VIBRASI KRISTAL
1.
Vibrasi Kisi Monoatomik 1 Dimensi Dimensi
Kakas (force) pada bidang S yang disebabkan oleh pergeseran bidang s+p p=±1 dapat dilihat pada gambar 1. sebanding dengan U s+p-Us. Untuk p
Gambar 1. Gelombang elastik pada atom kristal
Kakas total pasa bidang s dari bidang s±1 adalah ;
Fs C(U s 1 Us ) C(U s 1 U s )
(1)
Dengan C adalah tetapan kakas Menurut Hukum II Newton kakas dapat dinyatakan : F x M
d 2U s
(2)
dt 2
Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh persamaan persamaan diferensial pada persamaan persamaan (3) d 2U s
C(U s 1 U s C(U s 1 U s ) dt 2 C (U s1 Us 1 2Us )
M
(3)
Andaikan solusi dari persamaan persamaan (3) adalah U s Ueiskae U s 1 U s e
iωt
(4)
ika
Jika persamaan (4) disubstitusi kepersamaan kepersamaan (3) diperoleh
M ω 2U s C (U s 1 U s 1 2U s )
(5)
C[eika eika 2]U s 2C ω2 ( )(1 cos ka) M 4C 1 ( ) sin 2 ( ka M 2
1
1 ka | M 2 1 ω0 | sin ka | 2 4C
ω
| sin
1.1 Memenuhi Syarat Bragg
Dengan
menggunakan
hubungan
angka
gelombang
dengan
panjang
gelombang diperoleh ;
2
π λ
a
π 2
λ 4a Vg 2
c m
cos
λ
Dengan memilih θ
1 2
π 4
2π k m
0, 74a
2a
c m
(6)
, d a , dan n=1, maka:
λ 2d sin θ
2a 1.2 Hubungan Dispersi Kristal Monoatomik
2
1.3 Kecepatan Group d
(7)
Vg 2 | sin ka | dk dk 2 m dω
2
c
a
ka
2
2
cos
m
c
1
Pada saat ka = π
2
π λ
a π
λ 2a Vg 2
c m
cos
π 2
0
Tidak ada gradien
Pada saat ka = π/2
2
π λ
a
π 2
λ 4a Vg 2
c m
cos
π 4
0, 74a
c m
Memiliki gradient
3
2. Vibrasi Kisi Diatomik 1 Dimensi
Persamaan gerak :
F = m.a = c.x Untuk m1 m 2
d 2U s dt 2
c Vs U s Vs1 U s m1
Untuk m 2 m 2
d 2U s dt 2
d 2U s dt 2
c Vs Vs 1 2U s
(8)
c U s 1 +Vs U s Vs m2
d 2U s dt 2
c U s 1 U s 2Vs
(9)
Solusinya i (k sa -ω t ) U s U. e
Vs = V. e
i (k sa-ω t )
i (ksa-ω t) ika U s 1 U. e .e i (ksa-ω t) ika Vs-1 V.e .e
(10)
Persamaan (10) dimasukkan ke persamaan (8) diperoleh U s = U. e i (ks a-ω t ) dU s 2
dt
d 2U s 2
dt
iω U. ei (k sa -ω t) ω 2 U. ei (ksa-ω t)
m1.Uω 2ei (ksa-ωt) c U. ei (ksa-ωt) V.ei (ksa-ωt) .eika 2U.ei (ksa-ωt) m1. Uω 2 c U+Ve-ika 2U
(11)
4
Dengan cara yang sama bila persamaan (10) dimasukkan ke persamaan (9) didapat :
m 2 .Vω 2 cU (1+eika ) 2cV
(12)
Dari persamaan (11) dan persamaan (12) bila dibuat determinant: ika 2c m1ω 2 ( c)(1 e ) U 2 ( c)(1 eika ) 2c m1ω
V
ika 2c m1ω 2 ( c)(1 e )
0
2 ( c)(1 eika ) 2c m1ω
2c m ω 2c m ω (c )(1 e 2
2
1
0
)(c )(1 e ika ) 0
ika
1
( m1m2 )ω 4 2c m1 m2 ω 2 c 2 (2 e ika e
ika
)0
Ingat
eika cos ka + i sin ka eika e ika 2 cos ka Maka
(m1m2 )ω 4 2c m1 m2 ω 2 2c2 ((1 cos ka) 0 Rumus abc :
(ω12 ) 2
2c(m1 m2 )
2c m m 1
2
2
4(m1m2 )(2c 2 )(1 cos ka)
2(m1m2 )
Ingat 1 cos ka = sin
2 1
2
ka
Maka (ω1 ) 2 c(
1 m1
1 m2
)c (
1 m1
1 m2
)2
4 m1m2
ka 2
sin2
(13)
Persamaan (13) merupakan persamaan cabang optik (gelombang elektromagnetik)
2 (ω2 ) c (
1 m1
1 m2
)c (
1 m1
1 m2
2 )
4 m1m2
2
ka 2
sin
(14)
Persamaan (14) merupakan persamaan cabang akustik (bunyi)
5
Grafik : ω f (k ) Untuk
k 0 ω 2op (2c)( ω 2 ak c(
1 m1
1 m1
1
m2
1 m2
) ωop (2c )(
) c(
1
m1
1 m2
1 m1
1 m2
)
)0
k π / a ω 2 op c(
c( c( c( c(
1 m1
1 m1
1 m1
1 m1
1 m1
1 m2
1 m2
1 m2
1 m2
1 m2
)c (
)c ( )c ( )c ( ) c(
1 m1
1 m1
2 ) (
m1
m1
m1
2 ) (
1
1
1
1 m2
1 m2
ω 2 op
1 m2
1 m2
1 m2
)2
4 m1m2
2
2 )
m1m2
2 )
4 m1m2
2 m1m2
)2
) 2c
(15)
m1
Dengan cara yang sama :
ω 2 ak c(
1 m1
1 m2
ω 2 ak
) c( 2c m2
1 m1
1 m2
)
(16)
6
Bila m1 m2
Bila m1 m2
2c m1
2c m1
2c m2
2c m2
Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran
3. Fonon
Fonon dalam fisika adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar, seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan atau gabungan dari ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju nukleasi dan pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan cukup besar, disertai dengan penataan atom – atom atau molekulmolekul secara teratur dengan berulang sehingga sehingga energi potensialnya minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal dan elektron di dalamnya. Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X dan keberhasilan di dalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom atau molekul – molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik (gaya coulomb). Kisi – kisi tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal. Atom – atom yang menyusun zat padat bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya
7
sehingga kisi – kisi kristal pun ikut bervibrasi. Fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem fisika zat padat tetapi memiliki perbedaan energi dengan panjang gelombang lebih panjang dibanding gelombang elektromagnetik disebut fonon. Energi kuantum dari vibrasi gerak dalam medan gelombang elastis dapat dianalogikan seperti dalam foton dalam gelombang elektromagnetik. Konsep fonon tersirat dalam teori Debye yang sangat penting dan jauh mencapai konsepnya. Kita telah melihat bahwa energi setiap mode adalah terkuantisasi, energi dari unit kuantum menjadi ћω. Karena mode yang kita miliki adalah gelombang elastis, yang pada kenyataannya, terkuantisasi energi gelombang suara elastis. Prosedur ini analog dengan yang digunakan dalam mengkuantisasi energi medan elektromagnetik, di mana sel hidup alam lapangan diungkapkan dengan memperkenalkan foton. Dalam kasus ini, partikel seperti entitas yang membawa energi unit bidang elastis dalam modus tertentu disebut sebuah Fonon. Energi fonon tersebut yaitu: є = ћω
(16)
Sedangkan Fonon juga merupakan gelombang berjalan, ia membawa momentum sendiri. Analogi foton (sama seperti persamaan de Broglie), momentum Fonon diberikan oleh p = h / λ, dimana λ adalah panjang gelombang. Ditulis λ = 2π / q, dimana q adalah vektor gelombang, kita memperoleh momentum untuk Fonon tersebut: p = ћq
(17)
Sama seperti kita berpikir tentang gelombang elektromagnetik sebagai aliran foton, sekarang kita melihat sebuah gelombang suara elastis sebagai aliran fonon yang membawa energi dan momentum gelombang. Kecepatan perjalanan Fonon sama dengan kecepatan suara dalam medium. Jumlah fonon dalam mode pada kesetimbangan termal, karena energi per Fonon sama dengan ћω, dan karena energi rata-rata fonon dalam modus diberikan oleh є berarti rata-rata jumlah fonon dalam modus diberikan oleh
n=
1 ђ
e
−1
8
Jumlah ini tergantung pada suhu pada T = 0, n = 0, tetapi dengan meningkatnya T, n juga meningkat, akhirnya meraih nilai n = kT / ћω pada suhu tinggi. Di sini kita melihat hal yang menarik: fonon diciptakan hanya dengan meningkatkan suhu, dan karenanya jumlah mereka dalam sistem ini tidak kekal. Ini tidak seperti kasus pada partikel lebih dikenal fisika-misalnya, elektron atau proton di mana jumlah ini kekal. Hubungan dispersi fonon sering dijelaskan dengan hamburan tak elastik dari neutron dengan emisi atau absorpsi proton. Lebar sudut dari berkas neutron yang tersebar memberi informasi tentang waktu hidup fonon. Sebuah neutron berada pada kisi kristal akibat interaksi inti atom. Hamburan kinematik neutron pada kisi kristal menggambarkan aturan seleksi vektor gelombang secara umum
k G k K '
(18)
Dengan persyaratan konservasi energi. K merupakan vektor gelombang dari foton yang dilepas (+) atau diserap (-) dalam suatu proses, dan G adalah vektor kisi resiprokal. Untuk fonon, G sama seperti k, berada di zona Brillouin pertama. Energi kinetic interaksi neutron adalah
p 2
2 M n
,dimana Mn
adalah massa
neutron.Momentum p diberikan oleh k , dimana k adalah vektor gelombang dari neutron,. Energi kinetic dari ineraksi neutron adalah 2 k 2 / 2 M n , dimana Jika k’ adalah vektor gelombang dari hasil interaksi neutron, maka energinya adalah 2
k'
2
/ 2 M n . Persamaan konservasi energy adalah
2
k
2
2 M n
2
2
k '
2M n
ω
(19)
Dimana ω adalah energi fonon yang dilepaskan (+) atau diserap (-) selama proses berlangsung.
9
Baru-baru ini konsep simetri cermin diperkenalkan dalam studi dinamika ion alkali-halida. Intinya, untuk mempertimbangkan bahwa kristal akan terbentuk jika +
-
tanda ion pada A B terbalik.
4. Momentum Fonon
Sebuah fonon dari vektor gelombang K akan berinteraksi dengan foton neutron, dan seolah-olah memiliki K . Bagaimanapun, fonon tidak membawa momentum fisik. Alasan bahwa fonon dalam satu kisi t idak membawa momentum adalah bahwa koordinat fonon melibatkan koordinat relatif dari atom. Sehingga dalam molekul H2 koordinat getaran molekul terletak di r 1 – r2, yang merupakan koordinat relatif dan tidak membawa momentum linier, koordinat pusat massa ½ (r1 + r2) sesuai dengan mode K = 0 dan dapat membawa momentum linier. Momentum fisik dari kristal adalah
p M (
(20)
d
) us dt
Ketika Kristal membawa fonon K;
p M (
du dt
)
exp(isKa)
M(
s
du
)[1 exp(inka)] dt [1 exp(ika)]
(21)
Dimana s berjalan diatas N atom. Digunakanlah seri N 1
x s 0
Telah ditemukan bahwa nilai
s
(1 x N )
(22)
(1 x)
K
2π r Na
, dimana r adalah integer.
Sehingga exp(inKa) exp( i 2π r) 1 dan momentum Kristal bernilai nol.
10
p M (
du
) dt
(23)
exp(isKa) 0 s
Sama, untuk tujuan praktik fonon bertindak seolah-olah momentum adalah K , dimana hal ini disebut momentum kristal. Dalam kristal terdapat aturan
seleksi vektor gelombang untuk memperbolehkan transisi antara keadaan kuantum. Hamburan elastis dari foton sinar x oleh kristal diatur oleh aturan seleksi vektor gelombang.
(24)
k k G '
Dimana G adalah vector dalam isi timbal balik, k adalah vektor gelombang ’
dari foton yang diamati dan k adalah vektor gelombang dari foton tersebar. Dalam proses refleksi Kristal semua akan mengalami momentum G , tetapi ini jarang dianggap secara eksplisit. Gelombnag vektor total yang merupakan interaksi gelombang bersifat kekal dalam kisi periodik, dengan penambahan yang mungkin dari vektor kisi resiprokal G. Momentum keseluruhan selalu dijaga.Jika hamburan foton bersifat inelastic, dengan membuat fonon dari vektor gelombang K, maka ’
aturan seleksi vektor gelombang menjadi : k = k + K + G
5. Hamburan Elastik Foton Oleh Fonon 5.1.GelombangElastikDanFonon
Dalampendekatangelombangpanjang,tinjausebuahbatangberpenampangA rapatmassaρ,
dengan
yangdirambatigelombangmekanikke
arahmemanjangbatangx. Pada setiap titik x panjang
u
(x)
dalam batang terjadi perubahan
sebagai
akibat
adanya
teganganσ(x)darigelombang,lihatgambar 1.Dapatdituliskanreganganpadabatang:
11
Gambar.1.
du
(25)
dx
karenateganganσyangmemenuhihukumHookesebagaiberikut:
σ E
(26)
dengan E menyatakan Modulus elastik atau Modulus Young. Selanjutnya, menurut
hukumkedua
Newton,tegangan
yangbekerja
padaelemen
batangdxmenghasilkan gayasebesar :
F A σ ( x dx) σ ( x)
(27)
akan menyebabkan massa elemen batang tersebu t (ρAdx) mendapatkan
2u percepatan sebesar ( 2 ) sehingga : t 2u ρ Adx 2 A σ ( x dx ) σ ( x ) t
(28)
Dapat dijabarkan :
σ dx x ε
E
dx
dx
du E dx x dx
(29)
d 2u E 2 dx dx Masukkankembalihasil(28)kepersamaansemula(29)memberikan:
12
2u 2u ρ Adx 2 E 2 dx.A t x yang dapat disederhanakan menjadi
2u ρ 2 u x 2 E t 2
(30)
yaitu persamaan gelombang elastik. Dan bila dibandingkan dengan persamaangelombang umum :
2u 1 2 u x 2 vs2 t 2 akan diperoleh ungkapan bagi kecepatan gelombang elastik :
E vs ρ
1
2
(31)
Jelasbahwakecepatangelombangmekanikdalambatang(secaraumumpadazat bergantungpada“besaranelastik”bahantersebut,yakni
padat) modulusYoung.Karena
perambatangelombangtersebutbergantungpadabesaranelastikmaka gelombangyang bersangkutandisebutgelombangelastik. Bentuk
penyelesaian
daripersamaan
gelombang,
persamaan
(30),dapat
dipilihsolusi gelombangbidang: u ( x ) u0 exp(ikx iωt )
(32)
dengankbilangangelombang(=2π/λ),ωfrekuensisudutdanλpanjanggelombang. Bila hanya diperhatikan
bergantung
gelombang
terhadap
posisi (x),
dengan mengabaikanfaktorwaktu(t),makafungsigelombangbidangdapatditulis: u ( x) u0 exp(ikx )
Dengan menganggap panjang batang L,
(33)
fungsi gelombang harus memenuhi
syarat periodik, yaitunilaipadaujungkiri(x=0)harussamadengannilainyapadaujung kanan(x=L),jadi :
13
u( x 0 _ u( x L) u0 u0 exp(ikL )
(34)
Ini berarti exp(ikL ) 1 Atau
ikL ln(2π )
Dan
2π L
K
n
(35)
dengan n = 0, ±1, ±2, ......... Persamaan terakhir (2.11) mengungkapkan bahwagelombangdapatmerambatdalambatangyangpanjangnyaL bilamanabilangan gelombangnyamemilikihargakelipatanbulat(0,1, 2,......)dari2π/L.Ataudengankata lain“bilangangelombangkberhargadiskrit”.Keadaan di atas bila dituliskan dalam ruang – k (koordinat yang menyatakan bilangan gelombang) akan terlihat seperti pada gambar 2a. Titik-titik dalam ruang – k menyatakan ragam (moda) gelombang. Andaikan panjang batang cukup besar (L>>), maka jarak 2π/L akan mendekati nol dan ini berarti titik-titik dalam ruang - k makin berdekatan (ruang k mendekati malar/ kuasi kontinyu), lihat gambar 2b.
Gambar2.Ruang – ksatudimensi:a.diskrit,danb.malar
Berdasarkan gambar 2 dapat didefinisikan jumlah ragam gelombang elastik yang
14
mempunyai bilangan gelombang antara k dan k + dk (dalam inter al dk) adalah :
L 2π 2π L dk
dk
(36)
Dengan k
2π L
Jumlah ragam gelombang seperti pada persamaan d untuk setiap satuan volume disebut rapat keadaan atau ditulis g(k)
dk.
Rapat keadaan dapat
juga
sebagaifrekuensi s dutω,yaitug(ω)
diungkapkan dω;yangmenyatakanjumlahragamgelombang
elastikpersatuanvolu edenganfrekuensiantaraω danω+dω(dala intervaldω).Di pihaklain,kdanωberhubungansatusamalainmelaluihubungandispersi,lihatgambar3 .,yaitu bahwa ω berb nding lurus terhadap k untuk kisi malar : ω vs 2
(37)
Gambar3.Hubun andispersilinieruntukkisimalar(pendekat ngelombang panjang)
dengan vs adalah ecepatan gelombang pada medium yang bersangkutan. Melalui hubunganinig(ω)dapatditentukan:
L 2π
g (ω )dω 2
L dk π d ω
g (ω )
dk (38)
L
π vs
15
Angka2padapersama antersebutmunculkarenaragamgelombangmeliputi2 daerah (positif dannegatif), yaitu
berhubungan dengan gelombang yangmerambat
kearah kanandankiri. Lebihlanjut,perubahangelombangdiatasdapatdiperluasuntukkasustiga-dimensi. Dalamruangtigadimensi,fungsigelombangdenganmengabaikanfaktorwaktuditulis: u ( x, y, z ) u0 exp i( k x x k y y kz z)
(39)
Syaratbatasperiodik enghasilkan : exp iL ( k x k y k z )
(40)
Halinidapatdipenuhi leh:
2π 2π l; k y L L l , m, n 0, 1, 2,... k x
2π m; k z L
n
Setiap titik dalam ruang - q dinyatakan oleh :
k (k x , k y , k z )
2π 2π 2π m, l, L L L
n
(41)
yangmerupakan satu ragam gelombang. Pada gambar 4.dilukisk an ruang-ktigadimensi,proyeksipad bidangk yk zdanbesarnyavolum eyangditempatiolehsatutitik (k x,k y,k z)dalam uangktersebut.
16
Gambar4.Ruang – ktigadimensi:a.ruang – kdalamkuadranI(kx,ky,kz›0);b. proyeksiruang – kpadabidangky-kz;c.volumeyangditempatiolehsatutitik dalamruang – k
Rapat keadaan g(ω) dalam ruang dapat
tiga-dimensi dari
rambatan gelombang
ditentukan
berdasarkan
gambar4.Jumlahragamgelombang(dalambolaberjejariq)
adalah
perbandingan
antara volume bola danvolume yangditempati oleh satu titik ruang-k,jadi: 4
π k 3
L3 3 2 N 3 2π 6π L
3 k
(42)
Turunkan(diferensiasi)Nterhadapqakanmemberikang(ω)dω: dN
L3
2π
2
k 2 dk g (ω )d ω
Atau g (ω )
L3
2π 2
k 2
dk d ω
Gunakan hubungan dispersi 2
ω dk 1 ω vsk ; k 2 ; v d vs ω s Sehingga diperoleh : g (ω )
V 2 3 s
2π v
ω2
(43)
3
V = L , yaitu volume medium apabila berbentuk kubus. Dengan hasil rumusan terakhir, dapatdiperluashubunganantarajumlahragamgelombangyangdinyatakanolehtitik-
17
titikdalamruang-
k.Dalampengertianini,satutitik(k x,k y,k z)setaradengan3(tiga)
ragamgelombangdalamruang(koordinat)tigadimensi.Anggap,misalnya,gelombangmerambatkearahx,makaragamkearahxinimenjadigelombanglongitudinal(1
ragam)sedangkan
ragamkearahydanzmenjadigelombangtronsversal (2ragam), sehingga: (kx,ky,kz )→ -1ragamlongitudinal -2ragamtransversal
Dalamkasusgelombang merambat kearahsumbux,makaungkapan rapatkeadaan dapatdituliskankembaliberbentuk : g (ω )
V
2π
1 2 3 v3 s , L vs ,T
ω2 2
(44)
denganvs,L danvs,Tadalahkecepatangelombanglongitudinaldankecepatangelombang transversal.Sampaisejauhini,kita telahmembahasrambatangelombangelastikpadabahanpadat. Gelombangelastikpadazatpadatinidapatdisebabkanbaikoleh gelombangmekanik (bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang
gelombang termal (inframerah). Kedua
tersebutdapatmenyebabkangetarankisi.
paketenergigetaran dapatdipandangsebagai“kuasipartikel”
Untukselanjutnya,paketkisidisebutfonon.Fonon sepertihalnyafoton
padagelombangcahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang mirip “dualisme partikelgelombang” ini, rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat dianggap sebagai aliran fonon. Beberapakonsepdualismegelombang-pertikelditunjukkanpadatabel1. Tabel1.Beberapaeksitasielementerpadazatpadat.
18
6. Panas jenis
Sejumlahpanas( ∆Q)yangdiperlukanper molzatuntukmenaikkansuhunyadisebut kapasitas kalor. Bila kenaikan suhu zat ∆T, maka kapasitas panas adalah:
=
∆ ∆
Jikaprosespenyerapanpanasberlangsungpadavolumetetap,makapanasyangdiser ∆Q=
apsamadenganpeningkatanenergidalamzat,
∆E,E menyatakanenergidalam.
Kapasitas kalor pada volume tetap (C v)dapat dinyatakan :
=
∆ ∆
=
Kapasitaspanaszatbergantungpadasuhu.Kapasitaspanaszatpadasuhutinggimendeka tinilai3R;Rmenyatakantetapangasumum.KarenaR≅2kalori/K-mol,
maka
pada
suhu tinggi kapasitas panas zat padat :
≅
6
−
Nilaidiatasberlakudalamselangsuhutermasuksuhuruang.KenyataannyaC vmemiliki nilai3R pada suhu tinggi untuk semua zat, ini yang dikenal sebagai hukumDulong-Petit. Padasuhurendah,C vmenyimpangdarihukum menurunseiring
denganberkurangnyasuhuT,danC v
Dulong-Petit,NilaiCv menujunoluntukT
=
0.DisekitarT=0nilaiCv 3
sebandingdenganT .BagaimanakahkebergantunganCvterhadapTinidapatditerangk an? Berikut akan dibahas tiga buah.
7. Teori Klasik Kapasitas Panas Kisi
19
Menurutfisikaklasik,getaranatom-atomzatpadat dapatdipandangsebagaiosilatorharmonik.Osilatorharmonikmerupakansuatukonsep /modelyangsecaramakroskopikdapat dibayangkansebagaisebuahmassamyangterkaitpadasebuahpegasdengantetapanpeg asC. Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan :
=
+
= =
+ (
)
+
(45)
denganvlajugetaranosilator,xsimpanganosilator, ω frekuensisudutgetaranosilator =
dan
.
Untukosilatorharmoniksatudimensiyangmempunyaiduaderajadbebasmempunyai energi rata-rata : ε 12 kT 12 kT kT
(46)
Selanjutnya,karenaatom-atomdalamkristalmembentuksusunantigadimensi,makauntuk satu mol osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya : E 3 N Aε 3N AkT 3RT
(47)
Dengan demikian kapasitas kalornya :
E 3R T
Cv
(48)
darihasil(48)initerlihatbahwamenurutmodelfisikaklasik,kapasitaspanaszatpadat tidakbergantungsuhudanberharga3R.HalinisesuaidenganhukumDulong-Petityang hanya berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini tidak berlaku.
8. Teori Einstein Kapasitas Panas Kisi
Atom-atom kristal dianggap bergetar satu sama lain di sekitar titik setimbangnya secara bebas. Getaran atomnya dianggap harmonik sederhana yang bebas sehingga mempunyai frekuensi sama
ω v sehingga di dalam zat 2π
20
padat terdapat sejumlah N atom maka ia akan mempunyai 3N osilator harmonik yang bergetar bebas dengan frekuensi ω . Utotal
k T 3Nk T b
b
kp
Cv
U d 3NkbT 3Nkb 3R T dT
(49)
Model Einstein untuk T Cv 3Nkb 3R
sesuai dengan eksperimen Dulong dan Petit
Untuk T ω / kbT 1 Bila ωkp ω maka U total
3 N ω e
ω / kb T
1
d 3N ω U T dT e ω / k T 1 ω ω / k T 1 Cv 3N ω e 2 2 ω / k T k T 1 b e C v
b
b
b
C v C v C v
/ kbT
e ω
3 N 2ω 2 kbT 2
e
ω / kbT
1
3 N 2ω 2 kbT 2
e
e
3 N 2ω 2 kbT
2 ω / kb T
ω / kb T
2e ω / k T 1 b
1
e
ω / kbT
1
Untuk T ω / kbT 1 maka: Cv
3 N 2ω 2 kbT
e
ω / kbT
(50)
9. Model Debye Kapasitas Panas Kisi
Atom-atom dianggap sebagai oscilator harmonis yang tidak bebas. Artinya gerakanatom-atom yang dipengaruhi oleh atom tetangga.
Menyempurnakan
21
Model Einstein terutama untuk T<<. Menurut Debye, untuk T<< maka ϑ (berada pada cabang akustik).
9.1 Rapat Keadaan (Density Of States) D ω
D ω
dN , d ω
Jumlah keadaan berbanding rentang energy. Maka jumlah
keadaan: dN D ω dω . Energi Total: ωkp
U total
e k
ωkp / kbT
p ωkp
U total
1
e
D ω d ω
ωkp / kbT
1
p
4π
k 3
N 3 3 2π L N
L3 k 3
6π 2
D k
dN
D ω
dN
vg
dk
dω
Vk 3
6π 2
Vk 3
2π 2 dN dk
dk dω
Vk
2
2π
2
dk dω
d ω dk
22
dk
ω vk
dω
Jadi, D ω Utotal 3 Utotal 3
e e
Vk 2
1
Vk 2
v
2π 2 v
2π 2
V ω 2
ω ω
3
V
V ω 2
2π 2v 3
d ω
1 2π 2v 3
ω / kb T
v
d ω
1 2π 2v 3
ω / kb T
1
Sehingga limit dari integral di atas didapat: ω D N ω N total 4π
k 3
N 3 3 2π L
ω D vk D
3 U d ω V ω Cv d 3 ω T dT 0 e ω / k T 1 2π 2v 3 D
b
Cv Cv
3V 2π 2v 3 3V
ω D
ω
d
3
dT e ω
1
ω D
ω4
/ kbT
0
1
2π 2 v 3 kbT 2
0
e
ω / kbT
d ω
1
e 2
ω / kbT
d ω
(51)
23
dx
Misalkan x ω / k bT
d ω
/ kbT
dω
kbT
dx
4
Cv
3V 2 2π
2
kbT 4 x k T ω / k T 1 e x b dx 2 2 0 x kbT e 1 D
b
Bila didefinisikan : θ D ω D / k b dengan θ D merupakan temperature Debye Jadi: Cv
V
3Vkb 4T 3 2 3
2π v
x4
θ D / T
e
0
x
1
2
e x dx
N 6π 2v3
ω D3
Sehingga:
T Cv 9 Nkb θ D Untuk T yang tinggi T θ D
3
x
θ D / T
0
e
x
4
1
2
e x dx
(52)
X D 1
Maka: x 4
e
x
T Jadi: Cv 9 Nkb θ D
1
e
x4
x
2
x 2 x 4 2 2! 4!
x2
3
θ D / T
0
x 2 dx
3
T 1 3 Cv 9 Nkb x 3Nkb θ D 3 Model Debye pada temperature tinggi: Cv 3Nkb 3R
Sesuai dengan hasil eksperimen Dulong dan pettit
Sedangkan pada temperature rendah T θ D
X D 1
24
T Cv 9 Nkb θ D
3
T Cv 9 Nkb θ D
3
X D
e
0
0
x4 x
x
1
x4
e
x
1
2
e dx
x
2
e dx
Dengan menggunakan Integgral Parsial di dapatkan: U x4
dV
dU 4 x 3 dx x
e
e
x
1
V
dx
1 e x 1
UdV UV VdU T Cv 9 Nkb θ D
3
x 4 4 x3 x dx x 0 e e 1 1 4
θ D / T x 4 0 x θ 1 e 1 e D / T
4 x 3
e 0
x
1
dx 4 3!ξ 4
T Cv π Nk b 5 θ D 12
3
4
T Cv 234 Nk b θ D
3
25
