TEORÍA DE NÚMERO FASE 4
RELACIONES Y FUNCIONES
PRESENTADO POR YULI CAMPAZ CAMACHO
TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA_UNAD DISTANCIA_UNAD ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS SAN ANDRÉS DE TUMACO 04/2018
¿Qué es un conjunto contable e incontable?¿qué es un homomorfismo y un isomorfismo? Explique brevemente los números de Fibonacci y de Lucas. Dé un ejemplo de cada ítem.
Conjunto contable e incontable Un conjunto es contable si es finito o existe una correspondencia una por con un subconjunto de los números naturales. Por ejemplo, el conjunto de números enteros es contable. Un conjunto infinito que es contable también se llama de numerable. Si un conjunto no es contable, se llama no numerable. El conjunto de números reales es no numerable.
Homomorfismo y isomorfismo
Un homomorfismo (o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemático a otro de la misma clase, es una función que es compatible con toda la estructura relevante. La noción de homomorfismo se estudia abstractamente en el álgebra universal, y ése es el punto de vista tomado en este artículo. Una noción más general de morfismo se estudia abstractamente en la teoría de las categorías. Por ejemplo, Si un objeto consiste en un conjunto X con un orden < y el otro objeto consiste en un conjunto Y con orden {, entonces de be valer para la función f: X → Y que, si u < v entonces f(u) { f(v). O, si en estos conjuntos hay definidas operaciones binarias * y @, respectivamente, entonces debe valer que: f (u) @ f(v) = f(u * v). Ejemplos de morfismo son los homomorfismos de grupo, los homomorfismos de anillo, los operadores lineales, las funciones continuas, etc.
El término ‘isomorfismo’ quiere decir ‘igual forma’, con ello se busca destacar la idea según la cual existen similitudes y correspondencias formales entre diversos tipos de sistemas. La palabra isomórfico se refiere entonces a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original. El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa fundamentalmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo cual deja ver en claro dos puntos de vista desiguales sobre cada cuestión y suele ser primordial en su adecuada comprensión. Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas. En álgebra abstracta, isomorfismo es una biyectiva f tal que f y su inverso (que sería f elevado a -1) sean ambos homomorfismos. Esto significa que dos sistemas tienen una parte de su estructura general.
1. Partiendo de los números 0 y 1, los números de Fibonacci quedan definidos por la función
2. Función generadora: Una función generadora para una sucesión cualquiera a 0, a1, a2,… es la función f(X) = a 0 + a 1x + a2x2+…, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora:
3. Fórmula explícita: Esta manera de calcular los números de Fibonacci utiliza la expresión del número áureo:
Números de Lucas
En matemáticas, especialmente en teoría de números, las sucesiones de Lucas, U n( P ,Q) y V n( P ,Q) son ciertas sucesiones de enteros que satisfacen la relación de recurrencia xn = P xn−1 + Q xn−2
Donde P y Q son enteros fijos. cualquier otra sucesión que satisfaga esta relación de recurrencia puede ser representada como combinación lineal de las Sucesiones de Lucas U n( P ,Q) y V n( P ,Q).
Entre ellas se encuentran las sucesiones de los números de Lucas, que se obtienen de igual manera que la sucesión de Fibonacci, estando ambas estrechamente relacionadas, con el cambio de que los primeros dos números no son 1, 1, sino 2, 1. La sucesión de Lucas toma el nombre del matemático francés Édouard Lucas.
1. Sean J= {0, 1, 2, 3,4} y defina la función F:J→J de la siguiente manera: Para cada x que pertenece a J () = + + . Encuentre lo siguiente: a) F(0) b) F(2) c) F(4)
2. Escribir cada relación en una tabla y dibuje la gráfica. a) Relación R en {1,2,3,4} definida por (, ) 2 ≥ . b) La relación R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,3),(3,1)} sobre X={1,2,3}.
3. Determine si las siguientes relaciones son de equivalencia en el conjunto de personas: a) {(, )| y tienen los mismos padres}. b) {(, )| y tienen el mismo apellido}. c) {(, )| es más alto que }. d) {(, )| y viven en el mismo barrio}. e) {(, )| y son de la misma edad}.
4. Determine cuáles de las siguientes relaciones de congruencia son verdaderas y cuáles son falsas: a) 10≡3 mod 2 b) 12≡3 mod 10 c) 20≡40 mod 12
5. Encuentre si la relación es una relación de equivalencia. a) {(1,1,),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}. b) {(x,y)|2 divide a x+y}. c) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(5,1),(3,5),(5,3),1,3),(2,1)} d) {(x,y)|1 ≤ ≤ 6 ∧ 1 ≤ ≤ 6}.
6. Sea X={1,3,5} y Y={a,b,c,d}. Defina la función dad en el diagrama de flechas: a) Escriba el dominio y el codominio de g. b) Encuentre g(1), g(3), g(5). c) ¿Cuál es el rango de g? d) ¿Es 5 una imagen inversa de a? e) ¿Es 1 una imagen inversa de b? f) ¿Cuál es la imagen inversa de b? g) Represente a g como un conjunto de pares ordenados.
7. Halle las funciones compuestas dadas según el siguiente gráfico: Sea X={a,b,c}, Y={x,y,z}, Z={u,v,w}. Se define : → , : → . a) ∘ b) ( ∘ )− c) − d) −
e) − ∘ − f) Establezca como están relacionadas ( ∘ )− y − ∘ −.
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