VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL.
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.
Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6. 6. Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número. De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, cero, yopuesto yopuesto de a, si a es negativo. negativo. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = −a. −a. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:
Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real|a| real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales|a reales |a − b| es la distancia entre ellos. Veamos los siguientes ejemplos Ejemplo 1
a)
b) Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo. c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, 2, pues x − 2 > 0. 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual. d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2), 2), pues x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.
Ecuaciones con valor absoluto Si x es una incógnita en la expresión |x − 3|, 3|, entonces no sabemos si x − 3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación: |x − 3| = 5 deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas: x−3=5 o bien x − 3 = −5 La primera es en el caso de que x − 3 sea positivo, la segunda en la situación de que sea negativo. Resolviendo las dos ecuación, tenemos que x = 8 o bien x = −2 Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5 Veamos más ejemplos de resolución de ecuaciones en valor absoluto Resolver |x Resolver |x − 4| = 3 Hay dos posibilidades: x − 4 = 3 o bien x − 4 = −3. −3. Las soluciones de ellas son 7 y 1. Veamos: x−4=3 x=3+4 x=7 o bien x − 4 = −3 x = −3 + 4 x=1 Resolver 3 Resolver 3 |5 − 4x| = 9 Veamos: Hasta ahora, sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta en el lado izquierdo, así es que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3 ambos miembros de la ecuación:
De esta manera la ecuación dada es equivalente a: |5 − 4x| = 3 Ahora, esta ecuación en valor absoluto es equivalente equivalente a 5 − 4x = 3
o bien 5 − 4x = −3
Despejando x: Si 5 − 4x = 3 −4x = 3 − 5
−4x = −2
/−1
4x = 2
Si 5 − 4x = −3 −4x = −3 − 5 −4x = −8
/−1
4x = 8
Las soluciones para la ecuación primitiva son y 2. Conocida esta respuesta, podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación3 ecuación3 |5 − 4x| = 9 a través de la notación de conjunto como:
Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo ( Propiedades fundamentales
Propiedad multiplicativa Propiedad aditiva
Otras propiedades
Simetría
).
Otras dos útiles inecuaciones son:
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de
inecuaciones ,
como por ejemplo:
