Thermodynamique de l’atmosphère • • • • • • • •
Rappel de quelques no6ons Introduc6on à la théorie ciné6que des gaz Capacité thermique et Enthalpie Processus adiaba6ques Entropie L’eau et ses changements de phase Humidité et nuages Radiosondages
J.P. Duvel 2009
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Humidité et nuages • • • • • • • • • • • • •
Les nuages Eau précipitable Niveau de condensa6on Différentes températures pour différents usages Processus adiaba6que isobare Thermomètre mouillé Température équivalente Température Virtuelle Température Poten6elle Virtuelle Température poten6elle équivalente (adiaba6que et pseudo adiaba6que) Gradient adiaba6que de l’air saturé Température Poten6elle pseudo-‐ adiaba6que du thermomètre mouillé Bases physiques des diagrammes Skew-‐T J.P. Duvel 2009
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Les types de nuages • Une vision très descrip6ve (principalement forme et al6tude), mais qui peut donner des informa6ons sur l’état de l’atmosphère. Par exemple sur l’instabilité (présence de cumulus), sur la dynamique (forma6on de bandes de cirrus, ou approche d’un front, cisaillement du vent), etc.
© Barry & Chorley Routledge
J.P. Duvel 2009
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J.P. Duvel 2009
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J.P. Duvel 2009
5
Eau précipitable • •
•
L’eau « précipitable » est le contenu intégré en vapeur d’eau d’une colonne d’atmosphère. L’eau précipitable est donnée sous la forme d’une épaisseur ou masse surfacique d’eau liquide (1mm=1kgm-‐2 d’eau). L’eau précipitable Pw, se calcul en intégrant l’humidité spécifique sur la colonne: Pw =
∫
∞ 0
q(z)ρ (z)dz =
1 g
∫
p0 0
•
Lors d’un orage, le taux de précipita6on est souvent beaucoup plus grand que l’eau précipitable. Ceci montre que les orages puisent leur eau dans les régions environnantes. Cede eau converge principalement dans la couche limite atmosphérique.
q( p)dp
L’eau précipitable varie entre quelques mm pour les régions polaires et plus de 50mm pour les région tropicales. Exemple d’une large différence entre deux profils de rapport de mélange J.P. Duvel 2009
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Distribu9ons globales de l’eau précipitable en janvier et en juillet
© Barry & Chorley Routledge
J.P. Duvel 2009
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J.P. Duvel 2009
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Niveau de condensa6on
J.P. Duvel 2009
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Niveau de condensa6on • Le niveau de condensa6on est • Pour déterminer l’al6tude du l’al6tude à laquelle une parcelle niveau de condensa6on, on peut d’air soulevée de façon prendre en compte la adiaba6que depuis le sol (par décroissance de T et de Td exemple la couche de surface) (température du point de rosée) adeint une humidité rela6ve de avec l’al6tude: 100%. T = T0 − Γd ( z − z0 ) • En fait, quand la parcelle s’élève, Td = Td0 − Γdd ( z − z0 ) sa température diminue, mais son volume augmente. où Γd est le gradient adiaba6que • Pour qu’il y ait condensa6on à un de l’air sec et Γdd est ici le certain niveau d’al6tude, il faut € gradient ver6cal de la donc que la diminu6on de la température du point de rosée. pression par6elle de vapeur e (due à l’augmenta6on du volume) • Le niveau de condensa6on zNC est celui pour lequel T=Td, c’est à soit moins rapide que la dire: T0 − Td0 diminu6on de es avec T. zNC = z0 +
J.P. Duvel 2009
€
Γd − Γdd 10
Quel est le gradient de Td? •
Il faut par6r de l’expression de la pression par6elle de vapeur d’eau:
e=
w de w dp p et donc = w+ε dz w + ε dz
€
1 de 1 dp = e dz p dz
et l’équa6on hydrosta6que donne:
€
e, la pression par6elle diminue avec z. Par défini6on, e = es(Td). Donc, es va décroître avec z (*). En séparant les différen6elles € € en Td et en z, on ob6ent:
1 des (Td ) dTd 1 dp = es (Td ) dTd dz p dz
1 des (Td ) l = v2 es (Td ) dTd Rv Td
d’où, avec w constant:
Clausius-‐Clapeyron donne:
•
•
1 dp g =− p dz RT Le gradient de température du point de rosée est donc:
dTd g Td2 Γdd = − = dz εlv T
En première approxima6on, ce gradient est constant et de l’ordre de 1.8 °Ckm-‐1, ce qui donne une expression simple de l’al6tude du niveau de condensa6on:
•
€
zNC − z0 = € (*)
Ce qui signifie que la température du point de rosée Td décroit également avec z.
J.P. Duvel 2009
€
T0 − Td0 T0 − Td0 ≈ Γd − Γdd 8
[km ] 11
zNC − z0 ≈ 1000
T0 − Td0 8
[m ]
€ •
On peut calculer un niveau de condensa6on moyen (au dessus de la surface z0) à par6r des réanalyses ERA-‐Interim du Centre Européen (ECMWF), ici pour l’été 2000.
– On reconnaît bien les régions plus sèches (Afrique du nord, Espagne, Turquie et Grèce) pour lesquelles le niveau de condensa6on est élevé, y compris en mer Egée. – En Europe du nord, plus humide, les niveaux de condensa6on sont bas, et il sera donc plus facile de former des nuages par soulèvement/convec6on.
•
Une es6ma6on plus exacte de ZNC et TNC peut être obtenue en appliquant une méthode numérique. J.P. Duvel 2009
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Es6ma6on du niveau de condensa6on
" T − Γz % e(z) = e(0)$ sol ' # Tsol &
€
• •
•
R
1000 es (z) e(z) T(z)
500 0
En partant d’une parcelle non saturée (e=20hPa) au sol à 28°C, on ob6ent un niveau de condensa6on vers 1327m. La formule approchée donne un résultat très correct (1328.6m) Le γ=Cp/Cv de l’air est de l’ordre de 1.4 et cp/R=γ/γ-‐1. Supposons maintenant un gaz ayant un γ de 1.04. Alors, en partant d’une parcelle de gaz avec la même pression de vapeur à 20°C à 1000m, on ob6ent par compression une forma6on de nuage vers 345m! Avec γ=1.04, cp/R=26 au lieu de 3.5 pour l’air, la pression décroît donc plus vite avec l’al6tude (croît plus vite avec T). Ce type de configura6on est possible avec certains gaz.
Pression partielle de vapeur d'eau (Pa)
cp
Tsol=28°C esol=2000Pa znc=1327.2m
1500
1500
2000
2500
3000
3500 3000 2500 2000 1500
10
3500
15 20 25 Température (°C)
30
pression partielle de vapeur d'eau (Pa)
Température (°C) 15 20 25
10 2000
γ=1.04
T1000m=20°C esol=2000Pa znc=344.9m
1500 1000 500
es (z) e(z) T(z)
0 1500
2000
2500
3000
3500
pression partielle de vapeur d'eau (Pa)
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30 Pression partielle de vapeur d'eau (Pa)
" l % " l 1 % es ( z) = es0 exp$ v ' exp$ − v ' # Rv T0 & # Rv Tsol − Γz &
30
2000
Altitude (m)
On fait ici une représenta6on graphique des diminu6ons de e et de es avec z.
Altitude (m)
•
Température (°C) 15 20 25
10
3500
γ=1.04
3000 2500 2000 1500
10
15 20 25 Température (°C)
13
30
Différentes températures pour différents usages • Résultat d’un changement de phase de l’eau. Mesure de l’humidité de l’air:
– Température du point de rosée (Td) – Température du « thermomètre mouillé » (wet bulb) (Tw)
• Variables conserva6ves:
– Température poten6elle (θ) – Température poten6elle équivalente (θe)
• Critère de densité:
– Température virtuelle (Tv) – Température poten6elle virtuelle (θv)
• Comparaison entre un profil « nuageux » et l’environnement
– Température poten6elle pseudo adiaba6que (θ’e, θ’w) – Détermina6on du gradient adiaba6que d’une atmosphère saturée
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14
Processus adiaba6que isobare •
•
Pour calculer la température du « thermomètre mouillé » Tw, on évapore de l’eau liquide (donc on refroidit et on humidifie l’air) d’une parcelle d’air ini6alement à la température Ti, jusqu’à obtenir une pression de vapeur saturante à Tf=Twb. Donc, si w est le rapport de mélange, pour Tf=Twb, wf=ws(Twb)
p, wi, Ti
p, wf, Tf
J.P. Duvel 2009
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Évapora6on ou condensa6on adiaba6que et isobare Pour un tel processus, Q=0 et dp=0 et l’enthalpie totale H = md hd + mv hv + ml hl est donc conservée (indice d pour l’air sec, v pour la vapeur d’eau et l pour l’eau liquide.) € • La masse d’air sec md et la masse d’eau totale: mt = mv + ml € sont également conservées. • En prenant les rapports de mélange de la vapeur d’eau w =mv /md et de l’eau totale wt =mt /md . L’enthalpie massique (masse d’air sec) est: •
€
€
h = hd + whv + (wt − w)hl
• •
L’enthalpie du mélange est donc: h = hd + wlv + wt hl
•
Comme cede enthalpie massique est conservée (H et md constantes) entre l’état ini6al i et l’état final f, et que cpd, cl et wt sont également constants:
c pd (Ti − T f ) + (wi − w f )lv + wt cl (Ti − T f ) = 0
(c
pd
)(
) (
+ wt cl Ti − T f = lv w f − wi
)
€ J.P. Duvel 2009
€
€
L’enthalpie de vaporisa6on est ici considérée comme constante: lv = hv − hl
16
Température du « thermomètre mouillé » •
• •
La température du thermomètre mouillé Twb correspond donc à la température adeinte quand l’évapora6on a saturé l’air ambiant ini6alement à (T, w).
(c
pd
•
c pd (T − Twb ) ≈ lv ( ws (Twb ) − w )
D’autre part, si e est la pression par6elle de la vapeur d’eau:
ρv e Rd εe εe = = ≈ ρ d p − e Rv p − e p
On ob6ent alors l’équa6on psychrométrique (du grec psychro-‐ « froid »): e = es (Twb ) −
Comme wt<<1, on ob6ent:
w=
€
+ wt cl ) (T − Twb ) = lv ( ws (Twb ) − w )
•
• € •
p c pd (T − Twb ) ε lv
Au niveau de la mer, on définit la la « constante psychrométrique » comme: p c pd ≈ 0.65 mbK −1 ε lv Une mesure de p, T et Twb permet donc d’es6mer la pression par6elle de vapeur d’eau e. On en déduit aussi la température du point de rosée Td telle que: es (Td ) = e
J.P. Duvel 2009
17
€
Température équivalente •
Température adeinte si toute l’eau est condensée par un processus adiaba6que isobare. En repartant de:
(c €
pd
)(
) (
+ wt cl Ti − T f = lv w f − wi
avec Ti=T ambiante, Tf=Te, wf=0 et wi=wt=w ambiant, la température équivalent Te est donc:
(c
pd
)
+ wcl (T − Te ) = −lv w
Te = T +
lv w c pd + wcl
)
Ce processus adiaba6que à pression constante est possible suivant le premier principe. Mais comment condenser de l’eau par un processus adiaba6que isobare? • Ce processus n’est en revanche pas permis par le second principe. On peut en effet montrer (en u6lisant la sec6on suivante sur les processus humides isentropes) que l’entropie de l’ensemble du système isolé (eau + air sec) décroît alors avec: sf-‐si ≈ wRvln(r) ≤ 0 où r est l’humidité rela6ve ini6ale (r≤1). • Te donne une es6ma6on de la température maximale qui peut être adeinte si toute l’eau est condensée •
€ J.P. Duvel 2009
18
Température virtuelle Tv •
•
•
€
La densité de l’air varie en fonc6on de son contenu en vapeur d’eau. La température virtuelle Tv permet de fixer un critère de densité en fonc6on de la température seule pour différents contenus en vapeur d’eau. Par défini6on, Tv est la température de l’air sec ayant la même densité que l’air humide à pression ambiante.
R M T = dT € Rd M On cherche donc l’expression de Md/M en fonc6on du contenu en vapeur d’eau (ici q) et des masses molaires de l’eau Mv et de l’air sec Md. M est la masse molaire de l’air ambiant: € Nv M = (1 − α )M d + αM v avec α = N d + Nv Md Md 1 = = M (1 − α )M d + αM v 1 − α (1 − ε ) p = ρRdTv = ρRT
•
•
Tv =
€
ε=
€ €
•
On veut maintenant exprimer α en fonc6on de l’humidité spécifique q et de ε=Mv/Md. Nv M v αM v q= = N d M d + Nv M v (1 − α )M d + αM v αε q q= d'où α = q(1 − ε ) + ε (1 − α ) + αε En remplaçant α par cede expression dans l’expression de Md/M:
Md $1 − ε & =1+ q % ε ' M La température virtuelle est donc:
Tv = T (1 + 0.6078q) •
La température virtuelle Tv n’est pas une température directement mesurable.
M v 18.016 = = 0.62197 M d 28.966
€
J.P. Duvel 2009
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Flodabilité et température poten6elle virtuelle •
€
La force de flodabilité par unité de masse devient donc:
Tvl ρ ρ − ρl = = tot = 1 − ql Tv ρ + ρ l ρ tot Tvl = T (1 + 0.608q)(1 − ql )
€
€
Par rapport à Tv, la température virtuelle Tvl d’une parcelle contenant un ajout d’eau liquide/ glace de densité ρl est:
€ •
dTv g = dz c pd
On définit de même une température poten6elle virtuelle servant à s’affranchir des différences de densité dues à la vapeur d’eau:
•
ρe Tvp = ρ p Tve
ρ p − ρe Tve − Tvp F=g =g ρ€ Tve p
•
Γdv = −
p = ρe RdTve = ρ p RdTvp on ob6ent simplement:
•
Le gradient ver6cal neutre pour un profil de température virtuelle de l’environnement est simplement:
•
En considérant les caractéris6ques de la température virtuelle pour la parcelle et l’environnement,
γ d −1 & γd
#p θv = Tv % 0 ( $ p'
Rd & C pd
#p = Tv % 0 ( $ p'
où γd est le rapport Cpd/Rd, et Cpd est la capacité thermique de l’air sec à pression constante. θv est conservée pour un air humide non saturé. Le gradient ver6cal de θv permet donc d’es6mer la stabilité de l’air humide non saturé.
Tvl ≈ T (1 + 0.608q − ql )
€
J.P. Duvel 2009
20
Expression de θ pour l’air humide non saturé •
• •
Avant d’adeindre le niveau de condensa6on, la température poten6elle peut être es6mée en prenant en compte la différence de capacité thermique entre l’air sec et la vapeur d’eau. ici, l’air est humide mais non saturé. Pour un processus adiaba6que réversible, l’entropie est conservée. L’expression de l’entropie est:
s = sd + wsv •
€
où w est le rapport de mélange. L’entropie de l’air sec et l’entropie de la vapeur d’eau ont pour expression:
•
Cede entropie étant constante lors de la transforma6on, on ob6ent donc:
(c
) dTT = R
dpd de + wR d v pd e
e =pd w/ε et p =pd+e=pd (1+w/ε) •
Si w est constant, de/e=dp/p=dpd /pd
•
La température poten6elle, qui est par conven6on la température pour p=p0=1000hPa, est donc:
sd = c pd lnT − Rd ln pd
Rd +wRv & c pd +wc pv
#p θ = T% 0( $ p'
sv = c pv lnT − Rv ln e
pd
+ wc pv
s = ( c pd + wc pv ) lnT − Rd ln pd − wRv ln e
w = 0.04 exposant = 0.283 w=0 exposant = 0.285
€ J.P. Duvel 2009
€
21
Skew-‐T Log-‐P (cas sans condensa6on)
• • •
Pour op6miser ces diagrammes, on veut que la surface délimitée par un processus cyclique soit propor6onnelle à l’énergie. Angles importants entre les isothermes et les isentropes pour mieux dis6nguer les critères d’instabilité. On considère de l’air sec ici pour l’isentrope car on veut un résultat qui ne dépende pas de l’humidité de la parcelle. On trace donc des isolignes dans le champ de θ=f(T,p). – Une parcelle d’air sec subissant une détente ou une compression adiaba6que suivra, par défini6on, une de ces isolignes.
J.P. Duvel 2009
22
0
-1
00
40
30
-10
10 -1
-9
-8
0
-7
0
-6
0
-5
0 -4
50
20
10
-20
20
-1
60
30
-1
0
0
-3
0
200 -2
0
Rd & c pd
#p En vert: θ = T % 0 ( $ p'
300 -30
10 0
400
90
500
70
-40
600
80
700 800
0 20
900 1000
-1
-50
-40
-30
-20
0
-10
30
10
0
10
40
20
30
€
La surface représente une détente adiaba6que, suivie d’un refroidissement isobare, une compression adiaba6que puis un réchauffement isobare
40
• Dans un tel diagramme T – Ln(p), le travail accompli lors d’un processus cyclique est propor6onnel à la surface définie par la courbe fermée et représentant le processus.
∫ pdV = ∫ d( pV ) − ∫ Vdp = − ∫ Vdp RT W = −∫ dp = −R ∫ Td (ln p) p W=
• La pente des isothermes, qui améliore la lisibilité, ne modifie que le facteur de propor6onnalité entre la surface et l’énergie. € J.P. Duvel 2009
23
Processus adiaba6que réversible Cas humide •
•
On est arrivé jusqu’au niveau de condensa6on par une transforma6on isentrope (adiaba6que et réversible) d’une masse d’air humide, mais sans changement de phase. Que se passe-‐t il ensuite? Si la masse d’air con6nue à s’élever, cede ascension sera accompagnée de condensa6on, et éventuellement de perte de contenu en eau par précipita6on des goudes de pluie ou des cristaux de glace. Dans une première étape, on considère un processus humide adiaba6que et réversible, donc isentrope. Dans ce cas, l’entropie de la parcelle par unité de masse d’air sec a pour expression:
s = sd + wsv + wl sl
•
•
sd, sv et sl sont respec6vement les entropies de l’air sec, de la vapeur et de l’eau liquide. Avant de poursuivre, on notera que l’enthalpie de vaporisa6on lv=hvs-hl a également pour expression lv=T(svs-sl ) (on note xvs les valeurs à satura6on). Ceci est dû à la conserva6on de l’énergie libre g=h-‐Ts lors d’un changement de phase (T et p constantes). On peut aussi simplement dire que le chauffage occasionné par le changement de phase est lv , et que la varia6on correspondante de l’entropie est ds =svs-sl =lv /T . On définit wt=w+wl On ob6ent l’expression suivante pour l’entropie de la parcelle:
où w et wl sont les rapport de mélange de l’eau vapeur et de l’eau condensée (liquide).
€ J.P. Duvel 2009
" l % s = sd + wsv + wt sl − w $ svs − v ' # T& wl s = sd + w ( sv − svs ) + wt sl + v T
24
Température poten6elle équivalente Nuage sans précipita6on •
On u6lise la défini6on de l’entropie massique pour chacun des cons6tuants de l’air humide:
•
sd = c pd lnT − Rd ln pd sv = c pv lnT − Rv ln e # $ s − s = −Rv ln r svs = c pv lnT − Rv ln es % v vs •
€ •
€
sl = cl lnT
(
r étant l’humidité rela6ve e/es. L’entropie d’une unité de masse est donc :
wlv − wRv ln r T
•
(
)
Pour un processus isentrope, l’entropie s ainsi définie est conservée.
)
s = c pd + wt cl ln θe − Rd ln p0 •
s = c pd + wt cl lnT − Rd ln pd +
La température poten6elle équivalente θe est la température d’une parcelle d’air « sec » (toute l’eau sous forme liquide: capacité themique Cpd+wtCl) qui aurait la même entropie s à une pression de référence p0 , c’est à dire:
€
€
•
J.P. Duvel 2009
En définissant : c pt = c pd + wt cl = cst Rd wR wlv − v c p0 & pt c pt c ptT
# θe = T % ( € $ pd '
r
e
Cela revient donc à la température obtenue en condensant le contenu w de vapeur d’eau pour cp=cpt, puis en compressant cede parcelle jusqu’au niveau de référence en conservant l’eau sous forme liquide. Le facteur en r est toujours très proche de 1 car w<<1 et Rv/cpt≈1/2. 25
Que représente θe? •
•
•
•
La température poten6elle θe dépend de la température et de la pression de la parcelle considérée, ainsi que de son contenu en vapeur d’eau. Le contenue en vapeur d’eau est important car il joue sur : – le chauffage finalement fourni par la condensa6on de l’ensemble de l’eau. – La capacité thermique du mélange air, eau vapeur et eau condensée (on pourrait également considérer une phase glace). On ne peut pas tester la flodabilité d’une parcelle « nuageuse » par rapport à l’environnement à l’aide de θe car l’environnement n’est généralement pas saturé. Un écart en θe ne traduit donc pas forcément un écart en T (ou mieux, idéalement, en Tv). On peut en revanche, pour le calcul de θe, fixer un contenu en vapeur d’eau égal au contenu saturant à la température T. Cela revient à fixer le rapport de mélange à: εes (T )
ws (T , p) =
•
• •
c pts (T, p) = c pd + ws (T, p)cl •
La température poten6elle équivalente saturée est alors:
!p $ θ es = T # 0 & " pd % •
p − es (T ) J.P. Duvel 2009
€
La valeur de θe obtenue correspond par exemple au θe du niveau de condensa,on ou si l’on considère un point de départ « fic6f » qui est la température du thermomètre mouillé (et non la température du point de rosée, voir plus loin). Dans ce cas, le rapport de mélange wt est remplacé par le rapport de mélange saturant ws(T,p) et r=1. La capacité thermique du mélange sera donc:
Rd c pts
e
wslv c ptsT
La comparaison entre le θes de la parcelle nuageuse (θes constant et égal à θes au niveau de condensa6on) et le θes de l’environnement (mesure du radiosondage à la pression p considérée) donne une meilleure es6ma6on de la flodabilité de la parcelle nuageuse pour la pression p. 26
0
-9
0
0
-8
0
-7
0
-6
-5
0
40
-4
0
-3
10
-10 -10
00
-1
50
10 -1
30
20 20
-1
10
-20 -20
20
0 0
30
-1
Isolignes (en noir) dans le champ θes(T,p)
200 0
140
-2
400 100
-30
1000
20
40
€
30
-
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
70
170 160 200 180
10
10
40
30
900
•
150
80 70 0
50
800
•
60
60
-40
700
80
-40
600
90
€
90
500
# θ es = T % ( $ pd '
e
10 0
110
-30
120
130
300
Rd w slv p0 & c pts c ptsT
c pts = c pd + ws (T, p)cl c pd = 1005JK −1kg −1 cl = 4218JK −1kg −1
(
)
lv = lv0 + c pv − cl (T − T0 )
40
€ Avec les défini6ons ci dessus, les isentropes saturées convergent normalement vers les isentropes sèches pour les faibles températures (c.a.d. des faibles ws). Par défini6on, pour toutes les parcelles d’air (T,P) ayant un même θes , la température au sol après condensa6on de toute l’eau (saturante à T) et compression adiaba6que (isentrope sèche) est… θes (donc 50°C pour l’exemple en gras ci-‐dessus). J.P. Duvel 2009
27
0
0
0
-8
0
-7
Sensibilité au choix du cp
0
-6
-5
0
40
-4
0
0
-9
10
-10 -10
00
-1
50
10 -1
30
20 20
10 0
-20 -20
20
-1
60
30
-1
0
-3
En bleu (cpd):
200
Rd & c pd
20
140
-
120 -
-40
-30
-20
-10
0
10
50
60
20
150
160
20
30
30
€ 200
1000
150
90 10
40
30
900
•
10
0
-50
70
50
-40
800
•
80
80
-40
700
90
€
En noir (cpts): Rd w slv p0 & c pts c ptsT
# θ es = T % ( $ pd '
e
70 190
100 100
-30
500
10 0
110
-30
400
600
e
w s lv c pd T
130
300
#p θes = T % 0 ( $ pd '
c pts = c pd + ws (T, p)cl ≥ c pd
40
θ es (T, p,c p ) ≤ θ es (T, p,c pd )
40
Pour des températures supérieures à 10°C, il est important de prendre la b€onne valeur pour la capacité thermique. Les écarts entre cpts et cpd peuvent donner des différences de θes de plusieurs °C pour des températures supérieures à 30°C. Si l’on veut prendre en compte les précipita6ons qui assèchent la masse d’air lors de son ascension dans une tour convec6ve, il faut faire varier le cpts entre cpts(p,T) au point de condensa6on et le cpts(p,T) au niveau considéré (cpts diminue quand T diminue) au cours de cede transforma6on. On parle alors de processus pseudo-‐adiaba6ques. J.P. Duvel 2009
28
Gradient (pseudo-‐) adiaba6que de l’air saturé Les températures poten6elles équivalentes (pseudo-‐ adiaba6que, saturée ou du thermomètre mouillé, voir plus loin) servent essen6ellement à comparer les températures et la flodabilité entre une colonne convec6ve « nuageuse » et l’environnement. On peut aussi es6mer la température de la colonne « nuageuse » en intégrant numériquement l’évolu6on d’une masse d’air soulevée (pseudo-‐) adiaba6quement tout en subissant des changements de phase de l’eau. On es6me ici les perturba6ons de température qui résultent d’un tel soulèvement pour une parcelle saturée avec ou sans précipita,on de l’eau en phase liquide. On repart donc de l’expression précédente de l’entropie, mais avec un rapport de mélange saturant:
•
•
•
"w l % dT dp − Rd d + d $ s v ' = 0 # T & T pd "w l % 1 dT et d $ s v ' = d ( wslv ) − 2 wslv # T & T T c pz
•
La défini6on de ws et CC donnent: ws
Ici, r=1, w=ws et wts=ws+wl
On considère que le cp peut varier (ou non) avec l’al6tude z, suivant que l’on élimine (ou non) l’eau liquide au fur et à mesure de la condensa6on:
c
+ w (z)c pd ts l w (z) = cst ts ou w (z) = w (T ) ts s z
pz
=
es Rd 1 des l = v2 et pd Rv es dT RvT
dT R de R dp R dp wl = d s= d − d d 2 s v pd pd pd T •
wl s = ( c pd + wts cl ) lnT − Rd ln pd + s v T
• •
L’entropie s est conservée :
•
•
=c
La conserva6on de l’entropie pour une excursion ver6cale s’exprime donc comme:
c pz
dT Rd T dp d ( wslv ) − + =0 dz pd dz dz
On s’intéresse à une pe6te perturba6on autour d’une al6tude z. On considère donc que cpz est constant autour de cede al6tude z (c.a.d. que l’eau liquide est conservée le temps du changement de phase, avant d’être évacuée). L’équa6on du gradient sera ensuite intégrée sur z avec cpz variable.
[transfert entre ws et wl ] [wl = 0, pseudo − adiabatique] J.P. Duvel 2009
29
Gradient adiaba6que de l’air saturé •
À un niveau z donné, la pression de la parcelle nuageuse est aussi celle de l’environnement. En u6lisant l’approxima6on hydrosta6que pour l’air de l’environnement:
Énergie sta,que humide On peut ici introduire une nouvelle variable conserva6ve (si cp est fixe), l’énergie sta6que humide (souvent notée h, mais que l’on notera ici hem):
•
dp = −gρe dz
•
On ob6ent:
€ • •
•
c pz
hem = c pzT + gz + wslv
d (wslv ) dT ρ +g e + =0 dz ρd dz
Souvent, on considère que des deux densités (ρe et ρd de la parcelle) sont égales. Ce qui revient à dire que Renv€ Tenv=RdTpar Dans ce cas, la différence de flodabilité est néanmoins donnée par une humidité plus grande et une température plus élevée pour la parcelle nuageuse. On considère ici que la détente de la parcelle est hydrosta6que:
Rd T dp 1 dp ρ = = −g pd dz ρ d dz ρd
•
•
qui est donc conservée lors d’une détente adiaba6que saturée (et hydrosta6que, avec conserva6on de l’eau). € Ici aussi, si l’on veut être précis, il faut considérer la capacité thermique de l’air humide cpt On voit que pour l’énergie sta6que sèche hes définie précédemment:
•
qui est constante pour des transforma6ons sans changement de phase.
avec ρ/ρd = 1+ws pour une parcelle saturée. On ob6ent:
c pz
d (wslv ) dT + g(1 + ws ) + =0 dz dz J.P. Duvel 2009
€
hes = c pT + gz Il faut prendre: c p = c pd + wc pv
€
€ 30
Gradient adiaba6que de l’air saturé •
•
€
•
€ •
€
Pour exprimer le gradient adiaba6que de l’air saturé, il faut donc développer:
•
d (wslv ) dl dw = ws v + lv s dz dz dz
•
La varia6on de l’enthalpie de vaporisa6on avec z peut se décomposer en:
dlv dlv dT dT = = c pv − cl dz dT dz dz
(
)
Le rapport de mélange saturant ws=εes/pd va varier en fonc6on de z comme:
1 dws 1 des 1 dpd = − ws dz es dz pd dz
€
Ici encore, on considère que la pression de la parcelle nuageuse est la même que la pression ambiante. Si l’on considère que, l’approxima6on € hydrosta6que s’applique à l’air sec:
•
1 dws 1 des dT g = + ws dz es dT dz RdT J.P. Duvel 2009
€
L’équa6on de Clausius-‐Clapeyron donne alors: 1 dws l dT g = v2 + ws dz RvT dz RdT L’expression complète du gradient adiaba6que humide est donc: lw 1 + ws + v s dT g RdT =− c pv − cl dz c pz lv2 ws 1 + ws + c pz c pz RvT 2 En considérant que ws<<1, et comme ε=Rd/Rv, cela se simplifie en:
lv ws dT g RdT =− dz c pz εlv2ws 1+ c pz RdT 2 1+
31
0
-8
0
0
-7
0
40
-6
0
13
0
30
0
20
-10
0
-9
14
50
10
-20
00
-1
10 -1
20
-1
15
30
-1
dT RT = dp pc pz
0
-4
0
-5
0
-3
200 11 0
0 -2 12 0
300 -30
€
500 -40
70
700 800
• •
60
0 20
900 1000
•
c pz Rd T 2
R + ws Rv R= d 1 + ws
90 80
0
-40
-30
-20
-10
30
10
-1
-50
1+
εlv2 ws
10 0
400
600
lw 1+ v s Rd T
0
10
40
20
30
Si l’on prend un cpz constant (courbe en ,rets noirs, uniquement pour Tsol=30°C), le cp devient plus grand en al6tude (à tort) et le dT/dz trop faible
40
Les courbes en ,rets verts représentent le profil de température calculé en intégrant ver6calement le gradient de température créé par un processus pseudo-‐adiaba6que saturé pour T(1000)=0, 15, 30 et 35°C (cpz=cpd+ws(Tz)*cl et lv et R varie aussi en fonc6on de Tz.) Une parcelle saturée soulevée pseudo-‐adiaba6quement (évacua6on de l’eau liquide) ou compressée pseudo-‐adiaba6quement (évapora6on pour maintenir la satura6on) suivra ces courbes. Ce sont des courbes équivalentes qui sont reportées dans les diagrammes « skew-‐T » (ou émagrammes obliques à 45°). J.P. Duvel 2009
32
Température poten6elle équivalente pseudo-‐adiaba6que •
•
Les courbes correspondants à l’intégrale du gradient pseudo-‐adiaba6que saturé (courbes en 6rets verts ci-‐dessus) peuvent également être représentée comme des isolignes d’une température poten6elle équivalente « pseudo-‐adiaba6que ». Dans un tel processus la parcelle d’air subit donc deux transforma6ons: –
–
•
•
Une ascendance jusqu’à une pression nulle, ou toute l’eau condensée a été supprimée. L’eau liquide est extraite de la parcelle d’air au fur et à mesure de sa forma6on. D’où le caractère « pseudo » adiaba6que. La parcelle est alors compressée adiaba6quement jusqu’à la pression de référence (1000hPa)
Au delà, l’excès de vapeur d’eau se condense et l’eau liquide est éliminée au fur et à mesure de sa forma6on, rl=0 et l’expression de l’incrément d’entropie est: ds p = ( c pd + ws (T )cl ) d lnT " w (T )lv % − Rd d ln pd + d $ s ' # T & − Rv d ( ws (T )ln r )
Dans ce processus pseudo-‐adiaba6que, la température poten6elle est conservée jusqu’au niveau de condensa9on.
J.P. Duvel 2009
33
Température poten6elle équivalente pseudo-‐adiaba6que •
• L’entropie est alors: La capacité thermique de la parcelle (cpt) T n’est plus constante mais varie en w (T )lv s p = c pd ln θ d − Rd ln p0 + cl ∫ ws (T )dlnT + s − Rv ws (T )ln r T fonc6on de w. L’eau va donc se condenser T dans une parcelle d’air de capacité • On peut alors définir une température poten6elle équivalente pseudo-‐adiaba6que θ’e thermique variable. On ne peut donc plus comme la température d’une masse d’air sec définir simplement un θe, comme pour le qui aurait la même entropie à la pression de cas adiaba6que, car la capacité thermique référence p0: du mélange varie tout au long du s p = c pd ln θ 'e −Rd ln p0 processus. L’entropie est alors: 0
w (T )lv s p = c pd lnT − Rd ln pd + cl ∫ ws (T )dlnT + s − Rv ws (T )ln r T0 T T
où T0 est une température très froide pour laquelle toute l’eau a condensé. En considérant la température poten6elle de Rd l’air sec:
# p0 & c pd θd = T % ( $ pd '
•
€θ 'e = θ d r •
−
ws (T )Rv c pd
e
ws (T )lv +cl c pd T
T
∫ T0 ws (T )d lnT
Il faut donc résoudre numériquement l’intégrale suivant une pseudo-‐adiaba6que pour es6mer précisément θ’e.
J.P. Duvel 2009
€
L’expression exacte de θ’e est donc:
34
r ici, w dans le cours! J.P. Duvel 2009
35
r ici, w dans le cours!
J.P. Duvel 2009
36
Température pseudo-‐adiaba6que poten6elle du thermomètre mouillé • Si on veut tracer l’ensemble des pseudo-‐adiaba6qes depuis le niveau 1000 hPa, il faut considérer un processus saturé depuis ce niveau. Dans ce cas, on ne considère plus TK et TL dans les formules précédentes mais € simplement la température du thermomètre mouillé Tw pour chaque couple (T, p). • La formule correspondante de θ’w est alors:
Rd #1000 & c pd
θ ' w = Tw % ( $ p '
e
# 3376 & w s (1+0.81w s ) % −2.54 ( $ Tw '
• Si les isolignes de θ’w sont libellées comme la température T1000 correspondant à son intersec6on de l’isobare 1000hPa (au lieu de la vraie valeur correspondante de θ’w ), on ob6ent des courbes très proches des profils « nuageux » obtenus précédemment en intégrant les gradients adiaba6ques humides à par6r de cede température T1000. • Dans le schéma suivant, les labels des isolignes représentent les vraies valeurs de θ’w.
J.P. Duvel 2009
37
0
0
-8
-7
0
0
12
0
13
0 10
90
70
50
80
0
0
-9
60
-10
00
-1
40
30
20
10
-20
10 -1
20
-1
14
30
-1
1g/kg
0.1g/kg
0
-3
0
-5
200 0 11
10g/kg
300 -30
400
0
-50
•
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
30
205
151
113
84
20
10
0
-1
45
900 1000
•
10
8
-5
-1
-29
-40
800
31
700
62
-40
600
40g/kg
500
Tirets verts pour les profils nuageux résultant de l’intégra6on des gradients pseudo-‐ adiaba6ques saturés (méthode numérique « moderne ») Tirets bleus pour les isolignes de θ’w
40
40
Pour un calcul précis d’un profil nuageux dans un modèle, il est préférable d’intégrer ver6calement le gradient local de température pour une parcelle saturée. Cela permet en outre: • De considérer facilement une phase glace (c et lv différents) à par6r d’un certain niveau • De considérer l’effet très important de l’entrainement d’air (plus sec et plus froid) de l’environnement. En revanche, une es6ma6on de l’instabilité du profil à par6r des émagrammes reste une ou6l intéressant pour les prévisions à court terme. J.P. Duvel 2009
38
13
40
0
30
0
20
-10
0
10
-20
0
-7
15
0
-8
0 14
0
-9
0
00
-1
50
10 -1
20
-1
12
30
-1
1g/kg
0.1g/kg
0
-4
0
-5
0
-3
200
0
-2
-30
10 0
400
90 80
-40
70
TLCL,PLCL
700
60
800 900 1000
0
-50
-40
-30
-20
-10
20
10
0
-1
T
10 d
0
T,ps 40
20
Pour finir, on ajoute les courbes de ws=constante dans le diagramme T-‐Ln(P). e l " 1 1 % • On trace T=f(P) pour ln s = v $ − ' ws=constante e0 Rv # T0 T & •
−1
−1 "1 R " 1 Rv es % ws p % '' T = $ − ln ' = $$ − v ln T l e T l e ε + w # 0 # 0 v 0& v 0( s)&
40g/kg
500 600
10g/kg
11 0
300
Les courbes (droites) violeEes sont des iso-‐ws dans le repère (T, P) Ce sont tous les couples (T, P) donnant le même ws.
J.P. Duvel 2009
30
•
Connaissant Td au sol, on ob6ent w=ws(ps,Td). Cela permet de trouver la pression et la température du niveau de condensa6on (LCL, li…ing condensa6on level). L’isentrope sèche partant de la surface croise la courbe w=ws(ps , Td)=ws(pLCL , TLCL), avec θ(ps , Ts)=θ(pLCL , TLCL). 39
Astuce… Trouver la pression de vapeur et la pression de vapeur saturante à par6r du diagramme « skew-‐T » On u6lise la rela6on: ρv e εe =ε ≈ ρd p−e p 622e w[g / kg] ≈ p w=
Pour p=622hPa, e=w[g/kg]
J.P. Duvel 2009
40
Pour les faibles w, les isentropes sèches et humides sont parallèles
ws constant θ constant θ’w constant
TLCL,PLCL Les mesures en rouge! Td
Tw θ’w
•
T,p
Te θ’e
Pour la parcelle d’air considérée à (T,p): • θ’w est typiquement la limite froide lors d’une descente précipitante. La pluie s’évapore et refroidie la parcelle lors de la descente, tout en tendant à maintenir un air saturé. • θ’e sera typiquement la température adeinte par une subsidence sèche dans l’environnement. C’est l’origine des inversions de température à grande échelle. En fait, le mélange et le refroidissement radia6f lors des descentes lentes font que cede température n’est pas adeinte. J.P. Duvel 2009
41
