TUBERIAS RAMIFICADAS - TRABAJO

MECANICA DE FLUIDOS II

ING. NELSON HUANGAL CASTAÑEDA

INDICE I.

INTRODUCCIÓN......................................................................................................................... 3

II.

OBJETIVO................................................................................................................................... 4

III.

FUNDAMENTO TEORICO ........................................................................................................... 4 A.

TUBERÍAS EN PARALELO ...................................................................................................... 4

B.

TUBERÍAS RAMIFICADAS ..................................................................................................... 6 1. Caso particular de sistemas de distribución de agua .......................................................... 9

C.

FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS ....................................................................................... 14

D.

TUBERÍAS CON DOS O MÁS RAMALES DE DESCARGA INDEPENDIENTE ........................... 17

E.

PROBLEMA DE LOS 3 RESERVORIOS.................................................................................. 22

IV.

RECOMENDACIONES ............................................................................................................... 29

V.

BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................... 29

TUBERIAS RAMIFICADAS

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I.

INTRODUCCIÓN

El estudio del flujo en sistemas de tuberías es una de las aplicaciones más comunes de la mecánica de fluidos, esto ya que en la mayoría de las actividades humanas se ha hecho común el uso de sistemas de tuberías. Por ejemplo la distribución de agua y de gas en las viviendas, el flujo de aire por ductos de refrigeración, flujo de gasolina, aceite, y refrigerante en automóviles, flujo de aceite en los sistemas hidráulicos de maquinarias, el flujo de gas y petróleo en la industria petrolera, flujo de aire comprimido y otros fluidos que la mayoría de las industrias requieren para su funcionamiento, ya sean líquidos o gases. Frente a los problemas que se presentan en la vida profesional es importante que el ingeniero civil tenga, los conocimientos básicos sobre flujo en sistemas de tuberías y el uso respectivo de cada una de ellas además, de tener la capacidad de clasificarlas por tipo y por uso. y métodos que en algún momento se van a usar, en el presente trabajo tratamos de dar un alcance de ello. Para ello se tratara de ser lo más específico posible en lo que es tuberías ramificadas: casos, tubería troncal con dos o más ramales con boca de descarga independiente y problema de los tres reservorios. El estudio del flujo en este sistema se realiza utilizando las teorías estudiadas en los capítulos anteriores, estos datos se han recopilado cuidadosamente con el fin de ser lo más conciso posible con el fin de no causar una mala interpretación de los mismos.


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II.

OBJETIVO

 Determinar la importancia del tema a tratar.  Demostración de algunas fórmulas utilizadas en

el cálculo de elementos

utilizados en tuberías ramificadas.  Saber determinar el momento para la utilización de las formulas, ya que las fórmulas utilizadas dependen de muchos factores para su utilización.  Describir el procedimiento a seguir para el desarrollo de problemas relacionados con cada tema tratado.

III.

FUNDAMENTO TEORICO

A. TUBERÍAS EN PARALELO En la figura se muestra una configuración de tuberías en paralelo; en esencia es una configuración de N elementos unidos en A y B con ∑K componentes que provocan pérdidas menores asociadas con cada elemento i. La ecuación de continuidad aplicada a A o B está dada por

La suma algebraica de la línea de energía alrededor de cualquier lazo definido debe ser cero. Como en el caso de las tuberías en serie, se acostumbra suponer


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que V2/2g << (p/γ + z). Por consiguiente, para cualquier elemento i, la ecuación de energía del lugar A al B es

Teniendo en cuenta las pérdidas de carga por fricción en elementos de tuberías se puede expresar la perdida de la forma exponencial:

hL  RQ 2

Las incógnitas en las ecuaciones anteriores son las descargas Q¡ y la diferencia de altura piezométrica entre A y B; la descarga hacia el sistema se conoce. Es posible convertir los términos correspondientes a las pérdidas menores mediante una longitud equivalente definida anteriormente. Para cada elemento i la longitud equivalente Le de ∑K componentes que provocan pérdidas menores es

Así pues la ecuación anterior se simplifica como sigue

En la cual el coeficiente de resistencia modificado de cada tubo


está dado por

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B. TUBERÍAS RAMIFICADAS Se habla de tuberías ramificadas cuando el fluido se lleva de un punto a varios puntos diferentes. Los sistemas de tuberías ramificadas están constituidos por una o más tuberías que se separan o dividen en dos o más tuberías (o que se reducen a una sola) y que no vuelven a juntarse de nuevo aguas abajo Este caso se presenta en la mayoría de los sistemas de distribución de fluido, por ejemplo una red de tuberías de agua en una vivienda, como el ejemplo de la figura.

En este caso el sistema de tuberías se subdivide en ramas o tramos, que parten de un nodo hasta el nodo siguiente. Los nodos se producen en todos los puntos donde la tubería se subdivide en dos o más, pudiéndose añadir nodos adicionales en los cambios de sección para facilitar el cálculo. El problema general, asociado a los sistemas de tuberías ramificadas, consiste en determinar el caudal de cada una de las tuberías cuando se conocen el resto de los dos datos (presión en cada uno de los depósitos, sus cotas, datos de la tubería y propiedades del fluido). Este tipo de problemas se puede resolver al aplicar la ecuación de continuidad, que establece que el caudal total que llega al nudo, ha de ser igual al caudal total que abandona dicho nudo. En este caso para cada nodo se cumple la ecuación de continuidad: TUBERIAS RAMIFICADAS

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Q  0 Y en cada tramo, entre dos nodos, se cumple la ecuación de Bernoulli generalizada:

Pj V j2 Pi1 Vi 2   Z1  hLij    Zj g 2 g g 2 g Si existe una bomba en el tuvo como se muestra en la figura anterior se modifica como sigue:

P V2 Pi1 V2  i  Z1  hWij  hLij  j  j  Z j g 2 g g 2 g Se introduce una incógnita más, la carga de la bomba hw.

FIGURA. Sistema de tuberías ramales: a) flujo por gravedad TUBERIAS RAMIFICADAS

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b) flujo propulsado por bomba El caso más sencillo de sistemas de tuberías ramificadas es cuando se tienen 3 tramos, como en la figura.

Este sistema ramificado es gobernado por un sistema de 4 ecuaciones, donde supondremos inicialmente que el diámetro de tubería es constante en cada tramo, por lo cual en la ecuación de Bernoulli generalizada las velocidades se cancelan:

Deberá resolverse entonces este sistema de cuatro ecuaciones, en donde se pueden tener hasta 4 incógnitas. El problema más común para este tipo de configuraciones de tubería consiste en determinar la tubería y la potencia de la bomba en función de los caudales requeridos en los puntos 3 y 4. Esto es lo que se requiere, por ejemplo, cuando se diseña un sistema de tuberías para una vivienda. TUBERIAS RAMIFICADAS

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1. Caso particular de sistemas de distribución de agua En el caso particular de un sistema de distribución de agua el procedimiento consiste en ir a la extremidad de tubería más alejada, y moverse hacia el principio de la tubería sumando los caudales requeridos cada vez que aparece un nodo. Suponga que el ejemplo de los tres tanques se requiera llevar un caudal de 2 l/s al tanque 3 y 1 l/s al tanque 4. Esto nos indica que:

Una vez que se conoce el caudal en cada uno de los tramos se calcula el diámetro de la tubería suponiendo una velocidad, escogiendo por supuesto tamaños comerciales de tuberías. Para sistemas de distribución de agua se usan velocidades entre 0,6 m/s y 3 m/s, esto ya que velocidades mayores producen ruido en la tubería y velocidades menores permiten que se produzcan depósitos que tienden a taparlas. Una vez conocido el tamaño de la tubería y el caudal de cada tramo se calculan las pérdidas de carga en cada tramo, y se determina el camino más desfavorable para el líquido, que será el trayecto que éste debe realizar, desde el principio de la tubería hasta el punto más alejado con la mayor pérdida de carga. En el ejemplo se calcularan las pérdidas para los caminos 13 y 14, siendo las pérdidas de carga:

Se puede luego utilizar la ecuación de Bernoulli generalizada aplicándola entre el inicio y el final, obteniendo dos ecuaciones que nos permiten calcular la potencia de la bomba:


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La potencia necesaria para la bomba será el valor mayor obtenido.

Evidentemente en un sistema correctamente balanceado se puede pensar que los dos valores son similares, si no es el caso esto se puede lograr variando el diámetro de tubería para disminuir la pérdida de carga. EJEMPLO 1.- Se dan los siguientes datos para el sistema de tuberías de tres ramas mostrado en la figura.

Determine las velocidades

de flujo

y la carga piezométrica H en la unión.

Suponga factores de fricción constantes.


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Solución Para la hallar los valores de longitudes y coeficiente de resistencia equivalentes necesitamos utiliza las siguientes ecuaciones.

Utilizando las ecuaciones (1) y ec. (2) , hallaremos “Le” y “R”

Con las direcciones de flujo supuestas como se muestra, se escribe la ecuación de energía para tubería y se resuelven para la descarga desconocida: ; Tenemos que por continuidad sabemos que ,

y

; +

-

= 0. Después de eliminar

con las relaciones de energía se obtiene una ecuación algebraica en

función de H:

Aun cuando esta ecuación se resuelve como una ecuación cuadrática, se elige método de posición falsa para calcular H, el cual se requiere si los factores de fricción varían. La fórmula de recurrencia es


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La solución se muestra en la tabla siguiente. Observe que con las suposiciones iníciales de

y

, la convención de signos de w necesita que 20 > H > 13. La

iteración continua hasta que el criterio de convergencia mostrado en la última columna llegue hacer menor que el valor arbitrario 0.005.

Por consiguiente H= 15.2 m. A continuación se calcula las descargar:

Observe que se satisface la continuidad. EJEMPLO 2.- Para el sistema mostrado en la fig. 03, determine la distribución de flujo Qi del agua y la carga piezométrica H en la unión. La potencia suministrada al fluido por la bomba es constante, igual a γ QH_P=20 kW Suponga factores de fricción constantes.


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Solución Las longitudes y coeficientes de resistencia equivalentes se calculan con las ecuaciones

siguientes:

Reemplazamos valores para cada tramo de tuberías obtenemos:

Supongo las direcciones de flujo mostrados. La ecuación de energía para la tubería 1 desde el depósito hasta la unión B es:

En la cual H es la carga piezométrica en B. si sustituimos los parámetros conocidos, se resuelve para H y se obtiene:

Una solución iterativa se muestra en la tabla adjunta. Se estimó un valor de Q1 para cada iteración. Entonces, se calcula el valor de H y se evalúan Q2 y Q3 de las relaciones:


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En la última columna de la tabla, se emplea un balance de continuidad para verificar la precisión de la estimación de Q1. La tercera estimación de Q1 está basada en una interpolación lineal con

y los valores de Q1 y ∆Q de las

dos primeras iteraciones.

La solución aproximada es H = 43.64 m, en el cuadro los caudales están en m3/s y para pasarlo a litros se multiplica por 1000 y por ello tenemos que:

C. FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS La fórmula de Hazen-Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos de tuberías para abastecimiento de agua. Su uso está limitado al agua en flujo turbulento, para tuberías de diámetro mayor de 2'' y velocidades que no excedan de 3 m/s. La ecuación de Hazen-Williams usualmente se expresa así

Expresión en la que: Q: gasto en litros por segundo CH: coeficiente de Hazen y Williams D: diámetro en pulgadas S: pendiente de la línea de energía en metros por km Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes, luego


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Siendo:

La expresión

Los valores de la constante CH de Hazen y Williams han sido determinados experimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes. (Obsérvese que este coeficiente CH es diferente del de Chezy). Los valores usuales son los de la Tabla: NATURALEZA DE LAS PAREDES

CH

EXTREMADAMENTE LISAS Y RECTAS

140

LISAS

130

MADERA LISA, CEMENTO PULIDO

120

ACERO RIBETEADO

110

FIERRO FUNDIDO VIEJO

95

FIERRO VIEJO EN MAL ESTADO

60-80

FUERTEMENTE CORROÍDO

40-50

Tabla. Coeficientes de Hazen-Williams Hagamos una breve discusión de la fórmula Si el Diámetro D y la pendiente de la línea de energía S se mantienen constantes se tiene que

Significa esto que si el coeficiente CH varía, el gasto variará en la misma proporción. Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que tengan el mismo diámetro y el mismo valor de S . Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivos coeficientes de Hazen y Williams. Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces


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Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto, pero la primera tiene CH igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces

Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen y Williams.

Para una tubería particular se cumple que

Así por ejemplo, si D = 10'', CH = 120 y L = 1,25 km se obtiene

Que es la ecuación de descarga para la tubería.


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D. TUBERÍAS CON DOS O MÁS RAMALES DE DESCARGA INDEPENDIENTE Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud L diámetro D, y coeficiente de resistencia f. Esta tubería se bifurca en los ramales 2 y 3. Se conoce la elevación del estanque y las cotas de descarga. Se trata de calcular el gasto en cada ramal.

Figura: Tuberías con ramales de descarga independiente El método de cálculo sugerido es el siguiente  Suponer una cota piezométrica en el punto P.  Calcular las energías disponibles para cada tramo  Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la ecuación de Darcy

O bien otra ecuación de la forma

 Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo


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EJEMPLO 3.- Hallar H y los caudales de cada uno de los ramales en lts/s.

Aplicando la fórmula de Hazen Williams:

H asumido

QO

h1

Q1

h2

Q2

h3

Q3

Q0-Q1Q2-Q3

20

142.490

10

60.155

20

74.118

25

52.079

-43.862

25

160.737

5

41.373

15

63.453

20

46.167

9.743

24.091

157.555


5.909 45.278 15.909 65.501 20.909 47.289

0

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Interpolando

;

;

;

EJEMPLO 4.- Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales del sistema de abastecimiento de agua mostrado en la figura y hallar la presión en el punto P.

La elevación del punto P es 10 m. Inicialmente la válvula está completamente abierta.


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Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua (cerrando la válvula ubicada en el ramal 2), determinar el nuevo valor de gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula. Solución. La ecuación de Hazen y Williams es

De donde,

;

Siendo K característico de cada tubería e igual a

Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de K

Empecemos por la segunda parte del problema. Si la presión en el nudo P es 20 m, entonces que son las energías disponibles en cada tramo.


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Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de descarga no es aplicable al tramo 2 por tener una válvula.

Q2 será simplemente la diferencia, Q2 = 41,2 l/s Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es

Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga en la válvula es 5,94 m. Para la primera parte del problema el método más simple consiste en tantear valores para la presión en P, calculando luego las energías disponibles en cada tramo y los gastos. Cuando la ecuación de continuidad quede satisfecha se ha encontrado la respuesta. pP = 15 m

pP = 17,5 m

hf1 = 25 m

Q,1= 146,04

hf2 = 5 m

Q2 = 46,1

hf3 =15 m

Q3 = 75,6

hf1 = 22,5 m

Q1 = 138

Hf2 = 7,5 m

Q2 = 57,4

Hf3 = 17,5 m

Q3 = 82,2

Q1-(Q2 + Q3 )= 24,3

Q1-( Q2+ Q3 )=-1,6

Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad. Si se continúan los cálculos se obtiene


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E. PROBLEMA DE LOS 3 RESERVORIOS Este problema consiste en determinar mayormente la cota piezométrica en el punto P y los caudales en cada ramal, en un sistema de tres reservorios como se ilustra en la figura, en la que usualmente se dan como datos las características de la

tubería

(diámetro,

longitudes,

rugosidades

de

cada

ramal

y

cotas

piezométricas) y los niveles del agua en c/u de los reservorios.

Evidentemente que la cota piezométrica en el punto P no puede ser superior a la de los tres reservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentador del sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tres estanques, pues todo el caudal concurriría allí lo que implicaría que P fuese un punto de desagüe. La cota del punto p determinara el sentido el sentido del escurrimiento en cada ramal. Uno de los aspectos que se puede definir previamente es el

sentido

de

la

circulación del agua pues como se puede apreciar el agua evidentemente fluye desde el reservorio 1 que es el que tiene mayor altitud. A su vez el reservorio 2 está a más bajo nivel siempre la recibirá lo que queda por determinar es el reservorio 3 que está al nivel intermedio, entrega o recibe agua. El problema si se hace el análisis del caso quedará resuelto al momento que se pueda determinar la altura piezométrica P en el punto de encuentro de las tres tuberías componente; conocido este dato se tendrá las pérdidas de carga producida. TUBERIAS RAMIFICADAS

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La solución se efectúa por tanteo suponiendo la altura ensayando

sucesivamente

varios

valores

de

la

piezométrica

P.

y

misma hasta que se cumpla

la condición de que el nudo D se produzca un equilibrio de los caudales que van o vienen de los reservorios. Por razones de facilidad el 1º supuesto de la cota P. es atribuible un valor a Z4. De esta manera para este primer tanteo no habrá flujo hacia el reservorio 2. Por los resultados obtenidos el sentido de los flujos. Así si el caudal que viene de 1 resultase ser mayor que el que va hacia2, entonces querrá decir que el nivel de P. tiene que ser mayor a objeto de disminuir el caudal que viene de 1 y aumenta el que va a 3 y 2. Así mismo este resultado también querrá decir que al aumentar el nivel de P. el reservorio

intermedio

2

recibe

agua,

en otras palabras que 1 actúa del alimentador de 2 y 3. Situación inversa ocurrirá si el valor de P. = Z4 se obtuviese para el caudal que fluye hacia 3 es mayor que el que viene de A. Evidentemente esto implicará que P. debe ser descendido con la conclusión que 1 y 2C son alimentadores de 3. Así por ejemplo la cota p está por encima de los estanques 1 y 2 pero debajo del estanque 3, los sentidos del escurrimiento serán los mostrados en la siguiente figura.


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En este caso particular la ecuación de continuidad es

Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogos para otras combinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidad en el nudo: la suma de los gastos en el nudo, con su propio signo, es cero. Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes y rugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiere el método siguiente Suponer un valor para la cota piezométrica del punto P. Calcular, por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a las pérdidas de cada hf 1, hf 2 y hf 3. Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuación de continuidad. Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación de Darcy

En esta ecuación toma para cada tubería la forma

Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación, como, por ejemplo, la de Hazen-Williams, entonces la ecuación genérica es de la forma:

Determinándose los valores de K y de x para la ecuación particular que se está empleando. Calculado el valor de K es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos.


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 Verificar la ecuación de continuidad en el nudo, sta ecuación toma para cada tubería la forma  Si la ecuación no quedara verificada, lo que es lo más probable, hay que hacer nuevos tanteos, reiniciando el cálculo a partir del punto 1.  A fin de no aumentar el número de tanteos conviene auxiliarse con un gráfico. Así por ejemplo, para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser

Como en un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique, se tiene que hay un error, que es

El gráfico sería

Cada punto corresponde a un tanteo. Los puntos se unen con una curva suave. La intersección con el eje vertical significa que

Con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtiene los gastos en cada ramal. Para hacer este gráfico es necesario definir previamente el sentido del escurrimiento en cada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma correspondiente.


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Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo en P una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica Q2 = 0. Comparando Q y Q3 se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería.

EJEMPLO Determinar el gasto en cada ramal y el sentido del flujo en el sistema de 3 reservorios mostrado en la fig. (a). Considérese un coeficiente de Williams y hacen C = 100 para todas las tuberías.

Solución: este problema de los 3 reservorios se resuelve asumiendo diversas pérdidas de carga en el tramo 1. Utilizaremos las fórmulas de Hazen Williams:

Donde: C: coef.de hazen Williams (

Q3

D: diámetro ( pulg.) S: (m/ Km) J : es el nudo Tenemos en cuenta por continuidad que:

Q1 + Q2 = Q3... ec.

(02)

Para el problema se resolverá asumiendo perdidas de carga y le identificamos como h1 como se ve en la fig. (a1)  Asumiremos


(anulamos al reservorio B Q2=0)

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Analizaremos cada tramo con sus datos para hallar sus respectivos Q caudales Para cada tramo:

Luego:

Para hallar que la ecuación de la continuidad se cumpla, haremos un esquema para asi Los “(Q1+Q2 )” Vs “h1” Por iteraciones Graficamos

Y hallamos que Como ahora tenemos la perdida de carga , entonces reemplazamos en la ec (1) y allí vamos hallar los caudes de c/ramal


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;

Aquí podemos observar que cumple la continuidad:


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IV.

RECOMENDACIONES

 Hacer un análisis exhaustivo al momento de desarrollar problemas relacionados con tres reservorios ya que depende mucho del análisis que se realice para encontrar la solución.  Seguir el procedimiento descrito en cada caso para poder determinar la solución a los problemas planteados.  Tener mucho cuidado al momento de realizar el cálculo, para que de esta manera llegar al verdadero resultado teniendo un margen de error mínimo.

V.

BIBLIOGRAFIA



Hidráulica de tuberías y canales – Arturo Rocha.



Hidráulica general – Sotelo Dávila.



Mecánica de fluidos – Merle C. Potter.



Mecánica de fluidos – Víctor L. Streeter.



Mecánica de fluidos e hidráulica – Ronald v. Giles / jack b. Evett / Cheng Liu


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TUBERIAS RAMIFICADAS - TRABAJO

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