Universidade do Sul de Santa Catarina
Tópicos de Matemática Elementar I Disciplina na modalidade a distância
Palhoça UnisulVirtual 26
Apresentação
Parabéns! você está recebendo o livro didático da disciplina de Matemática Básica. Este material oi construído especialmente para este curso levando em consideração o seu perfl e as necessidades da sua ormação. Como os materiais a cada nova versão receberão melhorias pedimos que você encaminhe suas sugestões via proessor tutor ou monitor sempre que achar oportuno. Recomendamos antes de você começar os seus estudos que você leia com atenção o Manual do Aluno e do curso afm de receber inormações importantes para sua boa produtividade no curso. E tenha em mente: você não esta só nos seus estudos conte com o sistema tutorial da UnisulVirtual sempre que precisar de ajuda ou de alguma orientação. Desejamos que você tenha êxito neste curso. Equipe UnisulVirtual
Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Christian Wagner
Tópicos de Matemática Elementar I Livro didático Design instrucional Luciano Gamez Karla Leonora Dahse Nunes
2ª edição revista e atualizada
Palhoça UnisulVirtual 26
Copyright © UnisulVirtual 2006 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição.
510 F62
Flemming, Diva Marília Tópicos de matemática elementar I : livro didático / Diva Marília Flemming, Elisa Flemming Luz, Christian Wagner ; design instrucional Luciano Gamez, Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 20 06. 246 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 85-60694-85-4 ISBN 978-85-60694-85-3 1. Matemática. 2. Cálculo. I. Luz, Elisa Flemming. II. Wagner, Christian. III. Gamez, Luciano. IV. Nunes, K arla Leonora Dahse. III. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual Rua João Pereira dos S antos, 303 Palhoça - SC - 88130-475 Fone/f ax: (48) 3279-1541 e 3279-1542 E-mail:
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Equipe UnisulVirtual Administração Renato André Luz Valmir Venício Inácio Bibliotecária Soraya Arruda Waltrick Coordenação dos Cursos Adriano Sérgio da Cunha Ana Luisa Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco
Charles Cesconetto Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Itamar Pedro Bevilaqua Janete Elza Felisbino Jucimara Roesler Lauro José Ballock Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marcelo Cavalcanti Mauri Luiz Heerdt Mauro Faccioni Filho Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Patrícia Pozza Rafael Peteffi da Silva Raulino Jacó Brüning Design Gráfico Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Evandro Guedes Machado Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Pedro Paulo Alves Teixeira Rafael Pessi Vilson Martins Filho Equipe Didático-Pedagógica Angelita Marçal Flores Carmen Maria Cipriani Pandini Carolina Hoeller da Silva Boeing Cristina Klipp de Oliveira Daniela Erani Monteiro Will Dênia Falcão de Bittencourt Elisa Flemming Luz Enzo de Oliveira Moreira Flávia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Leandro Kingeski Pacheco Ligia Maria Soufen Tumolo Márcia Loch Patrícia Meneghel
Silvana Denise Guimarães Tade-Ane de Amorim Vanessa de Andrade Manuel Vanessa Francine Corrêa Viviane Bastos Viviani Poyer Logística de Encontros Presenciais Caroline Batista (Coordenadora) Aracelli Araldi Graciele Marinês Lindenmayr José Carlos Teixeira Letícia Cristina Pinheiro Kênia Alexandra Costa Hermann Marcia Luz de Oliveira Priscila Santos Alves Logística de Materiais Jeferson Cassiano Almeida da Costa (coordenador) Eduardo Kraus Monitoria e Suporte Rafael da Cunha Lara (coordenador) Adriana Silveira Caroline Mendonça Edison Rodrigo Valim Francielle Arruda Gabriela Malinverni Barbieri Gislane Frasson de Souza Josiane Conceição Leal Maria Eugênia Ferreira Celeghin Simone Andréa de Castilho Vinícius Maycot Serafim Produção Industrial e Suporte Arthur Emmanuel F. Silveira (coordenador) Francisco Asp Projetos Corporativos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Secretaria de Ensino a Distância Karine Augusta Zanoni (secretária de ensino)
Djeime Sammer Bortolotti Carla Cristina Sbardella Grasiela Martins James Marcel Silva Ribeiro Lamuniê Souza Liana Pamplona Maira Marina Martins Godinho Marcelo Pereira Marcos Alcides Medeiros Junior Maria Isabel Aragon Olavo Lajús Priscilla Geovana Pagani Silvana Henrique Silva Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (coordenador) Ricardo Alexandre Bianchini Rodrigo de Barcelos Martins
Edição – Livro Didático Professors Conteudistas Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz ChristianWagner Design Instrucional Luciano Gamez Karla Leonora Dahse Nunes Projeto Gráfico e Capa Equipe Unisul Virtual Ilustrações Ricardo Manhaes (TED e MED) Diagramação Daniel Blass Fernando Roberto Dias Zimmermann Revisão Ortográfica Débora Ouriques
Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Palavras dos proessores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE
1 2 3 4 5 6 7
– – – – – – –
Conjuntos Numéricos e operações elementares . . . . . . . . Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Funções do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Funções do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Funções polinomiais e racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funções exponencial e logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Para concluir o estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Reerências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Sobre os proessores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Respostas e comentários das atividades de auto avaliação . . . . . . . . . . . . 29 Para destacar Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Palavras dos proessores Prezado participante do curso Neste texto apresentamos conteúdos de Matemática relativos à disciplina de Tópicos de Matemática Elementar I. Todos os conceitos apresentados são considerados básicos para a sua ormação inicial e são discutidos a partir do ensino undamental. Vamos ampliar idéias objetivando-se atender as especifcidades do projeto pedagógico do curso que preconiza a inserção sistemática de elementos da História da Matemática. Considerando-se que o mundo atual exige a ormação de um profssional com competência e habilidades para atuar num contexto inormatizado no decorrer deste texto vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de dierentes recursos tecnológicos. No ambiente virtual de aprendizagem você terá a oportunidade de desenvolver atividades e leituras objetivando-se a abertura de um olhar interdisciplinar. Especifcamente poderá reetir sobre aspectos didáticos do processo ensino-aprendizagem das unções elementares no contexto da Educação Básica. Considerando que estamos trabalhando no contexto da Educação a Distância adotamos uma linguagem coloquial na parte textual mostrando sempre as dierentes linguagens utilizadas pela matemática. Essa escolha propiciará o uso de dierentes representações semióticas dos objetos matemáticos. Para fnalizar gostaríamos de convidá-lo para ingressar num maravilhoso mundo da educação matemática. Lembre-se sempre que no decorrer desta caminhada a relação didática será dinâmica e virtual portanto estaremos sistematicamente ao seu lado basta que “a porta esteja aberta”.
Vamos lá?
Proa. Diva Marília Flemming Dra. Proa. Elisa Flemming Luz Dra. Pro. Christian Wagner Msc.
Plano de estudo O plano de estudos visa orientar você no desenvolvimento da Disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da Disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam portanto a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas ormas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
Livro didático. O AVA (Ambiente virtual de Aprendizagem). Atividades de avaliação (complementares a distância e presenciais).
Ementa Conjuntos numéricos. Operações elementares. Função: conceitos propriedades características e representações gráfcas. Funções elementares: polinomiais exponenciais logarítmicas e trigonométricas.
Carga horária 6 horas – 4 créditos
Objetivos Geral:
Discutir e reetir conceitos básicos da Matemática oportunizando condições para: investigar observar analisar delinear conclusões testando-as na solução de problemas.
Específcos:
Compreender os conceitos procedimentos e estratégias matemáticas que permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma ormação geral; Analisar objetos de estudo a partir de dierentes representações semióticas; Aplicar conhecimentos matemáticos nas situações do dia-a-dia apoiando no processo de tomada de decisões; Desenvolver a capacidade de raciocínio lógico crítico e Analítico; Desenvolver a capacidade de análise e resolução de problemas; Utilizar corretamente procedimentos e erramentas tecnológicas na resolução de problemas; Desenvolver o espírito de equipe estimulando a pesquisa.
Conteúdo programático/objetivos Veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático desta Disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se reerem aos resultados que você deverá alcançar ao fnal de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade defnem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua ormação.
Unidades de estudo UNIDADE 1 2 3 4 5 6 7
CONTEÚDO Conjuntos numéricos e operações elementares Funções Funções do primeiro grau Funções do segundo grau Funções polinomiais e racionais Funções exponencial e logarítmica Funções trigonométricas
CARGA HORÁRIA (horas-aula) 8 8 8 10 8 8 10
Unidade 1 – Conjuntos numéricos e operações elementares Nesta unidade apresenta-se uma revisão dos conjuntos numéricos ampliando-se as idéias iniciais com conceitos e propriedades operatórias. O estudo desta unidade permite também iniciar o delineamento da prática docente no contexto da educação básica. Unidade 2: Funções Nesta unidade as unções são apresentadas como objetos matemáticos e como elementos undamentais para a resolução de problemas do dia-adia. A análise das representações gráfcas permitirá o desenvolvimento de hábitos de boa leitura e visualização de propriedades e características dos dierentes tipos de unções. Unidade 3: Funções do primeiro grau As unções do primeiro grau serão amplamente discutidas nesta unidade possibilitando a leitura gráfca a modelagem de problemas práticos a resolução de equações e sistemas de equações. Também terá a possibilidade de visualizar situações didáticas em dierentes ambientes e níveis de ensino. Unidade 4: Funções do segundo grau As unções do segundo grau serão discutidas possibilitando aspectos interdisciplinares na modelagem de problemas de Física e outras áreas. A visualização das propriedades e características das representações gráfcas oportuniza uma nova visão didática do ensino das unções na educação básica. Unidade 5: Funções polinomiais e racionais Nesta unidade as unções polinomiais e racionais serão apresentadas em dierentes representações (gráfcas e algébricas). Especifcamente nesta unidade amplia-se a visão dos recursos didáticos para a prática docente com o uso de recursos computacionais. Unidade 6: Funções exponencial e logarítmica Nesta unidade amplia-se o conceito de modelagem com o uso das unções exponenciais e logarítmicas em dierentes tipos de problemas práticos. O contexto fnanceiro é destacado com problemas reais de juros e crescimento exponencial.
Unidade 7: Funções trigonométricas As unções trigonométricas serão discutidas partindo-se da resolução de triângulos retângulos. A análise das representações gráfcas dará a oportunidade de resgatar os conceitos de domínio imagem periodicidade dentre outros.
Agenda de atividades/ Cronograma
Verifque com atenção o “AVA” organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e tutor. Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no AVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina.
Atividades Avaliação a Distância 1 Avaliação a Distância 2 Avaliação a Distância 3 Avaliação a Distância 4 Avaliação Presencial 1 Avaliação Presencial 2 (2ª. chamada) Avaliação Final (caso necessário) Demais atividades (registro pessoal)
UNIDADE
Conjuntos Numéricos e Operações Elementares
Objetivos de aprendizagem
Identifcar conjuntos numéricos em dierentes situações problemas. Desenvolver procedimentos operatórios que envolvem os números reais. Aplicar propriedades dos números reais na resolução de problemas.
Seções de estudo
Seção – Introdução Seção 2 – Conjuntos numéricos Seção 3 – Adição e subtração com números reais Seção 4 – Multiplicação e divisão com números reais Seção – Resolução de equações
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Para início de conversa Você deve lembrar que na sua ormação escolar oi preciso aprender a “azer contas”. Muitos algoritmos oram apresentados e discutidos. Você lembra por exemplo como calcular a raiz quadrada de 232? Quase todos esquecem! E nos dias de hoje com os recursos tecnológicos podemos de orma rápida responder essa pergunta basta ter uma calculadora na mão. Você vai poder relembrar os conjuntos numéricos e vários procedimentos operatórios no decorrer desta unidade. Afnal você será um uturo proessor de matemática!
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Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO
Introdução O conceito de número é uma das idéias mais primitivas da humanidade e por incrível que pareça já nascemos com ela. Um bebê entre seis e doze meses já assimila agrupamentos de seres e objetos. Já consegue reunir num único grupo objetos análogos e percebe se alta algo a um desses conjuntos amiliares. Por exemplo se você entrega ao bebê nesta idade 4 brinquedos e sem que ele perceba retira dois deles certamente ele sentirá alta. Não que já saiba contar mas porque já possui uma noção de número em sua ormação individual. Para fns de padronização criou-se uma notação comum para representar os números. Utiliza-se os algarismos hindu-arábicos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Apesar de ouvirmos sons dierentes dependendo do idioma se não houvesse uma padronização imagine a conusão que seria!
Olhando o passado! Já há algum tempo, sabe-se que determinadas espécies de animais também são dotadas de um tipo de percepção direta sobre os números. númeras experiências demonstraram que os rouxinóis, as pegas e os corvos eram capazes de distinguir quantidades concretas de um a quatro. eja o caso do corvo: “Um castelão decidiu matar um corvo que ez seu ninho na torre do castelo. Já tentara várias vezes surpreender o pássaro, mas ao se aproximar, o corvo deixava o ninho, instalava-se numa árvore próxima e só voltava quando o homem saía da torre. Um dia, o castelão recorreu a uma artimanha: ez entrar dois companheiros na torre. nstantes depois, um deles desaparecia, enquanto o outro fcava. Mas, em vez de cair nesse golpe, o corvo esperava a partida do segundo para voltar a seu lugar. Da próxima vez ele ez entrar três homens, dos quais dois se aastaram em seguida: o terceiro pôde então esperar a ocasião para pegar o corvo, mas a esperta ave se mostrou ainda
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mais paciente que ele. Nas tentativas seguintes, recomeçou-se a experiência com quatro homens, sempre sem resultado. Finalmente, o estratagema teve sucesso com cinco pessoas, pois o corvo não conseguia reconhecer mais que quatro homens ou quatro objetos...” (Extraído de: F, eorges. Os números: história de uma grande invenção. 8. ed. São aulo: lobo, 1996. p. 20.)
SEÇÃO 2
Conjuntos numéricos A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos. Ao invés de usar símbolos para representar os números utilizava-se a comparação de conjuntos.
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem inormal: é o mesmo que agrupamento, classe ou coleção.
Você pode ormar muitos conjuntos. Se você or colecionador de alguma coisa a sua coleção ará parte de um conjunto. Veja como é possível escrever o conjunto ormado pelos estados brasileiros localizados na região sul: A = {Paraná Santa Catarina Rio Grande do Sul}. Pare! Revise! O conjunto A é dito finito, pois possui 3 elementos, já o conjunto B é dito infinito pois possui um número infinito de elementos.
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Ou ainda o conjunto dos números pares positivos: B = {2 4 6 8 ...}. Nesta disciplina o que irá lhe interessar são os conjuntos ormados por números ou os conjuntos numéricos. Em especial o conjunto dos números reais que irá embasar o estudo dos dierentes tipos de unções. Então veja como se chegou até estes números reais!
Tópicos de Matemática Elementar I
a) Conjunto dos números naturais Neste conjunto numérico encontram-se os primeiros números conhecidos pela humanidade. Sua representação é dada por:
Pare! Revise! Quando utilizamos a notação N* representamos a exclusão do zero:
N = { 2 3 4 ...}. Perceba que este é um conjunto infnito pois é possível sempre acrescentar uma unidade a cada número para que se obtenha um sucessor.
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
Olhando o passado! O número zero tem uma história interessante. Em 662 d.C. o bispo sírio Severus Sebort reeriu-se aos nove sinais, num trabalho público, mas não azia reerência ao zero. O zero surgiu posteriormente e não se sabe muito sobre a sua origem. Dizem que a sua origem está no mundo grego. Sua orma se deve aos maias (olho meio aberto), hindus (ovo de ganso) ou aos gregos (letra grega ômicron que é a primeira da palavra Ouden que signifca vazio).
b) Conjunto dos números inteiros Olhando o presente! Veja o seguinte problema: P1 Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco. No mês de julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que deveria. Quando imprimiu o seu extrato, percebeu que o saldo era de R$130,00 D. O que isto signifca? Este problema pode mostrar a importância dos números inteiros. Veja porquê! Nos extratos bancários a letra C indica crédito e a letra D indica débito. Isto signifca que na conta havia 3 reais negativos ou seja –R$130,00 estava altando R$3. Veja como é importante o estudo dos números não positivos ou negativos. Desde a época em que o comércio passou a azer parte da sociedade inicialmente com o sistema de trocas até que se instituísse uma moeda a noção de números negativos já é amplamente utilizada.
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Para representar estes números usa-se o conjunto numérico chamado de conjunto dos números inteiros: Z = {... -3 -2 - 2 3 ...}.
c) Conjunto dos números racionais Além dos números naturais e inteiros perceba que em seu dia-a-dia você utiliza também números racionários. Ao comer uma atia de um bolo dividido em 8 partes iguais por exemplo além da água na boca você pode dizer que estará comendo uma parte do todo. Estará comendo do bolo. 8
No sistema monetário usa-se unções decimais do real. Por exemplo:
R$ – cinqüenta centavos é a metade de um real R$ 2 – vinte e cinco centavos representa de um real. 4
Olhe para uma régua e perceba a existência de números entre os números inteiros que você já estudou. Entre e temos por exemplo 2 ou entre 3 e 4 o número 32.
m
As rações são representadas na orma n ≠ m n ∈ Ζ e ormam o conn junto dos números racionais denotado por:
Q={x|x=
m m n ∈ Ζ e n ≠ }. n
Veja alguns exemplos: 3 4
20
7
−
2
9.
Tópicos de Matemática Elementar I
Veja como se az a leitura de rações:
2
Um meio
8
Um oitavo
3
Um terço
9
Um nono
4
Um quarto
Um décimo
Um quinto
Um onze avos*
6
Um sexto
2
Um doze avos
7
Um sétimo
2
Um vigésimo
*Avos é um substantivo masculino empregado na leitura de rações que possuem denominador maior que dez.
Toda a ração pode ser escrita em uma orma decimal. Veja como se az: = 2 = 3333... 3
3 = 7 4 2 = 28742874... 7
Pare! Observe! Algumas frações possuem representação decimal exata e outras uma representação decimal periódica. São dízimas periódicas: = 0,5151515151... 99 3 = 0,3444444444... 9
São decimais exatas: = 0,2 2 =5 4
Para encontrar a forma decimal você pode realizar as divisões no papel ou mesmo em uma calculadora.
Olhando o presente! Veja o seguinte problema: P2 Em um restaurante um garçom só sabia dividir uma pizza em 10 atias iguais. Se Mário comeu a metade da pizza e sua namorada comeu quantas atias sobraram?
Pare! Observe!
Para saber quantas atias sobraram veja como é possível raciocinar:
Se Mario comeu a metade da pizza então ele comeu a metade de atias ou seja = atias. 2 Sua namorada comeu da pizza então ela comeu de atias ou seja ( de ) = = 2 atias.
Todos os números inteiros são também números racionais pois podem ser escritos na forma de uma fração. Veja:
Assim Mario e sua namorada comeram juntos + 2 = 7 atias. Portanto sobraram – 7 = 3 atias. Unidade 1
4=
4
7
7=
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Olhando o passado! Dioanto oi um matemático que viveu em lexandria no século III. ouco se sabe sobre a sua vida, mas existe uma charada que, dizem, teria sido gravada em seu túmulo: “qui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu flho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu flho, soreu mais 4 anos antes de morrer.” ocê sabe quantos anos viveu Dioanto? Fonte: http://www.exatas.hpg.ig.com.br/curiosidades.htm.
d) Conjunto dos números reais Para defnir o conjunto dos números reais é necessário considerar os m números que não podem ser escritos na orma de com n ≠ e m n ∈ Ζ. n Estes números ormam o conjunto dos números irracionais que pode ser escrito pela letra Q . São exemplos de números irracionais: π = 3,141592653...
e = 2,718281828...
2 = 1,41...
É comum dizer que o conjunto dos números reais é o resultado da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
Os números reais são representados geometricamente por uma reta numerada denotada por reta real.
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Olhando o passado! ocê não imagina a consternação no seio dos pitagóricos quando descobriram a existência de grandezas que não guardam entre si uma relação de inteiro para inteiro. sto aconteceu quando verifcaram a impossibilidade de mensurar (ou medir) a diagonal de um quadrado de lado igual a 1 unidade de comprimento. credita-se que os pitagóricos guardaram este segredo por muitos anos, pois esta constatação signifcava a existência de seres disormes no seu mundo regido pelos números. oje já se sabe que este ser disorme é a raiz quadrada de dois.
O número Pi A história do número π está ligada à história da vida de muitos matemáticos da Antigüidade. Que tal relembrar para sermos justos do nome de Arquimedes amoso matemático e astrônomo que nasceu em Siracusa mais ou menos 287 a.C.
No tempo de Arquimedes muitos estudiosos já sabiam que o comprimento de uma circunerência é igual a um número um pouco maior que 3 vezes o seu diâmetro.
Existe o registro histórico de várias tentativas para encontrar o valor exato desse número um pouco maior que 3, que hoje é conhecido como número Pi simbolizado por π.
Vários métodos geométricos demonstram que o valor do Pi é π = 3,141592653...
Você pode encher a tela do seu computador com as casas decimais do número Pi .
O número e A origem do número e está associada à origem dos logaritmos. As tábuas de logaritmos oram inventadas para acilitar os cálculos pois ao se usar logaritmos consegue-se reduzir multiplicações e divisões em simples
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adições e subtrações. É usual alar “número neperiano” em homenagem ao matemático John Napier uma vez que este em 64 apresentou uma maneira prática para defnir o logaritmo de e . Além de servir de base para um sistema de logaritmos o número e é um número útil em toda a Matemática e ciências afns. Por exemplo é muito usado na Economia Estatística Probabilidades etc. Nos dias de hoje não se usa as tábuas de logaritmos porque as calculadoras azem todos os cálculos. No entanto não se pode dispensar esse número de nossas vidas. Vários enômenos são modelados por uma ração que envolve o número e como por exemplo o crescimento populacional e o aumento de capital e juros. Nas próximas unidades você vai ouvir alar muito sobre o número e!
e
= 2,718281828...
e) Conjunto dos números complexos Você acha seu nome bonito? Todas as pessoas que você conhece acham o seu nome bonito? O nome de batismo de uma pessoa pode não ser bonito mas não causa “mal entendido” porque ele tem um único signifcado. Muita gente não aceita o termo “número imaginário” ou “número complexo” tal como é usado em matemática. E isto causa um mal entendido! Entretanto é importante lembrar:
Quando uma palavra é defnida precisamente e tem apenas um signifcado, não há mais razões para criticar seu uso.
Logo um número imaginário ou complexo é uma idéia matemática precisa.
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Olhando o passado! Cardano, um grande matemático do século XVI, oi o primeiro a reconhecer a verdadeira importância desses números. Na sua obra “rs Magna” discute a Álgebra e dá especial atenção às raízes negativas de uma equação e ao cálculo com números complexos.
O conjunto dos números complexos é ormado por todos os números reais e pelas raízes negativas podendo ser representado por:
C = { z | z = (ab) a b ∈ R } Em geral os números complexos são discutidos inicialmente na orma algébrica:
Pare! Revise! Lembre-se que i = Assim, tem-se que:
z = −4 = 2i = + 2i = (2)
i × i = – 1 i 2 = – 1 ( −)2 = –1.
z = 2 + −9 = 2 + 3i = (23) Ao olhar para o par ordenado (ab) torna-se simples visualizar a parte real e a parte complexa ou imaginária do número complexo:
a é a parte real; b é a parte imaginária.
Pare! Observe!
(
Nas próximas seções você irá revisar as operações com os números reais sendo enatizado dierentes representações algoritmos e métodos de tratamento adequados a cada situação identifcada.
− .
−) = (−)2 = = 2
está incorreto.
SEÇÃO 3
Adição e subtração de números reais Para discutir as operações de adição e subtração com números reais veja inicialmente algumas propriedades: Comutativa
a±b=b±a
Associativa
(a ± b) ± c = a ± (b ± c )
Elemento Neutro
a+0=0+ a=a 0 é o elemento neutro da adição.
Unidade 1
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Nos próximos exemplos você poderá aplicar estas propriedades em situações que envolvam a adição e a subtração com números reais.
Exemplos Pare! Observe! É possível estabelecer uma regra prática para calcular a adição ou subtração com números fracionários. Considere as expressões
a c e b d
escritas de forma que b e d são diferentes de zero:
) Eetuar as seguintes operações: (a)
2 4 + 2 22 + = = 3
(b)
7 + 2 27 + = = 2 7 4 4
(c)
2 + 6 7 + = = 9 3 9 9
a c ad ± bc ± = b d bd
Perceba que esta mesma operação pode ser eita usando-se uma calculadora. O resultado que aparece no visor vai depender da confguração e potencialidades de sua calculadora. Por exemplo você pode visualizar: 7777 777777 77777777 77777777778. (d)
2 + 4 Com uma calculadora é possível determinar os valores aproximados para 2 e 4 : 2 ≅ 447239 4 ≅ 67823932 2 + 4 ≅ 8339887 O cálculo é aproximado e o número de casas decimais depende de cada tipo de calculadora. É possível resolver esta adição usando propriedades da radiciação. Na unidade 6 você verá um breve resumo de algumas destas propriedades.
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(e)
3 – 3 = 7 – 3 = 4. 4 Perceba que o número racionário oi escrito em sua orma decimal para que a operação osse realizada. Uma outra opção é escrever o número decimal como um número racionário: 3 3 3 3 − 2 8 9 − 3 = − = = = = 4. 4 4 4 4 2
() − 2 = 3 − = −7 . 3 (g) –2 + 37 = 37 – 2 = 7.
2) Um mergulhador passou da proundidade de –6 m para –4 m. Neste caso ele subiu ou desceu? Quantos metros? Perceba que o número –6 é menor que o número –4. Assim quando o mergulhador passa de –6m para –4m ele aumenta duas unidades. Isto signifca que ele subiu 2m pois –6m é mais undo que –4m.
3) Imagine 3 pizzas de mesmo tamanho cortadas de ormas dierentes: a primeira em duas partes a segunda em quatro partes e a terceira em seis partes. Se Joana come um pedaço de cada uma ao todo quanto terá comido? Para saber quanto Joana comeu é possível representar cada pedaço usando números racionários: • pedaço da primeira pizza (cortada em duas partes) = 2 ; • pedaço da segunda pizza (cortada em quatro partes) = 4 ; • pedaço da terceira pizza (cortada em seis partes) = 6 .
Podemos escrever . Assim Joana comeu
ou quase uma pizza inteira!! Unidade 1
27
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Um bondoso homem doou para um asilo de idosos.
da sua ortuna para menores carentes e
2 3
(a) Que ração de suas posses ele doou? Ele doou
2 3 + 3 + = = . 3
(b) Que ração sobrou? Se ele doou −
3 então sobrou um inteiro menos esta ração:
3 3 − 3 2 = − = = .
As operações de adição e subtração são utilizadas em inúmeras aplicações que envolvem a modelagem matemática. Na próxima seção você poderá revisar as operações de multiplicação e divisão dos números reais.
SEÇÃO 4
Multiplicação e divisão de números reais Assim como nas operações de adição e subtração veja algumas propriedades da multiplicação: Comutativa
a×b=b×a
Associativa
(a × b) × c = a × (b × c )
Elemento Neutro
a×1=1×a=a 1 é o elemento neutro da multiplicação.
28
Tópicos de Matemática Elementar I
Perceba que as propriedades listadas não são válidas para a divisão Imagine que dois amigos oram pescar no Pantanal. Em determinado momento cansados de esperar eles conversam: — Esses peixes são muito espertos. Foi a terceira vez que nós dois não pegamos nenhum. — Nosso saldo está devedor. Já gastamos 6 iscas.
Como representar esta situação matematicamente? (+3) × (–2) = –6 Outras situações poderiam ser modeladas por outras multiplicações. Por exemplo: (+3) × (+2) = +6 (–3) × (–2) = +6 (–3) × (+2) = –6
Unidade 1
29
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observando essas operações é possível escrever:
Números de sinais dierentes apresentam resultado negativo e números de sinais iguais apresentam resultado positivo.
Resumindo simbolicamente as regras de sinais: Divisão
Multiplicação
(+) ÷ (+) = (+)
(+) × (+) = (+)
(–) ÷ (+) = (–)
(–) × (+) = (–)
(+) ÷ (–) = (–)
(+) × (–) = (–)
(–) ÷ (–) = (+)
(–) × (–) = (+)
Olhando o presente! Veja o seguinte problema. P3 Durante seis dias a temperatura de uma certa região esteve abaixo de zero, variando entre –18oC. Sabendo-se que a temperatura baixou o mesmo número de graus em cada dia, quantos graus teria abaixado por dia? Pare! Revise! Quando uma divisão tem resto zero, trata-se de uma divisão exata . Por exemplo, 12 ÷ 6 = 2. Isto é verdade, pois 2 × 6 = 12. Da mesma forma, 35 ÷ 5 = 7, pois 7 × 5 = 35.
30
Para modelar esta situação é possível escrever: (–8) ÷ (+6) = (–3) Isto signifca que a temperatura baixou 3oC por dia até que chegasse a –8 oC. Veja a regra prática para a multiplicação que envolve rações sendo b e d números dierentes de zero:
a c a ⋅c ⋅ = b d b ⋅d
Tópicos de Matemática Elementar I
Exemplos ) Resolver as operações indicadas: (a)
⋅ ⋅ = = 4 3 4 ⋅ 3 2
(d) 2 × 3 = 32
(b)
− ⋅− − ⋅ = = 8 4 8 ⋅ 4 32
(e) 72 × 369 = 26649
(c)
⋅ ⋅ = = = 2 2 ⋅
3 e deste valor. 2 Para resolver este problema multiplique o valor total por suas rações:
2) Se 3 corresponde ao valor total calcule
3 de 3 → ·3 = = 7 2 2 2 3 3 de 3 → ·3 = = 2. 3) Um bolo oi dividido em partes iguais entre sete pessoas. Uma pessoa comeu metade da sua atia. Quanto do bolo ela comeu? Uma () atia representa a sétima parte do bolo ou . 7 A metade de atia representa do bolo ou × = . 4 7 2 4 Assim a pessoa comeu do bolo. 4 4) Se no bolo do problema anterior dividido entre 7 pessoas cada pedaço custasse R$ 8 quanto custariam três pedaços do bolo? → R$ 8 7 3 3 pedaços do bolo → → 3 × R$ 8 = R$ 24 7
pedaço do bolo →
Logo três pedaços do bolo custariam R$24.
Unidade 1
31
Universidade do Sul de Santa Catarina
Olhando o passado! Matemático tem cada idéia!
eja o problema histórico criado para justifcar a regra de sinais (–) × (–) = (+) .
“Eu tinha 3 dívidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas, as pessoas para quem eu devia morreram. erdi 3 vezes a dívida de 4 moedas. ssim, fquei 12 moedas mais rico”. “perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas” → (–3) × (–4) = (12) .
Quando você realiza a divisão de duas rações está multiplicando a primeira ração pelo inverso da segunda.
Pare! Revise! Você não pode fazer uma divisão por zero. Por exemplo, não é possível dividir dois por zero (2 ÷ 0), pois se 2 ÷ 0 = x, então x · 0 = 2. Não existe número que multiplicado por zero seja igual a 2.
Exemplos Resolver as operações indicadas: 2 2 4 2⋅4 8 ÷ = ⋅ = = 3 4 3 3 ⋅ ⋅ (b) 2 = ⋅ = = 3 2 3 2⋅3 6 ÷ ÷3 − −6 ⋅−6 − 3 − 6 2 (c) ÷ = ⋅ = = = = − ÷ ÷3 9 6 9 9 ⋅ 3 4 9 (a)
Após tratar das operações de multiplicação e divisão com números reais é possível introduzir um importante conceito utilizado em diversas situações de nosso dia-a-dia: a porcentagem. É comum você se deparar com expressões do tipo:
32
a inação no último mês oi de 4% (quatro por cento); promoção: descontos de 3% à vista; o índice da bolsa em São Paulo está em queda de 2%.
Tópicos de Matemática Elementar I
Mas o que isso signifca? A porcentagem é uma orma de comparar números usando a proporção direta. É o valor obtido quando se aplica uma razão centesimal a um valor. Como o nome já diz é por ou sobre . Em linguagem algébrica a porcentagem de um número a à razão x
x
é:
× a.
Indica-se a expressão:
x
por x %. Para entender melhor veja a aplicação deste conceito nos exemplos abaixo apresentados.
Exemplos ) Calcule % de . A razão centesimal é dada por % = . Portanto % de → · = = . 2) Calcule 2% de 2. 2 Neste caso a razão centesimal é dada por 2%= . Portanto 2 2 2% de 2 → ·2 = = 2 3) Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4? Equacione a taxa indicada como 3 4 4x = 3· 4x = 3 x
x=
=
3 → Então a taxa é de 7%. 4
Unidade 1
33
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Uma loja divulga uma promoção de % sobre o preço de suas mercadorias vendidas à vista. Se uma camisa custa R$9 qual será o seu valor com o desconto? O desconto de % será sobre o valor de R$ 9. Assim teremos: % de 9 →
9 ·9 = = 9.
Isto signifca que a camisa custará R$ 9 a menos. Portanto o preço a ser pago é de R$ 9 – R$ 9 = R$ 81,00.
Parada recreativa Você lembra do matemático Dioanto? Que tal calcular quantos anos ele tinha quando morreu? Veja o que estava em seu túmulo: “qui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu flho, com quem con viveu metade da sua vida. Depois da morte de seu flho, soreu mais 4 anos antes de morrer.”
Vamos identifcar por V o tempo de vida de Dioanto medido em anos. O tempo de vida de Dioanto é a soma de cada uma das rações indicadas. Assim temos: V =
V
+
V
V
V
+ + + + 4 .
6 2 7
2
Resolvendo a soma de rações teremos: V
+
V
+
V
V
6 2 7 V
V
+ + − V = −9 V
+ +
2
V
V
− = −9
6 2 7 2 4V + 7V + 2V + 42V − 84V = −9 84 −9V = −9 84 V = 84
34
Tópicos de Matemática Elementar I
Determinando o valor de V é possível saber que Dioanto viveu 84 anos. Veja na tabela abaixo a divisão destes 84 anos:
Menino
84 6
= 4 anos
Até 4 anos
Rapaz
84 2
= 7 anos
4 aos 2 anos
Antes de casar
84 7
= 2 anos
2 aos 33 anos
Filho nasceu
anos depois de casar
33+ = 38 anos
Conviveu com o flho
84 2
38 aos 8 anos
Morreu
4 anos depois da morte flho
= 42 anos
8+4 = 84 anos
SEÇÃO
Resolução de equações Quando você está diante de um problema pode resolvê-lo usando mais de um caminho ou estratégia. Se o problema requer o uso de objetos matemáticos a solução pode ser obtida a partir do envolvimento de algoritmos numéricos resolução de equações ou sistemas de equações. Para cada situação usa-se a erramenta matemática adequada que poderá ser simples ou de nível mais complexo como é o caso de derivadas e integrais (objetos matemáticos não estudados nesta disciplina). Os problemas considerados da área econômica em geral são modelados através de expressões algébricas resultando em órmulas práticas. Ao aplicar os dados você fca diante de uma equação ou de um sistema de equações. É importante que neste momento você aça uma breve revisão sobre a resolução de equações do o e 2o graus pois estes conceitos serão amplamente aplicados no estudo das unções nas próximas unidades.
Equação do 1o grau A resolução de uma equação do o grau consiste na determinação da incógnita x “isolando-a” em um dos lados da igualdade. Para tal você precisa relembrar dois princípios: Unidade 1
Pare! Revise! É usual utilizar letras para representar os valores que uma variável pode assumir. É comum, de forma mais tradicional, usar o termo incógnita para expressar o valor que é desconhecido e se procura saber.
35
Universidade do Sul de Santa Catarina
Princípio aditivo da igualdade: adicionando (ou subtraindo) aos dois membros de uma igualdade o mesmo número a igualdade não se altera. Em outras palavras ao passar um número que está somando (ou subtraindo) para o outro lado da igualdade deve-se inverter seu sinal. Princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando (ou dividindo) os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número a igualdade não se altera. Em outras palavras um número que está multiplicando passa para o outro lado da igualdade dividindo; já um número que está dividindo passa para o outro lado da igualdade multiplicando.
Exemplos ) Determinar o valor da incógnita x das seguintes equações do o grau: (a) 8x + 4 = 2 8x = 2 – 4 8x = 8 8 x= 8 x= (b) –3x + 4 = –3 –3x = –3 –4 –3x = –7 −7 x= −3 7 x= 3
36
(c)
2 x –3 = 7 2 x=+3 7 2 x=8 7 7 x = 8· 2 6 x= 2 x = 28
Tópicos de Matemática Elementar I
2) O testamento de um moribundo impõe que se sua esposa que está grávida tiver um flho este herdará 3 e a viúva dos bens; mas 4 4 se nascer uma flha esta herdará 7 e a viúva dos bens. Como devem 2 2 ser divididos os bens no caso de nascer um casal de gêmeos? Este é um problema discutido na Idade Média e tem origem romana. A solução considerada viável az uma suposição satisatória pois rigorosamente não se poderia solucioná-lo visto que não se conhece o critério adotado pelo moribundo no caso de flhos gêmeos (poderia por exemplo ser uma escolha aleatória). A sugestão de solução considera que o moribundo queria deixar:
para um flho o valor equivalente ao triplo do valor da viúva pois: 3 =3× 4 4
para uma flha o valor equivalente a 7 do valor da viúva pois: 7 7 = × 2 2
Assim é possível escrever a equação:
x + 3x +
7 x = .
Considerando-se que a herança oi repartida para 3 pessoas (viúva flho e flha) e mantendo-se a proporcionalidade inicialmente proposta na equação o valor de x representa a parte da viúva. Para resolver a equação é possível aplicar os princípios enunciados para a resolução de uma equação do o grau. Veja: 7 x + x + 7x = 27x = 27x = x= . 27 x + 3x + x =
Problema extraído de EVES Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP 99 p. 34.
Unidade 1
37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Assim a solução pode ser resumida da seguinte orma:
A viúva receberá 27 dos bens o que corresponde a 8% do total. O flho recebe o triplo de 27 = dos bens o que corres→ 3 × 27 27 ponde a 6% do total. 7 A flha recebe 7 de 27 → 7 × 27 = 27 dos bens o que corresponde a 293% do total.
Equação do 2o grau Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar algumas regras gerais que oram criadas para auxiliar nestes cálculos. A órmula mais conhecida é a órmula de Báskara:
−b ± ∆ − b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c x= = 2⋅a 2⋅a −b + b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c x = 2⋅a −b − b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c x2 = 2⋅a
Exemplos ) Resolver as equações do 2 o grau. a) 2x2 + x – 3 =
− ± 2 − 4 ⋅ 2 ⋅− 3 x= 2⋅2 − + 7 2 x = = =
4 4 2 − − 7 −2 x2 = = = −3 4 4
38
Tópicos de Matemática Elementar I
b) 6 – x2 =
− ± 2 − 4 ⋅−⋅6 ± 64 ±8 x= = = 2 ⋅− −2 −2 8 = −4 −2 −8 x2 = =4 −2 x =
2) Encontrar o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade para as unções de demanda e oerta sendo x a quantidade e y o preço
x2 + x – y + = 2x2 + y – 9 = Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade vamos resolver o sistema de equações dado. Isolamos y = 9 – 2x2 e substituímos na primeira equação:
x2 + x – (9 – 2x2) + = x2 + x – 9 + 2x2 + = 3x2 + x – 8 = Aplicando os valores reerentes à equação a ser solucionada temos:
− ± 2 − 4 ⋅ 3 ⋅−8 − ± 2 + 96 − ± 2 x= = = 2⋅3 6 6 − + 6 x = = = 6 6 − − −6 x2 = = 6 6
Como x representa a quantidade do produto não az sentido ser representado por um número negativo. Assim apenas nos interessa o valor de x = .
Unidade 1
39
Universidade do Sul de Santa Catarina
Substituindo x = em uma das equações temos:
y = 9 – 2x2 y = 9 – 2·2 y = 9 – 2 y = 7 Portanto os valores y = 7 e x = representam o preço de equilíbrio e a quantidade para as unções de demanda e oerta apresentadas.
Parada recreativa Você já ouviu alar em Quadrados Mágicos? Um quadrado dividido em 4 9 ou 6 quadrados iguais é dito um quadrado mágico se a soma dos números numa coluna numa linha ou em qualquer das diagonais or sempre a mesma.
6
A origem dos quadrados mágicos é obscura. Na Índia muitos reis usavam o quadrado mágico como amuleto; um sábio do Iemen afrmava que os quadrados mágicos eram preservativos de certas moléstias. Um quadrado mágico de prata preso ao pescoço evitava segundo a crença de certas tribos o contágio da peste.
2 4
Se a tradição or verdadeira vale a pena completar o quadrado mágico proposto. Lembre-se que ao somar os valores das linhas colunas e diagonais você deve obter o mesmo valor.
40
Tópicos de Matemática Elementar I
Síntese Ao fnalizar esta unidade você já pode dizer que conhece os números que são amplamente discutidos na Matemática e muitas vezes erroneamente utilizados em nosso dia-a-dia. Perceba que os conceitos relacionados aos números as rações e as operações são importantes para que você avance e amplie seus estudos na Matemática. Você ainda vai ouvir muito sobre os números nesse curso. Os conceitos vão sendo aproundados mas isto só será possível se você sanar todas as suas dúvidas desde já. Então aproveite! Vá até o AVA analise as idéias apresentadas nos dierentes ícones e desenvolva todas as atividades propostas. Não esqueça de sanar suas dúvidas com o seu proessor tutor. Nas próximas unidades você irá estudar as unções. Ate lá!
Unidade 1
41
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação ) Eetue as operações indicadas: 2 (a) + 3 6
(c) ÷
(e)
42
3 4
– 3 4
(b)
2 – 9 7
(d)
9 –
()
3 × 4 3
4
Tópicos de Matemática Elementar I
(g)
7 ×3 + 2 3
(h)
3 ÷ 4 3
(j)
3
7 (i)
6 7
2) O salário do uncionário de uma empresa é igual a R$2. No mês de suas érias ele recebe o seu salário mais reerente às érias. Quanto 3 ele receberá?
Unidade 1
43
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Mario trabalhou 7 meses numa empresa com salário de R$ 6. Por isso recebeu a quantia igual a de 7 de um salário correspondente 2 à parte do 3º salário. De quanto oi a quantia recebida?
4) Se
2
correspondem a 8 a quanto corresponde um inteiro?
) O tanque do carro está seco. Se pusermos 4 litros num carro que roda em média 74 km/l conseguiremos chegar a um hotel que fca a 98 quilômetros de distância?
44
Tópicos de Matemática Elementar I
6) Numa receita de bolo usa-se litros de leite sendo que 2 dessa quantidade vai no recheio. Que ração do litro é usada no recheio?
7) Uma mãe deu dinheiro aos três flhos dizendo que era um terço para cada um. O primeiro flho gastou só um terço da sua parte. Que ração do total ele gastou?
8) Um clube tem 6 associados 8 dos quais com menos de anos de idade. Esses jovens correspondem a que ração do quadro de associados?
Unidade 1
45
Universidade do Sul de Santa Catarina
9) Em uma aplicação fnanceira tem-se rendimento igual a % ao mês sendo descontada uma taxa anual fxa relativa à administração igual a % do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$6 e aplica este dinheiro durante um ano e meio qual será o seu saldo fnal?
) Numa pesquisa de intenção de voto realizada com pessoas de uma cidade obteve-se os seguintes resultados Número de pessoas apresentados na tabela ao lado: Candidato A 32 Calcule os valores percentuais Candidato B x da pesquisa realizada. Indecisos 74
) Um incêndio destruiu 3% da área verde de uma oresta. Se 2% desta oresta é ormada por rios e riachos e o restante somente por área verde qual o percentual da oresta atingida pelo ogo?
46
Tópicos de Matemática Elementar I
2) Resolva as seguintes equações: 3x + (a) = −x
(c)
2x + = x −4 2
(e) (x − 3) x + = 2
(b) 3x + 3 = –2
(d) x2 + 2x – 3 =
() (2x – )(4 – x) =
Unidade 1
47
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais Uma sugestão para descontrair e para que você perceba que a Matemática não está presente apenas nos livros é a leitura do livro Mar Sem Fim de Amyr Klink (veja a seguir a reerência completa). Além de navegar junto com o autor você poderá expandir seus conhecimentos e observará a Matemática presente em cada página nos maravilhosos relatos do autor sobre sua aventura ao redor da Antártica! KLINK Amyr. Mar sem fm: 36o ao redor da Antártica. São Paulo: Companhia das Letras 2.
48
UNIDADE 2
Funções
Objetivos de aprendizagem
Identifcar unções presentes no cotidiano e que modelam situações problemas. Analisar representações grafas dos dierentes tipos de unções. Analisar características e propriedades das unções;
Seções de estudo
Seção – Introdução Seção 2 – Tipos de unções Seção 3 – Propriedades e características Seção 4 – Função inversa
2
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa Você vai ouvir muito a palavra unção no decorrer do seu curso e terá sempre a oportunidade de constatar a importância desse objeto matemático para a sua ormação como uturo proessor de matemática e também para a sua ormação como cidadão que necessita lidar com dierentes situações problemas. A Matemática está presente nos currículos escolares em uma boa parte da ormação escolar de um cidadão exatamente pelo ato de que estamos diante de um “combustível” que az a sociedade uncionar. Vamos conhecer um pouco mais de perto a maravilhosa ormalidade de objetos matemáticos!
50
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO
Introdução Você já parou para pensar onde aparecem as unções discutidas na matemática em sua vida? Mas antes disso, você sabe realmente o que é uma unção?
Você pode pensar intuitivamente que uma unção é uma relação entre variáveis. Assim por exemplo podemos dizer que a temperatura depende da umidade relativa do ar da localização que está sendo considerada da altitude da presença de um ar condicionado entre outras coisas. É possível dizer de orma simplifcada que a temperatura é uma unção destas variáveis elencadas ou seja Temperatura = (umidade relativa do ar localização altitude ar condicionado) Esta pode ser uma unção que envolve várias variáveis.
Para entender as unções de várias variáveis, é importante que você conheça, num primeiro momento, algumas unções mais simples, chamadas de unções de uma variável. São também relações que envolvem apenas duas variáveis: uma dita dependente e outra dita independente.
Existem inúmeras situações que envolvem estas unções de uma variável por exemplo:
o espaço percorrido por um automóvel depende do tempo; a área de uma sala quadrada depende da medida do seu lado; o custo de abricação de um produto depende do número de unidades produzidas.
Unidade 2
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Nos exemplos colocados é possível identifcar as variáveis dependentes e independentes:
Variáveis dependentes: espaço percorrido área da sala custo de abricação do produto; Variáveis independentes: tempo medida do lado da sala número de unidades produzidas.
Para modelar essas situações são utilizadas unções do tipo y = f (x) sendo x a variável independente e y a variável dependente. Para defnir uma unção é necessária a existência de dois conjuntos e uma relação específca entre eles. A Figura 2. mostra diagramas que representam os dois conjuntos e a relação em três dierentes situações. Observe que:
todos os elementos do conjunto A têm um único correspondente no conjunto B; no conjunto D você pode ter elementos que são correspondentes de mais de um elemento no conjunto C; no conjunto F você pode ter elementos que não são utilizados na relação entre os dois conjuntos.
(a)
(b)
(c) C
Apresenta uma unção de A em B: a cada elemento do con junto A corresponde um único elemento do conjunto B.
Apresenta uma unção de C em D. Pode-se dizer que 2 é imagem de e 4 é imagem de e 2 ou f () = 2 f () = f (2) = 4
Figura 2.1 Diagramas com unções.
52
D
E
F
Apresenta uma unção de E em F. O conjunto F tem um elemento que não é imagem da unção.
Tópicos de Matemática Elementar I
Defnição de unção Formalmente podemos defnir unção da seguinte orma:
Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos números reais. Uma unção f : A → B é uma lei ou regra que a cada elemento de A az corresponder um único elemento de B.
Linguagem Simbólica: f : A→ B x f (x)
A f →B
ou
x y = f (x )
Podemos dizer que uma unção defnida no conjunto dos reais é uma relação específca pois estamos diante de um subconjunto do produto cartesiano R × R. Assim a representação gráfca de uma unção y = f (x) é o conjunto dos pares ordenados (x f (x)) e para cada valor de x existe um único correspondente y. É usual identifcar:
Domínio de uma unção: conjunto em que a unção é defnida (conjunto A). Contra-domínio de uma unção: conjunto em que a unção toma valores (conjunto B). Conjunto Imagem de uma unção ou simplesmente Imagem da unção: conjunto dos valores f (x).
Pare! Observe! Na linguagem mais coloquial é usual confundir as notações f com f (x): f é a função f : A → B, enquanto que f (x) é o valor que a função assume em x. Costuma-se falar que f ( x ) é a imagem de x.
Unidade 2
53
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Olhando o passado! Euler oi um escritor prolífco da história da matemática. Sua produtividade surpreendente não oi prejudicada quando fcou cego. ublicou 530 trabalhos durante sua vida e muitos manuscritos publicados após a sua morte. É muito grande a sua contribuição para a matemática. Destaca-se aqui, a sua autoria por notações matemáticas que permanecem imutáveis através dos séculos. or exemplo, a notação de unções y = f (x).
Acompanhe os exemplos a seguir:
Exemplos ) Considere as unções apresentadas na Figura 2.. Determine o domínio D(f ) o contra-domínio CD(f ) e o conjunto imagem Im(f ). (a)
(b)
(c)
f : A → B
f : C → D
f : E → F
D( f ) = {2} CD( f ) = {24} Im( f ) = {24}
D( f ) = {2} CD( f ) = {24} Im( f ) = {24}
D( f ) = {2} CD( f ) = {247} Im( f ) = {24}
Em geral os conjuntos A e B são subconjuntos do conjunto dos números reais. Neste caso as unções são ditas reais com variáveis reais e a representação usual é a representação algébrica da lei de ormação que defne a relação entre os conjuntos. 2) Para cada uma das unções identifcadas a partir de sua representação algébrica calcule a imagem nos pontos –3 e 2 : (a) f (x) = x – Para calcular a imagem nos pontos indicados é necessário azer x = x = –3 e x = 2 . Assim temos:
f () = – = f (–3) = –3 – = –4 54
2 2
f = − =
− 2 − = 2 2
Tópicos de Matemática Elementar I
(b) g (t ) = –t 2
Neste caso vamos azer t = t = –3 e t = 2 . Assim temos:
g () = –2 = – g (–3) = –(–3)2 = –9 2
2
2
Pare! Observe!
4
g = − = − .
Veja a diferença entre a imagem e o conjunto imagem de uma função: o conjunto imagem são todos os pontos que a função pode assumir, ou seja, todos os valores que a variável y assume. A imagem de uma função é calculada para cada ponto identificado. Assim, é possível calcular f (1), f (–3) ou f (½) que serão, respectivamente, a imagem da função no ponto 1, –3 ou ½ .
SEÇÃO 2
Tipos de unções Para fns didáticos é interessante que as unções sejam classifcadas de acordo com algumas características. Nesta disciplina você terá a oportunidade de aproundar o estudo das unções polinomiais do primeiro e segundo graus (unidades 3 e 4) das unções racionais e polinomiais com grau maior do que 2 (unidade ) das unções exponenciais e logarítmicas (unidade 6) e por fm das unções trigonométricas (unidade 7). Neste momento você terá apenas uma panorâmica geral destes tipos de unções para que possa estudá-las separadamente nas demais unidades. Verefque nas Figuras 2.2 até 2.8 exemplos gráfcos de dierentes tipos de unções. f(x)
f(x)
3
3
2 2 1 1
x -3
-2
-1
1 -1
2
x
3 -3
-2
-1
1
2
3
-1 -2
-2
-3
Figura 2.2 Função polinomial do primeiro grau y = x +
Figura 2.3 Função polinomial do segundo grau y = x2 +
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
f(x)
f(x) 3
3
2 2 1 1
x x -3
-2
-1
1
2
-3
-2
-1
3
1
2
3
-1
-1 -2
-2
-3
Figura 2.5 Função racional y =
Figura 2.4 Função polinomial do terceiro grau y = x 3 + f(x)
x +
f(x)
3
3
2
2
1
1
x -2
-1
1
2
3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Figura 2.6 Função exponencial y = 2x
1
x -
-1
Figura 2.8 Função trigonométrica y = sen x
2
Figura 2.7 Função logarítmica y = log x
f(x)
56
x 3
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o uturo! Existem vários sowares matemáticos que auxiliam no tratamento de gráfcos de unções. Os gráfcos apresentados neste material oram eitos no soware GRAPH ., que está disponível para download em http://www.padowan.dk/ graph/. Mas você pode utilizar qualquer outro soware para azer gráfcos de unções. Experimente procurar na nternet. Lá encontrará várias versões demo prontas para download . ale a pena tentar! Experimente!
Olhando o presente! Os problemas estão ao nosso redor mostrando exemplos de unções. Confra! P1 A equação de demanda de um produto é p 2 + 2 p + 2x – 24 = 0, sendo p o preço de uma unidade da mercadoria e x o número de unidades da mercadoria. Se o produto osse de graça, qual seria a demanda? Para resolver este problema é importante entender o que é a equação de demanda. Num primeiro momento perceba que estamos trabalhando com duas variáveis:
p o preço de uma unidade da mercadoria; x a quantidade de mercadoria demandada.
Usando métodos estatísticos e dados econômicos você pode montar uma equação de demanda que pode representar unções do tipo p = f (x) (unção preço) ou x = g ( y) (unção de demanda). Em situações econômicas normais o domínio dessas unções é um subconjunto dos números reais não negativos. Ao azer o gráfco dessas unções é usual na área de Economia representar a variável p no eixo horizontal e a unção fca defnida em intervalos convenientes. Podemos considerar também a equação de oerta envolvendo as variáveis:
p o preço de uma unidade da mercadoria; x a quantidade de mercadoria a ser oertada por um produtor.
Unidade 2
57
Universidade do Sul de Santa Catarina
Numa situação econômica normal a curva de oerta é crescente. Quando o preço da mercadoria aumenta, o produtor aumenta a oerta para tirar vantagem dos preços altos. A curva da demanda é decrescente, pois quando o preço aumenta a procura do produto diminui.
O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada a um dado preço é igual à quantidade de mercadoria oertada àquele preço. Em outras palavras o equilíbrio de mercado ocorre quando tudo que é oerecido para a venda de um determinado preço é comprado. No decorrer deste texto vamos voltar a discutir sobre esse tipo de problema que pode ser modelado por unções polinomiais. A partir destas considerações podemos defnir a demanda para a situação apresentada em P caso o produto osse de graça. A representação gráfca da unção defnida a partir da equação de demanda p2 + 2 p + 2x – 24 = poderá auxiliar neste momento. Podemos determinar a unção de demanda dada por x = f ( p) e para isto vamos isolar a variável x na equação de demanda do produto: p2 + 2 p+ 2 x− 24 =
2x = − p 2 − 2 p + 24 x= x=
58
− p 2 − 2 p + 24 2
− 2
p 2 − p + 2
Tópicos de Matemática Elementar I
Usando um sotware matemático podemos azer o gráfco da unção − 2 x= p − p + 2 conorme mostra a Figura 2.9: 2
Pare! Observe! No contexto econômico costuma-se representar a função inversa para que se tenha o preço no eixo vertical.
x 12
10
8
6
4
2
p 0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Figura 2.9 Curva de demanda do produto.
Olhando para o gráfco da Figura 2.9 é possível determinar que se o produto osse de graça ou seja a variável p = o valor da variável x seria igual a 2 ou seja a demanda seria de 2 unidades do produto analisado. É possível encontrar este valor de orma algébrica azendo p = na unção encontrada: x=
−
p 2 − p + 2
2 − x = 2 − + 2 2 x = 2.
SEÇÃO 3
Propriedades e características Quando você or trabalhar com unções é importante que reconheça as diversas linguagens utilizadas em sua representação. Em especial nas representações gráfcas onde é possível visualizar propriedades e características das unções sem a necessidade de desenvolvimentos algébricos mais elaborados. Unidade 2
59
Universidade do Sul de Santa Catarina
Veja a seguir a ormalização das principais propriedades e características das unções que serão estudadas de orma específca para cada tipo de unção nas próximas unidades.
Representação algébrica: É a lei de ormação da unção. Usualmente utiliza-se a notação y = f (x) Representação gráfca: É o gráfco da unção no sistema cartesiano de coordenadas. Domínio: São os valores que a variável independente pode assumir. Na representação gráfca é possível identifcá-lo a partir da análise do eixo x . Conjunto imagem: São os valores que a variável y assume. Na representação gráfca é possível identifcá-lo a partir da análise do eixo y. Zero ou raiz: Quando igualamos a lei de ormação a zero ( y = 0) haverá um valor correspondente de x. Assim o(s) valor(es) de x tais que f (x) = será(ão) o(s) zero(s) da unção. Grafcamente é o ponto em que o gráfco corta o eixo x. Sinal de uma unção: O sinal de uma unção é dado pelo sinal da imagem da unção. Quando os valores de y assumem sinal positivo dizemos que f (x) > ou seja a unção assume sinal positivo. Quando os valores de y assumem sinal negativo dizemos que f (x) < ou seja a unção assume sinal negativo. Grafcamente a unção é positiva acima do eixo x e é negativa abaixo deste eixo. Crescimento ou decrescimento: Uma unção é crescente se para dois valores quaisquer x e x2 com x < x2 tivermos f (x) < f (x2). Uma unção é decrescente se para dois valores quaisquer x e x2 com x < x2 tivermos f (x) > f (x2).
Olhando o presente! Veja o seguinte problema. P2 Numa indústria, verifcou-se que quando o preço de uma peça era igual a R$5,00, os clientes encomendavam 50 unidades por dia. Quando o preço passou a ser R$4,50, as encomendas passaram para 60 unidades por dia. Como podemos representar a unção de demanda desta peça? 60
Tópicos de Matemática Elementar I
Para resolver este problema vamos inicialmente azer o gráfco da unção p = f (x) sendo p o preço e x a quantidade demandada. Com os dados do problema podemos dizer que esta unção passará pelos pontos () e (6;4) conorme mostra o gráfco da Figura 2..
p 8 7 6 5 4 3 2 1
x 20
40
60
80
100
120
140
-1
Figura 2.10 Representação gráfca da unção de demanda da peça.
Para esta unção vamos analisar suas propriedades e características:
Representação algébrica: A lei de ormação desta unção é dada por y = –x + 7. Representação gráfca: Veja a Figura 2.. Domínio: A variável x assume valores que vão de até . Portanto temos: D( f ) = []. Observe que na prática x é um número inteiro mas na área econômica esse ormalismo é relaxado. Conjunto imagem: Analisando o eixo y do gráfco podemos perceber que a variável y assume valores que vão de até 7. Portanto temos: Im( f ) = y ∈ [;7] Zero ou raiz: O zero da unção é o ponto cujo gráfco corta o eixo x. Nesta unção isto acontece quando x = . Sinal de uma unção: Esta unção é toda positiva pois o seu gráfco está todo acima do eixo x. Crescimento ou decrescimento: É uma unção decrescente pois a medida em que os valores de x aumentam os valores de y diminuem. Dos dados do problema podemos mostrar que se x = e x2 = 6 com x < x2 teremos: f (x) = f (x2) = 4 e f (x) > f (x2). Unidade 2
61
Universidade do Sul de Santa Catarina
Olhando o uturo! Estamos de orma sistemática incentivando o uso de sowares. eja, no exemplo desenvolvido, que a expressão que defne a lei de ormação oi ornecida pelo soware raph. Colocamos os pontos dados usando a erramenta Function e Insert point series. ara azer o traçado do gráfco usamos um ajuste de curva com a erramenta Function e Insert trendline escolhendo a opção linear . Se você ainda não dispõe de um soware não perca tempo, pesquise o mais rápido possível um que seja livre na nternet, pois ele vai ser seu ajudante no decorrer desta disciplina.
SEÇÃO 4
Função inversa Ao defnirmos uma unção y = f (x) na orma f : A → B ressaltamos que se trata de uma lei ou regra que a cada elemento de A se az corresponder um único elemento de B. Em algumas unções para cada y ∈ B existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x). Nestes casos defne-se uma unção g : B → A na orma x = g ( y) . A unção g é dita inversa de f e é denotada por f –. Nem todas as unções possuem inversa. As unções do segundo grau por exemplo não possuem inversa a não ser que seja eita uma restrição conveniente no seu domínio e contra-domínio. Acompanhe os exemplos a seguir:
Exemplos ) Determinar a unção inversa de f (x) = 2x – . Para determinar a representação algébrica da unção inversa de f (x) troca-se o x pelo y na unção dada. Assim tem-se:
x = 2 y – .
62
Tópicos de Matemática Elementar I
Isolando a variável y determina-se a unção inversa: x + = 2 y y =
x +
2
Portanto f − =
x +
2
.
2) Verifcar a existência da unção inversa de y = x2 – 4x + 3. Faça sua representação gráfca caso exista. Veja na Figura 2. a representação gráfca da unção y = x2 – 4x + 3:
f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Figura 2.11 Gráfco da unção y = x2 – 4x + 3
Na unção do segundo grau é necessário realizar uma restrição no domínio pois para cada y ∈ B existem mais de um x ∈ A correspondente. Veja no gráfco que quando y = 3 ⇒ x = ou x = 4. Portanto a unção inversa só poderá ser identifcada caso haja uma restrição no domínio da unção. Suponha que a unção passe a ser defnida como f : [2+∞) → R. Veja na Figura 2.2 o gráfco da unção:
Unidade 2
63
Universidade do Sul de Santa Catarina
f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Figura 2.12 Gráfco da unção y = x2 – 4x + 3 defnida de [2+∞) → R
Grafcamente observa-se uma simétria em relação à reta y = x. Veja a representação gráfca das duas unções na Figura 2.3.
f(x) 7 6 5 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1 -2 -
Figura 2.13 Função f : [2+∞) → R y = x2 – 4x + 3 e sua inversa.
64
Tópicos de Matemática Elementar I
Parada recreativa Malba Tahan oi um escritor amoso por suas atividades recreativas envolvendo a matemática. Veja se você consegue resolver a seguinte situação apresentada para “o calculista”. Como pagamento de pequeno lote de carneiros três criadores de damasco receberam 2 vasos de vinho:
7 cheios; 7 meio-cheios; 7 vazios.
Como dividir em partes iguais de orma que cada um deles recebera o mesmo número de vasos e a mesma quantidade de vinho sem abrir os vasos?
Síntese Ao fnalizar esta unidade é importante que você perceba que está com uma erramenta matemática poderosa e muito útil na modelagem de problemas práticos. O detalhamento dos itens que oram aqui mostrados será apresentado no decorrer das próximas unidades. Mas não siga adiante sem antes sanar todas as suas dúvidas. Não esqueça de analisar os conceitos destacados no AVA e as leituras indicadas na midiateca. Procure seu proessor tutor para ajudá-lo na resolução das atividades apresentadas no AVA caso você encontre difculdades. A próxima unidade tratará das unções do primeiro grau. Até mais!
Unidade 2
65
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Atividades de auto-avaliação
) Calcule f () e ( 2 ) para as unções representadas algebricamente por: x + (a) f (x) = x2 – x + (b) f (x) = x −
2) A unção que expressa o custo total em reais de abricação de um produto é dada por C (q ) = q 3 – q 2 + q + sendo q o número de unidades do produto. (a) Calcule o custo de abricação de cinco unidades. (b) Qual o custo de abricação da quinta unidade?
66
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Sejam as unções representadas grafcamente nas fguras 2.4 e 2.:
f(x)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
Figura 2.14 Gráfco de f (x).
g(x)
10
5
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 2.15 Gráfco de g (x).
Unidade 2
67
Universidade do Sul de Santa Catarina
Complete a tabela com as características e propriedades das unções f (x) e g (x).
(x)
g(x)
Domínio
Conjunto imagem
Zero ou raiz
Sinal da unção
Intervalo de crescimento Intervalo de decrescimento
4) Determine a representação algébrica da unção inversa de: (a) f (x) =
68
x
2
+3
(b) y = 4 – x
Tópicos de Matemática Elementar I
Saiba mais Em todas as áreas do conhecimento as unções são usadas para modelar enômenos ísicos e naturais. A leitura de gráfco é requerida em quase todas as áreas. Para saber mais sobre a aplicação das unções na área biológica visite o site http://www.virtual.epm.br/material/tis/curr-bio/ trab23/g/ que apresenta vários gráfcos que são lidos e interpretados por médicos no contexto da cardiologia.
Unidade 2
69
UNIDADE 3
Função do primeiro grau
Objetivos de aprendizagem
Identifcar uma unção do primeiro grau por meio de sua orma algébrica. Conhecer e analisar as propriedades e características de uma unção do primeiro grau. Utilizar as unções do primeiro grau.
Plano de estudo
Seção – Defnição Seção 2 – Gráfco da unção do primeiro grau Seção 3 – Propriedades e características Seção 4 – Aplicações
3
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa Você vai perceber no decorrer desta unidade que as unções lineares são muito importantes para a resolução de diversos problemas. Elas são muito usadas por exemplo elas são usadas muito no contexto econômico para modelar unções de demanda e de oerta de um determinado produto. As propriedades e características desse tipo de unções são acilmente identifcadas tanto na sua representação gráfca como na sua representação algébrica. Lembre-se no decorrer do estudo desta unidade que muitos matemáticos dedicaram horas de estudo para ormalizar conceitos que nos dias de hoje apresentamos como simples e de ácil aplicação. Esse ato tem implicações didáticas sobre as quais você vai reetir no decorrer de todo o seu curso.
72
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO
Introdução Você já deve ter escutado o uso de termos como receita custo e lucro quando se ala sobre assuntos relacionados à área econômica.Todos estes termos podem ser analisados através de ormas algébricas que são unções do 1° grau.
Olhando o presente!
Pare! Revise! Lembre-se que receita é tudo que se ganha, custo é aquilo que se paga e o lucro é obtido diminuindo o custo da receita.
Veja os seguintes problemas: P1 Uma oricultura tem como principal produto buquês de rosas que são vendidos a R$25,00 cada buquê. A despesa mensal com aluguel, luz e uncionários é de R$2000,00. O custo para compor cada buquê é de R$15,00. Escreva a unção receita, custo e lucro e calcule quantos buquês devem ser vendidos para que a receita seja igual ao custo, ou seja, para que o lucro seja zero. P2 Suponha que um retângulo tem lados iguais a x e x + 2, qual a unção que nos dá o perímetro deste retângulo? Para resolver estes problemas devemos ter em mãos os conceitos relacionados com as unções de ° grau.
Defnição: Chama-se de unção do primeiro grau a unção que associa cada número real x, o número real a·x + b.
Linguagem Simbólica:
f : R → R f (x) = ax + b sendo a b ∈ R com a ≠ Unidade 3
73
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Os números reais a e b são chamados de coefciente angular e coefciente linear respectivamente. Pare! Observe! Observe que a função do primeiro grau chamada de identidade é única, ou seja, existe apenas um caso onde:
b = 0 e a = 1.
As unções do ° grau podem ser classifcadas de acordo com os valores assumidos por a e b veja a tabela a seguir: Condição dos Coefcientes
Representação Algébrica
Nome da unção
a≠eb≠
f (x) = a⋅x + b
Função Afm
b=
f (x) = a⋅x
Função Linear
b= e a=
f (x) = x
Função Identidade
Exemplos ) Classifcar as seguintes unções quanto ao seu tipo: (a) f (x) = –2x (b) g (x) =
x–9 2
Função Linear Função Afm
(c) y = x
Função Identidade
(d) r (t ) = 4 –7t
Função Afm
2) Escolher um número qualquer multiplicar por dois e somar dez. Escrever esta regra como uma unção do primeiro grau na orma algébrica. Escolher um número: x Multiplicar por dois: 2 ⋅x Somar dez: 2⋅x + Assim temos: f (x) = 2⋅x + . Esta unção associa cada número x ao seu dobro mais .
74
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Escrever a orma algébrica de uma unção f que associa a cada número a sua metade e do resultado subtrai seis. Em seguida calcule f (–2) f () e f (2). x – 6 é a unção pedida. 2 f (–2) = ·(–2) – 6 = – – 6 = –7 2 f () = ·() – 6 = – 6 = –6 2 f (2) = ·(2) – 6 = – 6 = – 2
f (x) =
4) Agora já estamos aptos a resolver nosso problema inicial P1 sobre a venda de buquês em uma oricultura. Vamos considerar x a quantidade de buquês vendidos no mês. Como cada buquê é vendido a R$ 2 temos que a receita total no fm do mês é dada por 2⋅x logo
R(x) = 2⋅x Esta é uma unção do primeiro grau do tipo linear. O custo total da oricultura é a soma do custo variável e do custo fxo. Como gasta-se R$ para a conecção de cada buquê segue que o custo variável é de C V = ⋅x. Já o custo fxo é de C F = 2 logo o custo total é dado por:
C = C V + C F C (x) = ⋅x + 2 Esta é uma unção do primeiro grau do tipo afm. Agora para obter a unção que nos dá o lucro total da oricultura basta subtrair o custo da receita ou seja
L(x) = R(x) – C (x) L(x) = 2⋅x – (⋅x + 2) L(x) = ⋅x – 2 Esta também é uma unção do ° grau do tipo afm. Unidade 3
75
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Pare! Observe! O ponto onde a receita coincide com o custo, ou seja, o ponto onde o lucro é zero, é chamado de ponto de nivelamento. Os economistas usam a palavra: break even point .
Pare! Revise! Você lembra como calcular o perímetro de um retângulo? É muito simples, basta somar todos os lados. Assim de maneira mais formal, definimos que o perímetro de um retângulo é a soma dos seus lados.
Falta agora calcularmos a quantidade vendida para que a receita seja igual ao custo ou seja o lucro seja zero. Se L(x) = então ⋅x – 2 = resolvendo esta equação temos que x = 2. Assim concluímos que se a venda or inerior a 2 unidades então a oricultura ainda está tendo prejuízo e se a venda or maior que 2 unidades os lucros começam a aparecer. No início desta seção tínhamos um outro problema a ser resolvido que era o cálculo do perímetro de um retângulo. Agora já podemos encontrar a unção que nos dá o perímetro de um retângulo que tem dimensões x e x + 2. Assim:
P = x + x + (x + 2) + (x + 2) P = 4⋅x + 4 Usando a notação de unção temos que P (x) = 4⋅x + 4.
SEÇÃO 2
Gráfco da unção do primeiro grau Nesta seção você vai estudar a representação gráfca da unção do primeiro grau.
Olhando o presente! Veja a seguir os novos problemas para você analisar. P3 Suponha que você tenha dois pontos no plano cartesiano, como obter a lei de ormação da unção do primeiro grau? P4 Análise a representação gráfca da unção lucro obtida no problema P1.
76
Tópicos de Matemática Elementar I
Para obter a representação gráfca de uma unção do primeiro grau azemos o uso de uma tabela de valores para em seguida colocar os pontos obtidos no plano cartesiano.
Olhando o passado! Dizem que uma mosca pode ter motivado a notação do sistema cartesiano. O matemático ené Descartes observava uma mosca que caminhava no orro de seu quarto, junto a um dos cantos. Chamou sua atenção o ato de que o caminho da mosca sobre o orro poderia ser descrito se as distâncias até as paredes adjacentes ossem conhecidas.
Exemplos
x
y=x+2
(x ,y)
–2
y = –2 + 2 =
(–2)
Inicialmente constrói-se uma tabela atribuindo valores para x e determinando os valores de y correspondente.
–
y = – + 2 =
(–)
y=+2=2
(2)
Note que cada par ordenado ( x y) corresponde um ponto no plano cartesiano. Assim obtém-se o gráfco mostrado na Figura 3..
y=+2=3
(3)
2
y=2+2=4
(24)
) Representar grafcamente a unção y = x + 2.
f(x) 5 4 3 2
Pare! Observe!
1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3
Note que uma reta pode ser definida por apenas dois pontos. Logo basta determinar dois pontos para a construção do gráfico de uma função do primeiro grau.
Figura 3.1 Gráfco da unção y = x + 2
Unidade 3
77
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Represente grafcamente a unção y = x. O gráfco desta unção é mostrado na Figura 3.2.
x
y=x
(x, y)
y=
()
y=
()
f(x) 5 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3
Figura 3.2 Gráfco da unção y = x
Olhando o uturo! Os gráfcos mostrados nas Figuras 3.1 e 3.2, podem ser gerados por sowares matemáticos. ocê pode utilizar qualquer soware para azer gráfcos de unções. Experimente procurar na nternet que você encontrará várias versões demo prontas para o download . ale a pena tentar! Experimente!
Apesar destes programas nos auxiliarem na construção dos gráfcos é bom saber azer esboços gráfcos sem ajuda tecnológica pois a construção manual possibilita a identifcação de características da unção. Agora que você já sabe como azer o gráfco de uma unção do primeiro grau já podemos retornar aos problemas P3 e P4 do início da seção. O problema P3 requer que defnamos a lei de ormação de uma unção do primeiro grau conhecendo apenas dois pontos. Considere uma reta que passa pelos pontos (–3) e (24). Visualize esta reta na Figura 3.3.
78
Tópicos de Matemática Elementar I
f(x) 5 4 3 2 1
x -10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-1 -2 -3
Figura 3.3 Gráfco da reta que passa pelos pontos (-3) e (24)
A lei de ormação é dada por f (x) = a⋅x + b. Temos que:
A imagem de – é 3 logo f (–) = a⋅(–) + b = 3 A imagem de 2 é 4 logo f (2) = a⋅(2) + b = 4
Agrupando estas equações temos o seguinte sistema:
−a + b = 3 2 ⋅ a + b = 4 Resolvendo este sistema tem-se que a =
3
e b = . 3
Logo a lei de ormação da unção é dada por:
f (x) = 3 ·x + 3 . Voltamos a resolução do problema P4 para analisar a representação gráfca da unção lucro obtida no problema P1. Lembre-se que de acordo com o problema P1 temos que:
L(x) = ⋅x – 2. Note inicialmente que para azer o gráfco desta unção devemos ter x ≥ pois x representa quantidade logo o gráfco de L está todo a direita do eixo y. Veja o gráfco na Figura 3.4.
Unidade 3
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L(x) 2500 2000 1500 1000 500
x 50
100
150
200
250
300
-500 -1000 -1500 -2000 -2500
Figura 3.4 Gráfco da unção L(x) = ⋅x – 2
O coefciente linear é igual b = –2 isto é o gráfco de L toca o eixo y no ponto (–2). Neste ponto nada oi vendido. O ponto (2) é onde a reta corta o eixo x. Assim x = 2 é o ponto tal que a receita é igual ao custo. Quando x < 2 temos prejuízo o gráfco está abaixo do eixo x. Quando x > 2 obtemos lucro eetivo o gráfco está acima do eixo x.
SEÇÃO 3
Propriedades e características A orma algébrica de uma unção do primeiro grau nos leva a uma série de conclusões sobre a unção mesmo sem termos a sua representação geométrica. Algumas características que serão analisadas considerando apenas sua representação algébrica são: o domínio a imagem o zero da unção o crescimento e o decrescimento e o sinal da unção. Para a análise completa vejamos a comparação entre duas unções do primeiro grau representadas nas Figuras 3. e 3.6.
80
Tópicos de Matemática Elementar I
f(x)
f(x)
5
5
4
4
3
3
2
2 1
1
x
x -3
-2
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Figura 3.5 Gráfco de f (x) = 2x + 4
O que vamos observar?
2
Figura 3.6 Gráfco de f (x) = –2x + 4
f (x) = 2x + 4
Representação Gráfca
f (x) = –2x + 4 é uma reta
Domínio
Conjunto dos números reais
Imagem
Conjunto dos números reais
Zero ou raiz: Ponto onde o gráfco corta o eixo dos x isto é f (x) = Crescimento e decrescimento: A análise é eita através do sinal do coefciente angular. Se a > a unção é crescente e se a < a unção é decrescente. Sinal da unção: Análise da imagem da unção. Como f (x) = a⋅x + b segue que f (x) > quando a⋅x + b > ou x > – b e a b f (x) < se x < – . a
3
2x + 4 = ⇒ x = –2
–2x + 4 = ⇒ x = 2
Como a = 2 > segue que a unção é crescente.
Como a = –2 < segue que a unção é decrescente.
f (x) = 2⋅x + 4 > se x > –2
f (x) = –2⋅x + 4 > se x<2
e f (x) = 2⋅x + 4 < se x < –2.
e
f (x) = –2⋅x + 4 < se x > 2.
Note que todas estas características podem ser visualizadas diretamente com a análise gráfca.
Exemplos ) Considere a unção lucro do problema P1. Analise suas propriedades e características.
Unidade 3
81
Universidade do Sul de Santa Catarina
Temos que L(x) = ⋅x – 2 (Veja o gráfco na Figura 3.4). Note pelo gráfco que:
O domínio é dado por: D( L) = [+∞) isto é x ≥ . A imagem é dada por Im(L) = [–2 +∞) isto é y ≥ –2. O zero desta unção é quando L(x) = neste caso x = 2. Esta unção é crescente pois a = > A unção é positiva quando x > 2 e negativa quando x < 2.
2) Seja f (x) = –3x + 9. Determine: (a) (b) (c) (d)
O gráfco de f (x). O ponto em que a reta cruza o eixo x. O ponto em que a reta cruza o eixo y. A unção é crescente ou decrescente?
(a) A Figura 3.7 apresenta a visualização gráfca de f (x) = –3x + 9.
11
f(x)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3
-2
-1
-1
x 1
2
3
-2 -3
Figura 3.7 Gráfco da unção f (x) = –3x + 9
(b) O ponto em que a reta cruza o eixo x é o ponto onde y = logo: –3⋅x + 9 = ⇒ –3⋅x = –9 ⇒ x = 3 Assim a reta corta o eixo x no ponto (3).
82
Tópicos de Matemática Elementar I
(c) O ponto em que a reta cruza o eixo y é o ponto onde x = logo:
y = –3⋅ + 9 ⇒ y = 9 Assim a reta corta o eixo y no ponto (9). Note que o valor 9 é perceptível na orma algébrica da unção (coefciente linear). (d) A unção é decrescente pois a = –3 < .
SEÇÃO 4
Outras aplicações Já notamos que algumas variáveis econômicas podem ser modeladas através de unções de primeiro grau. Entre elas a receita o custo e o lucro.
Olhando o presente! Veja a aplicação de demanda e oerta no mercado. P5 A quantidade demandada de um bem é dada por q d = 8 – 4 p e a quantidade oertada é dada por q o = –2 + 6 p. Qual é o preço ótimo em reais a ser cobrado para este bem, para que toda a oerta seja demandada, ou seja, a quantidade submetida ao mercado seja consumida? O problema P az a menção de duas novas variáveis: Quantidade Demandada e Quantidade Oertada. Veja a defnição de ambas:
Função Demanda A quantidade demandada de um determinado bem ( q d ) depende do preço deste bem. É a quantidade que o consumidor está disposto a consumir. Muitas destas relações são representadas por unções do primeiro grau. O coefciente angular desta unção é negativo ou seja a unção é decrescente; isto é a medida que o preço aumenta a quantidade procurada diminui e a medida que o preço diminui a quantidade procurada aumenta.
Unidade 3
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Os gráfcos destas unções estão no primeiro quadrante já que as variáveis envolvidas preço e quantidade são sempre maiores ou iguais a zero.
Função Oerta A quantidade oertada de um determinado bem ( q o ) depende do preço deste bem. É a quantidade que o comerciante deveria submeter ao mercado. Muitas destas relações são representadas por unções do primeiro grau. O coefciente angular desta unção é positivo ou seja a unção é crescente isto é a medida que o preço aumenta a quantidade oertada também aumenta e a medida que o preço diminui a quantidade oertada também diminui. Os gráfcos destas unções estão no primeiro quadrante já que as variáveis envolvidas preço e quantidade são sempre maiores ou iguais a zero. Voltando ao problema P5. Note que as unções demanda q d = 8 – 4 p e oerta q o = –2 + 6 p estão de acordo com as defnições acima. Primeiramente veja o gráfco das duas unções traçadas no mesmo sistema de coordenadas na Figuras 3.8.
q 8
q d
=
8 − 4 p
qo
2 + 6p
= −
6
4
2
p 1
2
-2
Figura 3.8 Gráfcos das unções q d = 8 – 4 p e q o = –2 + 6 p
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Tópicos de Matemática Elementar I
Perceba que estas unções se interceptam em um ponto e este ponto é chamado de ponto de equilíbrio ou preço de equilíbrio. Neste ponto tudo que é oertado é vendido seria o preço ótimo do produto no mercado. Esta análise pode ser eita algebricamente também. Como queremos que a quantidade demandada seja igual a quantidade oertada temos:
q d = q o 8 – 4 p = –2 + 6 p p = p = Portanto o preço de equilíbrio é de R$ . Para p = temos q d = q o = 4. Isto quer dizer que se o preço do bem or de real e se orem disponibilizados 4 unidades no mercado todas serão vendidas.
Parada recreativa Antes de apresentar sugestões para a sua auto-avaliação vamos azer um relaxamento. Dois amigos Ted e Mad no tempo de colégio gostavam de charadas e jogos. Nunca se entendiam. Dona Flor mãe de Ted nos contou que um dia eles fcaram várias horas discutindo sobre o tamanho das mesas que apareciam no calendário da sua cozinha. Ted afrmava que ambas as mesas tinham a mesma medida e Mad dizia que não. Afnal! Quem estava com a razão?
Unidade 3
85
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Síntese Nesta unidade você teve contato com as unções do primeiro grau e percebeu que muitas aplicações práticas do dia-a-dia são modeladas com estas unções entre elas as unções de oerta e demanda além das unções receita custo e lucro. Muitas das características destas unções podem ser visualizadas na representação gráfca e neste caso o uso de sotwares ajuda no desenvolvimento gráfco com uma apresentação de qualidade. Não esqueça de dar uma passada pelo AVA para analisar os destaques as celebridades e mais uma aula para a sua coleção didática. Na próxima unidade você vai estudar as unções do segundo grau e perceber que alguma situação prática já discutida nesta unidade pode ser retomada e novos modelos serão apresentados. Até mais!
86
Tópicos de Matemática Elementar I
Atividades de auto-avaliação ) Identifque as seguintes unções quanto ao seu tipo: (a) f (x) = –3x (b) h (t ) = – 4t (c) s (t ) = t (d) g (x) = 2x + 2) Encontre a lei de ormação para a unção que associa a cada número x qualquer um valor x adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por .
3) Na abricação de um determinado bem verifcou-se que o custo total oi obtido a partir de uma taxa fxa de R$ . adicionada de um custo de produção de R$ por unidade. Determine a unção custo total em relação a quantidade produzida e o custo de abricação de unidades.
Unidade 3
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4) Um locadora de carros cobra R$ o aluguel de um carro mais R$ 2 por quilometro rodado. Determine. (a) O preço a ser pago para rodar km. (b) O preço a ser pago para rodar 3 km. (c) Qual a unção que modela esta situação?
) Seja s (t) = –4 + 8t determine: (a) (b) (c) (d)
88
O gráfco de s(t ). O domínio e a imagem de s(t ). Se a unção s(t ) é crescente ou decrescente. O sinal da unção s(t ).
Tópicos de Matemática Elementar I
6) Uma pequena ábrica de móveis tem como seu principal produto a abricação de banquetas. Cada banqueta é vendida ao preço de R$ 2. A ábrica tem um custo fxo mensal de R$ . em aluguel e máquinas conta de luz compra de material e pagamento de uncionários. A mesma gasta R$ para abricar cada banqueta. Determine: (a) A unção Receita Total e Custo Total. (b) A unção Lucro Total. (c) Qual o ponto de nivelamento. (d) Se a venda mensal or de banquetas. A ábrica obterá lucro ou prejuízo? (e) Qual a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R$ .? () Qual o lucro para a venda de 76 banquetas mensais?
7) A quantidade demandada de um bem é de q d = – p e a quantidade oertada é de q o = – + 2 p. Discuta o preço de equilíbrio algebricamente e geometricamente.
Unidade 3
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Saiba mais Caso você queira ampliar e aproundar detalhes das unções do primeiro grau recomendamos a leitura do livro FLEMMING D. M. ; LUZ E. F. Representações gráfcas. São José: Saint Germain 23. Neste texto você vai encontrar outras aplicações contextualizadas através da leitura gráfca. Bom trabalho!
90
UNIDADE 4
Função do segundo grau
Objetivos de aprendizagem
Identifcar uma unção do segundo grau por meio de sua orma algébrica. Conhecer esboçar e analisar o gráfco de uma unção do segundo grau. Aplicar as unções do segundo grau em situações reais.
Seções de estudo
Seção – Introdução Seção 2 – Gráfco da unção de segundo grau Seção 3 – Propriedades e características
4
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Para início de conversa Ao estudar as unções do segundo grau você terá a oportunidade de visualizar a importância dos recursos tecnológicos no contexto do processo ensino-aprendizagem da Matemática. Para auxiliar na construção de gráfcos e na modelagem de problemas os recursos computacionais são usados para acilitar o “trabalho braçal”. É importante que você sempre tenha em mente de que a tecnologia está presente no nosso dia-a-dia não para resolver os problemas mas para auxiliar no desenvolvimento de ações mecânicas por exemplo cálculos e construções gráfcas. Tenha a certeza de que vamos azer bons trabalhos com recursos tecnológicos.
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Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO
Introdução Para alar das unções do segundo grau tente azer o exercício de olhar ao seu redor à procura de parábolas. Precisa de uma dica? Procure uma antena parabólica e perceba que esse objeto muito comum no nosso diaa-dia tem a orma de uma parábola. Todas as parábolas são modeladas com unções do segundo grau. Outros enômenos utilizam as unções ditas quadráticas para ormalizar a modelagem. Por exemplo:
Modelos econômicos; Objetos em queda livre; Balística; Os aróis de um carro.
Olhando o presente! Veja os seguintes problemas: P1 Uma revendedora de doces percebeu que a equação de demanda de seu principal produto (barras de chocolate) é dada por x = 20 – p, e a unção custo é dada por C (x) = 2x + 17. Obtenha a unção lucro e a partir da análise gráfca da unção, determine o número de barras de chocolate a serem vendidas pela revendedora, afm de que a mesma possa obter lucro máximo. P2 Uma pedra é atirada para cima com uma velocidade de 40m/s, a sua altura depois de t segundos é dada por h = 40t – 16t 2. Analise as características da unção. Para resolver estes problemas devemos discutir as unções do segundo grau. Unidade 4
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Defnição: Chama-se de unção do segundo grau a unção que associa cada número real x, o número real ax2 + bx + c , com a, b, c pertencentes aos reais e a ≠ 0.
Linguagem Simbólica:
f : R → R f (x) = ax2 + bx + c sendo a b e c ∈ R com a ≠ .
Exemplos Pare! Observe! Perceba que em algumas funções os valores de b e c são iguais a zero. O que não pode ocorrer é a = 0, pois assim não caracterizaria uma função do segundo grau.
) São exemplos de unções do segundo grau: (a) f (x) = x2 + 2x + (b) s(t ) = 9t 2 (c) h(x) = x – 2x2 2) Escreva a orma algébrica da unção f que associa a cada número o seu quadrado multiplicado por 2 e ao resultado subtraí-se 8. Encontre também f (–) f () e f (). A unção pedida é f (x) = 2x2 – 8.
f (–) = 2⋅(–)2 – 8 = 2 – 8 = –6 f () = 2⋅()2 – 8 = – 8 = –8 f () = 2⋅()2 – 8 = 2 – 8 = –6 3) Resolver o problema P1. O problema solicita que encontremos a unção lucro mas para isso necessitamos primeiramente encontrar a unção receita já que a unção lucro é dada por:
L(x) = R(x) – C (x).
94
Tópicos de Matemática Elementar I
Discutimos na Unidade 3 que R(x) = p·x sendo p o preço do produto que no caso do problema P1 são barras de chocolate. Perceba que nesta situação o preço não é dado explicitamente ele varia de acordo com a quantidade então:
x = 2 – p ou p = 2 – x. Assim a unção receita é dada por: R(x) = p⋅x = (2 – x) ⋅x = 2x – x2. Logo a unção lucro é: L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 2x – x 2 – (2x + 7) L(x) = –x2 + 8x – 7.
Note que a unção lucro pedida é uma unção do segundo grau. A resolução da segunda parte do problema (discussão do lucro máximo) será eita mais adiante depois da apresentação das características, propriedades e representação gráfca da unção do segundo grau.
SEÇÃO 2
Gráfco da unção do segundo grau Nesta seção você vai estudar a representação gráfca das unções do segundo grau. Da mesma maneira como fzemos com as unções do primeiro grau vamos azer uso de uma tabela de valores para obter a representação gráfca de uma unção do segundo grau e você vai perceber que apenas dois pontos não são necessários para obter a representação gráfca deste tipo de unção.
Unidade 4
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplos ) Representar grafcamente a unção y = x2 – x – 2. Vamos construir uma tabela atribuindo valores aleatórios para x e determinando os valores de y correspondentes. Colocando estes pontos no plano cartesiano obtém-se o gráfco da unção y = x2 – x – 2 como mostra a fgura 4..
x
y = x2 – x – 2
(x, y)
–3
y = ( –3)2 + 3 – 2 =
–2
y = ( –2)2 + 2 – 2 = 4
4
–
y = ( –1)2 + – 2 =
y = 2 – – 2 = –2
–2
y = 2 – – 2 = –2
–2
2
y = 22 – 2 – 2 =
3
y = 32 – 3 – 2 = 4
4
f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1 -4
-3
-2
-1
x 1
2
3
4
5
-1 -2 -3
Figura 4.1 Gráfco da unção y = x2 – x – 2
Olhando o uturo! O gráfco mostrado na Figura 4.1 oi obtido usando-se o soware raph, já apresentado nas unidades anteriores. Um soware algébrico, potente no contexto da Matemática, é o Derive cuja versão demo é encontrada em diversos sites na nternet. Basta colocar a palavra chave “Derive” num site de busca para pesquisar um local de acesso para download .
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Tópicos de Matemática Elementar I
2) Podemos agora obter o gráfco da unção lucro do problema P e responder a questão sobre lucro máximo que deixamos em aberto na seção anterior. x L(x) = –x2 + 18x –17 Veja a tabela de valores ao lado: L = –2 + –7 = –7 Na fgura 4.2 temos o gráfco. Observe que as L = –2 + 8 –7 = parábolas têm simetrias e portanto ao azer L = –2 + 9 –7 = –48 um gráfco com lápis e papel é interessante colocar pontos simétricos para que o traçado 9 L = –92 + 62 –7 = –64 fque com mais pereição. A tabela apresentada L = –2 + 8 –7 = –63 neste exemplo apresenta o cálculo de um par 7 L = –72 + 36 –7 = de pontos simétricos: () e (7).
(x, y) –7 48 64 63
f(x) 64
x 1
9
17
-17
Figura 4.2 Gráfco da unção L(x) = –x2 + 8x –7
Note que a partir do gráfco podemos analisar algumas propriedades da unção. Por exemplo:
a concavidade da parábola é voltada para baixo; a unção corta o eixo y no ponto (–7) que é exatamente o valor de c na orma geral de uma unção do segundo grau; a unção corta o eixo x em dois pontos x = e x = 7. Para obtê-los azemos L(x) = obtendo a equação do segundo grau cuja raízes são x = e x = 7. Unidade 4
Pare! Revise! Lembre-se que para resolver uma equação do segundo grau do tipo ax 2 + bx + c = 0, usamos a conhecida fórmula de Baskhara: x=
−b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a
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Note que o maior valor de L(x) ocorre no vértice da parábola que é o ponto (964). Assim a pergunta do problema P já pode ser respondida ou seja o lucro máximo será de R$64 quando orem vendidas 9 barras de chocolate.
Olhando o passado! “O primeiro registro conhecido da resolução de problemas envolvendo o que hoje chamamos de equação do 2º. grau data de 1700 a.C. aproximadamente, eito numa tábula de argila através de palavras. solução era apresentada como uma “receita matemática” e ornecia somente uma raiz positiva. Os mesopotâmicos enunciavam a equação e sua resolução em palavras, mais ou menos do seguinte modo: Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870? (o que hoje se escreve: x2 – x = 870). E a “receita” era: Tome a metade de 1 (coefciente de x) e multiplique por ela mesma, (0,5 x 0,5 = 0,25). Some o resultado a 870 (termo independente). Obtém-se um quadrado (870,25=29,52 ) cujo lado somado à metade de 1 vai dar (30) o lado do quadrado procurado”.1
Todas as inormações observadas grafcamente podem ser obtidas conhecendo-se apenas a orma algébrica da unção de segundo grau. É importante que você esteja atento para usar a linguagem adequada (gráfca ou algébrica) na resolução das dierentes situações problemas.
SEÇÃO 3
Propriedades e características Nesta seção a partir da orma algébrica da unção do segundo grau você vai estudar as seguintes características e propriedades das unções: domínio imagem concavidade vértice raízes crescimento e decrescimento e sinal da unção.
Representação Gráfca: Você percebeu que em todos os nossos exemplos anteriores o gráfco de uma unção do segundo grau é sempre uma parábola. Domínio: O domínio de uma unção do segundo grau é o conjunto dos números reais.
FRAGOSO Wagner da Cunha. Uma abordagem da equação do 2º grau. Revista do Proessor de Matemática. São Paulo n. 43 p.2-2 2º. quadrimestre de 2.
98
Tópicos de Matemática Elementar I
Concavidade: Na seção 2 tivemos a oportunidade de construir o gráfco de duas unções do segundo grau na Figura 4. a concavidade é voltada para cima e na Figura 4.2 a concavidade é voltada para baixo. É possível saber a concavidade apenas analisando a orma algébrica. A parábola tem concavidade voltada para cima se a > e concavidade voltada para baixo se a < .
Exemplos ) Considere as seguintes unções: f (x) = x2 + 2x + 3 e g (x) = –x2 – 2x + 3. Determine o domínio a concavidade e o gráfco das unções. A representação gráfca é mostrada nas Figuras 4.3 e 4.4. f(x)
f(x) 6
8 4 6 2 4
x 2
-4
-2
x -4
-2
2
-2
2
Figura 4.3 Gráfco da unção f (x) = x2 + 2x + 3
Figura 4.4 Gráfco da unção g (x) = –x2 – 2x + 3
O quadro a seguir apresenta um resumo das propriedades solicitadas.
O que vamos observar? Representação gráfca Domínio
Concavidade
f (x) = x2 + 2x + 3
g (x) = –x2 – 2x + 3
É uma parábola. Conjunto dos números reais. Como a = > a parábola tem concavidade voltada para cima.
Unidade 4
Como a = – < a parábola tem concavidade voltada para baixo.
99
Universidade do Sul de Santa Catarina
Continuando com as características das unções do segundo grau temos:
Simetria: A parábola apresenta simetria em relação a reta paralela ao eixo dos y passando pelo vértice. Vértice: O vértice da parábola ocorre no ponto V − b − ∆ . Este 2a 4 a ponto é um ponto de máximo ou mínimo conorme a concavidade esteja voltada para baixo ou para cima respectivamente. O ponto acima pode ser encontrado ormalmente a partir do momento que analisamos a unção f (x) = ax2 + bx + c reescrita como bx c + a a 2 b b2 b2 c = a x + 2 ⋅ ⋅ x + 2 − 2 + 2a 4a 4a a 2 b 4 ac − b 2 = a x + + 4a 2 2a
f ( x) = a x2 +
2 b −∆ = a x + + 2 . 2a 4a
Numa rápida inspeção é possível observar e conjecturar a importância do sinal do a e do discriminante ∆ = b2 – 4ac no ormalismo algébrico e conseqüentemente na identifcação das propriedades e características da unção do segundo grau.
Imagem: Se a concavidade é voltada para cima então a imagem são os valores de y pertencentes ao intervalo [ yV +∞) ou seja y ≥ yV . Se a concavidade é voltada para baixo então a imagem são os valores de y pertencentes ao intervalo (–∞ yV ] ou seja y ≤ yV . Lembrando que yV é a ordenada do ponto do vértice da parábola.
Exemplo Uma indústria prevê que o lucro total do seu principal produto ao fnal do mês é dado pela unção L(x) = –2x2 + 9x – sendo x a quantidade vendida em milhares e L é o ganho em milhões de reais. Encontre o valor de x que maximiza o lucro.
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Tópicos de Matemática Elementar I
Note que a = –2 < e portanto a concavidade é voltada para baixo o que nos leva a concluir que o vértice é um ponto de máximo. Para responder a pergunta da questão basta determinar o vértice. b ∆ 9 92 − 4( −2)(−) V − − = − − 4(−2) 2a 4a 2( −2) 9 8− 8 9 = − = = (22; 2) −8 4 8 4
Assim o lucro máximo é de 2 milhões de reais quando orem vendidas 22 milhares de unidades. Veja o gráfco da unção na fgura abaixo:
L(x)
0.2
0.1
x -0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 4.5 Gráfco da unção L(x) = –2x2 + 9x –
Outras características das unções do segundo grau.
Zero ou Raiz: São os pontos onde f (x) = o que nos leva a resolver uma equação do segundo grau ( ax2 + bx + c = ). Crescimento e Decrescimento: Varia de acordo com a concavidade da parábola. Se a concavidade or para cima o intervalo de crescimento é x > xV e o intervalo de decrescimento é x < xV . Já se a concavidade or para baixo o intervalo de crescimento é quando x < xV e o de decrescimento quando x > xV . Lembrando que xV é a abscissa do ponto do vértice da parábola. Unidade 4
101
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo Considere as equações de demanda e oerta q = 4 – p2 e q = 4 p – . Discuta usando a representação gráfca e algébrica do equilíbrio do mercado. Algebricamente: O equilíbrio ocorre quando a demanda e a oerta são iguais ou seja: 4 – p2 = 4 p – – p2 – 4 p + = ou
p2 + 4 p – = Resolvendo a equação do segundo grau temos que p = e p = –. O valor para p = – deve ser descartado já que não temos preço de mercado negativo. Estes valores obtidos são as raízes da equação – p2 – 4 p + = . Portanto o valor que nos interessa é p = . Se analisamos simplesmente a unção f ( p) = – p2 – 4 p + podemos afrmar que os valores obtidos para p são as os pontos tais que o gráfco de f corta o eixo x ou seja f ( p) = . Geometricamente: Fazendo o gráfco das duas unções (ver Figura 4.6) o equilíbrio ocorre no ponto de interseção gráfca que é o ponto (3) ou seja quando p = q = 3.
q 4
3
2
1
p 1
2
Figura 4.6 Ponto de equilíbrio do mercado
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3
Tópicos de Matemática Elementar I
Para terminar o estudo das propriedades e características das unções do segundo grau alta apenas o estudo do sinal da unção isto é para quais valores de x uma unção é positiva ou negativa. Sinal da Função: São os valores de x para o qual os valores de y são positivos ou negativos ou seja analisa-se o sinal da imagem da unção. Nas fguras 4.7 a 4.2 apresentamos exemplos com as situações que podem ocorrer. f(x)
f(x)
x x 2
x 1
x x 2
x 1
Figura 4.7 Parábola com ∆ > a > e x < x2
Figura 4.8 Parábola com ∆ > a < e x < x2
Neste exemplo temos: sinal positivo em x ∈ (–∞x) ∪ (x2+∞) sinal negativo em x ∈ (xx2)
Neste exemplo temos: sinal positivo em x ∈ (xx2) sinal negativo em x ∈ (–∞x) ∪ (x2+∞)
f(x)
f(x)
x 1= x 2
x
x x 1= x 2
Figura 4.9 Parábola com ∆ = a > e x = x2
Figura 4.10 Parábola com ∆ = a < e x = x2
Neste exemplo temos sinal positivo em toda reta real portanto a unção não assume valores negativos.
Neste exemplo temos sinal negativo em toda reta real portanto a unção não assume valores positivos. Unidade 4
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f(x)
f(x)
x
x
Figura 4.11 Parábola com ∆ < a > e não tem raízes reais
Figura 4.12 Parábola com ∆ < a < e não tem raízes reais
Neste exemplo temos sinal positivo em toda reta real portanto a unção não assume valores negativos.
Neste exemplo temos sinal negativo em toda reta real portanto a unção não assume valores positivos.
Exemplo ) Agora já podemos analisar o problema P2. Uma pedra é atirada para cima com uma velocidade de 4 m/s a sua altura depois de t segundos é dada por h = 4t – 6t 2. Analise as características da unção. Na Figura 4.3 você pode visualizar o gráfco da unção h = 4t – 6t 2. h(t) 25
20
15
10
5
t 1
2
3
Figura 4.13 Gráfco da unção do problema P2
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Tópicos de Matemática Elementar I
Observe que vamos analisar as características desta unção contextualizadas no problema . Lembre-se que não temos tempo negativo e altura negativa – pedra sobre até uma altura máxima e depois cai até o solo. O solo está sendo considerado no eixo dos x. Sendo assim:
O domínio da unção é D = [ 2 ) pois como t é o tempo não podemos considerar valores negativos.
A concavidade é voltada para baixo pois a = –6 < .
Vértice: Temos que ∆ = 42 – 4⋅(–6)⋅ = 6 logo.
Este ponto representa o tempo t = 4 s em que a bola atinge a altura máxima. O valor h = 2 m representa a altura máxima.
Como a concavidade é voltada para baixo e yV = 2 segue que .
As raízes são t = e t = 2 . Como a concavidade é voltada para baixo tem-se que h é crescente quando t < 4 e decrescente quando t > 4 . Para o sinal da unção temos que a = –6 < e ∆ = 6 > então h(t ) > quando t ∈ 2 . Como h está relacionada com a altura tem-se que não temos valores para t tal que h seja negativa.
2) Seja y =
x2
− 2 . Para qual valor de x a unção assume o menor valor? Como a = > temos que a concavidade é voltada para cima logo a unção tem um ponto de mínimo. Esse ponto de mínimo ocorre no vértice da parábola.
Temos: 2 4 ( 2) − ⋅ ⋅ − ∆ 6 b V − − = − − = − = ( − 2) 4 2a 4a 2 ⋅ 4⋅ Logo o menor valor que a unção assume é y = –2 e ocorre quando x = .
Unidade 4
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Veja o gráfco na Figura 4.4 para tirar suas conclusões.
f(x) 20
10
x -10
10
-10
-20
Figura 4.14 Gráfco da unção y =
x2
− 2
Parada recreativa Que tal azermos economia de maneira dierente: Vamos supor que no primeiro dia do mês você guarde centavo no segundo 2 centavos no terceiro 4 centavos no quarto dia 8 centavos e assim dobrando sucessivamente durante 3 dias seguidos. Quanto teria você guardado ao fnal de um mês? reais 2 reais? É possível para qualquer mortal uma economia deste tipo? Pense mas não se precipite nas suas conclusões!
Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar mais detalhes da unção do segundo grau. Os exemplos mostraram que este tipo de unção é muito importante na modelagem de vários problemas práticos. O uso das representações gráfcas associadas à representação algébrica auxilia na visualização das propriedades e características dessas unções. A discutir as propriedades podemos encontrar as respostas dos problemas práticos. No AVA apresentamos como destaque o uso das unções do primeiro e segundo grau no contexto de unções defnidas por várias sentenças. 106
Tópicos de Matemática Elementar I
Não esqueça que você agora não deve dispensar o uso de um sotware para azer gráfcos. Na unidade seguinte você vai poder avançar analisando outros tipos de unções. Bom trabalho!
Atividades de auto-avaliação ) Encontre uma unção f que associa a cada número x o seu quadrado mais o seu dobro e mais uma unidade. Em seguida encontre f (–) f () e f ().
2) Trace o gráfco das seguintes unções: (a) y = x2 –2x –3
(b) y = –x2 +2x – 4
Unidade 4
107
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Seja p = – 2x onde x é quantidade demandada e o preço é p encontre a unção receita total esboce o seu gráfco e em seguida encontre o valor de x para que a receita seja máxima.
4) Seja f (x) = x2 – 7x + . Analise as propriedades e características (Domínio imagem concavidade raízes vértice crescimento e decrescimento e o sinal da unção) e esboce o gráfco de f .
) Um terreno retangular tem dimensões de modo que sua largura é o triplo da altura. Encontre as dimensões deste retângulo de modo que sua área seja de 3 m2.
108
Tópicos de Matemática Elementar I
6) A unção demanda de um produto é p = – x e a unção custo é dada por C (x) = 2 + x. Encontre o valor de x para que o lucro seja máximo.
Saiba mais Uma boa sugestão para que você se aprounde nesta unidade é azer uma pesquisa na internet usando um site de busca utilizando por exemplo a palavra-chave parábola. Você verá sugestões de leituras de interessantes aplicações das unções de segundo grau. É importante que você aça a leitura de vários sites afm de obter uma análise crítica dos objetos mamtemáticos apresentados. É um exercício que vale a pena azer! Bom trabalho!
Unidade 4
109
UNIDADE
Funções polinomiais e racionais
Objetivos de aprendizagem
Identifcar unções polinomiais de grau maior do que 2. Identifcar unções racionais. Analisar a representação algébrica e gráfca das unções polinomiais e racionais. Discutir aplicações das unções polinomiais e racionais.
Seções de estudo
Seção – Funções polinomiais Seção 2 – Funções racionais Seção 3 – Outros tipos de unções
5
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa Você já deve ter percebido que estamos alargando os horizontes no contexto do estudo das unções. Você pode visualizar as unções como alicerces básicos necessários para a resolução de problemas e para a construção de novos conceitos e objetos matemáticos. Não esqueça de que é importante você ter uma certa habilidade com o uso de sotwares auxiliares na construção gráfca das unções pois as representações gráfcas são recursos antásticos para o processo ensinoaprendizagem da Matemática. Como você costuma azer a leitura de representações gráfcas?
112
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO
Funções polinomiais Após estudar as unções de primeiro e segundo graus você pode agora visualizar as características e propriedades das unções polinomiais de grau maior do que 2. Mas como são estas unções?
Defnição: A unção polinomial é defnida por f (x) = a 0 xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an sendo a 0, a1, ..., an números reais, com a 0 ≠ 0, chamados de coefcientes e n um número inteiro não negativo que determina o grau da unção.
A representação gráfca das unções polinomiais é uma curva que pode apresentar pontos de máximos ou mínimos. São gráfcos que para serem traçados com mais acilidade necessitam de conceitos do cálculo dierencial (não estudados nesta disciplina) ou de softwares matemáticos como o Graph já citado nas unidades anteriores.
Exemplos Classifcar as seguintes unções polinomiais quanto ao seu grau: (a) f (x) = 2x + 3 É uma unção polinomial de grau . Perceba que esta é a unção do primeiro grau estudada na unidade 3. (b) f (x) = 2x2 + 3x – É uma unção polinomial de grau 2. Perceba que esta é a unção do segundo grau estudada na unidade 4.
Unidade 5
113
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Observe! A partir da análise da representação algébrica da função polinomial é possível dizer que o domínio destas funções será sempre o conjunto dos números reais.
(c) f (x) = x3 + x2 – 3 É uma unção polinomial de grau 3. (d) f (x) = 4x7 + x6 – É uma unção polinomial de grau 7. Para analisar as características e propriedades das unções polinomiais neste momento é importante que você visualize a representação gráfca da unção. Existem casos particulares das unções polinomiais que são interessantes de serem analisados. Por exemplo as unções escritas como f (x) = xn sendo n um inteiro positivo. Para n > 2 a orma do gráfco depende de n ser par ou ímpar. Veja as Figuras . e .2.
y
y=x 6
2 y=x 4 y=x
1.5
1
0.5
x -1.5
-1
-0.5
Figura 5.1 Gráfco de y = xn com n par
114
0.5
1
1.5
Tópicos de Matemática Elementar I
y
y=x 5
y=x 3 y=x
1
x -1
1
-1
Figura 5.2 Gráfco de y = xn com n ímpar
As unções y = xn possuem aspectos comuns. Veja na tabela como fcam as propriedades e características destas unções.
Representação algébrica Representação gráfca Domínio Conjunto imagem
y = xn
y = xn
n é par
n é ímpar
Figura .
Figura .2
conjunto dos reais [+∞)
Zero ou raiz Sinal da unção Crescimento
conjunto dos reais
x= Positivo para qualquer x ∈ R.
Positivo para x > e negativo para x <
x>
A unção é crescente para qualquer x ∈ R.
x<
Não possui intervalos de decrescimento
Decrescimento
Unidade 5
115
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Observe! Se você comparar o gráfico de y = x3 (Figura 5.2) com o gráfico de y = x 3 + 1 (Figura 5.3), pode perceber que a curva foi deslocada 1 unidade para cima no eixo y. Isto acontecerá em vários casos, por exemplo, y = x3 + 2 estará deslocado 2 unidades para cima, y = x 3 + 3, 3 unidades para cima e y = x 3 – 4, 4 unidades para baixo.
Exemplos Analisar as características e propriedades das unções polinomiais. (a) y = x3 + y
3
2
1
x -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
-1
-2
-3
Figura 5.3 Gráfco de y = x3 +
116
Representação algébrica
y = x3 +
Representação gráfca
Figura .3
Domínio
conjunto dos reais
Conjunto imagem
conjunto dos reais
Zero ou raiz
x = –
Sinal da unção
Positivo para x > – e negativo para x < –.
Crescimento/Decrescimento
A unção é crescente para todos os valores de x ∈ R.
Tópicos de Matemática Elementar I
(b) y = x4 – x3 – 2x2
Pare! Observe! y
3
2
1
x -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
Quando a função passa de decrescente para crescente, temos um ponto de mínimo. Quando passa de crescente para decrescente temos um ponto de máximo. Perceba que na Figura 5.4 estão assinalados dois pontos de mínimo e o ponto de máximo.
-1
-2
-3
Figura 5.4 Gráfco de y = x4 – x3 – 2x2
Representação algébrica
y = x4 – x3 – 2x2
Representação gráfca
Figura .4
Domínio
conjunto dos reais
Conjunto imagem
[–283;+∞) Observando que o valor –283 é aproximado.
Zeros ou raízes
x = – x = x = 2
Sinal da unção
Positivo para x ∈ (–∞–) ∪ (2+∞) e negativo para x ∈ (–2).
Crescimento/Decrescimento
A unção possui intervalos de crescimento e decrescimento.
Unidade 5
117
Universidade do Sul de Santa Catarina
(c) y = x – x3 y
3
2
1
x -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
-1
-2
-3
Figura 5.5 Gráfco de y = x – x3
118
Representação algébrica
y = x – x3
Representação gráfca
Figura .
Domínio
R
Conjunto imagem
R
Zeros ou raízes
x = – x = x =
Sinal da unção
Positivo para – < x < ou x > e negativo para x < – ou < x < .
Crescimento/Decrescimento
A unção possui intervalos de crescimento e decrescimento. decrescimento.
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o presente! Veja o seguinte problema: P1 Suponha que a unção C(q) = q3 – 20q2 + 300q + 250 expresse o custo total de abricação de um produto. Como calcular o custo de cinco unidades? E o custo de abricação da quinta unidade? Se você já tem a unção que expressa o custo total de abricação de um determinado produto pode acilmente responder as duas questões solicitadas. Para acilitar você irá supor que a unção seja:
C (q ) = q 3 – 2q 2 + 3q + 2. O custo de abricação de cinco unidades é encontrado quando se calcula a imagem da unção no ponto q = . Portanto
C () = 3 – 2×2 + 3× + 2 = 2 – + + 2 = 37 Se você trabalhar com unidades monetárias em reais a resposta é R$ 37. Para saber o custo da quinta unidade você precisa azer a dierença entre o custo de cinco unidades e o custo de quatro unidades ou seja C() – C(4) = (3 – 2×2 + 3× + 2) – (4 3 – 2×42 + 3×4 + 2) = 37 – 94 = 8 Assim o custo da quinta unidade é de R$ 8. Observe que o gráfco desta unção pode auxiliar na obtenção de outras análises (veja a Figura .6).
Unidade 5
119
Universidade do Sul de Santa Catarina
C(q)
25000
20000
15000
10000
5000
q 10
20
30
Figura 5.6 Gráfco da unção custo total C (q ) = q 3 – 2q 2 + 3q + 2
Por exemplo é possível observar que o aumento do custo de produção cresce mais rapidamente a partir de aproximadamente 2 unidades.
SEÇÃO 2
Funções racionais As unções racionais são bastante utilizadas em aplicações práticas relacionadas à situações reais. Perceba que são defnidas como o quociente de duas unções polinomiais.
P (x )
Defnição: A unção racional é defnida por f (x) = Q(x ) sendo P (x) e Q(x) polinômios e Q(x) ≠ 0.
São exemplos de unções racionais: f (x ) =
x − x y = e h(x ) = . 2 x +3 x +3 x
Diante da defnição da unção racional e a partir da análise de sua representação algébrica é ácil constatar que o domínio da unção é dado pelo con junto de números reais excluindo todos os valores de x tais que Q(x) = .
120
Tópicos de Matemática Elementar I
Exemplos Analisar as características e propriedades das unções indicadas. (a) y =
x − y 8 7 6 5 4 3 2 1 x -3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Figura 5.7 Gráfco da unção y =
x −
Representação algébrica
y =
x −
Representação gráfca
Figura .7
Domínio
R
–{}
Conjunto imagem
R
–{}
Zero ou raiz
Não possui zero ou raiz.
Sinal da unção
Positivo para x > e negativo para x < .
Crescimento/Decrescimento
A unção é toda decrescente.
Unidade 5
121
Universidade do Sul de Santa Catarina
(b) y =
x +7 x −9 y
15
10
5
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-5
-10
-15
Figura 5.8 Gráfco da unção y =
x +7 x −9
Representação algébrica
122
y =
x +7 x −9
Representação gráfca
Figura .8
Domínio
R
–{9}
Conjunto imagem
R
–{}
Zero ou raiz
x = -7
Sinal da unção
Positivo para x > 9 e x < -7 negativo para x ∈ (-7 9).
Crescimento/Decrescimento
A unção é toda decrescente.
18
19
Tópicos de Matemática Elementar I
(c) y =
x x − 2
y
15
10
5
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
-10
-15
Figura 5.9 Gráfco da unção y =
x 2
x −
Representação algébrica
y =
x x2 −
Representação gráfca
Figura .9
Domínio
R
Conjunto imagem
R
Zeros ou raízes
x=
Sinal da unção
Positivo para – < x < ou x > .
– {–}
Negativo para x < – ou < x < . Crescimento/Decrescimento
A unção é toda decrescente.
Unidade 5
123
Universidade do Sul de Santa Catarina
(d) y =
3 x + 2
y
4
3
2
1
x -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
Figura 5.10 Gráfco da unção y =
3 2
x +
Representação algébrica
124
y =
3 x + 2
Representação gráfca
Figura .
Domínio
R
Conjunto imagem
< y ≤ 3
Zero ou raiz
Não possui zero ou raiz.
Sinal da unção
A unção é toda positiva.
Crescimento/Decrescimento
A unção é crescente quando x < e decrescente quando x >
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o presente! Veja o seguinte problema: 4 . x+4 Analise o gráfco da unção de demanda, escrita como x = f (P ). P2 A unção preço de um determinado bem é dada por P =
Para azer o gráfco da unção de demanda escrita como x = f (P ) num primeiro momento isola-se a variável x da unção preço: 4 x+4 P × (x + 4) = 4 4 x+4= P =
P
x=
4 P
−4
O gráfco da unção de demanda é mostrado na Figura ..
x 80
60
40
20
P -90
- 80
- 70
-60
- 50
-40
- 30
- 20
- 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-20
-40
-60
-80
Figura 5.11 Gráfco da unção de demanda x =
4 P
−4
Perceba que para analisar o gráfco da unção de demanda basta considerar os valores em que o preço é maior do que zero já que não az sentido alar em preço negativo. Portanto veja na Figura .2 este mesmo gráfco considerando apenas este intervalo. Unidade 5
125
Universidade do Sul de Santa Catarina
x 90
80
70
60
50
40
30
20
10
P 10
20
30
Figura 5.12 Gráfco da unção x =
40
4 P
50
60
70
80
90
− 4 para valores de P >
Ao analisar a representação gráfca da Figura .2 é possível perceber que o preço aumenta a medida que a demanda diminui. Portanto a unção de demanda é decrescente. Em valores próximos de P = a demanda é bem alta isto signifca que com um preço baixo a demanda tende a um valor alto.
SEÇÃO 3
Outros tipos de unções Nesta seção você poderá visualizar representações gráfcas de outros tipos de unções como por exemplo as unções irracionais as que envolvem expressões polinomiais as que possuem raízes quadradas dentre outras. A idéia é que você visualize grafcamente estes tipos de unções deixando claro que uma erramenta computacional é imprescindível neste momento para que você consiga traçar estes gráfcos.
126
Tópicos de Matemática Elementar I
Exemplos Traçar o gráfco das unções indicadas. (a) y = x 2 + x
y
8
6
4
2
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
2 Figura 5.13 Gráfco da unção y = x +
x
Ao analisar o gráfco da Figura .3 é possível dizer que o domínio desta unção é dado pelos números reais exceto x = e o conjunto imagem é ormado pelos números reais. A unção possui intervalos de crescimento e decrescimento e um zero no valor de x = –.
Unidade 5
127
Universidade do Sul de Santa Catarina
(b) y = x
y
4
3
2
1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 5.14 Gráfco da unção y = x
Já que a raiz quadrada de um número é sempre um valor positivo então esta unção possui como imagens apenas números positivos tendo como sinal apenas valores positivos. O domínio são todos os reais não negativos incluindo-se o zero ou seja os valores em que x ≥ e o conjunto imagem são todos os valores reais tais que y ≥ . A unção é toda crescente e possui como zero o valor de x = .
128
Tópicos de Matemática Elementar I
(c) y = x 2 − 4
y 9
8
7
6
5
4
3
2
1
x -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2 Figura 5.15 Gráfco da unção y = x − 4
Esta unção assim como a do exemplo anterior tem como imagem o conjunto dos números reais positivos incluindo o zero. O domínio é dado pelos valores de x ≤ –2 e x ≥ 2. Veja que no gráfco da unção não há imagens entre os valores –2 e 2. A unção decresce para x ≤ –2 e cresce para x ≥ 2. O sinal é sempre positivo e os zeros da unção são –2 e 2.
Unidade 5
129
Universidade do Sul de Santa Catarina
Olhando o presente! Veja o seguinte problema: P3 Seja a unção de demanda, representada na Figura 5.16, sendo x a quantidade demandada e y o preço expresso em reais. Determine as quantidades demandadas se o preço or igual a R$10,00 e R$100,00.
x (demanda)
40
30
20
10
y (preço) 10
20
30
40
50
Figura 5.16 Gráfco da unção de demanda x =
60
70
80
90
100
23 y 2
A unção de demanda apresentada é decrescente de orma que a medida em que o preço aumenta a demanda diminui. Perceba que a quantidade demandada fca próxima a um valor abaixo de e acima de aproximadamente . Assim mesmo que o preço seja muito alto a quantidade demandada fca praticamente estável neste intervalo. Para determinar as quantidades demandadas para os preços indicados no problema basta localizar no gráfco os pontos indicados. Quando o preço é igual a R$ a quantidade demandada fca entre e próximo de . Quando o preço é igual a R$ esta quantidade está próxima do valor mas ainda abaixo dele.
130
Tópicos de Matemática Elementar I
Para encontrar estes valores é possível substituir a variável y na orma algébrica da unção de demanda. Assim temos:
y = x=
23 ≅ 74763 ()2
y = x=
23 ≅ 47367 ()2
Os valores oram calculados com a ajuda de uma calculadora.
Parada Recreativa Dois amigos preparam uma lista de convidados para uma esta. — Ah Ted acho que precisamos inicialmente defnir o quanto queremos gastar. — É verdade a diversão é boa mas também não adianta entrar no negativo. As coisas estão muito caras hoje em dia. — Talvez um churrasco vá bem apesar da carne estar cara. Mas aí podemos pedir para que cada um traga a sua bebida. — Tudo bem então vamos azer a lista de convidados. Começamos pelos amigos em comum: Flávio Marta Junior Ricardo Sil... — Ah não o Ricardo não. Ele é muito chato. Eu não quero ele aqui... — Mas fca chato convidar a Marta e não chamar o Ricardo. A Marta é uma pessoa muito interessante. — Mas se é namorada do Ricardo já considero tão chata quanto ele. Por avor! — Mas eu não abro mão da Marta. Será que não há uma orma de conciliarmos isto? Vamos ajudar os amigos a resolverem o problema da lista de convidados? Você percebeu que eles alaram sobre pessoas chatas e interessantes? Não há quem não pense dessa orma: algumas pessoas são interessantes. Outras são chatas. Faça uma lista das pessoas que você considera chatas e outra de pessoas interessantes. Depois analise a lista das chatas. Identifque a mais chata das chatas. Mas veja: se ela é a mais chata das chatas passa a ser extremamente interessante e muda de lista. Unidade 5
131
Universidade do Sul de Santa Catarina
Agora outra pessoa será a mais chata das chatas o que a torna interessante também. Assim a certa altura todas as pessoas serão interessantes. Será assim??! Pense nisso...
Síntese Nesta unidade você teve contato com unções polinomiais racionais irracionais e outros tipos de unções que usualmente aparecem em aplicações práticas. É importante que ao fnalizar esta unidade você tenha percebido a importância da representação gráfca para que possamos azer análises inerentes aos problemas de aplicações. O gráfco da unção auxilia e em muitos casos mostra claramente todas as propriedades e características de uma unção. Portanto tenha em mente que a leitura correta das representações gráfcas é muito importante para o entendimento de situações modeladas por unções. No AVA você deve ter observado os recursos tecnológicos que se dispõe para a conecção de representações gráfcas. Antes de seguir em rente confra se todas as suas atividades propostas no AVA e neste livro já oram desenvolvidas. Se necessário solicite a ajuda do seu tutor. Na próxima unidade você vai estudar as unções exponenciais e logarítmicas que possuem um campo vasto de aplicações nos amosos problemas de crescimento populacional e na economia. Até mais!
132
Tópicos de Matemática Elementar I
Atividades de auto-avaliação
6
) Seja a unção f ( x) = 3 x3 − 2 x2 − 2 x− 3 representada grafcamente na Figura .7. Determine o que se pede:
y
15
10
5
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
-10
-15
3
2
3 2 Figura 5.17 Gráfco da unção f ( x) = x − x − 2 x−
6 3
(a) Grau da unção polinomial. (b) Domínio da unção. (c) Raiz da unção. (d) Intervalos de crescimento. (e) Intervalos de decrescimento. () Análise do sinal da unção.
Unidade 5
133
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Um estudo sobre efciência de trabalhadores do turno da manhã de uma certa ábrica indica que o operário que chega ao trabalho às 8 horas da manhã terá montado x horas após f (x) = –x3 + 6x2 + x peças do produto. (a) Quantas peças o operário terá montado às horas da manhã? (b) Quantas peças terá montado entre e horas da manhã?
3) Usando um sotware gráfco (por exemplo o Graph) aça o gráfco da unção y = x + e analise suas propriedades e características. x−
134
Tópicos de Matemática Elementar I
4) Analise as características e propriedades das unções representadas grafcamente nas Figuras .8 e .9. y 1800
y 1500 15
1200 10
900
5
x 600 -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
300
-10
10
20
-15
-300
Figura 5.18 Gráfco da unção y = x(3 – 2x)(2 – 2x)
Representação algébrica
Figura 5.19 Gráfco da unção y =
y = x(3 – 2x)(2 – 2x)
x2 4 − x2
x2 y = 4 − x2
Domínio Conjunto imagem Zero ou raiz Sinal da unção
Unidade 5
135
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais Caso você queira ampliar e aproundar detalhes das unções polinomiais e racionais recomendamos o primeiro capítulo do volume do livro Cálculo: um novo horizonte de autoria de Howard Anton. Neste texto você vai encontrar outras aplicações contextualizadas bem como a análise de outras representações gráfcas deste tipo de unções. Procure o seu proessor tutor para esclarecer suas dúvidas. Bom trabalho!
136
UNIDADE 6
Funções exponencial e logarítmica
Objetivos de aprendizagem
Identifcar unções exponenciais e logarítmicas em dierentes situações problemas. Desenvolver procedimentos procedimentos operatórios que envolvem exponenciais e logaritmos. Fazer leituras de representações gráfcas e identifcar propriedades e características das unções envolvidas.
Seções de estudo
Seção – Introdução Seção 2 – Função exponencial Seção 3 – Função logarítmica Seção 4 – Outras aplicações
6
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa Você vai ter a oportunidade de observar no decorrer desta unidade que que para modelar o crescimento populacional de qualquer espécie do nosso planeta é necessário o uso das unções exponenciais. Sempre é bom lembrar que a exponenciação é uma operação inversa da logaritmação assim como adição e subtração ou multiplicação e divisão. Portanto para analisar os enômenos de crescimento populacional ou problemas econômicos vai ser necessário o uso também dos logaritmos. Não se assuste! Os recursos tecnológicos tecnológicos (computador ou calculadora) serão seus aliados nesta caminhada.
138
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO
Introdução O estudo das unções exponenciais e logarítmicas envolve o uso de operações com potências e logaritmos. Sabendo da importância de se ter bastante clareza dos conceitos envolvidos optou-se por azer uma rápida revisão dos objetos matemáticos envolvidos.
Potência com expoente natural Vamos a seguir apresentar procedimentos operatórios que nortearão os seus passos diante de procedimentos operatórios que envolvem potências com expoentes naturais inteiros e racionais. Consideremos um número real a e um número natural n dierente de zero. A expressão an (potência de base a e expoente n) representa um produto de n atores iguais de a:
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ⋅ n atores
Exemplos ) 2 = 2. Para n = considera-se por defnição que a = a uma vez que não há produto com um único ator. 2) 3 = ∙∙ = 2 3) (–)2 = (–)∙(–)= 2 3
4) = ⋅ ⋅ = 3 3 3 3 27
Pare! Observe!
(–3)2 = (–3)·(–3) = 9
–32 = –(3·3) = –9
Assim: (–3)2 ≠ –32
Unidade 6
139
Universidade do Sul de Santa Catarina
Propriedades das potências com expoente natural Lembrar de propriedades no momento de eetuar as continhas é muito interessante. Observe: i) 23∙24 = (2∙2∙2)∙(2∙2∙2∙2) = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2 = 27 ou 23∙24 = 23 + 4 = 27. ii) 33∙34∙32∙3 = (3∙3∙3)∙(3∙3∙3∙3)∙(3∙3)∙(3∙3∙3∙3∙3) = = 3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3 = 34 ou 33∙34∙32∙3 = 33 + 4 + 2 + = 34. Podemos concluir:
Prop.1: Prop.1: Para multiplicar potências potência s de mesma base mantemos a base e somamos os expoentes.
am∙an = am + n
Observe: 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 i) 24 ÷ 23 = (2·2·2·2) ÷ (2·2·2) = = 2 = 2 2⋅2⋅2 ou 24 ÷ 23 = 24 – 3 = 2 = 2 6⋅6⋅6⋅6 ii) 64 ÷ 62 = (6·6·6·6) ÷ (6·6) = = 62 = 36 6⋅6 ou 64 ÷ 62 = 24 – 2 = 62 = 36 Podemos concluir que:
Prop.2: Para dividir potências de mesma base mantemos a base e subtraímos os expoentes. m am ÷ an = am – n ou a n com a ≠ 0 a
140
Tópicos de Matemática Elementar I
O que acontece quando os expoentes são iguais? ⋅⋅ = 3 ÷ 3 = (··) ÷ (··) = ⋅ ⋅ ou 3 ÷ 3 = 3 – 3 = Podemos afrmar que:
a = com a ≠ Temos ainda um outro caso interessante quando o expoente do divisor é maior do que o do dividendo. 2⋅2⋅2⋅2 = = 3 24 ÷ 27 = (2·2·2·2) ÷ (2·2·2·2·2·2·2) = 2⋅2 ⋅2 ⋅2⋅2 ⋅2 ⋅2 2 ⋅2⋅2 2 ou 24 ÷ 27 = 24 – 7 = 2–3. Podemos afrmar que: a −n =
an
Como conseqüência você pode observar que: a −n
−n
=a
n
n
e a = b b a
Exemplos −
) 2 = = ⋅ 7 = 7 . 2 2 7 27 −2
2
2) 3 == = 2 . 3 9 3)
23 = 8. −3 = 2
Unidade 6
141
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe a situação denominada potência de potência. A base elevada é elevada à um expoente e todo esse número é elevado a outro expoente. Veja: i) (34)2 = 34·34 = 34 + 4 = 38 ou (34)2 = 34·2 = 38 ii) (73)4 = 73·73·73·73 = 73 + 3 + 3 + 3 = 72 ou (73)4 = 73·4 = 72 Pare! Observe!
(53)2 = 53·2 = 56
532 = 59
Podemos escrever: (am)n = am·n Considere as expressões:
Assim, (53)2 ≠ 532
i) (2·7)2 = (2·7)·(2·7) = 2·2·7·7 = 22·72 3
3 3 3 3 33 ii) (3 ÷ 8) = = ⋅ ⋅ = 3 = 33 ÷ 83 8 8 8 8 8 3
Podemos afrmar que: (a·b)n = an·bn e n
n
n
n
(a ÷ b) = a ÷ b
n ou a = a n b b
Olhando o uturo! Os recursos tecnológicos não abrem mão de uma notação baseada nas propriedades das potências. Se você tem uma calculadora científca, observe o que chamamos de notação científca .
Quando trabalhamos com números muito grandes ou muito pequenos é conveniente escrever em orma de potência.
142
247 = 247 · = 8 = –6 23 = 23 · –4 – = = –3 = = · 7 =
Tópicos de Matemática Elementar I
Esta orma de expressar um número é conhecida como notação científca. Para representá-la usamos um número real pertencente ao intervalo [9] multiplicado por uma potência de . Note que o valor do expoente da potência é o número de casas que a vírgula teve que percorrer.
Potência com expoente racional
Para a real b real e n inteiro positivo ímpar temos
n
a = b sempre que
.
Para a e b real positivo ou nulo e n inteiro positivo par temos
n
a = b sempre que
.
Denominamos:
n = índice; a = radicando; b = raiz.
Pare! Observe!
Usamos a representação da raiz n-ésima como
n
m n
am = a .
Não existe raiz real de índice par de números negativos.
Exemplos ) Verifque as seguintes raízes ditas exatas
2 = ⇔ · = 2 = 2
(a) (b)
3
−2 = – ⇔ (–)·(–)·(–) = (–)3= –2
(c)
6
64 = 2 ⇔ 2·2·2·2·2·2 = 26 = 64
2) Verifque a existência das raízes: (a)
4
34 = 3
(b)
4
−3 não existe
(c)
3
−27 = –3
Unidade 6
143
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Propriedades das potências com expoente racional As propriedades para expoentes racionais são as mesmas utilizadas com expoentes naturais. Observe a validade das expressões no contexto dos reais. Vejamos um resumo: (a)
n
a ⋅ m a = n×m a n+m
(b)
n
a ⋅b = n a ⋅ n b
(c)
n
a na = b nb
(d) ( n a )m = n a m (e)
m n
a = n⋅m a .
Exemplos
4
144
+ 2 4
=3
2 + 4
=3
3 4
3 ⋅ 4 = 4 3 ⋅ = 4
ou 3)
4
3 ⋅ 3 = 3 ⋅3 = 3
) 2)
2
4
4
4
2 = 2 3
4
4
3 ⋅ = 3 ⋅ = (3 ⋅ ) = 4 3 ⋅ = 4 4
3
ou
2
3 3 ⋅ 2 = 2 = 2 2 = 2 3
3
Tópicos de Matemática Elementar I
Parada recreativa Ua! É um monte de continhas. Vamos relaxar? Veja o que aconteceu com Toninho na sua inância. Proessor: — Toninho preste atenção vou azer a primeira pergunta. Se você responder nada mais lhe perguntarei. Dar-me-ei por satiseito. Digame: quantos fos de cabelo tem na sua cabeça? Toninho: — Duzentos e quarenta e cinco vezes dez elevado a cem. Proessor: — Como chegou a essa conclusão? Toninho: — Caro proessor não se esqueça de que o senhor garantiu que só aria uma pergunta. Trato é trato.
Unidade 6
145
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SEÇÃO 2
Função exponencial Vamos agora discutir as unções exponenciais. Observe que essas unções são usadas para modelar o crescimento e o decrescimento populacional e também em várias situações da Matemática Financeira.
Olhando o presente! Discutir aplicação fnanceira é uma atividade do dia-a-dia de muitos cidadãos. É possível que um grande número de pessoas desconheçam os objetos matemáticos que estão inseridos neste contexto. Lembrando da conversa do Ted com o Mad é possível ormular o seguinte problema: P1 A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês (creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 hoje, quanto teremos daqui a 11 meses? E daqui a 10 anos? P2 Como podemos modelar a população de um país para o ano de 2010? Estes e outros problemas podem ser modelados a partir de unções exponenciais. Podemos dizer que as unções exponenciais são amplamente utilizadas em problemas que apresentam enômenos da natureza e da sociedade.
Defnição: Função exponencial é uma unção real que associa a cada número real x o número ax, com a > 0 e a ≠ 0.
Linguagem simbólica:
f : R → R f (x) = ax para a > a ≠
146
Tópicos de Matemática Elementar I
Pare! Observe!
Exemplos ) f (x) = 2x
2) f (x ) = 2
Por que a deve ser positivo?
x
Suponha que
a = – 9 e x = ½.
x
3) f (x) = e
A função
f (x) = (– 9)½ = −9 .
Você não deve conundir a unção exponencial com a unção potência. Na unção exponencial a variável é expoente e na unção potência a variável está na base.
Assim, teríamos como resposta um número não real.
Gráfco da unção exponencial Vamos analisar o gráfco das unções exponenciais. Não esqueça de que você deve observar as características das unções para acilitar o esboço de gráfcos de orma manual. Neste texto os gráfcos apresentados são desenvolvidos com recursos tecnológicos. Basicamente vamos ter duas situações para analisar. Observe os exemplos das Figuras 6. e 6.2. Veja que ao azer um gráfco manualmente você deve inicialmente construir uma tabela para posteriormente azer o traçado gráfco. Na Figura 6. temos o exemplo da unção y = 2x e na Figura 6.2 temos o x exemplo da unção y = . 2
x f(x) 5
f (x) = 2x
–3
2−3 =
= 23 8
−3 8
–2
2−2 =
= 22 4
−2 4
–
2− =
= 2 2
− 2
4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
-1
Figura 6.1 Gráfco da unção f (x) = 2x
Unidade 6
(x, y)
2 =
()
2 = 2
(2)
2
22 = 4
(24)
3
23 = 8
(38) 147
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x
f (x ) = 2
x
(x, y) f(x)
−2
–2
= 22 = 4 2
(–24)
5 4
−
–
= 2 = 2 2
= 2
(–2)
3 2
() 1
2
= 2 2
2
2
2 4
x -3
-2
-1
1
2
3
-1
= 2 4
Figura 6.2 Gráfco de f (x ) = 2
x
Propriedades Pela observação das tabelas e gráfcos podemos enunciar as seguintes características:
o domínio são todos os reais; a imagem é sempre positiva excluindo o zero; o gráfco passa pelo ponto (); para a > a unção é crescente; para < a < a unção é decrescente.
Com um pouco de ormalismo matemático é possível provar que essas características são gerais para as unções exponenciais.
Exemplos ) Analisar com o uso de um sotware os gráfcos das seguintes unções: (a) y = 2x + (b) y = 2x + (c) y = –2x +
148
Tópicos de Matemática Elementar I
Na Figura 6.3 apresentamos o gráfco da unção y = 2x+ na Figura 6.4 a unção y = 2x + e na Figura 6. a unção y = –2x+. f(x)
f(x)
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1 -6
-4
1
x
-2
2
4
6
-6
-4
-2
2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
Figura 6.3 Gráfco da unção y = 2x +
x 4
6
Figura 6.4 Gráfco da unção y = 2x +
f(x) 4
2
x -6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Figura 6.5 Gráfco da unção y = –2x +
Observe os gráfcos das Figuras 6.3 e 6. verifque que eles são simétricos em relação ao eixo dos x. Observe as leis de ormação da unção e verifque que este eeito está representado pela troca de sinal. Agora observe os gráfcos das Figuras 6. e 6.4 e compare- os. Observe que o acréscimo de uma unidade na variável y provocou a subida do gráfco em uma unidade.
Unidade 6
149
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2) Analisar grafcamente o comportamento de uma amília de unções do tipo f (x) = ax com a > e a ≠ .
(1/5)x
f(x) (1/10)
5x
10x
x
8
6
(1/2)x
2x
4
(2/3)x
(3/2)x
2
x -1
1 -2
Figura 6.6 Família de unções exponenciais
Observe a Figura 6.6 e perceba o comportamento da amília de unções exponenciais. As características comuns aos membros da amília tais como:
passam pelo ponto (); duas a duas simétricas em relação ao eixo dos y; o gráfco nunca corta o eixo dos x (observar que os recursos de desenho podem causar a impressão de que algum gráfco toque o eixo do x mas isto não é verdade); domínio é o conjunto dos reais; conjunto imagem é o conjunto (∞).
3) Fazer o gráfco da unção f (x) = 3x e f (x) = x3. Comparar o crescimento dos gráfcos. O que é possível afrmar? Na Figura 6.7 podemos observar os gráfcos das unções solicitadas no mesmo sistema cartesiano. Ao comparar o crescimento (ambas são unções crescentes) podemos afrmar que o gráfco da unção exponencial f (x) = 3x cresce mais rapidamente que o gráfco da unção potência f (x) = x3. O comportamento dessas unções para valores menores que zero são completamente dierentes pois a unção potência assume valores negativos.
150
Tópicos de Matemática Elementar I
f(x) 8
6
3x
4
x3
2
x -1
1 -2
Figura 6.7 Gráfco das unções f (x) = 3x e f (x) = x3
Aplicações Foi possível observar ao discutir as características e propriedades das unções exponenciais que elas são interessantes para modelar enômenos populacionais e econômicos. Estamos assim prontos para resgatar agora os problema P1 e P2 desta unidade. No problema P1 queremos discutir uma aplicação fnanceira em caderneta de poupança. P1 A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês (creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 hoje, quanto teremos daqui a 11 meses? E daqui a 10 anos? O regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais e fnanceiras é o de juros compostos que se baseia no seguinte princípio:
ao fnal do o período os juros incidentes sobre o capital inicial são a ele incorporados produzindo o o montante; ao fnal do 2o período os juros incidem sobre o o montante e incorporam-se a ele gerando o 2 o montante; ao fnal do 3o período os juros calculados sobre o 2 o montante incorporam-se a ele gerando o 3o montante; e assim por diante.
Unidade 6
151
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De modo geral um Capital C a juros compostos aplicados a uma taxa unitária fxa i durante n períodos produz:
M = C ( + i )n No problema dado temos C = i = % = 0,5⁄1 = e n = na primeira pergunta e n = 2 na segunda questão. Temos: Para meses temos R$ 64. De ato:
Para anos ou 2 meses temos R$ 894. De ato:
M = C ( + i )n
M = C ( + i )n
2
M = + = (+ ) ≅ 64
M = + = (+ )2 ≅ 894
A fgura 6.8 apresenta um gráfco da evolução do investimento. M
300
200
100
n 40
80
120
160
200
240
Figura 6.8 Gráfco de M = ( + )n
Vamos agora discutir o problema P2.
152
280
320
360
Tópicos de Matemática Elementar I
P2 Como podemos modelar a população de um país para o ano de 2010? Vamos supor que tenhamos dados da população do Brasil de 9 a 996. Com esses dados é possível azer uma estimativa da população do ano de 2. Veja como! Temos os seguintes dados obtidos através das estatísticas mundiais divulgadas em dierentes mídias.
Veja, por exemplo os dados em http://www.novomilenio.in.br/porto/mapas/nmpop. htm)
Vamos colocar esses dados em um sotware que tem a capacidade de nos dá a unção exponencial que modela esse crescimento populacional. A Figura 6.9 mostra o resultado apresentado quando usamos o sotware Graph.
P
Ano
População Brasil x milhões
9
3.443
96
7.69
97
9.684
98
22.98
99
.84
2
7.3
150000
100000
50000
t 10
20
30
40
50
Figura 6.9 Modelo de crescimento populacional
A unção apresentada é P (t ) = 6444 × (2439)t . Observar que consideramos a contagem do tempo a partir de 9. Assim 9 corresponde a t = 0; 96 a t = 10 etc.
Unidade 6
153
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Para achar a estimativa da população para o ano de 2 basta azer
P (6) = 6444 × (2439)6 ≅ 23949 Portanto 239.49 milhões de habitantes.
SEÇÃO 3
Função logarítmica Vamos agora discutir as unções logarítmicas. Observe que essas unções são usadas associadas aos modelos exponenciais. Você terá a oportunidade de observar que isto não é por acaso. Vamos mostrar nesta seção que estamos diante de unções inversas.
Olhando o presente! Usando a unção logarítmica vamos poder dimensionar por exemplo o tempo em que as aplicações fnanceiras duplicam ou triplicam. P3 Uma aplicação de R$ 10 000,00 a juros de 10% ao ano rendeu um montante de R$ 13 310,00, neste sentido, por quanto tempo durou a aplicação? Para resolver este problema vamos precisar de algebrismos do objeto matemático logaritmo. Logaritmo Acompanhe o nosso raciocínio! Pense num número digamos 6 agora perguntamos: A qual expoente devemos elevar o número 2 para obter 6? Sem muitas difculdades chegamos ao resultado 4 ou seja 24 = 6.
154
Tópicos de Matemática Elementar I
O que acabamos de azer oi encontrar o logaritmo do número 6 na base 2. Apesar de um nome um pouco assustador — logaritmo — o que se az nada mais é que a busca de um expoente. Calcular o logaritmo de um número b > numa base a > e a ≠ é simples desde que tenhamos uma maneira de escrever b como uma potência de a melhor dizendo qual expoente que devemos elevar a para obter b? No nosso exemplo: log26 = 4 pois 24 = 6.
Quando calculamos
De maneira geral simbolicamente escrevemos: loga b = x ⇔ ax = b sendo b > a > e a ≠
Pare! Observe! loga b = x, note que para qualquer base a > 0, não existe expoente para a, que nos retorne um número negativo, logo b > 0.
O número b é chamado de logaritmando; O número a é chamado de base; O número x é chamado de logaritmo.
Note que nunca podemos calcular o log1 b pois o número elevado a qualquer expoente é sempre igual a ou seja não conseguimos escrever qualquer número positivo b na base logo obrigatoriamente a ≠ . Quando a base do logaritmo or igual a não costumamos escrever a base por exemplo log10 100 escrevemos simplesmente log 100 e fca subentendido que a base é . Aos logaritmos na base damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs. Aos logaritmos que utilizam a base e (número neperiano) damos o nome de logaritmos naturais ou logaritmos neperianos. A sua notação também pode ser dierente: loge b = lg b ou ln b.
Exemplos ) Calcular log Se log = x então x = Portanto log = 3.
Unidade 6
155
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2) Calcule
.
Se
= x então
.
72 73x = 7−2 3x = −2 2 x=− 3
(73 )x =
3) Calcule log243 3 . Se log243 3 = x então
(3 ) = 3 x
243x = 3
2 2
3 =3 x = 2 x= x
4) Verifque para qual valor de x, os logaritmos abaixo existem. a) log4 (x – 6) A base já é um número positivo e dierente de logo a condição deve ser estabelecida apenas para o logaritmando:
x–6> x>6 b) log(x – 2) Como o logaritmando já é um número positivo estabelecemos apenas a condição para a base:
x–2> e x–2≠ ou x > 2 e x ≠ 3 Assim o conjunto verdade é dado por V = {x ∈ R x > 2 e x ≠ 3}. 156
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o passado! Na escala Ritcher temos o uso de logaritmos!
ocê por acaso sabe o que signifca dizer que um terremoto atingiu 5 graus na escala itcher? Na verdade este número é o logaritmo da energia liberada pelo tremor. Quem criou esta escala oi o sismologista americano Charles itcher. energia liberada por tremores é um número enorme, na casa dos bilhões. O que icher ez, oi calcular o logaritmo da energia em uma unidade chamada erg. Em seguida subtraiu 11,8 do resultado do logaritmo da energia, e por fm dividiu o resultado por 1,5. Com estas simplifcações, os valores na escala vão de 1 à 10, uma simplifcação e tanto, não é? (Nota: o número 11,8 que é subtraído do resultado do logaritmo, é um número arbitrário).
Propriedades do Logaritmo As propriedades que seguem não ditas operatórias e são usadas em dierentes momentos em que o uso dos logaritmos é indicado. Lembrar que ao usar a linguagem simbólica estamos considerando que os parâmetros literais são dimensionados de modo que o logaritmo exista. ) O logaritmo do produto de dois ou mais números em uma mesma base é a soma dos logaritmos destes números na mesma base. Simbolicamente loga (m·n) = loga m + loga n
2) O logaritmo do quociente de dois números numa mesma base é a dierença entre o logaritmo do numerador e o logaritmo do denominador na mesma base. Simbolicamente loga (m ⁄ n) = loga m – loga n
3) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente desta potência pelo logaritmo da base da potência mantendo o logaritmo na mesma base.
Unidade 6
157
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Simbolicamente loga bn = n loga b
Como propriedades gerais podemos ter: a) loga = pois a = ; b) loga a = pois a = a; c) loga am = m.
Exemplos ) Sabendo que log 2 = 3 e log 3 = 477 calcule log 24. Primeiramente atoramos o número 24 = 23·3 assim: log 24 = log (23·3) = log 23 + log 3 = 3·log 2 + log 3 = 3·3 + 477 = 38 2) Sabendo que log a = 3 log b = 477 e log c = 84 a × c . b2 Vamos usar as propriedades: calcule log
log
a × c = log( a × c ) − log(b 2 ) 2 b
= log
2 a
+ log c − 2 ⋅ logb
2 = × 3 + 84 − 2 × 477 2 = 43
= log a + log c − 2 ⋅ logb
158
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Calcule log 2 , sabendo-se que log 2 = 3. Temos: log 2 = log 2
= log 2 – log 2 = 3 – 2 × = – 699
Mudança de base de logaritmo As bases de logaritmo mais comuns são as decimais ou de Briggs e as naturais ou neperianas. Estas aparecem na maior parte das calculadoras científcas e fnanceiras.
Olhando o uturo! Se você é inseparável da sua calculadora fnanceira ou científca. arabéns! ocê tem a visão de que a tecnologia está em constantes avanços e que precisamos nos atualizar. Mas, cuidado! calculadora não raciocina e não consegue viabilizar situações sem que você assuma o comando. or exemplo, se você está diante de um logaritmo com base 4? Sua calculadora vai resolver?
Usamos a mudança de base. Acompanhe as idéias seguintes: log A B = C ⇒ A C = B
()
logD B = F ⇒ DF = B
(2)
logD A = G ⇒ DG = A
(3)
De () e (2) temos que A C = DF . Como de (3) temos que DG = A podemos reescrever:
A C = DF (DG )C = DF DGC = DF ou GC = F C =
F G
Unidade 6
159
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Assim podemos reescrever () como:
log A B =
F G
log A B =
logD B logD A
Quando D = B podemos escrever:
log A B =
logB B logB A
log A B =
logB A
ou
Exemplos ) log2 3 = 2) log3 =
log3 3 log 3 log7 3 log3 3943 = = = = = 3744. log3 2 log 2 log7 2 log2 33
log 69897 = = 464974. log3 4772
Vamos lembrar do problema do início dessa seção para constatar a importância de saber lidar com logaritmos. P3 Uma aplicação de R$ 10 000,00 a juros de 10% ao ano rendeu um montante de R$ 13 310,00, por quanto tempo durou a aplicação? Solução: Para resolver este problema vamos precisar utilizar o conceito de logaritmo. Temos:
M = 33 C = i = %
160
Tópicos de Matemática Elementar I
Assim
M = C ( + i )n 33 = ( + i )n n =
33 = 33
Para encontrarmos n vamos aplicar logaritmo: log ()n = log 33 Usando propriedades de logaritmos e usando uma calculadora temos:
n·log () = 24 n·4 = 24 n = 24 4 n ≅ 3. Ou seja o capital inicial fcou aplicado por aproximadamente 3 anos. Estamos agora prontos para discutir na seção seguinte as unções logarítmicas. Vamos discutir a unção logarítmica de orma comparativa com a unção exponencial. Vamos verifcar que essas unções são inversas uma da outra.
Ao resolver um problema prático é possível observar que podemos usar a unção exponencial ou a unção logarítmica. Por que isto acontece?
Para responder esta pergunta vamos lembrar da defnição de logaritmo. Temos: loga b = x ⇔ ax = b As operações indicadas são ditas inversas. Da mesma orma que a unção exponencial é a unção inversa da unção logarítmica ou vice-versa.
Unidade 6
Pare! Revise! A existência da inversa fica garantida, pois ambas as funções são ditas bijetoras. Veja: Se y = f (x) é uma função de A em B e se para cada y ∈ B, existir exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x), então podemos definir uma função g = f –1 tal que x = g (y).
161
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para acilitar o esclarecimento da defnição acima visualizamos a Figura 6.. Ela mostra as unções y = log2 x y = 2x e y = x. Podemos observar uma unção exponencial uma unção logarítmica e a unção linear y = x. Verifque a pereita simetria das curvas em relação a reta. f(x) 4
3
2
1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Figura 6.10 Função exponencial e logarítmica
Olhando o presente! Para reorçar as idéias acima vamos resgatar um problema prático. P4 A taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,5% ao mês (creditado mensalmente). Supondo somente este juro, se aplicarmos R$ 100,00 em quanto tempo vamos ter um saldo de R$135,00? Este problema pode ser resolvido usando-se unções exponenciais ou unção logarítmica. Temos:
M = C ( + i )n M = ( + )n M = × n Na Figura 6. podemos visualizar a unção exponencial M = × n que modela o problema e na Figura 6.2 podemos visualizar a unção logarítmica n = 4667(log M – 2) que modela o mesmo problema. A resposta do problema pode ser observada no próprio gráfco ou seja 6 meses ou anos.
162
Tópicos de Matemática Elementar I
M reais
n meses
135
60
n meses
M reais 135
60
Figura 6.11 Gráfco da unção M = × n
Figura 6.12 Gráfco da unção n = 4667(log M – 2)
Observe que se não usamos a representação gráfca podemos resolver o problema usando representação algébrica. Neste caso a unção logarítmica é recomendada. Veja como a unção logarítmica oi estruturada. Vamos escrever a inversa de M = ()n. Basta aplicar logaritmo e explicitar o valor de n. Temos: log M = log [()n] log M = log + n log n=
log M − log log
Usando a calculadora podemos obter: (observar que estamos usando logaritmo na base ).
n = 4667log
M
ou
n = 4667(log M – log ) n = 4667(log M – 2)
Unidade 6
163
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para responder a pergunta do problema basta aplicar o valor R$3 para obtermos o valor de n.
n = 4667(log 3 – log ) n ≅ 6 Temos portanto 6 meses ou 5 anos. Formalmente podemos defnir a unção logarítmica como a unção inversa da unção exponencial. Assim:
y = loga x ⇔ a y = x Observando que a > a ≠ e x > . Vamos azer uma análise conjunta das duas unções acilitando assim as reexões sobre as propriedades e características.
Função Exponencial
Função Logaritmica
Defnição: Dado um número real a tal que < a ≠ chama-se unção exponencial de base a a unção f de de R em R que associa a cada x real o número ax.
Defnição: Dado um número real a tal que < a ≠ chama-se unção logaritmica de base a a unção f de de R em R que associa a cada x real o número logax.
f : R → R+* x → ax
: R+*→ R x → loga x
O domínio da unção exponencial é f ) = R e a imagem é Im( f f ) = (+∞). D( f
O domínio da unção logarítmica é f ) = (+∞) e a imagem é Im( f f ) = R. D( f
f (x) = ax é crescente se e somente se a > (ver Figura 6.3) e decrescente decrescente se e somente se < a < (ver Figura 6.4).
f (x) = logax é crescente se e somente se a > (ver Figura 6.) e decrescente se e somente se < a < (ver Figura 6.6).
164
Tópicos de Matemática Elementar I
Função Exponencial
Função Logaritmica
Com relação ao gráfco da unção f (x) = ax , pode-se dizer que:
Com relação ao gráfco da unção f (x) = logax pode-se dizer que:
°) A curva que representa esta unção está toda acima do eixo dos x pois y = ax > para todo x ∈ R.
°) A curva que representa esta unção está todo a direita do eixo dos y já que esta unção só é defnida para x > .
2°) A curva sempre corta o eixo y no ponto de ordenada pois se x = então f () () = a = .
2°) A curva corta o eixo dos x no ponto de abscissa pois se x = então f () () = loga = .
f(x)
f(x)
2
2
1
x -2
-1
x
2
-1
-1
-2
-2
Figura 6.13 Gráfco de y = ax para a >
Figura 6.15 Gráfco de y = logax para a >
f(x)
f(x)
2
2
1
x -2
-1
1
x
2
-1
-1
-2
-2
Figura 6.14 Gráfco de y = ax para < a <
Figura 6.16 Gráfco de y = logax para < a <
As unções f (x) = ax e g (x) = loga x são inversas uma da outra. O gráfco de f (x) = ax é simétrico ao gráfco da unção g (x) = loga x em relação a reta y = x.
Unidade 6
165
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 4
Outras aplicações Vamos apresentar exemplos para fnalizar esta unidade. Observe bem os detalhes para esclarecer todos os conceitos e propriedades das unções discutidas nesta unidade.
Exemplos ) Como modelar a produção de um operário em uma ábrica. A produção de um operário em uma ábrica pode ser modelada. Por exemplo f (t ) = ( – e –kt ) sendo t o tempo em dias e k uma constante característica do contexto no qual os dados são coletados. A partir de uma inormação pontual é possível achar o valor de k. Por exemplo se o operário produzir 37 unidades em 4 dias temos:
f (4) (4) = 37 ou f (4) (4) = ( – e –k4) = 37 Podemos reescrever: – e –k4 = 37 – e –k4 = 37 – – e –k4 = – 3 3 e –k4 = Aplicando logaritmo natural: 3 –4k ≅ –3 k ≅ 34
ln e –k4 = ln
Assim a unção que modela é f (t ) = ( – e –34t ) (ver Figura 6.7).
166
Tópicos de Matemática Elementar I
f(x)
60
40
20
x 5
10
15
Figura 6.17 Gráfco de f (t ) = ( – e –34t )
Vejamos outros exemplos. 2) Em um laboratório um determinado inseto apresenta um ciclo reprodutivo de hora: a cada hora um par de inseto gera outro par. Um par oi deixado junto para reprodução. Depois de horas verifcou-se o número de insetos presentes. Qual o valor encontrado? Como modelar essa experiência? Acompanhe a análise: P = população inicial =2 P = população após hora = P·2 = P·2 P2 = população após 2 horas = P·2 = P·2·2 = P·22 P3 = população após 3 horas = P2·2 = P·2·2·2 = P·23 P4 = população após 4 horas = P3·2 = P·2·2·2·2 = P·24 P = população após horas = P4·2 = P·2·2·2·2·2 = P·2 Genericamente poderíamos dizer que para este ciclo teríamos: Pn = P·2n sendo
n = número de horas P = população inicial Pn = população após determinado número de horas
Unidade 6
167
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Qual a taxa mensal (%) para dobrar um capital em 2 anos? A expressão que devemos usar para resolver esse problema é: M = C ( + i )n
Queremos encontrar i tal que C seja duplicado ou seja M = 2C . Como queremos taxa mensal vamos usar n = 2 anos = 24 meses. Assim
2C = C (+ i )24 2 = (+ i )24 24
2 = + i i = 24 2 − i ≅ 29
Portanto temos 29%.
Síntese Nesta unidade você analisou as unções exponenciais e as unções logarítmicas. Você deve ter observado o detalhamento inicial de objetos matemáticos e operações elementares no contexto das potências raízes e logaritmo. Você deve sair dessa unidade com a certeza de que consegue visualizar situações práticas que são modeladas com unções exponenciais ou logarítmicas. Lembre-se de que você como uturo proessor de matemática deve ter prazer em manusear expressões algébricas que envolvem expoentes e logaritmos. Não esqueça de retornar ao AVA para verifcar se todas as seções desta unidade oram reetidas e analisadas. Na última unidade você vai vivenciar o estudo das unções trigonométricas. Bom trabalho!
168
Tópicos de Matemática Elementar I
Atividades de auto-avaliação Desenvolva as atividades que seguem para que você possa azer a sua auto-avaliação. As respostas discutidas estão no fnal do livro. Mas lembre-se só consulte-o após a realização de todas as atividades. Mãos a obra! ) Escreva na orma orma decimal: decimal: a) 34 b) c) 2·2
2) Escreva na notação científca: a) 72 b) 4 c) 22
3) Escreva na orma orma de uma única potência: potência:
(33 )4 b) (32 )
a) 2 ·2 –
2
c) 4 ·8·2 3
–
−2 ⋅ −3 d) − 8 ⋅
Unidade 6
169
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Calcule:
39 ⋅ 9 −2 a) 277 ⋅ 8−
) Simplifque: w 6 ⋅ z −6 a) 3 2 z ⋅w
2 ⋅ (22 )3
b)
3
72
4
x 3 ⋅ ( y 2 )3
b)
3 y 4
⋅
4 x
6) Esboce o gráfco das seguintes unções: a) f (x) = 2x
170
b) f (x) = 3x –
Tópicos de Matemática Elementar I
c) f (x) = log2 x
d) f (x) = log(½) x
7) Identifque se o as seguintes unções unções são crescentes ou decrescentes decrescentes:: x
b) f (x) = 3
x
a) f (x) = 6
3 c) f (x) = 4
2
x
e) f (x) = log3 x
d) (x) = (2) x
) f (x) = log x 3
Unidade 6
171
Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Calcule os seguintes seguintes logaritmos
243
(a) log327
(b) log3
(c) log
(d) log8 4 3
9) Determine o valor de de x:
172
(a) log(/62) = x
(b) logx 2 = 2
(c) log2 x = 8
(d) logx (8/27) = 3
Tópicos de Matemática Elementar I
) Determine o valor de x de tal modo que os seguintes logaritmos existam: (a) log3 (x + )
(b) log(7x – 2) 4
) Sabendo que log 2 = 3 calcule log2.
2) Um capital de R$ 6 é aplicado a juros compostos por 2 anos e meio à taxa de 4 % a.m. Qual o valor resultante dessa aplicação?
3) Um capital oi aplicado a juros compostos durante 3 meses à taxa de 2 % a.m. Se decorrido esse período o montante produzido oi de R$ 864 qual o capital aplicado?
Unidade 6
173
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Qual a taxa mensal (%) para quadruplicar um capital em 8 anos?
) A taxa de crescimento populacional do Brasil é de aproximadamente 2% ao ano. Em quantos anos a população irá dobrar mantendo esta taxa de crescimento?
6) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro após ingerir uma bebida. Considere que esse nível decresce de acordo com a órmula N = 2()t onde t é o tempo em horas. Quanto tempo deverá o motorista esperar se o limite permitido por lei é de 8 gramas de álcool por litro de sangue? (considerar log 2 = 3).
174
Tópicos de Matemática Elementar I
Saiba mais Sugerimos que você aça uma pesquisa na Internet para visualizar situações que são modeladas com unções exponenciais e unções logarítmicas. Como curiosidade sugerimos a leitura do artigo “Tabela Price e a Prática de Anatocismo” de Luiz Gonzada Junqueira de Aquino que poderá ser visualizado em http://www.sindecon-esp.org/br/artigos/resptabelaprice. pdt
Unidade 6
175
UNIDADE 7
Funções trigonométricas
Objetivos de aprendizagem
Identifcar unções trigonométricas em dierentes situações problemas. Desenvolver leituras gráfcas envolvendo unções trigonométricas.
Seções de estudo
Seção – Introdução Seção 2 – Relações trigonométricas no triângulo retângulo Seção 3 – Funções trigonométricas Seção 4 – Funções trigonométricas inversas
7
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa Nesta última unidade da nossa disciplina você vai ter a oportunidade de reetir sobre elementos da Trigonometria e das unções trigonométricas. Muitos conceitos aqui citados serão retomados no decorrer do seu curso em outras disciplinas por exemplo na disciplina de Trigonometria e Números Complexos. É importante você ter em mente que a Trigonometria tem uma linda história na evolução da Humanidade e seus objetos de estudo são undamentais em dierentes áreas de conhecimento. Você vai encerrar seu estudo nesta disciplina visualizando interessantes problemas reais.
178
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO
Introdução Para discutir as unções trigonométricas é necessário lembrar da trigonometria no triângulo retângulo. Assim nesta primeira seção vamos azer uma revisão para que você possa discutir com acilidade os objetos envolvidos no contexto das unções trigonométricas. Vamos iniciar discutindo o que é um índice de subida. Este conceito é conhecido pelos alpinistas pois existe uma preerência por subidas íngremes. Na Figura 7. você pode observar duas subidas. Qual é a mais íngreme?
(A)
(B)
Figura 7.1 Subidas
Com toda a certeza você vai responder que a subida mais íngreme é a subida em (A). A reerência matemática para azer a análise é a medida do ângulo de subida que no caso (A) é maior que o caso (B). É possível defnir o ângulo de subida a partir do conhecimento de pelo menos duas das medidas relacionadas com a situação: percurso altura e aastamento (ver Figura 7.2).
Unidade 7
179
Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 7.2 Medidas relacionadas com o ângulo de subida
Para discutir essa situação problema e outras situações similares são necessários objetos matemáticos no contexto da trigonometria no triângulo retângulo. Em geral o índice de subida é dado pela relação
índice de subida =
altura aastamento
Você vai observar na seção seguinte que esta relação é a defnição da tangente do ângulo de subida. Outras relações podem ser defnidas para acilitar cálculos necessários na resolução de dierentes problemas práticos A partir dessas relações podemos discutir as unções trigonométricas ou unções circulares.
Olhando o passado! trigonometria é uma parte da Matemática bem antiga. primeira tabela com razões trigonométricas oi compilada por iparco, no século II a.C. Essa erramenta matemática atendia aos interesses da astronomia, agrimensura e navegação. transição dos estudos das razões trigonométricas para as unções trigonométricas começou no século XVI com o Matemático iète e culminou no século XVIII com o trabalho de Euler.
Formalmente existe dierença entre as defnições das unções trigonométricas e das unções circulares entretanto neste texto não vamos nos preocupar com essa dierença para tal vamos ter o cuidado de trabalhar com os ângulos medidos em radianos. Para os interessados em maiores detalhes recomendamos a leitura do artigo Seno de 3 é um meio? de Renate G. Watanabe disponível na Revista do Proessor de Matemática N. 3 pg. 26 – 32 do primeiro quadrimestre de 996.
180
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 2
Relações trigonométricas no triângulo retângulo Quando estamos alando de trigonometria no triângulo retângulo os ângulos são medidos de ° (zero graus) a 8° (cento e oitenta graus) ou de a π radianos. Observe na Figura 7.3 as propriedades e as razões estabelecidas a partir do triângulo retângulo ABC.
Pare! Observe! Para todo círculo, a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante. Esta constante é denotada pela letra grega π (Pi) que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para π com 10 dígitos é 3,1415926536...
Figura 7.3 Triângulo retângulo
() O triângulo ABC é retângulo. O ângulo Aˆ é o ângulo reto (mede noventa graus). (2) A hipotenusa do triângulo dado mede a e os catetos medem b e c. (3) O cateto b é oposto ao ângulo Bˆ e adjacente ao ângulo Cˆ . (4) O cateto c é oposto ao ângulo Cˆ e adjacente ao ângulo Bˆ . () Vale o Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2. (6) Valem as relações que defnem: Seno de Bˆ
cateto oposto b sen Bˆ = ou sen Bˆ = hipotenusa a
Cosseno de Bˆ
cateto adjacente c cos Bˆ = ou cos Bˆ = hipotenusa a
Tangente de Bˆ
cateto oposto b tg Bˆ = ou tg Bˆ = cateto adjacente c
De orma similar podemos estabelecer as razões para o ângulo Cˆ : (7) A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente. (8) A secante é o inverso do cosseno. (9) A cossecante é o inverso do seno.
Unidade 7
Pare! Revise! É importante que você pare e revise o Teorema de Pitágoras.
Se considerarmos:
a = medida da hipotenusa; b = medida do cateto oposto ao ângulo B; c = medida do cateto oposto ao ângulo C. Podemos escrever:
a2 = b2 + c 2
181
Universidade do Sul de Santa Catarina
Você pode azer um jogo algébrico e ormatar várias expressões envolvendo ângulos e lados de um triângulo retângulo. Ao azer isto você estará analisando a Trigonometria no triângulo retângulo.
Olhando o passado! palavra trigonometria signifca medida dos três ângulos de um triângulo:
T três; ONO ângulos; MET medida.
palavra seno tem origem na palavra árabe jaib, que signifca dobra, bolso ou prega de uma vestimenta, portanto, não tem nada a ver com o conceito matemático. Trata-se de uma tradução deeituosa que dura até os nossos dias. palavra que deveria ser traduzida é jiba que signifca um arco de caça ou de guerra. Na tradução do árabe para o latim as consoantes jb são traduzidas para sinus e para a nossa língua seno.
Exemplos ) Observe os triângulos retângulos dados e encontre o valor de x assinalado. Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x2 = 22 + 62 x2 = 4 + 36 x2 = 4 x = 4 x ≈ 632 Pelo Teorema de Pitágoras temos: 62 = 22 + x2 36 = 4 + x2
x2 = 36 – 4 x2 = 32 x = 32 x ≈ 6
182
Tópicos de Matemática Elementar I
Olhando o presente! Veja o seguinte problema P1 O ângulo de subida (ou de elevação) do pé de uma árvore, a 30 m da base de um morro, ao topo do morro é de 60°. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo do morro? Qual a altura do morro? Na fgura 7.4 você pode observar a situação apresentada no problema P e constatar que a solução é obtida a partir do uso de uma relação trigonométrica. Para calcular o comprimento x basta aplicar a relação entre o aastamento e o comprimento:
cos 6° =
=
cateto adjacente hipotenusa 3 x
O valor do cosseno de 6 graus pode ser obtido através de uma tabela ou de orma mais rápida utilizando uma calculadora (cos 6° = )
=
3
Figura 7.4 modelo do problema P
x
× x = 3 3 x= x = 6 metros
Pare! Observe!
Para calcular a altura do morro podemos usar o Teorema de Pitágoras azendo:
x2 = 32 + h2 62 = 32 + h2 h2 = 62 – 32 h2 = 36 – 9
h2 = 27 h = 27 h ≅ 96 metros
Unidade 7
Verifique que o valor da altura do morro poderia ser encontrada utilizando-se, também a razão trigonométrica:
tg 6° =
cateto oposto cateto adjacente
183
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplos ) Um observador visualiza o ponto culminante de um morro sob um ângulo de 6 graus. Aastando-se mais 2 metros do morro visualiza o mesmo ponto sob um ângulo de 4 graus. Qual a altura do morro? (2) Triângulo DBC: h tg 6° = . x Considerando tg 6° = 3 temos h ou h = 3x 3= x Dessas relações podemos escrever um sistema:
Estamos diante de dois triângulos retângulos: () Triângulo ABC:
tg 4° =
h x + 2
Considerando que tg 4° = temos h ou h = x + 2 = x + 2
h = x + 2 h = 3x ou
x + 2 = 3x 3x – x = 2 x( 3 – ) = 2 2 x= 3 − x ≅ 2732 Portanto a altura h do morro é
h = x + 2 = 2732 + 2 = 4732 metros. 2) A 2 metros de um aeroporto tem-se uma torre com 4 metros de altura. Para segurança do vôo ao sobrevoar a torre o avião deverá estar no mínimo metros acima da mesma. Qual deve ser o ângulo de subida para que se tenha um vôo dentro dos limites de segurança? Na Figura 7. apresenta-se um modelo para auxiliar a visualização do problema.
184
Tópicos de Matemática Elementar I
Figura 7.5 Modelo do problema do exemplo
Considerando os dados do problema podemos dizer que a altura h é igual a:
h = 4 + = 4 metros. Do triângulo retângulo que modela o problema temos o valor do cateto oposto (altura h) e do cateto adjacente (aastamento horizontal). Assim podemos escrever:
tg θ =
altura h 4 = = 27. aastamento horizontal 2
Usando uma tabela ou uma calculadora vamos verifcar que o ângulo de subida denotado por θ mede aproximadamente °. 3) Uma aplicação bastante interessante e atual do Teorema de Pitágoras é nos ractais. Na Figura 7.6 (A) apresenta-se um ractal 2 e na Figura 7.6 (B) o modelo que mostra nitidamente os quadrados que são usados para a demonstração do Teorema de Pitágoras de orma geométrica (ou através de recortes de fguras).
(A)
(B)
Figura 7.6 Fractal Fractais são estruturas geométricas de grande complexidade e muita beleza ligadas às ormas da natureza ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o todo infnitamente multiplicadas dentro de cada parte escapando assim da compreensão em sua totalidade pela mente humana. 2
Unidade 7
185
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É possível constatar a presença do Teorema de Pitágoras na Figura 7.6. Observe a Figura 7.7 e compare. Para mostrar o Teorema de Pitágoras através da Figura 7.7 basta recortar o quadrado de lado b nas quatro partes assinaladas e em conjunto com o quadrado de lado a aça a composição do quadrado de lado c . Ao fnal deste livro você pode recortar um modelo para azer sua experiência.
Figura 7.7 Teorema de Pitágoras
Olhando o uturo! ocê deve ter percebido como é importante uma calculadora para o desen volvimento rápido das situações problemas. Cabe observar que o uso da calculadora, neste contexto, quase sempre vai nos apresentar um resultado com aproximação numérica, pois os valores das unções trigonométricas são usados de orma aproximada.
SEÇÃO 3
Funções trigonométricas Geralmente as unções trigonométricas são introduzidas a partir de um círculo de raio denominado de círculo trigonométrico. Na Figura 7.8 apresenta-se um círculo trigonométrico com todas as unções representadas geometricamente a partir do triângulo OAP. Observe que nesse triângulo a hipotenusa mede unidade de medida.
186
Tópicos de Matemática Elementar I
Figura 7.8 Círculo trigonométrico
As relações trigonométricas estabelecidas no triângulo retângulo apresentado na seção anterior podem ser novamente estabelecidas e fcam geometricamente representadas por segmentos. Por exemplo:
sen α =
medida de AP = medida de AP ou medida de OB medida de OP
cos α =
medida de OA = medida de OA ou medida de BP medida de OP
Observe que estamos trabalhando no plano cartesiano e portanto podemos ampliar a análise para os demais quadrantes.
As unções trigonométricas Basicamente no item anterior já defnimos as unções trigonométricas. As unções seno e cosseno podem ser defnidas a partir do círculo trigonométrico e as demais em termos de seno e cosseno.
Unidade 7
187
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Função Seno e Função Cosseno Considere x um número real que representa a medida em radianos de um ângulo central desenhado no círculo trigonométrico como mostra a Figura 7.9. Observe que o ponto P é a interseção de um dos lados do ângulo com a circunerência. Denominamos de seno de x a ordenada OP do ponto P e cosseno de x a abscissa OP2 do ponto P. Assim podemos escrever:
P = (OP OP2 ) = (sen x cos x).
Figura 7.9 Círculo trigonométrico.
É possível variar o valor do x para estabelecer o gráfco das unções. Observe o comportamento da unção seno e da unção cosseno na tabela que segue e nos gráfcos da Figura 7. e 7.. Vamos trabalhar com valores múltiplos de π pois daqui para rente vamos utilizar a unidade radianos para medir os ângulos.
188
Tópicos de Matemática Elementar I
sen x = OP1 866 866 – –866 – –866 –
x π⁄6 π⁄3 π⁄2 2π⁄3 π⁄6 π 7π⁄6 4π⁄3 3π⁄2 π⁄3 π⁄6 2π
cos x = OP2 866 – –866 – –866 – 866
Observe que:
(x)
x – 3p 2
–p –
p
p
2
2
p
3p 2
2p
() o domínio da unção seno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto [–]; (2) tem intervalos de crescimento e decrescimento.
–
Figura 7.10 Função Seno (senóide)
Observe que:
(x)
x – 3p 2
–p –
p
p
2
2
p
–
3p 2
2p
() o domínio da unção cosseno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto [–]; (2) tem intervalos de crescimento e decrescimento.
Figura 7.11 Função Cosseno (cossenóide)
Unidade 7
189
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Defnição: Dizemos que uma unção é periódica se existe um número real T ≠ 0 tal que f (x + T) = f (x) para todo x ∈ D( f ). Ao observar o gráfco de uma unção periódica você verifca que se repete a cada intervalo de comprimento | T |.
Pare! Observe! Observe bem os gráficos e verifique que existe uma repetição do formato no decorrer de todo o domínio. Essa característica está relacionada com o fato das funções trigonométricas serem periódicas.
Exemplos ) A unção seno é periódica de período 2π. Assim sen (x + 2π) = sen x. 2) A unção cosseno é periódica de período 2π. Assim cos (x + 2π) = cos x. Uma característica muito interessante da unção seno e da unção cosseno está relacionada com a paridade. Para todos os reais vale: sen x = – sen (–x) e cos x = cos (–x) Pode-se dizer que a unção seno é uma unção ímpar e a unção cosseno é uma unção par. Confra essa afrmação na seguinte defnição.
Defnição: Uma unção f (x) é par, se para todo x no seu domínio temos f (x) = f (–x). Uma unção é ímpar se, para todo x no seu domínio temos f (x) = – f (–x).
Observe a seguir as demais unções trigonométricas que são defnidas em unção de seno e cosseno. Tem-se:
(x)
tg x = x – 3p 2
–p –
p
p
2
2
Figura 7.12 Função tangente
190
p
3p 2
2p
sen x cos x
() domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x ≠ ; (2) periódica de período π; (3) sempre crescente; (4) unção ímpar.
Tópicos de Matemática Elementar I
Tem-se:
(x)
cotg x = x – 3p 2
–p –
p
p
2
2
p
3p 2
2p
cos x sen x
() domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x ≠ ; (2) periódica de período π; (3) sempre decrescente; (4) unção ímpar.
Figura 7.13 Função cotangente
4
Tem-se:
(x)
3
sec x =
2 x – 3p 2
–p –
p
2
p
p
2
–
3p 2
2p
–2 –3 –4
cos x
() domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x ≠ ; (2) periódica de período 2π. (3) possui intervalos de crescimento e de decrescimento; (4) unção par.
Figura 7.14 Função secante
4
Tem-se:
(x)
3
cossec x =
2 x – 3p 2
–p –
p
2
p
–
2
p
3p 2
–2 –3 –4
2p
sen x
() domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x ≠ ; (2) periódica de período 2π; (3) possui intervalos de crescimento e de decrescimento; (4) unção ímpar.
Figura 7.15 Função cossecante
Unidade 7
191
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Exemplos ) Usando um sotware desenvolva o gráfco dos conjuntos das unções dadas e identifque domínio conjunto imagem e período. (a) y = sen x; y = sen 2x; y = sen 3x. Para resolver esse exercício vamos usar o sotware Graph. Porêm você pode utilizar outro sotware de sua livre escolha. Veja as fguras geradas para o intervalo de [–2π2π].
f(x)
f(x)
f(x)
1
1
1
x
x
x
–1
–1
–1
Figura 7.16 Gráfcos de y = sen x; y = sen 2x; y = sen 3x.
Observe que:
o domínio de todas as unções é o conjunto dos reais; o conjunto imagem de todas as unções é o intervalo [–]; o período da unção y = sen x é 2π; o período da unção y = sen 2x é π π e o período da unção y = sen 3x é 2 . 3
Portanto ao multiplicar o valor de x da unção y = sen x por um número real vamos observar que o período da unção fca 2π dividido por este número.
192
Tópicos de Matemática Elementar I
(b) y = |sen x|
f(x)
Veja o gráfco gerado no sotware ao colocarmos para variar entre [–2π2π]. Tem-se que:
1
o domínio é o conjunto dos reais; o conjunto imagem é []. o período é π
x
–1
Figura 7.17 Gráfco de y = |sen x|.
Olhando o presente! Você sabia que na sua viagem de negócios ou de passeio a trigonometria acompanha você? P2 Como modelar matematicamente a situação de um avião voando a 240 mi/h (milhas por hora) com proa de 60 graus com um vento de 30 mi/hora de 330 graus? Antes de discutir este problema é importante azer alguns esclarecimentos de nomenclatura (acompanhe nas Figuras 7.8 e 7.9):
Proa de um avião é a direção para o qual o avião está apontando. A proa é medida no sentido horário a partir do norte e expressa em graus e minutos. No problema tem-se 6 graus. Velocidade no ar (determinada na leitura do indicador na aeronave) é a velocidade do avião em ar parado. Rota do avião é a direção na qual ele se move em relação ao chão. Ela é medida no sentido horário a partir do norte. Velocidade de solo é a velocidade do avião em relação ao solo. Ângulo de deriva (ou ângulo de correção do vento) é a dierença (positiva) entre a proa e a rota.
Unidade 7
193
Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 7.18 Modelagem do problema P2
Figura 7.19 Triângulo retângulo OBC
Podemos calcular a velocidade de solo representada pela hipotenusa no triângulo retângulo OBC. Onde temos:
v2 = 242 + 32 v2 = 8 v ≅ 2487 milhas/hora Para encontrar a rota é necessário encontrar o ângulo θ. Temos que: tg θ =
3 = 2. 24
Usando a calculadora podemos verifcar que o ângulo θ é aproximadamente igual a 7 graus. Assim Rota = 6° + 7° = 67°.
194
Tópicos de Matemática Elementar I
SEÇÃO 4
Funções trigonométricas inversas Você já discutiu as unções inversas na seção 4 da Unidade 2. Agora vamos analisar a existência das unções trigonométricas inversas. Num olhar inicial pode-se dizer que é impossível defnir unção inversa para cada uma das unções trigonométricas pois a cada valor de y corresponde uma infnidade de valores de x. Para ormalizar a defnição das unções inversas é necessário azer restrição no domínio. Veja como fca inicialmente a inversa da unção seno.
Função arco seno π π
Vamos redefnir a unção f (x) = sen x para o domínio − . Assim a 2 2 unção inversa de f (x) será chamada de unção arco seno e denotada por y = arcsen x. Tem-se que para cada x ∈ [–] corresponde y ∈ − π π 2 2 valendo a seguinte equivalência:
y = arcsen x ⇔ sen y = x Observe o gráfco da Figura 7.8 para identifcar as seguintes características dessa unção:
D(arcsen x) = [–];
π π Im(arcsen x) = − ; 2 2
unção sempre crescente.
f(x) p
2
x
–
–p 2 Figura 7.20 Função arco seno
Unidade 7
195
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe as demais unções trigonométricas inversas Função arco cosseno
f(x) p
Para ≤ y ≤ π temos:
y = arcsen x ⇔ x = cos y p
2
Observe que esta unção é decrescente em todo o seu domínio. x
–
Figura 7.21 Função arco cosseno
Função arco tangente
f(x) p
2
Para –
π 2
< y <
π 2
temos:
y = arctg x ⇔ x = tg y x
Esta unção é sempre crescente.
–p 2
Figura 7.22 Função arco tangente
Função arco cotangente Para < y < π a unção inversa da tangente pode ser defnida como:
y = arccotg x =
Figura 7.23 Função arco tangente
196
π – arctg x 2
Essa unção é sempre decrescente portanto pode ser a orma de um escorregador.
Tópicos de Matemática Elementar I
Função arco secante Pode-se defnir a unção arco secante como:
y = arcsec x = arccos
x
Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que | x | > .
Figura 7.24 Função arco secante
Função arco cossecante Pode-se defnir a unção arco secante como:
y = arccosec x = arcsen
x
Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que | x | > .
Figura 7.25 Função arco cossecante
Exemplos No contexto do seu dia-a-dia você exercita o uso das unções inversas quando precisa saber o valor do ângulo a partir do seno cosseno ou tangente. Retome o problema P2 e constate que este conceito oi usado: tg θ =
3 = 2 24
θ = arctg 2 θ = 24 radianos. Podemos converter para graus lembrando da relação: π radianos = 8 graus. Assim para transormar radianos em graus usamos: Medida do ângulo em graus =
medida do ângulo em radianos × 8°
π
medida do ângulo em radianos × 8° 34 = medida do ângulo em radianos × 732
=
Unidade 7
197
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observar que estamos trabalhando com valores aproximados. Assim:
θ = arctg 2 θ = 24 radianos ou θ ≅ 7 graus
Parada Recreativa! No domingo dois amigos se encontraram rapidamente na rua movimentada. — Olá como vai? — Puxa cara! Que corrida. Minha vida deu uma virada de 36°. — Ah! Ah! Ah! Que piada! Conta outra. Você sabe por que ele fcou rindo?
198
Tópicos de Matemática Elementar I
Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar as unções trigonométricas que possuem aplicações em várias situações. Em especial as unções trigonométricas são trabalhadas em matemática mais avançada modelando enômenos ísicos que têm a característica de periodicidade. Com o estudo desta unidade você encerra a sua disciplina. Lembre que os objetos discutidos ao longo das unidades mostram a beleza e a grandeza da Matemática enquanto erramenta para modelar problemas e também para auxiliar no desenvolvimento de novas idéias. Não deixe de passar no AVA para verifcar se suas atividades estão todas prontas e revisadas. Aproveite e coloque suas últimas considerações relacionadas com o desenvolvimento desta disciplina no órum fnal da disciplina. Até a próxima disciplina!
Unidade 7
199
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação ) Faça o gráfco e analise as características e propriedades das unções: (a) y = + sen x x (b) (x) = cos
2
(c) g (x) = 2tg(x)
200
Tópicos de Matemática Elementar I
2) Uma escada rolante liga dois pisos de uma loja de departamentos e tem uma inclinação de 3°. Sabendo que o comprimento linear da escada é de 2 m qual é a altura entre os dois pisos da loja?
3) Ted e Mad ao azer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 4 graus. Ao caminharem mais metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 6 graus. Qual é a altura do morro?
4) Qual é o tamanho da sombra de um prédio de metros de altura quando o sol está 2 graus acima da linha do horizonte?
Unidade 7
201
Universidade do Sul de Santa Catarina
) Uma escada apóia-se na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do ediício. A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela az um ângulo de 7 graus com o chão?
6) Do topo de um arol 2 metros acima do nível do mar o ângulo de depressão de um barco é graus. Qual é a distância do arol ao barco?
202
Tópicos de Matemática Elementar I
7) Na fgura 7.26 tem-se que: CD = cm BC = 4 cm AB = 32 cm AC = x cm BD = y cm Figura 7.26 Triângulos retângulos
Pergunta-se: a) b) c) d)
Qual o valor de x? Qual o valor de y? Quais são os valores das unções trigonométricas do ângulo α? Quais são os valores das unções trigonométricas do ângulo β?
Unidade 7
203
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais Se você fcou interessado em conhecer mais detalhes sobre as unções trigonométricas ou sobre a história da trigonometria recomendamos que você aça uma busca na Internet. Observe que este é um dos temas preeridos em sites que discutem objetos matemáticos. Vale a pena conerir! Em especial recomendamos:
http://www.dapp.min-edu.pt/nonio/soteduc/sot3/circ. htm para obter um sotware livre e http://www.cecm.su. ca/projects/ISC/data/pi.html para constatar 10000 dígitos do número Pi.
204
Para concluir o estudo Você concluiu o estudo desta disciplina que é parte integrante do primeiro semestre do seu curso. Para fnalizar gostaríamos de deixar uma mensagem destacando a importância dos conteúdos desta disciplina como alicerces básicos para outras disciplinas do contexto da Matemática além da aplicação direta na resolução de problema do dia-a-dia. Lembre-se sempre que todos os conteúdos de matemática inseridos em seu curso serão discutidos por você no exercício da sua utura profssão e portanto o seu olhar deve ir além dos conteúdos. É necessário iniciar o processo de repensar a prática educativa. Aproveite bem as estratégias metodológicas da EAD relacionadas com o uso de dierentes mídias e tecnologias para ocar uma educação inovadora que vai além dos conteúdos. Uma educação que preconiza um cidadão ético e crítico. Talvez você ainda não tenha essa percepção mas a Matemática delineia uma visão socializadora pois exercita a mente apontando dierentes caminhos para a resolução de problemas. Siga em rente! Discuta sistematicamente com a equipe de proessores tutores de seu curso amadureça as idéias e concretize o seu ideal profssional. Uma boa caminhada para você!
205
Referências ANTON Howard. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman 2. EVES Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP 99. FLEMMING D. M. ; LUZ E. F. Representações gráfcas. São José: Saint Germain 23. FLEMMING Diva Marília; GONÇALVES Mirian Buss. Cálculo A: unções limite derivação integração. São Paulo: Makron Books 992. FRAGOSO Wagner da Cunha. Uma abordagem da equação do 2º. grau. Revista do Proessor de Matemática. São Paulo n. 43 p.2-2 2º. quadrimestre de 2. IFRAH Georges. Os números: história de uma grande invenção. 8. ed. São Paulo: Globo 996. KLINK Amyr. Mar sem fm: 36° ao redor da Antártica. São Paulo: Companhia das Letras 2. WATANABE Renate G. Seno de 3 é um meio? Revista do Proessor de Matemática, n. 3 p. 26 – 32 º. quadrimestre de 996.
206
Sobre os professores conteudistas Diva Marília Flemming é doutora em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). É mestre em Matemática Aplicada e graduada em Matemática ambos pela UFSC. Já atuou no ensino de disciplinas em cursos de administração na Universidade para o Desenvolvimento do Estado de SC (UDESC) como proessora convidada. Aposentada como proessora pela UFSC atualmente é proessora e pesquisadora na Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL). No contexto do ensino de Matemática tem desenvolvido suas atividades na Unisul com alunos dos cursos de Engenharia e de Matemática. É autora de livros de Cálculo Dierencial e Integral adotados em vários estados do Brasil. Como pesquisadora no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM-UNISUL) dedica-se à Educação Matemática com ênase nos recursos tecnológicos. Realiza trabalhos interdisciplinares no Mestrado em Educação da Unisul como proessora e como orientadora de dissertações. Sua atual paixão profssional está nos desafos da educação a distância realizando experimentos na ormação de proessores de Matemática. Atualmente coordena o primeiro curso de especialização implantado na Unisul na modalidade a distância: Curso em Educação Matemática e é autora de vários livros no contexto da UnisulVirtual. Elisa Flemming Luz é doutora em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) mestre em Engenharia Elétrica e graduada em Engenharia Elétrica ambos pela UFSC. Atua como proessora da Unisul desde 996 ministrando disciplinas na área da Matemática para os cursos de engenharia. Ministra disciplinas em cursos de especialização presenciais e a distância. É pesquisadora do Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM-UNISUL) desenvolvendo atividades de pesquisa na área da Educação Matemática. Atua na educação a distância no gerenciamento de projetos como designer instrucional de cursos a distância. É autora e tutora de materiais didáticos e atualmente trabalha na equipe de capacitação e apoio pedagógico à tutoria.
207
Christian Wagner é mestre em Física-Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e bacharel em Matemática e Computação Científca pela UFSC. Foi proessor substituto na UFSC entre 2 e 23. Proessor horista da Unisul desde 2; atualmente atua no Núcleo de Estudos em Educação Matemática (NEEM-UNISUL) nas atividades de ensino e extensão voltadas para as difculdades de aprendizagem da matemática. No contexto da pós-graduação atua na especialização em educação Matemática na modalidade a distância como autor e tutor de disciplinas.
208
Respostas e comentários das atividades de auto avaliação Unidade 1 ) Eetue as operações indicadas: 2 (a) + 3 6
2 2 ⋅ 2 + ⋅ + = 3 6 6 4+ 9 3 = = = 6 6 2
(c) ÷
3 4
3 4 4 ÷ = × = 4 3 3
(b)
2 – 9 7
2 ⋅ 7 − 2 ⋅ 9 − = 9 7 9 ⋅7 7 − 8 − = = 63 63
(d)
9 –
4
4 4 3 4 9 − =3− = − 3 ⋅ − 4 − 4 = = =
209
Universidade do Sul de Santa Catarina
– 3 4
(e)
3 3 × 3 × = = = 4 3 4 × 3 2 4
− 3 = 2 − 3 = − 4
7 ×3 + 2 3
(g)
(h)
3 ÷ 4 3
3 3 3 3×3 9 ÷ = × = = 4 3 4 4 × 2
7 9+7 × 3+ = × 2 3 2 3 6 = × 2 3 ×6 6 8 = = = 2×3 6 3 7
6 7
(i)
3 × 4 3
()
(j)
3
3 × 3 = ÷ = × = 3 × 3 3 = =6
7
6 = 7 ÷ 7 = 7 × = 7 × 7 6 6 7 6 ×7 7 = = 42 6
2) O salário do uncionário de uma empresa é igual a R$2. No mês de suas érias ele recebe o seu salário mais reerente às érias. Quanto 3 ele receberá?
Vamos calcular 3
3
de R$ 2
de R$ 2 = ×2 = 3
2 = 4 3
Assim o uncionário receberá no mês de suas érias R$2 + R$4 = R$6.
210
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Mário trabalhou 7 meses numa empresa com salário de R$ 6. Por isso recebeu a quantia igual a de 7 de um salário correspondente 2 à parte do 3º salário. De quanto oi a quantia recebida?
Para determinar a quantia recebida é preciso calcular 7 × 6 = 2
42 = 3 2
7 2
de R$ 6:
Assim Mario recebeu R$3 reerente à parte do 3o salário.
4) Se
2
correspondem a 8 a quanto corresponde um inteiro?
2 → 8 = → x
2 ⋅ x = 8 ⋅ 2 ⋅ x = 8 x = 8 ⋅ = 4 2
Assim um inteiro será igual a 4.
) O tanque do carro está seco. Se pusermos 4 litros num carro que roda em média 74 km/l conseguiremos chegar a um hotel 98 quilômetros distante? Vamos calcular a distância que o carro roda se fzer a média estabelecida e se pusermos 4 litros: 74 km/l 4 l = 33 km Se o carro consegue rodar 33 km então com certeza chegará ao hotel que fca a 98 quilômetros de distância do início do percurso.
211
Universidade do Sul de Santa Catarina
6) Numa receita de bolo usa-se litros de leite sendo que 2 dessa quantidade vai no recheio. Que ração do litro é usada no recheio? No recheio usa-se 2 de litros de leite. Isto pode ser escrito da seguinte orma: 2 de = 2 × = 2. Assim utiliza-se 2 litros de leite no recheio. Veja que esta quantidade corresponde a 8 do litro.
7) Uma mãe deu dinheiro aos três flhos dizendo que era um terço para cada um. O primeiro flho gastou só um terço da sua parte. Que ração do total ele gastou? Se o primeiro flho gastou 3 de sua parte então ele gastou · = . 3 3 9 Então ele gastou do valor total. 9
3
de 3 :
8) Um clube tem 6 associados 8 dos quais com menos de anos de idade. Esses jovens correspondem a que ração do quadro de associados? Vamos colocar os dados do problema na regra de três:
6 associados → 6x = 8 ⋅ 8 associados → x 6x = 8 8 3 x= = 6
212
Os jovens com menos de anos de idade correspondem a 3 do quadro de associa dos. Veja que esta ração corresponde a 3% do número total de associados do clube.
Tópicos de Matemática Elementar I
9) Em uma aplicação fnanceira tem-se rendimento igual a % ao mês sendo descontada uma taxa anual fxa relativa à administração igual a % do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$6 e aplica este dinheiro durante um ano e meio qual será o seu saldo fnal? Inicialmente vamos calcular o valor do rendimento mensal que é igual a % de R$6:
6 de 6 = × 6 = = 6 O rendimento é igual a R$6 por mês. Em um ano e meio ou seja em 8 meses temos: 8 × 6 = 8 o que indica que o rendimento total será de R$8. A taxa de administração é dada por % do depósito inicial e é cobrada anualmente: No o ano: % de 6 =
× 6 × 6 = = 3 .
No 2o ano: % de 6 =
× 6 × 6 = = 3 .
Assim o saldo fnal será calculado pela soma entre o depósito inicial e os rendimentos subtraindo-se os valores relativos à taxa de administração: R$6 + R$8 – (R$3 + R$3) R$6 + R$8 – R$6 R$78 – R$6 R$648
213
Universidade do Sul de Santa Catarina
) Numa pesquisa de intenção de voto realizada com pessoas de uma cidade obteve-se os seguintes resultados apresentados na tabela ao lado: Número de pessoas Candidato A 32 Calcule os valores percentuais Candidato B x da pesquisa realizada. Indecisos 74 Se a pesquisa oi realizada com pessoas então já é possível determinar a variável x uma incógnita na tabela:
= 32 + x + 74 x = – 32 – 74 x = 294
Portanto a tabela pode ser reescrita como: Número de Valor percentual pessoas Candidato A
32
A = ·32 A =
32
= 264%
Candidato B
294
B = ·294 B =
294
= 88%
Indecisos
74
I = ·74 I =
→ % 32 → A%
→ % 294 → B%
74
= 48%
→ % 74 → I%
) Um incêndio destruiu 3% da área verde de uma oresta. Se 2% desta oresta é ormada por rios e riachos e o restante somente por área verde qual o percentual da oresta atingida pelo ogo? É possível equacionar as considerações do problema para determinar o percentual de área verde que a oresta possui. Assim temos: %(área total da oresta) – 2%(rios e riachos) = 8% de área verde. Isto signifca que a oresta possui 8% de área verde. Para calcular o percentual atingido pelo ogo basta calcular 3% destes 8%: 3% de 8% = 3 × 8 = 3 × 8 = 24 = 24% da oresta.
Assim 3% da área verde correspondem a 24% da oresta. O incêndio atingiu 24% da área total da oresta. 214
Tópicos de Matemática Elementar I
2) Resolva as seguintes equações: 3x + (a) (b) 3x + 3 = –2 = −x
3x + = −x 3x + x = − 8x = − x=− 8
(c)
3x + 3 = −2 3x = −2 − 3 3x = − x = − = − 3
2x + = x −4 2
(d) x2 + 2x – 3 =
2 ⋅ (2x + ) = x − 4 4x + = x − 4 4x − x = −4 − 3x = −4 4 x=− 3
Para resolver a equação do segundo grau vamos usar a órmula de Bhaskara: Δ = b2 – 4ac = 22 – 4··(–3) Δ = 4 + 2 = 6
− 2 ± 6 − 2 ± 4 = 2a 2 ⋅ 2 −2 + 4 −2 − 4 x = = x2 = = −3 x=
−b ± ∆
=
2
2
Assim a solução desta equação é igual a e –3.
(e) ( x − 3) x + = 2
() (2x – )(4 – x) =
Observe que esta é uma equação do segundo grau que está escrita na orma atorada. Desta orma para resolvê-la basta igualar seus atores a zero:
(x − 3) = x+ = x =3 2 x =− 2
Assim como no item anterior vamos igualar os atores a zero:
(2x − ) = 2x = (4 − x ) = −x = −4 x= 2 x=4 A solução é igual a e 4. 2
Assima solução é igual a 3 e – 2 215
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 2
) Calcule f () e ( 2 ) para as unções representadas algebricamente por: x + (a) f (x) = x2 – x + (b) f (x) = x −
Para calcular f () e ( 2 ) basta substituir x = e x = cadas. f () = 2 − + = 2
f = − + 2 2 2 − 2 + 4 3 = = 4
4
2
nas unções indi-
+ = = − − − + 2 3 + f = 2 = 2 = 2 2 − − 2 − 2 2 2 3 2 6 = ⋅ = = −3 2 − −2 f () =
2) A unção que expressa o custo total em reais de abricação de um produto é dada por C (q ) = q 3 – q 2 + q + sendo q o número de unidades do produto. (a) Calcule o custo de abricação de cinco unidades. (b) Qual o custo de abricação da quinta unidade? a) O custo de abricação de unidades é calculado azendo-se C(). Assim temos: C() = 3 – ∙2 + ∙ + = 2 – 2 + + = 47 Assim o custo de abricação de cinco unidades é igual a R$47. b) Para calcular o custo da quinta unidade é necessário azer a dierença entre o custo de cinco unidades e o custo de quatro unidades: C() = 3 – ∙2 + ∙ + = 2 – 2 + + = 47 C(4) = 43 – ∙42 + ∙4 + = 64 – 6 + 4 + = 44 C() – C(4) = 47 – 44 = 7 Assim o custo da quinta unidade será de R$7.
216
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Sejam as unções representadas grafcamente nas fguras 2.4 e 2.:
f(x)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
Figura 2.14 Gráfco de f (x).
g(x)
10
5
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 2.15 Gráfco de g (x).
217
Universidade do Sul de Santa Catarina
Complete a tabela com as características e propriedades das unções f (x) e g (x).
(x)
g(x)
Domínio
x ∈ (–∞6)∪(6+∞) ou x ∈ R – {6}
x ∈ (–∞)∪(+∞) ou x ∈ R – {}
Conjunto imagem
y ∈ (–∞3)∪(3+∞) ou x ∈ R – {3}
y ∈ (+∞)
O zero da unção é igual a 3 pois a unção cruza o eixo x no ponto em que x = 3.
A unção não possui zero ou raiz.
Função positiva: x > 3 Função negativa: x < 3.
A unção é toda positiva.
Intervalo de crescimento
A unção é crescente para todos os valores de x.
x ∈ (–∞)
Intervalo de decrescimento
A unção não possui intervalo de decrescimento.
x ∈ (+∞)
Zero ou raiz
Sinal da unção
4) Determine a representação algébrica da unção inversa de: (a) f (x) =
x
2
+3
x=
y
x −3=
y
2
+3
2
2(x − 3) = y y = 2x − 6
218
(b) y = 4 – x x = 4 −y x − 4 = − y y = y =
x −4
− 4−x
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 3 ) Identifque as seguintes unções quanto ao seu tipo: (a) f (x) = –3x
Função linear
(b) h (t ) = – 4t Função afm (c) s (t ) = t
Função identidade
(d) g (x) = 2x + Função afm 2) Encontre a lei de ormação para a unção que associa a qualquer número x um valor x adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por . Valor de x adicionado de 2: x + 2 Resultado multiplicado por : ·(x + 2) Logo a unção procurada é dada por: f (x) = x + .
3) Na abricação de um determinado bem verifcou-se que o custo total oi obtido a partir de uma taxa fxa de R$ . adicionada de um custo de produção de R$ por unidade. Determine a unção custo total em relação a quantidade produzida e o custo de abricação de unidades. Custo Fixo: CF = Custo variável: CV = ∙x onde x é a quantidade produzida. Função Custo Total: C(x) = CV + CF C(x) = ∙x + O custo para a abricação de unidades é dada por C() logo C() = ∙ + = 6 Assim o custo para a abricação de unidades é de R$ 6..
219
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Um locadora de carros cobra R$ o aluguel de um carro mais R$ 2 por quilometro rodado. Determine. (a) O preço a ser pago para rodar km. (b) O preço a ser pago para rodar 3 km. (c) Qual a unção que modela esta situação?
(a) O preço a ser pago para rodar km é dado por: +∙2 = 7 ou seja 7 reais. (b) O preço a ser pago para rodar 3 km é dado por: + 3∙2 = 2 ou seja 2 reais. (c) A unção que modela este problema é f (x) = 2∙x + onde x é o quilometro rodado.
) Seja s (t ) = –4 + 8t determine: (a) (b) (c) (d)
O gráfco de s(t ). O domínio e a imagem de s(t ). Se a unção s(t ) é crescente ou decrescente. O sinal da unção s(t ).
(a) Na fgura ao lado temos o gráfco da unção
s(t) 36
32
(b) Como se trata de uma unção do primeiro grau tem-se que:
28
24
D(s) = R e Im(s) = R
20
16
(c) Como a = 8 > a unção s(t ) é crescente.
12
8
4
(d) A unção é positiva quando
t -1
s(t ) > ⇒ –4 + 8t > ⇒ ⇒ 8t > 4 ⇒ t > ½ ou seja t ∈ (½ +∞)
1
2
3
-4
-8
A unção é negativa quando
s(t ) < ⇒ –4 + 8t < ⇒ 8t < 4 ⇒ t < ½ ou seja t ∈ (–∞½ ) 220
4
5
Tópicos de Matemática Elementar I
6) Uma pequena ábrica de móveis tem como seu principal produto a abricação de banquetas. Cada banqueta é vendida ao preço de R$ 2. A ábrica tem um custo fxo mensal de R$ . em aluguel de máquinas conta de luz compra de material e pagamento de uncionários. A mesma gasta R$ para abricar cada banqueta. Determine: (a) A unção Receita Total e Custo Total. (b) A unção Lucro Total. (c) Qual o ponto de nivelamento. (d) Se a venda mensal or de banquetas. A ábrica obterá lucro ou prejuízo? (e) Qual a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R$ .? () Qual o lucro para a venda de 76 banquetas mensais?
(a) Considere x a quantidade. Assim se cada banqueta é vendida a 2 reais tem-se que a receita total é dada por: R(x) = 2∙x Custo fxo: CF = Custo variável: CV = x Custo total: C = C V + CF ou seja C(x) = x + (b) O lucro total é dado por: L = R – C então: L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 2x – (x + ) L(x) = x – (c) Ponto de nivelamento ou de equilíbrio: R = C então: 2x = x + x = x = Portanto o lucro será zero quando orem vendidas banquetas. (d) Como a venda de banquetas nos dá um lucro de zero não obteremos nem lucro nem prejuízo. (e) Quantidade que deve ser vendida para um lucro de R$ .. = x – x = 6 x = 6 Assim a venda de 6 banquetas acarreta um lucro de R$.. () Neste caso x = 76 então devemos calcular L(76) ou seja L(76) = ·76 – L(76) = 76 – L(76) = 26 O lucro para a venda de 76 banquetas é R$2.6. 221
Universidade do Sul de Santa Catarina
7) A quantidade demandada de um bem é de q d = – p e a quantidade oertada é de q o = – + 2 p. Discuta o preço de equilíbrio algebricamente e geometricamente. O preço de equilíbrio ocorre quando q d = q o então – p = – + 2 p 3 p = 6 p = 2 Geometricamente é mostrado nos gráfco que segue. Observar que estamos trabalhando somente com valores positivos. q
6
qo =-1+2p 4
2
qd =5-p
p -1
222
1
2
3
4
5
6
7
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 4 ) Encontre uma unção f que associa a cada número x o seu quadrado mais o seu dobro mais uma unidade. Em seguida encontre f (–) f () e f ().
f (x) = x2 + 2x + f (–) = (–)2 + 2∙(–) + = f () = 2 + 2∙ + = f () = 2 + 2∙ + = 4
2) Trace o gráfco das seguintes unções: (a) y = x2 –2x –3 y 5 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 -5
(b) y = –x2 +2x – 4 y 4 3 2 1 -4
-3
-2
-1
x 1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
223
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Seja p = – 2x onde x é quantidade demandada e o preço é p encontre a unção receita total esboce o seu gráfco e em seguida encontre o valor de x para que a receita seja máxima. A unção Receita é dada por R(x) = p∙x R(x) = ( – 2x)x R(x) = x – 2x2 Trata-se de uma unção do segundo grau com a concavidade voltada para baixo portanto esta unção atinge o seu máximo no vértice.
b − ∆ = − − 2 = (2;32) 2a 4 a 2 ⋅ ( −2) 4 ⋅ ( −2)
V −
Devem ser vendidas 2 unidades para que a receita seja máxima. Caso o produto não possa ser particionado o valor deve ser arrendondado para 3 unidades. Veja o gráfco. y 350 300 250 200 150 100 50
x -5
5 -50
224
10
15
20
25
30
Tópicos de Matemática Elementar I
4) Seja f (x) = x2 – 7x + . Analise as propriedades e características (Domínio imagem concavidade raízes vértice crescimento e decrescimento e o sinal da unção) e esboce o gráfco de f . Temos as características da unção que podem ser observadas grafcamente. y 5
4
3
2
1
x
7/2 -1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
- 9/4 -3
Domínio: D( f ) = R Concavidade: Como a = > a concavidade é voltada para cima. Raízes: f (x) =
x2 – 7x + = Usando a órmula de Baskhara segue que x = 2 e x = . ∆ 7 9 b Vértice: V − − = − 2a 4a 2 4
9 Imagem: Im( f ) = − +∞
4
A unção é decrescente no intervalo 7 e crescente no intervalo +∞ .
2
−∞ 7 2
Os valores de x para o qual f (x) > ocorre nos intervalos (–∞2)∪(+∞) e os valores de x para o qual f (x) < ocorre no intervalo (2).
225
Universidade do Sul de Santa Catarina
) Um terreno retangular tem dimensões de modo que sua largura é o triplo da altura. Encontre as dimensões deste retângulo de modo que sua área seja de 3 m2. Vamos considerar:
Altura: x Largura: 3x
A área do retângulo é dada por A = x∙3x A = 3x2
Como a área vale 3 m2 segue que 3 = 3x2 x = ± Podemos descartar o valor negativo logo devemos ter como dimensões de 3 m × m.
6) A unção demanda de um produto é p = – x e a unção custo é dada por C (x) = 2 + x. Encontre o valor de x para que o lucro seja máximo. A unção receita é dada por: R(x) = p∙x R(x) = ( – x)x R(x) = x – x2 A unção lucro é dada por: L(x) = R(x) – C(x) L(x) = x – x2 – (2 + x) L(x) = –x2 + 9x – 2 Trata-se de uma unção do segundo grau com concavidade voltada para baixo e portanto o seu vértice é um ponto de máximo. b 9 ∆ − = = (4;2). 2a 4 a 2 4
V −
O lucro será máximo quando a quantidade vendida or de 4 unidades. Caso o produto não possa ser particionado a resposta deve ser arredondada para unidades.
226
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 5
6
) Seja a unção f ( x) = 3 x3 − 2 x2 − 2 x− 3 representada grafcamente na Figura .7. Determine o que se pede:
y
15
10
5
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
-10
-15
3
2
3 2 Figura 5.17 Gráfco da unção f ( x) = x − x − 2 x−
6 3
(a) Grau da unção polinomial. A unção polinomial possui grau 3. Assim é uma unção do 3° grau. (b) Domínio da unção. A unção está defnida para todos os reais. (c) Raiz da unção. As raízes reais da unção podem ser observadas pelo corte do gráfco no eixo dos x. Portanto é dado como raiz real x = 4. Observamos que as outras duas raízes são complexas (não observáveis grafcamente). (d) Intervalos de crescimento. Crescimento em (–∞–) e (2+∞). 227
Universidade do Sul de Santa Catarina
(e) Intervalos de decrescimento. Decrescimento em (–2). () Análise do sinal da unção. A unção é positiva para valores maiores que 4 (observar a parte do gráfco acima do eixo dos x) e negativa nos demais pontos do seu domínio. 2) Um estudo sobre efciência de trabalhadores do turno da manhã de uma certa ábrica indica que o operário que chega ao trabalho às 8 horas da manhã terá montado x horas após f (x) = –x3 + 6x2 + x peças do produto. (a) Quantas peças o operário terá montado às horas da manhã? (b) Quantas peças terá montado entre e horas da manhã? (a) Às horas da manhã o operário terá trabalhado 3 horas se chegou às 8 horas da manhã.
f (x) = –x3 + 6x2 + x f (3) = –(3)3 + 6(3)2 + (3) f (3) = –27 + 6×9 + 4 f (3) = –27 + 4 + 4 f (3) = 72 Portanto ele terá montado 72 peças às horas da manhã. (b) Para saber o número de peças montadas entre e horas podemos calcular a dierença entre o número de peças montadas até horas (que será calculado abaixo) e o número de peças montadas até horas (calculado no item a). Quando x = 2 calculamos o número de peças montadas até horas:
f (x) = –x3 + 6x2 + x f (2) = –(2)3 + 6(2)2 + (2) f (2) = –8 + 6×4 + 3 f (2) = –8 + 4 f (2) = 46 Assim entre e horas teremos 72 – 46 = 26 peças montadas.
228
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Usando um sotware gráfco (por exemplo o Graph) aça o gráfco da unção y = x + e analise suas propriedades e características. x−
Usando o Graph a representação gráfca da unção é dada por:
y 8
6
4
2
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
x + x −
Representação algébrica
y =
Domínio
R–
Conjunto imagem
R–
Zero ou raiz Sinal da unção
Crescimento ou decrescimento
{}
{} x = - Positiva (acima do eixo x): x > e (-∞ -). Negativa (abaixo do eixo x): x ∈ (- ). A unção é em todo o seu domínio decrescente.
229
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Analise as características e propriedades das unções representadas grafcamente nas Figuras .8 e .9. y 1800
y 1500 15
1200 10
900
5
x 600 -4
-3
-2
-1
1
2
-5
300
-10
10
20
-15
-300
Figura 5.18 Gráfco da unção y = x(3 – 2x)(2 – 2x)
Representação algébrica
Figura 5.19 Gráfco da unção y =
y = x(3 – 2x)(2 – 2x)
Domínio
R
Conjunto imagem
R
Zero ou raiz
230
x2 y = 4 − x2 R
– {–22} R
Para determinar os zeros da unção podemos mantê-la na orma atorada e calcular:
x= 3 – 2x = ⇒ x = 2 – 2x = ⇒ x = 2 Sinal da unção
x2 4 − x2
x=
Positiva (acima do eixo x): < x < 2 ou x > .
Positiva (acima do eixo x): –2 < x < 2.
Negativa (abaixo do eixo x): x < ou 2 < x < .
Negativa (abaixo do eixo x): x < –2 ou x > 2.
3
4
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 6 ) Escreva na orma decimal: a) 34
2 88
b)
c) 2·2
2
2) Escreva na notação científca: a) 72
72 × 4
b) 4
4 × –3
c) 22
22 × –2
3) Escreva na orma de uma única potência:
(33 )4 b) (32 )
a) 2 ·2 –
2
2–3
32– = 32
c) 4 ·8·2 3
–
(22)3·23·2– = 24
−2 ⋅ −3 d) − 8 ⋅ − −−( −2) −3 = = −2
231
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Calcule:
39 ⋅ 9 −2 a) 277 ⋅ 8−
2 ⋅ (22 )3
b)
3
72
4
39 ⋅ (3 2 )−2 3 = = 34 = 8 3 7 4 − (3 ) ⋅ (3 ) 3
) Simplifque: w 6 ⋅ z −6 a) 3 2 z ⋅w
x 3 ⋅ ( y 2 )3
b)
3 y 4
w4·z–9
⋅
4 x
4 3 6− − x 3/ 2 ⋅ y 6 2 4 =x ⋅y 3 4 /3 / 4 y ⋅ x
= x / 4 ⋅ y4 / 3
6) Esboce o gráfco das seguintes unções: a) f (x) = 2x f(x) 8
7
6
5
4
3
2
1
x -3
-2
-1
1
-1
232
2
3
4
5
Tópicos de Matemática Elementar I
b) f (x) = 3x – y 8
7
6
5
4
3
2
1
x 1
2
-1
c) f (x) = log2 x y 3
2
1
x -1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
233
Universidade do Sul de Santa Catarina
d) f (x) = log(½) x y
3
2
1
x -1
1
2
3
4
-1
-2
-3
7) Identifque se as seguintes unções são crescentes ou decrescentes: x
x
b) f (x) = 3
Crescente
Crescente
a) f (x) = 6
3 c) f (x) = 4
x
d) (x) = (2) x
Decrescente
Decrescente
e) f (x) = log3 x
) f (x) = log x
Crescente
234
2
3
Decrescente
Tópicos de Matemática Elementar I
8) Calcule os seguintes logaritmos: (a) log327
(b) log3
log327 = x ⇒ 3x = 27
= x ⇒ 3x = 243 243 ou 3x = 3− x = −
log3
ou 3x = 33
x=3
(d) log8 4 3
(c) log log = x ⇒ x = x
243
ou =
2
4
log8 3 = x ⇒ 8 = 3 x
4
4
ou 3 = 3 4x = 4 x= 6 4x
x=2
9) Determine o valor de x: (a) log(/62) = x
(b) logx 2 = 2 x
= log(/62) = x ⇒ 62 ou –4 x = −4x = x=−
logx 2 = 2 ⇒ x 2 = 2 ou x = 2 x =
4
235
Universidade do Sul de Santa Catarina
(c) log2 x = 8
(d) logx (8/27) = 3
log2 x = 8
8 27 3 2 3 x = 3 2 x= 3 x3 =
28 = x
x = 26
) Determine o valor de x de tal modo que os seguintes logaritmos existam: (a) log3 (x + )
(b) log(7x – 2) 4
A base já é um número positivo e dierente de logo a condição deve ser estabelecida apenas para o logaritmando:
Como o logaritmando já é um número positivo estabelecemos apenas a condição para a base: 7x – 2 > e 7x – 2 ≠
x+>
7x > 2 e 7x ≠ 22 22 x>3 e x≠ 7
x > –
) Sabendo que log 2 = 3 calcule log2.
log2 = log
2 2 = log 4 = log 2 – log 4
= log 2 – 4log = 3 – 4 = –3699.
2) Um capital de R$ 6 é aplicado a juros compostos por 2 anos e meio à taxa de 4 % a.m. Qual o valor resultante dessa aplicação? Sabemos que Cn = C( + i )n Dados do Problema: C = 6 i = 4% = 4 n = 3 meses 236
Cn = 6( + 4)3 Cn = 6(4)3 Cn = 6×3243397 Cn = 863 O valor resultante da aplicação de R$6 é de R$863.
Tópicos de Matemática Elementar I
3) Um capital oi aplicado a juros compostos durante 3 meses à taxa de 2 % a.m. Se decorrido esse período o montante produzido oi de R$ 864 qual o capital aplicado? Dados do problema:
n=3 i = 2% = 2 Cn = 864
Cn = C( + i )n 864 = C( + 2)3 864 = C(2)3
C=
864 = 728
O Capital aplicado oi de R$.
4) Qual a taxa mensal (%) para quadruplicar um capital em 8 anos? Dados do problema
n = 8 anos = 96 meses Cn = 4C Cn = C( + i )n 4C = C( + i )96 4 = ( + i )96 log 4 = log ( + i )96
log4 96 62 log(+ i ) = 96 log(+ i ) = 627 log(+ i ) =
log(+i ) = 627 + i = 44 i = 44 = 4%
) A taxa de crescimento populacional do Brasil é de aproximadamente 2% ao ano. Em quantos anos a população irá dobrar mantendo esta taxa de crescimento? Equação a ser utilizada: P = P ( + i )n Dados do problema: P = 2P i = 2% = 2 2P = P( + 2)n 2 = ( + 2)n 2 = (2)n
log 2 = log (2)n log 2 = n log 2
log2 log2 3 = 3. n= 86 n=
A população irá dobrar em 3 anos.
237
Universidade do Sul de Santa Catarina
6) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro após ingerir uma bebida. Considere que esse nível decresce de acordo com a órmula N = 2()t onde t é o tempo em horas. Quanto tempo deverá o motorista esperar se o limite permitido por lei é de 8 gramas de álcool por litro de sangue? (considerar log 2 = 3). Temos que N = 2 × () t onde N = 8 portanto
8 = 2 × ()t 8 ()t = 2 t () = 4 log()t = log 4 4 t log = log 2
t log2− = log4 − log
−t log2 = log22 − −t log2 = 2log2 − 2log2 − −t =
log2 2 × 3 − −t = 3 −t = −3333
t = 3333 horas = 8 minutos = hora e 2 minutos.
Unidade 7 ) Faça o gráfco e analise as características e propriedades das unções: (a) y = + sen x f(x)
2
x
238
Tópicos de Matemática Elementar I
x (b) (x) = cos 2 f(x)
1
x
(c) g (x) = 2tg(x) f(x)
2
1
x
-1
239
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Uma escada rolante liga dois pisos de uma loja de departamentos e tem uma inclinação de 3°. Sabendo que o comprimento linear da escada é de 2 m qual é a altura entre os dois pisos da loja? Observe a fgura que modela o problema.
sen 3° =
x
2 x = sen 3°× 2 x = × 2 = 6 metros 2 A altura x é de 6 metros.
3) Ted e Mad ao azer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 4 graus. Ao caminharem mais metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 6 graus. Qual é a altura do morro? Veja a fgura que modela o problema. Temos que: h x
tg 6° = ⇒ h = 3x tg 4° =
h
+ x
⇒ h = + x
Observar que estamos usando os valores tg 6° = 3 e tg 4° = Podemos igualar as relações encontradas:
3x = + x 3x − x = x ( 3 − ) =
3 − x ≅ 683 metros x=
A altura do morro é aproximadamente igual a 683 metros. 240
Tópicos de Matemática Elementar I
4) Qual é o tamanho da sombra de um prédio de metros de altura quando o sol está 2 graus acima da linha do horizonte? Observe a fgura que modela o problema.
tg 2° =
364 =
x=
x x
≅ 3736 metros. 364
O tamanho da sombra é aproximadamente 3736 metros.
) Uma escada apóia-se na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do ediício. A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela az um ângulo de 7 graus com o chão? Observe a fgura que modela o problema.
tg 7° = 2747 =
h
4 h
4 h = 2747 × 4 ≅ 99 metros
A distância do ponto de apoio até o chão é de 99 metros. Para achar o valor de x vamos aplicar o Teorema de Pitágoras: x 2 = h 2 + 42 x 2 = 992 + 4 2 x 2 = 278 + 6 x 2 = 3678 x = 3678 ≅ 7 metros O comprimento da escada é de 7 metros.
241
Universidade do Sul de Santa Catarina
6) Do topo de um arol 2 metros acima do nível do mar o ângulo de depressão de um barco é graus. Qual é a distância do arol ao barco? Observe a fgura que modela o problema.
tg ° = 268 =
x
2 x
2 x = 268 × 2 ≅ 326 metros
A distância do arol até o barco é de 32 6 metros.
7) Na fgura 7.26 tem-se que: CD = cm BC = 4 cm AB = 32 cm AC = x cm BD = y cm Pergunta-se: a) b) c) d)
242
Figura 7.26 Triângulos retângulos
Qual o valor de x? Qual o valor de y? Quais são os valores das unções trigonométricas do ângulo α? Quais são os valores das unções trigonométricas do ângulo β?
Tópicos de Matemática Elementar I
Vamos colocar os valores conhecidos na fgura para acilitar a visualização das relações trigonométricas nos triângulos retângulos.
c) Os valores das unções trigonoa) Para encontrar o valor de x vamos aplicar o Teorema de Pitá- métricas do ângulo ala: goras no triângulo retângulo CAB. 32 2 4 sen α =
42 = x2 +322 x2 = 42 –322 x2 = 6 –24 x2 = 76
x = 76 x = 24 cm b) Para encontrar o valor de y vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CBD. 2 = 42 + y2 y2 = 2 – 6 y2 = 9 y = 3 cm
= 8 4 32 ≅ 33 tg α = 2 4 4 ≅ 67 sec α = 2 4
cos α =
= 6 4 2 4 = 7 cotg α = 32 4 = 2 cossec α = 32
d) Os valores das unções trigonométricas do ângulo beta: 3 sen β = = 6 3 tg β = = 7 4 sec β = = 2 4
4 = 8 4 cotg β = = 333 3 cossec β = = 67 3 cos β =
243
Para destacar Teorema de Pitágoras recortar o quadrado de lado b nas quatro partes assinaladas e em conjunto com o quadrado de lado a azer a composição do quadrado de lado c .
245
