Teza Church – Turing
Prof. coordonator: Tătărâm Monica Student: Popescu Ştefan-George Ştefan-George
Bucureşti, Ianuarie 2011
Cuprins: Capitolul I: Introducere ……………………………………….. 3
Descrierea Tezei………………………………………………. 3 Impactul Tezei………………………………………………… 4 Spectrul lucrării……………………………………………….. 4 Structura lucrării………………………………………………. 4
Capitolul II: Contextul Istoric ………………………………… 5
Autorii lucrării………………………………………………… 5 Maşini Turing…………………………………………………. 6 Problema Opririi………………………………………………. 7 Entscheidungsproblem………………………………………… 8
Capitolul III: Prezentarea Tezei ……………………………….. 9
Teza Turing……………………………………………………… .… 10 Teza lui Church………………………………………………… ...…11
Capitolul IV: Prezentarea Tezei………………………………….12 Diverse interpretări ale Tezei……………………………..........12 Interpretări greşite ale Tezei……………………………………14 Teza M …………………………………………………..14
Bibliografie……………………………………………………….15
2
Capitolul I Introducere Teza Church-Turing afirmă că pentru orice metodă efectivă de calcul (sau algoritm) M se poate construi o Maşină Turing care să o calculeze, cu condiţia ca M să îndeplinească următoarele condiţii: M este formulat ca o serie finită de instrucţiuni clare (fiecare instrucţiune fiind exprimata cu un şir finit de simboluri). În cazul în care nu se ajunge într-o stare de eroare, M va obţine rezultatul dorit într-un număr finit de paşi. M poate fi parcurs de către un om având la dispoziţia sa doar hârtie şi unelte de scris. M nu necesită ingeniozitate sau imaginaţie din partea persoanei desemnate să îl parcurgă. •
•
•
•
Descrierea Tezei
Teza Church-Turing nu este o axiomă ci mai degrabă o idee – o reuniune a rezultatelor obţinute de doi mari matematicieni: Alan M. Turing şi Alonzo Church în principal ca urmare a analizei Problemei de Decizie (Entscheidungsproblem) propusă de David Hilbert. Problema consta în găsirea unui algoritm (sau dovedirea că acesta nu există) care să primească la intrare o descriere a unui limbaj formal şi o afirmaţie în acel limbaj, şi să întoarcă un mesaj corespunzător valorii de adevăr a afirmaţiei. Ambii autori au ajuns la concluzia că nu există un astfel de algoritm. Deşi scopul celor două lucrări era să dea un răspuns problemei de decizie, rezultatul a avut un mai mare impact asupra societăţii ştiinţifice. În primul rând, Church, în lucrarea sa, a folosit pentru prima dată noţiunile de funcţii recursive şi funţii lambdadefinibile. În timp ce în lucrarea sa, Turing introduce conceptul de Maşină Turing, denumită de el LCM (logical computing machine) ducând o echivalenţa între funcţiile intuitiv calculabile şi cele calculabile pe o Maşină Turing. El a mai arătat că nu există o soluţie pentru problema deciziei demonstrând că „Problema Opririi” (Halting Problem) este nedecidabilă pe o Maşină Turing. În mod asemănător, definiţia lui Church pentru funţii intuitiv calculabile are două forme echivalente: 1. O funcţie de numere întregi pozitive este efectiv calculabilă dacă aceasta este λ-definibilă. 2. O funcţie formată din numere întregi se numeşte efectiv calculabilă dacă aceasta este recursivă.
3
Pe baza acestora Church a ajuns la concluzia că nu există o funcţie calculabilă care să decidă dacă două expresii λ-calculabile sunt echivalente sau nu. [wikipeida.org] Impactul Tezei
Teza Church-Turing a avut, şi încă are o mare influenţă în rândul cercetătorilor. Teza are implicaţii profunde în domeniul inteligenţei artificiale – domeniu în care Turing însuşi şi-a dezvoltat multe dintre teoriile sale ulterioare şi unde a introdus faimosul său „joc de imitaţie”. Testul consta dintr-o persoană numită „interogator” care trebuia să afle care dintre cele două entităţi cu care comunică este maşină şi care este om pe baza răspunsurilor date unor întrebări adresate. Spectrul lucrării
Lucrarea de faţă îşi are ca scop: Prezentarea pe larg a Tezei şi contextul în care aceasta a fost compusă Interpretări şi consecinţe al Tezei Interpretări greşite ale Tezei Importanţa Tezei în domeniul informaticii •
• • •
Structura lucrării •
•
•
•
Capitolul I – Introducere: descrie subiectul pe care se bazează această
lucrare. În acest capitol se prezintă o scurtă descriere a Tezei precum şi un scurt rezumat asupra importanţei acelei lucrări. În sfârşit, capitolul se încheie cu prezentarea item-ilor ce vor fi trataţi cu precădere pe parcursul lucrării precum şi un scurt rezumat pe capitole. Capitolul II – Context istoric: în acest capitol vom prezenta o scurtă biografie a celor doi autori şi vom enunţa două dintre problemele ce au motivat lucrarea lui Turing din 1936. Capitolul III – Prezentarea Tezei: vom realiza o descriere mai în amănunt a tezelor celor doi autori, a noţiunilor introduse de ei şi echivalenţa dintre ideile lor. Capitolul IV: . În acest capitol vom mai menţiona diferite interpretări ale tezei precum şi interpretări rezultate din înţelegerea greşită a tezei.
4
Capitolul II Contextul istoric În acest capitol vom prezenta o scurtă biografie a celor doi mari matematicieni pentru a înţelege mai bine, într-o anumită măsura gândirea lor. Apoi, vom discuta despre istoria din spatele Tezei şi despre noul concept propus de Turing în lucrarea sa din 1936: Maşina Turing şi despre problemele ce au motivat compunerea lucrărilor celor doi, Problema Deciziei şi Problema Opririi. Autorii lucrării:
Alan M. Turing
„Alan Mathison Turing a fost un matematician, logician, criptanalist şi informatician britanic. Turing este adesea considerat a fi părintele informaticii moderne.” [ro.wikipedia.org] Alan Turing s-a născut pe 23 iunie 1912. Un autodidact, până la vârsta de 5 ani el deja învăţase să citească. În 1926, la vârsta de 14 ani, s-a dus la Sherborne School, o şcoală publică şi reputată din Dorset. În prima zi de şcoală acolo, a avut o grevă generală în toată Anglia, dar era atât de hotărât să meargă la şcoală încât a călătorit singur pe bicicletă 97 km de la Southampton la şcoală, înnoptând la un han. În 1936 publică lucrarea intitulată „Computable Numbers with an Application to the Entscheidungsproblem ” („Despre numere calculabile, cu aplicaţii în Entscheidungsproblem”). În această lucrare introduce conceptul de „Maşină Turing” şi demonstrează că nu există o soluţie a Problemei de Decizie arătând întâi că Problema Opririi pentru maşinile Turing este nedecidabilă: nu se poate decide, în general, algoritmic, dacă o maşină Turing dată se va opri. În timpul celui de-al doilea război mondial el a lucrat în domeniul criptanalizei în a descifra mesajele germane. Între anii 1945-1948 a lucrat în cadrul proiectului ACE (Automatic Computer Engine) unde şi-a început cercetările în domeniul inteligenţei artificiale. Turing a fost persecutat pentru înclinaţiile sale homosexuale (fapt pedepsit de codul penal britanic din acea perioadă), acest fapt marcându-l profund pentru tot restul vieţii. A murit în 1954 din cauza otrăvirii cu cianură.
5
Alonzo Church
„Alonzo Church (14 iunie 1903 – 11 august 1995) a fost un matematician şi logician american care a adus contribuţii majore în domenii precum logica matematică şi fundamentele informaticii teoretice” [en.wikipedia.org] Născut în Washington DC, el a urmat cursurile universitare la Universitatea Princeton de unde a obţinut licenţa în anul 1924 şi diploma de doctorat în anul 1927 având lucrarea intitulată „ Alternatives to Zermelo's Assumption”. După doi ani el s-a întors la Universitatea Princeton ca profesor. Lucrările sale sunt de mare importanţă în logica matematică şi informatica teoretică. Este creatorul λ-calculului. Este de asemenea cunoscut datorită tezei Church-Turing şi al echivalenţei trasate între puterea de calcul a maşinilor Turing şi a λ-calculului. Structura limbajelor de programare din familia LISP, precum si limbajele de programare funcţională în general, a fost bazată pe lucrările lui Church. Maşini Turing:
Turing a introdus pentru prima dată conceptul teoretic pentru o astfel de maşină – denumită de el „ Logical Computing Machine”- pentru a servi ca un model de calcul matematic în lucrarea sa din 1936 („Despre numere calculabile, cu aplicaţii în Entscheidungsproblem”).Scopul acestor maşini era de a da o definiţie noţiunii de „procedură mecanică”. Maşinile Turing au o structură uşor de înţeles. Ele sunt alcătuite dintr-o bandă nemărginită către dreapta, ce este împărţită în celule (vezi figura de mai jos). Iniţial, banda conţine o serie finită de simboluri aparţinând unui alfabet de intrare, în rest, câmpurile fiind ocupate de un caracter special numit „blank”. Maşina este dotată cu un cap de citire/scriere şi număr finit de condiţionări. Maşina scanează un singur câmp de pe bandă la un moment dat şi doar pe baza acestui simbol şi a stării sale curente decide următorul pas.
6
Definiţia unei maşini Turing M poate fi formalizată astfel: M =
, unde Q = mulţime finită de stări; V = alfabetul de intrare; U = alfabetul de lucru; q0 = stare iniţială; B – simbolul pentru „blank” F = mulţimea stărilor finale O Maşină Turing Universală (MTU) este o maşină Turing ce poate simula alte maşini Turing (astfel este ilustrat folosirea principiului recursiei de către maşinile Turing). Există însă probleme când intră în discuţie funcţii nedecidabile. Un cunoscut exemplu este acela ca o MTU să poată afla dacă o maşină Turing aleatoare se va opri la primirea unui anumit input. Problema Opririi:
Una dintre întrebările puse de Turing în lucrarea sa din 1936 este dacă o maşină Turing ce a pornit în efectuarea unui proces se va opri sau nu. Turing a demonstrat că nu există un algoritm general care să decidă dacă la primirea unui input arbitrar un program se va opri sau nu. Această problemă nedecidabilă (fără soluţie) este cunoscută în literatură sub numele de Problema Opririi (Halting Problem). Turing a ajuns la concluzia că problema este nedecidabilă demonstrând că nu există o MTU care să primească la intrare o configuraţie a unei maşini Turing nu va putea, în general, să decidă dacă acea maşină Turing se va opri pe o intrare dată. Presupunem că există H(x,y) astfel încât la primirea parametrilor x (eticheta asociată unei maşini Turing) şi y (o valoare ce reprezintă input-ul pentru maşina Turing etichetată cu x), întoarce rezultatul 1 dacă x se opreşte pe intrarea y şi 0 în caz contrar. Presupunem prin absurd că maşina H se opreşte: atunci putem construi o altă maşină T(x) care va întoarce 1 dacă H(x,x)=0 şi va rula la infinit dacă H(x,x)=1. Din cele e mai sus ajungem la următoarele concluzii: Dacă T(T) se opreşte, atunci H(T,T) = 1 deci T(T) va rula la infinit. Contradicţie. Dacă T(T) rulează la infinit, atunci H(T,T) = 0 deci T(T) = 1. Contradicţie. Problema Opririi a fost prima problemă care a fost caracterizată ca fiind nedecidabilă. Pentru probleme ulterioare, faptul că sunt nedecidabile a putut fi arătat reducându-le la Problema Opririi. Problema Deciziei este un astfel de exemplu. Explicaţia stă în faptul că propoziţia care spune că un algoritm dat se va opri pe o intrare dată poate fi reformulată ca o afirmaţie despre numere. Deoarece nu există o metodă prin •
•
7
care să se poată decide dacă un algoritm se opreşte sau nu, se poate deduce că nu există o metodă (algoritm) prin care să se poată decide dacă afirmaţia despre numere este adevărată sau falsă. Ent scheidungsproblem :
În matematică, Entscheidungsproblem (germană pentru: Problema de Decizie), este o problemă propusă de David Hilbert în 1928. Problema de Decizie cere găsirea unui algoritm care primeşte ca input descrierea unui limbaj formal şi un enunţ matematic în acel limbaj şi să întoarcă „adevărat” sau „fals” în funcţie de valoarea de adevăr a enunţului. Nu este nevoie ca algoritmul să îşi justifice răspunsul şi nici să ofere o demonstraţie, atâta timp cât întotdeauna ajunge la rezultatul corect. Un astfel de algoritm ar putea decide, spre exemplu, valoarea de adevăr a unor conjecturi mult dezbătute. Originile problemei datează din secolul XVII, când Leibniz propunea construcţia unei maşini ce putea efectua calcule astfel încât să determine valorile de adevăr ale unor afirmaţii matematice. Răspunsul la problemă a fost găsit de Alonzo Church în 1935-1936 şi de Alan Turing în 1936-1937, în mod independenta unul de celălalt. Church a dovedit că nu există o funcţie calculabilă ce să primească două expresii de λ – calcul şi să returneze dacă cele două expresii sunt echivalente sau nu. Turing a redus Problema Opririi pentru maşinile Turing la Problema Deciziei astfel ajungând la acelaşi rezultat ca şi Church. Ambele lucrări au fost influenţate de gândirea şi rezultatele obţinute de Kurt Gödel precum metoda sa de a asigna un sistem numeric formulelor logice pentru a reduce logica la calcul aritmetic.
8
Capitolul III Prezentarea Tezei Noţiunea de metodă efectivă calculabila este una informală şi lipsită de o definiţie riguroasă. Una dintre realizările lui Turing din lucrarea sa „On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem(1936)” a fost introducerea unui predicat formal care să înlocuiască predicatul informal „calculabil printr-o metodă efectivă”. Church a introdus ceva similar în lucrarea „ An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory (1936)”. Predicatele înlocuitoare propuse de Turing şi Church pot părea, la o primă vedere, foarte diferite unul de celălalt, dar s-a demonstrat că cele două sunt noţiuni echivalente, in sensul că ambele predicate descriu aceeaşi mulţime de funcţii matematice. teza Church-Turing constă în a presupune că acea mulţime de funcţii conţine toate funcţiile efectiv calculabile. Un algoritm poate fi descris ca o metodă de rezolvare pas - cu - pas a unei probleme. Mai exact, în descrierea unui algoritm sugerăm existenţa unei entităţi (agent de calcul) capabile să efectueze calculele necesare pentru a urma paşii succesivi ai algoritmului. Mai mult, spunem că un algoritm este incomplet în cazul în care există paşi care sa fie ambigui. Vom numi porţiunea din algoritm care ii permite agentului de calcul să treacă la următorul pas ca instrucţiune . Agentul de calcul trebuie să ştie ce paşi trebuie să urmeze pentru fiecare instrucţiune pe care o poate întâlni precum şi ordinea în care trebuie executate seria de instrucţiuni. „A rezolva o problemă” înseamnă că agentul de calcul, căruia i s-a prezentat enunţul problemei, respectă instrucţiunile algoritmului şi în cele din urmă ajunge la răspuns. Vom numi descrierea problemei (enunţul problemei) ca input al algoritmului iar rezultatul produs de acesta îl vom denumi output . Ne dorim ca noţiunea noastră informală de algoritm sa fie astfel încât să ne putem imagina cu uşurinţă executarea acesteia e către un agent uman sau mecanic. Prin urmare, este necesar ca obiectele pe care agentul de calcul trebuie să le examineze la orice pas, să fie elemente din mulţimi finite. Dar, de asemenea ne dorim să reprezentăm probleme şi răspunsuri care necesită ca agentul de calcul să poată distinge dintr-un număr arbitrar de posibilităţi. Această necesitate este satisfăcută prin construirea de input-uri, output-uri şi valori intermediare folosind simboluri alese din mulţimi finite. Instrucţiunile algoritmului de asemenea trebuie formulate folosind mulţimi finite de simboluri – mai mult, un algoritm poate avea un număr limitat de instrucţiuni O imagine descriptivă asupra acestei noţiuni este cea din citatul următor, luat din lucrarea lui Rogers din 1959:
9
„Fie o cameră B, înăuntrul căreia se află o persoană, L, împreună cu un birou, unelte de scris şi coli de hârtie. La unul dintre pereţii lui B se află două slot-uri ce fac legătura cu exteriorul, denumite input şi output. Dacă am scrie un număr pe o foaie şi i-am livra-o prin slot-ul denumit input, L o va primi şi va începe să efectueze anumite calcule. Atunci când termină, dacă termină, el va scrie numărul obţinut după calcule şi ni-l returnează prin slot-ul marcat output. Vom presupune că L posedă un set finit de instrucţiuni deterministe, finite în lungime, care se referă la modul în care calculele ar trebui făcute. Ne vom referi la aceste instrucţiuni cu numele de P. În cele din urmă, presupunem că rezervele de hârtie sunt nelimitate şi că în B există spaţiu suficient pentru stocarea unei cantităţi necesare de hârtie şi rechizite pentru efectuarea calculelor. Ar mai trebui să presupunem şi că persoana L este ea însăşi de neobosit, din moment ce nu ne interesează cât de mult durează apariţia unui rezultat, cu condiţia ca, în cele din urmă, acesta să apară după efectuarea unui număr limitat de calcule.” Teza Turing: Orice proces intuitiv de calcul poate fi implementat pe o maşină Turing.
Conceptul formal introdus de Turing este acela de calculabil pe o maşină Turing. El a susţinut că ori de câte ori există o metodă efectivă (algoritm) pentru obţinerea valorii unei funcţii matematice, funcţia poate fi calculată de către o maşină Turing. Reciproca este uşor de demonstrat, deoarece programul unei maşini Turing este el însuşi o specificaţie a unei metode efective de calcul: fără a se folosi de ingeniozitate, un om poate parcurge toate instrucţiunile programului şi să efectueze operaţiile cerute. Dificultatea validării tezei lui Turing stă in informalitatea conceptului de algoritm: nu poate există o metodă formală de a descrie proprietăţile clasei tuturor algoritmilor dacă nu avem o definiţie formală clară pentru noţiunea de algoritm. Deşi nu există o demonstraţie riguroasă care să o susţină şi este puternic dezbătută, teza lui Turing este în general acceptată ca fiind un adevăr empiric. Turing şi-a formulat teza cu scopul de a argumenta că Entscheidungsproblem, o problemă de decizie, nu poate a avea răspuns. Church ajunsese la acelaşi rezultat cu câteva luni înainte, folosindu-se de conceptul de λ – definibilitate în locul calculului pe maşini Turing. (O funcţie de numere întregi pozitive se numeşte λ – definibilă dacă valoarea funcţiei poate fi calculat printr-un proces alcătuit din substituţii repetate.) Rezultatele celor doi au fost descoperite independent unul faţa de celălalt, însă conceptele lor s-au dovedit a fi echivalente.
10
Noţiunea de funcţie λ – definibilă este rezultatul lucrărilor lui Church şi Kleene iar cel de funcţie recursivă se datorează lui Gödel şi Herbrand.
Teza lui Church: O funcţie de numere întregi pozitive este efectiv calculabilă dacă este recursivă.
Kleene pare a fi cel care a introdus denumirea de „teza Church-Turing”. El a ajuns la concluzia că cele două teze sunt echivalente şi a sugerat ca ambele teze să fie adresate sub numele de „teza Church” sau „teza Church-Turing” din moment ce una din lucrări tratează maşinile Turing. Copeland consideră că Kleene, în capitolele 12 şi 13 din lucrarea sa „ Introduction to Mathematics: Amsterdam North-Holland ” face una dintre cele mai bune analize ale Tezei, şi le rezumă astfel: 1) Oricare funcţie efectiv calculabilă ce a fost cercetată s-a dovedit a fi calculabilă de către o maşină Turing.
2) Toate metodele cunoscute pentru obţinerea de noi funcţii efectiv calculabile folosind o serie dată de funcţii efectiv calculabile au metode echivalente pentru construirea de noi maşini Turing plecând de la setul de maşini Turing echivalent pentru funcţiile date. 3) Toate încercările de a da o analiză exactă a noţiunii intuitive a unei funcţii efectiv calculabile s-au dovedit a fi echivalente – în sensul că fiecare analiză ce a fost prezentată s-a dovedit a fi descris aceeaşi clasă de funcţii, şi anume clasa de funcţii calculabile pe o maşină Turing.
Capitolul IV
Diverse interpretări ale Tezei :
11
Copeland pune accent pe definiţiile pentru noţiunea de metodă efectivă sau mecanică şi subliniază faptul că sensul pe care aceasta o are în cadrul tezei Church-Turing este diferit faţa de sensul lor propriu. El evidenţiază faptul că aici se creează deseori interpretări greşite ale Tezei. (Definiţiile lui pentru metodă efectivă şi metodă mecanică – pe care le consideră noţiuni echivalente – se găsesc la începutul Capitolului I) Stannett, în lucrarea sa „Computation and Hypercomputation – Minds and machines ”, formulează teza Church-Turing astfel: „funcţia numerică ce poate fi evaluată de (…) un om (…) fără spirit intuitiv, fără conştiinţă de sine sau creativitate şi fără nici înţelegere a domeniului problemei (…) sunt exact acele funcţii care pot fi evaluate de către calculator (de exemplu o Maşină Turing Universală).” Precum Copeland, şi Stannet este preocupat de modul în care se definesc noţiunile de „efectiv” şi „mecanic” . În lucrarea mai sus menţionată, el susţine ideea că abilitatea unui om de a urma o serie de instrucţiuni într-o manieră mecanică poate fi caracterizată ca fiind un comportament uman efectiv şi ajunge la concluzia următoare (vezi figura din dreapta):
Teza Church-Turing: adaptare din Computation and Hypercomputation – Minds and machines (2003)
„Oamenii, în principiu, pot simula ‚gândirea’ unui calculator.” Diane Proudfoot şi Jack Copeland îşi descriu modul de
12
înţelegere al tezei prin definirea noţiunilor de gândire trivială, algoritmică şi algoritmic calculabil: Paşii unei proceduri sunt consideraţi a fi triviali dacă nu este necesară înţelegerea subiectului, ingenuitate sau creativitate pentru a îi îndeplini. O procedură pentru obţinerea unui anumit rezultat este considerată algoritmică atunci când: a. Fiecare pas din procedură este unul trivial b. La sfârşitul fiecărui pas este trivial de ales următorul pas ce trebuie făcut (nu este nevoie de ingenuitate pentru a trece la următorul pas) şi c. Procedura garantează faptul că se va ajunge la rezultatul corect într-un număr finit de paşi (presupunând că fiecare pas este efectuat corect) Un sistem (real sau abstract) este algoritmic calculabil doar în cazul în care există un algoritm – cunoscut sau necunoscut – pentru a-i prezice comportamentul. Cu alte cuvinte, sistemul este calculabil din punct de vedere algoritmic dacă şi numai dacă există un algoritm care să ofere o descriere corectă a output-ului sistemului (incluzând răspunsul vid) cunoscând o descriere a inputului sistemului şi o descriere a stării iniţiale a sistemului, pentru toate input-urile posibile care returnează un output. (Anumite input-uri în anumite sisteme calculabile algoritmic nu produc output deoarece conduc sistemul într-un ciclu infinit.) •
•
•
Date aceste definiţii, interpretarea lor a tezei Church-Turing sună astfel: „Orice sistem calculabil algoritmic poate fi simulat pe o maşină Turing. În sensul că, o maşină Turing poate genera o descriere corectă a outputului unui sistem din descrierea input-ului primit de sistem şi a stării curente a sistemului, pentru toate datele de intrare posibile ce produc output. Folosindu-ne de teza Church-Turing putem spune că nu există un aparat care să efectueze calcule algoritmice mai puternic decât o maşină Turing Universală ”
13
Interpretări greşite ale Tezei :
Este important să diferenţiem dintre teza Church-Turing şi diferitele enunţuri care sugerează că orice poate fi calculat de către o maşină poate fi calculat de o maşină Turing, sau că maşină Turing ar fi o limită înnăscută a puterii de calcul. Gandy (1980) este unul dintre autorii care a diferenţiat clar teza lui Turing de afirmaţia descrisă mai sus, denumind-o pe cea din urmă „Teza M”
Teza M: „Orice poate fi calculat de o maşină (ce lucrează pe o mulţime finită de date în concordanţa cu o serie finită de instrucţiuni) este calculabil de o maşină Turing.”
Tezei M. i se pot asocia două interpretări, după cum fraza „poate fi calculat de către o maşină” poate fi interpretată în sens restrâns, adică „poate fi calculat de o maşină care se conformează legilor fizicii ale lumii existente”, sau în sens larg, care face abstracţie de faptul că o astfel de maşină ar putea exista. Versiunea restrânsă a Tezei M este o propoziţie empirică a cărei valoare de adevăr este necunoscută. Speculaţii că ar exista procese fizice, şi deci potenţiale operaţii mecanice, a căror comportament poate fi folosit pentru a calcula funcţii necalculabile de o maşină Turing, se întind pe ultimele cinci decenii; Versiunea extinsă este însă falsă. Există o largă varietate de descrieri a unor maşini teoretice capabile să calculeze funcţii care nu sunt calculabile cu maşini Turing.
14
Bibliografie: Copeland, J. B., ‘Turing, Wittgenstein and the Science of the Mind’ Proudfoot D. (1994). Peter J. DENNING, Jack B. DENNIS, Joseph E. QUALITZ: Machines, Languages and Computation, Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, NJ, 1978 Eleni PAGANI: The Physical and Philosophical Implications of the Church – Turing Thesis 2004
15
