eBook - 6 Passos Para Traçar o Diagrama de Dec e Dmf

6 PASSOS

Para traçar o DEC e o DMF de vigas isostáticas

Paulo Castelo Branco

Com Mapa Mental

Sobre este e-book Este e-book ajudará você a compreender como funcionam os esforços internos em uma viga isostática e ainda como traçar facilmente os diagramas de esforço cortante e momento fletor atuantes numa peça estrutural. São seis passos bastante simples que permitirão que você alcance o resultado pretendido com muito mais naturalidade. É importante lembrar que grande parte do conteúdo das disciplinas relacionadas à análise estrutural do curso de engenharia, principalmente engenharia civil, vai requerer o entendimento desses conceitos, que em sua essência como já citei, são simples. Portanto, é fundamental que você os tenha bastante sedimentado. Assim, o nosso objetivo objetivo é fazer você perceber que o bicho não é tão feio feio quanto parece. Prestando atenção aos detalhes e às dicas di cas para confirmação de resultados, não tem como errar. Uma vez que você internalize o entendimento, e isso só se dá pela prática, o traçado dos diagramas de momento fletor e esforço cortante (DMF e DEC, para os íntimos) vai ser tranquilo, tranquilo. Além das boas notas que você vai conquistar, o mais importante é que o aprendizado fica, o que vai facilitar sua vida acadêmica e profissional. Você deve e vai atingir o seu o objetivo de seguir adiante e se tornar um excelente profissional.

Autor Paulo Sérgio Castelo Branco Carvalho Neves

Direitos Autorais© 2015 Paulo Castelo Branco

Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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Os 6 p asso s p ara traçar os diag ram as d e esf o rço s in tern o s d e u m a vi g a is o st átic a

Este e-book ajudará você a compreender como funcionam os esforços internos em uma viga isostática e ainda como traçar facilmente os diagramas de esforço cortante e momento fletor atuantes numa peça estrutural. São seis passos bastante simples que permitirão que você alcance o resultado pretendido com muito mais naturalidade. É importante lembrar que grande parte do conteúdo das disciplinas relacionadas à análise estrutural do curso de engenharia, principalmente engenharia civil, vai requerer o entendimento desses conceitos, que em sua essência como já citei, são simples. Portanto, é fundamental que você os tenha bastante sedimentados. Assim, o nosso objetivo é fazer você perceber que o bicho não é tão feio quanto parece. Prestando atenção aos detalhes e às dicas para confirmação de resultados, não tem como errar. Uma vez que você internalize o entendimento, e isso só se dá pela prática, o traçado dos diagramas de momento fletor e esforço cortante (DMF e DEC, para os íntimos) vai ser tranquilo, tranquilo.

Além das boas notas que você vai

conquistar, o mais importante é que o aprendizado fica, o que Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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vai facilitar sua vida acadêmica e profissional. Você deve e vai atingir o seu o objetivo de seguir adiante e se tornar um excelente profissional.

In tro d u ção Acredito que você esteja passando por alguns problemas e tenha algumas dúvidas na hora de traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor: a) Na hora de calcular as reações de apoio, muitas vezes você tem dúvidas em como colocar as setinhas (vetoresforça) que representam as reações, respeitando cada um dos tipos de vínculos (apoios); b) Depois que você calcula as reações de apoio, uma delas apresenta sinal negativo. Você então fica se perguntando se de fato fez os procedimentos de maneira correta; c) Calculadas as reações de apoio você pode não saber como fazer a confirmação. Erradas as reações, todos os demais esforços sofrerão alterações; d) Uma vez que você calculou corretamente as reações de apoio, existem detalhes no calculo dos esforços nas seções principais que também resultam comumente em erros. É o caso da presença de cargas concentradas que Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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altera o cortante pela esquerda e direita e ainda de cargas momento; e) E o traçado do momento fletor? Existe uma correlação com o cortante? Porque dizer que traçamos o diagrama do momento fletor observando as fibras que estão sendo tracionadas? Será possível conferir as ordenadas do diagrama do momento fletor? O momento é o mesmo fazendo pela esquerda ou direita? Deixem-me contar uma história pra vocês. Eu também demorei, quando estudava engenharia, a entender alguns desses conceitos na sua essência. Passei pela disciplina Mecânica Geral sem maiores problemas. Quando comecei a cursar Isostática, a coisa apertou. Meu professor era recém-chegado da PUC-RJ e havia sido aluno do renomado José Carlos Sussekind. Isso mesmo, o autor da série Curso de Análise Estrutural. O professor explicava bem, e cobrava melhor ainda. Como alguns conceitos não estavam bem sedimentados na minha mente sofri e tirei uma nota ruim na primeira avaliação, apesar de haver me dedicado. Olha, na época as coisas eram mais difíceis. Eu falo de 1986, eu tinha 18 anos, e não havia muitas fontes de pesquisa. Foi aí que um grande amigo meu, também professor da área de estruturas, me sugeriu que eu estudasse por um livrinho cheio de exercícios resolvidos. Debrucei-me quase todos os dias e praticamente resolvi todos os exercícios daquele livrinho que Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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estava lá, escondido na biblioteca da universidade. O esforço valeu a pena. A mente abriu, e o que era difícil, ficou realmente bem mais fácil. Hoje, sei que o aprendizado se dá basicamente por duas formas: por repetição ou quando há alguma emoção associada. No nosso caso, a emoção presente era o medo da reprovação. Mas pra vencer o medo, a melhor estratégia é a ação. Assim foi e sempre será. Aja e o medo se dissipará. No meu caso funcionou. Experimente agir. O medo se transformou em outra emoção, a alegria em ter superado meu problema. O que faremos a partir de agora é mostrar um passo a passo para resolver qualquer viga isostática. Acompanha este e-book um mapa mental para que você memorize com mais facilidade os passos estudados.


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MÃ OS À OB RA : A n ális e d e u m a v ig a is o s tátic a co m carregam ento m isto e balanço Seja dada a viga isostática abaixo. Traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor.

1) Passo 1 – Fazer o d iagram a de corp o liv re (DCL)

Observe que calculei a carga equivalente devido à distribuição de carga, e já a especifiquei no DCL (em verde), ou seja, a carga equivalente é de 5 kN/m.4m, sendo portanto de 20 kN, atuando no centroide da distribuição (exatamente na metade). Também foram arbitrados os sentidos das reações de apoio tanto no apoio A (apoio de 2º gênero que restringe dois movimentos), quanto no apoio B (apoio de 1º gênero, que


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restringe apenas um movimento, que no caso é o da vertical). 2) Passo 2 – C álc u lo d as re ações d e ap o io u ti li zan d o as 3 eq u ações d e eq u il íb ri o .

a) ∑  = 0  = 0(1ª equação) Como não tenho nenhuma outra força externa na horizontal para equilibrar com reação a Ha, deduz-se que a mesma é igual a zero. b) ∑  = 0  +  − 20 − 10 − 8 = 0 Observe que arbitrei as duas reações de apoio (Va e Vb) no sentido positivo. As demais forças estão no sentido negativo (de cima pra baixo). Assim temos que:  +  = 38 (2ª equação) c) ∑  = 0 Aqui calcularemos os momentos produzidos por cada uma das forças em relação ao apoio A. Mas, poderíamos usar também o apoio B como referência, por que uma ou outra equação são interdependentes, o que não dispensa o uso da equação ∑  = 0 . Arbitraremos como momento positivo o sentido antihorário e negativo aquele que faz a estrutura girar em relação ao apoio A, no sentido horário (Regra da Mão Direita). Para a viga não tenha possibilidade de girar (sofrer rotação) a soma de todos os momentos atuantes sobre ela tem que ser nula. Assim, temos:


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. 0 − 20.2 − 10.4 + . 6 − 8.7 = 0 (3ª equação) −40 − 40 + 6 − 56 = 0  =

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= 22,67 

d) Substituindo o valor de Vb na 2ª equação, chegamos até o valor de Va.  +  = 38  + 22,67 = 38  = 38 − 22,67 = 15,33 

OBS. Importante 1: Caso você deseje confirmar tais valores, basta fazer a soma dos momentos em relação ao apoio B. Dessa forma, você chegará até o valor de Va. OBS. Importante 2: Caso você encontre um dos valores negativos, trata-se de um valor algébrico e você deve substituí-lo dessa forma em outra equação. Lembre-se que as equações foram montadas respeitando o sentido das reações desconhecidas que arbitramos. Se o valor de uma reação resultou negativo, significa apenas que o sentido da mesma é o oposto. 3) Passo 3 – d efin ir as s eções pr in cip ais

No caso da viga em análise definiremos as seções principais da seguinte forma: a) Inicio e término de uma carga distribuída; b) Onde houver a ocorrência de uma carga concentrada ou reação de apoio, afinal estas também são cargas concentradas. Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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c) Se houvesse uma carga momento deveríamos definir neste ponto também uma seção para análise do momento fletor, visto que o que ocorre com a carga concentrada e seus efeitos no cortante, ocorre também em relação ao gráfico de momento fletor. No caso do exemplo analisado não há a presença de carga momento localizada. Assim temos, quatro seções principais a analisar:


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4) Passo 4 – P o s i c i o n a r a v i g a c o m D C L (DIAGRA MA DE CORPO LIVRE) e os eixo s s ob re o s q u ais s erão traçad o s o s d iag ram as esf o rço co rtante e mo m ento fletor.


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5) Passo 5 – Calcu lar e Marcar o s es fo rços de co rtante e fletor (orden adas) 5.1) Ord enadas d e cor tante

Obs: Se nós isolarmos uma seção de uma viga e a resultante das forças anteriores a essa seção for positiva, então o cortante será positivo.

Acima temos o efeito do cortante. Quando temos duas seções infinitamente próximas, uma tende a deslizar em relação à outra. Neste caso, a resultante antes da seção é positiva, portanto consideraremos por convenção o cortante sendo positivo. Lembrando que esforço cortante (força interna) é reativo, resistivo à resultante (e será para baixo, para equilibrar a seção). Observe que por esta configuração a parte da esquerda tende a “subir” e a Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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parte da direita, a “descer”. Alguns autores analisam

informando que se a seção tende a girar por conta do binário “resultante e cortante” em sentido horário, então o cortante é positivo. Caso contrário negativo. O importante ao analisar cada seção é lembrar que se a peça está em equilíbrio, então obrigatoriamente cada seção, cada pedacinho da viga também deve estar. Vamos ao cálculo do cortante em cada seção, lembrando que caso do cortante deve-se aferir o cortante na seção imediatamente anterior à carga concentrada e na seção imediatamente posterior, pois ela - a carga concentrada - produz uma descontinuidade no diagrama de cortante. 5.1.1) Cálc u lo d o s c o rt an tes esqu erda para a direita da vig a)

n as

s eções

Seção S1

Q s1(dir) = Resultante = 15,33

Seção S2 (i m ed iatam en te àes q . da c ar g a d e 10 k N)

Q s2(esq) = Resultante = 15,33 − 20 = −4,67N


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(da

Seção S2 (i m ed iat am en te àd ir eit a d a c ar g a d e 10 k N)

Q s2(dir) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 = −14,67 (Observe que a diferença entre o valor imediatamente à esquerda e o valor imediatamente à direita é de 10 kN, ou seja, quando tenho uma carga concentrada na viga, a descontinuidade no cortante é igual ao valor da carga). No caso em estudo, tínhamos à esquerda um valor de 4,67 kN e após a carga de 10 kN, o cortante imediatamente à direita passou a ser de 14,67kN. Seção S3 (im ed iat am en te àes q . d a r eação d e a p o io Vb )

Qs3(esq) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 = −14,67 ( C o n c lu s ão : no trecho descarregado, o cortante não se altera, obedecendo a uma função constante.) Seção S4

Qs3(dir) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 + 22,67 = 8 (observe novamente que devido à carga concentrada no apoio B cuja reação de apoio é igual a 22,67 kN, o cortante à direita da seção S3 se altera passando para o valor de 8kN). Seção S4

Qs4(esq) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 + 22,67 = 8 (Olha aí de novo, o trecho descarregado. Como não há outros carregamentos o valor do cortante permanece o mesmo e coincide com o último carregamento, que é uma carga concentrada de valor igual a 8 kN. Quando isso acontece significa que não cometemos erros ao calcular os esforços cortantes na viga). Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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Mais uma observaçãozinha. Também podemos ATENÇÃ O: analisar a viga da direita para a esquerda. Ou ainda parte pela esquerda, parte pela direita, se encontrando em uma determinada seção de referência. Caso o façamos, devemos inverter os sinais das forças para calcularmos as resultantes. Portanto, analisando pela direita, consideraremos como positivo o vetor que se apresenta neste sentido e negativo o vetor com o sentido inverso . Dessa forma, preservaremos o sentido da deformação (corte), sem prejudicarmos a análise.

5.2) Ord enadas de Mom ento Fletor

No caso do cálculo dos momentos fletores, o faremos considerando apenas as seções principais. Se na viga, houvesse uma carga momento aplicada, então também deveríamos analisar as seções infinitamente próximas à esquerda e à direita. Para o cálculo do momento fletor consideraremos como positivo aquele momento que traciona as fibras inferiores e negativo os que tracionam as fibras superiores. Coincidentemente, se fizermos a análise da viga da esquerda para a direita as forças que tracionam as fibras inferiores, produzem um momento resultante no sentido horário. Ressalta-se aqui que o momento fletor é o esforço interno que surge como reação equilibrando o momento resultante na seção. O verbo fletir significa curvar, portanto o momento fletor é um momento que produz deformação curvando a seção. Observe o esquema a seguir:


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No caso seguinte, a tração se dá nas fibras superiores. Perceba a diferença.


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5.2.1) Cálc u lo d o s m o m ent o s fleto res n as s eções (da esq uerd a para a dir eita da vig a)

Seção S1

Mf S1=  × 0 = 0 Seção S2

Mf S2 = 15,33 × 4 − 20 × 2 = 21,32 kN.m (tração nas fibras inferiores) Seção S3

Mf S3 = 15,33 × 6 − 20 × 4 − 10 × 2 = −8 kN.m (tração nas fibras superiores) Observe aqui que se analisarmos a viga pela direita e multiplicarmos a carga de 8 kN pela distância de 1m até a seção S3, o momento encontrado é de 8 kN.m, tracionando as fibras superiores, o que confirma nosso cálculo. Seção S4

Mf S4 = 15,33 × 7 − 20 × 5 − 10 × 3 + 22,67 × 1 = 0 Nesta seção se começarmos a análise pela direita o momento produzido em S4 pela força de 8 kN é nulo, confirmando portanto nosso resultado. Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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6) Passo 6 – Traçado d o s d iag ram as d e esfo rço co rtante e m om ento fletor (Plotagem d os diagramas)


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6.1 – A n ális e d os di agram as

a) Observe que o trecho entre S1 e S2 é carregado por um carregamento distribuído, logo o cortante é regido por um gráfico linear, ou seja, obedece a uma equação do primeiro grau. Já o gráfico do momento fletor para o mesmo intervalo equivale a uma equação do 2º grau, por isso forma uma parábola. Veja ainda que no ponto onde o cortante é nulo, o momento fletor é máximo. Essa abscissa pode ser calculada por semelhança de triângulos no gráfico do cortante. Também é importante citar que no trecho distribuído é recomendável calcular pelo menos 3 ordenadas de momento para o traçado da parábola. Quando observamos uma seção de cortante nulo, deveremos verificar o comportamento do momento fletor naquele ponto. b) A área do cortante entre os trechos S1 e S2 é igual ao momento fletor em S2. A S1-S2 = ( , 

× , ) ÷  − (,  × , ) = ,  . 

O valor é o correspondente ao valor do momento em S2, pois a área do diagrama de cortante é igual a diferença entre os momentos nas seções S1 e S2, respectivamente. Como o momento na seção S1= 0 e o Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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momento na seção S2 = 21,33 kN.m , essa diferença M s 3 – M S1 = 21,33 kN.m , valor este que é igual, como já

citado, à área do cortante entre as duas seções. Tal propriedade é válida para os demais trechos da viga. Área do cortante entre os trechos S1 e S3: A

S2-S3

= −,  = −, 

M S3 – M S 2 = − − ,  = −,  (err o d ev id o à ap ro x im ações )

O mesmo acontece para o trecho S3-S4 . . c) Observe ainda, que o valor da descontinuidade do cortante em S2 e S3 é exatamente o valor absoluto da carga concentrada nestes pontos, e que sempre onde há a presença de carga concentrada, temos uma angulosidade, uma mudança de inclinação, um “bico”

no diagrama de momento fletor. d) Podemos ainda calcular todos os valores de cortante e momento fletor, deduzindo a equação do momento fletor e o esforço cortante para cada trecho da viga analisada.


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Bem, chegamos ao final deste passo a passo. A seguir apresentamos o mapa mental mencionado, para que você sempre que sentir necessidade, ou antes, de resolver exercícios, possa revisar rapidamente o conteúdo. Espero que este singelo trabalho seja útil nos seus estudos. Um grande abraço e muito sucesso pra você!


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