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ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES ´ ECUACION DE BERNOU BERNOULLI LLI E0100 E0100

Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes dy = 2 xy (y 3 − 1) dx dy y x (2) 2 = − 2 ; y (1) = 1 dx x y

(1) 3(1 +  x2 )

3 dy 2 (3)  +  y = 1; y (0) = 4 dx (4) e x (y − y ) =  y 2 1 2 y

−



(5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy  = 0

canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003. 1

´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

2

Respuestas Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes (1) 3(1 +  x2 )

dy = 2 xy (y 3 − 1) dx

3(1 +  x2 )y = 2xy 4 − 2xy 

3(1 +  x2 )y + 2xy  = 2xy 4 

Dividiendo por 3(1 + x2 )

2x 2x y y 4 , que es de Bernoulli.  = 2 2 3(1 +  x ) 3(1 +  x )



y +

Multiplicando por y

(A)

y

4

−



y +

4

−

se obtiene

2x y 3(1 +  x2 )

3

−

=

2x 3(1 +  x2 )

Se efect´ ua un cambio de variable

z  =  y

3

−

dz  = dx

⇒

3y

−

4

−

dy dx

⇒ −

1 z  =  y 3 

4

−

y



Sustituyendo en (A)

−

1 2x 2x z  + z    = 3 3(1 +  x2 ) 3(1 +  x2 ) 

Multiplicando por (−3)



z 

−

2x z  = 1 + x2

 

2x ,  que es lineal 1 +  x2 2x p(x) dx  = − dx  = − ln(1 + x2 ) = ln(1 +  x2 ) 2 1 + x −

 

El factor integrante es

eln(1+x

2

)−1

= (1 +  x2 )

1

−

1

−

=

1 1 + x2

´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

Multiplicando la lineal por el factor integrante



1 z  1 + x2



 

2x 2x  = z  1 +  x2 (1 + x2 )2

−





1 2x − z  ,   integrando = 1 +  x2 (1 + x2 )2 1 z  = − (1 +  x2 ) 2 2x dx 2 1 + x 1 (1 + x2 ) 1 − z    = + c, c  constante −1 1 + x2 1 z  = (1 +  x2 ) + c  = 1 +  c(1 + x2 ) 2 1 +  x

 

−

−



pero z  =  y

3

−

=

1



, entonces

y3

1 y3

= 1 +  c(1 + x2 ),  de donde

1 ,  por lo tanto 1 + c(1 + x2 ) 1 y  = 1 +  c(1 + x2 )

y3 =

  3

(2) 2

dy y = dx x

−

x ; y (1) = 1 y2

2y



−

1 x

y  =

xy

−

2

−

Dividiendo por 2

y



−

x 1 y  = y 2 , que es de Bernoulli. 2x 2 −

Multiplicando por y 2 se obtiene

(B)

1 3 x y =− 2x 2 Se efect´ ua un cambio de variable y2y



−

w  =  y 3

⇒

dw dy = 3y 2 dx dx

⇒

1 w =  y 2y 3 



3

´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

4

Sustituyendo en (B) 1 w 3



−

1 w  = 2x

−

3 w  = 2x

−

x

2

Multiplicando por 3

w



 

3 x, que es lineal 2 3 3 3 dx p(x) dx  = −  dx  = − = −  ln x  = ln x x 2x 2 2 −

 

 

−

El factor integrante es 3 − ln x 2

e

=  x

−

3 2

Multiplicando la lineal por el factor integrante

x

−

3 2





3 3 w − w  = − x x 2x 2 3 3 1 [x 2 w] = − x 2 2 

−

3 2

−

−



Integrando 3 3 x− 2 w  = −

2

 

−

x

3 1 2 w  =  x [−3x 2

1 1 3 2  dx  = − (2)x 2

2

+ c] = −3x

2

+ c, c  constante

3 + cx 2

Pero w  =  y 3

dy  +  y = 1; y (0) = 4 dx Multiplicando por y

(3) y

1

3

2

2

−

1

2



y + y  =  y

Multiplicando por y

1 2

−

1 2

,  que es de Bernoulli

3 2

´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

1

(C)

5

3



y y + y = 1 2

2

Efectuando un cambio de variable dz  3 dy 2 = y = z  =  y y 2 dx 3 dx

3

si z  =  y

1

⇒

2

1



2

2



Sustituyendo en (C ) 2 z  + z  = 1 3 

Multiplicando por

3 2 3 ,  que es lineal 2 3 3 p(x) dx  =  dx  = x 2 2 

 3 2

z  + z  =

 

 

3

El factor integrante es e x Multiplicando la lineal por e 2

3 e2x

3 2

x

 3 3 3 z  + z   = e 2 x 2 2 3 [e x z ] = e x 2







3

3



2

2

Integrando

e z  =  e

−

3 2

x

[e

3 2

x

+ c] = 1 +  ce

3 2

−

x

z  =

3

x

2

 

e

3 2

x

3  dx  =  e 2

3 2

x

+ c, c  constante

3

Pero z  =  y , entonces 2

3

y = 1 +  ce 2

−

3 2

x

Considerando y (0) = 4

3

4 = 1 +  c,  de donde c = 7 2

´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

6

Por lo tanto 3

−

y = 1 + 7e 2

3 2

x

De donde

−

y  = (1 + 7e

3 2

x

)

2 3

(4) e x (y − y ) =  y 2 Multiplicando por ex −



y

Multiplicando por y (D)

y

2

−



−

y  =  e x y 2 ,  que es de Bernoulli

2

−



y

−

y

1

−

=  e x

w  =  y

1

−

⇒

dw = −y dx

2 dy

−

dx

Sustituyendo en (D) se obtiene

w

−



w  =  e x

−

O sea 

w + w  =

ex , que es lineal

−

El factor integrante es e

dx

=  e x

Multiplicando la lineal por ex ex [w + w ] = 

ex ex

−

[exw] = −e2x 

Integrando

x

e w  =

−

 

e2x dx  =

−

1 2x e + c1 2



w =  y

⇒ −

2

−

y



´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

7

De donde

w  =  e

Pero w  =  y

1 1 [−e2x + 2c1 ] = [−ex + ce x] 2 2

x

−

−

1 = , entonces

1

−

y

1

1 = [ce 2 y

x

−

−

ex ]

Por lo tanto

y  =

2 x −

ce

−

ex

(5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy  = 0 y2

dx + xy − x3 = 0 dy y 2 x + yx  =  x 3 

Dividiendo por y 2



x + 3

Multiplicando por x

−

(E)

3

−

x



x +

1 y

x  =

1 y2

se obtiene

1 y

2

−

x

=

1 y2

Si w  =  x

1 1 1 w + w  = 2 2 y y 

2

−

Sustituyendo en (E)

−

x3 ,  de Bernoulli para x

⇒

dw = −2x dy

3 dx

−

dy

⇒ −

1 w =  x 3 x 2 

−



´ ECUACION DE BERNOULLI E0100

8

Multiplicando por (−2)

w



−

2

w  =

y

−

2 y2

, que es lineal

El factor integrante es 2

−

e

y

dy

=  e

Multiplicando la lineal por y

y

−2



w



−

2 y

2

−



w  =

=  e lny =  y

2

−

se tiene que

−

2 y2

[y 2 w] = −2y −

2

2 ln y

−



y

2

−

4

−

Integrando

y

2

−

w  =

2

−

 

y

4

−

dy  =

2 y 3

3

−

+ c1

De donde

w  =  y

Pero w  =  x

2

−

=

1 x2

2

2

3y 3

, entonces

2 +  cy 3 = 3y x2 1

De donde

x2 =

3y 2 +  cy 3

2 +  cy 3 c1 y 3  = 3y 3 3y

 2 + 3 

+ c1  =  y

2