhieren a las de agua y pueden rastrearse con rayos X. (a) Elabore un diagrama de cuadros y flechas como el del sistema para el plomo. Encuentre las EDO que modelan las concentraciones de inulina en el sistema. Supóngase que la inulina sale del compartimiento i y entra en el j a una tasa de kj ¡ x¡(t) para alguna constante kj ¡ > O, donde x¡(t) es la cantidad de inulina en el compartimiento i en el instante t. (b) Encuentre las concentraciones de equilibrio de inulina en la sangre y en las áreas intercelulares en términos de las constantes de tasa de cambio (supóngase que /¡ es una constante positiva). (e) Trace las curvas componentes de su sistema si /¡ = 1,
~ 1I 6.
7.2
kz¡
= 0 .01,
k12 = 0.02,
kO¡ = 0.005,
X¡ (O)
=
X2
(O) = O
Utilice un intervalo de tiempo suficientemente largo de modo que las concentraciones de inulina en la sangre y el área intercelular hayan alcanzado por lo menos 90% de sus valores de equilibrio. La suposición en el PVI (4) de que x(O) = O es irreal. Analice los efectos de largo plazo en x(t) si x(O) of. O en el PVI (4).
Introducción a los vectores y las matrices En muchas ramas de la ciencia, la ingeniería y las matemáticas los arreglos rectangulares de números o funciones desempeñan un papel importante en la organización y el trabajo con sistemas de todo tipo, en particular con los lineales. La estructura rectangular de estos arreglos, conocidos como matrices, facilita la definición de las operaciones. A continuación se explica cómo llevar a cabo lo anterior.
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7.2/ Introducción a los vectores y las matrices ,ciales
Matrices
partí-
y operaciones con matrices
Repasemos algunas propiedades básicas de las matrices de números, con el acento en las ideas que serán útiles en el estudio de sistemas de EDO lineales en secciones posteriores.
aente Ibrio.
.:. Matriz. Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de números reales o complejos aij con m renglones y n columnas encerrados en corchetes (paréntesis cuadrados):
re al lll-
~nla
a12
~ de
A=
~mo. ~ma.
a de In el las ga-
ll2F
¡en\"lo
Una matriz renglón
de 1 X n es un vector renglón.
ll2F Una matriz triangular inferior se define de manera similar.
IR. Y te suelen utilizarse para denotar los números reales y los complejos, respectivamente.
ll2F
1
a21
a22
a," a2n
amI
am2
amn
fa".
Todo elemento de un arreglo rectangular se identifica con un doble índice. Nótese que el primer índice de aij indica el renglón, en tanto que el segundo señala la columna donde aparece el número aij' Por ejemplo, a23 denota un elemento que aparece en el segundo renglón de la tercera columna. Es común abreviar la notación para A con [a¡jl. Dos matrices A y B son iguales si aij = bij para toda i, j. Si A es una matriz columna m x 1, se llama vector columna. Si m = n, entonces A recibe el nombre de matriz cuadrada de orden n. Los elementos all, a22, ... , ann forman la diagonal principal de la matriz cuadrada. Una matriz cuadrada cuyos elementos debajo de la diagonal principal son cero es una matriz triangular superior o, simplemente, una matriz triangular. En una matriz diagonal todos los elementos arriba y debajo de la diagonal principal son cero. En seguida estudiaremos la suma de matrices. .:~ Suma de matrices. Si A = [aij]' B suma de A + B es la matriz [aij + bij]'
= [bij]
son matrices m x n, entonces la
Por lo general, a los números se les denomina escalares; los escalares pertenecen al conjunto lR de los números reales o al conjunto e de los números complejos. Pueden multiplicarse un escalar y una matriz. .:. Producto escalar de una matriz. Si A = [a¡) es una matriz m x n y calar, entonces aA = [a aij].
Ejemplo 7.2.1 '0
si-
Suma de matrices;
producto
con un escalar
= [6 ~lJ, B =[~ A+B=[6!~ 41:;], =[~
Supóngase que" A
y se observa que
A + B Y aA
~J ~l y
a
=3.
Entonces
aA=[~~6~
son fáciles de calcular.
3j(4~J=[8 -3J 12
a un es-
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Nótese que A + B = B + A Y que (A + B) + e = A + (B + C) para matrices cualesquiera m x nA, B Y C. Definamos ahora el producto de dos matrices . •:. Productos de matrices. Sea A = [aij] una matriz m x n y B = [bij] una matriz n x k. Entonces AB se define como la matriz m x k AB = e = [cij]' donde ~"
cij = ""'" s;1 a¡sbsj '
En la definición de un producto de matrices AB, el número de columnas en la matriz A debe ser igual al número de renglones de la matriz B, es decir, las matrices A y B deben ser de dimensión compatible. El elemento cij en el producto e = AB es la suma de los productos de los elementos del renglón i de A con los elementos de la columnaj de B. A continuación se presenta un ejemplo.
Ejemplo 7.2.2
Producto de matrice[s
21-1]
Sea A la matriz 2 x 3 O 3
1 Y B la matriz columna 3 x 1 (es decir, vector)
Entonces es posible calcular el producto de matrices
[-3] 4 . 2
[-4J ' i =[ (2)(-3)+(I)(4)+(-I)(2)J (0)(- 3)+(3)(4)+(1)(2) = 14
2 1 - IJ [ - 3] AB = [ O 3 1
El producto BA no está definido, ya que las dimensiones de B y A son 3 x 1 y 2 x 3. Para que ambos productos de la matriz estén definidos A y B deben ser matrices cuadradas de la misma dimensión, pero aun así podría resultar que AB -t:. BA (es decir, la multiplicación de matrices no siempre es conmutativa). Por tanto, en cualquier cálculo con productos de matrices no debe modificarse el orden de los factores. El siguiente es un ejemplo donde AB -t:. BA:
Por medio de la definición de producto se observa fácilmente que algunos productos de matrices pueden expresarse de una forma distinta, la cual será de suma utilidad. Escribiremos en seguida las identidades y haremos referencia a ellas cuando sea necesario.
http://carlos2524.jimdo.com/ rrenciales
~esquie-
Identidades lBl'
de productos de matrices
Así, por ejemplo,
Supóngase que B es una matriz r x n. Si se denota la columnaj-ésima de B con N, entonces • Para cualquier vector columna x con elementos escalares Xl' x2"'" xn se tiene
~ama(onde
atriz A deben de los deB.A ~
417
7.2/ Introducción a los vectores y las matrices
Bx = xlbl + X2b2 + ... + x.b" Bx es un vector columna, AB una matriz de vectores columna.
•
(1)
Para cualquier matriz A de m x r se tiene (2)
Estas identidades son un resultado directo de la definición del producto de matrices.
.Ejemplo 7.2.3
Productos de matrices escritos de manera distinta
Supóngase que
B~[~
-1
1
2 -4 3
1
:]
Entonces las columnas de B son
3.
Por consiguiente, para vectores columna cualesquiera con elementos fórmula (l) se tiene que
xl' Xl> x3, x4'
por la
s cuaamullo con es un
Para la matriz A siguiente, por la fórmula (2) se observa que AB se asemeja a uctos Escri'0.
A~[~
o
-1
2
3]
O ,
8 AB~[Ab'Ab'Ab'
1
Por consiguiente, la columnaj-ésima
Ab' ~[-~
-2
44 -15]
6 -6
5
de AB se multiplica por A en la columnaj-ésima
de B.
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Hay tres tipos especiales de matrices que surgen todo el tiempo:
.:. Matriz cero, vector cero. La matriz m x n en la que todos los elementos son cero se denota con O (sin importar su dimensión) y se denomina matriz cero . Un vector columna en el que cada uno de sus elementos es cero se llama vector cero . •:. Matriz de bloques. Supóngase que A es una matriz m x n, B es una matriz i x j y C es una matriz r x s. Si
A=
[~ ~] , donde el cero se utiliza para indi-
car las matrices O necesarias para llenar A, entonces se dice que A es una matriz de bloque .
También se utiliza 1 como nombre de un intervalo, así que tenga precaución.
I@"
•:. Matriz identidad. La matriz diagonal n x n con a¡; = 1, para toda i, y aij = O siempre que i t:- j se denomina matriz identidad y se denota con In' Por lo común se escribe simplemente como I cuando es clara su dimensión a partir del contexto. El símbolo O se utiliza asimismo para el escalar cero, pero el contexto lo distinguirá de la matriz cero. Supóngase que A = [aij] es una matriz m x n . Por las definiciones puede demostrarse de forma directa que OA = O (donde el cero a la izquierda es el escalar cero y el cero a la derecha es una matriz cero) y AO = O (con los vectores cero en ambos miembros de la ecuación). Asimismo, A + O = O + A : A. Por último, para cualquier matriz A de m x n, 1m A : AIn : A .
•:. Matriz simétrica, transpuesta. Dada alguna matriz A = [aij] de m x n, la matriz n x m obtenida de A al intercambiar los renglones y las columnas se llama la transpuesta de A y se denota con AT. Obsérvese que el elemento ij-ésima de AT es el elemento ji-ésima de A. Una matriz A de n x n es simétrica si A : AT, de modo que aij : ají'
Transpuesta de una matriz
[1 2
La transpuesta de la matriz A: 4
5
7 8 Propiedades de la suma, multiplicación y transposición de matrices Para las matrices compatibles A, B Y C: • A + B : B + A (propiedad conmutativa de la suma) • A + (B + C) : (A + B) + C (propiedad asociativa de la suma) • A(BC): (AB)C (propiedad asociativa de la multiplicación) • A(B + C) : AB + AC (propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma) • (A Tl = A, (A + Bl = A T + B T , (ABl: B TA T (transposición)
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7.2/ Introducción a los vectores y las matrices
os son ro.Un r cero. triz indi-
Vectores y espacios vectoriales
[=;]
La palabra vector puede usarse en un contexto muy general, pero aquí la emplearemos para denotar una matriz columna. El conjunto de vectores con n elementos se denota con IRn si los elementos son reales, y con si son complejos. Para IRn los escalares son números reales; para son números complejos. Obsérvese que IRn es parte de Tanto IRn como con la suma de vectores y multiplicación por un escalar como ya se definieron, son ejemplos de espacios vectoriales (conocidos también como espacios lineales). Las siguientes son algunas desigualdades donde intervienen vectores y matrices que sirven para demostrar propiedades de sistemas lineales que vienen en éste y otros capítulos. El lector verá que en el libro no se utilizan mucho estas desigualdades, pero aparecen en las demostraciones de los apéndices, así como en el manual de recursos.
Vector en R3
[l;i]
en,
Vector en C3
natri;
en
en,
en.
Desigualdades de vectores y matrices •
r
Desigualdad del triángulo. Si a y b son números reales, entonces'
l0f" [XI Xz x3 es una forma lineal de escribir
Ilal-lbll
~ la+bl
~ lal+ Ibl
Si u = [uI, ... unf Y v = [v¡, ... , v7fson vectores en IRn, y si la longitud del vector u se denota con 11u 11= (ut + ... +u~)1 2, entonces
[::]
IlIull-lIvlll • Desigualdad
l0f" Por tanto, lIull y IIAII miden cuán "grandes" son el vector u y la matriz A.
I I I I I I I I I
~ lIull+llvll
Si u y v son vectores en IRn, entonces I uT V I ~ 11u 1111v 11
•
l0f" Los vectores llevan a menudo índices porque los subíndices se reservan para los elementos de un vector.
de Cauchy-Schwarz.
~ lIu+vll
donde uT V =u V +···+u V . Estimación de h¡dtrices. La norma IlAIIde una matriz real A = [aij] es IIAII = L i,j Si A Y B son matrices para las que AB está definida, entonces IIABII ~ IIAII·IIBII.
laijl.
Supóngase que W es un subconjunto de un espacio vectorial V (ya sea de IRn o en por el momento). Entonces para cualquier conjunto finito de vectores VI, v2 , ... vm en W y escalares cualesquiera al,a2, ... am,se dice que la suma a¡v¡ +a2v2 +"'+amvmes una combinación lineal finita sobre W. El conjunto de generadores de W, denotado con Span(W), es el conjunto de vectores de V que son combinaciones lineales finitas en W Span(W) recibe el nombre de subespacio de V generado por W. Se dice que el conjunto W genera a V si Span(W) = V. En general, un subconjunto W de un espacio vectorial Ves un subespacio de V si Span(W) = W. Dicho de otro modo, un subconjunto W de un espacio vectorial Ves un subespacio de V si y sólo si cualquier combinación lineal de dos elementos cualesquiera de Wes un vector de W Todo espacio vectorial contiene el subespacio trivial, el conjunto que consta únicamente del vector cero y, por supuesto, Ves un subespacio de sí mismo. Hay una manera sencilla de visualizar los vectores en ]R3. Asocie a cada vector [XI x2 x3 el vector geométrico Xli + x2i + x3k, donde {i, i, k} es un marco ortogonal en el espacio euc1idiano de dimensión 3. De cualquier forma utilizaremos X para nom-
r
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420
1& En la sección 4.1 se repasan los vectores geométricos.
Ejemplo 7.2.5
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
brar el vector. Entonces, xl' x2 Y x3 son las coordenadas de la punta del vector geométrico y el origen es la cola. La suma de dos vectores x = [Xl X2 x 3f Y y = [y¡ Yz y 3f corresponde a la suma de los vectores geométricos asociados mediante la ley del paralelogramo. Podemos usar nuestra intuición geométrica en el espacio euclidiano de dimensión 3 para "ver" los subespacios de IR3 Y aprender lo siguiente: 1. El conjunto de generadores de un vector x distinto de cero es la línea que pasa por el origen paralelo a x; 2. el conjunto de generadores de dos vectores no paralelos x y y es el plano que pasa por el origen determinado por los dos vectores, y 3. si tres vectores distintos de cero no están en el mismo plano, entonces el conjunto de generadores de esos tres vectores debe ser IR3. Por tanto, todo subespacio de lR 3 es una línea o un plano que pasa por el origen, el espacio vectorial completo o el mismo vector cero.
Subespacios en lR 3 Los vectores en [xl X2 x 3f cuyos componentes resuelven el sistema lineal homogéneo 3x¡ - X2
+ 2x3 = ü
x¡+ 4x2- x 3 = Ü
forman un subespacio de lR 3 porque cualquier combinación lineal de soluciones de estas ecuaciones es de nuevo una solución de estas mismas ecuaciones. El espacio de solución de estas ecuaciones debe ser el subespacio trivial que consta sólo del origen o una línea o plano que pasa por el origen, o bien, el mismo lR 3 ; no hay otras posibilidades.
Matrices de funciones, espacios vectoriales de funciones A menudo se utilizan funciones de t como elementos de una matriz. La propia matriz se convierte entonces en una función. La evaluación de los elementos de una función de matriz en un valor de t produce una matriz de constantes. Realizaremos la derivación de las funciones de matriz de cada uno de los elementos. Si A(t) = [aij(t)], entonces la derivada de la matriz A'(t) = [aij(t)]. Con un cálculo directo se ve que CA + B)' = A' + B' Y (AC)' = A'C + AC', donde A, B Y C son matrices cualesquiera de dimensiones compatibles. Las funciones de vectores columna con n elementos que son derivables de forma continua en un intervalo pueden tratarse como un conjunto de vectores, ya que satisfacen las Para cada n a la colección de las funciones de mismas reglas que los vectores en lRn o vectores columna se le denomina espacio vectorial de f unciones. Las soluciones de los sistemas diferenciales lineales pueden describirse con funciones vectoriales.
en.
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erenciales
421
7.2/ Introducción a los vectores y las matrices
Sistemas diferenciales
[geomé-
lineales
f
~~I
IYz y3
laralelornensión ~radores conjun,gen de'mismo r-nto, torectorial
El sistema lineal general de EDO en las n variables de estado xl' ... , Xn tiene la forma xi = allxl + ... + alnxn + F¡(t) (3)
Como se observó antes, se utiliza 1 para denotar un intervalo y, en ocasiones, la matriz identidad. IBW
donde los coeficientes aij y las funciones de forzamiento F¡ son constantes o funciones de t pero no dependen de las variables de estado. Si los coeficientes aij no son constantes, entonces se supone que están definidos y son continuos (o, quizá, continuos por partes) en un intervalo común 1de t. El sistema (3) puede escribirse en forma de matriz compacta como
(4)
x'=Ax+F
éneo x=
r 1
donde
X2(t) <,U)
(5)
t
xll:(t)
Vector de estado
La matriz A es la matriz del sistema, X es el vector de estado y F es la entrada, lafuerza impulsora o fuerza externa. Si se impone una condición inicial, entonces se tiene el PVI
~e estas
~lución línea o F=
r 1 F2(t) "U) .
(6)
x'=Ax+F,
FII(t) Vector de entrada
donde xf,···, x~ son constantes cualesquiera y to es un punto de l. En la mayor parte de los casos, supondremos que A es una matriz constante y que 1 es la recta real. Si F(t) es el vector cero para toda t, se dice que el sistema carece de fuerza externa (o es homogéneo, o libre o no forzado).
triz se de maentos. lo ditrices a conen las nes de de los
Ejemplo 7.2.6
El sistema del plomo es un sistema diferencial lineal El sistema (2) de la sección 7.1 es un sistema lineal en la forma de matriz (4) con all = -(kOl +k21 +k3l)
a12 = k12
a13 = k13
F¡ = 11
a2l = k2l
a22 = -(k02 + k12)
a23 = O
F2 =0
a32 =0
a33 = -k13
F3 =0
a3l
=: k3l
(7)
'1
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Para los valores particulares del ejemplo 7.1.2, se tiene
A=
[
-0.0361
0.0124
0.0111
-0.0286
0.0039
0.000035]
O,
O -0.000035
49.3] F=
[
O
(8)
O
En la sección 7.10 se encuentra más información del sistema del plomo.
Comentarios Cuando los elementos de una matriz de sistema A son constantes y los elementos del vector de entrada F son cero, en las secciones 7.5 y 7.6 demostraremos que las soluciones del sistema x' = Ax pueden construirse a partir de ciertos elementos algebraicos definidos por la matriz constante A. En las secciones siguientes proseguiremos con nuestra introducción a estos elementos y a algunas de sus propiedades fundamentales .
Problemas _____________________________________________ www 1.
Encuentre una matriz A de 2 x 2 (si existe) que satisfaga la ecuación
[O lJ
[1 -2J1
2A+ 1 -1 A = O
2. 3.
4.
Considere una matriz A de m x r y una matriz B de r x n. Si bj es la columna j-ésima de B, demuestre que AB = [Ab l Ab 2 .•• Ab"]. Dé algunos ejemplos. 2 n Denote las columnas de la matriz A de m x n con a ¡ , a , .. . , a . Demuestre que si A ¡ T . X = [ Xl X2 ... X n ] es cualqUIer vector n, entonces X = x¡a + x2 a 2 + ... + xna n . Dé algunos ejemplos. Compruebe las propiedades de la suma, multiplicación y transposición de matrices dadas en el texto para las matrices de cada inciso siguiente: (a)
B = [-~ -~l
c=[_~~]
~ ~ ~], [~ =~ ~l, e [~ ~ ~]
B= = O 2 O -1 -2 O 3 Supóngase que U y W son sub espacios de un espacio vectorial V (en lItn o e n). (a) Demuestre que el conjunto de los vectores comunes a U-y W también es un subespacio de V. (b)
5.
A = [~ -~l A = [O -2
-
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423
7.3 / Sistemas de ecuaciones lineales
6.
7.
(b) Si V = lR.3 , Ues el espacio generador de los vectores {[2 1 OV , [lO-IV} , Y Wes el espacio generador de los vectores {[ -1 1 IV , [O -1 1]T}, describa el subespacio de los vectcres comunes a U y W . Supóngase que A es una matriz de 3 x 3 de números reales. (a) Demuestre que A(ax + f3y) = aAx + f3Ay, donde a y f3 son números reales, y tanto x como y son vectores cualesquiera. (b) Para un vector y en lR.3, supóngase que x d es un vector tal que Axd = y. Demuestre que toda solución de la ecuación Ax = y está dada por x = x d + v, donde v es cualquier solución de Az = O. Determine si cada sistema diferencial siguiente es lineal o no. Escriba cada sistema lineal en la forma de matriz normal (4). (a) X3 =-2x2+ x 3 - x ¡+sent, (b) x~ = x¡
~ 8.
7.3
+ x3 - 2x2 + 1,
X~=2X3-5x¡ - x~+e-l,
x¡ = x2
+ x¡x3 '
x3 = x3
x¡ = x¡ - 2x3 +x2
+ 2x¡ - x 2
Compruebe las desigualdades de matrices y vectores dadas en el texto con distintos vectores y matrices. ¿Se cumplen las desigualdades para vectores y matrices con coeficientes complejos?
Sistemas de ecuaciones lineales El sistema de n ecuaciones lineales en n variables X¡, .. . , x" a¡¡x¡ + ... + a¡nxn = b¡ (1)
rrilf' Éste no es un sis-
tema de EDO.
puede escribirse en forma de matriz como
o en la forma más compacta de vector matriz como Ax = b. Obsérvese que el conjunto solución del sistema lineal (1) es el mismo que el conjunto solución de un sistema equivalente obtenido de (1) al realizar cualquier combinación de operaciones de la lista siguiente:
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424
Sistemas lineales de ecuaciones diferencia les
Operaciones con ecuaciones lineales 1. Intercambio de dos ecuaciones. 2. Multiplicación de una ecuación por un escalar distinto de cero. 3. Suma de un múltiplo de una ecuación a otra. Una manera fácil de ver pormenorizadamente qué pasa con el sistema lineal (1) cuando se aplican estas operaciones es formar la matriz aumentada de tamaño n x (n + 1) [Alb] y aplicar cualquiera de las tres operaciones elementales de renglón siguientes.
Operaciones elementales de renglón para una matriz aumentada 1. Intercambio de dos renglones. 2. Multiplicación de un renglón por un número distinto de cero. 3. Suma de un múltiplo de un renglón a otro diferente. En el ejemplo 7.3.1 se muestra cómo usar las operaciones elementales de renglón para encontrar las soluciones de sistema lineal (1).
Ejemplo 7.3.1
Resolución de un sistema lineal Encontremos todas las soluciones del sistema =
1
- xl +3X2 +4X3 =
1
xl - 3X2 - 4X3 =
-1
Xl - X2
Forme la matriz aumentada de 3 X 4
~ ~1
-1
=[ -;
[Alb 1
3 - 3 - 4 -1
Si se resta la primera fila de la tercera y se suma la primera a la segunda se obtiene
O1] 1 -1 2 4 2
[O
O
-2
-4-2
Al sumar la segunda fila a la tercera se obtiene
O 421] 00
(2)
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7.3 / Sistemas de ecuaciones lineales
con lo que se obtienen las ecuaciones Xl - X2 = 1 2x2 +4x3 =
2
(3)
0=0 Como se tienen tres incógnitas y sólo dos ecuaciones que deben satisfacerse, es posible elegir una incógnita arbitraria. Por ejemplo, x3 = s, donde s es un número real arbitrario; entonces, de las ecuaciones primera y segunda del sistema (3) se tiene X2 = 1 -2s y x¡ = 2 -2s. Así, el conjunto solución del sistema (2) está dado por
[~:l= [i~i:1=[í]+, [=~l p''" un, m~l "hltroria
(4)
Geométricamente, (4) define una línea que pasa por el punto (2, 1, O) paralelo a -2i - 2j + k. Los sistemas lineales con coeficientes complejos se resuelven de la misma manera, sólo que los cálculos son con números complejos.
Ejemplo 7.3.2
Sistema con coeficientes complejos Encontremos el conjunto solución del sistema ix¡
+ x2
= 1- i
-2x¡
+ iX2
= 2i
La matriz [Alb] para este sistema es
~1 1-21~J
i [ -2
1
Al sumar -2i veces la primera fila a la segunda se obtiene
1.11-2 - iJ
[Oi
-1
-ix¡
+ x2
Así, un sistema equivalente a (5) es = 1- i
-ix2 =-2
cuya única solución es X2 =
2/i = -2i
xl =
[(1- i) + 2i] / (-i) = -1 + i
(5)
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426
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Trabajar con sistemas complejos es como trabajar con sistemas reales, sólo que la aritmética es con números complejos. Para cualquier matriz A de n x n con elementos reales o complejos se procede de la manera siguiente a fin de encontrar las soluciones del sistema lineal A.x = b: Método general para resolver Ax
= b, donde A es una matriz de n x n
• Forme la matriz [Alb] y utilice las operaciones elementales de renglón para escribir ceros bajo la diagonal principal de A. • Escriba el sistema equivalente y revise si es coherente (es decir, no hay ecuaciones del tipo cero = número distinto de cero). • Si es incoherente, entonces no prosiga. El sistema no tiene ninguna solución. • Si es coherente, deseche las p ecuaciones O = O (si existen), asigne valores arbitrarios a p y resuelva por sustitución hacia atrás.
Matrices invertibles A continuación nos dedicaremos exclusivamente a las matrices cuadradas, ya que son las que se presentan en el estudio de sistemas lineales de EDO de primer orden . •:. Invertibilidad. Una matriz A de n x n es invertible si hay una matriz B tal que AB = BA = l. Se dice que la matriz B es la inversa de A y se denota con A- l. Si A-I existe, es única. Si una matriz A no tiene inversa se dice que es singular.
Ejemplo 7.3.3
la inversa de una matriz
Sea
A=[~
iJ
invertible con A-I
••
y =
B=[_~ -~J.
Elproducto AB = BA=[ci
~J = I;portanto, Aes
B. También B es el invertible con B- I = A.
El siguiente método sirve para calcular la inversa de una matriz cuadrada. Si la matriz A de n x n es invertible, entonces, mediante las tres operaciones elementales de renglón es posible reducirla a la matriz identidad l. Puede demostrarse que la sucesión de operaciones elementales de renglón por la que la matriz invertible A se convierte en 1 sirve para convertir la matriz 1 en A -l. A continuación se ilustra este método para hallar la solución de A.x = b. Obsérvese que [AlbllI] denota la matriz n x (2n + 1) de A aumentada por be!.
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427
7.3 / Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 7.3.4
Obtención de la inversa de una matriz Se desea resolver el sistema 3Xl +x2 = 3
(6)
5x 1 +2x2 = 4
equivalente a la ecuación de matrices Ax = b, donde
A= [~ ~l X=[=~l
b= [ !]
Si A tiene inversa, puede encontrarse simultáneamente A-l y resolverse para x . Se tiene
[AlbIII] =[~
il¡llb
?J
Al aplicar las operaciones elementales de renglón en [A lbIlI] se tiene
[~ ªI~II ~ ?J
(2 x renglón 1) (renglón 2)
[~ ~I~II~
(renglón 1 - renglón 2) (renglón 2)
-n
[°1 01 211 2 -lJ [°1 01 211 2 -lJ 2 -6 -10
6
1 -3 -5
Si Ax = b Y A es invertible, entonces x =A-1b.
~
3
(renglón 1) (renglón 2 - 5 x renglón 1) (renglón 1) (1/2 x renglón 2)
[J -
En consecuencia, A - 1 = ~ J. La tercera columna de la matriz reducida representa la única solución Xl = 2, X2 = -3 del sistema (6). Obsérvese que el vector solución x=[2
- 3f =A- 1[3 4f =A-1b.
Para una matriz A = [ ~
~ Jde 2 x 2 puede demostrarse mediante el proceso anterior que A -1
-
-ad-~-b-e [_~
-:]
(7)
Nótese que si ad - be = 0, entonces A-I no existe.
Determinantes Toda matriz cuadrada A tiene un número asociado conocido como su determinante , que se denota con det A. Definiremos el det A de forma inductiva. Para una matriz de 2 x 2, det[ ~
~ ] = ad -
be
(8)
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
7.3 /:
Ahora supóngase que det A se ha definido para todas las matrices cuadradas de tamaño (n - 1) x (n - 1) Y más pequeñas. Como veremos, la definición de det A, donde A es una matriz de n x n, se expresa en términos de los determinantes de algunas matrices asociadas (n - 1) x (n - 1) denominadas menores. La matriz menor ij-ésima, denotada con Aij, es la matriz (n - 1) x (n - 1) obtenida al eliminar el i-ésimo renglón y laj-ésima columna A (indicada en azul) para obtener
Aij=
all
alj
aln
ail
aij
«;
anl
allj
«:
m
El número (-1)i + j det Aij recibe el nombre de cofactor ij-ésimo, que se denota con cof Aij' .:. Desarrollo por cofactores. Supóngase que A es una matriz de n x n. Entonces los desarrollos por cofactores en el renglón i y la columnaj están dados por n
L aikcof k=l
Aik,
Para cualquier matriz A puede demostrarse que todos los desarrollos por cofactores son iguales. Ahora contamos con todo lo necesario para definir el determinante de una matriz de n x n. •:. Determinante. Si A es una matriz de n x n, entonces el determinante de A, denotado con det A, es el escalar definido por cualquiera de los desarrollos por cofactores. Esta definición es recursiva (o inductivay porque define el determinante de una matriz de n x n en términos de los determinantes de matrices de (n - 1) x (n - 1) (los determinantes de los cofactores), y así sucesivamente para los determinantes de las matrices de 2 x 2 que se definen al comienzo de la fórmula (8).
Propiedades de det A (A es cualquier matriz de 1& Éstas son propiedades útiles que no demostraremos. 1& Puede sustituir la palabra fila por columna en los enunciados 2, 3 Y4.
• • •
[g gJ,
n
x
n)
Si A es la matriz de bloque entonces det A = (det B)( det C). Si se multiplica un renglón de A por un escalar a, el determinante de esa matriz es a det A. Por tanto, si A tiene un renglón de ceros, entonces el det A = O. Al sumar un múltiplo de un renglón de A a otro se obtiene una matriz B y det A = det B.
Tec
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7.3 / Sistemas de ecuaciones lineales
• Al intercambiar dos renglones de A se obtiene una matriz B y det A = -det B. • Si A es una matriz triangular superior o inferior, entonces det A es el producto de a¡¡a22" .a nn de los elementos de la diagonal. • det A = det AT; A es invertible si y sólo si det A"* O; det(A-I) = lIdetA. • det (AB) = (det A)(det B) = det (BA) para matrices cualquiera A, B de n x n.
Ejemplo 7.3.5
Evaluación de un determinante
Al desarrollar A =
[i
~ ~l por cofactores en el primer renglón se obtiene
-1 2
4
detA=3det [ 5 1] -6det [ 2 1]+ 2det [2 5] 2 4 -1 4 -1 2
= 3(20 -
2) - 6(8 + 1) + 2(4 + 5) = 18
Para facilitar la evaluación de det A es necesario realizar primero algunas operaciones en los renglones o en las columnas. Una buena estrategia para calcular el determinante de una matriz es desarrollar por cofactores el renglón o la columna con el número más grande de ceros. Hay una relación íntima entre los determinantes y la posibilidad de resolver Ax = b, como se muestra en el siguiente teorema.
Teorema 7.3.1
Posibilidad de solución de las ecuaciones lineales . Considérese el sistema lineal Ax = bdenxn. • Si det A"* O, entonces el sistema Ax = b tiene la solución única x =A-lb, de modo que el sistema homogéneo Ax = O tiene sólo la solución trivial x = O. • Si det A = O, entonces A es singular, el sistema homogéneo Ax = O tiene infinidad de soluciones, y el sistema Ax = b no tiene ninguna solución, o tiene un número infinito de ellas. • Ax = b tiene una única solución si y sólo si det A"* O; es decir, si y sólo si A es el invertible. Ahora consideremos tres conceptos que serán de gran ayuda cuando se trate de resolver sistemas diferenciales lineales.
Independencia lineal, base y dimensión Supóngase que Wes un subespacio del espacio vectorial V. Hay muchos conjuntos de vectores en el sub espacio W que generan W. Si se requiere que cada vector en W se exprese
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Sistemas lineales de ecuaciones difere nciales
como una combinación lineal finita en un conjunto generador B, entonces debe elegirse B de una manera especial. Obsérvese que si hay dos combinaciones lineales finitas diferentes en B cuya suma da el mismo vector en W, entonces al restarlos se obtiene una combinación lineal finita en B (en donde no todos los coeficientes escalares son cero) cuya suma da el vector cero. Una combinación lineal finita de vectores con por lo menos un coeficiente escalar distinto de cero se denomina no trivial , y trivial en caso contrario .
•:. Independencia lineal. Se dice que un conjunto B de un espacio vectorial es linealmente independiente si y sólo si no hay ninguna combinación lineal finita no trivial en B cuya suma sea el vector cero. Nótese entonces que un conjunto B de un espacio vectorial es linealmente independiente si y sólo si cada vector de Span(B) puede escribirse como una combinación lineal finita en B exactamente de una manera. Cualquier subconjunto de un conjunto independiente también es independiente. El resultado siguiente suele ser útil:
Teorema 7.3.2 ~
Para referirse a v i diga en voz alta "v superíndice uno".
Independencia lineal y determinantes. Un conjunto de n vectores {VI, v (o ICn) es linealmente independiente si y sólo si det[ V I V 2 ... v n ] :f. O.
2
, ... , v"}
en l~n
Por ejemplo, sea uj el vector en ]¡tn cuyo j-ésimo elemento es 1 y los demás O. Puesto que det [u l u2 .. . un] = 1, el conjunto {u l , u2 , " ' , un} es linealmente independiente en ]¡tll .
•:. Base. Un subconjunto B de un espacio lineal Ves una base para V si B es linealmente independiente y V = Span(B).
~
La conexión entre base y dimensión.
Si B es una base para V, entonces todo vector en V puede escribirse como una combinación lineal finita en B exactamente de una manera. Ya vimos que B = {u 1 , • . • , un} es un conjunto independiente en ]¡t", y evidentemente ]¡tn= Span(B). Por tanto, B es una base para ]¡tn. Es un hecho que todo subespacio V de ]¡tn (o de ICn) tiene una base y que cada base para ese subespacio contiene el mismo número de elementos. Este número, que se denota con dim V, se llama dimensión de V. La dimensión del espacio lineal trivial (que sólo consta del vector cero) es cero. Es posible demostrar que si W es un subespacio del espacio vectorial V, entonces dim W:::; dim v,. W = V si dim W = dim V < 00 •
Dimensiones de los espacios vectoriales ]¡t" y iC"
~
Los vectores de funciones son matrices columna cuyos elementos son funciones.
Los espacios vectoriales ]¡tn y ICn tienen dimensión n porque el conjunto B con uj como se definió anteriormente, es una base para cada uno.
=
{u 1 , ••• , un},
En un espacio vectorial de funciones, los conceptos conjunto de generadores, subespacio, independencia lineal, base y dimensión son igual que antes, sólo que ahora la
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431
7.3/ Sistemas de ecuaciones lineales
igualdad se interpreta para todos los valores de t en un intervalo l. Una consecuencia de esto es que los espacios vectoriales de funciones pueden ser de dimensión infinita. Los únicos espacios vectoriales de funciones a los que haremos referencia aquí son los conjuntos de continuidad Cn(!). Para cada n, Cn(!) es la colección de todos los vectores función con el mismo número de elementos, donde cada uno tiene derivadas continuas en el intervalo 1 de t. El contexto del problema en consideración revela el número de elementos en los vectores función y si los elementos son funciones con valores reales o complejos.
Ejemplo 7.3.7 Sen t es una función vectorial: considere que se trata del vector columna de un renglón [sen tI.
1&
Independencia lineal en un espacio vectorial de funciones
Por medio de algunos trucos demostraremos que un conjunto de funciones, como {sent,cost,e l }, es linealmente independiente en el espacio vectorial de funciones C2(llt). Digamos que existen constantes a, b y c tales que
a sen t + bcost + ce l = O,
para toda t
(9)
Demostraremos que a = b = c = O al evaluar esta identidad en los tres valores de t, t = O, n/2 Y 7r para obtener el sistema lineal b + c = O, a + ce 1C/2 = O, Y -b + ce 1C = O. La solución única de este sistema es a = b = c = O, de modo que el conjunto {sent, cost, el} es linealmente independiente. Otro método sería diferenciar la identidad (9) dos veces para obtener tres identidades que al ser evaluadas en t = O, se obtendrían las ecuaciones respectivas b + c = O, a + e = O Y -b + c = O; la única solución es a = b = c = O. Con ambos métodos se ha demostrado que el conjunto {sent,cost, el} es linealmente independiente en C2(llt).
Ejemplo 7.3.8
Dependencia lineal en CO(llt)
Los vectores de funciones
VI, v
2
y
v 3 en CO(llt) dados por
son linealmente independientes. Para demostrarlo, supóngase que Cl' C2 Y C3 son números reales tales que Clv l + C2V2 +C3V3 = [O O O]~ para toda t en R Para t = O debe tenerse c¡vl(O) + C2 V2 (0) + C3 V3 (0) = [O O of, que puede escribirse en forma de matriz como
En virtud de que el determinante de A es distinto de cero, por el teorema 7.3.1 se deduce
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432
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
que Cl = diente.
Ejemplo 7.3.9
C2
=
C3
2
3
= O es la única solución; por tanto, {v¡, v , v } es un conjunto indepen-
Bases e independencia lineal
El polinomio cero es el polinomio que es cero para toda t.
El conjunto B = {1, t, t 2 , ••. , t n , ... } de todas las potencias no negativas de t en espacio vectorial real CO(R ) tiene el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales como su conjunto de generadores. B no genera CO(R) porque hay funciones continuas (p. ej., sen t) que no son polinomios. El conjunto B es linealmente independiente porque ninguna combinación lineal finita no trivial de los vectores de B puede ser el polinomio cero. Por consiguiente, B es una base para Span(B) y dim Span(B) = oo . Puesto que Span(B) es un subespacio de CO(R ), entonces CO(R) también es de dimensión infinita, pero Span(B) no es C0(R).
Ejemplo 7.3.10
El conjunto solución de una EDO como espacio vectorial de funciones
lfW
En la sección 3.4 explicamos cómo hallar la fórmula para las soluciones de una EDO lineal homogénea y" + 2y' + 2y = O. Las raíces del polinomio característico r2 + 2r + 2 = O son r¡ = -1 + i Y r2 = -1- i , de modo que la solución general de valores reales de la EDO es y = C¡e- t cost+ C2 e- tsen t, donde C¡ y C2 son números reales arbitrarios. Para demostrar que el par de funciones {e - t cost, e- tsen t}es linealmente independiente en el espacio vectorial de funciones C2(R ), podría procederse de la manera siguiente. Supóngase que a y b son constantes tales que ae -t cos t + be - t sen t = Opara toda t. La identidad evaluada en t = O da a = O, Y en t = 10 / 2 da b = O. Por tanto, el par de funciones {e - t cost, e-tsen t}es linealmente independiente, y puesto que el conjunto de generadores de este par produce las soluciones de la EDO, se concluye que el conjunto solución de las EDO es un subespacio vectorial de funciones bidimensional de C2(R).
Comentarios Los conceptos de espacios vectoriales y espacios vectoriales de funciones son de suma utilidad para caracterizar todas las soluciones de sistemas lineales. Las ideas centrales de esta relación son la independencia lineal y la base en un espacio vectorial. En este capítulo recurriremos con frecuencia a tales ideas.
Problemas ______________________ 1.
Encuentre las soluciones de cada sistema y caracterícelas en forma geométrica (véase el ejemplo 7.3.1).
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7.3 / Sistemas de ecuaciones lineales
= O,
(a) x¡ -2x2
4X2 -2x¡
= O,
(b) x¡ - 2x2 - x3
x2 + x3
(e) x¡+x2+2x3=1,
2. acioveccomo su sent) que binación ente,B es de CO(R),
=O = O,
=O
x¡ + x2 + 2x3
3x¡+4x2-x3=-1
Supóngase que la matriz A está dada por A
=[-i
1
-j 3
Encuentre una solución del sistema Ax = [1 -1 1]T. Obtenga las soluciones del sistema Ax = O. (e) Para la matriz A del inciso (a), ¿qué condiciones en el vector y = [a b cF garantizan que el sistema Ax = y tenga solución? Encuentre todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas. (a) (b)
3.
3x¡ (a)
x2
+ x3 +2x4 -2xs = 1
x¡+2x2
- x4+
x2+2x3-5x4+2xs=
EDO lir+ 2::: O es de la os. Para ente en nte. SuLaidennciones neradociónde
4.
Para A
~J
= [~=L
L
y
y
x¡ -2x2 +4x3 -x4 =-1 (b) 2x¡-
xs=-l 2,
x2-
5x¡
= [-¡ lf, encuentre
x3+x4=
1
+2x3-x4=-1
las soluciones del sistema Ax
= y.
5. Demuestre que una matriz triangular superior de 2 x 2 es invertible si y sólo si los elementos de su diagonal principal son distintos de cero y que la inversa (si existe) debe ser triangular superior.
6. Demuestre que si una matriz cuadrada
A es invertible, entonces es AT y (A -¡)T =
(A T)-I.
7. Supóngase que A
y B son matrices invertibles de n x n. Demuestre que una matriz invertible tiene inversa única. (b) Demuestre queAB es invertible y que (AB)-¡ = B-I A-l. Evalúe los determinantes siguientes.
..
(a)
8.
1 -2
3572] 2 4 1 1 det -2 O O O [
e suma ales de capítu-
1
WWW
9.
134
(b)
2 -1 1 1
det
[ 1 -4
3132-2 -2] 2 1 1 -3 -2 -5
3 -2
2
2-2
¿Son linealmente dependientes o independientes en CO(jg,) los conjuntos de funciones siguientes? (a) {e-t, -3et, cosht} (b) {/, te'; _t2et}
ill {e-tcost,
e-tsent}
(d) {1, t-1,
3t2+t+l,
l-t2}
a (véa10.
Encuentre cada uno de los subconjuntos de C2(jg,) descritos a continuación. Si se trata de un subespacio, exprese su dimensión.
11
!o
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Sistemas lineales de ecuaciones diferencia les
(a) {y: y" = 0, 2y(0) + y'(O) = 0, 2y(l) - y'(l) = O}
(b) {y: y" = 2, y(O) = 0, y(l) = O} (e) {y: y" = 2, 2y(0)+y'(0) = 0, 2y(I) - y'(I) = 0}
11. ¿Cuáles de los siguientes son subespacios de C0(lR)? Si no se trata de un subespacio, explique por qué. (a) Todos los polinomios de grado 2. (b) Todos los polinomios de grado mayor que 3. (e) Todas las funciones impares [fe-x) = -f(x)]. (d) Todas las funciones no negativas. ~ 12. (Teorema de nulidad del rango.) Supóngase que A es una matriz de n x m y defina el operador L: ]Rn ~ ]Rm cuya acción está dada por L[x] = Ax, para cualquier vector en ]Rn. (a) Demuestre que L es un operador lineal. (b) El espacio nulo de L es el conjunto de todos los vectores ven ]Rn tal que L[v] = O. Demuestre que R(L), el rango de L, es un subespacio de ]Rm y que N(L), el espacio nulo de L, es un subespacio de ]Rn. (e) El teorema de nulidad de rango establece que dim R(L) + dim N(L) = n. Compruebe esta afirmación para la matriz A dada en el problema 2. 13. (Alternativa de Fredholm.) Supóngase que A es una matriz de n x m. La alternativa de Fredholmii establece que el sistema Ax = y tiene una solución si y sólo si yTv = O para toda v que es solución de AT x = O. Compruebe esta afirmación para la matriz A dada en el problema 2.
7.4
Valores y vectores característicos de matrices Para una matriz constante A de n x n, se tiene gran interés en encontrar un vector columna v distinto de cero para el que Av = X.V para alguna constante real o compleja ,t El hecho de multiplicar la matriz A por el vector v es volver a v pero multiplicado por la constante ,t Resulta notable que cualquier matriz A tenga por lo menos una par v , A. Los vectores y escalares asociados con esta propiedad desempeñan una función importante en la resolución del sistema diferencial lineal, x' = Ax, donde A es una matriz constante.
,.
Éste es el momento propicio para introducir ciertos términos:
" jj
El matemático suizo Ivar Fredholm (1866-1927) fue uno de las ecuaciones integrales.
105
fundadores de la teoría de
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7.4 /Va lores y vectores característicos de matrices
.:. Valores y vectores característicos (eigenvalores y eigenvectores). Un escalar A es un valor característico o eingevalor de la matriz constante A de n x n si hay un vector v distinto de cero tal que Au = AU (1) El vector v se denomina vector característico o eingevector de A correspondiente al valor característico A. Para cualquier valor característico A de A, el conjunto de VA, de las soluciones v de la ecuación Au = AU recibe el nombre de espacio característico o eingenespacio de A correspondiente a A. El espacio característico VA, es, en realidad, un subespacio de IRn (o
y c¡u l + c2u2 está en VA" con lo que se demuestra que VA, es un subespacio. Obsérvese que dos espacios característicos VA, y V¡.L de una matriz A no tienen vector común (excepto O) si A:;t: Ji.
Ejemplo 7.4.1
Obtención de valores y vectores característicos Para un vector v de dimensión 2 denotado con [a bF, determinemos los escalares A para los que la ecuación (2)
tiene una solución v = [a bF, donde ni a ni b son cero. Con la matriz identidad 1 de 2 x 2, este sistema lineal puede escribirse como (A - M)
[~J =[gJ
(3)
Ahora (3) tiene la solución a = b = O, pero esto corresponde al vector cero. Por el teorema 7.3.1, el sistema (3) tiene soluciones no triviales si y sólo si se anula el determinante de la matriz de coeficientes. Esto significa que A debe satisfacer la condición det(A - M)
=det [5~:
- 4~A] =A2 -
A -2
=O
Esto sucede sólo para dos valores de k A¡ =- 1 Y Az = 2. Al fijar primero A = - 1, el sistema en (2) se reduce a la ecuación 6a + 3b = O. En consecuencia, por ejemplo, a = 1 Y b = - 2 satisfacen la ecuación, y v = [1 - 2F, es un vector característico correspondiente a A =-1.
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Sistemas lineales de ecuaciones diferencia les
A continuación, con A= 2, el sistema (2) se reduce a una simple ecuación 3a + 3b = O. Así, a = 1 ya = -1 satisfacen la ecuación, y w = [1 -1]T es un vector característico correspondiente a A = 2. Por tanto, se observa que
(4) En otras palabras, la matriz A aplicada a los vectores [1 -2f Y [1 -lf produce los mismos vectores otra vez pero multiplicados por los escalares -1 y 2, respectivamente.
Ejemplo 7.4.2
Obtención de espacios característicos Por los cálculos del ejemplo 7.4.1 se observa que A no tiene otros valores característicos distintos de Al y ~, que v está en el espacio característico V.u si v = k[ 1 - 2]T para cualquier real k, y que w está en el espacio característico V~ si w = k[ 1 -1]T para cualquier real k. Obsérvese que VAl es generado por [1 -2]T, que V~ es generado por [1 -1]T Y que {[1 -2]T, [1 - F} es una base para JR.2.
~ Si ha perdido práctica en el manej o de números complejos, debe revisar el apéndice B.3.
Ejemplo 7A.3
Aunque los elementos de A son reales, los valores y los vectores característicos pueden ser complejos. Recuérdese que al tratar con vectores en e n, los escalares son números complejos; al tratar con vectores en R,n, los escal~es son números reales . El complejo conjugado del número complejo A = a + if3 es A = a - if3. Para un vector V = [VI v 2 .. . vnf en en, el complejo conjugado es V = [VI v 2 ... vnf. Si A es real y A v=='- AV, donde A es un número complejo, entones ves un número complejo. En este caso A tambié,!! es u~valor característico de A y un vector característico correspondiente porque Av = Av = Al! = Av. A continuación se da ejemplo para elementos característicos complejos.
v
Valores característicos complejos
[i
Para hallar los valores y los vectores característicos de A = -~J es necesario encontrar los escalares A para los que hay vectores V distintos de cero tales que
-2][vIJ-[O v °J
(A - Al)V -_[1-2 A 1-A Por el teorema 7.3.1, el sistema (5) tiene de modo que
l- A
det [ 2
V
2
-
(5)
soluciones distintas de cero cuando se elige A
-2] =
1- A
2
A - 2A + 5 =
°
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7.4 / Va/ores y vectores característicos de matrices
Los valores de Aque satisfacen esta condición son Al = 1 + 2i Y ~ = Al = 1 - 2i. El espacio característico VAl que corresponde a Al es el conjunto solución del sistema (A - All)v = O. Obsérvese que v := [a bres una solución de (A - AII) v = Osi y sólo si (1- Al)a - 2b = -2ia - 2b
=O
o a = ib (la otra ecuación es un múltiplo de ésta). Por tanto, v := [ib b r, donde b es un número real o complejo arbitrario, está en el espacio característico buscado y VAl = Span([i lf).De manera similar se tiene que VA2 = Span([-i lf). Los vectores característicos tienen la siguiente propiedad útil.
Teorema 7.4.1
Propiedad del espacio característico. Supóngase que VÁl , j = 1, .. .p, son espacios característicos de una matriz A de n x n que corresponde a los valores característicos distintos Aj, = 1, .. . ,p. Supóngase que Bj es un subconjunto independiente. Entonces el conjunto B que consta de todos los elementos de B l , ... , Bp es un conjunto independiente. Esto puede demostrarse mediante inducción matemática sobre p (problema 8).
lrS1f' La propiedad del espacio característico se utiliza mucho para resolver sistemas lineales de EDO.
Ejemplo 7.4.4
Una consecuencia importante de la propiedad del espacio característico es que si una matriz A de n x n tiene n valores característicos distintos Al"'" An, entonces hay un conjunto de n vectores característicos independientes. En este caso, si B es un conjunto de = 1,2, ... , n, entonces por la propiedad del esvectores característicos, uno de cada VA,j 1 pacio característico se demuestra que B es un conjunto independiente. En realidad, el conjunto es una base para ][~n (o en). Cualquier base de ~n (o en) que consta de los vectores característicos se denomina base característica o eingenbase.
Bases caracte rísticas para
~2
y e2
La matriz A del ejemplo 7.4.1 tiene vectores característicos [1 -2r y [1 -Ir que corresponden, respectivamente, a los valores característicos -1 y 2. El conjunto {[l -2f, [1 -lf}es una base característica de ~2. De manera similar, el conjunto {[i lf, [-i lf} de vectores característicos de la matriz del ejemplo 7.4.3 es independiente y, por tanto, es una base de bases características de e 2 .
El polinomio característico de una matriz En los ejemplos 7.4.1 Y 7.4.3 se sugiere un método para hallar los valores característicos de cualquier matriz. Supóngase que A es una matriz n x n con elementos reales o com-
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
pIejos. Si Ao es un valor característico de A , debe haber un vector columna v -:j. O tal que Av = Aov. Por consiguiente, la ecuación de matrices (A - Aol) v = O tiene una solución v no trivial, y con el conjunto de soluciones de esta ecuación se forma el espacio característico V Ao . Recuérdese que el sistema lineal (A - Al)v = O tiene una solución V distinta de cero si y sólo si el determinante del sistema det(A - Al) = O. Definamos una función polinomial peA) como sigue:
peA) = det (A - Al) = det [
a ll - A
al 2
...
a2l
a 22 :- A
:..
anl
a n2
(6)
(7)
Obsérvese que peA) = det CA - Al) es un polinomio de grado n en A. Los coeficientes de An y An - 1 en la fórmula (7) pueden establecerse al desarrollar el determinante de (6) por cofactores o por inducción en n. El hecho de que el término constante de peA) sea det A se deduce de la definición (6) de peA) si A es igual a cero. El polinomio P tiene un nombre:
.:. Polinomio característico. El polinomio p( A) = det (A - Al) dado en (6) se denomina polinomio característico de la matriz cuadrada A. A partir de esta definición y de la explicación anterior se tiene el resultado siguiente.
Teorema 7.4.2
Teorema del polinOlnio característico. Un escalar Ao es un valor característico de una matriz A de n x n si y sólo si Ao es una raíz del polinomio característico p( A) = det (A - Al).
El cálculo de los valores característicos de una matriz n x n se reduce a encontrar las raíces de un polinomio de grado n. Si n = 2, puede usarse la fórmula, pero para n > 2 podría ser un problema difícil encontrar las raíces de polinomio correspondiente. A veces las técnicas algebraicas de factorización permiten determinar los valores característicos incluso si n > 2. Si A es la matriz de bloque
[g gJ,entonces los valores característicos de A son
precisamente los de B y e, lo cual se deduce de que det CA - Al) = det (B - Al) det (e - Al). Hay programas de computadora para aproximar los valores característicos de una matriz; para n > 2 éste podría ser el único medio práctico disponible. En el ejemplo siguiente pueden obtenerse los valores característicos mediante factorización y la fórmula cuadrática.
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7.4 /Valores y vectores característicos de matrices
Ejemplo 7.4.5
Obtención de valores característicos El polinomio característico de
está dado por peA) = det
[
- 3- A
1
~
-l-A O
-2 -1 ]
= _A3 -4A2 -7A-6
-A
La sustitución de enteros pequeños para A muestra rápidamente que - 2 es una raíz de peA). Por tanto, p( A) = - (A + 2 )q( A), donde, por división, se encuentra que la función cuadrática de q(A) es A2 + 2A + 3. Las raíces de q(A) se obtienen mediante la fórmula cuadrática y son el par de complejos conjugados - 1+.,fij y - 1- .,fij. Así, los valores característicos de A son -2, -1 ±.,fij. Un polinomio podría tener una raíz múltiple, de modo que se tiene la siguiente definición. Si k es el mayor entero positivo para el que (A - Av)k es un factor del polinomio peA), entonces se dice que k es la multiplicidad de la raíz Av . •:. Multiplicidad de un valor característico. El número Av es un valor característico de A de multiplicidad k si Av es una raíz de multiplicidad k del polinomio característico peA) = det (A - Al). Los valores característicos de multiplicidad 1 se denominan valores característicos simples.
Ejemplo 7.4.6
Valor característico de multiplicidad dos Supóngase que la matriz A y su polinomio característico son
2 2 1] [1 2 2
A= 1 3
1,
det [A-Al] =-(A - 1)2(A -5)
Las raíces son Al = 1, Az = 1, ~ = 5; entonces A = 1 es un valor característico de multiplicidad 2 y A = 5 es un valor característico simple. Para hallar el espacio característico V Al es necesario encontrar todas las soluciones de
(A-I)v =[l ~ l][~:Hgl Por tanto, VI + 2"L2 + 1J.3 = O, que es la ecuación de un plano que pasa por el origen y define el espacio característico VAl' Para hallar una base de VAl' sea VI = r, "L2 = s, entonces 1J.3 = -r - 2s, lo cual da v = [r s -r - 2sf = r[l O -lf + s[O 1 - 2f como un vec-
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Sistemas linea les de ecuaciones diferencia les
tor general en V?" . En consecuencia, {[l O -1 y, [O 1 - 2]T} genera V?". Éste es un conjunto independiente, así que es una base para V?", que es un subespacio bidimensional de lR3. No siempre sucede que la multiplicidad de un valor característico sea igual a la dimensión ,. L a matrIz . A = ~3O 3lJ es un eJemp . 1o de eIIo, pues nene . . caractenstIco, un vade su espacIO lor característico de doble 3, en tanto que e espacio característico correspondiente tiene dimensión 1. Se tiene el siguiente resultado, el cual no se demostI'ará, en relación con la dimensión de un espacio característico y la multiplicidad del valor característico correspondiente.
Teorema 7.4.3
Teorema de di mensión del espacio característico. Supóngase que A es una matriz de n x n y que A es un valor característico de A de multiplicidad In . Entonces la dimensión del espacio característico V?, no es mayor que In, pero es por lo menos l.
Si un valor característico es simple, entonces su espacio característico es unidimensional.
Espacios característicos deficientes, vectores característicos general izados Se dice que un espacio característico de una matriz de n x n es 110 deficiente si tiene la dimensión máxima posible (igual a la multiplicidad del valor característico correspondiente); de lo contrario, el espacio característico es deficiente. En el siguiente ejemplo se presenta una matriz con un espacio característico deficiente,
Ejemplo 7.4.7
Un espacio característico deficiente El polinomio característico de la matriz
A=H =~
j]
,~
,1
'1
1"
,J
,.,'"
',.
es peA) = (1 + A)2 (1 - A) y los valores característicos son Al = -1 (doble) y ~ = 1 (simple). El espacio característico VA, sólo es unidimensional, ya que las únicas soluciones del sistema
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1.4/ Va/ores y vectores característicos de matrices
son a = O, b = k Y e = -k, donde k es una constante arbitraria. Por tanto, v).,] es generado por {[1 1 -1 }T}, Yes unidimensional; en consecuencia, es deficiente. Puesto que el otro espacio característico VA.z es generado por {[ 1 -1 1 }T}, no hay un conjunto independiente de tres vectores característicos de A. En el ejemplo 7.4.7, el espacio característico V).,] de A correspondiente al valor característico Al =-1 es deficiente porque la multiplicidad de ese valor característico es 2, pero dim V).,]= 1. Definamos ahora un concepto útil cuahdo un espacio característico es deficiente . •:. Vectores característicos generalizados. Supóngase que u 1 es vector característico para la matriz A correspondiente al valor característico A. Los vectores u l , u2 , u3 , ... forman una cadena de vectores característicos generalizados basada en u l si (A - íV)u j +1 = u j
íV)u 2
,
j
= 1,
2, ...
u 1 no
Obsérvese que si (A = tiene solución, entonces la cadena de los vectores característicos generalizados basada en u l tiene longitud 1 y empieza y .termina con u 1. Aunque no es evidente, cada cadena de vectores característicos generalizados es linealmente independiente. Si se construye una cadena de vectores característicos generalizados de cada vector base para V)." entonces la colección B)., de estas cadenas es un conjunto independiente. Sea N el número de elementos en B).,. Siempre es posible elegir una base para V)., tal que N = multiplicidad de A, pero nunca es posible que N exceda esa multiplicidad.
Ejemplo 7.4.8
Vectores característicos generalizados para un espacio característico deficiente En el ejemplo 7.4.7 el espacio característico V)." correspondiente al valor característico 1 doble Al = - 1 es deficiente porque dim V).,] = 1. El vector característico u = [O 1 -1f es una base para V).,] Y debe soportar una cadena de vectores característicos generalizados de longitud 2. Al resolver la ecuación (A + I)u 2 = [O 1 -1f mediante operaciones de renglón se encuentra que u 2 = [1 1 O]T es una de las soluciones pero hay muchas más, ya que la matriz A + 1 es singular. De hecho, [1 s 1 - sf es un vector característico generalizado para cualquier valor real de s. Se tiene la libertad de elegir para u2 cualquiera de las soluciones. Nótese que la ecuación (A + I)u 3 = u 2 no tiene solución (intente obtener una mediante operaciones de renglón), así que la cadena tiene sólo dos vectores, ul y u2 , como se esperaba.
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Ejemplo 7.4,. 9
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Una base de vectores característicos generalizados El polinomio característico de la matriz
-! ~ ~l
A=[
es peA) = -(A -1)3, Y Al = 1 es un valor característico de multiplicidad 3. Entonces, por el teorema 7.4.3, el espacio característico VAl tiene dimensión no mayor que 3. Determinemos VAl mediante la obtención de todas las soluciones del sistema (A - A11)x = O. Al escribir éste último se tiene -Xl +X2
=0,
-Xl + X 2
=0,
0=0
Puesto que X3 no aparece en el sistema, puede tomar cualquier valor. Escribamos x 3 = s, donde s es un número real arbitrario. Ahora xI Yx2 están relacionados por xI = x2' así que si X2 = r, donde r es un número real arbitrario, entonces xI = r. Por tanto, VAl queda descrito por r, s son números reales arbitrarios
Los vectores u l = [1 1 of, VI = [O O 1f son linealmente independientes y como 2 VAl = Span{u 1, v } se observa que dim VAl = 2. En consecuencia, VAl es un espacio característico con una base {u l , VI}. Encontremos ahora un conjunto independiente de tres vectores característicos generalizados correspondientes a AI = 1. Primero intentaremos generar las cadenas basadas en u l y 2 2 l vI: trate de encontrar un vector u2 tal que (A - 1)u = u . Obsérvese que u = [O 1 of 3 2 3 es el vector buscado. No hay vector u tal que (A - l)u = u , por lo que la cadena basada en u l sólo tiene dos vectores. Para encontrar la cadena basada en vI, trate de encontrar un vector v2 tal que (A - l)v 2 = VI No hay tal vector v2 (¿por qué no?), así que esta cadena sólo tiene un vector, vI . El conjunto de vectores característicos generalizados B = {u l , u 2 , VI} es linealmente independiente, de modo que nuestro método ha producido una base para ]R3 que consta de los vectores característicos generalizados, dos de los cuales son, en realidad, vectores característicos. IG' Debemos descubrir dónde empezar la cadena en VA,.
Si aplicáramos este método en el ejemplo anterior, pero con la base ü = [1 1 1f, O 1f para el espacio característico VAl' fracasaríamos para obtener los tres vecDe hecho, tores característicos generalizados a partir de las cadenas basadas en ü y las cadenas basadas en ü y v tienen cada una un solo elemento. Se tiene la seguridad de que hay una base para VAl que generará tres vectores característicos generalizados. donde e es una ¿Cómo puede encontrarse esa base? Sustituyamos ü por W I = Ü + constante distinta de cero, y determinemos e para que el sistema (A - 1) w 2 = w l tenga una solución w 2 . Si podemos hacerlo, entonces {w l , = w 2 , v} es un conjunto de vecto-
v = [O
v.
cv,
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nciales
443
7.4 / Valores y vectores característicos de matrices
res característicos generalizados correspondientes al valor característico Al = 1. Supóngase que w2 = [a f3 iV y nótese que el sistema (A -1) w2 = W I se convierte en
-a+f3
=1
-a+f3 = 1 0=c+1 .por
que tiene una solución si e = -1; por ejemplo, a = O, f3= 1, r = O es una solución. Entonces wl =ü-v=[l 1 of, w2 =[0 1 of,v=[O O 1f forman la tema buscada de vectores característicos generalizados. En la última parte del problema 10 se explica por qué se espera que wi = [1 1 of sea el inicio de la cadena. El siguiente resultado generaliza el teorema 7.4.1.
termiO. Al
= s, í que des-
3
os
Teorema 7.4.4 ~ En particular, si todo espacio característico es no deficiente, entonces Rn tiene una base B de vectores característicos de A.
omo arac-
Propiedades de los vectores característicos generalizados. Supóngase que la matriz A de n x n tiene valores característicos distintos Al' ~, ... Ak con las multiplicidades respectivas mI' m2' ... ' mk' Y supóngase que VA¿es el espacio característico correspondiente a Aj" Entonces •
Cada espacio característico VA¿tiene una base tal que la colección de Bj de vectores característicos generados como cadenas a partir de esa base tiene mi elementos.
•
La colección B de vectores característicos generalizados en los conjuntos B¡, ... , Bk tiene n elementos y es linealmente independiente. En consecuencia, B es una base para R" (o según sea el caso).
en,
eraliuly
Problemas
of www
1.
ca-
Ir, vecho, idad dos. una nga 10-
_
Encuentre los valores característicos para cada espacio característico.
D i]
?J
(b)
(e) [3 5
-~J
(O[~
e Je = es número l!l [-1O
-sene cos
.
real
y una base '- •.•11~1
(a)[~
(h)[cose sené
2.
de cada matriz, sus multiplicidades
O 1 O
(e) [O
-
3
~] [-j
36
-1 O O
(g)
100] 2~ (j) [_~
(d)
6J
[1
-7J -2
1]
-6 4 -6 -4
~Ja, b = son números reales
(Valores característicos de una matriz triangular.) Demuestre que los valores característicos de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal, con la multiplicidad de cada valor característico igual al número de veces que aparece el valor característico en la diagonal.
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444
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
1& Ak para un entero positivo k es el producto de k factores de A.
3.
4.
(ValoreS característicos de Ak.) Demuestre que si A es un valor característico de A, entonces Ak es un valor característico de Ak. Si J.L es un valor característico de Ak, ¿J.Lllk siempre es un valor característico de A? (Valores característicos de AT.) Demuestre que una matriz cuadrada A y su trans-
puesta AT tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, los mismos valores característicos con las mismas multiplicidades. 5. (Obtención de det A por medio de valores característicos.) Supóngase que Al"'" An son los valores característicos de una matriz A, cada uno repetido de acuerdo con su multiplicidad. Demuestre que det A = Al" ' " Ano [Sugerencia : escriba peA) como (-l)n(A - Al) .. '(A - An ), desarrolle y compare con la forma de peA) en (6).] 6. (Traza). La traza de una matriz A de n x n es la suma de los elementos de su diagonal principal: tr A = all + ... +ann(a) Demuestre que tr A es la suma de los valores característicos de A . [Sugerencia: véase la sugerencia del problema 5.] (b) Utilice el inciso (a) para demostrar que A=
7.
8.
1 5 3] [376 -567 102
tiene un valor característico con una parte negativa real. Si A es una matriz de n x n, demuestre que A es no singular si y sólo si A = O no es un valor característico. (Justificación del teorema 7.4.1.) Supóngase que Bj es un subconjunto independiente de V).,j, donde v.~.j es un espacio característico de una matriz A de n x n correspondiente al valor característico Aj, j = 1..., p. Utilice inducción sobre p para demostrar que la colección B de todos los vectores en B l , . . . , Bp es un conjunto independiente. (a) Primero supóngase que cada Bj contiene un solo vector vi. Compruebe que se cumple la propiedad del espacio característico para toda p demostrando: 1. que se cumple para p = 1, la primera condición, y 2. que si se cumple para p:::;; k - 1, entonces también se cumple para p = k, la segunda condición o el paso de inducción. (b) Demuestre la propiedad del espacio característico para el caso general. [Sugerencia: reduzca al caso del inciso (a).]
9. Encuentre una base para ]R3 que sólo conste de los vectores característicos generalizados de la matriz
~ 10.
(Propiedad generalizada del espacio característico.) Supóngase que la matriz A de n x n tiene k valores característicos Al' ~, ... , Ak con multiplicidades respectivas mI' m2"'" m k' Digamos además que VAl' v':¡'2 " ' " V Ak son los espacios característicos de
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445
7.5/ Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
A correspondientes a Al ' ... , Ak. Para cadaj, si VA, es no deficiente, supóngase que BJ. es una base para Ví\. . Si Ví\. es deficiente, se sabe que existe una base para Ví\. 1 1 1 tal que el número total de vectores característicos generalizados que utilizan cada elemento de esta base como un elemento de partida es la multiplicidad mj. Denote la colección de estos vectores característicos generalizados con Bj" Demuestre que el conjunto B que consta de los elementos de Bj es una base para ]R.n (o como podría ser el caso). [Sugerencia: utilice la inducción sobre k. Aplique la matriz (A - ..1.11) para demostrar primero que BI es linealmente independiente sin importar cuántas cadenas de vectores característicos generalizados contenga. Luego demuestre por inducción que B es independiente. Utilice (A - Ai1) de manera repetida.] Ahora utilice la alternativa de Fredholm del problema 13, sección 7.3, para explicar por qué el vector característico [1 1 O)T del ejemplo 7.4.9 debe ser el comienzo de una cadena de vectores característicos generalizados de longitud de por lo menos 2.
en,
7.5
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes El sistema diferencial lineal general en las n variables de estado Xl'
X21 . .• , X"
es
(1)
donde los coeficientes aij son constantes reales o funciones continuas con valores reales en algún intervalo común 1 de t, y las funciones de entrada Fi son continuas en 1 y (por lo general) con valores reales. El sistema (1) puede escribirse en la forma compacta
x'=Ax+F
(2)
donde
El vector columna X es el vector de estado y A es la matriz del sistema (o coeficiente ) del sistema diferencial. El vector columna F recibe el nombre de vector de entrada , término motriz o de forzamiento . Los modelos de cascada de la sección 1.8, el modelo de resortes acoplados de la sección 5.1 y el modelo para el plomo de la sección 7.1 son sistema lineales.
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446
Sistemas linea les de ecuaciones diferenciales
Formulación con operadores de sistemas lineales Reformulemos el sistema (2) introduciendo un operador que actúa sobre los vectores columna x(t) con componentes derivables en forma continua sobre un intervalo l . Si se define el operador L como L[x] = x' - Ax, el sistema (2) cobra la forma L[x] = F. El operador tiene dos propiedades muy importantes que permitirán encontrar las fórmulas de solución para los sistemas lineales de EDO.
Teorema 7.5.1
Propiedades de L. El operador L definido por L[x] = x' - Ax, donde A es una matriz constante de n x n, tiene las siguientes propiedades: Linealidad de L: Para dos constantes cualesquiera Cl Y C2 Y las funciones vectoriales derivables x l (t) y x2(t) se tiene
(3) llE Esta propiedad se denomina prin cipio de SIlIJe/posición .
Propiedad de cerradura : Para las constantes cl YC2 Ylas soluciones xl(t) y x2(t) del sistema L(x) = O, la función vectorial CIX I + c2x2 también es una solución.
La propiedad de linealidad es una c6nsecuencia de las operaciones de diferenciación y multiplicación de matrices. La propiedad de cerradura se deduce de la linealidad del operador L porque
Por tanto, y =
clx l
+ c2x2 es una solución de L[x] =
o.
La propiedad de cerradura establece que si {x l (t), ... , xm (t)} son soluciones de L[x] = O, entonces la combinación lineal x = clx l + .. . + cmx m es también una solución. Por tanto, el conjunto solución de L[x] = O es un subespacio de los vectores función; se le denomina espacio nulo de L. La propiedad de linealidad de L tiene una consecuencia que permitirá resolver el sistema no homogéneo L[x] = F(t). Como se hizo para las EDO lineales de primer y segundo orden, es posible caracterizar las soluciones del sistema (2) como la suma de una solución particular y el conjunto de todas las soluciones de L[x] = O. La colección de todas las soluciones de L[x] = F se denomina solución general yen esta obra se denota con x ge /!"
Solución general del sistema L[x ] llE xd se denomina solución particlllar del sistema no homogéneo L[x] = F.
=x' -
Ax
=F
Para hallar x gen se necesitan dos cosas, la colección de todas las soluciones de L[x] • Alguna solución xd(t) del sistema no homogéneo L[x] = F. • Toda solución w (t) del sistema homogéneo L[x] = O. A partir de esta información, la solución general x gen (t) de L[x] = F está dada por x gen = xd (t) + w (t), para toda solución w (t) de L[x] = O
= F:
(4)
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7.5/ Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
I@" ¿Le parece conocido? Lo hicimos en la sección 3.3 para el operador lineal P(D) .
La descomposición (4) es una consecuencia directa de la linealidad del operador L. De hecho, si xI es una solución particular de L[x] = F, entonces para cualquier solución x de L[x] = F se tiene de la linealidad de L que L[x - x d ] = L[x] - L[x d ] = F - F = O; por consiguiente, w = x - x d pertenece al espacio nulo de L. Por el contrario, si x d es una solución particular de L[x] = F Y si wpertenece al espacio nulo de L, entonces L[x d + w]
= L[x d ] + L[w] = F + O = F
Así, x d + wes una solución de L[x] = F. La búsqueda de las soluciones de x' = Ax + F puede descomponerse en dos pasos: 1. encontrar las soluciones de L[x] = O, Y 2. encontrar una solución del sistema no homogéneo L[x] = F. Procedamos a encontrar las soluciones w de L[x] = O Y dejemos la tarea de hallar una solución particular xI para una sección posterior. El método que seguiremos se llama método de vectores característicos por razones que serán evidentes.
Resolución de
X'
= Ax, cuando A es una matriz constante
Primero podríamos tratar de conjeturar las soluciones de x' = Ax cuando A es una matriz constante y ver hasta dónde llegamos. Por analogía con el caso de una variable de estado, podríamos esperar que el sistema lineal (5)
x' = Ax
tuviera soluciones x de la forma x = ve A/ para algún número A constante y algún vector v constante. Al sustituir veA! en el sistema (5) se obtiene Ave
At
= A ve
At
Al dividir entre eA se observa que I
Av = Av
(6)
En consecuencia, x = ve At es solución del sistema (5) si A es un vector característico de A y ves un vector característico correspondiente. Veamos ahora cómo puede usarse esta información . Supóngase que A tiene valores característicos reales distintos A¡ y ít:z con los vectores característicos correspondientes VI y v2' Entonces de lo anterior se deduce que xl = v l eA¡t y x2 = v 2e A2t son soluciones de x' = Ax. Por la propiedad de cerradura del teorema 7.5.1 se ve que x = C¡xl + C2X 2 da una solución de x' =Ax para valores cualesquiera de las constantes C I y C2 . La pregunta es: ¿son todas éstas las soluciones o hay otras? Consideremos un ejemplo de 2 x 2.
,
1I
11
'ir,
"
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448 Ejemplo 7.5.1
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Obtención de las soluciones de
Ax
X' =
Consideremos el sistema con
x' = Ax,
A = [_~
-lJ
(7)
Resolvimos ya el problema de valores característicos para esta matriz en el ejemplo 7.4.1, de modo que se tienen dos valores característicos Al = - 1, ílz = 2 y los vectores característicos correspondientes Vi = [1 -2]T, v2 = [1 --1]Y. Para constantes reales arbitrarias el y e2las soluciones de x' = Ax cobran la forma x = eIV e
l -t
De aquí en adelante el análisis es s6lo para demostrar que en realidad (8) da las soluciones.
((ilj"
+ e2V 2 e 21
(8)
En seguida se explica cómo demostrar que la fórmula (8) capta todas las soluciones de la EDO (7). Defina la matriz
cuyas columnas son los vectores característicos Vi y v 2 . Utilicemos el cambio de las variables de estado x = Vy. Con el cambio de x a y, el sistema x' = Ax se convierte en Vy' = AVy. Mediante las identidades de producto de matrices en (1) y (2) de la sección 7.2 se observa que 'V I I I 2 X = Y' = ylv +Yzv Ax = AVy = A[v =[(-l)V
I
l
2 2 l v ]y = [Av Av ]y
2 2 l 2v ]y=(-1)y l v +2Yzv
En consecuencia, se tiene la identidad y;v l +y~v2 = (-l)y lv l +2Yzv 2 Puesto que {vi, v 2 } es una base para ]R2, es posible igualar los coeficientes de Vi y v 2 en ambos miembros de esta ecuación para obtener el sistema transformado y'l = -YI
(9)
Ésta es la clave: y¡ y Y2 dan todas las solu-
((ilj"
ciones de (9).
y'2 = 2Yz El sistema (9) se desacopla por completo y entonces es posible resolver cada EDO por el método de factores de integración a fin de obtener todas las soluciones del sistema transformado (9): Y2
=
e2 e 21 ,
el y e2son números reales arbitrarios
De vuelta a las variables x, se nota que las soluciones de x' = Ax están dadas por x=Vy = [v l v 2 ]
e -t] [e2lee2 = eIVle-t + e2V2e2t
(10)
1
De acuerdo con nuestro método se observa que la fórmula (8) capta todas las soluciones de x' = Ax.
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449
7.5 / Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
Lo siguiente es un detalle interesante acerca de la fórmula de solución para el sistema (7) derivado del ejemplo anterior. Escriba
Afirmamos que cada solución x(t) del sistema (7) puede expresarse como una combinación lineal de xl y x2 de una sola manera. De hecho, digamos que x(t) = a.x l + bx2 y también que x(t) = ex! + dx 2. Entonces los números a - e y b - d satisfacen la identidad l 2 (a-e)x (t)+(b - d)x (t) = 0,
para toda t
y de la condición det V::F O se deduce (por el teorema 7.3.1) que a - e = O Y b - d = O, con lo que se comprueba nuestra afirmación.
Resolvamos un PVI asociado con el sistema (7).
Ejemplo 7.5.2
Resolución de un PVI: x'
= Ax,
x(O)
=x O
Supóngase que A es la matriz del ejemplo 7.5.1. Resolvamos el PVI x' = Ax, x(O) = [2 3]T. Para esto tomaremos en cuenta las constantes el y e 2 de la fórmula (10) de modo que x(O) = [2 3]T; esto es,
De la última igualdad se observa que
e] +e2 = 2,
-2e] - e 2 =3
y el = - 5 Y e 2 = 7. Por consiguiente, a partir de la fórmula (10) la solución del PVI es X
-1 e [ lJ -/ + 7 [IJ
= -5 - 2 e
2/
Este método funciona para cualquier conjunto de datos iniciales. En los ejemplos 7.5 .1 y 7.5 .2 se sugiere que es posible encontrar todas las soluciones de un sistema de matrices constantes x' = Ax por medio del álgebra de matrices. En lo que resta emplearemos sin restricciones la terminología de valores característicos y espacios característicos, incluido el concepto de vectores característicos generalizados. Si sus conocimientos al respecto son deficientes (quizá nunca ha estudiado estos temas), entonces repase las secciones anteriores antes de continuar. En ellas explicamos los conceptos más significativos del álgebra de matrices. No olvide que incluso si la matriz constante A tiene elementos reales, podría tener valores característicos complejos y los vectores característicos correspondientes podrían tener elementos complejos. En este caso nuestro método también funciona.
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Resolución de deficientes
X'
= Ax cuando A tiene espacios característicos no
Un espacio es no deficiente si su dimensión es igual a la multiplicidad de su valor característico correspondiente. Si todos los subespacios de una matriz A son no deficientes, la construcción de la solución general de x' = Ax es muy directa.
Teorema 7.5.2 1& En el comentario al
margen del teorema 7.4.4 se asegura que ]RII tiene una base característica. 1& Este resultado tam-
bién es cierto si algunos de los valores y vectores característicos son complejos. En este caso se obtiene una base característica para 1C".
Espacios característicos no deficientes. Supóngase que A es una matriz constante de n x n con elementos reales cuyos valores característicos son reales y los espacios característicos correspondientes son no deficientes. Entonces la solución general de x' = Ax está dada por (11) donde el'"'' en son constantes arbitrarias, {VI, ... , un} es cualquier base característica (eigen base) para ]Rn, y Al'"'' An son los valores característicos correspondientes (repetidos según se requiera). Para obtenerla fórmula (11) primero se define la matriz V = [V I v 2 .. . un]. Como Ves no singular (ya que sus vectores columna son linealmente independientes), es posible cambiar la variable de estado x en x' = Ax a la variable de estado y, donde x = Vy. Por tanto, x' =Ax transforma el sistema en Vy' =AVy. Al evaluar estos productos de matrices se obtiene
1& Compruebe las iden-
tidades del producto de matrices de la página 417.
,1,2
In
= ylv +Y2V +"' + YIlV y V2
AVy = A [V I = [A¡v l
vn ]y =[Av l
A¡v 2
...
Av 2
...
Av"]y
AIlVn]y
= A¡ylV + ~Y2V2 + "' + AnYnVn I
En virtud de que {VI v2... un} es una base, es posible igualar los coeficientes de W en Vy' = AVy para obtener el sistema transformado
yj
= AjYj'
j = 1, 2, ... n
(12)
Todas las soluciones del sistema (12) están dadas por Yi = e/'l, j = 1, 2, ... , n, donde el'"'' en son constantes arbitrarias. En consecuencia, todas las soluciones del sistema original son
que es precisamente la fórmula (11).
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7.5/ Sistemas linea les homogéneos con coeficientes constantes
El resultado siguiente asegura que cada PVI tiene una solución única.
Teorema 7.5.3 ~ Este resultado se cumple incluso si algunos de los valores y espacios característicos son complejos.
Solución única para un PVI. Supóngase que A es una matriz de n x n con elementos reales; todos los valores característicos Al' ... ' An son reales (no necesariamente distintos) y todos los espacios característicos son no deficientes. Supóngase también que {Vi, ... , v n } es una base característica correspondiente de ]Rn. Entonces para cadaxO hay un conjunto único de constantes el' ... ' en tal que I A. t n A. t (13) x = elve 1 + . .. +env e n es la solución única del PVI x'
= Ax, x( O) = xO.
La fórmula de solución (13) es una consecuencia inmediata de la solución general (11), ya que {Vi, . .. , v n } es una base de ]Rn, así que el vector inicial xO puede escribirse de una sola forma como xO = el Vi + ... + en v n.
Ejemplo 7.5.3
Obtención de la solución general, resolución de un PVI Resolvamos el sistema x'
=Ax, donde A = [-221
-~ -~l -3
-2
El polinomio característico de A es peA) ;;;;; (1 + A)2 (1 - A) y los valores característicos son Al = -1 (un valor característico doble) y ~ = 1 (un valor característico simple). Mediante cálculos directos se demuestra que VAl es bidimensional y es generado por {Vi, 1)2}, donde Vi = [1 1 OF, 1)2 = [1 O 1F, en tanto que Vílq es generado por {v3}, donde v3 = [1 -1 1F. Ambos espacios característicos de A son no deficientes; por tanto, {Vi, 1)2, v3} es una base característica para ]R3. Del teorema 7.5.2 se deduce que la solución general de x'=Axes (14)
~ Escrito en forma completa, este sistema es
[i
~ -~] [g~]=[g]
Para resolver el PVI x' = Ax, x(O) = [1 O OF, introduzca primero t = O en la fórmula (14) y luego resuelva el sistema resultante x(O) = C IV I + C2 1)2 + C3 v3 para C l' C2 Y C3 a fin de obtener C I = 1, C2 = - 1, C3 = 1. La solución del PVI anterior es entonces
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Obsérvese que si los valores característicos de A son reales y distintos, entonces todos ellos son simples, de modo que los espacios característicos son no deficientes, ya que deben ser unidimensionales. En consecuencia, hay un conjunto independiente de n vectores característicos de A en]Rn (una base característica). Las únicas matrices problemáticas son las que tienen varios valores característicos y algunos espacios característicos deficientes.
Resolución de deficientes
X'
= Ax
cuando A tiene espacios característicos
= Ax cuando la matriz constante A de n x n tiene elementos reales, valores característicos reales y uno o más espacios característicos deficientes? En este caso A no genera una base característica para ]Rn; por tanto, no funciona el método descrito en el teorema 7.5.2. Por fortuna, en el teorema 7.4.4 se muestra que este método será útil si se utiliza una base que conste de vectores característicos generalizados. En vez de expresar el resultado en este caso general, nos centraremos en una cadena de vectores a la vez. Este proceso puede repetirse para cada cadena que aparece en la base seleccionada de vectores característicos generalizados. Veamos cómo funciona.
¿ Cómo puede hallarse la solución general del sistema x'
Cadena de vectores característicos generalizados de un vector _ _ _ _ _ __
Ya sabemos qué hacer con una cadena que termina con un vector, v. Este vector debe ser
x(t) = ve""
(15)
un vector característico V con un valor característico correspondiente A; se observa que es la solución de x' = Ax generada por esta cadena de un vector.
Cadena de vectores característicos generalizados de dos vectores _ _ _ _ __
Veamos ahora cómo una cadena {u 1, u2 } de dos vectores característicos generalizados de una matriz A da lugar a un par de soluciones independientes de x' = Ax. Se tiene (A - AI)u 1 = O,
(16)
Supóngase que la Ves la matriz cuyas columnas son cadenas de vectores característicos generalizados que forman una base para ]Rn. La cadena u 1, u2 aparece en alguna parte de la matriz V como ésta: V = [ . . . u 1 u2 • .. ] , donde u 1 y u2 son los lugares j-ésima y (j + 1). Cambiemos ahora la variable de estado x del sistema x' = Ax a la nueva variable de estado y mediante la fórmula x = Vy, con lo que se obtiene el sistema Vy' = AVy. Si usamos
http://carlos2524.jimdo.com/ 7.5/ Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
453
las identidades del producto de matrices en (1) y (2) de la sección 7.2 e igualamos los componentes u l , u2 del nuevo sistema se obtiene I l 2 A l A 2 Yju + Yj+lu = U Yj + U Yj+1 2 = AUIYj +(AU +UI)Yj +1
Al igualar los coeficientes de u l y u2 se obtienen las EDO
y} =
AYj
+ Yj+l (17)
Y}+I = AYj+1
Es posible encontrar una fórmula para todas las soluciones de este sistema como sigue: la última EDO de (17) se desacopla y puede resolverse por separado para obtener Yj+1 = Cj +1 eAI , donde Cj +1 es una constante arbitraria. Se sustituye Yj+1 (t) en la EDO superior de (17) y se resuelve. El resultado es Yj = (Cj+11 +Cj )e At , donde Cj es otra constante arbitraria. Así, finalmente se obtiene
y se observa que Xl = u l e Al
y
x2 = (u 2 + tul )e At
(18)
son soluciones del sistema x' = Ax (ya que las constantes Cj , Cj +1 son arbitrarias).
Cadena de vectores característicos generalizados de
In
vectores _ _ _ _ _ __
Las fórmulas de solución generadas por una cadena de vectores característicos generalizados de m vectores se obtienen de la misma forma. Por ejemplo, si A es una matriz con un valor característico A triple y un espacio característico unidimensional, y si u l , u2 , u3 es una cadena correspondiente de vectores característicos generalizados, entonces l Al +C (2 +tu 1) e Al x = Clue 2 u
+ C3
(3
2
t u u +tu 2 +T
1)
e Al
(19)
donde CI' C2 y C3 son constantes arbitrarias, es una solución de x' = Ax. Es tiempo de aplicar lo aprendido para resolver un sistema x' = Ax con espacios característicos deficientes.
http://carlos2524.jimdo.com/ 454 Ejemplo 7.5.4
Sistemas linea les de ecuaciones diferencia les
Una matriz con un espacio característico deficiente Considérese el sistema x' = Ax, donde A es la matriz de 3 x 3 del ejemplo 7.4.7,
A=[-i2 -~- 3 -~l -4 Ya vimos que A tiene un valor característico doble Al = - 1 Y un valor característico ~ = l. El espacio característico deficiente V Al es generado por el vector característico Vi = [O 1 -1]Y Y el espacio característico no deficiente V A2 por el vector característico [1 - 1 1]T. En el ejemplo 7.4.8 encontramos una cadena de vectores característicos generalizados basados en el vector característico u l : u
l
= [O
1 - lf Y u 2
= [1
1 of
Si utilizamos (15) y (18), encontramos las tres soluciones de x' = Ax:
x' =[-l 1,-' La solución general de x' = Ax es x = Clx l + C 2 x 2 + C 3x3, donde Cl' C2 y C3 son números reales arbitrarios.
Ejemplo 7.5.5
Otra matriz con un espacio característico deficiente La matriz de 3 x 3
A=[=¡ g
"
, I
Jl
tiene Al = -1 como su único valor característico y su multiplicidad mi es 3. El espacio característico correspondiente V.~l = Span {[ 1 O 1]Y}. Como el espacio característico deficiente V Al es de dimensión uno, cualquier vector característico producirá una cadena de 3 vectores de vectores característicos generalizados. Por tanto, con un pequeño cálculo se demuestra que el vector característico u l =[1 O IV genera la cadena de vectores característicos generalizados
u'
=[?].
u'
=[1].
3
u
=m
,JI I I~
1'¡l..
t" 1
t'
Obsérvese que {u l , u2, u3 } es una base para 1~3, como se esperaba. Usando (19) se ve que el sistema x' = Ax tiene las soluciones
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7.5/Siste·mas lineales homogéneos con coeficientes constantes
2 y que la fórmula x = C¡x¡ + C 2X + C3 X3 , donde C¡, C2 y C 3 son números reales arbitrarios, describe todas las soluciones del sistema x' = Ax.
Comentarios El método descrito en esta sección para hallar las soluciones de x' = Ax también funciona cuando los valores y los vectores característicos de la matriz A son de valores complejos. La fórmula de solución para x' = Ax tiene la misma apariencia en este caso, pero las constantes arbitrarias son ahora números complejos y las soluciones son de valores complejos. Si las matrices tienen elementos reales, entonces, naturalmente, nos interesaría saber cuáles son las soluciones con valores reales. En la siguiente sección abordaremos esta pregunta. En secciones posteriores consideraremos dos modelos en donde se tienen sistemas diferenciales lineales con coeficientes constantes. Los métodos de ésta y de la sección ulterior brindan las herramientas indispensables para examinar estos modelos.
Problemas _____________________________________________ 1.
(So luciones generales.) Encuentre la solución general para cada uno de los sistemas siguientes. (a) x{ = 5x¡ + 3X2;
2.
3.
(e)
www 5.
(b) x{ = 5x¡ - 2x2;
xí = - 2x¡ +8x2
(e) x{ = x¡ - x2; xí = X¡ + 3x 2 (Resolución de PVI.) (a) a (e). Resuelva el PVI que consta de las ecuaciones de tasa de cambio dadas en el problema 1 incisos (a) a (e) y la condición inicial x¡(O) = 1, X2(O) = 1. (Espacios característicos no deficientes.) Encuentre las soluciones de x' = Ax, donde la matriz A se da a continuación. Escriba las respuestas en la forma dada en (11) en el texto.
(a)
4.
xí = -xI +x2
[~
-iJ
J [23 -2 -2
[J J Jl
(Resolución de PVI.) (a) a (f). Resuelva el PVI x' = Ax, x(O) = [-1 1F, donde A es la matriz dada en 3(a) a (d). Para (e) a (f), x(O) = [1 1 1]T. (EDO escalares y sus sistemas equivalentes.) El "polinomio característico" de la EDO de n-ésimo orden con coeficientes constantes y(n) + an_ ¡y(n-¡) + a¡y' + ... + aoY = O es el polinomio r n + an_¡rn-¡ + ... + a¡r + ao.
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456
Sistemas linea les de ecuaciones diferencia les
(a) Demuestre que si xI = y, Xz = y', .. ., X n = y
o O
o
1 O
=
o
1
A=
O
6.
(b) Demuestre que el polinomio característico peA) de la matriz A es (- lr(ítn + an_Iítn-1 + ... + al ít + ao) . [Sugerencia: utilice las operaciones de columna para transformar A - J..J en una matriz donde la submatriz de los (n - 1) renglones superiores empieza con una columna de ceros seguida de una matriz triangular (n - 1) x (n - 1) con unos en la diagonal principal. Luego calcule el determinante por cofactores.] (Espacio característico deficiente.) Encuentre la solución general de cada uno de los sistemas siguientes.
[1
[ 1-2-2]
(a) x' = - 2 2 ~
7.
1
2 3 x [Sugerencia: véase el ejemplo 7.4.7.] (b) x' = O - 3 -4 O
-~O -~lx -1
(Espacios característicos deficientes.) Encuentre la solución general del sistema
-1 O 21]x 1 [ OO - 0-1
x' = Ax =
siguiendo esta descripción: Demuestre que la matriz A tiene un solo valor característico ít y el espacio característico correspondiente tiene dimensión 2. • Para encontrar un vector característico que produce una cadena de vectores característicos generalizados de longitud 2, proceda como sigue: suponga que Vi y v2 son una base del espacio característico de A correspondiente a ít. Encuentre las condiciones de las constantes CI Y Cz tales que el sistema (A - J..J)u z = C I Vi + C Z v2 tiene una solución distinta de cero. • Con los valores para Cl Y Cz ya determinados, demuestre que u l = cI Vi + c z v2 y la solución uZ distinta de cero de (A - J..J)u Z = u l forma una cadena de vectores característicos generalizados. Con Vi, u l y uZ, construya la solución general de x' = Ax.
,
,
11
,.
" ",
") . ~l
1:
~ 8.
(Más acerca de vectores característicos deficientes.) Para una matriz A de 10 x 10 con elementos reales, supóngase que tiene tres valores característicos reales ít l = -1 , ítz = 3 y ~ = 2 con multiplicidades mi = 3, mz = 3 y m3 = 4. Dada la
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457
información adicional siguiente de los espacios característicos V A,' VA2 Y VA3 Y sus bases, encuentre todas las soluciones del sistema homogéneo en cada uno de los dos casos: (a) dim VA, = 1; VA, tiene la base {u l }, dim VA2 = 2; VA2 tiene una base {VI, W I } Y VI genera una cadena de vectores característicos generalizados de dos vectores, dim V A3 = 2; V A3 tiene una base {pI , ql} Y ql genera una cadena de vectores característicos generalizados de dos vectores. (b) dim VA, = 3; VA, tiene la base {u l , 1)1, w l } , dim VA2 = 1; VA2 tiene una base {PI}, dim V A3 = 3; VA3 tiene una base {al, bl , el} y al genera una cadena de vectores característicos generalizados de dos vectores.
7.6 Sistemas lineales homogéneos: valores característicos complejos
Si sus conocimientos acerca de las cantidades complejas son deficientes, revise el apéndice B.3.
lJ@r
La matriz constante A de n x n en el sistema lineal homogéneo x' = Ax puede tener elementos complejos, o bien, elementos reales y valores característicos complejos. De cualquier modo, si se sigue el método de los vectores característicos descrito en la sección anterior, las soluciones que resultan son funciones con valores complejos. Por ejemplo, la fórmula de solución (11) del teorema 7.5.2 aún es válida cuando algunos vectores característicos tienen elementos complejos, pero ahora debe permitirse que las constantes arbitrarias el' e2 ,· · · , en sean números complejos. Si A tiene elementos reales, entonces normalmente se sabría cuáles son las soluciones con valores reales del sistema x' = Ax. En esta sección veremos cómo extraer las soluciones con valores reales a partir de la fórmula de solución general, pero primero revisaremos algunos conceptos acerca de la aritmética de los números complejos y las funciones con valores complejos de una variable real.
Números complejos y funciones con valores complejos
Sí, es cierto que ya vimos gran parte de esta información, pero resulta conveniente tenerla reunida.
lJ@r
Un número complejo r tiene la forma a + if3, donde a y f3 son números reales denominados, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de r. En símbolos, a = Re[r] y f3 = Im[r]. Por tanto, r es un número real si y sólo si Im[r] = O. Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales. La aritmética de los números complejos sigue las reglas normales del álgebra, siempre que se recuerde sustituir i2 por -l. El conjugado complejo del número complejo r = a + if3 se define como a - if3 Y
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458
Sistemas linea les de ecuaciones diferenciales
se denota con r. Obsérvese que r es un número real si y sólo si r = r. El conjugado de una suma, producto o cociente de números complejos es la suma, producto o cociente de los conjugados. Por ejemplo, r + s = r + s, rs = rs, y r / s = r / s. Las funciones con valores complejos de una variable real también pueden resolverse en una parte real más i veces una parte imaginaria. Por ejemplo, como vimos en la sección 3.4, e(a+i{3)t = e at cos f3t + ieatsen f3t
Si f(t) = u(t) + ív(t), donde u(t) y v(t) son funciones con valores reales, entonces f(t) = u(t) - iv(t). Por consiguiente, para cualquier número complejo r = a + if3 se observa que
Los vectores columna con elementos complejos pueden escribirse de manera única como
una parte real más i veces una parte imaginaria. Por ejemplo, El conjugado de una matriz A se denota con A y se obtiene al conjugar los elementos. Por ejemplo, 2í - 1: 2i ]=[-2i [- 1 1 -1
-1 -. 2í] ,
-1
La regla de conjugación se aplica a las sumas y productos de matrices ~~n element~s complejos y al producto de matrices y números complejos; es decir, AB = AB Y cA = cA, para las matrices A , B y escalares c. Por ejemplo, obsérvese que para vectores columna cualesquiera v y w con elementos complejos y números complejos r y s se tiene Una aplicación de la conjugación antes mencionada es que si la matriz A tiene elementos reales, entonces los valores característicos aparecen en pares conjugados y el espacio característico V~: es sólo Víl. Esto se deduce al conjugar_la ecuación del valor característico y el vector característico A v = AV para obtener Av = AV. Lo mismo se cumple para una cadena de vectores característicos generalizados. Por ejemplo, considérese la cadena de tres vectores característicos generalizados basados en el vector característico u 1 que corresponde al valor característico ít: u 1 , u 2 , u 3 , donde (A - AI)u 2 = u 1 , (A - ítI)u 3 = u 2 Al conjugar estas ecuac~nes de matriz-v~ctor (y recordar...9.ueA yJ} tienen elementos reales) se observa que (A - Al)u3 = u2 , (A - Al)u2 = u 1 ; así, u 1 , u2 , u3 es una cadena de vectores característicos generali~dos de A basados en el vector característico u1 correspondiente al valor característico A
Ahora ya podemos resolver algunos ejemplos.
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459
7.6/ Sistemas lineales homogéneos: va lores ca racterísticos complejos
Obtención de soluciones con valores reales Cuando la matriz cuadrada A tiene elementos con valores reales suele ser preferible encontrar las soluciones con valores reales del sistema x' = Ax. En ocasiones es más fácil encontrar primero todas las soluciones con valores complejos y luego, a partir de ellas, extraer las soluciones con valores reales. En nuestro método se aprovecha que las partes real e imaginaria de la solución con valores complejos del sistema x' = Ax son soluciones con valores reales del sistema si la matriz A de n x n tiene elementos reales. Para ver esto recuérdese el teorema 7.5.1, que establece que el operador L definido por L[x] = x' - Ax es un operador lineal. Supóngase que x(t) es una solución de x' = Ax. Entonces L[x] = O Ysi se escribe x(t) = u(t) + iv(t), donde u(t) = Re[x(t) ] y v(t) = Im[x(t) ] , entonces L[x] = L[u + iV] = L[u] + iL[v] = O
(1)
En virtud de que A tiene elementos reales, se observa que L[ u] = u' - Au y L[ v] = v' - A v son igualdades con valores reales, de forma que la identidad (1) establece que L[u] = O Y L[v] = O. Dicho de otro modo, si x(t) es cualquier solución del sistema x' = Ax, entonces también lo son Re[x(t)] e Im[x(t) ] . Esta observación sugiere una forma de hallar las soluciones con valores reales del sistema x' = Ax, donde A es cualquier matriz constante de n x n con elementos reales. El primer paso es aplicar el método de los vectores característicos para encontrar una fórmula para n soluciones xl(t), x2(t), ... , xn(t) de x' = Ax (algunas posiblemente con valores complejos). Para esto es indispensable determinar todos los valores característicos de A y suficientes vectores característicos (y vectores característicos generalizados, si es necesario) para formar una base para e n. Es posible identificar las soluciones con valores reales de x' = Ax por medio de las soluciones construidas xl(t) , x2(t) , ... , xn(t) de la siguiente forma: digamos que las n soluciones construidas se indizan de modo que xl(t), x2(t) , . . . , xk(t) toman valores reales y las n-k restantes toman valores complejos. Como A tiene elementos reales, sus valores característicos complejos aparecen en pares conjugados (por tanto, n-k es un número par). Deseche las soluciones que surgen de un valor característico J. con Im[J.] < O, con lo que sólo quedarán (n - k)/2 = m soluciones con valores complejos. Digamos que estas soluciones están indizadas como xk+l(t) , . .. , xk+m(t) y que u k+j (t) = Re [x k+j (t)],
v k+j (t) = Im[x k+j (t)],
para cada j = 1, ... , m
Ahora, debido a que L[x] = x' - Ax define un operador lineal, se nota que cualquier combinación lineal de soluciones xl, ... , x k , u k+ I , . . . , u k+ m , vk+m es de nuevo una solución de x' = Ax. En otras palabras, En virtud de que nk = 2m, obsérvese que esta fórmula tiene 11 sumandos.
1&
x = alx l
+ ... + akx k + blu k+1 + ... +bmu k +m +CIV k +1 + " ' + cmv k + m
para números reales arbitrarios al "' " ak> b l , . . . , b m ,
C I , . . . , Cm
(2)
siempre es una solución
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En este libro se mantendrá n::; 4, así que ¿cuáuto pueden empeorar las cosas?
Ilaf
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
de x' = Ax . Es un hecho notable que en este caso de (2) se obtengan todas las soluciones con valores reales de x' = Ax , pero no se demostrará en este libro. Sin embargo, en la práctica no es tan difícil como parece llegar a una fórmula para todas las soluciones con valores reales de un sistema con valores característicos complejos. Si se sabe cómo resultarán las cosas, es posible omitir los pasos intermedios para llegar al resultado final. A continuación se resume este proceso.
Fórmula para todas las soluciones con valores reales de x' = Ax Supóngase que A es una matriz de n x n con elementos reales. Entonces todas las soluciones con valores reales de x' = Ax tienen la forma (3)
donde las Cj son constantes reales arbitrarias y las soluciones especiales con valores reales yJ (t) se determinan como sigue: • Encuentre todos los valores característicos de A. Si dos de ellos son complejos conjugados, elimine el que tiene la parte imaginaria negativa. • Por cada valor característico retenido encuentre una base para el espacio característico correspondiente tal que el número de vectores característicos generalizados de las cadenas generados por la base sea igual a la multiplicidad del valor característico. • Aplique el método de los valores característicos para encontrar la soluciones con valores reales x1(t) , . .. ,xk(t) generadas por los valores característicos reales, y las soluciones con valores complejos xk+l(t), . .. , xk+m(t) generadas por los valores característicos complejos retenidos (obsérvese que k + 2m = n). • Las soluciones yj (t) en (3) se definen como sigue: tome yj (t) = x j (t), j = 1, 2, . . ., k Y las demás yj (t) por Re[x k+1(t)], Im[xk+ l (t )], ... , Re[xk+m(t)], Im[x k+m(t)] . Consideremos algunos ejemplos.
Ejemplo. 7.6.1
Soluciones con valores reales a partir de soluciones con valores complejos Consideremos el sistema x
En el ejemplo 7.4.3 se muestra cómo encontrar estos espacios característicos.
Ilaf
,=
Ax,
donde A
=
[1 2 -2J 1
(4)
Las raíces del polinomio característico p( A) = det(A - Al) = íI,2 - 2A + 5 son los valores característicos de A. Las dos raíces son Al = 1 + 2i Y íI.z = 1 -2i. Seleccionemos la base [i 1]TparaVA1 y [-i l]TparaV~. Obsérveseque{[i l]T,c[ - i l]T}esunabasecaracterística para
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461
7.6 / Sistemas lineales homogéneos: valores característicos complejos
donde K 1, K2 son números complejos arbitrarios. Sigamos el procedimiento anterior para reconocer las soluciones de valores reales ocultas entre las soluciones de valores complejos de la fórmula (5). Para simplificar la tarea respecto a la notación se escribe
(6) Se elimina x2(t) porque proviene del valor característico A.:z = 1-2i con parte real negativa. A continuación se resuelve xl(t) en sus partes real e imaginaria como sigue: x1(t)
l = ( [n + i [bJ)ce cos2t + ietsen2t) =
([?J
t el cos2t - [b] e sen2t) + i ( [b] etcos2t
-[?]
l e sen2t)
=yl(t) + ii(t)
donde y l (t) = Re[x 1(t)] y i(t) = Im[x1(t)]:
Por tanto, todas las soluciones con valores reales del sistema (4) están dadas por x(t) = C1yl(t)+ C2i(t), para las constantes reales C l y C2
donde yl y y2 se definen en (7).
Ejemplo 7.6.2
Fórmula de solución para un sistema lineal
Encontremos una fórmula para las soluciones con valores reales del sistema x' =
[-2-1 3] 5 O
O -5 x O 1
(8)
Seguiremos el procedimiento anterior y aplicaremos el método de los vectores característicos para hallar las tres soluciones con valores reales siguientes: yl(t), y2(t) y y3(t) del sistema (8) tal que todas las soluciones con valores reales estén dadas por la fórmula (3). Si se denota la matriz del sistema con A, la ecuación de valores y vectores característicos (A - Al)w = O se convierte en
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Puesto que det(A - AJ) = (1- A)(A2 + 2A + 5), se observa que A tiene tres valores característicos ~ = 1, ~ = - 1+ 2i, ~ = - 1- 2i. Eliminemos A.:¡ (porque Im[A.:¡] < O) Y encontremos los espacios característicos VAl y V A2 correspondientes a Al y ~. Resolvamos primero el sistema (A - I)w= O para encontrar VAl' Por medio de las operaciones de renglón este sistema se reduce a W2 = O, WI - W2 - w3 = O. En consecuencia [1 O 1]Y es un vector característico para Al y genera el espacio característico VI ' En la notación del procedimiento
es \lna solución con valores reales del sistema (8). En seguida se encuentra VAa resolviendo el sistema (A - (- 1 + 2i)I)w = O. Mediante operaciones de renglón este sistema se reduce a 5wI + (1 - 2i)w2 = O Y w3 = O. Por consiguiente [1 - 2i - 5 O]Y es un vector característico para ~ y genera el espacio característico V A2 , En la notación del procedimiento, x2 (t) = [1 -2i -5 O]Y e(l+2i)t y es una solución con valores complejos del sistema (8). Encontremos las partes real e imaginaria de x2(t) . X'(I) = ( [
-g]+ { -8]) e-,
(co, 21 +, "'021) = l(l) + 'y'el)
donde y2(t) = Re[x2(t)] y y3(t) = Im[x2(t)]. Obsérvese que y'
-g]
=[
e-' 00821 - [
-8]
e -',eo21,
y'
-8]
=[
e -'00821 + [
-g]
e - ',e021
son soluciones con valores reales del sistema (8) . En consecuencia, la solución del sistema (8) es
donde
el' e2y e3son constantes arbitrarias reales.
Otro método para hallar las fórmulas de solución ~
Este método será de gran utilidad en las próximas secciones.
Para las matrices constantes A de n x n se utiliza el método de los vectores característicos a fin de obtener las soluciones del sistema x' = Ax calculando primero los valores y los vectores característicos, así como los vectores característicos generalizados de la matriz A . Hay otra forma de obtener la solución general para x' = Ax sin que intervengan de manera directa los vectores característicos, forma que utiliza el siguiente resultado (el cual es de por sí interesante).
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463
7.6/ Sistemas lineales homogéneos: valores característicos complejos
Teorema 7.6.1
Teorema de existencia y unicidad. Para la matriz constante A de n x n y cualquier vector constante xO, el PVI x' =Ax,
x(O) = xo
tiene solución única definida en todo el eje t. Si xo = O, entonces la solución del PVI es x = O, para toda t. I@' La demostración de este resultado desde las bases implica cierto trabajo arduo. .
Este teorema es básicamente el teorema fundamental (teorema 5.2. 1), pero con el hecho adicional de que la única solución existe en todo el eje de las t. Con el teorema 7.6.1 tenemos otra forma de hallar una fórmula para todas las soluciones de x' = Ax. Supóngase que yl(t), .. . ,yn(t) son n soluciones de x' = Ax con la propiedad de que det[yl (O) .. . yn (0)]::1= O. Demostraremos que las soluciones de x' = Ax están dadas por l
'
2
.
X(t) = ClY (t)+C2Y (t)+ " '+cnyn(t)
donde CI'"' ' cn son constantes arbitrarias. Para demostrarlo supóngase que y(t) es una solución de x' = Ax; entonces, por el teorema 7.3 .1 hay constantes únicas kl , k 2, ... , k n tales que k1yl (O) + ... + knyn (O) = y(O)
Ahora, escriba z(t) = y(t) - k1yl (t) - ... - knyn (t). Obsérvese que Az = Ay - kIA/ - ... - knAyn = y' - kl ( / ) ' -
.. · -
z' = Az porque
kn(yn)' = z '
Pero como z(O) = O, por el teorema 7.6.1 se deduce que z(t) = O, para toda t, y debe tenerse que y(t) = kl yl (t) + ... + knyn (t). Entonces, toda solución de x' = Ax es una combinación lineal del conjunto solución {/(t), ... ,yn(t)}. Esto da lugar a la siguiente definición . •:. Conjunto solución básico. Si A es una matriz constante de n x n, entonces un conjunto de n soluciones {yl, ... , yn} del sistema x' =Ax recibe el nombre de conj unto solución básico si toda solución y(t) puede escribirse como y(t) = cly l + ... + Ctiyn para ciertas constantes cI ' "'' cn' Acabamos de ver que las n soluciones yl, y2, . .. , yn constituyen un conjunto solución básico para x' = Ax si det[yl(O) l(O) .. · yn(O)] ::I= O. Por ejemplo, si]Rn (o en su caso e n) tiene una base para {VI, . . . , v n } que conste de los vectores de A, entonces {yj
= v j e A¡f, j = 1,
2, ... , n, íLj es el valor característico correspondiente a v j
}
es un conjunto solución básico. En términos generales, puede demostrarse que para cualquier matriz constante A de n x n y para n soluciones cualesquiera y l, y2, ... , yn del sistema x' = Ax, el determinante det[yl (t) ... yn (t)] siempre es cero para toda t o nunca es cero para ninguna t. Por tanto, se tiene la siguiente prueba.
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Teorema 7.6.2
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Prueba para el conjunto solución básico. Supóngase que A es una matriz constante de n x n. Las n soluciones yn del sistema x' = Ax conforman un conjunto solución básico si y sólo si det[y (t) ... yn (t)] t: O, para toda t.
t ... ,
Los conjuntos solución básicos suelen ser útiles para describir la solución general del sistema x' = Ax, como veremos en secciones ulteriores. Si resumimos, veremos el resultado siguiente.
Teorema 7.6.3
Existencia de un conjunto solución básico. Para cualquier matriz constante A de n x n, el sistema x' = Ax tiene un conjunto solución básico {xl(t) ... xn(t)}, de forma que las soluciones del sistema están dadas por x =C1X l +C2X2 + ... +cnx n
donde los coeficientes
Cj
(9)
son constantes arbitrarias.
Con el método de los vectores característicos se tiene un conjunto solución básico al construirlo a partir de los valores y de los vectores característicos y, si es necesario, de los vectores característicos generalizados de la matriz constante A. Los conjuntos solución básicos no son únicos; cualquiera servirá para la fórmula de solución general (9). En la sección 7.8 volveremos a este punto. En el siguiente resultado se caracteriza la forma de los elementos de cualquier solución de valores reales del sistema x' = Ax, donde A es una matriz constante de n x n con elementos reales.
Componentes de las soluciones de l8lf La potencia de t en tke Al
depende de la "profundidad" de la deficiencia del espacio característico VA:
Teorema 7.6.4 l8lf Entonces todo componente es una función polinomial exponencial.
X'
= Ax
En los ejemplos 7.5.4 y 7.5.5 vimos que si hay espacios característicos deficientes, entonces algunas soluciones tienen componentes que contienen funciones polinomiales exponenciales, como teAl o t2eAl. Si resulta que A es un número complejo a + f3i con f3 O, esto indicaría términos como te al cosf3t, o te al senf3t, etc. De hecho, con el siguiente resultado se tiene la forma de los componentes de las soluciones con valores reales de x' = Ax.
*
Componentes de las soluciones de x' = Ax. Cualquier componente de cualquier solución con valores reales de x' = Ax, donde A es una matriz de n x n de constantes reales, es una combinación lineal de términos de la forma tkeal cosf3t y t ke al senf3t, donde A = a + i f3 es un valor característico de A y k es cualquier entero no negativo menor que la multiplicidad de A.
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1.6/ Sistemas lineales homogéneos: va lores característicos complejos
Comentarios En las secciones 7.5 Y 7.6 explicamos lo necesario a fin de encontrar una fórmula para todas las soluciones con valores reales del sistema lineal x' = Ax, donde A es una matriz constante de n x n con elementos reales. La clave para hallar tal fórmula es encontrar los valores y los vectores característicos (y quizá los vectores característicos generalizados) de la matriz A. En teoría, esto siempre es posible, pero puede ser arduo si el valor de n es grande.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ www L
2. 3.
(Soluciones generales.) Encuentre la solución general del sistema x{ = 2x¡ - x2' x~ = x¡ +2x2' (Reso lución de un PVI.) Resuelva el PVI que consta de las ecuaciones de tasa de cambio del problema 1 y la condición inicial x¡(ü) = 1, X2(Ü) = 1. (Espacios característicos no deficientes.) Encuentre todas las soluciones de x' = Ax, donde la matriz A es la que se da a continuación. Escriba sus respuestas en la forma dada en (11) de la sección 7.5.
(b) [28 --lJ 2 4.
5.
(Resolución de PVI.) (a) y (b). Resuelva el PVI x' =Ax, x(ü) = [-1 ll, para las matrices de los incisos (a) y (b) del problema 3. (Valores característicos complejos de una matriz real.) Sea A una matriz constante con elementos reales; supóngase que A es un valor característico no real con el vector característico V correspondiente. (a) Demuestre que v debe tener por !9 menos un componente no real y que ves un vector característico d~ A con A como su valor característico correspondiente. (b) Demuestre que {veíl.t, veíl.t} es un conjunto independiente de soluciones con valores complejos de x' = Ax. (e) Demuestre que {Re[veíl.t],lm[veíl.t]} es un conjunto independiente de soluciones con valores reales de x' = Ax. [Sugerencia: Re[z] = (z + z) / 2, Im[z] = (- i / 2) (z - z) .]
(d) Encuentre las soluciones con valores reales de cada sistema x' A=
6.
[-3 1-2] ü 2
= Ax, donde
- 1 -1 ü ü
(El péndulo doble.) Supóngase que un péndulo está suspendido de otro (véase el esquema al margen). Tras modificar en forma adecuada la escala de tiempo, puede de-
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
7.7 jRetl
mostrarse que con el siguiente sistema lineal se modelan las oscilaciones de amplitud pequeña respecto a la posición de equilibrio X¡ = X2 = x3 = X4 = O: x; =x2 x~ =-x¡
+ax3
x~ =x4 x~ =x¡ I I I
donde a = (~ / mI )(1 + m2 / m¡ )-1 es la masa reducida, XI y x3 son los ángulos y e2 y X2 Y X4 son las velocidades angulares, e{ y e~. Obsérve que O < a < 1. (a) Construya la solución general con valores reales de este sistema con los métodos de esta sección. (b) Escriba a = 0.3. ¿Tiene soluciones periódicas el sistema? En caso afirmativo, ¿cuáles son? (e) Para a = 0.3, encuentre la solución única del sistema para cada conjunto de condiciones iniciales.
I I I I
-x3
L
el
8,
I I
•
11
7.7
(1)
xI (O) = (O. 15)-J03,
X2(O)
(2)
XI (O) = (O. 15)-J03,
x2(O)
(3)
XI (O)
= (0.3)-J03,
= O, = O,
x2(O) = O,
X3(O) = -0.15,
x4(0) = O
x3 (O) = 0.15,
x4(0) = O
x3(0)
= O,
x4(O) = O
[Sugerencia: nótese que los datos iniciales de (3) son la suma de los datos iniciales en (1) y (2).] (d) Para cada conjunto de datos iniciales del inciso (e), superponga las gráficas de xI contra t sobre la pantalla O:s; t:S; 25, Ixll :s;0.2. Repita para las gráficas de x3 contra t en la pantalla O:s; t:S; 25,lx31:s; 0.3. Para cada PVI del sistema con los datos iniciales del inciso (e), superponga (e) las gráficas de xI contra x3 en la pantalla IxI!:s; 0.2, IX31:s;0.3. Explique lo que observa.
Retratos orbitales Para una matriz constante A de 2 x 2 los retratos orbitales del sistema x' = Ax se dividen en tipos distintos. Crearemos una clasificación de los tipos de retratos orbitales cuando íl = O no es un valor característico de A. Mostraremos mediante un ejemplo que el retrato orbital de un sistema plano puede modificarse de manera considerable aun cuando cambian sólo un poco los elementos de la matriz del sistema. Por último, modelaremos las vibraciones de un par de resortes acoplados.
Línea/ caracterís
/
Línea caracterís
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467
7.7 / Retratos orbitales
Galería de retratos orbitales Clasifiquemos por tipo los posibles retratos orbitales para el sistema plano (1) A>O
Línea característica A
Línea característica
donde A es una matriz de constantes reales. Los seis casos abarcan todas las posibilidades para una matriz real A de 2 x 2 con valores característicos distintos de cero. En la tabla 7.7.1 se enumeran tales casos junto con la naturaleza de los valores característicos de A y un conjunto solución básico. Los nombres que aparecen en la tabla definen la clasificación para el punto de equilibrio en el origen. Una línea característica (eigenlínea ) es una recta que pasa por el origen y es paralela al vector característico real. Por tanto, si A es un valor característico real, V un vector caracterÍstico correspondiente, entonces la familia de curvas solución x = cve At , para cualquier constante real c, describe una línea característica que pasa por el origen. Si A es positiva, las órbitas se mueven hacia fuera del origen a lo largo de la línea característica a medida que t aumenta; si A es negativa, las órbitas se mueven hacia dentro a lo largo de la línea característica. Cada línea característica divide el plano en sectores y ninguna curva solución puede cruzar de un sector a otro. Los nodos impropios y las sillas tienen dos líneas características; los nodos deficientes sólo una. Para los nodos estrella, todas las líneas que pasan por el origen Son líneas características, en tanto que los centros y los puntos espiral no tienen línea característica.
Tabla 7.7.1 Clasificación de los retratos orbitales para el sistema plano x' = Ax. Los vectores característicos u, v de A corresponden, respectivamente, a los valores característicos Al' Á.z; el vector w es el conjunto básico porque el nodo deficiente es un vector característico generalizado basado en u; se supone que A = O no es un valor característico de A. Conjunto solución básico
Clasificación
Nodo impropio Al y
~
son reales, distintas y tienen el mismo signo
Nodo deficiente Al =
~;
espacio característico unidimensional
Nodo estrella (o propio) ({u, v} cualquier base de Al =
~;
~2)
espacio característico bidimensional
Pnnto silla Al
Centro (o vórtice) A¡ = if3 = I 2 , f3 real y distinta de cero
{Re[ ueif3t ], Im[ ueif3t ] }
Punto de espiral (o foco) Al = a + if3 = a, f3 reales y distintas de cero
{Re[ue(a+ij3)t], Im[ue(a+ij3)t]}
Iz,
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468
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
y'=y 3
x'=x-2y,
7.7 / Retra
y'=y
T
2.5
1.5
;.,
Línea característica
0.5
;.,
A2 = 3
o r---~------------+---------~~-----
o
+---~--------~~--~=-----~~-----
;., -0.5
-1
-1
-2
-2
-1.5
-2.5
x
x
Figura 7.7.1 Nodo impropio (ejemplo 7,7.1).
Figura 7.7.2 Nodo deficiente (ejemplo 7.7.2).
Figura'
-
Los retratos orbitales de los seis ejemplos siguientes son representativos.
Ejemplo 7.7.1
Nodo impropio La matriz del sistema x' = 3x - y, y' vectores característicos respectivos
= y tiene valores característicos A¡ = 1 Y ~ = [1 2f Y [1 Of. La solución general es
3 con
(2)
Las líneas características y = 2x y y = O son generadas por los vectores característicos [1 2f Y [1 Of, respectivamente. Las curvas solución con cI *- Oemergen del origen (a medida que aumenta t) tangentes a la línea característica y = 2x porque el término entre paréntesis en la fórmula de solución (2) tiende a c¡[1 2f cuando t ~ -00 (figura 7.7.1). Para ver qué sucede cuando t ~ +00 escribamos la fórmula de solución (2) como
En consecuencia, cuando t ~ c2[1 OYe3e, si C2 =F O.
+00,
el vector de estado
[x
yf se parece
más y más a
El término nodo se utiliza en geometría para indicar un punto donde se interseca una colección de curvas con todas las tangentes posibles. En este caso el nodo es impropio porque sólo hay dos tangentes. El nodo del ejemplo siguiente tiene una línea tangente en el origen.
Il@f
Re
las órbi en la di por el. ciones.
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enciales
469
7.7 / Retratos orbitales
x'=x,
y'=y,
Al = A2 = 1
x'=x-y,
y'=-y
2.5
1.5
0.5
""
-u
5
':+--~_-4-,....L
-1.5
-2.5 -3
-2
-2
-1
Figura 7.7.3 Nodo estrella (ejemplo 7.7.3).
Figura 7.7.4 Punto silla (ejemplo 7.7.4).
Nodo deficiente
Ejemplo 7.7.2
La matriz del sistema x' = x - 2y, y' = y tiene el valor característico doble A¡ = 1. El espacio característico es deficiente y el vector característico V = [1 es una base para el espacio característico. Después de encontrar un vector característico generalizado w = [O 1/2]Tal resolver (A -l)w = V para w, se observa que la solución general es
3 con
of
(2)
licos rigen entre .7.1).
o
-1
X
x
y
(3) x
Las órbitas de la figura 7.7.2 salen del origen tangentes a la línea característica y = O a medida que aumenta t desde -00, ya que para valores negativos grandes de t los términos dominantes en la fórmula (3) son c¡[l el (si C2 = O) Y c2t[1 el (si c2;j. O). Al escribir la fórmula de solución (3) como
of
of
a
una ropio leen
~ Recuérdese: las órbitas son descritas en la dirección indicada por el campo de direcciones.
f
of
se nota que el vector de estado [x y se asemeja mucho a c2t[1 el cuando t ~ +00. Así, a medida que las órbitas emergen desde el origen tarde o temprano cambian de dirección y viran en sentido contrario. Sin una computadora, ¿cómo podríamos decir si el vector de estado gira en el sentido de las manecillas del reloj o al contrario? Basta encontrar los vectores del campo de direcciones en el eje de las y.
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470 Ejemplo 7.7.3
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Nodo estrella La matriz A = 1 del sistema x' = x, y' = y tiene el valor característico doble Al = 1, Y todos los vectores distintos de cero son característicos. Las soluciones tienen la forma v er para cualquier vector V (figura 7.7.3). El nombre nodo de estrella es el mejor que podía elegirse: el nodo es propio porque toda dirección es una dirección de tangencia en el origen.
Ejemplo 7.7.4
Punto silla Los valores característicos de la matriz del sistema x' = x - y, y' = -y son Al = 1 Y A2 = -1 con los vectores característicos correspondientes [1 O)T Y [1 2]T. La solución general es
Las líneas características son y = O YY = 2x. Las órbitas de la figura 7.7.4 se asemejan a las ramas de las hipérbolas; cada rama es asintótica a una línea característica cuando t ~ - 00 y a la otra cuando t -¿ + 00. Las curvas de la figura 7.7.4 pueden verse como curvas de nivel en un mapa topográfico con dos picos en extremos opuestos y un paso de montaña entre ellas.
Ejemplo 7.7.5
Centro Los valores característicos de la matriz del sistema x' = 3x - 2y, y' = 5x - 3y son Al = i Y A2 = - i. El espacio característico correspondiente a Al es generado por el vector caract~ rístico v = [2 3 - iF en tanto que el espacio característico correspondiente a ~ = Al es generado por el vector característico Como los vectores caractelísticos son complejos, las líneas características no son visibles en el plano real de la figura 7.7.5. La solución general de valores reales está dada por las combinaciones lineales de
v.
J
2 ir] Re [[3 - i e = Re
[[3cost+sent+i(3sent-cost) 2cos t+2isent J] = [3cost+sent 2cost J
y
Im [[ 2
J ir] = [3 sen2 sent J t + cos t
3- i e
Las órbitas son elipses inclinadas (figura 7.7.5), las cuales son periódicas con periodo 27T y orientadas en el sentido contrario al de las manecillas del reloj a medida que transcurre el tiempo.
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471
7.7 / Retratos orbitales
7.5
5.
x' = 3x - 2y,
y ' = 5x - 3y,
x'=x-4y, y'=5x-3y, Al =-1+4i=X"2
Al = i = A2
o
2 5
0.0
-2 . 5
-5.
o
-7 . 5 -4 ~------+-----------------------~ -2
x
x
Figura 7.7.5 Centro o vértice (no hay líneas características) [(ejemplo 7.7.5)].
Figura 7.7.6 Punto espiral (no hay líneas características) [(ejemplo 7.7.6)].
En el centro, o vórtice, se halla un punto rodeado por masas que giran (p. ej., el ojo de un huracán), de modo que el nombre es adecuado en este contexto. La forma más fácil de determinar la dirección de la rotación es observando el campo de direcciones en el eje x o y. En el ejemplo 7.7.5 el vector del campo en un punto (x, O) es 3xi + 5xj , que apunta hacia el primer cuadrante desde el punto xi para una x positiva y hacia el tercer cuadrante para x negativa, así que el movimiento orbital va en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
Ejempl·o 7.7.6
Punto espiral
La matriz del sistema x' = x - 4y, y' = 5x - 3y tiene valores característicos Al = - 1+ 4i, Y Az = ~. Los espacios característicos correspondientes a Al y Az son generados, respectivamente, por el vector característico v = [2 1- 2if Y v . Estos vectores son complejos t y no pueden observarse en el plano de la figura 7.7.6. La solución general con valores reales está dada por las combinaciones lineales de Re [[ 2 .] e(-1+4ilt J= e-t[ 2cos4t ] 1- 21 cos 4t + 2 sen 4t y
1m
[[1!2i] e(-1+4ilt ]
t
= e- [ sen
¡tS~~ ~~s 4t]
Las órbitas giran en espiral hacia el origen (ya que la parte real de Al es negativa) y en sentido contrario al de las manecillas del reloj (como se observa al inspeccionar la dirección de los vectores de campo xi + 5xj en el eje de las x). En la figura 7.7.6 se muestra este movimiento.
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472
Sistemas linea les de ecuaciones diferencia les
Las órbitas de cualquier sistema lineal plano con valores característicos ít = a ± i{3, a =O, {3 =t- O, se comportan de la misma manera que las órbitas de la figura 7.7.6, pero el movimiento en espiral puede ser en el sentido de las manecillas del reloj o al contrario y hacia dentro o hacia fuera.
Sensibilidad Si se modifican los elementos de la matriz del sistema de un sistema lineal, las órbitas a veces cambian de manera drástica, lo cual se muestra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 7.7.7
Cómo transformar una silla en un nodo impropio El sistema autónomo plano x'=ax+y
(4)
y' =-x - y
tiene un parámetro real ajustable a en la matriz del sistema. El polinomio característico de la matriz del sistema es p(ít) = ít? + (1 - a)ít + 1- a , y los valores característicos son (5)
Al analizar los valores característicos como funciones de a (problema 1) se observa que
ítl , ítz tienen signos positivos si a > 1. Por tanto, se tiene una silla con dos líneas características opuestas (figura 7.7.7).
•
x' = 2x+ y,
y '= - x - y , Al < 0 < 1..2
LInea depu.ntos
d-e-,_
~qUilil)fio ~~ ..... ~~
.....
-2
,- .....
-2
-2
-1
x
x
Figura 7.7.7 Punto silla (dos líneas características): a = 2 (ejemplo 7.7.7).
Figura 7.7.8 La línea característica es una recta de puntos de equilibrio: a = 1 (ejemplo 7.7.7).
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473
7.7 / Retratos orbitales
=0,
~ = ~ = O si a = 1 . La recta x + y = O de los puntos de equilibrio está encerrada por las órbitas en línea recta con direcciones opuestas paralelas a x + y = O (figura 7.7.8). ~, ~ son complejos conjugados con partes reales negativas si -3 < a < 1. Ahora se tienen espirales (figuras 7.7.9 y 7.7.10). Al = ~ = -2 si a = -3. En este caso se tiene un nodo deficiente con la línea característica x - y = O (figura 7.7.11). Al' ~ son distintas y negativas si a < -3. Por último, se ve un nodo impropio con dos línea características (figura 7.7.12).
•
oviacia
• • •
sa
En las figuras 7.7.7 a 7.7.12 se muestra cómo cambia el retrato orbital de silla a líneas paralelas (una de la cuales es la recta de puntos de equilibrio), a espiral, a nodo deficiente y, por último, a nodo impropio a medida que cambia a. Nótese que cuando a pasa por + 1 Y -3 ocurren cambios drásticos en la estructura de las órbitas. Ahora que hemos mostrado los retratos orbitales de dos dimensiones, ¿qué es lo que sigue? Podríamos trazar los retratos orbitales tridimensionales para un sistema de tres EDO lineales autónomas de primer orden, pero lo dejaremos para el problema 10; en vez de eso tomaremos otra dirección.
(4) tico Oil
(5)
Sistemas de segundo orden: resortes acoplados
ue
Hemos utilizado los valores y los vectores característicos de la matriz A para construir las soluciones del sistema lineal de primer orden z' = Az. Utilicemos el método del elemento característico (eigenelemento) para encontrar las soluciones del sistema lineal de segundo orden
eas
z" x'= O.5x + y.
y'=-x-
Al = Y + io = );:2'
= Az + y, y'=-x-y Al = Y + io = );:2' Y < o
x'=-x
Y
Y< o
~
~
-2
(6)
o
-2
-4 -3
-2
-4
-1 X
-3
-2
-1
x
de
Figura 7.7.9 Punto espiral (sin líneas características): a = 0.5 (ejemplo 7.7.7)
Figura 7.7.10 Punto espiral (sin líneas características): a = -1 (ejemplo 7.7.7).
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474
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
x'=-3x + y, y'= -x- y,
tll,
Al = A2=-2
;>...
7.7 / Reu.
x'=-5x+ y, y'=-x-y,
Línea e
;>...
-2
-2
-4
-4
llW -3
-2
-1
-3
-2
o
-1
X
x
Figura 7.7.11 Nodo deficiente (una línea característica): a = -3 (ejemplo 7.7.7).
Re\
plo 5.1.2 modelaci al sistem
Figura 7.7.12 Nodo impropio (dos líneas características): a= -3 (ejemplo 7.7.7).
donde z es una columna de n vectores y A es una matriz de n x n con constantes reales.
Teorema 7.7.1 llW Si cualquier Ak < O, entonces rk Y las e j son todos números complejos.
Solución general de z" = Az. Supóngase que la matriz constante A de n x n con elementos reales tiene n valores característicos distintos no nulos Al"'" An Y los vectores característicos correspondientes Vi, ..., vn• Entonces la solución general de z" = Az.
IlWLa
trar este
(7)
don de el' e ,· 2
.. ,
,1/2 , ••• e2n son constantes ar bitrari itranas y 'i = /[,1
que (a toda
,
rn
a)
,1/2 . = /[,n
La razón por la que se esperara que se cumpla el teorema 7.7.1 es que el vector de funciones z = vet es una solución de z" = Az si r2 = A es un valor característico de A distinto de cero y v es un vector característico correspondiente porque Se trata directamente con z" = Az y no con el sistema de primer orden equivalente z' = y, y' = Az, llW
Con el mismo argumento se muestra que Z = ve-rttambién es una solución, así que se tiene un par de soluciones independientes {vert, ve-rt}para cada valor característico A y el vector característico correspondiente v. No debe sorprender que el conjunto solucion bá. {Ive, rl/ ve, 1 -rll ... , ven n -r I} SlCO tenga 2n e 1ementos, ya que z " = A'z nene 2n vana. bl es d e estado z¡, z;, ... .z., z~.
I se mu esto.
llW
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475
7.7 / Retratos orbitales
Apliquemos ahora todo lo anterior al sistema de segundo orden presentado en la sección 5.1 para modelar el movimiento de un sistema de resorte y masa acoplados. El proceso nos lleva a algunos retratos orbitales bidimensionales interesantes.
Ejemplo 7.7.8
Resortes acoplados y modos normales
Las vibraciones del sistema acoplado resorte-masa cuyo diagrama aparece al margen se modelan con el sistema de segundo orden x" = -(a+b)x+by
(8)
y" = cx-cy Il:
donde las constantes positivas a, b y c están dadas por a = k l / mi'
b = k2 / mi'
c = k 2 / m2
El sistema (8) puede escribirse como ir = Az, donde z = [x y]T, y la matriz A es Sus valores característicos son las raíces A¡,
~
(9)
[-ac-b -cb].
del polinomio característico
peA) = A2 + (a+ b +C)A+ ac
1 1 ((a+b+c)2 - 4ac )112 A.¡, ~ =-2(a+b+ c) ±2
Il:
La clave para demos-
trar esta desigualdad es que (a - c)' ~ O para toda a y c.
En virtud de que a, by c son constantes positivas (a + b + c)2 > 4ac, ambos valores característicos A¡ y ~ son negativos, sus raíces cuadradas son los números imaginarios puros ±ico¡, ± ico 2 donde co¡ = ~-A¡ Y co 2 = ~-A2. En la notación del teorema 7.7.1, donde Vi y v 2 son los vectores característicos de A correspondientes a A¡ y ~, la solución general con valores complejos del sistema de segundo orden (8) es (10)
donde c¡, C2, c3 Y C4 son constantes complejas arbitrarias. Como en el ejemplo 7.6.2 puede extraerse de (lO) la solución general con valores reales:
donde C¡, Cz, C3 , C4 son constantes reales arbitrarias. Además, la solución general (11) puede escribirse en la forma amplitud con corrimiento de fase Il:
(12)
donde K¡, Kz, el'
e2 son constantes reales arbitrarias.
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Los vectores v¡ y v 2 en el plano xy son los vectores de modo normal y mI y m 2 son las frecuencias circulares de modo normal respectivas. Por la fórmula (12), la solución general es una combinación lineal arbitraria de las oscilaciones de modo normal, Vi cos(m¡t + 8¡) Y v 2 cos(m2t+82 )· Incluyamos ahora los números en el esquema y tracemos (en el plano xy) las oscilaciones específicas del modo normal y algunas de sus combinaciones lineales.
Ejemplo 7.7.9
Retratos orbitales de movimientos de resortes acoplados
En el sistema (8) tomemos estos valores para las constantes de masas y resortes: mI
= 4 slugs,
m2 = 1 slug,
k¡ = 40 slugs/s2 ,
~
= (40/3) slugs/s2
Entonces las relaciones de (9) se convierten en a = k¡fm¡
= 10,
La matriz de coeficientes de (8) y su polinomio característico son -40 / 3 10 / 3J A= [ 40/3 -40 / 3 '
b(íl) = íl2 + 80íl/3 + 400/3
Los valores característicos y las frecuencias circulares de modo normal son
íl¡ = -20 / 3,
~ =-20,
mI = ..J20 / 3,
m 2 = ..fiO
Los modos normales, dos oscilaciones de modo normal y la solución general z son v¡ =[i J, z I@' En la sección 5.1 puede repasar una explicaci6n de las gráficas detxyty.
2 v = [_i l
[i]c°s(..J 20 / 3t ),
[_i Jcos(..fiOt )
= [~J = K¡[i ]c0S(..J 20 / 3t+ 8¡) + K2[ _i]cos(..fiOt + ( 2)
En la figura 7.7.13 se muestran dos oscilaciones de modo normal: (1) KI = 1, 8 1 = O, K 2 = O, Y (2) K¡ = O, K 2 = 1, 82 = O. En la figura también se muestra una combinación lineal de oscilaciones de modo normal: (3) K¡ = K 2 = 1/2, 8¡ = 82 = O. Esta última se denomina curva de Lissajous; no es periódica porque la relación de dos frecuencias de modo normal es mI / m2 = 1/ .[3, la cual es irracional. La curva de Lissajous nunca vuelve a su punto de partida, ya que se mueve por el rectángulo cuyos lados son paralelos a los modos normales. La interpretación que puede darse a las curvas y rectas de la figura 7.7.13 es que muestran cómo se contraponen las posiciones x y y de las dos pesas sobre los resortes, dados distintos conjuntos de datos iniciales. Las oscilaciones a lo largo de los modos normales reflejan el hecho de que si las posiciones iniciales de las pesas tienen una relación 1 : 2 o
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encía/es
477
7.7 / Retratos orbita/es
son las gene(úJ¡t+
x"= - 40x /3 + lOy/3, y" = 40x /3 - 40y/3, Datos iniciales: (1) Xo = 1, xó= O, Yo = 2, Yó
2.5
(2)xo=
l,xó=O,
(3)xo=
l,xó=O,
=O
Yo= -2,y'o=0 Yo=O,Yó=O
(1)
ilacio-
1.5
0.5 ;>..
(3) -0.5
.\ ~
¡I~~
-1.5
~(~Ir
(2)
1
;1 i 1
,:1
1
-2.5 -1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
' 1
1. O
1.5
x
Figura 7.7.13 Oscilaciones de modo normal y una curva de Lissajous (ejemplo 7.7.9).
== O,
ma-
-1 : 2 y las velocidades iniciales son cero, entonces las pesas oscilan de forma periódica y siempre mantienen la relación inicial. Sin embargo, si la relación inicial de las posiciones es otra distinta de 1 : 2 o -1 : 2, se obtiene una curva de Lissajous errante. Las curvas de la figura 7.7.13 se cortan una con otra, pero esto no viola la propiedad de que no pueden intersecarse las distintas órbitas de un sistema autónomo. La razón es que el espacio de estados del sistema de segundo orden (8) es tetradimensional porque hay cuatro variables llE En el ejemplo 5.1.4 de estado (x, x~ y, y'). Lo que se observa en la figura 7.7.13 es la proyección de las tres órse trata el sistema equivabitas a partir de este espacio de estado tetradimensional en el espacio bidimensional del lente de cuatro EDO de plano xy. primer orden.
Problemas esdos ales
20
www 1.
_
El sistema para los problemas siguientes es x' = ax + y, y' = -x - y (véase el ejemplo 7.7.7). (a) Explique por qué el punto de equilibrio en el origen es una silla si a > 1. (b) Explique por qué el origen es un punto espiral si -3 < a < 1.
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478
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
¿Por qué el origen es un nodo impropio si a < - 3? Explique por qué en este caso la matriz del sistema tiene un par de vectores característicos reales independientes. (d) Trace los retratos orbitales en el marco Ixl ~ 3, Iyl ~ 4 para los tres casos a =
(e)
(1
-4,0,4.
2.
Encuentre el polinomio característico de la matriz del sistema, los valores característicos, un conjunto de dos vectores característicos independientes (o vectores característicos generalizados, si es necesario) y la solución general con valores reales de cada sistema. Luego clasifique cada uno como silla, centro, espiral o uno de los tipos de nodo. (a) x'=x + Y, y'=4x - 2y (b) x'=6x-8y, y'=2x - 2y (e) x' =7x+6y,
5.
(1
6.
y'=2x+6y
(d)
x'=4y,
y' =-x
(e) x' =-x-4y, y'=x-y (f) x' = -2x, y' = -2y (a) a (1) Trace los retratos orbitales en el marco Ixl::; 3, Iyl ~ 4 para cada sistema del problema 2. (Sensibilidad a los cambios en los parámetros del sistema.) Describa cómo cambia el retrato orbital del sistema x' = - x + ay, y' = -x - y cuando el parámetro a del sistema varía de - 00 a oo. Encuentre los "valores de bifurcación" de a donde el retrato cambia su naturaleza en forma súbita. Trace los retratos orbitales en el marco Ix l ~ 3, Iy l ::; 4 para a = -2, -1,0, 1 e identifique el tipo de cada retrato (p. ej., un punto espiral si a = 1). [Suge~encia: lea en el ejemplo 7.7.7 un método general.] (Sistemas planos afines.) El sistema x' = ax + by + r, y' = ex + dy + s, donde a, b, r, e, d, s son constantes reales se conoce como sistema afín. Supóngase que ad - bc"* o. (a) Demuestre que el sistema afín tiene un solo punto de equilibrio. (b) Para un punto de equilibrio (xo, Yo), demuestre que el cambio de variables de x y y a u y v expresado por x = u + Xo, y = v + Yo produce el sistema homogéneo u' = au + bv, v' = cu + dv. (e) Demuestre que si u = u(t), v = v (t) es la solución general del sistema u', v' del inciso (b), entonces la solución general del sistema afín es x(t) = u(t) + xo, y(t) = v(t) + Yo. (d) Encuentre la solución general del sistema x' = x + y + 1, y' = 4x - 2y - 1. Clasifique el sistema (es decir, ¿es un nodo, espiral, ... ?). Trace un retrato orbital en Ix - xol ~ 3, Iy - yo l ::; 4, donde (xo, Yo) es el punto de equilibrio; asegúrese de graficar cualquier línea característica que pase por el punto de equilibrio. (EDO de segundo orden.) La EDO escalar y" + 2ay' + by = 0, donde a y b son constantes reales, es equivalente al sistema x'¡ = x2> x; = - bx¡ - 2ax2. (a) Explique por qué el sistema tiene un punto silla si a = 1, b < 0, en tanto que si a = 1, < b < 1, el sistema tiene un nodo impropio. (b) Explique por qué si a = 1, b = 1, el sistema tiene un nodo deficiente, en tanto que si a = 1, b > 1, el sistema tiene un punto espiral. (e) Encuentre todos los valores para a y b para los que el sistema tiene un centro. (d) Demuestre que ningún par de valores a y b da lugar a un sistema que tenga un nodo estrella.
°
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enciales
479
7.7 / Retratos orbitales
7. (Un problema inverso.) Un sistema lineal homogéneo de 2
te caso dientes. os o; = aracteres eareales de los 2y
~ .9.
a del ambia o; del el remarco ej.,un al.]
.r, C, t O. sdex
géneo v' del y(t) = . Clarbital egúibrio, cons-
~
•
10.
x 2 con coeficientes constantes tiene la forma x' = Ax para una matriz constante A, donde x(t) es un vector columna con dos componentes xI(t) Y X2(t). Se sabe que XI = 2sen(2t - n), X2 = cos(2t - n) es una solución del sistema. (a) Encuentre los valores de a y b para los que el sistema tiene un centro. (b) Trace las órbitas representativas del sistema cerca del origen. (Resortes acoplados.) Supóngase que mi = 1, kl = ~ = 1 en el ejemplo 7.7.8, pero la segunda masa ~ podría tomar varios valores. Calcule los modos normales y las frecuencias para m2 = 1/2, 1, 3/2. En cada caso trace un par de oscilaciones de modo normal y una curva de Lissajous para obtener una figura semejante a la 7.7.13. (Valores característicos cero.) Excepto para el sistema (4) con a = 1, se ha evitado considerar el caso del sistema autónomo plano donde la matriz A del sistema real tiene por lo menos un valor característico cero. ¿Qué sucede si A tiene un valor característico cero? Explique por qué hay una recta que sólo consta de puntos de equilibrio o todos los puntos son puntos de equilibrio si por lo menos un valor característico es cero. Grafique los retratos orbitales de los distintos casos donde por lo menos uno de los valores característicos es cero y explique por qué la galería de retratos representa todos los casos posibles. (Esquemas de orbitales en tres dimensiones.) Considere el sistema x' = Ax, donde x = [ X I x2 x3 y A es una matriz de 3 x 3 de constantes reales con valores característicos distintos de cero. Construya una galería de retratos orbitales representativos en el espacio de estados xlx2x3 que abarque todos los casos. Por ejemplo, si Al' ~ y As denotan los valores característicos de A, debe considerar el caso donde los tres valores característicos son reales, distintos y tienen signo común, y trazar las órbitas en tres dimensiones de un sistema; por ejemplo, x~ = - X l' x; = - 2X2' x; = - 3x3. Otro de los distintos casos que debe considerar es Al = a + if3, ~ = a - if3, a, f3, y A3 son reales y distintas de cero; en este caso el sistema representativo podría ser x{ = -XI + 5x2' x~ = -5xI - x2, x3 = - x3. Debido a que cuando t ~ cualquier sistema con valores característicos Al' ~ Y As se comporta del mismo modo que el sistema con valores característicos -Al' -~ Y -As cuando t ~ -=, sus retratos orbitales son idénticos, de modo que no deben ser tratados como casos distintos. Por ejemplo, considere el caso con tres valores característicos reales positivos y distintos y el caso con tres valores característicos reales negativos y distintos como el mismo. En la galería debe haber más de 10 retratos orbitales distintos. [Sugerencia: para construir el sistema, empiece con los seis casos planos de los ejemplos 7.7.1 a 7.7.6 y agregue una tercera EDO, como x; = aX3.]
r
00
ue si
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tanto ntro. a un
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480
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
7.8
Sistemas no homogéneos y la matriz exponencial En esta sección construiremos una estrategia para hallar la fórmula para las soluciones del sistema homogéneo X' =
Ax+F(t)
(1)
donde A es una matriz constante de n x n con elementos reales y la función vectorial F(t) es continua en un intervalo de t que contiene al origen. En la sección 7.5 vimos que todas las soluciones del sistema no homogéneo (1) están dadas por xd(t) + w(t), donde xd(t) es una solución particular del sistema no homogéneo (cualquiera servirá) y w(t) es cualquier solución del sistema homogéneo x' = Ax. En las secciones 7.5 y 7.6 explicamos cómo obtener una fórmula para todas las soluciones de x' = Ax; entonces, lo que resta es encontrar una fórmula para :xd(t).
Ejemplo 7.8.1
Solución general para un sistema no homogéneo Considere el sistema no homogéneo
x'=Ax+b
(2)
donde A es una matriz constante no singular de n x n con elementos reales y b es un vector constante. Por ejemplo, el sistema del plomo (4) de la sección 7.1 tiene esta forma. Puede conjeturarse una solución particular :xd(t) para el sistema (2). La función constante :xd(t) = - A-lb puede ser útil ; utilícela y vea qué sucede; así
x gen = -A-lb + w,
w es cualquier solución de x' = Ax
es la solución general del sistema (2). Retrocedamos para considerar de nuevo el sistema homogéneo x' = Ax; definamos también algunos términos que serán útiles para resolver el sistema no homogéneo x' =Ax + F.
Matrices de solución para
X'
= Ax
Las soluciones del sistema homogéneo
X'= Ax
(3)
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1.8/ Sistemas no homogéneos y la matriz exponencial
son funciones de vectores columna. Si A es una matriz constante de n x n, una matriz de soluciones es una matriz X(t) de n x n cuyas columnas xi(t),j = 1, .. ., n son soluciones del sistema (3). Una matriz de soluciones X(t) satisface la ecuación dife rencial matricial
(4)
X' = AX
ya que (xi)' =.Axi para cada columna xi de X. Existe un PVI de matrices correspondiente X' = AX,
X(O) = B
(5)
donde B es una matriz de constantes de n x n. Por el teorema 7.6.1 se deduce que el PVI (5) tiene una sola matriz de soluciones X = X(t).
Ejemplo 7.8.2
Construcción de una matriz de soluciones
La matriz constante para el sistema x' = 5x +3'y,
(6)
y' = - 6x - 4y
tiene los valores característicos -1 y 2 y los vectores característicos respectivos [1 -2]T Y [1 -1]Y. El par de soluciones [1 -2]Te-t y [1 -1]Te 2t forman un conjunto solución básico para el sistema. Las siguientes son matrices de solución: -t
[
Puesto que las columnas de X(t) son un conjunto solución básico de x' = Ax, forman un conjunto independiente, de modo que det X(t).,t O.
lI@f"
_2:1
21
e 21 ]
-e
,
2 -1 ] _4:1
,
e -1 +e 2t] -2e- t _ e 2t
(7)
El teorema 7.6.3 establece que hay u~ conjunto solución básico de n soluciones {xl, x2, ... , x n } del sistema (3) tal que toda solución del sistema es una combinación lineal de las n soluciones. El sistema (3) no tiene un único conjunto solución básico, pero en las secciones 7.5 y 7.6 vimos que el método de los valores característicos produce un conjunto solución básico. Si las columnas de una matriz de soluciones X(t) forman un conjunto solución básico para x' = Ax, entonces X(t) es una matriz básica d e soluc iones , conocida también como matriz fundamenta l. Si det B:#= O, entonces la matriz de soluciones para el PVI (5) es una matriz básica de soluciones para el sistema (3). Cada matriz básica de soluciones X(t) es una matriz no singular para toda t en el intervalo 1, ya que det X(t) :#= O; las columnas de X(t) constituyen un conjunto solución básico para x' = Ax. Obsérvese que las matrices primera y tercera de (7) son las matrices básicas de soluciones para el sistema (6) porque sus determinantes son distintos de cero en t = O. Si C es cualquier matriz de constantes no singular de n x n y X(t) es igualmente una matriz básica de soluciones, entonces X(t)C es asimismo una matriz básica de soluciones. La razón es que las columnas de X(t)C son combinaciones lineales de las columnas de X(t), y X(t)C es no singular porque det (X(t)C) = (det X(t))(det C) :#= O. Es de importancia central un tipo de matriz básica de soluciones.
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482 Si la notación de soluciones le parece rara, utilice exp(tA). Cualquiera que sea la notación, erA es sólo otra matriz. I@'
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
.:. Matriz exponencial e'A . La matriz exponencial para el sistema x' = Ax es la única matriz básica de soluciones XCt) para la que X' = AX Y X(O) = In' la matriz identidad de n x n. Esta matriz de soluciones se denota con elA y recibe el nombre de matriz exponencial para A.
Supóngase que uj es el vector columna con 1 en elj-ésimo renglón y O en los demás renglones. Las columnas ~ de elA son las únicas soluciones de los n distintos PVI x' = Ax, x(O) = u j , j = 1, 2, ... , n. Es posible obtener elA a partir de cualquier matriz básica de soluciones XCt) como sigue: defina la matriz Y(t) por
(8) Como las columnas de Y(t) son solución del sistema x' = Ax, se trata de una matriz de soluciones. De hecho, debe ser elA porque Y(O) = X(O)X- I(O) = In-
Ejemplo 7.8.3
Una matriz exponencial La matriz exponencial para el sistema (6) del ejemplo 7.8.2 puede construirse mediante la fórmula (8) porque la primera matriz de (7) es una matriz básica de soluciones. Se tiene 2
1J-I
e /] [ 1 _ e2 / - 2 - 1
[_2:-
(9)
- /
=
Si eleva a una potencia cada elemento de tA no obtiene erA
I@'
t
- e- / + 2e2/ = [ 2e- t - 2e 2/
- e-/ + e 2/ ]
2 e -/ - e 2/
Nótese que e OA = 12 , Como resultado de cómo se definió elA se ve que x(t) = /A C es una solución del sistema x' = Ax para cualquier valor del vector constante c. Obsérvese que x(O) = c, por lo que se tiene el siguiente resultado.
Teorema 7.8.1
Solución del PVI x' = Ax, X(O) = xO. La solución del PVI x' quier vector constante xO está dada por
= Ax, x( O) = xO, para cual(10)
En el teorema 7.8.1 se indica cómo evoluciona el vector de estado x(t) del sistema dinámico modelado por el sistema diferencial x' = Ax. Para encontrar el vector de estado en el instante t, se multiplica el vector de estado inicial por la matriz exponencial e'A.
Ejemplo 7.8.4
Resolución de x' = Ax
En el ejemplo 7.8.3 vimos que con la fórmula (9) se obtiene la matriz exponencial e'A del sistema plano x ' = 5x + 3y,
y' =-6x - 4y
(11)
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483
7.8/ Sistemas no homogéneos y la matriz exponencial
Por la fórmula (10) se nota que "la solución para la que x(O) = a, y(O) = b, es
[a]_
2t [-e -t + 2e X(t) ] _ tA [ yet) - e b - 2e- t _2e 2t
[a]
t 2t _e- +e ] t 2t 2e- _e b
(12)
Con esta fórmula a la mano puede resolverse cualquier PVI del sistema (11). La matriz exponencial tiene varias propiedades importantes.
Teorema 7.8.2
Propiedades de e/A . Supóngase que A es una matriz de constantes reales. Entonces Derivada: (e tA )' = AetA = etA A, para toda t. Transición: e(t-to)A es solución del PVI de matrices X' = AX, x(to ) = l. Producto: /Ae sA = e(t+s)A, para toda t y s. l Inverso: 'etAe- tA = 1; por tanto, (e tA = e-tA para toda t. 2 k k Serie: etA = 1 +tA+t2 A /2l +· ·· + t A /kl+··· , para toda t.
r
Estas propiedades se clasifican como sigue: Derivada: la primera igualdad es inmediata, ya que etA es una solución del sistema de matrices X' =AX. Para demostrar la segunda igualdad, obsérvese que Y = etAA YZ =AetA son soluciones del PVI de matrices X' = AX, X(O) = l. Por tanto, se tiene Y' = (AetA)A = A(etA) = AY, Z' = A(AetA) = AZ y Y(O) = Z(O) = l. Por la unicidad de la solución de un PVI, Y= Z. Transición: puesto que el sistema x' = Ax es autónomo, si x(t) es una solución, entonces también lo es x(t - to)' Por consiguiente, e(t- to)A es solución del sistema de matrices X' = AX; con e(f-toJA se evalúa 1 en t = to . Producto: puesto que el sistema x' = Ax es autónomo, se ve que para cualquier coristante s, XI = e(t+s)ij es una matriz de solución del sistema X' = AX. A continuación, obsérvese que para cualquier constante s, la matriz esA es no singular; así que X2 = etAe sA también es una matriz de soluciones para X' = AX. Ahora, Xl (O) = esA = X 2(0); entonces, por el teorema 7.6.1 , Xl = X2 para toda t y S. Inverso: por medio de la fórmula del producto se observa que etAe- tA = eOA = l . Serie: la serie de potencias S(t) de matrices en el miembro derecho de la igualdad converge absolutamente para toda t y todas las matrices A (es decir, cada elemento de la suma de matrices converge absolutamente). En estas circunstancias, se nota que SeO) = 1 Y que S'(t) podría obtenerse por derivación de la serie de potencias término por término: S'(t) = A + tA 2 + .. . +
t(k - I)
(k-1) l k-I
A k + ... ]
= A l + tA+ ... + t A k - I + . .. [ (k - 1) l =
AS(t)
(13)
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484
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Así, las matrices de soluciones etA y S(t) son soluciones del PVI de matrices X' = AX, X(O) = I. Por el teorema 7.6.1, etA = S(t). En seguida se dan algunos ejemplos acerca de cómo hallar etA.
Ejemplo 7.8.5
Matrices diagonales
Encontremos etD SI' D -- [Aol solución del PVI
O]. Por defilll1ClOn, . ., l ' a pnmera co1umna de etD es 1" a umca
~
x' = A1X, y'=~y,
x(O) = 1 y(O) = O
Las EDO de este sistema se desacoplan y pueden resolverse por separado para encontrar x = e AI1 y = O. La segunda columna de etD es la única solución del PVI x' = A¡X, y' = ~y,
x(O) = O y(O) = 1
De nuevo se desacoplan las EDO y se resuelven por separado para encontrar x = O, Y = Así,
e Alt .
de modo que en este caso es fácil encontrar etD . En general, si D es una matriz diagonal de n x n con djj = Aj , j = 1, .. ., n y djj = O, i -:f- j, entonces etD es la matriz diagonal con elementos diagonales e/Al, ... , eT An y cero para los elementos fuera de la diagonal. Por lo general, no es tan fácil calcular una matriz exponencial.
Ejemplo 7.8.6
Matriz triangular
Encontremos etA si A = [ lución del PVI
g ~] .Por definición, la primera columna de x' = ax + by, y' = ay,
etA
es la única so-
x(O) = 1 y(O) = O
Se resuelve primero la segunda EDO para determinar que y = O, resultado que se sustituye en la primera EDO, la cual se resuelve para obtener x = e at . La segunda columna de etA es la única solución del PVI x' = ax + by, y' = ay,
x(O) = O y(O) = 1
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485
1.8/ Sistemas no homogéneos y la matriz exponencial
De nuevo se resuelve primero la segunda EDO para encontrar que y = eat . Luego se sustituye en la primera EDO y se obtiene x = bteat. Por tanto,
El elemento superior derecho refleja que a es un valor característico con espacio característico deficiente. Nótese que é A es triangular porque A es triangular.
Ejemplo 7.8.7
Matrices nilpotentes Una matriz A es nilpotente si alguna potencia Ak es la matriz cero. Entonces es fácil calcular etA a partir de la expresión de la propiedad de serie del teorema 7.8.2 porque la serie se detiene con la potencia A k - l. Esto es, se tiene A k = A k + 1 = ... = O; por tanto, 2
k- l
t 2 t k-1 e lA =/+tA+-A +···+-A 2! k!
Por ejemplo, con la matriz A siguiente se tiene
O1 O] [O O O
A= O O 1 ,
A'
=[8 8
sl
A'
=[8 8 8]
Así que no es difícil encontrar éA: 2
e lA
= / + tA + -t
2!
A2
=
[1
O O
Ya que A es triangular, podría haberse encontrado é A como en el ejemplo 7.8.6.
Variación de parámetros De acuerdo con el plan para resolver el PVI no homogéneo x' = Ax + F, x(O) = xO, el siguiente paso es hallar una solución particular :xd(t) del sistema no homogéneo x' = Ax + F(t). Para llevar a cabo la construcción puede usarse la matriz exponencial anterior.
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Teorema 7.8.3
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
7.8./ SistE
1.'
Variación de parámetros para sistemas no homogéneos. Supóngase que efA es la matriz exponencial para x' = Ax, donde A es una matriz constante de n x n. Entonces, para cualquier función vectorial F(t) cuyas componentes son continuas en algún intervalo 1 de t que contiene al origen, la función vectorial xd (t)
= erA
f~
e-sA F(s) ds
=
f~
o.
e(r-s)A F(s) ds
(14)
es válida en el intervalo 1y es la única solución del PVI x'
= Ax + F(t),
x(O)
1.1
><
=O
(15)
o. -o.
La integral en (14) actúa sobre las funciones vectoriales componente por componente. -1
Obsérvese que la segunda igualdad de la fórmula (14) es una consecuencia de la propiedad del producto de matrices exponenciales: erAe-sA = e(t-s)A. Para comprobar que la fórmula (14) define una solución, se procede como sigue:
f; ~{(,M J' f;
vJ' ~;,{,,,
,->A
Figur: contin inicial (guión
F(,)d>}
,-m F(,)d>}
+,'A,-" F(,)
(por la regla del producto y el teorema fundamental del cálculo). En consecuencia, (xd)'
= {AetA
f:
esA F(S)dS} + F(:)
= Axd
(t)+ F(t)
donde se utilizaron varias propiedades de la matriz exponencial del teorema 7.8.2. En el problema 9 de la sección 7.11 se describe el origen del título "variación de parámetros". Es posible aplicar ahora los teoremas 7.8.1 y 7.8.3 para resolver el problema central para sistemas de EDO lineales.
Teorema 7.8.4
Solución de sistemas lineales. Supóngase que efA es la matriz exponencial para x' = Ax, donde A es una matriz constante de n x n, y que F(t) es una función vectorial continua en un intervalo 1de t que contiene al origen. Entonces la solución general de x' = Ax + F(t) es ten 1
(16)
donde e es cualquier vector constante. La solución del problema de valor inicial x' Ax + F(t), x(O) = xO, ten 1, es
1& Si esto le parece conocido, vuelva al teorema 1.4.1.
x(t)
etAxO
Respuesta total
Respuesta a los datos iniciales
+
erA
f~
=
e-sA F(s) ds (17)
+
Repuesta a la entrada F
-1
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487
7.8/ Sistemas no homogéneos y la matriz exponencial
matriz , para rvalo 1
1.5
(14) ><
x' = - x + lOy +5 cos 1, y' = - 10x - y + 5 cos m,
x(O) =0 y(O) = 0.5
1.5
x' = - x + 10y +5 cos 1, = - 10x - Y + 5 cos m,
y'
] .o
1.0
0.5
0.5
~
0.0
x(O) = O y(O) = 0.5
o. o
(15) -0.5
-0.5
nente.
-1.0
-r . o
e la probar que
-1.5 -1.5
Figura 7.8.1 La respuesta total en x (curva de línea continua) es la suma de las respuestas en x a los datos iniciales (línea de guiones cortos) y a la fuerza motriz (guiones largos) [(ejemplo 7.8.8).]
ncia,
En las fórmulas (16) y (17) el factor matricial efA puede ponerse dentro de la integral y combinarse con e-sA para obtener e(t-s)A. Las fórmulas (16) y (17) requieren la construcción previa de la matriz exponencial (no siempre una tarea fácil) y luego la integración de los componentes del vector e-SAF(s) (que tampoco es sencilla). No obstante, son raras las fórmulas de solución como (16) y (17) para familias completas de sistemas de EDO, y siempre que existen aportan el.fundamento para gran parte del trabajo teórico y práctico. Obsérvese que el término efAc en la fórmula (16) puede sustituirse por X(t)c, donde X(t) es cualquier matriz básica de soluciones para x' = Ax.
.8.2. arámea cen-
=Ax, tinua Ax+ (16)
Figura 7.8.2 La respuesta total en y es la suma de las respuestas en y a los datos iniciales (línea de guiones cortos) y a la fuerza motriz (guiones largos) [(ejemplo 7.8.8).]
Ejemplo 7.8.8
Respuesta total La fórmula (17) representa la respuesta total de un sistema lineal no homogéneo con los datos iniciales como la suma de las respuestas a los datos iniciales y la fuerza motriz. En las figuras 7.8.1 y 7.8.2 se ilustra este principio para el PVI
I
X =
(17)
x'=-x+lOy+5cost,
x(O)=O
y' = -lOx-
y(O)= 0.5
y+5cosnt,
Las curvas trazadas con guiones cortos en las figuras son los componentes de la respuesta de un sistema forzado a los datos iniciales; las curvas de guiones largos son los componentes de la respuesta a los términos que representan la fuerza externa expresados como cosenos [los datos iniciales son x(O) = y(O) = O], Y las curvas continuas son los componentes de la suma de las dos respuestas.
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488
Sistemas lineales de ecuaciones d iferencia les
Ejemplo 7.8.9
Resolución de x' = Ax + F (t) Si se utiliza la fórmula (17) para el PVI x' = 5x + 3y + Fl (t), y' = -6x - 4y + F 2(t), x(O) = a, y(O) = b, donde la matriz exponencial é A para este sistema está dada por (9) en el ejemplo 7.8.3, se tiene xCt)J= e/A [ a J+ JI eÜ-slA [ F¡(S) ] dS [ y(t) b o F2 Cs )
(19)
Esta fórmula puede aplicarse sin importar cuáles sean los datos iniciales y la fuerza motriz.
Comentarios Si A es una matriz constante, entonces la matriz exponencial é A puede calcularse siempre a partir de cualquier matriz básica X(t) para x' = Ax por medio de la fórmula (8): e/A = X(t)X-l(O). Los resultados de esta sección se aplican aun cuando algunos de los componentes del vector de entrada F(t) sean sólo continuos por partes, aunque las curvas solución, curvas componentes y órbitas podrían tener "esquinas" donde F(t) no sea continua. Los resultados de esta sección pueden generalizarse al sistema x' = A(t)x, donde la matriz del sistema A(t) no es constante. Sin embargo, pospondremos la explicación para el final del capítulo.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ www 1.
Encuentre é A , donde A se da a continuación. Luego resuelva el PVI x' = Ax, x(O) = [1 2)T. [Sugerencia: obtenga los valores característicos de A y una base para cada espacio característico. Utilícelos para construir una matriz básica X(t) como en el ejemplo 7.8.3. Entonces erA = X(t)X-l(O). En el inciso (e) resuelva el sistema en forma directa.] (a)
-
2.
1J
(b) [ O -9 O
(e)
-
[-1 1J O -1
(d) [- 11 11J
Determine éA. Luego resuelva el PVI x' = Ax, x(O) = [1 23)T. [Sugerencia: véanse los ejemplos 7.8.5 y 7.8.7.] (a)
3.
[11 - 31J O 1 1] [OO OO O1
(b)
(Matrices de bloques.)
(a) Demuestre
q~: si A es la matriz de bloques
d~ bloques [eO SIstemas.]
2 OO ] [OO - O3 O7
(e)
O O O O] 2 O [340
[g gJ'entonces é
e?C ] ' [Sugerencia: el sistema x'
A
es la matriz
= Ax se "desacopla" en dos sub-
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489
7.8/ Sistemas no homogéneos y la matriz exponencial
(b) Utilice el inciso (a) para encontrar etA si
[1b 3 O°0]1
[1 3 0]
-1 O A = 1 -1 O Y A = O O O O 2 O 4.
O
°O
Resuelva los siguientes sistemas no homogéneos. Deje sus respuestas en la forma de la fórmula (17); calcule erA, etAxO, e-sAF(s), pero no evalúe las integrales.
Xl = [_~ •
(b) x
I
6Jx+[b], x(O) = [%J iJ x + [ 3~r], x(O) = [i J . Trace las curvas componentes = [23 =
-5J
[2
x I = 1 -2 x + [cost] O ' x(O) = [aJ b •
(d) x' = [ -
(e)
i
=-i J x + [ e ~3r ] ,
x( O) = [~J . Trace las curvas componentes
XI = [~1 -6- 1 2i] x +[í~~~l , f Ct)
X(O)= [%] c
3
5.
(Coeficientes indeterminados.) A veces es posible encontrar una solución particular rt(t) de x' = Ax + F por un método de coeficientes indeterminados. Encuentre las so-
luciones para cada uno de los sistemas siguientes.
úU x' = [~
=iJ x + [e; ] . [Sugerencia: supóngase que rt tiene la formax¡ = ae + b, t
x2 = ce t + d. Luego determine los coeficientes mediante la inserción de x¡ y Xi en las EDO e igualación de los coeficientes de los términos correspondientes. A continuación agregue rt a la solución general del sistema homogéneo.]
(b) x' =
6.
[i
!1J x +
[c~~ t ].[SUgerencia : supóngase quert tiene la formax¡ = a¡cost
+ b¡sent + c¡ + d¡t, x2 = a2cost + b2sent + C2 + d2t]. (Es posible que no se conmuten las matrices exponenciales.) Las siguientes son algunas propiedades inesperadas de etA . (a) Demuestre que etAetB no tiene que ser et(A+B) o etBetA. Para tal fin calcule las tres expresiones, donde
A =[~
bJ y
B =[b
~J
(b) Supóngase que AB = BA. Demuestre que et(A+B) = etAetB = etBetA para toda t. [Sugerencia: demuestre que si PCt)= et(A+B)e- tAe- tB, entonces P'(t) = para toda t. Puesto que P(O) = 1, se debe tener P(t) = l.]
°
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490
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
7.
(Transformadas de Laplace para sistemas.) Con los siguientes pasos se describe el método de las transformadas de Laplace para resolver el PVI x' = Ax+F,
x(O)=xo
donde A es una matriz de constantes de n x n. La transformada de Laplace L [xCt)] de una función vectorial es el vector de la transformada de Laplace de los componentes individuales. (a) Aplique el operador L al sistema anterior y obtenga (sI -A)L[x] = xo +L[F]. (b) Demuestre que la matriz sI - A es invertible para todo real s que sea suficientemente grande. [Sugerencia: sI - A es singular sólo cuando s es un valor característico de A, y A tiene un número finito de valores característicos.] (e) Demuestre que la solución del PVI anterior es x =r1[CsI
-Ar 1 xO]+L-1[CsI -
A)-lL[F]]
Compare con (17) y demuestre que
~ 8.
7.9
que es la convolución de etA y F(t). (d) Utilice la transformada de Laplace para resolver el PVI del problema l(b). (Transformación de Laplace para el PVI de los resortes acoplados.) Utilice la transformada de Laplace para resolver el sistema de EDO lineales de segundo orden x" = -40x/3 + lOy/3, y" = 40x/3 + 40y/3, donde x(O) = 1, x'(O) = O, y(O) = 2, y'(O) = O. Repita con x(O) = 1, x'(O) = O, y(O) = O, y'(O) = O [Sugerencia: compare con los resultados de los ejemplos 7.7.8 y 7.7.9.]
Estados estacionarios de sistemas lineales no homogéneos Un sistema físico bien diseñado resiste las perturbaciones. Una perturbación puede desequilibrar al sistema, pero no tanto si es pequeña. Una vez que acaba la perturbación, el sistema vuelve al estado estacionario. En esta sección formularemos el equivalente matemático de estos conceptos para el sistema lineal x' = Ax+FCt)
(1)
donde A es una matriz de constantes reales de n x n, x es un vector de n y la fuerza motriz F es constante o periódica. Podemos distinguir dos tipos de estados estacionarios:
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7.9/ Estados estacionarios de sistemas lineales no homogéneos
.:. Estado estacionario constante. Una solución constante.xS del sistema (1) es un estado estacionario si las soluciones del sistema (1) tienden a.xS cuando t -¿ +00 . •:. Estado estacionario periódico. Una solución periódica XS(t) del sistema (1) es un estado estacionario si todas las soluciones de sistema (1) tienden a xs(t) cuando t -¿ +00 .
Éstas son definiciones de ingeniería con sentido común donde interviene una solución de equilibrio constante o una solución periódica. En ambos casos el estado estacionario atrae todas las soluciones a medida que transcurre el tiempo, de modo que en el largo plazo sólo es visible el estado estacionario.
Estado estacionario constante Supóngase que A es una matriz no singular y que Fo es un vector constante. Con la sustitución directa se observa que (2)
es una solución constante del sistema x'=Ax+Fo
(3)
En virtud de que A es no singular, el sistema (3) no tiene otras soluciones constantes.
Teorema 7.9.1 Así se ve por qué son tan importantes los valores característicos con partes reales negativas.
I@'
En el teorema 7.6.4 se hizo notar esta característica polinomial exponencial.
I@'
Ejemplo 7.9.1
Estado estacionario constante. Supóngase que los valores característicos de la matriz constante A tienen partes reales negativas y que Fo es un vector constante. Entonces el sistema x' = Ax + Fo tiene el único estado estacionario X S = - A -1 Fo. Este resultado puede comprobarse de la manera siguiente. Como los valores característicos de A tienen partes reales negativas, O no es un valor característico; por tanto, A es no singular y A-l existe. La solución general de x' = Ax + Fo es entonces lA A-1 rO D X = e Cdonde c es cualquier vector constante. Todo elemento de la matriz etA es una función polinomial exponencial en la que cada término tiene un factor de la forma eCJ.t, donde a es la parte real de un valor característico de A. Puesto que cada a es negativa, todos estos términos tienden a O cuando t -¿ +00, así que elAc tiende al vector cero cuando t -¿ +00, Y con esto terminamos.
Un estado estacionario constante La matriz del sistema X'
= - x+4y+14
y' = -3x-2y+28
(4)
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
x' = x'=-x+4y+14,
y'=-3x-2y+28
'1 ~
;>., -2
-4
-6
13
15
x
Figura 7.9.1 Las órbitas se aproximan al estado estacionario estable constante en (10, -1) [(ejemplo 7.9.1)].
Figura 7.9.2 Las curvas componentes de la figura 7.9.1.
para las órbitas
tiene valores característicos -3/2 ± i.f47 / 2, en tanto XS = -A -1 Fo = [10 -lf. Por el teorema 7.9.1, todas las soluciones de sistema (4) tienden a la única solución de equilibrio y estado estacionario Xs. En las figuras 7.9.1 y 7.9.2 se muestran las órbitas y curvas componentes.
Estado estacionario periódico, oscilaciones periódicas forzadas Ahora supóngase que el vector de forzamiento F(t) es periódico con periodo T. Una oscilación periódica forzada del sistema x'=Ax+F(t)
(5)
es una solución periódica de periodo T. Se tiene el resultado siguiente (véase el problema 13).
Teorema 7.9.2
Oscilación periódica forzada. Supóngase que A es una matriz constante del sistema x' = Ax + F(t), y que el término motriz F(t) es continuo (o continuo por partes) y periódico con periodo T. Si 2nilT no es un valor característico de A, entonces el sistema tiene una sola oscilación periódica forzada de periodo T. Es preciso que 2nilT no sea un valor característico porque si ese fuera el caso, entonces el sistema no forzado x' = Ax tendría soluciones con términos como cos(2nilT) o sen(2nilT) de periodo T. Como F(t) también tiene periodo T, esto podría dar lugar a resonancia y oscilaciones no acotadas (véase la sección 4.2). Las condiciones siguientes garantizan que una oscilación periódica forzada atraiga todas las soluciones.
Fig ests
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7.9/ Estados estacionarios de sistemas lineales no homogéneos
x' = - x + 4y + 5 sqw (1, 50, 1t)
y' = -3x - 2y + 10 trw (1, 25, 1t)
':~ o
2
4
6
8
10
1
y¡ ~ O
2
4
6
8
10
x
Figura 7.9.3 Las órbitas se aproximan a la órbita del estado estacionario de periodo re (ejemplo 7.9.2).
Teorema 7.9.3
Figura 7.9.4 Curvas componentes de las dos órbitas de figura 7.9.3.
Estado estacionario periódico. Supóngase que todos los valores característicos de la matriz constante A tienen partes reales negativas y que F(t) es periódica de periodo T. Entonces el sistema x' = Ax + F(t) tiene un único estado estacionario, el cual es periódico de periodo T. A continuación se indica por qué es cierto el teorema. Si los valores característicos de A tienen partes reales negativas, entonces 2reilT no es un valor característico de A. Se cumplen las condiciones del teorema 7.9.2, y el sistema x' = Ax + F(t) tiene una oscilación periódica forzada de periodo T; desígnelo .xS(t). Puesto que las soluciones del sistema tienen la forma
x(t) = etAc + XS (t)
se deduce que todas las soluciones tienden a .xS(t) cuando t -? + 00, ya que al vector cero cuando t -? +00 , con lo que se concluye la demostración.
Ejemplo 7.9.2
etAc
tiende
Estado estacionario periódico
El sistema lineal mostrado a continuación tiene funciones de ingeniería de periodo re para la fuerza motriz: x ' =-x+ 4y+5 sqw (t, 50, re) y'=-3x-2y+1O trw (t, 25, re) La matriz del sistema tiene valores característicos -3/2 ±i..f47 / 2. En la figura 7.9.3 se muestran las órbitas que empiezan en (- 2, O) y (2, -1) cuando se aproximan al único estado estacionario periódico; en la figura 7.9.4 se ilustran las curvas de los componentes correspondientes. Con la inspección de las curvas componentes se comprueba que el es-
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
7.9 / Estado~
25
x' = -0.2x + Sy + 10 sen (O.OS?) y'=-Sx-0.2y+
15
10cos(v'St)
x(O) = y(O) = O
x
L50 125 100
-5 -15
t
-25 100
75 50
150
20
25
liII
10 ·'III!~I,I~!¡'.,:!.~ •••
Y -10
x -20
O
50
100
150
y
Figura 7.9.5 Curva de tiempo-estado ¿Un tornado invertido?
(ejemplo 7.9.3).
Figura 7.9.6 Componentes estado de la figura 7.9.5.
acotados de curva tiempo-
tado estacionario periódico tiene periodo tt. ¿Puede identificar los puntos en las órbitas y en las curvas componentes donde se activa o des activa la onda cuadrada? En los ejemplos 7.9.1 y 7.9.'210 que finalmente se ve es el estado estacionario.
Decaimiento,
EASA
Podría suponerse que las soluciones de x' = Ax + F(t) decaen en forma exponencial a una sola solución si todos los valores característicos de la matriz constante A tienen partes reales negativas. Eso es justo lo que sucede, como se indica en el teorema siguiente.
Teorema 7.9.4
Estimación de decaimiento. Supóngase que los valores característicos de A tienen partes reales menores que la constante negativa a. Entonces hay una constante positiva M tal que la solución x = x(t, xO) del PVI x' = Ax, x(O) = xO, satisface
para toda t > O Y todos los estados iniciales
xO.
Supóngase, finalmente, que se sabe poco acerca del vector de entrada F(t) excepto que está acotado para t e O,es decir, para alguna constante positiva M, IIF(t) 11 ~ M para toda t e O.
Teorema 7.9.5 En el teorema 2.3.1 se da una versión escalar de EASA.
1&'
Entrada acotada, salida acotada (EASA). Supóngase que los valores característicos de la matriz A tienen partes reales negativas y que el vector de entrada F(t) está acotado para t > O. Entonces toda solución x(t) de x' = Ax + F(t) está acotada para t > O.
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7.9/ Estados estacionarios de sistemas lineales no homogéneos
La comprobación de EASA se deduce del teorema 7.9.4. Este resultado es de importancia considerable en la ciencia y la ingeniería. Significa que cuando los valores característicos de A tienen partes reales negativas, entonces una perturbación persistente, es decir, el vector de entrada acotado F(t), no tiene posibilidades de destruir el sistema porque no puede haber soluciones no acotadas.
Ejemplo 7.9.3
EASA El sistema siguiente tiene el vector de forzamiento 1O[sen( 0.05t 2 ) x' = - 0.2x + 5y + lOsen (0.05t 2 ) y'=-5x - 0.2y+lOcos
r:
.J5t)
cos (
(6)
(.J5t)
La matriz del sistema tiene valores característicos - 0.2 ± 5i, y la magnitud del vector de forzamiento tiene como cota superior 105 Puesto que se satisfacen todas las condiciones del teorema 7.9.5, todas las soluciones están acotadas para t;:::: O. En las figuras 7.9.5 y 7.9.6 se muestran las curvas de tiempo-estado y los componentes de la solución acotada con el estado inicial x(O) = y(O) = O. Hemos restringido el término estado estacionario para denotar una solución constante de atracción o una solución periódica forzada de atracción de un sistema lineal con una entrada constante o periódica. Si intentamos definir un estado estacionario para el sistema x' = Ax + F(t) para una entrada F que no es constante ni periódica, entonces tendremos un problema. Aun cuando están acotadas todas las soluciones del sistema para t;:::: O e incluso si todos los valores característicos de A tienen partes reales negativas, no está claro cómo definir el estado estacionario. La razón es que si xl(t) y x2(t) son dos soluciones cualesquiera del sistema, entonces xl - x2 es solución de x' = Ax. Así, por el teorema 7.9.4 Y la fórmula de solución para un sistema lineal forzado se tiene que para algún vector constante e, alguna constante positiva M y alguna constante negativa a lím Ilx 1(t) - x2 {t )11 = lím II/A ell ::; lím M ea/llcll = O
t~oo
t~oo
1---700
Todas las soluciones del sistema forzado tienden una a otra, y cualquier solución podría llamarse el estado estacionario. Por esta razón se ha restringido el término estado estacionario a las situaciones específicas donde F es constante o periódica porque entonces hay una sola solución constante o periódica que atrae todas las soluciones.
¿Dónde están los valores característicos? La existencia de estados estacionarios y el principio EASA depe'lden de todos los valores característicos de la matriz del sistema que tiene partes reales negativas. La obtención de
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
los valores característicos puede ser directa si la matriz es de 2 x 2, pero para casi todas las matrices más grandes se necesitan otros métodos. Muchos programas de solución numéricos permiten aproximar los valores característicos, que es una manera de determinar si se reúnen las condiciones de los teoremas de esta sección. A continuación se enumeran varias pruebas sencillas que pueden llevarse a cabo con lápiz y papel y con las que se obtiene información de la situación de los valores característicos, aunque no sus valores precisos. Las primeras dos pruebas dan información de las raíces de un polinomio y pueden aplicarse al polinomio característico de una matriz.
Teorema 7.9.6 ~ En el manual de recursos del estudiante se da la comprobación.
Ej~mplo 7.9.4
Prueba del coeficiente. Supóngase que P(r) = r n + an- lr n - l + ... + ao, donde los coeficientes son reales. Si algún coeficiente de P(r) es cero o negativo, entonces por lo menos una raíz tiene una parte real no negativa.
Aplicación de la prueba del coeficiente
La prueba del coeficiente indica que los polinomios r 3 + 3r + 10 Y r 3 - r 2 + 5r + 7 tienen por lo menos una raíz con parte real no negativa. La prueba no se aplica al polinomio r 3 + r 2 + r + 1 porque todos los coeficientes son positivos. La prueba del coeficiente es fácil de usar, pero su aplicación es limitada. Lo que queremos es una prueba que se aplique a polinomios con coeficientes positivos. La prueba de Routh es justo lo que precisamos;iii sólo la daremos como se aplica a polinomios de grado no mayor que cuatro, aunque puede ampliarse a cualquier polinomio.
Teorema 7.9.7 ~ En el manual de recursos del estudiante se an1plía la prueba de Routh a un polinomio de cualquier grado.
Prueba de Routh. Todas las raíces de los polinomios indicados tienen partes reales negativas precisamente cuando se satisfacen las condiciones dadas. • r2 + a¡r + ao: todos los coeficientes son positivos. • r3 + a2r2 + al r + ao: todos los coeficientes son positivos y a2a¡ > ao'
• r4 + a3r3 + a2r2 + a¡r + ao: todos los coeficientes son positivos, a3a2 > a¡ ya3a2a¡ > a~ ao + al
jjj
Edward John Routh (7837 -7 907) nació en Canadá, pero su vida adulta transcurrió en la Universidad de Cambridge, en Inglaterra. Sus obras de la dinámica y la estabilidad de 105 cuerpos en movimiento se volvieron clásicos del siglo XIX.
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7.9/ Estados estacionarios de sistemas lineales no homogéneos
Ejemplo 7.9.5
Aplicación de la prueba de Routh El polinomio r3 + 2r2 + 3r + 5 tiene coeficientes positivos, y como a2 = 2, al = 3 Yao = 5, el polinomio satisface la condición de Routh 6 = a2a¡ > ao
=5
Por tanto, todas las raíces de este polinomio cúbico tienen partes reales negativas. Las pruebas de Routh y del coeficiente brindan información de la ubicación de los valores característicos de una matriz, pero sólo pueden aplicarse tras haber encontrado el polinomio característico de la matriz. Las siguientes pruebas son menos contundentes, pero tienen la gran ventaja de aplicarse directamente a la matriz, así que no es necesario encontrar primero el polinomio característico.
Teorema 7.9.8 ~ Véase en el problema 6 de la sección 7.4 la razón de esto.
Ejemplo 7.9.6
Prueba de la traza. (a). Supóngase que A es una matriz de n x n de constantes reales y que la traza A = a¡¡ + ... + a nn es negativa [o positiva]. Entonces por lo menos un valor característico de A tiene parte real negativa [o positiva]. (b). Si la traza es cero, entonces todos los valores característicos tienen partes reales cero, o bien, hay un par de valores característicos cuyas partes reales tienen signos opuestos.
Aplicación de la prueba de la traza
La matriz A ¡ siguiente debe tener un valor característico con parte real positiva porque la traza es + 1. La traza de la matriz A 2 siguiente es negativa (tr = - 2), pero +9 es un valor característico de A 2 . Esto no contradice la prueba de la traza, ya que en ella se afirma que si la traza es negativa, entonces hay por lo menos un valor característico cuya parte real es negativa, no que todos los valores característicos deben tener partes reales negativas.
-165 13 360] [ - 150 -8 151
Al = -200 15 267 ,
- 10 50 0]
A 2 = 300 -1 O [ O 9
°
Por último, veremos un método descubierto por el matemático ruso S. Gerschgorin en la década de 1930. Digamos que A es una matriz de constantes de n x n. El disco de renglones de Gers¿hgorin R¡ en el plano complejo se define por 11
R¡ = el conjunto de todos números complejos z donde Iz - aii l
::;
r¡ Y r; =
I
k= ! k-:t;i
laik I
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Sistemas l inea les de ecuaciones d iferenciales
Así, R¡ es el disco de radio r ¡ centrado en el punto a h en el plano complejo. Obsérvese que r¡ es la suma de las magnitudes de los elementos del i-ésimo renglón de A, excepto para 11 aúll. De manera similar, el disco de las columnas de Gerschgorin C¡ se define por 11
C¡ = el conjunto de todos números complejos z donde Iz - aú l ::; c¡ y c¡
=
L
la¡k l
En seguida presentamos el sorprendente teorema de Gerschgorin.
Teorema 7.9.9 ~ En el manual de recursos del estudiante se da una demostración.
Ejemplo 7.9.7
Valores característicos y discos de Gerschgorin. Supóngase que A es una matriz de n x n de constantes y que R¡ y C¡, i = 1, ... , n, son los discos respectivos de Gerschgorin de los renglones y columnas de A. Entonces todos los valores característicos de A están en la unión de los discos de los renglones, y también en la unión de los discos de las columnas. Si una unión de k de los discos de los renglones [o los discos de las columnas] no tiene conexión con los demás discos de los renglones [o los discos de las columnas], entonces su unión contiene exactamente k valores característicos, contando las multiplicidades.
[-1
1]
Discos de Gerschgorin + i 1.5 Los discos de Gerschgorin de los renglones y columnas de A = 0.5 - 2 - 1 están dados por 0.25 0 -7
Iz+ 1- il ::; 2.5, Iz+ 21::; 1.5, Iz+ 71::; 0.25 Columna: Iz+ 1- il::; 0.75, Iz + 21::; 1.5, Iz+ 71 ::; 2
Renglón:
En las figuras 7.9.7 y 7.9.8 se esbozan los discos . Puesto que los discos de las columnas quedan dentro de la mitad izquierda del plano complejo, los valores característicos de A deben tener partes reales negativas. Por la ubicación de los discos de los renglones y la última parte del teorema 7.9.9, se concluye que A tiene un valor característico muy cercano al número - 7.
Comentarios Las pruebas de Routh y de los discos de Gershgorin sirven para localizar las raíces de un polinomio en el plano complejo. Es importante saber cuándo éstas tienen partes reales negativas, ya que entonces las soluciones del sistema no forzado son transitorias (es decir, desaparecen). Con esto se garantiza que una oscilación periódica forzada es un estado estacionario. Aunque hay varios programas que permiten hallar las raíces y los valores característicos, las técnicas recién descritas son tan fáciles que deben usarse primero.
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7.9/ Estados estacionarios de sistemas lineales no homogéneos
iy iy
3/4
5/2
- 1+ i
2
1/4 --~~~--------~----~----+--+---+-----
x
x
-7
-7
Figura 7.9.8 Discos de columnas (ejemplo 7.9.7).
Figura 7.9.7 Discos de renglones (ejemplo 7.9.7).
Problemas _____________________________________________ 1.
(Estados estacionarios constantes.) ¿La solución constante x = O es un estado estacionario para x' = Ax si A es una de las matrices siguientes? Dé las razones. [Sugerencia: considere los valores característicos de A .] (a)
2.
4. 5.
(b)
1 2]
-10 - 3 4 -2 [ - 7 - 6 - 40
(e)
[
-10 1 2] O -1 100 O O -1
(Preparación de un sistema para crear un estado estacionario.) Encuentre los valores de la constante real a para la cual x = O es el estado estacionario de x' = Ax. [Sugerencia: considere los valores característicos de A. En los incisos (b) y (e), examine la EDO equivalente simple de tercer orden.] (a) --
3.
1 2]
-10 -3 4 5 [ -7 -6 7
[a3 -42J
(b)
O 1 O] [aO -1O - 11
(e)
O 1 O] [- O2 - O3 a1
(EASA.) El sistema x' = y, y' = -bx - ay + f(t) es equivalente a la EDO simple x" + ax' + bx = f(t). Demuestre que toda solución del sistema está acotada para t ~ O si a > O, b > O Yf(t) es continua y acotada para t ~ O. (Soluciones no acotadas.) Demuestre que el sistema x' = y, y' = - x + cos t tiene soluciones acotadas cuando t ~ +00, pero que esto no contradice al teorema 7.9.5. (Soluciones no acotadas.) Demuestre que el sistema x' = - x + e3ty, y' = - y tiene soluciones acotadas cuando t ~ +00 incluso si los valores característicos de la matriz de sistema no constante son constantes negativas. ¿Por qué esto no es una contradicción del teorema 7.9.5?
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
6.
7.
.9. 8.
www
(Soluciones no acotadas.) Supóngase que la matriz A tiene un valor característico con parte real no negativa. Entonces existe una función de forzamiento acotada F(t) tal que x' = Ax + F tiene soluciones no acotadas. En otras palabras, es posible que en tales circustancias la entrada acotada no produzca una salida acotada. Demuestre lo anterior para los incisos (a) y (b). (a) Demuestre que x' = Ax tiene soluciones no acotadas si A tiene un valor característico con parte real positiva. (b) Digamos que la matriz A tiene un valor característico A con parte real cero. Demuestre que si v es un vector característico que corresponde a A, el sistema x' = Ax + eAtv tiene la solución no acotada x' = teAtv, t ~ O. (Aplicación de la prueba de Routh.) ¿Cuál de los polinomios siguientes tiene raíces con partes reales negativas? (a) z3+z2+2z+1
(b) Z4+Z3+2z2+2z+3
(d) 6z3 + llz2 + 6z + 6
(e) 12z3 + 12z2 + l lz + 6
(e) Z4+z+1
(Aplicación de la prueba de Routh.) Demuestre que las raíces de z 4 + 2Z3 + 3z2 + Z + a tienen partes reales negativas si y sólo si O < a < 1.2S. (Estado estacionario.) Explique por qué cada uno de los sistemas siguientes tiene un estado estacionario. Luego encuentre una fórmula para él y trace las gráficas componentes del estado estacionario y de otras soluciones. (a)
x'=y+S,
y'=-2x-3y+1O
(b) x' = y, y' = -x - 2 Y + cos t. [Sugerencia: escriba una EDO equivalente de segundo orden.] (e)
x' = -x + y + sen t, de la forma x
•
10.
=A
y' = -x - y. [Sugerencia: supóngase una solución particular
cos t + B sen t, y
y' = -x-2y+sent
(b) x' = -2x+ Sy+sqw(t,SO,2),
I
(e) x'=y+trw(t,
11
(d) x' = y+(sent)sqw(t, 11.
I1
i': l'
/¡r !
Ir'
I
t + D sen t e iguale los coeficientes .
(Estado estacionario periódico.) Explique por qué cada uno de los sistemas siguientes tiene un estado estacionario periódico. A continuación trace los componentes de varias soluciones en un intervalo de tiempo con la suficiente amplitud de modo que sea visible el estado estacionario periódico. Remarque el estado estacionario periódico en la copia en papel que trace de la gráfica. (a) x' = -x+ y/2+cos2t,
"
= ecos
SO,
1),
y' = -5x -2y+cosnt
y'=-x-y+sqw(t,SO,2)
SO, 2n),
y'=-4x-y+1
(Soluciones acotadas.) Demuestre que si todos los valores característicos de A tienen partes reales negativas y si una solución de x' = Ax + F(t) es acotada cuando t -7 + 00, entonces las soluciones no tienen cota cuando t -7 +00.
7.10/FI
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7.10 / Flujo de p lomo, filtro de ruido: estados estacionarios
12.
(Discos de Gerschgorin.) Use los discos de Gerschgorin y explique por qué los valores característicos de la matriz del inciso (a) tiene partes reales negativas, pero la del inciso (b) tiene un valor característico con parte real positiva. (a) A =
~ 13.
7.10
- 10 1 8] 1 -3 2 [ 8 1-11
(b) A =
101 -51 10]8 [ 1 1 -20
(Oscilaciones periódicas forzadas.) Una oscilación periódica forzada del sistema x' = Ax + F(t) es una solución no constante x(t) de periodo T donde A es una matriz de n x n de constantes reales y F(t) tiene periodo T. Demuestre que el sistema tiene una sola oscilación periódica forzada si 2m / T no es un valor característico . do T' . ' d'lca con peno . x (t ) = e lA x o + e lA JIo e - sA F es peno de A . [Sugerencza: SI y so' 1o O TA si x(O) = x(T)=eTAx +e J~ e-SA F(s)ds.]
Flujo de plomo, filtro de ruido: estados estacionarios En esta sección aplicaremos los resultados de la anterior para mostrar que la solución de equilibrio del modelo del plomo es una solución de estado estacionario, como adelantamos en la sección 7.1. Luego modelaremos un circuito eléctrico de dos ciclos que produce una salida periódica de estado estacionario (es decir, una oscilación periódica forzada de atracción) para cualquier entrada periódica, de nuevo con base en los conceptos de la sección 7.9. Veremos que el circuito filtra señales de alta frecuencia (ruido) pero pasa señales de baja frecuencia.
Sensibilidad de las concentraciones de plomo a la medicación En sección 7.1 aplicamos la ley de equilibrio a un modelo de compartimientos; encontramos un sistema de EDO con el que se modela el flujo de plomo a través de la sangre, tejidos y huesos. Con los datos de la sección 7. 1 se tiene el sistema x¡ = - (0.0150 + kOJ )x¡ + 0 .0124x2 + 0.000035x3 + 1¡ x~ = 0.0111x¡ - 0 .0286x2
(1)
x3 =0 .0039x¡ - 0.000035x3
donde x¡(t), X2(t) Y x3(t) son las cantidades respectivas de plomo (en microgramos) en la sangre, tejidos y huesos en el instante t (medido en días) ; kO¡ es una tasa constante que mi-
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502
I@' Un modelo de compaItimientos con una constante o entrada periódica debe tener un estado estacionario si cada compartimiento está unido a Un compartimiento absorbente externo (o pozo) por una cadena directa de flechas de flujo (corno en este caso). En el manual de recursos del est4diante se dan más detalles.
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
de la tasa con la que los riñones eliminan el plomo de la sangre, e JI es la tasa de entrada del plomo en la sangre. Demostremos que para las constantes positivas kQl e JI la solución de equilibrio del sistema (1) es, de hecho, una solución de estado estacionario, es decir, atrae todas las soluciones cuando t -¿ +00. Esto ayuda a entender el porqué del comportamiento de las curvas solución de las figuras de la sección 7.1. Los discos de Gerschgorin presentados en la sección 7.9 permiten demostrar que todos los valores característicos de la matriz del sistema A=
-(0.0150+ko¡) 0.0124 0.000035] 0.0111 -0.0286 O [ 0.0039 O -0.000035
tienen partes reales negativas, de modo que la solución de equilibrio es un estado estacionario. Los tres discos de los renglones en el plano complejo se definen por Iz+0.0150+kOI I
~
0.012435, Iz+0.0286 1 ~ 0.0111,
I z+0.0000351~0.0039
y los tres discos de las columna se definen por Iz+0.0150+kOII
~
0.0150, Iz + 0.0286 1 ~ 0.0124,
Iz+0.0000351~0.000035
El tercer disco de los renglones traslapa la mitad derecha del plano complejo, así que no es posible concluir por el examen de los discos que los valores característicos estén dentro de la mitad del plano izquierdo. ¿Qué hay acerca de los discos de las columnas? Si kOl es positiva, entonces los primeros dos discos de la columna quedan dentro de la mitad del plano izquierdo, pero el disco de la tercera columna apenas toca el origen y, por tanto, aumenta la posibilidad de que el O sea un valor característico. Pero A, = O es un valor característico de la matriz A si y sólo si det A = O; por cálculo directo detA =- 0 .000035[0.0286kol +(0.0111)(0.0189)]
se observa que det A f:. O para cualquier kol ::::: O. ASÍ, con la ayuda de la prueba del disco de columnas de Gerschgorin, se nota que los valores característicos de A tienen partes reales negativas. En consecuencia, se sabe que los resultados de la sección 7.9 pueden aplicarse al sistema (1) para el transporte de plomo a través de los compartimientos del cuerpo. Por ejemplo, si kOI = 0.0211 e JI = 49.3, el estado estacionario constante está dado por X
S
=_ A- l 49.3] O "" [1800] 699 [ O 200583
y todas las soluciones del PVI (1) tienden a X S cuando t gura 7.1.3).
-¿ +00
(compruebe esto con la fi-
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iales
503
7.10 / Flujo de plomo, filtro de ruido: estados estacionarios
ada
Consideremos ahora un sistema con una entrada periódica e investiguemos la existencia de soluciones de estado estacionario y su sensibilidad a los cambios en la frecuencia de entrada. .
del sour-
Filtro de paso bajo de dos ciclos dos @+
R
L
T.
--r; e,
1/3
e,
t
l'
io-
El circuito eléctrico dibujado en el margen es un componente común de los aparatos electrónicos. La entrada es un voltaje conocido V¡(t); el circuito responde al voltaje de salida V2(t) que pasa por el segundo condensador. Los candidatos para las variables de estado son las corrientes que entran y salen del nodo a y los voltajes respectivos que pasan por la resistencia, el inductor y los condensadores. Sin embargo, algunas de estas cantidades se interrelacionan, así que no todas son necesarias. Por ejemplo, por la ley de Kirchhoff para la corriente aplicada al nodo a, se tiene que /3=/¡-/2
I@" En la sección 4.4 hay más información de los circuitos.
por tanto, no se necesita /3 si se mantienen las corrientes /¡ e /2 como variables de estado. Da la casualidad de que V2, /¡ e /2 servirán como variables de estado para el circuito. Encontremos las EDO que relacionan estas tres cantidades. La forma diferencial de la ley de Coulomb indica que la tasa de cambio del voltaje que pasa por el segundo condensador es (2)
Ahora apliquemos la ley de Kirchhoff para el voltaje al circuito exterior que pasa por la entrada, la resistencia, el inductor y el segundo condensador: u-
(3)
c-
donde R/¡ es el voltaje a través de la resistencia (ley de Ohm) y LI~ es el voltaje por el inductor (ley de Faraday). Así, las EDO (2) y (3) se relacionan con V{ e /~ , pero se necesita una tercera EDO que tenga relación con /{. La ley de Coulomb en la forma diferencial indica que la caída de voltaje que pasa por el segundo condensador es /3/C¡,que puede escribirse como (11 -/2)/C¡, Entonces la ley de Kirchhoff para el voltaje (en forma diferencial) para el ciclo de la izquierda a través de la entrada, la resistencia y el primer condensador implica que
(4) la cual es una EDO con /{. Así, se tiene el sistema lineal de tres EDO con las tres variables de estado V2, /1 e /2: x'=Ax+F(t)
o O -l/L
O -l/RC¡
-R/L
(5)
l/C2] l/~Cl '
(6)
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504
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Se quiere ver cómo responde el sistema (5) a un voltaje de entrada periódico V¡(t) . En particular, se espera una respuesta periódica de estado estacionario, es decir, una oscilación periódica forzada. Para apoyar nuestras expectativas es indispensable comprobar primero que los valores característicos de A tienen partes reales negativas para usar los resultados de estado estacionario de la sección 7.9. Los discos de Gerschgorin son inútiles en este caso porque dos de los elementos diagonales de A valen O, de modo que los discos correspondientes traslapan tanto la mitad derecha como la izquierda del plano complejo. Mejor probaremos otro método. El polinomio característico p(íL) de A es
(7) Puesto que los coeficientes de p(íL) son positivos, los valores característicos de A tienen partes reales negativas por la prueba de Routh (teorema 7.9.7) si y sólo si
1 1(1 1)
RC¡'L C¡ + C2
1
> LRC¡C2
lo cual resulta cierto porque los parámetros del circuito son positivos. Entonces, se sabe que si el voltaje de entrada es periódico con periodo T, hay una sola salida de estado estacionario periódico que tiene el mismo periodo T. Tomemos como entrada la función V¡ = aoei mt de periodo 2n/m. Entonces (8)
Encontremos la salida de estado estacionario. En virtud de que los valores característicos de A tienen partes reales negativas, por el teorema 7.9.3 se sabe que hay un solo estado estacionario periódico XS(t) de periodo 2n/m. Se espera que la respuesta de estado estacionario tenga la forma X S = f3eimt para algún vector constante {3. Para encontrar el vector {3, insértese xS en el sistema (5):
(9) De (9) se despeja {3 para obtener
{3 =[imI - A r¡a,
por tanto
(10)
En (10) existe la matriz inversa porque cada valor característico de A tiene una parte real negativa y, por consiguiente, el número imaginario puro im no puede ser un valor característico de A . El voltaje V2 (t) [es decir, el primer componente de xS(t)] se considera el voltaje de salida de estado estacionario. Con un cálculo largo por medio de las fórmulas (8), (10) se muestra que la respuesta V2 a la entrada V¡ = aoe imt es
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7.10/
505
Flujo de plomo, filtro de ruido: estados estacionarios
parción 0.5
1.5
esejor
" "g
g"
0.5
~
~ -0.5
0.0
-0.5
(7) 10
15
20
en Figura 7.10.1 Voltaje de entrada VI = cos t (curva continua), voltaje de salida V2 (curva discontinua) [(ejemplo 7.10.1)].
Figura 7.10.2 Voltaje de entrada VI = cos 200t (curva continua), voltaje de salida V2 (curva discontinua) [(ejemplo 7.10.1)].
l' !
I
r~
1I
be es-
(11) donde p es el polinornio característico (7). La relación de la amplitud del voltaje de salida de estado estacionario V2 a la amplitud del voltaje de entrada V¡ es
8)
I
I "'"
Si w es pequeña, la relación V2 IV¡ 1 Y el circuito pasa el voltaje de entrada con poco cambio en su amplitud. Sin embargo, si w es grande, entonces IViV¡1 es pequeña y el circuito detiene el voltaje de la entrada. Por tales razones se dice que el circuito es un filtro de paso bajo. Obsérvese que en la sección 2.2 consideramos otro tipo de circuito que también actuó como filtro de paso bajo.
os
V2j j V¡
1
Ip(iw)LRCIC2
1
2
=II-LC2w +iRW(C¡
Ejemplo 7.10.1
Un filtro de paso bajo: sensibilidad
I
+C2 _w2 LCICJ-
a la frecuencia
Supóngase que en el sistema (5) R=I,
L=I,
CI =C2 = 0.001
V¡ (t)=cos ox V2 (0)=0,
I¡ (0)=12 (0)=0
(12)
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
1,1,,11
~
12
:: o o
o
co
U
:g
~
2
11I 11'
os os J:j :::
os
"O
'" '" '" '5
"O
~
12
.~
-3
~ ~ ~
-3
"O
-s
os
-s
~
Q)
-13
"O
-13
Q)
-18 0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
Figura 7.10.3 El voltaje de entrada se contamina por el ruido de alta frecuencia: VI = lOcost -Scos 2t + 0.Scos200t. ¿El circuito filtrará el término del ruido O.Scos 200t (ejemplo 7.1O.2)?
~ ~
2.5
5.
o
7.5
10.
o
12.5
15.
o
t
Figura 7.10.4 El circuito filtra frecuencia O.Scos 200t de la entrada. V2 (curva discontinua) se aproxima carente de ruido lOcost -Scos2t (ejemplo 7.10.2).
el ruido de alta El voltaje de salida al voltaje "ideal" (curva continua)
En las figuras 7.10.1 y 7.10.2 se muestra que un voltaje de frecuencia circular baja ú) = 1 pasa por el circuito con casi ninguna distorsión (tras un periodo inicial cuando aún son importantes los voltajes transitorios), mientras se atenúa severamente un voltaje de entrada de frecuencia circular 200 después de 4.S unidades de tiempo. Así, se tiene un ejemplo muy específico de la sensibilidad de la amplitud del voltaje de salida de estado estacionario a los cambios en la frecuencia del voltaje de entrada. La propiedad de filtración del circuito no sólo se aplica a una entrada periódica de la forma F = aeiOJt, sino a cualquier entrada periódica. En el problema 4 se aborda el caso de un voltaje de entrada de onda triangular. Supóngase que un voltaje de entrada de baja frecuencia se contamina con ruido de alta frecuencia. El circuito de paso bajo actúa como filtro, detiene eficazmente el ruido y devuelve un voltaje casi idéntico al voltaje sin ruido.
Ejemplo 7.10.2
Filtración
del ruido
Digamos que el voltaje de entrada VI es lOcos t - Scos 2t + O.Scos 200t, donde el término de frecuencia alta O.Scos 200t representa el ruido (fig. 7.10.3). La curva de trazo discontinuo de la figura 7.10.4 es el voltaje de salida V2(t), dada la entrada ruidosa real VI para el sistema (S), (6) con R = 1, L = 1, el = e2 = 0.001, V2(0) = o e l¡(0) = [2(0) = O. Se obseva que el ruido de alta frecuencia en la entrada se filtra en un tiempo muy corto y todo lo que queda en la salida son los términos para la frecuencia baja lOcos t - Scos 2t (fig. 7.10.4). El circuito actúa como un filtro de paso bajo para todos los valores positivos de los parámetros del circuito R, L, el y e2, pero la cantidad de atenuación del voltaje de salida
7.1C
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507
7.70 / Flujo de plomo, filtro de ruido : estados estacionarios
variará con los valores de los parámetros. Un experimento de computadora interesante sería variar la resistencia R, la inductancia L o las capacitancias C ¡ y C2 para ver qué efecto tendría en el voltaje de salida V2 .
Comentarios Se ha mostrado cómo encontrar las soluciones de estado estacionario del flujo de plomo en el cuerpo humano y de los modelos matemáticos lineales de un filtro de paso bajo. No construimos las fórmulas de las soluciones exactas para los sistemas modelo. En cambio, utilizamos técnicas indirectas, como la prueba de Routh y la de los discos de Gerschgorin, con objeto de verificar que los valores característicos de las matrices del sistema tienen partes reales negativas que a su vez implican que todas las soluciones son "atraídas" a la solución de estado estacionario.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Filtro de paso bajo.) Explique por qué el circuito modelado en el texto es un filtro de paso bajo para todo los valores positivos de L, R, C I y C2 si la entrada F está dada por (8). [Sugerencia : demuestre que para un valor pequeño de IcoI, IV2(t)1 es aproximadamente laol, en tanto que si IcoI es grande, IV2(t)1 se aproxima a laol/w3LRC¡C2.] (Filtro de paso bajo: simulaciones en computadora.) El sistema para el circuito analizado en el texto es
3 X{ =X /C2 x~ =-x2/(RCI )+X3 / (RCI )+ V¡'/ R
X3 =- xII L - Rx2/ L+ V¡ / L
Sea VI = cos rot. Supóngase que el circuito pasa [amplifica] el voltaje de entrada VI si el voltaje de salida Xl = V2 (t) finalmente tiene una amplitud de por lo menos 90% [110%] de la amplitud de VI. Se dice que el circuito detiene el voltaje de entrada si la amplitud del voltaje de salida finalmente es menor que 10% de la amplitud de VI. De lo contrario, se dice que el circuito es un filtro parcial para la entrada. En cada caso, utilice un programa de solución numérica para trazar un gráfico del componente x¡(t) = V2(t) y decidir si el circuito amplifica, pasa, detiene o actúa como filtro parcial para V¡ = cos wt. Use como datos iniciales x¡(O) = x2(Ü) = x3(Ü) = O; resuelva en un espacio de tiempo de longitud suficiente de modo que la solución esté en el estado estacionario al final del intervalo de tiempo. Véase también el problema 3.
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508
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
(a) L=l, R=l, el =e2 =1; m=l, 2, 50. (b)
L=l, R=O.l,
el =e2 =1; m=1,l.5,1O. El circuito amplifica una de estas fre-
cuencias de entrada. ¿Cuál, y por cuánto? (e)
3.
4.
•
www 5.
•
L=l, R=lOO,
e¡ =e2 =0.01; m=O.l,1.5,lO
(Filtro de paso bajo: análisis de amplitud.) En el texto se muestra que si el voltaje de entrada VI (t) para el sistema del problema 2 es aoe iliJt , entonces la relación del voltaje de salida V2(t) a V¡(t) está dada por la fórmula (12). Use esta fórmula para justificar las siguientes afirmaciones. (a) Si L = 1, R = 1, el = e2= 1, entonces las frecuencias m = 1, 2 Y 50 son, respectivamente, pasadas, filtradas en forma parcial y detenidas. (b) Si L = 1, R = 0.1 , e¡ = e 2 = 1, entonces las frecuencias m = 1, 1.5 Y 10 son, respectivamente, pasadas y amplificadas, pasadas y detenidas. (e) Si L = 1, R = 100, el = e2= 0.01 , entonces las frecuencias m = 1, 2 Y 50 son, respectivamente, pasadas, filtradas en forma parcial y detenidas. (Entrada de onda triangular.) En el sistema del circuito del problema 2, sea L = 1, R = 1, e¡:= e2 = 1000, V¡(t) = 2 ot(t, 100, T)-l. (a) Explique por qué V'(t) = (8/T) oc(t, 50, T) - 4/T. (b) Trace V¡(t) y x¡ = V2(t) en los dos casos T:= 2n, n/lOO. A partir de las gráficas decida si la entrada VI pasa y se amplifica, pasa pero no se amplifica, se filtra parcialmente o se detiene. (Sensibilidad del sistema del plomo a la concentración de ingestión de plomo .) La tasa de ingestión de plomo en la sangre es 49.3 microgramos por día en el sistema (1) . Si disminuyen las concentraciones de plomo en la comida, aire yagua (reduciendo la tasa de ingestión por debajo de 49.3), disminuyen las concentraciones en la sangre, los tejidos y los huesos. (a) Explique por qué si se reduce la tasa de ingestión de I¡ a al¡, donde a es una constante entre O y 1, entonces la concentración de estado estacionario en cada uno de los compartimientos disminuye en la misma proporción a. [Sugerencia: según la sección 7.9, el vector de estado estacionario de x' := Ax + Fo, donde Fo es constante y los valores característicos de A tienen partes reales negativas, es - A-lFo.] (b) Trace las gráficas de la cantidad de plomo en la sangre, tejidos y huesos en un periodo de 1200 días si x¡(O) := x2(0) := x3(0) := O, si la matriz del sistema A es la del sistema (1), y si la tasa de ingestión se reduce de 49.3 micrognimos por día a (49.3)/2 por día a partir del día 400. Luego repita si la tasa de ingestión se reduce de nuevo a la mitad del día 800 en adelante a (49.3)/4 microgramos por día. Compare los resultados calculados con las predicciones basadas en el inciso (a).
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7.11/ Teoría general de sistemas lineales
•
(e) Supóngase que la tasa de ingestión JI de plomo en la sangre disminuye a partir del día 400: 49.3, O ~ t ~ 400 JI = { 49.3exp(a(400-t)), t > 400
•
7.11 lGr Sería una buena idea repasar la sección
3.7 antes de abordar ésta.
6.
donde a es un parámetro positivo. Use un programa que permita graficar y resolver el sistema (1) con esta función de ingestión para varios valores positivos de a, O < a < 0.1. Estime el valor más pequeño de a con el que se asegure que la concentración de plomo en los huesos nunca excederá de 3000 microgramos . (Concentraciones de plomo que varían por periodos.) Sustituya la tasa de ingestión JI = 49.3 del sistema (1) por la tasa de ingestión dependiente del tiempo 2 JI =49.3[1 + 9sen (27rt / 365)]/1O. Explique por qué con esto se modelan las variaciones estacionales en las tasas de ingestión de plomo. A continuación, grafique x3(t) en un intervalo de tiempo suficientemente largo para aproximar la máxima concentración de plomo en los huesos. ¿Cuál es ésta y cuándo se alcanza primero?
Teoría general de sistemas lineales Los sistemas lineales que hemos considerado hasta ahora en este capítulo han sido de coeficientes constantes; además, utilizamos un método constructivo para encontrar las fórmulas de solución. En el proceso no aplicamos un teorema fundamental porque no fue necesario. A fin de hallar todas las soluciones de x' == Ax para la matriz constante A de n x n primero obtvimos una base para]Rn (o en) constituida por vectores característicos y vectores característicos generalizados de A. La decisión de considerar primero sistemas lineales de coeficientes constantes no fue fortuita. Casi todos los sistemas lineales resueltos en este texto tienen coeficientes constantes. Sin embargo, ya es tiempo de ver qué puede hacerse ante una fórmula de solución para x' == Ax cuando los elementos de A no son constantes. Este capítulo concluye con un resumen de la teoría de sistemas lineales generales. La descripción será telegráfica porque se asemeja al método para x' = Ax que se presenta al final de la sección 7.6 y en la sección 7.8. El punto de partida es un teorema fundamental para el sistema forzado x' == Ax + F.
Teorema fundamental para sistemas lineales El teorema fundamental para sistemas (teorema 5.2.1) puede perfeccionarse para sistemas lineales.
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Teorema 7.11.1
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Teorema fundamental para sistemas lineales. Para una matriz A(t) = [aij(t)] de n x n y un vector de n funciones F(t) = [F I (t)F2(t) ... Fn(t)]T considérese el PVI x' = A(t)x + F(t),
x(to) = x
o
(1)
donde los coeficientes aij(t) y los elementos F/t) son continuos en un intervalo común 1 de t, to es cualquier punto en 1 y xO es cualquier vector constante de n. Entonces, el PVI (1) tiene una única solución que está definida por lo menos para toda t en el intervalo 1 y es una función continua de to YxO. La existencia y unicidad se deducen del teorema 5.2.1, puesto que por hipótesis la función vectorial! = A(t)x + F(t) y todas las primeras derivadas parciales dfi/dx j =a¡j(t), i, j = 1, ... , n son continuas para toda ten 1 y x en ]Rn. Se ornite la demostración de que la solución x(t) puede extenderse a 1 y varía en forma continua con to Y xO. El teorema 7.11.1 no produce una fórmula o proceso para encontrar la solución del PVI (1). Nuestro objetivo es obtener una representación para la solución de este problema, la cual tiene más valor teórico que práctico.
Resumen de nuestro método Obsérvese que el operador L que produce x' - A(t)x = L[x] es lineal, como vimos en la sección 7.8 para la matriz constante A, así que se cumplen las propiedades de linealidad y cerradura. Igual que antes, la propiedad de linealidad divide en dos partes la tarea de encontrar las soluciones del sistema L[x] = F: 1. encontrar una solución particular :xd del sistema forzado L[x] = F; 2. obtener todas las soluciones del sistema no forzado L[x] = O. Primero consideremos el sistema no forzado (2)
x' = A(t)x
donde la matrizt1 de ~ x n tien~ elementos continuos en un intervalo 1 de t. Para n soluciones cualesquiera x (t), x (t), . .. , x (t) del sistema (2), la propiedad de cerradura establece que x(t) = clx l + C2x2 + ... + cnx n también es una solución para constantes cualesquiera cI" ' " cn- ¿Hay más soluciones? Supóngase que hay un valor fa en 1 tal que xl (to) x2 (to) ... Xn(fo)] ;j. O. Ahora digamos que z(t) es cualquier solución del sistema (2). Entonces, según el teorema 7.3.1, hay constantes únicas k" k2, ... , k n tales que
r
l 2 n z(to )=klx (to) + k2x (to )+ ... + knx (to)
Así, z(t) y kIXI(t) + k2X2(t) + ... + knxn(t) son soluciones del PVI x' = A(t)x,
En la sección 7.6 vimos por vez primera los conjuntos solución básicos.
x(to)=z(to )
y, por el teorema 7.11.1, deben ser una y la misma solución. En este caso el conjunto solución {xl, x2, ... , x n } engloba todas las soluciones del sistema (2). Esto da lugar a la definición siguiente.
I@'
.:. Conjunto solución básico. Se dice que el conjunto de n soluciones {Xl, = A(t)x, donde A(t) es una matriz de n x n cuyos ele-
x2, . .. , x n } del sistema x'
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7.11 / Teoría genera l de sistenias linea les
mentos aij(t) son continuos en un intervalo l de t, es un conjunto solución básieosihayunatoen/talque [XI(t O) x 2(to)'" x"(to )] -:j:. O. En realidad, la condición determinante en esta definición surge con tanta frecuencia que se ha hecho acreedora de un nombre: I@'" En la sección 3.7 vimos por primera vez el wronskiano , pero tenía otra forma.
.:. Wronskiano. Supóngase que xl, x2, ... , xn son n soluciones del sistema x' = Ax, donde A es una matriz de n x n. El determinante W[x l , X2, ... , xn] =det[xl(t) x2(t) ... xn(t)]
recibe el nombre de wronskiano delas n soluciones xl(t), ... , xn(t). I@'"
w"*
Sólo debe verificar O en un punto.
Teorema 7.11.2
Si A es una matriz de n x n con elementos continuos en algún intervalo común de t, puede demostrarse que el wronskiano de las n soluciones del sistema x' = Ax siempre es cero o nunca es cero. Ésta es una consecuencia del resultado siguiente. Propiedad del wronski ano para x' = Ax. Si los elementos de aij(t) en la matriz A(t) son continuos en algún intervalo 1, y si xl, x2, . .. , xn son soluciones del sistema x' = A(t)x, entonces el wronskiano W = W[x l , ... , xn] satisfac"e la EDO W' = [al! (t) +a22 (t )+ ... + ann Ct)]W,
ten l
(3)
Esto se demostró para n = 2. Supóngase que YCt)=[YI Y2r y Z(t) =[ZI Z2r son dos soluciones de x' = Ax. Entonces se observa que Yf =all YI +a12 Y2 { YI =a21 YI +a22 Y2
y como W[y, z] = YlZ2 - Y2ZI' se ve que d W[ ~z ] = ~~+~~ ' " - Y2~ - Y2~, W ' =& =
(aIlYI +a I2 Y2)z2 +YI(a2IZ1+a22 z 2 )-(a2IYI + a22Y2)ZI - Y2(a ll ZI +a12 Z2)
=(a ll +a22)(YIZ2 -Y2z¡) =(a ll +a22)W
que es la EDO (3) para n = 2. A fin de demostrar lo anterior para n > 2 deben usarse las propiedades de las determinantes dadas en la sección 7.3. Así, según parece para encontrar la solución general de x' = A(t)x sólo se necesita hallar un conjunto solución básico. En el problema 1 se muestra la existencia de tal conjunto; en el planteamiento se utiliza el teorema 7.11.1. En resumen, se tiene el siguiente resultado.
Teorema 7.11.3
Conjuntos solución básicos y PVI. Supóngase que {X l, .. . , x n } es un conjunto solución básico para x' = A(t)x, donde los elementos de la matriz A(t) de n x n son continuos en un intervalo l de t. Entonces para cada to en l y cualquier x O en ]R.n (o en), el PVI x'=ACt)x, l
tiene la solución x=elx + ··· +ellx" para' un conjunto único de constantes e l, ... , en.
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512
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
En el teorema 7.11.3 se generaliza el resultado similar al teorema 7.6.3 para los sistemas lineales no forzados con coeficientes constantes.
Matrices de solución
I@' La matriz exponencial e/A es la matriz de transición para x' = Ax si A es una matriz de constantes y lO = O.
No hay nada especial en las funciones x1(t), ... , xn(t) utilizadas para formar un conjunto solución básico para el sistema x' =A(t)x. Cualquier conjunto de n soluciones de x' =A(t)x servirá, siempre que el wronskiano del conjunto sea diferente de cero en l. En los ejemplos de las secciones 7.5 y 7.6 se dan formas para construir el conjunto solución básico cuando la matriz del sistema A es constante. De aquí en adelante, la descripción se asemeja al material de la sección 7.8, por lo que sólo se da un resumen. En particular, si las columnas de una matriz X(t) forman conjunto solución básico para el sistema x' = A(t)x, entonces X(t) es una matriz básica de soluciones. Una matriz básica de soluciones X(t) es no singular para toda t en 1 puesto que det X(t) es el wronskiano, así que det X(t) t:- O en l. La matriz de transición <1>(t, to), t, to en 1, es la única matriz básica de soluciones para la cual <1>(to, to) = In" Si e es cualquier matriz de constantes no singular de n x n y X(t) es una matriz básica de soluciones, <1> puede obtenerse de cualquier matriz básica de soluciones X(t) como sigue: <1> = XCt)X-
1
(to),
t, to en 1
(4)
En el caso importante donde la matriz del sistema A tiene elementos constantes, los métodos de las secciones 7.5 y 7.6 son suficientes para encontrar <1>(t, to), que de hecho es e(t- to)A . Para un sistema lineal con una matriz A(t) que varía con el tiempo es difícil encontrar una fórmula explícita para <1>, pero aquí se da un ejemplo en el que puede construirse <1>. x' = (- Ix + y)/{l - /2), x(O) = 5,
y' = (x - ty)/(l - /2) Iy(O)1::::: 8 15
x - 5 - - -- 15
-3
-5
15
~
"'
Y -5 - 15
-5
-3
- 1
- - -5
x
Figura 7.11.1 La envolvente de órbitas en línea recta se asemeja a una parábola (ejemplo 7..11.1).
Figura 7.11.2 Las curvas de solución en línea recta no "ven" singularidades en t = ±1 (ejemplo 7.11.1).
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513
7.11 / Teoría general de sistemas lineales
Ejemplo 7.11.1
Matriz de transición si A (t) es no constante En el sistema lineal no autónomo ni forzado (definido por Itl < 1) x,=_l_(-tx+y)
1- t 2
(5)
y,=_l_(x_ty)
1-t 2
tiene una solución, x = 1, Y = t, Y una segunda solución, x = t, Y = 1, como se demuestra por cálculo directo. Las dos soluciones tienen un wronskiano que no se anula y, por tanto, forman un conjunto solución básico. De la fórmula (4) la matriz de transición para el sistema (5) es _ 1 tIto <1>(t, t o )- t I t o 1
[ ][ J
~ ¿Por qué al parecer las órbitas son tangentes a una curva?
-¡
_ 1 - 1- t
6
[1 -
tto t - to t-t o 1-tto
]
(6)
donde t Y to se encuentran en el intervalo (-1, 1). Obsérvese que <1>(to, to) = 12 , En las figuras 7.11.1 y 7.11.2 se muestran las gráficas de las órbitas y las curvas componentes del sistema (5). La matriz de la transición tiene varias propiedades importantes descritas en el teorema siguiente:
Teorema 7.11 .4
~ La matriz de transición toma el estado inicial a lo largo de la solución para el estado en el instante t.
Propiedades de la matriz de transición. Supóngase que <1>(t, to) es la matriz de transición para x' = A(t)x, donde los elementos de la matriz A de n x n son continuos en algún intervalo común 1 de t, y t, to son puntos cualesquiera en 1. Entonces: Identidad: <1>(to, to) = In' la matriz de identidad. Derivada': <1>'(t, to) = A(t)<1>(t, to)· Matrices básicas: <1>(t, to)B es una matriz básica de soluciones para cualquier matriz constante B no singular de n x n. Forma de transición de x O a x(t) : El PVI x' = A(t)x, x(to) = xO tiene una solución única dada por x(t) = <1>(t, t o) xO. Producto: <1>(t, to) = <1>(t, t¡)<1>(t¡, to), para toda t, to, tI en 1. Inversa: <1>-I(t, s) = <1>(s, t) , para toda s, ten 1.
Las primeras cuatro propiedades se deducen de inmediato de la definición de <1>. Las otras se demuestran como sigue: Producto: X¡ = <1>(t, to) y X2 = <1>(t, t l )<1>(t l , to) son solución del mismo PVI de matrices, X' = AX, X(t l ) = <1>(t 1, to)' Entonces, por unicidad, XI = X 2 . Inversa: utilice las propiedades del producto y de la identidad para demostrar que <1>(t, s)<1>(s, t) es la matriz identidad para toda s, t en el intervalo l .
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Sistemas linea les de ecuaciones diferencia les
Variación de parámetros De acuerdo con nuestro plan para resolver el PVI forzado x' = A(t)x + F(t), x(to) = xO, el siguiente paso es encontrar una solución particular x.d(t) del sistema forzado. Cualquier solución servirá; puede usarse la matriz de transición para llevar a cabo la construcción exactamente de la misma manera que en el teorema 7.8.3
Teorema 7.11.5
Variación de parámetros para sistemas forzados. Supóngase que (t, to) es la matriz de transición para x' = A(t)x, t, t o en el intervalo 1, donde los elementos de A(t) son continuos en l . Entonces, para cualquier función vectorial F(t) cuyos componentes son continuos en 1, la función vectorial l
xd(t)=(t, to)ft (to , S)F(s)ds=f (t, s)F(s)ds ro lo
(7)
es la única solución del PVI x'=A(t)x + F(t),
(8)
x(to) = O
Las integrales de (7) actúan sobre las funciones vectoriales componente por componente. Obsérvese que la segunda igualdad en la fórmula (7) es una consecuencia de la propiedad del producto de matrices de transición: (t, to) <1> (to, s) = (t, s). Ahora podemos resolver el problema central para sistemas de EDO lineales como hicimos en el teorema 7.8.4.
Teorema 7.11.6
Solución de un sistema lineal.Supóngase que (t, to) es la matriz de transición para x' = A(t)x, donde los elementos de A(t) son continuos en un intervalo 1, y t, t o están en I. Entonces la solución general de x' = A(t)x + F(t), t en 1, es
r
x(t) = (t, to)c +(t,t o )
(to , s)F(s)ds
(9)
lO
donde c es cualquier vector constante y el to es cualquier punto en l. La solución del PVI x' = A(t)x + F(t), x(to) = xo, t O en 1, es x(t)
(t, t o )x
O
+
(t, to)
r
(to, s)F(s)ds
(10)
lo
R~spuesta
total
Respuesta a los datos iniciales
+
Respuesta a la fuerza motriz
En las formulas (9) y (10) se requiere primero de la construcción anterior de la matriz de transición <1> (no siempre es fácil para un sistema lineal general) y después de la integración de los componentes del vector F (también no siempre es fácil).
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515
7.1 1/ Teoría general de sistemas lineales
Ejemplo 7.11.2
Resolución de x'
= A(t)x + F(t)
En relación con el ejemplo 7.11.1, por la fórmula (10) se observa que la solución del PVI
X'=~(-tX +y)+F¡(t),
x(O) =a
yl =~(x-ty)+ F2(t)
y(O) =b
1-t
1-t
en el intervalo 1, Itl < 1, es
donde por la fórmula (6)
n,
[1t~~ {~:s ]
Éste es un caso donde la fórmula (9) no es tan formidable .
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ 1.
(Conjunto solución básico.) Demuestre que hay un conjunto solución básico para el sistema lineal de EDO x' = A(t)x, donde los elementos en A son continuos en un intervalo 1 de t. [Sugerencia: supóngase que ui es el vector columna de n con 1 en el j -ésimo lugar y O en los demás lugares. Aplique el teorema 7.1 L 1 para mostrar que cada uno de los n PVI x' = Ax, xCto) = ui,j = 1,2, ... , n, tienen solución única. Denomine a estas soluciones Xl, ... , xn y considere W[x l , . .. , xn]Cto)']
2.
Considere el sistema X'
(a) Demuestre que M Ct) =
=[_2~-2
2t~I]x'
t>O
[~: ~] es una matriz básica de soluciones para el sistema.
[Sugerencia: verifique directamente que cada vector columna de M(t) es una
solución del sistema.] (b) Encuentre la matriz de transición O. [Sugerencia : utilice M(t) y la ecuación (4).] Compruebe que - I(t, to) = Cto, t) si t, to > O. (e) Demuestre que el sistema del inciso (a) es equivalente a la ecuación de Euler: En el problema 4 de la sección 3.7 se amplía la información acerca de las EDO de Euler.
1&
3.
t 2y" -2 ty' +2y=0.
Considere el sistema -1
x' = t [
g
2~-1O -t--=~l x, tI
t>O
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Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
~2
4.
-t 1
(a) Demuestre que M(t}= [h es una matriz básica de soluciones para el sistema. O O t (b) Encuentre la matriz de transición O. [Sugerencia: utilice M(t) y la ecuación (4).] Resuelva los PVI siguientes: (a) x' = [_~
6] x + [~~~ ~~J,
x( 0)= [ ~ ] , úJ"F O. ¿Existen valores de úJpara los que
la respuesta del sistema no sea acotada?
=[_2~-2 2;- llx+ ¡~!] ,
X(1)=[8], t > O. [Sugerencia: [t 2 2t son soluciones del sis ema no forzado.]
(b) x'
- 1
_:-2
(e) x' = [
5.
6.
www 7.
t- 3
,8, ]x+ [::],
8.
9.
[?l'> O
[Sugerenáa [11
y [t
01', [O, Ir,
y [O o t)T son soluciones del sistema no forzado.] Supóngase que A(t) es una matriz real de n x n. n (a) Si x'(t) = A(t)x(t) y (ZT(t»)' = - ZT (t)A(t), demuestre que L ¡=I x¡ (t)z¡ (t) =ZT(t)x(t) , , T es constante para toda t. [Sugerencia: (ZTx) =(ZT) x + Z x' = O.] (b) Digamos que A es antisimétrica [es decir, A(t) = -AT(t)]. Demuestre que IIx(t)1I es constante para toda t si x'(t) = A(t)x(t); es decir, demuestre que cada órbita de esta ecuación diferencial se encuentra en una "esfera" de radio Ilx(O) 11 en el espacio de estados centrado en el origen. Supóngase que los elementos de la matriz A tienen periodo común T. Demuestre que si O. (a) Demuestre que X(t) =
•
x(I) =
r Ir
[t2t 1t] es una matriz básica de soluciones. 2
(b) Encuentre O. (e) Trace las curvas componentes y las órbitas para el sistema del inciso (a), con los datos iniciales x(l) = 1, y(l) = -5, -4, ... ,4,5. Demuestre que el método descrito en el problema 8 de la sección 3.7 es un caso especial del teorema 7.8.3. [Sugerencia: transforme la EDO escalar de segundo orden y" + a(t)y' + b(t)y = f al sistema u' = v, v' = -bu - aV + f, donde u = y, v = y'.] (Otro enfoque para la variación de parámetros.) Demuestre el teorema 7.8.3 y suponga que x' = A(t)x + F, x(to) = O, tiene una solución de la forma x =
propiedades de y demuestre que el e'
=
JI
IF(s)ds si c(to)=O.]
http://carlos2524.jimdo.com/ es 3
wí a
=-w2w3 wí=w1w3 w3= w1w2/3
2 1
y
O w3 -1
e
Capítulo
8
-2
-:n T
t)
Las órbitas de velocidad angular en la elipsoide muestran que una raqueta de tenis puede girar permanentemente cerca de dos de sus ejes, pero no del tercero. Compruébelo con una raqueta. En la sección 8.3 y en el ejemplo 8.4.8 se ofrece una explicación de tal fenómeno.
Estabilidad
Esperamos que los sistemas y estructuras de la vida cotidiana sean estables. Empuje un poco un sistema para sacarlo de su equilibrio y se quedará cerca o incluso volverá a ese estado. En este capítulo traduciremos esta idea informal de estabilidad en términos matemáticos y daremos las pruebas para la estabilidad que pueden aplicarse a procesos naturales modelados por los sistemas autónomos de EDO.
8.1
Estabilidad de sistemas lineales Supóngase que un péndulo simple amortiguado está suspendido en reposo. La pesa permanecerá así en la denominada posición de equilibrio. Golpéela ligeramente y observe sus amplitudes decrecientes conforme oscila y tiende a su posición original. Se dice que esa posición es asintóticamente estable. Ahora equilibre la pesa en reposo en posición vertical hacia arriba. La perturbación más ligera envía a la pesa hacia abajo y lejos, de modo que la posición de equilibrio hacia arriba recibe el nombre de posición inestable. Por último, engrase el punto de apoyo, coloque el péndulo en un recipiente de vidrio alto y extraiga el aire de modo que se tenga un péndulo simple sin fuerzas de amortiguamiento. Suelte la pesa desde un ángulo de rc/3 radianes y oscilará periódicamente sin el decrecimiento respecto a la posición de equilibrio hacia abajo. En este caso, se dice que el equilibrio hada abajo es neutralmente estable.
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Con las propiedades de estabilidad de un sistema se describe el comportamiento de largo plazo de algunas soluciones.
Il&
En esta sección traduciremos estos conceptos informales de estabilidad e inestabilidad en términos matemáticos; estableceremos los criterios de las estabilidades asintótica y neutra, así como de la inestabilidad de un estado de equilibrio de un sistema autónomo lineal. Luego daremos algunos ejemplos. En la próxima sección veremos los criterios de estabilidad para el equilibrio de un sistema autónomo aproximadamente lineal y retomaremos el modelo del péndulo.
Estabilidad Supóngase que la función de n vectores j(x) es continuamente diferenciable en lR". De acuerdo con el teorema fundamental (teorema 5.2.1), el PVI Asintóticamente estable
Neutralmente estable
x' = j(x),
x(O) = xO,
(1)
xO en lR"
tiene sólo una solución extendida al máximo que se denota con x(t, xO). En lo subsiguiente supondremos que las soluciones de x' = ¡(x) son extendidas al máximo siempre y están definidas para t;::: O. Las soluciones más simples del sistema (1) es las soluciones de equilibrio , x = p para toda t dondef(p) = O. La órbita de una solución de equilibrio es un punto de equilibrio en el espacio de estados. Expliquemos lo que queremos dar a entender cuando decimos que un sistema es estable en un punto de equilibrio. Primero, sin embargo, recordemos que Ilx - pll denota la distancia entre los puntos x = (xl' . .. ,xn ) y p = (PI' ... Pn) en el espacio de estados, de modo que
La definición siguiente es de importancia central para todo lo que se hace en este capítulo. Inestable
.:. Estabilidad. El sistema x' = ¡(x) es estable en un punto de equilibrio p si para cada número positivo e hay un número positivo (j tal que: Si IIxO - p ll < (j
Inestable
¡ Pr ec au c i ó n ! Algunos puntos de atracción son inestables. Revi se el problema 6.
Il&
entonces IIx(t, xO) - pll < e,
para toda t;::: O
El sistema es asintóticamente estable en p si es estable en p y IIx(t, xO) - pll ~ O [es decir, x(t, xO) ~ p] cuando t -7 + 00 para todos los puntos.xü cerca de lapoEl sistema es neutralmente estable en p si es estable en p, pero no asintóticamente estable. El sistema es inestable en p si no es estable en p. Por tanto, estabilidad significa que si una órbita empieza dentro de la distancia (j del punto de equilibrio p , a partir de ahí la órbita permanece dentro de la distancia e de p. Se, dice que un punto de equilibrio p es un .punto de atracción si IIx(t, xO) - p ll ~ O cuando t -7 + 00 para toda xO cerca de p. Así, el sistema es asintóticamente estable en p si es estable en p y p es un punto de atracción. El sistema está neutralmente estable en
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519
8.7/ Estabilidad de sistemas lineales
1.0 /
/
-
-c,
-,
/
-,
1.0
//
-,
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\
I
I
0.5
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I
I
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I
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/ I I I \ 1 \
\ \ I I I 1 / /
~ O.
\
o
I
\
I
\
I
\
\ -,
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\
\ \
\ \ \ I I I I I I I I I I I
\
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x'=y y'=-4x
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1.5
X
Figura 8.1.1 Estabilidad asintótica: órbitas que empiezan Figura 8.1.2 Estabilidad neutra: las órbitas que más cerca del origen que E permanecen más cerca que E empiezan (en los puntos sólidos) más cerca de (O, O) y tienden al origen cuando t ~ +00 (ejemplo 8.1.1). que permanecen más cerca que E pero no se aproximan a (O, O) [ejemplo 8.1.2].
o
P si es estable en p, pero p no es un punto de atracción. Inestabilidad significa que para algún número positivo Eo existen puntos q arbitrariamente cerca de p con la propiedad de que en algún instante futuro T el punto x(T, q) está más lejos de p que la distancia Eo' En los diagramas al margen se ilustran estas ideas. A veces se dice que "el punto de equilibrio p es asintóticamente estable [o neutralmente estable o inestable]" sin referirse al sistema x' = f(x). De otro modo, se diría que "el sistema es estable [o inestable]", pero tendría que tenerse cuidado con relación al uso de expresiones como ésta porque el sistema podría ser estable en un punto de equilibrio e inestable en otro.
Ejemplos En los ejemplos siguientes se ilustran las propiedades de estabilidad e inestabilidad.
Ejemplo 8.1.1
Un sistema lineal asintóticamente Comprobemos
estable
las condiciones para la estabilidad asintótica del sistema lineal x'=-x,
y' = -2y
(2)
al punto de equilibrio (O, O). La solución general es son dos constantes cualesquiera
(3)
La distancia r del punto orbital (x(t), y(t)) al origen es
(4)
11
'I'k
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520
En virtud de que los términos exponenciales en (4) se reducen a O cuando t ~ + 00, también lo hace r(t). Esto significa que para todo número positivo e puede tomarse 8 = e en la definición de estabilidad: Si [x 2 (O) + i(O)i/ 2 < 8 = e, entonces [x 2 (t)+i(t)]1I2 < e, para toda t"2 O y el sistema (2) es estable en el origen. En la figura 8.1 se muestra el círculo de radio e con centro en el origen. Las órbitas con puntos iniciales dentro del círculo permanecen dentro conforme transcurre el tiempo. El origen también es un punto de atracción, ya que r(t) ~ O cuando t ~ + 00, de modo que el sistema (2) es en realidad asintóticamente estable en el origen. En el ejemplo siguiente se trata un sistema que es neutralmente estable.
Ejemplo 8.1.2
Estabilidad neutra de un resorte amortiguado regido por la ley de Hooke El movimiento no forzado de un cuerpo de masa m suspendido por un resorte regido por la ley de Hooke, con una constante positiva k y ningún amortiguamiento, queda descrito por la EDO mx" +kx = O El sistema lineal equivalente de primer orden es
x' = y,
y' =-(k / m)x
(5)
Utilicemos el método presentado en la sección 1.7 para encontrar las ecuaciones de las órbitas del sistema (5). Al dividir y' entre x' se obtiene la EDO separable dy/dx = - kx/(my). Al separar las variables y resolver se obtienen las ecuaciones para las órbitas
donde e es cualquier constante positiva. Así, las órbitas forman una familia de elipses centrada al origen, que constituye el punto de equilibrio del sistema (5). Se utilizarán estas elipses para mostrar que el sistema (5) es estable en el equilibrio. Supóngase que e es cualquier número positivo y construya el círculo de radio e respecto al origen. Dados los valores para k y m, hay un valor de e tal que la órbita elíptica definida por (6) toca el círculo de radio e desde el interior. Ahora elija el número positivo 8 de modo que el círculo respecto al origen de radio 8 toque la elipse desde el interior. Según como estén definidos la elipse y el círculo de radio 8 se ve que cualquier órbita con punto inicial dentro del círculo de radio 8 queda dentro de la elipse para toda t y, por consiguiente, dentro del círculo de radio e.
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521
8.1/ Estabilidad de sistemas lineales
x'=x,
y' = -2y
x' = - x - 20y - O.lx (.xl + y2 + Z2) y'= 20x-y-O.ly (x2 + y2 + Z2) Z' = - z - O.lz (x2 + y2 + Z2)
1.0
1.
o
0.5 0.5
0.0 ?-,
Z
0.0 -0.5
'r1. . o -0.5
X
-1
o
-2
-1
Y
X
Figura 8.1.3 Sólo dos órbitas de este sistema inestable son atraídas hacia el origen (ejemplo 8.1.3).
Figura 8.1.4 Las órbitas del sistema asintóticamente estable giran en espiral hacia el centro desde los puntos iniciales (ejemplo 8.1.4).
En la figura 8.1.2 se muestran los círculos de radios E. y 8, así como la elipse construida para k = 4 Y m = 1. Las dos órbitas elípticas más pequeñas de la figura comienzan dentro del círculo de radio 8 (8 = 1/2) a los puntos (0.15, O) Y (0.35, O) Y permanecen dentro del círculo de radio E. (E. = 1) todo el tiempo.
Ejemplo 8.1.3
Sistema lineal inestable
Considérese el sistema x' = x, y' = -2y. Algunas soluciones de este sistema son de la forma x = ae', y = O, donde a es cualquier constante positiva, y crecen sin límite cuando t-¿ +00. Esto significa que sin importar cuán pequeño sea el círculo centrado en el origen, hay órbitas que empiezan dentro de él en t = O pero si no están acotadas cuando t -¿ +00, así que el sistema es inestable (figura 8.1.3). En los ejemplos anteriores se manejan planos y líneas, pero los conceptos de estabilidad se aplican en cualquier dimensión y también a los sistemas no lineales. A continuación se da un ejemplo.
Ejemplo 8.1.4
Sistema no lineal asintóticamente
estable con tres variables de estado
El origen es un punto de equilibrio para el sistema no lineal x' = -x-20y-0.1x(x2
+ i + Z2)
y' = 20x- y- 0.ly(x2 +
i
Z' = -z-0.lz(x
2
+i
+Z2)
+ Z2)
(7)
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y el sistema es asintóticamente estable en el origen. A continuación se explica por qué. No se tiene fórmula de solución para el sistema (7), de modo que se aplica un método indirecto para determinar la estabilidad en el origen. Sea p(t) la distancia [x 2 (t) + (t) )+ (t) + z2(t)i12 de un punto orbital (x(t), y(t), z(t» al origen. Si se deriva p(t) por medio de la regla de la cadena y las funciones de tasa de cambio en (3), se tiene
i
i
p'(t) =
t
~[x2 + i + z 2
12
[2xx' + 2yy' + 2zz']
= p1 [- x 2 - y 2 - z2 - O. l( x 2 +y 2 +z 2)2]
1 2 4 3 = - p(p +O.lp ) - p - O.lp
Puesto que p
~
O, se tiene p'+p = 0. lp 3 ~O
Si se multiplica cada miembro de esta desigualdad por el "factor de integración" et se observa que
Esto indica que p(t)e t es una función que no crece cuando t aumenta y, por tanto para t
~
O
o, resolviendo para p(t), p(t) ~ p(O)e- t Por consiguiente, se ha demostrado la estabilidad asintótica sin usar fórmulas de solución.
lI@f
Esta última desigualdad indica que la distancia del punto orbital (x(t), y(t), z(t» al origen disminuye en forma exponencial a O cuando t -7 + oo. Así, para cualquier número positivo e puede establecerse O= e y satisfacer el criterio de estabilidad. El origen también es un punto de atracción, ya que p(t) -7 O cuando t -7 + oo. Esto significa que el sistema (7) es asintóticamente estable en el origen (figura 8.1.4). Lacuenca de atracción de un punto de equilibrio asintóticamente estable p es el conjunto de los puntos xO tales que ¡¡x(t, xo) O cuando t -7 + oo . La estabilidad asintótica en p es global si la cuenca de atracción es todo el espacio de estados y es local en caso contrario. El origen en el ejemplo 8.1.4 es global y asintóticamente estable; su cuenca de atracción es llt3 . Un sistema puede tener varios puntos de equilibrio, y podría ser estable en algunos e inestable en otros. El ejemplo siguiente es unidimensional.
pll-7
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8. 1 / Estabilidad de sistemas linea les
Ejemplo 8.1 .5
EDO con puntos de equilibrio estables e inestables El PVI en una variable de estado X'
1
o
ejex
= (l - x)x,
x(O) = Xo
(8)
es un PVI logístico con el eje x como el espacio de estado; por tanto, las órbitas de la EDO (8) se sitúan en el eje x; p = O YP = 1 son los puntos de equilibrio. Las técnicas de análisis de signos de la sección 2.2 indican que cuando t -7 + 00, la solución x(t, xo) del PVI (8) se aproxima a 1 si X o > O. La EDO es local y asintóticamente estable en p = 1, con el intervalo x > O como cuenca de atracción. De manera similar, si X o < O, entonces x(t, x o) se aleja de O cuando t aumenta. La EDO es inestable en p = O. En la línea de estados al margen se ilustran de manera sucinta todas estas propiedades. Hasta el momento, nuestro método para probar la estabilidad ha ido caso por caso. Por suerte, hay pruebas de estabilidad que se aplican a categorías generales de sistemas. La primera se ocupa de los sistemas lineales autónomos no forzados.
Sistemas lineales y estabilidad No es accidental que algunos de nuestros ejemplos sean sistemas lineales de coeficientes constantes, pues con ellos se tienen los ejemplos más simples de estabilidad e inestabilidad que surgen con frecuencia en las aplicaciones. El siguiente criterio de estabilidad para los sistemas lineales es una consecuencia del análisis en la sección 7.9.
Teorema 8.1.1
Propiedades de estabilidad de un sistema lineal. Supóngase que A es una matriz de n x n de constantes reales. Para cada valor característico Ade A, digamos que m A representa la multiplicidad de A y dA la dimensión del espacio característico de A. Entonces: 1. 2.
lJ@f' Con los valores característicos de A se sabe todo acerca de la estabilidad y el comportamiento de largo plazo de la EDO x' = Ax.
3.
El sistema x' = Ax es global y asintóticamente estable en el origen si y sólo si todo valor característico de A tiene parte real negativa. El sistema x' = Ax es neutralmente estable en el origen si y sólo si • Todo valor característico de A tiene parte real no positiva, y • Por lo menos un valor característico tiene parte real cero y dA = m A para todo valor característico A con parte real cero. El sistema x' = Ax es inestable en el origen si y sólo si • Algún valor característico de A tiene parte real positiva, o bien • Hay un valor característico A con parte real cero y dA < mk
Revisemos el número 1. Si los valores característicos de A tienen partes reales negativas, entonces por la estimación de decaimiento (teorema 7.9.4) hay una constante negativa a y una constante positiva M tales que para todo t ¿ O,
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524
para toda solución x(t, xO) de x' = Ax. En la definición de estabilidad, e/M para cada E> O. Se observa que si IlxOlI < d M, entonces
tómese
9=
y el origen es estable. El origen es un punto de atracción global puesto que e" ~ O cuando t ~ + 00; en consecuencia, el sistema es global y asintóticamente estable, y se ha comprobado la parte "si" de 1. La cuenca de atracción del origen es todo el espacio de estados. Consideremos ahora el número 3. Supóngase que A tiene un valor característico íL = a + if3 con parte real positiva a. Si v es un vector característico correspondiente, entonces x = ce'" Re[eifitv] es una solución con vales reales para cualquier constante real c. Corno Ilx(t)11 = iciea11lvll ~ 00 cuando t ~ + 00, el sistema x' = Ax es inestable en este caso. Ahora digamos que a = O Y dA < mA para algún valor característico íL; por el teorema 7.6.4 hay soluciones de x' = Ax que incluyen términos de la forma l Re[ eifit cv] para algún entero positivo k donde e es cualquier constante real. En virtud de que icltk Ilvll ~ 00 cuando t ~ + 00, el sistema tiene soluciones no acotadas cuando t ~ + 00 y, por tanto, es inestable. Con esto se comprueba la parte "si" de 3. Omitiremos la comprobación de las otras partes del teorema. El teorema 8.1.1 se aplica a los ejemplos 8.1.1 a 8.1.3. Debido a la naturaleza de los valores característicos de las matrices del sistema de estos ejemplos, el origen es, respectivamente, un nodo impropio global y asintóticamente estable (valores característicos -2, -1), un centro neutralmente estable (valores característicos ±i~k / m) y una silla inestable (valores característicos -2, 1). A veces puede considerarse una matriz A y deducir las propiedades de estabilidad del sistema x' = Ax sin mucho esfuerzo. En seguida se dan algunos ejemplos.
/,. Ejemplo 8.1.6
Formas de determinar la estabilidad sin mucho esfuerzo Determinemos las propiedades de estabilidad de estos sistemas lineales autónomos en el punto de equilibrio, que en este caso es el origen: (a)
(e)
x'=
[-10 300 1lj -9 -5 -4
[O
20 11
2 O]
x' = -2 O O x O O -3
x
(b)
(d)
x'=
x
'
[-10
-3 -1
-1 =[ O g
4 -15
-5] 10 x
8 -10 1 O O O O O O -1
Es
~l x
El sistema (a) es inestable porque la traza de la matriz es -10 + 20 - 9 = +1, así que por lo menos un valor característico tiene una parte real positiva (teorema 7.9.8). El sistema
~ L; bloques la secci
(a)
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8. 1 / Estabilidad de sistemas linea les
(b) es global y asintóticamente estable porque los discos de los renglones de Gerschgorin para la matriz (teorema 7.9.9) quedan dentro de la mitad izquierda del plano complejo, de modo que los valores característicos tienen partes reales negativas. El sistema (e) es neutralmente estable porque la estructura del bloque de la matriz indica que sus valores característicos son ±2i y -3 (véase la página 435). El sistema (d) también es neutralmente estable. La estructura de bloques indica que i y - i son valores característicos dobles y cada espacio característico tiene la dimensión completa, es decir, mA. = dA. = 2.
~ Las matrices de bloques se definieron en la sección 7.2.
Comentarios Las conclusiones del teorema 8.1.1 también se cumplen para el sistema lineal autónomo z' = A(z - p) que tiene un punto de equilibrio en p; simplemente traslade p al origen mediante el cambio de variable x = z - p y aplique el teorema 8.1.1 a x' = Ax.
Problemas 1.
(Propiedades de estabilidad y visuales.) Decida si los sistemas cuyas órbitas se muestran son asintóticamente estables, neutralmente estables o inestables en cada uno de los puntos de equilibrio de las figuras. Dé explicaciones informales (es decir, no tiene que usar oy E). (b)
(a)
ll lo 1
osI ool~~-osI
0. 0
-j .O
-1 0
J,~.,L..L..)..J....l....l.")"I"IL.l....L..L-J,-"-,-,,~
-2
•
2.
(Estabilidad neutra.) Demuestre que cada uno de los sistemas siguientes es neutralmente estable en el origen. Grafique los retratos de las órbitas cerca del origen. (a) x' = 2y, y' = -8x
•
3.
(b) x' = O, y'=_y3
(e) x' = y, y' =-x , Z' =_Z3
(Estabilidad asintótica.) Explique por qué cada sistema es asintóticamente estable en el origen. ¿Es global la estabilidad asintótica? Trace los retratos (en el espacio de estados) de las órbitas cerca del origen. [Sugerencia: las gráficas de los incisos (a) a (e) serán líneas de estado.]
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8.2/
(a) x' =-x
(b)
(e) x' = -senx
(d) x'
(e) x' = x-3y, (g) x' = -2x3,
(i) x'=-x3,
un
In:
4.
y' = 4x-6y
y'
(f) x'=-x+4y,
y' = -5y y'=_y3
(h)
x'
(j)
X
= -3y y'=-3x-2y
= -x+y+z,
,
y'
= -2y, z' = -3z3
,
=-x-y,
y =x-y,
I
Z
3
=-z
(Un punto de atracción estable.) Use coordenadas polares para mostrar que el sistemax' =-x-lOy-x(x2 + i), y' = lOx- y- y(x2 + i) es global y asintóticamente estable en el origen. (Inestabilidad.) Los sistemas siguientes son inestables en el origen. Explique por qué. Grafique las órbitas (en el espacio de estados) cerca del origen. Inserte puntas de flecha en las órbitas para mostrar la dirección de movimiento conforme transcurre el tiempo. [Sugerencia: las gráficas de los inciso s (a) a (e) serán las líneas de estado.] (a) x' = x2
(d) x'
(b) x' = senx
= 3x-2y,
(f) x'=x+y,
6.
= -4x,
y'
= 4x-
Y
1m
(e) x' = Ixl
(e) x'=3x-2y, (g) x'=x3,
y'=-x-y
Es
y'=2x-2y y'=-3y
(Un punto de atracción inestable.) En los incisos (a) a (e) se describen los pasos necesarios para mostrar que el sistema plano x' = x - y - x3 - xy2 + xy(x2 + i)-1I2, "=x+y_x2y_y3_x2(x2+i)-1I2 tiene un punto de atracción inestable en el punto de equilibrio x = 1, Y = O. (a) Demuestre que es equivalente al sistema r' = r(l- r2), e' = 1- cose, donde r, son las coordenadas polares en el plano xy. Resuelva las ecuaciones de tasa de cambio para r y e. (b) Demuestre que el punto x = 1, Y = Oes de atracción inestable. [Sugerencia: aplique el análisis de signos para mostrar que el círculo unitario consta del punto de equilibrio x = 1, Y = O Y una órbita que deja el punto conforme t aumenta a partir de -00 pero regresa a medida que t --7 + oo.] (e) Trace las órbitas del sistema xy en el rectángulo Ixl :::;;2, Iyl:::;;1.5.
e
1",
11 7.
Determine las propiedades de estabilidad de x' = Ax, donde A es la matriz dada. [Sugerencia: considere algunos de los criterios dados en la sección 7.9.] (a)
[-1 -2
(e) [~
(i)
-12J
-iJ
(b) [-3 lJ 2 -4 (f)
U
-2J -2
O 1 O O O 1 (j) [~ O O O O O O
[g 1 1]
(e) [1
-IJ 2 -2
(g)
[-lO1 -123 -1
-2
9
(h)
-5
O g -~ ~ -2OO] O
[8
óJ
-4] [-5 O -~]
[3-2
~] (k)
(d)
O 5 -3
(i)
O O O 3
[3-2 5 -3 O O
1 O]
O 1 O 3 -2 O 5 -3
o-
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8.2 / Estabilidad de un sistema casi lineal
8.2
Estabilidad de un sistema casi lineal La estabilidad de un sistema lineal autónomo queda plenamente determinada por la naturaleza de los valores característicos de la matriz del sistema (teorema 8.1.1). Pero ¿qué pasa si éste tiene algunas no linealidades "pequeñas"? ¿Qué sucede con la estabilidad en este caso? En el primer ejemplo se sugiere que la inclusión de no linealidades pequeñas puede no tener gran efecto en un sistema lineal asintóticamente estable.
Ejemplo 8.2.1
Resortes lineales y no lineales
Los dos sistemas planos x '=y,
y' = -101x-y
(1)
x'=y,
y' = -101x - y + x2
(2)
modelan, respectivamente, el movimiento de un resorte.regido por la ley de Hooke y un resorte no lineal, ambos fijos a una pared, con amortiguamiento viscoso y movimiento en vaivén sobre una plataforma horizontal. Cada sistema tiene un punto de equilibrio en el origen. El sistema (1) es lineal, de modo que pueden usarse los métodos de las secciones 7.7 y 8.1 para describir la naturaleza de sus órbitas y determinar sus propiedades de estabilidad. La matriz de coeficientes tiene el polinomio característico í\? + 2). + 10 1 Y valores característícos - 1 ± lOí, de modo que el origen es un punto en espiral global y asintóticamente estable. El sistema (2) es igual al (1) salvo para el término no lineal X2. Para Ixl, pequeño se espera que el término X2 tenga un efecto ligero en las soluciones comparado con el efecto del término 101x. Esto se corrobora en las figuras 8.2.1 y 8.2.2. Aunque al parecer el término X2 no cambia mucho las órbitas y las curvas soluGión cuando Ixl es pequeño, la historia puede ser completamente diferente cuando es grande.
x
1--j
o~----------~o
/
I
\
, \
Los términos y y 101x en los sistemas (1) y (2) tienen "orden 1", en tanto que x2 tiené "orden 2". Lo primero que debe atenderse en esta sección es definir qué significa "el orden de una función" y hacer lo necesario para definir el término "bola abierta" . Entonces es posible explicar qué significa un "sistema casi lineal" y determinar sus criterios de estabilidad.
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Estabilidad
Lineal (línea discontinua): x' = y, y' = -101x - Y No lineal (línea continua): x' = y, y' = -101x - Y + x2 x(O) = 0.1, y(O) = O
1.0
.,..
flll'
....
0.5 I
/
/
"'~'"
/
O. O
\ . (0.1, O) I I I I I
y'
= -101x = -10lx
- y - Y + x2
0.00
, r
, \
-0.5
y'
,
: I , I I I \
\\
~',
= y, = y,
0.05
> > >,
I
""
.
x' x'
,/'1
",
~
,/,,'/
..._-----------_ ....•..•..
",'....
lQf
-0.05
<,
\r
+-~--~~~--~--~~----~--~~--
-0.10
-0.05
0.00
0.05
respecti
0.10
x
Figura 8.2.1 Las órbitas de los sistemas lineal y no lineal del resorte permanecen juntas y se mueven en espiral hacia el origen asintóticamente estable (ejemplo 8.2.1).
Figura 8.2.2 Los componentes en x de los sistemas lineal y no lineal del resorte permanecen juntos cuando tienden a O (ejemplo 8.2.1).
Bola abierta, orden de una función El interior de un intervalo en la recta real, el interior de un círculo en l~? y el interior de 3 una esfera en R son ejemplos de una "bola abierta," la cual se define como sigue: 1"
n
lQf
B,(q) recibe el nom-
.:. Bola abierta en R . Supóngase que q es un punto en R" y r es un número posin tivo. Entonces el conjunto de puntos x en R a distancia de q inferior a r [toda x con n . IIx- qll < r] recibe el nombre de bola abierta en R de radio r con centro en q; se denota con Br(q).
bre de bola porque eso es lo que parece en 1R3. Es abierta
porque no están
incluidos sus puntos frontera.
Usamos 11·11 para denotar la distancia porque P, x y p pueden ser vectores.
lQf
De aquí en adelante emplearemos mucho el término bola abierta, pero a menudo sin menn cionar R • Consideremos ahora el concepto de orden de una función o función vectorial en un punto.
.:. Orden de una función. Supóngase que P(x) es una función para la cual P(P) = O. P(x) tiene orden k, k ~ O, en p si hay una constante positiva e tal que (3) para toda x en alguna bola abierta centrada en p.
p¡
ples, eo 20x2y2, igual al
'-----------------
-1.0
Est,
....••.....
///
Irl'
ti
- -------------
...
0.10
Lineal (línea discontinua): No lineal (línea continua): x(O)=O.l,y(O)=O
8.2/
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8.2/ Estabilidad de un sistema casi lineal
Obsérvese que si P tiene orden k, entonces P también tiene orden m para toda O < m < k. Los siguientes tres ejemplos son de funciones y sus órdenes en puntos particulares.
Ejemplo 8.2.2
Dos funciones vectoriales de orden 2 La función vectorial P(x, y) = [O x2 f tiene orden 2 en el origen x = O, Y = O porque
Para términos simples, como 3x2 , -lOOy3 o 20X2y2, el "ord~n" es igua! a! "grado", que es, respectivamente, 2, 3, 4.
trllf'
La función del vector columna P(x, y) = [x 2 + xy 31- x 2f también tiene orden 2 en el origen porque (usando las coordenadas polares r y e) IIP(x,y) II= [(x 2 + xy)2 + (31 _ x2)2]1I2
r
= [r 4(cos 2 e + cos 8 sen 8)2 + 4 (3sen 2e - cos 2 e )2 ]112 2 ::; r [(1 + 1)2
+ 32 ]112 = ..J13 r 2 = ..J13 (x 2 + l) = ..J13 11(x, y) 11 2
donde se ha utilizado la desigualdad del triángulo y el hecho que leos el ::; 1, Isen e l ::; 1. De la misma forma, adviértase que la función vectorial P(x, y) = [O - 5x 2l f tiene orden 5 en el origen. Al ampliar las técnicas del ejemplo 8.2.2 se observa que si los componentes de P son polinomios con términos constantes cero y si N es el menor grado de los términos que aparecen en el polinomio, entonces P tiene orden N en el origen. Así, por ejemplo, la función 3 vectorial P = [3 xy - / 2x l + 5y4] tiene orden 2 en el origen debido al término 3xy. Consideremos ahora el orden de un sistema lineal.
Ejemplo 8.2.3
Orden de A(x - p) Supóngase que x - p es un vector columna de n y A es una matriz constante de n x n distinta de cero. Entonces la función del vector columna A(x - p) es de primer orden en p. Ésta es una consecuencia de una propiedad de las normas para las matrices listadas en la sección 7.2: Si
IIAII = I
[aij [,
entonces IIA(x - p )11 ::; IIAII · Ilx - p ll
i ,j
En relación con la desigualdad (3), se advierte que es posible tomar e = IIAII, k = 1 en la definición de orden, así que el vector A(x - p) tiene orden 1 en p.
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Estabilidad
Ahora podemos definir los sistemas casi lineales y caracterizar sus propiedades de estabilidad.
Sistemas casi lineales y su estabilidad Supongamos que A es una matriz de n x n de constantes reales y consideremos los dos sistemas x' = A(x - p) x' = A(x-p)+P(x)
donde P(x) =[P¡ (x) ... Pn(x)]~ En seguida se da la definición de "casi lineal" . •:. Sistema casi lineal. Supóngase que P(x) es una función vectorial continuamente diferenciable, que P(P) = O Y que P(x) tiene por lo menos orden 2 enp. Entonces se dice que el sistema x' = A(x - p) + P(x) es casi linea! en p, en tanto que el sistema lineal x' = A(x - p) es la !illea fización en p. P(x) es una perturbación de orden superior del sistema linealizado. Es posible ilustrar estos conceptos mediante los resultados de los ejemplos 8.2.1 y 8.2.2.
Ejemplo 8.2.4
Sistema casi lineal y su linealización El segundo sistema del ejemplo 8.2.1 es x' = y
(4)
y' = -101x - y+x2
La perturbación de orden superior P(x, y) = [O x2 f tiene orden 2 en el origen (O, O), así que el sistema (4) es casi lineal en el origen. La linealización del sistema (4) en el origen se obtiene eliminando el término X2 del sistema (4) para obtener el sistema linealizado x' = y, y' = - 101x - y. En las figuras 8.2.1 y 8.2.2 se sugiere que las propiedades de estabilidad en el origen del sistema (4) y del sistema linealizado correspondiente son las mismas. El teorema siguiente indica que ése es el caso.
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8.2/ Estabilidad de un sistema casi lineal
Teorema 8.2.1
1& La demostración de
la parte 1 de este teorema se da en el manual de recursos para el estudiante en las notas de la sección 8.4; en la demostración se utiliza material de tal sección.
Estabilidad de un sistema casi lineal. Supóngase que A es una matriz de n x n con constantes reales. También supóngase que P(x) es función vectorial que es contin nuamente diferenciable en una bola abierta Br(P) en IR , que P(P) = O Y que P(x) tiene por lo menos orden 2 en p. Entonces el sistema casi lineal x' = A(x - p) + P(x)
(5)
tiene las propiedades de estabilidad siguientes: 1. El sistema es asintóticamente estable en p si todos los valores característicos de A tienen partes reales negativas. 2. El sistema es inestable en p si A tiene un valor característico con una parte real positiva. Esto significa que tenemos una prueba para las propiedades de estabilidad del sistema (5) en cualquier punto de equilibrio p. A continuación de dan los pasos de la prueba:
1& Por tanto, ahora sa-
bemos mucho acerca del comportamiento de largo plazo de un sistema casi lineal.
• Determine los signos de las partes reales de los valores característicos de A por: Cálculo directo. Un programa de computadora. Uno de los métodos descritos en la sección 7.9. • Concluya que: El sistema es asintóticamente estable en p si todos los signos son negativos. El sistema es inestable en p si por lo menos uno de los signos es positivo. Se necesita más información si algún valor característico tiene parte real cero, pero ninguno tiene parte real positiva. La alternativa "se necesita más información" surge porque el teorema 8.2.1 tiene un punto débil, pues no se ocupa de la situación donde uno o más de los valores característicos de A tiene parte real cero y ningún valor característico tiene parte real positiva. De hecho, como se indica en los problemas 4 y 11, en este caso los términos de orden superior en el sistema determinan las propiedades de estabilidad. Adoptaremos un método general para la estabilidad en la sección 8.4, con el que (en general) manejaremos casos de valores característicos con parte real cero. En el resto de esta sección se muestra cómo usar el teorema 8.2.1 para analizar y determinar las propiedades de estabilidad de sistemas casi lineales.
Estabilidad y la matriz jacobiana El teorema 8.2.1 es muy poderoso, pero ¿cómo se utiliza si se tiene un sistema cuya forma es distinta de la de un sistema casi lineal como el (5)? Ante esta situación se utilizan los desarrollos de Taylor y las matrices jacobianas, con los cuales el sistema de n vectores x' = f(x),
donde f(p) = O
puede escribirse en la forma de un sistema casi lineal en p.
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Estabilidad
1& Considere el teore-
ma B.5.l6 del teorema de Taylor para funciones vectoriales.
Supongamos que f(x) es al menos tres veces continuamente diferenciable en la bola B/p) . Entonces, por el teorema de Taylor se tiene f(x) = f(p) + J(p)(x - p) + P(x)
(6)
donde J(p) es la matriz [dfi /dXjJ p de n x n de las derivadas parciales de primer orden de los componentes de f(x) evaluados en x = p y se llama matriz jacobiana de f en p . El término residual P(x) en el desarrollo de Taylor es continuamente diferenciable en la bola B r(P) Y tiene por lo menos orden 2 en p . Puesto que se supone que f(p) = O, puede escribirse x' = f(x) en la forma de un sistema casi lineal en p. (7)
x' = f(x) = J(p)(x- p)+P(x)
Es posible aplicar el teorema 8.2.1 para determinar las propiedades de estabilidad del sistema (7) en p. Consideremos el sistema amortiguado del péndulo simple como primera ilustración de cómo puede aplicarse el teorema 8.2.1 y las matrices jacobianas.
Ejemplo 8.2.5 1& Revise en la sección 4.1 una explicación del movimiento del péndulo.
x
Estabilidad del péndulo simple amortiguado El sistema con el que se modela un péndulo simple amortiguado es x' = f(x,y)
=y
y' = g(x, y)
=-b sen x -
(8) ay
donde x es el ángulo desde la vertical y a y b son constantes positivas determinadas por la masa de la pesa, la longitud de la varilla yel coeficiente de amortiguamiento viscoso. Lo que nos interesa son las propiedades de estabilidad en los puntos de equilibrio (O, O) (el péndulo suspendido en reposo) y (n, O) (el péndulo equilibrado en posición vertical hacia arriba). Consideremos el punto de equilibrio en el origen. La matriz jacobiana (o el jacobiano) del miembro derecho del sistema (8) evaluada en el origen es . J O O _[df/dX ( , ) - dg/dX.
df/d y ] · -[ O dg/dy ( O, O) - -b cos x
lJ
- a
_[ O ( O, O) -
-b
El polinomio característico de J es A2 + aA + b Y sus valores característicos son 1
/1.,1 ,2
=
_E.+!( 2 - 2 a 2 _4b)l/2
Puesto que a y b son positivos, ambos valores característicos tienen partes reales negativas. Para la mayor parte de los péndulos la constante a es pequeña en comparación con b, así que (a 2 - 4b)l/2 es imaginario. Esto significa que Al y A2 son conjugados complejos donde la parte real es el número negativo -a/2. Supondremos esto de ahora en adelante.
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8.2/ Estabilidad de un sistema casi lineal
Lineal (línea discontinua): x' =y. y' =-y - 10 sen x No lineal (línea continua): x' = y. y' = -y - lOx 10
Lineal (línea discontinua): x' = (4 - 2x + y)X. y' = (4 + x - 2 y)y No lineal (línea continua): x' = -8(x - 4) + 4 (y - 4), y' = 4 (x - 4) - 8(y - 4)
(0.10) (0,7)
'\\
\\
\ \
\ \ \ \ \ I I I I
I
I
/ -5
........
_---_...... '"
/'
- 10 .¡.........--+----+----+-----+--~ -2
x
x
Figura 8.2.3 El punto inicial (0,7) está suficientemente cerca de (O, O) para que la órbita no lineal (línea continua) y la linealizada (línea discontinua) tengan el mismo comportamiento; no así para las órbitas que pasan por (0, 10) [ejemplo 8.2.5].
Figura 8.2.4 Algunas órbitas del sistema no lineal (11) (línea continua) y del sistema no linealizado (línea discontinua). Todas las órbitas de trazo discontinuo tienden a (4, 4) cuando t -7 +00, pero una de las órbitas continuas tiende a (2, O) [ejemplo 8.2.6].
A continuación hemos de encontrar la .perturbación de orden superior mediante el desarrollo de Taylor del miembro derecho del sistema (8) respecto a Xo = 0, Yo = O. La función infinitamente diferenciab,le -b sen x es el único término no lineal. Ahora el desarrollo de Taylor de sen x respecto a X o = es
°
-b senx=-b sen O-b(cos 0)x+P2 (x) =x+P2 (x) La función residual Pix) es continuamente diferenciable en x (puesto que sen x posee todas las derivadas) y en realidad tiene orden 3 en x = O. Por tanto, es posible escribir el sistema (8) como un sistema casi lineal respecto a (O, O):
(9) El sistema linealizado en (O, O) es (10) Como los valores característicos de J tienen partes reales negativas, el sistema (8) es asintóticamente estable en (O, O) por el teorema 8.2.1 y, por ende, también su sistema linealizado (lO) . Puede decirse mucho más al respecto. No sólo·son las mismas las propiedades de estabilidad de los sistemas (8) y (10) en el origen, sino que las órbitas se comportan de manera similar. Ambos conjuntos de órbitas que empiezan cerca del origen describen espirales que se acercan al origen; las órbitas de ~ y (10) que empiezan en el mismo punto permanecen
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534
Estabilidad
juntas con~orme aumenta t (figura 8.2.3). Pero todo se trastorna si las órbitas de (8) y (10) empiezan en un punto a cierta distancia del origen. Por ejemplo, la órbita linealizada de (O, 10) gira en espiral hacia (O, O) cuando t ~ +00, como debe ser para las órbitas del sistema (10), pero la órbita no lineal que empieza en (O, 10) tiene tanta energía cinética que se pasa y no se acerca el origen en absoluto (figura 8.2.3). Estos métodos de estabilidad pueden aplicarse a los modelos no lineales de resortes rígidos y suaves de la sección 3.1 Y a muchos de los modelos de especies que interactúan del capítulo 5. Consideremos de nuevo estos últimos modelos.
Ejemplo 8.2.6
Propiedades de estabilidad de un modelo de cooperación La interacción cooperativa entre dos especies autolimitantes se modela con el sistema
x' == (4 - .2x + y)x
Presentamos este sistema en el ejemplo 5.3.2. I@'
(11)
y' == (4+x-2y)y .
Las órbitas mostradas en la figura 5.3.2 sugieren que el sistema es inestable en los puntos de equilibrio (O, O), (2, O), Y (O, 2), pero asintóticamente estable en el punto (4, 4), también de equilibrio. Para verificar estas propiedades de estabilidad encontraremos valores característicos del jacobiano del sistema (11) en cada uno de los puntos de equilibrio y emplearemos el teorema 8.2.1. Cuando el sistema (11) se escFibe en la forma casi lineal en cualquiera de sus 'puntos de equilibrio, .las perturbaciones de orden superior siempre tienen grado 2 en el punto de equilibrio. El jacobiano en un punto general (x, y) es J(x ,y) ==
[
4-4X + y x] y 4 - 4y+x
Los jacobianos en los puntos de equilibrio (O, O), (2,,0), (O, 2) Y (4,4) son
[4 0J [-4 2J O 4"
¡
O 6 '
[-8 4J 4
-8
y los valores característicos respectivos son
Al, 2 == 4, 4;
Al, 2 == - 4, 6;
Al, 2 == - 4, - 12
En consecuencia, por el teorema 8.2.1 y los signos de los valores característicos se nota que el sistema (11) es inestable en los primeros tres puntos de equilibrio, pero asintóticamente estable en el cuarto punto (4, 4). Comprobemos el comportamiento de las órbitas cerca del punto de eq4ilibrio (4, 4). En la figura 8.2·.4 se observan algunas órbitas (continuas) del sistema a medida que se aproximan al punto asintóticamente estable (4; 4) conforme transcurre el tiempo. También se muestra una órbita (línea de trazo continuo) del sistema no lineal que se acerca al pun:'.
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535
8.2 / Estabilidad de un sistema casi lineal
to de equilibrio (2, O). Las curvas discontinuas de la figura 8.2.4 son las órbitas del sistema linealizado en (4, 4)
[Yx:].;= [-84
4J[X -4J y-4
-8
(12)
desde el mismo conjunto de puntos iniciales. En términos generales, los dos conjuntos de órbitas están muy cerca, pero hay ciertas diferencias; observe las órbitas que empiezan en Xo = 7, Yo = O. Todas las órbitas del sistema linealizado (12) tienden a (4, 4) cuando t ~ +00, pero las órbitas del sistema no lineal (11) podrían tener un comportamiento muy distinto del de las órbitas del sistema no linealizado si ambos empiezan a una distancia del ¡)Unto de equilibrio que estudiamos [por ejemplo, que empiecen en (7, O) en la figura 8.2.4]. El sistema lineal (12) tiene un nodo impropio asintóticamente estable en (4, 4) porque los valores característicos de 1(4,4) son distintos y negativos (-4 y - 12). En la figura 8.2.4 se muestra que las órbitas de sistema no lineal (11) cerca de (4, 4) también se aproximan al punto de manera nodal y por lo general están cerca de las órbitas no linealizadas que pasan por los mismos puntos, si estos puntos de partida están lo suficientemente cerca de (4, 4).
Nodos lineales y no lineales, espirales y sillas En la tabla que viene después de esta sección se muestran los retratos orbitales cerca del origen para el sistema
y)] [xYJ' =A[xJ+[P(X, Y Q(x,
y) ,
lk\1f Esto es lo que se expresa en el teorema 8.2.1.
A =[~ ~J
(13)
donde a, b, e y d son constantes reales, P y Q son continuamente diferenciables y de orden 2 en el origen, y las partes reales de los valores característicos de A son distintas de cero. Entonces las perturbaciones P y Q no pueden modificar las propiedades de estabilidad del sistema linealizado (14)
I@' En la sección 7.7 se describen los nodos, sillas y puntos en espiral.
en el origen. Sin embargo, en la tabla se indica que incluso hay más certezas: el comportamiento de nodo, espiral o silla del sistema linealizado se conserva con el sistema no lineal (13) cerca del origen si los valores característicos son distintos y tienen partes reales diferentes de cero, aunque las órbitas perturbadas sean muy parecidas. Por ello los términos nodos, sillas y puntos en espiral se utilizan aun cuando el sistema es no lineal; se dice que todos estos puntos de equilibrio son elementales.
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536
Estabilidad
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Sistemas casi lineales y estabilidad.) Determine las propiedades de estabilidad de cada sistema en el origen. [Sugerencia: aplique el teorema 8.2.1. Use una matriz jacobiana para el inciso (d).] (a) x' =-x+i, y' =-8y+x 2 (b) x' = 2x+y+x 4 , y'=x-2y+x 3 y
ill 2.
•
3.
•
4.
5. Presentamos este sistema en el ejemplo I@'
5.2.3.
•
•
0.5 0. 3 0.1 - 0. 1
x'=2x -y+ x 2 - i ,
y' = x -y
(d) x' = e x + y - cos(x - y),
y' =- senx
(Matrices jacobianas y estabilidad.) Explique las propiedades de estabilidad de cada sistema en cada uno de sus puntos de equilibrio. (a) x'=y, y'= - 6i-y - 3x 2 (b) x'=i - x, y' = x2 _ y
(e) x' = - x -x 3 ,
y' = y+x 2 + i
(d) x' = _y_x(x 2 + i),
(e) x' = x+ xi ,
y' = x
(f) x ' = - x+i ,
y' = x- y(x 2 + i )
y' = x+ y
Trace varias órbitas de cada uno de los sistemas de los problemas 2 (a) a (f) en la vecindad de cada punto de equilibrio. Confíe únicamente en la apariencia visual de estas órbitas y diga cuáles son sus conclusiones acerca de la naturaleza de los valores característicos de la matriz jacobiana en cada punto de equilibrio . (El caso problema del valor característico cero.) Demuestre que la aproximación lineal en el origen para el sistema x' = - x, y' = ay3 tiene valores característicos - 1 y O. Demuestre que el sistema es asintóticamente estable en el origen si a es una constante negativa, e inestable si es positiva. ¿Qué pasa si a =.O? Grafique las órbitas en los tres casos. ¿Por qué no se aplica el teorema 8.2.1? ¿Qué concluye acerca de basar por completo un análisis de estabilidad en los valores característicos de la matriz jacobiana? (Retrato plano.) Considere el sistema x' = x - y + x2 - xy, y' = -y + X2 . (a) Encuentre los tres puntos de equilibrio. (b) Por medio de las matrices jacobianas y sus valores característicos, determine las propiedades de estabilidad del sistema en cada punto de equilibrio . (e) Construya la primera de las figuras para los siguientes sistemas: primero trace las órbitas en el rectángulo Ixl ::; 0.5, Iyl ::; 0.5 (véanse los arcos de trazo continuo). Luego encuentre el sistema linealizado en el origen y grafique algunas de sus órbitas en el mismo rectángulo (véan~e los arcos de trazo discontinuo) . (d) Elabore el segundo de los retratos orbitales mostrados a continuación a partir del sistema: localice y sitúe los puntos de equilibrio. Por último, use otras órbitas para crear una gráfica como la tercera que se muestra a continuación.
/{ ~
--------/ --- ---------
,,--/---------------_.
- o.3 - o. ~ol-.5-:---'--"----0.-1 - o-.3-0.5 x
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8.2/ Estabilidad de un sistema casi lineal
537
(Cuenca de atracción.) Consideremos el sistema x' = y, y' = - 2x - y - 3x 3 . (a) Demuestre que el sistema es asintótica pero no globalmente estable en el origen . • (b) Por medio de gráficos de computadora determine la cuenca de atracción aproximada del origen. Use la región de graficación -3 :s; x:S; 2, -3 :s; Y :s; 5. 7. (Un circuito RLC perturbado.) La EDO Lx" + Rx' + x/C + g(x, x') = O rige el comportamiento de un circuito eléctrico simple RLC, donde x representa la carga en el condensador, x' es la corriente del circuito y L, R Y C son los parámetros de inductancia, resistencia y capacitancia del circuito positivo. La función derivable dos veces g(x, x') representa las no linealidades del circuito. Supóngase que g(x, x') tiene por lo menos orden 2 en una bola abierta con centro en (O, O) en el plano :xx'. Demuestre que el sistema equivalente x' = y, y' = - x/LC - Ry/L - g(x, y)/L es asintóticamente estable en el origen. 8. Para cada uno de los sistemas siguientes, encuentre los puntos de equilibrio y la matriz jacobiana y su valores característicos en cada punto de equilibrio. Use esta información para determinar las propiedades de estabilidad del sistema en cada punto de equilibrio. eb) x ' = ax - y+x 2 , y' = x+ay+x 2, constante a>-l a x I = -x-x 3 ,y I =-y
6.
e)
(Estabilización de un sistema sintonizando un parámetro.) Encuentre todos los valores de la constante a tales que el sistema x' = z + x 2y, y' = X - 4y + xz 2, Z' = ro: + 2Y - z + x2 sea asintóticamente estable en el origen. [Sugerencia: utilice la prueba de Routh de la sección 7.9.] ~ . 10. (Modelos de especies que interactúan.) Considere el modelo x' = (2 + ax + by)x, y' = (2 + cx + dy)y en los casos indicados a continuación. Dé un análisis completo de la estabilidad e interpretaciones del modelo de cada sistema en cada punto de equilibrio. Grafique las órbitas en el cuadrante de población. Cooperación que desemboca en crecimiento explosivo: a = d = -1 Y b = c = 2. Véase el ejemplo 5.3.1. Competencia estable: a = d = -2 Y b = c = - 1. Véase el ejemplo 5.3.3. • Exclusión competitiva: a = d = -1 Y b = c = -2. Véase el ejemplo 5.3.4. • Fije los parámetros b = c = -1 Y tome valores distintos de cero para a y d; analice el modelo resultante. ~ . 11. (Otro caso difícil.) El teorema 8.2.1 no cubre el caso en el que todos los valores característicos tienen partes reales no positivas y algunos tienen partes reales cero. En el problema 4 se mostraron las dificultades que pueden ocurrir si hay un valor característico cero. Construya sistemas planos con el punto de equilibrio en el origen donde la matriz jacobiana en el origen tiene algunos valores característicos imaginarios puros y el sistema perturbado es asintóticamente estable, neutralmente estable, o inestable, según la naturaleza del término de perturbación de orden superior. ~ . 12. (Péndulo en posición vertical). Dé un análisis completo de las propiedades de estabilidad del péndulo simple amortiguado en el punto de equilibrio (n, O). Utilice un programa numérico y trace las órbitas del sistema y su linealización cerca de (n, O). www
9.
~I
¡ ~
1
~
.1
l.
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538
8.3
Estabilidad
Estabilidad de sistemas planos perturbados En la tabla siguiente se comparan las características de estabilidad y los retratos orbitales del sistema no lineal (13) y su aproximación lineal (14). Sólo se representan los casos asintóticamente estable, neutralmente estable y de silla para A. En los casos en los que las partes reales de ambos valores característicos son positivas, invierta las puntas de flecha y etiquete los retratos con "inestables".
t~1 Valores característicos
Al =a+if3=~ Si a> 0, invierta las flechas.
A¡=~
Nodo de estrella asintóticamente estable
Si Al = ~ > 0, invierta las flechas.
eespacio
= A[~
=A[~J
Punto en espiral asintóticamente estable
a < O, f3:t=0
[~J J+[~J
· [~J
de A
característico
no deficiente)
* ~
Nodo impropio
eespacio
característico
Nodo o punto en espiral asintóticamente estable
deficiente)
~ A¡<~
Nodo impropio asintóticamente estable
Si Al. ~ > 0, invierta las flechas. r
," Al =if3=~ 1,
f3:t=0
A¡
1
Centro neutral mente estable
Silla inestable
*
Ik
~
Z
H
Nodo impropio asintóticamente estable
O
La estabilidad depende deP y Q
~.
;J
Punto en espiral asintóticamente estable
te el
re
~
g'
~
Centro o punto en espiral o espiral con centro!
~
~
~
-®
Silla inestable
~
En el problema 3 de la sección 9.1 puede ver un ejemplo de un sistema de EDO con espiral con centro.
\
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539
8.3 / Sistemas conservativos
8.3 Sistemas conservativos Considere estas situaciones: un resorte no amortiguado oscila periódicamente para siempre respecto a su posición de equilibrio; un péndulo simple no amortiguado gira de forma incesante sobre su pivote. Algo se conserva aquí. ¿Qué es? Resulta que la cantidad conservada es una función de la posición y la velocidad denominada energía total del sistema. La energía total de cada uno de los movimientos nunca cambia, así que se conserva. Comience el movimiento del resorte o el péndulo con un poco más o menos de energía, y el nuevo nivel de energía también se conservará en la nueva órbita. Un sistema conservativo de EDO es un sistema autónomo para el que alguna función de valores reales (p. ej., la energía) de las variables de estado permanece constante en cada órbita. En esta sección estudiaremos el comportamiento orbital y las propiedades de estabilidad de sistemas conservativos.
Algunos ejemplos de conservación para sistemas planos Empecemos por considerar los sistemas autónomos planos de la forma x' = g(y) ~
Analizamos los sistemas planos como el (1) en la sección (1.7), pero en la forma separable g(y)dyldx - f(x ) = O.
y' = f(x)
(1)
Digamos que G(y) y F(x) son antiderivadas de g(y) y f(x), respectivamente. Entonces el valor de la función K definida por K(x,y) = G(y) - F(x)
(2)
se "conserva" a lo largo de cada órbita x = x(t), y = y(t) del sistema (1). Para ver esto, aplique la regla de la cadena y (1) a fin de mostrar que la tasa de cambio de K(x(t), y(t)) es cero: d dtK(x(t), y(t)) =
aK dx aK dy ax Il¡+ ay dt = -f(x)g(y)+ f(x)g(y) = O
Así, el valor de K permanece constante a lo largo de la órbita x(t), y(t), aunque puede cambiar de una órbita a otra. La función K(x, y) se denomina integral de sistema (1) porque se define por la integración de g y f Cada órbita del sistema (1) está en un c01~junto de nivel (o curva de nive f) de K: K(x, y) = e para alguna constante C. Obsérvese que si K(x, y) se conserva en cada órbita de (1), entonces sucede lo mismo con aK + {3 para las constantes cualesquiera a:f:. O Y{3. Por lo común, en las aplicaciones g(y) = y [de modo que G(y) = y2/ 2], Y entonces K o aK + {3 se interpretan como la energía. En los ejemplos tomados de las secciones 3.1 Y4.1 se ilustra este método.
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Estabilidad
x'
=
y,
y'
=
-x/4,
E
=
x'=y,
4y2 + x2 10
1.5
y'=-lOsenx,
E=y2/2+
8.3 /~
lO(l-cosx)
E=40
E = 25/4
4
1.0
9/4
I~l , r
~r I
"
1
0.5
®
,., o. o -0.5
-1.
-1.5
-5
o
-s
-2
-1
x
x
Figura 8.3.1 Las órbitas elípticas de energía constante para el sistema resorte-masa no amortiguado que rodean el punto de equilibrio neutralmente estable (ejemplo 8.3.1).
Figura 8.3.2 Órbitas de energía constante y puntos de equilibrio neutral mente estables e inestables del péndulo simple no amortiguado (ejemplo 8.3.2).
Ejemplo 8.3.1
1& 4.1.1 sister
Sistema de resorte neutral mente estable: conservación de energía Con el sistema lineal x'=y
(3)
y' = -kx / m se modela el movimiento de un sistema resorte-masa no amortiguado regido por la ley de Hooke respecto al punto de equilibrio x = O, Y = O. El resorte con constante k soporta el cuerpo de masa m. Como los valores característicos ±i.,jk / m de la matriz de coeficientes son simples, el sistema es neutralmente estable (teorema 8.1.1). En este caso g(y) = y, G(y) = l /2, f(x) = -kx / m, y F(x) = _kx2 / (2m). Así, por la fórmula (2), K(x,y) = G(y)- F(x) = l/2+kx2 / (2m) es un integral del sistema (3). Los científicos definen la energía total E como mK:
l"
I
I
El término my2/2 recibe el nombre de energía cinética del movimiento del cuerpo de masa m; kx2/2 es la energía potencial debida a la fuerza del resorte -kx. Los conjuntos de nivel de energía constante E = ml /2
+ kx2 /2
= constante positiva
son las órbitas elípticas del sistema (3). En la figura 8.3.1 se ilustran algunas de las elipses que rodean la posición en reposo neutralmente estable en el origen para los valores m = 8 Y k= 2. Veamos de nuevo el sistema del péndulo simple no amortiguado de la sección 4.1.
1& tra afin ejen
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8.3 / Sistemas conservativos
Ejemplo 8.3.2
Sistema de péndulo simple no amortiguado, conservación de energía
El sistema modelo para el movimiento del péndulo simple no amortiguado es x'=y L
(4)
y' = -a sen x
x m
mg
donde a = gIL Y x se miden en radianes. En este caso, g(y) = y, G(y) = y 212,f(x) = ~a sen x y F(x) = a cos x. Por (2), K = y212 - a cos x es una integral del sistema (4). Aquí, los científicos definen la energía total como mK + ma: 1 2 E(x,y) =- my + ma(l-cosx) 2
Vea en la figura 4.1.1 más órbitas de este sistema.
Il@f'
donde (como en el ejemplo 8.3.1) my212 es la energía cinética del movimiento de la pesa de masa m. La energía potencial ma(1 - cos x) se debe a la fuerza gravitacional mg en la pesa del péndulo. Obsérvese que E(x, y) toma su valor mínimo de O en el punto de equilibrio (2nn, O) del sistema (4) correspondiente a las posiciones en reposo del péndulo. Nótese también que en una posición vertical hacia arriba «2n + l)n, O), la energía potencial toma su valor máximo 2ma. En la figura 8.3.2 se muestran algunos conjuntos de nivel de E, donde a = gIL = 10 Y m = 1. Obsérvese que si el valor Ea está entre O y 20, entonces la gráfica de E=
La estabilidad neutra se deduce de una afirmación dada en el ejemplo 8.1.2.
Il@f'
(5)
21 Y2 + lO(l-cosx)Ea
es una colección de óvalos cerrados, un óvalo alrededor de cada punto de equilibrio (2nn, O) (mostrado en la figura 8.3.2 para E = 10). Si se hace un barrido de Ea en el intervalo O < Ea < 20 se obtienen familias de óvalos cerrados que llenan la región respecto a (2nn, O) para cada n =O, ±l , .... Con estos óvalos de baja energía se modelan las oscilaciones del péndulo, lo cual implica que cada uno de los puntos de equilibrio (2nn, O) es neutralmente estable. En contraste, si tomamos 20 como el valor de Ea se obtiene el conjunto de nivel definido por
= .!. i
+ 10(1 - cos x) = 20 2 Si se resuelve para y en términos de x, se obtiene E
y = ±-J20.Jl+cosx cuya gráfica es la colección de separatrices que unen los puntos de equilibrio inestables «2n + 1)n, O). Cada uno de los puntos inestables es una silla no lineal, lo cual puede verse revisando la matriz jacobiana J en el punto «2n + l)n, O) del sistema (4) con a = 10. J=[- lOcos(8n+l)n)
ÓJ=[?o 6J
El polinomio característico de J y su valores característicos son
A=±M
l.
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Estabilidad
Según la tabla después de la sección 8.2, hay una silla no lineal en cada punto ((2n + 1)1r, O).
Las órbitas de alta energía en la parte superior E > 20 se muestran con las líneas onduladas arriba y debajo de las separatrices en la figura 8.3.2. Obsérvese que no hay nada especial respecto a los ejemplos 8.3.1 y 8.3.2, excepto que ambos sistemas son casos especiales del sistema
.x , =y,
y' = f(x)
Se ve que si F(x) es cualquier antiderivada de f(x), entonces la cantidad 1 2
2
K =- y -F(x)
se conserva a lo largo de cada órbita. Debido a la interpretación de aK + f3 como la energía (a y f3 son constantes escogidas de manera apropiada), K recibe a veces el nombre de función de energía. Esto nos lleva a una definición de conservación de gran alcance y que constituye el fundamento de numerosas.aplicaciones de ingeniería y científicas.
Sistemas conservativos e integrales ~
Para hacer la definición más fácil, se supone que f está definida en todas partes.
Nosotros podemos extender estas ideas al sistema autónomo n-vectorial
(6)
x' = f(x)
donde f es cualquier función vectorial de n componentes continuamente diferenciables definida para toda x. Supóngase que K(x) es una función con valores reales continuamente ·diferenciables definida para toda x y que x = x(t) es una órbita del sistema (6). La derivada dK(x(t))/dt se llama derivada de K a lo largo del movimiento y sus valores arrojan información acerca de cómo cambia K cuando se recorre la órbita x = x(t) . •:. Integral. La función con valores reales y continuamente diferenciable K(x) es una integral del sistema (6) si:
~ La segunda condición evita las integrales triviales.
• La derivada de K(x) a lo largo del movimiento de x' órbitas x = x(t) del sistema (6). K es variable en toda bola de R./!.
=
f(x) es cero para todas las
La función K antes definida recibe el nombre de integral porque suele obtenerse por integración [p. ej., vea cómo se obtuvo · (2) por integración de las funciones del sistema (1)). Si existe una integral K del sistema (6) no es única, ya que aK + f3 (para constantes cualesquiera a :t O y f3) también es una integral. Ahora es posible definir un sistema conservativo.
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8.3 / Sistemas conservativos
.:. Sistema conservativo. El sistema x' =¡(x) es conservativo si tiene una integral e es una constante, el conjunto de todas las x para las que K(x) tiene el valor e se llama conj unto de nivel.
K(x). Si
Veamos las consecuencias de esta definición.
Teorema 8.3.1 o:i1i" Las EDO exactas
del problema 10, sección 1.6, siempre tienen integrales.
Ejemplo 8.3.3
Integrales y órb itas. Supóngase que el sistema x' =f(x) tiene una integral K(x). Entonces cada órbita del sistema se ubica en un conjunto de nivel de K y todo conjunto de nivel de K es una unión de órbitas. Para ver esto, elija cualquier punto xO, denote el valor de K(xO) con Ko Y denote con x(t) la órbita de x' = j(x) que pasa por xO. Por la definición de integral, K(x(t)) = Ko para toda t para la cual está definida la órbita x = x(t), así que la órbita de x = x(t) está en el conjunto de nivel K(x) = Ko. Luego, supóngase que q es cualquier punto en el conjunto de nivel K(x) = Ko. Por el argumento anterior, K(z(t)) = Ko para toda t para la cual está definida la órbita x = z(t) que pasa por q. Pero como q es cualquier punto en el conjunto de nivel, se deduce que K(x) =Ko es una unión de órbitas. Una consecuencia importante del teorema 8.3.1 es que si cualquier órbita toca una superficie integral, debe quedarse en la superficie debido a la unicidad de las órbitas a través del punto de contacto. Los sistemas planos de los ejemplos 8.3.1 y 8.3.2 satisfacen las condiciones de la conservación. Consideremos un ejemplo en el espacio de tres dimensiones donde los conjuntos de nivel de la integral son superficies.
Un sistema conservativo y neutral mente estable en el espacio de tres dimensiones Demostremos que K(x, y, z) = x2 + l + Z2 es una integral del sistema x' =xz - lOyz
(7)
y' = lOxz + yz
-x 2 - y 2 La derivada de K a lo largo del movimiento del sistema es cero porque I
Z =
1t (K(x(t), y(t))) = 2XX' + 2yy' + 2 ZZ' = 2x(xz --: lOyz) + 2y(lOxz+ yz)+2z(-x
2
-l) = O
Aunque K permanece constante en cada órbita, no es constante en cada bola abierta de ]R3. Por tanto, el sistema (7) es conservativo y K es una integral. Debido a que el valor de K no puede cambiar a lo largo de una órbita, cada órbita se queda en un conjunto de nivel de K, es decir, en una esfera x2 + l + i = constante. En la figura 8.3.3 se observa una representación de la esfera K = 4 Y la órbita en la esfera con punto inicial Xo = Yo = Zo = .J473.
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Estabilidad
X'
= xz -lOyz,
y' = lOxz + yz, K = x2 + y2 + z2
2 1
o z -1
y Figura 8.3.3 La órbita en una superficie integral esférica se mueve en espiral saliendo del polo norte hacia el polo sur a medida que transcurre t (ejemplo 8.3.3).
Cuando t aumenta desde O, esta órbita se mueve en espiral desde el punto inicial hacia el punto de equilibrio (O, O, -4). Cuando t disminuye desde O, la órbita se mueve en espiral hacia (O, O, 4). Pese a las apariencias, el punto (O, O, -4) no es de atracción porque las órbitas cercanas que no están en la esfera K = 4 permanecen en sus propias esferas y, por consiguiente, no pueden acercarse a (O, O, -4) cuando t -¿ +00. Por la misma razón (O, 0,4) no es un punto de repulsión. Obsérvese que el eje z es una línea de puntos de equilibrio. La matriz jacobiana del sistema (7) en el punto de equilibrio (O, O, a), a> O, Y sus valores característicos son
~l,
-lOa a O · 0 En la tabla que sigue a la última sección se sugiere que las órbitas tienen un comportamiento como éste.
I@'
A = a(l ± lOi), O
Como resultado de los valores característicos complejos conjugados a(l ± lOi) con parte real positiva a, podría esperarse que las órbitas en la esfera K = a2 se muevan en espiral desde el punto de equilibrio (O, O, a) y luego hacia (O, O, -a). En todo caso, el punto de equilibrio (O, O, a) es inestable y la antípoda (O, O, -a) es neutralmente estable. Por último, nótese que el origen está en el centro de la familia de superficies integrales esféricas K = constante, de modo que por un argumento como el del ejemplo 8.1.1 el origen también es neutralmente estable.
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545
8.3 / Sistemas conservativos
Algo sorprendente es que no pueden coexistir la conservación y los puntos de atracción.
Teorema 8.3.2
Los sistemas conservativos no tienen puntos de atracción. Supóngase que el sistema x' = f(x) es conservativo; entonces no tiene puntos de atracción ni de equilibrio asintóticamente estables. A continuación se explica por qué resulta cierto lo anterior. Digamos que K(x) es una integral del sistema x' = f(x). Supóngase, contrariamente a la afirmación del teorema, que el sistema tiene un equilibrio de atracción p. Por tanto, para alguna constante positiva r, la solución x(t) con punto inicial xO, donde xO está en la bola abierta BrCp), tiene la propiedad de que x(t) ~ p cuando t ~ + 00 . Puesto que K(x) es continua, K(x(t» debe aproximarse a K(P) cuando x(t) ~ p, pero como K debe permanecer constante en la órbita, esto implica que K(x(t» = K(P) para toda t. Este razonamiento se aplica a cada órbita cuyo punto inicial está en Br(P), de modo que K(x) debe tener el valor constante K(P) en toda la bola abierta. Esto viola la condición de no ser constante de una integral en todas las bolas abiertas y, en consecuencia, después de todo p no puede ser un punto de atracción. Por consiguiente, el sistema no puede tener puntos de equilibrio asintóticamente estables. Un argumento similar supone que un sistema conservativo no puede tener puntos de equilibrio de repulsión. La existencia de una integral es un contraindicador de estabilidad asintótica, pero es coherente con la inestabilidad o estabilidad neutra, como vimos en los ejemplos 8.3.1 a 8.3 .3.
Giro de una raqueta de tenis, giro de un libro
1& En el experimento 6.9 del libro Differential Equations Laboratory Workbook (John Wiley &
Sons) se halla una derivación completa.
Lance al aire una raqueta de tenis y observe cómo gira. Coloque una liga alrededor de un libro (¡de éste no!), échelo al aire y observe su comportamiento giratorio. Ahora intente conseguir que la raqueta o el libro gire de manera uniforme respecto a cada uno de tres ejes perpendiculares (véase el esquema al margen). No es tan difícil lograr que gire respecto a dos de los ejes, pero es casi imposible hacerlo respecto al tercero. ¿Por qué? Nos interesan ahora los movimientos angulares del cuerpo mientras está en lo alto, no su movimiento vertical, así que centremos la atención en el vector de velocidad angular úJ y sus tres componentes úJ), COz, úJ:J a lo largo de los ejes correspondientes, L¡, L 2 , L3. Despreciemos la resistencia del aire. Los parámetros importantes que influyen en la velocidad angular son las inercias principales 1), 12, 13 respecto a los ejes respectivos L¡, L 2, L3. Una inercia principal mide la respuesta del cuerpo a los intentos por lograr que el cuerpo gire respecto a los ejes correspondientes y no sólo depende de la masa del cuerpo, sino también de su forma. Por lo que se refiere a estas inercias, las leyes para la velocidad angular análogas a las leyes de Newton son 1) of¡ = (1 2 - 13)COzúJ:J, 12 úJ; = (1 3 - 1¡)úJ¡ úJ3, 13 ~ = (1¡ - 12 )úJ¡COz·
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546
Estabilidad
Si dividimos entre las inercias principales obtendremos el sistema
(8)
Los coeficientes constantes del sistema (8) carecen de unidades. Midamos los ángulos en radianes y el tiempo en segundos para que cada wi tenga unidades de radianes por segundo. Primero, se observa que para cualquier constante a O, el punto de equilibrio W = (a, O, O) de sistema (8) representa una rotación estable pura (o movimiento giratorio) respecto al primer eje del cuerpo LI con velocidad angular a. El punto de equilibrio (-a, O, O) representa la rotación estable respecto a LI en la dirección opuesta. Afirmaciones similares son ciertas para los puntos de equilibrio w = (O, a, O) y (O, O, a). Ahora la energía cinética de rotación angular está dada por
*
La función KE es un integral del sistema (8) porque d(KE) 1[w[w[' 1 -¡¡¡-= + 2W2W2' 1 + 3W3W3' = (J2 -13 )W1W 2 W 3 +(h -1[)W 1W 2 W 3 + (J[
- 12 )W1W 2W 3 =
O
Así, el sistema (8) es conservativo. La superficie integral elipsoidal KE = e, donde e es una constante positiva, se denomina elipsoide inercial para el sistema (8). El sistema (8) tiene otras integrales. Por ejemplo,
es un integral de sistema (8) porque
Escribamos algunos números para 1 1,12 e 13 y veamos lo que sucede.
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8.3 / Sistemas conservetivos
W¡=
-())2())3'
KE
())2 =
())1())3'
())3 =
())1())2/3
())'1=-())2())3'
())2 = ())1())3'
= ( 2w1 + ())~+ 3())~)l2
K=
())3 =
~1())2/3
())r+())~
3
2
o
())3
K=4
8)
-1
-2 73
())I
-5
-3
-1
3
5
())2
Figura 8.3.4 Las órbitas quedan en una elipsoide inercial. Las órbitas A y B también se muestran en la figura 8.3.5 (ejemplo 8.3.4).
Ejemplo 8.3.4
Figura 8.3.5 Las órbitas A y B están en la superficie integral cilíndrica K = 4 Y en la elipsoide inercial KE = 12 de la figura 8.3.4 (ejemplo 8.3.4).
Órbitas sobre elipsoides Tome /1
= 2, /2 =
1 e /3
=
3. Entonces de (8) se obtiene
m¡ = -m2 m3 m~ = mi m3 ,
m3 s
1
=-
3
(9)
mi m2 ,1 "
Con los valores dados para /1' /2 e /3 se tienen las integrales 1 KE = -2 (2m21 2
K = mi
+ m22 + 3m23 )
+ m22
1~
11
~ La localización de superficies integrales que se intersecan es una forma de encontrar órbitas.
En la figura 8.3.4 se muestra la elipsoide inercial KE = 12 Y varias órbitas en la superficie. En la figura del principio del capítulo se observan las mismas órbitas, pero sin la superficie. En la figura 8.3.5 se muestran la superficie integral cilíndrica K = 4. Como cualquier órbita que toque una superficie integral debe quedar completamente en tal superficie, se ve que una órbita que queda en dos superficies integrales debe permanecer en su intersección. Las órbitas A y B a través de los puntos (2,4, O) Y (2, --4, O) de las figuras 8.3.4 y 8.3.5 yacen en la elipsoide inercial KE = 12 y en el cilindro K = 4.
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548
Estabilidad
())'I
=---())2())3'
())3 =())I ())2/3
30
2
())2
-~
1
- 4 Lo----------~1~0----------~2~0----------~ 30
lO
20
30
())2
Figura 8.3.6 Órbitas periódicas que conectan pequeñas vecindades de dos puntos de equilibrio inestables opuestos (ejemplo 8.3.4).
Figura 8.3.7 Curvas componentes de una de las órbitas periódicas de la figura 8.3.6. ¿Qué hace la raqueta de tenis giratoria?
¿Qué hay en relación con los movimientos giratorios fáciles de lograr respecto a los ejes
Lz y ~? Obsérvese de nuevo la figura 8.3.4. Estos movimientos giratorios corresponden a las órbitas casi circulares por todo el eje largo (L3 ) y las órbitas que encierran el eje corto (Lz).
"
I
())2 = ())I ())3'
KE = ( 2())I+ ())~ + 3())~)!2
I@' Revise en el ejemplo 8.4.8 información acerca de los puntos de equilibrio en los ejes.
Pero la historia del eje del cuerpo de longitud intermedia (eje L¡) es muy diferente. En la figura 8.3.6 se muestran dos órbitas que empiezan muy cerca del punto de equilibrio inestable (.Jl2, O, O) en la elipsoide. Obsérvese que cada órbita regresa cerca del punto de equilibro opuesto inestable (-.Jl2, O, O), y luego vuelve en una trayectoria periódica que se repite de manera ininterrumpida. En la figura 8.3.7 aparecen las curvas componentes correspondientes de una de estas órbitas. Nótese que como (01 permanece casi constante durante un buen tiempo (es decir, la raqueta mantiene una velocidad angular casi constante respecto al eje L¡), entonces cambia rápidamente de signo (cuando el cuerpo cambia su dirección de rotación respecto al eje L¡). ¡He aquí los giros extraños! Los valores característicos de la matriz jacobiana en (9) en los puntos sobre los ejes L 2 y L3 son conjugados imaginarios puros y O; en el eje L¡ los valores característicos son números reales de signos opuestos y O. Así, en la tabla que está después de la sección 8.2 se sugiere el comportamiento orbital visto en las figuras 8.3.4 y 8.3.5.
Comentarios Casi ningún sistema físico es conservativo, pues normalmente cierta clase de amortiguamiento disipa la energía. No obstante, muchos son casi conservativos durante breves intervalos de tiempo. Entonces, un sistema conservativo de EDO es una aproximación útil al comportamiento físico de un sistema.
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549
8.3 / Sistemas conservativos
Las órbitas que empiezan fuera de una superficie integral nunca la alcanzan, y las que comienzan en la superficie jamás escapan de ella. Por tanto, la "vida" en la superficie es bidimensional, lo cual explica por qué al parecer vemos puntos espirales, sillas y centros de un sistema autónomo plano en las superficies integrales de las figuras 8.3.3 y 8.3.4.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ •
1.
(Integrales.) Encuentre una integral y trace algunas órbitas. ¿Cuáles son las propiedades de estabilidad de los puntos de equilibrio? (a) x' = 3x,
y'=-y
(b) x' = -y,
(e) x' = l
y'= _x3
(d) x' = x,
y' = 25x y'=y + X2 cosx
[Sugerencia: véase el ejemplo 2.1.4]
2. www 3.
5.
6.
(¿ Un punto de atracción conservativo?) Demuestre que el sistema x' = - x, y' = - 2y es asintóticamente estable en el origen y que K = yx- 2 es constante en cada órbita que no toca al eje y . ¿Por qué esto no contradice el teorema 8.3.2? Demuestre que el sistema x' = g(y), y' = ¡(x), Z' = O es conservativo. ¿Existen puntos de atracción? (Resortes.) Las integrales pueden ayudamos a entender el comportamiento de resortes no amortiguados. (a) (Resorte rígido.) Encuentre una integral y trace las órbitas de x' = y, y' = -lOx - x 3 . ¿Cuáles son las propiedades de estabilidad del sistema en el origen? (b) (Resorte suave) Repita el inciso (a) para x' = y, y' = - lOx + x 3 y analice las propiedades de estabilidad de cada uno de los tres puntos de equilibrio. [Sugerencia: véase la sección 3.1.] (Antisimetría.) Considere el sistema x' = Ax, donde la matriz A de n x n es antisimétrica, es decir, AT = - A. (a) Demuestre que el sistema es conservativo en ]Rn y neutralmente estable en el origen. [Sugerencia: considere la función K = xTx = IIxIF.] (b) Supóngase que cada valor característico de A es el cero o un número imaginario puro. Demuestre que la superficie Ilx ll = constante es integral de puntos de equilibrio y órbitas no constantes definida por las soluciones de x' = Ax cuyos componentes son combinaciones lineales de funciones periódicas. (Sistemas hamiltonianos.) En los incisos (a) y (d) siguientes se mencionan sistemas hamiltonianos ii
I
Xi
aH
= -::;-- , uYi
ji
I
aH
Yi = - -::;-- ,
uX i
i = 1, ... ,k
Se dio tal nombre a estos sistemas en honor del matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865).
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550
Estabilidad
donde el hamiltoniano H(x l , ••• , xk' YI ' . .. ' Yk) es una función escalar derivable con valores reales en ]R2k y H es no constante en toda bola abierta en ]R2k. (a~ Muestre que H es un integral del sistema hamiltoniano. (b) Explique por qué un sistema hamiltoniano no puede ser asintóticamente estable en un punto de equilibrio. (e) Explique por qué el sistema x' = y, y' = -f(x) no tiene puntos de equilibrio asintóticamente estables. [Sugerencia: el sistema tiene el hamiltoniano H = y2/2 + ~f(s) ds, la "energía total" del sistema.] (d) ¿Qué implica el resultado del inciso (e) en relación con la posibilidad de construir una "fuerza restauradora" -f(x) tal que las órbitas del sistema x' = y, y' = - f(x) tiendan a un estado de equilibrio cuando t ~ +oo? (Sistemas planos exactos.) El sistema plano x' = N(x, y), y' = -M(x, y) es exacto en un rectángulo R del plano xy si las funciones N y M pertenecen a el (R) y dN / dx = dM / dy en R. Demuestre que si el sistema es exacto, entonces es un sistema hamiltoniano (véase la definición en el problema 6). Recíprocamente, demuestre que todo sistema .j1amiltoniano plano es exacto. Como un primer ejemplo demuestre que x' = l + eXcos y + 2cosx, y' = -exsen y + 2y sen x es exacto en ]R2 y encuentre un harniltoniano. Grafique las órbitas en la región - 20 ::; x ::; 10, - 4 ::; Y ::; 6. ¿Por qué se dificulta utilizar un programa numérico para las órbitas en la región x ?:: 5? Ahora, demuestre que el sistema de osito de felpa del ejemplo 1.7.2 es exacto, encuentre un harniltoniano y trace algunos de los osos. Por último, construya su propio sistema harniltoniano con cuantas órbitas raras sea posible. (Raqueta de tenis.) Elabore un tratamiento general del modelo de raqueta de tenis
f
~ . 7.
11& Revise el problema 10 de la sección 1.6.
~ . 8.
donde 11, 12 e 13 son constantes positivas. Aborde los puntos siguientes: •
Supóngase que 12 < 11 < 13 Y encuentre integrales cuyos conjuntos de nivel son cilindros, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de dos hojas y conos. Digamos que 11 = 12 < 13 Y dé un análisis completo del sistema en este caso. Explique por qué las órbitas no constantes en una elipsoide inercial son periódicas (salvo por las separatrices). Use un programa de resolución numérica que le permita trazar superficies, órbitas y curvas solución. Lance una raqueta al aire y compare lo que ve con las predicciones del modelo.
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8.4/ Funciones de Lyapunov
8.4
Funciones de lyapunov ¿Cómo puede probarse la estabilidad asintótica de un sistema? Pueden usarse los métodos de las secciones 8.1 y 8.2 Y (a menudo) determinar por inspección las propiedades de estabilidad de los signos de las partes reales de los valores característicos. Pero este método podría no funcionar si algún valor característico tiene una parte real cero. Si el sistema tiene una integral, de modo que sea conservativo, es posible esperar más de su estabilidad neutra, como se ve por el teorema 8.3.2. En esta sección presentaremos el método de gran alcance de las funciones de Lyapunov para probar la estabilidad asintótica incluso cuando otros métodos no son concluyentes. Lyapunov iii definió clases de funciones escalares para probar la estabilidad, la estabilidad asintótica o la inestabilidad de cualquier sistema, lineal o no lineal, autónomo o no autónomo. Veremos los sistemas autónomos en JR.2 o JR.3, aunque los métodos de Lyapunov se presentan para espacios de estados y sistemas de cualquier dimensión. El enfoque será un tanto telegráfico. iv
Funciones de Lyapunov fuertes: estabilidad asintótica Supóngase que x y f(x) son vectores de dimensión n, que f(x) es continuamente diferenciable y que feO) = O; entonces O es un punto de equilibrio del sistema x' = f(x)
iii
(1)
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (7857-1918) introdujo las funciones en su disertación doctoral para la Universidad de Moscú, la cual se publicó en 1892 en la revista de investigación Comm. Soco Math. Khar'kov y se ha reimprimido muchas veces en los últimos 50 años; véase en Stability of Motion (Academic Press, Nueva York, 1966). Al principio se prestó poca atención al trabajo de Lyapunov, pero en el decenio de 1930 matemáticos, físicos e ingenieros de la ex Unión Soviética retomaron de repente la cuestión de la estabilidad. El trabajo de estos investigadores, basado en las ideas de Lyapunov, dominó el campo durante décadas. La disertación de Lyapunov y las memorias de Henri Poincaré son el fundamento de la mayor parte de los desarrollos contemporáneos en la teoría yaplicaciones de las ecuaciones diferenciales y los sistemas dinámicos. tratamiento más detallado del material de esta sección se encuentra en C. S. Coleman, W B. Boyce y R. L. Borrelli, Differential Equations Laboratory Workbook, John Wiley Sons,
iv Un
Nueva York, 1992.
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552 ~ ¡Ah, la ambigüedad de los símbolos! Cuando escribimos VeO) = 0, el primer cero (O) representa el origen en ]Rn; el segundo, el número real cero.
Teorema 8.4.1
Estabilidad
Sif(p) = O parap::l= O, es posible trasladar p al origen, así que no hay daño en suponer que el punto de equilibrio siempre está en el origen. Daremos la prueba de Lyapunov para la estabilidad asintótica del sistema (1) en el origen, pero primero precisamos algunas definiciones. Una función V(x) de valores reales es positiva definida en una bola abierta B centran da en el origen en IR si tiene sólo valores positivos en B excepto en el origen, donde VeO) = O; la función negativa definida se determina de manera similar. Una función V(x) continuamente diferenciable es una función de Lyapunov fuerte para el sistema (1) en B si Ves positiva definida y la derivada V' a lo largo del movimiento es negativa definida en B. Ahora podemos establecer un teorema de estabilidad.
Primer teorema de Lyapunov. Supóngase que hay una función fuerte de Lyapunov V(x) para el sistema (1) en una bola abierta centrada en el origen. Entonces el sistema (1) es asintóticamente estable en el origen. La conclusión de este teorema es plausible, pues los valores de la función fuerte de Lyapunov V(x(t» deben disminuir continuamente a lo largo de cada órbita x = x(t) cuando t aumenta (puesto que V' es negativa definida). Esto significa que la órbita x = x(t) debe cortar los conjuntos de nivel V = e siempre con valores más pequeños de C. De hecho, lím H = V(x(t» = O, lo cual implica que x(t) - j O cuando t - j 00, ya que x(t) y V(x) son continuas y V(x) vale cero sólo en el origen [que es donde entra en juego la positividad de V(x)]. Obsérvese que los puntos en la bola B (donde Ves una función fuerte de Lyapunov) pertenecen a la cuenca de atracción del origen. Intentemos ver qué expresa geométricamente el primer teorema de Lyapunov. El gradiente vectorialv (denotado con grad V) en un punto x en un conjunto de nivel V = e apunta en la dirección de valores crecientes de V. El gradiente de una función fuerte de Lyapunov V y el vector de velocidad f del sistema x' = f(x) deben formar un obtusángulo () en cada punto x cerca del origen. La razón de esto es que V'(x) es negativa definida, y
~ Revise en la sección 4.1 esta fórmula para el producto punto.
aV Ji = gradV· f
O> V' = ~ ax¡
= IIgradV 1111 f 11 cos()
Esta desigualdad significa que cos() debe ser negativo y el ángulo () obtuso. El carácter obtuso del ángulo implica que el vector de velocidad f debe apuntar adentro, hacia los valores más bajos de V. Por tanto, la órbita también debe moverse hacia el origen donde el valor de V es núnimo.
v En coordenadas cartesianas gradV(x, y) = av / axi + aV / ayj, gradV(x, y, z) = aV / axi + av / ayj+av / azk. El gradiente vectorial en un punto en un conjunto de nivel V = e es perpen-
dicular al conjunto de nivel.
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553
8.4 / Funciones de Lyapunov
A continuación se ofrecen dos ejemplos que ilustran el primer teorema de Lyapunov. Las propiedades de estabilidad se encuentran fácilmente analizando los valores característicos de la matriz de cada sistema lineal, pero queremos ilustrar cómo pueden usarse las funciones V, de forma que no se utilice ninguna información de tipo característico (eigen información).
Ejemplo 8.4.1
Distancias decrecientes El cuadrado de la distancia de un punto orbital (x(t), y(t)) al punto de equilibrio (O, O) del sistema lineal x' = -x,
y' = -2y
(2)
es la función positiva definida V = x 2 (t) + l(t). Se tiene V
,d dx dy = dt V(x(t),y(t))=2xy,+2y dt
2 = 2x(-x) + 2y(-2y) = -2x 2 -4y
que es negativa definida. Entonces, sin usar una fórmula de solución se sabe por el primer teorema de Lyapunov que el sistema es asintóticamente estable en el origen. En la figura 8.4.1 se ven las gráficas de dos conjuntos de nivel de V (líneas de trazo discontinuo) y varias órbitas que cruzan estos conjuntos de nivel y se mueven hacia el origen conforme transcurre el tiempo. En este ejemplo utilizamos el cuadrado de la distancia euc1ideana entre los puntos como la función fuerte de Lyapunov, pero -en el siguiente emplearemos una función V diferente.
Ejemplo 8.4.2
Otra medida de distancia: resorte amortiguado de la Ley de Hooke Supóngase que (x(t), y(t)) es un punto orbital del resorte amortiguado de la Ley de Hooke x'=y,
Aunque V¡ = x2 + negativa definida:
l
y' =-x - y
(3)
es positiva definida, su derivada a lo largo del movimiento ya no es
V¡' = 2xx' + 2yy' = 2xy + 2y(- x -- y) = _2y2
IJ:W Al parecer, la función V surgió como por "magia". En el ejemplo 8.4.6 se da una explicación detallada.
que tiene valor cero no sólo en el punto de equilibrio (O, O), sino en todo el eje x (es decir, y = O). Por tanto, la función VI no es una función fuerte de Lyapunov y no es posible aplicar el teorema 8.4.1 con tal VI' Pero la siguiente función trabajará como se desea: 2 2 5 2 1 2 V = 3x +2xy+2y =- (x+y) + - (2x-y) 3 3
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Estabilidad x'
= y,
y'
= -x -
y
V:',,' >:: , 2"
~
(~~ - ~~~ ~;~:,~:,:, \
\
\\ \
\
\
\ "
- 1
\
",
'
":)
" '.... .-.f
\
\\
\
\\
I I
/
'"
-2
x
x
Figura 8.4.1 Las órbitas se mueven hacia el centro al punto de equilibrio y cruzan los conjuntos de nivel circulares de V (líneas discontinuas) [ejemplo 8.4.1].
Figura 8.4.2 Las órbitas se mueven hacia el centro al punto de equilibrio y cruzan los conjuntos de nivel elípticos de V (líneas discontinuas) [ejemplo 8.4.2].
donde la última igualdad se obtuvo completando los cuadrados en x y y. La función V tiene valores positivos siempre, excepto en x = O, Y = O, donde su valor es el cero. ¿Cómo cambia V(x(t) , y(t)) cuando (x(t), y(t)) se mueve a lo largo de una órbita del sistema (3) conforme avanza el tiempo? La siguiente es la derivada de V a lo largo del movimiento del sistema (3): ,d dx dx dy dy V = dt V(x(t), y(t)) = 6x dt + 2y dt + 2x dt + 4y dt = (6x + 2y)y + (2x + 4 y)(- x - y) = _2x2 - 2i
así que V' es negativa definida. Se aplica el primer teorema de Lyapunov y el sistema (3) es asintóticamente estable en el origen. Los conjuntos de nivel V = constantes positivas son elipses inclinadas. En la figura 8.4.2 se muestran las órbitas de (3) que cortan las elipses conforme aquéllas se mueven hacia el origen. En el próximo ejemplo se empieza por mostrar el poder del primer teorema de Lyapunov; no se aplica ninguno de los métodos anteriores del capítulo.
Ejemplo 8.4.3
Estabilidad asintótica de un sistema mal definido A veces sólo se tiene información parcial acerca de un sistema. Considérese x ' = y-F(x, y) y' =-x-G(x, y)
(4)
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555
8.4 / Funciones de Lyapunov
Obsérvese que los valores característicos del sistema lineal x' = y, y' = - x son ±i, de modo que no puede aplicarse el teorema 8.2.1 aun cuando el orden de F y G sea por lo menos 2. Supóngase que todo lo que se sabe acerca de las funciones F y G es que F(O, O) = G(O, O) = O, que F y G son continuamente diferenciables y que xF(x, y) > O para x #- O Y yG(x, y) > O para y #- O (es decir, F tiene el signo de x y G tiene el de y). Entonces V = X2 + y2 es una función fuerte de Lyapunov porque es positiva definida y V' es negativa definida: V' = 2xx' + 2yy' = 2x(y - F) + 2y(- x - G) = - xF - yG
que es negativa definida por las propiedades de los signos de F y G. Hemos determinado que el sistema (4) es asintóticamente estable aun cuando no se sabe mucho acerca de F y G (es decir, son un poco "difusas"). Nótese en particular que no se supone que F y G tengan por lo menos orden 2. De hecho F = ax y G = by, donde a y b son constantes positivas, satisfacen las condiciones dadas. En la figura 8.4.3 se muestran órbitas de otro ejemplo del sistema (4) (a saber, F = x 3 y G = y3). Las órbitas cortan hacia el centro a través de los conjuntos de nivel de V = X2 + y2. Modifiquemos ahora tanto las funciones como F y G en el ejemplo 8.4.3 de modo que las propiedades de los signos de F y G se cumplan cerca del origen, pero no a cierta distancia.
Ejemplo 8.4.4
Estabilidad asintótica local
Considérese el sistema x' = y-x 3 [1-x sen(x +y)] y' = -x-l[l - xy] 3
Las funciones F = x [1_ x sen(x + y)] y G = l[l - xy] tiene las mismas propiedades de signo cerca de (O, O) que x 3 y y3, pero a cierta distancia de (O, O) sus signos pueden cambiar con suma rapidez. Así, se ve la estabilidad asintótica local, pero no necesariamente la global. En la figura 8.4.4 se confirma esto. En tal caso se dice que V = X2 + y2 es una func ión júerte local de Lyapunov.
Antes de proseguir definiremos otros tres tipos de "definitividad" y luego daremos algunos criterios para las distintas clases de definitividad de formas cuadráticas.
Definitividad y formas cuadráticas ~
Obsérvese que las distintas clases de definitividad también se aplican en algún punto p donde V(P) = o.
Una función con valores reales V(x) para la cual VeO) = O es semidejinida positiva si hay una bola abierta B centrada en O tal que V(x) ;:::: O para toda x en B; una función semidefinida negativa V se establece en forma siI:nilar. Además, Ves indefinida si toda bola abierta B centrada en O contiene puntos q¡ y q2 donde V(q¡) > O Y V(q2) < O, pero (como siempre) VeO) = O.
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Estabilidad
A continuación se da la prueba de definitividad para las formas cuadráticas planas V(x, y).
Teorema 8.4.2
Formas cuadráticas planas. Supóngase que V(x, y) es la f orma cuadrática ax2 + 2bxy + cy2, donde a, by c son números reales. Entonces V(x, y) es: • • • •
Positiva definida si y sólo si a, c > O Y b2 < ac. Positiva semidefinida si y sólo si a, c ~ O Y b2 ~ ac. Negativa definida si y sólo si a, c < O Y b2 < ac. Negativa semidefinida si y sólo si a, c ::; O Y b2 ~ ac.
De otro modo, V(x, y ) es indefinida. En la comprobación de estas pruebas se aplica la fórmula cuadrática (problema 8).
Ejemplo 8.4.5
Prueba de la definitividad de las formas cuadráticas Para V = X2 + 8y2 se tiene a = 1, b = O Y c = O, de modo que a > O, b2 < ac, y Ves positiva definida. Para V = X2 + xy + y2 se tiene a = c = 1 Y b = 1/2, así que a > O, b2 < ac, y V es positiva definida. De manera similar, V =X2 - y2 es indefinida y V(x, y) = - y2 es negativa semidefinida.
x' = y - x1 , y ' =- x -Y¡
x ' = y - x3 [l- x sen (x + y)] ,y' = -x _ y3[l_ xy]
v= x2 +y
v =xZ +y2
\ \
\
\
,,
\
I
I I
- 1
",,.,,,,"
I
I
/ -'
- 2 ~------~~~--~--~~~----~~ -2 -1
x
Figura 8.4.3 Las órbitas mueven hacia el centro por todos los conjuntos de nivel de la función fuerte de Lyapunov V: estabilidad asintótica global (ejemplo 8.4.3).
- 1
-2
-2
x
Figura 8.4.4 El sistema es (por lo menos localmente) asintóticamente estable porque V es una función local fuerte de Lyapunov (pero no global) [ejemplo 8.4.4].
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8.4 / Funciones de Lyapunov
Ejemplo 8.4.6
Otra visión del ejemplo 8.4.2 Expliquemos la elección extraña de la función fuerte de Lyapunov V = 3x2 + 2xy + 2y2 para el sistema x' = y, y' = -x - y. Como vimos en el ejemplo 8.4.2, VI = X2 + y2 no puede usarse en el teorema 8.4.1 porque V' sólo es negativa semidefinida. Así que tomemos V = ax? + 2bxy + cy2 y tratemos de encontrar constantes a, b y c de forma que V sea positiva definida y V' sea negativa definida. Por el teorema 8.4.2 queremos que a y e sean positivas y b2 < ac. Se tiene V'
= (2ax + 2by )x ' + (2bx + 2cy)y' = (2ax + 2by )y + (2bx + 2cy) (- x = - 2bx
2
y)
+ 2(a - b - c)xy + 2(b - c)i
Entonces, para eliminar el término mixto xy se toma a = b + e y luego se elige b de modo que O < b < e y b2 < ac. Por ejemplo, puede usarse a = 3, b = 1 Y e = 2: V = 3x2 +2xy+2i V' =_2x2 -2i
y con esto concluye la tarea. Obsérvese que no hay nada particular acerca de los valores de a, by c; con a = 5, b = 2 Y e = 3 también se obtendrá una V positiva definida y una V' negativa definida. Consideremos ahora las funciones débiles y las pruebas de Lyapunov para la estabilidad (sin distinguir entre neutra y asintótica) y la inestabilidad.
Pruebas de Lyapunov para la estabilidad e inestabilidad Primero defina una nueva clase de función de Lyapunov. Supóngase que V(x) es una función con valores reales continuamente diferenciables. Se tiene una fu nción débil de Lyapunov para el sistema x ' = f(x) ,
feO) = O
(5)
si Ves positiva definida, pero V'(x) sólo es negativa semidefinida [de modo que V'(x) :s; O cerca del origen]. Entonces se tiene una prueba para la estabilidad, pero la prueba no distingue entre estabilidad neutra y asintótica.
Teorema 8.4.3
Segundo teorema de Lyapun ov. Supóngase que hay una función débil de Lyapunov V para el sistema (5). Entonces éste es estable en el origen. El resultado parece razonable porque la semidefinitividad negativa de V' mantiene próxima al origen una órbita que empieza cerca de él conforme aumenta t. Pero las órbitas no tienen que cortar los conjuntos de nivel de V. De hecho, si V' = Opara toda x, entonces V(x) = constante podría ser una superficie integral y se tiene la estabilidad neutra.
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Estabilidad
Ejemplo 8.4.7
Función débil de Lyapunov y estabilidad neutra
Consideremos el sistema
cuyas órbitas están dadas por x 4 + l = constante. Sea V = x 4 + y4; entonces V' = 4x 3 x' . +41y' = 4x 3 1 - 41x 3 = o. Por tanto, Ves positiva definida, V' es negativa semidefinida (trivialmente) y el sistema es estable en el origen. De hecho, el sistema es neutralmente estable y conservativo; las órbitas son los conjuntos de nivel de V. Por último tenemos la prueba de Lyapunov para la inestabilidad.
Teorema 8.4.4
Tercer teorema de Lyapunov. El sistema x' =f(x), donde 1(0) = O, es inestable en el origen si hay una función indefinida continuamente diferenciable (o positiva definida) V(x) en una bola centrada en el origen y V'(x) es positiva definida. Este resultado es plausible. Si una órbita empieza cerca del origen en un punto q donde V(q) es positiva, entonces la definitividad positiva de V' implica que conforme transcurre el tiempo aumenta el valor de Va lo largo de la órbita, la cual debe alejarse más y más del origen. Para concluir esta sección aplicaremos las funciones de Lyapunov al problema de la raqueta giratoria de la sección 8.3.
Ejemplo 8.4.8
Raqueta giratoria
En la última sección se modelaron los movimientos angulares de una raqueta giratoria. En el ejemplo 8.3.4 se utilizaron números para las inercias principales y se consideró el sistema específico para la velocidad angular de la raqueta giratoria: W~ = - W 2 W 3 · w~ =
- w¡w 3
(6)
1
w3 = "3 W ¡W2 I
~
En la sección 8.3
VI se llamó K.
Obsérvese que los puntos en los ejes coordenados W son puntos de equilibrio del sistema; representan las rotaciones estables respecto al eje correspondiente del cuerpo de la raqueta. Comprobemos la estabilidad de estos puntos. En aras de la sencillez, sólo consideraremos los puntos (1, O, O), (O, 1, O) y (O, O, 1), pero el método se extiende a todos los puntos de equilibrio. Primero obsérvese que V¡ = w¡ + wi Y V2 = w~ + 3w~ son integrales del sistema (6). Para verificarlo, compruebe que V~ = O Y V; = O que siguen el movimiento del sistema (6). A continuación se mencionan las propiedades de estabilidad del sistema (6):
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559
8.4 / Fu nciones de Lyapunov
• Neutralmente estable en (O, 1, O). Para ver por qué esto es así, establezca V = (Y¡ 1)2 + V2 . La función Ves positiva defmida y se anula sólo en el punto (O, 1, O). Pero se tiene que V' = 2(Y¡ -1)Y¡' + V{ es cero para todas O)j , W¿, 0)3 de modo que V' es negativa semi definida (trivialmente) y Ves una función débil de Lyapunov. Se aplica el teorema 8.4.3 y (6) es estable en (O, 1, O). Puesto que los sistemas conservativos no pueden tener puntos de equilibrio asintóticamente estables, debe tenerse estabilidad neutra. • Neutralmente estable en (O, O, 1). Aplique el método anterior, pero con la función débil de Lyapunov V = Y¡ + (V2 - 3)2. • Inestable en (1, O, O). Se ve que V = 0)20)3 es indefinida en (1, O, O) Y
(1 ) (
(0)20)3) I = 0)20)3I + 0)30)2I = 0)2 30)¡0)2
(1
2 2)
+0)3 0)¡0)3) = 0)¡ 30)2 + 0)3
la cual es positiva definida en la bola B¡((l, O, O)). Por tanto, se aplica el teorema 8.4.4 y se tiene inestabilidad. En los ejemplos se sugiere cómo pueden usarse las funciones de Lyapunov hechas a la medida para probar modelos de sistemas complejos para el funcionamiento estable. Debido a esta flexibilidad, las pruebas de Lyapunov acopladas con las simulaciones de la computadora ahora son de importancia central en casi todos los procesos de diseño.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Uso de las funciones de Lyapunov para probar la estabilidad.) Pruebe la estabilidad en el origen mediante V = ax 2 + el o ax 2 + 2bxy + el. Distinga entre estabilidad neutra y asintótica, si es posible. (a) x' = -4y - x 3, y' = 3x - l (b) x ' = y, y' = -9x (e) x'
= -x + 3y, y' = - 3x- y 2
(e) x' = (-x + y)(x + l), y'
(d) x' = 2x + 2y, y' = 5x + y
= -(x + y)(x + l )
(g) x' = _ x 3 + x3 y _ x 5, y' = y +/
•
2.
2
+x4
= - 2x - xeXY, y' = -y (h) x' = y, y' = -2x-3y (1) x'
ye xy
(Conjuntos de nivel defuneionesfuertes de Lyapunov.) Grafique varios conjuntos de nivel de las funciones de Lyapunov cerca del origen. Luego trace varias órbitas del sistema indicado en el problema 1; obsérvese cómo las órbitas cruzan los conjuntos de nivel y tienden al origen conforme aumenta t. (a) V =
3X2
+ 4l;
(b) V = x2 + l
sistema del problema 1(e)
(e)
sistema del problema l(e)
(d)
; V = x2 + l; , V = x2 + l;
sistema'del problema l(a)
(e) V = 5x2 + 2xy + l;
sistema del problema 1(r) sistema del problema l(h)
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www
3.
(Prueba de estabilidad.) Use una función de Lyapunov de la forma V = ax2 +cl y determine si el sistema es asintóticamente estable o inestable en el origen. (a) x'=-x-x3, y'=-y i!!) x'=x+x2, y'=-y (e) x' = Ex - y + X2, y'
114.
=
x + ey + x2, donde
E
es una constante positiva.
(Más funciones de Lyapunov.) Use V = ax2m + by2n, m y n son enteros positivos, para determinar las propiedades de estabilidad en el origen. Trace algunos conjuntos de nivel de V y algunas órbitas de los sistemas. [Sugerencia: calcule V' y luego escoja valores estratégicos para a, b, m, n.] (a) x'=-x3+l, y'=_x3_y3 (b) x'=-2l, y'=2x-l
5. (Estabilidad
6.
7.
8. 9.
~: l'
neutra). Demuestre que x' = (x - y)2(-x + y), y' = (x - y)2(-x - y) es neutralmente estable en el origen. [Sugerencia: use V = x2 + y2 Obsérvese la línea de.puntos de equilibrio.] (Funciones V y estabilidad de un péndulo amortiguado.) Las afirmaciones siguientes describen cabalmente las propiedades de estabilidad del sistema x' = y, y' = -(gIL)sen x - cylm para un péndulo amortiguado. (a) Demuestre que este sistema es asintóticamente estable en todo punto (2kn, O). [Sugerencia: escriba V(x,y) = (4g1 L)[I- cos(x - 2kn)] + 2l + (2clm) {x - 2kn)y + (c2Im2)(x - 2kn)2.] (b) Demuestre que el sistema x' = y, y' = -(giL) sen x - (c/m)y es inestable en cada punto (xo, O), donde Xo = (2k + l)n. [Sugerencia: utilice V = -y sen (x xo) + c/m)(1 - cos(x - xo)).] (Modelo de Lotka-Volterra.) Con el sistema x' = (a - by)x, y' = (-c + dx)y, donde los coeficientes son positivos, se modelan las interacciones de una comunidad depredador-presa. Demuestre que el sistema es neutralmente estable en el punto de equilibrio (c/d, alb) por medio de la función Q(x, y) = (yae-by)(re-dx). [Sugerencia: sea V = Q(c/d, alb) - Q(x, y). Véase el problema 6(a) de la sección 5.4.] Demuestre la validez del teorema 8.4.2 para la forma cuadrática plana V = ax2 + Zbxy+cy", Considere el sistema x' =;= y - x/ex, y), y' = -x - Y/ex, y). (a) Demuestre que el sistema es estable en el origen si /(x, y) es positiva semidefinida. (b) Demuestre que el sistema es asintóticamente estable en el origen si/ex, y) es positiva definida. (e) Demuestre que el sistema es inestable en el origen si/ex, y) es negativa definida. (d) Ilustre los incisos (b) Y (e) anteriores usando las funciones respectivas / = Ixl + Iyl y/ = -COS(X2 + y2). Grafique las órbitas de cada sistema en una región que contenga al origen. (¿Alguien quiere jugar tenis?) Determine la estabilidad de todos los puntos de equilibrio en el sistema (8) de la sección 8.3. Amplifique las órbitas cerca de cada punto en una elipsoide inercial y explique qué ve. ¿Cuáles son los movimientos correspondientes de la raqueta de tenis?
11 ~1110.
¿C D(
za
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Capítulo
3
9
2
.8 'S
u .!:;
o
u
-1
-2
-3
-3
-2
-1
o
2
3
Voltaje ¿Corriente y voltaje caóticos en un circuito no lineal? Revise el circuito de desplazamiento en la sección 9.3.
Ciclos, bifurcaciones y caos
En este capítulo estudiaremos el comportamiento de largo plazo de los procesos físicos y de sus sistemas de modelación de EOQ · (normalmente autónomas, siempre nq lineales, con frecuencia planos). Asimismo, veremos las órbitas atraídas hacia estados de equilibrio, estados periódicos y regiones de movimiento caótico. Un comportamiento inusual aparece de pronto cuando se lleva un parámetro más allá de cierto punto de bifurcación. Este capítulo nos conduce a los límites de la comprensión del comportamiento dinámico.
9.1
Ciclos Aunque se conoce mejor a Balthazar van der PoI por su trabajo con circuitos eléctricos, descubrió asimismo una amplia variedad de sistemas que presentan oscilaciones: ... el arpa eólica, un martillo neumático, el rechinido de un cuchillo en un plato, el ondear de una bandera al viento, el ocasional zumbido de llave de agua, el crujido de una puerta ... la recurrencia periódica de epidemias y crisis económicas, la densidad periódica de un número constante de especies animales que viven juntas y una sirve de alimento a la otra ... y, por último, el latido del corazón.
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562
Ciclos, bifurcaciones y caos
En esa cita, Van der Poli agrupó varios fenómenos en una sola categoría de sistemas que presentan oscilaciones periódicas. De acuerdo con él, casi todos esos sistemas pueden modelarse con un sistema autónomo no lineal x' = F(x), donde x es un vector real de dimensión n y F(x) es una función vectorial de dimensión n continuamente diferenciable. Así, se cumple el teorema fundamental (teorema 5.2.1). Como el sistema es autónomo, no pueden cortarse órbitas distintas. La órbita de una oscilación periódica en el espacio de estados se denomina ciclo. Ya hemos visto varios de ellos; por ejemplo, los ciclos lineales de un oscilador armónico en la sección 3.5 y los no lineales del sistema depredador-presa de Lotka-Volterra en la sección 5.4. Lo que nos interesa ahora es un ciclo de tipo especial llamado ciclo límite. •:. Ciclo límite. Un ciclo de un sistema autónomo es un ciclo límite si ciertas órbitas no periódicas tienden a él cuando t ~ +00 o cuando t ~ - oo. Un ciclo límite es atrayente si toda órbita cercana se le aproxima cuando t ~ + 00; repelente si toda órbita cercana se le acerca en un instante inverso, es decir, cuando t ~ - oo .
Nótese que los ciclos del oscilador armónico (sección 3.5) y los del sistema Lotka-Volterra (sección 5.4) no son límite porque todas las órbitas cercanas a ellos constituyen ciclos también, así que no pueden aproximarse entre sí cuando t ~ + 00 o cuando t ~ -oo.
En ésta y en la próxima sección buscaremos ciclos límite. Para simplificar sólo veremos un sistema autónomo plano x' = f(x, y), y' = g(x, y), donde fy g son continuamente diferenciables.
Ejemplo 9.1.1
Uso de coordenadas polares para localizar un ciclo Se tiene el siguiente sistema con un ciclo límite atrayente: · x' = x - y - x(x 2 + l),
(1)
y' = x + y-y(x 2 +l)
Una manera de verlo es describir las órbitas por medio de coordenadas polares x = rcose,
y = rsene,
tan e =y/x
(2)
Si se derivan las dos últimas ecuaciones en (2) con respecto a t y se utiliza (1) y la regla de la cadena se obtiene una EDO en r y otra en e:
El físico e ingeniero holandés Balthazar van der Poi (1889-1959) fue precursor con su trabajo ' en 105 primeros radios comerciales en la década de 1920. Sus modelos matemáticos del comportamiento de 105 voltajes y las corrientes internas de una radio continúan en uso, y, más adelante, en esta sección, se verá uno de ellos.
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caos
que moenAsí, pue-
9.1
I Ciclos
563
2
r'=r(1-,.2),
B'= 1
2.5
1.5 C!:>
c: 1;l •...
. Ya
0.5
~I
11
1
'"'
o en sec-
I
-0.5
I -1 -1.5
írbí-2.5
te ito-00
Volci-oo.
mos ife-
2
-4
-2
x=rcosB
x=rcosB
Figura 9.1.1 El ciclo límite atrayente en r = 1 encierra un punto de equilibrio inestable (ejemplo 9:1.1). ~ Consulte en la sección 5.2 la fórmula (15), otra forma de transformar una EDO de coordenadas rectangulares a polares.
= 2(x2 2
e)e , = xy'
= 2x[x - y - x(x2
+ 2yy'
2rr' = 2xx'
(sec
Figura 9.1.2 Los ciclos límite atrayentes y repelentes en r = 1,2 encierran un origen inestable (ejemplo 9.1.2).
+ l) - 2(x2 + l)2
- yx' 2
1 =-[x+y-y(x
X
= 1+ (
+ l)] + 2y[x + y - y(x2 + l)]
= 2r2 - 2r4 2
2 Y +y )]-2[x-y-x(x
X 2
Z.)
2
=
+
X
X
2
+l)]
X 2
Y
= sec2
y2
e
Entonces se obtiene el sistema equivalente en coordenadas polares: r' (1) r
(2)
gla
o
su los dio
= r(l-
r2),
e' = 1
(3)
Se ve de (3) que e(t) = t + C; por tanto, e(t + 2n) = e(t) + 2n, lo cual indica que las órbitas se mueven en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto de equilibrio del sistema (1) en el origen en una rotación completa cada 2nunidades de tiempo. De la EDO para r en (3) se observa que r = O Y r = 1 son soluciones. La solución r.= O corresponde al punto de equilibrio en el origen; r = 1 al ciclo circular x2 + y2 = 1 para el sistema (1). Al usar técnicas de análisis de signos para r' = r(1 - r2) se observa que si O < ro < 1, entonces r(t) disminuye a O cuando t ~ -00 y 'se incrementa a 1 cuando t ~ +00. Pero si ro> 1, entonces r(t) disminuye a 1 cuando t ~ + 00 y se incrementa a + 00 cuando t disminuye (véase la línea de estados r en el margen). Así, el círculo unitario es un ciclo límite de periodo 2n y atrae todas las órbitas no constantes del sistema (1). Véase la figura 9.1.1. En el ejemplo siguiente, no trascribimos siempre el sistema plano en coordenadas xy; vamos directamente al sistema equivalente en coordenadas polares y aplicamos el análisis de signos.
1I 1
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564
Ciclos, bifurcaciones y caos
Ejemplo 9.1.2 r
Dos ciclos límite: uno atrae, otro repele El sistema en coordenadas polares \
2
r' = O.lr(l- r2)(4 - r2),
()' = 1
tiene dos ciclos límite, uno atrayente (r = 1) Y otro repelente (r = 2), resultados que se sugieren por los cambios de signo de r' en los valores 1 y 2 (véase la línea de estados en el margen). Como en el ejemplo anterior, el periodo de cada ciclo es de 21C y la rotación va en sentido levógiro porque ()' es positiva (figura 9.1.2). Se introdujo el factor de 0.1 en la función de tasa de cambio para r a fin de tomar atractivas las gráficas de la figura 9.1.2. ¿Cómo se veóan éstas si se reemplazara 0.1 con 10 o por 0.001?
o
Volvamos ahora al tipo de sistema plano que Van der PoI usó para modelar los circuitos de radio.
Circuitos de Van der Poi y ciclos límite Supóngase que se diseña un circuito eléctrico con una corriente de salida periódica de amplitud y periodo prescritos. Se requiere que la corriente regrese rápidamente al estado periódico después de una alteración. El circuito de Van der PoI es un ciclo cerrado RLC en el que el resistor pasivo se reemplaza con un elemento activo. Primero revisaremos las ecuaciones qel circuito pasivo RLC desde un punto de vista de variable de estado y como sistema.
Circuito Pasivo RLC _ _ _ _ _ _---''--_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Capacitor
1
{]+~Resistor
Digamos que se aplica y luego se retira una fuente de voltaje constante a un circuito como el que se muestra en el margen. ¿Cómo cambian la corriente I(t) y los voltajes a lo largo de los elementos del circuito con el correr del tiempo? De acuerdo con la ley del voltaje de Kirchhoff (sección 4.4), los voltajes a través de los tres elementos del circuito satisfacen la ecuación
2
(4) donde Vij indica la caída de voltaje del nodo i al j. Los voltajes separados se relacionan con los elementos del circuito correspondiente por las ecuaciones
"í2 = LI' V23 = RI
, 1 "í 3 =-- I
C
(5)
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565
9. 1 I Cic/os
Revise estas leyes en la sección 4.4. I@>
I@>
donde el signo menos de la última ecuación viene de la relación V¡3 = -V31 . Las relaciones dadas en (5) son, respectivamente, la ley de Faraday, la de Ohm y la forma diferencial de la de Coulomb. De (4) Y (5) se observa que las dos variables de estado J y V = V¡3 son suficientes para caracterizar la dinámica del circuito por el sistema linear
De las soluciones
I' =
J(t) y V(t) = V 13 (t) de (6)
puede obtenerse V 23 (t) de (5) y V I2 (t) de (4).
V' --
± =l V¡2
(- V23
+ V) =
l
(-RJ + V)
(6)
- ~J C
La matriz del sistema tiene el polinomio característico }} + RAIL + l/LC, así que sus valores característicos tienen partes reales negativas. Como en los resultados del ejemplo 7.7.6, la corriente J(t) y el voltaje V(t) tienden a O cuando t ---f + y no hay soluciones periódicas, así que no hay ciclos límite. La razón física de este decaimiento hacia el estado cero radica en que el resistor disipa la energía eléctrica. 00
~ !¡.
111 1,
Circuito activo RLC _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __
I@> Un resistor negativo bombea energía al interior del circuito.
"
El circuito es activo si la energía se introduce a su interior cuando la amplitud de la corriente cae por debajo de cierto nivel. Una manera de hacerlo es sustituyendo el resistor con un elemento activo que actúa como "resistor negativo" en niveles de baja corriente pero disipa la energía en niveles altos. En la época de Van der PoI había tubos de vacío; ahora hay dispositivos semiconductores que cumplen tal función. Las ecuaciones de tasa de cambio para el circuito activo se obtienen del sistema de circuito pasivo (6) al reemplazar la ley de Ohm de la caída de voltaje RJ con F(J): J' = ±(- F(I) + V) (7)
Si el tiempo, la corriente J y el voltaje V a través del condensador se readaptan de manera apropiada a la forma adimensional, el sistema (7) cobra la forma de un sistema de Van der PoZ
Capacitor
dx dr = y - J1f(x)
Inductor
(8)
dy = -x dr
donde
r
=
tl ..fLC,
x = I/Jo,
f(x ) = F(Iox),
Jo es una corriente de referencia positiva
I
I
1 :
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y caos
Ciclos, bifurcaciones
x'= y- (x3/3 -xl,
"'
x'
y'=-x
4
20
o
10
=y
- 20(x3/3 - x),
9.1;
y'=-x
4
"'
-2
-2
-4 ~------------10 20
30
40
t
e-,
-4
.S' "
25
50
O
75
100
t
~
20
-1
10 -10
'"
, I
O IIE -10
10
20
30
40
-20
-4
-20 -2
Figura 9.1.3 Dos órbitas se aproximan al ciclo límite: Ji= 1 (ejemplo 9.1.3).
x
~ La prueba se esboza en el manual de recursos para el estudiante.
50
75
Corriente x
Corriente x
Teorema 9.1.1
25
100
Figura 9.1.4 Dos órbitas se aproximan al ciclo límite: = 20 (ejemplo 9.1.3).
Ji
En aras de lo práctico nos referiremos a 7: como el tiempo, a x como la corriente y a y como el voltaje a través del capacitor o condensador. En los dibujos del margen de la página anterior y de ésta se muestran un circuito Van der PaZ activo y la relación corriente-voltaje no lineales de un dispositivo serniconductor clásico. En particular, nótese que el voltaje y la corriente x tienen signos opuestos si Ixl < a. La naturaleza del resistor semiconductor es suficiente para cambiar por completo el comportamiento de largo plazo de la corriente en el circuito y el voltaje que pasa por el condensador. Van der PoI y otros físicos, ingenieros y II.J.atemáticoshan dado lugar al siguiente teorema. El ciclo de Van der PoI. Supóngase que la función uniformemente continua por partesf(x) se define para todas las x y tiene las propiedades (a)f(-x) = -f(x); (b) para alguna constante positiva a,f(x) < O si O < x < a y f(x) > O si x > a, y (e) f(x) -7 + 00 cuando x -7 + =. Entonces para todo valor positivo de Ji el sistema de Van der PoI x' = y - Jif(x), y' = -x, tiene un ciclo límite único que encierra el punto de equilibrio x = O, Y = O. Ese ciclo atrae todas las órbitas no constantes. A continuación veremos a qué se pareceri los ciclos límite en un caso específico.
Ejemplo 9.1.3
Un sistema concreto de Van der Poi Originalmente Van der PoI usó la función f(x)=-x
1 3
3
-x
(9)
la cual reúne las condiciones del teorema 9.1.1. con a =..J3 . En las figuras 9.1.3 y 9.1.4 se muestra la gráfica de y = Ji(x3f3 - x) para Ji = 1, 20 (curvas de trazo discontinuo). También se muestran las órbitas del sistema de Van der PoI correspondiente que terminan en
para 2n:, sorp órbi 2n:c
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9.1/ Ciclos
!lE El
periodo 6.5 para p- = 1 es cercano a 211:, 10 cual no es de sorprender porque las órbitas tienen periodo 211: cuando p- = O.
el ciclo límite, una desde el interior y otra desde el exterior, y las gráficas correspondientes de las componentes x y y. Para valores suficientemente grandes de f1, el ciclo límite tie3 ne lados inclinados a lo largo de los arcos de la gráfica de y = f1 (x /3 - x). Para esos valores de f1 la "parte superior" y la "inferior" del ciclo corresponden a cambios rápidos en la magnitud de la corriente x mientras el voltaje permanece constante. Esto va seguido por cambios lentos a lo largo de los lados del ciclo cuando la corriente "se relaja" y el voltaje cambia de signo. Por tal razón, el ciclo límite de un sistema de Van der PoI para valores grandes de f1 se denomina oscilación en relajación. Puede considerarse f1 = .,jC/ L /lo un parámetro de afinación para ajustar el periodo del ciclo corriente/voltaje mientras se deja la amplitud de la corriente más o menos constante. Por ejemplo, en las gráficas de las figuras 9.1.3 y 9.1.4 se observa que el periodo es de aproximadamente 6.5 unidades de tiempo adimensional 't" si f1 = 1 Y de casi 33 unidades si f1 = 20. En cada gráfica las corrientes adimensionales tienen amplitud 2. Nótese que (en contraste con la corriente) la amplitud del voltaje adimensional y a través del semiconductor se incrementa con f1. Por último, observe que la matriz jacobiana en el origen del sistema de Van der PoI 3 x' = y - f1(x /3 - x), y' =-x es J =
[lt ó]con los valores característicos
[f1 ±(f12 - 4)112] / 2.
Como f1 es positiva, los valores característicos también lo son (si f1 ~ 2) o son complejos conjugados con partes reales positivas si O < f1 < 2. Por los resultados de las secciones 7.7 y 8.2 se sabe que el origen es un punto de equilibrio repelente e inestable; así, no sorprende que las órbitas cercanas se muevan hacia fuera desde el origen conforme avanza el tiempo. x'= -y -
r,
y'=x/2 - y/s + xy- 6y2/S
x
Figura 9.1.5 Dos ciclos límite para un sistema cuadrático (ejemplo 9.1.4).
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568
Ciclos, bifurcaciones y caos
Los ciclos límite de los ejemplos de esta sección son órbitas de sistemas planos cuyas funciones de tasa de cambio son polinomios (de tercero o quinto grado) en las variables de estado xy. A continuación se da un ejemplo donde esas funciones son sólo cuadráticas y hay dos ciclos límite.
Ejemplo 9.1.4
Un sistema cuadrático con dos ciclos límite No hay fórmula conocida para las soluciones del sistema cuadrático X
I
=-y-y 2 ,
I
1 2
1 5
6 5
Y =-x--y+xy--y
2
(10)
así que usamos un programa de resolución numérica para encontrar los ciclos límite. Primero se encuentran los puntos de equilibrio. La EDO x' indica que cualquier coordenada y del punto de equilibrio es o -1. Con y = 0, -1 en la EDO y' se ve que los puntos de equilibrio son (0, O) y (-2, - 1). En la figura 9.1.5 se muestra un ciclo límite repulsor alrededor de (0, O) y un ciclo límite atrayente alrededor de (-2, -1). El matemático chino Tung Chin Chu descubrió el sistema (10) a fines de la década de 1950 y logró demostrar que tenía, efectivamente, un par de ciclos límite. ii
°
Comentarios Los ciclos límite de Van der PoI y los ciclos límite de los ejemplos se generan internamente por la dinámica de los sistemas autónomos correspondientes y no son la respuesta a alguna fuerza impulsora externa periódica en el tiempo. No es accidental que esos sistemas sean no lineales. De hecho, un sistema autónomo lineal x' = Ax no tiene ciclos límite atrayentes o repelentes; esto es, si x = x(t) es una solución periódica de x' = Ax, entonces por linealidad resulta que x = cx(t) para todas las constantes reales c. Esto significa que cual-
ii Una conjetura acerca de sistemas planos con funciones de tasa de cambio cuadráticas es
David Hilbert
que tienen no más de cuatro ciclos límite o un número infinito de ellos. El matemático chino Shi Song Li encontró en 7979 un sistema con cuatro ciclos. El matemático ruso N. N . Wyaschenko recientemente resolvió parte de la conjetura al demostrar que cualquier sistema de este tipo tiene sólo un número finito de ciclos; no se sabe mucho más al respecto. David Hilbert (7860-7943), el matemático alemán mejor conocido de fines del siglo XIX y principios del XX, formuló esta pregunta sobre el número y la colocación de ciclos como #76b en su famosa lista de 23 problemas al Congreso Internacional de Matemáticos en París en 7900. La mayor parte de los problemas de Hilbert han sido resueltos, pero no el #7 6b. ¿Se presentará alguna lista similar de problemas abiertos en el Congreso Internacional en el 2002?
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569
9.1/ Ciclos
quier ciclo de un sistema lineal forma parte de una familia de ciclos, así que no puede atraer (o repeler) las órbitas cercanas. Los ciclos en el plano de estados xy tienen dos propiedades características: • Cada ciclo encierra uno o más puntos de equilibrio. • Cada ciclo divide el plano en dos regiones (esto es, la interior y la exterior del ciclo), ninguna accesible desde la otra a través de una órbita. La primera propiedad dice que al buscar ciclos, lo mejor sería localizar primero los puntos de equilibrio. La segunda indica que la dinámica y el comportamiento orbital en la región interior acotada por un ciclo pueden considerarse relativamente independientes de lo que sucede en la región exterior.
Problemas _____________________________________________ www 1.
(Ciclos y ciclos límite) . Encuentre los puntos de equilibrio y los ciclos de los siguientes sistemas escritos en coordenadas polares. Determine si el punto de equilibrio en el origen, r = O es asintóticamente estable, neutralmente estable o inestable. Establezca si cada ciclo es límite y, de ser así, si es atrayente o repelente. Trace a mano los ciclos y las otras órbitas en el plano xy. Use flechas para mostrar la dirección de incremento del tiempo. (a) r'=4r(4-r)(5-r),
0'=1 2 (b) r' = r(r - 1)(2 - r )(3 - r2), O' = - 3 (e) r' = r(l- r 2 )( 4 - r2), O' = 1- r 2 [Sugerencia: r' y O' son O si r = 1.] (d) r' = r(l- r 2 )(9 - r2), O' = 4 - r 2 [Sugerencia: O' = O pero r'"# O si r = 2.] (e) r'=rcos7rr,
0'=1
= rsen(n / r), O' = -2, donde r' se define como O si r = O. [Sugerencia: use la definición de estabilidad de la sección 8.1 para demostrar que el sistema es estable en el origen.]
(f) r'
2.
(Ciclos límite). Encuentre todos los ciclos límite e identífiquelos como atrayentes o repelentes. [Sugerencia: escriba los sistemas de los incisos (a) a (e) en coordenadas polares.] 2 (a) x'=y - x(x + i), y' =-x-y(x 2 +i) (b) x' = x + y _x(x 2 + i),
y' = - x + y _ y(x 2 + i )
(e) x' = 2x - y -x(3- x2 - i),
y' = x +2y - y(3 - x 2 - i )
11 (d) r' = r(1- r2)(4 - r2)(9 - r2) 11 000, O' = L Trace las órbitas en el rectángulo Ix l ~ 6, Iyl
~
4, donde x
= r cos O,
y
= r sen O.
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570
Ciclos, bifurcaciones
3.
84. '1,1'
5.
6.
f :~i, ",
l'
-,,;
1'; "
00,
87.
(Centro-espiral). Considere el sistema en coordenadas polares r' = r3 sen (l/r), (J' = 1, donde r' se define como en r = O. Demuestre que el sistema xy correspondiente tiene un número infinito de ciclos límite circulares alrededor del punto de equilibrio en el origen; los ciclos "convergen" en el origen, son alternativamente atrayentes y repelentes y las otras órbitas son espirales que giran de un ciclo a otro conforme t aumenta. Se dice que el origen del sistema xy es un centro-espiral. Explique por qué. [Sugerencia: véase también el problema 1(0.] (Ciclos no aislados, no lineales). Demuestre que las órbitas no constantes del sistema x' = y3, y' = -x3 son ciclos que encierran el punto de equilibrio en el origen y llenan el plano xy. Trace las órbitas y las curvas componentes correspondientes a los puntos iniciales (O, O), (0.5, O), (1; O), (2, O). ¿Son iguales los periodos de distintos ciclos? (Ciclos semiestables). Ciertos ciclos repelen de un lado y atraen del otro; son del tipo semiestable. Encuentre todos los ciclos de r' = r(1 - r2)2(4 - r2)(9 - r2), (J' = 1 e identifique cada uno como atrayente, repelente o semiestable. Dibuje las órbitas. (Un ciclo extraño). Explique por qué el sistema r' = r(r - 1)2 sen [n/(r - 1)], (J' = 1, donde r' se define como si r = 1, tiene un ciclo r = 1, que no es un ciclo límite, y toda vecindad suya contiene otros ciclos y espirales entre los ciclos sucesivos. [Sugerencia: cuando r ~ 1, (r - 1)2 sen [n/(r - 1)] ~ O; r' = en r = 1 y r = 1 ± l/n.] (Ciclos en ]R3). Determine el comportamiento de las órbitas cercanas al ciclo r = 1, z = del sistema en coordenadas cilíndricas r' = r(l - r2), (J' = 25, z' = az, donde a es una constante. Considere por separado los tres casos a < 0, a = 0, a> O. Grafique las órbitas en el espacio xyz para a = -0.5, 0, 1. (Sistemas de Van der Poi). Verifique que cada sistema satisfaga las condiciones del teorema del ciclo de Van der PoI (teorema 9.1.1). Para cada valor de J.ltrace el ciclo límite y algunas órbitas atraídas por él. Estime el periodo y la amplitud x y y de cada ciclo; verifique que cuanto más grande sea el valor de u, más largo será el periodo y más grande la amplitud y del ciclo, aunque la amplitud de x no cambie mucho.
°
°
°
°
(a) x'=Y-J.l(x3-lOx),
y'=-x;
(b) x'=y-J.lX(lxl-1),
2
(d) x'=Y-J.lX(2x
-
J.l=,O.5, 5, 50 'y'=-x;
2
sen n:x-2),
(e) x'=Y-J.l(x-lx+lI+lx-lI), 9.
J.l=0.1,2
y'=-x;
(e) x'=Y-J.lX(x4+x2-1)/1O,
•
y caos
J.l=0.1,1
y'=-x;
J.l"""0.5,5
y'=-x;
J.l=0.5, 5, 50
(Ciclos de Van der Poi). Trace una órbita y sus gráficas componentes para las soluciones cercanas al ciclo del sistema de Van der PoI x' = y - J.lf(x), y' = -x para un intervalo de valores de u, l/lO::; J.l::; 10, para cada función! dada en (a) y (b) a continuación. Use la gráfica componente x o ya fin de estimar el periodo del ciclo para cada valor de u. ¿Cómo cambia el periodo cuando J.l aumenta? ¿Cómo cambian las amplitudes máximas de las componentes x y y cuando J.lcrece? (a) f(x) = x3 - x
(b) f(f) = Ixlx3 - x
9,
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9.2/ Comportamiento de largo plazo
10. (Ecuación de Liénará) La EDO no lineal de segundo orden x" + f(x)x' + g(x) = O, donde f(x) y g(x) son funciones uniformemente continuas por partes, se denomina ecuación de Liénard en honor al matemático y físico francés Alfred Liénard (1869-1958). (a) Demuestre que si y = x' + F(x), donde F(x) = f(s)ds, entonces la ecuación de Liénard puede escribirse en forma de sistema como x' = y - F(x), y' = -g(x). • (b) Grafique la órbita de la solución periódica de x" + (x 2 - l)x' + x = O tanto en el plano xx' como en el plano xy de Liénard . • (e) (Ecuación de Rayleigh). La ecuación de Rayleigh es z" + .u[(z')2 - l]z' + z = O. Derive la ecuación de Rayleigh con respecto .a t, luego asigne x = .J3z' y demuestre que x" + .u(x2 - l)x' + x = O. Demuestre también que la EDO en x se reduce a una forma del sistema (8) si se establece y = x' + .u(x3/3 - x). Demuestre que la ecuación de Rayleigh tiene un único ciclo límite atrayente para cada .u > O. Grafique el ciclo de Rayleigh y las órbitas a través de los puntos iniciales (1.5, 1.5) Y (0.5, 0.5) en el plano zz' para cada uno de los siguientes valores de.u: .u = 0.1, 1,5, 10.
J;
9.2
Comportamiento de largo plazo Las órbitas extendidas al máximo de un sistema autónomo plano son curvas en el plano de estados. Si las funciones de tasa de cambio del sistema son continuamente diferenciabIes, entonces las órbitas ocupan todo el plano. Por unicidad, ningún par de órbitas se cortan o se tocan. Aunque no se tocan, siempre pueden moverse en una increíble variedad de formas. Si una de ellas se encuentra acotada, entonces se verá que su comportamiento de largo plazo está estrictamente limitado a una de sólo tres opciones. Poincaré iii observó la
iii
Jules Henri Poincaré
Se considera que el matemático francés Jules Henri Poincaré (1854 -1 912) es el "último
universalista ", la última persona en comprender todo lo concerniente a las matemáticas y mLfcho de la física de su época. La mayor parte de su vida profesional se desarrolló en la U~iversidad de París y en la École Polytechnique, donde fue profesor de físico-matemáticas, probabilidad, mecánica celeste y astronomía. Cada año dictaba una conferencia acerca de diversos temas y sus estudiantes tomaban notas que se publicaron después. Sus investigaciones abarcaron casi todas las áreas de las matemáticas de su tiempo: grupos, teoría de rúmeros y de funciones, geometría y topología algebraicas (esta última inventada por é/), fís ico-matemáticas, mecánica celeste, ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias. Su primera investigación publicada (1878) y la última (1912) fueron sobre EDo. Poincaré y A. M . Lyapunov crearon el enfoque moderno para las EDO con acento en el comportamiento general de las órbitas y soluciones, más que en las fórmulas de solución. Talentoso para la buena exposición, escribió numerosos libros populares sobre matemáticas y ciencia y fue el primero (y, por mucho, el único) matemático elegido para la sección literaria del Instituto Francés.
"
11
lill
I
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Ciclos, bifurcaciones
parte medular de tal comportamiento te de esta sección.
9.2.
y caos
y sus ideas constituyen el fundamento de gran par-
Gráficas cíclicas Las órbitas de un resorte amortiguado regido por la ley de Hooke tienden a un punto de equilibrio cuando t -7 + oo , Las órbitas de un sistema de Van der PoI se mueven en espiral hacia un ciclo periódico cuando t -7 +'00. En el siguiente ejemplo se verá que cuando t -7 + 00 las órbitas se aproximan a un ciclo, el cual es un extraño híbrido de punto de equilibrio y ciclo que no es ni constante ni periódico.
Ejemplo 9.2.1
,1
Fig une grá
Considérese el sistema autónomo plano
+ 2xy + i)
x' = x(l-
x - 3.75y
y' = y(-l
+ Y + 3.75x - 2x2 - xy)
equ
(1)
Los ejes x y y están compuestos de órbitas del sistema (1), al igual que la recta y=: 1 - x. Lo último se demuestra al sustituir y con 1 - x en el miembro derecho de las ecuaciones de tasa de cambio del sistema (1), y observar.entonces que y' =: -x'; omitimos los cálculos. Los ejes y la recta y=: 1 - x se cortan en los puntos de equilibrio (O, O), (1, O) y (O, 1). En la figura 9.2.1 se muestra la dirección del inovimiento a lo largo de los lados del triángulo orbital que conecta esos puntos. El triángulo es una gráfica dirigida-cuya orientación levógira se halla determinada por el movimiento del sistema (1) a lo largo de sus bordes conforme pasa el tiempo. Cada órbita borde tiende a un punto de equilibrio en un vértice cuando t -7 +00 Y cuando t -7 -oo. Es imposible recorrer el triángulo en un tiempo finito, pues toma un tiempo infinitamente largo trazar cada lado, de modo que el triángulo no es una órbita periódica del sistema (1). Las pruebas visuales producidas por un programa de resolución numérica sugieren que toda órbita dentro del triángulo tiende al punto de equilibrio (0.25, 0.25) cuando t -7 -00 Y gira en espiral hacia el triángulo cuando t -7 + 00 (figura 9.2.1). En la figura 9.2.2 se muestran las gráficas componentes de la órbita en espiral de la figura 9.2.1. Los intervalos de tiempo donde ambas gráficas componentes son horizontales corresponden al movimiento lento cerca de los vértices. Los segmentos casi verticales de las gráficas componentes corresponden a cambios rápidos en x y y lejos de los vértices.
1.0
--,
0.5 0.0
-o .5 -1.0
-
-';.. I
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573
9.2/ Comportamiento de largo plazo
os
x'= x(l-x - 3.75y + 2xy + y2) y'= y(-l+ Y + 3.75x + 2x2 -xy)
1.1
1.25
0.75 0.9
x 0.25
0.7
"-
-0.25
t o
200
400
600
200
400
600
0.5 1.25 0.3 0.75
e io i-
Y 0.1
0.25
-0.1
-n .1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
-0.25
x
Figura 9.2.1 Gráfica cíclica triangular aproximada por una órbita en espiral hacia afuera (ejemplo 9.2.1). La gráfica cíclica consta de tres vértices que son puntos de equilibrio y tres órbitas a lo largo de los bordes.
Figura 9.2.2 Gráficas componentes de la órbita de la figura 9.2.1 que tiende a una gráfica cíclica triangular: rápida cerca de los lados y lenta alrededor de las esquinas (ejemplo 9.2.1)
El triángulo de la figura 9.2.1 es un ejemplo de una gráfica cíclica para un sistema, cuya definición general es:
1
o
0.5
o. o -0.5
cx)
-1 .~2'-----1
--0---X
.:. Ciclo gráfico. Una gráfica cíclica (o policiclo) de un sistema autónomo plano es una gráfica en el espacio de estados que se cierra sobre sí misma y consta de N vértices (N:2: 1) Y al menos N bordes. Los vértices son puntos de equilibrio del sistema y los bordes son órbitas que tienden a los vértices cuando t -¿ -00 y cuando t -¿ + co , La gráfica se orienta coherentemente a lo largo de los bordes por el incremento del tiempo (es decir, puede recorrerse la gráfica siguiendo las flechas). La gráfica cíclica del ejemplo 9.2.1 tiene tres vértices y tres bordes y está orientada en sentido opuesto al de las manecillas del reloj. Las gráficas cíclicas pueden tener más bordes que vértices, como se muestra en la gráfica cíclica con forma de "ocho en reposo" que se muestra en el margen (véase el problema 10).
\ .
Comportamiento nomo plano
de largo plazo de las órbitas de un sistema autó-
Hasta ahora hemos visto órbitas de sistemas autónomos planos que se aproximan a un punto de equilibrio, un ciclo límite y una gráfica cíclica cuando t -¿ + oo. ¿Qué otros tipos de comportamientos de largo plazo son posibles? Resulta que no hay otras posibilidades para
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574
Ciclos, bifurcaciones y caos
órbitas acotadas. En este contexto se dice que una órbita está acotada si su gráfica se encuentra encerrada en algún rectángulo del plano de estados, así que la órbita se define para toda t y no tiende al infinito cuando t --¿ - 00 o cuando t --¿ + 00 • Poincaré y el matemático suizo Ivar Bendixson (1861-1935) comprobaron el siguiente resultado fundamental respecto al comportamiento de largo plazo.
Teorema 9.2.1
Comportamiento de largo plazo en el plano. Supóngase que r es una órbita acotada extendida al máximo del sistema x' = f(x, y), y' = g(x, y), donde fy g son continuamente diferenciables. Supóngase también que r yace en un rectángulo que contiene sólo un número finito de puntos de equilibrio. Entonces, cuando t --¿ + 00 , r debe tender exactamente a uno de lo siguiente: • Un punto de equilibrio • Un ciclo • Una gráfica cíclica Se tienen las mismas posibilidades cuando t
Así, no hay caos para órbitas de un sistema autónomo plano.
I@"
El conjunto límite positivo de la órbita en espiral de la figura 9.2.1 es la gráfica cíclica triangular y el conjunto límite negativo es el punto de equilibrio (0.25, 0.25).
I@"
--¿ -
00 •
Con tales posibilidades puede saberse el pasado y el futuro de una órbita r. Por ejemplo, r podría tender a un punto de equilibrio cuando t --¿ - 00 y a un ciclo cuando t --¿ + 00, o bien, tal vez tender a un ciclo cuando t --¿ - 00 y a una gráfica cíclica cuando t --¿ + oo. Si r es en sí un punto de equilibrio o un ciclo, entonces simplemente tiende a sí mismo cuando t --¿ - 00 y cuando t --¿ + oo. Si r es un "borde" orbital no constante en una gráfica cíclica, entonces r se aproxima a un punto de equilibrio de la gráfica cíclica cuando t --¿ - 00 y a un punto de equilibrio de la gráfica cíclica (posiblemente el mismo punto) cuando t --¿ + oo. Lo que r no puede hacer cuando t --¿ + 00, por ejemplo, es tender a un par de puntos de equilibrio o a una sola órbita no constante ni periódica. Tampoco puede vagar dentro de su rectángulo acotado sin un "destino" evidente; conforme el tiempo avanza (o retrocede), r debe dirigirse a uno de los tres conjuntos posibles de Poincaré y Bendixson. Se sabe que si r se aproxima a un ciclo o a una gráfica cíclica, debe tener un comportamiento de espiral congruente con la orientación del tiempo del ciclo o gráfica cíclica. Véanse, por ejemplo, las figuras 9.1.1 .a 9.1.5 y 9.2.1. El conjunto de puntos al que se aproxima una órbita r cuando t --¿ + 00 se llama su conjunto límite positivo o conjunto m-límite y se denota con mer)o El conjunto límite negativo o conjunto a-límite a(r) se define de manera similar, excepto porque t --¿ - oo. Las letras alfa y omega son la primera y la última letras del alfabeto griego, de modo que a(r) se utiliza para indicar cómo y dónde "nace" la órbita r y m(r) para indicar cómo y dónde "muere". El teorema 9.2.1 aporta tres posibilidades para a(r) y tres para mer)o ¿Qué puede decirse del comportamiento de largo plazo de r si no tiene límite? Si, por ejemplo, r no permanece en un rectángulo cuando t --¿ - 00 , pero se queda en algún rectángulo para toda t ~ to para alguna to, entonces las opciones del teorema 9.2.1 sólo se aplican a mer)o En el ejemplo 9.1.1 se observó tal comportamiento donde las órbitas fuera del ciclo límite r = 1 no tienen cota cuando t decrece, pero se mueven en espiral hacia el ciclo límite cuando t --¿ + 00 • En el ejemplo 9.1.2 sucede lo contrario donde las órbitas fuera del ciclo límite r = 2 "nacen" en el ciclo pero llegan a ser no acotadas cuando t crece.
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575
Las opciones del teorema 9.2.1 se expresan con sencillez, pero tienen implicaciones profundas.
Teorema 9.2.2 Como siempre, se supone que f y g son continuamente diferenciables. I@'
I@' Sin puntos de equilibrio en el sistema las órbitas se originan en el infinito y allí regresan para desaparecer.
Órbitas no acotadas. Supóngase que el sistema x' = f(x, y) , y' = g(x, y) no tiene puntos de equilibrio. Entonces las órbitas se toman no acotadas cuando el tiempo crece y cuando decrece. Digamos, por el contrario, que una órbita r permanece en un rectángulo, digamos, para toda t ~ to, para alguna too Entonces, por el teorema 9.2.1 ro(r) debe ser un ciclo porque las otras dos posibilidades conciernen a puntos de equilibrio. En los comentarios al final de la sección 9.1 se observó que la región interior de un ciclo debe contener al menos un punto de equilibrio, pero por hipótesis en este caso no hay ninguno. Tal contradicción implica que después de todo, r no puede permanecer dentro de ningún rectángulo cuando t aumenta. De forma similar, r no puede permanecer dentro de ningún rectángulo cuando t decrece. Por tanto, r se vuelve no acotada, ya sea porque aumenta o disminuye el tiempo. El siguiente resultado también se deriva del teorema 9.2.1.
Teorema 9. 2.3
Órbitas acotadas . Cada órbita acotada del sistema x' = f(x, y), y' = g(x, y) tiene un punto de equilibrio o un ciclo tanto en su conjunto límite negativo como positivo. Si un conjunto límite no contiene puntos de equilibrio, entonces se trata de un ciclo. Esto se deduce de que si un conjunto límite no es un ciclo, entonces debe ser un punto de equilibrio o una gráfica cíclica, y las gráficas cíclicas contienen puntos de equilibrio. Si se quiere ver qué sucede con una órbita acotada cuando el tiempo tiende a + 00 o a - 00, deben situarse primero los puntos de equilibrio, ciclos y gráficas cíclicas. La determinación de los puntos de equilibrio es el problema algebraico de resolver las ecuaciones f(x , y) = O, g(x, y) = O de forma simultánea. En muchos programas de resolución numérica se utiliza el método de Newton a fin de aproximar las coordenadas de los puntos de equilibrio. Encontrar los ciclos y las gráficas cíclicas (o demostrar que no hay ninguno) es una tarea más ardua; ya es tiempo de describir algunas técnicas para ese fin.
¿Hay algún ciclo o gráfica cíclica?
I@'
Revise los comen-
tarios de la sección 9.1.
La siguiente es una forma de localizar un ciclo. Supóngase que S es una región semicircular sin puntos de equilibrio y que todas las órbitas que intersecan los bordes interiores y exteriores de S se mueven dentro de ésta cuando se incrementa el tiempo. Si existe tal círculo S, entonces debe haber al menos un ciclo en S que también encierre el "hoyo". En virtud de que el ciclo debe contener uno o más puntos de equilibrio, pero S no tiene ninguno, ha de haber al menos uno en el hoyo.
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576 Ejemplo 9.2.2
Ciclos, bifurcaciones y caos
Localización de un ciclo El sistema XI
= y+x ( 1-2x
2- "21 Y2)
Y = -x + y 1- 2x I
~ Se necesita un poco de álgebra para demostrar que hay un solo punto de equilibrio.
(
(2)
2-"21 y 2)
tiene un único punto de equilibrio en el origen. Si hay un ciclo, entonces debe contener el origen. Constrúyase un anillo alrededor del origen con la propiedad de que sus órbitas atraviesen su perímetro moviéndose hacia el anillo a medida que pasa el tiempo. Como no hay puntos de equilibrio en el anillo, toda órbita r que entra en el anillo tiene un ciclo como su conjunto límite positivo. Para construir un círculo con las propiedades deseadas proceda como sigue: tome V = x2 + y2, es decir, el cuadrado de la distancia de un punto orbital x(t), y(t) al origen. La derivada de V a lo largo del movimiento del sistema (2) es V' = 2XX' + 2yy' = 2(x 2 + l )(1 - 2x2 - 12)
i
Obsérvese que V' es positiva si x2 + y2 sI, Y es negativa si x2 + y2 ~ 3 porque 1-2x 2 - l / 2 > 1-3(x 2 + l ) ~ O si x2 + l s 1/3 1- 2x 2 -l/2 < 1-(x 2 + l ) / 3 s O si x2 + l s 3
~ ¡Estas desigualdades no son obvias!
Éstas son estimaciones aproximadas, pero dan el perímetro circular interno y externo (esto es, x2 + l = 1 / 3 Yx2 + l = 3) de un anillo con la propiedad de que las órbitas que tocan al perímetro deben moverse dentro del anillo conforme avanza el tiempo debido a los signos de V' (figura 9.2.3). Así, hay un ciclo límite dentro del anillo. En la figura 9.2.3 se sugiere que el ciclo es único y atrayente. El ejemplo siguiente tiene una interpretación en términos de especies que compiten.
Ejemplo 9.2.3
Especies que compiten El sistema X'
= x(l- O.lx - O.ly),
y' = y(2 - 0.05x - 0.025y)
(3)
modela la población de dos especies que compiten (sección 5.3). Los puntos de equilibrio (O, O), (O, 80), (10, O) Y (70, -60) yacen en la frontera del cuadrante de población x ~ O, Y ~ O, o fuera de él. Por tanto, no puede haber ciclos dentro del cuadrante de población ni ciclos que corten ese cuadrante. La primera afirmación se deriva del hecho de que un ciclo dentro del cuadrante debe incluir un punto de equilibrio, pero no hay puntos de equilibrio dentro del cuadrante. La segunda se deduce de que los ejes x y y son uniones de órbitas, y estas últimas no pueden ingresar en el primer cuadrante desde algún otro porque tendrían que cortar las órbitas sobre los ejes.
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577
9.2/ Comportamiento de largo p lazo
2
/,,-- -- ~ -~ -""'- ......... "
/" /
/
'~
x' = y + x( 1- 2x2 - y212) y '= -x + y( l - 2x2 - y2/2) \
I
I
\
I
\
\
I
\
I I
\ \ \
,
'"
~ \
O
J,
,
\ \ \
\
I \
-1
\
I
\
I I
I
/ \
.~
,
/ ''-...
/
/
../
........... _-~ -~ -- - - ' / /
-2
-3
-2
-1
O
2
x
Figura 9.2.3 Un ciclo límite atrayente dentro de un círculo (ejemplo 9.2.2).
Bendixson descubrió un criterio de uso común para la ausencia de ciclos y gráficas cíclicas en una región simplemente conexa del plano xy.
Teorema 9.2.4 lJ:Sif En el manual de
recursos para el estu diante viene la demostración de este teorema.
El criterio negativo de Bendixson. Supóngase que la función df/ dX + dg/dy tiene un signo fijo en una región simplemente conexa iv R del plano xy. Entonces el sistema x' = f(x, y), y' = g(x, y) no tiene ciclos o gráficas cíclicas en R. La siguiente es una aplicación práctica del criterio negativo de Bendixson.
Amortiguación significa que no hay ciclos o gráficas cíclicas La EDO x" = g(x, x') es una generalización de las EDO para el movimiento de un péndulo simple, un cuerpo en el extremo de un resorte y la corriente en un circuito RLC. El sistema equivalente es x '= y,
iv
y' = g(x,y)
Se dice que una región conectada en el plano es simplemente conexa si no tiene hoyos. Por consiguiente, el rectángulo descrito por Ix l :::; 1, Iy l :::; 2 es simplemente conexo, pero el círculo del ejemplo 9.2.2 no.
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Ciclos, bifurcaciones y caos
af / ax ag / ay
ag /
ag / ay
En este caso f = y, por lo que + se reduce a ay. Si tiene un signo fijo en el plano xy, no puede haber ciclos o gráficas cíclicas. Por ejemplo, el sistema que modela un péndulo simple amortiguado es x' = y,
y' = -a sen x - by
donde a y b son constantes positivas. El término - by modela el efecto de la fricción sobre el movimiento del péndulo y la función es la constante negativa -b. En consecuencia, según el teorema 9.2.4, no hay ciclos ni gráficas cíclicas.
~ La fricción disipa la energía; ésa es la razón física por la que no hay ningún ciclo ni gráfica cíclica.
ag / ay
Comentarios Las pruebas y criterios de esta sección son cualitativos, no cuantitativos. El comportamiento de largo plazo de las órbitas de un sistema plano se describe en palabras y de forma gráfica, no con fórmulas de solución. Resultados como éstos son apropiados en los primeros niveles del análisis de un sistema complejo que modela cierto fenómeno físico. Tales enfoques también son útiles en el diseño de un sistema, con el único propósito de expresar lo que no se puede hacer. Por ejemplo, si el objetivo es construir un sistema autónomo plano con un ciclo o una gráfica cíclica, ha de tenerse en cuenta un punto de equilibrio. Al analizar la estructura orbital de un sistema específico, a menudo resulta buena idea usar un programa de resolución numérica. Ciclos atrayentes o repelentes, gráficas cíclicas y puntos de equilibrio son, en general, visibles en la pantalla y brindan información útil sobre el posible comportamiento orbital de largo plazo. Obsérvese que ya se describió el comportamiento de largo plazo de una EDO escalar simple, x' = f(x), con el análisis de signos y las técnicas de línea de estado de la sección 2.2. Toda órbita no constante y acotada sobre una línea de estados tiende a un punto de equilibrio cuando t ---7 - y a otro distinto cuando t ---7 + no hay sitio para ciclos o gráficas cíclicas. ¿Qué sucede en un espacio de estados tridimensional? Ése es el tema de las dos secciones siguientes. ¡Espere ver un comportamiento extraño!
~ Esta sección está dedicada al comportamiento en un plano de estados. ¿Qué sucede con el comportamiento sobre una línea de estados o en un espacio de estados tridimensional?
00
00 ;
Problemas _____________________________________________ •
1.
(Conjuntos límite.) Con técnicas analíticas o gráficas, encuentre el conjunto límite positivo y el negativo de las órbitas a través de los puntos iniciales indicados. Trace las órbitas de (e), (d) y (C). (a) x'
= y,
y'
= - x;
(O, O), (1, 1)
(b) x' = y, y' = x; (1, 1), (1, -1), (1, O)
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9.2/ Comportamiento de largo plazo
•
• •
2.
3.
(VanderPol.) x' = y _ (x 3 / 3-x), y' = -x; (0.1,0),(3,0) [Sugerencia: véase la sección 9.1.] (d) (Péndulo simple.) x' = y, y' = - senx; (0,1), (O,..fi), (O, 2) (e) (Forma polar.) r' = r(l - r2)(4 - r2), e' = 5; ro = 1/ 2,3 / 2,512; eo = O 2 2 2 2 (f) x' = [x(1 - x - i ) - y][(x _ 1)2 + i], y' = [y(1 _ x - i ) + x][(x _ 1)2 + i]; (112, O), (O, 1), (3/2, O) [Sugerencia: emplee un programa de resolución numérica y note que el círculo unitario se parece a una gráfica cíclica que consta de dos puntos de equilibrio y dos arcos unidos.] (Criterio negativo de Bendixson.) Demuestre que ninguna EDO tiene soluciones periódicas o gráficas cíclicas. [Sugerencia: convierta cada EDO en un sistema.] (a) (Péndulo amortiguado.) mLx" + cLx' + mg sen x = O; m, L, c y g son constantes positivas. (b) (Resorte no lineal amortiguado.) mx" + ax' + bx + cx3 = O, donde m, a y b son constantes positivas y c es cualquier constante. (e) x" + (2 + sen x)x' + g(x) = O, donde g(x) es cualquier función continuamente diferenciable. (d) x" + f(x)x' + g(x) = O;fy g son continuamente diferenciables y f(x) tiene signo fijo . (Criterio negativo de Bendixson.) Demuestre que ningún sistema tiene ciclos ni gráficas cíclicas en la región indicada. (a) x' = 2x - y + 36x 3 -15i, y' = x + 2y + x 2y + /; planoxy (e)
(b) x' = 12x + lOy + x 2y + y seny - x 3 , (e) x' = x - xi + yseny,
•
4.
Y = 3y - x 2 y + e x sen x; I
- l; el discox 2 + i s 8
el disco abierto x2 +
i
<4
(Ningún conjunto límite.) Explique por qué ninguna de las órbitas de los sistemas siguientes tiene conjuntos límite positivos ni negativQs. Trace algunas de las órbitas y observe que cuando t aumenta o disminuye las órbitas salen de la pantalla. [Sugerencia: aplique el teorema 9.2.2.] (a) x' = x - y + 10,
y' = x2 + i - 1
y' = - sen x - y + 2
(b) x' = y,
(e) x' = x2 + 2i - 4,
5.
y' = x + 14y + xi
y' = 2x2 + i -16
(¿Algún ciclo?) Determine si los sistemas siguientes tienen ciclos. Encuéntrelos todos (en forma gráfica o analítica), si acaso existen; si no, explique la razón. (a) x' = eX + i , y' = xy [Sugerencia: ¿x decrece alguna vez?] (b) x' = 2x 3
l
+ 5, y' = 2ye + x 3 [Sugerencia: aplique el criterio negativo de BenX
dixson.]
(Coordenadas polares.) r' = r sen(r 2 ), e' = 1 (Aplicación del teorema de Creen.) Demuestre que el valor promedio de la función F(x,y) = CJf/ CJx +CJg/CJysobre la región R dentro de un círculo r del sistema (e)
6.
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580
Ciclos, bifurcaciones y caos
= f(x, y), y' = g(X, y) debe ser cero. [Sugerencia: el valor promedio de F en R se define como R F(x, y)dx dy /A donde A es el área de R. Aplique el teorema de Green (teorema B.5.12).] (Especies en competencia.) Explique el significado de cada término no lineal en las funciones de tasa de cambio del sistema (3) mediante el vocabulario de un modelo para especies que compiten. Trace las órbitas en el cuadrante de población y luego realice un análisis cabal del destino de cada especie en términos de los valores iniciales de las poblaciones. (¿ Contradiciendo a Bendixson?) La cantidad + para el sistema x' = x -lOy - x(x 2 + i) = f, y' = lOx + y - y(x 2 + i) = g es 2 - 4x 2 - 4i, la cual es negativa en la región R definida por x2 + y2 > 0.5. Demuestre que el círculo unitario cae por completo en R. ¿Por qué esto no contradice el criterio negativo de Bendixson? (Gráfica cíclica triangular.) El sistema (1) tiene una gráfica cíclica triangular que es el conjunto límite positivo de las órbitas dentro del triángulo. Explore las regiones exteriores de éste . (a) Grafique una representación comprensible de las órbitas de (1) en la región Ix l s 2, Iyl s 2. Marque los seis puntos de equilibrio en esa región. Con base en la apariencia de los arcos orbitales cercanos, rotule cada punto como estable o inestable y nombre cada uno como nodo (¿estable, inestable?), silla o punto espiral (¿estable, inestable?). (b) Use la técnica de la matriz jacobiana de la sección 8.2 para verificar que los puntos de equilibrio (O, O), (1/4, 1/4), (4/3,4/3) tienen las características de estabilidad indicadas en (a). (e) (Sensibilidad de la gráfica cíclica.) Sustituya el término - 3.75y en la primera ecuación del sistema (1) por cy, pero deje la segunda ecuación como está. Para c = -4, - 3.5 , trace un retrato de las órbitas. Basándose en las gráficas, ¿qué cree que suceda a las órbitas cuando c pase por el valor "crítico" c = -3 .75? (Gráfica cíclica conforma de "ocho en reposo".) Demuestre que el sistema x' = y + x(l- x2 )(i - X2 + x 4 /2), y' = x - x 3 - y(l- x2 + x 4 / 2) tiene puntos de equilibrio en (O, O) y (±1, O). Use un programa de resolución numérica y grafique las órbitas que pasan por el punto (-3 , 2) hacia adelante en relación con el tiempo. Repita con las órbitas que pasan por (±0.5, 2), pero lleve esas órbitas adelante y atrás en el tiempo. Explique qué ve. [Sugerencia: vea la gráfica en el margen de la página 573.] (Tiempo a escala.) Supóngase que x(t), y(t) es una solución del sistema x' =f(x, y) , y' = g(x, y), y modifique la variable tiempo mediante s = s(t) al asignar dt/ds = h(x(t), y(t» para una función h dada que tiene signo fijo . El sistema con cambio de variable tiene la forma dx/ds =fh , dy/ds = gh. (a) Si h(x, y) es positiva en todo sitio, explique por qué los dos sistemas tienen órbitas idénticas con la misma orientación inducida por el avance del tiempo. ¿Qué sucede si h(x, y) es negativa en todas partes? (b) Suponga que h(x, y) es positiva en todas partes excepto cuando h es cero en un punto p que cae sobre una órbita r no constante del sistema sin escala. ¿Qué puede decir acerca de la órbita correspondiente del sistema a escala?
X'
11 7. 8.
www 9.
•
11 .
10.
•
11.
ff
af / ax ag / ay
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9.2/ Comportamiento de largo plazo
•
(d)
1.5, 05~ ~51 _1.50.01 2.5 5.0 1.5,
1.5
0.5
-0.5
-1.5 -1.5
, -0.5
0.5
(e)
l),
Digamos que ¡= x -lOy-x(x2 + y2) Y g = 10x+ y- y(x2 + en tanto que el factor h = 1- exp[ -lO(x _1)2 _lOy2]. Explique por qué el sistema sin cambio de variable tiene un ciclo límite atrayente y el sistema con cambio tiene una gráfica cíclica atrayente sobre el círculo unitario. Grafique la órbita a través del punto (0.5, O) y las correspondientes curvas componentes para el sistema original. Repítalo para el sistema con cambio de variable. Explique qué ve. [Sugerencia: vea las gráficas (d), (e) y (f).] (e)
o.s 7.5 10.0
-c.s
1.5
05rM11 ~.5I 0.0 2.5 5.0 -1.5
7.5 10.0
(f)
I.S
-1.5 -1.~
I.S
t.S
Ls
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U o.s
o.s
-a.s -I.S
O.Sfi~~í
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0.0
o.s 0.5
1.0
I.S
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2.0
I.S,
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-1.5 0.0
0.5
1.0
[,5
2.0
-o.s
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-I.S
1 o
~ -0.5
20
1.,1
-c.s -1.5 -1.5
1
,O
::1~+1
-0.5
¡-
-c.s
I.S
I
o.,
I.S
-1.5
["'11
o
10
20
12. (Criterio de Dulac.) Supóngase que R es una región simplemente conexa en el plano. Digamos que I, g y K son continuamente diferenciables en R. Supóngase que o(Kf) / ox + o(Kg) / oy tiene signo fijo en R. Demuestre que el sistema x' = f, y' = g no puede tener un ciclo en R. [Sugerencia: revise la demostración del criterio negativo de Bendixson que viene en el Manual de recursos del estudiante. Luego adapte la demostración a o(Kf) / ox + o(Kg) / oy.] 13. (Criterio negativo de Ragozin para especies que interactúan.) Imagínese que la interacción entre dos especies está regida por el sistema modelo x' = xF(x, y), y' = yG(x, y). Se dice que las dos especies se autorregulan si oF / ox y oG / oy son negativas en todo el cuadrante de población. Si la especie x es autorregulante, entonces la negatividad de oF / ox implica que la tasa de crecimiento de F por unidad disminuye cuando x crece. Aplique el criterio de Dulac (problema 12) para demostrar que el sistema de las EDO de un par de especies que se autorregulan no tiene ciclos en el cuadrante de población. [Sugerencia: sea K = (xy)-l para x > O, Y > O.] Utilice EDO para dibujar la cara de un gato.
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Ciclos, bifurcaciones
x'= I +x2,
1.0
y'=-y
y caos
y'=-y
x'=x2, 1.0
0.5
1.1
~
0.5
"'-
9.3/
o.
"'-
0.0
0.0
-0.5
o.
-0.5
-o -1.0
-2
-1
2
O
x
Figura 9.3.1 Ningún punto de equilibrio antes de la bifurcación silla-nodo: e == 1 (Ejemplo 9.3.1).
9.3
~
\
!rE En la sección también se abordan bifurcaciones.
2.4 las
-1.0 -2
-1
-l.'
x
Figura 9.3.2 Punto de equilibrio bifurcación: e == O (ejemplo 9.3.1).
silla-nodo
en una Figl silh
Bifurcaciones Los ciclos y los puntos de equilibrio son aspectos distintivos de los retratos orbitales de sistemas autónomos planos. Si las funciones de tasa de cambio del sistema se modifican ligeramente, cabría esperar que la nueva gráfica tuviera semejanza con la vieja; un ciclo podría reducirse un poco, un punto de equilibrio desplazarse un poco, una espiral tensarse o aflojarse; no obstante, perdurarían los aspectos dominantes de la gráfica. Esto parece razonable, pero no es necesariamente cierto. En realidad, pequeños cambios en el coeficiente de una función de tasa de cambio pueden significar la desaparición de un aspecto y la repentina aparición de otro diferente por completo. Cuando un parámetro cambia, podría aparecer de súbito un punto de equilibrio y generar un segundo punto de equilibrio, o bien, un punto de equilibrio estable puede desestabilizar y expulsar un ciclo límite atrayente. Éstos son ejemplos de bifurcaciones. En el contexto de las EDO, la palabra bifurcación ha significado cualquier cambio marcado en la estructura de las órbitas de un sistema (casi siempre no lineal) cuando un parámetro pasa por un valor crítico. En esta sección y en los problemas se describen varios tipos de bifurcaciones que pueden ocurrir en un sistema autónomo plano. También se considera el inusual sistema de circuito de desplazamiento con tres variables de estado; este sistema pasa a través de varias bifurcaciones y se vuelve caótico cuando cambia un parámetro del sistema.
Bifurcación silla-nodo Las bifurcaciones más simples tienen que ver con la aparición, desaparición o división de un punto de equilibrio cuando cambia un parámetro c. En seguida se ofrece un ejemplo; en el problema 1 se dan otros. Algunas de esas bifurcaciones son extensiones directas a sistemas planos de las bifurcaciones descritas en la sección 2.4 y su conjunto de problemas.
/
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9.3 / Bifurcaciones
x'=-1+x2,
x'=c+x2,
y'=-y o
0.5
ª
0.0
.s
y'=-y
2f
·5
----
o-
~_~~~~::~o
"" B
silla
"O
------",
§
=,
o.
00
"><
"1I
\
o
Punto de bifurcación
"O
00
ee
"O
'" e
"§"
-0.5
-1
o U
-1.5 x
a
Figura 9.3.3 Silla y nodo después de la bifurcación silla-nodo: c = -1 (ejemplo 9.3.1).
s-
Ejemplo 9.3.1
-1.0
0.0
-0.5
0.5
1.0
e
Figura 9.3.4 El diagrama de la bifurcación silla-nodo (ejemplo 9.3.1).
Bifurcación silla-nodo
eEl sistema X' =c+x2,
y'=-y
(1)
no tiene puntos de equilibrio si el parámetro e es positivo. Véanse en la figura 9.3.1 las órbitas donde e = 1. Si e = O, un híbrido extraño de punto silla y de nodo estable aparece de repente en el origen, con apariencia de nodo a la izquierda y silla a la derecha (figura 9.3.2); se trata de un ejemplo de un punto de equilibrio silla-nodo. No es un punto de equilibrio elemental (sección 8.2) porque O es un valor característico de la matriz jacobiana de (1) en el origen. Cuando e disminuye por debajo de cero, el origen se divide en dos puntos de equilibrio (±k, O), un punto silla y el otro en un nodo asintóticamente estable. Tales puntos se mueven en direcciones opuestas lejos del origen cuando e disminuye (figura 9.3.3).
e n
e-
En la figura 9.3.4 se muestra el diagrama de la bifurcación del sistema (1). Además se ilustran las coordenadas x de los puntos de equilibrio como funciones de c; la curva continua representa la coordenada x del punto de equilibrio estable; la curva de trazo discontinuo, la coordenada x del punto de equilibrio inestable. Este diagrama de bifurcación describe la evolución de las órbitas de un sistema cuando cambia un parámetro. La bifurcación silla-nodo es un ejemplo de una bifurcación tangente (véase la sección 2.4). En el problema 1 se ofrecen otros ejemplos. Consideremos ahora un tipo de bifurcación muy diferente.
111
Ii
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Ciclos, bifurcaciones y caos
Bifurcación de Hopf En el siguiente ejemplo un punto de equilibrio "se expande" en un ciclo límite cuando cambia un parámetro.
Ejemplo 9.3.2
Bifurcación hacia un ciclo límite Para todos los valores del parámetro c el origen es un punto de equilibrio del sistema x' = cx+Sy- x(x 2 + y2) y' = -Sx+cy- y(x 2 +l)
Las linealizaciones se describen en la sección 8.2
I@"
(2)
La linealización en el origen para el sistema (2) es el sistema x' = cx+Sy
(3)
y' = -Sx+cy Los valores característicos de la matriz del sistema de (3) son c ± Si. Se observa que cuando el parámetro c pasa por O, el punto de equilibrio del sistema (3) en el origen cambia de un punto espiral asintóticamente estable (c < O) a un centro neutralmente estable (c = O) Y luego a un punto espiral inestable (c > O).
2
2
x'= - x + 5y - x(x2+;-2) y'= - 5x - y - Y(X2 + y2)
x'= 5y-x(x2+;-2) y' = - 5x - Y(X2+ y2)
o
o
-1
- 1
2
2
3
x
Figura 9.3.5 Estabilidad asintótica antes de la bifurcación de Hopf: e = -1 (ejemplo 9.3.2).
3
x
Figura 9.3.6 Estabilidad asintótica en el valor de la bifurcación de Hopf: c = O (ejemplo 9.3.2).
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585
9.3 / Bifurcaciones
2
x' = 0.5x + 5y - X(X2 + y2) y' = -5x + 0.5y- Y(X2+ y2)
1.5
x' = ex + 5y-x(x2+ y2) y' = -5x + ey - y(x2 + y2)
..s
.8 u
ielo límite de atracción
ó'
~
1.0
r =--.Íc
.~ o
o
§
0.5
'"
" 1 O. O +-- -- ---e----------- ------------------. "O
"-
ro
-1
] o
Punto e bifurcación
Punto de espiral estable
Punto de espiral inestable
U
2
3
-O.~ 1+-.0~~--j0:-c.5>;-+--0:+.0---:'0>-:.5--1+.'0~->-:1.>-:15-...--.-:'2.'0
e
x
Figura 9.3.7 Ciclo límite atrayente r = --.Íc después de la bifurcación de Hopf: c = 0.5 (ejemplo 9.3.2).
Figura 9.3.8 Diagrama de la bifurcación de Hopf (ejemplo 9.3.2).
De la sección 8.2 se ve 'que para el sistema no lineal (2) el origen es también un punto espiral asintóticamente estable si c < O (figura 9.3.5) e inestable si c> O (figura 9.3.7). Algo muy diferente sucede cuando c = O: el origen aún es un punto espiral asintóticamente estable pero el movimiento interno de la espiral es muy lento (figura 9.3.6). Cuando c se vuelve positiva, el origen se desestabiliza y emite un ciclo límite circular atrayente de radio --.Íc (figura 9.3.7). Estos resultados son más fáciles de entender si se escribe el sistema (2) en coordenadas polares:
e'=-5
(4)
De (4) se observa que el ciclo r = --.Íc es, de hecho, una órbita si c > O. El círculo es recorrido en sentido dextrógiro (pues e' es negativa) y atrae a las otras órbitas no constantes porque r' es positiva si 0< r < --.Íc y negativa si r>--.Íc. En la figura 9.3.8 se muestra un diagrama de bUurcación para el sistema (2) y para el sistema equivalente (4). El eje horizontal e primero es continuo para el punto de equilibrio asintóticamente estable en el origen y luego discontinuo porque el origen es inestable para c positiva. La curva sólida r = --.Íc representa la amplitud del ciclo límite atrayente. El fenómeno ilustrado antes es un ejemplo de un mecanismo general para crear ciclos límite descubierto por el matemático holandés Eberhard Hopf. Considere el sistema x' = a(c)x + f3(c)y + P(x, y, c)
y' = -f3(c)x + a(c)y + Q(x, y, c)
(5)
donde P y Q son al menos de segundo orden en x, y y dos veces continuamente diferenciables en x, y y c, y a(c) y f3(c) son funciones continuamente diferenciables de c. Los va-
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586
Ciclos, bifurcaciones y caos
lores característicos de la matriz del sistema lineal de (5) en el origen [es decir, la matriz jacobiana del sistema (5) en el origen] son a(e) ± if3(e). He aquí el teorema de Hopf.
Teorema 9.3.1
I@'
La matriz J es
J=[ - f3(c) a(c)
f3(C)] a(c)
Ejemplo 9.3.3
Bifurcación de Hopf. Supóngase que a(O) = O, a'(0) > O Yf3(0)::j:. O Y que el sistema (5) es asintóticamente estable en el origen para e = O. Entonces conforme e aumenta y pasa por O, el origen se desestabiliza y expele un ciclo límite atrayente de amplitud K(e), donde K(O) = O Y K(e) es una función continua y creciente de e si e ~ O es suficientemente pequeña. El periodo del ciclo es aproximadamente 2n/If31para un valor pequeño de e ~ O.
Esa transición de un punto de equilibrio asintóticamente estable a otro inestable encerrado por un ciclo límite atrayente se denomina bifurcación supercrítiea de Hopf. Se omite la demostración del teorema 9.3 .l. En el enunciado del teorema 9.3.1 el punto de equilibrio permanece fijo en el origen cuando el parámetro e cambia y la matriz jacobiana J de la función de tasa de cambio del vector en el origen tiene la forma especial dada en el margen. Pero todo eso es necesario porque 1. Para un intervalo de valores de e el sistema tiene un punto de equilibrio en algún lugar (el punto de equilibrio siempre puede moverse a lo largo de una curva en el plano cuando e cambia); 2. La matriz jacobiana J en el punto de equilibrio tiene el complejo conjugado de valores característicos a(e) ± if3(e); 3. En algún "valor de bifurcación" eo se tiene a(eo) = O, a'(eo) > O Y f3(eo)::j:. O; y 4. El sistema es asintóticamente estable en el punto de equilibrio si e = eo. En tales condiciones, cuando e pasa por eo debe ocurrir una bifurcación a un ciclo límite atrayente.
Bifurcación de Hopf
El sistema (2) del ejemplo 9.3.2 es un caso especial del sistema (5) con a(e) = c, f3(e) = 5, P = - x(x2 + y2), Y Q = - y(x2 + y2). P y Q tienen orden 3 y son continuamente diferenciables dos veces; también se satisfacen las otras condiciones, a(O) = O, a'eO) > O, y f3(0) ::j:. O, para una bifurcación de Hopf. En consecuencia, el ciclo atrayente de la figura 9.3.7 es un ciclo límite de Hopf. En una bifurcación suberítica de Hopf un punto espiral inestable se estabiliza y genera un ciclo límite de Hopfrepelente cuando el parámetro e cambia [aquí a'eO) < O]. Hay otros tipos de bifurcaciones de Hopf en los que el punto de equilibrio se mueve cuando e cambia y la forma del sistema no es tan específica como en (5). Hay programas de computación que permiten examinar un sistema en busca de una bifurcación de Hopf, pero será suficiente con las pruebas visuales proporcionadas por un programa numérico. En el siguiente ejemplo se ilustra este proceso. '--
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9.3 / Bifurcaciones
1.2 -
x'=(-O.5+y)x,
1.0
0.8
-..
x'
y'=(l-y-x)y
~~
= [-0.5 + y/(O.3 + 0.9y)]x,
y'
= [1 -
Y -x/(O.3 + 0.9y)]y
1.2-
1.0-
0.8 -
~ 0.6 0.4-
0.2 0.0, 0.0
0.4
0.2
0.6
0.8
0.2
x
Figura 9.3.9 Las poblaciones se aproximan a un punto de equilibrio: k = O (ejemplo 9.3.4).
Ejemplo 9.3.4
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Figura 9.3.10 Las poblaciones se aproximan a un ciclo límite después de una bifurcación de Hopf: k = 0.9 (ejemplo 9.3.4).
Depredación saciable y bifucación de Hopf: figuras 9.3.9 a 9.3.12 Cuando el alimento abunda, el apetito de un depredador se satisface pronto, de modo que un incremento en la población de presas tiene poco efecto en los términos de interacción en las ecuaciones de tasa de cambio. Después de la explicación de la sección 5.3, se deduce que un modelo para las interacciones de una población depredadora saciable x y una población de presas y susceptible de sobrepoblación es x' = [-a
+ by/(c + ky)]x
y' = [d -ey-
(6)
[x /(c+ ky)]y
donde a, b, ... , k son constantes positivas. Las bifurcaciones de Hopf ocurren para ciertos intervalos de valores de los coeficientes. En las figuras 9.3.9 a 9.3.11 el coeficiente k se considera como el parámetro de bifurcación y los valores de las otras constantes como a = 0.5, b = d = e = I= 1 Y e = 0.3. Cuanto más grande sea el valor de k, más rápidamente se sacia el apetito del depredador cuando y aumenta, así k puede interpretarse como el coeficiente de satisfacción. En las figuras 9.3.9 a 9.3.11 se muestra cómo se comportan las órbitas de población para tres valores de k: k = O (sin efecto de saciedad), k = 0.9 Y k = 1.35. En el primer y en el tercer casos, las órbitas dentro del cuadrante giran en espiral hacia un punto de equilibrio asintóticamente estable. En el segundo caso, las órbitas son atraídas hacia un ciclo límite atrayente. Aunque no se demuestre, cuando k pasa por 0.5 (aproximadamente) tiene lugar una bifurcación supercrítica de Hopf cuando se desestabiliza un punto de equilibrio y genera un ciclo límite atrayente. Cuando k crece, primero aumenta la amplitud del ciclo,
http://carlos2524.jimdo.com/ 588
Ciclos, bifurcaciones
x' ~ [-0.5 + y/(O.3 + 1.35y)]x,
y' ~ [1 - Y - x/(O.3 + 1.35y)]y
o
1.2
~
1.30
x' ~ [-0.5 + y/(O.3 + ky)]x,
9.3,
y caos
y' ~ [1 - Y - x/(O.3 + ky)]y
:g
"
1.0
~
l
0.8
~
Punto silla inestable
1.05
0.80 Ciclo límite atrayente
'"
Punto espiral atrayente
.~
0.6
.lJ
0.55 Punto espiral inestable
El [ .lJ
0.4
0.30
"
]~ 0.05
0.2 0.0 0.2
0.4
0.6
0.8
x
Figura 9.3.11 Aproximación al punto de equilibrio después de la bifurcación de Hopf inversa: k = 1.35 (ejemplo 9.3.4).
Punto de bifurcación
_ Punto silla inestable
g -0.2 O -I--+-~_+_+_~>--+-~~_+_+_ 0.00 0.25 0.50
U
~;"
Punto de bifurcación
-E
.----:
0.0
Punto espiral atrayente
__
0.75
~>__+_+__+_~_
1.00
1.25
1.50
x
Fi~ 72(
Figura 9.3.12. Diagrama de bifurcación de Hopf para depredación saciable (ejemplo 9.3.4). I
',..
pero alrededor de k = 0.85 comienza a contraerse. Para k = 1.2 (más o menos) el punto de equilibrio se ha reestabilizado y ha absorbido el ciclo en una bifurcación supercrítica de Hopf "invertida". Cuando k va más allá de 1.2, sólo un punto de equilibrio asintóticamente estable permanece dentro del cuadrante.
~ Puesto que las matrices jacobianas en (0, O) Y (O, 1) tienen valores característicos reales con signos opuestos, cada uno de esos puntos es un punto silla.
En la figura 9.3.12 se muestra el diagrama de bifurcación para el sistema (6), donde los valores de las constantes a, b,... ,f son los anteriores. El eje vertical representa las coordenadas y de cada uno de los tres puntos de equilibrio del sistema (6) y la amplitud y de los ciclos calculados a partir del punto de equilibrio encerrado. Los puntos de equilibrio (O, O) Y (O, 1) son siempre inestables, por eso se representan con líneas discontinuas. El punto de equilibrio dentro del primer cuadrante tiene coordenada y dada por y = 0.15/(1- 0.5k). Cuando k aumenta desde O, esta coordenada y crece. Para O:S; k:S; 0.5 Y 1.2:S; k < 2 el punto de equilibrio interno es asintóticamente estable (curva continua), pero para 0.5 < k < 1.2 es inestable (curva discontinua) y hay un ciclo límite atrayente representado en la figura 9.3.12 por la "joroba" (línea continua) del valor y extremo sobre el ciclo. Veamos ahora un modelo tridimensional boca en movimiento caótico.
donde una sucesión de bifurcaciones desem-
El circuito de desplazamiento En el diagrama del margen de la página siguiente se muestra un modelo esquemático del circuito de desplazamiento. Tiene dos condensadores (uno con "capacitancia negativa"), una resistencia no lineal y un inductor. En la figura 9.3.15 se ilustra el porqué del extraño
\
1& Val no ene
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9.3 / Bifurcaciones
x'= - O.lj(y - x), Xo = 1.27,
y ' =-f(y - x) -z, z'=ky = 1.1 , Zo = 1.55
Yo
x' = -2f(y - x), y' = -f(y - x) - z, Xo = 1, Yo = 1, Zo = 1
2
z ' =ky 3 2
1 1
Oz
z
O - 1
- 1
~2
Figura 9.3.13 Ciclo límite atrayente (c = 0.1): O ~ t 720, graficado sobre 700 ~ t ~ 720 [sistema (7)] .
v
~
y Figura 9.3.14 El ciclo límite de la figura 9.3.13 se ha bifurcado hacia un toro atrayente (c = 2.0): O~ t ~ 500.
nombre del circuito. El cual queda modelado por el sistema de EDO (donde las variables de estado y la función f se definen a continuación) x' = - cf(y - x) y' = -f(y- x) - z
(7)
z'=ky Las variables de estado x, y y Z son versiones a escala y sin dimensión, respectivamente, de los voltajes VI y V2 a través de los condensadores y la corriente 1 por el inductor:
LafiV) característica de la corriente y el voltaje con cambio de variable para la resistencia no lineal está dada por --'r---74----\-- v
~ Como en el circuito Van der PoI, la resistencia no lineal puede bombear energía hacia el circuito.
f(V) = - mo(V) IC2
+ O.5(mo + m,)(1 V + 11-1 V - 11)/C2
(8)
Las constantes -mo Y m¡ son las pendientes de los segmentos descendentes y ascendentes del voltaje y la corriente característicos mostrados en el margen; la corriente IR alcanza sus valores extremos locales cuando la diferencia de voltajes V2 - VI tiene los valores ± E ¡. Sean k = 1, mO/C2 = 0.07 Y m¡ /C2 = 0.1 Y "afine" el circuito mediante la variación del parámetro c = C2/C¡. Se presentan varias bifurcaciones de Hopf cuando c cambia de 0.1 a 33, así como otras bifurcaciones de naturaleza más mistetiosa. En particular, en una bifurcación toroida l de Hopf, un ciclo límite atrayente para c = 0.1 (figura 9.3.13) se "expande" dentro de un toro atrayente de órbitas para c = 2.0. En la figura 9.3.14 se muestra una órbita sobre este toro. En las figuras 9.3 .15 a 9.3.20 se ilustran las proyecciones de las órbitas que empiezan en Xo = Yo = zo = 1, donde el parámetro c toma los respectivos valores 0.1, 1, 6, 15, 20, 33. Las proyecciones están dentro del plano xz del voltaje x a escala y la corriente Y a escala.
http://carlos2524.jimdo.com/ 590
Ciclos, bifurcaciones
y caos
9.3
Compare la figura 9.3.20 con la figura de la primera página del capítulo. Advertencia: para valores de e mayores a 13 algunas soluciones del sistema (7) son muy sensibles a cambios en los datos o parámetros iniciales, así que con un programa numérico es posible trazar otro tipo de órbitas. Parece que lo que ha sucedido es que el toro atrayente se ha roto y ha comenzado movimiento caótico. Aunque se desconoce muchos acerca del circuito de desplazamiento y su sistema modelo, las imágenes nos dan una evidencia visual de las variaciones inusuales en los voltajes del circuito y las corrientes cuando cambia el cociente e de las capacitancias. x'=-fiY-x), y'=-fiY-x), z'=y xo= 1, Yo= 1, zo= 1
3 x'=O.lfiY-x), y'=-fiY-x), xo= 1, Yo= 1, zo= 1
3
z'=y
-]
2
-2
2
'"
-3
Punto inicial
1
~
o
Q)
'§
O
Fig
U -1
-1
-2
-2
-3 +-
~
0.9
1.0
+-
1.1
~
1.2
-3~--~~--~~--~~--~~~----_
_
1.3
(7):
1.4
0.50
0.75
1.00
1.25
Voltaje x
Figura 9.3.15 La órbita de desplazamiento (e = 0.1): O::; rs: 500 [sistema (7)]. x'=-6j(y-x), y'=-j(y-x), Xo = 1, Yo =L, Zo = 1
proyectada
Figura 9.3.16 Órbita proyectada (e [sistema (7)].
1.75
2.00
= 1): O::; t::; 250
x'=-15j(y-x), y'=-j(y-x), Xo= 1, Yo= 1, Zo= 1
z'=y 3
2
'"
1.50
x
z'=y
2
'"
o
O
-1
-]
-2
-2
-3 -1
2
4
x
Figura 9.3.17 Jarrón orbital (e = 6): O ::; t ::;325 [sistema (7)].
-3 -1.5
-0.5
1.5
0.5
2.5
3.5
4.5
x
Figura 9.3.18 Esta órbita parece caótica (e = 15): O::; ::; 400 [sistema (7)].
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591
9.3 / Bifurcaciones
I
x'=-20f(y-x), y'=-f(y-x), Xo= 1, Yo= 1, Zo= 1
3
z'=y
x'=-33j(y-x), y'=-j(y-x), xo= 1, Yo= 1, zo= 1
z'=y
2
N
O -1 -1 -3
-2
-3
-3
-1
x
Figura 9.3.19 Más caos (e = 20): O S; t S; 425 [sistema (7)].
x
Figura 9.3.20 El caos organizado de la figura del principio del capítulo (e = 33): O S; t S; 450 [sistema (7)].
El ingeniero eléctrico L. O. Chua y sus colegas han emprendido una serie de estudios de los circuitos de desplazamiento y otros relacionados, sus modelos matemáticos y simulaciones por computadora. v Los circuitos no son difíciles de construir y los voltajes y corrientes reales son asombrosamente cercanos a los observados en las simulaciones por computadora de las EDO modelo.
Comentarios
La investigación contemporánea sugiere que las oscilaciones misteriosas y los cambios de comportamiento de los sistemas físicos pueden explicarse con frecuencia en términos de una bifurcación. Al parecer, las oscilaciones de las concentraciones de los compuestos en un reactor químico, los ciclos de vida de una célula y los ciclos límite de Van der PoI en un circuito eléctrico se disparan cuando cambia un parámetro de un sistema y ocurre una bifurcación de Hopf o de algún otro tipo. Verificar las condiciones de una bifurcación no siempre es sencillo. Una vez que se ha identificado un posible parámetro de bifurcación en el sistema, es posible usar gráficas de computadora para desplegar pruebas visuales de que ha ocurrido una bifurcación.
v T. Matsumoto, L. o. Chua y R. Tokunaga, "Cheos via Torus Breekdown", en IEEE Trans. Circuits Syst. CAS-34(3) (marzo de 7987), págs. 240-254. T. S. Parker y L. o. Chua, Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems (Springer-Verlag, Nueva York, 7989).
http://carlos2524.jimdo.com/ 592 1.0
Ciclos, bifurcaciones y caos
6
x ' = e(x - 5e) + (y - 5e) - (x - 5e)[(x - 5e)2 + (y - 5e)2] y' = --{x - 5e) + e(y - 5e) - (y - 5e)[(x - 5e)2 + (y - 5e)2]
0.5
4
0.0
2
-{J. 5
O
~e =o.4 (f) e= 0.1 ('@l e = -O.l
-2
~
-2
____-+______T-____-+______+ -____
~
O
2
4
6
8
x
x
Figura 9.3.21 Órbita en la bifurcación de Hopf: c = O Figura 9.3.22 Órbitas antes y después de la bifurcación de Hopf [problema 5(c)] . [problema 5(b)].
Problemas _____________________________________________ WWW
•
1.
(Bifurcaciones silla-nodo, trascríticas, de horquilla.) Describa las bifurcaciones de cada sistema. Encuentre los valores de c en los que ocurre una bifurcación e identifique el tipo de ésta como silla-nodo, trascrítica o de horquilla. Las bifurcaciones silla-nodo se explican en el texto. Cuando se cambia un parámetro en una bifurcación trascríticaun nodo asintóticamente estable y un punto silla se aproximan entre sí, se fusionan y luego emergen con el nodo convertido en silla y la silla en nodo. Cuando se cambia un parámetro en una bifurcación de horquilla, un punto de equilibrio asintóticamente estable se divide de repente en tres puntos de equilibrio, dos de los cuales son asintóticamente estables y el tercero inestable. Grafique las órbitas para los valores de c antes, durante y después de la bifurcación. Trace los diagramas de ésta. [Sugerencia : use los valores de e cercanos a O. Véase la sección 2.4.] (a) x'
= e + lOx 2,
(e) x ' = cx+lOx (e) x'
•
2.
2
y' ,
=x -
5y
y'= x -2y
(b) x'
= ex -
x2 , y' = - 2y
(d) x' = cx -lOx 3 , y' = -5y
= ex + x 5 , y' = -y
(Bifurcación de Hopf.) Demuestre que cada sistema experimenta una bifurcación de Hopf en e = O. Trace las órbitas antes, durante y después de la bifurcación. Dibuje los diagramas de ésta para (a) y (b) mostrando la amplitud y del ciclo límite y la coordenada y de cada punto de equilibrio como funciones de c. [Sugerencia : escriba las EDO en coordenadas polares.]
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593
9.3/ Bifurcaciones
(b)
x' = ex + 2y-x(x 2 + l), y' x' = ex - 3y - x(x 2 +l)3,
(e)
x' = y _ x 3, y' = - x+ey-l
(a)
= - 2x+ey- y(x 2 + l ) Y' = 3x + ey - y(x 2 + l)3
(d) (Ecuación de Rayleigh.) La EDO de Rayleigh z" + e[(z')2 -l]z' + Z = Oes equivalente al sistema x' = y, y' = - x + ey - y3, si se asigna z = x, z' = y . [Sugerencia: en el problema 10, sección 9.1, se demuestra que la EDO de Rayleigh equivale a un sistema de Van der Pol.] (Bifurcación suberítiea de Hopf) Demuestre que el origen para x' = -ex + y + x(x 2 + l), y' = -x - ey + y(x 2 + l ) se bifurca cuando e crece a través de O de un punto espiral inestable a un punto espiral estable rodeado por un ciclo límite repelente. Grafique las órbitas y los diagramas de bifurcación. (Depredación saciable.) Este problema continúa la exploración del sistema (6) dado en el ejemplo 9.3.4. Sean a = 0.5, d = e =f = 1, e = 0.3, k = 0.9 Y b el parámetro de bifurcación. Investigue qué sucede cuando b se incrementa de 0.75 a 3. ¿Alguna bifurcación de Hopf? Explique qué ve. (Bifurcación de Hopf punto de equilibrio en movimiento.) El sistema
5.
x' = e(x - 5e) + (y - 5e) - (x - 5e)[(x - 5e)2 + (y - 5e)2] y' = - (x - 5e) + e(y - 5e) - (y - 5c)[(x - 5e)2 + (y - 5e)2] tiene el punto de equilibrio único P(5e, 5e) para cada valor de e. (a) Escriba de nuevo el sistema en términos de coordenadas centradas en P: u = x - 5e, v = y - 5e. Después escriba el nuevo sistema en coordenadas polares basadas en u = O, v = O. (b) Con (a), demuestre que el sistema tiene una bifurcación supercrítica de Hopf centrado en P(5e, en e = O. Demuestre que para e > O, el CÍrculo de radio 5e) [en las coordenadas x, y] es una órbita. Véanse las figuras 9.3.21 y 9.3.22 . (e) Trace las órbitas para e = -0.1,0.1,0.4, 0.9 Y describa lo que sucede. [Sugerencia: véase la figura 9.3.22, donde las órbitas para cada uno de los valores de e se trazaron en una gráfica simple. Esto se logra creando una tercera EDO, e' = O, Y con los valores de e como parte de los datos iniciales.] (El autoeatalizador.) Por medio del auto catalizador (véase la sección 5.1) se modela una reacción química en la que la concentración de un precursor W disminuye de forma exponencial, lo cual genera en el proceso una nueva especie X. La especie X se transforma en Y y al mismo tiempo reacciona autocatalíticamente con Y, donde la última reacción genera más Y de la que se consume. Y se transforma a su vez en Z. Las e cuaciones de tasa de cambio para las concentraciones correspondientes w, x, y y z son
*
•
~ . 6.
w'
=-aw,
x' =aw-bx-axy2,
y'
= bx+axy2 -ey,
z'
= ey
donde los coeficientes de tasa de cambio a, b, e y a son parámetros positivos y la variable independiente es el tiempo. En lo que parece ser un tipo de bifurcación de Hopf, las concentraciones de compuestos químicos intermedios X y Y experimentan violentas oscilaciones para ciertos intervalos de los parámetros y ciertas concen-
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Ciclos, bifurcaciones y caos
traciones de W. El objetivo de este proyecto es entender el comportamiento de la reacción dados varios conjuntos de datos y parámetros. Primero lea el ejemplo 5.1.5 y los experimentos de la sección 5.1 del manual de recursos del estudiante; luego conteste lo siguiente: • El sistema puede tratarse como un sistema plano no autónomo al establecer w = w(O)e· at e ignorar la ecuación de tasa de cambio para z (véase el ejemplo 5.1.5). Para esta reducción puede auxiliarse de su programa de graficación. ¿Por qué es razonable fijar x(O) = y(O) = z(O) = O? Tras algunas oscilaciones iniciales en x y y , las cuatro concentraciones, mientras el tiempo crece, se comportan como se esperaba si w(O) = 500, a = 0.002, b = 0.14, a = e = 1.0, O:si t ::; 1500. ¿A qué valores se aproximan las cuatro concentraciones cuando t toma valores grandes? Repita con b = 0.08 en vez de 0.14 y w(O) = 5000. ¿Qué sucede aquí? Repita con b = 0.02 y a = 0.001, 0.003, 0.008, a = e = 1.0; tome w = 5000 .. ¿Qué sucede ahora? En todo lo anterior trace las curvas componentes. Si es posible, con su programa de resolución gráfica trace las órbitas proyectadas en el espacio xyz o en cualquier otro espacio de tres variables seleccionadas de t, w, x, y , z. Explique cada gráfica. Trace las órbitas en el espacio xy. • Sea a = 0.002, b = 0.08, a = e = 1.0, w(O) = 500. Para varios valores de b mayores y menores de 0.08, grafique x(t) contra t y x(t) contra y(t). Intente explicar el . e - bx - axy 2 /. ./ sIstema x '= , y, = bx + axy 2 - cy, en termIno s de una b'f 1 urcaClOn
~ . 7.
de Hopf, donde
e es alguna constante positiva.
(El circuito de desplazamiento.) Para llevar a cabo este proyecto debe resolver el sis-
tema (7) en un intervalo de tiempo largo. Conteste los puntos siguientes: Con las leyes del circuito básico de la sección 4.4, deduzca las ecuaciones
el Ví' = - g(V2 - Ví)
e2 V{ = - g(V2 -
Ví) - I
LI' = V2 donde g(V2 - Ví) = -mo(V2 - Ví) + 0 .5(mo + ml)(I V2 - Ví + El 1-1 V2 - Ví - El 1) . Luego modifique el tiempo y las variables de estado VI' V2 e 1 de manera apropiada para obtener el sistema de desplazamiento (7). Cambie la resistencia no lineal alIado derecho del circuito cerrado y elimine el condensador. Compare el sistema resultante con un circuito de Van der PoI [en particular, con el del problema 8(e) de la sección 9.1]. Duplique las figuras 9.3.15 a 9.3.20. Luego grafique otras vistas de las soluciones para los valores de e dados; por ejemplo, órbitas en el espacio xyz, proyecciones en los planos xy y yz y curvas componentes. [Vea a continuación en (a), (b) y (e) las órbitas que pasan por el punto (1 , 1, 1) con e = 0.1, 1.0 y 33.0, respectivamente.]
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9.4/Caos
2.5
(a)
1.5
. .5 -1
. .5
-O.
s
O. SI
. .5
0.5
0.5
-0.5
-0.5
1 .5
1.5
x:
2.5
(e)
4
2
o -2 "'4
~
•
9.4
2.5 1 .5
~2.5
-2
(b)
Sea molC2 = 0.07, ml/C2 = 0.1 en la fórmula de (8) parafiy - x); asigne k = l. Resuelva numéricamente el sistema de desplazamiento sobre el intervalo de tiempo [O, 1000], pero grafique sobre el intervalo de tiempo [500, 1000] para eliminar el comportamiento inicial transitorio. Use Xo = 1, Yo = 1, Zo = O Y los siguientes valores para el parámetro e: 0.1,0.5,2,8.8,9.6, 10.8, 12, 13, 13.4, 13.45, 13.52, 15, 33. Trace las proyecciones de las órbitas en el plano xz y en el espacio xyz (si es posible). Después grafique los componentes contra t para seleccionar el comportamiento periódico. En la figura del principio de este capítulo se muestra parte de la proyección sobre el plano xz de la órbita correspondiente a e = 33. Explique lo que ve. Con e = 0.1, Xo = 1, Yo = 1 y Zo = 1, disminuya el tiempo desde t = O Y vea si obtiene un conjunto de órbitas límite toroidales repelentes.
Caos En 1963 el matemático y meteorólogo estadounidense E. N. Lorenz publicó un informe de las peculiaridades que había observado en las soluciones por computadora de un sistema de tres EDO no lineales, autónomas de primer orden que modelan las variaciones termales en una celda de aire bajo una masa de cúmulos. vi Para ciertos valores de los parámetros en las ecuaciones de tasa de cambio del sistema, las soluciones se comportan de manera casi aleatoria. Las órbitas permanecen acotadas mientras el tiempo avanza, pero no tienden a un punto de equilibrio o a un ciclo, ni a una gráfica cíclica; en vez de eso, se mueven entre re-
vi
Edward N. Lorenz
Desde niño, Edward N. Lorenz se sintió fascinado por la meteorología y las matemáticas. Graduado en 1938 en Dartmouth College, trabajó como meteorólogo en la fuerza aérea durante la Segunda Guerra Mundial. En su artículo de 1963, "Deterministic Nonperiodic Flow", en J. Atmos. Sci. 20 (1963), págs. 130-141, demostró que para ciertos valores de los parámetros u, r y b las soluciones del sistema (1) son muy sensibles a pequeños cambios en los datos iniciales, propiedad que hoy se considera característica de los sistemas caóticos. Su descubrimiento le ha hecho merecedor de numerosos reconocimientos, como el premio Kyoto en 1991 y la presea de autor Louis}. Battan en 1995.
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Ciclos, bifurcaciones y caos
giones de comportanúento oscilatorio. Pequeños cambios en un parámetro o en los datos iniciales implican grandes y, en apariencia, impredecibles diferencias en estados subsecuentes. Lorenz no pudo encontrar una explicación de tan extraño comportanúento. Aunque el problema aún no está del todo claro, ha conducido a múltiples estudios, teóricos y aplicados, de científicos, ingenieros y matemáticos que intentan formular una buena definición y una teoría para la dinámica caótica determinista: caótica debido a la dificultad de predecir estados futuros del sistema a partir de una información acerca del estado actual; determinista porque el teorema fundamental para los sistemas (teorema 5.2.1) garantiza que cada conjunto de los valores iniciales determine una solución única. En esta sección describiremos algunos de los curiosos aspectos del comportamiento de largo plazo del sistema de Lorenz y sus soluciones y órbitas.
El sistema de lorenz y sus puntos de equilibrio El sistema de Lorenz en las variables de estado adimensionales es
x' = - ox+oy
y' = rx- y -xz
(1)
z' = -bz+xy donde 0", r y b son parámetros positivos que denotan las características físicas del flujo de aire, x es la amplitud de las corrientes conectivas en la celda de aire, y la diferencia de temperatura entre las corrientes ascendente y descendente y z la desviación de las temperaturas normales en la celda. Las ecuaciones se derivan al aplicar las series de Fourier a las EDP no lineales de flujo turbulento y conservar sólo los términos de orden menor. Para los valores positivos de los parámetros 0", r y b el sistema de Lorenz tiene un pun. to de equilibrio en el origen; para O < r < 1 no hay otros puntos de equilibrio. Los valores característicos de la matriz jacobiana del sistema en el origen están dados por ~= -b
(2)
Se omite la larga serie de cálculos algebraicos que conducen a estas fórmulas. Para los valores de r entre O y 1 los tres valores característicos son negativos, así que el sistema es asintóticamente estable en el origen (de hecho, el origen es un atractor global). Para r> 1, el primer valor característico es positivo y el origen se ha desestabilizado. Cuando el parámetro r pasa por 1, el origen da lugar a dos nuevos puntos de equilibrio: p¡ = (-a,-a,r-1) , P2 =(a,a,r - 1) (3) donde a = ..J br - b. Los valores característicos de la matriz jacobiana del sistema de Lorenz en PI y P 2 son las raíces del polinomio cúbico ).,3
+ (1+b+0")).,2 +b(0"+r)).,+20"b(r-l)
(4)
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597
9.4/Caos
x' = - IOx + 10y y'= ll x-y-xz z' = -8z13 + xy
10 ~
15 .0 x
12.5 10·0 7.5 z 5.0 2.5
'W.o x
_______
_~ ~_=
-IO~---------------~---~~------~------~~------~
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
15 ~
~~: ~-=---------------¡ 0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
7.5
10.0
20
'-::~ 0.0
2.5
5.0
Figura 9.4.1 Órbitas del sistema de Lorenz que pasan Figura 9.4.2 Curvas componentes de las dos órbitas de la figura 9.4.1. por (1,1,1) Y (- 1, - 1,1): r = 11, a = 10, b = 8/3.
Aquí y en otras partes de esta sección se omite la referencia específica para los cálculos algebraicos Ca menudo largos) en que se sustentan las fórmulas .
I@'
Si r es cualquier número mayor que 1, por lo menos uno de los valores característicos es negativo, ya que un polinomio cúbico con coeficientes positivos debe tener una raíz real negativa. Una aplicación de la prueba de Routh de la sección 7.9 para el polinomio cúbico en (4) muestra que las otras raíces también son negativas (o tienen partes reales negativas) si r se ubica entre 1 y el valor crítico re: a(a + b + 3) re = ---'a-_-b- _----c'" 1
Para los valores de r entre 1 y re los puntos de equilibrio PI y P 2 son local y asintóticamente estables. En las figuras 9.4.1 y 9.4.2 se muestran las órbitas y curvas componentes definidas por las soluciones que comienzan en los puntos (1, 1, 1) Y (-1, -1, 1), donde se han tomado a = 10, b = 8/3 Y r = 11. Nótese las simetrías en las gráficas componentes x y y; las gráficas componentes z son las mismas para las dos órbitas. Para los valores dados de a y b se tiene rc = 470 / 19 '" 24.737, de modo que el valor r = 11 es subcrítico. El comportamiento de la solución es regular y sin complicación. Ahora veremos de nuevo qué sucede cuando el valor del parámetro r pasa por 1. De hecho, ocurre una bifurcación de horquilla. Las curvas de trazo continuo del diagrama de bifurcación de la figura 9.4.3 muestran la coordenada x de los puntos de equilibrio asintótic amente estables PI y P 2 , en tanto que la línea discontinua representa el origen desestabilizado. Cuando r pasa por el valor crítico rc' ocurre una bifurcación subcrítica de Hopf (no se ilustra en la figura 9.4.3) y PI Y P2 pierden su estabilidad al "tragarse" los ciclos límite inestables y adquirir su comportamiento inestable. Éstas y muchas otras propiedades del sistema de Lorenz son tratadas por Sparrow. vii vii Colin Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, (haos, and Strange Attractors, vol. 41 de la serie Applied Mathematical Sciences (Springer-Verlag, Nueva York, 1982).
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Ciclos, bifurcaciones
y caos
la compresión, el atractor y los conjuntos límite i
I
~Ii 111 '
1,
1 I~, 1 1
l!¡
I@" En el manual de recursos para el estudiante hay más información acerca de la compresión de Lorenz.
Supóngase que S es una región cerrada como una elipsoide sólida o una bola esférica sólida en el espacio de estados xyz del sistema de Lorenz. Siga cada punto q de S hacia delante por t unidades de tiempo a lo largo de la órbita que inicia en q. Esto lleva a q al punto qt sobre la órbita. Es posible que el conjunto S, de puntos qt para toda q en S no se parezca mucho a S si t es grande, pero cabría esperar que S¡ fuera cercana a S si t se aproxima a O porque So = S. La transformación puntual T; S ~ S¡ que lleva cada punto q a qt es continua porque las soluciones del sistema de Lorenz son continuas con respecto a los datos iniciales. T¡ se denomina mapeo de órbita del sistema de Lorenz. Para el sistema de Lorenz, el mapeo de órbita T,se define para toda t > O, pues se sabe que toda órbita de tal sistema se define para toda t::::: O. Para valores positivos fijos de
o .¡::
10
@
.g.
x'=-lOx+ 10y y'=rx-y-xz z' = -8zJ3 + xy
Q) Q)
"O
5
rf)
o .•....
§ e,
.sco
O
x=o
Punto de bifurcación
------------------------------------------------------------------
Q)
"O >-<
1: l'
rf)
C<:l
"O C<:l ¡:: Q)
-5
"O •... 11
o o U
r
1I
:'
Figura 9.4.3 Diagrama de bifurcación en horquilla para el sistema de Lorenz con
9.,
~ 9.; po la los órl
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599
9.4/Caos
Como en la sección, 9.2, el conjunto límite positivo de una órbita es la colección de puntos a los que se aproxima la órbita cuando t ____ +00 .
lB?
Se sabe que por cada conjunto de valores positivos de da E definida por rx
2
0",
r y b hay una elipsoide sóli-
+ al + O"(z - 2r)2 ~ e
donde e es una constante positiva grande con la propiedad de que toda órbita del sistema de Lorenz entra y permanece dentro de E conforme aumenta t. Por la propiedad de compresión, el volumen del conjunto Et tiende a O cuando t -7 +00. Como toda órbita entra en E, es lógico definir el atractor de Lorenz Z como la intersección de todas las regiones E t , t :2: O, o, más simple,
El atractor de Lorenz es un conjunto no vacío, cerrado, acotado, invariante,viii de volumen cero. Para los valores de r entre O y 1, Z contiene sólo el origen. Para valores de r> 1 únicamente existe información parcial sobre la naturaleza de las órbitas internas de Z. Todas las órbitas tienden a Z con el paso del tiempo (esto es, Z es un atractor global), pero la naturaleza de la aproximación puede ser muy extraña. Z contiene los puntos de equilibrio, los ciclos del sistema de Lorenz y los conjuntos límite positivos de las órbitas. No se conoce la forma exacta de Z, aunque en los retratos orbitales pueden verse algunas de sus partes.
Retratos de Lorenz Primero, nótese que cualquier órbita que empieza en el eje z permanece ahí para toda t, es decir O x =,
O y =,
z =. Zoe
-bt
es una solución del sistema de Lorenz para todos los valores de zo. Si x y y se sustituyen con -x y -y, respectivamente, en el sistema de Lorenz, no se modifican las ecuaciones de tasa de cambio, lo cual significa que si x(t), y(t), z(t) es una solución, también los son -x(t), -y(t), z(t), y las órbitas son simétricas a través del eje z. Esto explica por qué hay sólo una curva componente z en la figura 9.4.2. Se sabe que para valores de r mayores que 1 hay exactamente dos órbitas del sistema que salen del origen conforme avanza el tiempo. Se llaman variedades inestables del origen y una es el reflejo de la otra a través del eje z. Cuando el tiempo se incrementa, una variedad inestable del origen O puede tender a cualquiera de los puntos de equilibrio PI o Pz, o puede saltar de un lado a otro desde una vecindad de uno a una del otro.
viii Esto es, Z tiene al menos un punto, contiene puntos límite, cae dentro de un cuadro acotado en IR} y posee la propiedad de que toda órbita que la corte permanece en ella (es decir, Z) para toda t.
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Ciclos, bifurcaciones y caos
x'= - lOx + 10y, y' = 25x - y - xz, z'= - 8z/3 + xy xo= 1, yo= 1, zo= 1
40 30
z 20 10
- 10
-5
o
5
y
10
15
Figura 9.4.4 La órbita se aproxima rápidamente a su conjunto límite positivo dentro del atractor de Lorenz: r = 25, sobre el valor crítico re = 24.737; O ::; t::; 40.
El atractor Z de Lorenz puede contener algunos ciclos inestables. De hecho, Z puede contener un número infinito, lo cual depende de los valores de r, (J' y b. Se cree que la presencia infinita de muchos ciclos inestables de períodos arbitrariamente largos es señal de caos. Una de las características inquietantes del modelo de Lorenz es que la estructura orbital puede cambiar de manera considerable con sólo una pequeña modificación del punto inicial (o en r). Cuando el tiempo avanza, una órbita puede tener cierta semejanza con las órbitas cercanas que comienzan en el espacio de estados. Tal comportamiento indica que las órbitas de Lorenz muestran sensibilidad ante los cambios en los datos. Los valores (J'y b se fijan en los valores (J' = 10,
b = 8/3
en todos los diagramas de esta sección, pero r toma varios valores. Cada órbita se calcula en un intervalo de tiempo finito y su comportamiento asintótico sólo puede inferirse cuando t ~+oo. Las gráficas de las figuras 9.4.4 a 9.4.8 representan órbitas, curvas componentes y proyecciones orbitales cercanas al atractor Z de Lorenz. A continuación se estudian las figuras y sus implicaciones. Para los valores de r más grandes que el valor crítico re = 24.737 dados en la fórmula (5) donde (J' = 10, b = 8/3, las órbitas se dirigen rápidamente al atractor de Lorenz. Lo que
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9.4/Caos
se observa en la figura 9.4.4 puede interpretarse como una parte del atractor que consta de dos piezas casi planas con cierto ángulo entre sí. Cada pieza contiene arcos oscilatorios de órbitas cercanas a los puntos de equilibrio PI ' P2. La órbita se mueve de una pieza a otra, pero de manera incierta, como lo indican las gráficas componentes de la figura 9.4.7. En esas figuras r = 25, valor que está arriba del valor crítico de re = 24.737. En la figura 9.4.8 se muestra un aspecto distintivo de la dinámica caótica: extrema sensibilidad a pequeños cambios en los datos iniciales. Las soluciones con puntos iniciales (- 1, - 1, 1) Y (- 1.01, -1 , 1) permanecen juntas durante las primeras 20 unidades de tiempo, pero después tienen al parecer cada vez menos correlación, lo cual significa que no es posible hacer predicciones precisas de largo plazo respecto a los estados del sistema aun cuando se conozcan con gran exactitud los valores de los parámetros (J, r, b, y los valores iniciales xo, Yo, zO' Por lo que se ve el sistema de Lorenz tiene órbitas periódicas atrayentes (esto es, ciclos límite atrayentes) para ciertos valores de r. En la figura 9.4.9 se muestra parte del componente x de una órbita periódica para r = 230. En las figuras 9.4.10, 9.4.11 y 9.4.12 se muestra lo que sucede cuando r disminuye de 230 a r = 220, 21 7 y, por último, a 210. Estas gráficas de partes de las curvas componentes x de las órbitas periódicas indican que el periodo correspondiente se duplica una vez, vuelve a duplicarse y al final la solución se convierte en una oscilación no periódica, en apariencia caótica. Para obtener las figuras 9.4.9 a 9.4.12 se selecciona un punto inicial cercano a una solución periódica, se espera hasta que la órbita correspondiente está casi sobre la órbita periódica atrayente y entonces se traza la gráfica del componente x; así, el sistema se resuelve en O ~ t ~ 50 y se grafica en 40 ~ t ~ 50.
25
x' =-lOx+ lOy, y ' = 25x - y-xz, z' = -8z13 +xy xo=-l , yo=- l , zo =l
15
50
x'= -IOx + 10y, y '= 25x- y-xz, z ' = -8z13 + xy xo =-l , yo=-l , zo= 1
40
30
20
-5 10
-15
x
x
Figura 9.4.5 Proyección de la órbita de la figura 9.4.4 Figura 9.4.6 Proyección de la órbita de la figura 9.4.4 sobre el plano xz. sobre el plano xy.
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Ciclos, bifurcaciones
x'= -lOx + 10y,
X
y'= 25x- y-xz,
10 '"~ O
=~~ O
yo,
-10 -20
W
W
W
1111"
,
O
"~
1 "
"'1
10
W
W
"
" " "
" " "
W
50 30
Z _~~
"
" "
I
I
-20 10
20
30
x'=-lOx+ 10y, y'= 230x-y-xz, xo= 15, Yo= 15, zo= 100
z'=-8z13 + xy
O
40
Figura 9.4.7 Curvas componentes x, y, z de la órbita de la figura 9.4.4.
50
I ~
1 1
-10
o
J\
al:l::::::: '~~U:lln 111,11/11\11
W
'
o
¡I
i¡¡¡ ¡
10
~
~~.
x'= -lOx + 10y, y'= 25x- y-xz, z'= -8z13 + xy xo=-I, Yo=-I, Zo= I (sólido); xo=-l.OI, yo=-I, zo= I (punteado)
20
z'=-8z13 + xy
y caos
10
Figura 9.4.8 Sensibilidad datos iniciales.
50
48
48
46
46
44
44
42
42
20
40
30
Fi 1.
a pequeños cambios en los
x = -lOx + lOy, y'= 220x- y-xz, xo= 15, Yo= 15, zo= 100
z
= -8z13
+-'Y
F a
Figura 9.4.9 Parte del componente x de una solución periódica de periodo > 0.48: r = 230.
Figura 9.4.10 El periodo de la solución periódica se duplica cerca de 0.96: r = 220.
Se piensa que hay muchas sucesiones de valores de r que corresponden a una sucesión de duplicación de periodo que termina en el caos. La sucesión anterior de duplicación de periodo comienza en r = 230. El lector puede encontrar otras sucesiones de duplicación de periodo que comiencen en el mismo valor de r. Tales sucesiones se llaman bifurcaciones de duplicación de periodo o rutas al caos.
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9.4/Caos
x'=-IOx+IOy, y'=217x-y-xz, xO=15, YO=15, zO=IOO
50
50
z'=-8z13+xy
48
48
46
46
x'=-lOx + 10y, y'= 210x- y-xz, xo= 15, Yo= 15, zo= 100
z'= -8z13 + xy
,
>< 44
44
42
42
40 40
42
44
46
50
48
t
t
Figura 9.4.11 El periodo se duplica de nuevo cerca de 1.92: r = 217.
x'= -lOx + 10y, y' xo= 15, Yo= 15,
200x - y -xz, zo= 100
=
Figura 9.4.12 Por último, se observa el movimiento caótico: r = 210.
z'= -8zJ3 + xy
x'=-lOx+
xo = 15,
10y, y'=200x-y-xz, zo = 100
Yo = 15,
z'=-8z13 +xy 40
300
20
250
o
200
x
Z -20
150
~o 7'óo
y
Figura 9.4.13 Mapeo de Poincaré de una órbita cercana al punto de atracción de Lorenz:O::; t::; 80, Lt=0.005.
Figura 9.4.14 Otra vista del mapeo de Poincaré de la órbita de la figura 9.4.13.
Caos y atractores extraños El atractor de Lorenz parece ser uno de los elementos clave en la comprensión del comportamiento asintótico de un sistema de Lorenz. Con C5y b constantes fijas positivas, cuando el parámetro r pasa de O al valor re el atractor se vuelve cada vez más complejo. Se piensa que con el avance del parámetro r se crean órbitas periódicas inestables que luego desaparecen dentro del atractor y que habrá intervalos de r para los que cada atractor contendrá un número infinito de órbitas periódicas estables con periodos distintos. Se cree
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Ciclos, bifurcaciones
que tal comportamiento caótico dentro del atractor induce el comportamiento turbulento de las órbitas cercanas a medida que se aproximan al atractor con el paso del tiempo. Se han propuesto varias definiciones de caos, pero hasta el momento no hay una estándar. La siguiente definición informal contiene casi todos los aspectos que los investigadores consideran característicos del caos: un conjunto invariante no vacío, cerrado y acotado A para un sistema autónomo de EDO es caótico si contiene una órbita densa (esto es, una órbita que pasa arbitrariamente cerca de cada punto de A conforme avanza el tiempo), si contiene al menos dos órbitas (de otra forma, la definición correspondería a la de un ciclo simple o un punto de equilibrio) y si las órbitas en A son sensibles a cambios en los datos iniciales. Se dice que un conjunto atractor A es un atractor extraño si es caótico y si no tiene subconjuntos atractores e invariables. En esta definición, el caos es una propiedad de un conjunto, no de una órbita simple ni de órbitas ajenas al conjunto. El problema con la definición (y con otras conocidas por los autores) es que es casi imposible probar que algún sistema específico (como el de Lorenz) posee en realidad un atractor extraño. Las incertidumbres abundan. Como se vio en la sección 9.2, una órbita acotada de un sistema autónomo plano sólo puede hacer una de tres cosas cuando t -7 +00. Pero en tres dimensiones hay espacio para comportamientos mucho más complicados y por el momento es poca la información teórica en relación con lo que sucede exactamente a una órbita cuando t -7 +00 Y las órbitas se aproximan a Z o a un atractor extraño situado en algún lugar dentro de Z. Por las órbitas calculadas se observa que para ciertos valores de r el atractor Z de Lorenz contiene un atractor extraño A, pero hasta ahora nadie ha sido capaz de probarlo. En las figuras 9.4.13 a 9.4.16 se ilustra una manera diferente de ver las marañas orbitales. En un mapeo de Poincaréde una órbita, los puntos orbitales (x(t), y(t), z(t)) se mues-
130
x'= -IOx + 10y, y'=200x-y-xz, Xo = 15, Yo= 15, Zo = 100
z'
= -8z/3
+ xy 300
x'= -IOx + 10y, y'= 200x - y =xz, Xo = 15, Yo = 15, Zo = 100 ~,:.~.
11 11,
p' 11
250
30 ;>.,
200 -20
111
150 liI
-70
-120
-60
-40
-20
20
40
60
x
x
1
z'= -8z/3 + xy
~~;""
80
9.
y caos
Figura 9.4.15 Proyección xy del mapeo de la figura
Figura 9.4.16 Proyección xz del mapeo de la figura
9.4.13.
9.4.13.
1
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9.4/Caos
tran sólo para un conjunto discreto de valores de t, en este caso en intervalos de tiempo con L.t = 0.005 comenzando en t = O Y terminando en t = 80. Es como si una luz estroboscópica destellara cada L.t segundos cuando la órbita está siendo trazada y los puntos resultantes aparecieran en una placa fotográfica.
Sensibilidad computacional Las computadoras truncan, cortan, redondean y reducen series infinitas de dígitos (como los desarrollos decimales) a series finitas. Por lo regular, es insignificante el efecto en las soluciones calculadas de EDO en intervalos de tiempo cortos, pero en los casos de sensibilidad extrema a los cambios en los datos, los truncamientos por computadora pueden producir una gráfica muy diferente a la "verdadera" . En la figura 9.4.17 aparece la gráfica de la curva componente x de una órbita de un sistema de Lorenz. Ahora obsérvese la figura 9.4.18 donde se utilizaron los mismos datos, pero los límites para el error local absoluto y relativo utilizados en el programa numérico de los autores se hallan un poco más restringidos. Para valores de t más allá de 26, la curva componente x es muy distinta de la que corresponde a la figura 9.4.17. No se sorprenda si su programa numérico produce órbitas de Lorenz y curvas componentes diferentes de las que aquí se muestran. j Sería maravilloso si el caos fuera sólo un artefacto computacional!
20
x'=-10x+10y, y '=25x-y - xz, z '=8z13+ xy Xo = -1 , Yo = - 1, Zo = 1
20
10
10
O
O
-10
- 20 O
x ' = - 10x + lOy, y ' = 25x- y- xz, z' = 8z/3 + xy xo=-l , yo= - l , zo= 1
-10
10
20
30
40
Figura 9.4.17 Curvas componentes x de una órbita: r = 25. Los límites de error utilizados en el programa de resolución numérica se establecieron como error absoluto 10 -10 Y error relativo 10 - 7.
Figura 9.4.18 Los límites de error para el programa numérico se ajustaron ligeramente (de 10 -10 a 10 -11 Y de 10 - 7 a 10 -8), Yfinalmente el componente x cambia mucho.
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Ciclos, b ifurcaciones y caos
Sin embargo, hay pruebas sólidas (más indirectas) de que la sensibilidad en el sistema de Lorenz es real, no sólo computacional. Se sabe que muy cerca de cada solución numérica calculada en un intervalo de tiempo finito hay una solución verdadera. Por tanto, aunque la solución calculada de un PVI pudiera diverger un poco de la solución verdadera, se encuentra muy cerca de ella, pero tal vez con ligeras diferencias en los datos iniciales. ix
Comentarios El sistema de Lorenz tiene otros aspectos curiosos. Parece haber muchas bifurcaciones para los ciclos límite inestables cuando r varía en las cercanías del valor 13.24, incluso antes del valor crítico re 24.737. En este caso, las variedades inestables que emergen del origen se precipitan hacia los puntos de equilibrio PI o P 2 y luego vuelven al origen conforme transcurre el tiempo. Otro aspecto raro (considerado como una característica importante del caos) es que para numerosos valores de r la dimensión del atractor Z de Lorenz y del atractor extraño A dentro de Z no es 1 ni 2, sino un número real un poco más grande que 2. Debe definirse la dimensión y, en este contexto, es lo que se conoce como dimensión de Hausdorff. La dimensión de Hausdorff de una superficie uniforme es 2 y la de una curva uniforme es 1, pero es posible asignar un número fraccionario a la dimensión de Hausdorff para muchos otros conjuntos "ondulados".x De hecho la dimensión fraccionaria de atractores extraños podría ser típica de un sistema caótico. El caos requiere un sistema autónomo con al menos tres variables de estado o un sistema no autónomo con dos variables de estado como mínimo a fin de dar a las órbitas suficientes dimensiones para realizar sus movimientos extraños. Ése es el porqué el caos no se presenta en sistemas autónomos con una o dos variables de estado. Obsérvese el sistema de Duffing del problema 4 y el sistema del péndulo forzado del problema 5 como ejemplos de sistemas caóticos no autónomos con dos variables de estado. Lorenz propuso su sistema como un modelo matemático de la turbulencia térmica bajo una masa de cúmulos. Aunque ahora se sabe que el sistema de Lorenz no es muy buen modelo de la turbulencia, es excelente para el fenómeno general del comportamiento caótico determinista. Ingenieros, científicos, matemáticos, científicos sociales, economistas e incluso novelistas usan hoy el sistema de Lorenz como paradigma del caos. Esto es sólo el principio de una nueva teoría, la cual tendrá que madurar para poder tener un fundamento sólido. Z
l.
11 ,
Il ' 11
1
ix Esto se llama prop iedad de proyecc ión . Véase, por ejemplo, S. M. Hammel,}. A. Yorke y C. Grebogi, "Numerica l Orbits of Chaotic Processes Represent True Orb its", en Bul !. Amer. Math. Soco 79 (7988), págs. 465-469. x Para la dimensión de Hausdorff véase el libro de M. Martelli, Discrete Dynamical Systems and Chaos (Longman/Wiley, Nueva York, 7992).
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607
9.4/Caos
Este capítulo se cierra con un tributo a Dame Mary Cartwright, matemática inglesa reconocida en la actualidad como precursora de la dinámica caótica.xi Su trabajo se centra en las EDO muy parecidas a las del sistema de Van der PoI de la sección 9.1, pero con una función de forzamiento periódica respecto al tiempo. Estos sistemas también son similares al sistema de Duffing del problema 4.
Problemas _____________________________________________ www 1.
(Sistema de Lorenz.) En los siguientes problemas se pide al lector que compruebe las afIrmaciones hechas en esta sección sobre los puntos de equilibrio del sistema de Lorenz (1). (a) Demuestre que el origen y los puntos PI y P2 dados en (3) son los únicos puntos de equilibrio (los dos últimos sólo para r> 1). (b) Construya la matrizjacobiana del sistema de Lorenz en el origen y muestre que los valores característicos son como los que se dan en (2). Demuestre que los valores característicos de esta matriz jacobiana son negativos si O < r < 1 pero que uno de ellos es positivo si r > 1. (e) Construya la matriz jacobiana del sistema de Lorenz en PI yen P 2 para r> 1. Demuestre que los valores característicos de la matriz son raíces del polinomio cúbico dado en (4). Explique por qué una raíz es negativa para toda r> 1, en tanto que las otras dos son negativas o tienen partes reales negativas si y sólo si r satisface (5). [Sugerencia: use la prueba de Routh (teorema 7.9.7).]
xi
Mary Lucy Cartwright (1900-) fue una de las primeras in vestigadoras de lo que ha dado lugar a la teoría moderna de los sistemas dinámicos. En 1938, el British Oepartment of Scientific and Industrial Research solicitó una l/guía realmente expertal/ de los matemáticos acerca de l/ciertos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales que tienen que ver con la técnica de la ingeniería de radiol/. Los ingenieros británicos participaron en un proyecto secreto para construir el radar antes de que esta llara la esperada guerra (la Segunda Guerra Mundial) con los nazis. Modelaron los voltajes y las corrientes de los circuitos no lineales del radar con sistemas de Van der PoI forzados sinusoidalmente, pero no podían entender el extraño comportam iento predicho por los modelos. Esta petición fue la fuente de muchos problemas matemáticos interesantes que encaró Cartwright. Colaboró con J. E. Littlewood, con quien publicó varios artículos que (ahora se sabe) dan un excelente panorama de la dinámica caótica, aunque nunca se usaron esos términos. Si bien es matemática pura de corazón, Cartwright trabajó en muchos problemas aplicados. A l dar una explicación sobre esta aparente contradicción, comentó: l/Los problemas matemáticos [aplicados] que me han interesado mucho son aptos para transformarlos en problemas topológicos o de dinámica topológica Cartwright y su trabajo son tema de I/Mr. Littlewood and 1: The Mathematical Collaboration of M. L. Cartwright and }. Littlewoodl/, de Shawnee McMurran y James Tattersall, en American Mathematical Monthly 103, diciembre de 1996, págs. 833-845. 1/.
Mary Ca rtwright
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Ciclos, bifurcaciones y caos
~ . 2.
(d) Demuestre que un polinomio cúbico ;1.3 + Aíl2 + Bíl + e, B > 0, tiene un par de raíces puras imaginarias si e = AB. Aplique este resultado al sistema de Lorenz con (5 = 10, b = 8/3 para encontrar el valor de r para el cual la matriz jacobiana en PI y P 2 tiene valores característicos imaginarios puros. (Sistema de Lorenz.) La finalidad de este proyecto de grupo es generar una galería de retratos orbitales, proyecciones y sus curvas componentes para varios valores de r (asigne (5= 10, b = 8/3). Explique qué ve. En particular busque órbitas periódicas, sucesiones de duplicación de periodo y atractores extraños. Asegúrese de comprobar la sensibilidad a cambios en los datos iniciales. Consiga un ejemplar del libro de Colin Sparrow (vea la nota de pie de página número vii) y trate de duplicar algunas de sus láminas. Si su programa numérico para resolver EDO no es adecuado, sustituya el sistema de Lorenz por la aproximación discreta que usa el método de Euler: x n+1 = x n + h(-
~ . 3.
Yn+l = Yn + h(rxn - Yn - xnz n ) zn+l = zn +h(-bz n + xnYIl) donde h es el tamaño de paso. La aproximación de Euler es sorprendentemente reveladora para h = 0.01. Trate de duplicar alguna de las figuras del texto con su propio programa numérico. Se garantiza que, aunque al principio sus gráficas se parezcan a las nuestras, pronto se verán muy diferentes; es un reflejo de la sensibilidad de las soluciones del sistema de Lorenz a los cambios más ligeros, ya sea en los datos iniciales, en los parámetros o en el método numérico. No es que su programa sea más preciso que el nuestro (o visceversa), es que es diferente. (Sistema de Rdssler.) El sistema de R6ss1erxii es
x' = -Y- Z,
y' = x+ay,
Z' =
b -ez +XZ
donde a, b y e son parámetros positivos. O. E. R6ssler se propuso construir el sistema "más simple posible" con el que pudiera modelarse el fenómeno mostrado por sistema de Lorenz un poco más complicado. El resultado es el sistema que ahora lleva el nombre del inventor. En la región del parámetro de interés, este "modelo de un modelo" tiene dos puntos de equilibrio y un término no lineal, y no los tres puntos de equilibrio y los dos términos no lineales del sistema de Lorenz. Como en el sistema de Lorenz, al parecer se tiene un punto de atracción extraño plegado, con movimiento en espiral, caótico y con duplicación de periodo. Hay sucesiones de valores de a que (para b = 2 Y e = 4) corresponden a duplicación de periodo y, en apariencia, terminan con la creación de un atractor extraño. Las órbitas y curvas componente del
x ii La descripción del sistema de Róssler, el circuito de desplazamiento (sección 9.3) y la
I
1
" ,1
ecuación de Ouffing (prob lema 4) se adaptaron con autorización de R. L. Borrelli, C. Colema n y W E. Boyce, Differential Equations Laboratory Workbook (Wiley, Nueva York, 7992).
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9.4/Caos
sistema de Rossler se estudian cuando se modifica uno de los tres parámetros. En la mayor parte del análisis, fije los parámetros b y e en los respectivos valores 2 y 4, Y modifique a. Busque las sucesiones de duplicación de periodo, quizá entremezcladas con los valores de a para los cuales hay órbitas de otros periodos. Busque el movimiento caótico espiral, en particular el atractor extraño plegado. Si es posible, trace las órbitas en el espacio xyz desde diferentes puntos de vista. Grafique las proyecciones orbitales en varios planos de la variable de estado y use las gráficas componentes para detectar las órbitas periódicas. Si es posible grafique sólo sobre un segmento final del intervalo de tiempo para el que en realidad se resuelve el sistema (p. ej., si el sistema se resuelve para O::; t::; 1000, grafique para 900::; t::; 1000). De esta manera, es probable que haya desaparecido cualquier comportamiento transitorio y que la órbita se halle cerca del punto de atracción extraño. Otras sugerencias: • Trace las órbitas para x(O) = z(O) = O, y(O) = 2, b = 2, e = 4, a = 0.410, 0.400, 0.395. Explique lo que ve. El PVI se resuelve para O::; t::; 1000, pero las órbitas mostradas se grafican sólo para 800 ::; t ::; 1000; por lo tanto, han desaparecido los efectos iniciales transitorias.
..,.
a = 0.410
a = 0.400
a
= 0.395
Grafique las órbitas y las curvas componentes para la sucesión de valores de a = 0.3, 0.35, 0.375, 0.386, 0.3909, 0.398, 0.4, 0.411. Use Xo = O, Yo = 2y Zo = O e identifique las órbitas periódicas y sus periodos, duplicaciones de periodos, movimientos caóticos en espiral y cualquier otro fenómeno importante. ¿Qué sucede si se usan otros datos iniciales? Encuentre los puntos de equilibrio del sistema de Rossler si a, b y e son constantes positivas. Para b = 2, e = 4 Y los valores anteriores de a dados, estudie el comportamiento orbital cercano a cada punto de equilibrio. Explique por qué si Izl es muy pequeño, el subsistema x' = - y, y' = X + ay tiene un punto espiral inestable en el origen si O < a < 2. Explique por qué esto da lugar al ensanchamiento de las órbitas cercanas (una parte central del movimiento caótico). No obstante, tal ensanchamiento no es ilimitado. Explique a partir de la tercera ecuación del sistema de Rossler cómo es que si x < e, el coeficiente de z es negativo y el sistema Z se estabiliza cerca de bl (e - x). Si x > e, el sistema z "diverge" (suponiendo que b > O). Considérese ahora el sistema x
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Ciclos, bifurcaciones y caos
~ . 4.
y explique por qué las órbitas caen alternativamente en un plano paralelo al plano xy, luego son lanzadas hacia arriba y a su vez se doblan y reinsertan en el plano, pero más cerca del origen. • Varíe b y e así como a y analice el efecto sobre las órbitas. ¿Se observa alguna duplicación de periodo, plegado, movimiento caótico? Explique por qué. (Eeuación de Duffing.) El caos en los sistemas autónomos diferenciales necesita por lo menos tres dimensiones, y los sistemas autónomos de Lorenz, Rossler y el de desplazamiento tienen tres variables de estado. Por lo tanto, un tipo de movimiento caótico en cierto modo diferente puede aparecer con sólo dos variables de estado siempre que el sistema sea no autónomo; el tiempo puede considerarse como la tercera dimensión. Las EDO y el sistema de Duffing y las EDO y el sistema del péndulo forzado (problema 5) brindan ejemplos del comportamiento aparentemente caótico en dos dimensiones de estado con un término motriz sinusoidal periódico en el tiempo. El movimiento de una viga de acero larga, delgada y elástica con su extremo superior empotrado en un marco pulsante y el inferior suspendido sobre dos imanes (véase esquema en el margen) puede modelarse por medio de la ecuación de DuF jing forzada y amortiguada x" + ex' - ax + bx 3 = Acoscot
!i,
(6)
donde a, b, e, A y ro son constantes no negativas. El sistema forzado amortiguado de Duffing equivalente es x' = y,
y' = ax - bx 3
-
ey + Acoscot
Fuerza motriz
A cos rol
"
[manes
1I I
t:
Las órbitas del sistema muestran una variedad notable de comportamientos que van del oscilatorio al caótico pasando por el periódico. Para ciertos conjuntos de valores de los parámetros y algunos conjuntos de datos iniciales las órbitas parecen aproximarse a un atractor extraño. Advertencia: las soluciones numéricas de los sistemas caóticos sobre intervalos largos de tiempo casi siempre son imprecisas. Sin embargo, la propiedad de proyección mencionada en la nota de pie de página número ix nos da cierta confianza de que lo que revelan los cálculos numéricos se acerca a la realidad. Las fuentes citadas más adelante ofrecen información básica adicionap ii i
"
., xiii}. Guckenheimer y P. Ho/mes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (Springer-Ver/ag, Nueva York, 1983); P. Ho/mes y F. C. Moon, J. Appl. Mech . 108 (1983), pp. 1021-1032; }. M. T. Thompson y H. B. Stewart, Nonlinear Dynamics and Chaos (Wi/ey, Nueva York, 1986). ;,,
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9.4/Caos
Para llevar a cabo el proyecto de Duffing, siga esta descripción: Analice y grafique las órbitas de un sistema Duffing sin fuerza motriz ni amortiguamiento: x' = y, y' = x - x3.':Encuentre los tres puntos de equilibrio, así como una gráfica cíclica con forma de ocho acostado que conste del origen y otras dos órbitas. ¿Por qué se tienen cinco órbitas periódicas? Vea la figura (a). Explique por qué el periodo de la órbita dentro de un lóbulo tiende a -fiii cuando la amplitud de la órbita tiende a O, en tanto que el periodo tiende a +00 cuando la órbita tiende al límite del lóbulo. Analice los periodos de las órbitas externas de los lóbulos. Añada amortiguamiento y obtenga el sistema x' = y, y' = x - x3 - 0.15y. Las órbitas se grafican para Xo = 1, 0.8 ::; Yo::; 1.0 en la figura (b). Algunas órbitas tienden a (-1, O), otras a (1, O) cuando t -¿ +00. Fije Xo en 1 y trace las órbitas para varios valores de Yo desde O hasta 5.0. Para cada Yo resuelva en el intervalo t, O ::; t::; 200. ¿Observa alguna pauta? Construya una tabla con los valores de Yo en la primera columna y el número de veces que la órbita inicial en (1, Yo) corta el eje Y cuando t se incrementa de O a 200 en la segunda columna. A partir de la tabla estime la extensión de cada intervalo Yo que genera órbitas con un número dado de cortes. Explique por qué todas las órbitas iniciales dentro de alguno de esos intervalos Yo se aproximan a uno de los puntos de equilibrio (-1, O), (1, O), en tanto que las órbitas iniciales en intervalos adyacentes se aproximan a otro punto de equilibrio. ¿Qué sucede a las longitudes de esos intervalos cuando Yo crece? Ahora añada una fuerza motriz periódica: x' = y, y' = x-x3 -0.15y+0.3cost. Resuelva el sistema con el punto inicial Xo = -1, Yo = 1 en el intervalo O::; t::; 1000, pero grafique en 500::; t::; 1000. Describa la confusión caótica [vea la figura (e)]. ¿Observa órbitas periódicas? [Sugerencia: trate con un punto inicial x(O) "" -0.2, y(O) "" 1.4.]
(a)
(b)
(e)
1.5
1.5
1.5
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
-0.5
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
-1.0
-1.5_
2
-1.5_ -1
2
-1
2
-1.5_
2
-1
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Ciclos, bifurcaciones y caos
~
11 5.
(Péndulo forzado .) El sistema para un péndulo con una fuerza motriz sinusoidal con un torque constante tiene la forma
x' = y,
y'= - ay - bsenx+ccos(mt)+d
donde a, b, c, ·d y m son parámetros no negativos. Explique el modelo. Analice el movimiento caótico, grafique y analice sus resultados.
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Capítulo
8.0
10
5.5
3.0
0.5
-2.0
-4.5
-7.0
-4
~2
x
Aquí se muestran algunas aproximaciones de una onda cuadrada por superposición de una onda seno y sus armónicas. ¿Qué sucede cerca de x = O? En el ejemplo 10.4.2 se explican los detalles.
o
2
4
Series de Fourier y separación de variables para EDP
En una ecuación diferencial parcial (EOP) hay derivadas parciales de las funciones buscadas de más de una variable independiente. En este capítulo se examina un método de separación de variables con el cual se obtiene una fórmula de solución para ciertas ecuaciones diferenciales parciales. Esas fórmulas son series infinitas y las utilizó por vez primera en forma decisiva joseph Fourier a principios de 1800 para resolver un problema de conducción de calor. Estudiaremos con pormenores el método de Fourier y lo aplicaremos a casos especiales importantes.
10.1
Vibraciones de una cuerda Las perturbaciones y oscilaciones periódicas desempeñan un papel importante en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería. Entre los ejemplos tenemos el movimiento de un péndulo en un campo gravitacional, el de los cuerpos celestes y las oscilaciones en un circuito eléctrico. Las oscilaciones que viajan por el espacio se conocen con el nombre genérico de movimiento de onda. Algunos ejemplos conocidos de este tipo de movimiento son las olas en la superficie de una alberca, las ondas de sonido y las vibraciones transversales de una cuerda.
1I
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
Modelemos un proceso natural básico relacionado con el movimiento de onda: las vibraciones transversales de una cuerda flexible tensa. Primero daremos definiciones útiles durante la deducción del modelo .
VE El símbolo
•:. Puntos interiores y frontera, región. Un punto p es un punto interior de un conjunto S en Rn si S contiene una bola con centro enp. Una región R en R" es un conjunto conexo (es decir, no en piezas disjuntas) que consta únicamente de puntos interiores. La frontera de una región R se denota con dR. Una región cerrada es una región R junto con dR y se denota con R*.
oen oR
no se relaciona con las
derivadas parciales.
.:. Conjuntos de continuidad. Una función u definida en una región abierta (o cerrada) S en Rn está en el conjunto de continuidad C k(S ) para algún entero k:2: O si las derivadas parciales de u de orden menor o igual a k existen como funciones continuas en S.
eS)
VE ck apareció primero en la sección 3.7. De común acuerdo, CO consta de las func iones continuas en S.
eS)
Modelo de una cuerda vibrante Supóngase que una cuerda está estirada entre los puntos x = O Y x = L en el eje x . Construyamos un modelo para el movimiento de la cuerda sujeta a la acción de la tensión. Para simplificar el problema, imagínese que la cuerda es fLexible; es decir, el vector de tensión r en cualquier punto de la cuerda siempre actúa tangencialmente a ella, de modo que ésta no ofrece resistencia a la flexión. La posición de equilibrio estático de la cuerda sujeta a la pura acción de la tensión es el intervalo O::; x::; L. Puede describirse el movimiento de un punto en la cuerda mediante tres funciones de x y t que representan las coordenadas espaciales en el instante t del punto x en la cuerda. Sobre bases físicas, el movimiento no sólo depende de la desviación inicial y la velocidad de la cuerda sino también de cómo se restringe ésta en los puntos frontera x = O Y x = L. Posteriormente, en esta sección estudiaremos las condiciones en la frontera. ' Las siguientes suposiciones de simplificación son indispensables para obtener una ecuación diferencial parcial simple (EDP) que modele el movimiento de la cuerda:
R
-;--------~~L~x
• La cuerda se mueve en un plano fijo y los puntos sobre ella en una dirección transversal a la cuerda. Por tanto, la desviación de la cuerda puede describirse con una sola función u(x, t) definida en la región R = {(x, t) : O < x < L , t > O} . • El movimiento u pertenece a C2(R) y C 1(R*) Y sólo se permiten pequeñas desviaciones desde el equilibrio en el sentido de que sea posible ignorar las potencias superiores de du/dx (denotada con ux ) al compararlas con el término de primer orden ux .i
i
Como vimos en la sección 8.2, una función hez) tiene o rden n en z en z = O si existe una constante positiva e tal que para toda Izl suficientemente pequeña, Ih(z) I :::; cl zln [denotado por 11 = OO zln) cuando z -7 O] . Para Izl pequeño son dominantes los términos de menor orden en una suma de potencias no negativas de z, así que pueden eliminarse los términos de orden superior.
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10. l/Vibraciones de una cuerda
u
ru(b, t) r(b, t) ruCa, t) r(a, t) L -__________
~
_________________________________ L_ _ _ __ __ _
~~x
L
b
a
Figura 10.1.1 Perfil en [a, b] de la cuerda en el instante t.
• La cuerda tiene densidad lineal constante p y la tensión 'l(x, t) está en C l (R*). Para modelar el movimiento de la cuerda, consideremos primero las fuerzas que actúan en el segmento [a, b]; por hipótesis, la única fuerza es la tensión. Al resolver la tensión que actúa en los puntos b y a en los componentes transversal y paralelo ru y 'Z"x, se observa que (figura 10.1.1) ru (b, t) = r(b, t)lsen
"r denota la longitud del vector "r. Lo mismo para "rx Y "rll ·
lI§j'"
/31;
ruCa, t) = r(a, t)lsen a l;
r x (b, t) = r(b, t)lcos
/31;
rx(a, t) = r(a, t)lcos a l
donde r (a, t) =llr(a, t)ll, ruCa, t) =llru(a, t)11, rx =llrx(a, t)11,etc.Puestoque Estas ecuaciones provienen del hecho de que la pendiente (tan [3) del perfil en x = h es
lI§j'"
Ux
Isen /31=
lux (b,
t)1 2'
~l +lux(b,
t)1
(h, t).
y se cumplen fórmulas similares para sen ex, cos ex, se ve por la segunda suposición anterior que leos a l = 1
r·
La serie del binomio se da en el apéndice B.2, punto 9.
lI§j'"
donde se han ignorado los términos de segundo orden superior en Ux . En otras palabras, 2 2 se desarrolla (1 + IUx I ) - 1/2 en una serie binomial, 1- -luxl + ~ l ux l4 - . ", y se mantiene ;
2
8
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Series de Fourier y separación de variables. para EDP
sólo el primer término. Con las orientaciones adecuadas, los componentes transversal y paralelo para las fuerzas netas de tensión que actúan en el segmento [a, b] son
-r(b, t) = -r(a, t)
(transversal)
(1)
(paralelo)
(2)
Como se ha supuesto que son posibles los movimientos transversales de la cuerda, la fuerza neta que actúa paralela al eje x debe ser cero; entonces por (2) se concluye que -r(b, t) = -r(a, t). En virtud de que a y b son arbitrarias se concluye que la tensión -r(x, t) es independiente de x en [O, L]. Ahora, al aplicar la segunda ley de Newton al segmento [x, x + fu], el cual tiene masa p . (fu) Y es afectado por la fuerza transversal (1), se tiene p. (t1x )utt (x *, t) = -r[ux (x + t1x, t) -
U x (x,
t)]
(3)
donde x* es la coordenada x del centro de masa del segmento de cuerda entre x y x + fu. Al dividir (3) entre p t1x, denotar -r/p con e2 y tomar los límites cuando fu -¿ O, se obtiene la ecuación de onda en una dimensión,
(4)
lBf' La
notación de subíndices para las derivadas parciales se utilizará mucho de ahora en adelante: U u para ¡Pu/af2, Uxx para a2u/ax 2, etcétera.
la cual debe cumplirse para todos los puntos (x, t) en R. Para vibraciones de amplitud pequeña la tensión -r cambia muy poco con el tiempo; por tanto, se supone que e2 es constante. Obsérvese que la EDP (4) es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden y que e tiene unidades de longitud/tiempo.
Ejemplo 10.1.1
Soluciones de la ecuación de onda
La ecuación de onda (4) tiene muchas soluciones. Por ejemplo, si F es cualquier función C2 de una variable, entonces u = F(x - et) es una solución, lo cual puede demostrarse con la aplicación repetida de la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales. Por ejemplo, si r denota x - et y se establece que u = F (x - et) = F(r), entonces
ar = F '()() r -e at
= -dF -
U t
dr
y u = - ed- [ F '()] r -ar = c 2,,() F r dr
tt
at
De manera similar, se tiene u = df x dr
Por tanto, se observa que
ar = F'(r) y ax Utt
= e 2 uxx
U
xx
=
~[F'(r)] ar dr
ax
= F"(r)
si u = F(x - et).
La intuición física sugiere que las condiciones iniciales junto con las condiciones en la frontera son necesarias para obtener una solución única y físicamente plausible. Consideremos ahora el efecto de varias condiciones en los extremos de una cuerda finita.
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10.1 / Vibraciones de una cuerda
Problemas de valor inicial con condiciones en la frontera para la ecuación de onda Supóngase que la cuerda tiene longitud L (es decir, O::;; x::;; L) Y que el tiempo se mide hacia adelante a partir del tiempo inicial t == O.
Condiciones en los extremos de la cuerda: operadores de frontera _ _ _ _ __ Sólo se consideran los movimientos transversales de la cuerda. Si se permite que se muevan los puntos extremos de ésta (es decir, x == O, x == L), puede imaginarse la cuerda enredada en las varillas transversales en ambos lados, pero con libertad de movimiento en otras condiciones (es posible dar otras interpretaciones). Nos centraremos en tres tipos de condiciones en la frontera; la más simple, cuando el desplazamiento transversal de un punto extremo es una función prescrita del tiempo. Por ejemplo, en x == O podría requerirse que U(O, t) == a(t),
t;;::: O
(5)
donde a(t) es una función dada. Si a(t) == O para toda t, entonces la cuerda está sujeta firmemente al eje x en x == O. El caso especial u(O, t) == O para toda t;;::: O es una condición de frontera fija . Podría imponerse una condición similar en x == L. Ahora supóngase que en un punto extremo actúa una fuerza transversal, digamos F == y(t). Tomemos el punto extremo como x == O Y apliquemos la segunda ley de Newton usando los componentes transversales de las fuerzas que actúan en el segmento de cuerda O::;; x::;; h. Como vimos antes, la fuerza transversal que actúa en x == h es 1:Ux (h, t); por tanto, se tiene que phutt(x*, t) == 1:ux (h, t) + y(t), donde p es la densidad de la cuerda, x* el centro de masa del segmento de cuerda [O, h] Y 1: la tensión (constante) en la cuerda. Puesto que utt(x, t) está acotada en x para cada t;;::: O, el lado izquierdo phu tt (x *, t) tiende a O cuando h ---? O. Así, se deduce que 1:Ux (O, t) + y(t) == O,
(6)
Si y(t) == O para toda t, entonces U X (O, t) == O, toda t;;::: O, es una condición límite de frontera. En el punto extremo x == L puede imponerse una condición similar. Por último, supóngase que el punto extremo izquierdo de la cuerda está conectado en el punto x == O en el eje x por un resorte regido por la ley de Hooke con constante k. Entonces la función y(t) en (6) debe ser - ku(O, t) y se tiene una condición elástica en la frontera : (7)
Podría imponerse una condición similar al otro punto extremo. Las condiciones de frontera anteriores pueden describirse en términos de operadores de frontera . Por ejemplo, la condición 2u x (O, t) - 4u(0, t) == O puede escribirse como B[u(x,
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
t)] = O, donde el operador B está definido por B[u(x, t)] = 2ux (0, t) - 4u(0, t). Nótese que B es un operador lineal porque B[au + bv] = 2(au + bV)x(O, t) - 4(au + bv)(O, t) = a[2u x (0, t) - 4u(0, t)]+b[2v x (0, t)-4v(0, t)] = aB[u] + bB[v]
Los operadores asociados con las otras condiciones de frontera también son lineales . •:. Condiciones en la frontera expresadas con operadores. Las condiciones de frontera fijas , libres y elásticas en x = O se escriben como Bo[u] = O, donde el operador de frontera Bo se define respectivamente por: • Frontera fija:
Bofu(x, t)] = u(O, t)
• Frontera libre:
Bo[u(x, t)] = ux(O, t)
• Frontera elástica:
Bo[u(x, t)] = 'rux(O, t) - ku(O, t)
Para los operadores de frontera B L en x = L se cumplen definiciones similares. Puesto que los operadores de frontera Bo Y BL son lineales, se deduce que el espacio nulo de cualquiera de ellos es cerrado en combinaciones lineales, hecho que revestirá cierta importancia después. Los operadores anteriores pueden utilizarse para expresar condiciones de frontera forzadas; por ejemplo, la condición de frontera (6) indica que Bo[u(x, t)] = -y(t)/'r, donde la acción de Bo está dada por Bo[u] = ux(O, t).
Problema mixto de valores iniciales y de frontera para la cuerda vibrante _ __ Como vimos, la desviación u(x, t) de una cuerda vibrante debe satisfacer la ecuación de onda (4) en la región R = {(x, t) : O < x < L, t> O}, siempre que el movimiento de la cuerda satisfaga ciertas suposici?nes de simplificación. Vimos que si u está en Cl(R*), es apropiado pedir que u y su primera derivada parcial con respecto a x satisfagan ciertas condiciones en la frontera x =O Y x = L para toda t;::: O (dependiendo del carácter de la restricción R
L x
de la cuerda en los puntos extremo). Como se esperaba, también podrían especificarse la desviación inicial u(x, O) y la velocidad inicial u¡(x, O) de la cuerda. Por consiguiente, en términos matemáticos, el movimiento de una cuerda vibrante con condiciones iniciales y de frontera dadas será una función u en C2(R) y C l(R*) que satisfaga todas las ecuaciones
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10.1 / Vibraciones de una cuerda
siguientes dentro de la región R o en su frontera [(el) = condiciones iniciales, (Cl-) diciones en la frontera]: Uu -
(CF)
Bo[u] = >(t),
t~O
BL[u] = l1(t), u(x, O) = f(x),
t~O O:5;x:5;L
ut(x, O) = g(x),
O:5;x:5;L
(Cl)
~ Una EDP con condiciones iniciales y de frontera se denomina problema. Es posible que una EDP genere varios problemas.
c2uxx = O,
(EDP)
O
= con-
t>O (8)
donde f(x), g(x), >(t) y 11(t) son funciones dadas y cada operador de frontera Bo Y BL pueden ser alguno de los tres tipos de operadores antes mencionados. Es posible demostrar que el problema mixto de valores iniciales y límite (8) con condiciones iniciales (el) y condiciones en lafrontera (Cf') no tiene más de una solución para cualesquiera datos iniciales [f(x) y g(x)] y datos en lafrontera [>(t) y l1(t)] suficientemente suaves (véase el problema 3).
Ondas permanentes y soluciones separadas Existen soluciones para la ecuación de onda (4) que tienen importancia considerable en la teoría acústica. Éstas son las ondas permanentes X(x)T(t), donde T(t) es una función periódica del tiempo. Para ser precisos, X(x) es la onda permanente con amplitud modulada por T(t). Al sustituir X(x)T(t) en la EDP (4) Y separar las variables se observa que si X(x):t= O Y T(t):t= O, entonces X"(x) 1 T"(t) X(x) = T(t)
¿
(9)
se cumple para todo O < x < L Y t » O. Como x y t son variables independientes, la única forma de que se cumpla la identidad (9) es que cada miembro sea igual a la misma constante. Si denominamos esta constante A, la identidad (9) puede separarse para obtener las EDO X"(x) = AX(X),
~
Una
EDO
como
TU = c2}.T tiene solucio-
nes periódicas si }.
si y sólo
T"(t) = c2 AT(t)
(10)
En realidad, si se utiliza cualquier valor de A en (10) y X(x) y T(t) son soluciones cualesquiera de las EDO correspondientes, entonces X(x)T(t) es una solución de la ecuación de onda (4). En acústica, las ondas permanentes son soluciones separadas donde T(t) es periódica. En consecuencia, para las ondas permanentes ha de tenerse A < O para que T(t) sea periódica.
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
Consideremos una cuerda de guitarra de longitud L con tensión constante 'r, densidad constante p y c 2 = 'r / p. Para movimientos pequeños, la desviación u(x, t) es solución del problema 2 utt =c uxx
v:w
El sistema (1 1) modela el movimiento de una cuerda sujetada en cada extremo, dada una desviación inicial f y liberada después desde el reposo.
u(O, t)
O
= O,
u(L, t)
= O,
t>O
t~O
(11)
u(x,O) = f(x),
O-::;;'x -::; ' L
u¡(x, O) = O,
O-::;;'x-::;;,L
donde f(x) es la desviación inicial de la cuerda, y los operadores de frontera Bo Y B L tienen la acción Bo[u] = u(O, t) y Bdu] = u(L, t) . Lo primero que se hace es encontrar las soluciones separadas X(x)T(t) de la EDP utt = c 2uxx que satisfagan las condiciones de frontera u(O, t) = u(L, t) = O, para toda t. Puesto que la cuerda está sujeta en ambos extremos, cualquier solución separada debe satisfacer las condiciones de frontera X(O) =X(L) =O. Entonces, para hallar las soluciones separadas se observa de (10) que es necesario determinar primero las constantes A tal que el problema de valores en la frontera X"(x) = AX(x),
X(O)
= X(L) = O
(12)
C2
tenga una solución no trivial X(x). Éste es un ejemplo de un problema de Stunn-Liouville (en la sección 10.6 se amplía la información acerca de estos problemas). Obsérvese que si X(x) es cualq~ier función C 2 en [O, L] tal que X(O) = X(L) = O, con la integración por partes se demuestra que
r
X(x)X"(x)dx =
X(x)X'(x)l~ - fOL [X,]2 dx = -
r
[X'f dx -::; , O
(13)
Ahora supóngase que X es una solución no trivial de (12); multiplique cada miembro de la EDO en (12) por X y utilice (13) para obtener
r
A
[X(X)]2 dx =
r
X(x)X"(x)dx -::; , O
Así, al parecer debe tomarse A -: ; , .O. Ahora (12) no tiene una solución no trivial para A = O, así que utilicemos A = - k2 para alguna k > O. La solución general de X" + k2X = O es X(x) = A cos kx + B sen kx para constantes arbitrarias A y B. La condición X(O) = O indica que A = O, Y la condición X(L) = O que B sen kL = O. Para evitar la solución trivial, debe suponerse que B O, por tanto, se toma kL = n7r, donde n es un entero positivo. Para cualquier valor An =-(n7r/ L)2, n=l, 2, ... , el problema de Sturm-Liouville (12) tiene la solución correspondiente (excepto por una constante multiplicativa arbitraria).
*
Xn(x) = sen(n7rx/L)
Entonces, en apariencia las soluciones separadas de la ecuación de onda que satisfacen las condiciones fijas de frontera son en realidad ondas permanentes. Encontremos una fórmula para ellas. Ahora, como A = An = -(n7rx/L)2, con la segundaEDO en (lO) se muestra que n1CC
n1CC
L
L
Tn(t ) = An cos - - t+ B" sen - -t
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70.7 / Vibraciones de una cuerda
x
x
Figura 10.1.2 Seis perfiles de tiempo de la onda permanente de la cuerda de guitarra: n = 1.
Figura 10.1.3 Cuatro perfiles de tiempo de la onda permanente de la cuerda de guitarra con nodos: n = 5.
por tanto, las ondas permanentes para la cuerda de guitarra tienen la forma
I@' En la sección 10.7 se superponen las ondas permanentes para valores particulares de AlI y Bn Y se resuelve el problema (11) con las condiciones iniciales u(x, O) = j(x) ,
u,(x, O)
= g(x).
nm n7rCt n7rCt) (14) un(x, t) = sen - ( Ancos --+Bnsen - , n=l, 2, 3, .. . L L L donde An Y Bn son constantes arbitrarias. Si se mide el tiempo en segundos, la onda permanente Un tiene el periodo 2L1nc segundos (por ciclo) y recupera su perfil sinusoidal inicial un(x,O) = An sen(nm/L) en t = k(2L/nc) segundos para todo entero k. La frecuencia de Un es el recíproco del periodo: fn = ncj2L ciclos/segundo (o hertz). Se dice que los númerosfn son las frecuencias naturales que soporta la cuerda. Los puntos x = 0, L/n, ... , (n - l)L/n y L son puntos en reposo, o nodos, de la onda permanente Un. En las figuras 10.1.2 y 10.1.3 se muestran las ondas permanentes para n = 1 Y n = 5 Y varios valores de t. La onda permanente Un es una solución del problema (11) con condiciones en la frontera fija u(O, t) = u(L, t) = y condiciones iniciales
°
nnx n7rC nnx u(x, O)=An sen - - , ut(x, O) =-- Bn sen - L L L
Un interludio musical Las ondas permanentes en (14) y sus frecuencias han adquirido nombres musicales debido a su asociación con tonos e instrumentos musicales. La onda permanente nct u\(x, t) = sen -nx ( A\cos + B\ sen -nct) L L L se llama fundamental o primer armónica, en tanto que las ondas permanentes de mayor frecuencia son armónicas superiores . Por ejemplo, si n = 3, entonces A3 = - 2, B3 = Y
°
3nx 3nct u3(X, t) = -2 sen - - cos - -
L
L
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
8
6
\
fundamental \
\ 2
tercera armónica
\
\ \
\ ",
',~
o
-2 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Figura 10.1.4 La representación matemática de la onda es una superposición de ondas permanentes.
es una tercera armónica. La representación matemática de la onda trazada en la figura 10.1.4 es el perfil de una fundamental más una tercera y una cuarta armónicas. Cada instrumento de cuerdas produce sus propias combinaciones de fundamentales y armónicas; la variedad de esas combinaciones es lo que distingue el sonido de la guitarra del.que produce el arpa o incluso una guitarra de otra. ¿Son en realidad las vibraciones físicas de la cuerda de la guitarra, el violín o el piano lo que se escucha? Lo que sucede es que tales vibraciones mecánicas de la cuerda provocan vibraciones correspondientes en la presión del aire, las cuales se escuchan como sonidos musicales. Lo que el oído detecta son ondas de presión en el aire puestas en movimiento por las vibraciones de una cuerda, una laringe o alguna otra fuente de energía sónica. Es posible demostrar que la presión de aire es una solución de la ecuación de onda, donde la constante c2 es una relación de calores específicos y de presiones y densidades normales del aire.
Ecuaciones diferenciales parciales Hay procesos naturales (las temperaturas internas de un cuerpo cuyas temperaturas en la frontera son controladas, el voltaje a lo largo de una línea de transmisión, el desplazamiento de una cuerda vibrante y muchos más) que pueden modelarse mediante ecuaciones diferenciales parciales con condiciones iniciales y en la frontera apropiadas. Con la
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10.7 / Vibraciones de una cuerda
notación de "variables con subíndice" para las derivadas parciales de la función con valores reales u(x, y, z, t), las EDP básicas que surgen con mayor frecuencia en las aplicaciones se enumeran a continuación: Ecuación de Laplace (o potencial) Ecuación de onda
u xx Utt
+ U yy + u zz =c
2
{u xx +
=O U yy
+ uzz }
(15)
Ecuación del calor (o difusión) donde c y K son constantes positivas cuyos valores se determinan por las propiedades físicas de los materiales modelados. Las variables x, y y Z son de espacio y t es el tiempo. La ecuación de onda se presenta en modelos relacionados con la propagación de la onda (de ahi su nombre) , en tanto que la de Laplace surge en modelos de fenómenos de estado estacionario y la del calor tiene relación con los procesos de difusión y flujo de calor. Es común utilizar una notación de operador conveniente al, ox, oxx, etc., para denotar las operaciones de derivación olot, olox, 02/0x 2 , etcétera. Por tanto, si se define el operador la placiano V2 = oxx + Oyy + 0w se observa que las EDP de (15) pueden escribirse como V 2u=O,
(011-c2V2)u = O,
(ot - KV 2 )u=O
(16)
El orden de una EDP es el de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Las EDP de (15) son de segundo orden. Nótese que ellaplaciano V2 es un operador lineal porque V 2 [au + f3v] = aV 2 u + f3V 2 v para las constantes a, f3 y las funciones u, v que son continuamente diferenciables dos veces. Los operadores al y 011 también son lineales. Por tanto, las EDP básicas de (16) son lineales porque tienen la forma L[y] = f, donde L es un operador lineal. En virtud de que el término de forzamiento f es cero para todas las EDP de (16), se dice que son homogéneas. Se deduce que las EDP de (16) tienen la forma L[u] = O, así que una combinación lineal de soluciones para cualquiera de ellas es, de nuevo, una solución de la misma ecuación. Este hecho, simple pero importante, se utilizará una y otra vez en este capítulo; se conoce como principio de superposición de soluciones.
Comentarios Es un hecho notable que el problema (11) pueda resolverse como una superposición de ondas permanentes un(x, t) definidas en (14), donde las constantes Am Bn se determinan de manera apropiada para toda n = 1, 2, . ... En la siguiente sección se explican los detalles. Esta técnica puede generalizarse en un método signifjcativo para resolver problemas de valores inicial y de frontera para EDP. Aunque el método es muy limitado en alcance, es de suma importancia porque proporciona fórmulas de solución explícitas para una clase amplia de problemas comunes de valores inicial y de frontera. Este método recibe el nombre de método de separación de variables y lo estudiaremos con más detalles en la sección 10.7 tras adquirir bases sólidas acerca de los métodos de Fourier.
11
"
!t
I
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
Problemas _____________________________________________ www 1.
2. ~ 3.
(Ondas permanentes.) Considérese una cuerda vibrante de longitud L.
(a) Encuentre todas las ondas permanentes con condiciones en la frontera libres en los puntos extremo. (b) Obtenga todas las ondas permanentes con una condición de frontera fija en x = O Y una condición de frontera libre en x = L. Compruebe directamente que el problema de Sturm-Liouville (12) no tiene soluciones triviales cuando A = O o A> O. (Teorema de unicidad.) Supóngase que R es la región O < x < L , t > O Y que F(x, t) es continua en R*, que a(t), f3(t) son continuas en t ~ O Y que y(x), 8(x) son continuas en O~ x ~ L. Con la descripción siguiente, demuestre que el problema no puede tener más de una solución u(x, t) que esté en C2(R) y Cl(R*): 2 C U xx
+ F(x,
(EDP)
U tt
(CF)
u(O, t) = a(t),
u(L, t) = f3(t),
(CI)
u(x, O) = y(x),
ut(x, O) = 8(x), O ~ x ~ L
=
t) en R t~O
Supóngase que el problema dado tiene dos soluciones u y v. Escriba U = u - V Y demuestre que U satisface el llÚsmo problema, pero con los datos F, a, f3, yy 8 igualados a cero. 2 2 Defina W(t) = (Ut + c U;)dx para cualquier t ~ O. Utilice la identidad (UxUt)x = U xxUt + UxUtx para demostrar que
t
•
10.2
f:
Demuestre que Ut(L, t) = O Y Ut(O, t) = O para t ~ O. [Sugerencia: recuerde la definición de derivadas parciales.] Demuestre que U t (x , t) = O Y U x (x, t) = Opara toda (x, t) en R*, de modo que U = constante en R. Demuestre que en realidad U = O en R y concluya que u = v en R.
Funciones ortogonales La última sección terllÚnó con la sorprendente declaración de que una fórmula para la solución del problema de la cuerda punteada de una guitarra 2
utt = C UXX U(O, t) = O, U(X, O) = f(x),
O
t
~
O
O~x~L
t>O (1)
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10.2/ Funciones ortogona les
puede construirse con una superposición de las ondas estables nm ( nTCCt nTCCt) ull(x, t) = senT AllcosT+BllsenT '
n = 1,2, 3, ...
sin importa cuál sea la deflexión inicial f(x) de la cuerda. Veamos cómo hacerlo. Supóngase que una solución u(x, t) del problema de valor incial con condiciones en la frontera (1) tiene la forma u (x, t) = L ;~l Un (x, t), donde las constantes Am Bn son tales que la serie converge en todo punto de la región cerrada R = {(x, t): ~ x ~ L, t?:: O}. En seguida demostraremos cómo encontrar los valores que deben tener los coeficientes An, Bn para que la serie L ;~l ull (x, t), converja en una solución del problema (1). Primero obsérvese que cada Un satisface las condiciones de frontera, lo mismo que ¿Un- Si las derivadas parciales Un Y U tt pueden calcularse mediante la derivación término a término de la serie ¿Un> entonces u = ¿ull satisface la ecuación de onda porque así sucede con cada Un. Las constantes An, Bn deben determinarse a fin de que la serie ¿Un satisfaga las condiciones iniciales. Esto implica que
°
R
L x
=
f(x)
= u(x,
~
O) = L,¡An sen
nnx L'
O~x~L
(2)
Il ~ J
(3)
Ahora viene un paso crucial para determinar las constantes Al!> Bn en (2) y (3). Para todos los enteros m y n se tiene (véase el problema 1): L
u:!lf Estas integrales de
la función coseno después serán útiles.
io i
{O,
nnx mnx dx m 7= n, o m = n = sen - - sen - - = L L L/2, m = n 7=
l0'
°
nnx mnx m 7= n cos - - cos - - dx = L, m=n=O O L L L/2, m = n 7= L
°
° (4)
°
Al multiplicar ambos miembros de (2) y (3) por sen(mnx/L) e integrar en ~ x ~ L (suponiendo que pueden intercambiarse la integración y la suma infinita) y utilizar (4), se tiene
m=1,2, ... m=1,2, ... que determina únicamente A", y Bm (de hecho, Bm = O). Así, si las suposiciones son válidas, permitirán caracterizar la solución del problema (1) como la serie ~ nnx nTCCt u(x, t) = L,¡An sen--cos-Il~l L L
(5)
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Series de Fourier y separación de variab les para EOP
donde
21L f(x)sen - - dx,
Al! = -
L o
n7rX
L
n = 1,2, . ..
(6)
En la sección 10.7 se demostrará que si la función de datosfix) tiene un buen comportamiento, entonces la fórmula (5) con coeficientes dados por (6) es solución del problema (1). Si de antemano supiéramos que el problema (1) no tiene más de una solución (véase el problema 3 en la sección 10.1), entonces (5) y (6) deben ser la solución del problema (1). Las fórmulas integrales en (4) se llaman relaciones de ortogonalidad y son la parte central de la obtención de la fórmula de la solución (5), (6). En la sección 4.1 vimos que el concepto de ortogonalidad generado por el producto punto (o escalar) para los vectores en lR 3 no sólo aportó cierto sentido geométrico a la construcción de modelos sino también ciertas simplificaciones de cálculo importantes. En esta sección se amplía el concepto de ortogonalidad a los espacios vectoriales de funciones (definido en la sección 7.2). Después se demostrará cómo la ortogonalidad brinda una herramienta nueva, valiosa, para la aproximación de funciones. En la sección 10.7 se muestra cómo aplicar estos conceptos con objeto de resolver problemas de valor inicial con condiciones en la frontera para EDP.
Espacios lineales !rE En el manual de recursos para el estudiante se amplía la información acerca de los espacios lineales.
Ejemplo 10.2.1
En la sección 7.2 usamos el término espacio lineal o espacio vectorial para una colección de objetos, denominados vectores, que se comportan como lRn (o e"), los vectores columna con n elementos reales (o n elementos complejos). Dicho de otro modo, hay una operación de "suma de vectores," denotada con "+", y otra de "multiplicación de un vector por un escalar" que cumplen las mismas reglas que para lRn (o e n). Si los vectores son objetos de valores reales, entonces los escalares son reales; si son objetos de valores complejos, entonces los escalares son complejos. En dicha sección mencionamos también los espacios de funciones vectoriales cuyos objetos son vectores columna con elementos que son funciones con valores reales (o con valores complejos). En este capítulo las funciones vectoriales tendrán sólo un elemento y, como antes, los escalares son lR para funciones con valores reales, y e para funciones con valores complejos.
Espacios lineales de funciones Para cualquier intervalo 1 y cualquier entero k ¿ O el conjunto de continuidad Ck(I) de funciones con valores reales es un espacio lineal real si se usan escalares reales y las operaciones de suma y multiplicación por un escalar están dadas por (f + g)(t) = f(t) + g(t) ,
(af)(t) = af(t),
para toda t en 1
(7)
Si Ck(I) consta de funciones de valores complejos, entonces Ck(I) es un espacio lineal complejo cuando se utilizan escalares complejos y las operaciones en (7).
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10.2 / Funciones ortogonales
Productos escalares Las propiedades básicas del producto escalar en R3 son simetría , bilinealidad y definitividad positiva [véase el problema (1), sección 4.1], lo cual nos lleva a preguntar si en algún espacio lineal puede encontrarse o no una función que produzca un escalar por cada par de vectores de modo que se satisfagan estas tres propiedades. Cuando esto es posible para un espacio lineal, es posible imitar lo que se hizo para el producto punto en R" y desalTollar los conceptos de "ortogonalidad", "distancia" y "convergencia de una sucesión" en ese espacio . JJ:W Los puntos en (-, .)
sólo son lugares para que sean sustituidos los vectores.
•:. Producto escalar, espacio euclidiano. Supóngase que V es un espacio lineal y también que es una función que asocia con cada par de vectores u, V el escalar (u, v). Entonces es un producto escalar si se cumplen las propiedades siguientes para todos los vectores u, v, w y los escalares a, [3:
e -)
e -)
(Simetría)
(v, u) = (u, v), el conjugado complejo de (u, v)
(Sa)
(Bilinealidad)
(au+ [3v, w) = a(u, w)+ [3(v, w)
(Sb)
(Definitividad positiva) (u, u)
~
O e = O si y sólo si u = O
(Sc)
Un espacio lineal V con un producto escalar se llama espacio euclidiano . Hay muchos productos escalares para el mismo espacio lineal, como veremos después. No es difícil verificar que (x, y) = 1 ~ XkYk es un producto escalar en R"; este producto escalar usual convieíte R" en un espacio euclidiano real y generaliza el producto punto en R3. De manera similar, (x, y) = 1 ¡xák convierte
e -),
•:. Norma. En un espacio euclidiano E con producto escalar se define la norma (o longitud o magnitud) de un vector u por la cantidad no negativa 11
u 11= (u, u»)112
(9)
Esta norma se denomina norma inducida por el producto escalar (también son posibles otras normas). Los vectores de longitud 1 se llaman vectores unitarios . Si se divide cualquier vector distinto de cero entre su longitud se obtiene un vector unitario. Este proceso se llama normalización . •:. Distancia entre dos vectores. En un espacio euclidiano E con producto escalar C·), se defme la distancia entre dos vectores cualesquiera u y ven E como lI u - v II , donde 11·11 es la norma inducida por C·).
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
Recuérdese que una funciónf(x) en un intervalo cerrado [a, b] es continua por partes si hay un número finito de puntos Cl , C2, ... , Ck con a < Cl < C2 < ... < Ck < b, tal que f es continua en cada intervalo abierto (a, Cl), ( Cl , C2), ... , ( Ck - 1, Ck ), ( Cb b), y existen los límites unilaterales defen todos los puntos x = a, CI, . . . , Cb b. Ejemplos son funciones de pulso y escalón en cualquier intervalo [a, b]. [Nota: los valores reales defen los puntos x = a, Cl, . .. , Ch b no tienen que ver en la definición. De hecho,fno necesita estar definida en esos puntos.] El conjunto de las funciones continuas por partes en [a , b] se denota con PC[a, b]. Al usar el concepto común de suma de funciones y multiplicación de una función por un escalar se observa que PC[a, b] es un espacio lineal (un espacio lineal real para funciones con valores reales y escalares reales).
Ejemplo 10.2.2
El espacio euclidiano PC[a, b] Para el espacio lineal PC[a, b] se observa que
(l, g) = Por ej emplo , la funciónj{x) cuyo valor es cero en todas partes excepto en un punto no es la función cero e incluso (f,f) = O.
Ikif'
/
s:
f(x)g(x) dx,
f,g en PC[a, b]
(10)
es un producto escalar si se identifican dos funciones cualesquiera en PC[a, b] que difieren en sólo un conjunto finito de puntos [de otro modo no se cumple (8c)]. Usaremos el mismo símbolo PC[a, b] para el espacio euclidiano, pero recuerde que la expresiónf= O significa que f desaparece en [a , b] excepto, a lo sumo, en un conjunto finito . El producto escalar (lO) se llama producto escalar usual en PC[a, b] (hay muchos otros). Obsérvese que Cn[a, b] está contenido en PC[a, b] para cualquier entero no negativo n y que (10) es también un producto escalar en Cn[a, b]. La norma inducida por el producto escalar (10) tiene la forma II f II =
[fabIf 1 dx ]"2, 2
f en PC[a, b]
(11)
Cualquier producto escalar (-,.) y su norma inducida 11·11 tienen algunas propiedades útiles:
Teorema
Propiedades del producto escalar. Sea E un espacio euclidiano con producto escalar (-, .) y norma inducida 11·11. Para toda u, ven E, y escalares a, se cumple lo siguiente: (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) (Definitividad positiva) (Homogeneidad)
I(u, v)1 :::; lIull IIvll
lIull ;;:: O Y lIull = O si y sólo si u = O
lIaull = lal lIull
(Desigualdad del triángulo)
IlIull - IIvlll:::; lIu +vll:::; lIull + IIvll
Estas propiedades son muy útiles en los cálculos y en las estimaciones del error en los espacios euclidianos, como se verá pronto.
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70.2/ Funciones ortogonales
Ortogonalidad Para definir la ortogonalidad de vectores se usa un producto escalar.
.:. Ortogonalidad. Se dice que dos vectores u, ven un espacio euclidiano E son ortogonales si y sólo si (u, v) = O. Un subconjunto S en E que no contiene al vector cero es un conj unto ortogonal si (u, v) = O para dos vectores distintos u, v en S. El vector cero es ortogonal a todos los vectores de un espacio euclidiano E, pero es el único vector con esa propiedad. La ortogonalidad amplía el concepto familiar de perpendicularidad en los espacios euclidianos normales ]R3 y ]R2. Por ejemplo, (a, b) -:¡. (O, O) en ]R2 es ortogonal a (-b, a), lo cual coincide con el hecho familiar de que un par de líneas se corta ortogonalmente si sus pendientes son recíprocos negativos. En un espacio de funciones vectoriales el concepto de ortogonalidad no tiene tal interpretación geométrica simple.
Ejemplo 10.2.3
Un conjunto ortogonal en PC[- n, n]
El conjunto = {1, cosx, senx, . . . , cosnx, sennx, ...}es un conjunto ortogonal en PC[-n, n] bajo el producto escalar normal. Para verlo se utiliza una identidad trigonométrica a fin de demostrar, por ejemplo, que para enteros cualesquiera m y n, (sen nx, cos mx ) =
Aquí conviene usar las identidades trigonométricas del apéndice B.4.
I@"
=
f:Jr sen nx Jr
I
- Jr
cos mx dx
..!..[sen (n + m)x+ sen (n - m)x]dx = O 2
Las otras relaciones de ortogonalidad siguen un comportamiento similar.
Ejemplo 10.2.4
Un conjunto ortogonal en el espacio euclidiano complejo PC[- T, T ] Supóngase que PC[-T, T] consta de funciones con valores complejos. El conjunto '" = {e ikJrIT: k = O, ± 1, ± 2, . . .} es un conjunto ortogonal. Con el producto escalar normal en PC[-T, T] , se tiene para k -:¡. m, (e iknx / T , e imnx / T )
=
I
T
eiknxlT e -imnx/T dx
-T
7'
= ~
i(k-m)nxIT ¡T
1.
l(k - m)n
Para cualquier entero k se ve que 11 e iknx / T 11 2 = (eiknxIT, eiknxlT)
Así, el "vector"
e
/.J2T
iknxlT
tiene longitud unitaria.
= 2T
-T
=O
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
Comentarios Hay otros conjuntos ortogonales en PC[O, L] además de los definidos en esta sección. En la sección 10.6 se describe una "máquina" con la que se les generará conforme se necesiten para obtener una fórmula solución de un problema de valor inicial con condiciones en la frontera.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
Con las dos identidades trigonométricas senasen 13 = (l/2 )[cos(a - 13) - cos (a + 13)] cosa cos 13 = (l12)[cos(a + 13) + cos (a - 13)] verifique las fórmulas de integración (4). (Cuerda pulsada de guitarra.) Una cuerda de guitarra de longitud n tiene al principio la forma X, 0-:;, x-:;,nl2 f(x) = { n- x, nI2-:;'x-:;'n
www 3.
y se suelta desde el reposo. Grafique el perfil de la cuerda en t = 1, t = 5 Y t = 10. [Sugerencia: utilice un programa algebraico para calcular suficientes coeficientes An [dados por (6)] en la fórmula solución (5) para tener una aproximación razonable. Luego grafique la serie truncada para varios valores de t con dicho programa.] (Cuerda de guitarra.) La cuerda de guitarra modelada por el sistema (1) tiene longitud L = n, tensión T y densidad p. Encuentre la solución en la forma de la serie (5) con los valores específicos para los coeficientes A" si el perfil inicialfix) es cada uno de los siguientes. (a) f(x)
4.
=
sen x
(b) f(x)=O.l sen2x
(e) f(x) =
Lo ~~¡Csennx)ln
(d) Explique en términos matemáticos por qué cuanto más tensa esté la cuerda más alto es el tono . Ahora reemplace la cuerda por una más gruesa y púlsela de nuevo. En términos matemáticos, ¿qué escucha ahora? (Subespacios.) Un subconjunto A de un espacio lineal V se llama sub espacio de V si para cualquier escalar a y cualquier par de vectores u, V en A, se tiene que au y u + V están en A. Para escalares al, lX2, ... , a n y vectores Ulo U 2 , . .. , Un en A se dice que la suma al U¡ + ... + a"un es una combinación lineal fin ita en A. El conjunto mínimo de generadores de A, denotado por Span(A), es el conjunto de las combinaciones lineales finitas en A. (a) Para cualquier espacio lineal V, demuestre que el conjunto de todos los vectores en V y el conjunto que sólo consta del vector cero son subespacios de V. (b) Demuestre que un conjunto de vectores A en un espacio lineal Ves un subespacio si y sólo si Span(A) = A.
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10.2/ Funciones ortogonales
5.
(e) Para un intervalo cerrado 1= [a , b] en lR y enteros no negativos m, n, se supone que los conjuntos de continuidad e"(/) y em (/) son espacios lineales reales o complejos de funciones. Demuestre que en ( /) es un subespacio de em (/) si n ~ m. (d) Supóngase que e~ (/) es el conjunto de las funciones con valores reales en un intervalo l que tiene derivadas de todos los órdenes en l . Demuestre que e~ (/) es un espacio lineal real. (Producto escalar pesado.) Para dos funcionesfy g en el espacio real eo[O, 1] defina (j, g) = f~f(x)g(x)eXdx. Se dice que la función eX es un factor de peso o densidad. (a) Demuestre que (-, .) define un producto escalar. .. (b) Calcule el producto escalar de cada par de funciones: f = 1 - 2x, g = e-X; f = x2, g=eX.
6.
(e) Calcule el producto escalar de cada par de funciones: f = x, g = 1 - x; f = e-x /2 sen (nx/2), g = e-x /2 sen (3nxl2);f = cos (nx/2), g = 1. Para cualquier intervalo cerrado 1= [a , b] y cualquier entero n no negativo, demuestre que (j,g) =
7.
l0f También exisl t: la "ele mayúscula dos" . pero no la veremos por el momento.
8.
9.
s:
f(x)g(x)dx
es un producto escalar en espacio vectorial e n(/) de funciones con valores complejos. (Propiedades de un producto escalar.) Supóngase que (-, -) es un producto escalar en un espacio lineal real V, y sea 11·11 la norma inducida por el producto escalar. (a) Demuestre que lIu +v11 2 + lIu - vll 2 = 211ul1 2 + 211vll 2 para toda u, V en V. (b) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz. ) Demuestre que I(u, v)l:::; Ilull . Ilvll para toda u, V en V. [Sugerencia: parta del hecho de que Ilau - f3vll 2 ~ O para cualesquiera escalares a y 13.] (e) Demuestre que (u, v) = (lIu +vI1 2 -lIu - vIl 2)/4 para todas u, V en V. ( " Ele minúscula dos" : ¡Z) . Supóngase que lR~ es el conjunto de las sucesiones de números reales, (X,,);=I' abreviado simplemente como (x,,). Defina la suma y la multiplicación por números reales en lR~ ; es decir, (x,,) + (Yn) = (xn + Yll), a . (xll ) = (axll ). Supóngase que ¡z es la colección de todas las sucesiones (x,J en ¡z para las cuales L:;=1Ix" 12 converge; ¡z se llama "ele minúscula dos" . (a) Demuestre que para cualquier x, y en ¡Z, L::] xiYi converge. (b) Demuestre que (x, y) = L:: 1X¡Yi es un producto escalar en ¡Z. (Proyección ortogonal.) Supóngase que E es un espacio euclidiano y S un subespacio de E generado por el conjunto ortogonal finito {u 1, u2 , ... , un}. Para u en E el vector n
i i i proÚ(u) = ~)(u, u )/ II u 112]u i=1
se llama la proyección ortogonal de u sobre S. [Nota: projs(u) no depende del conjunto generador ortC':;onal S que se haya elegido.] (a) Demuestre que para cada u en E es posible escribir de manera única u = V + ID, con V en S y w ortogonal a S.
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
(b) Demuestre que para cualquier u en E, lIu - projs (u) lI :":: Ilu - vII para toda ven S y que la igualdad se cumple si y sólo si v = projs (u). (e) En 1R.3 , encuentre la distancia del punto (1, 1, 1) al plano: x + 2y - z = o.
10.3
Series de Fourier y aproximación media Hay un nuevo tipo de convergencia, la convergencia en la media, que funciona en los espacios euclidianos y es sumamente útil a fin de encontrar una fórmula solución para problemas de valor inicial con condiciones en la frontera de EDP lineales. Tal convergencia se describe fácilmente en términos del producto escalar en ese espacio y tiene algunas consecuencias de largo alcance. Entonces definiremos la serie de Fourier de una función con respecto a un conjunto ortogonal.
Aproximación media Supóngase que f es un vector en un espacio euclidiano E. Si g en E se considera una aproximación af, entonces Ilf - gil se conoce como el error en el sentido de la media O simplemente error en la media . Digamos que = {o/l' 0/2' ...} es un conjunto ortogonal finito o infinito en el espacio euclidiano E. Entonces, para un elemento f en E puede plantearse la pregunta siguiente: ¿qué combinación lineal de los n primeros elementos de se halla "más próxima" af en el sentido de la medida de distancia en E (es decir, en la media)? En símbolos: ¿para qué valores de las constantes cI ,c2' ... ,cn es II f - L k=l cko/k 11 un mínimo? A continuación se da respuesta a esta pregunta.
Teorema
Teorema de la aproximación media. Para cualquier conjunto ortogonal = {o/l' 0/2' ...} en un espacio euclidiano E, cualquier f en E y cualquier entero positivo n, el problema, n
11 f
- ~>ko/k II = mínimo k=l
tiene la solución única k = 1, 2, ... ,n
(1)
Aún más, n
11 f -
¿ (ck ) k=!
n
rnín o/k
11
2
IIf ll2 - ¿ k= l
I(f, o/k) 12 /11 o/k 11 2
(2)
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10.3 / Series de Fourier y aproximación media
Para demostrar esto, supóngase en aras de la sencillez que E es un espacio euclidiano real. Observe ahora que por la bilinealidad del producto escalar C -) en E, n
n
k=¡
k=¡
n
2 11 f - L Cklf>k 11 = (f - LCklf>k' f - LCklf>k) k=l 11
2
11
= 11 f 11 - 2 LCk(f, If>k)+ Lci 11 If>k 11
2
(3)
k=¡ k= ¡ Si se completa el cuadrado en el polinomio cuadrático en Ck en (3) se observa que
2 2
11
If> k 11 Ck - 2(f, If>k )Ck = 11 If>k 11
2(
(f, If>k»)2 Ck - 11 If>k 112
1 (f,
2
If> k) 1 11 If>k 112
por tanto, (3) se convierte en
11 f -
~>klf>k 11 2 =
2
III
11 f 11 +
2
~{; ~~2»)2 - I
If>k~
2
1(f, 1 (4) k= ¡ k=l k k=¡ 11 If> k 11 Para minimizar el miembro derecho de (4), Ck debe elegirse como en (1); al hacerlo, la fórmula (2) resulta de (4).
Ejemplo 10.3.1
If>k 11 (Ck -
Aproximación media
Con el cálculo directo se comprueba que = {sen(kn-xl L) : k = 1, 2, .. .} es un conjunto Oltogonal en PC[O, L] para cualquier constante positiva L y que 11 sen(knxl L ) 11 2= L/ 2, para cualquier k = 1, 2, .... Defina la función escalón f como sigue: X
f(x)= {
0~x~L/2
O: L/2~x~L
Se encontrará la mejor aproximación media-cuadrada paraf en la forma C¡ sen(ru:IL) + C2 sen(2n xl L) + C3 sen (3n x l L). Con (1) se nota que para cualquier k > O: ~
Utilice la integración por partes o una tabla para evalu ar la integral.
.
Por tanto (c¡)
mín
2 (c k ) , =mm
L
i
U2
O
knx dx= -2L ( - 1 sen---coskn 1 kn) xsen-L kn kn 2 2 2
= 2L I n 2 , (C2)mín = L 12n, ( C3 )min = -2L I 9n 2 , y 2L nx L 2nx 2L 3nx sen - + - sen-----sen-g , =mm n2 L 2n L 9n 2 L
es la mejor aproximación en la media af de la forma deseada. El cuadrado del error medio (o el error medio-cuadrado ) de esta aproximación está dado por (1) y (2) como ~
Con un cálcul o directo se muestra que IIfll2 = L3/24.
2
3
2 . 2 3 2 4L L2 4L2 ) k n x 11 = -L - -L (2+ IIf-g , 11 = 11 ./ 11 - " (Ck) , 11sen+-nun ~ nun L 24 2 4 4 2 81 k=¡ n n n4
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634
Series de Fourier y separación de variables para EOP
Convergencia en la media Como vimos, la norma inducida 11 . 11 en un espacio euclidiano E mide la "distancia" entre dos vectores u, ven E como lI u - vi I. Es posible usar esta medida de distancia para definir la convergencia de sucesiones infinitas y series en E . •:. Convergencia en la media. Supóngase que 11 . 11 es la norma inducida en un espacio euclidiano E. Se dice que la sucesión {f;,}, n = 1,2, .. . , en E conve rge en la media si y sólo si existe un vector i en E tal que 11 in - i 11 -7 O cuando n -7 oo . En este caso se escribe i n -7 i cuando n -7 oo. Para gk en E, k = 1, 2, .. . , la serie L ;=1gk' converge en la media si y sólo si la sucesión de sumas parciales 1" = L Z=1 gk' n = 1,2, oo. , converge en la media. Si L Z=lgk ---7 i cuando n -7 00 , entonces se escribe f = L ;=1gk' Como en la convergencia ordinaria, una sucesión convergente en la media {fn} puede tener solamente un límite.
Teorema 10.3.2
Teorema de la convergencia media. Para cualquier sucesión {fn} en un espacio euclidiano E, hay a lo sumo un vectorien E tal que Il i n - ill -7 O cuando n -7 oo . Para demostrarlo, supóngase, al contrario, quein -7 g Yin -7 h cuando n g =t h. Ahora IIg - hll > O y, por la desigualdad del triángulo, se tiene O < 11 g - h 11
= II(g - in) + Un - h)lI::; 11in -
Por consiguiente, es imposible que Ilin - g il con lo cual se establece la afirmación.
-7
g 11 + 11 1"
-
h 11,
-7 00 ,
donde
para toda n
O Y 11 i n - h 11 -7 O, a menos que g = h,
La convergencia media tiene otra propiedad importante (para demostrarla véase el problema4):
Teorema 10.3.3
Continuidad del producto escalar. Supóngase que en un espacio euclidiano Entonces Un, gm)
-7
i n -7 iy gm -7 g cuando n, m (f, g ), cuando n, m -7 00 .
-7 00
Convergencia media, uniforme y puntual La convergencia media para las sucesiones en PC[a, b] es diferente de las convergencias puntual y uniforme. Revisemos estos dos últimos tipos de convergencia para uha sucesión {fn (x)}, n = 1, 2, oo., en PC[a, b ]. Se dice que la sucesión {fn (x)} converge puntualmente en Xo en [a , b] si hay un valor Yo tal quein(xo) -7 Yo cuando n -700 en el sentido ordina-
http://carlos2524.jimdo.com/ 10.3/ Series de Fourier y aproximación media
I@" En el apéndice A.2 se amplía la información acerca de las convergencias puntual y uniforme.
635
rio de las sucesiones de números. En otras palabras, esto significa que para cualquier intervalo de longitud 2E > O centrado en Yo, los valores de fn(xo) "finalmente" permanecen en este intervalo, es decir, para toda n ~ N, donde N es algún entero positivo (véase la figura 10.3.1). La convergencia uniforme de la sucesión de funciones lfn (x)} en un intervalo cerrado [a, b] es más que tan sólo decir que {f(x)} converge puntualmente en cada Xo en [a, b]. La convergencia uniforme de lfn (x)} respecto a una función g(x) en [a, b] significa que para cualquier "tubo" con columna vertebral g(x) y diámetro 2E > O vertical, las gráficas de j,,(x) "finalmente" se hallan contenidas en ese tubo para toda n ~ N, donde N es algún entero positivo (véase la figura 10.3.2). Obsérvese que si la sucesión {gd en Pera, b] converge de manera uniforme en g en [a, b], entonces gk -7 g en la media (sobre PC[a, b]). Asimismo, la convergencia uniforme en un intervalo acotado implica convergencia media. Esto resume la relación general entre los tres modos de convergencia en Pera, b] considerados aquí.
Serie ortogonal: bases Supóngase que = { = {/II
Teorema 10.3.4
Teorema de Euler-Fourier. Si para un conjunto ortogonal = { para toda n = 1, 2, ... 11
(5)
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
y
y
,,---,,1
/'
) g(X)+E
, ,
g(X) 1
'---' 1--"
Yo
f.,(x) 'i
g(X) -E
1
t,,(x) L-'
,
1
1
¡a
b x
Figura 10.3.1 Geometría de la convergencia puntual.
a
b
x
Figura 10.3.2 Geometría de la convergencia uniforme.
Puesto que 1 ~= 1 ckl/>k ~ f cuando N -¿ 00, se deduce [de la continuidad del producto escalar (teorema 10.3 .3)] que (1 ~=l ckl/>k' I/>n) ~ (j, I/>n) para cada n (fija), cuando N -¿ oo . Pero por ortogonalidad, (1 ~=l ckl/>k' I/>n ) = Cn(I/>n' I/>n) si N> n, y se establece la aseveración. La fórmula (5) es el fundamento de la definición siguiente . •:. Coeficiente de Fourier. La constante ck = (j, I/>k)/ III/>k 11 2 se conoce como el k-ésimo coeficiente de Fourier (o Fourier-Euler) defsobre el conjunto ortogonal k : k = 1, 2, ...} es una base para el espacio euclidiano E si y sólo si para todaf en E,
(6)
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70.3 / Series de Fourier y aproximación media
en el sentido de convergencia media. La condición (6) no es una prueba particularmente fácil de aplicar porque requiere demostrar que una serie ortogonal converge en la media para la suma del miembro derecho. Hay otras pruebas de base más útiles, como veremos en el teorema 10.3.6. Una propiedad importante de las bases se da por el resultado siguiente, el cual es una consecuencia inmediata de la condición (6).
Teorema 10.3.5
Teorema de totalidad. Supóngase que
e"
Serie de Fourier La serie ortogonal en un espacio euclidiano construida con los coeficientes dados por la fórmula (5) tiene un nombre especial. .:. Serie de Fourier. Supóngase que
!lE Si
quiere, puede considerar FS un operador que, al actuar en f, produce la serie ortogonal en (7).
FS[fJ =
t
(f, cfJ;) cfJk' cfJk 11
para todafen E
(7)
k= l 11
se llama serie de Fourier de f sobre
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Teorema 10.3.6
Series de Fourier y separación de variables para EOP
Tres teoremas. Supóngase que = {I/Jk: k = 1, 2, ...}es un conjunto ortogonal en el espacio euclidiano E, pero no necesariamente una base. Entonces para cualquier f en E, la serie L ; =1 1(J, I/Jk) 12 / II I/Jk 11 2 converge en la media y se cumplen las propiedades siguientes.
Desigualdad de Bessel: se tiene 11 f
112~
i
2
1 (J,
I/Jk~ 1
para todafen E
(8)
k=1 III/Jk 11
Decaimiento de coeficientes: si ck = (J, I/Jk)/ II I/Jk 11 2 , el k-ésimo coeficiente de Fourier de 1, y si es no finito, entonces II I/Jk 11·1 ck 1--7 O
cuando k --7
00
(9)
Relación de Parseval: es una base para E si y sólo si (10)
La identidad (2) en el teorema de la aproximación media se cumple para todo entero positivo n. Puesto que el miembro izquierdo de (2) nunca puede ser negativo, se deduce que
11 f 11 2
~
i
1(J, I/Jk~ 1 k=1 III/Jk 11
2
para toda n
(11)
a:
La sucesión ~= l 1 (J, I/Jk) 12 /III/Jk 11 2 : n = 1, 2, ...} está acotada por aniba y es no decreciente; por tanto, la serie infinita L ;=1 1 (J, I/Jk) 12 / III/Jk 11 2 es convergente. La desigualdad (8) se deduce ahora de inmediato de (11) al tomar el límite cuando n --7 oo . En virtud de que la serie infinita de (8) es convergente, el k-ésimo término converge en cero. La propiedad (9) se deduce del hecho de que 1(J, I/Jk) 12/ II I/Jk 11 2 = II I/Jk 11 2lck 1\ donde Ck es el coeficiente de Fourier dado por (5). Finalmente, la relación de Parseval se deduce de inmediato de (1) y (2) del teorema de aproximación media.
Ejemplo 10.3.2
Serie de Fourier en PC[- n, n] .
Considere el conjunto ortogonal en PC[-n, n] del ejemplo 10.2.3. Ahora se utiliza la de. finición (7) para calcular la serie de Fourier de la funciónf(x) = x en [-n, n]. Obsérvese 2 primero que f ~7r sen 2 nx dx = f ~7r cos 2 nx dx = n para toda n ~ 1 Y que f ~7r 1 dx = 2n. Ahora FS[fJ tiene la forma ~
FS[f] =
Ao +
L (A k=1
k COS kx
+ Bk sen kx)
(12)
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70.3/ Series de Fourier y aproximación media
n
(_l) k+1
Sn =2L,-k=1
senkx
f(x} =x
k
-4 +-~--~--~--~~--~--~--~~~~--~ -4 -2 2 x
Figura 10.3.3 Gráficas de tres sumas parciales de la serie de Fourier (13). Véase el ejemplo 10.3 .2.
~ Use una tabla de integrales o integración por partes para eval uar Bk.
f
f
donde Ao = (1/2n) ~7r l· x dx = O, Ak = (l/n) ~7r xcoskx dx = O (puesto que x cos kx es una función impar en [-n, n], y Bk = (l/n)f ~7r xsenkx dx = 2(-1/+ljk. En consecuencia se tiene =
k+l
FS[f]=2L ~senkx k=l
(13)
k
En la figura 10.3.3 se muestran las gráficas defix) = x (línea de trazo continuo) y las tres primeras sumas parciales SJ, S2, S3 de la serie de Fourier en (13) para Ixl::; n.
Problemas _____________________________________________ lo 2.
(Mejor aproximación.) En el espacio euclidiano PC[- n, n], considere el subespacio SN generado por el conjunto N = {l, cos x, sen x, ... , cos Nx, sen Nx}. Encuentre el elemento en SN más cercano al elemento fix) = x, Ix l < n, en PC[-n, n]. (Serie de Fourier.) Considere el conjunto ortogonal = {sen kx : k = 1, 2, ... } en PC[O, n]. Encuentre la serie de Fourier de las funciones siguientes en PC[O, n] con
respecto a . (a) f(x) = x
www 3.
(b) f(x) = 1
(e) f(x) = 1 + x/n
(Cálculo de la serie de Fourier.) = {1, cos x, sen x, . .. , cos nx, sen nx, ... } es un subconjunto ortogonal del espacio euclidiano PC[-n, n] con el producto escalar
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
10.-
usual. Encuentre la serie de Fourier de las funciones siguientes en PC[-n, n] con respecto a <1>. En los dibujos del margen de la página siguiente se muestran las gráficas. 3(a)
(a) (Dientes de sierra.) (O, A)
(-1t, O)
f(x) = {-A(l + xl n), A(l-xl n),
x (n, O) (O, -A)
- n:S; x < O O
4. (O, A)
x
5.
(n , O)
6.
~l'
esp sec:
¡;nx-n ( )_
1t
x
10.4
O
(Continuidad del producto escalar.) Demuestre la continuidad del producto escalar (teorema 10.3.3). [Sugerencia: escriba Un' gm) - U, g) = Un' gm - g) + UIl - f, g y utilice la desigualdad de Cauchy-Schwarz.] (Unicidad.) Supóngase que <1> es una base para un espacio euc1idiano E. Demuestre que si dos vectores f y g en E tienen la misma serie de Fourier sobre <1>, entonces f = g. (Un espacio euclidiano de funciones.) La colección de funciones con valores reales en R definida por E = {f en CO(R) : ~= If 12 dx < =l es un espacio lineal. (a) Demuestre que U, g) = ~= fg dx es un producto escalar en E. (b) Considere la sucesión
---
1t
-n:S;x
!lE
f
f
3(c)
-1t
f(x) = {A(l + xl n), A(l- xl n),
(e) (Triangular invertida.) j(x) = Ixl, Ixl:S; n
3(b)
(-1t, O)
(b) (Triangular.)
-1/2
e
_x2/1l2
n=1,2, ...
,
Demuestre que {fn} converge uniformemente en la función cero de R (e) Demuestre que {fll} no converge en la media en E. [Sugerencia: si {fll} es convergente en la media, el límite debe ser la función cero (¿por qué?), pero el teorema 10.3.3 contradice esto.]
Serie trigonométrica
de Fourier
Ciertas técnicas de análisis aplicado dependen de manera decisiva de la posibilidad de escribir una función con valores reales como la suma de series trigonométricas especializadas en algún intervalo. De hecho, esta situación surge con tanta frecuencia que hay mucha información acerca del tema. En la sección consideraremos este concepto de un modo sistemático. Por medio de algunas identidades trigonométricas (véase el apéndice B.4) antes de calcular las integrales, es posible verificar directamente que 7
ttx
<1>T = { 1, cosy:,
ttx
seny:,
...
nnx} =»: seny'''' nttx
es un conjunto ortogonal en el espacio euc1idiano PC[-T, mal (f, g) = fT fg dx. Obsérvese que -T
11 bajo
(1)
el producto escalar nor-
!lE
esci
prir.
fin caJe fórr
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10.4 / Serie trigonométrica de Fourier
11 cos km 11 2 = fT cos2 knx dx =?T si k = ü T -T T T si k > ü km 2 II sen --1I = T
fT -T
2 knx sen - -dx = T, T
k>ü
Así, para cualquier f en PC[-n, n], la serie de Fourier de f sobre T es Éste es un caso especial de (7) en la sección 10.3. Ik\if
FS[f] =
~ + f(Ak cos knx + Bk sen knx) k=!
T
(2)
T
donde los coeficientes están dados por las fórmulas de Fourier-Euler, Algunas personas escriben Ao12 como el primer término en FS (f] a fin de que Ao pueda calcularse por medio de la fórmula general para Ak' Ik\if
~
«i?
knx , = - 1', f(x)dx, Ak = -1 fT f(x)cos-dx QT - T) T -T T i T ,,' knx
Bk =
-f T
-T
f(x) sen-dx, T
k>ü (3)
k> ü
Esta serie ortogonal específica en (2) se llama serie trigonométrica de Fourier en el intervalo [-T, 11 y consta de una superposición de un término constante y sinusoides cuyas frecuencias circulares son múltiplos (armónicas) de una frecuencia circular básica (fundamental) de nlT. Hay muchas otras series trigonométricas que surgen en matemáticas aplicadas, pero por el momento sólo nos ocuparemos de la serie trigonométrica de Fourier. Sin embargo, por uso popular, para referirse a la serie (2) con coeficientes definidos por (3) normalmente se emplea el nombre serie de Fourier ii de f, y no su nombre más completo. Adoptaremos el nombre popular siempre que no haya confusión.
ii
lean Baptiste joseph Fourier
Las series trigonométricas de este capítulo se llaman seri es de Fourier en honor del físico francés lean Baptiste loseph Fourier (7768-7830) quien las utilizó en el estudio del flujo de calor. Más o menos a partir de 7740, físicos y matemáticos como Bernoulli, D'A lembert, Lagrange y Euler tuvieron discusiones acaloradas acerca de la posibilidad de representar una función periódica arbitraria como una suma de una serie trigonométrica. De hecho, en 7777 Euler descubrió las fórmulas integrales para lo que en la actualidad se conoce como coeficientes de Fourier. Fourier contribuyó con sus ideas sobre el asunto en la Academia de Ciencias de París en 7807 Y 7877. En los documentos relacionados con la conducción de calor que presentó allí, sugirió que una función completamente arbitraria podría representarse como la suma de una serie trigonométrica. Los árbitros lo criticaron por falta de rigor. Lagrange, en ese momento uno de los árbitros, negó vehementemente la opinión de Fourier yesos documentos nunca fueron publicados. Sin embargo, Fourier continuó con su trabajo y en 7822 publicó La Théorie Analytique de la Chaleur, en la que utilizó series de Fourier en su análisis del flujo de calor. Además, su uso difundido en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales que modelan el movimiento de las ondas, el flujo de calor y la electrostática, la teoría de las series de Fourier ha influido de manera directa en áreas diversas de las matemáticas, como el álgebra moderna yel trabajo de Cantor sobre la teoría de conjuntos.
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642
Aunque no es evidente, el conjunto ortogonal T es una base para PC[-T, T], así que se tiene el resultado siguiente.
Teorema 10.4.1
Teorema de la base trioonométri ca de Fourier. El conjunto T dado por (1) es una base para PC[-T, T] Y FSIf] converge en la media afpara cualquierfen PC[-T, T].
Cálculo de la serie trigonométrica de Fourier Para una funciónfen PC[-T, T], el proceso de preparar la serie en (2) con los coeficientes en (3) se conoce como "desarrollo de f en una serie trigonométrica de Fourie r'; Y los valores de Ak y Bk en (3) son los "coeficientes de Fourier de El cálculo de los coeficientes de Fourier de una funciónf constituye un prolongado ejercicio de integración. Obsérvese que dos funciones f y g en PC[- T, T], cuyos valores difieren en sólo un número finito de puntos en [-T, T], tienen los mismos coeficientes de Fourier. En consecuencia, cambiar los valores de una función en un número finito de puntos en [- T, T] no cambia sus coeficientes de Fourier. El proceso de calcular los coeficientes de Fourier se simplifica si la función tiene ciertas propiedades de simetría. Una funciónf en PC[- T, T] es parsif(- x) = f(x) para Ix l < T (excepto posiblemente un número finito de puntos), en tanto quefes imparsif(- x) = -f(x) para Ix l < T. Es fácil demostrar quef(x)g(x) es par sify g son pares o impares, y f(x)g(x) es impar si un factor es par y el otro impar. Nótese que f ~a f(x)dx = O si f es impar y f~a f (x) dx = 2f 'O f (x) dx si f es par. Así, si f en PC[- T, T] es impar, los coeficientes de Fourier A k = O, puesto quef(x) cos (knx/T) es impar para cada k = 0,1,2, .... De manera similar, B k = O para k = 1,2, . . . sifes par. Los problemas tienen más técnicas de este tipo.
r
Recuerde del cálculo que el valor de una integral f :f(x)dx no cambia si el valor de fCx) se cambia en sólo un conjunto finito de puntos. I@>
Ejemplo 1 0.4.1
Serie de Fourier de una función par
Encontremos la serie de Fourier de la funciónf(x) = Ixl, los coeficientes Bk desaparecen. Entonces se tiene I@> Use integración por partes o una tabla para hacer la segunda integración.
i
T
i
T
T , Ak =2 xdx =To 2 T.o
Ao = -1
km
-T~
x
~
T. Comofes par, todos
2T nk
xcos - dx=~(coskn-1),
T
para k>O
Nótese que como coskn = (_1)k , Ak = O cuando k es un entero positivo par. Si k = 2n + 1, n = O, 1, ... , se ve que A2n+l = - 4T/ [n 2 (2n + 1)2 ]. Por tanto, FS[f] = T + ~ - 4T cos((2n + 1)nx) 2 ~ n 2 (2n + 1)2 T
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70.4 / Serie trigonométrica de Fourier
~ropiedades
de convergencia
Puesto que
"
-40+ L(Ak coskx+Bksenkx)-f ~O,
cuandon~oo
k=l
Pero ¿qué hay acerca de las propiedades de convergencia, uniforme o puntual, de la serie de Fourier?
Ejemplo 10.4.2
Pérdida de convergencia uniforme La función
5, f(x) = { -5,
O
está en la PC[-7r, 7r] yen virtud de que es una función impar, su serie de Fourier no contiene términos coseno (o término constante). Con un cálculo directo se muestra que Utilice las fórmulas de Fourier-Euler (3).
I@'
i.
sen (2k + l)x 7r k=O 2k + 1
FS[f] = 20
(4)
En la figura 10.4.1 (y la figura del principio del capítulo) se comparan las gráficas de las sumas parciales de la serie (4) usando los términos 3, 9 y 15 con la gráfica def Al parecer, se tiene convergencia puntual de FS[f] enf excepto en los puntos extremo x = ±7r Y en la discontinuidad de "salto" en x = o. La convergencia también parece ser uniforme en cualquier intervalo cerrado que no contiene ninguno de estos tres puntos excepcionales. Resulta algo misterioso el comportamiento de las sumas parciales de la serie de Fourier (4) cerca de x = O Y x = ±7r. Al parecer, la "joroba" de la gráfica de una suma parcial cerca de estos puntos no disminuye de tamaño sino simplemente "se mueve" más cerca de los puntos excepcionales x = O Y x = ±7r conforme se incluyen más términos en la suma parcial. Éste es elfenómeno de Gibbs y siempre ocurre en las discontinuidades de salto. Examinemos las propiedades exactas de la convergencia puntual de la serie trigonométrica de Fourier. Primero se necesitan algunas definiciones y hechos adicionales .
•:. Suavidad por partes, PS[- T, 1] . Una funciónfcontinua por partes en [-T, 1] es suave por partes si es derivable excepto en un conjunto finito de puntos y f' es continua por partes en [-T, 1]. El conjunto de las funciones suaves por partes en [-T, 1] se denota con PS[-T, 1] .
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644
Series de Fourier y separación de variables para EOP
8 .0
5.5 S
CIl
tI..
3.0
'O
"
-¡; .~
o.
0.5
-4.5
- 7. O
+-~_-_-+-~-~_-+-~-
-4
-2
O
__
--t-_~_----<
2
4
x
Figura 10.4.1 Las sumas parciales (líneas de trazo discontinuo) de la serie de Fourier en (4) para la on9a cuadrada (línea continua): 3 términos, 9 términos, 15 términos (ejemplo 10.4.2).
Por consiguiente, festá en PS[-T, 1] si y sólo si tantofcomof' se hallan en PC[-T, 1].
Teorema 10.4.2
Propiedades de las funciones continuas por partes. Decaimiento de los coeficientes. Supóngase que f está en PC[- T, 1] Y que FS[f1 es la serie de Fourier de f dada por (2) y (3). Entonces, Ak --..; 0, Bk -¿ cuando k -¿ oo. Integración de funciones periódicas. Supóngase que f es una función periódica en IR. con periodo 2T y f es continua por partes en el intervalo [-T, 1]. Entonces
°
~ En la comprobación del teorema 6.3.1 aparece una fórmula similar.
f(s)ds , f T f(x)dx =fa+2T a
para cualquier número real a
(5)
-T
Para demostrar la primera afirmación, nótese que 11 cos(km/ t) 11 2 = 11 sen(km/T) 11 2 = T para k > 0, y por el teorema de decaimiento de los coeficientes (teorema 10.3.6) se observa que Ak ~ 0, Bk ~ cuando k ~ oo . La fórmula de integración en (5) se trata en el problema 7.
°
La extensión periódica f de una funciónf en PC[-T, 1] a toda la recta real es una función periódica de periodo 2T que tiene los mismos valores que la función dadaf en el intervalo -T< x < T. ~
No importan los valores de J en los múltiplos impares de T.
Nótese que j es continua por partes en IR.. No pasa nada si se l~ deja j sin definir en los múltiplos impares de T pues las integrales relacionadas con f no sufren el influjo
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645
10.4 / Serie trigonométrica de Fourier
de los valores d~ J en esos puntos. Asimismo, los límites J(x;) y J(xo) no son afectados por el valor de f en xo. Ahora estamos en condiciones de expresar un resultado importante de esta sección.
Teorema 10.4.3 En el manual de recursos para el estudiante se da una demostración de este resultado. lBlf'
Teorema de convergencia puntual para series de Fourier. Supóngase que f es suave por partes en [-n, n] con J como la extensión periódica de f en llt con p~riodo 2n. Entonces, para cada Xo en lR., FS[f] evaluada en Xo converge en Hf(x;) + f(xo)]. Así, la serie de Fourier de las funciones suaves po~partes convergen respecto a Ul~'pun to para toda x en lR.; la suma en un punto Xo donde f es continua es simplemente f (xo), en tanto que en ambos puntos extremo de x = ±n;, la suma tiene el mismo valor, HJ(n;-)+ f(-n;+)].
Ejemplo 10.4.3
Convergencia puntual de series de Fourier Apliquemos el teorema de convergencia puntual a la función del ejemplo 10.4.2. Para
-n < x < n se calcula que 1 -
-
-[f(x;)+ f(x o )] =
2
5, O,
{ -5
0< X o < n
Xo =0 , -n < Xo < O
Pero ¿qué hay acerca de los puntos extremo Xo = ±n? Se observa que J(n;+) = f(-n;+) =-5 YJ(n-) = f(n - ) = 5, Y que J(-n+) = f(-n+) = -5 YJ(-n - ) = f(n - ) = 5. Así, en nuestro caso, como es debido, l[J(x;)+ J(x o )] = O,
paraxo =±n 2 lo cual concuerda con el teorema 10.4.3 (véanse los puntos extremo de la figura 10.4.1).
Convergencia uniforme de la serie de Fourier Si se supone un poquito más de suavidad paraf, FS[f] convergerá uniforme y no sólo puntualmente. En la función del ejemplo 10.4.2 se muestra que se requiere algo más que suavidad por partes. No obstante, primero se necesita una prueba eficaz para la convergencia uniforme; la más sencilla es la siguiente.
Teorema 10.4.4
La prueba M de Weierstrass . Supóngase que las funciones gk(X), k = 1, 2, ... , son continuas en el intervalo 1, y supóngase que las constantes positivas M k son tales que ¡ gk(x) ¡-:;'Mk , para toda x en 1, y L ;=1 Mkconverge. Hay una función continua g(x) en 1 tal que la serie L ;=1 gk(X) converge uniformemente en g en I.
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
Ahora se tiene el resultado siguiente.
Teorema 10.4.5
Diferenciación de la convergencia uniforme de series de Fourier. Supóngase que j está en el espacio euclidiano PS [-n, n] y que j se halla en C°(lR), donde j es la extensión periódica dejen R Entonces FS[f'] es la derivada término a término de FS[f], y FS[j] converge uniformemente j en R Para demostrarlo, primero nótese que j estará en C°(lR) sij se encuentra en CO[-n, n] y j(-n) = j(n). La desigualdad de Cauchy-Schwarz del teorema 10.2.1 aplicada a Ak coskx + Bk senkx, el k-ésimo término en FS[j], produce la desigualdad I Ak COS kx + Bk sen kx I::; (A; + B; )112 ,
para toda x en R
Por tanto, si M k = (A; + B;)1/2 Y si I, ;=1 M k converge, la prueba M de Weierstrass da el resultado deseado. Demostremos ahora la convergencia de I, ;=1 M k . Puesto quejy J' están en PC[-n, n], puede escribirse FS[f] =
Aa + 2
¡A k y BÍ: son sólo los nombres de los coeficientes en FS[f'I. no las derivadas !
I@"
i
(A k COS kx + Bk sen kx)
k=1
i(A~COSkx+B~ senkx) 2 k= 1 donde los coeficientes Ah Bh A'h BÍc se obtienen por las fórmulas de Euler en (3). La integración por partes en las fórmulas de Euler para A'k y BÍc implica que FS[f'] = A6 +
k = 1, 2, ...
(6) 2
La desigualdad de Bessel aplicada a FS[f'] supone la convergencia de I,k (A; + B;). Con esto y la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene
~ ¡¡eAl + k' BU" <[~ kl,r[~k' (Al + Bl{ '
La serie I,[A; + B;]1/2 converge porque sus sumas parciales forman una sucesión no decreciente acotada por arriba. La afirmación de que FS[f'] es la derivada término a término de FS[j] se deduce de (6). De este modo concluimos la prueba.
Estimaciones de decaimiento Hay una estimación acerca de cuán rápido decaen los coeficientes en FS[f] , pero primero se necesita una definición. Se dice que una función A(k) es Q(1 /k) cuando k -¿ [léase A es Q mayúscula de llk ] si hay constantes positivas c, K tales que lA(k)l::; e/k para toda k ~ K. 00
Teorema 10.4.6 En el ejemplo 10.4.2 se ilustra este teorema.
I@"
Decaimiento de coeficientes de Fourier de funciones suaves por partes. Sea que g está en . PS[-n, n]. Entonces los coeficientes en FS[g] son Q(1/k) cuando k -¿ oo. Si g, la extensión periódica de g, no se halla en CO(R ), entonces no puede mejorarse esta estimación.
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10.4 / Serie trigonométrica de Fourier
Para mostrar esto, obsérvese primero que g está en PS[-n, n], de modo que puede dividirse [-n, n] con los puntos -n = Xo < XI < X2 < ... < XN < XN + 1 = n tal que g es continuamente diferenciable en cada subintervalo [xm x" + ¡J. Los coeficientes Ak y Bk de FS[g] se obtienen por las fórmulas de Fourier-Euler en (3) (sustituyendofpor g y Tpor n, en esas fórmulas). Ahora volvemos a FS[g']. Es posible evaluar los coeficientes de los términos seno en FS[g'] al integrar por partes como sigue:
-I 1
Tr
n
- Tr
1 g'(x) senkxdx =n
1 N x- J = n~g(X) sen kxl x:+
I n
I.f N
,,=0
k
-
Xn+J
g'(x) senkxdx
Xn
N
n~t
Xn+J
g(x)coskxdx
Tr
=G - k· -1
-Tr
g(x)coskxdx=G - kA k
Puesto que G está acotada y los coeficientes de FS[g'] decaen a cero cuando k ~ 00, se ve que los coeficientes Ak de los términos coseno en FS[g] son O(l/k) cuando k ~ oo. Se cumple un cálculo similar para los coeficientes de los términos seno en FS[g]. Obviaremos la demostración de que no puede mejorarse esta tasa de decaimiento. Supongamos ahora que f en PC[-n, n] es tal que Jestá en Cm(lR.) y que fm) se encuentra en PS[-n, n]. Sea FS[f(j)]=A6 + I.(A¿ coskx+B¿ senkx),
para}=O,I, ... , m+l
k=1
donde} en A¿ y B¿ es un superíndice, no un exponente. Con la definición de los coeficientes A¿, B¿ en (3) y la integración por partes se tiene la relación de recurrencia
k>O,
}=O, ... , m
(8)
Ahora supóngase sólo un poco más de suavidad, a saber, que fm+ 1) es suave por partes. Al obtener g = fm+ 1) se concluye por el resultado anterior que los coeficientes en FS[fm+ 1)] son O(l/k) cuando k ~ oo . Al reunir este hecho con (8) se llega a la estimación siguiente.
Teorema 10.4.7 Estos estimados son una buena comprobación al calcular los coeficientes de Fourier. Véase el ejemplo 10.4.1 , donde el f = Ixl, m = O.
Il@f'
Teorema de decaimjento para coeficientes trigonométricos de Fourier. Seaf que pertenece a PC[-n, n]; a Cm(lR. ) y fm+ 1) a PS[-n, n] para algún valor m = O, 1,2, .... Si Ab Bk son los coeficientes de Fourier defdados por (3), entonces
J
Ak = O(l/ k'''+2), También, si
Bk = O(l/ km+2),
cuando k ~ 00
(9)
J rio está en Cm+1(lR.), no pueden mejorarse las estimaciones en (9).
Las estimaciones de decaimiento en (9) se deducen por las fórmulas dadas en (8) porque } impar
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648
Series de Fourier y separación de variables para EOP
Es posible obtener fórmulas similares si} es par. Los coeficientes de Bk pueden manejarse de la misma forma. Se omite la demostración de que éstas son las mejores estimaciones posibles.
Ejemplo 10.4.4
Decaimiento de coeficientes de Fourier para una función en PC[- n, n] La "onda cuadrada" del ejemplo 10.4.2 no se halla comprendida por el teorema 10.4.7, pues su extensión periódica no es continua. La onda cuadrada está en PS[-n, n] y por el primer teorema de decaimiento (teorema 10.4.6) se observa que los coeficientes de Fourier tienen un decaimiento parecido al de Q(1 /k), que por (4) se ve que es el caso.
Problemas ______________________ 1. Use identidades trigonométricas, el sentido común o los resultados anteriores para encontrar la serie de Fourier en [-n, n] de cada una de las siguientes funciones sin usar las fórmulas de Euler en (3). (a) 5 - 4cos6x-7 sen 3x-senx
(b) cos 2 7x+(sen~x)(cos~x) - 2 senxcos2x 2
2
3
(e) sen x 2.
: -:A , -1t
-B
B
Calcule FS[f] para las funciones siguientes, suponiendo que cada una tiene como dominio [-n, n]. (a) 2x - 2 (b) x2 (e) ,a + bx+ cx2 (f) Ix(x2 - 1)1 (d) sen 7rX (e) Ixl + eX (g) (Pulso rectangular.) Para un número positivo B:::; n,
1t
A, Ixl < B f(x) = { O, B:::; Ixl :::; n A ,,,, , -1t
-B
'
(h) (Pulso alternante.) Para un número positivo B:::; n,
'' .
:' B :0 1
1t
O,
I
f(x) =
'- ' - A
{
B:::; Ixl :::; n
A, -B< x < O - A, O
www 3. Calcule la serie de Fourier de cada función en el intervalo indicado. Como verá, la serie de Fourier de una función fija depende en gran medida del intervalo de definición de la función. (a) f(x) = sen x, (b) f(x) = senx, (e) f(x) = sen x,
- n:::; x:::; n -n/2:::; x:::; n/2 [Sugerencia: utilice (2), (3) con T = n/2.] -3n/2:::; x:::; 3n/2 [Sugerencia: utilice (2), (3) con T = 3n/2.]
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649
10.4 / Serie trigonométrica de Fourier
4.
Seaf(x) la función Ix l en [-n, n] . (a) Con FS[f] y el teorema 10.4.3 con Xo = O, demuestre que
n2 8
~
1
= L(2k+1)2 k=O
(b) Analice las propiedades de convergencia de FS[f] en R 5.
(No todas las series trigonométricas son series de Fourier). Demuestre que ~ 1 ~ ~ 1 L ---¡¡¡- cosnx, L(senn)sennx, L -- sennx I n I 2 1n(n) no son series de Fourier de ninguna de las funciones en PC[-n, n]. [Sugerencia : utilice la relación de Parseval (teorema 10.3.6), donde está dada por (1) con T = n .]
rn
6. Evalúe límn~~ e sen x (x 5 - 7 x + 1)52 cos nx dx. [Sugerencia: relacione la integral con un coeficiente de Fourier de una parte del integrando.] a 2T 7. (Integración de una función periódica.) Demuestre que JT f(x)dx = Ja + f(s)ds -T para todos los números reales a sifes periódica con periodo 2Ty continua por partes en [- T, 1]. [Sugerencia: descomponga la integral de la derecha y cambie la variable de integración.] 8.
(Identidad de Lagrange.) Demuestre que 1 ~ sen(n+t)s - + ~ cos ks = ---'-----'!:..:....-
2
k=l
2 sen(s / 2)
[Sugerencia: use la regla de L'H6pital si s = 2mn, m un entero. Para otra s, utilice 2 sen (s/2) cos ks = sen [k + (l/2)s - sen [k - (1I2)s]]. 9. (Bases para PC[-n, n].) (a) Demuestre que {l, cos x, ... , cos nx, ... } no es una base de PC[- n, n]. (b) Demuestre que {1, cos x, ... , cos nx, ... } es una base del subespacio de las funciones pares en PC[-n, n]. (e) Formule y demuestre afirmaciones similares para {sen x, ... , sen nx, ... }. 10. Demuestre que Ilf - Sn ll :s: Ilf - Sm ll si n ~ m donde Sn y Sm son las sumas parciales correspondientes de FS[f].
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650
Series de Fourier y separación de variables para EOP
10.5
Semiintervalo y serie de Fourier exponencial Desarrollos de semiintervalos Hay ciertas formas normales de construir conjuntos ortogonales (incluso bases) para el espacio euclidiano PC[O, L] con el producto escalar usual. Se empieza por encontrar las bases para PC[O, L] que sólo constan de funciones seno o coseno. Supóngase que f en PC[O, L] está dada y escriba f(X), O:O;x:O;L fpar(x) = { f( - x), - L:O;x:O;O
Las funciones pares e impares se definen en la página 642.
Ilaf'
f(x), O
Observe que f¡m~ar es impar alrededor de x = O, fpar es par alrededor de x = O, Yf¡mpar y fpar están en PC [-L, L). Las funcionesf¡mpar y fpar se denominan extensiones impar y par ,iii respectivamente, de f al intervalo [- L, L). Nótese que FS[ f¡mpar] contiene sólo funciones seno y FS[fpar] coseno. Definiremos la serie de Fourier de senos y la serie de Fourier de cosenos def, denotadas con FSS[f] y FCS[f]: FSS[f] = FS[f¡mpar],
FCS[f] = FS[fpar]
(1)
r
(2)
Así, por ejemplo, paraf en PC[O, L], se tiene ~ km 2 L km FSS[J] = ~bksen-, bk=-JI f(x)sen dx, k=1,2, ... k=l L Lo . L
Nuestro conocimiento de las propiedades de convergencia de series de Fourier nos dice mucho acerca de la serie de Fourier de senos. En particular, las funciones s = {sen(kmlL) : k= 1, 2, .. .}
forman un conjunto ortogonal en PC[O, L] puesto que para toda k;f. m, 0=
i
L km mm km mm sen - - sen - - dx = 2 sen - - sen-- dx -L L L o L L
f
L
En realidad, s es una base de PC[O, L], pues la serie de Fourier de senos de cualquier f en PC[O, L] converge en la media af Las propiedades de convergencia de FSS[f] pueden jjj
Nótese que !impar no está defin ida en x = 0, lo cua l no tend rá ningún efecto en lo que sigue. En genera l, es irrelevante el va lor rea l de una función continua por partes en una d iscontinuidad al calcular los coeficientes de Fourier.
http://carlos2524.jimdo.com/ 10.5/Semiintervalo y serie de Fourier exponencial Z5
651 .(-n, en) \ \
\ \ \ \
15
\ \ \
f P; '" g
-5
-1 5
""" ___ _
f,g
:~ 1)
.~~--------,~".~.n .__----'(0, -1 ) ~/~~~ .... ,
(-n , e- )
fün7/
.
/ (-n , - en)
- 25 -4 +--------+------~--------~~------~ -2
x
Figura 10.5.1 Extensiones pares e impares (ejemplo 10.5.1). La línea continua es é. Las líneas de guiones largos y cortos son, respectivamente, las extensiones par e impar de f(x) = eX, O s x s 7r.
remontarse a los criterios de la serie de Fourier FS[fimpar]. De manera similar, la serie de Fourier de cosenos de una funciónf en PC[O, L] está dada por llE El ténnino aol2 se usa en FCS[f] en lugar de ao sólo para que la fórmula del coeficiente sea válida para k = O, así como para k > O.
ao ~ km FCS[J]=-+ ~akcos2 k =1 L
2lL f(x)cos -km dx,
ak = -
L o
L
(3)
k=O,l, .. .
De nuevo, las propiedades de convergencia de FCS[f] se conocen por el comportamiento de FS[fpar] ' En particular, puede verificarse que el conjunto e = {cos( km/L) : k = O, 1, 2, ...}
es ortogonal en PC[O, L] y es una base para ese espacio. Es común que en las aplicaciones las series FSS[f] y FCS[f] en (2) paraf en PC[O, L] reciban el nombre de desarrollos de semiintervalo
Ejemplo 10.5.1
Desarrollos de semiintervalo contra los de intervalo completo
Considérese las cuatro funciones f, g, fimpar y fpar definidas a continuación:
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~ Se omiten estos cálculos.
Series de Fourier y separación de variables para EOP
Obsérvese quefimpar es la extensión impar y fpar la par defa (-7r, 7r). Véase en la figura 10.5.1 una representación gráfica. Véase que las cuatro funciones tienen los mismos valores en (O, 7r). Al realizar los cálculos necesarios para encontrar las series de Fourier de g,fimpar y fpar se tiene FS[g] = 2 senh 7r I.(-ll coskx -k senkx 2 7r o 1+k ~ k TC FS[fimpar]=~ k[l-(-l; e ]senkx 7r I l+k
L
Ahora, por la definición de desarrollos de semiintervalo en (1) se sabe que FSS[f] y FCS[f] convergen en la recta real. Por el teorema de convergencia (teorema 10.4.3) se ve que FCS[f] y FSS[f] convergen af(x) = eX en O < x < 7r, pero en -7r < x < O, FCS[f] y FSS[f] convergen a funciones distintas, de las cuales ninguna es eX. De hecho, FCS[f] converge a e-X en -7r ~ x ~ O, en tanto que FSS[f] converge a _e- Xen -7r < x < O. Una revisión de las extensiones periódicas impar y par indica (de nuevo por el teorema 10.4.3) que FSS[f](O) = FSS[f](7r) = FSS[f](-7r) = O FCS[f](x) = fpar(x) ,
Series exponenciales de Fourier Si las funciones en PC[-7r, 7r] toman valores complejos puede usarse el conjunto ortogonal -{ e ikx . k \jI-
- O, +1 _ , +2 _ , ...}
Recuérdese que el producto escalar en PC[-7r, 7r] es(J,g) = rTCfgd.x, donde g denota el 2 complejo conjugado de g. Nótese que IIe ikx l1 = rTCeikxe-ikxdx = 27r,para toda k. La serie de Fourier de f en PC[-7r, 7r] con respecto a \ji es la serie exponencial de Fourier
n== -oo
_1 fTC f(x)e - inxd.x,
27r - TC
(4) n = O, ± 1, ± 2, .. .
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10.5/Semiintervalo y serie de Fourier exponencial
Dejando de lado la cuestión del orden, resulta conveniente agrupar los términos n-ésima y -n-ésimo para obtener FS[f] = ca + I..cCne-inx + cne inx ) n=l
(5)
pero es común escribir FS[f] en la forma bilateral (4). Obsérvese que si f en PC[-n, n] toma valores reales es posible desarrollar aún en una serie exponencial de Fourier. En ese caso se tiene C n = en
y
cn = ~(An -iBn )
para toda n > O
(6)
donde An Y Bn son los coeficientes de Fourier respectivos de cosenos y senos en la serie de Fourier real def Así, la serie (5) se reduce a la serie trigonométrica de Fourier FS[f] dada en la sección anterior. Hemos utilizado de manera intencional el mismo símbolo, FS[f], para denotar tanto la forma real como la compleja de la serie de Fourier. Hay poco riesgo de confusión debido a la relación especial entre los conjuntos ortogonales y 'JI utilizados en estas series de Fourier.
Ejemplo 10.5.2
Una serie exponencial de Fourier
Encontremos la forma exponencial de FS[f] cuando j(x) = x, Ixl:::; n. Se tiene Ca = O, Y para n"* O, c n = (2n)-1 xe- inx dx = (i1 n) cos nn = i( -ltl n. Por tanto,
r
7r
FS[f] =
if,[(-lt e inx _ (_l)n e- inx ] n=l
n
n
Recuérdese que eie = cos e + i sene, por lo que se tiene l)n+l L ----sen nx =
FS[f] = 2
n=l
(
n
lo cual se habría obtenido al desarrollar f directamente en una serie de Fourier en el conjunto trigonométrico (véase el ejemplo 10.3.2).
Ejemplo 10.5.3
Otra serie exponencial de Fourier
Calculemos FS[f] para f(x) = e imx ,Ixl:::; n donde w no es un entero: C
n -
I
7r
_ 1 1 e imx e -inxdx e i(W- nlx 2n -7r 2n i(w-n)
1 --
l+
7r
-7r
sen(w - n)n (w - n)n
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654
Series de Fourier y separación de variables para EOP
En consecuencia se tiene sen ron FS[f ]= - - + ron
a
L= [sen (ro -
n)n inx sen (ro + n)n -itlX] e + e (ro - n)n (ro + n)n
n=l
Con las propiedades de las series de Fourier desarrolladas en las secciones 10.2 y 10.4 puede demostrarse que \ji es una base para el espacio lineal complejo PC[- n, n] y que se cumplen los teoremas de convergencia uniforme y puntual (teoremas 10.4.3 y 10.4.5) para FS [f] cuando f toma valores complejos.
Aplicación a un circuito RLC Considérese el circuito simple RLC del margen donde R, L Y C son constantes positivas. La carga q(t) en el condensador satisface la EDO
(7)
Lq"(t)+Rq'(t) + .lq(t) = E(t)
I@" Esta EDO se obtuvo en la sección 4.4.
.
C
Aunque ya hemos resuelto EDO para voltajes de entrada continuos por partes E(t), el método de la serie de Fourier es más natural si E(t) es periódica y se busca una solución periódica. Supóngase, entonces, que E(t) tiene periodo 2n y que la restricción de E(t) a [-n, n] es continua por partes. Queremos encontrar las funciones q(t) de periodo 2n para las cuales q está en Cl(lR),
q" está en PC[-n, n]
(8a)
1
en [- n, n], excepto posiblemente O { para un número finito de puntos
(8b)
Lq" + Rq' + - q - E C
=
Supóngase que la EDO (7) tiene una solución q que reúne tales requisitos. Primero escriba (9) k:::=:-0o
k=-oo
donde los valores de Ck han de calcularse y los de bk se conocen, pues se da E(t). Con las condiciones de suavidad de (8a), (8b) y la derivación término a término se tiene FS[q']
= Likckeikt,
FS[q"]
= L(ik)2 cke ikt
(10)
Insertando las series de Fourier para q, E, q' y q" de (9) y (10) en (8b) se tiene L[P(ik)c k - bk]e
ikt
= O, donde P(x) = Lx
2
+ Rx + ~
(11)
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655
10.5 / Sem iinterva lo y serie de Fourier exponencial
IIW P(ik)
7'
O porque
P{x) no tiene raíces ima-
Puestoque {e ikt : k=O, ±1, ±2, ...} es una base, se deduce por (11) que P(ik)ck -bk =0, k = O, ±1, .. .. Pero P(ik)::/= O, k = O, ±1 , . .. , de modo que ck = bk / P(ik) para toda k. Se tiene
ginarias puras.
(12) Se omite la demostración de que la serie en (12) converge uniformemente a una función q(t) que satisface (8a). Por construcción, la serie de Fourier de Lq" + Rq' + (l/c)q - E es la IIW En realidad esto se demostró primero en la sección 4.3 para las entradas sinusoidales y en el problema 9 de la sección 4.3 para las entradas periódicas generales.
misma que la serie de Fourier de la función cero. Por el teorema de totalidad (teorema 10.3.5) se observa que Lq" + Rq' + (l/C)q - E = O en [-n, n], excepto posiblemente en un número finito de puntos. Por lo tanto, se cumple (8c) y concluimos. Se ha demostrado que el circuito RLC tiene una respuesta periódica única q(t) para un voltaje de entrada periódico E(t). La respuesta q(t) se conoce como oscilación forzada p eriódica . Así, toda solución de la EDO (7) es la superposición de exponenciales amortiguadas (transitolias) y la solución periódica de estado estacionario recién construida.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Series de Fourier de senos y cosenos.) Encuentre la serie de Fouri er de senos, FSS[f], de cada una de las funciones siguientes. Luego encuentre la serie de Fourier de cosenos, FCS[f]. (a) f(x) = 1,
2.
O< x < n
(b)
f(x) = sen x,
O~ x
~
n
(Serie de Fourier exponencial.) Encuentre la serie de Fourier exponencial de f(x) , Ixl ~ n. (a) f(x) = cos x (e) f(x) = Ixl + ix
(b) f(x) = x2
[Sugerencia: demuestre que
FS[lxlJ=(n/2)-n- I~ = (e i2kx +e- i2kx )/(2k 2 ).] ~k = l
www 3.
4.
(Otro tipo de serie de Fourier de senos.) Supóngase que f está en PC[O, c ],f(x) = f(c - x ) para toda x , c/2 < x < c (es decir,f es par en x = c/2). (a) Compruebe que FSS[f] sólo contiene términos de la forma sen [(2k + l):n:x/c]. (b) Refleje la función sen x, O ~ x ~ n/4, respecto a x = n/4 para obtener una funciónf definida en [O, n/2] que es par respecto a x = n/4. Utilice el inciso (a) para encontrar FSS [f]. (Otro tipo de serie de Fourier de cosenos.) Supóngase que f está en PC[O, c] , f(x) = - f(c - x), c/2 < x < c (es decir,f es impar con respecto a x = c/2). (a) Compruebe que FCS[f] sólo contiene términos de la forma cos [(2k + l):n:x/c]. (b) Por medio del inciso (a) encuentre FCS[f] para la funciónf definida al reflejar x2, O ~ X < 1, de manera impar por x = 1.
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656
Series de Fourier y separación de variables para EOP
5.
6.
10.6
En la sección 3.7 se introdujo la terminología de operadores.
!@'
(Circuito eléctrico.) Encuentre la carga de estado estacionario en el condensador de un circuito RLC si R = 10 n, L = 0.5 H, C = 10--4 F Y E(t) = n ot(t, 100, 2n) medida en volts. (Resorte forzado regido por la Ley de Hooke.) En un sistema resorte-masa, sea 1.01 la constante del resorte en newtons/metro y el peso de la masa 1 kilogramo. Supóngase que mientras esté en movimiento la masa es afectada por el amortiguamiento viscoso con coeficiente igual a 0.2; también supóngase que la masa es impulsada por la fuerza (medida en newtons) descrita por oc(t, 50, 2n). Encuentre el movimiento de estado estacionario del sistema.
Problemas de Sturm-Liouville Los resultados siguientes son importantes para el método de separación de variables a fin de resolver problemas de valor inicial con condiciones en la frontera para EDP. La ortogonalidad y las series ortogonales desempeñan un papel importante en todas partes. Supóngase que M es el operador definido en C2[a, b] por M[y] =
_l_{.!!:...[p(X) dY]+ q(X)Y} p(x) dx
donde p está en CO[a, b], P =F-
p=F-
°en
dx
°
(a, b),
(1)
q se halla en CO[a, b],
en (a, b),
p está en CI[a, b]
(2)
El operador M en (1) no es tan especial como parece. De hecho, el operador diferencial lineal de segundo orden P(D) = a2 (x)D 2 + al (x)D+ ao(x), donde a¡(x) está en CO[a, b], en [a, b], puede escribirse en la forma (1) si se permite que i = 0, 1, 2, Y a2(x) =F-
°
p(x) = ea(x),
a (x) q(x) = _O_ea(x), a2(x)
ea(x) p(x) = - a2(x)
(3)
r
donde a(x) = [al (x)/ a2 (x)]dx. Con el producto escalar pesado en e o[a, b] con el factor de peso p , se observa que (j, g) = p(x)f(x)"g(x)dx. Con la integración por partes se obtiene la relación
J:
!@'
Recuérdese
que
(Mu, v ) = !ahP . Mu . vdx.
(Mu, V) = p(u'V - UV1)1: + (u, Mv),
para toda u, ven C 2 [a, b]
(4)
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657
10.6/ Problemas de Sturm-Liouville
Ahora definamos un operador L que actúa como M en (1) pero cuyo dominio Dom (L) es una restricción de C2[a, b] definida por las condiciones en los puntos extremo x = a y x = b. Lo que nos interesa son los operadores simétricos . •:. Operadores simétricos. Un operador L definido en un subespacio de un espacio euclidiano E y que toma valores en E es simétrico si (Lu, v)
= (u, Lv),
para todas u,
V
en Dom (L)
Ahora consideremos con más detenimiento condiciones en la frontera apropiadas para nuestro operador diferencial M . •:. Condiciones en la frontera. Para u en C2[a, b], las condiciones au/(a) + f3u(a) = O,
yu'(b) + ou(b) = O
(5)
se llaman condiciones de frontera separadas en x = a y x = b, respectivamente, donde las constantes a, f3, y y 8 son tales que a 2 + f32"* O Y y2 + 02"* O. Las condiciones u(a) = u(b),
u/Ca) = u'(b)
(6)
reciben el nombre de condiciones periódicas en lafrontera . Los resultados siguientes son consecuencia de la identidad (4).
Teorema 10.6.1
Teorema del operador simétrico. Supóngase que L es un operador con acción dada por M en (1) donde el dominio Dom (L) es uno de dos tipos: • Dom (L) = {u en C 2 [a , b] : u satisface una condición separada en la frontera en cada extremo donde p"* O} . • Dom (L) = {u en C 2 [a, b] : u(a) =u(b), u/Ca) = u'(b) y pea) = p(b)}. Entonces L es un operador simétrico en CO[a, b] bajo el producto escalar pesado
(J,
jacques Charles Franc;ois Sturm
g) =
s:
p(x)f(x)g(x)dx.
Los operadores lineales simétricos como L en el teorema anterior se definen en un subespacio Dom (L) de CO[a, b]y toman valores en CO[a, b]. Los valores y espacios característicos de tales operadores desempeñan un papel importante en las matemáticas aplicadas. La tarea de encontrar tanto los valores como los espacios característicos correspondientes de tales operadores L se llama problema de Sturm-Liouville .iv Si se cumplen las condiciones en (2) sobre el operador M, entonces se dice que el problema
matemático suizo jaques Charles Franr;ois Sturm (1803 -1 855) y el matemático francés joseph Liouville (1809-1882) introdujeron de manera conjunta estos conceptos para resolver problemas relacionados con las soluciones de las EOP del movimiento de ondas y difusión térmica.
iv El
joseph Liouv ille
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
de Sturm-Liouville para L es regular. Se tiene la definición siguiente para los elementos característicos de cualquier operador L: .:. Valores y espacios característicos. Supóngase que S es un subespacio de un espacio lineal V y que L : S ~ Ves un operador lineal. Un escalar A, es un valor característico (eigenvalor) para L si hay una V distinta de cero en S tal que Lv = A,v. El vector ves un vector característico (eigenvector) de L que corresponde al valor característico A,. Para cualquier valor característico A, de L , el conjunto v,~. de todos los vectores en V que satisfacen la ecuación Lv = A,V es el espacio característico de L que corresponde a A,. [Los valores y vectores característicos pueden tomar valores complejos si Ves un espacio lineal complejo.] En la sección 7.4 dimos una definición similar para los operadores en ]Rn. Puesto que los operadores actúan sobre fu~ciones en C 2[ a, b], sus vectores característicos se llaman a menudo funciones características (eigenfunciones ) o propias. Nótese que para cualquier valor característico A" el espacio característico v,~, contiene los vectores característicos para L que corresponden a A,. (El vector cero nunca puede ser un vector característico de ningún operador lineal.) v,~ se compone de todos los vectores característicos de L que corresponden a A, con el vector cero incluido. Dos espacios característicos, VA y VJ.L de un operador lineal con A, J1 sólo pueden tener en común al vector cero. Los espacios y los valores característicos para nuestros operadores simétricos diferenciales tienen varias propiedades importantes que se enumeran a continuación.
*"
Teorema 10.6.2
Propiedades del espacio característico. Supóngase que L es algún operador diferencial del tipo definido en el teorema del operador simétrico (teorema 10.6.1). Entonces se cumplen las propiedades siguientes: Ortogonalidad de espacios característicos: dos espacios característicos cualesquiera de L , VA Y VJ.L, que corresponden a dos valores característicos distintos A, y J1, deben ser ortogonales; es decir, cualquier elemento de VA es ortogonal a cualquier elemento de VJ.L bajo el producto escalar (1, g ) = p(x)f(x )g(x)dx, , Simplicidad de espacios característicos. Si se utiliza una condición de frontera separada al definir Dom (L) , entonces los espacios característicos de L son unidimensionales,
f:
La dimensión máxima es dos porque Lv = Aves una EDO de segundo orden.
I@'
La ortogonalidad de los espacios característicos se deduce inmediatamente por la relación de simetría (Lu, v) = (u, Lv) para toda u, ven Dom (L), Las únicas opciones para la dimensión de cualquier espacio característico son uno o dos, Ahora si la dimensión del espacio característico que corresponde a un valor característico A, es dos, todas las soluciones de la ecuación homogénea (p(x)y')' + q(x)y = A,p(x)y deben satisfacer las condiciones de los puntos extremo, lo cual es imposible si Dom (L) se define con una condición separada en x =a o x =b. Por tanto, como se afirmó, la dimensión del espacio característico es uno.
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659
10.6/ Problemas de Sturm-Liouville
Teorema 10.6.3
Valores característicos positivos. Supóngase que L es cualquier operador diferencial del tipo definido en el teorema del operador simétrico. Supóngase que q(x) es no positiva en [a, b] y af3::; O Y yo::; O [si se utiliza cualquiera de las condiciones separadas de (5) para definir Dom (L)]. Entonces todos los valores característicos de L son no positivos. Aplique la integración por partes para demostrar que (Lu, u)::; O para toda u en Dom (L). La aseveración se deduce por esta desigualdad. A continuación se dan dos ejemplos.
Ejemplo 10.6.1
Problema de Sturm-Liouville: condiciones separadas Supóngase que el operador L tiene la acción Lu = u" y dominio (L) = {u en C 2[0,T]: u (O) = u(T) = O). Entonces L es un operador diferencial simétrico con a = O, b = T, p(x) = p(x) = 1, q(x) = O en [O, 11, y las condiciones en la frontera separadas en (5) con a = O, f3 = 1, Y = O, Y o = 1. En consecuencia, los valores característicos de L son no positivos y los espacios característicos son de dimensión uno y mutuamente ortogonales con el producto escalar (J, g) = f(x)g(x)dx.
f:
Para encontrar los valores y los espacios característicos, pruebe primero A = O en la ecuación característica u" = Au. La solución general de u" = O es u =Ax + B para las constantes arbitrarias A, B. La condición u(O) = u(T) = O en este caso da A = B = O, de modo que A = O no puede ser un valor característico de L. Ahora utilice A = _k2 para alguna constante positiva k. La solución general de la ecuación característica u" = -k2u es u =A cos kx + B sen kx. Las condiciones u(O) = u(T) = O indican que A = O Y k = n7dT. Así que L tiene los valores característicos A" = -(nn/T)2 con espacios característicos correspondientes generados por las funciones propias respectivas Un = sen n1CX/T, n = 1,2, ...
Ejemplo 10.6.2
Problema de Sturm-Liouville: condiciones periódicas en la frontera T = {1, cosnx/T, sen nx / T, ... , cosnnx/T, sen nnx/T, ... }
Como vimos en la sección 10.4, es un conjunto ortogonal en el espacio euclidiano CO [-n, n] bajo el producto escalar (J, g) = enfg dx. Los elementos de este conjunto T se presentan como funciones características para el problema de Sturm-Liouville con las condiciones periódicas en la frontera y" = Ay,
y(-T) = y(T),
y'(-T) = y'(T)
(7)
De hecho, el operador simétrico Ly = y" con dominio definido por Dom(L) = {yen C 2[-T, T] : y(-T) = y(T), y'(-T) = y'(-T)} se encuentra asociado a (7). Por el teorema
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
10.6.3 se observa que los valores característicos de L son no positivos. Nótese que A = O es un valor característico y el espacio característico correspondiente Vo es generado por la función constante 1. Los otros valores característicos son An = -(nn/T)2, n = 1,2, ... ; cada espacio característico correspondiente VA" es bidimensional y es generado por el conjunto ortogonal {cos(n7CX/ T), sen(n7CX/ T)}. Terminaremos con una propiedad fundamental de sistemas de Sturm-Liouville.
Teorema 10.6.4
Teorema de Sturm-LiouvilJe (en el caso regular). Supóngase que el operador L tiene la acción dada por M en (1) y (2) Y dominio en C 2 [a, b) caracterizado por las condiciones separadas en (5) en x = a y x = b. Entonces: • • • •
Ejemplo 10.6.3
Los valores característicos de L forman una sucesión íL,,, n = 1, 2, ... , con 1íL,,1~ oo . Los espacios característicos correspondientes VA., son unidimensionales y mutuamente ortogonales bajo el producto escalar (1, g) = pfg dx Si es cualquier conjunto que conste precisamente de una función propia de cada VA., entonces es una base para PC[a, b]. La serie de Fourier en de cualquier función u en Dom (L) converge uniformemente a u en [a, b).
s:
Base para las funciones continuas por partes El sistema de Sturm-Liouville del ejemplo 10.6.1 está en el caso regular. ASÍ, el teorema de Sturm-Liouville (teorema 10.6.4) establece que el conjunto = {sen n7CX / T : n = 1, 2, ...} es una base para PC[O, 1] bajo el producto escalar usual. Por ejemplo, considérese la función cuadrática v = - (x - T / 2)2 + T 2 / 4. Puesto que v está en el dominio del operador asociado L, el teorema 10.6.4 indica que FSS[v) converge uniformemente a ven [O, 1]. En las secciones 10.9 y 11.8 se tratan problemas singulares de Sturm-Liouville (es decir, el operador L no es regular), los cuales se presentan en la separación de variables para las EDP en coordenadas no cartesianas.
Problemas _____________________________________________ www
1.
En cada sistema regular de Sturm-Liouville siguientes identifique el operador L asociado con él. Encuentre los valores y los espacios característicos de L y exprese la ortogonalidad y las propiedades de base de las funciones propias. (a) y" = Ay;
y(O) = O,
y(n/2) = O
(b) y" = Ay;
y(O) = O,
y'(T) = O
(e) y" = Ay;
y'(O) = O,
y'(T) = O
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10.7 / Separación de variables
(d) y" = Ay; (e) y" (l)
10.7
= Ay;
y" - 4y' + 4y
y( - T) = y(T) ,
y'( - T) = y'(T)
= 0, y(O) = 0,
yen) + y'(n) =
y(O)
= Ay;
yen) =
°
°
Separación de variables El método de separación de variables sirve para construir las fórmulas de solución de una amplia clase de problemas de valor inicial con condiciones en la frontera para EDP lineales que surgen muy a menudo en las aplicaciones. Utilizaremos como base la teoría y los ejemplos de secciones anteriores para describir este método general. Asimismo, ampliaremos el método para resolver problemas de valor inicial con condiciones en la frontera relacionados con EDP lineales forzadas .
Método de separación de variables Aunque el método sólo se desarrollará en el contexto de un problema específico, se aplica a muchos otros problemas (véanse las secciones 10.8, 10.9 y 11.8). Considérese el movimiento transversal de la cuerda flexible tensa de longitud L presentada en la sección 10.1. Si suponemos que los puntos extremo se mantienen fijos, vimos que la desviación u(x, t) de la cuerda en el punto x y tiempo t es la única solución del problema de valor inicial con condiciones en la frontera dado a continuación.
Problema de la cuerda de guitarra _ _ _ _ __ _ __ _ _ __
°
~
Recuérdese que G* consta de G y su frontera.
Para la región G = {( x, t) : < x < L , t > O} se busca una función u que está tanto en C2(G) como en CI(G*), y tal que (EDP)
en G
(CP)
u(O, t) = 0,
u(L, t) = 0,
(Cl)
u(x, O) = f(x),
u¡(x, O) = g(x),
t
~
°
(1)
O::;x::;L
donde c es una constante positiva y las funcionesj(x) y g(x) representan la desviación y la velocidad iniciales, respectivamente, de la cuerda. La solución de (1) que satisface las condiciones de suavidad expresadas se llama solución clásica .
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
El problema de valor inicial (1) con condiciones en la frontera se resuelve mediante la realización de una serie de pasos. l. Prepare el modelo matemático como problema de valor inicial con condiciones en la frontera: esto se llevó a cabo en (1). Si la (EDP) es forzada o si lo son las condiciones en la frontera, deben aplicarse las técnicas del final de esta sección.
11. Escoja las variables independientes apropiadas a la forma del dominio: en general las soluciones, u =u(x, y, z, t) de las EDP de interés físico se definen en regiones del espacio xyzt de la forma G = H x {t> O}, donde H es una región en el espacio xyz. El método de separación de variables sólo funciona cuando en las coordenadas utilizadas para describir H, cada parte de la frontera de H es un conjunto en el que una de tales coordenadas es constante (es decir, un conjunto de nivel de coordenadas). En el caso del problema (1), H es el intervalo O < x < L cuyos puntos extremo x = O Yx = L son "conjuntos" de nivel de coordenadas para la coordenada cartesiana en la recta real. Por ejemplo, si H fuera un disco circular, entonces deben usarse coordenadas polares para expresar las derivadas de espacio en la EDP (véase la sección 10.9). 111. Separe las variables: busque las soluciones separadas. Supóngase que u = X(x)T(t) satisface la (EDP). Sustituyendo en (EDP), se tiene X(x)T"(t) - c 2 X"(x)T(t) = O
(2)
o, después de dividir entre X(x)T(t), 1 T"(t)
X"(x)
¿
X(x)
T(t)
enG
(3)
El nombre método de separación de variables se deriva de que la ecuación (2) puede escribirse en la forma de variables separadas (3). Para to > O donde T(to) "1= O, se tiene X"(x) X(x) -
1 T"(to)
¿
T(to) ,
0::0; x::O; L
así que la relación X"(x)/X(x) es constante para 0::0; x::O; L; llárnela constante A. Entonces, repitiendo el argumento para alguna O < Xo < L con X(xo) "1= O, se observa que la relación 2 T" (t)/ c T(t) también es igual a la misma constante A para t ~ O. Por tanto, hay una constante de separación A tal que X"(x) 1 T"(t) --=--=A X(x) c 2 T(t)
(4)
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663
10.7 / Separación de variables
para todo (x, t) en G*. Las funciones X(x) y T(t) que son solución de (2) necesariamente deben satisfacer el par de ecuaciones X" - ítX = O, 2
T" - ítc T = O,
O< x < L
(5)
t> O
para alguna constante ít. En otras palabras, cualquier solución de las EDO en (5) para cualquier constante real ít debe ser tal que X(x)T(t) es una solución de (EDP) en G. Este argumento de separación es el mismo cada vez que se utiliza el método de separación de variables. IV. Prepare un problema de Sturm-Liouville: ahora se requiere, además, que la solución X(x)T(t) de (EDP) generada por (5) también satisfaga (CF). Esto equivale a una restricción en la elección de ít. Para que X(x)T(t) satisfaga (CF) ha de tenerse X(O)T(t) = O,
para toda t
X(L)T(t) = O,
~
O
Ahora si X(O) -:¡. O o X(L) -:¡. O, se tendría T(t) = O para toda t, así que v(x, t) = X(x)T(t) sería la solución trivial. Para asegurar una solución no trivial debe tomarse X(O) = X(L) = O. Pero recuérdese que X(x) satisface la EDO X" - í\X = O en O < x < L y, por tanto, se tiene el problema de Sturm-Liouville X" = ítX,
X(O)
= X(L) = O
(6)
Recuérdese de la sección 10.6 que (6) es un problema de valores característicos para el operador dljdx2 y dominio {X en C 2 [0, L] : X(O) = X(L) = O}. V. Resuelva el problema de Sturm-Liouville: se consideró (6) en el ejemplo 10.6.1 y se n = 1, 2, ... ; las An son encontró una solución no trivial si y sólo si ít = ít n = - (n7r / L los valores característicos del operador asociados con el problema de Sturm-Liouville en (6). La solución general de (6) correspondiente a ít = An está dada por
f,
(7)
donde en es una constante real arbitraria. Las Xnson las funciones características del operador asociadas con (6). Ahora, al insertar ít = An en la segunda ecuación de (5) se obtiene la ecuación T" + (n7rC / L)2T = O, n = 1, 2, ... , cuya solución general está dada por Tn(t) =
n7rCt
n7rCt
L
L
a n cos - - + f3n sen - - ,
n = 1, 2, ...
donde las constantes an y f3n son números reales arbitrarios para cada n. Los números An = n7rC/L son las frecuencias naturales para el problema. Se han encontrado las ondas
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
permanentes Vn(x, t) = Xn(x)T,Jt) soportadas por la cuerda, es decir, las soluciones separadas de (EDP) que satisfacen (CF): nnct nnct) vn(x, t) = sen -nlr:x - ( Ancos - +Bn sen - , L L L
n = 1,2, ...
donde An Y Bn son constantes arbitrarias. VI. Construya la solución formal: busquemos una solución de (1) como una superposición de las ondas permanentes {vn }, es decir, la solución de (1) tiene la forma nlr:x ( nnct nnct ) (8) u(x, t) = ~ ~sen -- Ancos - - + Bn sen - n=1 L L L para alguna elección de las constantes Al! y Bn- Se atenderán sólo las elecciones de An Y Bn para las que las series obtenidas por la derivación término a término de (8) hasta dos veces con respecto a t y x converjan uniformemente en G* . (Sería muy difícil determinar de antemano las condiciones en An YBn para asegurar la convergencia uniforme de las series antes mencionadas, pero por fortuna, como veremos, no hay necesidad de que así sea.) Así, para cualquier elección de An Y Bn> u(x, t) satisface (EDP) y ambas condiciones a la frontera. Sólo queda por determinar los valores para An Y Bn en (8) tales que u(x, t) satisfaga las condiciones iniciales; u(x, t) satisfará (CI) en el problema (1) si para O ~ x ~ L , o
[tome t = O en (8).] ~
nnc Bn sen -n7r:x g(x) = "~ n=1 L L
[derive (8) término a término, luego haga t = O.]
Recuerde por el ejemplo 10.6 .3 que el conjunto de funciones s = {sen n7r:x/ L : n = 1, 2, ... } es una base para PC[O, L). Se deduce por las fórmulas de Fourier-Euler que
3..I
L n7r:x dx A n = (f, sen(n7r:x/ L2) ) = f () X sen , 11 sen(n7r:xlL) 11 L o L
n=1,2, ...
y
Así, la solución fo rmal de (1) por el método de separación de variables es n7r:x ( nnct nnct) u(x, t) = ~ ~sen -- Ancos - - +Bn sen - 1 L L L o
An = -2lL f(x) sen -n7r:x dx, L o L
IL
Bn = - 2 g(x) sen -n7r:x dx, nnc o L
n = 1, 2, ... n = 1,2, . ..
(9)
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10.7 / Separación de variables
donde se ha supuesto simplemente que la serie de (9) y sus series derivadas hasta el segundo orden convergen en forma uniforme. Aunque u(x, t) satisface (CF) se necesitan las propiedades de convergencia uniformes para verificar (EDP) y (CI).
VII. Determine si la solución formal es una solución clásica: para ver que la solución u(x, t) definida por (9) es una solución clásica [es decir, que u satisface (EDP) y (CI) en (1), así como (CF)], debe demostrarse primero que u pertenece a C2(G) y a Cl(G*). Para hacerlo, deben imponerse las condiciones de uniformidad a los datos iniciales f y g. Supóngase que j y g son las extensiones impares defy g en el intervalo [- L, L] , que luego son extendidas periódicamente a R Usaremos las extensiones del número VII para demostrar el resultado siguiente.
Teorema 10.7.1
Solución clásica. Supóngase quefy g satisfacen las condiciones siguientes. (a) f está en C2[0, L] , 1'" en PC[O, L] , f(0) = f(L) = 1"(0) = f"(L) = O; (b) g está en CJ [O, L], gil en PC[O, L] , g(O) = geL) = O. Entonces u(x, t) definida por (9) es una solución clásica del problema (1). Para demostrarlo, se calculará la serie de Fourier de senos defy g en [0, L]: ~
FSS[f](x)
=
' " ~an
~
n1lX ' senT
FSS[g](x ) =
' " ~f3n
n1lX senT
n=J
n=!
Las hipótesis implican que j está en C2(R ), g en C!(R), en tanto que jm y gil están en PC(l) para todo intervalo I. Aplique el teorema de decaimiento de coeficientes 10.4.7 a FSS[f] Y FSS[g] en [O , L]; se tiene a n = O(lIn 4 ), f3n = O(lIn 3 ),Portanto, ~
~
n=!
n=l
L n2 1an Iconverge, L nlf3n Iconverge
(10)
En virtud de que An = a" Y n 7rC Bn/L = f3n son coeficientes de la serie de Fourier de senos defy g, respectivamente, se tiene por (10) que ~
Ln2lAn lconverge, 1
~
Ln2 1Bn lconverge
(11)
J
Con (11) Y la prueba M de Weierstrass (teorema 10.4), se nota que las series obtenidas al derivar término a término la serie (9) hasta el segundo orden en x y t convergen uniformemente en G*. Así, u(x, t) como se define por (9) pertenece a C2( G*), y las derivadas de u hasta el segundo orden pueden calcularse por derivación término a término. Con las fórmulas (9) se define una solución clásica del problema (1). A menudo basta encontrar una solución formal como (9) sin molestarse en comprobar que los datos iniciales son lo suficientemente suaves para producir una solución clásica. De hecho, parte del comportamiento más interesante, por lo menos para la ecuación de onda, ocurre precisamente en problemas donde los datos iniciales no son suaves sino que tienen
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Series de Fourier y separación de variables para EDP
"esquinas" que se propagan en G. En este caso es posible que la solución formal no sea una solución clásica, pues en los puntos interiores dondeu(x, t) tiene "esquinas", u incluso no es derivable.
Método de desarrollos de funciones características El método de separación de variables se aplica si las EDP y las condiciones en la frontera no son forzadas [como en (1)], pero ¿qué hacer si éste no es el caso? En la sección 10.5 vimos qué hacer para la EDO que modela la carga del condensador en un circuito eléctrico forzado. Se utilizó una técnica de solución relacionada con el desarrollo de la fuerza motriz en una serie de funciones características de un problema de Sturm-Liouville asociado. Describiremos primero el proceso para una EDO, con base en la experiencia con el problema del circuito como guía. Luego adaptaremos el método a EDP. Consideremos un operador diferencial ordinario dado por M[y] =
_l_ {~[p(X) dY ] + q(X)Y}
p(x) dx dx donde los coeficientes satisfacen las condiciones en (2) de la sección 10.6. El problema normal de Sturm-Liouville con las condiciones en la frontera separadas
M[Y] = Ay Ba[Y] = ay(a) + f3y'(a) = 0, { Bb[Y] = yy(b) + 8y'(b) = 0,
(12)
tiene valores característicos Aj,j = 1,2, ... , Y una colección correspondiente de funciones propias <1> = {y j (x)} que es una base de PC[a, b]. Ahora considérese el problema de valores en la frontera M[y] = j,
(13)
donde j es una función dada que pertenece a PC[a, b]. Se busca una solución a este problema de la forma y(x) = ¿;;'=! CkYk' La función y(x) siempre satisface las condiciones en la frontera para cualquier elección de las constantes Ch así que sólo resta elegir la Ck tal que M[y] = j se satisfaga (si es posible). Al desarrollar j en una serie de Fourier con respecto a la base <1> = {Ydde funciones características del sistema de Sturm-Liouville (12), se tiene j = ¿akYk . La sustitución en la EDO (13) produce ~
M [y] = M ~>kYk k=!
~
~
~
= .~>kM[yk] = ~>kAkYk = ~>kYk k=!
k=!
k=!
donde se ha supuesto que es posible intercambiar M y L. Ahora, puesto que <1> = {yn (x)} es una base para PC[a, b], al igualar los coeficientes con el mismo índice se deduce que ckAk = ak' k = 1, 2, .... Si ninguna Ak = 0, sólo se tiene que tomar ck = ak/Ak ,k = 1, 2, ... , Y se obtiene la solución de (13) en la forma
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10.7 / Separación de variables
=
y(x) =
L ~Yk íl
(14)
k
k=l
Éste es un ejemplo del método de desarrollos de funciones características.
Ecuaciones diferenciales parciales forzadas Ahora adaptaremos el método de desarrollos de funciones características a problemas de valor inicial con condiciones en la frontera para EDP forzadas. Empezaremos con el problema siguiente: U tt -
c 2 uxx = F(x, t),
O
u(O, t) = u(L, t) = O,
t~
u(x, O) = f(x),
O~x~L
u/ex, O) = g(x) ,
O~x~L
¡
t> O
O
(15)
donde F(x, t) está en Ca(G), G = {(x, t) : O < x < L, t> O} YJ, g pertenecen a PC[O, L]. Ahora se sabe que la solución de la versión no forzada de (15) con F = O [es decir, el problema de valor inicial con condiciones en la frontera (1)] es una superposición de funciones de la base {sen (n7rX/L)} con coeficientes que varían con el tiempo. En el método de desarrollos de funciones características para (15) con F distinta de cero, la solución u(x, t) se expresa como una superposición LUn(t)sen(nnx/L) para algunas funciones {Un(t)} que se encontrarán por el método de coeficientes indeterminados. A continuación se realizan los cálculos. Todas las funciones de datos F , J, g pueden desarrollarse en series de Fourier de senos en x (en el supuesto de que las funciones son suficientemente suaves): ~ n7rX FSS[f](x) = ~An senT'
An = -2 L
n=l
=
~ n7rX FSS[g](x) = ~Bn senT'
Bn = -2
=
~
~ Cn(t)
n7rX sen T'
L
L
L a
n=l
FSS[F](x, t) =
ia i i
Cn(t) = -2
L
L a
n=!
n7rX f(x) sen dx
(16a)
n7rX g(x) sen-dx
(16b)
F(x, t) sen -n7rX dx
(16c)
L
L
L
Ahora se desarrolla la solución u(x, t) de (15) en una serie de Fourier de senos en x: =
FSS[u](x, t) =
~
~ Un(t)
sen
n7rX T'
(x, t) en G
(17)
n =l ~
Las Un son los "coeficientes i"determinados".
S:
donde Un (t) = (2/ L) u(x, t) sen(nnx/ L)dx. Procediendo formalmente, se supone que u(x, t) es la suma de su serie de Fourier de senos FSS[u](x, t), se sustituye (17) en la ecuación diferencial parcial de (15) y se utiliza (16) para calcular el conjunto de funciones de coeficientes {Un(t)} . Se tiene [por la ecuación (16c)]
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668
Series de Fourier y separación de variables para EDP
~ {U;;(t) + c 2( n:
r
Un(t) - Cn(t)}sen n;: = O,
(x, t) en G
Puesto que <1> = {sen n7rX/ L : n = 1, 2, .. .} es una base para PC[O, L], se tiene 2
U;;(t) + ( n;: ) UIl (t) = Cn(t),
t > O,
(18)
n = 1, 2, ...
Con (16a), (16b) para determinar las condiciones iniciales para cada Un(t), se tiene 050x50L
050x50L
Las condiciones iniciales en Un son U;, (O) = Bn En el problema 8 de la sección 3.7 se describe el método de variación de parámetros. 1&
(19)
Usando el método de variación de parámetros para resolver el PVI (18), (19), se observa que
i
l
LBn sen--+-n:n:ct L -+-_ sen [n:n:c - - (t-s) ] C,,(s)ds Un(t) = Ancos -n:n:ct L nnc L nnc o L
(20)
La soluciónformal de (15) está dada por (17) y (20) conA", Bn Y Cn dadas por (16a), (16b) y (16c). Obsérvese que esta solución puede escribirse como u(x, t) = uI (x, t) + u2 (x, t)
(21)
donde
~ n7rX ( An cos-n:n:ct +-LBn sen-n:n:ct) u, (x, t) = """"sen-n=1 L L nnc L
~ (x,
(22)
n7rX(~ r sen[n:n:c (t - S)]Cn(S)dS) l
t) = isen n=1 L
nnc Jo
L
Así, u 1(x, t) representa la respuesta de la cuerda a las condiciones iniciales, en tanto que U2(X, t) es la respuesta a la fuerza externa F(x, t). Observación. Si F(x, t) es periódica con una frecuencia cerca de la frecuencia natural, cabría esperar que hubiera resonancia. Tal es el caso. Véase el problema 7.
Desplazamiento de datos El método de separación de variables maneja las condiciones iniciales junto con las de frontera forzadas y una EDP lineal forzada. El método de desarrollos de funciones carac-
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669
70.7 / Separación de variables
terísticas amplía el proceso de solución a una EDP forzada. Ahora veremos cómo reducir un problema donde todas las condiciones tienen términos de forzamiento para uno u otro de los problemas anteriores. Como siempre, la explicación es en términos de la ecuación de onda en un intervalo finito. Considérese la cuerda vibrante que se mueve por la influencia de una fuerza externa F(x, t) que actúa verticalmente, sujeta a las condiciones iniciales normales y con las condiciones en la frontera que varían con el tiempo: c 2 u:u; = F(x, t),
(EDP)
u tt
(CF)
u(O, t) = a(t),
u(L, t) = f3(t),
(Cl)
u(x, O) = f(x),
u/ex, O) = g(x),
-
O
t>O t <:: O
(23)
O:::; x:::; L
Obsérvese que la función v(x, t) = a(t) + (x/ L)(f3(t) - a(t)) satisface las condiciones de frontera veO, t) = a(t), v(L, t) = f3(t) . Supóngase que w(x, t) es una solución de W tt
-c 2 w:u; = F(x, t) - (v tt - c 2 v:u;) w(O, t)
= w(L,
t)
=O
(24)
w(x, O) = f(x) - v(x, O) wt(x, O) = g(x) - v/ex, O)
Se observa que u(x, t) = w(x, t) + v(x, t) es una solución de (23). Lo que hemos hecho es introducir la f unción de f rontera v(x, t) que satisface ambas condiciones en la frontera de (23) pero ninguna de las otras. El efecto de fijar w = v - v es introducir un problema de valor inicial con condiciones en la frontera para w en el que los datos en la frontera se han desplazado de los puntos extremo x = O Y x = L Y se han agregado en forma alterada en el miembro derecho de la EDP y las condiciones iniciales. No obstante, un problema como (24) para w puede resolverse por el método de desarrollos de funciones características descrito antes en esta sección. En muchos casos especiales de interés práctico los datos distintos de cero pueden desplazarse de tal manera que el problema modificado tenga una EDP y condiciones de frontera forzadas (pero a costa de los datos iniciales modificados), lo cual puede tratarse entonces directamente por el método de separación de variables. Para los ejemplos de esta técnica véase el conjunto de problemas.
Comentarios El método de separación de variables y el de desarrollos de funciones características se basan en el mismo concepto: el desarrollo de funciones en una serie de funciones características de un problema apropiado de Sturm-Liouville. El problema de Sturm-Liouville es inherente a la geometría del problema de valor inicial con condiciones en la frontera que ha de resolverse. Diferentes operadores y geometrías llevan a diferentes problemas de Sturm-Liouville, funciones y valores característicos y bases de espacios diferentes. Las posibilidades parecen ilimitadas. En las secciones 10.8 y 11.8 se exploran algunos otros tipos de problemas de Sturm-Liouville.
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
Problemas ________ www 1.
~
__
~
Aplique el método de separación de variables para resolver (1) en las condiciones siguientes. (a) f(x) = O,
g(x) = 3 sen(m:jL), L-x,
(e) f(x) = x(L - x) = -g(x),
3.
Ll2~x~L O~x~L
Considérese el problema U tt - c 2u= = O, O< x < L, t> O; u(O, t) = O, uiL, t) = -hu(L, t), t ~ O, h una constante positiva; u(x, O) = f(x), u¡(x, O) = g(x), O ~ x ~ L. (a) Construya el problema de Sturm-Liouville asociado con el problema de valor inicial y condiciones en la frontera. (b) Demuestre que los valores característicos del operador de Sturm-Liouville del inciso (a) son íl n = -s~ / L2 , n = 1, 2, ... , donde Sn es el n-ésimo cero positivo consecutivo de la función s + hL tan s. Demuestre que hay un número infinito de ceros Sm pero np los evalúe. Encuentre una base correspondiente de funciones características para PC[O, L]. (Ecuación de onda amortiguada.) La ecuación U tt + b 2u¡ - a 2u= = O, O < x < L, t > O sirve para modelar una cuerda vibrante, teniendo en cuenta la resistencia del aire. Encuentre la solución formal u(x, t) del problema de frontera de la ecuación de onda amortiguada U tt
4.
O~x~L
0~x~Ll2
(b) f(x) = g(x) = {x,
2.
_______________________________
+ b 2 u¡ - a 2U xx
= O, u(O, t) = u(L, t) = O, u(x, O) = f(x),
O
t>O
t~O
u¡ (x, O) = O,
O~ x
~
L
donde b2 < 21m/L Y a son constantes positivas y f y g pertenecen a PC[O, L]. (Desplazamiento de datos.) El problema de valor inicial con condiciones en la frontera 2
utt-cuxx=g, u(O, t) = u(L, t) = O, u(x, O) = u¡(x, 0)=0,
O
t> O
t~O O~x~L
modela el desplazamiento vertical u(x, t) de una cuerda flexible tensa, sujeta en ambos extremos con datos iniciales que se anulan y afectada por la gravedad (g es la aceleración gravitacional constante). En la descripción siguiente se muestra cómo desplazar la falta de homogeneidad en la ecuación diferencial parcial hacia una condición inicial. (a) Encuentre una función v(x) tal que -c2v= = g, O < x < L, t> O; veO) = v(L) = O t> O. [Sugerencia: pruebe v(x) =Ax + Bx2, donde A, B son constantes.] Obsérvese que v(x) es la combadura de estado estacionario de la cuerda bajo la fuerza de gravedad.
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10.7 / Separación de variables
(b) Sea w = u - V Y demuestre que w satisface las mismas ecuaciones que u, pero con g sustituida por y la condición u(x, O) = reemplazada por w(x, O) = -gx(L - x)/2c2 . (e) Encuentre u(x, t). (Desplazamiento de los datos de frontera hacia los datos iniciales.) Una cuerda de longitud unitaria con c2 = 1 sujetada en un extremo, impulsada por sen ml2 en el otro extremo y dada una velocidad inicial es modelada por U tt - Uxx = 0, < x < 1, t> O; u(O, t) = sen m12, u(1, t) = 0, t ~ O; u(x, O) =f(x), ut(x, O) =g(x), ~ x ~ 1. En los pasos siguientes se muestra cómo desplazar los datos de frontera sen m/2 hacia una condición inicial. (a) Supóngase que ves cualquier solución de v tt - Vxx = 0, veO, t) = sen m12, v(l, t) = 0, t ~ O. Haga w = u-v. Demuestre que w es una solución del mismo problema que u excepto que la condición de frontera u(O, t) = sen ml2 se reemplaza por w(O, t) = y los datos f(x) y g(x) se sustituyen por f(x) - v(x, O) y g(x) - v¡{x, O), respectivamente. (b) Encuentre v(x, t) en la forma X(x)T(t). [Sugerencia: sea v = X(x) sen(m/2).] (e) Resuelva el problema si g(x) = para toda x. Resuelva los problemas siguientes. (a) Use el método de desarrollos de funciones características para resolver
°
S.
°
°°
°
°
6.
utt
-U xx
= 6x,
O
u(O, t) = u(l, t) = 0, u(x, O) = ut(x, O) = 0,
t~
°
t>
°
O~X ~1
(b) Primero resuelva el problema v tt - V xx = 0, veO, t) = sen(3mI2L), v(L, t) = O. Luego use v para desplazar los datos de frontera hacia las condiciones iniciales y resuelva el problema siguiente: utt - U xx = 0, u(O, t) = sen(3m/2L), u(x, O) = ut(x, O) = 0, 7.
°< u(L, t) = 0,
t~
x
°
t>
°
O~x~L
(Ruptura de una cuerda por vibración.) Considérese el problema de una cuerda de longitud L con un extremo fijo y el otro forzado: U tt
-c 2 U xx = 0,
u(O, t) = 0, u(x, O) = 0,
O
t~
°
t>
°
O~x~L
Demuestre que hay una función periódica f.1(t) tal que la cuerda finalmente se romperá. [Sugerencia : ¿qué sucede si f.1(t) = A cos úJt para ro cerca de una frecuencia natural nndL?]
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
10.8
La ecuación de calor: profundidad óptima para una cava La ecuación de calor es una EDP lineal que modela tanto el flujo de calor como una gran cantidad de fenómenos físicos, químicos y biológicos relacionados con los procesos de difusión. La ecuación del calor se deduce como modelo matemático de conducción térmica y luego se resuelven ciertos problemas de flujo de calor. Finalmente, se analizan las propiedades matemáticas de las soluciones de la ecuación de calor y su significado físico. La técnica de resolución para la ecuación de calor es el método de separación de variables, el cual se utilizó para resolver problemas de valor inicial con condiciones en la frontera para la ecuación de onda. Por tanto, como antes, se encontrarán soluciones de la ecuación de calor en forma de serie. Aunque el método para encontrar la solución y la forma de la solución no es nada nuevo, las propiedades de la solución de un problema de valor inicial con condiciones en la frontera para la ecuación de calor son completamente diferentes de las de la ecuación de onda. La sección finalizará con un análisis de esas diferencias.
Conducción de calor Las vibraciones moleculares de un cuerpo generan la energía que percibimos como calor. El calor fluye de las partes calientes del cuerpo a las frías por conducción, proceso en que la colisión de las moléculas vecinas transfiere energía térmica de una molécula a otra. Es conducción lo que se modela a continuación. El flujo de calor también tiene lugar a través de convección, las moléculas se mueven de una región a otra llevando su energía térmica junto con ellas, pero aquí no se modelará la cpnvección. El estado térmico de un cuerpo en cada uno de sus puntos P en en el instante t se mide por la temperatura u(P, t). Las unidades de temperatura son grados Celsius. El calor en sí se mide en calorías (o j oules); 1 caloría es la energía necesaria para aumentar 1 grado la temperatura de 1 gramo de agua (1 joule =0.239 calorías). Cada sustancia tiene un calor específico característico e que es la energía requerida para elevar la temperatura de 1 gramo de sustancia a 1 grado (así que el calor específico del agua es 1). El calor en una porción D de un cuerpo en el instatante t está dado por H(t) =
Iv cpu(P, t)dP
(1)
donde p es la densidad del material y la integración es sobre D. La integral en (1) es sencilla o múltiple según la dimensión espacial de D. La cantidad H definida por (1) tiene unidades de energía. En las deducciones siguientes se toma D como tridimensional. Los casos de una y dos dimensiones se tratan de la misma manera. El flujo conductivo de calor a través de D se rige por una ecuación de equilibrio: 1& La ecuación de equilibro se presenta por vez primera en la sección 1.4. ¿N o es de gran alcance?
Tasa de cambio de calor en D
=
Calor generado o consumido dentro de D por unidad de tiempo
+
Calor que cruza la frontera de D (2) por unidad de tiempo
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673
10.8/ La ecuación de calor: profundidad óptima para una cava
Se mostrará cómo puede representarse matemáticamente (2) por la ecuación diferencial parcial de flujo de calor. Por (1) se ve que el miembro izquierdo de la ecuación de equilibrio tiene la forma dH(t) - = -d dt
dt
f
CpU(P, t)dP =
f
D
-d
D
dt
[CpU(P, t)]dP
(3)
donde se supone que c, p y u son funciones continuamente diferenciables en t y continuas enP.
El primer término en el miembro derecho de la ecuación de equilibrio (2) podría expresarse como
Iv F(P, t)dP
(4)
donde F(P, t) es el calor generado o consumido por unidad de volumen y tiempo en el punto P en el instante t. El punto P es una fuente si F(P, t) es positiva, un pozo si es negativa. El último término en el miembro derecho de (2) puede escribirse como una integral sobre la frontera dD de D. El integrando es la cantidad de calor que pasa por la frontera por unidad de área superficial por unidad de tiempo en el punto P en la frontera en el instante t,
f
k\1u(P, t). ndS
(5)
CiD
1& El teorema de la
divergencia es el teorema B.5.13.
donde \1 u es el gradiente espacial de u, n es la normal unitaria exterior a la frontera dD en P y dS denota la integración sobre la superficie frontera. El coeficiente k en (5) se llama conductividad térmica y mide la capacidad del cuerpo para conducir el calor. Específicamente, k es la tasa de cambio con respecto al tiempo del calor a través del espesor unitario por la unidad de área superficial por unidad de temperatura. La integral en (5) es la representación matemática de la ley de Euler-Fourier para la conducción de calor (la ley de Fick en el caso de la difusión de gas o líquido): los flujos de calor en la dirección de máxima caída de temperatura por unidad de distancia a una tasa proporcional a la magnitud de la caída. Puesto que \1u apunta en la dirección de aumento máximo de temperatura, el flujo de calor va en realidad en la dirección de -\1 u. Nótese que si \1 u . u es positiva en un punto P en la frontera de D , la temperatura fuera de D y cerca de P es más alta que en P, así la energía térmica fluye hacia D a través de P. Usando el teorema de la divergencia se sustituye la integral de superficie en (5) por una integral de volumen sobre D:
Iv k\1u· udS Iv div(k\1u)dP =
En coordenadas cartesianas x, y, z du. du. du k vU=-I+-J+dx dy dz
n
. d ( kdU) dIV(k\1u)=- +d- ( kdU) - +d- ( kdU) dx dx dy dy dz dz
(6)
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674
Series de Fourier y separación de variables para EDP
Insertando las expresiones en (3) a (6) en la ecuación de balance en (2) , se tiene, después de reordenar, (7)
Si el integrando es continuo en P y en t, entonces (7) es válida para todas las regiones D si y sólo si desaparece el integrando. Esto da la ecuación de calor (o difusión ) i.(cpu)-div(kVu) = F
(8)
at
en cada punto P dentro del cuerpo durante todo el tiempo t para el que es válido el modelo. Ecuación de temperatura sería un nombre más preciso para (8). Nótese que (8) es lineal en las incógnitas u y sus derivadas si c, p y k son constantes. Si no hay fuentes o pozos internos, F desaparece y se tiene la ecuación de calor no forzada (o sinfuente )
i.(cpu) - div(kVu) = O
(9)
at
Si los coeficientes del material c, p y k son constantes puede definirse la difusivididad K = k/cp. Por lo general las unidades de difusividad son cm2/s y sus valores van de 0.0014 para el agua (un buen aislador, pero mal conductor) a 1.71 para la plata (buen conductor). En este caso (9) puede escribirse en términos del operador laplaciano V 2 como (10)
Condiciones iniciales y en la frontera Sobre bases físicas no cabría esperar que la ecuación de calor fuera suficiente para determinar las temperaturas u(P, t) dentro de un cuerpo B. También se necesitan condiciones iniciales y en la frontera. La condición inicial puede escribirse como u(P, O) = f(P),
(11)
para toda P en B
donde f es una función dada. Al contrario de la situación con la ecuación de onda, no es necesario prescribir ulP, O) pues la ecuación del calor en sí hace eso. Hay tres tipos comunes de condiciones térmicas impuestos en la frontera de B. El primero tiene que ver con las temperaturas de frontera prescritas : u(P, t) = g(P, t),
P en aB,
t~O
(12)
donde g es una función dada. Por ejemplo, podría sumergirse el cuerpo en un baño de hielo, así que u(P, t) = O en la frontera para toda t ~ O. Alternativamente, el cuerpo puede envolverse con aislamiento térmico que afecta el flujo de calor por la frontera:
au(p, t) = Vu.n = h(P t)
an
' ,
Pen aB,
t~O
(13)
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10.8/ La ecuación de calor: profundidad óptima para una cava
donde h es una función prescrita. Si h = O, se dice que el aislamiento es perfecto y no hay flujo de calor a través de la frontera. Un tercer tipo de condición de frontera se da por la ley de Newton para el enfriamiento,
au~
t) == r[U(t) _ u(P, t)],
Pen aB,
t~O
(14)
donde U(t) es la temperatura ambiente fuera de B y r es un coeficiente de transferencia de calor dado. Si r > O Y si la temperatura ambiente es más alta que la temperatura en la frontera, au/an es positivo, lo cual indica un flujo de calor hacia B por la frontera. Hay otros tipos de condiciones de frontera, pero estos tres abarcan la mayor parte de los casos. Cada condición de frontera puede escribirse en términos de un operador de frontera lineal que actúa en u y au/an. Por ejemplo, (14) puede escribirse como B[u] = rU, donde B es el operador lineal (a/an) + r que actúa en el espacio lineal de funciones u(P, t) con la suavidad suficiente definidas para P en aB y t ~ O. En un problema dado, una parte de la frontera puede estar sujeta a una condición y otra a una condición diferente. Por ejemplo, un extremo de una barra de hierro puede sumergirse en un baño de hielo, el otro extremo en agua hirviente, mientras la parte media se cubre con aislamiento perfecto. Con estos comentarios en mente es posible formular un problema de valor inicial con condiciones en la frontera para la ecuación de calor en un cuerpo B de difusividad constante K y sin fuentes ni pozos internos: Encuentre u(P, t) tal que (EDP)
Uf -
J<.V 2 u = O,
(CF)
aiJujan + f3u = f,
(CI)
u = g,
P dentro de B,
t >O
P en aB,
t~O
PenB,
t=O
(15)
donde a, f3 y f son las funciones prescritas de P y t, Yg es una función de P. También pueden imponerse condiciones de continuidad y suavidad en a, f3, f, g y en aB de modo que (15) está bien planteada (véase el final de esta sección). En lugar de considerar los problemas generales, se toman y resuelven dos casos especiales simples e ilustrativos del problema (15).
Temperatura en una varilla Supóngase que una varilla recta de difusividad constante tiene secciones transversales uniformes. Imagine también que la superficie lateral de la varilla cuenta con un aislamiento perfecto, en tanto que en los extremos se colocan paquetes de hielo con los que se mantiene una temperatura de O°. Digamos que en cierto momento inicial se conoce la distribución de temperatura. El problema consiste en determinar la distribución de temperatura dentro de la varilla en instantes posteriores. Es posible tomar el eje central de la varilla como el eje x. Debido a la simetría de la sección transversal y al aislamiento en las paredes laterales, se supondrá que no hay variación de temperatura en las direcciones y y z. Si se denota la difusividad con K
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676
Series de Fourier y separación de variables para EOP
y la longitud de la varilla con L, se observa que es necesario resolver el problema de valor inicial siguiente con condiciones en la frontera para la temperatura u(x, t):
(EDP) (eF) (el)
-+ ___:..o.R~ x L
Ku xx = O,
O
t> O
u(O, t) = O,
u(L, t) = O,
t;::: O
u(x, O) = f(x),
O:S;x:S;L
Uf -
(16)
donde está dada la distribución de temperatura inicialf Así, la solución del problema (16), u(x, t), se ubica en la región R : O < x < L, t> O. La fornia de R y la naturaleza del problema en sí sugieren que podría usarse el método de separación de variables para construir la solución. Primero se buscan soluciones separadas u = X(x)T(t) de (EDP) y de (eF) en (16), dejando que (el) se cumpla para una superposición posterior de soluciones separadas. Al insertar X(x)T(t) en la (EDP), se tiene X(x)T'(t) = JO(" (x)T(t) . Al separar las variables de la manera usual se tiene una función de x igualada a una función del tiempo t, lo cual puede pasar sólo si ambas son iguales a una constante de separación k X"(x) 1 T'(t) - = - - = A, X(x) K T(t)
(17)
Las condiciones (eF) imponen restricciones adicionales a X(x), pero no a T(t). Si se combinan estas restricciones con las ecuaciones de (17) se nota que X(x) y T(t) deben ser soluciones de (18a) X"(x) - íLX(x) = O, X(O) = O, X(L) = O T'(t) - íLKT(t) = O (18b) Los valores de A, para los que es resoluble el problema de Sturm-Liouville (18a) y las soluciones X(x) se determinaron en la página 620 de la sección 10.1: Xn(x) = A n sen(nmcjL),
n = l, 2, 3, ...
(19)
donde An es cualquier constante. Las soluciones correspondientes de (18b) son Tn(t) = En exp[- K(nnj L)2 t]
donde En es cualquier constante. Las soluciones de (EDP) y (eF) en (16) están dadas por un
= Xn(x)Tn(t) = en sen( n;: )exp[
-K(
:r
t] ,
n = 1,2, ...
(20)
donde en = An En es una constante arbitraria. Puesto que (EDP) y (eF) no son forzadas en este problema, cualquier superposición de funciones de la forma dada en (20) es de nuevo una solución de (EDP) y (eF). Se determinarán las constantes en de modo que la superposición (21)
http://carlos2524.jimdo.com/ 70.8/ La ecuación de calor: profundidad
677
óptima para una cava
sea también una solución de la condición inicial (el), es decir, debe elegirse u(x,O)
= f(x) =
i en
en de forma que
O$,x$,L
sen( n;:}
n=l
Esto hace pensar en una serie de Fourier de senos. Es posible calcular entonces los coeficientes en:
en
= (f, sen(n11:X/L)
=
2
IIsen(n11:X/L)11
3.. rL f(x) LJo
sen nrc xdx, L
n=1,2,
...
(22)
Si ignoramos las preguntas de convergencia, la solución formal de (16) está dada por (21)
y (22). Aunque no se demostrará, la serie define una solución clásica u(x, t) que pertenece a e2(R) y a eO(R*) y satisface (EDP) en R y (eF) y (el) en aR sif es continua, suave por partes y f(0) = f(L) = O. El cálculo de (22) puede llevarse a cabo de manera explícita en el caso particular de una varilla de longitud 2, difusividad 1 y temperatura inicial X,
(23)
f(x) = { 2-x, De hecho, en = (_l)(n-l)l2 8f(nrc)2 para n impar, tura en este caso es u (X
,
t) _ - -8
rc2.
L(
- 1)(n-l)!2
impar n
en = O para
n par. La función de tempera-
2 22 (n11:X) -exp [_n --- rc t ]
1 -sen n2
2
(24)
4
En la figura 10.8.1 se grafican varios perfiles de esta función de temperatura. Nótese la "propiedad de suavidad" del operador de calor; también obsérvese la disminución de temperatura desde el perfil angular inicial conforme se "fuga" el calor por los extremos de la varilla.
Profundidad óptima para una cava Una de las primeras aplicaciones de la serie de Fourier fue para modelar el flujo de calor por la tierra y la roca. El propio Fourier abordó la cuestión. Aquí consideraremos un caso sencillo. Sin embargo, primero resolveremos un problema de calor diferente de (16): (EDP)
u(O, t)
x
= Aoeirot
Ut
-Kuxx
O < x < 00,
=0, icot
(eF)
u(O, t) = Aoe
(Limitación)
I u(x, t) I <
e,
,
-00
-00
O
$,
x < 00;
-00
00
00
(25)
00
donde se supone que K, Ao, Q) Y e son constantes positivas. La región R de xt se define por O < x < 00, -00 < t < 00; los datos del problema se esbozan al margen. El uso de la exponencial compleja en la condición de frontera de (25) se utiliza en los cálculos por conveniencia. Es posible mostrar que (25) no tiene más de una solución que pertenece a eO(R*) y satisface la (EDP) en R. Encontraremos una solución que debe ser única. R
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Series de Fourier y separación de variab les para EDP
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.5
0.0
1.0
1.5
2. 0
x
Figura 10.8.1 Decaimiento de los perfiles de temperatura u(t) en una varilla en tiempos igualmente espaciados O< tI < t2 < ... < t 12 [calculados a partir de la fórmula de solución (24)].
La "entrada" exponencial Aoe imt a lo largo de Ía frontera sugiere que la solución de (25) podría tener la forma separada u = A(x)e imt . La ainplitud A (x) puede encontrarse insertando u en las ecuaciones de (25): imA(x)e 1& Use la fónnula de De Moivre (teorema B.3. 2)
imt
= KA"(x)e imt ,
A(O) = Ao, I A(x) I
(26)
Cancelando e imt de la primera ecuación de (26) y resolviendo para A(x) [con el hecho de que (iml K)1I2 = (1 + i)(mI2K)1I2], se tiene
a= ( -m )1/2 >0 2K
donde
el y e2son constantes arbitrarias. La condición lA(x) I < e implica que el = O, pues oo . La condición A(O) = Ao implica que e2 = Ao. La solu-
eax no está acotada cuando x -¿
ción de (25) es
a=(~)112 2K
'
(x, t) en R*
(27)
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10.8/ La ecuación de calor: profundidad óptima para una cava
1.5
Superficie 1. O
::l
'"•.. ~•..
S'
0.5 Cava .0. O
~
-O ..5
-1. O
s
Figura 10.8.2 La temperatura de la superficie (línea de trazo continuo) y la temperatura óptima de la cava (línea de trazo discontinuo) de octubre (t = 0.25) a septiembre del año siguiente (t = 1.25).
El problema (25) y su solución (27) pueden interpretarse en términos de hallar la profurididad óptima por ubicar un sótano para la cava. En este contexto, x es la profundidad debajo de la superficie de la tierra, en tanto que Ao cosmt (la pacte real de Aoeicot) es un modelo aproximado de la temperatura de la superficie normalizada respecto a una media de O°. Supóngase que el periodo de la onda de superficie es un año (es decir, 2n/m=1 año = 3.15 x 107 s). Entonces, tomando sólo la pacte real de u(x, t) de (27), la temperatura en la profundidad x en el instante t es
u = Aoe -ax cos( mt - ax),
2n m=---..,.-
3.15x107
'
La profundidad óptima para la cava se define como la x positiva más pequeña para la cual las "estaciones" de la cava están seis meses fuera de fase con las estaciones de la superficie. En esta profundidad las corrientes de convección térmica de la superficie tienden a mover la temperatura de la cava más cerca de la media. Por tanto, la profundidad óptima satisface ax = n. Ahora la difusividad K del suelo seco promedio es 0.002 cm2/s. La profundid~d óptima es X
= : = n(2:)
1/2 = n(0.004)1/2 (73.15 :10 )1/2 '" 445 cm o 4.45 m 2
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Series de Fourier y separación de variables para EDP
La amplitud de la ola de superficie ha disminuido de Ao a Aoe- xa = Aoe- n "" Ao/25 a la profundidad óptima. Tal reducción de 25 veces la amplitud acoplada con la inversión de las estaciones implica una temperatura casi constante en la cava (véase la figura 10.8.2). Nótese que no hay necesidad de una condición inicial en este problema (de hecho, no hay tiempo inicial). Nótese también que el modelo sólo es válido cerca de la superficie de la tierra en una región donde no hay ninguna fuente o pozo térmicos bajo la superficie.
Propiedades de las soluciones de la ecuación del calor Los problemas de valor inicial con condiciones en la frontera para la ecuación de calor tienen significado físico sólo si están bien planteados , en el sentido de que cada problema tiene una solución, exactamente una solución, la cual cambia continuamente con los datos. La separación de variables se emplea a menudo para construir una solución formal en series, como vimos en el problema de la varilla con datos de frontera cero. Sin embargo, para mostrar que esta solución en series tiene propiedades de convergencia suficientes para ser una solución clásica se requiere un estudio detallado de la serie (véase a continuación). Es un poco más fácil resolver los otros dos aspectos de un problema bien planteado (unicidad y continuidad). En relación con esto se considerará el problema siguiente:
R L
x
O < x < L,
t>O
u(O, t) = g¡ (t),
u(L, t) = g2 (t),
t
u(x,O)=f(x) ,
O:S;x:S;L
(EDP)
ut
(CF)
(CI)
Ku xx = O,
-
~
O
donde g¡ Y g2 pertenecen a Co[O, 00 ] y están acotadas para O:S; t < 00,
(28)
f pertenece a Co[O,
. L], g¡(O) = f(0) y g2(0) = f(L). Las ecuaciones de (28) sirven para modelar la temperatura T
Teorema 10.8.1
1I
en una varilla uniforme con el aislamiento perfecto en la frontera lateral, una varilla cuyos puntos extremo tienen temperaturas prescritas (pero variables). Las condiciones enf, g¡ Y g2 aseguran la continuidad conjunta de los datos iniciales y de frontera. El primer resultado se refiere a ciertas regiones del espacio-tiempo mostradas en el margen. Éstas se definen como sigue: R : O < x < L, t> O; R T : O < x < L, O < t:S; T; r T : la frontera de RT sin el borde superior. El principio básico siguiente se cumple para cada región RT• Principio del máximo para la ecuación de calor. Supóngase que u(x, t) es cualquier solución de (EDP) en (28) para la cual u está en C2(R) y también en CO(R*). Entonces lu(x, t)1 :s;
l'
máx lu(y, s)l, para toda (x, t) en R'j. en rT
(y, s)
I
I
..1
El principio tiene una interpretación física clara: en ausencia de fuentes y pozos internos, las magnitudes de las temperaturas en la varilla en el instante t no exceden las magnitudes extremas de las temperaturas finales hasta el instante t y las magnitudes extremas de las temperaturas iniciales .
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10.8/ La ecuación de calor: profundidad óptima para una cava
El principio del máximo implica unicidad y continuidad en los datos.
Teorema 10.8.2
Unicidad. El problema de límite inicial (28) no tiene más de una solución u(x, t). Supóngase que U¡ y U2 son soluciones de (28). Entonces w = U¡ - U2 satisface a (EDP) y las condiciones homogéneas, w(O, t) = w(L, t) = O, w(x, O) = O, t ~ O, O::;; x::;; L. Puesto que w = O en los tres segmentos de rt (véase el diagrama del margen en la página anterior), el principio del máximo indica que 1w(x, t) 1 ::;; máx 1w(x, l) 1 = O donde el máximo se toma en todo (x, l) en rt. Así w(x, t) = O Y u¡(x, t) = U2(X, t). Si (28) tiene una sola solución con la uniformidad requerida, la solución es única.
Teorema 10.8.3
Continuidad en los datos. Toda solución de (28) cambia continuamente con respecto a cambios en los datos 1, g¡ Y g2. Supóngase que u es una solución de (28) y que u es una solución de (28) con 1, 8¡, 82 en sustitución de1, g¡, g2 en todas partes. Entonces u - u es una solución de (EDP) con los respectivos datos iniciales y de frontera f -1, g¡ - 8¡, g2 - 82. Por el principio del máximo, para toda t ~ O Y toda O::;; x::;; L, 1u(x, t) - u(x, t) 1 ::;;
mfix
{I f(x) -1(x) 1, 1g¡ (l) - 8¡ (l) 1, 1g2 (l) - 82 (l) I}
O$x$L
o :s; ¡ :s; t
Por tanto, los cambios pequeños en los datos de frontera e iniciales significan a lo sumo modificaciones pequeñas en la temperatura; la desigualdad anterior es la versión matemática de esta afirmación. Para simplificar, se igualarán a cero los datos de frontera g¡ y g2, con lo cual el problema de valor inicial con condiciones en la frontera (28) se reduce al problema (16) del mismo tipo. La serie dada en (21) con coeficientes definidos por (22) proporciona una solución formal para el problema (16). Los resultados siguientes dan propiedades adicionales de esa solución.
Teorema 10.8.4
IBF La prueba M de Weierstrass es el teorema 10.4.4.
Propiedades de suavidad. Supóngase que los datos iniciales pertenecen a PC[O, L]. Entonces la solución formal u(x, t) de (16) definida por (21), (22) pertenece a C=(R) y satisface (EDP) en R. La comprobación de este teorema se basa en la prueba M de Weierstrass. Primero obsérvese en (22) que hay una constante positiva A tal que lenl ::;; A, n = 1, 2, .... Para n = 1,2, ... y todo (x, t) en el conjunto Sto descrito por O::;; x::;; L, O < to::;; t,
Ahora la serie Lexp[-K(iur/L)2to] converge por el criterio de la razón. Por la prueba M de Weierstrass, la serie en (21) converge uniformemente en Sto a una función que de-
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682
~ En este teorema básico se afirma que si LJ" y L!~ convergen uniformemente en un conjunto A, entonces Lt:, = (L!n)"
Series de Fourier y separación de variables para EOP
nominamos u(x , t) . Si cada término de la serie en (21) se deriva k veces (r veces en x y k - r veces en t), el n-ésimo término de la serie derivada no es de mayor magnitud que un término de la forma Bnk-r exp[-K(nn/L)2to] para todo (x, t) en Sto y para alguna constante B (que pueda depender de k, pero no de n). Pero la serie Lnnk-r exp[-K(nn/L)2to ] también converge por el criterio de la razón. Por la prueba M de Weierstrass y un teorema básico sobre la convergencia uniforme, la serie derivada converge uniformemente a la k-ésima derivada de u(x, t) (es decir, a dku/dxrdt k- r) en la región cerrada Sto' En virtud de que los argumentos anteriores se cumplen para cada to > O y para toda k = 1, 2, ... , se deduce que u(x, t) pertenece a e ~ (R). Con un cálculo directo relacionado con la derivación término a término de la serie para u se demuestra que (21) satisface (EDP) en R. Que u(x, t) posea derivad,!-s de todos los órdenes es muy notable, pues sólo se requiere que los datos iniciales sean continuos por partes. En la figura 10.8.1 se observa la prueba visual de las propiedades de suavidad, donde la esquina aguda en los datos iniciales es redondeada de inmediato para t > O. Con suposiciones adicionales en los datos iniciales, la serie en (21) define una función u(x, t), una solución clásica de (16), es decir, satisface las condiciones iniciales de (16) [así como (EDP)].
Teorema 1 0.8.5
Solución clásica. Supóngase que f(O) =f(L) = O y que f(x) es continua y suave por partes, O::; x::; L. Entonces la función u(x, t) definida por (21) y (22) pertenece a C ~ (R) ya CO(R*). Además, u(x, t) es una solución de (16).
Comentarios La "propiedad de suavidad" del operador de calor (d/dt) - K(d 2/dx 2) es muy diferente de cualquier propiedad del operador de onda (d 2/dt2) - c 2(d 2/dx2). De hecho, la suavidad da una dirección al tiempo que no puede dar el pperador de onda. Puede afirmarse como se deduce del contexto de (23) y (24) que corresponden a los datos iniciales lineales por partes con una "esquina". Por el carácter de suavidad del operador de calor, la función de temperatura está en C ~ (R) para toda t> O. Así "la singularidad de esquina" en los datos iniciales no se propaga de dR a R , y el proceso f(x) ~ u(x, t) es irreversible. La sucesión de perfiles de temperatura en la figura 10.8.1 no puede leerse hacia atrás, y el tiempo tiene una flecha para la conducción de calor.
Aunque no se ha demostrado aquí, las singularidades de esquina en los datos iniciales se propagan en el tiempo para problemas de valor inicial con condiciones en la frontera
para la ecuación de onda. No es difícil demostrar que los perfiles de una cuerda de guitarra punteada pueden leerse hacia adelante o hacia atrás en el tiempo, sin distinción. Por tanto, el tiempo no tiene flecha para la ecuación de onda en una dimensión espacial. Hay más. Es posible demostrar que las perturbaciones iniciales se propagan con la velocidad e por la influencia de la ecuación de onda. También se puede demostrar (pero no se hará aquÍ') que la velocidad de propagación de una perturbación inicial de temperatu-
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10.8/ La ecuación de ca lor: profundidad óptima para una cava
ra es infinita. De hecho, se supone que la temperatura inicial de una varilla uniforme es 0°, salvo para una temperatura To > en algún segmento de longitud pequeña a la mitad de la varilla. Entonces (con las temperaturas de los extremos mantenidas en 0°) para cualquier t positiva, no importa cuán pequeña sea, la solución u(x, t) del problema de valor inicial y de frontera correspondiente es positiva para cada punto x dentro de la varilla. La perturbación térmica en el centro de la varilla ha viajado infinitamente rápido y ha aumentado la temperatura por todas partes dentro de la varilla. La velocidad infinita de propagación para la ecuación del calor y la repetición periódica de "esquinas" en los desplazamientos iniciales de la cuerda de guitarra pulsada y el operador de onda muestran los defectos de los modelos matemáticos respectivos. La difusión térmica y el movimiento de onda no pueden modelarse perfectamente con los problemas de valor inicial y de frontera construidos en este capítulo. Sin embargo, los modelos matemáticos presentados aquí son suficientemente precisos en muchos aspectos, a tal grado que aún son los modelos de primera opción en el tratamiento de fenómenos simples de calor y ondas.
°
Problemas _____________________________________________ 1.
(Temperatura en una varilla.) Utilice el método de separación de variables para construir una solución en series de la ecuación unidimensional del calor U t - Kuxx = O, donde se imponen < x < L, t > y condiciones iniciales y en la frontera siguiente. Describa cómo se comporta la función de temperatura u(x, t) cuando t ~ + 00. [Sugerencia: véase la subsección acerca de la temperatura en una varilla.]
°
2.
°
(a) u(O, t) = u(L, t) = 0,
u(x, O) = sen(2nj L)x
(b) u(O, t) = u(L, t) = 0,
u(x, O) = x
(e) u(O, t) = u(L, t) = O,
u(x, O) = Uo > 0, Uo una constante
(d) u(O, t) = u(L, t) = O,
u(x, O) =
UD' {
0,
0 5, x 5, Lj2 Lj2 < x 5, L
(e) u(O, t) = O,
ux(L, t) = O,
u(x, O) = sen(mj2L)
u(O, t) = O,
ux(L, t) = 0,
u(x, O) = x
(1)
(g) ux(O, t) = ux(L, t) = 0,
u(x, O) = x
(Temperaturas constantes en los extremos.) (a) Encuentre la solución en series del problema Ut
- Ku xx = 0,
u(O, t) = 10, u(x, O) = 0,
O
u(l, t) = 20, O
t>O t~
°
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Series de Fourier y separación de variables para EOP
[Sugerencia: escriba u(x, t) = A(x) + v(x, t), donde A"(x) = 0, A(O) = 10, A(l) =
20,y v t -Kvxx = 0,
O
t>O
veO,
v(l, t) = O, O$x$l
t~O
t) = O,
v(x, O) = -A(x),
3.
Luego, obtenga v de la manera usual una vez que encuentre A(x). (b) Demuestre que la solución de estado estacionario del inciso (a) es u = A(x) porque v(x, t) ~ O cuando t ~ =. (Temperaturas no constantes en los extremos.) Supóngase que u es una solución del problema O
t> O
u(O, t) = g¡ (t),
u(l, t) = g2 (t),
t~O
u(x, O) = f(x),
O$x$l
(a) Si V = gl (t) + [g2 (t) - g¡ (t)]x y si U(x, t) satisface las ecuaciones Ut
-
O
KUxx = - KYr,
U(O, t) = U(l, t) = 0,
t~O
U(x, O) = f(x)-V(x , O),
O$x$l
t>O
demuestre que u = V(x, t) + U(x, t).
°
4.
(b) Encuentre U(x, t) si g¡ (t) = sen t y g2 (t) = [Sugerencia: utilice el método de desarrollos de funciones características de la sección 10.7.] (e) Encuentre u(x, t) . [Sugerencia: utilice las respuestas de los incisos (a) y (b).] (Fuentes y pozos internos.) Utilice el método de desarrollos de funciones características de la sección 10.7 para resolver el problema ut - K uxx = 3e -2t +x, u(O, t) = u(l, t) = 0, u(x, O) = O,
www 5.
O
t>O
t~O
O$x$l
(Cavas.) Lea el material de esta sección acerca de la profundidad óptima de una cava. (a) Supóngase que la onda de la temperatura superficial es To + Ao cosmt, donde Ao, To Y m son constantes positivas. Encuentre la profundidad óptima de la cava. ¿Cuál es esa profundidad si m corresponde a un día en lugar de un año como en el ejemplo dado en el texto? (b) Encuentre la función de temperatura u(xo, t) a la profundidad óptima xo. (e) Formule y resuelva el problema de la cava donde la onda superficial tiene la forma To + A¡ cosm¡t+ A2 cosm2 t
donde mI corresponde a un año y m2 = 365m¡ a un día.
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70.9/ Ecuación de Laplace
6.
7.
(Flecha del tiempo.)
(a) Demuestre que la serie (24)diverge para toda x, O < x < 2, si t = to < O. (b) . Explique esto en términos de la flecha del tiempo. (e) Encuentre una función de datos inicialesfix) i= O de modo que (21) y (22) den las soluciones definidas para todo tiempo, incluso para t < O. [Sugerencia: considerefix) = sen(m/L).] (Temperaturas variables de frontera.) Supóngase que la temperatura u(x, t) en una varilla de longitud 1 y difusividad 1 satisface el problema Uf
O
-uxx =0,
u(O, t) = te-
f
t
,
u(x, O) = O.Olx(1-x),
~
u(l, t) = O, t
~
O
O:S;x:S;l
Demuestre que lu(x, t)l:S; l/e para O:S; x:S; 1,
10.9
O,
t>O
t~
O.
Ecuación de laplace La ecuación de Laplace es la EDP homogénea, lineal, de segundo orden V 2 u=0
I@' En la página 674 se define la difusividad.
(1)
donde V 2 es el operador laplaciano. La ecuación de Laplace permite modelar las temperaturas de estado estacionario en un cuerpo con difusividad constante. Por "estado estacionario" se entiende que la función de temperaturas u no cambia con el tiempo, aunque puede variar de un punto a otro dentro del cuerpo. Con la ecuación de Laplace también puede modelarse la gravitación y los potenciales magnéticos en el vacío, el potencial eléctrico y la velocidad potencial de líquidos ideales. Por tales razones, la EDP (1) también se conoce como ecuación de potencial. El operador tiene las formas siguientes en varios sistemas de coordenadas: Rectangulares Polares Cilíndricas Esféricas
V 2 = (j2/(jx2 + (j2/(ji + (j2/(jZ2 21
1
V u = u rr +-u r +'2"uee r r 2 1 1 V u = urr + - u r + '2" uee + u zz r r 2 1 2 1 1 V U=-2(P up)p+ 2 (sen>uq,)q,+ 2 2 uee p p sen> p sen >
(2)
(3) (4)
(5)
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686
Series de Fourier y separación de variables para EOP
Recuérdese que las coordenadas rectangulares (x, y, z) en IR3 se relacionan con las coordenadas esféricas (p, 9, t/J) como sigue: t/J mide el ángulo del vector k al vector p = xi + yj + zk y 9 mide el ángulo de i al vector r = xi + yj. Entonces se tiene que ~
Advertencia: algunas personas intercambian y 4>.
e
x = psent/Jcos9,
y = psent/Jsen9,
z = pcos t/J
La ecuación de Laplace tiene muchas soluciones; por ejemplo, u = c¡e -x COSY+C2z+c3e -4z cos 4 x
da las soluciones en coordenadas rectangulares para las constantes c¡, C2, c3, mientras que u = c¡rcos9 + c2r 2sen29 da soluciones de la ecuación de Laplace bidimensional en coordenadas polares para toda C¡ y C2' Las condiciones en la frontera son necesarias para seleccionar una sola solución. Aquí resolveremos problemas representativos en los varios sistemas de coordenadas y obtendremos las propiedades fundamentales de estas soluciones.
Problema de Dirichlet: funciones armónicas Supóngase que G es una región en IR2 o IR3 y que h es una función continua por partes definida en aG, la frontera de G. Entonces el problema de Dirichlet para G con datos de frontera h se define como el problema de valor de frontera siguiente:
Problema de Dirichlet
Encuentre una función u en C2(G) tal que V 2 u = O en G con la propiedad adicional de que si P es un punto de aG donde h es continua, entonces límx~ p u(x) = h(P), donde x está en G.
Con esto en mente se escribirá brevemente el problema de Dirichlet para G con los datos de frontera h como (EDP) (CF)
~
Recuérdese que G* se utiliza para denotar G junto con su frontera.
v2 u = O u= h
en G
(6)
en aG
Una solución de la ecuación de Laplace se denominafunción armónica ofunción de potencial . Nótese que cuando h está en Co(aG), una solución u del problema (6) pertenece a CO(G*) y u(P) = h(P) para toda P en aG. En este caso, el problema (6) se llama problema de Dirichlet clásico y u recibe el nombre de solución clásica para el problema de Dirichlet.
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10.9 / Ecuación de Laplace
Temperaturas de estado estacionario en el disco unitarió: armónicos circulares Supóngase que G = {(x, y) : x2 + y2 < 1} Y que h es una función continua por partes en aG. Se construirá una solución del problema de Dirichlet en (6) para esta región G y la función h por medio del método de separación de variables. Si la región G y las condiciones (EDP) y (CF) se expresan en coordenadas rectangulares, la separación de variables no ofrecerá una solución formal a este problema porque aG no está compuesto de curvas de nivel en el sistema de coordenadas rectangulares. Desde este punto de vista, si se encuentra un problema equivalente a (6) pero expresado en términos de coordenadas polares, la separación de variables tendría cierta posibilidad de éxito. Por medio de la identidad (3) se observa que el problema (6) es equivalente al problema (EDP)
wrr + (I/r)wr + (I/r2)wee = 0
(CF)
m(l, e) = f(e)
RO
paraeen
para e en lR
(7)
donde f es la función h expresada en términos del ángulo polar e y w(r, e) = u(r cose, r sen e). Obsérvese que f pertenece a PC[- n, n] y que w debe ser periódica en econ periodo 2n y continuamente diferenciable dos veces en "la tira" < r < 1, --00 < e < 00 • Además, para asegurar que u es continuamente diferenciable dos veces en una región que contiene al origen, ha de imponerse la condición de que para cualquier o en lR, existen los límites de las derivadas de w hasta el segundo orden cuando (r, e) ~ (0, eo) y que son independientes de eo. Podría interpretarse el problema (7) como el modelo para las temperaturas de estado estacionario en un disco homogéneo delgado cuyas caras superior e inferior se encuentran perfectamente aisladas y para las cuales hay temperaturas de borde prescritas. Siguiendo el método de separación de variables para construir una solución formal del problema (7), primero se buscan las soluciones de (EDP) continuamente diferenciables dos veces y de la forma R(r)8(e). Tras sustituir R(r)8(e) en (EDP), las variables pueden separarse y, en consecuencia, se deben considerar las EDO separadas
°
e
8" - íL8 = 0,
2 . r R" + rR' + íLR =
°
(8)
donde íL es la constante de separación. Debe exigirse que la solución R(r)8(e) sea periódica en e y suave en e = n, así que deben tenerse las condiciones 8(-n) = 8(n), 8'(-n) = 8'(n). Todo lo anterior conduce al problema de Sturm-Liouville con condiciones de frontera periódicas 8" - íL8 = 0,
8(- n) = 8(n),
8'(-n) = 8(n)
Pero en el ejemplo 10.6.2 se consideró un problema· similar y se encontró que tiene una solución no trivial si y sÓlo si íL = íL" = _n2 , n = 0, 1, 2, .. .. Las soluciones de este problema de Sturm-Liouville están dadas por
n = 1, 2, ... donde An y Bn son números reales arbitrarios. Al sustituir íL por parada en (8) se obtienen las ecuaciones diferenciales 2 r 2R" + rR' - n R = 0,
íL" en la otra ecuación se-
n = O, 1,2, ...
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1& La ecuación de Euler aparece en el problema 4 de la sección 3.7.
Series de Fourier y separación de variables para EOP
Para cada n ésta es una ecuación de Euler que tiene la solución general R(r) = Ar n + Br- n
cuando n = 1, 2, ...
(9a)
cuando n = O
(9b)
y
R(r) = A+B In r
Pero como R debe comportarse bien cuando r ~ 0+, debe tomarse B = O Y entonces n = O, 1, 2, .. . Busquemos una solución formal para el problema (7) de la forma w(r, e) =
¿
+i
r n(A n cos ne + Bn sen ne)
(10)
n=!
Para calcular las constantes An Y Bn se impone la condición de frontera f(e) =
¿+
para
i(AnCosne + Bnsenne)
-n~e ~n
n=!
Si recordamos que {1, cos x, sen x, ... } es una base para PC[-n, n], se tiene 1 An =-
in in
n n
Bn = -1
n n
f(e)cosnede ,
n=
o,
1, 2, ... (11)
f(e) sen ne de,
n = 1, 2, ...
La solución (10) del problema de Dirichlet en (7) es un desarrollo en armónicos circulares La solución (10) con coeficientes definidos por (11) es sólo una solución formal para el problema de Dirichlet, pues nada se ha dicho todavía acerca de las propiedades de convergencia. Aunque no se demuestre, si la función límite h es continua por partes en aG, entonces la función w definida por las fórmulas (10) y (11) pertenece a C=(G) y satisface la EDP en (8). Las funciones de temperatura de estado estacionario tienen las mismas propiedades fuertes de suavidad que las de temperatura dependientes del tiempo de la ecuación de difusión en la sección 10.8. Si, además, h es continua en aG y también suave por partes, entonces puede demostrarse que las fórmulas (10) y (11) definen una solución clásica del problema (7). Si el disco tiene radio ro> O en lugar de radio 1, entonces (10) y (11) definen la solución del problema de Dirichlet correspondiente si r en (10) se sustituye por r/ro.
Propiedades de las funciones armónicas Las funciones armónicas tienen varias propiedades distintivas. En aras de la sencillez todos los resultados siguientes se expresan únicamente para regiones planas.
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689
10.9/ Ecuación de Laplace
y
x Figura 10.9.1 Disposición geométrica para la propiedad del valor medio.
Teorema 10.9.1
Propiedad del valor medio. Supóngase que u(x, y) es una solución de la ecuación de Laplace en una región plana R. Supóngase que (xo, Yo) es un punto de R y D es un disco de radio ro centrado en P(xo, Yo) ubicado por completo en R. Entonces
1 121C u(xo +rocose, Yo +ro sene)de 2n o
u(xo, Yo) = -
(12)
Es decir, el valor de una función armónica en un punto es el promedio de sus valores alrededor de cualquier círculo centrado en el punto. En la figura 10.9.1 se ilustra el arreglo geométrico expresado en el teorema. Para mostrar que (12) es válida, primero supóngase que las coordenadas polares r, e son relativas al punto P. Entonces, con la fórmula de solución (10) con r sustituida por rlro, se tiene u(xo, Yo)
= w(O,
e)
= Aa 2
donde por (11) el coeficiente Ao está dado por
!f1C u(xo + ro cose, n -1C
Yo
+ ro
sene)de
y con esto se termina la demostración.
Las funciones armónicas también satisfacen un principio del máximo.
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Teorema 10.9.2
Series de Fourier y sepa ración de variables para EOP
Principio del máximo para las funciones armónicas. A menos que la función armónica u sea una función constante, u no puede alcanzar su valor máximo o mínimo dentro de una región R de JR2. Para ver esto, supóngase que u logra su máximo en R en algún punto interior P de R. Entonces ese valor máximo es el promedio de los valores de u alrededor del borde de cualquier disco centrado en P y ubicado en R (teorema 10.9.1). Pero u es continua, así que u(P) no puede ser un promedio y un máximo a menos que los valores de u sean constantes. Un argumento similar se aplica al mínimo. En otras palabras, si R es una región y u es continua en R* , entonces los valores extremos de una función armónica no constante u se obtienen sólo en la froiltera de R. Una de las preguntas centrales es si un problema tiene exactamente una solución y si cambia continuamente con los datos . En tal caso, se dice que el problema está bien planteado . No es fácil demostrar la existencia de una solución para un problema de Dirichlet arbitrario, aunque para regiones de forma simple las soluciones pueden construirse con el método de separación de variables (por ejemplo, el problema de Dirichlet resuelto antes). Sin embargo, podría aplicarse el principio del máximo para deducir los otros dos aspectos de un problema de Dirichlet bien planteado (es decir, no más de una solución y continuidad en los datos) .
Teorema 10.9.3 Una región está acolada si puede contenerse en una bola. I@'
Unicidad y continuidad. El problema de Dirichlet (6) para una región acotada G en JR.2 no tiene más de una solución continua u en G* si los datos de frontera h son continuos en aG. Además, la solución (si existe) varía continuamente con respecto a los datos. Para ver esto, supóngase que V 2 u = V 2 v = O en G en tanto que u = h Y v = h + aG, donde h y lO son continuas en aG. Se demostrará que mín lO(P) ~ V - u ~ máx lO(P) Pen aG
lO
en
(13)
P en aG
para todos los valores de v(Q) - u(Q) , Q en G* . Si \€(P) \ es pequeño, v está cerca de u y se tiene continuidad en los datos . Ahora, para demostrar la desigualdad (13), sea w = v-u. Entonces el V 2 w = V 2 v - V 2 u = O en G. Por el principio del máximo (y el principio del mínimo correspondiente), mín w(P)
P enaG
~
w(Q)
~
máx w(P) PenaG
para toda w(Q), Q en G* . Pero w = v - u = h + lO - h = lO en aG y se da por terminado. Luego se utiliza la desigualdad (13) para mostrar que el problema (6) no tiene más de una solución. Digamos que U¡ y U2 son soluciones del problema (6). Entonces U = U¡ - U2 satisface (EDP) en G pero con U = O en aG. Por el mismo argumento que antes, O ~ U ~ O para todos los valores de U(Q), Q en G*. Así U = O Y U¡ = U2: el problema de Dirichlet en (6) no tiene más de una solución.
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691
10.9/ Ecuación de Laplace
Comentarios Por los resultados anteriores se observa que las funciones armónicas tienen propiedades fuertes y distintivas, las cuales pueden interpretarse en términos de las temperaturas de estado estacionario dentro de una placa delgada R cuyas caras superior e inferior están aisladas perfectamente y cuyas temperaturas están prescritas.
Problemas 1.
_
(Temperaturas de una placa.) (a) Demuestre que la solución formal del problema de temperatura de estado estacionario en la placa rectangular G: O < x < L, O < Y < M, modelada por
= O.
(EDP)
Uxx
(CF)l
u(O, y)
O~y~M
(CFh
u(L,
O~y~M
(CFh
u(x,
(CF)4
u(x, M)=O,
+uyy
enG
= a(y), y) = O, O) = O,
O~x~L O~x~L
está dada por co
~ ua(x, y)= ~An
nn» nn· sen-senh-(L-x) M M
n=l
donde An senh(nnLl M)= (b)
(e)
(a, sen(n¡ry/ M)
2
11 sen(n¡ry/
M)
21
M
=-
M o
11
a(y)sen(n¡ry/ M)dy
Demuestre que la solución formal del problema en G con temperaturas de frontera generales
=O
(EDP)
Uxx
(CFh
u(O, y)
O~y~M
(CFh
u(L,
O~y~M
(CFh
u(x,
(CF)4
u(x,
+uyy
= a(y), y) = f3(y), O) = y(x), M) = 8(x),
enG
O~x~L O~x~L
es u = Ua + uf3+ uy+ Ul), donde Ua se da en el inciso (a) y uf3,u~ U8 se definen de manera análoga. Repita el inciso (a) con una condición de aislamiento ux(O, y) = a(y), O~ Y ~ M que sustituye a (BC)l.
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692
Series de Fourier y separación de variables para EOP
2.
(d) Repita el inciso (a) con (BCh y (BC)4 sustituidas por las condiciones de "aislamiento perfecto" Uy(x, O) = O = Uy(x, M), O:S: x:S: L. (Temperaturas en un anillo.) Un anillo delgado G = {(r, O) : p < r < R, - n:S: O:S: n} tiene sus caras aisladas. Encuentre la temperatura estacionaria en G si las fronteras se mantienen a las temperaturas f( O) Y g( O) en r = p y r = R, respectivamente. [Sugerencia: proceda como en el texto para un disco, pero conserve ambos términos en las fórmulas (9a), (9b). Así, para determinar las constantes de superposición, se tiene
feO) = Aa + Bolnp + Lpll[An cosnO + Bn sen nO] 11
11
www 3.
y una expresión similar conf en lugar de g y p en vez de R. (Temperaturas en un disco.) Resuelva el problema de Dirichlet para las temperaturas de estado estacionario en el disco unitario. Encuentre las temperaturas máximas y mínimas en el disco: (a) Si feO) = 3 senO en el borde. (b) Si feO) = O+ n para- n:S: O < O; feO) = -O + n para O:S: O:S: n. (e) Si f(O) = O para-n
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y"+e-tIlOOy=O
Capítulo
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11
I
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-2
-3 +-__--+--+--r-__- -____
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200
~r_
\
,, ,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
_ _ _ _- -_ _ _ _- -_ _ _ _
400
600
,,
--+ , ~
800
Tiempo t En esta gráfica se muestra la posición de un peso accionado por un resorte. ¿Cuál es el comportamiento de largo plazo del resorte? Examine el ejemplo 11.1.1.
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Las ecuaciones diferenciales lineales con las que se modelan procesos naturales suelen tener coeficientes no constantes y podría suceder que las técnicas vistas en capítulos anteriores carezcan de aplicación. En esta sección se mostrará cómo pueden expresarse en forma de series las fórmulas para las soluciones de EOO lineales de segundo orden con coeficientes no constantes.
11.1 ~
Podría ser una buena idea revisar la sección 3.7 antes de empezar este capítulo.
Resortes deteriorados y temperaturas permanentes Las vibraciones de un resorte deteriorado, las isotermas en un cilindro sólido o en una esfera parcialmente cubierta con hielo, lo mismo que otros procesos naturales llevan a EDO lineales de segundo orden con coeficientes no constantes. Ya aprendimos a encontrar una fórmula de solución para las EDO lineales de primer orden con coeficientes constantes, pero no para las de segundo orden. En este capítulo se llenará ese espacio.
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694
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Empezaremos con dos ejemplos y luego veremos el método de series de potencias para expresar las soluciones de estas EDO modelo. Revisemos primero el caso de un resorte deteriorado.
Ejemplo 11 .1.1
~ Los resortes se modelaron en la sección 3.1 ; quizá quiera repasarla.
Resortes deteriorados La fuerza de un resorte disminuye paulatinamente con la edad hasta qUe se alarga más allá de su límite elástico. Los resortes son elementos básicos en abridores, puertas, cerraduras, amortiguadores y controladores, y su falla puede resultar catastrófica. Por tanto, los buenos modelos para el movimiento de un resorte son de importancia considerable. En la sección 3.1 vimos que el modelo del desplazamiento de un cuerpo de masa m moviéndose en una mesa uniforme sin fricción y sujeto a una pared por un resorte nuevo regido por la ley de Hooke está dado por my"(t) + ky(t) == O
~ En la sección 3.5 se explican estas soluciones sinusoidales.
donde k es la constante del resorte y el desplazamiento y(t) se mide a partir la posición de reposo del resorte. Las soluciones de esta EDO son sinusoides que oscilan con periodo 27r~m/k. Modelemos ahora la pérdida gradual de elasticidad mediante la sustitución de la constante k por una función que decae con el tiempo ke - éJ , para E> O: my"(t) + ke-éJ y(t) == O
(1)
¿A qué se parecen las soluciones y(t) de la EDO (1)? En la figura del principio del capítulo se indica qué debe esperarse. Cabría aguardar que y(t) oscilara siempre que el coeficiente elástico ke - éJ sea importante, pero tarde o temprano la fuerza restauradora será tan débil que la energía del movimiento será dominante y el modelo quedará inválido. La gráfica del principio del capítulo se construyó mediante un programa de resolución numérica, pero a veces es útil contar con una fórmula de solución. Aunque la EDO (1) es lineal, no se aplican directamente los métodos de los capítulos 3, 4 y 6 de modo directo porque los coeficientes no son constantes. En el ejemplo 11.2.9 se utiliza un método de coeficientes indeterminados para hallar las soluciones de la EDO (1) como serie de potencias y(t) = ao + alt + a t 2 + ... + ant n + ... 2
donde ao = y(O), al = y'(O). En la sección 11.7 se resuelve la EDO (1) por medio de funciones de Bessel, las cuales se definen en términos de series. En el ejemplo siguiente se empieza con una ecuación diferencial parcial (EDP) y se llega a una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
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11.1 / Resortes deteriorados y temperaturas permanentes
Ejemplo 11 .1.2 lfF Si no ha estudiado la sección 10.9 es posible que desee omitir este ejemplo.
Temperaturas estables en un cilindro
Un cilindro de hierro sólido de radio 1 y altura a se cubre con una capa de hielo que mantiene a cero grados la parte superior y la pared. En la parte inferior se coloca una fuente de calor que conserva la temperatura allí en niveles que dependen de la distancia radial desde el eje central del cilindro. Encontremos las temperaturas de estado estable dentro del cilindro. El cilindro se representa en coordenadas cilíndricas por O::; r::; 1, -7r::; e < 7r, O . ::; z::; a. Si la temperatura en el punto (r, e, z) se denota por u(r, e, z), entonces la temperatura del cilindro está modelada por el problema de valores en la frontera 2 1 1 V u = urr + -ur + 2u88 +'uzz = O, r r u(l, e, z) = O, u(r, e, a) = O, u(r, e, O) = J(r),
z
a u=O 1
O
O
O ::; z ::; a, O ::; r ::; 1,
-
7r ::; 7r ::;
-7r
e < 7r e < 7r
(2)
O::;r::;l, -7r::;e<7r
Puesto que los datos n0 dependen de e, se sospecha que la solución u del problema de valores en la frontera (2) es una función de r y z solamente, es decir, u = u(r, z). Retomamos el método de separación de variables descrito en la sección 10.7 y buscamos soluciones separadas de V 2 u = O, es decir, soluciones de la forma u = R(z)Z(z). Al sustituir u por R(r)Z(z) en V 2 u = O Y reconociendo que u88 =O [puesto que se supone que u(r, z) es independiente de e], se tiene R"(r)Z(z) +.!. R'(r)Z(z) + R(r)Z"(z) = O
r
Al separar las variables e introducir la constante de separación -íl, se observa que -1-
uj. f(r)
'""-
/
!R"+~R'=- Z" =-íl R
rR
Z
En particular, se tiene una EDO lineal de segundo orden con coeficientes no constantes para R(r): (3) rR" + R' + ílrR = O Algunas soluciones de la EDO (3) podrían escribirse como series de potencias R(r) = bo + blr + b2 r 2 + ... + bnr n + ... En 'la sección 11.8 se ahondará en este ejemplo. lfF En este momento podría ser una buena idea consultar el apéndice B.2 en relación con las series de potencias.
Método de series de potencias para resolver EDO En los ejemplos 11.1.1 y 11.1.2 se muestra cómo podrían surgir las EDO lineales de se.gundo orden con coeficientes constantes en la modelación de procesos naturales. En el
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
ejemplo que sigue se utiliza la EDO de coeficientes constantes que ya sabemos resolver y se muestra cómo pueden construirse estas soluciones en forma de series.
Ejemplo 11.1.3
Método de series de potencias para resolver EDO En la sección 3.4 se vio que el problema de valor inicial
~
Observe cuán inteligentemente se agregó la variable x para sustituir t. Se utilizará x como la variable independiente en gran parte del capítulo.
y"(X) + y(x) = O,
y(O) = 1,
y'(O) = O
(4)
tiene la solución única y(x) = cosx. Veamos cómo se usa la EDO para construir la solución del PVI (4) en la forma de una serie de potencias. Supóngase que el PVI (4) tiene una solución en la forma de una serie de potencias (5)
~
La derivación de una serie de potencias término por término se trata en el apéndice B.2, punto 4.
que converge en un intervalo que contiene el valor inicial Xo = O. El problema consiste en determinar los coeficientes a" tales que la suma de la serie es solución del PVI (4). Ahora se sabe que una serie de potencias puede derivarse término por término dentro de su intervalo de convergencia. Por consiguiente, al derivar y = I,;=oanx" se tiene y
,
~ 11 - 1 n- l = L... na"x =~ L... nanx
n=O
~
Los términos cero a menudo se eliminan de la serie.
n=1
(6)
n=2
n= 1
donde los términos con un coeficiente cero han sido eliminados de las sumas. Los primeros dos coeficientes ao Y al se determinan por las fórmulas (5), (6) y los datos iniciales: 2
1 = y(O) = ao +a J ·0+a2 .0 + ... = ao
0 = y'(O) = a J +2a2 ·0+3a3 .0 2 + ... = a J
Si se intercalan las sumas (5), (6) en la EDO del PVI (4) se tiene
Por consiguiente, para compensar reduzca el rango en 2 e incremente n en 2 dentro de la suma.
~
n=2
n=O
Para escribir la suma de estas dos series de potencias como una sola es necesario escribir de nuevo los Índices de la primera para que en el sumando aparezca xn en lugar de x" - 2:
L (n + 2)(n + l)an+2 xn + L anx
n=O
lJ
=O
n=O
L [(n+2)(n+ 1)a"+2 +a,,]x n = O n=O
(7)
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697
11.1 / Resortes· deteriorados y temperaturas permanentes
En este capítulo se utiliza mucho el teorema de identidad.
l0f'
Puesto que el cero está representado por la serie de potencias I,[O]x n, el teorema de identidad (véase el apéndice B.2, punto 5) establece que si la identidad (7) se cumple para toda x cerca de xo = O, entonces
(n + 2)(n + 1)an+2 +'a n = O,
n = 0,1,2, ...
Por tanto, se tiene una fórmula de recurrencia para los coeficientes:
a
n+2-
an (n+2)(n+l)'
n = 0,1,2, ...
(8)
Con la fórmula de recurrencia (8) y el hecho de que ao = 1, se nota que a
1 -_!!L-_
4-
4.3-24'
1 a ---6 720'
Así, en general, para k = 1,2, ... se tiene a
-
2k -
a 2k -
2
2k(2k -1)
a2k-4 (-ll (_l)k 2k(2k-1)(2k-2)(2k-3) = ... = (2k)! ao = (2k)!
la cual determina los coeficientes con subíndice par. Para los coeficientes con subíndice impar por la fórmula de recurrencia (8) y el hecho de que al = O, se demuestra que al
=0, a3
~O,
as =0, ... , a2k+1 =0,
para toda k = 1,2, . ..
Con los valores de ao, a2' a4' a6' ... , a2k' .. . determinados antes se tiene
En el apéndice B .2, punto 9, se da la serie de Taylor para cos x.
l0f'
La prueba de relación se da en el apéndice B.2, punto 3.
l0f'
1 4 1 6 (_l)k 2k = (-ll 2k 1 2 y(x)=l--x +-x - - x + .. ·+--x + .. . = I , - - x 2 24 720 (2k)! k=O (2k)!
(9)
Ésta es la serie de Taylor para cos x respecto al punto xo = O, como se esperaba. Es posible aplicar la prueba de relación para determinar el intervalo de convergencia: , 1(-l)k+1 x2k+2 /(2k+2)!I' x2 11m =hm =0 k-t= (_1)k x 2k/(2k)! k-t=(2k+2)(2k+1)
para toda x. Por consiguiente, la serie converge en cos x para toda x (pero eso ya se sabía). Las soluciones en forma de series de potencias tienen varias aplicaciones; por ejemplo, permiten estimar los valores de una solución, como se demuestra en seguida.
Ejemplo 11.1.4
¿Cuán buena resulta una aproximación polinomial?
Utilicemos la suma de los primeros tres términos distintos de cero P4(x) = 1- x2 /2 + x 4 /24 de la serie alternante (9) para aproximar la solución y(x) del PVI (4) en el intervalo Ixl::; 0.1. En ese intervalo cada término de dicha serie tiene una magnitud más pequeña que el término anterior, y el valor límite cuando k ~ 00 de la magnitud del k-ésimo
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
término x2k / (2k)! es igual a cero para cada valor fijo de x . En consecuencia, la prueba de series alternantes (apéndice B.2, punto 10) indica que
~ l-720 1~ 1.4 .10- 9 , x6
para Ix l ~0.1
Iy(x) - P4(x)1
6 donde - x 1720 es el término siguiente de la serie después de los tres términos de P4(x). El polinomio P4(X) es de hecho, una buena aproximación para y(x) si Ixl ~ 0.1
Como resultado de las propiedades de convergencia de las series de potencias cabría esperar que la suma de varios de los primeros términos fuera una aproximación útil cerca del punto base Xo del desarrollo (xo = O en los ejemplos 11.1.3 y 11.1.4) Y menos útil a cierta distancia de ese punto. En la figura 11.1 .1 se muestra la gráfica de la solución y(x) del PVI (4) y superposiciones de algunas de las aproximaciones polinomiales: 1 2 1 4 (_ 1)2k 2k p2k(x)=1 - - x + - x + " ' + - - x 2 24 (2k)!
(10)
Conforme se incrementa k, la curva "sigue" la solución exacta en un intervalo largo de x antes de alejarse. Obsérvese que el subíndice 2k de P2k debe ser muy grande para obtener una buena aproximación en todo el intervalo O ~ x ~ 8. El método de series de potencias puede usarse para resolver EDO lineales donde, a diferencia del ejemplo 11.1.3, no hay fórmulas de solución conocidas de forma cerrada. En el caso de coeficientes no constantes los detalles cambian un poco, pero el proceso básico es el mismo. Resumamos los pasos de este método cuando los coeficientes son polinomios. y" + y =o.
y(O)=l.
y'(O)=o
2
/
/
/
/
/ y(x ) = cos x
PI2 /
¿'
l
/
/
'" o
-1
o
2
4
6
8
x
Figura 11.1.1 Curva solución y(x) de un PVI y algunas de sus aproximaciones en serie truncadas (10).
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1.1.1 / Resortes deteriorados y temperaturas permanentes
Método de series de potencias para y" + P(x)y ' + Q(x)y =
En la siguiente sección se dan más detalles al respecto (muchos más).
!@"
°
A continuación se enumeran los pasos clave del método de series de potencias cuando los coeficientes P(x) y Q(x) son polinomios y el punto base de las soluciones en forma de serie es xo = O: • Inserte y = I,;=oanx n con coeficientes indeterminados a n en la EDO. • Escriba la ecuación resultante como una serie de potencias (escriba de nuevo los índices si es necesario).
I, [términos en los que intervienen varias aj]x n n=O
=
°
°
• Aplique el teorema de identidad para igualar a los términos que se hallan entre corchetes [ ... ]; resuelva estas ecuaciones en forma recursiva para a n, n ~ 2, usando los valores conocidos ao = y(O), al = y'(O).
Comentarios Otra razón de que las soluciones en serie de potencias sean importantes es que pueden usarse programas de resolución numérica basados en series de potencias para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales. Casi todos los cálculos digitales se basan en las cuatro operaciones aritméticas, y una aproximación polinomial como P2k(x) en (10) es muy adecuada para esos cálculos. Las técnicas de series de potencias son algunos de los métodos más empleados para construir soluciones de EDO lineales.
Problemas _____________________________________________ 1.
Determine mediante la prueba de relación el intervalo de convergencia para cada una de las series siguientes. [Sugerencia: en el apéndice B.2, punto 3 se da la prueba de relación.] . ~
n
~
(a) ~ eL -'"' n=O n.I
8 En el apéndice B.2, punto 8 se ve la serie de Taylor.
!@"
2.
(b)
n
2n+1
~
I, nxn
(e)
I,
X
n=I(2n+1)!
n=O 2
Desarrolle cada función en una serie de Taylor respecto al punto dado y encuentre el intervalo de convergencia. En el intervalo dado, trace las gráficas de la función y sus aproximaciones polinomiales usando los primeros dos, tres y cuatro términos de la serie distintos de cero. (a)
xo =0,
Ixl :s; 2
xo =0,
(b) sen x,
Ixl
(d)
--Ix,
xo =0,
Ixl:S; 'Ir
xo =1,
Ix-lid
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700
Series solución: funciones de Bessel y polinom ios de Legendre
3.
Escriba de nuevo los índices de cada una de las series como una serie de la forma n L,J ··]X . (a)
4.
f
2(n ~ 1) x n+l n=O n.
(b)
f
n(n - 1)an x n - 2
~
xl1+1
L (-lr-I ---=--
n=l n(n+ 1) n=2 Utilice la serie de Taylor de eX, sen x, cos x y 1/(1 + x) respecto al punto base Xo = O para obtener la serie de Taylor de cada una de las siguientes funciones. [Sugerencia: véase el apéndice B.2, punto 9.] (b) senx - cosx
5.
(e)
,
(e) senxcosx
Aplique el teorema de identidad [apéndice B.2, punto 5] para determinar una fórmula de recurrencia para a n en términos de ak, k < n . Luego "resuelva" cada fórmula de recurrencia para expresar cada an en términos de ao o al ' (a) L (na n - n+2)x" = O
n=l
n
(b) L[(n + l)a n -an_I]X = 0 n=l
~
(e) L [(n + 2)(n + l )an+2 - an]x" = 0 ,,=0
6.
7.
11 ~
Demuestre que y = L~ xn I n! es la solución de y" - y = O, y(O) = 1, y' (O) = 1 por sustitución directa. ¿Cómo se expresa esta solución en términos de funciones elemen-; tales? Use el método de series de potencias para llevar a cabo la tarea siguiente: (a) Resuelva el PVI y" - 4y = O, y(O) = 2, leO) = 2. Exprese la solución en términos de exponenciales y describa la relación entre esta forma de solución y la de series. (b) Trace la solución y las gráficas de las aproximaciones polinomiales que utilizan los primeros dos, tres y cuatro términos distintos de cero de las series en el intervalo Ixl ~ 1. Aplique el teorema de identidad [apéndice B.2, punto 5] para resolver el PVI. [Sugerencia: pruebe con y = anx n .]
L;
~
www •
9.
Lx
n y'(O) = O, y(O) = 0, , donde Ixl < 1 n=O n Encuentre el coeficiente alOO en la serie L :=oanX si se sabe que ao = al = 1 Y que
y" - y =
f,,=0 [(n + 1)2an+2 -n 2an+ +(n-l)a,,]x" =0 1
Encuentre una serie solución de la EDO (3) con í\. = 1 tal que R(O) = 1, R'(O) = O. Determine una fórmula de recurrencia y los primeros cuatro términos distintos de cero del desarrollo en serie. 11. (Resorte envejecido.) Elabore un modelo de un resorte viejo para el que la constante del resorte es cero después de un tiempo finito. Incluya lo siguiente en el análisis de su modelo.
10.
~
11
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77.2/ Series solución cerca de un punto ordinario
•
11.2
¿Qué esperaría que sucediera al resorte en el largo plazo? Compare su resultado con lo que sucede en una EDO modelo con constante de resorte cero. ¿Cuál es el efecto de incluir el amortiguamiento en el modelo del resorte viejo? Trace las gráficas de las soluciones de cada uno de los modelos construidos y explique el comportamiento de la solución.
Series solución cerca de un punto ordinario Si los coeficientes en una EDO lineal de segundo· orden no son constantes sino funciones de variable independiente, entonces a veces pueden usarse series de potencias para construir las soluciones. Como vimos en el ejemplo 11.1.3, se supone una solución en la forma de una serie de potencias; los coeficientes de la serie se determinan tras sustituir la serie en laEDO. La EDO a2 (x)y" + a l (x)y' + ao(x)y = O puede escribirse en forma normalizada como y" + P(x)y' + Q(x)y = O
I@' Las soluciones de la forma I. an (x - xo)" son apropiadas cuando los datos iniciales se dan en
x=xo ·
(1)
después de dividir entre el coeficiente principal a2(x). La EDO (1) es una forma más útil de expresar los resultados de esta sección. Se presenta un método para encontrar soluciones de series de potencias de la forma I,an(x - xo)n para la EDO (1) cuando P y Q son funciones analíticas reales en xo, es decir, cuando es posible expresar los coeficientes P(x) y Q(x) como la serie de potencias convergente en las potencias de x - Xo (véase el apéndice B.2, punto 8). Al final de la sección se utiliza el método para hallar una serie solución para la ecuación del resorte desgastado.
Puntos ordinarios, puntos singulares Se determinará que las soluciones de la EDO (1) cerca de un punto Xo son series de potencias en los exponentes de x - xo, donde Xo es un punto ordinario de la EDO, el cual se define como sigue:
.:. Punto ordinario. El punto Xo es un punto ordinario de la EDO (1) si tanto P(x) como Q(x) son funciones analíticas reales en xo. Lo contrario de "ordinario" es "singular":
.:. Punto singular. El punto Xo es un punto singular de la EDO (1) si P(x) y Q(x) no son funciones analíticas reales en xo.
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702
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Si xo es un punto ordinario, P(x) y Q(x) tienen series de Taylor ~
P(x) =
L Pn(x-xot,
Q(x) =
n=O
L qn(x-xot
(2)
n=O
que convergen dentr0 de un intervalo común centrado en xo. Los coeficientes Pn y q,! de la serie de Taylor (2) son _ p(n)(x o) Pn n."
qn =
Q(n)(x ) ,
o
n.
La identificación de los puntos ordinarios de (1) es el primer paso cuando se utiliza el método de series de potencias. Consideremos algunos ejemplos en los que se muestra cómo hacer esto.
Ejemplo 11.2.1
Coeficientes de polinomios
Cada punto Xo es un punto ordinario para la EDO (1) si los coeficientes P(x) y Q(x) son polinomios en x. Por ejemplo, el polinomio P(x) = 1 - x2 puede escribirse como una serie de Taylor finita en xo: P(x) = P(xo) +P'(xo)(x - xo) +.!. P"(xo)(x - XO)2
2
= (1- x6) - 2xo(x - xo) - (x - xO)2
Así, por ejemplo, cada punto es un punto ordinario para y" + (1 - x2)y' + Y = O.
Ejemplo 11.2.2
Más puntos ordinarios Todo punto Xo es un punto ordinario de y" + e -x y = O puesto que Q(x) = e -x tiene una serie de Taylor convergente en las potencias de x - Xo dada por e -x
_
~ 1 (- l)n e -Xo ( x - Xo )n
(3)
-,L, -
n=On!
que es una serie que converge en e-X para toda x .
Ejemplo 11.2.3
En el apéndice 8.2, punto 9, se da una serie geométrica.
I@'
Un punto ordinario y un punto singular
El punto Xo = O es un punto ordinario de la EDO y" + [1/(1 - x)]y = O puesto que 1/(1 - x) tiene un desarrollo de la serie geométrica convergente en Xo = O: _ 1_= ixn , l - x n=O
Sin embargo, el x
donde Ixl< 1
= 1 es un punto singular de la EDO, pues (1 -
X)-l
no se define en x
= 1.
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703
77. 2 / Series solución cerca de un punto ordinario
Ejemplo 11.2.4
Ecuación de Legendre
La EDO (1- x2) y" - 2xy' + p(p + l)y = O, donde p es una constante no negativa, se llama ecuación de Legendre de orden p . En la forma normalizada (1) los coeficientes son P(x) = -2x(1- x2 )- 1,
La EDO tiene dos singularidades, x = 1 Y x = -1. Todos los demás puntos son ordinarios porque un cociente de polinomios es una función analítica real excepto en las raíces del polinomio del denominador.
Ejemplo 11.2.5
Un punto singular
La EDO y" + Ix ly = O tiene una singularidad en O porque Ix l no es derivable en Xo = O, de modo que Ix l no tiene desarrollo de serie de Taylor en Xo = O. Todos los demás puntos Xo son ordinarios porque Ixl es analítica real en cualquier punto Xo 7= O. A veces una singularidad evidente es en realidad un punto ordinatio. Por ejemplo, la EDO y" + [(x -1) /(x 2 - l)]y = O tiene una singularidad evidente en x = 1, lo cual se elimina fácilmente al factorizar x2 - 1 Y cancelar el factor común x - 1 para obtener y" + Y/ex + 1) = O. Por tanto, 1 es una singularidad removible (en realidad, un punto ordinario) para esta EDO. Las singularidades se tratan como puntos ordinarios. El punto -1 es una singularidad sin importar cómo se escriba la EDO, así que -1 no es una singularidad removib le.
Soluciones de series cerca de un punto ordinario Supóngase que Xo es un punto ordinario de la EDO y" + P(x)y' + Q(x)y = O. Con el teorema 3.7.5 se garantiza que todas las soluciones de la EDO en la vecindad de Xo son generadas por un conjunto solución básico {Yl (x ), Y2 (x)} Se demostrará que todas las soluciones de la EDO cerca de Xo tienen la forma de una serie de potencias ¿~ a" (x - Xo y son analíticas reales en xo . Por el momento se supondrá que existen las soluciones de esta forma y se hallarán las condiciones en los coeficientes a" que convierten la serie en una solución . En seguida se da un ejemplo.
t
Ejemplo 11.2.6
Ecuación de Hermite
La EDO de segundo orden En el problema 6 de la sección 11.3 se analiza la forma general de la ecuación de Hermite.
I@"
y" - 2xy' + 2 y = O
(4)
es una forma particular de la ecuación de H ermite . En esta EDO se observa que = -2x y Q(x) = 2. Los puntos Xo son ordinarios y se buscan soluciones de la forma ¿a,,(x - XO)" . Si se cuenta con los datos iniciales y(xo) = Yo, y'(xo) = yb entOTI-
P(x)
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704
Series solución : funciones de Bessel y polinomios de Legendre
ces ao = Yo Y al = yó· Para simplificar se establece xo = O Y se encuentran las soluciones de la forma Y = L;=oanX n . Se determinarán los coeficientes an, n =2,3, 4, ..., en términos de ao y al. Al derivar la serie término por término se ve que dentro del intervalo de convergencia, ~
y' = L nanx n- I
y
y" =
I. n(n -1) a x n
n=2
n=1
n 2 -
Sustituyendo la serie para y, y' y y" en la EDO (4) se tiene
I. n(n -1)anx n- 2 - 2xn=¡I. nanx n-
I
+2
n=2 I@" Las claves del éxito de este método radican en reacomodar los índices para que las sumas estén en términos de la misma potencia de x (normalmente x") y empiecen : al mismo valor del índice (por lo común n = O).
I. anx n = O
(5)
n=O
Al reescribir los Índices de las dos primeras sumas se obtiene n2 I. n(n -1)anx - = I. (n + 2)(n + 1)an+2Xn n=2 n=O -2x I. nanx n- ¡ = I. 2(-n)anx n = I. 2( -n)anx n n=¡ n=¡ n=O
(6)
Por medio de (6) se combinan las series de (5) en una sola suma como ~
n L [en + 2)(n + 1)an+2 - 2nan + 2an ]x = O n=O
(7)
Por el teorema de identidad (apéndice B.2, punto 2), n = 0,1,2, ...
(n+2)(n+1)a n+2 -2nan +2an =0, Los pasos (7), (8) Y (9) son los importantes. I@"
(8)
y entonces se obtiene la fórmula de recurrencia para los coeficientes: a
2(n-l)an - ---'----'-'-'-n+2 - (n + 2)(n + 1) ,
n=0,1,2, ...
(9)
Dadas ao Y al' se emplea la fórmula de recurrencia (9) para determinar los coeficientes an0 Por ejemplo, - 2aO a2 =2T=-ao ,
a - 6a 4 6 -
Oa¡
a =-=0 3
3.2
--~a
6 .5 -
30 o'
~k+¡ =0,
'
La eliminación de todos los coeficientes con Índice impar excepto el primero (es decir, al) es un suceso afortunado. Las soluciones de la EDO (4) pueden escribirse como 2
1 6
4
1 30
6
Y = ao[l-x --x - - x -· · ·]+a¡x
(10)
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705
11.2/ Series solución cerca de un punto ordinario
donde ao y a¡ son constantes arbitrarias. En particular, si ao = 1, a l = O Y entonces ao = O, 1, se tienen dos soluciones de la EDO (4):
al =
YI = l - x
2
- 61 x 4 -
1
6
30 x - "',
Y2 = x
(11)
Obsérvese que y¡(x) y Y2(X) son un conjunto solución básico para la EDO (4) porque su wronskiano W[y¡, Y2](0) 7= O (teoremas 3.7.3 y 3.7.4). Por tanto, toda solución de la EDO (4) es una combinación lineal de las soluciones YI(x) y Yz(x). Hay dos preguntas acerca de las soluciones de la EDO (4) de la forma I,;=oanx n , donde los coeficientes an se determinan por la fórmula de recurrencia (9). ¿Cuál es el intervalo de convergencia de la serie solución? ¿Cuál es el valor específico del n-ésimo coeficiente a n ? Ambas interrogantes pueden responderse con gran facilidad para la EDO (4).
Ejemplo 11.2.7
Intervalo de convergencia: continuación del ejemplo 11.2.6 Encontramos el intervalo de convergencia de la serie solución (11), que tiene la forma 2k I,;=oa 2k x , donde 2(2k - l)a2k a2k+2 = (2k + 2)(2k + l)'
(12)
k = O,l, ...
que se obtiene por la fórmula de recurrencia (9) al fijar n = 2k. Si se aplica la prueba de relación se obtiene , la2k+2x2k+21 = 1lIll 2k
k-4=
a 2kx
X
2
I
I
2(2k - 1) lím = O, k-4= (2k + 2)(2k + 1)
para toda x
Así, la serie solución (11) converge para toda x. De vez en vez, es factible "resolver" una fórmula de recurrencia para los coeficientes del desarrollo en serie de potencias de una solución.
Ejemplo 11.2.8
Solución de la identidad de recurrencia: continuación del ejemplo 11.2.7 Por la ecuación (12) se tiene que a
2(2k -1)a2k
----'-----'--""---
2k+2 - (2k + 2)(2k + 1)
2(2 k -1)
----'----'--
2(2k - 3)a2k_2 _
(2k + 2)(2k + 1)
2k+\2k - 1)(2k - 3)···5·3 ·1· (-l)ao (2k+2)(2k+ 1)· ··4· 3· 2·1 2 k+1 (2k - 1)(2k - 3)·· ·5·3 ·1 (2k+2)!
ao
2k(2k - 1)
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
2(2k)! k!(2k+2)!
----'------'-- a
k = 0, 1,2, . . .
-
0 -
k! (2k + 2)(2k + 1) ,
(13)
donde se ha usado la identidad 2k(2k - 1)(2k _ 3) ... 3.1 = (2k)(2k - 1)(2k - 2)(2k - 3)···3·2 ·1 k(k - 1) .. ·4 ·2 (2k)! k!
Así, por medio de (13) la solución general de la EDO (4) de Hermite puede escribirse como
{l+ f
y = ao
a2k+2x2k+2} + alx
k=O
= a
Las series solución de las EDO son una de las fuentes más ricas de funciones útiles para la ingeniería y las ciencias.
lGIf'
o{
1-
=
(14)
2
k~O k!(2k + 2)(2k + 1)
x2k+2} + a x I
Aunque se ha "resuelto" la fórmula de recurrencia en este caso, no siempre es útil tener la solución, incluso cuando sea fácil. La fórmula de recurrencia (9), "no resuelta", tiene la forma adecuada para evaluar cuantos coeficientes se desee con un programa de computadora. La computadora debe recibir ao y al' la propia fórmula de recurrencia y un intervalo para n (por ejemplo, n = 2 a 100). Entonces hará el trabajo para la EDO (4) mediante la iteración de (9) para valores sucesivos pares de n, empezando con n = O. Cada conjunto de valores de ao y al en (14) produce una nueva solución de la EDO (4). Todas estas soluciones son analíticas reales para toda x; además, es fácil derivar o integrar la serie que define una solución, sólo derive o integre la serie término por término.
Convergencia Los pasos seguidos para resolver la EDO (4) reciben el nombre de método de serie de potencias. Hemos llevado a cabo los detalles del ejemplo anterior para mostrar cómo funciona este método en la práctica. Todo el trabajo sería en vano si la serie construida no convergiera en una solución, o quizá no convergiera en absoluto. Con el resultado siguiente se asegura que el método sea siempre fructífero.
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707
solución cerca de un punto ordinario
Teorema 11.2.1
Teorema de convergencia. Supóngase que L~=oPnXn, L~=o qnxn convergen en P(x) , P > O. Entonces el PVI
Q(x), respectivamente, en un intervalo común J = (-p,p),
Il@r Esta suposición sólo indica que P(x) y Q(x) son analíticas reales en xo = O.
y" + P(x )Y' + Q(x)y =
O,
y(O) = ao,
y'(O) =
al
(15)
n
tiene solución única y = I,;=o anx , donde los coeficientes a n, n :2: 2, se determinan por la fórmula de recurrencia n
(n + 2)(n + l)a n+2
+ I, [Pn-kak+' (k + 1) + qn- kak] = O
(16)
k=O
n
La serie I,;=oallx converge en 1. Con la fórmula de recurrencia se expresa a a n + 2 en términos de ak> k < n + 2; por tanto, puede usarse (16) para encontrar los coeficientes una vez que se tiene ao ya, . En la práctica, rara vez se usa (16) para una ecuación específica. Es mucho más fácil insertar la serie desconocida I, anx'f y su derivada respectiva en la ecuación diferencial, agrupar los coeficientes de potencias semejantes de x -como se hizo antes- y deducir directamente la fórmula de recurrencia.
Il@r La prueba del wronskiano para un conjunto solución básico se da en la sección 3.7
Las series de potencias datan del tiempo de Euler, pero fue Cauchyi quien las convirtió en una herramienta de rigor para las ecuaciones diferenciales. Si y, (x) y Y2(x) son soluciones del PVI (15), que, respectivamente, satisfacen los datos iniciales y, (O) = 1, y{ (O) = O Y Y2 (O) = O, y~ (O) = 1, entonces {YI (x) , Y2 (x)} es un conjunto solución básico para la EDO en (15). Esto se deduce porque el wronskiano del par {YI' Y2} es W[YI' Y2 ](0) = YI (O)y~ (O) - y{ (0)Y2 (O) = 1
En virtud que el wronskiano es distinto de cero, se deduce que {YI' Y2} es un conjunto solución básico para la EDO en el PVI (15). En consecuencia, las soluciones del PVI (15) están dadas por la fórmula y = aoY, (x) + a'Y2 (x), donde ao y al son números reales arbitrarios.
i
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy (1790-1857) fue un matemático prolífico que escribió más de 700 obras matemáticas. Trabajó en muchas áreas de la matemática; entre otras cosas, estableció los fundamentos del análisis matemático riguroso y demostró el teorema de existencia para las EoO con variables complejas y reales. Graduado de la Ecole Polytechnique en 1807, se convirtió en ingeniero civil que trabajó para el ejército de Napoleón en Cherburgo. En 1830 se negó a jurar obediencia al nuevo rey, lo cual le costó su trabajo en la Academia de Ciencias de París y lo forzó a salir de Francia. Volvió después de la revolución de 1848 Y se quedó hasta su muerte.
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708
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Resortes envejecidos Apliquemos la técnica de serie de potencias para encontrar las soluciones de la EDO para el resorte envejecido modelado en el ejemplo 11.1.1
Ejemplo 11.2.9
Series solución de la ecuación de un resorte viejo Una EDO para las vibraciones de un resorte viejo no amortiguado (sección 11.1) es my" + ke - €1 y = O
llW Recuerde que -[1
e
=
"' ~
(-El)" -;;¡.
L"II=O
donde m, k y E son constantes positivas. Supóngase que el valor de k/m = 1. Puesto que el coeficiente exponencial es analítico real en todo el eje t, es posible sustituir e -€1 por su serie de Taylor. La EDO satisface las condiciones del teorema de convergencia 11 .2.1 con (por ejemplo) to = O como el punto ordinario respecto al que se desarrollarán las soluciones en serie de potencias. Digamos que el valor dé k/m es 1 y que el resorte se estira 1 unidad desde su posición de equilibrio y luego se suelta: y"(t) +
[n~o (-~)" ]y(t) = O,
y(O) = 1,
leO) = O
(17)
La solución del PVI (1 7) es una serie de potencias :¿~ ant n que converge para toda t. Por tanto, reemplazando y(t) por :¿ antn y y" por :¿ n(n - 1) ant n- 2 , se obtiene
1~2 n(n -1)a/- + [n~o 2
(-:t
tI!
][n~o ant"] = O
(18)
Al escribir de nuevo los índices en la primera serie de (18) y aplicar la fórmula del producto para las series (véase el apéndice B.2, punto 6) se observa que
De esta ecuación y el teorema de identidad, se tiene (19)
Esta fórmula de recurrencia no puede resolverse fácilmente para a" + 2 en términos de ao o al' pero, como se hizo notar, esto no restringe su utilidad . . Para determinar la solución del PVI (1 7) se fijó ao = 1 Y al = O porque es preciso que y(O) = 1 Y y/(O) = O. Puede usarse (19) a fin de encontrar a2' a3' . . . :
http://carlos2524.jimdo.com/ e
77.2/ Series solución cerca de un punto ordinario
y" +e -Ü.OO2Jy= o,
1.0
709
y"+e-ü·OO2Jy=O,
y(O)= 1, y'(O) = O
y(O)=l,
y'(O)=O
0.9
0.8
'"
0.7
0.6
0.5
0.4 O.
o
0.2
0.4
0.6
1.0
0.8
. 2
3
t
Figura 11.2.1 Solución calculada y(t) (curva continua) y una aproximación polinomial P6 (curva de trazo discontinuo); la aproximación es muy buena para O::; t::; 1 (ejemplo 11.2.9).
ao=l,
Figura 11.2.2 La aproximación polinomial P6 (curva de trazo discontinuo) es un mal ajuste para la solución calculada y(t) (línea continua) a una distancia de t = O (ejemplo 11.2.9). 1 (_e)o a2=----ao=--
al=O,
1 a3= --
3·2
2
1
(_e)k --al-k
k=O
k!
L
1
O!
2'
e
1 = --[al
- ELlo] =-
6
6
De forma similar,
1
a4 = -(I-e
24
2
e
2
as=-(e
),
120
1 720
-4),
2
a6 = --(1-11e
4
+e )
Así, la solución del PVI (17) es y(t)=I--t
12 2
e3
+-t
6
1 --(1-11e 720 Una buena forma de verificar que no hubo error en los cálculos algebraicos.
ll2?
1
24
+-(I-e
24 2
e
)t +-(e
120
4
2
-4)t
s
(20)
6
+e )t + ...
Si se fija e = O en la fórmula (20), entonces se obtiene la serie de Taylor para cost respecto a to = O, la solución del PVI (17) si e = O. En las figuras 11.2.1 y 11.2.2 se traslapa la solución calculada del PVI (17) si e = 0.002 con la gráfica de la aproximación polinomial P6(t) que consta de los términos del desarrollo en serie de y(t) hasta t6. La aproximación es buena para O::; t::; 3, pero no así en el intervalo de tiempo más grande. La solución y(t) del PVI (17) calculada con un programa de resolución numérica muestra la elongación y luego la compresión del resorte, en tanto
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
que la aproximación polinomial P6(t) exagera mucho aquélla y retrasa el comienzo de ésta. Es necesario utilizar más términos en la serie (20) para empezar a corregir tales exageraciones. Como se mencionó, una aproximación polinomial derivada de una serie de potencias sólo puede ser exacta cerca del punto base del desarrollo de la serie. En la sección 11.7 volveremos al modelo del resorte viejo.
Comentarios En los ejemplos de esta sección se ilustran las ventajas y los inconvenientes de resolver PVI mediante desarrollos de series. Por un lado, se cuenta con fórmulas de solución en forma de serie que permiten evaluar las soluciones (por lo menos en forma aproximada) para valores específicos de la variable independiente. Por el otro, aunque con una suma parcial de la serie es posible aproximar muy bien la solución cerca del punto ordinario en el que se basan los desarrollos, la aproximación puede ser terrible lejos de ese punto. Segundo, es posible que no puedan desarrollarse las soluciones como series de potencias si una de las funciones coeficiente P(x) o Q(x) no es analítica real. Por ejemplo, como se anotó en el ejemplo 11.2.5 el método no produce una solución de la ecuación y"(x) + Ixly(x) = Oen algún intervalo que contenga a x = O porque la función coeficiente Ixl no es analítica real en O. Sin embargo, las soluciones de serie de potencias son útiles y aparecen con frecuencia tanto en la teoría como en l;:¡s aplicaciones.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
Determine si Xo es un punto ordinario o singular para cada EDO. (a) y" + k2y = O, Xo arbitraria [k es una constante]
(b) y" + _1_ y = O, Xo l+x
= -1
(e) y,,+.ly' - y=O, Xo =0 x
2.
(Puntos singulares.) Encuentre los puntos singulares (si existen) de las EDO si-
guientes.
11 3.
(a) y"+(senx)y'+(cosx)y=O
(b) y"-(ln lx l)y=O
(e) y"+lxly'+e-Xy=O (e) (l-x 2 )y"+xy'+y=0
(d) (l-x)y" + y' +(I- x 2 )y = O
(f)
x2y" + xy' - y = O
(Series solución en puntos ordinarios.) Verifiqlle que Xo = O es un punto ordinario y encuentre las soluciones como serie de potencias en x. Determine el intervalo de convergencia de la serie. Trace la solución que satisface y(O) = y'(O) = 1. [Sugeren-
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11 .2/ Series solución cerca de un punto ordinario
cia: utilice la serie de Taylor respecto Xo = Opara las soluciones ya conocidas de las EDO de los incisos (a) y (b).]
4.
_ • _
www 5.
6.
7.
8.
(a) y"+4y = 0
(b) y"-4y = 0
(e) y" + xy' + 3y = O
(d) (x 2 + l)y" - 6y = O
(Ecuación de Airy.) La ecuación de Airy es y" - xy = O. Algunas de sus soluciones se llaman funciones de Airy y sirven para modelar la difracción de la luz. (a) Encuentre las soluciones de la ecuación y" - xy = O como series de potencias enx. (b) Trace la solución que satisface y(O) = 1, y'(O) = O en el intervalo -20::; x::; 2. (e) Grafique las sumas de los primeros 2 y 4 términos permanentes del desarrollo de la serie solución de y" - xy = O, y(O) = 1, y'(O) = O. (d) ¿Por qué esperaría que la solución oscilara para x < O pero no para x> O? [Sugerencia: considere las soluciones de los PVI y" + ay = OY y" - ay = O, y(O) = 1, y'(O) = O donde a es una constante positiva.] (Ecuación de Mathieu.) La ecuación de Mathieu es y" + (a + bcosmx)y = O. Calcule los primeros cuatro coeficientes permanentes en el desarrollo en serie de potencias de la solución de la ecuación de Mathieu; use a = 1, b = 2, (O = 1 y y(O) = 1, y'(O) = O. (Se ries solución de PVI no lineales.) Supóngase una solución de la forma y = L~ anx n y encuentre ao, al " '" a7 para los PVI siguientes relacionados con EDO no lineales. (a) y' = 1+xy2, y(O) = O (b) y' = x 2 +i, y(O) = O (Cálculo de los coeficientes principales.) Calcule los primeros cinco términos distintos de cero en ~l desarrollo en serie de potencias de la solución general de la ecuación y"+ (l - e- X )y=O . (Estimación del valor de una solución.) Estime y(l) hasta tres lugares decimales si y(x) es la solución del PVI y" + x2y' + 2xy = O, y(O) = 1, y'(0) = o.
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
11 .3
Polinomios de Legendre La EDO lineal (1 - x 2 )y" - 2.xy' + p(p + l)y = O
(1)
do.nde p es una co.nstante no. negativa, se deno.mina ecuación de Legendre de orden p . La EDO (1) es en realidad una familia de ecuacio.nes diferenciales, una EDO para cada valo.r de p. El término. "o.rden p" se refiere a un facto.r en el co.eficiente del término. y en la EDO (1), no. al "o.rden de la ecuación diferencial" que es, po.r supuesto., 2. La ecuación de Legendre surge en una variedad aso.mbrosa de fenómeno.s físico.s que van del cálculo. de funcio.nes de po.tencial a la determinación de temperaturas de estado. estable en una bo.la sólida, dadas las temperaturas de superficie. La EDO reviste interés especial si p es un entero no. negativo., po.r ejemplo. n, pues en ese caso. la EDO (1) tiene una so.lución po.lino.mial Pn(x) de grado. n. Al principio., sin embargo., no. se restringe p a .valo.res entero.s.
Soluciones de la ecuación de legendre La ecuación de Legendre en fo.rma no.rmalizada es Y
,, _ ~ ,+p(p + 1)
1- x 2 Y
- O
1- x 2 y -
Debido. a que lo.S co.eficientes - 2x(1 - x2)-1 y p(p +1)(1- X2)-1 so.n funcio.nes analíticas reales en el intervalo. 1 = (- 1, 1), el punto. Xo = O es un punto. o.rdinario.. Para demo.strarlo. utilice una serie geo.métrica (véase el apéndice B.2, punto. 9) a fin de desarro.llar (1- x2) -1 en una serie de po.tencias co.nvergente: - 2x(1 - x2)-1 = - 2x(1 + x2
+ x 4 + ... + x2k + .. '),
Ix l
<1
Según el teo.rema de co.nvergencia de la sección 11.2, las so.lucio.nes de la ecuación de Lej gendre pueden escribirse co.mo. series de po.tencias co.nvergentes y = I.7=oa j x . El índice j se usa en lugar de n, pues n se reserva para usarlo. después en esta sección. En lo.s paso.s siguientes se verá que lo.s co.eficientes aj dependen del valo.r de p. Al sustituir I.7=oa j x J y su serie de derivadas término. po.r término. en (1) se o.bserva que I.7=oa j x J es una so.lución de la ecuación de Legendre (1) para Ixl < 1 si y sólo. si (1 - x 2 ) 0.,
Ij=O j(j - 1)aj x j- 2 - 2x j=OI jaj x j -
I
+ p(p + 1)
Ij=O ajx j = O
si se incluye a lo.s facto.res dentro de las sumas,
Ij=O j(j - 1)a j x j- 2 - j=O I j(j -l)aj x j - j=O I 2jaj x j + j=O I p(p+ l)a j x j = O
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713
11.3 / Polinomios de Legendre
Si se escriben de nuevo los índices de la primera suma después de notar que los términos que corresponden a j = O, 1 pueden eliminarse se obtiene
fo { (j + 2)(j + 1)aj +2 + [- j(j - 1) - 2j + p(p + l)]a j }xj = O Como -j(j - 1) - 2j + p(p + 1) = (p + j + 1)(P - j), se tiene la fórmula de recurrencia de L egendre a j +2 = Por tanto, si ao = 0, = a 4 = ... = también. Si al = 0, entonces, a3 =
~
°
~
as =
... =
(p + j + l)(p - j) (j+2)(j + 1) a j ,
(2)
j = 0,1, 2, ...
Obsérvese que el valor de ao determina a2, a4, ... , en tanto que a¡ determina a3, as, . . .. Con (2) y un argumento por inducción se obtiene
O.
a 2k -- (- 1) a
- (- 1) 2k+¡ -
k (p + 2k - 1)·· .(p + l)p·· .(p - 2k + 2) ao (2k)!
k (p + 2k )·· .(p
+ 2)(p - 1) · · .(p -
2k + 1)
(2k + 1)!
a
¡
(3a) (3b)
La convergencia para Ix l < 1 de cualquier serie solución infinita de la EDO (1) se deduce por (2) y la prueba de relación porque = I(p + j + l)(p - j) lx 2 (j + 2)(j +1)
que se aproxima a x2 cuando j ~ Para cada valor de p puede construirse un conjunto solución básico {y¡ (x) , Y2(x)} para la ecuación de Legendre al fijar primero ao = 1 Y a¡ = O a fin de encontrar una solución y¡ y luego invertir los valores ao = O, a¡ = 1 para hallar una segunda solución Y2: 00 •
y¡(x)=l-
Y2(x) = x -
(p+1)p
2 ·1
2 )k 2k x + ···+(- 1 a 2k x + ...
(p + 2)(p - l) 3 k 2k+¡ 3.2 x + ··· + (-1) a2k+¡x + ...
(4) (5)
donde a2k Y a2k+ ¡ están dadas respectivamente en (3a) y (3b). Obsérvese que y¡(x) es una función par; Y2(x) es impar. El par {y ¡, Y2} es un conjunto solución básico porque el wronskiano W [y¡ (O), Y2 (O)] = Yr(O)y~ (O) - Yi(O)y~ (O) = 1·1 - O· O = 1. La solución general de la ecuación de Legendre para Ixl < 1 es y = c¡y¡ (x) + c2Y2 (x)
Notése que c¡ =y(O) y c2 =y/(O) y que {y¡, Y2 } es una familia de conjuntos solución básicos [así como la EDO (1) es una familia de varias EDO], un conjunto para cada valor p . En la figura 11.3.1 se muestran las gráficas de y ¡(x) y Y2(x) en el caso p = 4.5; la serie para y¡(x) y Y2(x) diverge para Ixl = 1, lo cual se representa en las gráficas.
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios
(l-x2)y" - 2xy' + 4.5(5.5)y = O y¡(O) = 1,y'¡(0)=0 Y2(0) = O, Y '2(0) = 1
de Legendre
11.
1.0
-:
0.5
rt ;.
Q..,
o. o
c::
Te
~ -0.5 -2 .
-3~------~------~----+-~----~ -1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
Figura 11.3.1 Las gráficas de YI (x) Y Y2(x) para P = 4.5 [fórmulas (4), (5)]: sin límite en x = ± 1.
Figura 11.3.2 Gráficas de los primeros cinco polinomios de Legendre.
Polinomios de legendre Supóngase ahora que p = n, donde n es un entero no negativo. De (2) con p y j sustituidas por n se observa que an+2 = O;por tanto an+4 = an+6 = ... = O.Las ecuaciones de Legendre para n = 2k Y n = 2k + 1 tienen las soluciones polinomiales respectivas q2k y q2k+1de grado 2k y 2k + 1 [tome ao = 1, al = O para q2k' y ao = O, al = 1 para q2k+l]: (2k + 1)2k
y=q2k(x)=1y=q2k+l(x)=x-
2
x
(2k
+ 3)2k 6
2
+".+(-1)
k
a2kx
3
x + ... +(-1)
k
2k
a2k+lx
(6) 2k+1
(7)
donde a2k Y azk+1 están dadas por (3a) y (3b) con p = 2k Y p = 2k + 1, respectivamente. Cualquier múltiplo constante distinto de cero de una solución polinomial es otra solución polinomial del mismo grado. Para normalizar los polinomios es común dividir cada uno entre su valor en x = 1. Los polinomios de Legendre están dados por Il@j" Esto funciona porque para toda n, qll(1) O.
¡,' (1
*
=q2k(X)
P2k (x)
D
(1)' Q2k
r2k+1
(x)=Q2k+I(X) (1) , Q2k+1
k
012 = , , ,...
(8)
Hay una sola fórmula (¡complicada!) para estos polinomios, P (x)=n
1
[n/2]
n
j=O
2
(2
L (-l)j j!(n-
2 ·)1
nJ. j)!(n-2j)!
xn-2j
(9)
donde [n/2] denota el entero más grande no mayor que n/2, es decir, la parte entera del número n/2. Por (6) a (8) o por (9) se tiene que
Te
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11.3 / Polinomios de Legendre
Po = 1,
P¡ = x,
1 1 P4 =-(35x 4 - 30x2 +3), Ps =-(63x s -70x 3 +15x)
8
8
Véase la figura 11.3.2. Las ecuaciones (6) a (8) o (9) no son medios eficaces de construir los polinomios de Legendre. Por fortuna hay un proceso recursivo que facilita las cosas.
Teorema 11.3.1
Relación de recurrencia de Legendre. Para n = 2, 3, ... , 1 1 Pn(x) = (2 --)xPn_1(x)- (1- - )Pn-2(x) n n
(10)
La relación de recurrencia (10) puede verificarse mediante (9) para expresar cada polinomio de Legendre y observar entonces (tras combinar términos de potencias semejantes de x) que los términos en los miembros izquierdo y derecho de (10) son idénticos. Así, con Po = 1 Y PI = x puede usarse (10) para encontrar P 2, P 3 , ....
Propiedades de los polinomios de legendre Recuérdese que en la sección lOA vimos que la familia de funciones seno {sen nx : n = 1, 2, .. . } tiene la "propiedad de ortogonalidad" en el intervalo O::; x::; n:
s:
sen nxsen mxdx =
{~/2,
n1=m n=m
La familia de polinomios de Legendre tiene una propiedad similar para - 1 ::; x::; 1.
Teorema 11.3.2
= O,
Ortogonalidad de polinomios de Legendre. Los polinomios de Legendre P,,(x), n 1, 2,... tienen la propiedad que I
J
{~n1=m
Pn(x)Pm(x)dx= _2_ n = m -1 2n+1 '
(11)
La razón es la siguiente: Pn(x) y P m(x) son las soluciones de las EDO de Legendre de órdenes n y m, respectivamente: (1 - x2 )P;'- 2xP; + n(n + l)Pn = O (1- x2)p,;; - 2xP~ + m(m + l)Pm = O
Si la primera ecuación se multiplica por P m Y la segunda por P n la resta produce (1 - x 2 )[P;'Pm - P';;Pn ]-2x[P;Pm -P~Pn] = [m(m + 1) - n(n + l)]PnPm
(12)
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
El miembro izquierdo de (12) pm;de expresarse como la derivada
!
2 [(1 - x )(P:Pm -
P~Pn)]
(13)
Al integrar ambos miembros de (12) de -1 a 1 y usar (13) se obtiene [(1-
~2)(P:Pm - P~Pn)] I ::~¡ = [m(m + 1) - n(n + l)]f/n(X)Pm(X)dx
El miembro izquierdo de esta igualdad desaparece; por tanto, para n =1= m debe tenerse
L
Pn(x)Pm(x)dx = O
Se omite la demostración del resultado en (11) para n = m. La propiedad de ortogonalidad (11) para los polinomios de Legendre tiene la misma importancia en la resolución de problemas límite para la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas (sección 11.8) que la que tiene la ortogonalidad de la familia de funciones seno para resolver problemas límite para la difusión del calor en una varilla (sección 10.8). Los polinomios de Legendre tienen muchas otras propiedades; en la tabla 11.3.1 se muestran las más importantes. Deduzcamos parte de la propiedad de "raíces y límites" .
Teorema 11.3.3
Raíces y límites. Los polinomios de Legendre tienen las propiedades siguientes: Pn(x), n > O, tiene n raíces reales distintas y están en el intervalo (- 1, 1).
(a)
(b) I@' Consulte el manual de recursos para el estudiante para la comprobación del inciso (b).
IPn (x)l::;l silxl ::; 1yn = 0,1,2, ....
t
(a) Como Po(x) = l y t ¡ Pn(x)dx= Pn(x)Po(x)dx = 0 si n > O [por (11)], Pix) debe tomar valores positivos y negativos en1el intervalo -1::; x::; 1. Puesto que Pn(x) es continuo y cambia de signo enel intervalo, ha de tener por lo menos una raíz real en el intervalo. Sean X¡, ... , xk las raÍCes reales de Pn(x) en (- 1, 1). Estas raÍCes son simples, porque si Xj fuera una raíz múltiple, entonces, Pn(x j ) = P:(x)
=O
Por el teorema fundamental (teorema 3.2.1) estas condiciones determinan una solución única de la ecuación de Legendre de orden n. En virtud de que la trivial es una solución de este problema de valor de inicial y P n otra, debe tenerse Pn(x) = O para toda x . Tal contradicción muestra que las raíces son simples. Para demostrar que k = n, supóngase que Qk(X) es el polinomio de grado k con raíces simples en X¡, . . . , xk definido por
Puesto que P n(x ) y Qk(x) cambian de sigqo en cada Xj' se observa que P n(X) Qk(x ) tiene un signo fijo en [-1, 1], por consiguiente, -¡ Pn(x )Qk(x)dx =1= O. Sin embargo, si Qk(x) tiene
J
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717
77.3 / Polinomios de Legendre
grado menor que¡n, entonces con el resultado del problema 3 en el conjunto de problemas se observa que Pn(x )Qk (x)dx = O. Esta contradicción muestra que Qk(X) tiene grado por lo menos n. Por consiguiente, Pn tiene exactamente n raíces distintas en (-1 , 1) porque como polinomio de grado n, Pn no puede tener más de n raíces distintas.
L
Comentarios La familia de polinomios de Legendre no es el único conjunto de polinomios ortogonales que puede surgir cuando se buscan las series solución de una familia de EDO. Los polinomios de Herrnite y de Chebyshev aparecen de la misma manera, pero de diferentes EDO y con una interpretación de ortogonalidad distintas. En los problemas se ofrecen algunas de sus propiedades. Igual que para los polinomios de Legendre, los de Herrnite y los de Chebyshev sirven a menudo para resolver problemas de frontera para EDP; también aparecen en muchas otras aplicaciones. En la sección 11.8 veremos de nuevo los polinomios de Legendre al buscar una fórmula de solución para las temperaturas permanentes en una esfera. En la tabla siguiente se resumen las propiedades más usadas de los polinomios de Legendre.
Tabla 11.3.1 Polinomios de Legendre Pn(x)
Ecuación diferencial Desarrollo Fórmula de Rodríguez
PIl(x), n
lj(x ) = x P3 (x ) = (5x 3 - 3x) / 2
= O, ... , 5
Ps(x ) = (63x 5 - 70x 3 + l 5x)/8
Fórmula de recurrencia Pn = (2 -lIn)xPn_¡ - (1 - lIn)Pn_2
{~i(2n + 1) ,
Ortogonalidad
f/n(X)Pm(X)dx =
Raíces y límites
Pn tiene n raíces reales, todas en (-1, 1); { !Pn(x) l ::; 1, x en [- 1, 1] Pn(l) = 1,
Valores
Identidades
{ P2n+¡(O) = O,
Pn(- l) = (-lt, P2n (O) = (_ l)n 2(2n)! 2 2 n(n!) x P: -nPn = P:- 1 2 (1- x )p: + nxPn = nPn- 1
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Problemas ____________~------------------------------www
ti 1. 2.
(La EDO de Legendre y el método del wronskiano.) Las ecuaciones de Legendre de órdenes O y 1 tienen las soluciones respectivas Po = 1 Y p¡ = x. Utilice el método de reducción del wronskiano (problema 6, sección 3.7) para encontrar una segunda solución independiente para cada caso en términos de funciones elementales. Trace la segunda solución para Ixl < 1. (Valores de polinomios de Legendre.) Demuestre que P2n +¡ (O) = O,
3.
4.
F (O) - (_l)n
2n
-
(2n)! 2 2n (n!)2'
P (-1) = (_l)n
n
[Sugerencia: utilice la inducción sobre n y una identidad de la tabla 11.3.1 para demostrar la tercera fórmula.] (Una propiedad de ortogonalidad.) Demuestre que Pn(x)Q(x)dx = O, si n > O Y Q(x) es cualquier polinomio de grado k < n. [Sugerenc}a: aplique la inducción sobre k para demostrar que hay constantes ca' ... ' ck tales que Q(x) = coPo + c¡p¡ (x) + ... + ckPk(x). Luego utilice el teorema 11.3.2.] (Polinomios de Legendre y armónicas zonales.) El problema de valor en la frontera
r
senf/>(p2 up )p +(senf/>uI/J)I/J = O, u(l, f/» = f(f/»,
O ~ f/> < Te,
P<1
O~f/>~Te
se utiliza para modelar las temperaturas de estado estable u (p, f/» en la bola unitaria p ~ 1 si la temperatura en el punto con coordenadas esféricas (p, f/>, f)) sólo depende de p y f/>, pero no de f). Véase en las secciones 10.9 y 11.8 la deducción de estos problemas de valor en la frontera. (a) Demuestre que el método de separación de variables (véase la sección 10.7) implica que las soluciones separadas u = R(p )cI>( f/» de la EDP en problema de valor en la frontera satisface "-.
p2 R" + 2pR' - AR = O,
0< p < 1
cI>" + cotf/> cI>' + .1,cI> = O,
0< f/> < Te
donde A es una constante de separación que se supone no negativa (b) Suponiendo que la constante de separación A del inciso (a) es no negativa, demuestre que el cambio de variables x = cos f/> cambia la EDO para cI>( f/» en el inciso (a) a la ecuación de Legendre
1,
l'
(1- x2 )y" - 2xy' + p(p + l)y = O
5.
donde y(x) = cI>(f/» Y P = (112)(-1 +..J1 + 4.1,). Explique por qué, por razones físicas, p debe ser un entero no negativo. [Sugerencia: si p no es un entero, demuestre que cI>( f/» no tiene límite cuando cI> ---7 Oo Te.] (Polinomios ortogonales.) Supóngase que {Rn (x) : n = O, 1, 2, ...} es una familia de polinomios cuyo índice corresponde al grado (es decir, grado de Rn = n). Sea p(x) positiva y continua en un intervalo abierto 1 = (a, b), y supóngase que
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77.3 / Polinomios de Legendre
existen límx __M+p(x) y límx-->b-p(x) (aunque los valores límite pueden ser infinitos). Se dice que la familia de polinomios es ortogonal en 1 con respecto a la densidad p (o peso , o factor escala ) si el producto escalar (Rn,Rm) =
s:
Rn (x)Rm(x)p(x)dx
es cero para todas n, m, n t: m
~
¿Cuáles son los valores de a, b y P para la familia ortogonal de polinomios de Legendre? (b) Demuestre que si {Rn: n = 0,1,2, ...} es una familia de polinomios ortogonales en 1 con respecto a p, entonces hay constantes a n , bn, cn tales que se satisface la relación de recurrencia de tres términos n=2,3, ... [Sugerencia :Rn = allxRn_1 + an_¡Rn_¡ +an- 2Rn- 2 + ... + aoRo para algunas consj:S; n-2.] (Fórmula de recurrencia para los polinomios de Legendre.) Use (10) para encontrar los valores de a n, b n Y cn en la fórmula de recurrencia de tres términos
tantes a i ·. Entonces calcule los productos escalares (Rn, Rj
(e)
l'
para los polinomios de Legendre de la tabla 11.3.1 . ~
Examine del ejemplo 11.2.6 al 11.2.8 para la ecuación de Hermite de orden 1 y sus soluciones.
(Ecuación de Hermite y polinomios.) La ecuación de Hermite de orden n, donde n es un entero no negativo, es y" - 2xy' + 2ny = O. (a) Demuestre que la ecuación tiene soluciones que son polinomios de grado n y éstos son funciones pares si n es par e impares si es impar. (b) Los polinomios de Hermite Hn se determinan seleccionando (para cada n) la solución polinomial con el coeficiente principal 2n: Hn(x) = 2 n xn + Oxn-'2 + ... .
Con la notación del problema (5), demuestre que la familia de polinomios de 2 Hermite es ortogonal en la recta real con respecto a la densidad p = e-x. (e) Es posible demostrar que la fórmula de recurrencia de tres términos para los polinomios de Hermite es Hn = 2xHn_1 - 2(n - 1)Hn_2
Con Ho = 1, H¡ = 2x y esta fórmula, construya H 2, ... , H s. Trace H2, ... , Hspara Ix l :S; 3 y formule una conjetura en relación con el número y la naturaleza de las raÍCes de H,,(x). (Ecuación de Chebyshev y polinomios.) La ecuación de Chebyshev de orden n, n un entero no negativo, es (1- x 2 )y" - xy' + n2y = O. (a) Demuestre que la ecuación tiene soluciones que son polinomios de grado n y que éstos son funciones pares si n es par e impares si es impar. (b) Los polinomios de Chebyshev Tn, n > O, se determinan seleccionando la solución polinomial con 2 n - 1 como coeficiente de x". Sea To = 1. Demuestre que la familia de polinomios de Chebyshev es ortogonal en 1 = [-1, 1] con respecto a la densidad (1_x 2 )-1/2. (e) Se sabe que la fórmula de recurrencia de tres términos para los polinomios de Chebysheves Tn = 2xT,,_1 - Tn- 2. Use la fórmula y To = 1, 1i = x para construir
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
T2 , . .. , Ts' Trace To ,"" Ts ' Conjeture el número, la ubicación y la naturaleza de las raíces reales de Tn(x). [De hecho, Tn(x) = cos(narccosx), pero no se demuestra aquí.]
11.4
Puntos singulares regulares El método de series de potencias es útil para construir una solución de serie de potencias convergente de una EDO lineal de segundo orden en un intervalo centrado en un punto ordinario. Si éste no es ordinario pero es singular, el método puede fracasar. Como varias EDO que surgen en relación con los fenómenos de la modelación de movimiento de ondas, el flujo de calor y el potencial eléctrico son de interés principalmente en la vecindad de puntos singulares, se precisan métodos nuevos para encontrar las fórmulas de solución. En 150 años más o menos desde que se reconoció tal necesidad se han encontrado métodos que funcionan con el grueso de las singularidades que probablemente ocurran en la práctica. Algunas EDO con singularidades pueden resolverse de manera explícita sin series, y así se hará en esta sección. Podría pensarse que, en general, resulta difícil describir las soluciones cerca de una singularidad, pero no siempre es así, como veremos en seguida.
Puntos singulares regulares LaEDO a2 (x)y" + al (x)y' + ao(x)y = O
(1)
puede normalizarse dividiendo entre a2(x) para obtener la EDO y" + P(x)y' + Q(x)y = O
(2)
donde P = al / a 2 Y Q = ao / a 2. Nuestra meta en el resto del capítulo es modificar las series y las técnicas de coeficientes indeterminados de la sección 11.2 para construir las fórmulas de solución para la EDO (2) en la vecindad de un punto singular "regular". Recuérdese que en la sección 11.2 vimos que Xo es un punto singular de la EDO (2) si P o Q no son analíticas reales en xo. La "regularidad" se define como sigue:
.:. Puntos singulares regulares. Un punto singular Xo de la EDO (2) es reguLar si las funciones p(x) = (x - xo)P(x)
son analíticas reales en xo .
y
q(x) = (x - xoi Q(x)
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11.4 / Puntos singulares regulares
Los valores (finitos) de p(xo) y q(xo) están dados, respectivamente, por límX-Ho (x - xo)P(x) y lím X --7 X O (x - xO)2 Q(x). Un punto singular de la EDO (2) que no es regular se conoce como irregular. Si Xo es un punto singular regular de la EDO (2), entonces multiplicando por (x - xo)2 se observa que la EDO puede escribirse en la forma normal
+ (x - xo)p(x)y' + q(x)y = O
(x - xoi y"
(3)
donde p y q son funciones analíticas reales en xo. A veces se utiliza el operador L lineal que, aplicado a y(t), produce L[y] = (x - xO)2 D
2
+ (x - xo)p(x)D+ q(x)
En los ejemplos siguientes se muestra cómo clasificar las singularidades de una EDO como regulares o irregulares y cómo escribir una EDO en la forma normal con respecto a cada singularidad regular.
Ejemplo 11.4.1
Un puntq singular regular
El punto Xo = O es un punto singular de la EDO normalizada ~
Nótese que ésta es una ecuación de Euler (revise el problema 4 en la sección 3.7).
y" - 2x- 1y' + 2x-2y = O porque P(x) = -2x- 1 y Q(x) = 2x-2 son finitas en x = O. Sin embargo, la singularidad es regular porque las funciones p(x) = x . P(x) = - 2 Y q(x) = x2 . Q(x) = 2 son analíticas reales en Xo = O. La forma normal es x2y" - 2xy' + 2y = O
No hay puntos singulares distintos de Xo
Ejemplo 11 .4.2
= O.
Ecuación de Legendre y puntos singulares regulares
La ecuación de Legendre de orden r 2
(1 - x )y" - 2xy' + r(r + l)y = O
tiene singularidades en x
= ± 1. Dividiendo entre 1 y
"
2x 1-x
---2Y
x2, se obtiene la EDO
,r(r+1) O +--2- y = 1-x
Así, P(x) = -2x(1- x2)- 1 y Q(x) = r(r+ 1)(1- x2)- I . Con Xo
= 1, se tiene
p(x) = (x - l)P(x)::= 2x(1 + X)- l, q(x) = (x _1) 2Q(x) = -r(r+ l)(x -1)(1 + x)- l
(4)
"
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Para demostrar que p y q son analíticas reales en 1, desarrolle (1 + x)-I en una serie geométrica: 1& Ésta es una serie
geométrica en las potencias de (x - 1)/2 en lugar dex.
_1_ l+x
L
1 2 1+(x-1)/2
=! f
(- lt - 1 (x -1)n 2n=o 2n
que converge para Ix - 11 < 2. La forma normal en x = 1 es (x _ 1)2 y" +(x -l)p(x)y' + q(x)y = O
donde p(x) y q(x) están dadas en (4). Por tanto, la ecuación de Legendre de orden r tiene una singularidad regular en x = 1. De manera similar, x = - 1 es una singularidad regular.
Ejemplo 11.4.3
Un punto singular irregular LaEDO y" +2x-3 y = O
tiene una singularidad irregular en xo = O porque Q(x) = 2x-3 se vuelve infinita en O y q(x) = x2 . 2x -3 = 2x -1 aún se vuelve infinita en O (así que q no es analítica real en O).
Ejemplo 11.4.4
Puntos singulares regulares e irregulares La EDO x 3 (x -l)y" + y = O se escribe en forma normal como y" +x-3 (x - 1)-l y = O
Debido a que Q(x) = x-\x _1)-1 se vuelve infinita en x = O Y en x = 1, estos puntos son singulares. Como q(x) = x2 . x 3 (x _ 1)-1 = x- 1(x _ 1)-1 aún se vuelve infinitaenx= O, el oriq(x) = (x _1)2. x- 3 (x _ 1)-1 = x- 3 (x - 1) gen es un punto singular irregular. Sin embargo, es analítica real en x = 1 (tiene valor O en ese punto), entonces x = 1 es un punto singular regular. La forma normal de la EDO y" + x-\x _ 1)-1 Y = O es (x _ 1)2 y" + x-3 (x - l)y = O
para el punto singular regular x = 1.
Ejemplo 11 .4.5
Otro punto singular irregular El punto xo = O es una singularidad irregular de y" + Ixl y' + y = O
porque p(x) = xlxl no es analítica real en xo = O.
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723
11.4 / Puntos singulares regulares
Los demás puntos de los ejemplos anteriores son ordinarios, por lo que es posible usar los métodos de la sección 11 .2 para encontrar soluciones analíticas reales en forma de series de potencias convergentes en la vecindad de tal punto. Nuestro objetivo aquí y en el resto del capítulo es resolver (2) cerca de un punto singular regular xo. En lo subsiguiente se supondrá que Xo = O es un punto singular regular de (2). Si Xo -:t- O es un punto singular regular, puede traducirse a O por el cambio de variable x = x - Xo y la EDO resultante en xtiene Ocomo un punto singular regular. Por tal razón, a partir de ahora resolveremos únicamente EDO con un punto singular regular en Xo = O.
EDO de Euler
1&' En la próxima sec-
ción se usan las series para resolver EDO más complicadas con singularidades regulares.
El tipo más simple de EDO con un punto singular regular en O es la ecuación de Euler (o de Cauchy, o de Cauchy-Euler, o equidimensional), que encontramos por vez primera en el problema 4 de la sección 3.7, X
2 "
Y
+ Poxy + qoY = O I
(5)
donde Po Y qo son constantes reales. Las EDO de Euler pueden resolverse por completo en términos de funciones elementales. La forma de la EDO (5) sugiere que y = xr podría ser una solución para algún valor de r. Así, sustituyendo y por xr en la EDO (5) se tiene que x 2 r ( r - 1) x r- 2 + poxrx r-I
+ qox r = O
r [r(r - 1)+ por+ qo]x = O
Por tanto, y = xr es una solución de la EDO (5) si y sólo si r es una raíz del polinomio in2 dicial f(r) = r + (Po -1)r + qo asociado con la EDO (5). Estas raíces, r¡ y r2, son
(6) y se llaman raíces indiciales de la EDO (5). Consideraremos por separado tres casos donde rl Y r2 son reales y distintas, reales e iguales o complejos conjugados.
Raíces reales y distintas Busquemos todas las soluciones definidas en el intervalo x > O. Si las raíces rl Y r2 son reales y distintas, entonces un conjunto solución básico para la EDO (5) es {xr¡, x r2}- La razón de esto es que cada una de las funciones es una solución y el wronskiano W[ X r¡ ,
X
r2]_ -
X
Ij
1 1 -+0 r2x r2- - r¡x Ij - I x r2 -( - r2 - r¡ ) X lj+r2. -r-
:1
JI
H
,.
1I
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
que evidentemente es distinto de cero para x "# O. La solución general de la EDO (5) es en este caso
x>O
o
(7)
x
donde e l Y e2 son reales arbitrarias. Resulta que y = el Ixl'¡ + e2 Ixlr2 , para las constantes reales arbitrarias el Y e2, es la solución general en el intervalo x < O.
Ejemplo 11 .4.6
EDO de Euler: raíces reales distintas La EDO x2y" - 2xy' + 2y = O es una EDO de Euler con polinomio indicial J(r) = r 2 - 3r + 2 = (r - l)(r - 2) Y las raíces indiciales rl = 1, r2 = 2. Obsérvese que en este caso la restricción x > O es innecesaria, y la solución general y = el x + e2x2 se define para toda x. La solución general define una familia de líneas (e2 = O) Y parábolas (C2 "# O) que pasan por el origen. El "comportamiento singular" en este caso radica en el hecho de que el PVI
x2y" - 2xy' + 2y = O,
y(O) = a,
leO) = b
(8)
no tiene ninguna solución si a"# O, e infinitamente muchas si a = O. Esto no viola el teorema de existencia y unicidad para PVI (teorema 3.2.1) porque la EDO normalizada y" - 2x- Iy' + 2x-2y = O no satisface las hipótesis de ese teorema en un rectángulo en el plano xy que comprende el punto (O, b), para cualquier b. En la figura 11.4.1 se ven las soluciones del PVI (8) en el caso de a = O, b = 2. En este caso las soluciones tienen la forma y = 2x + c2x2, donde C2 es una constante arbitraria; se trazan las soluciones para tres valores negativos y tres positivos de c2 (las parábolas de trazo discontinuo), así como para C2 = O (la línea continua).
Raíces iguales r
Si las raíces rl Y r2 del polinomio indicial son iguales, entonces YI = x ¡ es una solución de la EDO (5), pero ha de trabajarse un poco para encontrar una segunda solución independiente. La forma más fácil de proceder es cambiar la variable independiente x en la EDO (5) a s por medio de la fórmula x = es. La EDO transformada para y(s) es 2 d y dy O (9) ds2 + (Po - 1) ds + qoY = Obsérvese que el polinomio característico de la EDO (9) es exactamente el polinomio indicial de la EDO (5), así que si los índices rl Y r2 son iguales, entonces por el teorema 3.4.1, la solución general de la EDO (9) es y(s) = eler¡s + e 2se r¡s, donde el y e 2 son reales arbitrarios. De regreso a las variables x, se ve que s = In x y que er¡s = (e S)r¡ = x\ por tanto, la solución general de la EDO (5) es
x>O
(10)
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77.4 / Puntos singulares regulares
x 2y"-yI4=0 x 2y"_2xy' +2y =0
x
x
Figura 11.4.1 Las curvas solución de esta ecuación de Figura 11.4.2 Las curvas solución de esta ecuación de Euler pasan por el origen (ejemplo 11.4.6). Euler también pasan por el origen (ejemplo 11.4.7).
{x" , x
r1 donde C I y C2 son constante reales. Como se esperaba, lnx} es un conjunto solución básico para x > O, pues el wronskiano no es cero. Para x < O utilice Ixl en lugar de x en la fórmula anterior.
Ejemplo 11.4.7
EDO de Euler: raíces iguales El polinomio indicial de la EDO de Euler x2y" + yl 4 = O es f(r) = r 2 - r + 11 4 = (r -112/. Las funciones YI = x l / 2 y Y2 = xll2 lnx forman un par de soluciones independientes en el intervalo x > O. En la fi~ra 11.4.2 se observan las gráficas de YI, Y2 (curvas de trazo continuo) y algunas combinaciones lineales de YI y Y2 (curvas de trazo discontinuo).
Raíces complejas conjugadas Supóngase que las raíces del polinomio indicial son rI = a + if3 = "2' f3:;j:. O. Puesto que L[xa+i/3] = O, se observa que xa+i/3 es una solución de valores complejos de la EDO (5). Se tiene del apéndice B.3 que xa+i/3
= e(a+ij3)Inx = ea1nX[cos(f31nx)]+i sen(f31nx) a
a
= x cos(f31nx) + ix sen(f31nx)
Así, según el teorema 3.6.3, las funciones
x>O forman un conjunto solución básico para la EDO (5). Use Ixl en lugar de x si x < O.
(11)
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
x2y" + (1 - 2a)xy' + (a2 + 400)y = O x2y" + 2xy' + 400.25y = O
' .5
xry" + xy' + 400y = O
2.5
LO
x2y" + 400.25y = O
L5
0.5 0. 5
'"
?-. 0.0
-0.5
- 0.5 -)
- l .
-1.5
o
-lO~ .O --O.l --'.O --'.l -~ l.O
-2.5
x
x
x
(a)
(b)
(e)
Figura 11.4.3 Curvas solución y = x a cos(201nx) de la ecuación de Euler (12): = -0.5, (b) a = O, (e) a = 0.5 (ejemplo 11.4.8).
(a) a
Ejemplo 11.4.8
EDO de Euler: raíces complejas conjugadas La EDO de Euler x2y" + (1- 2a)xy' + (a
2
+ 400)y = O
(12)
donde a es una constante real, tiene el polinomio indicial 2 2 r - 2ar + a + 400
cuyas raíces son r¡, r2 = a
± 20i . Así a
y¡ = x cos(20 lnx),
Yz = x a sen(201nx)
genera el espacio solución. En la figura 11.4.3 se muestran las gráficas de y¡ (x) para a = -0.5, O,y 0.5. El comportamiento rápidamente oscilante cerca del origen corresponde al hecho de que el In x ~ - 00 cuando x disminuye hacia O, lo cual significa que la frecuencia del término coseno tiende al infmito. El factor x a controla la amplitud de las oscilaciones.
Comentarios En los ejemplos y figuras de esta sección se muestra que las soluciones de una ecuación de Euler para x > O podrían o no comportarse de formas raras cerca de la singularidad regular en el origen. El comportamiento queda determinado plenamente por la naturaleza de las raíces del polinomio indicial. Las soluciones cobran sentido para los valores negativos de x al sustituir x por Ixl en todas las fórmulas de solución. Obsérvese que en ciertos casos, las soluciones se definen en x = O (véanse, por ejemplo, las EDO de los ejemplos 11.4.6, 11.4.7).
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727
11.4 / Puntos singulares regu lares
En suma, se tienen las fórmulas siguientes para la solución general de la EDO de Euler (5) con coeficientes reales en términos de las raíces r¡ y r2 del polinomio indicial 2 r + (Po -l)r + qo: r¡, r2 reales
si r¡ = r2 si r¡ ='2
(13)
= a+if3
dondexf:- O. La extensión de estas ideas para encontrar soluciones cerca de una singularidad regular de una EDO distinta de la forma de Euler se aborda en las secciones restantes de este capítulo.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Singularidades regulares e irregulares.) Determine si el punto dado es un punto singular regular o irregular para la EDO correspondiente. (a) x 2y" + xy'+y = 0, xo = O (b) xy"+(1 - x)y'+xy = O, xo = O (e) x(1 - x)y" + (1-2x)y' -4y = O, Xo
2.
.3.
1- x
(e) x(1 - x2)3 y" + (1- X2)2 y' + 2(1 + x)y = O (d) x 3(1 - x 2 )y" - x(x + 1)y' + (1 - x)y = 0
(EDO de Euler.) Determine la solución general de valores reales (para x > O) de cada una de las ecuaciones siguientes. Trace algunas soluciones de cada ecuación. (a) x 2y"-6y = 0 (b) x 2y" + xy' - 4y = 0 (e) x 2y" + xy' + 9y = 0 (e) xy" -:- y' + (5 Ix)y = 0
(l) x 2y"+7xy' + 9y = 0
(EDO no homogéneas de Euler.) Encuentre la solución general para x> O de cada una de las EDO siguientes. [Sugerencia: utilice los coeficientes indeterminados para encontrar una solución polinomial específica.] (a) x2y" - 4xy' + 6y = 2x + 5
5.
Xo = 0
y,,+(~)2 y'+(1 + X)2 y = 0
(d) x 2y" + xy' / 2 - y I2 = 0
4.
(d) x2y" + 2y'l x+4y = O,
(Clasificación de puntos singulares.) Encuentre y clasifique todos los puntos singulares de las ecuaciones siguientes. (a) (1 - x 2 )y" - xy' + 2y = O (b)
WWW
=1
(b) x2y" - 6y = 2X2
(Soluciones decadentes de EDO de Euler.) Demuestre que toda solución y(x) de la EDO x2y" + Poxy' + qoY = O, Po, qo real, tiene la propiedad de que Iy(x) I ~ Ocuando x ~ 00 si y sólo si Po > 1 Y qo > O.
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
6.
(EDO de Euler de n-ésimo orden.) La EDO de Euler de n-ésimo orden es x>O
(14)
donde ao, a¡, .. . , a n- l son constantes reales. El polinomio indicial es p(r) = r(r-l) ···(r - n+l)+r(r - I)···(r - n+2)a n_1 +"' + ral +ao' (a) Demuestre que y = x r¡, x> O, es una solución de (14) si y sólo si r ¡ es una raíz de p(r). (b) Utilice el inciso (a) para encontrar tres soluciones independientes de x 3 y'" + 4 x 2y"-2 y = 0, x>O.
11.5
Series solución cerca de puntos singulares regulares, I Las EDO con puntos regulares predominan en la modelación matemática de fenómenos físicos. Si la EDO tiene forma de ecuación de Euler puede resolverse de manera explícita ea términos de potencias, logaritmos o funciones trigonométricas de logaritmos de la variable independiente. Si la EDO tiene una singularidad regular pero no es de la forma de Euler debe buscarse en otra parte las fórmulas de solución. Una combinación de las series de potencias de la sección 11 .2 y las soluciones de Euler de la sección precedente brindan justo lo que se desea, soluciones como ~
xr lnx
L anx n,
~
o
X
U
cos(¡3lnx)
L anx n n=O
n=O
En esta sección se presta atención a las soluciones del primer tipo. El enfoque que se usará es un caso especial de técnicas creadas en el siglo XIX por Sturm, Fuchs, Frobenius y muchos otros. Más tarde, Weyl amplió la teoría a los puntos singulares irregulares.
Polinomios indiciales y serie de Frobenius Supóngase que x
= O es un punto singular regular de la EDO a2 (x)y" + al (x)y' + ao(x)y = O
1& Se parece a una ecuación de Euler, pero p y q no necesariamente son constantes.
Al multiplicar la ecuación por x 2/a2, se obtiene la EDO en la forma normal, x2y" + xp(x)y' + q(x)y = O
(1)
donde p = xa¡ / a2 Y q = x2 ao / a2 ' Se supone que las funciones p y q son analíticas reales en O y tienen desarrollos en series de potencias de la forma p(x) =
L Pnxn , n=O
=
q(x) =
L qn xn n=O
(2)
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11.5/ Series solución cerca de puntos singulares regulares, I
que convergen en un intervalo común J centrado en O. La definición siguiente amplía una similar dada en la última sección.
14) 1)
.:. Polinomio indicial. Si Po, qo son términos constantes en las series de potencias de (2), entonces elpolinonúo indicial de la EDO (1) está dado por j(r) = r2 + (Po -1) 'r + qo. Sus raíces rl Y r2 son las raíces indiciales de la EDO (1) en xo = O.
aíz "+
Si todos los coeficientes de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) desaparecen (excepto, posiblemente, Po Y qo), entonces la EDO (1) es una ecuación de Euler y la definición del polinomio indicial concuerda con la anterior. Nuestro objetivo radica en encontrar soluciones de la EDO (1) en la forma de una serie de Frobenius
,. nos ícila a sente
(3) Como veremos, el exponente r resultará ser una raíz indicial rl o r2' Y es posible hallar los coeficientes ao, al' ... por extensión del método de series de potencias utilizado en la sección 11.2. En el ejemplo siguiente se muestra cómo determinar las soluciones en la forma de una serie de Frobenius.
-..;
Ejemplo 11.5.1
Obtención de la relación de recurrencia para una serie de Frobenius Considere la ecuación 4xy" +2y'
se
us
+Y=O
Al multiplicar por x/4 para llevar la ecuación a la forma normal (1) se obtiene x ,x+-y= x 2"y +-y 2 4 Se observa que p(x) indicial es
=
1/2, q(x)
= x/4,
es
(2)
O
(5)
así que O es un punto singular regular. El polinomio j(r) = r2
(1)
(4)
-
r/2
puesto que Po = 1/2 Y qo = O [porque q(x) = x/4 tiene el término constante O en su serie de Taylor]. Las raíces indiciales son 1/2 y O. En lo que sigue será más conveniente usar (4) en vez de la forma normal (5). Tome x como positiva en el análisis siguiente. Si se desprecian por el momento las cuestiones de convergencia, se supone que (4) tiene una solución de la forma y = atiXn+r . Esta serie y sus primeras dos derivadas término por término se insertarán en la EDO (4) para y, y', y":
L,~
4x
f (n + r)(n + r _1)a"x
n r2 +-
n=O
+2
f (n + r)anx
n rl +-
11=0
+
f a.x"?' 11=0
=O
11
11
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Si se introducen los factores 4x y 2 en las sumas se obtiene =
=
=
L 4(n + r)(n + r - l)anx,,+r- I + L 2(n + r)anx n+r- I + L anx,,+r = O n=O
n=O
(6)
n=O
Al escribir de nuevo los índices de la última suma se tiene L~ a"x n+r = L~ an_1x,,+r-l. Aislando el primer término (n = O) en cada una de las otras dos sumas de modo que las tres empiecen en n = 1, se puede sustituir (6) por r
r I
4(0 + r)(O+ r-l)aox - I + 2(0 + r)aox -
+ I,[4(n+r)(n + r-l)an + 2(n + r)a" +a,,_tlxn+r- I =0 ,,=1
o, después de la simplificación algebraica,
I,
r x - I{4r(r-.!..)a o + [2(n+ r)(2n+2r-l)a ll + a,, _¡] 2 n=1
X"}= O
(7)
El miembro izquierdo de (7) es O para toda x en algún intervalo centrado en x = O si y sólo si la expresión entre llaves es O. A su vez, esto puede pasar si y sólo si el coeficiente de cada potencia de x en esa expresión es O (el teorema de identidad para series de potencias). Se tienen las relaciones de recurrencia siguientes:
n=O: n
~
1:
4r(r-~)a0=0
(8a)
2(n+r)(2n+2r - l)an +an_1 =0
(8b)
De (8a) se concluye que r = 1/2, o O, o ao = O. Recuérdese del ejemplo 11 .5.1 que f(r) = r(r -1/2)
es el polinomio indicial y rl = 1/2 Y r2 = O son las raíces indiciales. Si se establece r = 1/2 o O puede tomarse a ao como una constante arbitraria. Los coeficientes restantes son fu nciones de r y ao. Pueden determinarse a partir de la fórmula general de recurrencia _
a" ( r) -
-an _ 1(r)
2(n + r)(2n + 2r -1)
,
n = 1, 2, ...
(9)
que es una reestructuración de (8b). La obtención de la relación de recurrencia de una solución en serie de Frobenius es el paso cardinal, y se ha logrado con la derivación de la fórmula (9). Ahora es posible construir un par de soluciones independientes de la EDO (4).
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11.5 / Series solución cerca de puntos singulares regulares, I
Ejemplo 11.5.2
Construcción de una serie de Frobenius De vuelta a la EDO (4), a su polinomio indicial y a su fórmula de recurrencia (9) se nota que si r es alguna de las raíces 1/2, O del polinomio indicial, entonces el denominador en (9) no es cero para n = 1,2, ... Con la relación de recurrencia para obtener an en términos de ao, se tiene para n ~ 1 .
a
()
-an _ 1(r)
r=---~":"":'--
n
2(n+r)(2n+2r-l) a n - 2 (r)
2(n + r)(2n + 2r-l)2(n -1 + r)(2n- 2 + 2r-l)
(lO)
(-lt ao 2 n(n + r)(n + r-l)·· ·(r+ 1)(2n + 2r-l)(2n + 2r- 3)·· ·(2r+ 1)
=---------~~~~---------
Obsérvese en la ecuación (10) que ao = O produce la solución trivial y = O para toda x (puesto que cada coeficiente a n = O), o bien se interrumpe el proceso de recurrencia si desaparece un factor del denominador de (10). Para r = 1/2 o Ono puede ocurrir esta dificultad. Evaluemos an(r) primero para r = O Y luego para r = 1/2: a (0)= (-I)n ao = (-lt ao n n 2 n!(2n-l)(2n-3) ... 1 (2n)! a n
(1)'2
(-lta o = 2 n(n+1I2)(n-1I2) ... (3/2)(2n)(2n-2) ... 2
(11)
(12)
(-I)n ao (2n+ 1)(2n-l)·· ·3(2n)(2n - 2)···2 _ (-trao (2n+l)! Puede usarse (11) y (12) para construir un par de soluciones básicas para la EDO (4): 1/2 ~ (-lt xn YI(X)=X
~(2n+l)!'
.E =
Y2(X) =
(-lt xn (2n)!
(13)
En términos más precisos, la solución YI(x) se define para x> O, o para x < O si se sustituye xl/2 por Ix11l2. Pero YI(x) no es una solución en x = O porque el término Xl/2 no es de~ rivable ahí. La segunda solución está definida y es dos veces continuamente derivable para toda x. Las series de potencias en (13) convergen en todas partes (use la prueba de relación). Ahora es fácil justificar los pasos anteriores y comprobar que las dos funciones definidas en (13) son en realidad soluciones de (4). Esto se realiza mediante la inserción directa de YI y Y2 en (4). Naturalmente, las relaciones de recurrencia se eligieron específicamente para que YI y Y2 sean soluciones. Como las partes de las series de potencias de YI y Y2 con-
"
l'
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Series solución : funciones de Bessel y polinomios de Legendre
vergen para toda x, es correcto derivarlas término por término. Las funciones y¡ y Y2 son independientes porque Y2(0) = 1, en tanto que ly¡(x)1 ---¿ O cuando x ---¿ O. Por tanto, {y¡, Y2 } es un par de soluciones básicas para la EDO (4). Obsérvese que aun cuando no se haya determinado el polinomio indicial y las raÍCes indiciales antes de empezar el proceso de determinar los coeficientes, el polinomio (o un múltiplo de él) aparece como coeficiente de ao en (Sa); en ese punto pudo haberse escogido r como una raíz del polinomio. Determinaremos que este hecho útil se cumple también para la EDO general (1).
Método de Frobenius El método de series de potencias empleado en el ejemplo anterior se llama método de Fro benius, y las series solución obtenidas son series de Frobenius. Una serie de Frobenius puede ser una serie de potencias normal [véase ylx) en (13)] o tener una x elevada a una potencia que no es un entero [véase y¡(x) en (13)]. La técnica siempre generará por lo menos una solución no trivial definida cerca de (pero quizás no en) el punto singular regular. Muchas veces el proceso también produce una segunda solución independiente como en el ejemplo anterior; no siempre. Se tiene el teorema básico siguiente.
Teorema 11.5.1
Teorema de Frobenius. Supóngase que xo
= O es un punto singular regular para
x2y" + xp(x)y' + q(x)y = O
(14)
y que Po Y qo son los términos constantes en el desarrollo en serie de Taylor LPnXn y Lqnxn de p(x) y q(x ) en Xo = O. Supóngase que el polinomio indicial J(r) = r
2
+ (Po -l)r + qo
tiene las raíces reales, r¡ y r2, con r2:::; r¡. Entonces la EDO (14) tiene una solución de la forma y ¡ =Ixl'i Lan(r¡)x
n
,
x> O
o
(15)
x
n=O
con ao No es fácil deducir esta relación. I@'
I@' Busque más abajo la razón por la que se supone que '1 - '2 no es un entero.
*"
O, donde los coeficientes se determinan por la re lación de recurrencia n-¡ J(r¡ +n)an(r¡) = - L [(k+ r¡)Pn-k +qn-k]ak( r¡),
n21
(16)
k=O
donde ao = 1. La serie en (5) converge en una función analítica real en el intervalo J donde converja la serie de Taylor para p(x) y q(x). Si r¡ - r2 no es un entero, una segunda solución independiente está dada por la serie x> O
o
(17)
x< O
n=O
donde los coeficientes se determinan por (16) con r2 en vez de r¡ y ao (17) converge en J a una función analítica real.
*"
O. La serie en
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11.5/ Series solución cerca de puntos singulares regulares, 1
Normalmente la forma más eficaz de resolver una EDO específica es por sustitución directa y el método de series de potencias, como en el ejemplo anterior, en lugar de usar directamente las relaciones de recurrencia de (16). Cuando r¡ - r2 es un entero debe usarse un poco de ingenio para construir una solución que es independiente de y¡. Puede verse de (16) dónde se interrumpe la fórmula de recu2 rrencia en este caso. Supóngase que r¡ - r2 = 3. Entonces el polinomio indicial f(r) = r + (Po -1)r+qo se factoriza en f(r) = (r - r2)(r - r2 - 3) y se observa que f(r2 +3) =3·0 = O. La fórmula de recurrencia para r = r2 Y n = 3 se vuelve O· a3 = - L~=o[" ']ak; imposible .determinar a3 en general. , Se ha visto que la construcción de una solución en serie de Frobenius y = xr anx n de la EDO consta de los pasos siguientes en el caso donde las raíces indiciales r¡ y r2 son reales, r2~ r¡.
LO'
• Compruebe que la ecuación diferencial puede escribirse en la forma x2y" + xp(x)y' + q(x)y = O donde P = L~ Pnxn y q = L~ qn xn ; cada serie converge en un intervalo abierto que contiene a O. El punto x = O es entonces una singularidad regular y se aplica el método de Frobenius. Este paso no debe omitirse porque serán necesarios los números Po = p(O) y qo = q(O). • Escriba el polinomio indicial f(r) = r 2 + (Po -1)r + qo := O y encuentre sus raíces, es decir, las raíces indiciales r¡ y r2 ~ r¡ que se supone son reales. • Quite cualquier denominador de la ecuación diferencial y cancele los factores comunes. Por ejemplo, la primera de las EDO siguientes debe escribirse como la segunda: x2y" +xy' +[x 3 / (l+x)]y = O x(1 + x)y" + (1 + x)y' + x2y = O La ecuación resultante no debe tener la forma x2y" + xp(x)y' + q(x)y = O. • Inserte la serie L~ anx n+r y sus derivadas término por término en la EDO anterior. • Escriba de nuevo los índices y reestructure la serie resultante hasta que obtenga =
f(r)aox r + L [.. ·]x n+ r = O n=¡ Al llevar a cabo la operación anterior, tenga mucho cuidado de no perder los términos principales deja serie (por ejemplo, los términos que corresponden a n = O o 1). Al igualar a cero la expresión entre corchetes se obtiene la fórmula de recurrencia para los coeficientes. • Resuelva la fórmula de recurrencia si ya la ha simplificado lo suficiente y encuentre los coeficientes an en términos de ao' De otro modo, use la fórmula de recurrencia para encontrar los primeros coeficientes en términos de ao' • Establezca r = r¡ en la fórmula pe recurrencia para encontrar una solución y¡ = x r1 L~ . anx n con ao ;;j:; O· • Si r¡ - r2 no es un entero, repita el proceso con r = r2 para encontrar una segunda solución independiente Y2 = x r2 L~ bnx n con bo;;j:; O.
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734
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
• Los números ao y b o son arbitrarios, pero para obtener soluciones específicas iguale ao y bo con constantes específicas. • Si rI - r2 es un entero, encuentre una segunda solución independiente que corresponda a la raíz indicial r2. (En la sección 11.7 se dan ejemplos de cómo hacerlo.)
Comentarios Hemos supuesto que O es un punto singular regular de la ecuación. Si es un punto ordinario deben aplicarse los métodos de series de -la sección 11.2. Si O es un punto singular irregular, podrían funcionar o no los métodos de series, pero vale la pena intentarlo. Si Xo #- O es una singularidad regular de (1), entonces sustituya x por x = x + Xo en (1) y use los pasos descritos antes para la EDO en x.
Problemas _____________________________________________ 1.
n n (Serie de Frobenius.) Encuentre las soluciones YI = xli L~ anx y Y2 = x r2L~ bnx donde rI Y r2 son las raíces indiciales, r2 < rI , Y ao = 1. Encuentre la fórmula de re-
currencia para los coeficientes. (a) 9x 2y"+3x (x + 3)y'-(4x+l)y = 0
2.
(h) 4x 2y"+x(2x+9)y'+ y =0
(e) x2y" + x(l - x)y' - 2y = O (d) x\l- x 2 )y" + x (x -l)y' + 8y / 9 = O (EDO no homogéneas.) Determine los primeros cuatro términos distintos de cero del desarrollo en serie de potencias de una solución particular de la EDO x 2y" + x(1 - x)y' - 2y = ln(l+x)
www 3.
4.
5. 6.
Después encuentre la solución general. [Sugerencia: primero encuentre la solución general de la EDO no homogénea x2y" + x(l- x )y' - 2y = O-véase el problema l(c). En seguida, desarrolle ln(l + x) en una serie de Taylor respecto a Xo = O (véase el apéndice B.2, punto 8). Entonces supóngase una solución particular de la forma Yd = L~ anx n y use el método de series de potencias para encontrar las ano ] (Serie de Frobenius.) Resuelva la EDO 3x 2y" + 5xy' - eX y = O mediante el desarrollo de eX en una serie de Taylor con respecto a Xo = O Y recordando la fórmula para el producto de dos series (apéndice B.2). Sólo ha de encontrar los primeros cuatro términos en forma explícita en la serie de Frobenius. (Serie de Frobenius y no unicidad.) Encuentre una solución de xy" - y' - 4x 3 y = O para la cual y(O) = y'(O) = O, pero y(x) no es idénticamente cero. ¿Por qué esto no contradice la unicidad del teorema fundamental 3.2.l? Demuestre que la EDO x3 y" + y = O no tiene soluciones no triviales de la forma y = XrL~ anx n . ¿Por qué esto no contradice los resultados de esta sección? (Ecuación de Laguerre y polinomios.) La EDO xy" + (1 - x)y' + py = O es la ecuación de Laguerre de orden p .
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endre
735
11.6/ Funciones de Bessel
°
pon-
dinairre:f. O
7.
s pa-
(a) Demuestre que es un punto singular regular. (b) Encuentre la fórmula de recurrencia para los coeficientes de una solución en serie de Frobenius. Resuelva para encontrar el coeficiente an + 1 de la serie como un múltiplo de ao. Iguale ao = 1 Y escriba la solución en serie de Frobenius correspondiente de la ecuación de Laguerre de orden p. (e) Demuestre que si p es un entero no negativo, entonces hay soluciones polinomiales de grado p. (d) Los polinomios de Laguerre se eligen como soluciones polinomiales y = Lp(x) para las que Lp(O) = 1. Demuestre que la familia de polinomios de Laguerre {Lp: p = 0, 1,2, ... } es ortogonal en el intervalo [0, 00) con densidad p(x) = e-X• Halle los primeros cinco polinomios de Laguerre. (Serie de Frobenius y ecuación de Legendre.) La ecuación de Legendre de orden p es (1- x2)y" - 2xy'
+ p(p + l)y
=
°
Encuentre el polinomio y las raíces indiciales en la singularidad regular x = 1. (b) .Encuentre una serie solución en potencias de x - 1. [Sugerencia: cambie la variable x en la EDO a s = x - 1.]
(a)
n
xn
e re-
=0 o del
11.6
Funciones de Bessel La ecuación diferencial más importante con una singularidad regular es la ecuación de Bessel» de orden p, (1)
donde p es una constante real no negativa. El término "orden p" se refiere a un parámetro en la ecuación de Bessel, no al orden de (1) como ecuación diferencial. En realidad, la arropara uatro
ii
y=O to no orma ecua-
Friedrich Wilhelm Bessel
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-7846), matemático alemán y astrónomo estudioso de la mecánica celeste, introdujo la ecuación para modelar perturbaciones de órbitas planetaries. Bessel fue el primero en calcular con precisión la distancia a una estrella fija y, por tanto, en establecer una escala para las distancias estelares. Igual que [ohn Couch Adams y Urbain lean Leverrier, Bessel intentó calcular la órbita de un planeta del cual se sospechaba su presencia (pero hasta ese momento no se había detectado) por su efecto gravitatorio en la órbita del planeta Urano. Sin embargo, Bessel no terminó sus cálculos y Adams y Leverrier hicieron el descubrimiento matemático de Neptuno, hallazg6 que pronto se comprobó por medio del telescopio.
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736
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
EDO (1) no es una ecuación diferencial sino una familia de ecuaciones, una por cada valor de p. Las soluciones de la EDO (1) se llaman júnciones de Besse! de orden p. Después de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, las de Bessel son las funciones transcendentales más usadas en matemáticas aplicadas. Surgen en fenómenos vibratorios, térmicos, elásticos y gravitatorios. Se han estudiado ampliamente y sus valores han sido tabulados. iii Muchos paquetes de software tienen funciones de Bessel en sus listas de funciones predefinidas. En esta sección y la siguiente se estudian las funciones de Bessel de distintos tipos y órdenes.
Resolución de la ecuación de Bessel La ecuación de Bessel de orden p ~ O tiene una singularidad regular en x = O; todos los demás puntos son ordinarios. Aquí p(x) = 1 (así que Po = 1) en tanto que q(x) = x2 _ p2 (por tanto qo = - p2). En lo subsiguiente no se utilizará ''p(x)'' por la posible confusión con el orden de una función de Bessel. El polinomio indicial en la singularidad es f(r) = r 2 - p2, cuyas raíces son p y -p. El teorema de Frobenius 1 de la sección 11.5 garantiza la existencia de una serie solución y¡ = x p I~ anx n, x > O, con ao O. Para determinar los coeficientes, inserte y¡ = L~ anx n +p y las derivadas correspondientes para y; y y;' en la ecuación de Bessel, con lo cual se obtiene
*"
~
~
x2 I, (n + p)(n + p-1)a nx n+p - 2 + x I, (n + p)anx n+p -¡ n=O
n=O ~
+ x2 I, anx n+p n=O
~
-
p2 I, anx n+p = O n=O
Escriba los factores a la izquierda de los símbolos de suma dentro de ellas, saque el factor xP y combine las sumas primera, segunda y cuarta en una sola para obtener
1
{,~ [(n+ p)(n+ p-1)+(n+ p)- p2]anxn + anxn+2} = O Vuelva a escribir los índices de la suma final en la forma I; an_2Xn Y separe los térmixP
nos que corresponden a n = O Y n = 1 en la primera suma para obtener x P {[p(p -1) + P - p2]a o + [(1 + p)(1 + p -1) + (1 + p) - p2]a¡x} +x P
f {[(n+ p)(n+ p-1)+(n+ p)- p2]an +an_2}Xn =0
(2)
n=2 iii
'1
:1
II 1I
Véase M. Abramowitz e l. A. 5tegun, Manual of Mathematical Functions (National Bureau of Sta ndards, Washington, D.C., 7964, Y Dover Publications, Nueva York, 7965);). spanier y K. B. Oldham, An Atlas of Functions (Nueva York, Hemisphere, 7987), Y D. Zwillinger (ed.), eRe Standard Mathematical Tables a nd Formulae, 30a. ed. (eRe Press, Florida, 7996).
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737
11.6/ Funciones de Bessel
o (1 + 2p)a¡x +
L [n(n+2p)a n +an_2]x 2 =0
(3)
n=2
El coeficiente de ao desaparece en (2) porque su valor es f(p) = p2 - p2 = O , por tanto ao es una constante arbitraria. Las fórmu las de recurrencia para los coeficientes a n en la suma L~ anx n +p se deducen de (3) al igualar los coeficientes de las potencias de x a cero: a¡ =0
a =
-a n - 2
n
n(n+2p)'
(4)
n=2,3, .. .
Debe fijarse a¡ = O porque su coeficiente en (2) siempre es distinto de cero (recuerde que ~ O). Por (4) se deduce que a3 = as = a 7 = .. . = O, en tanto que los coeficientes con Índice par están dados por
p
a
-a2k- 2 2k - 2k(2k+2p)
a2k- 4 2k(2k+2p)(2k-2)(2k+2p-2) 2k
k!(k + p)(k-1 + p)···(l + p) Las series solución correspondientes de la EDO (l) están dadas por 2
x>O
(5)
donde ao es cualquier constante. Si p no es un entero y ao"* O, entonces una segunda solución independiente de y¡ se define al sustituir p en (5) por -p, la otra raíz indicial. Nótese que si p es un entero, por ejemplo 10, entonces al sustituir 10 por -10 en (5) se divide entre cero si el Índice de la suma es k = 10. Por eso se requiere por ahora que p no sea un entero cuando se construye una segunda solución. El teorema de Frobenius 1 (teorema 11.5.1) implica que la serie de potencias en (5) converge para toda x; esto también puede demostrarse directamente con la prueba de relación. La fórmula (5) puede extenderse a x::; O si se sustituye el factor xP por Ixlp. La constante de "normalización" ao desempeña un papel curiosamente importante; una elección juiciosa de ao producirá algunas fórmulas notables, como se verá en seguida.
Funciones de Bessel de primer tipo de orden entero Supóngase que p es un entero no negativo n. Entonces defina el coeficiente ao en (5) por 1 a - -n 0 - 2 n!
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Después de escribir n!(1 + n)(2 + n)· · ·(k + n) como (k + n)! en (5), se obtiene una función de Bessel con una forma compacta que recibe un nombre especial .
•:. Funciones de Bessel de primer tipo de orden entero. La función de Bessel de primer tipo de orden entero n es x)n = (_ I)k ( x)2k l n (x) = ( "2 ~ k!(k + n)! "2
(6)
l,/x) es una solución de la ecuación de Bessel x2y" + xy' +(x 2 - n 2 )y = Ode orden n.
Puesto que n es un entero no negativo, (6) define l n(x) para toda x. Por (6) se deduce que 10 (0) = 1,
l ó(O) = O
1¡(0) = O,
1{(0) = 1/2
1 2 (0) = O,
1~(0) = O
1~(0) = O
Ejemplo 11.6.1
Tres funciones de Bessel Las tres primeras funciones de Bessel de primer tipo de orden entero son x2 x 4 x6 k x2k 1 (x) = I - - + - - - - + ··· + (-I) + ... o 4 64 2304 (k!)2 2 2k 4
6
x{ x2 x x k x2k } l¡(x) = "2 1+ 192 - 9216 + ... + (-1) k !(k + l)!2 2k + ... . x2 1 2(x)=4
{12-
(7)
8
4
(8)
6
x2 x x k x2k } 24 + 768 - 46080 + ... +(-1) k!(k+2)!22k + ...
(9)
Véanse en la figura 11.6.1 las gráficas, las cuales asemejan sinusoides decadentes, lo cual no es sorprendente porque la forma normalizada de la ecuación de Bessel y" + !y' X
+(1- x2p2)y = O
se parece a la ecuación con coeficientes constantes Y" + -1 y , + ( 1- -p2) y=O 2
a
(lO)
a
cuyas soluciones (para valores suficientemente grandes de a) son combinaciones lineales de ero: cosf3x y e ux senf3x, donde a = -1/(2a) y f3 = [1 - p2 / a 2 _ 1/ (4a 2 )]1I2. En la figura
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77.6/ Funciones de Bessel
0.3
1. 00
,;>-..
0.75
~
0.2
·C
~.::
0.50
~
o()
0.25
0.1
~
~
~
0.0
S .¡;; ~ -o
- 0.2 5
I
Ij
- o. 50 0.0 +--~-.-.~-........~~-+----~-+------< 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 x
x
Figura 11.6.1 Gráficas de las funciones de Bessel Jo, JI y J2 (ejemplo 11.6.1).
Figura 11.6.2 Jo (curva de trazo continuo) y una sinusoide con deterioro exponencial (curva de trazo discontinuo). Véase el ejemplo 11.6.1.
11.6.2 se muestra una comparación de Jo(x) con una solución ji(x) de y" + y' /l O+ y = O [tome p = O, a = 10 en la EDO (10)). Tanto Jo como ji pasan por el punto mostrado en la figura 11.6.2 con una pendiente común. Conforme x aumenta, Jo y ji parecen oscilar juntas, pero la segunda se deteriora más rápidamente. Los truncamientos de una serie de términos (convergente, alterna) cuyas magnitudes disminuyen a medida que n aumenta son útiles cuando se calculan los valores aproximados para la suma de la serie. En el ejemplo siguiente se muestra cómo puede llevarse a cabo lo anterior para los valores de una función de Bessel del primer tipo de orden entero.
Ejemplo 11.6.2
Aproximación de Jo(x)
Los términos en la serie alterna (7) para Jo(x) disminuyen en magnitud cuando k aumenta si Ixl < 1. En este caso, la magnitud de la diferencia entre el valor de Jo(x) Y una suma parcial de la serie no es más que la magnitud del primer término omitido de la suma parcial. Por ejemplo, si x = 1/10, entonces de (7)
IJoC~)-[l-¡C~r]l~ 614C~r ~1.6 x 10-6 Así 1 - 1/400 = 399/400 es una buena aproximación del valor de Jo (1 / 10). Si x es grande, entonces es posible que k tenga que ser muy grande antes de que las magnitudes de los términos de la serie (7) empiecen a disminuir, así que se usan otros métodos para aproximar Jn(x) para x grande. Antes de derivar una fórmula solución para la ecuación de Bessel de orden fraccionario es indispensable definir una función nueva.
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740
Series solución : funciones de Bessel y polinomios de Legendre
La función Gamma La fórmula (6) podría tener sentido cuando n se sustituye por un número fraccionario p si se sabe cómo calcular el "factorial" de un número fraccionario. En tal cálculo ha de introducirse la función gamma r(z), inventada por Euler para resolver el problema de construir una función factorial infinitamente derivable definida para todo real z > O que interpola los factoriales enteros . La nueva función r(z) se define para toda z > O Y nr(n) tiene el valor n! para cualquier entero positivo n .
•:. Función gamma. La función gamma se define para z > O por r(z) =
S:
J
x z - e - x dx
(11)
Aunque la integral en (11) es impropia, puede demostrarse que r(z) y sus derivadas con respecto a z, r'(z) =
S: (X
Z
-
1
In x)e- Xdx,
r"(z) = So= [x Z- 1(lnx)2]e - Xdx,
son integrales impropias convergentes para z > O. Esto significa que r(z) es continua y, por tanto, todas sus derivadas para z > O. También es posible demostrar que r(z) ~ + 00 cuando z ~ 0+. La función gamma tiene otras propiedades que justifican el nombre de "el factorial interpolado".
Teorema 11.6.1
Propiedades de la función gamma. La func,ión infinitamente derivable r(z) satisface las fórmulas r(z + 1) = zr(z), r(n + 1) = n!,
1 (2n)!-J1i r(n+ - ) = 2 2 211 n!
z >O
(12)
n = I,2, ...
(13)
n = 0, 1, 2, ...
(14)
La siguiente es la razón de que sea cierta la fórmula (12). Sustituya z por z + 1 en (11) e integre por partes; se tiene
porque _ xze- x es cero en x prueba la fórmula (12). ;1
!I
= O Y se aproxima a O cuando x ~ +00. Con esto se com-
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11.6/ Funciones de Bessel
25
-
15
5
-5
-15
-25
-
+-~~----~-----~~~--+-----~---+--+-~~~
-1
-3
3
Figura 11.6.3 Gráfica de la función gamma r(z). Para verificar la fórmula (13) se utiliza la inducción sobre n. Primero obsérvese que r(1) = 50=e-Xdx = 1
Luego supóngase que r(n + 1) = n! y demuestre que r(n + 2) = (n + 1)! ; se obtiene r(n+2)=
r=xn+le- Xdx = _Xn+1e- x Jx== +(n+l)r= xne-xdx
Jo
x=o = (n+ 1)r(n+ 1) = (n+ l)n! = (n+ 1)!
Jo
donde se ha utilizado la integración por partes y la suposición de que r(n + 1) = n!. Por inducción, (13) se cumple para todos los enteros positivos. Para n = O, la ecuación (13) indicaría que r(l) = OL Como r(1) = 1, se ve ahora por qué es una convención tomar O! = 1. En el problema 7 se describe una forma de demostrar (14). La propiedad (12) escrita como r(z) = r(z + 1)/ z se usa para definir la función gamma en - 1 < z < O por medio de sus valores para 0< z < 1. Por ejemplo, r( -1/2) = r(1I2)/( -1 / 2) = puesto que r(1I2) =.Jir por (14). Entonces los valores de r(z) para -1 < z < O se utilizan para definir r(z) para - 2 < z < - 1 Y así sucesivamente. De este modo, la fun-
-2.Jir
ción gamma se define para toda z excepto los enteros negativos [el proceso anterior falla en los enteros negativos porque reO) es infinita]. La función gamma extendida es derivable dondequiera para todos los órdenes siempre que esté definida. La gráfica se muestra en la figura 11.6.3.
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios
de Legendre
0.75
0.5
~ O .50 ~ ~ ....,~
0.3
~ ~
....,"
~ O 25 ~ ~ ~ O .00 .....;-~
0.1
3: ...; 3:
...;'
-0.1
-O .25
-0.3
10
20
15
25
2.5
30
5.0
1 1
7.5
10.O
12.5
15. O
x
X
Figura 11.6.4 Gráficas de las funciones de Bessel 13, 1nY 14 permanecen juntas.
Figura 11.6.5 Gráficas de las funciones de Bessel fraccionarias 11/2, 13/2, 15/2 (ejemplo 11.6.3).
La función garnma se usa para simplificar la fórmula para una función de Bessel de orden arbitrario.
Funciones de Bessel de primer tipo de cualquier orden La función garnma se usa para extender la definición de ao en (5) a cualquier elección de > O:
p
1 2Pr(p+1)
a ----0-
donde se ha utilizado el hecho de que r(p + 1) = p!. Use este valor de ao en (5) y el hecho -de que r(p + 1)(1 + p) ... (k + p) = r(k + p + 1) que se deduce por la aplicación repetida de la identidad (12) a r(k + P + 1),para definir 1p(x) para cualquier p ~ O real:
.:. Funciones de Bessel de primer tipo de orden p. Lafunción tipo de orden p ~ O, se define por
1p(x) =
X)P ( "2
(-lt ~k!r(k+p+1)"2 oe
(X)2k '
X>O
de Bessel de primer
(15)
11
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11.6/ Funciones de Bessel
Si x < O, reemplace (x/2)P por (lxl/2)P. La fórmula (15) se reduce a (6) si p es un entero n. La fórmula (15) luce rara por la apariencia de la función garnma, pero el comportamiento de JpCx) y su gráfica se asemeja al de Jn(x) para n un entero positivo "cerca" de p. En la figura 11.6.4 se muestran las gráficas de J3, J 1" Y J 4. Por último, obsérvese que si p se sustituye por -p en (15), entonces una segunda solución, J_p' de la ecuación de Bessel (1) queda definida siempre que el número positivo p no sea un entero [recuérdese que T(z) está definida cuando z es O o un entero negativo]. Por tanto, para un valor fraccionario de p es posible demostrar que el par p> _p} es un conjunto solución básico. Las funciones de Bessel de primer tipo satisfacen varias fórmulas de recurrencia en cierto modo similares a las identidades de recurrencia de Legendre de la sección 11.3. La fórmula (16) siguiente reviste especial importancia porque sirve para generar Jp + 1 de Jp y Jp _ l.
{J J
Teorema 11.6.2
Fórmulas de recurrencia. Las funciones de Bessel de primer tipo satisfacen las identidades 2p Jp+l = -Jp x
-Jp_l'
p;:::1
(16)
Jp+I = -2J;
+ Jp_l'
p;:::1
(17)
p;:::1
(18)
p;:::O
(19)
(xPJp)'=
xPJp_l,
( -p J )' x p --x
Ejemplo 11.6.3
-p J
p+l'
Funciones fraccionarias de Bessel de primer tipo La función JlI2(x) no es tan formidable como parece su definición dada en (15). De hecho, JlI2 es una función del seno con una amplitud decadente:
x c- O
J1I2(x) = j!senx,
(20)
Esto se demuestra si p = 1/2 en (15): X)l/2 J1I2(x)="2 (
cc
(_1)k
(x)2k
fI~(_1)k
=~;;~
(x)l/2
="2
~k!r(k+3/2)"2 2k+l
co
~
fI
=~~sen~
to(2k+1)!x
(_1)k22k+2(k+1)!(x)2k k!(2k+2)!.fii
"2
(21)
donde la última serie en (21) es la serie de Taylor para sen x respecto a Xo = O. En el segundo paso de la derivación se usa (14) con n = k + 1: r(k+3/2)
= (2k+2)!.fii 22k+2(k+1)!
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744
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
La tercera suma en (21) se obtiene de la segunda al reestructurar y cancelar algunos términos. Por el mismo tipo de argumento puede demostrarse que 1 3/ 2
(x) ~ :x( =
- cosx+
se;x)
(22)
La fórmula de recurrencia (16) sirve para definir las demás funciones fi'accionarias de Bessel de primer tipo, l n+ lI2> n = 2, 3, .... Por ejemplo, por (16) se tiene
15/2= ~13/2 -11/2 = ~ :x [(:2 - l)senx - ~cosx] Las gráficas de 11/2, hl2 y 1 5/2, se muestran en la figura 11.6.5.
Propiedades de las funciones de Bessel Las funciones l/x) tienen un comportamiento de sinusoides decadentes parecido al de f(x) = e -x senx. El objetivo ahora es describir con más precisión las similitudes. Los ceros no negativos de f(x) = e-x senx se hallan en n, 2n, 3n, oo. , cada uno es simple [es decir, f'(nn) -:t O], están aislados entre sí, los ceros sucesivos están n unidades aparte y la sucesión creciente de ceros diverge a +00 . En los teoremas siguientes se muestra que cada función de Bessel no trivial [no sólo l/x)] tiene propiedades similares a las de fix), pero no precisamente las mismas.
Teorema 11.6.3
Ejemplo 11.6.4
Ceros de las funciones de Bessel. Supóngase que y(x) es una solución no trivial de la ecuación de Bessel (1) para x > O. Entonces los ceros positivos A.n de y(x) son simples y aislados entre sí. Forman una sucesión creciente, 0< A.l < ~ < ... < A.n < "', que diverge en +00 y (A.n+ l - A.n ) ~ n cuando n ~ oo . Los ceros de lo
En la lista siguiente aparecen varios pares de ceros A.n Y A.n+l de lo; obsérvese cómo la diferencia entre ceros sucesivos está cerca de n si n es grande. Los ceros de lo a 1 20 se han calculado hasta varios decimales debido a su importancia en el análisis.
~o Valor A.n+1- A.n
2.4048
5.5201 3.1153
14.9309
18.0711 3.1402
58.9070
62.0485 3.1415
El carácter oscilatorio de las funciones de Bessel se deduce del hecho de que cada función es continua y tiene una sucesión de ceros como se describe en el teorema 11.6.3. Los ceros son simples, lo cual implica que la gráfica de una función de Bessel cruza el eje x en
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745
11.6/ Funciones de Bessel
ángulos distintos de cero en los ceros, subiendo en un cero, descendiendo en el siguiente, como se indica en las gráficas. Se sabe que entre sus ceros sucesivos, una función de Bessel asume exactamente un valor extremo local; esto se sugiere por las pruebas visuales de las gráficas de esta sección. Los ceros de JpCx) desempeñan un papel destacado en la ortogonalidad de funciones de Bessel en el intervalo [O, 1] con la función de peso x.
Teorema 11.6.4
Ortogonalidad. Sea p
~
O Y /¡, Y 11 ceros positivos de JpCx). Entonces
(23)
La razón de que JpCAx) y JpCJ1X) sean ortogonales si /¡, = 11 radica en lo siguiente. Supóngase primero que /¡, es cualquier número positivo. Por la regla de la cadena se demuestra que si L es el operador de Bessel que lleva a y(x) a L[y] = x2y" + xy' + (x 2 p2)y, entonces L[Jp(Ax)] = x2
-
d
2
dx
2
d J p(Ax)+X - J p(Ax)+(/¡,2 x 2 - p2)Jp(Ax) dx
=O
(24)
Con un cálculo directo (pero largo) se muestra que para cualquiera /¡, y 11 no negativas se tiene la identidad 1
0= -[Jp(J1X)L[Jp(Ax)] - J p(Ax)L[Jp (J1X)]] x =
~ {x[J p(J1X)J;(Ax) -
2 J;(J1X)Jp(Ax)]} + x(/¡,2 - 1l )Jp(Ax)Jp(J1X)
que se escribe en forma abreviada como ~ El . representa la horrible expresión larga entre llaves en la ecuación anterior.
Si, además, /¡, y 11 son ceros de JpCx), entonces integrando cada miembro de la ecuación anterior de x = O a x = 1 se obtiene: { X[J p (J1X)J;(Ax) - J;(J1X)J p(Ax)]}I :::
+ (/¡,2 - 112) f~ x Jp(Ax)J p(J1X)dx = O
El término {} I~:~ es cero porque /¡, y 11 son ceros de Jp ' Se deduce el resultado deseado en la fórmula (23) para /¡, 7= 11. Nosotros no deduciremos la fórmula (23) para /¡, = 11. ~ El concepto de ortogonalidad se analiza en la sección 10.2
La propiedad de ortogonalidad parece extraña, pero es análoga a la de ortogonalidad de las funciones sennnx y senmnx en el intervalo [O, 1]:
f~ sen (nnx) sen (mnx) dx = Wh,
n:t:m n=m
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Así como nn y mn son ceros de sen x, A, y f.1 son ceros de 1p (x). La diferencia es que la condición de ortogonalidad para una función de Bessel utiliza un factor de peso x. En el teorema siguiente se demuestra que de hecho se deterioran las soluciones no triviales de la ecuación de Bessel, pero como 1I~, no como e-ro:.
Teorema 11.6.5
Decaimiento. Para toda solución no trivial y(x) de la ecuación de Bessel hay constantes A y
Ejemplo 11.6.5
~[ A sen(x +
x~l
(25)
Decaimiento de 1 1/ 2 y 13/2 Con las fórmulas del ejemplo 11.6.3 para 11/2 y 13/2 se observa que 11/2 ya está en la forma (25) con A = 1,
con A
= 1,
~ :x [sen(x + n/2) + ~senx]
= sen x.
La forma de (25) indica que las soluciones no triviales del decaimiento de la ecuación de Bessel cuando x ~ +"" de manera muy parecida a como lo hacen las funciones fraccionarias de Bessel.
Comentarios La fórmula (15) que define cada función de Bessel de primer tipo es imponente, pero las propiedades de las funciones en sí no son muy diferentes de las de sinusoides decadentes comunes que aparecen como soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Las fórmulas de recurrencia del teorema 11.6.2 y las dadas en el problema 9 muestran que puede construirse un cálculo diferencial e integral de las funciones l/x). Las funciones de Bessel de segundo tipo se definen en la próxima sección; tienen muchos de los rasgos de las funciones de Bessel de primer tipo.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
.L
Encuentre los primeros cuatro términos de la serie para 13(x).
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747
77.6/ Funciones de Bessel
2. •
3.
[Propiedades de 13 (x)]. Los primeros términos de la serie para 13 (x) pueden usarse a fin de determinar algunas de sus propiedades . (a) Seaf(x) el polinomio de noveno grado de los primeros cuatro términos de la serie para 13 (x). Grafique f(x) para O::; x::; 2. Explique por qué 113 (x) - f(x)1 1 < 0.02 para O::; x::; 4. (b) Explique por qué el primer cero positivo de 1 3(x) es mayor que 4. (e) Explique por qué la gráfica de 13 (x) es cóncava ascendente en x = O. (Solución general de la ecuación de Bessel.) Utilice el método de reducción de orden del wronskiano (problema 6, sección 3.7) para mostrar que la solución general de la ecuación de Bessel de orden p puede escribirse en la forma X
y=c11p(x)+c21p(x)f
.s. 4.
www
6.
7.
ds 2' s[l p(s)]
41 1
r(n +~) = (2n)!-Jii 2 2 2n n!
9.
Y C2 son constantes cualesquiera
(Convergencia.) Use la prueba de relación para mostrar que las series para l/x) convergen para toda x. Grafique lo, 1 1, 1 2 Y 13' Luego, trace 11/2, 1 3/2> 1 5/2 O::; x::; 20. (Ceros de funciones de Bessel.) (a) Localice los ceros de 1 0,11,12 Y 11/2,13/2,15/2 en las figuras 11.6.1 y 11.6.5 Y formule una conjetura acerca de las posiciones relativas de los ceros positivos de lp y l p+1' (b) Verifique su conjetura. [Valores de r(n + 1/2) .] La fórmula (14) para r(n + 1/2 puede verificarse completando los incisos (a) y (b) siguientes. (a) Compruebe que r(1/2) = -Jii mediante los pasos siguientes. Primero haga un ca~bio 2de variable en la integral que define r(1/,3) X delfuystre que r(1/2) = e -u du. Luego demuestre que (r(1/2»2 = e -u -v dudv y evalúe la int~gral doble cambiando a coordenadas polares ~ iRtegrando en la región r ¿ O,O::;ifJ::;7rI2· ' (b) Use el inciso (a), la propiedad r(z + 1) = zr(z) e inducción para mostrar que
21
8.
C1
paran = 0,1,2, ...
(e) Use el resultado del inciso (a) para encontrar r(3/2) y r(5/2). Después encuentre r(-3/2) y r(-5/2). Exprese 1 2, 13 Y 14 en términos de lo Y 1 1 por medio de la fórmula de recurrencia (16). [Integración de l/x).] Las fórmulas de recurrencia (16) a (19) y la integración por partes sirve para deducir las fórmulas de integración para las funciones de Bessel de primer tipo. El símbolo C en las fórmulas siguientes denota una constante de integración arbitraria. (a) Demuestre que 11(Odt = -lo (x) + C y que t lo (t)dt = x 11 (x) + C.
r
r
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
(b) Demuestre que
r
r
10(t)sentdt = xlo(x)senx-xl¡(x)cosx+C y
lo (t) cos t dt = x lo (x)cos x + xl¡ (x) + xli (x)sen x + C
[Sugerencia: demuestre que la derivada del miembro derecho es el integrando dado.] (e) Muestre que 2 t 1 0(t)dt = x2 l¡(x)+xlo(x) lo (t)dt
r
r
[Sugerencia: utilice el inciso (a).] (d) Demuestre que
[Sugerencia:
r r
t 5 1 2(t)dt = x 5 1 3(x) - 2x4 14 (x) + e 2 2 t 5 1 2 dt= t (t 31 2 )dt = t (t3 1 3 )' dt.]
r
10. Demuestre que 1_1/2 =
8
r
J!
cosx
es una solución de la ecuación de Bessel de orden 1/2 y que {1- ¡/2, 11/2} es un conjunto solución básico para la ecuación con x > O. 11 . Trace l¡(x) Y encuentre (gráficamente) el primer par de sus ceros sucesivos An, An+¡ para los cuales I(An+¡ - An) < 0.0001. 12. (Ecuaciones modificadas de Bessel.) Las EDO relacionadas con la ecuación de Bessel aparecen en las aplicaciones, pero las propiedades de sus soluciones pueden ser muy diferentes de las de las funciones de Bessel. (a) Sustituya la variable independiente x en la ecuación de Bessel de orden p por la cantidad compleja - it y obtenga la ecuación de Bessel modificada de orden p : t 2y" + ty' _ (t 2 + p2)y = O. (b) Demuestre que una solución para la ecuación de Bessel modificada de orden O, t':? O, es
-ni
=
10(t) =
1
(t )2n
n~(n!)2 '2
(e) (Función modificada de Bessel del primer tipo .) Demuestre que 1 (t) = p
~ 13.
'.
(~)P f 2
1 (~)2n n=on!r(n + p+1) 2
es una solución de la ecuación de Bessel modificada de orden p ':? O. 1p se llama función modificada de Bessel de primer tipo de orden p . (Propiedades de recurrencia de funciones de Bessel.) Demuestre que las fórmulas de recurrencia (16) a (19) se cumplen para la función de Bessel lp.
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11.7 / Series solución cerca de puntos singulares regulares, 11
11.7
Series solución cerca de puntos singulares regulares, 11 Las funciones de Bessel se usan para describir el movimiento oscilante de un péndulo alargado, las vibraciones longitudinales de una barra adelgazada, las oscilaciones de una cadena colgante, la flexión de un disco de acero bajo tensión, el movimiento de la marea en un canal abierto al mar y muchos otros procesos naturales. Las funciones de Bessel se construyeron a principios del siglo XIX con el método de series generalizadas de potencias, pero, como se mencionó en la sección 11.6, no siempre produce una segunda solución independiente de la ecuación de Bessel. El enigma de encontrar una segunda solución permaneció irresuelto hasta 1867, cuando C. G. Neumann (1832-1925) publicó su trabajo precursor en la materia. Frobenius extendió los métodos de Neumann para dar pleno tratamiento a las soluciones cerca de cualquier punto singular regular de cualquier EDO lineal de segundo orden. La teoría de Frobenius siempre permite encontrar una segunda solución incluso cuando las raÍCes del polinomio indicial difieren por un entero. En esta sección se describirá la teoría extendida de Frobenius, se definirán las funciones de Bessel de segundo tipo y se resolverá el problema del resorte envejecido modelado en el ejemplo 11.1.1 por medio de funciones de Bessel tanto del primero como del segundo tipos.
Método extendido de Frobenius Para ser breves, el objetivo es encontrar un par de soluciones independientes cerca del punto singular regular x = O de la EDO lineal de segundo orden x 2y" + xp(x)y' + q(x)y = O
(1)
donde p(x) y q(x) son analíticas reales en un intervalo J centrado en el origen, y
Junto con (1) forman el polinomio cuadrático indicial j(r) = r
2
+ (Po -l)r + qo
y sus raíces indiciales rl Y rz. Se supondrá que las raÍCes indiciales rl Y r2 son reales y que rz ~ rl. El método de Frobenius descrito en la sección 11.5 siempre produce una solución no trivial de la EDO (1) de la forma ~
r
YI =Ixl , I,an x
n
o Sin embargo, el método no siempre puede producir una segunda solución cuando r l = r2 o incluso cuando rl - rz es un entero positivo. En el caso anterior, la experiencia con las ecuaciones de Euler hace pensar que en la segunda solución debe haber un logaritmo, pe-
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750
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
ro el caso donde TI - r2 es un entero positivo es algo misterioso. ¿Qué forma tienen las soluciones en tal situación? ¿Cómo pueden obtenerse? La versión completa del teorema de Frobenius que se presenta en seguida aclara todas estas preguntas.
Teorema 11.7.1
Teorema de Frobenius 11. Supóngase que las raíces indiciales rl Y r2 para la EDO x2y" + xp(x)y' + q(x)y = O son reales y que r2 -::, rl' Entonces el método de series de potencias. produce una solución no trivial YI de la forma , =
YI (x) =Ixlrl ¿,anx n,
o
x>O
(2)
x
o donde ao es arbitraria. Los coeficientes an se determinan en términos de ao por la fórmula de recurrencia que usa el polinomio indicial f(T) = T2 + (Po -l)T + qo : n-I f(r¡+n)an=-L[(k+rl)Pn - k+qn- k]ak' n=1,2,.. . (3) k=O
Una segunda solución independiente Y2 de la EDO también puede determinarse por el método de series de potencias. La solución tiene una de las formas descritas en seguida: • Caso 1: si
TI -
r2 no es un entero, entonces,
Y2=lxlr2(1~~bnxn}
x>O
o
(4)
x
donde los coeficientes bn se determinan por la misma fórmula de recurrencia (3) utilizada para an, con T2 en lugar de TI' • Caso 11: si TI = r2, entonces n Y2 = Yl 1n Ixl + Ix!'l Lcnx ,
x>O
o
x
(5)
o • Caso 111: si
rl -
r2 es un entero positivo, entonces x>O
o
x
(6)
donde a es una constante (posiblemente O). Las series de potencias en las fórmulas (4) a (6) convergen en un intervalo J centrado en O. Se omite la demostración del teorema de Frobenius 11. En la fórmula de recurrencia (3) se muestra dónde radica la dificultad. En el caso 11, si TI en la fórmula (3) se sustituye por r2, no se obtiene ninguna nueva solución independiente de YI' En el caso III, si TI - T2 es el entero positivo m, entonces (3) no puede producir una segunda solución independiente de YI cuando rl se sustituye por T2 porque f(r2 + m) = f(TI) = O Y no es posible resolver (3) para amo
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11 .7 / Series solución cerca de puntos singulares regu lares, If
Los coeficientes cn' d" y a en (5) y (6) pueden determinarse si se sustituye la forma apropiada para Y2 en al EDO (l) e igualar los coeficientes de potencias iguales de x para obtener las relaciones de recurrencia. En el primer ejemplo se ilustra el caso II.
Ejemplo 11,7.1 [¡@f La fOfma normal de esta EDO es x2 y" + xy' + 2xy = O, de modo que Po = 1 Y qo = l . El polinomio indicia] es f( r) =,.2
Caso 11: raíces indiciales iguales
LaEDO ~"+y'+2y=0
tiene un punto singular regular en O. Las raíces indiciales son rl = r2 = O (caso II del teorema de Frobenius II). El espacio solución es generado por una serie de Frobenius =
~ a"x " YI = L..
n=O
y una función con un término logarítmico, =
Y2 =
YIln Ix l + 2, c"x" ,,=0
El método de series de potencias puede usarse para encontrar los valores de a n en YI: =
=
=
n=O
n=O
x 2, n(n -1)a nx n - 2 + 2, nanx"- I + 22, anx n = O 11=0 =
2, [n(n -l)an + na" + 2a,,_1]x n- I = O n=1
Esto lleva a la relación de recurrencia n 2 a" + 2an_1 = O, entonces
_ (- lt2/1 ao -
(n!) 2
Con ao = 1, se obti ene = (_I)/l2"x n y - 1+ ,,-'---~=-1L.., (n !)2
para toda x
(7)
n=1
Por conveniencia, se escribe L[y] = xy" + Y' + 2y Y se vuelve al cálculo de Y2 para x > O, donde Y2 tiene la forma dada en la fórm ula (5). Por el hecho de que L es un operador lineal se tiene 0= L[Y2] = L[YIlnx]+
=x(y;/lnx+
L[,~ c ,/,] 2;; - ;~ )+(Y;lnx+;)
+2YI1nx+ 2, (n 2 cn +2cn _ l )x n - 1 11.=- 1
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752
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Después de reunir los términos que incluyen el In x, la expresión anterior se reestructura: =
0 = L[Y2] = L[y¡] 1nx+2y{ + L,(n 2c n +2cn_l )x n- l n=l =
= 2y{ + L, (n 2c n + 2cn _l )x n- l
(puesto que L[y¡] = O)
1=1
= ( 1t2n+l n-l
=
L, n=l
x (n-1)!n!
=
+ L,(n 2c n + 2cn_l )x n- 1 n=l
donde es sólo en el paso final que se usa la serie (7) para Yl' Esto conduce a la relación de recurrencia n
2 Cn +2Cn _l
+
(- 1t2 n+l (n -1 )!n!
= O,
n = 1,2, . ..
(8)
Es difícil resolver este grupo de relaciones de recurrencia para encontrar cn en términos de co. En cambio, se encuentran los coeficientes Cl' C2 Y C3 en términos de Co por medio de (8) con n = 1,2,3: Cl +2co - 4 = O, 4c2 +2Cl + 4 = 0,
9C3 + 2c2 - 4/3 = O,
entonces C1 = 2(2 - Co) entonces c2 = - 3 + Co entonces c3 = 22/ 27 - 2co / 9
Para simplificar, se fija Co = O, Y se obtiene Cl = 4, C2 = - 3 Y c3 = 22/27. Entonces ~ n 2223 Y2 = y I 1nx + L.,cnx = y I 1nx+4x-3x + - x +"' , n=l 27
x>O
donde los coeficientes C n se definen de manera recursiva por (8) con Co sustituye x por Ix l en el logaritmo.
= O.
(9) Para x < O,
Nótese una vez más que con fines prácticos una relación de recurrencia no resuelta es tan útil como una resuelta. Si se utiliza una computadora para calcular los coeficientes es preferible esta última. Para llevar a cabo el truco en el ejemplo 11.7.1 se empezó con Co y luego se iteró con (8). En los ejemplos siguientes se ilustra el caso III del teorema de Frobenius 11.
Ejemplo 11.7.2·
Caso 111: las raíces indiciales difieren por un entero positivo
La fonna nonnal de esta EDO es x 2 y"_ xy = O; por consiguiente, Po= O Y qo= O. El polinomio indicial es
LaEDO
11$"
ter) = r2 -r.
xy" - y = O
tiene un punto singular regular en O, y su polinomio indicial tiene las raíces O. La ecuación tiene una serie solución de Frobenius de la forma
rl
= 1 Y r2 =
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753
11.7 / Series solución cerca de puntos singulares regulares, J/
donde los coeficientes an se determinan de la manera usual. El método de series de potencias con ao = 1 puede aplicarse para demostrar que xn
=
YI
xn+1
= X n=O L (n + 1)'. n., = n=O L (n + 1)'.n.,
Por el teorema de Frobenius n, una segunda solución tiene la forma n Y2 =ay¡ln lxl + Ldnx ,
x>O
do = 1,
o
x
(10)
,,=0
Sea x positiva y aplique a Y2 el operador lineal L definido por L[y] = xy" - y: 0 = L[Y2]=aL[Yl1n
X] + L[~dnxn]
f
= a1nx L[Yd + a(2Y{ - YI) + [n(n + l)dn+¡ -dn]x" x n=O = a f 2n+1 x" + f[n(n+1)d n+¡ - d n ]x n 11=0 (n + 1)! n! n=O donde se ha utilizado el hecho de que L [y¡] = xy¡" - Y¡ = O. Esto da la relación de recurrencia n(n + l)dn +l
-
d" =
- a(2n + 1) (n+l)!n!
,
(11)
n = O, 1, 2, ...
Las primeras tres ecuaciones son - do =-a,
- 3a 2d2 -di = - - , 2
Puesto que do = 1 ya se construyó en (6), se observa que a = d o = 1,
- 5a
6d3 -d2 = - 12
a=
1. Así,
d 2 = d¡/2 - 3 / 4, d 3 =d¡ / 12-7a / 36
Con d¡ = O (o cualquier otro valor conveniente), la fórmula de recurrencia (11) puede usarse para determinar dn , n = 2, 3, ... . Así, puede usarse la fórmula (10) para Y2(x) si se establece que a = 1, do = 1, d¡ = O, d 2 = - 3/4, d 3 = -7/ 36, .. . y se utiliza la fórmula de recurrencia (11) para dn , n ~ 4. Entonces {Y¡,Y2} es un conjunto solución básico para la EDO xy" - y = O. Aunque a 7= O en el ejemplo 11.7.2, puede pasar que a desaparezca. En tal caso, la segunda solución sería una serie de potencias generalizada como la primera y no habría ningún término logarítmico.
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754
Series solución: funciones de Bessel y polinom ios de Legendre
Funciones de Bessel de segundo tipo de orden entero Se aplicará ahora el teorema de Frobenius 11 al problema de hallar una segunda solución de la ecuación de Bessel de orden n, (12)
donde n es un entero no negativo. En la sección 11.6 se encontró una solución, Jn(x) , de la ecuación de Bessel (12). Debido a que la diferencia de dos raíces n y - n del polinomio indicial f(r) = r 2 - n 2 es un entero, ya es aplicable el teorema de Frobenius I. Hay dos casos. Caso 1: si n = O, entonces se aplica el caso 11 del teorema de Frobenius 11. Una segunda solución de la ecuación de Bessel de orden O independiente de Jo tiene la forma
Y2 = Yl
1n Ixl + n=OL,cnx n
(13)
Y los coeficientes cn pueden determinarse por el método de series de potencias. Lo anterior puede llevarse a cabo, pero requiere ingeniosidad y paciencia. En la práctica, la segunda solución se toma como una combinación lineal definida de Jo (x) y Y2 como se da en (13) . Ésta es la función de Bessel de segundo tipo (o función de Weber) de orden O y se define por
YO(x) =
~(r + 1n l .::I )Jo(X)-~ f Tí:
2
Tí:k=o
~(k) (.::)2 k
(_ I) k (k!)
2
donde h(k) = 1 + l/2 + .. . + l/k y res la constante de Euler,iv = (1- +ln -n-l) = lím[h(k) - lnk] r = I+L, 1l=2 n n k-,>= Caso 2: si n > O, entonces se aplica el caso 111 del teorema de Frobenius 11. En la práctica, la segunda solución se toma como
Ixl)
ll xl-
Yn(x)= .-2 ( r+ 1n - Jn(x) - - Tí: 2 Tí: 2
_ ~ I.::ln
f
1l
n-I (n - k _ 1)!(X)2k L, k=O k! 2
(14)
(- l/[h(k) + h(k + n)] (.::)2k Tí: 2 k=O k!(n + k)! 2
Se llama función de Bessel de segundo tipo (o una función de Weber) de orden n.
iv La constante de fu ler es 0.5772 156649 .. .; no se sabe si el número es raciona l, algebraico o trascendental.
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755
11.7 / Series solución cerca de puntos singulares regulares, 11
l.
I .o
o
0.5
t::!
~-
0.0
1 1 : 1 ' 1 : 1 ' 1 :
~6
~ -0.5
l'
......,-
1: l'
1:
~
-1.
Jf
o
'f -1.5
¡
-2.0
o
,
,
,
10
15
20
X
Figura 11.7.1 Gráficas de funciones de Bessel de segundo tipo Yo, Y¡ y Y2 [fórmula (14)],
Figura 11.7.2 Gráficas de lo,
11/2,
Yo Y YI/2 .
Aunque los términos primero y tercero en la expresión para Yn permanecen sin límite cerca de O, el segundo no, y Yn(x) ~ -00 cuando x ~ 0+. En la figura 11.7.1 se muestran las gráficas de las primeras tres funciones de orden entero Yo, Y¡ y Y2. Los ceros y el carácter oscilatorio de Yn, y de cualquier solución no trivial de la ecuación de Bessel, se abordaron en la sección 11.6.
Funciones de Bessel de segundo tipo de orden fraccionario Ahora supóngase que el orden p de la ecuación de Bessel (12) es no negativo, pero fraccionario. Entonces una solución está dada por 1 P
X)P
(x)=( 2
(_1)k k~ok!rck+p+1) ee
(x)2k
-
(15)
2
Como se mencionó en la sección 11,6, una segunda solución independiente, l_pCx), se construye fácilmente sustituyendo p por -p en (15). Sin embargo, es común no usar l_p sino cierta combinación lineal de 1p y l_p como la segunda solución independiente de (12) . •:. Función de Bessel de segundo tipo de orden p. Para un valor fraccionario no negativo de p, cos(pn)lp(x)
- l_p(x)
y(x)=----~~--~-P
sen ptt
es lafunción de Bessel de segundo tipo de orden p.
(16)
1:
H
"
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Series solución : funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Por la fórmula (16) puede demostrarse que lím Yp(x) = Yn(x) p-M
donde Yn(x) se define por la fórmula (14); es posible considerar que la fórmula (16) define a Yp para todos los valores de p. En la figura 11.7.2 se muestran las gráficas de Jo Y Yo, Jl/2 y Yl/2.
Las funciones Y/x) satisfacen las mismas fórmulas de recurrencia dadas en el teorema 11.6.2 para J/x) y tienen el mismo comportamiento oscilatorio y estructura del conjunto de ceros que Jp. La diferencia visual más notable entre las gráficas de l/x) y Y/x) es el comportamiento en la singularidad x = O: l/O) es 1 (si p = O) o O (si p > O), pero lím X-7 O+ Yp (x) = - 00 para toda p no negativa. El comportamiento ilimitado de Yp(x) en x = O desempeña un papel central en el problema del resorte envejecido, como veremos en seguida.
El resorte envejecido y las funciones de Bessel Examinemos la EDO del resorte envejecido my"(t) + ke- Ely(t) = O
(17)
que se presentó en la sección 11.1. Introduzcamos una medida nueva del tiempo, s = ae/3l, donde a y f3 son constantes que serán elegidas después, y veamos qué sucede cuando se pasa de las variables ty a las variables sy en la ecuación (17). La forma del coeficiente elástico ke - El en (1 7) hace pensar en una medida exponencial del tiempo. Puesto que ds / dt = f3ae/31 = f3s, y (s / a) - 101/3 = e - El, se tiene por la regla de la cadena que dy _ dy ds _ dy - - - - - - f3s dt ds dt ds 2 y (f3s)2 + dy f32s ds 2 ds
é 2y = .!!....(dY ) = .!:....(dY ) ds = .!:....(dY f3s ) ds = d dt
dt dt
ds dt dt
ds ds
dt
Sustituyendo en la EDO (17) se tiene
(s
2 2 d y k - El f32 2 d y f32 dy k )-101/3 O dt 2 + m e y = s ds2 + s ds + m a y=
Divídase la EDO anterior en y y s entre f32, elija a y f3 como sigue
a=(~)~
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757
11.7 / Series solución cerca de puntos singulares regulares, 11
y" + O.5e -
, / 100 y
=O
y"
Y = -Jo(lOOe - '11(0) I I I I
+ O.OSe - , 15 y = O
Y = Jo (O.OSe-, /S ) + Yo (O.OSe-'/S )
'\ 1\ I \
\ \ \ \
'" - 0 .5
200
400
600
800
Figura 11.7.3 Estiramientos del resorte a una longitud finita.
Figura 11.7.4 Estiramiento de un resorte que envejece rápidamente.
y obtenga la ecuación de Bessel de orden O: S
2
2
d y ds
dy ds
-2-+S-+S
2
(18)
y=O
La solución general de (18) es
donde
CI
Y c2 son constantes arbitrarias. En términos de la variable t, y = c l Jo (2ae - ElI2 ) + c 2 Yo (2ae -ElI2 ) ,
lJ@r
Recuerde que Yo (s ) cuando s -7 0+
-7 -~
donde a =
ff
(20)
Conforme aumenta el tiempo t, el argumento 2ae- El 12 de Jo Y de Yo en (20) tiende a O, así que el comportamiento asintótico del resorte envejecido se modela con el comportamiento de las soluciones de la ecuación de Bessel de orden O cerca de la singularidad regular en el origen. Hay dos posibilidades. Primero, c 2 = O, entonces cuando t-'7 +00 el desplazamiento y desde la posición de reposo [modelado por (20)] se aproxima asintóticamente al valor CI , puesto que Jo(O) = 1. Sin embargo, es más probable que C2 sea distinta de cero y que el desplazamiento tienda a c IJO (O) + C2YO (O), es decir, a +00, lo cual depende de si C2 es positiva o negativa. Si es negativa, entonces ·el resorte oscila con amplitud creciente y finalmente empieza a estirarse (o comprimirse) sin límite. En realidad, el resorte se estirará más allá de su límite elástico y se rompe, o se comporta de una manera completamente inelástica que no es modelada en absoluto por la EDO (17). De la figura 11.7.3 a la 11.7.6 se ilustran algunas de las posibilidades. El caso C2 < O se ilustra en la figura 11.7.6 Y corresponde a la situación
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Series solución: funciones de Bessel y polinomios
y" + O.5e -,/IOOy
y" + O.5e -,/IOOy
=O Y
Y = Jo(IOOe -'1100) + Yo(lOOe -'/100)
=
=O
Jo(lOOe -'1100) _ Yo(lOOe -'1100)
,, ,,
2.0
, ,
I I
,
¡\
H.'nr'f':\ /\ !\
I
.f. dH ~u ~ \1 \:
\ /
,
\ I \1
,
,
,
, ,,
1.5
,
de Legendre
1 1
l.
,
/
1 1
o
1 1
;>..
"
, 1
-1
0.5
1, , , " ,," ,
I I I I I I
\
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~~,~~~:\
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0.0
, \ ,
I I I
,
-2 -0.5
-1.0
,
, ,
I 1
\..//
+-------~--------~----------------~ 200
400
600
800
t
Figura 11.7.5 Estiramiento de un resorte que envejece lentamente.
Figura 11.7.6 Compresión de un resorte que envejece lentamente.
irreal de aproximación a la compresión infinita (es decir, y ~ +00). De hecho, para cualquier resorte real hay un límite 'para la cantidad que puede comprimirse, y la EDO modelo (17) no es válida cuando y(t) se aproxima al límite.
Temperaturas permanentes y funciones de Bessel Finalmente, esta sección se cierra con una reconsideración de la ecuación asociada con el modelo para las temperaturas permanentes en un cilindro sólido (véase el ejemplo 11.1.2).
Ejemplo 11.7.3
Temperaturas
permanentes
en Un cilindro
Una solución R (r) de la ecuación v:w Omita este ejemplo si no ha visto la sección 10.7.
rRI/(r) +R'(r)
+ ArR(r)
= O,
(21)
es un factor de la función de temperatura u(r, z) = R(r) Z(z) construida en el ejemplo 11.1.2 como parte de un modelo para las temperaturas estables en un cilindro sólido. Todo el conjunto de ecuaciones modelo está dado por el problema de valor límite (3) de la sección 11.1. El parámetro A en la EDO (2'1) es una separación constante que se supone positivo. Las condiciones dadas en el ejemplo 11.1.2 implican que R(r) debe limitarse para O ~ r ~ 1, en tanto que la segunda y tercera condiciones límite del problema de valor límite (3) de la sección 11.1 implican que la constante de separación A en (21) debe ele.girse de forma que R(1) = O. El problema entonces radica en encontrar todos los valores positivos de A tales que
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759
77.7 / Series solución cerca de puntos singulares regulares, 11
rR"(r) + R'(r)+ ArR(r) = 0,
0:S:r:S:1
(22)
IR(r)1acotada para O:S: r:S: 1
R(l) = O,
Primero, la EDO en (2 1) puede transformarse en la ecuación de Bessel de orden O multiplicando la ecuación por r e introducir los cambios de variable r = XA- 1I2 ,
y(x) = R(XA- 1I2 )
(23)
U sando la regla de la cadena se tiene dy = dR dr = 'R'(r)A- 1I2 , dr dx dx
Así, la EDO (21) se convierte en (24) que es la ecuación de Bessel de orden O. La solución general de (24) es y:= CIJO (x) + C2 YO(x)
donde cl Y c2 son las constantes. En las variables xy, d problema (22) se vuelve [usando las fórmulas de (23)] (25) II2
y(A
)
= O,
ly(x)1 acotada para
112
O:S: x:S: .10
Como la solución general de la EDO (24) se relaciona con la función Yo(x), que es infinita en x = O, la función debe excluirse con bases físicas y la solución deseada de (25) tiene la forma
La condición límite y(AI12 ) = O implica que AI12 debe ser cualquiera de los ceros positivos .Ion de Jo estudiados en la sección 11.6. Las soluciones aceptables de (22) son (puesto que x = rA1I2 ) Rn(r) = cIJO (rAn ),
.Ion un cero positivo de Jo
(26)
donde Cl es cualquier constante. Las soluciones (26) del problema de Sturm-Liouville se usarán en fa sección 11.8 en la solución de algunos problemas de valor límite.
Comentarios Suele suceder que una ecuación al parecer distinta de una ecuación de Bessel puede transformarse en una ecuación de este tipo mediante un cambio de variable juiciosamente escogido. En los problemas 3 y 4 se enumeran dos familias de EDO que pueden transformarse en ecuaciones de Bessel.
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760
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Problemas _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ www 1.
(Teorema de Frobenius Il: casos /l, Ilf.) Compruebe que O es un punto singular regular de cada ecuación y encuentre una base para el espacio solución en el intervalo (O, 00). [Sugerencia: en los incisos (a), (b) y (e), la solución y¡ se encuentra fácilmente en forma cerrada. Luego aplique el método de reducción del wronskiano del problema 6 de la sección 3.7 para encontrar una segunda solución independiente.]
(a) xy" +(l+x)y' + y = O
(b) x2y" + x(x - l)y' + (1 - x)y = O
(e) xy" - xy' + y = O
(d) xy" - x2y' + y = O
2.
(Ecuaciones reducibles a la ecuación de Bessel.) Muchas EDO lineales de segundo orden con coeficientes variables son equivalentes a la ecuación de Bessel. La siguiente es una de ellas. (a) Si w(s) es la solución general de la ecuación de Bessel de orden p, s 2w" + sw' + (S2 - p2)W = O, demuestre que y(x) = e GX W (bx) es la solución general de la ecuación x2y" + x(l - 2ax)y' + [(a 2 + b 2)x 2 - ax - p2]y = O donde a y b son constantes reales, b f:. O. (b) Encuentre la solución general de x2y" + x(1 - 2x)y' + (2x 2 - x - l)y = O
3.
(Ecuaciones reducibles a la ecuación de Bessel.) Las siguientes son otras EDO equivalentes a la ecuación de Bessel. (a) Demuestre que si y(x) es una solución de la ecuación de Bessel de orden p, entonces w(z) = z -Cy(al) es una solución de z 2w" + (2c+ l)zw' + [a 2b 2 z 2b +(c 2 - p 2b 2 )]w = O
(b) (Ecuación de Airy.) Use el inciso (a) para mostrar que la solución general de la ecuación de Airy (véase la sección 11.2, problema 4), y" - xy = O, es
113/2) + c2 J _¡/3 (2113/2)J ¡/2[c¡J1/3 (2----;-----;--
y=lxl
Las f unciones de A iry Ai(x) y Bi(x) se definen respectivamente para x < O al establecer cl = c2 = 113 y cl = - c2 = -11.J3. Demuestre que {Ai(x), Bi(x)} es un conjunto independiente. [Sugerencia: introduzca una nueva variable x = - z.] (e) Encuentre la solución general de x2y" +(~ + x4 } = O. (d) Encuentre la solución general de y" + x 4 y = O.
11 4.
(Resorte envejecido.) Supóngase que y = J o(6e- t ) es la solución de un modelo de un resorte deteriorado. Trace y como función de t, O::; t::; 6. ¿Qué pasa cuando t ~ oo?
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11.8 / Temperaturas estables en esferas y cilindros
~ s.
(Funciones de Bessel de segundo tipo.) Si p no es un entero, use la fórmula
y = COS(pTC)Jp-J_ p p
~ _ 6.
senpTC
para demostrar que las funciones de Bessel de segundo tipo de orden fraccionario satisfacen las fórmulas de recurrencia (16) a (19) en la sección 11.6. (Resorte envejecido.) Resuma lo que se ha mostrado en este capítulo acerca del problema del resorte envejecido. Critique la validez del modelo. Proponga y analice otros modelos. En particular, considere el modelo y" + (b 2 + a2e- Et )y = O
donde a, b y e son constantes. Demuestre que las soluciones están dadas por y = clJ/s) + C2Y/S)
donde p = 2ib/ e y s = 2ac- l e- EtI2 • Critique este modelo. Trace las soluciones para los varios valores de a, b, e, e interprete estas soluciones en términos de los movimientos del resorte.
11.8
Temperaturas estables en esferas y cilindros Volvamos ahora al método de separación de variables desarrollado en la sección 10.7. El 2 tema principal es la ecuación de Laplace V u = O, pero aplicada a esferas y cilindros donde los polinomios de Legendre y la función de Bessel desempeñan un papel decisivo. En la sección 10.7 se señaló que el método de separación de variables sólo tiene éxito cuando los límites físicos de la región donde se define la solución u consta de conjuntos de nivel del sistema de coordenadas en que se expresa V 2 u . Lo anterior se experimentó en la sección 10.9, cuando la región era una placa circular delgada y fue necesario expresar V 2 u en términos de coordenadas polares. Como veremos en esta sección, cuando la región en que se define u es una esfera o un cilindro, entonces la EDP V 2 u = O debe expresarse en coordenadas esféricas o cilíndricas, respectivamente, antes de aplicar el método de separación de variables. En estos nuevos sistemas de coordenadas el problema de Sturm-Liouville encontrado ya no será regular, así que atenderemos primero esta dificultad.
Problemas singulares de Sturm-Liouville Supóngase que las funciones de valores reales p(x), p (x) y q (x) son tales que
p, q están en COla, b],
p está en Cl[a, b],
p,p,¡,O en (a, b)
(1)
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762
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Entonces un problema regular de Sturm-Liouville para el operador L con acción L[y] = (py')' + .xy requiere encontrar los valores de A. (conocidos como valores característicos o eigen valores de L) para los cuales la EDO (py')' + qy = A.py
(2)
tiene soluciones no triviales (denominadas funciones propias de L) en C 2 [a, b] que satisO. facen condiciones límite separadas en los puntos extremo x = a, x = b donde p Por ejemplo, una condición separada en x = a tiene la forma au'(a) + f3u(a) = O, donde las constantes a y f3 no son cero a la vez. Se demostró en el teorema 10.6.2 que las funciones propias correspondientes a valores característicos distintos son ortogonales con respecto al producto escalar
*
(1,
g) =
f:
pfgdx,
2
f, g en C [a, b]
Si p(a) = O o p(b) = O, entonces la EDO (2) tiene una singularidad en uno o ambos puntos extremo del intervalo a::::; x::::; b, así que el problema de Sturm-Liouville no es regular. En los dos ejemplos que siguen se muestra lo que pasa en este caso.
Ejemplo 11.8.1
Funciones de Bessel
Considérese la ecuación de valores característicos con operador L[u] y acción L[u]
=
(l/x) (xu')': !(xu')' = A.u
x
~ Sería útil repasar las secciones 11.3 (polinomios de Legendre) y 11 .6 (funciones de Bessel) antes de estudiar este material.
donde u está en C 2 [0, Ro], Ro > O, Y u(Ro) = OEn este caso se tiene a = O, b = Ro,p = x, p = x, q = O en (1) y (2). Obsérvese que p(O) = O Y que se tiene una condición separada en x = Ro. L es un operador .diferencial simétrico, y puesto que se utilizó una condición separada, los espacios característicos son unidimensionales y mutuamente ortogonales (véase el teorema 10.6.2), con el producto escalar con factor de peso
(1,
g) =
foRo xf(x)g(x)dx
(3)
y los valores característicos son no positivos. Encontremos los valores característicos de L. Primero se utilizará A. = O; la ecuación 2 (xu')' = O tiene la solución general u = A In x + B. Pero las condiciones u en C [0, Ro] y u(Ro ) = O implican que A = B = O; por tanto, A. = O no es un valor característico. Ahora se utiliza A. = _k 2, para k > O. La ecuación de valores característicos (xu')' + k 2 xu = O tiene sólo una solución (hasta múltiplos constantes) que pertenece a la clase C 2 [0, Ro]; se trata de u = Jo (kx), donde Jo es la función de Bessel de orden cero. La condición u(R o) = O implica que Jo (kRo) = O. Pero se sabe de la sección 11.6 que Jo tiene un número infinito de ceros positivos: Xl' X2' .... Esto significa que kn = xn/R O' n = 1,2, ... , de modo que los valores característicos de L son A.n =-(x n / Ro)2,
n = 1,2, ...
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763
11.8/ Temperaturas estables en esferas y cilindros
Los espacios característicos correspondientes son generados por las funciones propias n=1,2, ...
Resulta que {un} es una base de PC[O, Ro]' conocida como base de Bessel, con el producto escalar con factor de peso dado por (3).
Ejemplo 11.8.2
Polinomios de Legendre Considérese la ecuación de valores característicos con operador L y acción L[u] = [(l. x 2 )u']':
para u en C 2[- 1, 1]. En este caso a = -1, b = 1, P = 1, p(x) = (1- x2), q(x) = O, Y puesto que p(- l) =p(l) = O, Dom(L) = C2[-1, 1] en (1) y (2). Por consiguiente, L es un operador simétrico bajo el producto escalar
(J, g) =
+1
f
_1
(4)
f(x)g(x) dx
Los valores característicos son no positivos y los espacios característicos son mutuamente ortogonales. Aunque el teorema 10.6.2 no lo garantice, se verá que los espacios característicos son unidimensionales. Para A = -n(n + 1), n = O, 1,2, ... , la ecuación de valores característicos L[u] = ((1- x 2 )u')' = - n(n+ l)u es la ecuación de Legendre (sección 11.3), cuya única solución (hasta múltiplos constantes) en C2[-1, 1] es Pn(x), el polinomio de Legendre Pn(x) de orden n, n = O, 1,2, .... Es un hecho que {Pn(x)} es una base para PC[-l, 1], denominada base de Legendre, con el producto escalar dado por (4). Este hecho se utiliza para demostrar que L no tiene más valores característicos que An = -n(n + 1), n = O, 1,2, ... . Supóngase, al contrario, que .u:;t: -n(n + 1), n = O, 1,2, ... , es un valor característico de L con la función propia correspondiente v(x) . Ahora L es un operador simétrico, entonces .u(v, Pn) = (.u v , Pn) = (LV, p,,) = (v, Lp,,)=-n(n+l)(v, Pn )
Así que (v, Pn ) = O, para toda n = O, 1,2, .... Por el teorema 10.3.5, v = O, de manera que v no puede haber sido una función propia, ni .u un valor característico. Los valores característicos y las funciones correspondientes de L son An = -n(n + 1),
n = O, 1,2, ...
Sifestá en PC[-l, 1], entoncesftiene el desarrollo ortogonal f() x =
t~AP() n n
X ,
A = (J,Pn ) =2n+1 n IIPnl12 2
f, f(x)P(x)dx -1
IZ
donde se ha utilizado la fórmula IIPnl12 = 2/(2n+ 1) de la tabla 11.3.1.
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764
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
Los sistemas de Sturm-Liouville de los ejemplos 11.8.1 y 11.8.2 no están en el caso regular. Se dice que tales sistemas son sistemas singulares de Sturm-Liouville . No obstante, es verdad que se cumplen conclusiones similares a las del teorema regular de Sturm-Liouville (teorema 10.6.4). Por ejemplo, {lo(xllxl!?o): n = 1,2, ...}, donde xn es el n-ésimo cero positivo de Jo, es una base paraPC[O, Ro] bajo el producto escalar (I,g) = IRo xfgdx. También, como se mencionó antes, {Pn(x): n = 1,2, . ..}, es una base para pC[- f, 1] bajo el producto escalar normal donde Pn es el polinomio de Legendre de orden n.
Temperaturas estables en una bola: armónicas zonales Ahora sea G el interior de una bola unitaria en lIt3 : blema de Dirichlet
x2
+ l + Z2 < 1, Y considere el pro-
en G en dG
(EDP) (CF)
(5)
donde la función límite f((J, 1»se expresa en coordenadas esféricas y se supone que es una función continua. Como el límite físico de G es una esfera, debería expresarse primero la EDP en (5) en coordenadas esféricas si se quiere usar el método de separación de variables. Con (5) de la sección 10.9 para transformar el problema límite (5) en coordenadas esféricas se obtiene (EDP) (6) (CF)
En lo subsiguiente se supondrá que f es independiente de (J. Se encontrará una solución u que también es independiente de (J. Como de costumbre, se supone que u pertenece a C 2 (G) y a CO(G*). Al usar el método de separación de variables sólo se necesita buscar soluciones de la EDP de la forma R(p )<1>(1», pues el límite f depende sólo de 1>. Las variables se separan para obtener las EDO Se han omitido los cálculos que dan como resultado estas dos EDO.
I@'
p2 R" +2pR' + AA = O, (sen 1> )<1>" + (cos 1»<1>' - (Asen 1»<1> = O,
O
(7) (8)
donde A es la constante de separación. Ahora bien, como se supuso que R(p )<1>( 1» pertenece a C 2(G), se buscarán las constantes A tales que las EDO (7) y (8) tengan soluciones R y <1> con R en C 2 [0, 1] 2
<1> en C [0, n]
(9a) (9b)
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11.8/ Temperaturas estables en esferas y cilindros
Obsérvese que las EDO (7) y (8) son no normales porque los coeficientes principales desaparecen cuando p = OY cuando l/> = O o re, de manera que las condiciones (9a) y (9b) no son redundantes. El método de separación de variables nos presenta un problema singular de Stunh-Liouville que resolver. Si se cambia la variable independiente de s a l/> con la función s = cos l/>, se observa que el intervalo O:'; l/>:'; re se vuelve unívoco en el intervalo - 1 :,; s:,; 1 Y (por medio de la regla de la cadena) que (8) y (9b) se convierten en el sistema singular de Sturm-Liouville
2 . 2 d et> det> (l - s ) -2- 2 S - - Aet> = 0, (10) - 1 < s < 1, ds ds Ahora, ya se había visto antes la EDO en (10); de hecho, si A se sustituye por -n(n + 1), entonces la EDO (10) es precisamente la ecuación de Legendre y tiene como una de sus soluciones el polinomio de Legendre P n(s). De acuerdo con el ejemplo 11.8.2, se tiene An = - n(n + 1), n = O, 1, ... y et>n(l/» = Pn(cos l/», n = O, 1, .... Si se sustituye An por A en '(7) se llega al problema p2 R" + 2pR' - n(n + l)R = O, ltF Las ecuaciones de Euler se explican en la sección 11.4.
n = 0,1,2, . ..
(11)
Ahora la EDO (11) es una ecuación de Euler y tiene la solución general
R(p) = Apn + Bp- n- l,
n = 0,1,2, ...
Puesto que R debe estar en C 2 [0, 1] [véase (9b)], debe tomarse B = O; entonces se tiene
n = 0,1,2, ... Ahora se toman las funciones Pn(x) = Pn (cos l/» y pn y se busca una solución para (6) en la forma =
(12)
u(p, l/»= I,AnpnPn(cosl/» n=O
Insertando p = 1 en (12) se tiene la condición ¡el/»~ =
I, AnPn(cos l/»,
(13)
n=O
Si se hace el cambio de variables x = cos l/> en (13) y se designa g como la función en Ixl:'; 1 tal que g(cos l/» = ¡el/»~ para toda O:,; l/>:'; re, entonces (13) se convierte en =
g(x) = I, AnPn(x),
Ixl:'; 1
(14)
n=O
En relación con el ejemplo 11.8.2, se observa que (14) se cumple si se elige An mediante el uso de la fórmula de Fourier-Euler apropiada para una base de Legendre de PC[- l, 1]:
A = (g,Pn ) = 2n +1fl g (x)P (x)dx n IIPn l1 2 2 -l n '
n = 0,1,2,...
(15)
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766
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
donde g(x) = f(arc cosx). La serie (12) con coeficientes dados por (15) da una solución formal para (6). Los valores de l/J para los que cos l/J es una raíz de Picos l/J)[recuérdese que PIl(x) tiene n raíces distintas, las cuales están en el intervalo (- 1, 1)] determinan las latitudes nodales en la esfera unitaria. Las regiones entre las latitudes nodales consecutivas se llaman zonas y las funciones p"PI(cosl/J) armónicas zonales. La solución (12), (15) es un desarrollo en la armónica zonal. Los resultados anteriores pueden interpret.arse en términos de las temperaturas de estado estable en una bola, dadas las temperaturas límite independientes de la longitud (J.
Temperaturas estables en un cilindro: armónicas cilíndricas ~ Este problema se vio por vez primera en el ejemplo 11.1.2.
Supóngase que e es el cilindro descrito en coordenadas cilíndricas por O ~ r ~ 1, O ~ z ~ a y que, por tanto, u(r, (J, z) es la temp~ratura peqnanente en e en el punto cuyas coordenadas cilíndricas están dadas por (r, (J, z) . Consideraremos el problema de encontrar la temperatura permanente en e cuando la base del cilindro (z = O) se mantiene a una temperatura dada de f(r) grados, independiente de (J, y el resto del límite de e se mantiene a Oo . Por consiguiente, u es la solución del problema límite
v 2 u=0, 11= 0
I I
-,-
,;.'#(r)
6=0
u(l, (J, z) = O, u(r, (J, a) = O, u(r, (J, O) = f(r),
O~r
O< z
(J < 1[;, O ~ r ~ 1, -1[; ~ (J < 1[; O ~ r ~ 1, - 1[; ~ (J < 1[;
O~ z ~a
- 1[;
~
(16)
donde V 2 u se expresa en coordenadas cilíndricas [véase (4) en la sección 10.9]. Puesto que los datos son una función de la variable r solamente, se inclina uno a pensar que la solución de (16) es una función sólo de r y z. Con esta suposición y separando las variables de la manera usual se obtienen las EDO R" + .l R' - AR = O, r
Z" + ílZ = O,
IR(O+)I < 00,
Z(a) = O
R(l) = O
(17) (18)
El problema singular de Sturm-Liouville (17) se trató en el ejemplo 11.8.1. La ecuación diferencial en (17) es una ecuación de valores característicos para el operador de Bessel de orden p = O. La constante de separación A sólo puede asumir los valores A = AIl = -x~, donde las x n son los ceros positivos consecutivos de Jo(x), n = 1, 2, 3, .... Las funciones propias correspondientes para (1 7) están dadas por Rn(r) = Jo (xnr), ~ Recuerde que senhx = .!.. (e X _ e-X ). 2
n = 1, 2, ...
Por tanto (18), con A sustituida por A = - x~ , produce Zn(z) = senhxn(a - z ),
n = 1, 2, ...
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767
77.8/ Temperaturas estables en esferas y cilindros
Con lo anterior se espera que la solución del problema límite (16) sea de la forma (19) La condición restante en (16) que ahora debe satisfacerse implica que =
f(r)
= u(r,O) = LAn senh(xna) Jo (xnr) 11=1
Esto hace pensar en un desarrollo ortogonal defpor medio de la base {lo(xnr), n = 1,2, ...} (véase el ejemplo 11.8.1). Con la fórmula de Fourier-Euler para los coeficientes con el producto interior dado por (3) se nota que
2 11 r J x r dr A = n [JI (xn)f senh(xna) rf( ) o( 11 )
°
(20)
f
donde se ha usado la fórmula rJ5(xnr)dr = ~J¡(xn) (véase el problema 4). La serie (19) con coeficientes dados poro(20) define la solución formal para (16). Aunque no se hará aquí, puede demostrarse que esta solución formal es una solución clásica sif(r) es suficientemente uniforme y f(1) = O. Las funciones senhxn(a - z)JO(xnr) se denominan armónicas cilíndricas y (19) es un desarro llo en armónicas cilíndricas .
Comentarios Hemos analizado una muestra de problemas de Dirichlet que pueden resolverse por el método de separación de variables. Como siempre, el límite de la región en estudio debe componerse de conjuntos de nivel de las variables coordenadas. En la práctica, esto restringe el método a regiones rectangulares o con forma de caja, esferas, cilindros, discos o combinaciones simples de estas regiones. También se demostró con dos ejemplos que la geometría no rectangular puede llevar a problemas de Sturm-Liouville singulares, los cua. les, a su vez, conducen a series ortogonales especiales. Debido a las complejidades de construir soluciones del problema de Dirichlet, es notable que las propiedades de las soluciones (p. ej., el principio máximo) pueden demostrarse independientemente de la forma particular de la región que se trate. Aunque se demostraron las propiedades en la sección 10.9 sólo para regiones planas, aún son válidas, tras realizar las reformulaciones apropiadas, en cualquier número de dimensiones. Pueden usarse otras condiciones límite en los problemas considerados en esta sección, así que sólo hemos tratado el tema en forma superficial.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
(Temperaturas en una esfera sólida.) Encuentre las temperaturas de estado estable en una bola de radio unitario si se dan las temperaturas superficiales f en coordena-
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768
Series solución: funciones de Bessel y polinomios de Legendre
das esféricas. [Sugerencia: utilice (12), (15) Y las propiedades de los polinomios de Legendre dadas en la tabla 11.3.1.] 2 (a) f = cos2l/>-sen l/> (b) f(l/» =
{k
n¡; [Sugerencia: utilice la identidad xP: - nP
~;:/<~
n
= P:_ I
de la tabla 11.3.1 y la integración por partes para evaluar f~] Pn (x)d.x.] f(l/» = Icosl/> I (Temperaturas en una bola hueca.) Encuentre las temperaturas de estado estable en una cubierta esférica, O< PI < P < P2 ' si las temperaturas en la esfera interna están dadas por f(l/», en la esfera exterior por g(l/» . [Sugerencia: proceda como en el texto, pero mantenga ambos términos en R(p) = Ap b + Bp-n-I.] Resuelva los problemas de valor límite siguientes: (a) Resuelva el problema límite (16) sij(r) = 1, O ~ r ~ 1. (b) Resuelva el problema de valor límite que surge de (16) si la condición de temperatura lateralu(l, e, z) = O se sustituye por la condición de aislamiento perfecto ur(l, e, z) = O, O ~ z ~ a, - n ~ e ~ n. [Sugerencia: utilice (19) del teorema 11.6.2 con p = O, Y emplee la identidad del problema 4 con a = x:, donde es un cero positivo de J ó (y, por tanto, de J]).] Demuestre que (e)
2.
www 3.
x:
4.
r rJ 2 (ar)dr = [Jo2 (a) + J¡2 (a)] / 2 Jo o l
5.
donde a es cualquier número real. [Sugerencia: multiplique la ecuación de Bessel de orden O por 2Jó(r) y vuelva a escribir para obtener [r 2(Jó)2]' + r2(J't), = O. Integre de O a a usando la integración por partes y luego use la fórmula de recurrencia (19) de la sección 11.6 con p = o: J ó= - J ] .] (Problemas de Neumann.) Sea G una región plana cuyo límite es una simple curva cerrada uniforme. El problema V 2 u = O en G, dU/ dn = f en dG , donde u pertenece a C 2 (G) ya CO(G*) y fes continua en dG, se denomina problema de Neumann para G. (a) Demuestre que dos soluciones cualesquiera del problema de Neumann difieren por una constante. [Sugerencia: sea W = uI - U2, donde U¡ y U2 son soluciones del problema de Neumann. Aplique el teorema de divergencia (teorema B.5.13) al vector V(w 2 ) , y utilice el hecho de que V 2 w = O en G y dW/dn = O en dG para demostrar que VW es el vector cero en G*.] (b) Demuestre que si el problema de Neumann tiene una sola solución, entonces f(s)ds = O. (e) ttfsuelva el problema de Neumann anterior si G es el disco unitario en el plano y si el f(e) = senl/>, en tanto que u = O en e = O, r = 1. [Sugerencia : use la fórmula (10), sección 10.9.]
f
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769
11.8/ Temperaturas estables en esferas y cilindros
6.
(Problemas singulares de Sturm-Liouville.) En cada uno de los problemas de SturmLiouville siguientes identifique el operador L, encuentre los valores y espacios característicos de L y exprese la ortogonalidad y las propiedades de base de las funciones propias. (a) x 4 y" + 2 x 3 y' = Ay; y(l) = O, y(2) = O. [Sugerencia: resuelva la EDO, pruebe con la sustitución s = l/x.] (b) xy" - y' = Ax 3 y; y(O) = O, y(a) = O. [Sugerencia: resuelva la EDO, pruebe con la sustitución s = x2 .]
(e)
~ [(xy')' -
2
p: y ]= Ay, yen C [0,
Ro],
y(Ro) = O, dondep es un número posi-
tivo. [Sugerencia: L[y] = [(xy')' - p2y/ x]/ x es operador de Bessel de orden p.]
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Apéndice A
Teoría básica de problemas de valor inicial
El objetivo de este apéndice consiste en presentar la teoría básica del problema de valor inicial para una sola variable de estado y dar algunas de las demostraciones omitidas en el capítulo 2 . Se analizan por separado las preguntas básicas de unicidad, existencia, extensión y sensibilidad.
A.l
Vibraciones de una cuerda Es más sencillo manejar la cuestión de la unicidad para el problema de valor inicial (PVI) y'=f(t,y),
(1)
que la de existencia, de modo que la abordaremos primero. Por conveniencia se define primero una región en el plano . •:. Punto interior, región. Un punto P es un punto interior de un conjunto R en el plano ty si para algún valor de r > O todos los puntos a distancia de P menores que r también están en R. Una región es un conjunto conexo (es decir, no en piezas inconexas) cuyos puntos son los puntos interiores. Por ejemplo, los puntos dentro de un rectángulo forman una región.
Teorema A.1.1
Teorema de unicidad. En el PVI (1) supóngase que f y af/ay son continuas en alguna región R que contiene el punto interior (to, Yo). Entonces, en cualquier intervalo 1 de t que contenga fo haya lo sumo una solución del PVI (1). Demostración. Sólo demostraremos el teorema en el caso donde 1 está en el intervalo fo S; f S; fo + a y R contiene el rectángulo s: fo S; f S; fo + a, Yo - b S; Y S; Yo + b, para algunas constantes positivas a, b. Este caso especial puede usarse para esta-
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772
Apéndice A / Teoría básica de problemas de valor inicial
y
R
Figura A.l.1 Geometría especializada para el PVI (1). blecer la afirmación más general, pero se omitirán los detalles. Ahora supóngase que YI(t) y h(t) son dos soluciones del PVI (1) que permanecen en S en el intervalo 1: to ~ t ~ to + a (véase la figura A.l.1). Entonces t o < t < to + a
[YI (t) - h (t)]' = f(t, YI (t» - f(t, h (t»,
Obsérvese que YI(t) - h(t) es continua en 1 y tiene valor O en t miembro de la ecuación (2) de to a algún t en 1, se tiene YI (t) - h (t) =
r
[fes, YI (s» - fes, h (s»]ds,
= too
(2)
Si se integra cada
ten 1
(3)
lo
Ilil Estos dos teoremas se enumeran como B.5.4 y B.5.1 en el apéndice B.
Ahora, puesto que of/oy es continua en S, por el teorema del valor medio y el teorema del valor máximo/mínimo se deduce que hay una constante positiva L tal que i
1f(t'YI) - f(t,h) 1 ~ L 1YI - h 1,
para puntos cualesquiera (t'YI)' (t,h ) en S
(4)
Se dice que las funcionesfit, y) que satisfacen la desigualdad (4) para alguna constante L> O satisfacen una condición de Lipschit:. en y sobre S; la constante L se llama constante de LiJlschit:. . Si se toman los valores absolutos de cada miembro de (3), I YI(t) - Y2(t) I se denota con w(t), se evalúa la integral y se utiliza (4), se obtiene la desigualdad O ~ w(t)
Ir"
Los cálculos de las integrales se dan en el teorema B.5.9 en el apéndice B.
.
~
r
1fes, YI (s» - fes , Yi (s» 1ds .
~
,
~L
r ~
w(s)ds,
para toda t en 1
(5)
.
Se demostrará que la única solución no negativa w(t) de la desigualdad (5) es la función w(t) = O de para toda t. Supóngase que v(t) =
r
w(s)ds,
para toda t en 1
lo
i
L puede tomarse como máximo de laVc)yl para (t, y) en s.
(6)
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773
A2 / Proceso de Picard para resolver un problema de va lor inicial
Puesto que v'(t) = w(t) en 1, (5) puede volver a escribirse como la desigualdad v'(t) - Lv(t) S O,
para toda t en 1
(7)
Multiplicando la desigualdad (7) por el factor de "integración" e-u se obtiene la desigualdad siguiente (recuérdese que 1 está en el intervalo to S t S to + a)
Así, v(t)e-LI es una función no creciente de t para to S t S to + a, lo cual implica que v(t)e- u sv(to)e-uo ,
to StSto+a
Pero como veto) = O, se deduce que v(t) S O para toda t en l. Por otro lado, puesto que v(t) = w(s)ds, t> to, Y w;;::: O, se sabe que v(t);;::: Opara toda t en l. Puesto que v(t) S
f
lO
O S v(t), se observa que v(t) = O para toda t, entonces v'(t) = w(t) = O, para toda t, también, y ya se demostró que YI(t) = Y2 (t) para toda ten I. Por tanto, el PVI no puede tener más de una solución en 1, con lo cual se termina la demostración.
Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1.
2.
Considérese la EDO y' = f(t, y), donde f = Iyl. (a) Demuestre que la funciónfno satisface las hipótesis del principio de unicidad en cualquier región que contiene todo o parte del eje t en el plano ty. (b) Demuestre que el PVI y' = Iyl, y(to) = O, tiene, aun así, una única solución. ¿Hay alguna contradicción? (e) Demuestre que la hipótesis "afFay es continua" en el principio de unicidad puede reemplazarse por ''I(t, y) satisface una condición de Lipschitz en y". Use esta conclusión para demostrar que y' = lyl, y(to) = O, tiene una solución única. Supóngase que m y n son enteros positivos sin factores comunes (es decir, m y n son primos relativos ). A continuación se da un PVI que tiene una solución única para algunos valores de m y n e infinitamente muchas soluciones para otros valores: y' = !y!mln,
y(O) =0
(a) Demuestre que el PVI tiene la solución única y(t) = O si m;;::: n. (b) Demuestre que el PVI tiene un número infinito de soluciones si m < n.
A.2
Proceso de Picard para resolver un problema de valor inicial Establezcamos la existencia de una solución para el PVI y' = f(t,y),
y(to) = yo
(1)
donde f y aflay son funciones continuas en una región R del plano ty que contiene el punto interior (to, Yo)· El método que seguiremos es construir una sucesión de funciones iteradas, conocidas como iteraciones de Picard , que convergen a la única solución del PVI (1).
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774
Apéndice A / Teoría básica de problemas de valor inicial
Una ecuación integral equivalente Para abordar la tarea de encontrar una solución para el PVI (1) se convertirá primero en una ecuación integral "equivalente". Supóngase que y(t) es una solución del PVI (1) en el intervalo l que contiene a to tal que la gráfica de y(t) se ubica en R. Entonces, integrando cada miembro de la relación y'(t) = f(t, y(t)) de to a algún t en el intervalo l y usando la condición inicial se obtiene y(t)- Yo
=JI y'(s)ds =JI f(s,y(s))ds lo
lo
Si y(t) es una solución del PVI (1) en el intervalo l que contiene a to, entonces y(t) es una solución de la ecuación integral y(t) = Yo +
JI fes, y(s))ds,
ten J
(2)
lo I@' El teorema B.5.5 del apéndice B es el teorema fundamental del cálculo.
Por el contrario, supóngase que y(t) es continua en J, que su gráfica queda en R y que y(t) satisface la ecuación integral (2). Entonces y(to) = Yo. Por el teorema fundamental del cálculo, y(t) es derivable en cada punto interior de J, y [usando (2)] y'(t) = d(y(t)) = ~ (YO + dt dt
JI fes, Y(S))dS) = f(t, y(t)) lo
Se deduce que y(t) es una solución de PVI (1) en el intervalo l. Éste es el sentido en que el PVI (1) Y la ecuación integral (2) son equivalentes. Así, la solubilidad del PVI (1) es equivalente a la de la ecuación integral (2). Se usará mucho esta equivalencia.
Existencia de una solución Después de este preámbulo estamos en condiciones de demostrar la existencia de una solución para la ecuación integral (2) y, por tanto, del PVI (1). En la condición de quefy df/dy son continuas en R, en A.l se demostró que el PVI (1) no puede tener más de una solución en cualquier intervalo que contiene a too Ahora se demostrará que existe una solución.
Teorema A.2.1
I@' Con el teorema del valor máximo o mínimo (teorema B.5.1) y la desigualdad (4) de A.l se obtienen las desigualdades de (3).
Teorema de existencia. Si las funcionesfy df/dy son continuas en una región R del plano ty y si (to, Yo) es un punto de R, entonces el PVI (1) tiene una solución y(t) en un intervalo J que contiene en su interior ato. Expliquemos por qué es cierto este resultado fundamental. El primer paso es construir en R un rectángulo S que tiene la forma to ::; t ::; to + a, Yo - b ::; Y ::; Yo + b, donde a y b son números positivos (figura A.2.1). Tal construcción es posible porque (to, Yo) es un punto interior de R. Ahora las suposiciones del teorema implican que f y df/dy son continuas en el rectángulo S. Hay constantes positivas M y L tal que If(t,y)l::; M, If(t, y¡) - f(t, h)1 ::; Lly¡ - h l,
para todo (t,y) en S para todo (t, y¡),(t'Y2) en S
(3)
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775
A.2 / Proceso de Picard para resolver un problema de valor inicial
y
-o --
S R
Figura A.2.1 Arreglo geométrico para un problema de valor inicial. Mediante el análisis finalmente se obtendrá la única solución y(t) de la ecuación diferencial y' = f(t, y) en el intervalo to S; t S; to + c, donde c = mín{a, b/M}, con y(to) = Yo . La curva solución correspondiente permanece en el rectángulo S. Es posible considerar como una solución del problema de valor inicial hacia adelante asociada con el PVI (1). Puede usarse la misma técnica para demostrar la existencia de una solución del PVI (1) en un intervalo - d S; t S; to para alguna d > O. Si se juntan esta solución dirigida hacia atrás y la solución hacia adelante se tendría una solución bilateral del PVI (1) en el intervalo to - d S; t S; to + c, como se afirmó en el enunciado del teorema de existencia (teorema A.2.1). Volvamos ahora a la construcción de la solución hacia adelante.
Construcción de las iteraciones de Picard ________________ Empecemos con la formulación equivalente del problema hacia adelante para el PVI (1) como la ecuación integral (2). Recuérdese que y(t) es una solución del PVI (1) en un intervalo to S; t S; to + c si y sólo si y(t) satisface la ecuación integral y(t) = Yo +
JI f(s, y(s»ds,
(4)
lo
Se describe ahora un procedimiento en el que se utiliza la ecuación (4) para generar una sucesión de funciones yo(t), y¡(t), h(t), ... , donde todas estas funciones están definidas y son continuas en to S; t S; + c, c = mín{a, b/M}. Estas funciones se usarán para generar una solución y(t) de (4). Las funciones Yn(t), n = 0,1,2, ..., construidas en esta demostración surgen de manera característica y se llaman iteradas de Picardo Se generan de manera recursiva [es decir, Yn+¡(t) se calcula directamente de yn(t) para cada n = 0,1,2, ... ]. Tomando yo(t) = Yo, to S; t S; to + c, se define y¡ (t), Y2(t) ... por la relación de recurrencia
ta
I
Yn+¡(t) = Yo+J f(s,Yn(s»ds, lo
con to S; t S; to + c.
n = O, 1, 2, ...
(5)
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Apéndice A / Teoría básica de problemas de va lor inicial
1& Las estimaciones íntegras se dan en el teorema B.5.9.
Al construir las iteradas de Picard por medio de (5) ha de tenerse cuidado en cada etapa de que la gráfica de y = Yn(t) permanezca en S para toda to ~ t ~ to + e antes de seguir con el cálculo de Yn+l(t). Si se recuerda que e = llÚn{a, b/M} , se demostrará por Íflducción que la gráfica de Yn(t), n = 0, 1,2, ... , también se está en (5). La gráfica de y = Yo(t) = Yo pertenece a S, de modo que está completo el primer paso de una demostración inductiva. Supóngase que para algún entero n ~ 0, la gráfica de Yn(t) se encuentra en S para toda to ~ t ~ to + e. Con (5), (3) Y las estimaciones integrales se tiene la estimación IYn+l (t) -
Yol ~ It -
to lM ~ cM ~ b,
(6)
puesto que e = llÚn{a, b/M} . Así que la gráfica de Y = Yn+¡(t) permanece en S para toda to ~ t ~ to + e. La inducción está completa y no hay dificultad para construir las iteradas de Picard por medio de (5) si se restringe t al intervalo [to, to + e] .
Convergencia uniforme de una sucesión de funciones _ _________ _ Interrumpamos la comprobación del teorema de existencia para describir el sentido en el que las iteradas de Picard Yo(t), y¡(t), ... se usan para generar la solución de la ecuación integral (4). Las observaciones hechas en realidad se aplican a cualquier sucesión de funciones definidas en un intervalo común, de modo que no se estará confinado a las iteradas de Picardo .:. Convergencia uniforme de una sucesión de funciones. Una sucesión de funciones {Yit)} , n = 0,1,2, ..., definidas en un intervalo común 1, convergen uniformemente a la función y(t) en 1 si dado cualquier error de tolerancia E > 0, existe un entero positivo N tal que para toda t en 1 y toda n ~ N
Más adelante veremos que la convergencia uniforme es la manera como se generará la solución de la ecuación integral (4) a partir de las iteradas de Picardo El siguiente es un ejemplo de convergencia que es uniforme en un intervalo, pero no en otro. La sucesión yit) = tn , n = 0, 1, 2, .. . , converge uniformemente a la función en cualquier intervalo cerrado [0, b] , donde < b < 1, pero no converge uniformemente en el intervalo cerrado [0,1] (véase el esquema del margen). Es útil ver la convergencia uniforme gráficamente como sigue para toda n suficientemente grande. La sucesión {Yn(t)} converge uniformemente a y(t) en 1 si para cada E > las gráficas de Yn(t) permanecen dentro de un "tubo" de radio E respecto a la gráfica de y(t) para toda n suficientemente grande. Dibuje sus propios tubos de radio E menores que 1/2 alrededor de la función límite y(t) en el ejemplo anterior. Esto debe convencerlo de que hay convergencia uniforme en [O, b], < b < 1, pero no en [0, 1]. La desigualdad (7) no es una prueba muy útil para la convergencia uniforme de una sucesión Yn(t) porque debe anticiparse la función límite y(t) antes de que pueda aplicarse la prueba. Como con las sucesiones de números, hay una prueba de Cauehy para la convergencia uniforme , la cual tiene la ventaja de que no es necesario conocer la función límite antes de que pueda aplicarse la prueba; por otro lado, la prueba de Cauchy tiene la desventaja de que cuando tiene éxito no necesariamente se conoce la función límite.
°
°
°
b
(7)
°
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777
A.2 / Proceso de Picard para resolver un problema de valor inicial
Teorema A.2.2
Prueba de Cauchy pata la convergencia uniforme. La sucesión {Yn(t)} de funciones definidas en un intervalo común 1 es uniformemente convergente a alguna función y(t) si, dada cualquier E > O, hay un entero positivo N tal que par:a toda t en 1,
toda n,m:2': N
(8)
Aunque a partir de la prueba de Cauchy no se conoce el límite, la función límite es única y puede aproximarse de manera uniforme por el elemento de la sucesión Yn(t) tanto como se desee al elegir un valor de .n suficientemente grande. Otro hecho aceptado sin demostración es que el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas en un intervalo común 1 también es continuo en ese mismo intervalo. El dibujo del margen ofrece un ejemplo de este fenómeno de una función límite continua (y = O en. este caso) en el intervalo [O, b], así como una muestra de lo que sale mal cuando la convergencia no es uniforme (observe lo que pasa en el intervalo cerrado [O, 1]).
Convergencia de las iteradas de Picard _________________ Ahora se demostrará que la sucesión de iteradas de Picard {Yn(t)} converge uniformemente a una solución de la ecuación integral (4) en el intervalo [to, to + c]. Recuérdese primero de (3) que 1!(t'YI)-!(t,h)1 ::;LIYI-hl Con (5) y (9) se tiene el estimado
para toda (t' YI)' (t'Y2) enl
(9)
l 1
Yn+I(t)-Yn(t) 1 ::;Lr
110
1
Yn(s)-Yn-I(s)Ids,
n=I,2,.. .
to::;t::;to+c,
(10)
Ahora obsérvese de (6) que IYI(t)-Yol::;b,
(11)
to::;t::;to+c
Así, con (10) con n = 1, se tiene 1
para t o ::; t ::; t o + c
h (t) - YI (t) 1 ::; Lb(t - to ),
Con (12) y (10) con n
(12)
= 2 se observa que
1Y3(t)- h(t) 1::; L2b (t_tO)2,
para t o ::; t::; t o +c 2 Procediendo d\ esta manera puede usarse (10) para establecer el esti,mado n
1
Yn+I(t)-Yn(t) I ::;E,b
Así para cualquier n > se obtiene el estimado 1
(t- tot
to::;t::;to+c,
n!
n=0,1,2, ...
,n, y usando (13) y la desigualdad del triángulo, la + bl ::;
(13)
lal + Ibl,
Yn(t) - Ym(t) 1 = IYn (t) - Yn-I (t) + Yn-I (t) + ... + Ym+1 (t) - Ym(t)I ::; lyn(t)-Yn-l(t)I+···+IYm+l(t)- Ym(t)1
L. n-I
::; b
k=m
k
E,
k
(t-to)
k!
(14)
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778 ~ En el apéndice B.2, punto 9, se da la serie de Taylor para eX.
Apéndice A / Teoría básica de problemas de valor inicial
Si se denota con Sn(t) la suma parcial n-ésima de la serie de Taylor para eL(l-Io), es decir, n-l
k
S (t) = ~ L (t - to ) n
~ k=O
k
k'
.
entonces (14) puede escribirse como
I
IYn(t) - Ym(t) ~ b[Sn(t) - Sm(t)],
(15)
Ahora bien, puesto que las sumas parciales {Sn(t)} convergen uniformemente a eL(t-to) en cualquier intervalo del eje t, de lo antes mencionado se deduce que la sucesión {Sn(t)} de sumas parciales satisface la prueba de Cauchy (8) y, por (15), también la sucesión de iteradas de Picard {Yn(t)} en el intervalo [to, to + e]. Se desprende que Yn(t) converge uniformemente a una función continua y(t) en [to, to + e]. Es necesario el resultado siguiente.
Teorema A.2.3
Teorema de convergencia integral. Supóngase que la sucesión {Yn(t)} de funciones continuas converge uniformemente a y(t) en to ~ t ~ to + e, y supóngase que IYn(t) Yo I ~ b para toda to ~ t ~ to + e, donde b, e se definen como antes. Supóngase quefit, y) satisface las condiciones del PVI (1). Entonces, cuando n ~ 00, se tiene t f(s,Yn(s))ds~Jt f(s,y(s))ds, J lo lo
to
~t~to +e
(16)
Finalmente, es posible demostrar que las iteraciones de Picard convergen a una solución del PVI (1). Obsérvese que la sucesión de iteradas de Picard {Yn(t)} satisface las condiciones que llevan a (16), así como la relación (5) en el intervalo [to, to + e] . Tomando los límites de cada miembro de (5) para toda t fija en [to, to + e] se nota por (16) que y(t) satisface la ecuación integral (4) y, por tanto, también el PVI hacia adelante (1). El siguiente es un ejemplo de cómo funciona el proceso de Picardo
Ejemplo A.2.1
Iteradas de Picard y su convergencia Considérese el problema de valor inicial y' = ty + 1,
y(O)
=1
Comparando este PVI con el PVI (1) se ve quefit, y) = ty + 1, to = O Y Yo = 1. También puede tomarse la región R como el plano ty. Tomemos el rectángulo S como del O~ t ~ a, 1 - b ~ y ~ 1 + b, donde a, bson los números positivos arbitrarios. Ahora
1ty + 11~ Ityl+ 1~ a(b + 1) + 1 en S, de modo que puede tomarse M = a(b + 1) + 1. Por consiguiente,
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779
A2 / Proceso de Picard para resolver un problema de valor inicial
20
y (t) 15
10
5
o
0.0
0.5
1.5
1.0
2.0
Figura A.2.2 Primeras cinco iteradas de Picard (líneas continuas) y la solución "verdadera" (línea discontinua) del PVI y' = ty + 1, y(O) = 1. Puesto quefit, y) se define y tiene un comportamiento adecuado en el plano ty, el algoritmo de Picard (5) define las iteradas para toda t, pero la demostración sólo garantiza convergencia de iteradas en el intervalo O::; t::; c. Se tiene yo(t) = 1 y¡(t) =1 + S;f(s,y(S))dS = l+ S;[Syo(S)+l]dS
= 1+
S; (s + 1) ds = 1 + t + t
2
/2
Y2(t) = 1+ S;[Sy¡(S) + l]dS
= 1+
S; [s(1 + s + s; ) + 1] ds
t2 t3 t4 = l + t+ - + - + -
2
3
8
= mín{l, O.8} = 0.8 Y las iteradas de Picard convergen en el sentido prescrito por lo menos en el intervalo O::; t::; 0.8 (véase la figura A.2.2 donde se muestran las primeras cinco iteradas de Picard).
y así sucesivamente. Tomando a = 1, b = 8, se tiene M = 10 Y e
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780
Apéndice A / Teoría básica de problemas de va lor inicial
Resumiendo el método de Picard, se tiene el .:. Esquema de iteración de Picardo El esquema de iteración de Picard para el problema de valor inicial, Y' =f(t, y) , y(to) =Yo, consiste en construir la sucesión l
Yo(t)=yo,
... , Yn+¡(t)=Yo+f f(s ,Yn(s))ds,
n=O, 1, 2, ...
lo
Según el teorema de existencia y unicidad, cuando n PVI] para cada t en algún intervalo que contiene ato.
~
00 ,
yit)
~
y(t) [la solución del
Problemas _____________________________________________ 1. _
_
4.
problema tiene que ver con iteradas de Picard para el PVI y' = - y, y(O) = 1. Encuentre las iteradas de Picard y¡, Y2, Y3' Trace las gráficas de esas iteradas para Itl < 2. Encuentre por inducción una fórmula para la n-ésima iterada YnEncuentre la solución exacta y(t) y trace su gráfica junto con las de Yo, Y¡, Y2' YY3' Demuestre que Yn(t) una suma parcial de la serie de Taylor para la solución y(t) del PVI. Repita el problema 1 para el PVI Y' = 2ty, y(O) = 2. Este problema incluye iteradas de Picard para el PVI Y' = y2, y(O) = 1. (a) Encuentre las iteradas de Picard y¡, Y2, Y Y3(b) Encuentre la solución y(t) directamente y grafique Yo, Y¡, Y2' Y3 Y Y en sus dominios máximos. (e) Demuestre por inducción que la n-ésima iterada de Picard Yn(t) es un polinomio de grado 2n - 1. (d) Demuestre que toda iterada de Picard se define para toda t, pero que la solución exacta sólo se define para t < 1. Entonces demuestre que la serie de Taylor de la solución exacta sólo converge para Itl < 1. Por tanto, las iteradas de Picard, la solución exacta y la serie de Taylor de la solución exacta pueden estar definidas en intervalos diferentes. El esquema de iteración de Picard tiene la solidez suficiente para resistir una mala elección para la primera aproximación Yo(t). Demuestre que las iteradas de Picard para el PVI Y' = - y, y(O) = 1, convergen a la solución exacta e- I aun cuando se utilice el "punto" de partida equivocado Yo(t) = O para empezar el esquema de iteración. [Sugerencia: el esquema de iteración de Picard en este caso se convierte en Yn+¡ (t) = 1 + o(- y n (s))ds, para, n = 0,1,2, .... ]
Este (a) (b) (e) (d) (e)
es
JI
5. 6.
Repita el problema (4) pero con la primera aproximación absurda Yo(t) = sen t. Demuestre que la sucesión de iteradas todavía converge a el. Este problema tiene que ver con iteradas de Picard para el PVI y' = 1 + y2, y(O) = O. (a) Encuentre las iteradas de Picard Y¡, Y2 Y Y3' (b) Demuestre por inducción que Yn(t) es un polinomio de grado 2 n - 1. (<:) Encuentre la solución exacta y(t) e identifique el intervalo máximo en que se define. (d) ¿Se cumple que Yn(t) ~ y (t) para toda t? Explique por qué.
J
http://carlos2524.jimdo.com/ A.3 / Extensión de soluciones
781
7.
¿Cuántas iteradas de Picard puede calcular para y' = sen (t3 + ty5), y(O) = 1? ¿Cuál es la dificultad práctica para encontrarlas?
8.
Sea Yo(t)
=3, Yl(t) = 3 -
I
l n-l (s)ds, n =O, 1,2, ... Encuentre lím -->=
27t, Yn(t) = 3 - JO
n
yit). [Sugerencia: considérese un cierto PVI relacionado con el esquema de itera9.
A.3
ción de Picard.] (Conve rgencia un!jorme de una sucesión defunciones. ) (a) Demuestre que la sucesión {(1 / n) sen (nt) };=l converge uniformemente a la función cero en cualquier intervalo l. [Sugerencia: l(lIn)sen(nt) - 01::; l /n.] (b) Demuestre que la sucesión {tn};=l converge uniformemente a la función cero en el intervalo O::; t::; 0.5, en tanto que converge, pero no uniformemente, en el intervalo O::; t::; 1 a la funciónf(t) = O, O::; t < 1,j(1) = 1.
Extensión de soluciones Una solución del PVI
y' = f(t,y),
(1)
definida en un intervalo puede extenderse fuera del intervalo cuando lo permiten las condiciones en los datos. Esto plantea la pregunta de la relación entre las soluciones extendidas al máximo de y' = j(t, y) y la región donde se define f Para cualquier rectángulo S en el plano ty donde f y son continuas, la curva solución que "entra" en S por un lado (S incluye sus bordes) también debe "salir" por un lado de S. En el resultado siguiente se muestra que este comportamiento es común.
af/ay
Teorema A.3.1
Principio de extensión . Supóngase que R es una región en el plano ty y quefy af/ay son continuas en R. Supóngase que D es una región acotada que incluye sus bordes y que D está contenida en R. Considérese el PVI (1) con (to, Yo) un punto interior de D. Entonces es posible extender la solución del PVI (1) hacia adelante y hacia atrás en t hasta que su curva solución salga por la frontera de D . Para comprobar lo anterior, consideremos sólo la afirmación de extensión hacia adelante puesto que la aserción de extensión hacia atrás se demuestra de la misma manera. Como
-®I D
I
I
R
I I
Figura A.3.1 Disposición geométrica para el principio de extensión.
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Apéndice A / Teoría básica de problemas de valor inicia l
D está acotada, existe un valor mínimo 1"1 tal que ningún punto de D yace en el semiplano t > 1",. Si la curva solución hacia adelante sale de D por su frontera, entonces no hay que demostrar nada. Para tener algo que ·demostrar, supóngase que la solución extendida al máximo del PVI (1) permanece en el interior de D pero que se define para toda t en el intervalo to ~ t ~ 1"2' donde 1"2 < 1",. Se demostrará que esta suposición desemboca en una contradicción, así que la curva solución hacia adelante no puede quedar dentro de D y estar también a izquierda de alguna línea, t = 1"2 < 1"1 (véase la figura A.3 .1). Por tanto, la curva solución debe salir de D. Para llegar a esta cuestión recuérdese que el PVI (1) es equivalente a la ecuación integral y(t) = Yo +
f
f(s, y(s» ds
lo
Así, (2)
Las estimaciones integrales se dan en el teorema 3.5.9 del apéndice B.
1&
En virtud de que f es continua en una región acotada y cerrada hay una constante M > O tal que !f(t, y)1~ M para toda (t, y) en D. En consecuencia, por una estimación para integrales (2) implica que l y(t,) - y(t2 )1 ~ M lt, - t21, to ~tl
(3)
Por (3) y la prueba de Cauchy para la convergencia (teorema A.2.2) se deduce que existe ellírnite Y(1";J . Ahora el punto (1"2' y(1"2"» no puede quedar en el interior de D porque entonces el método descrito en la demostración del teorema de existencia permitiría extender y(t) más allá de t = 'l2. Por consiguiente, el punto (1"2' y(1"2"» debe quedar en la frontera de D , y con esto se concluye.
Comentarios El hecho de que una función de tasa de cambio f(t, y) sea continuamente diferenciable para toda t y Y no significa que la solución de y' =f, y(to) = Yo esté definida para toda t. Por ejemplo, la solución y = (1 - t)- I, t < 1, del PVI y' = y2, y(O) = 1, no puede extenderse a t = 1, aunque la función de tasa de cambio y2 sea continuamente diferenciable. No obstante, para los problemas lineales la situación es mucho más simple (problema 3).
Problemas _____________________________________________ 1.
Encuentre una fórmula solución para cada uno de los PVI siguientes y determine el intervalo más grande de t en el que esté definida la solución. ¿Qué pasa con la solución cuando t se acerca a cada punto extremo del intervalo? (a) y' =
2.
-l,
y(O) = 1
(b) y' = -te- Y ,
y(O)=2
Encuentre una EDO de primer orden y' = f(t , y ), con cada solución definida en un intervalo finito de t.
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A.4 / Sensibilidad de las soluciones a los datos
3.
A.4
Demuestre que la solución del PVI y' + p(t)y = q(t), y(to) = Yo, donde p(t) y q(t) son continuas para toda t en un intervalo abierto 1 que contenga a to, está definida para toda t en l. [Sugerencia: use la fórmula de solución (3) de la sección lA.]
Sensibilidad de las soluciones a los datos Aún queda una última pregunta acerca de la solución del PVI y' = f(t,y),
(1)
En términos aproximados, la pregunta equivale. a esto: ¿siempre es posible encontrar cotas en la determinación de los datos j(t, y) y Yo en el PVI que garantizarán que la solución correspondiente estará dentro de los límites de error prescritos en un intervalo dado de t? Si esta pregunta puede contestarse de manera afirmativa, una consecuencia es que cualquier cambio suficientemente pequeño en los datos de un PVI produce sólo un cambio pequeño en la solución (continuidad en los datos ). Expresado de otra forma: pese a que el PVI que surge de un modelo tiene componentes determinados en forma empírica (y, por consiguiente, nunca puede conocerse con precisión), este último todavía es pertinente y útil. En el estudio del PVI (1) se han utilizado como guía las preguntas propuestas en la sección 2.1: ¿tiene alguna solución el PVI (1)? ¿Cuántas? ¿En relación con el tiempo cuánto puede extenderse una solución? ¿Cómo responden las soluciones a los cambios en los datos (es decir, cuán sensible es la solución a los cambios en los datos)? Si las funciones fy df/dy son continuas en alguna región R del plano ty y (to, Yo) es un punto de R, en las secciones 2.1 y 2.2 se dieron respuestas satisfactorias a las preguntas primera, segunda y tercera. La cuestión acerca de la sensibilidad se analizó en las secciones 2.3 y 2A, pero no fueron contestadas del todo. En esta sección del apéndice se demuestra que condiciones simples en los datos llevan a una respuesta satisfactoria parq el tema de la sensibilidad. Atendiendo la última pregunta, sería sumamente útil tener una fórmula para la solución del PVI (1) en la que los datos aparezcan en forma explícita. Pero para las ecuaciones diferenciales no lineales generales, esto sucede rara vez. Se tendrá que encontrar otra manera de contestar la pregunta. Para estimar el cambio en la solución del PVI (1) cuando son modificados los datosf(t, y) y Yo, será útil tener un estimado como el siguiente.
Teorema A.4.1
Estimación básica. Para las constantes dadas A, B y L con L > O, supóngase que z(t) es una función continua en el intervalo [a, b] que satisface la desigualdad integral z(t)::; A + B(t - a) + L
lG1f La estimación básica también se llama desigualdad de Gronwall en honor del matemático estadounidense T. H. Gronwall.
t
para toda a::; t ::; b
(2)
~ [é(t - a) - 1] para toda a ::; t ::; b
(3)
z(s)ds
Entonces z(t) satisface la estimación z(t) ::; Aé(t-a) +
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Apéndice A / Teoría básica de problemas de valor inicial
J
Jet)
I
R
to + e to + a
Figura A.4.1 Configuración geométrica para la estimación de la perturbación. El conjunto 1 de datos corresponde a la solución y(t) de la EDO no perturbado. Para mostrar la validez de la estimación básica, primero se defme Q(t): Q(t) =
I
para a:<;; t:<;; b
z(s)ds
Entonces Q es continua en [a, b], y el teorema fundamental del cálculo implica que Q'(t) = z(t) para a:<;; t:<;; b; así que (2) puede escribirse como Q'(t) - LQ(t) :<;; A + B(t - a),
a:<;; t:<;; b
(4)
Multiplique cada miembro de (4) por e-Lt y utilice el hecho de que [e-LtQ]' = e-LtQ' - e-LtLQ para obtener [Q(t) e-Lt r :<;;[A+B(t-a)]e-
Lt
,
a~t~b
(5)
Puesto que F(t) = -L-2 [B + LA + LB(t - a)]e-Lt es una antiderivada para el miembro derecho de (5), se observa que (5) puede escribirse como
r
[Q(t)e -Lt - F(t)
:<;; O,
a :<;; t :<;; b
(6)
La función G(t) = Q(t)e-Lt - F(t) es continua en el intervalo [a, b] y, como resultado de la desigualdad (6) se ve que G(t):<;; G(a) para a:<;; t:<;; b, o después de la simplificación, A
+ B(t -
a) + LQ(t) :<;; AeL(t-a ) +
~ [eL(/-a) -1]'
donde se ha usado el hecho de que Q(a) = O. Por (2) se nota que z(t) :<;; A
+ B(t -
a) + LQ(t),
a :<;; t :<;; b
que junto con (7) produce la desigualdad (3), y con esto se concluye.
(7)
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A.4 / Sensibilidad de las soluciones a los datos
Hay también una forma hacia atrás de la estimación básica que con las mismas hipótesis establece que la desigualdad z(t) ::::; A + B(b - t) + L
r
a::::; t::::; b
z(s) ds,
(8)
implica que z(t) ::::;
AéCb - l ) + ~ [é Cb - l ) - 1]'
a::::; t::::; b
(9)
La obtención de (9) a partir de (8) es muy similar a la obtención anterior de (3) a partir de (2), y por eso se omite. Es preciso contar con algún estimado del cambio en la solución del PVI (1) que ocurre cuando se modifican o perturban los datosf(t, y) y Yo.
Teorema A.4.2
Estimación de la perturbación. Supóngase que la funciónfen el PVI (1) es continuajunto con dfldY en un rectángulo R descrito por las desigualdades to ::::; t::::; to + a y IY - yol ::::; b. Supóngase que g(t, y) y dg(t, y)/dy también son funciones continuas en R. Supóngase que en algún intervalo común to ::::; t::::; to + e, con e::::; a, la solución y(t) del PVI (1) y la solución jí(t) del PVI "perturbado" y' = f(t, y ) + g(t,y),
y(to) = yo
(10)
ambas tienen curvas solución que yacen en R (véase la figura A.4.1). Entonces se tiene el estimado ! y(t) - y(t) !::::; !Yo - Yo !é CI - tO) + ~ [é Ct - 1o )
-1],
to ::::; t::::; to + e
(11)
donde L Y M son números tales que
Ibl: :;
Ig(t,y)' l ::::; M,
L,
para toda(t, y) en R
La estimación de la perturbación se deduce de la estimación básica. Con el hecho demostrado en la sección A.2 de que la solución de un PVI también resuelve una ecuación integral equivalente, se ve que y(t) y jí(t) deben satisfacer las ecuaciones integrales (para t o : : ; t::::; t o + e) y(t) = Yo +
r r
f(s ,y(s»ds
lO
y(t) = Yo +
[fes, y(s» + g(s, y(s»] ds
lO
Sustrayendo la segunda ecuación de la primera, para cualquier to ::::; t::::; to + e se obtiene l
l
y(t)-y(t) = yo - yo + f [f(S,y(S»-f(s,y(S»]ds'- f g(s,y(s»ds ~
~
(12)
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786
Apéndice A / Teoría básica de problemas de valor inicial
1
-2.6
lec 2
-2.8
3
-3.0
4 y(t)
a
b
Yo
1 2 3 4 5 6 7
o
o
-3.11 -3.11 -3.13 -3.14 -3.15 -3.16 -3.16
0.7 0.5 0.7 0.5
o 0.7
24 60 36 48
o 36
Y
-3.2
-3.4
-3.6
-3.8 0.0
0.2
0.6
0.4
0.8
1.o
t Figura A.4.2 Curvas solución para (14). Si se escribe z(t) = Iy(t) - jí(t)1 y se utiliza la desigualdad (4) en la sección A.1 para estimar las integrales en (12), se tiene la desigualdad z(t)::; z(to) + M(t-to)+
L
f
z(s)ds,
to ::; t::; to +c
(13)
lO
Comparando (13) con (12) y aplicando la estimación básica con A y B sustituidas por Iyo - Y 01 y M, respectivamente, se obtiene la estimación deseada, con lo cual concluye la demostración.
Ejemplo A.4.1
Como una ilustración de la estimación de la perturbación, en la figura A.4.2 las soluciones de los problemas de valor inicial yl = y seny {
y(O) = Yo
yl = Y "" {
Y
+ asen (iJ ty)
(14)
y(O) = Yo
para varios valores de las constantes )'0' a y iJ. Las líneas continuas son las curvas solución Y (t) que corresponden a los datos de la tabla a la izquierda de la figura A.4.2. Las líneas discontinuas vienen de los límites de error dados por la estimación de la perturbación (11). Obsérvese que el límite del error no es muy definido conforme se aleja uno de to = O. Ahora ya es posible contestar la cuarta de las preguntas básicas.
A.4;
http://carlos2524.jimdo.com/ A.4 / Sensibilidad de las soluciones a
Teorema A.4.3
105
787
datos
Continuidad en los datos . Supóngase quef, af/ay, g y ag/ay son funciones continuas de t y Y en el rectángulo R definido por to ~ t ~ to + a, Iy - Yo I ~ b. Supóngase que E > O es una tolerancia del error. Entonces existen constantes positivas H < b Y e ~ a tales que las soluciones respectivas y(t) y y(t) de los PVI
(b){Y'=f(t~y)+g(t,
(a){y'=f(t, y ) y(to) = Yo
y)
(15)
= Yo
y(to)
satisfacen la desigualdad Iy(t) - y(t)1 ~ E,
para cualquier elección de Yo para la cuallyo -
t o ~ t ~ to + e
y01 ~
(16)
H.
A continuación se explica cómo obtener la desigualdad (16). Supóngase que H es cualquier constante positiva O < H < b, Y que M es tal que máx Ig(t,Y)I~M para todo (t, y) en R. Entonces, según los teoremas de existencia y unicidad (teoremas A.l.1 y A.2.1), la solución y(t) del segundo PVI en (15) debe definirse por lo menos en el intervalo: to ~ t ~ to + e, con
{ b-H}
c = IllÍn a, M+M
(17)
donde M es una constante positiva tal que !f(t, y)1 ~ M para todo (t, y) en R. Entonces, por la estimación de la perturbación (teorema A.4.2), se tiene Iy(t) -
y(t)l~ He Le + M L
(eLe -1),
(18)
donde L > O es cualquier número tal que laf/aYI ~ L para todo (t, y) en R. Asigne a las constantes positivas H y e valores tan pequeños que He Le < E/2 Y ML- l(eLe - 1) < E/2 , de modo en el miembro derecho de (18) no sea mayor que E. Se observa que se cumple Iy(t) - y (t)1 ~ E, Y con esto se concluye.
Propiedades de las soluciones Reuniendo los resultados de esta sección con los de secciones anteriores se tiene un panorama completo de cómo se comportan las soluciones de los PVI, como el PVI (1). Siflt, y) yaf/ay son continuas en una región cerrada R del plano ty, entonces:
1.
Por cada punto en el interior de R, hay una y sólo una curva solución de la ecuación y' = flt, y), y esta curva solución puede extenderse hasta la frontera de R (por el teorema de existencia, el principio de unicidad y el principio de extensión).
2.
El cambio en la solución del PVI (1) es pequeño si los cambios en los datosflt, y) y Yo son suficientemente pequeños (continuidad en el teorema de los datos) .
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788
Apéndice A / Teoría básica de problemas de valor inicial
En la primera de l::j.s propiedades anteriores es evidente que un PVI es una herramienta eficaz para resolver problemas que tienen que ver con sistemas dinámicos. La segunda propiedad indica que los modelos relacionados con PVI no se invalidan aun cuando los elementos del modelo determinados de manera empírica no tengan valores "verdaderos".
Problemas _____________________________________________ 1.
2. ~, _ 3.
Use la estimación de la perturbación para aproximar ¡y(t) - y(t) ¡ si .Y(t) es solución del PVI y'(t) = (e - y2 + O.l)y, y(O) = a y y(t) es solución del PVI y'(t) = O.ly, y(O) = a. Sea y(t) una función continuamente difetenciable en la recta real tal que 1y'(t)1 :::; Iy(t) I para toda t. Demuestre que y(t) nunca se anula o que y(t) = O para toda t. (Estimación de la perturbación cuando cambian los datos iniciales.) Supóngase que la función de tasa de cambio f(t, y) se define en algún rectángulo R : a:::; t:::; b, c:::; y :::; d Y que f,iy son continuas en R. Si K YL son constantes tales que K:::; 1;,(t, y):::; L , Y si y(t) y y (t) son soluciones cualesquiera en a:::; t:::; b de la EDO y' =f(t, y) cuyas curvas 'solución se ubican en R, entonces siga la descripción siguiente para demostrar que Iy(a) - y(a)leK(t-a) :::; Iy(t) - YCt)I:::; ly(a) - y( a)lé(t-a), para a:::; t:::; b
•
Si K = O, demuestre que ¡y(a) - y (a) ¡ :::; ¡y(t) - yet)¡ para toda a:::; t:::; b. Si L = O demuestre que ¡y(t) - y(t) ¡ :::; ¡y(a) - yea) ¡ para toda a:::; t:::; b. [Sugerencia : primero convierta la EDO y' = f(t, y ) en'tma ecuación integral equivalente.] Sea O < K < L Y siga la demostración de la estimación básica (teorema A.4.l) para demostrar la estimación propuesta. ¿Qué sucede con este método cuando K o L es negativa? [Sugerencia: observe que si y(a) > y(a), entonces y(t) > y(t) para toda t ~ a.] Si K < O o L < O, demuestre que es válida la parte apropiada de la estimación propuesta. [Sugerencia: use la iterada en (2) en la estimación básica (teorema A.4.l).] Considérese la funciónf(t, y) = (O.l)(- y + ln(l + y)) definida en el rectángulo R: 0< t < 00, Y ~ O. Encuentre los valores óptimos posibles para las constantes K y L tales que K:::; f y (t, y) :::; L para todo (t, y) en R. Sea y(t) la solución del PVI y' =f(t, y), y(O) = 4, y sea y(t) la solución del PVI y' =f(t, y), y(O) = 1. Demuestre por medición directa en t = 10, 20, 30 y 40 que se cumple la estimación propuesta. Repita este análisis para la solución y(t) del PVI
y
y' = sen t - (O.l)(O.5cos + y),
y la solución yet) del PVI y'
"
= sent -
y(O) = 5
(0.1)(0.5 cosy + y), y(O)
= - 5.
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Apéndice B
Información previa
B.I Funciones de ingeniería Descripción de las funciones continuas por partes (ondas cuadradas, funciones escalón, etc.) que se utilizan comúnmente en ciencia e ingeniería. B.2 Series de potencias Resumen de las propiedades de las series de potencias. Incluye propiedades de convergencia, pruebas para la convergencia, la fórmula de Taylor con residuo, funciones analíticas reales y el cálculo de series de potencias. B.3 Números complejos y funciones con valores complejos Repaso de la aritmética de números complejos y el cálculo de funciones con valores complejos de una variable real. B.4 Fórmulas útiles Repaso de identidades trigonométricas, funciones hiperbólicas, polinomios, logaritmos y exponenciales. B.5 Teoremas de cálculo Tabulación de resultados útiles del cálculo de una y varias variables. B.6 Cambio de escala y unidades Descripción de los sistemas de unidades y factores de conversión utilizados comúnmente, cambio de escala y EDO adimensionales.
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790
Apéndice
B.l
8/
Información previa
Funciones de ingeniería Las ocho funciones definidas y graficadas a continuación son de uso común en la ciencia y la ingeniería. Estas funciones se dividen en tres grupos: funciones escalón o escalera, pulsos y trenes de ondas. El "tiempo de activación" (donde la función es distinta de cero) se describe como sigue: las funciones escalón o escalera y los pulsos cuadrados se activan primero en t = O. Las funciones escalón y escalera permanecen activas para t ~ O. El pulso cuadrado se activa en t = O, se desactiva en t = a y permanece desactivado. El tiempo de activación para los pulsos triangulares y de dientes de sierra es O::; t < a. El tiempo de activación de una onda cuadrada, onda triangular y onda de dientes de sierra en el pefiodo O::; t::; T es O::; t < (d/IOO)T, donde el ciclo de actividad d es el porcentaje de tiempo de operación en un ciclo. Por ejemplo, si d = 50 Y T = 4, entonces la onda está activa para O::; t < 2 (puesto que 2 = 50% de T = 4) e inactiva para 2::; t < 4. oc(t,d, T): ot(t, d, T) : ods(t, d, T): escalónCt) : pcu(t, a) : ptu(t, a) : pds(t, a) : escalera (t, a):
onda periódica cuadrada, ciclo de actividad d%, periodo T onda periódica triangular, ciclo de actividad d% , periodo T onda periódica de dientes de sierra, ciclo de actividad d%, periodo T escalón unitario en t = O pulso cuadrado unitario en el intervalo O::; t < a pulso triangular unitario en el intervalo O::; t::; a pulso unitario de diente de sierra en el intervalo O::; t::; a escalera, altura de 1 (con inicio en t = O), tramo de escalera a
Si el valor de una de las funciones anteriores es constante durante un intervalo de tiempo de longitud L, puede ser una buena idea cambiar el tamaño de paso interior máximo de su programa numérico a un valor no mayor que L/lO. Si no se hace esto, un programa numérico adaptable puede pasar por alto los puntos donde los valores de la función cambian de repente. 1. 5
1.0
0 .5
II 0.0
~I I1
"
-0 .5 -5 ~------~-------+--~----~----~ 10 15
Onda peri ódi ca cuadrada, oc(t, 50, 4)
O nda periódica triangul ar, ot(t, 75, 4)
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8.1 / Funciones de ingeniería
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0 t--
- 0.5 -5 +---------~--------------------+---------~ 10 15
-0.5 -5 +---------+---------+---------+-------~ 10 15
Ond a peri ódica de di entes de sierra, ods(t, 25, 4)
Función escalón unitaria, escalón(t)
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
O. O
---
+------'
0.0 j _ _ _ _ _...J
- 0.5 -5 +---------+---------+---------+-------~ 10 15
Pulso cuadrado unitario, pc(t, 5)
-0.5 -5 +---------~-------+--------~------~ 10 15
Pulso triangul ar unitario , pt(l, 8)
1.5
l. O
0.5
0.0 j _ _ _ _ _...J
- 0.5
-5
10
Pulso uni tario de di ente de sierra, pds(t, 4)
15
-2 -5 ~--~--------------------~~-------10 15
Función escalera (t, 3)
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792
Apéndice B / Información previa
B.2 Series de potencias Las series de potencias tienen algunas propiedades notables que las hacen especialmente adecuadas para las aplicaciones. Las propiedades se enumeran a continuación en una forma que sea fácil consultarlas. 1.
Serie de potencias . La serie ~
ao
+ al (x - xo) + a 2(x - XO)2 + ... + a n(x - Xo r + ... =
L an(x - Xo r n=O
donde Xo y los coeficientes a n son reales, es una serie de potencias basada en xo. Aquí sólo se tratan series de la forma I;;'=o anx n puesto que I;;'=o a n(x - Xo puede tomar la forma de la serie anterior si x - Xo se sustituye por una nueva variable. Se escribe n n n I~ anx o I anx para I;;'=o anx si no hay peligro de confusión.
t
2.
Intervalos de convergencia. Ianx n converge a un punto x si existe límN~~ I~=o anx n . A menos que I anx n sólo converja en x = O, hay un número positivo máximo R (posiblemente infinito) tal que Ianx n converge para todo Ixl < R. R es el radio de convergencia y 1 = (-R, R) es el intervalo abierto de convergencia . La serie diverge (es decir, no converge) si Ixl > R, Y puede converger o no si el x = ±R. Sólo se trabajará con una serie dentro de su intervalo abierto de convergencia .
3.
Criterio de la razón. Esta prueba es una manera útil de encontrar el radio de convergencia de una serie de potencias. Por ejemplo, supóngase que límn ~~ lan+¡/anl = a. Entonces
lím lan+lx:+ll = a Ixl anx
n~~
Según el criterio de la razón, hay convergencia si alxl < 1 Y divergencia si alxl > 1. El radio de convergencia R es l/a y Ianx n converge para todo Ixl < l/a. Obsérvese que R = 00 si a = O. 4.
Cálculo de series de potencias. La función ¡(x) = I;;'=o anx n, x dentro del intervalo de convergencia l , es continua y posee derivadas de todos los órdenes. Además, f'(x) = I;;'=l nanx n - l , y esta serie también tiene al como su intervalo abierto de convergencia. En general, ¡
L ~(xn+l _b n+l ) ~
o n+l
converge f:I~(ansn) ds para toda b y x en l. 5.
6.
n n Teorema de identidad. Si I;;'=o bnx = I;;'=o anx para toda x en un intervalo abierto, entonces bn = a n para n = O, 1,2, .... En particular, si I;;'=oanx n = O para toda x cercana a O, entonces a n = O, n = 0,1,2, .... Éste es el denominado teorema de identidad para series de potencias. Álgebra de series de potencias. Las series de potencias convergentes pueden sumarse o multiplicarse para toda x en un intervalo común 1 de convergencia. La serie de la suma o producto resultante converge en ese intervalo. Específicamente:
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793
8.2 / Series de potencias ~
(i)
(ii)
I anx n=O
n
~
~
n=O
n=O
+ I bnx n = I (a n + bn)x n
(I.11=0 anx n )( n=O i bnX n ) = n=O I. cnx n, n
(iii) Si I;=o bnx 7:-
°
donde c n =
±
akbn-k k=O en el intervalo J, la serie cociente,
converge en ese intervalo. Usando (ii), los coeficientes d n pueden ser encontrados resolviendo consecutivamente para los coeficientes dn , n = 0, 1,2, .. . , a partir de las fórmulas a n = dObn + d¡bll _¡ + ... + dn_¡b¡ + dnb O'
7.
8.
Reacomodo de índices. Es posible escribir de nuevo los índices de una serie de una manera conveniente. Por ejemplo, las tres sumas siguientes son equivalentes:
Escribir de manera explícita los primeros términos de una serie permite determinar la equivalencia de los esquemas de indización. A veces es conveniente introducir coeficientes con índi.c es negativos, pero se entiende que estos coeficientes tienen van n lor cero. Por ejemplo, podría volver a escribirse I;=o anx + I ;=2 bn_2x ya sea con n mo ao +a¡x+ I;=2(a n +bn _ 2 )x , o como I;=o(a n +bn_2 )x , donde se entiende que b_2 = 0, Y b_¡ = O. Serie de Taylor y funciones analíticas reales. Una funciónf(x) que tiene un desarro llo en serie de Taylor con respecto al punto base Xo =
~
~
n=O
f(n)(
)
Xo ( x-xo )n n!
que converge af(x) en un intervalo (xo - R, Xo + R) es real analítica en ese intervalo o, alternativamente, en xo. Si Xo = 0, la serie de Taylor a veces se llama serie de M aclaurin de f Una función analítica real f en Xo tiene una serie de potencias única en potencias de x - xo; ésta debe ser la serie de Taylor de f Las definiciones anteriores se amplían a funciones de varias variables. Por ejemplo, la serie de Tay lor de f(x, y) respecto al punto base Xo = 0, Yo = es
°
~ ~(n)~ anf(O,
O) xn-iyi = ~~ i n! axn 'ay' n=O,=O
feO, O) + afeO, O) x + afeO, O) y
ax
ay
2 2feO, O) 1 2feO, O) 2 1 feO, O) 2 +x + xy+Y + ... 2 ax2 . axay 2
a
donde
(~) es el coeficiente binomial,
a
n! / [i! (n -1)!], y
a
ai
(~) = 1 = (:).
1:
·1
I
1"
I
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794
Apéndice B / Información previa
9.
A continuación se presentan algunas series de Taylor de uso común respecto al punto base xo = O: 3 5 2n+l X X n X (Seno) senx = x - - + - _ ·· · +(- l) - - - + . .. para toda x 3! 5! (2n + 1)! ' x2 x 4 x2n (Coseno) cosx = l- - + - - ··· + (- l)n - - + ... para toda x 2! 4! (2n)!' 2
n
eX = l+x + ~ + ... + ~+ ... para toda x 2! n!' (Geométrica ) _1_ = 1- x + x2 _ ... + (_l)n xn +"', Ixl< 1 l+x a a (a - 1) 2 (Binomial) (1 + x) = 1 + a + x + ... 2 a(a - 1)···(a - n + 1) n \xl< 1 + I X +"', n. Estimación del error para series alternantes. Supóngase que a n > O, n = O, 1,2, .... La serie alternante L;=o(- l)n an converge si límn~=an = O Y a n ~ an+l para todan. El error al usar la suma parcial L~=o(- ltan para aproximar la suma L;=o(-ltan tiene magnitud no mayor que an+l: (Exponencial)
10.
II ; 11.
(- lta n -
I: (-ltan l ·~
a N+1
Fórmula de Taylor con residuo. Seaf(x) por lo menos N + 1 veces continuamente diferenciable en el intervalo Xo - R < x < Xo + R. Entonces N f(n)( ) f(N+l)( ) Xo (x - x )n + C (x - x )N+l f (x) = ~ ~ n! o (N+1)! o n=O donde c es algún punto entre x y xo; el último término a la derecha es la for/na de Lagrange del residuo. El residuo tiene orden de por lo menos N + 1 en xo.
En los ejemplos siguientes se ilustran las propiedades anteriores.
Ejemplo 8.2.1
Criterio de la razón
L;=on 5 (x n / 2 n ) converge para \xl < 2 por la prueba del criterio de la razón puesto que
2n+ll = ' x I lím (n + 1)5 Ix l l' (1 1)5 5 =lm +-
, I(n + 1)5 Xn+ l / 11m n 5x n / 2 n
n~=
n~=
2n
2 n~=
.n
Ix l 2
y Ix l/2 < 1 para todo Ixl < 2.
Ejemplo 8.2.2
Derivación de una serie de potencias
_
1 (1 + x)2
= ~(_1_) =~ (1 _ x+x2 + ... + (- ltxn + ...) dx l + x
dx
=-1+ 2x+·· · +(- ltnx n- 1 + ... si Ixl < 1 (d~rivando una serie geométrica dentro del intervalo de convergencia).
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795
B.3 / Números complejos y funciones complejas-valuadas
Ejemplo 8.2.3
Producto de dos series de potencias
(~nx" J(~nX:l) ~(~ n-~+ l]x" =
=0+
x + (2 L.. 2 - k)2 x + ... (L..1 1- kk) +1 k+1 k=O
k=O
5 2 =X+-X + ... 2 La serie del producto converge al producto de las dos series factor para lxi < 1 puesto que cada serie factor converge para Ixl < 1.
Ejemplo 8.2.4
Reacomodo de índices
~ x~ ~ 1 1 ~ 1 1 ~ n+4 n L..J--+ L..Jx n =-+-x+ L..J (1 --+1 ) x n =-+-+ L..J--x n=O
B.3
llF Sumas y productos de números complejos.
n+3
3
n=2
Números complejos
4
n=2
n+3
3
4
n=2
n+3
y funciones complejas-valuadas
Es común escribir los números complejos en la forma a + ib, donde a y b son los números reales. Los números complejos se introducen para facilitar el cálculo de raíces de polinomios de grado 2 o superior. En seguida se repasan las características básicas del sistema de números complejos. No obstante, el interés va más allá del cálculo de raíces de polinomios. Para elaborar una técnica de solución simple para las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, deberá plantearse el concepto de derivabilidad de funciones con valores complejos de una sola variable real. A primera vista, este método puede parecer muy distinto al del objetivo de estudiar sistemas dinámicos reales, pero las funciones con valores complejos son tan útiles que la mayoría de los matemáticos, científicos e ingenieros las usan. Si z = a + ib, el número real a se llama la parte real de z y se denota con Re[z]; el número real b se denomina la parte !:naginaria de z y sedenota con Im[z]. Los números reales se identifican con los números complejos cuyas partes imaginarias son cero. El número complejo a - ib se llama el conjugado cpmplejo de z = a + ib Y se denota con z. Los números complejos se suman y multiplican como los polinomios lineales en la variable i con coeficientes reales, sin olvidar reemplazar sustituir el i 2 por -1: (a + ib) + (e + id) = (a + e) + i(b + d) (a + ib)(e + id) = (ac - bd) + i(ad + be) Esta definición amplía a los números complejos las operaciones correspondientes para los números reales. A veces, a la representación z = a + ib recibe el nombre de como forma
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796
Apéndice B / Información previa
Eje imaginario Z =a + ib reia
=
Eje real
Teorema B.3.1
cartesiana del número complejo z, puesto que se puede asociar z con z el punto (a, b) en el plano cartesiano (diagrama del margen). Por esta razón, en ocasiones se hace referencia a la colección de números complejos como el plano complejo . Obsérvese que z+w = z+w y zw = zw. Usando coordenadas polares para z = a + ib, se ve que a = r cose y b = r sene, donde r = (a 2 + b2 )1I2, O:=:; e < 27r; se tiene la representación alternativa z = recose + isene), denominada la forma polar para z. Para cualquier número real e se escribirá
e,
Fórmula de Euler. Para cualquier número real e iB = cose + isene
(1)
z
La forma polar de z puede escribirse como z = re iO ; obsérvese que = re -iO puesto que cos(-8) = cosO y sen(-8) = - sene. El número real no negativo r se llama valor absoluto o módulo de z, denotado también con Izl, y Ose denomina el argumento o ángulo de z. Nótese que Izl es el valor absoluto usual si z es un número real. El número complejo cero (denotado simplemente con O) está dado por O+ iO; asimismo, véase que z =O si y sólo si Izl = O. Obsérvese zZ =1z 12 = r 2 = a 2 + b . De esta fórmula se puede escribir l/z en la forma cartesiana: 1 a
z
z zZ Es una consecuen l' :~ de las leyes de la suma para las funciones seno y coseno que pairp ra números complejos cualesquiera en la forma polar z = re iO , w = pe , 1 -iO -1 =-1iO =- e Z
re
r Z w = rpei(o+rp)
.
SIZ7:-
O
Es posible usar estas identidades para demostrar el siguiente resultado útil.
Teorema B.3.2
Fórmula de De Moivre. Para cualquier entero n, positivo, negativo o cero, zn = rne inO = rn[cos nO + i sen nO] Una ventaja de la forma polar para los números complejos es la caracterización geométrica simple del producto y el cociente de números complejos. Así como para los números reales, el valor absoluto .se puede usar para medir la distancia entre los números complejos; de hecho, la distancia entre los números complejos z y m se define como Iz - m I. Se dice que la sucesión {zn} converge si y sólo si existe una Zo en plano complejo tal que IZn - zol -7 O cuando n -7 oo. Ahora supóngase que f es una función con valores complejos definida en un intervalo 1 en el eje real t; es decir, m =fit) es un número complejo para toda t en el intervalo l. Se puede definir la derivada para tal función de una manera consistente con la noción usual de derivada para las funciones con valores reales.
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8.3 / Números complejos y funciones complejas-valuadas
.:. Derivada de una función con valores complejos. Se dice que la función con valores complejos f(t) definida en el intervalo real 1 de t es derivable en algún valor to en 1 si y sólo si existe un número complejo Zo tal que f(to+h)-f(to) -zo h
I
I
~
O
comoh~O
Se dice que el número Zo es la de rivada defy se denota porf'(to). ,
.
Sif es una función con valores reales, la definición anterior se reduce a la noción usual de diferenciación de funciones de valores reales. No puede haber confusión si no se sabe de antemano si una función toma valores reales o complejos, puesto que la diferenciación de funciones con valores complejos de una variable real se define precisamente de la misma manera fonnal que para las funciones con valores reales. No es sorprendente que todas las fóJllUl}as de derivación comunes (como la regla de la caclena, derivación de sumas, productos, etc.) se cumplan para estas funciones más generales. Ahora se presenta una técnica para calcular las derivadas de funciones con valores complejos de una variable real. Suponga que a(t) y (3(t) son las partes real e imaginaria de f(t). Entoncesfpuede escribirse de manera única comof(t) = a(t) + i{3(t), donde a(t) y (J(t) son funciones con valores reales definidas en un intervalo 1.
Teorema B.3.3
Principio de diferenciación para las funciones de valores complejos. La función de valores complejos de una variable realf(t) = a(t) + i{J(t) es diferenciable en to si y sólo si a(t) y (J(t) son diferenciables en too Sif'(to) existe, entonces f'(to) = a'(to) + i{J'(to)
(2)
La comprobación de este resultado es una consecuencia directa de aplicar las definiciones. La antiderivación (es decir, integración) de f(t) = a(t) + if3(t) es equivalente a realizar la misma operación tanto en a(t) como en (J(t). La funci6nf(t) = eikt = coskt + isenkt, donde k es una constante real, es diferenciable para toda t. Con (2) y la definición de eikt , se ve que (e ikt )' = (coskt+isenkt)' = -ksen kt+ ikcoskt = ik(coskt + isenkt) = ike
ikt
(3)
Se puede definir y luego derivar la función exponencial compleja e zt para cualquier constante compleja z = a + ib de la manera siguiente: (4)
(e zt )' = (eateibt), = aeateibt +eatibeibt = (a + ib)eateibt =ze zt
Es fácil recordar este result:ldo porque es como la fórmula para derivar e at , donde a es un número real. Finalmente, todo lo que se ha hecho aquí se extiende directamente a los vectores y matrices cuyos elementos son constantes complejas o funciones con valores complejos.
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Apéndice B / Información previa
8.4 Álgebra y funciones trigonométricas útiles Identidades trigonométricas Suma y resta sen (a ± [3) = sena cos[3 ± cos a sen[3
Fórmulas del doble de un ángulo sen (2a) = 2sena cos a
cos (a ± [3) = cosa cos[3 ± sena sen[3
cos(2a) = cos 2 a- sen 2a
Producto
Corrimiento de fase
1 sen a sen[3 = - { cos( a - [3) _. cos( a + [3)} 2 1 sena cos[3 = -{sen(a - [3) + sen(a + [3)} 2 1 cos a cos[3 = - {cos(a - [3) + cosCa + [3)} 2
Ley de los cosenos
Identidad de Lagrange
e : : ; a +b' -2abcosB
~ cos (k) -1 + ~ s = 2
A sene + Bcose
=~A2 + B 2 cos(e-o),
donde senO = A /
~A2 + B2,
cos O = B /
~A2 + B2
Y -7r/2~o<7r/2
2
sen((n + 1 / 2)s) ----'-'----'--'-
k=¡
2sen(s / 2) b
Fórmulas de Euler (a,
e reales)
e iO = cose + isene
cose = (e iO + e- iO ) / 2
ea+iO = ea (cos e + i sene)
sene = i(e- iO - eiO ) / 2
Exponenciales y logaritmos (para todas A i:- 0, B i:- 0, Y todas a, b) lnIAI-lnIBI= lnlA/ BI
ea+b = eae b ea- b = ea / eb
alnlBI= ln(IBl a )
ea¡nlBI =1 B la
lnlAI + lnlBI= lnlABI
Funciones trigonométricas hiperbólicas eX = cosh x + senhx e -x = cosh x - senhx coshx=(e X +e- X) /2 senhx=(e X +e- X) /2
tarihx = (eX + e-X) / (eX + e-X)
Polinomios Teorema fundamental del álgebra (fórmula de factorización). Suponga que P(x) = xn + an_¡xn-¡ + ... + ao, donde n es un entero positivo y a n_¡, ... , ao son constantes. Entonces hay números distintos {r¡, ... , rd, algunos de los cuales podrían ser complejos, y enteros positivos {m¡, ... , md tales que P(x) = (x - r¡)m, ... (x - rk)m k
donde m¡ + ... + mk = n. Los números únicos r ¡, ... , rk son los ceros (o raíces) de P(x) y los enteros positivos únicos mi'"'' mk son las multiplicidades correspondientes.
Coeficientes y raíces Suponga que s¡, ... , sn son las n raíces (no necesariamente distintas) del polinomio xn + an_Ixn- 1 + ... + ao, con cada raíz listada tantas veces como su multiplicidad. Entonces s¡ +S2 +"'+sn =-an_¡ SI ' S2 "·sn = (-lt ao
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8.5/ Resultados útiles del cálculo
8.5
Resultados útiles del cálculo . En esta sección se enuncian los teoremas del cálculo de una y varias variables encontrados con más frecuencia en el estudio de ecuaciones diferenciales.
Resultados del cálculo de una variable En los teoremas que siguen f es una función de una sola variable. Se representa el intervalo cerrado de a a b por [a, b] y el intervalo abierto por (a, b).
Teorema B.5.1
Teorema del valor máximo/mínimo. Supóngase quefes continua en [a, b]. Entoncesf está acotada en [a, b] Y alcanza sus valores máximos y mínimos en los puntos en [a, b]. Si uno de estos puntos está en el intervalo abierto (a, b) y sifes derivable en (a, b), entonces l' = O en el punto.
Teorema B.5.2
Regla de L 'Hópital. Supóngase quef(x) y g(x) son funciones derivables y que límx---;a f(x) = límX---7a g(x) = O, o de otro modo límx---;af(x) = límx---;a g(x) = ± 00, donde a puede ser ± oo. Si límx ---7af'(x)/g'(x) existe, entonces también límx---;af(x)/g(x), y lím f(x) = lím f'(x) X---7a g(x) x---;a g'(x)
Teorema B.5.3
Teorema del valor intermedio. Supóngase que f es continua en [a, b] Y que c es cualquier número real entref(a) y f(b) inclusive. Entonces existe un punto t* en [a, b] tal que f(t*) = c.
Teorema 8.5.4
Teorema del valor medio. Forma integral: supóngase que f es continua en [a, b]. Entonces existe un punto t* en [a, b] tal que f: f(t)dt = f(t*)(b - a). Forma diferencial: si f es derivables en (a, b) y continua en [a, b], entonces existe un punto t* en (a, b)
tal que f(b) - fea) = f'(t*) (b - a).
Teorema B.5 .5
Teorema fundamental del cálculo. Forma 1: supóngase que f es continua en [a, b] Y que F es una antiderivada de f EntoncesJ: f(t)dt = F(b) - F(a) . Forma 2: supóngase
quefes continua en [a, b] y que c es! cualquif~r punto en [a, b]. Si F(t) = f:f(s)ds, entonces F'(t) = f(t) "n cada punto t en (a: b).
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Teorema 8.5.6
Apéndice
8/
Información previa
Regla de Leibniz. Supóngase que R es el rectángulo en el plano st dado por a::; t::; b, e::; s::; d. Supóngase que a(t), f3(t) son funciones continuamente derivables en [a, b] cuyos gráficos están en R, y que f(s, t) y aflat son continuamente derivables diferenciabIes en R. Entonces en S!3(I) f(s, t) ds es una función continuamente derivable de t y a(l)
a at
d S!3(I) S!3(I) f(s, t) ds = f3'(t)f(f3(t), t) - a'(t)f(a(t), t) + - f(s, t) ds dt a(l) a(t)
Teorema 8.5.7
Regla de la cadena. Supóngase que g(t) es derivable en el punto t y quej(s) es derivable en el punto s = g(t). Entonces la composiciónj(g(t)) es derivable diferenciable en el punto t, y j(g(t))' = f'(g(t)) . g'(t). Expresado de otra manera: escriba s = g(t) y y =j(s), entonces la composición y = j(g(t)) es derivable y dy [dY dsJ dt = ds· dt s=g(l)
Teorema 8 .5.8
Integración por partes. Supóngase quej(x) y g(x) son funciones derivables diferenciabIes en [a , b). Entonces
s: Teorema 8.5. 9
f(x)g'(x)dx =
f(X)g(X)I:~: - s: f'(x)g(x)dx
Estimación integral. Supóngase que f es continua en [a, b). Supóngase que M es cualquier número real tal que !f(t)1 ::; M para toda a::; t::; b. Entonces
IS: f(t) dtl::; s: I f(t) I dt ::; (b - a)M Resultados del cálculo de varias variables En los teoremas que siguen, la función de valores realesftiene dos o más variables reales.
Teorema 8.5.10
Teorema del valor máximo/minimo. Supóngase quej(x, y) es continua en una región limitada acotada R que contiene su frontera. Entonces f está acotada en R y alcanza sus valores máximos y minimos en algunos puntos en R. Si uno de estos puntos está en el interior de R y si f es derivable, entonces el aflax y aflay son O en el punto.
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8.5/ Resultados útiles del cálculo
Teorema B.5.11
Teorema de Fubini: Intercambio del orden de integración. Supóngase quef(x, y) es continua por partes en el rectángulo R: a ~ x ~ b, e ~ y ~ d. Entonces
ft Teorema B.5.12
f dA =
I:(r
f(x,y) dy )dx =
ru:
f(x,y) dx )dY
Teorema de Oreen. Supóngase que R es una región plana simplemente conectada cuya frontera es una curva cerrada, uniforme por partes, que e es recorrida en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si P(x, y) y Q(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas en alguna región que contiene a R, entonces, Lp(x,y)dx + Q(x,y)dy =
f t(~; -~:)dA
Sif(x, y, z) es una función continua, su gradiente es el vector Vf = af i + af j + af k ax ay az
En cada punto de un conjunto de nivelj{x, y, z) = e, el vector gradiente es perpendicular a la tangente al conjunto de nivel y los puntos en la dirección de máximo aumento en los valores de f Si F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k, entonces la divergencia de F es
Teorema B.5.13
Teorema de la divergencia. Supóngase que G es un sólido con superficie límite frontera A orientada por las normales unitarias hacia fuera n = n¡i + n:J +n3k. Si F(x, y, z) = j{x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k, donde f, g y h tienen primeras derivadas parciales continuas en alguna región que contiene a G, entonces
fL
F . n dS =
ff fe
V . F dV
Es decir,
Teorema B.5.14
Regla de la cadena. Supóngase que x = x(t) y y = y(t) son derivables en t y que z = j{x, y) es derivable en el punto (x(t), y(t)) . Entonces dz dt
az dx at dt
az dy ay dt
-=--+--
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802
Teorema B.5.15
Apéndice B / Información previa
Teorema de Taylor para una función de dos variables. Supóngase que la funciónj(x, y) es dos veces continuamente derivable diferenciable en una región S que contiene un punto (xo, Yo)' Entonces hay un rectángulo R, Ix - xol < a, Iy - yol < b, tal que para todo (x, y) en R f(x,y) = f(xo,Yo) + fx(xo,yo)(x - xo) + fyCxo,yo)(y - Yo) + P(x, y) donde P tiene por lo menos orden 2 en (xo, Yo).
Teorema B.5.16
Teorema de Taylor para una función vectorial de una variable vectorial. Supóngase que F(x) es una función del vector x en]Rn donde los valores de F están en ]Rm. Supóngase que F es derivable dos veces continuamente diferenciable en una bola abierta B,(xO) de ]Rn de radio r y centrada en xO. Entonces para todo x en R F(x) = F(x o ) + [aF¡ / aX ]x=xo (x - x o ) + P(x) j
donde [aF/ax)x = xo es la matriz jacobiana de m X n de las primeras derivadas parciales de los componentes de F con respecto a los componentes de x, evaluados todos en xO y P(x) tienen por lo menos orden 2 en xO.
Coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas Supóngase que G es una región tridimensional. Si G Y sus superficies límite frontera se describen en coordenadas rectangulares x, y, z, entonces se denotará a G con G¡; en coordenadas cilíndricas, con G2 ; y en coordenadas esféricas, con G 3 . Supóngase que G es un sólido simple y que j(x, y, z) es continua en G. Entonces Rectangulares:
Lf ffLI
Cilíndricas:
L ff L
dV =
f dV =
f(x,y,z)dzdydx f(r, e, z) r dz dr de
2
Esféricas:
Lf dV =
ffL3
2
f(p, e,l/»p senl/> dp dl/>de
El operador laplaciano La ecuación de Laplace es la EDP lineal de segundo orden V'2 u = O, donde V'2 es el operador laplaciano . El operador laplaciano en las coordenadas rectangulares del espacio 3 es
2 a2 a2 a2 V' = - - + - + ax2 al az 2
Rectangulares:
El operador V'2 tiene la forma siguiente en otros sistemas de coordenadas: Polares:
2 a2 --+ 1 a 1 a V' =-+ -2- -2 2
ar
r
ar
r ae
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803
8.6 / Cambio de escala y unidades
Ci líndricas:
Esféricas:
8.6
Cambio de escala y unidades Unidades En todo el texto se usan tres sistemas de unidades SI [Sistema Internacional de Unidades, también conocido como unidades MKS (metro-kilogramo-segundo)], unidades CGS (centímetro-gramo-segundo) y unidades de ingeniería británicas. Aunque el sistema SI es el más usado en la comunidad científica, en el texto también se utiliza el sistema de Ingeniería Británico (IB) debido a su uso extendido en Estados Unidos de América. En la tabla B.6.1 se resumen las unidades de longitud, fuerza, masa, aceleración y energía en estos tres sistemas. En las unidades CGS y SI, las tres unidades físicas fundamentales son longitud (L), masa (M) y tiempo (T). En las unidades IB, las tres dimensiones físicas fundamentales son longitud, fuerza (MLlTl) y tiempo. Al trabajar con sistemas físicos en los que intervienen estas unidades de medida, es útil recordar los puntos siguientes.
•
• •
Aunque puede usarse cualquier sistema de unidades, es crucial ser consistente con el empleo de un solo sistema para cualquier problema dado en aras de la congruencia. El tiempo se mide en segundos (s), horas (h), días (d) o años (a). Las dimensiones de fuerza son las mismas que para el producto de la masa por la aceleración. Por ejemplo, IN = 1 kg·m/s 2 y llb = 1 slug·pie/s2. También, IN = 0.2248 lb. La aceleración debida a la gravedad se denota con g y tiene una magnitud cerca de la superficie de la Tierra.de aproximadamente 9.8 m/S2 en unidades SI, 980 Cm/S2 en unidades CGS y 32 pies/s 2 en unidades IB. El peso de un objeto es la fuerza gravitatoria ejercida en él por la Tierra, y es igual al producto de la masa m del objeto por la aceleración g debida a la gravedad. Si bien la unidad de energía del SI es el joule (11 = 1 N·m), la caloría todavía se usa de vez en cuando [1 cal = 4.184 J = 3.968 X 10-3 BTU (unidades térmicas británicas)]. Un método útil de asegurar que las unidades se utilizan correctamente es verificar que las dimensiones sean las mismas en ambos miembros de cualquier ecuación. Por ejemplo, la ecuación para el resorte no amortiguado regido por Ley de Hooke es my"= -ky. Ambos miembros de la ecuación deben tener dimensiones de fuerza. Si se utiliza el sistema IB, m se mide en slugs y y" en pies/s 2. Por lo tanto, my" se mide en slug·pies/s2 (es decir, en libras). De manera similar, k se mide en slug/s2 y y en pies, de modo que ky también se mide en slug·pies/s2. En el sistema CGS, m se mide en gramos y y" tiene unidades de Cm/S2; my" tiene unidades de g·cm/s 2. Puesto que y tiene unidades de centímetro, k debe tener unidades de g/S2.
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Apéndice 8/ Información previa
Tabla 8.6.1 Comparación de unidades básicas en varios sistemas.
Sistema
Longitud (L)
Fuerza (MLlT2)
Masa (M)
Aceleración (LIT 2)
Energía (MO/T2)
SI CGS lB
metro (m) centímetro (cm) pie (pie)
newton (N) dina libra (lb)
kilogramo (kg) gramo (m) slug
mls2 cm/spie/s?
joule (1) erg BTU
El problema de las unidades puede evitarse mediante un cambio de escala de las ecuaciones y con el uso de variables adimensionales.
Cambio de escala: variables
11
y parámetros adimensionales
En un problema de valor inicial podría haber muchas variables y parámetros. Por ejemplo, los PVI con los que se modela el decaimiento radiactivo, el movimiento de un resorte oscilante y las concentraciones cambiantes en un reactor químico incluyen muchas variables, parámetros físicos y datos iniciales. Incluso un PVI abstracto que no modela un sistema natural específico se puede escribir en términos de varias variables y parámetros. Las variables y parámetros pueden medirse en cualquiera de los distintos sistemas de unidades. ¿Hay una forma de cambiar las variables de estado y el tiempo de modo que las variables del PVI con cambio de escala sea adimensional? Cualquier estudio de las soluciones del sistema adimensional arrojaría entonces información acerca del comportamiento de las soluciones sin tener en cuenta las unidades. ¿Hay una manera de estudiar la sensibilidad de un PVI a los cambios en algunos de los parámetros o datos iniciales de modo que los resultados apliquen sin importar el sistema de unidades usado? Estas dos preguntas están claramente relacionadas, y en los tres ejemplos siguientes se muestra cómo con un cambio conveniente de las variables de estado y tiempo se resuelven las preguntas. En el proceso, se nota que con la modificación de las variables se reduce el número de parámetros con los que tiene que trabajarse, lo cual siempre es una ventaja. Por último, la modificación de un problema antes de calcular es esencial para evitar escalas difíciles (por ejemplo, un intervalo de 105 unidades de largo en el eje x y 2 unidades en el eje y). Una consecuencia importante de modificar la escala a cantidades adimensionales radica en que los resultados de un estudio de sensibilidad del PVI adimensional son inherentes en PVI y no son sólo un efecto de usar sistemas particulares de unidades, escalar y dimensiones.
Datación con carbono radiactivo (sección 1.5) El PVI modelo para 'un proceso de datación con carbono radiactivo 14 (04) es q'(t) = -kq(t),
T-::' t-::'O
(1)
donde q(t) es la fracción (adimensional) de la masa de Cl4 dividida entre la masa total de todas las formas de carbono en una muestra del material que alguna vez vivió, k es una constante positiva de decaimiento (medida en (años):+), q(O) es la fracción actual de Cl4
8.6.
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8.6/ Cambio de escala y unidades
(en t = O), T es el tiempo en años en el pasado cuando el material tuvo vida por última vez, y el qT es la fracción de C14 en la muestra en instante T. Obsérvese que q(t) ya es adimensional porque es una relación de masas. Los cuatro parámetros aquí son k, qo, T Y qp La frácción q(t) es a menudo muy pequeña; para evitar no trabajar con números pequeños es conveniente modificar q(t) dividiéndola entre su valor actual qo' En los problemas de datación el lapso de tiempo podría ser muy grande (miles de años). Se puede modificar la escala de tiempo (y volverla adimensional) al dividir entre el tiempo de vida media del 0 4 , 1'= 5 568 años. La nueva escala de tiemp.o se denota por la variable adimensional s = tlr. En términos de variable de estado modificada, y = qlqo, y el tiempo s, se tiene y(s) = q(t) = q(rs) qo qo
(2)
De (1), (2) Y la regla de la cadena (teorema B.5.7) se tiene (puesto que dt/ds = 1') dy(s)
~
dq(t) dt
ds
qo
dt ds
2.. dq(t) qo
l'
dt
l'
= -(-kq(t)) = - ( -kqoY(s)) = -kry(s) = -(ln2)y(s) qo qp
donde se ha aplicado la relación de vida media kr = ln2. Después de fijar S = Tlr, el PVI (1) se vuelve dy(s) = -(ln2)y(s), ds
y(O) = 1,
S::; s::; O
(3)
Obsérvese que con la modificación de la variable de estado y el tiempo se ha reducido el número de parámetros de cuatro a dos, S y Ys (= qylqo)' El problema de datación con un elemento radiactivo ahora se reduce a encontrar el valor S < O para el cual y(S) = qylqo' Obsérvese también que al modificar la escala de tiempo dividiendo entre la vida media, la escala se ha reducido de miles de años (posiblemente) a un intervalo de tiempo adimensional (normalmente) de 4 o 5.
Resorte suave' (sección 3.1) ElPVI . m d2y~t) dt
~ -e dy(t) dt
ky(t) +
ji (t) + Ao cos mt, .
y(O) '=
o,
y'(O) = O
(4)
se utiliza para modelar el desplazamiento cambiante y(t) desde el equilibrio de un cuerpo de masa m sujeto a un resorte suave cuya acción ·sobre la masa se modela por la fuerza del resorte -ky(t) + j y 3(t) y que está sujeto a la fuerza motriz Aocos úJt. Se supone que el resorte se ata a una pared y que el cuerpo se desliza horizontalmente de tal manera que puede despreciarse la fuerza de gravedad, El término -cdy(t)/dt representa una fuerza de fricción amortiguadora. Las variables y y t tienen unidades respectivas de longitud y tiempo. Los seis parámetros m,c, k, j, Ab Y úJ también tienen unidades físicas. Si se modifican y y t se puede introducir de manera simultánea variables y parámetros adimensionales y reducir el
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Apéndice B / Información previa
número de parámetros de seis a tres. Fijemos u == y/A Y s == t/B donde deberán ser estimados los factores de escala A y B. Por la regla de la cadena (teorema B.5.7) se tiene
dy(t) = dy du ds = A du ds = A du dt du ds dt ds dt B ds 2 d y(t) = .!:...(dy(t)) = .!:...(A dU) ds dt 2 dt dt . ds B ds dt
2 u B 2 ds 2
=~ d
La ecuación del diferencial en PVI (4) se transforma en A d 2u A du . m- - = -e---kAu+ jA 3 u 3 +Ao cos(mBs) B 2 ds 2 B ds que se normaliza al dividir entre mA/B2 para producir el PVI 2 d u ' e du k 2 j 2 3 Aa- B-2cos(mBs), -= B B u+-(AB) u + ds 2 m ds m m m A
u(O) = u'(O) = O
(5)
Recordando que deberán determinarse los factores de escala A y B, se decide qué efectos se quiere atender en un estudio por computadora de la solución del PVI (4). Por ejemplo, es posible que se quiera ver cómo afectan a la solución la fuerza de fricción, la fuerza del resorte suave y la frecuencia de la fuerza motriz. En ese caso, los coeficientes de los términos relacionados con du/ds (la fricción), -u3 (el resorte suave) y m (la frecuencia) serán los nuevos parámetros, en tanto que A y B se elegirán para establecer los coeficientes restantes en algún valor conveniente, por ejemplo, 1. Por lo tanto, se escoge A y B de modo que
!:.. B 2 = 1 m
'
Aa
2
B
m A
=1
es decir,
B=
1m
fT:'
A=
Aa
'l'
k Renombrando los otros coeficientes en la EDO en (5) como el = eB/m, JI = j(AB) 2/m, y mi = mB, se tiene el PVI 2 . 3 -d 2u = -el -du - u +}¡U + cos(mls), u(O) = O, u'(O) = O (6) ds ds con tres parámetros el,jl Y mi (en lugar de los seis originales). De hecho, u, s, el' ji Y mi son cantidades adimensionales: Para demostrar esto, se empieza por identificar las dimensiones físicas de los parámetros y variables en el PVI (4), usando M para la masa, L para la longitud y T para el tiempo. Todos los sumandos de la EDOdel PVI (4) deben tener las dimensiones de fuerza MLlT2 del primer término a la izquierda. Esto establece las dimensiones de los parámetros y, por lo tanto, de A y B. Las dimensiones aprQpiadas para todos los parámetros y variables se tabulan en la tabla B.6.2. Puede usarse la tabla B.6.2 para mostrar la adimensionalidad de las variables y parámetros del PVI (6). Por ejemplo, u == y/A tiene. la dimensión de y dividida entre la de A, en otras palabras LlL que es adimensional. El parámetro el = eB/m tiene las dimensiones de e, multiplicadas por la dimensión de B, divididas entre la de m [es decir, (M/T}T/Mj, que' de nuevo es adimensional.
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8.6/ Cambio de escala y unidades
Tabla 8.6.2 Dimensiones de los parámetros del resorte suave. Parámetro
Dimensión
Parámetro
Dimensión
y dyldt m k AO A =Aofk
L LIT M MIT2 MLlT2 L
t d 2yldt 2
T LIT 2 MIT MI(LT) 2 1fT T
C
J ro B=.Jmlk
En un estudio por computadora del efecto de la fuerza de amortiguamiento, la fuerza del resorte suave y la frecuencia de impulsión en el comportamiento de la solución se debe usar el PVI (6), variando los parámetros adimensionales c¡, J¡ y rol a partir de ciertos valores normales y calculando el desplazamiento adimensional u y la velocidad dulds en algún intervalo de tiempo adimensional. Los resultados de tal estudio se aplican entonces al com. portamiento de las soluciones de cualquier ecuación de un resorte amortiguado e impulsado con cualquier clase de unidades.
Autocatalizador (sección 5 .1) El PVI para las concentraciones cambiantes X¡, . .. , X4 de cuatro especies químicas en una reacción autocatalítica son x¡(O) =
XÍ= - k¡x¡,
x~ =
k3X2X~,
x2(0) = O
+ k3X2X~,
x3(0) = O
k¡x¡ - k2x2 -
x~ = k2X2
- k4x3
A>O
x~ = k4x3'
(7)
x4(0) = O
donde k¡, ... , k4 son las constantes de rapidez positivas. La concentración permanece fija en el valor x¡(O) porque (x¡ + x2 + x3 + X4)' = O. Las unidades de x¡, ... , x4 son las de concentración e (por ejemplo, moles/litro), y la unidad T de tiempo es (normalmente) segundos. Los cinco parámetros del problema tienen las unidades: k¡,k2 ,k4 en r ¡ k3 X¡ (O)
(8)
en r ¡ e 2 en
(9)
e
(10)
Con un cambio de escala para las cuatro concentraciones y el tiempo se logra que las concentraciones y el tiempo sean adimensionales y se reduce el número de parámetros a elegir de cinco a tres. Supóngase que se introducen las nuevas variables Yi y s: i = 1,2,3,4;
s = t i as
(11)
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Apéndice B / Información previa
donde las constantes de escala por elegir a" ... , a4 tienen la dimensión C de concentración y as tiene la dimensión T de tiempo. Cambiando las variables del PVI (7) de manera acorde y usando la regla de la cadena (teorema B.5.7) para calcular las derivadas, se tiene dy, = -ask,y" ds
y, (O) = A I a,
dh alaS 2 2 = - - k,y, - a Sk2h - a 3 a s k 3hY3 ' ds a2 dY3 a2 a S = - - k 2Y2 - a sk 4Y3 ds a3
2
+ a2 a 3a s k 3hY3 '
dY4 ds
- = a S k4 Y3'
Por conveniencia, se establece a, = a 2 = a3 = a4
Entonces se tiene d(y, + Y2 + Y3 + Y4)lds = O, Y la concentración total modificada y,(s) + heS) + 'Y3(S) + Y4(S) permanece fija en y,(O) = Ala,. Supóngase que se quiere estudiar la sensibilidad del sistema a cambios en la concentración inicial de las primeras especies químicas, así como a cambios en las constantes de rapidez primera y segunda. Entonces se deben tomar como parámetros
Por conveniencia se establece aSk4 y ai aSk3 igual al; entonces se tiene
Obsérvese que as tiene unidadesT de tiempo, en tanto que a" a2' a3 Y a4 tienen unidades de (kik3)1I2, es decir, de (T-'IT-'C- 2)1I2 = C. De estas observaciones y (11), se ve que las variables con cambio de escala s, y" Y2 ; Y3' Y4 son adimensionales. En las nuevas variables adimensionales Yi y S Y los nuevos parámetros a, f3, y, el PVI se convierte en
~; = -f3y" rr\j" Aunque se cambian los nombres de las variables y los parámetros, el PVI (12) es el mismo que el PVI (7) de la sección 5.1.
' dy d: =
y,(O) =
f3 y, - y h
dY3
ds = y h
- Y3
a
2'
- hY3 '
(12)
2
+ hY3 '
dY4 ds = Y3'
No hay nada único acerca de esta modificación o elección de parámetros. Los parámetros particulares ai utilizados aquí se eligieron para facilitar los estudios de sensibilidad en x,(O), k, y k 2 [modificados como y,(O), f3 y 11. De igual manera sería directo elegir, por ejemplo, k" k3 Y k4 para un estudio de sensibilidad.
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Respuestas a problemas selectos Sección 1.1, pág. 9. l(a). y = yoe at . 2(a). El coeficiente de sobrepoblación es l/9 (ton·año)- I; la tasa de captura es de 8/9 ton/año.
Sección 1.2, pág. 16. 2(a). YI = 1, Y2 = 10. Las curvas solución yacen en la banda horizontal entre YI y Y2 Y suben fuera de la banda. 3(a). YI < 1. 3(c). y < 1 + t.
Sección 1.3, pág. 26. l(a). Primer orden, lineal, Y' + t 3 y = sent. l(c). Primer orden, no lineal. l(e). Segundo orden, no lineal. l(g). Segundo orden, lineal, y" + e-t (sen t) y' + 3e-t y = 5. 2(a). r =- 3. 2(c). r = 0, ±..J2, ±1. 3(b). r = 2/29.
4(a). r = (- 3 ± {5) / 2.
5(a). y = 5t + sen t + C. 5(d). y = Clt + C2 . 5(1). y = t3/3 + C I t 2 + C2 t + C 3 · 6(a). y = 1 + Ce - I , C es cualquier constante. 6(c). y = t + Ce- I , C es cualquier constante. y = ±~(t2 / 2) + C, C es cualquier constante, [z/2 > - C. 7(a). y = cer 2 - l/2, C es cualquier constante y -00 < t < oo. 7(c). y = Ce cost + 1, - 0 0 < t < oo. 7(e). y = Ce-t2/ Z + l/2, - 0 0 < t < oo. 8(a). y = te-t + Ce - t, y(t) = (t + l)e-t , - 0 0 < t < oo. Como [ -7 +00, y(t) -7 O. 8(c). y(t) = 1 + Ce-t2, y(t) = 1, - 0 0 < t < oo. Como t -7 +00, y(t) -7 1. 6(e).
10(a). y = t 2/4 + Ct- Z, t> O. Cuando t -7 0+, y(t) -7 ±oo, o bien O, lo cual depende de C. Cuando t -7 +00, y(t) -7 +00. l1(a). y = (l/tZ)sen t - (l/t) cos t + C, y(t) = (l/t 2)sen t - (l/t)cos t, para t > O. Cuando t -7 +00, y(t) -7 O. l1(c). y = sen t + Cese t, y(t) = sen t + 2 cse t, 0< t < n. Cuando t -7 0+, Y -7 +00.
Sección 1.4, pág. 37. 3(a). 4(a). 4(c). 4(e). 14(a). 15(a).
12lb de sal cuando t = 2; 85.3 lb de sal cuando t = 25. Yd = t2 - 2t + 2, y = Ce- t + tL 2t + 2. Yd = te-2t , y = Ce-2t + te- Zt . Yd = - eos(2t) + 2 sen(2t), y = Ce- t - cos(2t) + 2 sen(2t). y' = k[y(t) - m(t)], k negativa. 9.42%.
Sección 1.5, pág. 53. 3. t = 278.5 días. 5(a). 2041 cm en t = 2.04 s. H = 62.8 metros. 12. 2028 a. C., aproximadamente. 14(a). K(t) = KOe-kt , A(t) = (Kok¡lk)(l - e-kt ), 7(a).
C(t)
= (Kokik)(l -
e-kt ).
Sección 1.6, pág. 65. 3(a). y = x, -1 < x < oo. 3(c). y para todax.. 3(e). y = (5 - x 2 )1/2, Ix l ~ 51/2. 5(e). 1.016 x 108 individuos.
= exp(2 -
e-x ),
8(a). 3.29 s.
Sección 1.7, pág. 80. 5(a). y = (-3t/2 + 1)2/3. 7. y = - t- 2 sen t + Clt- I + Czt- Z, t> O, Cl Y C2 constantes cualesquiera.
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Respuestas a problemas selectos
< y < 8, Y -37r12 < t < -7rl2, o 7rl2 < t < 37r12. Las curvas se ubican en cualquier parte del rectángulo R.
Sección 1.8, pág. 90. lea). x'(t) = -3x, y'(t) = x y Z'(t) = 2x. La solución es x(t) = e-3t , y(t) = (1 - e-3t)/3, y z(t) = 2(1 - e-3t )/3. Cuando t ~ +00, X ~ O, Y ~ 1/3, Y z ~ 2/3. l(e). x' = 1 + sen t - 3x, y' = 3x - y. La solución es x = 1/3 + (3sen t - cos t)/IO - 7 e-3t/30, y = 1 + 3(sen t - 2 cos t)/IO + 7 e-3t/20 - 3e-t/4. Cuando t ~ +00, x oscila casi 1/3 y Y oscila aproximadamente 1. 3(a). x = Ae-k,t, y = Akl(e-k,t - e-k2t)/(~ - k l ) + Be-k2t. 7(a). x' =1 - kIt, x(O) = O, y' = k l X - kiY, y(O) = O.
Sección 1.9, pág. 100. l(a). y = x In Ixl + ex, donde x > O o x < O, Y e es cualquier constante. l(e). x 3(x - 2y)(x + y)2 = e, donde e es una constante. 3(a). y = -x + 2arctan(x + C) + n7r, donde e es cualquier constante y n cualquier entero. 3(e). 3(x + 2y - 21nlx + 2y + 21) = x + e, donde e es cualquier constante y Ix + 2y + 21 t:- O. IO(e). y = e t + [ee-3t - e-t/2]-I, donde e es cualquier constante y 2ee-3t t:- e-t. U(a). [.J2"(x 2 +i)1/2 +x_y]2 = a.fi(3 + 2.J2") 1
x
Sección 2.3, pág. 139. 2. P(t) ~ Po + Ro/ro, para t ~ O. 5(b). IYc(t) - Y5(t)1 ~ 0.1(1 - e-t), t ~ O. Sección 2.4, pág. 148. 7(a). No más de 12 permisos.
Sección 2.5, pág. 159. lea). y(1) '" Ylo = 0.348678. 3(a). y(l) '" 0.283786, 0.325058, 0.329236.
Sección 2.6, pág. 164. lea). y = (1 - 2t)-1/2, ---00 < t < 1/2. 3(a). y = ee-2t + 0.4 cos t + 0.2 sen t, donde e es una constante arbitraria. Cuando t ~ +00, y(t) ~ y/t) = 0.4 cos t + 0.2 sen t. 5(a). y = Yo [yo + (1 - YO)e-t]-I, to > O. Cuando t ~ +00, Y ~ 1.
Sección 2.7, pág. 176. 2.
+ y 12-.fi .
Sección 2.1, pág. 116. 3. y(t) = tn+l/n + et, para cualquier constante C. 5(e). Un número infinito de soluciones; por ejemplo, y(t) = -1 para t < (2n - 1)1t', y(t) = cos t para (2n - 1)1t' ~ t ~ 2n1t', y(t) = 1 para t > 2n1t', n un entero no positivo.
Sección 2.2, pág. 128. 3. El tiempo de escape es t= -(1I2)ln[(1 + Yo) /(yo - 1)]. 6(a). Las curvas ascienden si -8 < Y < O, Y -6 < t < -37r12, o -7rl2 < t < 7rl2, o 37r12 < t < 6; o si O
h = 0.023: 2 ciclos respecto al equilibrio. h = 0.025: 4 ciclos respecto al equilibrio.
Sección 3.1, pág. 188. 4.
mz" = -kz - aJ(b + z)2, donde a es una constante positiva y z > -b; no lineal.
Sección 3.2, pág. 199. lea). Simple solución de equilibrio, y(t) = O, para toda t. Órbitas periódicas no constantes. l(e). y(t) = O, para toda t. Las soluciones oscilan y decaen hacia O conforme retrocede el tiempo. lee). y(t) = O, para toda t; soluciones periódicas cuando t ~ +00.
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Respuestas a problemas selectos
Las curvas solución son cóncavas hacia abajo en todas partes. 5. y(t) = 1/(1 - t) , t < 1.
2(a).
Sección 3.7, pág. 250. lea). y = c l 1n t + c2, O < t < 00, c¡ y C2 constantes arbitrarias. 4(e). y(t) = t - t 2, para toda t.
Sección 3.3, pág. 213. lea). y 8(a). y
= C¡ + C2t, C I y C2 constantes arbitrarias.
=- (1/5) sen2t + C¡e! + C 2e t, C I y C2
Sección 4.1, pág. 266. 4(a). T = 27r~Llg.
constantes arbitrarias.
Sección 4.2, pág. 277. Sección 3.4, pág. 221. lea). y(t) = Cle-t + C2e2t, donde cl Yc2 son constantes reales. 2(a). y" + 7y' + 10y = O. 2(e). y" + 8y' + 17y = O. 7(a). y(t) = k¡e- 2it + k 2eit, donde k¡ y k 2 son constantes complejas. 8(a). y(t) = ce-t, donde Ces cualquier constante real.
lea). y(t) = cos 2t - cos 3t; pulsaciones.
Sección 4.3, pág. 286. 1. yp = FoM(w)cos(wt + qJ(w)), donde M(w) = [(k2 - oP-)2 + 4c2 co2]-1I2 y qJ(w) = cot-¡ [(c02 - k 2)/(2cw)] con -7r~
qJ(w) ~ O.
5(a). 2c = 0.613/s. Sección 4.4, pág. 298.
Sección 3.5, pág. 228.
3. Sí; y(t) = C I cos 3t + C2sen 3t - (3/5) cos 2t.
lea). l(t) = exp(- t)[cos t - sen t]. 2(a).
l(t) = k¡er,t + ~er2t, q(t) = 10-3 + k¡[(er,t - l)/T¡ - (e r 2t - 1)/r2],
Sección 3.6, pág. 240. lea). [i(e- it - e it ) + (e 2it + e-2it)]/2. l(e). -(1 + t)/2 - (1 + t + 2it 2)e2it/4 + (2it 2 - t - 1) e-2it/4. lee). (1 - t)(e4it + e-2it )/2. 3(a). (D2 + 1)3. 3(e). D2(D2 + 1). 2t 21 5(a). y(t) = - e- /2 + e + 2t - 1/2. 5(e). y(t) = - 2 cos t - 4 sen t + 2e 21 . 6(a). y = ele-t + C2e21 + (cos 2t- 3 sen 2t)/1O, CI' e2' constantes cualesquiera. 6(e). y = (el + e2t)et - t 3 etf6, el' e2 constantes cualesquiera. 6(e). y = (e¡ + c2t)e-t + el(3cost+ 4 sen t)/25, el' C2 constantes cualesquiera. 6(g). y = e-2t (c¡ cost + C2 sent) + e-t/2 - 12/5 + 3t, C¡, C2 constantes cualesquiera. 7(a).
y = e 21 - el.
donde T¡ "'" -2.33, T2"'" -47.7, k¡ = -~ "'" -0.0024. 4. q(t) = (1/26)[-e- t(9 cos 3t + 7 sen 3t) + 6 sen 2t + 9 cos 2t].
Sección 5.1, pág. 315. l(a. ) y = Cle -2t + C2e 21 ; XI, = x2' x2' 4 = x¡ con solución general XI = C¡e- 21 + C 2e 21 , x2 = -2C¡e-21 + 2C2e 2t . l(e. ) y = C¡e -4t + e2e -1 ; x¡, = x2' x2' = 4 XI 5x2 con solución general x¡ = C Ie-41+ C 2e-1, lee).
x2 = -4C¡e-4t - C 2e-t. y" + 16y = O con solución general y = C¡ cos 4t + C2 sen 4t; XI = C I cos 4t + C2 sen 4t, X2 = -4C¡ sen 4t + 4C2 cos 4t.
-J3t /2) + (1 / .f3) sen( -J3t /2)L y(t) = - (2/.f3)e -1/2 sen( -J3t /2) .
2(a). x(t) == e-1/2 [cos(
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2(b).
Respuestas a problemas selectos
x(t) = [(.J5+ 3) / (2.J5)]e(-3+-!5)t/2 + [(.J5 - 3) / (2.J5)]e(-3--!5)t/2, y(t) = -(.J5 / 5)e(-3+-!5)t/2 +
(.J5 / 5)/-3--!5)t /2 . 3(a). x ¡(t) = 1Oe-3t , ~(t) = 10(1 - e-3t )/3, x3 = 20(1 - e-3t )/3; los valores límite cuando t ~ +00 son x¡ = O, x2 = 10/3, x3 = 20/3. 3(b). x¡(t) = lOe-t, X2(t) = 5e-t + l5e-3t ; los valores límite cuando t ~ +00 son x¡ = x2 = O. 5(a). X2 = Cx!3 y X¡ = O. 6(a). x¡ = C¡e-2t + 3C2e 2t , x2 = -C¡e-2t + C 2e 2t . 7(a). x' = -k¡xy, y' = -k¡xy, z' = k¡xy - k 2 z, W' = k2z.
Sección 5.2, pág. 330. 2(a). (O, O) Y (1, 1); los ciclos que encierran (1, 1). 2(c). Sin puntos de equilibrio ni ciclos. 3(a). x(t) = C¡e 3t , y(t) = C 2e-t, - 0 0 < t < oo. La solución x(t - n, y(t - 1) también está definida en - 0 0 < t < oo. 3(c). x(t) = C¡(l + 2Cft)- ¡/2, y(t) = t + C 2, t> -1I2Cf. La solución x(t - n, y(t -1) también está definida en t > -1I2Cf + T. 4(a). (1, 1), (1, -1 ), (-1 , 1), (- 1, -1).
Sección 5.3, pág. 341. l(d). La especie x cambia logísticamente y es presa de la especie depredadora y, la cual está sujeta a los efectos de sobrepoblación y al reabastecimiento periódico. 2(a). Isoclinas nulas (curvas de pendiente cero) de x : x = O, Y = x - 5; isoclinas nulas de y: y = O, Y = x/5 + 2; puntos de equilibrio: (O, O), (O, 2), (5, O), (35/4, l5í4). Las especies cooperan y se aproximan al punto de equilibrio (35/4, 15/4) cuando t ~ oo. 4(a). 2a mide la eficacia de la especie y para usar la especie x y promover el crecimiento en y.
Sección 5.4, pág. 350. l(a). x(t) es la población de depredadores, y(t) es la población de presas. Ambas poblaciones promedio son 1. Las órbitas giran en el sentido de las manecillas del reloj con respecto al punto de equilibrio (1, 1) cuando se incrementa el tiempo.
Sección 5.5, pág. 357. 3. dz/ds = z(c - y) - (1 - e - r)y, dy/ds = (z - r)y. Los puntos de equilibrio son (O, O), (r, cr/ (1-
e» .
Sección 6.1, pág. 367. l(a). l(e). 2(a). 2(c).
s
1 (e). n!/sn+¡, s > O. 3/s 2 - 5/s, > O. lI(s - a)2, s > a. (1 + e-S1t )/(1 + S2), - 0 0 < S < oo. [1 - (1 + s)e-s]/S2, s > O. 3(a). y = e-2t .
Sección 6.2, pág. 378. l(a). a/(s2 - a 2). l(c). 2/(s - a)3. l(e). - qf(s - 2), donde L[j](s) =
f
3(a). 3(e). 4(a).
= (e 2t - e-5t )!t. y(t) = (e 3t + 4e-2t)/5. 3(c). y(t) = etsen t. y(t) = e t (1 - t) + escalón(t - 1)[1 + (t - 2)et- l ). [(s - 1)-2 - (s - l) - ¡]s- ¡.
4(c).
(.J2s)-¡[«s _ 1)2
2(f). n.17:
+ 1)-1 - (s - 1)
«s -1)2 +1)-1].
7(c).
qa(t) = escalón(t - a)CEo x [1 + r2(r¡ - r2)-¡e r ¡(t-a) + r¡(r2 - r¡)-¡e r2 (t-a)],
donde qa(t) es la carga en el instante t:2: O si el interruptor es activado en el instante t = a. 9(a). x¡(t) = -9 + 3t + 9 cos t - 3 sen t, x2(t) = -15 + 5t + 15 cos t.
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Respuestas a problemas selectos
7(a). Lineal con forma normal
Sección 6.3, pág. 389. lea). [1 + (s - 1)2]-1. l(e). (s2 + 2)s-I(S2 + 4)- 1. 2 2 2 lee). -2a(3s - a )(a + s2)-3. l(g). (lI.J2)(s + 1)[(s + 3)2 + 4r l . 2(a). 1 + escalón (t - 1). 2(e). tn-leal/(n - 1)!. 2(e). t + (2 - t)escalón(t - 1). 3(e). (1I(a - b»[eal - ehl] . 3(a). 1 - (;1. 3(e). -(4/5)(;1 cost + (3/5)e-t sent + (4/5)e l .
Sección 6.4, pág. 396. lea). 1/s4.
l(e). 2/s4 .
2(a).
J~cos(t - u) sen u duo 2(e). J~(t-u)e-udu.
2(e).
JIo[2e-2(I-u) - e-(t- u)] ue - 2u du.
2(g).
J~f(t - u)senudu.
3(a).
J~ sen (t - u)[u escalón(u - 1)]du.
3(e).
(1I3)J~f(t-u)[eUI2 - e -U]du.
4(a). g(t) = (112)(;31 sen 2t. 5(a). y = [(e - 31 sen 2t)/2] * f(t) .
Sección 6.5, pág. 403. lea). y(t) = -escalón(t - n)e-(I- lt)sen t. l(e). y(t) = [- 3cost + sent + 5e- 1- 2e- 21]/5 + escalón(t - n)[e-(I-lt) - (;2(I- lt)]. lee). y = [e l - cos t - sen t]/2 + escalón(t - 1) sen (t - 1). Sección 7.1, pág. 410. lea). 4(a). 5(b).
XI = 1800, X2 = 699, X3 = 200583 . xí (t) = -20xI + 4x2 + X3, .xí(t) = XI - 4X2 + 2X3, x3(t) = 3xI - 8X3 + l. XI= I ¡lkOI' X2 = (k21 /ku)(l¡lkol )·
Sección 7.2, pág. 420. 1. [
1-3]4
-1
XI]' = [1 -5 [x3 -1 x2
I 1 - 2] 2 [X x2I] + [ e-O]
- 1 - 2
1
x3
sen t
Sección 7.3, pág. 432. Puntos (a, b, e) en el plano que pasan por el origen e - 3a - 2b = O. 8(a). 156. 9(a). Dependiente. 9(e). Independiente.
2(e).
Sección 7.4, pág. 443. lea). 1 es un valor característico; [O 1]T es una base de VI . l(e). Los valores característicos son 3 y -3 Y son simples. V3 es generado por [1 I]T; V_3 es generado por [1 - 1]T. lee). Los valores característicos son 3 + 5i Y3 - 5i Y son simples. V3 + Si es generado por [1 -i]T; V3 _ Si es generado por [I i]T. l(g). 1 es un valor característico simple y 2 es uno doble. VI es generado por [3 -1 3]T Y V2 tiene base {[2 1 O]T, [2 O 1]T}. l(i). -1 es un valor característico doble y 5 es sencillo. V_ I es generado por [1 O O]T Y Vs es generado por [262 27 6]T. Sección 7.5, pág. 455. lea). x(t) = e l e21 [1 -1]T + e2e41[3 -1]T, el' e2 reales arbitrarios. l(b). x(t) = ele 41 [2 I]T + e2e91[1 -2]T, el' e2 reales arbitrarios. 3(a). X = ele-4I[1 -4]T + e2e2t[1 2]T, donde el Y e2 son reales arbitrarios. 3(b). X = ele21 [2 1]T + e2e-l[1 2]T, donde el ye2 son reales arbitrarios. 3(e). x;: ele SI [1 3]T + e2e31[1 1]T, donde e) ye2 son reales arbitrarios.
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Respuestas a problemas selectos
6(a). x = clel[l -1 IV + C2e-I[0 1 -IV + c3e-I([1 1 OV + t[O 1 -IV), donde cl' c2 Y c3 son reales arbitrarios. Sección 7.6, pág. 465.
4(a).
e'A x o = [a cos 2t + b sen 2t] ; e _sA F(s) = [cos 2S] . b cos 2t - a sen 2t sen 2s
4(e).
e/Ax O = [aCost+(2a-Sb)Sen t]; (a - 2b)sen t+ bcost
x = C¡e 21[ cos t sen tV + c2e 21[sen t - cos tV, c¡ y C2 reales arbitrarios. 3(a). x = c¡[cos8t -8 sen 8t]T + c2 [sen8t 8cos8tV, donde c¡ y C2 son reales arbitrarios. 1.
2 e- sA F(s) = [cos S + 2 sen scoss]. sen scoss
5(a).
Sección 7.7, pág. 477.
= 2, Az =-3; v¡ = [1 IV, v2=[1 -4V.[x yV=c¡v¡e21+c2v2e-31, para reales arbitrarios cl Y c2' Silla. 2(e). peA) = íF - 13A + 30; Al = 10, Az = 3; VI = [2 IV, v2 = [-3 2V. [x yV = cl vle 101 + C2v2e31, para reales arbitrarios Cl Y C2' Nodo impropio. 2(e). peA) = A2+ 2A + S; Al =-1 + 2i, Az =-1 - 2i;
2(a). peA) = A2 + A- 6; A¡
Vi
= [2
-i]T , v 2
= [2
i]T.
[x yV = clel [2cos2t sen 2tV + c2e-1 [2 sen 2t - cos 2tV, para reales arbitrarios CI Y C2' Punto en espiral. 6(e). a = O, b > O. 7(a). [x yV = cl[2cos2t - sen 2tV + c2 [2 sen 2t cos 2tV, para reales arbitrarios c¡ y c2'
Sección 7.9, pág. 499. lea). No es un estado permanente. 2(a). a < -312. 7(b). Por lo menos una raíz tiene parte real no ne-
gativa. 7(d). Todas las raíces tienen partes reales negativas.
Sección 7.10, pág. 507. 5(e).
Sección 8.1, pág. 525. l(e).
Sección 7.8, pág. 488. -21 3 21 lea). erA = (1/4) e + e [ -e -21 + e 21
3 -21 3 2/ ] - e + e ; 3e -21 + e 21 x(t) = (114)[ - Se -21 + ge 21 Se -21 + 3e 2/ f.
=[~ 1 ~_~I
l(e).
e/A
2(a).
erA =
l
x(t)=e- / [1+2t
r~ ~ t +;2/21; O O
1
x(t) = [1 + St + 3t 2 /2 2 + 3t 3f.
2f.
a = 0.0102.
Puntos de equilibrio en (±1, O) son (localmente) asintóticamente estables; el punto en (O, O) es inestable.
Sección 8.2, pág. 536. lea). Asintóticamente estable. l(e). Inestable. Asintóticamente estable en (O, O), inestable en (-2, O). 2(e). Inestable en (O, O), asintóticamente estable en (O, -1). 2(e). Inestable en cada punto sobre el eje y. 5(a). (O, O), (1, 1), (- 1, 1).
2(a).
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Respuestas a problemas selectos
°
Sección 8.3, pág. 549. lea). K(x, y) = y3 x . El origen es un punto silla inestable. l(c). K(x, y) = (XI + y4)/4. El origen es neutralmente estable.
pasa por r = 5/2, 8 = son, respectivamente, el conjunto vacío y el ciclo r = 2. Sea). Ningún ciclo porque x' siempre es positiva.
Sección 9.3, pág. 592. lea). Bifurcación silla-nodo en e :::: O. l(c). Bifurcación transcrítica en e = O. lee). Bifurcación de orquilla en e = O. Sea). u' = eu + v-u(u 2 + v 2 ) y v' = -u + ev- v(u2 + v 2 ), donde u = x - 5e y v = y - 5e; r' = er - r3 , 8' = -1.
Sección 8.4, pág. 559. lea). Asintóticamente estable. l(c). Asintóticamente estable. lee). Asintóticamente estable. l(g). Inestable. 3(a). Asintóticamente estable. 3(b). Inestable.
Sección 9.4, pág. 607.
Sección 9.1, pág. 569. lea). (0, O), inestable; ciclo límite de atracción r =4 Y ciclo límite de repulsión r = 5. l(c). Los puntos de equilibrio son (O, O) (inestables) y los puntos en el círculo r = 1 (neutralmente estables); ciclo límite de repulsión r = 2. lee). (0, O), inestable; ciclos límite de atracción r = 2n + 1/2 Y ciclos límite de repulsión r = 2n + 3/2. 2(a). Punto de equilibrio asintóticamente estable
l(b).
[r~~
~ -~l es la matriz jacobiana en
y
x-b
(x, y, z).
Sección 10.1, pág. 624. lea).
unCx, t) = cos(mr:x/L)(A n cos(mrct/L) + B" sen(nn:ct/L)).
Sección 1 0.2, pág. 630. 3(a). senxcos et, e = ~T/ p. S(b). para el primer par de funciones; (e 2 - 1)/4 para el segundo.
(0, O).
°
Sección 9.2, pág. 578. lea). Para la órbita que pasa por el punto de equilibrio (O, O), los conjuntos límite negativo y positivo son el mismo punto (0, O). Los conjuntos límite negativo y positivo de la órbita que pasa por (1, 1) son la misma órbita. lee). Los conjuntos límite negativo y positivo de la órbita que pasa por r = 1/2, 8 = son, respectivamente, el origen y el ciclo r = 1, donde el origen es un punto de equilibrio. Los conjuntos límite negativo y positivo de la órbita que pasa por r = 3/2, 8 = son, respectivamente, los ciclos r = 2 Y r = 1. Los conjuntos límite negativo y positivo de la órbita que
°
°
Sección 10.3, pág. 639.
1.
I~=l (_l)k+l / ksen kx.
2(a).
2I;=I(- ll+l(sen kx)/k.
3(a).
(2A / n)I;=1 (sen kx) / k .
Sección 10.4, pág. 648. lea). Ao = 5, Bl = -1, B3 = - 7, A6 = -4, los demás coeficientes son cero. 2(a). -2 + 4I;=1 (_l)k+l k-1sen kx. 2(c). (a + n2 el3) + I ;=l (4e( _l)k k -2 coskx + 2b( _ l)k+l k-1sen kx).
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Respuestas a problemas selectos
2(e).
nl2 - (4/ n),'I;=1(2k + 1)-2 cos(2k + l)x.
2(g).
AB/n+(2A/n)'I;=1 k-1sen kB coskx.
3(a). sen x.
2(a). u(x, t) = 10(1 + X) - 'I;=I (20/(nn»[1- 2(-1)"] sen nnx exp [-K(nn)2t]. 3(b).
lea). (4/n)'I imparkk - I senkx;l. 2(a). (eix + e-ix )/2. 3(b). B 2m = O; B2m_1 = (4/n)[(4m - 3)-l sen(m - 3/4)n(4m - l)-lsen(m - 1/4)n], para m = 1,2, .... Sección 10.6, pág. 660. Dom(L) = {yen C2[0,7li2]: y(O)
=y(7li2) = O}.
An. = -4n2 para n = 1, 2, ... ; base <1> = {sen2nx: n = 1,2, ... }. L[y] = y"; Dom(L) = {yen C2[0, 71: y'(O) = y'(T) = O}.
A" = -(n7li1)2, n = 1,2, ... ;
= {cos(nnx/T):
4.
U(x, t) = 2I.;=1 {(_l
t (K(nn) 3)-I[e- K(nn)2 t
-1] + [3(-1)n - 3][nn(Kn2n2 - 2)]-1 [e- K("nF / _e-2t ] }sen nnx.
5(b). u = To + Aoe-n cos(wt - n).
Sección 10.9, pág. 691.
lea). L[y] = y";
base <1>
'I;=,e-K(ll1r)2/[2f~f(x)sennnxdx
- (2Klnn)f~cos-reK(Illr)2-r d-r]sennnx.
Sección 10.5, pág. 655.
l(e).
U(x, t) =
n
= 0, 1, 2, ... }.
lee). L[y] = y", Dom(L) = {yen C2[0, n]: y(O) = yen) + y'(n) = O}. An = -(rn/n)2, donde las r/1 satisfacen la ecuación r n = -nrn ; base <1> = {sen(r"x/ n): n = 1,2, ... }.
3(a). u(r, 8) = 3r sen 8. Las temperaturas máxima y mínima en el disco son ±3, respectivamente. Sección 11.1, pág. 699. lea).
-00
3(a). I.;=12nx" /(n -1)!.
oo.
2k
4(a).
I. ;=02x
4(e).
(1I2)I.;=o (_l)k (2x)2k+1 /(2k + 1)!.
/(2k)!.
n + 2 = 0, para n = 1,2, ...; a" = 1- 2/n. 8. y(x) = x2/2 + x 3/6 + I.; anx", donde
5(a).
10.
nan
-
a" = I.~~~1(n-2k)!/n!. R(r) = 1 - r 2/4 + ,-4/(2·4)2 - 15/(2·4·6)2 + ... .
Sección 10.7, pág. 670. lea). u(x, t) = (3L1nc) sen (nct/L) sen (nx/L). 2(a). El problema de SL es como sigue: encuentre las A tal que X" = AX, X(O) = 0, X'(L) + hX(L) = tiene la solución no trivial en C2[0, L]. 4(a). v = gx(L - x)/(2c2). 6(a). u(x, t) = 'I;=I (-1),,+1[12/(n 3n 3c 2)]sen(nnx) (1 - cos nnct).
°
Sección 11.2, pág. 710. lea). Ordinaria. 2(e). x = O.
2(a). Sin puntos singulares. 2(e). x = ±l.
4(a). y = ao[1 + I.;=I x
3k
/ [(3k)(3k -1)(3k - 3)
(3k - 4) .. . 3·2]]+ al[x + I.;=I x3k+1 /[(3k + 1)(3k)(3k - 2)
Sección 10.8, pág. 683. lea). u(x, t) = sen(2nx/L)exp[-K(27liL)2t]. l(e). u(x, t) = (4uofn) = ¿impar /1 n- I sen(nnx/L) exp [-K(kn/L)2t] . lee). u(x, t) = sen(nx/2L) exp [-K(7li2L)2t].
5.
(3k - 3) ... 4 ·3]], donde ao y al son arbitrarias. y = 1 - (3/2)x 2 + (13/48)x 4 - (23/288)x 6 + ....
6(a).y = x + (1I4)x 4 + (1I14)x 7 + ....
8. y(l) "" 1- (113) + (1/18) - (1/162) + (111944) "" 0.7166.
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Respuestas a problemas selectos
Sección 11.3, pág. 718. 1. Vo = (C¡l2) 1n[(1 + x)/(l - x)] + C2; v¡ = x[C3 + C¡(-l/x + (1/2) 1n[(1 + x)/(l -x)]]. Sea). a = -1, b = 1, p(x) = 1.
l(e). YI = x, Y2 = x[-lIx + In x + ... + xn-l /(n!(n - 1» + ...]. 2(b). y(x) = ex[c IJ1(x) + C2YI(x) ]. 3(e). y = X1/2 [c IJpCx 2/2) + C2J_p(X2/2)], P = 1/(4.fi),x > O.
Sección 11.4, pág. 727. lea). Regular. l(e). Regular. = ± 1 son puntos singulares regulares. = O, -1 son puntos singulares regulares; x = 1 es un punto singular regular. 4(a). y(x) = c¡x3 + c2x2 + X + 5/6, donde c ¡ y C2 son constantes cualesquiera. -1 -..fi ..fi 6(b). Y¡ = x , Y2 = X , Y3 = X .
2(a). x 2(e). x
Sección 11.8, pág. 767. lea). u = -1 + 2P2(COS!/»p2. 3(a). u(r, z) = I;=I (2/ (x ll )2) . (senhxll (a - z) / senh(x"a»· (Jo(x"r)1J 1(xll ». 6(a). L[y] = (X2y')'/.x-2; Dom(L) = {yen C 2 [1, 2]: y(1) = y(2) = O}. A,n = -4n2 n2 , n = 1,2, .... = {sen(2nn/x): n = 1,2, ... } es una base.
Sección 11.5, pág. 734. lea).
l(e).
1/3 4/3 / oo n 5,h = x - l/3~ YI = X + x "'-'n=oanx donde a n = (-1)"1O/(3"n!(3n - 2)(3n - 5» ao, n:2: 2. n YI = x..fi I;=o a" (-ji )x ,
Sección A.l, pág. 773. 2(b). Un conjunto infinito de soluciones es
y(t) = {(at - aC)lla, O, t < C.
h = x -..fi I;=o an(- -fi )x" donde ao = 1 Y a,,(±-fi) =
[(n±-fi -l)(n±-fi - 2) ... (±-fi)ao]/ [n! (n ± 2-fi )(n - 1 ± 2-fi)··· (1 ± 2-fi )]. 3. YI = x¡/3 + x41317 + 9x7/3 /280 + 277x 10/3 /32760 + ... , Y2 =.x- I - 1 - x/8 - llx2/360 + .... 7(a). El polinomio indicial es r2 con raíces r l = r2 = O.
Sección 11.6, pág. 746. 1. h(x) = x 3/48 - x 51768 + x 7/30nO - x 9/2211840 + ...
t:2: C
Sección A.2, pág. 780. lea). Yo(t)
= 1, YI(t) = 1 - i, h(t) = 1 t2/2
t + t2/2,
t 3/6,
y/t) = 1 - t + 6(a). Yo(t) = O, YI(t) = t, h(t) = t + t3/3, Y3(t) = t + t 3/3 + 2t5!15 + t7/63.
Sección A.3, pág. 782. 2. La EDO Y' = 2ty2 tiene soluciones y = (C t2 )1/2 que están definidas sólo para It l < C I/2 si C> O.
Sección A.4, pág. 788. Sección 11.7, pág. 760. lea). YI h
= e= e-x, [lnx + x + x 2/4 + ... + x"/(n!n) + ... ]. X
,
1.
1y(t) - y(t) 1::; 1a - tí 1etilO + 5(e t /l O-1), O ::; t, donde se ha elegido el valor de M como 1/2.
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Créditos fotográficos Capítulo 1 Pág. 45, The New York Public Library. Pág. 47, The New York Public Library. Pág. 80, The New York Times. Pág. 82, cortesía Edward Spitznagel.
Capítulo 2 Pág. 110, History of Mathematics Archive, University of St. Andrew. Pág. 150, The NewYork Public Library. Pág. 156, AIP Emilio Serge Visual ArchiveslLande Collection. Pág. 175, Cortesía James A. Yorke.
Capítulo 4 Pág. 292, AIP Niels Bohr Library W. F. Meggers Collection.
Capítulo 5 Pág. 333, Cortesía Leah Edelstein-Keshet. Pág. 346, AIP Emilio Segre Visual Archives.
Capítulo 6 Pág. 360, The New York Public Library. Pág. 310, The New York Public Library. Pág. 398, Corbis-Bettmann.
Capítulo 9 Pág. 568, David Eugene Smith Collection Rare Book & Manuscript Library. Pág. 57 1, AIP Emilio Serge Visual ArchiveslBridgeman Collection. Pág. 595, Cortesía Edward N. LorenzIMIT. Cortesía de Mistress and Fellows of Girton College.
Capítulo 10 Pág. 641. Bosquejo de Biolly/Corbis-Bettmann. Pág. 657, The New York Public Library. Pág. 657, History of Mathematics Archive, University of St. Andrew.
Capítulo 11 Pág. 707, Cortesía Columbia University. Pág. 735, Corbis-Bettmann.
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índice analítico
Abel, Niels Henrik, 246 aislamiento, 674 alternativa de Fredholm, 434, 445 amortiguamiento crítico, 271 amortiguamiento newtoniano, 64 amortiguamiento viscoso, 48, 180, 261 amplitud, 223, 225 análisis de signos, 122, 323, 337, 563 analíticas reales, 701, 793 ángulo de fase, 225 antiderivada, 19 aproximación lineal, 187 armónica zonal, 718, 766 armónicos cilíndricos, 767 armónicos circulares, 688 atractor extraño, 604 atractor global, 599 atrayente, 518, 562 Y sistemas conservativos, 545 autocatalizador, 311, 313, 593, 807 base, 430, 635 , 636 base de Legendre, 763 Belousov, Boris, 311 Bessel, Friederich Wilhelm, 735 bifurcación, 141, 582 análisis, 141 diagrama, 145,583, 597 duplicación de periodo, 171 , Hopf, 584, 586 subcrítica, 586, 593 supercrítica, 586 horquilla, 146, 147, 148, 592, 597 nodo silla, 142, 145, 148,583 tangente, 145 transcrítica, 148, 592 bilinealidad, 627 bola abierta, 528 caída de voltaje, 290 caja cerrada, 317 calor específico, 672 cambio de fase, 283 campo de direcciones, 12, 13, 320, 321 canal de comunicaciones, 126 caos, 171 , 172, 173, 604
rutas hacia, 602 capacitancia, 291 captura esfuerzo constante, 336, 349 ley de, 348 población logística, 142 tasa constante, 2 Cartwright, Mary Lucy, 607 cascada, 88, 89, 315 Cauchy, Augustin Louis, 707 cerdos tres cerditos, véase osito s de peluche ciclo activo, 790 ciclo de límite, 562 ciclo periódico, ley del, 346 ciclos, 320 atracción, 331 , 562 ciclo k, 169 criterio de Bendixson, 577 límite, 562 repulsión, 331, 562 semiestable, 570 Van der Poi, 566 circuito de desplazamiento, 588 circuito de Van der PoI, 566 circuitos eléctricos, 289 carga, 289 corriente, 289 dos ciclos, 297, 503 elementos de, 290 LC, 379, 382, 389 ley de Coulomb, 291 ley de Faraday, 291 ley de Ohm, 290 leyes de Kirchhoff para la corriente, 292 para el voltaje, 292 RC,126 RLC,292, 564, 565, 654 sintonización, 296 varios ciclos, 297 voltaje, 290 circuito RC, 126 coeficiente de eliminación, 85 coeficiente de Fourier, 636 coeficiente elástico, 694
coeficientes indeterminados, 489 combinación lineal, 209 comportamiento a largo plazo lineal de primer orden, 124, 129 lineal de segundo orden, 282 sistemas generales, 518, 523, 530, 571 a 581,596 sistemas lineales, 767 a 472, 493, 501 soluciones de Euler, 163, 167 condición de Lipschitz, 772, 773 condición inicial, 53, 108, 192, 616 condiciones de frontera, 617 a 619, 657 conducción, 672 conductividad térmica, 673 conexión simple, 577 conjunto cerrado, 317 conjunto de continuidad, 243, 431, 614 conjunto de nivel, 60, 539, 543 conjunto solución básico, 246, 463, 510, 511 conjuntos de límite, 574 constante de amortiguamiento, 180 constante de Euler, 754 constante de resorte, 181 constante de separación, 662 constante de velocidad, 43, 84 continuidad en los datos, 138, 192, 783 continuidad por partes, 114, 628 contorno, 60, 539 convergencia con respecto a un punto, 634 criterio de la razón, 792 de una sucesión compleja, 796 en la media, 632, 634 intervalo de, 792 radio de,792 teorema de convergencia integral, 778 uniforme, 635 , 776 prueba de Cauchy para, 777 convergencia uniforme de funciones, 781 convolución, 326 solución de un PVI, 396
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822 coordenadas polares, 327, 579 corriente, 289 criterio de Bendixson, 577 criterio de Dulac, 581 criterio de la razón, 792 criterio negativo de Ragozin, 581 cuadrante de una población, 5, 6, 333 cuenca de atracción, 264, 522 extraño, 604 global, 599 curva de componentes, 70, 193, 309 curva de Lissajous, 311 , 476 curva de solución, 5, 193 geometría de, 12, 194 no intersección de, 112 curva de tiempo y estado, 192, 307 curva integral, 60 curvas de persecución, 95 curvas logísticas, 64 Darwin, Charles, 343 datación con carbono radiactivo, 45 datos, 108, 138, 191 , 192,317 decaimiento de coeficientes, 638 definitividad, 552, 556 deflexión estática, 181 depredación saciable, 593 derivada a lo largo del movimiento, 542 función de valores complejos, 797 desarrollo por cofactores, 428 desigualdad de Bessel, 638 desigualdad de Cauchy-Schwarz, 266, 419, 628 desigualdad de Gronwall, 783 desigualdad del triángulo, 419, 628 desplazamiento de datos, 668 determinantes, 427, 428 diagramas de telaraña, 177 diferencia de potencial, 290 dimensión de un espacio lineal, 430 Hausdorff, 606 dimensión de Hausdorff, 606 dimensión del eigenespacio, 440 discontinuidad por saltos, 114 discos de Gerschgorin, 498 dispositivos de resolución numérica, 158, 159 generación de curvas de solución, 13 distancia, 518, 627
índice analítico
dominio de s, 370 dominio de tiempo, 370 duplicación de periodo, 168, 602 EASA, 133, 495 ecuación armónica principio del máximo, 690 propiedad del valor medio, 689 unicidad de soluciones, 690 ecuación de Airy, 711, 760 ecuación de Bernoulli, 102 ecuación de Bessel, 735 fórmula de recurrencia, 737 modificada, 748 solución de, 736 ecuación de calor, 623, 674, 680 a 682 homogénea, 674 principio del máximo, 680 ecuación de diferencias, 377, 380 ecuación de difusión, 623, 674 ecuación de Duffing, 610 ecuación de Hermite, 703, 719 ecuación de Laguerre, 735 ecuación de Laplace, 623 , 685, 802 ecuación de Legendre, 703, 712, 721 , 735 ecuación de Mathieu, 711 ecuación de onda, 616 a 619, 623 ecuación de potencial, 623, 685 ecuación de Rayleigh, 571 , 593 ecuación dé Riccati, 102 ecuación diferencial, véase EDO ecuación diferencial con retardo, 361, 385 ecuación diferencial lineal de primer orden, 21 homogénea, 21 no homogénea, 21 solución general, 30 de segundo orden, 242 ecuación diferencial ordinaria, véase EDO ecuación diferencial parcial, véase EDP ecuación exacta, 68, 550 ecuación integral, 109 ecuaciones lineales posibilidad de solución, 429 Edelstein-Keshet, Leah, 333 EDO ecuación de Airy, 711 ecuación de Bernoulli, 102
ecuación de Bessel, 735 ecuación de Chebyshev, 719 ecuación de Duffing, 610 ecuación de Euler, 251 , 688, 723 ecuación de Hermite, 703, 719 ecuación de Laguerre, 734 ecuación de Legendre, 712, 721 ecuación de Liénard, 571 ecuación de Mathieu, 711 ecuación de Rayleigh, 571, 593 ecuación de Riccati, 102 exacta, 68 lineal, 21, 202, 243 trascendente de Painlevé, 200 EDO autónomas, 69, 121, 197 propiedad de translación de soluciones, 121, 196, 197 soluciones en equilibrio, 121 EDO de Euler, 200, 251 , 688, 723 EDO de segundo orden, 202 de coeficientes constantes, 214 a 242 de coeficientes no constantes, 242 a 255, 693 a 769 homogénea, 214 modelo de respuesta de frecuencia, 278 notación operacional para, 244 soluciones forzadas, 269 soluciones libres, 269 teorema de Abel, 246, 252 teorema de existencia y unicidad, 243 EDO lineal de primer orden, 21 coeficiente p(t), 21 entrada q(t) , 21 factor de integración para, 21 no homogénea, 21 PVI homogéneo, 21 solución de, 30 término no homogéneo, 21 EDO logística, 62 EDO no lineal, 19 sistema, 42 EDO separable, 57 EDP ecuación de calor, 623, 674 homogénea, 674 ecuación de difusión, 623 , 674 ecuación de Laplace, 623 , 685 ecuación de onda, 616, 623
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823
índice analítico
lineal, 623 no homogénea, 623 orden, 623 eigenbase, 437 eigenespacio, 435, 658 . deficiente, 440 no deficiente, 440 eigenfunción, 658 eigenlínea,767 eigenvalor, 435, 658 multiplicidad, 439 simple, 439 eigenvector, 435, 658 generalizado, 440 ejes de un cuerpo, 545 elipsoide inercial, 546 energía cinética, 540 rotación angular, 546 potencial, 540 total, 540 entrada, 21 , 89 envejecimiento de un resorte, 180, 694, 700, 708, 756, 760, 761 errores, 153 cuadrado medio, 633 de redondeo, 161 discretización global, 154 discretización local, 154 en la media, 632 total, 161 escala, 56, 98, 142,358,580, 804 escalar, 415 espacio, 419,630 espacio de estados, 69, 184 espacio euclidiano, 627 complejo, 629 espacio lineal, 626 base para, 430 dimensión de, 430 independencia lineal en, 429, 430 subespacio de, 630 espacio nulo, 245, 434, 447, 618 espacio vectorial, 419, 626 conjunto generador del, 420 de funciones, 420 subespacio de, 419 espiral-centro, 570 esquema de discretización, 153 estabilidad, 518 asintótica, 518 funciones de Lyapunov, 551 a
559,560 global, 522 inestable, 518 local, 522 neutral, 518 sistema aproximadamente lineal, 530 sistema lineal, 523 tabla de, 538 estado, 307 estado estacionario, 124,282,491 estado estacionario constante, 491 estado estacionario periódico, 491 estado inicial, 317 estimación de decaimiento, 494 estimación de la desviación, 135 estimación integral, 800 Euler, Leonhard, 150 extensión periódica, 644 factor de integración, 21 fenómeno de Gibbs, 643 filtro de paso bajo, 127,503,505 flecha del tiempo, 682 forma de Lagrange, 794 forma lineal normal, 19, 181, 192, 308,342 forma normai, ll, 41, 191, 306, 701 fórmula de Abel, 247, 252 fórmula de De Moivre, 796 fórmula de recurrencia, 697, 704, 733 fórmula de Rodrigues, 717 fórmula de Simpson, 159 , fórmulas de Euler, 796, 798 fórmulas de Fourier-Euler, 635, 640641 Fourier, Joseph, 641 fracciones parciales, 376 frecuencia circular, 223, 224, 270, 273 frecuencias naturales, 621, 663 fuente, 673 fuerza del resorte, 180 fuerzas impulsivas, 401 función armónica, 586 función de Bessel de primer tipo base de Bessel, 763 ceros de, 744 de cualquier orden, 742 de orden entero, 737-738 decaimiento de, 746 integración de, 747 modificada, 748
ortogonalidad de, 745 oscilación de, 744 fórmulas de recurrencia para, 743 resolución de una EDP, 766 semientero, 743, 744 función de Bessel de segundo tipo de cualquier orden, 755 de orden entero, 755 función de Heaviside, 372 función de Kernel, 253 función de onda cuadrada, 792 función de onda de Sawtooth, 790 función de onda triangular, 790 función de pendiente aproximada, 153 función de potencial, 289, 686 función de pulso, 372, 790 función de transferencia, 281 función delta, 397 solución de un PVI, 400 función escalera, 790 función escalón, 790 función escalonada unitaria, 790 función exponencial compleja, 216, 797 función gamma, 740 función periódica, 223 función simbólica, 401 función tasa de cambio, 6, 108, 306 funciones conjunto de continuidad de, 243 continua por pedazos, 114 de orden exponencial, 366 definida, 552, 556 forma cuadrática, 555 homogénea de orden cero, 93 impar, 642 indefinida, 555 orden de, 528, 614 par, 642 polinomial-exponencial, 233 semidefinida, 555, 556 funciones de frontera, 669 funciones de ingeniería, 34, 790 funciones de Lyapunov débil, 558 fuerte, 552 local fuerte, 555 funciones de pulso unitarias, 790 funciones exponenciales de polinomios, 464 funciones generalizadas, 401
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824 .Galilei, Galileo, 45 ganancia, 283 geometría de órbitas acotadas, 575 criterio de Dulac, 581 criterio negativo de Ragozin, 581 gradiente, 801 gráfica de ciclos, 573 gráficas de Bodé, 283 Heaviside, Oliver, 372 hermanos Bernoulli, 102 hertz, 127 Heun, Karl, 155 Hilbert, David, 568 homogénea de orden cero, 93 homogeneidad, 628 identidad de Lagrange, 649, 798 identidades logarítmicas, 798 identificación de parámetros, 285 impedancia, 296 independencia lineal, 429 inductancia,291 integración por partes, 800 integral, 59, 539, 542 integral elíptica, 268 interacción de especies, 335 a 337 cooperación, 336 estabilidad, 534 interacción presa-depredador, 335, 343 a 352 coeficientes de desarrollo, 335 decaimiento natural, 335 depredación saciable, 336, 587 ley de los promedios, 347 interior punto, 614, 771 región, 614 intervalo abierto de convergencia, 792 isoclinas nulas o ceroclinas, 13, 322 iteración de Picard, 110, 773, 775, 780 Kepler, Johannes, 74 kernel de Green, 253 Kirchhoff, Gustav, 292 Kutta, M. w., 156 (2,631 Lanchester, Frederick William, 76 Laplace, Pierre-Simon de, 360 laplaciano, 623, 802 latitud nodal, 766 Leibniz, Gottftied, 102
índice analítico
ley de acción de masas de una población, 334 ley de combate cuadrada, 76 ley de Coulomb, 291 ley de decaimiento radiactivo, 43 ley de equilibrio, 29, 672 ley de Faraday, 291 ley de Fick, 673 ley de Fourier-Euler para la conducción del calor, 673 ley de Hooke, 182 ley de los promedios, 347 ley de Newton de la gravitación universal, 74 ley de Newton para el enfriamiento, 40,675 ley de Ohm, 290 ley de tasa de cambio de primer orden, 134, 408 de segundo orden, 134 ley del gas ideal, 266 ley del paralelogramo, 258 ley química de acción de masas, 312 leyes de Kichhoff, 292 leyes de Newton para el movimiento, 47,259,260 leyes de Volterra, 346 leyes naturales, 50 Libby, William, 45 limitación de órbitas, 575 polinomios de Legendre, 716 positiva, 222 línea de estados, 123 linealización péndulo, 264 resorte rígido, 187 sistema aproximadamente lineal, 530 sistema plano, 351 Lorenz, E. N., 595 Lyapunov, Aleksandr Mkhailovich, 551 mapeo de órbita, 598 mapeo de Poincaré, 604 matrices, 414 antisimétrica, 516, 549 aumentada, 424 cero, 418 cuadrada, 415 de bloques, 418
derivada de, 420 determinante, 427, 428 diagonal, 415 diagonal principal, 415 eigenvalor de la transpuesta, 444 eigenvalores de, 435 estimación, 419 exponencial, 482 identidad, 418 inversa, 426 invertibilidad, 426 menor, 428 operaciones, 415 operaciones elementales de renglón, 424 polinomio característico, 437 producto, 415 simétrica, 418 singular, 426 suma, 415 transpuesta, 418 triangular, 415 matriz básica de soluciones, 481, 512 matriz de solución, 480 matriz de transición, 513 matriz exponencial, 480, 482 matriz fundamental, 481 matriz jacobiana, 532, 802 matriz triangular valores característicos de, 444 mecánica newtoniana marcos inerciales, 259 momentum, 260 método de coeficientes indeterminados, 233 desarrollo de eigenfunciones, 667 factores de integración, 22 Frobenius, 732, 750 parámetros variados, 80 separación de variables, 58, 661 serie de potencias, 699, 706 variación de parámetros, 253 vectores característicos, 447 método de Euler, 149,608 método de Frobenius, 750 método de Heun, 155 método de un paso, 153 métodos de Runge-Kutta, 156 métodos numéricos método de Euler, 149 método de Heun, 155 método de Runge-Kutta, 156
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825
índice ana lítico
métodos de un paso, 153 modelo, 41 acumulación de contaminantes, 29,31 amortiguamiento viscoso, 48 canal de comunicación, 126 captura de una población, 1, 143, 375,379 cascada, 88, 89 circuito de despliegue, 588 LC,382 RC,126 RLC,292 combate, 76, 77 compartimientos, 29, 82, 88,407, 502 conducción de calor, 672 cuerda de guitarra, 620, 624, 661 cuerda vibrante, 614 cuerpo en caída amortiguamiento newtoniano, 64 paracaidista, 67 datación de potasio-argón, 56 de autocatalizador, 311, 313, 593 , 807 de competencia, 330 de cooperación, 337 estabilidad, 534 depredador-presa, 343 elementos de, 50 enfermedad SIR, 357 filtro de paso bajo, 127,390 intervalo de validez de, 52 movimiento vertical, 45,64,65,75 para el seguimiento de automóviles, 360, 384 modelo de control de separación, 391 paracaidista, 64 péndulo, 260, 326, 532, 612 péndulo doble, 465 persecución, 95 píldoras para el resfriado, 82, 390 plaga de zarigüeyas, 352 a 355 plomo en el cuerpo humano, 407,501 población, 1, 143, 334 captura, 3, 143,335, 348 interacción, 332 principio de exclusión
competitiva, 340 simulaciones en computadora, 280 a 340 profundidad óptima para una cava, 677 radiactividad, 42, 379 raqueta de tenis, 545, 558 resortes, 180 acoplados, 305, 473 envejecimiento, 180 ley de Hooke, 182 rígido, 180 suave, 180 respuesta de frecuencia, 126,238, 279 curvas de, 283 ruptura de una cuerda, 671 temperatura de un caballo, 40 temperatura en un cilindro, 695 , 758 temperatura en una bola, 764 temperatura en una varilla, 675 validación de, 52 modo normal, 664 frecuencias circulares, 476 oscilaciones, 476 vectores, 476 módulo, 796 movimiento armónico, 224, 270 z de, 270 resonancia, 271 simple, 224, 270 multiplicidad de raíces, 798 multiplicidad de un valor característico, 439 Newton, Isaac, 47 nilpotente, 485 nodo, 621 lineal, 467, 535 no lineal, 535 norma, 627 números complejos, 455 y 458, 795 Y 797 conjugado, 457, 795 forma polar, 796 fórmula de De Moivre, 796 fórmula de Euler, 796 funciones con valores complejos, derivada de, 216, 797 parte imaginaria, 215 parte real, 215
onda estacionaria, 619 a 621 operaciones elementales de renglón, 424 operador de calor, 682 operador diferencial D, véase operadores operador lineal, 209, 363 operadores acción de, 244 codominio de, 244 D,207 dominio de, 244 laplaciano, 623 lineal, 209 operador de transformada de Laplace, véase transformada de Laplace P(D), 208, 245 propiedad de linealidad, 229 rango de, 244 serie de Fourier, 637 simétricos, 657 operadores de frontera, 617 a 619 operadores polinomiales, 208 órbita, 70, 185, 193, 309 acotada, 575 péndulo simple, 262 órbita densa, 604 órbitas no acotadas, 575 separación, 319 orden de un método de un paso, 154 de un sistema, 41 , 42 de una EDO, 18 de una función , 528, 614 orden exponencial, 365 ortogonalidad, 629 con respecto a una densidad, 719 funciones de Bessel, 744 polinomios de Legendre, 715 relación, 627 oscilación amortiguamiento crítico, 271 forzada, 126,273,492 periódica libre, 270, 273 sobreamortiguada, 271 subamortiguada, 271 oscilación de modo normal, 476 oscilación de relajación, 567 oscilación periódica forzada, 126 y
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826 127,238,271,279,288,492,655 oscilador armónico, 200, 225 oscilador armónico simple, véase movimiento armónico ositos de peluche, 68, 71, 550 parámetro natural, 50 parámetros, 804 paseo caótico, 172 péndulo, 260 a 266 amortiguamiento viscoso, 267 doble, 465 efectos de cambio de masa, 326 energía de, 541 estabilidad, 532 impulsado,61O órbitas del, 262, 267 simple amortiguado, 262, 579 periodo fundamental, 223 periodo tres implica caos, 173 perturbación de orden superior, 530 peso, 803 plano complejo, 796 plano de estados, 193 plano xy de Liénard, 571 Poincaré, Jules Henri, 571 policiclo, 573 polinomio característico de una EDO lineal, 203, 208 de una matriz, 437 polinomio de índices, 723, 729 polinomios de Chebyshev, 719 polinomios de Laguerre, 734 polinomios de Legendre, 714 a 717 fórmula de recurrencia, 713, 715 tabla de propiedades para, 716 positiva definida, 552, 627, 628 pozo, 673 preguntas básicas para PVI, 108 primer teorema de Lyapunov, 552 principio de Arquímedes, 277 principio de extensión, 118, 138, 192,317,781 principio del máximo, 680 principios de construcción de modelos ley de acción de masas para una población, 334 ley de Coulomb, 291 , ley de decaimiento radiactivo, 43 ley de equilibrio, 29 ley de Euler-Fonrier para la conducción de calor, 673
índice analítico
ley de Faraday, 291 ley de Fick, 673 ley de Newton de la gravitación universal,74 ley de Newton para el enfriamiento, 40, 675 ley de Ohm, 290 ley del gas ideal, 266 ley química de acción de masas, 312 leyes de Kirchhoff, 292 leyes de Newton para el movimiento, 47, 259, 260 problema bien planteado, 139, 680, 690 problema de Dirichlet, 686 bien planteado, 690 clásico, 686 datos de frontera para, 686 desarrollo en armónicos circulares, 688 problema de Sturm-Liouville, 620, 657,764 problema de valor inicial, véase PVI problemas de Neumann, 768 producto escalar, 214, 627, 719 continuidad, 634 estándar, 627 pesado, 631, 656 propiedades de, 628 producto punto, 258 bilinealidad, 266 definitividad positiva, 266 simetría, 266 propiedad de cerradura, 208, 446 propiedad de linealidad, 208 propiedad del espacio característico, 437 propiedad generalizada del espacio característico, 442 proyección ortogonal, 631 prueba de convergencia uniforme de Cauchy,777 prueba de Routh, 497 prueba del coeficiente, 496 prueba-M de Weierstrass, 645 pulsaciones, 275 a 276 punto de equilibrio, 319, 518 centro (o vórtice), 467 espiral (o foco), 467 nodo estrella (o propio), 467 silla, 467
punto espiral lineal,535 no lineal, 535 punto ordinario, 701 punto singular, 701 irregular, 721 regular, 720 removible, 703 punto-órbita, 193 PVI, 3, 12, 53, 307 aproximación de soluciones, 149 método de Euler, 149, 167 método de Heun, 155 método de Runge-Kutta, 156 problemas de implementación, 161 bilaterales, 53 esquema de iteración de Picard, 110,783 hacia adelante, 53 hacia atrás, 53 para EDO de primer orden continuidad en los datos, 787 estimación de la sensibilidad, 783 preguntas básicas para, 108 propiedades de soluciones, 773 teorema de existencia y unicidad, 109, 138, 192,317 PVI de segundo orden, 191
subespacios en, 420 radio de convergencia, 792 raíces características de una EDO lineal,203 raíz, 798 reacción química, 311 rectángulo cerrado, 12 reducción de orden, 72, 251 región, 771 cerrada, 614 frontera de una, 614 regla de L'Hopital, 799 regla de la cadena, 800, 801 regla de Leibniz, 800 reindización de una serie, 793 relación de aspecto, 13 relación de Parseval, 638 repelente, 562 resistencia, 290 resonancia, 271
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827
índice analítico
en sistemas amortiguados, 285 frecuencia de, 285 pura, 273 resortes, 199 amortiguado, 579 energía de, 540 envejecimiento, 180,694,700, 708, 756, 761 ley de Hooke, 181 neutralmente estable, 520 rigido,180, 200,549 suave, 180,549 respuesta, 51 retrato de estados, 185 retratos, sistemas planos, 467 ]Rn,307 Runge, C. D. T., 156 salida, 51 sección de tiempo, 604 sensibilidad, 108, 131 a 141 , 192, 317,326 a cambios de datos estimación básica, 783 estimación de perturbación, 785 computacional, 605 estimación lineal, 135, 136 seguimiento de automóviles, 360 separación de variables, 661 separatriz, 263, 338 a 340, 541 serie de Frobenius, 729 serie de Maclaurin, 793 serie de potencias, 792 álgebra de, 792 cálculo de, 792 método de, 699, 706 serie de Taylor, 793 y 794 serie geométrica, 380, 794 series, 792 a 795 de Fourier de cosenos, 650 de Fourier de senos, 650 ortogonal, 635 semiintervalo, 651 trigonométrica de Fourier, 640 series alternantes, 794 series binomiales, 794 \ series de Fourier, 637, 641 decaimiento de coeficientes, 644 estimaciones de decaimiento, 646 exponencial, 652-653 extensiones pares o impares, 650 trigonométricas, 641
silla, 767 lineal, 535 no lineal, 535 simetría, 627 sistema aproximadamente lineal, 530 sistema de EDO, 317 autónomo, véase sistemas autónomos de EDO circuito de desplazamiento, 588 coeficientes, 445 curva componente, 309 conversión de una ecuación simple a un sistema, 303 curva solución, 309 espacio de estados (o fase), 309 funciones de tasa de cambio, 306 lineal, 308, 421 órbita (o trayectoria), 309 planos, 69 retrato, 309 técnica de transformada de Laplace,379 teorema fundamental, 317 funciones de entrada, 445 primer orden, 42, 69, 306 sistema de Lorenz, 596 sistema de Rossler, 608 teorema de integrales y órbitas, 543 término no homogéneo, 445 Van der PoI, 564 vector de entrada, 445 sistema de Lorenz, 596 atractor de Lorenz, 599 atractor extraño, 604 caos, 603 ciclos de límite, 601 compresión de Lorenz, 598 mapa de órbita de, 598 propiedad de ensombrecimiento, 605 sistema de Lotka-Volterra, 343 sistema de Rossler, 608 sistema diferencial lineal, 42, 421 de segundo orden, 308, 473 sistema dinámico, 51 sistema harniltoniano, 549, sistema lineal, 407 a 516 entrada, 421 fuerza impulsora, 421 homogéneo, 308, 421
matriz del sistema, 421 no forzado, 421 vector de estado, 421 sistemas autónomos planos, 69, 320 estabilidad de, 518 propiedades de, 197 separación de órbitas, 319 solución de equilibrio, 319 coordenadas polares, 327 sistemas conservativos, 539, 542 Y atrayentes, 457, sistemas de coordenadas cilíndricas, 802 esféricas, 802 polares, 261 rectangulares, 802 sistemas de primer orden, 69, 306 sistemas diferenciales, 41 sobreamortiguamiento, 271 sobreflujo, 164 solución clásica, 661, 665, 686 solución de Euler, 150 solución extendida al máximo, 119, 192, 317 solución formal, 664 solución homogénea, 60 soluciones acotadas, 118 definición de, 3, 11, 70, 192, 307 equilibrio, 5, 14, 121 , 182, 183, 319,518 estado estacionario, 282 generales, 23, 58, 60, 206, 230, 247,446 libres, 269 transitorias, 271, 280 lineales de primer orden, 30 n-ésimo orden, 399 oscilación periódica forzada, véase oscilación forzada particulares, 230, 250, 446 primer orden tabla de técnicas, 104 a 106 segundo ordén, 205, 218, 219, 230,250 sistema lineal, 445 sistemas no homogéneos, 487, 514 Spitznagel, Edward, 82 Sturm, J. C. F. Liouville, J., 657 suavidad por partes, 643 subamortiguamiento, 271 subespacio trivial, 419
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828 subflujo, 164 sucesión de Sarkovskii, 173 superposición principio de, 208, 446, 623 suplantación, 225 tablas estabilidad del sistema plano, 538 fracciones parciales, 377 transformada de Laplace, 405 tasa constante, 408 técnica de solución en series, 695 cerca de un punto ordinario, 703 cerca de un punto singular, 728, 749 fórmula de recurrencia, 697 método de Frobenius, 732 extendido, 749 método de serie de potencias, 699 polinomio de índices, 729 serie de Frobenius, 729 teorema de convergencia, 707 tensión, 262, 614 teorema de Abel, 246 teorema de aproximación media, 632 teorema de bifurcación de Hopf, 586 teorema de convergencia, 707 teorema de desvanecimiento de datos, 244 teorema de existencia, 774 teorema de existencia y unicidad, 25 , 108, 138, 192,243,3 17 teorema de Frobenius, 732, 750 teorema de Fubini, 801 teorema de Oreen, 801 teorema de identidad, 792 teorema de la convolución, 393 teorema de la divergencia, 801 teorema de nulidad del rango, 434 teorema de solución general, para el sistema x'= Ax, 482 para P(D)[y] =.f(t), 250 segundo orden con valores complejos, 219 con valores reales, 219 teorema de Taylor, 793, 802
I 1;
Oo.
índice analítico
teorema de unicidad, 463, 771 teorema del corrimiento, 372 teorema del valor medio, 799 teorema fundamental, para EDO de primer orden, 138 para EDO de segundo orden, 192 para EDO lineales, 242 para sistemas, 3 l 7 para sistemas lineales, 510 término de forzamiento, (Driving term), 42,51,228,229, 445 término independiente, 242 tiempo de escape, finito, 120, 128, 129 transformada de Laplace deJ(n) ,368
del,362 de funciones de escalón, 374 de onda cuadrada, 382, 390 de pulso cuadrado, 366 de tn f(t), 369 de una función periódica, 380 de una función rampa, 374 de una integral, 371 • definición de, 361 inversa de, 364 linealidad de, 364 mediante resolución de PVI, 364 onda triangular, 390 para sistemas, 490 teorema de convolución, 393 teorema del corrimiento, 372 uniformidad y decrecimiento, 367 trascendente de Pinlevé, 200 trayectoria, 193 traza, 444, 497 unidades, 260, 803 Valentine, 226, 237 valor absoluto de un número complejo, 796 Van der PoI, Balthazar, 562 variable de estado, 51, 307 variables adimensionales, 100,313, 804
variables naturales, 50 variación de parámetros para EDO de segundo orden, 252 para sistemas no homogéneos 486, 514 variedad inestable, 599 vector de estado, 445 vectores columna, 415 combinación lineal de, 419 componentes, 258 coordenadas, 259 geométricos, 258 y 259 derivada de, 258 ley del paralelogramo, 258 ortogonalidad de, 258 producto escalar, 258 productor punto de, 258 longitud, 419 normalización de, 627 perpendicular, 258 renglón, 415 unitarios, 627 velocidad, 45, 180, 259, 545 velocidad angular, 545 velocidad de escape, 76 velocidad límite, 49, 65 vida media, 44, 805 Volterra, Vito, 343 Wake, Oraeme, 353 Wronski, Hoene, 246 wronskiano, 246, 511 técnica de reducción de orden, 251 Yorke, James, 175
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