APLIKASI TURUNAN – EM1201 Minggu ke-13
PROGRAM STUDI MANAJEMEN REKAYASA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN SEMEN INDONESIA
Laju-laju yang Saling Berkaitan
Jika didapatkan peubah y yang bergantung kepada waktu t, Maka turunan y terhadap waktu t,
dy dt
, disebut laju sesaat perubahan.
Jika y adalah sebuah jarak, Maka laju sesaat perubahan ⇨ KECEPATAN
Jika selain peubah y yang berkaitan dengan t, terdapat juga peubah x, Maka
dy dt
dan
dx dt
keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan.
2
Laju-laju yang Saling Berkaitan Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita tentang laju yang berkaitan. Langkah 1. Andaikan t menyatakan waktu. Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t > 0. Beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah, dengan nilai-nilai konstanta yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai waktu, dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah ini. Langkah 2. Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah-peubah. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t . Langkah 3. Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang berlaku untuk semua waktu t > 0, bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu. Langkah 4. Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit terhadap t . Persamaan yang dihasilkan, memuat turunanturunan terhadap t, berlaku untuk semua t > 0. Langkah 5. Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang berlaku pada saat tertentu. Selesaikan turunan yang diinginkan. 3
Laju-laju yang Saling Berkaitan Contoh: Seorang anak menerbangkan layang-layang. Jika tinggi layang-layang 90 dm di atas tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5 dm/detik, berapa kecepatan anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm ? ( Asumsikan benang membentuk sebuah garis, walaupun sebenarnya anggapan ini tidak realistis ).
Jawab Langkah : Diagram Kec. Angin 5 dm/s z = 150 dm 90dm dm yy==90 Tangan si anak x
x: Jarak antara anak dengan layang-layang (dm) y: tinggi layang-layang (dm) z: panjang benang (dm) t: lamanya waktu saat mengulur benang Jadi, kecepatan: bertambahnya jarak si anak dengan layang4 layang.
Laju-laju yang Saling Berkaitan Langkah 2: Identifikasi laju perubahan yg diketahui dan ditanyakan Diketahui kecepatan angin 5 dm/2, maka
dx dt
5 dm/s .
Tinggi y = 90 dm, dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu. Sehingga,
dy
dt
0 . Panjang benang
saat itu adalah z = 150 dm.
Yang ditanyakan adalah kecepatan mengulur benang,
dz dt
Langkah 3: Persamaan-persamaan yang digunakan 2 2 2 Teorema Phytagoras: z x y Langkah 4: Diferensialkan persamaan di langkah 3 terhadap t Turunan implisit dan memakai aturan rantai, sehingga 2 z z
dz
dt dz dt
x
2 x
dx
dx dt
dt
2 y
y
dy dt
dy dt
5
Laju-laju yang Saling Berkaitan Langkah 5. Selesaikan Persamaan pada langkah 4 dx dt
dy
5 dm/s
dt
Tentukan panjang x. 2
z x
2
y
2
z y
2
x
2 2
x z 2 y 2
(150) 2 (90) 2
22500 8100
14400
0
y = 90 dm
z = 150 dm
Sehingga dapat dihitung
z (150)
dz dt dz dt dz dt
x
dx dt
y
dz dt
dy dt
(120).(5) (90).(0) 600
150 4
120
Jadi, kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dm/s
6
Laju-laju yang Saling Berkaitan Soal Latihan
1.
Minyak memancar dari tanker bocor menyebar dalam bentuk lingkaran yang bertambah dengan laju konstan 5 km 2/jam. Seberapa cepatkah bertambahnya jari-jari tumpahan ketika luasnya 16π km2.
2.
Balon bulat membumbung tinggi dan volume balon tersebut bertambah dengan laju 3 cm3/menit. Berapa cepat laju diameter balon bertambah bila jari-jari 8 cm?
3.
Tangga dengan panjang 13 m disandarkan pada dinding. Jika dasar tangga ditarik menjauh dari dinding dengan laju konstan 6 m/s, maka seberapa cepatkah bagian atas tangga turun ketika berada 12 m di atas tanah?
7
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Definisi Fungsi f ( x ) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk
x1 x2
f x1
f x2 , x1 , x2 I
f(x2) f(x1)
x1
x2
I Fungsi f(x) monoton naik pada selang I 8
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi monoton turun pada interval I jika untuk
x1 x2 f x1 f x2 , x1, x2 I f(x1) f(x2)
x1
x2
I
Fungsi f monoton turun pada selang I
9
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Konstan pada interval I jika untuk Untuk semua x1 , x2 f x1 f x2 , x1 , x2 I
f(x1) = f(x2)
x1
x2
I
Fungsi f konstan
10
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Teorema 1 : Andaikan f diferensiabel di selang tertutup I ∊ [a,b] , maka – – –
f '( x) 0 x I Fungsi f ( x ) monoton naik pada I jika Fungsi f(x ) monoton turun pada I jika f '( x) 0 x I f '( x) 0 x I Fungsi f(x) konstan pada I jika f ( x)
Contoh Tentukan selang kemonotonan dari Jawab : f ' ( x)
(2 x 2)( x 2) 1( x ( x 2) x 2
4 x
( x 2)
2
2
2 x 4)
2
2 x
2
x
6 x 4 x
( x 2)
2
2 x 4
x 2 2
2 x 4
2
x( x 4) ( x 2)
2
0
Tidak ada
+++++++ -----------0
f ( x ) monoton naik pada (,0) dan (4,) f ( x ) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).
2
0
--------4
++++++
f’(x) x
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Latihan Soal: Tentukan selang kemonotonan dari:
1. g ( x) x 2 2 x 8 2. y x 16 x 2 3. f ( x)
x 2 3 x 4 x 2
12
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Definisi: Andaikan f diferensiabel pada suatu selang. –
Fungsi f ( x ) cekung ke atas (concave upward ) pada suatu selang jika f’(x) naik pada selang tersebut
–
Fungsi f ( x ) cekung ke bawah (concave downward ) pada suatu selang jika f’(x) turun pada selang tersebut Cekung ke atas Cekung ke bawah
Teorema: (a)
Jika f”(x) > 0 pada suatu selang terbuka (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)
(b)
Jika f”(x) < 0 pada suatu selang terbuka (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b) 13
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Contoh 1: Tentukan selang terbuka ketika fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah! f ( x)
6
x
2
3
Jawab: f ( x) 6( x 2 3) 1 f ( x) 6.(1).( x 2 3) 2 .(2 x) 12 x( x 2 3) 2
f ( x)
12 x
( x 2 3) 2 (12).( x 2 3) 2 (2).( x 2 3).(2 x).(12 x) ( x 2 3) 4 ( x 2 3)[12( x 2 3) 48 x 2 ] ( x
2
3)
4
2
12 x 36 48 x
( x
2
3)
3
2
36 x 2 36 ( x 2 3) 3
36( x 2 1) ( x 2 3) 3 14
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Tentukan pada titik x berapakah, f ”(x) = 0 f ( x) 0 36( x 2 1) ( x 36 ( x 2 3)
2
3)
3
0
2 ( x 1) 0 3
+++
Jadi, pembuat 0 adalah x 2 1 0 x 2
1
x 1
Uji f”(x) di titik: (-∼,-1), (-1,1), (1, ∼) +++++
-------------
+++++
Cekung ke -1 atas
Cekung ke bawah
1 Cekung ke atas
15
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Contoh 2: Tentukan selang terbuka ketika fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah! f ( x)
Jawab: f ( x) f ( x)
f ( x)
x 2 1 x 2 4
x 2 1 x
2
4
(2 x)( x 2 4) (2 x)( x 2 1) ( x
2
4)
2
2 x 3 8 x 2 x 3 2 x ( x 2 4) 2
10 x
( x 2 4) 2 (10)( x 2 4) 2 (2)(2 x)( x 2 4)(10 x) ( x 2 4) 4 ( x 2 4)[10( x 2 4) 40 x 2 ] ( x 2 4) 4
2
2
10 x 40 x 40
( x 2 4) 3
30 x 2 40 ( x 2 4) 4
10(3 x 2 4) ( x 2 4) 4
16
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi f ( x) 0
10(3 x 2 4) ( x 2 4) 4 10(3 x 2 4) ( x 2 4) 4
Tidak ada titik x sehingga f”(x) = 0. 2 Syarat agar f”(x) terdefinisi adalah ( x 4) 0
( x 2 4) 0
x 2
4
x 2
f tidak kontinu di x = ± 2
Uji kecekungan pada interval (- ∼,-2), (-2,2), (2,∼) +++++
-------------
+++++
Cekung ke -2 atas
Cekung ke bawah
2 Cekung ke atas
17
Selang Naik dan Selang Turun; Kecekungan Fungsi Latihan Soal: Tentukan selang terbuka ketika fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah! 1. f ( x)
24 x 2 12 5
2. y
3
3 x 40 x 135 x
270
3. h( x) x 5 5 x 2
18
TUGAS •
Latihan 4.1: 7,10, 28
•
Latihan 4.2: 11, 12, 21
