LIBRO-TEORIA-ELECTROMAGNETICA-2014-1-JLLAURY.pdf

ASIGNATURA

J. LLAURY

2

TEORIA ELECTROMAGNETICA

PROPIEDAD INTELECTUAL DE JORGE E. LLAURY PADILLA Material publicado con fines de estudio Segunda Edición Huancayo – 2014

J.LLAURY

3


PRESENTACION TEORIA ELECTROMAGNETICA es una asignatura muy importante dentro de la carrera de Ingeniería Eléctrica, y siendo de necesidad primordial para la buena formación académica de los estudiantes, se ha preparado cuidadosamente el presente material de estudio. La asignatura de Teoría Electromagnética está diseñada específicamente para la carrera de ingeniería eléctrica abarcando, por tanto, los siguientes temas: Leyes de Maxwell en forma integral y diferencial, Campo eléctrico, Potencial Eléctrico y la Ley de Gauss para el campo eléctrico, Teoría de Imágenes y Condiciones de Frontera del campo eléctrico, Coeficientes de potencial y capacitancia de una línea de transmisión, Inducción del campo eléctrico de una línea de transmisión sobre conductores aledaños, Teoría de la conducción eléctrica, Medición de la resistencia eléctrica y la resistividad eléctrica de un terreno, Ecuaciones de Laplace y Poisson, Soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas y cilíndricas, Ferromagnetismo y Circuitos Magnéticos, Enlaces de flujo magnético e inductancia de toroides y solenoides, Inductancia de una línea de transmisión monofásica, La Ley de Inducción de Faraday y Calentamiento de núcleos de transformadores debido a corrientes inducidas. . Ser puede decir, que la carrera de la Ingeniería Eléctrica está la TEORIA soportada por una “columna vertebral”: ELECTROMAGNÉTICA (Teoría de Campos ). En realidad, la carrera de Ingeniería Eléctrica se puede sintetizar en las siguientes partes o ramas:

Generación  Transformación  Transmisión y  Distribución Y cada una de estas comprende el estudio de diversos cursos los cuales 

requieren de una buena formación en Teoría Electromagnética. A lo largo de mis 22 años de enseñanza del Electromagnetismo, he tratado de diseñar la asignatura orientada a la carrera de Ingeniería Eléctrica. El presente material, si bien es teórico, se complementará – en el desarrollo del ciclo académico, con problemas, de textos de los diferentes autores mencionados en la Bibliografía, los cuales se irán subiendo paulatinamente a la página personal del autor, los cuales serán desarrollados – en su mayoría – en el aula de clases y el resto para trabajos domiciliarios. Agradeceré cualquier sugerencia o crítica a fin de ir mejorando el presente material. Buena suerte y, a estudiar.

El responsable de la asignatura J.LLAURY

4


INDICE Pág 3 4

PRESENTACION INDICE PRIMERA UNIDAD: LEYES DE MAXWELL

9

CAPITULO 1.- LEYES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL

9

1.1. CIRCULACION DE UN CAMPO VECTORIAL 1.2. FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL 1.3. FORMA INTEGRAL DE LAS LEYES DE MAXWELL

9 10 11

a) LA LEY DE FARADAY:

11

b) LA LEY DE AMPERE:

11

c) LA LEY DE GAUSS PARA LOS CAMPOS ELECTRICOS

11

d) LA LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO

13

1.4. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 1.5. TEOREMA DE STOKES 1.6. FORMA DIFERENCIAL DE LAS LEYES DE MAXWELL

14 14 14

SEGUNDA UNIDAD: EL CAMPO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS

17

CAPITULO 2.- CAMPO ELECTRICO, POTENCIAL ELECTRICO Y LA LEY DE GAUSS –APLICACIONES A ESFERAS Y LINEAS DE CARGA 17 2.1. EL CAMPO ELECTRICO 17 2.2. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS A CILINDROS Y ESFERAS DE CARGA 20 2.3. CAMPO ELECTROSTATICO PARA UNA DISTRIBUCION DE CARGA ESPACIAL (VOLUMETRICA) 26 2.4. EL POTENCIAL TRABAJO.RELACION ENTRE EL CAMPOELECTROSTATICO ELECTROSTATICO Y Y EL POTENCIAL 26 2.5. POTENCIAL Y CAMPO ELECTRICO DE DOS LINEAS DE CARGA PARALELAS 30

TERCERA UNIDAD: TEORIA DE IMÁGENES CAPITULO 3.- TEORIA DE IMÁGENES CONTORNO DEL CAMPO ELECTRICO

34 Y

CONDICIONES

DE 34

3.1. DISCONTINUIDAD DEL CAMPO ELECTRICO A TRAVES DE UNA LAMINA DE CARGA SUPERFICIAL 34 3.2. CONSIDERACIONES GENERALES ACERCA DE LAS IMÁGENES ELECTROSTATICAS

35

J.LLAURY


3.3. LINEA DE CARGA CERCA DE UN PLANO CONDUCTOR 3.4. LINEA DE CARGA Y CILINDRO 3.5. LINEA BIFILAR

3.6. 3.7. 3.8. 3.9.

5

36 37 39

a) CARGAS IMAGEN

39

b) CAPACITANCIA POR UNIDAD DE LONGITUD

41

CARGA PUNTUAL Y ESFERA CONECTADA A TIERRA CARGA PUNTIFORME PROXIMA A UN PLANO A TIERRA ESFERA CON CARGA CONSTANTE ESFERA CON VOLTAJE CONSTANTE

46 48 50 51

CUARTA UNIDAD: CAPACITANCIA E INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO 52 CAPITULO 4.- COEFICIENTES DE POTENCIAL Y CAPACITANCIA 52 4.1. COEFICIENTES DE POTENCIAL. CAPACITANCIA DE UNA LINEA DE TRANSMISION 52 4.2. LOS COEFICIENTES DE POTENCIAL Y LA CAPACITANCIA 55 CAPITULO 5: INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO

64

5.1. FUNCION POTENCIAL EN UN PUNTO CUALQUIERA 64 5.2. CONDICIONES DE FRONTERA 66 5.3. INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO DE UNA LINEA DE TRANSMISION SOBRE CONDUCTORES ALEDAÑOS 72

QUINTA UNIDAD: CONDUCCION ELECTRICA (Electrodinámica de conducción 74 CAPITULO 6.- TEORIA DE DEBYE DE LA CONDUCCION ELECTRICA 74 6.1. CONSERVACION DE LA CARGA 74 6.2. MODELO DE CONDUCCION EN GASES CARGADOS. LEY DE OHM PUNTUAL 77 a) Ecuaciones 77 b) Conducción difusión arrastre – 79 c) La Ley de Ohm 82 6.3. CONDICIONES DE FRONTERA DE LOS CAMPOS E y D, y LA DENSIDAD DE CORRIENTE J 82 6.4. RESISTENCIA ELECTRICA 84 a) FORMULA GENERALIZADA DE LA RESIST. ELECTRICA 84 b) RESISTOR DE PLACAS PARALELAS 85 J.LLAURY

6


c) RESISTOR COAXIAL

87

d) RESISTOR ESFERICO

88

6.5. CAPACITANCIA

89

a) CAPACITANCIA PARA CUALQUIER GEOMETRIA

89

b) RELACIÓN ENTRE LA CAPACITANCIA Y LA RESISTENCIA PARA DISPOSITIVOS DE LA MISMA GEOMETRÍA 89 c) CAPACITOR PLANO PARALELO d) CAPACITOR COAXIAL

90 90

e) CAPACITOR ESFERICO

90

6.6. LA TIERRA Y SU ATMOSFERA COMO UN CAPACITOR ESFERICO CON PERDIDAS 90 CAPITULO 7: RESISTENCIA ELECTRICA Y LA RESISTIVIDAD ELECTRICA DE UN TERRENO (para cálculos de puesta a tierra) 93 7.1. UN ELECTRODO HEMISFERICO AISLADO 7.2. DOS ELECTRODOS HEMISFERICOS PROXIMOS 7.3. RESISTIVIDAD DE UN TERRENO

93 94 96

7.4. RESISTENCIA DE UN TERRENO

96

SEXTA UNIDAD: ECUACION DE POISSON Y SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE 99 CAPITULO 8.- SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE

99

8.1. CAMPOS ELECTRICOS CONSERVATIVOS (CUASI ESTACIONARIOS) 99 8.2. SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS RECTANGULARES a) SOLUCIONES CON CONSTANTE DIFERENTE DE CERO b) SOLUCIONES CON CONSTANTE

100

DE DE

SEPARACION 101 SEPARACION 105

DIFERENTE DE CERO 8.3. SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS CILINDRICAS

109

a) CONDENSADOR VARIABLE DE PLACAS CONDUCTORAS INCLINADAS 110 b) SOLUCIONES TRIDIMENSIONALES 112 c) BOQUILLA AISLADORA DE ALTO VOLTAJE 115

SEPTIMA UNIDAD: CAMPO MAGNETICO

117 J.LLAURY

7


CAPITULO 9.- CAMPO MAGNETOSTÁTICO

117

9.1. DESCUBRIMIENTO DE HANS CHRISTIAN OERSTED 9.2. FUERZA DE LAPLACE (LORENTZ) 9.3. VEHICULO DE MOTOR LINEAL 9.4.SAVART LEY DE BIOT – 122 APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT SAVART 9.5. –

117 118 120

123

a) LINEA INFINITA DE CORRIENTE b) LAMINA DE CORRIENTE SUPERFICIAL

123 124

c) ESPIRA DE CORRIENTE

125

d) BOBINA DE HELMHOLTZ

126

e) CAMPO MAGNETICO DE UN SOLENOIDE

127

CAPITULO 10: APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE

130

10.1. CAMPO MAGNETICO DE UNA LINEA DE CORRIENTE 130 10.2. CAMPO MAGNETICO INTERIOR PARA UN ALAMBRE RECTILINEO POR DONDE CIRCULA UNA CORRIENTE 131 10.3. CAMPO MAGNETICO EXTERIOR PARA UN ALAMBRE RECTILINEO POR DONDE CIRCULA UNA CORRIENTE 132 CAPITULO 11: EL POTENCIAL VECTORIAL

134

11.1. EL POTENCIAL VECTOR DE UNA DISTRIBUCION DE CORRIENTE 134 11.2. EL POTENCIAL VECTORIAL Y EL FLUJO MAGNETICO 134 11.3. APLICACIONES DEL POTENCIAL VECTORIAL 134 a) LINEA DE CORRIENTE DE LONGITUD FINITA

134

b) EL POTENCIAL VECTORIAL, EL FLUJO MAGNETICO Y DE LA INDUCTANCIA DE UNA ESPIRA RECTANGULAR CORRIIENTE 136

OCTAVA UNIDAD: MATERIALES MAGNETICOS Y CIRCUITOS MAGNETICOS 139 CAPITULO 12.MAGNETICOS 12.1. 12.2. 12.3.

HISTERESIS

FERROMAGNETICA

Y

CIRCUITOS 139

FERROMAGNETISMO: MATERIALES FERROMAGNETICOS CURVAS DE MAGNETIZACION

139 141

MATERIALES FERROMAGNETICOS USADOS COMO NUCLEOS J.LLAURY

TEORIA ELECTROMAGNETICA 12.4. 12.5.

8

HISTERESIS FERROMAGNETICA 144 CIRCUITOS MAGNETICOS Y CALCULO DE LOS PARÁMETROS GEOMÉTRICOS Y OBTENCIÓN DE LOS PARÁMETROS MAGNETICOS MEDIANTE TABULACION 145

NOVENA UNIDAD: ENLACES DE FLUJO E INDUCTANCIA DE LINEAS DE TRANSPORTE 147 CAPITULO 13.- INDUCTANCIA DE UNA LINEA DE TRANSMISION MONOFASICA 147 INDUCTANCIA DE SOLENOIDES Y TOROIDES. ENLACES DE FLUJO MAGNETICO E INDUCTANCIA INTERNA Y EXTERNA DE UNA LINEA DE TRANSMISION 147 13.2. INDUCTANCIA DE UN SOLENOIDE DE SECCION CIRCULAR 148 149 13.3. INDUCTANCIA DE UN TOROIDE DE SECCION CIRCULAR 13.4. INDUCTANCIA DE UNA LINEA DE TRANS. MONOFASICA 149 13.1.

a) CALCULO DE LOS ENLACES O ACOPLAMIENTO DE FLUJO INTERNO 150 b) CALCULO DE LOS ENLACES O ACOPLAMIENTO DE FLUJO EXTERNO 151 c) ENLACE O ACOPLAMIENTO TOTAL DE FLUJO d) LINEA MONOFASICA CAPITULO 14: LEY DE INDUCCION DE FARADAY

152 152 154

14.1. LA LEY DE INDUCCION DE FARADAY 154 14.2. LA LEY DE LENZ 155 14.3. INDUCCION DEL CAMPO MAGNETICO DE UNA LINEA DE CORRIENTE SOBRE UN CIRCUITO ALEDAÑO 156 14.4. POTENCIAL EN UN NIVEL “P” DEBIDO AL CAMPO MAGNETICO DE UNA CORRIENTE UNIFILAR 158 CAPITULO 15: CORRIENTES INDUCIDAS EN LOS NUCLEOS DE LAS BOBINAS Y TRANSFORMADORES 161 15.1. CORRIENTES INDUCIDAS

161

15.2. RANURACIONES 15.3. NUCLEO MACIZO CON GEOMETRIA RECTANGULAR

162 163

TEMA OPCIONAL: FUNDAMENTO ELECTRODINAMICO DE LA LEVITACION MAGNETICA (MAGLEV) 165 1) LA ECUACION DE DIFUSION MAGNETICA 165 2) MAQUINA DE INDUCCION LINEAL 165 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 169 J.LLAURY

9


PRIMERA UNIDAD

LEYES DE MAXWELL CAPITULO 1 LEYES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL 1.1. CIRCULACION DE UN CAMPO VECTORIAL Sea A un campo vectorial arbitrario, la circulación C de dicho campo, viene dada por la integral de línea de A, para un trayecto cerrado, es decir:

C 

 A.dL

A

(1)

C

Sentido de la circulación

Fi . 1.- Circulación de un cam o vectorial

Nota: Cuando el campo vectorial A no es perpendicular al plano del lazo cerrado, la circulación viene dada por:

C 

 A.Cos.dL

(2)

Siendo  el ángulo que forman los vectores A y el desplazamiento diferencial dL. J.LLAURY

10


1.2. FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL El flujo , para una superficie abierta tal como la mostrada en la Fig. 2, para un campo vectorial arbitrario, tal como A, viene dado por la siguiente expresión:



 A.dS 

(3)

A.Cos .dS

donde  es el ángulo que forman los vectores A y dS. Pero cuando el campo vectorial A atraviesa una superficie cerrada, que contiene un volumen V, el flujo neto del campo vectorial puede ser: 

Nulo (Fig. 3)



Positivo (Fig. 4) ó



Negativo (Fig. 5)

dS = dS un

A

un

S Fi . 2.- Flu o de un cam o vectorial

Entendiéndose por flujo neto a la suma algebraica de los flujos de entrada al volumen ó de salida del volumen. FLUJO ENTRANTE

=

FLUJO SALIENTE

Fig. 3.- Flujo neto nulo FLUJO ENTRANTE

FLUJO SALIENTE

<

FUENTE

Fig. 4.- Flujo neto positivo (fuente en el interior) FLUJO ENTRANTE

>

FLUJO SALIENTE

RESUMIDERO

Fig. 5.- Flujo neto negativo (resumidero en el interior) J.LLAURY

11


1.3. FORMA INTEGRAL DE LAS LEYES DE MAXWELL a) LA LEY DE FARADAY En (1), haciendo el vector A igual al campo eléctrico E, se tiene que la circulación de este es:

C



 E.dL  0

(4)

Cuando E es un campo conservativo, es decir que depende del gradiente de un escalar. Además, en este caso, E no varía en el tiempo. Para un campo eléctrico que varía en el tiempo: E = E(r,t), se tiene:

C

 E .dL  FEM ind   d  m



(5)

dt

donde, m es el flujo magnético variable en el tiempo. Es decir, un campo eléctrico variable en el tiempo puede inducir un campo magnético también variable en el tiempo cuando los circuitos están próximos, ó viceversa. b) LA LEY DE AMPERE: En forma análoga, cuando en (1) se reemplaza el vector A por el campo magnético H, la circulación de este representa la corriente encerrada por el lazo amperiano (Fig. 6). Entonces:

C



 H .dL  I enlazada

(6)

Esta Ley de Ampere es un medio muy eficaz para el cálculo de campos magnéticos para geometrías con gran simetría, tales como conductores de sección redonda por donde circula una corriente. I

C

r H

Fig. 6.Circulación del campo H

Sentido de la circulación

c) LA LEY DE GAUSS PARA LOS CAMPOS ELECTRICOS Las Leyes de Gauss están relacionadas con el concepto de flujo. Así, para el campo eléctrico, se obtiene a partir de la ecuación (3), reemplazando el campo vectorial A por el campo J.LLAURY

12


eléctrico E. Este flujo obtenido a partir del campo eléctrico representa una cierta medida de la carga encerrada por una superficie. Cuando la superficie atravesada por el campo eléctrico es abierta, simplemente las líneas de flujo atraviesan dicha superficie (esto es, la componente normal de E). Por lo tanto, la Ley de Gauss queda como:

 E .dS 

E 

E.Cos .dS

(7)

dS

E

S Fig. 7.- Campo eléctrico E atravesando una superficie abierta S

Cuando un campo eléctrico atraviesa una superficie cerrada S, la cual contiene un volumen V, el flujo neto dependerá si hay fuentes, resumideros ó simplemente ninguno de ellos. Entonces, existirá un flujo de entrada y un flujo de salida. Una fuente, en el interior del volumen V, será simplemente una carga positiva en el interior de este. Un resumidero, será una carga negativa. Entonces, la Ley de Gauss para el campo eléctrico queda como:

E 

Q enc o



 E .dS 

E.Cos .dS

(8)

E SALIDA

dS

V

- dS

ENTRADA

E

Fig. 8.- NETO = SALIDA - ENTRADA J.LLAURY

13


d) LA LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO También está ligada al concepto de flujo de un campo vectorial. El campo magnético también es un vector, pues tiene dirección, sentido y, obviamente, magnitud. Para una lámina imaginaria la cual es atravesada por un campo magnético B, el flujo es simplemente el producto de la componente normal de este campo multiplicada por el área, en forma análoga a (7), es decir:

 B.dS  B.Cos.dS

m 

(9)

Sin embargo, para una superficie cerrada, el flujo magnético siempre es cero. En este caso, el número de líneas que entran a un volumen encerrado por una superficie S es igual al número de líneas que salen de la misma (Fig. 9). Por lo tanto:

m 

 B.dS  0

(10)

Inclusive, si el cuerpo de volumen V no fuera imaginario, sino si fuera, por ejemplo, un imán metido en el entrehierro, el flujo magnético neto también sería cero, pues el número de líneas de campo que entran al imán sería igual al número de líneas que salen del mismo (Fig. 10). FLUJO (ENTRADA) = FLUJO (SALIDA)

VOLUMEN “V”

Fig. 9.- El fluj o magnético neto siempre es

nulo

Fig. 10.- Flujo neto cero aún cuando se coloca un imán en el entrehierro J.LLAURY

14


Cuando se reemplaza (9) en (5), la Ley de Faraday queda como:

 E .dL  FEM ind   d dtm   dtd  B.dS

(11)

S

La cual también puede ser escrita como:

 E.dL  

d m   d  B . dS  dt dt S

 (B / t ).dS

(12)

S

1.4. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Es una de las herramientas matemáticas de gran utilidad en la Teoría de Campos. Permite pasar de una integral de superficie a una integral de volumen a través de la divergencia del campo vectorial A. Se expresa como:

 A . dS   . A dV S

(13)

V

1.5. TEOREMA DE STOKES Es otra potente herramienta matemática del Cálculo Vectorial. Permite transformar una integral de línea a una integral de superficie a través del rotacional del campo vectorial A. Se expresa así:

 A.dL   x A. dS L

(14)

S

1.6. FORMA DIFERENCIAL DE LAS LEYES DE MAXWELL Aplicando el Teorema de Stokes (14) al primer miembro de (12), y cancelando las integrales con sus diferenciales respectivos, se tiene la Ley de Faraday en forma diferencial:

B  x E   t

(15)

Asimismo, se puede aplicar el Teorema de Stokes en la forma integral de la Ley de Ampere dada por (6). Pero, primeramente se transforma la corriente enlazada I por el producto de la densidad de corriente J por el área dS, de modo que:

I

  J . dS

(16)

S

Por lo que la Ley de Ampere cada por (6) queda como:

 H .dL   J . dS L

(17)

S

J.LLAURY

15


Al aplicar el Teorema de Stokes al primer miembro de (17), luego cancelando las integrales de línea al igual que sus respectivos diferenciales, que la Ley de Ampere, en forma diferencial, como:

xH  J

(18)

El vector J del segundo miembro de (18) se refiere a la densidad de corriente de conducción Jc. Una de las grandes contribuciones de Maxwell consistió en corregir esta fórmula de Ampere, al descubrir la densidad de corriente de desplazamiento, cuando se trata con campos que varían en el tiempo. Esta densidad de corriente de desplazamiento JD es igual a la razón de cambio en el tiempo del campo de desplazamiento D =  E:

D J  t

(19)

D

Y la densidad de corriente de conducción viene dada por la Ley de Ohm puntual:

J E

(20)

C

Siendo  la conductividad eléctrica del medio. Por lo tanto,delacorriente densidad de corriente será la suma de las densidades de total conducción más desplazamiento:

J J J T

C

D

(21)

Si se considera la corriente enlazada dada en el segundo miembro de (6) como corriente total, se tiene que la Ley de Ampere en forma integral puede ser escrita como:



 H . dL   E  L

S

D  .dS t 

(22)

Entonces, aplicando Stokes al primer miembro de (22) y luego cancelando las integrales de superficie al igual que sus respectivos diferenciales, se tiene la forma diferencial de la Ley de Ampere:

 x H E 

D t

(23)

Si el medio en el cual se difunden los campos es el espacio libre, o algún dieléctrico perfecto (sin pérdidas), es decir si la conductividad es nula, la Ley de Ampere (23) se reduce a:

xH 

D t

(24)

Las Leyes de Gauss para los campos eléctrico y magnético se determinan al aplicar el Teorema de la divergencia a las formas integrales dadas por (8) y (10). J.LLAURY

16


Si se considera una distribución volumétrica de carga, es decir si:

Q    dV

(25)

ENC

v

la forma integral de la Ley de Gauss para el campo eléctrico, dada por (8), queda como

  E . dS  S

 dV

(26)

V

Entonces, transformando el primer miembro de (26) en una integral de volumen a través del Teorema de la divergencia y cancelando luego, las integrales de volumen y sus respectivos diferenciales, se tiene la forma diferencial de la Ley de Gauss para el campo eléctrico:

.E 



(27)  En forma análoga, para la forma integral de la Ley de Gauss para el campo magnético, dada por (10), se tiene su respectiva forma diferencial:

.B  0

(28)

J.LLAURY

17


SEGUNDA UNIDAD

EL CAMPO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS CAPITULO 2

CAMPO –ELECTRICO, POTENCIAL ELECTRICO Y CARGA LA LEY DE GAUSS APLICACIONES A ESFERAS Y LINEAS DE 2.1. EL CAMPO ELECTRICO La fórmula general del campo eléctrico para una distribución generalizada de carga, tal como se muestra en la Fig. 11, viene dada por la siguiente fórmula: E r  

1 4. .

.

   r  r'  . dq  3   ' r  r L ,S ,V  



(29)

donde dq depende de la distribución de carga, es decir, según sea una carga lineal, superficial ó volumétrica. Entonces:

 r ' dL dq   r ' dS   r ' dV 

(30)

A continuación, en la fig. 11, se muestra el campo eléctrico en el punto P del espacio debido a una carga diferencial dq de un cuerpo macroscópico cargado.

J.LLAURY

18


Z

CUERPO CARGADO

dE P

rQP = r – r’

dq Q

r Y

r’ O

Fig. 11.- Campo eléctrico debido a una distribución de carga

X

EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 1.- Determinar el CAMPO ELECTRICO DE UNA LINEA FINITA DE CARGA Se presenta la siguiente geometría: Z

a

+L

+

dz’

P

rQP Q

z Y

z’ O X

Fig. 12.- Línea de carga de longitud finita -L

Solución.Aplicando (29) y (30) y teniendo en cuenta que: r – r’ = rQP y su respectivo módulo:

r – r’ = rQP Las coordenadas de Q y P son, respectivamente: Q(0,0,z’); y P(0,a,z)

de modo que:

rQP = 0.i + a.j + (z – z’).k y su módulo es:

r

 a  z  z ' 2

QP

2

J.LLAURY

19


La carga dq del elemento diferencial de longitud dz’ sería:

dq = .dz’ El campo eléctrico en el punto P del espacio, debido a toda la distribución lineal de carga lo longitud “2.L” vendría dada, según

(29) y (30), por la integral: L

E r , z  

1 . 4. .  o

o.i  r. j  z  z'.k3./2 .dz'





r

z'   L

2



 z  z'

2

resolviendo la integral resultan dos componentes del campo eléctrico: una a lo largo de su eje (Z), y la otra en la dirección del eje Y la cual puede ser asumida también como una dirección radial. Entonces:

E(r,z) = Er(r,z).ur + Ez(r,z).k donde:

  4. . .r     r  zL   r  z  L    1 1  .  E z r , z   4. . o  r  z  L     z  L r  

E r , z   





z  L 

.

r

2

2

z  L 



(31)

2

2

o

2

2

2

(32)

2

APLICACIÓN NUMERICA: Conociendo la densidad lineal de carga ( ), la longitud de la línea (2.L) y la distancia radial ( r ) del punto P a la misma, hacer una gráfica de la variación de los campos eléctrico radial (E r) y axial (Ez), para un intervalo adecuado de distancias. Solución.Es fácil demostrar que cuando la línea de carga se extiende en longitud, es decir, si la línea se vuelve “infinita”, a partir de (31) y

(32) se demuestra que el campo en la dirección axial se desvanece (Ez = 0), y el campo eléctrico radial toma la forma:

E r   r

 2. . o .r

(33)

y esta fórmula (33) es de suma importancia en el estudio de campos y potenciales de líneas de transmisión. Naturalmente, sigue la restricción de que la longitud de la línea debe ser mucho mayor que la distancia del punto donde se evalúan los campos a la línea misma. Suponiendo que se tengan los siguientes datos, que se muestran, a continuación, en la hoja de cáculo: J.LLAURY

20


1.2.3.4.-

TABLA DE DATOS: Permitividad del vacío Densidad lineal de carga Longituddelalínea Distancia radial de P a la línea

ëps-o Lambda 2.L r

9E-12 F/m 5 00 pC/m 5 m 1 m

FIG.13.TABLADECALCULO: GRAFICA DE LOS CAMPOS z Er Ez RADIAL Y AXIAL EN FUNCION DE "z" V/m V/m Er(z) y Ez(z) 10.000

8.000

6.000

4.000

) /m V ( a2.000 d a n e d r O0.000

1

4

7 10 1 3 1 6 1 9 2 2 2 5

-2.000

-4.000

-6.000 Abscisa (m)

-2.5 -2.3 -2.1 -1.9 -1.7 -1.5 -1.3 -1.1 -0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3

4.407 5.281 6.060 6.694 7.179 7.537 7.798 7.987 8.122 8.217 8.283 8.323 8.342 8.342 8.323

-3.612 -3.490 -3.218 -2.857 -2.468 -2.088 -1.733 -1.409 -1.114 -0.842 -0.589 -0.348 -0.115 0.115 0.348

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5

8.283 8.217 8.122 7.987 7.798 7.537 7.179 6.694 6.060 5.281 4.407

0.589 0.842 1.114 1.409 1.733 2.088 2.468 2.857 3.218 3.490 3.612

2.2. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS A CILINDROS Y ESFERAS DE CARGA Cuando los cuerpos cargados presentan una geometría de gran simetría, la Ley de Gauss en forma integral se constituye en una herramienta para la obtención del campo eléctrico el cual, mayormente, es radial. EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 2.- Determinar el: CAMPO ELECTRICO DE UNA LINEA INFINITA DE CARGA Solución.- En la fig. adjunta se presenta la siguiente geometría, mostrando en el extremo derecho de la línea de carga la orientación radial de las líneas de campo eléctrico; naturalmente esto se presenta a lo largo de todo el conductor. J.LLAURY

21


Superficie gaussiana

Er

r

LINEA DE CA RGA

L

Fig. 14.- Línea de carga encerrada en una superficie gaussiana

Aplicando la Ley de Gauss en forma integral dada por (8):

Q enc o



 E .dS

(8)

El campo eléctrico es radial y constante manteniendo dicha distancia, por lo tanto sale fuera de la integral; por lo tanto sólo se integra el área (lateral) del cilindro gaussiano el cual es Area = 2..r.L Y la carga encerrada:

Qenc = .L Entonces, reemplazando estas dos expresiones en (8) y despejando el campo eléctrico radial, se llega a la conclusión que el resultado es el mismo que (33), como era de esperarse. Entonces:

E r   r

 2. . o .r

(33)

En la solución de este problema es tácita la suposición de que la longitud de la línea de carga es igual a la de su envolvente (cilindro gaussiano) y, por ende; muy larga comparada con la longitud del radio ”r” c onstante. En la aplicación numérica, se observa la variación de la magnitud del campo eléctrico radial con la distancia “r” (Fig. 15).

EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 3.Calcular el campo eléctrico en todo el espacio para un conductor cilíndrico macizo (muy largo) cargado y de radio R.

J.LLAURY

22

TEORIA ELECTROMAGNETICA TABLA DE DATOS: 1.éps-o 8.8542E-12 2.Lambda 500 TABLA DE CALCULO r Er(r) 100.000 (m) (V/m) 0.1 89.875 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

44.938 29.958 22.469 17.975 14.979 12.839 11.234 9.986 8.988 8.170 7.490 6.913 6.420 5.992 5.617 5.287 4.993 4.730 4.494 4.280 4.085 3.908 3.745 3.595 3.457 3.329 3.210

2.9 3

3.099 2.996

F/m pC/m

Er(r) vs distancia radial "r"

90.000

80.000

70.000

60.000

m / V )r50.000 r( E 40.000

30.000

20.000

10.000

0.000 1 3 5 7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

/10 m

FIG. 15.-

Decaimiento del campo eléctrico radial con la distancia "r".

Solución.Se asume una densidad lineal de carga = , C/m Las superficies gaussianas son, obviamente, cilindros imaginarios de igual longitud que el conductor cilíndrico de carga. En el interior del conductor, es decir en: r < R, no existe campo eléctrico, puesto que dentro de un metal el campo E es cero. Entonces:

E = 0, para r < R J.LLAURY

23


Para la parte exterior del conductor, es decir, para la zona: r > R, se tiene, por la Ley de Gauss dada por (8):

 o . E r r .2. .r.L  Qenc  .L de donde, el campo eléctrico del conductor macizo cargado, coincide con el conductor filiforme el ejemplo anterior.

 Entonces:

E r   r

(33)

2. . o .r Superficies gaussianas

r R Conductor con densidad de carga = 

r

Fig. 16.- Cilindro metálico de carga encerrado por superficies gaussianas: r < 0, y r > 0

Nota.- Si el conductor hubiera sido un cilindro hueco, el resultado también sería el mismo La variación del campo Er con la distancia “r” y su gráfica respectiva, se muestran a continuación en la siguiente En la Fig. 15, se puede apreciar que el campo Er es nulo dentro del conductor macizo; y a medida que la distancia radial va incrementándose en múltiplos enteros del radio R, se va desvaneciendo. APLICACIÓN NUMERICA.EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 4.Determinar el campo eléctrico de una esfera cargada, (maciza y metálica), en todo el espacio. El radio de la esfera es “R” y su carga es superficial con densidad “”.

Solución.En este caso también, la solución es similar al caso anterior, campo eléctrico en el interior de la esfera metálica cargada es nulo:

Er = 0, para r < R Para la zona exterior, esto es para

r>R J.LLAURY

24


 o . E r r . 4. . r  Qenc   .4. . R 2

2

de donde:

 E r   r

2

.R .

 o.r

(34)

2

TABLA DE DATOS: 1.éps-o 8.8542E-12 F/m 2.Lambda 500 pC/m 3.R 25 mm TABLA DE CALCULO Er(r) vs distancia radial "r" r Er(r) (mm) (V/m) 200.000 0.1 0.000 5 0.000 180.000 6.25 0.000 8.333 0.000 12.5 0.000 160.000 25 0.000 50 179.751 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425

119.834 89.875 71.900 59.917 51.357 44.938 39.945 35.950 32.682 29.958 27.654 25.679 23.967 22.469 21.147

450 475 500 525 550 575 625 600

19.972 18.921 17.975 17.119 16.341 15.631 14.380 14.979

140.000 120.000

m / V r)( r E

100.000

80.000

60.000

40.000

20.000

0.000 1 3 5

7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Nº de divisiones del intervalo de las abscisas

FIG. 17.-

Decaimiento del campo eléctrico radial con la distancia "r".

Lo cual se puede ver, de (34) que la variación del campo eléctrico radial obedece a una ley de cuadrado inverso, es decir, se desvanece “rápidamente” a medida que el punto (donde se evalúa E(r) se va alejando de la esfera. J.LLAURY

25


Superficies gaussianas (esferas de radio “r”)

r

r

Esfera metálica maciza )cargada) de radio R

Er

FIG. 18.- Superficies gaussianas interior y exterior a la esfera de carga

APLICACIÓN NUMERICA.- Se analiza gráficamente esta variación para los datos numéricos propuestos en la hoja de cálculo adjunta. TABLA DE DATOS: 1.éps-o 8.8542E-12 F/m 2 pC/m 2.Sigma 900 3.R 50 mm TABLA DE CALCULO Er(r) vs distancia radial "r" r Er(r) 120.000 (mm) (V/m) 0.1 0.000 10 0.000 12.5 0.000 100.000 16.67 0.000 25 0.000 50 101.647 100 25.412 80.000 150 11.294 200 6.353 250 4.066 /m 300 2.824 V 60.000 350 2.074 r)( 400 1.588 r E 450 1.255 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1250 1200

1.016 0.840 0.706 0.601 0.519 0.452 0.397 0.352 0.314 0.282 0.254 0.230 0.210 0.192 0.163 0.176

40.000

20.000

0.000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Nº de divisiones del intervalo de las abscisas

FIG. 19.-

Variación del campo eléctrico radial con la distancia "r".

J.LLAURY

26


2.3. CAMPO ELECTROSTATICO PARA UNA DISTRIBUCION DE CARGA ESPACIAL (VOLUMETRICA) Para una distribución volumétrica de carga, la fórmula (29) del campo eléctrico, teniendo en cuenta la siguiente identidad vectorial:

   r  r '3     1   r  r'   r  r'     

(35)

se puede escribir como:

   r  r'  E r    .  r '.   . dV ' 4. .   r  r'3  ,V   1

o



(36)

Pero el gradiente opera sobre las coordenadas de puntos del campo (no primadas), que son constantes en la operación de integración. Entonces, es posible extraer el operador gradiente fuera de la integral; esto equivale a invertir el orden de operación: primero se integra y después se calcula el gradiente. Si las operaciones son independientes el orden es irrelevante: E r  

 1    4. .



. o

V

 . dV '  r  r'  r '

de modo que:

E r

  U r 

(37)

Siendo U(r) el potencial electrostático: U r  

1 4. . o

.

 r '

 r r

'

(38)

. dV '

,V

2.4. EL POTENCIAL ELECTROSTATICO Y TRABAJO.- RELACION ENTRE EL CAMPO ELECTROSTATICO Y EL POTENCIAL El campo electrostático es conservativo e irrotacional, es decir:

 x E r   0

(39)

Al trasladar una carga puntual a velocidad constante a lo largo de un camino (Fig. 20) en una región donde exista un campo electrostático, esto implicaría el aporte de una fuerza F = q.E realizada por un agente externo para contrarrestar la acción del campo sobre dicha carga puntual. Por otra parte, el traslado a velocidad constante implica que la energía cinética de la carga

J.LLAURY

27


permanece constante, de modo que el balance de energía conduciría a que el trabajo que realiza el agente externo en el traslado sea igual pero de signo opuesto al trabajo W E que el campo electrostático realiza sobre la carga, por lo que: B

B

A

A

W  q. E.dL   q. U . dL   q.U  U E

B

A



(40)

B q.E

q

dL

F

A

Fig. 20.- Traslado de una carga puntual positiva a lo largo de un camino de A a B.

Por lo tanto el trabajo realizado por el campo sobre la carga es igual al producto del valor de la carga por la diferencia de potencial entre los extremos del camino, cambiado de signo. Se ve que este trabajo no depende del camino particular C que se haya elegido. Esta es una característica, naturalmente, de los campos conservativos. En un camino cercado, el trabajo realizado por el campo sobre la carga es cero.

Sólo se pueden definir diferencias de potencial entre dos puntos del espacio. Para asignar un valor de potencial a un punto es necesario definir arbitrariamente un punto de referencia de potencial. En el caso de distribuciones de carga de extensión acotada, el punto de referencia convencional es el infinito, según se verá al analizar la energía del campo electrostático. En general:

U r  

r

  E . dL

(41)



donde se ha omitido la referencia al camino porque es irrelevante. Esta convención para definir el potencial como campo escalar no es válida cuando se estudia una distribución de carga no acotada en el espacio (p. ej., la línea ó el plano infinitos). En tal caso hay que tomar el punto de referencia en otro sitio, que dependerá de las condiciones del problema. EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 5.Calcular el potencial electrostático creado por una línea infinita cargada uniformemente. J.LLAURY

28


Solución.Del Ejemplo de aplicación Nº 2 (Campo eléctrico de una línea infinita de carga), el campo eléctrico viene dado por (33):



E r   r

(33)

2. . o .r

Además, de (37) se tiene la relación entre el campo eléctrico y el potencial: E r   U r  (37)





La geometría para el presente caso es, obviamente, la cilíndrica, según la Fig. 14. Entonces, la función gradiente en coordenadas cilíndricas – según el Análisis Vectorial – viene dada por:

U 

1 U U U .u  . .u  .k r z r  r

(42)



Como, en este caso, el campo eléctrico es estrictamente radial (el alambre es muy largo y se desprecian los efectos de bordes), entonces, el operador gradiente sólo involucra al primer término del segundo miembro de (42); por lo tanto, al reemplazar (36) en (37), este se escribe como: dU   . dr 2. . o .r de donde:

dU



 .dr 2. . o .r

.

Integrando ambos miembros U (r )

 dU 0

r

   2...dr .r . ro

o

“ro” es el punto de referencia de potencial nulo.Finalmente:

U r  



 

. Log e  r o  2. . o r

(43)

EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 6.Calcular el potencial en todo el espacio para la esfera metálica cargada del Ejemplo de Aplicación Nº 4 (Fig. 18). Solución.De la solución del Ejemplo de Aplicación Nº 4, se tiene: El campo electrostático para r < R es nulo. J.LLAURY

29


El campo electrostático para: r > R, el cual viene dado por (34): 2

 .R . U EXT r    .r

(44)

2

r

o

El gradiente, en coordenadas esféricas, es:

U 

1 U 1 U U .u  . .u  .u r r  r.Sen  r





(45)

Como el campo es estrictamente radial, entonces también lo será el gradiente, entonces reemplazando (34) en (37), pero sólo considerando el primer término del segundo miembro de (35): 2

dU dr

. .   R  .r 2

o

donde se ha cambiando la derivada parcial por la derivada ordinaria, por ser el campo función de una sola variable (radial). Para el interior de la esfera (r < R):

2  . R . .dr 2 0 r    o.r desarrollando la integral se obtiene el potencial constante para cualquier punto del interior de la esfera: R

U

 dU  





U rR

   .R

(46)

o

Este valor dado por (46) es también el valor del potencial superficial de la esfera metálica cargada, y de radio R. Para el intervalo: r > R: r

U (r )

 dU  

2  . R . .dr

r 

0

 o.r2



Resolviendo se obtiene:

    .R

U r

2

(47)

 o. r

Suponiendo que la esfera tenga un potencial (superficial) de U o voltios, entonces se puede aplicar esta condición de contorno en (46) y de esta forma determinar la densidad de carga superficial . Entonces: En (46), para r = R se tiene: U(r = R) = Uo, de donde:

J.LLAURY

30




.  U o

o

(48)

R

Al reemplazar (48) en (47) se obtiene la función potencial en cualquier punto del exterior de la esfera:

 U r   U o . R  r

  

(49)

A continuación, en la siguiente hoja de cálculo, se observa la : variación con la distancia radial (múltiplos de “r”) INGRESO DE DATOS: Uo (V) 1000 R (cm) 10 TABLA DE CALCULO:

n

r cm

U )r( Vol t

0.1 0.13

1 1.26

1000.00 1000.00

0.25 0.38

2.5 3.75

1000.00 1000.00

0.5 0.63 0.75

5 6.25 7.5

1000.00 1000.00 1000.00

0.88 1 1.25

8.75 10 12.5

1000.00 1000.00 800.00

1.5 1.75

15 17.5

666.67 571.43

2 2.25 2.5

20 22.5 25

500.00 444.44 400.00

2.75 3 3.25

27.5 30 32.5

363.64 333.33 307.69

3.5 3.75

35 37.5

285.71 266.67

4

40

250.00

Variación del potencial de una esfera con la distancia 1200.00

1000.00

800.00 s io tl o V600.00 ,) (r U 400.00

200.00

0.00

1

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Nº divisiones intervalo (abscisas)

FIG. 21.- Variación del potencial de una esfera conductora cargada con la distancia

2.5. POTENCIAL Y CAMPO ELECTRICO DE DOS LINEAS DE CARGA PARALELAS El potencial de una línea infinitamente larga, con densidad lineal de carga  está dado por (39), donde “ro” es el punto arbitrario de referencia de potencial cero. Si se considerar dos líneas de carga de polaridad opuesta y separadas por una distancia “2.a”, colocando el srcen de

coordenadas a mitad de separación de la línea que las une, tal como se muestra en la Fig. 22, entonces el potencial en un punto arbitrario P(x, y) del espacio (en realidad del plano normal a las líneas), vendría dado por las superposición de (43), es decir: P

U

 



P

U

  U



P

J.LLAURY

31


donde:

U

   P





2. . o

r r  1

   

r   r2

   

. Log e 

o

1r

y

U

   P





. Log e 

2. . o

o

1r

Y P(x, y)

r1

r2

+

X

-

O (- a, 0)

(a, 0)

Fig. 22.- Dos líneas de carga p aralelas separadas por una distancia “2.a”

donde se ha tomado “ro” como punto común de referencia de

potencial cero. Luego, sumando las dos expresiones resulta el potencial total en el punto P debido a las dos líneas de carga: 

U  P

2. . o

 r2 r  1

. Log e 

o

1r

   

(50)

donde:

r1 

x  a   y 2

2

(51)

y

r2

2





xa





2

(52)

y

Por lo tanto, reemplazando (51) y (52) en (50) se llega a establecer la función potencial en un punto P(x, y) debido a las dos líneas de carga infinitas de polaridad opuesta: U  x, y  

  x  a 2  y 2   .Log  2 2 2. . 2 e  x  a   y  

.

1

(53)

o

ECUACION DE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES.- de (53):

J.LLAURY

32


x  a 2  y2  exp 4.  .   x  a 2  y2

o .U

   K1 

(54)

Y

LINEAS FUERZADE

X

-

+

LINEAS EQUIPOTENCIALES

Fig. 23.- Líneas de campo y potencial eléctrico de dos conductores paralelos de polaridad opuesta

K1 es una constante sobre una determinada línea equipotencial. Esta relación se puede escribir como: 2

 x  a .1 K 1  y2  4. K . a22 1 K 1 K1  1   1

(55)

La cual se reconoce como ecuaciones de una familia de circunferencias de radios:

R

2.a. 1

K K

(56)

1

1

Con sus centros en:

x

a . K  1 K  1

(abscisa del centro)

(57)

y0

(ordenada del centro)

(58)

1

1

J.LLAURY

33


Como lo muestran las líneas (rojas) de la Fig. 23. 

El valor de K1 = 1, es un círculo de radio infinito con centro en x =  , por lo tanto representa el plano X = 0.



Para valores de K1 en el intervalo 0  K1  1 los círculos equipotenciales están en el semiplano izquierdo, y



Para 1  K1   los círculos están en el semiplano derecho.

ECUACION DE LAS LINEAS DE CAMPO ELECTRICO El campo eléctrico se calcula a partir del negativo del gradiente del potencial dado por (37):

 2.a.a  x  y .i  4.a.x. y. j  (59) E  x, y     2. .   x  a   y .x  a   y   2



2

2

2

2

2

2

o

Una forma de delinear la distribución del campo eléctrico se logra trazando líneas que en cualquier parte son tangentes al campo eléctrico, llamadas líneas de fuerza. Estas líneas en todas partes son perpendiculares a las superficies equipotenciales y definen la dirección del campo eléctrico. La magnitud es proporcional a la densidad de las líneas. Para una simple carga puntual, las líneas de fuerza emanan radialmente. La situación es más complicada para las dos líneas de carga de polaridad opuesta de la Fig. 22 con las líneas de fuerza comenzando siempre en la carga positiva y terminando en la carga negativa. Para el campo dado por (59), la ecuación para las líneas tangentes al campo eléctrico es: 2.x. y E  E a x y

dy dx

entonces:

y

2

2

2

x

x  y   d Ln y   0  a x  y  d

2

2

2

2

2

Donde la última igualdad se ha escrito así de modo que la expresión pueda ser integrada directamente, para dar lugar a: 2

a (60) Sen K Donde K2 es una constante determinada al especificar una simple coordenada (xo,yo) a lo largo de la línea de fuerza que interese. Las líneas de fuerza también son círculos de radios: x  y 2

 a.Co tan K 2  2

2

2

R

a Sen K 2

(61)

Con centros en:

x  (abscisas) 0

y

 a.Co tan K

2

(62) (ordenadas)

(63)

J.LLAURY

34


TERCERA UNIDAD

TEORIA DE IMAGENES CAPITULO 3 TEORIA DE IMÁGENES Y CONDICIONES DE CONTORNO DEL CAMPO ELECTRICO 3.1. DISCONTINUIDAD DEL CAMPO ELECTRICO A TRAVES DE UNA LAMINA DE CARGA SUPERFICIAL Se puede aplicar la Ley de Gauss (8) a la superficie de la caja de tamaño diferencial de la Fig. 24, circundando una pequeña área dS de carga superficial:

  E.dS   dS o

S

S



o E 2n

 E1n dS   dS

Siendo E2n y E1n las componentes perpendiculares del campo eléctrico a cada lado de la entrecara. Unicamente las superficies superior e inferior del pequeño cilindro contribuyen al flujo porque se supone que el pequeño cilindro tiene altura despreciable ( 0) de manera que su área lateral es nula. Por consiguiente, se puede observar que la cantidad de carga superficial es proporcional a la discontinuidad en la componente normal del campo eléctrico a través de la lámina.



o E 2n

 E1n    u n . o E  E    n

2n

1n

(64)

donde un es perpendicular a la entrecara y está dirigido de la región 1 a la región 2.

J.LLAURY

35


dS = u n dS

E2

un

2

+

+

+

+

1

+

+

E1

+

+ + + + +

+ +

+ +

dS = - u n dS

FIG. 24.- La Ley de Gauss aplicad a a la superficie de una caja pequeña de tamaño diferencial, que encierra alguna carga superficial demuestra que la componente normal de oE es discontinua en la densidad superficial de carga

3.2. CONSIDERACIONES GENERALES ACERCA DE LAS IMÁGENES ELECTROSTATICAS Cuando un conductor está en la vecindad de alguna carga se induce en el conductor una distribución superficial de carga y ahí termina el campo eléctrico, ya que el campo dentro de la superficie equipotencial es cero. Esta distribución de carga inducida contribuye entonces al campo eléctrico exterior, sujeto a la condición de frontera de que el conductor es una superficie equipotencial, de modo que el campo eléctrico termina perpendicularmente en la superficie. En general, la solución es difícil de obtener porque la distribución superficial de carga no puede ser conocida hasta que el campo sea conocido de manera que se pueda usar las condiciones de frontera dadas en (3.1). Pero, la solución del campo no puede calcularse hasta que la distribución de carga superficial sea conocida. Sin embargo, para algunas geometrías simples, la solución del campo se puede determinar sustituyendo la superficie conductora por cargas equivalentes dentro del cuerpo conductor, llamadas imágenes, y que garanticen que todas las condiciones de frontera sean satisfechas. Una vez que las cargas imágenes son conocidas, el problema se resuelve como si el conductor no estuviera presente pero con una distribución de carga compuesta por las cargas srcinales y la adición de las cargas imágenes (Fig. 25).

J.LLAURY

36


+Q

Q imag (-)

FIG. 25.- La carga inducida sobre la superficie de la esfera metálica se concentra en un punto del interior (carga imagen)

3.3. LINEA DE CARGA CERCA DE UN PLANO CONDUCTOR El método de las imágenes se puede adaptar a una solución conocida de por ununa nuevo sustituyendo conductores cargaproblema, equivalente. Por ejemplo,losse cuerpos observa en la Fig 23 que las líneas de fuerza son todas perpendiculares al plano x = 0, con una simple carga lineal  en x = - a, el potencial y el campo eléctrico para x < 0 sería el mismo que darían (53) y (59). Una distribución superficial de carga se induce en el plano conductor para dar por terminado el campo eléctrico incidente, y que el campo debe ser cero dentro del conductor. Esta distribución superficial de carga inducida, por sí misma contribuye al campo eléctrico externo para x < 0, exactamente en la misma forma que para una simple carga lineal imagen -  en x = - a. Por (64) se sabe que la distribución superficial de carga en el plano está dada por la discontinuidad en la componente normal del campo eléctrico:



o E 2n

 E1n    u n . o E  E    n

2n

(64)

1n

Nota.- Esto es como suponer que en la Fig. 23 el plano x = 0 fuera un conductor perfecto de extensión infinita que captaría todas las líneas de campo eléctrico que proceden de la línea carga positiva (+ ) colocada en x = - a.

En este caso: la zona 1 correspondería a x < 0, y la zona 2 (conductora) correspondería a x > 0; por lo tanto: E2n = 0 (campo eléctrico dentro de un conductor perfecto). J.LLAURY

37


Y E1n = Ex1, esto es, la componente x del campo eléctrico, según (55), el cual vendría a ser:

E

X

 x, y  

  2.a.a  x  y    2. .   x  a   y . x  a   y  2



2

2

2

2

2

(65)

2

o

Como la carga superficial es captada por el conductor perfecto, entonces la densidad de carga superficial del mismo se determinaría reemplazando (60),normal pero haciendo x = 0 por incidir el campo eléctrico (61) en en forma a la frontera ó entrecara. Entonces haciendo x = 0 en (65), se tiene:    2.a   E  x  0, y   2. .    a  y .  X

2

2

o

Reemplazando en (60), se tiene:



 x  0, y



  .a  . a  y  2

2

La carga total por unidad de longitud sobre el plano se obtiene por integración de la última expresión en todo el plano:

T 



  x  0, y 



es decir:   

   . a   .dy   2    2     . a  y      T



de donde:

T    la cual es exactamente igual a la carga imagen. 3.4. LINEA DE CARGA Y CILINDRO Debido a que las superficies equipotenciales de (51) son cilindros, el método de las imágenes también funciona con una carga lineal  a una distancia D del centro de un cilindro conductor de radio R, como en la Fig. 26. Entonces, el radio R y la distancia “a”, se ajustan a (56) en la forma: R

2.a.

Ky

1 K1

1

(56)

J.LLAURY

38


D  a 

a.K 1  1 K 1  1

(66)

donde el signo superior se utiliza cuando la línea de carga está fuera del cilindro, como en la Fig. 26, mientras que el signo negativo inferior se usa cuando la línea de carga está dentro del cilindro, como en la Fig. 27.

Debido a que el cilindro se situó en el semiplano derecho, 1  K1  , los parámetros desconocidos K1 y “a” se expresan den términos de los valores dados R y D como:

 D2   K1  2  R 

1

(67)

1

J.LLAURY

39

TEORIA ELECTROMAGNETICA 2  2 a D R

2.D

(68)

De la Fig. 26, como

D = 2.a + b, entonces reemplazando (68) en esta última expresión y despejando “b” resulta:

a.K  1  a K  1

b

1

(69)

1

b R

2

(70)

D

La línea de carga imagen descansa entonces a una distancia “b”

del centro del cilindro (70) estando dentro del cilindro cuando la carga inductora está fuera (R < D) y viceversa, está fuera del cilindro cuando la carga inductora está adentro (R > D). 3.5. LINEA BIFILAR a) CARGAS IMAGEN Se puede continuar usando el método de las imágenes para el caso de dos cilindros equipotenciales paralelos de diferentes radios R1 y R2 y que tienen sus centros separados por una distancia D, tal como se muestra en la Fig. 28. Se coloca una carga lineal  a una distancia “b1” del centro del cilindro 1 y una carga lineal -  a una distancia “b2” del centro del cilindro 2, ambas cargas lineales a lo largo de una recta que une los centros de los cilindros. En forma simultánea se tratan los casos en que los cilindros son adyacentes, como en la Fig. 28, ó cuando el cilindro más pequeño está en el interior del más grande, como en la Fig. 29. La de las que cargas imagen puede usando (70)posición considerando la distancia desde determinarse cada carga imagen al centro del cilindro opuesto es “D – b”, de modo que las distancias “b1” y “b2” son:

b  1

R

2

(71)

1

D



b

2

2

b  2

R D b 2

(72)

1

Donde los signos superiores se utilizan cuando los cilindros son adyacentes (Fig. 28), y los signos inferiores se emplean cuando el cilindro más pequeño está dentro del más grande (Fig. 29).

J.LLAURY

40

TEORIA ELECTROMAGNETICA Y

-

+

R X

D a

a b

FIG. 27.- Línea de carga dentro de un cilindro conductor. El campo eléctrico que circunda a una carga lineal  que está a una distancia D del centro de un cilindro conductor de radio R es el mismo como si el cilindro fuera sustituído por una carga imagen  a ina distancia b = R 2 /D del centro

Resolviendo el sistema de ecuaciones (68) y (69), se tienen los siguientes resultados para “b1” y “b2”, respectivamente:

D R R b  2. D 2

2

2

1

2

1

2

2 1

D R R  R 2. D 2

 2 2

2

2

2

1

2

2 1

2 2

D R R  D R R  b  R 2. D 2. D 2

2 2

2 2

(73) (74)

Hay que tener cuidado de escoger las raíces que están fuera de la región comprendida entre los cilindros. Si en estas posiciones se colocan líneas de carga de igual magnitud, pero de polaridades opuestas, las superficies cilíndricas estarán a un potencial constante.

J.LLAURY

41

TEORIA ELECTROMAGNETICA Y LINEAS DE FUERZA

D +

A

-

B

R1 R2

X

b2 b1 FIG. 29.- EL CILI NDRO MAS PEQUEÑO D ENTRO DEL MAYOR La solución para el campo eléctrico entre dos cilindros conductores paralelos se encuentra sustituyendo los cilindros por susdonde cargaslas imásuperficies genes. La den sidad superficial de cargmás a es mayor cilíndricas estén mucho próximas entre sí; esto se llama “efecto de proximidad”

b) CAPACITANCIA POR UNIDAD DE LONGITUD El potencial en el punto P de la Fig. 28, viene dado por la aplicación de (46).

U  P

 2. . o

 r2 r  1

. Log e 

o

1r

   

(46)

Sin embargo, surge una dificultad: no se conoce el valor del factor inicial de (46).  2. . o .

Pero, si se conoce la diferencia de potencial entre los dos cilindros (y por ende entre los dos conductores lineales  , entonces se podría determinar el potencial (46) refiriendo cada una de las distancias “r1” y “r2” a los puntos

superficiales A y B de cada uno de los cilindros. Entonces: Cuando P toma la posición A:

r  r   R  b  r  r   D  b  R  1

y

2

2A

1A

1

2

1

1

Ahora, de acuerdo a (46), el potencial del cilindro 1 es: J.LLAURY

42




U1 

2. . o

P

 r2A r  1A

. Log e 

o

1r

   

(75)

donde las distancias r1A y r2A, vienen dadas por las expresiones anteriores. En forma análoga, Cuando P toma la posición B:

r  r   D  b  R  r  r  R  b  1B

1

y

2B

2

2

(76)

2

1

(77)

2

entonces, el potencial del cilindro 2 viene dado por: 

U2 

2. . o

P

 r2B r  1B

. Log e 

o

1r

   

(78)

donde las distancias r1B y r2B, vienen dadas por (76) y (77), respectivamente. Si la ddp entre los cilindros es igual a U 0, se tiene:

U U U o

(79) Reemplazando (77) y (78) en (79), pero teniendo en cuenta los parámetros “b1” y “b2”, dados por (73) y (74 ), respectivamente, se tiene que la ddp entre los dos cilindros es: 1

2

2 2    2 2 2   D  R1  R2    D  R1  R2   1 (80)   2. R . R2    2. R1. R2  1       2

2



U  2. . o

o

. Log e 

R 12

1

Ahora, la capacitancia por unidad de longitud viene dada por: C





U

(81) o

Al reemplazar (80) en (81), se tiene:

C

2 . . 2   2  2 2  D 2  R12  R 22    D  R1  R2        1 Log       .  2 . R R . 2 2. R1 R 2 1         o

2

R 12

e

1

Usando:

(82)

Log u  u  1  Arc Coshu  2

e

La expresión (82) también puede ser escrita como:

J.LLAURY

43


C

2 . . o 2   R2  R2  Arc Cosh  D 2 . R . R   1

2

1

2

(83)

Las unidades de (82) y (83) son F/m

CASOS PARTICULARES Se puede analizar este resultado en varios límites simples. Si D >> R1, R2:

C

2 . . o 2   Log  D   R1 . R2  2

e

2 . . o





2

D  2 .R .R

Arc Cosh

1

1

2

   

(84)

Cilindro paralelo a un plano infinito: Se puede obtener la capacitancia considerando que un cilindro tenga radio infinito, pero manteniendo finita la distancia más próxima, es decir, si:

d = D – R1 – R2 Es la distancia próxima entre los cilindros; y permitiendo que Rmás a ser infinito, la capacitancia 1 llegue viene a ser:

C

2 . . o

 d  R Log e     R2

2

   

  d  R2   1      R2   2

(85)

También:

C

2 . . o d  R Arc Cosh  R2

2

  

(86)

Cilindros idénticos: Sus radios son iguales: R 1 = R2 = R, entonces la capacitancia por unidad de longitud se reduce a:

C

 . o 2    D    D   1 Log e        2.R   2.R   

(87)

ó también:

J.LLAURY

44


C

 . o  D  Arc Cosh   2 .R 

(88)

Cilindros concéntricos:

D=0

En este caso:

Entonces, la capacitancia por unidad de longitud es igual a:

C

2 . . o

R  Log e  1   R2 

2 . . o



 R12  R2    2 . R1. R2   

Arc Cosh

1

1

2

(89)

Nota.- Todas las fórmulas desde (84) a (89) están dadas en F/m

EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 6.Si se aplican “Uo” voltios a la línea coaxial asimétrica de la

Fig. 30, encuéntrese el potencial en el punto M a mitad del camino entre los conductores interno y externo. El potencial del conductor externo es cero.

R R1 M

R2

FIG. 30.- Sección transversal de una línea de transmisión coaxial asimétrica.

Solución.Como un cilindro está dentro de otro, entonces aplicando la fórmula (80), se tiene: 2   2 2   D12  R1  R 2     . Log U o 2. .     2. R1 . R 2      R 12

e

o

1

2



 D12 2  R12  R 22      2. R1. R 2   1   

El cual representa la ddp entre los conductores interno y externo, 1 y 2, respectivamente, que también se puede escribir como: J.LLAURY

45

TEORIA ELECTROMAGNETICA 2    R12  R22     D12   . ArcCosh U o 2. .    . o 2 . R R 2  1    R 12

1

o también: 2   R 2  R 2  D12 1  2    . ArcCosh U o 2. .   . o 2 . R R 2 1   R 12

(90)

1

Pero, de la Fig. 30, la distancia entre los centros de los cilindros interno y externo es igual al radio R 1:

D12 = R1 entonces, la expresión para el potencial U o se reduce a: 

U o  2. .

o

 R2    2. R   1

. ArcCosh 

De aquí, se despeja el factor inicial del segundo miembro: 

2 . . o



U

(91)

o

  Arc Cosh R2   2 . R1 

Ahora, si Ux es el potencial del cilindro imaginario central de radio R, y como el cilindro mayor tiene potencial nulo, entonces la ddp entre estos dos cilindros también será U x. Por lo tanto, adaptando la fórmula (90) para los dos cilindros: uno de radio R (imaginario) y el otro el cilindro mayor de radio R2. Entonces, para adaptar la fórmula (90) habría que reemplazar: RR, 1 →

y

U

o

→ Ux

R2 sigue siendo igual, y

D12 → Dx2 = R – (R2/2)  RR R 2

1

2

Luego:

Dx2 = R1/2

Entonces, (90) se transforma en: 

UX



 R . ArcCosh  2. . o



2

 R 22  D 2X 2   2. R . R 2  R 12

1

Reemplazando (91 y las expresiones para R y D x2, en esta última expresión, se obtiene el potencial del cilindro imaginario que pasa por M:

J.LLAURY

46


 2.R1  5.R 2    4. R1  . R 2     Arc Cosh R 2   2 . R1   

(92)

ArcCosh

U

X

Uo

.

APLICACIÓN NUMERICA Ingresando los datos numéricos del Problema Nº 3-3-4 de Kraus (Electromagnetismo ): Una carga puntual “q” se encuentra a una distancia D del

centro de una esfera conductora de radio R conectada a tierra (potencial cero), tal como se muestra en la Fig. 31. Se trata de usar el método de las imágenes colocando una carga imagen qi a una distancia “b” del centro de la esfera y a lo largo de la línea que une el centro con la carga puntual “q”.

Se requiere calcular los valores de qi y “b” que satisfagan la condición de frontera de potencial nulo en r = R. El potencial en cualquier punto P fuera de la esfera es: 1.2.3.-

INGRESOdeDE DATOS: Potencial la esgera interior Radio de la esfera menor Radio de la esfera mayor

Uo R1 R2

100 3 8

Voltios cm cm

U

37.766

Voltios

CALCULO: Potenciae l nM

3.6. CARGA PUNTUAL Y ESFERA CONECTADA A TIERRA Una carga puntual “q” se encuentra a una distancia D del centro

de una esfera conductora de radio R, conectada a tierra (potencial nulo), tal como se ilustra en la fig. 31. Se trata de usar el método de las imágenes colocando una carga imagen “q i” a una distancia “b” del centro de la esfera y a lo largo de la línea que une el centro con la carga puntual “q”. Se deben calcular los valores de “b” y “qi”, los cuales deben satisfacer la condición de frontera de

potencial nulo en r = R. El potencial en cualquier punto P fuera de la esfera es: U

 q qi    4 . .  r1 r 2  1



o

.

(93)

donde las distancias desde P a las cargas puntiformes se obtienen mediante la ley de los cosenos:

r  r  D  2.r.D.Cos 2

2

1



r2

2

r



2

b

 2.r.b.Cos

(94) (95) J.LLAURY

47


Como la esfera está conectada a tierra su potencial es nulo, entonces, haciendo r = R, en (94) y (95), esto es, trasladando el punto espacial P a un punto superficial cualquiera de la esfera, y reemplazando en (93), se tiene:

 q  2 2  4 . .  R  D  2.R.D.Cos 1

.

o

qi 2 2 R  b  2.R.b.Cos 

 0  

(96)

Sin embargo, todavía en pie la carga imagen qi y suqueda posición “b”.la solución de dos incógnitas:

Esto es posible tomando dos condiciones de contorno: Condición de contorno (1): Cuando el punto superficial está en el punto A, o sea:  = 0º, entonces, la expresión (96) queda como:

 q 4 . .  1

o

. D  R

q   b iR   0

(97)

Condición de contorno (2): Cuando el punto superficial está en el punto A, o sea:  = 90º, entonces, la expresión (96) queda como:

 q   2 4 . .  R  D 2 .

1

o

qi 2 2 R b

 0  

(98)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (97) y (98), se tienen las expresiones para la carga imagen q i:

qi   q .

R D

(99)

J.LLAURY

48


y su posición “b” respecto al centro de la esfera:

b R

2

(100)

D

Estas relaciones (99) y (100) son las mismas para ambos casos: carga real fuera de la esfera (Fig. 30) y carga real dentro de la esfera conductora (Fig. 32). Z

qi

r2 A

b

P

r1

+q r D B O

FIG. 32.- Las mismas relaciones anteriores se mantienen válidas, si la carga q está dentro de la esfera, pero ahora la carga imagen está fuera de la esfera, puesto que D < R.

3.7. CARGA PUNTIFORME PROXIMA A UN PLANO A TIERRA Si se considera una enorme esfera (La Tierra) la cual a medida que se haga cada vez más grande tendería a ser un plano (suelo). Si se coloca una carga puntual + q a una altura H de la superficie de la enorme esfera, su imagen estaría ubicada a una profundidad “y” por determinar, según se muestra en la Fig. 3 . Según la Fig. 33:

D=R+H Entonces, reemplazando este valor para D en (99), se tiene que el valor de la carga imagen es:

 R   qi   q .  RH  Pero, R >>H, de modo que:

H 0 R J.LLAURY

49


De modo que al dividir el numerador y el denominador (de la expresión para qi) entre R, se llega a la conclusión de que el valor de la carga imagen es exactamente igual – en módulo – a la carga real q pero de signo opuesto. Entonces:

q i  q

i

(101)

q H

y

TIERRA

qi R b=R-y

O

FIG. 33.- La esfera conductora se hace tan grande que tiende a ser plan iforme Análogamente, reemplazando la distancia D = R + H en (97), se tiene: 2

b R RH Pero, de la Fig. 32:

b=R–y

entonces:

y

R. H RH

También, dividiendo numerador y denominador entre R, se llega fácilmente a demostrar que:

yH

(102)

Conclusión: Cuando una carga puntual se encuentra a una altura H sobre la superficie de un terreno, su imagen tiene el J.LLAURY

50


mismo valor numérico pero de signo opuesto y se encuentra a una profundidad H debajo de la superficie de dicho terreno (Fig. 34). +q

H

H qi = - q FIG. 34.- Carga puntu al y plano infinito

3.8. ESFERA CON CARGA CONSTANTE Si la carga puntual “q” está fuera de una esfera conductora (D >

R) que ahora contiene una carga total constante Q o, la carga inducida aún es qi = - q.R/D. Puesto que la carga total sobre la esfera es Q o se debe encontrar otra carga imagen que mantenga a la esfera como superficie equipotencial y tenga el valor Q p + (q.R/D). Esta otra carga imagen debe colocarse en el centro de la esfera, como se indica en la Fig. 35. La carga srcinal “q” más la carga imagen qi = - q.R/D ponen a la esfera a potencial cero. La carga imagen adicional en el centro de la esfera eleva el potencial de ésta hasta:

 q.R  Qo     D  U  4 . .  . R

(103)

o

-q.R/D

Qo +(q.R/D)

q

b

R

D FIG. 35.- Si una esfera conductora posee una carga constante Q o, es necesario que una carga imagen adicional esté en el centro de la esfera cuando la carga “q” esté próxima

J.LLAURY

51


3.9. ESFERA CON VOLTAJE CONSTANTE Si la esfera se mantiene a voltaje constante Uo, la carga imagen q i = -q.R/D colocada a una distancia b = R 2/D desde el centro de la esfera, todavía mantendrá el potencial de la esfera en cero. -q.R/D Qo = 4. . o .R.U o q

b

R

D FIG. 36.- Si una esfera conductora posee está a un voltaje constante U o, es necesario que una carga imagen adicional esté en el centro de la esfera cuando la carga “q” esté próxima o

Para elevar el potencial de la misma hasta U , otra carga imagen: (104) Qo  4 . . o . R .U o Debe colocarse en el centro de la esfera, como se ilustra en la Fig. 36.

J.LLAURY

52


CUARTA UNIDAD

CAPACITANCIA E INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO CAPITULO 4

COEFICIENTES DE POTENCIAL Y CAPACITANCIA 4.1. COEFICIENTES DE POTENCIAL. CAPACITANCIA DE UNA LINEA DE TRANSMISION Cuando se tiene un grupo de N conductores cargados (N alambres de sección circular) mas o menos próximos entre sí, tal como se indica en la Fig. 37, el potencial de cada uno de los conductores se ve influenciado por todo el resto de conductores y, naturalmente, por el propio conductor. El potencial de un hilo de carga viene dado por (39):    U r  2. . . Log e  rro   o

(39)

Para una distancia dada de la línea de carga, esto es, para un determinado valor de la distancia radial “r”, se ve de (39) que el potencial es directamente proporcional a la densidad de carga de la línea “”. Por lo tanto, el potencial se puede escribir como:

U Esta relación puede ser escrita como igualdad introduciendo un factor de proporcionalidad “p”, de modo que:

U = p.

(105)

Donde “p” es el llamado coeficiente de potencial. J.LLAURY

53


El potencial de conductor Nº1 debido de sí mismo y a la influencia de los demás conductores, es:

5

4

3

i 2

1 n

FIG. 37.- Grupo de conductores cargados de sección redonda, próximos entre sí.

U  U  U  U  .......  U  ......  U 1

(1)

( 2)

( 3)

(i )

(N)

1

1

1

1

1

(106)

Del conductor Nº 2:

U  U  U  U  .......  U  ......  U 2

(1)

( 2)

( 3)

(i )

(N)

2

2

2

2

2

(107)

Del conductor Nº 3:

U  U  U  U  .......  U  ......  U 3

(1)

( 2)

( 3)

(i )

(N)

3

3

3

3

3

(108)

Y así sucesivamente, para el “i-ésimo” conductor:

U  U  U  U  .......  U  ......  U i

(1)

(2)

( 3)

(i )

(N)

i

i

i

i

i

(109)

Hasta el último conductor:

U  U  U  U  .......  U  ......  U N

(1)

( 2)

( 3)

(i )

(N )

N

N

N

N

N

(110)

En general, para un conductor arbitrario (i-ésimo alambre): N

U

U  i

j 1 j i

( j)

(111)

i

Por otro lado, las expresiones (106) al (110), también se pueden escribir, en función a los coeficientes de potencial de (105):

U  p .   p .   p .   ...  p .   ...  p .  1

11

1

12

2

13

3

1i

i

1N

N

(112)

U  p .   p .   p .   ...  p .   ...  p .  2

21

1

22

2

23

3

2i

i

2N

N

(113) J.LLAURY

54


U  p .   p .   p .   ...  p .   ...  p .  3

31

1

32

2

3

33

i

3i

3N

N

(114) Así sucesivamente, hasta el potencial para un conductor arbitrario “i”:

U  p .   p .   p .   ...  p .   ...  p .  i

i1

1

2

i2

3

i3

i

ii

iN

N

(115)

Hasta, el potencial para el último conductor:

U  p .   p .   p .   ...  p .   ...  p .  N

N1

1

2

N2

N3

3

NI

i

NN

N

(116) En general, el potencial del “i-ésimo” conductor, es

U  i

N

p j 1

ij

. j

(117)

Las expresiones (112) a (116), pueden ser escritas en forma matricial:

U  U U  . .  . U

1

2

3

N

  p p  p p    p p     ...... .....  ..... ......    ..... ......   p p  11

12

21

22

31

32

11

12

p      ......... p       p ......... p      ..... ........ ...... . .   ..... ........ ...... .    ..... ........ ..... .   p ......... p     p p

13

.........

1N

1

23

2N

2

33

3N

3

1N

13

(118)

N

Ó en forma comprimida:

U  p .

(119)

De (118) se observa que la matriz p, de los coeficientes de potencial, es cuadrada. PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES DE POTENCIAL Los coeficientes propiedades:

de

potencial

satisfacen

las

siguientes

1) Todos los coeficientes son positivos, es decir:

pij > 0 2) La matriz pij es simétrica: J.LLAURY

55


pij = pji 3) La matriz pii es diagonal dominante:

pij > pji 4.2. LOS COEFICIENTES DE POTENCIAL Y LA CAPACITANCIA Por Física Elemental, se sabe que la relación entre la carga (Q) de los conductores y su potencial (U), viene dada por:

Q = C.U siendo C la capacitancia. y como también:

U = P.Q entonces, la carga Q resulta:

Q = P-1.U = C.U de donde:

C = P-1

(120)

Por lo tanto:

La matriz capacitancia (coeficiente de capacidad) es igual a la matriz inversa de los coeficientes de potencial. EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 7.Dada la línea infinita de carga y su imagen, con los datos indicados en la Fig. 38. Si la línea se encuentra a un potencial de “Uo” voltios, calcular:

a)

La densidad lineal de carga (+ ); y

b)

La función potencial en cualquier punto P(x,y) del espacio.

Considerar delcomo conductor mucho mayor que el radio del conductor, ylaelaltura terreno conductor perfecto. Solución.Dado que la altura H es grande comparado con el radio R del conductor, entonces se puede considerar la carga lineal  en el eje del conductor (centro del cilindro), tal como se ilustra en la Fig. 38.

J.LLAURY

56


U = Uo

M(a + R.Cos , H + R.Sen )



R +

r (a, H)

P(x,y)

H

X O

r’ H

(a, - H)

FIG. 38.- Conductor real con densidad lineal (+ ) y su imagen, con densidad lineal de carga (- )

-

a

El potencial en el punto P viene dada por la superposición de (39), es decir, la suma de los potenciales de la línea real (+ ) y su imagen (-). Entonces:

U U P

()

P

U

()

P

donde, por (39):

U  P

     Log  r Log  r    2 . .   r  2 . .  r 

o

e

o

o

e

o

1

2

  

Simplificando:

UP 

  Log  r 2  2 . .  r1  

e

(121)

o

Donde, de la Fig. 38:

r

1



x a2  y  H 2

(122)

y 2 r 2  x a  y  H

2

(123)

Al reemplazar (122) y (123) en (121), el potencial en P (U P) se convierte en una función potencial en (x,y): J.LLAURY

57


U  x, y  

 x a 2  y  H 2    . Log  2 2   2  x a  y  H  1



2 . . o

(124)

e

Pero todavía queda un inconveniente: no se conoce el factor inicial /(2..o). Esto puede ser resuelto de la siguiente manera: como se conoce el potencial de la línea (U o), entonces se puede aplicar una condición de contorno para cualquier punto de la superficie del conductor (punto M en la Fig. 38). Entonces: Condición de contorno: Cuando P → M Esto significa que las variables “x” e “y” dadas en (124) se deben

reemplazar por:

x = a + R.Cos

(125)

y = H + R. Sen

(126)

U(x,y) = Uo

(127)

además: Al reemplazar (125), (126) y (127) en (124) y el despejar el factor inicial, se tiene:  2 . . o



  Log 1    e

2.U o 2 2 . H    4.H 

     R  : Sen    R   

.

(128)

RESPUESTA (a) Finalmente, al reemplazar (128) en (124),la función potencial queda como:   x  a  y  H Log  2   x  a  y  H 2

e

U  x, y   U o .

2 2

  

  2.H    4.H  : Sen     Log 1       R  R     2

e

RESPUESTA (b)

(129)

APLICACIÓN NUMERICA Análisis de la variación de la densidad lineal de carga en la superficie del conductor. De (128) se tiene:    

2 . . o .U o

  2.H  Log 1     R  e

   4.H  : Sen      R   2

(130) .

J.LLAURY

58


Dando los valores numéricos y evaluando la densidad de carga superficial, según (130) en la siguiente hoja de cálculo: INGRESO DE DATOS: éps.o 8.8542E-12 F/m Uo 220 kV R 30 mm H 20 m CALCULO: alfa (grad. Sexag) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165

Lambda (nC/m) 115.975 115.972 115.969 115.966 115.964 115.963 115.963 115.963 115.964 115.966 115.969 115.972

180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360

115.975 115.978 115.981 115.983 115.985 115.986 115.987 115.986 115.985 115.983 115.981 115.978 115.975

"LAMBDA" SUPERFICIAL 115.990 115.985 115.980

) m / C115.975 (n , " A115.970 D B M A115.965 L "

115.960 115.955 115.950

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Intervalo de abscisas

FIG. 39.-

Variación superficial de la densidad lineal de carga de una línea de carga

EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 8.Dadas dos líneas de CC horizontales y paralelas de radios R 1 y R2 las cuales se encuentran a potenciales de U1 y U2 voltios, respectivamente, con la disposición geométrica generalizada, según se indica en la Fig. 40. Se pide determinar: a)

La función potencial para cualquier punto P(x,y).

b)

Las densidades lineales de carga, y

c)

La capacitancia por unidad de longitud de la línea bifilar.

J.LLAURY

59


Y

M1(a1 + R 1.Cos , H 1 + R 1.Sen )

U = U1



R1 +

M2(a2 + R 2.Cos , H 2 + R 2.Sen )



U = U2 R 2 1

+

r1

2

P(x,y)

r2

H1

H2 X

O

r2’

r1’

H1

-

a1

-

H2

2

1

a2 FIG. 40.- Dos líneas de carga (en corriente continua) con sus respectivas imágenes.

Solución.El potencial en el punto P es la suma de los potenciales de cada línea (con su respectiva imagen) en dicho punto. Entonces: , 1 1'

,  2  2'

P

P

UP  U  U

(131)

donde: 1, 1'

U P

1

1'

P

P

U U

(132)

Siendo el primer término del segundo miembro el potencial, en el punto P, debido a la línea real ( 1); y el segundo término, el potencial, en el punto P, debido a su imagen (’1). Asimismo: J.LLAURY

60

TEORIA ELECTROMAGNETICA  2 ,  2'

U P

2

 2'

P

P

U  U

(133)

Siendo el primer término del segundo miembro el potencial, en el punto P, debido a la línea real ( 2); y el segundo término, el potencial, en el punto P, debido a su imagen (’2). En función a la geometría, expuesta en la Fig. 40, (132) se expresa como:

1 . Log  r '1   e 2. . o  r1 

 1,  1'

U  P

(134)

donde, de (122):



x  a1 2  y  H1 2

(135)

r '1 

x  a1 2  y  H1 2

(136)

r1 y de (123):

Entonces, (134) como función de (x,y) se puede escribir como:  1,  1'

U  U P1  P

 

 1 . 1 .Log  x  a1 e 2. . o 2  x  a1

2  y  H1 2  2  y  H1 2  (137)

Asimismo:

 2 . Log  r '2   e 2. . o  r2 

(138)



x  a 2 2  y  H 2 2

(139)

r '2 

x  a 2 2  y  H 2 2

(140)

 2 ,  2'

U P



Análogamente, de (122):

r2 y de (123):

Entonces, (138) como función de (x,y) se puede escribir como:  2 ,  2'

U  U P2  P

 2 . 1 .Log  x a2  2 e 2. . o 2  x a2  2

 y  H 2  y  H 2

  2  2

(141)

Reemplazando (137) y (141) en (131), se tiene la función potencial en un punto P(x,y) debido a las dos líneas de carga paralelas mostradas en la Fig. 40: RESPUESTA (a): J.LLAURY

61


UP

  x  a1 2  y  H 1 2     x  a  2  y  H 2   2. . o 2   1 1 2   x  a 2  y  H 2 2  1 2   . .Ln   x  a  2  y  H 2  2. . o 2   2 2 1



.

1

.Ln

(142) Para el cálculo de las densidades lineales de carga (1 y 2), se deben aplicar condiciones de frontera en las superficies de los conductores, teniendo en cuenta que tienen potenciales U 1 y U2 respectivamente. Entonces: Condición de contorno (1).Si P → M1(a1 + R1.Cos, H1 + R1.Sen)

Es decir, reemplazando en (142): “x” por a1 + R1.Cos, y “y” por H1 + R1.Sen

Se tiene:  4.H1.R1.Sen  R1 2  2  R1  2 2         2 . R  . H 1  H 2 .Sen  a1  a 2 .Cos  R2  H  H 2  a1  a 2  1 1   2 . .Log e  1 2 2 2. . o 2    a1  a 2 .Cos  R2   H1  H2  a1  a 2  2.R1. H1 H 2 .Sen

U1



 4. H1 1 1 . .Log e   2. . o 2 

2

(143) Este potencial para U 1 dado por (143) puede ser expresado en términos de los coeficientes de potencial. En tal sentido, según (111), se puede escribir como:

U1 = p11.1 + p12.2

(144)

Comparando (144) con (143) se identifican fácilmente los coeficientes de potencial p11 y p12, los cuales son respectivamente: RESPUESTA (b):

p11



1 4. . o

 4.H 1 2  4.H1.R1.Sen  R1 2   2   R1  

..Log e 

(145)

RESPUESTA (c) p12



1 4. . o

 H 1  H 2 2  a1  a 2  H  H  2  a  a  1 2 1 2

..Log e 

2 2

   a1  a 2 .Cos   R12   2.R1 . H1  H 2 .Sen    a1  a 2 .Cos   R12   2.R1 . H1  H 2 .Sen (146)

Condición de contorno (2).J.LLAURY

62


Si P → M2(a2 + R2.Cos, H2 + R2.Sen)

Es decir, reemplazando en (142): “x” por a2 + R2.Cos, y “y” por H2 + R2.Sen

Se tiene: U2 

 H  H  1 1 1 . .Loge  2  H  H  2. . o 2  1 2

2 2

 a1  a2  a1  a2

   a2  a1 .Cos   R 22   2.R2 . H 2 H1 .Sen    a1  a2 .Cos   R 2 2   2.R1. H1 H 2 .Sen

2 2

 4. H 2  4.H 2.R2.Sen  R2 2  1    2 . .Loge  2 2  2. . o 2 R2  

(147) Este potencial para U 2 dado por (147) puede ser expresado en términos de los coeficientes de potencial. En tal sentido, según (111), se puede escribir como:

U2 = p21.1 + p22.2

(148)

Comparando (148) con (143) se identifican los coeficientes de potencial p21 y p22, los cuales son respectivamente: RESPUESTA (b): p12



1 4. . o

 H 2  H 1 2  a 2  a1 2  2.R2 . H2  H 1 .Sen    a 2  a1 .Cos   R22  2  H  H  2  a  a 2  2.R . H  H .Sen  2 1 2 1 2 2 1    a 2  a1 .Cos   R 2 

..Log e 

(149) RESPUESTA (b):

 4.H 2 2  4.H 2 .R2 .Sen  R2 2   p22  ..Log e  2   4. . o R   2 1

(150)

Ahora, para el cálculo de la capacitancia de la línea bifilar, se aplica la relación matricial (120), donde la matriz de los coeficientes de potencial viene dada por:

p  p    p

11

21

p p

12

22

  

(151)

Donde los coeficientes p11, p12, p21 y p22, vienen dados por (145), (146), (149) y (150), respectivamente. Finalmente, la relación matricial para la capacitancia del sistema bifilar, viene dada por:

p p RESPUESTA (c): C    11 12  p p   21 22

1

(152)

J.LLAURY

63


APLICACIÓN NUMERICA: La presente hoja de cálculo arroja los resultados que se muestran, para los datos indicados en la misma: DATOS PARA EL CONDUCTOR 1:

1.-

U1

20 2

2.3.-

alfa R1

270 40

4.5.-

a1 H1

2 22

kV

DATOS PARA EL CONDUCTOR 2:

1.-

grad. Sxg 2.mm 3.m m

4.5.-

INGRESAR PUNTO (x,y): x 5 m y

7

2 U(x,y)

1.422E-06 16.482181

220

kV

270 04

a2 H2

grad. Sxg mm

11 22

m m

1.26E+11

2.89E+10

2.89E+10

1.26E+11

RESPUESTA:

m

RESPUESTAS: p11 1.259E+11 adimens. p12 2.888E+10 adimens. p21 2.888E+10 p22 1.259E+11 1 1.422E-06

U2 beta R2

adimens. adimens. C/m

RESPUESTA: 8.39E-12 -1.92E-12 -1.92E-12

8.39E-12

C/m kV

Nota.- Los valores de los ángulos  y , se han considerado para los puntos A y B de los conductores, los cuales son los más próximos a la superficie del terreno.

J.LLAURY


64

CAPITULO 5 INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO

5.1. FUNCION POTENCIAL EN UN PUNTO CUALQUIERA El presente tema es una continuación del anterior. En este, a diferencia del anterior, no todos los conductores están cargados; hay algún o algunos conductor(es) que simplemente están colocados paralelamente a los demás y también, por supuesto, paralelos al terreno. Estos conductores que no son líneas cargadas, pero que están en las inmediaciones del resto, crean una perturbación en el campo eléctrico y, por ende, en el potencial del resto de conductores, así como en la distribución de carga. A continuación, en la Fig. 41, se muestran tres líneas vivas con sus respectivas tensiones, y un alambre, sin tensión propia, colocado en las inmediaciones del sistema. No se muestran las imágenes, ni las coordenadas de los conductores. El conductor 1, tiene los siguientes datos: 

Tensión de línea: U1



Radio: R1



Coordenadas del centro: (a1, H1)

El conductor 2, tiene los siguientes datos:  Tensión de línea: U2 

Radio: R2




El conductor 3, tiene los siguientes datos: 

Tensión de línea: U3



Radio: R3




J.LLAURY

65


U1

P(x,y)

r1

U3

r3

r2 U2

r4

U4 Sin carga

X O

FIG. 41 Alambre sin carga colocado en las inmediaciones de un sistema cd conformado por tres líneas car adas

Procedimiento de cálculo.Como en el caso anterior, se consideran los siguientes pasos: 1) Se determina la función potencial U(x,y) en un punto cualquiera P(x,y) del espacio (en este caso del plano X-Y). 2) Se establecen las condiciones de frontera ó contorno para cada uno de los conductores. Es decir, se “traslada” el punto P(x,y) a puntos convenientes de la superficie de cada conductor; esto con el fin de obtener las ecuaciones que permitirán resolver las densidades superficiales de carga de cada conductor. 3) Se vuelve a aplicar la función potencial en el conductor (4), con las densidades de carga ya obtenidas. El potencial en un punto P, viene dado por una extensión de (131):

UP

1, 1'

 2 ,  2'

 3,  3'

 4 ,  4'

P

P

P

P

 U  U  U  U

(153)

J.LLAURY

66


donde, los términos del segundo miembro de (153) vienen dados en base a (137) y/o (141): 2      U x, y   2     2 ,  '2   x  a2 2    2 . 1 .Log  e U x, y  2. . o 2  x  a 2  2   3 ,  '3  x  a3 2    3 . 1 .Log   U  x, y  2 e 2. . o 2  x a3   2  4 ,  '4 1   x  a4   4 . .Log e U x, y    x  a 4  2  2. . o 2   1 ,  '1

 1 . 1 .Log  x  a1 e 2. . o 2  x  a1

  2   H 2 2   H 2 2   H 3 2   H 3 2 

 H1 y  H1 y

y

y y

y

2

 H4 y  H 4 y

  2 

(154)

(155)

(156)

2

(157)

Con esto se tiene la primera parte del procedimiento. Aplicando las condiciones de frontera a cada uno de los conductores. Esto significa que (153) debe adaptarse a un punto de la superficie al yigual que cada uno de los términos dados de porcada (154),conductor (155), (156) (157). 5.2. CONDICIONES DE FRONTERA 1ª condición de frontera: Para un punto cualquiera de la superficie del conductor (1), es decir para:

M1(a1 + R1.Cos, H1 + R1.Sen) De (153): 1, 1'

U M1

 2 ,  2'

 3,  3'

 4 ,  4'

 U 1  MU1  MU1  MU1  MU1

(158)

De (154), (155), (156) y (157), respectivamente, se determinan los cuatro términos del segundo miembro de (158): 1 ,  '1

U  M1

 

 1 . 1 .Log  x  a1 e 2. . o 2  x  a1

2  y  H1 2  2  y  H1 2  x  a1  R1.Cos y

 H1  R1 .Sen

(voltaje que el conductor (1) induce sobre sí mismo)

(159)

J.LLAURY

67

TEORIA ELECTROMAGNETICA 2 ,  ' 2

U  M1

   2  y  H 2 2     2  y  H 2 2  x  a1  R1.Cos

 2 . 1 .Log  x  a2 e 2. . o 2  x  a2

y

 H1  R1 .Sen

(voltaje que el conductor 2 induce sobre el conductor 1)

3 ,  ' 3

U  M1

x a 3 1 . .Log e   3  2. . o 2  x  a3

 

(160)

22  y  H 3 22    y  H 3  x  a1  R1.Cos y

 H1  R1 .Sen

(voltaje que el conductor 3 induce sobre el conductor 1) 4 ,  '4

U  M1

 4 . 1 .Log   x  a 4 e 2 2. . o 2  x  a 4 2

 y  H 4  y  H 4

(161)

  0 2  x  a1  R1.Cos 2

y

 H1  R1.Sen

(162) El conductor (4) no induce ningún voltaje sobre el conductor (1) puesto que no es línea viva; en tal sentido:

4 = 0

(163)

En forma similar se determinan los voltajes que los conductores inducen sobre sí mismos y sobre el resto, excepto las influencias del conductor (4) sobre cada uno de los restantes. 2ª condición de frontera: Para un punto cualquiera de la superficie del conductor (2), es decir para: M2(a2 + R2.Cos, H2 + R2.Sen) De (153): 1,  '1

U M2

 2 ,  ' 2'

 3,  '3

 4,  ' 4

 U 2  MU  MU  MU  MU 2

2

2

(164)

2


U  M2

 

 x  a1 1 1 . .Log e   xa 2. . o 2  1

2  y  H1 2  2  y  H1 2  x  a 2  R2 .Cos y

 H 2  R2 .Sen


(165)

J.LLAURY

68


U  M2

   2  y  H 2 2     2  y  H 2 2  x  a2  R2 .Cos

 2 . 1 .Log  x  a2 e 2. . o 2  x  a2

y

 H 2  R2 .Sen

(voltaje que el conductor 2 induce sobre sí mismo) 2

 , ' 3 3

U  M2

 3 . 1 .Log  x  a3 e 2. . o 2  x  a3

 

2 

(166)

2

y y

 H3  H3

2

  x  a2 y

 R2 .Cos  H 2  R2 .Sen

(voltaje que el conductor 3 induce sobre el conductor 2) 2  4 . 1 .Log   x  a 4  y  H 4  U 2. . 2 e 2 M2 o  x  a 4  y  H 4

4 ,  '4

(167)

  0 2 x  a2  R2 .Cos  2

y

 H 2  R2 .Sen

(168) El conductor (4) no induce ningún voltaje sobre el conductor (2) por (163). 3ª condición de frontera: Para un punto cualquiera de la superficie del conductor (3), es decir para: M3(a3 + R3.Cos, H3 + R3.Sen) De (153):

U M3

1,  '1

 2 ,  ' 2'

 3,  '3

 4,  ' 4

M3

M3

M3

M3

 U3  U  U  U  U

(169)


U  M3

 1 . 1 .Log  x  a1 e 2. . o 2  x  a1

 

2  y  H1 2  2  y  H1 2  x  a3  R3 .Cos y

 H 3  R3 .Sen


2 ,  ' 2

U  M3

(170)

   2  y  H 2 2     2  y  H 2 2  x  a3  R3 .Cos

 x  a2 2 1 . .Log e   xa 2. . o 2  2

y

 H 3  R3 .Sen


(171) J.LLAURY

69


3 ,  ' 3

U  M3

 

 3 . 1 .Log  x  a3 e 2. . o 2  x  a3

2  y  H 3 2  2  y  H 3 2  x  a3  R3 .Cos y

 H 3  R3 .Sen

(voltaje que el conductor 3 induce sobre sí mismo) 4 ,  '4

 U  2. .4 M3

x a 1 . .Log e   4  o 2  x  a4

(172)

   22  y  H 4 22      y  H 4  x  a3  R3.Cos y

0

 H 3  R3.Sen

(173) El conductor (4) no induce ningún voltaje sobre el conductor (3) por (163). 4ª condición de frontera: Para un punto cualquiera de la superficie del conductor (3), es decir para: M4(a4 + R4.Cos, H4 + R4.Sen) De (153):

U M4

1,  '1

 2 ,  ' 2'

 3,  '3

 4,  ' 4

M4

M4

M4

M4

U4  U  U  U  U

(174)


U  M4

 

 1 . 1 .Log  x  a1 e 2. . o 2  x  a1

2  y  H1 2  2  y  H1 2  x  a 4  R4 .Cos y

 H 4  R4 .Sen


2 ,  ' 2

U  M4

(175)

   2  y  H 2 2     2  y  H 2 2  x  a 4  R4 .Cos

 x  a2 2 1 . .Log e   xa 2. . o 2  2

y

 H 4  R4 .Sen


(176)

J.LLAURY

70


U  M4

 

 3 . 1 .Log  x  a3 e 2. . o 2  x  a3

2  y  H 3 2  2  y  H 3 2  x  a4  R4 .Cos y

 H 4  R4 .Sen


4 ,  '4

 U  2. .4 M4

1 x a . .Log e   4  o 2  x  a4

(177)

   22  y  H 4 22      y  H 4  x  a4  R4.Cos y

0

 H 4  R4 .Sen

(178) El conductor (4) no induce ningún voltaje sobre sí mismo, por (163). Los coeficientes de potencial relativos a la influencia sobre el conductor (1) se pueden determinar a partir de (159), (160),(161) y (162), respectivamente:

  x  a1 2  y  H 1 2   ..Log  p11   e 2 2 4. . o   x  a1   y  H 1  xy  aH1  RR1 .Cos .Sen  1

1

1

(179) p12 

 x  a2  1 .Log e   x  a  2 4. . o  2 2

 y  H 2  y  H 2

2 2

   

x y

 a1  R1 .Cos  H 1  R1 .Sen

(180) p13 

 x  a3  1 .Log e   x  a  2 4. . o  3 2

 y  H 3  y  H 3

2 2

   

x  a1  R1 .Cos y  H 1  R1 .Sen

(181)

p14 

 x  a4 1 . Log e   x  a  2 2. . o  4 2

 y  H 4  y  H 4

2 2

   

x  a1  R1 .Cos  y  R1  R1 .Sen

(182) Los coeficientes de potencial relativos a la influencia sobre el conductor (2) se pueden determinar a partir de (165), (166),(167) y (168), respectivamente:

J.LLAURY

71


p 21 

1 4. . o

 x a12  y  H1  x a 2  y  H  1 1

.Log e 

2 2

   x  a2  y

 R2 .Cos  H 2  R2 .Sen

(183)

p 22 

1 4. . o

 x  a 2 2  y  H 2 2   2 2 2 2  x  a   y  H 

.Log e 

x  a 2  R 2 .Cos  y  H 2  R 2 .Sen 

(184)

p 23 

   2  y  H 3 2     2  y  H 3 2  x  a 2  R2 .Cos

 x  a3 1 . Log e   xa 4. . o  3



y  H 2  R 2 .Sen

(185)

p 24 

 x  a 4 1 . Log e   x  a  2 4. . o  4 2

 y  H 4  y  H 4

  2  x  a2  R2 .Cos 2

y

 H 2  R2 .Sen

(186)

Los coeficientes de potencial relativos a la influencia sobre el conductor (3) se pueden determinar a partir de (170), (171),(172) y (173), respectivamente:

p 31 

 

 x  a1 1 .Log e   xa 4. . o  1

2  y  H 1 2  2  y  H 1 2  x  a3  R3 .Cos



y  H 3  R3 .Sen

(187) 2 2   2 2 1 . p 32  4. . Log e  x  a 2  y  H 2  x  a 3 o   x  a2  y  H 2 

 R3 .Cos y  H 3  R3 .Sen

(188)

p 33 

  x  a3 1 .Log e    x  a  2 4. . o  3 2

 y  H 3  y  H 3

2 2

   x  a3 

 R3 .Cos y  H 3  R3 .Sen

(189)

J.LLAURY

72


p 34 

 x  a 4 1 .Log e   x  a  2 4. . o  4 2

 y  H 4  y  H 4

2 2

   x  a3  R3.Cos  y

 H 3  R3.Sen

(190) Los coeficientes de potencial relativos a la influencia sobre el conductor (4) se pueden determinar a partir de (175), (176),(177) y (178), respectivamente:

p 41 

 x  a1  1 .Log e    x  a 2 4. . o  1 2

 y  H 1  y  H 1

  2  x  a4 2

y

 R 4 .Cos   H 4  R 4 .Sen

(191)

p 42 

 x  a2  1 .Log e   x  a  2 4. . o 2 2



 y  H 2 2   y  H 2 2  x  a 4  R4 .Cos  y  H 4  R4 .Sen (192)

p 43 

 

 x  a3 1 .Log e   xa 4. . o  3

 2  y  H 3  2  y  H 3

  2  x  a4 2

 R 4 .Cos y  H 4  R 4 .Sen

(193)

p 44 

 x  a 4 1 . Log e   x  a  2 4. . o  4 2

 y  H 4  y  H 4

2 2

   x  a4  R4 .Cos  y

 H 4  R4 .Sen

(194) 5.3. INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO DE UNA LINEA DE TRANSMISION SOBRE CONDUCTORES ALEDAÑOS Formando el sistemas de ecuaciones que permitirán determinar las densidades lineales de carga, donde se cancelan los últimos términos porque 4 = 0, según (163), ya que el conductor (4) no tiene carga propia. En tal sentido, las densidades lineales de carga 1, 2 y 3, se calculan a partir del sistema de ecuaciones encerrado en el recuadro de líneas punteadas (195).

J.LLAURY

73


0

U1 = p11.1 + p12.2 + p13.3 + p14.4 0

U2 = p21.1 + p22.2 + p23.3 + p24.4

(195)

0

U3 = p31.1 + p32.2 + p33.3 + p34.4 U4 = p41.1 + p42.2 + p43.3 + p44.4

0 (196)

Finalmente, una vez determinadas las densidades lineales de carga 1, 2 y 3, se calcula el potencial inducido en el conductor (4) de acuerdo a la ecuación (196) contenida en el recuadro sombreado. Nota.- Si la línea es de CA, se deben considerar voltajes fasoriales.

J.LLAURY

74


QUINTA UNIDAD

CONDUCCION ELECTRICA (Electrodinámica de conducción)

CAPITULO 6 TEORIA DE DEBYE DE LA CONDUCCION ELECTRICA

6.1. CONSERVACION DE LA CARGA En contraste con los dieléctricos, la mayoría de los metales tienen su última capa de electrones ligada al núcleo y tienen libertad para moverse al aplicarse un campo eléctrico. En soluciones electrolíticas, los iones de los dos signos están en libertad de movimiento. El flujo define comode la carga total que fluyedeacarga, travésllamado de unacorriente, superficiesepor unidad tiempo. En la Fig. 42 un solo tipo de carga libre con densidad  y velocidad “v” fluye a través de un elemento diferencial de

superficie dS. La carga total que circula a través de esta superficie en un tiempo t depende únicamente de la componente de la velocidad perpendicular a dicha superficie:

Q 

 . t. v. dS

(197)

La componente tangencial de la velocidad que es paralela a la superficie dS sólo produce un flujo de carga a lo largo de la

J.LLAURY

75


superficie pero no a través de ella. La corriente diferencial total a través de dS queda entonces definida por:

dI



Q  t

 .. v. dS

 J . dS

(198)

donde la densidad de corriente de estas cargas libres es un vector, y está definido por:

J  . v

(199)

Toda la carga dentro de este volumen pasará a través de dS en un tiempo t: Q = .v.t. dS

v. t dS

FIG. 42.- La corriente es proporcional a la componente de la velocidad de las cargas perpendicular a la superficie.

Si existe más de un tipo de portadores de carga, la densidad de carga neta es igual a la suma algebraica de todas las densidades de carga, mientras que la densidad de corriente neta es igual a la suma vectorial de las densidades de corriente debidas a cada portador de carga:



J 

  i

 i . vi

(200) (201)

Aún cuando se tenga una neutralidad de cargas, de modo que la sumatoria de densidades sea cero, una corriente neta puede fluir si las cargas se mueven con velocidades diferentes. Por ejemplo, dos portadores cargados con polaridad opuesta y con densidades 1 = - 2 = o, moviéndose con velocidades v1 y v2, respectivamente, tienen:

 = 1 + 2 = 0 y

J = 1.v1 + 2.v2 = o.(v1 – v2) Con v1 ≠.v2, una corriente neta fluye con carga cero. Esto es típico en metales donde los electrones están libres para fluir, J.LLAURY

76


mientras que los núcleos que están opuestamente cargados permanecen estacionarios. La corriente total I, un escalar, que fluye a través de una superficie macroscópica, es entonces exactamente la suma de las corrientes diferenciales de todos los portadores de carga a través de cada elemento deferencial de superficie:

I

  J .dS

(202)

S

Considérese ahora el flujo de carga a través del volumen cerrado V con superficie S, de la Fig. 43. Después de un tiempo t, en que la carga dentro del volumen próxima a la superficie y con componente de velocidad hacia fuera saldrá del volumen, mientras que la carga que está fuera del volumen y con una componente de velocidad hacia adentro, entrará al volumen. La diferencia de carga total es transportada por la corriente:

Q    t  t   t .dV V

Q      .v .t . dS    J .t . dS S

(203)

S

El signo negativo en el segundo miembro es necesario cuando está en la dirección de dS, la carga ha dejado el volumen así que la carga encerrada decrece. Al dividir (203) entre t y tomar el límite cuando t → 0, se usa (199) para deducir la ecuación integral de la conservación de la carga:

  J . dS   t .dV  0 S

(204)

V

Utilizando el teorema de la divergencia, la integral de superficie puede convertirse en una integral de volumen:



    .J  t  dV  0  .J  t  0  

.

(205)

V

Donde se obtiene la forma diferencial puesto que la integral debe ser válida para cualquier volumen, de modo que el término entre corchetes debe ser cero en cada punto. De la Ley de Gauss (27):

.E 

 

 .D  

(27)

(204) y (205) también pueden escribirse como:

 S

 J 

 D  . dS  0   . J  D   0 t  t  

(206)

J.LLAURY

77


donde J se llama densidad de corriente de conducción, y ∂D/∂t

recibe el nombre de densidad de corriente de desplazamiento. Esta es la forma del campo eléctrico, análoga a la ley de corrientes de Kirchoff en que la suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero.

V

FIG. 43.- El cambio neto de la carga total dentro de un volumen es igual a la diferencia de la carga que entra y la que sale en un pequeño tiempo t

La ecuación (296) en forma equivalente expresa que el flujo neto de la corriente total, conducción más desplazamiento, es cero, por lo que todas las corrientes que entran a la superficie deben salir de ella. La corriente de desplazamiento no incluye ningún transporte de carga, así que la corriente que varía con el tiempo puede ser transmitida a través del espacio sin portadores de carga. Bajo condiciones estáticas, la corriente de desplazamiento es cero. 6.2. MODELO DE CONDUCCION EN GASES CARGADOS. LEY DE OHM PUNTUAL a) Ecuaciones En muchos materiales, buenos electrolíticas, conductores como los metales, gases incluyendo ionizados y los soluciones así como los malos conductores, como semiconductores y aisladores con pérdidas, los portadores de carga pueden modelarse clásicamente como un gas ideal dentro de un medio llamado plasma. Suponiendo que se tengan dos portadores de carga de igual magnitud pero de signo opuesto ±q, con masas m±, y densidades ±, respectivamente. Estas cargas pueden ser huecos y electrones en un semiconductor, iones opuestamente cargados en una solución electrolítica, ó electrones y núcleos en un metal. Cuando se aplica un campo eléctrico, las cargas positivas se mueven en la dirección del campo mientras que las cargas negativas lo hacen en la dirección opuesta. Estas cargas chocan con el medio a las J.LLAURY

78


+ y ν-, respectivamente, el cual entonces actúa como viscosidad o disipador de fricción oponiéndose al movimiento. Además de las fuerzas eléctricas y de fricción, las partículas ejercen una fuerza sobre ellas mismas mediante un término de presión debido al agitación térmico que está presente, aún si las partículas no estuvieran cargadas. Para un gas ideal la presión parcial “p” es:

frecuencias de

p

 n.k.T

(207)

donde: n es la densidad del número de cargas, T, es la temperatura absoluta, y K, es la constante de Boltzmann (k = 1.38 x 10 -23 J/ºK) p(z + z) p(x) y

+

x

+ +

p(y)

+ +

+ +

+ z

+ +

+ +

+ +

+

p(y + y)

+

v

+ +

p(x + x)

E p(z)

FIG. 44.- La ley de fuerza de Newton, aplicada a un pequeño volumen rectangular que se mueve con velocidad v y encierra cargas positivas con densidad de número n. La presión actúa normalmente hacia el interior de cada superficie y sólo contribuye a la fuerza neta si es diferente sobre caras opuestas.

La fuerza neta de la presión sobre el pequeño volumen que se muestra en la Fig. 44, es:

 px  p x  x    p y  p y  y  . j  . i   x y    z  . k  . x.y.z p z   p z      z 

f p   

J.LLAURY

79


donde se observa que la presión solamente ejerce una fuerza neta sobre el volumen si es diferente sobre cada superficie opuesta. A medida que el volumen se contrae a un tamaño diferencial, los términos de presión, de la última expresión, definen derivadas parciales, de modo que la densidad de fuerza volumétrica viene a ser:

 f  p p p      i  . j  . k   p   x. y. z     Lim  x x x        p

x y z

0 0 0

(208) Entonces, utilizando (206) – (208), la laey de fuerza de Newton, para cada portador de carga dentro del pequeño volumen, es:

v 1 m . t   q.E  m .  . v   .n .k .T   n

(209)

donde el campo eléctrico E se debe al campo aplicado más el campo generado por las cargas, tal como se obtiene al aplicar la Ley de Gauss. b) Conducción arrastre – difusión A causa de que en muchos materiales las frecuencias de colisión son típicamente del orden de  1013 Hz, los términos de inercia en (209) frecuentemente se desprecian. En este límite, se puede resolver fácilmente (209) para la velocidad de cada portador de carga:

  1 1 v  .   q.E  .n .k .T  Lim :   m .   n 

v / t

(210)

  . v 

Las densidades de carga y de corriente para cada portador, simplemente están dadas por:



  q.n ,

J

    .v   q.n .v

(211)

Multiplicando (211) por las densidades de carga, se obtiene las leyes constitutivas para cada corriente

J

  q.n .v     .  . E  D .  

(212)

donde:

, son las movilidades de las partículas, y D, son sus coeficientes de difusión Los cuales son, respectivamente:

J.LLAURY

80




q m . 

(213)

D 

k .T m . 

(214)



suponiendo que el sistema está a una temperatura constante. Se puede ver que la relación D/ para cada portador es el mismo y tiene unidades de voltaje, por lo que se llama voltaje térmico: D k .T   q

(215)

Esta igualdad se conoce como la relación de Einstein. En equilibrio, cuando la corriente neta de cada portador es cero, (212) puede escribirse en términos del potencial como:

J

 J   0     .  .U  D . 

que también se puede escribir como:   .U  Ln     0   D    

(216)

El término entre corchetes puede ser entonces sólo una constante, para que la densidad de carga esté relacionada con el potencial por la distribución de Boltzmann:



 q.U     . exp  k.T 

(217)

o

donde se ha utilizado la relación de Einstein (215), y ± o es la densidad de carga en equilibrio de cada portador cuando U = 0 y son de igual magnitud, debido a que el sistema se encuentra inicialmente neutro. Para encontrar la dependencia espacial de  y de U, se utiliza (217), junto con la ecuación de Poisson:

U   2



(218)



entonces:    2U      



2 . o 

   q  .U  .Senh   k .T  

o 

 

  q.U    k .T 

. exp 

  q.U     k .T  

exp 

(219)

J.LLAURY

81


esta ecuación se conoce como ecuación de Poisson – Boltzmann, porque las densidades de carga obedecen a las distribuciones de Boltzmann. Ahora, considérese un electrodo colocado en x = 0 elevado a un potencial Uo con respecto a un potencial cero en x = ± , como se muestra a continuación, en la figura 45. U = Uo -

+ -

-

-

+ -

-

-

-

- + -

-

-

-

-

-

-

+ -

-

-

-

-

-

-

-

-

+ -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+ -

-

-

-

-

-

-

-

-

+ -

-

-

-

-

-

- + -

-

-

-

-

+ -

-

-

+ -

E

E

X

Ld

FIG. 45.- Cargas móviles de polaridad opuesta se acumulan alrededor de cualquier carga neta introducida en un conductor, descrito por las ecuaciones de arrastre – difusión y tienden a formar un apantallamiento para distancias ma ores ue la lon itud de Deb e

Debido a que el electrodo es largo, el potencial sólo varía con la ordenada x, de modo que (219) resulta:

d 2U ˆ

2



1 2

.SenhU ˆ

 0;

U

q.U

ˆ

;

Ld

2



 .k .T

dx Ld k .T 2. o .q (220) donde se ha normalizado el voltaje al voltaje térmico k.T/q.U, y a “Ld” se le llama la longitud de Debye. Si (220) se multiplica por dU/dx, puede escribirse como una ecuación diferencial exacta: 2   d  1  dU  Cosh U  .  0  dx  2  dx  Ld 2    ˆ

ˆ

El término entre corchetes debe ser entonces una constante que se calcula lejos del electrodo donde el potencial y el campo eléctrico Ex = - dU/dx son cero: J.LLAURY

82


dU   Ex  dx

2

Ld

2

. CoshU  1  ˆ



2

Ld

2

 U  ; x  0    2  x  0

. Senh

(221)

Los signos diferentes de la raíz cuadrada son necesarios porque el campo eléctrico está dirigido en sentido contrario a cada lado del electrodo. El potencial, por consiguiente, implícitamente se obtiene por integración directa:

TanhU / 2  exp x  ;  x  0  L  x  0 TanhU o / 2  d  ˆ

(222)

La longitud de Debye describe de este modo las características de longitud sobre las que el potencial aplicado ejerce influencia. En muchos materiales la densidad del número de portadores fácilmente es del orden de n o  10 20 /m3, de modo que a la temperatura ambiente (T  293 ºK), Ld es típicamente del orden de 10- 7 m. c) La Ley de Ohm Se ha visto que las cargas móviles en un sistema descrito por las ecuaciones de arrastre – difusión se acumular cerca de una de polaridad opuesta,mayores y tienden efectocarga de blindaje para distancias quealaproducir longitud un de Debye. Debido a que esta distancia es, por lo general, mucho menor que las dimensiones características del sistema, la mayoría de las regiones del espacio fuera del blindaje de Debye son neutras con igual cantidad de densidad de carga positiva y negativa ±o. En esta región, el término de difusión de (212) es despreciable, porque no hay gradientes de densidad de carga. Entonces, la densidad de corriente total es proporcional al campo eléctrico:

J

 J  J 



 o . v

 v  q.n.   o

  .E

  .E (223)

conductividad óhmica y (223) es la forma donde se lallama peculiar de Ley de Ohm.

Algunas veces resulta más conveniente trabajar con la recíproca de la conductividad ( = 1/) llamada resistividad eléctrica. Cuando la Ley de Ohm sea válida, la carga neta es cero, no proporcionando ninguna contribución a la Ley de Gauss. 6.3. CONDICIONES DE FRONTERA DE LOS CAMPOS E y D, y LA DENSIDAD DE CORRIENTE J En muchos problemas hay una superficie de discontinuidad que separa dos materiales distintos, tales como un conductor y un J.LLAURY

83


dieléctrico ó diferentes dieléctricos. Se debe determinar cómo cambian los campos a medida que se cruza la entrecara en la que las propiedades de los materiales cambian bruscamente. a)

Componente tangencial de E

Et1

 E  u  E  E   0 t2

n

2

1

(224)

un E2

Et 1 2

Et 2 E1

1

dL

FIG. 46.- La componente tangencial del campo eléctrico es continua a través de la f rontera

b)

Componente normal de D

Dn 2

 Dn1  

dS

 u

n

. D

2

 D 1

(225)

D2

un 2

+

+

+

+

+

+

+

+ + +

1

D1

- dS

FIG. 47.- La componente normal del vector de desplazamiento es discontinua en la densidad de carga superficial de carga libre 

Si una de las regiones es un conductor perfecto, con campo eléctrico interior nulo, la densidad superficial de carga sobre la superficie es exactamente igual a la componente normal Componente del campo D en la superficie del conductor.



 u .D n

(226)

J.LLAURY

84


c) Normal de J Aplicando la ecuación de la conservación de la corriente (205) a la misma superficie gaussiana de la caja de laFig. 47, resultan nuevamente contribuciones sólo de las superficies superior e inferior:

un

.  J

2

1



 D   0 t  corrientes superficiales

J 

D

2

1

donde se supone que no fluyen a lo largo de la entrecara. A partir de (225), al relacionar la densidad de carga superficial con discontinuidad de la normal D, esta condición de frontera puede también escribirse como:

un

. J

2

J

1





 0 t

(227)

que dice que si la corriente que entra a una superficie es diferente de la corriente que sale, la carga se ha acumulado en la entrecara. En el estado estacionario (cd), la componente normal de J es continua a través de la frontera. 6.4. RESISTENCIA ELECTRICA a) FORMULA GENERALIZADA DE LA RESISTENCIA ELECTRICA Dos conductores se mantienen a una ddp U dentro de un medio conductor y en cada uno circula una corriente total I como se ilustra en la Fig. 48. Al aplicar la integral de superficie de la conservación de la carga (204), a la suoperficie S’ que rodea a los dos electrodos,

pero que está lo suficientemente alejada de modo que J y D sean despreciablemente pequeños, se observa que las únicas contribuciones de corriente diferentes de cero proceden de los alambres terminales quesumar pasan cero a través de que la superficie. Estas contribuciones deben para las corrientes tengan igual magnitud pero fluyan en sentido contrario. De manera similar, al aplicar la conservación de la carga a la superficie S que encierra exactamente al electrodo superior, se demuestra que la corriente I que entra al electrodo por el alambre debe ser exactamente igual a la corriente total (conducción más desplazamiento) que sale del electrodo. Esta corriente total viaja hacia el electrodo opuesto y sale vía el alambre conductor. La relación de estado estacionario (cd) entre el voltaje y la corriente de los dos electrodos, de la Fig. 48, se define como la resistencia: J.LLAURY

85


R

S’

U I



(228)

S

ELECTRODO (+) I U=

J.dS

J = E

L I ELECTRODO (-)

FIG. 48.- Un voltaje aplicado entre dos electrodos dentro de un medio óhmico hace que una corriente entre por un electrodo y salga por el otro.

Para una geometría arbitraria (228) puede expresarse en términos del campo eléctrico como:

 E .dL  E .dL R   J .dS   .E.dS C

S

C

(229)

S

Donde S es una superficie que rodea completamente a un electrodo y L es cualquier trayectoria que une los dos electrodos. Se debe observar que la integral de línea del campo eléctrico se toma a lo largo de la línea que va desde el electrodo de potencial alto al de potencial bajo, de modo que la diferencia de voltaje U sea igual a la integral de línea positiva. De (229), se puede ver que la resistencia únicamente depende de la geometría y la conductividad  y no de la magnitud del campo eléctrico mismo. Si se aumentara el voltaje or cualquier factor, el campo también aumentaría por este mismo factor en todas partes, es decir este factor se cancelaría. La conductividad  puede ser una función de la posición. b) RESISTOR DE PLACAS PARALELAS J.LLAURY

86


Dos electrodos conductores perfectos, de placas paralelas, de forma arbitraria, de àrea A y separación L encierran un cilindro de material cuya conductividad óhmica es , como en la Fig. 49. La corriente debe fluir tangencialmente a la superficie externa, ya que el medio exterior al ser espacio libre tiene conductividad nula, de modo que ninguna corriente puede pasar a través de la entrecara. -

-

A

L

-

-

-

-

-

I

FEM

J = .E

I

+ + A + + + + + + + + + + + + + +

FIG. 49.- Resistor plano paralelo con geometría generalizada de placas

Debido a que la componente tangencial del campo eléctrico es continua, existe un campo en la región del espacio libre que decrece al aumentarse la distancia desde el resistor. Este campo tridimensional es difícil de calcular porque depende de tres coordenadas. El campo eléctrico dentro del resistor es mucho más sencillo de evaluar porque es perpendicular a los electrodos en la dirección x. La Ley de Gauss, sin carga volumétrica, dice que este campo es constante:

 .  E   0 

dE x 0 dx



E x  Eo

Sin embargo, la integral de línea de E entre los electrodos debe ser el voltaje aplicado U: L

 E x dx  U



Eo 

U L

0

La densidad de corriente, por lo tanto, es

J.LLAURY

87


I 

  .U  . A L 

 J .dS   S

Donde la integral de superficie se reduce a un simple producto, porque la densidad constante de corriente incide perpendicularmente sobre los electrodos. La resistencia es entonces:

RU  L I  .A

(230)

c) RESISTOR COAXIAL.Dos cilindros coaxiales, conductores perfectos de longitud L, radio interior R1 y exterior R2, se mantienen a una ddp U y encierran un material cuya conductividad óhmica es , como en la Fig. 50. Entonces, el campo eléctrico debe ser perpendicular a los electrodos, así que sin carga libre la ley de Gauss requiere que:

 r .E  0  r r

1

 .  E  0    .

r

Er 

C r

donde “c” es una constante de integración determinada de la

condición de voltaje

L

R2 R1

Conductividad = 

+

U

-

FIG. 50.- Resistor coaxial R2

E

r

dr

R2

 C. Ln (r )  U R1

R1



C



U R  Ln 1   R2 

La densidad de corriente es: Jr

E  r

 .U

R R

r .Ln 

2

1

  

siendo constante la corriente total a cualquier radio “r” J.LLAURY

88


I

L

 z

2.

  

0





J r .r.d .dz

2. . .U .L

R R

Ln

0

2

1

  

de modo que la resistencia es:

R   RU  R 2.. .L I Ln

2

(231)

1

d) Resistor esférico Se procede de la misma forma para dos esferas concéntricas que sean conductores perfectos, a una ddp U, con radio interior R1 y radio exterior R 2, tal como se muestra en la Fig. 51. Medio de conductividad = 

R1

-

R2

U

+ FIG. 51.- Resistor esférico formado por dos esferas concéntricas.

Sin carga libre, la simetría requiere que el campo eléctrico sea puramente radial, así que la ley de Gauss produce:

1

 .  E   0 

2

r

.



r

2

.Er   0



Er 

r

C 2

r

donde “c” es una constante que se determina por las condiciones del voltaje como

C  E .dr   r

R2

R2

U

r

R1

R1



C

U

1 1     R  R 1

2

El campo eléctrico y la densidad de corriente son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia radial “r”:

J.LLAURY

89


Jr

 .U

  .E 

1 1    R  R

r

r 2 .

1

2

de modo que la densidad de corriente es constante a cualquier radio “r”

I



2.



J r .r 2 .Sen .d .d 

  

0



4. . .U



 1  1  R  R

0

1

2

Finalmente, la resistencia es:

1 1     R R  U R  1

I

(232)

2

4. .

6.5. CAPACITANCIA a) CAPACITANCIA PARA CUALQUIER GEOMETRIA Para dos electrodos de cualquier geometría en un medio dieléctrico, la capacitancia se define como la relación de la carga libre total de un electrodo a la diferencia de potencial:

C



Q U

Por definición, la capacitancia siempre es positiva y para dieléctricos lineales es únicamente una función de la geometría y permitividad dieléctrica, y no de los niveles de voltaje.

.

.

S D dS  .S E dS Q C    U  . E .dL  . E .dL L

(233)

L

b) RELACIÓN ENTRE LA CAPACITANCIA Y LA RESISTENCIA PARA DISPOSITIVOS DE LA MISMA GEOMETRÍA Para la misma configuración, con un conductor óhmico homogéneo ó para un dieléctrico lineal, el producto resistencia x capacitancia es una constante independiente de la geometría:

R.C 

 E . dL  . E . dS   .  . E . dS  E . dL  S

L

S

(234)

L

De esta manera, para una configuración dada, si se conoce la resistencia, ó bien, la capacitancia, la otra cantidad puede conocerse inmediatamente a partir de (234). Así que se puede escribir inmediatamente las capacitancias de los condensadores: plano paralelo, coaxial y esférico, usando (234) y los resultados

J.LLAURY

90


dados por (230), (231) y (232). A continuación, los gráficos para los condensadores: plano paralelo, coaxial y esférico no se han dibujado por ser muy similares (ó iguales) al de los resistores: de placas paralelas (Fig. 49), coaxial (Fig. 50) y esférico (Fig. 51). c) CAPACITOR PLANO PARALELO

C 

.A

(235)

L

d) CAPACITOR COAXIAL C



2. . .L

R Ln R

2

1

e)

(236)

  

CAPACITOR ESFERICO C



4. .

(237)

1 1     R  R 1

2

6.6. LA TIERRA Y SU ATMOSFERA COMO UN CAPACITOR ESFERICO CON PERDIDAS En tiempo despejado, en la superficie terrestre existe un campo eléctrico cd cuya intensidad aproximada es de 100V/m dirigido radialmente hacia el centro de La Tierra. La magnitud del campo eléctrico decrece con la altura sobre la superficie del globo terráqueo, a causa de la conductividad eléctrica no uniforme (r) de la atmósfera, y aproximadamente es:

 

 r

o

 A.r  R 

(238)

donde las mediciones han demostrado que:

o

 3  10 

14

, S/m

(239)

A  5  10  20

(240)

R  6.37  106 (Radio Terrestre Promedio), m La conductividad aumenta con la altura debido a la radiación cósmica en la atmósfera inferior. A causa de la radiación solar, la atmósfera actúa como un conductor perfecto arriba de los 50 km de altitud. En estado estacionario cd, la conservación de la carga dada por (204), con simetría esférica, requiere:

. J 

 r J   0  r r 1

2

.

2

r

J r   r .Er 

C r2

J.LLAURY

91


donde la constante de integración C se calcula al especificar el campo eléctrico superficial:

Er  R  

 100 V / m

  

  R , Er  R . R 2

J r r  

(241)

r2

En la superficie de la Tierra, la densidad de corriente es, por lo tanto:

J r  R  

  

  R , Er  R . R 2

 R

  3  10 A / m 12

2

2

La corriente total dirigida radialmente hacia adentro, sobre toda la Tierra, es entonces:

I  J r  R . 4. . R 2  1350 A La distribución del campo eléctrico a través de la atmósfera se calcula de (241):

E r  

J r r 



 R . Er  R . R 2

 r r 2 . r   La densidad de carga superficial sobre la superficie terrestre es: r





 r   R

  . E  R   8,8542 10  C / m 10

o

2

r

Esta distribución negativa de carga superficial (recuerde: Er(r) < 0) es equilibrada por la distribución positiva de carga volumétrica a través de la atmósfera

 r .E   r r

    . . E  

 r

o

 

 r

2

o

. 2



o

   

 o .  R .Er  R .R

r

r

. R  .Er  R  .R 2 2

2

2

. 2. A.r

2

.

d  1    dr   r  

  R 

r   R La diferencia de potencial entre la atmósfera superior y la superficie terrestre es:

   

U

   E r . dr r

 R



U

   R . E  R .  R 2 .  r

 R



dr

r .  o  A.r 2

  R 2



Desarrollando:

J.LLAURY

92


U



 R . E r

  r   R 2      R .  R  2   R A . . Ln  2 A r2  R 2          A  

o

o

    



     R 2  o   A   

  1  r      2 . ArcTan      2  r .  R   o  0  .  R 2  0    A  A  A     

      R       0   A  r

  R

(242)

Usando los parámetros dados por (239) y (240) se observa que (o/A) R2 así que (242) aproximadamente se reduce a U 

 o .E r  R  

A,  R  2

     o    . R . R  .  Ln    1    A. R   2 .  o   A

2

2

    

(243)

Es decir: U  384 ,000 voltios Si la carga de la Tierra no fuera repuesta, el flujo de corriente neutralizaría la carga en su superficie, con una constante de tiempo del orden:





o o

 300 segundos

Se ha pensado que en regiones tempestuosas, simultáneamente activas en todo el mundo, sirven como “baterías” para conservar al planeta cargado vía las descargas eléctricas negativas sobre la Tierra y el efecto corona a nivel del suelo, que producen cargas que se mueven de la Tierra a las nubes. Esta corriente de tormenta debe estar dirigida hacia arriba y balancear la corriente de tiempo despejado hacia abajo, dada por I = 1350 A, mencionada anteriormente.

J.LLAURY

93


CAPITULO 7 RESISTENCIA ELECTRICA Y LA RESITIVIDAD ELECTRICA DE UN TERRENO (para cálculos de puesta a tierra)

7.1. UN ELECTRODO HEMISFERICO AISLADO De la Ley puntual de Ohm:

J = .E Tanto la densidad de corriente J como el campo eléctrico son enteramente radiales, entonces:

Jr r   Pero, la densidad de corriente viene a ser igual a: Er r  

I 2. .r 2 para el área del hemisferio la cual es atravesada por el flujo de corriente. De las dos últimas expresiones, se obtiene el campo eléctrico J r r  

radial en función a la corriente I, la distancia radial ”r” y la

conductividad eléctrica del terreno:

Er r  

I .  1  2. .  r 2 

(244)

Relacionando el campo eléctrico dado por (244) con el potencial:

dU = - Er(r).dr reemplazando y tomando la integral: U r 



U 0

dU  

r I 1 .   2 .dr 2. . r    r 

de donde:

J.LLAURY

94


U r  

I 2. . .r

(245)

La ddp entre dos puntos separados por una distancia r = d estará dada por:

U 

1 1  I .  2. . r r  d 



FIG. 52- Electrodo hemisférico aislado, empotrado a nivel del terreno

Electrodo hemisférico (conductor perfecto)

I R1

r T erreno

APLICACIÓN NUMERICA: Suponiendo que una persona se acerca al electrodo por el cual está fluyendo una corriente relativamente grande I = 1000 A, ¿cuál será el valor de la ddp U entre sus pies, los cuales está separados d = 75 cm? Considerar: r = 1m y  = 10-2 S/m. Respuesta: ¡¡

U = 6820 V ¡!

7.2. DOS ELECTRODOS HEMISFERICOS PROXIMOS Sea U1 el potencial en el punto P debido al electrodo (1), y U 2 el potencial, también en el punto P debido al electrodo (2). Estos potenciales se obtienen a partir de (245):

U 1 r  

I 2. . .r1

(a)

U 2 r  

I 2. . .r2

(b)

El potencial total U(r) en P debido a los campos eléctricos en los electrodos (1) y (2), respectivamente es: J.LLAURY

95


U (r ) 

I 2. .

1    1    r1 r 2 

(c)

CONDICIONES DE CONTORNO: Es necesario referir el punto P a los puntos periféricos A y B de los electrodos (fig. 53). Primera condición de contorno: Si P se “traslada” hacia A, se tiene que r1 = R1 y r2 = D – R1, por lo que el potencial U1 queda como: 

I  U  2. .  1

1



R

1

  D  R12  1

(246)

Segunda condición de contorno: Si P se “traslada” hacia B, se tiene que r1 = D – R2 y r2 = R2, por lo

que el potencial U2 queda como: 

I  U  2. . 

1

 D  R1

2



2

  R2  1

(247)

A partir de (246) y (247), se tiene, al efectuar la resta:  1  I 1   1 1  U  .       2. .  R1 R2   D  R1 D  R2 

(248)

A U I

D

R2

R1

r

1

r2 P

FIG. 53.- Dos electrodos hemisféricos conductores perfectos, separados por una distancia D entre sus centros y em otrado s a niv el de un t erreno de conduc tividad 

Como la conductividad y la resistividad son recíprocos, entonces, la expresión (248) puede ser escrita en función de la resistividad terr del terreno:

J.LLAURY

96


U 

I .  terr 2.



. 

1

 R1



  1  1      R2   D  R1 D  R2  1

(249)

7.3. RESISTIVIDAD DE UN TERRENO Si mediante un amperímetro se mide la corriente que circula por el circuito mostrado en la Fig. 53, se puede despejar la resistividad dada por (249), ya que la ddp entre los electrodos es conocida (voltaje de la batería), por lo tanto:

 terr



2 . .U



I . 

1

 R1



  1  1      R 2   D  R1 D  R 2   1

(250)

APLICACIÓN NUMERICA.INGRESO DE DATOS 1.- ddp en bornes de la bateria 2.- Corriente en el amperímetro 3.- Distancia entre centros 4.- Radio del electrodo (1) 5.-

Radio del electrodo (2)

U I D R1

12 0.05 1.2 5

R2

4

V A m cm cm

CALCULO DE LA :: Resistividad del terreno

terr

34.851431

.m

7.4. RESISTENCIA DE UN TERRENO Se expone, a continuación, el Problema Nº 4 – 4 – 2 del libro de John Kraus “Electromagnetismo”: Prob.4-4-2.-Medición de resistencia a tierra.Para medir la resistencia de la trayectoria en el terreno entre dos varillas metálicas de conexión a tierra, se conectó una batería de 1.5V en serie con un resistor de 10 y un miliamperímetro entre varillas. Con la batería conectada en una forma, el aparato dio una lectura de 38 mA, pero con la polaridad invertida el aparato dio una lectura de 23 mA. a)

Encuéntrese la resistencia de la trayectoria en el terreno. Supóngase que la diferencia en las lecturas se debe a una fuerza electromotriz es serie con la trayectoria del terreno, como pudiera ser provocada por la acción electrolítica entre las varillas y el terreno.

b)

¿De cuánto es la fem del terreno? J.LLAURY

97


SOLUCION Resolviendo el problema en forma literal. A continuación, se muestra el esquema de acuerdo a lo mencionado en el enunciado. U

R A

varilla metálica

I1

TERRENO

FIG. 54.- Batería, resistor, amperímetro y varillas metálicas para la medición de la resistencia del terreno.

De acuerdo a lo mencionado en el enunciado, la solución constaría de dos partes: 1) Circuito eléctrico equivalente con la batería dispuesta de una forma (como se observa en la Fig. 55). 2) Circuito eléctrica equivalente con la batería dispuesta de una forma diferente, es decir, con los bornes invertidos respecto a la figura anterior, tal como se observa en la Fig. 56 U

R A

I1

UTERR

RTERR

FIG. 55.- Circuito eléctrico equivalente con la batería dispuesta de una manera.

De la Fig. 55, se tiene:

U + UTERR = i1.(R + RTERR)

(251)

J.LLAURY

98

TEORIA ELECTROMAGNETICA U

R A

I2

R TERR

UTERR

FIG. 56.- Circuito eléctrico equivalente con los bornes de la batería invertidos.

Y de la Fig. 56, se obtiene:

U - UTERR = i2.(R + RTERR)

(252)

Al eliminar de (1) y (2) la fem ficticia del terreno (U TERR) se obtiene la siguiente fórmula que permite evaluar la resistencia del terreno:

RTERR  i12.Ui2  R

(253)

Y la fem electromotriz ficticia del terreno (UTERR), resulta:

U TERR 

.U .i1  i 2

(254)

i1  i2

A manera de verificación de las fórmulas(3) y (4) se pueden ingresar valores numéricos en la siguiente hoja de cálculo: HOJA DE CALCULO Nº 1 INGRESO DE DATOS:

PARAMETRO 1 2R

FEM de la batería

SIMBOLO U

VALOR 1.5

esistencia

UNIDAD V

R

10

ohm

3

Corriente eléctrica

i1

38

mA

4

Corriente eléctrica

i2

23

mA

SIMBOLO

VALOR

UNIDAD

R TERR

39.18033

ohm

0.368852

V

TABLA DE CALCULO:

PARAMETRO 1

Resistencia del terreno

2

FEMdelterreno

U

TERR

J.LLAURY

99


SEXTA UNIDAD

ECUACION DE POISSON Y SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE

CAPITULO 8 SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE

8.1. CAMPOS ELECTRICOS ESTACIONARIOS)

CONSERVATIVOS

(CUASI

Las tres ecuaciones generales que rigen el campo eléctrico en el espacio libre, en forma integral y diferencial, se pueden resumir sintetizando la ley de Gauss (8), (25) y (27):

 o E. dS



 dV

 . E 



(255)

   y las ecuaciones (4) y la ecuación (15) para campos estáticos: S

 E.dL  0

V

o

   E  0  E   U

(256)

L

Las leyes integrales son particularmente útiles para geometrías con gran simetría y con campos unidireccionales, donde la distribución de carga sea conocida. Muchas veces el potencial eléctrico de superficies conductoras está restringido por fuentes externas, de modo que las distribuciones de carga superficial, que se comportan como fuentes de campo eléctrico, no se conocen directamente y en parte se deben a otras cargas por inducción y conducción. A causa de la fuerza de Coulomb entre las cargas, la J.LLAURY

100


distribución de carga a través del espacio, por sí misma, depende del campo eléctrico y, consecuentemente, es necesario resolver para el equilibrio entre el campo eléctrico y la distribución de carga. Estas complicaciones, con frecuencia dificultan el uso de las leyes integrales y resulta mucho más fácil utilizar la forma diferencial de las ecuaciones del campo. Empleando la última relación de (2), en la ley de Gauss (1), se obtiene una ecuación simple que relaciona el laplaciano del potencial con la densidad volumétrica de carga:

 .  U    U   2



(257)

o

la cual se llama ECUACION DE POISSON. En aquellas regiones de carga cero (  = 0), esta ecuación se reduce a la ecuación de Laplace:

U  0

(258)

2

8.2. SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS RECTANGULARES

Suponiendo que dentro de una región del espacio de permitividad constante, sin carga volumétrica, las soluciones no dependen de la coordenada Z, entonces, la ecuación de Laplace se reduce a:

U U   0 x y 2

2

2

(259)

2

Intentando una solución que sea el producto de dos funciones: una de ellas ellas exclusivamente dependiente de la variable “x”, y la otra dependiente de la variable “y”, de modo que:

U  x, y

 X x .Y y

(260)

Con frecuencia es conveniente utilizar esta solución propuesta cuando los límites del sistema descansan en planos de “x” ó “y”

constante. Entonces, a lo largo de una frontera, una de las funciones de (260) es constante. Cuando (260) se reemplaza en (259), se obtiene: 1 d2X . X dx 2



1 d 2Y . Y dy 2

0

(261)

La única forma en la que la suma de estos dos términos sea cero, para todos los valores de “x” e “y”, es que c ada término por separado sea igual a una constante, es decir:

1 d2X . X dx 2

k

2

(262)

J.LLAURY

101


y 1 d 2Y . Y dy 2

k

(263)

2

donde k2 se denomina constante de separación y, en general, puede ser un número complejo. a) SOLUCIONES CON CONSTANTE DE SEPARACION CERO Cuando la constante de separación es nula (k 2 = 0), las soluciones de (262) y (263) son: (264) X  a1 . x  b1 ; Y  c1 . x  d1 Donde a1, b1, c1 y d1, son constantes. Al reemplazar (264) en (260), se obtiene la función potencial: (265) U x, y  A.x. yB.x  C. y  D





EJEMPLO DE APLICACIÓN Nº 1 Un medio resistivo está contenido entre dos electrodos, uno de los cuales se extiende por la parte superior y está doblado en ángulo recto, como se ilustra en la Fig. 57. Determinar las funciones potencial y campo eléctrico en todo el espacio. Solución.Ensayando soluciones con constante de separación cero, dadas por (265), en cada región encerrada por los electrodos. Y

2

H U = Uo

U=0

a

, 1

O

b

X

FIG. 57.- Un medio resistivo llena parcialment e una caja conductora abierta.

Región 1:

U  x, y   A .x. y

 B .x  C . y  D

(266) En la Fig. 58, se indican las condiciones de contorno para la zona 1. Primera condición de contorno (CC1): Se tiene: 1

1

1

1

1

U1(x = b, y) = 0 Entonces, (266) se transforma en: J.LLAURY

102


0

 0. y  B .b  D  A .b  C . y 1

1

1

1

De donde:

D

1

  B .b

C

1

  A .b

y

1

1

Por lo que (266) queda como:

U  x, y   A .x. y 1

1

 B .x  A .b. y  B .b 1

1

1

(267)

Y

2

U=0

H

CC1

U = Uo

CC2

1

O b

X

FIG. 58.- Condiciones de contorno para la zona 1

Segunda condición de contorno (CC2): Se tiene:

U1(x = 0, y) = Uo Entonces, (267) se transforma en:

Uo

 0. y   B .b  A .b. y

Uo

 0. y   B .b  A .b. y

De donde:

1

1

1

B   Uo b 1

1



A 0 1

Por lo tanto, al reemplazar en (267) la función potencial en la zona 1, queda como:

U  x,y 1

 U x    1

Uo .x b

b

(268)

De donde se ve que el potencial, en la zona 1, sólo depende de la variable “x”

Ahora, se puede obtener el campo eléctrico en esta misma zona (1) tomando el negativo del gradiente del potencial dado por (268). J.LLAURY

103


Entonces:

Uo .i b

E 

(269)

ˆ

1

De donde se observa que el campo eléctrico en la zona 1 (medio resistivo), es constante; es decir, las línea de campo son paralelas. Región 2: Considerando la siguiente función: (270) U 2 x, y  A2 .x. y  B2 .x  C2 . y  D2 A continuación, en la Fig. 59, se muestran las condiciones de contorno para la zona 2.





Y

U=0

CC3

2

CC4 CC5

H U = Uo

1

a O

b

X

FIG. 59.- Condiciones de contorno para la zona 2

Tercera condición de frontera (CC3):

U(x, y = H) = 0 Por lo que reemplazando los valores para “x” y “y” en(270):´

0.x

 0   A .H  B x  C .H  D 2

2

2

de donde:

B

2

y

2

  A .H 2

D   C .H 2

2

Luego, (270) se reduce a: U 2  x, y   A2 .x. y  A2 .H .x  C2 . y Cuarta condición de frontera (CC4):

 C .H 2

(271)

U(x = b, y) = 0 Reemplazando los valores de para “x” y “y” en (271), se tiene:

0. y

 0   A .b  C . y   A .b  C .H 2

2

2

De donde:

C

2

2

  A .b 2

J.LLAURY

104


Reemplazando este valor de C 2 en (271), queda:

U  x, y 2

 A  x.y  H .x  b. 2.

H

y



(272)

Queda todavía una incógnita por determinar: A 2. Esta se puede determinar aplicando una nueva condición de frontera en la misma entrecara que separa ambos medios. Quinta condición de frontera (CC5):

U1(x, y = a) = U2(x, y = a) Es decir, igualando (268) y (272) para cualquier valor de “x”,

en el intervalo que lo permite la geometría, y para y = a. Entonces:

 de donde:

U . x  b  A b o

2.

 a  H .x  b.

a H



U b.a  H 

A 

o

2.

Por lo tanto, reemplazando esta expresión dada para A 2 en (272), se obtiene, finalmente, la función potencial U2(x,y) en cualquier punto del espacio: U (273) U  x, y   . H   y . b  x  o

b.H  a 

2

Y la función campo eléctrico – aplicando el negativo del gradiente del potencial – viene dado por: (274) E2  x,y E2 x x, y . i  E2 y x, y . j ˆ

ˆ

donde las componentes “x” y “y” del campo eléctrico son, respectivamente: (275) U E2 x  x,y  E2 x y 

o

b.H  a 

.H

 y

Uo .b  x  b.H  a 

E2 y  x,y  E2 y x 

(276)

Nota: En el estado estacionario de cd, la condición de frontera de la conservación de la carga exige que ninguna corriente cruce las entrecaras en y = 0 y y = a, a causa de las regiones circundantes de conductividad cero. La corriente, y por lo tanto el campo eléctrico dentro del medio resistivo, debe ser puramente tangencial a las entrecaras, Ey(y = a -) = Ey(y = 0+).

La densidad de carga superficial en la entrecara de y = a se debe ser entonces sólo al campo eléctrico normal arriba, puesto que abajo, el campo es puramente tangencial. Entonces:

  y  a

  .E y a   .E y  a o

Y

o

Y

J.LLAURY

105


  y  a



 H  a   o.Uo

.1 

x  b

(277)

Entonces, la fuerza tangencial de la entrecara es: b

Fx

   .Ex y  a .c.dx  0

2

o.Uo . c

2. H

(278)

 a

Donde, en este caso, “c” es la longitud de la tercera dimensión

de los electrodos (fondo). Si el material resistivo es líquido, esta fuerza tangencial puede utilizarse para bombear el fluido.(*) APLICACIÓN NUMERICA INGRESO DE DATOS: éps.o 8.8542E-12 Uo 20 b 20 a 16 H 17 c 120

F/m kV cm cm cm cm

CALCULAR: REGION1 U1(x) E1x

0< y< a 12 100

ENTRECARA s(x,y = a) 5.3125E-06 Fx 0.1062504 Fx 10.8308257

c)

REGION 2 U2(x,y) E2x(y) E2y(x)

a < y< H

6 -50 -600

kV kV/m kV/m

C/m2 N mgr-f

SOLUCIONES CON CONSTANTE DE SEPARACION DIFERENTE DE CERO La solución de (262), que adopta la siguiente forma: .

d2X dx 2

X  x   a. exp   k .x .

d 2Y dy 2

 k 2 .X  0

 b.exp  k .x  k 2 .Y  0

Y y  c.Sen  k. y  d .Cos k. y

(280)

Reemplazando (279) y (280) en (260), se tiene la función potencial U(x,y) la cual permite calcular el potencial en cualquier punto dentro de la caja rectangular de la Fig. 60:

J.LLAURY

106


U x , y  A.Sen  k . y . expk .x   B.Cos k . y . expk .x   C .Sen k . y . exp k .x   D.Cos k . y . exp k .x 

(281)

Se puede aplicar el principio de superposición para evaluar el valor del potencial dentro de un punto arbitrario de la caja mostrada en la Fig. 60. Y U=U 2

y =a

U = U1

U(x,y)

U = U3

X 0

U = U4

x=b FIG. 60.- Caja rectangular con paredes conductoras perfectas a distintos potenciales .

Entonces: U2

U=0

U1

U3

=

U3

U1

U4

U2

=

+

U4

U=0 [A]

[B]

FIG. 61.- El principio de superposición aplicado a la caja rectangular

Solución de [A] según (281), la función potencial viene dada por:

U A x, y  A1.Sen k1. y . exp k1.x     B .Cos k . y . exp k .x  1 1 1

     C .Senk . y . exp  k .x    D .Cos k . y . exp  k .x  1

1

CC1

1

1

(282)

1

1

UA(x,y = 0) = 0

0  B1 . exp k1 .x  D1 . exp  k1 .x de donde: D1   B1 . exp 2.k1 .x Al reemplazar esta última expresión para D 1 en (282), es tiene:

J.LLAURY

107


U A  x, y

  k1.x .Sen k . y  A1. exp k1.x  C1. exp

(283)

1

Y U = U2 y =a

U = U1

U(x,y)

U = U3 X

0

U = U4

x=b FIG. 60.- Caja rectangular con paredes conductoras perfectas a d istintos potenciales .

CC2

UA(x,y = a) = 0 0

 A1. exp k1.x  C1. exp  k1.x .Senk .a  1

es decir:

.Sen k1 .a

 Sen  n.

 

Por lo que:

;

 n Z

n. a

k  1

(284)

donde: n = 0, 1, 2, 3, 4, ……

Al reemplazar (284) en (283), esta queda como: U A  x, y  

CC3





n  1, 2 , 3,...

  n.   n.    n.   A1 . exp  .x   C1 . exp  .x  .Sen . y  a   a   a  

(285)

UA(x = 0,y) = U1

Reemplazando los valores de las variables “x” y “y” en (285), se

tiene:

U1



 n



 1, 2 , 3,...

 A .  C ..Sen na. . y  1

(286)

1

Esta expresión para U1 dada por (286) indica la componente sinuosoidal de una serie de Fourier, donde: (287) (A1 + C1) = bn1 es un coeficiente. Entonces, por series de Fourier:

bn1



2

a

a

.



y  0

 n. . y .dy   a 

U 1 .Sen

J.LLAURY

108


Resolviendo la integral, se tiene:

bn1  CC4

4.U 1

(288)

n

UA(x = b,y) = U3

Volviendo a reemplazar los valores de las variables “x” y “y” en

(285), se tiene:

 A1 . exp  n. .b   C1 . exp  n. .b  .Sen n. . y   a   a    a  n  1, 2 , 3,...  Se observa que el primer factor de la sumatoria – el que contiene los exponenciales – es también, una constante de Fourier, es decir:  n. .b  C . exp  n. .b (289) bn 2  A1 . exp  1     a   a  Entonces, por series de Fourier: U3 

 

bn 2 

2

a

a

.



 n. . y .dy   a 

U 3 .Sen

y  0

Resolviendo la integral:

bn 2



4.U 3

(290)

n

El coeficiente “bn1” dado por (288) está relacionado con A1 y C 1 a través de (287). Asimismo, “bn2”, también está relacionado

con A1 y C1 por medio de (289).Por lo tanto, se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de modo que al resolverlas, resulta:  U  U . exp  n. .b   (291)  3 1  a   4   A1  . n.   n. .b   n. .b    exp  a   exp a        y

 U . exp  n. .b   U    1 3  a  4   . C1  n. .b  n. .b   n.     exp  a   exp  a       

(292)

De donde, al reemplazar (291) y (292) en (285) se tiene la función potencial UA(x,y) para cualquier punto del interior de la caja rectangular:

J.LLAURY

109


U Senh  n. b  x   U Senh n. x   Sen n. y   1. 3.  a .   a .   .  a .   U A  x, y   .  n  1,3, 5,...  n. .b  n . Senh   a  4





(293)

Nota.- Esta solución (293) es sólo para el caso (A). La solución para el caso (B) se puede dar en base a (293) pero, permutando las variables: “x” se reemplaza por “y”, y “y” se reemplaza por “x”; asimismo, se intercambian los parámetros “a” y “b”.Una vez hecho esto, se tendrá una solución similar a (293), por lo que el potencial total U(x,y) en el interior de la caja rectangular será la superposición (suma) de las dos expresiones obtenidas.

Entonces:   n.   n.    n.  U 4 .Senh  .a  y   U 2 .Senh  . y  .Sen . x  a    b   b   U B  x, y   . n. .a   n  1, 3, 5,...  n . Senh   b  4

(294)





Los campos eléctricos también se han permutado: U 1 po U4, y U2 ppor U3. Por otro lado, para la obtención la función campo eléctrico E(x,y) en el interior de la caja rectangular, bastaría con tomar el negativo del gradiente de la función potencial obtenida. 8.3. SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS CILINDRICAS

Las soluciones producto de la ecuación de Laplace, en coordenadas cilíndricas: 1   U  1  2U  2U (295) .  r.   2. 2  2 0 r r  r  r  z también se separan en ecuaciones diferenciales ordinarias solubles. d) SOLUCIONES Si la geometríaPOLARES del sistema no var ía con “z”, se ensaya una solución que sea un producto de funciones que sólo dependan de la distancia radial “r” y delángulo “ ”: (296) U r,  R r .   de modo, que al sustituir en (295) produce:

    

 d  dR  R d 2  .  r.  0  . r dr  dr  r 2 d 2 Esta solución supuesta conviene cuando las fronteras están a un ángulo constante de

ó tienen radio constante, pues

J.LLAURY

110


entonces una de las funciones de (296) es constante a lo largo de la frontera. Para separar la expresión anterior, cada término debe ser únicamente una función de una sola variable, de manera que multiplicando los dos miembros por r2/(R. ) y estableciendo que cada término sea igual a una constante, la cual se escribe como “n2”, se tiene:

r . d  r. dR   n 2 ; R dr  dr 

1 .d

2

(297)

   n2  d 2

La solución para se obtiene fácilmente:    n. , n  0 A . Sen n .   A2.Cos  1

(298) n0 La solución para la dependencia radial no es tan evidente. Sin embargo, si se pueden determinar dos soluciones independientes, por cualquier medio, incluyendo suposiciones, la solución total se obtiene unívocamente como una combinación lineal de las dos soluciones. Así, se procede a intentar una solución del tipo de ley de potencias de la forma:

  B1.  B2

,

R

 A.r p

(299)

Que cuando se sustituya en (298) produzca:

p2

 n2



p

  n2

(300)

Para n ≠ 0, (300) proporciona dos soluciones independientes.

Cuando n = 0, (297) produce: r.

dR  const dr

 R  D1 .Lnr   D2

Y las soluciones son:

C1 .r n  C2 .r  n , n  0 R   D .Lnr   D , n  0  1 2

(301)

Fácilmente se reconoce la solución n = 0 para la dependencia radial como el potencial debido a una línea de carga. La solución n = 0 para la dependencia azimuthal “

” demuestra

que el potencial aumenta linealmente con el ángulo. En general, “n” puede ser cualquier número complejo, aunque en

situaciones normales, donde el dominio es periódico y se debe ser igual que en = 0 ya que representan el mismo punto. Esto exige que “n” sea un número entero.

a) CONDENSADOR VARIABLE DE PLACAS CONDUCTORAS INCLINADAS J.LLAURY

111


Dos planos de extensión infinita en la dirección

“z” que

una ddp = U. Los planos no se intersecan, pero llegan a estar suficientemente próximos para que los campos de dispersión en los extremos de los electrodos puedan ser despreciados. Los electrodos se extienden desde r = R1 hasta r = R2. ¿Cuál es, aproximadamente, la capacitancia por unidad de longitud de la estructura?.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Eφ

φ

U

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

r 0

R1

R2

FIG. 63.- Condensador de placas inclinadas formando un ángulo azimuthal

Solución.Ensayando una solución con n = 0 de (298), sin dependencia radial, como: U = B1. + B2 Las condiciones de frontera imponen las restricciones: U( = 0) = 0 y Entonces: (302) El campo eléctrico es:

1 dU   U  E   . r d r.

(303)

La densidad de carga superficial sobre el electrodo superior es:  .U (304)        .E     r. Con una carga total por unidad de longitud: R2

  





    .dr   .U .Ln R

r  R1



   R1  2

(305)

De manera que la capacitancia por unidad de longitud es:

J.LLAURY

112


C



U



 

 R2    R1 

. Ln

(306)

b) SOLUCIONES TRIDIMENSIONALES Si el potencial eléctrico depende de las tres coordenadas, se ensaya una solución producto de la forma:

U(r,

, z) = R(r).

(

).Z(z)

(307)

Que cuando se sustituye en la ecuación de Laplace produce: Z . d  dR  R.Z d 2  d 2Z (308) .  r.  .  R .  . 0  r dr  dr  r 2 d 2 dz 2 Ahora, se presenta una dificultad, pues, (308) no se puede dividir por un factor que haga que cada término sea una función únicamente de una sola variable. Sin embargo, al dividir la ecuación por U = R.

Z, se obtiene:

1 d  dR  1 d  1 d 2Z r .  .  .  . 2 0 R.r dr  dr  r 2 . d 2 Z dz 2

 k2

(309)

 k2 

Se observa que los dos primeros términos son funciones de “r” y “φ”, mientras que el último es función sólo de “z”. Este

último término debe por lo tanto igualarse a una constante = k2, según se muestra en (309); de donde:   k .z , k  0  A1 .Senhk.z  A2 .Cosh (310) Z  A . z  A , k  0  3 4 Los dos primeros términos de (309) deben sumarse a – k2, de modo que al multiplicar por r2 se tenga:

r d  dR  1 d 2 2 2 R . dr  r. dr   k .r  . . d 2  0 Ahora, nuevamente los dos primeros términos son funciones únicamente de “r”, mientras que el último término es función sólo de “ ”, así que la última expresión otra vez se separa:

r d  dR  .  r.   k 2 .r 2  n 2 R dr  dr 

(311)

y

1 d 2 . . d 2

  n2

(312)

J.LLAURY

113


donde n2 es la segunda constante de separación. La dependencia angular tiene, por consiguiente, las mismas soluciones que para el caso bidimensional dado por (298):  n. , n  0  B1.Senn.  B2.Cos (313)

  B3 .  B4

, n0 La ecuación diferencial para la dependencia radial: d  dR  2 2 2 (314) r. dr  r. dr   k .r  n .R  0 Es la ecuación de Bessel y para k diferente de cero, tiene soluciones en términos de las funciones de Bessel: n k r , k 0 C1 .J n kr  C2 .Y (315)  R  C3 .r n  C 4 .r  n , k  0, n  0

C .Lnr   C , 6  5

k  0, n  0

donde Jn se llama función de Bessel de primera clase, de orden “n”, y Yn se denomina función de Bessel de n-ésimo orden de segunda clase. Cuando n = 0 las funciones de Bessel son de orden cero, mientras que si k = 0 las soluciones se reducen a las correspondientes al caso bidimensional de (301). El de “k” ser real ó imaginario. “k” es real, de valor modo quepuede la dependencia de “z” Cuando es hiperbólica ó

exponencial, las funciones de Bessel son oscilatorias; mientras

que

si

“k”

es

imaginaria,

de

modo

que

la

dependencia de “z” sea trigonométrica, es conveniente definir las funciones de Bessel no oscilatorias modificadas como: I n k r  j n .J n j.k r (316)  n 1 K n k r  . j  .J n j.k r  j.Yn j.k r  2 c) BOQUILLA AISLADORA DE ALTO VOLTAJE El aislador de alto voltaje de la Fig. 64 consiste de un disco cilíndrico de conductividad óhmica , sostenido por un poste cilíndrico conductor perfecto sobre un plano conectado a tierra. El plano en z = 0 y el poste en r = R1 están a potencial cero, mientras que un potencial constante se ha aplicado a lo largo de la circunferencia del disco en r = R2. La región situada debajo del disco es espacio libre, de modo que la corriente no puede cruzar las superficies en z = H, y z = H – a. Como las fronteras están a lo largo de superficies en las que “z” es constante, o bien, lo es “r”, se intentan soluciones de

constante de separación cero en (310) y (315), las cuales son independientes de “

”, de tal modo que la solución general se

toma como: J.LLAURY

114


U r, z

 A.z  B.z.Lnr  C.Ln r  D

(317)

Solución en la zona (1): 0 ≤ z ≤ H - a De acuerdo a (317), sea la función potencial:

U1 r, z

 A1.z  B1.z.Lnr  C1.Ln r  D1

Y

(318)

R2 R1

,  a

U = Uo

2

H

o,

= 0

1

FIG. 64.-sobre Un un disco conductor está montado poste cilíndricofinito conductor perf ecto, y está conectado sobre un plano conductor perfecto conectado a tierra

Tomando condiciones de contorno:

CC1

U1(r, z = 0) = 0 :

0 Queda:

 r  D1  D1  C1.Ln r  C1.Ln U1 r , z  A1.z  B1.z.Ln r

CC2

0

(319)

U1(r = R1, z) = 0 :

 A1.z  B1.z.LnR1 1  A1  B1.Ln R1

Queda:

 r    R1 

U1 r , z   B1. z.Ln 

(320)

Sin embargo, todavía queda pendiente el valor del coeficiente B 1.

Solución en la zona (2):

H-a≤z≤H

De acuerdo a (317), sea la función potencial: J.LLAURY

115


U 2 r, z

CC3

 A2 .z  B2.z.Lnr  C2 .Ln r  D2

(321)

U2(r = R1, z) = 0 :

0

 R1  D2  A2 .z  B2 .z.LnR1  C2.Ln

de donde: D2 

 C2 .Ln  R1

queda: U 2 r, z

CC4

A2    B2 .Ln R1

y

r  B2 .z .  C2 . Ln   R1 

(322)

U2(r = R2, z) = Uo :

 R2    R1 

U o   B2 .z.  C2 . Ln

de donde:

B2  0

C2  .

y

Uo R  Ln  2   R1 

queda: U 2 r, z

U  2 r  .U o .

 r    R1  R  Ln  2   R1  Ln 

(323)

Que viene a ser la función potencial en la zona (2), la cual es estrictamente radial. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, falta determinar el valor del coeficiente B1. Esto se puede lograr si se considera una quinta condición de contorno en el límite de los dos medios, es decir, para z = H – a, por lo que:

CC5

U1(r, z = H - a) = U 2(r, z = H - a):

Al igualar (320) y (323) para z = H – a, se tiene: B1 . 

U o.

H

R  a .Ln 2  R1

  

luego:

J.LLAURY

116


 r   R1    U 1 r , z .   R2  H  a .Ln  R1

(324)

U o .z.Ln 

  

con lo cual la función potencial U 1(r, z) queda bien definida.

Cálculo de los campos eléctricos.Se determinan aplicando el negativo del gradiente del potencial, en coordenadas cilíndricas, a las funciones dadas por (323) y (324). Dado que el gradiente de una función escalar, en coordenadas cilíndricas, tal como U, viene dada por (38):

U 

U 1 U U .u  . .u  .k r z r  r

(38)



De modo que, de (324): E1 r , z   

 z r  .ur  Ln .k  r  R1   H  a .Ln R2      R1  Uo

. Ln

(325)

De (323):

E1 r , z   

Uo .u  R2  r r.Ln    R1 

(326)

Líneas de fuerza.- En la región del espacio libre, son: Se determinan a partir de: dr dz

de donde:

z2



Er Ez



z

 r    R1 

r.Ln

  r  1  r 2 . Ln     const   R1  2 

(327)

J.LLAURY


117

SEPTIMA UNIDAD

CAMPO MAGNETICO

CAPITULO 9 CAMPO MAGNETOSTATICO

9.1.

DESCUBRIMIENTO DE HANS CHRISTIAN OERSTED DESCUBRIMIENTO DE HANS CHRISTIAN Una carga eléctrica estática tiene un campo eléctrico; asimismo, una carga móvil constituye una corriente eléctrica y posee un campo magnético. Entonces, un conductor por el que circula una corriente I está rodeado por una región en la que actúan fuerzas sobre un imán o sobre la aguja de una brújula, como se ilustra en la Fig. 65, descubrimiento hechocon poruna Hans Christian Oersted ( que en 1819). Al explorar este campo brújula, se encuentra la aguja siempre gira para ponerse perpendicular al conductor y a una distancia radial “r” que se extiende hacia fuera partiendo del

conductor. Este alineamiento es paralelo al campo magnético. Prosiguiendo en la dirección de la aguja, se encuentra que el campo magnético forma espiras circulares cerradas alrededor del conductor. La dirección del campo magnético se toma como la dirección indicada como “norte” (N) por la aguja de la brújula (Fig. 66). La

relación entre la dirección del campo magnético y la dirección de la corriente puede recordarse fácilmente por medio de la regla de la mano derecha. J.LLAURY

118


r

Alambre

I Líneas de campo magnético

Fig. 65.- Campo magnético alrededor de un alambre por el que circula corriente.

Líneas d e campo magnético Líneas radiales N S N

Alambre con corriente saliente

S brújula

FIG. 66.- Sección transversal perpendicular al alambre. La corriente es saliente 9.2.

FUERZA DE LAPLACE (LORENTZ)

Si se coloca un alambre en el campo uniforme de un imán permanente, como en se muestra en la Fig. 67, existirá unay fuerza sobre el alambre cuanto se cierre el interruptor fluya corriente por dicho alambre. Esta fuerza es básica para la operación de motores eléctricos, y se denomina fuerza motora ó motriz. La corriente hacia adentro del alambre produce un campo magnético en el sentido horario, como se ilustra en la Fig. 67, reforzando el campo del imán sobre el alambre y debilitándolo abajo como se sugiere en la Fig. 68. Si se imagina, como lo hizo Michael Faraday, que las líneas del campo son como ligas de jebe que se estiran, se puede concluir que la fuerza sobre el alambre es hacia abajo.

J.LLAURY

119

TEORIA ELECTROMAGNETICA Campo magnético del alambre

B

N

S

I

FIG. 67.- Corriente lineal I que circula por el conductor perpendicular a las líneas de campo de un imán natural.

El módulo de la fuerza (F) sobre el alambre con corriente lineal I está dado por:

F = L. I. B

(328)

donde: 

L: longitud del alambre en el campo magnético ó ancho de los polos del imán, (m)



I: módulo de la corriente, (A) B: coeficiente de proporcionalidad.



B

N

S

I

F FIG. 68.- se Las“suman” líneas dey las campo del alambre queencima están debajo del alambre se “cancelan”

De (328):

B



F I

L



fuerza momento de corriente

(329)

Así pues, B se describe como una fuerza por momento de corriente. Sin embargo, se acostumbra llamarla densidad de flujo magnético. La unidad es el weber por metro cuadrado (Wb/m2) ó tesla (T). J.LLAURY

120


En las figuras 67 y 68, I, B y F son vectores mutuamente perpendiculares. Si I no es perpendicular a B, se encuentra que F es una función de

(ver Fig. 69).

dL

φ

B Elemento de corriente FIG. 69.- La fuerza sobre un elemento de corriente es perpendicular al plano que contiene al elemento y a B

En general, para cualquier elemento infinitesimal, dL, portador de corriente

dF

 B. I . dL. Sen

(330)

Esta ecuación (330) y la ecuación (328) son las ecuaciones básicas de las máquinas eléctricas rotatorias. En forma vectorial, la fuerza que actúa sobre el conductor por el que circula una corriente I, debido a un campo B, es:

F=IxB 9.3.

(331)

VEHICULO DE MOTOR LINEAL

A continuación, en la Fig. 70, se muestra el esquema de un vehículo de motor lineal donde el motor está en la pista. Este vehículo consta, básicamente, de unim án natural ó electroimán el cual produce líneas de campo magnético que cruzan un entrehierro de aire, decir, superior la distancia que separa parte inferior del vehiculo con es la parte de la pista. En la el tramo AM las líneas de flujo magnético están dirigidas hacia abajo, y en el tramo MB las líneas están hacia arriba. Estas líneas de campo magnético se conducen a través del material ferromagnético de la pista. En la pista, se encuentran empotrados los alambres que conducen la corriente cd. Esto se aprecia con mayor detalle en la vista de planta de la Fig. 71. En el centro de la pista se coloca una troncal de modo que la corriente eléctrica continua tiene un sentido (corriente de ida). Esta corriente se va repartiendo a lo largo de las ramas laterales de modo que se “recogen” por los

alambres colocados en los extremos de la pista (corriente de retorno). Esta pista ferromagnética descansa en una base de J.LLAURY

121


material no ferromagnético, de modo que sirva de carril para las ruedas. Rueda

Imán natura l ó electroi mán

M A

B

FIG. 70.- Vehículo de motor lineal.- Los conductores eléctricos, por donde circula la corriente, están empotrados en la pista.

De acuerdo a la Fig. 71, ¿hacia qué dirección se mueve el vehículo? Para responder a esta pregunta habría que hacer un análisis de la fuerza de Laplace en un ramal cualquiera de la Fig. 71, por ejemplo de A hacia B. Cuando se mira al vehículo de perfil (vista latera)), la corriente de derivación siempre apuntará hacia el observador, teniendo en cuenta que por la troncal la corriente apunta en una dirección y retorna por los costados.

A

B

I/2

I

I/2

FIG. 71.- Vista de planta del vehículo de motor lineal y cableado en la p ista.

J.LLAURY

122


F1 B

I’

F’

FIG. 72.- Vista de perfil: La fuerza F’ actúa sobre el conductor, entonces la fuerza F 1 empuja al vehículo hacia la izquierda

Entonces, si por el ramal AB (A hacia B) de la Fig. 72, pasa una corriente I’ (saliendo hacia el lector), y teniendo en cuenta que el campo B apunta hacia abajo, se deduce , al aplicar (331), que la fuerza sobre el conductor incrustado en la pista actúa hacia la derecha, por lo que el vehiculo se moverá hacia la izquierda arrastrado por una fuerza F’. Un análisis similar conduce al mismo resultado, observando por el lado opuesto, es decir de B hacia A. También se llega a la conclusión de que una fuerza de igual magnitud que la anterior (F’) contribuirá al mover al

vehículo hacia la derecha del observador (mirando de B hacia A). Obviamente, la corriente (I’) que circula por la rama vista de B hacia A deber ser la misma que la corriente anterior. En conclusión, el vehículo se moverá hacia la izquierda, mirando el observador de A hacia B.

9.4.

LEY DE BIOT – SAVART En forma generalizada, la Ley formulada por Biot y Savart, para la cuantificación del campo B para una distribución de carga (en movimiento) dada, es decir, para una distribución de corriente, viene dada por:

B 

o 4.

.



L , S ,V

v  rQP

rQP 

3

. dq

(332)

donde la distribución de corriente viene dada por las cargas en movimiento, es decir:

I .dL ,  v . dq  K .dS ,  J .dV , 

corriente lineal

(333)

corriente sup erficial corriente volumétrica J.LLAURY

123


El campo magnético total para una distribución de corriente se obtiene por integración de las contribuciones de todos los elementos diferenciales:

 I  rQP  . dL  L rQP 3  QP o B   .. K  r3 . dS 4 .   rQP  S  J  rQP  . dV 3   rQP   V



(334)

 

9.5.

APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT – SAVART a) LINEA INFINITA DE CORRIENTE Una corriente constante I fluye en la dirección Z a lo largo de un alambre de longitud infinita, como se muestra en la Fig. 73. Para calcular el campo magnético B, se debe aplicar (334), para el caso de una corriente lineal. De acuerdo a la Fig. 73, las coordenadas de Q y P son, respectivamente:

Q(0, 0, z’) y

P(0, r, z)

Por lo tanto, el vector rQP es:

rQP = 0.i + r.j + (z – z’).k

(a)

y su modulo es:

r 2   z  z '

rQP 

2

(b)

Además:

dL = dz’

(c)

I = I.k

(d)

Reemplazando (a), (b), (c) y (d) en (334), se tiene: z'   

B 

I .k  r . j   z  z '.k  .dz ' 3 4. 2 2 2 z'    r   z  z ' o

..







Resolviendo la integral, se tiene la fórmula (335) que permite evaluar el campo B de una línea infinita de corriente:

J.LLAURY

124


B



 o .I

(335)

2. .r

Z +

r Q rQP

dz’

P

r z’

z

r’

0 X

Y

I

-

FIG. 73.- Línea infinita de corriente

La fórmula (335) indica el módulo del campo B, que para el caso de la línea infinita de corriente (Fig. 73), es estrictamente radial. b) LAMINA DE CORRIENTE SUPERFICIAL Una corriente laminar K = Ko.k, fluye en la dirección positiva del eje Z, tal como se muestra en la Fig. 74. La lámina de corriente superficial es infinita a lo largo de las direcciones X y Z. De acuerdo a la Fig. 74, las coordenadas de Q y P son, respectivamente:

Q(x’, 0, z’ ) y

P(0, y, 0)


rQP = - x’.i + y.j – z’.k

(a)

y su modulo es:

rQP 

x '

2

 y 2  z '

2

(b)

Además:

dS = dx’ . dz’ K = Ko.k

(c) (d)

Reemplazando (a), (b), (c) y (d) en (334), se tiene:

J.LLAURY

125

TEORIA ELECTROMAGNETICA 

B 

o

4.

.. x'

 

K o .k   x '.i  y. j  z '.k 

 

x'

   z'   

2

 y  z ' 2

3 2 2



.dx '.dz '

Z

d x’

K Q

r QP

dz ’

P

O

Y

z’

y

X

FIG. 74.- Lámina de corriente superficial

x’

Resolviendo la integral, se tiene la fórmula (336) que permite evaluar el campo B de una lámina infinita de corriente:

  B  

o .K o 2 o .K o 2

,

y

0

,

y

0

(336)

c) ESPIRA DE CORRIENTE Una espira circular de radio R con centro en el srcen y en el plano la Fig. XY, 75. lleva una corriente constante I, como se muestra en De acuerdo a la Fig. 75, las coordenadas de Q y P son, respectivamente:

Q(0, 0, z’ ) y

P(R.Cos , R.Sen , 0)


rQP = R.Cosφ.i +

R.Senφ.j – z.k

(a)

y su modulo es:

rQP 

R2  z2

(b)

J.LLAURY

126

TEORIA ELECTROMAGNETICA Z

P

r QP

z

Y

R O

R

Q dl, d

I

X

FIG. 75.- Alambre circular que transporta una corriente lineal I

Además:

dL = R.dφ I = I.uφ Donde el ángulo azimuthal

(c) (d)

se mide a partir del eje X; y el

vector unitario uφ tiene su equivalente en la geometría rectangular como:

uφ = - Sen i + Cos j por lo que la corriente dada por (d) se expresa como:

I = I. (- Senφ.i + Cosφ.j)

(e)

Reemplazando (a), (b), (c) y (e) en (334), se tiene: B 

o

4.

2.

I . Sen i  Cos  j    R.Cos  i  R.Sen. j  z.k . ..R.d ' 3   0 R 2  z 2 2

..



Resolviendo la integral, se tiene la fórmula (337) que permite evaluar el campo axial Bz de una espira de corriente: Bz

o .I . R



2.z 2

(337)

2 3

 R 2 2

d) BOBINA DE HELMHOLTZ Con frecuencia se desea disponer de una región accesible en el espacio donde exista un campo magnético esencialmente uniforme. Esto puede lograrse colocando dos aros idénticos de corriente separados por una distancia z = d, como se indica en la Fig. 76. Entonces, el campo magnético total a lo largo del eje Z se determina por la superposición del campo dado por (337): J.LLAURY

127


Bz 

 o .I . R 2 2.

 

.

1 3

1



 z 2  R 2 2

 z  H 

2

  3  R 2 2 

(338)

Se demuestra que el campo es esencialmente uniforme alrededor del centro, cuando:

Z = H/2,

si:

H=R

Con lo que: 3

 4 2 Bz  .  R.  5   o .I

(339)

Siendo; -7

μo

H/m (permeabilidad del espacio libre)

Si cada una de las espiras (superior e inferior) se reemplazan por bobinas con los arrollamientos bastante juntos, de modo que se tengan manojos de alambres barnizados, entonces la corriente I de (339) deberá ser reemplazarse por “N.I”, siendo

N el número de espiras de cada bobina. Por lo tanto: 3



Bz

 o .N .I

R.

 4 2 .  5

(340)

BZ Z

O’ R

I

H

O R X

Y

I

FIG. 76.- Par de Helmhol tz: se pr oduce un campo B esencialmente uniforme cerca del centro en z = H/2

e) CAMPO MAGNETICO DE UN SOLENOIDE Se calculará el campo B axial, es decir, en un punto de su eje. Se procederá calculando B para una corriente azimuthal superficial cilíndrica, tal como se ilustra en la Fig. 79.

J.LLAURY

128


Se considerará una densidad superficial azimuthal de magnitud Ko amp/m2, suponiendo que se tratara de N hilos muy delgados (y apretados) arrollados a lo largo del cilindro de longitud L, de modo que: N .I (341) L De acuerdo a la Fig. 75, las coordenadas de Q y P son, Ko

respectivamente: Q(R.Cos



, z’) y P(0, 0, z )

, R.Sen


rQP = - R.Cosφ.i -

R.Senφ.j + (z – z’).k

(a)

R 2   z  z '

(b)

y su modulo es:

rQP 

2

Además:

Bz

dS = R.dφ.dz’

(c)

K = Ko.uφ

(d)

P

R + L/2 Z’

Q L

dz ’ z’

Y

Ko X - L/2

FIG. 77.- Corriente laminar azimuthal en la superfici e lateral de un cilindro

J.LLAURY

129


Donde el ángulo azimuthal

se mide a partir del eje X; y el

vector unitario uφ tiene su equivalente en la geometría rectangular como:

uφ = - Sen i + Cos j por lo que la corriente dada por (d) se expresa como:

K = Ko. (- Senφ.i + Cosφ.j)

(e)

Reemplazando (a), (b), (c) y (e) en (334), se tiene: 2. o K o . Sen i  Cos  j   R.Cos   i  R.Sen. j  z  z ' .k . B 

4.

.



R

  0

2

  z  z '

..R.d .dz '

3 2 2



Resolviendo la integral, se tiene la fórmula (342) que permite evaluar el campo axial Bz de una lámina de corriente cilíndrica azimuthal.

  L L   z z   .K   2 2 Bz  o o .   2 2 2   L  z  L   R2  2 z   R     2    2

(342)

Reemplazando (342) en (341), se tiene el campo axial de una bobina de longitud L y N espiras por donde circula una corriente lineal I (ver Fig. 78).

  L L    z  z  . N .I   2 2 Bz  o .   2 2 2.L   L  z  L   R2  2 z   R     2    2

(343)

L Bz

R

N vueltas

I

I FIG. 78.- Campo magnético B solenoide de sección circular

z

de un

J.LLAURY

130


CAPITULO 10 APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE 10.1. CAMPO MAGNETICO DE UNA LINEA DE CORRIENTE De la circulación del campo magnético H, dada por (6):

I   H . dL

(6)

C

la cual se conoce como la Ley de Ampere. Ahora, como una aplicación de la Ley de Ampere se verá el caso del campo magnético producido por la corriente que circula por un conductor rígido y macizo, tal como el mostrado en la Fig. 77. De la figura 65, Para una determinada distancia radial “r” se tiene que los campos B y H son constantes y azimutales, de modo que:

H = H(r).u

(344)

donde: H(r)

: es el módulo del campo magnético H azimutal, el cual es

constante a una distancia radial “r”.

u

: es el vector unitario en la dirección del azimuth.

Un desplazamiento dL vectorial a lo largo del lazo amperiano de radio “r” es igual a:

dL = r.d. u

(345)

Reemplazando (344) y (345) en (6): 2.

I  



H  r .u . r. u .d

0

Cancelando los vectores unitarios azimutales, sacando de la integral el módulo del campo magnético, así como el factor radial “r”, por ser constantes, efectuando la integral para una vuelta, y J.LLAURY

131


luego despejando el campo magnético, se tiene la siguiente fórmula:

H

 H  r  

I 2. .r

(346)

La cual permite evaluar el campo magnético H producido por una corriente unifilar en función de la distancia radial. La densidad de flujo magnético B viene dada por:

B = .H

(347)

Siendo  la permeabilidad del medio sobre el cual se conduce el flujo magnético, el cual viene dado por:

= . o.

(348)

r

donde: 

.o : es la permeabilidad intrínseca del vacío (= 4..10-7 H/m), y



.r : es la permeabilidad relativa del medio (adimensional)

Nota: Para el aire.r = 1

Luego, considerando (346) y (348) en (347), se puede expresar el módulo de la densidad de flujo magnético B en función de la distancia radial, o sea:

B  B r  

 o . r .I

(349) 2. .r Esta fórmula (349) está referida al campo B de una corriente filiforme, es decir, para un alambre muy delgado. Para evaluar el campo B producido por una corriente que circula por un alambre muy largo, pero con una sección definida (sección circular de radio R), habría que considerar dos casos: el campo B en el interior del alambre (r < R), y el campo B en el exterior del alambre (r > R). 10.2. CAMPO MAGNETICO INTERIOR PARA UN ALAMBRE RECTILINEO POR DONDE CIRCULA UNA CORRIENTE Aplicando la Ley de Ampere a la fig. 79: 2.





0

B r  o

. r.d

 I'

Dada una determinada distancia radial “r”, el campo B es

constante a lo largo de todo el borde circular 2. este campo puede salir de la integral. J.LLAURY

132

TEORIA ELECTROMAGNETICA r Corriente enlazada = I’

Lazo amperiano

Porción de alambre de longitud infinita

C

r H

I

FIG. 79.- Las líneas de corriente representadas por trazo lleno (flechas rojas) son captadas por el lazo amperiano.

Por otro lado, la corriente enlazada I’ se puede calcular por

proporcionalidad directa ya que la distribución de la densidad de corriente en toda la sección del alambre es uniforme, ya que este se alimenta con corriente directa. Entonces:

→

I

2 2

I’ Luego:

I'  I .

r2 R2

Por lo que el campo magnético B en el interior de un alambre de sección redonda de radio = R, y que transporta una corriente lineal de “I” A, es:

B r  

 o .I .r 2. .R

(350)

2

10.3. CAMPO MAGNETICO EXTERIOR PARA UN ALAMBRE RECTILINEO POR DONDE CIRCULA UNA CORRIENTE Aplicando la Ley de Ampere a la fig. 80: 2.





0

B r  o

. r.d

I

Dada una determinada distancia radial “r”, el campo B es

constante a lo largo de todo el este campo puede salir de la integral. J.LLAURY

133


En cuanto a la corriente contenida en el lazo amperiano, esta sí es toda la corriente I puesto que el lazo envuelve todo el conductor. R I

Lazo amperiano de radio r (r > R)

r H

I

Fig. 80.- El lazo amperiano encierra toda la corriente I

Por lo que el campo magnético B en el exterior de un alambre de sección redonda de radio R, y que transporta una corriente lineal I, es:

B r  

 o .I

(351)

2. .r

El cual, en este caso, coincide plenamente con la fórmula (346) para el caso de una línea de corriente filamental, rodeada por aire ó espacio libre ( r = 1).

J.LLAURY

134


CAPITULO 11 EL POTENCIAL VECTORIAL

11.1. EL POTENCIAL CORRIENTE

VECTOR

DE

UNA

DISTRIBUCION

DE

En Electromagnetismo, se utiliza el potencial vector A como una herramienta matemática para evaluar el campo B. El potencial vectorial viene dado por:

A

o

.

4.

 I   .dL L   rQP 

(352)



Con frecuencia el potencial vectorial es mucho más fácil de usar puesto que está en la misma dirección de la corriente, y de esta forma se puede evitar el complicado producto vectorial de la Ley de Biot – Savart, la cual para una corriente filamental, viene dada por:

B

o 4.

.

 I  rQP  . dL  3   rQP     L



(353)

11.2. EL POTENCIAL VECTORIAL Y EL FLUJO MAGNETICO Aplicando el Teorema de Stokes, se puede expresar el flujo magnético a través de una superficie, en términos de la integral de línea del potencial vectorial:



 S

B.dS





  A. dS 

S



A.dL

(354)

L

11.3. APLICACIONES DEL POTENCIAL VECTORIAL c) LINEA DE CORRIENTE DE LONGITUD FINITA El problema de una línea de corriente I de longitud finita L, como se aprecia en la siguiente figura, parece ser irreal porque J.LLAURY

135


la corriente debe formar un lazo cerrado. Sin embargo, se puede imaginar que esta línea de corriente es parte de un circuito cerrado, y se procede con los cálculos del potencial vectorial y el campo magnético de esa porción de circuito. Z + L/2

P(0, r, z)

r QP Q(x o , 0. z)

dz’

Y O

z’ xo

r

X - L/2

FIG. 81.- Línea de corriente de longitud L

Sólo interesa la componente Z del potencial vector A, ya que la corriente y la línea por donde fluye esta se ha acomodado a lo largo del eje axial Z. Entonces, aplicando (352), se tiene que:

Az



o 4.

L 2



. z'



I o . dz ' L 2

 x  o

2

 z  z ' 2

(355)

.

donde la integral se toma desde . z’ = -L/2, hasta: z’ = L/2, es

decir, a lo largo de toda la línea de corriente. Desarrollando la integral, se obtiene:

  zL   z  L       o   2 2     Az   . ArcSenh  ArcSenh    xo 2  r 2   xo 2  r 2   4.      

(356)

pero, en la Fig. 81, si se toma r = y o, se tendría:

  zL   z  L       o   2 2    Az    ArcSenh . ArcSenh  xo 2  yo 2   xo 2  yo 2   4.      

(357)

J.LLAURY

136


b) EL POTENCIAL VECTORIAL, EL FLUJO MAGNETICO Y LA INDUCTANCIA DE UNA ESPIRA RECTANGULAR DE CORRIIENTE Se considera la siguiente geometría, (Fig. 82), para la espira rectangular, la cual se encontrará inicialmente en el plano X = xo. Posteriormente se hará una permuta del eje X con el eje Z, de modo que la espira se encuentre el plano Z = zo. Como se trata de una espira, el flujo magnético  es igual a los enlaces de flujo ; por lo que la inductancia de la espira es igual al flujo magnético dividido entre la corriente: L 



(358)

I

donde el flujo magnético  viene dado por (354):





A.dL

L

en el cual, el potencial vector A se puede evaluar aplicando (357) cada unoen delalos cuatro miembros para (A, B,losC miembros, y D) de la espiraamostrada Fig. (82).Entonces, AB y CD, se ve que la corriente circula en la dirección del eje Z. Entonces, para el miembro AB, se tiene:

AZ , AB

  zb   z  b       o .I o     . ArcSenh 2 2 2   ArcSenh 2 2 2   4.   xo  R   xo  R      

(359)

Y para los dos miembros AB y CD, se tendría, por superposición de (359), la siguiente expresión:

  zb   z  b        o .I o   2 2 Z AB CD , A      2. . ArcSenh x 2  R 2   ArcSenh x 2  R 2     o   o       (360)

Entonces, la inductancia debido sólo a los miembros AB y CD de la espira rectangular viene dada por: b/2

1  z



Az , AB  CD  .dz

(361)

  b/2

J.LLAURY

137

TEORIA ELECTROMAGNETICA Z B

2.R

C

O

Y

2.R

O’ x o

b

X A

D

a

FIG. 82.- Geometría de la espira rectangular por la que circula la corriente I.

Reemplazando (360) en (361) se tiene:

 zb   zb        o .I o  a / 2 2  2     1   2. .y   a / 2 ArcSenh xo 2  R 2   ArcSenh xo 2  R 2  . dz     (362) Así mismo, para los miembros BC y DA, se tiene: a/2

2  y



(363)

Az , BC  DA  .dy

  a/2

En este caso, se tuvo que cambiar la variable “z” por “y”, ya que en ambos miembros la corriente circula en la dirección del eje Y; y además “y” variará desde y =-a/2 hasta y = a/2. Entonces, (363) se transforma en:  ya   ya  a/2     (364) I  . 2  . dy ArcSenh 2 2   ArcSenh  2   o o .  2.  y   a / 2  xo  R 2   xo 2  R 2 











Luego, el flujo total sobre la espira ABCD debido a su propio campo magnético viene dado por la suma de los resultados de las integrales de (362) y (364), el cual resulta:

J.LLAURY

138


  bR   .I     o o  . b  R . ArcSenh  2  x  R2       o 

(365)

    R   a  R . ArcSenh  a  R    2.R. ArcSenh  2 2 2 2  x R   x R   o   o  2 2 2 2 2 2 2  2, xo  R  xo  R  b  R  xo   R  a  R 2  Pero, si la espira se coloca en el plano XY , es decir Z = z o, entonces en la fórmula (364) se debe cambiar la distancia xo por la distancia zo, por lo que se tendría:

 bR   .I       o o  . b  R . ArcSenh 2  z  R2       o 

(366)

    R   a  R . ArcSenh a  R    2 .R. ArcSenh 2  z  R2   z 2  R2   o   o  2 2 2 2 2 2 2  2, z o  R  z o  R  b R  z o   R  a  R 2  Haciendo: Km = o/ R;

A=a–R

yB = b – C2 = zo2 + R2

(367)

entonces, (366) se puede escribir como: B R A   K m .B. ArcSenh    2.R. ArcSenh    A. ArcSenh   C  C  C    2. C 2  R 2  C 2  B 2  C 2  A 2 

(368)

Por lo tanto, como la inductancia de la espira es la relación entre el flujo magnético y la corriente que circula en dicha espira, es decir la relación (358): L =  / I, entonces:

 B R  A L  K ' m .B. ArcSenh    2.R. ArcSenh    A. ArcSenh   C  C  C    2. C 2  R 2  C 2  B 2  C 2  A 2 

(369)

donde, en este caso:

K’m = (Km) / I La fórmula (a.42) expresa la autoinductancia de una espira rectangular.

J.LLAURY

139


OCTAVA UNIDAD

MATERIALES MAGNETICOS Y CIRCUITOS MAGNETICOS

CAPITULO 12 HISTERESIS FERROMAGNETICA Y CIRCUITOS MAGNETICOS

12.1.

FERROMAGNETISMO: MATERIALES FERROMAGNETICOS

Los materiales ferromagnéticos presentan fuertes efectos magnéticos y son las sustancias magnéticas más importantes. La permeabilidad de estos materiales no es constante, sino que es función del campo aplicado y la historia magnética previa del espécimen. En vista de la naturaleza variable de la permeabilidad de los materiales ferromagnéticos, es necesario hacer una consideración especial de sus propiedades. En las sustancias ferromagnéticas, los dipolos atómicos tienden a alinearse en la misma dirección por regiones, ó dominios, que contienen muchos átomos. El tamaño de los dominios varía, pero normalmente contienen millones de átomos. En algunas sustancias, la forma parece ser una barra larga y delgada con una dimensión transversal de tamaño microscópico pero con longitudes del orden de milímetros, o algo así. En consecuencia, un dominio actúa como un imán de barra muy pequeño, pero no de tamaño atómico. J.LLAURY

140


En un cristal de hierro sin magnetizar los dominios son paralelos a una dirección de fácil magnetización, pero hay igual número de polos norte apuntando en cada dirección, de manera que el campo externo del cristal es cero. En un cristal de hierro existen seis direcciones de fácil magnetización. Esto es, existe una dirección positiva y negativa a lo largo de cada uno de los tres ejes mutuamente perpendiculares del cristal (Fig. 83). Z

Y

FIG. 83.Seis direcciones de fácil magnetización en un cristal de hierro.

X

Por lo tanto, la polaridad de los dominios en un cristal de hierro sin de lamagnetizar Fig. 84. puede representarse por el diagrama esquemático N

S

N ←S

S→N

N

S

N

S

↑

↓

↑

↓

S

N

S

N

S→N

N ←S

S

N

S

N

N

S

↓

↑

N

S

FIG. 84.- Polaridad de los dominios en un cristal de hierro desmagnetizado .

Una sola N representa un dominio con un polo norte apuntando hacia fuera de la página, y una sola S representa un dominio con un polo sur apuntando hacia fuera de la página. Si el cristal se coloca en un campo magnético paralelo a una de las direcciones de fácil magnetización, los dominios con polaridad perpendicular u opuesta al campo se volverán inestables y unos cuantos de ellos giran para tener la misma dirección que el campo. Con un aumento posterior del campo, cambian más dominios cada uno como una unidad individual, hasta que todos los dominios están

J.LLAURY

141


en la misma dirección, habiéndose alcanzado la saturación magnética, como se sugiere en la Fig. 85. S →N

S →N

S →N

S→N

S →N

S →N

S →N

S→N

S →N

S →N

S →N

S→N

S →N

S →N

S →N

S→N

CAMPO MAGNETICO APLICADO

FIG. 85.- Situación después de que el cristal ha sido saturado por un campo magnético dirigido a la derecha. .

El cristal se magnetiza entonces en un grado máximo. Si la mayor parte de los dominios conservan sus direcciones después de que se suprime el campo aplicado, se dice que el espécimen está magnetizado permanentemente. El choque térmico y mecánico hace regresar al cristal a su estado srcinal desmagnetizado, o si la temperatura se eleva lo suficiente, los dominios mismos se desmagnetizan. Para el hierro, esta temperatura de transición, o punto Curie, es de 770 ºC. La magnetización que aparece solamente en presencia de un campo aplicado se puede mencionar como magnetización inducida, para distinguirla de la magnetización permanente que se presenta en ausencia de un campo aplicado. 12.2. CURVAS DE MAGNETIZACION

La permeabilidad

de una sustancia está dada por:





B H

  o . r

(370)

donde: 

B = magnitud de la densidad de flujo, T



H = magnitud del campo H, A/m



μo



μr = permeabilidad relativa de la sustancia, adimensional

Por consiguiente, para ilustrar la razón de B a H, se usa una gráfica que muestra a B como función de H en dicha gráfica; B-H J.LLAURY

142


se denomina curva de magnetización. Se observa que no es la pendiente de la curva, la cual está dada por dB/dH, sino que es igual a la razón B/H. Para hacer la medición de una curva de magnetización para una muestra de hierro, puede cortarse de la muestra un anillo cerrado, delgado. Se coloca un devanado uniforme sobre el anillo, formando un toroide con núcleo de hierro, como en la Fig. 86. Sección t ransversal de área A

Secundario

Primario Fluxómetro

I R

FIG. 86.- Anillo de Rowland

Anillo de hierro

Si el número de ampere – vueltas del toroide es N.I, el valor de H aplicado al anillo es:

H 

N .I L

(371)

donde: Y R es el radio medio del anillo ó toroide. Este valor de H aplicado al anillo puede llamarse fuerza de magnetización. En general, H es llamado a veces por ese nombre. La densidad de flujo B en el anillo puede considerarse como el resultado del campo aplicado H y se mide por medio de otra bobina secundaria sobre el anillo, como en la Fig. 86, y conectando esta segunda bobina a un fluxómetro (ó gaussímetro) el cual opera con la fem inducida en el secundario cuando el flujo magnético a través de éste cambia. Para un cambio de H, producido por el cambio de la corriente I en el toroide, existe un cambio en el flujo magnético Φm a través del anillo. Tanto H como B son esencialmente uniformes dentro anillo y despreciables en el exterior. Por lo tanto, el cambio en el flujo Φm = B.A, en donde A es el área de la sección transversal del anillo y el cambio que se produce en la densidad de flujo B está dado por: B = Φ m/A, donde m se mide por medio del fluxómetro. Este método del anillo para medir curvas de magnetización lo usó Rowland en 1873. J.LLAURY

143


Una curva típica de magnetización para un material ferromagnético se muestra por medio de la curva de la Fig. 87. El espécimen, en este caso, estaba desmagnetizado y se fue anotando el cambio en B al ser aumentado H a partir de 0. Esta curva de magnetización mostrada en la Fig. 87 es una curva de magnetización inicial. Esto es, que el material estaba completamente desmagnetizado antes de que se aplique el campo H. Al aumentar H, el valor de B sube, rápidamente primero y lentamente valores suficientemente de aH,esta la curva tiende después. a hacerse Aplana, como se sugiere en laaltos Fig. 87; condición se le llama saturación magnética. La curva de magnetización comienza en el srcen y tiene una pendiente finita que da una permeabilidad inicial. En consecuencia, la curva de permeabilidad relativa de la Fig. 87 comienza con una permeabilidad finita para campos infinitesimales. La curva de magnetización puede dividirse en dos secciones: i.

la sección de subida, y

ii.

la sección plana,

estando el punto de división P en el doblez superior de la curva (Fig. 87). La sección de subida corresponde a la situación de fácil magnetización, mientras que la sección plana corresponde a la condición de difícil magnetización. 1.8

Fácil

Difícil

magnetización

magnetización

P

1 B (T)

0 0

5000 H (A/m)

10000

FIG. 87.- Regiones de fácil y difícil magnetización de una curva típica de magnetización. inicial

12.3.

MATERIALES FERROMAGNETICOS USADOS COMO NUCLEOS Es necesario mencionar que para núcleos de bobinas y transformadores, son usados, mayormente los siguientes materiales: J.LLAURY

144


a) Material A

:

Hierro colado

b) Material B

:

Acero colado

c) Material C

:

Silicio – Acero, y

d) Material D

:

Aleación Níquel – Hierro.

Por su alto grado de permeabilidad relativa. Estos materiales, tienen la propiedad de “atraer” las líneas de flujo magnético las

cuales se conducen por su medio evitando en lo posible, que tales líneas de flujo se pierdan ó se dispersen fuera del núcleo (flujo de dispersión). 12.4.

HISTERESIS FERROMAGNETICA Si el campo aplicado a un espécimen se aumenta hasta la saturación y luego se hace disminuir, la densidad de flujo B disminuye, pero no tan rápidamente como aumentó durante la curva de magnetización inicial. Entonces, cuando H llega a cero, existe una densidad de flujo residual o remanencia, B r (ver Fig. 88).

Br Curva de magnetizació n inicial -H c

+H

H

- Br

FIG. 88.- Curva de histéresis

B Para reducir B a cero, se debe aplicar un campo negativo –H, y este se llama fuerza coercitiva o coercida. Al disminuir H todavía más en dirección negativa, el espécimen se vuelve a polarizar, con polaridad opuesta, siendo la magnetización al principio fácil y después difícil al aproximarse a la saturación. Llevando de nuevo al campo a cero se deja una magnetización residual o densidad de flujo –B, y para reducir B a cero se debe aplicar una fuerza coercitiva +H. Con un aumento posterior en el campo, el espécimen se vuelva a saturar de nuevo con la polaridad srcinal.

J.LLAURY

145


El fenómeno que produce que B vaya rezagado en relación con H, de manera que la curva de magnetización al aumentar o disminuir los campos no sea la misma, se denomina histéresis y a la curva cerrada trazada por la curva de magnetización se la llama curva de histéresis (Fig. 88). Si la sustancia lleva a la saturación en ambos extremos de la curva de magnetización, la espira o curva cerrada se llama curva de histéresis mayor o de saturación. La densidad de flujo residual B r, en la curva de retentividad, y a la fuerza coercitiva saturación denomina sobre estasecurva se le llama coercitividad. Entonces, retentividad de una sustancia es el valor máximo al que densidad de flujo residual puede tenerse, y la coercitividad valor máximo al que puede tenerse la fuerza coercitiva. 12.5.

Hlac la el

CIRCUITOS MAGNETICOS Y CALCULO DE LOS PARÁMETROS GEOMÉTRICOS Y OBTENCIÓN DE LOS PARÁMETROS MAGNETICOS MEDIANTE TABULACION Para obtener el flujo magnético es necesario conocer el valor de la densidad de flujo magnético B y el área de la sección transversal del núcleo, es decir: = B.A, de modo que los cálculos se pueden efectuar mediante tablalos mostrada continuación, en la tabulación. primera filaEnse la tienen parámetrosa involucrados en la solución del problema; en la segunda fila se dan las unidades indicadas; y en la tercera fila se rellenan los casilleros con los datos iniciales (marcados con un “check”) y los parámetros desconocidos – al menos inicialmente – están

marcados con signos de interrogación (¿?) Por ejemplo, para el caso de un toroide de sección rectangular de la Fig. 89. h

R1

R2

A

cm

cm

cm

cm

cm

¿?

¿?







Lm 2

Φ B

Wb 

H

H.L

m

T

A/m

A-v

¿?

¿?

¿?

Si se conoce su geometría, esto es: radio mayor (R 1), radio menor (R2), altura (h), así como el flujo magnético m en el núcleo cuyo material es conocido (cualquiera de los cuatro antes mencionado). Entonces, se podría calcular, por ejemplo, el valor del campo B que debe atravesar la sección de su núcleo. Nota: -En la tabla mostrada, obviamente, hay datos que no figuran tales como: frecuencia, FEM inducida en los bornes del toroide, etc.

J.LLAURY

146

TEORIA ELECTROMAGNETICA Rm R2 R1

h

I

FIG. 89.- Bobina toroidal

I

Sin embargo, el área A de la sección transversal del toroide se puede evaluar fácilmente ya que la altura “h” y los radios interior

y exterior son conocidos, entonces:

A = h.(R2 – R1)

(a)

es el área del toroide que es atravesada por el flujo magnético. Por lo tanto, el área A sería conocida Lo mismo, La longitud media L m del trayecto recorrido por el flujo magnético, puede ser calculada con la fórmula:

Lm = .(R1 + R2)

(b)

Entonces, ya se conocería la longitud media L m y por lo tanto, se tiene resuelta la segunda incógnita de la tabla. Para conocer el valor de la densidad de flujo B – mediante la tabla - será necesario conocer, previamente, el valor del campo magnético H, ya que:

B = 0.r.H Ahora, el campo magnético H se estima de acuerdo a tablas para un material conocido Finalmente, al conocer H, se determina By luego el del flujonúcleo. magnético m. h

R1

R2

A

cm

cm

cm

cm







Lm 2



cm



Φ B

Wb



H

T



H.L

A/m



m

A-v



Por lo tanto, queda rellenada la tabla y el problema queda resuelto.

J.LLAURY

147


NOVENA UNIDAD

ENLACES DE FLUJO E INDUCTANCIA DE LINEAS DE TRANSPORTE

CAPITULO 13 INDUCTANCIA DE UNA LINEA DE TRANSMISION MONOFASICA 13.1.

INDUCTANCIA DE SOLENOIDES Y TOROIDES. ENLACES DE FLUJO MAGNETICO E INDUCTANCIA INTERNA Y EXTERNA DE UNA LINEA DE TRANSMISION Un inductor es un dispositivo para almacenamiento de energía en un campo magnético. Las líneas magnéticas producidas por una corriente en una bobina solenoidal forman espiras cerradas, como se sugiere en la Fig. 90. Cada línea que pasa a través del solenoide entero se acopla con la corriente N veces. Si todas las líneas abarcan todas las vueltas, el acoplamiento total de flujo magnético m de la bobina es igual al flujo magnético total m a través de la bobina por el número de espiras ó vueltas, es decir: ACOPLAMIENTO DE FLUJO = Ψm = N.

m

(372)

Nota.- Para dispositivos cuyas geometrías están dadas en base a espiras, el acoplamiento de flujo magnético viene dada por (372). Sin embargo, para el caso de líneas de transmisión, el acoplamiento de flujo magnético es: ACOPLAMIENTO DE FLUJO = Ψm = fi.Φm

(373)

donde, en este caso, el factor “fi” viene a ser la fracción de corriente enlazada, según la ley de Ampere. J.LLAURY

148


Bz

N vueltas

I

I FIG. 90.- Solenoide y líneas de flujo magnético

Por definición, la inductancia L es la razón del acoplamiento total de flujo magnético a la corriente I a través del inductor, o sea:

L



N . m I

(374)

Esta definición es satisfactoria para un medio que tenga una permeabilidad constante, como el aire. Sin embargo, la permeabilidad de los medios ferrosos no es constante y, en este caso, la inductancia se define como la razón de cambio infinitesimal en el acoplamiento ó enlace de flujo al cambio infinitesimal de la corriente que lo produce, es decir:

L

13.2.

dm dt

(375)

INDUCTANCIA DE UN SOLENOIDE DE SECCION CIRCULAR El campo B de un solenoide muy largo se puede determinar a partir de (343):

 Bz



 . N .I  . 2.L 

L 2

L 2



z z    2 2 L L    z    R2  2     z  2   R   2

(343)

Como el solenoide es muy largo, se puede considerar que el campo B es uniforme en el interior y que es prácticamente igual que en el centro de la bobina, esto es, en z = 0. Como L >> R, se demuestra que: Bz



 .N .I

(376)

L

Si el área de la sección transversal del solenoide es A, entonces, el flujo magnético, dado por la ley de Gauss es: J.LLAURY

149


m 

 .N .I . A

(377)

L

El acoplamiento total del flujo magnético para el solenoide largo es entonces, según (372):

m

N . m  I

 . N 2 .I . A



(378)

L

Por lo tanto, de acuerdo a (374) la inductancia del solenoide largo es:

L

13.3.

 .N 2 . . A

(379)

L

INDUCTANCIA DE UN TOROIDE DE SECCION CIRCULAR Se puede formar el toroide de sección circular “doblando” el solenoide muy largo - del caso anterior - hasta juntar ambos extremos, de modo que al “cerrarlo” se forme una bobina toroidal

cuyo perímetro medio sería el largo del solenoide, es decir: Lm = L

Lm  L   . R1  R2 

El campo B es el mismo que para el solenoide largo. Si el área A de la sección transversal del toroide es un círculo de radio “a”, entonces:

A

2

y el radio medio es R, entonces es fácil demostrar que la inductancia del toroide de sección redonda es:

L

13.4.

 .N 2 .a 2

(380)

2.R

INDUCTANCIA DE UNA LINEA DE TRANSMISION MONOFASICA Para el cálculo de una inductancia de una línea de transmisión, es necesario considerar los campos magnéticos interno y externo, los flujos magnéticos interno y externo, y asimismo, los enlaces de flujo magnético interno y externo así como las respectivas inductancias. Los campos magnéticos interno y externo de una línea de corriente vienen dados a partir de las expresiones (350) y (351), respectivamente. Entonces: Campo B interno: J.LLAURY

150


Bint



Bext



o .I .r

(381)

2. .R 2

Campo B externo:

 o .I

(382)

2. .r

a) CALCULO DE LOS ENLACES O ACOPLAMIENTO DE FLUJO INTERNO Conductor de sección redonda

Lazo amperiano

R

r

FIG. 91.- La corriente encerrada por el lazo amperiano es una fracción de la corriente total

El flujo magnético interior diferencial viene dado por:

d INT

 Bint .dS

donde, según las coordenadas cilíndricas:

dS = dr. dz Por (381):

d INT



 o .I .r

.dr.dz 2. .R 2 El diferencial de acoplamiento de flujo magnètico: dINT

 .I .r  f i .  o 2 .dr.dz   2. .R 

donde la fracción de corriente enlazada “fi” es:

fi 

r2 R2

(383)

Luego:

dINT

 r 2   .I .r   2  ..  o 2 .dr.dz     R   2. .R

 o .Ir 3 .dr.dz 2. .R 4 J.LLAURY

151


Integrando: b

 o .I

INT 

2. .R 4

. z

R



r 3 .dr.dz

0r 0

de donde, el acoplamiento de flujo interno resulta:





 o .I .b

INT

(384)

8.

Siendo “b” el largo del conductor. Como

o

- 7,

entonces, (384) se reduce a: 1

INT 

2

(385)

. I .b 10  7

b) CALCULO DE LOS ENLACES O ACOPLAMIENTO DE FLUJO EXTERNO Considérese la Fig. 92: El flujo magnético interior diferencial viene dado por:

d EXT  BEXT .dS Donde, según las coordenadas cilíndricas:

dS = dr. dz por (382):

d EXT



 o .I

.dr.dz 2. .r El diferencial de acoplamiento de flujo magnètico:

 o .I .dr.dz    2. .r 

dEXTT  f i . 

i” es donde, en este caso, la fracción de corriente enlazada “f

igual a la unidad, debido a que todo el alambre está rodeado por el lazo amperiano Luego:

dEXT

 .I   o .dr.dz    2. .r 

o .I .dr.dz 2. .r

Integrando:

EXT 

 o .I 2.

b

. z

r2



dr .dz r

 0 r  r1

J.LLAURY

152


r2

R

r1

FIG. 92.- Enlaces de flujo externo entre dos distancias radiales r1 y r2

de donde, el acoplamiento de flujo externo, entre las distancias radiales “r1” y “r2” resulta:

EXT 

 o .I .b 2.

 r2    r1 

(386)

. Ln

Siendo “b” el largo del conductor. Como

o

- 7,

entonces, (386) se escribe como:

EXT 

2 . I .b . Ln r2   10  7  r1 

(387)

c) ENLACE O ACOPLAMIENTO TOTAL DE FLUJO Los enlaces del flujo total se obtiene a partir de la superposición (suma) de (385) y (387):

1 TOTAL  I .b .  .  2

 r2   10  7 r  1 

2 . Ln

(388)

Esta expresión también puede ser escrita así:

TOTAL 

2 . I .b .

1  r2  7  4 .  Ln r  10 1   

(389)

d) LINEA MONOFASICA Ahora, se trata de dos líneas de corriente (ida y retorno) cuyo flujo magnético de una de ellas enlaza a la otra, y viceversa (ver Fig. (93). Para generalizar, se consideran los radios de diferente tamaño; la distancia entre centros es “D”.

El campo magnético del conductor (1) enlaza al conductor (2), entonces, según (389), se tiene: Esta expresión se puede modificar, haciendo J.LLAURY

153


(1/4) = Ln(exp[1/4]), pPor lo que (390) queda como:     D .  1  2 . I .b .  Ln  10  7 1   4    R1 .e 

1 

2 . I .b .

1  D  7  4 .  Ln R  10  1  

(390)

R2

R1

D FIG. 93.- Concatenamiento de los flujos de dos conductores

Si: 1

R'1  R1.e 4  radio ficticio del conductor (1) Entonces:

  D .  1  2. I .b .  Ln  10 7   R'1 

(391)

También, el campo magnético del conductor (2) enlaza al conductor (1), por lo que, según (391), se tiene:

  2  2 . I .b .  Ln RD'.2  10  7  

(392)

Por lo tanto, el enlace total de los flujos interno y externo de cada uno de los conductores hacia el otro será la superposición de (391) y (392):

  D 2 .   10  7   2 . I .b .  Ln ' . ' . R R   1 2 

(393)

Finalmente, la inductancia de la línea monofásica es:

  D 2 .   10  7 L  2 . b .  Ln  R '1 . R'2 .   

(394)

J.LLAURY

154


CAPITULO 14 LEY DE INDUCCION DE FARADAY 14.1. LA LEY DE INDUCCION DE FARADAY Y LA LEY DE LENZ Los experimentos srcinales de Faraday consistieron en una espira conductora a través de la cual podía circular una corriente controlada por un interruptor. Otra espira en cortocircuito, sin ninguna otra fuente, estaba cerca de la primera como se observa en la figura 94. Cuando una cd fluía por la espira 1 no circulaba corriente alguna por la espira 2. Sin embargo, cuando el voltaje se aplicaba por primera vez al circuito 1, al cerrar el interruptor, circulaba una corriente transitoria en dirección opuesta, en el circuito 2. Después, cuando se abría el interruptor, otra corriente instantánea circulaba en el circuito 2, esta vez en el mismo sentido que la corriente srcinal en el circuito 1. Se inducen corrientes en el circuito 2 siempre que éste corte a un flujo magnético que varíe con el tiempo, producido por el circuito 1. i1(t) + U

i2(t) A

-

Fig. 94.- Los experimentos de Faraday demostraron que un flujo magnético que varía con el tiempo, a través de una es pira conductora cerrada, induce una corriente en una dirección tal que tiende a mantener el flujo constante a través de la espira.

En general, un flujo magnético que varíe con el tiempo puede atravesar un circuito debido a su propia corriente, o a una corriente próxima que varíe con el tiempo, o bien, por el movimiento del circuito a través de un campo magnético. Para J.LLAURY

155


cualquier circuito, como el de la figura 12, la ley de Faraday viene dada por la fórmula (11) ó (12):

 E.dL  FEM ind   d dtm   dtd  B.dS

(395)

S

La cual también puede ser escrita como:

 E .dL   d dtm   dtd  B.dS   (B / t).dS S

(396)

S

donde FEMind es la fuerza electromotriz inducida y está definida como la integral de línea del campo eléctrico. Se introduce el signo negativo en (395) y (396) y se adopta la convención de que el flujo positivo fluye en la dirección perpendicular a la dirección del contorno, aplicando la regla de la mano derecha. 



B . dS

S





un . dS  dS

 L





E  dL  

d dt







B  dS

S

Fig. 95.- La Regla de la mano derecha

14.2. LA LEY DE LENZ La corrientes inducidas siempre en un sentido tal dirección que tiendedea las oponerse a cualquier cambio en elesflujo magnético presente. Por consiguiente, en el experimento de Faraday, ilustrado en la fig.94, cuando primero se cierra el interruptor del circuito 1 no hay flujo magnético en el circuito 2, de manera que la corriente inducida circula en la dirección opuesta, con su autocampo magnético opuesto al campo aplicado. La corriente inducida trata de conservar un flujo cero a través del circuito 2. Si el circuito es conductor perfecto, al corriente inducida circula mientras circule corriente en el circuito 1, con flujo neto cero a través del circuito. Sin embargo, en un circuito real, las pérdidas resistivas provocan que la corriente decaiga exponencialmente con una constante de tiempo L/R, donde L es la autoinductancia y R es la resistencia del circuito. Por lo tanto, en el estado J.LLAURY

156


estacionario de cd la corriente inducida ha decaído a cero, así que un flujo magnético constante atraviesa al circuito 2 debido a la corriente del circuito 1. i1(t)

t i2(t)

Decaimiento debido a pérdidas óhmicas con constante de tiempo = L/R

t Se induce corriente positiva para tratar de mantener el flujo magnético igual a una constante diferente de cero. Se induce corriente negativa para tratar de mantener el flujo magnético igual a de cero.

Fig. 96.- Inducción de corriente positiva y negativo.

Cuando se abre el interruptor, de manera que la corriente en el circuito 1 vaya a cero, el segundo circuito trata de conservar el flujo constante ya presente, induciendo una corriente que fluya en la misma dirección que la corriente srcinal en el circuito 1. La pérdidas óhmicas nuevamente hacen que esta corriente inducida vaya desvaneciéndose con el tiempo. Si un circuito o parte de él se mueve a través de un campo magnético, se inducirán corrientes en una dirección tal que tratan de conservar constante el flujo magnético a través del circuito. La fuerza sobre la corriente móvil siempre se opondrá a la dirección del movimiento. 14.3. INDUCCION DEL CAMPO MAGNETICO DE UNA LINEA DE CORRIENTE SOBRE UN CIRCUITO ALEDAÑO

CONCEPTO DE CONDUCTORES IMAGENES Consiste en considerar el “efecto tierra” ó efecto del suelo, el cual

puede ser reemplazado por un conductor ficticio ó imagen. Cada conductor imagen es el retorno del conductor real. En la Fig.(97) se muestra un conductor real que transporta una corriente I, y su imagen (conductor ficticio) con la corriente de retorno –I. Si el suelo fuera conductor perfecto, se tendría que la J.LLAURY

157


altura sobre el suelo del conductor real y la profundidad a la que se encuentra la imagen, serían de la misma magnitud, es decir:

H = H’

De lo contrario, habrá que considerar la fórmula de dada por Carson,

la

cual

toma

en

cuenta

la

frecuencia

de

operación y la resistividad del terreno. FORMULA DE CARSON Una línea que transporta una corriente alterna a una altura H sobre la superficie del terreno, tendrá su imagen a una profundidad tal, que la separación entre el conductor real y su retorno, viene dada por la siguiente fórmula:

T

Dc



Ko .

(397)

f

donde: Dc m. Ko

T f

= distancia de Carson (entre el conductor real y su imagen), = 659 (Constante). = resistividad del terreno, .m. = frecuencia de la corriente, Hz.

J.LLAURY

158


I

Dc

Tie rra -I

FIG. 98.- Distancia de Carson entre el conductor real y su imagen (vista de perfil)

14.4. POTENCIAL EN UN NIVEL “P” DEBIDO AL CAMPO MAGNETICO DE UNA CORRIENTE UNIFILAR S se sabe que:

UP   M .

dI

(398)

ˆ

ˆ

dt

donde: UP

= potencial fasorial en P, Voltios.

M

= coeficiente de inducción mutua, Henrios.

I

= corriente fasorial, Amperios.

Además:

M

  .b   r '    . Ln   2 .   r 

(399)

siendo: 

μ= o. r = permeabilidad del medio, H/m.



o = permeabilidad del vacío (= 4..10-7 H/m).



r = permeabilidad relativa del medio, adimensional. (para el aire ó vacío: r = 1).



b = longitud del nivel P, metros.



r’ = distancia del conductor ficticio al nivel P, metros.

r = distancia del conductor real al nivel P, metros.  Como la corriente I es fasorial e instantánea, ésta debe ser expresada en su forma compleja armónica en el tiempo, entonces:

J.LLAURY

159


 I o . exp j..t   

I

(400)

Se tiene el potencial en el “punto” P delespacio.

U P   j..I .b.M

(401)

y teniendo en cuenta (397), el potencial se puede escribir como:

UP



 r'  j.o . f .I .b.Ln r 

(402)

ya que:  = 2..f y el sistema se encuentra rodeado de aire, por lo que: r = 1. F

r

P

H

H’

r’

F’

FIG. 99.- Potencial en P debido al campo magnético de una corriente

unificar su retorno.

EL FACTOR LOGARITMICO GEOMETRICO [FLG] En (399) ó (402), el logaritmo natural es una relación entre distancias, por tal motivo lo denomino factor logarítmico geométrico [FLG], de modo que:

FLG   Ln r ' 

(403)

r

entonces, (402) se puede escribir como:

UP

  j.o . f .I .b.FLG 

(404)

Si se considera la geometría dada en la Fig.(99), las distancias r y r’ son:

r’ = d(F’-P):

r' 

 x  d P

2

Dc  H  d



2

(405-a)

r = d(F-P): r

 x  d P

2

H  h

2

(405-b) J.LLAURY

160


entonces, el Factor Logarítmico Geométrico dado por (403) queda como:

  x P  d   Dc  H  h   FLG   1 . Ln   2   x P  d   H  h  2

2

2

(406)

2

si:

D hB

(407)

c

Entonces (406) es igual a:

FLG   1 . Ln  x   d  

 H 2 2 2   xP  d   H  h  2

2

(408)

B

P

3

Uj 

 k

(409)

j..I k .M j k

1

donde Mjk es la inductancia mutua entre los conductores: M jk

 1    2  10  4 . Ln  D j k  

(410)

Y d F r H xP

P h

DC

X

O r’

H’

F’

FIG. 100.- Geometría cartesiana de la línea de corriente y su retorno

J.LLAURY

161


CAPITULO 15 CORRIENTES INDUCIDAS EN LOS NUCLEOS DE LAS BOBINAS Y TRANSFORMADORES. CORRIENTES DE FOUCAULT

15.1. CORRIENTES INDUCIDAS La ley de Lenz se demuestra claramente con los experimentos que se muestran en la fig. 101. Cuando un conductor de tipo hacha se mueve en un campo magnético, se inducen corrientes de Foucault ó corrientes parásitas en la dirección en que su autoflujo se opone al campo magnético aplicado. Entonces, la fuerza de Lorente tiene sentido opuesto al movimiento del conductor. Esta fuerza decrece con el tiempo porque la corriente también decae con el tiempo, debido a la disipación óhmica. 

F







J  B dV 



V

Campo en

magnético oposición

F

debido a la corriente inducida

N B

S

v

Fig. 101.- Las corrientes inducidas en un conductor que se mueve en un campo magnético ejercen una fuerza opuesta al movimiento.

J.LLAURY

162


15.2. RANURACIONES Si el conductor (hacha) de la fig. 101 estuviera rasurado, tal como se ilustra en la fig.102, se crearía efectivamente una resistencia muy alta a las corrientes parásitas, la fuerza de reacción llegaría a ser muy pequeña debido a que la corriente inducida es insignificante. AISLANTE

CONDUCTOR

Fig. 102.- Las corrientes inducidas pueden hacerse pequeñas al ranurar el conductor

Cuando la corriente se aplica por primera vez a la bobina de la fig.103, el anillo conductor que está en la parte superior tiene flujo cero. La ley de Lenz requiere que se induzca una corriente opuesta a la de la bobina. FZ = 2.

R

R.I φ.B r

Iφ

i(t)

Fig. 103.- Un anillo conductor colocado encima de una bobina es lanzado al aplicarse súbitamente una corriente, pues las corrientes inducidas tratan de mantener un flujo nulo a través del anillo.

Instantáneamente no hay componente Z del campo magnético a través del anillo, de modo que el flujo debe retornar radialmente. Esto crea una fuerza hacia arriba: J.LLAURY

163


F







 2. .R.( I  B)  2. .R.I  .Br .k

(411) que lanza al anillo fuera de la bobina. Si el anillo se cortara radialmente de modo que no pueda fluir corriente, la fuerza sería cero y el anillo no se movería. 15.3. NUCLEO MACIZO CON GEOMETRIA RECTANGULAR Cuando donde un material conductor se coloca en corrientes una regiónendel espacio existe un campo B(t), se crean el material que tratan de anular el flujo magnético dentro del mismo de acuerdo a la ley de Faraday – Lenz. Estas corrientes se llaman corrientes parásitas o corrientes de Foucault. Las corrientes de Foucault general pérdidas por efecto Joule. Se pueden calcularlas dividiendo al conductor en espiras virtuales de lados (2x, 2y) y espesor (dx, dy). Se supone además por condición matemática que:

y x



dy dx



L w

El flujo encerrado por esta espira es, con B(t) uniforme. (412)  m   4.x. y.B(t ) El signo negativo surge al aplicar la regla de la mano derecha para la dirección supuesta de Y circulación de corriente.

dy

I X

L dx

B

w

Fig. 104.- Núcleo macizo de sección rectangular y de material ferromagnético sometido a un campo magnético B. La FEM sobre la “espira” es:

FEM



d m dt

 4.x. y.

dB dt

 i.Re

(413)

donde la resistencia de la “espira” es:

J.LLAURY

164


RS 

1

 .S



2



 2.x 2. y  4  x y  .        D.dy D.dx   .D  dy dx 

.

(414)

y entonces: i

4.x. y dB x. y dB . .   .D. . x y dt Re dt  dy dx

  .D.

x.dx 1

 w  

2

.

dB (415) dt

 L  será: La potencia perdida por efecto Joule sobre la “espira” dP

 i 2 .Re 

FEM 2 Re



2

2

 dB   4. .D.L.w3 .  dB  .dx     4  x y   dt  w 2   dt  .    w.1  2   .D  dy dx  L   16.x 2 . y 2

.

e integrando sobre todo el volumen: w/ 2

P

 0

2

 dB  .dx  4. .D.L .  dB  .    2   w   dt  w 2   dt  w.1  2  w.1  2  L  L    4. .D.L.x 3

w/ 2

2

.



x 3 . dx

0

de donde:

 dB  P .  2  w   dt  16.1  2  L    .D.L.w 3

2

(416)

J.LLAURY

165


TEMA OPCIONAL

FUNDAMENTO ELECTRODINAMICO DE LA LEVITACION MAGNETICA a.

LA ECUACION DE DIFUSION MAGNETICA Considerando las leyes de Maxwell:

E  

B t

(a)

H  J

(b)

H  0

(c)

y las relaciones:

 .H J   . E  v  .H 

(d)

B

(417)

Se puede reducir las ecuaciones (a) hasta (d y (417) a una simple ecuación en el campo magnético, tomando el rotacional de (b) y usando (a) y (417), para llegar a la ecuación de difusión: 1 . 2 H  .

b.



H    v  H  t

(418)

MAQUINA DE INDUCCION LINEAL Las corrientes inducidas en un conductor por un campo magnético variable con el tiempo dan lugar a una fuerza que puede provocar el movimiento del conductor. Esto describe a un motor. El efecto inverso se tiene cuando se hace que un conductor se mueva a través de un campo magnético que varía con el tiempo y se genera una corriente, lo que describe a un generador. En la máquina de inducción lineal de la Fig. 100, se supone que un conductor se mueve hacia la derecha a velocidad constante v. i Directamente debajo del conductor sin separación alguna está una superficie de corriente colocada en la parte superior de un medio infinitamente permeable:

 K t

  K o .Cos  .t   .z . j  Re   K o . exp j. .t   .z . j ˆ

ˆ

(419) J.LLAURY

166


la cual es una onda viajera moviéndose hacia la derecha con rapidez ω/β. Para x > 0, el campo magnético tendrá componentes “x”y “z” de la

forma:





H z  x, z , t



  H z x . exp  j. .t   .z . Re

H x  x, z , t

 Hx x . exp   j. .t   .z .  Re

ˆ

(420) (421)

ˆ

X Z

Hx

Y

Hz

, μ

v

FIG. 105.- Una onda viajera de corriente superficial induce corrientes en un conductor que se está moviendo a una velocidad diferente a la velocidad de la onda

donde la ley de Gauss (div B = 0) requiere que estas componentes estén relacionadas en la siguiente forma:

dH x dx ˆ

(422)

 j. .H z  0

La componente “z” de la ecuación de difusión magnética (418) es:

d 2H z dx 2 ˆ

 . 2 .H z  j.. .   .v .H z ˆ

ˆ

(423)

Que puede también escribirse como:

d 2H z 2 dx 2  . .H z  0 z ˆ

ˆ

(424)

donde:

 2   2 .1  j. 

 . 2

. 

  .v 

(425) (426)

y Θ se conoce como desviación

Las soluciones de (424) nuevamente tienen carácter exponencial pero complejos, ya que

Hz ˆ

es complejo:

  .x  A1. exp .x  1. A2 . exp

(427) J.LLAURY

167


Como consecuencia de que Hz debe permanecer finita lejos de la lámina de corriente:

A1 = 0 De modo que usando (415) el campo magnético tiene la forma:

 

H  K o . exp .x.   j. ˆ

 k    

(428)

.i

Donde se aprovecha el hecho de que la componente tangencial de H es discontinua en la superficie de corriente:

H = 0,

para

x<0

La densidad de corriente en el conductor es: J

H H z     H  j. x   x   z

de donde: Jy

  j. .H x 

dH z dx

 K o . exp .x.

2 J y  . K o . . j. exp .x



2   2  (429)

Si el conductor y la onda de corriente viajan con la misma rapidez (

/

= v), ninguna corriente se induce ya que la desviación es

cero. Solamente se inducen corrientes si el conductor y la onda viajan a diferentes velocidades. Este es el principio de todas las máquinas de inducción. La fuerza por unidad de área sobre el conductor tiene entonces componentes en “x” y “z”: 

f 



x0



J   o .H .dx 



 o . J y .H z .i

 H x .k 

(430)

x0

Estas integraciones son directas pero dilatadas, porque primero se deben calcular el campo instantáneo y la densidad de corriente de (420) y (421), tomando las partes reales. Más importante es la fuerza por unidad de área en tiempo - promedio, sobre un período de excitación: 2.

f 



2.



.



f .dt

(431)

0

Por lo tanto: La componente “x” de la fuerza por unidad de área en tiempo –

promedio, es: J.LLAURY

168

TEORIA ELECTROMAGNETICA 

  1 * . Re .  o . J y .H z .dx  2  



 fx 

0



de donde:

 fx 

1

 fx 

1

2

.



 o .K o .

4 1

 

2

1

2

(432)



2



ó 4

  

.o .K o . 2

2  1  1   2 

1

(433)

Análogamente, la fuerza tangencial, en tiempo – promedio por unidad de área, es: 

 fz   

  1 * . Re .  o .J y .H x .dx  2  



0



de donde: 2

1 o .K o . 2  f z   4 . 1   2 . Re 1  j.





(434)



Cuando la rapidez de la onda excede a la del conductor ( /

> v), > 0, de modo que la onda arrastra al

la fuerza es positiva, pues

conductor con ella. Cuando

< 0, la onda lenta tiende a jalar al conductor hacia

atrás, pues < fz > es menor que 0. Las fuerzas de (426) y (427) pueden usarse simultáneamente para impulsar y levantar un material conductor. X

Z Y

‹ Fz ›

Vmaglev

Fνiento

Vonda

‹ Fx ›

Onda electromagnética de densidad de corriente superficial

Fig.(106).-No existe fuerza cuando la onda y el conductor viajan con la misma rapidez ( / = v), ya que la desviación es cero ( = 0).

J.LLAURY

169


REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1. TEORIA ELECTROMAGNETICA Markus Zahn Editorial INTERAMERICANA – 1984 – MEXICO 2. INGENIERIA ELECTROMAGNETICA Carl Jonk Editorial Reverté – 2003 – MEXICO 3. ELECTROMAGNETISMO John D. Kraus Editorial Mc. Graw – Hill. - 1986

–

MEXICO

4. FUNDAMENTOS DE LA TEORIA ELECTROMAGNETICA John R, Reitz, Frederick J. Milford y Robert W. Christy Editorial Fondo Educativo Interamericano. - 1996 – MEXICO 5. ELECTROMAGNETISMO Joseph Edminister Editorial Mc. Graw – Hill. - 2000

–

MEXICO

6. ELECTROMAGNETISMO Departamento De Física – Facultad de Ingeniería. Universidad de Buenos Aires. Argentina – 2003 www.fi.uba.ar 7.

“CAPTACION

DE

ENERGIA

ELECTRICA

DE

UNA

LINEA

DE

TRANSMISION DE POTENCIA POR MEDIO DE UNA BOBINA DE INDUCCION CON NUCLEO DE AIRE”

Tesis – FIE - UNCP Jorge E. Llaury Padilla 2001 - Huancayo – PERÚ

J.LLAURY

LIBRO-TEORIA-ELECTROMAGNETICA-2014-1-JLLAURY.pdf

Recommend Documents