Transformación Lineal de Rotación R2

Transform Transformación ación lineal de rotación rotación 2  R

Este tipo de transformación toma un  R

vector en

2

y nos nos arro arroja ja una

 "#ora escribimos nuestros dos vect vector ores es canó canóni nico cos s en el plan plano o y #acemos la rotación de cada uno.

Para el vector

e 1  tendr!amos:  Rot θ ( e 1)

versión rotada del mismo vector, con un ejem ejempl plo o se pued puede e comp compre rend nder  er  mejor este tipo de transformación. 2

 Rot θ : R → R

2

 Rot θ ( x⃗ ) : Rotacion θ grados de x⃗ en sentido sentido antihorario antihorario  Rot θ ( x⃗ )  A⃗ x   =

Para obtener la transformación lineal de rotación se debe considerar la matriz identidad:

[ ]

 I =

1

0

0

1

De esta matriz identidad obtendremos dos vectores canónicos (los vectores columna de la matriz identidad)

()

e 1= ⃗

1

()

e 2= ⃗

0

0 1

Tenemo nemos s ue ue ver ver en dond donde e van van a parar los dos vectores canónicos al aplica aplicarle rle la rotaci rotación ón y as! podemos podemos definir como es la matriz de la rotación.

[ ( ) ( )]

 A =  Rot   Rot θ

1 0

Rot θ

0 1

Debemos encontrar las componentes en $ y en y para obtener la primera columna de nuestra matriz ": %omo se forma un tri&n'ulo rect&n' rect&n'ulo ulo podemo podemos s usar usar funcio funciones nes tri'on tri'onomt omtric ricas as para encont encontrar rar sus comp compon onen ente tes, s, la comp compon onent ente e en $ seri seria a la prim primer er coor coorde dena nada da de la e1 y rotación del vector canónico la componente en y es la se'unda  Rot θ ( e 1) coordenada. El vector uedaria:  Rot θ ( e 1) =

[ ] cosθ senθ

Para el vector

e1

 tendr!amos:

 "#ora podemos transformación:

 Rot θ ( x⃗ )

[

=

cosθ senθ

Ejemplo: *ea

escribir

la

][ ]

senθ  x 1 cosθ  x 2

−

(

v= 3

4

)

 apliue la

rotación para +-/0 ormamos el tri&n'ulo rect&n'ulo y obtenemos las componentes como lo #icimos con el vector e 1 , el vector   Rot θ ( e 2)

[  ] −senθ

 A =

[

cosθ senθ

[

cosθ

 "#ora ya tenemos columnas de la transformación ". −

senθ

cosθ

]

 ] [ ]

senθ x 1 cosθ  x 2

−

*ustituyendo operaciones

 uedara:

 Rot θ ( e 1) =

[

cosθ senθ

definidas matriz

las de

2

√ 3 2

√ 3

−

2

−

1

2

y

  cos120 °

[ ] 1

−

 x '   y ' 

−sen 120 °

cos120 °

sen 120 °

=

realizando

][ ] 3 4

[][ ] 3 4

≈

4.96

−

0.6