Msc. Diego Freire Quiroga
Las líneas de transmisión se utilizan para transmitir transmitir energía eléctrica y señales de un punto a otro; específicamente, desde una fuente hasta una carga. Ejemplos:
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La conexión entre un transmisor y una antena. Las conexiones entre las computadoras computadoras en una red. onexiones de una planta generadora hidroeléctrica y la su!estación a cientos de "ilómetros de distancia La interconexión entre componentes de un sistema estéreo. La conexión entre un pro#eedor de ser#icios de ca!le y el aparato de tele#isión.
Las líneas de transmisión se utilizan para transmitir transmitir energía eléctrica y señales de un punto a otro; específicamente, desde una fuente hasta una carga. Ejemplos:
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La conexión entre un transmisor y una antena. Las conexiones entre las computadoras computadoras en una red. onexiones de una planta generadora hidroeléctrica y la su!estación a cientos de "ilómetros de distancia La interconexión entre componentes de un sistema estéreo. La conexión entre un pro#eedor de ser#icios de ca!le y el aparato de tele#isión.
El factor com$n de los ejemplos citados es %ue los disposit siti#os #os por conec nectar est&n separ parados entre tre sí por distancias del orden de una longitud de onda o mas, mientras %ue en los métodos de an&lisis !&sicos de circuitos se supone %ue las conexiones entre elementos se u!ican a distancias desprecia!les. Esta ultima condición permite, asegurar %ue el #oltaje a tra#és de una resistencia en un lado del circuito o, de una manera mas general, %ue el tiempo medido en el sitio de la fuente es exactamente el mismo %ue se mide en los dem&s puntos del circuito.
uando las distancias son lo suficientemente grandes entre la fuente y el receptor, los efectos del retardo de tiempo son considera!les, lo %ue resulta en la existencia de diferencias en fase inducidas por el retardo.
En pocas pala!ras, se est& tratando con el fenómeno ondulatorio en las líneas de transmisión, de la misma forma %ue en la propagación de energía punto a punto en el espacio li!re o en los dieléctricos.
Los elementos !&sicos de un circuito ' resistencias, capacitores, !o!inas, y las conexiones, entre ellos, se consideran elementos concentrados, si el retardo de tiempo en atra#esar los elementos es desprecia!le.
(i los elementos o interconexiones son lo suficientemente grandes en numero, tal #ez sea necesario considerarlos como elementos distri!uidos, esto significa %ue sus características resisti#as, capaciti#as e inducti#as de!e e#aluarse en función de su distancia unitaria.
Las líneas de transmisión en general, tienen esta propiedad, y por lo tanto, se con#ierten en elementos de circuito por si mismos con impedancias %ue contri!uyen al pro!lema del circuito.
La regla !&sica es %ue se de!en considerar los elementos como distri!uidos, si el retardo de propagación a tra#és del tamaño del elemento es del orden del inter#alo mas corto de interés.
En el caso de armónicas de tiempo, esta condición podría lle#ar a una diferencia en fase suscepti!le de medirse entre cada extremo del dispositi#o en cuestión.
Los tres tipos mas comunes de líneas de transmisión de dos conductores %ue propagan ondas son: a) Líneas de transmisión de placas paralelas: Este tipo de líneas de transmisión consiste en dos placas conductoras paralelas separadas por una l&mina de dieléctrico de grosor uniforme. Las líneas de transmisión de placas paralelas para frecuencias de microondas pueden fa!ricarse a !ajo costo so!re un sustrato dieléctrico, con frecuencia se les denomina microtiras.
a)
Líneas de transmisión de dos alam!res: consiste en un par de alam!res conductores paralelos separados por una distancia uniforme. Ejemplo est&n presentes en las líneas aéreas telefónicas y de transmisión de energía %ue se pueden #er en las &reas rurales, así como los ca!les planos %ue descienden desde la antena en los tejados hasta el tele#isor.
Línea de transmisión coaxial.' consiste en un conductor interno y un re#estimiento coaxial externo separado por un medio dieléctrico. Esta estructura ofrece la importante #entaja de confinar completamente los campos eléctricos y magnéticos dentro de la región dieléctrica de tal manera %ue es muy inmune a las interferencias externas a la línea.
El o!jeti#o primordial es o!tener las ecuaciones diferenciales, conocidas como ecuaciones de onda %ue el #oltaje y la corriente de!en satisfacer en una línea de transmisión uniforme.
*acerlo se re%uiere construir un modelo de circuitos para una línea de longitud incremental y escri!ir dos ecuaciones del circuito y utilizarlas para o!tener las ecuaciones de onda.
El modelo de circuitos contiene las constantes principales de una línea de transmisión. Entre ellas est&n la inductancia L y la capacitancia C, así como la conductancia de des#iación G y la resistencia en serie, R todas ellas tienen #alores especificados en unidades de longitud. La conductancia de +es#iación se utiliza para modelar la corriente de fuga a tra#és del dieléctrico %ue se pudiera presentar a lo largo de la línea. La suposición es %ue el dieléctrico podría tener una conducti#idad, d, adem&s de una constante dieléctrica, -r donde esta ultima afecta la capacitancia
La resistencia en serie est& asociada con cual%uier conducti#idad finita, c, en los conductores.
ual%uiera de estos par&metros, y / ser& responsa!le de la perdida de potencia en la línea de transmisión.
En general, am!as est&n en función de la frecuencia, si se sa!en la frecuencia y las dimensiones, es facti!le determinar los #alores de , /, L y .
Las ecuaciones mostradas descri!en la e#olución de la corriente y el #oltaje en cual%uier línea de transmisión.
*istóricamente se les conoce con el nom!re de ecuaciones del telegrafista. (u (olución lle#a a la ecuación de onda para la línea de transmisión la cual se deduce ahora.
La propagación sin perdidas significa %ue la potencia no se disipa o de otra forma, no se des#ía conforme la onda #iaje a tra#és de la línea de transmisión, toda la potencia en el extremo de entrada finalmente llega a la salida.
El efecto de cual%uier mecanismo %ue pudiera producir pérdidas se considera desprecia!le.
En el modelo %ue se est& estudiando la propagación li!re de perdidas se presenta cuando 0/01.
En esta condición, se con#ierte en:
2l considerar la función de #oltaje %ue satisfar& la ecuación anterior, es mas r&pido esta!lece simplemente la solución y, después, demostrar %ue es correcta. La solución es de la forma:
+onde #, la #elocidad de onda, es una constante. Las identidades de las funciones en sí no son críticas para la solución de la ecuación.
La #elocidad de onda para la propagación sin perdidas:
La forma de # como est& expresada en la ecuación anterior confirma la expectati#a original %ue la #elocidad de onda podría estar en proporción in#ersa a L y .
(e ha encontrado %ue el #oltaje y la corriente est&n relacionados por medio de las ecuaciones del telegrafista, las cuales en condiciones sin perdidas 30/01), se pueden expresar como,
+e la deri#ada de la corriente con respecto al tiempo, se procede a integrar con respecto al tiempo y se o!tiene la corriente en términos de sus componentes de propagación hacia adelante y hacia atr&s.
2l lle#ar a ca!o esta integración todas las constantes de integración se fijan en cero.
La razón es %ue un #oltaje #ariante con el tiempo de!e lle#ar una corriente an&loga, y lo opuesto tam!ién es #erdadero.
El factor 45L# %ue aparece en la ecuación multiplica el #oltaje para o!tener la corriente y así se identifica el producto L# como la impedancia característica, 6o de las líneas sin perdidas.
6o se define como el cociente del #oltaje y la corriente en una $nica onda de propagación. (e puede escri!ir la impedancia característica como:
(e puede o!ser#ar entonces %ue
Esta muestra las ondas de #oltaje de propagación hacia adelante y hacia atr&s, 78 y 7', las cuales tiene polaridad positi#a
Las corr corriient entes asocia ociad das con estos #olta ltajes jes fluir&n r&n en direcciones opuestas. (e define una corriente positi#a como la %ue fluye en el sentido de las manecillas del reloj en la línea, y una corriente negati#a como la %ue fluye en el contrasentido al de las manecillas del reloj.
El signo negati#o en la ecuación de 7', asegura %ue la corr corrie ient ntee nega negati ti#a #a esta estar& r& asoc asocia iada da con con una una onda nda %ue se propaga hacia atr&s %ue tiene polaridad positi#a.
Es importante la comprensión de las ondas sinusoidales en las línea íneass de transm nsmisión de!ido !ido a %ue cual%uie %uierr señ señal tra transm nsmitid itidaa en la pr&c pr&cttica ica pued puedee desc descom ompo pon nerse erse en una una suma discreta o continua de senoides.
Esto es el fundamento del an&lisis de señales en el dominio el dominio de la frecuencia en las líneas. líneas.
El efecto de las lineas de transmisión en cual%uier señal puede determinarse o!ser#ando los efectos so!re las componentes de frecuencia.
Esto significa %ue uno puede propagar de manera eficiente el espectro de una determinada señal utilizando par&metros lineales %ue dependan de la frecuencia, y después, rearmar dichas componentes de frecuencia en una señal en el dominio del tiempo.
El o!jeti#o es comprender la propagación sinusoidal y sus implicaciones en el comportamiento de la señal en el caso de una línea sin pérdidas.
+onde se ha asignado una notación a la #elocidad, la cual ahora se llama 7elocidad de fase, 7p.
9or el momento se selecciona el #alor de 0 1, se o!tiene las dos posi!ilidades de la propagación hacia adelante y hacia atr&s con respecto a z, escogiendo el signo menos o m&s.
Los dos casos son:
+onde el factor de magnitud 7o, es el #alor de # en z01, t01. (e define la constante de fase <, o!tenida en la ecuación, como
Las soluciones expresadas en las ecuaciones anteriores, se conocen como formas reales instant&neas del #oltaje de las líneas de transmisión. Estas son las representaciones matem&ticas de lo %ue uno podría medir de forma experimental.
Los términos de =t y
En forma similar, se puede o!ser#ar %ue < puede interpretarse como una frecuencia espacial, la cual, en este caso mide el corrimiento de fase por unidad de distancia a lo largo de la dirección en z.
(i se fuera a fijar el tiempo en t 0 1, las ecuaciones se con#ertirían en
>ue se pueden identificar como una función periódica simple %ue se repite cada distancia incremental ?, conocida con el nom!re de longitud de onda.
El re%uisito es %ue
omenzando con la ecuación general de la onda,
Los resultados de las secciones anteriores a las ecuaciones de las líneas de transmisión, la ecuación puede escri!irse para el #oltaje real instant&neo, #3z,t), como sigue
(e utiliza el hecho %ue el operador d5dt, cuando se aplica a la forma compleja, e%ui#ale a multiplicar por el factor j=. +espués de la sustitución, y enseguida de aplicar todas las deri#adas con respecto al tiempo, el factor e j=t se separa. Lo %ue es la ecuación de onda en términos del fasor #oltaje.
2comodando términos se llega a la forma simplificada
+onde 6 y B, como se indica, son la impedancia neta en serie y la admitancia neta de des#iación en la línea de transmisión, am!as medidas por unidad de distancia. La constante de propagación en la línea se define como:
La ecuación de onda para la corriente ser& :
2hora se encontrar& la relación entre las ondas de corriente y de #oltaje, como se hizo pre#iamente, a tra#és de las ecuaciones del telegrafista.
Cncorporando las expresiones para 6 y B, se encuentra la impedancia característica en términos de los par&metros de líneas conocidos:
(e encuentra la impedancia característica en términos de los par&metros de línea conocidos:
Dna línea de transmisión sin pérdidas tiene F1 cm de largo y opera a una frecuencia de G11 H*z. Los par&metros de línea son L 0 1.@I J*5m y 0 411 pK5m. Encontrar su impedancia característica, la constante de fase y su #elocidad de fase.
*allados el #oltaje y la corriente sinusoidal en una línea de transmisión, se e#al$a la potencia transmitida en una distancia especifica como función de las amplitudes del #oltaje y la corriente. (e comienza con la potencia instant&nea, %ue est& dada simplemente como el producto del #oltaje y la corriente reales.
onsidere el término %ue se propaga hacia adelante, donde de nue#o la amplitud, 7o8 0 7o, se considera real. La forma de onda de la corriente ser& muy parecida; sin em!argo, generalmente tendr& un corrimiento en fase.
9or lo tanto, la potencia instant&nea se con#ierte en:
En general, la potencia promediada en el tiempo 9 es de interés, esto se encuentra a tra#és de:
+onde 0 @A5= es el periodo correspondiente a un ciclo de oscilación.
2hora se o!ser#a %ue la potencia promediada en el tiempo expresada puede o!tenerse de la forma fasorial a tra#és de
+onde el M denota el complejo conjugado 3aplicado en este caso sólo al fasor de corriente.
Dn resultado importante del ejercicio anterior es %ue la potencia se aten$a como
La potencia disminuye a una #elocidad e%ui#alente a dos #eces la #elocidad exponencial con la distancia, ya sea #oltaje o corriente.
Dna forma con#eniente de medir la pérdida de poencia es utilizando el deci!el. Esto se !asa en expresar una caida de potencia como una potencia de 41.
Específicamente se puede escri!ir como,
Kijando Nz 0 4, se encuentra %ue
9or definición, la pérdida de potencia de deci!eles 3dO) es:
(e puede escri!ir de forma e%ui#alente:
Las consecuencias de las ondas reflejadas usualmente son indesea!les, en el sentido de %ue parte de la potencia %ue se pretende transmitir a una carga, por ejemplo, se refleja y propaga de regreso hacia la fuente. El pro!lema !&sico de la reflexión lo ilustra la figura
(i la línea tiene perdidas, entonces se sa!e %ue 6o tam!ien ser& compleja. 9or con#eniencia, se asignan coordenadas de tal forma %ue la carga se encuentre en z01. 9or lo tanto, la línea ocupa la región z P 1.
(e supone %ue una onda de #oltaje incide en la carga y se expresa en forma fasorial para toda 6 como:
uando la onda llegue a la carga, se generar& una onda reflejada %ue se propagar& hacia atr&s:
2hora, el #oltaje del fasor en la carga es la suma de los fasores de #oltaje incidente y reflejado e#aluados en z 0 1:
2hora, la corriente a tra#és de la carga es la suma de las corrientes incidentes y reflejada, tam!ién en z 0 1:
(e puede despejar el cociente de la amplitud de #oltaje reflejado y la amplitud del #oltaje incidente, definido como el coeficiente de reflexión,
2 partir de esta ecuación se encuentra el coeficiente de transmisión , %ue se define como el coeficiente de la amplitud del #oltaje de la carga y la amplitud del #oltaje incidente:
El o!jetico principal de la transmisión de potencia a una carga es configurar la com!inación línea5carga de tal forma %ue no haya reflexión. En consecuencia, la carga reci!e toda la potencia transmitida.
La condición para %ue esto suceda es %ue Q 0 1, lo cual significa %ue la impedancia de la carga de!e ser igual a la impedancia de la linea 3o #ice#ersa)
Es necesario determinar las facciones de la potencia de la onda incidente %ue refleja y disipa la carga.
La fracción de la potencia reflejada en la carga la determinan el cociente :
La fracción de la potencia incidente %ue se transmite a la carga 3o %ue ésta se disipa) es, por lo tanto,
La línea, supuestamente sin pérdidas, tiene una impedancia característica 6o y una longitud l. La fuente de #oltaje sinusoidal a una frecuencia = proporciona el facor de #oltaje 7s asociada con la fuente, existe una impedancia interna compleja 6g.
(e supone %ue la impedancia de carga 6L, es comnpleja y %ue se u!ica en z0 1. 9or lo tanto, la línea existe a lo largo del eje negati#o de 6.
9or lo tanto se puede escri!ir el #oltaje total en la liíea como:
En la %ue 7o8 y 7o' son amplitudes complejas, compuestas, respecti#amente, de la suma de todas las amplitudes y fases de las ondas indi#iduales hacia delante y hacia atr&s.
+e manera similar, se puede expresar la corriente total en la línea como:
2hora se define la impedancia de la onda 63z), como el cociente del #oltaje total del fasor y la corriente total del fasor.
La impedancia de la onda en la línea de entrada se halla al e#aluar en z 0 ' l ,
Dn caso especial en el %ue la longitud de la línea es de media longitud de onda o de un m$ltiplo entero de ésta. En ese caso,
El circuito e%ui#alente para una línea de media onda puede construirse simplemente %uitando la línea por completo y colocando la impedancia de la carga en la entrada.
9or supuesto, esta simplificación funciona siempre y cuando la longitud de la línea sea en realidad un m$ltiplo entero de la mitad de la longitud de onda. Dna #ez %ue la frecuencia comienza a #ariar, esta condición deja de cumplirse y se de!e utlizar z0'l en su forma general para encontrar 6 entr.
Rtro caso especial %ue tam!ién es importante se presenta cuando la longitud de la línea en un m$ltiplo impar de un cuarto de la longitud de onda:
Dna aplicación inmediata es en el pro!lema de la unión de dos líneas con impedancia característica diferentes. (upóngase %ue las impedancias son 3de iz%uierda a derecha), 614 y 61S. En la union se puede insertar una linea adicional, cuya impedancia característica sea 61@ y su longitud de ?5T. 9or lo tanto, se tiene una secuancia de líneas unidas cuyas impedancias aumentan en el orden 614, 61@, 61S. 2hor una onda de #oltaje incide de la linea 4 a la union entre 614 y 61@. 2hora la carga efecti#a en el extremo lejano de la línea @ es 61S.
La impedancia de entrada a la línea @ para cual%uier #alor de frecuencia es:
Entonces, puesto %ue la longitud de la línea @ es ?5T:
Los pro!lemas de líneas de transmisión a menudo in#olucran manipulaciones con n$meros complejos, lo %ue hace %ue el tiempo y esfuerzo necesarios para encontrar una solución sean #arias #eces mayores %ue para una secuencia similar de operaciones con n$meros reales.
Dn medio para reducir la la!or sin dañar mucho la exactitud es utilizar las cartas de líneas de transmisión. al #ez la m&s ampliamente utilizada sea la carta de (mith.
Kundamentalmente, este diagrama muestra las cuer#as de resistencia y reactancia constante, %ue pueden representar tanto a una impedancia de entrada como una impedancia de carga, por supuesto esta $ltima es la impedancia de entrada de una línea de longitud cero.
(e indica tam!ién la posición a lo largo de la línea, generalmente en términos de la fracción de una longitud de onda del #oltaje m&ximo o mínimo.
Uo se muestra en forma explicita en la carta, la relación de onda estacionaria, la magnitud y el &ngulo del coeficiente d reflexión se determina r&pidamente.
El diagrama se construye, dentro de un círculo con radio unitario, utilizando coordenadas polares con radio #aria!le Q y un &ngulo #aria!le medido en sentido in#erso del mo#imiento de las manecillas del reloj, donde Q 0 Q e j .
La relación !&sica so!re la cual se construye la carta es:
Las impedancias %ue se grafican en la carta se normalizan respecto a la impedancia característica. (e denotar& la impedancia de carga normalizada con 6L.
En forma polar se ha utilizado Q y como magnitud y &ngulo de Qr, y Qi, como la parte real e imaginaria respecti#amente,
írculos con r constante se muestra en el plano Qr, Qi.
El radio de cual%uier circulo es 45348r).
Las porciones de los círculos de x constantes %ue se u!ican dentro de Q 0 4 se muestran en los ejes Qr, Qi. El radio de un determinado círculo es 45x.
La carta de (mith contiene círculos de r constante y de x constante, la escala radial auxiliar para determinar Q y una escala angular en la circunferencia para mediar
Ejemplo.
(i una 6L: @I 8 jI1 en una línea de I1 V, al realizar la di#isión %ueda expresado como 6L: 1.I 8 j4.
+onde el coeficiente de reflexión es aproximadamente 1.G@ para un &ngulo de FSW.
La carta es un diagrama orientado, en el contorno de la carta existen dos círculos concéntricos rotulados en longitudes de onda, si el desplazamiento es en el sentido de giro de las manecillas del reloj el a#ance es hacia el generador, mientras %ue si el desplazamiento es en sentido contra el giro de las manecillas del reloj el a#ance es hacia la carga, las escalas y los sentidos se muestran explícitamente en el diagrama.
1er Cuadrante y 2doCuadrante.- representa impedancias o admitancias normalizadas cuyos #alores de resistencia o conductancia normalizadas son mayores %ue la unidad.
3er Cuadrante y 4to cuadrante.- representa impedancia o admitancia son menores %ue la unidad.
Ejercicio:
Dna línea de transmisión de I1 V est& terminada en una impedancia de carga de S1 8 j T1 V. alcular el coeficiente de reflexión r en la carga, RE y la impedancia de entrada a 1.4I? de la carga, empleando la carta de (mith.
