UNIDAD 5: ENTROPIA
Entropía
Medida de desorden molecular o aleatoriedad molecular.
A mayor desorden mayor entropía.
La entropía de una sustancia en mas baja en la fase sólida.
La entropía de un sistema se relaciona con el número total de estados posibles de ese ese sistema y es llamada llamada probabilidad termodinámica termodinámica p, que se expresa expresa por la relación de Boltzmann como: como:
S = k l n p
donde k = 1.3806 x 10 -23 J/K es la constante de Boltzmann
La entropía de un sistema aumenta siempre que la aleatoriedad de un sistema aumenta.
La entropía de una sustancia pura cristalina a una temperatura de cero absoluto es CERO. TERCERA LEY DE LA TERMODINAMICA
Entropía
1. 2. 3. 4.
Para aplicar la segunda ley de la termodinámica a un proceso debemos debemos identificar identificar una una propiedad propiedad llamada “entropía”. Consideremos la máquina reversible de Carnot operando sobre un ciclo consistente en: Expansión Isotérmica. Expansión Adiabática Reversible. Compresión Isotérmica. Compresión Adiabática Reversible.
La cantidad Q T es la integral cíclica de la transferencia de calor dividida por la temperatura absoluta a la cual se desarrolla la transferencia de calor.
En función a que la temperatura es constante durante la transferencia de calor, esta integral está definida por: Q
Q H
Q L
T H
T L
T
Para un ciclo de Carnot: Q L
T L
Q H
T H
ó
Q H
Q L
T H
T L
Si denotamos esta diferencial perfecta como dS , donde S representa una función escalar que depende sólo del estado del sistema. Denominaremos a esta propiedad extensiva como entropía; su diferencial esta dada por: Q
dS
0
T
rev
Integrando la expresión anterior: 2
S 1
Q T
rev
Consecuencias: •
La condición de equilibrio de un sistema aislado está
caracterizada por valores de sus parámetros tales que S es máximo •
La entropía de un sistema sólo puede reducirse si interactúa
con otros sistemas en un proceso tal que la entropía total del conjunto aumente (o al menos, no se reduzca). Definiciones • •
•
dS
dS dS
Q
T
Q
T Q T
Irreversible Imposible (el calor no va de una zona de menor a mayor T) Reversible
Gr áfico Temper atur a-Entr opía en un ciclo Car not:
El área rectangular representa la transferencia neta de calor durante el ciclo de Carnot. •
El área también representa el trabajo neto desarrollado por el sistema durante el ciclo. •
Qnet
W net
T S
Evaluación de la entropía en función de la temperatura. RelacionesTds
1. La primera ley de la termodinámica, para un cambio infinitesimal reversible, para un sistema cerrado implica que :
TdS PdV dU Tds Pdv
du
Se obtuvo esta expresión asumiendo un proceso reversible. Sin embargo, en función a que éste involucra sólo propiedades del sistema, la relación anterior se mantiene para el caso de un proceso irreversible.
2. Relación entre cambio de entropía y cambio de entalpía:
Tds
dh vdP
Entr opía par a un gas i deal con cal or es específicos constantes du Pdv dT dv Asumiendo gas ideal: ds cv R T T T v Con:
du
cv dT
Pv
RT
Integrando la ecuación anterior (asumiendo calores específicos constantes): T 2 v2 s 2 s1 cv ln R ln T 1 v1
Integrando la ecuación para la entalpía:
s2 s1
c p ln
T 2 T 1
R ln
P 2 P 1
NOTA: En función a que el cambio de una propiedad es independiente del proceso utilizado para ir desde un estado a otro, las relaciones anteriores se mantienen para cualquier proceso, reversible o irreversible.
Si el cambio en la entropía es cero, como en un proceso adiabático reversible, las ecuaciones anteriores pueden ser utilizadas para obtener: T 2
v1
T 1
v2
k 1
k 1
T 2
P 1
T 1
P 2
k
Combinando ambas ecuaciones: P 2
v1
P 1
v2
k
Ejercicio 1 Aire esta contenido en un volumen rígido aislado a 20 C y
200 kPa. Una rueda de paletas insertada en el volumen realiza 720 kJ de trabajo. Si el volumen es de 2 m 3, calcule el aumento de entropía asumiendo calores específicos constantes. S = m Cv ln (T 2/T1) = 1.851 kJ/K T2 = 504 K
m = 4.76 kg
Ejercicio 2 Después de un proceso de combustión en un cilindro la presión
es de 1200 kPa y la temperatura es de 350 C. Los gases son expandidos a 140 kPa con un proceso reversible adiabático. Calcule el trabajo realizado por los gases asumiendo que
pueden ser aproximados por aire con calores específicos constantes.
Datos: Para el aire: k=1.4
Cv = 0.717 kJ/kg K
W = 205 kJ/kg
T2 = 337 K
Entropía par a un gas ideal con calor es específicos variables Regresando a la expresión
ds
dh
vdP
T
T
c P
dT
s2 s1
cP
T 1
T
dT R ln
P
Cp=Cp(T)
La constante R puede ser sacada de la integral pero no T 2
T
R
dP
P 2 P 1
La integral depende solo de la T y podemos evaluar su magnitud de las tablas de gas. Usando la función tabulada :
2
1
T 2
c P
T 1
T
dT
Así el cambio de entropía queda s 2
s1
2
1
R ln
P 2 P 1
Ejercicio 3: Repita el ejercicio 1 asumiendo calores específicos variables.
S 2
S 1
m
2
1
R ln
P 2 P 1
4.76 2.222
1.678
0.287 ln
342.1 200
1.856kJ / K
Ejercicio 4 Después de un proceso de combustión en un cilindro la presión
es de 1200 kPa y la temperatura es de 350 C. Los gases son expandidos a 140 kPa con un proceso reversible adiabático. Calcule el trabajo realizado por los gases asumiendo que
pueden ser aproximados por aire con calores específicos variables.
W = 208.6 kJ/kg
T2 = 341 K
En tr o p ía para Su s tan c ias t ales c o m o Vap o r , Sólid o s y L íq u id o s •
Para sustancias puras como vapor use Tablas del Agua
•
En la region de Mezclas Líquido-Vapor:
s s f xs fg
• Note
que la entropía de agua líquida saturada a 0 C es arbitrariamente igual a cero. •
Para Sólidos y Líquidos incompresibles dv=0 y c p cv
s
T 2 dT c cln T T 1
Ejercicio 5 Vapor esta contenido en un recipiente rigido a una presion inicial de 100 psia y 600 F. La presion es reducida a 10 psia removiendo energia via transferencia de calor. Calcule el cambio de entropia y la transferencia de calor. Esquematice el proceso en un diagrama T-s. s = -1.232 Btu/ lbm R
q = -906 Btu/ lbm R
Diagrama T-s .
s s f xs fg
Diagrama h-s Diagrama de Mollier
L a d esig u aldad de Clau siu s
L a d esig u aldad de Clau siu s
Comparando ambos ciclos: Aplicando primera ley Para el ciclo irreversible:
Q L rev
W W rev irr Q L irr
Q 0 T irr
Para todos los ciclos, reversibles o irreversibles Q 0 T
Esta es la desigualdad de Clausius , y es una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica.
Ejercicio
Se ha propuesto operar una planta de potencia de vapor simple como se muestra en la figura siguiente. El agua es completamente vaporizada en la caldera de modo que la transferencia de calor QH ocurra a temperatura constante. ¿Cumple esta propuesta con la desigualdad de Clausius?
Asuma que no ocurre transferencia de calor a través de la bomba o de la turbina.
Cam b io d e en tr o p ía p ara u n p r o c e s o i r r ev er s i b l e Considere un ciclo que esta compuesto de dos procesos reversibles A y B. Suponga que también regresamos del estado 2 al 1 usando un proceso irreversible marcado como camino C. 2
Para el ciclo reversible tenemos que: 1
Q T
proceso A
1
2
Q
0
T
proceso B
Para el ciclo involucrando el proceso irreversible la desigualdad 2 1 Clausius demanda que:
Q
1
Q
T
proceso A
2
0
T
proceso C
Sustrayendo las ecuaciones anteriores se obtiene que: 1
2
Q T
1
2
Q T
Cam b io d e en tr o p ía p ara u n p r o c e s o i r r ev er s i b l e Para cualquier camino, representando cualquier proceso:
S
Q T
La igualdad se cumple para un proceso reversible La desigualdad rige para un proceso irreversible. El efecto de la irreversibilidad es aumentar la entropía del sistema.
Pr i n c i p i o d e au m en t o d e l a en tr o p ía Entropía y segunda ley son sinónimos en la misma forma que energí y primera ley son sinónimos. Consideremos un sistema aislado, un sistema que no intercambia ni calor ni trabajo con los alrededores. Para tal sistema la primera ley demanda que U 2=U1 y
S 0 • •
S = 0 Proceso Reversible S > 0 Proceso Irreversible
Principio de Aumento de la Entropía Considerando un sistema mas grande incluyendo tanto el sistema bajo consideración y sus alrededores, a menudo referido como el universo, se tiene:
S univ
S sist
S 0 alred
La igualdad aplica a un proceso reversible (ideal) La desigualdad aplica a un proceso irreversible (real)
Ejercicio Dos kilogramos de vapor sobrecalentado a 400 C y 600 kPa es enfriado a presión constante transfiriendo calor desde un cilindro hasta que el vapor es completamente condensado. Los alrededores están a 25 C. Determine el cambio neto de entropía del universo debido a este proceso. S univ = 5.9 kJ/K >0
L a s eg u n d a ley ap licad a a u n v o l u m en d e c o n t ro l
Cambio de entropía del volumen de control
Entropía que sale del sistema
Entropía que entra al sistema
Qalred S vc m2 s2 m1 s1 0 T alred
Cambio de entropía de los alrededore s
0
Si dividimos la ecuación anterior por t y se utilizan puntos para señalar las velocidades:
S
vc
2 s2 m
1 s1 m
Q alred
0
T alred
La igualdad esta asociada con un proceso reversible. La desigualdad esta asociada con las irreversibilidades
Para un proceso con flujo estacionario la entropía del volumen de control se mantiene constante con el tiempo. s2 s1 m
Q alred 0 T alred
Para un proceso adiabático de flujo estacionario, la entropía también aumenta desde la entrada a la salida debido a las irreversibilidades: s2 s1 Para el proceso adiabático reversible la entropía de entrada y la entropía de salida son iguales, o sea es un proceso isoentrópico.
Velocidad de Producción de Entropía vc m 2 s2 m 1 s1 S S prod
Q alred T alred
Esta velocidad de producción es cero para procesos reversibles y positiva para procesos irreversibles.
Ejercicio Un precalentador es usado para precalentar agua en un ciclo de potencia como se muestra en la figura. El vapor sobrecalentado está a una temperatura de 250 C y el agua que entra esta subenfriada a 45 C. Todas las presiones son 600kPa. Calcule la velocidad de producción de entropía. Sprod = 0.630 kW/K
Eficiencia de equipos
Se define como la razón entre el rendimiento real del dispositivo y el rendimiento ideal del mismo.
El rendimiento ideal es a menudo asociado con un proceso isoentrópico.
Por ejemplo, la eficiencia de una wa turbina puede ser: T w s
donde w a es el trabajo (específico) real y w s es el trabajo (específico) asociado con un
proceso isoentrópico.
Para un difusor podríamos usar el aumento en la presión y para una tobera el aumento en la energía cinética.
Para un compresor el trabajo real requerido es mayor que el trabajo ideal requerido para un proceso isoentrópico.
Compresores y Bombas C
w s wa
Las eficiencias anteriores son también llamadas eficiencias adiabáticas dado que cada eficiencia esta basada en un proceso adiabático.
Ejercicio
Vapor sobrecalentado entra a una turbina a 140 psia y 1000 F y sale a 2 psia. Si el flujo másico es de 4 lbm/s, determine la potencia de salida si el proceso es asumido ser reversible y adiabático. Dibuje el proceso en un diagrama T-s. W = 1748 Btu/s o 2473 hp
Ejercicio La Turbina del ejemplo anterior tiene una eficiencia del 80%. Determine la temperatura a la salida. Dibuje el proceso en un diagrama T-s. T2 = 271 F
Ejercicio (Schaum, pag. 174, prob. 8.7) Para el ciclo regenerativo mostrado en la figura Determine la eficiencia térmica, el flujo másico de vapor y la razón de calor rechazado a calor agregado. Desprecie el trabajo de las bombas. = 0.448 o 44.8% m 7= 15.59 kg/s QC / QB = 0.522
