Bab 5. Faktorisasi Tunggal
28
Berikutnya diandaikan bahwa t a dan t b , maka a = tm dan b = tn untuk bilangan bulat m, n. Karena itu d = ax 0 + by0 = t (mx0 + ny0 ), yang berarti t d .
j
j
j
Di sini jelas bahwa sembarang kombinasi linier dari a dan b dapat dibagi oleh ( a; b). Akibat 5.2 Bilangan bulat positif a dan b adalah prima relatif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga ax + by = 1. Lemma 5.3 (Lemma Euclid) Jika a bc dan (a; b) = 1, maka a c .
j
j
Bukti. Untuk (a; b) = 1, berdasarkan Teorema Bachet-Bezout, terdapat bilangan bulat x; y dimana ax + by = 1. Karena a bc , terdapat suatu bilangan bulat s dimana as = bc . Selanjutnya c = c 1 = cax + cby = cax + asy, yang berarti a c .
j
j
Teorema 5.4 Jika (a; b) = d , maka
a b = 1: ; d d
Bukti. Berdasarkan Teorema Bachet-Bezout, terdapat bilangan bulat x; y dimana a b a b x + y = 1 dimana , adalah bilangand d d d a b ; bilangan bulat. Disimpulkan bahwa = 1: d d ax + by = d . Karena itu diperoleh
Teorema 5.5 Jika c adalah suatu bilangan bulat positif, maka (ca;cb) = c (a; b) : Bukti. Diambil d 1 = (ca; cb) dan d 2 = (a; b). Akan dibuktikan bahwa d 1 cd 2 dan cd2 d1 . Untuk d2 a dan d2 b , maka cd2 ca dan cd2 cb . Jadi cd2 merupakan pembagi persekutuan dari ca dan cb, karena itu d1 cd 2 . Berdasarkan Teorema Bachet-Bezout, dapat ditemukan bilangan-bilangan bulat x; y dimana d1 = acx + bcy = c (ax + by). Tetapi karena ax + by merupakan kombinasi linier dari a dan b , maka ini dapat dibagi oleh d 2 . Karena itu terdapat suatu bilangan bulat s sedemikian sehingga sd 2 = ax + by. Ini berarti bahwa d 1 = csd 2 , artinya cd2 d 1 . Serupa dengan di atas, berlaku ( ca; cb) = c (a; b) untuk sembarang bilangan bulat tak nol c.
j
j
j
j
j
j
j
j j j
Lemma 5.6 Untuk bilangan-bilangan bulat tak nol a, b, c berlaku (a;bc) = (a; (a; b) c) : Bukti. Karena ( a; (a; b) c) membagi ( a; b) c dan ( a; b) c membagi bc (menurut Teorema 5.5(a; b) c) maka (a; (a; b) c) membagi bc. Jadi (a; (a; b) c) membagi a dan bc, atau dituliskan (a; (a; b) c) ( a;bc). Di sisi lain, (a;bc) membagi a dan bc, karena itu ( a;bc) membagi ac dan bc. Oleh karena itu, (a;bc) membagi (ac; bc) = (a; b) c. Jadi (a;bc) membagi a dan (a; b) c, atau dituliskan (a;bc) (a; (a; b) c). Disimpulkan (a;bc) = (a; (a; b) c).
j
j
Teorema 5.7 a2 ; b2 = (a; b)2 .
