ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS CIENCIAS QU´ IMICAS Y F´ ISICAS
Francisco Balibrea Gallego V´ıctor Jim´ enez L´ opez opez
Universidad de Murcia, 2000
´Indice general
Introducci´ on on
V
I.
1
Ecuaciones Diferenciales: teor´ıa cuantitativa
A.
Ob jetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
B.
Desarrollo de Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.1.
Noci ocion onees ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.2. .2.
Moti Motiv vaci´ aci´ on: on: ecuaci ecu acione oness de la Cin´etica eti ca Qu´ımica ımic a y la Qu´ Qu´ımica ımic a Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
I.3. .3.
Ecua Ecuaci cion ones es en vari ariab ablles sepa separa rada das. s. Ap Apllicac icaciion ones es . . . . . . .
15
I.4. .4.
Ecua Ecuaci cion ones es line lineal ales es de pri primer mer orde orden. n. Ap Apllicac icaciion ones es . . . . . .
21
I.5. I.5.
Ecuaci Ecuaciones ones lineal lineales es de segundo segundo orden orden y sist sistema emass de de ecuac ecuacion iones es line lineal ales es:: el caso caso con con coefi coefici cien entes tes const constan antes tes.. Ap Apli licac cacio ione ness . .
23
Ecuaci Ecuaciones ones lineal lineales es de de segun segundo do orden orden con coeficien coeficientes tes variaariables. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
C.
Acti Activi vida dades des de Ap Apli lica caci ci´o´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
D.
Ejercic Ejercicios ios de Evalu Evaluaci aci´ o´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
E.
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
I.6. I.6.
I I.
Ecuaciones Diferenciales: teor´ıa cualitativa
61
A.
Ob jetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
B.
Desarrollo de Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
II.1 II.1..
Moti Motiv vaci´ aci´ on: estados de equilibrio para las reacciones compleon: jas reversibles y el modelo Brusselator . . . . . . . . . . . .
I
62
´ INDICE GENERAL
II
II.2.
Puntos Puntos cr´ cr´ıticos, ıticos, orbitas o´rbitas regulares regulares y orbitas o´rbitas peri´ odicas. odicas. Diagramas de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
II.3 II.3..
El caso caso line lineal al:: Atrac tracto tore res, s, repu repuls lsor ores es y pu pun ntos tos de sill sillaa . . . .
67
II.4. II.4.
El caso caso no linea lineal: l: isocli isoclinas nas,, compor comporta tami mien ento to local local cerca cerca de puntos cr´ cr´ıticos, ıticos , teorema teore ma de Poincar´e-Bendixson e-Bend ixson e integrales integra les primeras. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
C.
Activi Actividad dades es de Aplica Aplicaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
D.
Ejercic Ejercicios ios de Evalu Evaluaci aci´ o´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
E.
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 0
II I.
Ecuaciones en Derivadas Parciales
101
A.
Ob jetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 1
B.
Desarrollo de Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 02
III.1. III.1. Model Modelos os matem matem´ a´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
III.2. III.2. Nocio Nociones nes b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
III.3. III.3. Leyes Leyes de Con Conser serv vaci´ acio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
III.4 III.4.. Fen´ enomenos o´menos de Difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
III.5 III.5.. Trans ranspor porte te con contami tamina nan nte en los los acu acu´ıfer ıferos os . . . . . . . . . . .
114 114
III III.6. Vibraciones de una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
III.7 III.7.. Mec´ Mec´ anica anica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
III.8 III.8.. Fluj Flujoo de calo calorr en tres tres dime dimens nsio ione ness espa espaci cial ales es . . . . . . . . .
120 120
III.9. III.9. La ecuac ecuaci´ i´ on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
III.10. Ac´ustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 26
III.11. Clasificaci´ Clasificaci´ on de las EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 29
C.
Activi Actividad dades es de Aplica Aplicaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 1
D.
Ejercic Ejercicios ios de Evalu Evaluaci aci´ o´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 37
E.
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 9
IV.
Series de Fourier y algunos problemas mixtos
141
A.
Ob jetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 1
B.
Desarrollo de Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 42
IV.1. IV.1. Introdu Introducci´ cci´ on a las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . .
142
IV.2 IV.2.. Resol Resoluci uci´on ´on de la ecuaci´ on on del calor ca lor por p or el m´etodo etodo de separaci´on de las variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS C. QU´ IMICAS Y F´ ISICAS
´ INDICE GENERAL
IV.3 IV.3..
III
La ecuac ecuaci´ i´ on de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . .
1 53
C.
Acti Activi vida dades des de Ap Apli lica caci ci´o´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
D.
Ejercic Ejercicios ios de Evalu Evaluaci aci´ o´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
E.
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS C. QU´ IMICAS Y F´ ISICAS
IV
´ INDICE GENERAL
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS C. QU´ IMICAS Y F´ ISICAS
Introducci´ on on
Un problema recurrente que se plantea, tanto a profesores como alumnos, cuando han de preparar una asignatura de Ecuaciones Diferenciales para una titulaci´ on experimenta exp erimentall (en especial esp ecial Qu´ Qu´ımicas o Ingenier Ingeni er´´ıa Qu´ Qu´ımica), es la absoluta absolu ta carencia caren cia de adecuados textos de consulta. Esta afirmaci´ afirmacion o´n puede parecer un tanto exagerada e incluso gratuita, pues si de algo est´a bien provista la literatura matem´ atica es de tratados dedicados exclusiatica vamente a dicha materia. M´ as a s a´ un, un, entre ´estos estos hay muchos que, a sabiendas de las dificultades que las Ecuaciones Diferenciales (como cualquier otra disciplina de las Matem´aticas) aticas) suscitan entre los no especialistas, est´ an redactados con un lenguaje an claro y accesible, se restringen a problemas razonablemente asequibles, y huyen de r´ıgidos formalismos (que, en el presente contexto, carecen desde luego de sentido). Estamos convencidos, pues nuestra experiencia exp eriencia as´ as´ı lo avala, avala, de que si el docente do cente orienta orienta el curso a trav´ trav´es es de uno de tales textos entonces entonces hay buenas posibilidades posibilidades de que, al final, una parte importante de sus alumnos puedan presumir de haber aprendido Ecuaciones Diferenciales. El problema estriba en lo siguiente: ¿les servir´ an de algo? En efecto, lo que podr´ podr´ıamos denominar “el cuerpo b´ asico de doctrina para las ecuaciones diferenciales”se ha ido decantando a lo largo de los ultimos u´ltimos cuatro siglos, conforme aparec´ aparec´ıan y se iban resolviendo los problemas que en cada cad a momento hist´orico orico suscitaban el inter´ inter´es es de los expertos. Como estos problemas problemas eran y son de ´ındole muy diversa (unos de inspiraci´ on on f´ısica, ısic a, otros otr os proveni p roveniente entess de la Astrono Astr onom m´ıa, algunos planteados por fen´ omenos omeno s de la Qu´ Qu´ımica o la Ecolog´ıa...), ıa...), nos encontramos encontr amos con un riqu´ riqu´ısimo ısimo acervo acervo de conocimientos conocimientos y, entre ellos, los interesan interesantes tes para un qu´ qu´ımico pueden pu eden tener escasa importancia para un bi´ ologo, as´ as´ı como c omo los fundamentafunda mentales para un f´ f´ısico antojarse anto jarse irrelevantes irrelevantes al economista. En definitiva, si uno explica el “cl´asico asico curso est´ andar”de Ecuaciones Diferenciales al alumnado de una carrera andar”de de Ciencias, es probable que buena parte de lo que se ense˜ ne ne carezca carez ca de inter´es es real para el auditorio al que va destinado. Parece entonces preferible remitirse a los textos propios de la licenciatura que se est´a impartiendo, y entresacar de ellos las ecuaciones diferenciales que se van a
V
VI
´ INTRODUCCION
necesitar. Sin embargo tambi´ en en ahora a hora surgen problemas, ya que el usualmente escaso (por no decir raqu´ raqu´ıtico) sustrato matem´ atico en el que se apoyan las explicaciones atico fuerza a no tratar problemas de evidente inter´es es pero pe ro cierta dificultad, o a estudiarlos de forma tan cr´ cr´ıptica que poco o nulo nulo provecho provecho puede sacar el lector poco po co avezado. avezado. El presente pre sente Texto-Gu´ Texto-Gu´ıa intentar alcanzar un compromiso entre los dos enfoques (ambos, en nuestra opini´ on, on, err´oneos), oneos), tratando con la adecuada solvencia matem´ atiatica problemas que sean de verdadero inter´es es para los alumnos hacia los que se enfoca, e nfoca, que son primordialmente los de las titulaciones de Licenciado en Ciencias Qu´ Qu´ımicas e Ingeniero Qu´ Qu´ımico. De hecho, los Cap Cap´´ıtulos I y II est´ an an dise˜ nados nados para cubrir la asignatura de 4.5 cr´editos editos “Ampliaci´ on on de Matem´ aticas”de la primera, y compleaticas”de mentados con (parte de) los contenidos de los Cap Cap´´ıtulos III y IV podr p odr´´ıan constituir los 6 cr´editos editos de la asignatura “Ecuaciones Diferenciales”de la segunda. N´ otese otese que el t´ıtulo ıtu lo de este est e trab t rabaa jo hace hac e tambi´ t ambi´en en alusi´ alu si´ on on a las Ciencias Cie ncias F´ısicas, y es que q ue una un a buena bue na porci´ on on de los dos ultimos u ´ltimos cap´ıtulos ıtulos tiene buen encaje e ncaje en la asignatura “Ecuaciones Diferenciales”de esta ultima licenciatura. Hemos estructurado cada uno de los cuatro cap´ cap´ıtulos del Texto-Gu´ exto-Gu´ıa conforme a un esquema similar. Tras una breve introducci´ o n en la que se describen los on contenidos a grandes rasgos y se enumeran los objetivos fundamentales que pretenden alcanzarse, se pasa al desarrollo de la materia a estudiar; hemos incluido una considerable cantidad de Actividades Pr´ acticas al objeto de entrenar y/o ilustrar los conocimientos explicados previamente. Vienen a continuaci´ on on una cantidad sufion y Ejercicios ciente de ejercicios, divididos en los bloques Actividades de Aplicaci´ de Evaluaci´ on ; en el segundo se han seleccionado algunos que nos parecen de especial relevancia, y de hecho unos cuantos est´ an an extra´ıdos ıdos de los ex´ amenes amenes que hemos planteado a nuestros alumnos los a˜ nos nos precede pr ecedentes. ntes. Culmina Cul mina cada ca da cap´ıtulo ıtulo la bibliograf´ graf´ıa recomendada para el mismo; advi´ertase ertase que un mismo libro puede aparecer citado varias veces.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS C. QU´ IMICAS Y F´ ISICAS
