Dynacmique Des Structures, Tome 1 Principes Fondamentaux (J.penzIEN Et R.W.clouGH)

Ray W. CLOUGH

Joseph PENZIEN

Professeur de Génie Civil à l'Université de Californie à Berkeley

Professeur de Génie Civil à l'Université de Californie à Berkeley

' ' f L

COLLECTION SCIENTIFIQUE DE LIPSI dirigée par Jean-Louis ARMAND

i .. >)

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

DEJA PARU Introduction aux éléments finis, par Richard H. GALLAGHER, Doyen de PEcole d’ingénieurs, Université de l’Arizona à Tucson. A PARAITRE Dynamique des structures, Tome 2 : Vibrations aléatoires et génie sismique, par R.W. CLOUGH et J. PENZIEN.

'

&\ -V

La méthode des éléments finis : techniques numériques, par K.J. BATHE et E.L. WILSON.

Tome 1

Principes fondamentaux

Formules pour le calcul statique et dynamique des structures : approche directe par déformations et contraintes, par Walter D. PILKEY et Pin Yu CHANG. Méthodes variationnelles en élasticité et plasticité, par Kyuichiro WASHIZU. Stabilité des structures, par Hans ZIEGLER.

Traduit de l'anglais par Jean-Louis CLAUDON Ing én ieur A rts et M étiers, M aster of S cien ce

Préface de Jean-Louis A RM AND M aître de C o n fé re nces à l'Eco le P o lytechn iqu e

043299

Inventaire Ecole Nationale Polytechnique

ÉDITIONS PLURALIS

Table des matières du tome 1

Dynamique des structures (Tome 1 : Principes fondamentaux) Copyright © 1980, PLURALIS. est traduit de Dynamics of Structures Copyright © 1975 by McGraw-Hill, Inc. ISBN 2-86216-001-6 (édition originale : ISBN 0-07-011392-0 McGraw-Hill, Inc.)

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. La loi du 1 1 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les “ copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective” et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, “ toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite” (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

Préface à l'édition française

XV

Préface des auteurs

X IX

Table des notations

XXI

1

Présentation générale de la dynamique des structures 1.1 1.2 1.3 1.4

1.5

1.6

Objectif fondamental de la dynamique des structures, 1 Types de chargements donnés, 2 Caractéristiques essentielles d’un problème dynamique, 3 Méthodes de discrétisation, 4 Concentration des masses Déplacements généralisés Notion d’élément fini Formulation des équations du mouvement, S Ecriture directe de l’équilibre dynamique par le prin­ cipe de d’Alembert Principe des déplacements virtuels Principe de Hamilton Résumé Organisation de ce cours, 11

1

PREMIERE PARTIE : SYSTEMES A UN DEGRE DE LIBERTE

15

Formulation des équations du mouvement

17

2.1 2.2

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Composants du modèle dynamique élémentaire, 17 Méthodes de formulation, 17 Ecriture directe de l’équilibre dynamique Application du principe des travaux virtuels Application du principe de Hamilton Influence des forces de pesanteur, 20 Influence d’une excitation d’appui, 21 Systèmes particuliers à un degré de liberté : assemblage de corps rigides, 22 Systèmes particuliers à un degré de liberté : souplesse répartie, 29 Expression des caractéristiques généralisées d’un système, 34

Oscillations libres 3.1 3.2 3.3

Méthode de la demi-puissance (largeur de bande) Déperdition d’énergie par cycle (essai en résonance) Amortissement hystérésique

5

Réponse à un chargement périodique quelconque 5.1 5.2 5.3

6

Résolution de l’équation du mouvement, 41 Oscillations libres non amorties, 42 Oscillations libres amorties, 44 Amortissement critique Systèmes sous-amortis Systèmes suramortis

Réponse à un chargement par impulsion 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

41

1

7.1

4.1

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Système non amorti, 53 Solution homogène Solution particulière Solution générale Facteur de réponse Système amorti, 56 Résonance, 60 Accéléromètres et mesure des déplacements, 63 Isolation vibratoire, 64 Mesure de l’amortissement des systèmes à un degré de liberté, 70 Décroissance des oscillations libres Amplification résonante

53

7.3 7.4 7.5

8

Nature des charges impulsives, 89 Impulsion en forme de sinusoïde, 90 Impulsion rectangulaire, 93 Impulsion triangulaire, 94 Spectres de réponse ou spectres de choc, 95 Calcul approché de la réponse à un chargement par impulsion, 98

Réponse à une excitation dynamique quelconque

12 Réponse à un chargement harmonique

Développement de la charge appliquée en série de Fourier, 81 Réponse à un chargement exprimé en série de Fourier, 81 Forme exponentielle de la solution par série de Fourier, 84

Intégrale de Duhamel pour un système sans amortissement, 103 Calcul numérique de l’intégrale de Duhamel pour un sys­ tème sans amortissement, 104 Réponse d’un système avec amortissement, 109 Détermination de la réponse sur l’ensemble du domaine des fréquences, 113 Etude numérique dans le domaine des fréquences, 116 Transformées discrètes de Fourier Utilisation de la transformée rapide de Fourier

Détermination de la réponse d'une structure en cas de non-linéarité 8.1 8.2 8.3 8.4

Principe de l’analyse, 121 Equation incrémentale de l’équilibre, 122 Intégration pas à pas, 123 Récapitulation de la méthode, 126

9

Etude des vibrations par la méthode de Rayleigh 9.1 9.2 9.3 9.4

12.3 Formulation par les souplesses, 184 12.4 Influence des forces axiales, 185 Vibrations libres Charge critique Flambage par excitation harmonique 12.5 Propriétés d’orthogonalité, 188 Relations fondamentales Autres relations Normalisation

Principe de la méthode, 133 Etude approchée d’un système quelconque, 135 Choix d’une fonction de déplacement, 136 Méthode de Rayleigh améliorée, 140

DEUXIEME PARTIE : SYSTEMES A PLUSIEURS DEGRES DE LIBERTE 10

133

Formulation des équations du mouvement des sys­ tèmes à plusieurs degrés de liberté

147

13

13.1 Coordonnées principales (normales), 195 13.2 Equations découplées du mouvement non amorti, 196 13.3 Equations découplées du mouvement amorti, 198 Formation des équations Conditions pour l’orthogonalité de l’amortissement Couplage de l’amortissement 13.4 Méthode de superposition des modes: récapitulation,203

149

10.1 Choix des degrés de liberté, 149 10.2 Expression de l’équilibre dynamique, 150 10.3 Influence des forces axiales, 153 11

Détermination des matrices caractérisant les propriétés d'une structure

14

Oscillations libres non amorties 12.1 Détermination des fréquences propres de vibration, 179 12.2 Détermination des modes vibratoires, 181

Pratique du calcul des vibrations

155

11.1 Caractéristiques élastiques, 155 Souplesse Rigidité Autres notions fondamentales en calcul des structures Eléments finis. Rigidité 11.2 Caractéristiques massiques, 164 Matrice des masses concentrées Matrice de masse cohérente 11.3 Caractéristiques d’amortissement, 168 11.4 Action des forces extérieures, 169 Résultantes statiques Forces cohérentes aux nœuds 11.5 Rigidité géométrique, 170 Approximation linéaire Rigidité géométrique cohérente 11.6 Choix du type de formulation, 175 12

Etude de la réponse dynamique

179

14.1 Remarques préliminaires, 213 14.2 Méthode de Stodola, 214 Détermination du mode fondamental Convergence Détermination du second mode Détermination du troisième mode et des modes suivants Détermination du dernier mode 14.3 Etude du flambage par itération matricielle, 227 14.4 Méthode de Holzer, 230 Principe de la méthode Méthode des matrices de transfert Méthode de Holzer-Myklestad 14.5 Réduction du nombre de degrés de liberté, 239 Rappels Concentrations en masses discrètes Méthode de Rayleigh appliquée aux systèmes de coor­ données discrètes Méthode de Rayleigh-Ritz 14.6 Notions élémentaires d’itération matricielle, 247 Développement de la matrice dynamique selon ses éléments propres Résolution itérative du problème d’éléments propres

Itération avec décalage Itération de sous-espace 14.7 Forme symétrique de la matrice dynamique, 256 Matrice de masse diagonale Matrice de masse cohérente 14.8 Etude des structures sans appuis, 259 15

Etude des systèmes non linéaires

18

16

Formulation variationnelle des équations du mouvement 16.1 16.2 16.3 16.4

17

19

Coordonnées généralisées, 275 Equations de Lagrange, 276 Obtention des équations générales du mouvement, 283 Equations de contraintes et multiplicateurs de Lagrange, 287

20

293

Equations aux dérivées partielles du mouvement

295

Introduction, 295 Flexion des poutres : cas élémentaire, 296 Flexion des poutres : effet des forces axiales, 298 Flexion des poutres : déformations d’effort tranchant et inertie de rotation, 299 17.5 Flexion des poutres : amortissement visqueux, 302 17.6 Flexion des poutres : excitations d’appuis généralisées, 303 \ 1 J Déformations axiales, 306

Etude de la réponse dynamique 19.1 19.2 19.3 19.4

275

TROISIEME PARTIE: SYSTEMES A CARACTERISTIQUES REPARTIES

17.1 17.2 17.3 17.4

18.1 Flexion des poutres : cas élémentaire, 309 18.2 Flexion des poutres : prise en compte des effets des forces axiales, 317 18.3 Flexion des poutres : déformation d’effort tranchant et inertie de rotation, 318 18.4 Flexion des poutres : orthogonalité des modes de vibra­ tion, 320 18.5 Vibrations axiales libres, 322 18.6 Orthogonalité des modes de vibration axiale, 325

265

15.1 Introduction, 265 15.2 Equations incrémentales de l’équilibre, 267 15.3 Intégration pas à pas : méthode de l’accélération linéaire, 268 15.4 Méthode inconditionnellement stable à accélération li­ néaire, 269 15.5 Performances de la méthode 0 de Wilson, 272

Vibrations libres non amorties

Coordonnées normales, 327 Equations découplées en flexion sans amortissement, 330 Equations découplées en flexion avec amortissement, 334 Equations découplées du mouvement axial sans amortis­ sement, 336

La méthode de la rigidité directe dans les problèmes dynamiques 20.1 Introduction, 343 20.2 Matrice dynamique de rigidité en flexion, 344 20.3 Rigidité dynamique : flexion et déplacements axiaux rigides, 350 20.4 Matrice de rigidité dynamique des déformations axiales,353 20.5 Rigidité en flexion et en déformation axiale combinées, 355 20.6 Effets des forces axiales sur la rigidité en flexion, 356

21

Propagation d'ondes 21.1 Equation fondamentale de la propagation des ondes axiales, 361 21.2 Prise en compte des conditions aux limites, 365 21.3 Barre présentant des discontinuités, 368 21.4 Ondes de contraintes lors de l’enfoncement d’un pieu, 373 21.5 Onde d’effort tranchant dans un bâtiment, 377

Préface à l'édition française

Le grand public, s’il trouve aujourd’hui naturel de profiter des progrès de la technologie, a également pris conscience des dangers qui les accompagnent : c’est pourquoi il exige de l’ingénieur des réalisations toujours moins coûteuses et toujours plus fiables, contradiction apparente que seule une conception mieux comprise permet de dépasser. Il est ainsi devenu nécessaire, au fil des ans, de raffiner les schémas mathématiques utilisés au stade du projet, pour tenter de les faire approcher d’une réalité souvent complexe : dans ce domaine, l’apparition des calculateurs électroniques, dans les années 1950, a autorisé le développement de méthodes numériques à la puissance colossale, telles que la méthode des éléments finis. Celle-ci est aujourd’hui d’un usage courant dans l’industrie pour l’étude de structures dont la complexité rend vaines les mé­ thodes de la résistance des matériaux classique. C’est ainsi que la conception de la^ plupart des structures (que ce soient les constructions fixes du génie civil, du génie nucléaire ou du génie océanique, les machines ou parties de machines, les.constructions aéronautiques, automo­ biles ou navales) exige à présent la détermination de leur réponse aux sollici­ tations de nature dynamique qu’elles sont amenées à rencontrer au cours de leur existence. Or, le comportement dynamique d’une structure est très fréquemment lié à des phénomènes que ne peut permettre de prévoir la seule considération des chargements statiques ou pseudo-statiques auxquels sont souvent assimilées les sollicitations dynamiques rencontrées dans la réalité : le tristement fameux pont de Tacoma, ou la rupture d’une aile d’avion par flottement aéroélastique, constituent des exemples heureusement extrêmes de tels phénomènes. L’objectif que se fixe la dynamique des structures est de caractériser le comportement des constructions soumises à des sollicitations dynamiques. Le traité que lui ont consacré les Professeurs Clough et Penzien répond remar­ quablement bien à cet objectif, en réussissant parfaitement à présenter une vue synthétique de la théorie moderne et à souligner ses applications à des pro­ blèmes pratiques auxquels l’ingénieur se trouve confronté.

Le premier tome de l’ouvrage que nous présentons aujourd’hui au lecteur de langue française reprend les trois premières parties de l’original américain, dues au seul Professeur Clough. Nul mieux que lui ne sait, que ce soit dans les leçons qu’il professe ou à travers ses écrits, présenter avec une telle simpli­ cité, fruit de longues années de recherches et d’enseignement, ces concepts fondamentaux dont la connaissance éclairée permet la compréhension phy­ sique des phénomènes réels, qu’il s’agisse du système masse-ressort le plus élémentaire ou de l’assemblage d’éléments finis le plus compliqué. Les mé­ thodes numériques présentées ont toutes fait la preuve de leur applicabilité aux calculs sur ordinateurs : l’auteur, qui est également, ne l’oublions pas, l’un des pionniers de la méthode des éléments finis, est orfèvre en la matière. L’ingénieur sera en outre agréablement surpris de constater .que le cours s’attarde avec un luxe de détails sur des techniques très générales, dont l’utilité, au stade de l’avant-projet, n’est plus à démontrer, qui permettent la détermi­ nation approchée rapide, avec une simple règle à calcul ou une calculatrice de poche, du comportement dynamique d’une structure. Ce sont d’ailleurs souvent ces mêmes techniques qu’utilise le calcul automatique, mais à une autre échelle, évidemment. C’est en effet le propre de l’ingénieur que d’être en mesure d’apporter une signification physique aux algorithmes qu’il vient à utiliser, algorithmes qui, pour le mathématicien, ne sont que trop souvent prétextes à des constructions “fort intéressantes” mais aussi fort inutiles, car vides dès le départ de tout sens pratique. Les nombreux exercices simples d’application, de nature essentiellement pratique, qui jalonnent le cours, guideront pas à pas le lecteur en lui permettant de vérifier à mesure qu’il progresse sa bonne compréhension des concepts exposés. Résultat de près de vingt années d’enseignement, ce cours est une illustration parfaite de cette pédagogie d’outre-atlantique que l’on a pu taxer de pragmatisme, mais dont l’excellence, que traduisent les résultats obtenus, n’est plus aujourd’hui à démontrer. L’ouvrage que nous présentons ici est le premier de ce niveau à épouser le point de vue de l’ingénieur et non plus seulement celui du physicien ou du mathématicien : il va en effet au-delà des habituels schémas à un ou deux degrés de liberté, exercices d’école bien insuffisants pour mériter l’appellation générale de systèmes et pour représenter la réalité, et qui composent la matière de la plupart des traités classiques. Le Professeur Clough s’est attaché à exposer clairement, tout au long de ce cours, des exemples et règles pratiques de modé­ lisation qui soient utiles à l’ingénieur. La traduction de Jean-Louis Claudon est encore une fois irréprochable. Elle a bénéficié des corrections apportées à la première édition en langue anglaise depuis sa parution, ainsi que de la conversion des unités anglo-saxonnes de l’original en unités du système international (S.I.), ce qui a représenté un travail considérable. On peut d’ailleurs se demander comment font les étudiants amé­ ricains pour percer les secrets d’une dynamique dans laquelle l’unité de masse est la livre, (seconde)2/pouce (lb.s2/in) quand ce n’est pas le slug, qui est défini comme une livre.(seconde)2/pied (lb.s2/ft), et où l’on dispose, pour caractériser une pression ou une contrainte, d’unités aussi peu parlantes que variées, qui peuvent s’appeler psi, lb/in2, psf, lb/ft2, kip/in , k/in2, ksi, kip/ft2, k/ft2, ksf,

toutes notations indifféremment relevées dans l’original anglais ! Un avantage non négligeable du système anglo-saxon est par contre de faire clairement ressortir la différence si capitale entre les notions de masse et de force, pas toujours bien comprise de nos étudiants, et parfois même de nos ingénieurs et physiciens, qui font encore trop souvent appel à des unités de force bâtardes, telles que le kilogramme-force (kgf) ou le kilogramme-poids (kgp). C’est à dessein que nous avons utilisé exclusivement comme unité de force, tout au long de la traduction, le newton (N), ou exceptionnellement le kilo-newton (kN), suivant en cela la définition même du système international. Il nous reste, pour conclure un aussi long avant-propos, à souhaiter au lecteur autant de plaisir à étudier cet ouvrage que nous en avons eu à préparer la présente édition. Jean-Louis ARMAND

r

Préface des auteurs

Ce livre représente l’aboutissement de plus de vingt-cinq années d’ensei­ gnement de la dynamique des structures à l’Université de Berkeley en Californie. On comprendra sans mal que le contenu de cet enseignement ait connu des modifications considérables sur une telle période. Trois polycopiés successifs ont été rédigés et distribués aux élèves à des époques assez éloignées les unes des autres, et des versions adaptées en ont été utilisées lors de cours présentés en des lieux aussi divers que Santiago au Chili, Trondheim en Norvège et Tokyo au Japon. Lors de la conception initiale de cet ouvrage, le Professeur Clough a été fortement influencé par le cours du Professeur R.L. Bisplinghoff du Massachusetts Institute of Technology ; il est redevable à cet enseignement superbe de la dynamique des structures aéronautiques. L’orientation subsé­ quente du livre vers les problèmes dynamiques du génie civil reflète les travaux de Hohenemser et Prager dans leur traité d’avant-garde Dynamik der Stabwerke*. De même, le Professeur Penzien est reconnaissant au Professeur S.H. Crandall, également du Massachusetts Institute of Technology, pour tout le bénéfice qu’il a pu tirer de son cours sur les vibrations aléatoires. Le dévelop­ pement de cette partie a cependant été le fait des deux auteurs conjointement. Les contributions apportées à la littérature par de nombreux auteurs ont été incorporées au cours de manière aussi pertinente que possible ; la plupart de ces contributions sont si bien établies dans le domaine de la dynamique des structures qu’il est à présent difficile de les accréditer de manière certaine. Peu de références seront donc données, et nous présentons nos excuses à ceux qui pourraient se sentir lésés. Bien que le contenu de ce cours ait été constamment revu et corrigé, son organisation générale est restée la même. On effectue une transition logique à partir des structures à un degré de liberté en passant par les systèmes à un degré généralisé, pour arriver à l’étude par superposition des modes des structures à plusieurs degrés de liberté en coordonnées discrètes ; ce cheminement est le plus simple pour l’ingénieur habitué aux calculs de la statique, et qu’il faut *K. Hohenemser & W. Prager, Dynamik der Stabwerke, Julius Springer, Berlin, 1933.

amener à considérer les problèmes particuliers que posent les chargements dynamiques. Par ailleurs, il nous a toujours paru essentiel de nous attacher à l’étude de la réponse dynamique transitoire, plutôt que de nous limiter à celle des vibrations. Pour tirer le meilleur profit de l’étude de la dynamique des structures, des connaissances solides en théorie statique des structures —y compris les méthodes matricielles —sont nécessaires ; nous supposerons que le lecteur possède ces connaissances. L’évolution la plus importante qui se soit produite au cours de la consti­ tution de ce livre a sans doute été que l’ordinateur digital se soit imposé en tant qu’outil standard en analyse des structures. Avant cette évolution, on travaillait surtout avec des méthodes conçues pour la règle à calcul ou la calculatrice de bureau. Ces méthodes restent à l’honneur ici, car les auteurs sont convaincus de leur valeur pédagogique : lorsque l’on a parfaitement compris un procédé de résolution à la main, il est en effet facile d’écrire ou d’utiliser le programme correspondant, alors qu’il peut s’avérer impossible d’utiliser un programme de manière efficace s’il ne représente pour l’utilisateur qu’une “boîte noire” dont il ne connaît pas le fonctionnement interne. On a cependant tenu compte du fait que pratiquement toute étude dynamique réelle exige un tel volume de calculs qu’il n’est raisonnable de la traiter que par l’ordinateur : les techniques de résolution sur lesquelles nous insistons ici sont généralement celles qui peuvent être le plus facilement utilisées à l’ordinateur ; elles sont également utilisables à la main. Notre objectif étant d’exposer les fondements des méthodes, nous ne nous attarderons pas sur les techniques de programmation. [...] Nous avons incorporé au texte un grand nombre d’exemples avec leur solution complète en raison de leur grande importance pédagogique. Nous avons également prévu un grand nombre de problèmes à la fin de la plupart des chapitres, car il est essentiel que l’élève utilise les méthodes par lui-même pour vraiment les maîtriser : il faut toutefois tenir compte du fait que ces analyses dynamiques sont notoirement longues à effectuer. Au rythme d’un enseignement de trois heures hebdomadaires, la donnée de un à quatre pro­ blèmes par semaine nous semble convenir, selon les problèmes : ce livre en propose donc bien plus qu’on ne pourrait normalement en résoudre.

a ^OJ A A i, A 2 b K K B c c* Ce Cn Cij c» D D &U ^2 e E E i—i i___________ i h)

RAY W. CLOUGH JOSEPH PENZIEN

Table des notations

El f h fl> fû9 /S 9 9i

distance coefficients de Fourier ; constantes aire ; constante constantes distance ; nombre entier coefficients de Fourier ; constantes constante constante d’amortissement constante d’amortissement généralisé constante d’amortissement critique coefficients d’influence d’amortissement coefficients de Fourier coefficients d’amortissement généralisés, modes normaux facteur d’amplification dynamique ; raideur d’une plaque matrice dynamique k""1 m constantes déplacement axial module de Young matrice dynamique D-1 valeur moyenne ; moyenne d’un ensemble raideur en flexion fréquence cyclique naturelle coefficients d’influence de souplesse forces d’inertie, d’amortissement et de rappel accélération de la pesanteur coordonnées de déplacements générales ; fonctions d’ondes de contraintes

G G, Gl9 G2 h h(t) H((û), H(iœ) Hz i / I j k, kt k*9 k* k(t) kG ku 1ctj k Gij Kn L <£ m m{ m m/ Mn w* SflT, 9TC/ n N Ncr Jf P>Po p p* p cff p(x) p(x,y) p(x | y)

module de glissement constantes épaisseur d’une plaque ; hauteur d’un étage réponse à une impulsion unité réponse en fréquence complexe : Hertz (unité de mesure des fréquences, en cycles par seconde) nombre entier impulsion ; moment d’inertie matrice identité nombre entier constantes de rappel (ressorts) constantes de rappel généralisées rigidité effective rigidité géométrique coefficients d’influence de rigidité coefficients d’influence de rigidité combinée coefficients d’influence de rigidité géométrique rigidité généralisée du même mode normal longueur facteur d’excitation d’un séisme masse ; nombre entier masse coefficients d’influence de masse masse linéique moment d’inertie massique en rotation masse généralisée du même mode normal masse généralisée moment interne à une section nombre entier ; constante charge axiale ; nombre d’incréments de temps ; nombre de degrés de liberté charge axiale critique force axiale variable dans le temps charge chargement linéique chargement généralisé chargement effectif densité de probabilité densité de probabilité bidimensionnelle densité de probabilité conditionnelle

p{x1, X2.......-«J PAO P(X),P(X,Y) Pr Qi r m RA*) * „ (* )

s S„(to) Sx(ô>) 5a

SI t,h h hj T Tn T, TR u U v v' V, ’ V9* »st

V, Vf, K V w W Kc X X

—7 X

x(t) y yU)

densité de probabilité multidimensionnelle fonction excitatrice du même mode normal fonctions de répartition probabilité lème coordonnée généralisée lème fonction excitatrice généralisée rayon de gyration facteur de réponse fonction d’autocorrélation fonction de corrélation croisée constante fonctions densités spectrales réponse spectrale en accélération réponse spectrale en déplacement réponse spectrale en pseudo-vitesse intensité du spectre de réponse temps ; instant durée d’une impulsion coefficients d’influence de transfert période de vibration ; énergie cinétique période du niéme mode normal période du chargement transmittance déplacement dans la direction x énergie de déformation déplacement dans la direction^ déplacement total ^ déplacement du sol déplacement statique énergie potentielle effort tranchant dans une section déplacement dans la direction z travail ; poids travail de forces non conservatives travail d’une charge axiale N coordonnée cartésienne valeur moyenne de x moyenne quadratique de x processus aléatoire coordonnée cartésienne processus aléatoire

Y„ z

déplacement généralisé du même mode normal coordonnée cartésienne coordonnées généralisées p rapport des fréquences poids surfacique y s décrément logarithmique ; variation ; résidu A incrément 4, déplacement statique e déformation C fonction du temps ; coefficient d’amortissement hystérésique ÀG facteur de chargement axial multiplicateur de Lagrange même valeur propre K 0 angle de déphasage ; pente ; rotation V facteur de ductilité Vxy covariance V coefficient de Poisson facteur d’amortissement P module d’un vecteur ; masse volumique Pxy coefficient de corrélation <7 contrainte écart-type variance ox2 T variable temps 4>ij déplacement modal 4>n forme du même mode o matrice des modes fonction de déplacement généralisée t , Ÿn vecteur déplacement généralisé (0,(0„ fréquence angulaire naturelle non amortie œ D> 0)Dn fréquence angulaire naturelle amortie (pseudo-pulsation) œ fréquence angulaire d’une fonction excitatrice harmonique

1

Présentation générale de la dynamique des structures

1-1 Objectif fondamental de la dynamique des structures

Le but principal de ce livre est de présenter des méthodes permettant l’étude des contraintes et des déplacements communiqués à une structure donnée soumise à un chargement dynamique arbitraire. Dans un sens on peut considérer notre objectif comme la généralisation des méthodes classiques de la théorie des structures —qui ne traitent en général que les charges statiques — pour permettre la prise en compte des charges dynamiques. Vu sous cet angle, on voit qu’il est alors possible de considérer un chargement statique comme un simple cas particulier de chargement dynamique. Pour l’étude des structures linéaires il est cependant plus pratique de séparer les composants statiques et dynamiques du chargement appliqué, de calculer séparément la réponse à chaque type de charge, puis de superposer les deux composantes de la réponse pour obtenir la réponse totale. Lorsqu’elles sont envisagées de cette manière, les méthodes d’analyse statique et dynamique présentent des caractéristiques fondamentalement* différentes. Dans le contexte de cet ouvrage la signification du terme dynamique peut se définir simplement comme : variable dans le temps ; une charge dynamique est donc une charge dont l’intensité, la direction ou le point d’application varient avec le temps. De même* la réponse de la structure à une charge dynamique c’est-à-dire les déplacements et les contraintes qui en résultent - est également variable dans le temps, donc dynamique elle aussi. Deux approches fondamentalement différentes s’offrent à nous pour évaluer la réponse d’une structure à des charges dynamiques : l’approche déterministe et l’approche non déterministe. Le choix de la méthode à utiliser dans chaque cas dépend du mode de définition du chargement. Si l’évolution du chargement dans le temps est parfaitement connue - même si elle est oscillatoire ou très irrégulière - nous dirons dans ce livre qu’il s’agit d'un chargement dynamique donné ; le calcul de la réponse d’une structure donnée à un chargement dyna­ mique donné sera un calcul déterministe. Si au contraire l’évolution dans le temps n’est pas parfaitement connue mais peut être définie de manière statistique, le chargement est dit chargement dynamique aléatoire ; l’étude

de la réponse d’une structure à un chargement dynamique aléatoire sera une étude non déterministe. La quatrième partie* de ce livre est consacrée à une introduction aux méthodes d’analyse non déterministe. Un chapitre sur l’étude non déterministe de la réponse aux séismes a également été inclus dans la cinquième partie, qui traite de l’application des méthodes de la dyna­ mique des structures au domaine du génie sismique. En règle générale, c’est par leurs déplacements que l’on exprime la réponse des structures aux charges dynamiques. Une analyse déterministe mène donc à une histoire des déplacements de la structure dans le temps, histoire constituant le pendant de celle du chargement donné ; les autres caractéris­ tiques de la réponse déterministe d’une structure, telles que contraintes, défor­ mations, efforts internes, etc., font généralement l’objet d’une seconde phase de l’étude, phase s’appuyant sur les déplacements précédemment déterminés. Quant à l’analyse non déterministe, elle procure des informations statistiques sur les déplacements résultant d’un chargement lui-même défini de manière statistique. Dans ce dernier cas la variation des déplacements avec le temps n’est pas déterminée ; et les contraintes, efforts internes, etc., doivent donc être calculés de manière directe par une étude non déterministe indépendante, et non à partir des résultats obtenus pour les déplacements.

Machine tournante dans un bâtiment

Hélice à l’arrière d’un navire

(b)

Non périodique

□□ □□

(c)

□ a a □

Secousse sismique sur un château d’eau

1.2 Types de chargements donnés

Pratiquement n’importe quelle structure est susceptible de subir pendant sa durée de vie un chargement dynamique sous une forme ou une autre. D’un point de vue analytique, on peut subdiviser les chargements donnés (déter­ ministes) en deux grandes catégories : périodiques et non périodiques. La Fig. 1.1 montre quelques formes types de chargements donnés, ainsi que des exemples de situations où ils sont susceptibles d’apparaître. Comme indiqué par les Figs. 1.1a et b, les chargements périodiques sont constitués de charges répétitives qui conservent la même évolution dans le temps sur un grand nombre de cycles. Le chargement périodique le plus simple est de forme sinusoïdale, Fig. 1.1a : on l’appelle harmonique simple ; ce genre de chargement est caractéristique des efforts de balourd dans les machines tournantes. Les autres formes de chargements périodiques, par exemple ceux qui proviennent des pressions hydrodynamiques engendrées par l’hélice à l’arrière d’un navire ou des effets d’inertie des machines alternatives, sont souvent plus complexes. Mais une analyse de Fourier permet de représenter un chargement périodique quelconque sous la forme d’une superposition d’harmo­ niques simples ; le calcul de la réponse à un chargement périodique quelconque peut donc en principe se conduire selon une procédure générale unique. Les chargements non périodiques sont soit des impulsions de courte durée, soit des chargements de longue durée et de forme quelconque. Des chocs, des explosions sont des sources courantes de chargements impulsifs ; pour ces efforts de courte durée on peut utiliser des formes d’analyse simplifiées. En * La quatrième et la cinquième partie forment la matière du tome II.

id)

Histoire du chargement Fig. 1.1

Explosion d'une bombe au voisinage d'un bâtimènt

Exemple

Exemples de chargements dynamiques : (a) harmonique simple ; (b) périodique ; [c) impulsif ; id) de longue durée.

revanche, un chargement quelconque - de longue durée, comme peut en provoquer une secousse sismique, ne peut être traité que par des méthodes d’analyse dynamique complètement générales. 1.3 Caractéristiques essentielles d'un problème dynamique

Un problème de dynamique des structures se distingue du problème statique correspondant par deux caractéristiques importantes. La première est, par définition, la nature évolutive du problème dynamique dans le temps. Comme la charge et la réponse varient avec le temps, il est évident qu’un problème dynamique n’a pas qu’une solution, ce qui déjà le différencie d’un problème statique ; il faut en effet déterminer une succession de solutions correspondant à tous les instants qui présentent un intérêt dans l’histoire de la réponse. Une étude dynamique sera donc plus complexe et moins rapide qu’une étude statique.

La Fig. 1.2 illustre une distinction plus fondamentale encore entre les problèmes statique et dynamique. Si une barre simple est soumise à une charge statique p — voir Fig. \2 a — le moment fléchissant,l’effort tranchant et la déformée dépendent directement de la charge donnée et se calculent en fonction de p à l’aide des principes bien établis de l’équilibre des forces. Mais si la charge p(t) est appliquée dynamiquement - voir Fig. 1.26 - les dépla­ cements de la barre correspondent à des accélérations qui produisent des forces d’inertie opposées à ces mêmes accélérations. Les moments fléchissants et les efforts tranchants de la barre considérée doivent équilibrer non seulement la force extérieure appliquée, mais encore les forces d’inertie qui résultent des accélérations de la barre. Ces forces d’inertie, qui s’opposent de la sorte aux accélérations de la struc­ ture, constituent la caractéristique distinctive la plus importante des problèmes de dynamique des structures. De manière générale, dans le cas où les forces d’inertie représentent une part sensible de la charge totale équilibrée par les forces élastiques internes de la structure, il faut tenir compte du caractère dy­ namique du problème lors de sa résolution. Si en revanche les mouvements sont si lents que les forces d’inertie sont négligeables, le calcul pour un instant donné pourra s’effectuer par les procédés d’analyse statique bien que la charge et la réponse varient dans le temps. j*

|P(0 wwky////,

Mais si la masse de la poutre peut être considérée comme concentrée en un certain nombre de points séparés (ou discrets) comme le montre la Fig. 1.3, le problème se trouve grandement simplifié car les forces d’inertie ne peuvent alors apparaître en aucun autre point. Dans ce cas, il n’est nécessaire de définir les déplacements et les accélérations qu’en ces points. Le nombre de composantes de déplacements à considérer pour pouvoir re­ présenter les effets de toutes les forces d’inertie qui interviennent dans une structure peut être appelé nombre de degrés de liberté dynamiques de la struc­ ture. Si par exemple les déplacements du système de la Fig. 1.3 sont contraints de sorte que les trois points massiques ne puissent se déplacer que dans des directions verticales, on dira qu’il s’agit d’un système à trois degrés de liberté. Si ces masses ne sont pas concentrées de manière ponctuelle mais ont une inertie de rotation finie, il faudra également considérer les déplacements angu­ laires des trois points et le système aura six degrés de liberté. Si de plus les dé­ formations longitudinales de la poutre sont sensibles, des déplacements paral­ lèles à l’axe de la poutre en résulteront et le système aura neuf degrés de liberté. Si à présent la structure peut se déformer dans l’éspace à trois dimensions, chaque masse présentera six degrés de liberté et le système entier en aura dixhuit. Si par contre les masses sont concentrées de maniéré ponctuelle et si l’inertie de rotation peut être négligée, le système tridimensionnel aura neuf degrés de liberté. Après ces considérations, il est clair qu’un système dont la masse est répartie de manière continue, comme en Fig. 1.2b, possède un nombre infini de degrés de liberté.

X f î J, JForces d’inertie '

<«> Fig. 1.2

(b)

Distinction fondamentale entre une charge statique et une charge dynamique : (a) chargement statique ; (b) chargement dynamique.

1.4 Méthodes de discrétisation

Concentration des masses Considérons le système dynamique de la Fig. 1.2Ô; il est évident que son étude est rendue considérablement plus complexe par le fait que des forces d’inertie sont produites par les déplacements de la structure, ces déplacements étant eux-mêmes influencés par les intensités des mêmes forces d’inertie. Le cercle vicieux ne peut être évité qu’en formulant le problème de manière di­ recte à l’aide d’équations différentielles. Comme de plus la masse de la poutre est répartie de manière continue, les déplacements et les accélérations doivent être définis en chaque point de son axe si on veut que les forces d’inertie soient parfaitement définies. Il est dans ce cas nécessaire de formuler le problème à l’aide d’équations aux dérivées partielles, car il faut alors prendre pour variables indépendantes à la fois le temps et la variable de position le long de la barre.

Fig. 1.3 Idéalisation d'une poutre simple par concen tration de la masse.

77^77/

^

/ /W /

Déplacements généralisés L’idéalisation par concentration des masses procure un moyen simple pour limiter le nombre de degrés de liberté à considérer dans l’étude des problèmes de dynamique des structures. Le procédé de concentration est particulièrement efficace dans le traitement de systèmes pour lesquels une grande proportion de la masse totale est effectivement concentrée en quelques points. On peut alors considérer la masse de la structure plus légère qui porte ces concentrations comme également concentrée aux mêmes points ; la structure porteuse ellemême sera considérée comme étant sans masse. Dans certains cas cependant, la masse du système est répartie partout de manière pratiquement uniforme ; on peut alors préférer une autre méthode pour limiter le nombre de degrés de liberté. Cette méthode est fondée sur l’hypothèse selon laquelle la déformée, c’est-à-dire l’ensemble des flèches définissant la configuration de la structure après déplacement, peut être expri­ mée comme une cômbinaison linéaire de certains motifs de déplacements ;

ces motifs jouent alors le rôle de coordonnées dans lesquelles on exprime les déplacements de la structure. Un exemple immédiat de cette idée est la repré­ sentation de la déformée d’une poutre simple en série trigonométrique. Cette déformée peut s’exprimer comme la somme de contributions sinusoïdales indépendantes qu’illustre la Fig. 1.4 ; sous une forme mathématique : «<*) =

2

n= 1

b« sin^L

n

(m )

De manière générale, on peut représenter une déformée arbitraire compa­ tible avec les conditions d’appui par une série infinie construite sur la base de ces composantes sinusoïdales. Les amplitudes relatives à chaque composante peuvent être considérées comme les coordonnées du système, et les degrés de liberté de la poutre réelle, qui sont en nombre infini, sont représentés par l’infinité de termes que comprend la série. L’avantage de cette approche est que l’on peut parvenir à une bonne approximation de la forme réelle de la poutre en se limitant à une série tronquée de composantes ; ainsi, pour une approxima­ tion à trois degrés de liberté, on ne conservera que trois termes dans la série, et ainsi de suite. Il est possible de généraliser cette idée, car le choix pour cet exemple de formes sinusoïdales comme motifs de déplacements possibles n’est qu’un choix

Quel que soit l’ensemble des fonctions de déplacement utilisées ÿ n(x), la forme résultante de la structure dépend de leurs amplitudes Zn que l’on appel­ lera coordonnées généralisées. Le nombre de motifs utilisés représente le nombre de degrés de liberté considérés dans cette forme d’idéalisation. Pour un certain problème d’analyse dynamique décrit par un nombre fixe' de degrés de liberté, on parvient en général à une meilleure précision en utilisant cette méthode d’idéalisation par fonctions de déformée plutôt que la concentration des masses. Il faut cependant reconnaître qu’un plus grand volume de calculs par degré de liberté est nécessaire lorsqu’on utilise ces coordonnées généra­ lisées. Notion d'élément fini

Il existe une troisième méthode d’expression des déplacements d’une struc­ ture donnée à l’aide d’un nombre fini de coordonnées discrètes de déplace­ ments ; elle combine certaines caractéristiques des procédés de concentration des masses et des coordonnées généralisées, et connaît à présent un grand succès. Cette approche, qui constitue la base de la méthode générale d’analyse des milieux continus par éléments finis, procure une idéalisation pratique et sûre du système, et s’avère particulièrement recommandable pour des calculs par ordinateur. L’idéalisation du type “éléments finis” est applicable à des structures de tous genres : structures en treillis, qui sont des assemblages d’éléments unidimensionnels (poutres, colonnes, etc.) ; structures en état de contraintes planes ou du type plaque ou coque, qui sont constituées d’éléments bidimensionnels ; et les corps tridimensionnels de forme arbitraire. Pour simplifier, seuls les éléments unidimensionnels seront envisagés dans la présente étude, mais la généralisation de cette notion aux éléments bi- et tridimensionnels ne présente pas de difficultés. La première étape de l’idéalisation par éléments finis d’une structure quel­ conque, par exemple la poutre représentée en Fig. 1.5, consiste à la diviser en un certain nombre de segments, ou éléments. Leur taille est arbitraire; ils peuvent être tous de la même taille ou être tous de tailles différentes. Les extré­ mités des segments, qui sont également leurs points de jonction, sont appelées points nodaux. Les déplacements de ces points nodaux sont alors pris pour coordonnées généralisées de la structure.

+

+

Fig. 1.4

arbitraire. En fait on peut utiliser n’importe quelle famille de motifs ÿ n(x) compatibles avec les conditions géométriques imposées par les appuis, et qui préservent la continuité voulue des déplacements internes. Une expression généralisée pour les déplacements de toute structure unidimensionnelle peut donc s’écrire v(x) = 2 Znil/n(x) (1-2)

Représentation de la déformée d'une poutre simple en série de Fourier.

Les déplacements de chaque point de la structure complète peuvent alors être exprimés en fonction de ces coordonnées généralisées par l’intermédiaire d'un certain ensemble de fonctions de déplacement choisies, en utilisant une

sion suffisante, et le problème pourra donc être réduit à la détermination de l’histoire dans le temps des seules composantes de déplacement choisies. Les expressions mathématiques qui définissent les déplacements dynamiques sont appelées équations du mouvement de la structure ; la résolution de ces équa­ tions donne les histoires de déplacements recherchées. La formulation des équations du mouvement d’un système dynamique peut fort bien constituer la phase la plus importante (et parfois la plus difficile) de toute l’étude. Dans ce livre, trois méthodes différentes seront utilisées pour formuler ces équations ; chacune d’entre elles présente certains avantages pour certaines classes de problèmes. Les paragraphes qui suivent présentent les no­ tions élémentaires sur lesquelles se fonde chacune de ces méthodes. finis.

expression du type de celle de PEq.(1.2). Dans ce cas les fonctions de dépla­ cement sont appelées fonctions d'interpolation car elles définissent la déformée par interpolation entre les déplacements connus des noeuds. Par exemple, la Fig. 1.5 montre des fonctions d’interpolation relatives aux deux degrés de liberté du point 3, qui produisent des déplacements latéraux dans le plan de la figure. On pourrait en principe prendre pour fonction d’interpolation n’importe quelle courbe continue dans son intervalle et satisfaisant aux condi­ tions géométriques de déplacement imposées par les déplacements des nœuds. Pour les éléments unidimensionnels, il est commode d’utiliser les déformées qui proviendraient des mêmes déplacements nodaux dans une poutre uniforme (ce sont les polynômes cubiques de Hermite, représentés en Fig. 1.5). Comme les fonctions de déplacement utilisées par cette technique satisfont aux conditions du paragraphe précédent, il est clair que les coordonnées utili­ sées dans la méthode des éléments finis ne sont jamais qu’une forme particu­ lière de coordonnées généralisées. Les avantages sont les suivants : 1) On peut utiliser n’importe quel nombre de coordonnées généralisées : il suffît de diviser la structure en un nombre approprié de segments. 2) Les fonctions de déplacement choisies pour chaque segment peuvent être identiques et les calculs en sont alors simplifiés. 3) Les équations sur lesquelles débouche cette approche sont largement dé­ couplées, car chaque déplacement nodal n’affecte que les éléments voisins ; le processus de résolution est donc grandement simplifié. En général, la méthode des éléments finis constitue la méthode la plus efficace pour exprimer les déplacements de configurations arbitraires de struc­ tures au moyen d’un ensemble de coordonnées discrètes. 1.5 Formulation des équations du mouvement

Comme il a été dit plus haut, l’objectif initial de l’étude dynamique déter­ ministe d’une structure est la détermination de l’histoire dans le temps des déplacements d’une certaine structure soumise à un chargement donné et variable dans le temps. Dans la plupart des cas, une étude approchée ne fai­ sant intervenir qu’un nombre limité de degrés de liberté procurera une préci­

Ecriture directe de l'équilibre dynamique par le principe de d'Alembert Les équations du mouvement d’un système dynamique quelconque sont des expressions de la deuxième loi de Newton, selon laquelle le taux d’accroisse­ ment de la quantité de mouvement d’une masse quelconque m est égal à la force qui lui est appliquée. Cette relation peut s’exprimer mathématiquement par l’équation différentielle

p(,)- i ( mf )

( i ' 3)

où p(0 est le vecteur de la force appliquée et v(r) est le vecteur position de la masse m. Dans la plupart des problèmes de dynamique des structures, on peut supposer que la masse ne varie pas avec le temps, auquel cas l’équation précé­ dente s’écrit p (0 =

dt

= mH 0

0 -3 °)

où les points représentent des dérivations par rapport au temps. Cette dernière équation, qui n’est autre que l’expression bien connue de l’égalité entre la force appliquée et le produit de la masse et de l’accélération communiquée, peut également s’écrire p(0 - m \(t) = 0 (1-36) où le second terme mÿ(t), appelé force d'inertie, s’oppose à l’accélération de la masse. Cette loi, selon laquelle une masse produit une force d’inertie pro­ portionnelle et opposée à son accélération, est connue sous le nom de principe de d'Alembert. C’est un outil très pratique dans les problèmes de dynamique des structures car il permet d’exprimer les équations d’un mouvement comme les équations d’un équilibre dynamique. On peut considérer que la force p(0 résulte de nombreux types de forces agissant sur la masse : des efforts de contraintes élastiques internes s’opposant aux déplacements, des forces vis­ queuses s’opposant aux vitesses, et des charges extérieures définies de manière indépendante. Ainsi, si on introduit une force d’inertie s’opposant aux accélé­ rations, l’expression de l’équation du mouvement n’est que la simple expression de l’équilibre de toutes les forces agissant sur la masse. Dans de nombreux

problèmes simples, la manière la plus directe et la plus pratique pour formuler les équations du mouvement consiste à écrire directement ce genre d’expression de l’équilibre. Principe des déplacements virtuels Si la structure est assez complexe, si elle comprend plusieurs points massiques ou plusieurs corps de dimensions finies et qui sont liés entre eux, l’écriture di­ recte de l’équilibre de toutes les forces agissant sur le système peut s’avérer difficile. Il est fréquent que les diverses forces qui interviennent puissent sExprimer facilement en fonction des degrés de liberté de déplacement, mais les relations d’équilibre peuvent rester obscures. On peut dans ce cas aban­ donner l’écriture directe de l’équilibre, et formuler les équations du mouve­ ment en utilisant le principe des déplacements virtuels. Le principe des déplacements virtuels peut s’exprimer comme suit. Si un système qui est en équilibre sous l’action d’un ensemble de forces est soumis à un déplacement virtuel, c’est-à-dire à un déplacement quelconque compa­ tible avec les liaisons du système, alors le travail total effectué par les forces est nul. Il est clair que le fait que le travail effectué lors d’un déplacement virtuel soit nul est équivalent à l’expression d’un équilibre. Nous voyons donc que les équations de la réponse d’un système dynamique peuvent s’établir de la manière suivante : on relève d’abord toutes les forces agissant sur les masses du système, y compris les forces d’inertie définies selon le principe de d’Alembert ; puis les équations du mouvement sont obtenues en considérant des déplacements virtuels correspondant à chaque degré de liberté et en égalant le travail effectué à zéro. Un avantage majeur de cette approche est que les contributions au travail virtuel sont des grandeurs scalaires et peuvent s’additionner algébriquement, alors que les forces agissant sur la structure sont vecto­ rielles et ne peuvent être superposées que de manière vectorielle. Principe de Hamilton Une autre méthode permettant d’éviter les problèmes de détermination des équations vectorielles de l’équilibre consiste à utiliser les grandeurs énergétiques scalaires sous une forme variationnelle. Le principe variationnel le plus généra­ lement applicable est le principe de Hamilton, que l’on peut exprimer comme

P ô(T -

Jt i

où

T V

V) dt +

T ÔWncdt = 0 '

(1-4)

Jri

= énergie cinétique totale du système. = énergie potentielle du système, comprenant à la fois l’énergie de déformation et le potentiel de toutes les forces conservatives extérieures. Wnc = travail effectué par les forces non conservatives agissant sur le système, c’est-à-dire l’amortissement et toutes les autres charges extérieures arbitraires. ô = variation subie pendant l’intervalle de temps considéré. Le principe de Hamilton exprime que la somme de la variation d’énergie cinétique et potentielle et de la variation du travail effectué parles forces non

conservatives, prise pendant un intervalle de temps quelconque t x à f2, est iden­ tiquement nulle. L’application de ce principe mène directement aux équations du mouvement de tout système donné. Le processus diffère de l’approche des travaux virtuels en ce sens que les forces d’inertie et de rappel élastique n’inter­ viennent pas explicitement ; au lieu de cela, ce sont les variations des termes d’énergie cinétique et des termes d’énergie potentielle qui sont utilisées. Cette formulation présente donc l’avantage de ne faire intervenir que des grandeurs énergétiques purement scalaires, alors que les forces et déplacements que l’on utilise dans l’étude des travaux virtuels pour représenter des effets correspon­ dants sont tous de caractère vectoriel bien que les travaux eux-mêmes soient des grandeurs scalaires. Il faut signaler que le principe de Hamilton peut également s’appliquer aux problèmes de statique. Dans ce cas, l’énergie cinétique T s’annule, et ce qui subsiste dans les intégrandes de FEq. (1.4) ne varie pas avec le temps : l’équa­ tion se réduit donc à S(V - Wnc) = 0 (1-5) qui est le principe bien connu du minimum de l’énergie potentielle, très large­ ment utilisé en théorie statique. Résumé Nous avons montré que les équations du mouvement d’un système dyna­ mique pouvaient se formuler par l’une quelconque de trois méthodes possibles. La méthode la plus évidente consiste à écrire directement l’équilibre dyna­ mique de toutes les forces agissant sur le système, en tenant compte des effets d’inertie à l’aide du principe de d’Alembert. Dans les systèmes plus complexes cependant, en particulier pour ceux où la masse et les propriétés élastiques sont réparties sur des régions finies, l’écriture directe de l’équilibre vectoriel peut s'avérer difficile : des formulations par le travail et l’énergie, ne faisant inter­ venir que des grandeurs scalaires, peuvent alors s’avérer plus commodes. La plus directe parmi ces formulations se fonde sur le principe des déplacements virtuels : les fêrces agissant sur le système sont évaluées de manière explicite, mais les équations du mouvement sont obtenues en considérant le travail effectué lors de déplacements virtuels adéquats. L’autre formulation énergé­ tique possible, qui est fondée sur le principe de Hamilton, n’utilise pas direc­ tement les forces d’inerties ou conservatives agissant dans le système ; au lieu de cela, les effets de ces forces sont représentés par des variations de l’énergie cinétique et potentielle du système. Il faut bien voir que les trois procédés sont absolument équivalents et mènent à des équations du mouvement qui sont identiques. Le choix de la méthode à utiliser dans chaque cas reposera sur des questions de simplicité et de préférence personnelle ; de manière générale, il dépendra de la nature du système dynamique considéré. 1.6 Organisation de ce cours

La première partie de ce cours sera consacrée principalement au traitement des systèmes ne comportant qu’un seul degré de liberté, c’est-à-dire des sys­

tèmes pour lesquels le déplacement peut être représenté par une seule coor­ donnée. Nous étudierons cette classe de problèmes de manière assez complète pour deux raisons : (1) le comportement de nombreuses structures rencontrées dans la pratique peut être exprimé par l’intermédiaire d’une seule coordonnée, avec un résultat final acceptable par résolution du problème à un seul degré de liberté qui en découle ; (2) dans les structures linéaires de formes plus com­ plexes, la réponse totale peut être exprimée comme la somme des réponses d’un ensemble de systèmes à un seul degré de liberté. La technique de calcul s’appliquant au cas d’un seul degré de liberté constitue ainsi la base d’une vaste majorité de techniques déterministes en dynamique des structures. La deuxième partie traite des systèmes non continus (discrets) présentant plus d’un degré de liberté, et dont le comportement peut s’exprimer à l’aide d’un nombre fini de coordonnées. Dans notre exposé consacré aux systèmes élastiques linéaires, nous présenterons des techniques de calcul des caracté­ ristiques de vibration ; puis nous exposerons la méthode de superposition des modes, par laquelle la réponse totale est exprimée comme la somme de ré­ ponses individuelles correspondant aux divers modes de vibration. Nous verrons que le calcul de la réponse correspondant à chacun des modes utilise un cal­ cul classique à un seul degré de liberté. La méthode de superposition n’est cependant pas applicable aux systèmes non linéaires : nous présenterons une technique d’intégration pas à pas servant à la résolution de ce genre de pro­ blèmes. Les systèmes dynamiques dont les propriétés sont réparties de manière continue seront envisagés dans la troisième partie. Ces systèmes présentent un nombre infini de degrés de liberté, et les équations de leurs mouvements s’écrivent sous la forme d’équations aux dérivées partielles. Nous montrerons cependant que la méthode de superposition des modes est là encore applicable, et que des solutions acceptables peuvent être obtenues en considérant un nombre fini de modes de vibration. Les trois premières parties concernent des méthodes déterministes, qui pro­ curent l’histoire de la réponse à un chargement dynamique quelconque donné. La quatrième partie présente l’approche probabiliste de l’analyse dynamique, en commençant par les bases de la théorie des probabilités ; cette partie traite de l’étude des systèmes à un et à plusieurs degrés de liberté. Il n’est souvent pas possible de définir l’excitation d’un système dynamique de manière complète. Mais même dans ce cas on peut parfois caractériser cette excitation de manière probabiliste, ce qui rend alors possible la prédiction de la réponse par des méthodes également probabilistes. Les résultats obtenus pré­ sentent autant —et souvent plus—d’intérêt que ceux qui sont calculés par des moyens déterministes, en particulier si des hypothèses discutables doivent être faites afin de rendre possible une étude déterministe. Par exemple, on ne peut évidemment pas espérer prédire de manière déterministe et avec une précision non illusoire la réponse dynamique future (1) d’avions volant dans des condi­ tions atmosphériques perturbées, (2) de navires naviguant en mer agitée, (3) de bâtiments soumis à une excitation sismique de forte amplitude, (4) de pièces de missiles soumises à des bruits de niveau élevé, ou (5) de véhicules roulant sur des routes de mauvaise qualité.

La théorie des probabilités constituant la base de l’analyse non déterministe, ses fondements seront présentés au Chapitre 22. Ils seront ensuite appliqués à la caractérisation de processus aléatoires au Chapitre 23, et ceux-ci seront à leur tour utilisés pour étudier les vibrations aléatoires des systèmes linéaires à un degré de liberté (au Chap. 24), et des systèmes à plusieurs degrés de liberté (au Chap. 25). Enfin, la cinquième partie traite d’applications de la dynamique des struc­ tures à des problèmes de génie sismique. C’est dans ce genre d’applications pratiques que la dynamique des structures trouve son utilisation principale en génie civil. Ses méthodes sont cependant aussi bien applicables à l’étude de structures chargées par des vents en génie civil, qu’à de nombreux problèmes se présentant dans l’industrie aérospatiale, en construction navale, en cons­ truction mécanique, et dans tous les cas où une structure se trouve soumise à des charges dynamiques.

Première partie :

Systèmes à un degré de liberté

L

Formulation des équations du mouvement

fcà.1 Composants du modèle dynamique élémentaire

Les caractéristiques physiques essentielles de toute structure élastique li­ néaire soumise à des charges de nature dynamique sont sa masse, ses propriétés élastiques (souplesse ou rigidité), son mécanisme de déperdition d’énergie, ou amortissement, et la source extérieure d’excitation, ou chargement. Dans le modèle le plus simple de système à un degré de liberté, chacune de ces caractéristiques est supposée condensée dans un élément physique unique : la Fig. 2Aa montre un schéma d’un tel système. Toute la masse m de ce modèle simple est localisée dans le bloc rigide. Des rouleaux contraignent son déplacement de manière qu’il ne puisse se produire que suivant une translation simple ; l’unique coordonnée de déplacement v définit donc complètement sa position. La résistance élastique au déplacement est représentée par le ressort sans masse de rigidité k, et le mécanisme de déper­ dition d’énergie par l’amortisseur c. Le mécanisme de chargement externe qui provoque la réponse dynamique du système est la charge p(t) variable dans le temps.

-c f - n ,n n n n r -

>p(t)

>p(t)

fs«

k

?//////■ (a)

Fig. 2.1

fû4

(b)

Système idéalisé à un degré de liberté : (a) composants élémentaires ; (b) forces participant à l'équilibre.

2.2 Méthodes de formulation

Ecriture directe de l'équilibre dynamique L’équation du mouvement du système de la Figure 2Aa s’obtient par n’im­ porte lequel des trois procédés présentés au Chapitre 1. Dans ce cas élémentaire,

la méthode la plus simple consiste à exprimer directement l’équilibre de toutes les forces agissant sur la masse. Comme on le montre en Figure 2.16, les forces agissant suivant la direction du degré de liberté de déplacement sont le charge­ ment appliqué p (t) et trois forces engendrées par le mouvement : la force d’inertie / 7, la force d’amortissement f D et la force de rappel du ressort élas­ tique f s . L’équation du mouvement exprime tout simplement l’équilibre de ces forces, et s’écrit : f i + Id + fs = P ( 0

fs = kv

(2-2a)

De même, par le principe de d’Alembert, la force d’inertie est le produit de la masse et de l’accélération : f i = mv (2-26) Enfin, en supposant un mécanisme d’amortissement visqueux la force d’amor­ tissement est le produit de la constante d’amortissement c et de la vitesse : d

=

ci)

(2 -2 c)

Si on reporte les trois équations qui précèdent dans l’Eq. (2.1), on obtient l’équation du mouvement de ce système à un degré de liberté comme étant mv -f cv + kv — p(t)

(2-3)

Application du principe des travaux virtuels Il sera également instructif de mener à bien la formulation de cette même équation de mouvement par l’intermédiaire des travaux virtuels. Les forces agissant sur la masse sont analysées en Fig. 2.16. Si on communique à cette masse un déplacement virtuel ôv (le seul déplacement compatible avec les contraintes présentes), ces forces fournissent chacune un certain travail. Le travail total effectué par le système peut s’écrire ~ fi àv - f D ôv - f s ôv + p(t) ôv = 0

(2-4)

où les signes négatifs s’expliquent par le fait que les forces agissent dans le sens opposé à celui du déplacement virtuel. Reporter les Eqs. (2.2) dans l’Eq. (2.4) et simplifier par ô v mène alors à [ — mi)

—

cû

—

Art? -h /?(*)] àv

Application du principe de Hamilton Pour compléter cette présentation, nous obtiendrons à présent l’équation du mouvement du même système par utilisation du principe de Hamilton [Eq. (1.4)]. L’énergie cinétique du système est par définition donnée par

(2-1)

Chacune des forces figurant au premier membre de cette équation est fonction du déplacement v ou de ses dérivées par rapport au temps ; le sens positif de ces forces a été délibérément choisi de manière à correspondre au sens des déplacements négatifs, car elles s’opposent aux chargements positifs appliqués à la masse. Considérons d’abord la force de rappel du ressort élastique. Elle est bien sûr donnée par le produit de la rigidité du ressort et du déplacement :

/

Comme 5v est non nul, on peut facilement mettre cela sous la forme de l’Eq. (2.3).

=

0

(2-5)

T =

(2-6d)

et l’énergie potentielle, qui représente simplement l’énergie de déformation U du ressort, est donnée par V = U = x\ 2kv2

(2-66)

Les forces non conservatives du système de la Fig. 2.16 sont la force d’amortis­ sement f D et la charge appliquée p(t). La variation du travail effectué par ces forces peut s’exprimer par ÔWnc = p(t) ôv - ci) ôv (2-6c) qui est équivalente à l’expression du travail virtuel associé à ces forces dans l’Eq. (2.5). En reportant les Eqs. (2.6) dans l’Eq. (1.4) et en prenant la variation du premier terme, on parvient à [mû ôv — ci) ôv — kv ôv + p(t) ôv] dt = 0

(2-7)

Le premier terme de cette équation peut à présent être intégré par parties comme suit : /V2 P*2 mv ôv dt = mv ôv — I mv ôv dt ( 2 - 8) Jri

t!

Jri

où on a utilisé l’égalité ôt> = d(hv)/dt. Mais comme l’une des hypothèses du principe de Hamilton est que la variation bv s’annule aux bornes d’intégration t 1 et t2) le premier terme obtenu est égal à zéro. Si on reporte alors la rela­ tion (2.8) dans l’Eq. (2.7), le résultat peut s’écrire [ —mv — ci) — kv + p(0] àv dt = 0

(2-9)

et comme la variation ôu ést arbitraire, il est clair que l’équation qui précède ne peut en général être satisfaite que si l’expression entre crochets s’annule. On peut alors passer à la forme de l’Eq. (2.3). Cet exemple montre comment la même équation du mouvement peut être obtenue par chacune des trois méthodes de base. Pour ce système il est évident que l’on préférera exprimer directement l’équilibre dynamique.

2.3 Influence des forces de pesanteur

Considérons à présent le système représenté en Fig. 2.2a, qui correspond à celui de la Fig. 2Aa après une rotation de 90° (si bien que les forces de gravité agissent dans la direction du déplacement). Le système de forces agissant sur la masse est alors défini comme sur le schéma de la Fig. 22b, et si on utilise les Eqs (2.2) l’expression de l’équilibre s’écrit : mv + cv + kv = p(t) + W (2-10) où W représente le poids du bloc rigide. Si on exprime le déplacement total v comme la somme du déplacement statique A^ (dû au poids W) et du déplacement dynamique complémentaire vyvoir la Fig. 2.2c : v = Ast + v

(2-11)

f s = kv = kAst + kv

(2-12)

la force dans le ressort s’écrit En reportant l’Eq. (2.12) dans l’Eq. (2.10), on obtient mv + cv + kAst + kv = p(t) + W et comme k

(2-13)

= W, on a finalement mi) + cv + kv = p(t)

(2-14)

Si on dérive à présent l’Eq. (2.11) en remarquant que A^ est indépendant du temps (et donc que v — v, etc.), l’Eq. (2.14) peut être mise sous la forme mv + cv + kv = p(t)

(2-15)

En comparant les Eqs. (2.15) et (2.3), on constate que si le mouvement est mesuré par rapport à la position d’équilibre statique du système dynamique,

son équation n’est pas affectée par les forces de pesanteur. Pour cette raison, les déplacements seront désormais comptés à partir de la position statique du système, et les déplacements ainsi repérés constitueront la réponse dynamique. De cette manière, les flèches, contraintes, etc. totales seront obtenues en ajoutant les valeurs statiques adéquates aux résultats de l’étude dynamique. 2.4 Influence d'une excitation d'appui

Les contraintes et les déplacements dynamiques d’une structure peuvent provenir non seulement d’un chargement variable dans le temps comme en Fig. 2.1 et 2.2 mais encore de mouvements de ses points d’appui, ou points d’ancrage. D’importants exemples de ce type d’excitation sont les mouvements communiqués aux fondations d’un bâtiment par des secousses sismiques, ou les mouvements communiqués au bâti d’une machine par les vibrations du bâtiment qui l’abrite. La Fig. 2.3 représente un modèle simplifié du problème que posent les excitations par séisme ; les déplacements horizontaux du sol sont repérés par le déplacement vg de la base de la structure par rapport à l’axe fixe de référence. La poutre transversale de ce portique est supposée rigide ; ôn suppose égale­ ment qu’elle contient toute la masse mobile de la structure. Les colonnes verti­ cales sont supposées sans masse et inextensibles dans la direction verticale (axiale) ; la résistance opposée par les colonnes aux déplacements de la poutre est représentée pour chaque colonne par une constante de rappel élastique k /2.La masse possède donc un seul degré de liberté v, qui provient de la possi­ bilité de flexion des colonnes ; l’amortisseur visqueux de constante c oppose à cette déformation une résistance proportionnelle à la vitesse du déplacement. Comme le suggère la Fig. 23b, l’équilibre des forces de ce système s’écrit f, + fo + fs = 0

(2-16)

///////////////////s '//jz fs fo fs fü

U

1

2

fc i ri

m

m ■W

x

T. P(t) (a) Fig. 2.2

[s

p(t) (b)

—i— iw

fo

ÙL 2

(b) —— s/

Déplacement statique

P(t) (c)

Influence de la pesanteur sur l'équilibre d'un système à un degré de liberté.

Fig.2.3 Influence d'une excitation d'appui sur l'équilibre d'un système à un degré de liberté : (a) mouvement du système ; (b) forces participant à l'équilibre.

où les forces d’amortissement et de rappel élastique peuvent s’exprimer comme dans les Eqs. (2.2). Dans ce cas cependant, la force d’inertie est donnée par f I = m i)t

(2-17)

où v f représente le déplacement total de la masse par rapport à l’axe de référence. En remplaçant par leur valeur dans l’Eq. (2.16) les forces d’inertie, d’amortissement et de rappel élastique, on obtient mv* + cv + kv = 0 (2-18) Pour résoudre cette équation, il faut d’abord pouvoir exprimer toutes les forces en fonction d’une seule variable ; on peut le faire si on remarque que le dépla­ cement total de la masse est égal à la somme du mouvement du sol et du déplacement dû aux déformations des colonnes, à savoir v*=-v + vg

(2-19)

Si on exprime la force d’inertie en fonction des deux composantes d’accélé­ ration obtenues par dérivation de l’Eq.(2.19),et si on reporte dans l’Eq. (2.18), on obtient mv -f mvg + ci) + kv = 0 (2-20)

pour lesquels les déformations peuvent être continues dans l’ensemble de la structure ou au sein de quelques-uns de leur composants. Dans les deux cas, on contraint la structure à se comporter comme un système à un degré de liberté par l’hypothèse suivant laquelle des déplacements d’une seule allure donnée peuvent se produire. Pour la classe de structures formées d’un assemblage de corps rigides et dont il est question dans ce paragraphe, il est fréquent que la limitation à une seule allure de déplacement soit une conséquence de la configuration de l’assem­ blage ; c’est-à-dire que les déplacements des corps rigides sont contraints par des rotules, si bien qu’un seul type de déplacement est possible pour l’ensemble. Pour les structures à caractéristiques élastiques réparties considérées au § 2.7, la réduction à cette forme permettant de n’avoir qu’un degré de liberté unique ne constituera qu’une hypothèse simplificatrice ; en réalité, des caractéristiques élastiques réparties autorisent une variété infinie de dépla­ cements. Pour formuler les équations du mouvement d’un assemblage de corps rigides, les forces élastiques créées par des déplacements correspondant à un Barre uniforme

et comme l’accélération du sol représente l’excitation dynamique donnée de la structure, l’équation du mouvement peut s’écrire sous la forme simple suivante : mv -f ci) + kv = —mi)g(t) = ptu(t) (2-21)

/o ~mu h

Dans cette équation peff(0 représente le chargement effectif dû à l’exci­ tation des appuis ; autrement dit, la structure répond à l’accélération du sol vg(t) exactement comme elle répondrait à un chargement extérieur p(t) égal au produit de la masse et de l’accélération du sol. Le signe négatif dans l’Eq. (2.21) indique que la force effective s’oppose à l’accélération du sol ; cela ne présente que peu d’importance en pratique, d’autant plus que l’excitation de la base doit généralement être considérée comme agissant suivant une direction arbitraire. 2.5

m = mL

m = masse linéique

Plaques uniformes

Tb

m

2

I

&

*m - yab

7 = masse surfacique

Systèmes particuliers à un degré de liberté : assemblage de corps rigides

Tous les cas considérés jusqu’à présent étaient extrêmement simples, car chacune des caractéristiques physiques —masse, amortissement et élasticité était représentée par un composant isolé et unique. Mais l’étude de la plupart des systèmes réels requiert l’utilisation d’idéalisations plus compliquées, même pour les structures auxquelles nous nous intéressons à présent et qui sont celles que l’on peut assimiler à des systèmes à un seul degré de liberté. Pour notre propos il sera plus pratique de distinguer deux classes de systèmes généralisés à un degré de liberté : (1) les assemblages de corps rigides dans lesquels les déformations élastiques sont strictement limitées à des éléments ressorts localisés, et (2) les systèmes possédant des caractéristiques élastiques réparties,

Jo =m(iir->

K *K H Fig. 2.4

Masse et moment d'inertie massique de quelques corps rigides.

degré de liberté unique peuvent s’exprimer facilement en fonction de l’ampli­ tude du déplacement, car chaque élément élastique est un ressort discret soumis à une déformation donnée. De même les forces d’amortissement peuvent être exprimées en fonction des vitesses relatives des points d’accro­ chage de chaque amortisseur. Mais en revanche la masse des corps rigides n’est pas nécessairement concentrée, et les accélérations supposées produiront généralement des forces d’inertie réparties. Le plus efficace pour notre étude dynamique consistera cependant généralement à traiter les forces d’inertie d’un corps rigide comme si la masse et le moment d’inertie massique étaient concentrés au centre de masse. Les résultantes d’inertie ainsi obtenues sont entièrement équivalentes aux forces d’inertie réparties dans la mesure où c’est le comportement d’ensemble de l’assemblage qui est concerné. (Il est de même souhaitable de représenter toutes les charges extérieures réparties agissant sur les corps rigides par leurs résultantes.) On a regroupé en Fig. 2.4 les masses et les moments d’inertie massiques d’une barre prismatique et de diverses plaques uniformes.

Nous utiliserons ici la méthode des travaux virtuels ; signalons que le principe de Hamilton serait tout aussi applicable. Pour la forme du déplacement susceptible de se produire dans cette structure à un degré de liberté (Fig. E2.2), la flèche Z (t) au niveau de

EXEMPLE E2.1 Un exemple possible d’assemblage de corps rigides consiste en deux barres rigides liées par une rotule en B et portées par un pivot en A et un galet en C (voir Fig. E2.1). Une excitation dyna-

la rotule peut être prise pour variable de base, et tous les autres dépla­ cements peuvent être exprimés en fonction de cette variable ; par exemple DD' = Z/4, E É = 3Z/4, FF* —'2Z/3, etc. Les forces agissant sur le système (sauf la force axiale N sur laquelle nous reviendrons plus tard) sont également représentées sur la figure. Chaque force résistante peut être exprimée en fonction de Z ou de ses dérivées par rapport au temps :

Fig. E2.2

Déplacements d'un système à un degré de liberté et les forces qui en résultent.

/ S1 = k ,(£ £ ') = fc,3/4Z(t) f s2 = k2(GG') = k2l/ 3Z(t) DD'^J = c,V4Z(<) [•—a —*\«------- 2a ------- a — Fig. E2.1

g

•a

a~\

Exemple de système à un degré de liberté constitué d'un assemblage de corps rigides.

mique est communiquée par une charge latérale p (x ,t) qui varie linéairement le long de la barre AB. On a ajouté une force axiale constante N qui agit tout le long du système, et le mouvement est contraint par des ressorts discrets et des amortisseurs placés comme indiqué le long des barres. La masse est uniformément répartie le long de la barre A B , et la barre sans masse BC porte une masse ponctuelle m 2. Les deux barres étant supposées rigides, ce système n’a qu’un degré de liberté et sa réponse dynamique peut être exprimée par une seule équation de mouvement. Cette équation pourrait être formulée par écriture directe de l’équilibre (le lecteur trouvera sans doute un intérêt à faire cet excercice), mais en raison de la complexité du système il est plus commode d’utiliser une formulation par le travail ou l’énergie.

fo2 = C2^(0 fn =

= m L lj 2Z(t) = 2amZ(t)

3ïln = l 0 i - Z (0 = ^ Z (0 = 7 j a 2mZ(0 4a 4a 12 f n = m22/ 3Z(t) La résultante des charges extérieures appliquées est Pi = 8 p a £ (0

Dans ces expressions, m (resp. p) est une valeur de référence de masse (resp. de force) par unité de longueur, et f ( 0 représente l’évolution de la charge dynamique. L’équation du mouvement de ce système peut s’écrire en annulant tout travail effectué par ces forces lors d’un déplacement virtuel arbi­ traire ÔZ. Le déplacement virtuel dans lequel les composantes des forces

agissent est proportionnel à Z, comme indiqué en Fig. E2.2. Ainsi le travail virtuel total peut s’écrire ÔW = - k t3UZ(t)3UôZ - k2 ? t p - ^ - c, ^ ^ - c2ï ( t ) ÔZ 3 3 4 4 —

2am Z(t)— — *j3a2mZ{t) —

- simplification • ,-r.2 et après

[(a™+ ~f + 4/9m2)

2/ 3ôZ

— m2

40

^

4-

8paÇ(t)2j 3ôZ

3

(fl)

+ (l6 + C2) ^

+ (7 i« *i +

v

Fig. E2.3

Z(0 - 1#/3M ( o l m = 0

v

J

(b)

Comme le déplacement virtuel ôZ est arbitraire le terme entre crochets doit s’annuler ; ainsi l’équation finale du mouvement devient (4/ 3ma + 4/ 9m2)Z(t) + ^

Composantes de déplacement suivant la direction de la force axiale.

+ c^j Z(t) + ( 9/l6*. + j ) z ( t ) = 16A M

(0

(c)

et le travail virtuel effectué par la force axiale N est 7 N7 ÔWN = ^- — ÔZ (d) 12 a Si on fait intervenir l’Eq. (d) dans l’Eq. (a) et si on effectue quelques opérations de simplification semblables à celles qui ont conduit à l’Eq. (c), on voit qu’un seul terme de l’équation du mouvement subit l’in­ fluence de la force axiale : la rigidité généralisée. Si on inclut l’effet de la force axiale sur ce système, la rigidité généralisée combinée k * se réduit à

On peut écrire cela sous la forme simplifiée m*Z(t) + c*Z(t) + k*Z(t) = p*(t) avec m* = a/ 3ma + 4/ gm2 , k* = 9/ie^i + 7 ^ 2

c* = 1/ 16c1 + c2 P*(0 = 16/sPaC(0

que l’on appelle respectivement masse, amortissement, rigidité et /cvre généralisés relatifs à ce système ; ils ont été évalués en faisant référence à la coordonnée Z ( t), utilisée ici pour définir les déplacements du système entier. Considérons à présent la force axiale N de la Fig. E2.1. Comme on peut le voir en Fig. E2.3, le travail virtuel effectué par cette force dans le déplacement virtuel ÔZ est de. Le déplacement de est composé de deux parties, bel et ôe2, qui correspondent aux rotations des deux barres. En considérant l’influence de la barre ÀB seulement il est clair, en raison des triangles semblables qui apparaissent sur la figure (et en supposant de petits déplacements), que be1 = (Z/4a) ÔZ ; de même ôe2 = (Z/3æ) ôZ. Le déplacement total est donc 6ex + S e2 = - - 3 Z

12 a

* • = * * - " = 7 . 6*1 + V 9* 2 - - p : -

12 a

(2-22)

12 a

(e)

Avec ce terme modifié, l’équation du mouvement du système complet de la Fig. E2.4, tenant compte de la force axiale, est donnée par une équation semblable à l’Eq. (2.22). Il est bon de remarquer qu’une rigidité généralisée nulle représente une condition de stabilité neutre ou de flambage critique pour le système. La valeur de la force axiale Ncr qui provoque le flambage de cette structure peut donc être déterminée en annulant le k* de l’Eq. (e) :

0= Ainsi

9/ l 6 k t +

79k 2

12 a

Ncr = (27/ 2 8 ^i + V 2 1 ^ 2 ) 0

( /)

En général les forces axiales de compression tendent à réduire la rigidité, alors que les forces axiales de traction provoquent son accroissement. De telles charges peuvent avoir un effet conséquent sur la réponse de la structure aux charges dynamiques, et il est indispensable de calculer la mo­ dification de rigidité qui en résulte afin de déterminer son importance dans chaque problème spécifique. Il faut remarquer que le terme force axiale se rapporte, ici et dans ce qui suivra, à une force agissant parallèlement

y = masse surfacique

2.6 Systèmes particuliers à un degré de liberté : souplesse répartie

(uniforme)

Fig. E 24

Plaque à un degré de liberté avec forces dynamiques.

à l’axe initial de l’e'lément avant déformation ; on suppose que la direc­ tion d’une telle force reste identique à elle-même dans le mouvement de la structure.

«

EXEMPLE E2.2 Formulons à présent les équations du mouvement de l’assemblage de corps rigides représenté en Fig. E2.4. On peut caractériser un mouvement de faible amplitude de ce système par le déplacement vertical Z (t) du point d’application de la charge ;on peut alors exprimer en fonction de cette variable toutes les forces qui résistent au mouvement : f s = k - Z(t) a

L’exemple de la Fig. E2.1 est un système à un degré de liberté en dépit des liaisons complexes qui existent entre ses divers composants : les deux barres rigides sont en effet tenues de manière qu’un seul motif de déplacement soit possible. Si les barres pouvaient également fléchir, alors le système aurait un nombre infini de degrés de liberté, mais malgré tout on pourrait encore effectuer une étude simple à un degré de liberté en supposant qu’un seul motif de déplacement peut se produire —c’est-à-dire en y faisant figurer une certaine composante de déplacement due à la flexion. Illustrons cette méthode d’approximation par degré de liberté unique du comportement d’un système qui en a en réalité un nombre infini. Considérons à cet effet la formulation des équations du mouvement de la tour encastrée de la Fig. 2.5. Les propriétés essentielles de la tour sont sa raideur en flexion EI(x) et sa masse linéique m(x). On suppose qu’elle est soumise à une exci­ tation communiquée par un ébranlement sismique du sol v (t) ; elle porte une charge verticale constante N appliquée en son sommet. N Z{t)

f n = yabl/ 2Z(t)

H/

f i l = yab

2(t) 9TC, = yab a b - Z(t) 2a 12 a L’équation du mouvement de ce système simple peut s’écrire directement en écrivant l’équilibre des moments par rapport à la rotule : fsb

+ fn

~

ft2 2

V(x,

m(x) Ef(x)

=

soit, en divisant par la longueur a et en utilisant les expressions des forces ci-dessus : Fig. 2.5

’“* [ 5 ( ? + 1) + ï + ® ] 2(‘) + t ? z<') - ' <,) Finalement m*Z(t) + k*Z(t) = p*(t)

"*

- f (‘ + 5)

k* = k - 2 a1

01

p*(t) = p(t)

Structure réelle traitée comme un système à un degré de liberté.

y//////, 777PP77ZW7/ -vAt)-

Pour approcher le mouvement de ce système au moyen d’un seul degré de liberté, il est nécessaire de supposer qu’il ne peut fléchir que suivant une allure prédéterminée. La fonction de déformée sera désignée par i//(jc), et l’amplitude du mouvement sera représentée par la coordonnée généralisée Z (t) ; nous aurons ainsi v(x,t) = \p(x)Z(t) (2-23) On choisit généralement la coordonnée généralisée comme le déplacement d ’un certain point de référence appartenant au système, comme le sommet dans le

cas de notre tour. Alors la fonction de déformée est définie par le rapport adimensionnel du déplacement de chaque point de la structure et de ce déplace­ ment de référence : ip(x) = ^ Z(t)

f

i

(2-24)

On ne peut formuler de manière commode les équations du mouvement de ce système généralisé que par l’intermédiaire des principes énergétiques ; nous utiliserons ici le principe de Hamilton dans le but d’en faire une démonstration (mais le principe des travaux virtuels est tout aussi applicable). L’énergie ciné­ tique de la tour est donnée par T = -

soit, après utilisation des Eqs. (2.25) à (2.28) et après avoir effectué les variations indiquées, [J

(2-25)

2 Jo

Vf = - f EI(x)[v"(x,t)Y dx

v‘ = v + vg

f

e(t) = ^ [i/(x ,0 ]2 dx 2 Jo

v" = il/"Z

v’ = }j/’Z

v = ij/Z

ôv" = ii" ÔZ

ôv' = *]/' ÔZ

ôv = ij/ ÔZ

^2 30'>

dans l’Eq. (2.29), on obtient

(2-26)

2 Jo

où v" est la dérivée seconde d 2v/dx2. Pour calculer l’énergie potentielle de la force axiale (qui reste inchangée en direction et en amplitude dans la réponse dynamique et donc est conservative), il est nécessaire de calculer la composante verticale du mouvement du sommet de la tour e(t). Par analogie avec l’obtention de l’Eq. (d) de l’Exemple E2.1, on peut montrer que

(2-29)

Si à présent on reporte les relations

J«

et l’énergie potentielle des déformations en flexion par

E I(x)v"(x,t) ôv” dx

+ N J L v’(x,t) ôv’ rfxj = 0

ôv1 = ôv m(x)[i)r(x ,0 ]2 dx

ôi>‘ dx ~ J

£ 2

ôZ J* m(x)i)/2 dx + ôZvg(t) J

dx

~ Z Ô Z j L E l { x W ) 2 dx + N Z ÔZ

( f ) 2 dx'j dt = 0

(2-31)

Après intégration des deux premiers termes par parties on trouve

J>'2

+ k*Z - k*Z - p*ff(0 ] àZ dt =-- 0

ou

m* = J

(2-27)

(2-32)

m{x)\j/2 dx = masse généralisée

k* = j* E l (x)(\j/")2 dx = rigidité généralisée L’énergie potentielle de la charge axiale N est donc donnée par (2-33) (2-28)

k% = N j* ( * ? dx = rigidité géométrique généralisée

où le signe négatif apparaît parce que le potentiel de la force N est réduit par le déplacement e(t). Remarquons au passage que si la force axiale N variait avec la cote le long de la tour (en tenant par exemple compte du poids propre de la structure), il ne serait nécessaire de modifier l’Eq. (2.28) que par l’inclusion de l’expression de la force axiale sous le signe d’intégration. Dans le système de la Fig. 2.5 il n’y a pas de charges dynamiques directe­ ment appliquées, et on a négligé l’amortissement. En conséquence le principe de Hamilton prend la forme

PeffCO = —vg j* m(x)ij/ dx = charge effective généralisée

VK = - f £

[>'(*,0 ] 2 dx

J ' 2 Ô(T - V) dt = 0

Mais comme la variation ÔZ est arbitraire, le terme entre crochets dans l’Eq.(2.32) doit s’annuler; l’équation du mouvement peut donc finalement s’écrire m*Z(t) + Jc*Z(0 = p*ff(0

(2-34)

où £* = & * est la rigidité généralisée combinée du système.

(2-35)

La charge critique de flambage peut se calculer par la même méthode que celle qui a été utilisée dans l’Exemple E2.1 : en posant la rigidité généralisée combinée égale à zéro ; ainsi : JE* = k* - k* =

JLE I { x W ) 2 dx

En tenant compte de la force axiale N, la rigidité géométrique généra­ lisée de la tour est, par l’Eq. (2.33),

- N cr J L m 2 dx = 0 et la combinaison avec l’Eq.(c) donne la rigidité généralisée combinée

d’où £■ E I ( x W ) 2 dx --------------N„ = ')2 dx

(2-36)

J>

JE* = k* - k* = G 32L3

..

n4EI 8L

(a)

Par application des Eqs.(2.33), les masse et rigidité généralisées de la tour sont m* = J

m(\j/)2 dx = m j* ^1 — cos

dx = 0.22SmL

* j ; ( £ « g y * . g f?

(b)

«

G

m\j/ dx = mvg(t) j* ^1 - cos

0.228m L l{î) + Ï E

(d)

Si on néglige la force axiale, l’équation du mouvement donnée par l’Eq. (2.34) est donc 0.228mLZ(0 + ^

Z(l) = 0.364mLvt(t)

( i - J p j Z(t) = 0.364mLü9(f)

(e)

°

(j)

On peut bien entendu essayer pour ÿ (x) toute autre allure satisfaisant aux conditions géométriques de frontière de la structure. Si par exemple la forme des déplacements est supposée parabolique,
dx

= 0364fnLvg(t)

tS E IN _ 32L3 N cr

Si on l’utilise pour modifier l’Eq.(e), l’équation du mouvement tenant compte des effets de la force axiale devient

Si on suppose que la base de la tour est soumise à une excitation, la force généralisée donnée par l’Eq. (2.33) est, en omettant le signe - , ce qui n’a pas ici d’importance pour la suite du raisonnement, p*ff(t) = Vg(t) |

n2 E l

C’est la charge de flambage exacte pour une colonne uniforme encastrée à sa base et chargée en son extrémité, car la fonction de déformée défi­ nie par l’Eq. (a) est la déformée de flambage exacte. Si on substitue l’Eq. (/ï) dans l’E q .(/), on peut exprimer la rigidité géométrique de manière simple comme * =

\J/(x) = 1 — cos — 2L

(g) yy)

La charge critique de flambage que l’on obtient en annulant la rigidité combine'e est donc, par l’Eq. (g),

Cette méthode de calcul approché, à un seul degré de liberté, de la charge critique de flambage est appelée méthode de Rayleigh. La valeur déterminée pour la charge critique dépend bien sûr de la fonction de déformée utilisée. EXEMPLE E2.3 Passons à un exemple numérique de formulation des équations du mouvement d’un système à un degré de liberté avec sou­ plesse répartie. Nous supposerons que la tour de la Fig. 2.5 a une raideur de flexion uniforme et une masse uniformément répartie ; de plus l’allure de la déformée en vibrations libres sera définie par

8L

‘ — ■j et la rigidité géométrique généralisée devient

(k)

Dans ce cas la charge critique obtenue en faisant k* =

devient

v(x, t) = \l/(x)Z(t)\

(a) 4E l 3L "

•

'

-

-

r

t

"

3E l i

t

m

qui est de 21 % plus élevée que la valeur de l’Eq. (h). Si on choisit pour fonction de déformée tout motif autre que celui de la déformée de flambage réelle, cela s’apparentera à des contraintes exté­ rieures supplémentaires agissant sur le système pour préserver son équi­ libre. Ces contraintes se traduiront par une influence rigidificatrice sur le système ; et donc la charge critique calculée par la méthode de Rayleigh en utilisant une allure de déformée autre que l’allure exacte sera toujours plus élevée que la charge critique exacte. Il est clair qu’ici la forme para­ bolique n’est pas une bonne hypothèse pour cette structure, bien qu’elle satisfasse aux conditions géométriques de frontière, car la courbure cons­ tante implique que le moment est constant sur toute la longueur. Or il est évident qu’ici le moment doit s’annuler au sommet de la colonne, et une allure comportant une courbure nulle au sommet donnera de bien meilleurs résultats. 2.7 Expression des caractéristiques généralisées d'un système

TZ{t)

j

< 0

i (à)


Jg J y / z y/Xy///.

//////

r

/ /:z_y y / / y / yy / y y /

H c{x)

(D

/

\

j

i

lL

i Lp

r dj

i dj

i dj

l,

lL

^

Jj

L JC2

L

k{x)

l| j

v(x,t) — \//(x)Z(t) Les caractéristiques généralisées associées à ce motif peuvent alors s’exprimer comme suit. Pour la répartition massique de la Fig. 2.6b, la masse généralisée est pl m* = I m(x)[>(x)]2 dx + 2 2 + 2 / oi(>A'i)2 (2-37) où les sommations représentent l’effet des masses données des corps rigides, et \pj représente la rotation au point /. L’amortissement généralisé résultant de

lL

lL

Jc3

777W.

SES

(d)

uJ

£/(*k 7---- ?— ?---- rr

Comme on peut le déduire des exemples précédents, les équations du mouvement d’un système à un degré de liberté, quelle que soit sa complexité, peuvent toujours se réduire à la forme m*Z(t) + c*Z(t) + K*Z(t) = p*(t) où Z(t) est la coordonnée généralisée unique permettant d’exprimer le mouve­ ment du système, et les notations affectées d’un astérisque représentent des caractéristiques physiques généralisées correspondant à cette coordonnée. Les valeurs qui explicitent ces caractéristiques généralisées peuvent en général être déterminées par application, soit du principe de Hamilton, soit du principe des déplacements virtuels. On peut obtenir pour ces expressions des formes standard très commodes. Considérons un système unidimensionnel arbitraire (Fig. 2.6), que l’on suppose ne se déplacer que selon le motif représenté en Fig. 2.6a. Les déplace­ ments peuvent s’exprimer au moyen de la coordonnée généralisée Z(t) comme

.1

777777%

N

(e)

v/fa///,

r r m

- r

.

»

i

'jfy/// Fig. 2.6 Caractéristiques d'un système généralisé à un degré de liberté : (a) déformée supposée ; (à) caractéristiques massiques ; (c) caractéristiques d'amortissement ; (,d) caractéristiques élastiques ; (e) chargement axial ; (f) chargement appliqué.

l’amortissement réparti de la fondation d’une part, et des amortisseurs locaux ci figurant à la Fig. 2.6c d’autre part, est donnée par c* = j* c(x)l>(x)]2 dx + 2 CjiAi2

(2-38)

La rigidité généralisée due à la fondation élastique, à la rigidité de flexion, et aux ressorts locaux de la Fig. 2£ d est donnée par k* = j* k(x)|>(x)]2 dx + J* £J(x)[>"0c)]2 dx + £ W , 2 (2-39) Le terme de rigidité géométrique dû à la force axiale N (qui est constante dans le temps), voir Fig. 2.6e, est k* = N J L O'Oc)]2 dx

(2-40)

------------ a------------

Pour un cas plus général où la force axiale varierait en fonction de la position le long de l’axe, l’expression serait k* = J L N (x)|>'(x)]2 dx

(2-42)

Pour une dalle sur appuis simples, la fonction de déformée pourrait en toute logique être de la forme ÿ(x,y) = s in — sin ^ a b

nel, à la différence que les intégrations sont alors effectuées sur la surface entière. Par exemple, la masse généralisée serait donnée par m* = j* m(x,y)[>(x,y)]2 dA + £

(2-41)

Attirons l’attention sur la nature vectorielle des grandeurs de force et de déplacement qui apparaissent dans cette dernière équation. Seules peuvent y figurer des composantes de déplacement dans la direction des charges appli­ quées, et leur sens dépend du sens des charges. Autrement dit, l’Eq. (2.41) représente en réalité le travail effectué par les charges lors d’un déplacement unité le long de la coordonnée généralisée Z(t). Ainsi qu’il a déjà été signalé à propos de l’Eq. (2.35), la rigidité généralisée combinée k* est donnée par k* =k* — kfe . Ces coordonnées généralisées s’appliquent de même et tout aussi bien à la réduction de systèmes bidimensionnels à un seul degré de liberté. Considérons par exemple la dalle rectangulaire qui est représentée à la Fig. 2.7. Si les flèches de cette dalle sont supposées avoir l’allure représentée, et si l’amplitude du déplacement central est prise pour coordonnée généralisée, alors les dépla­ cements peuvent s’exprimer par w(x,y,t) = >j/(x,y)Z(t)

Plaque bidimensionnelle traitée comme un système à un degré de liberté.

(2-40a)

Enfin, la force généralisée associée au chargement latéral et variable dans le temps de la Fig. 2 .6 /est p*(t) = J* pCM)i

Fig. 2.7

(2-43)

mais toute autre allure raisonnable compatible avec les conditions d’appui pourrait être utilisée. Les caractéristiques généralisées de ce système peuvent alors se calculer par des expressions équivalentes à celles présentées pour un élément unidimension-

(2-44)

Les expressions correspondantes pour la rigidité généralisée et la forme généra­ lisée d’une structure uniforme de type plaque sont

p* = J*^ p(x,y)i/'(x)y) dA + 2 Pi^i

(2-46)

D —Eh3/ 12(1 —u2) = raideur en flexion la plaque P(x»y ) ~ chargement réparti sur la plaque v = coefficient de Poisson h = épaisseur de la plaque

OU

On voit facilement que les mêmes techniques peuvent être appliquées sans difficulté à des systèmes tridimensionnels tels que des masses de terre ou de béton ; avec cette fois une fonction de déplacement adéquate à trois dimen­ sions. Mais la difficulté du choix d’une allure appropriée s’accroît rapidement avec le nombre de dimensions du système, et la confiance à accorder aux résultats diminue en conséquence.

Problèmes

2A

Pour le système représenté en Fig. P2.1, déterminer les caractéristiques physiques généralisées m*, c*, k * et le chargement généralisé p*(0, tous définis au moyen de la coordonnée de déplacement Z(f). Exprimer les résultats en fonction des caractéristiques et des cotes données.

2.4

Pour traiter la colonne de la Fig. P2.4 comme un système à un degré de liberté, on définit sa déformée comme Z(t)

\L J \2

2L j

En dénotant la masse linéique (uniformément répartie) par m, la raideur (uniforme) par El, et la charge linéique (uniformément répartie) par p (t), calculer les caractéristiques physiques généralisées m* et k* et le charge­ ment généralisé p* (t). Fig. P2.1

2.2

zu)

Reprendre l’énoncé du Prob. 2.1 pour la structure de la Fig. P2.2. IL

H

Colonne uniforme: m = masse linéique £7= raideur en flexion

ici.

Fig. P2.4

2.5

2.3

Reprendre l’énoncé du Prob. 2.1 pour la structure de la Fig. P2.3. (Indi­ cation : ce système n’a qu’un degré de liberté dynamique car les ressorts dirigent complètement le mouvement relatif des deux barres rigides.) p (t)

2.6

Barre rigide et sans masse Barre uniforme rigide (Masse totale .= m)

Z(t)

V&M

^

. n x . ny

^(x.y) = sin — sm — a a

1

X 2.7

Fig. P2.3

(a) Si une charge N verticale et dirigée vers le bas est appliquée au som­ met de la colonne du Prob. 2.4, calculer sa rigidité généralisée combi­ née k * en utilisant la même fonction de déformée ÿ(x). (b) Reprendre la partie (a) en supposant que la force axiale dans la co­ lonne varie linéairement sur sa longueur comme N(x) = N ( 1 - x /L ) . Supposons que la dalle uniforme de la Fig. 2.7 soit carrée, de côté a, et qu’elle soit sur appuis simples sur les quatre côtés. (a) Si sa masse par unité d’aire est y et sa raideur en flexion Z), déter­ miner ses caractéristiques généralisées m* et k* en fonction de la coordonnée Z (t) de déplacement au centre. Supposer que la fonc­ tion de déplacement est

(b) Le chargement extérieur (uniformément réparti) par unité d’aire est p(t). Déterminer le chargement généralisé p*(r) en prenant la fonction de déplacement de la partie (a). Le diamètre extérieur, la hauteur et les propriétés du matériau d’une cheminée conique en béton sont représentés en Fig. P2.5. En supposant

y 2.40 m

1TX *00=1 ■cos 2L

60 m

t j / / f

Corps de cheminée en béton : densité = 2 400 kg/m 3 £ = 2 x 1010 N/m 2 épaisseur de la paroi = 20 cm

Oscillations libres

3.1 Résolution de l'équation du mouvement Fig. P2.5

■5.40 m

que l’épaisseur de la paroi est uniforme et égale à 20 cm et que la forme fléchie est donnée par cos nx IL calculer la masse généralisée m* et la rigidité généralisée k* de la struc­ ture. Utiliser la règle de Simpson pour évaluer les intégrales, et faire inter­ venir dans les sommations les valeurs des intégrandes correspondant aux sections de la base, du milieu et du sommet. Par exemple AY m* = — (y0 + 4yx + y2) 3 o ù ^ = m ^ j est évalué au niveau

Il a été montré au Chapitre 2 que les équations du mouvement de tout système à un degré de liberté pouvaient se réduire à la forme m*Z(0 + c*Z(t) -h E*Z(0 = p*(t) Cette équation est entièrement équivalente à l’équation du mouvement d’un système simple masse-ressort avec amortissement, Fig. 3.1, qui peut s’écrire mv(t) -f cv(t) + kv(t) = p(t)

(3-1)

Il sera facile d’utiliser l’Eq. (3.1) et de visualiser la réponse de ce système simple ; on pourra cependant se rappeler que les résultats obtenus s’appli­ queront également à la réponse en coordonnées généralisées de tout système complexe assimilable à un système à un degré de liberté. La solution de l’Eq. (3.1) sera obtenue en considérant d’abord l’équation homogène obtenue en annulant le second membre : mv(t) + cv(t) + kv(t) = 0

(3-2)

Les mouvements du système en l’absence de chargement sont appelés oscil­ lations libres, et c’est la réponse en oscillations libres que nous allons à présent étudier. La solution de l’Eq. (3.2) s’écrit : vit) = Gest

(3-3)

En substituant cette expression dans l’Eq. (3.2).on obtient (ms2 + es -f k)Gest = 0 En simplifiant par mGest et en posant m

(3-4)

m -vOQQQr-

Fig. 3.1

k

Système élémentaire à un degré de liberté.

l’Eq. (3.4) devient s2 + — s + œ2 = 0 m

(3-6)

La valeur de s calculée à partir de cette équation dépend de la valeur de c : le type de mouvement représenté par l’Eq. (3.3) dépendra donc de l’amortis­ sement présent dans le système. 3.2 Oscillations libres non amorties

S’il n’y a aucun amortissement dans le système, c’est-à-dire si c = 0, il est évident que la valeur de s obtenue à partir de l’Eq. (3.6) est : s = ‘± iœ (3-7) La solution donnée par l’Eq. (3.3) est donc 'KO = G #** + G2e~iat

@-8)

Les deux termes de cette expression correspondent aux deux valeurs de s, et les constantes Gl et G2 représentent les amplitudes (encore indéterminées) du mouvement. Par utilisation de l’équation d’Euler e±itat = cos œt ± i sin cot

(3-9)

l’Eq. (3.8) peut se reformuler sous la forme plus commode suivante : v(t) = A sin œt + B cos œt

(3-10)

où les constantes A et B peuvent s’exprimer en fonction des conditions initiales, c’est-à-dire du déplacement t»(0) et de la vitesse û(0) à l’instant t = 0 où commencent les oscillations libres du système. On voit immédiatement que u(0) = B et que v(0) = Aco. L’Eq. (3.10) devient donc v(t) =

sin œt + i<0) cos œt (3-11) œ Cette solution, qui correspond à un mouvement harmonique simple, est représentée à la Fig. (3.2). La grandeur oo est la fréquence circulaire, ou vitesse angulaire (ou encore pulsation) du mouvement ; on la mesure en radians par seconde. La fréquence cyclique / du mouvement, en général appelée plus simplement fréquence, est donnée par : f

= — 2tt

(3-12)

Son inverse est la période T : 2n œ

1

7

(3-13)

Le mouvement que représente l’Eq. (3.11) peut également s’exprimer sous la forme v(t) = p cos (œt — 0) (3-14) que 1on peut visualiser à l’aide de la représentation vectorielle complexe, ou diagramme d’Argand, de la Fig. 3.3. La solution est donnée parla partie réelle des deux vecteurs tournants, c’est-à-dire par leur projection sur l’axe hori­ zontal. L’amplitude du mouvement est donnée par la résultante . p = j 0(0)]* + p £ ) J

(3-15)

et le déphasage est : 0 = tan"-i m (3-16) œv(0) On remarquera à l’aide de la Fig. 3.3 que le déphasage 0 est une distance angulaire qui représente le retard du mojuvement de la résultante par rapport au terme en cosinus de la réponse.

3.3 Oscillations libres amorties

En présence d’amortissement, la solution de l’Eq. (3.6), qui définit la réponse du système, est

d’amortissement critique est la suivante : c’est la valeur minimum de l’amortissement pour laquelle aucune oscillation libre ne franchit la configuration du système au repos. Systèmes sous-amortis

s = - — + / f — Y - O)2 (3-17) 2m V \2 m / Trois types de mouvements sont présents dans cette expression, suivant que la quantité sous le radical est positive, négative ou nulle. Il sera commode d’étudier d’abord le cas où cette quantité s’annule ; ce cas correspond à Yamortissement critique. Amortissement critique Si la quantité sous le radical de l’Eq. (3.17) est égalée à zéro, il est évident que co = cjlm . La valeur de la constante d’amortissement critique est donc : cc — 2mco

(3-18)

Si l’amortissement est inférieur à l’amortissement critique, il est évident d’après l’Eq. (3.18) que c < 2mcj, et le terme sous le radical de l’Eq. (3.17) est donc négatif. Pour calculer la réponse en oscillations libres dans ce cas, il est commode d’exprimer l’amortissement du système en le rapportant à l’amor­ tissement critique cc au moyen du rapport £ défini comme y c c « = - = I ---(3-22) cc 2mco Ce rapport est souvent appelé coefficient d ’amortissement ; mais afin de ne créer aucune confusion avec les coefficients d’influence d’amortissement, nous l’appellerons facteur d ’amortissement. En l’utilisant dans l’Eq. (3.17) on obtient :

La valeur de s dans l’Eq. (3.17) devient alors s

=

c 2m

--------- ----

—Ù)

et la réponse donnée par l’Eq. (3.3) s’écrit V(t) = (G1 + G2t)e -mt

En changeant le signe sous le radical :

(3"20)

où le second terme est multiplié par t parce qu’une seule valeur de s est obtenue lors de la résolution [Eq. (3.19)]. Si on introduit les conditions initiales dans l’Eq. (3.20), on obtient la forme finale de la réponse dans le cas d’un amortissement critique comme v(t) = [u(0)(l + œt) + v(0)<>~‘°‘

s = —Çto ± V(^cü)2 — (D2

(3-19)

(3'21)

La solution est représentée à la Fig. 3.4. On remarquera que la réponse d’un système en oscillations libres ne comporte dans le cas de l’amortissement critique aucune oscillation autour de la position de déplacement nul ; par contre, le système revient à la position zéro en raison du terme de décrois­ sance exponentielle de l’Eq. (3.21). Une définition utile de la condition

ou

s = - Ç ü) ± icoD

(3-23)

œ D = oisj 1 - £,2

(3-24)

La grandeur u 0 est la pseudo-fréquence angulaire en oscillations amorties ; pour les facteurs d’amortissement les plus fréquemment rencontrés en struc­ tures ( | <20 %), elle diffère très peu de la vitesse angulaire en oscillations non amorties, comme on peut le remarquer au vu de l’Eq. (3.24). Pourestimer l’influence de l’amortissement sur la vitesse angulaire, il est commode de se rappeler que le graphe représentant les variations du rapport w d / gj (vitesse angulaire amortie sur vitesse angulaire non amortie) en fonction du facteur d’amortissement £ est un cercle de rayon unité (Fig. 3.5).

Fig. 3.5

Relation entre la pseudo-fréquence et le facteur d'amortissement.

La réponse d’un système sous-amorti en oscillations libres peut être calculée en reportant FEq. (3.23) dans l’Eq. (3.3) ; ainsi : K O = G 1« " * * +toDl +

+ G 2e " itOD0

Le terme entre parenthèses représente une oscillation harmonique simple [comparer avec FEq. (3.8)] ; il en résulte que cette expression peut s’écrire de façon plus commode sous la forme : v(t). = e~itot(A sin œDt + B cos œDt)

(3-25)

Enfin, en introduisant les conditions initiales u(0) et i)(0), on peut calculer les constantes de l’Eq. (3.25), ce qui donne v(t) = e~Ç(0t

sin coDt + i?(0) cos

d’autre de la position neutre, à la pseudo-fréquence circulaire constante coD. La représentation par vecteur tournant de l’Eq. (3.27) est équivalente à celle de la Fig. 3.3, à la seule différence que le module du vecteur décroft exponentiellement au fur et à mesure que la réponse s’amortit. Les caractéristiques réelles d’amortissement des structures sont très complexes et délicates à déterminer. Il est cependant d’usage courant d’exprimer l’amortissement de ces systèmes au moyen de facteurs d’amortis­ sement visqueux équivalents £ qui présentent des caractéristiques de décrois­ sance comparables dans le cas d’oscillations libres. Il convient donc à présent d’étudier plus en détail l’influence du facteur d’amortissement visqueux £ sur la réponse en oscillations libres, Fig. 3.6. Considérons deux pics positifs sucessifs de la réponse représentée à la Fig.3.6 : vn et t>w+1. De FEq. (3.27) on tire le rapport des amplitudes de ces deux pics :

(3-26)

K)

= exp ( 2nÇ — 1 Cette réponse peut également s’écrire sous la forme d’un vecteur tournant : v(t) = pe~i
(3-27)

En prenant le logarithme népérien des deux membres de cette équation on obtient le décrément logarithmique d

où

ô = , - P ° ) +

(3-29)

+ Wo )]j

in -Ü L - =

2sÉ —

(3-30)

V „ a. 1

(3-28) û)Dr(0) La Fig. 3.6 représente un tracé de la réponse d’un système sous-amorti à un déplacement initial non nul t>(0), mais une vitesse initiale nulle 0(0) = 0 (ce que l’on obtient en relâchant la masse à partir d’une position déplacée immobile). On peut remarquer que le système sous-amorti oscille de part et

soit, avec l’Eq. (3.24), * -

^ L . (m o Vi - £2 Pour de faibles amortissements cette dernière équation peut s’approcher par t

<5 i 2ni

(3-32)

la notation = signifiant “approximativement égal à”. On peut alors développer l’Eq. (3.29) en série : = e* =

= 1 + 2tt£ +

2!

+ ...

(3-33)

Pour de faibles valeurs de £, la précision obtenue en ne conservant que les deux premiers termes de la série est suffisante, auquel cas

Fig. 3.6

Réponse en oscillation libre d'un système sous-amorti.

£ ^ v” ~ y"+i (3-34) 2™n+i Pour illustrer le degré de précision de cette formule, le rapport de la valeur exacte de £ donnée par FEq. (3.30) et de la valeur approchée donnée par FEq. (3.34) a été représenté à la Fig. 3.7 en fonction des valeurs approchées de £. Ce graphe permet de corriger le facteur d’amortissement obtenu par la méthode approchée.

que nous étudierons la réponse d’un tel système. Dans ce cas J > 1 , et l’Eq. (3.17) peut s’écrire s = -fc o ± £»V^2 - 1 = -£co ± <ô où 0

0.05

0.10 0.15 £ (approché)

u.zû

f *9* 3 .7 Facteur de correction ^ appliquer au facteur d'amortissement obtenu par l'Eq. (3.34).

______ â> = o)-J? - 1

En reportant l’Eq. (3.37) dans l’Eq. (3.3) et après simplification, on arrive à v(t) = e '^ X A sinh û t + B cosh ù t)

Pour les systèmes peu amortis, une meilleure précision peut être obtenue en utilisant des pics séparés par plusieurs cycles, m cycles par exemple ; dans ce cas : ln - A - = 2mni — (3-35) Vn + m

et pour les amortissements extrêmement faibles cette dernière équation mène à la formule approchée £ = v” ~ vi ±b (3-36) 2mnv„+m

(3-37)

(3-38)

où les constantes A et B peuvent être déterminées au moyen des conditions initiales. On remarquera d’après la forme de l’Eq. (3.38) que la réponse d’un sytème suramorti n’est pas oscillatoire ; elle est comparable au mouvement du système à amortissement critique de la Fig. 3.3, mais le retour vers la position neutre est plus lent en raison du facteur d’amortissement plus important. EXEMPLE E3.1 Un bâtiment à un seul étage est idéalisé par une poutre rigide portée par des colonnes sans masse, Fig. E3.1. Afin de dé­ terminer les caractéristiques dynamiques de cette structure, on effectue un test en vibration libre dans lequel le toit (la poutre rigide) est déplacé latéralement par un vérin hydraulique, puis relâché. Pendant l’action de

Lorsqu’on observe expérimentalement des vibrations libres amorties, une méthode pratique pour estimer le facteur d’amortissement consiste à compter le nombre de cycles nécessaires pour obtenir une réduction d’amplitude de moitié. La relation à utiliser dans ce cas est représentée graphiquement à la Fig. 3.8. Une règle approchée commode consiste à se rappeler que pour un rapport d’amortissement de 10 %, l’amplitude se trouve réduite de moitié en un cycle.

Fig. 3.8 Facteur d'amortissement en fonction du nombre de cycles requis pour réduire l'amplitude de moitié.

poussée du vérin, on constate qu’une force de 90 kN est nécessaire pour déplacer la poutre de 0.50 cm. Après que l’effort appliqué par le vérin ait été annulé de manière instantanée, le déplacement maximum au retour (après un cycle) n’est plus que de 0.40 cm, pour une durée du cycle de déplacement égale i T = 1.40 s. Les caractéristiques dynamiques suivantes sont à déterminer : 1. Masse effective de la poutre

Systèmes suramortis Bien que l’on ne rencontre que rarement des structures ayant un amortis­ sement plus que critique, c’est avec le souci de présenter un exposé complet

T = — = 2n I— = 1.40 s co Vk

/1.40 9 x 104 . D’où m = (------ ) k = 0.0496 -------- —r = 8.93 x 10 kg ou 893 t v 2n ' 5 x 10 i 2. Fréquence de vibration:

3.3

/ • = ! = — = 0.714 Hz ■ T 1.40 (D = 2nf = 4.48 rad/s

3.4

3. Caractéristiques d’amortissement : Décrément logarithmique:

, 0.50 n ô = m — u.zzj

Facteur d’amortissement :

= — = 3.55% 2n

Constante d’amortissement : C = Çcc = £2m
a>D = ct>V1 — £2 — co(0.999)1^2 = ®

4. Amplitude après six cycles : p# .

v0 = C^/s)6(0.50) = 0.131 cm

Problèmes

J .i

C-i a déterminé les expressions suivantes pour la masse et la rigidité généralisées relatives à la tour uniforme encastrée de l’Exemple 2.3 : m* = 0.228mL 32 1} A partir de ces expressions, calculer la période de vibration d’une tour de béton de 60 m de haut, ayant un diamètre extérieur de 3.60 m et un mur d’une épaisseur de 20 cm ; on peut supposer les caractéristiques suivantes : m = 5 300 kg/m El = 6.81 x 1010 N. m2

3.2

En supposant que la tour du Prob. 3.1 porte une masse ponctuelle supplémentaire de 200 t au sommet, déterminer la période de vibration (en négligeant l’effet de rigidité géométrique).

3.5

La masse m du bâtiment de la Fig. E3.1 est égale à 100 t ; ce bâtiment est mis en oscillation libre en le relâchant à l’instant t = 0 avec un déplacement initial de 3.00 cm. Si le déplacement maximum lors du mouvement de retour est de 2.15 cm à l’instant t = 0.64 s, déterminer (a) la rigidité élastique latérale k (b) le facteur d’amortissement £ (c) la constante d’amortissement c Supposons pour la structure de la Fig. 3.1 la masse et la rigidité suivantes : m = 3.5 x 105 kg (3501), k = 7 x 106 N/m. Si le système est mis en vibration libre avec les conditions initiales u(0) = 1.75 cm et t)(0)= 14 cm/s, déterminer le déplacement et la vitesse à l’instant t — 1.0 s en supposant que : (a) c — 0 (système non amorti) (b) c = 4.9 x 105 N.s/m Supposons pour le système de la Fig. 3.1 une masse et une rigidité de m = 8.75 x 105 kg (875 t) et k = 3.5 x 106 N/m, et aucun amortis­ sement. Si le déplacement initial est égal à v (0) = 4.5 cm, avec un déplacement à l’instant t ~ 1.2 s de 4,5 cm également, déterminer : (а) le déplacement à l’instant t = 2.4 s, (б) l’amplitude p de l’oscillation libre.

Réponse à un chargement harmonique

4.1 Système non amorti

Solution homogène Supposons à présent que le système de la Fig. 3.1 soit soumis à un char­ gement harmonique p (t) d’amplitude p0 et de fréquence angulaire cô. L’équa­ tion différentielle du mouvement devient mv(t) + cv(t) + kv(t) = p 0 sin œt (4-1) Etudions d’abord le cas du système non amorti, pour lequel cette équation devient mv(t) + kv(t) = p 0 sin œt (4-2) La solution homogène (sans second membre) de cette équation donne la réponse en oscillation libre de l’Eq. (3.10) : vc(t) = A sin
(4-3)

Solution particulière La solution générale fait également intervenir la solutiôn particulière, c’est-â-dire la composante de la réponse qui dépend directement de la fonction chargement. On peut considérer que la réponse au chargement harmo­ nique est harmonique, en phase avec le chargement; ainsi : vP(t) = G sin œt

(4-4)

expression dans laquelle l’amplitude G reste à déterminer. En substituant l’Eq. (4.4) dans l’Eq. (4.2) on obtient -mcô2G sin œt -f- kG sin œt = p0 sin œt (4-5)

En divisant de part et d’autre par sin iot (généralement non nul) et par k, et en remarquant que kjm = co2, nous obtenons ( 4 4 )

Facteur de réponse Une mesure commode de l’influence du caractère dynamique de la charge appliquée est fournie par le rapport R(t) de la réponse dynamique et du dépla­ cement qui serait produit par l’application statique de la même charge. C’est le facteur de réponse

L’amplitude de la réponse devient alors :

R(t) = KO = i< 0

G - Po 1 k 1 - p2

(4-7)

où j3 est le rapport de la fréquence du chargement et de la fréquence propre d’oscillation libre, ou encore rapport des fréquences : p = ^ (Û

L’Eq. (4.11) donne le facteur de réponse pour le chargement harmonique d’un système non amorti (départ au repos) : R(t ) = i 1 pi (sin

(4-8)

Solution générale La solution générale correspondant à une excitation harmonique appliquée à un système non amorti est alors donnée par la somme de la solution homo­ gène et de la solution particulière, où G s’obtient par l’Eq. (4.7), soit : ü( 0 = VX0 + VP(0 = A sin œt + B cos œt -f ^ ~—

sin œt

(4-12)

P o/ k

~ P sin "O

(4-13)

Cette réponse apparaît plus clairement sur la Fig. 4.1. La Fig. 4.1 a représente l’oscillation permanente tandis que la Fig. 4.1Z> représente le mouvement transi­ toire engendré par les conditions initiales. Dans cet exemple on a pris p = 2/3, c’est-à-dire que la fréquence de la charge appliquée est égale aux deux tiers de la fréquence propre. La réponse totale R (t) est représentée à la Fig. 4.1c. Deux points importants sont à noter : (1) les deux composantes ont tendance à se mettre en phase puis à s’écarter à nouveau, ce qui provoque un effet de

(4-9)

où les valeurs de A et de B dépendent des conditions initiales. Dans le cas d’un système initialement au repos, c’est-à-dire pour lequel v(0) = v(0) = 0, on montre aisément que ces constantes ont pour valeur : A = -E ° Ê _ J _ k 1 - p2

B = 0

(4-10)

La réponse donnée par l’Eq. (4.9) devient alors : v(t) = — — -—r (sin œt — fi sin œt) k 1 - p2

(4-11)

où p j k = vst = déplacement statique ; c’est le déplacement qui serait produit par la force p 0 appliquée statiquement 1/(1 —j32) = facteur d ’amplification représentant l’effet d’amplification dynamique de la charge harmonique sin côt = composante de la réponse ayant la fréquence de la charge appliquée = réponse en oscillation permanente, directement liée à la charge appliquée j3 sin G)t = composante de la réponse ayant la fréquence propre du sys­ tème = effet d’oscillations libres qui dépend des conditions initiales. Comme en pratique l’amortissement fera tôt ou tard disparaître le dernier terme, on l’appelle également ré/xwse transitoire. (Dans le cas hypothétique d’un système non amorti, il est bien sûr que ce terme ne disparaît pas et demeure indéfiniment.)

Fig. 4.1

Réponses à un chargement harmonique à partir d'un état initial au repos : (a) oscillation permanente ; (b) transitoire ; (c ) totale Rit).

battements dans la réponse, (2) la tangente est horizontale à l’instant t —0, ce qui montre que la vitesse de la composante transitoire a pris la valeur nécessaire pour annuler celle de la composante permanente, et ainsi satisfaire aux condi­ tions initiales.

En reportant ces expressions dans la solution particulière et en combinant cette dernière avec la solution homogène on obtient la solution générale : i>(*) = e~i<0\ A sin coDt + B cos (oDt) 4

- — ------------î------------ [(1 — fi2) sin côt — 2Çp cos côtl fc (1 - P2)2 -h (2Çp) LV

H

^

J

(4-20)

4.2 Système amorti

Revenons à l’Eq.(4.1) en tenant compte cette fois de l’amortissement, et divisons par m ; en remarquant que c/m = 2 on obtient i)(t) 4* 2£(ov{t) -f co2v(t) = — sin côt m

(4-14)

La solution homogène de cette équation donne la réponse en oscillations libres du système amorti ; elle est donnée par l’Eq. (3.25) (en supposant, comme c’est presque toujours le cas dans la pratique, que la structure est sous-amortie) : vc(t) = e~*at(A sin coDt + B cos œDt)

Le premier terme représente la réponse transitoire. Les constantes A et B pourraient être calculées à partir des conditions initiales, mais ce terme disparaît rapidement lorsque t croît, et ne présente donc que peu d’intérêt ; nous n’effectuerons donc pas ce calcul sans intérêt. Le second terme représente la composante permanente de la réponse ; sa fréquence est celle de la charge appliquée, mais avec un déphasage. Ce comportement en oscillations perma­ nentes apparaît clairement dans le plan complexe, Fig. 4.2. Le module p de la résultante représente l’amplitude de la réponse permanente - p2)2 + (2Zfi)2yv2

(4.21)

(4-15)

La solution particulière est de la forme : vp(t) = Gy sin iôt + G2 cos côt

(4-16)

où le second terme est nécessaire car un système amorti n’est généralement pas en phase avec le chargement appliqué. En reportant l’Eq. (4.16) dans l’Eq. (4.14) et en séparant les termes en sinus et en cosinus, on a : —GiCü2 - G2cô(2Çœ) 4- G^ct)2] sin œt = — sin côt m [ —G2cü2 4- Gicô(2^œ) -f G2co2] cos côt = 0

(4-17a) (4-17&)

Ces deux relations doivent être satisfaites individuellement car les fonctions sinus et cosinus ne s’annulent pas simultanément. En divisant par co2 on obtient G x( i - p2) - g 2( i m g 2( i -

= &

k

(4-18)

et le déphasage 0 est donné par Po

1

l ~P2

k ( i - p2)2 + m ?

G — £ 2 ______zM Ê —

2

Représentation de l'oscillation en réponse permanente.

p2) + o & m = o

D’où les facteurs de la réponse : G

Fig. 4.2

k ( i - p2)2 + ( i m 2

(4-19)

0 = tan~1 ~ 2^ , (4-22) 1 - p2 où O < 0 < 180°. La composante permanente de la réponse peut donc s’exprimer par : vit) = p sin (côt - 0) (4-23)

Le rapport D de l’amplitude de la réponse en mouvement permanent et du déplacement statique qui serait produit par la force p0 s’appelle facteur d'amplification dynamique ; il s’écrit D = - £ - = [( 1 - P2)2 + (2Pi)2] -'* 2 (4-24) Po/k Intéressons-nous à l’équilibre des forces agissant sur la masse dans l’oscil­ lation du mouvement permanent. La Fig. 4.3 est un diagramme complexe où les composantes des forces sont exprimées en fonction du facteur d’ampli­ fication dynamique. Remarquons que les forces élastiques agissent dans la direction opposée au vecteur déplacement résultant de la Fig. 4.2 ; les forces d’amortissement et les forces d’inertie agissent de même dans des directions opposées aux vecteurs vitesse et accélération (respectivement). Ces forces maintiennent un équilibre dynamique avec la charge appliquée p0.

L’expression (4.24) montre que le facteur d’amplification dynamique D varie avec le rapport des fréquences j3 et avec le facteur d’amortissement £, voir la Fig. 4.4. L’angle de déphasage 0 est également fonction de 0 et de £, voir Eq. (4.22) ; ses variations sont représentées en Fig. 4.5.

Fig. 4.5

Variation du déphasage avec l'amortissement et la fréquence.

EXEMPLE E4.1 Un excitateur harmonique portatif est un appareil destiné à mesurer les caractéristiques dynamiques d’une structure en vraie grandeur. En utilisant la machine à deux fréquences différentes et en mesurant à chaque fois l’amplitude et l’angle de déphasage de la réponse, il est possible de déterminer la masse, le facteur d’amortissement et la rigidité d’une structure si elle est à un degré de liberté. Supposons que lors d’une expérience de ce type un bâtiment de un étage soit soumis à l’excitation de cette machine, avec les valeurs successives cô1 = 16 rad/s et to2 = 2 5 rad/s pour les fréquences angulaires et une force d’amplitude égale à 2 500 N dans chaque cas. X’amplitude et l’angle de déphasage obtenus dans chaque cas sont p t = 0.206 mm

0X = 15°

cos 0t = 0.966

sin 0t = 0.259

p2 = 0.417 mm

02 = 55°

cos 02 = 0.574

sin 02 = 0.819

Afin de calculer les caractéristiques dynamiques en fonction de ces données on peut écrire l’Eq. (4.21) sour la forme p = £ > -J — {________ 1________ ] 1/2 _ p0 cos 0 k 1 - p 2 \ l + [2S0/O - p 2) f j

0 Fig. 4 A Variations du facteur d'amplification dynamique en fonction de l'amortissement et de la fréquence.

k 1 - p2

( ) W

où la fonction trigonométrique a été déduite de l’Eq. (4.22). En simplifiant on obtient k( 1 — p 2) = k - œ 2m -

P

Bien que l’on en soit proche, ceci ne représente pas la réponse maximum exacte des systèmes amortis ; le rapport des fréquences à la réponse maximum exacte peut s’obtenir en annulant la dérivée de l’Eq. (4.24) par rapport à fi. Pour les structures courantes, dont le coefficient d’amortissement £ est inférieur à 1/%/T, on trouve que la fréquence du pic de la réponse est :

et en disposant sous forme matricielle on obtient

C

2 500

0.966 2.06 x 10 - 4 0.574 4.17 x 10~4

Ppic = V l -

(4-26a)

2?

et la valeur du pic est :

ce qui donne k = 1.75 x 107 N/m

Dm x = ----- (4-26i>)

m = 22 500 kg

e Pour de faibles amortissement il y a très peu de différence entre les valeurs obtenues par les Eqs. (4.26Ô) et (4.25). Pour une meilleure compréhension de la nature de la réponse résonante d’une structure à un chargement harmonique, il est nécessaire de considérer l’équation générale de la réponse (4.20), dans laquelle interviennent à la fois le terme permanent et le terme transitoire. A la fréquence de résonance (fi = 1) cette équation devient : 2*vi -

D’où la fréquence propre - = 27.S a = = /I — 27.9 rad/s Vm

Pour déterminer le facteur d’amortissement, on peut déduire des Eqs ( 2 (1.75 x 10 4.3 Résonance

La Fig. 4.4 montre qu’un pic de la réponse en oscillation permanente se produit, pour les systèmes peu amortis, à un rapport des fréquences proche de l’unité. Dans le cas où ce rapport est égal à l’unité, c’est-à-dire lorsque la fréquence du chargement appliqué est égale à la fréquence naturelle de vibra­ tion , il se produit le phénomène de résonance. Si on considère l’Eq. (4.13) il est évident que la réponse d’un système non amorti en état de résonance tend vers l’infini. L’Eq. (4.24) met en évidence une propriété plus générale de la résonance (jS= 1) : le facteur d’amplification dynamique est inversement proportionnel au facteur d’amortissement. Ce résultat est général : (4*25)

v(t) = e~i
(4-27)

Supposons que le système soit au repos à l’instant initial (w(0) = 0 = w(0)). Les constantes sont A =

—

£2 — *__ _ k 2V 1 - F

=

k 2o)D L’équation (4.27) devient :

0 (0 = è

T

[* " * * ( t T -

e

b

= — —

(4-28)

k 2£

Sin Û V + COS û V )

“ cos

(4-29)

En ce qui concerne l’amortissement, le terme en sinus de cette équation contri­ buera très peu à l’amplitude de la réponse ; de plus la fréquence amortie est presque égale à la fréquence non amortie. Ainsi le facteur de réponse dans ce cas peut être approché par R ( t) = - ^ = i - (e -*" ' P o/k 2£

1) cos (ot

(4-30)

Pour un amortissement nul, FEq. (4.29) devient indéterminée, mais si on applique la règle de L’Hospital on trouve la réponse résonante du système non amorti R(t) = ViCsin œt — œt cos œt) (4-31) Les Eqs. (4.30) et (4.31) sont représentées graphiquement à la Fig. 4.6, qui montre comment la réponse s’amplifie en cas de résonance, avec et sans amortissement ; dans les deux cas on voit clairement que la réponse s’amplifie de manière progressive. Dans le système non amorti la réponse s’accroft de la

Facteur de réponse, R(t)

quantité 7r à chaque cycle. Ainsi la réponse du système peut dégénérer si on ne modifie pas la fréquence ; il est clair sur l’autre schéma que la présence d’amor­ tissement limite l’amplitude de la réponse résonante. Le nombre de cycles nécessaires pour que la réponse résonante atteigne son amplitude maximum dépend du facteur d’amortissement. Les courbes qui mettent en évidence la croissance de l’enveloppe de la réponse (en pointillé sur la Fig. 4.6) corres­ pondent à plusieurs valeurs de l’amortissement en fonction du nombre de cycles de réponse (Fig. 4.7). On remarquera qu’un nombre de cycles très limité suffit pour parvenir à la réponse maximum. 4.4 Accéléromètres et mesure des déplacements

Considérons à présent les principes fondamentaux sur lesquels se fonde le fonctionnement d’un grand nombre d’appareils de mesures dynamiques. Il s’agit principalement d’instruments sismiques, constitués essentiellement d’un oscillateur amorti (voir Fig. 4.8). Le système est monté dans une enceinte que l’on fixe sur la surface dont le mouvement est à étudier ; la réponse se mesure au moyen du mouvement v (t) de la masse par rapport à l’enceinte. L’équation du mouvement du système est donnée par mv 4- cv + kv = —mvg(t ) = pcff(t)

Fig. 4.6

Réponse à un chargement en résonance (0 = 1) pour des conditions initiales au repos.

Si le support sur lequel l’instrument est monté se déplace harmoniquement avec une amplitude d’accélération égale à vg(t) = sin côt, le chargement effectif de la masse estpçff(0 = — wîLq sin est. La reponse dynamique perma­ nente de ce système a pour amplitude (Eq. (4.21)]

Enveloppe du facteur de réponse

p = TM d (4-32) k où D est donné par l’Eq. (4.24) et est représenté graphiquement à la Fig. 4.4. On voit sur cette figure que pour un facteur d’amortissement £ = 0.7 la valeur

vg(t) = i^0 sin cor (Mouvement excitateur en entrée)

Durée du chargement, wf Fig. 4.7

(2-21)

Taux de croissance de la réponse résonante à partir de l'état au repos.

Fig. 4.8

1

Schéma de principe d'un sismographe.

de D est quasiment constante pour 0 < 0 < 0.6. D’après l’Eq. (4.32) il est donc clair que la réponse indiquée par Finstrument sera directement proportionnelle a l’amplitude de l’accélération extérieure pour des fréquences allant jusqu’à environ 60 % de la fréquence naturelle de l’instrument. Ainsi ce type d’ins­ trument, s’il est convenablement amorti, fera un bon accéléromètre pour des fréquences relativement faibles ; son domaine d’application pourra être élargi en augmentant la raideur du ressort. Considérons à présent la réponse du même instrument à un déplacement harmonique vg - vgQ sin côt. Dans ce cas l’accélération correspondante est v = — co vgQ sin cot et le chargement effectif est Peff (t) = m c o vg0 sin cet. L amplitude de la réponse est alors, Eq. (4.21) : (4-33)

P =

Un tracé de la réponse 02Z> est donné à la Fig. 4.9. Dans ce cas il est évident que j32D est essentiellement constant pour des rapports des fréquences 0 > 1 si le facteur d’amortissement est égal à £ = 0.5. Ainsi la réponse d’un instrument convenablement amorti à des mouvements de fréquence élevée est essentiel­ lement proportionnelle à l’amplitude du déplacement du support; il servira donc à mesurer les déplacements lors de tels mouvements. Dans ce cas l’inter­ valle d’utilisation de l’appareil pourra être élargi en réduisant sa fréquence naturelle, c’est-à-dire en diminuant la raideur du ressort ou en augmentant la masse.

instruments fragiles sont portés par une structure qui vibre de manière consé­ quente. Le premier cas est illustré en Fig. 4.10. Une machine tournante produit une force verticale alternative p0 sin 631 due à un certain balourd. Si la machine est montée sur un support à un seul degré de liberté du type ressort-amortisseur, son déplacement en régime permanent est donné par v(t) = — D sin (œt — 0) k

(4-34)

où D est défini par l’Eq. (4.24). Ainsi la force exercée sur la base par le ressort est-elle f s = kv(t) = p 0D sin (œt - 0) La vitesse du mouvement par rapport à la base est i)(t) = — Dœ cos (œt — 0) k ce qui mène à la force d’amortissement f D = cv(t) = C— — cos (œt — 0) = 2£pp0D cos (œt — 0) k

Q «a n Q.

I

W

a E C

1

2

Rapport des fréquences, 0 Fig. 4.9

Réponse d'un sismographe à une excitation harmonique.

4.5 Isolation vibratoire

Bien que nous ne disposions pas de la place nécessaire pour traiter le sujet de l’isolation en vibration de manière exhaustive, remarquons que son principe est très proche de celui des instruments de mesures sismiques. On peut dis­ tinguer deux classes de problèmes d’isolation : une machine engendre des forces périodiques susceptibles de détériorer la structure qui la porte, ou des

Comme cette force présente un déphasage de 90° avec celle du ressort, il est évident que l’amplitude de la force à la base f sera /m .x = ( / s U * +

=

P o D V

+

W

ï

1' 2

Le rapport de la force maximum à la base et de l’amplitude de la force appliquée, que nous appellerons transmittance du support, est donc donné par TR

=

£>Vl + (2ÇP)2

(4-35)

Po Un tracé de la transmittance en fonction du rapport des fréquences et du facteur d’amortissement est donné en Fig. 4.11. Il est similaire à celui de la

de cette transmittance est identique à celle de l’Eq. (4.35). Ceci peut s’exprimer mathématiquement sous la forme

U =o

= Dsl 1 + (2£j8)2

TR =

TR

_ Anax

(4-38)

v g0

Po

_ vt max

La Fig. 4.11 permet de définir l’efficacité des systèmes d’isolation en vibration, pour les deux types de problèmes à un degré de liberté qui ont été envisagés. Lorsqu’on calcule un système d’isolation en vibration, il est commode d’exprimer son comportement en fonction de son efficacité d’isolation plutôt qu’en fonction de la transmittance ; cette efficacité est définie comme 1 —TR. On voit sur la Fig. 4.11 qu’un système d’isolation ne fonctionne bien que pour des rapports des fréquences P>y/2, et que l’amortissement est indésirable dans cet intervalle : on déterminera les caractéristiques de l’appareil en consé­ quence. Dans le cas de cet amortissement très léger on pourra utiliser pour la transmittance la formule correspondant à un amortissement nul :

Rapport des fréquences, 0 Fig. 4.11 Rapport de transmittance des vibrations (excitation par chargement ou par déplacement).

Fig. 4.4, mais toutes ses courbes passent par un même point correspondant à un rapport des fréquences p = y/2. Cette différence par rapport à la Fig. 4.4 est bien sûr due à l’influence de la force d’amortissement. Il est donc évident que l’amortissement tend à réduire l’efficacité d’un système d’isolation en vibration pour toute fréquence supérieure au rapport critique 0 = y/T. Le second type de problème d’isolation est illustré en Fig. 4.12. La masse m à isoler est portée par un système ressort-amortisseur sur une dalle soumise à des mouvements harmoniques verticaux. Le déplacement de la masse par rapport à la base est alors donné par [voir Eq. (4.33)] KO = vg0p2D sin (côt - 0)

TR =

1 ? - 1

, _ tr - P - * 1 TR - p — l

où il est bien entendu que (3 > y/2. Notons enfin que j32 = u>2/co2 = co2(m/k) = co2(W/kg) = co (A^/g), où g est l’accélération de la pesanteur et Aw = w/k est la flèche que le poids du système à isoler produira sur les appareils porteurs. Il est donc évident que l’efficacité du système peut être exprimée en fonction de la fréquence d’excitation w et de la valeur de la flèche statique AJf. Résoudre l’Eq. (4.39) pour obtenir le rapport des fréquences en fonction de l’efficacité d’isolation conduit à 02 = [2 - ( 1 - TR)]/[ 1 - ( 1 - TR)]

(4-36)

Mais er. ajoutant vectoriellement le mouvement de la base on peut montrer que le mouvement total de la masse est donné par v \t) = vg0\ / l + (2Çfi)2 D sin (côt - 0)

(4-39)

(4-37)

où le déphasage 0 ne présente pas d’intérêt particulier. Ainsi, si la transmittance est dans ce cas définie comme le rapport de l’amplitude du mouvement de la masse et de l’amplitude du mouvement de la base, on peut voir que l’expression

_h Fig. 4.12 Système d'isolation en vibration à un degré de liberté (excitation par déplacement).

Flèche statique Ast, cm Fig. 4.13

Abaque pour isolation en vibration.

que l’on peut à présent exprimer en fonction de la fréquence d’entrée/ = 27r/co et de la flèche statique : /=

3.13 / — - -----L

-

TR)

(4-40)

V A * 1 - (1 - TR)

J

où f est en Hertz et est en pouces. La Fig. 4.13 représente un tracé de l’Eq. (4.40). Connaissant la fréquence d’excitation, ce graphe permet de déterminer directement la flèche statique du support nécessaire pour parvenir à un certain niveau d’isolation, sous l’hypothèse que les organes d’isolation ne présentent que peu d’amortissement. Ce graphe montre également que le système d’isolation aura un effet délétère s’il est trop rigide. EXEMPLE E4.2 Certaines flèches intempestives se produisent parfois dans des tabliers de ponts en raison du fluage du béton : si le pont est constitué d’une série de portées identiques, ces déformations feront qu’une excitation harmonique sera communiquée par la chaussée aux véhicules qui l’emprunteront. Il faudra que le système de suspension de Fautomobüe limite les mouvements verticaux transmis aux occupants du véhicule. La Fig. E4.1 montre un modèle fortement idéalisé de ce système ; la masse du véhicule est de 2 000 kg, et la rigidité du ressort a été déter­ minée par un essai montrant qu’une adjonction de 50 kg causait une flèche de 2.0 mm. Le profil du pont est représenté par une sinusoïde de longueur d’onde 12m (portée de chaque travée) et une amplitude de 3.0 cm. On veut déduire de ces données les mouvements verticaux du véhicule en régime permanent s’il se déplace à une vitesse de 72 km/h, en supposant un amortissement égal à 40 % de l’amortissement critique. m = 2 000 kg t ►Vitesse = 72 km/h

Partie supérieure du tablier

Lorsque le véhicule se déplace à 72 km/h = 20 m/s, la période de l’exci­ tation est 12 m T ---------- -- 0.6 s 20 m/s La période naturelle du véhicule est T - — = 2n Ê = 0.567 i (o V k d’où P - T/Tp = 0.567/0.60 = 0.945 ; et avec £ = 0.4 l’amplitude de la réponse est "max= 3.0(1.642) = 4.93 cm S’il n’y avait pas d’amortissement dans la suspension ( | = 0), l’ampli­ tude serait t 1 4 3.0 vm*x Vg0 l _ p 2 ~~ qYJ “ 27*3 cm ce qui se situe bien sûr au-delà des possibilités du ressort ; cela n’a donc que peu de signification, mais on voit ainsi l’importante fonction des amortisseurs dans la limitation des mouvements provenant des irrégu­ larités de la chaussée. EXEMPLE E4.3 Une machine alternative de masse 10 000 kg produit des forces harmoniques verticales d’une amplitude de 2 500 N à la vitesse de fonctionnement de 40 Hz. Afin de limiter les vibrations induites dans le bâtiment où cette machine doit être installée, on prévoit de la poser sur quatre ressorts : un en chaque coin de sa base rectangu­ laire. On veut déterminer la rigidité des ressorts nécessaires pour limiter à 400 N la force harmonique totale transmise au bâtiment. La transmittance sera dans ce cas 400/2 500 = 0.16 ; d’où par l’Eq (4.39) ^

= I/?2 - 1| = 6.25

et fi* = 7.25 = Fig. E4.1

Véhicule en mouvement sur un pont présentant des ondulations.

La transmittance est donnée par l’Eq. (4.38), d’où l’amplitude du mouvement vertical : >

«m.»

\2

“

11/2

r i + (2 m 2 t V> L(1 _ £2)2 + (2^)2 j

_ „

La résolution donne la rigidité totale eu2 m *

k

~~ï~25 = 8-71 x 10 N/m

La rigidité de chacun des quatre ressorts est donc k/4 = 2.18 x 107 N/m

construire la courbe de réponse en fréquence de la structure en appliquant des chargements harmoniques pQ sin cot à des intervalles de fréquences encadrant la fréquence de résonance, et en traçant la courbe représentant les variations des amplitudes des déplacements résultants en fonction des fréquences appliquées. Une courbe type de réponse en fréquence pour une structure à amortissement modéré est présentée à la Fig. 4.14.

La flèche statique provoquée par le poids de la machine sera A

9.81 X 10 = 1.13 f 1 r\ —3 _ --------------x 10 m= 8.71 x 107 __

-t s->

1 iO 1.13 mm

4.6 Mesure de l'amortissement des systèmes à un degré de liberté

Dans ce qui précède, on a supposé connues les caractéristiques physiques du système (masse, rigidité, amortissement). Dans la plupart des cas, la masse et la rigidité de la structure peuvent être déterminées aisément, soit par des consi­ dérations physiques simples, soit au moyen d’expressions généralisées telles que celles des Eqs. (2.37) et (2.39). En revanche, les mécanismes de déperdi­ tion d’énergie des structures rencontrées dans la pratique sont plus difficiles à comprendre : il en résulte qu’il n’est généralement pas possible de déterminer l’amortissement sous la forme d’un amortissement généralisé au moyen d’expressions du même type que celles donnant la masse ou la rigidité. Pour cette raison, l’amortissement de la plupart des structures doit être mesuré directement au moyen de méthodes expérimentales. Les paragraphes suivants présentent un tour d’horizon de ces méthodes. Décroissance des oscillations libres La méthode expérimentale la plus simple et la plus fréquemment utilisée est la mesure de la décroissance de l’amplitude des vibrations libres, comme indiqué au Chapitre 3. Les vibrations libres d’un système étant initiées par un moyen quelconque, le facteur d’amortissement peut être déterminé à partir du rapport des amplitudes de déplacements mesuré à m cycles d’intervalle. Si vn est l’amplitude de la vibration en un instant quelconque et vn+m son amplitude m cycles plus tard, le facteur d’amortissement est donné par £ = ___ —----- ± -A l. 2nm(colœD) 2nm

(4-41)

où ôm = ln(t;w/ün + m) représente le décrément logarithmique ; co et coD sont les fréquences circulaires amortie et non amortie. En pratique, le facteur d’amortissement de la plupart des structures étant inférieur à 0.2, la forme approchée de l’Eq. (4.41), où l’influence de l’amortissement sur la fréquence est négligée,est acceptable (l’erreur sur £ est inférieure à 2 %). Un des avantages de la méthode des vibrations libres est que l’appareillage nécessaire est réduit à un minimum. Les vibrations peuvent être initiées par un dispositif quelconque, et seules les amplitudes des déplacements relatifs sont à mesurer. Amplification résonante Les autres techniques de mesure de l’amortissement sont basées sur l’obser­ vation du comportement harmonique en régime permanent : elles demandent donc un appareillage permettant d’appliquer à la structure des oscillations d’amplitudes et de fréquences prédéterminées. On peut avec un tel appareillage

Rapport des fréquences, p Fig. 4.14

Courbe de réponse en fréquence pour un système modérément amorti.

Pour une fréquence donnée, le facteur d’amplification dynamique est le rapport de la réponse en amplitude à cette fréquence et de la réponse à la fré­ quence zéro (statique). On montre -E q .(4 .2 5 )- que le facteur d’amortisse­ ment dépend du facteur d’amplification dynamique à la résonance. Si on note par p0 l’amplitude de la réponse statique et par pp=ï l’amplitude à la résonance, le coefficient d’amortissement est donné par £ = ^— 2 Pp~i

(4-42)

Comme il est en pratique difficile d’appliquer la fréquence de résonance avec précision, il sera plus commode de déterminer l’amplitude de la réponse maxi­ mum prrox qui se produit à une fréquence très légèrement inférieure. Dans ce cas, l’Eq. (4.266) montre que le facteur d’amortissement peut être calculé par la formule ( 443 )

£ = i _ * L Ü L ^ i-£ o _ 2 Pm ax COD

^ p max

L’erreur commise dans l’expression la plus simple résulte encore une fois de ce que l’on néglige la différence entre les fréquences amortie (pseudo-fréquence) et non amortie ; cette erreur est acceptable dans la plupart des cas. Cette méthode de détermination de l’amortissement ne nécessite qu’un appareillage simple permettant de mesurer les amplitudes des déplacements relatifs ; la mesure des déplacements statiques peut néanmoins poser un problème, car la plupart des dispositifs capables de produire le chargement ne peuvent opérer à fréquence nulle. Méthode de la demi-puissance (largeur de bande)

L’équation de la réponse harmonique (4.21) montre que toute la courbe de la réponse en fréquence dépend de la valeur de l’amortissement présent dans le système. Il est possible de déterminer le facteur d’amortissement à partir des caractéristiques de la courbe. L’une des méthodes les plus commodes est la méthode de la largeur de bande (ou de la demi-puissance), dans laquelle le facteur d’amortissement est déterminé sur la base des fréquences pour lesquelles la réponse est réduite à (1 I \f 2 ) p ^ i , c’est-à-dire des fréquences pour lesquelles la puissance d’entrée est la moitié de la puissance de sortie obtenue à la réso­ nance. Les valeurs des fréquences à demi-puissance peuvent s’obtenir en écrivant que l’amplitude de la réponse donnée par l’Eq. (4.21) est égale à l/\/2~fois l’amplitude de résonance donnée par l’Eq. (4.42), c’est-à-dire : j_ p o = o r _

_

y f ï 2<Ü

P2)2 + ( W

■

|_(1 -

L

_

_

Le facteur d’amortissement est donné par la demi-différence entre ces fré­ quences : É = 'h f a - Pi) (4-44) Cette méthode de mesure du facteur d’amortissement est illustrée sur la courbe de réponse en fréquence de la Fig. 4.14. On a tracé une droite horizon­ tale d’ordonnée égale à I/ n/ 2 fois la réponse en état de résonance : la différence des fréquences correspondant aux points d’intersection avec la courbe de ré­ ponse est égale à deux fois le facteur d’amortissement. On voit que cette mé­ thode évite la mesure de la flèche statique; elle exige néanmoins un tracé précis de la courbe de réponse au voisinage de la demi-puissance et à la réso­ nance. EXEMPLE E4.4 La Fig. E4.2 représente les résultats d’essais de réponse en fréquence pour un système à un degré de liberté, ainsi que les données nécessaires au calcul du facteur d’amortissement. Une fois la courbe tracée, le calcul comporte les étapes suivantes : 1. Déterminer le pic de réponse = 1.44 mm 2. Tracer la ligne horizontale d’ordonnée pic/\/2~ = 1.02 mm 3. Déterminer les deux fréquences des points d’intersection avec la courbe de réponse : = 19.55 e t / 2 = 20.42. 4. Le facteur d’amortissement est donné par : * ç

-

2

f 2 “ / l _ o ipo/ - i n r ^

r j

En élevant au carré on obtient 1 = ________1_______ H2

(1 - p 2)2 + (2 Çp)2

ce qui donne le rapport de fréquences p 2 = i - 2£2 ± 2
Si on néglige le terme sont

sous le radical, les deux fréquences à demi-puissance

P 2 =

1 -

2£ - 2£2

p t = 1 - £ - Z2

p 22 ±

1+2Ç-2Ç2

p 2 = 1 + £ - Z2

Fig. E4.2 Essai de réponse en fréquence permettant de déterminer le facteur d'amortissement.

Déperdition d'énergie par cycle (essai en résonance)

Supposons qu’un appareil quelconque permette la mesure du déphasage entre la force excitatrice et les déplacements résultants ; l’amortissement peut alors être mesuré par des essais effectués à la résonance seulement et il n’est pas nécessaire de tracer la courbe de réponse complète. Le procédé consiste à obtenir la résonance en ajustant la fréquence d’entrée jusqu’à ce que le dépha­ sage entre l’excitation et la réponse atteigne 90°. Le chargement appliqué est alors exactement équilibré par les forces d’amortissement, de sorte que si on trace la relation entre ce chargement et les déplacements qui en résultent pour un cycle entier du chargement (Fig. 4.15), le résultat peut s’interpréter comme le graphe de la relation entre l’amortissement et le déplacement.

provoquant la même déperdition d’énergie par cycle que celle observée graphi­ quement. Autrement dit, l’amortissement visqueux équivalent est celui qui correspond à un graphe force-déplacement de même aire totale et de forme elliptique, avec les mêmes déplacements maximums que le graphe réel. La courbe en pointillé de la Fig. 4.15 est donc en ce sens équivalente à la courbe en trait plein. L’amplitude de la force appliquée équivalente est donc n o -------wd P np où wD représente l’aire délimitée par le graphe force-déplacement, c’est-à-dire la perte d’énergie par cycle. La substitution de cette expression dans l’Eq. (4.45) conduit à une expression de la constante d’amortissement équivalente en fonc­ tion de la perte d’énergie par cycle : Wn ------- h (4-46) 7l(Op Dans la plupart des cas, la définition la plus commode de l’amortissement d’une structure s’obtiendra sur la base de l’amortissement critique. Il est donc nécessaire de définir une mesure pour exprimer la constante d’amortissement critique ; on peut l’exprimer en fonction de la masse et de la fréquence, comme dans l’Eq. (3.18), ou sous une forme équivalente mettant en jeu la rigidité et la fréquence : 2k cc = (4-47) CD

Cette dernière expression est plus commode car la rigidité de la structure peut être mesurée en utilisant essentiellement les mêmes dispositifs que ceux qui servent à mesurer la déperdition d’énergie par cycle : il suffit de s’approcher des conditions statiques en chargeant le système à vitesse très lente. Le diagramme force statique-déplacement obtenu de cette manière aura la forme représentée à la Fig. 4.16 si la structure obéit aux lois de l’élasticité linéaire, et la rigidité

Fig. 4.15 Energies d'amortissement réelle et équivalente pour un cycle.

Si une structure possède un amortissement du type visqueux, la courbe sera une ellipse (en pointillé sur la Fig. 4.15). Dans ce cas particulier le facteur d’amortissement peut être déterminé directement à partir du rapport entre la force d’amortissement maximum et la vitesse maximum : e

= /f l. ma» =

Pù

(4-45)

On remarquera que la vitesse maximum est donnée par le produit de la fré­ quence et de l’amplitude du déplacement. Si l’amortissement n’est pas du type visqueux linéaire, la forme du graphe force-déplacement ne sera pas elliptique : on obtiendra une courbe telle que celle tracée en traits pleins à la Fig. 4.15. On pourra dans ce cas définir un amortissement visqueux linéaire équivalent :

sera représentée par la pente de la courbe. Réciproquement, la rigidité peut s’exprimer au moyen de l’aire ws comprise sous la courbe force-déplacement : k = ~pT

(4-48)

où f est le coefficient d’amortissement hystérésique qui définit les forces d’amortissement comme une fraction des forces élastiques de rigidité. Le dia­ gramme force-déplacement dans le cas de l’amortissement hystérésique est représenté à la Fig. 4.17. On remarquera que la résistance due à l’amortisse­

Le facteur d’amortissement est alors obtenu en combinant les Eqs. (4.46) à (4.48) : * = £cc = 4nws

^ 49>

Ce facteur d’amortissement apparaît comme indépendant de la fréquence : il dépend directement du rapport entre la quantité d’énergie d’amortissement dissipée par cycle et l’énergie de déformation emmagasinée dans le cas du dé­ placement maximum. Dans le cas d’un système à amortissement visqueux, la perte d’énergie dans le système sera proportionnelle à la fréquence harmonique ; il en sera de même du rapport d’amortissement. D’autre part, si le rapport d’amortissement a été obtenu à partir d’un essai de résonance, l’amortissement visqueux correspondant obtenu en reportant l’Eq. (4.46) dans l’Eq. (4.49) est inversement proportionnel à la fréquence : ‘• • - O

( 4 - m

)

ce qui montre une fois encore que l’amortissement visqueux est fonction de la fréquence. Amortissement hystérésique

Bien que la représentation par amortissement visqueux conduise à une forme simple pour les équations du mouvement des structures, les comporte­ ments réels correspondent rarement exactement à ce modèle. Dans de nom­ breux cas, le concept d’amortisseur visqueux équivalent défini en fonction de la perte d’énergie par cycle fournit une approximation raisonnable des résultats expérimentaux. Mais l’influence de la fréquence sur le mécanisme d’amortisse­ ment visqueux — caractéristique importante que nous avons soulignée cidessus - ne correspond pas aux résultats de certains essais réels, pour lesquels il semblerait que les forces d’amortissement soient complètement indépen­ dantes de la fréquence à laquelle l’essai est effectué. La notion d’amortissement hystérésique fournit un modèle mathématique qui conduit à cette propriété d’indépendance par rapport à la fréquence ; la force d’amortissement qui le définit est en phase avec la vitesse, mais propor­ tionnelle aux déplacements. Cette relation force-déplacement peut s’exprimer par : f D = C*M ^ M

(4-51)

ment a le signe des forces élastiques linéaires lorsque l’amplitude des déplace­ ments croît, mais qu’elle change de sens lorsque l’amplitude des déplacements décroît. La déperdition d’énergie hystérésique par cycle dans un tel mécanisme est WD = 2Çkp2

(4-52)

Si la perte d’énergie hystérésique est représentée par un amortisseur vis­ queux équivalent, le facteur d’amortissement visqueux équivalent sera donné par l’Eq.(4.49). Autrement dit, l’Eq.(4.49) peut être utilisée pour exprimer le facteur d’amortissement d’une structure quel que soit son mécanisme réel de déperdition d’énergie. Mais si l’on veut obtenir l’amortissement hystérésique spécifique correspondant à un essai donné, on peut toujours l’exprimer au moyen du facteur d’amortissement en reportant les Eqs. (4.52) et (4.48) dans l’Eq. (4.49) comme suit : C= <

(4-53)

Il est donc clair que l’amortissement hystérésique est indépendant de la fré­ quence à laquelle l’essai est effectué, ce qui s’oppose à la dépendance entre fréquence et facteur d’amortissement visqueux [Eq. (4.50)].

Problèmes

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

Soit la structure de la Fig. 3.1 avec un amortissement nul. La structure est soumise à une excitation au rapport de fréquences 0 = 0.8. En tenant compte à la fois des régimes permanent et transitoire, tracer le facteur de réponse R(t). Evaluer la réponse à des incréments côAt = 80° et mener à bien l’analyse sur 10 incréments. Soit le système de la Fig. 3.1 avec les propriétés suivantes : m = 350 t et A: = 3.5 x 106 N/m. Si ce système est soumis à un chargement harmo­ nique résonant (cô = co) initié sur la structure au repos, déterminer la valeur du facteur de réponse R (t) après quatre cycles (cJt = 8 n), en supposant que : (a) c — 0 [utiliser l’Eq. (4.31)] (b) c = 8.75 x 104 N.s/m [utiliser l’Eq. (4.30)] (c) c - 3.5 x 105 N.s/m [utiliser l’Eq. (4.30)] Soit le même véhicule et le même pont qu’à l’Exemple E4.2, mais avec des portées réduites kL = 10.8 m. Déterminer : (æ) la vitesse nécessaire pour induire la résonance dans le système de sus­ pension du véhicule. (b) l’amplitude totale du mouvement vertical ^max à la résonance. (c) l’amplitude totale du mouvement vertical vf à la vitesse de 72 km/h. maX Une console contenant des instruments fragiles doit être installée au même étage qu’un laboratoire de dynamique. Le plancher y vibre vertica­ lement avec une amplitude de 0.75 mm à 20 Hz. Si la masse de la console est de 400 kg, déterminer la rigidité du système d’isolation en vibration nécessaire pour réduire l’amplitude du mouvement vertical de la console à 0.125 mm. Une machine à tamiser a pour masse 3 000 kg ; lorsqu’elle fonctionne à pleine capacité elle exerce sur ses appuis une force harmonique d’ampli­ tude 3 000 N à 12 Hz. Après montage de la machine sur des isolateurs de type ressort, on a constaté que la force harmonique exercée sur les appuis avait été réduite à une amplitude de 200 N. Déterminer la rigidité k du ressort utilisé dans le système d’isolation. La structure de la Fig. P4.1 a peut être idéalisée par le système équivalent représenté en Fig. P4.16. Dans le but de déterminer les valeurs de c et de k de ce modèle, la colonne de béton a été soumise à un essai en charge harmonique, voir Fig. P4.le. Avec une fréquence d’essai de 03 = 10 rad/s, on a obtenu la courbe d’hystérésis force-déplacement de la Fig. P4.lt/. Il faut : (a) déterminer la rigidité k. (b) en supposant un mécanisme d’amortissement visqueux, déterminer le facteur d’amortissement visqueux apparent £ et le coefficient d’amortissement c. (c) en supposant un mécanisme d’amortissement hystérésique, détermi­ ner l’amortissement hystérésique apparent f . L/essai du Prob. 4.6 est recommencé en utilisant une fréquence d’essai co = 20 rad/s; la courbe force-déplacement (Fig. P4.1 d) a été trouvée inchangée. Dans ce cas :

Masse rigide m

C !i _ H T1j----------

2a

-Entretoise Colonne^ en béton

i % -a

1

m

m

n k

V////)////. (b)

(a)

h

K/) »p(t) - p 0 sin u) t

Colonne en béton

7wmP7/, (c)

Fig. P4.1

4.8

(a) déterminer les valeurs £ et c de l’amortissement visqueux apparent. (b) déterminer le facteur d’amortissement hystérésique apparent f. c ) à partir de ces deux tests (cô = 10 et
5

Réponse à un chargement périodique quelconque

5.1 Développement de la charge appliquée en série de Fourier

Le Chapitre 4 nous a permis d’écrire la réponse d’un système à un degré de liberté à une excitation harmonique quelconque. Nous allons montrer qu’il est possible d’utiliser les mêmes expressions pour écrire la réponse à un char­ gement périodique quelconque : il suffit en effet d’exprimer le chargement en série de Fourier. La réponse correspondant à chaque terme de la série est alors simplement la réponse à un chargement harmonique ; en utilisant le principe de superposition, on en déduit la réponse totale comme la somme des réponses dues à chaque terme de la série. Considérons un chargement périodique quelconque exprimé en série de Fourier : / \ ’sr 2tm ^ , . 2,7tn K O = a0 + Z a „ œ s — t + J . b» s in — t n—1

«—1

1p

(5-1)

1p

où Tp est la période de l’excitation. Cette excitation est représentée à la Fig. 5.1. Les coefficients de la série s’obtiennent par les expressions : Tp K O dt

Tp Je0

fl» = Jp J

,

f P K O cos ^ t dt o tp

2 F»

b„ = —

p Jo

5.2

(5-2)

, - . 2nn . K O sm — t *P

Réponse à un chargement exprimé en série de Fourier

Un chargement périodique arbitraire exprimé en série de Fourier comprend une force constante (la force moyenne représentée par le coefficient a0) et

4P(0

EXEMPLE E5.1 Considérons un système chargé par une force pério­ dique,Fig. E5.1. La détermination des coefficients de Fourier donne : T''2 . 2nt At p0 p0 sin — dt = —

_

r

2

p j o

une série de chargements harmoniques de fréquences côn et d’amplitudes an et bn . Pour un système à un degré de liberté, la composante permanente de la ré­ ponse produite par chaque terme en sinus de la série est donnée par une expres­ sion de la forme de l’Eq. (4.9) sans terme transitoire : [Termes en sinus]

vn(t) = — k l -

ou

fi = ^

1

0

. 2nt 2nnt p0 sin — cos T T ÂP Âp

n = impair

2 * Po . w 1 - n2

2 ÇT' 12 - 2nt . 2nnt . b„ = — p0 sin — s in ----- dt = tJ o Tp T„ d ’où

Po 2

n =

0

n >

n — pair

(5-3a) Pn

= —

m

= — j 1 H- - sin œyt — 2/ 3 cos 2œl t n \ 2

= nœ-i

-

CD

CD

De même la réponse en régime permanent pour les termes en cosinus est donnée par : [Termes en cosinus] vH(t) = ~ :------— cos n œ ^ k 1 - Pn2

2/l5 COS

4Ô3,f

-

2j 3s COS ÔCÔjf -

••

(a)

où CO, =

(5-3 b)

2n

et la réponse due au terme constant est le déplacement statique v

[Terme constant]

(5-3c)

-S s.

V° ~

k

La réponse totale devient alors :

H

C

vit) = -

0° + V ---- ---- ï (°n COS nCOl f + bn Silî ««>.0

k L

1 — P»

(5*3)

i (1

wm (a)

(b)

Fig. E5.1 Exemple pour l'étude de la réponse à un chargement périodique : (a) système à un degré de liberté ; (b) chargement périodique.

Si on considère à présent que le système n ’est pas amorti et si par exemple la période du chargement est égale à 4/3 de la période propre du système, soit :

- p 2)2 + (2 t p j *

x {[a»2iP„ + b„i 1 - P 2)] sin nôV

P(t)

m

J

où les coefficients et bn sont donnés par les formules des Eqs. (5.2). Pour prendre en compte l’amortissement d’un système à un degré de liberté soumis à un chargement périodique, il suffit de substituer aux équations que nous venons d’utiliser les expressions obtenues plus haut pour un système amorti soumis à une excitation harmonique : Eq.(4.20). Dans ce cas,la réponse totale en régime permanent devient : vit)

-Or

(5-4)

h + [a»(l ~ P 2) ~ K ^ P n] cos hûm A

T

S pt = 3/4 Cl)

^ - ^ P 2= 3/ 2 £O

(b)

la réponse en régime permanent sera donnée par une équation de la forme de l’Eq. (5.3). En utilisant les valeurs trouvées en (a) et (b), la ré­ ponse totale devient : v(t) = — { 1 + — sin œ t t + — cos 2œ xt + ~ cos 4œ t t + • • • ) (c) kn\ 1 1 15 60 / Si le système est amorti, on procédera de la même manière mais en utilisant l’Eq. (5.4) au lieu de l’Eq. (5.3).

5.3

Forme exponentielle de la solution par série de Fourier

Les équations relatives aux séries de Fourier -E q s. (5.1) et (5.2) - peuvent également s’écrire sous forme exponentielle en substituant aux fonctions trigonométriques les expressions exponentielles (d’Euler) suivantes : sin x = - 1/ 2i (e*x - e~lx)

cos x = 1/ 2(eix + e~ ix)

(5-5)

c» exp (incüjt)

(5-6)

Fig. 5.2

Représentation vectorielle d'un chargement exponentiel.

Le résultat est p (0 = OÙ

1

C„ = —

00 2

n - —oo

K O exp ( - i n œ ^ )

dt

(5-7)

Tp Jo

A chaque valeur positive de «, disons n = + m, il correspond un n = — m. Les deux termes exp (im c j^ ) et e x p ( - i m û xt) peuvent être représentés par des vecteurs unitaires tournant respectivement dans les sens positif et négatif avec la vitesse angulaire m cô1, comme le montre la Fig. 5.2. Les composantes imaginaires de ces vecteurs s’annulent identiquement. On peut également remarquer dans l’Eq. (5.7) que c+m est le conjugué complexe de c_m ; ainsi tous les termes imaginaires de l’équation s’annulent, ce qui est normal puisque p (t) est une fonction chargement réelle. Sachant exprimer un chargement périodique sous forme exponentielle, nous voulons également écrire les équations définissant la réponse à un chargement harmonique sous une forme exponentielle. Comme précédemment seule la réponse en régime permanent sera considérée : on suppose que le chargement périodique a duré suffisamment longtemps pour que le transitoire soit amorti. Introduire la fonction excitation complexe unité exp (ic3t) dans l’équation du mouvement (4.1) mène à mv(t) + cv(t) + kv(t) = exp (iœt)

(5-8)

Après introduction des expressions du rapport de fréquences P et du facteur d’amortissement £ ceci devient " « - r +'m + D *■“ > La réponse en fréquence complexe à une fréquence d’excitation côn = n cô1 sera donc H (nœ x) = ------- -— ---------------------+ l i n M + 1)

(5-9)

(5-12) 1 ’

où j31 = côj/co. Par la forme de l’Eq. (5.10) on peut voir que H(nü>x) est le conjugué complexe de //( - « c ô j) . Il est donc possible d’exprimer la réponse permanente d’un système à un seul degré de liberté à la fonction d’excitation que représente chaque terme de la série de Fourier. Par le principe de super­ position, il s’ensuit que la réponse totale permanente du système à toute fonction d’excitation périodique peut s’écrire v(t) =

dont la solution en régime permanent est de la forme v(t) = H (œ ) exp (iœt)

Si on reporte l’Eq. (5.9) dans l’Eq. (5.8), on trouve que la fonction H (cô), que l’on appellera dorénavant fonction de réponse en fréquence complexe, prend la forme 1 H {cS ) = — (5-10) —œ m + iœc + k

2

H ( n co i ) c n

exp (incüiO

(5-13)

La simplicité de la forme exponentielle apparaît clairement si on compare l’Eq. (5.13) à l’expression trigonométrique équivalente, Eq. (5.4).

vecteurs des forces de rappel élastique, d’amortissement et d’inertie en régime permanent. Supposer que la structure a un amortissement de 15 % de l’amortissement critique et se trouve soumise au chargement harmo­ nique p w(f) = an cos où côn = 6/5 co (c’est-à-dire que &n = 6/5). Construire le diagramme à l’instant pour lequel cônt = 7r/4.

Problèmes

5.1

Exprimer le chargement périodique de la Fig. P5.1 en série de Fourier. Déterminer les coefficients an et bn au moyen des Eqs. (5.2) pour le chargement périodique donné par p(t) = Po sin — / Tp p(t) = 0

(0 < / < 2n) (2n < t < 3tt>

Puis écrire le chargement sous la forme de l’Eq. (5.1).

Fig. P 5.3

5.5

Le chargement périodique de la Fig. P5.3 peut être exprimé par la série 00

p(f) = 2 é« *“ ô »r »*1 OU

5.2 5.3 5.4

Reprendre l’énoncé du Prob. 5.1 pour le chargement périodique de la Fig. P5.2. Reprendre l’énoncé du problème de l’Exemple E5.1, en supposant que la structure est amortie à 10 % de l’amortissement critique. Construire un diagramme complexe semblable à celui de la Fig. 4.3, comportant à l’échelle le vecteur des charges appliquées, ainsi que les

bn = - ^ ( - i y nn Tracer sur une période complète la réponse en régime permanent de la structure delà Fig. E5.1tf,en ne conservant que les quatre premiers termes de la série et en considérant des incréments de temps donnés par côj A t = 30°.

Réponse à un chargement par impulsion

6.1 Nature des charges impulsives

Une charge impulsive consiste en une impulsion unique semblable à celle que l’on a représentée en Fig. 6.1 ; elle est généralement de courte durée. Ces charges impulsives, par exemple les chocs, sont d’une grande importance dans le calcul de certaines structures, comme par exemple de véhicules tels que des camions, des automobiles ou des grues roulantes. L’amortissement présente alors beaucoup moins d’importance pour la réponse maximum que dans le cas de charges périodiques. La réponse maximum à une charge impul­ sive sera atteinte dans un laps de temps très court, avant que les forces d’amor­ tissement n’aient le temps d’absorber une énergie conséquente. Pour cette raison, nous ne considérerons dans ce paragraphe que la réponse non amortie.

6.2 Impulsion en forme de sinusoïde

Certaines charges impulsives peuvent être représentées par des fonctions analytiques simples, et dans ce cas on peut obtenir des solutions littérales pour les équations du mouvement. Considérons par exemple l’impulsion en forme de sinusoïde représentée en Fig. 6.2 La réponse sera divisée en deux phases, correspondant l’une à l’intervalle pendant lequel la charge agit, et l’autre à la phase d ’oscillation libre.

L’amplitude de la réponse dynamique qui résulte de la charge impulsive dépend du rapport entre la durée de la charge et la période de vibration propre de la structure. Le facteur de réponse R (t) = v(t)/(p 0/k) est représenté en Fig. 6.3 pour t j T = 3/4. A fins de comparaison on a également tracé p (t)/k , qui présente une valeur maximale unité sur l’échelle du facteur de réponse.

En mécanique des structures, la réponse maximum produite par la charge impulsive présente souvent plus d’intérêt que l’histoire complète. L’instant où elle se produit peut être déterminé en annulant la dérivée de l’Eq. (6.1) par rapport au temps ; ainsi, dv(t) = 0 = p0 (œ cos œt — œ cos œ t) k 1-0dt PHA S F I La structure est soumise à un chargement harmonique initié au repos.

La réponse non amortie, comprenant le transitoire et le terme du régime permanent, est donnée, voir l’Eq. (4.11), par (Pour 0 < t < fj)

v(t) = — — -—- (sin œt — fi sin œ t) k 1 —P

(6-1)

PHASK II Le mouvement de vibration libre qui se produit ensuite dépend du déplacement t>(£j) et de la vitesse û(*i) existant à la fin de la phase I, et peut être exprimé comme suit, voir Eq. (3.11) :

(Pour /’ = / - t l > 0)

v(ï) =

où la nouvelle variable temps

sin col + v ( t j cos cot a été utilisée.

(6-2)

d’où cos œt = cos œt et œt

=

2nn ± œt

n = 0, ± 1, 2, 3 , . . .

(6-3)

Cette expression n’est bien sûr applicable que tant que ôôf < n, c’est-à-dire si la réponse maximum se produit alors que la charge impulsive n’a pas fini d’agir. Dans le cas particulier où la fréquence de la charge approche la fréquence de la vibration libre, c’est-à-dire où œ -* gj, le moment où se produit la réponse maximum s’obtiendra en faisant n = 1 et en utilisant le signe négatif de l’Eq. (6.3), ce qui mène à œt =

2n 1 4- (œ/œ)

(6-4)

L’amplitudè de la réponse maximum peut alors s’obtenir en reportant l’Eq. (6.4) dans l’Eq. (6.1) ; le résultat n’est applicable que si 031 < 7r, ce qui sera le cas si P < 1, c’est-à-dire si ô3 < co. Pour p > 1 (ô3 > co) la réponse maximum se produit durant la phase de vibration libre (phase II). Les déplacement et vitesse initiaux de cette phase sont donnés par introduction de côtx = n dans l’Eq. (6.1) :

Avec des procédés analogues, la réponse maximum à un chargement impulsif résonant (P = 1) peut se déduire de l’Eq. (4.31) (l’équation de résonance). Dans ce cas la réponse maximum se produit à la fin de l’impulsion, cot = 7r, et lé facteur d’amplification dynamique est D = - = 1.57

2

6.3 Impulsion rectangulaire

Le second type d’impulsion que nous considérerons sera rectangulaire, voir Fig. 6.4. La réponse sera une fois encore divisée en deux phases : chargement, et vibrations libres. L’amplitude de ce mouvement de vibration libre est alors donnée par l’Eq. (3.15), c’est-à-dire

' - C

T

+

K+ 2

2 008 T

D’où le facteur d’amplification dynamique dans ce cas :

(Pour/3 > 1, t > t j) t>„ „ 2p n -Eîî- = — - cos — P o /k

1 - p 2

2p

EXEMPLE E6.1 II s’agira de la détermination de la réponse maximum à une impulsion sinusoïdale de longue durée, où le maximum se produit alors que la charge est en train d’agir. Considérons le cas où P = 2/3 (03 = 2/3 co ou t x = 3/4 T) ; l’Eq. (6.4) donne

—

i p â

- >

p h a s e i Une charge appliquée de manière instantanée et constante durant la phase I est appelée échelon. La solution- particulière pour un chargement en échelon est simplement la flèche statique correspondante :

et en reportant cette valeur dans l’Eq. (6.1) le facteur d’amplification dynamique devient D = — ^-JT- (sin *j5n - 2/ 3 sin 6/ sn) = 1.77 1~ b Comme exemple spécifique d’impulsion de courte durée, où la réponse maximum se produit durant la phase de vibration libre, prenons le cas où P = 4/3 (03 = 4/3 co ou t 1 = 3/8 T). Dans ce cas le facteur d’amplification dynamique se déduit de l’Eq. (6.6).

vp

= J

(6 -7 *)

On tire de ce résultat la solution générale, avec des constantes de vibration libre calculées pour satisfaire aux conditions initiales (repos) : (Pour 0 < t < t t )

t<0 = — (1 - cos œ t) k

(6-1 b)

p h a s e n La vibration libre de la phase II est une fois encore donnée par l’Eq. (6.2):

(Pour t = t - t x > 0)

v(t) =

co

sin coï -f i ^ ) cos col

(6-8)

Pour cette impulsion rectangulaire, il est évident que la réponse maximum se produira toujours dans la phase I s i t ^ 772,et que le facteur d’amplification dynamique D est 2 dans ce cas. Pour des chargements de plus courte durée, la réponse maximum se produira pendant la vibration libre de la phase II, et l’amplitude de la réponse sera donnée par l’Eq. (3.15) : P = ^mai =

+ M * .)]2

(6-9)

p hase i Dans cette phase le chargement s’écrit p 0( 1 —t / t x), et on montre aisément que la solution particulière correspondant à ce chargement s’écrit

(6- 11) On suppose des conditions initiales nulles ; on calcule les constantes de la vibration libre et on obtient

Avec v (t) = p 0oj/k sin cot et oj = 2 n/T ceci devient v(t) =

p0 /'sin œ t t \ ( ----------- cos œ t ------- + 1 l c \ œ ti h J

(6-12)

PHASE II Les valeurs de l’Eq. (6.12) et de sa dérivée première à la fin de la phase I (t — t i ) donnent

v(.h)

_ p0 /sin œti k \ œ tl

cos œt

_ Poœ /co s œ îl + sin œ tt Hti) = k \ œ tx Ainsi le facteur d’amplification dynamique varie comme le sinus du rapport t j T pour les rapports inférieurs à 1/2.

6.4 Impulsion triangulaire

Le dernier chargement en impulsion que nous considérerons sera l’impulsion triangulaire décroissante, Fig. 6.5.

(6-13)

1 œ tt

Elles peuvent être reportées dans l’Eq. (6.2) pour obtenir la réponse en vibra­ tion libre de la phase II. De même que dans les autres exemples, on détermine les valeurs maximales de ces fonctions en calculant leurs valeurs aux instants de vitesse nulle. Pour un chargement de très courte durée ( t l /T < 0.4) la réponse maximum se produit durant les vibrations libres de la phase II ; dans les autres cas elle se produit durant l’intervalle de chargement (phase I). Des valeurs du facteur d’amplification dynamique D = vmax/(p0/k ) calculées pour diverses durées de chargement sont présentées en Table 6.1. Table 6.1 Facteur d'amplification dynamique dans le cas d'une impulsion triangulaire.

hI T

0.20

0.40

0.50

0.75

1.00

1.50

2.00

D

0.60

1.05

1.19

1.38

1.53

1.68

1.76

6.5 Spectres de réponse ou spectres de choc

D’après les résultats précédents on voit que la réponse maximale produite dans une structure sous-amortie à un seul degré de liberté par une forme donnée de chargement en impulsion, ne dépend que du rapport t x/T entre la durée de l’impulsion et la période naturelle de la structure. Il est donc intéressant de tracer le facteur d’amplification dynamique D en fonction de t xlT pour di­ verses formes de chargements en impulsion. Par exemple, le contenu de la Table 6.1 a été tracé sous forme de courbe en Fig. 6.6. Des tracés analogues,

taie doit être égal en module à la force de rappel élastique kvmiX. Il est donc évident que les spectres de réponse de la Fig. 6.6 peuvent être utilisés pour dé­ terminer la réponse maximum en accélération en présence de charges impul­ sives. Utilisés dans ce but, on appelle généralement ces tracés spectres de choc. EXEMPLE E6.2 Utilisons un spectre de choc pour évaluer la réponse maximum d’une structure à une charge impulsive. Le système de la Fig. E6.1 représente un bâtiment d’un seul étage soumis à une explosion. Pour le poids et la rigidité donnés, la période de vibration est 2n Tm / 3 x 105 T = — = 2?r / — = 2tt / ----------- r = 0.082 s co J k J 1.75 x 109 Masse totale = 3 0 0 t

P (t)

Rigidité latérale totale k = 1.75 x 109 N /m

Fig. 6.6

Spectres de la réponse en déplacement pour trois types d'impulsions.

m zrn

correspondant à d ’autres formes de charges impulsives, apparaissent également sur cette figure ; ces courbes sont connues sous le nom de spectres de réponse en déplacement, ou simplement spectres de réponse des charges impulsives. On peut généralement utiliser ce genre de tracés pour obtenir une approximation acceptable de l’effet maximum à attendre d ’un type de chargement impulsif donné agissant sur une structure simple. Ces spectres de réponses permettent également de prédire la réponse de la structure à une accélération impulsive appliquée à sa base. Si cette accélération est v J t) , elle produira un chargement impulsif effectif peff(t) = — mvg (t) [voir nq. (2.21)]. Si l’accélération maximum de la base est notée vgQ, la charge impulsive effective maximum sera = — müg0- ^ facteur d’amplification dynamique devient donc D =

mVgolk

(6-14)

où en général seul le module de la réponse présente un certain intérêt. On peut encore écrire cela comme D =

(6-15) go

où ÿJnax est l’accélération totale maximum de la masse ; cela provient du fait que dans un système non amorti le produit de la masse et de l’accélération to-

Force élastique de rappel

fs = kv Fig. E6.1

Bâtiment à un degré de liberté soumis à une explosion.

Le rapport de durée de l’impulsion est donc t.

0.05 1 ~ *------ = 0.61 T 0.082 et vu la Fig. 6.6 le facteur d’amplification dynamique est D = 1.33. Le déplacement maximum sera donc 5 x 106 = D — = 1.33--------- - s = 3.8 x 10 3 m = 3.8 mm k 1.75 x 10 et les forces élastiques maximales produites seront fs, max = fctfma, = (1-75 x 109) (3.8 x 10"3) = 6.65

X

106 N

Si la durée de l’impulsion avait été dix fois moindre ( tx = 0.005 s), le facteur d’amplification dynamique pour le rapport t J T — 0.061 aurait été D = 0.44 seulement et les forces résistantes élastiques n ’auraient été que d e fs = 2.2 x 106 N. Ainsi, pour une impulsion de très courte durée une grande partie de la charge appliquée est absorbée par l’inertie de la structure, et les contraintes sont beaucoup plus faibles que celles qui seraient dues à un chargement de plus longue durée.

Pour t > t x, la force appliquée est égale à zéro et la réponse est une vibration libre :

6.6 Calcul approché de la réponse à un chargement par impulsion

L’étude des spectres de réponse présentés en Fig. 6.6 pour des impulsions rectangulaire, triangulaire et sinusoïdale et pour d’autres cas de chargement nous permet de tirer les deux conclusions suivantes :

v(i) =

sin coï + v(tx) cos coï

co

1 Dans le cas de chargements de longue durée, par exemple t x/ T > 1, le facteur d’amplification dynamique dépend principalement de la vitesse à laquelle la force atteint sa valeur maximum. Un chargement en échelon appliqué pendant un temps suffisamment long produit un facteur d’amplification dynamique D = 2. Un accroissement très progressif de la force conduit à un facteur égal à l’unité. 2 Dans le cas de chargements de courte durée, par exemple t xjT < 1/4, l’amplitude du déplacement maximum t>max dépend principalement de

où i = t - t x . Or v ( tx) est suffisamment petit pour être négligé en pratique, et de plus v (tx) = At;. On peut donc utiliser l’expression approchée suivante :

la valeur de l’impulsion appliquée I = J ti p ( t ) d t et n’est que peu

EXEMPLE E 63 Illustrons l’utilisation de cette formule approchée avec la structure et le chargement impulsif décrits par la Fig. E6.2 Dans ce cas

influencée par sa forme. Le facteur d’amplification dynamique D, par contre, dépend directement de la forme de la fonction chargement car il est proportionnel au rapport entre l’aire délimitée par la fonction chargement et l’amplitude maximum au pic de cette même fonction. Ceci apparaît très bien sur la Fig. 6.6 si on s’intéresse à la réponse dans le domaine des petites périodes. L’amplitude vmax est donc la grandeur la plus significative permettant de mesurer la réponse. Une méthode commode pour approcher la réponse maximum à un charge­ ment en impulsion de courte durée consiste donc à exprimer la variation de quantité de mouvement d’une masse m m Av = j* [ p ( 0 — kv(t)~\ dt

v(ï) = - i - ( | p(t) dt \ sin coï ™ co\Jo J

œ = \/k /m = 3.14 rad/s et

v(t) =

5

x 10"

106 (3.14)

sin cot

Le maximum de la réponse est obtenu pour sin co t = 1, ce qui corres­ pond à : tfmax = 1.59 cm tp (f)

H | - /wmwir 9.86 x 106 N/m

m=

PU)

106 kg

rn^Æ w m -O .ls-^O .ls-^-O .ls-^ Fig. E6.2

m Av = j 'p ( t) d t

p (t) d t = 5 x 104 N.s. La réponse

est donc approximativement

(6-16)

où Ai; est la variation de vitesse produite par l’application de l’impulsion p (t). On notera que pour les impulsions de courte durée le déplacement v ( t x) produit est de l’ordre de grandeur de (tx)21 alors que la variation de vitesse A v est de l’ordre de grandeur de t x. Comme l’ordre de grandeur de l’impulsion appliquée est également t x, le terme de rappel élastique kv(t) tend vers zéro avec t x et est négligeable dans cette équation dans le cas des impulsions de courte durée. L’équation précédente peut donc s’écrire de la manière approchée suivante :

(6-19)

Etude approchée de la réponse à une explosion.

(6-17) L’effort élastique maximum produit dans la structure est

ou encore 1 f '1

Av = — |

f s ,mai = p(t) dt

(6-18)

= (9.86 x 106) (t .59 x 10"2) = 1.57 x 105 N

Si on remarque que la période propre de vibration de ce système est T = 2tt/cj = 2 s, la même étude avec t l /T = 0.15 pourra être considérée

comme très valable. En fait, l’utilisation de la méthode d’intégration directe aurait conduit à un déplacement maximum vmax = 1.56 cm au lieu de 1.59 cm, soit une erreur inférieure à 2 %.

de la tour en utilisant l’Eq. (6.19) et en calculant l’intégrale de l’impul­ sion à l’aide de la méthode de Simpson : j p dt = y (p0 + 4pt + lp 2 + 4/>3 + pA)

Problèmes

6.1

6.2

On considère le système dynamique de la Fig. 3.1 avec les caractéris­ tiques suivantes : m = 300 kg et k = 1.75 x 105 N/m. On suppose qu’il est soumis à une impulsion de forme sinusoïdale (Fig. 6.2) d’amplitude p Q = 2 500 N et de durée t x = 0.15 s. Déterminer : (a) L’instant auquel se produira la réponse maximale, (b) La force de rappel maximale produite par le chargement ; vérifier ce résultat avec celui obtenu par utilisation de la Fig. 6 .6 . Une impulsion triangulaire qui s’accroît linéairement de zéro à sa valeur maximale est exprimée par p (t) = p ^ t / t ^ (0 < t< t x). (a) Obtenir une expression pour la réponse à ce chargement d’une struc­ ture à un seul degré de liberté, partant de conditions “au repos” . (b) Déterminer le facteur de réponse maximale Fig. P6.1

6.3

résultant de ce chargement si t x = 3 7r/co. On donne l’impulsion suivante : p(t) = p0 cos œ tl 0 < t <

( - ■ i )

(a) Obtenir une expression pour la réponse à cette impulsion avec des conditions initiales au repos. (b) Déterminer le facteur de réponse maximale P o lk

6.4

6.5

Le système à un seul degré de liberté de la Fig. 3.1, avec les caracté­ ristiques k = 3.5 x 106 N/m et m = 700 t est soumis à une impulsion triangulaire de la forme de la Fig. 6.5 avecp 0 = 7.5 x 104 N et t x = 0.15 T. (a) En utilisant les spectres de choc de la Fig. 6 .6 , déterminer la force de rappel maximale fsm&x (ressort). (b) En utilisant l’Eq.(6.19), calculer approximativement le déplacement et la force maxima pour le ressort ; comparer avec le résultat de la partie (a). Le château d ’eau de la Fig. P6 .I0 peut être traité comme une structure à un seul degré de liberté ayant les caractéristiques suivantes : m = 700 t, k = 7 x 106 N/m. A la suite d’une explosion, l’ouvrage est soumis à une charge dynamique dont l’histoire est représentée en Fig. P6.1 b. Calculer approximativement le moment de renversement maximum 0Tcoà la base

Réponse d'un château d'eau à une explosion.

Réponse à une excitation dynamique quelconque

7.1

Intégrale de Duhamel pour un système sans amortissement

La procédure exposée au Chapitre 6 , qui donne une réponse approchée à une impulsion de courte durée, peut être généralisée au cas d’une excitation dynamique quelconque. Considérons un chargement dynamique quelconque p ( t ), Fig. 7.1. Pendant la fraction de temps d t il fait subir à la structure une impulsion p { r ) d r , et on peut utiliser TEq. (6.19) pour calculer la réponse. Bien qu’approchée pour une durée courte mais finie, la méthode devient exacte lorsque d r devient infiniment petit. Ainsi, pour t > t la réponse pro­ duite par le chargement p(t) est d v ( t ) = É Ù J l sin c o ( t -

t)

(7 -1 )

mco Dans cette expression exacte au sens mathématique,dv(t) est l’expression diffé­ rentielle de la réponse à l’impulsion p (f) dr, pour t > r . Ce n ’est pas la varia­ tion de v pendant la durée dt.

!

/ / / / P(t ) / / /

r

7

^

1

"*1 «•----- >dr

—

£ --^ --y C -- (t -

T)

Réponse dv(t) Fig. 7.1

Détermination de l'intégrale de Duhamel (système non amorti).

La fonction complète peut alors être considérée comme une succession d’impulsions, chacune produisant une réponse du type exprimé dans l’équation précédente. En intégrant de 0 à t, on obtient donc la réponse de ce système linéaire à l’instant t : v(t) = — f p(x) sin œ(t - x) dx mco Jo

f p(x)h(t — x) dx

h(t — x) = — sin œ(t — t) mœ

7.2

œ

sin cot + i?(0) cos œt + - î — f p(x) sin œ(t — x) dx mœ Jo

(7-6)

1 r A (t) = ---p(x) cos œx dx mœ Jo

avec

(7-7)

1 ff B(t) = ---p(x) sin œx dx mœ Jo

Le calcul numérique de l’intéjrale de Duhamel requiert donc le calcul numérique des intégrales À (t) et B (t). Considérons par exemple la première ; la fonction à intégrer est décrite graphiquement en Fig. 7.2. Pour simplifier le

(7-3)

(7-4)

L’Eq. (7.3) est appelée intégrale de convolution. Lorsque l’on calcule la réponse d’une structure à un chargement arbitraire en utilisant l’équation ci-dessus, on peut parler d’obtention de la réponse dans le domaine des temps. La fonc­ tion h(t — r ) est généralement appelée réponse à une impulsion unité (définie ici pour un système non amorti) car elle exprime la réponse du système à une impulsion de valeur unité appliquée à l’instant t = r . Il a été supposé à l’Eq. (7.2) qu’à l’instant t — 0 le système était au repos. Dans le cas contraire, si v(0) =£ 0 ou i>(0) 0, la solution générale comprend des termes complémentaires de vibration libre. Dans le cas général : v(t) =

v(t) = A (t) sin œt - B(t) cos œt

(7-2)

expression généralement connue sous le nom d ’intégrale de Duhamel pour les systèmes sans amortissement. On peut l’utiliser pour calculer la réponse d’un système à un degré de liberté, non amorti, soumis à une excitation quelconque. Dans le cas d’une fonction de chargement entièrement quelconque, on aura bien sûr recours à une intégration numérique. L’équation précédente (7.2) peut également s’écrire KO -

OU

p( r ) cos cor = y{r)

(7-5)

Calcul numérique de l'intégrale de Duhamel pour un système sans amor­ tissement

Si la fonction décrivant le chargement appliqué est intégrable, la réponse dynamique de la structure peut être déterminée par une formule d’intégration, Eq.(7.2) ou (7.5). Dans de nombreux cas cependant, le chargement n’est connu que sous la forme de données expérimentales et la réponse doit être calculée par des procédés numériques. Dans ce genre de calculs il est utile de connaître l’identité trigonométrique sin (cot — cor) = sin cot cos cot — cos cot sin cor, et d’écrire l’Eq. (7.2) sous la forme (pour des conditions initiales nulles)

Fig. 7.2 Formulation du procédé numérique de sommation pour l'intégrale de Duhamel.

travail numérique, la fonction a été calculée pour des incréments de temps égaux Ar, les valeurs successives de la fonction étant repérées par des indices adéquats. La valeur de l’intégrale peut alors être obtenue de manière approchée en sommant ces ordonnées après pondération par des facteurs appropriés. Mathématiquement : m

= — I yi*) dx = — i - mco - rJo

(o

(7-8)

où y (r) = p ( r ) cos cor, et (l/J ) 2 ^ représente le processus de sommation numérique (dont la forme spécifique dépend de l’ordre de l’approximation

utilisée). Dans les trois cas les plus élémentaires les sommations s’effectuent comme suit : Simple sommation (f = 1) :

Eqs. (7.8) et (7.11) dans l’Eq. (7.6) mène à l’équation de réponse finale pour un système sans amortissement : v(t) = — - f " v ( 0 sin (Ot - 2 (0 cos

A

2 ( 0 = y 0 + yi + y i + • • • + J'n-i

mœCLV

( i-9a )

«

(7-12) J

Méthode des trapèzes (f = 2) : A

2 (0 = y 0 + 2 y t + 2y2 + ■■■ + 2yJV_ 1 + y N

(7.% )

2

Méthode de Simpson (f = 3) :

EXEMPLE E7.1 Considérons la réponse dynamique d’un château d’eau à une explosion. La modélisation de la structure et le chargement sont exposés en Fig. E7.1. Pour ce système la fréquence et la période de vibration sont

A

2 (0 = yo + 4yi + 2y2 + • • • + 4yN_ t + y N

(7-9c)

où N = t/A r doit être un nombre pair pour la méthode de Simpson. L ’utilisation dans l’Eq. (7.8) de l’une quelconque des formules de somma­ tion ci-dessus mène à une approximation de l’intégrale pour l’instant consi­ déré t. En général cependant, on recherche l’histoire entière de la réponse et pas seulement le déplacement à un instant bien spécifique ; autrement dit, la réponse doit être calculée pour une succession d’instants t x , t 2 , . . . , séparés les uns des autres d’un intervalle A r (ou 2 A r si c’est la méthode de Simpson qui est utilisée). Pour obtenir cette histoire complète de la réponse, il est plus commode d’exprimer les sommations de l’Eq. (7.9) sous forme incrémentale : Simple sommation (f = 1) : A

où

m

'3.94 x 10 2tt ------------s = 30 rad/s T = — = 0.209 s V 4.38 x 104 co

L’incrément de temps utilisé dans l’intégration numérique est A r = 0.005 s, qui correspond à un incrément angulaire en vibrations libres de co A r = 0.15 rad (un incrément plus long aurait probablement donné des résultats satisfaisants aussi). Il n ’y a pas d’amortissement. On a utilisé la méthode de Simpson, c’est-à-dire que le facteur f = 3 a été utilisé dans les Eqs. (7.10) à (7.12).

A

2 ( 0 = 2 (* ~ ^t) + 'P(* “ ^ T) cos ^ i i

~ ^ T)

(7-10a)

+ P(*) cos

(7-106)

Méthode des trapèzes (f = 2) : A

A

2 ( 0 = 2 (* ~ ^ T) + CP(* ~~ ^ T) cos ^ 2

2

Méthode de Simpson (f = 3) : A

A Histoire du chargem ent

2 ( 0 = 2 (* ~ ^ T) + tP(! ~~ ^At) cos co(r — 2 à t ) 3

3

+ 4p(t — At) cos co(t — At) -f p( 0 cos œt]

(7-10c)

où - Ar) représente la valeur de la sommation effectuée pour l’instant précédent / — Ar. _ Le calcul du terme B(t) peut s’effectuer exactement de la même manière, soit B (0 = —

î t w

mœ C "

(7-H )

où (t) peut être calculé par des expressions identiques aux Eqs. (7.10) mais avec des fonctions sinus au lieu des fonctions cosinus. La substitution des

Fig. E7.1

Château d'eau soumis à une explosion.

La table E7.1 présente une résolution à la main portant sur les dix premiers intervalles de temps. A A et A B représentent la sommation de la colonne 7 (ou colonne 12) par groupes de trois termes comme indiqué par les accolades. En colonne 17 on trouve le terme entre crochets de l’Eq. (7.12), et les déplacements en colonne 18 ont été obtenus en multipliant la colonne 17 par G = Ar/mco£. Les forces figurant dans la dernière colonne sont données p a r/ 5 = k v (t). Signalons que ces calculs ont été effectués à la règle à calcul : les résultats finaux, qui comportent des différences de grands nombres, sont donc assez peu précis.

w

0 0.57 4.52 14.84 30.9 47.6

w

fO Cl Cl

X

ç.gg

O.

VO (N

<0 4->

O 00 irî

je c

OE

1 O X o\ O N -h

~

«O NO oô

'0 ro

(II) ’w n

III 3 f'" çr lu 'fc d>

vo^oovoqtnooNO o^^dfodorjvo^o 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1

3

(10) x (11) (12)

B

<1

Calcul de

s § ®t (0 o

Cl

0 0 33.4 23.0 178.8 238.2 552.9 641.0 851.4 928 963.0 1022

Z M

1 O X rf 00 h d

0 22.0 147.8 344.2 309.6 69

JJw w

1 1 o o X x r» —i f* H rt d d

0 11.4 90.4 296.8 618 953

0

1 o X oH o

o\^
2 ® « au _ v.3

« tn o\ — «i oO

o o

N O nr»o m ~ «

X_ ^ ^tON^oo^tqrjqq s $ 6 ©no oôrnt*"oô t""©

Mult. (6)

3

Calcul de

<1


A

1^ Xn

x _ «n_

» «n m «n qo\~*oo~*q'oqri © Onvd ci rn" *-<*oô oô rf tj-’ © _

La détermination de l’équation avec intégrale de Duhamel pour la réponse d’un système amorti à un chargement dynamique quelconque est pratiquement la même que dans le cas d’un système sans amortissement ; dans ce cas cependant, la vibration libre initiée par l’impulsion élémentaire p (r) d r décroît exponentiellement. Si on pose u(0) = 0 et si on fait ii(0) = [p (r)d T ] /m dans l’Eq. (3.26), on obtient dv(t) =

dx sin m (ü D

_ t)1

(7-13)

où la décroissance exponentielle commence dès que le chargement est appliqué, c’est-à-dire à l’instant t = t . En intégrant sur la durée totale du chargement on obtient v(t)

— f p(x)e i0>(‘ x) sin coD(t - x) dx (7-14) mœL 1C0D J 0 ^ qui est le pendant avec amortissement de4’Eq. (7.2). Si on compare l’Eq. (7.14) et l’intégrale de convolution de l’Eq. (7.3), on voit que la réponse d’un système amorti à une impulsion unité est donnée par A h(t - t) = — e ~ ^ (r" T) sin œD(t - x) (7-15) mœD Pour calculer numériquement la réponse du système amorti, l’Eq. (7.14) peut être écrite sous une forme analogue à l’Eq. (7.6) : v(t) = A (t) sin œDt — B(t) cos œDt

(7-16)

où dans ce cas

1 fr e*™ p(t) — cos coDx dx A (t) = -----ma>DJ o e< 1 r e*™ B (t) = -----p(r) — sin coDx dx m cûojo eiM .

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050

t > T

J

NOt^OOO\at^o\ \ON 00600000000

J*

H^

7.3 Réponse d'un système avec amortissement

0 19.32 38.64 57.96 77.28 96.60 77.28 57.96 38.64 19.32 0

^© dddddd© © ©

Î2 3

et l’amplitude du mouvement est umax = [(A*)2 + (B*)2]1!2. L’intégrale de Duhamel aurait dans ce cas pu être aisément calculée de manière littérale, mais l’avantage de la procédure numérique est qu’elle peut s’appliquer à une histoire de chargement quelconque, même si les charges ont été déterminées par expérimentation et ne peuvent s’expri­ mer de manière analytique.

m

OOM n^ÆVONrtCl©^ Ooomonm(SO\Noni*o ©ONON^oor^'O'^tcon© h 8 sin c o t (3)

WJO ■8 ® ■S ’O

v(t) = Â* sin œt — B * cos œt

L

EiT

cÆ

Comme l’action de l’explosion est Jerminee à la fin de ces dix incré­ ments de temps^les valeurs de A et B restent ensuite constantes ; si on les désigne par Â* et B *, les vibrations libres qui suivent le chargement sont données par [voir Eq. (7.6)].

(7-17)

Ces intégrales peuvent être calculées par un procédé de sommation équivalent à celui qui a été utilisé précédemment mais tenant compte de la décroissance exponentielle. La première intégrale est donnée par .4(0 = — \ y mcoD C ^

(0

qui représentent l’effet de l’amortissement, ont été combinés avec les multiplicateurs de la méthode de Simpson pour raison de commodité. Le facteur exp ( - £ c o 2 A r) agit sur la valeur existante de l’intégrale A (ou B) et sur la première partie du nouvel incrément ; celles-ci sont donc additionnées entre elles dans la colonne 7 (ou 12) avant multiplication par le facteur de décroissance. Ainsi les trois termes qui constituent le nouvel A (t) sont ceux de la colonne 8 (/L- 2 A r ) plus la colonne 8 (t - Ar) plus la colonne 5 (t). De même,

(7-18)

où les sommations peuvent être exprimées pour les différents procédés consi­ dérés précédemment comme suit : Simple sommation (f = 1) :

B (t) = col. 13 (t - 2At) + col. 13 (t - Ar) + col.lO ( 0 Comme la suite de l’analyse est dans ce cas complètement équivalente à celle d’un système non amorti, l’amortissement ne conduit qu’à un léger accroissement du volume des calculs. La Fig. E7.2 présente un tracé des histoires des forces de rappel élas­ tique dans les cas avec et sans amortissement ; les calculs ont été effectués sur ordinateur, pour 46 intervalles de temps. On voit ici que l’amortissement a peu d’effet pendant la première partie de la réponse, mais provoque une réduction sensible de la réponse maximum, avec une persistance à la réduction par la suite.

2 (0 = (* - At) + p(f - At) cos œD(t - At)1 exP ( - t œ At) 1 L1 J (7-19 a) Méthode des trapèzes (f = 2) : 2 ( 0 = J^2 (* ~ At) + P(f ~ At) cos œD(t ~ Ar)J exp (-{ co Ai) + p(t) cos coDt

(7-19b)

Méthode de Simpson (f = 3) :

,

2 ( 0 = J^2 (* “ 2At) + P(f ~ 2At^ cos œD^ ~ 2Ax)] exp (-{ c o 2At)

80

Le terme B (t) est donné par des expressions similaires faisant intervenir des fonctions sinus. La précision de la solution à laquelle il faut s’attendre de la part de ces procédés numériques dépend bien sûr de la durée de l’intervalle Ar. En général, il doit être choisi suffisamment court à la fois pour que la fonction chargement et les fonctions trigonométriques soient bien définies ; Ar < 77 10 est une règle pratique largement utilisée et qui donne généralement de bons résultats. La précision et le volume des calculs nécessaires s’accroissent avec l’ordre du procédé de sommation ; en règle générale, la précision accrue que procure la méthode de Simpson justifie son utilisation en dépit d’une plus grande com­ plexité numérique.

60

EXEMPLE E7.2 Montrons comme il est facile d’inclure l’amortis­ sement dans le calcul numérique de l’intégrale de Duhamel. La déter­ mination de la réponse du système de la Fig. E7.1 sera ici reprise en utilisant un rapport d’amortissement £ de 5 %. Comme auparavant, les intégrales sont calculées par la méthode de Simpson ; c’est donc l ’Eq. (7.19c) (et sa contrepartie en sinus) qui sont utilisées. Pour ce système légèrement amorti, la pseudo-fréquence a été prise égale à la fréquence sans amortissement. La table E7.2 présente une résolution à la main portant sur les dix premiers intervalles de temps. Les facteurs de décroissance exponentielle,

f s , kN

(7-19c)

Force élastique de la réponse

+ 4p(t — At) cos œD(t — At) exp ( —{co Ai) + p(t) cos œDt

100

40 20

0 -2 0

-40 -60 -80 -100

0

0.05

0.10

0.15

0.20

T em ps, s

Fig. E7.2

Réponse d'un château d'eau é une explosion.

0.25

7.4 Détermination de la réponse sur l'ensemble du domaine des fréquences

L’étude précédente dans le domaine des temps est complètement générale et peut servir à déterminer la réponse de tout système linéaire à un degré de liberté soumis à une excitation quelconque ; mais il est parfois plus commode d’effectuer l’étude dans le domaine des fréquences. Le calcul dans le domaine des fréquences est analogue dans sa conception à l’étude en présence de charges périodiques présentée au Chapitre 5. Les deux méthodes consistent à exprimer le chargement appliqué au moyen de composantes harmoniques, à calculer la réponse de la structure à chaque composante, et à superposer enfin les réponses harmoniqtes pour obtenir la réponse totale. Cependant, pour appliquer la technique des charges périodiques à des chargements quelconques, il est nécessaire de généraliser l’application des séries de Fourier à la représen­ tation de fonctions non périodiques. Dans ce qui suit il sera commode d’utiliser la forme exponentielle des séries de Fourier, voir les Eqs. (5.6) et (5.7). Considérons par exemple le chargement non périodique quelconque de la Fig. 7.3. Si cette fonction est représentée par une série de Fourier, les coef­ ficients cn obtenus par intégration de l’Eq. (5.7) sur l’intervalle 0 < t
3

D

mO c ® C

a ç

3 ..g tr -s I ei w o

Ta> J s>

LU

to H

>° Üi "1 a t- x •


Fig. 7.3

Chargement arbitraire à représenter en série de Fourier.

^ 3 ^ A u»

"si O.

üj » XO

bj)rfr rT O 3 II £2 ^m %s « o Sa x>
v» $) 3 >J

e •u'> c^ P

!

pleins. Mais on voit bien que les chargements répétitifs fictifs peuvent en fait être, éliminés en allongeant la période du chargement jusqu’à l’infini. Il est donc nécessaire de reformuler l’expression de la série de Fourier de sorte qu’elle s’étende sur un intervalle de temps infini. Dans ce but récrivons les Eqs. (5.6) et (5.7) sous une forme légèrement modifiée, en utilisant une notation définie comme suit : 1 ______ Aco

liser la fonction de réponse en fréquence complexe pour une structure à un degré de liberté, donnée par l’Eq. (5.11).

Avec ces nouvelles notations, les Eqs. (5.6) et (5.7) deviennent _

ko

c(ùj„)

oo

=

2

c(£0") exP ( K O

rt=Tp/2 = Tpcn = I K O exP ( - i u j ) dt J t =

(7-2°)

(7-21)

EXEMPLE E7.3 Considérons l’impulsion rectangulaire de la Fig. 6.4 : p ( t) = p 0 dans l’intervalle 0 < t < t x, chargement nul partout ailleurs. La transformée de Fourier [Eq. (7.23)] de cette fonction est

- T r l 2

où on a tenu compte du fait que les bornes d’intégration sont arbitraires tant qu’elles permettent de couvrir une période de chargement complète. Si la période de chargement est étendue jusqu’à l’infini (Tp °°), l’incrément de fréquence devient un infiniment petit (ÀcJ-*
c(œ) = [exp ( — iœt) — 1] # —ico

{à)

La substitution de cette expression et l’utilisation de l’Eq. (5.11) dans l’Eq. (7.24) mène à la réponse de forme intégrale suivante : e~i(oP(ti -r) A(ûPt dp dpJ «o = - ^ [ T 2 * /c L J - 00/? G 8 - y 1) ( / ? - y 2) - Jr - a M - y i M - y2) ( b)

(7-22)

OU

= a + y/ \ - e

y2 = t i - y / i - e

(0

où la fonction amplitude harmonique est donnée par c(œ) = f J t =

p(t) exp ( —iœt) dt

(7-23)

Les deux intégrales de l’Eq. (b) peuvent être trouvées sans difficulté par intégration le long d’un contour du plan complexe j3, ce qui donne

-0 0

Les deux intégrales qui précèdent sont connues sous le nom de formules de réciprocité de Fourier parce que la fonction du temps peut se déduire de la fonction de la fréquence et vice-versa par des procédés équivalents. Une condi­ tion nécessaire pour l’existence de la transformée de Fourier est que l’inté­ grale

j:

IXOI dt

soit finie. Par analogie avec l’expression de Fourier de l’Eq. (7.20), l’intégrale de Fourier de FEq. (7.22) peut être interprétée comme la représentation d’un chargement quelconque sous la forme d’une somme infinie de composantes harmoniques, où ( 1/2 7r) c (co) définit l’amplitude par unité de 03 de la compo­ sante de charge de fréquence cJ. La multiplication par la fonction de réponse en fréquence complexe H(co) donne donc l’amplitude par unité de ôô de la composante de réponse à la fréquence co. La réponse totale peut donc être obtenue en sommant ces composantes de réponse sur l’intervalle de fréquence entier. L’expression mathématique de cette idée conduit à l’équation de base de l’étude de la réponse sur l’ensemble du domaine des fréquences : v(t) = — j H(œ)c(œ) exp (iœ t) dœ 2n J 5==_ «

(7-24)

Pour appliquer cette méthode, il est nécessaire de calculer les composantes harmoniques c(cô) du chargement donné au moyen de l’Eq. (7.23), et d ’uti-

0 tf(0 =

^ [i -

(c «

+ - j J L = = sin

Po k

sin coDt l — ^si

cos œ

0à)

v T -^ 1 5 sin coD(t — t ^

+ Vi _ e

^cos œDÎi +

..J.„..^ sjn

X COS CoD Or(t — ^)|>

t > 11

ce qui est équivalent aux résultats obtenus précédemment par l’étude sur l’ensemble du domaine temps [Eqs. (6.7b) et (6 .8)], à la différence de la prise en compte de l'amortissement.

7.5 Etude numérique dans le domaine des fréquences

L’application littérale de l’analyse en fréquences, illustrée par l’exemple précédent, se limite aux cas pour lesquels les transformées de Fourier des fonctions de chargement sont connues ; et même dans ce cas le calcul des intégrales qui en résultent peut s’avérer long et fastidieux. Il convient donc de rendre la méthode plus commode d’accès en la formulant de manière numérique. Cette formulation numérique sera composée de deux phases : (1) obtention d’expressions de transformées discrètes de Fourier correspondant aux expressions intégrales des Eqs. (7.22) et (7.23), et (2) mise au point d’une technique numérique efficace permettant de calculer les transformées discrètes de Fourier. Transformées discrètes de Fourier

La première étape de l’obtention des expressions dans leur version discrétisée consiste à supposer que le chargement est périodique de période Tp . Cela constituera une approximation dans le cas d’un chargement tout à fait quelconque ; mais c’est nécessaire pour remplacer l’intégrale sur intervalle de temps infini, Eq. (7.23), par une somme finie. Le choix de la période de chargement sert également à définir la fréquence la plus basse qui peut être considérée dans l’analyse ; ainsi, ~ 1 = Aco A- = — 271 œ

supposent l’hypothèse d’un chargement périodique. Pour minimiser les erreurs relatives à l’étude de charges non périodiques, la période de la charge peut être étendue par l’adjonction d’un bon intervalle de charge nulle dans la période T ; l’histoire du chargement qui en résultera ressemblera alors à celle de la Fig. 7.3. Utilisation de la transformée rapide de Fourier

Le calcul des sommes qui figurent dans les deux équations de transformée discrète de Fourier est grandement simplifié par le fait que les fonctions exponentielles présentes sont harmoniques et s’étendent sur un intervalle de N 2. Seules des valeurs discrètes de m et n apparaissent dans les exponen­ tielles, et on peut tire^ profit de la duplication de valeurs qui se produit lors de la formation des sommes. Il conviendrait à ce stade d’entrer dans les détails de la programmation ; nous pourrions envisager de manière plus complète la formulation optimale d’une analyse par transformée discrète de Fourier, mais cela dépasse le cadre de ce bref résumé. Il sera cependant utile de lever quelque peu le voile recouvrant les bases de la technique de la transformée rapide de Fourier. Ce procédé relativement récent, qui intéresse les calculs par ordi­ nateur, est si efficace et si puissant qu’il a fait de l’étude par le domaine des fréquences une méthode numérique capable de concurrencer les méthodes traditionnelles sur le domaine temps ; elle est donc en train de révolutionner le domaine de la dynamique des structures. L’une quelconque des transformées discrètes de Fourier peut être repré­ sentée par

La période du chargement est alors divisée en N incréments de temps égaux A t , et la charge est définie pour les instants tm = m A t. Le terme exponentiel

Bm = *2 Anw r

dans l’Eq. (7.20) peut alors s’écrire

(7-27)

11= 0

où

exp (iœntm) = exp (inAœ m At) = exp ^2ni L’Eq. (7.20) prend donc la forme discrète

POm) = f f ^ C^Bn) CXP(27U

(725'>

où la fréquence la plus élevée à considérer a été arbitrairement choisie égale à

WM = e2*1'*1

(7-28)

Le calcul de la somme sera le plus efficace si le nombre N d’incréments de temps qui divisent la période de chargement Tp est une puissance M de 2, c’est-à-dire, N = 2m Dans ce cas les entiers m et n peuvent être exprimés sous forme binaire comme*

(N - \)A Ü .

m = m0 + 2ml + 4m2 + • • • + 2M~ 1mAf_ 1

L’expression discrète correspondante de la fonction amplitude c ( côw) peut être obtenue en substituant simplement la somme d’une série finie de termes discrets à l’intégrale de l’Eq. (7.21), d’où le résultat suivant :

c(cô„) = At 2

m= 0

p(‘m) exp f —2ni

y

/

(7-26)

Les Eqs. (7.25) et (7.26) sont les transformées discrètes de Fourier qui corres­ pondent aux transformées continues des Eqs. (7.22) et (7.23). Lorsqu’on utilise les transformées discrètes, il est important de se rappeler qu’elles

(7-29)

n = «o + 2nt + 4n2 + • ** + 2 où les valeurs des coefficients m • et n* sont soit 0 soit 1. Avec cette notation l’Eq. (7.27) peut s’écrire B(m) =

2

2

2 * “

«o=o m - o bî»o

2

* m -i" 0

A(n)W]$mo+2mi+*m2+" ' )(no+2ni+" ' ) tn ia \

i i0

rteponse a une excitation dynamique quelconque / Chap. 7 \

L’avantage de la notation binaire sera illustré par le cas très simple où la période de chargement est divisée en huit incréments de temps, c’est-à-dire av ec# = 8 et M = 3. Dans ce cas l’Eq. (7.30) devient î î î B(m ) = 2 2 2 W8(mo+2m' +4m2)(no+2n,+4B2> (7-31)

Problèmes

7.1

no — 0 n i = 0 «2 = 0

Mais le terme exponentiel peut s’écrire \Y ^ mn —

| y 88 ( » i» 2 + 2m2«2 + » » 2 » i)^ M -B 2 m o ^ 82 iii(2 m i + m o )p ^ n o (4 m 2 + 2 m i+ » n o )

De plus le premier facteur du second membre est égal à l’unité car

Le système non amorti à un degré de liberté de la Fig. ? l.la est soumis au chargement de forme sinusoïdale représenté en Fig. P7.1 b. Déter­ miner l’histoire de la force de rappel f s(t) pour l’intervalle de temps 0 < t < 0.6 s par calcul numérique de l’intégrale de Duhamel avec Ar = 0.1 s et en utilisant (a) Simple sommation (f = 1) (b) Méthode des trapèzes (f = 2) (c) Méthode de Simpson (f = 3) Comparer ces résultats avec ceux obtenus par l’Eq. (6 .1) calculée avec les mêmes incréments de temps Ar = 0.1 s.

ft/^8(entier) = exp [27tz(8/s) (entier)] = 1 En conséquence, seuls les trois termes restants sont à considérer dans la som­ mation. On peut les traiter en séquence, en utilisant une nouvelle notation pour dénoter les étapes successives du processus de sommation. Pour la première étape :

k = 1 974 N/m

m

A l(m0,n1,n0) = 2

«2=0

A(n 2 ,nu n0)W8An2mo

m = 50 kg y

■ \ sm À is u

(7-32a) (a)

De même pour la deuxième étape : /42(m0,m1,n0) =

Fig. P7.1

2 ^ i(w o.«i.«o)^82'"(2mi+m°) »i = 0

Système simple et histoire du chargement.

(7-32f>)

et pour la troisième étape (l’étape finale, avec M = 3) :

B(m0,m 1,m2) = 2

A 2(m0,m l ,n0)Wsno^

+2m' +m‘>)

(7-32c)

iio —O

Ce procédé est particulièrement efficace parce que les résultats d’une étape sont immédiatement utilisés dans l’étape suivante, minimisant ainsi la mémoire nécessaire, et aussi parce que l’exponentielle prend une valeur unité dans le premier terme de chaque somme. Des économies supplémentaires proviennent de la nature harmonique de l’exponentielle, ce qui donne = — Ws4, Wbl = — Ws5, W82 = — Wg6, etc. Les économies de calcul qui résultent de cette formulation deviennent énormes lorsque l’intervalle de temps est divisé en un grand nombre d’incréments ; si par exemple N = 1 024, l’algorithme de la transformée rapide de Fourier ne nécessite que 0,5 % environ du volume des calculs nécessaires au calcul direct de l’Eq. (7.27).

(a) Fig. P7.2

7.2 7.3 7.4

(b) Portique simple et histoire du chargement.

Résoudre l’Exemple E7.1 en utilisant la méthode des trapèzes. Résoudre l’Exemple E7.2 en utilisant la méthode des trapèzes. La structure à un degré de liberté de la Fig. P7.2æ est soumise par suite d ’une explosion à l’histoire de chargement représentée en Fig. P7.26. Déterminer l’histoire des déplacements dans l’intervalle de temps 0 < t < 0.72 s par calcul numérique de l’intégrale de Duhamel, en utilisant la méthode de Simpson avec Ar = 0.12 s.

Détermination de la réponse d'une structure en cas de non-linéarité

8.1

Principe de l'analyse

Dans le cas de structures linéaires soumises à des chargements dynamiques arbitraires, l’intégrale de Duhamel ou l’étude dans le domaine des fréquences décrite au Chapitre 7 procurent généralement la technique de résolution la plus commode. Il faut cependant souligner que comme le principe de superposition a été utilisé dans la définition de ces deux méthodes on ne peut les utiliser qu’avec des systèmes linéaires, c’est-à-dire des systèmes dont les caractéristiques restent invariables sur l’ensemble de la réponse. Mais pour de nombreuses struc­ tures il ne sera pas possible de supposer un comportement linéaire : ce sera par exemple le cas d’un bâtiment soumis à un mouvement sismique assez sévère pour causer des détériorations graves. Il'est donc nécessaire de mettre au point une autre méthode de calcul susceptible d’être utilisée dans le cas des systèmes non linéaires. La méthode qui est probablement la plus puissante en analyse non linéaire est celle de l’intégration pas à pas. Dans cette technique, la réponse est calculée de lieu en lieu pour une suite de courts incréments de temps At, généralement choisis de longueur fixe pour la commodité des calculs. L’équilibre dynamique est établi au début et à la fin de chaque intervalle, et le mouvement du système pendant l’incrément de temps est approché sur la base d’un comportement présupposé (qui ignore généralement le possible défaut d’équilibre au sein de l’intervalle). La nature non linéaire du système est prise en compte par le calcul de nouvelles caractéristiques relatives à l’état déformé pris au début de chaque incrément de temps. La réponse complète est obtenue en prenant la vitesse et le déplacement relatifs à la fin d’un intervalle pour conditions initiales de l’intervalle suivant ; le processus peut être poursuivi pas à pas depuis le début du chargement jusqu’à n’importe quel instant, approchant ainsi un comportement non linéaire au moyen d’une séquence de systèmes linéaires successifs.

8.2

Equation incrémentale de l'équilibre

La structure que nous considérerons à présent est le système à un degré de liberté de la Fig. 8.1a. Les caractéristiques du système : m ,k ,c et p (t), peuvent représenter non seulement des éléments simples et localisés comme ceux qui interviennent sur le schéma, mais encore des grandeurs généralisées, voir § 2.5. Les forces agissant sur la masse du système sont définies en Fig. 8.1£, et les caractéristiques non linéaires des forces de rappel élastique et d ’amortissement sont précisées en Figs. 8.1c et d ; la Fig.8 .1e représente un chargement appliqué quelconque. A tout instant t l’équilibre des forces agissant sur la masse m implique / / ( 0 + U t ) + M O = p{t)

(a)

(b)

(c)

(d)

(8-la)

et après un court instant At l’équation devient fj(t + A t) + f D(t + AO + f s(t + A t) = p(t + A t)

(8-1 b)

En soustrayant l’Eq.(8 .1a) de l’Eq.(8.16) on obtient alors à l’instant t la forme incrémentale de l’équation du mouvement pour l’intervalle de temps A t : A /# ) + Af D(t) + Afs(t) = Ap(t)

(8-2)

Les forces incrémentales de cette équation peuvent s’exprimer comme suit : Afi(t) = fi(t + AO - M t ) = m Av(t) A/i>(0 = /d(? + AO - fa it) = c(t) Av(t) A/s(0 = fs(t + A t) - U t ) = k(t) Av(t)

(e)

àp(t) = p(t + A t) - p (t) où il est implicitement admis que la masse reste constante ; les termes c(t) et k (t) représentent les caractéristiques d’amortissement et de rigidité corres­ pondant à la vitesse et au déplacement relatifs à cet intervalle, voir Figs. 8.1c et d. Dans la pratique, les pentes sécantes indiquées ne peuvent être calculées que par itération car la vitesse et le déplacement à la fin de l’incrément de temps en dépendent ; pour cette raison, on utilise plus fréquemment les pentes tangentes définies au début de chaque intervalle de temps : «0 *

KO * ^

(8-4)

Fig. 8.1 Description d'un système dynamique non linéaire : (a) structure de base à un degré de liberté ; (b) équilibre des forces ; (c) amortissement non linéaire ; (d) rigidité non linéaire ; (e) charge appliquée.

nécessairement ne dépendre que du déplacement, comme c’est le cas pour un matériau élastique non linéaire : un matériau à hystérésis non linéaire peut tout aussi bien être choisi, avec une force qui dépend de l’histoire passée de la déformation aussi bien que de la valeur actuelle du déplacement ; la seule condition est que les caractéristiques de rigidité soient complètement définies par l’histoire passée et par l’état actuel de la déformation. Il est de plus bien évident que l’hypothèse implicite d’une masse constante est arbitraire : elle pourrait elle aussi être variable dans le temps.

La substitution des expressions des forces, Eqs. (8.3), dans l’Eq. (8.2), mène à la forme finale des équations incrémentales de l ’équilibre à l’instant t : m Av(t) + c(t) Av(t) + k{t) Av(t) = Ap(t)

(8-5)

Les propriétés des matériaux peuvent dans ce type d’analyse présenter n’importe quelle forme de non-linéarité. Ainsi, la force de rappel f s ne doit pas

8.3

Intégration pas è pas

De nombreuses méthodes s’offrent à nous pour l’intégration numérique de l’Eq.(8.5). La technique utilisée ici est simple dans son principe, mais s’est

avérée donner d’excellents résultats pour relativement peu de calculs. L’hypo­ thèse de base du procédé est que l’accélération varie linéairement au sein de chaque incrément de temps, et que les caractéristiques du système restent constantes sur tout cet intervalle. Le mouvement de la masse durant ce laps de temps est représenté sous forme graphique à la Fig. 8.2 ; on y a également indiqué les équations relatives à la variation linéaire supposée de l’accélération, et les variations quadratique et cubique correspondantes de la vitesse et du déplacement. Le calcul de ces dernières expressions à la fin de l’intervalle (r = At) mène aux équations suivantes pour les incréments de vitesse et de déplacement : a* (8-6 a) Av(t) = v(t) At + Av(t) — At>(0 = KO A t + v(t) ^

2

+ At>(0 ^

(8-6b)

6

Il sera dès lors commode d’utiliser le déplacement incrémental comme va­ riable de base de l’analyse ; nous tirons donc de l ’E q.(8.6&) l’accélération incré­ mentale, et substituons cette expression dans l’Eq. (8.6a) pour obtenir Aü(0 = A Av(t) Ar

At

3ü(0

(8-7a)

Av(t) = — Av(t) - 3v(t) - ^ v(t) At 2

(8-76)

La substitution des Eqs.(8.7) dans l’Eq.(8.5) mène à la forme suivante de l’équation du mouvement :

m

- fi ^ ~

+

A^ ~

~

T e^~ \

+ k(t) Av(t) = Ap(t) Enfin, on transfère dans le second membre tous les termes associés aux condi­ tions initiales connues, ce qui donne

fc(t) Av(t) = Ap(t)

(8-8)

OÙ k(t) = k (t) + Ap(t) = Ap(t) + m ^

Fig. 8.2

Mouvement d'un système à accélération linéaire lors d'un incrément de temps.

At

m + — c(0 At

v(t) + 3i?(ol + c(t) J3t)(0 + y tf(0 j

(8-9a) (8-9b)

On notera que l’Eq.(8 .8) est équivalente à l’expression d’un équilibre incré­ mental statique ; on peut en tirer le déplacement incrémental en divisant la charge incrémentale par la rigidité. Le comportement dynamique est pris en compte en faisant intervenir les effets d’inertie et d’amortissement dans les termes de charge effective et de rigidité. Après avoir tiré de l’Eq.(8 .8) l’incré­ ment de déplacement, on reporte sa valeur dans l’Eq.(8.7Z>) pour obtenir la vitesse incrémentale. Les conditions initiales relatives à l’intervalle suivant proviennent alors de l’addition de ces valeurs incrémentales à la vitesse et au déplacement initiaux précédents. Ce procédé numérique comporte les deux approximations importantes suivantes : ( 1) l’accélération varie linéairement, et (2) les caractéristiques d ’amortissement et de rigidité restent constantes sur tout l’incrément de temps. En général aucune de ces suppositions n ’est rigoureusement vérifiée, mais les erreurs restent faibles si cet incrément reste de courte durée. En général des erreurs se produiront donc dans l’équation d’équilibre incrémental, et ces erreurs sont susceptibles de s’accumuler avec le temps ; cette accumulation doit être évitée en imposant la condition d’équilibre global à chaque étape du calcul. Cela peut se faire de manière commode en exprimant les accélé­ rations au début de l’incrément de temps en fonction de la charge externe totale, moins les forces totales d’amortissement et de rappel élastique.

8.4

Récapitulation de la méthode

Pour chaque incrément de temps : 1 Les valeurs initiales de la vitesse et du déplacement i)(Y) et v(t) sont connues, soit comme les valeurs à la fin de l’incrément précédent, soit comme les conditions initiales du problème. 2 A partir de ces valeurs et des propriétés non linéaires connues de la structure, on détermine l’amortissement c {t) et la rigidité k (t) pour cet intervalle, ainsi que les valeurs actuelles des forces d’amortissement f D{t) et élastiques/^(f) à l’aide par exemple des Figs. 8.1c et d. 3 L’accélération initiale est donné par m

= Ijx o m

- u o

-/s (o ]

(8-io)

qui n’est rien d’autre qu’une modification de l’équation de l’équilibre pour l’instant t. 4 L’incrément de charge effective A p (t) et la rigidité effective Tc(t) sont calculés par les Eqs. (8.9). 5 L’incrément de déplacement est donné par l’Eq. (8.8), et l’incrément de vitesse par l’Eq. (8.7b). 6 Enfin, la vitesse et le déplacement à la fin de l’incrément sont tirés de v(t + A t) = 6(0 + Aû(0

d’appréhender convenablement les aspects dynamiques importants du charge­ ment peut être déterminé sans difficulté. Ainsi, si l’histoire du chargement est relativement simple le choix de l’inter­ valle de temps dépendra essentiellement de la période de vibration de la structure. La méthode par accélération linéaire est seulement conditionnel­ lement stable, et donnera une solution divergente si l’incrément de temps est plus grand qu’environ la moitié de la période de vibration. Soulignons cependant que l’incrément doit être considérablement plus court que cela si on veut obtenir une précision raisonnable, et que l’instabilité ne peut donc pas représenter un véritable problème. En général un rapport incrément-période A t/T inférieur ou égal à 1/10 permet d’obtenir des résultats dignes de confiance. S’il subsiste le moindre doute sur la solution obtenue, un second calcul peut être effectué avec un incrément moitié ; et si la réponse ne change pas de manière sensible, on peut alors admettre que les erreurs imputables à l’intégration numérique sont négligeables. EXEMPLE E8.1 Nous effectuerons ici une résolution à la main par la méthode pas à pas à accélération linéaire que nous venons de décrire. Nous prendrons pour exemple le portique élastoplastique à un degré de liberté de la Fig. E8.1, avec un incrément de temps de 0.1 s ; cette durée est trop importante pour une bonne précision, mais conviendra bien à notre simple but illustratif.

11^

v(t + Àt) = v(t) + Av(t) Lorsque l’étape 6 a été effectuée, les calculs pour cet incrément de temps sont terminés et le processus entier peut être repris pour l’intervalle de temps suivant. On le répète autant de fois qu’on le désire et l’histoire complète de la réponse peut ainsi être déterminée pour n ’importe quel système à un degré de liberté présentant n ’importe quelles caractéristiques non linéaires. Les systèmes linéaires peuvent également être traités de cette manière : les caractéristiques d’amortissement et de rigidité restent alors constantes, de sorte que les opé­ rations deviennent un peu plus simples. Comme dans toute intégration numérique, la précision de cette méthode pas à pas dépendra de la durée de l’incrément de temps A t. Trois facteurs essentiels doivent être considérés lors du choix de cette durée : ( 1) la rapidité de variation du chargement appliqué p (t), (2) la complexité des caractéristiques non linéaires d’amortissement et de rigidité, et (3) la période T de vibration de la structure. L’incrément de temps doit être assez court pour permettre une bonne représentation de toutes ces grandeurs, la dernière étant relative au comportement du système en vibrations libres. En général la variation des carac­ téristiques du matériau ne constitue pas un facteur critique ; si une modifi­ cation sensible et soudaine prend place, comme dans le cas de la plastification d ’un ressort élastoplastique, un incrément de temps subdivisé spécial peut traiter cet effet avec précision. De même, un incrément de temps permettant Fig. E8.1

Portique élastoplastique et son chargement dynamique.

L’amortissement est supposé constant, la non-linéarité provient donc exclusivement de la modification de rigidité accompagnant la plastifi­ cation. La rigidité effective peut s’exprimer [voir Eq. (8.9a)] comme

oo m vo t* r - t'' Tt « o 0 ^ f f ^ r - < 7\ o o > o o < o q - H q p p o o q q o o o o o o o o o o o

E P x vO

«

io n >o r't OO v© M f l h O \ ' 0 0 \ONO''t o O

» ■ —

d

d

d

d

d

o

oov£>C'icor~-«r~-om mr-OOvor^oooNr~— vo -rf n o d d d d d d d o d

>o >o

( 16)

Au 30

o

d

d

vo r ~

rr

( 14)

( 13)

13 200 +

<3 C w

k

d

d

— o p d

O o — — p o o d

d

o

io

d

d

d

où k ( t) est soit 1 000 kN/m soit zéro, selon que le portique est élastique ou en cours de plastification. Le chargement incrémental effectif est donné par [voir Eq. (8.9&)]

«•>

oo - h ^ r~ r ir 'f't o o o in o '

E

k(t) = k(t) H-----~-~t m -f — c = 13 200 + k (t) (0.1)2 0.1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 o

roosio — ' t o 'rorfr*-) d o d

d

O r - on O VO ZJ' —' oo m Tt / i _ — O O p p p p d d d d

Ap(t) = Ap(t) 4- ^

— >o r-~ OO ro m m o — — ~ p p p d d d

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o N N M M M N fN C-l C-l fS

L’incrément de vitesse donné par l’Eq. (8.1b) devient Av = 30Ai; — 3v — 0.05v Une disposition en table destinée aux calculs à la main est présentée en table E8.1. Le comportement de ce système élastoplastique change très rapi­ dement avec le début et la fin de la plastification, et pour obtenir une meilleure précision il serait souhaitable de diviser chaque incrément de temps comportant un tel changement de phase en deux sous-incréments. Le calcul serait plus précis, mais une technique itérative serait alors néces­ saire pour déterminer les longueurs respectives des sous-incréments. Ce raffinement n’a pas été utilisé ici. La rigidité initiale a été affectée à l’incrément entier, introduisant probablement des erreurs sensibles lors des transitions de phases. La réponse élastoplastique dynamique calculée en table E8.1 est tracée en Fig. E8.2, avec la réponse en phase plastique en pointillé. On a tracé à titre de comparaison la réponse élastique linéaire obtenue par un calcul pas à pas analogue avec k = 14200 et f s = 1 000 v dans tous les calculs. L’effet de la plastification est clair : la flèche permanente (la configuration au voisinage de laquelle se produisent les vibrations libres subséquentes du système non linéaire) s’élève à environ 3.72 cm. On a également indiqué le déplacement statique p /k , c’est-à-dire, la flèche qui se serait produite dans la structure élastique s’il n ’y avait pas eu d’effets d’amortissement et d’inertie.

t t io '*n ir> v o m r o o o o — P r^ r '. i f i d d i o - u i i o d « ^ §

(N \Q

^ w

o

Æ in O '^ o o N w tJ N p O On On •'* r-^ r - CTn v£> «o VO O VO —1 —< (N VO rl M M —i — -h

1 320

ao

-H
—i — —

■ «O «O VO mooinvoot^fOCTsoo

v

E

<—1

< 1 +

( 10)

*o +-> ca>

»o vo ov «o r~ <—i 5 \ ^ v© vO m ^ 't m 1 1 1 1 1 1

++

iqvo«/-)O OiOi/OvnO OO 5-

(8)

è

v

<7)

S

E

a■>> -+< D a

<3 i

• ^ 0

fN [C JQ lOVO/lOONOOO'O 'Oi 0 0 - ' 0 0 ; 0; ^ m ( N H H d d d d d d d i l i i i i

nr t - * «N

m «o *o «o w p v o ^ r ^ x ^ o o —* «' r> H O OC T \ i / ' > t ~ - V O CM —* -H _

T r-j

00 UJ

a>

O

s

H VI « lO «O H r t p ' O i o n o o N p o < N v o o o v o m o c r» * o * n

S

r ^ r o p p p p r ~ - — ■—>

4— !» o

1=

o

d

d

d

d

d

o

d l

E

5

z: M

~ (N

cL

w

:•

8

C 4> S ao> R)

lO UO «"> «O V) >o r~~ r - r~ 10 «o > o > n O ' O 0 0 O < 7s m < N r ~

§

d

d

i

i

d i

l

V) «o «o «o r - r - r - >o w> m ^ ^ o o v h o o ( N ^ o <—i Cl -h O r-~ —1 O 4 «C o

p d

p d

p d

p d

p d

p o

p d

p d

p d

p d

O > 0 O > 0 «0 >0 O > 0 O O O r-i m ri — — q « r 1 r n ^ ^ ' 0 ^ 0 0 0 0 0 0 0 0

v = Ap (t) + 1 3 20 y + 62 v

++ O O O O O O O O O O O O O o o o o o o o o o o o

E JS

4* 3c^ v 4- ^3m 4-

0 0 (J ;q 0 0 --

a

T3

Problèmes

8.1

Déterminer la réponse élastique linéaire du Prob. 7.4 par intégration pas à pas, en utilisant la méthode de l’accélération linéaire.

8.4

Reprendre le Prob. 8.1 en remplaçant l’amortisseur visqueux par un système d’amortissement hystérésique qui procure une force d’amortis­ sement donnée par l’Eq. (4.51), où Çk = 800 N/m, c’est-à-dire fjj — 800 iv | — Ii)|

Temps Fig. E8.2 Comparaison des réponses élastoplastique et élastique (portique de la Fig. E8.1).

8.2

8.3

Reprendre le Prob. 8.1 en supposant une relation force-déplacement élastoplastique pour les colonnes et une force de plastification de 40 kN, Fig. P8.1æ. Reprendre le Prob. 8.1 en supposant la relation force-déplacement f 2v 0.16 / 21?\ 3"1 élastique non linéaire f s = 2 4 1^— - —— \ J > Fig. P8.l£ (,f s est en kN, v en cm).

Fig. P8.1 Matériau élastoplastique et matériau élastique non linéaire.

Etude des vibrations par la méthode de Rayleigh

9.1 Principe de la méthode

Comme on a pu le voir à propos de la réponse à un chargement dynamique, la fréquence propre de vibration d’un système à un degré de liberté constitue une information primordiale. Pour cette raison il est souhaitable de savoir déterminer cette fréquence fondamentale de manière simple. La méthode de Rayleigh exposée dans ce chapitre est très utile dans cette optique. La fréquence propre d’un système à un degré de liberté non amorti est donnée par l’Eq. (3.5), soit

où pour un système simple ressort-masse, m est la masse en mouvement et k est la rigidité du ressort. Cette formule est aussi applicable à toute structure représentable par un système à un degré, de liberté lorsqu’on utilise comme coordonnée la fonction de déplacement supposée \p. Dans ce cas, les grandeurs à utiliser dans l’équation précédente sont la rigidité généralisée A:* et la masse généralisée m * définies par les Eqs. (2.37) et (2.39). Bien que la notion de coordonnée généralisée puisse conduire à la déter­ mination approchée de la fréquence fondamentale de vibration d’une structure, il est souhaitable d’examiner le problème de détermination de la fréquence d’un point de vue différent dû à Lord Rayleigh. La méthode de Rayleigh repose sur le principe de la conservation de l’énergie : l’énergie totale d’un système non amorti et libre de se mouvoir est constante. Considérons donc le système masse-ressort représenté en Fig. 9Aa. En choisissant judicieusement l’origine des temps, le mouvement peut s’exprimer par v — v0 sin œt

(9-2a)

v = v0œ cos œt

(9-2 b)

et la vitesse par

Cette expression est évidemment la même que précédemment, mais elle a cette fois été déterminée en utilisant la méthode de Rayleigh qui consiste à écrire l’égalité de l’énergie cinétique maximum et de l’énergie potentielle maximum.

9.2 Etude approchée d'un système quelconque

(a)

La méthode de Rayleigh ne présente guère d’intérêt dans l’étude d’un système simple de type ressort-masse ; elle est en revanche très pratique pour l’étude approchée d’un système ayant un grand nombre de degrés de liberté. Considérons par exemple la poutre non prismatique de la Fig. 9.2. Elle possède

Fig. 9.2

Fig. 9.1 Oscillation libre d'une structure non amor­ tie à un degré de liberté : (a) modèle ; (à) dépla­ cement ; (c) vitesse.

L ’énergie potentielle du système n’apparaît que dans le ressort, et s’écrit V = 1j 2kv2 ^ ^jikvQ2 sin2 cot

(9-3a)

et l’énergie cinétique de la masse est : 1

T = l/2wt>2 = Y2mv02co2 cos2 cot

(9-3è)

Au quart de période t = tt/2 co, il est donc clair que l’énergie cinétique est nulle et que l’énergie potentielle est maximum

Vm„

=

72*®o

(9-4a)

Par contre, à la demi-période f = n/co l’énergie cinétique est maximum et l’énergie potentielle est nulle, soit :

T™, - ‘/■'"V»’

P-44»

Par conséquent, le maximum de l’énergie potentielle doit être égal au maximum de l’énergie cinétique pour que l’énergie totale soit contante : ^max = T’max c’est-à-dire V z W = ' 1l2invo2co2 d’où 2

k m

c tr = —

Vibration d'une poutre à section variable.

une infinité de degrés de liberté car elle peut se déplacer suivant une infinité de motifs. L ’application de la méthode de Rayleigh passe par une hypothèse sur la déformée que prendrait la poutre dans son mode fondamental de vibration, c’est-à-dire le premier mode. Une telle coordonnée généralisée variant de manière harmonique en vibrations libres, cette hypothèse s’exprime de la façon suivante [voir également l’Eq. (2.23)] v(x,t) = il/(x)Z0 sin cot

(9-5)

où \jj (x) est la fonction de déplacement supposée, qui représente le rapport du déplacement absolu et du déplacement cle référence ou coordonnée généralisée Z (t) du même point de coordonnée x. Cette expression (9.5) suppose que la forme de la déformée ne change pas avec ie temps : seule son amplitude varie, de manière harmonique, en vibrations libres. L ’utilisation de cette fonction de déplacement supposée transforme le système étudié en un système à un degré de liberté ; en écrivant l’égalité du maximum de l’énergie de de'formation acquise au cours du mouvement et du maximum de l’énergie cinétique suivant la méthode de Rayleigh, on obtient une fréquence propre approchée pour le système. L ’énergie de déformation de ce système élastique est donnée par :

d’où, en utilisant l’Eq. (9.5) et en prenant pour l’amplitude sa valeur maxi­ mum : = V2Zo2 £

E I(x )[r(x )V dx

(9-7)

L’énergie cinétique de la masse qui n ’est pas répartie de manière uniforme est donnée par : T = ï J

Considérons une première approximation parabolique de la fonction de déplacement : \p(x) = (x/L )(x/L - 1) d ’où «//"(;c) = 2/L2 et vm„ = W E I £

m('x ^

2 dx

( 1 J d x = V2Zo2 ^

(9-8> D’autre part

La valeur maximum est obtenue en utilisant l’expression de la vitesse fournie par l’Eq. (9.5) après dérivation par rapport au temps : ^max = V z V *»2

J

Tmax = V2Z02®2™J o [ f ( f - * )]

dx=

^

ce qui conduit à m(x)0 (x)]2 dx

(9-9) ft)2 = ---- Î f î î ---- = (1/û)2) r m„

Soit finalement :

f £/(x)[^"(x)l2 dx co2 = J ° — __________ m (x)[^(x)]2 dx

mL4

Si on avait considéré une forme sinusoïdale \l/(x) = sin (7rx/Z,), les calculs auraient conduit à :

(9-10)

J

Notons que le numérateur n’est autre que la rigidité généralisée k* relative à cette fonction de déplacement supposée, voir Eq. (2.39), tandis que le dénomi­ nateur est la masse généralisée m* correspondante, voir Eq. (2.37). La méthode de Rayleigh conduit donc directement à la forme généralisée de l’Eq. (9.1) ; il fallait s’y attendre car elle utilise la notion de coordonnée généralisée qui réduit de la même manière le système original à un système à un seul degré de liberté.

9.3 Choix d'une fonction de déplacement

La précision de la méthode de Rayleigh dépend essentiellement de la fonction de déplacement ip(x) que l’on choisit pour représenter le mode fondamental. Toute fonction qui satisfait aux conditions aux limites géomé­ triques de la structure convient en principe. Mais toute fonction de dépla­ cement ne représentant pas le mode de vibration vrai nécessite des liaisons externes permettant le maintien de l’équilibre. Ces liaisons externes raidissent le système, augmentent ainsi son énergie de déformation et par voie de consé­ quence conduisent à une valeur de co plus élevée que la valeur vraie. Ainsi, la fonction de déplacement correspondant au mode vrai conduit à la fréquence la plus basse que l’on puisse obtenir par la méthode de Rayleigh : si donc on effectue plusieurs essais avec des fonctions de déplacement différentes, celle qui donne la fréquence la plus basse est toujours la plus proche de la solution vraie. EXEMPLE E9.1 Reprenons l’exemple de la poutre prismatique de la Fig. 9.2, de masse m par unité de longueur et de rigidité constante.

2

£/tü4/2L3 m L \2

GT = ---------------- =

4 El mL

7C — -

Cette seconde valeur est très sensiblement inférieure à la première : la seconde fonction de déplacement constitue donc une meilleure approxi­ mation du mode fondamental vrai de vibration du système. (En fait la solution vraie est effectivement sinusoïdale pour ce système.) La première approximation ne conduit pas à de bons résultats (elle diffère du résultat d’environ 20 %) bien qu’elle satisfasse aux conditions aux limites. Elle n’est néanmoins pas réaliste, car l’hypothèse d’un dépla­ cement parabolique conduit à un moment fléchissant uniforme le long de la poutre, et cela ne peut convenir aux conditions d’appui simple aux extrémités. Le problème revient à présent à celui du choix raisonnable d’une fonction de déplacement. On peut utiliser les déplacements obtenus lors de la vibration libre du système, et qui sont la conséquence des forces d’inertie : ces forces d’inertie (produit d’une masse par une accélération) sont proportionnelles à la masse répartie et à l’amplitude du déplacement. La fonction de déplacement juste ÿ c(x) est donc la déformée que l’on obtiendrait avec un chargement p c (x) proportionnel à m (x) ÿ c (x). Il n’est bien sûr pas possible de deviner la forme exacte ÿ c (x) : la déformée calculée à partir d’un chargement p (x )= m (x) i// (x) (comme le montre la Fig. 9.3 où i// (x) constitue une appro­ ximation raisonnable de la vraie déformée) conduira néanmoins à une très bonne approximation. En général, une telle détermination de la fonction de déplacement conduit à plus de calculs qu’il n’est vraiment nécessaire. La méthode de Rayleigh procurera de bons résultats sans avoir à définir la fonction de déplacement de manière aussi raffinée. On considère en général que le chargement inertiel p (x ) (voir la Fig. 9.3) est tout simplement le poids de la poutre, c’est-à-dire p (x ) = m (x ) g (où m (x ) est la répartition de masse et g l’accélération de la pesanteur). La déformée vd (x) est alors évaluée comme la flèche due à ce

■Charge d’ineitie approchée : p(x ) = m(x) fi(x)

_ où i//(x) est une déformée supposée

p(x) = m(x)g

p(x) = m(x)g

r r - r T T t 7ZW7? ------p{x ) = m(x)g

p{x) = m(x)g (c)

^ Déformée calculée

vd(x) « ÿ(x)

Fig. 9.3 Déformée calculée avec la force d'inertie correspondant à une déformée d'essai initiale.

chargement statique. L’énergie de déformation maximum emmagasinée dans le système est alors égale au travail des forces appliquées au système, soit : Vm^ = ^ j ^ p ( x M x ) d x ^ 1/2gZ 0 j L m(x)xl/(x)dx

(9-11)

L’énergie cinétique est donnée par l’Eq. (9.9) où \p(x) = vd (x)jZ0 est la fonction de déplacement calculée à partir du poids propre. D’où

f m(x)iKx) dx

f m(x)v/.x) dx

0,2 * f - S 2----------------- -- = 0 -fT -------------------° Jo m^x^ ( x^ 2 dx J 0 m(x)[y
Fig 9.4

Déformées supposées correspondant à des charges pesantes.

qui est de procurer rapidement une bonne approximation de la fréquence de vibration d’une structure. On peut dire que pratiquement n’importe quelle fonction de déformation raisonnable conduit à des résultats utilisables.

(9‘12)

Cette équation est couramment utilisée pour l’étude approche'e de n ’importe quel type de système. Notons que l’amplitude de référence Z0 doit figurer dans l’expression si la fonction de déplacement \p (x) est choisie sans dimension : elle n’y figure pas si on utilise les de'formées dues au poids propre. Le chargement p ( x ) utilisé pour calculer la déformée vd (x) due au poids propre dans l’Eq. (9.12), n ’est en fait vraiment dû à la gravité que si le mode fondamental de vibration du système agit dans la direction verticale. Dans le cas d’une structure comme la poutre verticale schématisée en Fig. 9.4a, la direction principale de vibration est horizontale ; on considère dans ce cas que l’accélération de la pesanteur agit horizontalement. Dans le cas de la structure de la Fig. 9.4Z>, la forme adéquate tenant compte de la symétrie peut s’obtenir en appliquant un chargement vertical. Le mode fondamental de vibration de ce type de structure sera cependant généralement un mode horizontal. Dans ce cas, pour obtenir une approximation de la fonction de déplacement on appli­ quera les forces de gravité latéralement. Dans le cas d’une poutre à deux travées (Fig. 9.4c), les deux travées se déplaceront latéralement dans des sens opposés. Dans ce cas, les forces de gravité seront donc appliquées dans des sens opposés. Si l’on appliquait les forces dans le même sens on obtiendrait une fréquence de vibration beaucoup plus élevée. Il ne faut pas consacrer trop de temps à la détermination des fonctions de déplacement car la méthode de Rayleigh perdrait alors son attrait principal,

EXEMPLE E9.2 Considérons une poutre en console portant un poids en son milieu (Fig. E9.1). Avec une force appliquée à l’extrémité libre de la poutre pour approcher la forme du mode fondamental de vibration, la déformée qui en résulte est : p Ü 3x 2L - x 3 _ = Z0^(x) i;(x) = 3E l 2L3 Poids = W

^ h------ -i------ -

__________ .

L 2

t

Poutre prismatique E l = raideur m = masse linéique

\

Déformée supposée

v(x) = ZQ [ Fig. E9.1

Méthode de Rayleigh appliquée à la détermination de la fréquence de vibration d'une poutre.

Méthode R qo

D’où l’énergie potentielle maximum Knax = '/iP Z à = \ ^ Z 2 JLd

L’expression de la fréquence par la méthode de Rayleigh standard est appelée Méthode Rqo et correspond à l’équation

02

P EI(x)(il/"i0))2 dx

où Z0 est le déplacement de l’extrémité de la poutre sous la force p. L’énergie cinétique maximum est séparée en deux parties : celle due à la poutre elle-même et celle due à la masse posée sur la poutre : Pour la poutre : T’max = y

| o ™V2 dx

= ™ (O2Z 02 £

O (X )]2 dx

=

Û> % 2

Pour la masse :

°>2 = J7 r — ---------------I m ( x W 0))2 dx

(9‘16)

Une meilleure approximation de co peut cependant être obtenue en cal­ culant l’énergie potentielle à partir du travail utilisé par les forces d’inertie pour déformer la structure, ces forces d’inertie étant associées à la déformée consi­ dérée. La force d’inertie répartie est donnée à l’instant de déplacement maxi­ mum par p° (x) p (0)(x) = cû2m(x)v{0) = Z 0(0)û>2aw(x)^(0) (9-17) et la déformée produite par ce chargement devient : „ =
D’où l’énergie cinétique totale : Tmu = ( —

\1 4 0

=

+ — — ^ —
3 33 140

W 256 fnLg

| 25

O)

= coV (1)Zo(1>

(9-18)

cû2 est l’inconnue, qui peut être considérée comme un facteur de proportionna­ lité dans les deux équations précédentes. L’énergie potentielle s’écrit alors : 1 CL 7 (0)7 (1) fL m (x)^(0ty (1} dx (9-19) J'max = Pi0)v(l) dx = ^ -----2—

qui, égalée à l’énergie potentielle maximum, conduit à une fréquence propre approchée du premier mode du système : cû2

o>V(1>

2Jo

2

Jo

Méthode R01

El fnÜ

L’expression de l’égalité entre cette dernière expression de l’énergie potentielle et l’énergie cinétique donnée par la forme initialement considérée, Eq.(9.15), conduit à la méthode de Rayleigh améliorée, ici appelée méthode R01. L’expression de la fréquence est :

9.4 Méthode de Rayleigh améliorée

Zo,o, £ m ( , x r y ^ La méthode exposée ci-dessus permet d’obtenir des fonctions de dépla­ cement à partir des charges d’inertie ; elle peut être systématisée pour conduire à une version améliorée de la méthode de Rayleigh. La méthode standard demande le choix arbitraire d’une fonction de déplacement satisfaisant aux conditions aux limites géométriques de la structure. Caractérisons par l’indice supérieur zéro la fonction de déplacement initialement choisie : v<°Xx,t) = ^ (0)(x)Z0(0) sin œt

(9-13)

Les énergies potentielle et cinétique maximum sont donc : 1 fL /d 2i;(0>\2 7 <°>2 CL Knax = - j o E I(x) / — J dx = I E I ( x ) ( r (0))2 dx

j

1 CL

Tmu = -

m(x)(v<0>)2 dx =

7 <°>2

CL


m(x)(^ <0))2 dx

(9-14) (9-15)

O)2

( 9 _ 2 0 )

7 (1) CL

*0

I

m(x)iA(oy 1} dx

Cette expression est souvent préférée à la précédente car elle évite la dérivation. En général les courbures ÿ"(x) associées aux fonctions de déplacement seront beaucoup moins proches de la solution vraie que les déformées elles-mêmes : une expression telle que l’Eq. (9.20), qui n ’utilise pas de dérivées, sera donc plus précise. Une approximation encore meilleure peut être obtenue sans effort supplé­ mentaire considérable en calculant l’énergie cinétique à partir de la déformée calculée i / 1* au lieu de v^°\ Le résultat est alors : Tmn = \ f

2 Jo

m(x)(û(1))2 dx = 1j 2co6(Z (l))2 j* m(x)(^ (1))2 dx

Jo

(9-21)

Méthode R u

En égalant cette dernière expression à celle de l’Eq.(9.19), on obtient la fré­ quence par une méthode encore améliorée (dite méthode R u ) :

co2

(0) m (x)^(0V (1) dx **o Jo ._____________ (i)

k = 120 000 kN/m

(9-22)

On pourrait encore améliorer la méthode en poursuivant le processus, c’est-àdire en utilisant les forces d’inertie associées à pour calculer la nouvelle fonction de déplacement Comme on le montrera plus tard, ce processus poursuivi à l’infini conduirait au mode exact de vibration, donc à la fréquence vraie recherchée. Il n ’est pas nécessaire dans la pratique d ’aller au-delà de la méthode de Rayleigh représentée par l’Eq/9.22)._On notera également que les coordonnées d’amplitude généralisées Z 0^ et Z 0^ dans les Eqs.(9.20) et (9.22) sont arbitraires et peuvent être fixées égales à l’unité si les fonctions de déplacement \/K°) et sont définies en conséquence. On laisse cependant les coordonnées généralisées dans l’équation afin de montrer que l’amplitude relative de et de v^ est un facteur important dans le calcul de la fré­ quence. EXEMPLE E9.3 Considérons le bâtiment à trois étages de la Fig. E9.2a La masse de la structure est supposée concentrée aux étages. Les co­ lonnes sont sans masse. Les planchers sont infiniment rigides : les co­ lonnes agissent à chaque étage comme des ressorts latéraux dont les coef­ ficients de rigidité sont connus. M E T H O D E S T A N D A R D R00 Choisissons délibérément une fonction de déplacement éloignée de la réalité afin de mieux mettre en évidence les améliorations successives apportées par la méthode. Cette fonction de déplacement consiste en des déplacements égaux pour tous les étages (voir Fig. E9.2b). Ainsi : y ° > = »2 = ^(0) = 1.0 = Z 0(0W 0)

où

^.<°> = Z 0(0) = 1.0

L’énergie cinétique maximum est donc Tj&l = V2 2 mi(»i(0))2 = 1/ 2û>2'Zo(0)2 2 m# i (0))2 = 7 2œ2(9°0) L’énergie potentielle maximum est fonction de la déformation d’étage à étage Au,-, et est donnée par

v™ = Va 2 fci(At>i(0))2 = V2Zo(0)22 k ,{ A ^ 0))2 = V 2O 6OOOO) On obtient ainsi O) = 20 rad/s

v2«» = 1.0

17 TT / / ,/

J m(x)(^(1))2dx

C02 = -60 000 = 400 900

VjW) = î.o

300 t

7 f

7

m = 200 t ZZ^ / Z Z

240 000 kN/m 400 t

77 r / / / :

v3<°> = 1.0 360 000 kN/m

/ (a)

(b)

Charges d ’inertie = cj2m/vI<°>

Flèches calculées

200 u>

Cj2 = Z 0(1)( 1 .0 ) cü2

(Effort = 200 w ) tranchant

k (1,- ^ | é « ï -Zo(1)(0.733)w*

~ 300 cü2 (Effort _ tranchant 400

2. 40 )

’ü) =3T5Ô“ 2 =Z0(1)(0.40)co2

cü2

_ 4.5u> Kc 1 800

(c)

Fig. E9.2 Détermination des fréquences d'une structure par la méthode de Rayleigh : (a) modèle ; (b) déformée supposée ; (c) flèches obtenues avec les forces d'inertie corres­ pondant à la déformée initiale. M E T H O D E A M E L I O R E E Rqj II est clair que l’hypothèse d’une rigidité parfaite de la structure au-dessus du premier étage est peu raisonnable, et conduit à une surestimation grossière de la fréquence de vibration de la structure. Si on utilise à présent les forces d’inertie associées à cette dé­ formée initiale pour déterminer une fonction de déplacement améliorée, on obtiendra par la méthode R0i de bien meilleurs résultats. Les chargements inertiels et les déformées qu’ils produisent sont re­ présentés à la Fig. E9.2c. Les déplacements peuvent être calculés facile­ ment car le déplacement Ai;/ de chaque étage est donné par l’effort tranchant à chaque étage divisé par la rigidité correspondante : l’énergie potentielle maximum correspondant à ce nouveau déplacement v W est donc :

v™ = Va 2 Pi ° y i) = Y Z o(l) 2 m ù W P

= y

Z 0(1)(580)

En égalant cette expression à celle de l’énergie cinétique déjà obtenue il vient : l 900 720 000 900 -= 248 w = 15.73 rad/s Cû2 — — Z0(1) 580 4 500 580 ce qui constitue déjà une grande amélioration par rapport à la méthode Roo.

9.2

(a) Déterminer la période de vibration du portique de la Fig. P9.2, en supposant que la poutre transversale est rigide et que la forme dé­ fléchie des colonnes est la même que celle due à une charge latérale p agissant sur cette poutre : v(x) = p(2L 3 — 3L 2x + x 3)/\2 E I ; (b) Quelle fraction du poids total des colonnes, supposée concentrée au niveau de la poutre, donnera la même période de vibration que celle qui a été calculée en partie (a) ?

9.3

Le bâtiment de la Fig. P9.3 a sa masse entière concentrée dans les poutres horizontales rigides. Avec les propriétés de masse et de rigidité données et en supposant une forme initiale linéaire (voir figure), calculer la période de vibration par : {a) la méthode de Rayleigh R 00 (b) la méthode de Rayleigh R 0l (c) la méthode de Rayleigh R t x

Rn On obtient un résultat meilleur encore en utilisant la fonction de déplacement améliorée pour calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle. On obtient pour le maximum de l’énergie cinétique METHODE AMELIOREE

«a - j w

2

- y fë ^ Y »24.8)

En écrivant l’égalité de cette expression et de celle de l’énergie potentielle améliorée, on obtient : l 580 720 000 580 üû = —77T-------- = ---------------------= 2 1 8 cj = 14.76 rad/s

z 0(1) 424.8

4 500

424.8

ce qui est très proche de la solution exacte coi = 14.5 rad/s. La méthode Rn conduit au même résultat que ce que donnerait l’Eq.(9.12), où les déformées seraient déterminées à partir du déplace­ ment produit par des forces de gravité latérales. Ceci est dû au fait que les forces d ’inertie associées à des déplacements égaux à tous les étages sont équivalentes à des forces de gravité latérales. Par ailleurs, si on avait fait une estimation plus raisonnable de la déformée dès le début, la mé­ thode R n aurait conduit à un résultat encore meilleur que celui de l’Eq.(9.12).

VOï-lw*

*1 = 80 000 kN/m m 2 = 400 t k 2 = 160 000 kN/m

Problèmes

„3(0)S 1 9.1

m l - 400 t

Calculer par la méthode de Rayleigh la période de vibration d’une poutre prismatique portant une masse centrale m x, voir Fig. P9.1. Pour la forme de déplacement ici supposée, utiliser la flèche produite par une charge

m 3 = 400 t k 3 = 240 000 kN/m

Fig. P9.3

Bâtiment à trois étages.

centrale p , c’est-à-dire u(x) = p x(3 L 2 - 4 x 2)/48£7 ( x ^ "j)* Consi9.4

dérer les cas : (a) m 1 — 0, et (b ) m l = 3rhL. (rn =n*388©

'

linéique

Déformée supposée Fig. P9.1

Reprendre le Prob. 9.3 avec les propriétés suivantes : m 1 = 200 t, m 2 = 400 t, m 3 = 6 0 0 1 et = k 2 = k 3 = 160 000 kN/m.

Deuxième partie :

Systèmes usieurs degrés de liberté

10

Formulation des équations du mouvement des systèmes à plusieurs degrés de liberté

10.1 Choix des degrés de liberté

Nous avons vu dans la première partie que toute structure pouvait être re­ présentée sous forme d’un système à un degré de liberté, et que sa réponse à une excitation dynamique pouvait alors être exprimée par une équation diffé­ rentielle unique. Si les caractéristiques mécaniques du système sont telles qu’une coordonnée unique suffît effectivement à exprimer son mouvement et qu’aucun autre mouvement n ’est possible, alors le système est un système à un degré de liberté et la résolution de l’équation en question conduit à la réponse dynamique exacte. Si par contre la structure possède plus d’un mode de déplacement mais qu’on la représente toujours par un modèle à un degré de liberté, la résolution de cette équation unique ne conduira qu’à une repré­ sentation approchée du comportement dynamique exact. La qualité du résultat obtenu avec un modèle à un degré de liberté dépend principalement de la géométrie du chargement et de ses variations dans le temps, ainsi que des caractéristiques de masse et de rigidité de la structure. Si les propriétés mécaniques de la structure conduisent celle-ci à se déformer plus facilement suivant le mode de déformation supposé lors de la modélisa­ tion, et si le chargement est tel qu’il excite plus particulièrement ce même mode, on peut prévoir qu’un tel modèle à un degré de liberté permettra une bonne approximation. Un des plus grands désavantages du modèle à un degré de liberté réside dans la difficulté de vérifier les résultats obtenus. En général pourtant, la réponse dynamique d’une structure ne pourra pas être exprimée de manière précise par un modèle à un seul degré de liberté. L’expression de la réponse faisant intervenir aussi bien l’historique du dépla­ cement que son amplitude, le comportement résultant ne peut être représenté qu’à l’aide de plusieurs coordonnées de déplacement : c’est-à-dire que le sys­ tème doit comporter plusieurs degrés de liberté. Comme nous l’avons vu au Chapitre l , les degrés de liberté d’un système discret peuvent être choisis parmi les amplitudes de déplacement de la structure en certains de ses points. Ils peuvent également être définis par un système de coordonnées généralisées

représentant les amplitudes d’un certain ensemble de modes de déplacements. C’est la première méthode que nous utiliserons ici : elle englobe l’idéalisation de la structure par éléments finis ou par masses concentrées. L’utilisation des coordonnées généralisées sera envisagée à la fin de la deuxième partie (§ 16.2). Nous utiliserons comme exemple représentatif de système à plusieurs degrés de liberté la poutre sur deux appuis simples représentée en Fig. 10.1. (Cette structure permet en effet une visualisation particulièrement simple des gran­ deurs mécaniques.)

la force d’amortissement fDi et la force élastique .fo. Le système des équations de l’équilibre s’écrit donc :

f n + / d i + f si = Pi(t) f i l + fo 2 + f s 2 = P2(t)

(10-1)

f l 3 + /D 3 + fs 3 = P 3 (0

Soit, sous forme matricielle :

( 10-2)

fj + î D + i s = P(t)

Chaque force résistante s’exprime au moyen de coefficients d’influence. Par exemple la composante élastique de la force au point 1 dépend en général des composantes des déplacements de tous les autres points de la structure ; ainsi, au point 1 :

fs i M ')

11^1

k iNVN

(10-3*)

f s 2 = * 2 1^1 + k 22v2 + k 23 V3 -f • • • -f k 2NvN

(10-36)

~

^

+

k i2V2

^13V3

+

* * *

+

De même la force correspondant au degré de liberté v2 est et en règle générale ;

Fig. 10.1

Discrétisation d'une structure de type poutre.

Représentons la déformée de cette structure par les déplacements d’un ensemble de points disséminés de manière discrète le long de la poutre, soit yi(0> y2(0> • • • » vi(0» • • • »";v(0- On peut en principe choisir ces points de manière arbitraire ; ils seront en pratique choisis de manière à définir avec précision toute particularité de la structure et de sa déformée. Le nombre de degrés de liberté (dans ce cas le nombre de points dont on considère les dé­ placements) est laissé à l’initiative de chacun. La meilleure approximation du comportement dynamique sera bien sûr fournie par le plus grand nombre de points s’ils sont bien placés ; mais d’excellents résultats peuvent souvent être obtenus avec seulement deux ou trois degrés de liberté. Dans l’exemple de la Fig. 10.1 on n ’a conservé que la composante verticale du déplacement en chaque nœud. On aurait pu augmenter le nombre de degrés de liberté en considérant d’autres composantes de déplacement : par exemple la rotation (bv/bx) et/ou le déplacement axial.

(10-3c)

fst == k ilvl + k i2v2 -f k i3v3 -f- • • • + k iNvN

Ces expressions supposent évidemment que la structure a un comportement linéaire et que le principe de superposition s’applique. Les coefficients h» sont appelés coefficients d'influence de rigidité :

!

force correspondant à la coordonnée i produite par un déplacement unité de la coordonnée /

(10-4)

L’expression des forces/^/ peut s’écrire

fs i fs2

k tl k\2 k\z k 21 k 22 k 2z

ku k 2i

fst

kn

k i2

ku

ki3

••

"

kiN V k 2N *>2 kiN

(10-5)

»i

soit 10.2 Expression de l'équilibre dynamique

L’équation du mouvement du système s’exprime en écrivant l’équilibre des forces effectivement associées à chaque degré de liberté. En général on aura quatre types de forces à chaque nœud i : la force appliquée p/(f) et les forces induites par le mouvement lui-même, c’est-à-dire la force d’inertie /}/,

fs = kv

(10-6)

k s’appelle la matrice de rigidité de la structure (pour l’ensemble des dépla­ cements choisis), et v est le vecteur déplacement représentant la déformée de la structure. Si on admet que l’amortissement ne dépend que de la vitesse, c’est-à-dire qu’il est du type visqueux, les forces d’amortissement peuvent s’exprimer de

la même manière qu’à FEq.(10.5) au moyen de coefficients d’influence d’amor­ tissement : fü 2

cu C11 C12 C13 C2l C22 c23 . *'’ * c2i

fü i

Cil

/ di

Ci2

••

Ci3

cH

’ ' ^ÎJV * C2N

(10-7)

•■ ‘ * CiN

10.3 Influence des forces axiales

bf représente le taux d’accroissement (vitesse) de la coordonnée de déplace­ ment i, et les coefficients cif sont appelés coefficients d'influence d'amortis­ sement : force correspondant à la coordonnée i ( 10-8) et provoquée par une vitesse unité suivant la coordonnée y L’Eq.(10.7) peut s’écrire t D = cv (10-9) où c est la matrice d'amortissement (relative aux degrés de liberté choisis) et v est le vecteur vitesse. De même les forces d’inertie peuvent s’exprimer au moyen de coefficients d’influence appelés coefficients d'influence de masse m liant les accélérations de chaque degré de liberté à la résultante correspondante des forces d’inertie. Ainsi : fil

« 1 1

m i2

« 1 3

fl2

m 2l

m 22

m 23

fit

m i2

M il

« Î 3

* •• • •

* • •

m u m 2i

m n

** • ■

• • *

m iN m 2N

(10-10)

%

!

( 10-11)

Sous forme concise l’Eq.(10.10) s’écrit : f, = mv

Il a été observé dans la première partie que les forces axiales, ainsi que tout autre type de chargement tendant à provoquer le flambage d’une structure, pouvaient avoir un effet sensible sur la rigidité de cette dernière. Des effets analogues se manifestent dans les systèmes à plusieurs degrés de liberté ; la composante de force qui agit parallèlement à l’axe des barres avant défor­ mation mène à des composantes de charge supplémentaires agissant dans la direction (et dans le sens) des déplacements nodaux, et qui seront notées îG. En incluant ces forces dans la formulation, l’expression de l’équilibre dynamique, Eq. (10.2), devient */ +

(10-12)

La matrice des coefficients d ’influence de masse m s’appelle la matrice de masse de la structure et v est le vecteur accélération ; tous deux sont relatifs aux degrés de liberté choisis. Il est à présent possible d’exprimer l’équilibre dynamique global de la structure sous la forme mv + cv + kv = p(0 (10-13)

(10-14)

+ f5 - fG = P(0

où le signe négatif provient du fait que les forces i G contribuent à la défor­ mation. Ces forces induites par les charges axiales dépendent également des dépla­ cements de la structure et peuvent s’exprimer à l’aide de coefficients d’influence, appelés coefficients d'influence de rigidité géométrique :

[70.1 / g2 / g1

üj. est l’accélération de la coordonnée de déplacement i et les coefficients d’influence de masse m/7*sont définis comme : force correspondant à la coordonnée i causée par une accélération unité de la coordonnée /

La dimension des matrices représentées ici correspond au nombre de degrés de liberté utilisés pour décrire la déformée de la structure. Cette équation exprime donc les TV équations d’équilibre relatives aux N degrés de liberté choisis pour définir la réponse.

^Cl2 kGt} ” kGu ■ *C21 kG22 ka23 ,• ’ • kGu ■

kG,„ kG1N

kGn kGt2 kGn

kG,N

•’ kG„ ••

(10-15)

où les coefficients d’influence de rigidité géométrique kG.. ont la définition suivante : 9 ' force correspondant à la coordonnée i due à un déplacement unité de la coordonnée / et provenant des composantes axiales des forces agissant sur la structure

(10-16)

L’Eq. (10.15) peut également s’écrire fG = kGv

(10-17)

où k G est appelée matrice de rigidité géométrique de la structure. L’équation d’équilibre dynamique de la structure devient donc mv + cv -f kv — kcv = p(/)

(10-18)

La rigidité élastique et la rigidité géométrique étant toutes deux multipliées par le vecteur déplacement, l’effet de rigidité combinée peut être exprimé par un seul symbole et l’Eq. (10.8) peut s’écrire mv + cv + Ev = p(f)

(10-19)

i l

où E = k - K

Détermination des matrices caractérisant les propriétés

(10-20)

est appelée matrice de rigidité combinée et englobe à la fois les effets élastiques et géométriques. Les propriétés dynamiques de la structure sont parfaitement définies par les quatre matrices de coefficients d’influence de l’Eq. (10.18), et le chargement dynamique est parfaitement défini par le vecteur des charges. Le calcul des matrices des caractéristiques physiques et celui du vecteur des charges extérieures seront envisagés au prochain chapitre. Le vecteur des charges effectives résultant d’une excitation d’appui éventuelle sera considéré au Chapitre 27 en liaison avec l’étude de la réponse aux séismes.

d'une structure

11.1 Caractéristiques élastiques

Souplesse La définition d’un coefficient d’influence de souplesse ^

est la suivante :

/ valeur du déplacement selon la coordonnée /, | sous l’action d’une charge unité appliquée { selon la coordonnée /

(11-1)

Nous illustrons cette idée au moyen de la poutre sur deux appuis simples de la Fig. 11.1. On aurait également pu choisir des degrés de liberté de rotation, ou de translation dans le sens horizontal, auxquels cas il eût été nécessaire d’utiliser les chargements unités correspondants (en rotation et en translation horizontale) pour définir tous les coefficients d’influence. Dans le présent exposé nous nous limiterons au cas des charges et déplacements verticaux.

Fig. 11.1

Définition des coefficients d'influence de souplesse.

Le calcul des coefficients d’influence de souplesse pour un système quelconque donné est un simple problème de statique : on peut utiliser n ’importe quelle méthode de résistance des matériaux. Lorsque l’on connaît l’ensemble des coefficients d’influence, on peut alors déterminer le vecteur déplacement dû à un chargement ou à une combinaison de chargements quelconques. Par exemple le déplacement au point 1 dû à une combinaison de chargements quelconques peut s’écrire vi — I n P i + J12 P 2 + I13 P 3 + * * * + Iin Pn

P l ~ k 2l

W/////Z

»2

r /u / 21

h *

/ »

/* *

h 3

• ••

/n

• ••

fin '

( 11-2)

- ••

h i

• ••

h ,

~Pi Pi

N*

pN i = k N1

^

P l “ *22 Pn = t

P l 88 *12 t ^

et l’ensemble de tous les déplacements s’exprime par : ■»r

P u mka

Fig. 11.2

2

Définition des coefficients d'influence de rigidité.

(11-3) Vl

ïn

Ïi2

/* 3

• ••

L

■••

/*

en fonction de la rigidité. L’énergie de déformation U est égale au travail nécessaire pour déformer le système ; ainsi :

Pi _ *_

ou, en notation matricielle,

U = ^ 2 V = fp

f est la matrice de souplesse de la structure, rapportée au système de degrés de liberté considéré. Dans cette dernière équation les déplacements sont exprimés en fonction du vecteur des charges appliquées p, qui sont considérées comme positives lorsqu’elles sont appliquées dans le sens des déplacements positifs. Les dépla­ cements peuvent également être exprimés en fonction des forces élastiques fs qui s'opposent à la déformation de la structure et qui sont prises positives lorsqu’elles sont dans la direction opposée aux déplacements positifs. D’après les règles de la statique on a immédiatement : v = &s

PiV‘ = V2p^v

(11-6)

(11-4)

(11-5)

Rigidité La signification physique des coefficients d’influence de rigidité définis par l’Eq. (10.4) est illustrée en Fig. 11.2 pour quelques degrés de liberté. Ces coefficients représentent les forces créées dans la structure si un degré de liberté est contraint à subir un déplacement unité alors que tous les autres sont fixes. Remarquons que les coefficients d’influence de rigidité tels qu’ils sont repré­ sentés en Fig. 11.2 sont numériquement égaux aux forces qu’il faut appliquer pour imposer cette condition de déplacements nuls et unité. Ils sont positifs lorsque ces forces sont dans le sens des déplacements positifs, négatifs dans le cas contraire. Autres notions fondamentales en calcul des structures Energie de déformation L’énergie de déformation accumulée dans une structure peut s’exprimer commodément soit en fonction de la souplesse, soit

où pr représente la matrice transposée de la matrice p. En utilisant l’Eq. (11.4) cette expression devient :

u = 1/2v1h

(11-7)

D’autre part, en transposant l’Eq. (11.6) et en utilisant l’Eq. (10.6) on obtient une expression de l’énergie de déformation en fonction de la rigidité (notons que p = fs )

U = 1f 2vrkv

(11-8)

Et comme l’éneigie de déformation accumulée dans une structure stable est toujours positive, on en déduit les deux relations suivantes : vr kv > 0

et

p r fp > 0

(11-9)

où v et p sont des vecteurs arbitraires non nuls. Les matrices qui satisfont à ces conditions sont dites définies positives ; les matrices définies positives ne sont pas singulières et peuvent être inversées. En inversant la matrice de rigidité et en multipliant les deux membres de l’Eq. (10.6) par cet inverse, on obtient k -1 fs = v En comparant à l’Eq. (11.5), on en conclut que la matrice de souplesse est égale à l’inverse de la matrice de rigidité : k"1 = f

(11-10)

En pratique, l’application directe de la définition de la matrice de rigidité, Eq. (11.2), conduit à des calculs longs et difficiles. Dans la plupart des cas on

158

Détermination des matrices caractérisant les propriétés d'une structure / Chap. 11

préférera déterminer d’abord la matrice de souplesse et l’inverser pour obtenir la matrice de rigidité. Loi de Betti On peut obtenir une propriété très importante en considérant le travail effectué par deux ensembles de charges appliqués deux fois dans des ordres différents et en comparant les travaux effectués. Considérons par exemple les deux systèmes de chargement et les déplacements corres­ pondants représentés en Fig. 11.3. Systèm e de charges a:

(11.12) : Wab = Wba ; soit encore : P«r Vf, = Pir v„ (11-13) Cette équation est l’expression de la loi de Betti : le travail effectué par un ensemble de forces dans le déplacement dû à un second ensemble de forces est égal au travail du second ensemble de forces dans le déplacement dû au premier système. Si on écrit l’Eq. (11.4) pour les deux ensembles de forces et de dépla­ cements et qu’on la reporte dans chaque membre de l ’Eq. (1 1.13), on obtient :

Systèm e de charges b :

p /ïp » = p /fp *

Pu

Pla

Pla

Pib

-P2b

î

I

1

1

1

D éform ée a:

Déformée

nVia

d’où

-P3b

Î = F

1

La matrice de souplesse est donc symétrique, c’est-à-dire que = / ;ï, ce qui n ’est en fait qu’une expression du principe de réciprocité de Maxwell. En reportant de même dans l’Eq. (10.6) et en remarquant que p = fs on en déduit que la matrice de rigidité est elle aussi symétrique :

b:

k

v3« Deux systèmes de charges indépendants et les flèches correspondantes.

Cas 1 : si le système de charges a est appliqué le premier, suivi par le système b , le travail effectué sera le suivant : Chargement a :

WM = l/ 2

= V zP/v.

Chargement b :

Wbb + Wab =

Total :

Wt = W„ + Wbb + Wab = V îP /v , + i/ 2pbryb + p /v „

l/ 2? b \

=

kT

+ p /v t

En principe, les coefficients de souplesse ou de rigidité associés à un ensemble de déplacements nodaux quelconques peuvent s’obtenir par application directe de leurs définitions. La notion d'éléments finis procure fréquemment le moyen le plus pratique de calculer les caractéristiques élastiques d’une structure. La structure est alors modélisée par un système d’éléments séparés, qui ne sont rattachés qu’à un nombre fini de nœuds. Les caractéristiques de la structure entière sont déterminées par une superposition adéquate des caractéristiques individuelles de chaque élément fini. Le problème se réduit alors au calcul de la rigidité d’un élément géné­ rique. Considérons par exemple la poutre à inertie variable de la Fig. 11.4. Un

(11-11) Notons que le travail effectué par le système a pendant l’application du système b n’est pas multiplié par 1/2, car ce chargement conserve sa valeur maximale durant la totalité des déplacements vb . Cas 2 : appliquons maintenant les chargements dans l’ordre inverse ; nous obtenons : Chargement b :

Whh = 1/ 2VbTyb

Chargement a :

Waa + Wba = V2p / v fl + p / v a

Total :

W2 = Wbb + Wm + Wba = l/ 2Ï>bTyb +

(11-15)

Eléments finis. Rigidité

~~v2b Fig. 11.3

(11-14)

+ p /v a

( 11-12) La déformation de la structure est indépendante de l’ordre de chargement, et par conséquent Wx = W2 ; d’où, par comparaison des Eqs. (11.11) et

Fig. 11 A

Déformées dues à des déplacements unitaires à l'extrémité gauche d'une poutre.

élément de ce type est assemblé à la structure complète par l’intermédiaire de ses deux extrémités. Ici, seuls les déplacements en translation et en rotation de chaque noeud sont considérés : chaque nœud possède donc deux degrés de liberté. La Fig. 11.4 montre la déformée obtenue par application d’un déplacement unité de chaque type à l’extrémité gauche de l’élément, tandis que les trois autres degrés de liberté sont fixés. Ces fonctions de déplacement pourraient être n’importe quelle fonction satisfaisant aux conditions de conti­ nuité internes et nodales. On prend généralement les déformées obtenues pour une poutre prismatique soumise aux mêmes déplacements nodaux : ce sont des polynômes de Hermite de 3e degré, qui peuvent s’écrire

(11-166)

M *)

En appliquant des déplacements unités à l’extrémité droite on obtiendrait de même

(ll-16c)

ôv(x) =

v3 se,

Fig. 11 S Poutre soumise à une rotation réelle et une translation virtuelle d'un nœud.

effectué par les forces extérieures au travail des forces intérieures (WE = Wj) on obtient : WB = SvaPa = Svx k 13 (11-18) Dans ce cas le travail extérieur est dû uniquement à la force verticale en a car les déplacements virtuels de toutes les autres composantes nodales sont nuls. Le travail des forces intérieures est le travail des moments intérieurs associés à 0a = 1, agissant sur les courbures virtuelles, soit 9 2 / 9 x 2 [Ô iK jc )] =

-x(H

(11-16<0

Avec ces quatre fonctions d’interpolation il est possible d’exprimer la déformée en fonction des déplacements nodaux : v(x) = i//1(x)v1 -f ij/2(x)v2 + ^s(x)v3 + (H-17) expression dans laquelle les degrés de liberté correspondent aux déplacements de la Fig. 11.4 de la manière suivante : "

*

V2

~ V a

r ___

*

E I ( x ) i//3(x )

Le travail intérieur est donc donné par

Wj = ôvt J* EI(xWl(x)\p'i(x) dx

(11-19)

En égalant les deux expressions du travail intérieur et extérieur, on obtient le coefficient k 13 M3

(11-20)

E I{x)M {xW i(x) dx

-r

Tout coefficient de rigidité relatif à la flexion de la poutre pourra donc s’écrire

o a J

=

(ll-17a)

ffr

” 3

rp” ( x ) ô Vl

en négligeant l ’effort tranchant. Le travail des moments intérieurs dus à 0a = 1 peut s’écrire Jt(x)

•M *)

i (x)6vl

Kj = | EI(xW ;(xW j(x) dx

(11-21)

.

Remarquons que rotations et translations représentent toutes des degrés de liberté nodaux vi . Par définition les coefficients de rigidité de l’élément sont égaux aux forces nodales dues à des déplacements nodaux unités. Ces forces peuvent être déter­ minées par le principe des déplacements virtuels, décrit au § 2.5. Considérons par exemple le coefficient de rigidité k l3 pour la poutre de la Fig. 11.4, c’est-à-dire la force verticale qui naît à l’extrémité a pour une rotation unité de la poutre au même point. Considérons un déplacement virtuel vertical en ce point, en appliquant également la rotation unité comme le montre la Fig. 11.5. En égalant le travail

La symétrie de la matrice de rigidité est évidente d’après cette expression ; donc fcç = k#. Remarquons son équivalence avec le terme correspondant de l’Eq. (2.39) aans le cas où i = /. Dans le cas particulier d’une poutre de section et d’inertie constantes, la matrice de rigidité déduite de l’Eq. (11.21) avec les fonctions d’interpolation définies aux Eqs. (11.16) apparaft dans l’équation matricielle suivante :

' 6 fs i fs2 _ 2E[ - 6 3L fs3 L3 3L .fs 4.

-6 6 -3 L -3 L

3L 3L " — 3L -3 L 21} 1} L2 21}

’ » i‘ ”2 ”3 -»4.

( 11-22)

Dans cette expression les déplacements nodaux sont définis par le vecteur v de l’Eq. (11.17æ), et îs est le vecteur des forces nodales correspondantes. Ces coefficients de rigidité sont les valeurs littérales exactes dans le cas parti­ culier d’une poutre prismatique sans effet d’effort tranchant, caries fonctions d’interpolation apparaissant dans l’Eq. (11.21) correspondent dans ce cas aux déformées vraies. Pour une poutre non prismatique, l’utilisation de l’E q .(ll.2 2 ) ne fournit qu’une approximation de la rigidité vraie ; on peut néanmoins obtenir de très bons résultats si on découpe cette même poutre en un nombre suffisamment grand d’éléments, chaque élément étant considéré comme prismatique. Une fois les caractéristiques de chaque élément déterminées, on peut alors les combiner pour former l’ensemble de la structure, en additionnant tout simple­ ment les rigidités d’éléments de manière adéquate : cette méthode s’appelle la méthode de rigidité directe. En fait, un coefficient quelconque k* relatif à l’ensemble de la structure peut s’obtenir par simple addition des coefficients de rigidité des éléments concourant aux nœuds considérés. Ainsi, si les éléments m, n et p concourent tous trois au nœud i de la structure complète, le coef­ ficient de rigidité globale de la structure en ce nœud sera ku = icuim) +' k ti(n) + k u(p)

(11-23)

*31 = ^ ( 3 i)

*21 = 7 T<3L)

kn =

(6 )(2 )

Jv, = 1

*22 =?r ( 2 i J) + ?11^ !(2)(2L)2 LL

L3

k

(2LŸ

(2L)3

lÿ

= i^ (2 l 2) T.3

L’indice supérieur m, n ou p sert ici à identifier les éléments en présence. Avant de pouvoir superposer ainsi les coefficients relatifs à chaque élément, ils doivent d’abord être exprimés dans un système global de coordonnées qui s’applique à l’ensemble de la structure. Les chapeaux dans l’Eq. (11.23) indiquent que les coefficients que l’on somme ont été exprimés dans le système global de coordonnées, à partir d’expressions initiales en système local telles qu’elles sont définies à l’Eq. (11.22). EXEMPLE El 1.1 Le calcul de la matrice de rigidité d’une structure est une opération centrale de la méthode matricielle des déplacements en calcul statique des structures. Un développement important sur ce sujet n’est pas l’objet de ce cours de dynamique des structures, mais on peut appliquer la procédure à une structure simple afin de montrer comment on utilise les coefficients de rigidité des éléments, Eq. ( 11.22). Considérons le portique de la Fig. El 1.la. On suppose que les poutres ne se déforment pas dans la direction longitudinale. Cette structure possède donc les trois degrés de liberté représentés sur la figure ; les coefficients de rigidité peuvent être calculés l’un après l’autre par appli­ cation d’un déplacement unité en chaque degré de liberté et blocage des deux autres, et en calculant les forces ainsi créées dans chaque élément au moyen de l’Eq. (11.22). Lors du déplacement horizontal de la structure, on suppose que les poutres verticales se déforment. La force à leur extrémité est donnée par les éléments 1, 3 et 4 de la première colonne de la matrice de rigidité de l’Eq. (11.22). Remarquons que le coefficient global k li reçoit une contribution de chacune des colonnes.

Fifl. E11.1 Détermination des coefficients de rigidité d'un portique : (a) définition du portique et de ses degrés de liberté ; (b) efforts dus à un déplacement u1 = 1 ; (c) efforts dus à un déplacement v2 = 1 •

Considérons à présent la rotation de la jonction représentée en Fig. El 1.1c : la poutre horizontale et là colonne verticale de gauche parti­ cipent toutes deux à la formation du coefficient k22 ; les contributions proviennent de l’élément 3 de la colonne 3 de la matrice de rigidité de l’Eq. (11.22) (en tenant bien sûr compte des caractéristiques respec­ tives de chacune des barres). Seul l’élément vertical de gauche contribue à la détermination defc12, la poutre horizontale contribuant seule à la détermination de k 32. Pour la jonction de droite on aurait les mêmes valeurs. La matrice de rigidité relative à l’ensemble de la structure s’obtient en assemblant tous ces coefficients : fs i fs 2 /s s j

'ypr L

3L L 3L

3L 61} 21}

3L Vi 21} v2 61?J [v x

11.2 Caractéristiques massiques

Matrice des masses concentrées La manière la plus simple de représenter les caractéristiques massiques d’une structure consiste à supposer que toute la masse est concentrée aux points de définition des déplacements en translation. Le calcul de ces masses ponctuelles suppose en général la structure constituée d’un nombre fini de segments. La Fig. 11.6 illustre cette idée dans le cas d’une poutre. La masse des segments est concentrée aux noeuds, leur répartition étant déterminée par les règles de la statique. Le total des masses concentrées à un nœud donné doit donc être égal à la somme des contributions nodales de chacun des segments concourant à ce noeud. Dans le cas de la Fig. 11.6 deux segments participent à la détermination de la masse de chaque nœud ; par exemple m i =

”1 ^

+

171^.

N

0 —H-

0-

0

On peut déterminer des coefficients d’influence de masse en utilisant la notion d’éléments finis par une procédure analogue à celle utilisée pour déter­ miner les coefficients d’influence en rigidité. Considérons par exemple la poutre de la Fig. 11.7, que l’on peut rapprocher de celle de la Fig. 11.4. Les degrés de liberté sont la translation et la rotation de chaque extrémité de segment ; on supposera que les déplacements sont définis par la même fonction \pt(x) déjà utilisée pour déterminer les rigidités.

b

-0

0-e 0 —*7--- ©

-0

-

Matrice de masse cohérente

” *ik

m 2c

m 0a

Si on considère plus d’un degré de liberté de translation en chaque point, la même masse dans son entier sera affectée à chacun de ces degrés de liberté. Par contre la grandeur affectée à un degré de liberté de rotation sera nulle car une masse ponctuelle n ’a pas d’inertie de rotation (une masse rigide non ponctuelle ayant un degré de liberté de rotation conduirait bien sûr à un élément diagonal égal à l’inertie de rotation pour ce degré de liberté). La matrice des masses concentrées est donc diagonale ; elle peut posséder des termes diagonaux nuls si on envisage des degrés de liberté de rotation, ce qui est le cas général.

ma

” >2b

ôv(x)= ÿ i ( x ) 8 v 1

m 2

Fig. 11.6

Concentration de la masse aux noeuds d'une poutre.

Pour un système dont on ne considère que les degrés de liberté de translation, la matrice de masse est diagonale ; pour le système de la Fig. 11.6 par exemple elle s’écrit : ’m l 0 0

0 0 m2 0 0 m3

••• •* • •••

0 0 0

••• ••• •••

0 0 0

0

0

0

0

0

0

mi 0

Noeud soumis à une accélération angulaire réelle et à une translation virtuelle.

Si la poutre est soumise à une accélération angulaire unité en son extré­ mité gauche, on aura v3 = 0a = 1, et le long de la poutre (11-24)

m =

Fig. 11.7

0 mN

Le nombre de termes diagonaux de cette matrice est égal au nombre de degrés de liberté. Les m^ extra-diagonaux sont nuls car une accélération appliquée à un nœud où est concentrée une masse ne produit de force d’inertie qu'en ce même point. La force d’inertie au point i due à une accélération unité du même point i est évidemment égale à la masse (x 1) concentrée en ce point; le coefficient d ’influence de masse est donc m ü = m v

ü(x) = \j/3(x)t>3

(11-25)

expression que l’on peut obtenir en prenant la dérivée seconde de l’Eq. (11.17). D’après le principe de d’Alembert, les forces d’inertie qui s’opposent au mouvement sont :

fj(x) = m(x)S(x) = m(x)ij/3(x)v3

(11-26)

Les coefficients d’influence de masse correspondant à cette accélération sont définis comme les forces engendrées aux nœuds par la même accélé­ ration; elles peuvent être déterminées à partir des forces d’inertie réparties

de FEq. (11.26) d’après le principe des déplacements virtuels. Par exemple la force verticale de gauche peut être calculée en considérant un déplacement virtuel et en égalant le travail de la force nodale extérieure pa à celui des forces d’inertie réparties fj(x ). Soit : PaàVc

-r

fj(x ) ôv(x) dx

En exprimant ce déplacement virtuel intérieur au moyen de la fonction d’inter­ polation choisie et en utilisant l’Eq. (11.26), on obtient finalement : m 13

-r

(11-27)

m(x)\l/x(x)^3(x) dx

pour deux raisons : (l) la matrice de masse d’un système à masses concentrées aux noeuds est diagonale, alors que la matrice de masse cohérente possède des termes extra-diagonaux non nuls (ce qui correspond à un couplage massique) ; (2) on peut éliminer les degrés de liberté de rotation d’un système à masses concentrées par condensation statique, mais on doit considérer tous les degrés de liberté d’un système à masses cohérentes. EXEMPLE El 1.2 Considérons la structure de la Fig. El 1.1, qui est reprise à la Fig. El 1.2a. On concentrera la masse de la moitié de chaque segment au noeud correspondant (Fig. E11.2&). La somme des quatre contributions au niveau de la poutre horizontale est affectée au degré de liberté transversal m xl ; aucune masse n’est affectée aux autres degrés m u = 4mL \.5mL

Notons que dans l’Eq. (11.27) le coefficient d’influence de masse représente la force d’inertie s’opposant à l’accélération, ce qui est numériquement égal à la force extérieure qui produirait l’accélération. Cette même équation s’écrit sous forme générale Wy

r

m(x)\l*lx)il/j(x) dx

Q.SmL

_

54 156 13L —22L

22L 13L 4L2 —3L2

-1 3 L~ -2 2 L - 3 L2 4L2.

<*>0.5mL

y//////

(11-28) m2i =f^(22L) = f^(llL )

La forme symétrique de cette expression montre que = w.,- : comme la matrice de rigidité, la matrice de masse est symétrique. Lorsque l’on détermine les coefficients d’influence de masse de cette manière, c’est-à-dire en faisant appel aux mêmes fonctions d’interpolation que celles utilisées pour déterminer les coefficients de rigidité, la matrice obtenue s’appelle matrice de masse cohérente*. Les polynômes d’Hermite du 3e degré,Eqs.(l 1.16), sont en général suffisants pour calculer les caractéristiques massiques d’une barre rectiligne. Pour une barre prismatique on obtient, dans le cas particulier d’une masse uniformément répartie : ' 156 f il 54 mL fl2 fl3 ~ 420 +22L —13L flA .

l.SmL

o-

(b)

à 0.5mL

mu =^§-(lU.) Mouvement axial de la poutre ^ transversale^

">ii =4§H156>(2>+ ^-5"'X2i) =# (7 8 6 )

~Vi~ h

(11-29)

Pour obtenir les caractéristiques massiques de l’ensemble d’une structure, on opérera par superposition des caractéristiques de chaque élément comme on l’a fait pour la rigidité d’ensemble, Eq. (11.23). La matrice de masse résultant de cette opération aura en général la même configuration que la matrice de rigidité quant aux éléments non nuls. L’étude dynamique d’un système avec matrice de masse cohérente demande en général plus de calculs que pour un système à masses concentrées, et ceci * C’est^ d ire dont la formulation est cohérente avec celle de la matrice de rigidité' ; cette formulation est parfois dite compatible, ou encore homogène . En anglais : consis­ tent . (N.d.T.).

m 22 : 42ÔT

'

-(-3)(2Z, )2 = ^ t(-1 8 I2 )

^ - ( 2 6 L2) r (lll)

Fig. El 1.2 Détermination des matrices de masse concentrée et cohérente : (a) masse uni­ formément répartie ; ib) concentration de la masse aux extrémités des barres ; (c) forces dues à l'accélération = 1 (cohérentes ) (d ) forces dues à l'accélération ü2 = 1 (cohérentes).

de liberté car il n y a pas d’inertie de rotation pour des masses ponc­ tuelles. La matrice de masse cohérente s’obtient en appliquant des accéléra­ tions unités à ch^qUe degré de liberté de manière successive, les autres degrés de liberté étant bloqués. Les coefficients de masse sont alors donnés par 1.29). Prenons d’abord le cas d’une accélération laté­ rale (Fig. E l 1.2e) . on notera que les coefficients de l’Eq.( 11.29) ne prennent en co m ^e qUe l’inertie transversale des colonnes. L’inertie de la poutre h o r iz o n ^ due à une accélération parallèle à son axe doit être ajoutée comme 1^ masse d’un corps rigide (3mL), comme indiqué sur la figure. L’accélération angulaire aux nœuds ne produit que des accélérations transversales dans jes éléments ; les contributions correspondantes des colonnes et de ia poutre horizontale sont données par l’Eq.( 11.29) et résumées à la F{g 2d. Les matrices obtenues sont : '840 0 0 0 . 0 0

0' 0 0

mL m = — 210

"786 11L 11L

masses concentres aux noeuds

11L 26 L2 —18L2

UL' —18L2 26L2

masses cohérentes

11.4 Action des forces extérieures

Si les forces sont directement appliquées aux noeuds du modèle, le vecteur des forces défini à l’Eq.(l0.2) est tout simplement le vecteur des forces appli­ quées rapporté au système de coordonnées correspondant. Si par contre ces forces sont soit concentrées en des points autres que les noeuds, soit réparties le long des éléments, le vecteur des forces sera un vecteur de forces généralisées équivalentes appliquées aux noeuds, et il lui correspondra un vecteur de dépla­ cements généralisés. Les deux paragraphes qui suivent considèrent le calcul de ces forces généralisées. Résultantes statiques On peut déterminer les forces équivalentes aux noeuds de manière directe par les règles de la statique. Autrement dit, on définit les forces nodales comme un ensemble de forces concentrées aux nœuds, et qui sont statiquement équi­ valentes aux forces réparties. On effectue les calculs en supposant le chargement réel appliqué à la structure par l’intermédiaire de poutres appuyées aux noeuds, le chargement étant appliqué sur les poutres. Les réactions d’appui deviennent alors les forces concentrées aux noeuds qui agissent sur la structure. Il est évi­ dent que dans ce type d ’analyse, seules les forces correspondant aux degrés de liberté de translation seront considérées. Les forces nodales correspondant aux rotations seront nulles sauf si on applique directement un moment au nœud. p(x, t )

rrrfT

11.3 Caractéristiques d amortissement

Si on connaît qualitativem ent les diverses forces d’amortissement qui agissent sur la structures 0n peut encore utiliser la notion d’éléments finis pour définir les coefficients d ’amortissement du système. Par exemple ces coeffi­ cients peuvent être de la forme suivante [comparer avec l’Eq .(2.38)] :

\k =pi T

bva s ÔV

Cij = J

c(x)\l/i(x)\l/j(x) dx

(11-30)

±

Fig. 11.8 Translation virtuelle en un nœud d'un système.

expression dans laquelle représente un amortissement visqueux réparti le long de l’élément. Uns fois déterminés les coefficients d’amortissement de chaque élément, on pourrajt les assembler de la même manière que la rigidité et la masse, et obtenir ^ nsi les caractéristiques d’amortissement de l’ensemble de la structure. En pratique cependant, il est très difficile de déterminer la fonction c(x) (ou toute autre propriété spécifique d’amortissement) : c’est pourquoi on préfère er* général exprimer l’amortissement sous la forme d’un pourcentage d’amortiss^ment critique, pourcentage obtenu par des essais sur maquettes, plutôt q u ^ Xpücitement par une matrice d’amortissement c. Si on veut obtenir une tt^trice d’amortissement explicite on l’exprimera géné­ ralement à partir des Pourcentages d’amortissement critique comme nous le montrerons plus loin.

Forces cohérentes aux nœuds Cette seconde méthode fait appel à la notion d’éléments finis et au principe des déplacements virtuels de la même manière que pour les rigidités et les masses cohérentes : on obtient alors les forces nodales cohérentes. Considérons i nouveau la poutre utilisée à propos de la matrice de masse cohérente ; elle est à présent soumise à un ensemble de forces dynamiques extérieures, voir Fig. 11.8. Si on applique un déplacement virtuel ôvi comme sur la figure, et que l’on égale les travaux des forces intérieures et des forces extérieures, on peut en déduire la force généralisée correspondant à i>i : P i(0 = |

p(x,fW i(x) dx

(11-31)

L’expression de la force généralisée est donc Pi(0 =

J

p(x,t)\j/t{x) dx

(11-32)

La force généralisée p 3 correspondant à v3 = 0a est un moment extérieur appliqué au point a. Le sens positif des forces généralisées est le même que le sens positif des axes. Notons l’équivalence des Eqs.(l 1.32) et (2.41). Pour que les forces généralisées méritent vraiment le nom de cohérentes, elles doivent être calculées avec les mêmes fonctions d’interpolation \pi(x), utilisées pour définir la rigidité. Si on utilise une interpolation linéaire W *) = 1 - 7 L

M x) = L

calculs fondés sur le principe de superposition ne seraient plus valables pour un système devenu ainsi non linéaire.) On peut en général envisager deux niveaux d’approximation, qui sont plus ou moins en parallèle avec ce qui a été dit sur les matrices de masse et les vecteurs de forces. L’approximation la plus simple se déduit du modèle phy­ sique illustré en Fig. 11.9, où il est supposé que toutes les forces axiales agissent sur un système auxiliaire formé de barres articulées entre elles. Les articula­ tions correspondent aux degrés de liberté transversaux, et sont liées à la poutre principale de manière à transmettre les efforts transversaux mais pas les compo­ santes axiales des forces. S ystèm e auxiliaire de liaison

(11-33)

on obtient par l’Eq.( 11.32) les forces résultantes statiques, ce qui constitue la procédure la plus simple. Dans certains cas la fonction de chargement peut prendre la forme parti­ culière P (x,t) = x(*X (0

(11-34)

c’est-à-dire que seule l’intensité du chargement est fonction du temps, la forme de la fonction étant fixe. Dans ce cas les forces généralisées sont Fig. 11.9

p,{

0 = C(0J'

x(x)>Pi(x) dx

(ll-3 4 a)

On peut remarquer que cette force généralisée varie en fonction du temps de la même manière que le chargement appliqué. Lorsque les forces généralisées ont été calculées par l’Eq. (11.32) pour chaque élément, elles sont ensuite assemblées pour l’ensemble de la structure par un procédé du même type que la méthode de rigidité directe. 11.5 Rigidité géométrique

Approximation linéaire La propriété de rigidité géométrique est liée à la tendance d’une structure à flamber lorsque ses éléments sont chargés de manière axiale. Elle dépend donc non seulement de la géométrie mais encore du chargement appliqué au système. Dans ce qui suit nous considérerons que le système de forces qui conduit au flambage reste constant pendant le chargement dynamique : il ré­ sulte donc d’un système de chargement statique indépendant du système dyna­ mique, et on ne le suppose affecté que de manière négligeable par la réponse dynamique de la structure. (Si le système de charges responsable du flambage variait dans le temps de manière sensible, la rigidité varierait également et les

Modélisation d'un mécanisme de chargement axial d'une poutre.

Lorsque la poutre réelle se déforme sous l’action d’un chargement quel­ conque, le système auxiliaire lié au système principal est contraint à se déplacer de la même manière, comme représenté sur la figure. En raison de ces déforma­ tions et des efforts axiaux présents dans le système auxiliaire, des forces se créent dans les liens de couplage au système principal. Autrement dit, la résis­ tance du système principal sera nécessaire à la stabilisation du système auxiliaire. L’équilibre des forces dans un élément générique i du système auxiliaire est représenté à la Fig. 11.10. Les composantes transversales des forces f a et fc j Ni

dépendent de la valeur de la composante axiale de la force dans le segment N iy ainsi que de l’orientation du segment. Elles sont considérées positives lors­ qu’elles agissent dans le sens des déplacements positifs du système principal. Sous forme matricielle, ces forces s’expriment ainsi : M

=

U J

1

h L-1

~r

1.

Vi

(11-35)

LVJ.

En combinant des expressions de ce type pour l’ensemble de tous les seg­ ments, les forces transversales dues aux forces axiales peuvent s’écrire, pour la poutre de la Fig. 11.9 : / gi Fig. 11.11

/g 2

Poutre chargée axialement : rotation réelle et translation virtuelle en un nœud.

V2

Vi

fcGi

Appliquons un déplacement virtuel et écrivons que le travail des forces virtuelles extérieures est égal au travail virtuel des forces intérieures. Le dépla­ cement virtuel Svi associé à la force k c \3 donne le travail virtuel extérieur WE = foa Sva = *013 ^ 1

J gn]

L

o

o

o

o

• • •j l% J

(11-36) On notera dans cette expression que l’intensité de la force axiale peut changer d’un segment à l’autre ; pour le chargement de la Fig. 11.9 toutes les forces axiales sont les mêmes et le terme N peut être mis en facteur. L’Eq.(11.36) peut s’écrire, en notation matricielle : = k G\

(11-37)

(11-38)

(la direction positive des forces, donc des coefficients de rigidité géométrique, est la direction positive des déplacements). Pour déterminer le travail des forces intérieures il nous faut calculer le travail élémentaire correspondant à un élément d x de la poutre. Cet élément est représenté à la Fig. 11.11 et à la Fig. 11.12 à plus grande échelle. Le travail effectué dans cet élément par la force axiale N (x) pendant le déplacement virtuel est : dWj = N (x)d (ô e)

La matrice k G est appelée matrice de rigidité géométrique de la structure. Pour une telle approximation linéaire du système, la matrice est tri-diagonale comme on peut le voir à l’Eq.(l 1.36) : les contributions des éléments adjacents forment la diagonale principale, et un seul élément correspond à chaque terme extra­ diagonal (terme de couplage).

(11-39)

-N{x)

Rigidité géométrique cohérente La notion d’éléments finis peut encore être utilisée ici pour permettre d’ob­ tenir une approximation d ’ordre supérieur. Considérons toujours la même poutre que précédemment, à présent soumise à des charges axiales réparties résultant d’une variation quelconque de N (x), comme le montre la Fig. 11.11. Le schéma du bas montre la poutre soumise à une rotation unité de son extré­ mité gauche, v3 = 1. Par définition, les forces nodales associées à cette compo­ sante de déplacement représentent les coefficients de rigidité géométrique cor­ respondants : par exemple &gi3 est la force verticale produite à l’extrémité gauche.

Fig. 11.12 Segment élémen­ taire de la poutre en déforma­ tion de la Fig. 11.11.

où d(ôe) représente la distance que les forces parcourent en allant l’une vers l’autre. En utilisant les triangles semblables de la figure on voit que : d(ôe) =

dx

Soit encore, en intervertissant l’ordre de la dérivation et de la variation dans le second membre : d(ôe) = ^ ô dx { î dx) En remplaçant dans l’Eq.(l 1.39), ceci conduit à : ,dv dWj = N (x ) ^ à dx

dx

et en exprimant les déplacements latéraux par les fonctions d’interpolation, puis en intégrant : Wj = ôvx

r

(11-40) dx

dx

Egalons travail intérieur et travail extérieur et nous obtenons le coefficient de rigidité géométrique 13

-r

&x

(11-41)

Soit plus généralement : kGij = J

N

d

x

(11-42)

La matrice de ces coefficients est évidemment symétrique et = ko ^. Si on utilise les fonctions d’interpolation de Hermite, Eqs. (11.16), le résultat est appelé matrice de rigidité géométrique cohérente. Et dans le cas particulier où la force axiale est constante le long de l’élément la matrice de rigidité géo­ métrique cohérente s’écrit / g1 / g2 / g3 _ / g4_

N 30L

36 -3 6 -36 36 3L —3L 3L —3L

3L -3 L 4L2 -L 2

3L -3 L —L2 4L2

v2

(11-43)

_”4_

Si en revanche on utilise des fonctions d’interpolation linéaires [Eq. (11.33)] dans l’Eq. (11.42) et si la force axiale est constante, la rigidité géométrique est la même que celle trouvée précédemment dans l’Eq. ( 11.35). On assemblera les rigidités géométriques de chaque élément pour obtenir la rigidité géométrique de l’ensemble de la structure de la même manière que la rigidité élastique, et la matrice résultante aura une configuration analogue quant aux termes non nuls. La matrice de rigidité géométrique cohérente concerne donc les degrés de liberté de rotation ainsi que ceux de translation ; l’approximation linéaire [Eq. (11.35)] ne concerne que les translations. L’une et l’autre s’expriment à l’aide de l’Eq.( 11.37).

11.6 Choix du type de formulation

Nous venons d’envisager deux niveaux d ’approximation pour la détermina­ tion des masses, rigidités géométriques et forces extérieures généralisées : ( l) une méthode élémentaire ne prenant en compte que les degrés de liberté de translation de la structure ; (2) une méthode “cohérente” prenant en compte translations et rotations. La première méthode est considérablement plus simple que la seconde : non seulement les caractéristiques sont plus faciles à calculer, mais encore le nombre d’inconnues à considérer par la suite est nettement plus limité pour une structure donnée. En principe la méthode “cohérente” devrait conduire à de meilleurs résultats, mais en pratique l’amélioration est souvent très faible. Il semble que les degrés de liberté de rotation présentent beaucoup moins d’importance dans les calculs que les degrés de liberté de translation. L’avantage principal de la méthode “cohérente” tient au fait que les contri­ butions énergétiques à la réponse de la structure sont calculées de manière cohérente, ce qui rend possible la détermination de bornes auxquelles doivent satisfaire les fréquences de vibration de la structure. Néanmoins cet avantage justifie rarement le volume des calculs auxquels cela conduit. La méthode des masses concentrées pose un problème particulier lorsque la rigidité élastique est formulée par la méthode des éléments finis ou par toute autre méthode où interviennent des degrés de liberté de rotation. Si le calcul des autres caractéristiques a été fait en négligeant ces degrés de liberté, il est nécessaire de les exclure également de la matrice de rigidité avant d’écrire les équations du mouvement. Le processus permettant d’éliminer certains degrés de liberté de la matrice de rigidité s’appelle condensation statique. Supposons que l’on ait séparé les degrés de liberté de rotation de ceux de translation, de sorte que l’on puisse écrire l’équation d’équilibre

Ê a [::]-£]-[«] où l’indice t correspond aux translations et l’indice 0 aux rotations. Si aucune composante de rotation n’agit sur la structure, il est évident que les forces élas­ tiques de rotation doivent également disparaître, c’est-à-dire que = 0. Si cette condition est introduite dans l’Eq.( 11.44) il est possible d’exprimer les rotations en fonction des translations : y$ = "”^00

(11-45)

Soit en reportant dans l’Eq. (11.44) : (^ff

Posons

= f St

k fv* = fs,

(11-46)

avec k r = k „ — k f0k00_ 1k 0r (11-47) k t est la rigidité élastique associée aux composantes de translation. L’utili­ sation de cette matrice s’accorde bien avec les expressions des autres carac-

téristiques élémentaires de la structure ; autrement dit, il s’agit là du type de matrice de rigidité illustrée par la Fig. 11.2. EXEMPLE El 1.3 Considérons l’exemple El 1.1, dont nous désirons éliminer les deux degrés de liberté de rotation. La matrice de rigidité condensée qui en résultera ne contiendra alors plus que des coefficients associés à des degrés de liberté de translation : elle pourra donc être utilisée conjointement avec la matrice de masse concentrée déterminée à l’exemple El 1.2. La sous-matrice de rigidité de l’exemple El 1.1 correspondant aux degrés de liberté de rotation est : _ 2EI r 61} 2L2“ H =— ** “ L3 j_2L2 6L2 " L

?J

11.4

11.5

T3 n

Ll

En utilisant PEq.(l 1.34a), exprimer la variation dans le temps de la composante de charge cohérente P2W av©c la fonction de déformée de l’Eq.(11.16). En utilisant l’Eq.( 11.42) calculer le coefficient de rigidité géométrique cohérente k G24 pour une poutre ayant la répartition de force axiale suivante : N(x) = N 0(2 — x/L). Utiliser les fonctions de déformée de l’Eq.(l 1.16) et calculer l’intégrale par la méthode de Simpson en utilisant Ajc = L/4. Le portique plan de la Fig. P l l . l est composé de poutres prisma­ tiques. Assembler la matrice de rigidité rapportée aux trois degrés de liberté indiqués, en calculant les coefficients de rigidité des éléments au moyen de l’Eq.(l 1.22).

3j

p{x,t)=p${t)

Son inverse est :

w = 32EI - ^[_r—31 _ii 3J

r 2m

t 3 TA\ El

En utilisant cette expression dans l’Eq.( 11.45) on exprime les degrés de liberté de rotation en fonction des termes de translation par :

p(t)=pLÇ(t)

l r 3 - n 2e i r3 L i 3 rn 3 2 E l[ -l 3J |_ 3 L JVl ~ La matrice de rigidité condensée rapportée aux composantes de transla­ tion est donnée par FEq.( 11.47), soit rv i

UJ

I?

3L]

_3_ 8L

3L

2EI 39 L3 4

2

Fig. P11.1

11.6 11.7

Problèmes

11.2

11.3

////////

Sl Li J 1’1

8L

11.1

r m 1- Eh'l

Avec les polynômes de Hermite, Eqs. (11.16), pour fonctions de défor­ mée calculer par l’Eq.( 11.21) le coefficient de rigidité k 23 pour une poutre ayant la rigidité en flexion suivante : EI(x) = EI0(l + x/L). En utilisant l’Eq.(l 1.28), calculer le coefficient de masse cohérente m 2 3 pour une poutre présentant la distribution massique suivante : m(x) = m{ 1 + x/L ). Prendre les fonctions de déformée de l’Eq.(l 1.16) et calculer l’intégrale par la méthode de Simpson en divisant la poutre en quatre segments égaux. La charge répartie appliquée à une poutre s’écrit

11.8

Portique plan.

Assembler la matrice de masse de la structure du Prob. 11.5 en calculant les coefficients de masse de chaque élément au moyen de l’Eq. (11.29). Assembler le vecteur des forces de la structure du Prob. 11.5, en cal­ culant les charges aux nœuds de chaque élément au moyen de l’Eq. (11.32). Pour un portique plan de la même conception que celui du Prob. 11.5, mais ayant des cotes et des caractéristiques physiques différentes, les ma­ trices de rigidité et de masse concentrée s’écrivent " 20 -1 0 L - 5L ’ "30 0 0“ -1 0 L 15L2 m = mL 0 0 0 8L2 - 5L 8L2 0 0 0 12L2 (0) Par condensation statique, éliminer de la matrice de rigidité les deux degrés de liberté de rotation. (b) En utilisant la matrice de rigidité condensée, écrire l’équation du mouvement rapportée à un seul degré de liberté (vibrations libres non amorties).

Oscillations libres non amorties

12.1 Détermination des fréquences propres de vibration

L’équation du mouvement d ’un système se déplaçant librement sans amor­ tissement s’obtient en omettant dans l’Eq. (10.13) le vecteur de chargement et la matrice d’amortissement : mv + kv = 0

(12-1)

Par analogie avec le comportement des systèmes à un degré de liberté, nous supposerons que le mouvement est harmonique ; il s’exprime simplement sous la forme y(t) = ♦ sin (œ t + 0)

(12-2)

où v représente les modes de déformation possibles du système (seule leur amplitude varie avec le temps) et 0 est un angle de déphasage. Les accélérations en vibrations libres sont alors données par la dérivée seconde de l’expression précédente : v = —(ûH sin (œt 4- 0) = —û>2v

(12-3)

En reportant ces deux dernières expressions dans la première équation, nous obtenons l’expression : —co2m t sin (œt + 0) -f- k t sin (œt + 0) = 0 • qui doit être vérifiée quel que soit t , donc pour toutes les valeurs de la fonction sinus ; donc : [k — co2m]f = 0

(12-4)

On peut montrer par la règle de Cramer que la solution de ce système d’équa­ tions simultanées est de la forme 0

? = llk

étage et en calculant les forces résultantes (voir figure). On suppose les planchers très rigides, et les forces à chaque étage peuvent être facilement déterminées par simple addition des coefficients de rigidité latéraux. Les matrices de masse et de rigidité de cette structure sont donc :

(12-5)

arm II

Une solution non triviale n’est donc possible que si

m = 200 t (12-6)

||k — a)2m|| = 0

k -

(12-7)

L<%J

kUi = 120 000 *i2 = 120 000

200 t

jfc13 = 0

120 000 kN/m

120 000

300 t

360 000 kN/m

Fig. E12.1

-1 0 3 - 1.52? -2 -2 5-25

(a)

600

210" 966 2124

'û ) f "14.5' • Û>2 = 31.1 rad/s 46.1

12.2 Détermination des modes vibratoires

Une fois les fréquences déterminées par l’Eq. (12.6), les équations du mouvement (12.4) s’écrivent encore : Ë 00*, = 0

(12-8)

y//AŸ/,

œ

n2m

(12-9)

= — 240 000

----->v3

y//Æ

1- B -1 0

Ë(n) = k *32

(a)

0‘ -2 5

avec

240 000 kN/m 400 t

=120 000 kN/m

J 0**.

*22 = 36 0 0 00

z*2

(o 2m

’© i2" (o22 =

EXEMPLE E l 2.1 Considérons la structure de la Fig. E l 2.1 (voir égale­ ment l’exemple E9.3). La matrice de rigidité de cette structure peut être déterminée en appliquant un déplacement unité successivement à chaque

Z Z Z Z Z Z Z 3 ..... +

-1 3 -2

Les solutions en sont B t = 0.351 ;B 2 = 1.61 ;B 3 = 3.54. On en déduit les carrés des fréquences et le vecteur des fréquences :

Un système stable conduit à des matrices de masse et de rigidité symétriques définies positives, et dans ce cas les racines de l’équation aux fréquences seront réelles et positives.

v3* 1

1 -1 0

Les fréquences de la structure sont donc données par l’équation du troisième degré suivante, ofbtenue en annulant le déterminant de la matrice : B 3 - 5.5B 2 + 7.5B - 2 = 0

co2

v2 = 1

k = 120 000 kN/m

avec

û>i

Vl = 1

0' 0 1.5 0 0 2.0

d’où

Cette équation est appelée Yéquation aux fréquences du système. En déve­ loppant ce déterminant on obtient une équation polynomiale de degré N en ( o r ) pour un système à N degrés de liberté. Les N solutions (coj2, co22, co32 . . . , cüyy2) sont les carrés des fréquences des N modes de vibration possibles. Le mode correspondant à la fréquence la plus basse est appelé le premier mode, le second mode correspond à la fréquence suivante, etc. En mettant ces fré­ quences sous forme matricielle on forme le vecteur des fréquences co :

O) =

"1.0 0 0

W///a (b)

Etude des vibrations : (a) définition de la structure ; (à) coefficients d'in­ fluence de rigidité.

La matrice correspond à la fréquence con et est donc différente pour chaque mode. L’Eq. (12.8) est identiquement satisfaite puisque les fréquences ont été calculées à partir de cette condition ; Yamplitude des vibrations est donc indéterminée. Cependant la forme générale associée à une fréquence /, appelée le mode /, peut être obtenue en résolvant le système, les déplacements étant pris comme inconnues.

Pour cela, supposons que le premier élément du vecteur déplacement ait une amplitude unité :

ralement la plus grande). Le vecteur résultant est appelé le même mode vibratoire ^ n, soit

"1’

[ tu l ü 2n

^2 n

=

^3 n

4>n =

(12-10)

^3 n

‘ 1‘

■ * i._ 02» 03n

^2» 03n -f y

-P nh-

.L .

Jn)

00

*'21 *31

(n)

^222 *32

00

*1300 _00 ^23 *33

e lN

001 “ 1 “

*2 N

00

^2 n

*3 N 00 e NN

"NI («)

^3 n

1 if

(») ^12

'O' ’6 — 0

[ês? ë & J L v I

roLo.

_o_

( 12-1 la)

D’où Èoi(B) +

% 00(n% n

= 0

‘0 n 021 031 4>n] — 041

( 12- 11)

où l’on a utilisé le partitionnement en correspondance avec les amplitudes inconnues. L’expression précédente peut s’écrire

[en i f f i r i i

V».

où vkn est la composante de référence. Chacun des N modes vibratoires peut être déterminé de la même manière ; soit O la matrice carrée de dimension N représentant les N modes vibratoires

Sous forme développée l’Eq. (12.8) devient 00

(12-15)

0*n

( 12- 12)

012 022 032 042

-0JV1 0N2

01N 02 N 03W 04JV

‘ ' *

(12-16)

0JVN-

La détermination des fréquences et modes vibratoires d’une structure se réduit donc au problème du calcul des valeurs et vecteurs propres d’une matrice. Les fréquences propres de vibration du système sont les racines carrées des valeurs propres, et les modes vibratoires correspondent aux vecteurs propres. Le Chapitre 14 considérera brièvement la réduction de l’équation du mouvement en vibrations libres à la forme d’un problème d’éléments propres standard.

et eu (n) + É

jo^

o.

= 0

(12-13)

EXEMPLE El 2.2 En considérant les deuxième et troisième lignes de la matrice obtenue à l’exemple précédent (E l2.1), nous obtenons

L’Eq. (12.12) peut être résolue simultane'ment pour obtenir les amplitudes de déplacement : = -(Ë o o (n)r , Ëo1
[_03J

(12-14)

Par contre l’Eq. (12.13) est surabondante : cela correspond au fait que l’Eq. (12.8) est identiquement satisfaite. Le fait que le vecteur déplacement obtenu à partir de l’Eq. (12.14) doive satisfaire à l’équation surabondante (12.13) procure un moyen de vérifier la précision de la solution trouvée. Notons qu’il n ’est pas toujours souhaitable de prendre le premier élément du vecteur dépla­ cement égal à l’unité. La précision numérique sera meilleure si on fait corres­ pondre le déplacement unité à la composante qui a la plus grande amplitude de déplacement ; on peut de toute manière toujours intervertir les lignes et les colonnes de la matrice Les amplitudes de déplacement obtenues pour le vecteur v0M, complétées de la composante d’amplitude unité, constituent le vecteur déplacement associé au même mode de vibration. Ce vecteur est généralement normalisé en divisant toutes les composantes par une composante de référence (géné-

L

-2

~2

5 -

T T _11

2 B n]

[

Oj

Les modes vibratoires peuvent être déterminés par utilisation des valeurs de B n calculées précédemment. En inversant et en multipliant on obtient les trois modes du système : Mode 1 :

Mode 2 : B2 = 1.61 ■^oo

_ [0.585 L -2

-2 1 1.780J

g ( 2 ) ______ 1 _ [1.780 00 2.959 L 2

2 ] 0.585J

U 22I = _ _ J _ r 1.7801 = _ ro .ô o n L032J 2.959 |_2.000j [_0.676J

élastiques d’une structure par sa matrice de souplesse. L’Eq. (12.4) peut être aisément formulée dans sa forme de souplesse en multipliant par (l/a>2)f , où la matrice de souplesse ï est l’inverse de la matrice de rigidité k. Le résultat s’écrit ^

B 3 = 3.54

E~

- L -2

-2 1

H?(3h-i

- 2.08J r23~\

U 33J

^

1 f —2.08 - 6 h L

2

21 - 2 .31J

1 (~-2 .0 8 1 = r -2 .5 7 1 0.81 L 2.00J 2.47J

l

On a pris pour chacun de ces modes un déplacement unité de la masse. Ces modes sont représentés à la Fig. El 2.2. 1.000

1.000

(12-17)

où I représente une matrice identité d’ordre N. Comme auparavant, cet ensemble d’équations homogènes ne peut admettre une solution non nulle que si le déterminant de la matrice carrée s’annule ; l’équation aux fréquences est dans ce cas

Mode 3 :

f<(3) _ f-2 .3 1

I - fin j * = 0

1.00

Il^ I II®

- fin I

Il

=0

(12-18)

Le calcul des racines de cette équation s’effectue comme pour l’Eq. (12.6) ; de même pour le mode correspondant à chaque fréquence. La seule différence est que les racines de FEq. (12.18) représentent les carrés des inverses des fréquences, et non les carrés des fréquences. Le produit matriciel ïm de l’Eq. (12.18) n ’est en général pas symétrique, bien que les matrices de masse et de souplesse le soient toutes deux. Pour une résolution du problème d’éléments propres par ordinateur, il peut s’avérer souhaitable de conserver la symétrie de la matrice : des techniques permettant d’obtenir une forme symétrique pour l’équation aux valeurs propres des souplesses seront présentées au Chapitre 14.

12.4 Influence des forces axiales

Vibrations libres Les modes et les fréquences de vibration d’une structure soumise à une force axiale constante peuvent être calculés de la même manière que pour un système sans force axiale. Dans ce cas la rigidité géométrique doit être incluse dans les équations du mouvement ; l’Eq. (12.1) prend la forme mv + kv — kGv = mv + £v = 0

(12-19)

et l’équation aux fréquences devient cjj = 14.5 rad/s

Fifl. E12.2

co-, =31. 1

co3 = 46.1

Modes de vibration de la structure en Fig. E l 2.1.

12.3 Formulation par les souplesses

L’optique de l’étude des vibrations que nous venons d’envisager était celle d ’une formulation des équations du mouvement par matrice de rigidité. Dans de nombreux cas il peut s’avérer plus pratique d’exprimer les caractéristiques

\\l - œ2m\\ - 0

(12-20)

Dans le calcul des modes et des fréquences, il n’est nécessaire que de substituer la rigidité combinée k à la rigidité élastique k ; les autres calculs se conforment à la description précédente. Pour toute condition de chargement axial donnée, la matrice de rigidité géométrique (et donc la rigidité combinée) peut être calculée de manière numérique. L’effet d’un système de forces axiales de compression est de réduire la rigidité effective de la structure ; les fréquences de vibration sont donc réduites; de plus,les modes sont généralement modifiés par les charges axiales.

Charge critique Si la fréquence de vibration est nulle, les forces d’inertie de l’Eq. (12.19) s’annulent et les équations d’équilibre deviennent kv - k'Gv = 0

(12-21)

L’existence dans ce cas d’un vecteur non nul pour les déplacements constitue la condition de flambage statique ; autrement dit, une définition possible du flambage est que la fréquence de vibration s’annule. Afin de calculer le chargement critique de flambage de la structure, il sera commode d’exprimer la rigidité géométrique en fonction d’un chargement de référence et d’un facteur XG : kG= AGk G0

(12-22)

où les coefficients de rigidité géométrique sont donnés par k GtI = j*

dx

(1 2 -2 3 )

où N 0(x) est le chargement axial de référence de l’élément. Le chargement de la structure est donc proportionnel au paramètre XG ; son allure reste cependant inchangée. La substitution de l’Eq. (12.22) dans l’Eq. (12.21) mène à l’équation aux valeurs propres [k - AGkG0] î = 0

(12-24)

Une solution non triviale de cet ensemble d ’équations n’existe que sous la condition l|k - AckG0|| = 0 (12-25) qui représente la condition de flambage de la structure. Les racines de cette équation représentent les valeurs du facteur de chargement axial \ G auxquelles le flambage se produira. Les modes de flambage peuvent être calculés exac­ tement comme les modes de vibration. Seuls la première charge critique et le premier mode ont une signification pratique ; le flambage par les modes suivants n ’a généralement que peu de signification, car le système aura déjà flambé à la charge critique la plus basse. Flambage par excitation harmonique Cette idée ne trouve que peu d ’applications dans la pratique, mais on peut tout de même remarquer qu’un ensemble de charges de “flambage” peut apparaître dans une structure excitée harmoniquement, de la même manière qu’un ensemble de fréquences de vibration existe dans une structure chargée axialement. Supposons que la structure soit soumise à une excitation harmo­ nique de fréquence cô ; c’est-à-dire, supposons le vecteur de charges appliquées suivant : p(j) = p0 sin œ t (12-26)

où < jû est la fréquence de la charge appliquée. Les équations de l’équilibre (sans amortissement) deviennent, voir Eq. (10.18) :

mv -f kv - kGv = p0 sin œt

(12-27)

La réponse en régime permanent aura alors lieu à la fréquence de la charge appliquée, y(t) = f sin œt (12-28a) et les accélérations deviennent y(t) = —œ2$ sin œt

(12-286)

L’utilisation des Eqs. (12.28) dans l’Eq. (12.27) donne, après division par sin côt : -c ô 2nrf + k f - M = Po (12-29) Le symbole k sera utilisé pour représenter la rigidité dynamique du système ; k est défini comme

E = k — œ 2m

(12-30a)

En reportant dans l’Eq. (12.29) et en exprimant la rigidité géométrique en fonction du facteur de charge XG on parvient à [E - Ackc0] î = Po

(12-30*)

Si dans cette équation on laisse l’amplitude du vecteur des charges appliquées approcher zéro, on voit par comparaison avec l’Eq. (12.5) qu’une réponse non nulle est toujours possible si le déterminant de la matrice carrée est zéro. Ainsi la condition

l|k - AGkG0|| - 0

(12-31)

définit la condition de flambage pour la structure excitée harmoniquement. Si la charge appliquée s’annule, l’Eq. (12.306) peut s’écrire

[k - œ 2m —‘ AGkG0] f = 0

(12-32)

Il est à présent clair qu’une variété infinie de combinaisons de charges critiques et de fréquences co2 satisferont à cette équation aux valeurs propres. Pour toute charge de “flambage” donnée pour un certain XG, la fréquence de vibration correspondante pourra être déterminée par l’Eq. (12.20). De même pour toute fréquence de vibration donnée co2 , le chargement critique correspondant sera défini par l’Eq. (12.31). On remarquera que, d’après cette définition, une condition de charge axiale nulle provoquera le “flambage” à la fréquence de vibration naturelle au repos.

scalaires qui peuvent être arbitrairement transposés, cette équation peut également s’écrire (
12.5 Propriétés d'orthogonalité Relations fondamentales

Les vecteurs „qui représentent les modes de vibration ont certaines propriétés dites d'orthogonalité, dues au fait que les n sont des vecteurs propres (on peut également les démontrer par application de la loi de Betti). Considérons par exemple deux modes distincts comme ceux de la Fig. 12.1. Pour simplifier, la structure est représentée par un système de masses concentrées (mais la démonstration s’appliquerait aussi bien à un modèle cohérent).

Si les deux fréquences sont supposées différentes, on obtient la première condition d’orthogonalité : = 0

03m / co„

(12-36)

La deuxième condition d’orthogonalité se déduit de la première en multi­ pliant l’Eq. (12.33) à gauche par vmr : O t f . = (on2î mTm\„

Mode “m”

d ’où C k t. = 0 ■

con * wn

(12-37)

Ces deux conditions montrent que les vecteurs représentant les modes vibra­ toires sont orthogonaux “par rapport” à la matrice de rigidité et “par rapport” à la matrice de masse. En général, les conditions d’orthogonalité s’expriment de manière commode avec les vecteurs-modes de vibration normalisés 4>n plutôt qu’avec les vecteurs d’amplitude arbitraire. Ces conditions d’orthogonalité sont évidemment valables lorsque les vecteurs vm et vn sont multipliés par un scalaire non nul : elles peuvent donc aussi s’écrire = 0 ^ mTk0„ = 0

i Fig. 12.1

Modes de vibration et les forces d'inertie qui en découlent.

^/3n

(12-38a)

m ±n

(12-386)

Les conditions d’orthogonalité ne s'appliquent pas à deux modes ayant même fréquence propre.

Les équations du mouvement d’un système en vibrations libres, Eq. (12.4) peuvent s’écrire k*, = œn2m \

m # n

(12-33)

où le second membre représente le vecteur des forces d’inertie - f7 et le premier membre représente les forces élastiques de rappel fs . On peut consi­ dérer que dans la vibration libre interviennent des déplacements dus à des forces d’inertie que l’on considère comme des forces appliquées, comme l’illustre la Fig. 12.1. Ainsi les deux modes représentés sur la figure représententils les déformees correspondant à deux systèmes différents de forces appli­ quées. La loi de Betti peut donc être appliquée comme suit :

- fi.rt. - -f 'tmTf m En utilisant l’expression des forces d’inertie, Eq. (12.33), on obtient : Û>»2V™ *» =
Autres relations Une famille complète de relations d’orthogonalité peut se déduire de l’Eq. (12.33) par multiplications successives. Pour obtenir des résultats faisant Intervenir les vecteurs représentant les modes, il est commode de diviser les diUX membres de l’Eq. (12.33) par une amplitude de référence, ce qui donne l'expression équivalente (12-39)

En prémultipliant par

on obtient 0n,Tkm -1 k^„ = œn2(f>mTkn

d’où, par l’Eq. (12.38Z>) : = 0

La prémultiplication de l’Eq. (12.39) p ar^ mr km_1 km -1 mène à ^«.^km- ‘km - 1k^„ = (on2mTk m ~ 1kn

(12-40)

On peut le faire en calculant le facteur scalaire

d’où, en utilisant l’Eq. (12.40) : ^ mTk m " 1km “ 1k 0 JI = 0

V “ V = fàn

(12-41)

En procédant de la même manière, on peut obtenir un nombre quelconque de relations d’orthogonalité du même type. On peut obtenir la première relation d’une seconde série en prémultipliant l’Eq. ( 12.39) par (l/con2) (f>mTm î , ce qui donne

(12-46)

où v„ représente une amplitude modale arbitraire, et en calculant les modes normalisés comme suit : 0» = ? A ~ 1/2

(12-47)

Il est facile de vérifier ce résultat par simple substitution. Une conséquence de ce type de normalisation, avec les relations d’ortho­ gonalité modale relatives à la matrice de masse, Eq. (12.38a), est que

— i 4>mTm4>n '= (j>mTmîm„ (0n d’où, en utilisant l’Eq. (12.38a),

= I

^ mTm în î^ = 0 La prémultiplication de l’Eq. ( 12.39) par ( 1/co2)

(12-42) r nifmf donne alors

— <£mrmîm
(12-43)

(o; On peut ici aussi continuer la série indeTiniment. Les deux familles complètes de relations d’orthogonalité (y compris les deux relations de base), peuvent s’exprimer de manière concise comme 0 mr m [m -1k]Vi, = 0

- o o < b < co

(12-44)

(12-48)

ou est l’ensemble complet des N modes normalisés et I est une matrice identité N x N . Les modes normalisés de cette manière sont dits orthonormaux par rapport à la matrice de masse. Bien que l’utilisation des modes ortho­ normaux soit commode pour l’écriture des programmes d’ordinateur d’analyse dynamique des structures, elle n’a pas de mérite particulier lorsque les calculs doivent être effectués à la main. Pour cette raison nous n ’utiliserons dans les exemples qui suivent aucun mode particulier de normalisation. EXEMPLE E l2.3 Considérons les modes calculés à l’exemple E l2.2. Les facteurs de normalisation obtenus par application de l’Eq. (12.46) sont donnés dans le cas de ces masses concentrées par

Les relations (12.38a) et (12.386) sont données par les exposants b = 0 et 6 = 4-1 dans l’Eq. (12.44).

fàn =

4>i,2m.i

Les valeurs sont

Normalisation Nous avons vu plus haut que les amplitudes des modes de vibration obtenus par la résolution du problème aux valeurs propres étaient arbitraires ; toute amplitude satisfera à l’équation aux fréquences (12.4), et seules les allures obtenues seront définies de manière unique. Dans le procédé décrit ci-dessus, l’amplitude d’un degré de liberté (le premier) a été posée égale à l’unité, et les autres déplacements ont été déterminés relativement à cette valeur de référence. On appelle cela normalisation des modes par rapport à la coordonnée de référence choisie. D’autres modes de normalisation sont également possibles ; par exemple, dans de nombreux programmes d’ordinateur les modes sont normalisés par rapport à la valeur maximum du déplacement dans chaque mode plutôt que par rapport à une coordonnée particulière. La valeur maximale dans chaque vecteur est donc l’unité, ce qui donne des grandeurs faciles à manipuler par la suite. Le mode de normalisation le plus souvent utilisé dans les programmes de calcul des vibrations des structures consiste à ajuster chaque amplitude à l’amplitude , qui satisfait à la condition $ nTm $ n = 1

(12-45)

Û i = 360.2

*= 491.0

iQj = 4600

En divisant les modes par la racine carrée de ces facteurs on obtient la matrice des modes orthonormalisés =

0.0527 0.0339 ' 0.0158

0.0451 0.0272 0.0299

0.0147 0.0378 0.0363

Enfin, en effectuant la multiplication de l’Eq. (12.48) on obtient 0 Tm 0 =

“1.000 0.006 0.000

0.006 1.000 - 0.003

0.000 -0 .0 0 3 0.998

La légère différence entre ce résultat et la matrice identité attendue est due à l’erreur d’arrondi dans les calculs des modes et dans la formation du produit (les calculs ont été faits à la règle).

Problèmes

12.1 Considérons le bâtiment à trois étages (dont la masse entière est concentrée dans les planchers rigides) du Prob. 9.3. (à) Par résolution de l’équation caractéristique, calculer les fréquences de vibration sans amortissement de cette structure. (b) Sur la base des fréquences ainsi calculées, calculer les formes des modes de vibration correspondants, et les normaliser pour un dépla­ cement unité au sommet. (c) Vérifier numériquement que les modes calculés satisfont aux condi­ tions d’orthogonalité par rapport à la masse et à la rigidité. 12.2 Reprendre le Prob. 12.1 avec les propriétés de masse et de rigidité données au Prob. 9.4. 12.3 Deux poutres prismatiques identiques sont disposées comme le montre la Fig. P12.1, et portent un appareil de masse 1.5 t. Les valeurs de la rigidité en flexion et de la masse linéique de chacune des poutres sont indiquées sur la figure. En supposant que la masse répartie de chaque poutre est concentrée moitié en son centre et un quart en chaque extrémité, calculer les deux fréquences et les modes correspondants en fonction des coordonnées v x et v2. [Note : la flèche au centre d’une poutre uniforme avec charge au centre est PL3/48ÆY. Utiliser la formu­ lation par souplesses avec l’Eq. (12.18).]

12.6 Une barre rigide est portée par une colonne sans masse, Fig. P12.3. (a) Calculer les matrices de masse et de souplesse de ce système, pour les deux coordonnées indiquées. (b) Calculer les formes et les fréquences des deux modes. Normaliser les modes de manière que la masse généralisée de chaque mode soit unité, c’est-à-dire de manière queM x = M2 = 1.

Barre rigide (m = masse linéique)

IL

Poutre sans masse (raideur en flex io n = El )

12.4 Une dalle rectangulaire rigide est portée par trois colonnes (Fig. P I2.2). (à) Calculer les matrices de masse et de rigidité de ce système en fonction de m, E l et L, en considérant les trois coordonnées de déplacement représentées. (Note : Appliquer un déplacement unité ou une accélération unité pour chaque coordonnée et calculer les forces à l’équilibre.) (b) Calculer les fréquences et les modes de ce système en normalisant les modes de manière que soit v2, soit v3, égale l’unité. 12.5 Reprendre le Prob. 12.4 en utilisant la rotation et la translation (parallèle et perpendiculaire à l’axe de symétrie) du centre de masse comme coor­ données de déplacement.

Fig. P12.3

Etude de la réponse dynamique

13.1

Coordonnées principales (normales)

Dans l’étude des systèmes quelconques à N degrés de liberté qui précède, la déformée à un instant donné était définie par les N composantes du vecteur v. Dans le cas de systèmes linéaires, une représentation beaucoup plus utile est rendue possible par les modes de vibration libre. Ces modes correspondent à N allures de déplacement indépendantes, dont les amplitudes peuvent servir de coordonnées généralisées pour représenter un déplacement quelconque. Les modes de vibration jouent le même rôle que les termes d’un développement en série de Fourier et ils présentent les mêmes avantages : orthogonalité et possibilité d’une représentation satisfaisante des déplacements à l’aide d’une approximation limitée à quelques termes seulement. Prenons le cas de la poutre encastrée de la Fig. 13.1, dont la déformée est définie par la mesure de trois flèches le long de son axe original. On peut représenter sur cette structure un vecteur déplacement v quelconque en

Fig. 13.1 Représentation d'une déformée par une tomme de composantes modales.

superposant les amplitudes convenablement déterminées de trois modes de vibration, comme le montre la figure. Pour chaque composante modale v„, les déplacements sont donnés par le vecteur modal n multiplié par l’amplitude modale Yn : « (13-1) Les déplacements sont la somme des composantes modales :

degrés de liberté. La forme de ces équations est en général fournie par les Eqs.(10.13). Pour un système non amorti ces équations deviennent : mv -f kv = p(f)

En utilisant l’Eq.(13.2) et sa dérivée seconde par rapport au temps, v = 4*Y (les modes sont indépendants du temps), on obtient mOŸ + k
v = 4 ^ 1 + 4 iY 2 + • • • + 4*YN = 2 +.Y, (13-2)

On voit que la matrice de cette équation permet de passer du vecteur Y des coordonnées généralisées au vecteur v des coordonnées géométriques. Les amplitudes modales, ou coordonnées généralisées, sont appelées coordonnées principales (ou normales) de la structure. Comme la matrice modale d’un système à N degrés de liberté est formée de N vecteurs modaux indépendants, elle est régulière et donc inversible. Il est donc toujours possible de résoudre l’Eq.(13.2) pour trouver les amplitudes des coordonnées principales Y associées à un vecteur déplacement quelconque v. En fait les propriétés d’orthogonalité évitent de résoudre le système d’équa­ tions complet pour obtenir Y. Pour calculer une coordonnée principale quelconque Yn> l’Eq. (13.2) peut être multipliée par le produit de la transposée du vecteur modal correspondant par la matrice de masse : ^ nTmv = nTmO>Y

+ 4 / m 4 2Y2 + • ■• + 4 /™ 4 nYn

(13-8)

Si les deux termes du premier membre sont développés en série comme à l’Eq. (13.4), tous les termes sauf le wième s’éliminent grâce aux propriétés d’orthogonalité des modes. Il en résulte que 4/m4«Ÿ« + 4/W nY„ = 4 / m On définit alors de nouvelles variables :

(13-9)

Mn = 4nTm4n

(13-10a)

Kn = 4 / U n

(13-106)

Pn(t) = 4 / m

(13-10c)

appelées respectivement coordonnées principales de masse généralisée, de rigidité généralisée et de chargement géne'ralisé pour le même mode. Après substitution dans rEq.(13.9), cette dernière prend la forme

(13-4)

MnYn + KnYn = Pn(t)

Tous les termes de cette somme s’annulent, sauf celui qui correspond et ce en raison de la propriété d’orthogonalité des modes de vibration par rapport à la matrice de masse. En conservant ce terme non nul dans le second membre de l’Eq.(13.3) on obtient 4 /m v = 4/m 4„Y n d’où y = ^ rmY

+ ^ /k O Y = ^ / p ( 0

(13-3)

Si on développe le second membre de cette équation on obtient é /m & Y =

(13-7)

Si l’Eq. (13.7) est multipliée à gauche par la transposée du «ième vecteur modal elle devient

n=l

soit, en notation matricielle, v = OY

(13-6)

<13' 5)

’ 47M n A chaque coordonnée principale il correspond une expression de ce type. On remarquera l’équivalence de ce procédé et de celui utilisé pour le calcul des coefficients d’un développement en série de Fourier : voir par exemple les Eqs. (5.2). 13.2 Equations découplées du mouvement non amorti

Les propriétés d’orthogonalité des coordonnées principales peuvent être utilisées pour simplifier les équations du mouvement ji’un système à plusieurs

(13-11)

qui est l’équation du mouvement d’un système à un degré de liberté corres­ pondant au rtième mode. Si l’Eq. (12.39) kn = cûn2m^n est multipliée à gauche par nT, la rigidité généralisée du même mode est le produit de la masse généralisée par la fréquence de vibration 4«T*4n = C0n24 / m4n OU

Kn = (on2Mn

(13-100

(des lettres majuscules sont utilisées chaque fois qu’interviennent des grandeurs •n coordonnées principales). Le procédé décrit ci-dessus peut être utilisé pour obtenir l’équation du sys­ tème à un degré de liberté correspondant à chaque mode de vibration de la Structure. Ainsi l’emploi des coordonnées principales permet-il de transformer les équations du mouvement, qui constituent un système de N équations diffé­ rentielles simultanées, couplées par les termes non diagonaux des matrices de masse et de rigidité, en un système de N équations indépendantes rapportées aux coordonnées principales. La réponse dynamique peut donc être obtenue

en calculant séparément les réponses de chaque mode, et en les assemblant à FEq. (13.2) pour obtenir la réponse dans les coordonnées initiales. Ce pro­ cédé est appelé méthode de superposition des modes.

termes de cette équation sont connus. Comme on Fa fait remarquer plus haut, il est généralement beaucoup plus commode et plus raisonnable d’un point de vue physique de définir l’amortissement par le facteur d’amortisse­ ment de chaque mode, plutôt que d’essayer d’expliciter les coefficients de la matrice d’amortissement c.

13.3 Equations découplées du mouvement amorti

Conditions pour rorthogonalité de l'amortissement

Formation des équations

Examinons les conditions sous lesquelles la transformation en coordonnées principales permet de découpler les équations du mouvement amorti. Ces équa­ tions (10.13) sont : mv 4- cv + kv = p (0

En utilisant l’expression en coordonnées principales de FEq. (13.2) et ses dérivées par rapport au temps et en multipliant à gauche par la transposée du même vecteur modal nT, on obtient *„TmOŸ + 4>nTc/k«»Y = 4>nTm

(13-12)

On sait que les conditions d’orthogonalité 4>J™4>n = 0 , T , J. n

m / n

permettent d’annuler tous les termes, sauf celui qui correspond au même mode, dans les matrices de masse et de rigidité de FEq.(13.12). On pourra simplifier de la même manière les termes d’amortissement si on suppose qu’une condition d’orthogonalité semblable s’applique à la matrice d’amortissement ; ce qui revient à dire que l’on suppose que 4>mT*4>n = 0 m / n (13-13) Dans ce cas, on peut e'crire l’Eq. (13.12) comme MnŸn + CnŸn + KnY„ = Pn(0

(13-14a)

Ÿn + 2Çnco X + (on2Yn =

(13-141.)

ou encore où

Dans les équations qui précèdent, on a supposé que la transformation en coordonnées principales permettait de découpler les forces d’amortissement de la même manière qu’elle découple les forces d’inertie et de rappel élastique. Les modes du système amorti seront alors les mêmes que les modes du système sans amortissement. Il convient à présent d’étudier les conditions sous les­ quelles ce découplage aura effectivement lieu, c’est-à-dire de déterminer la forme de la matrice d’amortissement à laquelle FEq.(13.13) s’applique. Rayleigh a montré qu’une matrice d’amortissement de la forme c = a0m + atk

(13-16)

où #o et ai sont des coefficients arbitraires, satisfera à la condition d’orthogo­ nalité (13.13). On peut pour le démontrer appliquer l’opération d’orthogonaUté aux deux membres de FEq. (13.16) ; on voit ainsi qu’une matrice d’amor­ tissement proportionnelle aux matrices de masse et/ou de rigidité satisfait bien à la condition d’orthogonalité (13.13) ; la matrice d’amortissement peut également être constituée d’une combinaison de ces matrices [(12.42)]. En général la matrice orthogonale d’amortissement aura la forme suivante : C= m^ [m ^ k ]6= ^cb b

b

( i 3. 17)

OÙ on peut utiliser autant de termes qu’on le désire. L’amortissement de Rayleigh, Eq.( 13.16), est obtenu comme cas particulier de FEq.(13.17). Mais plus on conservé de termes dans une expression comme celle de FEq. (13.17), meilleure sera la maîtrise que l’on aura des facteurs d’amortissement modaux résultant de la matrice d’amortissement; il est pos­ sible, avec une matrice d’amortissement de ce type, de déterminer les coeffi­ cients d’influence d’amortissement nécessaires pour obtenir un système dé­ couplé dont les facteurs d’amortissement sont spécifiés à l’avance pour un certain nombre de modes. Pour le mode n9 l’amortissement généralisé est donné par FEq.( 13.15): Cn = 4>nT^ n = 2(nC0„Mn

Mn = 4>nTmn Kn = 4>/k*n = < M n

Cn = p n{t) = 4>M t)

= 2ÇnmnMn (13‘15)

Les masses, rigidités et chargements généralisés exprimés en coordonnées prin­ cipales sont identiques que le système soit amorti ou non [Eq.(l3.l0)]. L’amor­ tissement généralisé du même mode fourni par FEq. (13.15) a une expression semblable. Le dernier terme de cette équation représente une définition du coefficient d’amortissement correspondant au même mode ; les autres

Mais si c est fourni par l’Eq.(13.17), la contribution du terme b de la série à l’amortissement généralisé est c nb = t / e t # , = abnTm [m -i k']bn (13-18) En prenant l’Eq.( 12.39) k , on obtient :

= con2m
Au moyen d’opérations équivalentes on peut montrer que 4>nTm lm -lkf4>, =
(13-20)

c nb = abcon2bM„

(13-21)

et par conséquent que

Une autre méthode encore permet de calculer la matrice d’amortissement pour un ensemble donné d’amortissements modaux. Le principe du procédé peut s’expliquer en considérant la matrice diagonale complète des coefficients d’amortissement généralisés, obtenue en multipliant la matrice d’amortissement à droite et à gauche par la matrice des modes :

Ainsi, la matrice d’amortissement correspondant à un entier quelconque n est

c, = 2

b

= 2 àba>n2bMn - 2Çn(onM„

(13-22)

= i

(13-23)

b

C = O rcO = 2

0 o

0 0 Ç2C02M2 0 0 Ç3a>3M3

(13-27)

D’OÙ

2 ah<0"2b

« b

L’équation (13.23) permet de calculer les constantes ab qui donnent les facteurs d’amortissement désirés pour un certain nombre de modes. Il faut inclure autant de termes dans la série qu’il y a de facteurs d’amortissement spécifiés : les constantes pourront alors être calculées en résolvant le système d’équations obtenu de la sorte. En principe les valeurs de b peuvent appartenir à l’intervalle ]—°°, + °°[ ; en pratique cependant, il sera préférable de choisir des valeurs aussi proches que possible de zéro. Par exemple, pour calculer les coefficients nécessaires à la spécification de trois facteurs d’amortissement, le système provenant de l’Eq.( 13.22) serait : 1

1 a

©1

Û>1

Zi

a~i

1

1 •x

ia j

-----

0)2

a>2

1

1 -----

•a

CÛ2

flo

(13-24)

La i J

û>3

= c

(13-28)

Etant donné un ensemble de facteurs d’amortissement modaux les coef­ ficients d’amortissement généralisés C peuvent être calculés comme le montre FEq.(13.27) et la matrice c peut ensuite être calculée par l’Eq. (13.28). Mais ce procédé n’est pas d’utilisation très pratique, parce que l’inversion de la matrice <1> est une tâche complexe. Il est plus commode de faire appel aux propriétés d’orthogonalité des modes par rapport à la matrice de masse. La ma­ trice diagonale de masse généralisée du système peut être obtenue en mul­ tipliant à droite et à gauche la matrice de masse par la matrice des modes complète : M = O r mO (13-29)

I = M -1M = [M ^ V J O -

En général, la relation correspondante peut s’écrire sous la forme (13-25)

où Q représente une matrice carrée contenant diverses puissances des fré­ quences modales. L’Eq.( 13.25) peut être résolue pour les constantes a : a - 2Q "1*

[O 7] - 1C H T 1 =

En multipliant à gauche par l’inverse de la matrice de masse généralisée, on obtient

Û>3

i = 7 2Qa

Il est évident sur cette équation que la matrice d’amortissement peut être obte­ nue en pré- et post-multipliant C par l’inverse de la matrice modale ou sa transposée :

(13-26)

et la matrice d’amortissement peut finalement être obtenue à partir de l’Eq. (13.17). On peut remarquer sur l’Eq^O.23) ou (13.24) que lorsque la matrice d’amortissement est proportionnelle à la masse (c = a 0m » donc b == 0)> Ie facteur d’amortissement est inversement proportionnel à la fréquence de vi­ bration : les modes d’ordres élevés seront alors très peu amortis. Par contre si l’amortissement est proportionnel à la rigidité (c = fljk et & = l),le coeffi­ cient d’amortissement est directement proportionnel à la fréquence et les modes les plus élevés seront alors très amortis.

(13-30)

Il en résulte que l’inverse de la matrice modale est «D 1 = M ^ m

(13-31)

La matrice d’amortissement est alors obtenue en reportant l’Eq.( 13.31) dans l’Eq.(13.28) c = [mOM"

1O r m]

(13-32)

Comme cn = 2%nconMn, les éléments de la matrice diagonale obtenue en faisant le produit des trois matrices diagonales centrales de l’expression cidessus sont donnés par

et l’Eq.( 13.32) peut s’écrire sous la forme c =

(13-34)

où J représente la matrice diagonale des éléments Dans la pratique il est plus commode d’utiliser le fait que chaque facteur d’amortissement modal fournit une contribution indépendante à la matrice d’amortissement, à savoir c„ = m0nÇ A r m

(13-35)

La matrice d’amortissement totale peut donc être obtenue comme la somme des contributions modales r

n

n

m

C = n2= l e» = m [_n= 21

(13-36)

En utilisant l’Eq .(13.33) on obtient (13-37) L»*1

n

J

Dans cette équation, la contribution de chaque mode à la matrice d’amortisse­ ment est proportionnelle au facteur d’amortissement modal : tout mode non amorti ne contribuera donc pas à la matrice d’amortissement. Autrement dit, seuls les modes spécifiquement considérés lors de la formation de la matrice d’amortissement seront amortis ; les modes restants ne le seront pas. Il est bon de préciser dans quelles circonstances il peut être désirable d’expli­ citer les éléments d’une matrice d’amortissement, comme on l’a fait aux Eqs. (13.17) ou (13.37). On remarquera que les facteurs d’amortissement modaux constituent le moyen le plus efficace de calculer l’amortissement d’un système lorsqu’on utilise la méthode d’analyse par superposition des modes. C’est pourquoi la matrice d’amortissement sous forme explicite est nécessaire, surtout si la réponse est obtenue par une autre méthode : par exemple par intégration pas à pas pour un système non linéaire. Couplage de l'amortissemen t Dans ce qui précède on a insisté sur le fait que lorsque la matrice d’amortis­ sement d’un système a une forme qui satisfait aux conditions d’orthogonalité des modes, la transformation dans les coordonnées modales non amorties conduit à un système d’équations découplées. Comme la réponse du système peut ensuite être obtenue en superposant les réponses données par les équa­ tions de ces systèmes à un degré de liberté, un tel découplage représente un avantage majeur des coordonnées principales. On a également signalé plus haut que ces coordonnées présentent un autre avantage d’égale importance : l’essen­ tiel de la réponse dynamique correspond souvent aux premiers modes, ce qui signifie que l’on peut souvent obtenir une bonne approximation de la réponse, même avec un nombre très réduit de coordonnées. Si l’essentiel de la réponse dynamique est contenu dans un nombre limité de premiers modes, il est alors avantageux d’effectuer la transformation en

Coordonnées principales, même si la matrice d’amortissement ne satisfait pas conditions d’orthogonalité. Dans ce cas la matrice d’amortissement géné­ ralisé ne sera pas diagonale : les équations modales seront donc couplées par fol forces d’amortissement généralisées. Il en résulte que la réponse devra être Obtenue en intégrant ces équations simultanément au lieu de le faire séparé­ ment. On pourra cependant intégrer pas à pas (Chap. 15) ; le plus adroit est Mns aucun doute d’effectuer l’intégration pour quelques équations couplées en coordonnées principales plutôt que le faire pour le système couplé original. Un autre procédé consiste à résoudre le problème aux valeurs propres complexes (qui apparaît lorsque la matrice d’amortissement a une forme quel­ conque), puis à obtenir un système d’équations découplées par une transfor­ mation en coordonnées modales amorties*. Le calcul des modes amortis nécessite cependant beaucoup plus de calculs que ne le nécessite la recherche des valeurs propres en l’absence d’amortissement : le problème est d’ordre 2N pour un système à N degrés de liberté, parce qu’un cycle de déphasage doit Itre calculé pour chaque mode en plus de l’amplitude relative. Pour cette raison l’utilisation des déformées modales non amorties est généralement plus AUX

efficace.

13.4 Méthode de superposition des modes : récapitulation A la base de cette méthode se trouve la transformation en coordonnées principales qui permet de remplacer un système de N équations couplées par un système de N équations découplées. On peut ainsi calculer la réponse dyna­ mique d’un système linéaire quelconque dont les déplacements sont exprimés par N coordonnées discrètes et dont l’amortissement est accessible sous la forme de facteurs d’amortissement modaux. Le procédé peut être décomposé comme suit : P R E M IE R E E TA PE : E Q U A T IO N S DU M O U V E M E N T

Pour la classe de

systèmes considérée les équations du mouvement s’écrivent, voir Eqs.( 10.13) :

mv + cv 4- kv = p(f) DEU X IEM E E TA PE : D E T E R M IN A T IO N DES F R E Q U E N C E S ET MODES P R O P R E S Pour des vibrations libres non amorties, l’équation matricielle

d-dessus se réduit au problème de valeurs propres de l’Eq.(12.4) :

[k — co2m]v = 0 On peut ainsi déterminer la matrice modale O et le vecteur des fréquences cir­ culaires t0.

* Cf. la me'thode décrite au chapitre 9 de l’ouvrage de W.C. Hurty & M.F. Rublmtein, Dynamics o f Structures, Prentice Hall, 1964.

Chaque vecteur modal étant utilisé successivement, on calcule la masse et le chargement généralisés relatifs à chaque mode, Eqs. (13.10) :

TR O IS IE M E E TA P E : MASSE E T C H A R G E M E N T G E N E R A L IS E S

Mn =

P„(t) = 0„rp(O

SEPTIEME ETAPE : REPONSE EN COORDONNEES GEOMETRIQUES Une fois la réponse Yn(t) de chaque mode déterminée à partir des Eqs. (13.39) •t/o u (13.40),les déplacements exprimés à l’aide des coordonnées géométriques peuvent être obtenus par la transformation en coordonnées principales, Eq. , (13.2) :

v(0 = OY (0 Q U A T R IE M E

E TA PE

: E Q U A T IO N S D E C O U P L E E S DU M O UV EM ENT

L’équation du mouvement de chaque mode peut alors s’écrire de la manière suivante, en combinant la masse et le chargement généralisés du mode avec la fréquence angulaire propre (ou modale) con et la valeur donnée du facteur d’amortissement modal Eq.(13.l4b) :

L’Eq .(13.2) peut s’écrire sous forme développée

V(0 = ^ 1^1(0 + $ 2^2(0 + 0 3 ^ (0 + *** ce qui représente simplement la superposition des contributions de chaque

mode, d’où le nom de la méthode. On remarquera que dans la plupart des cas Y. + 2{ncottŸ„ +'
(13-38)

CIN QU IE M E E TA P E : R E P O N S E M O D A L E AU C H A R G E M E N T IMPOSE

L’étape précédente conduit à un système de N équations de mouvement indé­ pendantes, correspondant chacune à un mode de vibration. Ces équations représentent autant de systèmes à un degré de liberté et se résolvent par toute méthode convenant au type de chargement. L’expression générale de la ré­ ponse est donnée pour chaque mode par l’intégrale de Duhamel, Eq.(7.14) : Yn(t) = — —

f Pn(r)eT("eo"(,~t) sin eoDn(t - r) dx

M n(DDn

(13-39)

Jo

SIXIEME E T A P E : V IB R A T IO N S M O D A L ES L IB R E S L’intégrale de Duhamel, Eq.(7.14) est applicable à un système qui est au repos à l’origine des temps ( t = 0). Si les vitesses et déplacements initiaux ne sont pas nuls, une réponse en vibrations libres doit être ajoutée pour chaque mode à l’expression donnée par l’intégrale de Duhamel. L’expression la plus géné­ rale de la réponse en vibrations libres amorties est donnée pour chaque mode par l’Eq.(3.26):

y„(f) =

[*P L

+ <°Dn

sin ctW + Y„(0) cos m ^ t] J

(13-40)

5^(0) et 1^,(0) représentent les déplacements et les vitesses initiaux pour chaque mode. Ils peuvent être obtenus pour chaque mode de la manière suivante, à partir des déplacements initiaux imposés v(0) et des vitesses ini­ tiales v(0) exprimés dans les coordonnées géométriques de départ, Eq.(13.5) : r jm -

(13-41) Mn

les contributions des différents modes sont plus importantes pour les fré­

quences basses, et tendent à décroître pour les fréquences plus hautes. Il en résulte qu’il n’est généralement pas nécessaire d’inclure tous les modes de vibration à fréquence élevée dans la superposition, Eq.(13.2) : la série peut être tronquée lorsque la réponse a été obtenue avec un degré de précision suffisant. On doit se rappeler que l’idéalisation mathématique d’un système complexe conduit à des résultats relativement peu précis pour les modes à fréquence élevée : voilà une autre raison pour limiter le nombre de modes à considérer dans un calcul de réponse dynamique. HUITIEME ETAPE : DETERMINATION DES FORCES ELASTIQUES LORS DE LA REPONSE La variation dans le temps des déplacements de la

structure peut être considérée comme la mesure fondamentale de sa réponse à un chargement dynamique. En général on peut calculer directement les autres éléments de la réponse, tels que les contraintes ou les forces produites dans certaines parties de la structure, à partir des déplacements. Par exemple, les forces élastiques f$ qui résistent à la déformation de la structure sont données directement par l’Eq.( 10.6) : fs(0 = kv(0 = k
(13-43)

Une autre expression des forces élastiques peut être utile dans le cas où les fréquences et les modes du système ont été calculés à partir de l’équation aux valeurs propres exprimée sur la base des souplesses, Eq.(12.17). En développant l’Eq.( 13.43) pour les contributions modales, on obtient : fs(f) = k 2Y2(t) + k < t>M ) + ■■■ Si on y introduit FEq.( 12.39), on obtient

f5(/) = co^m0 1 ^ ( 0 + œ22m4>2Y2(t) + œ32m<£3Y3(0 + ••• soit sous forme matricielle :

fs(0 = m é[œ n2Yn(t)]

(13-44)

où con2 Yn(t) représente un vecteur dont les amplitudes modales ont été cha­ cune multipliée par le carré de la fréquence modale correspondante.

Dans l’Eq .(13.44) la force élastique associée à chaque composante modale a été remplacée par une expression modale équivalente de force d’inertie. L’équi­ valence de ces expressions a été montrée à partir des équations des oscillations libres, Eq. (13.29) ; on doit cependant remarquer qu’elle est valable dans tous les cas, même dans celui d’une analyse statique. Comme chaque contribution modale est multipliée par le carré de la fré­ quence circulaire dans l’Eq.( 13.44), il est évident que les modes d’ordre élevé ont une plus grande importance pour définir les forces que pour calculer les déplacements. En conséquence, il faudra utiliser plus de modes pour définir les forces que pour définir les déplacements avec une même précision.

A partir de la matrice de masse et de la matrice modale données précé­ demment on obtient la matrice de masse généralisée M = 200

(on remarquera que ces valeurs sont les mêmes que les facteurs de norma­ lisation calculés à l’Exemple El 2.3). Si on multiplie les inverses de ces valeurs par la transposée de la matrice modale, puis par la matrice de masse, on obtient

EXEMPLE E l3.1 Illustrons le procédé de superposition modale avec la structure à 3 étages de l’Exemple E12.1 (Fig. E l2.1). Les caractéristiques physiques statiques et vibratoires de la structure considérée sont '1.0 0 0

1 -1

-1 3

0

1 K)

1.5 0 0 2.0

r

k = 120 000

(O =

O =

1.000 - 0.601 -0.676

0' - 2 kN/m 5

y(t = 0) =

0.333 -0.550 0.214

Y(7 = 0) = M 'O ^ m

'0.5' 0.4 = 0.3

0.592" -0.108 cm 0.019

Les dérivées des coordonnées modales par rapport au temps sont obte­ nues en multipliant cette matrice par la matrice des vitesses initiales : 'o" Ÿ(* = 0) = M - , O rm 9 = 0 v

1.000 -2.57 2.47

On calcule d’abord les vibrations libres qui résulteraient des conditions initiales arbitraires suivantes, en supposant que la structure n’a pas d’amortissement : 0.5 0.4 cm 0.3

0.536 -0.366 -0.167

Les amplitudes des coordonnées modales initiales sont données par le produit de cette matrice par la matrice des déplacements initiaux :

t

"14.5' 31.1 rad/s 46.1

1.000 0.644 0.300

0.555 0.407 0.043

1 O

o

m = 200

1.801 0 0 0 >2.455 0 0 0 23.10

ro v(f = 0) =

9 cm/s 0

Les amplitudes modales associées avec les déplacements initiaux sont données par des équations du type (13.5). Si on écrit le système complet sous forme matricielle on obtient : Y(t = 0) = M -1O rmv(/ = 0) [qui pourrait aussi être déduit par combinaison des Eqs. (13.31 ) et (13.2)].

4.83' -3 .3 0 -1 .5 0

La réponse en vibrations libres de chaque coordonnée modale en l’ab­ sence d’amortissement est de la forme suivante : Yn(t) =

sin cont + Yn(t = 0) cos cont 0>n

En utilisant les conditions initiales sur les coordonnées modales, calculées ci-dessus, et les fréquences modales, on obtient alors : ~Yd» r2(0 n (o

=

0.332 sin a),f —0.106 sin (o2t —0.033 sin (o3t

+

0.592 cos (o^ —0.108 cos a>2t 0.019 cos œ3t

Une fois ces résultats connus, le mouvement de chaque étage en vibra­ tion libre peut être déterminé à partir de la relation de superposition v(f) =4>Y(t). Il est évident que le mouvement de chaque étage comprend des contributions de chacune des fréquences naturelles de la structure.

EXEMPLE E l3.2 Calculons la réponse de la structure précédente à une impulsion sinusoïdale simple créée par une explosion. Le chargement peut être exprimé sous la forme suivante : 11 = 0.02 s '1' > i(0 ' 7r où tt Pl(t) = 2 (2 500 kN) cos - t <*<*1 h 2 2 2 .Ps( 0 . Pour ce chargement de faible durée, on peut supposer que la réponse de chaque mode est une vibration libre dont l’amplitude est définie par l’impulsion sinusoïdale représentée à la Fig. 6.6. Au début de la réponse on peut négliger l’amortissement, et la réponse modale peut être expri­ mée par l’expression suivante : Yn(t) = Dn ÿ sin œnt Kn

(1.715)sin 14.5f 'ï i( 0 " = (-0 .3 1 9 ) sin 31.lr cm ^ (0 (0.012) sin 46.lr ^3(0

V2(0 = 2 4 > 2 n W ) = (1.105 cm) sin \4.St + (0.1925 cm) sin 31.11 —(0.0325 cm) sin 46.11

fsliO = 2 m2«n2 Y„(t)<{>2n = (695 kN) (sin 14.5r) + (560 kN) (sin 31.lr)

En utilisant les valeurs résumées à l’exemple E l3.1 on obtient

Pi Pi _Pi_

=

75 800" 474000 kN/m 9 820 000_

'7 220“ "2 500* = -3 885 kN 5 000 _2 000 5 000_

- (205 kN) (sin 46.U)

Une comparaison des Eqs.(/) et (g), montre bien que la contribution des modes d’ordre supérieur est plus importante pour les forces que pour les déplacements. (c) EXEMPLE E l3.3 Pour la structure de l’exemple E l2.1 on peut définir explicitement une matrice d’amortissement de manière que les facteurs d’amortissement du 1er et du 3ème mode soient égaux à 5 % de l’amor­ tissement critique. En supposant un amortissement de Rayleigh c = a0m + Æjk, Eq. (13.16),on peut calculer les facteurs de proportionnalité a0 et ai à partir d’une relation de la forme générale (13.24) en utilisant les données de l’exemple E 13.1 :

"0.046" «r = 002 a>2 = 0.099 2n _(03 0.147

h_ Ta

R i i - r°-o5i = i W " L oo5J 5'

Les facteurs modaux d’amplification dynamique sont pour ce cas de charge (Fig. 6.6) donnés par '0.18' ~d ; d 2 = 0.39 0.57 d3

(d)

(b)

h TL Il T2

( /)

Quant aux forces élastiques produites dans la structure par le charge­ ment en question, elles sont données par l’Eq. (13.39) ; pour ce sys­ tème à masses concentrées elles peuvent être calculées pour le deuxième étage comme suit :

2 500 kN

' 1.80 (14.5)2' X ' k 2 = 200 2.455 (31.1)2 23.10 (46.1)2 k3

(e)

On remarquera que le mouvement du dernier étage est tout simple­ ment la somme des contributions modales de l’Eq.(e) car chaque mode a une amplitude unité au sommet de la structure. Cependant, pour le second étage par exemple, il faut considérer le déplacement modal relatif ; l’expression de superposition des modes devient donc

(«)

OU

Kn = Mnœn

En reportant les Eqs. (b) à (d) dans l’Eq. (a) on obtient

1 14.5

14.5

1 46.1 46.1

d’où (d)

M

n - 10

n

|_ a j

L000l65J

Kl

Donc c = 1.10m + 0.00165 k, ou, si l’on remplace m et k par leurs valeurs respectives données à l’exemple E l3.1 : ' c=

418 - 198 0

-1 9 8 924 - 396

01 —396 kN. s/m 1430

Calculons le facteur d’amortissement que cette matrice va donner pour le deuxième mode. En considérant la deuxième équation de l’ex­ pression matricielle (13.24) où a_t = 0, on obtient :

iljn

-

3U][«:]

En utilisant ensuite les valeurs de a0 et a{ trouvées précédemment, on obtient

(a) Trouver une expression du mouvement en régime permanent de la masse 1, en supposant que la structure n’est pas amortie. (b) Calculer les déplacements de toutes les masses à l’instant de la réponse maximale et tracer la déformée à cet instant. 13.3 Reprendre la partie (a) du Prob. 13.2, en supposant que la structure a un amortissement de 10 % de l’amortissement critique pour chacun des modes. 13.4 Les caractéristiques de masse et de rigidité d’un bâtiment de trois étages, ainsi que ses modes et fréquences de vibration sans amortissement, sont représentés en Fig. P13.2. La structure est mise en vibrations libres en déplaçant les planchers comme suit : vx = 0.75 cm, v 2 = - 2 cm et v 3 = 0.75 cm, puis en les libérant soudainement à l’instant t = 0. Déterminer la déformée à l’instant t = 2n/coi : (a) En ne supposant aucun amortissement (b) En supposant £ = 10 % pour chaque mode. m l = 400 t

v

= 0.0433 = 4.33%

m2 = 400 t

Ainsi, bien que seuls le premier et le troisième amortissements modaux aient été spécifiés, on trouve pour le facteur d’amortissement du deuxième mode une valeur raisonnable.

v3

m 3 = 400 t

k x = 120 000 kN/m

k2 = 240 000 kN/m

A:3 =480 000 kN/m

Problèmes

13.1 Une poutre en console portant trois masses concentrées égales est repré­ sentée en Fig. P13.1 ; on a également indiqué ses modes non amortis et ses fréquences de vibration œ. Trouver une expression de la réponse

=

1.000

1.000

1.00

0.548 0.198

-1.522 -0.872

-6.26 12.10

11.62 w = { 27.5 145.9

rad/s Fig. P13.2

p2(t) * 40 kN (échelon)

13.5 Le bâtiment du Prob. 13.4 est soumis à un chargement harmonique m

Vm

Il L . 1 "i v l 0.054 0.406 0.913

2L

0.283 0.870 -0.402

’ l' 0.957 -0.281 0.068

21

1

Fig. P13.1

dynamique de la masse 3 après qu’une charge en échelon de 40 kN ait été appliquée à la masse 2 ; on tient compte des trois modes et on néglige l’amortissement. Tracer l’histoire de la réponse (t) pendant l’intervalle 0 < t < T 1. 13.2 On considère à présent la poutre du Prob. 13.1, mais la charge est cette fois permanente et harmonique, appliquée à la masse 2 : p 2(t) = 15 sin côrkN, où 03 = 3/4 col .

appliqué à l’etage supérieur : p t (t) = 25 sin côt kN, où 03 = 1.1 . Cal­ culer l’amplitude en régime permanent du mouvement au niveau des trois planchers, et le déphasage B entre le vecteur des charges appliquées et le vecteur des déplacements de chaque étage. 13.6 En supposant pour le bâtiment du Prob. 13.4(fl) un amortissement de Rayleigh, déterminer une matrice d’amortissement qui donnera des facteurs d’amortissement de 5 et de 15 % pour le premier et le troisième modes. Quel facteur d’amortissement cette matrice donnera-t-elle pour le second mode ? 13.7 Reprendre le Prob. 13.6, en obtenant la matrice d’amortissement au moyen de l’Eq.(13.37).

Pratique du calcul des vibrations

14.1 Remarques préliminaires

Comme nous l’avons vu à propos de la méthode de superposition des modes, on peut déterminer la réponse dynamique d’une structure linéaire si ses modes et ses fréquences propres sont connus. Nous savons également que dans la plu­ part des cas un nombre relativement limité de modes permet d’obtenir une précision satisfaisante. On doit en particulier se rappeler que les caractéristiques physiques de la structure et les conditions de chargement ne sont en général connues que de manière approchée : c’est pourquoi l’idéalisation et la méthode de résolution utilisées doivent posséder des ordres d’approximation compa­ rables. Il reste cependant que les problèmes de dynamique des structures ren­ contrés dans la pratique vont de modèles mathématiques extrêmement simpli­ fiés avec seulement quelques degrés de liberté (et pour lesquels seuls un mode ou deux sont nécessaires pour obtenir une réponse dynamique approchée), à des modèles très élaborés par éléments finis avec des centaines -voire des milliers— de degrés de liberté, pour lesquels un minimum de 50 à 60 modes contribuent à la réponse de manière sensible. Pour pouvoir répondre efficace­ ment à une telle diversité de problèmes, il faut bien sûr disposer d’un certain choix de procédés d’analyse. Ce chapitre décrit quelques-unes des idées et des méthodes qui ont fait leurs preuves à ce jour. Nous présenterons d’abord deux méthodes simples, la méthode de Stodola et la méthode de Holzér, que l’on peut utiliser avec une calculatrice de bureau dans le cas de systèmes simples ayant au plus une douzaine de degrés de liberté environ. [La résolution de l’équation caractéristique (12.6) est très inefficace pour les systèmes ayant plus de deux ou trois degrés de liberté et ne sert donc guère dans la pratique.] Ces deux méthodes reposent sur un calcul itératif qui permet d’améliorer peu à peu la solution, mais elles sont fondamentalement différentes. La méthode de Stodola consiste à faire une hypothèse initiale sur l’allure du mode ; cette hypothèse est ensuite améliorée par itérations successives jusqu’à ce qu’une approximation satisfaisante du mode soit obtenue : la fréquence de vibration correspondante est alors déterminée à l’aide de l’équation du mouvement. Dans la méthode de Holzer, c’est sur la fréquence

de vibration que l’hypothèse est faite ; on l’ajuste de manière itérative jusqu’à satisfaction des conditions aux limites ; la forme du mode se trouve déterminée lors du processus de satisfaction de ces conditions aux limites. La deuxième partie du chapitre concerne l’étude des systèmes complexes nécessitant l’utilisation de l’ordinateur. En principe, les deux méthodes manuelles dont il vient d’être question pourraient être programmées et utilisées pour l’étude des vibrations de grands systèmes ; il est néanmoins préférable d’examiner le problème de plus près avant de fixer le choix d’un algorithme destiné à un programme de grande capacité. Certains facteurs importants dans l’étude des vibrations des systèmes complexes sont envisagés dans ce chapitre, qui n’entre cependant pas dans les détails de la programmation. L’une des principales idées que nous considérerons sera la réduction du nombre des degrés de liberté dynamiques : cette réduction peut s’avérer décisive dans l’étude des systèmes complexes. Quelques notions fondamentales d’itération matricielle nous permettront ensuite de généraliser la méthode de Stodola. Puis on trouvera un bref tour d’horizon du problème de l’obtention de la matrice dynamique sous une forme symétrique, permettant le calcul des vibrations à l’aide de programmes d’éléments propres standard. On traitera enfin briè­ vement d’une classe particulière de problèmes de vibrations, celle des struc­ tures sans appuis ou partiellement appuyées : ces structures nécessitent une modification des méthodes standard.

thèse initiale. Si on introduit ce vecteur dans le second membre de l’Eq. (14.3), une nouvelle déformée sera obtenue en multipliant à gauche par D : - 1 V ” - Dvx<°>

En général la nouvelle déformée différera de l’hypothèse initiale, sauf s’il s’agit du mode vrai ; on lui attribue l’indice supérieur (1). En pratique l’Eq. (14.4) ne pourra pas être écrite directement caria fréquence de vibration n’est pas connue. Le produit matriciel de D par la déformée v / 0* sera désigné par y(l) V 1» = Dy/*»

L Tl«> . f j W

—, 1 = foi?

ou

(14-1)

et)

Le produit matriciel fm caractérise les propriétés dynamiques de la structure. On l’appelle matrice dynamique et on le note D : D = fm

(14-2)

—, * = m

(14-3)

CÛ

Cette dernière équation ne sera satisfaite que par les vecteurs qui repré­ sentent un mode de vibration vrai ; il en existe N et le but de la méthode de Stodola est de tous les déterminer, ou d’en déterminer un certain nombre. On commence par se donner un vecteur initial v^0*, qui doit représenter au mieux le premier mode ; son amplitude est arbitraire. L’indice inférieur 1 caractérise le premier mode. L’indice supérieur(0)indique qu’il s’agit de l’hypo­

(14-6)

Si on suppose que l’amplitude calculée est égale à l’amplitude initiale, une équation équivalente à l’Eq. (14.6) permet de calculer la fréquence. Consi­ dérons la coordonnée de déplacement d’un point arbitraire k ; on a h i W = —2 vklw or

La meilleure méthode de calcul dynamique à la main est sans doute celle de Stodola, que nous présentons ici sous forme matricielle. La méthode est fondée sur l’Eq. (12.17), que l’on peut écrire

(14-5)

f j (1) est proportionnel à la déformée calculée, l/w 12 étant le facteur de proportionnalité inconnu. Si on compare les Eqs. (14.4) et (14.5) :

14.2 Méthode de Stodola Détermination du mode fondamental

(14-4)

<

=

(14-7) (14-8)

Si la déformée supposée était un mode vrai, la même fréquence serait obtenue en calculant le rapport de l’Eq. (14.8) pour n’importe quelle coordon­ née de la structure. En règle générale la déformée v^1* différera de v ^ , et un résultat différent sera obtenu pour chacune des coordonnées. La vraie fréquence du premier mode sera alors située entre les valeurs maximum et minimum obtenues à partir de l’Eq. (14.8) :

(H t7«to !) <

W


a4-9)

Il résulte de cette propriété qu’une meilleure approximation de la fréquence sera obtenue par tout procédé utilisant des valeurs moyennes. L’un des meil­ leurs de ces procédés consiste à utiliser la répartition massique comme facteur de pondération. Si on multiplie à gauche les 2 membres de l’Eq. (14.7) par (vi ^ ) ^ m et Que l’on calcule coj2, on obtient ainsi

. 2 . W 1w 0,11 * s . M V v T

» -

/1\

(14- 10)

Cette équation représente la meilleure approximation possible de la fréquence à l’aide d’une seule itération effectuée à partir d’une hypothèse initiale quelconque sur le mode v / ° \ [L’équivalence de cette expression et de celle de la méthode de Rayleigh améliorée (9.22) vaut la peine d’être remarquée.] La déformée calculée v / 1* représente une meilleure approxi­ mation du premier mode que ne l’était v^°l Par conséquent, si v ^ 1^ et la défor­ mée V j^ qui en résulte sont utilisées dans les Eqs.(14.8) ou (14.10), la fré­ quence obtenue sera également une meilleure approximation que ne l’était celle calculée à partir de l’hypothèse initiale. En répétant le procédé un certain nombre de fois, l’approximation du mode peut être améliorée jusqu’au degré de précision désiré. Autrement dit, après s cycles : fjW = -1 _ y<*-n

(14-11)

Vi(s) et peuvent être calculés jusqu’à n’importe quel nombre de décimales. Lorsque le procédé a convergé de façon satisfaisante, la fréquence vraie est obtenue en écrivant l’égalité des déplacements en une position quelconque (de préférence la position où le déplacement est maximum) :

de cette structure puisse être obtenue facilement par inversion de la matrice de rigidité calculée précédemment, nous la recalculerons à titre d’exercice en appliquant successivement un chargement unitaire à chaque degré de liberté. Par définition, les flèches résultant des chargements unitaires indiqués représentent les éléments de la matrice de souplesse. Cette dernière s’écrit donc

J __ 1 1 (£} -5 2 m/kN 720 000 . 2 2 2. En multipliant à droite par la matrice de masse on obtient la matrice dynamique : 11 7.5 1 D = ïm = 5 7.5 3 600 2 3 f = k

Le procédé itératif de l’Eq. (14.5) peut être présenté sous la forme du tableau ci-dessous. Le choix initial relativement mauvais du vecteur v/°) a été fait volontairement, dans le but d’illustrer la bonne conver­ gence du procédé. D “11 7.5 5 7.5 3 600 2 3

(14-12) Lorsque le mode de vibration vrai a été déterminé il n’y a plus lieu d’utiliser le procédé de moyenne pondérée (14.10) pour améliorer la solution. /

EXEMPLE E14.1 Nous allons utiliser la méthode de Stodola pour cal­ culer le premier mode et la première fréquence du portique à trois étages de la Fig. E l2.1 (reprise en Fig. E14.1). Bien que la matrice de souplesse ml = 200 t

Exemple pour analyse de Stodola : (a) structure donnée d'influence de souplesse (x 720 000).

22.5 16.5

,9

Yl 1.00 0.73 0.40

18.1

12.1 5.8

v /01

A T 4 4

1 1

Vli»i

▼i<2) v/*’ 1.00 17.26

1.00 17.08

Viw 1.000

0.67 0.31

0.65 0.30

0.646 0.301

11.26 5.25

11.08 5.15

17.04 11.04 5.14

Définition finale du mode

Remarquons que le facteur multiplicatif de 1/3 600 a été négligé sans inconvénient, puisque seule la forme du mode est importante. Les modes obtenus ont été normalisés en divisant les composantes par la plus grande d’entre elles. Après 4 cycles, la convergence du mode atteint la précision de la règle à calcul et on retrouve les résultats de la méthode par déterminant de l’exemple El 2.2. L’Eq. (14.12) [ou l’Eq. (14.17)] est utilisée pour fournir la première fréquence : (4) 1.000 Vi = 211 col = 14.5 rad/s il <5> (1/3 600)(17.04) vll (5) On remarquera que le facteur 1/3600 est à présent inclus dans Examinons l’intervalle de fréquence obtenu après un cycle, Eq. (14.9):

(b) Fig. E14.1

A - ,

1 =

; (b)

coefficients

_ t>u (0) »n (1).

_ t>3i(0) s3, (1)

3 600 = 160 22.5 3 600 9

trA\

V ’)

La fréquence obtenue n’est donc pas satisfaisante avec un seul cycle, en raison du mauvais choix du vecteur initial. Une très bonne approxi­ mation peut cependant être obtenue après le premier cycle en utilisant le procédé de la moyenne pondérée (14.10) : [22.5 24.75 cai 2 -— w

[22.5 24.75

Déformée supposée Vj<°>

'1' 1 (3 600) 1 _ 65.25(3 600) '22.5' 1077 18.00] 16.5 9.0

18.00]

Forces d ’inertie résu ltan tes//0)

/ (0) v /n

Cette première approximation est identique à celle obtenue par la méthode de Rayleigh améliorée Rn appliquée à l’exemple E9.3. Convergence La convergence de la méthode de Stodola vers le premier mode découle du fait que le processus met essentiellement enjeu le calcul des forces d’inertie qui correspondent à la déformée modale supposée, puis calcule les déplacements correspondant à ces forces, pour finalement recalculer les forces d’inertie correspondant à ces déplacements. Cette idée, que nous allons développer mathématiquement, est illustrée à la Fig. 14.1. La déformée initialement supposée peut être exprimée au moyen des coordonnées principales, voir l’Eq. (13.2) : Vl«» = OY<°> =

4- * 2Y2(0) + + 3Y3m + • • •

(14-13)

Forces d ’inertie résultantes

f'mi , (1)

// Jh i (1)

+ 4>2(û 22Y2w

+ * 3o>32Y3<°>

+ • • •J

(14-15)

Les flèches résultant de ces forces d’inertie sont ViU) = ff/0) = fm ^ 1co12Y1(0) + ? 2co22Y2(0)

J

Etc. Fig. 14.1

Interprétation physique des itérations de Stodola.

Si on multiplie par f les deux membres de l’Eq. ( 12.39) :

N

m

(14-16)

n —1

yW _

4>nYn^ = Y(1)

(14-19)

n=l

~

vx(1> = 2 { avec

(14-18)

n = on peut alors réécrire l’Eq. (14.16) sous la forme Vi(1) = f

OU

fr731(l)

(14-14)

En développant v / 0^ comme on l’a fait à l’Eq. (14.13) et en remplaçant coi2 par ( c o l lcü n ) 2 , on obtient f/°> = m

r/3,(0)Î

Déformée calculée

La coordonnée sera relativement importante si le choix initial de la déformée est bon. Les forces d’inertie relatives à cette déformée associée à la fréquence du premier mode sont, voir l’Eq. (12.33) : f/o> = œ i2rn*/*» = co, 2mOY(0)

// (0) JI2l

yB(0)

(14. 17)

qui est équivalente à l’Eq. (14.13) mais correspond aux déplacements calculés. Le même procédé après une nouvelle itération fournit les flèches suivantes : (2 )

= OY<2) = 4>

= O

y„(0)J

(14-20)

Après s cycles on obtient V (s)

= OY(s) = ®

,F»(0>] = ^ i y i <0)

(14-21)

La dernière égalité résulte du fait que le coefficient correspondant au premier mode est beaucoup plus élevé que les autres coefficients, c’est-à-dire que ‘ • f ë H î T » ( 1 4 -2 2 ) Il est évident d’après ces dernières inéquations que la contribution à la déformée de chaque mode d’ordre supérieur peut être rendue aussi faible que l’on veut si on itère un nombre suffisant de fois. La contribution du premier mode représente donc la déformée résultante. Il résulte de tout cela que le procédé doit converger vers le premier mode dans la mesure où la contribution du premier mode à la déformée initiale v^0* n’est pas nulle. Détermination du second mode Le procédé itératif de Stodola peut être utilisé pour calculer les modes d’ordre supérieur également. Si on développe l’Eq. (14.21) on obtient ( £ ) ’• y,™ + * (

r r

♦ ♦, ( £ ) “

♦ ■• • ^

Il est clair que si Y /0* est nul, le procédé doit converger vers le second mode ; si Y /0* et Y sont nuls il convergera vers le troisième mode, etc. Pour cal­ culer le second mode par itération matricielle, il suffit donc d’essayer une déformée V2^ qui ne contienne aucune composante du premier mode. (Le tilde placé au-dessus d’un symbole indique une déformée qui ne contient aucune contribution du premier mode.) C’est la condition d’orthogonalité qui permet d’éliminer d’une déformée la composante du premier mode pour représenter le second mode. Faisons une hypothèse arbitraire sur la forme du deuxième mode, que nous exprimons en fonction de ses composantes modales sous la forme suivante : v2<°> =•

(14-24)

La multiplication à gauche par l Tm conduit à + 0 / m 0 2Y2(O) + • • •

V2<°> = v2(0) - - i Mi

nw2<0) s S 1V2<0)

(14-28)

La matrice de balayage permettant d’éliminer le premier mode est donnée par Si s i - j j - 4>i4>tr® Mi

(14-29)

L’Eq. (14.28) montre que cette matrice présente la propriété d’éliminer de tout vecteur d’essai les composantes du premier mode, par simple produit. La méthode de Stodola appliquée au second mode peut à présent être formulée à l’aide de cette matrice de balayage; l’Eq. (14.4) peut s’écrire L v2a> = Dv2(0) (14-30) t»22 ce qui exprime qu’une déformée d’essai pour le deuxième mode ne contenant aucune composante du premier mode convergera vers le deuxième mode. En reportant l’Eq. (14.28) dans l’Eq. (14.30) on obtient v2(1) = DS1v2(0) s D2v2(0>

(14-31)

co2

où

D2

s

DSi

(14-32)

6lt une nouvelle matrice dynamique, qui éliminera d’une déformée d’essai v2 ^ toute composante du premier mode et convergera donc automatiquement vers le deuxième mode. Lorsqu’on utilise D2, la détermination du second mode ait entièrement équivalente à celle du premier mode envisagée précédemment. La fréquence peut donc être calculée de façon approchée par une équation équivalente à l’Eq. (14.10) :

(14-25)

où le second membre se réduit à un terme de premier mode en raison des propriétés d’orthogonalité. L’Eq. (14.25) peut alors être résolue pour calculer la composante du premier mode en v2*°* : y W _ f e T

Le vecteur d’essai épuré convergera vers le second mode. On remarquera néanmoins qu’en raison des diverses erreurs d’arrondi, les calculs introduisent des imprécisions qui permettent aux composantes du premier mode de réapparaître : il sera donc nécessaire de répéter l’opération d’épuration à chaque cycle afin d’assurer la convergence vers le second mode. Pour débarrasser le vecteur d’essai de la composante du premier mode, il est commode d’utiliser une matrice dite “de balayage”, obtenue en remplaçant dans l’Eq. (14.27) la valeur par celle obtenue à l’Eq. (14.26), à savoir :

(14-26)

Si on élimine cette composante de la déformée initiale, on dit que le vecteur d’essai a été “épuré” : v2(0) = v2(0) 04-27)

* (! ? T " " r v2v 'mv2 où

(14-33)

f .( l ) ==' v2(1) D2v2(0)

L’itération peut alors être poursuivie jusqu’au degré de convergence voulu. On voit que dans cette méthode le premier mode doit être déterminé avant le second. De plus le premier vecteur modal i doit être calculé avec une très bonne précision afin de permettre le calcul d’une matrice de balayage SA permettant d’obtenir des résultats satisfaisants pour le second mode. En général les coordonnées du deuxième vecteur modal auront un chiffre significatif de moins que les coordonnées du premier.

EXEMPLE E14.2 Calculons le deuxième mode de la structure présentée à l’exemple E14.1. Dans ce but la matrice de balayage sera mise sous une forme légèrement différente de celle de FEq.( 14.29), mieux adaptée aux calculs manuels (surtout si un seul mode doit être “balayé”). La matrice de balayage du premier mode s’écrit, sous la forme de l’Eq.(l4.154) :

S,

-[

D’après l’exemple E14.1, 4>i = [1.000 0.646 0.301] et m, est le premier vecteur colonne de la matrice de masse: m / = 200 [1 0 0]. Donc = 200. Quant à mr, il représente les colonnes restantes de la matrice de masse '0 0 mr = 200 1.5 0

0

2.0

La fréquence du deuxième mode, calculée à partir des résultats obtenus au dernier cycle d’itération, est : ta 2 = £32^ = _ — ------ = 958 2 v32<4) (1/3 600)(3.76) Cette valeur est comparable à la valeur 966 trouvée à l’exemple E l2.1. Détermination du troisième mode et des modes suivants

Ceci conduit à tf>iTmr = [0.969 0.602], La matrice de balayage du premier mode est donc " -0.969 - 0.602 1 0 Sx = ' 0 1 La matrice dynamique du second mode est -3 .1 6 D2 = DS, = 1 2.66 3 600 1.06

Les déplacements ont été normalisés en divisant par le plus grand des deux déplacements considérés en cours d’itération. Il en résulte que la valeur t;21 calculée lorsque \ r a convergé est supérieure à 1 : ce résultat a été normalisé une fois de plus dans la dernière colonne. La déformée obtenue peut être comparée à celle trouvée précédemment à l’exemple E l2.2 : la légère différence entre les deux résultats provient d’erreurs d’arrondi.

Il est à présent bien clair que le procédé de balayage peut épurer un vecteur d’essai des contributions des deux premiers modes simultanément, ce qui aura pour effet de faire converger la méthode de Stodola vers le troisième mode. Ayant déterminé la déformée épurée du vecteur d’essai pour le troisième mode, par analogie avec l’Eq. (14.27) on aura v3(0> = v3(0) - fa Y ™ - ^ 2y2(0)

(14-34)

Si on utilise la condition d’orthogonalité de v3(0) a v e c ^ et (/>2 simultanément on a : f rmv3(0) = 0 = ^ 1r mv3(0) - M 171(0)

-2.62 0.99 2.80

On poursuit l’itération correspondant au second mode et à la fré­ quence correspondante en utilisant la matrice dynamique de la même manière qu’à l’exemple E l4.1. Il est évident ici que seul vrT = [u22 >'32] doit être inclus dans le vecteur d’essai v2^°\ car le déplacement v12 de l’étage supérieur est régi par la condition d’orthogonalité. Ce déplace­ ment n’a pas à être calculé avant que la solution obtenue pour vr ne converge. d2 \2 -3 .1 6 -2 .6 2 1 2.66 0.99 3.65 0.95 3.52 3 600 2.80 3.86 1.00 3.81 1.06 .<*> y2(3) V — — — — -1 .4 6 1.00' « 0.92 3.44 0.91 3.41 0.91 -0 .6 2 1.00 1.00 3.77 1.00 3.76 - 0.68 ‘ Définition finale du mode

2rmv3(0) = 0 = ^ 2Tinv3(0) ““ M 2Y2i0) Ce qui conduit aux expressions suivantes pour les amplitudes des deux premiers modes relatives au vecteur d’essai v3(°) : y/o) = _ L ^ 1Tmv3(0) Mi

(14-35a)

y2<°> = — 0 2rmv3(O) M2

(14-356)

Ces expressions sont équivalentes à l’Eq. (14.26). Si on reporte ces valeurs dans l’Eq.( 14.34) on obtient

L’Eq.(14.36) montre que la matrice de balayage S2, qui élimine à la fois les composantes des deux premiers modes du vecteur v3^ , est obtenue en sous­ trayant tout simplement un terme du deuxième mode de la matrice de balayage du premier mode, soit s 2 = Si - - i -

2rm

M2

L’opération de balayage s’exprime par : v3«» = S2v3(0)

(14-37)

Les propriétés dynamiques du système sont à présent contenues dans la matrice E = m_1k == D ' 1

Si un vecteur d’essai est affecté au mode de vibration d’ordre le plus élevé N, l’Eq. (14.43) devient a v V 1) = Ev*<°>

(14-38)

=

(14-45)

Cette équation est équivalente à l’Eq.(14.4). Par analogie avec les Eqs.(14.8) et (14.10), on obtiendra des approximations de la fréquence du Même mode avec il

L’équation de Stodola pour la détermination du troisième mode peut s’écrire, par analogie avec l’Eq. (14.31) :

_L

(14-44)

C1)

= -pTôj

(14-46a)

v kN

=

v3(1) Dv3(0) DS2V3(0) s D3v3(0) (14-39) Û>3 La matrice dynamique modifiée D3 a donc pour fonction le “balayage” des composantes du premier et du deuxième modes du vecteur d’essai v3^ , et assure ainsi la convergence vers le troisième mode. Le même procédé peut être répété pour la détermination de modes d’ordre de plus en plus élevé. Pour calculer le quatrième mode par exemple, la matrice de balayage S3 serait formée comme suit : S3 = S2 —

M3

0 3^ 3rm

(14-40)

où elle opérerait ainsi : v4(0) = S3v4(0)

(14-41)

La matrice dynamique correspondante est D4 = DS3. La relation de récurrence s’écrit 1 S„ = S ,.* - J L m Dn+1 = DS„ (14-42) Mn La principale limitation de ce procédé est que tous les modes d’ordre inférieur au mode calculé doivent être connus avant que la détermination du mode re­ cherché ne puisse être entreprise. Il est également essentiel d’évaluer avec préci­ sion les modes d’ordre inférieur pour que la matrice de balayage puisse agir effi­ cacement dans le calcul des modes d’ordre supérieur. On n’utilise en général ce procédé que pour le calcul de quatre à cinq modes au maximum. Détermination du dernier mode

La méthode de Stodola s’applique également au calcul du mode d’ordre le plus élevé d’une structure quelconque. Si on multiplie à gauche l’Eq.(14.1) par co2m-1k : œ2v = E? (14-43)

(V/v(1))rm œN2 = — —V;v(1) -— * ( V

ou encore

H4-4 114

où vN(1) = E v ^ . La déformée calculée v ^ 1^ constituera une meilleure approximation du mode d’ordre N que ne le constituait l’hypothèse originale ; si on l’utilise comme nouveau vecteur d’essai et si le procédé est répété un nombre suffisant de fois, le mode le plus élevé pourra donc être déterminé avec la précision désirée. La démonstration de la convergence du procédé vers le Même mode se conduit exactement comme pour le mode fondamental. La différence essen­ tielle est que le terme coN2 figure au numérateur plutôt qu’au dénominateur, ce qui a pour résultat de donner à l’Eq.( 14.22) la forme suivante : 1 » ( ^ î ) 2s » ( \

<% /

\

5 » ( ^ l \ 2! » . . . % ./

\

(14-47)

C°N )

qui met en évidence le Même mode plutôt que le premier. La détermination des modes suivants (d’ordre moins élevé) implique égale­ ment la construction d’une matrice de balayage à l’aide du principe d’orthogo­ nalité : en principe l’analyse tout entière pourrait être faite dans l’ordre inverse. Mais comme la convergence du procédé itératif est beaucoup moins rapide si on part de l’Eq.( 14.45), cette méthode n’est généralement utilisée que pour obtenir une estimation de la fréquence de vibration la plus élevée. EXEMPLE E l4.3 La détermination du troisième mode de vibration de la structure à trois étages de l’exemple E l4.1 pourrait être effectuée en calculant la matrice de balayage du second mode et en l’utilisant pour obtenir une matrice dynamique qui convergerait vers le troisième mode. Il est cependant en géne'ral plus facile et plus précis de calculer le mode

le plus élevé par une itération faisant appel à la matrice dynamique de type rigidité comme nous le faisons dans cet exemple. La matrice de rigidité et l’inverse de la matrice de masse sont pour la structure de la Fig. E14.1 (voir l’exemple E l2.1) : 1 -1 3 k = 120 000 - 1 0 -2

'6 0 0" -0 1 0 4 0 t-1 kN/m m 1 = -2 1 200 0 3 0 5

14.3

La méthode de Stodola est également applicable lorsque des forces axiales agissent sur la structure, si toutefois elles ne varient pas dans le mouvement. Pour tout chargement axial on peut écrire une équation de Stodola équi­ valente à l’Eq. (14.4) : - L v,(1> = BvjW o ,2 avec

La matrice dynamique de type rigidité est donc

6 - 6 0 - —2 4 12 8 E = m _1k = 100 0 -6 15 Si on utilise une déformée d’essai approchant raisonnablement le troi­ sième mode, l’itération suivra le processus de l’exemple E14.1 :

Etude du flambage par itération matricielle

_ D = £ -1m

(14-486)

où k = k — k(2 est la matrice de rigidité combinée tenant compte de l’effet de rigidité géométrique [Eq.( 10.20)]. Les modes et les fréquences de vibration peuvent se déduire de l’Eq.(14.48ûr) par la méthode de Stodola, tout comme elles le sont sans charges axiales. L’effet de forces axiales de compression est de réduire la rigidité des élé­ ments de la structure, tendant ainsi à réduire les fréquences de vibration. Dans le cas limite, la fréquence de vibration tend vers zéro et l’équation statique aux valeurs propres prend la forme (k - AGkG0)î = 0

“

6 100 — 4 0

-6 12 -6 v 3 <2)

-0.43 X

1 .0 0

-0.91

0" — 1 - 1 2 1 24 -8 15 - 1 -2 1 y2

(3 )

-8.58 21.00 -19.65

v 3 <3>

-0.41 1 .0 0

-0 .9 5

-0 .5 0 1 .0 0

-0.88 ÿ3<*>

-8 .4 0 21.20 -20.10

(12-24)

La prémultiplication de cette équation par (1/XG) fdonne

- 9 .0 21.0 -1 9 .2 V3<«> - 0.394 1 .0 0 0

0.956

v 3 (7>

- 8.36 21.24 - 20.34

Forme finale du mode

Il est visible que ce procédé converge vers le mode le plus élevé beaucoup plus lentement qu’il ne convergeait vers le mode le plus bas dans l’exemple E14.1 : c’est caractéristique de la méthode de Stodola. La déformée fi­ nale concorde cependant bien avec celle obtenue par d’autres méthodes (méthode des déterminants de l’exemple E l2.1), et converge suffisam­ ment pour la précision de la règle à calcul. La fréquence obtenue dans la dernière itération est, voir Eq.(14.46fl) : û>32 =

(14-48a)

tW 7) = 21.24(100) = 2 124 (6 )

”23

qui concorde également avec la valeur obtenue à l’Exemple El 2.1. Le facteur multiplicatif 100 provient de la matrice dynamique E.

T" ♦ = G* Aq

(14-49a)

G = *kco

(14-496)

où L’Eq.(14.49a) a la même forme que les équations de Stodola et peut être réso­ lue par le même type d’itération. Les valeurs propres qui permettent d’obtenir des valeurs non nulles de v sont les charges critiques, qui sont représentées par les valeurs du paramètre de charge \ G. Si on désigne par v/°> la déformée d’essai du premier mode de flambage, l’itération s’écrit

_L Vl(1)•= GV!(0)

(14-50) ^G1 Lorsque la méthode itérative est ainsi utilisée pour calculer les modes de flam­ bage, on l’appelle méthode de Vianello, du nom de celui qui fut le premier à l’utiliser dans ce but. L’étude du flambage par la méthode de Vianello est identique dans son principe et dans sa technique à l’étude des vibrations par la méthode de Stodola; nous n’y reviendrons donc que pour signaler la condition d’orthogonalité utilisée pour calculer les modes supérieurs de flambage : = 0

m # n

(14-51)

Mais en général seul le mode de flambage le plus bas présente un intérêt.

EXEMPLE E l4.4 Calculons la première charge critique d’une colon­ ne prismatique encastrée à sa base et soumise à son poids propre (Fig.E14.2). La structure a été divisée en trois segments égaux et on a utilisé le déplacement latéral de chaque nœud comme degré de liberté. La masse uniformément répartie de la colonne est supposée concentrée aux extrémités des segments : un sixième du poids total est donc concen­ tré au sommet, et un tiers aux deux noeuds intérieurs. Les forces axiales dans les trois segments de la colonne sont dues à ces poids.

T

- Ni - W (force axiale)

La matrice de stabilité G est donc donnée par 34 '26 W l2 12 21 6El 3 6

Prenons une parabole comme première approximation raisonnable du premier mode de flambement ; l’itération de Vianello suit le même schéma que les calculs de vibrations 26 Wl2 12 6E l 3

G 34 21 6

-2 0

-8 1

Vi 1.00 0.44 0.11

2W _ wL 3

El, w ’ (uniforme)

h2

Yi*" 38.8 20.3 5.7

.<*> 1.000 41.1 1.00 40.7 1.00 41.1 0.52 , 21.7 0.534 22.0 0.535 22.0 0.15 6.3 0.155 6.4 0.156 6.4 .( 3 )

- N2 « 3W

~3

—20" -8 1

X

► v3

Forme vraie

-JV3 = sw

A - V“ 3) LP°° - 1 cr «n W 41.1(Wl2/6EI)

(b)

(a) Fig. E14.2

Le processus converge aussi rapidement que le calcul en vibration de Stodola pour le premier mode. Le paramètre critique de flambage obtenu après la dernière itération est

Etude du flambage d'une colonne sous son poids propre ^ (a) colonne uni­ forme ; {b) modèle discrétisé.

L?

—1

Si on utilise l’approximation par de'placements linéaires [Eq. (11.36)], la rigidité géométrique de la colonne est donnée par h Nt h 1

O

kc =

Ni 0 h n2 Ni N2 h h h n2 N2 h h + h.

W l

' 1 -1 0

-1 4 -3

0' -3 8

que l’on prendra pour rigidité géométrique de référence kg0. Par appli­ cation de charges unités successives aux trois nœuds et calcul des flèches résultantes par la statique, on trouve la matrice de souplesse '54 28 8' r= 28 16 5 6El 8 5 2

il

EI WL2

que l’on a exprimé en fonction de la longueur totale L. On en déduit le poids critique par unité de longueur : El El wcr = — = 1.315(6) = 7.89 = . c L/6 W L3 L3 Ce résultat est bon : le résultat exact est 1.83El/L3 \ l’hypothèse simple de déplacements linéaires se trouve ainsi justifiée. L’influence de la rigidité géométrique sur la fréquence de vibration de cette colonne peut également se calculer par itération matricielle. Si le poids unitaire a la valeur critique calculée, la fréquence de vibration sera nulle, mais pour toute valeur plus faible une fréquence peut être déter­ minée. Supposons par exemple, que W = 27/26(/s7/Z,2), ce qui représente ( 27/2 6 ) / 1 3 15 = 79 pour cent de la valeur critique : la rigidité géomé­ trique est donnée par substitution de cette valeur dans l’expression de kG ci-dessus. La rigidité de la colonne, obtenue par inversion de la matrice de sou­ plesse, est

La matrice de rigidité combinée, qui tient compte des effets des forces axiales, est donc donnée [Eq.( 10.20)] par

c

26 J3

3_ El 26 I3

7 -1 6 -1 6 44 12 - 4 6

12' -4 6 80

13 - 3 1 -3 1 84 24 - 8 9

24* -8 9 152

27 E l

1 -1

-1 4 26 913 0 -3

0

VN

N 7 7 7 //

G

2

kn-i 7 * 7 ///

N- 1

-3

8

d-

/+ 1

/+ 1 r z v / /

Enfin, on peut effectuer ljétude des vibrations par itération, avec une matrice dynamique modifiée D = k _1m,où k -1 est l’inverse de la matrice de rigidité combinée ci-dessus. Nous laissons au lecteur le soin de termi­ ner cet exemple.

Principe de la méthode Le principe de la méthode de Stodola est l’ajustement successif d’une défor­ mée supposée jusqu’à la forme véritable du mode, puis le calcul de la fréquence correspondante. La méthode de Holzer procède dans l’ordre inverse : la fré­ quence est ajustée successivement à partir d’une hypothèse initiale jusqu’à obtention de la fréquence vraie ; la forme du mode est calculée simultanément. La méthode de Holzer convient le mieux à l’étude de structures reposant le long d’un axe ; on appelle fréquemment ce type de système une structure en chaîne. Bien que la technique puisse être généralisée pour s’appliquer à d’autres configurations plus complexes, seules des applications très élémentaires seront envisagées ici puisque notre propos est de faire une démonstration des idées fondamentales de la méthode plutôt que l’étude détaillée de ses applications. Un exemple concret et simple sera le bâtiment représenté en Fig. 14.2. On suppose que les dalles des planchers sont rigides : la flèche latérale provient donc de la flexion des colonnes seulement et aucune rotation ne se produit aux nœuds. Dans ce cas la rigidité d’un étage (force nécessaire pour provoquer un déplacement relatif unité entre les planchers) au niveau i est

où / représente le moment d’inertie total de toutes les colonnes au niveau /, et h est la hauteur d’un étage. Il est également supposé que toute la masse est combinée au niveau des dalles des planchers et que le mouvement a lieu dans le plan de la figure. Ce type de système est caractérisé par le fait que l’incrément de déplace­ ment dans tout étage i ne dépend que de l’effort tranchant total Vf à ce niveau; en vibrations libres l’incrément d’effort tranchant à tout niveau ne

' w*mj+l vJ+i 1

J I

vi

V-Z / / /

14.4 Méthode de Holzer

/ /

_

T m2

/ /

j

I = = = = = = = = Vi

/

/ v2\

I / / 7 7

///

ao

(a) Fig. 14.2

Méthode de Holzer pour un bâtiment : (a) structure donnée ; déplacements en un étage.

(b)

forces et

dépend que de la flèche totale à ce niveau en raison de la proportionnalité des forces d’inertie et des déplacements. Cette propriété rend possible le calcul des forces et des déplacements dans la structure entière de manière progressive en partant d’une extrémité, à condition qu’une hypothèse soit faite sur la fréquence de vibration et sur la condition limite inconnue à l’extrémité de départ. Si par exemple les calculs sont initiés au sommet du bâtiment de la Fig. 14.2, il est nécessaire de supposer une certaine amplitude du déplacement en vibration en ce point, mais l’effort tranchant est évidemment nul au-dessus de la dalle du sommet. L’amplitude du déplacement supposé est arbitraire car des vibrations libres peuvent se produire avec n’importe quelle amplitude. La fréquence de vibration, elle, est définie, et si une hypothèse incorrecte sur la fréquence est faite, la condition limite à l’autre extrémité de la structure ne sera pas satisfaite. Pour l’exemple de la Fig. 14.2, si les calculs sont initiés au sommet avec une fréquence incorrecte, le déplacement calculé ne sera pas nul à la base. En fait les calculs ne sont pas vraiment faux : ils résolvent seulement un autre problème. La forme calculée est celle que l’on aurait si la base de la structure était mue à la fréquence supposée et avec l’amplitude calculée. On peut déterminer la fréquence vraie en vibrations libres par tâtonnements, en ajustant l’hypothèse sur la fréquence jusqu’à satisfaire à la condition limite. Dans la pratique, la détermination de la fréquence vraie se trouvera

grandement simplifiée si on trace la valeur limite calculée en fonction de la fréquence supposée. Un tel tracé, relatif au bâtiment de la Fig. 14.2 avec un déplacement unité au sommet, est représenté en Fig. 14.3, accompagné de quelques déformées correspondant à certaines des fréquences supposées. Ce procédé peut être utilisé pour calculer n’importe laquelle des fréquences de vibration et la forme du mode correspondante. Il s’agit là d’un des avantages principaux de la méthode de Holzer : il est possible de calculer n’importe quel mode de vibration indépendamment de tous les autres. Dans le cas de notre bâtiment, le numéro du mode correspondant à chaque fréquence vraie est égal au nombre de noeuds (points de déplacement nul) le long de l’axe, y compris la base.

Essai I m î - 200 t

Essai II (cj2 = 200)

( u 2 = 100) v

Av

V

1.000

// 200

v

Av

V

Essai III (w2 = 209) // 400

1.000

v

Av

V

1.000

f,

418

k x = 120 000 kN/m

300 t

0.167

200

0.333

400

0.348

418

2

250

0.833

0.667

400

0.652

408

240 000 kN/m 0.187

400 t

/ zy y 3

450

0.197 0.449

Fig. E14.3

800

258 0.334

0.646

360 000 kN/m

0.333

708

826

266 0.308 0.296

0.038

0.344

1066

258 0.301

1084

0.007

Détermination d'un mode de vibration d'un bâtiment par la méthode de Holzer.

Le déplacement du deuxième étage est donc v2 = v x —Avx = 0.833 cm. Une fois ce déplacement connu, la force d’inertie à ce niveau est donnée par f I2 = (o2m2v2 = 100 (300) (0.00833) = 250 kN

Fig. 14 3

Variations du déplacement de la base avec la fréquence appliquée (pour un déplacement unité au sommet).

EXEMPLE E l4.5 Considérons à nouveau le bâtiment à 3 étages de la Fig. E14.1. Les caractéristiques du bâtiment sont indiquées à la Fig. E14.3, ainsi que tous les calculs essentiels de l’analyse de Holzer. La première étape consiste à supposer une certaine fréquence de vibration ; ici on l’a choisie arbitrairement égale à 10 rad/s, de sorte que co2 = 100. En utilisant cette fréquence et une amplitude de déplacement au sommet de vx = l cm, on a effectué l’ensemble des calculs regroupés sous la dénomination “Essai I” en commençant avec la force d’inertie de l’étage du haut fj = <^2m l vl = 100(200) (0.01) = 200 kN Cette force provoque un effort tranchant à l’étage supérieur de *üi = 200, et la déformation correspondante est donnée par A»! =

= ■ 2Q9— = 0.00167 m = 0.167 cm

120 000

En additionnant ceci à l’inertie de l’étage du haut, on obtient l’effort tranchant dans le 2e étage comme égal*à 450 kN ; en le divisant par la rigidité du 2e étage, on obtient la déformation Au2, que l’on soustrait de v2 pour obtenir v3. Si on poursuit les calculs jusqu’à l’étage du bas on trouve un déplacement de la base de 0.449 cm. Ce résultat indique qu’un mouvement harmonique de la base de 0.449 cm d’amplitude et à une fréquence de 10 rad/s produira une amplitude de vibration de 1.000 cm au sommet. On voit également à la forme du déplacement (pas de nœud) que la fréquence co = 10 rad/s est plus faible que la fréquence naturelle du premier mode. A part le fait que 10 rad/s est trop faible, le premier essai donne peu d’indications sur la fréquence du premier mode ; le deuxième essai a été arbitrairement fixé à co2 = 200. Le déplacement du sommet a été à nouveau pris égal à 1.000 cm, et la déformée a été calculée comme le montre l’ensemble de calculs regroupés sous le titre “Essai II”. Cette fois le déplacement de la base a été réduit à 0.038 cm seulement ; l’hypothèse co2 = 200 est donc assez proche de la fréquence naturelle vraie. Les résultats des deux essais peuvent donner une bonne estimation de la fréquence vraie par extrapolation linéaire (Fig. 14.2). L’extrapolation analytique donne

où les indices indiquent les numéros des essais. Dans ce cas l’équation d’extrapolation est — = 3 0.411 0.038

Aû)|_3 = 9

[?] - [i " > ■ ] [ r ]

Dans le troisième essai la fréquence a été supposée égale à co2 = 209. Le déplacement de la base résultant de cette hypothèse, 0.007 cm, est très proche de la valeur nulle. Le fait qu’un déplacement nul n’ait pas été obtenu de manière exacte montre que vB n’est pas une fonction linéaire de a?2 ; mais si on applique à nouveau le même type d’extra­ polation, 9 Aû>3_4 ------ = — — 0.031 0.007

La masse concentrée du niveau i + 1 est également représentée en Fig. 14.4, et la matrice ponctuelle qui transfère le vecteur d’état au passage de ce niveau est définie par

<“ *■>

ou encore n'i =

T Pti+lfli+1

(14-54 b)

où Tp /+1 représente la matrice ponctuelle relative au niveau i + 1.

a 2 Aa>3_4 = 2

Le oj2 = 211 qui en résulte est pratiquement exact. Les déplacements obtenus avec cette fréquence sont vT = [1.000 0.648 0.301 0,000], ce qui concorde avec la déformée obtenue précédemment à la précision de la règle à c a lc u lé s . Méthode des matrices de transfert La méthode de Holzer peut également se formuler sous forme matricielle, par utilisation d’une matrice appelée matrice de transfert. Ce genre de matrice exprime les forces et les déplacements en une section d’une structure en chaîne en fonction des forces et des déplacements correspondants de la section adjacente ; le profil complet des forces et des déplacements de la structure peut ainsi être obtenu à l’aide d’une suite de multiplications où interviennent des matrices de transfert. Il sera commode de distinguer deux types de matrices de transfert : les matrices de champs, qui permettent un transfert le long des segments élastiques entre les masses ; et les matrice ponctuelles, qui effectuent le transfert au passage des masses concentrées. Le champ élastique au niveau / de la structure de la Fig. 14.2 est représenté en Fig. 14.4. Le vecteur d'état ri( qui représente la force et le déplacement au niveau i peut être exprimé en fonction du vecteur d’état relatif au niveau i (l’autre extrémité du segment) par une équation matricielle de champs de la forme

ra - [ 4 ï i r a

(i4-53o)

où jT. = l/ki est la souplesse de l’étage i, c’est-à-dire la flèche produite par un effort tranchant unité agissant sur cet étage. L’Eq. ( 14.53a) peut s’écrire Vi = Tffl'i

(14-53b)

où T^, la matrice de champ du segment /, est la matrice carrée de l’Eq. (14.53a).

La matrice de transfert T|+1 relative au segment complet peut à présent s'obtenir en combinant les matrices ponctuelles et de champs : ==

== Ty/Tp>f+1ÿi+1 = T i+i7i+1

(14-55)

Avec l’utilisation des matrices de champs et ponctuelles des Eqs. (14.53) et (14.54) on trouve la matrice de transfert f 1

O lfl

co2ml+! ■ ] _ [ 1

co2mi+1

L-/. iJ lo > J - L-/. > -

1

J (,4'56)

En utilisant une suite de matrices de transfert il est possible d’exprimer le vecteur d’état de tout point en fonction du vecteur d’état de tout autre point ; par exemple le vecteur d’état à la base peut s’exprimer en fonction du vecteur d'état au sommet : qB = T Mi = T\T 2*12 = • • • = T tT2 • **T n - i ^ nIIn (14-57) où les indices B et N se rapportent aux deux extrémités de la structure (Fig. 14.2a). Si f N est défini par Tn = T 1T2T3T4 • • • Tjy.jTj, l'Bq. ( 14.57) peut s’écrire

(14-58)

Tw est une matrice à deux lignes et deux colonnes liant les vecteurs d’état des deux extrémités de la structure. En explicitant les éléments de la matrice de l’Eq. (14.59#) on obtient

d’état correspondant à une certaine matrice de champs sont représentés en Fig. 14.6, et l’équation est la suivante : ■

[»:]-[t t]p;] VB = tvv{(ù2)

(14-59c)

où tw est une fonction de co2, et les valeurs de w2 qui permettent de satisfaire à la condition de déplacement nul à la base sont les fréquences des vibrations libres. Méthode de Holzer-Myklestad L’étude d’un bâtiment élevé du type de ceux que nous avons considérés jusqu’à présent est particulièrement simple avec la méthode de Holzer par matrices de transfert, car il n’y a qu’un degré de liberté par nœud. La généra­ lisation de cette méthode à l’étude de systèmes en flexion, qui ont deux degrés de liberté par nœud, est due à Myklestad, et on appelle généralement la méthode généralisée méthode de Holzer-Myklestad. La Fig. 14.5 présente une idéalisation possible pour un système en flexion. La masse est supposée concentrée en un certain nombre de points le long de l’axe, et les degrés de liberté de la structure sont la translation latérale et la rotation de ces points. (L’inertie des masses en rotation est le plus fréquemment négligée, mais on peut l’inclure sans difficulté.) Les segments de poutre liant les masses concen­ trées sont supposés sans masse et leur rigidité de flexion est supposée constante et égale à EI. L’étude de ce type de système s’effectue également très commodément à l’aide d’opérations par matrices de transfert, et il est ici encore nécessaire de considérer les deux types de matrices de transfert : matrices de champs et matrices ponctuelles. Les forces et les déplacements qui constituent les vecteurs

"*,>1

6EIt

h • E lt

_h_ 2EIt

0 0

0' 0

1

0

-h

1

'v r Jt'i 0'i . vi_

soit

(14-60a)

(14-60b)

— Tffl'i

Les coefficients de la matrice de champs T^ se déduisent facilement de la théorie des poutres.

Fig. 14.6

Vecteurs d'état liés par des matrices de champs et ponctuelles (poutre).

Les vecteurs d’état associés à la matrice du point / + 1 sont également représentés ; la relation peut s’écrire

. mN- 1

-h

1

2EI,

Oi - vi -

~ v \*»1

0

JL

_

et en faisant intervenir les conditions données aux limites , l’équation du Même degré en co2 qui résulte peut être résolue pour donner les fréquences naturelles du système. Par exemple, les conditions aux limites relatives à la structure de la Fig. 14.2 sont vB = 0 et V N - 0. Ainsi, si on suppose que l’amplitude de vibration est spécifiée à = 1, la deuxième équation du système (14.59£) est

1

B'i v'i

.

ou, en notation abrégée,

'1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

-co*mi+l 0 0 1

■ 'ü i+ r *^i+ 1 &i+ 1 . Vi+1 .

(14-61fl)

Si on combine les matrices de champs et ponctuelles provenant des Eqs. (14.60) et (14.61), la matrice de transfert complète du segment sera

1

0 1

-h JL

T,+1 = T „ T

l,

2El,

Eh

-J L

JL

6EIt

2EIt

0 0 1

-(o2mt+j (o2l,mi+i „2 h2ml+i 2EI,

-h

or

(14-62)

nB = T 1T2 ---T N- 1TNi N

+ 1

6EIt

On peut alors exprimer le vecteur d’état à une extrémité de la structure en fonction du vecteur d’état à l’autre extrémité, comme le montrent les Eqs. (14.57) et (14.59a), à la différence que dans ce type de système la matrice de transfert TN de la structure complète a quatre lignes et quatre colonnes. En développant l’Eq. (14.59a) relative au système en flexion on obtient ainsi une relation du type ' VB *4Cu

hs tms

tsO

?sv

^mm

^m$

^mv

Ue

0B

hs

Um

- VB _

_tps

tVm

VN

t$v t vv _

(14-63)

0N -

VN

_

Avec l’introduction des conditions aux limites dans l’Eq. (14.63), deux des composantes des vecteurs d’état de chaque extrémité s’annulent et l’équation peut être réduite en conséquence. Par exemple, pour les appuis simples de la Fig. 14.5, le moment et le déplacement s’annulent à chaque extrémité, et la partie de l’équation qui présente de l’intérêt devient

ffl-G O - D: ::][*;]

<“-«>

L’introduction d’une amplitude de rotation dN arbitrairement posée égale à l’unité rend possible la détermination de la valeur correspondante de l’effort tranchant à partir de la première équation 0 = tmsVN + tm9 comme suit : VN = -

(14-65)

La condition de vibrations libres est alors donnée par la seconde des Eqs. (14.64) : VB - 0 = tmVH + f„ = f„ -

^

*ms

Chacun de ces coefficients est bien sûr fonction de oj2 ; les valeurs de la fréquence qui mènent à une flèche nulle vB = 0 sont donc les fréquences des vibrations libres de la structure. [On peut encore déterminer les fréquences des vibrations libres en égalant à zéro le déterminant de la matrice carrée de l’Eq. (14.64).] Remarquons que dans cette méthode de calcul les conditions aux limites à N doivent être introduites dès le début dans les équations de transfert, c’est-à-dire dans (14-67)

parce que lorsqu’on effectuera le produit matriciel de à droite vers la gauche, il ne sera nécessaire de considérer que deux colonnes dans les matrices de transfert postmultiplicatrices. La méthode des matrices de transfert est égale­ ment applicable à des structures plus complexes du type en chaîne ayant plus de deux degrés de liberté à chaque section1. * 14.5 Réduction du nombre de degrés de liberté

Rappels Les méthodes modernes de calcul des vibrations permettent la résolution de systèmes ayant plusieurs centaines de degrés de liberté ; mais elles ne permettent pas toujours le traitement direct des modèles utilisés pour l’étude statique des structures complexes, qui peuvent présenter plusieurs milliers de degrés de liberté. De plus, la détermination de plus de quelques dizaines de modes de vibration présente rarement un véritable intérêt, même pour les systèmes les plus complexes, parce que la méthode de superposition des modes n’est généralement appliquée qu’à des structures où le chargement n’excite que les modes les plus bas. C’est pour ces raisons que divers procédés d'éco­ nomie de valeurs propres ont été mis au point : ils permettent de réduire le grand nombre initial de degrés de liberté à un nombre plus réduit, mais suffisant pour les études dynamiques. En première analyse il peut paraître plus logique d’utiliser un nombre réduit de degrés de liberté aussi bien dans la formulation initiale des caractéristiques de rigidité de la structure que pour la détermination de ses caractéristiques dynamiques. En pratique cependant, une représentation précise des carac­ téristiques élastiques de la structure nécessitera un modèle mathématique plus détaillé que pour la représentation des caractéristiques d’inertie. Ce fait est dû à ce que les caractéristiques d’inertie représentées par l’énergie cinétique dépendent directement des déplacements au sein de la structure, tandis que les caractéristiques de rigidité, représentées par l’énergie de déformation, sont fonction des dérivées de ces déplacements : il est bien connu qu’il est plus difficile d’approcher la valeur des dérivées avec la même précision que celle * Cf. Matrix Methods in Elastomechanics par E.C. Pestel et F.A. Lcckie, McGraw-Hill Book Company, New York, 1963.

des déplacements. De plus, dans de nombreux cas l’objectif primordial de l’étude est le calcul des contraintes dans la structure : celui-ci demande une formulation plus détaillée du système qu’il n’est nécessaire pour l’expression des déplacements mis en jeu lors de l’étude dynamique. Ces remarques suggè­ rent (et l’expérience le confirme) qu’une étude dynamique pourra être accomplie le plus efficacement en mettant d’abord au point l’idéalisation nécessaire pour l’étude statique des contraintes, puis en réduisant ensuite le nombre de degrés de liberté avant de procéder à l’étude dynamique. Deux méthodes générales peuvent être utilisées pour réduire efficacement le nombre de degrés de liberté dynamiques. La méthode la plus simple consiste à émettre l’hypothèse que les forces d’inertie ne sont associées qu’à certains degrés de liberté de l’idéalisation initiale ; les autres degrés de liberté ne seront pas directement concernés par l’étude dynamique et pourront être “condensés” dans la formulation dynamique. L’autre méthode considère les déplacements de la structure combinés de manière supposée a priori : les motifs de dépla­ cement choisis définissent les directions des coordonnées généralisées du système. L’une ou l’autre de ces méthodes a donné naissance à de nombreuses techniques, dont les caractéristiques essentielles sont exposées dans les para­ graphes qui suivent. Concentrations en masses discrètes Pour les structures formées d’assemblages de poutres, il est courant de réduire le nombre de degrés de liberté dynamiques en supposant les masses concentrées aux jonctions. Si on néglige l’inertie de rotation des masses concentrées, on réduit ainsi d’un tiers le nombre de degrés de liberté des treillis plans, et de moitié dans le cas tridimensionnel. Si on néglige l’allon­ gement des barres, ce qui revient à ne considérer qu’un nombre réduit de degrés de liberté de translation, l’élimination des degrés de liberté dynamiques de rotation sera beaucoup plus efficace ; lors du calcul dynamique d’ossatures d’immeubles, par exemple, le nombre de degrés de liberté dynamiques est fréquemment inférieur à 10 % du nombre des degrés de liberté utilisés dans l’analyse statique. Dans certains systèmes on parvient à des réductions supplé­ mentaires en supposant les masses concentrées en quelques jonctions seulement. La généralisation de cette idée est cependant beaucoup moins sûre que la simple élimination des degrés de liberté de rotation (qui ne contribuent que de manière très faible à l’énergie cinétique de la structure). L’élimination des degrés de liberté non essentiels se fait généralement par le procédé de‘condensation statique décrit au Chapitre 11, Eq. (11.47). Consi­ dérons par exemple l’équation du mouvement en vibrations libres, Eq. (12.4), écrite sous la forme ktf = co2mv (14-68) où le vecteur de déplacement en vibration v représente tous les degrés de liberté. Si ces déplacements sont à présent décomposés en un sous-vecteur v0 auquel aucune force d’inertie ne correspond, et en un sous-vecteur \ t qui

correspond aux coefficients de masse non nuls, et si on partitionne ainsi les matrices de masse et de rigidité, l’Eq. (14.68) peut s’écrire

[ï:: ïr] P :H [» »°J:]

^ On a supposé dans cette équation que la matrice de masse est diagonale, c’est-à-dire qu’elle correspond à un système de masses concentrées. On obtient l’équation réduite par application de la condensation statique : kt$t = co2mtt\ t (14-70) où kt représente la matrice de rigidité réduite, que l’on peut exprimer sous une forme équivalente à celle de l’Eq. ( 11.47). Bien que le procédé de condensation statique soit bien connu et fréquemment utilisé pour éliminer les degrés de liberté non essentiels des systèmes simples, il n’est pas toujours très efficace avec les grands systèmes. Une solution souvent plus efficace consiste à formuler une matrice de souplesse réduite pour les degrés de liberté désirés : on peut l’obtenir en appliquant de manière successive des chargements unités correspondant à chaque degré de liberté essentiel du système et en calculant les déplacements provoqués aux degrés de liberté essentiels par chacun de ces chargements. L’assemblage des coefficients de souplesse donne la matrice de souplesse réduite it qui est l’inverse de kr Elle peut à son tour être inversée pour former l’équation réduite des vibrations libres sous la forme de l’Eq. (14.70) ; il peut être préfé­ rable d’utiliser la formulation par souplesse équivalente à l’Eq. (14.1), qui s’écrit pour le système réduit : — %=

ÛT

(14-71)

Méthode de Ray/eigh appliquée aux systèmes de coordonnées discrètes La condensation statique est très efficace pour certains types de structures, mais son champ d’application et l’étenduê des réductions possibles sont limités. Les techniques de réduction reposant sur l’utilisation de coordonnées généra­ lisées sont, elles, applicables à n’importe quel type de système ; elles permettent en outre d’atteindre le degré de réduction désiré. L’essence de toutes ces techniques est contenue dans la méthode de Rayleigh, ou sa généralisation connue sous le nom de méthode de Rayleigh-Ritz. La méthode de Rayleigh, que nous avons déjà utilisée pour réduire un système de configuration arbitraire à un système à un degré de liberté, est également applicable si les propriétés de la structure considérée sont exprimées par des matrices rapportées à des coordonnées discrètes. Pour appliquer la méthode, il est nécessaire d’exprimer le déplacement de la structure en fonction d’une déformée supposée et d’une coordonnée généralisée..En notation matricielle, les déplacements supposés en vibrations libres peuvent l ’écrire [on comparera avec l’Eq. (9.5)] : v(0 - ^ Z (0 « ^ Z 0 sin œt

(14-72a)

est la déformée supposée et Z (£) est la coordonnée généralisée représentant l’amplitude. Le vecteur vitesse en vibrations libres est alors t(/) = \jf(oZ0 cos œt

(14-726)

En notation matricielle, l’énergie cinétique maximum de la structure est donnée par : Tm„ = 7 2 0 n*m.* (14-73*) et l’énergie potentielle maximum par : (14-73fe) Si on reporte le déplacement et la vitesse maxima obtenus aux Eqs. (14.72), on a Tmm = ll 2Z 02(û2^ Tm ^ (14-74a) = % Z 02^

(14-746)

La fréquence s’obtient alors en égalant les expressions des énergies potentielle et cinétique maximales suivant le principe de Rayleigh, de façon que 2 = &

L

=

(1 4 -7 5 )

m* L’Eq. (14.75) n’est rien de plus que l’équivalent matriciel de l’Eq. (9.10). La méthode de Rayleigh améliorée, Eqs. (9.20) ou (9.32), peut également être présentée sous forme matricielle. Si on appelle le vecteur d’essai des déplacements v(0) = ^ Z (14-76) alors les forces d’inertie mises en jeu pendant les vibrations libres seront, Eq. (12.33) : f, = a>2mv(0) = o?m^Z (14-77)

la méthode de Rayleigh améliorée est identique à celle obtenue avec un seul cycle de la méthode de Stodola si on utilise la masse comme facteur de pondé­ ration dans le calcul de la moyenne. Méthode de Rayleigh-Ritz Bien que la méthode de Rayleigh fournisse une approximation satisfaisante pour le premier mode de vibration de nombreuses structures, il est souvent nécessaire d’inclure plus d’un mode si on veut obtenir des résultats précis. La généralisation de Ritz de la méthode de Rayleigh est l’une des méthodes les plus commodes pour calculer quelques-uns des premiers modes d’une struc­ ture. L’hypothèse sur laquelle repose la méthode de Ritz est que le vecteur déplacement peut s’exprimer au moyen d’une série de déformées V d’ampli­ tudes Z : v = ÿ i Z x + ^2Z2 + ^3^3 + *** y = ¥Z

(14-80)

Les amplitudes Z des coordonnées généralisées sont inconnues à ce stade. Pour obtenir les meilleurs résultats avec un nombre restreint de coordonnées, chaque vecteur ÿ n doit être choisi comme approximation du vecteur modal vrai corres­ pondant n. De nombreuses autres méthodes ont été proposées pour déter­ miner les vecteurs d’essai : par exemple, le procédé de condensation statique peut permettre de définir un ensemble de déformées destinées au procédé de Ritz. Le fait d’égaler à zéro un ensemble de forces élastiques constitue une contrainte qui rend possible l’expression de l’ensemble des déplacements cor­ respondants en fonction de tous les autres. Ce type de relation est donné par l’Eq.( 11.45), ou, en utilisant la notation de l’Eq.( 14.69) : = ~ k 00 L’ensemble des composantes du vecteur déplacement peut ainsi s’exprimer en fonction des degrés de liberté associés à une force non nulle, en introduisant simplement une matrice unité comme suit :

Les déplacements produits par ces forces d’inertie sont : v(1) = ff/ = co2ïm ^Z (14-78) Ils correspondent à une meilleure approximation du premier mode (Cf. la discussion de la méthode de Stodola) : si cette expression est utilisée dans la méthode de Rayleigh, elle permettra une meilleure approximation que l’hypo­ thèse initiale. En utilisant l’Eq.(14.78) dans les Eqs.(14.73) puis en égalant, on obtient : - T^TTT

<14-79>

C’est l’expression de la méthode de Rayleigh améliorée (méthode R u). En comparant les Eqs.( 14.79) et (14.10), on voit que la fréquence obtenue par

La deuxième matrice est visiblement équivalente aux déformées supposées de l’Eq.( 14.80) ; le vecteur vf représente les coordonnées généralisées Z. On peut utiliser autant de vecteurs d’essai qu’on le désire dans le procédé de Ritz ; en général il est recommandé d’utiliser au moins s déformées initiales *¥ si on veut obtenir s/2 modes et fréquences avec une approximation satisfaisante. Les expressions des énergies cinétique et potentielle maximales du système peuvent s’obtenir en reportant l’Eq. (14.80) dans les Eqs. (14.73), ce qui donne : Tmax = l/2c)2Z T'¥Tm'¥Z

(14-81 a)

Vm. - V i Z ^ k 'F Z

(14-816)

Si on égale ces expressions, on obtient la fréquence , _ z Tf rk y z

£çz)

Z TV Tm V Z

m .Z )

le système devient (k* — co2m*)Z = 0 ’

L’Eq.(14.82) ne constitue bien sûr pas une expression explicite de la fré­ quence de vibration : son numérateur et son dénominateur sont tous deux fonctions des amplitudes Z des coordonnées généralisées, qui ne sont pas encore connues. On utilise pour calculer ces dernières le fait que la méthode de Rayleigh procure une limite supérieure de la fréquence de vibration : autrement dit, toute déformée essayée conduit à une fréquence calculée supérieure à la fréquence vraie. C’est ainsi que le meilleur choix de la déformée, c’est-à-dire le meilleur choix de Z, minimisera la fréquence. En dérivant l’expression de la fréquence par rapport à l’une quelconque des coordonnées généralisées Zn et en égalant à zéro, on obtient fto2 = m(a£/dZ„)— Z(dm/dZn) = Q dZn m2

(14-83)

Mais, d’après l’Eq.( 14.82) k = co2m. Ainsi l’Eq .(14.83) conduit-elle à : §dZn - ~ œ 2Ê dZn = 0

(14-84)

Maintenant, à partir des définitions données à l’équation (14.82), —

dZn

= 2ZTVFrk'F — (Z) = 2ZTŸ Tk^„

dZn

(14-85a)

et de la même manière ~

= 2Zr'FTm^(,

(14-85b)

En reportant les Eqs. (14.85) dans l’Eq. (14.84), on obtient après transposition - coV /m 'F Z = 0

(14-86)

Si on minimise successivement la fréquence par rapport à chacune des coor­ données généralisées, on obtient une équation du type de l’Eq. (14.86) pour chaque déformée ÿ n ; le système d’équations ainsi obtenu s’écrit

(14-88)

où Z représente chacun des vecteurs propres (valeurs relatives de Z) satisfaisant à l’équation aux valeurs propres. On voit en comparant les Eqs.(14.88) et (12.4) que le procédé de RayleighRitz revient à réduire le système à N degrés de liberté représenté par les coor­ données géométriques v, à un système à s degrés de liberté, où s est le nombre de coordonnées généralisées Z et de déformées d’essai correspondantes. L’Eq. (14.80) est l’équation de transformation des coordonnées, et les Eqs.(l4.87) définissent les matrices de masse et de rigidité généralisées (de dimensions s x s). Chaque élément de ces matrices est un coefficient de masse ou de rigi­ dité généralisée ; ainsi : kL = * mTt y n m*mn

=

(14-89a) (14-89 b )

En général les déformées d’essai ÿ n ne possèdent pas les propriétés d’orthogonalité des modes vrais ; en particulier, les termes extraniiagonaux des ma­ trices de masse et de rigidité généralisées ne sont en général pas nuls ; mais un bon choix initial des déformées contribuera à rendre relativement faibles ces termes extra-diagonaux. Dans tous les cas, il sera beaucoup plus facile d’obtenir la réponse dynamique pour le nombre réduit s de coordonnées que pour les N équations originales. L’Eq.(14.88) peut être résolue par n’importe quelle méthode standard de calcul des valeurs propres, et en particulier par la résolution de l’équation caractéristique pour les systèmes n’ayant qu’un nombre restreint de coor­ données généralisées Z. Le vecteur des fréquences zn> où l’indice Z indique qu’ils représentent les modes exprimés dans les coordonnées généralisées. L’ensemble complet des modes en coordonnées gé­ néralisées peut être noté qui représente une matrice s x s. Les coordonnées généralisées Z exprimées en fonction des amplitudes mo­ dales sont, par analogie avec l’Eq.(l3.2) : Z =
04-90)

On peut remarquer que ces modes sont orthogonaux par rapport aux matrices de rigidité et de masse généralisées :

V r kŸZ - û)2'Fr m'FZ = 0 En utilisant la notation k* =

(14-87a)

^zwmVzn = 0

m* =

(14-876)

4>Zn = 0

m # n

/U û n (14-91)

En substituant FEq.( 14.90) dans l’Eq.( 14.80), on peut exprimer les coor­ données géométriques en fonction des coordonnées modales : v = ¥ O zY (14-92) L’approximation des modes en coordonnées géométriques est donc fournie par le produit des déformées d’essai et des modes en coordonnées généralisées : O = yO z

(14-93)

quence, tandis que la répétition de l’amélioration de Ritz permet de calculer simultanément l’ensemble réduit des modes et des fréquences. Cela conduit à la méthode dite d'itération simultanée ou d’itération en sous-espace, sur laquelle nous reviendrons un peu plus loin. 14.6

Notions élémentaires d'itération matricielle

Cette matrice est de dimensions N x s. En substituant les Eqs.(14.87) dans les Eqs.( 14.91) et en utilisant l’Eq.( 14.92) on voit que ces approximations des déformées modales en coordonnées géométriques sont orthogonales par rap­ port aux matrices de masse et de rigidité rapportées aux coordonnées géomé­ triques : elles peuvent donc être utilisées dans une étude dynamique standard par superposition modale. Soulignons que l’amélioration déjà présentée pour la méthode de Rayleigh est applicable à la méthode de Rayleigh-Ritz. Ainsi, par analogie avec l’Eq. (14.79), les expressions améliorées des matrices de masse et de rigidité en coordonnées généralisées sont données par :

Développement de la matrice dynamique selon ses éléments propres Les méthodes de Stodola et de Vianello ne sont que des applications simples d’une même méthode générale (itérative) pour les problèmes d’éléments propres. Bien qu’un traitement exhaustif de ce sujet dépasse le cadre de ce livre, nous envisagerons quelques-unes des notions élémentaires d’itération matri­ cielle dans le contexte de l’étude des vibrations. L’une des opérations fonda­ mentales qui s’avérera utile est le développement d’une matrice en fonction de ses valeurs et vecteurs propres. Dans ce but PEq.( 14.43) sera écrite sous la forme

k* = ¥ rmfm'F

(14-94û)

E 4>n = 4>nK

m* = 4 'rmfmfm'F

(14-946)

où \ n = œn2. Il est évident que les valeurs propres de la matrice transposée sont les mêmes que celles de la matrice originale, mais les vecteurs propres de la transposée d’une matrice non symétrique comme E sont différents de ceux de la matrice originale. Pour la transposée Er le problème d’éléments propres peut donc s’écrire

au lieu des Eqs.( 14.87). Le principal avantage de ces expressions est que les déplacements dus aux forces d’inertie sur la base desquelles elles sont écrites fournissent des approximations très raisonnables des vecteurs modaux à partir d’hypothèses très grossières ; dans le cas de structures importantes et complexes il est très difficile de faire des estimations précises de la forme des modes : ce procédé amélioré permet donc d’obtenir une meilleure approximation des carac­ téristiques générales de chaque mode. Un autre avantage souvent très important est qu’on évite l’utilisation de la matrice de rigidité. En fait, si les déformées initiales sont désignées par et les déformées résultant des forces d’inertie associées au choix initial des déformées désignées par Y*1*, c’est-à-dire Ÿ(1) = fm^°>

(14-95)

alors on peut écrire les Eqs.( 14.94) sous la forme k* = CF<1>)rm'F(0)

( 14. 96a)

m* = ('P<1))Tm'F(1)

(14-966)

Il n’est donc pas non plus nécessaire d’avoir une expression explicite de la souplesse : on doit simplement être en mesure de calculer les déplacements correspondant à un chargement donné (qui dans ce cas est irfF*0*). Ce procédé d’amélioration de la méthode de Rayleigh-Ritz peut être consi­ déré comme le premier cycle d’une résolution itérative, de la même manière que la méthode de Rayleigh améliorée est équivalente à un seul cycle de la méthode de Stodola. Mais cette dernière ne permet d’obtenir qu’un seul mode et sa fré­

=

(14-97)

4>LnK

où Ln est le rtième vecteur propre de Er . La transposition de cette relation donne + e*t E = W ’ (14-98) Les vecteurs propres Ln sont fréquemment appelés vecteurs propres à gauche deE et les (j>n vecteurs propres à droite. La propriété d’orthogonalité des vecteurs propres à gauche et à droite se dé­ montre facilement en prémultipliant l’Eq.(14.97) parle vecteur propre fam : 4>lJ*4n = ï l J t X

(14-99)

On écrit l’Eq.( 14.98) pour le mode m et on postmultiplie par^„ : 4>unT*4>n Soustraire l’Eq.(14.100) de l’Eq.(14.99) donne alors 0 = (An — hatàuJQ*

(14-100)

condition de normalisation supplémentaire. Si par exemple l’Eq.( 14.103) est prémultipliée parr m (noter que E = m-1k), elle devient

qui représente la propriété d’orthogonalité = 0.

(A» / A,)

(14-101)

Si les vecteurs propres sont normalisés pour satisfaire à la condition 4 LnT4>n = 1 (ce qui ne fixe pas l’amplitude de Ln ou n séparément mais seulement leur produit), et si les matrices carrées de tous les vecteurs propres à droite et à gauche sont désignées par O et
= I

(14-102a)

La transposée des vecteurs propres à gauche est donc l’inverse des vecteurs propres à droite 0 Lr = « r 1 (14-1026) Le développement de E peut à présent se démontrer en écrivant l’expression du problème d’éléments propres de l’Eq.( 14.97) pour l’ensemble complet des vecteurs et des valeurs propres : EO = 4>A

(14-103)

où À est la matrice diagonale des valeurs propres. Si on prémultiplie l’Eq. (14.103) par
(14-104)

On peut encore exprimer E en fonction des valeurs et vecteurs propres en prémultipliant l’Eq.( 14.104) par O , en postmultipliant le résultat p a r0 ^ r et en utilisant 14^.(14.1026) : E =
O rkO = O rmOA Si les vecteurs propres à droite sont normalisés de sorte que 0 Tm ^ = I

(14-109)

on voit en comparant la transposée de l’Eq.( 14.102a) et les Eqs.( 14.109) et (14.108) que O l = mO = k $ A -1 (14-110) Résolution itérative du problème d'éléments propres L’Eq.(14.107) constitue une base permettant d’exposer la méthode générale d’itération matricielle dite des puissances, qui permet le calcul des valeurs et vecteurs propres de la matrice dynamique E. Pour effectuer ce qu’on appelle Y analyse directe, une hypothèse doit être faite sur la forme du mode le plus élevé, c’est-à-dire de fréquence la plus élevée, qui sera désigné par Ce vecteur d’essai peut être exprimé sur la base des modes vrais :

V0) = i

(14-111)

11=1

[voir Eq.( 14.13)]. Le processus itératif est initié en calculant un vecteur amé­ lioré v/v*1) en deux étapes. D’abord une forme améliorée est obtenue par la multiplication matricielle f*{1) = Ev„<°>

puis son amplitude est normalisée en divisant par le terme le plus grand T C» =

(14-105)

Ce résultat peut s’exprimer comme la somme des contributions modales :

(14-108)

V ü - = max (vN(1)) max (EvN(0))

(14-112)

De même, le résultat du cycle itératif suivant est donné par

N

E = 2

Kn4>LnT

(14-105fl)

v (2 ) =

N

A présent le carré de la matrice E est E2 =

= 0 A 2O lt

(14-106)

Ev*(1) = EV 0) max (Ev„(1)) max (E2vw(0))

et après s cycles y <*> =

et par multiplication répétée, la sième puissance de E est Es = ® à sO lt

(14-107)

Il faut se rappeler que le développement de l’Eq.(14.l07) est fondé sur la normalisation des vecteurs propres utilisés (
(14-113)

T?SV (0)

------max (E‘V 0))

(14-114)

Après substitution [Eqs.(14.107) et (14.111)], l’Eq.(14.114) devient N (DA’O /O Y

0>AsY

max (E'vN(0))

max (EsvN(0))

max ( E V 0))

Mais cette sommation peut également s’écrire sous la forme

2

v (s) _

N

s

r

N-

1

max ( E V 0)) |

et comme \ N > \ n - i > \ n -2 • •• >par définition, chacun des termes de la sommation restante deviendra négligeable lorsque l’itération aura été effectuée un nombre suffisant de fois. La forme calculée converge finalement vers v»1» -

max (A/^yY*)

max (4>N)

(14-116)

où le mode est normalisé de sorte que le terme le plus grand soit égal à 1. Si l’itération est reprise une fois de plus, v#+1) = Evn(s) = ®AOl t — ^ — = XN max (<N) max il est évident que la valeur propre du mode le plus élevé est donnée par le terme le plus grand du vecteur propre avant normalisation A* = max (v£+1>)

Itération avec décalage Les procédés itératifs décrits précédemment sont des moyens efficaces pour calculer les caractéristiques vibratoires des modes le plus bas et le plus élevé d’une structure. On peut également forcer leur convergence vers le mode voisin si toute contribution du mode le plus bas (ou le plus élevé) est balayée du vecteur d’essai comme il a été expliqué plus tôt. Cependant, la formulation des matrices de balayage nécessaires exige un volume de calculs considérable ; une autre méthode, fondée sur un décalage des valeurs propres, a fait ses preuves dans la pratique. Le décalage peut être utilisé pour l’une ou l’autre des itéra­ tions directe ou inverse, mais il fonctionne au mieux avec l’itération inverse et nous en parlerons dans ce contexte. L’idée essentielle du décalage est la représentation de chaque valeur propre X„ comme la somme d’un déplacement yt et d’un reste Ôn :

(14-117)

Nous avons ainsi montré la convergence du procédé d’itération directe vers la forme et la fréquence du mode le plus élevé. Dans le procédé équivalent qui converge vers le mode le plus bas, appelé itération inverse, le vecteur initial est une estimation de la forme du mode le plus bas v / 0), et l’itération consiste à multiplier le vecteur d’essai par l’inverse de E. Le résultat après le premier cycle, y compris la normalisation, est (0) Vl<1) “ max ------ Æ (oh (E - i1v1(0))

Un dernier commentaire est que l’itération inverse avec la matrice E = iïi-1k revient au même que l’itération directe avec la matrice E-1 = D = fm, et que l’itération directe convergera vers la fréquence la plus basse (comme vu précé­ demment au sujet de la méthode de Stodola). Cependant, dans l’étude de systèmes complexes il est souvent plus pratique de travailler avec la formula­ tion de rigidité E qu’avec la formulation de souplesse D.

(14-118)y

et après s cycles, par analogie avec le procédé d’itération directe [Eq.(l4.115)], le déplacement peut être exprimé comme

A, = ôn + ii

(14-122)

ou, en considérant la matrice diagonale des valeurs propres dans son entier, A = S + fil

(14-123)

où S est la matrice diagonale des restes ; on remarquera que le même décalage est appliqué à toutes les valeurs propres.

Le décalage peut être visualisé comme un déplacement de l’origine, voir Fig. 14.7. Son effet est de transformer le problème de valeurs propres initial en l’étude des restes plutôt que des valeurs propres originales ; cela apparaît

clairement si l’Eq. (14.123) est reportée dans l’Eq. (14.103) : E® = &[ô + fiI]

Vl(s) = -

que l’on peut écrire

max (E

o 4 ' ii9)

[E - fiï] = 0 5

(14-124)

Mais comme < X2 < X3 . . . par définition, chacun des termes de la somma­ tion devient négligeable après un certain nombre d’itérations, et le mode calculé converge vers V ‘> =

max

■ = 4>i

(14-120)

Par analogie avec ce qui précède, la valeur propre correspondante est donnée par x, = --------------(14-121) max (v(1s+1))

-Ô,

7

• X axe [*—

Origine

X2 -----Nouvelle origine

X3

Le terme entre crochets représente une matrice modifiée à laquelle corres­ pondent les valeurs propres résiduelles ô\ cette matrice sera dénotée Ê ÊO = m

(14-125)

Il est clair que l’Eq. (14.125) est entièrement équivalente à l’Eq. (14.103) et que la matrice transformée E a les mêmes vecteurs propres que E. La résolution de ce nouveau problème propre sera effectuée par itération inverse. Par analogie avec l’Eq. (14.118),la première étape du procédé peut être exprimée comme v

= max (Ê_1vm(0>)

où vm^ est une approximation initiale de la forme du m ième mode. Après s cycles, le résultat est (0) v,

2 àn snYn

max (Ê svm(0>)

En choisissant des déplacements convenables, on peut ainsi faire converger le procédé d’itération inverse vers n’importe quel mode, ou tous les modes, de la structure. Comme de plus la convergence se trouve accélérée si on décale vers un point très proche de la racine recherchée, il est bon d’ajuster le décalage correspondant en cours d’itération. Une bonne approximation de la valeur du déplacement peut se déduire de l’Eq. (14.10) : V m ^ w r 1»

(14_129)

Il est certain que le procédé du décalage sera moins efficace que l’itération directe (qui converge vers la racine la plus haute) car seuls le premier ou le dernier des résidus (ô t ou ôN) peuvent alors être rendus les plus grands par décalage. Avec l’itération inverse, en revanche, le résidu de n’importe quel mode peut être rendu le plus petit par un choix judicieux du déplacement. Une légère modification de ce procédé d’itération inverse s’avère avanta­ geuse dans les calculs relatifs à certains types de structures. Considérons l’équa­ tion des vibrations libres écrite sous la forme de l’Eq. (12.33) :

max (Ê svm(0>)

Hn =

qui peut être réécrit

Un décalage de déplacement /a = œn2 - S„ mène à k „ = (ji + ôn)m„ (14-126)

(k -

où Ôm représente le plus petit vecteur propre résiduel, à savoir l<5ml < <5m+i < 5m+2 • • •

et

\Sm\ < -<5m_i < - ô m. 2 ■• •

Il est donc clair que les deux sommations de l’Eq. (14.126) deviendront négligeables après un nombre suffisant d’itérations, et la forme de mode calculée converge vers Vm( l)------- ------------------------- - K max (ôm mYm) max

que l’on peut écrire

(14-127)

On voit que l’itération inverse avec décalage des valeurs propres converge vers le mode dont la fréquence est la plus proche de la valeur du déplacement ; par exemple, il convergera vers le second mode dans le cas de la Fig. 14.7. Par analogie avec l’Eq. (14.121) on peut voir que la valeur propre résiduelle relative à ce mode est donnée par le terme maximum du vecteur propre calculé avant normalisation : ô 1 m m ax(v£+1)) La véritable valeur propre est obtenue en additionnant le déplacement 1 max (v£+1)) (14-128)

= Ônm4>n

(14-130)

Si on prémultiplie par m- 1 , le résultat sera identique à l’Eq. (14.124) car E = m- 1 k. Mais si m et k sont toutes deux des matrices à bande étroite (comme c’est fréquemment le cas avec les idéalisations par éléments finis), un volume de calculs probablement plus limité sera nécessaire si l’itération est effectuée directement avec l’Eq. (14.130). (Mais la matrice produit E = m-1 k sera pleine même si m et k sont deux matrices bandes.) L’itération reposant sur l’Eq. (14.130) est initiée en prenant un vecteur d’essai \ n^ et en le multipliant par la matrice de masse pour obtenir le vecteur produit wn^ = iïlvw^ . La forme itérative de l’Eq. (14.130) devient ainsi Êvn(1> = mvn(0> = ww(0)

(14-131)

OÙ k = k - /i m est la matrice de rigidité après décalage. Enfin, cette équation Mt résolue pour donner le vecteur modal amélioré ; par analogie avec l’Eq. (14.118), le résultat peut s’exprimer comme v d) = — K ^w" ■— max (£ 1wn(0))

(14-132)

La résolution de l’Eq. (14.132) doit exploiter pleinement la configuration en bande de k (qui aura la même largeur de bande que k dans des circonstances normales). Au lieu d’effectuer une inversion directe de k, la solution sera

obtenue plus efficacement avec une décomposition de Choleski : la matrice de rigidité décalée est décomposée sous la forme £ = LLT

qui est équivalent à l’Eq. (14.133) écrite pour des vecteurs multiples et sans décalage. Les déformées améliorées non normalisées sont obtenues en résolvant l’Eq. ( 14.136) :

(14-133)

où L est une matrice triangulaire inférieure. La résolution donnant le vecteur amélioré mais non décalé s’effectue alors en 2 étapes : 1 Calculer le yn^ de l’équation Lyn^ = (réduction) 2 Calculer le vw(1^ de l’équation LT\ n^ = y j® (substitution) Chacune de ces deux équations est facilement soluble en raison de la forme triangulaire de L. Comme l’itération inverse de l’Eq. (14.132) nécessite une multiplication matricielle supplémentaire à chaque itération [par rapport à l’Eq. (14.118)] lors du calcul de ww = mvw, cette version de la méthode sera avantageuse seulement si la matrice de rigidité k présente une bande très étroite : dans ce cas seulement l’efficacité de la résolution compensera l’opé­ ration matricielle supplémentaire. Itération de sous-espace

y (1) = k _1w(0)

et comme expliqué plus haut, il sera plus efficace d’utiliser la décomposition de Choleski de k [Eq. (14.131)] plutôt que son inverse lors de la résolution. Avant de pouvoir utiliser les déformées améliorées de l’Eq. (14.137) dans une nouvelle itération, il faut les modifier de deux manières : les normaliser afin de préserver des ordres de grandeur raisonnables dans les calculs, et les orthogonaliser afin que chaque vecteur converge vers un mode différent (plutôt que tous vers le mode le plus bas). Ces opérations peuvent se faire de diverses manières; il sera commode de les effectuer toutes les deux à la fois par un calcul d’éléments propres de Ritz : les matrices de rigidité et de masse en coordonnées généralisées et relatives à la première itération se calculent comme suit, voir Eqs. (14.87) : kî =

= ïp(1):rm¥ (()) m* = V 1)rm f (1)

On a jusqu’à présent considéré un seul mode à la fois. Mais on peut géné­ raliser la méthode pour traiter simultanément un nombre quelconque de vecteurs ; sous cette forme on peut considérer cette méthode comme une généralisation du procédé d’amélioration de la méthode de Rayleigh-Ritz. Il sera commode d’utiliser ici la notation de la méthode de Ritz. Afin d’obtenir un système de p modes et fréquences assez précis, il est désirable de commencer avec un nombre q de vecteurs d’essai qui soit un peu plus élevé. Ces vecteurs d’essai étant repérés par l’indice supérieur (0), les déplacements peuvent être exprimés [voir Eq. (14.80)] comme v(o> = ijr«>)Z(0 ) = tp(0)

(14-134)

où la matrice des coordonnées généralisées initiales est une matrice identité (ce qui signifie que les vecteurs d’essai sont les déformées de Ritz supposées ^(°>) Pour les grands systèmes auxquels cette méthode s’applique généralement, il est important de profiter des propriétés de bande des matrices de masse et de rigidité ; l’équation des vibrations libres s’écrit donc sous la forme de l’Eq. (12.33), soit, pour le système de p valeurs et vecteurs propres : k = mOA

(14-135)

L’introduction des q vecteurs d’essai au second membre de cette équation mène à

k*F(1) = m ^(0) = w(0)

(14-136)

(14-137)

(14-138)

où les indices repèrent les valeurs de la première itération ; le problème d’éléments propres correspondant k*2(1) = m î z ^ n , 2

(14-139)

est alors résolu pour obtenir les modes en coordonnées généralisées et les fréquences . On peut utiliser n’importe quelle méthode disponible pour déterminer les éléments propres de l’Eq. (14.139), mais comme ce système d’équations est bien plus petit que le problème original (q « N ), un petit programme standard suffira généralement. Il sera commode de normaliser le vecteur modal des coordonnées généralisées de manière que 2 (1)Tm î2 (1) = I Si on utilise les vecteurs normalisés rapportés aux coordonnées généralisées, les vecteurs d’essai améliorés seront donnés par vd) = y(D = ç(i>z;(i)

(14-140)

Le processus entier peut alors être repris dejnanière itérative, en calculant les déformées améliorées non normalisées comme indiqué à l’Eq. (14.137), puis en résolvant le problème d’éléments propres de Ritz corres­ pondant [Eq. (14.139)] pour régler la question de la normalisation et de l’orthogonalisation : 2) = Ç(2>2(2)

etc. Après un certain nombre d’itérations le processus convergera vers les modes et les fréquences vraies : *ff(s) _►O quand s -> 00’ (14-141) a 52 à En général les modes les plus bas convergent le plus rapidement, et le processus n’est poursuivi que jusqu’à ce que tous les p modes désirés soient obtenus avec la précision voulue. Les q - p vecteurs d’essai supplémentaires accélèrent la convergence ; mais comme il est évident qu’ils provoquent également des calculs supplémentaires, il faut rechercher un équilibre raisonnable entre le nombre de vecteurs utilisés et le nombre d’itérations requises pour la conver­ gence. L’expérience a montré qu’un choix raisonnable était donné par le plus petit d’entre q = 2 p etq = p + 8. La méthode du sous-espace, ou d’itération simultanée, s’avère être l’une des méthodes les plus efficaces pour la résolution de problèmes de grande taille en vibration des structures, avec un maximum d’environ 40 modes demandés pour des systèmes ayant de quelques centaines à plusieurs milliers de degrés de liberté. On peut la considérer comme une technique de réduction de coordonnées de Rayleigh-Ritz, mais son grand avantage est que les coordonnées modales qui résultent peuvent être obtenues avec n’importe quelle précision. Toutes les autres techniques de réduction de coordonnées contiennent des approximations qui rendent incertaine la précision des résultats finaux ; l’itération de sous espace est donc fortement conseillée dans les applications pratiques.

mation requise dépend de la forme de la matrice de masse. Deux cas seront envisagés ici : (1) une matrice de masse diagonale représentant un système à masses concentrées et (2) une matrice de masse quelconque (non diagonale) qui pourrait par exemple provenir d’une formulation cohérente du type éléments finis, ou qui pourrait être la matrice de masse généralisée provenant d’une analyse de Rayleigh-Ritz. Dans les deux cas, la matrice de transfor­ mation qui permet de passer de l’Eq. (14.142) à l’Eq. (14.143) s’obtient en décomposant la matrice de masse en un produit de deux matrices qui sont transposées l’une de l’autre. Matrice de masse diagonale Dans ce cas la matrice de transformation s’obtient de manière très simple comme la racine carrée de la matrice de masse, car m = m1/2m1/2

et la matrice racine carrée se calcule en prenant simplement la racine carrée des éléments diagonaux (la matrice diagonale reste inchangée dans une transpo­ sition). La transformation de l’Eq. (14.142) est effectuée en exprimant ses vecteurs propres comme = m “ 1/2yrt (14-144) où l’inverse est formée avec les inverses des éléments diagonaux de m1^2. La substitution de l’Eq. (14.144) dans l’Eq. (14.142) et la prémultiplication par m-1/2 mène à m “ 1/2km ~1/2y„ = y X

14.7 Forme symétrique de la matrice dynamique

Dans ce qui précède, l’équation des vibrations libres =• mnXn

(14-142)

a été transformée par prémultiplication par m-1 pour obtenir le problème d’éléments propres [Eq. (14.97)] En = et un certain nombre de techniques de résolution ont été considérées. On peut cependant remarquer que la matrice E = m - 1 k est asymétrique, bien que m et k soient toutes deux symétriques, et ce problème ne peut donc pas être résolu par les méthodes courantes les plus efficaces, qui ne s’appliquent qu’aux problèmes d’éléments propres symétriques (par exemple la méthode de Householder). Pour cette raison il serait désirable de pouvoir transformer le problème d’éléments propres général de l’Eq. (14.142) en la forme symé­ trique standard By„ = y„A„ (14-143) La transformation de la forme générale sous la forme standard peut s’effectuer par manipulation de la matrice de masse, et le type de la transfor­

(14-145)

qui est de la forme de l’Eq. (14.143) avec B = m ~ ^ 2km . La résolution de ce problème symétrique d’éléments propres mène donc directement aux fréquences de l’équation originale (14.142) ; les vecteurs propres yn de ce nouveau système doivent être transformés pour obtenir les modes de vibration à l’aide de l’Eq. (14.144). 11 est évident que cette technique de transformation ne peut s’appliquer si même un seul des éléments de masse diagonaux est nul. Il est donc nécessaire d’éliminer ces degrés de liberté par condensation statique, Eq. (14.70), avant d’effectuer la transformation vers la forme symétrique standard. Matrice de masse cohérente Deux méthodes de transformation s’offrent à nous dans le cas où la matrice de masse est en bande au lieu d’être diagonale. La plus sûre des deux repose sur le calcul des valeurs propres vn et vecteurs propres tn de la matrice à partir de l’équation = twvw Les vecteurs propres de cette matrice symétrique satisfont aux conditions d’orthogonalité tm TXn = 0 (si m # ri) ; s’ils sont également normalisés de

manière que tnT tn = 1, l’ensemble complet des vecteurs propres T est ortho­ normal : TrT = I

* Tr = T -1

[Cette expression correspond à l’Eq. (14.102æ) ; remarquer que les vecteurs propres à gauche et à droite sont identiques dans le cas d’une matrice symétrique.] Enfin, la matrice de masse peut être exprimée en fonction de ces vecteurs propres et de l’ensemble de valeurs propres v, par analogie avec l’Eq. (14.105) : m = TvTT

(14-146)

En vertu de l’Eq. (14.146) on voit clairement que la matrice de transfor­ mation est Tv1/2 ; la transformation de l’Eq. (14.142) s’effectue donc en exprimant ses vecteurs propres comme
(14-147)

En reportant dans l’Eq. (14.142) et en prémultipliant par v~1/7T'r on obtient alors (v“ 1/2TrkTv“ 1/2)y„ = ynA„

(14-148)

où l’Eq. (14.146) a servi à simplifier le second membre. L’Eq. (14.148) est de la forme de l’Eq. (14.143) avec B = v “ 1/2Tt KTv“ 1/2; la résolution de ce problème symétrique d’éléments propres donne donc directement les fréquen­ ces de vibration recherchées, et les modes de vibration s’obtiennent à partir des vecteurs propres yn par l’Eq. (14.147). Comme cette transformation requiert la résolution d’un problème d’éléments propres préliminaire de l’ordre du problème propre original, il apparaît que l’utilisation d’une technique de calcul de vibrations fondée sur la résolution du problème symétrique, Eq. (14.143), sera relativement coûteuse si la matrice de masse n’est pas diagonale. Il est possible de parvenir à une transformation plus simple en effectuant une décomposition de Choleski de la matrice de masse, à savoir m = LLr où L est la matrice triangulaire inférieure - voir la décomposition de k dans l’Eq. (14.133). On peut alors effectuer la transformation comme il a été dit ci-dessus où (Lr )-1 prend la place de Tv-1^2 dans l’Eq. (14.147), ou de m ^1/2 dans l’Eq. (14.144). Mais dans de nombreux cas réels le problème d’éléments propres résultant de la transformation de Choleski est très sensible, et difficile à résoudre avec précision. Pour cette raison, la décomposition de l’Eq. (14.146) est préférable dans la plupart des cas, bien qu’elle soit plus chère.

14.8 Etude des structures sans appuis

Les structures dépourvues d’appuis extérieurs ou seulement partiellement appuyées posent un problème particulier car la matrice de rigidité est singu­ lière et les fréquences de vibration correspondant aux mouvements de corps rigide sont nulles. La résolution de l’équation caractéristique et d’autres méthodes mathématiques formelles peuvent traiter directement un système dynamique dont la matrice de rigidité est singulière ; mais il est évident que la méthode de Stodola —ou toute autre méthode utilisant directement l’inverse de la rigidité — ne peut être appliquée sans modification. Nous exposons à présent trois des méthodes les plus simples permettant de tourner la difficulté. La manière la plus directe de traiter une structure sans appuis est de la modifier en ajoutant de petits ressorts de rappel fictifs aux degrés de liberté non appuyés. Il faut d’abord déterminer un ensemble minimum de contraintes permettant d’empêcher tout mouvement de corps rigide. Puis si on place un ressort entre la structure et le sol le long de chacun de ces degrés de liberté, la singularité de la matrice de rigidité disparaîtra. On représente ces ressorts en ajoutant des termes aux éléments diagonaux de la matrice de rigidité qui correspondent à ces degrés de liberté. Si les rigidités de rappel ainsi ajoutées sont très faibles par rapport aux coefficients originaux de la matrice de rigidité, elles auront un effet négligeable sur les modes de vibration et leurs fréquences ; on trouvera ainsi un ensemble supplémentaire de modes de corps rigide, qui aura des fréquences bien plus basses que les autres modes de déformation. Le programme d’ordinateur peut introduire automatiquement ces rigidités de rappel si le problème d’éléments propres est résolu par itération inverse. Si les équations de rigidité sont résolues par décomposition de Choleski ou de Gauss, toute singularité mène à un zéro diagonal et arrête la décomposition ; mais on peut écrire le programme de manière que chaque zéro diagonal soit remplacé par un petit nombre qui représente le ressort ; de cette manière les singularités se trouvent éliminées et le processus de décomposition peut être mené à bien. Un effet semblable peut être obtenu.au moyen d’un décalage de valeurs propres. Comme [k - im]+H= ônmn

(14-130)

il est évident que la matrice de rigidité décalée k = k —iim sera en général non singulière, même si k est singulière. Si la matrice de masse est diagonale, l’introduction d’un décalage négatif provoque l’addition d’une quantité positive aux éléments diagonaux de la matrice de rigidité : cela revient donc à lier un ressort à chaque degré de liberté. La principale différence entre cette technique et la méthode physique suggérée en premier lieu est qu’un “ressort” est associé à chacun des coefficients de masse, et pas seulement à un ensemble minimum. La méthode du décalage a l’avantage de ne pas modifier les modes, et de prendre en compte l’effet des fréquences de manière exacte. Ces deux méthodes sont bien adaptées à la résolution par ordinateur des systèmes complexes et de grande taille. Avec un ordinateur moderne les calculs

seront effectués avec un nombre de chiffres significatifs suffisant pour permet­ tre aux raideurs des ressorts artificiels d’être de plusieurs ordres de grandeur plus faibles que les coefficients de rigidité originaux; les contraintes artificielles n’auront alors pas d’effet sensible sur les résultats en déformation et en vibration ; mais si les calculs doivent se faire à la main, avec un nombre plus modeste de chiffres significatifs et moins de degrés de liberté, il pourra être préférable d’utiliser une méthode différente. Il s’agira essentiellement d’une méthode de transformation de Ritz, où les déformées supposées sont choisies pour satisfaire aux conditions de corps rigide de l’équilibre dynamique. On partitionne l’ensemble complet des degrés de liberté v en regroupant l’ensemble qui correspond au système d’appuis minimum vs ; ceux qui restent sont notés vr ; ainsi : (14-149)

On peut enfin exprimer le vecteur complet des déplacements en fonction de vr de la manière suivante : 1^ Tm] V' ou encore v = Srvr

/ / = co2mv En partitionnant la matrice de masse pour qu’elle corresponde à l’Eq. (14.149), on obtient f, = (o2[ms mr] | y |

(14-150)

Si ces forces d’inertie sont en équilibre, elles n’effectueront aucun travail lors d’un déplacement de corps rigide; en considérant tous les mouvements de corps rigide, on obtient : W t, =

mr] | y ] = 0

(14-151)

que l’on peut écrire comme + .Tm jr. + sTmr\ r = 0

(14-152)

La résolution de cette équation donne les déplacements d’appuis suivants : v. = - t t / m j - »

rv.

(14-153)

(14-155)

où Sr est la matrice rectangulaire de transformation de l’Eq.(14.154). On peut à présent rapporter le problème d’éléments propres directement aux degrés de liberté indépendants \ r, en utilisant Sr comme une transforma­ tion de Ritz standard. Autrement dit, on calcule les masse et rigidité généra­ lisées par

m* = SrTmSP On peut définir pour la structure un système d’allures de déplacements de corps rigide. Pour une structure de l’espace non appuyée, ces allures seront des translations et des rotations par rapport à chacun des axes perpendi­ culaires ; si la structure est partiellement appuyée, certains de ces motifs disparaîtront. L’ensemble des motifs de corps rigide relatifs à une structure donnée seront désignés par^s, où le nombre de colonnes correspond au nombre d’éléments de vr La relation entre vs et les degrés de liberté restants est donnée par la condition suivant laquelle les forces d’inertie agissant lors des vibrations libres sont en équilibre dynamique. Ces forces d’inertie peuvent s’exprimer par

(14-154)

et

k? = S /k S P

et on résout alors le problème d’éléments propres d’ordre réduit kr*fr = o)2m*i>r

(14-156)

pour obtenir les modes vr et leurs fréquences. Les degrés de liberté vs peuvent alors se calculer avec l’Eq.(14.153). Remarquons enfin à propos de cette méthode que les contraintes d’équilibre de l’Eq.(14.151) peuvent être interprétées comme une condition d’orthogonalité entre les modes de déformation en vibration et les modes de déplacement rigide 4>s. On peut avec la même optique considérer la matrice de transformation Sr de l’Eq.(14.155) comme une matrice de balayage qui élimine les compo­ santes rigides des déplacements vr. En fait, l’expression de l’Eq.(14.154) peut mener à la déduction d’une matrice de balayage permettant la détermination des modes d’ordre supérieur d’une structure stable complètement appuyée. A ces fins 4>s représentera les m déformées de vibration qui ont déjà été calculées pour les modes d’ordre inférieur, et v, représentera les m premiers éléments du vecteur complet des déplacements, v. Pour une résolution à la main, ce type de matrice de balayage peut être préférable à celui qui provient de l’Eq.( 14.42), car l’ordre des matrices se trouve réduit du nombre de composantes modales balayées. Mais l’inversion manuelle de devient rapidement inextricable si plus de quatre ou cinq modes sont à calculer. De manière générale une réduction de l’ordre du problème sous la forme de l’Eq. (14.154) ne vaudra la peine que si le nombre total de degrés de liberté est faible (de sorte que la réduction soit sensible). Dans l’étude de grands systèmes la réduction du nombre d’équations a peu d’impact, et le système transformé [Eq. (14.156)] requiert en fait souvent plus de calculs car les propriétés de bande de k et de m sont perdues dans la transformation. Pour cette raison, on préfère en général les deux premières méthodes dont il a été question ici lorsqu’il s’agit d’écrire un programme d’ordinateur de grande capacité.

Problèmes

14.1

14.2 14.3 14.4 14.5

14.6 14.7 14.8

Calculer la forme et la fréquence du mode fondamental de vibration relatif au bâtiment du Prob.93 par utilisation de la méthode de Stodola (itération matricielle). La matrice de souplesse peut être obtenue à partir de la rigidité d’effort tranchant relative à chaque étage, soit par inversion de la matrice de rigidité, soit par application d’une charge unité successi­ vement à chaque étage, puis calcul des déplacements résultants à chaque étage. Calculer la forme et la fréquence du mode le plus élevé relatif au bâti­ ment du Prob. 14.1, par itération matricielle. Reprendre le Prob. 14.1 avec les caractéristiques du Prob. 9.4. Reprendre le Prob. 14.2 avec les caractéristiques du Prob. 9.5. Calculer la forme et la fréquence du second mode relatif au bâtiment du Prob. 13.4, par itération matricielle. Pour former la matrice de balayage du premier mode SÏ9 utiliser la forme donnée du premier mode^x et l’Eq .(14.154). Reprendre le Prob. 14.5 en utilisant l’expression de la matrice de balayage de l’Eq.(14.29). Reprendre le Prob. 14.5en utilisant l’itération inverse avec décalages, en suivant l’Eq.(14.125) et la discussion qui la suit. On pourra utiliser un décalage ju = 98 % (cj2)2; pourco2 se reporter au Prob. 13.4. La Fig. P14.1 représente une poutre avec trois masses concentrées, ainsi que ses matrices de souplesse et de rigidité. Par itération matricielle (méthode de Vianello), déterminer la force axiale Ncr qui provoquera le flambage de cette poutre. Utiliser l’approximation linéaire, Eq.( 11.36), pour exprimer la rigidité géométrique de la poutre.

=^=

f=

“8 7 486 E l -8

7 8 -1 0

“ 92 —8~ —10 ; k = -8 8 24 -6

Fig. P14.1

14.9

-8 8 128 24

(~

24 15

243 E l 84 L 3

Flambage d'une poutre.

Par itération matricielle, calculer la fréquence de vibration de la poutre du Prob. 14.8 si la force axiale a la valeur jV = 2EI/L1. 14.10 Calculer la forme et la fréquence des deux premiers modes de vibration du bâtiment du Prob. 14.1, en utilisant la méthode de Holzer. 14.11 En utilisant la technique de la matrice de transfert, Eqs.( 14.62) et (14.63), vérifier la fréquence et la forme du mode fondamental de la poutre en console du Prob. 13.1.

14.12 Le portique à quatre étages de la Fig. P14.2 a la même masse concentrée m dans chaque poutre rigide, et la même rigidité d’étage à étage k dans les colonnes de chaque étage. En utilisant les fonctions de déformée linéaire et quadratique données i//,* comme coordonnées généralisées, déterminer la forme et la fréquence des deux premiers modes de vibra­ tion par la méthode de Rayleigh-Ritz, Eq.( 14.88).

1.00 0.75 0.50 0.25

777ÿy77777777777777777/

1.00 0.56 0.25 0.06

Fig. P14.2 Bâtiment élevé.

14.13 Reprendre le Prob. 14.12 en utilisant les expressions “améliorées” de l’Eq.( 14.96) pour définir les caractéristiques de masse et de rigidité en coordonnées généralisées.

15

Etude des systèmes non linéaires

■ 15.1 Introduction

Dans ce qui précède on a supposé que les structures étaient linéaires, c’est-àdire que leurs forces dynamiques résistantes étaient liées aux vecteurs d’accélé­ ration, de vitesse ou de déplacement par des coefficients d’influence linéaires. Il a ainsi été possible de calculer des allures et des fréquences de modes de vi­ bration, et de rapporter la réponse à des coordonnées modales. Cette méthode a le très grand avantage de donner souvent une estimation satisfaisante de la réponse dynamique avec seulement quelques modes de vibration, même pour des systèmes ayant des centaines de degrés de liberté, et de réduire ainsi le volume des calculs de manière sensible. Cependant, ainsi que nous l’avons signalé à propos des systèmes à un degré de liberté, il existe de nombreux cas où les caractéristiques physiques ne peuvent pas être assimilées à des constantes lors de la réponse dynamique. Les coefficients d’influence de rigidité peuvent subir l’effet de la plastification des matériaux, ou de modifications sensibles des forces axiales dans les éléments de la structure (provoquant une évolution des coefficients de rigidité géomé­ trique). Il est encore possible que les coefficients, soit de masse, soit d’amor­ tissement, subissent une évolution lors de la réponse dynamique. Toute évo­ lution de ce type modifiera les caractéristiques des vibrations du système (et en fait la notion même de vibrations libres n’est plus applicable à un système non linéaire), et le découplage des équations du mouvement à l’aide des coor­ données principales n’est pas possible. La seule méthode applicable de manière générale à l’étude des systèmes non linéaires quelconques est l’intégration numérique pas à pas des équations couplées du mouvement. Ce procédé peut en effet être adapté au cas de sys­ tèmes à plusieurs degrés de liberté (voir l’étude des systèmes non linéaires à un degré de liberté décrite au Chapitre 8). L’historique de la réponse est divisé en courts incréments de temps égaux entre eux, et la réponse dans chaque incrément est calculée pour un système linéaire ayant les caractéristiques du début de l’intervalle. A la fin de l’intervalle les caractéristiques sont modifiées

conformément à l’état de déformation et de contrainte à cet instant ; l’étude non linéaire est donc effectuée par une suite d’études de systèmes linéaires successifs. Comme nous l’avons dit au Chapitre 8, la méthode d’intégration pas à pas s’applique également aux structures linéaires, auquel cas les calculs sont gran­ dement simplifiés parce qu’il n’est pas nécessaire de modifier les caractéris­ tiques de la structure à chaque fois. Dans certains cas il peut être avantageux d’utiliser cette intégration directe plutôt que la superposition des modes, car elle ne requiert pas le calcul des allures et des fréquences des modes de vibra­ tion. En général, l’intégration directe pas à pas tend à être des plus utiles dans le calcul de la réponse des structures complexes à des charges impulsives de courte durée (qui tendent à exciter de nombreux modes de vibration), à condition que l’histoire de la réponse recherchée soit de durée relativement courte. Il existe une difficulté potentielle dans l’intégration pas à pas de la réponse des systèmes à plusieurs degrés de liberté : la matrice d’amortissement c doit être définie explicitement, et non en fonction de facteurs d’amortissement modaux. Il est très difficile de déterminer tous les coefficients d’influence d’amortissement. En général, le procédé de calcul le plus efficace consiste à estimer les valeurs des facteurs d’amortissement modaux des modes jugés importants, et à calculer ensuite une matrice d’amortissement orthogonale de la manière indiquée au Chapitre 13. Cependant on peut considérer que le fait que la matrice d’amortissement soit définie explicitement et non par des rapports d’amortissement modaux accroît la généralité de la méthode pas à pas par rapport à la superposition des modes. Il n’est pas nécessaire de découpler les réponses modales; la matrice d’amortis­ sement ne doit donc pas nécessairement satisfaire aux conditions d’orthogonalité modale. On peut utiliser n’importe quel ensemble de coefficients d’amortis­ sement dans les calculs, et ils peuvent représenter des amortissements entièrement différents dans différentes parties de la structure. Dans l’étude de la réponse sismique d’un bâtiment par exemple, il peut être désirable d’utiliser pour les fondations des coefficients représentant un facteur d’amortissement élevé, tout en choisissant pour la superstructure des coefficients représentant un facteur d’amortissement bien plus bas. Enfin, on peut remarquer que la transformation en coordonnées principales peut être utile même à l’étude de systèmes non linéaires. Les modes de vibra­ tions libres sans amortissement serviront à découpler les équations du mouve­ ment seulement dans la mesure où la matrice de rigidité reste inchangée par rapport à l’état pour lequel l’étude des vibrations a été faite. Dès que la rigidité change, pour cause de plastification par exemple, la transformation des coordonnées principales introduira des termes extra-diagonaux dans la matrice de rigidité généralisée, qui provoqueront un couplage des équations modales de réponse. Cependant, si les mécanismes non linéaires de déformation de la struc­ ture ne provoquent pas de modifications majeures dans ses motifs de déplace­ ment, on pourra toujours exprimer la réponse dynamique de manière efficace en fonction des modes non amortis originaux. Ainsi, il vaudra souvent la peine de calculer la réponse d’une structure complète par intégration directe pas à pas d’un ensemble limité d’équations de mouvement en coordonnées princi­

pales, malgré le fait que les équations deviendront couplées dès qu’une nonlinéarité sensible apparaîtra dans la réponse. Ce traitement d’un système avec couplage par rigidité des équations en coordonnées principales est équivalent à la méthode suggérée plus tôt à propos de l’étude des systèmes dont la ma­ trice d’amortissement est telle qu’elle introduit un couplage en coordonnées principales. 15.2

Equations incrémentales de l'équilibre

L’équation exprimant l’équilibre des incréments de force qui se produisent lors d’un incrément de temps At peut être obtenue sous la forme d’un équi­ valent matriciel de l’équation incrémentale du mouvement d’un système à un degré de liberté, Eq.(8.2). Si on effectue la différence entre les équations d’équilibre définies pour les instants t et t + At on trouve l’équation incré­ mentale de l’équilibre : Af,(f) + AfD(f) + Afs(0 = Ap(/)

(15-1)

Par analogie avec l’Eq.(8.3), les incréments de force peuvent s’exprimer comme Af,(f) = f ,(f + A/) - f,(0 = m Av(f) AfD(f) = fD(t + Af) - ffl(f) = c(f) Av(?) Afs(f) = fs(f + Af) - fs(f) = k(f) Av(f) Ap(0 = p (f + Af) - p(f)

où on a supposé que la masse m est constante dans le temps. Les éléments des matrices incrémentales d’amortissement et de rigidité c(f) et k(f) sont des coefficients d’influence c/;-(f) et k ^ t) définis pour un certain incrément de temps ; des représentations de ces coefficients appa­ raissent en Fig. 15.1. Comme dans le cas des coefficients relatifs à un seul degré

F»9. 15.1

Définition des coefficients d'influence non linéaires : (a) amortissement visqueux non linéaire c;y ; ib) rigidité non linéaire £;y.

de liberté, il est commode d’utiliser la tangente initiale plutôt que la sécante pour mesure de l’amortissement ou de la rigidité, afin d’éviter d’itérer à chaque étape de la résolution. Les coefficients d’influence sont donc donnés par

w

-(t).

< i5 - 3 )

Si on reporte les Eqs. (15.2) dans l’Eq. (15.1), l’équation incrémentale du mouvement devient mAv(f) + c(/) Av(r) + k(f) Av(f) = Ap(f)

(15-4)

Les expressions des forces incrémentales, premier membre de l’Eq. (15.4), ne sont que des approximations en raison de l’utilisation des valeurs tangentes initiales pour c(f) et k(f). Mais on pourra éviter l’accumulation d’erreurs qui risque d’en découler si on calcule l’accélération relative au début de chaque incrément de temps sur la base de l’équilibre total des forces à cet instant, comme dans le cas d’un système à un degré de liberté. 15.3

Intégration pas à pas : méthode de l'accélération linéaire

A*(0 = 1 Ay(t) At

L’opération de base lors de la résolution pas à pas des équations différen­ tielles du mouvement, Eqs.(15.4), est leur conversion en un ensemble d’équa­ tions algébriques. On y parvient en introduisant une relation simple entre déplacement, vitesse et accélération, relation que l’on suppose valable pendant un court incrément de temps. On peut ainsi exprimer les évolutions incrémen­ tales de vitesse et de déplacement en fonction des évolutions de l’accélération, ou encore les évolutions de vitesse et d’accélération en fonctions des déplace­ ments incrémentaux. Dans l’un ou l’autre cas, seul un vecteur d’inconnues subsiste dans les équations incrémentales de l’équilibre et on peut les calculer par n’importe quelle méthode standard de résolution d’équations simultanées. Comme nous l’avons vu à propos des systèmes à un degré de liberté, la relation entre déplacement, vitesse et accélération peut être établie de manière commode en supposant un certain motif de variation du vecteur des accélé­ rations avec le temps. Pour un système à plusieurs degrés de liberté, il est commode d’adopter l’hypothèse d’accélération linéaire déjà utilisée au Cha­ pitre 8, ce qui mène alors à une variation quadratique du vecteur des vitesses et à une variation cubique du vecteur des déplacements. On peut définir la méthode d’analyse à plusieurs degrés de liberté exactement comme au Cha­ pitre 8, et par analogie avec les Eqs. (8.8) et (8.9) les résultats finaux s’écrivent k (0 Av(0 = AfKO 0Ù

L’Eq.(15.5) a la forme d’une équation statique^tandard de rigidité écrite pour le vecteur déplacement incrémental Av(f) où k(f) et Ap(f) peuvent être interprétés comme la matrice de rigidité dynamique effective et comme l’incré­ ment de charge effective. Le calcul s’effectue en calculant k(f) à partir des caractéristiques de masse, d’amortissement et de rigidité définies pour les condi­ tions existant au début de l’incrément de temps, et en calculant A"p(f) à partir des vecteurs de vitesse et d’accélération au début de l’incrément, ainsi que de l'incrément de charge spécifié pendant le pas. L’incrément de déplacement Ay(t) est alors calculé en résolvant l’Eq.(15.5) par n’importe quelle méthode standard de résolution d’équations statiques. La décomposition de Gauss ou de Choleski est fréquemment utilisée dans ce but dans les programmes d’ordi­ nateurs ; il faut noter que les valeurs évolutives de k(f) et c(f) rendent indis­ pensable une décomposition pour chaque incrément de temps, ce qui nécessite un volume de calculs sensible dans le cas de grands systèmes d’équations. De nombreuses techniques existent qui permettent de simplifier cette partie des calculs, mais de telles considérations sont au-delà du propos de notre exposé. Une fois l’incrément de déplacement Av(f) déterminé, l’incrément de vitesse se calcule à partir d’une expression analogue à l’Eq.(8.7&) :

fi 1 k(0 = k(f) + ^ m + f c(0 At* At

AP(t) = ApO) + « n [ ^ ♦ (0 + -3ÿ(ol + C(t) f 3i(f) + y v(f)!

3 t(0 - ^ v(0 2

(15-7)

Les valeurs des vecteurs déplacement et vitesse à la fin de l’incrément sont alors données par v(f + Af) = v(f) + Av(f')

v(f + Af) = v(f) + Av(f)

(15-8)

Ces vecteurs représentent les conditions initiales de l’étape suivante. On a éga­ lement besoin du vecteur accélération. Comme nous l’avons vu plus haut, on le calcule à partir de la condition d’équilibre dynamique à l’instant f + Af ; ainsi : v(f + Af) = m“ 1[p(f + Af) — fD(f + Af) - fs(f + Af)]

(15-9)

où iD(t + Af) et îs{t + Af) représentent les vecteurs des forces d’amortisse­ ment et de rigidité, calculés à partir des conditions de vitesse et de déplacement à l’instant f + Af (ainsi que l’histoire passée si les caractéristiques du matériau dépendent de l’histoire). L’inverse m“ de la matrice de masse est utilisée dans FEq. (15.9) à chaque étape du calcul ; elle doit donc être calculée et conservée par le programmé de calcul.

(15.5) (15-6a) (15-66)

15.4

Méthode inconditionnellement stable à accélération linéaire

L’hypothèse d’accélération linéaire qui est à la base des Eqs.(15.6) permet une intégration pas à pas efficace dans la mesure où l’incrément de temps est suffisamment court. Les résultats seront généralement assez précis pour les

périodes de vibration au moins 5 à 10 fois plus grandes que l’intervalle d’inté­ gration (ces périodes sont celles des systèmes linéaires considérés lors des incréments de temps successifs). L’essentiel de la réponse se résumant souvent aux composantes dont la période est la plus longue, le nombre des incréments de temps nécessaires pour parvenir à une précision raisonnable de la réponse ne sera donc pas prohibitif. Mais comme nous l’avons vu au Chapitre 8, la méthode à accélération linéaire n’est que conditionnellement stable, et elle divergera si on l’applique à des composantes modales dont les périodes de vibration sont moindres que 1,8 fois l’intervalle d’intégration environ. Les incréments de temps doivent être courts par rapport à la plus courte période de vibration de la structure, que les modes supérieurs contribuent sensiblement à la réponse ou pas. Il est certaines structures à plusieurs degrés de liberté, par exemple certains bâtiments à plusieurs étages idéalisés avec un seul degré de liberté par étage, pour lesquelles cette limitation sur la longueur du pas d’intégration n’a pas de conséquences. Lors de l’étude sismique de ces structures, l’intervalle de temps doit être rendu assez court pour permettre une bonne description du mouve­ ment du sol, et la période de vibration la plus courte du modèle mathématique sera en général considérablement plus longue que cet incrément de temps ; c’est ainsi que la méthode à accélération linéaire a démontré son efficacité dans les calculs de réponses sismiques à la fois linéaires et non linéaires d’ossatures de bâtiments. Mais pour des structures plus quelconques, et en particulier pour les idéalisations par éléments finis de structures ayant des géométries complexes, la période de vibration la plus courte du modèle mathématique pourra être considérablement plus courte que les périodes relatives à la partie de la réponse qui a une signification physique. La méthode d’accélération linéaire ordinaire ne peut alors pas être utilisée en raison de l’incrément de temps très court nécessaire pour éviter l’instabilité ; il faut lui substituer une méthode incondi­ tionnellement stable, qui ne divergera pas quel que soit le rapport entre l’incré­ ment de temps et la période la plus courte. On utilise diverses méthodes pas à pas inconditionnellement stables pour l’étude de la réponse dynamique de ce genre de systèmes ; l’une des plus simples et parmi les meilleures est une modification de la méthode des accélé­ rations linéaires, que l’on appelle méthode 6 de Wilson*. Cette modification suppose que l’accélération varie linéairement sur un intervalle de calcul plus long (Fig. 15.2) : t = OAt

où

9 > 1.37

(15-10)

t

t +

Fig. 15.2

At

t + T

Accélération linéaire ; intervalle de temps normal et intervalle de temps étendu.

La méthode peut être décrite de manière simple en réécrivant les équâtions de base de la méthode de l’accélération linéaire pour l’incrément de temps étendu r ; par analogie avec les Eqs.(8.6), ÂV(<) = T V (0 + ]■ Â V (0

( ,5 - n , Âv(0 = Tt(0 + -x v(0 + \ Âv(0 2 o où le chapeau correspond à l’intervalle de temps étendu. En résolvant ces équations pour exprimer Av(f) et Âv(f) en fonction de Av(f) et en reportant dans l’équation du mouvement, on obtient des expressions équivalentes à celles des Eqs.(15.5) et (15.6) mais s’appliquant à l’intervalle étendu : £ (0 Âv(0 = Âk o où

Ê(0 = k (0 + %: m + - c(0 T T

Âftt) = Âp(t) + m p «(0 + > 3 v (o | + c(t) j^3«(J) + ^ v(oJ

On calcule l’incrément de l’accélération àv(t) par la méthdde de l’accélération linéaire standard appliquée à l’incrément étendu r; on obtient alors l’incrément Aii(t) pour l’intervalle normal At par interpolation. Pour une valeur de d = 1, le procédé se ramène à la méthode standard de l’accélération linéaire, mais pour 6 > 1.37 elle devient inconditionnellement stable.

* Mise au point par K.L. Wilson, Université de Californie, Berkeley.

(15-12) (15-13a) (15-136)

On peut enfin tirer Av(0 de l’équation pseudostatique (15.12) et reporter dans l’équation suivante [analogue à l’Eq.(8.7a)] pour obtenir l’incrément d'accélération correspondant à l’intervalle étendu : ÂV(t) = 4 Â*(0 - - *(0 - 3V(0 T T

(15-14)

On peut alors obtenir l’incrément d’accélération pour l’intervalle normal At par interpolation linéaire : Av(f) = i Âv(0

(15-15)

6 et les vecteurs correspondants des vitesses et des déplacements incrémentaux sont alors donnés par des expressions comme les Eqs.(15.11), mais écrites pour l’intervalle normal Af. A la suite de quoi les conditions initiales relatives à l’intervalle suivant s’obtiennent par les Eqs.(15.8) et (15.9), et le processus entier peut être répété sur autant d’incréments qu’on le désire. 15.5

Performances de la méthode 9 de Wilson

Il suffira de considérer ses performances lors du traitement d’un système à un degré de liberté, car on sait que l’on peut transformer la réponse d’un système linéaire en la réponse d’un ensemble de systèmes à un degré de liberté découplés entre eux, au moyen des coordonnées globales.

Fig. 15.4 Décroissance d'amplitude (méthode 0 de Wilson).

A t/T

Fig. 15.3 Allongement de la période (méthode 0 de Wilson).

A t/T

L’importance des erreurs que peut commettre un certain schéma d’inté­ gration numérique dépendra des caractéristiques du chargement dynamique et de la longueur de l’incrément de temps. Mais l’impact global des erreurs de calcul apparaîtra dans une étude de la réponse en vibrations libres, et peut s’exprimer en fonction d’une modification artificielle de période et d’une réduction de l’amplitude. Les Figs 15.3 et 15.4 illustrent ces effets d’allon­ gement de la période et de diminution de l’amplitude calculés par la méthode 9 de Wilson, avec la réponse en vibrations libres d’un oscillateur simple soumis à un déplacement initial ; l’importance de l’erreur y est représentée en fonction du rapport entre incrément de temps et période de vibration. Les résultats pour 9 = 2 et 9 = 1.4 montrent que la précision est considérablement meilleure pour la valeur de 9 la plus faible. Il arrive que les effets d’allongement de période et de diminution d’ampli­ tude soient tous deux très sensibles, mais c’est en général la diminution d’ampli­ tude qui est la plus importante. On peut considérer ce mécanisme comme une forme d’amortissement artificiel, qui s’ajoute à l’amortissement réel éventuel ; il faut se rappeler qu’une diminution d’amplitude de 6 % par cycle correspond à un amortissement d’environ 1 % de l’amortissement critique. Il est donc clair,

Fig. 15.4, que cet amortissement artificiel aurait peu de conséquences dans l’étude des structures les plus courantes, qui ont un amortissement de 5 % par rapport à l’amortissement critique ou plus, tant que le rapport At/T reste inférieur à 1/10, parce que dans ce cas l’amortissement artificiel supplé­ mentaire reste dans la marge d’incertitude de l’amortissement réel. Cependant, il est clair que toutes les composantes de réponse pour lesquelles A t/T > 1/4 seront rapidement amorties. Il ne faut ni sous-estimer, ni surestimer les effets de cet amortissement artificiel. Il est clair qu’il faut choisir un intervalle de temps suffisamment court pour que la réponse de toutes les composantes modales importantes soit obtenue sans réduction sensible. Il faut également se rappeler que les modes les plus élevés du modèle mathématique sont souvent peu représen­ tatifs du comportement de la structure réelle ; ils sont souvent grossièrement déformés lors du processus de discrétisation. De plus, dans de nombreux cas le chargement est tel que seuls les modes de vibration d’ordre inférieur répondent de manière sensible ; il n’est donc pas nécessaire d’intégrer les modes supérieurs avec précision. Il est à présent clair qu’une diminution d’amplitude importante est acceptable pour les composantes de fréquence élevée, et dans de nombreux cas il vaut même mieux les éliminer. Dans un sens, la diminution d’amplitude inhérente à la méthode 0 de Wilson peut être considérée comme équivalente à une troncature modale délibérée appliquée à la méthode de superposition des modes. Cette diminution a finalement peu d’importance par rapport à tous les modes éliminés d’un calcul par superposition des modes.

Formulation variationnelle des équations du mouvement

16.1 Coordonnées généralisées

Les avantages des coordonnées généralisées sur la simple utilisation des déplacements de certains points de la structure ont déjà été soulignés. On a également considéré diverses méthodes permettant d’obtenir les équations du mouvement ; la méthode à utiliser dépend de la géométrie et de la complexité de la structure, ainsi que du type de coordonnées utilisées. Le Chapitre 1 a défini les trois techniques de base : (l) écriture directe de l’équi­ libre de toutes les forces dynamiques agissant sur le système, (2) expression de l’équilibre par application du principe des déplacements virtuels, et (3) utili­ sation du principe variationnel de Hamilton. Toutes ces techniques ont été illustrées au Chapitre 2 dans le cas d’exemples à un degré de liberté, mais jusqu’à présent nous n’avons utilisé que les deux premières pour traiter des structures à plusieurs degrés de liberté. Le but du présent chapitre est d’exposer et d’illustrer par des exemples la formulation variationnelle des équations du mouvement de systèmes à plusieurs degrés de liberté. Pour appliquer la technique variationnelle au cas de plusieurs degrés de liberté, nous utiliserons systématiquement la notion de coordonnée généralisée ; cela motive le remplacement de notre terminologie précédente, trop vague, par une définition précise. On définit des coordonnées généralisées relatives à un système à N degrés de liberté comme un système de N grandeurs indépendantes qui définissent complètement la position dans l’espace de chaque point du système. Devant être complètement indépendantes les coor­ données généralisées ne doivent être liées entre elles d’aucune manière que ce soit par l’intermédiaire de contraintes géométriques imposées au système. Dans le pendule double classique de la Fig. 16.1, la position des deux masses mx et m2 pourrait être définie par l’utilisation des coordonnées x x, y x> * 2»y 2 » ma*s deux conditions de contrainte géométriques devraient alors être imposées sur ces coordonnées, à savoir, V

+ yy

- W

= 0

des coordonnées généralisées peut s’exprimer comme une fonction linéaire de ces variations. Ce qui s’écrit : T = T(qu q2, . . . , qN, qu q2, . . . , qN) (16-3a) V = V(qi, q 2, . . . , q N)

(16-3b)

àWnc — Qi <5<7i + Qi &q2 + " ' + Qn à
(16-3c)

où les coefficients Qx, Q2, • • ., et Qn sont les fonctions excitatrices géné­ ralisées correspondant aux coordonnées qv q2, .. ., et qN. En utilisant les Eqs. (16.3) dans l’Eq. (16.2) et en prenant la variation du premier terme on obtient ( *r— &Qi + — àq2 + **• + t — àqN + — ôql + — ôq2 +

Jtt \5«i

Hz

SqN

, sr„,

dv -

+ — ÜQn ~ t — VQn VQl

dq1

dq2

dv

~z àq2 UQl2

(16-4)

fîV \ — --— ôqN + Qi ôqt -f Q2 ôq2 -f • • • -f QN SqN J dt = 0 ) Les coordonnées x l9 y t , x 2 et y 2 ne sont pas indépendantes et ne peuvent donc pas être considérées comme des coordonnées généralisées. Supposons à présent que l’on choisisse les angles Qx et 02 pour définir les positions des masses ml et m2. Il est clair que l’une quelconque de ces coor­ données peut être modifiée tout en maintenant l’autre constante; on voit donc qu’elles sont complètement indépendantes et constituent donc un système possible de coordonnées généralisées.

En intégrant par parties les termes de l’Eq. (16.4) qui dépendent de la vitesse :

Le premier terme du second membre est nul pour toutes les coordonnées puisque àqi(t1) = àqi(t2) = 0 est la condition de base sur les variations. En reportant l’Eq. (16.5) dans l’Eq. (16.4) :

16.2 Equations de Lagrange

Les équations du mouvement d’un système à N degrés de liberté peuvent se déduire directement de l’équation variationnelle de base de la dynamique, c’est-à-dire du principe de Hamilton, Eq. (1.4) : <5 P (T - V) dt + P" ÔWnc dt = 0 Jtt

(16-2)

Jti

en exprimant simplement l’énergie cinétique totale T, l’énergie potentielle totale V et le travail virtuel total ô Wnc sur la base d’un système de coordonnées généraliséestfp q2>. . . ,e tq N. L’énergie cinétique de la plupart des systèmes mécaniques et de la plupart des structures peut s’exprimer sur la base des coordonnées généralisées et de leurs dérivées premières par rapport au temps, et l’énergie potentielle sur la base des coordonnées généralisées seules. Par ailleurs le travail virtuel des forces non conservatives lors d’un déplacement virtuel correspondant à des variations

rs H © *g 'S **w —

i,“ ’

Comme les variations 8qt(i = 1, 2,. . . , N) sont arbitraires, l’Eq. (16.6) ne peut en général être satisfaite que si le terme entre crochets s’annule, c’est-à-dire si i ('£ !') _ É I + | I = a dt \ d q j dq, 8qt

(16.7)

Les Eqs. (16.7) sont les célèbres équations de Lagrange. Les équations de Lagrange sont une conséquence directe de l’application du principe variationnel de Hamilton, sous la condition que les termes d’énergie et de travail puissent s’exprimer en fonction des coordonnées généralisées, et de leur dérivées et variations par rapport au temps, voir les Eqs. (16.3). Ainsi les équations de Lagrange sont-elles applicables à tous les systèmes qui satisfont à ces restrictions, et elles peuvent être linéaires ou non. Les exemples qui suivent sont destinés à clarifier l’application de ces équations de Lagrange.

EXEMPLE E16.1 Considérons le pendule double de la Fig. 16.1 et ses vibrations libres. Les coordonnées en x et en y> ainsi que leurs dérivées premières par rapport au temps, peuvent s’exprimer en fonction des coordonnées généralisées q x = dxet q2 = 02 comme suit : x x = Lx sin qx

x x = Lxqx cos qx

y x = Lx cos qx

y x = - L xqx sin qx

x2 = Lx sin qx + L2 sin q2

x2 = L xqx cos qx + L2q2 cos q2

y 2 = L x cos qx + L2 sin q2

y 2 = —Lxqx s in ^ — L2q2sinq2

EXEMPLE E16.2 Considérons une barre rigide prismatique de longueur L et de masse totale m, portée par un ressort de flexion élastique et sans masse et soumise à un chargement extérieur uniformément réparti et variable dans le temps (Fig. E16.1). Si on choisit les flèches verticales

W

L’utilisation des expressions ci-dessus dans l’expression de base de l’énergie cinétique, soit T = 1l 2m l{xl 2 + ÿy2) + 7 2w 2(x22 + jhr)

(b)

donne T = 1l2mlL12q12 + 1/2/w2[£i24i2+ L22^ 22+ 2LiL24i42 cos (q2 - ^i)] (c) La seule énergie potentielle présente dans le pendule double de la Fig. 16.1 est due à la pesanteur. Si on considère une énergie potentielle nulle lorsque qrj = q2 = 0, K=(wi -f m2)gL1(l - cos qx) + m2gL2( 1 - cos q2)

(d)

où g est l’accélération de la pesanteur. Il n’y a pas de forces non conservatives qui agissent sur ce système ; les fonctions excitatrices généralisées Qi et Q2 sont donc toutes deux nulles. L’utilisation des Eqs. (c) et (d) dans les équations de Lagrange (16.7) pour / = 1 et / = 2 (séparément) donne les deux équations du mouvement suivantes : (m1 4- rn ^ L fqi + m2LxL2q2 cos (
(e)

-f m2L xL2qx sin (q2 - qx) + m2gL2 sin q2 = 0 Ces équations sont nettement non linéaires pour une oscillation de grande amplitude ; mais pour une oscillation de faible amplitude on peut les linéariser : (mx + m2)Lx2q\ + m2LxL2q2 + (mx + m2)gLxqx = 0

(vers le bas) des points 1 et 2 comme coordonnées généralisées q x et q2, les équations qui régissent le mouvement en petits déplacements peuvent s’obtenir à partir des équations de Lagrange comme suit. L’énergie cinétique totale de la barre rigide est la somme de ses énergies cinétiques en translation et en rotation, c’est-à-dire

m2LxL2q\ -f m2L22q2 + m2gL2q2 = 0 Dans le cas des petites oscillations les géométries et les fréquences des modes peuvent facilement s’obtenir à partir des équations linéarisées du mouvement par n’importe laquelle des méthodes standard de calcul des éléments propres, par exemple par résolution du déterminant.

ou encore T = Y Wi2 + o

+ «22)

(a)

Comme qx Qtq2 sont des déplacements mesurés par rapport à la confi­ guration de l’équilibre statique, les forces de pesanteur peuvent être éliminées, à condition que l’énergie potentielle du système soit définie comme étant seulement l’énergie de déformation emmagasinée dans le ressort de flexion. Si on exprime cette énergie de déformation en fonction des coefficients d’influence de rigidité (définis en Fig. E16.1) l’énergie potentielle devient V = 7 2(fcn?i2 + 2&12#i#2 + ^ 22#22)

(b)

Le travail virtuel effectué par le chargement non conservatif pÇ(t) dans les déplacements virtuels produits par les variations arbitraires dqi (t) et Sq2(t) est donné par ÔWtte = Ê I M (ôqi + ôq2)

(c) F * . E16.2

En comparant l’Eq. (c) et l’Eq. (16.3c) il est clair que Q i(0 “ fia(0 = y

«0

(d)

En reportant les Eqs. (0), (b) et (d) dans les équations de Lagrange (16.7) on obtient les équations linéarisées du mouvement 7 (2*1 + m

+ kliq i + ki2q2 = v~

co)

m 7 (? 1 + 2q2) + kl2q, + k22q2 = Ç

C( 0

6

Assemblage de barres rigides à deux degrés de liberté, avec ressorts et des amortisseurs angulaires.

2

01

= -jT(2*i - q2)

-S6i = -jT (2&ïi - Ôq2)

(c)

02 = -j-'(2.q2 — qt)

'ô02 = —( 2 ^ 2 — ôqj)

( d)

(C)

EXEMPLE E l6.3 Trois barres rigides uniformes de longueur L et de masse m sont articulées aux points 1 et 2, Fig. E l6.2, et sont portées par un roulement au point 3 et une rotule au point 0. Des ressorts élastiques et des amortisseurs visqueux de rotation sont liés aux barres qui concourent aux points 1 et 2 ; les caractéristiques de ces éléments sont définies par les constantes k x, cv k2 et c2. Une charge axiale constante N agit au point 3. Si ce système est excité par le chargement latéral p x(t) et par petit mouvement vertical t>0( 0 au droit de l’appui de l’extrémité 0, les équations qui régissent les petits déplacements peuvent se déduire directement des équations de Lagrange comme suit. L’énergie cinétique des trois barres est T = — (3£(>2 + 2^i2 + 2q 22 + 4v0ç[i 4- 2v0q2 + qi4i)

Les rotations relatives des barres aux noeuds 1 et 2 et leurs variations sont données par

(a) 6 Le mouvement de l’extrémité 3 vers la gauche, dû au déplacement vertical du nœud, est

L’énergie potentielle des ressorts et de la force axiale N est donc F - [ i

(4*. + «

- f ] „« + [ i

<*, +

♦

-

£ ]

+

(.)

Le travail virtuel des forces non conservatives est SW„C = '/iPiiOiàqi + Ôq2) - cl61 s e i - c2ô2 ôd2 ou encore

àWHC = [ f "

(24i ~ 4 i) + g (24* - 4i)J SQx +

[^ 2

+

Û

~

^

~

ï ?

^

2

~

Ô q2

d’où les forces généralisées Q i - j - ^ Q 4 i - 4 i ) + % (2 4 a - 4 ù

(g) Q

z =

1

2

+

l

(2 < h

~

4 l )

~

7

?

( 2 * 2

~

L’équation (/) donne deux valeurs pour Ncr, qui correspondent au premier et au second des modes de flambage. Les géométries des deux modes se déterminent en substituant ces deux charges critiques séparément dans l’une ou l’autre des Eqs. (fc) et en résolvant pour obtenir l’une des coordonnées en fonction de l’autre.

4 l )

La substitution des Eqs. (a), (e) et (g) dans les Eqs. (16.7) donne les deux équations suivantes, qui permettent de calculer la réponse dynamique :

16.3 Obtention des équations générales du mouvement Les trois exemples qui précèdent montrent avec évidence que les énergies Cinétique et potentielle des systèmes linéaires courants soumis à des oscillations de faibles amplitudes peuvent s’exprimer sous forme quadratique :

(4fcx + k2) -

+

qt

(h)

t

N

T = - 2

N

2

m,# â j = 7 24rmq

(16-8)

1 j = i i= i

1

N

N

v = - 2 2 kijq‘qj = ^ iqTkq j =i i=i

+ [ è (- 4t‘ - 4 M + f ] « '

(0

. r 1 /i , ai \ 2N l p< m .. + [ j j f e + 4 W - T J , ! - ^ - T „0 En annulant les accélérations et les vitesses et en éliminant les sources d’excitation p x(f) et v0(t), les Eqs. (h) et (i) se réduisent aux conditions d’équilibre statique [ £ (4 K + k2) - y ] «1 +

( - 4 -

4fc2) + | J q2 = 0

0‘)

[ è (_4fei "

Aki) +

f]

qi

+[

h (ki + 4kz) ~

t]

qi

=0

Une solution non triviale des Eqs. (j) n’est possible que si la structure flambe sous l’action de la force axiale N ; ceci se produit lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est nul, c’est-à-dire lorsque j-2 (4k, + k2) - 2N

12 ( - 4 ^

4/c2) +

N

1 N 1 2N _ ( _ 4kl - 4k2) + | ^ ± ( k 1 + 4k2) - ± 2

= 0

(*)

Le développement du déterminant et la résolution donnent 3

- fe2> ±

1 12 Ü

(13fc!2 - 1 1 8 ^ + 13fc22)

(/)

(i6-9)

OÙ N est le nombre de degrés de liberté du système. Le second terme des Eqs. (16.7), à savoir dT /dqfi = 1, 2 , . . . , N) est alors nul, ce qui réduit les équations de Lagrange à

K I ) +! i - a

....N

<16-10)

Si on reporte les Eqs. (16.8) et (16.9) dans les Eqs. (16.10), les équations de Lagrange deviennent, sous forme matricielle : mq + kq = Q

(16-11)

qui sont analogues aux équations en^ coordonnées discrètes formulées plus tôt par le travail virtuel. Il faut cependant se rappeler que toutes les forces non conservatives, y compris les forces d'amortissement, sont ici contenues dans les fonctions excitatrices généralisées Qv Q2, . . . , QN.

Considérons à présent le problème de la discrétisation, c’est-à-dire de l’approximation des systèmes à nombre infini de degrés de liberté par un nombre fini de coordonnées. Par exemple, les flèches latérales v(x,t) d’un élément de flexion peuvent être approchées par v(x,l) = q J M J x ) + q2(tW 2(x) + • • • + qN(t)4>N(x) (16-12) où les qi (/ = 1, 2, . . ., N) sont des coordonnées généralisées et les \jjt(i = 1, 2, . . ., N) sont des fonctions de déformée adimensionnelles supposées, qui satisfont aux conditions de frontière géométriques relatives à cet élément. Si m(x) est la masse linéique de l’élément, l’énergie cinétique où on néglige les effets de l’inertie de rotation peut s’exprimer comme m(x)v(x,t)2 dx

(16-13)

Si les forces non conservatives extérieures sont supposées limitées à un charge­ ment transversal réparti p(x, t), le travail virtuel fourni par ces forces est égal à

La substitution de l’Eq. (16.12) dans l’Eq. (16.13) donne l’Eq. (16.8) : N

ou

N

T=\ 2 2 miMj

•SW^.ext = J

^ j= j =i1 i= i=i1

™u = j* m(x)4'i(x)'l'j(x) dx

EI(x)[v"(x,t)Y dx

En reportant l’Eq. (16.12) dans les Eqs (16.19) et (16.20) et en additionnant on obtient N / 1 N \ (16-21) àW nc ttotal = .2^

(16-15)

où p(x,t)*l/i(x) dx

(16-22)

csI(x)M(xW'j(x)dx

(16-23)

En reportant l’Eq. (16.12) dans l’Eq. (16.15) on obtient j

N

v = - 2

N

2

i i=i

kijqiqj

(i6-9)

■J

=

avec ku =

J

(16-20)

(16-14)

L’énergie de déformation en flexion est donnée par

7*P

p(x,t) ôv(x,t) dx

EI(xWl(xWj(x) dx

(16-16)

En comparant l’Eq.(16.21) et l’Eq.(16.3c) on voit que N

Pour obtenir les fonctions excitatrices généralisées Gi >Ô2»• • • »(?tv>û ^aut calculer le travail virtuel &Wnc ; c’est le travail effectué par toutes les forces non conservatives agissant sur ou dans l’élément de flexion si on applique un ensemble arbitraire de déplacements virtuels ôqÏ9 8q2, . . . , 8q^ au système. Pour illustrer les principes intervenant dans ces calculs, supposons que le maté­ riau de l’élément obéit au comportement uniaxial contrainte-déformation suivant : cT(t) = Ee(t) + csè(t)

(16-17)

où E est le module d’Young et cs un module d’amortissement. Avec l’Eq. (16.17) et l’hypothèse de Bernoulli-Euler selon laquelle les déformations nor­ males varient linéairement dans la section droite de l’élément, on parvient à la relation entre moment et déplacement suivante : m(x,t) = EI(x)v"(x,t) H- cJfâv'Xxj)

(16-18)

Le premier terme du second membre de l’Eq.(16.18) provient des forces conser­ vatives internes, que l’on a déjà prises en compte dans le terme d’énergie poten­ tielle V ; le second terme provient des forces non conservatives internes. Le travail virtuel linéique effectué par ces forces non conservatives le long de l’élément est égal à l’opposé du produit du moment non conservatif csI(x) vn(x ,t) par la variation de courbure 8v”(x, t). Le travail virtuel total effectué par ces forces non conservatives internes est donc àWncAnt =

-J

csI(x)v"(x,t) ôv"(x,t) dx

(16-19)

Qi = Pi — 2 Ci$ j i

(16-24)

Enfin la substitution des Eqs.(16.8), (16.9) et (16.24) dans les équations de Lagrange (16.7) donne les équations qui régissent le mouvement sous forme matricielle mq + + kq = p (16-25) D’après les définitions de my, c/;. et ky données aux Eqs.(16.14), (16.23) et (16.16), on voit que rriij = rriji

Cij = Cji

ku = kji

(16-26)

Les matrices des coefficients de masse, d’amortissement et de rigidité de l’Eq.(16.25) ont une forme symétrique. EXEMPLE E l6.4 Considérons l’assemblage de barres rigides de la Fig. E16.3. Les barres sont liées par des rotules, et leurs rotations rela­ tives sont gênées par des ressorts et des amortisseurs angulaires localisés aux rotules. Les coordonnées généralisées de ce système sont choisies comme étant les angles de rotation qt des barres rigides; on suppose que la théorie des petits déplacements est applicable. L’énergie cinétique des barres provient de la rotation par rapport aux centres de masse et de la translation de ces centres de masse :

Les forces non conservatives, qui ne sont dues qu’à l’amortissement, deviennent Qi = c ( - 5 qi + 2 4 2)

T = ~ -—p- (Ai1 + q2 + ^32) 2 12# +

WL2

(24i2 + 4tf22 + q32 + 94^2 + 3424 z + 34^ 3)

Qi = c(q2 - 43)

(a)

La substitution des Eqs.(a) à (c) dans

6g L’énergie potentielle provient de la déformation des ressorts angulaires et de l’élévation des barres au-dessus de leur position verticale de départ et s’écrit donc V

=W

(c)

Q2 = c(2qt — 3 ^ 2 + 4 3 )

\-g [ ( ¥ ) + (i,L+¥ ) +(4,L+^ +¥ ) ]

d _ (S T \ . àV + j r ~ - Qi dqt dt \ d 4 j

i = 1 ,2 ,3

(16-10a)

donne les trois équations du mouvement du système ; sous forme matri­ cielle :

+( ï l ± L + i & j + ( î l k +^ +

WL2 6g

+ VzC^i^i2 + k2(q2 - q^ 2 + k3(q3 - q2f ] = V4[(5 WL + 10k)q i2 + (3 WL + 6k)q22

'14 9 3 9 8 3 3 3 2

' 5 ~4'i 02 + C - 2 0 .4 3 .

-2 3 -1

0' -1 1

'4i 42 À i.

5WL + 10/c -4 k 0 -4 k 3 WL + 6k 2k 2 0 -2 k WL + 4

+ (WL + 4k)q32 - %qxq2 - 4q2q3] (b)

+ i

Enfin, le travail virtuel effectué par les amortisseurs angulaires pendant les déplacements virtuels de la structure est donné par

(d) ?r ?2 3.

'0 ‘ =

0 0

W nc =z- ci4i àqx - c2(q2 - qx)(ôq2 - ôqt) - c3(q3 - q2)(ôq3 - ôq2) = c[( —

+ 2q2) ôqt -f (2qt — 3q2 + q3) ôq2 + (q2 — q3) ôq^\

16.4

Equations de contraintes et multiplicateurs de Lagrange

Lorsqu’on détermine la réponse dynamique d’un système à N degrés de liberté, on écrit généralement les équations du mouvement sur la base d’un ensemble de coordonnées généralisées q \ , q2, • • •, Qn > mais 2 existe des cas où, pour une raison de symétrie des équations du mouvement, il est préférable de choisir un ensemble de coordonnées, g j , g2, . . . , gc>avec c > N . Ces coor­ données ne peuvent pas être des coordonnées généralisées puisque leur nombre dépasse le nombre de degrés de liberté du système. On doit donc imposer m = c —N équations de contraintes au système. Revenons par exemple au pendule double de la Fig. 16.1 ; nous avons vu plus tôt que les équations de son mouvement pouvaient s’exprimer avec les coordonnées généralisées 6 x et 62 (N = 2) ou avec les coordonnées x x, y t , x 2 et y 2 (c = 4). Si on utilise ces dernières coordonnées, les deux équations de contraintes (16.1) devront être satisfaites. Supposons que les m équations de contraintes relatives à un problème quel­ conque soient exprimées sous la forme fi( 9 i, 92, •••, 9Ù = 0 fiiffi, 9i, ■■•, 9c) = 0 fm(9l, 92, ■■■, 9c) = 0

(16-27)

En prenant les variations des Eqs.( 16.27) : + ¥ l ô 32 + --- + ^ S g c = 0

8g i

8g 2

8gc

Sf2 = ^ ô g i + ^ ô g 2 + --- + ^ ô g c = 0 8g i 8g 2 8g c

(16-28)

EXEMPLE E l6.5 Considérons l’exemple en Fig. E l6.4. Cette poutre est soumise à un chargement variable pÇ(t) uniformément réparti, ainsi qu’à une force axiale constante N; sa rigidité est uniforme et il n’y a pas d’amortissement. Pour obtenir une solution approchée qui soit raisonna­ blement acceptable pour des fréquences de la fonction chargement rela-

v(x, t)

Sfm = ^ S 9i + ^ S g 2 + -.. + ^LÔgc = 0 dg i og 2 ogc Si chaque S/j (i = 1 , 2 , . . . , wz) est à présent multiplié par une fonction inconnue du temps X/(0 et que le produit est intégré de t x à t 2 [en supposant que les Eqs.(16.3) restent valables si on les exprime avec les coordonnées gx, ?2 »• • • >ffcl» a*ors en aj°utant chacune des intégrales ci-dessus à l’équation va­ riationnelle de Hamilton, Eq.(16.2), on obtient l’équation suivante :

p(x,t)=pÇ(t)

N m, E l

-Ln v r - ^ v - - - + ô J.. l é i L dt \ d3i) d9i d9i

-

'

(16-29)

+ ^ f ± + a Æ + ••• + 8gi

8gt

Xmfï]ôg\dt =0 8g J J

Comme les variations Sg,. (i = 1, 2, . . . , c) sont toutes arbitraires, chaque terme entre crochets de l’Eq .(16.29) est nécessairement nul : L - d— + d— - 0 dt\8gj 8gt ôgt '

(16-30)

+ X1 f . + X2 d^

dgt

dgt

+ --- + ^ ^

ogm

= 0

i — 1 , 2 ........c

Cette équation est une forme modifiée des équations de Lagrange, qui per­ mettra l’utilisation des coordonnées gx, g2,. . . , gc . Cette obtention des Eqs.( 16.30) peut sembler triviale au premier abord en raison de ces intégrales nulles qui ont été ajoutées à l’équation de Hamilton; mais si chaque (i = 1, 2,. . . , m) est égal à zéro, les termes donnés au second membre des Eqs.( 16.28) ne sont en revanche pas nuls. Les fonctions de temps \ ( i = 1 , 2 , . . . , m) sont appelées multiplicateurs de Lagrange. Si on définit un terme d’énergie potentielle réduite par V = V(gu g2i . . . , gc) — (Alt/i -h A2/ 2 4* • • • 4- Xmf m)

(16-31)

les Eqs.( 16.30) peuvent s’écrire d ( dT\ —(— dt y ô g j

ÔT ^ ÔV n — + — = Qi dgt dgt

._ « ~ i — 1, 2 , . . . , c

(16-32)

où interviennent les fonctions inconnues du temps gx,g2, .. . , gc, Ai, X2, . . . , \ m. Comme nous avons c + m fonctions inconnues du temps, c + m équations sont nécessaires pour leur résolution. Ces équations comprennent les c équa­ tions de Lagrange modifiées [Eqs.( 16.32)] et les m équations de contraintes [Eqs.( 16.27)].

WÆ m W/ Fig. E16.4 Illustration de l'utilisation des mul­ tiplicateurs de Lagrange.

tivement basses, on supposera que les déplacements de la poutre peuvent s’exprimer comme V(x,t) = 0 j(O sin ^

+ g2(t) sin ^

(a)

L’expression dans les coordonnées et g2 des énergies cinétique et potentielle et du travail virtuel effectué par le chargement extérieur mène à

En effectuant les intégrales des Eqs.(£) à (d) : T - ^ i ê S 4 V = I4If TT

+ 16g^

+ â t 2)

(e)

~ ~7T 4L <9 * + 4

ÔWnc = — K ( 0 Sgi

9

16.2 En appliquant les équations de Lagrange et en prévoyant de grands dé­ placements, déterminer les équations du mouvement du système repré­ senté en Fig. PI6.1. Quelles sont les équations linéarisées du mouvement pour des oscillations de faible amplitude ?

^ (g)

71

La comparaison de l’Eq.(g)et de l’Eq.( 16.3c) donne les charges exté­ rieures Ci =

0 ,2 =

0

(h)

n A l’extrémité encastrée la solution doit satisfaire à la condition de contrainte f l ( f f l > 0 2 ) = ffl +

2 ff2 = 0

( j)

La substitution des Eqs.(/) et (t) dans les Eqs.(16.31) mène ainsi au potentiel réduit F = — T (012 + 16^22) - ~7T (9i 2 + 4L3 4L

16.3 Reprendre l’énoncé du Prob. 16.1 pour le système du Prob. 2.2. 16.4 Reprendre l’énoncé du Prob. 16.1 pour le système du Prob. 2.3. 16.5 Déterminer les équations du mouvement de la poutre prismatique en console représentée en Fig. PI6.2 si la déformée est approchée par ^ „ ( , ) ( S j + * ,(,)

- ^ 9 x + 2g2) (j)

La substitution des Eqs.(e), (h) et (/) dans les équations réduites de Lagrange [Eqs. (16.32)] donne enfin fnL „ , / n*El n2N \ . 2 L # (0 2LpL T S' + { - W - 2 L ) e ' - * ‘ ------- i

+

(ïJ

Considérer les petits déplacements. »--------- ¥ X

>p in El, m

N (constante)

(k)

mL ~2 Il suffît à présent de résoudre l’Eq. (/) et les Eqs. (fc) pour obtenir g x(t), g2(t) et Xj(f)- L’équation qui en découle montre que Xl (t) est propor­ tionnel au moment d’encastrement à x = 0. Ce moment effectue un travail virtuel nul car la contrainte en ce point ne permet pas de rotation virtuelle de la section droite. Problèmes

16.1 En appliquant les équations de Lagrange, Eqs.(16.7), et en considérant la possibilité de grands déplacements, déterminer l’équation du mouve­ ment du système représenté en Fig. E2.4. Quelle est l’équation linéarisée du mouvement pour des oscillations de faible amplitude ?

« -------------- l -----------------H

Fig. P16.2

Poutre prismatique en console.

16.6 Une balle de rayon R i et de masse nii est placée au repos sur le sommet d’une surface cylindrique fixe de rayon R 2. Une très légère perturbation met en mouvement la balle qui roule vers la gauche sous l’action de la

pesanteur, comme le montre la Fig. P 163. Si la balle roule sans glisser et si on prend les angles 0* et 02 pour coordonnées du déplacement : (a) Déterminer l’équation de contrainte entre 0 \ et 02. (b) Ecrire l’équation du mouvement en fonction de l’une des coor­ données de déplacement en éliminant l’autre à l’aide de l’équation de contrainte. (c) Ecrire l’équation du mouvement en utilisant les deux coordonnées de déplacement et un multiplicateur de Lagrange Xj. Que représente physiquement Xx ? (d) Déterminer la valeur de 02 lorsque la balle quitte la surface du cylindre. 16.7 Une barre prismatique rigide de masse totale mi et de longueur// oscille sous l’action de la pesanteur. Une masse ponctuelle m 2 est assujettie à glisser le long de l’axe de cette barre ; elle est solidaire d’un ressort sans masse (Fig. P16.4). En supposant une absence totale de frottement et sous l’hypothèse de grands déplacements, déterminer les équations du mouvement dans les coordonnées généralisées q\ et q 2.

16.8 Déterminer les équations linéarisées des petites oscillations du système défini au Prob. 16.7.

Troisième partie :

Systèmes à caractéristiques réparties

Equations aux dérivées partielles du mouvement

17.1 Introduction

Les systèmes à coordonnées discrètes décrits dans la deuxième partie permettent un traitement commode et concret du comportement dynamique de toute structure. Cependant la solution obtenue avec ces coordonnées ne peut constituer qu’une approximation du comportement dynamique véritable, car les mouvements du système ne sont représentés que par un nombre limité de coordonnées de déplacement. La précision des résultats peut être bien entendu améliorée en augmentant le nombre de degrés de liberté. Mais il faudrait en principe un nombre infini de coordonnées pour obtenir des résultats exacts si la structure présente des caractéristiques réparties de manière continue ; une telle méthode est manifestement impossible. Le traitement mathématique formel permettant de prendre en compte le comportement d’un nombre infini de points utilise des équations différentielles où les coordonnées de position sont prises comme variables indépendantes. Comme le temps est également une variable indépendante dans les problèmes dynamiques une telle formulation du mouvement mène à une équation aux dérivées partielles. On peut classer les systèmes continus selon le nombre de variables indépendantes requises pour décrire la répartition de leurs caractéris­ tiques physiques. Par exemple, les formules de propagation d’ondes utilisées en sismologie et en géophysique sont déduites des équations générales du mouvement des corps à trois dimensions. Dans l’étude du comportement dynamique des plaques et coques minces, on détermine des équations de mouvement particulières pour les systèmes bidimensionnels. En ce qui nous concerne, nous limiterons cependant notre attention aux structures unidimensionnelles, c’est-à-dire du type poutre et barre où il est possible de supposer que les caractéristiques physiques (masse, rigidité, etc.) sont expri­ mables à l’aide d’une seule dimension. Ainsi les équations aux dérivées partielles de ces systèmes n’impliquent-elles que deux variables indépendantes : le temps, et la position le long de l’axe. On peut déterminer les équations du mouvement de structures unidimensionnelles assez complexes, par exemple des assemblages tridimen-

sionnels d’un grand nombre d’éléments. De plus, les poutres peuvent être cintrées et même gauches, et les caractéristiques physiques peuvent varier selon une fonction de position compliquée le long de l’axe. Cependant, les solutions des équations de tels systèmes ne pourront généralement être obtenues que de manière numérique, et dans la plupart des cas une formulation par coordonnées discrètes sera préférable à une résolution numérique des équations du milieu continu. Pour cette raison, nous nous limiterons ici à des poutres présentant des axes rectilignes, et à leurs assemblages. Dans la formulation des équations du mouvement nous autoriserons des variations quelconques des caracté­ ristiques physiques le long des axes mais pour les résolutions subséquentes de ces équations nous supposerons que les caractéristiques sont constantes. En raison de la limitation sévère des cas considérés, le principal but de cet exposé n ’est que de donner un aperçu des notions générales de la formulation par équations aux dérivées partielles, et non de donner un outil destiné à d’impor­ tantes applications pratiques.

v(x. t ) p(x. t )

hm t

EI{x), m(x)

j t *— dx (a)

nn P( X, t)

V

ci

h V

- dx

Fig. 17.1

(+ . -'-"dx dX

+ d^ d x

( b)

Poutre soumise à un chargement dynamique : (a) caractéristiques de la poutre et coordonnées ; (b) efforts agissant sur un tronçon élémentaire.

17.2 Flexion des poutres : cas élémentaire

Le premier cas à considérer est celui de la poutre rectiligne de longueur L à section variable de la Fig. 17.la. Les caractéristiques physiques principales de cette poutre sont supposées être la raideur de flexion EI(x) et la masse linéique m(x) qui peuvent varier toutes deux de manière arbitraire en fonction de la position x sur l’axe. Le chargement transversal p ( x , t ) varie arbitrai­ rement avec la position et le temps, et la réponse en déplacement transversal v(x,t) est une fonction de ces mêmes variables. Les conditions d’appui aux extrémités sont arbitraires ; elles sont représentées ici comme des appuis simples à fins d’illustration. L’équation du mouvement de ce système simple est facilement déterminée si on considère l’équilibre des forces qui agissent sur le segment élémentaire représenté à la Fig. 17.1Z>. La sommation de toutes les forces verticales mène à la première relation d’équilibre dynamique V + pdx -

+ - ^ d* j —f d x = 0

(17-1)

quç l’on reconnaît comme la relation standard entre l’effort tranchant et le chargement transversal, où apparaît à présent la force d ’inertie de la poutre en accélération. La seconde relation d’équilibre s’obtient en sommant les moments comme suit : + V dx - \ J t + ^

**2 ôt

Substitution dans l’Eq. (17.1) et simplification donnent

(17-2)

(17-4)

où on a vu que la force latérale répartie ne contribue au moment qu’au second ordre. Tout cela se simplifie pour donner directement la relation statique standard entre effort tranchant et moment M

= v

(17-5)

dx Aucune force d’inertie ne contribue ici à l’équilibre des moments. En dérivant par rapport à x et en reportant dans l’Eq. (17.3) on obtient (après quelques manipulations) : d2J t

où f t dx représente l’effort d’inertie réparti transversal et est donné par le produit de la masse élémentaire et de l’accélération locale : fi dx = m dx

dx\ = 0

_

+

Ô2V

(M

(17-6)

Enfin, l’utilisation de l’éq u a tio n .^ =EId 2v/bx 2 (relation entre moment et courbure, élémentaire en théorie des poutres) mène à l’équation aux dérivées partielles de ce mouvement de flexion :

i l

dx2

où El et m varient tous deux de manière arbitraire en fonction de x.

d’où la force transversale

17.3 Flexion des poutres : effet des forces axiales

Si on soumet la poutre précédente à une force parallèle à son axe et qui vient s’ajouter au chargement latéral de la Fig. 17.1, l’équilibre local des forces se trouve modifié car la force axiale interfère avec les déplacements latéraux pour produire un terme supplémentaire dans l’expression de l’équilibre des moments. Considérons la poutre de la Fig. 17.2, où la force axiale est supposée constante à la fois dans le temps et le long de l’élément. (En principe elle pourrait varier selon une fonction arbitraire de x, mais on prend le cas d’une force constante pour une raison de simplicité.) On voit sur la Fig. 17.2Z> que l’équilibre transversal n’est pas affecté par la force axiale parce que sa direction ne change pas avec la flèche de la poutre; l’Eq. (17.3) est donc toujours applicable. Mais le point d’application de la force axiale change avec la flèche de la poutre, de sorte que l’équation d’équilibre des moments devient à présent M + V dx - N — dx - ( j f + — d x \ = 0 dx \ dx J

(17-8)

'

(a)

v ~ n dx T + 1T dx

Si on utilise cette expression modifiée de V dans l’Eq. (17.3) et si on pro­ cède comme précédemment, on obtient l’équation finale di mouvement,tenant compte des effets de la force axiale : f U

dx \

l ^ l

dx J

+ N ^

Fig. 17.2

Poutre soumise à un effort axial statique : (a) déformée due au chargement ; (b) efforts agissant sur un tronçon élémentaire.

dx

+ m p L -,

dt

(17-10)

En comparant cette équation et l’Eq. (17.7), on voit bien que le produit de la force axiale et de la courbure donne naissance à une charge transversale effec­ tive supplémentaire qui agit sur la poutre. Il faut également remarquer que la force V agit ici de manière verticale,* il ne s’agit nullement de l’effort tranchant de section droite, car elle n ’est pas normale à la déformée.

17.4 Flexion des poutres : déformations d'effort tranchant et inertie de rotation

L’Eq. (17.7) - o u (17.10) - est applicable à la grande majorité des cas. Mais ces équations négligent deux phénomènes qui peuvent avoir une influence appréciable sur la réponse dynamique si le rapport d ’élancement de la poutre est relativement faible : il s’agit des déformations dues aux efforts tranchants et de la résistance inertielle à l’accélération en rotation des sections droites de la poutre. Les composantes de la flèche relatives à chacun de ces effets appa­ raissent en Fig. 173 b . L’inertie de rotation provient de la rotation de la section droite a à partir de sa position originale. S’il n ’y avait pas de déformation d ’effort tranchant, les sections droites resteraient normales à la déformée et a serait égal à la pente de la déformée. Mais si on tient compte de ces déforma­ tions, la déformation de la poutre est bien plus compliquée. En supposant en première approximation que la section droite reste plane, la déformation d ’effort tranchant se représente par un terme j3 qui réduit la pente de la défor­ mée, comme le montre le schéma. Nous considérons à présent l’équilibre des forces agissant sur l’élément de poutre, Fig. 17.3c (les forces axiales sont négligées pour raison de simplicité) ; on notera que l’équilibre vertical n ’est pas affecté par l’inertie de rotation et se trouve toujours représenté par l’Eq. (17.3). Mais l’inertie de rotation par unité de longueur rnf contribue directement à la relation d’équilibre des moments comme suit : J i + *0 dx H- mj dx

( b)

<17-9>

Jï + — dx\ = 0

dx

J

(17-11)

L’inertie de rotation est donnée par le produit du moment d’inertie massique de la section et de l’accélération angulaire

où p est la masse volumique (p = m/A) et I est le mcment d’inertie de la section; ainsi : _ -2 __ / cra 25 « (17-12) m, = m ------ - = mr — 1 A dt d t2 K ' où r 2 = I/A est le rayon de giration l’Eq. (17.11) et en simplifiant :

de la section. En reportant dans

ÔM ^ . 2 d2
(17-13)

Dans le but d’exprimer les équations d’équilibre (17.3) et (17.13) en fonction des déplacements de la poutre, nous utiliserons à présent les équations de la théorie élémentaire des poutres entre effort tranchant et défor­ mation, et entre moment et courbure. L’effort tranchant agissant sur la section droite est lié à la rotation de la déformée 0 comme suit : *0 = k'AGp où k9A représente l’aire réduite de cisaillement de la seclion. (Rappelons que k' = 5/6 dans le cas d’une section rectangulaire.) En dérivant et en reportant dans la relation de l’équilibre vertical (17.3), on obtient j - {k'AGp) = p - m p 2 dx d tz

(17-3a)

Etant donné l’angle de rotation de la section droite a, on a entre moment et courbure la relation (b)

J( = El — dx En dérivant et en reportant (de pair avec l’expression liant effort tranchant et déformation angulaire) dans l’Eq. (17.13) on obtient l ( E , l ï

)

g

<17-13. ,

Ot+h*dx dx On peut à présent utiliser la relation cinématique entre les divers angles de rotation, qui est donnée par f,

j

r

Sv

t - * ' ! * (voir Fig. \1 3 b ) dans les deux équations de l’équilibre pour obtenir

(C )

Fig. 1 7 3 Effets de l'effort tranchant et de l'inertie de rotation : (a) flèche dynamique ; déformations d'un tronçon élémentaire ; (c) efforts agissant sur un tronçon élémentaire.

(b,

d_ dx

Enfin, l’angle de rotation a peut être calculé à partir de la première de ces équations d’équilibre et reporté dans la seconde, laissant le déplacement transversal v pour seule variable. Dans le but de simplifier les expressions qui en résultent, nous supposerons maintenant que les caractéristiques physiques de la poutre ne varient pas sur sa longueur. Dans ce cas, la résolution de l’Eq. (17.14a) mène à dx

= ^ dx

+

v(x, t)

t

(17-15) k'AG \

et )

En dérivant l’Eq. (17.146) par rapport à x et en utilisant pour les dérivées de da/bx concernées des expressions tirées de l’Eq. (17.15), on obtient enfin „ T d*v / _ d2v \ — 2 d4 V E l — - [ p - m — ) - mr ôx 2 dt2 0X4 V Ôt ) Cas élémentaire

T 'T IT î

M— amortissement externe de la vitesse ibsolue c (x) -----f D (*) = ~ (x, t) = effort d’amortisement réparti

Inertie de rotation

@2 (/

ïïïi.2 —d 2v \ m r 2 pdi ( p - m —- I -------------- dt2) k’AG dt k'AG dx V Déformation angulaire d ’effort tranchant

(/ _ d^2,. 2v \ _ (p - m — ) = 0 \ d t 2)

,n (17-16) °D

où cs — amortissement interne du taux de déformation

Combinaison de la déformation angulaire d’effort tranchant et de l’inertie de rotation

Cette équation indique les termes qui correspondent à la formulation élémen­ taire d’une part et aux effets de déformation d’effort tranchant et d’inertie de rotation d’autre part.

Fig. 17 j4

Amortissements visqueux d'une poutre.

(hypothèse de Navier), on montre aisément qu’il en découle le moment d’amor­ tissement suivant :

17.5 Flexion des poutres : amortissement visqueux

y dA = csI(x)

2>(x) Dans les formulations précédentes on n ’a prêté aucune considération aux mécanismes qui absorbent de l’énergie lors de la réponse dynamique. Deux types d’amortissement visqueux (fonction de la vitesse) peuvent être incorporés sans difficulté dans la formulation. Ces types, que montre la Fig. 17.4, comprennent une résistance visqueuse au déplacement transversal de la poutre et une résistance visqueuse à la déformation du matériau constitutif de la poutre. Si on représente la résistance à la vitesse transversale par c(x), la force d’amortissement correspondante est f D(x) = c(x) dv/dt, et ce terme contri­ buera à l’équation d’équilibre transversal [Eq. (17.3)] avec le résultat suivant : dv d2v v v dv vv — = ^p - m —— — - cc — dx dt1 dt

(17-17)

De même, si on représente la résistance à la vitesse de déformation par cs, la contrainte d’amortissement est oD = cs defdt\ où e est l’allongement local. Si on suppose que les déformations varient linéairement sur la section

■ J**

d3v dx 2 dt

(17-18)

Incluons alors ce moment dans l’équation d’équilibre (17.5) et reportons dans l’Eq. (17.17) ; cela mène à l’équation différentielle du mouvement amorti

i l f £ ; £ ï + c, , 4 ! L ' \ + m ^ + 4 - P dx2 V dx 2 dx 2 d t) dt2 dt

(17-19)

17.6 Flexion des poutres : excitations d'appuis généralisées

L’Eq. (17.19) représente le mouvement d’un segment de poutre quelconque dont les caractéristiques de masse, de rigidité et d’amortissement varient de manière arbitraire sur sa longueur, et qui est soumis à un chargement extérieur

p ( x ,t ) dont les variations selon la position et le temps sont arbitraires. Une autre forme d ’excitation est d’une grande importance dans la pratique: il s’agit d ’un historique de déplacements imposé au niveau des appuis. Prenons-en pour exemple l’effet d’un séisme sur une structure appuyée sur le sol ; de nombreux autres exemples existent, en particulier parmi les structures qui subissent des vibrations mécaniques. Il existe une méthode commode et d’application générale pour tenir compte de l’excitation des appuis dans une structure à caractéristiques réparties du type poutre : il s’agit de l’équivalent en milieu continu de la formulation qui sera présentée dans le chapitre sur la détermination de la réponse aux séismes, pour les systèmes à coordonnées discrètes (§ 27.4). Pour des raisons de commodité, nous présentons ici le cas d’un milieu continu unidimensionnel. L’étape fondamentale de la formulation est l’expression du déplacement total de la poutre v l comme la somme du déplacement qui serait provoqué par un mouvement d’appui appliqué de manière statique (le déplacement pseudo­ statique vs) plus le déplacement supplémentaire dû aux effets dynamiques (inertie et amortissement visqueux) ; ainsi v \ x 9t) = vs(x,t) + v(x,t)

(17-20)

Fifl. 17.5

indices appropriés pour chaque mouvement d’appui, la lèche pseudo-statique peut s’écrire if(x,t) = (Pi(x) <5,(0 + (p2(x) ô 2(t) +
Les diverses forces du premier membre de l’Eq. (17.19) sont toutes fonction du déplacement total ; donc, au vu de l’Eq. (17.20), l’Eq. (17.19) devient s (v jà v ,

— ; ( EI — ; +

dx2 V

dx

r d v \

csl t t t

,

) +

dx dt)

d v

dt

,

+

Sv

dt

Déplacement pseudo-statique dû aux mouvements dss frontières de la poutre.

A x ,t) = 2

r—1


(17-23)

En reportant cette équation dans l’Eq. (17.22) et en notant que le premier terme s’annule parce qu’il ne peut pas exister de chargement effectif dans un cas vraiment statique, on parvient à

n

==0

où le terme de chargement disparaît du second membre si on suppose que la seule excitation provient de déplacements d’appui. Par substitution de l’Eq. (17.20) et transfert vers le second membre des termes relatifs au dépla­ cement pseudo-statique, on obtient

Pctt = -

| mcpXx) Sr(t ) + C
<$/oJ j (17-24)

d

2

(rrr

,

J

^

V

\

.

dt )

— [ E l — + csI — — + m — + c — = jPeff dx2 \ dx 2 dx 2 d t) d t2 dt

(17-21)

où d 2 ( r r d 2vs d 3vs \ d 2vs dvs p -“ - - î ? { E I ê ? * c- ' ë ^ s , ) - m ê ? - c -êî

f

Dans la plupart des cas réels, les contributions de l’amortissement au char­ gement effectif sont faibles par rapport à la contribution de l’inertie. Pour cette raison on néglige en général les deux derniers termes de cette dernière équation, et on représente le chargement effectif par

< l7 - 2 2 >

représente le chargement effectif appliqué au segment de poutre par les exci­ tations d’appui. Le déplacement pseudo-statique vs, qui est à l’origine du chargement effectif, est défini comme le déplacement statique du segment de poutre qui résulterait de tout déplacement imposé à ses appuis. Les déplacements d’appui possibles pour le segment de poutre sont les déplacements transversaux et les rotations des deux extrémités, comme le montre la Fig. 17.5. Les déformées produites en appliquant une valeur unité pour chacun de ces mouvements d’appui peuvent se calculer par les méthodes standard du calcul statique des déformées. Si les allures des déplacements sont désignées par
Pttf = - 2

r= 1

m
(17-24a)

Cette équation montre qu’il existe une contribution de chacune des accéléra­ tions d’appui données au chargement effectif. Dans le cas courant d’une poutre en console soumise à un simple mouvement transversal à sa base, comme c’est le cas lors d’un séisme, le déplacement pseudo-statique est
Dans certains cas cependant, en particulier dans l’étude des effets des séismes sur les systèmes de canalisations, des mouvements d’appuis différents doivent être envisagés pour de nombreux points, et une relation générale comme l’Eq. (17.24a) doit être utilisée.

17.7

où u est le déplacement axial. Notons que représente la force axiale, variable dans le temps, qui correspond aux déformations axiaes variables ; il ne faut donc pas confondre avec la force axiale indépendamment spécifiée N de l’Eq. (17.10). L’Eq. (17.25) s’écrit donc

S JT

Déformations axiales

A (I7-27>

Ce qui précède concernait la flexion des poutres, où les déplacements dyna­ miques se produisent transversalement à la déformée. Ce mécanisme de flexion est le type de comportement le plus important à considérer lors de l’étude dynamique de structures unidimensionnelles, mais dans certains cas de charge­ ment dynamique les mouvements transversaux sont négligeables par rapport aux déplacements parallèles à l’axe. Un exemple classique est celui d’une barre soumise aux chocs d’un marteau en son extrémité. Les équations des déplace­ ments axiaux d’une barre s’obtiennent d’une manière semblable à celle utilisée pour l’étude des mouvements transversaux, mais l’étude est bien plus simple parce qu’il n’est nécessaire de considérer l’équilibre que dans une direction et non deux. La Fig. 17.6a montre une barre rectiligne à raideur axiale AE et masse li­ néique variables ; la Fig. 17.6b précise les forces axiales agissant sur un segment élémentaire. Après sommation : J f + / , dx - ( j r +

^

dx

J

(17-25)

-0

En utilisant la relation JT = a A = zEA = — EA dx liant force axiale et déplacement, l’équation aux dérivées partielles de l’équilibre dans le cas des mouvements axiaux devient enfin mp! d t2

-

(eA — ) = 0 dx\ d x)

(17-28)

J -

où A est l’aire de la section droite de la barre et bu/dx = e est la déformation axiale. S’il y avait un chargement axial réparti le long de la barre, sa valeur li­ néique figurerait dans le second membre. En général cependant le chargement extérieur ne s’applique qu’aux extrémités de la barre, et cette dernière équation peut exprimer l’équilibre de la barre.

Problèmes

oxxfj représente la force d’inertie linéique, soit //“ « § dt2

(17-26)

AE(x), m(x)

///)///

- x,u

17.1 Par l’utilisation du principe de Hamilton, Eq. (16.2), déterminer l’équa­ tion différentielle du mouvement et les conditions aux limites du pro­ blème de la poutre prismatique en console chargée comme le montre la Fig. P17.1. Les flèches sont petites, et on négligera les effets de l’effort tranchant et de l’inertie de rotation.

[«•— dx (a)

Fig. P 17.1

*A'+ -dx

(b) Fifl. 17.6 Barre soumise à des déformations axiales dynamiques : (a) caractéristiques de la barre et coordonnées ; (b) efforts agissant sur un tronçon élémentaire.

17.2 En utilisant le principe de Hamilton, déterminer l’équation différentielle du mouvement et les conditions aux limites dans le cas d’une conduite prismatique sur appuis simples (Fig. P17.2) parcourue à la vitesse axiale constante ty par un fluide de densité p et de viscosité nulle. Les extré­ mités de la conduite sont fixées au moyen de liaisons sans moment. L’écoulement du fluide crée-t-il un amortissement dans le système ? Si la même conduite est cette fois mise en console, l’extrémité libre permet­

Vibrations libres non amorties tant au fluide de s’échapper, peut-il y avoir amortissement fluide du sys­ tème (négliger Tamortissement dû au matériau constitutif de la conduite) ? L’aire de la section droite où passe le fluide sera notée A. 17.3 Comme l’illustre la Fig. P I7.3, une masse concentrée ponctuelle m l se déplace vers la droite à une vitesse constante v ; ce faisant, elle franchit une poutre prismatique sur appuis simples dans l’intervalle de temps 0 < t < L/v. Déterminer les équations qui régissent le mouvement de ce système en utilisant les équations de Lagrange [Eq. (16.7)], et énoncer les conditions aux limites et les conditions initiales qui doivent être imposées pour obtenir la réponse verticale en vibrations forcées de la poutre sur appuis simples. On négligera les effets de l’effort tranchant et de l’inertie de rotation.

18.1

Flexion des poutres : cas élémentaire'

Nous suivrons la méthode générale de détermination de la réponse dyna­ mique qui a été utilisée avec les systèmes à caractéristiques discrètes. La pre­ mière étape de la détermination de la réponse dynamique d’un système à carac­ téristiques réparties consistera à déterminer les formes et les fréquences de ses modes de vibration sans amortissement. Afin d’éviter des complications inutiles, nous nous limiterons ici aux poutres présentant des caractéristiques uniformes sur leur longueur, et aux structures assemblées à partir de tels éléments. Lorsque l’on considère le cas élémentaire, c’est-à-dire si on néglige les effets de l’effort tranchant et de l’inertie de rotation et si on suppose que les effets des forces axiales sont également négligeables, nous pouvons écrire l’équation du mouve­ ment en vibration libre d’une poutre prismatique directement à partir de l’Eq. (17.7) comme étant r,T d*v , *•_ ô2v A ne EI — + m — = 0 (18-1) dx 4 d t2 On divise par El et on note avec des primes et des points les dérivations par rapport à x et à t : + ÜL e = 0

(18-2)

El On peut pour résoudre cette équation difficile choisir de limiter le champ des investigations aux solutions possibles qui présentent la forme dite séparable suivante : v(x9t) = iv(x)Y(t) + £ M x ) Ÿ ( t ) = 0 El

et en divisant par 0(x) Y{t) on parvient à la séparation souhaitée : Æ ) + Ï Ï W , 0 {x) E l Y(t)

Et en exprimant ces fonctions exponentielles sous leurs formes trigonométriques et hyperboliques : (HM) V '

Comme le premier terme de l’Eq. (18.4) n ’est fonction que de x et le second terme de t , l ’équation ne peut être satisfaite pour des x et des t arbitraires que si chacun des termes est une constante ; soit & } = c = - ^ ^ (x) E l Y(t) On obtient ainsi deux équations différentielles ordinaires. En posant C = a 4 on peut écrire <£iv(x) - a4(j>(x) = 0

(18-5a)

ÿ (f) H- (o2 Y(t) = 0

(18-56)

avec

(/)(x) = A t sin ax + A 2 cos ax + A 3 sinh ax + A 4 ;osh ax

Les quatre constantes A n définissent la forme et l’amplilude des vibrations ; il faut les calculer en considérant les conditions aux limies aux extrémités. On définira deux conditions sur le déplacement, la pente, le moment ou l’effort tranchant en chaque extrémité. On peut alors les utiliser pour exprimer trois des quatre constantes en fonction de la quatrième, et on obtiendra une équation (dite équation aux fréquences) permettant de calciler le paramètre de fréquence a . La quatrième constante ne peut pas être explicitée dans un calcul de vibration libre ; elle définit l’amplitude du mouvement, qui dépend des conditions initiales - voit l’Eq. (18.8). EXEMPLE E l8.1 Poutre simple Les quatre conditions aux limites rela­ tives à la poutre représentée en Fig. El8.1a peuvent s’î'crire : En x = 0

2 a 4E l co2 = -----m

or

co2m a ----- = a 4 El

Y(t) = A sin œt + B cos cot

(18-7)

co

sin œt + y(0) cos cot

(18-8)

<«*) = C e" L’Eq. ( 18.5a) devient dans ce cas (s4 - a4)Cesx = 0 d’où s = ± a , ± ia

(L) = 0

(18-9)

(4)

En reportant l’expression de l’Eq. (18.10) dans les deux premières de ces équations : 0) = y^-sift-O + A 2 cos 0 + ^ 3 -siôlrO + A 4 cosh 0 = 0

(la)

0"(O) = a 2( - A 1SHtO - A 2 cos 0 + A s *itâr0 + ^ 4 cosh0) = 0 (2a) d’où —*A 2 + A 4 = 0 A 2 = A4 = 0

et

Avec les deux autres conditions et en posant A 2 = A 4 = 0,on obtient (L) = A 1 sin aL + A 3 sinh aL = 0

(3a)

"(L) = ^ ( —Ax sin aL + A 3 sinh aL) = 0

(4a)

qui donnent par addition 2A 3 sinh aL = 0

L’utilisation de ces quatre valeurs de s dans l’Eq. (18.9) mène à D’où A 3 = 0. La condition restante peut s’écrire <£(*) = Cxeiax + C 2e~iax + C 3eax + C4e~ax

(2) (3)

M(L) = EI4>'(L) = 0

A 2 + A4 = 0

On peut résoudre l’Eq. (18.5a) de la manière habituelle en supposant que la solution est de la forme

(1)

0) = E l $ \ 0) = 0 En x = L

où les constantes A et B dépendent des conditions initiales de vitesse et de déplacement - voir l’Eq. (3.11) ; c’est-à-dire, B = Y(0) et A = Ÿ(0)/oj) ; en reportant dans l’Eq. (18.7) on obtient Y(t) =

$(0) ^ 0

^ (18-6)

On reconnaît l’Eq.(18.5£) comme l’équation des vibrations libres d ’un sys­ tème à un degré de liberté sans amortissement dont la solution s’écrit - voir l’Eq. (3.10):

(18-10)

(L) = A t *sin aL = 0

La forme de la vibration est donnée par l’Eq. (18.10) avec A 2 = A 3 = A 4 = 0, soit :

0(*)

7ZW77/ h-

4>n(x) = Ai sin ^ x

El, m - constantes

(*)

JL

-------- L-------- ------------- H

Les résultats relatifs aux trois premiers modes sont présentés à la Fig. E18.1Z>.

(a)

EXEMPLE E l 8.2 Poutre en console L’exemple précédent n’était pas difficile en raison de la simplicité de la fonction de déformée. La poutre en console de la Fig. El8.2a est plus représentative du procédé. Les quatre conditions sont

0 , (x ) = sin

« 1 = 4 * ? /$

En jc = L

02tx) = sin

coi = 9 • V » '

\0) = 0

(1) (2)

J ( = EI"(L) = 0

(3)

V = EI"’(L) = 0

(4)

m

En x = 0

= o

><«*)

03(x ) = sin —r-

El, m = constantes (b) Fig. E18.1

Etude de la vibration d'une poutre : (a) caractéristiques de la poutre ; (b) les trois premiers modes de vibration.

(a) La solution triviale A x = 0 est exclue et on parvient à l’équation aux fréquences sin aL = 0

a>| = ( 1 -8”75)2 v -tI4

d’où aL = nn

n = 0, 1, 2 , . . . , c» a,2 = (4.694)2 y / =74

La fréquence est donc accessible avec a —mt/L où, par définition, a* =

1 co^2m ~ËT

co3 = (7.855) V

Le résultat final est donc obtenu à partir de con2 = (nn/L) 4El/ni, c’est-à-dire

^4

(b) Fig. E l8.2

Etude de la vibration d'une poutre en console : (a) caractéristiques de la poutre ; (6) les trois premiers modes de vibration.

Par substitution de l’Eq. (18.10) ou de ses dérivées on obtient 0(0) = 0 = A 1 4*rrtr + A 2 cos 0 + A 3à t à r f t + A 4 cosh 0 A2 = ~ A 4

ou 0 '(0) = 0 =

(la)

cos 0 - A 2s k r tr + A 3 cosh 0 + A4sm irfy At = - A 3

ou

(2a)


(3a)

Û'iL) = 0 = a 3( —A 1 cos aL -f A 2 sin aL + A 3 cosh aL + A 4 sinh aL)

(4a)

Si on utilise les deux premières équations dans les deux dernières : 0 = ^ ( s i n aL 4- sinh aL) 4- ^l2(cos aL 4- cosh aL) 0 = —A^cos aL 4- cosh aL) 4- ^42(sin aL) — sinh aL) que l’on peut écrire sous forme matricielle comme sin aL + sinh aL

cos aL + cosh aL

'Ai

0‘

cos aL + cosh aL

sinh aL - sin aL

A i.

0

(à)

Après obtention de la valeur modale de aL à partir de l’équation aux fréquences, on peut la reporter dans cette expression de la fonction de déformée pour en tirer la forme du mode correspondant. Les géométries et les fréquences des trois premiers modes sont représentées en Fig. E 18.25. EXEMPLE E l8.3 Autres conditions aux limites Nous venons de voir que le procédé général permettant de déterminer la géométrie et la fréquence des modes d’un segment de poutre à section constante consiste à utiliser l’expression de la fonction de déformée (18.10) dans chacune des équations représentant les conditions aux limites du segment. Le résultat final est un système d’équations égal en nombre aux coefficients de la fonction de déformée ; en annulant le déterminant de la matrice carrée qui en résulte on obtient l’équation aux fréquences. Les calculs peuvent s’avérer fastidieux, mais l’idée est simple ; ce n ’est que dans la détermination des conditions aux limites que peuvent surgir de véritables difficultés. Nous allons à présent envisager d’autres conditions. La Fig. E18.3æ représente une poutre en console avec une masse concentrée en son extrémité. Les conditions relatives à l’appui sont les mêmes que précédemment. Mais à l’autre extrémité lé moment et l’effort tranchant ne s’annulent plus, et ce en raison de la présence de la masse. Les forces angulaires et transversales agissant sur cette masse, et repré­ sentées en Fig. E l 8.35, mènent aux équations aux limites suivantes :

Afin que les coefficients soient non nuls, le déterminant de la matrice carrée doit s’annuler ; d’où l’équation aux fréquences A = 0 = sinh2 aL — sin2 aL — cosh2 aL — cos2 aL — 2cos aL cosh aL d’où

EI"(L) - 0)24>'(L)J = 0

(0

EI(f>'"(L) + oj24>(L)ml = 0

(2)

où J représente le moment massique d’inertie à l’extrémité de la poutre, et m x est la valeur de la masse concentrée.

1 4- cos aL cosh aL = 0

(» La résolution de cette équation transcendante donne alors les valeurs de aL qui représentent les fréquences de vibration de la poutre. On peut utiliser l’une ou l’autre des équations de l’expression matri­ cielle (a) pour exprimer le coefficient A 2 en fonction de A ± ; en utilisant la première : A sin aL 4- sinh aL A — ---------- ^—------- ;— r A x (c) cos aL 4- cosh aL Avec les relations provenant des deux premières conditions aux limites, on peut alors exprimer l’Eq. (18.10) en fonction du premier coefficient seulement

10U) |

El, m = constantes

=Om,y

(a)

,3^A + «WVMj

.ytf=E/0'U>

007

KD

co20 (L)J


a^_ (cosh ax — cos cos aL + cosh aL

(b)

(d)

Fifl. E18.3

Poutre en console avec une masse concentrée en son extrémité : (a) carac­ téristiques de la poutre ; (/>) efforts agissant sur l'extrémité libre.

La Fig. E18.4tf représente un portique constitué de deux segments prismatiques possédant des caractéristiques différentes. En raison de la discontinuité entre les deux segments, il faut appliquer l’expression (18.10) séparément à chaque segment et le problème nécessite donc un total de huit coefficients. Il doit leur correspondre huit conditions aux limites. Deux conditions proviennent de l ’appui de la colonne. En x x = 0

i(0) = 0

(D

01(0) = 0

(2)

En supposant l’absence de déformations axiales, on a de même En x 2 = 0 En x 2 = L 2

E l i f f î L J + m2L2© V i£ i ) = 0

(8)

Les huit conditions permettent alors d’obtenir huit équations en fonction de huit coefficients (quatre pour chaque segment), et l’annu­ lation du déterminant de la matrice carrée 8 x 8 qui en résulte donne l’équation aux fréquences du système. Notons cependant que la résolution de ce problème apparemment simple mène à des calculs non négligeables si on s’y prend de cette manière. Nous verrons plus tard des procédés plus pratiques applicables aux poutres et portiques simples.

(3)

$ 2( ^ 2) = 0

(4)

18.2 Flexion des poutres : prise en compte des effets des forces axiales

(5)

Les forces axiales qui agissent sur un élément en flexion peuvent avoir une influence très sensible sur son comportement vibratoire, influence se traduisant généralement par des modifications de la fréquence et de la géométrie des modes. Si on considère les vibrations libres d’une barre prismatique, l’équation du mouvement qui prend en compte l’effet d’une force axiale N qui est uniforme le long de l’élément et ne varie pas avec le temps, devient, par l’Eq. (17.10):

El

= 0

La continuité de la pente et l’équilibre des moments à la jonction des deux éléments donnent = Lv x2 = 0

V riL J = 4>'2(0)

(6)

Eliï(Li) = Elrfÿfi)

(7)

02(*2) -i El 2, m 2

=?>—~ X2 w ///

EIX, m x

+Në m ôê

E ,j ? + m0 <18-n ) Par séparation des variables et en supposant une solution de la forme de l’Eq. (18.3) on finit par obtenir E l^ jx ) 4>(x)

N M i) ^
= c

(18-12)

Y(t)

d’où les deux équations indépendantes

x\

\(Jfi )

EnXj = L, :

* 2(0) = o

05(La) =

En

L’équilibre de l’effort tranchant au sommet de la colonne avec la force d ’inertie provenant du mouvement latéral de la poutre (Fig. E l 8.45) donne la huitième condition :

W//// (a) m 2L2u 2{ ( Ll )

’ÿ f o z Fig. E18.4 ^ j 1 (b )

Portique simple à deux éléments : (a) définition géométrique ; (b) efforts agissant sur la poutre.

ÿ ( 0 + co2 Y(t) = 0

(18-13)

EI4>{\ x ) + Nfi'ix) - fn(D2(x) = 0

(18-14)

où la constante C a été remplacée par rh co2. L’équation (18.13) est la même équation que précédemment, ce qui montre qu’une force axiale constante n’affecte pas le caractère harmonique simple des vibrations libres. L’équation (18.14) mène à des expressions pour la fréquence et la géométrie des modes, où la force axiale N constitue un paramètre essentiel. Si on divise l’Eq. (18.14) par E l on peut écrire

OU

2 i 4 = mco ------a ~ i r

n

2

g

N ~ ü

Si on simplifie en supposant que v (x , t ) =

On peut résoudre l’Eq. (18.15) de la manière standard en supposant une solution de la forme de TEq. (18.9) et en reportant, ce qui donne

EI(l)iy(x) - mco20(x) + m r 2œ 2(x) + £/<£"(*)] = 0 k'AG En écrivant a4 = m co2 /El comme précédemment, il vieit

(s4 + g 2s 2

a4)Ce?x = 0

d’où S

iy(x) - aA4>(x) + aAr24>"(x) +

= ±/<5, ± £

(18-17) En utilisant ces quatre valeurs dans l’Eq. (18.9) et en exprimant les fonctions exponentielles en fonction de leurs équivalents trigonométriques et hyper­ boliques, on parvient à l’expression finale de la fonction de déformée : (x) = D x sin Sx + D 2 cos ôx + Z>3 sinh ex + Z>4 cosh ex

(18-18)

Cette équation définit la géométrie de la déformée pour toute valeur de la force axiale. On peut calculer les coefficients D x, Z)2, . . . , en considérant les conditions aux limites, comme dans un système sans force axiale. En fait, il est évident que si la force axiale s’annule, soit N = 0 et g = 0, alors 8= e= a, et l’Eq. (18.18) se ramène à l’Eq. (18.10). Par ailleurs, dans le cas statique (pas de vibration, co = 0 et a = 0) on a b = g et e = 0. On peut ainsi obtenir la fonction de déformée du flambage statique en substituant des valeurs de s adéquates dans l’Eq. (18.9), avec le résultat final suivant : (x) — D x sin gx + D 2 cos gx + Z)3 + D4x

k AG

[a 4r 2
(18-20)

La résolution de cette équation est difficile dans le cas de conditions aux limites quelconques. Mais le cas d’appuis simples se résoiit aisément et présente un intérêt considérable pour la bonne compréhension de l’importance des effets considérés. Ils n’ont pas d’influence sur la géométrie de la vibration d’une poutre prismatique, qui est donnée par l’expression trouvée plus haut

(x) = Ai sin —

(18-21)

L

En utilisant cette équation dans l’Eq. (18.20), puis en divisant par
(fJ

-

(x )‘ ( ‘ + Â

)

+

{°v

£ )

-

0

<18-22)

On remarquera que les deux premiers termes représentent le résultat obtenu précédemment dans le cas élémentaire,

°4 -

(“J

(18-19) c’est-à-dire

où les deux derniers termes correspondent aux valeurs nulles de s. En faisant intervenir les conditions aux limites on obtient dans ce cas une expression de la charge critique de flambage Ncr qui s’appuie sur l’Eq. (18.16).

18.3 Flexion des poutres : déformation d'effort tranchant et inertie de rotation

On peut calculer les effets des déformations d’effort tranchant et de l’inertie de rotation sur la vibration libre d’une poutre, à partir de l’équation du mouvement (17.16) modifiée par l’omission du terme de charge extérieure p :

con = n2n 2

Le troisième terme prend en compte les effets principaux de l’inertie de rotation et de l’effort tranchant, qui sont représentés respectivement par les termes 1 et E/k'G entre parenthèses. Dans le cas d’une poutre constituée d’un matériau ordinaire et présentant une section rectangulaire, la valeur de E/k G est environ 3, de sorte que l’effet de l’effort tranchant est à peu près trois fois aussi important que l’inertie de rotation dans ce cas. En omettant provisoi­ rement le dernier terme non nul de l’Eq. (18.22) : “ ( T ) [ l + r 2(nnlL)2(l + £//c'G )] où le terme entre crochets constitue la correction due à l’effort tranchant et à l’inertie de rotation. Il est évident que cette correction croit avec le numéro

du mode et avec l’inverse r/L du rapport d’élancement Ljr. Si nr/L est petit, une approximation sera

*“ ( ï )‘ H

d’où

t

) ’ ( 1+ £ ) ]

*nvMi -

+-à)]

1



Le dernier terme non nul de l’Eq. (18.22) n’a que peu d’importance dans la pratique, car nr/L est souvent négligeable devant 1. On pourra remarquer que lorsque nr/L est petit, a 4 = (wr/Z,) ; on peut alors écrire le dernier terme comme [(= )’£ ]

par application de la loi de Betti. Considérons la poutre représentée en Fig. 18.1 Supposons ici qu’elle puisse avoir une rigidité et une masse variables et arbitraires sur toute la longueur, ainsi que des condition; d’appui arbitraires (bien que la figure ne représente que des appuis simple;). Deux modes de vibration distincts, w e t / i , sont représentés. On a indiqué pour chaque mode la déformée et les forces d’inertie qui provoquent les déplacements. Appliquée à ces deux déplacements, la loi de Betti signifie que le travail fourni par les forces d’inertie du mode n agissant sur les dépècements du mode m est égal au travail des forces du mode m agissant sur hs déplacements du mode n ; c’est-à-dire :

f

vm(x)fIn(x) dx =

Jo

f

(18-24)

Et avec les fonctions de déformée des modes, représentées à la Fig. 18.1 :

YmY„co„2

f

m(x)m(x)n(x) dx = YmYn
Jo

Il est évident que cette grandeur est négligeable devant le terme précédent de l’Eq. (18.22) ; c’est-à-dire que

Vn(x)flm(x) dx

Jo

f

4>„(x)m(x)m(x) dx

Jo

que l’on peut encore écrire (con2

-

cO

J

4>m(x)
(18-25)

a4r 2 Enfin, si leurs fréquences sont distinctes les deux modes doivent satisfaire à la condition d’orthogonalité

car m r/L est petit devant 1. EXEMPLE E l 8.4 Considérons une poutre à section rectangulaire de 15 cm d’épaisseur sur 60 cm de hauteur (soit r = 10 v T c m ), avec une portée de 12 m. Si le matériau est tel que E/k’G = 3, le terme correctif entre crochets dans l’Eq. (18.23) devient 1 1 - ll' 2z n2n2 —— (1 + 3)J = 1 onn v 4a 800

„2 2 n il 2 400

r

L <Êm(*)
qui correspond à l’Eq. (12.38a). Si les deux fréquences sont égales la condition d’orthogonalité ne s’applique pas, mais le cas se présente rarement. Il existe une seconde condition d’orthogonalité, qui fait cette fois intervenir la rigidité comme fonction de pondération. Dans le cas d’une poutre quelconque, l’équation des vibrations libres-s’écrit

Le changement de fréquence dû à l’effort tranchant et à l’inertie de rotation est donc Mode Changement (% )

1

2

3

4

5

- 0 .4

—1.6

- 3 .7

- 6 .6

-1 0 .3

5 [ “ W 0 ] +mWS - ° Mode "m”

( 1 8 ‘2 7 )

Mode “n”

dont les trois quarts sont dus à la déformation d’effort tranchant. Cet exemple montre bien la croissance liée aux numéros des modes.

J n(x) = (f>n(x)Yn

-L--------------- H

18.4 Flexion des poutres : orthogonalité des modes de vibration T ^

Les modes de vibration des poutres à caractéristiques réparties possèdent des propriétés d’orthogonalité équivalentes à celles définies précédemment dans le cas des systèmes discrets ; elles se démontrent de la même manière,

(18-26)

» iX) =

(x)y" Force d’inertie

^

/,„(*) - o>nim(xXt>n(x)Yn

Supposons que la réponse soit de la forme

En écrivant le wième mode comme

u(x,t) = ÿ (* )Y (0

v„(x,t) = 4>„{x)Y„ sin (û„t

On pourra donc séparer l’Eq. (18.30) en deux équations différentielles ordi­ naires m m = E4m _ _ c Y(t) ÿ(x) ou encore

le second terme de l’Eq. (18.27) devient ô2v m (x)— = —m(x)con2(j>„(x)Yn sin œ„t L’Eq. (18.27) mène donc à Yn

£ [e J (x ) dx

« Ynœn2m(x)n

(18-27a)

Il est donc clair que le terme d’inertie m (x )ÿ n de l’Eq. (18.26) peut se remplacer par une expression équivalente du chargement latéral en fonction de la raideur en flexion :

< i 8 -2 8 )

Une forme symétrique plus pratique s’obtient en intégrant l’Eq. (18.28) par parties deux fois, ce qui donne

0

m

(18-32)

$"(x) + b 2$(x) = 0

(18-33)

m

AE

AE

n

Les deux premiers termes de l’Eq. (18.29) représentent le travail fourni par les efforts tranchants d’extrémités du mode n agissant sur les déplacements aux extrémités du mode m, et le travail fourni par les moments aux extrémités du mode n sur les rotations correspondantes du mode m. Dans les conditions standard d’appui par encastrement, par rotule, ou de mouvement libre, ces termes seront nuls. Mais ils apporteront une contribution non nulle à l’équation d’orthogonalité dans le cas d’appuis élastiques ou de masse concentrée à une extrémité ; il faut donc traiter séparément chaque cas particulier.

(18-34)

L’Eq. (18.32) est la même que l’Eq. (18.5fl), et sa solution est harmonique simple. L’Eq. (18.33) est du même type que l’Eq. (1832) et admet une solution de la même forme ; on aura $(x) = Bv sin bx -f- B 2 cos bx

avec le résultat final suivant :

4>mV„

ÿ ( 0 + co2 Y(t) = 0 ou

Û>,

f * - w ë [ £' w ^ > * = °

(18-31)

(18-35)

où les coefficients B x et B 2 déterminent la géométrie du mode de vibration. Les conditions aux limites permettent d’exprimer l’un des coefficients en fonction de l’autre et on parvient ainsi à une équation permettant de déter­ miner le paramètre de fréquence b. EXEMPLE E l8.5 Barre encastrée La barre de la Fig. El8.5a vibre axialement. Les deux conditions aux limites sont : En * = 0 :

ÿ(0) = 0

(1)

En x = L :

r f(L ) = AE'(L) = 0

(2)

L’Eq. (18.35) et la première équation donnent Bx sin (0) + B 2 cos (0) = 0 d’où B2 = 0 Faisons B 2 = 0 dans l’Eq. (18.35) et prenons sa dérivée première ; avec la deuxième condition aux limites on obtient

18.5 Vibrations axiales libres

AEBxb cos bL = 0 Dans le cas d’une barre prismatique, l’équation d’un mouvement axial [Eq. (17.28)] devient _ d2u „ J ô2u

$

La solution triviale B l = 0 étant exclue, on voit que l’équation aux fréquences s’écrit cos bL = 0

18.6 Orthogonalité des modes de vibration axiale AE, m = constantes L

De la même manière que dans le cas des vibrations ei flexion, et par utili­ sation de la loi de Betti :

J

(a)

$m(x)n(x)m(x) dx = 0

(18-36)

La condition d’orthogonalité faisant intervenir la raidmr axiale s’obtient à partir de l’Eq. (17.28) en exprimant les déplacements du wième mode par unix,t) = ÿ„(x) sin (ü„t =E

L’Eq. (17.28) s’écrit alors

AEA

2 V™; 2

ÿj (x) = sin g

= - J - [EA(x)

^

Le terme correspondant aux efforts d’inertie dans la relation d’orthogonalité (18.36) peut donc être remplacé par son équivalent, lié aux forces élastiques axiales, ce qui permet d’écrire :

[M .

2 2 v«z2

r ^ ,,

=ii

“3 2

fx

[£y4wi

t ] dx=o

°

s ‘3 8 )

Après intégration par parties on obtient la forme symétrique suivante :

[Ha

l<^

03(x) = sin (b) Fig. E18.5

(18-37)

Vibrations axiales d'une barre : (a) caractéristiques de la barre ; (b) les trois premiers modes de vibration.

f

$'mnEA(x) dx = 0

COm # Ct>„

(18-39)

Jo

Le premier terme représente le travail fourni par les forces axiales aux extré­ mités du mode n agissant dans les déplacements aux extrémités du mode m ; ce terme disparaîtra dans les cas d’appuis classiques seulement. Problèmes

d’où U T = —------“ 1 71 oL

La forme de la barre en vibration est donc n * 2 L (où l’amplitude B x est arbitraire), et la fréquence de vibration est t o

con =

=

bn EA m

sin

2n - 1 EA 2 71V mL2

(b)

La Fig. E18.5& montre les formes et les fréquences des trois premiers modes de vibration.

18.1 Déterminer la fréquence fondamentale de la poutre en console avec une masse concentrée en son extrémité que montre la Fig. E l8.3. On prendra m l = 2 mL et un moment d’inertie / = 0. Tracer le mode par points distants de L/5. 18.2 Déterminer la fréquence fondamentale du portique de la Fig. E l8.4 si les deux barres sont de caractéristiques identiques L, El et m. Tracer le mode par points distants de L/4. 18.3 Déterminer la fréquence fondamentale de flexion de la poutre repré­ sentée en Fig. P18.1. Tracer le mode par points distants de L/5. Remarquons que la fréquence la plus basse de cette structure instable est égale à zéro : la fréquence que nous recherchons est donc la fréquence non nulle la plus basse.

m, El = constantes

Fig. P18.1

18.4 Déterminer la fréquence fondamentale de flexion de la poutre continue de la Fig. P18.2. Tracer le mode par points distants de L/2.

Etude de la réponse dynamique

m El - constantes

___________________ -2L-

Fig. P18.2

18.5 Une poutre en béton armé de section 0.2 m par 0.45 m est posée sur deux appuis simples distants de 8 m. En choisissant pour le matériau un module de 2 x 10 N/m et une masse volumique de 2 400 kg/m3, déterminer la fréquence de ses cinq premiers modes de vibration : (a) en négligeant les effets de l’effort tranchant et de l’inertie de rotation, (b) en en tenant compte, Eq. (18.23). On prendra E/k9G = 3. 18.6 Déterminer la fréquence fondamentale des vibrations axiales de la structure représentée en Fig. E18.3. On prendra pour la masse concentrée m l — 2mL. L’aire de la section droite de la poutre sera notée A. Tracer le mode par points distants de L/5. 18.7 Considérons la colonne de la Fig. PI 8.3. (à) Déterminer les quatre conditions aux limites nécessaires pour calculer les constantes lors de l’obtention de l’équation aux fré­ quences axiales. (b) Ecrire l’équation transcendante des fréquences axiales, et déterminer la fréquence la plus basse et le mode correspondant. Tracer le mode par points distants de L/3, en normalisant à une amplitude unité pour l’extrémité libre.

2m

19.1 Coordonnées normales

La méthode de superposition des modes appliquée à un système à carac­ téristiques réparties est entièrement équivalente à la méthode utilisée pour un système à coordonnées discrètes ; car dans les deux cas les amplitudes des composantes modales de la réponse sont utilisées comme coordonnées géné­ ralisées pour définir la réponse de la structure. On dispose en principe d’un nombre infini de ces coordonnées dans le cas d’un système réparti puisqu’il présente un nombre infini de modes de vibration, mais dans la pratique seuls les modes qui comptent vraiment doivent être pris en compte. La forme du problème revient donc à celle d’un système discret, avec un nombre limité de coordonnées modales (normales). L’opération essentielle de l’étude par superposition des modes est la transformation à partir des coordonnées géométriques de déplacement vers les coordonnées que représentent les amplitudes modales (ou normales). Dans le cas d’un milieu continu unidimensionnel, on peut exprimer cette transfor­ mation comme

2AE

v(x,t) = 2 0<(x) yi(O i= 1

AE

(19-1)

qui signifie simplement que l’on peut construire n’importe quelle forme de déplacement admissible en superposant les modes de la structure avec des amplitudes adéquates. Ce principe est illustré en Fig. 19.1, où l’on voit une déformée quelconque décomposée en une somme de composantes modales. On peut déterminer les composantes modales de n’importe quelle forme donnée par application des conditions d’orthogonalité ; le plus commode est généralement d’utiliser la forme où intervient la masse, Eq. (18.26). La contri-

-

■ H

d>l ( x) Yl (t)

Vitesse initiale au point de contact

Chute El, m = constantes

TTzfoz

-L-

Fig. E19.1

supposons que l’on initie les vibrations libres de cette poutre en soulevant l’extrémité droite du rouleau et en la lâchant, d’où un pivotement autour de la rotule de gauche. Si la poutre se déplace sans déformation lors de sa chute, la vitesse à l’instant du contact t = 0 varie linéairement le long de la poutre, la vitesse à l’extrémité étant vt . Les vitesses à l’instant t = 0 sont données par

\WS7/

Fig. 19.1 Déformée quelcon­ que d'une poutre en coordon­ nées normales.

Etc.

bution du mode n à une déformée quelconque v(x,t) s’obtient en multipliant l’Eq. ( 19.1) par (f>n(x)m (x) et en intégrant, d ’où oo

[*L

„(x)m(x)v{x,t) dx

=

Jo

2 i=1

= y»(0

Exemple pour la détermination d'une amplitude de vibration libre.

J

PL

JLi

et le déplacement au même instant est v ( x ,0) = 0. Le nié me mode est donné par i z x . nnx 4>n(x) = sin —— La

L’intégrale au dénominateur de l’Eq. (19.2) est donc

0 i(x )m (x ) ^ „ ( x ) dx

y i( 0

t>(x,0) = j v ,

Jo

J

cj)n2m(x) dx = m

J

sin2

dx =

|>„(x)]2m(x) dx

où un seul terme de la série subsiste en raison de l’orthogonalité. D’où l’amplitude

Quant au numérateur, qui définit l ’amplitude modale à t = 0, il est nul puisque u(x,0) est nul ; donc ^ w(0) = 0 pour tous les modes. Mais l’utilisation de la répartition initiale des vitesses dans une expression équivalente à l’Eq. (19.2) mène à un numérateur intégral

f 4>n(x)m(x)v(x,t) dx Yn(t) -

-----------------------I i«(x)Yrn(x) dx

(19-2)

ce qui est entièrement équivalent à l’expression (13.5). EXEMPLE E19.1 On peut utiliser l’Eq. (19.2) pour déterminer les amplitudes modales correspondant aux conditions initiales d’un problème de vibrations libres, voir Eq. ( 18.8). Etant donné le déplacement v(x,Q) et la vitesse v ( x , 0) à l’instant t = 0, l’amplitude modale corres­ pondante Yn(0) et la vitesse Yn(0) s’obtiennent directement à partir de l’Eq. (19.2). Considérons par exemple le système en Fig. E19.1, et

f (f)n(x)m(x)v(x 90) dx = mvt f - sin dx = ± ^ vt Jo Jo L L nn où le signe est positif pour n impair, et négatif pour n pair. On parvient enfin à la vitesse initiale en coordonnées normales : t(0 ) =

nn

et avec l’Eq. (18.8) la vibration modale est donnée par y„(0 = ±

nnco„

sin cont

Enfin, si on utilise l’Eq. (19.1) on obtient le mouvement de la poutre en vibrations libres : oo ( 2v v(x,t) = 2 &.(*) ± ----sin n= i

\

\

nnco„

J 4>n(x) ^

J

2 i>t ( 1 . nx . * 1 . 2 nx . \ = —- ( — sin — sin c o ^ -------- s in ------sin co2t + *• • J n ycOi L 2 cû2 L J Remarquons que dans cette étude on a supposé que l’extrémité droite de la poutre restait en contact avec l’appui après le contact initial (pas de rebond).

Ü dx2 on obtient h

[“ ^ a ir]

m

■ jKx’>)

|

Ÿjt) £

m (x )U x )U x ) dx + f

Yt(t ) £ n(x) £ - 2 ( E l ^

=

J

dx

$n(x)P(X,t) dx

Si on applique les conditions (18.26) et (18.28) aux deux premiers termes, il est évident que tous les termes s’annulent sauf le «ième d’où

ŸJt) J

m(x)n2(x) dx + y„(0 j* 4>n(x)

M n = j* 4>«2(x)m(x) dx

(19-5)

on peut écrire l’Eq. (19.3) sous la forme abrégée

CL

( e I d~ ^ rj àx

= j* n(x)p(x,t) dx

,

(19. 7)

est la charge généralisée correspondant au mode n(x). On peut écrire une équation semblable à l’Eq. (19.6) pour chacun des modes de la structure, en utilisant les Eqs. (19.5) et (19.7) pour calculer la masse et la charge généralisées convenables. Remarquons que ces expressions sont les équivalents en milieu continu des expressions matricielles obtenues précédemment avec les systèmes discrets. Soulignons également qu’elles sont applicables aux poutres quelconques si on peut déterminer la forme de leurs modes. Si la réponse dynamique est provoquée par un mouvement des appuis, le chargement effectif qui agit sur la structure est donné par l’Eq. (17.24#). La charge en coordonnées normales provenant de chacune des contributions des accélérations d’appui à ce chargement effectif s’écrit alors 0n(*)/W O M ) dx = - 5 r ( 0 j

dx

(19-7tf)

et la charge totale effective en coordonnées normales provenant de l’excitation des appuis est la somme des contributions de toutes les accélérations des divers appuis. EXEMPLE E l9.2 Déterminons la réponse dynamique de la structure représentée en Fig. E l9.2. ETAPE 1 : CALCUL DES MODES ET DES FREQUENCES. On reporte l’Eq. (18.10) dans l’ensemble des équations des conditions aux limites. On trouvera les résultats à l’exemple E l 8.1 :

... . nnx n(x) = sin —

(19-3)

(19-6)

n(.x)p(x,t) dx

PnX0 = j

En multipliant par n (x) et en intégrant :

(19-4)

On remarquera que l’intégrale du second membre est la masse généralisée de la poutre correspondant au mode n(x), voir l’Eq. (2.33). Si on note cette masse Mn, soit

OÙ

Les deux conditions d’orthogonalité permettent à présent de découpler les équations du mouvement de notre système à caractéristiques réparties, de la même manière que dans le cas discret. Notons que les conditions (18.26) et (18.28) ou (18.29) s’appliquent à une poutre quelconque : le découplage s’applique donc à une poutre quelconque. Avec l’utilisation de l’Eq. (19.1) dans l’Eq. (17.7), que revoici :

+î

dx = (ûn2 J* 4>n2m(x) dx

( eI

M„Ÿn(t) + œn2M„Yn(t) = Pn(t)

19.2 Equations découplées en flexion sans amortissement

I,

On peut établir la relation entre les deux premières intégrales de cette équation en multipliant l’Eq. (18.27a) par n(x) et en intégrant, d’où

Mais comme cûn = ri ir E I/rriL, cela s’écrit

\ Pi t )

,

V

2P0Ü (1 — COS COit » .

7CX

n El V

L

1

u(x,f) = ------ ( --------------- -- sin ------------

El, m = constantes

1

cos cM . 37TX -------- - s in ---81 L

1 — COS C05f . 57CX -4---------------------L. sin ------

625

L

- • )

qui représente la solution complète. On remarquera que le terme «4 du dénominateur rend négligeable la contribution des modes d’ordre élevé. Si on s’intéresse au point médian du chargement, on fait x = L/2 et on obtient

(a)

p(t)

Po

Fig. E19.2 Exemple pour la dé­ termination d'une réponse dyna­ mique : (a) définition géomé­ trique ; (à) chargement échelon appliqué au centre.

(b)

/L \ ” \2 ’ /

_

2P0Ü / l — COS ODit tt4£ / V ”1

1 — cos œ3t 81

1 — cos 625

co5 f

.

A /

En ce qui concerne la flèche statique, il suffit d’annuler cosco^ pour obtenir 3

p 0l48E l

ETAPE 2 : CALCUL DE LA MASSE ET DU CHARGEMENT GENERALISES.

Avec les Eqs. (19.5) et (19.7) on trouve Mn = f

Jo

.,

/statique


Jo

L

dx =

—

____

On voit ici que la contribution du premier mode est supérieure à 98 % de la flèche totale. On voit également qu’il est possible d’utiliser la super­ position des modes pour obtenir la solution d’un problème statique, puisqu’un chargement statique n ’est qu’un cas partitulier de chargement dynamique ; ce n’est cependant que très rarement avantageux.

2

(x)p(x,t) dx = P 0n{x = L/2) =
précédemment dans le cas discret : M X + < M nYn = P„

ETAPE 5 : DETERMINATION DES MOMENTS DYNAMIQUES. Une fois les déplacements dynamiques de la structure déterminés en un certain instant, on peut trouver les efforts internes qui agissent dans la structure en appliquant les équations forces-déplacements. Dans le cas d’un élément de poutre, les moments internes sont proportionnels aux courbures ; en prenant les dérivées secondes du déplacement on obtient ainsi

L’expression intégrale de Duhamel donne Yn(t) = D’où

y„ =

1 P„(x) sin con(t Mn(OnJ

dx

DE LA REPONSE EN DEPLACEMENT.

nnx v(x>t) = 2 n(x) yn(0 = V 1 (1 - cos (o„t) sin n= i ~L n= 1 mLœn n

%

-

2

n= 1

iH

ë ? '-

"

«* "■'>(x- i r )' si" f

que l’on peut développer sous la forme

f Sin o)n(i - x) dx = (i _ cos ^ mLcon Jo mLco„

4 : DETERMINATION l’Eq. (19.1) on obtient

ETAPE

•*<*,») - “ t)

-

.# (*,0 Avec

2P0L / l — cos co.î . nx

( ------ —

1 — cos œ3t . 3nx

L s,„ — ----------^

sin —

1 — cos cost . 5nx 25 L

_l--------------------- s m --------------- . . .

\ /

Ici le numéro du mode est au dénominateur et à la puissance deux seule­ ment : la série des moments converge donc bien plus lentement que celle

des déplacements. Et ceci est typique de toutes les études dynamiques : il faut inclure un plus grand nombre de modes pour représenter les con­ traintes avec une certaine précision, par rapport au nombre requis pour une précision comparable sur les déplacements. Pour ce qui est du point médian, on obtient „ (L

\

2P0L ( 1 - cos coxt , 1 -

ï

cosû)3*

9

1 - cos co5t

+

25

\ + " J

où a 0 et ax sont de simples facteurs de proportionnalité (leurs dimensions sont 1/t et t). En reportant l’Eq. (19.9) dans l’Eq. (19.8) et er appliquant les condi­ tions d’orthogonalité, on obtient une équation décoiplée en coordonnées normales : M„Ÿn(t) + ia0M n + aicon2M n)Ÿn(t) +
Enfin, en divisant par la masse généralisée et en utilisant e facteur d’amortisse­ ment du même mode défini comme

Et pour le moment statique en ce point

«■ = ^

2œ„

* (£ )

=

\ 2 / statique

La somme des 11 premiers termes de la série entre parenthèses est égale à 1.19 : cela représente environ 97 % du moment de flexion total en ce point, alors qu’avec un seul mode on obtenait 98 % du déplacement total au même point.

19.3 Equations découplées en flexion avec amortissement Déterminons l’effet de la transformation (19.1) sur l’équation du mouve­ ment amorti (17.19). On obtient

f

m ( x M x ) Ÿ t{ t ) + f

c(x)Mx)Z
+ ï

[ * ,(,)

£ ‘ [ ehx) i ^ ] ï m

Ÿt(t)

- ^

(19-10)

^

2

(19-H)

on donne à cette équation la forme standard d’une équation à un degré de liberté : Ÿ # ) + 2ÇnœnŸn(t) '+ o>n2 Yn(t) =

(19-12)

Il est donc clair que si l’amortissement est proportionnel à la masse ou à la rigi­ dité (amortissement de Rayleigh), les équations du mouvement peuvent être découplées de la même manière que pour les systèmes discrets. De plus, l’Eq. (19.11) montre à nouveau que pour un amortissement proportionnel à la masse, le facteur d’amortissement est inversement proportionnel à la fréquence, alors que pour un amortissement proportionnel à la rigidité il lui est directe­ ment proportionnel. L’Eq. (19.11) est illustrée par la Fig. 19.2. Si on connaît le facteur d’amor­ tissement correspondant à une certaine fréquence, on voit que ax ou a0 peut être facilement déterminé dans le cas d ’un amortissement proportionnel à la masse ou à la rigidité. Si les deux types d ’amortissement sont présents, il faut trouver deux facteurs d’amortissement modaux pour déterminer a0 et ax. Par exemple, si les facteurs %m et %n correspondant aux fréquences modales com et

En multipliant par n(x), en intégrant, et en utilisant les conditions d’orthogo­ nalité ainsi que les définitions de la masse et de la force généralisées : M „ ÿ „ (0 + 2

Ÿi(t) |

+ o>2M„Y„(t) = Pn(i)

(19-8)

Il est à présent évident que les équations du mouvement des différents modes seront couplées dans cette équation en raison des termes d’amortisse­ ment, à moins qu’ils ne satisfassent à des conditions d’orthogonalité semblables à celles qui intéressent la masse et la rigidité. Il est aussi évident que de telles conditions existeront si on suppose que les effets de l’amortissement sont pro­ portionnels à la masse et à la rigidité. Supposons donc que Fig. 19.2

c(x) = a0m(x)

cs = axE

(19-9)

Relation entre le facteur d'amortissement et la fréquence (amortissement de Rayleigh).

con sont donnés (Fig. 19.2), on peut écrire l’Eq. (19.11) sous forme matricielle en exprimant les deux conditions sous la forme

M

UJ

1

t».

e 3

E H d’où

œn

COn2 ~ (O j

1 — —— to„

-Û>m‘ 1 --û>m .

(19-13)

H

Le calcul de a 0 et a x à partir de cette équation mène aux facteurs d’amortis­ sement recherchés correspondant aux fréquences com et con, et donne une relation entre facteur d’amortissement et fréquence de la forme représentée par la courbe (combinée) de la Fig. 19.2. L’étude de la réponse dynamique à un chargement quelconque par les équations (19.12) est alors strictement équivalente à l’utilisation de la méthode de superposition des modes dans le cas d’un système discret. Le fait que le système soit réparti n’apparaît de manière explicite que dans la transformation finale permettant de revenir à des coordonnées normales, Eq. (19.1).

on parvient. à l’équation découplée M nŸn(0 + con2M nYn(t) = Pn(t) qui est exactement identique à celle du mouvement de fl à celle de tout autre type de vibration. On voit donc c^|on (16.6) ou de vibration déterminés, la réduction aux coordonnée: >une’f0js jes mQ^es exactement le même genre d’opérations dans toutes les stri normales implique :tures. EXEMPLE E l9.3 La réponse dynamique d’une un chargement axial présente certaines caract^arre prismatique à intéresseront plus loin. Considérons la colonne de ristiques qui nous l’effet de l’échelon P0, par la méthode de supei- E l9 3 Etudions (comparer avec l’exemple de la Fig. E19.2). position des modes ETAPE

1 : MODES ET

(voir l’exemple E

FREQUENCE

$ n(x) = sin

2 n — 1 nx 2

2n - 1

co. = ----------- n

2

^.5) •

L

n = 1, 2

EA V fnÛ

_

± iL

...,oo

ETAPE 2 : MASSE ET CHARGEMENT GENERALISES :

19.4 Equations découplées du mouvement axial sans amortissement

M„ =

La transformation vers les coordonnées modales permet de découpler les équations du mouvement de tout système dynamique. Dans le cas axial, reportons l’Eq. (19.1) dans l’Eq. (17.28), ce qui donne ï

m ix M x M t) -

1K0 = Pu(x,t)

(19-14)

J

nj(x)ÿ„2(x) dx = m

J*

P„ =

j LPu(x>0$n(x) dx

m -P o W L) = ±Po

ETAPE 3 : REPONSE EN COORDONNEES GENERALISE

. 9P

où dans un souci de généralité on a placé un terme de charge axiale répartie au second membre. Multiplions par <^n(x) et appliquons les conditions d’ortho­ gonalité (18.36) et (18.38):

ETAPE 4 : REPONSE EN DEPLACEMENT:

?»(0 J

u(x,t) = 2

J

$„(x) ■£ j^4E(x)

dx =

fin — : 2

E19.2) :

m(x)$„2(x) dx - Y„(t)

sin2

Y„(t) -

mLa) 2

+ n = pai pair —n = impair

ES /yojr i’exempie - cos (0„t

ÿ„(x)y„(o

n= 1

J

$ n(x)pu(x,t) dx

En substituant la force d’inertie au terme de force de rappel élastique [à partir de l’Eq. (18.37)] et en utilisant les expressions standard des masse et charge généralisées M„ = j* m(x)ÿ„2(x) dx

P„ =

$n(x)P«(x,t) dx

2Po ( mLœ^ \

1 — COS (Dit . 7TX , 1 — C 1 2L os co2t . 3nx ------— s in ---1 — cos œP 2L 25" A . 5nx , - s in ---- + • • • 8P 0 L ^ Y, x 1 — cos œnt . 2n — ] = —^ — > ( ± ) ------------- J- s in -------n 2 AE b4 j L (2" - 1) 2 lnxj

= --- ^ ( ------ ---- - sin--- h -----

\ J / (

Phase 1

p( t ) = p 0

(0 < c t x < L )

,P (0 AE, m = constantes

Phase 2

Phase 3

Phase 4

(Z, < c t 2 < 2L)

(2L < ct $< 3L)

(3 L < c t 4 < 4 L )

T

t 'o Déplacement

x, u (b)

i

(a) Fig. E19.3

Colonne soumise à un chargement en son extrémité : (a) configuration géométrique ; (b) chargement échelon.

ETAPE 5 : REPONSE A LA FORCE AXIALE :

J^(x,t) = EA — dx 8P0L v * T ~

_

n4 i L "

1 — cos tort (2n -

x)2

— 1 n cq^ 2n — 1 nx~\ 2

^ cos

2

Ouf r(±)i - co»»».»c o s m n „4ï L

2n - 1

2

LJ

On peut obtenir la réponse à l’instant t en sommant les termes des séries (a) et (b) qui représentent les répartitions des déplacements et des forces. A cet effet exprimons le paramètre angulaire cont sous la forme

où c - \jEAjm a les dimensions d’une vitesse. Le produit et devient donc une distance, et le paramètre angulaire peut être considéré comme le rapport de cette distance et de la longueur de la colonne. Les répar­ titions des déplacements et des forces dans la colonne ont été calculées pour quatre valeurs de ce paramètre en calculant les séries ; les résultats obtenus sont tracés en Fig. E19.4. La simplicité de la réponse saute aux yeux. Pour t x < L jc la colonne ne présente aucune charge au-delà de la distance c tx mais elle est soumise à la force constante PQ en deçà de cette distance. La réponse peut donc être interprétée comme une

Fig. E19<4

Réponse de la colonne à un échelon de force.

onde de force d’amplitude P0 se propageant à la célérité c . Le dépla­ cement est bien sûr cohérent avec cette distribution de force, présentant une variation linéaire dans la section où la charge est constante, et aucun déplacement au-delà de l’onde de force. Dans l’intervalle de temps Lie < t 2 < ILlc l’onde de force est doublée entre l’appui rigide et un point distant de ct 2 - L de cet appui. On peut interpréter ce compor­ tement comme une réflexion de l’onde, qui provoque une amplitude double à son retour. Pour 2L/c < t 3 < 3L/cf on peut interpréter la réponse comme une réflexion négative provenant de l’extrémité libre de la colonne, ce qui provoque une diminution de l’amplitude de la force qui se propage à la célérité c. Pendant la quatrième phase (3L/c < t 4 < AL/c), l’onde négative de la phase 3 est réfléchie par la base rigide, et provoque une réduction de la force axiale jusqu’à la valeur zéro. A la fin de la quatrième phase, soit pour t = 4Z/c, la colonne est complètement dépourvue de contraintes comme à l’instant t = 0 ; une réflexion négative de l’onde négative donne alors naissance à une onde positive qui se propage vers le bas avec une force exactement équivalente à celle de la phase 1.

On v oilée que les vibrations libres d’une colonne soumise à un échelon Auvent s’interpréter comme une onde d’efforts axiaux se propageai ie iong ja colonne et soumise à des réflexions positives et négatifs aux extrémités. Cette oscillation se poursuivra indéfi­ niment eri’absence d ’amortissement ou de modification du chargement. Il faut biet qUe dâns cet exemple la réponse a été calculée par super­ position dis modes axiaux de vibration, dont chacun fait intervenir la colonne dinsson entier. En phase 1 par exemple, la zone sans contraintes situee au-feià ^ i’oncie a été obtenue par la superposition d’un nombre de m o d e s d o n t chacun comporte des contraintes au-delà de l’onde. Il est evifent que la méthode de superposition des modes est plutôt fastidieux lorsqu’il s’agit de représenter une propogation d’onde toute simple ; nous présenterons plus loin une méthode plus directe. Il n’en reste p a s ^ g qUe \e procédé de superposition des modes est capable de rendre cc^pte ^u mécanisme de propagation des ondes, ce qui est en vente coi|jdérable et remarquable ; ce type d’analyse offre une solution co m p lète^ n’importe qu’elle structure soumise à n’importe quel type de chargement dynamique.

19.4 Une poutre prismatique simple avec une raideur en flexion E l —2.24 x 107 N.m2 porte un poids total de 15 000 N/m. Si on l’immerge dans un fluide visqueux et que l’on provoque une vibration selon le premier mode et avec une amplitude de 25 mm, on observe que l’amplitude est réduite à 2.5 mm en trois cycles. (à) Calculer la résistance d’amortissement par unité de vitesse c(x), en supposant qu’elle est uniforme sur toute la lorgueur de la poutre. (b) En supposant que cette même poutre est mise en vibration selon le second mode et avec une amplitude de 25 mm, déterminer le nombre de cycles nécessaires avant que l’amplitide ne soit ramenée à 2.5 mm. 19.5 Reprendre le Prob. 19.3 pour la barre prismatique représentée en Fig. P19.1. La charge harmonique p ( t ) = p 0 sin côt est appliquée axialement au point médian ; tracer la réponse (déplacement axial) d’abord en négli­ geant l’influence de l’amortissement modal, puis en en tenant compte.

Problèmes

19.1 Supposoi^qUe ja pOUt re prismatique sans amortissement de la Fig. E19.2 soit sou%e ^ une charge statique centrée p 0, puis mise en vibrations libres enfelâchant brusquement la charge à l’instant t = 0. La déformée initiale s’fcrit t>(*) =

(31? - 4x2)

-p(t) = P q

s in u > t

0 < x < —

( >> caictier C li Tmnplitude 4SEI {a) du déplacement central dans2les trois premiers modss de la vibration libre ; exprimer les résultats sous la forme de iraclions du déplacement statique correspondant. (b) Cal^ler l’âmplitude du moment central dans les trois premiers m°fe de la vibration libre ; exprimer les résultats sous la forme de frétons du moment statique correspondant. 19.2 Supposois cette f0js qUe l’échelon de la Fig. E l 9.2 soit appliqué en x —L/4 et non au point médian. Donner les expressions de la réponse non amûrtie en déplacement, et du moment fléchissant au point chargé. Tracer Histoire du moment fléchissant dans l’intervalle 0 < t < T x en ne Prenan*tUe les trois premiers modes. 19.3 Suppose^ que ja p0utre de la Fig. E19.2 soit soumise à une charge har5 moniqu{appliquée en x = L/4 : p (t) = p 0 sin cot, avec co = - c o , . En 4 prenantjn compte les trois premiers modes de vibration, tracer l’ampli­ tude ^déplacement de la poutre en régime permanent (par points distants^ L/4) : (a) eniégiigeant d’abord l’amortissement, (0) pmi en prenant pour chacun des modes un amortissement égal à 1 de l’amortissement critique.

~AE, m = constantes

Fig. P19.1

19.6 La poutre prismatique simple de la Fig. P19.2 est soumise à un charge­ ment latéral p(x, t) = 8(x —a) 8(f), où Ô(x —a) et 6(t) sont des fonc­ tions de Dirac (voir § 22.1). Avec la théorie élémentaire des poutres et la méthode de superposition des modes, déterminer les séries permettant d’exprimer la flèche latérale v ( x,t), le moment interne Jl(xyt) et l’effort tranchante ( x,t) provoqués par le chargement p(x, t). Que dire de la convergence de ces diverses séries ? p(x,t) = h(x- a) Ht)

El, m

20

La méthode de la rigidité directe dans les problèmes dynamiques

20.1 Introduction

Au vu de ce qui précède, il est évident que l’étude parla méthode de super­ position des modes de toute structure constituée d’un assemblage d’éléments poutres, peut être effectuée de manière quasi-automatique : on calcule d’abord les modes et les fréquences de vibration de la structure, puis on fait intervenir les distributions de masse, d’amortissement et de rigidité. Il est en fait facile de généraliser la méthode à des structures constituées d’éléments à deux ou à trois dimensions - à condition que leurs caractéristiques de vibration soient connues. La partie difficile de l’étude est alors le calcul des modes et des fréquences. La formulation de l’étude des vibrations des structures constituées de poutres prismatiques (voir Chap. 18) ne présente pas de difficulté. Mais le pro­ cédé devient vite inextricable en raison des quatre constantes à calculer pour chaque segment. Une structure toute simple constituée de 5 poutres prisma­ tiques, par exemple, nécessite le calcul d’un système de 20 constantes de fonc­ tions de déformée. Tout devient plus simple si les caractéristiques des segments sont exprimées par des coefficients de rigidité dynamique en lieu et place de ces constantes. Une fois obtenues les équations de rigidité dynamique, on peut mener l’étude d’un système de quelque complexité que ce soit en utilisant exactement les mêmes procédés que ceux qui sont utilisés pour une étude par rigidité directe statique (méthode de déplacements) : on forme la rigidité de l’assemblage en sommant les contributions adéquates de chaque élément ; puis les équations de rigidité du système complet sont résolues pour obtenir le déplacement qui résulte du chargement donné. La seule caractéristique nouvelle est que les coefficients de rigidité dynamique sont fonction de la fré­ quence du mouvement. Pour un chargement d’une certaine fréquence on peut les calculer directement, et les calculs se déroulent de manière normale ; lors de la détermination des fréquences des vibrations naturelles cependant, il faut ajuster les coefficients de rigidité de manière itérative pendant les calculs.

L’Eq. (18.2) peut donc s’écrire

20.2 Matrice dynamique de rigidité en flexion

Les coefficients de rigidité dynamique d ’un segment de poutre sont les forces et les moments aux extrémités qui sont provoqués par l’application de déplacements et de rotations unités aux extrémités. La Fig. 20.1 montre les efforts et les déplacements qui nous intéressent. La seule différence dans la définition des coefficients de rigidité dynamique comparés aux coefficients de rigidité statique standard, est que les déplacements en question varient de manière harmonique avec le temps, tous à la même fréquence et en phase ; en conséquence, les efforts aux extrémités varient également avec la même fré­ quence et avec la même propriété de phase. (Soulignons ici que la rigidité dyna­ mique se définit en l’absence de tout amortissement.) On peut donc considérer que la rigidité statique d’une poutre est un cas particulier de la rigidité dyna­ mique, avec une fréquence nulle.

f t \ x ) - â*(x) = 0

(20-3)

où 5* = ^

(20-4)

El

On remarquera que l’Eq. (20.3) est équivalente à l’Eq. (18 5tf); sa solution est donc équivalente à l’Eq. (18.10), soit
(20-5)

La seule ^différence entre l’Eq. (20.5) et l’Eq. (18.10) est que la première contient a, qui est une fonction de la fréquence forcée co, et non a 9qui dépend de la fréquence naturelle co. On pourra utiliser l’Eq. (18.10) dans tous les cas, et dans chaque cas particulier on verra bien s’il s’agit de fréquences forcées ou naturelles. Autrement dit, on fera mœ2 mœ 2 ou El El selon les conditions (forcées ou libres). L’expression de l’Eq. (18.10) et de ses trois premières dérivées sous forme matricielle mène donc à V £ a

sin ax cos ax —sin ax _ —cos ax

r Fig. 20.1

Efforts et déplacements aux frontières d'un segment de poutre initialement prismatique.

Comme on suppose que le segment de poutre est prismatique et ne subit aucun chargement autre qu’aux extrémités, l’équation de son mouvement est donnée par l’Eq. (18.2)

On peut exprimer les déplacements des extrémités sous la forme

v(x 9t) = (x) sin œt

(20-1)

(20-2)

cosh ax ~ d-i sinh ax a2 cosh ax ^3 sinh ax _ _^4_

(20-6)

Si à présent on exprime les déplacements et les rotations aux deux extrémités (nœuds) du segment au moyen des deux premières expressions de l’Eq. (20.6), on obtient L

où vi0 représente Yamplitude du déplacement de frontière vh qui varie de ma­ nière harmonique à la fréquence appliquée co ; les déplacements en tout point du tronçon sont donc de la forme

sinh ax cosh ax sinh ax cosh ax

"

viy + — v = 0 El

vt = v i0 sin œt

cos ax —sin ax —cos ax sin ax

1 L

0

1 L

L

c L

S L

C L

—a _ —ac

0 as

—a - aC

0 -a S _

0

— 0x =0

L

h L

—(t>x=L L

vk

~ 0 i =O _ “ 0x =L_

=

s

ou .s = sin aL c = cos aL

S = sinh aL C = cosh aL

“ A1 A2

(20-7)

On peut encore écrire l’Eq. (20.7) comme

OU

V = Wtf

L’Eq. (17.8) représente une expression des forces aux nœuds en fonction des constantes A t de l’Eq. (18.10), ou (20.5). Les forces aux nœuds seront ensuite exprimées en fonction de ces mêmes constantes, après quoi on peut obtenir la matrice de rigidité en fonction des déplacements aux nœuds (par élimination des constantes). Les forces nodales aux deux extrémités du seg­ ment de poutre peuvent s’écrire au moyen des deux dernières expressions de l’Eq. (20.6) comme suit : ’ SfL " SjL

i = El

. Si _

-

lv^ l

U 0 .-Ï U l’ —aL 0 acL —asL

= E la 2

0 s

(20-9) _

d-i

-a S L

-1

0

1

a2 a3

c

-S

-C

-A4.

0

S —s , a = -------- a

p = — à2

p =

(20-15)

sC + cS „3 T - — 5 - x avec d = 1 — cC A = aL Le calcul de ces expressions dans le cas statique, où X = 0, mène aux valeurs suivantes pour les coefficients de rigidité : Vo

aL -aC L

a = ------------ A

sC — cS .

(20-8)

=

7o

=

12

pQ =

= 6

a0 = â0 = 4

ce qui, au facteur El/L près, est l’ensemble des coefficients de rigidité statique d’une poutre prismatique. Pour toute autre valeur de la fréquence, on peut calculer la valeur correspondante de X, et obtenir la valeur résultante des coefficients de rigidité avec les Eq$. (20.15). Les Figs. 20.2æ et 20.2b repré­ sentent un tracé de la variation de ces coefficients avec le paramètre X*. Il est

ou, sous forme abrégée, S = Ut]

(20-10)

Il est évident que les constantes t\ peuvent être calculées en fonction des déplacements aux nœuds par inversion de l’Eq. (20.8) :

(20-11)

tj = W *v Et en reportant dans l’Eq. (20.10), on parvient à

J

s = UWV

(20-12)

Le produit matriciel central de l’Eq. (20.12) représente la rigidité dynamique du segment de poutre, par définition, car il exprime les forces aux noeuds en fonction des déplacements correspondants ; soit k (a) = U W "1

(20-13)

où il ne faut pas oublier que la rigidité est une fonction du paramètre de fré­ quence a puisque U et W dépendent tous deux de a. Après avoir effectué l’inversion et la multiplication, l’Eq. (20.12) s’écrit

~StL~ SjL S/c . s, .

_

y -ÿ - p - r P p EI - j , y L - fi a â P â a_ p .-P

El L X

V A L vk L "i.

(20-14)

(a) Fig. 20.2

\ (b)

Coefficients de rigidité dynamique, Eq. (20.15).

* Ces fonctions sont tabulées dans Baudvnami k der Durchlauftràger und Ra h me n par V. Kolovsek, Fachbuchverlag GMBH, Leipzig, 1953 (pp. 149-161), et dans Dy n ami c s o f Elastic S y s t e m s par W. Nowacki, Chapman and Hall, Ltd., London, 1963 (pp. 169,170).

intéressant de voir que certains des coefficients de rigidité deviennent négatifs si la fréquence dépasse certaines valeurs critiques. Ces points représentent des fréquences naturelles de la poutre lorsqu’elle a diverses conditions d’appui spécifiques. Il est important de savoir que les forces aux noeuds qu’expriment ces coefficients de rigidité ne satisfont pas aux relations statiques normales entre les moments et les efforts tranchants aux extrémités, sauf dans le cas où X = 0. Il est par exemple évident que St i= — Sj et que Sk + S{ ¥=— StL =£ SjL sauf dans ce cas limite. Et ce parce que l’inertie transversale de la poutre doit également être prise en compte dans les équations de l’équilibre dynamique.

OU

{aL)* =

”2 EI 0/m 0L4

(b)

Si on suppose dans cet exemple que la fréquencî appliquée est ajustée de manière que cô2 = (2.8)4

m0L

alors le paramètre de fréquence relatif à l’élément c est EXEMPLE E20.1 Considérons le portique de la Fig. E20.1, soumis à un moment extérieur qui varie de manière harmonique et qui s’applique au nœud où concourent les trois barres prismatiques (noeud 1). Les appuis de cette structure la contraignent à ne pas subir de déplacements paral­ lèles aux axes des barres si on néglige les déformations axiales ; tous les déplacements des barres sont donc transversaux, et les équations de rigidité (20.14) s’appliquent. On remarquera également que l’assemblage ne présente qu’un seul degré de liberté nodal : la rotation au noeud 1.

Pour l’élément c (qL )c - r (2.8 v 'e L

EI 0

m0t f

J

îent b et pour l’élément *A (-iÀ (o sin cot

L , o\4 EI0 (2 7 16)m0L4l 1/4

,n

(“l)* -L (2'8 )^ ô % w 7 J

_

, <

~ 3-5

D’après la Fig. 20.2a les valeurs de a qui correspondent à ces paramètres de fréquence sont approximativement aa = 3.33

ab = 2.00


La rigidité de cet assemblage au noeud l est donc k “ = 1 7 [ 1(333) + 16/25(2-00) + r 5 < - 2-90>] = 2 M x Fig. E20.1

Portique soumis à des déplacements transversaux seulement.

La rigidité de l’assemblage en ce noeud est la somme des rigidités des éléments qui y concourent : k tl = (lcn)a + (kn)b + (kkk)c

L

L

^ 1.5L

(a)

La contribution de l’élément c à la rigidité est négative pour cette fréquence ; c’est-à-dire que cet élément tend à accroître la rotation au lieu de la réduire. Mais comme les rigidités positives des deux autres éléments sont plus importantes que cette contribution négative, c’est une résistance que l’assemblage complet offre au moment appliqué. Comme cette structure n ’a qu’un seul déplacement nodal, la relation entre le moment appliqué et le déplacement qui en résulte est une simple équation scalaire que l’on peut écrire comme M — k 11 vl

On peut calculer le coefficient de rigidité de chaque élément. La fréquence du moment appliqué y figure ; par exemple : cosh aL sin aL — cos aL sinh aL 1 — cos aL cosh aL

V

> J

où vx représente la rotation du nœud. La résolution permet alors d’obtenir p.

•*«L

• ~

^

Les calculs auraient été absolument semblables pour une structure ayant N degrés de liberté, si ce n ’est que M et v auraient été des vecteurs à N éléments, et k une matrice de rigidité carrée et symétrique d’ordre N. Si l’objectif de ce problème avait été de déterminer les fréquences naturelles de la structure, les calculs auraient été effectués selon un procédé itératif car les rigidités des éléments dépendent de la fréquence inconnue. La base physique de l’analyse en fréquence est très simple : à la fréquence naturelle, aucune force appliquée n’est nécessaire pour entretenir les mouvements ; c’est-à-dire que dans cet exemple, une rotation vx pourrait se produire avec une force harmonique appliquée réduite à une amplitude nulle. Cela revient à dire que la rigidité dyna­ mique totale de la structure s’annule à la fréquence naturelle ; ainsi, dans notre exemple la fréquence naturelle correspond au paramètre fréquentiel pour lequel la rigidité négative de l’élément c compense exac­ tement la rigidité positive des éléments a et b. Après quelques essais on parvient au résultat suivant : si cô2 = (2.89)4 (EI0/m 0L*) (soit aLa = 2.89, aLb = 3.66 et aLc = 434), la rigidité totale du noeud est kn =

FI

[1(3.23) + 16/ 25(1.44) - 2/ 3(5.80)] = 0

La fréquence naturelle fondamentale est donc (O = (2.89)2 / - ^ V

m0l7

(é)

Il existe un nombre infini de fréquences plus élevées qui mènent également à une rigidité de rotation nulle en ce nœud; elles corres­ pondent à des configurations présentant des noeuds d’amplitude en divers points des trois éléments. Si la structure possédait plus d’un degré de liberté, on déterminerait ses fréquences naturelles à l’aide d’un procédé d’essence semblable ; mais cette fois le critère serait l’annulation du déterminant de la matrice de rigidité. Comme chaque élément de la matrice de rigidité dépend de la fréquence, l’expression du déterminant en dépend également ; il suffit de le rendre nul en jouant sur la fréquence. Un dernier commentaire sur cette méthode : elle ne permettra de déterminer que les fréquences des seuls modes de vibration où intervient au moins l’un des degrés de liberté aux nœuds. Tout mode n’ayant aucun déplacement nodal sera exclu de l’analyse. Si par exemple les trois éléments de la structure en Fig. E20.1 avaient des caractéristiques relatives adéquates, il pourrait exister des modes de vibration corres­ pondant pour chaque élément à un encastrement de chaque extrémité : ces modes n’apparaîtraient pas lors de l’annulation de la rigidité en rotation du nœud central. 20.3 Rigidité dynamique : flexion et déplacements axiaux rigides

Lors de l’obtention de l’Eq. (20.14) et dans son application à l’exemple E20.1, il a été supposé implicitement que seuls les déplacements transversaux

étaient à considérer. Mais si la structure est telle que des déplacements parallèles aux axes des éléments sont possibles, il faut incorporer ce degré de liberté supplémentaire dans l’équation de rigidité dynamique. En théorie classique des structures composées d’assemblages de poutres, on iuppose généralement que les déformations axiales des éléments sont très fables par rapport aux déformations de flexion, et on les néglige. Mais il arrive souvent qu’une poutre puisse subir des déplacements parallèles à son axe même si on néglige les déformations axiales, en raison de déplacements des nœuds provoqués par la flexion des éléments qui la supportent. La Fig. 20.3 illustre les déplacements et les forces qui correspondent à cette situation. Comme les déformations axiales sont négligées, la valeur de la composante axiale du déplacement est la même tout le long de l’élément et on peut la définir en n’importe quel point. On l’a ici indiquée au point médian pour bien montrer qu’elle ne correspond pas exclusivement à l’une ou à l’autre extrémité. Si on néglige l’influence de la force axiale sur la rigidité en flexion (ce qui est le plus souvent légitime), le déplacement axial de la poutre n ’a aucun effet sur les équations entre les déplacements transversaux et les forces. De même, les déplacements transversaux n’ont pas d’effet sur la composante axiale Sw. Pour tenir compte des déplacements axiaux dans la matrice de rigidité de la poutre, il suffit donc d’inclure un seul terme supplémentaire, qui représente la relation entre la force axiale et le déplacement. Les déformations axiales de la poutre étant négligées, ce terme de force axiale représente l’effet d ’inertie afférent aux accélérations axiales de corps rigide, soit Sw — Fj = —ïnLœ2w

(20-16)

où m est la masse linéique et —cô2w est l’accélération axiale. En incorporant ce terme supplémentaire dans la matrice dë rigidité dynamique de la poutre, on obtient pour l’Eq. (20.14) la forme développée suivante :

’ S(L '

y

SjL

sk s, .S WL_

_ EI L

-ÿ

-P -P P ' P

0"

h L

0

-ÿ

y

-P -P

P P

a

â

0

â

a

. 0

0

0

0

0

- A 4_

(20-17)

où on a utilisé la relation X4 = (aL)4 = cô2 (mL 4/EÏ). Ce terme s’annule dans les conditions de la statique ; mais il peut représenter une contribution majeure aux efforts dynamiques en vibrations libres ou forcées. EXEMPLE E20.2 L’expression de rigidité de l’Eq. (20.17) rend possible l’étude par rigidité directe dynamique de toute structure plane du genre poutre en treillis ou portique, en prenant en compte tous les types de déplacements aux nœuds mais en négligeant les déformations

Les éléments ky de notre exemple sont

Si s t

•

EIq

,

x

2EIq

(oc« + at) = - y 2 a

*11

=

* 12

= y 2 «b = y 2 â =

k21

*13 = J ? ( ~ 5/*Pa + 3M ) =

j

Fig. 20 3

Forces et déplacements d'une poutre en présence d'un mouvement axial rigide.

axiales des éléments. Considérons par exemple le portique de la Fig. E20.2a. Pour simplifier on a pris trois segments identiques. Les trois degrés de liberté sont représentés en Fig. E20.2&. On obtient la rigidité du portique en sommant convenablement les rigidités des trois éléments. La matrice de rigidité permet d’écrire l’équa­ tion forces-déplacements du portique, comme suit : ~P1 P2 =

k 2i

C22

-Pk

^31

v32

M2

^13 k23

w v2

*22

=

EI 0 /

,

(a» +

\ “ c)

= *31

2JE/q

- —jr2 a

*23 = ^

(% & -

Pc) = *32

*33 =

[ 5A ( 5A )y fl + 3A ( 3A)V«, + ?« -

V]

=

K25A ) r

-

^

Quelle que soit la fréquence co2 des charges appliquées p, on peut calculer d’abord les valeurs numériques de ces coefficients de rigidité, puis le vecteur v des déplacements harmoniques en résolvant les équations de l’équilibre dynamique. On peut également obtenir les fréquences des vibrations libres du portique en calculant les valeurs de co2, c’est-à-dire de aL, qui annulent le déterminant de la matrice de rigidité. 20.4 Matrice de rigidité dynamique des déformations axiales

Nous savons que négliger les déformations axiales provoque rarement des erreurs importantes, et que dans des calculs à la main cela permet souvent de réduire le nombre de degrés de liberté ; mais on ne le fait généralement pas lorsqu’on utilise un ordinateur. Dans le cas de structures complexes en effet, l’avantage que donne la réduction du nombre de degrés de liberté est contre­ balancé par la difficulté qu’il y a à définir les relations cinématiques entre les degrés de liberté qu’imposent les raideurs axiales des barres. Si on fait intervenir la souplesse axiale des éléments dans l’analyse, on peut traiter de manière indépendante les divers déplacements des noeuds et il est facile d’automatiser la formulation de la matrice de rigidité. La prise en compte de la souplesse axiale offre les mêmes avantages dans une étude par la méthode de la rigidité dynamique que dans le cas statique ; il sera donc utile de déterminer la matrice de rigidité dynamique des défor­ mations axiales d’une barre rectiligne. Le procédé est analogue à celui qui a été utilisé pour déterminer la rigidité en flexion, Eq. (20.14). Ecrivons l’Eq. (18.35) et sa dérivée première sous forme matricielle : (b )

pÿ(x)"] _ T sin bx L* cos bx

cos bx 1 r ^ il —b sin bx J L ^ J

Les déplacements et les forces qui entrent en ligne de compte sont représentés en Fig. 20.4. La première des Eqs. (20.18) permet d’exprimer les déplacements aux noeuds comme

'] & ]

<*»»

où s = sin bL

£ ]-" [■ £ * ]-" £

<2M0)

En exprimant les coefficients et B 2 en fonction des déplacements aux noeuds de l’Eq. (20.19) et en reportant dans l’Eq. (20.20), on parvient à l’équation de la rigidité dynamique

Sm

Fig. 2 0 4

H-:,.,.-------------------------------------

y - ÿ -P -P [SiLl -ÿ y P P a â SjL -P P â x P sk _ El -P Si L 0

SmL

0

0

0

0 0 0 0

s'(jJ V J

.S„L _ 0

0

0

0

L

0 0 0 0

El L

V/

-(?)■

«m L L_

[53-“ ti. 5 bL cos bL dj — ------------sin bL

On peut continuer à utiliser la méthode de la rigidité iynamique directe dans ce cas général. 11 faut alors tenir compte à la fois dîs déplacements et forces des Figs. 20.1 et 20.4, avec trois degrés de liberté en chaque noeud. Si on suppose que les forces dynamiques axiales ne sont pas assez grandes pour avoir une influence sur la rigidité de flexion, il n ’y aura pas de couplage entre les deux phénomènes. La matrice combinée sera donc une simple combinaison des matrices des Eqs. (20.14) et (20.21) :

c = cos bL

De même, la deuxième des Eqs. (20.18) donne une expression des forces axiales aux noeuds :

OÙ

20.5 Rigidité en flexion et en déformation axiale combinées

(20-22)

s bL
-----------------------------------------j------ \

s„

L ----------------------------------* |

_ ou r 2 = I/A. Les termes de rigidité axiale et ô 2 de cette équation sont des fonctions du paramètre de fréquence axiale b, alors que les autres termes dépendent du paramètre de fréquence en flexion a . Dans le but d’établir les intervalles de fréquences relatives dans lesquels les effets dynamiques de l’un des types priment sur ceux de l’autre type, comparons les fréquences naturelles axiales et en flexion. Ecrivons l’expression des fréquences des vibrations axiales d’une barre encastrée - exemple E18.5, Eq. (b) ~ sous la forme

r

,

2n - l

El

2n — 1

L

El

Forces et déplacements aux nœuds d'une barre en déformation axiale.

La fréquence fondamentale d’une poutre simple en flexion s’écrit On remarquera que les termes et ô2 tendent tous deux vers l’unité lorsque le paramètre de fréquence bL tend vers zéro ; cette matrice tend donc vers la matrice statique correspondante lorsque la fréquence tend vers zéro. On pourrait utiliser la matrice de l’Eq. (20.21) pour effectuer l’étude dynamique par rigidité directe de tout assemblage de barres ne subissant que des déplacements axiaux, par exemple pour un enchaînement de barres différentes alignées sur un même axe. Mais de tels systèmes ne présentent qu’un intérêt limité, et cette expression ne sera qu’un jeu pédagogique si elle reste isolée. Soulignons qu’un assemblage de barres simples par rotules ne peut s’étudier de la sorte dans le cas dynamique, en raison de l’inertie transver­ sale qui reste non nulle aux fréquences non nulles.

( û ) i)fie x =

IIL mÜ

Et le rapport est donc (^ l)a x ia l =

_J_ L

(û>i)flex

2n r

Ce résultat précis provient des conditions aux limites qui ont été envisagées dans l’un et l’autre cas ; mais quelles que soient les conditions aux limites le rapport des fréquences varie en fonction du rapport d ’élancement de l’élément.

On voit que pour un élément de dimensions normales, la fréquence fonda­ mentale des vibrations axiales est nettement plus élevée que la fréquence fondamentale en flexion. On peut arriver à une conclusion semblable en comparant directement les paramètres de fréquence aL et bL. La définition de ces paramètres s’obtenant avec les Eqs. (18.6) et (18.34), les relations

(aL)4 = “ W

{b L f = t f M }

El

AE

permettent d’écrire

(aL)4 = (b L f j L2 « (bL)2 ^ -V d ’où

aL = ( bL - Y '2

(20-23)

-K

Cette équation montre que pour un élément présentant un rapport d’élan­ cement courant, le paramètre de fréquence en flexion aL sera relativement grand lorsque le paramètre de fréquence axiale bL sera faible. Une conséquence importante est que l’on peut utiliser des expressions approchées pour calculer les termes de rigidité dynamique axiale de l’Eq. (17.22), pour des fréquences où il faut calculer les termes de rigidité en flexion de manière exacte. Des développements en série permettent de montrer que pour les valeurs faibles de bL on peut utiliser les expressions approchées suivantes : . bL cos bL (bL )2 d i — ------------ - == 1 — ------Si° bL S l. j ± - ± 1 + m sin bL 6

forces axiales impliquées étaient nettement plus faibles que les charges critiques de flambage des éléments, et qu’elles n ’avaient pas d’influence sensible sur la rigidité de flexion. Nous avons cependant vu plus haut (§§ 17.3 et 18.2) qu’une force axiale constante peut avoir un effet sensible sur les mouvements transversaux d’une poutre. On peut également en tenir compte dans la déter­ mination de la matrice de rigidité dynamique de l’élément. Nous supposerons ici que l’élément prismatique est soumis à une force axiale N constante dans le temps et uniforme sur toute la longueur. Il peut également y avoir une petite force axiale variable dans le temps J f , mais nous la supposerons négligeable devant N et elle n’influera donc pas beaucoup sur la rigidité de flexion. La matrice de rigidité dynamique en flexion qui tient compte de la force constante N peut se tirer de l’Eq. (18.18) exactement de la même manière que l’Eq. (20.14). La matrice qui lie les déplacements aux noeuds et les constantes d’amplitude Di prend la forme

3

(20.24)

Les termes qui contiennent bL prennent en compte l’inertie axiale de la barre ; ils contribuent de manière non négligeable à la réponse dynamique même si la souplesse axiale de la barre est négligeable. On peut montrer cela facilement en reportant les Eqs. (20.24) dans l’Eq. (20.22) et en faisant um = un, comme c’est le cas en l’absence de déformations axiales. Dans ce cas, l’expression de la rigidité devient identique à l’Eq. (20.17), avec Sw = Sm + Sn. On peut utiliser les expressions approchées de l’Eq. (20.24) sans perte de précision importante dans l’étude dynamique des structures en treillis ou des portiques lorsque les fréquences considérées sont de l’ordre des fréquences fondamentales de l’assemblage. Mais si les fréquences sont plus importantes il faut utiliser les expressions exactes.

20.6 Effets des forces axiales sur la rigidité en flexion

Bien que nous ayons envisagé la combinaison de forces axiales et des effets de la flexion transversale aux §§ 20.3 et 20.5, nous avons supposé que les

1

0

ou

L

0

1 ' L

s L

c L

S L

C L

-<5

0

—8

0

—de

ôs

—tC

-eS

s = sin ôL

S = sinh eL

c = cos ôL C = cosh eL L’Eq. (20.25) est bien sûr équivalente à la matrice correspondante de l’Eq. (20.7). De même, la matrice qui lie les forces aux noeuds et les constantes d’amplitude s’écrit ' - Ô 3L ô3cL U = El 0 ô2s

E3 L 0 —ô3j L ■—e3CL -b 2 0 —s 2S ô2c

0 ' - e 3SL e2 —e2C

(20-26)

qui est l’équivalent direct de la matrice correspondante de l’Eq. (20.9). La matrice de rigidité dynamique s’obtient donc par k(<5,e) = U W 1

(20-27)

où on voit que la rigidité dépend à la fois des paramètres de fréquence et de force axiale a et g puisque 8 et e s’expriment en fonction de ces grandeurs. L’obtention d’une expression explicite de la matrice de rigidité dynamique ne pose pas de problème, mais le résultat est assez lourd et nous ne le donnerons pas. De plus, comme ces termes dépendent de deux paramètres principaux, il n’est guère commode de les donner sous forme graphique. En principe on pourrait utiliser cette matrice de rigidité dynamique pour étudier

les structures complexes constituées d’assemblages de barres et de poutres et soumises à n’importe quelles actions de chargement axial et d’excitation harmonique ; mais il ne semble pas que cela ait été très utilisé jusqu’à présent. Pour ces chargements compliqués, les méthodes discrètes d’éléments finis sont d’une utilisation plus simple et donnent une bonne précision.

Problèmes

20.1 Considérons une structure semblable à celle de la Fig. E20.1, mais dont tous les éléments ont la même masse linéique m et la même raideur EL En utilisant les coefficients de rigidité dynamique donnés à la Fig. 20.2, calculer l’amplitude de la rotation au noeud 1 en fonction de El et de L si la fréquence du moment appliqué J i (f) est €5 = 9 V E I / t h L 4. 20.2 Calculer la fréquence naturelle fondamentale de la structure du Prob. 20.1 20.3 L’appui sur rouleaux de l’extrémité droite de la pente de la Fig. P20.1 agit de telle manière que le mouvement vertical de cette extrémité est le seul degré de liberté possible pour la poutre. Avec les valeurs des coef­ ficients de rigidité appropriés, tirés de la Fig. 20.2, déterminer la fréquence de vibration de cette poutre en fonction de E l, m et L : (d) en négligeant d’abord la masse du système à rouleaux (b) puis en supposant que la masse mobile du système à rouleaux est mL.

p-------------------- ----------------------- ^

Fig. P20.1

20.4 La structure à deux degrés de liberté de la Fig. P20.2 est soumise à un chargement harmonique p 1 (t) = p 0 sin 031 , où 03 = 4 s/EI/mL*. En utilisant pour les coefficients de rigidité dynamique des valeurs tirées de la Fig. 20.2, calculer les amplitudes du déplacement et du moment à la L

1—

k

+ —

2— H

base de la colonne en fonction de p 0 , El et L. Comparer ces résultats dynamiques à ceux de la réponse à une charge statique p0. 20.5 Pour la structure de l’exemple E20.2 (Fig. E20.2), calculer l’amplitude du déplacement dynamique provoqué par un chargement harmonique p 3(t) = p 0 sin cot, où co = (2,1)2 \ f El/mL*, et où P x~ P i ~ 0- Compa­ rer ce résultat avec le déplacement dû à une charge slatique p 0 . (Indica­ tion : on peut éliminer les coordonnées vx et v 2 pai condensation sta­ tique.) 20.6 Calculer la fréquence des vibrations axiales de la structure de la Fig. 20.4 par la méthode de la rigidité directe dynamique, en utilisant les coeffi­ cients de rigidité axiale de l’Eq. (20.21).

21

Propagation d ondes

21.1 Equation fondamentale de la propagation des ondes axiales

Nous avons dit au § 19.4 que la réponse dynamique d ’une barre prismatique à un chargement axial appliqué brusquement était d’une forme très simple ; on peut l’interpréter comme la propagation d ’une onde de contraintes et de défor­ mations sur sa longueur. Nous avons obtenu ce résultat à l’aide d’une méthode de superposition des modes qui ne tenait pas compte de la simplicité du phéno­ mène; en fait, il a fallu superposer un nombre très grand de réponses mo­ dales pour obtenir une approximation raisonnablement proche du phénomène de propagation d ’onde. On peut déterminer l’équation du mouvement axial d’une barre prismatique sous une forme différente, non fondée sur la sépara­ tion des variables, mais qui explicite directement la notion de propagation d’onde. Pour y parvenir écrivons l’équation du mouvement de la barre prismatique [Eq. (18.30)] comme

ou

ü - cV = 0

(21-1)

=

(21-2)

/lé = V m

li V p

a la dimension d’une vitesse, et où p est la masse volumique. Par une simple substitution on peut montrer que u(x,t) = f x(x - et) -h f 2(x + et)

(21-3)

est solution de l’Eq. (21.1), avec pour f x et f 2 des fonctions arbitraires des pa­ ramètres x — et et x 4- et. Cette expression représente une paire d ’ondes se propageant respectivement dans les sens positif et négatif le long de la barre (Fig. 21.1). Dans cette figure on a fixé arbitrairement le temps à t = 0 et on a représenté les deux ondes comme des fonctions de x seul. Les formes spéci­ fiques f x et f 2 représentées sur le schéma peuvent provenir par exemple de

Si on désigne les fonctions E bfxlbx et E bf2/bx par g et g 2 cela s écrit

Instant t = 0 /i(* )

Fig. 21.1

a(x,t) = g t (x - et) + g 2(x + et)

f 7(x)

Ondes de déplacement axial se propageant le long d'une barre.

(21-4b)

La Fig. 213 illustre la relation entre une onde de déplacements arbitraire et l’onde de contraintes qui lui correspond ; on voit que l ’onle de contraintes se propage à la même célérité en conservant une forme idertique à elle-même.

conditions de déplacement données qui ont été appliquées antérieurement aux extrémités de la barre. La nature du mécanisme de propagation d ’onde se comprend aisément si on considère une onde en déplacement aux deux instants t — 0 et t = At, Fig. 21.2. Si on envisage une nouvelle variable de position x = x — c At, on aura alors f x(x — c At) = f x(xr) ét la géométrie de l’onde rapportée à la va­ riable y en Fig. 21.2b est la même que celle de la Fig.21.2ar rapportée à x. L’onde a donc simplement progressé d’une distance c At pendant le temps At, sans changer de forme ; la célérité de cette propagation est c. On peut de même montrer que le deuxième terme de l’Eq. (21.3) représente une onde f 2 qui se déplace dans le sens des x négatifs.

o =E

Fig. 21 3

bf x(, x-ct ) _ gi(x-ct)

Relation entre les ondes de déplacements et de contraintes.

EXEMPLE E21.1 Etudions l’onde de contraintes engendrée par l’impact d’un marteau au sommet d’un pieu. Nous supposerons que la force ainsi générée est P(t) = (3 0D0 kN) x sin (7rf/0.005). La répartition des contraintes sera calculée à la fin de l’impulsion = 0.005 s) dans les cas d’un pieu en acier et d’un pieu en béton; les caractéristiques en sont représentées à la Fig. E21.1. Considérons d’abord le pieu d’acier. La célérité de l’onde donnée par l’Eq. (21.2), est

c,.

I I . V

= 5050m/s f V 7 850

La contrainte à l’origine engendrée par l’impact est Le comportement dynamique de la barre peut également s’exprimer sur la base de sa distribution de contraintes plutôt que sur la base de ses déplace­ ments. Avec o = Es et e = bu/bx, l’onde de contraintes est donnée par a(x,t) = E ^

= E^

(x - et) + E & (x + et)

(21-4a)

ff°(0 = - ^

= -(1 .5 x 108 N/m2) sin ^

mais avec l’E q .(21.46) appliquée à l’origine et en ne considérant que l’onde qui progresse dans le sens positif, ffo(0 = ^ l ( ~ Cs0

m

Pour t t = 0.005 s on obtient Impulsion sinusoïdale

T

/

T

que l’on a tracé à la Fig. E21.1 b . De même pour le pieu de béton

Pieu en acier : E = 2 x 1011 N/m2 A = 0.02 m2 = 200 cm2 p = 7 850 kg/m3

'///////

a{xy0.005) = (— 1.5 x 108 N/m2) sin n ^1 “

c'-JIïW-29oom is
Pieu en béton : E = 2 x 1010 N/m2

/I = 0.25 m2 p = 2 400 kg/m


(o)

et ce dernier résultat est représenté en Fig. E21.1 c . 12 N/mm

T

14.5 m

1

21.2 Prise en compte des conditions aux limites

r

W/M (*>)

(c)

Fig. E21.1 Propagation d'une onde de contraintes : (a) caractéristiques de deux struc­ tures et de leur chargement; ib) contraintes dans la colonne d'acier à l'instant f = 0.005 s; (c) contraintes dans la colonne de béton à l'instant t = 0.005 s.

On peut ainsi déterminer g x et obtenir
cst

L’expression générale pour cette onde est donc a(x,t) = ( - 1.5 x 108 N/m2) sin

(cst - x)

La fonction qui définit la forme de toute onde en propagation le long d’une barre prismatique dépend des conditions qui régnent aux extrémités de la barre ; plus précisément, la forme de l’onde qui progresse au sein de la barre est régentée par les exigences de l’équilibre et de la compatibilité aux limites. Par exemple, la forme de l’onde de déplacements de la Fig. 21.2a a pu être produite par la loi de déplacement u(0 , 0 = f x (— ct) au point x = 0, comme le montre la Fig. 21.4. Si l’extrémité droite x = L de la barre est libre (Fig. 21.2), cela impose à tout instant une condition de contrainte nulle en ce point. Cette condition peut être satisfaite par une seconde onde de contraintes se propageant cette fois vers la gauche, qui annule la contrainte à l’extrémité en raison de sa super­ position avec l’onde incidente. Sous forme mathématique et avec l’aide de l’Eq. (21.4a): ax=L = 0 = E — (L — ct) + E — (L + ct) ôx dx

d’où

dx

(L — ct) = —

dx

(L + ct)

(21-5)

Il est donc évident que la dérivée bu/bx de l’onde réfléchie est égale à l’opposée de l’onde incidente en ce point extrémité et à tout instant. On peut en voir une illustration en Fig. 21.5a avec les ondes de déplacements et en Fig. 21.5b avec les ondes de contraintes correspondantes.

Contraintes

* ,( * - « )

J 2(x + Ct)

F

---- ^ __________

__________

t * w> W \\''î i -v Fig. 21.6

Contraintes

(P)

gx(x - et)

^ g 2(x + ct)

C

—

Réflexion des ondes de déplacements et de contraintes à l'extrémité encastrée.

EXEMPLE E21.2 Revenons au problème de l’exemple E21.1. L’onde de contraintes représentée en Fig. E21.1c se propage à la célérité de 2 900 mètres par seconde, de sorte que sa tête atteint l’extrémité de la barre à l’instant 30

= 0.0104 s

2 900 11 Fig. 21.5

Réflexion des ondes de déplacements et de contraintes à l'extrémité libre.

L’onde incidente est réfléchie à l’extrémité libre ; l’onde réfléchie présente les mêmes déplacements que l’onde incidente, mais les contraintes changent de signe car le sens de la progression change lui-même de signe. On remarquera que le déplacement global de l’extrémité libre se trouve doublé par la superposition des deux ondes, alors que les deux composantes de la contrainte s’annulent. Considérons à présent le cas où l’extrémité droite de la barre est encastrée. La condition qui est alors imposée aux deux ondes s’écrit = 0 = /i( L - ct) + f 2(L + ct) et on peut donc exprimer l’onde réfléchie en fonction de l’onde incidente comme / 2(L + ct) = - / i ( L - ct) (21-6) On voit donc que dans ce cas les ondes de déplacements ont des signes opposés ; et par analogie avec le cas précédent on peut prévoir que les ondes de con­ traintes incidente et réfléchie sont de même signe, comme le montre la Fig. 21.6. En satisfaisant à la condition de déplacement nul, l’onde réfléchie pro­ voque donc un doublement de la contrainte à l’extrémité encastrée de la barre.

Ce qui suit dépend alors de la nature de cette extrémité. Supposons d’abord que la barre repose sur un appui rigide, de sorte qu’aucun déplacement ne puisse avoir lieu en ce point : l’onde de contraintes réfléchie doit alors être en compression, comme l’onde inci­ dente. La contrainte totale aux instants postérieurs est alors donnée par la somme des composantes incidente et réfléchie. Par exemple, la Fig. E21.2tf montre la distribution des contraintes qui existe lorsque l’onde a parcouru 38.4 m, soit à l’instant 38.4 " t — ------ = 0.0133 s 3 2 900 L’autre cas limite se produit lorsque la barre repose sur une boue très meuble, auquel cas il n’y a pratiquement aucune résistance à sa progres­ sion et on doit tenir compte d’une contrainte nulle à l’extrémité. Dans ce cas l’onde réfléchie doit être en traction, et la contrainte globale dans la barre est donnée par la différence entre les composantes en traction et en compression. A l’instant t 3 où l’onde a parcouru 38.4 m, la distri­ bution des contraintes est comme indiqué en Fig. E21.26. La contrainte totale est en traction à partir d’une hauteur de 8.4 m et la traction la plus importante se situe à 6 m du sommet. Cela montre comment des contraintes de traction se prodùiront dans une barre lors du martèle­ ment si le matériau qui reçoit la barre n ’offre que peu de résistance ;on voit également qu’une rupture ou une fissure due à ces contraintes peut

onde incidente il y aura génération d ’ondes réfléchies et réfractées aux points de discontinuité. Considérons par exemple la jonction entre les barres 1 ei 2 de la Fig. 21.7. La figure indique les caractéristiques des barres et la célérité des ondes qui s’y propagent. L’onde ua qui se propage dans le sens positif et pirvient au point de jonction génère une onde réfléchie ub qui se déplace dans le sens négatif le long de la barre 1, ainsi qu’une onde réfractée uc qui poursuit sa progression dans la barre 2. m2 ~Pl^i

(a)

Fig. 21.7

Réflexion et réfraction d'une onde en un point de discontinuité.

Deux conditions de continuité sont en vigueur à la jonction : Déplacement : Force :

ux = u2

ua + ub = uc

= J ^2

J^a + ^ T b = j r e

(21-7a) (21-7b)

où on a fait apparaftre le fait que les ondes incidente et réfléchie agissent toutes deux dans la barre 1. Comme ces conditions de continuité doivent à tout instant être satisfaites, il en sera de même pour la dérivée suivante : (b) Fig. E21.2

Contraintes è l'instant f3 = 0.0133 s (colonne en béton de la Fig. E21.1) : (a) extrémité encastrée à x = L ; (b) extrémité libre è x = L.

se produire assez loin du sommet. Il est bien entendu que le comporte­ ment spécifique dépendra dans chaque cas particulier de la résistance du béton et de la durée de l’impact.

21.3 Barre présentant des discontinuités

Les réflexions d ’ondes étudiées plus haut peuvent être considérées comme des cas particuliers des phénomènes de réflexion et de réfraction qui se pro­ duisent au niveau de toute discontinuité. Les conditions d ’équilibre et de compatibilité qui concernent tout point de la barre montrent que pour toute

— + — .= — dt

dt

(21-8) \

Ôt

Mais on peut écrire i’onde incidente sous la forme "a = /« (* ~ Ct) = f a( 0 où f est une variable plus commode que t. Les dérivées de ua peuvent à présent s’écrire

En raisonnant de la même manière pour les ondes réfléchie et réfractée on obtient ^

= + Cl ^

A XE X

(21-96)

ôx

dt

En reportant dans l’Eq. (21.13) et en intégrant on parvieni à

__

-------ub —

cx

A XE X

cx

ua

a —1 —

a + 1

d ’où = —c2 ^

(21-9c)

a*

Mt)= - U aa ^+ 4 1

Le signe positif dans l’Eq. (21.96) est dû au sens de propagation de l’onde réfléchie. En reportant les Eqs. (21.9) dans l’Eq. (21.8) on a

(21 4 5 )

De même avec l’Eq. (21.14) : A 2E 2 uc -_ _ ± i^El uu0 a_ 2+«_l C2

d’où uc = ua — mais les déformations (d u jb x = ea, etc.) peuvent s’exprimer en fonction des forces qui agissent dans les barres : sa = a J E = J f j A ^ E x, etc.; on peut donc écrire la condition de compatibilité de l’Eq.(21.10) en fonction des ondes de forces Cl A^Ei

+ -A r A yE i

A 2E 2

ou plus simplement j r c = u (jr a - j r b) ou»'

^1 A a = — —2^2 —- = / —? 2 2 c2 A 1E 1 V m lE 1A 1

(21-11) /(_ . . A . (21-12)

Enfin cette condition de compatibilité [Eq. (21.11)] peut être reportée dans la condition d’équilibre des forces [Eq. (21.76)] pour exprimer les ondes réfractée et réfléchie en fonction de l’onde incidente

On voit que a dépend du caractère de la discontinuité, et détermine les amplitudes relatives des ondes réfléchie et réfractée. Si les caractéristiques des deux barres adjacentes sont identiques, ou telles que a est égal à l’unité, il n ’y a ni discontinuité ni onde réfléchie. Si la rigidité s’accroît lorsque l’on passe à la barre 2, la valeur de a croît et l’onde de forces réfléchie est du même signe que l’onde incidente ; dans le cas contraire la valeur de a passe sous l’unité et l’onde de forces réfléchie est du signe opposé à celui de l’onde incidente. On voit à présent qu’il est possible de considérer les conditions d’extrémité encastrée et d’extrémité libre du § 21.2 comme des cas limites d’une discontinuité, pour lesquels a prend une valeur respectivement infinie ou nulle. La table 21.1 résume les diverses possibilités. Table 21.1

Comportement des ondes en présence de diverses discontinuités.

Ondes de forces

JTu + JTh ~ a(JTa - j r b) =

d’où

Cas

jrb = jra

(2 i.i3 ) oc + 1

et en vertu de l’Eq. (21.11), (2 i-i4)

a + 1

Les deux dernières équations représentent les relations entre les ondes de forces incidente, réfléchie et réfractée au niveau de la discontinuité. On peut déterminer des relations semblables pour les ondes de déplacements si on voit que s - A E * i = ÔX

±éE *L C

Ôt

(21-16)

a + 1

lâiëliUl AiEJhi

Onde de déplacements

W fl + ub = uc

Pas de discontinuité Extrémité encastrée Extrémité libre

1 00 0

0 1 -1

1 2 0

1 0 1 -1 1 1

1 0 2

A 2E 2 _ m 2 _ 2 A 1E l fhi

2

i

î

i -i

i

A 2E 2 _ m 2 _ j AiEi rhi

i

-i

i

i

i

î

EXEMPLE E21.3 Considérons la barre homogène représentée à la Fig. E21.3ûl Cette barre présente des discontinuités dans l’aire de sa sec­ tion droite. A chaque discontinuité on a A 2/A x = 1/2, donc m 2l m \ ~

Barre prismatique par morceaux, matériau homogène. P - 3 600N

>4 = 1 cm ;

A = 2 cm

A = 4 cm

-1 .2 0 m -

1 .2 0 m -

21.4 Ondes de contraintes lors de l'enfoncement d'un pieu

= 1

1.20 m -

+

P

Chargement en échelon 3 600 N

(û)

3 600 t -

0.60 m c (m /s)

3 600

i

i

Dans l’exemple E21.1 on a supposé que la force communiquée à la barre par la masse avait une forme sinusoïdale ; on peut facilement montrer que l’impulsion en question sera bien de cette nature si la masse est très légère par rapport au poids de la barre, car la masse se comportera alors comme un sys­ tème à un degré de liberté sur un support rigide. Mais dans la pratique le pilon est plus lourd, et provoque une réponse en déplacement de la part de la barre. La nature de l’impulsion est alors plus compliquée mais on peut toujours la déterminer de manière relativement simple. Supposons que le pilon se réduise à une masse rigide m , et l’amortisseur entre barre et pilon sera représenté par un ressort sans masse k . La raideur axiale de la barre est A E , avec une célérité de propagation d’ondes c . Comme le montre la Fig. 21.80 , on notera par Z le déplacement du pilon à partir de son point d’impact avec l’amortisseur, et par u 0 le déplacement de l’extrémité supé­ rieure de la barre. L’équilibre des forces agissant sur le pilon à l’instant de l’impact peut s’écrire comme

të;

J T c^ W + f,

3 600 2 400

1.80 m

2 400

c (m/s)

3 600

... ..........i_ _ __

_____

3 600 2 400

2 400

1 600

1 600

______i

et avec W = mg et f j ~ ~ mZ : JTe = m {g - 2)

(21-17)

En faisant intervenir la continuité des déplacements :

3.00 m t — c (m/s)

(21- 18a)

z = «o + — k

et après deux dérivations

3 600 3 600 2 133

2 133

1 600

1 600

3 200 ------------ 1 4.20m

Z = «0 +

(21-186) K

c (m/s

3 600

J:

Vitesse Vu

ib)

Marteau*----- ► Poids W = mg

Fig. E21.3 Réflexion et réfraction d'une force aux discontinuités d'une barre : (a) défi­ nition de la barre et du chargement ; (b) distribution des forces en divers instants.

j W = mg

Amortisseur Htisseur i r igidité k --- J de rigidité

et enfin ct = 1/2. C’est le dernier cas de la table 21.1, qui nous donne pour chaque discontinuité 3

JTç jVa

Soumettons l’extrémité gauche à une force constante de 3 600 N. Lorsque l’onde aura parcouru 0.60 m, 1.80 m, 3.00 m et 4,20 m, les répartitions de forces seront celles qui sont représentées en Fig. E21.36. On peut en déduire les distributions de contraintes en divisant par les aires. Signalons en terminant que ce raisonnement suppose que les segments sont reliés par des disques rigides.

[z

---- f ! = - m Z

Tün

Pieu-

tAc

AE m = Ap

3

—i—

_ /ÂF Cb) (a )

Fig. 21.8

Etude de la force de contact lors de l'enfoncement d'un pieu (a) schéma de définition ; {b) équilibre des forces au niveau du imarteau.

En reportant dans l’Eq. (21.17) on obtient alors J fe = m

ou, avec wn = 0 à t = 0

- ü0 -

(21-19)

Avec une expression comme FEq. (21.9c), on peut à présent écrire la force Jfc en fonction du mouvement du sommet, comme suit : jV c

= - a cA = —AEec = - A E ^

= — ^2

ÔX

C

(21-20)

V„ = ^ £ k Enfin, on élimine J fc grâce à l’Eq. (21.20) pour obtenir

(21-25)

V Ë vv OJ . v h -— é ------

j, % d ou

c

ôt

k

? o ,- o = V k % =

(2 1-26)

V>2c° t

En reportant dans l’Eq. (21.19) et en réarrangeant on parvient donc à En utilisant les conditions initiales des Eqs. (21.^4) et (21.26) l’Eq. (21.23) on obtient :

m A E ... .. AE . -------u 0 + mu 0 + — uQ = mg k c c ou, en notant par

la vitesse de l’extrémité de la barre et en simplifiant : ?o + ^ Ÿ o + - V 0 = ^ g AE m AE

(21-21)

que l’on reconnaît comme étant l’équation du mouvement d’un système à un degré de liberté soumis à un chargement statique. Le second membre de cette équation provient de la grandeur mg de l’Eq. (21.17) ; il représente la fraction de la force de contact qui est appliquée au poids du pilon, ce qui ne représente qu’une faible partie de l’effet de l’inertie et peut donc être négligé. L’équation homogène qui reste peut se mettre sous la forme familière V0 + 2(d £V 0 + co2V0 = 0

où

2 k ar = — m

(21-22)

« » kc 2 coÇ = — AE

La solution de cette équation de vibration libre amortie à un degré de liberté est VQ = e~*at(A sin œDt + B cos coDt)

(21-23)

où

At = 0:

dans

V0 = 0 = IA ( 0) + B( 1)]

B = 0

(1)

K = 2œ^Vh = AœD( 1)

A = % — Vh COD

(2)

Le résultat final pour la vitesse à l’extrémité est donc V0 = «-«-* ^ Vh sin œDt CÛD

(21-27)

Mais-plus-intéressante est la variation de la force de contact, donnée par l’Eq. (21.20): J f c = — V0 = ^ C

e-{“‘ sin coDt

(21-28)

COD

Cette solution s’applique seulement pendant le contact et avant que l’onde réfléchie par l’autre extrémité ne soit revenue à son point de départ ; c’est-à-dire entre t < et f < IL/c. EXEMPLE E21.4 Revenons au problème de l’exemple E21.1 ; les caractéristiques indiquées à la Fig. E2l.4û permettent de calculer les grandeurs figurant à l’Eq. (21.28) :

coD =
co — / — — 628 rad/s V m mD = W l - F = 620 rad/s

= o

(21-24)

t=O

Soit Vh la vitesse du pilon à l’instant du contact. En dérivant l’Eq. (21.18a) et en reportant la valeur donnée on obtient . . Jfc At = 0 Z = Vh = u0 + —— k

£ =

I ojAE

= 0.156

^ = 3 x 106 N
Ces grandeurs définissent parfaitement la force de cette force se propage bien sûr le long de la barre Le pilon reste en contact avec l’amortisseur t = t(I(jôd = 0.00507 s. La répartition des forces qui la barre à cet instant est représentée à la Fig. E21 Ab.

contact J f c ( t ) et avec la célérité c. jusqu’à l’instant agissent le long de

A l’Eq. (21.28) le paramètre £ montre à quel point la réponse de la barre influe sur la force de contact ; ce paramètre peut s’écrire Marteau : m = 857 kg

£ = 30 m

^ Amortisseur:

3.38 x 10 8 N/m

Pieu en béton ,n 0 ^ = 2 x 10 N/m ) ^ = 5 X 109N , 4 = 0.25 m 2 .• /Br= 2 900 m/s 3 I p = 2 400 kg/m ' p

* _ ck _ 1 I km ~~ 2coAE ~~ 2 V mAE On voit que £ diminue avec une barre plus massive et plus rigide par rapport au pilon. Dans le cas limite d’un bloc rigide impossible à mouvoir, £ s’annule et le système pilon-amortisseur se réduit à un simple système à un degré de liberté. L’onde de force axiale qui correspond à ce cas (le même qu’à l’exemple E21.1) est représentée en pointillé à la Fig. E21.4Ô à fins de comparaison avec le cas d’une réponse élastique. Il est évident que la durée de l’impact est à peine affectée par le compor­ tement élastique de la barre ; mais l’amplitude de la force a été réduite d’environ 20 %. 21.5 Onde d'effort tranchant dans un bâtiment

Eloignement par rapport à l’extrémité frappée, en mètres

(a )

La notion simple de propagation d ’onde permet également de représenter commodément la réponse dynamique d ’un bâtiment élevé soumis à une charge latérale. Considérons un bâtiment dont tous les étages sont absolument identiques (raideur des colonnes, distance entre planchers, masse), et dont les planchers peuvent être considérés comme rigides. Dans tout segment vertical d’un tel bâtiment, le mécanisme de propagation d’onde d’effort tranchant est entièrement semblable à celui de la propagation des ondes axiales que nous avons étudiées dans les paragraphes qui précèdent. Considérons le bâtiment de la Fig. 21.9a, où El représente la raideur globale. La Fig. 21.96 représente l’effort tranchant total V et le déplacement Ai; d’étage à étage. La relation entre l’un et l’autre est la suivante : h3 Av (21'29) 12ZEI où on a tenu compte du fait que les planchers rigides empêchent toute rotation des colonnes à leurs niveaux. En ce qui concerne l’équilibre des forces —Fig. 21.9c —on a /z = mfi = A*ü

Si le bâtiment comprend un grand nombre d’étages identiques, on peut raison­ nablement approcher le système à l’aide d’un milieu continu qui serait une poutre d’effort tranchant. On aura les approximations Effort sur la section, KN

Av = — h dx

AV = — h dx

En reportant la première dans l’Eq. (21.29) on obtient Fig. E21.4

(21-30)

Etude de la force de contact sur le pieu ; (a) caractéristiques du pieu et du matériel d'enfoncement ; (b ) onde de force è l'instant t = 0.00507 s.

du R _ h3 dx ~ 12IJEJ

(21-31)

—

On peut donc déterminer l’influence d ’une discontinuité sur la propagation d’une onde d’effort tranchant le long d’un bâtiment élevé : il suffira d’utiliser ce facteur dans des équations équivalentes aux Eqs. (21.13) à (21.16).

— Av Effort tranchant *0

Problèmes XEÏ

k* ^

21.1 La Fig. P21.1 représente une barre prismatique en béton reposant sur une base rigide. Cette barre est soumise à une impulsion rectangulaire de durée 0.010 s. {à) Tracer les distributions des forces axiales et des déplacements à l’instant t = 0.015 s. (Z?) Même chose à l’instant t — 0.023 s.

(b)

V+AV

I p«)

*U

PO) (c)

(a) Fig. 21.9 Modélisation d'un bâtiment élevé â l'aide d'une poutre sensible è l'effort tranchant ; (a) segment de bâtiment ; (à) relation force-déplacement pour un étage ; (c) équilibre d'un étage.

dV , m/v = — h dx

(21-33)

Enfin si on dérive FEq. (21.32) — équation force-déformation — et si on la reporte dans FEq. (21.33) représentant l’équilibre, on parvient à l’équation du mouvement qui s’écrit, après simplification : v — c 2v" = 0

(21-34)

12LEI rriih

(21-35)

ou

représente la célérité de propagation des ondes d’effort tranchant. La forme de l’Eq. (21.34) étant identique à celle de FEq. (21.1), la solution de l’une est applicable à l’autre. En comparant les expressions des célérités [Eqs. (21.2) et (21.35)] on voit que dans le cas du bâtiment on a m jh ^ m et MUEI/h 2 ^ EA. Ces équivalences permettent alors de mettre le facteur de discontinuité a de FEq. (21.12) sous la forme suivante : /l2E£Jm À

a =

V h3

E =

2 x 10 10 N /m 2

c = 3 000 m/s

1 50 0 kN

_JL —0.010s

et en reportant la seconde dans l’Eq. (21.30)

c =

.A = 0.10 m2 60 m

h

^12S £ Jm ^

(21-36)

Fig. P21.1

21.2 Revenir au Prob. 21.16 en déterminant la réponse par la méthode de superposition des modes et en ne tenant compte que des deux premiers modes de la vibration axiale. 21.3 Reprendre les Probs. 21.1a e t 21.16 en supposant que l’on a réduit Faire de la section droite de la colonne à 0.05 m2 sur toute sa moitié inférieure, la masse linéique s’en trouvant réduite d’autant. (La célérité d’une propagation d’onde restera égale à 3 000 mètres par seconde dans les deux tronçons.) 21.4 La Fig. P21.2 montre un bâtiment de quarante étages. La hauteur et le poids de chaque étage sont de 3.60 m et 5 x 106 N, et les 25 colonnes de béton identiques (section carrée de 0.60 m de côté) parcourent toute la hauteur. On suppose que les dalles horizontales sont rigides, et on néglige l’amortissement et les déformations axiales des colonnes. (a) Déterminer les fréquences des trois premiers modes de vibration. (b) La base du bâtiment est soumise au déplacement impulsif représenté (une alternance de sinusoide). Déterminer l’effort tranchant maximum produit à la base du bâtiment et le déplacement maximum au sommet, ainsi que les moments où se produisent ces maxima. 21.5 Reprendre le Prob. 21.4 en supposant que le bâtiment présente une récession à mi-hauteur, c’est-à-dire ne soit plus supporté dans sa partie supérieure que par 9 colonnes, le poids par étage étant dans cette région réduit à 1 250 kN. N’étudier la réponse que jusqu’à l’instant où Fonde

Index du Tome 1 Poids par étage = 5 000 kN

A 25 colonnes — de 0.60 x 0.60 m ii = 2 x 1010 N/m 2

Fig. P21.2

vgit)

réfléchie par le sommet revient à mi-hauteur du bâtiment. (La célérité de propagation est différente dans les deux tronçons.) 21.6 La Fig. P21.3 représente un pieu en béton frappé en son sommet par un appareil de masse lt et dont la vitesse à l’instant de l’impact est de 4.5 m/s. Si on a mis un amortisseur en bois de rigidité 1.8 x 108 N/m, déterminer la contrainte maximale de traction dans la barre pour les conditions suivantes à l’extrémité : (a) pas d’appui, (b) sol meuble avec un coefficient de réflexion a = 0.05, (c) sol ferme avec un coefficient de réflexion a = 0.15. Marteau ___ m = lt Vty= 4.5 m/s Amortisseur k - 1.8 x 10® N/m

Accéléromètre, 63 d'Alembert, Principe de, 9 Amortissement : amplification à la résonance, 70 coefficient d’influence, 152 couplage, 202 décrément logarithmique, 47 décroissance des oscillations libres, 70 déperdition d’énergie par cycle, 74 équivalent, 75 évaluation, 70 facteur, 45 hystérésique, 76 matrice, 152 méthode de la demi-puissance, 72 modes, 202 orthogonalité, 199 système continu, 302 Amortissement de Rayleigh, 199 systèmes continus, 335 amplification, Facteur d’, 54, 58 Appuis : excitation des, 21 structures sans, 259 Argand, Diagramme d’, 43 axiale, Force, influence sur la rigidité, 185, 298, 356 axiale, Onde, 361 axiales, Déformations, 306

Caractéristiques réparties, 293 chaîne, Structure en, 230 Chargement : au hasard, 1 cohérent, 169 donné, 1 dynamique quelconque, 103 évaluation, 169 harmonique, 2,53 impulsion (charges impulsives), 2, 89 définition, 89 étude approchée, 98 rectangulaire, 93 sinusoïdale, 90 triangulaire, 94 périodique, 2 résultantes statiques, 169 Coefficient d’influence : amortissement, 152 masse, 152 rigidité, 151,156 souplesse, 155 complexe, Réponse en fréquence, 85 Condensation statique, 175 Conditions d’orthogonalité : modes de vibration axiale, 325 systèmes continus, 320 systèmes discrets, 188 contraintes, Equations de, 287 convolution, Intégrale de, 104 Coordonnées généralisées, 7, 275, 276 Coordonnées principales (normales), 196 système continu, 327

B

Pieu E = 2 x 1 0 10N/m^ A = 0.25 m'

Bâtiment élevé, 230, 377, 378 Betti, Loi de, 158

p = 2.4 t/m

C Caractéristiques généralisées : systèmes continus, 331

D Découplage des équations du mouvement, 3 30 ,3 3 4 ,3 3 6 Décrément logarithmique, 47 Défini positif, 157 Déformations axiales, équations, 306 Degré de liberté, 5,1 4 9

Déphasage, 57 Déplacements généralisés, 5 Diagramme d’Argand, 43 Discrétisation, 4 déplacements généralisés, 5 éléments finis, 7 masses concentrées, 4 Duhamel, Intégrale de, 103,104 Dynamique : chargement, 103 équilibre, 150 matrice, 214,256 rigidité, 187 E Economie de valeurs propres, 239 Effort tranchant, influence sur les vibra­ tions d’une poutre, 299 Eléments finis : discrétisation, 7 fonctions d’interpolation, 8 nœuds, 7 rigidité, 156 Eléments propres : résolution par itérations, 249 valeurs propres, 185 Energie : cinétique, 10,134 de déformation, 156 potentielle, 10,134 Enfoncement d’un pieu, 373 Equation(s) : caractéristique, 180 de contraintes, 287 aux fréquences, 180 incrémentales de l’équilibre, 122, 267 de Lagrange, 276 du mouvement, 8 avec amortissement, 198 découplage, 330, 334, 336 formulation, 295, 306 formulation variationnelle, 275 sans amortissement, 179 Equilibre dynamique, 150 Etude des vibrations : systèmes continus : cas fondamental, 309 déformations axiales, 322 effets d’effort tranchant, 318

effets de l’inertie de rotation, 318 effets des forces axiales, 317 Excitation des appuis, 21 systèmes continus, 303 F Facteur d’amplification, 5 4 ,5 8 Facteur de réponse, 55 Flambage, 27, 186 excitation harmonique, 186 itération matricielle, 227 Fonctions d’interpolation, 8 Force : axiale, 185, 298, 356 inertie, 5 ,9 pesanteur, 20 Fourier : intégrale, 114 série exponentielle, 84 série trigonométrique, 81 transformée directe, 114 transformée discrète, 116 transformée inverse, 114 transformée rapide, 117 Fréquences : amorties, 45 analyse en, 116 détermination, 179,184 équations aux, 180 non amorties, 42 rapport de, 54 vecteur de, 180 G Généralisé : voir Coordonnées généralisées voir Propriétés généralisées H Hamilton, Principe de, 10, 18, 34, 276 Holzer, Méthode de, 230 Holzer-Myklestad, Méthode de, 236

I Impulsion, voir Chargement (charges im­ pulsives)

Inertie de rotation, 299, 318 Influence d’une force axiale, 185, 298, 356 Intégrale de convolution, 104 Intégrale de Duhamel, 103,104 Intégration : numérique, 106 pas à pas, 123, 127, 268, 269 Isolation des vibrations, 64 Itération : directe, 249 inverse, 250 matricielle, 24 7 ,2 5 1 ,2 5 4

K Kolovsek, V., 347

L Lagrange : équations, 276 multiplicateurs, 287 Leckie, F.A., 239 Loi : de Betti, 158 de Maxwell, 159 de Newton, 2®me, 9

M Masse : coefficient d’influence, 152 cohérente, 166,257 concentrée, 4 ,1 6 4 Matrice : amortissement, 152 balayage, 221,223-224,261 dynamique, 214,256 masse, 152,164,166 modale, 183 propriétés, 155 rigidité, 151 rigidité géométrique, 1 5 3,172,174 souplesse, 156 stabilité, 227, 229 transfert, 234-238 Matrice de rigidité dynamique : avec mouvement rigide axial, 350

axiale et en flexion, 355 déformation axiale, 353 en flexion, 344 Maxwell, Loi de, 159 Mesure des déplacements, 63 Méthode : Holzer, 230 Holzer-Myklestad, 236 Rayleigh, voir Rayleigh Rayleigh-Ritz, 243 rigidité directe, 162 rigidité directe en dynamique, 343 Simpson, 106 Stodola, 214 trapèzes, 106 VianeUo, 227 Wilson, 270,272 Minimum de l’énergie potentielle, 11 Modes : amortis, 202,203 non amortis, 181 normalisation, 190 superposition, 198,203 N Newton, Deuxième loi de, 9 Nœuds, 7 non linéaire, Réponse, 121,265 Normalisation des modes, 190 Nowacki, W., 347

O jOnde axiale, 361 Onde incidente, 369 Onde réfléchie, 369 Onde réfractée, 370 Orthogonalité, 188,191,199 voir Conditions d’orthogonalité Oscillations libres, 41 amortissement critique, 44 amplitude, 43 non amorties, 42,179 sous-amorties, 45 suramorties, 48 P pesanteur, Influence de la, 20 Pestel, E.C., 239

Principe : de d’Alembert, 9 de Hamilton, 10, 18, 34, 276 des déplacements virtuels, 10 Propagation d’onde : analyse, 361 bâtiment élevé, 377, 378 enfoncement d’un pieu, 373 incidente, 369 réfléchie, 369 réfractée, 370 Propagation d'une onde axiale : conditions aux limites, 365 discontinuité, 368, 371 équations du mouvement, 361 Propriétés généralisées : amortissement, 26, 35 assemblage de corps rigides, 22 chargement, 26, 31, 36 masse, 2 6 ,3 1 , 34 rigidité, 26, 31, 36 rigidité combinée, 31, 33, 36 rigidité géométrique, 31, 36 souplesse répartie, 29

dynamique, 187 avec déplacement axial rigide, 350,351 deformation axiale, 353 en flexion, 344, 346 en flexion et déformation axiale, 355 ge'ométriqué, 31 approximation linéaire, 170 coefficients, 153, 172 matrice, 153,172, 174 matrice, 151 Rigidité directe en dynamique, 343 '

S Simpson, Méthode de, 106 Souplesse, 155-156 Spectre, 95 stabilité, Matrice de, 227, 229 Stodola, Méthode de, 214 Structure en chaîne, 230 Systèmes à caractéristiques réparties, 293

T Rapport de fréquence, 54 Rapport de réponse, 55 Rayleigh : amortissement, 199 méthode : améliorée, 140-142 charge critique de flambage, 32 choix de la déformée, 136 coordonnées discrètes, 241 détermination approchée de la fréquence, 135,136 principe, 133 Rayleigh-Ritz, Méthode de, 243 Régime permanent, 54 Réponse : en fréquence complexe, 85 en régime permanent, 54 non linéaire, 121,265 transitoire, 54 Résonance, 60, 74 Rigidité : coefficient d’influence, 151, 156 directe, méthode de, 162 IMPRIMERIE LOUIS-JEAN - 05002 GAP

Transformée de Fourier, 116,117 Transmittance, 65 Travail virtuel, 18

V Valeurs propres, 185 - résolution par itérations, 249 procédés d'économie, 239 variationnelle, Formulation, 275 Vectetir : d’état, 2 3 4 ,2 3 5 ,2 3 7 des fréquences, 180 propre, 247 Vianello, Méthode de, 227 Vibrations, voir Oscillations

W Wilson, Méthode de, 270, 272 Dépôt légal 333-1980