Termodinámica Serie Universitaria Patria

interactivo en esta edición

Juan Homero Roldán

TERMODINÁMICA

TERMODINÁMICA

Juan Homero Roldán Rojas Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez Supervisor de prepensa: Gerardo Briones González Diseño de interiores: Juan Bernardo Rosado Solís Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís Ilustraciones: Adrian Zamorategui Fotografías: © Thinkstockphoto Revisión técnica: Roberto Hernández Cárdenas Universidad Mexiquense del Bicentenario Colaboración especial: Alma Delia Román Gutiérrrez Termodinámica

Derechos reservados: © 2014, Juan Homero Roldán Rojas © 2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 ISBN ebook: 978-607-438-941-8 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014

DEDICATORIA A Vicky, Homero y Yessy por todo su apoyo y el cariño que me han dado. A mi ángel, que me cuida en mi camino: Evy. A todos mis familiares que me quieren y estiman. “La verdad nos hará libres”

v

PRESENTACIÓN Este libro está pensado como base para un curso de un semestre de Termodinámica, ya que en la mayoría de los programas de estudio de las diferentes carreras de ingeniería y ciencias, durante los primeros semestres, se contempla el estudio de esta área del conocimiento. Al escribir este libro, se tomaron en cuenta los diversos aspectos que sugiere el análisis de las competencias que se contemplan recientemente en el estudio de las diferentes carreras de ingeniería y ciencias; con este objetivo en mente, en todo el contenido del texto se hace énfasis en la integración de los conocimientos, en los procedimientos y en los principios generales para la resolución de problemas, resaltando la importancia de la comprensión del problema que debe resolverse: ¿qué es lo que pide el problema?, ¿cuáles son los datos del problema?, ¿qué tipo de relaciones se pueden establecer?, etcétera. Asimismo, también se destaca el empleo de representaciones gráficas, el uso de relaciones matemáticas y el análisis de relaciones particulares, así como la solución propiamente dicha y, por último, la verificación y la extensión del problema. El libro está dividido en cinco unidades. En la unidad 1 se exponen los conceptos básicos de la termodinámica, haciendo énfasis en el uso del Sistema Internacional para la resolución de problemas, de esta forma se hace referencia a las diferentes unidades para la expresión de la presión: kPa, MPa, y el volumen específico: cm 3/g o m3/kg. En la unidad 2 se puntualiza en la utilización de diferentes sustancias puras y sus aplicaciones a sistemas o procesos. Por su parte, la unidad 3 se ocupa de conceptos y aplicaciones del calor, trabajo y de la Primera Ley de la Termodinámica. En la unidad 4 se estudian las aplicaciones de la Primera Ley de la Termodinámica, donde, por medio de un análisis de la energía con volumen de control, se expone como un modelo de estado estacionario, con múltiples entradas y salidas bajo un flujo uniforme. Por último, en la unidad 5 se hace un análisis básico de los cambios de entropía y del principio de aumento de la entropía en sus aplicaciones a sistemas abiertos y cerrados, así como en la determinación de la eficiencia de los diferentes ciclos termodinámicos. En el CD-ROM se podrán encontrar con detalle las explicaciones de cada uno de los ciclos termodinámicos. Espero que el material presentado aquí sea una motivación para los alumnos, con el fin de que aprendan más acerca de estos temas fascinantes que encierra la termodinámica. El autor

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AGRADECIMIENTOS Son muchas las personas especiales en mi vida; a quienes me gustaría agradecer su amistad, apoyo, ánimo, cariño y compañía, en las diferentes etapas de mi vida. Algunas de ellas están en mi vida y otras más se encuentran en mis recuerdos y en mi corazón. JHRR En principio, agradezco a mi editora, Estela Delfín Ramírez, por alentarme a llevar a cabo este proyecto y por todo su apoyo incondicional. A la Doctora Alma Delia Román Gutiérrez, a la Doctora Delia Román Gutiérrez y al Ingeniero Roberto Hernández, por su ayuda en la revisión técnica; sus aportaciones ayudaron, en gran medida, a mejorar la claridad del texto. También agradezco al Licenciado Carlos Lara por todo el apoyo para la realización del CD-ROM de apoyo que acompaña esta obra.

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CONTENIDO Unidad 1 Fundamentos de termodinámica 1.1 1.2 1.3 1.4

Introducción Definición de termodinámica Aplicaciones de la termodinámica Sistema, propiedades, procesos, ciclos y ley cero de la termodinámica 1.5 Análisis dimensional 1.6 Sistemas de unidades 1.7 Propiedades termodinámicas Problemas para resolver

Unidad 2 Propiedades de una sustancia pura 2.1 Introducción 2.2 Sustancia pura 2.3 Fases de una sustancia pura 2.4 Propiedades independientes de una sustancia pura 2.5 Definiciones fundamentales 2.6 Cambio de fase de una sustancia pura 2.7 Superficies termodinámicas 2.8 Estado de referencia y valores de referencia 2.9 Uso de las tablas termodinámicas 2.10 Vapor sobrecalentado 2.11 Líquido comprimido o subenfriado 2.12 Ecuaciones de estado 2.13 Gas ideal 2.14 Ley de Avogadro 2.15 Otras ecuaciones de estado Problemas para resolver

1 2 2 2 2 11 14 15 36

43 44 44 44 47 47 50 53 56 56 58 59 75 75 77 81 94 ix

Contenido

Unidad 3 Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica 3.1 Introducción 3.2 Síntesis 3.3 Conceptos de trabajo, calor y energía 3.4 Otras relaciones de trabajo y energía 3.5 Primera ley de la termodinámica 3.6 Calor 3.7 Transferencia de calor 3.8 Energía potencial, energía cinética y energía interna 3.9 Otros tipos de trabajos Problemas para resolver

Unidad 4 Análisis de energía con volumen de control 4.1 Introducción 4.2 Estado de régimen permanente 4.3 Primera Ley de la Termodinámica 4.4 Algunos dispositivos con ingeniería de flujo estable Problemas para resolver

Unidad 5 Segunda Ley de la Termodinámica 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Introducción Maquina térmica Eficiencia térmica Segunda Ley de la Termodinámica y la entropía Enunciado de Clausius de la Segunda Ley de la Termodinámica 5.6 Procesos reversibles e irreversibles 5.7 Ciclo de Carnot 5.8 Escala de temperatura absoluta 5.9 Bombas de calor y refrigeradores 5.10 Entropía Problemas para resolver x

99 100 100 100 108 111 117 124 130 132 150

157 158 158 158 161 177

183 184 185 186 187 188 188 188 191 192 193 196

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica OBJETIVOS Entender los diversos conceptos fundamentales y básicos de la termodinámica y sus posibles aplicaciones en problemas prácticos o usos en la vida cotidiana. Identi�car las leyes de la termodinámica y sus cantidades asociadas. Entender los diferentes procesos termodinámicos y sus posibles aplicaciones en problemas prácticos o usos en la vida cotidiana. Determinar las similitudes y diferencias entre los diferentes tipos de equilibrio. Aplicar la conceptualización de la ley cero de la termodinámica a sistemas prácticos. Reconocer las diferentes unidades básicas y el análisis dimensional para dar solución a problemas de tipo dimensional. Calcular las diferentes propiedades termodinámicas (presiones absoluta, manométrica, hidrostática y atmosférica, para diferentes sistemas: temperatura —conversión de grados Celsius a Fahrenheit, de Kelvin a Rankine y viceversa—, volumen, volumen especí�co, densidad, peso, peso especí�co, etcétera). Identi�car las diferentes fuentes de energía y sus posibles aplicaciones en problemas prácticos o usos en la vida cotidiana.

¿QUÉ SABES? ¿La termodinámica es una ciencia que se puede aplicar a diferentes procesos industriales como refrigeración, generación de vapor, licuefacción de un gas, etcétera? ¿Qué elementos conceptuales se requieren para el estudio de la termodinámica y cuáles son los más importantes? ¿Una tasa de café (hirviendo) a la intemperie puede ser un sistema abierto y una olla exprés un sistema cerrado? ¿Con cuántos tipos de propiedades se de�ne el estado de un sistema? ¿Qué es un proceso? ¿Cuántos tipos de procesos existen? ¿Es posible que un ciclo termodinámico pueda ser útil en la vida cotidiana? ¿La utilidad de la ley cero de la termodinámica en la vida cotidiana consiste en determinar si se alcanza el equilibrio térmico entre dos o más sistemas? ¿La ley cero de la termodinámica es la base de la termometría?

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica

1.1 Introducción El análisis de la ciencia requiere, para su estudio y construcción, metodologías precisas que permitan un desarrollo sistemático, en donde los conceptos básicos constituyan un elemento fundamental en la concreción de la misma, evitando en gran medida, equivocaciones y malas conceptualizaciones, interpretaciones y aplicaciones. En este capítulo se estudian los conceptos básicos de la termodinámica, mismos que constituyen la base para lograr la comprensión del comportamiento de los sistemas termodinámicos que se abordarán a lo largo de este texto.

1.2 Definición de termodinámica Alerta Podemos afirmar que la termodinámica es la ciencia que se ocupa de la relación entre el calor y otras formas de energía mediante el análisis de las variables macroscópicas del sistema Esas otras formas de energía pueden ser: mecánica, eléctrica, química, hidroeléctrica, nuclear, cinética, potencial, entre otras. La termodinámica estudia desde sistemas tan pequeños como unas cuantas partículas subatómicas hasta grupos de galaxias.

El término termodinámica proviene del griego o, termo, que significa “calor”,y  ¯ , dinámico , que significa “fuerza”.1 Por lo que, en esencia, la termodinámica estudia la circulación de la energía y cómo la energía infunde movimiento. Según Hatsopoulos y Keenan, 2 “la termodinámica es la ciencia de los estados y los cambios de estado de los sistemas físicos y (la ciencia) de la interacción entre sistemas que pueden acompañar a los cambios de estado”. Según Epstein,3 “la termodinámica trata de los sistemas cuya descripción se hace utilizando algún parámetro térmico específico, por ejemplo, la temperatura o alguna cantidad equivalente, además de los parámetros mecánicos y electromecánicos usuales”. Los principios de la termodinámica se basan directamente en las observaciones realizadas sobre fenómenos naturales y el estudio de sus causas.

1.3 Aplicaciones de la termodinámica Las aplicaciones de la termodinámica se extienden a una amplia gama de áreas de la ingeniería y la vida cotidiana, en virtud de que prácticamente todas las actividades industriales y humanas requieren, para su operación, fenómenos que se relacionan, en mayor o menor medida, con la transferencia de calor y energía entre los sistemas involucrados. Ejemplo de lo anterior en la vida cotidiana, lo constituyen la operación y el funcionamiento de planchas, calentadores, estufas, televisores, humidificadores de aire, ventiladores y aparatos de aire acondicionado; entre otros, en los que la interacción de calor y energía es un proceso evidente. A escala mayor, la termodinámica encuentra su aplicación en los grandes procesos de generación de energía eléctrica, la operación de hornos industriales, los procesos de destilación, la refrigeración y, en general, en todas las actividades relacionadas con la energía y su transformación en trabajo útil o aprovechable, como se muestra en la figura 1.1. Estas y otras aplicaciones son analizadas de forma más detallada en el transcurso de este libro.

Figura 1.1 Algunas aplicaciones reales de la termodinámica.

1.4 Sistema, propiedades, procesos, ciclos y ley cero de la termodinámica Como se mencionó antes, el análisis de los principios termodinámicos requiere de una conceptualización precisa, que nos permita el acercamiento correcto a su comprensión y aplicación; por tanto, iniciamos con la definición de los conceptos fundamentales, entre los que destacan: 1 2 3

2

Yunus A. Cengel y Michael A. Boles, Termodinámica, McGraw-Hill, México, 2006, p. 2. G. N. Hatsopoulos y J. H. Keenan, Principles of General Thermodynamics , John Wiley & Sons, Nueva York, 1965. P. S. Epstein, Texbook of Thermodynamics , John Wiley & Sons, Nueva York, 1937.

Grupo Editorial Patria

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    



Sistema y tipos de sistemas. Propiedad y tipos de propiedades. Proceso y tipos de procesos. Ciclos. Ley cero de la termodinámica.

Pared imaginaria, lo su�cientemente alejada para que sea impermeable

Sistema

Pared

En termodinámica, un sistema se define como cualquier conjunto de materia o cualquier región en masa que se toma para estudio. Cualquier región fuera del sistema se conoce como alrededores o entorno; la superficie real o imaginaria que separa al sistema de sus alrededores se llama frontera o pared, como se observa en la figura 1.2. Así, un motor de combustión interna, una bomba de agua, una caldera, un condensador, una torre de enfriamiento, un intercambiador de calor, una planta de vapor, un compresor, un ventilador, una válvula de expansión, una turbina, etcétera, son ejemplos de sistemas. La geometría del sistema termodinámico se caracteriza no solo por su volumen sino por su forma; sin embargo, la mayoría de sus propiedades son independientes de la forma del sistema. En consecuencia, en términos generales, el volumen solo depende directamente de dicha forma física. 

Sistema

Universo

Entorno

Las interacciones de materia y energía entre sistema y entorno ocurren a través de la pared

Figura 1.2 Representación de un sistema, alrededor y frontera.

Propiedades de un sistema

Una propiedad puede definirse como una cantidad que depende del estado del sistema y es independiente de la trayectoria por la cual haya llegado a dicho estado.

Propiedad intensiva Una propiedad intensiva es independiente de la masa. Por ejemplo, presión, temperatura, viscosidad y densidad. Las propiedades intensivas se expresan con letras minúsculas, a excepción de la temperatura (T).

Propiedad extensiva El valor de una propiedad extensiva varía directamente con la masa del sistema. Por ejemplo, la masa y el volumen total, así como también la energía, la carga eléctrica, etcétera. Cabe hacer notar que las propiedades extensivas se convierten en propiedades intensivas si se expresan por unidad de masa ( propiedad específica), de moles (propiedades molares ) o de volumen (densidad de propiedad ). X=

N

∑ X i =1

i

Si un sistema está constituido por N subsistemas, el valor de una propiedad extensiva X para el sistema total estará dada por : Donde X i es la propiedad extensiva del subsistema i . Por tanto, las propiedades extensivas son aditivas, las cuales se pueden denotar con letras mayúsculas, a excepción de la masa ( m). Por ejemplo, el volumen es una propiedad extensiva que depende directamente de la masa del sistema; no así la temperatura y la presión, entre otras, que son independientes de la masa del sistema (propiedades intensivas). Otro ejemplo de una propiedad extensiva es la energía, la cual se puede clasificar de las siguientes maneras:   

Energía variable (extensiva, aditiva) E [unidades de energía]. Energía específica (energía por unidad de masa) e 5 lim q E/N. Densidad de energía (energía por unidad de volumen).

Las variables representativas, T, v, así como la cantidad de masa contenida en el sistema (expresada en moles), se relacionan directamente por medio de la siguiente expresión: f ( P, T, v, n ) = 0

(1.1)

3

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica Cualquiera de estas tres variables, P , T , v, puede expresarse en función de las otras dos, por lo que la ecuación puede resolverse para cualquiera de estas tres variables en función de las otras dos, por ejemplo: v 5 v (P,T)

P 5 P(T,v )

dv = (

T 5 T(P,v )

δ v

δ v

δ P

δ T

)dP + (

)dT

(1.2) (1.3)

A la que se le denomina ecuación de estado y cuya forma específica depende de las propiedades particulares de la materia que se está estudiando. De manera que para definir el estado de un sistema es necesario contar por lo menos con dos variables, esto nos permite representar gráficamente el sistema como se muestra por ejemplo en la figura 1.3.

Un punto en el diagrama P vs. V de�ne el estado de un sistema ] P [ n ó i s e r P

Volumen[V ]

Figura 1.3 Representación del estado de un sistema.

Una ecuación de estado es una relación funcional semi-empírica entre presión, volumen y temperatura de una sustancia; como ya se dijo, la forma específica de una ecuación de estado depende de las propiedades particulares de la materia que se está estudiando. Más adelante se estudiarán estas ecuaciones con detalle. A los puntos que representan estados con la misma presión, pero con diferentes temperaturas y volúmenes, se les denomina isóbaras, como se muestra en la figura 1.4 (línea horizontal).

Isóbara ] P [ n ó i s e r P

Línea a presión constante

Volumen [V ]

Figura 1.4 Representación de líneas isobáricas.

A los puntos que representan estados con el mismo volumen, pero con diferentes presiones y temperaturas, se les denomina isocoras o isométricas , como se observa en la figura 1.5 (línea vertical).

4


©

Isocoras o isométricas

Línea a volumen constante

] P [ n ó i s e r P

Volumen[V ]

Figura 1.5 Representación de líneas isocóricas o isométricas.

A los puntos que representan estados con la misma temperatura, pero con diferentes presiones y volúmenes, se les denomina isotermas, como se muestra en la figura 1.6.

Isotermas

Línea a temperatura constante ] P [ n ó i s e r P

Volumen [V ]

Figura 1.6 Representación de una isoterma.

Asimismo, la función de estado puede representarse por medio de tres variables de estado, como se observa en la figura 1.7.

Representación grá�ca donde se observan las líneas: n ó i s e r P

P = Isóbaras V = Isocoras T = Isotermas

V o l u m e n

u r a r a t e p T e m

Figura 1.7 Representación de la función de estado en tres dimensiones.

5

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica En la función de estado que representa el sistema debe ser necesario y suficiente que la diferencial sea exacta. Esta función debe cumplir con las siguientes cuatro afirmaciones; aunque, si cumple con una de ellas, las otras tres también se cumplen.    



f es una función de estado.

df es una diferencial exacta. ∫ df 5 0. ∫ df 5 ff 2 fi; sea independiente del camino que recorre el sistema.

Tipos de sistemas

Un sistema termodinámico, o simplemente un sistema, se puede definir como una cantidad de materia (masa y energía) o una región de espacio elegida para su estudio. De manera que los sistemas son regiones restringidas, no necesariamente de volumen constante ni fijas en el espacio, en donde se puede estudiar la transferencia de masa y energía. Los sistemas se pueden clasificar en:   

Abiertos. Cerrados. Aislados.

Sistemas abiertos Los sistemas abiertos son aquellos que puede interactuar con su alrededor y pueden intercambiar masa y energía. En la figura 1.8 se representa un sistema abierto. Energía entrante

Flujo másico entra

Sistema

Energía saliente

Figura 1.8 Representación de un sistema abierto.

6

Flujo másico


©

Sistemas cerrados Los sistemas cerrados son aquellos que solo pueden interactuar con su alrededor a través del intercambio de energía (se tiene una masa de control o volumen fijo), como se representa en la figura 1.9 Pared aislante Energía

Energía

Sistema

Figura 1.9 Representación de un sistema cerrado.

Sistemas aislados Los sistemas aislados son aquellos que no pueden interactuar con los alrededores. En estos no hay transferencia de masa y energía, como se muestra en la figura 1.10. Pared adiabática o aislante Whecho sobre el sistema = 0

Sistema Qabsorbido = 0

Qdesprendido = 0

Figura 1.10 Sistema aislado.

Wrealizado sobre el sistema = 0

Todo sistema queda limitado por un contorno real o imaginario, que se denomina frontera, pared o límite del sistema; algunos autores también le llaman superficie de control o volumen de control; dicho contorno puede ser rígido o móvil. Esto significa que la pared separa al sistema del resto del universo. En el cuadro siguiente se describen algunas de las características más importantes de la frontera de cada sistema. Pueden ser

Reales

Imaginarias

Que permiten

Sí

No

Cambio de volumen

Móviles

Rígidas o �jas

Flujo de calor

Diatérmicas

Adiabáticas

Flujo de materia

Permeables

Impermeables

A través de la frontera suceden los intercambios de trabajo, calor o masa entre el sistema y su entorno. Los alrededores o entorno es la parte del universo próximo al sistema que se ve afectado directamente por los procesos que ocurren dentro del sistema.

7

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica El universo es todo lo accesible a nuestro experimento. Para el caso de este estudio, el universo está formado por el sistema examinado y su entorno, y con el que es capaz de interactuar en su evolución. Lo anterior se representa en la siguiente fórmula:

Universo 5 Sistema 1 Entorno

Ecuación de estado Se denomina ecuación de estado a la relación entre variables que describen el fenómeno o sistema ( P , T , v ) y la cantidad de materia del sistema. Por ejemplo, para un sistema que se encuentra en una sola fase homogénea (sólido, líquido o gaseoso), se puede precisar, por medio de una ecuación de estado, donde una de estas variables está determinada por la naturaleza y donde las otras dos variables se fijan arbitrariamente; por tanto, la ecuación que se proponga debe describir este hecho. A continuación se muestran algunas ecuaciones de estado. Pv = RT

A)

Pv = ZRT

B)

P =

RT + v

RTB − A − v 2

C T 2 + RTb − a v 3

C)

La ecuación puede o no expresarse por medio de una fórmula analítica proveniente de una teoría o a través de una experimentación. 

Equilibrio químico, térmico, mecánico, termodinámico

Equilibrio La idea básica del concepto de equilibrio es que las variables que describen un sistema que está en equilibrio no cambian con el tiempo. No obstante, esta noción no es suficiente para definir el equilibrio, puesto que no excluye los procesos estacionarios (principalmente aquellos en que hay flujos o intercambio de materia), los cuales no se pueden abordar con los métodos de la termodinámica clásica. En los procesos estacionarios continuamente debe haber cambios en el ambiente para mantener constantes los valores de las variables del sistema. Para excluirlos, entonces, se usa una definición más restrictiva: un sistema está en equilibrio si, y solo si, está en un estado desde el cual no es posible ningún cambio sin que haya cambios netos en el ambiente.

Por tanto, la termodinámica clásica se ocupa solamente de sistemas en equilibrio, como se puede ver más adelante. Aunque también se pueden tratar sistemas fuera del equilibrio, en tanto que el equilibrio es una abstracción, ya que que los sistemas reales no están nunca en estricto equilibrio. Cuando las variables que describen al sistema y al ambiente que interactúa con él no varíen apreciablemente en la escala de tiempo de las mediciones, se puede considerar que el sistema está en equilibrio y es posible aplicarle las consideraciones termodinámicas pertinentes. Existen muchos tipos de equilibrio, como el químico, el mecánico y el térmico, entre otros, pero un sistema no está en equilibrio termodinámico a menos que las condiciones de todos los tipos relevantes se satisfagan.

Equilibrio químico Se dice que en una reacción química se ha alcanzado el equilibrio cuando las concentraciones de cada una de las sustancias que intervienen (reactivos y productos) se mantienen constantes, es decir, ya no varían con el tiempo.

Equilibrio térmico Un estado se encuentra en equilibrio cuando dos coordenadas termodinámicas independientes, X y Y, permanecen constantes mientras no se modifiquen las condiciones externas, por lo que se dice que se encuentra en equilibrio térmico. De manera que un sistema se encuentra en estado de equilibrio termodinámico si no es posible que en él ocurra un cambio espontáneo y finito a otro estado, sin provocar, a su vez, un cambio finito en los alrededores del sistema.

8


©

En conclusión, si dos sistemas se encuentran en equilibrio térmico se dice que tienen la misma temperatura. Entonces, se puede definir la temperatura como una propiedad que permite determinar si un sistema se encuentra o no en equilibrio térmico con otro sistema.

Equilibrio mecánico Un sistema se encuentra en equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y de momentos sobre cada partícula del sistema es cero. Pero, ¿el equilibrio de un sistema solo es un ideal, o se puede extrapolar a sistemas reales? Para responder esta pregunta, primero hay que partir de la consideración de que cualquier propiedad termodinámica ( P , T , V , v , etc.) puede describir el estado del sistema, siempre y cuando este se encuentre en equilibrio. ¿Cómo se puede describir el estado de un sistema o un proceso real, ya que este tipo de procesos ocurre solo cuando no existe equilibrio? Para describir el estado de los sistemas ideales, primero se parte del hecho de que cualquier propiedad termodinámica que describa el estado del sistema debe tomar en cuenta todas las fuerzas impulsoras que interactúan dentro o fuera del sistema. Dichas fuerzas deben estar en equilibrio (térmico, mecánico, químico, etcétera). Lo opuesto sucede para los sistemas reales, ya que estos tipos de procesos no se encuentran en equilibrio; por tanto, se requiere de una aproximación (termodinámica) que represente las variaciones o desviaciones infinitesimales del equilibrio, para cada uno de los estados por los que pasa el sistema durante el proceso. Esto es, cada paso o camino que recorra el sistema puede estar o no en equilibrio. Por tanto, este tipo de proceso recibe el nombre de proceso cuasiestático o cuasiequilibrio. Cabe hacer notar que este proceso se lleva a cabo lo suficientemente lento, como para permitir al sistema realizar ajustes internos en las propiedades termodinámicas, para que no existan errores o desajustes significativos. Para el caso de los procesos en desequilibrio, el análisis se limita a la descripción del sistema, antes y después de que ocurra el proceso, esto es, hasta que el sistema llegue al equilibrio térmico, mecánico, químico, etc., debido a que es difícil describir los estados intermediarios, por la rapidez con que estos se llevan a cabo. Entonces, los gases reales se pueden tratar de manera ideal haciendo uso de los procesos cuasiestáticos. En la figura 1.11 se muestran diferentes tipos de equilibrios (químico, térmico y mecánico) y su interacción para llegar al equilibrio termodinámico. Constantes a lo largo del tiempo

Equilibrio

Equilibrio químico (m 5 cte)

Equilibrio térmico (T 5 cte)

Equilibrio mecánico (P 5 cte)

Equilibrio termodinámico

Figura 1.11 Equilibrio termodinámico.



Ley cero de la termodinámica

Si un cuerpo “caliente” se pone en contacto con otro “frío” y ambos se aíslan del medio circundante, las propiedades de los cuerpos (por ejemplo, la temperatura, el volumen, la conductividad, etc.) cambiarán. Sin embargo, después de cierto tiempo, las diferentes propiedades cesan de cambiar. Cuando los cambios de las propiedades cesan, se dice que los cuerpos están en equilibrio térmico. Otras formas comunes de enunciar la ley cero son las siguientes:

9

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica 



Alerta

Si dos cuerpos, aislados de otro ambiente, están en equilibrio térmico con otro cuerpo, estos dos cuerpos también lo están entre sí. La ley cero establece que cuando dos cuerpos tienen igualdad de temperatura con un tercero, los tres cuerpos tienen igualdad de temperatura entre sí.

Esta ley es, en realidad, la base de la medición de temperatura, por lo que es de gran importancia para la termometría y para el establecimiento de las escalas empíricas de la temperatura. En la figura 1.12 se muestra, de una manera sencilla, la aplicación de la ley cero de la ter modinámica.

La ley cero fue formulada y nombrada así, por primera vez, por R. H. Fowler en 1931. Como su nombre lo sugiere, su valor como principio físico fundamental fue reconocido más de medio siglo después de haber formulado la primera y la segunda leyes de la termodinámica.

C

C

A

B

A está muy caliente

B y C están en equilibrio térmico

A

B

A, B y C están en equilibrio térmico

Figura 1.12 Una representación de la ley cero de la termodinámica.

En la figura 1.13 se muestran algunos tipos de termómetros: de gas, líquido y termopar.

Alerta

Termómetro digital

La ley cero justifica la definición y la construcción de un termómetro.

Termómetro de gas a volumen constante

D

Alerta Un termómetro es el instrumento que permite medir la temperatura en términos de las variables mecánicas del sistema. Las variables mecánicas que no están fijas se conocen como propiedades termométricas. Estas pueden ser:

B R

• Volumen de una columna líquida.

• Radiación emitida por un sólido caliente.

Diferentes tipos de termómetros.



Procesos y ciclos

Un sistema experimenta un proceso cuando se verifica un cambio de estado, esto es, una transformación en la que alguna de las variables que caracteriza al sistema se modifica con el tiempo. Por su parte, la trayectoria del proceso es una serie de estados de equilibrio por los que pasa el sistema durante un proceso; la trayectoria solo tiene importancia para los procesos de cuasiequilibrio. Existen tres tipos de procesos termodinámicos, los cuales se describen a continuación:  



10

Termopar

Figura 1.13

• Presión de un gas a volumen constante. • Resistencia eléctrica de un alambre de platino.

C

Proceso iso. Es el proceso donde una de las variables termodinámicas es constante. Proceso adiabático. Es un proceso termodinámico en el cual no hay transferencia de calor hacia y desde los alrededores. Proceso politrópico. Es un proceso termodinámico en donde ninguna de sus propiedades permanece constante.


©

En la tabla 1.1 se resumen los diferentes tipos de procesos y las variables que permanecen constantes. Tabla 1.1 Tipos de procesos Tipo de proceso

Variable que permanece constante

Isobárico

P

Isocórico o isométrico

V

Isotérmico

T

Isoentálpico

H

Isoentrópico

S

Politrópico

PV g

Adiabático

PV g

Se dice que un sistema se somete a un ciclo si al término del proceso regresa a su estado inicial. En la figura 1.14 se representan algunos ejemplos de procesos.

50

P A

40 C

B

30

T2

a

P ,



20

D A

C

B

T1

10 0

T2 . T1 0

1

2

V, m3

3

a)

4

Figura 1.14

5

V

Algunas representaciones gráficas de procesos.

b)

Como se puede observar, en la figura 1.14 se representan dos ciclos termodinámicos. El primer ciclo (figura 1.14a) está compuesto por tres procesos; uno que parte del punto A hasta el punto B, a presión constante (proceso isobárico); le sigue un proceso a volumen constante (isométrico o isocórico), desde el punto B hasta llegar al C ; por último, un proceso que regresa hasta el estado inicial (punto A), cuya representación en el diagrama p -V es una línea recta. En el segundo ejemplo (figura 1.14b) se representan cuatro procesos: el primer proceso inicia en el punto A hasta llegar al punto B, por medio de un proceso isotérmico; el siguiente proceso va del punto B al punto C , a través de un proceso adiabático (ya que las variables del punto B y C son diferentes, ninguna de ellas permanece constante). Estos dos procesos son de expansión. Para cerrar el ciclo termodinámico, se llevan a cabo dos procesos, el primero va del punto C al D , a través de una compresión isotérmica, este proceso es seguido por un proceso adiabático de compresión, el cual va del punto D hasta el punto A. Estos son algunos ejemplos de ciclos termodinámicos.

Alerta En un ciclo termodinámico, los estados inicial y final son idénticos.

1.5 Análisis dimensional El análisis matemático de los sistemas termodinámicos requiere para su operatividad dimensiones y unidades adecuadas para su manejo correcto; los conceptos de análisis dimensional ayudan a resolver problemas prácticos de diseño. Por lo general, se requiere tanto de desarrollos teóricos como de resultados experimentales, lo que permite agrupar cantidades importantes en parámetros dimensionales congruentes. En la tabla 1.2 se listan las unidades básicas del sistema internacional (SI); no obstante, las demás cantidades físicas se pueden dar en función de la combinación de estas mismas unidades básicas.

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UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica Tabla 1.2 Dimensiones y unidades básicas en el SI Unidad básica

Cantidad física

Símbolo Dimensión SI

Metro

Longitud

m

L

Kilogramo

Masa

kg

M

Segundo

Tiempo

s

Θ

Kelvin

Temperatura

K

T

Ampere

Corriente eléctrica

A

Candela

Cantidad luminosa

cd

Mol

Cantidad de materia

mol

Problema resuelto Supóngase que analizamos la relación de trabajo provocada por la caída de una piedra como la que se muestra en la figura 1.15.

Figura 1.15 Análisis dimensional de la energía y el trabajo.

Solución

Primero, debemos incluir las variables significativas en una ecuación: W 5 f (F, z )

Donde: [F ] 5 ML/u2

[z] 5 L [Energía] 5 ML2/u2

Variables

Variables 2

Variables 2

F

ML/θ

F = ma

ML/θ

m

M

z

L

a

L/θ2

z

L

W

ML2/θ2

Trabajo es una forma de energía

El producto fuerza por distancia es la de�nición de un tipo de energía

Problema resuelto Supóngase que analizamos la velocidad de un cuerpo que cae en un vacío; sabemos que la velocidad v¯ es una función de la aceleración debida a la gravedad g y a la distancia h a la que cae ese cuerpo. Pensemos que no sabemos cómo deducir la ecuación para la velocidad de caída; por tanto, se puede buscar la relación correcta entre el análisis dimensional y el experimental. (continúa)

12


©

Solución (continuación)

Primero, debemos incluir las variables significativas en una ecuación: v 5 f (g, h)

Donde: [v ] 5 L / [g] 5 L /2

[h] 5 L

Variables

Variables

Variables

v

L/u

v /h

1/u

g

L/u

g/h

1/u2

h

L

v

g×h

0

Si dividimos ambas dimensiones nos da un valor de cero, lo que nos proporciona un parámetro adimensional

Para que tenga dimensiones iguales, tenemos que obtener la raíz cuadrada

La ecuación se puede describir de forma adimensional como: Resultado: v g×h = C

Problema resuelto Se desea combinar las siguientes variables: tensión superficial, velocidad, densidad y longitud, para definir una variable adimensional.

Cantidad

Dimensiones

Longitud L

L

Velocidad

L

y

θ

Densidad 

M L 3

Tensión super�cial

M

s

θ2

Solución

Se conocen: Los valores de las cuatro dimensiones: longitud, velocidad, densidad y tensión superficial. Encontrar: Un número adimensional. Suposiciones: De acuerdo con el teorema de Buckingham, el número adimensional debe tener las variables: M, L, . Análisis: En términos de   ab c L d . Para ello, se deben determinar los exponenciales para cada una de las dimensiones y, así, el número propuesto quede sin dimensiones:

M  M 0L 0 θ 0 =  2   θ 

a

L b  M C d    3  L  θ   L  (continúa)

13

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica Solución (continuación)

Igualando los exponentes para cada una de las dimensiones básicas. Para: M: 0 5 a 1 c

L: 0 5 b 2 3c 1 d : 0 5 22a 2 b

Estas tres ecuaciones se resuelven simultáneamente, con lo cual se obtienen las siguientes condiciones: a 5 2c b 5 2a 5 22(2c ) 5 2c d 5 2b 1 3c 5 2(2c ) 1 3c 5 c d 5 c

Sustituyendo los valores en la última ecuación nos da: a 5 2c d 5 c b 5 2c

Entonces, si elegimos la ecuación c 5 1: a 5 21 d 5 1 b 5 2

 M −1  L 2  M 1 1 ν 2 ρ l π =  2     3  L =  θ   θ   L  σ Comentario: Como se puede observar, la ecuación es consistente para ambos lados de la igualdad.

Alerta Las unidades derivadas de toda propiedad o variable termodinámica se pueden derivar de las unidades básicas.

Tabla 1.3

1.6 Sistemas de unidades Este apartado está dedicado al estudio de los principales conceptos relacionados con los sistemas de unidades. Por tanto, se inicia con la exposición de las definiciones de las unidades básicas.

Pre�jos estándares en unidades del SI



Unidad

Cantidad determinada conocida, por cuya aplicación constante se puede medir cualquier otra cantidad similar.

Múltiplo o submúltiplo

Pre�jo

Ejemplo

1012

Tera

2 000 TW (watts)



109

Giga

10 GB (gigabytes)

106

Mega

4 MB (megabytes)

Orden lógico de cantidades definidas, por cuya aplicación constante se pueden medir otras cantidades similares. Consta de tres componentes:

103

Kilo

10 KV (kilovoltios)

10

2

Hecto

1 Hl (hectolitro)

10

1

Deca

1 Dm (decámetro)

10−1

Deci

14



1dl (decilitro)

−2

Centi

10 cm (centímetros cúbicos)

10−3

Mili

20 mg (miligramos)

10−6

Micro

10 ml (microlitro)

10−9

Nano

10 ns (nanosegundos)

10−12

Pico

10 pm (picómetros)

10

Sistema de unidades

3





Unidades básicas . Son aquellas a partir de las cuales se derivan todas las

demás unidades. Las unidades básicas son siete: masa (M), longitud (L), tiempo (), temperatura (T), concentración química (mol), intensidad de corriente eléctrica (i), intensidad luminosa (cd). Unidades derivadas . Son aquellas que surgen al combinar las unidades básicas, como las unidades de velocidad (L/ ), de aceleración (L/ 2), de fuerza (ML/2), etcétera. Múltiplos de las unidades . Es el uso de notación científica para expresar valores muy pequeños o muy grandes; por ejemplo, el tamaño de un átomo o la distancia de la Tierra a la Luna. En la tabla 1.3 se muestran algunos múltiplos o submúltiplos, prefijos y ejemplos de estos múltiplos.


©



Sistema internacional y sistema inglés

Sistema internacional (SI) El SI utiliza siete dimensiones primarias que se basan en estándares oficiales; por ejemplo, la unidad de longitud en el sistema internacional es el metro, y este se define como 1 650 763,73 longitudes de onda de la línea roja-naranja de la emisión de los átomos de Kr-86 en el vacío. La unidad de tiempo es el segundo (s), el cual se define como la duración de 9 192 631,77020 ciclos de una transición específica dentro del átomo de Cesio, entre otras definiciones más precisas.

Sistema inglés o United States Customary System

Alerta Según la nomra oficial mexicana NOM-008, el símbolo decimal debe ser una coma sobre la linea(,). Si la magnitud de un número es menor que la unidad, el signo decimal debe ser precedido por un cero.

Este sistema es el más utilizado en Estados Unidos de América; al igual que el sistema internacional, este también cuenta con unidades básicas; sin embargo, existe una confusión, ya que a la unidad utilizada para la masa se le denomina libra-masa (lb m), pero esta también puede ser utilizada para designar una unidad de fuerza llamada libra-fuerza (lb f ), siendo esta última una unidad secundaria. La libra-fuerza se define como la fuerza gravitacional que actúa sobre una masa hacia la Tierra, a la aceleraft m ción estándar de 32,1740 2 o 9,80665 2 . s s Esta definición nos permite desarrollar un factor de conversión de unidades que relacionen a la masa, a la longitud y al tiempo como sigue: 1lbf = 32,174 De donde se deduce que: 1=

lbm ft s2

32,174 lbm ft lbf s2

En la tabla 1.4 se muestran las dimensiones y las unidades para los sistemas Internacional y United States Customary System (USCS). Tabla 1.4

Dimensiones y unidades Sistema internacional

United States Customary System

SI

USCS

Magnitud

Unidad

Símbolo

Magnitud

Unidad

Símbolo

Masa

kilogramo

kg

Libra-masa

libra-masa

lbm

Longitud

metro

m

Longitud

pie

ft

Tiempo

segundo

s

Tiempo

segundo

s

Temperatura

kelvin

K

Temperatura

temperatura

°R

Corriente eléctrica

amperio

A

Fuerza

libra-fuerza

lbf

Intensidad luminosa

candela

cd

Cantidad de sustancia

mol

mol

1.7 Propiedades termodinámicas A continuación se definen las diferentes propiedades termodinámicas: 

Volumen

El volumen se puede definir como el espacio que ocupa un cuerpo o una cantidad de fluido. Se representa con la siguiente fórmula:

Volumen (V ) 5 (longitud)3 5 L 3

m3 o ft3

15

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica Volumen específico El volumen específico se define como la cantidad de espacio que ocupa una unidad de masa. Se representa con la siguiente fórmula:

Volumenespecífico (v ) = 

Alerta El volumen específico de un sistema puede variar con la gravedad, esto es de punto a punto; por ejemplo, si la atmósfera se considera como un sistema, el volumen específico aumenta a medida que la altitud aumenta.

m3 /kg o [ft3 /lb]

Densidad

La densidad es la cantidad de masa contenida en una unidad de volumen. Densidad (ρ ) =

M masa = 3 volumen L

kg lb ; ; °API; °Baumé m3 ft 3

Densidad relativa Se llama densidad relativa a la relación que existe entre la densidad de una sustancia y la densidad de una sustancia de referencia. Densidadrelativa (ρ r ) =

Alerta El volumen específico está definido por la siguiente relación: V =

lim

δ V

δv → δ v ' δ m

Donde  v ' es el volumen más pequeño para el que la masa se puede considerar un continuo. Volúmenes más pequeños conducen a reconocer que la masa no tiene una distribución uniforme en el espacio, sino que se concentra en partículas como moléculas, átomos y electrones.

longitud3 L 3 = M masa

ρ sustancia ρ sustanciade ref ferencia

En el caso de los líquidos, esa sustancia es el agua; tratándose de los gases, esa sustancia es el aire. kg La densidad del agua entre 0 y 100 ºC, puede considerarse 1000 3 . m La escala más usada para medir la densidad relativa de los productos derivados del petróleo son los ºAPI, pero esta se usa solamente para líquidos más ligeros que el agua. º API =

141, 5 ρ r

−131, 5 a → 60 º F

Peso específico Es la relación que existe entre el peso de una sustancia y el volumen que ocupa esta; es decir, es el peso de la unidad de volumen. L M 2 peso mg N = = 3s = 3 γ = volumen V L L N m3

Peso específico relativo Es la relación que existe entre el peso específico de una sustancia respecto del agua, por lo que es adimensional. γ δ = sustancia γ agua

Problema resuelto Considérese un tráiler-tanque que transporta gasóleo, cuya densidad es de 26 ºAPI; si las dimensiones del tanque son: largo 10 m y diámetro 1,5 m, ¿qué masa ocupa el gasóleo en la pipa? (ver figura 1.16).

Figura 1.16

16

(continúa)


©


Haciendo uso de la definición de ºAPI: º API =

141, 5 ρ relativo

− 131, 5

Despejando la densidad relativa:

141, 5

º API+ 131, 5 = ρ r =

ρ relativo

141, 5 API+ 131, 5

Al sustituir el valor de API: ρ r =

141, 5 = 0, 8984 26 + 131, 5

Calculando el valor de densidad de la sustancia:

= ρreferenciaρ relativo

ρsustancia

Al sustituir datos: ρ sustancia

 kg  kg = (0, 8984 )1000 3  = 898, 4 3  m  m

Por tanto, el volumen del tanque es: V tanque =

πd 2h

4

=

π (1, 5 m)2 (10 m)

4

= 17, 67 m3

Calculando la masa del sistema: ρsustancia

 

m = (17, 67 m3 )898, 4

=

m ⇒ m = V ρ sustancia V

 1 Ton  kg   = 15, 87 Ton = (15874, 73 kg) 3  m  1000 kg

De esta forma, la respuesta a la pregunta del planteamiento del problema es: m 5 15,87 Ton.

Problema resuelto Un fluido tiene una densidad relativa de 0,83, ¿cuál es la densidad de la sustancia? Si se sabe que la kg ρ H O = 1000 2 , ¿cuál es el volumen específico y el peso específico de la sustancia en SI y en el USCS? 2 m Solución

La densidad relativa se define como: ρ relativa =

ρ sustancia ρ H O 2

Despejando la densidad de la sustancia:

ρsustancia

= ρreferenciaρ H O 2

Así, en el SI la respuesta es: ρrelativa = 0, 83…ρ H O 2

ρsustancia γ sustancia

= 1000

= ρ relativaρ H O = 0, 83 ×1000

= ρ sustancia g = 830

2

kg m3

kg kg = 830 3 3 m m

kg kg kg − m m × 9, 81 2 = 8142, 3 3 2 = 8142,33 3f 3 m s ms m (continúa)

17

UNIDAD

1


Cálculo de la densidad en el sistema inglés: ρ sustancia = 830

γ sustancia

1 lbm lb kg 2, 831×10−2 m3 × × = 51, 81 m3 3 3 m 0,4535 kg 1 f ft ft

lbm lb ft ft × 32,174 2 = 1 666,9375 3m 2 × 3 ft s ft s

= ρ sustancia g = 51, 81

ρ sustancia = 830

32,174

lbm ft lbf s2

= 51, 81

lbf ft 3

lb kg = 51, 81 m3 3 m ft

γ sustancia = 8142, 3



1

kgf lb = 51, 81 3f 3 m ft

Presión

La presión es la fuerza que actúa sobre un área. La presión se emplea cuando se trata con un gas o un líquido; aunque también se puede aplicar una fuerza de compresión a los sólidos. Para calcular la presión, se utiliza la siguiente fórmula: Presión (P ) 5 fuerza/área 5 fuerza/longitud 5 ML/u /L 5 M/Lu 2

2

2

Vacío 1 atm

2

760 mm Hg

2

N/m 5 Pa

29,92 in Hg

Transmisión de la presión En un sistema cerrado, un cambio de presión producido en un punto del sistema se transmite a todo el sistema, aunque depende de la profundidad a la que se encuentre. Este principio se conoce como ley de Pascal, en honor a Blaise Pascal (científico francés). 

Figura 1.17

Presión hidrostática, presión atmosférica, presión manométrica presión de vacío y presión absoluta

Presión hidrostática Es aquella que se ejerce sobre una superficie considerada en el interior de un líquido; es proporcional a la profundidad a la que se encuentra. P atm

h P hidrostática =  gh

10,3 m

Figura 1.18 Presión hidrostática.

Presión hidrostática

18


©

Presión atmosférica El aire ejerce una fuerza sobre la superficie de la Tierra debido a su peso, análoga a la presión hidrostática, esta fuerza se conoce con el nombre de presión atmosférica. Presión atmosférica 78 kPa Qué es Efectos

Presión atmosférica

Cómo se mide Aplicaciones a P k 2 2

m k 2 , 2

Presión atmosférica 100 kPa

Figura 1.19

Cabe resaltar que la presión atmosférica varía según el punto de la superficie de la Tierra en que se mida; por ejemplo, a nivel del mar es de 760 mmHg o 1,033 kg/cm 2. 1 atm 5 1,01325 bar 5 1,01325 3 105 N/m2 5 14,696 lbf /in2(psia)

Presión manométrica Es una medida de la fuerza por unidad de área ejercida sobre un fluido, por encima de la presión atmosférica del lugar. 1 atm

1 atm Manómetro de tubo abierto. La presión se mide mediante la altura h de la columna de mercurio. 1 atm

Presión que está siendo medida

Figura 1.20

La ecuación para establecer la presión manométrica es: dP = −ρ gdz

Integrando, bajo los límites de integración: P = P1 → z = z1 P = P2 → z = z 2 p 2

∫

p 1

z 2

∫

dP = −ρ g dz z 1

P2 = P1 + ρ g∆z

Presión de vacío Es una presión menor que la atmosférica, se mide como la diferencia entre la presión medida y la presión atmosférica.

19

UNIDAD

1


Quitamos el aire Moléculas de agua

El agua hierve

Figura 1.21 Presión de vacío en un sistema.

Presión absoluta Es la suma de la presión atmosférica más la presión manométrica, o la resta de la presión atmosférica menos la presión de vacío. Se determina por medio de las siguientes ecuaciones: P abs 5 P man 1 P bar P abs 5 P man 1 P atm P abs 5 P atm 2 P vacío Presión superior a la presión atmosférica Presión absoluta que es mayor que la presión atmosférica Barómetro que lee la presión atmosférica

Manómetro ordinario que lee la dif. entre la Pabs y la Patm Presión atmosférica Vacuómetro ordinario que lee la diferencia entre la presión atmosférica y la presión absoluta Presión menor que la atmosférica

Figura 1.22 Ilustración de las mediciones de la presión.

Presión absoluta menor que la presión atmosférica

Presión cero

Problema resuelto Supóngase que se requiere medir la presión de un recipiente; para tal efecto se utiliza un manómetro metálico tipo Bourdon. Una vez realizada la medición, en el manómetro se registra la siguiente medida: 10 kg/cm2. Si la presión atmosférica en la Ciudad de México es de 690 mmHg, ¿cuál será la presión absoluta que persiste en el interior del recipiente? Véase figura 1.23. Pman 5 10 kg/cm2 Patm 5 690 mmHg Pabs 5 ?

Figura 1.23 Solución P abs 5 P man 1 P atm

Datos: P man 5 10 kg/cm2 P atm 5 690 mmHg (1,033 kg/cm 2/760 mmHg) 5 0,938 kg/cm 2

Al sustituir datos: P abs 5 P man 1 P atm 5 10 1 0,938 5 10,938 kg/cm 2 P abs 5 10,938 kg/cm 2

20


©

Problema resuelto La presión estática correspondiente a un fluido que se desplaza por un tubo, se mide por medio de un manómetro como el que se muestra en la figura 1.24:

Patm= 704 mmHg

h = 0,30 m

Z = 0,15 m

Hg = 13 600 kg/m3

Figura 1.24

Solución

Para resolver este problema, primero se debe realizar un balance de las presiones que se ejercen en el sistema: P atm 1 Hgg∆z 5 aceiteg∆h 1 P A

Enseguida, se despeja la presión en el punto A: P atm 1 Hggz 2 aceitegh 5 P A

Datos: Hg 5 13 600 kg/m 3 aceite 5 860 kg/m 3

P atm 5 704 mmHg

Equivalencia: 1,0333 kg/cm2 5 760 mmHg 5 1,013 3 105 Pa P atm 5 (704 mmHg)(1,013 3 105 Pa/760 mmHg) 5 93 835,80 Pa Hggz 5 (13 600 kg/m 3)(9,81 m/s 2)(0,15 m) 5 20 012,4 N/m 2 5 20 012,4 Pa aceitegh 5 (860 kg/m 3)(9,81 m/s2)(0,3 m) 5 2 530,98 N/m 2 5 2 530,98 Pa

P A 5 93 835,8 Pa 1 20 012,4 Pa 2 2 530,98 Pa 5 111 317,20 Pa P A 5 111 317,2 Pa (1 atm/1,013 3 105 Pa) 5 1,099 atm

Así: P A 5 1.099 atm

21

UNIDAD

1


Problema resuelto Un cilindro hidráulico vertical tiene un pistón de 150 mm de diámetro y contiene un fluido hidráulico; la presión interna en el sistema es de 1250 kPa y la presión atmosférica es igual a 1 bar. Si se supone que la gravedad estándar es de 9,81 m/s 2, encontrar la masa del pistón que creará esa presión interna. P atm5 1 bar

 5 150 mm

Figura 1.25

1250 kPa P int

Solución

La presión que se ejerce en el interior del cilindro hidráulico depende de la presión atmosférica, el peso del émbolo y la fricción entre el pistón y el cilindro; el diagrama del cuerpo libre del émbolo se muestra en la figura 1.25; asimismo, se muestra el balance de las fuerzas verticales que interactúan en el sistema: P int 5 P atm 1 W pistón 1 F R

Si se realiza un análisis de fuerza en el sistema: P atmA. 1 W pistón 1 F R 5 F

pistón

P int A 5 F

Figura 1.26 Análisis de fuerzas del cuerpo libre (pistón)

Supóngase que no existe fricción entre el cilindro y el pistón, por lo que si se igualan ambas fuerzas, queda: P int A 5 P atm.A 1 W pistón

Si aquí se despeja el peso:

(P int − P atm) A 5 W pistón El peso se define como W 5 mg, por lo que al sustituir en la ecuación, da como resultado: (P int − P atm)A 5 mg Ahora, si se despeja la masa del émbolo: m 5 (P int − P atm)A/g

Datos: P int. 5 1 250 kPa

1 Pa 5 1 N/m2 5 1 kg-m/s2-m2

P atm. 5 1 bar

1 kPa 5 1 000 Pa

1 bar 5 100 kPa A 5 pd 2/4

22

{(150/1 000)2 3 3,1416}/4 5 0,01767 m 2 (continúa)


©


Si se sustituyen los datos, se tiene: (1250 – 100) 3 (0,01767 m 2) 5 20,3222 kPa-m2 m 5 20,3222/9,81 5 2,07158 kPa-m2/m/s2 m 5 2,07158 (1 000 Pa/1 kPa) (kPa-m 2/m/s2)

m 5 2071,58 Pa-m2/m/s2 m 5 2071,58 (kg 2m/s22m2)2m2/(m/s2) 5 2071,58 kg

Así: m 5 2071,58 kg

Problema resuelto Un medidor de vacío se encuentra conectado a una torre de destilación y marca 24 kPa. Si la empresa se localiza en la ciudad de Guadalajara, donde la presión atmosférica es de 92 kPa. Determinar la presión absoluta en la torre. Solución Pabsoluta = Patm − P vacío P = 92 kPa − 24 kPa = 68 kPa

Problema resuelto Considérese un proceso industrial donde los procedimientos se controlan desde un tablero, que es desde donde se miden las diferentes variables del sistema; uno de los equipos de este proceso es un tanque de almacenamiento de materia prima que es controlado por un medidor de presión, el cual manda una señal al tablero de control indicando que existen 500 kPa de presión al interior del recipiente. El siguiente equipo es una bomba de vacío, cuya lectura indica 50 kPa en el tablero. Si en el lugar físico donde se encuentra la fábrica, la presión barométrica indica 700 mmHg, ¿cuál es la presión absoluta para cada uno de los kg equipos? La densidad del mercurio es de 13 570 3 . m Solución

Se conoce: La presión barométrica del lugar y las alturas de las columnas de cada uno de los equipos, esto nos permite calcular la presión manométrica de cada uno de los equipos. De manera que la suma de las dos presiones nos da la presión absoluta. Encontrar: La presión absoluta para cada uno de los equipos en kPa y psia. Suposiciones: La densidad del mercurio va a permanecer constante a lo largo del proceso, ya que la densidad del mercurio cambia con la temperatura. Análisis: La presión barométrica (atmosférica) se evalúa a partir de la ecuación: Patm = ρ gh

Datos: ρ = 13 570

kg y h = 700 mmHg m3

(continúa)

23

UNIDAD

1


De esta forma, si sustituimos los datos en la ecuación, resulta:  kg  m P atm = 13 570 3 9, 81 2  (0, 7 m) = 93185,19  m  s  Al realizar el análisis dimensional: M L ML2 M  F  L × × = = 2 =   = P L3 θ 2 θ2L3 θ L A P bar = 93185, 19

N = 93185,19 Pa = 93,185 kPa m2

Así, la presión absoluta se puede determinar por las siguientes ecuaciones: P abs 5 P bar 1 P man P abs 5 P bar 2 P vacío

Calculando la presión para la bomba de vacío: P absoluta 5 P bar 2 P vacío 5 93,185 kPa 2 13 kPa 5 80,185 kPa

En unidades del Sistema Inglés, tenemos: Factores de conversión 1 psia = 6, 894757 kPa P abs = 80,185 (kPa) ×

1 psia = 1162 , psia 6, 894757 kPa

Calculando la presión para el tanque: P absoluta 5 P bar 1 P man 5 93,185 kPa 1 500 kPa 5 593,185 kPa

En unidades del sistema USCS tenemos: Factores de conversión 1 psia = 6, 894757 kPa P abs = 593,185(kPa)×

1 psia = 86, 03 psia 6, 894757 kPa

Por tanto, las presiones absolutas para los dos equipos son:

Equipo

P absoluta

SI kPa

P absoluta

USCS psia

Tanque

593,185

86,03

Bomba vacío

80,185

11,62

Problema resuelto Un gas está contenido en un dispositivo cilindro pistón sin fricción; donde el émbolo tiene una masa de 600 g, y un área de sección transversal de 0,0040 m 2. Asimismo, el dispositivo está provisto de un resorte que comprime al émbolo con una fuerza de 70 N. Si la presión atmosférica es de 85 kPa, determinar la presión dentro del cilindro. Si se suministra una cierta cantidad de calor, de manera que se duplica el volumen, ¿esperaría que la presión interna se modificara? Solución

Se conoce: La presión atmosférica, la masa del émbolo y la fuerza de compresión realizada por el resorte. Encontrar: La presión que se ejerce sobre el gas en kPa y psia.

24

(continúa)


©


Suposiciones: La suma de fuerzas es cero: ∑ F = 0 Fext = Patm A + Fresorte + Wpistón Fint = Pint A

Por tanto, la fricción que existe entre el pistón y el cilindro es nula.

Análisis: a) La presión interna del gas en el dispositivo depende directamente de la suma de fuerzas externas, como se muestra en el diagrama del cuerpo libre. F ext 5 F int

Si sustituimos los valores para las fuerzas, entonces tenemos: P int A 5 P ext A 1 F resorte 1 W émbolo

Despejando la presión interna nos queda: P int =

Pext A + Fresorte + Wémbolo A

Pint = P ext +

F resorte + W émbolo A

P int = 80000 Pa +

 

 

70 N + 0, 6 kg× 9, 81 m  s

2

0, 0040 m

2

= 98971, 5 Pa

P int = 98, 971 kPa

En unidades USCS: P int = 98, 971 kPa×

1 psia = 14, 35 psia 6, 894757 kPa

b) El cambio del volumen no afectará la presión interna, debido a que el sistema se desplaza hacia arriba, hasta que se equilibren las fuerzas, tanto externas como internas. De esta manera, la presión dentro del cilindro no sufrirá cambio alguno. 

Temperatura

Temperatura se define como la medida de la energía cinética promedio de los átomos y moléculas individuales de una sustancia. La temperatura se expresa en grados centígrados (Celsius, °C), grados Fahrenheit (°F), grados Kelvin (K) y grados Rankine (°R), este último en desuso. Temperatura (T) 5 ºC; ºF; K; ºR

En la termodinámica es deseable una escala de temperatura que sea independiente de las propiedades de cualquier sustancia. La relación entre las cuatro escalas de temperatura siempre es entre dos puntos, pero a diferentes equivalencias: 



El punto de fusión (congelación en el proceso inverso). El punto de ebullición (condensación en el proceso inverso).

B Punto de ebullición

Punto de congelación

A

Figura 1.27

En la figura 1.28 se muestra la relación que hay entre las escalas de temperatura.

25

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica Punto ebullición Punto fusión Cero absoluto

Figura 1.28 Escalas de temperatura.

100

373

212

672

0

273

32

492

−273

0

460

0

°C

°K

°F

°R

Problema resuelto Para medir la temperatura de un sistema con un termómetro (a volumen constante), en el que se describe una función lineal, debido a la dilatación del líquido (mercurio), se utiliza la siguiente ecuación:

Θ = k1V + b Donde k 1 y b son son constantes. Si el líquido se coloca en un capilar de altura h:

Θ = k ( Ah) + b Es decir:

Θ = kh + b, k = k1A Las constantes k y b se calculan bajo las siguientes condiciones, a partir de los siguientes límites: P 5 1 atm

Dividido en 100 partes iguales u5 0 ºC punto de fusión; h 5 0 u 5 100 ºC punto de ebullición; h 5 100

Solución

Para calcular las constantes de k y b , se puede utilizar el método de mínimos cuadrados. Supóngase que se postula una relación de tipo lineal para dos variables de las cuales se tiene una serie experimental de medidas. La meta es determinar la pendiente y la ordenada al origen. Debido a errores experimentales, los puntos (x i; y i) no están perfectamente alineados. Estos errores son de origen estadístico, instrumental, etcétera (pero no es objetivo de esta obra estudiarlos aquí). En pocas palabras, para determinar los coeficientes a y b , primero se debe encontrar la recta de mejor ajuste a todos los pares de puntos (x i; y i). Entonces, queda claro que cualquier ajuste que se haga, por mejor que este resulte, puede no demostrar ninguna relación entre dos variables a priori .

Alerta Suponemos aquí, que la relación entre las variables es lineal. Podría no serlo y, entonces, el ajuste que hagamos va a diferir bastante de nuestros datos experimentales. Lectura recomendada: E. R. Jones, Jr. “Fahrenheit and Celsius, A story”, The Physics Teacher , vol. 18, pp. 594-595 (1980).

26

N

N m=

∑ i =1

xi y i −

N

N

∑ i =1

N

b =

N

N

∑ ∑y i =1

xi

i =1

i

 N 2 x 1   ∑ i =1

xi 2 − 

N

N

N

∑x ∑y −∑ x ∑y x i =1

i

i =1 N

N

∑ i =1

i

i =1

i

i =1

i

 N 2 x   ∑ i =1 

x i 2 − 

Para este caso, la pendiente resulta 1 y la ordenada al origen cero.

i


©

Equivalencia entre escalas de temperatura

Problema resuelto ¿A cuánto equivale 1 ºC en ºF? x °C = y °F

Solución

Se sabe que ambas escalas de temperatura tienen el mismo punto de partida, que es el de congelación del agua, y el mismo punto de terminación, que es el punto de ebullición, como se muestra en la figura 1.29. Celsius Punto de ebullición

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Punto de congelación

−273

Figura 1.29

Fahrenheit 212 1

180

32

– 46 460

La escala Celsius inicia en cero (punto de congelación del agua) y termina en 100 (punto de ebullición del agua), lo que significa que está dividida en 100 partes iguales; por su parte, la escala Fahrenheit inicia en 32 (punto de congelación del agua) y termina en 212 (punto de ebullición del agua), lo que significa que está dividida en 180 partes iguales. Para conocer la equivalencia entre entre ambas escalas, primero estas estas dos escalas deben partir del mismo nivel de referencia, esto es, de cero, por lo que le restaremos 32 a la escala Fahrenheit. Así: ºC 5 ºF – 32. Además, se debe dividir cada una de las escalas entre el número de divisiones que cada una de ellas propone: 100 para la escala Celsius y 180 para la escala Fahrenheit. De esta forma:

°C 100

=

°F − 32 180

Al despejar ºC se obtiene:

°C =

100(°F − 32) 180 5

°C = (°F − 32)

9 Para el caso opuesto, es decir cuando se quiera conocer a qué equivale °F, de la ecuación se despejan los grados Fahrenheit: 180°C \\\\\\\\\\ = °F − 32 100

180°C   + 32 °F =   100  Simplificando:

 9°C  °F =   + 32  5 

27

UNIDAD

1


Problema resuelto En este problema se requiere conocer la equivalencia entre grados Kelvin (escala absoluta) y grados Rankine. Punto ebullición Punto fusión Cero absoluto

100

373

212

672

0

273

32

492

−273

0

460

0

°C

°K

°F

°R

Figura 1.30 Solución

El punto de fusión del agua para la escala Kelvin es de 273,15, mientras que para la escala Rankine es de 491.69; por su parte, el punto de ebullición para la escala Kelvin es de 373,15 y para la escala Rankine es de 671,67. Es decir: K − 273,15 =º R − 491,69 K − 273,15 °R − 49 4911, 69 = 100 180 Despejando ºC, resulta: K − 273,15 =

100(°R − 491, 69 ) 180

5

K = (°R − 491, 69 69 ) + 273,1 5 9 K= K= K=

5  °R −  491, 69 69 + 273,1 5   9 9 5

5

9 5

9

°R − 273,15 + 273,15 °R = 0, 556 º R

Para el caso inverso, se sigue el mismo procedimiento, es decir de la ecuación se despejan los grados Rankine: K − 273,15 °R − 49 4911, 69 = 100 180 180(K − 273,15) = º R − 491, 69 100 180(K − 273,15) + 49 4911, 69 = º R 100

180 K  180   −  273,15 + 49169 , = ºR   100  100  180 K  180   −  273,15 + 49169 , = ºR   100  100  1, 8 K − 491, 69 + 491, 69 = º R 1, 8 K = º R

28


©

Problema resuelto Un termistor se utiliza como transductor de temperatura. Su resistencia cambia con la temperatura aproximadamente como:   1 1  R = R 0 exp α  _ 

 T T 0 

Donde R 0 es la resistencia a la temperatura T 0. Si se tiene un valor R 0 5 3 000  y T 0 5 298 K. Calcular la constante V si la resistencia se eleva de 200  a una temperatura final de 100 ºC. Solución

El aumento de temperatura, medido por el termistor, permite determinar el valor de la constante a, a partir de la ecuación propuesta para este equipo. Por tanto, si despejamos el valor de a, queda:

  1 1 

R = R 0 exp α  _   T T 0 

Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad, resulta:

   1 1   ln(R − R o ) = lnexp α _      T T 0   1 1  R ln = α  −  T T o  R0 

ln α=

R R 0

 1 1   −  T T 0 

Sustituyendo datos: 2800 3000 ln0, 9333 α= =  1 1  2, 680 80996 ×10−3 − 3, 3557×10−3  −   373 298 ln

−6, 9028×10−2 = 102 0 2, 30 3099 K −6, 747×10−4

α=

α



= 102 102,30 ,3099 K

Velocidad y caudal

La velocidad es la distancia recorrida durante una unidad de tiempo. Se representa con la siguiente ecuación: longitud L = Velocid Vel ocidad ad (v ) = tiempo Θ

D x 

A

La velocidad se requiere para definir el flujo de fluidos o el movimiento de máquinas. Así: m ft = s s De esta forma, la velocidad se asocia directamente con el caudal. El caudal se define como la relación de la cantidad de flujo que pasa por una sección transversal a una velocidad determinada o la cantidad de fluido que está pasando por un determinado punto dentro de un periodo específico.

D x A

Dt



Figura 1.31

L L3 Caudal = (C ) = área×velocidad = L2 × = Θ Θ

29

UNIDAD

1


Problema resuelto Dos corrientes de agua entran a una cámara de mezcla, como se muestra en la figura 1.32.

C1 5 80 m3/s

C3 5 ? v3 5 ? d3 5 0,5 m

C2 5 100 m3/s

Figura 1.32

Si las condiciones de entrada en el punto 1 y 2 son: C1 = 80

m3 m3 ; C2 = 100 determinar la velocidad de s s

salida, considerando que el diámetro de salida es de 0,5 m. Solución

De acuerdo con el principio de conservación de la masa, que afirma que la masa que entra a un sistema debe ser igual a la masa que sale del sistema:

∑C

entra

= ∑ C sale

C1 + C 2 = C 3 C entrada = 80

m3 m3 m3 + 100 = 1880 s s s

C 3 = 180

m3 = C salida s

C 3 = 180

m3 = A3v 3 s

π (0, 5)2

π( 0, 25)

Calculando el área de la sección de salida: A3 =

πd 32

=

4 4 Ahora, despejando del caudal tres la velocidad:

=

4

= 0,1964 m2

m3 C s = 916, 50 m v 3 = 3 = s A3 0,1964 m2 180

Problema resuelto Km . Si Evy compra un automóvil en Estados h mi Unidos de América y lo introduce al país, ¿a qué velocidad debe circular en para no ser infraccionada, h dado que el auto solo indica la lectura de la velocidad en millas? ¿Qué tiempo tardará en recorrer la distancia entre Ciudad Juárez y la Ciudad de México, que es de 1200 km, si transita a la velocidad máxima permitida? El límite de velocidad máxima permitido en México es de 110

Solución

Se conoce: El límite de velocidad máximo permitido en que debe circular un automóvil en México. Así como la distancia total que debe recorrer el automóvil del lugar de origen (Ciudad Juárez) al lugar de destino (Ciudad de México).

30

(continúa)


©


Encontrar: mil km La velocidad permitida máxima ν = que corresponde a la velocidad permitida en ν = . h h Suposiciones: La velocidad máxima se mantendrá constante a lo largo de todo el trayecto. Análisis: La velocidad se define como: ν =

distancia recorrida km = en una unidad de tiempo h

ν = 110

km  1 mil  mil =  = 68, 35   h 1, 6093 km h

Si se van a recorrer 1 200 km desde Ciudad Juárez, Chihuahua, hasta la Ciudad de México, entonces: ¿cuánto tiempo tarda un automóvil en recorrer esa distancia circulando a 110 km por hora, que es el límite de velocidad máximo permitido? Así: L d ν = = ; despejando el tiempo t θ t =



d ν

=

1200 km = 10, 9 h km 110 h

Fuerza

En el lenguaje cotidiano, la palabra fuerza se utiliza para referirse a la tracción, ya que mediante un esfuerzo muscular es posible empujar o aplicar una fuerza a un cuerpo; asimismo, se relaciona con la palabra tensión debido a que una cuerda puede soportar la tensión ejercida por un cuerpo que cuelga de ella. Por lo general, fuerza se define como todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales Asimismo, la fuerza tiene unidades derivadas de la segunda ley de Newton sobre el movimiento: Fuerza (F ) = masa×aceleración = m×a = 1N=1

ML θ2

kg − m s2

Problema resuelto Una máquina lavadora contiene 2 kg de ropa que giran con una rapidez que genera una aceleración de 12 m/s2. ¿Cuál es la fuerza necesaria para retener la ropa dentro de la lavadora? Solución F = ma



m

F = (2 kg)12 2   s  F = 24

kg − m = 24 N s2

31

UNIDAD

1


Problema resuelto Con una prensa hidráulica se desea elevar un automóvil que pesa 1 500 kg f . Determinar la fuerza que se necesita aplicar en la sección de 0,01 m 2, para que en la sección de 1 m 2 se eleve el automóvil (véase figura 1.33). 

F 1

A2

A1



F 2


Para determinar la fuerza requerida, se utiliza el principio de Pascal que define lo siguiente: "En cualquier punto del interior de un fluido en reposo, la presión es la misma en todas direcciones y depende de la profundidad a que se encuentra", el cual también puede enunciarse como: la presión que se aplica en un punto de un líquido se transmite con igual valor a todos los puntos del fluido. Esto es: P1 = P 2

Utilizando la definición de presión, queda: F 1 F 2 = A1 A2

Datos: A1 = 0, 01 m2 A2 = 1 m2 F 2 = 1500 kgf F 1 = ? F 1 = F 1 =



F 2 × A1 A2

1500 kgf (0, 01 m2 ) 1 m2

= 15 kgf

Peso

Peso (W) se define como la fuerza que actúa sobre un cuerpo, como resultado del campo gravitacional de la Tierra. Por lo que se representa con la siguiente ecuación: L Peso = masa × gravedad = M 2 = kg × (m/s2 ) = kg m/s2 = 1 N θ

Para el análisis termodinámico, el valor de la constante gravitacional es: g 5 9,81 m/s.

32


©

Problema resuelto m Una grúa levanta una masa de 400 kg en un punto donde la aceleración gravitacional es de 9, 5 2 . s Encontrar el peso. Solución W = ma = F; a = g = 9, 5 W = (400 )( 9, 5) = 3 800



m s2

kg − m = 3, 80 kN s2

Energía (E)

La energía se define como una medida del movimiento o la capacidad de un cuerpo o sistema para realizar un trabajo. Mientras que trabajo se define como la fuerza que se aplica a un sistema para que recorra una distancia. Obsérvense las ecuaciones respectivas: W 5 FdS

1 N * m 5 1 J Por su parte, el calor se define como la energía cinética total de los átomos o moléculas de una sustancia. Se utiliza para describir la energía que se transfiere de un lugar a otro; es decir, el flujo de calor es una transferencia de energía que se produce únicamente como consecuencia de las diferencias de temperatura.

Q 5 mCT La capacidad calorífica (c) de cualquier sustancia se define como la cantidad de calor, Q, que se requiere para elevar la temperatura de una sustancia un grado, y es proporcional a la masa de la sustancia. Por esta razón, es conveniente definir la capacidad calorífica por unidad de masa, esto es, que no dependa de la masa. c 5 C/m El calor específico molar de una sustancia también se puede definir como la capacidad calorífica por unidad de moles: c 5 C/n La unidad de medida de calor se llama caloría (cal) y se define como: la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un gramo de agua en un grado Celsius, desde 14,5 a 15,5 ºC.

James Joule (inglés, 1818-1889) fue el primero en establecer la equivalencia entre estas dos formas de energía (cinética y potencial). Joule descubrió que la energía mecánica que se transforma en calor es proporcional al aumento de temperatura. Como se dijo antes, en cualquier sistema mecánico siempre está presente la fricción, lo que provoca que siempre se pierda energía mecánica y aparentemente no se conserve. Los experimentos demuestran claramente que, por efecto de la fricción, la energía no desaparece, sino que se transforma en energía térmica. Para esto, se considera la energía contenida en el sistema, la cual puede ser de tres tipos:

Energía contenida en un sistema

5

mv 2 /2) Energía cinética (E k = mgh) Energía potencial (E p = Energía interna ( U )

La constante de proporcionalidad, llamada calor específico, es igual a 4,186 J/(g ºC). En este sentido, se demuestra que una caloría, que se conoce como el equivalente mecánico del calor, es exactamente igual a 4,186 J, sin importar quien produce el aumento de temperatura: 1 cal 5 4,186 J

33

UNIDAD

1

Fundamentos de termodinámica Cuando se realiza trabajo, este lo efectúan los alrededores sobre el sistema o viceversa, y la energía se transfiere de los alrededores al sistema o al revés. Durante la transferencia existe el trabajo, mientras que E k, Ep y U residen en el sistema.

Energía interna Es la energía de las moléculas de una sustancia. La adición de calor a una sustancia aumenta su actividad molecular y, así, se provoca un aumento de energía interna ( U ). El trabajo efectuado sobre la sustancia puede tener el mismo efecto. En una escala submolecular, la energía se asocia con los electrones y los núcleos de los átomos y con su energía de enlace resultante de las fuerzas que mantienen unidos a los átomos como moléculas. Es la energía interna, la que termodinámicamente, no tiene una definición concisa. Tabla 1.5

Expresiones analíticas de algunos tipos de energía

Energía

Magnitud a medir

Cinética

½ mv 2

Masa Velocidad

Potencial

 gz

Densidad Gravedad Altura

Potenciaelectrostática

k q1 q2 /r

Carga eléctrica Longitud

Energía en reposo

E 5 mc 2

Masa Velocidad de la luz

Trabajo mecánico

Fds

Fuerza Distancia

Trabajo

Pdv

Presión Volumen

Calor



Expresión analítica

mc T

Masa Capacidad calorí�ca Temperatura

Potencia

La potencia es la velocidad con la que se realiza un trabajo. Obsérvese la ecuación:



Potencia 5 trabajo/tiempo 1 J/s 5 1 W

Unidad molecular

Como unidad molecular se conoce a la masa de un mol (también llamada gramo-mol) de una sustancia en gramos o la masa de un kilogramo mol (también llamada kilogramo-mol) en kilogramos y se puede calcular a partir de la ecuación: m = n x M. n 5 número de moles M 5 peso molecular del gas Cabe hacer notar que la masa molar de una sustancia tiene el mismo valor numérico en ambos sistemas de unidades; por ejemplo, la masa molar del nitrógeno es 28 kg/kgmol 5 28 lb/lbmol.

Problema resuelto Un bloque de hielo, de masa m 5 4,500 kg, se desliza sobre una mesa de manera horizontal sin fricción a una velocidad de 0, 00122

Km y h

queda en reposo al comprimir un resorte en su trayectoria. Si se sabe que n la constante de fuerza del resorte vale k = 220 . Calcular la distancia en que se comprime el resorte en ft. m

34

(continúa)


©


Se conoce: La masa del hielo, la velocidad con que se desplaza el cubo de hielo y la constante de fuerza del resorte. Encontrar: La distancia de compresión del resorte. Suposiciones: – La velocidad final del bloque es cero. – No existe fricción entre el hielo y la mesa; al chocar el hielo con el resorte (el bloque) queda en reposo automáticamente. Análisis: El cambio de energía cinética del bloque se define con la siguiente ecuación: m( υ22 υ12 ) m( υ2 ) =− 1 2 2 Por su parte, el trabajo realizado para la compresión del resorte se define con la ecuación siguiente: K c =

kd2 2 Igualando ambas ecuaciones por el teorema trabajo-energía, resulta: Wresorte = −

K c = Wresortes

−

m(ν 12 ) kd2 =− 2 2

Ahora, si despejamos la distancia: d=

m( υ12 m = υ1 k k

Análisis dimensional: M M L ML L ML L MLθ 2 L 2 L L= = = = θ = θ= L θ θ2 θ Lθ 2 θ ML θ θ L Sustituyendo datos: d − υ1 En el sistema USCS:

m 4, 5 − 1, 22 − 0,1744 m k 220

 1 ft   = 0, 5722 ft  0,3048 m 

d = 0,1744 m×

Problema resuelto El 19 de septiembre de 1985 es una fecha que los mexicanos recordamos con mucho dolor, ya que la Ciudad de México sufrió un terremoto de magnitud de momento (MW) de 8.1 en la Escala Richter, uno de los más devastadores en la historia de nuestro país. La siguiente ecuación relaciona la energía liberada por un terremoto en juoles: logE 5 1,44M 1 5,24 Determinar la diferencia de energía en Btu, entre el terremoto de San Francisco, California, Estados Unidos de América (7.1 Richter), y el sucedido en la Ciudad de México en 1985. Solución

Se conoce: La magnitud de momento para ambos terremotos.

(continúa)

35

1

UNIDAD


Encontrar: La energía liberada por ambos terremotos. Suposiciones: • La medición de la energía es igual para ambos lugares físicos. • No existen otros elementos que se deban tomar en cuenta, como el tipo de suelo, las condiciones edafológicas de la tierra, etcétera. Análisis: Para calcular la energía se aplica la siguiente ecuación: logE 5 1,44M 1 5,24 Sustituyendo los datos para la Ciudad de México: logE 5 1,44(8,1) 1 5,24 5 16,904 Despejando E : logE 5 16,904  10logE 5 1016,904 5 8,0168 3 1016 J 5 E Para la ciudad de San Francisco: logE 5 1,44(7,1) 1 5,24 5 15,464 logE 5 15,464  10logE 5 1015,464 5 2,911 3 1015 J 5 E Por tanto, el cambio de energía es: E Cd. México 2 E Cd. San Francisco 5 8,0168 3 1016 J 2 2,911 3 1015 J 5 7,7257 3 1016 J

En sistema USCS:





1 Btu

 = 7, 3225×1013 Btu ECd . México − E Cd . San F rancisco = 7, 7257×1013 kJ× 1,055056 kJ

Problemas para resolver 1.1

Determinar la equivalencia entre: 1 kg f /cm2

atm

lb f /in2

kPa

mmHg

lb f psia). 1.2 La presión atmosférica estándar a nivel del mar es de 14, 7 2 ( in Convertir esta cifra a las siguientes unidades: 1 kg f /cm2

atm

kPa

150 ºC

0K

500 ºC

10 ºR

90 ºR

50 ºF

−100 ºF

aK

a ºF

a ºR

a ºF

aK

a ºC

aK

1.10

mmHg

Expresar en unidades SI el calor específico del agua líquida, C 5 1 cal/ g °C. 1.3

1.4

Efectúe las siguientes conversiones en las escalas de temperatura:

1.9

Exprese las cantidades siguientes con los prefijos mét ricos:

0,002 in

0,01 milla

12 000 ft3

1 000 000 000 años

7 000 000 voltios

0,000035 ton

¿Cuál es la temperatura del cuerpo humano expresada en ºF y ºR?

Un astronauta pesa 730 N en un lugar donde la aceleración de la m gravedad es 9, 792 2 . ¿Cuál es la masa del astronauta en lbm? s 1.6 ¿Cuánto equivalen 4 atm en mH 20? 1.5

¿Cuál es la densidad en g/cm 3 de un bloque rectangular de plástico, cuyas dimensiones son 30 in de altura 3 16 in de ancho 3 1 ft de largo y que pesa 12 lb m? 1.8 ¿Cuál es el peso en toneladas de una esfera de agua de una milla de radio, siendo la densidad del agua 1 g/cm 3? Si se sabe que el volumen de una esfera está dado por la siguiente ecuación:

1.11

Densidad E

4 3

Donde r es el radio.

36

Problemas aplicados a la realidad

E

Peso

I

Calor

1.7

V = r 3 π

De las siguientes propiedades, ¿cuáles son extensivas o intensivas?

I

E

Masa I

E

Temperatura

I

E

I

Entalpía

Entropía

Trabajo

E

E

E

I

I

I

Presión

Volumen

E

E

I

Velocidad E

I

I

Concentración E

I

La constante R, que interviene en la ecuación de los gases ideales, es igual a: l − atm R = 0, 08206 gmol − K Calcular su valor en las siguientes unidades: mmHg − cm3 Btu bar − l a) R = b) R = c) R = gmol − K gmol−º R gmol − K 1.12

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria Un medidor de vacío se encuentra conectado a un tanque rígido como se muestra en la figura 1.34. 1.13

©

pa el aire es de 0,5 l; la válvula se abre para dejar entrar aire y provoca una elevación de 10 cm el pistón. Calcular la nueva presión, si se sabe, además, que la masa del pistón es de 2,5 kg y la constante de compresión del resorte es de 80 kN/m. Un medidor de presión está conectado a un tanque y registra 30 kPa, en un sitio donde la lectura barométrica es de 730 mmHg. Determinar la presión absoluta en el tanque; considérese que la densidad del mercurio es 13 590 kg/m3. Determinar, también, la altura del lugar donde se encuentre el tanque. 1.19

Deducir, en el siguiente sistema, una expresión matemática para la diferencia de presión ( P 2 P 1). 1.20

Figura 1.34

El medidor registra una medición de 50 psia, en un sitio donde la presión atmosférica es 580 mmHg. Determinar la presión absoluta en el tanque en kPa.

h

agua5 1 000 kg/m3

El comportamiento P vs. T del monóxido de carbono está dado por la siguiente ecuación: 1.14

retanol 5

P1

T 1, 4526 P= − 12,1853 V − 0, 4813 V 2 Donde: P 5 presión en atm. 3 m . V 5 volumen molar kgmol T 5 temperatura en K. Transformar la ecuación para que las variables estén expresadas en las siguientes unidades:

Figura 1.35

ción: δ T δ x

Donde: k es la constante de conductividad térmica del material. dT es la diferencial de la temperatura. W Si la conductividad térmica de un determinado material k = 380 , m −K expresar su valor en las siguientes unidades: k= 1.16

rmercurio513 600 kg/m3

Considérese una carrera de triatlón (constituida por tres pruebas: natación, bicicleta y maratón), la cual, en esta ocasión, fue modificada; se cambió la prueba de natación por la de buceo. Para este caso, el triatlón se desarrolla en la playa de Cabo San Lucas, donde la presión atmosférica es de 1025 mbar. La prueba de carrera de bicicleta tiene que subir una ladera cuya altura máxima es de 800 m sobre el nivel del mar, que es el punto más alto de la montaña. Por su parte, la prueba de natación se sustituyó por una carrera de buceo a 1500 m a una profundidad de 30 ft. Supóngase que la densidad del agua salada es 62,3 lbm/ft3. ¿Qué presión absoluta se tiene en lo alto de la montaña en kg/cm2? ¿Qué presión absoluta sienten los buzos en Pa?

ft 3 . lbmol La transferencia por conducción está dada por la siguiente ecuaq = −ka

P2

1.21

P = psia; T =º R y V = R =

1.15

a

Un gas está contenido en un sistema cilindro-pistón sin fricción, como se muestra en la figura 1.36: 1.22

Btu Kcal cal = = ft − h−ºF m − h − K cm − h − K

Efectuar las siguientes conversiones:

6,0 g de NH3

4,7 mmol de HCl

0,026 g de Cu(NO3)2

8 gigamol H2

0,18 kg Ba(ClO3)

2,7 mol Ca3(PO4)2

a mol

ag

a milimol

a ton de H2

a mol

ag

Un manómetro de presión diferencial, montado en un recipiente, muestra una lectura de 4,25 bar y un barómetro indica una presión atmosférica de 700 mmHg. Calcular la presión absoluta dentro del recipiente. 1.17

Se tiene un sistema cilindro–pistón conectado a una línea que suministra aire, mientras que el pistón, por su parte, está provisto de un resorte lineal, que al expandirse el pistón ejerce una fuerza sobre el resorte; la presión atmosférica es de 100 kPa. Las condiciones iniciales del aire que se encuentra contenido en el cilindro es de 400 kPa y el volumen que ocu1.18


Figura 1.36

El émbolo del pistón tiene una masa de 40 kg y un área de sección transversal de 40 cm2. Un resorte ejerce una fuerza de compresión sobre el émbolo de 80 N. Si la presión atmosférica local es de 100 kPa, determinar la presión que se ejerce dentro del sistema. La acción de la gravedad en la Luna equivale a g 5 5,48 ft/s2. Un astronauta debe tomar una serie de muestras de rocas lunares, cuya masa aproximada debe ser de 1,50 lb m; éstas deben ser pesadas en diferentes tipos de básculas, una de resorte (cuyo resorte está equilibrado bajo la 1.23


37

1

UNIDAD

Problemas para resolver

acción de la gravedad de la Tierra (32,174 ft/s 2), y otra de cruz (que compara masas). Determine cuánto pesarán las rocas lunares en (lbf ) a) sobre la báscula de resorte, y b) sobre la balanza de cruz.

Para el depósito que se muestra en la figura 1.38 determinar las alturas que marcan los tubos piezométricos y el manómetro de mercurio. 1.31

Experimentalmente se dedujo la siguiente expresión matemática de la densidad como función de la profundidad:

20 m

1.24

Aire

ρ = ρ agua (1+ 0, 01z )

15 m

Donde z es la profundidad en m, por debajo del nivel de la superficie del líquido. Realizar una gráfica en la que se relacione la densidad con la profundidad entre 0 y 50 m y determinar el valor de la presión si se tiene una profundidad de 50 m. Si se sabe que la P atm 5 760 mmHg.

 5 1,12 kg/m3  5 0,18 kg/cm3

 5 700 kg/m3

1

h

12 m

2

h

 5 1000 kg/m3 60 m50 d a 40 d i d 30 n u f o 20 r P 10 0

3

h

8m  5 1 600 kg/m3

6m 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

4

h

Densidad kg/m3

Figura 1.37

4m  5 13 500 kg/m3

Densidad en función de la profundidad.

El peso específico de un líquido aumenta con la profundidad, como se expresa a continuación: γ = 50 + 0,1z Donde z es la profundidad medida en ft. lb g = peso específico 3f ft 1.25

¿Cuál es la profundidad que se debe tener en ft, si la presión que se registra en ese punto es de 1 500 psia? En una planta industrial se tienen dos termómetros que miden, respectivamente, la temperatura en dos equipos de mezclado para producir refrigerante comercial; el termómetro A muestra una medición de 55 grados y el termómetro B una medición de 44 grados. ¿Cuál es la equivalencia entre ambas escalas? Si se sabe que los puntos de referencia para ambas escalas son: el termómetro A varía de 220 a 80 grados y la escala se divide en 100 partes; para el ter mómetro B va de 25 a 75grados y la escala está dividida en 40 partes. 1.26

Se utiliza un termómetro para un determinado proceso productivo; el rango de dicho termómetro va de 200 a 400 K y se sabe que su exactitud es de 0,25% ¿Qué significa esto en términos de la temperatura? Si el proceso utiliza agua (c 5 1 cal/g 2 ºC), se suministran 3 000 cal al proceso, cuando se tiene una masa de 300 kg de agua. Determinar el gradiente de temperaturas. 1.27

¿A qué temperatura dan la misma lectura un termómetro en escala Celsius y un termómetro en escala Fahrenheit? 1.28

En una red hidráulica está conectado un venturi-manómetro, con el fin de determinar la velocidad del fluido. De manera experimental se encontró la siguiente ecuación: 1.29

v  = 2gh

Si la altura del manómetro diferencial marca 0,30 m, ¿cuál es la velocidad con que circula el fluido en la red? Si la fuerza que se ejerce sobre la manivela de un gato es F 5 500 N, ¿qué carga F 2 puede soportar este gato? Desperciar el peso del elevador. 1.30

38


Figura 1.38

En una piscina, con una profundidad de 5 m, la diferencia de presiones entre la superficie y la profundidad está dada por la siguiente ecuación: N ∆P = ρ gh = 2 = Pa m 1.33 Considérese un estanque en forma de cilindro de 10 m de altura y  kg  un área de 5 m 2; la mitad del recipiente contiene agua ρ = 1000 3  m   y la otra mitad contiene aceite, cuya densidad relativa es 0,85. Determinar la diferencia de presión entre la parte superior y el fondo del cilindro. 1.32

Un cuerpo de masa m cae libremente desde una altura h por efecto de la gravedad, partiendo del reposo. La relación entre la velocidad de llegada al suelo, v, g, h y m, está determinada por la siguiente ecuación: v = 2gh. Determinar las unidades correspondientes para dicha ecuación a partir de un análisis dimensional. 1.34

La ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado está dada por la siguiente ecuación: 1.35

 

1 at  2 v  Determinar las unidades de c (movimiento rectilíneo uniforme). c = vt1+

En la fórmula física indicar las unidades de Y en el sistema internacional. Y = vmcos(mT) Donde: v, velocidad; T, tiempo; m, masa. ¿Cuál de las siguientes respuestas es la correcta? a) ms−1 b) ms c) ms−2 d) ms−3 e) ms−4 1.36

Hallar las unidades de k en el SI. 1 W = kx 2 . 2 Donde: W, trabajo; x, distancia. 1.37


Grupo Editorial Patria ¿Cuál de las siguientes respuestas es la correcta? a) kg ∙ s−1 b) kg ∙ s−2 c) kg ∙ s−3 d) kg ∙ s−4 1.38

E 5 PV 1 nRT Donde: P, P, presión; T, temperatura; n, cantidad de sustancia; V, volumen. ¿Cuál de las siguientes respuestas es la correcta? a) Traba Trabajo jo b) Potencia c) Fuerza d) Masa e) Velocidad 1.39

En la siguiente expresión determinar las unidades de K en en el SI. K=

 g   kg      cm3 ;  l ; SI

e) kg ∙ s −5

En la siguiente fórmula física, ¿qué magnitud representa E ?

mv2 r

1.45

Completar la siguiente tabla con los resultados correspondientes: Masa (g)

Volumen (cm3)

Densidad  kg   3  m

Hielo

184

?

92 0

Poliestireno expandido

10

100 0

?

Vidrio

?

50

26 00

51 0

?

10 20

Agua de mar

Donde: m, masa; v, velocidad; r,r, radio de curvatura. ¿Cuál de las siguientes respuestas es la correcta? a) kg ∙ m ∙ s−1; b) kg ∙ m2 ∙ s−2; c) kg ∙ m ∙ s−2 d) kg ∙ m ∙ s−3 e) kg ∙ m ∙ s

©

En el laboratorio de resistencia de materiales se tienen cuatro cilindros del mismo tamaño, pero de diferente material, como se muestra en la figura 1.39. 1.46

Encontrar las unidades de A, si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: 1.40

A=

4π 2L2 (L − b)co cos Θ aT 2

Donde: L y y b son son longitudes en metros; 4 y  son adimensionales; T es es el tiempo en segundos; a, superficie. ¿Cuál de las siguientes respuestas es la correcta? a) m/s2 b) 2 m/s c) m2/s2 d) 4 m/s3 e) m−1 De acuerdo con la ley de Coulomb Co ulomb para la interacción de dos cargas eléctricas en el vacío, se verifica lo siguiente: 1 q1q2 F = 4πε0 d 2 1.41

g g g g = 2, 7 3 = 11, 3 3 = 0, 86 3 ρ = ρ = ρ = 3 cm cm cm cm Figura 1.39 ¿Los cuatro cilindros tienen la misma masa? Si los cuatro cilindros tienen el mismo volumen, ordenar de forma decreciente los materiales de acuerdo con la masa del sistema. = 7, 8 ρ =

Calcular el peso específico de la esfera, sabiendo que flota entre dos líquidos no miscibles; el volumen sumergido en agua es 60% de su volumen total, como se muestra en la figura 1.40. 1.47

Donde: F, fuerza; q 1 y q2, cargas eléctricas; d, distancia. Encontrar las dimensiones de ( 0) que representa la permitividad eléctrica en el vacío. ¿Cuál de las siguientes respuestas es la correcta? a) L−3MT−4I−1 b) L2MT−2I−2 c) L−1M2T−2I−3 d) L−3M−1T4I2 e) L−4M−2T3I−1 La ley de Hooke establece que la fuerza aplicada a un resorte elástico es directamente proporcional a su deformación (x). Hallar K en la ecuación:

V 1 5 0,4 V T T

VT V 2 5 0,6 V T T

1.42

F 5 K ∙ ∙ x ¿Cuál de las siguientes respuestas es la correcta? a) MT b) MT−1 c) MT−2 d) M−1T

e) M−2T

Considérese la fórmula física: v = k1 + k 2 t + k 3 t , donde: v, velocidad; t, tiempo. Determinar las unidades de: 1.43

Figura 1.40

N Se conoce que el peso específico del aceite es γ = = 8000 3 y el peso m N = 10000 3 específico del agua es γ = m 1.48 Con base en la figura 1.41, hallar la masa del cuerpo 2 si la masa del cuerpo 1 es de 30 kg y el sistema adquiere una aceleración de a = 1, 5 m s cuando se ejerce una fuerza de 50 N. 2

2

 k k   1 2   k   3 

1

Se quiere determinar la densidad del aceite de oliva en un vaso de precipitado que pesa 274 g. Por lo que se miden, con una probeta graduada, 200 ml del aceite y se vierten en el vaso. En la balanza granataria se pesa el vaso y su contenido, obteniendo un valor de 456 g. ¿Cuál es la densidad del aceite? Se pide expresarla en:

F 5 50 N

1.44


Figura 1.41


39

1

UNIDAD


Un bloque de 2,5 kg de masa es empujado 2,2 m a lo largo de una mesa horizontal sin fricción por una fuerza constante de 16,0 N dirigida a 25° debajo de la horizontal. Encontrar el trabajo efectuado por la fuerza aplicada. Véase figura 1.42. 1.49

F

El calor necesario para aumentar la temperatura de una sustancia de 0 a 100 ºC está dado por: q = mc ∆T = 3332 333200 kJ kJ;; determinar el valor de las constantes a y b , si la masa es de 100 kg. Determinar la masa y el peso del aire que se encuentra contenido en una habitación cuyas dimensiones son: 3 3 3 3 2,30 m. Supóngase que la densidad del aire es 1.54

ρ = = 1,16

2,5 kg

kg m3

Calcular la masa molar del aire considerando que está conformado únicamente por oxígeno (21% en mol) y nitrógeno (79%). 1.55

Calcular el peso molecular del aire en condiciones estándares (0 ºC, 1 atm), si su composición molar es 78,03% de N 2; 20,99% de O2; 0,94% Ar; 0,01% de H2; 0,0015% de Ne; 0,0005% de He; 0,00011% de Kr y 0,000009% de Xe. Explicar la diferencia que existe con el problema 1.43. 1.56

Figura 1.42

Una carretilla cargada de ladrillos tiene una masa total de 18 kg y es jalada con rapidez constante por una cuerda; la cual está inclinada a 20º sobre la horizontal. La carretilla se mueve 20 m sobre una superficie horizontal; no existe fricción entre la carretilla y la superficie. Calcular el trabajo realizado. 1.50

Para el siguiente sistema (véase figura 1.44) determine si se encuentran en equilibrio térmico los tres cuerpos. 1.57

Una caja de 45 kg, inicialmente en reposo, es empujada una distancia de 15 m, a través de un piso rugoso y horizontal, con una fuerza constante horizontal de 130 N. Si el coeficiente de fricción entre la caja y el piso es 0.30, encontrar: a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada. b) La energía cinética perdida debido a la fricción. 1.51

Una partícula se somete a una fuerza F que varía con la posición, como se observa en la figura 1.43. Determinar el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo cuando este se mueve: a) Desde x 5 0 hasta x 5 5,0 m. b) Desde x 5 5,0 m hasta x 5 10 m. c) Desde x 5 10 m hasta x 5 15 m. d) Desde x 5 0 hasta x 5 15 m.

A

Pared adiabática

B

C

1.52

F x 5 N

Si un trozo de cobre de 1 kg a 500 ºC es puesto sobre una masa de 20 kg de hielo picado a la temperatura de −5 ºC y 1 atm de presión, suponiendo que el sistema es aislado (no existe intercambio de calor entre el sistema y los alrededores), puede pasar lo siguiente después de un tiempo razonable: a) El hielo se derrite. b) Todo se derrite. c) Nada se derrite. 1.58

Para los siguientes datos, se espera que Y sea sea una función cuadrática de x . Obtener una función cuadrática por medio de una gráfica, así como por medio del método de mínimos cuadrados. 1.59

30 20 10 5

10

15

20

x 5 m

Figura 1.43 1.53

Pared diatérmica

Figura 1.44

El calor específico de una sustancia está dado por la siguiente ecua-

ción: c = a + bT 2 =

kJ kg − K

140 120 100 80 60 40 20 0 0

X

1

2

3

4

5

Y

1,9

9,3

21,5

42, 0

115,7

Grá�ca y y vs vs. x

2 y g o l


1.5 1 0.5 0

1

2

Figura 1.45

Donde: a y b son son constantes y T 5 ºC.

40

Grá�ca log y y vs vs. log x

2.5


3

4

5

6

0

0.1

0.2

0. 3

0.4

0.5

log x

0.6

0.7

0.8

Grupo Editorial Patria De una prueba de transferencia de calor se o btienen los datos experimentales que se muestran en la tabla siguiente: 1.60

¿Qué se entiende por equilibrio termodinámico?

1.65

¿Cuántos tipos de equilibrio conoce? Describa cada uno de ellos. ¿Qué es un proceso de cuasiequilibrio?

X

2040 2580 2980 3220 3870 1690 2130 2420 2900 3310

1.66

Y

33,2

1.67

32,0

42,7

57,8

1 26

17, 4

21, 4

27,8

52,1

43,1

La ecuación de correlación esperada es: Trazar la gráfica correspondiente y utilizar el método de mínimos cuadrados para determinar la mejor correlación y obtener los valores de a y b . 140

¿Con la termodinámica se pueden explicar los cambios climatológicos de una región? 1.68

¿Por qué es importante la ley cero de la termodinámica?

1.69

¿Qué es energía? ¿Cuántas clases de energía conoce?

1.70

¿Cómo distingue entre unidades básicas y secundarias?

1.71

¿Cuáles son las unidades básicas en el sistema internacional (SI)?

1.72

¿Qué presión hay a 20 metros de profundidad en el océano?

2.5

120

2

100

1.5

80

1

60

0.5

40

0

20 0

1.64

¿Cuál es la presión atmosférica a una altura de 2 600 m sobre el nivel del mar (msnm)? 1.73

0

0.1

0.2

0.3 0.4 0.5

0.6

0.7

0.8

1.74 0

1000

2000

3000

4000

©

5000

¿Cuáles son las escalas de temperatura ordinarias y absolutas?

Explique las diferencias entre las presiones absoluta, manométrica, barométrica y de vacío. 1.75

a)

b)

Figura 1.46

1.76

¿Qué diferencia existe entre masa y peso de un cuerpo?

1.61

¿Qué estudia la termodinámica?

1.62

¿Qué diferencias existen entre propiedades extensivas e intensivas?

¿Por qué es importante la ley cero de la termodinámica en la vida cotidiana?

1.63

¿Cuál es la diferencia entre propiedad intensiva y extensiva?

1.78

1.77

¿Qué significa el peso específico de cualquier sustancia?

PROBLEMAS RETO

1

Responde las siguientes preguntas: kg = 3 de un bloque rectangular de plástico de 30in altura 3 16in ancho a) ¿Cuál es la densidad en ρ = m 3 1 ft de largo, y cuya masa es 24 lbm? b) ¿Cuál es la masa de ton de agua de una esfera de agua de una milla de radio, radio, sabiendo que la kg densidad del agua es ρ = = 1000 3 ? m 4 Nota: considérese Nota: considérese que el volumen de una esfera es: V = πr 3 s. 3 Se sugiere que la velocidad del agua que fluye por un orificio que se ubica en un costado de un tanque abierto depende de la altura, H , del orificio a la superficie libre, la gravedad y la densidad del agua. ¿Qué expresión relaciona las cuatro variables para definir una nueva variable adimensional?

2

Cantidad

Dimensiones

Altura H Densidad

L



Gravedad G Velocidad v Problemas aplicados a la realidad

M L3 M θ2

L θ Problemas para resolver con tecnología

41

UNIDAD

1


REFERENCIAS Cengel, Y. y Boles, M. (2002). Termodinámica. México. McGraw-Hill. Gil, S. y Rodríguez, E. (2001). Física recreativa. Capítulo 4. Buenos Aires. Prentice-Hall. Holman, J. P. (1977). Métodos experimentales para ingenieros . México. McGraw-Hill. Mtaix C. (1982). Mecánica de fluidos y máquinas térmicas. México. Oxford University Press, pp. 7-10. Shavit A. y Gutfinger (1995). Thermodynamics. From concepts to applications. Londres. Pretice-Hall, pp. 1-16. Van Wylen, G., Sonntag, R. y Borgnakke, C. (2002). Fundamentos de termodinámica. México. Limusa-Wiley Limusa-W iley..

DIRECCIONES ELECTRÓNIC ELECTRÓNICAS AS 



P r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r

42

http://www.tecnun.es/asignaturas/termo/SOFTWARE/softTD.htm (consultada el 17 de octubre de 2011) http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursojava/applets/ejemplos/conver http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursojava /applets/ejemplos/conversion/conversion.htm sion/conversion.htm (consultada el 17 de octubre de 2011)

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura OBJETIVOS De�nir y comprender el signi�cado de los términos: sustancia pura, líquido comprimido, líquido saturado, mezcla líquido-vapor, vapor saturado, vapor sobrecalentado y las diferencias que existen entre ellos. Determinar y conceptualizar las diferentes propiedades de estado a partir de dos propiedades dadas y aplicarlas a procesos termodinámicos. Aplicar las diferentes tablas de sustancias puras (agua, freón 12, 13a, 22, 134a, entre otras más), a procesos termodinámicos. Analizar e interpretar las representaciones grá�cas para los diferentes procesos. Analizar las diferencias que existen entre las ecuaciones de estado para gases ideales y gases reales. Comprender, analizar y aplicar las diferentes ecuaciones de estado para gases ideales y reales, que nos permitan evaluar las diferentes propiedades termodinámicas, tales como P, V, T y otras más.

¿QUÉ SABES? ¿Qué es una sustancia pura? ¿Qué representaciones grá�cas se pueden hacer con las diferentes propiedades de estado? ¿Cuáles son las diferencias entre un líquido comprimido, líquido saturado, vapor saturado y vapor sobrecalentado? ¿Qué nos indica el punto crítico y el punto triple de una sustancia pura? ¿Tiene algún signi�cado el concepto de calidad en la región de vapor sobrecalentado? ¿Qué proceso requiere más energía para evaporar 1 kg de agua líquida saturada a una presión de 1 atm, o la vaporización de 1 kg de agua líquida saturada a la presión de 6 bar? ¿Es posible tener vapor de agua a 210°? ¿El aire es una sustancia pura en estado líquido? ¿Es correcto calcular las propiedades de un gas real con la ecuación de un gas ideal?

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura

2.1 Introducción Existen varias situaciones prácticas (en la vida cotidiana) en las que coexisten en equilibrio dos fases, por ejemplo: el funcionamiento de una olla a presión, las planchas de vapor, los humidificadores de ambiente, un destilador que pasa de líquido a vapor, un refrigerador, entre otros más. Peso Válvula de seguridad

Figura 2.1

Calor

2.2 Sustancia pura Una sustancia “pura” es aquella que tiene una composición química homogénea e invariable. Puede existir en más de una fase, pero su composición química es la misma en todas las fases. Esta puede estar conformada por más de un elemento químico, ya que lo importante es la homogeneidad de la sustancia. El aire se considera una sustancia pura mientras se mantenga en estado gaseoso, ya que está conformado por diversos elementos (N2, O2, Ar,…) que tienen diferentes temperaturas de condensación a una presión específica. La importancia de introducir el concepto de sustancia pura (simple, compresible y se encuentra en ausencia de movimiento y de los efectos de gravedad, de superficie, magnéticos o eléctricos) es que pueda ser definida por dos propiedades termodinámicas independientes; es decir, por ejemplo, que si se tiene una mezcla de agua líquida y vapor, y una mezcla de hielo y agua líquida, son todas sustancias puras, pero cada una de las fases tiene la misma composición química. Por otra parte, la presión y la temperatura no son propiedades independientes entre sí, ya que, por ejemplo, si consideramos el estado de una sustancia entre líquido saturado y vapor saturado, estas tienen la misma presión y la misma temperatura , pero definitivamente no tienen el mismo estado. Lo que sí pueden ser es dos variables independientes entre sí; el volumen específico y la temperatura del vapor saturado especifican el estado del sistema, por tanto, queda determinado el estado del vapor saturado. Sin embargo, estas dos propiedades independientes no son las únicas para definir el estado de un sistema, sino también pueden ser: presión-volumen específico, presión-calidad, temperatura-volumen específico, entre otras relaciones, y que son suficientes para especificar el estado de un sistema. En contraste, una mezcla de aire líquido y aire gaseoso no es una sustancia pura, debido a que la composición del aire líquido es distinta a la composición del aire gaseoso y, por ello, la mezcla es químicamente distinta. A continuación se presentan algunos ejemplos de sustancias puras: 





Alerta Se entiende como fase la forma de la materia que es uniforme con respecto a la composición química y el estado de agregación de ambas escalas de longitud, macroscópica y microscópica.

44

El agua líquida, una mezcla de agua líquida y vapor, o una mezcla de hielo y agua líquida. Todas estas son sustancias puras y para cada fase tienen la misma composición química. Una mezcla de aire líquido y aire gaseoso no es una sustancia pura, puesto que la composición de la fase líquida es diferente de la fase vapor. Nitrógeno (N2), helio He, dióxido de carbono (CO 2), amoniaco (NH3), dióxido de nitrógeno (NO 2), monóxido de carbono CO).

2.3 Fases de una sustancia pura Una sustancia puede coexistir en diferentes fases a presión y temperatura ambientales; por ejemplo, el cobre es un sólido, el mercurio es un líquido y el nitrógeno es un gas, todos en condiciones diferentes de presión y temperatura, ya que cada uno se encuentra en una fase distinta, como sólido-líquido-gas. Así, pueden coexistir dos o más fases en una fase principal, cada una de ellas con una estructura molecular diferente; ejemplo de ello son el carbón grafito y el carbón diamante en fase sólida; por su parte, el helio tiene dos fases líquidas, mientras que el hierro tiene tres fases sólidas.


©

El agua sólida tiene siete fases presentes que pueden coexistir entre sí a diferentes presiones, y cada una de ellas tiene una estructura sólida diferente (arreglo molecular tridimensional homogéneo de largo alcance, que se repite por todo el sólido), debido a la cercanía o distancia intermolecular , donde las fuerzas de atracción (el proceso inverso son las fuerzas de repulsión) mantienen juntos los átomos de una o varias moléculas, lo que hace que se repita la estructura molecular y que los átomos se mantengan en posiciones fijas. Las fuerzas intermoleculares son las principales responsables de las propiedades macroscópicas de la materia como: punto de fusión, punto de ebullición, punto de sublimación, así como también de los procesos inversos. Dichas fuerzas suelen ser más débiles que las intermoleculares, por ello se necesita menos energía para romper los enlaces que mantienen unidos a los átomos, lo que nos permite fundir al sólido. Por ejemplo, para evaporar un mol de agua en su punto normal de ebullición P 5 1 atm y T 5100 °C, se requiere de 41 kJ; en cambio, para romper los dos enlaces O−H en un mol de moléculas de agua es necesario suministrar 930 kJ. Las fuerzas intermoleculares se asocian directamente con el tipo de enlace (covalente, iónico, de corto alcance como puente de hidrógeno, dipolo-dipolo, fuerzas de Van der Waals, entre otros), lo que va a permitir en cierto momento la creación de los diferentes tipos de redes cristalinas. 

Fase sólida

Un sólido es un arreglo tridimensional (red) de átomos o moléculas, que se repiten por toda la estructura, debido a las fuerzas de atracción entre las moléculas que mantienen sus posiciones fijas dentro de la estructura, a su vez se convierten en fuerzas de repulsión a medida que la distancia intermolecular se acerca a cero, evitando así que las moléculas se apilen unas sobre otras. Aunque las moléculas en un sólido no pueden moverse en relación unas con otras, tienen una continua oscilación en torno a su posición de equilibrio. La velocidad de las moléculas durante la oscilación depende en gran medida de la temperatura. Cuando la temperatura es suficientemente elevada, la velocidad (y en consecuencia el ímpetu o momentum) de las moléculas alcanza un punto donde las fuerzas intermoleculares se superan y grupos de moléculas escapan (ver figura 2.2). Este es el principio del proceso de fusión.

Alerta

Sólido 

Líquido

Gaseoso

Figura 2.2

Fase líquida

Esta fase es parecida a la fase sólida excepto porque las moléculas ya no mantienen un orden fijo entre sí, ya que pueden rotarse y trasladarse de un lugar a otro libremente. En un líquido, las fuerzas intermoleculares son más débiles en relación con los sólidos, pero son fuertes en comparación con los gases. La distancia entre las moléculas experimenta un ligero incremento cuando un sólido se vuelve líquido; el agua es una rara excepción de esta característica. Los líquidos presentan muchas características que nos ayudan a entender su naturaleza, como la compresibilidad, la falta de rigidez y la alta densidad en comparación con los gases. 

Fase gaseosa

Esta fase se caracteriza porque las moléculas están bastante separadas unas con respecto a las otras, de manera que las fuerzas intermoleculares son despreciables en la mayoría de los casos; esto es, no existe un orden molecular, lo que nos permite representar a través de un modelo el comportamiento de los gases de una manera sencilla.

Mucha de la información directa que se puede obtener de los líquidos, como la fuerza que se ejerce en ellos (tensión superficial, viscosidad, fuerzas intermoleculares, fuerzas de cohesión, fuerzas de adhesión, entre otras), además de la complejidad de la molécula, conducen a tener propiedades de líquidos grandes, como la viscosidad.

Alerta Si se habla de estados (sólido, líquido y gaseoso), a estos se les considera como fases de una sustancia. Como se muestra en el diagrama de fase de la figura 2.2.

45

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura A continuación se muestra el diagrama de fases de una sustancia. Punto crítico

Líquido

P

Sustancia que al congelarse se contrae

Gas

Sólido Punto triple

Figura 2.3 Diagrama de fases de una sustancia.

Alerta En el punto triple coexisten las tres fases en equilibrio, ya que en él se encuentran las tres fases presentes sólido, líquido y gas.

T

En el diagrama de la figura 2.3 se muestra cómo las fases sólida, líquida y gaseosa pueden coexistir en equilibrio. A lo largo de las líneas de sublimación (cambio de fase de sólido a vapor, —lo contrario se llama deposición, es decir, el cambio de fase de vapor a sólido—) está en equilibrio; por su parte, a lo largo de la línea de fusión se puede ver que las fases sólida y líquida se encuentran en equilibrio, mientras que la línea de evaporación o ebullición, muestra cómo la fase líquida se encuentra en equilibrio con la fase gaseosa. Al único punto donde coexisten las tres fases presentes, se le llama punto triple. También es posible observar que la línea de vaporización termina en el punto crítico, debido a que por arriba del punto no hay cambio identificable de la fase líquida a la fase vapor. Sin embargo, la temperatura y presión del punto triple, y la temperatura y presión crítica, varían considerablemente de una sustancia a otra, como se muestra en las tablas 2.1 y 2.2. Tabla 2.1 Punto crítico

Volumen especí�co crítico

Temperatura crítica °C

Presión crítica MPa

Agua

374,14

22,09

0,003155

Dióxido de carbono Hidrógeno Oxígeno

31,05

7,39

0,002143

−239,85

1,30

0,0032192

−118,35

5,08

0,00438

Sustancia

m3 kg

Tabla 2.2 Punto triple

Sustancia

46

Temperatura °C

Presión kPa

Hidrógeno

−259

7,194

Oxígeno Nitrógeno Dióxido de carbono Mercurio Agua Zinc Plata Cobre

−219

0,15

−210

12,53

−56,4

520,8

−39

0,00000013

0,01

0,6113

419

5,066

961

0,01

1083

0,000079


©

2.4 Propiedades independientes de una sustancia pura Una razón importante para introducir el concepto de una sustancia pura es que una sustancia compresible, simple (es decir, aquella sustancia en ausencia de movimiento, gravedad y efectos de superficie, magnética o eléctrica) se define por dos propiedades independientes. Por ejemplo, si se define la temperatura y el volumen específico del vapor sobrecalentado, se determina el estado del sistema. No es así para el caso del aire, que es una mezcla de gases de composición definida, para la que se determina especificando dos propiedades mientras permanezca en la fase gaseosa; entonces, el aire se puede tratar como sustancia pura en estado gaseoso. Sin embargo, no puede ser así cuando las fases gaseosa y líquida se encuentran en equilibrio, ya que existe una concentración diferente de cada uno de los componentes del aire en ambas fases.

2.5 Definiciones fundamentales Hay varias situaciones prácticas en las que dos fases de una sustancia pura coexisten en equilibrio. Por ejemplo, el agua existe como una mezcla de líquido y vapor en la caldera y en el condensador de una central termoeléctrica. En vista de que es una sustancia común, se empleará el agua para demostrar los principios básicos. Recuérdese que en todas las sustancias puras se observa el mismo comportamiento general. 

Líquido saturado

Considérese un dispositivo de cilindro-émbolo que contiene agua líquida a 20 ºC y 1 atm de presión (estado 1), como el que se muestra en la figura 2.4. En estas condiciones, el agua existe en fase líquida y recibe el nombre de líquido saturado (véase figura 2.5); si se realiza un calentamiento hasta el punto en que el agua líquida se evapore totalmente, para lo cual se transfiere calor al agua hasta que su temperatura aumenta, manteniendo constante la presión, el émbolo del pistón se desplazará paulatinamente hacia arriba, manteniendo el equilibrio y, por tanto, aumentará el volumen específico. Como respuesta a esta expansión, el émbolo se moverá ligeramente. Durante este proceso, la presión en el cilindro permanece constante a 1 bar, ya que depende de la presión barométrica exterior y del peso del émbolo, que son constantes, mientras que el proceso presenta un estado líquidovapor, a medida que ha comenzado a evaporarse.

W

Q

Figura 2.4

Punto crítico

Líquido saturado

P 5 1 bar

T sat.5 99,606 °C v f 5 0,0010432 m3/kg

Figura 2.5 Localización de líquido saturado en el diagrama Pv .

Conforme se transfiere más calor, la temperatura se mantiene constante, incrementando la relación de masa de vapor respecto a la del líquido (estado 2), donde coexiste una mezcla líquido–vapor (véase figura 2.6). Durante un proceso de evaporación (ebullición), el único cambio observable es un gran aumento en el volumen y una disminución estable en el nivel del líquido, como resultado de una mayor cantidad de líquido convertido en vapor.

47

UNIDAD

2


Mezcla líquido-vapor

P 5 1 bar

T 5 99,606 °C

Figura 2.6 Representación gráfica de una mezcla líquido-vapor.

V f g 5 1,01 m3/kg

La gráfica de la figura 2.6 representa una calidad X (masa de vapor/masa de líquido 1 masa de vapor). Si se sigue suministrando calor hasta que la masa de líquido se evapore completamente hasta el estado 3 (estado final), la temperatura permanece constante durante todo el proceso de cambio de fase (ebullición), pero la presión se mantiene constante.

Vapor saturado

P 5 1 bar

T 5 99,606 °C

Figura 2.7 Representación gráfica del vapor saturado en el diagrama PV.

Vg 5 1,6939 m3/kg

En este punto, el agua sigue siendo un líquido, pero cualquier adición de calor, no importa cuán pequeña sea, ocasionará que un poco de líquido se evapore. Así pues, está por suceder un proceso de cambio de fase: de líquido a vapor. Un líquido que está a punto de evaporarse recibe el nombre de líquido saturado. En consecuencia, el estado 2 corresponde al de un líquido saturado. 

Vapor saturado y vapor sobrecalentado

Una vez que empieza la ebullición, el aumento de temperatura se detiene solo hasta que el líquido se evapora por completo. La temperatura permanece constante durante todo el proceso de cambio de fase, si la presión se mantiene constante. Durante un proceso de evaporación (ebullición), el único cambio observable es un gran aumento en el volumen y una disminución estable en el nivel del líquido, como resultado de una mayor cantidad de líquido convertido en vapor. Cuando esté a la mitad de la línea de evaporación (estado 3), el cilindro (de la figura 2.4) contendrá cantidades iguales de líquido y vapor. Conforme añada calor, el proceso de evaporación continuará hasta que la última gota de líquido se evapore (estado 4); véase figura 2.7. En ese punto, el cilindro se llena por completo con vapor que superó la frontera de la fase líquida. En este momento, cualquier pérdida de calor, sin importar cuán pequeña sea, provocará que se condense un poco de vapor (cambio de fase de vapor a líquido). Un vapor a punto de condensarse recibe el nombre de vapor saturado. Por tanto, el estado 4 es un estado de vapor saturado. Una sustancia entre los estados 2 y 4 se conoce como una mezcla saturada de líquido-vapor, debido a que las fases líquida y de vapor coexisten en equilibrio en estos estados. Una vez que el proceso de cambio de fase termina, se alcanza una región de una sola fase (en este caso de vapor), y una transferencia adicional de calor resultará en un aumento tanto de la temperatura como del volumen específico. En el estado 5, la temperatura del vapor es, por dar algún

48


©

valor, de 300 ºC; si transferimos algo de calor del vapor, la temperatura descenderá un poco, pero no ocurrirá condensación mientras la temperatura permanezca sobre 100 ºC (en P 5 1 atm). Un vapor que no está a punto de condensarse (es decir, que no es vapor saturado) se denomina vapor sobrecalentado. Por tanto, el agua en el estado 5 es un vapor sobrecalentado. Si todo el proceso anterior se invierte enfriando el agua mientras se mantiene la presión en el mismo valor, el agua retornará al estado 1, por la misma trayectoria, y la cantidad de calor liberada será exactamente igual a la cantidad de calor agregada durante el proceso de calentamiento. En la vida cotidiana, podemos conceptualizar al agua, en cualquiera de sus estados (sólido, líquido, gaseoso o vapor de agua), como una sustancia pura. El cálculo de propiedades termodinámicas puede determinarse con el uso de diferentes herramientas, como ecuaciones, tablas, gráficas y software. 

Temperatura de saturación y presión de saturación

Es común decir que el agua hierve a 100 ºC, lo que es incorrecto ya que esto depende en gran medida de la presión; entonces, el enunciado correcto es el agua hierve a 100 ºC, cuando la presión atmosférica es de 1 atm 5 760 mmHg. La razón de que el agua hierva a esa temperatura es que la presión se mantiene constante a lo largo de todo el proceso. La temperatura de ebullición se puede modificar debido a un cambio de la presión del sistema, cuando se eleva o disminuye esta, de manera que el agua tendrá diferentes temperaturas de ebullición, si la presión varía de manera considerable. Por tanto, podemos decir que la temperatura a la que el agua empieza a hervir depende en gran medida de la presión; en consecuencia, si la presión permanece constante, lo mismo sucede con la temperatura de ebullición.

De esta forma, podemos decir que la temperatura a la que la sustancia cambia de fase (líquido-gas) se llama temperatura de saturación, T sat . Del mismo modo, la presión a la que la sustancia cambia de fase recibe el nombre de presión de saturación, P sat . En la tabla 2.3 se muestra la relación entre presión y temperatura de saturación para el agua. Tabla 2.3 Saturación para el agua Temperatura de saturación T sat 5 °C

Presión de saturación P sat 5 kPa

T 5 °C

kPa

10

1,2276

10

45,81

30

4,246

30

69,10

50

12,349

50

81,33

100

101,325

100

99,62

150

175,8

150

111,37

200

1 554

200

120,23

300

8 581

300

133,55

P

Durante el cambio de fase (líquido-gas, sólido-líquido y sólido-gas), la presión y la temperatura son propiedades dependientes, con una relación muy clara entre ellas: T sat 5 fP sat., como se muestra en la figura 2.8.

1600

Alerta

1400 1200 1000 r r o T

800 600 400 200 0

220

Figura 2.8 0

20

40 60 Celsius

80

100

120

Curva de saturación líquido-vapor de agua (como sustancia pura).

Un líquido no puede ebullir a menos que absorba energía igual al calor latente de vaporización. Por ejemplo, para un refrigerante 134a a 1 atm, es de 217 kJkg. La tasa de vaporización depende en gran medida de la velocidad de transferencia de calor; a mayor transferencia de calor resulta una vaporización mayor.

49

UNIDAD

2


Condiciones iniciales T 5 20 °C P 5 1 atm Estado 1

Sistema cilindro-pistón Sustancia pura

Peso Agua líquida

Agua

2.6 Cambio de fase de una sustancia pura Consideremos un dispositivo cilindro-pistón que contiene agua líquida a 20 °C y 1 atm (estado inicial), como se muestra en la figura 2.9. Bajo estas condiciones, el agua existe en fase líquida y se le denomina líquido comprimido o líquido subenfriado , como se muestra en la figura 2.10, lo que significa que no está a punto de evaporarse.

Vapor saturado

P

Fuente Líquido saturado

Figura 2.9

1 atm

Dispositivo cilindro-pistón.

Condiciones �nales P = 1 atm T = 100 °C

Sistema cilindro-pistón Estado 2 Sustancia pura

Agua

Figura 2.11 Calentamiento del sistema.

Condiciones iniciales líquido comprimido

40 °C 20 °C v 1 v 2



m3 kg

Figura 2.10 Peso

Representación gráfica de líquido comprimido o líquido subenfriado.

Sustancia pura

En este caso, se transfiere calor al agua hasta que su temperatura aumenta a 40 °C, manteniendo constante la presión (esto se debe a que el peso del émbolo y la presión barométrica exterior son constantes), como se muestra en la figura 2.10. Fuente A medida que se le agrega calor al sistema (hasta llegar a la temperatura de 100 °C), este se expande y, por ende, aumenta el volumen específico. Como respuesta a esta expansión, el émbolo se moverá ligeramente hacia arriba, manteniendo siempre el equilibrio entre el sistema y el ambiente. El estado que se tiene es de agua líquida, puesto que no ha comenzado a evaporarse, como se muestra en la figura 2.11. En la figura 2.12 se muestra en un diagrama Pv el proceso que sigue el sistema desde el punto A hasta el punto B; de un líquido comprimido a un líquido saturado.

Vapor saturado

P

Líquido saturado B

A 1 atm

Figura 2.12 Representación gráfica del proceso del calentamiento de líquido comprimido a líquido saturado.


100 °C 20 °C

v

v f

v g



m3 kg

En conclusión, al estado dos (punto B) le corresponde un estado de líquido saturado, cuya composición es agua pura a punto de ebullición. Al seguir suministrando calor al sistema, toda el agua que se halla en el sistema empieza a evaporarse; el aumento de temperatura se detendrá solo hasta que el líquido se evapore por completo.

50


©

Sistema cilindro-pistón

Condiciones iniciales P = 1 atm T = 20 °C

Estado 3

Sustancia pura

Agua

Peso Mezcla líquido-vapor

Cambio de fase líquido-gas

Figura 2.13 Representación del proceso de una mezcla líquido-vapor.

Fuente

En el punto C de la figura 2.14, la temperatura permanecerá constante durante todo el proceso; aquí es donde se produce un cambio de fase (líquido-vapor), al mantener constantes la presión y la temperatura, asimismo se observa un aumento del volumen específico en el recipiente, como se muestra en la gráfica de la figura 2.14. Líquido saturado

Vapor saturado

P

1 atm


C

B

A

Figura 2.14

100 °C 20 °C

v

v f

v g



m3 kg

A medida que se añade calor, el proceso de evaporación continúa hasta que se evapora (desaparece) la última gota de líquido; en ese momento, el cilindro se llena por completo de vapor saturado, esto es, pasa del punto B como líquido saturado hasta el punto C, vapor saturado . Concluyendo, en el punto C se tiene vapor saturado. La figura 2.15 muestra la cantidad de calor suministrado al sistema (calor latente, evaporación o ebullición) para que la sustancia pura (agua) se evapore por completo; esta cantidad de energía produce un cambio de fase, donde la masa saturada del líquido contenida en el cilindro-pistón pasa a una masa de vapor saturado, a las mismas presión y temperatura. T °C

20

Alerta Si se disminuye una cierta cantidad de energía, el vapor se empieza a condensar y empiezan a formarse gotas de agua líquida.

Calor sensible

Calor latente

100

Representación gráfica del incremento en el volumen específico hasta llegar a vapor saturado.

Calor sensible v f

v g



m3 kg

Figura 2.15 Diagrama T- v para el proceso de calentamiento de agua a presión constante.

Entre los puntos B y C existe una gran cantidad de relaciones entre la masa del líquido y el vapor, esto es, donde pueden coexistir dos fases presentes al mismo tiempo, que se le conoce con el nombre de mezcla líquido-vapor .

51

UNIDAD

2


Problema resuelto Se tiene una mezcla líquido-vapor con las condiciones de saturación de 1 atm 5 101 325; Pa 5 101,325 kPa 5 0,101325 MPa, y una T 5 99,67 °C  100 °C. Determinar las propiedades termodinámicas para la fase de vapor y del líquido saturado. Solución

De la tabla de saturación (tabla de presión), se obtienen los siguientes datos: v f

v g

uf

u g

hf

h g

0,001043

1,6771

418,78

2506,49

418,88

2676,02

sf

1,3064

s g

7,3454

En la figura 2.16 se muestran los valores de los volúmenes específicos correspondientes al líquido y vapor saturado. Una vez que ha alcanzado el estado de vapor saturado (punto C ) a través de un cambio de fase, se llega a una región de una sola fase (vapor).

Líquido saturado

Vapor saturado

P

A

1 atm

C

B

100 °C 20 °C

Figura 2.16 Representación gráfica de los valores de los volúmenes específicos y la temperatura.


v f 5 0,001043

v g 5 1,6771



m3 kg

Si continuamos transfiriendo calor al sistema, se produce un incremento de la temperatura, así como del volumen específico, debido a la cantidad de calor suministrada al sistema. En este caso, se observa que el incremento de la temperatura llega hasta 300 ºC.

Sistema cilindro-pistón

Sustancia pura

Estado 4 Peso Vapor sobrecalentado

Agua

Figura 2.17 Suministro de energía hasta llegar a vapor sobrecalentado.

Condiciones iniciales P = 1 atm T = 100 °C

Condiciones �nales P = 1 atm T = 300 °C

Fuente

Por tanto, se dice que el vapor de agua que se encuentra localizado en el punto D es un vapor sobrecalentado. Esto es, un vapor que no está a punto de condensarse (es decir, un vapor no saturado). En la figura 2.18 se representa el diagrama correspondiente del vapor sobrecalentado.

52

(continúa)


©


Líquido saturado Vapor saturado P

1 atm

A

C

B

Vapor sobrecalentado

D


300 °C 100 °C 20 °C



v g 5 1,6771 v 5 sobrecalentado 5 2,63

Figura 2.18

m3

Representación del proceso hasta llegar a vapor sobrecalentado.

kg

2.7 Superficies termodinámicas El estado de una sustancia se determina mediante dos propiedades interactivas independientes; una vez que se han fijado estas dos propiedades, todas las demás se vuelven dependientes. Cuando estas dos variables independientes se relacionan, lo hacen por medio de la siguiente ecuación: z 5 z(x, y)

Esta ecuación representa una superficie en el espacio; de esta forma, es posible representar el comportamiento P -v -T de una sustancia como una superficie en el espacio, como se muestra en la figura 2.18.

3 7 4

E

Sólido

o id u í q L o d li ó S

n ó i s e r P

Líquido D

V o l u m e n

–20 000 Punto crítico –2 000

V a p l í q u o r i d L í n o e a t r i p l e B

S ó l i d o - Va p o r

) m t a ( n ó i s e r P

G a s

V a p o r

A

T C T 2

t u r a e r a p e T m

e i H

1 a t m A g u a T P y v a 0 p 0,001 H i e , 0 0 6 0 o r 3 l 9 o 0 a 1 0, 0 0 0 3 1 6 V 1 y v a p o t m 0 , , o 6 0 l u m 7 3 r e n e s p e c í Dirección de vista ( m / 3 6 k g ) � c o 2 0 del diagrama de

Andrews

a)

G a s I V o H i e l u a I o V y a g H i e l t m 8 0 a g u a 1 6 A o ) i d V l í q u ( a t m I I t m 1 8 a 2 0 3 4 6 a e A g u l o I h i e o l 1 0 0

b)

G a s o r V a p

3 7 5 T P C r a u t a – 5 0 m p e r T e °

Figura 2.19

6 0 0 Representación de la superficie P -v -T . a) Sustancia que se comprime al congelarse. b) Sustancia que se expande al congelarse (agua).

53

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura 

Proyección de la superficie P -v -T

E

Sólido

o id u q lí o d li ó S

n ó i s e r P

Líquido D

Punto crítico V a

C l í q u p o r L í n i d o e a t r i p l e

B

S ó l i d o - va p o r

Figura 2.20



V a p o r

A

V o l u m e n

Proyección de la superficie P -v -T sobre los planos P -T y P -v .

G a s

r a a t u r e p T e m

Diagrama P -v

P

Fase gaseosa

D

Punto crítico

Fase vapor T c

a d i u q í l e s a F

P 3

Figura 2.21 Representación gráfica de una sustancia pura en un diagrama P -v .

54

T 5 T 3 C


B

A

T 1

V


©



Diagrama T -s T (K)

t e n t a s n c o n ó i s r e P

R e c a l e n t e n t a a m st n i e c o n t E n o n e t c o a m l p n s t ol u ía a n V c o t e n

PC

t e n st a n c o j o l u F

e n l u m V o

s t a n t e

e t n a t s n o c n ió s e r P

Vapor saturado

n t e s t a n o c

Líquido saturado

Figura 2.22 s(kJ/kg K) 

Representación gráfica de una sustancia pura en un diagrama T -s .

Diagrama h-s h (kJ/kg)

T 5

p, T T c T > p c

p

T 5 const

Gas

5 p

p

T 5 const

>

C u r v a d e s a tu r a c i ó n

PC

n s t p T 5 c o T s t, c o n

n i c ó a i z r p o a v d e a r v C u

x 5 1 ) f

S

2

,

Líquido

t s n o c 5

T < T c

p

t s n o c 5

h g

s t c o n t s n o c

x 5 0,75

p 5

g

S ( T

5 f

h

Zona de vapor húmedo x 5 0, 50

2 g

h

Figura 2.23

x 5 0,25 hf

sf

s g

s(kJ/kg k)

Representación gráfica de una sustancia pura en un diagrama h -s.

55

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura 

Diagrama LnP -h In p T

. t s n

5 o c

c o 5 n s s t .

In pc

PC

T > T c

s t . n c o

5

s

T

5 T

Líquido In 0,1 pc

. t s n o c

c

1 0 , 3 , 7 0 , 0 5 0 ,

5 x

5

T

In 0,01 pc

Figura 2.24 Representación gráfica de una sustancia pura en un diagrama LnP -h .

n c ió z a ri o p v a e d a rv u C

Zona de vapor húmedo

9 0 ,

n ió c ra u t a s e d a v r u C

T

<

T

c

Gas t . s n o c 5

s

T 5 const. h(kJ/kg)

2.8 Estado de referencia y valores de referencia Los valores de u, h y s no son medibles directamente; estos se calculan a partir de propiedades medibles, a través de relaciones termodinámicas que nos permitan determinar los cambios en las propiedades. Por esta razón, se hace necesario elegir un estado de referencia convencional, esto es, se debe definir un valor conveniente y así asignar un valor cero a una propiedad o propiedades convenientes. Para el agua, el estado del líquido saturado es 0,01 ºC, el cual se toma como el estado de referencia, y a la energía interna y a la entropía se les asignan valores cero en este estado. Para el refrigerante 134a, se toma como estado de referencia el líquido saturado a 240 °C y se le asigna un valor de cero a la entalpía y a la entropía. Para algunos casos se tienen valores negativos como consecuencia del estado de referencia elegido.

2.9 Uso de las tablas termodinámicas La mayor parte de la información sobre las propiedades de una sustancia pura se puede encontrar en tablas ya elaboradas, por lo que es fundamental conocer y aprender el manejo de las mismas. Existen tablas termodinámicas completas para muchas sustancias en todas sus fases; la estructura de este tipo de tablas es similar a las presentadas en este libro, con la única diferencia de que estas son un resumen de las tablas completas; sin embargo, para nuestros propósitos de enseñanza-aprendizaje es suficiente la información presentada en los libros de texto. La organización de las tablas difiere con respecto al libro que se consulte; así, para el caso del agua se pueden tener las siguientes tablas: propiedades del agua en saturación: tabla de temperatura; propiedades del agua en saturación: tabla de presión; propiedades del agua sobrecalentada, y propiedades del agua (líquido) comprimido. Las tablas de saturación incluyen las propiedades de los líquidos saturados, vapores saturados y mezclas de ambos (región bifásica). Este tipo de tablas, por lo general está ordenado para valores crecientes de temperatura hasta llegar al punto crítico. Para cada temperatura, se indica la presión de saturación correspondiente, y las propiedades ( v , h y s ) del líquido y vapor saturados (subíndices f y g, respectivamente). Las propiedades de los vapores húmedos (mezclas líquido-vapor) se determinan a partir del título o calidad (x ), y es la relación entre la masa de vapor y la masa total de la mezcla. Por ejemplo, el volumen que ocupa una mezcla bifásica formada por mf ( kg) de líquido saturado y mg (kg) de vapor saturado es la suma del volumen ocupado por ambas fases: n 5 nf 1 ng 5 mf nf 1 mgng 5 [m3]

Donde v f y v g son los volúmenes específicos [m 3/kg] de líquido y vapor saturado.

56


©

Si dividimos la masa de vapor entre la masa total, se define la calidad, que es la relación entre la masa de vapor y la masa total del sistema, la cual se expresa como sigue: x =

mυ mυ + mf

Si dividimos la ecuación entre la masa total nos da:

 m3   = nfg 5 ngx 1 nf (12 x) 5 nmezcla   kg   Lo mismo sucede para las demás propiedades termodinámicas. ufg = ug x + uf (1− x ) = umezcla = [ kJ / kg]

 kJ    kg − K 

sfg = sg x + sf (1− x ) = s mezcla = 

Es decir, en las tablas se incluyen las siguientes propiedades: P sat , v f , v g, uf , ug, hf , hg, s f, s g 5 f (T ) T sat , v f , v g, uf , ug, hf , hg, s f, s g 5 f (P )

En algunas ocasiones no se incluyen datos de energía interna en las tablas, pues puede calcularse sencillamente a partir de la definición de entalpía: u 5 h 2 Pv La información presentada en estas tablas es la misma, pero ordenadas de acuerdo con la temperatura; otra, con base en la presión, y que representan las propiedades termodinámicas sobre las líneas de saturación. En las siguientes tablas se muestran los valores correspondientes a las condiciones de saturación. 

Tablas para los estados líquido saturado y vapor saturado

En la tabla 2.4, se muestran las propiedades del agua saturada (tabla de la temperatura y tabla de la presión). Tabla 2.4 Temperatura del agua saturada Temp. T 5 °C

Presión kPa

Volumen especí�co Energía interna Entalpía Entropía kJ kJ m3 kJ específica kg−K kg kg kg líquido vapor líquido vapor líquido vapor líquido vapor saturado saturado saturado saturado saturado evaporación saturado saturado saturado vf vg uf ug hf hfg hg sf sg

0

0,611

1,0000

206 300

−0,04

2 375,6

−0,04

2 501,7

2 501,6

0,0000

9,1578

1

0,657

1,0000

192 600

4,17

2 376,9

4,17

2 499,2

2 503,4

0,0153

9,1311

2

0,705

1,0000

179 900

8,39

2 378,3

8,39

2 496,8

2 505,2

0,0306

9,1047

3

0,757

1,0000

168 200

12,60

2 379,7

12,60

2 494,5

2 507,1

0,0459

9,0785

4

0,813

1,0000

157 300

16,80

2 381,1

16,80

2 492,1

2 508,9

0,0611

9,0526

100

101,33

1,052

1 209,9

461,2

2 518,0

461,3

2 230,0

2 691,3

1,4185

7,3556

102

108,78

1,054

1 136,6

469,6

2 520,2

469,8

2 224,5

2 694,3

1,4405

7,3315

104

116,68

1,055

1 068,5

478,1

2 522,4

478,3

2 219,0

2 697,2

1,4624

7,3078

106

125,04

1,057

1 005,2

486,6

2 524,6

486,7

2 213,4

2 700,2

1,4842

7,2845

108

133,90

1,059

946,3

495,0

2 526,8

495,2

2 207,9

2 703,1

1,5060

7,2615

370

21 054,0

2,214

4,973

1 843,6

2 238,1

1 890,2

452,6

2 342,8

4,1108

4,8144

371

21 306,4

2,278

4,723

1 862,0

2 217,3

1 910,5

407,4

2 317,9

4,1414

4,7738

372

21 561,6

2,364

4,439

1 884,6

2 191,2

1 935,6

351,4

2 287,0

4,1794

4,7240

373

2 181,9

2,496

4,084

1 916,0

2 154,9

1 970,5

273,5

2 244,0

4,2325

4,6559

374,15

2 037,3 4,4429 22 120,0 3,170 3,170 2 037,3 2 107,4 0,0 2 107,4 4,4429 Nota: Estas tablas han sido generadas por un programa computacional apoyado en The 1976 International Formulation Committee Formulation of the Thermodynamic Properties of Ordinary Water Substance, tal y como están publicadas en el ASME Stem Tables , 4a ed., Nueva York, The Am. Soc. Mech. Eng. 1979. Apéndice 1. pp. 11-29.

57

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura La información mostrada en la tabla de la temperatura (tabla 2.4) corresponde a los puntos de intercepción entre algunas isotermas (0, 1, ..., 100, …, 370, …, 374,14 °C) con las líneas de saturación. Tabla 2.5 Presión del agua saturada Presión Temp. kPa T 5 °C

Volumen especí�co m3 kg

Energía interna Entalpía Entropía kJ kJ kJ específica kg−K kg kg líquido vapor líquido vapor líquido vapor líquido vapor saturado saturado saturado saturado saturado evaporación saturado saturado saturado vf vg uf ug hf hfg hg sf sg

0,6113

0,01

0,00100

206,14

0,00

2 375,3

0,01

2 501,3

2 501,4

0,0000

9,1562

1,0

6,98

0,00100

129,21

29,30

2 385,0

29,30

2 484,9

2 514,2

0,1059

8,9756

2,0

17,50

0,001001

67,00

73,48

2 399,5

73,48

2 460,0

2 533,5

0,2607

8,7237

3,0

24,08

0,001003

45,67

101,04

2 408,5

101,05

2 444,5

2 545,5

0,3545

8,5776

4,0

28,96

0,001004

34,80

121,45

2 415,2

121,46

2 432,9

2 554,4

0,4226

8,4746

5,0

32,88

0,001005

28,19

137,81

2 420,5

137,82

2 423,7

2 561,5

0,4764

8,3951

100

99,63

0,001043

1,6949

417,36

2 506,1

417,46

2 258,0

2 675,5

1,3026

7,3594

125

105,99

0,001048

1,3749

444,19

2 513,5

444,32

2 241,0

2 685,4

1,3740

7,2844

150

111,37

0,001053

1,1593

466,94

2 519,7

467,11

2 226,5

2 693,6

1,4336

7,2233

175

116,06

0,001057

1,0036

486,80

2 524,9

486,99

2 213,6

2 700,6

1,4849

7,1717

200

120,23

0,001061

0,8857

504,49

2 529,5

504,70

2 201,9

2 706,7

1,5301

7,1271

19 000

361,34

0,001924

0,006657

1 739,9

2 338,1

1 776,5

688,0

2 464,5

3,9388

5,0228

20 000

365,81

0,002036

0,005834

1 785,6

2 293,0

1 826,3

583,4

2 409,7

4,0139

4,9269

21 000

369,89

0,002207

0,004952

1 842,1

2 230,6

1 888,4

446,2

2 334,6

4,1075

4,8013

22 000

373,80

0,002742

0,003568

1 961,9

2 087,1

2 022,2

143,4

2 165,6

4,3110

4,5327

22 090 374,14 0,003155 0,003155 2 029,6 2 029,6 2 099,3 0,000 2 099,3 4,4298 4,4298 Fuente: Gordon, J., Van Wylen y Richard E. Sonntang. Fundamentals of Classical Ther modynamics, 3a ed., Nueva York. John Wiley & Sons, 1986, pp. 635-651.

La tabla 2.5 de la presión corresponde a los puntos de intercepción entre algunas isóbaras y las líneas de saturación.

2.10 Vapor sobrecalentado En la región de la derecha del vapor saturado, y a una temperatura superior del punto crítico, coexiste una sustancia como vapor sobrecalentado. Esta es una región de una sola fase; la presión y la temperatura ya no son propiedades dependientes y pueden usarse convencionalmente como propiedades independientes. Dicha región se caracteriza por las siguientes condiciones:     

Presiones superiores P . P sat a una T dada. Temperaturas menores T , T sat a una P dada. Volúmenes específicos menores n , nf a una P o T dada. Energías internas menores u , uf a una P o T dada. Entalpías inferiores h , hf a una P o T dada.

En la tabla 2.6 se muestra la estructura de la tabla y sus diferentes propiedades termodinámicas.

58


©

Tabla 2.6 Vapor sobrecalentado T °C

V 3

m kg

U

H

S

kJ kg

kJ kg

kJ kg−K

T °C

P 5 1,00 MPa (T sat 5 39,39 °C)

V 3

m kg

U

H

S

kJ kg

kJ kg

kJ kg−K

P 5 1,20 MPa (T sat 5 46,32 °C)

sat,

0,02020

247,77

267,97

0,9043

sat,

0,01663

251,03

270,99

0,9023

40

0,02029

248,39

268,68

0,9066

50

0,02171

258,48

280,19

0,9428

50

0,01712

254,98

275,52

0,9164

60

0,02301

268,35

291,36

0,9768

60

0,01835

265,42

287,44

0,9527

70

0,02423

278,11

302,34

1,0093

70

0,01947

275,59

298,96

0,9868

80

0,02538

287,82

313,20

1,0405

80

0,02051

285,62

310,24

1,0192

90

0,02649

297,53

324,01

1,0707

90

0,02150

295,59

321,39

1,0503

100 0,02755 307,27 334,82 1,1000 100 0,02244 305,54 332,47 1,0804 Fuente: Moran, M. y Shapiro, H. Fundamentals of Engineering Thermodynamics , 2a ed., Nueva York, John Wiley & Sons. 1992, pp. 710-715.

2.11 Líquido comprimido o subenfriado En la literatura no existe mucha información acerca de los líquidos comprimidos; la falta de información nos permite, por tanto, hacer una aseveración: “que la variación de las propiedades del líquido comprimido debido a la presión es poco significativa, por lo que se puede decir que una buena aproximación es considerar al líquido comprimido como líquido saturado”. El líquido comprimido se caracteriza por las siguientes condiciones:     

Presiones superiores P . P sat a una T dada. Temperaturas menores T , T sat a una P dada. Volúmenes específicos menores n , nf a una P o T dada. Energías internas menores u , uf a una P o T dada. Entalpías inferiores h , hf a una P o T dada.

De las propiedades de la sustancia pura ( u, h y s ), la entalpía es la propiedad que depende en mayor medida de la presión, lo que puede producir errores significativos. Sin embargo, el error en h a presiones muy altas se reduce significativamente cuando se evalúa de la siguiente manera: h  hf T 1 nf T (P 2 P sat T ) en vez de considerar igual a hf .

Alerta Las propiedades del líquido comprimido o subenfriado no son muy diferentes de los valores para el líquido saturado.

Tabla 2.7 Líquido comprimido T °C

U

V 3

m kg

kJ kg

H

kJ kg

S

kJ kg−K

T °C

P 5 5,00 MPa (T sat. 5 263,99 °C)

V 3

m kg

U

H

S

kJ kg

kJ kg

kJ kg−K

P 5 10 MPa (T sat. 5 311,06 °C)

0

,0009977

0,03

5,02

0,0001

0

,0009952

0,10

10,05

0,0003

20

,0009995

83,64

88,64

0,2955

20

,0008872

83,35

93,32

0,2945

40

,0010056

166,93

171,96

0,5705

40

,0010034

166,33

176,36

0,5685

60

,0010149

250,21

255,28

0,8284

60

,0010127

249,34

259,47

0,8258

80

,0010268

333,69

338,83

1,0719

80

,0010245

332,56

342,81

1,0678

100

,0010410

417,50

422,71

1,3030

100

,0010385

416,09

428,48

1,2992

120 ,0010576 501,79 507,07 1,5232 120 ,0010549 500,07 510,61 1,5188 Fuente: Van Wylen, G., Sonntag R. y Borgnakke. Fundamentals of classical thermodynamics , Nueva York, John Wiley & Sons, 2002, pp. 767-768.

Alerta Ante la falta de datos de líquido comprimido, una aproximación general en considerar al líquido comprimido como líquido saturado a la temperatura dada, debido a que las propiedades del líquido comprimido tienen mayor dependencia de la temperatura que de la presión. De esta manera, y  y F@T , para líquidos comprimidos, y puede ser u, h y s .

59

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura Cuando se necesita obtener las diferentes propiedades de una sustancia pura bajo condiciones que no se encuentran tabuladas en las tablas, es necesario:  

Interpolar. Extrapolar.

Para el primer caso se puede utilizar de una manera aproximada, o exacta en ocasiones, la ecuación de la línea recta llamada punto pendiente:  y − y 1  ( x − x ) y 0 − y 1 =  2  x 2 − x 1  0 1 Despejando y 0:  y − y 1  ( x − x ) + y 1 y 0 =  2  x 2 − x 1  0 1 Asimismo, otra forma de interpolar es la siguiente. Si M es la cantidad deseada, y es función de una única variable independiente X y es apropiada para una interpolación lineal, como en el caso de las tablas para propiedades de líquido y vapor saturado, vapor sobrecalentado y líquido comprimido, existe una proporcionalidad directa entre las diferencias de M y X . Cuando M, en el valor de X , se encuentra entre los valores conocidos de M1 en X 1 y M2 en X 2, entonces:

 x 2 − x 0    M1 +  x 0 − x 1 M2  x 2 − x 1   x 2 − x 1 

M = 

Problema resuelto Utilizando la tabla 2.4, temperatura del agua saturada, con una calidad de 60%, determinar las propiedades termodinámicas para el agua a una temperatura de 103 °C. Solución

Se conocen las dos variables (T y x ) que definen el estado del sistema; por otro lado, la calidad define que la sustancia (agua) se encuentra como una mezcla líquido-vapor (saturado).

Encontrar: a) Las diferentes propiedades para cada una de las sustancias puras que se encuentran tabuladas. b) La representación gráfica del estado del sistema. Así, el esquema queda como la siguiente gráfica:

P 5 116,68 kPa

T sat. 5 103 °C

V 5 m3/kg

Figura 2.25

60

(continúa)


©


Sustancia: agua a 103 ºC y x 5 60% De la tabla de la presión se obtienen los siguientes datos:

Sustancia

T 5 °C

P 5 kPa

H2O

103

116,68

u=

kJ kg

h=

–

kJ kg

–

x

0,60

A partir de los datos que se dan en la tabla de la temperatura, se obtienen las demás propiedades termodinámicas para la mezcla líquido-vapor: m3 υfg = υg x + υf (1− x ) = 1068, 5( 0, 6) + 1, 055(1− 0, 6) = 641, 22 kg kJ ( − 0, 6) = 1 704, 68 ufg = ug x + uf (1− x ) = 2 522, 4(0, 6) + 478,11 kg kJ hfg = hg x + hf (1− x ) = 2 697, 2(0, 6 ) + 478, 3(1− 0, 6) = 1809, 64 kg

Problema resuelto Determinar las propiedades faltantes y las descripciones de fase en la siguiente tabla para el agua.

Sustancia

T 5 °C

P 5 kPa

Agua R-134a R-12 Amoniaco R-22

275

5000 400 300

−5 20 50

u=

kJ kg

h=

kJ kg

s =

kJ kg−K

300 1450

500

Solución

Se conocen las diferentes sustancias puras y las dos propiedades de estado que definen el estado del sistema.

Encontrar: Las diferentes propiedades para cada una de las sustancias puras que se dan en la tabla. A partir de los datos obtenidos en las tablas correspondientes, determinar el estado en que se encuentra la sustancia, a través de una representación gráfica P-V. Así, el esquema queda como la siguiente gráfica:

Vapor sobrecalentado P 5 5 000 kPa T 5 275 °C T sat 5 262,99 °C

Figura 2.26

V 5 m3/kg

Sustancia: agua a 5 000 kPa y 275 ºC. De la tabla de la presión se obtienen los siguientes datos: P 5 5 MPa, se tiene una temperatura de saturación de T sat 5 262,99 °C. (continúa)

61

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura Solución (continuación)

De manera que la temperatura propuesta no corresponde a las condiciones de saturación; la intersección de ambas propiedades se da en la región de vapor sobrecalentado, como se muestra en la gráfica.

Datos: Sustancia

T 5 °C

P 5 kPa

Agua

275

5000

u=

kJ kg

h=

—

kJ kg

—

s =

kJ kg−K —

La tabla de vapor sobrecalentado nos proporciona los demás datos.

Tabla de vapor sobrecalentado kJ T 5 °C m3 u= υ= kg kg Sat. 275

kJ kg

h=

P 5 5 MPa T sat 5 263,99 ºC 0,03944 2597,1 2794,3 0,04141 2631,3 2838,3

s =

kJ kg−K

5,9734 6,0544

Resultado: Para el agua. Sustancia

T 5 °C

P 5 kPa

Agua

275

5000

kJ kg

u=

h=

2631,3

kJ kg

2838,3

s =

kJ kg−K

6,0544

Para el refrigerante 134a.

Sustancia refrigerante

T 5 °C

P 5 kPa

134a

—

400

u=

kJ kg

h=

300

kJ kg

—

s =

kJ kg−K —

Para la sustancia freón 13a. 400 kPa y u = 300

kJ kg

De la tabla de la presión se obtienen los siguientes datos: P 5400 kPa, se tiene una temperatura de saturación de T sat 5 8,93 °C. De manera que la temperatura propuesta no corresponde a las condiciones de la presión de saturación, ya que la intersección de ambas propiedades se da en la región de vapor sobrecalentado, como se muestra en la gráfica.

Datos: Tabla de vapor sobrecalentado T 5 °C kJ m3 u= υ= kg kg Sat. 80 90

h=

kJ kg

P 5 0,40 MPa T sat 5 8,93 ºC 0,05089 231,97 252,32 0,06873 293,73 321,23 0,07102 302,84 331,25

s =

kJ kg−K

0,9145 1,1322 1,1602

Como no se encuentra el valor de la energía interna exactamente en los datos, se utiliza el método de interpolación para calcular las demás propiedades.

62

(continúa)


©


Calculando la temperatura:

 T − T  T 0 =  2 1 (u0 − u1 ) + T 1 u2 − u1    90 − 80 (300 − 293, 73 ) + 80 = 86,88 °C  302, 84 − 293, 73 

T 0 = 

 0, 07102 − 0, 06873  m3  ( 30 0 − 293 , 73 ) + 0 , 06873 = 0 , 0703   302, 84 − 293, 73  kg

υ0 = 

 3312 , 5 − 32123 ,  (300 − 293,73 ) + 321, 23 = 32 8,13 kJ  302, 84 − 293, 73  kg

h0 = 

 11602 , −11322 , kJ (300 − 293,73 ) + 11322 , = 11 , 515  302, 84 − 293, 73  kg − K

s 0 = 

Resultado: Sustancia refrigerante

T 5 °C

P 5 kPa

134a

86,88

400

u=

kJ kg

h=

300

kJ kg

328,13

s =

kJ kg−K

1,1515

Para el refrigerante 12 con x 5 1.


T 5 °C

P 5 kPa

12

−5

260,96

u=

kJ kg

h=

—

kJ kg

—

s =

kJ kg−K —

Esquema:

Vapor saturado

P 5 260,96 kPa

v g = 0,064936 m3 /kg

T sat 5 −5 °C

Figura 2.27 De la tabla de la presión se obtienen los siguientes datos: P 5260,96 kPa; se tiene una temperatura de saturación de T sat 5 25 °C. La temperatura y la presión dadas corresponden a las condiciones de saturación; la intersección de ambas propiedades se da en la región de vapor saturado, como se muestra en la gráfica. De la tabla se obtienen los valores correspondientes para cada uno de ellos.

(continúa)

63

UNIDAD

2


Resultados: Sustancia

T 5 °C

P 5 kPa

Refrigerante 12

−5

260,96

kJ kg

u=

0,064963

kJ kg

h=

185,275

s =

kJ kg−K

0,69907

Sustancia: amoniaco, T 5 20 ºC y h 5 274,3 K. Sustancia

T 5 °C

P 5 kPa

Amoniaco

20

–

kJ kg

u=

–

kJ kg

h=

s =

274,3

kJ kg−K –

Esquema: Líquido saturado

P 5 857,22 kPa

T sat 5 20 °C hf = 274,3 kJ/kg

Figura 2.28 De la tabla de temperatura se obtienen los siguientes datos: T 5 20 °C, se tiene una presión de saturación de P 5 857,22 kPa. La temperatura dada y la entalpía corresponden a las condiciones de saturación, y de manera más específica a las de líquido saturado; entonces, la intersección de ambas propiedades se da en la región de líquido saturado, como se muestra en la gráfica.

Resultados: Sustancia

T 5 °C

P 5 kPa

Amoniaco

20

857,22


T 5 °C

P 5 kPa

22

50

500

u=

kJ kg

0,001638 u=

–

kJ kg

h=

kJ kg

274,3 h=

kJ kg

–

s =

kJ kg−K

1,0408 s =

kJ kg−K –

(continúa)

64


©


Esquema:


P 5 500 kPa

T 5 50 °C

v 5 m3/kg

Figura 2.29 Sustancia refrigerante 22 (clorodifluorometano) a 500 kPa y 50 ºC. La intersección de ambas propiedades se da en la región del vapor sobrecalentado, como se muestra en la gráfica. De la tabla de la temperatura se obtienen los siguientes datos.


T 5 °C

P 5 kPa

22

50

500

u=

kJ kg

0,058590

h=

kJ kg

285,930

s =

kJ kg−K

1,04743

Problema resuelto Un cilindro-pistón aislado contiene 0,52 kg de agua a 300 kPa y 150 °C (estado 1). Se encuentra fijo por medio de un perno, el cual lo mantiene en su sitio. Al cilindro se le quita el perno y el pistón cae hasta que la presión alcanza 500 kPa y se detiene con una temperatura de 215 ºC (estado 2). En ese momento se le quita el aislamiento al sistema y se pone en contacto con un baño maría, cuya temperatura es de 150 °C, manteniendo constante la presión, permitiéndose que el sistema llegue al equilibrio (estado 3). Encontrar: a) Encontrar la temperatura y la presión en el estado 2. b) Encontrar la temperatura y la presión en el estado 3. c) Determinar la cantidad de energía interna del sistema durante el proceso realizado. d) Determinar la cantidad de entropía del sistema durante el proceso. e) Determinar el calor intercambiado en el proceso completo. Solución

Suposiciones: La sustancia pura que se encuentra dentro del sistema cilindro-pistón tiene condiciones por arriba de las de saturación, por lo que se dice que el sistema se encuentra como vapor sobrecalentado; por otro lado, suponemos que el sistema siempre llega al equilibrio en cada uno de los estados subsiguientes. De los datos dados, se puede suponer que el primer proceso se lleva a cabo de manera adiabática, seguida de un proceso a presión constante (isobárico).

(continúa)

65

UNIDAD

2


Datos: m 5 0,52 kg T 5 °C

P 5 kPa

150 215 150

300 500 500

υ=

m3 kg

– – –

kJ kg

u=

kJ kg

h=

– – –

– – –

Calidad x

– – –

Comentario: De la tabla de vapor (tabla de la temperatura o de la presión) se obtienen los datos del estado inicial y el estado en que se encuentra la sustancia. Para este caso, si utilizamos la tabla de la temperatura, con valor de T =150 °C, tenemos una presión de saturación de 475,8 kPa, el cual no corresponde. Si entramos con el valor de la presión de 300 kPa, la temperatura de saturación es 133,55 °C, la cual no corresponde al valor dado como dato. Como se muestra en los diagramas siguientes: T 5 °C

P 5 kPa

150

300

υ=

m3 kg

–

u=

kJ kg

h=

–

kJ kg

–

Calidad x

–

Esquema: En la gráfica ponemos los datos: Vapor saturado

P sat 5 475,9 kPa

T 5 150 °C se tiene una presión

de saturación v g 51,6939 m3/kg

Figura 2.30 Si entramos con la presión de 300 kPa, se tiene una T sat 5 133,55 °C. Vapor saturado

P 5 300 kPa

T sat 5 133,55 °C

Figura 2.31

66

v f 5

v g51,6939 m3/kg

(continúa)


©


Como las dos propiedades termodinámicas no coinciden en la región de líquido ni de vapor saturado ni mezcla líquido-vapor, esto significa que se encuentra en la región de vapor sobrecalentado, como se muestra en la figura 2.32. Si entramos con la presión de 300 kPa, se tiene una T sat 5 133,55 °C.

Vapor sobre calentado. Estado 1

P 5 300 kPa

T 5 150 °C T sat 5 133,55 °C v 5 0,63388 m3/kg

Figura 2.32 T 5 °C

P 5 kPa

150

300

υ=

m3 kg

u=

0,63388

kJ kg

h=

2 806,7

kJ kg

Estado

3 069,3


Para las condiciones del estado 2, debemos suponer que la presión que se ejerce sobre el sistema es la presión atmosférica más el peso del émbolo, que nos proporciona una presión de 500 kPa. Asimismo, el sistema alcanza una temperatura de 215 ºC. T 5 °C

P 5 kPa

215

500

υ=

m3 kg

–

u=

kJ kg

–

h=

kJ kg

Estado

–

–

Como el sistema se encuentra aislado, esto nos permite concluir que no existe transferencia de calor hacia los alrededores, lo que implica que este debe llegar al equilibrio térmico. La energía que se gana y el trabajo hecho sobre el sistema, nos va permitir definir el estado 2 del sistema. De la tabla de vapor (temperatura y presión saturada) se tienen los siguientes datos: T 5 °C

P sat 5 kPa

m3 υ= kg

u=

215

2 104

0,09479

2 601,1

T 5 °C

P 5 kPa

151,86

500

υ=

m3 kg

0,3749

u=

kJ kg

kJ kg

2 561,2

h=

kJ kg

2 800,5 h=

kJ kg

2 748,7

Estado Vapor saturado

Estado Vapor saturado

(continúa)

67

UNIDAD

2


Como ninguna de los dos datos corresponde, el estado del sistema es vapor sobrecalentado. Interpolando los datos de la tabla de vapor sobrecalentado:

Tabla vapor sobrecalentado T 5 °C kJ m3 u= υ= kg kg Sat. 200 215 250

Por tanto:

h=

kJ kg

s =

P 5 50 MPa T sat 5 151,86 ºC 0,3749 2 561,2 2 748,7 0,4249 2 642,9 2 855,4 ? ? ? 0,4744 2 723,5 2 960,7

kJ kg−K

6,8213 7,0592 ? 7,2709

 X 2 − X 0    M1 +  X 0 − X 1 M2  X 2 − X 1   X 2 − X 1 

M = 

Donde: X 5 temperatura y M 5 (n, u, h y s ).

Sustituyendo datos:

 250 − 215   215 − 200  m3   0 , 4249 + 0 , 4744 = 0 , 29743 + 0 , 14232 = 0 , 4397 5   250 − 200  kg  250 − 200 

υ = 

 250 − 215     2642, 9 +  215 − 200 2723, 5 = 2667, 08 kJ   250 − 200  kg  250 − 200 

u = 

 250 − 215    2 855, 4 +  215 − 200  2 960, 7 = 2 886, 99 kJ  250 − 200   250 − 200  kg

h = 

 250 − 215     7, 0592 +  215 − 200  7, 2709 = 7, 1227 kJ   250 − 200  kg − K  250 − 200 

s =  T 5 °C

P 5 kPa

215

500

υ

=

m3 kg

0,43975

u=

kJ kg

2 054,293

h=

kJ kg

2 886,99

s =

kJ kg−K

7,1227

El estado 3 tiene las siguientes propiedades: T 5 °C

P 5 kPa

150

500

υ

=

m3 kg

–

u=

kJ kg

–

h=

kJ kg

–

s =

kJ kg−K –

Si entramos con la presión de 500 kPa, se tiene una T sat 5 133,55 ºC y T 5 150 ºC; por tanto, se tiene una P sat 5 475,8 kPa. Líquido comprimido Estado 3 P 5 500 kPa P 5 475,8 kPa T 5 151,86 °C T 5 150 °C

Figura 2.33

68

V 5 0,001093 m3/kg

(continúa)


©


De la tabla de la presión: T 5 °C

P 5 kPa

150

500

υ

=

m3 kg

u=

0,001093

kJ kg

h=

639,68

kJ kg

s =

640,23

kJ kg−K

1,8607

Cambio de energía interna del sistema:

∆u = u1−2 − u2−3 = (2667, 08 − 2570,8 ) + (639,68 − 2667,08 ) ∆u = −193112 ,

kJ kg

Cambio de entropía del sistema:

∆u = h1−2 − h2−3 = (2 886, 99 − 2 761, 0) + (640, 23 − 2 886, 99 ) ∆h = −2120, 77

kJ kg

Comentario: En el proceso que se lleva a cabo existe una disminución tanto de energía interna como de entalpía, por lo que se puede decir que el proceso es exotérmico.

Problema resuelto Se quiere tener un depósito de 500 L que almacene 199 kg de nitrógeno gaseoso a 150 K. Para diseñar el depósito se debe estimar la presión que debe soportar el tanque rígido. Se pide utilizar las tablas de vapor. Solución

Se conocen: Las condiciones para diseñar un tanque rígido; la temperatura y el volumen específico. Para la solución, se requiere encontrar: La presión del cilindro rígido. De esta forma, debemos calcular el volumen específico: m3 V 0, 5 υesp = = = 0, 002513 kg m 199

Tabla de vapor sobrecalentado T 5 °C

m3 υ= kg

h=

kJ kg

kj s = kg

T °C

m3 υ= kg

P 5 8,0 MPa 150

0,002914

Interpolando:

h=

kJ kg

s =

kj kg

P 5 10 MPa

61,924

4,3522

150

0,002388

48,659

4,2290

 X 2 − X 0    M1 +  X 0 − X 1 M2  X 2 − X 1   X 2 − X 1 

M = 

Al sustituir datos:

 0, 002388 − 0, 002513   0, 002513 − 0, 002914  8 + 10 = 9, 5247 MPa  0, 002388 − 0, 002914   0, 002388 − 0, 002914 

M = 

69

UNIDAD

2


Problema resuelto Un conjunto cilindro-pistón, que es accionado por un resorte (el cual va a mantener constante la presión), contiene R-134a, a T =20 °C y X =24% de calidad; con un volumen de 50 L. El dispositivo se calienta y, por tanto, se expande, haciendo que el pistón se mueva. Se observa que al desaparecer la última gota de líquido, la temperatura es de 40 °C . Se sigue calentando hasta que alcanza una temperatura de 130 °C. Determinar las condiciones iniciales y finales para el sistema descrito y hacer una representación gráfica del proceso. Solución

Se conocen: Las condiciones iniciales. Es una mezcla líquido-vapor a 20 ºC y con una calidad de 24%; así como las temperaturas intermedia y final del proceso que se lleva a cabo a presión constante. Para la solución se requiere encontrar: • Las propiedades intermedias y finales para el proceso. • La representación gráfica del proceso.

Suposiciones: La presión va a permanecer constante a lo largo del proceso (la fuerza que ejerce la atmósfera, el resorte y el peso del émbolo). Propiedades y gráfica: Para las condiciones iniciales, se observa la tabla de propiedades termodinámicas del refrigerante 134a (1,1,1,2-tetrafluoroetano).

Mezcla líquido-vapor Estado 1

P 5 0,5728 MPa

x 5 0,24 T sat 5 20 °C

v f 5 0,000817 m3/kg

V g 5 0,6339 m3/kg

Figura 2.34 Calculando el volumen específico: υfg

υfg

= υg x + υf (1− x )

= 0, 036055(0,24) + 0,000817(1− 0,2 4 ) = 0, 009274

m3 kg

Calculando el valor de la entalpía de la mezcla: hfg = hg x + hf (1− x ) υfg

70

= 409, 838(0 , 24 ) + 227, 493(1− 0, 24 ) = 2712 , 558

T 5 °C

P 5 MPa

20

0,5728

υ

=

m3 kg

0,009274

m3 kg h=

kJ kg

271,2558 (continúa)


©


De la tabla se obtienen las condiciones intermedias y finales:

Tabla de vapor sobrecalentado T 5 °C

υ

=

m3 kg

u=

kJ kg

h=

kJ kg

s =

kJ kg−K

T 5 °C

υ

=

P 5 0,5 MPa (T sat , 5 15,74 °C)

m3 kg

u=

kJ kg

h=

kJ kg

s =

kJ kg−K

P 5 0,6 MPa (T sat 5 21,58 °C)

sat,

0,04086

253,64

256,07

0,9117

sat,

0,03408

238,74

259,19

0,9097

40

0,04633

256,99

280,16

0,9918

40

0,03774

255,45

278,09

0,9717

130

0,06347

339,98

371,72

1,2484

50

0,05402

349,23

381,64

1,3100

Interpolando:

 X 2 − X 0    M1 +  X 0 − X 1 M2  X 2 − X 1   X 2 − X 1 

M = 

 0, 6 − 0, 5720   0, 5720 − 0, 5  m3   0 , 04633 + 0 , 0374 = 0 , 03990     0, 6 − 0, 5   0, 6 − 0, 5  kg

υ = 

 0, 6 − 0, 5720     280,16 +  0, 5720 − 0, 5  278, 09 = 278, 6696 kJ  0, 6 − 0, 5  kg  0, 6 − 0, 5 

h = 

T 5 °C

P 5 MPa

40

0,5728

υ

=

m3 kg

0,03990

h=

kJ kg

278,6696

Vapor sobrecalentado Estado 2

P 50,5728 MPa T 5 40 °C T 5 20 °C

v 5 0,0399 m3/kg

Figura 2.35 Calculando las condiciones del estado 3 Interpolando:  0, 6 − 0, 5720   0, 5720 − 0, 5  m3   5 5 0 , 06347 + 0 , 0 402 = 0 , 0 666 υ =    0, 6 − 0, 5   0, 6 − 0, 5  kg

 0, 6 − 0, 5720     371, 72 +  0, 5720 − 0, 5 381, 64 = 378, 8624 kJ  0, 6 − 0, 5  kg  0, 6 − 0, 5 

H = 

(continúa)

71

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura Solución (continuación) T 5 °C

P 5 MPa

130

0,5728

υ

=

m3 kg

0,05666

h=

kJ kg

378,8624

Vapor sobrecalentado Estado 3 T 5 130 °C

P 5 0,5728 MPa

T 5 40 °C T 5 20 °C

v 5 0,05666 m3/kg

Figura 2.36

Problema resuelto Un sistema cilindro-pistón tiene una masa de agua de m 5 0,500 kg, el émbolo del pistón tiene un área de sección transversal de A 5 0,25 m 2 y una altura h 5 0,10 m. El estado inicial tiene las siguientes condiciones: T 5 110 °C y x 5 90%. El dispositivo está provisto de un resorte, como se muestra en la figura siguiente:

W

Q


El resorte simplemente toca el émbolo, sin ejercer ninguna fuerza sobre él. A continuación se le transmite calor al sistema y el émbolo se empieza a desplazar hasta que el volumen se duplica. Durante la  N experimentación, la fuerza del resorte es la misma 10, 5  . Calcular las condiciones iniciales y finales del M  sistema, si la temperatura final es de 160 °C.

Solución: Se conocen: Las condiciones iniciales que indican que es una mezcla líquido-vapor a 110 ºC, con una calidad de 90%, así N como la fuerza que ejerce el resorte, 10 , 5 , y la temperatura final del proceso. m Para la solución, se requiere encontrar: Las propiedades específicas para el estado inicial y final.

72

(continúa)


©


Suposiciones: La presión final está definida por la acción que ejerce la fuerza del resorte sobre el pistón, por el peso del émbolo y por la presión atmosférica, que es constante a lo largo del proceso, además de la presión interna del gas. Propiedades y gráfica: Mezcla líquido-vapor Estado 1

P 5 0,1423 MPa

x 5 0,90 T sat 5 110 °C v f 5 0,001052 m3/kg

v g 5 1,2102 m3/kg

Figura 2.38 T 5 °C

P 5 MPa

m3 υf = kg

m3 υ g = kg

110

0,1423

0,001052

1,2102

Ecuaciones para calcular: El volumen específico: υfg υfg

uf =

kJ kg

461,14

u g =

kJ kg

2518,1

hf =

kJ kg

461,30

h g =

kJ kg

2691,5

= υg x + υf (1− x )

= 1, 2102(0 , 90 ) + 0, 001052( 1− 0, 90)) = 1, 08939

m2 kg

La energía interna: ufg = ug x + uf (1− x )

( , 90 ) + 46114 , (1− 0, 90 ) = 2 312, 404 ufg = 2518, 10

kJ kg

La entalpía: h = hg x + hf (1− x ) h = 2691, 5( 0, 90 ) + 461, 30(1− 0, 90 ) = 2 468,, 48

kJ kg

Para las condiciones finales: El volumen inicial es: V 1 5 A 3 h = 0,25 3 0,1 5 0,025 m 3

El volumen en el estado final: V 2 5 2V 1 = 2 3 0,025 5 0,05 m3

El desplazamiento del émbolo es: V 5 V 2 2 V 1 5 0,05 2 0,025 5 0,025 m 3

Calculando la distancia a la cual se eleva el pistón: h=

∆V 0, 025 m3 = =1m 2 A

0, 25 m

(continúa)

73

UNIDAD

2


La fuerza que se aplica al resorte: F = kx = 10, 5

N ×1m = 10, 5 kN m

La presión adicional aplicada por el resorte es: P =

F 10, 5 = = 420 kPa A 0, 025

Si solo existiera la presión interna, esta permanecería constante a lo largo del proceso, pero la compresión del resorte hace que exista una fuerza que se opone a expandirse de manera libre, por lo que la presión que se ejerce en el sistema es: P total 5 P int 1 P resorte 5 142,3 1 420 5 562,3 kPa

Las condiciones finales se pueden calcular a partir de: T 5 160 °C y P 5 562,3 kPa.

Esquema:

Estado 2 Vapor sobrecalentado

P 5 0,5623 MPa P 5 0,6000 MPa x 5 0,90 P 5 0,5000 MPa

T sat 5 160 °C

T 5 110 °C

v 15 1,08939 m3/kg

v 2 5 m3/kg

Figura 2.39 P 5 0,5 MPa

P 5 0,6 MPa

kJ kg

T 5 °C

m3 υ= kg

2 561,2

2 748,7

0,3157

2 567,4

2 561,2

2 748,7

–

–

–

–

–

–

–

0,4249

2 642,9

2 855

0,3590

2 638,9

2 642,9

2 855,4

T 5 °C

m3 υ= kg

151,86

0,3749

160 200

u=

kJ kg

h=

u=

kJ kg

h=

kJ kg

Interpolando los datos a 0,5 y 0,6 MPa a la temperatura de 160 ºC: P 5 0,5 MPa T 5 °C

υ

=

m3 kg

u=

P 5 0,6 MPa

kJ kg

h=

kJ kg

T 5 °C

υ

=

m3 kg

u=

kJ kg

h=

kJ kg

151,86

0,3749

2 561,2

2 748,7

0,3157

2 567,4

2 561,2

2 748,7

160

0,3833

2 575,01

2 759,41

0,3167

2 569,4

2 575,01

2 766,7

200

0,4249

2 642,9

2 855

0,3590

2 638,9

2 642,9

2 855,4

Para obtener los datos del estado definido, se vuelven a interpolar los datos entre las presiones de 0,5 y 0,6 MPa a la temperatura constante de trabajo de 160 ºC.

74

(continúa)


©

Solución (continuación) T 5 160 °C P 5 MPa υ

=

m3 kg

u=

kJ kg

h=

kJ kg

0,5

0,3833

2575,1

2 759,41

0,5623

0,3582

2 572,95

2 763,95

0,6

0,3167

2 569,4

2 766,7

Resultados: P 5 MPa

T 5 °C

υ

=

m3 kg

u=

kJ kg

h=

Estado

kJ kg

0,1423

110

1,08939

2 312,404

2 468,48


0,5623

160

0,3582

2 572,95

2 763,95


2.12 Ecuaciones de estado Constituyen una relación de equilibrio entre las propiedades de un sistema; solo son válidas si el sistema se encuentra en equilibrio. Se pueden clasificar en: 





Teóricas. Estas se puede obtener por medio de una ecuación matemática, a partir de una teoría del comportamiento de la materia. Empírica. Se obtiene una ecuación matemática a partir de datos experimentales que describen el fenómeno. Semiempíricas. A estas se añaden coeficientes de ajustes a las experimentales.

Cuando se tienen constantes:   

Dos constantes (ecuaciones de Van der Waals, Dieterici, Redlich-Kwong-Soave). Tres constantes. Más de tres constantes [Benedict-Webb-Rubin (8 constantes)].

Por sus propiedades, las ecuaciones de estado se clasifican en:  

Figura 2.40 A menudo no se pueden aplicar las consideraciones de la relación de un gas ideal a gases reales.

Térmicas. Fundamentales.

A cualquier ecuación que relacione las diferentes propiedades termodinámicas en estados de equilibrio de una sustancia pura o ideal, se le denomina ecuación de estado. Existen diferentes tipos de ecuaciones de estado, algunas sencillas y otras complejas. Estas ecuaciones predicen el comportamiento P-v-T de un gas con bastante exactitud, dentro de cierta región elegida adecuadamente para su estudio.

¡Gas ideal el aire!

2.13 Gas ideal Los gases ideales son sustancias hipotéticas; constituyen herramientas clave para el estudio de distintos procesos y ciclos termodinámicos. Este modelo también se puede utilizar en la elaboración de balances de materia y energía involucrados en las operaciones físicas y en los procesos químicos que tienen lugar en las industrias químicas.

75

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura Sin embargo, su manejo en la mecánica se hace por medio de la siguiente ecuación: (2.1)

Pv 5 nR uT

Mejor conocida como ecuación de estado; también se puede expresar mediante una variante conocida como la ley combinada de los gases ideales: 1 P 1v 1/T 1 5 P 2v 2/T 2 P 1v 1/T 1 5 cte.

Problema resuelto Deducir la ecuación por diferenciación y después por integración de la ecuación de estado escrita en la forma v 5 v (P ,T ), a partir de la definición de un gas ideal. Solución

Si diferenciamos parcialmente la variación del volumen en función de la presión y temperatura, nos conduce a la siguiente expresión:

 δυ     dP +  δυ  dT  δ P T  δ T P

d υ = 

(2.2)

Como un gas ideal se caracteriza por satisfacer con exactitud las leyes de Boyle-Mariotte y de Gay-Lussac, calcularemos las derivadas parciales que intervienen en la ecuación 2.2 con el concurso de estas leyes. Así, la ley de Boyle-Mariotte se define de la siguiente manera: “los volúmenes ocupados por una misma masa gaseosa son inversamente proporcionales a las presiones a las que están sometidos, siempre que la temperatura se mantenga constante”; esto es: (2.3)

Pv 5 k

Donde k es exclusivamente función de la temperatura; de modo que si el proceso es isotermo, tal como se considera en el enunciado de la ley, k es una constante. Diferenciando la expresión (2.3), se obtiene la forma diferencial de la ley de Boyle-Mariotte: Pdv 1 vdP 5 0

(2.4)

Aunque el gas ideal no existe, todos los gases reales a bajas presiones se aproximan muy bien. Desde un punto de vista práctico, en las condiciones ordinarias de presión y temperatura, pueden considerarse como gases ideales los llamados gases permanentes (que no puede licuarse más que a muy bajas temperaturas), tales como el hidrógeno, el helio, el oxígeno, el nitrógeno y el aire, entre otros. Si arreglamos la ecuación (2.4) nos queda:

Alerta

Pdv 1 vdP 5 0

A principios del siglo XIX se demostró que la ley de Boyle-Mariotte solo tiene una validez aproximada para los gases reales, aunque estos la satisfacen tanto mejor cuanto menor es su presión. En consecuencia, se definió un gas ideal o perfecto como un fluido no licuable tal que:

Pdv 5 −vdP

Si separamos por un lado las diferenciales tenemos: (dv/ dP )T 5 −(v /P )

(2.5)

Mientras que de la primera ley de Gay-Lussac: v /T 5 k '

(2.6)

(dv/ dT )P 5 k ' 5 v /T

(2.7)

Cuando P es constante, si derivamos nos queda: Si sustituimos las ecuaciones (2.5) y (2.7) en la ecuación (2.2) nos queda:

• Satisface exactamente las leyes de Gay-Lussac y de Charles.

 δυ     dP +  δυ  dT  δ P T  δ T P

d υ = 

• Obedece exactamente la ley de Boyle-Mariotte a cualquier temperatura.

(2.8)

dv = −v / P dP + v T dT

(continúa) 1

76

La ley combinada de los gases ideales se emplea cuando se estudia el comportamiento de una masa fija que pasa desde unas condiciones termodinámicas iniciales P 1, v1 y T1 hasta condiciones termodinámicas finales P 2, v2 y T2.


©


Si sacamos como factor común v nos queda: dv 5 −(v /P ) dP 1 (v /T ) dT

Esta es una ecuación diferencial de variables separadas que, por integración, conduce a: dv 5 v [(−dP /P ) 1 (dT /T )] dv/v 5 [(−dP /P ) 1 (dT /T )]

(dv/v) 1 (dP /P ) − (dT /T ) 5 0 Integrando nos queda: lnv 1 lnP – lnT 5 ln 0 Por propiedades de los logaritmos nos da: ln (v P /T ) 5 cte exp (ln (v P /T )) 5 exp cte (v P /T ) 5 k

2.14 Ley de Avogadro2 A igualdad de presión, volumen y temperatura, todos los gases contienen el mismo número de moléculas y, como consecuencia de ello, tienen masas proporcionales a sus respectivas masas moleculares . En particular, si tomamos 1 mol de gas (por ejemplo: un número de gramos igual al número que expresa su masa molecular), el número de moléculas es: NA 5 6,0221367 3 1023 moléculas/mol

que se denomina número de Avogadro. La ley de Avogadro permite escribir la ecuación térmica de estado de un gas perfecto de un modo más general. En efecto, si consideramos 1 mol de gas ideal en condiciones normales de presión (1 atm) y de temperatura (0 °C), el valor de la constante R, que designaremos por R y que podemos calcular a partir del conocimiento del volumen molar; i.e., R u 5 P 0v 0/T 0 5 [(1 atm)(22,4136l/mol)]/273,15 K 5 0,082057 atm-l/mol-K

Donde R es una constante independiente de la naturaleza del gas, conocida con el nombre de constante universal de los gases perfectos, con dimensiones de trabajo/(grado 3mol); en el Sistema Internacional de Unidades (SI), teniendo en cuenta que 1 atm 5 1,013 3 105 Pa y 1 L 5 10−3 m3. Teniendo en cuenta [2.14], reescribimos la expresión [2.7] para el caso de un mol de gas perfecto:

Pv/T 5 P 0v 0/T 0 5 R  pv 5 RT

Alerta En definitiva, se cumple que 1 mol de cualquier gas, en las mismas condiciones de presión y de temperatura, ocupa siempre el mismo volumen. En condiciones normales (P 0 5 1 atm y T 0 5 273,15 K), un mol de cualquier gas perfecto ocupa un volumen de 22,4136 L (v olumen molar ).

Donde: v es el volumen molar . Si en lugar de un mol de sustancia consideramos n moles, el volumen correspondiente será V 5 nv , y obtenemos finalmente la ecuación de estado del gas ideal en la forma: Pv 5 nRT

Es decir, los gases a baja densidad se comportan de acuerdo con las leyes de Boyle y Charles (sus afirmaciones se basan en las experimentaciones realizadas). Y como conclusión, se puede decir que a muy bajas densidades, todos los gases y vapores se aproximan a un comportamiento ideal, por lo que se puede aplicar la ecuación de estado de un gas ideal. A densidades superiores, el comportamiento se puede desviar sustancialmente. 2

Amadeo Avogadro, conde de Quaregna e Ceretto (1776-1856). Físico y químico italiano. Aunque también realizó investigaciones en electricidad y sobre las propiedades físicas de los líquidos, es mejor conocido por sus trabajos sobre los gases, que lo llevaron a formular, en 1811, la ley que ahora lleva su nombre (en la actualidad reconocida como cierta, aunque no fue aceptada universalmente hasta 1850).

77

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura En este momento, es conveniente hacerse las siguientes preguntas:   

¿Qué se considera como baja densidad? ¿En qué intervalo de densidades se puede aplicar con exactitud la ecuación de estado? ¿Cuánto se desvía un gas real a una determinada presión y temperatura, del comportamiento de un gas ideal?

Para poder responder estas preguntas, se introduce el factor de compresibilidad, que se define por la relación: P υ z = RT

Que también se puede expresar:

P υ = xRT

Asimismo, se puede expresar como:

z =

υactual υideal

donde el volumen ideal se calcula por la ecuación de un gas ideal. Se puede observar que para un gas ideal Z 5 1 y las desviaciones de Z de la unidad es una medida de las desviaciones entre la relación real y la ideal.

5,00 7,00 10,00

1,10

T r = 15, 0

1,00 1,10

T r = 3,5 0

2,50

v T P R

= 1,00

Z

d a d i l i b i s n e r p m o c e d r o t c a F

0,90 0,80 0,70 0,60

5 , 0 2

0,50

Carta de compresibilidad.

78

1, 6 0 1,5 0

1, 4 0 1, 3 0

1, 2 0

0 v r =

Presión reducida Pr =

1,10

, 5 1 0

0,30

Figura 2.41

1, 8 0

1, 1 5

0,40

0,20 0,0

2,00

, 0 0 3 0 0 2 , 0 4 1 , , 1 6 , 0 0 1 0 , 0 1 2 8 0 0 , , 0 9 , 0 0 0 6 , 0 7 0 , 0 5 = r v 0 4 , 5 4 0 0 , 3 5 0 , 0 , 0 3

P P C

Temperatura reducida T r =

, 0 1 0 T r =

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

Presión reducida Pr

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

T T C

8,5

9,0

9,5 10,0


©

Temperatura reducida = 1,0

3,0 2

15

1,0 0,8

0,70

0,6

0,75

0,80

1,3 0,85

0,3

1,03 1,01

0,2

1,0

1,15 1,1

0,95

15

2,0 1,6 1,4

1,2 0,90

0,4

1,8

1,1 1,4 1,6 2,0 3 4 6 8 10

0,5 0,9

0,6

1,2 0,7

1,1

1,05

1,0 0,8

0.8 0,9

Temperatura reducida = 1,0 0,7

0,10 0,1

0,2 0,25

0,4 0,6 0,8 1,0

2

3

4

0

0,1

0,2

6 7 8 9 10

0,3

0,4

20 25 30

Figura 2.42 El factor de compresibilidad como una función de la presión reducida y de la temperatura reducida.

Fuente: Tomado de Hougen, O. A. y Watson, K. M. Chemical Process Principles, Parte II. Nueva York, John Wiley & Sons, 1947.

A partir de esta carta de compresibilidad se pueden realizar tres observaciones válidas:  





Todas las temperaturas tienden a z  1 a medida que P   Se observa que a temperaturas de 300 K y superiores es cercano a la unidad hasta una presión aproximada de 10 MPa (esto significa que para este intervalo la ecuación de estado de un gas ideal se puede utilizar para el gas nitrógeno; asimismo puede ser el aire, de acuerdo con su carta de compresibilidad, al menos en sentido cualitativo).  Para valores de Z $ 1 la densidad real es mayor que la densidad ideal.  Para valores de Z # 1 la densidad real es menor que la densidad ideal. Esto tiene que ver con las fuerzas intermoleculares, así como con las fuerzas de atracción y repulsión. A menor temperatura, las fuerzas de atracción y repulsión (intermolecular) son más importantes, esto significa que la real $ ideal. Para presiones superiores a 30 MPa, el factor de compresibilidad siempre es superior a la unidad. Cuanto más lejos se encuentre Z de la unidad (Z  1), mayor es la desviación del gas del comportamiento ideal.

Por consiguiente, la presión o la temperatura de un gas es alta o baja en relación con su temperatura crítica T c o su presión crítica P c. Asimismo, el comportamiento de los gases puede ser muy parecido cuando normalizamos la presión y la temperatura con respecto a las temperaturas y presiones críticas. La normalización se puede efectuar de la siguiente manera: P R =

P P C

T R =

T T C

79

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura Aquí, P R es la presión reducida y T R es la temperatura reducida. De manera que el factor de compresibilidad para todos los gases es aproximadamente el mismo a la misma presión y temperatura reducida. A este concepto se le conoce con el nombre de principio de los estados correspondientes . Así, a partir de la carta de compresión generalizada son posibles las siguientes observaciones:

Alerta Los valores de Z determinados experimentalmente se grafican para el caso de P R y T R , para varios gases. Los gases parecen obedecer bastante bien al principio de los estados correspondientes; al ajustar los datos, se obtiene la carta de compresibilidad generalizada, que puede utilizarse para todos los gases.







A presiones muy bajas P R ! 1, los gases se comportan como gases ideales sin considerar la temperatura. A elevadas temperaturas T R . 2 , el comportamiento del gas ideal puede suponerse con buena precisión sin importar la presión excepto cuando P R @ 1. La desviación de un gas del comportamiento de gas ideal es mayor cerca del punto crítico.

Cuando se definen P y v o P y T , la carta de compresibilidad generalizada puede utilizarse para determinar la tercera propiedad, pero implica un método de prueba y error. En consecuencia, resulta conveniente definir una más de las propiedades reducidas, llamada volumen específico seudorreducido, v R , como: v R =

v actual RT cr P cr

Obsérvese que v R se define de manera diferente que P R y T R ; se relaciona con T cr y P cr , en vez de v cr . Para ello, definimos las propiedades reducidas como: P P cr

P R = v R =

v actual RT cr P cr

Problema resuelto Se va a transportar gas natural a través de un gasoducto, desde Coatzacoalcos, Veracruz hasta la refinería de kg Tula, Hidalgo. El gas natural es esencialmente metano puro, bajo las condiciones de m = 31, 75 a una s kg presión de 200, 00 f 2 y una temperatura de 18 °C. El diámetro interior del tubo es de 30,48 cm. Calcular la cm densidad, suponiendo que el metano obedece la ecuación de estado de un gas ideal. Solución

Para la solución, se requiere encontrar: La densidad y velocidad del gas metano cuando tiene un comportamiento de gas ideal.

Suposiciones: El comportamiento del gas metano es ideal; se puede calcular a partir de la ecuación: Pv 5 mRT

Despejando la relación m : υ

Datos:

ρ =

m P = v RT

kgf 10000 cm2 kg × 2×106 f 2 2 2 cm 1m cm , 5 °K T = 18 °C = 2911

P = 200, 00

PM = 16

kg para el metano kgmol

R = 848

80

kgf ⋅ m kgmol − K (continúa)


©


Cálculos: Se requiere calcular el valor de la constante R en kg, por lo que se tiene que multiplicar por el peso molecular del metano: kg ⋅ m kg ⋅ m 848 kg ⋅ m 1 1 R × = f × = f = = 53 f kg kg − K 16 kg − K PM kgmol − kgmol Sustituyendo datos en la ecuación de la densidad: kg 2 ×106 2f kg P m = = 129, 61 3 ρ = kgf ⋅ m RT m ×2911 , 5K 53 kg − K

2.15 Otras ecuaciones de estado Es deseable tener ecuaciones de estado que representen con exactitud el comportamiento P−v−T de sustancias sobre una región más grande, sin limitaciones. Con este fin se han propuesto varias ecuaciones: 

Ecuación de Van der Waals

La ecuación de estado fue sugerida en 1873 por Johannes van der Waals. Dicha ecuación representa un ejemplo excelente de una ecuación que puede obtenerse pensando científicamente sobre un problema matemáticamente complicado, pero simple desde el punto de vista físico. Van der Waals propuso la ecuación sobre las bases de las evidencias experimentales disponibles, junto con argumentos termodinámicos rigurosos. Esto es, tomó en cuenta las fuerzas de atracción entre las moléculas, así como las de repulsión (que provocan que las moléculas se comporten como esferas pequeñas, pero impenetrables), estas últimas a través del volumen ocupado por las moléculas (volumen nulo). El volumen no cero de las moléculas implica que las mismas, en vez de moverse en el volumen V, se encuentran confinadas el gas, donde pueden hacerlo solo en un volumen menor v-nb , donde nb es aproximadamente el volumen ocupado por las moléculas mismas y n es la cantidad de sustancia del gas presente. Este argumento sugiere que en la ecuación de estado del gas ideal: P =

nRT v

el volumen total debe ser reemplazado por el disponible para el movimiento de las moléculas del gas, obteniéndose: P =

nRT v − nb

(2.9)

donde la magnitud b es conocida como covolumen. Por lo que la presión del gas depende tanto de la frecuencia de las colisiones con las paredes del recipiente que lo contiene, como de la fuerza de cada colisión. Estos dos factores se ven reducidos por las fuerzas resultantes de atracción entre las moléculas en una n magnitud que es aproximadamente proporcional a la concentración molar de estas en la muestra   .  v   n2  Si esta reducción de presión se expresa como −a , donde a es una constante característica de cada  V  gas, este término debe restarse al valor de P calculado según la ecuación 2.9, de modo que el efecto combinado de las fuerzas de repulsión y de atracción en la ecuación de estado del gas ideal permitiría obtener la ecuación: 2

P =

n nRT − a  v − nb  v 

Esta es la ecuación de Van der Waals. Otra forma de presentar esta ecuación es en función del volumen molar:

(2.10)

Alerta Debido a esto, según Van der Waals, la presión que ejerce el gas real se ve reducida con respecto a la ejercida por el gas ideal, en una magnitud proporcional al cuadrado de esta concentración.

81

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura v como: n RT a − 2 P = υ − b υ υ=

El término

a υ2

(2.11)

se conoce como presión interna del gas.

A veces resulta más conveniente reordenar las ecuaciones anteriores en una forma que sea semejante a la del gas ideal: Pv 5 nRT , para ello se sustituye el valor del volumen molar. RT

P =

P +

a

−

2 − b  υ  n  n 

υ

a

 υ    n

P −

a υ

2

RT

=

2

υ

n

=

n2

− b

RT υ

n

− b

 an2  RT P + 2  =  υ − nb υ  n

 an2  P + 2 ( υ − nb ) = nRT  υ 

(2.12)

Esto es, la presión P ejercida por el gas de Van der Waals es menor que la ejercida por el gas ideal en una magnitud a/v 2 .

Alerta Se ha visto que esto se debe al efecto de las fuerzas de atracción entre las moléculas (presión interna). El volumen que ocupa el gas de Van der Waals, por el contrario, es mayor que el que ocupa el ideal en una magnitud b que, según se ha visto, corresponde al volumen ocupado por las moléculas del mismo.

Alerta La ventaja de esta ecuación es que es analítica y permite extraer algunas conclusiones generales sobre los gases reales. Cuando la ecuación falla debemos utilizar una de las otras ecuaciones de estado que se han propuesto, inventar una nueva o retornar a la ecuación del virial.

82

Aplicabilidad de la ecuación de Van der Waals Comparación de las isotermas con las experimentales, según Van der Waals Ahora examinaremos el comportamiento de los gases reales a partir de la ecuación deducida anteriormente. Sería demasiado optimista esperar que una ecuación única y sencilla pueda describir de manera exacta todos los gases en función de las relaciones P-v-T . De modo que para un trabajo preciso con gases, es necesario recurrir a la ecuación del virial, usar los valores tabulados de los coeficientes a diferentes temperaturas y analizar el sistema numéricamente. De este modo, pueden obtenerse resultados más precisos. Si partimos de un mol de gas, la ecuación de Van der Waals puede escribirse como:

 an2  P + 2 ( υ − nb ) = nRT υ   Realizando la matemática correspondiente: P υ − Pnb +

an2 υ2

υ−

an2 υ2

nb = nRT

Despejando la relación de Pv: an2 an3 + 2 b + nRT v v 2 an an3 + 2 b + nRT Pv = Pnb − v v Pv = Pnb −

Como n=1 mol: a ab Pv = Pb − + 2 + RT v v

(2.13)


©

Analicemos esta ecuación para diferentes casos:  Presiones bajas . En este caso, los valores de P (presión) son pequeños y los de v (volumen) son elevados. Bajo estas condiciones, el término Pb de la ecuación puede despreciarse. De igual modo, el térab a es pequeño frente a y también puede despreciarse, por lo que la ecuación se reduce a: 2 v v a PV = RT − V a En estas condiciones, Pv , RT y K , 1, la diferencia entre los términos Pv y RT = . Como conclusión, auv menta a medida que v disminuye, o sea, cuando P aumenta. Esto puede explicar las regiones anteriores al mínimo de las curvas Pv vs. P para el CO y el CH4 en la figura 2.43.

mino

Pv /L. atm. mol−1

CO

40

CH4

35

H2 He

30 25 20

Gas ideal CO CH4

15 0

P atm

200

400

600

800

Figura 2.43 Representación del factor de compresibilidad para diferentes gases a 0 ºC.

Las curvas del N2 que se muestran en la figura 2.44 corresponden a temperaturas menores, o sea, esta región puede asociarse con la corrección a2 , esto es, con la atracción entre las moléculas del gas; asimismo, se v

ve que predomina a valores relativamente bajos de P , lo que está de acuerdo con las conclusiones extraídas de la discusión de la siguiente gráfica. K Nitrógeno

2,40

C ° 0 7 −

2,20 2,00

C ° 0 0 1 −

1,80

C ° 5 2 −

C ° 1 5

C 0 ° 2 0

1,60

° C 6 0 0

1,40 1,20 1,00 0,80 0,60

0

200

400

600

800

1000

P/atm

Figura 2.44

83

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura Cuando las moléculas están relativamente alejadas —a bajas presiones—, las fuerzas de atracción predominan sobre las de repulsión. 

Presiones elevadas . Para este caso, le corresponden valores grandes de P (presión) y pequeños de v (volumen), y los dos últimos términos de la ecuación 2.14, que tienen signo opuesto y magnitud

semejante, pueden despreciarse, con lo que la ecuación 2.9 se reduce a: a ab PV = Pb + RT − + 2 v v PV = RT + Pb



(2.14)

Ahora, Pv . RT, y la diferencia es igual a Pb ; esto es, aumenta linealmente con P . Esta ecuación explicaría la parte de las curvas Pv vs. P de la figura 2.43, y K vs. P de la figura 2.44, que sigue al mínimo, donde Pv ; por tanto, el factor de compresibilidad ( K ), aumenta con el valor de P . Este efecto depende de b , o sea, del volumen real de las moléculas, determinado, según se ha discutido, por las fuerzas de repulsión entre ellas. Presiones muy bajas. En este caso, el valor de P es tan pequeño y el de v tan grande que ambas correcciones de Van der Waals son despreciables:

Alerta Para la mayoría de los gases a temperaturas ordinarias, el efecto del término a/ v2 es predominante a bajas presiones y el término b a altas presiones, como ocurre para el N2 a temperaturas menores que –25 oC. En el caso del H2 y otros gases nobles, las fuerzas de atracción —en estos casos solo son fuerzas de dispersión — son muy pequeñas, por lo que el parámetro a es tan pequeño que, aún a bajos valores de presión (P ), lo determinante son las fuerzas de repulsión, esto es, el volumen de las moléculas, por ello es que no se observa el mínimo en las curvas de P v v s P para el H2 y el He en la figura 2.43.

Bajo estas condiciones, se hacen despreciables los tres últimos términos de la ecuación 2.9 y esta se reduce a la ecuación de estado del gas ideal: PV 5 RT . Ahora, comparemos las isotermas que predice la ecuación de Van der Waals con las obtenidas experimentalmente para los gases reales. Si reordenamos la ecuación anterior, se produce una ecuación cúbica respecto a v que se expresa a continuación:

 

V 3 −b +

RT  2 a V + V − ab = 0 P  p p

(2.15)

De modo que para cada conjunto de valores de a, b, P y T , esta ecuación tiene tres raíces, o sea, existen tres valores de v que la satisfacen. Estos pueden ser:   

Tres valores reales y diferentes. Tres valores reales e iguales. Uno o dos valores imaginarios y dos o uno real.

La naturaleza de las tres raíces de esta ecuación, dependen del gas a través de a y b , de la temperatura y la presión.

Problema resuelto Dos moles de argón se encuentran contenidas en un recipiente cilindro-pistón, el cual va a variar el volumen desde 0,06 L hasta 0,2 L, cuando la temperatura varía de 50, 75, 100, 150 y 200 K. Elaborar las gráficas correspondientes P vs. v . Si se sabe que las constantes para el argón de la ecuación de Van der Waals son: a = 1, 363

atm L2 L y b = 0, 03219 2 gmol gmol

Solución

Para la solución, se requiere encontrar: a) La representación gráfica de las isotermas del argón a bajas temperaturas a partir de la ecuación de un gas ideal. b) La representación gráfica de las isotermas del argón a partir de las ecuaciones de Van der Waals.

Suposiciones: Si el comportamiento del gas argón es ideal, se puede calcular a partir de la ecuación: Pv 5 RT

Despejando la presión: P =

84

RT v

(continúa)


©


Manteniendo constante la temperatura y variando el volumen de 0,06 a 0,2 L. v =

L

v =

P 5 atm

gmol

L

P 5 atm

gmol

T 5 50 K

v =

L

P 5 atm

gmol

T 5 75 K

T 5 100 K

0,03

136,67

0,03

205,00

0,03

273,33

0,04

102,5

0,04

153,75

0,04

205,00

0,05

82,0

0,05

123,00

0,05

164,00

0,06

68,33

0,06

102,50

0,06

136,67

0,07

58,57

0,07

87,86

0,07

117,14

0,08

51,25

0,08

76,88

0,08

102,50

0,09

45,55

0,09

68,33

0,09

91,11

0,10

41,00

0,10

61,5

0,10

82,00

v =

L

v =

P 5 atm

gmol

L

P 5 atm

gmol

T = 150 K

v =

L

P 5 atm

gmol

T = 175 K

T = 200 K

0,03

410,00

0,03

478,33

0,03

546,67

0,04

307,50

0,04

358,75

0,04

410,00

0,05

246,00

0,05

287,00

0,05

328,00

0,06

205,00

0,06

239,17

0,06

273,33

0,07

175,71

0,07

205,00

0,07

234,29

0,08

153,75

0,08

179,38

0,08

205,00

0,09

136,67

0,09

159,44

0,09

182,22

0,10

123,00

0,10

143,50

0,10

164,00

La siguiente figura es una representación gráfica de las isotermas para el argón a distintas temperaturas, para un comportamiento ideal:

600,00 Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 50 K

500,00

FALTA ALTA FIGURA FI URA 400,00

Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 75 K Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 100 K

300,00

Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 150 K

200,00

Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 175 K

100,00 0,00 0,00

Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 200 K 0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

Figura 2.45

(continúa)

85

UNIDAD

2


Si el comportamiento es de un gas real, aplicando la ecuación de Van der Waals:

Datos: Representación grá�ca de la isoterma del argón a: L

T = 50 K

T = 75 K

T = 100 K

T = 150 K

T = 175 K

T = 200 K

gmol

P 5 atm

P 5 atm

P 5 atm

P 5 atm

P 5 atm

P 5 atm

0,03

−3 386,59

−4 322,66

−5 258,737

−7 130,883

−8 066,956

−9 003,029

0,04

−326,91

−64,423

198,061

723,029

9 85,513

1 247,997

0,05

−315,636

−199,888

−84,785

145,423

260,527

375,631

0,06

−231,183

−157,468

−83,753

63,676

137,39

211,105

0,07

−169,726

−115,508

−61,289

47,147

101,366

155,584

0,08

−127,213

−84,335

−41,457

44,299

87,178

130,056

0,09

−97,35

−61,888

−26,428

44,494

79,955

115,416

0,1

−75,84

−45,605

−15,374

45,089

75,321

105,552

v =

4000 2000 0

Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 50 K 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

–2000 –4000 –6000 –8000

Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 75 K Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 100 K Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 150 K Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 175 K Representación grá�ca de la isoterma del argón a: T 5 200 K

–10000

Figura 2.46

Comentarios: La ecuación de Van der Waals es cúbica con respecto al volumen.

Problema resuelto Determinar el volumen específico del refrigerante 134a, a 1 MPa y 50 ºC, utilizando: a) La ecuación de estado de un gas ideal. b) Las tablas de nitrógeno. c) La carta de compresión generalizada. Solución

Se conocen: a) Las condiciones en las que se encuentra el refrigerante 134a. b) Las ecuaciones básicas para los dos métodos. c) La gráfica de compresibilidad. d) Las tablas de saturación del refrigerante.

86

(continúa)


©


Para la solución, se requiere encontrar: a) El volumen específico del refrigerante por tres métodos: b) Ecuación de gas ideal c) Tablas d) Carta de compresibilidad generalizada

Suposiciones: Las condiciones deben ser las mismas para los tres procedimientos y el comportamiento del refrigerante es ideal, como no ideal, Datos: P 5 1 MPa T 5 50 ºC

Las constantes críticas son:

P C = 4, 067 MPa T C = 374, 3 K R = 0, 0815

kPa − m3 kg − K

Bajo la suposición de gas ideal: Pv 5 mRT despejando el volumen en función de la masa del sistema:

 kPa − m3  0, 0815 ×(323 K ) kg − K  m3 V RT  v = = = = 0, 026 m

1000 kPa

P

kg

A partir de las tablas: P 5 MPa

T 5 °C

1,0

39,39

υ

=

m3 kg

0,02171

u=

kJ kg

h=

247,77

kJ kg

267,97

Estado Vapor sobrecalentado

El volumen específico se define de la siguiente forma: v =

m3 V si consideramos al vapor como gas ideal = 0, 0202 kg m

Para calcular el volumen a partir de la carta de compresibilidad: P R =

1 MPa P = = 0, 2459 P C 4,067 MPa

T R =

323 T = = 0, 863 T C 374, 3

Con estos datos se utiliza la carta generalizada de compresibilidad: Z = 0, 84 =

v actual ; despejando el volumen actu ual v ideal

0, 84 × 0, 026 = 0, 02184 v actual = 0, 84 v ideal =

m3 kg

Comparando los resultados entre los tres métodos:

Estado

m3 υ= kg

Ideal Tabla Factor de compresibilidad

0,02632 0,02171 0,02184

% error 21,23 20,51

Comentario: El factor de compresibilidad tiene menor porcentaje de error, entonces es el que puede ser mejor utilizado,

87

UNIDAD

2


Problema resuelto Una muestra de hidrógeno se encuentra a 25.34 atm y 34.585 K. ¿En qué condiciones de temperatura y presión debe estar una muestra de cloro para estar en estados correspondientes con el hidrógeno? ¿Cuál es el factor de compresibilidad de cada uno de estos gases? ¿Cuál es el volumen molar de cada uno de estos gases? ¿Cuál es el volumen reducido de cada uno de estos gases? Solución

Para la solución, se requiere encontrar: a) Los estados correspondientes b) El factor de compresibilidad c) Los volúmenes molares d) El volumen reducido

Suposiciones: Estados correspondientes: Para que el comportamiento de los gases hidrógeno y cloro se encuentren en estados correspondientes, deben estar en las mismas condiciones: P r =

P P C

T r =

T T C

Sustituyendo datos: 25, 34 =2 12, 67 34, 585 = 1, 05 T r = 32, 938 P r =

Para que el sistema se encuentre en los mismos estados correspondientes, el cloro debe tener la misma presión y temperatura reducida que el hidrógeno, por lo que la presión y la temperatura para el cloro son: P 5 P r P c 5 2378,87 5 157,74 atm T 5 T r T c 5 1,053416,9 K

Factor de compresibilidad: El factor de compresibilidad (Z ) puede obtenerse de la gráfica del factor de compresibilidad generalizado, como se muestra en la figura siguiente, en donde Z 5 0,35 y por tanto: Volúmenes molares: El volumen molar de cada uno de los gases es:

v específico = v específico =

L zRT 0, 35 ×0, 082× 34, 585 = = 0, 039 25, 34 mo ol P

L zRT 0, 35× 0, 082× 437, 747 = = 0,00796 157, 74 mol P

Volumen reducido: Los volúmenes reducidos pueden obtenerse como: v r = v r =

88

v 0, 039 = = 0, 6 v c 0, 065

v 0, 0796 = ≅ 0, 64 v c 0,1237

(continúa)


©


Los resultados se resumen en la siguiente tabla: P 5 atm

T5K

Hidrógeno

25,34

34,585

Cloro

157,74

437,745

L mol

P r

T r

v r

Z

0,039

2,0

1,05

0,6

0,35

0,0796

2,0

1,05

0,64

0,35

V =

>

De esta forma, concluimos diciendo que el hidrógeno (a 25,34 atm y 34,585 K) y el cloro (a 157,74 atm y 437,745 K) se encuentran en estados correspondientes, es decir, tienen la misma tercera variable reducida (v r ) y, por tanto, el mismo factor de compresibilidad. 

Ecuación de estado Beattie Bridgman

La ecuación de Beattie Bridgman fue propuesta en 1928. Esta se basa en cinco constantes que fueron determinadas experimentalmente. La ecuación propuesta es la siguiente: P =

RT  c   (v + B) − A2 1 − 2  3  v  vT  v

 a A = A0 1−   v 

Donde:

 b  B = B0 1−   v 

Las constantes A0, a, B0, b y c se dan en la tabla siguiente:

Tabla 2.8 Constantes que aparecen en las ecuaciones de estado BeattieBridgman P = kPa , v =

m kPa−m 3 , T = K y Ru = 8 , 314 kgmol kgmol−K 3

Gas

A0

a

B0

b

c

Aire

131,8441

0,01931

0,04611

−0,001101

4,343104

Argón

130,7802

0,02328

0,03931

0,0

5,99 5 104

Dióxido de carbono

507,2936

0,07132

0,10476

0,07235

6,60 3 105

Helio

2,1886

0,05984

0,01400

0,0

40

Hidrógeno

20,0117

−0,00506

0,02096

−0,04359

504

Nitrógeno

136,2315

0,02617

0,05046

−0,00691

4,20 x 104

Oxígeno 151,0857 0,02562 0,04624 0,004208 4,80 x 104 Fuente: Van Wylen, G. y Sonntag, R. Fundamentals of Classical Thermodynamics , 3a ed. Wiley & Sons, Nueva York, 1986, p. 46, tabla 3.3.

Se sabe que la ecuación Beattie Bridgman tiene exactitud razonable para densidades mayores a aproximadamente 0,8cr donde cr es la densidad en el punto crítico. 

Ecuación de estado Benedict-Webb–Rubin

En 1940, Benedict, Webb y Rubin extendieron la ecuación Beattie Bridgman al número de ocho constantes. De esta forma, su ecuación se expresa como: −γ RuT  C 0  1 bRuT − a aα γ  v 2 C   + B R T − A0 − 2  2 + + 6 + 3 2 1− 2 e P = v  0 u T  v v 3 v v T  v 

Los valores de las constantes que aparecen en esta ecuación se proporcionan en la tabla 2.9.

89

UNIDAD

2

Propiedades de una sustancia pura Tabla 2.9 Constantes que aparecen en la ecuación de estado Benedict-Webb-Rubin m3 kPa−m 3 P = kPa , v = , T = K y Ru = 8 , 314 kgmol kgmol−K Gas a A0 b B0 C C0 a 7 8 n-Butano 190,68 1021,6 0,039998 0,12436 3,205 3 10 1,006 3 10 1,101 3 10−3 Dióxido de carbono 13,86 277,30 0,007210 0,04991 1,511 3 106 1,404 3 107 8,4703 10−5 Monóxido de carbono 3,71 135,87 0,002632 0,05454 1,0543 105 8,673 3 105 1,350 3 10−4 Metano 5,00 187,91 0,003380 0,04260 2,578 3 105 2,286 3 106 1,244 3 10−4 Nitrógeno 2,354 106,73 0,002328 0,04074 7,3793 104 8,164 3 105 1,272 3 107−4 Fuente: Wark, K., Thermodynamics , 4a ed., Nueva York, McGraw-Hill, 1983, p. 815, tabla A-12M.

0,0340 0,00539 0,0060 0,0060 0,0053

Esta ecuación maneja sustancias a densidades mayores de 2,5 cr aproximadamente. 

Ecuación Redlich-Kwong

El desarrollo moderno de las ecuaciones cúbicas de estado comenzó en 1949 con la publicación de la ecuación de Redlich-Kwong: P =

RT a − V − b V (V + b )T 1/ 2

Esta ecuación, al igual que otras ecuaciones cúbicas de estado, tiene tres raíces para el volumen, de las cuales es posible que dos sean complejas. Los valores de v que tienen un significado físico son siempre reales, positivos y mayores que la constante b . P

Segunda raíz

Primera raíz

Tercera raíz

C

T 1 .T c T c

P sat

Figura 2.47 Isotermas proporcionadas por una ecuación cúbica de estado.

T 2 , T c V sat (líq)

V sat(vap)

En la figura 2.48 se observa que cuando T .T c, la solución de V para cualquier valor positivo de P proporciona solo una raíz positiva real. Cuando T 5T c, esto también es cierto, excepto a la presión crítica, donde existen tres raíces, todas iguales a V c. Para T , T c, se tiene únicamente una raíz real positiva cuando la presión es alta, pero para un intervalo de presiones menores existen tres raíces reales positivas. En este caso, la raíz intermedia no tiene significado; la raíz más pequeña es un líquido o un volumen similar al de un líquido y la raíz más grande es un vapor o un volumen parecido a un vapor. Los volúmenes de líquido y vapor saturados están dados por las raíces más pequeña y más grande cuando P es la presión de saturación o de vapor. Las constantes para esta ecuación de estado se obtienen de igual modo que para la ecuación de Van der Waals y sus valores son: 0, 42748R 2T c /2 a= 5

P C

b =

0, 08664RT C P C

Al tratarse de una ecuación cúbica de estado, como la de Van der Waals, no proporciona los mejores valores posibles, pero ellos son razonables y casi siempre pueden determinarse.

90


©



Ecuaciones de Soave y Peng-Robinson

Otras ecuaciones cúbicas bien conocidas son las de Soave y Peng-Robinson. Como la mayoría de las ecuaciones cúbicas de dos parámetros, estas pueden expresarse mediante la ecuación: P =

RT a − 2 V − b V + ubV + wb2

Para las ecuaciones de Soave y Peng-Robinson, u y w toman los valores de integración siguientes:  Soave: u 5 1

w 5 0 

Peng-Robinson: u 5 1 w 5 −1

Existen numerosas aproximaciones que se han usado para establecer los valores de los parámetros a y b que aparecen en la ecuación de Soave y Peng-Robinson. Una de ellas es elegir a y b para que las dos condiciones críticas se satisfagan:

 ∂P   TC C = 0  ∂V   ∂ 2P   2 TC = 0  ∂V  Estas ecuaciones son solo aplicables a sustancias puras. Tanto la ecuación de Soave como la de PengRobinson utilizan estas ecuaciones para hallar a y b en el punto crítico. Luego, hacen el parámetro a función del factor acéntrico , del que se trata a continuación y de la temperatura para reproducir las presiones de vapor de los hidrocarbonos. Las expresiones de a y b que resultan de este procedimiento se muestran a continuación: 

Soave: a=

0, 42748R 2T C 2

b =

0, 08664RT C

2

(1+ f ω (1−T )) 1/ 2

γ

P C P C

ω = 0, 48 + 1, 574ϖ − 0,176ω 2 f ω 

Peng Robinson: a= b =

0, 42748R 2T C 2 P C

2

(1+ f ω (1−T )) 1/ 2

γ

0, 08664RT C P C

f ω ω = 0, 37464 + 1, 54226ϖ − 0, 26992ω 2 

Ecuación de estado de virial

Se han propuesto algunas otras ecuaciones para correlacionar el comportamiento observado de los gases reales. Para ilustrar la naturaleza y complejidad de estas ecuaciones, se define una de las más conocidas, la ecuación de virial .3 Con la aplicación de dicha ecuación pueden obtenerse resultados bastante exactos para las propiedades de los gases reales, para lo cual es necesario sustituir en ella los valores específicos de los diferentes coeficientes del virial para el gas en cuestión a la temperatura deseada. 3

Este nombre proviene de la voz latina que significa fuerza.

91

UNIDAD

2

Alerta Los coeficientes de la ecuación virial se obtienen de manera empírica, por lo que la ecuación no tiene una base teórica que la sustente. En ocasiones resulta más conveniente disponer de una ecuación que, aunque de resultados menos exactos que la de virial, descanse sobre un soporte teórico que permita interpretar los resultados obtenidos.

Propiedades de una sustancia pura De hecho, para gases y vapores que se encuentran por arriba y a la derecha del punto crítico, como se muestra en el diagrama P vs . v , son isotermas (curvas) realmente simples, para que los valores de los volúmenes disminuyan a medida que la presión se incrementa. El producto Pv para un determinado valor de la temperatura, es mucho más constante que cualquiera de sus integrantes, y por tanto más fácil de representar como función de la presión.

Punto crítico Presión

B

C

A

Volumen

Figura 2.48

Esto sugiere expresar Pv para una isoterma por medio de un desarrollo en una serie de potencias de P : PV 5 a 1 bP 1 cP 2 1...

Si b

q

aB', c

q

aC', etc, entonces nos queda como: PV 5 a( 1 1 B'P+C ´ p 2 1 D 'p 3 1 …)

Los parámetros B´´ , C ´´ , … son función de la temperatura y dependen de las especies químicas, y son el segundo, tercero,... coeficientes del virial. De forma experimental, se ha demostrado que el factor a es la misma función de la temperatura para todas las especies químicas. Estas dos expresiones son versiones de la ecuación de estado del virial, y que fue introducida por Kamerlingh-Onnes. En la tabla 2.10 se dan los valores del segundo coeficiente del virial para algunos gases a dos temperaturas diferentes. El tercer coeficiente del virial, C , es usualmente menos importante que el segundo, B, en el sentido de que para los valores típicos de los volúmenes molares, se cumple que: C '' B''  v v 2

De modo que para aplicaciones no muy precisas, el término correspondiente C se puede despreciar. Tabla 2.10 Segundo coe�ciente del virial B´´

cm3 gmol

Gas

273 K

600 K

Ar CO2 N2 Xe

−21,7 −149,7 −10,5 −153,7

11,9 −12,4 21,7 −19,6

La ecuación del virial puede utilizarse para demostrar que, aunque la ecuación de estado de un gas real puede coincidir con la del gas ideal cuando P ®0, no necesariamente coinciden todas sus propiedades con las del gas ideal. dk Considérese, por ejemplo, el valor de la razón de cambio , donde la pendiente de las curvas es el dp

factor de compresibilidad K , como se muestra en la figura 2.49.

92


©

Pv /(L. atm. mol−1)

CO

40

CH4

35

H2 He

30 25

Gas ideal CO

20 15

CH4

0

Figura 2.49

P atm

200

400

600

Desviaciones del comportamiento de los gases reales de la idealidad.

800

Para presiones por debajo de 1 atm, las desviaciones son pequeñas. Asimismo, podemos observar de la gráfica que, mientras para el H 2 y el He el valor de PV y, por tanto el de K , aumenta continuamente con el de la presión P , para el CO y más marcadamente para el CH 4 esta magnitud primero disminuye, alcanzando un mínimo, y después se incrementa de manera continua. En las siguiente figura 2.51, se observa que el N2 se comporta de manera análoga al H 2 y al He a temperaturas elevadas, pero al disminuir la temperatura varía la forma de las curvas, obteniéndose, a temperaturas suficientemente bajas, curvas análogas a las del CO y el CH4. Por otra parte, al aumentar la temperatura se obtiene para el CO y para el CH4, sus curvas son análogas a las del He y el H 2. Pv /(L. atm. mol−1)

K 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40

Nitrógeno C ° 0 0 1 −

C C ° ° 5 0 2 7 − −

C ° 1 5

C 0 ° 2 0

40

CO CH4

35

H2 He

30

° C 6 0 0

25

1,20 1,00

Gas ideal CO

20

CH4

0,80 0,60 0 200 400 600 800 1000

Para el gas ideal

P/atm

15

0

200

P atm

400

600

800

Figura 2.50 Factores de compresibilidad v s. presión.

dK = 0 , por ser K 5 0 para cualquier estado del mismo. dP

Para un gas real, puede hallarse el valor de esta derivada a partir de la ecuación: dK d PV  d =   = (1+ B''P + C '' p 2 + ) = B''+ 2PC ''+  dP dP  RT  dP

Aplicando el límite cuando P  0 : lim p →0

dK = B'' dP

93

UNIDAD

2.1

2

Completar la siguiente tabla para la sustancia pura agua.

T 5 °C

P 5 kPa

150 – 1200 – – 50

300 500 500 2,00 450 –

2.2

2.8

tancias indicadas tienen un comportamiento de gas ideal?

m3 υ= kg

kJ u= kg

kJ h= kg

Calidad x

– – –

– 2016 – – – –

– – – – 1200 –

– – – 0,25 – –

– 8,5

¿Es razonable admitir que los siguientes estados dados para las sus-

Sustancia

T 5 °C

Nitrógeno Bióxido de carbono Agua

32,2 32,2 32,2

2.9

P 5 kPa

0 – 100 – – 50

– 200 300 200 450 –

υ

=

3

m kg

u=

0,045 – –

kJ kg

h=

– – – – – –

– 8,5

kJ kg

– 150 – 290 1 200 –

Calidad x – – – – – –

Completa la siguiente tabla para el amoniaco.

T 5 °C

P 5 kPa

0 – −30 – 65 –

– 200 – 2010 450 71,72

m3 υ= kg

kJ u= kg

kJ h= kg

Calidad x

0,28940 – –

– – – – – –

– 150 – – – 0,00

– – 0,00 0,90 – –

– –

P = 21

kgf cm2

Cierto o falso

35,2 35,2 0,07

Calcúlense los siguientes volúmenes específicos.

Completar la siguiente tabla para el refrigerante 134a.

T 5 °C

2.3


Sustancia

T 5 °C

x

Amoniaco Freón-12 Agua Nitrógeno

27 49 −184 30

80 50 40 90

Un recipiente rígido cuyo volumen es de 28 litros contiene agua como mezcla líquido-vapor (a las condiciones de saturación), a una prekgf sión de 7 2 . Calcular: cm a) El volumen y la masa del líquido b) El volumen y la masa del vapor 2.10

Se tiene un recipiente a presión en el que se encuentra, como vapor saturado, freón 134a (10 bar y 39.39 ºC); se transmite calor hasta que la temperatura alcanza 90 ºC. ¿Cuál es la presión final del sistema y el estado en que se encuentra el refrigerante? 2.11

En un cilindro vertical se tiene agua saturada a la presión de 1 kPa y una masa de 20 kg. Determinar el volumen del recipiente si el volumen del líquido va a pasar a vapor a las condiciones de estado crítico, como se muestra en la figura siguiente. 2.12

A partir de los datos que se encuentran en la siguiente tabla, dibuja en el diagrama P-v , para el refrigerante 12 (diclorodifluorometano). 2.4

T 5 °C

P 5 kPa

−20 – −30 −15 90 –

– 450 – – – 300

kJ kg

m3 kg

u=

– – – – 0,059846 –

– – – – – –

υ

=

h=

kJ kg

178,736 230 – – – 233,33

Calidad x

Vacío

– – 0,50 0,90 – – Agua

Considérese agua líquida comprimida a 38 ºC. ¿Qué presión se requiere para reducir en 1% el volumen específico a partir del volumen específico? Hacer la representación gráfica del problema. 2.5

En un recipiente rígido que contiene dos kilogramos de una mezcla líquido-vapor en equilibrio de refrigerante 22, cuyo volumen es 0,042 m 3, a una temperatura de 20 ºC. Determinar: a) El volumen y la masa del líquido b) El volumen y la masa del vapor 2.6

Un recipiente rígido contiene vapor de agua en el estado crítico. Se transfiere calor del vapor a los alrededores hasta que la presión final es kg de P = 21 f 2 . Calcúlese la calidad final. cm 2.7

94


Volumen de control

Volumen de control

Figura 2.51

Un dispositivo cilindro-pistón contiene refrigerante 134a, a una pre m3 sión de 0,5 MPa, con un volumen específico de 0,025 . Se expande kg a temperatura constante hasta que la presión es de 0,28 MPa (estado intermedio). Finalmente, el fluido se enfría a presión constante hasta que se convierte en vapor saturado (estado final). Determinar las propiedades termodinámicas para los tres estados y hacer una representación gráfica del proceso. 2.13


Grupo Editorial Patria Se tiene un dispositivo cilindro-pistón que contiene en su interior 4 lbm 1,814 kg de agua a una temperatura de 260 ºC, con un volumen de 1,4 ft3. Se le agrega calor al proceso hasta llegar a las condiciones finales de 8,4 ft3 y 260 ºC. Calcular las condiciones iniciales y finales del proceso. 2.14

La presión atmosférica promedio de una ciudad X en la República Mexicana es 83,4 kPa. Determinar la temperatu ra a la que el agua hervirá en una olla de barro descubierta en dicha ciudad. 2.15

Un recipiente rígido contiene una mezcla líquido-vapor a una temperatura de 80 ºC. El sistema se calienta hasta alcanzar el punto crítico. Determinar: a) La calidad al inicio de la mezcla b) El volumen de la fase líquida y la del gas c) Hacer la representación gráfica del proceso 2.16

Un recipiente rígido contiene vapor de agua a 150 kPa (estado 1). Cuando el vapor se enfría hasta 80 ºC (estado 2), se tiene una mezcla líquido-vapor a la presión de saturación. Luego, se realiza un proceso a presión constante hasta alcanzar el estado de líquido saturado (estado 3). Se prosigue el enfriamiento a temperatura constante hasta llegar a la presión inicial (estado 4). Finalmente, se cierra el ciclo cuando llega al estado inicial. Determinar las propiedades para cada uno de los estados y hacer las suposiciones adecuadas.

kJ kJ m3 h= s = Estado P 5 MPa T 5°C υ = kg kg kg 1 2

5,0 15

80 100

kJ kJ h= kg kg

m3 kg

u=

–

1,0036

–

–

80

1,0036

3

–

80

4

150

80

P 5 kPa

T 5 °C

1

150

2

x%

Estado físico

–

–

–

–

–

–

–

0,001032

–

–

–

–

–

–

–

–

–

υ

=

Un dispositivo cilindro-émbolo contiene en su interior 2 kg de agua a 320 ºC (estado 1). La sustancia realiza un proceso a temperatura constante, durante el cual cambia el volumen de 0,02 a 0,17 m3 (estado 2). Se transfiere calor hasta que la sustancia alcanza las condiciones de vapor saturado a la misma presión (estado 3), luego se sigue enfriando hasta que el sistema alcanza un volumen de 0,002998 m3 a la presión de 2,5 MPa (estado 4). Por último, se incrementa la presión a 11,274 MPa a volumen constante hasta alcanzar la temperatura de 320 ºC (estado 5). Al final, se cierra el ciclo cuando se llega a las condiciones iniciales. Calcular las propiedades termodinámicas para cada uno de los estados y realizar la representación gráfica del proceso. 2.18

Estado P 5 MPa T 5°C 1 2 3

– – 2,5

4 5

2,5 11,274

320 320 –

320

kJ kJ h= kg kg

m3 υ= kg

u=

0,01 0,085 0,07998

– – –

– – –

– – –

0,002998

– –

– –

– –

x%

Estado físico – – Vapor saturado – –

Una masa de agua a 5,0 MPa y 80 ºC cambia de estado a 15 MPa y 100 ºC. Determinar la variación tanto de volumen específico como de energía interna y la entalpía. 2.19


– –

∆v ∆h

∆ s

Estado físico

– –

– –

– –

– –

– –

Se tiene amoniaco a las condiciones de 42 ºC y 0,001735 m3kg, cambia de estado a 2 000 kPa y 140 ºC. Hallar los incrementos tanto del volumen específico como de la energía interna y la entalpía, y realizar el gráfico Pv correspondiente. 2.20

Estado P 5 kPa T 5°C 1 2

– 2000

42 140

1642,98

42

2

2000

140

=

kJ kJ m3 u= h= ∆v ∆h ∆ s kg kg kg – –

– –

– –

– –

Estado físico

– –

– –

kJ kJ m3 h = s = kg kg kg

∆v

∆h

∆ s

Estado físico

0,001735 381,35 1,3885

–

–

–

–

–

–

Líquido saturado Vapor sobrecalentado

Estado P 5 kPa T 5°C = υ

1

υ

,001735 –

2.17

Estado

– –

©

0,1057

1842,0 5,742

Incremento

0,103965 1460,65 4,3535

Una masa de refrigerante 12 a 60 ºC y 0.9 MPa cambia de estado a 50 ºC y vapor saturado. Hallar los incrementos del volumen específico, la entalpía y la entropía. Realizar el gráfico Pv correspondiente. 2.21

Estado P 5 MPa T 5°C 1 2 Incremento

0,9 –

60 50

υ

=

kJ kJ m3 h= s = ∆v ∆h ∆ s kg kg kg

– –

– –

– –

– –

– –

– –

–

–

–

Estado físico Vapor saturado

Un tanque rígido contiene 10 kg de agua a 90 ºC. Si 8 kg del agua están en forma líquida y el resto como vapor, determinar: a) La presión en el tanque b) El volumen del tanque 2.22

Un dispositivo cilindro-pistón contiene refrigerante 134a, inicialmente a 0,10 MPa y 40 ºC, se comprime isotérmicamente hasta 1 MPa. Hacer un gráfico del proceso. 2.23

Realizar lo que se pide, de acuerdo con los datos de cada inciso. a) Un dispositivo cilindro-pistón contiene nitrógeno, inicialmente a 0,10 MPa y 150 K; se comprime isotérmicamente hasta 10 MPa. Hacer una gráfica del proceso b) En el mismo dispositivo, la presión permanece constante a 0,1 MPa. Hacer la gráfica correspondiente cuando varía la temperatura de 150 a 300 K respecto a los valores tabulados en la tabla de nitrógeno sobrecalentado. 2.24

El pistón sin fricción del cilindro que se muestra en la figura tiene una masa de 20 kg. Se añade calor hasta que la temperatura alcanza 400 °C. La calidad inicial del vapor es de 20 % y la presión atmosférica es de 100 kPa. 2.25


95

UNIDAD

2


Determinar: a) La presión inicial b) La masa de agua c) La calidad justo en el momento en que el pistón alcanza los topes d) La presión final

Obtener la presión, en MPa, del refrigerante 134a, cuando tiene las siguientes condiciones: una temperatura de 66,98 ºC y un volumen m3 de 0,03089 , utilizando las siguientes consideraciones: kg a) Por medio de la ecuación de un gas ideal b) Por medio de la ecuación de Van der Waals c) Por el principio de los estados correspondientes d) La tabla de vapor 2.31

De manera experimental se obtuvo el volumen específico del nim3 trógeno de 0,002388 bajo las condiciones de 10 MPa y 150 K; con kg base en estos datos calcular el volumen específico por medio de: a) La ecuación de gas ideal b) La carta de compresibilidad generalizada c) Determina el porcentaje de error cometido 2.32

W

Q

Figura 2.52

¿Cuál es la masa del aire que se encuentra contenido en la habitación de una casa, cuyas dimensiones son 6 m 3 4 m 3 10 m, si la presión inicial es de 100 kPa y 10 ºC? Posteriormente, se incrementa la temperatura a 25 ºC. Calcular la presión final de la habitación, si en estas condiciones el aire se comporta como un gas ideal. 2.26

Uno de los problemas que se le presenta a un automovilista es saber si los neumáticos (llantas) de su automóvil tienen la presión adecuada, ya que depende de la temperatura del aire. Cuando la temperatura del aire interior es de −10 ºC, el medidor de presión marca 190 kPa (el volumen de la llanta va a permanecer constante). Entonces, cuando la temperatura del aire aumenta a 10 ºC determinar: a) El aumento de la presión en la llanta. b) Si las condiciones iniciales que se registran en la llanta son 210 kPa a una temperatura de 15 ºC y un volumen de 0,025 m 3. Determinar la presión cuando se incrementa la temperatura hasta 45 ºC. 2.27

Las llantas de un “vochito” (auto Volkswagen sedán) se inflan en la ciudad de Veracruz a 24 psia en un día de invierno, cuando hay norte y la temperatura es de 12 ºC. El día siguiente está soleado y la temperatura sube hasta 32 ºC. ¿Cuál será la presión de las llantas a esta temperatura? ¿Qué precaución se debe tomar? Considerar que no hay ninguna fuga de gas. 2.28

Se introduce una mezcla de argón y vapor de agua a un recipiente que contiene un agente secante sólido, con la finalidad de eliminar el agua. Inmediatamente después de introducir la mezcla, la presión es de 2 atm. Después de varias horas, la presión disminuye hasta 1,8 atm. a) Determinar la composición de la mezcla original de argón y agua. b) Si el proceso se realizó a 25 ºC, y el peso del agente secante aumentó en 0,27 g, ¿cuál es el volumen del recipiente en el cual se colocó la mezcla? Despreciar el volumen del agente secante. 2.29

Se comprime isotérmicamente vapor de agua a 10 MPa, 450 ºC y m3 un volumen específico de 0,02975 . Si en el estado final se reduce a kg la mitad el volumen inicial, obtener la presión final en MPa, si se aplica: a) La ecuación de un gas ideal b) Se emplea el principio de los estados correspondientes c) Utilizando la tabla de vapor del agua. 2.30

96


Un tanque rígido que contiene refrigerante 134a, a 110 ºC, con una masa de 1 kg, ocupa un volumen de 0,01677 m 3. Determinar la presión del refrigerante, utilizando: a) La ecuación de un gas ideal b) El diagrama de compresibilidad generalizado c) Las tablas de refrigerante Calcular el porcentaje de error con respecto a la respuesta de compresibilidad.  kg   2.34 Un dispositivo de 10 m 3 contiene dióxido de azufre 64,06  a  kgmol  51 bar y 180 ºC. Se calienta hasta 245 ºC. Obtener: 2.33

a) La masa del depósito. b) La presión final del gas utilizando el diagrama de compresibilidad. c) La presión final utilizando la ecuación de un gas ideal. Se calienta vapor de agua 100 kPa y 320 ºC en un depósito rígido hasta que alcanza la presión de 160 kPa. Obtener la temperatura final en ºC, utilizando a) el modelo de gas ideal, b) el diagrama de factor de compresibilidad y c) la tabla de agua. 2.35

Calcular el volumen que ocupa un mol de oxígeno a 100 atm y 298 K, considerando que se comporta como un gas de Van der Waals. Si se sabe L2atm L que las constantes de la ecuación son: a = 1, 36 2 ; b = 0, 0318 mol mol 2.37 Propano C 3H8, inicialmente a 120 ºC y 32.25 bar, se calienta a presión constante hasta que la temperatura alcanza 200 ºC. Estimar el cambio de volumen en m 3kg, si a) se usa la ecuación de un gas ideal y b) estados correspondientes. Si kPa − m3 R = 0,18855 kg − K 2.36

Un tanque de 0,5 m 3 contiene 0,8 kg de vapor a una presión de 0,8 MPa. Determinar la temperatura del vapor de agua utilizada, con las siguientes ecuaciones: a) Gas ideal b) Van der Waals c) Tablas de vapor 2.38

Un tanque de 3.27 m3 contiene 100 kg de nitrógeno a 225 K. Determinar la presión en el tanque empleando las siguientes ecuaciones: 2.39


Grupo Editorial Patria a) Gas ideal b) Van der Waals c) Beattie-Bridgeman

Refrigerante 134a se enfría dentro de un cilindro con embolo desde un estado inicial de 0,8 MPa y 80 °C hasta un estado final de líquido saturado a la misma presión a) determina el valor del trabajo, b) calcula el valor de la interacción térmica. 2.48

Representar gráficamente el factor de compresibilidad en un rango de presiones reducidas de 0.5 # Pr # 11 para temperatura reducida Tr 5 1,3. 2.40

Calcular la presión final del amoniaco, si se sufre una compresión a temperatura constante, a partir de una masa de 0.014 kg a 300 kPa y 600 K, mediante las siguientes ecuaciones: a) Gas ideal b) Van der Waals c) Beattie-Bridgeman 2.41

Determinar el volumen específico del nitrógeno a 10 MPa y 150 K, que se encuentra dispuesto en un recipiente cerrado y térmicamente aislado, con base en: a) La ecuación de gas ideal b) La carta de compresión generalizada c) Comparar estos resultados con el valor experimental obtenido en el m3 laboratorio que es: v = 0, 002388 kg 2.43 Utilizar la ecuación de Van der Waals para elaborar la gráfica de Z vs. P para el bióxido de carbono entre 0 y 1 000 atm, entre 50 a 2 000 K. Si se sabe que las constantes de Van der Waals para el: 2.42

CO2 son: a = 3,64

©

L atm− L 2 y b = 0,04267 2 kgmol kgmol

En un recipiente cerrado se encuentra un mol de oxígeno a 100 atm y 298 K. Calcular en volumen específico considerando el comportamient o de un gas ideal y como un gas de Van der Waals. 2.44

¿Cuál es el significado físico de las dos constantes que aparecen en la ecuación de Van der Waals? ¿Qué son la presión reducida y la temperatura reducida? ¿Cuál es el significado del factor de compresibilidad? 2.45

1,5 kg de agua se mantiene en un cilindro con émbolo, al cual se le colocan unas pesas a 3,0 MPa y 200°C. La sustancia se calienta lentamente a presión constante hasta que la temperatura alcanza 350 °C. Determina a) el trabajo necesario para elevar el pistón y las pesas, b) el calor necesario en kJ. 2.46

Un tanque rígido contiene refrigerante 134a en un estado inicial de 0.2 MPa y 90 °C. Se extrae calor hasta que la presión desciende a 0,06 MPa. Durante el proceso, se le da vuelta a una rueda de paletas dentro del tanque aplicando un torque constante de 8 Nm durante 50 r. Si el sistema contiene 0,15 kg, calcula la transferencia de calor necesaria en kJ. Q5 −33,3656 kJ 2.47


0,1 kg de agua a 0,5MPa y una calidad de 78,5% se encuentra confinado en un tanque rígido aislado térmicamente. Una rueda de paletas dentro del tanque gira gracias a un motor externo hasta que la sustancia se hace vapor saturado. Determina el trabajo necesario para completar el proceso así como la presión y temperatura finales del agua. 2.49

Un cilindro con émbolo que tiene un volumen inicial de 0,01 m 3 se llena con refrigerante 134a saturado y seco a 20 °C. La sustancia se comprime hasta que alcanza un estado de 0,1 MPa y 60 °C. Durante el proceso de compresión, la pérdida de calor es de 0,4 kJ. Calcula el trabajo en kJ. 2.50

Agua líquida en un estado de líquido comprimido a 10 MPa y 40 °C se calienta cuasiestáticamente a presión constante hasta convertirlo en líquido saturado. Calcula el calor necesario en kJ/kg. 2.51

2.52

¿Qué son la presión reducida y temperatura reducida?

2.53

¿Cuál es el principio de los estados correspondiente?

¿Cuál es el porcentaje de error obtenido al tratar dióxido de carbono a 3 MPa y 10 ºC como un gas ideal, respecto al factor de compresibilidad? 2.54

2.55

¿Cuál es la diferencia entre punto crítico y punto triple?

2.56

¿Es posible tener vapor de agua a −15 º?

¿Por qué la temperatura y la presión son propiedades dependientes en la región de mezcla saturada? 2.57

Si la presión de una sustancia aumenta durante el proceso de ebullición, ¿la temperatura también aumentará o permanecerá constante? ¿Por qué? 2.58

¿Tiene algún efecto en un análisis termodinámico el punto de referencia seleccionado para las propiedades de una sustancia pura? ¿Por qué? 2.59

¿Qué es calidad? ¿Tiene algún significado en la región de vapor sobrecalentado? 2.60

2.61

¿La hfg cambia con la presión? ¿Cómo?

Estime la presión MPa, a la cual se debe comprimir isotérmicamente el agua líquida saturada a 100 ºC para que la entalpía sea 423 kJkg mediante: a) La tabla de líquido comprimido b) La aproximación de fluido incompresible 2.62


97

UNIDAD

2


PROBLEMAS RETO Un dispositivo cilindro-pistón contiene gas nitrógeno a 2 MPa y 773 K. El dispositivo está conectado hacia un depósito de nitrógeno líquido, a través de una válvula con el cilindro vertical como se muestra en la siguiente figura.

1 Figura 2.53 Un tanque conectado a un dispositivo de cilindro-émbolo. Note que durante el proceso, la válvula debe abrirse lentamente para mantener la presión constante necesaria para elevar el émbolo.

Como se puede observar en la figura, sobre el pistón se colocan una serie de pesos que realizan una fuerza de 20 kN. El área del pistón es 0,1 m 2, el volumen del sistema es de 0,02 m3, y la presión atmosférica es de 100 kPa. Determinar: a) La temperatura final en el cilindro si la temperatura final en el tanque es de 523 K. b) ¿Cuánto asciende el pistón en el proceso? c) La masa del nitrógeno que entra en el cilindro.

2

Nota: Inicialmente el cilindro no contiene nitrógeno. Se abre la válvula para dejar pasar el nitrógeno hasta que se igualen las presiones del cilindro y el pistón.


98

REFERENCIAS Moran, M. J. y Shapiro, H. N. (1993). Fundamentos de termodinámica técnica. Barcelona. Reverté, pp. 79–103. Segura, J. M. (1980). Termodinámica técnica. Madrid. AC, pp. 352–401. Shavit, A. y Gutfinger, C. (1995). Thermodynamics. From concepts to applications . Londres. Prentice-Hall, pp. 34–58. Wark, K. (1991). Termodinámica, 5a ed., México. McGraw-Hill, pp. 110–152.

DIRECCIONES ELECTRÓNICAS 

http://www.steamtablesonline.com/steam97web.aspx?lang5es



http://freesteam.sourceforge.net/

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica OBJETIVOS De�nir los conceptos de calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica. Identi�car las características principales de los diferentes tipos de procesos. Determinar y aplicar los diferentes tipos de procesos isotérmicos, isocóricos, isobáricos, adiabáticos, politrópicos y la primera ley de la termodinámica. Comprender el papel que desempeñan las diferentes formas de calcular el trabajo, el calor y la relación que existe entre la energía interna y otros tipos de energía.

¿QUÉ SABES? ¿Cómo se de�ne el trabajo termodinámico? ¿Qué entiendes por energía y cuántos tipos de energía conoces? ¿Cómo se de�nen el trabajo mecánico, el trabajo eléctrico, el trabajo sobre un resorte y el trabajo transmitido por una �echa rotatoria o de �echa? ¿Qué es el calor latente de una sustancia? ¿Es posible transformar todo el calor disponible en trabajo útil, en un proceso o ciclo? ¿Sabes cómo se puede mantener constante la temperatura de un gas al que se le suministra energía calorí�ca? ¿Conoces los tres tipos de transferencias de calor?

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica

3.1 Introducción Es común que los conceptos de trabajo, calor y energía se utilicen de una manera a priori o en un lenguaje corriente, lo que muchas veces provoca que su conceptualización y su uso en la vida cotidiana no sean adecuados. Por esta razón, es esencial entender con claridad qué es calor y trabajo, ya que ambos conceptos forman parte de la primera ley de la termodinámica y su posible aplicación en la vida cotidiana. La termodinámica se relaciona con ciertas formas de energía, como potencial, cinética, electromagnética y nuclear, entre otras, y describe el cambio de energía de los diversos tipos de sistemas, en términos de las interacciones en las fronteras del sistema. De manera que el principio universal que rige a la termodinámica es el de la conservación de la energía.

3.2 Síntesis En esta unidad se comenta y profundiza la manera de contextualizar el calor, el trabajo y la energía, así como sus posibles aplicaciones en la vida cotidiana, mediante el desarrollo de una perspectiva teórica de la primera ley de la termodinámica. En los siguientes apartados se detallan los pasos que se llevan a cabo para la identificación, detección y aplicación de la información para resolver problemas termodinámicos.

3.3 Conceptos de trabajo, calor y energía 

Definición de trabajo

En la mecánica clásica se define trabajo como “el producto de la f uerza, F , por el desplazamiento, s, cuando se le aplica una fuerza y se mide a ambos en la misma dirección”. O como: “el producto escalar entre F y dx , esto es F  dx; es decir al producto de una magnitud de la fuerza por una magnitud del desplazamiento por el coseno del ángulo que separa a la fuerza y el desplazamiento”.

En termodinámica, el concepto de trabajo se define como “la cantidad de energía transmitida a un sistema (en forma macroscópica), y que fluye a través de los límites del sistema y del ambiente, debido a una variación de los parámetros”. El trabajo tiene importantes características: 

 

Alerta Los efectos de las interacciones no solo pueden reducirse exclusivamente al levantamiento o reducción de altura de un peso en un campo gravitacional constante, a la compresión de un resorte, a la elevación o compresión de un émbolo, al calentamiento de un alambre eléctrico, etcétera, sino que también tienen que ver con las interacciones entre los sistemas, debido a que la fuerza que se ejerce sobre estos provoca un desplazamiento o modificación de la frontera, que se manifiesta en su entorno, debido al trabajo y al calor transmitidos desde o hacia el sistema.

100

El trabajo es transitorio porque solo aparece durante un cambio de estado entre el sistema y el medio ambiente. El efecto neto del trabajo es cambiar la energía interna del sistema y el medio que lo rodea. La cantidad de trabajo se puede calcular con la siguiente fórmula:

De manera diferencial:  W  F   x

(3.1)

O de manera integral: Wa→b =

b

∫ F ⋅∂x a

(3.2)

De esta manera, se puede decir que el trabajo requiere, por definición, de una interacción entre el sistema y el medio que lo rodea. No todas las interacciones que se dan entre el sistema y su alrededor se producen en forma de trabajo, sino en otra forma de energía, como el calor. Las unidades son: W  J o Cal W  Btu (unidad térmica británica)

El trabajo también se puede relacionar por unidad de masa del sistema, lo que s e denota como  y se define como: W ω − m

Y esta puede tener, por ejemplo, unidades de kJ . kg


©



Ejemplos de interacción de trabajo

Supóngase que se tiene un cilindro que contiene agua a una temperatura de 20 ºC y una P  1 atm; el cilindro está provisto de una pesa y una rueda de paletas, esta última se hace girar por medio de una cuerda cuando se deja caer la pesa una distancia determinada (a través de la frontera del sistema), como se muestra en la figura 3.1. Los dos sistemas interactúan cuando el peso va cayendo, por la acción de la gravedad, el cual hace que la rueda gire en el interior del cilindro y agite el agua, provocando un incremento de energía. El aumento de temperatura (por el movimiento de la rueda de paletas) producido sobre la masa de agua es registrado por el termómetro. Por tanto, el trabajo realizado por el sistema (la rueda de paletas-peso) provoca un incremento de la energía del sistema; este simple hecho cumple con la definición de trabajo termodinámico. 

Ejemplo de una interacción que no es trabajo

Un bloque metálico A cuya temperatura es de 100 ºC se pone en contacto térmico con otro bloque metálico B sacado de un refrigerador a una temperatura de 10 ºC, como se muestra en la figura 3.2. Evidentemente, ocurre una interacción térmica entre los dos bloques, que puede comprobarse midiendo la temperatura de ambos bloques, ya que ambos cuerpos llegan a una temperatura de equilibrio, sin producir trabajo. 

d

Figura 3.1 Interacción entre sistemas que producen trabajo.

Sistema

Pared adiabática

Convención de signos y notación del trabajo

Ahora, consideremos la siguiente convención de signos: el trabajo que realiza un sistema, como el que hace un gas al expandirse contra un pistón, es positivo, y el trabajo que se hace sobre el sistema, como el que realiza un pistón que comprime un gas, es negativo. Así, el trabajo positivo significa que la energía sale del sistema y el trabajo negativo significa que se agrega energía al sistema.  



Peso

Figura 3.2 Interacción que no es en forma de trabajo.

W  0: el trabajo es hecho por el sistema hacia el entorno. W  0: el trabajo es hecho sobre el sistema desde su entorno.

Trabajos de frontera móvil

Una forma de trabajo mecánico que con frecuencia se encuentra en la práctica es la expansión y compresión de un gas en un dispositivo cilindro-pistón. Durante este proceso, parte de la frontera se mueve en ambas direcciones (expansión y compresión), lo cual recibe el nombre de trabajo de frontera móvil o trabajo de frontera; otros autores lo llaman trabajo PdV, porque relaciona la presión interna del sistema con las variaciones de volumen. Cuando un sistema experimenta un proceso, este verifica un cambio de estado, que puede conseguirse por distintos procesos como: 







Proceso reversible. Es un proceso que puede ser llevado de nuevo al estado inicial, pasando por los mismos estados intermedios que el proceso directo y sin que al final, ni en el sistema ni en el medio circundante, quede ningún efecto residual que pueda revelar que se ha verificado el proceso. Para que esto último suceda, no debe haber rozamientos ni deformaciones, lo que se llaman causas o efectos disipativos. Proceso irreversible. Son los procesos reales. En ellos siempre habrá degradación de energía. Pueden ser de dos tipos: a) Cuando se verifiquen por cambios no estáticos (procesos de igualación), tengan o no efectos disipativos. b) Cuando haya efectos disipativos, aunque se verifiquen a través de cambios cuasiestáticos. Proceso cuasiestático. Es aquel que se verifica a través de sucesivos estados de equilibrio. Sin embargo, en realidad no existe, es ideal o teórico. Puede aproximarse tanto más cuanto la causa o potencial que dirige el proceso varía en cantidades cada vez más pequeñas. Entonces, cada nuevo estado producido puede considerarse en equilibrio. Proceso cíclico. Es cuando el sistema, después de pasar a través de una serie de cambios de estado, finalmente vuelve a su estado inicial.

Alerta Al unir los dos bloques nace un nuevo sistema, por lo que, en consecuencia, ya no podemos referirnos a dos sistemas sino a las partes que forman el sistema en estudio.

Alerta El incremento de temperatura para el bloque B o la disminución de la temperatura del bloque A se deben principalmente a una transferencia de calor por conducción entre ellos.

101

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica Trabajo de expansión o compresión

Presión externa P ext

h

DV

Área, A Presión, p

Figura 3.3 Trabajo de compresión o expansión.

Este tipo de trabajo lo pueden realizar los sistemas denominados “termoelásticos”, o sea, los que pueden sufrir una variación del volumen; por ejemplo, un gas contenido en un pistón, como se muestra en la figura 3.3. Si tenemos un sistema cerrado, compuesto por un gas contenido en un recipiente (por ejemplo, un cilindro-pistón móvil), sin rozamiento, que inicialmente ocupa un volumen V i , de modo que el gas solo puede ganar o perder energía, si existe un incremento o decremento del volumen al aplicarle una fuerza externa que ejerce una presión exterior P ext , como se observa en la figura 3.3. Si la fuerza externa ejercida sobre el pistón es más grande que la fuerza ejercida en el interior del sistema P int , disminuye el volumen del sistema. Por el contrario, si la fuerza del exterior es más pequeña, el sistema se acelera hacia arriba, a masa del pistón, debido a que la presión interna es más grande que la externa, que se expande hasta que llegue al equilibrio entre fuerzas.  

Si P ext  P int se lleva a cabo un proceso de compresión. Si P ext  P int se lleva a cabo un proceso de expansión.

Por ejemplo, en la figura 3.4 se observa un sistema cilindro-pistón, que inicialmente se encuentra en equilibrio a una presión P 0  constante, como se distingue en la figura 3.4 a). a) patm  p0

b) p0 S

c) p0 S

patm  p0

patm  p0 v e

m0g y 0

patm  p0 T 0

y 0

mg

patm  p0 T 0

y e

pe T e

Figura 3.4 Proceso de compresión.

Equilibrio

pe S

Situación inicial t  0

mg

Equilibrio

Si sobre la superficie móvil cuya área es A, se coloca un peso w  mg, la posición de equilibrio se modificará, debido a la fuerza ejercida (por la pesa sobre el émbolo), de tal manera que el gas se va comprimiendo, hasta que la pesa y el pistón lleguen nuevamente al equilibrio, debido a la presión que ejerce el gas del sistema. La fuerza ejercida sobre el émbolo es: Ptotal = P etm +

W pesa A

+ = P interna

F ma = ; como a = g A A mg ; donde w = mg P = A w pesa P = A

P =

Si no existe fricción entre el émbolo y el pistón (que es una fuerza contraria al sentido del movimiento del pistón), se desprecia su efecto en el sistema. De tal manera que para el análisis del sistema, la diferencia entre la presión interna y la presión externa del sistema es la presión atmosférica más el peso. El incremento de un valor infinitesimal de peso sobre el pistón hace que la presión interna P int sea superior en una pequeña cantidad que la P ext , debido a que la presión interna es la presión atmosférica más la presión que ejerce el pistón por el peso: P int  P ext

De esta forma, el pistón se desplaza hacia abajo una pequeña distancia h1, hasta un volumen V f (el volumen del gas disminuye), con el fin de restablecer el equilibrio entre estado inicial y estado final.

102


©

Por tanto, en la compresión del sistema se observa un desplazamiento (disminución de la altura) del émbolo. Precisamente, es en este proceso donde el peso habrá perdido una energía potencial mgh y esta misma energía habrá sido ganada por el gas (ya que la energía total del gas y la masa deben conservarse). Si paulatinamente aumentamos más peso (pequeñas pesas), se seguirá comprimiendo el gas en un proceso de cuasiequilibrio. Si el proceso se lleva a cabo en múltiples pasos, permitiendo que el sistema llegue al equilibrio de manera inmediata, hasta una distancia dh o ds , el trabajo se representa como: W . Entonces, la fuerza total que se le aplica al émbolo está dada por F  ma. Así como el desplazamiento del émbolo es: ds  h. Ahora bien, si lo sustituimos en la ecuación del trabajo: W=

Si P =

∫ F ⋅ ds

(3.3)

F , despejamos la fuerza, y nos da: F  PA. A

Sustituyendo el valor de la fuerza, que es función de la presión y el área, nos queda: W=

S 2

∫

S 1

PAds

(3.3)

Por otro lado, si hacemos un cambio de variable ds  dh, resultará el producto: Ah  V

El producto:

Adh  dV

Por tanto, el trabajo efectuado para un proceso de cuasiequilibrio se puede calcular por medio de la integración de la ecuación 3.3a, realizando los cambios de variable: S 2

∫ W = ∫ F ds = ∫ PA dh = ∫ P dV

(3.4)

S 1

Sin embargo, esta integración puede resolverse solamente cuando se conoce la relación entre P y V durante este proceso. Se representa gráficamente como: P vs. V (figura 3.5), donde el área bajo la curva es el trabajo realizado por el proceso. P

2

Alerta

 W  PdV

dV

El trazo del proceso en el diagrama se denomina línea de estado , donde solo está definido el proceso cuasiestático de compresión para un determinado cambio de estado.

1 h V 2

W 1−2

b

a V 2

= ∫

V 1

P dV = áreabajolacurva

V V 1 P

Figura. 3.5 Representación gráfica de la compresión de un gas.

Es evidente que la cantidad de trabajo correspondiente a cada uno de los procesos es función no solo de los estados iniciales y finales, sino también depende en gran medida de la trayectoria que se siga, como se muestra en la gráfica de la figura 3.6.

A

Proceso A - B

Figura 3.6

B V

Representación del trabajo como función de la trayectoria.

103

UNIDAD

3


Problema resuelto Un conjunto de pistón y cilindro contiene 1 kg de agua. Sobre el pistón actúa un resorte lineal; inicialmente, el pistón descansa sobre unos topes. A una presión de 300 kPa, el pistón flota, y a un volumen de 1,5 m 3, cuando la presión sea de 500 kPa, el resorte llega al equilibrio junto con el pistón. El estado inicial del agua es 100 kPa con un volumen de 0,5 m 3. Se agrega calor hasta alcanzar una presión de 400 kPa. Determinar la temperatura inicial, el volumen total en el estado final y el trabajo realizado. P 0

P 0

P 1  100 kPa V 1  0,5 m3 m  1 kgm

P 2  400 kPa

Agua

Figura 3.7 Q

Solución

Para resolver este problema, primero hay que considerar que se trata de un sistema cerrado donde se expande el gas contra la presión atmosférica; enseguida, hay que tomar en cuenta la fuerza que ejerce el pistón y el peso del émbolo, además de que hay que considerar que no existe fricción entre el émbolo y el cilindro. Las propiedades del estado son: m  1 kg; V 1  0,5 m3; P 1  100 kPa

V T De manera que la T 1 = 2 2 . nR

Calculando el número de moles

T 1 =

n=

V1P 1 = nR

m = PM

1 kg = 0, 055 kgmol kg 18 kgmol

(0, 5 m3 )(100 kPa) = 109, 34 K  kPa − m3  (0,055 kgmol)8, 31434  kgmol − K 

Planteando la condición de equilibrio de fuerzas para el pistón en el momento en que empieza a flotar, tenemos:

 y

Figura 3.8 Análisis de cuerpo libre: • Análisis de fuerzas A

 y

V  A y

⇒∆ y

P 0 A

F R

W P

∆V A

PA  P 0 A  F R

Figura 3.9

104

PA

(continúa)


©


Entonces, despreciamos el peso del pistón Wp : PA = P0 A + k (∆y )

 ∆V    A   ∆V  A(P − P0 ) = k    A 

PA = P0 A + k 

(∆P ) =

k (∆V ) A2

De acuerdo con la ecuación anterior, como k /A2 es una constante, entonces la presión varía linealmente con el volumen. Como sabemos que P varía en forma lineal con el volumen, entonces podemos hacer una interpolación lineal con la información que tenemos, para hallar los datos con los cuales determinar el estado 2. De esta forma, se sabe que a 300 kPa el pistón empieza a flotar ( V  0,5 m3) y que si la presión es de 500 kPa el volumen es 1,5 m 3.

P

V

300

0,5

400

?

500

1,5

P

500 400 300 0,5

Figura 3.10

V 2

1,5

V

Para encontrar el valor del volumen intermedio cuando flota el pistón, se utiliza la ecuación de interpolación:

 y − y 1   ( x − x ) + y 1 y 0 =  2  x 2 − x 1  0 1 Sustituyendo datos:

 y − y 1   ( x − x ) + y 1 y 0 =  2  x 2 − x 1  0 1  1, 5 − 0, 5   (400 − 300 ) + 0, 5 − 1 m3  500 − 300 

v 0 −

Interpolando: V 2  1 m3 Cuando P varía linealmente con V , el trabajo se calcula como: W=

V 2

∫

V 1

P dV

Como el sistema se comporta linealmente, sigue la ecuación de la línea recta: y  mx  b

Calculando la pendiente y la ordenada al origen: m=

y 2 − y 1 400 − 300 kPa = = 200 3 1− 0, 5 x 2 − x 1 m

Si sustituimos la pendiente en la ecuación de la línea recta: y = mx + b = 200

kPa ( x ) + b m3 (continúa)

105

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica Solución (continuación)

Ahora, si sustituimos las condiciones iniciales y despejamos la ordenada al origen nos da: kPa ( x ) + y1 m3 1 kPa b = 300 kPa− 200 3 ( 0, 5 m3 ) = 200 kPa m b = −mx + y = −200

Sustituyendo los valores: P = 200

Sustituyendo en la ecuación de trabajo: W=

10 ,

∫

0, 5

kPa (V ) + 200 kPa m3

  kPa 200 3 (V ) + 200 kPa dV m

Integrando y sustituyendo datos: W 1−2  250 kPa  m3  250 kJ

Ahora, para el proceso 2: v f  0,001084 m3/kg v g  0,4625 m3/kg

P 2  400 kPa v 2  1 m3/kgm

Como v 2  v g, el estado 2 es vapor sobrecalentado. m3 Interpolando de la tabla de vapor recalentado a con los siguientes datos 400 kPa yV 2 = 1 , la kg temperatura es 510,91 K. Las condiciones finales son: m3 P3  500kPa y v3  1,5 m3 o V 3 = 1, 5 kg Calculando la ecuación de la función del trabajo, la pendiente y la ordenada al origen: ( y − y 2 ) 500 − 400 kPa m= 3 = = 200 3 ( x 3 − x 2 ) 1, 5 − 1, 0 m Si sustituimos la pendiente en la ecuación de la línea recta: kPa ( x ) + b m3 Ahora, si sustituimos las condiciones iniciales y despejamos la ordenada al origen nos da: kPa b = −mx + y = −200 3 ( x 2 ) + y 2 m kPa b = 400 kPa− 200 3 1, 0 m3 = 200 kPa m Sustituyendo los valores: y = mx + b = 200

P = 200

kPa (V ) + 200 kPa m3


1,5

∫

10 ,

  kPa 200 3 (V ) + 200 kPa   m

Integrando y sustituyendo datos: W 1−2  250 kPa  m3  250 kJ

El trabajo total es: W 1−3  250 kPa  m3  250 kPa  m3  500 kJ

106


©

Problema resuelto Un gas perfecto diatómico se expande desde el punto a hasta b , a lo largo de tres posibles procesos, como se ilustra en la figura 3.11: P (atm)

3

Figura 3.11

1

Representación de la trayectoria para tres procesos diferentes.

a

II

1

5

I

b V (1)

Calcular el trabajo realizado por el gas a lo largo de la trayectoria: a) trayectoria a-I-b b) trayectoria a-II-b c) trayectoria a-b Solución

Se conocen los estados inicial y final del proceso para las diferentes trayectorias. Para la solución de este problema, se requiere encontrar: a) El trabajo realizado por los tres procesos. b) Determinar cuál de ellos es el máximo.

Suposiciones: a) Condiciones de gas ideal perfecto (diatónico). b) Análisis. Para la trayectoria a), proceso: a-I-b. En este caso el trabajo se realiza por medio de dos procesos: 1. Proceso a-I a V  cte. W=

V 2

∫

V 1

P dV = P (V2 − V1 )

Nota: Como el volumen no cambia, por tanto no existe trabajo. 2. Proceso I- b a P  cte. W=

V 2

∫

V 1

P dV = P (V2 − V1 ) = (3 atm)(5− 1) L = 12 atm− L

J gmol − K = 405, 56 J W = 12 atm − L × atm − L 0, 082 gmol − K 8, 314

W = Wa−i − W 1−b = 0 + 405, 56 J = 405, 56 J W

Para la trayectoria b), proceso: a-II-b En este caso el trabajo se realiza por medio de dos procesos: 3. Proceso a-II a P  cte.

W=

V 2

∫

V 1

P dV = P (V2 − V1 ) = (3 atm)(5− 1) L = 12 atm− L

J gmol − K W = 12 atm − L × = 1216, 68 J atm − L 0, 082 gmol − K 8, 314

(continúa)

107

UNIDAD

3


4. Proceso II-b a V  cte. W=

V 2

∫

V 1

P dV = P (V2 − V1 )

Nota: Como el volumen no cambia, por tanto no existe trabajo. W0 W total  W all  W ll−b  1216,68 J  0  1216,68 J

Para la trayectoria c), proceso a-b : El trabajo que se realiza de a-b , Pf (V )  mV  b. Si calculamos la pendiente y la ordenada al origen: m=

y 2 − y 1 1− 3 −2 atm = = = −0, 5 L x 2 − x 1 5 − 1 4

Calculando la ordenada al origen: y  mx  b 0,5x  b y  0,5x  b b  3  0,5(1)  3,5 atm

La ecuación que representa el proceso es: y  0,5V  3,5  Pf (V )

Sustituyendo en la ecuación de trabajo:

∫

W =−

V 2

V 1

Pf (V ) = −

V 2

∫

V 1

(0, 5V + 3, 5 ) dV

 

  V22 − V 12   + 3, 5 V − V     2 1    2      51 −12   + 3, 5 5 − 1  W = −− 0, 5        2 

W = −− 0, 5 

J gmol K W = − (−6 + 14 ) = 8 atm − L × atm − L 0, 082 gmol − K 8, 314

, J W = 81112 W

Comentarios: Proceso

W t  J

Comentario

a-I-b

405,56

a-II-b

1216,68

a-b

811,12

El trabajo máximo realizado para los tres procesos es el que se lleva a cabo de a-II-b.

3.4 Otras relaciones de trabajo y energía A continuación se detallan importantes conceptos relacionados con el trabajo y la energía. 

Energía potencial

Se define como energía potencial a la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo de acuerdo con la configuración que tenga el sistema de cuerpos que ejercen fuerzas entre sí.

108


©

También se puede definir como: la energía que es capaz de generar un trabajo como consecuencia de la posición del cuerpo, como se muestra en la figura 3.12. Si partimos de la definición del trabajo: S 2

w=

∫ F ds

Hay que aportar energía para hacer rodar la piedra hacia arriba.

S 1

La segunda ley de Newton nos dice: La piedra libera su energía cuando desciende a un nivel inferior.

F  ma

Sustituyendo en la ecuación del trabajo: W=

∫ mads

La piedra en lo alto de la pendiente tiene una mayor energía potencial.

Si: a = g → F = mg

Figura 3.12

Y realizamos cambio de variable de ds a dz , y sustituimos los datos en la definición de trabajo, nos da la siguiente ecuación: W=

∫

Z 2

Z 1

mgdz = mg

∫

Z 2

Z 1

dz = mg( Z 2 − Z1 )

W = mg( Z1 − Z 2 )  W = kg 

Representación de la energía potencial.

(3.5) (3.6)

m m = N ⋅m = J s 2

Energía cinética

Energía cinética es cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, y este le produce una aceleración durante su desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza para mover al cuerpo es: W=

S 2

∫

S 1

F ⋅ ds

Si aplicamos la segunda ley de Newton:

∑ F = ma

(3.7)

Donde: m  masa a  aceleración v*  velocidad Así: a=

dv * dt

(3.8)

Sustituyendo en la ecuación de la fuerza: * ∑ F = m dv dt

(3.9)

Por otro lado, la distancia que recorre un móvil es igual a una velocidad en un tiempo determinado como: ds  v*dt

(3.10)

Si sustituimos en la ecuación de trabajo: W=

∫

F ds =

t 1

∫

t 2

m

2 2 V 2 1 dv * υ dt = mυ dv = m(v 1∗ −v1∗ ) V 1 dt 2 W  E c

∫

(3.11) (3.12)

109

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica Por lo general, la fuerza es conservativa, entonces W  ∆E P , donde E P puede ser la energía potencial gra vitacional, elástica o cualquier otra forma de energía potencial mecánica. Igualando ambas expresiones del trabajo se obtiene: (3.13)

E c  −E p  E c  E p  0

Por tanto, se puede definir a la energía mecánica total como “la suma de la energía cinética, la energía potencial, más otras energías”. Así: E total  E c  E p  otras energías 

Principio de conservación de la masa y energía

La ley de conservación de la energía mecánica establece que: “La energía mecánica total de un sistema permanece constante si las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas”. Cuando una cantidad física no cambia, decimos que se conserva, es decir que la energía se conserva significativamente y que la cantidad total de energía de un sistema natural no cambia, lo que implica que la energía no se puede crear ni destruir, solo se puede convertir de una forma a otra. Por tanto, el trabajo puede ser una combinación de energías que interactúan sobre el sistema y se manifiestan en el exterior del sistema, como lo define la ecuación 3.14: (3.14)

W  E

El principio de la conservación de la masa se expresa como: “La transferencia neta de masa hacia o desde un sistema durante un proceso es igual al cambio neto (incremento o decremento) en la masa total del sistema durante el proceso”.

Masa que entra al sistema

Masa que sale del sistema

Cambio neto en la masa dentro del sistema

Figura 3.13 msale − mentra  0

(3.15)

macumulada  msale − mentra

(3.16)

También se puede definir como:



Principio de conservación de la energía

El principio de conservación de energía se expresa como: “el cambio neto (incremento o disminución) en la energía total del sistema, durante un proceso, es igual a la diferencia entre la energía que entra y la energía que sale del sistema”.

Energía que entra al sistema

Energía que sale del sistema

Cambio neto de energía dentro del sistema

Figura 3.14

E e − E s  E sistema

110

(3.17)


©

3.5 Primera ley de la termodinámica El primer principio de la termodinámica coincide esencialmente con el principio de la conservación de la energía. Sin embargo, a continuación vemos que la primera ley, tal como la postula la termodinámica, no presupone los conceptos de energía, trabajo y calor, sino solamente el de trabajo; a partir de este concepto, entonces se deducen los conceptos de energía y de calor. Consideremos un ciclo en donde se cambia del estado 1 al estado 2 a través del proceso A, y vuelve del estado 2 al 1 por el proceso B, como se muestra en la figura 3.15.

1 Proceso B a v i s n e t n i d a d e i p o r P

Proceso A 2

Proceso B

Figura 3.15

V

Representación de un proceso cíclico.

Por tanto, la primera ley se define como:

∫  δQ = ∫  δ W

(3.18)

Al considerar los dos procesos por separado se tiene:

∫

2 1

δQA −

∫

2 1

∫

1

2

δQB

2

= ∫ δWA − ∫ 1

2

2 1

(δQ − δW )A = ∫ (δQ − δW ) B 1

δWB

(3.19)

(3.20)

Como  Q y  W únicamente dependen de los estados iniciales y finales y no de la trayectoria seguida entre los dos puntos o estados, se concluye que esta es una función y, por tanto, es la diferencial de una propiedad de la masa. Esta nueva propiedad, que es la energía, se puede describir como: dE   Q −  W

(3.21)

Si integramos la ecuación anterior, nos da como resultado: E 2 − E 1  Q1−2 − W 1−2

(3.22)

E  Q − W

(3.23)

Donde: E 2, y E 1 son las energías inicial o final del sistema con una masa de control. Q1−2 es el calor transferido a la masa de control durante el proceso de 1 a 2. W 1−2 es el trabajo realizado por la masa de control durante el proceso de 1 a 2.

111

UNIDAD

3


Problema resuelto Un mol de un gas ideal (monoatómico), que se encuentra contenido en un dispositivo cilindro-pistón (sin rozamiento y donde el pistón no tiene peso), inicialmente se encuentra a una presión de 2 bar y un volumen de 0,3 m3, y tiene una energía interna de 95 kJ. En su estado final, la presión alcanza 1,5 bar y el volumen final es de 0,75 m3. Si el proceso se lleva a cabo por dos caminos distintos, calcular: a) El trabajo realizado por el gas. b) El calor neto transferido al sistema. En la figura 3.16 se muestran los procesos correspondientes: P (bar) A

2

B

Proceso que sigue una línea recta

1,5

C

Figura 3.16 Representación de los procesos del problema.

0,3

0,75

V (m3)

Solución

Para resolver este problema se requiere conocer: Un gas ideal, del que se conocen los estados inicial y final, y los procesos que se llevan a cabo por tres caminos distintos.

Encontrar: El calor o trabajo para cada uno de los procesos. Suposición: Se trata de un gas ideal. Sistema cerrado: Aplicando la ecuación de la primera ley de la termodinámica. Análisis: Para el proceso A-B-C. Este proceso se lleva a cabo por medio de dos etapas: 1. Proceso a presión constante (isobárico). 2. Proceso a volumen constante (isocórico o isométrico). Así, se calculan las temperaturas inicial y final para los diferentes procesos; como se trata de un gas ideal, sigue la ecuación de estado: PV  nRT

Despejando la T : T =

112

PV nR

Estado

V  m 3

P  bar

A

0,3

2

?

B

0,75

2

?

C

0,75

1,5

?

T  K

(continúa)


©

Solución (continuación) T =

2× 0, 3 PV PA V A = = = 7, 216 nR nR 1× 0, 0831434

bar − m3 bar − m3 kgmol − kgmol − K

T A = 7, 216K T =

PV PBV B 2× 0, 75 = = = 18, 041 nR nR 1× 0, 0831434


T B = 18, 041 K T =

1, 5× 0, 75 PV PC V C = = = 13, 5 3 nR nR 1× 0, 0831434


T C = 13, 5 3 K

1. Proceso a presión constante (isobárico). Si aplicamos la primera ley de la termodinámica para el proceso isobárico: E  Q − W

Si despejamos el calor, nos queda: Q  E  W

Calculando el trabajo: W=

V 2

∫

V 1

P dV = −P (V2 − V1 ) = − 2 bar (0, 75− 0, 3) m3

kJ kmol − K W = − 2(0, 45) = −0, 9 bar − m3 × bar r − m3 0,0831434 kmol − K W = −90 kJ 8, 31434

Ahora, calculamos la energía interna, para un gas ideal monoatómico: 3 Cv = R 2 3  ∆E = nc v (TB − TA ) = 1× × 8, 31434×(18, 041− 7, 216 ) = 135, 44 2 

∆E = 135, 44 kgmol ×

kJ ×K = 135, 44 kJ kgmol − K

En el estado final la energía interna es: E  E B − E A  E B  E  E A

E B 135,44  95  230,44 kJ

Calculando el calor suministrado al sistema: Q  E  W 135,44  −90  45,44 kJ

Proceso a volumen constante (isocórico o isométrico). Si aplicamos la primera ley de la termodinámica para el proceso isobárico: E  Q − W

Si despejamos el calor nos queda: Q  E  W

Para un proceso isocórico donde V  cte: W0

(continúa)

113

UNIDAD

3


Nos da como resultado: Q  E

Calculando el valor de la energía interna: T 3  1× 8, 31434× (13, 5 3 − 18,041) ∆E = ∫ nCv dT = nCv (TC − TB ) =  T 2 C

B

∆E = −56, 259 kgmol×

kJ ×K = −56, 259 kJ kgmol − K

Entonces, el calor es: Q  E  56,259 kJ

La energía interna de la trayectoria A-B-C es: E A−B−C  E A−B  E B−C E A−B−C  135,44 − 56,259  79,18 kJ

Para el proceso A-C , que se expresa por medio de una ecuación lineal, si calculamos el trabajo: W=

∫

V C

V A

Pf (V ) dV =

V C

∫

V A

(aV + b ) dV

Donde, a y b son constantes. Para calcular el valor de a y b , si aplicamos la ecuación de la línea recta: y  mx  b  Pf (V )  aV  b

Entonces, determinamos el valor de la pendiente con la siguiente ecuación: m=

Y2 − Y 1 = pendiente X 2 − X 1

Sustituyendo los datos del problema: m=

1, 5 − 2 bar = −111 , 0, 75 − 0, 3 m3

Calculando la ordenada al origen: y  mx  b

La ecuación de la línea recta es: y  −1,11x  b b  y 1,11x

Sustituyendo los valores iniciales: b  2  1,11  0,3  2,33 bar

La ecuación de Pf(V) es: Pf (V )  −1,11 V  2,33


0,75

∫

0,3

−111 , V + 2, 33 dV

Integrando: (0, 752 − 0, 32 ) + 2, 33 (0, 75 − 0, 3) = 0, 7863 bar − m3 2 kJ 8, 31434 kgmol − K = 78, 62 kJ W = 0, 7863 bar − m3 × bar − m3 0, 0831434 kgmol − K , W = −111

114

(continúa)


©


Calculando la energía interna a partir de los datos: T 3  ∆E = ∫ nCV dT = nCV (TC − TA ) = 1×  × 8, 31434× (13, 53 − 7, 216 ) T  2  ∆E = 78, 74 kJ C

A

El calor suministrado o desprendido es: Q  E  W

Sustituyendo valores: Q  E  W Q  78,74 kJ  78,62 kJ  157,36 kJ

Resultados: Proceso

W (kJ)

Q (kJ)

AE (kJ)

A-B-C

90

10,819

79-181

A-C

78,62

157,36

78,74

Problema resuelto Para el sistema que se muestra en la figura 3.17, donde el cuerpo de masa m se desliza desde una altura h por la superficie curva sin roce, calcular la compresión máxima del resorte de constante k , cuando la masa choca contra este. Asimismo, calcular el trabajo en la compresión del resorte, si se sabe que la masa del N cuerpo m es: 30 kg; la altura es: h  10 m y la compresión máxima del resorte es: k = 1000 . m Solución

Se conoce: En el sistema se tienen varias energías implícitas que toman parte en el proceso: • Energía cinética. • Energía potencial. • Energía de rozamiento. • Energía de compresión del resorte. Para la solución de este problema, se requiere encontrar la distancia x de compresión máxima que sufre el resorte.

Esquema:

m

Resorte h

Figura 3.17 Representación del proceso de compresión del resorte en la que se involucran diferentes tipos de energías.

Compresión

(continúa)

115

UNIDAD

3


Suposición: Se considera a la fuerza de fricción como nula. Análisis: De acuerdo con el esquema de la energía cinética, tanto en el estado inicial como en el final esta es cero, porque la masa parte del reposo v 1  0, y en la compresión máxima del resorte v 2  0, la energía potencial inicial es mgz 1  mgh; ya que z 1  h y la altura final es cero. La energía de compresión de un resorte al inicio es cero, porque en la posición inicial no existe resorte; sin embargo, en el estado final es: 1 kx 2 2 a) Calcular la compresión del resorte: La ecuación que representa este proceso es:

E c1 + E p1 + E comp1 = E c2 + E p2 + E comp2

1 0 + mgh + 0 = 0 + 0 + kx 22 2 2mgh 2× 30 × 9, 81×10 = = x 2 = 1000 k

5, 886

= 2, 43 m

Donde x es la máxima compresión del resorte. b) El trabajo para la compresión del resorte es: 1 2 El trabajo realizado por la energía potencial es:

1 2

W = k (x 22 − x 12 ) = k ( x22 )

m ×10 m = 2943 N− m = 2, 943 J s2 1 1 N W = k ( x 22 ) = 2943 N − m = 1000 x 22 2 2 m W = mg(h − z1 ) = mgh = 30 kg× 9, 81

Despejando x 22 :

x 22 =

(2 ×2943 N− m) 1000

x 2 =

5, 886

N m

m2 = 2, 43 m

2

Alerta El supuesto del proceso de cuasiequilibrio es esencial aquí, porque cada punto de la línea 1-2 representa un estado definido y este corresponderá al estado real del sistema solo si la desviación del equilibrio es infinitesimal.

Alerta Al trabajo también se le suele llamar función de trayectoria o, en lenguaje matemático, SW es una diferencial inexacta.

116

∫ dv = V

2

1

= 5, 886

= V1

El trabajo también es una función de trayectoria porque, como se indicó anteriormente, si se efectúa en un proceso de cuasiequilibrio entre dos estados dados, este depende en gran medida de la trayectoria seguida. De manera que las funciones de diferenciación son funciones de trayectoria y constituyen, a su vez, diferencias inexactas; por tanto, el trabajo se define como: 2

∫ δ W = 1

1W 2

(3.24)

Esta ecuación define el trabajo realizado durante el cambio de estado de 1 a 2 a lo largo de la trayectoria, y representa el área bajo la curva. Por lo general, se pueden identificar las siguientes dos clases de problemas: 1. La relación entre P y V se da en términos de los datos experimentales o en forma gráfica. Con estos hechos, la integración del trabajo se puede realizar de manera numérica o gráfica. 2. La relación entre P y V hace posible ajustar una relación analítica entre ellas, de manera que la integración es directa.


©

3.6 Calor Se define como la forma de energía que se transmite a través del límite de un sistema, en virtud de la diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores. Este tipo de energía, a su vez, se divide en: 1. Energía cinética total de todos los átomos o moléculas de una sustancia. 2. Energía en transición (en movimiento) de un cuerpo o sistema a otro, debida solamente a una diferencia de temperaturas entre los cuerpos o sistemas. El concepto de calor se utiliza indistintamente para describir la energía que se transfiere de un lugar a otro, es decir, el flujo o flux de calor; se considera que es una transferencia de energía o bien un fenómeno de transporte de energía, que se produce únicamente como consecuencia de las diferencias de temperaturas. Entonces, podemos definir al calor mediante la siguiente fórmula: Q=

T 2

∫

T 1

mc ∂T = mc (T2 −T1 )

(3.25)

Donde: m: es la masa del sistema. c : es el calor específico. T : es la temperatura. 

Unidades de calor

El calor, como todas las otras cantidades en termodinámica, deben expresarse en unidades de energía como: kcal y BTU ( British Thermal Unit ), esta última se define como la cantidad de calor requerida para elevar la temperatura de 1 lb de agua de 59,5 ºF a 60,5 ºF. El calor como el trabajo son cantidades direccionales y, en consecuencia, la descripción completa de su interacción requiere de la especificación tanto de su magnitud como de su dirección. Con frecuencia, se lee o se escucha la afirmación: el calor almacenado en la sustancia. ¿Por qué se trata de una afirmación incorrecta para la termodinámica?

Problema resuelto ¿Qué cantidad de calor se requiere para elevar la temperatura de un bloque de aluminio de 20 a 50 ºC?, si J se sabe que el calor específico del aluminio es 897 y el bloque tiene una masa de 3 kg. kg-k Solución

Para la solución de este problema, se requiere: Saber cuánto calor hay que suministrar a un bloque de aluminio para incrementar su temperatura 30 ºC.

Esquema:

T  20 °C

T  50 °C

Figura 3.18 Incremento de la temperatura del bloque.

Suposiciones: • El suministro de energía es constante. • La masa es constante. • El calor específico es constante en el rango de temperaturas. Q = mc ∆T − mc (T2 − T1 ) Q = 3 kg× 897

J × (30 K ) kg K

Q = 89730 J = 89, 73 kJ

117

UNIDAD

3


Problema resuelto ¿Cuál es la temperatura de equilibrio cuando a 10 g de leche, que se halla a una temperatura de 10 ºC, se le agregan 160 g de café que está a una temperatura de 85 ºC? Suponga que el calor específico de los dos líquidos es igual al del agua; desprecie el calor específico del recipiente. Solución

Comentarios: Si utilizamos la ley cero de la termodinámica, la cual define que si dos sistemas se encuentran en equilibrio térmico entre sí con un tercero, podemos establecer si estos sistemas se encuentran en equilibrio térmico entre sí. Para la solución de este problema, se requiere encontrar: La temperatura de equilibrio del sistema. Esquema:

Tibia

Fría

Caliente

Figura 3.19 Suposiciones: • El sistema llega al equilibrio térmico entre sí. • No existe transferencia de calor al recipiente. (3.26)

Qabosorbido  −Qdesprendido

Utilizando la definición de calor: Q = mc (T2 − T1 ) Qabs = mleche cleche (T2 − T1 )

Qdes = mcafé c café (T2o − T 1o )

Como: T 2 = T2∗ = T equlibrio

Sustituyendo los valores: mleche cleche (Teq − T1 ) = − mcafé ccafé ( Teq − T1* )

Despejando la temperatura de equilibrio: m1c 1T eq − m1c 1T 1  −mcc cT eq  mcc cT 1* m1c 1T eq  mcc cT eq  mcc cT 1*  m1c 1T 1

Sacando como factor común: T eq T eq =

Sustituyendo datos:

mc c c T1* +m1c1T1 m1c1 − mc c c

    Cal Cal ×85 °C  + 10 g×1 ×10 °C  g Cal °C 160 g ×1 g − °C g − °C g − °C     = = °C T eq =  Cal Cal   Cal  g + 160 g ×1 10 g×1 g − °C g − °C   g − °C   13600 + 100 13700 = = 80, 59 °C Teq = 10 + 160 170 De esta forma, se puede decir que el sistema sí llega al equilibrio térmico entre sí.

118


©

Problema resuelto A un calorímetro que se encuentra revestido con espuma de poliestireno, y que contiene 200 g de mercurio a 0 ºC, se le agregan 50 g de alcohol etílico a 50 °C y 100 g de agua a 90 ºC. Determinar: a) ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla? b) ¿Cuánto calor es ganado o perdido por el mercurio, el alcohol y el agua? Si se sabe que: CHg = 0, 033

Cal Cal Cal ;C = 0, 5 8 y CH2O = 1, 00 g − °C alcohol g − °C g − °C

Se pide despreciar la capacidad calorífica del calorímetro. Solución

Para la solución de este problema, se requiere encontrar: a) La temperatura de equilibrio de la mezcla. b) El calor absorbido para cada uno de los componentes de la mezcla. c) El calor desprendido para cada uno de los componentes de la mezcla.

Suposiciones: 1. El flujo de calor es constante. 2. El calor absorbido  calor desprendido. 3. El Hg absorbe calor. 4. La mezcla de agua y alcohol desprende el calor. 5. No existe cambio de estado para ninguna de las tres sustancias. Qabsorbido  −Qdesprendido

Utilizando la definición de calor: Q = mc (T2 − T1 ) Qdes = malcoholc alcohol (T2 − T1 ) +mH2O cH2O (T 2∗ − T 1∗ ) Qabs = mHgcHg (T2∗ −T1∗ )

En equilibrio térmico: T2 = T2∗ = T2∗ = Teq

Sustituyendo los valores: mHgc Hg (Teq − T1∗ ) = − malcoholc alcohol (Teq − T1) + mH2O cH2O (T eq − T 1∗ )





Despejando la temperatura de equilibrio: mHgcHgTeq − mHgc HgT1* = −mOHc OHTeq + mOHc OHT1 − mH2O cH2OT eq + mH2Oc H2OT1∗ mHgcHgTeq + mOHcO HTeq + mH2O cH 2O Te q = mOHc OHT1 + mHgcHgT1* + mH2Oc H2OT1∗ T eq =

mOHc OHT1 + mHgcHgT1* + mH2O cH2O T1∗ mHgc Hg + mOHc OH + mH2Oc H2O

Sustituyendo datos:

         50 g0,58 Cal (50 °C) + 200 g 0,033 Cal (0 °C)+ 100 g1 Cal (90 °C)  g −°C  g −°C      g −°C  T eq =      Cal    Cal  Cal    100 g1 50 g 0,58 200 0,033 + +      g −°C  g −° C     g −°C   1450 Cal + 0 Cal + 9000 Cal T eq = Cal Cal Cal 6,6 + 29 + 100 °C °C °C T eq =

10450 Cal = 77,06 °C Cal 135,6 °C

Alerta Debido a que la temperatura de un sistema respecto a la del medio exterior es diferente, existe una diferencia de temperaturas entre ambos.

119

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica 

Convención de signos

Una forma de realizar una convención de signos es adoptando un signo convencional, generalmente aceptado, para la interacción del calor y del trabajo, que puede ser como sigue:  La transferencia de calor hacia un sistema y el trabajo hecho por un sistema son positivos ( ).  La transferencia de calor desde un sistema y el trabajo hecho sobre un sistema son negativos ( ). Trabajo realizado sobre el sistema

Calor extraído negativo

Sistema

Figura 3.20 Convención de signos para el trabajo y calor que entran y salen de un sistema.

Trabajo cedido por el sistema

Calor suministrado positivo

Tabla 3.1



W ()

compresión

W ()

expansión

Q ()

endotérmico

Q ()

exotérmico

Capacidad calorífica y calor específico

La cantidad de energía que se requiere para cambiar la temperatura de una masa dada de materia no es la misma para todos los materiales; por ejemplo, el calor que se requiere para elevar la temperatura en un grado (de 14.5 a 15.5 ºC) de un kilogramo de agua es 1 kcal o 4.186 kJ, en cambio, para el caso del cobre se requiere de 0.387 kJ. Por tanto, la capacidad calorífica C se define como: la cantidad de calor (Q ), que se requiere para elevar la temperatura de una sustancia en un grado Celsius, la cual está dada por la siguiente ecuación: C = 

Q m∆T

(3.27)

Capacidad calorífica

Es la razón de la cantidad de calor que se le cede a un cuerpo en una transformación cualquiera con la correspondiente variación de la temperatura. Asimismo, también se define como la capacidad calorífica por unidad de mol, que depende directamente del número de moles o la masa del sistema, de la composición química, de su estado termodinámico y del tipo de transformación durante la cual se le cede calor; ésta se expresa como: kJ kJ C kg −°C kg −°C kJ = = = C = 1 kgmol kgmol −°C PM kg kg kgmol La capacidad calorífica se puede expresar a:  Presión constante: C P =

120

δ h 



δ T p

(3.28)


©



Volumen constante: C v =

δ E 



(3.29)

δ T v

Se deduce, por tanto, que los calores específicos a volumen y presión constantes son función de la temperatura. Es decir: C V  f (T ) y C P  f (T )

Como todos los gases se aproximan al comportamiento del gas ideal a medida que la presión se aproxima a cero, el calor específico para el gas ideal de una sustancia determinada es, con frecuencia, calor específico a presión cero, C p 0, así como a volumen constante C v 0. La dependencia de la temperatura se puede expresar de forma analítica mediante las siguientes ecuaciones para el calor específico, C p 0  f (T ), como sigue: C p 0  A  BT  CT 2  DT 3 C p 0 = A + BT + CT 2 + C p 0 R

= a + bT 2

D T 2

C T 2

(3.30) (3.31) (3.32)

Donde A, B, C y D son constantes para cada una de las sustancias y se pueden expresar en unidades de energía. Asimismo, la relación que existe entre C p 0 y C v 0 es: C p 0 − C v 0  R

(3.33)

Lo mismo sucede cuando están en función de la temperatura, y se define como: C p 0 f (T ) − C v 0 f (T )  R

(3.34)

En los documentos anexos del CD-ROM se proporcionan algunos valores de capacidad calorífica para diferentes sustancias en estado sólido, líquido y gaseoso, constantes o como función de la temperatura. 

Calor sensible y calor latente

A continuación se dan las definiciones de los conceptos de calor sensible y calor latente.

Calor sensible El calor sensible es la cantidad de energía cedida a un sistema en forma de calor, que nos permite elevar la temperatura del sistema sin provocar ningún cambio de estado. Q  mC T

Calor latente Para ciertas condiciones, cuando se agrega calor a una sustancia sin que cambie su temperatura, por ejemplo cuando se evapora el agua, se produce un cambio en las características físicas y en la forma del material, lo que recibe el nombre de cambio de estado o de fase. Es la cantidad de calor necesaria que requiere una sustancia para realizar un cambio de estado (sólidolíquido-gas) sin incremento de la temperatura. Por ejemplo, el calor latente de fusión del hielo se define como la cantidad de calor necesario ( f ) para que la sustancia realice una transformación o cambio de fase, desde un estado a otro (sólido a líquido o gas), manteniendo constante la temperatura T f (punto de fusión). Matemáticamente se define como: Q λ =  (3.35) m T

Alerta Al calor necesario para producir un cambio de fase se le llama calor latente , porque este calor está presente y a punto para ser usado cuando termina el proceso de cambio de estado.

121

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica Por ejemplo, si se hierve agua en un recipiente abierto a la presión atmosférica normal, la temperatura no aumenta por encima de los 100 °C, por mucho calor que se suministre. El calor que se absorbe sin cambiar la temperatura del agua es el calor latente; este no se pierde, sino que se emplea en transformar el agua líquida en vapor y se almacena como energía en el vapor. Cuando el vapor se condensa para formar agua líquida, esta energía vuelve a liberarse, recuperándose el calor latente en forma de calor sensible. Del mismo modo, si se calienta una mezcla de hielo y agua líquida, su temperatura no cambia hasta que se funde todo el hielo. El calor latente absorbido se emplea para vencer las fuerzas que mantienen unidas las partículas de hielo, y se almacena como energía en el agua. Los diferentes cambios de fase son de sólido a líquido, o fusión (fundición o derretimiento en el caso del agua), de líquido a gas, o evaporación (vaporización), de sólido a gas, o sublimación, y los procesos en sentido opuesto llamados solidificación (o congelamiento en el caso del agua), condensación y deposición, respectivamente. En la figura 3.21 se representa el diagrama de fases: B

A

Líquido

) g H m m ( n ó i s e r P

Sólido O

Vapor

4,58

0,0098

C

Figura 3.21

Temperatura t 3

Diagrama de fases.

t 2

t 1

Los calores latentes de diferentes sustancias varían significativamente, como se muestra en la tabla 3.2. Puesto que en la fase gaseosa la distancia media entre los átomos es mucho mayor que en la fase líquida o sólida, se requiere mayor trabajo (y energía) para evaporar una masa de sustancia que para fundirla, por eso el calor de vaporización es mayor que el calor de fusión, como se observa en la tabla 3.2. 

Revisión de conceptos

Una muestra de 1 g de H 2O y una muestra de 1 g de etanol se calientan de 10 a 50 ºC. ¿Cuál de estas absorbe más calor? Ejemplo: En un calorímetro se tiene una masa de hielo a una temperatura de 5 °C a una presión P  1 atm, que permanecerá en estado sólido hasta que la temperatura alcance 0 °C. En este punto, el hielo permanece a temperatura y presión constantes y comienza a fundirse, esto es una transformación desde la fase sólida (estructura cristalina), a la fase líquida (fase desordenada). Esta transformación ocurre cuando al agregar una cierta cantidad de calor se empiezan a romper algunos enlaces químicos de las moléculas del agua sólida, permitiendo así, que estas se muevan de forma más libre. Las ligaduras entre las moléculas de agua son relativamente fuertes, de manera que el calor latente de fusión del agua es alrededor de 333 000 J de calor para convertir un kilogramo de hielo a 0 °C en un kilogramo de agua (líquida) a 0 ºC. Como se muestra en la figura 3.22. Calor sensible

Q (J)

Calor latente

Lf

Figura 3.22 Cambio de estado.

122

5

0

T (ºC)


©

Problema resuelto Determinar la cantidad de calor que se requiere para aumentar la temperatura de 0 °C a 100 °C de 5 moles de agua, cuando esta se encuentra en estado líquido. Determinar: cal g − grado b) Si C P  constante. c) Si C Pf (T )  a  bT  cT 2. a) Si C = 1

Solución

Se conoce: • El tipo de sustancia, que es agua en estado líquido. • Los puntos de transición, que son 0 ºC y 100 ºC. • La cantidad de calor que se suministra a la sustancia es un calor sensible. Para la solución de este problema, se requiere encontrar: La cantidad de calor suministrada a la sustancia.

Esquema: Q

Calor latente de ebullición

Calor sensible Calor latente de fusión 0

Figura 3.23

T (ºC)

100

Suposiciones: • No existe cambio de fase. • La cantidad de calor suministrada a la sustancia es para incrementar solo su temperatura. a) Cuando el calor específico vale: C = 1

Datos:

cal g − grado

T1 = 0 °C; T2 = 100 °C; n = 5 gmol y PM = 18

g gmol

Calculando la masa de la sustancia: PM =

m ; despejando la masa n

m = PM× n = 18× 5 = 90

g × gmo ol = 90 g gmol

Si aplicamos la ecuación de calor sensible: Q  mC T Sustituyendo los valores: Q = 90 g×1

b) Cuando el C p = 4,184

J g −K

cal ×100 grados = 9000 cal g − grado

, sustituyendo en la ecuación de calor sensible:

cal gmol − K Q = 90 g× 4,184 ×100 K = 37656 J× J g−K 8,31451 gmol − K 1,98589

J

Q = 8993,99 cal

(continúa)

123

UNIDAD

3


c) Cuando CP f (T ) →

C P = A + BT + CT 2 , donde A, B y C son constantes: R

De tablas se obtienen las constantes: A  8,712 B  1,25  103 C  0,18  106

Sustituyendo los datos en la ecuación de: CP f (T ) →

C P = A + BT + CT 2 R

C P T +−0,18×10−6 T 2 = A + BT + CT 2 = 8,712 + 1,25× 10−3T R

Si despejamos C p y si tomamos el valor de R = 1,98589

cal : gmol − K

C p = 1,98589 × (8,712 + 1,25×10−3T +− 0,18× 10−6 T 2 )

cal gmol − K

C p = (17,3010 + 2,482×10 −3T +−3,57× 10−7 T 2 )

cal gmol − K

Sustituyendo en la ecuación del calor: Q = 5 gmol

373,15

∫

273,15



(17,3010 + 2,482×10 −3T + − 3,57× 10−7 T 2 ) dT

Q = (5 gmol) 17,3010 × (100) +



 2,482 ×10−3 3,57×10−7 (373,152 − 273,152 ) − (373,153 − 273,153 ) 2 3 

Q = 8863,678 cal

Comentario: De los tres valores calculados, se puede decir que el primero nos es útil para un cálculo inmediato y que el más exacto es el último, lo que implica que existe un factor de error de 1,538%.

3.7 Transferencia de calor Conforme lo que se ha estudiado hasta aquí, podemos decir que transferencia de calor es: “la energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas, por lo que el flujo de calor se transmite del sistema de mayor temperatura a un sistema de menor temperatura”. Otro aspecto importante de destacar de esta definición de calor es que un cuerpo nunca contiene calor. Más bien, el calor se manifiesta solamente cuando existe un gradiente de temperaturas en dos medios o un medio estacionario que puede ser sólido o un fluido. 

Alerta El calor es conducido por sólidos, líquidos y gases.

124

Conducción

La conducción tiene lugar cuando las moléculas o los átomos se mueven más rápido (vibrando en un sólido o moviéndose en forma restringida en un líquido) en las partes más calientes de un cuerpo, lo que implica que se transfiera una parte de su energía por medio de choques a las moléculas adyacentes; mientras que los electrones libres proporcionan un flujo de energía en el sentido de la temperatura decreciente. La transferencia de calor se puede cuantificar en términos de ecuaciones o modelos apropiados. Estas ecuaciones o modelos sirven para calcular la cantidad de energía que se transfiere por unidad de tiempo, para este proceso se utiliza la ley de Fourier, la cual se expresa como: donde: dT q * * = −k dx

q**  flujo de transferencia de calor.

(3.36)


©

Que es el flujo de calor por unidad de área. q**=

Q m2

(3.37)

y que es la relación de la velocidad con que se transfiere el calor en dirección x , por unidad de área perpendicular, a la dirección de la transferencia. La relación o razón de cambio se define como:

∆T ∆x

(3.38)

La constante de proporcionalidad, k , es una propiedad de transporte conocida como conductividad térmica, la cual es una característica del material; el signo menos es una consecuencia del hecho de que el calor se transfiere en la dirección de la temperatura decreciente, como se muestra en la figura 3.24:

T alta

y T baja

Figura 3.24

Z

Transferencia de calor por conducción.

Como se muestra en la figura 3.24, el tipo de distribución de la temperatura es lineal, y el gradiente de temperaturas se expresa como: ∆T Tbaja −T alta = (3.39) ∆x xL − x 0 Tbaja −T alta q * * = −k x L − x 0

(3.40)

Donde: q**=

Q A0

Por consiguiente, para que el calor transferido en la dirección x , sea una cantidad positiva, se debe insertar el signo negativo en el gradiente de temperaturas; por tanto, la ecuación nos da: Talta −T baja q´´ = k xL − x 0 q∗ = kA0

Talta −T baja xL − x 0

(3.41)

A continuación se muestran algunos valores de la constante de conductividad térmica k :

Problema resuelto Se tiene una pared hecha de ladrillo, revestida con cemento y tezontle, cuyo espesor es de 100 mm; W

asimismo, tiene una conductividad térmica de k = 0, 25 , la cual está sujeta a un gradiente de m − k ' temperaturas de 10º, y posee un área de 1 m2. ¿Cuál debe ser el espesor que se requiere de una pared de mampostería, que tiene una conductividad térmica de k = 0, 75

W

, si el flujo de calor debe ser de 75% de la velocidad de la pared de estructura m − k' compuesta sometida al mismo gradiente de temperaturas y área?

125

UNIDAD

3


La transferencia de calor por conducción para estado estable con gradiente de temperaturas de 10º, y área unitaria para ambas paredes, está dada por la ecuación de la ley de Fourier.

= kAu q∗∗ x

∆T ∆x

Para solucionar este problema, se requiere encontrar: ¿Cuál es el espesor de la pared de mampostería, si se transfiere 75% del calor de la pared compuesta? Pared compuesta

Esquema:

Figura 3.25

q*

Pared de mampostería

q*

Esquema de la transferencia de calor en diferentes tipos de paredes.

A  1 m2

 x Suposiciones: 1. Condiciones de estado estable. 2. Conducción unidireccional a través de la pared. 3. Conductividad térmica constante.

 x

∆T ∆x ∆T ∗∗ qmampostería = KAm ∆x ∗∗ = KAc qcompuesta

Sustituyendo datos: qc∗∗ = KAc

 10 K  W ∆T  = 25 W = 0,25 ×1 m2  ∆x m −K  0,10 m

¿Qué cantidad de flujo de calor se transfiere en la pared de mampostería? qm∗∗ = 0,75 qc ∗ = 0,75× 25 W = 18,75 W ∗∗ = K Am qmampostera í

∆T = 18,75 W ∆x

Despejando el espesor de la pared de mampostería:

∆x = KAm

∆T qm∗∗

Sustituyendo datos:

 10 K   = 0,40 m ×1 m2  m−K 18,75 W  El espesor de la pared de mampostería= 0,40m ∆x = 0,75

Comentarios: La disminución de la transferencia de calor es menor, pero el ancho o espesor de la pared es mayor respecto a la compuesta.

Alerta Mientras la transferencia de energía por conducción o convección requiere de la presencia de un medio material, la radiación no lo precisa, de tal manera que la transferencia de calor es más eficiente en el vacío.

W



Radiación

Radiación se concibe como la energía emitida por la materia a través de ondas electromagnéticas o cuantos (según convenga), y que se encuentra a una temperatura finita. Por ello, la cantidad de energía que abandona la superficie como calor radiante depende en gran medida de la temperatura absoluta y de la naturaleza de la superficie. De manera que un radiador perfecto o cuerpo negro emite energía radiante de su superficie a una razón de: qradiació n = σ A1T 14 = transeferencia de calor por r adiación

126

(3.42)


©

La radiación de los cuerpos negros, o cualquier otro tipo de estos, requiere de altas temperaturas para que la energía emitida dependa en gran medida de la superficie y de la velocidad a la que se libera la energía por unidad de área, lo que se denomina potencia emisiva superficial. Existe un límite superior para la potencia emisiva (E b ), que se establece por la ley de Stefan-Boltzman: E b = σ T S 4

Donde T S es la temperatura de la superficie en (K). σ = 5,67 x −8

W = constante de Stefan-Boltzman m2K 4

Para una superficie real, el flujo de calor emitido es menor que el de un cuerpo negro a la misma temperatura, y está dado por: E b = εσ T S 4

(3.43)

Donde  es la emisividad. Con valores entre un rango 0 ≤  ≤ 1, es una propiedad que proporciona la eficiencia de una superficie que emite energía radiante en relación con un cuerpo negro.

Problema resuelto Una sonda interplanetaria esférica de 0,5 m de diámetro contiene dispositivos electrónicos que tienen una potencia emisiva de 150 W; si la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0,8, y la sonda no recibe radiación de otras superficies como, por ejemplo, el Sol. ¿Cuál es la temperatura de la superficie? Solución

Se conoce: La potencia emisiva de los componentes electrónicos; es decir, la emisividad. Suposiciones: • Existen condiciones de estado estable. • No existe otra fuente de emisión sobre la sonda. Análisis: La potencia emisiva se evalúa a partir de la ecuación: E b = εσ T S 4

Despejando la temperatura de la superficie: T S = 4

E b Aεσ

Calculando el valor del área de una esfera: A = 4πr 2 = πd 2 = π(0,52 ) = 0,7854 m2 T S = 4

E b = Aεσ 4

150 W

 

0,8× 0,7854 ×5,67 x −8

W  m2K 4 

T S = 254,73 K

Si el cuerpo negro irradia en espacio cerrado, que también es negro, es decir, que absorbe toda la energía radiante que incide en él, la transferencia neta de calor radiante está dada por: qradiación = σ A1 (T14 −T24 ) = transferencia de calor

(3.44)

Donde T 2 es la temperatura superficial del espacio cerrado en Kelvin. Los cuerpos reales no satisfacen las especificaciones de un radiador ideal, aunque emiten radiaciones a una tasa menor que los cuerpos negros. Si emiten a una temperatura igual a la de un cuerpo negro en cada longitud de onda , se les llama cuerpos grises.

127

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica Un cuerpo gris con una A1, con una T 1, emite radiación a razón de: ε1σ A1T 14

La razón de transferencia de calor entre un cuerpo gris con una temperatura T 1 y un espacio cerrado circundante con T 2 es: q = ε1σ A1 (T14 − T24 )

(3.45)

Algunos ejemplos de las longitudes de onda típicas de la energía radiante en metros son:



Rayos

 (m)

Cósmicos

1012 y menores

Gama

1012 a 1011

X

1012 a 108

Ultravioleta

108 a 4107

Luz visible

3,8107 a 7,8107

Calorí�co

7107 a 108

Microondas. radar

102 a 101

Radio FM

1 a 10

Radio de onda corta

10a 102

Radio AM

102 a 103

Comunicaciones marítimas

10 3 a 104

Convección

Esta forma de transferir el calor se compone de dos mecanismos; el primero se debe al movimiento molecular aleatorio (difusión) y el segundo al movimiento macroscópico del fluido. En sentido estricto, un medio para mover energía de un lugar a otro se considera un transporte de energía. Este ocurre debido a que el fluido en movimiento recoge energía de un cuerpo caliente y la entrega a un cuerpo más frío. El movimiento del fluido se asocia con el hecho de que gran número de moléculas se forman de manera colectiva o son agregadas de manera aleatoria. Por tanto, la transferencia de calor se debe al transporte de energía por el movimiento aleatorio de las moléculas y por el movimiento global del fluido en la capa límite. La transferencia de calor por convección se clasifica en: a) Forzada. Sucede cuando el flujo del fluido es causado por medios externos, como un ventilador, una bomba o el viento atmosférico; por ejemplo, el ventilador de una computadora, el cual provee el enfriamiento de los componentes electrónicos sobre un arreglo de tarjetas impresas, como se observa en la figura 3.26. b) Natural o libre. Sucede cuando el flujo es inducido por fuerzas de empuje que surgen a partir de la diferencia de densidades ocasionada por variaciones de temperatura en el fluido; por ejemplo, las lluvias de convección, que se producen cuando el aire asciende por diferencias de temperaturas a causa de un calentamiento local (ascensión convectiva). El gradiente de temperatura adiabático tiene que ser menor que el gradiente vertical medido de temperatura. Entonces, el aire inestable asciende y se forman las nubes (cúmulos y cumulonimbos), dando lugar a precipitaciones de tormentas y granizo. Sin importar la naturaleza particular del proceso de transferencia de calor por convección, la ecuación o modelo que define este proceso es: Figura 3.26 Transferencia de calor forzada.

128

q '' = hA(T∞ −TS ) = transferencia de calor por conveccción

(3.46)

Donde T ∞ es la temperatura del fluido; T S es la temperatura de la superficie, y h es el coeficiente de trans ferencia de calor por convección. A continuación se muestra una tabla con algunos valores de h.


©

Tabla 3.2 Proceso

h

W m −K 2

Convección libre Gases

2-25

Líquidos

50-1 000 Convección forzada

Gases

25-250

Líquidos

50-20 000 Convección con cambio de fase

Ebullición o condensación

2500-100 000

Fuente: Incropera, F. y DeWitt, D., Fundamentos de transferencia de calor , 4ª ed., Prentice- Hall, México, 1999, p. 8.

Problema resuelto Una computadora de alta velocidad se localiza en una habitación con una temperatura controlada de 26 ºC. Cuando la máquina está funcionando, se estima que su razón de generación de calor interno es de 1 000 W. La temperatura de la superficie externa de la computadora ha de mantenerse por debajo de los 75 ºC. Se w estima que el coeficiente de transferencia de calor de la superficie de la computadora es de 10 2 . ¿Qué mK área se requiere para garantizar el funcionamiento seguro de la computadora? Solución

Se trata de una transferencia de calor por conducción. Se conoce: • La temperatura del medio ambiente T ∞  75 °C. • La temperatura de la superficie T S  26 °C. • La transferencia de calor (convección) 1 000 W. Para la solución de este problema, se requiere encontrar: El área superficial de disipación, en m2, capaz de mantener en operación óptima la computadora de alta velocidad.

Suposiciones: a) Flujo de calor constante. b) Transferencia de calor por convección forzada, debido a que la disipación se realiza por medio de un ventilador. c) La ecuación de transferencia de calor por convección es: q '' = h(T∞ − TS )

Datos: q´´ = 1000 W; T∞ = 26 °C = 299,15 K; T ∞ = 75 °C = 348,15 K; h = 10

W m2K

Sustituyendo datos: q´´= hA (T∞ − TS ) = 10

W A(348,15 − 299,15) = 1000 W m2K

Despejando el área: A=

q´´ h(T∞ − T 0 )

=

1000 W

W 10 2 ( 348,15 − 299,15)K mK Por tanto, el área de disipación de transferencia es:

= 2,04 m2

A  2,04 m2

129

UNIDAD

3


3.8 Energía potencial, energía cinética y energía interna A continuación se transcriben las definiciones de los términos de energía, energía potencial, energía cinética y energía interna. Energía La energía es inherente en la materia. Por energía indicamos algo que aparece en muchas formas, las cuales se relacionan entre sí por el hecho de que se puede hacer la conversión de una forma de energía en otra. Energía potencial Es la energía presente debida a la posición de la masa en un campo gravitacional y que está en función de la altura relativa desde un plano de referencia. Energía cinética Es la energía presente debida al movimiento de traslación o rotación de una masa. Energía interna Es toda la demás energía presente, tal como la de rotación o la de vibración de enlaces químicos. La cantidad total de energía que contiene un sistema no puede determinarse. Estamos acostumbrados, por tanto, a medir la energía por encima de alguna referencia arbitraria. En el estudio de la termodinámica es conveniente considerar separadamente a la energía cinética y a la energía potencial y entonces reunir todas las otras energías del sistema en una sola propiedad, a la que llamaremos energía interna, a la que se le otorga el símbolo U . Así: E  energía interna  energía cinética  energía potencial E  U  E C  E P

La razón para hacer esto es que la energía cinética y la energía potencial están asociadas con el marco coordinado que escojamos y que puede ser especificado por los parámetros macroscópicos de masa, velocidad y elevación. La energía interna, U, incluye todas las otras formas de energía del sistema y está asociada con el estado termodinámico de dicho sistema. Un ejemplo es la energía propia de las moléculas (rotación, traslación, vibración, etc.), química, energética, eléctrica, electrostática, entre otras más. Con base en lo dicho antes, y con relación a la unidad de masa, se puede expresar como: e  energía interna  energía potencial  energía cinética e =u+

v ∗2

2

+ gz =

kJ kg

(3.47)

Donde: v* : es la velocidad z : es la elevación del sistema con relación a algún punto de referencia. Con base en el principio de conservación de la masa y la energía (aspecto que es f undamental en la naturaleza), que es conservativo de estas dos propiedades, se puede definir como una gran ley, el hecho de que la masa o energía (materia) no se puede crear ni destruir y que solo se pueda transformar. Pero la masa y la energía se pueden convertir una en otra de acuerdo con la fórmula: E  mc 2

(3.48)

Donde: c : es la velocidad de la luz m: es la masa. Por tanto, la ecuación expresa que la masa de un sistema cambiará cuando su energía cambie. Sin embargo, en la práctica, en las diferentes interacciones energéticas reales (con excepción de la energía nuclear), el cambio de masa es extremadamente pequeño.

130


©

Por lo que, para un sistema cerrado, el principio de conservación de la masa se emplea de manera implícita, al referir que la masa del sistema permanecerá constante, durante un proceso: (3.49)

me  ms

Por lo que la primera ley de la termodinámica se define como:

∆E = Q + W = E 2 −E1

(3.50)

Donde:

∫

∫

W = −W = − F ds = − P dV

(3.51)

Esta ecuación significa que el cambio en la energía total de un sistema cerrado es igual a la energía neta transferida como calor y trabajo hacia el sistema. Los sistemas cerrados, a menudo, se someten a procesos durante los cuales cambia únicamente la energía interna del sistema. Para tales procesos, la ecuación se reduce a: (3.52)

U t   Q  W

Donde U t es la energía total del sistema. Para sistemas abiertos, el cambio de energía se relaciona directamente con el flujo másico y/o volumétrico, que se describe a continuación. Para el análisis de un sistema abierto se hace uso de una idealidad o frontera imaginaria llamada volumen de control, como se muestra en la figura 3.27, que se encuentra separada de sus alrededores mediante una superficie de control. Volumen de control ∞

∑m

m s

i =1

' s

Figura 3.27 Esquema de un volumen de control.

Super�cie de control

Por lo que definimos al flujo másico como “la cantidad de masa que atraviesa una sección transversal por unidad de tiempo, y se denota como m'”. El flujo que pasa sobre la sección transversal hacia dentro o hacia fuera, se define como: dm'  v* n dA

(3.53)

Donde: : densidad del fluido. v* n : es el componente de la normal de la velocidad del fluido a dA. El flujo másico a través de la totalidad del área transversal de una tubería o ducto se calcula por integración: kg (3.54) m' = ∫ ρ v n∗ dA = A s El flujo de un fluido a través de una tubería o ducto puede aproximarse a un flujo unidimensional, y por tanto puede suponerse que las propiedades varían únicamente en una dirección. Como resultado de esto, todas las propiedades del fluido permanecen constantes a lo largo de la tubería o ducto como: densidad, temperatura y presión. Este no es el caso para la velocidad que varía de cero en la pared y máxima en centro debido a los efectos de la viscosidad (la fricción que existe entre las capas del fluido), como se muestra en la figura 3.28.

131

UNIDAD

3


Velocidad promedio

Velocidad máxima

Figura 3.28 Perfil parabólico de velocidades en un ducto.

Bajo la suposición de flujo unidimensional, se supone la velocidad constante a través de la sección transversal; entonces, la ecuación de flujo másico se puede definir como: m'  v* mA

(3.55)

Donde: ρ :

 kg   1  densidad del fluido 3  =  .  m   v especí f fico 

v* : velocidad promedio

m . s

A: área de la sección transversal m 2.

El segundo concepto es el flujo volumétrico o caudal, el cual se define como: C '=Q '=v * A=

m 2 m3 m= s s

(3.56)

El cambio de materia (masa y energía) para un sistema abierto viene acompañado por unidad de masa, y se puede expresar como: θ = Pv + e   kJ kg kJ v * 2 + gz  = × = m'θ = m'Pv + u + (3.57)  2  kg s s Donde: : es la energía total de un fluido en movimiento por unidad de masa.

3.9 Otros tipos de trabajos 

Proceso isobárico

Un proceso isobárico (iso  igual, bar  presión) es un proceso a presión constante. En un diagrama P-V , un proceso isobárico se representa con una línea horizontal llamada isobara. Cuando se añade o quita calor a un gas ideal a presión constante, el cociente V/T no cambia (porque V/T  nR/P  constante). Al expandirse el gas calentado, su temperatura aumenta, y el gas pasa a una isoterma a más alta temperatura. Este aumento de temperatura implica que la energía interna del gas aumenta, porque U  T . Entonces, el trabajo será: W=

V 2

∫

V 1

P dV = P (V2 −V1 )

(3.58)

También se puede expresar como: V =

nRT p

Como se trata de un gas ideal, si lo sustituimos en la ecuación anterior:  nRT 2 nRT 1  , como el proceso se lleva a cabo a P = cte. − W = P   P 2 P 1  W = nRT2 − nRT1, sacando f actor común

132

W =nR (T2 − T1 ) = kJ

(3.59)


©



Proceso isocórico o isométrico

Un proceso isométrico (de isovolumétrico), también llamado proceso isocórico, es un proceso a volumen constante. El camino del proceso en un diagrama p-V es una línea vertical, llamada isometra, y se cumple dV  0. No se efectúa trabajo, porque el área bajo una curva así es cero. (No hay desplazamiento, así que no hay cambio de volumen.) Puesto que el gas no puede efectuar trabajo, si se añade calor, este debe invertirse todo en aumentar la energía interna del gas y, por ende, su temperatura, como se muestra en la figura 1.5. W=

V 2

∫

V 1

P dV = 0

(3.60)

Donde: iguales. V 1 y V 2 son 

Proceso isotérmico

Un proceso isotérmico es un proceso a temperatura constante ( iso  igual, térmico  de temperatura: de igual temperatura). En este caso, el camino del proceso se denomina isoterma, o línea de temperatura constante. La ley de los gases ideales puede escribirse como PV  nRT . Puesto que el gas permanece a temperatura constante, nRT es una constante. Por tanto, P es inversamente proporcional a V ; es decir, P = v 1 , lo que corresponde a una hipérbola, como se muestra en la figura 1.6. Todo el calor añadido al gas se invierte en efectuar trabajo (el gas en expansión mueve el pistón), puesto que ∆T  0. Durante la expansión del estado 1 (inicial) al estado 2 (final), se añade calor al sistema, y tanto la presión como el volumen varían de manera que la temperatura se mantenga constante. El gas en expansión efectúa trabajo positivo. Como siempre, el trabajo es igual al área (sombreada) bajo la isoterma del diagrama P-V . En términos del trabajo, la ecuación que describe este proceso es: W=

V 2

∫

V 1

P dV

Si el gas se comporta como gas ideal, sigue la ecuación de estado: PV  nRT

Despejando P : P =

nRT V

Donde: R : es la constante de los gases ideales. Si sustituimos en la ecuación de trabajo: W =

V 2

∫

V 1

V nRT dV = nRT ln 2 V V 1

(3.61)

W  0, se trata de un proceso de expansión. W  0, se trata de un proceso de compresión.

La ecuación del trabajo se puede expresar también en función de la presión. Si aplicamos la ecuación general de los gases ideales, entonces: PV P V 1 1 = 2 2 T 1 T 2

Si despejamos la relación

V 2 de la ley general de los gases ideales: V 1 V 2 PT = 12 V 1 P2T 1

Como el proceso se lleva a cabo a temperatura constante: V 2 P 1 = V 1 P 2

133

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica Sustituyendo en la ecuación del trabajo: W = nRT ln 

P 1 P 2

(3.62)

Proceso adiabático

En un proceso adiabático no se transfiere calor hacia el interior ni hacia el exterior del sistema, es decir, dQ  0. (El vocablo griego adiabatos significa “impasable”). Esta condición se satisface en un sistema térmicamente aislado, rodeado en su totalidad por un aislante “perfecto”. Se trata de una situación ideal, ya que hay algo de transferencia de calor, incluso con los mejores materiales, si esperamos el tiempo suficiente. Por tanto, en la vida cotidiana, solo podemos aproximar los procesos adiabáticos. Por ejemplo, pueden efectuarse procesos casi adiabáticos si los cambios son lo bastante rápidos y no hay tiempo para que una cantidad significativa de calor entre en el sistema o salga de este. Hay diversas formas de expresar la ecuación de estado para un proceso adiabático reversible de un gas ideal.

Problema resuelto Una cierta cantidad de gas diatómico se encuentra dentro de un sistema cilindro-pistón, en las condiciones iniciales P 1  2 atm y V 1  0,5 L (estado 1). Pasa al estado 2 hasta que el volumen alcanza 2,5 L, para ello se plantean tres formas distintas para alcanzar el estado final y son: 1. Expansión isotérmica hasta llegar a un V 2  2,5 L. 2. Una reducción de la presión a volumen constante hasta P*  0,5 atm, seguida de una expansión a presión constante hasta alcanzar el estado 2, V 2  2,5 L y P 2  0,5 atm. 3. Expansión a través de un proceso adiabático hasta alcanzar V 2  2,5 L y P 2  0,5 atm. Calcular el trabajo realizado para los tres procesos y comparar dichos trabajos realizados para cada uno de los procesos, si n  10 mol. Realizar las gráficas correspondientes. Solución

Análisis: Un gas confinado en cilindro-pistón experimenta una expansión hasta un volumen final de 2,5 L. Se quieren comparar los diferentes trabajos realizados por tres procesos diferentes: a) isotérmico; b) a una reducción de la presión a volumen constante, seguido de una expansión a presión constante, y c) expansión adiabática. Comparar los tres trabajos realizados por los procesos y determinar cuál es el trabajo máximo posible que se puede alcanzar. Metodología: Utilizando la definición básica del trabajo para los diferentes procesos que se utilizan en el ejemplo, dar el W  kJ. a) Para el proceso de expansión isotérmico. La ecuación básica para el trabajo de expansión es: W− W = nRT ln

V 2

∫

V 1

P dV

V 2 P = nRT ln 1 = kJ V 1 P 2

En la figura 3.29 se representa gráficamente el proceso isotérmico del problema. P

2

Figura 3.29 Diagrama PV del proceso isotérmico.

134

T 1  T 2  cte

P 2

0,5

2

V

(continúa)


©


Primero, debemos calcular la temperatura que va a permanecer constante: P 1V 1  nRT 1

Despejando la temperatura: T 1 =

( 2 atm× 0,5 L) = 1,2195 K L − atm   10 mol× 0,082 mol − K  

P1V 1 nR 

Calculando la temperatura final es: P 2V 2  nRT 2

Se despeja la presión: L − atm

nRT 2 10 mol× 0,082 mol − K = = 0,4995 atm P 2 = 2 l V2

Que es aproximadamente igual al dato reportado de 0,5 atm. Calculando el trabajo isotérmico: W = nRT ln W = 10 mol× 0,082

V 2 P = nRT ln 2 V 1 P 1

L − atm 2,5 L ×1,,2195 K Ln = 1,6093 L − atm mol − K 0,5 L

 kJ   8,314 mol − K  = 163,17 kJ W = 1,6093 L − atm  0,082 L − atm   mol − K  b) Para una reducción de la presión a volumen constante hasta P 2  0,5 atm, seguida de una expansión a presión constante hasta alcanzar el V 2  2,5 L. Este proceso en dos pasos, uno a volumen constante (condiciones intermedias), seguido de un proceso a volumen constante hasta llegar a las condiciones finales, como se muestra en la figura 3.30.

T 1  1,2195 K

P 1 T *

T 2 P 2  P *  0,5

Figura 3.30

0,5

Proceso en dos etapas.

2,5

Suponemos que el comportamiento del gas diatómico es ideal, por tanto sigue la ecuación general del estado gaseoso. P1V 1 P2V 2 = T 1 T 2

El proceso isocórico va del estado inicial al estado intermediario; a partir de la ecuación general de los gases ideales, calculamos la temperatura intermedia: P1V 1 P *V * = * T 1 T T ∗ =

P *V *T 1 0,5 atm× 0,5 L ×1,2195 K = = 0,3049 K 2 atm× 0,5 L P1V 1

(continúa)

135

UNIDAD

3



Calculando la temperatura en el estado 2:

T 2 =

P *V * P2V 2 = T 2 T *

P2V2T * 0,5 atm× 2,5 L × 0,3049 K = 0,5 atm×0,5 L P *V * T 2 = 1,5245 K

Evaluación del trabajo: W = 0, para proceso isocó rico V 2

−W = ∫ P dV = 0, 5 atm× (2,5 − 0,5)L = 1,0 atm− L V *

 kJ   8,314 mol − K  = 101,39 kJ −W = 1 atm − L   0,082 atm − L   mol − K  c) Para el proceso adiabático: Estado inicial P 1  2 atm y V 2  0,5 L. Estado final P 2  0,5 atm y V 2  2,5 L.

T 1

P 1

Figura 3.31 Proceso adiabático.

Proceso adiabático

T 2

P 2 V 1

Isotermas

V 2

Calculando el valor de la temperatura final: Cv

Cv

V1T1 R = V2T2 R , despejando T2

Cv Cv R

V T R T 2 = 1 1 V 2 Cv

T 2 =

Cv R

V1T 1 R Cv V 1 = R ×T 1; V 2 V 2

Donde: 5

R Cv 2 = = 2,5 R R T 2 = 2.

5

0,5 ×1,2195 = 0,6406 K 2,5

Proceso politrópico Durante los procesos de expansión y compresión de gases reales, la presión y el volumen, a menudo, se relacionan por medio de PV x  constante, donde 1     , y se le denomina proceso politrópico como: aquel proceso intermedio entre un proceso adiabático y uno isotérmico, o aquel que tiene lugar con capacidad calorífica constante, es decir, un proceso a lo largo del cual la temperatura del gas varía proporcionalmente con el calor intercambiado con el entorno o generado en el interior por rozamiento, como se muestra en la figura 3.32.

136


©

PV g constante

P 1V 1g  P 2V 2g

Figura 3.32 Representación gráfica de un proceso politrópico.

La presión en un proceso politrópico se expresa como: PV κ = C = P1V1κ = P2V2κ

Si despejamos la presión: κ P2V 2κ C P1V 1 = = V κ V κ V κ

P =

Al sustituir esto en la ecuación W = ∫ P dV : V 2

∫ P dV = C ∫

W=

V 1

dV V κ

Para  1: W=

∫

2 1

2

dV V −κ+1 C 1−κ = P dV = C κ = C V2 − V 11−κ ) ( 1 V −κ + 1 1 1− κ

∫

2

Si se realiza el álgebra correspondiente nos queda: W =

C (V21−κ )− C (V11−κ )

1− κ

(3.63)

Sustituyendo el valor de C: W = W =

1−κ κ P2V2κ (V21−κ ) − PV 1 1 (V1 )

1− κ

=

κ+1−κ P2V2κ+1−κ − PV 1 1

1− κ

P2V2 − PV 1 1

1− κ κ κ Puesto que PV = C = P2V2 = PV1 , para   1. W=

V 2

∫

V 1

(3.64)

P dV ,

Sustituyendo el valor de la presión: PV  C; despejando la presión C ; donde C = PV 1 1. V

P =

Si sustituimos en la ecuación de trabajo: W=

Integrando:

∫

V 2 V 1

P dV =

V 2

∫

V 1

C dV = V

V 2

∫

V 1

W = PV 1 1 ln

V 2 dV PV 1 1 dV = PV 1 1 V V V 1

∫

V 2 V 1

Asimismo, también para el proceso politrópico, para el sistema cilindro-pistón, y cuyo comportamiento del gas sea ideal (y que se aplica la ecuación de estado PV  nRT ), entonces, la ecuación del trabajo se puede expresar como:

137

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica W =

P2V2 − PV 1 1

1− κ

Sustituyendo el valor de P 1V 1  nRT 1 y P 2V 2  nRT 2: nRT2 − nRT1 W = k ≠ 1 1− κ nR (T2 −T1 ) Si factorizamos W = para   1. 1− κ En conclusión, el proceso politrópico demuestra una relación funcional especial de P y V durante el proceso; pero estas no son solo las únicas relaciones posibles que pueden existir. 

Trabajo de eje o trabajo mecánico rotatorio

Se evalúa en función del par externo transmitido por un eje rotatorio, donde la fuerza externa actúa con un brazo r y produce un par. Si el ángulo entre el brazo y la fuerza externa es de 90º, entonces la magnitud del t r

par  xtern   Fr o F= . El trabajo de eje es realizado sobre el sistema por la fuerza externa que se desplaza una distancia diferencial dS  rd , donde  se mide en radianes, por tanto el trabajo de eje se define como:  We je  FdA

Si se sustituyen los valores de la fuerza y la distancia nos da: δ W eje =

τ

r

rd θ = rd θ

(3.65)

Puesto que el movimiento rotatorio se expresa en función del número de revoluciones por unidad de tiempo (n*) , es más fácil representar la potencia del eje que el trabajo de eje, y se puede definir como: W ∧ =

W eje t

De forma diferencial se obtiene la siguiente ecuación: W ∧ =

δ W eje

dt

=

2πn * τ d θ dt

(3.66)

Donde: d θ : es medido en radiantes por unidad de tiempo. dt   2 n*: es la velocidad angular o rotatoria.

Despejado el trabajo de eje:

∫ δW

eje

=∫ W ∧dt = ∫

t 2 t 1

τω dt = τω

∫

t 2 t 1

dt

Si el par es constante durante el proceso, la integración nos queda: W eje    2n 

(3.67)

Trabajo eléctrico

El trabajo eléctrico que se realiza sobre un sistema depende de las medidas realizadas en la frontera del sistema. Cuando se mueve una pequeña carga entre los estados 1 y 2 en un campo electrostático (por ejemplo, un circuito eléctrico), el trabajo necesario para mover la carga en el campo está dado por la siguiente ecuación:  We léctrico  V Q C

Donde: V es la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos.

138

(3.68)


©

Por otro lado, la carga eléctrica está relacionada con la intensidad de corriente durante un determinado tiempo, mediante la siguiente relación: (3.69)

dQC  Idt

El trabajo diferencial es necesario para que pase una corriente de intensidad I, entre dos puntos en la frontera del sistema con un diferencial de potencial V , durante un periodo de tiempo dt . Esto nos permite definir el trabajo eléctrico como: (3.70)

 We léctrico  V Idt

Por tanto, la potencia eléctrica se puede definir como: W eléctrico =

δ W eléctric o

dt

(3.71)

= Vl

De manera general, la intensidad de corriente I y la diferencia de potencia V se miden en la frontera del sistema y pueden depender del tiempo. Por esa razón, el trabajo eléctrico y el trabajo de eje dependen en gran medida del camino del proceso y no solo de los estados finales. Cuando la intensidad y la diferencia de potencial son constantes, el trabajo eléctrico puede calcularse como: Weléctrico =

∫

t 2 t 1

Wpotencia elec dt =

t 2

∫

t 1

Vl dt = Vl ∆t

(3.72)

El trabajo eléctrico es otro ejemplo de interacción no cuasiestática.

La unidad del W eléctrico es el Watt . 

Alerta

Trabajo de resorte o muelle elástico

Cuando se aplica una fuerza F a un resorte, ya sea de tracción o de compresión, es necesario determinar el desplazamiento x . Cuando la longitud del resorte cambia en una cantidad diferencial dx , bajo la influencia de una fuerza F , el trabajo efectuado es: (3.73)

 Wr esorte  Fdx

Para poder determinar el trabajo, es necesario conocer la relación de la fuerza con la tracción o compresión del resorte entre la F y x. En resortes elásticos lineales, el desplazamiento de x es proporcional a la fuerza aplicada, esto es: F  x

KN m El desplazamiento o compresión del resorte x se mide desde la posición de equilibrio, esto es: x = 0 cuando F = o F = kx , donde k es la constante delresorte

δ Wresorte = Fxdx , integrando

∫

2 1

W resorte =

∫

x 2

x 1

  2

 

1 Fx dx = F  x22 − x12  

(3.74)

Problema resuelto Un resorte elástico tiene una elongación desde su longitud inicial hasta una x 1  0,35 m aplicando una fuerza de 250 N. Después, se realiza un trabajo de 275 N-m, de modo que x 2, es mayor que x 0. Determinar: a) El valor de x 0. b) La longitud de x 2. Para ambos casos, dar la respuesta en m, si la constante del resorte es 1 000

N . m

139

UNIDAD

3


Datos: Se conoce el trabajo, la constante k y las longitudes iníciales y finales del resorte, como se muestra en el diagrama siguiente: x 1

x 2

x 3

F

Figura 3.33 Trabajo de resorte.

Análisis: Es válida la ley de Hooke para la compresión del resorte. Para un material elástico, la relación de fuerza desplazamiento está dada por la siguiente fórmula. F  K (x 1 − x 0)

Despejando x 0 de la ecuación anterior: x 0 =

Sustituyendo datos:

F + x k 1

−250 N

x 0 =

+ 0.35 m = −0.25 + 0.35 = 0.10 m N 1000 m La longitud inicial del resorte es, entonces, 10 cm. Calculando la distancia x 2: El trabajo realizado para la del resorte es: Wx x 12 =

x 2

∫

x 1

  2 

  

1 kx dx = k x 22 − x12  

Despejando x 2: k W x x 12 =  x 22 − x12  = despejando x 2 2

2

2

x 22 = W12 + x 12 = x 22 = W12 + x 12 k k

2

2

x 2 =

W 2 + x 12 = W 2 + x 1 k 1 k 1

x 2 =

2 ( 275) + 0,30 = 1,04 m 1000

Además de resortes y alambres, muchos materiales sólidos pueden describirse por medio de la ley de Hooke, mientras no se supere el límite elástico. Suele ser muy conveniente emplear la tensión  y la deformación , asociados con el proceso, en vez de la fuerza y la elongación. La tensión se define como

σ =

F , donde A0 es el área de la sección transversal sin deformar. A0

Si despejamos la fuerza nos queda: F  A0 L −L 0 La deformación relativa es: ε = , L 0 1 si diferenciamos ∂ε = ∂L .

Despejando la L:

140

L 0

 L  L 0 


©

El trabajo elástico se puede calcular:  We las  FdL 

sustituyendo los valores de la fuerza y de dL.  We las  A0 L 0

El producto A0 L 0  V 0 Sustituyendo:  We las  V 0 .

Si la deformación se lleva a cabo a temperatura constante, el módulo isotérmico de Young es: E t

σ ε

Despejando la tensión:   E t

Sustituyendo:  We léctrico  V 0 E t 

Integrando nos queda: E 2

∫ ∂Welas =∫ V0E t ε∂ ε E 1

W elas =

V0E t

2

(ε22 − ε12 )

Donde: V 0 es el volumen, E t es el módulo isotérmico de Young y  es la deformación del sólido. Esta expresión del trabajo elástico es análoga a la del trabajo de un resorte; para ambos casos, las constantes son K (del resorte) y (E t ) es el módulo isotérmico de Young. A continuación se dan algunos valores típicos del módulo isotérmico de Young. Tabla 3.3



Materiales

Modulo de Young (GPa)

Acero

210

Aluminio

60

Carburo de wolframio

500-600

Hormigón

10-40

PVC

3,5

Vidrio

70

Alargamiento de una lámina

En ocasiones se requiere alargar una hoja de un material plástico, inflar un globo o formar burbujas de vapor o líquido, todos estos procesos requieren de un cambio del área de superficie del material. La deformación de la lámina superficial se relaciona directamente con la propiedad intrínseca llamada tensión superficial  , que es una medida de la fuerza por unidad de longitud necesaria para mantener una superficie, en la figura 3.34 se muestra el esquema de esta película montada sobre un marco de alambre, uno de cuyos lados se puede mover.

F

Marco Película

F

Figura 3.34 Representación de alargamiento de una lámina.

141

UNIDAD

3

Calor, trabajo, energía y la primera ley de la termodinámica Cuando el área de la película cambia a dA, por ejemplo, al deslizar el alambre móvil a lo largo del marco, el trabajo que el sistema realiza sobre la película o bien que esta realiza trabajo sobre el sistema es: (3.75)

 W  − dA

Integrando:

∫

2 1

2

∂W = −∫ τ dA 1

2

∫ τ dA

W12 = −

(3.76)

1

Problema resuelto Una película de etanol a 20 ºC tiene una tensión superficial de 22,3 N/m, y se mantiene sobre un marco de alambre. Si la superficie pasa de 20 mm  30 mm a 20 mm  40 mm. Encontrar el trabajo que se realiza sobre la película. Solución

Se conoce: • La tensión superficial. • Las dimensiones de la película para calcular las áreas correspondientes para realizar el cálculo del trabajo. Para la solución de este problema, se requiere encontrar: El trabajo realizado para expandir la película.

Análisis: Para determinar la cantidad de W se deben calcular las áreas correspondientes después de generar la deformación de la película, aplicando la ecuación: 2

∫ τ dA= − τ ( A − A )

W12 = −

2

1

1

A1 = 0,02× 0,03 = 0,0006 m 2 A2 = 0,02 ×0,04 = 0,0008 m2

Sustituyendo los valores en la ecuación: W12 = −τ ( A2 − A1 ) = − 22,3(0,008 − 0,006) = 0,0446

46 W 12 = 0,044



N 2 m = 0,0446 N×m = 0,0446 J m

Trabajo de frontera en fase sólida y líquida

La integral de PdV puede utilizarse para evaluar la expansión o la compresión cuasiestática para cualquier fase de interés. Para sólidos y líquidos, a menudo, la variación de la presión con el volumen se expresa indirectamente, en términos de una propiedad llamada compresibilidad isotérmica K T. Esta propiedad se define de la siguiente forma: 1  ∂V  1  ∂V  K T = −   T = −   T V  ∂T  V  ∂T  WT = 

∫ 1

2

P dV =

K P dP ∫ vK 1

T

(3.77)

Trabajo isotérmico de compresión (−) W T =

142

2

v 1K T

2

(P22 − P 12 )

(3.78)


©

A partir de la ecuación anterior, podemos estimar, con precisión razonable, el trabajo total requerido para comprimir un sólido o un líquido a temperatura constante. En la tabla 3.4 se muestra la compresibilidad isotérmica del cobre y el agua en función de la temperatura. Tabla 3.4 Compresibilidad isotérmica K T en bar 1, para el cobre sólido y el agua líquida, como función de la temperatura



T K

100

150

200

250

300

500

800

K T 10−6

0,721

0,734

0,749

0,763

0,778

0,839

0,922

T ºC

0

10

20

30

40

60

80

K T  10−6

50,89

47,81

45,90

44,77

44,24

44,50

46,15

Trabajo realizado durante un ciclo

Cuando un sistema cerrado realiza una serie de procesos de manera que el fluido dentro del sistema vuelve a su estado original, entonces el sistema ha pasado por un ciclo. Si cada uno de los procesos individuales que conforman el ciclo es reversible, entonces el ciclo completo es reversible. Un ciclo que sigue una dirección en el sentido en que giran las manecillas del reloj en un diagrama PV produce una salida de trabajo positiva, mientras que un ciclo invertido que sigue la dirección opuesta al sentido de las manecillas del reloj representa una entrada de trabajo negativa.

Problema resuelto Se tiene un sistema cilindro-pistón en el que se comprime amoniaco, por acción de una fuerza externa que actúa sobre el pistón. El amoniaco se encuentra inicialmente a T  30 ° C y P  500 kPa, alcanza las condiciones finales de P 1 400 kPa. Por medio de un medidor de presión y de volumen se obtienen los siguientes datos del proceso de compresión: P (kPa)

500

653

802

945

1 100

1 248

1 400

V ( l )

1,25

1,08

0,96

0,84

0,72

0,60

0,50

Calcular la función del trabajo de compresión para este proceso. Solución

Se conoce: De los datos experimentales de la compresión se puede deducir el tipo de trabajo que se lleva a cabo; la ecuación de estado lineal debe correlacionar directamente las variables (P vs. V ) y permitir dar la solución correcta al problema. Para la solución de este problema, se requiere: a) Determinar la ecuación de estado lineal más adecuada. b) Calcular el factor de correlación que relacione más apropiadamente las variables. c) Calcular el trabajo de compresión. Esquema: Sistema cilindro-pistón conteniendo amoniaco, como se muestra en la figura 3.35.

Condiciones iniciales P 1  500 kPa; T 1  30 ºC; V 1  1,25 L

Condiciones �nales P 2  1 400 kPa; T 2  ?; V 2  0,50 L

Figura 3.35 (continúa)

143

UNIDAD

3


Análisis: El trabajo de compresión para un sistema cerrado depende en gran medida de la trayectoria seguida para realizar el proceso entre los estados (inicial y final), de manera que el trabajo realizado es igual al área bajo la curva de un diagrama PV. Por tanto, la definición del tipo de proceso es indispensable para dar solución a este tipo de problema. En primer lugar, definiremos que se trata de un proceso cuasiestático, que se puede describir por medio de las siguientes ecuaciones termodinámicas: a) Pf (V ) b) PV   constante Para evaluar la función del trabajo, primero se requiere hacer el análisis correspondiente de los datos y la representación gráfica que más se ajuste a una ecuación de estado de tipo lineal. Para el primer caso: 1600 a) Para la función Pf (V ) 1400 1200 a P 1000 k n ó 800 i s e r 600 P 400 200 0 0,00

Figura 3.36 Representación gráfica para la Pf (V ).

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

Volumen L

La representación gráfica que se obtiene es de tipo lineal (esta atraviesa la nube de puntos y es la que mejor se ajusta a ellos) y tiene la función de estado: Pf (V )  mV  b. Donde m es la pendiente de la gráfica y b es la ordenada al origen. Para determinar si realmente es una línea recta, se utiliza el método de mínimos cuadrados. Dicho método se basa en la medición de la distancia vertical de cada punto a la recta (líneas de trazos en la figura adjunta). De manera que la recta buscada será aquella en que la suma de estas distancias sea mínima.

n ó i s e r P

Volumen

Figura 3.37

Si establecemos que ambas variables se correlacionen directamente (como variable dependiente e independiente), obtendremos una funcionalidad y, de esta forma, la ecuación de estado de la línea recta de regresión, y con ello estimar valores de P desconocidos a partir de valores de V conocidos. Asimismo, la ecuación de trabajo (que podemos formular a partir de este hecho) es:

∫

W =−

V 2

V 1

Pf (V ) δV = −

V 2

∫

V 1

  V 2 − V 2   2 1   + b(V2 − V 1 )    2 

(mV + b ) δ V = − m

Donde m y b son constantes. Las constantes se pueden calcular por medio del método de mínimos cuadrados a partir de las siguientes ecuaciones: N

N m=

∑ i =1

N

N

∑ ∑y i =1

xi

i =1

i

2

N

∑ ∑ i =1

xi2

i =1

N

N

∑ i =1

144

N

 N 2 N ∑ x i − ∑ x 1   i =1  i =1 N

N b =

xi y i −

yi −

N

N

∑ ∑y x i =1

xi

i =1

i

i

 N 2 x   ∑ i =1 

x xi 2 − 

(continúa)


©


X

Y

X2

XY

V2

1,25

500

1,5625

625

250 000

1,08

653

1,1664

705,24

426 409

0,96

802

0,9216

769,92

643 204

0,84

945

0,7056

793,8

893 025

0,72

1 100

0,5184

792

1 210 000

0,6

1 248

0,36

748,8

15 557 504

0,5

1 400

0,25

700

1 960 000

5,95

6 648

5,4845

5 134,76

6 940 142

Sustituyendo los datos: N

N m=

i

i =1

N

i

i =1

i

i =1

i

=

 N 2 N ∑ x i 2 − ∑ x 1   i =1  i =1

7 5 134, 76 − 5, 95× 6648 ( ) ( ) 2

7(5, 4845) − (5, 95)

N

N

b =

N

∑x y −∑x ∑ y N

N

N

∑ x ∑ y −∑ x ∑y x i =1

2

i

i

i =1

i

i =1

i

i =1

i

 N 2 N ∑ xi − ∑ x i   i =1  i =1 N

= 1208, 5 2

=

2

(5 , 4845 ×6, 648) − (5, 95×5 134, 76 ) = 1976, 96 7( 5, 4845) − (5, 95)2

La funcionalidad de la presión respecto al volumen es, por tanto: Pf (V )  −1 208,52V  1 976,96

Si sustituimos un valor cualquiera del volumen para determinar la presión: Pf (0,84) = −1 208,52(0,84) + 1976,96 = 961,80

961,8 − 945 ×100 = 1,78 945 Cuyo valor no es muy significativo, por tanto podemos utilizar la ecuación de Pf (V ) para valorar el trabajo. La expresión matemática para el trabajo es la siguiente: %error =

V 2

∫

W =−

V 1

(−1208, 5 2 V + 1976, 96 ) dv

Donde V está dado en litros y la P en kPa. Para corroborar si la función es la adecuada, se calcula el factor de correlación a partir de la siguiente ecuación: N

N

N

∑x y −∑x ∑ y

r =

i =1

N

N

∑ i =1

i

i

i =1

i

i =1

i

N  N 2  N 2 2  x N y * − ∑ y i  ∑ i  i  ∑  i =1  i =1 i =1

5 134,7 76

=

xi2 − 

− (5, 95× 6648) 2

2

7(5, 4845) − (5, 95) 7(6 940,142) − (6 648)

r = −9916

El factor de correlación es muy alto; por tanto, la relación entre las dos variables puede ser o no la correcta. b) Proceso politrópico que viene dado por la siguiente ecuación: PV 8  C

Donde: 1< γ <

5

3 Si aplicamos el logaritmo a ambos lados de la igualdad, se obtiene: ln(PV 8 )  lnC (continúa)

145

UNIDAD

3


Por propiedades de los logaritmos nos queda: lnP   lnV  lnC Arreglando términos nos da: lnP  −  lnV  lnC La representación gráfica de lnP vs. lnV es: Construcción de la gráfica:

ln V

ln P

X2

Y 2

xy

0,22310 0,07700 0,04080

6,21460 6,48160 6,68710

1,38647726 0,4990832 −0,27283368

38,6212532 42,0111386 44,7173064

1,38647726 0,4990832 −0,27283368

0,17440

6,85120

−1,19484928

49,0434096

−1,19484928

0,32850

7,00310

−2,30051835

49,0434096

−2,30051835

0,51080

7,12930

−3,64164644

50,8269185

−3,64164644

0,69310

7,24420

−5,02095502

52,4784336

−5,02095502

1,44750

47,61110

−10,5452423

324,637401

−10,5452423

Si graficamos:

7,40000 7,20000 7,00000 P

6,80000

n l

6,60000 6,40000 6,20000 6,00000 0,80000 0,60000 0,40000 0,20000 0,00000 ln V

0,20000

0,40000

Figura 3.38 Calculando la pendiente y la ordenada al origen: N

N m=

∑ i =1

N

N

∑ ∑y i =1

xi

i =1

 N 2 N ∑ xi − ∑ x 1   i =1  i =1 N

N

b =

xi y i −

i =1

N

i =1 N

N

7 10, 5452 (− ) −(−1, 4475× 47, 6111)

=

2

7(−10, 5 4524) − (−1, 4475)

2

∑ ∑ xi2

i

∑ i =1

yi −

N

N

∑ ∑y x i =1

xi

i =1

 N 2 x i   ∑ i =1

xi2 − 

= 0, 06454

i

i

(− 10, 54524 ×47, 6111) − (−1, 4475×− 10, 5452) = = 6, 8149 7(−10, 5452) − (− 1447 , 5 )2

La ecuación de la línea recta que es función de lnP  mlnV  lnC es: lnP  0,06454lnV  6,8149 Si sustituimos un valor del volumen cualesquier para determinar la presión. Para un valor de V  0,84: lnP  0,06454lnV  6,8149 lnP  0,06454ln0,84  6,8149  −0,01125  6,8149  6,80365 lnP  6,80365

146

(continúa)


©


Aplicando la inversa del logaritmo, que es la exponencial: elnP = e6,803647 = 901,13

901,13 − 945 ×100 = −4,64 945 Donde   m (pendiente)  0,06454, inc.  b (ordenada al origen)  6,80385. %error =

c) A partir de la definición del trabajo. Partiendo de la definición de C  f(v)  PV  para un proceso politrópico. Despejando y sustituyendo la presión: P = V 2

∫

W =−   es la relación entre =

V 1

C V γ

Pf (V ) δV = −

V 2

∫

V 1

C δ V V γ

CP 2,1300 = = 1,297 C V 1,6418

Calculando el valor de la constante PV γ = C = (500 )(1, 25)1,297 = 82, 81kPaL1,297

∫

W = −

V 2

V 1

C δV = − V γ

V 2

∫

V 1

Integrando:

82,81 γ

V

V 2

∫

δ V = − 82,81

V 1

δ V

V 1,297

  1  0,297  0,297V 

W = −82,81−  W =

82,81 0,297V 0,,297

La ecuación representa el trabajo.

Problema resuelto En un cilindro rígido está contenido un émbolo que se puede mover de manera libre y sin rozamiento dentro del cilindro, como se muestra en la figura 3.39.



A

B

−

Figura 3.39 En este caso, tanto las paredes del cilindro como las del pistón son adiabáticas. Inicialmente, el pistón divide al cilindro en dos partes iguales, denominadas A y B, como se muestran en la figura; cada una de estas partes contiene un mol de ideal monoatómico a las condiciones de 300 K y 100 kPa de presión. En la parte A del cilindro se tiene un calentador eléctrico por el cual se hace pasar una corriente, de modo que la temperatura se incrementa muy lentamente hasta llegar a 600 K, suponiendo despreciables las capacidades caloríficas tanto del cilindro como del pistón. a) Hallar la presión final en ambos compartimientos, A y B. b) Encontrar la temperatura final del compartimiento B. c) Hallar el trabajo eléctrico suministrado al sistema por el calentador. Si se sabe que la capacidad calorífica a presión y el volumen constante para un gas monoatómico son, 5 3 respectivamente: cP = R y CV = R. 2 2

147

UNIDAD

3


Se conoce: • Un gas ideal, cuyo proceso es adiabático, Q  0, al que se le suministra un incremento de energía interna debido al trabajo eléctrico realizado. • El espacio del recipiente A sufre una expansión y en el compartimiento B se comprime el gas ideal. • El volumen total del sistema a lo largo del proceso es constante. VA1 + VD 1 = VA2 + VD2 = constante

(3.79)

Como el sistema llega al equilibrio mecánico, la presión final debe ser igual en los dos compartimientos, esto es: P2A = P2B = P 2

(3.80)

El comportamiento del gas monoatómico es ideal, sigue la ecuación de estado: PV = nRT

(3.81)

Calculando los valores para cada uno de los volúmenes del gas monoatómico: V A1 = V B1 = V A2 = V B2 =

nRT A1 P A1 nRT B1 P B1

(3.82)

(3.83)

(3.84)

(3.85)

nRT A2 P A2 nRT B2 P B2

Sustituyendo los valores de los volúmenes (ecuaciones 3.82, 3.83, 3.84 y 3.85) en el volumen total (ecuación 3.79) del sistema, nos da: nRT A1 P A1

Simplificando términos:

+

T A1 P A1

Suposiciones: Como:

nRT B1 P B1

+

T B1 P B1

+

+

nRT A2

+

P A2 T A2 P A2

+

nRT B2

T B2 P B2

P B2

(3.86)

(3.87)

P2A = P2B = P 2

(3.88)

P1A = P1B = P 1

(3.89)

Sustituyendo los valores de las ecuaciones 3.88 y 3.89 en la ecuación 3.87, nos da: T A1 P 1

+

T B1 P 1

+

T A2 P 2

+

T B2 P 2

(3.90)

De las condiciones iníciales, se define que el sistema se encuentra en equilibrio: TA1 = TB1 = T 1

(3.91)

PA1 = PB1 = P 1

3.92)

Sustituyendo las ecuaciones 3.90 y 3.91 en la ecuación 3.92:

2

148

T 1 T 1 T A2 T B2 + = + P 1 P 1 P 2 P 2

(3.93)

T 1 T A2 T B2 TA2 + T B2 = + = P 1 P 2 P 2 P 2

(3.94) (continúa)


©


Si aplicamos la primera ley, entonces:

∆U = Q + W total

(3.95)

Q=0

(3.96)

∆U − W total

(3.97)

Wtotal = Wele + W exp

(3.98)

Como se trata de un proceso adiabático:

Análisis: Para el espacio B del recipiente se lleva a cabo una compresión adiabática, sin rozamiento y cuasiestáticamente: QB = 0

(3.99)

Si aplicamos las ecuaciones para procesos adiabáticos, entonces: PV γ = cte.

(3.100)

Donde: γ =

C P C V

Para un gas monoatómico: 3 2

5

CP = R ; CV = R

2

Sustituyendo valores: 5

R

2 = 1, 67 3 R 2

γ =

(3.101)

Aplicando la ecuación 3.100 (de este problema):

 nRT B PB VB = PB VB ∴ PB   P B γ

1

γ

1

2

1

2

1

1

∴ (P B )

γ γ

1

 nRT B   P B

1

1

 1 nRT B ∴ P B γ P B 

1

1

1

γ  = P  B 

2

 nRT B   P B

2

2

γ  γ  = (P )γ  nRT B  B  P B  2

2

2

2

2

γ   

 1   1  P γ  P B γ γ  ∴  γ (nRT B )  =  B γ (nRT B   γ  γ  P B  P B 1

2

1

2

1

(3.102)

γ   

2

γ  1 nRT B  = P γ   B P B

γ   

γ

)

2

     

(3.103)

Por propiedades de los exponenciales:

 ∴ PB 

1

1 γ −

γ γ

γ

(nRT ) B1

  1− γ  = P γ γ (nRT B   B   2

2



)  γ



(3.104)

Desarrollando la matemática correspondiente, nos da como resultado:

 P =  B T B  P B

T B2

1

1

2

γ −1

 γ   

(3.105) (continúa)

149

UNIDAD

3


Si resolvemos el sistema de las ecuaciones 16 y 27 (de este problema) para las dos incógnitas TB2 y P B2 : 2

T A2

TA2 + T B2

T B2

T 1 = + = P 1 P 2 P 2

P 2

γ −1

P  γ y =  B  T D P D  T B1

2

2

1

γ −1

P TA + T B2 T B2  P B1  γ 2 2= 2 =  y P 1 T 1 T B1 P B2 

2

P 2 600 T B2  = +  P 1 300  T B1  γ −1

P 600  P B1  γ 2 2= +  P 1 300  P B2  γ −1

 P B  γ P 2 2 − 2 +    P B  P 1 1 1

Iterando datos:

P 2 = 1, 569 P 1

Despejando: P 2   P 2  P 1  1,569  100  1,569  156,9 kPa

Esta es la presión de trabajo. La temperatura es T  341,2 K. U A  QA  W A  W el  W A  W el U B  QB  W B  W B

Por otra parte, W A  W B

Con estas ecuaciones se concluye que: W el   (U A  U B)  U   [NAcv (T 2AT 1A)  NBcv (T 2BT 1)]    [15/28,314 (600 300)  15/28,314 (341,2 300)]  7092 J

Problemas para resolver El satélite astronómico Soho tiene como finalidad observar la corona solar y las zonas electromagnéticas; se encuentra a una altura de 400 km por encima de la superficie de la Tierra y su masa es de 240 kg. ¿Calcular el trabajo necesario en kJ? Si se sabe que la aceleración de la gravedad por encima del nivel del mar está dada por la siguiente ecuación: m g = 9,807 − 3, 32×10−6 z = 2 s Donde: 3.1

z  m

En una prueba ciclista que va de la Ciudad de México a la ciudad de Cuernavaca, donde existe un puerto de montaña que se encuentra a 3.2

150


unos 600 m de altura por encima de la Ciudad de México, que se sitúa a una altura de 2 240 m sobre el nivel del mar y donde g  9,75 m/s2, y la velocidad de embalaje es de 50 m/s, determinar la velocidad final cuando se tiene un incremento de energía de 250 kJ en el puerto de montaña. Por otra parte, cuando la altura final es 2 840 m, establecer el incremento de energía potencial. Un dato importante es que la masa de uno de los competidores con todo y bicicleta es de 85 kg. En una carrera de arrancones donde la aceleración va de cero a 100 km/h sobre una pista plana, determinar la cantidad de energía que se requiere para acelerar un automóvil, si el peso de los automóviles que participan en la carrera son: 3.3


Grupo Editorial Patria Automóvil

kg

Pontiac Matiz

890

Chevrolet Chevy

865

Dodge Atos

905

P b P  aV 2

Un ascensor se encuentra en el piso 30 de un edificio de oficinas, cuando intempestivamente el cable de sujeción se rompe. Como consecuencia, el ascensor cae verticalmente hasta el suelo, donde unos grandes muelles absorben el impacto de este. La masa del ascensor es de 2 500 kg, el cual está a 100 m sobre el nivel del suelo. Con base en los datos, determinar: a) La energía potencial del ascensor antes de su caída. b) La velocidad y la energía cinética en el instante anterior al impacto. c) El cambio en la energía de los muelles cuando se comprimen totalmente, si se sabe que k  300 kN/m y la altura de los resortes es de 1,5 m. 3.4

Se realiza una serie de pruebas con una bala de 30 g de masa para determinar la altura máxima donde la velocidad alcanza el valor cero. Para ello, se crea un dispositivo para hacer accionar la pistola de manera vertical. La velocidad con que sale la bala de la pistola es de 100 m/s, desde el nivel del suelo; la resistencia del aire es despreciable, y la acción de la gravedad en este lugar es de 9,7 m/s2, calcular la altura máxima donde la velocidad alcanza el valor de cero. 3.5

En un velódromo se realiza una prueba ciclista por puntos. Durante su realización se mide la velocidad de cada uno de los participantes, la cual alcanza un promedio de 50 m/s en la parte horizontal del velódromo. Si el peso del ciclista que estamos considerando, junto con la bicicleta, es de 75 kg, determinar la velocidad cuando se incrementa la energía cinética en 300 N-m y cuando se pasa por la parte peraltada del velódromo. ¿Qué diferencia de altura tiene la parte peraltada del velódromo? 3.6

Una muestra de gas ideal se expande desde un volumen inicial de 1,0 m3 en un proceso cuasiestático hasta que el volumen final es de 2,0 m3. Para este proceso, P  aV 2, donde a  5 atm/m6, calcular el trabajo realizado por el gas para el proceso de expansión. Dibuja la gráfica correspondiente del trabajo de expansión. 3.7

Un gas ideal se encuentra confinado en un cilindro-pistón, donde el émbolo tiene una masa de 8 kg y un área de 5 cm 2; el émbolo se puede mover libremente hacia arriba y hacia abajo, manteniendo constante la presión del sistema. ¿Qué cantidad de trabajo se hace cuando la temperatura del gas se eleva de 293 K a 573 K? Considérese que el cilindro contiene 0,20 mol del gas. 3.8

Un gas ideal es sometido a un proceso termodinámico, que consta de cuatro etapas, partiendo de las condiciones iniciales P 1 y V 1; durante este proceso, en la primera etapa se realiza una compresión isotérmica, hasta un V 2, seguida, en la segunda etapa, de un proceso isobárico, hasta llegar a un V 3, el proceso continua, en la tercera etapa, con una expansión isotérmica, hasta un V 4. El ciclo se completa cuando se realiza una compresión isobárica. Se pide: a) Hacer la gráfica correspondiente. b) Calcular el trabajo del ciclo. 3.9

Una muestra de gas ideal se expande al doble de su volumen original de 1 m3 en un proceso cuasiestático para el cual P  V 2, con 6   5,0 atm/m , como se muestra en la figura 3.40. 3.10


©

a

O

1,0 m3

2,0 m3

V

Figura 3.40

Determinar cuánto trabajo fue hecho por el gas en expansión. Un dispositivo cilindro-pistón contiene 0.5 kg de oxígeno. Inicialmente se encuentra a una presión de 10 bar y 0.025 m 3. Si se expande el pistón hasta alcanzar un volumen de 0.050 m 3, calcular el trabajo realizado en kJ, bajo los siguientes procesos cuasiestáticos: a) La presión es constante. b) El producto PV  cte. c) El producto PV 2  cte. C d) El producto PV   cte. donde γ = P = 1, 4. 3.11

C V

e) Compárense los tres resultados en el mismo diagrama PV . Un gas ideal que se encuentra contenido en un cilindro-pistón se halla a 75 bar y 0,25 m 3 (estado inicial). Posteriormente, se expande hasta que alcanza el estado 2: V 2  5V 1, a lo largo del camino PV 1,2  cte. Después, se añade calor a volumen constante hasta que se alcanza la presión inicial (estado 3). Después, el gas se enfría a presión constante hasta el estado 1. Con estos datos, se pide: a) Representar el proceso en un diagrama PV. b) Calcular el trabajo neto total. 3.12

En un calorímetro se ponen 20 g de hielo. ¿Cuál es la cantidad de calor que se debe suministrar para vaporizar el hielo, si la temperatura inicial está a 20 °C a 1 atm de presión? Se sabe que el calor latente de fusión es de g  80 cal/g y el calor latente de vaporización es  v  540 cal/g. 3.13

En un calorímetro Dewa se colocan 200 g de vapor de agua a 100 °C y 100 g de hielo a T −10 ° C. Si el sistema llega al equilibrio T térmico entre sí, calcular la temperatura final de la mezcla. Explica tu respuesta. 3.14

En un calorímetro de aluminio, cuya masa es de 100 g, se vierte agua (m  250 g) dentro de él y se deja que la temperatura llegue al equilibrio térmico a 10 ºC. Acto seguido, se colocan dentro del calorímetro dos bloques de metal en el agua; uno de estos bloque es de cobre y se encuentra a una temperatura de 80 ºC, y tiene una masa de 50 g. El otro bloque tiene una masa de 70 g y una temperatura de 100 ºC. Si se deja que los bloques interactúen con el sistema (calorímetro-agua) y este llega a la temperatura de equilibrio T eq  20 ° C, y si se sabe que cal cal cal ; y C Al = 0,215 C Cu = 0,0924 C H2O = 1 : g −° C g −° C g −° C a) Determinar el calor específico de la muestra. b) Establecer cuál es la cantidad de calor absorbida y cuál es la cantidad de calor desprendida si el sistema agua-calorímetro alcanza la temperatura de equilibrio de 15 ºC y la temperatura final de equilibrio es de 22 ºC. 3.15


151

UNIDAD

3


Para comprobar, de manera experimental, la cantidad de calor necesaria para transformar 100 gramos de hielo a 30 ºC en vapor de agua hasta 120 ºC, se utiliza un calorímetro real cuya capacidad es de 500 g de aluminio, si el calor latente de fusión es f  3,33  105 J/kg y el calor latente de vaporización es de V  22,6105 Jkg. Asimismo, se pide realizar la gráfica de temperatura vs. calor agregado para transformar 100 g de hielo a 30 ºC en vapor de agua a 120 ºC. 3.16

Durante el desayuno viertes 50 cm3 de leche refrigerada (5 ºC) en tu taza, la cual contiene 150 cm3 de café recién preparado con agua hirviendo. Calcular la temperatura de equilibrio que alcanza esta apetitosa mezcla. (Desprecia la capacidad calórica de la taza.) 3.17

La pared de una casa está hecha de concreto para resistir los cambios climatológicos de la región de Alaska. La temperatura promedio del medio ambiente en esta región es de 5 ºC, en tanto que en la superficie interior, esto es, dentro de la casa, es de 20 ºC. Si se sabe que la conductividad térmica del concreto es W k = 1,2 , determinar la transferencia de calor de la pared si m− K esta tiene las siguientes dimensiones: 10 metros de largo, 3 metros de altura y 0.3 metros de ancho.

Una superficie negra caliente de 3 m 2 que se encuentra a 80 ºC está perdiendo calor por convección; el aire que la rodea es de 25 ºC y tiene un coeficiente de transferencia por convección de 12 W/m 2  ºC. Calcular la transferencia de calor. 3.23

Un dispositivo cilindro-pistón contiene un gas ideal (diatómico) que experimenta una serie de procesos cuasiestáticos, los cuales conforman un ciclo como el que se describe a continuación: 1-2 compresión adiabática; 2-3 a presión constante; 3-4 expansión adiabática, y, por último, cierra el ciclo el proceso a volumen constante 4-1. En la siguiente tabla se muestran los datos correspondientes para cada uno de los siguientes puntos del ciclo. 3.24

3.18

Se quiere construir una casa con dos diferentes materiales, de tal forma que la transferencia de calor sea de q*  350 W, que es la cantidad máxima permisible. La temperatura interior debe ser de 15 ºC y la exterior puede variar de entre 0 a 30 ºC, en el invierno y en el verano, respectivamente. Si se sabe que la conductividad térmica del material A W W es k = 1,00 y del material B es k = 0,750 , determinar el m −K m −K espesor del material si el área promedio de cada uno de los cuartos es de 2.30 4 m2. 3.19

En el centro de cómputo académico de una universidad se encuentran 25 computadoras en cada aula. Se estima que para cada una de las computadoras la transferencia de calor es de 800 W/maq./día de trabajo, por lo que se requiere instalar un sistema de aire acondicionado en cada uno de los salones del centro de cómputo. La temperatura máxima del ambiente no debe sobrepasar los 26 ºC, debido a que se pueden sobrecalentar las máquinas. La disipación del calor se realiza por medio de ventiladores que se encuentran dentro de las computadoras, de tal manera que W el coeficiente de transferencia de calor es de h = 45,0 2−K . m Calcular el área de transferencia de calor de cada una de las máquinas, si la temperatura exterior es de 40 ºC. ¿Qué área mínima requiere el salón? 3.20

Estado

P (bar)

V m3

TK

1

1 000

3,00

300

2

8 000

0,50

500

3

8 000

1,50

1 500

4

3,03

3,00

1 136,79

Representa esquemáticamente el ciclo en el diagrama PV y determina las interacciones trabajo, calor y energía interna en kJ, para cada uno de los procesos. Durante una expansión controlada, la presión de un gas está definida por la siguiente ecuación: P  12e−bv atm Donde: 1 b = 12m3 V  m3 Como se muestra en la figura 3.41. 3.25

P (atm)

12 10 8,0 6,0 4,0 2,0

Se transfiere calor a través de una pared cuyas dimensiones son: 10  4 m y 0,30 m de espesor, a una velocidad de 1,6 kW. La temperatura externa e interna es de 15 °C y 5 ºC, respectivamente. Calcular la conductividad térmica promedio de la pared. 3.21

Se va a construir una casa cuyo techo tiene las siguientes dimensiones: 6 m de largo por 8 m de ancho, donde se pretende colocar dos colectores solares, cuyo espesor es de 0,25 m. En el circuito va fluir agua dentro de un serpentín, con la finalidad de tener agua caliente para los servicios de la casa. Cada colector solar tiene una conductividad térmica de 0,8 W/m ºC, y las temperaturas agua de entrada y salida del colector solar son 5 °C y 30 ºC, respectivamente. Determinar la transferencia de calor del colector. 3.22

152


V (m3)

Figura 3.41

10

20

30

40

50

Determinar el trabajo efectuado cuando el gas se expande de 12 m 3 a 36 m3. Un sistema gaseoso sigue el proceso que se indica en la figura 3.42. Como se puede observar, el ciclo inicia por medio de un proceso de compresión adiabático ( A-B), seguido de un proceso de expansión isobárico (B-C ), con un incremento de flujo de calor al sistema de 100 kJ. El proceso sufre una expansión isotérmica (C -D ) y, por último, regresa al estado inicial a través de una compresión ( D -A), a través de un proceso 3.26


Grupo Editorial Patria isobárico con 150 kJ de flujo de calor hacia fuera del sistema. Si la masa del gas es de 10 kg (el gas es hidrógeno y se comporta de manera ideal), determinar la diferencia en la energía interna de cada uno de los procesos y del ciclo; el trabajo de ( A-B), ( B-C ), ( C -D ) y (D -A), así como el calor de (A-B), (B-C ), (C -D ) y (D -A). P (atm)

3,0

C

B

©

Un sistema cilindro-pistón contiene 0,3 L de aire a 90 kPa y a 20 °C. El aire se comprime según un proceso politrópico cuasiestático con exponente politrópico n  1,3 hasta un volumen final siete veces menor. Calcular: a) Presión final. b) Temperatura final. c) Trabajo realizado. d) Calor intercambiado con el ambiente, cuya temperatura es de 20 °C. 3.29

Se expansionan 5 m3 de un gas ideal que está a 0,4 y 77 °C, hasta 50 m y 0,1, según un proceso politrópico. Calcular: a) Índice politrópico  . b) Trabajo de expansión. c) Variación de energía interna. d) Cantidad de calor intercambiado. Se supondrá que el proceso es cuasiestático sin rozamiento y que el índice adiabático k es constante e igual a 1,4. 3.30

3

A

1,0

D V (m3)

0,090

0,20

0,40

1,2

Figura 3.42

Un gas ideal se somete a proceso cíclico A-B-C y de regreso a A, como el que se muestra en la figura 3.43. 3.27

Un gas ideal diatómico inicialmente se encuentra a una temperatura T 1  300 K y una presión P 1  1  105 Pa, y ocupa un volumen V 1  0,4 m3. El gas se expande adiabáticamente hasta ocupar un volumen V 2  1,2 m3. Posteriormente, se comprime isotérmicamente hasta que su volumen es otra vez V 1 y, por último, vuelve a su estado inicial mediante una transformación isocórica. Todas las transformaciones son reversibles. Realizar lo que se te pide: a) Dibujar el ciclo en un diagrama PV . b) Calcular el número de moles del gas, la presión y la temperatura después de la expansión adiabática. 3.31

P B

A

C

T

Figura 3.43

Dibujar un diagrama PV para este ciclo e identificar las etapas durante las cuales se absorbe calor y aquellas durante las cuales se emite calor. En la figura 3.44 se muestra un proceso termodinámico donde el cambio de la energía interna de un gas que pasa de ABC es  800 J; el trabajo efectuado a lo largo de la trayectoria ABC es  500 J. 3.28

P A

B

Un cilindro pistón con Apistón  10 cm2 está provisto de dos pistones; el pistón superior tiene una masa de mp 1  50 kg y descansa inicialmente sobre unos topes; el pistón interior tiene una masa de mp 2  0 kg. Uno de los pistones está conectado con el segundo pistón por medio de un resorte cuyo valor es cero cuando el agua se encuentra en las condiciones iniciales de 50 kPa y 0,0026 m3; se le agrega calor al sistema hasta que este alcanza 0,3 m3. a) Calcular las temperaturas y presiones. b) Si la elevación de los pistones es de h  15 cm, calcular el trabajo realizado. 3.32

A un dispositivo rígido se le coloca una rueda de paletas, al que se le aplica un par de 75 N/m a una velocidad de giro de 200 rpm, durante 2 minutos. Asimismo, el dispositivo está provisto de una resistencia a la cual se le hace pasar una cierta cantidad de intensidad de corriente i , suministrada desde una fuente a 15 V durante 4 minutos. Si el trabajo total es 36 kJ, determinar la intensidad de corriente suministrada. 3.33

D

C V

Figura 3.44

Determinar: a) ¿Cuánto calor debe entregarse al sistema cuando va de A a C pasando por B? b) El tipo de proceso que se lleva a cabo entre los puntos A-B, B-C , C -D y D -A; si se trata de una expansión o compresión y se aplica la primera ley de la termodinámica. Problemas aplicados a la realidad

Una batería de 12 V proporciona una corriente de 16 A durante 20 minutos. Calcular el calor transferido si la energía de la batería disminuye en 125 kJ. 3.34

Un resorte lineal con una constante de elasticidad k  500 N/m se estira hasta que el incremento de elongación es de 10 cm. Realizar lo que se te pide: a) Encontrar la fuerza requerida y el trabajo que se suministra. 3.35


153

UNIDAD

3


b) Si el comportamiento del resorte es no lineal, la relación del desplazamiento viene dada por la siguiente ecuación F  k nl (x 2−x 1)n. Determinar la fórmula para el trabajo requerido si el extremo del resorte va de x 1 a x 2. En un laboratorio de pruebas de materiales, se realiza una prueba de tensión a una serie de varillas de acero al carbón (el módulo de elasticidad del acero es de 2  108 kPa). ¿Cuál es el trabajo realizado por la máquina para obtener una deformación relativa de 0.2%, si las varillas miden 0,5 m de longitud con 1 cm de diámetro? 3.36

Un equipo de laboratorio requiere que a cada una de las patas de este se le coloquen cuatro muelles, a fin de soportar el trabajo realizado por la máquina. La constante de elasticidad del resorte es de 144 N/cm. Al realizar el trabajo sobre las muestras, las muelles se comprimen desde una longitud inicial de 20 cm hasta una longitud final de 6 cm. Calcular el trabajo realizado por la máquina sobre las muelles. 3.37

Un resorte elástico va a ser sometido a una serie de pruebas de elongación y compresión en un laboratorio de materiales. El resorte tiene una constante de 150 N/cm y una longitud inicial de 30 cm. Con base en estos datos: a) Realizar la prueba de elongación, durante la cual al resorte se le aplica una cantidad de trabajo (60 J). b) Determinar cuántos centímetros se deformó el resorte. c) Calcular la cantidad de trabajo necesario para mantener las condiciones iniciales del proceso cuando se somete el resorte a una segunda prueba, durante la cual la longitud final de la prueba es de 8 cm. 3.38

Un dispositivo cilindro-pistón contiene amoniaco a 700 kPa y 80 ºC; en este se llevan a cabo los procesos que se describen a continuación: 1) se enfría a presión constante hasta llegar a vapor saturado (estado 2), punto en el cual el pistón se asegura por medio de un perno; 2) se sigue enfriando hasta 10 ºC (estado 3). Con estos datos, se te pide: a) Calcular las propiedades termodinámicas para cada uno de los estados. b) Determinar el trabajo realizado para cada uno de los procesos. c) Determinar la cantidad de energía interna y el calor que se desprende del sistema. d) Mostrar los procesos 1 a 2 y 2 a 3 en un diagrama P-v y en un diagrama T.v 3.39

Se tiene refrigerante 134a contenido en un dispositivo cilindro-pistón a una temperatura de 8 ºC. Inicialmente se tienen 8 kg de refrigerante líquido saturado y 2 kg de vapor saturado, a los que se les transfiere calor lentamente hasta que el pistón alcanza uno s topes y el volumen final es de 400 L, como se muestra en la figura 3.45. 3.40

W

Q

Determinar: a) La temperatura final cuando el pistón toca los topes. b) El trabajo realizado. c) El calor trasferido al sistema. d) El cambio de energía interna. e) La entalpía del proceso. f) Mostrar le proceso en un diagrama P-v y T-v . g) Explicar qué representan las áreas bajo la curva. Una mezcla saturada de agua (líquido-vapor) a 100 kPa se encuentra contenida en un dispositivo cilindro-pistón; al inicio se tienen 2 kg de agua líquida y 3 kg de vapor. Acto seguido, se transfiere calor hasta que el volumen aumenta 35%, alcanzando una presión de 200 kPa. Determinar: a) La transferencia de calor. b) El trabajo realizado por el proceso. c) La energía interna. d) La entalpía del proceso. e) Realizar la representación gráfica del proceso en un diagrama T-v y P-v. 3.41

Una muelle y la atmósfera actúan sobre un conjunto cilindro-pistón. El cilindro contiene agua a 5 MPa y 400 ºC; el volumen que ocupa el agua en el cilindro es de 0,1 m 3. Si el pistón se encuentra en el máximo de volumen, la muelle ejerce una fuerza tal que P elevación  200 kPa. El sistema se enfría hasta que la presión alcanza 1200 kPa. Calcular: a) La masa del agua. b) Las variables termodinámicas iniciales y finales. c) El trabajo para dicho proceso. d) El cambio de energía interna y la entalpía del proceso. e) Realizar las representaciones gráficas para el proceso en un diagrama P-v y T-v. 3.42

En un determinado experimento se coloca un resorte sobre un sistema cilindro pistón, el cual ejerce una fuerza sobre el sistema, de modo que la presión se define por la siguiente ecuación: P  kV . Las condiciones iniciales son 90 ºC y 100 kPa para el agua. Posteriormente se agrega calor al sistema hasta que la temperatura alcanza 200 ºC. Determinar: a) La presión final y calidad si se encuentra en la región de dos fases. b) El trabajo realizado y el calor suministrado. c) La energía interna y la entalpía. 3.43

Hacer las representaciones gráficas (P-v y T-v ) para los tres procesos siguientes: a) Proceso isotérmico, desde 300 ºC y 100 kPa hasta 200 kPa; si la sustancia es agua (véase figura 3.46). b) Proceso Isobárico, desde 1,5 MPa y 250 ºC hasta 450 ºC, si la sustancia es Freón 12 (véase figura 3.47) c) Proceso isocórico de 10 kg de agua en fase líquida y 5 kg en fase vapor a 80 ºC hasta 120 °C y 100 kPa (véase figura 3.48). 3.44

Figura 3.45

154




Volumen

Masa

Masa

V

©

Volumen

Vapor

V

P

T

Líquido Q

Presión

Temperatura

Presión

Figura 3.46

3.45

Temperatura

Figura 3.47

¿Cuáles son los diferentes mecanismos de transferencia de calor?

¿Cuál de los siguientes materiales es el mejor conductor térmico? a) Diamante b) Cobre 3.46

Figura 3.48

c) Plástico d) Acero e) Aluminio

PROBLEMA RETO

1

En una casa se tiene un panel solar conectado a un banco de baterías que se carga suministrando una corriente de 5 A durante 40 minutos; cada una de las baterías es de 12 V. Durante este proceso se transfiere calor por 26 Btu. Calcular la variación de la energía almacenada en las baterías. ¿Este panel es suficiente para una casa de 4 habitaciones?

REFERENCIAS Morán, M. J. y Shapiro, H. N., Fundamentos de termodinámica técnica, Barcelona, Reverté, 1993, pp. 110-127. Shavit, A. y Gutfinger, C., Thermodynamics. From concepts to applications , Londres, Prentice-Hall, 1995, pp. 65-74. Wark, K., Termodinámica (5ª ed.), México, McGraw-Hill, 1991, pp. 73-99. Yavorski, B. M. y Detlaf, A. A., Manual de Física, Mir, 1997, p. 163.



155

UNIDAD

3




156

http://www.teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Calor/index.htm (consultada el 17 de octubre de 2011).

UNIDAD

4

Análisis de energía con volumen de control OBJETIVOS De�nir y comprender el signi�cado de la Primera Ley Ley de la Termodinámica como una declaración declarac ión del Principio de Conservación de la Energía. Determinar y conceptualizar conceptualizar las diferentes diferentes propiedades propiedades de estado a partir de dos propiedades dadas, para poder aplicarlas a sistemas de ingeniería. Analizar e interpretar las representaciones grá�cas para diferentes aplicaciones en diferentess dispositivos y bajo condiciones de �ujo estable. diferente

¿QUÉ SABES? ¿Qué se entiende por sistema estacionario y volumen de control? ¿Para qué son útiles útiles el sistema estacionario y el volumen volumen de control en las aplicaciones aplicaciones en sistemas de ingeniería? ¿Qué es balance de masa y energía, energía, y cuáles son sus posibles aplicaciones aplicaciones en ingeniería? ¿Qué tipo de representaciones grá�cas se pueden hacer para diferentes aplicaciones aplicacio nes en ingeniería? ¿Qué indican las representaciones grá�cas P -v ; T -s ; T -v ; entre otras?

UNIDAD

4

Análisis de energía con volumen de control

4.1 Introducción El análisis de los procesos de flujo comienza con la elección de una región espacial denominada volumen de control. La frontera o límite del volumen de control puede ser una barrera física bien definida, o bien ser una envoltura imaginaria. control se entiende a la región en el espacio que se elige arbitrariamente, y que puePor volumen de control se de cambiar de forma o estar en movimiento respecto de un marco de referencia; sin embargo, es común considerarlo con forma y posición constante, con el fin de observar el flujo de la materia y la energía en los sistemas termodinámico ter modinámicoss (abiertos o cerrados ), ), los cuales intercambian calor con una fuente térmica y trabajo control. con una o varias fuentes del mismo a través de la superficie de control. control separa al volumen de control del exterior; lo que significa que es una frontera La superficie de control separa arbitraria que puede tener límites reales o imaginarios. De manera que el análisis de los procesos de flujo comienza con la selección de un volumen de control, en el cual se va a realizar un balance de masa y energía, donde el volumen de control se expresa en función de campos de propiedades, las interacciones de calor, de trabajo y de un recuento de la energía transportada hacia adentro o hacia afuera del volumen de control por la masa que cruza la superficie de control por unidad de tiempo.

4.2 Estado de régimen permanente 

Definición de sistemas en estado de régimen permanente

Se dice que el flujo que circula a través de un sistema abierto es de estado estacionario si las propiedades termodinámicas en cada posición espacial, dentro o fuera de las fronteras del volumen de control, son constantes respecto del tiempo. Las propiedades de interés incluyen las intrínsecas, como la temperatura, la presión, la densidad y la energía interna específica; así como las extrínsecas, que se refieren a la corriente total, como la velocidad o la elevación. El balance de energía en el volumen de control no solo requiere información de las interacciones de calor y de trabajo, sino también de un recuento de la energía transportada hacia adentro o hacia afuera del volumen de control por la masa que cruza la superficie de control. El gasto másico, o flujo de masa por unidad de tiempo, se define como la variación de la masa respecto del tiempo: δ m , gasto másico instantáneo. Se representa como m , es decir: δ t

m =

δ m δ t

(4.1)

De acuerdo con la definición de estado estacionario, en un volumen de control deben cumplirse las condiciones siguientes:  El gasto másico de un fluido que atraviesa una superficie de control se mantiene constante. La masa total dentro de un volumen de control permanece constante respecto del tiempo. Por tanto, el gasto másico total que sale del volumen de control debe ser igual al gasto másico total que entra.

4.3 Primera Ley de la Termodi Termodinámica námica 

Balance de masa

El principio de la conservación de la masa se expresa como: “La transferencia neta de masa hacia o desde un sistema durante un proceso es igual al cambio neto (incremento o decremento) en la masa total del sistema durante el proceso.”

Masa que entra en el sistema

Figura 4.1

158

Masa que sale del sistema

Masa que se incrementa dentro del sistema


©

Se define como: m entra − m sale = 0

(4.2)

∆macumulada = m entra − m sale

(4.3)

Asimismo, se puede definir como:

Así, se dice que cuando todas las propiedades de entrada y de salida son uniformes y estas no cambian, la tasa de flujo másico puede expresarse por medio de la diferencial como: dm = (ρ2 A2v ∗2 )dθ − (ρ1A1v 1∗ )dθ

∑ ∫ pv

* dA

entrada

− ∑ ∫ ρ v * dAsali ida =

d d θ

(4.4)

∫ ρ dV . v

(4.5)

Para la solución de esta ecuación hay dos casos: Caso 1: Cuando 1: Cuando se tiene flujo estable, donde la cantidad de masa no varía con el tiempo dentro del volumen de control, la expresión matemática es: n

n

∑ m = ∑ m i =1

ei

i =1

si

=

M L 2 M kg L = = θ s L 3 θ

(4.6)

Caso 2: Para 2: Para flujo incompresible (   constante), donde la densidad no cambia a lo largo del proceso, da la siguiente ecuación:

∑v * A = ∑v * A e

s

(4.7)

A esta ecuación se le conoce con el nombre de caudal: c = v*A = 

m3 donde v * es velocidad s

(4.8)

Balance de energía

El principio de conservación de energía se expresa como: “El cambio neto (incremento o disminución) en la energía total del sistema durante un proceso es igual a la diferencia entre la energía que entra y la energía que sale del sistema.

Energía total que entra al sistema

Energía total que sale del sistema

Cambio neto de energía dentro del sistema

Figura 4.2

Con frecuencia, esta relación se denomina balance de energía y es aplicable a cualquier tipo de sistema: E s −E e = ∆E sistema

(4.9)

Donde el cambio de energía del sistema está dado por el cambio de energía interna más la energía potencial y cinética:

∆Ec + ∆E p + ∆U = ∆E sistema Esto es:

(4.10)

∆U = (Us −U e ) ∆E C =

m

2

(v ∗22 − v 1∗2 )

∆E p = mg( Z 2 − Z1 ) Suponiiendo g constante

(4.11)

159

UNIDAD

4

Análisis de energía con volumen de control Sustituyendo los datos de las diferentes energías se tiene:

Alerta a ción El Principio de Conser v vación de la Energía se se expresa como:

“El cambio neto (incremento o disminución) en la energía total del sistema durante un proceso es igual a la diferencia entre la energía total que entra y la energía total que sale del sistema durante este proceso.”

1 ∆E sistema = (U2 −U1 ) + m (v 2∗2 − v1∗2 ) + mg ( Z 2 − Z1 ) = E2 −E 1 (4.12) 2 Por lo que la energía es una propiedad y el valor de una propiedad, a menos que el estado del sistema cambie; en cambio, es cero, si el estado del sistema se modifica durante el proceso. La energía total de un sistema se puede asociar con un sinnúmero de formas de energía como: interna (rotación, traslación vibración de las moléculas, sensible, latente, química, nuclear), cinética, potencial, eléctrica, electrostática, magnética, eólica, entre otras más. Cuando una cantidad física no cambia, decimos que se conserva, lo que significa que la energía se conserva significativamente y que la cantidad total de energía de un sistema natural no cambia; esto es, la energía no se puede crear ni destruir, solo puede cambiar de una forma a otra. Por tanto, el trabajo puede ser una combinación de energías que interactúan sobre el sistema y que se manifiestan en el exterior del sistema, como lo define la ecuación.

Balance de energía para sistemas cerrados Una de las características principales de los balances de energía es conocer la dirección de la transferencia de calor y del trabajo, para así determinar la cantidad de energía interna del sistema. Pero cuando no se conoce la dirección hay que suponer las interacciones tanto del trabajo como del calor o del trabajo. Para tal caso, se puede suponer una convención de signos de la termodinámica clásica clásica que se resume en la tabla siguiente: Tabla 4.1

La ley de conservación de la energía mecánica establece que:

Trabajo

Trabajo

Calor

Calor

+

–

+

–

“La energía mecánica total de un sistema permanece constante si las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conser v a ti v a s.” vati vas.”

Hecho por el sistema

Entra al sistema

Endotérmico

Exotérmico

Así, la ecuación se expresa como: Donde: Q: es el calor neto neto del sistema. sistema. W : es el trabajo neto del sistema. En general:

∆E sistema = Q − W

(4.13)

Q = Qneto = Qentra −Qsale

(4.14)

W = Wneto = Wsale − Wentra

(4.15)

Por tanto, para un sistema cerrado, el valor de los signos, ya sea para el calor o para el trabajo, es significativo para el sistema.

Balance de energía para sistemas de flujo estable

Alerta Durante un proceso de flujo estable, ninguna propiedad extensiva o intensiva, dentro del volumen de control, cambia con el tiempo.

160

Hay un importante número de dispositivos de ingeniería que, durante su funcionamiento, pasan largos periodos bajo las mismas condiciones de operación de manera estable, por lo que se les considera dispositivos de flujo estable, el cual es un proceso de carácter idealizado que nos per mite entender el comportamiento de operación de equipos como: bombas, compresores, ventiladores, toberas, difusores, intercambiadores de calor, entre otros. Flujo estable se define, entonces como: “ aquel proceso durante el cual un fluido circula a través de un volumen de control de manera estable”. Es decir, las propiedades de los fluidos pueden cambiar de un punto a otro, pero en cualquier punto permanecerán constantes durante todo el proceso. De modo que el volumen, la masa y el contenido total energético del volumen de control permanecen constantes durante un proceso de flujo estable. Con base en esta definición, en un sistema de flujo estable, el trabajo de frontera es cero (puesto que el Vvc  constante) y la masa total o energía que entra al volumen de control debe ser igual a la masa total o la energía que sale de este (puesto que mvo  constante y E vc vc  constante).


©

Es posible expresar de manera general el balance de masa para un sistema de flujo estable como: m entra = m sale

(4.16)

También, se puede definir para un sistema que puede tener múltiples entradas y salidas del volumen de control: n

n

∑ m = ∑ m i =1

ei

si

i =1

(4.17)

El balance de masa para un sistema con flujo estable se expresa como: m entra = m sale ∗

Alerta

∗

ρev Ae dt = ρ s v As dt

(4.18)

Donde: ρ : densidad v ∗: elocidad promedio del fluido A: área de la sección transversal

La mayoría de los dispositivos en ingeniería solo tienen una entrada y una salida del volumen de control.

4.4 Algunos dispositivos con ingeniería de flujo estable 

Toberas y difusores

En determinados momentos, muchos procesos de flujo estacionario necesitan aumentar o disminuir la velocidad de una corriente de flujo. Un dispositivo que aumenta la velocidad (y, por tanto, la energía cinética) de un fluido y, que como consecuencia, produce una caída de presión interna y un incremento de la presión dinámica en la dirección del flujo, al igual que un descenso en la temperatura del fluido, recibe el nombre de tobera. Un difusor, por su parte, es un dispositivo que provoca que aumente la presión interna y la temperatura en una corriente de flujo a expensas de una disminución de la presión dinámica y de la energía cinética del fluido y, como consecuencia, también de su velocidad.

TOBERA

DIFUSOR

TOBERA

SUPERSÓNICA

DIFUSOR

SUBSÓNICA

Figura 4.3

Como en ambos casos se trata solamente de un ducto, es evidente que no interviene ningún trabajo de flecha. Por lo que respecta al cambio de energía potencial, en caso de que hubiera alguno, sería despreciable en la mayoría de las situaciones. La transferencia de calor entre el fluido que circula por una tobera y/o difusor y los alrededores suele ser muy pequeña ( Q  0), esto se debe a que no existe equilibrio entre el fluido y el equipo, debido a que las altas velocidades y el tiempo del fluido en el dispositivo no son suficientes para que exista una transferencia de calor. Asimismo, tampoco se efectúa trabajo ( W  0) y no existe cambio de energía potencial (∆E p  0). Para una sustancia simple compresible, la ecuación de energía para el flujo estacionario por unidad de masa se reduce a:  v ∗2 − v ∗2  1   =  2 Q + W  + g( Z 2 − Z1 ) + (h2 −h1 ) (4.19)  2  Sustituyendo las condiciones descritas anteriormente, se obtiene: Q

0

+

 W

0

 v ∗2 − v ∗2  0 1  =  2  + g( Z 2 − Z1 ) + (h2 − h1 )  2   v ∗2 − v ∗2  2 1   = −(h2 − h1 )  2 

v 2∗2 − v 1∗2 

−∆h = ∆E C 161

UNIDAD

4

Análisis de energía con volumen de control La suposición que se hace nos permite definir el tipo de proceso que ocurre en los dispositivos; en este caso, es adiabático. Además, constituye una buena aproximación tanto para el caso de las toberas como para los difusores. La ecuación de la energía se reduce a: u  (Pv )  E C

Alerta Una tobera es un equipo convergente si el flujo es subsónico, mientras que para flujos supersónicos es divergente; no obstante, para un difusor ocurre exactamente lo contrario

C v( T )  V (P )  E C

(4.20)

Como se puede observar, esta ecuación destaca el hecho de que el cambio de la energía cinética se debe a dos factores: el cambio de la energía interna del fluido y el cambio del trabajo de flujo durante el proceso. Aunque el empleo de la función entalpía es muy conveniente, no deben olvidarse los factores subyacentes que contribuyen a su cambio; se expresa por la ecuación: Cv (T2 −T1 ) + R (T2 −T1 ) = ∆E C

(4.21) La ecuación de continuidad también puede ser útil debido a la naturaleza variable del área de estos dispositivos.

Problema resuelto

Alerta Al aplicar el principio de conservación de la energía a una tobera o a un difusor, las condiciones de entrada son insuficientes para determinar el estado de salida de un fluido. Para fijar el estado final es necesario conocer una de las propiedades de salida o bien las especificaciones del tipo de proceso.

En una tobera adiabática entra vapor de agua a 300 kPa, 200 °C y 30 m/s, y sale a 100 kPa y 180 m/s. El área de entrada es de 80 cm 2. Determinar: a) El flujo másico a través de la tobera. b) La temperatura de salida de la tobera. c) El área de salida. Solución

Se conoce: Para la resolución de este problema, se conocen las condiciones tanto de entrada como de salida; asimismo, es obvio que existe una aceleración del flujo, ya que el fluido entra a 30 m/s y sale a 180 m/s. Esquema:

P 1  300 kPa

P 2  100 kPa

T 1  200 °C

v* 2  180 m/s

v* 1  30 m/s A1  80 cm2

Figura 4.4 Suposición: a) Existen condiciones de estado estable. b) Como se trata de un proceso adiabático, no existe transferencia de calor ni, energía potencial. Datos: Tabla 4.2 Entrada

Salida

300 kPa 200 °C 30 m/s Vapor sobrecalentado de tablas

100 kPa X 180 m/s X

v esp = 0, 71629

h1 = 2865, 5

162

m3 kg

kJ kg

X

X (continúa)


©


Análisis: Si aplicamos la ecuación de continuidad o flujo másico: kg v ∗ A 30 × 0, 008 = = 0, 335 0, 71629 s v esp

me = v ∗ Aρ =

De acuerdo con principio de continuidad: m e = m s

Si utilizamos la ecuación de energía: (v ∗22 − v1∗2 ) g( Z 2 − Z1 ) kJ + + (h2 − h1 ) = 2 000 1000 kg Aplicando las suposiciones de un proceso adiabático, la ecuación se reduce a:  = Q + W

 v ∗2 − v ∗2  2 1  =0  2000 

(h2 − h1 ) + 

Ahora, despejando la entalpía en el estado 2 para determinar las condiciones finales de la sustancia de trabajo: (v ∗2 − v 1∗2 ) =0 h2 − h1 + 2 2000 Sustituyendo los datos: h2 = 2865, 5 −

(1802 − 30 2 ) kJ = 2849, 75 2000 kg

kJ kg Con el valor de la entalpía y la presión es posible calcular las condiciones finales a las que sale el vapor de la tobera: Tabla 4.3 P = 100 kPa h2 = 2849, 75

m3 kg

T ºC

v =

150 X 200

1,9364 X 2,172

h=

kJ kg

2 776,4 2 849,75 2 875,3

Interpolando los datos: T 0 =

(T2 − T 1 ) (h − h ) + T 1 (h2 − h1 ) 0 1

Sustituyendo datos se tiene:

 200 −150  (2849, 75 − 2776, 4 ) + 150 = 187, 08 °C  2875, 3 − 2776, 4 

T 0 = 

La condición final también es vapor sobrecalentado. Como ya se dijo, para calcular el área de salida se requiere conocer el volumen específico en las condiciones finales. Entonces, interpolando los datos:

 2,172 −1, 9364 

m3

 (2849, 75 − 2776, 4 ) + 1, 9364 = 2,1111 v 0 =  kg  2875, 3 − 2776,4  Aplicando la ecuación de continuidad: m2 = Av ∗ ρ =

Despejando el área: A2 =

m2v esp ∗

v 2

= A2 =

v ∗A v esp

0, 335× 2,1111 = 0, 0039 m2 180

163

UNIDAD

4

Análisis de energía con volumen de control 

Turbinas, bombas, compresores y ventiladores

Una turbina, ya sea de fluido gaseoso o líquido, es un equipo en el que el fluido realiza un trabajo contra algún tipo de álabe sujeto a una flecha rotatoria. Como resultado, el equipo produce un trabajo positivo que puede utilizarse para cualquier fin en los alrededores. Por su parte, las bombas, los compresores y los ventiladores son equipos en los cuales se hace trabajo sobre el fluido, dando como resultado un aumento de la presión del fluido. Por lo general, las bombas están asociadas con los líquidos, mientras que los compresores y los ventiladores se utilizan para los gases. Para cualquiera de estos equipos, en flujo estacionario, la ecuación de la energía se puede reducir a partir de las siguientes consideraciones:  

El cambio de energía potencial es normalmente despreciable, debido a la altura de los equipos. La inclusión de una transferencia de calor depende, en gran medida, del modo de operación del equipo. Esto es, el calor que gana o pierde el fluido depende de que existan o no los siguientes factores:  Una gradiente de temperatura significativa entre el fluido y los alrededores.  Una gradiente de velocidad pequeña.  Una gran área superficial.

Por tanto, la ecuación es: q + w flecha = (h2 − h1 ) +

(v 2∗2 − v1∗2 ) g( Z 2 − Z1 ) kJ + = 2 000 1000 kg

(4.22)

Por lo general, el balance de energía para flujo estacionario para este tipo de equipos es: Wflecha = h2 − h1 =

kJ kg

(4.23)

Problema resuelto Considérese una turbina adiabática a través de un área de 150 cm2 en la que entra vapor de agua a 200 kPa, 400 °C y 100 m/s, a. A la salida del equipo, la calidad es de 85% a 1 kPa de presión y tiene una velocidad de 45 m/s. Determinar: a) El cambio de energía cinética en kJ/kg. b) El trabajo de flecha en kJ/kg. c) El gasto másico en kg/s. d) La potencia que entrega la turbina. e) El área de salida de la turbina en m2. Solución

Se conoce: El tipo de fluido y las condiciones de entrada como presión, temperatura, velocidad y área de entrada; asimismo, se conocen las condiciones de salida, como la presión, la calidad y la velocidad. Suposiciones: a) Existen condiciones de estado estable. b) Como se trata de un proceso adiabático, no existe transferencia de calor ni de energía potencial. c) Si aplicamos la ecuación de energía: Y aplicamos las suposiciones: Datos:

Tabla 4.4 Entrada

Salida

200 kPa

100 kPa

400 ºC




x = 85%

100 m/s

45m/s

2

150 cm

164



(continúa)


©


De esta forma, la representación gráfica del problema es: P Vapor sobrecalentado 200 kPa T = 400 °C T sat = 120,23 °C

v

Figura 4.5 De las tablas de vapor sobrecalentado se obtienen los siguientes datos:

Tabla 4.5 P kPa 200

T ºC

v m3 /kg

h kJ/kg

400

1,5493

3276,6

A partir de la ecuación de continuidad, se obtiene el flujo másico de entrada: m1 = Av ∗ρ =

Sustituyendo datos se obtiene: vA = m1 = Av ρ = v esp

Por continuidad:

v∗A v esp

m ×0, 015 m2 kg s = 0, 9681 3 s m 1, 5493 kg

100

m1 = m2 m1 = m2 = 0, 9681

kg s

Calculando el cambio de energía cinética: (v 2∗2 − v 1∗2 ) (1002 − 452 ) kJ = = 3, 9875 2000 2000 kg Calculando las condiciones finales (mezcla líquidovapor): De esta forma, la representación gráfica de las condiciones finales queda:

∆E C =

Vapor sobrecalentado Mezcla líquido – vapor 200 kPa T = 400 °C

100 kPa

T sat = 120, 23 °C T sat = 99,63 °C

Figura 4.6

De las tablas de vapor saturado (presión) se obtienen los siguientes datos:

Tabla 4.6 P kPa 100

x%

T °C

v f m3 /kg

v g m3 /kg

85

99,63

0,001043

1,6940 (continúa)

165

UNIDAD

4

Análisis de energía con volumen de control Solución (continuación)

Calculando el volumen específico y la entalpía: v fg = (v g x ) + (v f (1− x ))

Sustituyendo los datos: v fg = (v g x ) + (v f (1− x )) = 1, 694 (0.85) + 0, 001043(1− 0, 85)

, v fg = 14341

m3 kg

Tabla 4.7 P kPa

x%

T °C

hf kJ/kg

h g kJ/kg

100

85

99,63

417,44

2675,5

hfg = (hg x ) + (hf (1− x )) = 2 675, 5( 0, 85) + 417, 44(1− 0, 85) hfg = 2336, 781

kJ kg

Calculando el trabajo de flecha: (v 2∗2 ) − (v 1∗2 ) Wflecha = (h2 − h1 ) + 2000 W flecha = (2336, 781− 3 276, 6 ) +

(1002 ) − (452 ) 2000

W flecha = 939, 819 + 3, 9875 = −935, 832

kJ kg

 kg kJ  ×   s kg

W = m W flecha = ( 0, 9681)× (−935, 832) = −905, 979

kJ s

 = −905, 979 W

Calculando el área de salida: m 2 = Av ρ → A2 =

m 2 = v ρ

0, 9681 = 0, 0308 m2 1 45× 1, 434341

Problema resuelto Supóngase que fluye vapor de agua a través de una turbina adiabática, cuyas condiciones de operación son las siguientes:

Tabla 4.8 v

m s

kg s

Estado

P

T C

Inicial

12,5 MPa

550

90

12



Final

10 kPa



45

12

92



m

x %

1. Determinar: • El cambio de energía cinética. • La potencia de salida. • El área de entrada y salida. 2. Elaborar la representación gráfica del sistema en un diagrama P vs v.

166

(continúa)


©


Se conoce: El tipo de fluido y las condiciones de entrada, como presión o temperatura, velocidad y flujo másico; así como las condiciones de salida, como presión, velocidad, calidad y flujo másico. Suposiciones: a) Existen condiciones de estado estable. b) Como se trata de una turbina adiabática, no existe transferencia de calor ni energía potencial, por lo que lo que se quiere calcular es el cambio de energía cinética, así como la entalpía y la potencia este equipo. c) Se aplica la ecuación de energía: q + w flecha = (h2 − h1 ) +

(v 2∗2 − v1∗2 ) g( Z 2 − Z 1 ) + 2 000 10000

Sustituyendo las suposiciones correspondientes en la ecuación de energía nos queda: q + w flecha = (h2 − h1 ) +

(v 2∗2 − v1∗2 ) g( Z 2 − Z 1 ) + 2 000 10000

Entonces, se obtiene la siguiente ecuación, en función del cambio de energía cinética, de entalpía y de la potencia que va desarrollar la turbina:

Análisis de los datos:

Estado inicial Vapor sobrecalentado T = 550 ºC v = 0,02801 m3/kg h = 3475,2 kJ/kg T sat .= 327,89 ºC

12,5 MPa

10 kPa v fg  ? hfg  ?

Figura 4.7

T sat = 45,81 ºC

A partir de las tablas y de la ecuación de entalpía de la mezcla, se calcula el estado dos del sistema: hfg = hg x + hf (1− x )

Calculando los datos para el estado dos:

Tabla 4.9 T ºC

hfg kJ/kg

Estado

hf kJ/kg

hg kJ/kg

v f m3 /kg

v g m3 /kg

x

45,81



líq−vapor

191,83

2584,7

0,001010

14,67

0,92

hfg = 2 584,7 (0 , 92) + 191, 83(1− 0,92 ) hfg = 2 377, 2 −15, 3464 = 2 392, 5 464

kJ kg

v fg = 14, 67(0, 92) + 0,001010 )1− 0, 92) = 13,4965

m3 kg (continúa)

167

UNIDAD

4


Calculando el valor de la energía cinética:

∆E C =

v ∗22 − v 1∗2

2000

=

( 452 − 902 ) −6075 kJ = = −3, 0375 2000 2000 kg

Realizando el cambio de entalpía:

∆h = (h2 − h1 ) = 2392, 5 464 − 3 475, 2 = − 1 082, 65 Calculando la potencia: w flecha = (h2 − h1 ) +

kJ kg

(v 2∗2 − v 1∗2 ) 2000

Sustituyendo datos:  10882, 65 + (−3, 0375) = − 1 085, 69 kJkg w flecha = −10  w flec ha ha = − 1 085, 69  130288, 29 w flecha = − 1302

kg kJ kJ ×12 = −13 028, 29 kg s s

kJ 1000 J J × = −13 028 287,2 = −13 028 287, 2 W s 1 kJ s w flecha = −13, 028 MW

Calculando el área de entrada y salida: m = Av ρ =

Av v esp

Despejando el área: A1 =



v esp m v

=

0, 2801×12 = 0, 0373 m2 90

Válvula de estrangulamiento

Cuando un fluido circula a través de una restricción como una válvula, un obstáculo poroso o un capilar largo, dicho fluido experimenta una caída de presión significativa, sin que exista alguna interacción de trabajo ni cambios significativos de energía potencial o cinética; esto es, el único efecto principal de un proceso de estrangulamiento es disminuir la presión. En la figura 4.8 se representa una válvula de estrangulamiento, donde se puede observar que, al disminuir el área de la sección transversal, se tiene una mayor resistencia al paso del fluido, lo que implica una caída de presión entre los extremos. A pesar de que la velocidad del fluido sea grande en la zona de restricción, medida corriente arriba o abajo, respecto del área real de la válvula, se ve que el cambio de velocidad es muy pequeño, por lo que se puede decir que es constante. En este caso, el fluido no realiza trabajo sobre el equipo ni existe cambio de energía potencial, por lo que el balance de energía para flujo estacionario bajo estas restricciones se reduce a: (v ∗22 − v 1∗2 ) g( Z 2 − Z1 ) + q + w flecha = (h2 − h1 ) + (4.24) 2 000 1 000 Sin embargo, en la mayoría mayoría de las aplicaciones o en equipos de estrangulamiento, estrangulamiento, estos equipos se encuentran aislados o la transferencia de calor es insignificante. Entonces, lo que resulta del balance de energía es que el cambio de entalpía es cero.

Figura 4.8 Válvula de estrangulamiento.

168

0 = (h2 − h1 ) Uno de los procesos de estrangulamiento que obedece a la ecuación anterior es la Expansión de Joule Thomson.


©

Problema resuelto En un equipo de estrangulación se hace fluir freón 12 bajo las condiciones siguientes: a) Desde un estado inicial de líquido saturado a 35 °C hasta una temperatura de 25 °C. b) Entra a las condiciones de 0,20 MPa y 42 °C hasta una temperatura de  5 °C.

Alerta En un dispositivo de estrangulación, la entalpía permanece constante.

1. Determinar: La presión final del sistema. El volumen específico. 2. Realizar la representación gráfica para cada uno de los procesos. Solución

Se conoce: El tipo de fluido, las condiciones de entrada, como presión o temperatura; además de las condiciones de salida, ya sea la presión o la temperatura. Suposiciones: 1. Existen condiciones de estado estable. 2. Como se trata de un proceso de estrangulamiento a partir de una válvula, no existe transferencia de calor, calor, cambio de energía cinética, energía potencial ni trabajo. 3. Si aplicamos la ecuación de energía: (v ∗2 − v ∗2 ) g( Z 2 − Z 1 ) + q + w flecha = (h2 − h1 ) + 2 2 000 1 000 Aplicando las suposiciones: 0 = (h2 − h1 )

Inciso a) La representación gráfica para las condiciones iniciales:

0,84772 MPa

35 °C 3

= 0,000786 m /kg v = h = 69,551 kJ/kg

Figura 4.9

Para calcular las condiciones finales, utilizamos el balance de energía y sus suposiciones; así, tenemos: kJ h1 = h2 = 69, 551 kg La representación gráfica para las condiciones finales es:

0,84772 MPa

Figura 4.10

h = 69,551 kJ/kg

Mezcla líquido-vapor Estado de referencia dos

35 °C –25 °C

(continúa)

169

UNIDAD

4


La intersección de las dos propiedades (temperatura y entalpía) es una mezcla líquido vapor; entonces, debemos calcular la presión, el volumen específico y la calidad a la cual sale la sustancia.

Tabla 4.10 T °C

hfg kJ/kg

vf m3 /kg

P MPa

v fg m3 /kg

vg m3 /kg

0,000679 69,551

25

0,12368

x %

0,130487

hf kJ/kg

-

h g kJ/kg

13,327

-

176,476

Para calcular la calidad del sistema, utilizamos la siguiente ecuación: hfg = hg x + hf (1− x ) Despejando la calidad x (x ): ): x =

hfg − hf

=

hg − hf

(69, 551−13, 327) = 0,, 3446 (176, 476 −13, 327)

= 34, 46% x = Calculando el volumen de la mezcla: v fg = v g x + vf (1− x )

Sustituyendo los datos: 1 30487(0 , 3446 ) + 0, 000679 (1− 0, 3446 ) = 0 ,04 54 v fg = 0,13 v f fg = 0, 0454

m3 kg

Inciso b) Con base en la representación gráfica del sistema para las condiciones iniciales del inciso b) y haciendo uso de las tablas de vapor del refrigerante 12, se determinan las condiciones iniciales:

Vapor sobrecalentado 0,20 MPa

T = = 42 °C T sat .= 12,5407 °C v = = 0,000786 m3/kg h = 69,551 kJ/kg

Figura 4.11 Para calcular las condiciones finales a las que sale la sustancia pura, se utiliza el balance de energía y sus suposiciones correspondientes, por lo que tenemos: kJ kg A partir de las dos propiedades, h y T , se van a calcular las condiciones finales, las cuales son: h1 = h2 = 69, 551

Tabla 4.11

170

T °C

h kJ/kg

Estado

hf kJ/kg

hg kJ/kg

v f m3 /kg

v g m3 /kg

x

−5

69,551

líquido−vapor

−

−

−

−

− (continúa)


©


Vapor sobrecalentado v = = 0,000786 m3/kg h = 69,551 kJ/kg

0,20 MPa

T = = 42 °C T sat . = 12,5407 °C

v fg = ?

Figura 4.12 A partir de las tablas y la ecuación de entalpía de la mezcla, podemos calcular la calidad del sistema: hfg = hg x + hf (1− x ) Despejando la calidad y sustituyendo datos:

Tabla 4.12 T °C

hfg kJ/kg

Estado

hf kJ/kg

hg kJ/kg

v f m3 /kg

v g m3 /kg

x

−5

69,551

líq−vapor

31,446

185,375

0,000708

0,064255

−

hfg − hf

x =

hg − hf

=

69, 551− 31, 44 446 = 0, 2475 185, 375 − 31, 44 4466

= 24, 75% x = Calculando el volumen específico de la mezcla: 75) v fg = v g x + vf (1− x ) = 0, 064255( 0, 2475) + 0, 000708(1− 0, 2447 v fg = 0, 0166



m3 kg

Cámara de mezclado

m s

Otra clase de equipo, clasificado (a la ligera) como intercambiador de calor, calor, se utiliza para la mezcla directa de varias corrientes. Al concluir el proceso, la corriente de la mezcla resultante abandona el equipo por una sola salida. Si mezclamos dos corrientes de dos fluidos en una cámara de mezclado (aunque en realidad puede ser una cámara o simplemente el codo de una T o una Y) de una tubería, donde dos corrientes (de diferente temperatura) se van a mezclar, sucede lo que se ilustra en la figura 4.13. El principio de conservación se representa como sigue: Balance de masa: n

∑=1 i

m ei =

me

me

n

∑=1 m i

si

(4.25)

Figura 4.13

Por lo general, la corriente de la mezcla resultante que abandona el equipo lo hace por una sola salida; mientras que la mezcla se produce por la entrada de dos corrientes. Un ejemplo son los ductos de aire acondicionado que, a menudo, forman sistemas de mezclas. En las plantas de potencia, estos sistemas reciben el nombre de calentadores abiertos del agua de alimentación. Para un volumen de control con tres o más corrientes de flujo, el balance de energía para el estado estacionario está dado por la ecuación: n  n  gz  gz  v ∗2 v ∗2 + + q + w = ∑h +  m sali d da − ∑ h +  m (4.26) 000 1 000  000 1 000  entrad a  2 00  2 00 i =1  i =1 

171

UNIDAD

4

Análisis de energía con volumen de control En la cámara de mezclado no se involucra trabajo sobre el sistema. Por lo común, las cámaras de mezclado siempre se encuentran bien aisladas, por lo que el sistema es adiabático, es decir, no existe intercambio de calor con los alrededores. Asimismo, los cambios de energía cinética y potencial del flujo son despreciables, por lo que el balance de energía para el estado estacionario es:

Entrada 1 Q Cámara de mezclado

m 1h1 + m 2h2 = m 3 h3

(4.27)

Salida Entrada 2

Figura 4.14

Problema resuelto En una cámara de mezclado entra una corriente de agua a una presión de 200 kPa y 155 °C (vapor sobrecalentado), con una velocidad de 0,5 kg/s, esta se mezcla con una segunda corriente a las condiciones de 0,2 MPa y 120,23 °C, como líquido saturado. Si la mezcla que se desea obtener debe tener una temperatura de 135 °C y una presión de 0,2 MPa. Calcular el flujo másico de la corriente dos y el flujo total que sale de la cámara. Solución

Se conocen: Las condiciones del flujo de entrada y de salida. Encontrar: El flujo másico a la salida de la cámara de mezclado y el flujo másico del estado 2.

Esquema:

Corriente 1 P = 0,2 MPa T = 155 °C m1 = 0,5 kg/s

Corriente 3 T = 135 °C P = 0,2 MPa Corriente 2 P = 0,2 MPa T = 120,23 °C m2 = ?

Figura 4.15

Suposiciones: a) Existen condiciones de estado estable. b) Como se trata de un proceso adiabático, no existe transferencia de calor ni energía potencial ni energía cinética, así como tampoco se realiza trabajo. c) Si aplicamos las suposiciones para la ecuación de energía nos queda: q + W =

2 n   gz  v 2 h + v + gz  m   + + − h m  ∑  2 000 1 000  salid a ∑ 2 000 1 000  entrada    i =1  i =1  n

Si aplicamos las suposiciones para la ecuación de energía nos queda:  h +m  h =m  h m 1 1 2 2 3 3

172

(continúa)


©


Datos: Tabla 4.13

 kg   s 

 kJ   kg 

m 

h

Corriente

P (MPa)

T ( C)

1

0,2

155

?

0,5

2

0,2

120,23

?

?

3

0,2

135

?

?



De las tablas, obtenemos los datos correspondientes para cada uno de los estados.

Tabla 4.14 0,20 MPa T C

v 

 m3    kg 

h

 kJ   kg 

Estado

150

0,9596

2 768,8

vapor sobrecalentado

155

X

X

200

1,0803

2 870,5



Interpolando los datos: v 1 =

(1, 0803 − 0, 9596) m3 (155 − 150) + 0, 9596 = 0, 97167 ( 200 −150 ) kg

Datos para la corriente dos: h1 =

(2870, 5 − 2768, 8 ) 200 −150

(155 − 150) + 2 768, 8 = 2 778,997

kJ kg

Tabla 4.15 0,20 MPa

 m3    kg 

v 

T C 

120,23

0,001061

 kJ   kg 

Estado

504,7

Líquido saturado

h

Datos para la corriente tres:

Tabla 4.16 0,20 MPa

 m3    kg 

v 

h

 kJ   kg 

Estado

120,23

0,88573

2 706,6


135

X

X

150

0,95964

2 768,8

T C 

Así: v 3 =

m3 (0, 95964 − 0, 88573) (135 − 120, 23 ) + 0,888573 = 0, 9224 (150 − 120, 23) kg

h3 =

( 2 768, 8 − 2 706, 6 ) kJ (135 − 120,23) + 2 706,6 = 2 737,4 597 150 − 120, 23 kg (continúa)

173

UNIDAD

4


Representación grá�ca Estado inicial de la corriente 2

Estado �nal de la corriente 3

155 °C 135 °C Estado inicial de la corriente 1

120,23 °C

Figura 4.16 Para calcular el flujo másico dos y tres, utilizamos la ecuación de continuidad y la ecuación de energía: m 1 + m 2 = m 3  h =m  h m 1h1 + m 2 2 3 3

Sustituyendo los datos: (0, 5 ×2778, 97) + m 2 (504, 7) = ( 0, 5 + m 2 )2737, 43 Despejando m 2 : ( 0, 5× 2 778,97) − 0, 5× 2773, 43) kg = 0, 0093025 2773, 43 − 504, 7 s Así, el flujo total en la corriente tres es: m2 =

m 3 = m 1 + m 2 = 0, 5 + 0, 0093025 = 0, 5093025

kg s

Comentario: Del resultado anterior es evidente que la cantidad de flujo másico para la corriente dos es pequeña, comparada con la corriente uno; por tanto, las condiciones que se encuentran al final de la mezcla es vapor sobrecalentado a una temperatura menor. 

Intercambiadores de calor

Uno de los equipos más importantes, de gran interés en ingeniería, es el intercambiador de calor. Por lo general, este se emplea para extraer energía de alguna región del espacio o para cambiar, de forma deliberada, el estado termodinámico de un fluido. Una de las principales aplicaciones de los intercambiadores de calor consiste en el intercambio de energía de los fluidos en movimiento. Usualmente, los cambios en las energías cinética y potencial son despreciables; no hallándose presentes interacciones de trabajo. La caída de presión en un intercambiador de calor, por lo general es muy pequeña; así, suponer que la presión es constante es bastante aceptable.

Caso 1 La superficie de control se coloca alrededor del equipo completo. Entrada lado casco

Figura 4.17 Intercambiando de calor en contracorriente.

174

Salida lado casco Entrada lado tubos

Salida lado tubos


©

A Fluido caliente B Fluido frío La transferencia de calor externa al equipo es cero y W también es cero porque no hay trabajo de flecha. La ecuación de continuidad queda: m A (hA1 − hA 2 ) = m B (hB 2 − hB1 )

(4.28)

Caso 2 En ocasiones es deseable colocar un conjunto de fronteras alrededor de cualquiera de los fluidos (véase figura 4.18). Figura 4.18 Cambiador de calor en paralelo.

En este caso, no solo hay un cambio en la entalpía del fluido, sino que además aparece un término de transferencia de calor: Qabsorbido = mB (hB 2 − hB1 ) (4.29)

−Qabsorbido = mA (hA 2 − hA1 )

(4.30)

Por supuesto que los términos de transferencia de calor son idénticos. Utilizándolas adecuadamente, estas ecuaciones se pueden aplicar a tipos diferentes de equipo de intercambio de calor, como calderas, evaporadores y condensadores. Como los nombres sugieren, en estos tipos de equipo uno de los fluidos cambia de fase. 

Flujo en tuberías

Una de las aplicaciones más importantes en ingeniería es el transporte de fluidos a través de tubos o ductos, ya que es de gran utilidad para transportar diferentes tipos de fluidos (líquidos y gases) a través de distintos diámetros o de ductos rectangulares. Los tubos o ductos pueden no estar aislados, habiendo transferencia de calor entre el fluido y el ambiente. Si un sistema de ductos o tuberías incluye una bomba o un ventilador, entonces la ecuación de energía se describe como: q + w flecha = (h2 − h1 ) +

(v ∗22 − v 1∗2 ) g( Z 2 − Z1 ) + 2 000 1000

(4.31)

Para el caso de que se trate de un fluido incompresible, el cambio de entalpía la podemos expresar como:

∆h = ∆u + v ∆P

(4.32)

Si:

∆u = c ∆T

(4.33)

La ecuación de energía se expresa como: (v ∗2 − v 1∗2 ) g( Z 2 − Z1 ) + q + w flecha = c ∆T + v ∆P + 2 2 000

1000

(4.34)

Si los efectos de transferencia de calor y de cambio de temperatura del fluido son despreciables, la ecuación anterior para flujo incompresible se transforma en: (v ∗2 − v 1∗2 ) g( Z 2 − Z1 ) + w flecha = v ∆P + 2 (4.35) 2 000 1000 (v ∗22 − v 1∗2 ) g( Z 2 − Z1 ) + w flecha = v (P2 − P 1 ) + 2 000 1000

(4.36)

Es posible observar este proceso en la figura 4.19, ya que en esta se representa de forma esquemática el funcionamiento de una hidroeléctrica.

175

UNIDAD

4


Embalse

En el caso de que no exista una bomba o cualquier otro equipo en el sistema, y con base en las suposiciones de flu jos adiabáticos e isotérmicos, no se realiza trabajo sobre el sistema y este es de carácter incompresible. La ecuación que representa el proceso es: (v ∗22 − v 1∗2 ) g( Z 2 − Z1 ) + 0 = v (P2 − P 1 ) + (4.37) 2 000 1000 Esta ecuación es conocida como ecuación de Bernoulli.

Tendido eléctrico Presa

Agua en movimiento

Generador

Turbina

Figura 4.19

Transformador Agua aprovechada para regar, etcétera.



Balance de energía para procesos de flujo no estable

Durante un proceso de flujo estable no ocurren cambios dentro del volumen de control; por esa razón no es necesario preocuparse de lo que pasa dentro de la frontera. Para determinados procesos de interés, se presentan cambios dentro del volumen de control con el tiempo, a estos se les conoce como procesos de flujo no estable o de flujo transitorio. Cuando se hace un análisis de un proceso de flujo no estable, es importante seguir de cerca los cambios de masa y de energía del volumen de control, así como de la interacción de energía a través de la frontera.

Balance de masa La cantidad de masa que cambia con el tiempo se define como: m entra + m sale = ∆msistema

(4.38)

Donde, msistema  mfinal  minicial es el cambio en la masa del sistema durante el proceso. Que también se puede expresar como:

∑m + ∑m e

s

= (m2 − m1 )sistema

(4.39)

Por lo general, uno de estos términos es cero. Por ejemplo, cuando el volumen del recipiente es cero, el volumen de control también es cero.

Balance de energía Cuando se hace un análisis del balance de energía para un proceso de flujo no estable, el cambio de transferencia de calor a través de la frontera del sistema como calor y trabajo depende de la cantidad de masa transferida al sistema. El balance general de energía se puede expresar como: E entrada −E salida = ∆E sistema

(4.40)

El primer término es la transferencia neta de energía por calor, trabajo y masa; y el segundo término representa cambios de energía interna, cinética y potencial del sistema. Sin embargo, la mayoría de los procesos de flujo no estable se representan razonablemente por medio del proceso de flujo uniforme, el cual presenta la siguiente idealización: “El flujo de fluidos a cualquier entrada o salida es uniforme y estable; por tanto, las propiedades del fluido no cambian respecto del tiempo y la posición que tenga en la sección transversal de una entrada o salida. Si estas cambiaran, se promedian y se toma como constante para el proceso completo.”

El balance de energía se puede expresar de manera explícita como sigue:

(Q e + W e + ∑ me θe )−(Q s + W s + ∑ ms θs ) = (m 2e2 − m1e1 )

(4.41)

Donde: θ: h + ec + ep es la energía del fluido que fluye en cualquier entrada o salida por unidad de masa. e: u + ec + ep es la energía del fluido en estado estático dentro del volumen de control por unidad de masa.

176


©

Cuando los cambios de energía cinética ( ec ) y energía potencial ( ep ) asociados al volumen de control son despreciables, como sucede generalmente en la ecuación de balance de energía, se expresa de la siguiente manera:

(Q e + W e + ∑ me θe )−(Q s + W s + ∑ ms θs ) = (m 2u2 − m1u1 )

(4.42)

Si durante el proceso no existe masa que entre y salga del volumen de control, entonces: m e = m s = 0 y m 1 = m 2 = m

(4.43)

Conclusión: No obstante que los procesos de flujo estable como de flujo uniforme son, de alguna manera, idealizados, estos constituyen una buena aproximación a la realidad.

UNIDAD

4


A un difusor subsónico entra una corriente de vapor de agua a una presión de 0,7 bar, una temperatura de 160 °C y una velocidad de 180 m/s; la entrada del difusor es de 100 cm 2. Durante su paso por el difusor, la velocidad del fluido se reduce a 60 m/s, la presión aumenta a 1,0 bar y se transfieren 0,6 J/g hacia los alrededores. Determina: a) La temperatura final. b) El gasto másico. c) El área de salida en cm2. 4.1

Una corriente de vapor de agua entra a un difusor subsónico a una presión de 30 psia, una temperatura de 450 °F y una velocidad de 500 ft/s; el área de la entrada del difusor es 0,3 ft 2. A su paso por el dispositivo de flujo estacionario, el fluido reduce su velocidad a 350 ft/s, su presión aumenta a 50 psia y se transfiere a los alrededores a una razón de 0,7 BTU/lb. Determina: a) La temperatura final en °C. b) El gasto másico. c) El área de la salida en ft2. 4.2

En una tobera adiabática entra refrigerante 12 a 5 bar y 90 m/s. A la salida, el fluido es un vapor saturado a 3,2 bar con una velocidad de 200 m/s. Determina: a) La temperatura de entrada en °C. b) El gasto másico en kg/s ,si el área de salida es 6,0 cm2. c) Realiza el mismo ejercicio, pero con refrigerantes 134a. 4.3

Para reducir la velocidad de una corriente de aire se emplea un difusor adiabático de 250 a 40 m/s. Las condiciones en la entrada son 0,1 MPa y 400 °C. Determina el área de salida en cm 2 para que el gasto másico sea 7 kg/s y la presión final sea 0,12 MPa. 4.4

A una tobera entra aire a 2,8 bar, 67 °C y 48 m/s; a la salida, la presión es de 1,5 bar y la velocidad es 10 veces el valor inicial. Si el área de entrada es 100 cm2. Determina: a) La temperatura a la salida en grados centígrados. b) El área de salida de la tobera adiabática en centímetros cuadrados. 4.5

En un difusor cuya sección transversal es de 0,1 m2 de entrada, entra aire a 5 bar y 450 °K; este sale a 1 bar y a 300 °K a través de un conducto de 0,047 m2 de sección. Determina: 4.6


a) La velocidad de salida en m/s. b) El flujo másico en kg/s. A una tobera aislada (proceso adiabático) entra nitrógeno gaseoso a 200 kPa con una velocidad despreciable. A la salida de la tobera, el estado del fluido es 120 kPa y 27 °C, mientras que la sección es de 100 cm 2. Si el flujo másico es 0,50 kg/s. Determina: a) La velocidad en m/s . b) La variación de temperatura en grados centígrados. 4.7

A una tobera adiabática entra refrigerante 134a con las condiciones de 10 bar y 90 m/s. Las condiciones de salida del fluido es vapor saturado a 3,2 bar y tiene una velocidad de 177 m/s. Determina: a) La temperatura de entrada en grados centígrados. b) El flujo másico en kg/s, si el área de salida es 6 cm 2. 4.8

A una tobera entra vapor de agua a 30 bar y 320 °C y sale a 15 bar a una velocidad de 535 m/s. El flujo másico es 8000 kg/h. Despreciando la velocidad de entrada y considerando el flujo adiabático, calcula: a) La entalpía a la salida en kJ/kg. b) La temperatura a la salida en grados centígrados. c) El área de salida de la tobera en centímetros cuadrados. 4.9

Una tobera adiabática admite aire a 3 bar, 200 °C y 50 m/s. Las condiciones de salida son 2 bar y 150 °C. Determina la relación de áreas de salida y de entrada A 2/A1. 4.10

Un difusor adiabático se utiliza para reducir la velocidad de una corriente de aire de 250 a 40 m/s. Las condiciones de entrada son 0,1 MPa y 400 °C. Determina, en metros cuadrados, el área de salida necesaria si el flujo másico es 7 kg/s y la presión final es 0,12 MPa. 4.11

A un difusor adiabático entra refrigerante 134a como vapor saturado a 26 °C con una velocidad de 95 m/s; a la salida, la presión y la temperatura son 7 bar y 30 °C, respectivamente. Si el área de salida es 50 cm2, calcula: a) La velocidad de salida en m/s. b) El flujo másico en kg/s. 4.12

El estado de entrada de refrigerante 134a a una tobera adiabática es 80 psia y 100 ft/s; a la salida, el fluido es vapor saturado a 60 psia y tiene una velocidad de 535 ft/s. Determina: 4.13


177

UNIDAD

4


a) La temperatura de entrada en grados Fahrenheit. b) El flujo másico en lb/s, si el área de salida es 0,016 ft 2.

Una turbina de vapor opera con una condición de entrada de 3,0 MPa, 400 °C y 160 m/s, y un estado de salida de vapor saturado a 0,05 MPa, con una velocidad de 100 m/s. El gasto másico es 1 000 kg/min y la potencia que se produce es de 9 300 kW. Determina la magnitud y la dirección en kJ/min de cualquier transferencia de calor que pudiese ocurrir. 4.19

A una tobera entra vapor de agua a 400 psia y 600 °F; el vapor sale a 200 psia y a una velocidad de 1475 ft/s, mientras que el flujo másico es 18 000 lb/h. Despreciando la velocidad de entrada y considerando el flujo adiabático, calcula: a) La entalla a la salida en Btu/lb. b) La temperatura de salida en grados Fahrenheit. c) El área de salida de la tobera en pies cuadrados. 4.14

Por una tobera perfectamente aislada circula, en régimen estacionario, agua en estado de líquido comprimido. A la presión de entrada, la temperatura y la velocidad son 4 bar y 15 °C, respectivamente, y el área es 10 cm2. En la salida el área es 2,5 cm 2 y la temperatura es 15,05 °C. Considera que el agua es incompresible, siendo v  1,001 × 10 3 m3/kg y Cp  4,19 kJ/kgK. Determina: a) El flujo másico en kg/s. b) La velocidad de salida en m/s. c) La presión de salida en bares. 4.15

En el esquema de la figura 4.21 se representa una turbina adiabática de vapor de agua que opera bajo las condiciones de entrada de 12,0 MPa, 480 °C y 150 m/s, mientras que el flujo del fluido pasa a través de un área de sección transversal de 100 cm 2. Las condiciones de salida son: la calidad de 90% a 0,1 MPa y la velocidad es 50 m/s. Determina: a) El trabajo de flecha. b) El gasto másico en kg/s. c) La potencia en kW y el área de salida en m 2. 4.20



Turbina de vapor

Generador

A un difusor entra aire a 0,7bar, 57 °C y una velocidad de 200 m/s; a la salida, donde el área es 20% mayor que la de la entrada, la presión es de 1 bar. Si el proceso es adiabático y el fluido cede 40 kJ/kg cuando pasa por el dispositivo, determina: a) La temperatura de salida en grados centígrados. b) La velocidad de salida en m/s. 4.16

A un difusor adiabático entra vapor de agua saturado a 110 °C, a una velocidad de 220 m/s. A la salida la presión y la temperatura son 1,5 bar y 120 °C. Determina si el proceso es adiabático.

Caldera

4.17

En la figura 4.20 se representa gráficamente un compresor de aire, que se va a utilizar para comprimir aire que inicialmente se encuentra a 1 bar y 290 °K hasta 5 bar y 450 °K. La entrada de potencia al aire en condiciones de flujo estacionario es de 5 kW, ocurriendo durante el proceso una pérdida de calor de 5 kJ/kg. Si se desprecian los cambios en las energías cinética y potencial, determina el gasto másico en kg/min. 4.18

Bomba

Figura 4.21

Condensador

A través de una turbina fluye, en forma estable, una corriente de 20 000 kg/h de vapor de agua, la cual entra a 4 MPa y 440 °C y sale a 0,02 MPa, con una calidad de 90% (mezcla líquido vapor). En este proceso ocurre una pérdida de calor de 45 kJ/kg. El tubo de entrada tiene un diámetro de 12 cm y la sección de salida es rectangular, con dimensiones de 0,6 y 0,7 m. Con base en estas condiciones, calcula: a) El cambio de energía cinética. b) La salida de potencia en kW. 4.21

Se utiliza un compresor para disminuir el volumen de dióxido de carbono desde 0,1 MPa y 310 K hasta 0,5 MPa y 430 °C; el gasto volumétrico en las condiciones de entrada es 30 m 3/min, y el cambio de energía cinética es despreciable, pero ocurre una pérdida de calor de 10 kJ/kg. Determina la potencia necesaria en kW, utilizando la tabla de propiedades del CO2. 4.22

Un compresor acepta, en forma estacionaria, 2 000 kg/h de refrigerante 12 a 0,6 bar y 0 °C a través de un tubo con un diámetro interno de 7 cm. Dicho compresor descarga el gas a 7 bar y 140 °C a través de un tubo de 2 cm de diámetro. Durante el proceso, se pierden 40 000 kJ/h en forma de calor hacia los alrededores. Determina: a) Las velocidades de entrada y salida. b) La potencia necesaria en kW. 4.23

En una turbina entra vapor de agua a 60 bar y 500 °C, a una velocidad de 100 m/s, y sale como vapor saturado a 0,6 bar. El tubo de entrada 4.24

Figura 4.20 Compresor de aire.

178



Grupo Editorial Patria en la turbina tiene un diámetro de 0,6 m, mientras que el diámetro de salida es de 4,5 m. Determina: a) El gasto másico en kg/h. b) La velocidad de salida en m/s.

El sodio líquido sale del reactor a 0,2 MPa y 400 °C; pero, a su paso por un intercambiador de calor, se enfría hasta 320 °C, antes de regresar al reactor. En el intercambiador de calor se transfiere energía térmica del sodio líquido al agua, si las condiciones de entrada al intercambiador son de 100 bar (10 MPa) y 49 °C; sale a la misma presión como vapor saturado. El gasto másico del sodio es de 10 000 kg/h y su capacidad térmica específica tiene el valor constante de 1,25 J/g °C. Determina: a) El gasto másico del agua que se evapora en el intercambiador de calor en kg/h. b) La rapidez de transferencia de calor entre los fluidos en kJ/h.

Considérese una turbina de vapor con las condiciones iniciales y finales que se describen en la figura 4.22. 4.25

P = 15 MPa T = 600 °C m = 200 kg/s

1 W

Turbina

m2 = 60 kg/s P = 4 MPa T = 400 °C

2 3

m3 = 140 kg/s X = 95% P 3 = 75 kPa

©

Considera una gran planta de potencia de vapor (por ejemplo, un calentador abierto de agua), que opera a 10 bar (1,0 MPa de alimentación). El vapor sobrecalentado se extrae de la turbina a esta presión y a 200 °C, mientras que entra en el calentador en el estado 2 . Un líquido comprimido proveniente de una bomba en el ciclo se halla a 40 °C y 5 bar, y entra en la posición 1. Por cada kilogramo de vapor extraído de la turbina por unidad de tiempo, determina cuántos kilogramos de líquido comprimido entran por unidad de tiempo a través de la sección 1, si la corriente que sale por la sección 3 es de líquido saturado a la presión del calentador. 4.28

Refrigerante 12 a 1,0 MPa y 40 °C circula a través de un intercambiador de calor, con un gasto másico de 10 kg/s, mientras que sale de este a 0,9 MPa y 80 °C. El fluido que se utiliza para intercambiar energía tér mica es una corriente de vapor de agua que entra a 0,1 MPa bar y 200 °C. a) Si el agua sale del intercambiador de calor como vapor saturado a 0,1 MPa, determina su gasto másico, en kg/s. b) Para el mismo cambio de estado, el gasto másico del refrigerante se disminuye a 5 kg/s. Si el gasto másico del vapor de agua no cambia, determina la temperatura de salida del agua en grados centígrados. 4.29

Figura 4.22

Se supone que las condiciones de la turbina son: • Adiabática. • No existe cambio de energía cinética. • No existe potencial. Calcula la potencia total de la turbina. En un sistema de irrigación se utiliza una pequeña bomba, el agua es tomada del río y se encuentra a 15 °C y a una presión de 1,7051 kPa, como agua saturada, a razón de 5 kg/s. La línea de salida entra a una tubería que va a elevar el agua 20 m por arriba de la bomba y del río donde corre el agua. Si las condiciones de salida de la bomba son 25 m/s, 17 °C, como líquido saturado y el diámetro de entrada de la bomba es de 10 cm y el de la de salida es de 25 cm, calcula la potencia de la bomba que se requiere para elevar el agua 8 m sobre el nivel de esta. 4.26

En la figura 4.23 se muestra el esquema de una pequeña central nuclear en la que se utiliza sodio líquido para enfriar el sistema. 4.27

Se condensa vapor de agua en la parte externa del tubo de un intercambiador de calor al pasar aire a través del interior del tubo. El aire entra a 0,12 MPa, 20 °C y 10 m/s, y sale a 80 °C. El agua entra a 0,3 MPa y 200 °C, con un gasto másico de 5 kg/min, y sale como líquido saturado. Calcula: a) El gasto másico del aire en kg/min. b) El área del tubo para el flujo de aire en metros cuadrados. 4.30

En una estación de bombeo de un oleoducto fluye petróleo, cuya densidad es de 0,85 g/cm 3, el cual se encuentra almacenado a 700 m por debajo del nivel del suelo en una caverna, donde las condiciones son 30 °C y 4 bar. El petróleo se bombea hacia la superficie a través del oleoducto, que tiene 6 cm diámetro de entrada, y se descarga a través de un tubo con diámetro de 15 cm a 30 °C y la presión atmosférica. El gasto volumétrico del petróleo es 18 m 3/h y la gravedad local es de 9,80 m/s 2. Determina: a) Las velocidades de entrada y de salida del petróleo. b) La potencia de la bomba en kW. 4.31

En el edificio que se muestra en la figura 4.24 fluye agua de manera estacionaria a través de una serie de tubos, desde una cisterna que se encuentra a 4 m por debajo del nivel del suelo hasta 120 m sobre el nivel del suelo. A la entrada, debajo del suelo, las condiciones son 35 °C, 0,70 MPa y 3 m/s, mientras que a la altur a de 120 m el estado es 33 °C, 0,64 MPa y 14 m/s. Determina: a) La transferencia de calor en kJ/kg si no se efectúa trabajo de flecha. 4.32

Figura 4.23 Problemas aplicados a la realidad


179

4

UNIDAD


Nota: No desprecies ningún término que se pueda calcular. El valor

de g es de 9,80 , m/s . 2

da es de 10 m/s y los diámetros de entrada y salida son iguales (15 cm). Determina el estado y la velocidad del agua a la salida. Un conjunto cilindro-pistón, cuyo volumen inicial es de 0,025 m 3, contiene vapor de agua (180 °C). Se le suministra más calor al sistema, de manera que el vapor se expande y con ello el pistón. El proceso de expansión es politrópico ( n  1, 2), hasta que la presión final alcanza 200 kPa, mientras se realiza trabajo. Calcula el trabajo realizado por el pistón y el calor transferido al sistema. 4.38

Un dispositivo cilindro-pistón contiene inicialmente 50 kg de agua, de los cuales 40 kg son vapor. La masa del émbolo mantiene una presión constante de 500 kPa dentro del cilindro y el sistema se encuentra conectado a una línea de vapor a las condiciones de 500 kPa y 350 °C, de manera que el líquido que se encuentra en el sistema se evapora totalmente. Determina: a) La temperatura final del cilindro-pistón. b) La masa de vapor que ha entrado al sistema. 4.39

Una olla de presión de 6 litros tiene una presión de operación de 175 kPa. Inicialmente, la mitad del volumen está lleno de líquido y la otra mitad de vapor, pero se le agrega calor a la olla a una tasa de 1 500 kJ/h. Determina el tiempo que se requiere para evaporar totalmente el líquido. 4.40

Una masa de 0,250 kg de vapor saturado de refrigerante 134a está contenido en un dispositivo cilindro-pistón a 200 kPa. Inicialmente, 85% de la masa está en fase vapor; luego, se transfiere calor al refrigerante a presión constante, hasta que el líquido se evapore totalmente. Determina: a) El volumen inicial que ocupa por el refrigerante. b) El trabajo efectuado. c) La transferencia de calor. d) El tiempo que tarda en evaporarse totalmente el líquido. e) Muestra este proceso en un diagrama P v . 4.41

Figura 4.24

Un aceite de densidad relativa de 0,9 entra en un sistema de tuberías a 0,240 MPa, 15 °C y 6 m/s. Aguas abajo, las condiciones son 15 °C y 4 m/s y la altura es 8 m inferior a la de la entrada. La gravedad específica local es de 9,65 m/s2 y el gasto másico 2 000 k/min. El sistema recibe un flujo de calor de 0,0097 kJ/kg. Determina: a) La presión de salida en MPa. b) El diámetro del conducto de salida en m2. 4.33

En un edificio de 1 500 m de altura se debe suministrar vapor a todos los departamentos del edificio, por tal motivo se instaló una tubería que provee vapor a cada uno de los niveles del edificio. Si en el último piso debe salir vapor sobrecalentado a las condiciones de 125 kPa y el calor que se pierde a lo largo de la tubería es de 110 kJ/kg. ¿Cuál debe ser la temperatura de entrada del vapor para que el agua no se condense dentro de la tubería, si se sabe que la presión de entrada es de 200 kPa? 4.34

Supóngase que una industria de la confección del vestido se utiliza un generador de vapor para planchar las prendas a vapor. Si la industria está cerca de un lago donde las condiciones del fluido son 20 MPa y 10 °C de temperatura, y el diámetro de entrada del tubo es de 30 mm a razón de 3 L/s. Si a la salida del generador se obtiene vapor a las condiciones de 10 MPa y 400 °C; determina la razón de transferencia de calor. 4.35

Para purgar una línea de vapor, se utiliza una válvula de expansión. El vapor que circula está a las condiciones de 400 kPa (como vapor saturado), pero a lo largo de la línea, que se encuentra mal aislada, existe una pérdida de calor hasta que la presión llega a 100 kPa. ¿Cuál es la temperatura a la salida de la válvula, si se supone que no se produce cambio de energía cinética y no hay transferencia de calor en la válvula? 4.36

A través de una válvula adiabática pasa agua a las condiciones de 1 MPa y 150 °C, hasta que la presión es de 250 kPa. La velocidad de entra4.37

180


En un generador de vapor entran 20 kg/s de agua líquida saturada a la temperatura de 12 °C y sale como una mezcla líquido-vapor a 95 °C. Determina la cantidad de calor utilizado para generar una mezcla a 97% de calidad. 4.42

Se condensa vapor saturado a 50 °C sobre un tubo horizontal de 5 m de longitud y 3 cm de diámetro. El agua de enfriamiento fluye a 20 °C y a una velocidad promedio de 5 m/s, y sale a una temperatura de 35 °C. Si la tasa de transferencia de calor por condensación es de 180 kJ/s, determina la cantidad de masa condensada. 4.43

Un vaso que contiene 0,3 m3 de líquido a una condición de 25 °C se enfría con una masa de hielo hasta la temperatura de 1 °C. Se sabe que el calor de fusión del hielo es 333,7 kJ/kg a 0 °C y que la densidad del agua es 1 kg/L. Determina qué cantidad de masa de hielo se necesita para enfriar el agua. 4.44

Un tanque rígido es conectado, por medio de una válvula, a una línea de alimentación, donde fluye de manera de manera estable refrigerante 134a, a 1MPa y 120 °C. La válvula se abre ligeramente y se deja que el refrigerante entre al tanque. Cuando la presión alcanza 800 kP, todo el refrigerante que se encuentra en el tanque se encuentra como vapor. Es en este punto, cuando se cierra la válvula, determina: a) La temperatura final en el tanque. 4.45


Grupo Editorial Patria b) La masa del refrigerante que ha ingresado al tanque. c) La transferencia de calor entre el sistema y los alrededores. Nota: Inicialmente, el tanque contiene 0,2 m 3 de refrigerante a las condiciones de 8 °C y x  60%. Se conecta un tanque rígido a una línea que transporta refrigerante 135 a (a 30 °C y 1,2 MPa). Inicialmente, el tanque contiene 0,3 m 3 de vapor saturado, 1 MPa. La válvula se abre para dejar pasar cierta cantidad de masa de refrigerante. Determina: a) La masa del refrigerante, cuando el refrigerante se encuentra como líquido saturado a presión de 1,2 MPa. b) La transferencia de calor.

4

Dos depósitos rígidos se encuentran conectados por medio de una tubería y una válvula; ambos tanques tienen un volumen de 0,1 m 3. El depósito A contiene refrigerante 134 a, a 25 °C y x  25% y el depósito B se encuentra vacío. Se abre la válvula, la cual se deja pasar vapor saturado del recipiente A al recipiente B, hasta que se igualan las presiones. El proceso se hace lentamente, de tal manera que la temperatur a permanece constante. Determina la masa que es transferida al depósito B y el calor transferido. 4.47

Dos depósitos bien aislados están conectados por una válvula. El depósito A contiene 1,0 kg de agua a 300 kPa y 200 K; mientras que el depósito B tiene un volumen de 0,3 m 3 y contiene agua a 600 kPa y 80% calidad. La válvula se abre y los dos depósitos llegan a un estado uniforme. ¿Cuál es la presión final, si se supone que el proceso es adiabático? 4.48

Un dispositivo rígido se encuentra dividido en dos secciones mediante una membrana; ambos lados del depósito contienen agua. El com3 partimiento A está a 200 K , v = 0 ,45 mkg , V = 1 m3, mientras que el compartimiento B contiene 3,5 kg de agua a 0,3 MPa y 300 K. En algún momento, la membrana se rompe y se lleva a cabo una transferencia de calor, de modo que el agua llega hasta un estado uniforme de 150°. Determina la transferencia de calor durante el proceso. 4.49

4.50

En la figura 4.25 se representa gráficamente un ciclo termodiná-

mico.


5

Generador de vapor

4.46

©

 W

Turbina

Q

6 3 Condensador Economizador

7

Q

Figura 4.25

Bomba 2

 W

1

Como se puede observar en la figura, fluye Freón 134a a 0,5 kg/sJ, se suministran al compresor 47,58 k; se proporcionan los datos siguientes: Tabla 4.17 Estado

1

2

3

4

5

6

P MPa

1,4

1,3

1,2

0,4

0,25

0,2

T °C

120

110

50

0

5

Calcula: a) La transferencia de calor en la tubería entre 1 y 2. b) La transferencia de calor en el compresor. c) La transferencia de calor en el condensador. d) La transferencia de calor en el evaporador. Determina la potencia que entrega la turbina del problema anterior, bajo las siguientes condiciones: a) Alta presión. b) Baja presión. c) Potencia total. 4.51


181

UNIDAD

4


PROBLEMAS RETO En la siguiente figura se representa una planta de vapor simple generadora de energía. 5 4 G V

q

6

3

Condensador

E

q

7 2

1 w

Figura 4.26

1

w

Turbina

En la siguiente tabla se representan los datos para cada uno de los puntos. Tabla 4.18


1

2

3

4

5

6

7

P (MPa)

7,0

6,0

5,5

5,25

5,0

0,1

0,09

T ( °C )

−

35

180

500

475

99,62

40

El estado 6 tiene una calidad de 90% y una velocidad de 250 m/s. El flujo másico de vapor es de 55 kg/s y se alimenta a la bomba 400 kW de potencia. Los diámetros de las tuberías son: 250 mm, del generador de vapor hacia la turbina, y de 100 mm, del condensador al generador de vapor. El economizador es un cambiador de baja temperatura. Determina: a) La potencia de salida de la turbina. b) La transferencia de calor en el condensador, el economizador y el generador de vapor. c) El agua de enfriamiento a través del condensador, si en el condensador la temperatura del agua de enfriamiento aumenta de 10 °C a 25 °C.

REFERENCIAS Boles, M. y Çengel, Y. (2002). Termodinámica. McGraw-Hill Interamericana: México. Smith, J. y Van Ness, H. (2002). Introducción a la Termodinámica en Ingeniería Química. McGraw-Hill Interamericana: México. Van Wylen, G. (2002). Fundamentos de Termodinámica. Limusa: México. Wark, K. (1991). Termodinámica. McGraw-Hill Interamericana: México.


182

Estado

http://termoweb.comyr.com/primeraley.html (cosultada el 17 de octubre de 2011).

UNIDAD

5

Segunda Ley de la Termodinámica OBJETIVOS De�nir el concepto de la Segunda Ley de la Termodinámica. Comprender los fenómenos de la naturaleza e identi�car cuáles son los procesos reversibles y cuáles los irreversibles. Comprender el concepto de entropía como una medida del desorden. Conceptualizar qué son las máquinas térmicas y cuáles son sus aplicaciones. Cuanti�car el grado de reversibilidad de un proceso. Calcular la e�ciencia térmica de una máquina de Carnot. Calcular los cambios de entropía y establecer las posibles relaciones con los procesos. Adquirir las herramientas conceptuales básicas que permiten resolver problemas a partir de los conceptos de la Segunda Ley de la termodinámica.

¿QUÉ SABES? ¿Qué importancia tiene la Segunda Ley de la Termodinámica en la vida cotidiana? ¿Es posible crear una máquina de movimiento perpetuo? ¿Qué es una máquina térmica? ¿Cómo se de�ne la e�ciencia térmica de Carnot o de una máquina de Carnot? ¿Cómo se determinan las interrelaciones entre los diferentes componentes de un proceso termodinámico? ¿Es el rendimiento o la e�ciencia el principal parámetro que caracteriza un ciclo termodinámico? ¿Cuáles son las principales causas de la irreversibilidad? ¿Qué implicaciones se tienen que considerar al analizar tanto un sistema abierto como un sistema cerrado?

UNIDAD

5

Segunda Ley de la Termodinámica

5.1 Introducción La Segunda Ley de la Termodinámica establece cuáles procesos de la naturaleza pueden ocurrir o no de manera libre y espontánea. De todos los procesos permitidos por la Primera Ley de la Termodinámica, solo pueden ocurrir ciertos tipos de conversión de energía. Los procesos compatibles con la Primera Ley de la Termodinámica, y que se cumplen en un orden gobernado por la segunda ley, son: 1. Cuando dos objetos que están a diferente temperatura se ponen en contacto térmico entre sí, el calor fluye del objeto más cálido al más frío, pero nunca del más frío al más cálido, como se muestra en la figura 5.1.

A

Figura 5.1

A

A

B

B

B

Representación de equilibrio térmico.

Paredes diatérmicas

2. La sal se disuelve espontáneamente en el agua, pero la extracción de la sal del agua requiere alguna influencia externa (véase figura 5.2). Sal sin disolver

Sal disuelta

Figura 5.2 Representación de una sal disuelta.

3. Cuando se deja caer una pelota de goma al piso rebota hasta detenerse, pero el proceso inverso nunca ocurrirá, como se puede observar en la figura 5.3.

Figura 5.3 Representación de una pelota que rebota en el piso.

Proceso inverso

Proceso directo

Todos estos ejemplos comparten una peculiaridad: son procesos de carácter irreversible, es decir, procesos que ocurren naturalmente en una sola dirección y nunca ocurren en el orden temporal opuesto; si esto ocurriera, violarían la Segunda Ley de la Termodinámica. La Segunda Ley de la Termodinámica puede enunciarse de diferentes formas equivalentes, y tiene muchas aplicaciones prácticas; desde el punto de vista de la Ingeniería, la más importante es la que nos permite determinar la eficiencia de las diferentes máquinas térmicas. A continuación se expresa de forma simple La Segunda Ley de la Termodinámica: No es posible construir una máquina capaz de convertir por completo, y de manera continua, la energía térmica en otras formas de energía.

184


©

5.2 Máquina térmica Por definición, una máquina térmica es: Un sistema cerrado que opera cíclicamente y produce trabajo intercambiando calor a través de sus fronteras. También es considerada un dispositivo que convierte energía térmica en otras formas útiles de energía, como la energía eléctrica y/o mecánica. En términos generales, una máquina térmica es un dispositivo que hace que una sustancia de trabajo recorra un proceso cíclico durante el cual se absorbe calor de una fuente a alta energía. La máquina realiza un trabajo y libera calor a una fuente de energía más baja. Por ejemplo, en un motor de gasolina (véase figura 5.4): 1. El combustible se quema en la cámara de combustión. 2. Se realiza trabajo mecánico sobre el pistón. 3. La energía de desecho sale por el tubo de escape.

Un máquina térmica transporta alguna sustancia de trabajo (desde un estado inicial) a través de un proceso cíclico, hasta que la sustancia regresa a su estado inicial.

Alerta

Válvula de escape

Válvula de admisión

Alerta

Si el fluido o la sustancia de trabajo es un gas, el trabajo neto realizado por el proceso cíclico es igual al área bajo la curva en un diagrama

Admisión

Compresión

Escape

Figura 5.4 Representación gráfica de un motor de combustión.

Combustión

Otro ejemplo característico del funcionamiento de una máquina térmica se puede observar en el proceso para producir electricidad en una planta de potencia, donde carbón u otro tipo de combustible se quema y el calor generado se usa para producir vapor de agua, el cual se dirige hacia los álabes de una turbina, poniéndola a girar. Por su parte, la energía asociada a dicha rotación se usa para mover un generador eléctrico (véase figura 5.5).

Caldera de recuperación Vapor Alternador Turbina de vapor Turbina de gas Gas natural Agua de alimentación

Aire de combustión

Condensador

Figura 5.5 Agua de refrigeración

Representación de una planta de electricidad.

Una máquina térmica tiene, en general, las siguientes características (véase figura 5.6): 1. 2. 3. 4.

Recibe calor de una fuente de energía alta (solar, nuclear, termoeléctrica). Convierte parte de la energía en trabajo (normalmente en la forma de eje rotacional). Libera calor de desecho remanente hacia una fuente de baja energía (atmósfera, río, etcétera). Funcionan en un ciclo.

185

UNIDAD

5

Alerta Para cualquier operación de una máquina térmica, primero se extrae una determinada cantidad de calor de una fuente de energía alta, luego se hace algún trabajo mecánico y, por último, se libera otra cantidad de calor a una fuente de energía más baja. Como se representa de manera esquemática en la figura 5.6.

Segunda Ley de la Termodinámica En la figura 5.6, el funcionamiento de la máquina térmica que se ilustra está representado por el círculo en el centro de la figura, el cual absorbe cierta cantidad de calor Q C (en este caso, el subíndice C se refiere a caliente) de una fuente de energía alta; posteriormente, realiza un trabajo, W , y libera una determinada cantidad de calor QF (el subíndice F se refiere a frío) a la fuente de energía baja. Las máquinas térmicas y otros dispositivos cíclicos suelen incluir un fluido, conocido como fluido de trabajo, el cual es sometido a un proceso cíclico. Las máquinas de combustión interna, como las turbinas de gas y los motores de los automóviles, son dispositivos que operan en un ciclo mecánico y no en un ciclo termodinámico, ya que el fluido de trabajo no se somete a un ciclo completo. En este tipo de máquinas (mecánicas) en lugar de que los gases de combustión se enfríen hasta la temperatura inicial, los gases se evacuan y se sustituyen por una mezcla de aire-combustible al final del ciclo. El ejemplo clásico que encaja en la definición de una máquina térmica es una planta de potencia de energía o planta de energía de vapor, que se muestra a continuación en la figura 5.7. Fuente de energía (calor) QC

Fuente de energía alta T QC

Cilindro y pistón Calentador Bomba Condensador

W QF

Proceso inverso

Figura 5.6 Representación de una máquina térmica.

Figura 5.7 Planta de potencia.

Qf Sumidero de energía (medio ambiente)

Debido a que la sustancia o fluido de trabajo se hace pasar por un ciclo termodinámico, la energía interna, tanto inicial como final, es la misma. Por esta razón, la variación de energía interna es cero, es decir U  0. Por tanto, y de acuerdo con la Primera Ley de la Termodinámica: “El trabajo neto, W, realizado por la máquina es igual al Q neto que fluye hacia la misma.”

Alerta Otros tipos de representación gráfica son: • H-S Diagrama de Mollier. Se utiliza para procesos de combustión y máquinas térmicas. • T-S. Se emplea para ciclos de potencia (donde se usa agua como fluido de trabajo) y en licuefacción de gases. • P-H. Se utiliza para aplicaciones a ciclos de refrigeración.

Donde el calor neto es: Qneto = QC − QF

5.1

Por tanto, el trabajo es: W = QC − QF

5.2

Donde, se toman como cantidades positivas. En conclusión, el trabajo neto del sistema es igual a la transferencia de calor neto al sistema.

5.3 Eficiencia térmica La fracción de entrada de calor que se convierte en la salida de trabajo neto, es una medida de rendimiento de una máquina térmica que se denomina eficiencia térmica o simplemente eficiencia de una máquina térmica. Se define como: “La razón entre el trabajo neto realizado y el calor absorbido durante un ciclo”.

186

Por lo general, el rendimiento o la eficiencia se expresan tanto en términos de la salida deseada como de la entrada requerida de la siguiente forma: Salida deseada Rendimiento= Entrada requerida En el caso de las máquinas térmicas, la salida deseada es el trabajo neto y la entrada requerida es la cantidad de calor suministrada al fluido o sustancia de trabajo.


©

Por consiguiente, la eficiencia térmica se expresa como: Salida neta de trabajo Eficiencia térmica= Calor total que entra Que se representa con la siguiente ecuación: e=

Alerta



Q W QC − QF = = 1− F QC QC QC

5.3

De esta manera, la eficiencia se entiende como:

“Una forma de medir la cantidad de calor disponible que estamos aprovechando para convertirlo en trabajo útil.”

Este resultado muestra que una máquina térmica tiene una eficiencia de e  100, siempre y cuando QF  0, es decir, no existe liberación de calor de una fuente fría. En otras palabras, una máquina térmica con una eficiencia perfecta deberá convertir toda la energía calórica absorbida QC en trabajo mecánico W .

5.4 Segunda Ley de la Termodinámica y la entropía Con base en lo expuesto antes, es posible afirmar que para una máquina térmica es imposible convertir todo el calor en trabajo, ya que “el calor jamás fluye espontáneamente de un objeto frío a un objeto caliente” . Este enunciado tan sencillo es el principio de la Segunda Ley de la Termodinámica. A partir de este principio, se pueden establecer las dos propiedades siguientes: 1. Una máquina térmica con rendimiento igual a la unidad es imposible. A esta propiedad se le conoce como enunciado de Kelvin–Planck y el hipotético dispositivo que conseguiría dicho rendimiento se designa como móvil perpetuo. 2. Una bomba térmica o máquina frigorífica con una eficiencia infinita es imposible. A esta propiedad se le conoce como enunciado de Clausius. 

En la práctica, encuentra que todas las máquinas térmicas solo convierten una pequeña fracción del calor absorbido en trabajo mecánico. Por ejemplo, un buen motor de automóvil tiene una eficiencia aproximada de 25%, al tiempo que los motores diesel tienen una eficiencia que se ubica en un rango de 35% a 40% y las grandes plantas de potencia combinada de gas y vapor se hallan en un orden de 60%.

Alerta Una máquina de movimiento perpetuo de primera clase se considera aquella que puede violar la Primera Ley de la Termodinámica (conservación de la energía). Sin embargo, es imposible construir una máquina de este tipo.

Enunciado de Kelvin-Planck de la Segunda Ley de la Termodinámica

De acuerdo con lo anterior, el enunciado de Kelvin–Planck de la Segunda Ley de la Termodinámica se expresa de la siguiente forma: Q C

“Es imposible construir una máquina térmica que, operando en un ciclo, no tenga otro efecto que absorber la energía térmica de una fuente y realizar la misma cantidad de trabajo.”

El enunciado de Kelvin-Planck también se expresa como el hecho de que ninguna máquina puede tener una eficiencia térmica de 100%. Para que una planta de energía funcione, el fluido o sustancia de trabajo debe intercambiar calor tanto con el ambiente como con el horno. La figura 5.8 representa el diagrama esquemático de una máquina térmica perfecta (una máquina de movimiento perpetuo de primera clase) imposible de construir. Una máquina térmica muy común que opera en sentido inverso, que se utiliza en la vida cotidiana, es el refrigerador, cuya operación se representa de manera esquemática en la figura 5.9.

W Q F

Fuente de temperatura baja

Figura 5.8 Foco caliente T1 100 J Refrigerador 60 J

W 40 J

Foco frío T2

Foco caliente T 1 100 J Supuesta máquina 55 J Foco frío T2

Representación de una máquina perfecta.

Foco caliente T1 W 45 J

Máquina perfecta Foco frío T2

5J W 5J

Figura 5.9 Operación esquemática de un refrigerador.

El proceso que se lleva a cabo en esta máquina (refrigerador) es el siguiente: 1. Absorbe calor QF de la fuente fría. 2. Entrega calor QC a la fuente cálida.

187

UNIDAD

5

Segunda Ley de la Termodinámica Esto solo se puede llevar a cabo siempre y cuando se realice trabajo sobre el refrigerador.

Alerta Eficiencia es uno de los términos usados con mayor frecuencia en la termodinámica e indica cuán también se realiza un proceso de conversión o de transferencia de energía. En la tabla 5..1 se representa la eficiencia y la definición de algunas máquinas más comúnes.

Alerta De acuerdo con la Primera Ley de la Termodinámica se sabe que el calor cedido a la fuente caliente debe ser igual a la suma del trabajo realizado y el calor absorbido por la fuente fría. Esto resume el hecho de por qué el refrigerador transfiere calor de un cuerpo más frío a un cuerpo más cálido (la cocina).

Alerta En términos sencillos, el calor no puede fluir espontáneamente de un objeto frío a otro cálido.

Alerta Aunque parece que los enunciados de Kelvin–Planck y de Clausius de la segunda ley no están relacionados, estos son equivalentes en todos sus aspectos. Esto se debe a que si un enunciado es falso, el otro también lo es, lo cual es posible demostrar (aunque aquí no lo hacemos).

188

Tabla 5.1 Tipo

De�nición

E�ciencia

Calentador de agua

Energía de entrada por el quemador del calentador de agua a la energía suministrada al calentar el agua.

55%

Motor

Salida de energía mecánica del motor entre la energía eléctrica de entrada.

35 a 96%

Iluminación

Cantidad de salida de luz (en lumens) por watts de electricidad consumida.

0,2 a 200%

Aparatos de cocina

Energía útil transferida a los alimentos y la energía consumida por el aparato.

5.5 Enunciado de Clausius de la Segunda Ley de la Termodinámica Si se pudiera construir un proceso de refrigeración que se efectuará sin ningún trabajo, el resultado sería el refrigerador perfecto. Sin embargo, esto es imposible, ya que violaría el principio de la Segunda Ley de la Termodinámica. Con base en este concepto, el alemán Rudolf Clausius (1822-1888) propuso el siguiente enunciado para la Segunda Ley de la Termodinámica: “Es imposible construir una máquina cíclica que no tenga otro efecto que transferir calor continuamente de un cuerpo hacia otro que se encuentre a una temperatura más elevada”. Este enunciado de la segunda ley establece la dirección del flujo de calor entre dos objetos a diferentes temperaturas; esto es, el calor solo fluirá del cuerpo más frío al más cálido si se efectúa trabajo sobre el sistema.

5.6 Procesos reversibles e irreversibles Por lo general, todos los procesos reales se producen en una dirección preferente. Así es como el calor fluye de forma espontánea de un cuerpo más cálido a otro más frío. Pero, el proceso inverso solo se puede lograr si se utiliza influencia externa, capaz de modificar el sistema. Cuando un bloque se desliza sobre una superficie, finalmente, en algún momento, se detendrá, debido a la transformación de energía (fricción entre el bloque y la superficie) en calor. La energía mecánica que se transmite al bloque se transforma en energía interna de este y también de la superficie. Estos tipos de procesos son unidireccionales, también llamados procesos irreversibles. Una transformación reversible se realiza mediante una sucesión de estados de equilibrio del sistema con su entorno; a través de su condición de reversible, esta transformación hace posible que el sistema y su entorno regresen a su estado inicial por el mismo camino. Reversibilidad y equilibrio son, por tanto, equivalentes. Si un proceso real se produce en forma cuasiestática, es decir, lo suficientemente lento, de manera que cada uno de los estados tenga pequeñas desviaciones infinitesimales del equilibrio, se puede considerar reversible. En la realidad, las transformaciones reversibles no existen, ya que no es posible eliminar por completo los efectos disipativos, como la fricción, que producen calor o efectos que tienden a perturbar el equilibrio, como la conducción de calor por diferencias de temperatura. Por consiguiente, no nos debe sorprender que los procesos que se llevan a cabo en la naturaleza sean de carácter irreversible.

5.7 Ciclo de Carnot Sadi Carnot, científico francés (1796 – 1832), demostró que una máquina térmica que opere entre dos fuentes de calor, por medio de un ciclo ideal reversible, es la más eficiente posible. Por lo general, una máquina ideal de este tipo, llamada máquina de Carnot, establece que cuando el trabajo neto realizado por una sustancia de trabajo es conducida a través de un ciclo, entre dos fuentes de energía, la eficiencia de la máquina es la máxima posible para una cantidad dada de calor. Por tanto, el teorema de Carnot se enuncia de la siguiente forma: “Ninguna máquina térmica real que opera entre dos fuentes de calor puede ser más eficiente que una máquina de Carnot, operando entre las dos mismas fuentes.”


©

La sustancia de trabajo es un gas ideal que se encuentra entre dos temperaturas de trabajo (temperatura alta, Tc , y temperatura baja, T F) que se encuentra contenido en un cilindro con un émbolo móvil en un extremo; las paredes del cilindro-émbolo no son conductores térmicos, por lo que no hay pérdida de calor al ambiente. Este proceso consta de dos procesos isotérmicos y de dos procesos adiabáticos, como se muestra en el diagrama del ciclo de Carnot, donde se ilustran los cuatro pasos del ciclo (véase figura 5.10). p Q1

A

En general, un proceso es irreversible si el sistema y sus alrededores no pueden regresar a su estado inicial. Al contrario, un proceso es reversible si su dirección puede invertirse en cualquier punto mediante un cambio infinitesimal en las condiciones externas. Ejemplos de procesos reversibles

B

T1

Alerta

1. Movimiento sin fricción. 2. Compresión y expansión restringida.

T2

D

3. Transferencia de calor debido a diferencias infinitesimales de la temperatura.

C Q2 V

Figura 5.10

Ejemplos de procesos irreversibles

Diagrama del ciclo de Carnot.



4. Reacciones químicas restringidas.

1. Movimiento con fricción.

Descripción del proceso 1. El proceso A-B es una expansión isotérmica a la temperatura T C, donde el gas se pone en contacto térmico con una fuente de calor T C. Durante el proceso, el gas absorbe calor, QC , de la fuente, desde la base del cilindro, y realiza trabajo W AB al subir el émbolo. 2. En el proceso B-C la base del cilindro se reemplaza por una pared térmicamente no conductora y T F y el gas se expande adiabáticamente. Durante este proceso, la temperatura baja de T C a el gas realiza trabajo, W BC , al elevar el émbolo. 3. En el proceso C-D el gas se coloca en contacto térmico con una fuente de calor a temperatura T F y se comprime isotérmicamente a una temperatura T F. Durante el proceso, el gas libera calor, QF , a la fuente y el trabajo realizado sobre el gas por un agente externo es W CD . 4. En el proceso final, D-A, la base del cilindro se reemplaza por una pared térmicamente no conductora y el gas se comprime adiabáticamente. La temperatura del gas aumenta de T F a T C, y el trabajo realizado sobre el gas por un agente externo es W DA.

2. Expansión libre. 3. Transferencia de energía como calor debido la diferencia significativa de temperatura. 4. Corriente eléctrica a través de una resistencia diferente a cero. 5. Reacción química espontánea y mezcla de materia de diversa composición o estado.

Problema resuelto Calcular la eficiencia de una máquina térmica que opera usando un gas ideal en un ciclo de Carnot. Solución

Se sabe: La máquina funciona con un gas ideal que se encuentra entre dos temperaturas T C y T F . Análisis: Como durante la expansión isotérmica A-B, que se muestra en la figura 5.11, la temperatura no cambia, la energía interna permanece constante. Si utilizamos la Primera Ley de la Termodinámica, el trabajo del proceso es WAB realizado por un gas ideal es igual al calor absorbido, , y a la temperatura T C, que representan el calor y la temperatura de la fuente cálida. Calculando el trabajo, se obtiene: WAB = nRTC In

Alerta El concepto de proceso reversible es de especial importancia para establecer el límite teórico de la eficiencia de las máquinas térmicas.

V B = Qabs V A

189

UNIDAD

5

Segunda Ley de la Termodinámica Solución (continuación)

Alerta Causas de la irreversibilidad de un proceso

De la misma forma, el calor QF liberado a la fuente fría durante el proceso de compresión isotérmica C-D es igual al valor absoluto del trabajo W CD : WCD = nRTF In

1. Resistencia eléctrica. 2. Deformación inelástica.

Si dividimos estas dos expresiones, se obtiene:

3. Flujo viscoso de un fluido.

V C Qdes T F V D = Qabs T C V B In V A In

4. Fricción entre superficies sólidas. 5. Transferencia de calor a través de una diferencia finita de temperatura.

V C = Qdes V D

6. Ondas de choque.

Para cualquier proceso adiabático cuasiestático reversible, la temperatura y el volumen se relacionan por la ecuación: TV γ −1 = Constante

7. Amortiguamiento interno de un sistema vibratorio.

Si aplicamos este resultado a los procesos adiabáticos B-C y D-A, se obtiene: TC VBγ−1 = TF VCγ −1

8. Reacciones químicas espontáneas. 9. Flujo de un fluido viscoso a través de válvulas.

TC VAγ−1 = TF VDγ −1

Dividiendo estas dos ecuaciones, se obtiene: TC V Bγ −1 TC V Aγ −1

=

TF V C γ −1 TF V D γ −1

V Bγ −1

V C γ −1

V A

V D γ −1

= γ −1

Por las propiedades de los exponenciales:

 V B γ−1  V C γ −1  V B   V C    =   →   =   V A   V D   V A   V D  Q

Este resultado se reemplaza en la ecuación: F , al hacerlo se simplifican los términos logarítmicos; el QC resultado es: T F Qdes = T C Qabs

Si calculamos la eficiencia de la máquina de Carnot: e=

Q T W QC − QF = = 1− des = 1− F QC QC Qabs T C

De acuerdo con el resultado obtenido en el problema resuelto anterior, se puede decir que: ”Todas las máquinas de Carnot que operen entre las dos mismas temperaturas de manera reversible tienen la misma eficiencia.”

A partir del ciclo de Carnot, se tiene que la eficiencia de cualquier máquina reversible que opere en un ciclo entre dos temperaturas es mayor que la eficiencia de cualquier máquina irreversible (real) que opere entre las dos mismas temperaturas.

190


©

Problema resuelto Una máquina de vapor tiene una caldera que opera a 650 K. El calor transforma el agua en vapor, el cual mueve un pistón. La temperatura de escape es la del aire exterior, es decir de unos 310 K. Calcular la eficiencia térmica de esta máquina de vapor. Solución

Se conoce: La ecuación que determina la eficiencia térmica máxima de una máquina que opere entre esas dos temperaturas; de acuerdo con el postulado de Carnot es: e=

T W = 1− F Qc T C

Sustituyendo datos: e = 1−

T F 310 = 1− = 0, 5231 650 T C e = 52, 31%

Así pues, la máquina tiene una eficiencia de 52,31%, que se considera alta, comparada con la máxima eficiencia teórica de un motor de gasolina, basada en un ciclo de Carnot, que es de 46%.

Problema resuelto Si un motor libera sus gases a la atmósfera a 300 K, calcular la temperatura del cilindro inmediatamente después de la combustión. Si la máquina absorbe 1 650 J de calor de la fuente de calor en cada ciclo, calcular el trabajo que puede realizar en cada ciclo. Solución

Usando la eficiencia de Carnot para encontrar T C: e=

T W = 1− F Qc T C

Despejando T C: e = 1− T C =

T F T → T C = F 1− eC T C

T F 300 = = 555, 56 1− eC 1− 0, 46

Calculando el trabajo: e=

W → W = e ×QC = 0, 46×1650 = 759 J QC

5.8 Escala de temperatura absoluta A partir del ciclo de Carnot, podemos definir una escala de temperaturas (absolutas), la cual es independiente de las propiedades del material. La siguiente ecuación nos dice: T F Qdes QF = = T C Qabs QC

La razón de los calores depende solo de la temperatura de las dos fuentes. La medición de la razón de cambio entre las dos temperaturas, T F /T C, se puede obtener operando una máquina térmica reversible en un ciclo de Carnot entre esas dos temperaturas y midiendo los calores QC y QF . Esto permite determinar la escala de temperatura con referencia a la temperatura de algún punto fijo. La escala de temperatura absoluta o Kelvin, se define eligiendo 273,16 K como la temperatura absoluta del punto triple del agua.

191

UNIDAD

5

Segunda Ley de la Termodinámica La temperatura de cualquier sustancia se puede obtener de la siguiente manera:

Alerta El punto triple se define como aquel punto donde coexisten los tres estados o fases presentes en la naturaleza en una sustancia pura sólido-líquido y gaseoso.

1. Se hace que la sustancia recorra un ciclo de Carnot. 2. Se mide el calor, Q, absorbido o liberado por el sistema a una cierta temperatura T. 3. Se mide el calor, Q, absorbido o liberado por el sistema cuando se encuentra a la temperatura del punto triple del agua. De la ecuación anterior y con este procedimiento, se encuentra que la temperatura desconocida está dada por: T = 273,16 K

QF QC

La escala de temperatura absoluta es idéntica a la escala de temperatura de un gas ideal y es independiente de las propiedades del material de trabajo. Por tanto, puede aplicarse a temperaturas muy bajas. A partir de esta escala, se define al cero absoluto como la temperatura de una fuente en la cual una máquina de Carnot no liberará calor alguno.

5.9 Bombas de calor y refrigeradores Una bomba de calor es un dispositivo mecánico usado en la calefacción y refrigeración de casas y edificios. En la figura 5.11 se muestra de manera esquemática una bomba de calor, cuyo proceso de funcionamiento es el siguiente: 1. Un fluido en circulación absorbe calor del exterior y lo libera en el interior de la estructura. Por lo general, el fluido en circulación se encuentra en la forma de vapor a baja presión en el embobinado de la unidad exterior de la estructura, donde absorbe calor, ya sea del aire o del suelo. 2. El gas se comprime y entra hacia la estructura como vapor caliente a alta presión. 3. En la unidad interior el gas se condensa en líquido y libera su energía interna almacenada. 4. Cuando la bomba de calor se usa como aire acondicionado, el ciclo anterior se opera en forma inversa. Motor de combustión

Salida de calor Circuito piscina

Entrada de calor Aire, agua o suelo

Compresor

Figura 5.11 Esquema de una bomba de calor.

Evaporador

Válvula de expansión

Condensador

Durante el proceso de funcionamiento de una bomba de calor, la temperatura externa es T F, la temperatura interna es T C y el calor absorbido por el aire en circulación es Q desprendido. El compresor realiza trabajo W sobre el fluido y el calor transferido de la bomba de calor hacia el interior de la construcción es Q absorbido. La eficiencia de una bomba de calor se describe en términos de un número llamado coeficiente de rendimiento, CR , que se define como la razón del calor transferido hacia la fuente de calor y el trabajo realizado para transferir ese calor, en la forma:

192


©

CR =

Q calor = C trabajo realizado W

Normalmente, el CR de una bomba de calor es del orden de 4; esto significa que el calor transferido es aproximadamente cuatro veces mayor que el trabajo que hace el motor en la bomba de calor. Un refrigerador trabaja de forma parecida, pero a la inversa, que una bomba de calor, ya que en su caso el refrigerador enfría su interior bombeando el calor de los compartimentos hacia el aire exterior más caliente, como se muestra en la figura 5.12.

Aire enviado al exterior (48 °C)

Refrigerante líquido

+ 55 °C Condensador

4

Ventilador condensador Aire exterior (35 °C) 3 Refrigerante en estado gaseoso a alta temperatura y presión Compresor

Acumulador de líquido Dispositivo de expansión

Refrigerante líquido a alta temperatura y presión

1

Alerta A medida que disminuye la temperatura exterior, es más difícil para la bomba extraer suficiente calor del aire y, por tanto, el CR disminuye hasta valores menores que uno, el cual es más pequeño a medida que la temperatura exterior es menor.

Aire impulsado al local (15 °C) 2

Evaporador +3 °C

Figura 5.12

Ventilador evaporador Aire procedente del local

Representación del funcionamiento de un refrigerador.

Como se observa, el refrigerador es un dispositivo cuya finalidad última es extraer calor de una fuente fría y cederlo a una fuente caliente. Esto se consigue si se realiza trabajo para hacer circular la sustancia refrigerante. En un sistema de refrigeración típico, el motor del compresor (ubicado en la parte inferior) introduce la sustancia refrigerante, en estado gaseoso a alta presión, a través de tubos externos ubicados en la zona posterior (condensador). Luego, el gas cede una cantidad de calor, Q C, al ambiente, que es la fuente de alta temperatura, y se enfría hasta licuarse. Al llegar a la parte superior, el fluido (todavía caliente y a alta presión) pasa a los tubos de baja presión, que están en el interior, a través de una válvula. Ahí, el líquido se evapora, absorbiendo del interior la fuente fría, una cantidad de calor Q F. Luego, el fluido regresa al compresor y el ciclo se reinicia. El calor se extrae para enfriar los alimentos y compensar el calor absorbido por las paredes o por la entrada de aire ambiental cada vez que se abre la puerta. Para especificar la calidad del refrigerador, se define el coeficiente de rendimiento, CR , como la razón entre el calor absorbido desde la fuente fría y el trabajo hecho por la máquina térmica, en la forma: CR =

calor absorbido QF = trabajo realizado w

Un refrigerador eficiente es aquel que remueve la mayor cantidad de calor de la fuente fría con la menor cantidad de trabajo posible. Por tanto, un buen refrigerador debe tener un coeficiente de rendimiento alto, normalmente de 5 o 6.

5.10 Entropía De los conceptos discutidos anteriormente, se definieron tanto la temperatura, la cual está comprendida en la Ley Cero de la Termodinámica, como la energía interna (en la Primera Ley de la Termodinámica). Ambas, son funciones de estado que nos permiten describir el estado de un sistema. Para el caso de la Segunda Ley de la Termodinámica, también se define otra función de estado, llamada entropía.

Alerta Un refrigerador imposible tendría un coeficiente de rendimiento infinito.

193

UNIDAD

5

Segunda Ley de la Termodinámica Si tenemos un proceso reversible cuasiestático, que se encuentra entre dos estados de equilibrio, la diferencial del calor absorbido o liberado por un sistema, dQ, durante algún intervalo pequeño de la trayectoria del sistema, se define como entropía, dS . La entropía está dada por el calor transferido, dQ, dividido entre la temperatura absoluta T del sistema, en ese intervalo. Es decir: dS =

dQ T

A partir de la ecuación anterior, es posible afirmar que un arreglo desordenado es más probable que uno ordenado, si se dejan actuar a las leyes de la naturaleza sin interferencia. En mecánica estadística, el comportamiento de una sustancia se describe en términos del comportamiento estadístico de los átomos y las moléculas de una sustancia. Uno de los principales resultados de este tratamiento es que: “Los sistema aislados tienden al desorden y la entropía es una medida de ese desorden.”

Por ejemplo, si todas las moléculas del aire que se encuentran en una habitación se movieran juntas, esto es, en filas, este sería un estado muy ordenado, lo cual resultaría improbable. Por lo general, las moléculas se mueven de una manera azarosa hacia todas direcciones (de manera caótica), chocando unas con otras, lo que implica un cambio de velocidad después de chocar (de manera elástica o inelástica), provocando que en algunos momentos unas se muevan más rápido que otras. Este es un estado muy desordenado y el más probable que exista en la vida real. Todos los estados físicos tienden al estado más probable y ese siempre es el que tiende a aumentar el desorden, que es la forma de establecer la Segunda Ley de la Termodinámica. Así podemos decir que: “La entropía del Universo crece en todos los procesos naturales”.

Para calcular el cambio de entropía en un proceso finito, se debe reconocer, de manera general, que T no es constante. Si dQ es el calor transferido cuando el sistema se encuentra a una temperatura T , entonces el cambio de entropía en un proceso reversible, cualquiera que sea, entre un estado inicial y un estado final, es: F

f

∆S = ∫

i

∫ dQ dS = I

T

Entonces, podemos decir que: “El cambio en la entropía de un sistema solo depende de las propiedades de los estados de equilibrio inicial y final.”

Para el caso de un proceso reversible y adiabático, donde no se transfiere calor entre el sistema y sus alrededores, ∆S  0. Como no hay cambio en la entropía, un proceso adiabático también se conoce como un proceso isoentrópico (que significa de igual entropía). En un ciclo de Carnot, la máquina absorbe calor, QC , de la fuente a alta temperatura, T C, y libera calor, QF , a la fuente de baja temperatura, T F. Entonces, el cambio total de la entropía en un ciclo es:

∆S =

QC QF − T C T F

Donde el signo negativo del segundo término indica que es el calor transferido por el sistema. Para el ciclo de Carnot se cumple la siguiente relación: QC QF = T C T F

194


©

Combinando estas dos últimas ecuaciones, se encuentra que el cambio total de entropía para una máquina que opera en un ciclo de Carnot es cero; es decir:

∆S = 0 Por tanto, de manera general, la entropía es una función de estado, por lo que solo depende de las propiedades de cierto estado de equilibrio. Así, se concluye que para cualquier ciclo reversible ∆ S  0. Otra suposición importante de la entropía es: “La entropía del Universo permanece constante en los procesos reversibles.”

Problema resuelto Una máquina térmica tiene una potencia de salida de 5 Kw. Si la eficiencia que reporta es de 33% y cede calor de 4 500 cal por ciclo. Determinar: a) El trabajo realizado por el ciclo. b) El tiempo de duración del ciclo. Solución

Se conoce: La potencia de salida, la eficiencia y el calor que cede la máquina térmica. Análisis: Si aplicamos la ecuación de la eficiencia de una máquina térmica: e=

Q W QC − QF = = 1− F QC QC QC

Ahora, calculando el calor cedido: 1− e =

QF QC

QF = (1− e )QC = (1− 0, 33)4 500 cal QF = 3 015 cal

Por tanto, el trabajo realizado por el ciclo es: W = QC − QF = 4 500 − 3 015 = 1485 cal

×4,186 J

W = 1485 cal

1 caal

= 6216, 21 J

Entonces, calculando el tiempo: J J w = 5kW = 5 000W × s = 5 000 1W s 1

 = w

W W 6216, 21 J → t = = = 1, 24 s J t w 5 000

s

Problema resuelto Se tiene una máquina de Carnot que posee una eficiencia de 25%; la máquina absorbe calor a razón de 1000 J de calor por ciclo, si la fuente de alta temperatura está a 650 K. Determinar: a) El calor liberado por ciclo. b) La temperatura de la fuente fría. (continúa)

195

UNIDAD

5

Segunda Ley de la Termodinámica Solución (continuación)

Se conoce: El calor absorbido, la eficiencia y la temperatura alta. Análisis: Si aplicamos la ecuación de la eficiencia de una máquina térmica, podemos conocer el calor liberado por ciclo. Así: Q W QC − QF = = 1− F e= QC

QC

e = 1−

QF QC

1− e =

QF QC

QC

QF = (1− e )QC = (1− 0, 25)1000 cal = 750 cal QF = 750 cal

Calculando el valor de la temperatura fría: Q T T e = 1 F = 1− F = 1− F 650 QC T C

0, 25 = 1−

T F T = 1− F 650 T C

T F = (1− 0, 25) × 650 = 487, 5 K

Problemas para resolver Una máquina térmica absorbe 630 J de calor y realiza un trabajo de 225 J en cada ciclo. Calcula: a) La eficiencia de la máquina. b) El calor liberado en cada ciclo. 5.1

Una máquina térmica realiza 4550 J de trabajo en cada ciclo y tiene una eficiencia de 33%. Calcula, para cada ciclo de la operación: a) El calor que absorbe. b) El calor que se libera. 5.2

Una máquina térmica tiene una potencia de salida de 75 kW y una eficiencia de 35%. Si la máquina libera 8.35 kJ de calor en cada ciclo, determina: a) El calor absorbido en cada ciclo. b) El tiempo que tarda en completar cada ciclo. 5.3

Una máquina térmica trabaja en una planta con una eficiencia de 36% durante el verano, época del año en que el agua de mar usada para enfriamiento se encuentra a 18 ºC. La planta utiliza vapor a 550 ºC para accionar las turbinas. Suponiendo que la eficiencia de la planta cambia en la misma proporción que la eficiencia ideal, determina: ¿cuál es la eficiencia de la planta en invierno, cuando el agua de mar se encuentra a 9 ºC? 5.4

Una central eléctrica nuclear genera 2 222 MW y tiene una eficiencia de 39%. Si se utilizara un río, cuyo caudal es 10 6 kg/s, para liberar el 5.5

196


exceso de energía térmica, ¿en cuánto variaría la temperatura promedio del río? El calor absorbido por una máquina es el quíntuple del trabajo que realiza. Determina: a) ¿Cuál es su eficiencia térmica? b) ¿Qué fracción del calor absorbido se libera a la fuente fría? 5.6

Una máquina térmica, con una eficiencia de 25%, se utiliza para acelerar un tren desde el reposo hasta 25 m/s. Se sabe que una máquina ideal (de Carnot), con los mismos depósitos frío y caliente, aceleraría el mismo tren desde el reposo hasta una velocidad de 75 m/s empleando la misma cantidad de combustible. Si la máquina emplea aire a 300 K como un depósito frío, calcula la temperatura del vapor que sirve como depósito caliente. 5.7

Calcula la eficiencia térmica de una bomba de calor con ciclo de Carnot que funciona entre dos fuentes a 550 ºC y 45 ºC, respectivamente. 5.8

En una planta termoeléctrica se agregan 100 MW a 1 050 K a la caldera, se extraen 45 MW a 323 K del condensador y el trabajo en la bomba es de 22 MW. Determina: a) La eficiencia térmica de la planta, si se supone que se suministra la misma cantidad de trabajo en la bomba y se conoce la transferencia de calor a la caldera. b) ¿Cuánta energía produciría la turbina si la planta funcionara en un ciclo de Carnot? 5.9


Grupo Editorial Patria En el municipio de Tecozautla, Hidalgo, se dispone de energía geotérmica en el agua subterránea, la cual se utiliza como fuente de energía para una planta de energía. Considerando un suministro de agua vapor saturado de 423 K, determina: a) ¿Cuál es la eficiencia térmica máxima posible de una máquina térmica cíclica con esta fuente de energía cuando el ambiente se encuentra a 17 ºC en promedio? b) ¿Sería mejor localizar una fuente de líquido saturado a la misma temperatura de 423 K? Argumenta tu respuesta.

5.17

Se tiene una máquina cíclica que recibe 455 kJ de una fuente de energía que se encuentra a 1 200 K, mientras rechaza 275 kJ de una fuente de energía a 425 K y el ciclo produce 250 kJ de trabajo. Con base en estos datos, determina: a) ¿Es este un ciclo reversible, irreversible o imposible? b) ¿Cuál es la potencia más pequeña para hacer funcionar esta máquina térmica?

5.18

es de -10 °C y la casa pierde calor a una razón de 22,5 kW, ¿cuál es la potencia eléctrica mínima que se requiere para accionar la bomba de calor?

5.10

5.11

Un reactor nuclear libera sodio líquido a 1 073 K, que se utiliza como fuente de energía en una termoeléctrica, donde el agua de enfriamiento del condensador se encuentra a una temperatura de 15 ºC y proviene de una torre de enfriamiento. Determina la eficiencia térmica máxima de esta planta de energía. 5.12

Para calentar una casa se utiliza una bomba de calor eléctrica que emplea la temperatura del medio como fuente de temperatura baja. Estima el porcentaje de ahorro de energía eléctrica para diferentes temperaturas en el año, si la casa siempre se debe mantener a 20 ºC; considera que el calor perdido se puede calcular con la siguiente ecuación: Donde: k 0,55 5.13

©

Supóngase que se quiere construir una máquina tér mica cíclica que funcionará en las playas de Cabo San Lucas, en Baja California Sur, donde la diferencia de temperatura del agua es de 20 °C en la superficie y de 5 °C a una determinada profundidad. ¿Cuál será la eficiencia térmica posible de esta máquina? 5.16

Considérese que se construye un colector solar en el que la temperatura máxima de concentración es de 100 °C. La energía que se concentre en dicho colector solar se utilizará en una máquina térmica que funcionará alrededor de los 15 °C. Con estos datos, responde: a) ¿Cuál sería la eficiencia térmica del colector? b) Si se hace un rediseño del colector solar, ¿cuál sería su eficiencia si la temperatura máxima de concentración fuera de 300 °C? Se desea construir un refrigerador cuya temperatura mínima sea de –20 °C. Para lograr este objetivo, se dispone de una fuente caliente a 200 °C, como se muestra en la figura 5.14, y la temperatura ambiente es de 25 °C. Sin embargo, el trabajo se realizará mediante una máquina cíclica que funcione entre las dos fuentes; esto significa que el trabajo que se obtenga se utilizará para hacer funcionar el refrigerador. Determina la relación entre la transferencia de calor desde el depósito caliente a 200 °C y el calor que se transferirá desde la fuente a -20 °C, suponiendo que todos los procesos son reversibles. T caliente

T ambiente

QH

Qm2

Considérese una máquina cíclica, como la que se muestra en la figura 5.13. 5.14

QH  500 kJ

Qm1

QL

W  350

Figura 5.14 QL = 200 kJ

Durante su funcionamiento, la máquina recibe 500 kJ de una fuente de energía a una temperatura de 1050 K y rechaza 200 kJ de una fuente de energía a una temperatura de 500 K, mientras que el ciclo produce 350 kJ de trabajo. ¿Este ciclo es reversible, irreversible o imposible? En la Sierra Tarahumara, durante el invierno, se desea calentar una casa con una bomba de calor. Si se pretende que la temperatura interior de la casa sea de 18 °C, cuando la temperatura exterior Problemas aplicados a la realidad

T fría

Determina la rapidez con la que se le otorga calor a una bomba cuando se le suministran 60 de agua, la cual corre a través de un cambiador de calor; toma en cuenta que el agua entra como líquido saturado a una temperatura de 200 kPa y sale como vapor saturado en las mismas condiciones, si el calor que se suministra al intercambiador de calor se realiza por medio de una bomba de calor de Carnot, que funciona desde una fuente de temperatura a 15 °C. 5.19

Figura 5.13

5.15

T ambiente

¿Cuál es la eficiencia térmica de un generador de vapor que interactúa entre temperaturas de 150 °C y 500 °C? 5.20

El ciclo de una bomba de calor, que utiliza refrigerante R-12, como la que se observa en la figura 5.15, utiliza un flujo de refrigerante de 0,05, mientras que al compresor se le suministran 8 kW. 5.21


197

5

UNIDAD

Problemas para resolver Se afirma que cierta bomba de calor extrae 100 kJ de un depósito a 5 °C y expulsa 125 kJ a un depósito a 60 °C. Si el trabajo que se necesita es de 30 kJ, determina: a) ¿El depósito viola la Primera Ley de la Termodinámica? b) ¿El depósito viola la Segunda Ley de la Termodinámica, con base en el resultado obtenido por el coeficiente de operación? 5.25

Q condensador

2

Q compresor

3 Condensador

1

Con base en las siguientes consideraciones de tipo teórico, ¿qué cantidad de calor tiene la mayor eficiencia?: 100 kJ a 800 K o 3 000 kJ a 380 K, si para ambos casos la temperatura ambiente es 7 °C. 5.26

W comp

Válvula

Compresor

En la región de Cancún, Quintana Roo, se dispone de energía geotérmica, la cual se puede utilizar como fuente de energía para una planta; considera un suministro de agua líquida saturada a 150 °C para esta planta. Con estos datos, determina: a) ¿Cuál es la eficiencia térmica máxima posible de una máquina térmica cíclica que utiliza esta fuente de energía cuando el ambiente se encuentra a 15 °C? b) ¿Sería mejor localizar una fuente de vapor saturado a la misma temperatura, que como líquido saturado? 5.27

6

4 Evaporador

5

Figura 5.15 Q evaporador

Observa los datos de la tabla 5.2: Tabla 5.2 Estado

1

2

3

4

5

6

P [kPa]

1250

1230

1200

320

300

290

T []

120

110

45

-

0

5

Con base en todos los datos proporcionados, calcula la eficiencia térmica del ciclo y la eficiencia para cada uno de los equipos del ciclo. En un centro de cómputo, la temperatura del medio ambiente no debe sobrepasar los 18 °C, para que los equipos no tengan descomposturas; toma en cuenta que los equipos de computación transfieren al aire de la habitación 1500 y que la temperatura del medio ambiente es de 25 °C. Determina: a) La potencia mínima, en W, para el proceso de enfriamiento. b) Si la potencia que se necesita en realidad es de 50 W, determina el aumento porcentual del calor transferido al ambiente. 5.22

Dos refrigeradores de Carnot están dispuestos en serie; uno de ellos recibe 450 de una fuente térmica a una temperatura de 350 K. El calor que expulsa este refrigerador sirve como alimentación de calor para el segundo refrigerador, que a su vez entrega calor a un depósito que se mantiene a una temperatura de 900 K. Si el coeficiente de operación es el mismo para ambos refrigeradores, determina: a) El calor que se suministra al depósito a 900 K. b) La temperatura intermedia de ambos refrigeradores. c) El coeficiente de operación: 5.23

Una máquina térmica de Carnot trabaja entre los límites de tempe ratura de 300 °C y 30 °C, y expulsa 50 kJ hacia al ambiente. El trabajo min neto de la máquina se emplea en su totalidad para hacer funcionar una bomba térmica que recibe calor del medio ambiente a una temperatura de 17 °C y entrega calor a una temperatura de 45 °C a una casa habitación. Con base en estos datos, determina: a) El trabajo neto que entrega la máquina. b) El calor que absorbe la bomba de calor. c) El coeficiente de operación. 5.24

198

Una máquina de Carnot opera con 2 mol de un gas ideal. Si se lleva a cabo un proceso cíclico donde la temperatura máxima que el gas alcanza es de 800 K, la presión máxima es de 5 atm, el calor suministrado es de 800 J y el trabajo realizado por dicha máquina es de 600 J. Determina: a) La temperatura del depósito frío y la eficiencia del ciclo. b) Empleando únicamente el calor expulsado por la máquina, ¿será posible derretir un bloque de hielo cuya masa es de 20 kg a la temperatura de –5 °C? 5.28


Dos máquinas frigoríficas de Carnot se encuentran acopladas en serie; la primera extrae calor de una fuente a 273,16 K y consume 1500 J y la segunda consume 500 J y entrega calor a una fuente cuya temperatura es 300,16 K. Considera que el calor que la primera máquina cede a una fuente intermedia es íntegramente absorbido por la segunda. Con lo antes expuesto, determina: a) ¿Cuál es el calor que extrae la primera máquina? b) ¿Cuál es la temperatura de la fuente intermedia? c) ¿Qué cantidad de calor intercambian las máquinas con la fuente de temperatura intermedia? 5.29

Considérese una bomba de calor con ciclo de Carnot que utiliza refrigerante 22 como fluido de trabajo. El R-22 cede calor a la temperatura de 40 °C. Durante el proceso, el refrigerante cambia de vapor saturado a líquido saturado, y el calor que se transfiere al refrigerante es a una temperatura de 0 °C. Con la información proporcionada, realiza lo siguiente: a) Representa el ciclo en un diagrama T-s . b) Encuentra la calidad del refrigerante al principio y al final del proceso de adición isotérmica de calor a 0 °C. c) Determina la eficiencia del ciclo. 5.30

Un recipiente rígido, cuyo V  0,1 m3, que contiene 5 kg de agua, inicialmente se encuentra a la temperatura de 30 °C, pero en el proceso se calienta a 175 °C, por medio de una bomba de calor, que recibe calor del entorno que está a una temperatura de 30 °C. Supón que este proceso es reversible, encuentra la transferencia de calor al agua y el trabajo que alimenta a la bomba de calor. 5.31


Grupo Editorial Patria Considera un ciclo de aire estándar que se ejecuta en un sistema cerrado que se compone de los siguientes cuatro procesos: • 1-2 Compresión isotérmica de 100 kPa y 300 K a 800 kPa. • 2-3 Adición de calor a v  constante, hasta que alcanza la temperatura de 1800 K. • 3-4 Expansión isoentrópica hasta 100 kPa. • 4-1 Rechazo de calor a P  constante, hasta el estado inicial. Realiza lo que se pide a continuación: a) Muestra el ciclo en un diagrama P-v y T-s , que represente a cada uno de ellos. b) Determina la eficiencia térmica del ciclo. 5.32

Un ciclo de aire estándar se ejecuta en un sistema cerrado con 0,003 kg de aire y se compone de los siguientes tres procesos: • 1-2 Compresión isoentrópica de 100 kPa y 300 K, hasta 850 kPa. • 2-3 Adición de calor a P  constante, hasta el volumen específico inicial. • 3-1 Rechazo de calor a v  constante, hasta el estado inicial. Realiza lo que se pide a continuación: a) Muestra el ciclo en un diagrama P -v y T-s , que represente a cada uno de ellos. b) Determina la eficiencia del ciclo.

©

Con base en los datos dados, realiza una representación gráfica del proceso en un diagrama T-s . Considérese un Rankine ideal sencillo, como el que se muestra en la figura 5.16. . . 5.37

3 Caldera 2 Turbina Bomba

4

5.33

Un ciclo de aire estándar con coeficientes variables se ejecuta en un sistema cerrado y se compone de los siguientes cuatro procesos: • 1-2 Adición de calor a v  constante de 125 kPa y 300 K, hasta una presión de 350 kPa. • 2-3 Adición de calor a P  constante, hasta una temperatura de 1050 K. • 3-4 Expansión isoentrópica, hasta 125 kPa. • 4-1 Rechazo de calor a P  constante, hasta el estado inicial. Realiza lo que se pide a continuación: a) Muestra el ciclo en un diagrama P-v y T-s , que represente a cada uno de ellos. b) Determina la eficiencia térmica. 5.34

La temperatura de vapor que se suministra a la entrada de una turbina es de 400 °C y la tasa de flujo másico del vapor a través del ciclo es de 100. Dicha turbina se utiliza en una planta de potencia de vapor que opera en un ciclo Rankine ideal, entre los límites de presión de 3 MPa y 50 kPa. Con estos datos, determina: a) La eficiencia térmica del ciclo. b) La potencia de salida de la turbina. c) Haz una representación gráfica (T-s ) del ciclo.

1 Condensador

Figura 5.16

Este Rankine opera bajo las siguientes condiciones de entrada de la turbina. Tabla 5.3 Equipo

Condiciones

A la entrada de trabajo de la bomba

Aumenta

Disminuye

A la salida de trabajo de la turbina

Aumenta

Disminuye

La adición de calor

Aumenta

Disminuye

El rechazo de calor

Aumenta

Disminuye

La e�ciencia del ciclo

Aumenta

Disminuye

¿Cuál es el efecto de reducir la presión del condensador? En la figura 5.17 se representa un ciclo de potencia de vapor que opera con un ciclo Rankine ideal con recalentamiento. 5.38

3 Caldera

Turbina alta P.

Turbin a baja P.

4

5.35

Se requiere determinar la eficiencia térmica de un ciclo Rankine, ideal y sencillo, de una planta de potencia de vapor que opera bajo las condiciones siguientes: • El vapor entra a la turbina a 7 MPa y 773 K y se enfría en el condensador a una presión de 10 kPa, en la que se hace circular agua de enfriamiento por los tubos del condensador a una tasa de 2 000. • El ciclo entrega una potencia de salida de 50 MW. 5.36


6

5 Condensador

2 1 B

Figura 5.17

El vapor entra a la turbina de alta presión a 8 MPa y 723 K y sale a 3 MPa. Luego, el vapor se recalienta a presión constante hasta que vuelve alcanzar la temperatura de 723 K, antes de que se expanda hasta 20 kPa en la turbina de baja presión. a) Determina la salida de trabajo de la turbina en , y la eficiencia térmica del ciclo. b) Muestra el ciclo en un diagrama T-s .


199

5

UNIDAD


Considérese el ciclo Rankine regenerativo y de Carnot que se muestran en la figura 5.18.

Los pasos de compresión y expansión son adiabáticos (véase la gráfica de la figura 5.20).

5.39

P 2 TAP TBP 3 5 4 WB 1 6

WT 1

QH

T

3

QL

1 P

1 2

5

1

a

4

Compresión 4

3 V

S

2

T

3

6

4

b

2 4

1

2

3

Expansión

S

d

c

Figura 5.18 v

Propón las condiciones para que ambos tengan la misma eficiencia térmica.

Figura 5.20

En el siguiente ciclo de refrigeración que se muestra en la figura 5.19, se utiliza refrigerante 134a. 5.40

Determina: a) El trabajo total del ciclo. b) El calor absorbido y desprendido. c) La eficiencia del ciclo.

Q 3

2

Evaporador

1´

W

Válvula isoentálpica 4

Dos flujos estables de aire entran a un volumen de control (véase figura 5.21). Determina la eficiencia entre la corriente 1-3 y la corriente 2-3, de acuerdo con los datos que se muestran en la siguiente tabla para cada una de las corrientes. 5.42

1

Condensador Qd

Figura 5.19

En la siguiente tabla se representan los datos correspondientes para cada uno de los puntos. Tabla 5.4 Estado 1

1600

32

-

-

-

-

1´

-

32

-

-

-

0

2

234,44

-6

-

51,86

-

-

3

234,44

-

-

-

4

1600

-

-

-

Corriente

P[kPa]

T[ºC]

1

350

150

2

350

15

3

100

-40

El volumen de control produce 4,5 kW de potencia y cede 1,2 kW de calor. 1

1 0,93497

-

Determina: a) La potencia del ciclo. b) El calor absorbido y cedido. c) La eficiencia del ciclo. 5.41

Tabla 5.6

2 Q cedido

Figura 5.21

Un refrigerador opera bajo las siguientes condiciones:

Tabla 5.5 Estado

200

A

80

0

B

80

100

C

54

D

5


3


W potencia


©

PROBLEMAS RETO 1. En una importante empresa se tiene el siguiente proceso dual, que se encuentra constituido por un ciclo de refrigeración ideal y otro de calor. Para el ciclo de refrigeración se utiliza freón-12 como sustancia de trabajo, en la figura 5.22 se muestra el ciclo.

Turbina

Ciclo de potencia Ciclo de refrigeración

QL

Evaporador

Caldera

1 QH

Bomba

Válvula

Figura 5.22

De la caldera sale vapor saturado a una temperatura de y se expande en la turbina hasta la presión del condensador. Del evaporador sale vapor saturado a que se comprime a la presión del condensador. La razón de los flujos en uno y otro circuito es tal que la turbina produce exactamente la potencia suficiente para impulsar el compresor. Las dos corrientes de salida se mezclan en el condensador. El líquido saturado a que sale de este, se separa en dos corrientes en las proporciones necesarias. Calcular la eficiencia del ciclo.

REFERENCIAS Boles, M., & Çengel, Y. (2002). Termodinámica. México: McGraw-Hill Interamericana Editores. Smith, J., & Van Ness, H. (2002). Introducción a la Termodinámica en Ingeniería Química. México: McGraw-Hill Interamericana Editores. Van Wylen, G. (2002). Fundamentos de Termodinámica. México: LIMUSA. Wark, K. (1991). Termodinámica. México: McGraw-Hill Interamericana Editores.

r e v l o s e r

a r a p s a m e l b o r P

201

UNIDAD

5

Segunda Ley de la Termodinámica


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/carnot/carnot.htm (consultada el 19 de octubre del 2011).



http://termograf.unizar.es/descargas/multimedia.htm (consultada el 19 de octubre del 2011).




202

http://www.fq.uh.cu/dpto/qf/uclv/infoLab/applets/otras/ley2_termodinamica/bounce.htm (consultada el 19 de octubre del 2011).

Anexos

ANEXO

1 Factores de conversión Dimensión

Sistema métrico

Aceleración

1

Área Calor especí�co

1

Conversión métrico/inglés m ft = 3,2808 2 2 s s ft m 1 2 = 0,3048 2 s s

m cm = 100 2 2 s s

1

1 m2 = 1 × 104 cm2

1 m2 = 1550 in2 = 10,764 ft2

1 m2 = 1 × 106 mm

1 ft 2 = 144 in2 = 0,0929 m2

kJ kg − °C

=1

kJ kg − K

=1

J

1

g − °C

1 1

Coe�ciente de transferencia de calor

1

Conductividad térmica

m − °C 1

Densidad

Energía Calor Trabajo Energía interna

W 2

1

W

m − °C

=1 =1

W m −K 2

1

W

g kg kg = 1 = 1000 3 3 l cm m

1 kJ= 1000 J= 1000 N− m= 1 kPa − m3 kJ m2 = 1000 2 kg s 1 kWh = 3 600 kJ 1 cal = 4,184 J 1

lbm − °F

= 4,1868

Btu lbmol − °R kJ kg − °C W

m − °C 2

1

m − K

Btu

W m − °C

kJ kg − °C

= 4,1868

= 0,23885

kJ kgmol − °R Btu

lbm − °F

= 0,17612

Btu ft − h − °F

= 0,57782

Btu ft − h − °R

2

lb lb g = 62,428 m3 = 0,036127 m3 3 cm ft in lbm lbm 1 3 = 17 28 3 in ft lb kg 1 3 = 0,062428 m3 m ft 1

1kJ= 0,94782Btu 1 Btu = 1,055056 kJ= 1 055 J= 252 cal Btu kJ 1 = 2,326 lbm kg 1

kJ Btu = 0,430 kg lbm

1 kWh = 3 412,14Btu

Energía Velocidad de transferencia de calor

204

J s 1 kW = 1 000 W= 1,341 hp 1 hp = 745,7 W 1 W=1

Btu h lb − ft 1 kW = 737,56 f s lb − ft Btu = 0,7068 1 hp = 550 f s s 1hp = 0,7457kW 1 kW = 3 412,14


©

Flujo de calor Fuerza

1

W W = 1 × 104 2 2 cm m

kg − m = 1 × 105 dina s2 1 kgf = 9,80665 N 1 N=1

Longitud

1 m= 100 cm= 1000 mm 1 km= 1 000 m

Masa

1 kg = 1000 g 1 Ton = 1 000 kg

W Btu = 0,3171 2 m h − ft 2l

1

1 lbf = 32, 174

lbm − ft s

= 4, 44822 N

2

1 N = 0, 22841 lbf 1 m= 39,37 in= 3,2808 ft= 1,0926 yd 1 ft = 12 in = 0,3048 m 1milla = 5280ft = 1,6093km 1 in = 2,54 cm 1m = 2,2046226lbm 1 lbm = 0,45359237 kg 1 onza = 28,3495g 1 slug = 32,174 lbm = 14,5939 kg 1 Ton= 2 000 lbm = 907,1847kg

Presión

N m2 1 Ton = 1 000 kg

1 Pa = 1,4504 × 10−4 psia lb 1Pa = 0,020886 2f in lb f 1psia = 144 2 = 6,894757 kPa ft 1 atm= 14,696 psia= 760 mmHg = 101,3 25kPa kg N N 1 f 2 = 9,807 2 9,807 × 10 4 2 = 9,807 × 104 Pa cm cm m kg 1 f 2 = 0,9807bar = 0,9 6788atm cm

K =° C + 273, 15

°R =°F +459,67 = 1, 8 K ∆T(° F ) = ∆T(° R ) = 1, 8∆T K

1 Pa= 1

Temperatura

∆T(° K ) = ∆T (°C )

°F = 1, 8 °C + 32 Velocidad

m

km

s

h

1 = 3, 6

1 1

Velocidad de generación de calor Volumen

1

W 3

cm

= 1× 10

W

m3

1 m3 = 1000l = 1× 106 cm 3

m

ft

mi

s mi

s

h

1 = 3, 2808 = 2, 237 h mi h

1

= 1, 46667 = 1, 609 Btu

h−ft

3

ft

s km k h

= 19, 3466

W

m3

1 m3 = 6,1024 × 104 in 3 = 35, 315 ft 3 1 gal = 231 in = 3, 7854 l 1 gal = 128 oz 1 oz = 29, 5735 cm = 0, 0295735 l

3

Volumen especí�co

1

m3 l cm3 = 1000 = 1000 kg kg g

1 1

m3 kg ft 3 lbm

= 16, 02

ft 3 lbm

= 0, 062428

m3 kg

205

ANEXO

2 Calores específicos Calores especí�cos de algunos materiales

206

Sustancia

C (J/kg-K)

PM (kg/mol)

c molar (J/mol-K)

Agua

4 186

0,01800

75,4

Alcohol

2 400

Hielo

2 090

0,01800

36,5

Berilio

1 830

0,00901

16,5

Madera

1 700

Aluminio

900

0,02700

24,3

Mármol

860

Vidrio

837

Hierro

448

0,05590

25,0

Cobre

387

Latón

380

Plata

234

Cadmio

230

Mercurio

140

Oro

129

Plomo

128

24,5 0,108000

25,4 25,9

0,210000

27,7 25,4

0,207000

26,4

3

ANEXO

Valores aproximados de las densidades de algunos materiales Valores aproximados de las densidades de algunos materiales Sustancia



Aluminio

2, 7

Cobre Hierro Madera Oro

8, 9 7, 8 0, 8

Sustancia g

Acetona 3

cm g

Agua de mar 3

cm g

Agua destilada 3

cm g

Alcohol etílico 3

cm

19, 3

g

Mercurio 3

cm



tomada a la temperatura de 4 °C 0, 92 1, 02 1, 00 0, 79

g

Sustancia Aire

3

cm g

Butano 3

cm g

Metano 3

cm g

Hidrógeno 3

cm

13, 60

g

Oxígeno 3

cm



tomada a la temperatura de 0 °C 0, 0012 0, 0024 0, 0055

g cm3 g cm3 g cm3

0, 00009 0, 0014

g cm3 g

cm3

207

4

ANEXO

Cifras significativas 

Introducción

Para iniciar con claridad el número de cifras significativas, es importante señalar el margen de error en una medición, esto es destacar cuáles son los dígitos significativos en una cantidad medida o calculada. Al utilizar las cifras significativas se da por entendido que el último dígito es incierto. Por ejemplo, si al medir el volumen de determinado líquido con una probeta graduada con una escala cuya incertidumbre es de 1 ml el volumen resulta ser de 60 ml, entonces, en realidad, el volumen real puede ser 59 o 61 ml. Por tanto, el volumen de esta medición se puede representar como: (60  1) ml. Para este caso, existe una sola cifra significativa: el dígito 60, con una incertidumbre de más o menos 1 ml. De acuerdo con el mismo ejemplo, si el volumen del líquido resulta ser 60.0 ml, la cantidad se puede expresar como (60.0  0 1) ml ; es decir, el valor real se puede definir como 59.9 y 60.1 ml. ¿Es posible mejorar la medición? La respuesta es sí, pero usando otro tipo de instrumento que permita obtener una cifra más exacta, significativa y que refleje la precisión de la medición.



Lineamientos para cifras significativas

En el trabajo científico siempre es importante tener mucho cuidado al escribir el número adecuado de cifras significativas; en otras palabras, resulta de gran importancia determinar cuántas cifras significativas tiene un número. Con base en ese objetivo, se dictan las siguientes reglas: 









208

Todo dígito que no sea cero es significativo. Por ejemplo, 673 cm tiene tres cifras significativas; 1 642 kg tiene cuatro cifras significativas, y así sucesivamente. Los ceros entre dígitos distintos de cero son significativos. Por ejemplo, 845 m posee tres cifras significativas, 75 439 kg tiene cinco cifras signicativas, etcétera. Los ceros a la izquierda del primer dígito no son significativos. Su propósito es indicar la coma deci3 mal. Por ejemplo, 0,0066 g tiene dos cifras significativas, mientras que 0,001058 m tiene cuatro kg cifras significativas. Si un número es mayor que la unidad, todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal son kJ significativos. Por ejemplo, 5,0 mg tiene dos cifras significativas y 3,0208 kg K posee cinco cifras significativas. En el caso de números menores a la unidad, solo son significativos los ceros que están al final del número y los que aparecen entre dígitos distintos de cero. Esto significa que 0,06312 kg tiene cuatro cifras significativas. Por lo que respecta a los números que no tienen coma decimal, los ceros que estén a la derecha (es decir, después del último digito distinto de cero) pueden ser o no significativos. Así, por ejemplo, 600 cm solo tiene una cifra significativa (el dígito 6); mientras que el 60 tiene dos y 600 tiene tres cifras significativas.. Para el caso de la notación científica 1.00  10 5 Pa, esta tiene una cifra; por lo que respecta a 1.0  10 5 Pa tiene dos cifras y 1  10 5 Pa tiene tres cifras significativas.

ANEXO

5

Ecuaciones dimensionales en función de M, L y  Ecuaciones dimensionales en función de M, L, y q Magnitud

Símbolo

Ecuación en función de M, L y 

Unidades de SI

Área

A

L2

m2

Aceleración

A

L 21

m/s

Calor

Qoq

ML2 22

N  m 5 J

Caudal

CoQ

L3 21

m3/s

Densidad

P

ML23

kg/m3

Densidad relativa

d

Adimensional

-

Esfuerzo cortante

t

ML 21  22

kg/m2s2

Energía

E

ML2 22

N  m 5 J

Flujo másico

M

M 21

kg/s

Fuerza

F

ML 22

N 5 kgm/s22

Módulo de elasticidad

E

ML21 22

kg/ms2 = N/m2

Peso especí�co

g

ML 22  22

N/m 3 5 kg/m2s2

Potencia

P

ML2 23

W 5 J/s

Presión

P

Trabajo

s

ML2 22

N m=J

Tensión super�cial

s

M 22

N/m = kg/s2

Velocidad

V

L 21

m/s

Volumen

V

L3

m3

Volumen especí�co

V

L3/ M

m3/kg

209

ANEXO

6 Métodos para graficar varias funciones y obtener líneas rectas Métodos para gra�car varias funciones y obtener líneas rectas Expresión de la función

Método para gra�car

Y = mx + b

Y vs. x

Determinación grá�ca de los parámetros Y m 5 pendiente

b

x

Y 5 bxm

log Y vs. log x escala logarítmica

log Y m 5 pendiente

log b log x

210


©

Y 5 bemx

log Y vs. log x escala semilogarítmica log Y m log e 5 pendiente

log b

x

Y =

x b + mx

1 Y

=

1 x

escala lineal m 5 pendiente

b

Y 5 b 1 mx 1 cx 2

Y −Y 1 x − x 1

vs. x

escala lineal

Y − Y 1 x − x 1

c 5 pendiente

b 1 cx 1

211

ANEXO

6

Métodos para gra�car varias funciones y obtener líneas rectas Y =

x a + mx

+ c

x − x 1 Y − Y 1

vs. x

escala lineal

x − x 1 Y −Y 1

Pendiente = m+

m2 b

x 1

b 1 cx 1

x

Y = ae

mx +cx 2

1    Y ( x −x )   log   Y 1     1

vs. x escala semilogarítmica

1    Y ( x −x )   log   Y 1     1

Pendiente = c log e

m 1 cx 1 log e

x

Nota: Para el análisis conjunto de una serie de datos es importante considerar los siguiente puntos: 1. Examinar la congruencia de los datos. 2. Efectuar el análisis estadístico de los datos cuando sea apropiado. 3. Estimar la incertidumbre en los resultados. 4. Anticipar los resultados a partir del marco teórico. 5. Correlacionar los datos.

212

Termodinámica Serie Universitaria Patria

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