ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORES Autor: An tonio de Jes ús M ontalvo Corre a ©
Titular de la obra: Asociación Fon do de Investigadores y Editor Editor: Asociación Diseño de portada:
Fondo de Investigadores y Editor
es
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Edgar Refulio Ali aga, Gastón Ruiz Qu iroz
Digitación y diagramación:
Julián Pacheco Quincho
Graficación: Hugo Papa Trejo Corrección de estilo: Alex Ortiz Alcántara © Asociación Fondo de Investigadores y Editor
es
Av. Alf onso Ligart e N.° 1426 - Breña. Lima-Perú. Telef
ax: 332 -378 6
Para s u sello e ditor ial Lumbreras Editor es Página web: www.elumbreras.com.pe Primer a ed ici ón: septiem bre de 2012 Tiraje: 10 000 ejemplares ISBN: 978-61 2-307-22 0-9 Regi stro del proyecto editorial
"Hecho el depósito legal en ta Bi
N.° 3150105 1100862
blioteca N acional del Per ú"
N.° 2012-08 910 Prohibid a su reproducción to
tal o parc ial
Derecho s reservad os D. LEG. N.° 822 Esta obra se t erm inó de im pri m ir en los tallere s gráficos de la Asociaci ón Fondo de Investigadores y Editores en el mes de sep tiem br e de 2012 Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú. Telé fono : 336-5 889
Índice *M PRESENTACIÓN......................................................................................................... 7
"Él INTRODUCCIÓN
.......................................................................................................
9
*M ANÁLISIS DIMENSIONAL
Magnitudes
................................................................................................................
Clasificación de magnitudes Por su srcen
......................................................................................
........................................................................................................
Magnitudes fundam entales Magnitudes derivadas Por su naturaleza
..........................................................................
11 11 11
...................................................................................
11 12
.................................................................................................
12
Magnitudes escalares Magnitudes vectoriales
...................................................................................
12
................................................................................
12
Análisis dimensional
...................................................................................................
13
Problemas resueltos
..................................................................................................
17
Problemas propuestos Claves
..............................................................................................
45 54
............................................
” ■ ANÁLISIS VECTORIAL Nociones previas Vector
........................................................................................................
........................................................................................................................
Representación gráfica de un vector Elementos de un vector Módulo d el ve cto r
.......................................................................................
56 57 57
.............................................
Dirección del vector Línea de acción
..................................................................
55 56
......................................................................................
57
.............................................................................................
58
Representación cartesiana de un vector en el plano
........................................
59 5
jos de
ve cto res
.......................................................................................................
Vectores co linea les
61
..............................................................................................
61
Vectores p ara lelos
................................................................................................
61
Vectores opuestos
................................................................................................
62
.....................................................................................................
62
Vectores iguales
Vectores coplanares
.............................................................................................
Vectores concurrentes Vector uni tario ( t i )
..........................................................................................
63
...............................................................................................
63
Vectores unitarios en el plano cartesiano
....................................................
Componentes cartesianos de un vector en el plano Multiplicación de un vector por un escalar jeraciones con vectores Métodos gráficos
!
.............. ..........................
........................................................
..........................................................................................
.......................................
Método del trián gu lo Método del paralelogramo
.......................................................................................
Método del polígono Métodos analíticos
62
................................................
................ ............... ............................ .........................
..............................................................................................
Método del triángulo
....................................................................................
Método del paralelogramo
...........................................................................
64 65 67 - 68 69 69 70 71 72 73 74
ctores en el espacio
...................................................................................................
75
Producto esc ala r
...................................................................................................
78
Propiedades
...................................................................................................
Producto vectorial jblemas resueltos
.....................................................................................................
jblemas propuestos aves
................................................................................................
..................................................................................................
........................................................................................................................
BLIOGRAFÍA
...........................................................................................................
78 79 85 145 158 159
i‘
P resentación
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Análisis dime nsional y vectores, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre una nueva líne a de publicaciones pon iendo énfasis en el en foque d idác tico y cuidadoso en la r elación teoría-práctica. Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profundización y análi sis para la com pren sión y reso lución de los ejercicios, por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu trida colección que perm ita ma ntene r el reco nocim iento y l a confianza d e los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, deseamos reconocer la labor del profesor Antonio Montalvo Correa, de la plana de Física de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza preuniversitaria.
ANALISIS DIMENSIONAL
Desde inicios de su historia, el hombre percibió la necesidad de desarrollar convenciones o signos para comunicarse con sus semejantes. Poco a poco al hombre primitivo le pareció insuficiente los sonidos onomatopéyicos o los signos, apareciendo así, progresivamente, el lenguaje. Sin embargo, le pare ció tan necesario el lenguaje de l as palabras como el lenguaje de me dir o de la nume ración . Pero las necesidades colectivas de trabajo, relación e intercambio creaban entre las personas lazos que obligaban a establecer equivalencias en las mediciones, es decir, hacer ciertas comparaciones de un objeto respecto a otro. En la actualidad, uno de los aspectos más importantes de la vida cotidiana del hombre es calcular, medir y comparar; entonces llamaremos magnitud a todo aquello que puede ser expresado cuantitativamente o, simplemente, a todo aquello que pueda ser medido.
Las magnitudes fu ndam entale s son: • Magnitudes fundame ntales • Ma gnitud es derivadas
Se denominan magnitudes fundamentales a aquellas magnitudes que sirven como base para fijar las unidades de un sistema de unidades, en la que se expresan las demás magnitudes.
Debemos tener en cuenta que cada una de las magnitudes fundame ntales tienen una defin i ción exacta.
M agnitud
U nidad
SÍMBOLO DE
FÍSICA BÁSICA
básica
LA UNIDAD
longitud
metro
m
tiempo
segundo
s
masa
kilogramo
kg
temperatura
Kelvin
k
intensidad de corriente
ampere
A
cantidad de sustancia
mol
mol
intensidad luminosa
candela
cd
II
I UMBRERAS EDITORES
l.is magnitudes derivadas son aquellas magni tudes que se expresan en función de magnitu des fundam entales. I ntre las magnitudes derivadas tenemos: • velocida d
• aceleración
• fuerza • mo me nto lineal
• presión • energía
Es aquella magnitud que queda definida por un número real y una unidad de medida. Ejemplo
masa = 4 kg *
unidad de medida
número real
• trabajo tíempo = 5
Ejemplo
Respecto al Sistema Internacional de Unidades, indique las proposiciones verdaderas o falsas según corresponda. I.
El grado Celsius es unidad de una cantidad física fund am ental.
II.
La cantidad de sustancia y la masa son la misma cantidad fí sica funda me ntal.
III. El ne wton es unidad de una can tidad física fundamental. Resolución
El newton es una unidad que pertenece a una magnitud derivada denominada fuerza.
unidad de medida
Es aquella*magnitud que queda definida por un número real, una unidad de medida y una di rección. Ejemplo
velocidad = — 4 m/s *
unidad de medida
direc ción— I I— número real
fuerza = + 2 0 N dirección
III.
«
número real
Cuando se trata de la temperatura, la uni dad básica es el grado Kelvin. Si bien es cierto que la cantidad de sustancia y la masa son magnitudes fundamentales, sin embargo, conceptualmente ambas son diferentes.
S
t
unidad de medida
J L número real
Otra forma de representar una magnitud vecto rial puede ser, por ejemplo: • velocida d = 15 m/s hacia el norte . • fu e rz a= 200 N hacia arriba.
la
• Mag nitudes escalares • Magnitudes vectori ales
12
Un estud io más detallado de la
s mag
nitudes vectoriales lo veremos más adelante en el análisis vectorial.
( Í b |análisis
________________
dimensional
El análisis dime nsio nal es una herr am ien ta muy importante que nos permite hacer mediciones o comparaciones ya sea de manera directa o indirecta. Gracias al análisis dimensional pode mos relacionar las magnitudes fundamentales
2.
[áre a] = [b ase] [altura] = í.x¿ =¿ 2 [ v e l o c M a d l . í f í ^. - U r 1 [tiempo] T Veamos las ecuaciones dimensionales
con lasde magnitudes derivadas, aprovechando el hecho que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas.
algunas magnitudes derivadas. M agnitud
física
básica
Observa ción if
área
L2
El símbolo empleado para re
volumen
L3
presentar una ecuación dimen
velocidad
LTl
aceleración
ir2
fuerza
MLT7
trabajo
MÚ-r1
potencia
MLZT~3
sional son los corchetes [ ] .
Ejemplos
1.
E cuación DIMENSIONAL
[acele ració n], se lee ecuación dimens ional de la aceleración.
energía
ML2T~2
[volumen], se lee ecuación dimensional del volumen.
presión impulso
M C lr 2 M tr1
frecuencia
T-1
carga eléctrica
IT
calor
Mi2r 2 rl
Para determinar las ecuaciones dimensiona les de las magnitudes derivadas, tomamos como base a las magnitudes fundamentales.
M agnitud
física
básica
velocidad angular
ECUACIÓN DIMENSIONAL
longitud tiempo
L T
masa
M
temperatura
0
intensidad de corr iente j
1
cantidad de sustancia
mol
intensidad luminosa
J
3.
Determ ine la ecuación dimens ional del li .i bajo W. W/=fuerza • distancia Resolución
Piden determinar [W\, entonces: [l/l/] = [fuerza] ■[distancia] ÍW] = { m LT~2)-(L)
[ W] = ML 2r 2
A
Determine la ecuación dimensional de la fuerza ce ntrípeta FCpFcp - -
Por ejemplo, si la ecuación A + B=C es dimen sionalmen te correcta, entonces se debe cum plir
(masaXveloddad)2
que [A] = [s] = [c], es decir, ambas magnitudes
radio
deben presentar la misma ecuación dimensional (a esta igualdad se le denomina principio de homogeneidad).
Resolución
Piden ca lcular [ f cp], entonces
[^]
=
[masa][velocidad]2
En el ejemplo dado se tiene x+d=z3
[radio] m (l t
/w(í.2r ' 2)
->
íx] = [ d] = íz] 3
Como d es la distancia ->
[d]=L<*>
\ fc p] = M L r
Además, como la ecuación dada es dimensio 5.
nalmente correcta, entonces los otros términos
Si A= áre a y S= vo lum en , calcule la dime n sión de x, siendo
deben te ne r las dimen sione s de la distancia. Por
x = (A-B)4.
lo que [x]=¿
Resolución
a
[zf=L
[z]=L~3
Piden [x] entonces ix ] = (ÍA]-[B])4
->
[x ] = (l} -I?) 4
Determine cuál o cuáles de las proposiciones son correctas.
[x ] = ¿20
I. LT~2-LT ~2=0
7.
II. M 2+M 2= M 2 6.
Si la ecuación x+d=z3 es dimensionalmente correcta, determine las dimensiones de z.
ni.i/w“ 2-n “ 2=/w“ 2rE“ 1
Consider e que d es la distancia.
Resolución
Resolución
Debem os tene r presente que en toda ecua ción dimensionalmente correcta, los térmi nos que se suman o se restan deben tener la misma ecuación dimensional.
El hecho de restar las unidades de dos magnitudes iguales no quiere decir que resultará cero, entonces LT~2- L r 2= L r2
Entonces De la misma manera la suma de dos magnitudes iguales resulta
[ r ] l t ~2 +[ó]2 (m l t ~2)2 = 1
Del principio de homogeneidad
M 2+ M2 = M 2
•
->■ [ r ] = l ~1t 2
III. Como se trata de la multiplicación de magnitudes, no es necesario que ellas sean del mismo srcen
•
9. De term ine las dim ensio nes de R y de b, para que la ecuación
lb]2(MLT~2)2 =1
[ b ]= M ~ 1L~1T2
LM~2-TL~ 2= M ~ 2TL~x
3.
[ r ] l t 2= 1
1 Si se cumple que A + B = —, entonces señale B la proposición verdade ra y la falsa. I. A y B son m agnitudes adimensionales. II. A y B son razones trigonométricas.
(Ra) + (bF)2=\og 2
sea dimensionalmente correcta.
Resolución
Considere o=aceleració n y F=fuerza.
Para que esta igualdad se dé, amb
Resolución
Piden determinar [/?] y [b] Como podemos observar, ello solo so cumple si las magnitudes son números.
[/?][ o] + ([ fa][F])2 = [lo g 2 ]
La ecuaci ón d ime nsional de to razó n t rigon om étrica, log general , de toda
•
[45 o] = 1
•
[iog ] —1
•
[cos30°]
do ángul o, aritm o y, en
cantidad adim
es la
No solo son razones trigonométricas, sino también pueden ser logaritmos o algún ángulo dado.
ensional
10. Indique las proposiciones verdaderas o falsas según corresponda. I.
=l
Solo se pueden sumar o restar cantidades físicas de la misma dimensión.
II. Todos los términos de una ecuación físii a deben tener las mismas dimensiones.
I IJMBRERAS EDITORES
Resolución
Resolución
Determinemos cuáles son las dimensiones de la ecuación dada
Por ejemplo, sea la suma
[Fl = [V 2 ]M M 2
5 m + 3 m = 8 m.
ML2T~2 = l- [k ]( L T ~ 1)2
Podemos observar que al sumar los me tros, nos da como resultado metros. Sin
m i ? t ~2 =
embargo, sería falso decir que se cumple 5 m + 3 s=8 m /s.
_> [fc] = /W 12.
Entonces, para realizar la adición o sus tracción de cantidades físicas, estas de ben ser de la misma magnitud.
M /.2r~ 2
V* La ecuación d = --------- es dimensionalo(sen0) mente correcta. Donde d = distancia
o=aceleración Por ejemplo, sea la ecuación vf=v0+at,
donde v^y v0 son la rapidez final e ini cial, a es la aceleración y t es el tiempo. Esta ecuación será dimensionalmente correcta si las unidades de ca da térm ino son las mismas.
11. Si la ecuación E = ^2k v2 es dimensional mente correcta, ¿cuál es la dimensión de k ? (E es energía y v es velocidad).
10
v=velocidad ¿Cuál es el valor de x? Resolución
Del problema r !
[v f to][sen0]
LT~2-1
L2r 2=L*rx —>x= 2
P* PR OBL EMA S RES UE LT OS
La energía cinética viene dada por
PR O BL EM A IM.° I
Ec c=- 2 m V.
Si la ecuación dada
Determine x+y, siendo m: masa y v: rapidez.
d/Vsen3 0° = P es dimensionalmente correcta, calcule las di mensiones de N.
A)
2
Considere
D)
4
B)
5
C) 3 E) 1
d: densidad P: presión
Dado que la energía cinética depende de la a) r 4r _4
B) L2r 2
D) L4T~4
C) LT4
masa y de la rapidez, entonces
e) r 4r 4
[^c]
V
[ m f í vf
M l}r 2 = 1-MX ( l t - ' Y
Tener presente ML2T~2 = M xLyT~y
sen30° = l/ 2 -a
P=dNin
Se observa que •
M=MX
Ahora
[P] = í d ][N ]1/2
-> x=l
ML~1r 2= M r3 [N] 1/2
->
L2T~2= [N ]1/2
y=2
x+y=3
[N]=L 4r A C lave ( D
_ C la v e
(C )
Calcule el valor xy*y en la siguiente expresión dimensionalmente correcta
De las siguientes proposiciones, determine cuál(es) de ellas son correctas.
d = ^¡20 axt y.
I.
v=at
Donde
^
d = -a t2 2
d: distancia
II a = —1/ 2 II.
a: aceleración t: tiempo
Donde
2d
a: aceleración d: distancia
A) 1
v. rapidez
B) 2
t: tiempo
C) 3 A) VFV „
D) 4
D) VFF
E) 5
De la expresión dada [d]
B) VVF
C) VVV E) FVV
[v] = [o] [t]
'
= [V 2Ó ][o]*[t]y -H> LT~1 = LT~1
L= l-(L T ~ 2Y (r)y i= ¿ xr Y- 2x
ld] =
[o][í]2
se observa que
l= i
-{ lt ~2) t 2
•
L= L
L=LX
> x=l .
7°=7^_2
x
[o] =
0=y-2x
[2][of]
'(/T-1)2
LT~2 =
> y=2
1 -L
LT~2= L r 2
x / y=22 =A C lave ( D ih
[v]2
Clave
(C
Hf
.............................
Sabiendo que la siguiente expresión es dimen sionalmente corre cta
En la siguiente ecuación física E=A v2 + BP,
donde E: energía, v\ velocidad y P: presión, cal cule [a / b \.
H=aF-bp,
A) M r 3
C) MLT4
A) energía
E) M r 4
D) fuerza
B) ML2
D) ML~3T
donde: F: fuerza y p: impulso, indique qué mui; nitud representa a/b. C) tie mpo E) aceleración
Del problema
Se tiene que
[H]
E =A v2+BP
Entonces [e]
B) velo cida d
= [a ) M 2+ [ b ] [ p ]
Podemos observar que tanto E como cada su mando debe tener las mismas dimensiones, por lo que
= [a][F ]-[b][p ]
No deberíamos preocuparnos por las dlmen siones de H ya que esta relación cumple con el principio de homogeneidad, entonces [H]
= [a][F] = [b][p ]
-> [o][F] = [b]fp]
[E] = [A ][ v] 2= [B ][ p ]
[a]M L r2 = [b]M L r2 MLT'1
De esta manera [b]
[E] = [A ][v ]2
MLT~2
m l 2t ~2
ML2T~2=[Á\L2 r 2
C lave ( c )
[A]= M
[e] = [ b ] [ p ] m l 2t ~2= [ b ] m l ~1 t ~2
Dada la siguiente ecuación dimensionalmente correcta
ÍB] =L 3
n_ n ¡ l A = P + -x v 2,
[fi]
donde P: presión y v: velocidad, determine l,e. unidades de x en el S. I.
i}
[A/B]=ML
A) kg/m 3 C lave ( A )
d)
kg-s
B) kg/m 2
C) kg e)
kg-s/m
W = [ p] +
Dada la ecuación
MM
[c][t]2
[x| = lo| + M lt] + Del principio de homogeneidad ÍA] = [P] =
[x][v]2
Del principio de homogeneidad
Entonces [P] =
•
[x] = [o]
->
[a]=L
•
[x] = [b ][t]
[x]M2
ML h 2=1 -[x]{ l T x)
L=[b]T
[x]=ML~3
-» [b ]= tr1 [x ]=
Como iM [masa] W = t = ------------^ L [longitud]
[c ][t ]2
L=l-[c]T2
[ c ] = t r2 sus unidades serán kg
Piden calcular
m3
Clave
ab
[a][b]
L-LT
.c
[c ]
LT
ab c .
= LT
Clave Si la ecuación x = a + bt + - c t2 2 es dimensionalmente correcta, calcule x: distancia y t: tiempo
ab c .
Si A representa el área, ¿cuáles serán las dimen siones de x e y, respectivamente? 7/4log20°= 2x1/2+ 5y2sen30°
A) T
c)
L r1
d)
r 1!
B) LT ' E) LT
A) L; L
C) L, L~
D) L4; L
E) r 4;¿-
Entonces Dada la ecuación [7]
(I)
a=b*cy
[A] [Iog20°] = [2] [x ]1/2+ [5] [y ]2[sen30°]
[a] = [b]*[cY L r 2={L2 T(T)y
Del princ ipio de h omogeneidad .
LT~2= L2xl y
[7][A][l og 20 “ ] = [2 ][x ]1/2
Por lo que
1 - L2 ■1 = 1 • [x ]1/2
•
X=l/2
-> [x]=¿4 •
l=2x
L=Llx
[7] [A] [Iog20°] = [ 5 ] [y ]2[se n30°]
•
T~2=Ty -> y=-2
Reemplazando en la ecuación (I)
1 ■L2 -1 = 1 ■[y ]2- 1
o=ó1/2c-2 ->
[y]=L
_ C lave ( § ) Clave
N ivel intermedio Se tiene que b = 20 m2 y c=2s. ¿Cuál sería la rela ción correcta para repres entar a la aceleración o? A) a=b/c
B) a = 4 b /c
D) a = yfb/c 2
C) a = 4b -c
Señale si las siguientes proposiciones son verd.i deras (V) o falsas (F):
E) a=b/c2
I.
Una expresión dimen siona l es una cantidad física cuya representación se encuentra es tablecida mediante símbolos en el S. I.
II.
Se denomina ecuación dimensional a aque lia ecuación que resulta al representar las ecuaciones involucradas, en una ley física med iante sus expresiones dimensionales.
Dato •
b= 20 m2 -> [ b]=L
•
2
c=2s > [c] = T
l’iden determinar la relación correcta para re presentar la aceleraci ón a en términos de b y c.
III. Una ecuación dimensional es homogénea cuando las unidades a ambos lados del signo igual son las mismas. A) VVF D) VVV
B) VFV
C) FVV E) FFV
21
I UM8RERAS EDITORES
m
Veamos la siguiente tabla: Sea A una cantidad física, entonces
Prefijos para las unidades del S. I.
[A]=LxMyTz...,
donde x; y; z son números y L; M; T;...; son símbolos que representan las cantidades
P refijo
io -
15
femto-
10~12
pico-
10”®
na no-
n
10“ 6
micro-:
p
10~3
mili-
m
10“ 2
centi-
c
10"1
deci-
d
donde observamos que [A]; [s] y [c] son las dimensiones de las cantidades involu cradas en una ecuación dada.
fl.01
deca-
da
103
kilo-
k
1o6
mega-
M
10® 10a
gtgatera-
G
Sea la ecuación
1015
peta-
P
físicas fundamentales en el Sistema Inter nacional.
Sean las ecuaciones A —B • C o A —B+C,
entonces las ecuaciones dimensionales serán [A]
= [B][C]
o [A] = [B] + [C],
III. A=B+C,
entonces esta ecuación será dimensionalmen te correcta si se cumple que U ] = [fi] = [c]. Algunas conversiones C lave ( p )
1 cm = 10~2m -
1 cm2 = 10 “ 4m2 1 cm3= 1 0 “ 6 m3
Señale si las siguientes proposiciones son verda deras (V) o falsas (F).
1 lit ro = 1 dm 3
I.
1 litro = 1 0 "3m3
II.
Una lon gitu d de 10 pm es Igual a 0.01 t]m . Cuando se tie ne una ecuación física, todas las constantes son adimensionales.
III. La can tidad de carga eléctric a tiene como expresión dimensional IT.
1 dm3= 1 0 "3m3 1 kg=103g 1 g=10~3kg 1 min = 60 s 1 h=3600 s
A) W V O) VFV 22
A breviatura
P otencia
B) FVF
C) W F
1 km = 103m
E) FVV
10 m/s=3 6 km/h
f :
P
T
Donde F es la fuerza electrostática, d es la di-, tancia y q1 y q2 son cantidades de carga.
De la tabla dada 1 nm = lC T9 m
A) ML3r 4/ ' 2 B) MLT~2I
1 nm = 10~3-1 0 '6 m
D)
Pero
C) ML2r 2l 1 E) MLTI
ML 3T r 2
1 p,m = 10-6 m —> 1 nm = 10-3 (1 p,m) Del problema
lp.m = 103nm
rf1
Entonces
Id ?
10 |i m = 1 0 x l0 3 nm
MLT- 2 j m
n t
En una ecuación física, todas las constantes (números reales) son adimensionales.
MLT~2 = [k ]l2T2L~2 [k ] = M t? r2T~*
III. La intensidad de co rrie nte viene dada por la siguiente expresión
_ C la v e
t
Donde Q: cantidad de carga Dada la siguiente ecuación
t: tiempo
Entonces =
->
[q] = IT
2 determine las dimensiones de k si S es adimon Clave sional; m: masa; v: rapidez; T: tiempo A) MLT2Q
Determine la ecuación dimensional de la cons tante de coulomb k si se sabe que esta ley se encuentra expresada como i ~ d2
B) ML2T~2Q~1 C) ML2T2Q D) ML2T2Q~2 E) /WL_1r 26 2<
La teoría nos indica que cuando un cuerpo se mueve con una velocidad cercana a la luz, su energía está dada por la siguiente ecuación
De la ecuación dada 2 3
[5] =
_2
lm ][ vl2
E = ^ p 2c2+ m xcy .
[klT]
Si p es la cantidad de movimiento lineal y m es 1=
la masa del la cuerpo, ¿cuál ser el valor de x+y para que ecuación seadebe dimensionalmente correcta?
i-We
[k] =M L2 r 2Q~1
A) 0,5 C lave ( B
B) 1
D) 6
C) 2 E) 4
Del problema Determine cuál será la expresión dimensional de una cantidad física cuyas unidades se expre san en joule por kilogramo Kelvin. A) /.2r 20_1 d)
2-,—2q C) Ma2¡ 2-t—2a-1 ¿L¿T~¿Q ¿L¿T~ B) M 2/
i 2r 2e
E)
l ~2t \
•
El módu lo de la cantidad de movim iento p=mv
donde m = masa y v= rapidez ->
[p] = [m ] [v] [ p\=MLT ~1
•
c es la rapidez de la luz
[c]=¿r1 Sea la cantidad física A cuyas unidades es
Entonces [E] 2= [p ]2 [c]2 + [m ]x[ c]y
J
(/wL2r “ 2)2= ( /w /. r 1)2(LT“ 1)2+/ wx( / . r '1)y
l- k
* A=
>
|A =
|/4|:
M 2LAr ‘l = M 2L4T~A+M xLvr y
[energía] [masa][temperatura]
Del principio de homogeneidad M 2L4T~a= M xLyT~ y
[energía] [masa] [tem pera tura ]
Entonces
ML2T~2 M-Q
M2=M x
•
L4=Ly -
x= 2 y -4
x+y=6
I A] = L2r “ 20~1 C lave ( A 24
•
C lave ( D
Determine las dimensiones de a y b si la ecuac ión
Si la expresión
oF , l2 P = — + bd¿, R
es dimensionalmente correcta (m : masa, t: tiempo, i/: velocidad y W: trabajo), calcule a+b+c.
es dimension almen te correcta.
A) 1
C) 3
F=fuerza P=presión
E) 5
R=radio
B) 2
D) 4
Considere
d=densidad De la expresión dada se tiene
A) L " 1 / w r 2r 2
[ M/ ] =^ f [ t ] í’ [v ]c
B) r 1 M~^L~21 2
c) r 1 2-2 I M M L T 2=(j2
J V -U r1)'
M ^1L5r 2
d) r 1 M ~ 1r 5r 2 E) r 1 M ~ 1r 1r 2
M?T ~2 = M aT la -Tb- LcT c ML1r 1= M aLcTb~c~ 2o
[ P] = Í £ M + [ f c][ d ] 2 Ir ]
Lntonces •
M=Ma
/w r1! -2 =
> 0=1
-
[a]MLT~
\-[b]ÍML 3
ML ~1r 1= [a ]MT~2 + [ b]M 2L~6
L2=L c
> c=2 .
Del principio de homogeneidad
j-2 _ jb -c -2 a
•
■ -2=b-c-2a
/V Í/.'1r _2=[o]/W r“ 2 [o]=L - i
-2=b-2~2(l) b=2
ML
2,-6
T = [b]M L
Cor lo tan to a+b+c = 5 Clave
CE
C lave ( C J
Si la ecuación QnP2+ SP + =R ^ +
v
dimensionalmente correcta, en donde rapidez, determine [p].
A) LT
B) L~1/2Tx/2
■1/ 2
D) LT
A)
kg -C -s
D)
kg — s
v es la
C) kg- E) kg--^ C
C) L~1/2T E) L2
[Q ]" [P]2 + [S][P ] + [Rl = [Q] + [5 ][|0gP] M
[ q ] " [ p ]2 + [s ] [ p ]+[/?] =
B) kg-A
es
[q ] + i
ÍP] = ([m ] +
[a ]
sen(w/|3)
Para que la expresión sea dimensionalmente correcta r n [a ] [m] = —
i
[d ]
LT- 1 M =
Se observa que [Q] = l
[a]
IT
[a]=MIT
Entonces i
->
-{ p }2+ [ s ] [ p ]+ [ r ] = l ~1t
Además, sen(w(3) debe ser un número por lo que [wp]=l
Usando el princ ipio de ho mogeneidad se obtiene
[w][|3] = l
[P ]2=L ~ XT > [P ]= r 1/2r 1/2
CLAVE ( B )
-> [p]=r . ••
[a] MIT T -r = = MI ------
[P] Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta ssen(w|3)
P
m-
T
M I - [masa] [amp erio]
Por lo tanto — tien e como unidad kg-A
donde m\ masa; q: cantidad de carga; w. rapidez ungular; determine la unidad de a/(3. /ó
P C lave ( B
Indique el tipo de movimiento que realiza cuerpo y cuál de las expresiones, F, G o H, dlmenslonalmente correcta.
Dada la siguiente ecuación correcta m -n-a = AV. eos
/3c''
A
determine la ecuación dimensional de
ac.
C2
B2
F = — + B;G = — + A; H = hC C B A
Donde F: fuerza; V: volumen; m y n son masas. B) /W_1í.4r~ 2 C) ML2T~ s
A) MLT
A) MRUV; H
B) MRUV; F
D) MRU; F
C) MRU; H E) MRUV; G
E) ML¿
D) LT3
lx]=-[A ) + [ B ][t ]-ÍC ][t ]2
[m ][n][o] = [ 4][ v.
3c L= -[A] + [ B]T-[C]T2
M-M■ [o ] = 1 •í 3 • 1
Del principio de homogeneidad l= [a ]
[o] =Z.3/W~2 A. , 3c . . [3 ][c] 1 Ademas, — es un numero, por lo que — - = 1. d
[d]
+ [ b ] t = [ c] t 2
Entonces [A]=L
[c] = [d]=MLT ~2
[B]=LT ~1
[ac] = [a] [c] =L3 M~2-M L r2
[ C]=LT~2
> [ a c ]= M ~ 1L4T~2
Ahora CLAVE ( B F=
A -----
C
FB
[F]J - fL + [B]
[C]
( onsidere la siguiente ecuación del movimiento di‘ un cuerpo i
-A+Bt-Ct2
(x: distancia, t: tiempo; además, A; B; Cson cons tantes no nulas).
[F] = - ^ + ¿ r “1 LT
[F]=L72+ / . r 1 2/
Se observa que la ecuación dimensional de F no es correcta ya que
Si las expresiones dadas oz = xy; x =
my yjy2 - v 2
•
son dimensionalmente correctas, determine la dimensión de z. Donde m, v y a son masa, velo
CL G= — + A B
cidad y aceleración.
[C l 2
[S] A) LT~l B) M r 1
LT
C) LT [G ]= L r3 +L
D) M r 1 E) MT
*
De igual manera, 6 es dimensionalmente Inco rrecta.
1_ [m][y]
M = LT~3*L
•
Vm 2- m 2
Para que la parte del den om ina do r sea correcta, las dimensiones de y y v deben ser iguales, por
H= — + C A
->[H] J f j +[cl
lo tanto [y] = [v]
[A ]
[x ]
ÍH lj F
lT
M[y]
l^ ->
[,H} = L r 2+ LT 2 [h ] es correct a.
[x]=M
Piden calcular z a partir de la ecuación [o] [z] = [x] [y]
Además, como 1/-/] =L7 2, estas son las dimensiones de la aceleración, por lo que el movimiento será un MRUV. Clave 28
(A)
( lt ~2)[ z ] =
m
■L r1
[z]=MT C lave ( E
r L=L
1.1 fuerza de rozamiento que experimenta una pequeña esfera dentro de un líquido está dada por la siguiente expresión I k n W c,
donde k: constanté, F: fuerza de rozamiento; r: ra(lio, v. velocidad; n: viscosidad
2b + 2c- a
l=2b+2c-a
l = 2b + 2\ - |- 1
v2/
b= a+b+c=2
C lave ( B )
masa viscosidad = longitudxtiempo ( .ilcule a+b+c.
A) 1
B) 2
li) 4
C) 3
Dada la siguiente ecuación dimensionalmenle correcta
E) 5
A = Ve - Bt\
donde v: velocidad y t: tiempo, determine la di mensión de A/B. I LltO
A) LT~1
[masaj ln] = [longitud][tiempo] I n] = —
LT
B) LT
D) L^r1
-» [n]=ML~1T~1 Como e es la base del logaritmo neperiano, entonces [e] = 1
l n el problema \F] = [k ][ n f[ r ]2 blv]2 c 2c MLT~2 = 1 •(mí.-1! -1 )° ( L)2b(¿T -1 )
MLr2=MaL2b+2c~ °ra~lc
Donde flt2=número
[fl] [t ]2=1
[s]r2 = i [e]=r2 Del problema
I nlo nc es
•
M=Ma
[A] = [v ][ e ]- et2 -> o=l
• r 2= r a~2c ->
[A]=(ir -2 = —o-2c
[A/B]:
M =i r [A] LT-1 ' [B]
T-2
= LT
-2=-l-2c c= 1/2
C lave ( B
?<)
I UMBRERAS EDITORES
•H
Determine las dimensiones de S, si la expresión S
[F] \
-M r
I/W/cI tc—(lo gó )3)
es dimensionalmente correcta. Donde W\ trabajo; v: velocidad.
T B) ML 2-r-2
A) ML2T4 D) ML3T 3
[lcr\]
C) M T E) ML2T 3
[kr\] = M T 1
Para que la ecuación dada sea dimensionalmente kr)t
correcta e A debe ser adimens ional. Para que pueda darse la diferencia tc—(log k)3, log/c debe ser un número; por lo tanto, k debe ser una constante adimensional. De esta manera
Por lo que kr[t A
- es un numero
kr\t . A
|s] = M [v]| >][(7i-(l og £> )3)]
= 1
[/CT|][t] [s ] =
-4
m l 2t
2 -l
t
1- i - i
[A ] MT
[s ] = m l 3t
= 1
-T - =
[A]
1
Clave [a]
=M
[kr \A] =M2 T 1
Clave ( D Cuando un cuerpo se mueve dentro de un fluido, su rapidez varía de acuerdo a la siguiente expre sión F_ k)]
(kn)t
1 -e
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta
A
donde v: rapidez, F: fuerza, t: tiempo. Determine la ecuación dimensional de [/cr|A]. A) ML D) M 2T 1
to
B) M 1r 2
x=asen(bcx),
donde [o ]= L y [c] = 7, determ ine la dimensión de b.
C) M
A) TL
E) M T
D) L-2
B) r
c) r M 1 E) 71 1
Dada la ecuación
[o] = [R] sen 0 +
vt
[x ] = [o][ sen(bcx)] Como
> [x] = L - l = L
sen 0 +
vt
= 1
I as dimensiones de una razón trigonométrica es l,i unidad, por lo que
= [número] = 1
[sen(ócx)] = 1 [v][t]
> bcx= nú mer o
[A,]
[bcx] = l
=
1
(l t - ^ í t ) [A]
= 1
[b][c][x ] = 1
[A]=L [b]T-L=l
Como podemos observar, A representa una Ion gitud.
[ó ]= r1 r Clave
i u.il debería ser la unidad de A para que la exluf.lón dada sea dimensionalmente correcta? a /fsen 0 +
C lave ( Á )
Un cuerpo a una cierta temperatura irradia enei gía, la cual viene expresada mediante la expresión
vt
H=EcATy
A
A:área
l 'linde
T: temperatura
,i ai eleración i nipidez
H: energía por unidad de tiempo Q W
a = 5,67x10
i in'inpo
m V
Calcule y. 'v| km
B) kg A) 1
1 I m /s2
l'l ki:/m3
E) m/s
D) 4
B)2
C)3 E) 5 iI
determ ine la ecuaci ón dimensional de C. Debemos tener en cuenta energía H=
Donde M : momento de una fuerza
tiempo
m: masa
_ [energía] _ MI?T~2 ÍH) [tiempo] T
P: peso
B) MLT -
A) ML
i
C) ML2 - i
H> [H]=ML2T~3 D) M _1L
[£] = [núm ero] =1
•
•
ÍA]=L 2
•
[r]=e
•
[a] = [5,6 7 xl0 “8]
E) ML
Debemos tener en cuenta que el momento de una fuerza lo podemos escribir como
lw ]
M =fu erz ax distancia —» [ m ] = [fuerza] x [distancia]
= [5,67 xl0-8]
->
|P°tGnCÍal ---------- j [distancia] [temperatura]
------------
[cr] = l -
[ M ] = M Lr2 -L [ m ] = m l 2t 2
Además peso= masaxgravedad
3q -4 [o]=/wr3e
[peso] = [masa] x [gravedad] [P ] = M L r 2
Entonces
De la ecuación dada [M][cos0] [C] =
ML 2r 3= l- M T 3e~ 4- L2-Q'í ML2T~3=MT~3L2Qy~4
[M ]{[ kf+[P ])
> o°=eY-4 Para poder sumar [/r]2+[P], ambos sumandos deben ser de la misma magnitud.
0= y-4 - > y= 4 Clave
Entonces [C] =
'.i l.i siguiente ecuación es dimensionalmente (orrccta /Wcos0
[C] =
[
[M][P] m i } t ~2-i
M-MLT -2
[C]=M~1L
(
Ák2+pY
C lave ( D
Determine bajo qué condiciones la siguiente expresión F{Q + b) 2f?sen0
4~r
be
Si la siguiente ecuación dimen siona l es corréel a kvea y=-
sen(wf)
- + d,
calcule [vkw]-
puede ser efectuada, siendo F: fuerza, R: radio y 0=7t/6.
Donde o: aceleración E: energía t: tiempo
A) solo es posible si £>= —
d: densidad
B) solo es posible si b adopta las unidades de
e: base del logaritmo neperiano
la aceleración y b = — 2
C)
solo es posible si b es una cantidad adimensional y lc ]= M ~ 1L~1^2T2
a) m
1r 2r 3B)
/w_2¿_1r 2 C) M^TT2
D) ML~3r l
E) M~2L~2T
D) solo es posible si b y c son cantidades adimensionales I)
solo es posi ble si la ma gnitud de b es igual a la de c
|sen(wt)J Dado que la ecuación mostrada es dimensional mente correcta, esta debe cumplir con el princi pío de homogeneidad por lo que
Del principio de homogeneidad |F ][ 0 + ¿>]
[2][ /?] [se n0 ]
[RÍ|l/2
íb][c\
ík ]M íe íavt)
M = _ r— T7yT = [D] [sen(wt)j lk][v][e]{avt)
[sen(wt)]
i'.n.i que esta igualdad sea dimensionalmente coi recta, b debe ser una cantidad adimensional y.i que solo así podrá sumarse con 0. \F] _
1-[R]-1
1/2
1-lc]
\R ]
lk][v] 1
= [D] -3
■1 = MC
kv]=ML
Además
MLT ,1/2
•
_L_
[sen(M/t)] = l
[wt] = [número] = 1
[w ][t] = l [w ]T = l —> [w ] = 7 1
=/vr1r 1/2r 2
[vkw]=ML~3T~1 Clave
(C
C lave ( D ) 33
Entonces Sobre un cuerpo actúa una fuerza que depende del tiempo según la expresión „t
F = Ae
bc + t
sen| — :— I. Determ ine
abe
[b\[c] + [t]
T
Id]
[d]
[d] = T
Ad
Donde Además de la ecuación (I) se tiene
t: tiempo e: base del logaritmo natural
M LT 2=[A ]-1-1
-> [a] =MLT~2
F: fuerza Piden A) M ~ hxL~ -1l !T
B) M 1LT 1
D) M Í L i r
C) ML 1F“ 1
abe
[o][bc]
T~x-T
E) MLT~
Ad
[A][d]
MLT~2-T
abe Ad
( bc + t
[F] = [A ][e]o t
X~~d~
= M 1L 1T
C lave ( A )
(O
Esta ecuación es dimensionalmente correcta si •
[ e ] ot = l
[of] = [núm ero] = 1 [o ][t] = l [o]=r_1
A B C -~ D + BF = DC[1 + AB)ZX, x
determine la ecuación dimensional de
De igual manera sen
Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta
B y D.
Donde
^bc + t
C: trabajo
F: fuerza bc + t d
= [número] = 1
lfa][ c] + [t] Id ]
A) L T 2;1 =
1
,i suma será correcta si b][c ] = [t ] \b][c] = T
D) MLT; 1
B) r 1! " 3; 1
C) LF2; 1 E)
1
Para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta, A y B deben ser adimensionales, es decir [AB] = 1
Del principio de homogeneidad [ABC] = -D = [ b f ] = \_d c ( i + a b ) zx~\ .x .
De la expresión dada, se tiene (metros)2
AX+ By-= ( ^ f
x+y
[ a b c ] = [ d c ( i + a b )zx] [AB ][C] = [D ][C ][{1 + AB)ZX]
Para que ello sea correcto
i • [c]= [d] [c] ■ 1
[A][y}2+[B][y]
entonces
2
[y]2
> [D]=1
De esta manera l.imbién observamos
[A\[y}2=L2[y]2
[ABC] = [ BF]
A\ = L2
\AB][C} = [B}[F] ML2T~2= [ b ] ■MLT~2
[B]=L2-
■ I B]=L
[B]= L2 -ÍM L r2)
Clave
B]=ML3r
Clave ( B
I ' ik I.i la expresión d i I By /— - y = V20 metros y
Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta Pc os4 5°= 4c/V 'tz, calcule (x+ y)2.
ilimi'iisionalmente correcta, determine las di mensiones de B y A si y = V20 n ewton .
Donde P: potencia d: densidad
MI Jr 1 y ML 2
(II MI ! f -2 y í.2
v: velocidad t: tiempo
M ' r 2yL2 M il 2 y L2
I I M '/ '2r 3 y ¿“ 2
A) 1 D) 25
B) 9
C) 16 E) 36 35
[P] [cos45° ] = [4] [c /]x[v ]y[ í ] z
W =
/W/.27 '3-l=(ML_3)X(/.r-1)y(T)z
If J [A ]
[¿ 0 ] [ L ] -[ V -2
ML2r 3=M xLy~3xTz~y
W =
MLT~Z ( L L
[k]=ML~1T~2
Entonces •
M=MX
-> x=l
.
L 2 = L y- 3x
C lave ( B
2=y-3x
2 = y —3(1) y=5 .
r
3 = T z-y
Se sabe que la unidad de la viscosidad es el poise. Si esta viscosidad viene dada por -> -3=z-y
P77T 8 LV
-3 = z —5 z=2
donde T es el tiempo necesario para que un vo lumen 1/ de líquido recorra una longitud L de un tubo de radio R sometido a una presión P.
(x+ y)z= ( l + 5)2 (x+y)z=36 Clave
Determine las dimensiones de la viscosidad. A) ML 1T~2
B) ML
-i T -i
D) M r 1/2T1/2 Si sobre una barra de longitud L0 y de sección transversal A se le aplica una fuerza F, esta se alarga una longitud L. Determine las dimensiones de k si se cumple la siguiente relación
C) ML~ 2r 2 E) ML~1/2T2
[p][r][fi]4 [ 8 ] [L][ V ]
(/w r1r -2)( r) ¿4 A\L-L
M =
i-¿-r
[ja] = /w r 1!"1
A) M L^ r 1 ») ML -1r -2 0
m l ~2t ~2
l>) ML^T2 1) 16
m l ~1/2t ~
Entonces, sus unidades serán |A = -
kg m-s Clave
(B
V
Luego en (II) Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta •fh = ír(sen40)F
W
1
a=— 2
t calcule b —a.
Donde
■
h = n b-a
/: fuerza W\ trabajo
3 1 = 1 1 -------
2
2
_CLAVE
k: constante adimensional
B) 2
A) 1
C) 1,5
N
ivel avanzado
E) 2,5
D) 0,5
'.i la ecuación dada la elevamos al cuadrado y lomamos sus ecuaciones dimensionales, obte
La presión (P) que ejerce u n fluido en movimiento puede hallarse en cierto caso particular por
nemos
Ih] = [k ]2[sen 40]2 [ f 0-1]2 [vv^1?
P = mv
donde m : masa; t: tiem po; s: área; a: aceleración. l
= i - i -( m l t ~2)2a 2( m i } t ~2)2b 2
Determine las unidades de k.
L = ^2o-2-f2¿)-2^2a~2+4b~4y-~4o+4-4í)+4
,
B) — s
A)
lnionces i _^2a+4fc-6
D)
■ l=2o +4b - 6
m
C) m3-s E) m-s
7=2o+4b M °= M 2a+2b~i
0 -2o+2b- 4
[Pl = [m l[v]>
4 =2a+2b ? a+b
(II)
Esta ecuación será dimensionalmente correcta si x| at — | es un numero
itr l.r, ecuaciones (II) en (I) obtenemos /,
*2
[x ]| [o ][t ]-j í0 = l
37
Donde
Entonces •
[a] [t ] = ¥ \
LsJ
-4 x=l
(£r!)r-ÍLÍ í2
.
/. “ 1=¿ z_ 3x
—> - l = z - 3 x
[ k ]= /. 3r _ 1
-»
M=MX
Por lo tanto, las unidades de k serán m3/s. C lave ( D )
. -»
-l=z-3(l) z=2
r 2= ry y =2
2x+y +z= 2(l ) + 2+2 = 6
Clave ( B )
La energía por unidad de volume n que trans porta una onda que se propaga en una varilla está de1 terminada por la ecuac ión p = - p xw yAz, donde p es la densidad, w es la frecuencia angular de oscilación y A es la amplitud. Determine el valor de 2x+y+z. A) 2
B) 6
C) 10
D) - 4
E) - 8
La rapidez de la propagación (v) de las vibraciones acústicas en un medio determinado depende del módulo de Young (£) y de la densidad del medio (p) como se indica v=£V-
Si £ se expresa en /V/m2, ¿a que es igual x -y ? Dato _ energía volumen [energía] _ Ml?T~z [volu m en ] ¿3
> [y,]=ML~1r 2
A)
0
D)
0,5
B) 1
C) 2 E) 1,5
Dato newton (metro)2
Ahora del problema [p] = 1 • [p ]x[w ]y[/ \]z M ch' 2 = (m c 3T
(r_1)y(l )z
ML~1T~2=M xLz~3xT~'/ ¡8
[fuerza] [lo ngitu d] 2 [E] =M L~ 1r 2
_M L T ~ 2
L2
Del pro blem a Dato
M = [f] x[pF
2n
N=
tiempo
L7” 1= ( w f 1! -2 )* {m C 3Y N-
LT_1 = M x+yL~x~3yr 2x
_ [2
tc]
_
[tiempo]
[N] = - = T~1 T
1ntonces
T~2= r 2x
.
•
x=fuerzaxdistancia [t ] = [fuerza] x [distancia]
> - l =-2x
[ t ] = {m
lt
2)( l )
[x] =ML2T~2
.
M °=M x+y
Del problema
>
%=kNxpyDz
0=- +y 2
Como el torque depende de N, p y D, entonces para que esta ecuación sea dimensionalmenle correcta debemos encontrar los valores de los exponentes x; y; z.
y= ~ :
De esta manera h} = [ k][N ]x [p]y[DY
Clave
ML2r 2= i- [ r v)x{ML~ 3)y(L)z ML2T 2=T~xMyLz~3y
11 torque (x ) en un acoplam iento hidráulico v.nía con las revoluciones por minuto ( N ) del ■ de entra da, la densidad (p) d el aceite y del ili.imetro (D) del acoplamiento. Determine una • ■■(presión para el torque. Considerek como una ■(instante adimen sional.
Entonces •
M=My
-> y=l
T~2=T~
x= 2
L2=Lz~3y
2=z-3y
2=z—3(1) z= 5
A) kNDp
B)
k{DNp)3/2
E)
kN2DAp2
x=kN2pDs
i ) kN2D5p o) kND5p
__ C LA V E ( Ó )
3‘)
I UMBRERAS EDITORES
La presión P de un fluido sobre una pared de pende de la rapidez v, de su densidad D. Si su lórmula empírica es p = -s[x v xDy, determine la fórmula física correcta.
Dada la ecuación dimensionalmente correcta vx=acos60°+EP2, calcule la dim ensión de - ^
, 1/2 ■
Donde V: velocidad E: energía
A)
V3i/2D
B)
vD2
C) V dv
D) 4 l v 2D
E)
A) M ~ 1/2r 1/2T1/2
vD
B) M ~ 1/2L~1/3T1/2 C) M ~ 1/2r 1/2T1/3 D) M _3/2L“ 1/2r 1/2
[P] = [x ]1/2[v]x [DV
Podemos observar que como x es un compo nente, entonces debe ser un número.
e)
/vr3/2r 1/2r3/2
Por lo tanto [v][x] = [a]1 /2+ [f ][ P ]2
[P] = l- [v ]x[ D]y
/w r1r-2=(/.r1)x(M/r3)y
Del principio de homogeneidad [v] [x] = [o] 1 /2= [ f ] [ p ] 2
ML~1 r 2= M yT~xLx~3y
Entonces
Lntonces •
M=My > y =1
.
L r 1[x]=M L2T~2[P]2 ->
[Pf_ =LT~
_____
[x]
ML27“2
r 1=Lx~3y
LxJ
> - l =x- 3y -l=x-3(l)
Sacando la raíz cuadrada [P]
x= 2
[x ] I n la ecuación dada en el problema obtenemos P = sÍ2 v2D Clave 40
(D)
;l/2 = 4 m
~
W _= M -1/2L-1I2T1 I2 1/2 [x ] Clave
(A)
R= -
mol.fc
La ecuación de estado para un gas real viene dada por R=
P+ - j | {v -b ) = R T,
donde
(energía) (mol)-(temperatura)
[energía]
ÍR] =
presión absoluta del gas
[mol]-[temperatura]
v — = volum en mo lar n Y mol
[R] =
r^
NQ
ll = ML2T -2N -1Q-1
a y b son constantes que dependen del tipo del
K.is /( constante universal de los gases
Del problema [o]
/ Temperatura absoluta del gas
[P] + ^ -y |([v ]-[b ]) = [R][r] [v ]
Indique las proposi ciones verdaderas (V) o falsas ( I ) según corresp onda
[R][T]
II
[ ab] = [RTv2]
III
[b]=L3 A/-1
A)
FFV
Entonces
B) FFF
l>) VFF
E) FVV
(metro) mol
[v]
l?N 1
[a] = M tT ~ 2N "1[ b ]
También
[metro]3 [mol] \V \ = — = L3N N
[o ]
—1t— Ibj MC1 ^ 2
->
I i.ilo V=
[Plíb]:
C) FVF
[o]
-»
[alb]
[ ó] = M =¿ 3 n - 1 Al
Ahora
Además, la constante de Planck viene dada por h=E/f, donde E es energía y /e s frec uencia. lE ]
[a]*[b]
[/]
[ab] = [RTv2]
[h] =
/wl2t ~2
Del principio de homogeneidad [b]=ML2T2-r-l
(I)
M 2
[ab ] = [RTv2]
También [c]=Lr_1
III. [b]=L3N~1
Entonces, al multiplicar (I) y (II) se obtiene C lave
(E
[/?] [c] = ( /W¿2r " 1)( L r " 1) [h ][c ] = MI ?T~2 y= hc
La magnitud y tiene por unidades kg m3s~2. Si h es la constante de Planck y c es la rapidez de la luz, ¿cuál de las siguientes alternativas es una ecuación dimensionalmente correcta?
y= hc y= h c
y=/?c_1 y = h 2c y = h ~ 1c2
Clave
Haciendo uso del análisis dimensional deduzca una ecuación empírica para hallar la fuerza centrí peta que actúa sobre un cuerpo co n m ovim iento circular sabiendo que depende de la masa del cuerpo, de su rapidez lineal y del radio de cur vatura.
A) kmvr B) kmv/r
Dato
C) kmr/v
y=kg m3s~2 y ]= M L 3T~2 42
D) kmv2/r E) kmr/v2
Reemplazando en la ecuación (I) Dudo el movimiento
Fcp= mR ^ Fcp = k —— H r
Donde k es una constante ad imensional. _CLAVE ( b )
1n este caso se presenta la fuerza centrípe ta que depende de R, m, v. Fcp=(m ; R; v)
Una cuerda se mantiene de forma horizontal debido a la acción de una fuerza F. Si se le hace osc¡|ar vert icalm ent e, se encuen tra que el pe riodo de oscilación T depende de su longitud (/.), de su masa por unidad de longitud (Á) y de la fuerza F aplicada. Entonces, T es directamente proporcional a
l’or lo tanto Fcp= m xRy1 [Fcp] = [m]x [R]y [v f
(l)
A) r\ X /F )1 /2. B) L(F/X)1/2. C) (\L/F)1/2.
M L T 2= MxLy{L T 1)z MLT~2= M xLy+zT1
D) L(F/X)~1/2. E) XLF~1/2.
Intonces M=MX > ♦
r
2=
r z
y=-i
AI
Dato
Entonces
X=-
masa
longitud [masa]
T = rl z ->
l = —2z
z = - 1/2
-> 0 =y+z
M°=My+z
[longitud]
[X] = — = M ¿"1 L
—[X-y+z
0=x-y+z
[periodo] = T del problema T=(L-, X; F) ->
T= LxXyFz
0 = x ----2 2
x=l En la ecugción (I) t = l x 1/2f -
1/2
\l/2
Luego lT] = l L) x[X n F lz
-
T=Lx(ML~1)y(MLT~2)z T=Lx~y+zM y+zT~2z
44
r =L
1/2
C lave
(6 )
PROBLEMAS PROPUESTOS
N ivel básico
A Iog 20 = a/bC + v2.
Donde 1.
Determ ine las unidades de x si la siguien te expresión es dimensionalmente correcta W
Á xk
B: área v: rapidez
A) LT B)
Donde
d)
C)
L2
e) r 2
t2
1/1/: trabajo F: fuerza
Dada la siguiente ecuación dimensional
v: rapidez
mente homogénea A=-BCsen(w/t+(|)),
k: constante numérica
determine [A], A) m D) m -s “ 2
B) m -s
C) m -s 2 E) m -s -1
2 . Calcule las dime nsion es de A y B para que la ecuación sea dimensionalmente correcta:
Considere que [f i] = [w ]2 y que C es una longitud. A) LT 2
B) L T 1
D) i -1 ! 2
C) L2T E) /.-1 r _2
x=At3+Bt.
Donde
Determine las dimensiones de x en la ecu.i ción
x: longitud f: tiempo
14 1/2
A) ÍJ3;/ . ! -1 D) ZX-1 ; LT I.
B) ÍT- 2 ; ÍX-4 C)
2 = nx eos 60°,
LT^LT1
E) ZX; ZX-3
Determ ine las dimens iones de c en la si guiente ecuación homogénea
donde V1 y l/2 son velocidades.
A) M 1/2T112 . B) L1,2T2 C) M 1/2í.1/2 D) l ~1,2T1/2
E) f 1/2 4'.
n
I IJMBRERAS EDITORES
Dada la ecuación dim ensiona lmen te correcta
Calcule las unidades dexen el S. I.
\2
2nzl}(L-R)ser\d
P = \^ - + ah
t 1A
donde P se mide en kg/m3 y h se mide en metros, calcule [o/b]-
Donde L y R\ longitudes t: tiempo
A) L
A: área
d) r 1
A) m/s
Cuando un cuerpo se encuentra en un líqui do ya sea sumergido total o parcialmente, experimenta una fuerza denominada em puje (f), lo cual se puede representar como
B) L2
C) L -2
B) s-2 C) m/s2 D) m2
F=pW, siendo p densidad, g la aceleración de la gravedad y v volum en.
E) es adimensional 7.
E) L
Calcule (x+y+z).
Si la siguie nte ecuación es dim ensio nal mente correcta, calcu le el valor de x+ y.
A) 1 (^ s e n B )" + (/?2sen(3)v (/?! eos 0)2 - (R2 eos |3)2
D) 3
L; /?1;R2 son distancias
A) 2
B) 4
C) 6
Si en una ecua ción que es dim ensio nal mente correcta a uno de sus términos se le multiplica por log(o(3), esta deja de ser dimensionalm ente correcta.
II.
La expre sión sen(oP), do nde o es la acele ra ción, es adimensional.
III
se podría decir que A y B tienen la misma dimensión.
d: longitud
D) kgs3
Dada la ecuación y=A sen(w t) + B sen(wt)
m: masa
A) kg/s
intermedio
I. Determine las unidades dexen la ecuación
g-. aceleración de la gravedad
ivel
Determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).
E) 10
d
C) 2 E) 3/2
N
D) 8
V m sen9 Donde
B) 1/2
B) kg-s
C) kg-s'
A)
FVF
E) kg-s2
D)
FVV
B) FFV
C) FFF E) VVV
17. Dada la ecuación
A) 0 D)
R= k^ A -t-A ^j + k1k2,
B) 1
3
C) 2 E) 4
se puede afirmar que A) A-l y A2 son adimen sional es sie mpre y cuando k2 sea la aceleración.
15. Determine las dimensi ones d e x si la e c u a ción dada es dimensionalmente correcta. Rx + Z + 2s[s cm = 4 ti 2A cos(2t i RZ)
B) R es un número. C) Si R es un número, es porque k± tam bién es un número. D) Sik2 es un número, entonces las unida des de R serán las mismas que k x.
A)
L
B) L2
d) r 1
C) L3
e) r 2
16. En la siguie nte ecuaci ón dim ensio nalme nte correcta
E) R es la aceleración.
i:i. Una de las leyes establecidas por Newton es la ley de gravitación universal, la cual viene dada por la siguiente ecuación r _ Gm1m2
donde: m: masa y C la rapidez de la luz. Determine las dimensiones de E.
d2^ '
donde
A) MLT~1
F: fuerza
B) ML2T~1
D) MLT
C) M 2LT~1 E) MC^T
m 1 y m 2: masas d: distancia
Calcule las dimensiones de G. A) LMT~1
B) L3M T "2
D) ¿3M _1r 2
C) L2MT~2
E)
F-d=Anmx 2,
donde F es la fuerza, d la longitud y m la masa. Respecto al análisis dimensional, de termine la cantidad física que podría repre senta r x.
11 Calculex+y+z , si (logl2)2ergios = x a/a-v/b^
17. Cuando se hizo una investigación en un la boratorio, un profesor encontró la siguiente relación
Cz
A) tiempo
Donde
B) aceleración
A: aceleración
C) rapidez
II: masa
D) distancia
C: velocidad
E) trabajo 47
...............................
18. Dada la expresión dimensionalmente correcta costc/6 + y M 5 + P(3 de y y (3.
|asdimensiones
i
21. La rapidez de una onda en la superficie de un líquido en un canal cuya profundidad es H viene dada por
Donde
V2 = í — + — |(oX )tana . Deter mine las d¡\ d aj
M: mom ento de una fuerza
mensiones de o. Donde
P: peso de un cuerpo
k: fuerza /lon gitu d
A) /W~1¿~2r 2; M _1L_1r 2
g: aceleración de la gravedad
B) MLT~2;M L T 2
d: densidad
C) m^1 l~ 2t2- M ^ L T 2
X: longitud de onda
D) MLT~2; /VfL-1 ! -2 A) ML2
E) /W_1i “ 2r 2; MLT~2
B) i r 2
D) MLT_1 19. El ángulo de torsión (0) de un eje de sec ción circular de diámetro D, sometido a un torque t, viene dado por
Determine las dimensiones de J si G tiene las mismas dimensiones que la presión. b) ¿2r ~2
c) /.3r _1
D) L3M
E) L4
t 1 y f2: tiem po d: distancia
A) LT
B) L T 1
D) LT~2
T=2nmxky
calcule x+y, si se sabe que Vy l/0 son la rapidez, hes la altura, R es elradio y gla
m: masa
aceleración de la gravedad.
Calcule (x+y ).
D) 4
B) 2
E) L2T
dado por
V2 =Vq +2gx Ry( — ----- — ) 0 U R+h)
A) 1
C) LT2
23. El periodo de oscilación de un M.A. S. viene
20. De la siguiente relación
48
22. En la ecuación
Donde
GJ
l at
E) r 1
o t1= (o t2+¿)c ítan 0)(l+¿ i):L^2, calcule las di mensiones de a.
0= ^ .
a)
C) L
C) 3 E) 5
k: constante elástica (N/m)
A)
0
D) 3
B) 1
C) 2 E) 4
24.
Si la ec ua ció n de est ad o para algu nos gases reales es
A) M " 1/."2 ! 4/2 B) M -1 /.2! " 4/
P +-^r \ v-b)=
/ 2)
— ,
i
C) /w_1¿ '2r 4/2
calcule [a/b\-
273
d) M~1L~2r 4r 2
Donde
e)
/w_1¿2r 4/“ 2
P: presión
27. El calor abso rbido o disipado po r un cuer po cuando este varía su temperatura viene dado por
V: volumen k: temperatura
A) ML5r 2
Q=mCeAT
B)
donde
M 2L5T~2
C) ML2T3
Q: calor, cuya unidad es la caloría (1 Joule=0,24 calorías)
D) MLT
T: temperatura
E) ML2r 2
M: masa ¡\t La rapidez de un líqui do en un tu bo cilindrico
Calcule [Ce] •
a una distancia r del eje central es v = —— ( r 2 - r 2). Calcule la dimensión de AnL
n.
a)
¿2r 2e
b)
D) L2T~2Q2
l 2t~ 2q~2 c ) l 2t 2q E) L2r 2B2
Donde
P: presión
28. ¿Cuál será la ecuación dim ensional de H m(a2Acos(üt
R y r: radios
longitud A)
B) M L^r 2 C) M L^r 1
ML2r x
D) M n
F2/ 2sen|3 Donde
W
1
E)
m l 2t ~2
I n un condensador, la capacitan cia eléctrica (C) se define como Vi-V2
F: fuerza
(o: frecuencia angular (rad/s) A: amplitud /: frecuencia A) T B) T2
donde (): cantidad de carga
V, y l/2: potencia eléctrica (Joule/Coulomb). Determine
m: masa
[c] -
c) r 1 d) r 2 E) es adimensio nal 49
I IJMBRERAS EDITORES
29. Cuando un cuerp o es abandon ado desde una cierta altura h, luego de un intervalo de tiempo adquiere una rapidez v. Si la acele ración de la gravedad viene dada por
32. Determine las dimensiones de y en la ecuación J ¡= Á
sen45°
(A + a) , donde f
o: acel eración y /: frecuen cia.
g = h *v y, 2
calcule y*.
A) 1/2
B) 1
D) 1/4
C) 2 E) 3
30. Si la siguiente ecuación es dimensional mente correcta F=o/rcx+£>sen(x2d+7i)/ determine Donde
33.
ac
a)
¿7/2r 5
b)
r 5r7/2
c)
lst 7/1
d)
l 3,2t
E)
l 7/2t 3/2
5
Si la ecuación es dim ensionalmente correcta, determine a. ¿ 1 7 + b 3 = ta n a- ab cosx
d
F: fuerza
A) 30° D) 180°
k: constant e adimensional
x: longitud
A) MLT
B)
/W 1/.2r -2 C) ML~3T 2
D) ML2r 2
E)
ML2T2
34.
B) 60°
Si la sigu iente expresión es dim ensional mente correcta P= aF+ bp+ ct2, determine [abe].
Donde 31. Dada la siguiente expresión y
m
m2 (3
P: presión t: tiempo
, determine [y]. p2 + aL
p: densidad
Donde
F: fuerza
o: aceleración m: masa
A) MLT6
L: longitud
B) ML~1T~6 C) ML^T6
a)
M3/._1r
D) M 3L~2T2 ■>()
b) m3l t 1
c) /w3/._1r 1 E)
M3L2r 2
C) 120° E) 90°
D) M ~1L~1T 6 E) M~1 L T e
115. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta m/
x
sen30°=-
a-y
+ — ->
38. Determ ine la dim ens ión de k para que l.i siguiente expresión dimensionalmente co rrecta
nz
t = —í 2g + — tan3 0° ] 2 L
Donde
k\ 3t L: longitud
w. rapidez angular a: aceleración
g: aceleración de la gravedad
t: tiempo Calcule [xyz]A) LT3
)
t: tiempo
B) L T
D) L~2T~3
c) r 2r3
A) L1/2
E) L2T- 3
D) r 3/2
lli. Si la siguiente ecuación es dimensional mente correcta P = c(B + nH) m + \ f j
determine
las dimensiones de c, H y D.
B) L
C) L-
1/2
3/2
E) L
39. Dada la ecuación de onda y=Ae~ktse n[b t+ a),
donde y es la posición de las partículas que oscilan ye es la base del logaritmo neperiano, encuentre la ecuación dimensional de
Donde
A2ks
P: presión B: diámetro
a) L2r 2
A: área
d) ¿ r2
m y n : adi mens ionales 2 A) M i- 4! " 2 L; ,Lc
C) ML~4T~2, L2;L
E) LT2
Donde
/w¿“4r_2, L~2; L m l ~at
C) L2T 1
40. Si la ecuación es dimenslonalmente correcta, determine [y] en ysen0=Axe-Adlog(oxv).
B) /W/.-5 ! -2 , L;L2 d)
B) L T 1
a: aceleración
2; L '2; L~2
v: volumen e: base del logaritmo neperiano
M En la ecuación homogénea \sen37° Rk-rk*
w=
d: densidad
, determine [F].
KD(Ek-F)
B: altura
C: masa
A) L2T 1
B)
A) ML~ST~2
E: fuerza
T 1L~2! C) m ~1l 5t 2
D) ¿“ 2F_1
l 2t
2
C) L ¿T
D) ML3T2
E) L~2T 2
E)
m
~2t 2l 3 51
%
A) L~SMT~2
N ivel avanzado
B) L~8M ~ 1T5 41. A la resistencia que los líquidos ofrecen a los cuerpos se les denomina viscosidad. La fuerza debido a la viscosidad es proporcional a la rapidez del cuerpo (Fv¡sc=/cv). Si considera mos a un cuerpo de forma esférica, enton ces k=6nRn. Siendo R radio, calcule [n].
a)
M r1 r 1 b)
iw r2¿_1c)
D) M r 2L~2
M 'h r 1
E) MT~2L
C) L" sM~ 1r 2
D) L~8MT5 e)
r 8M~1r 5
44. Dete rmin e la dim ens ión de z si la ecuación dada es dimensionalmente correcta P=EVxcosQ+agv0-Vbc.
Donde P: presión
42. Si la siguiente ecuación es dimensional mente correcta W=Pfx+mvyR~1, determine los valores de x e y.
E: energía g\ aceleración de la gravedad
v0: Rapidez inicial
Donde
V\ volumen
R: radio
b\ área
W\ peso /: frecuencia de osci lación
Además, S=z-axV2x.
m: masa
A) M ~ 1L~8T~'í
P: cantidad de movimiento
B) M ^L 3T C) /W_1í.“ 3r
A) 1; 2
B) 0; 1
D) 1; 2
C) 2 ;- 1
D) M~2L~3T~1
E) 2; 2
E)
43. Si la ecuación es dim ensionalme nte correcta ^_
P/log-y/ít . determine [ f ] • (M-Ja-kv)
Donde p: densidad a: aceleración
v: rapidez
m
~2l ~3t ~2
45. La fuerza resistiva sobre un glób ulo rojo (esférico) en la sangre depende del radio R, de la viscosidad q y de la rapidez v. Además, expe rime ntalm ente se obtuv o que /?= 2pm , v = 7 x l0 _7m/s, r| = 3 x ic r 3kg/ms y la fuerza resistiva es 2527txlO_16A/. Luego, la expresión para de no tar la fuerza resistiva es
|i: coeficiente de fricción
'..2
M: momento de una fuerza
A) 6tc vr\R
/: frecuencia de oscilación
D) 6nv2r\R 1/2
B) nv2r\R
C) nvr¡zR E) 4nvr\R2
1(1. En un cuerpo rígido, la energía cinética de rotación (kg m2/s2) de un cuerpo depende de su momento de inercia / (kg m2) y de la rapidez angu lar w. Determine una expresión para la energía cinética de rotación en función de las va riables dadas. Considere k una constante adimensional. A) klw
B) kl w
D) klw2
C) k2l2w2
A) A.
B) A Q2P
C) A
E) A
Qp
Q2p2
49. La fuerza de sustentación del ala de un avión depende del área A del ala, de la den sidad p del aire y de la rapidez v del avión. Calcule la suma de los exponentes de A y p.
E) k — w
m. En el estudio de la acústica, los decibelios
vienen dados por una constante adimencional multiplicada por el logaritmo entre la presión P y una presión referencial P0. Determine la ecuación dimensional de los decibelios. A) MLT1 B) M l } r x C) MLT
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 50. El periodo de un planeta que gira en una órbita circular depende del radio de la órbita (R), de la masa (M) y de la constante (G). Si G se expresa en (m3/kg s2), determine la fórmula empírica para el periodo.
D) ML2r 2 E) adimensional Si sobre una placa se hace incidir una cier ta presión de agua, la presión que la placa experimenta es P=XQxpyAz. Determine la composición fi
nal de la ecuación dada Donde A: constante adimensional
D) T = k
l>: densidad del agua A: área de la placa Q\ caudal
E) T = k.
M 2G 53
Nivel básico 1-1°
Nivel intermedio | 11 - 40
Nlvd avanzado4 4 1 -5 0 _ j f
54
1
D
11
D
21
E
31
A
41
A
2
C
12
D
22
B
32
A
42
D
3
E
13
D
23
A
33
C
43
B
4
A
14
E
24
E
34
B
44
A
5
D
15
B
25
C
35
E
45
A
6
C
16
A
26
A
36
B
46
D
7
C
17
C
27
B
37
B
47
E
18
A
28
A
38
A
48
B
8 9
E
19
E
29
A
39
A
49
C
10
D
20
C
30
D
40
C
50
B
ANALISIS VECTORIAL
l n nuestro quehacer cotidiano existen una serie de situaciones matemáticas que por su frecuencia i', incluso, simplicidad pasan desapercibidas para la mayor parte de la gente. Por ejemplo, consido icmos tres objetos A; B y C, ubicados en diferentes lugares, tal que conocemos que la medida do l.i longitud entre A y 6 es 30 cm, y entre B y C es 50 cm. Si preguntamos qué longitud hay entre A y (, ¿esta sería 80 cm? Naturalmente, y haciendo uso del sentido común, la mayoría de las personas •ilirmarían tal respuesta, pero esto no es del todo correcto. Veamos I
Los objeto s no solo pueden estar en línea recta y en orden A
B
C
30 cm
ÍH# Lac= 8 0 cm
50 cm
podrían estar en cualquier otro orden, por ejem plo 50 cm Lac= 20 cm B i
A
--------------
30 cm
1
C
1
--------------------
Aún más sutil sería pensar que los objetos podrían estar dispuestos tal que los segmentos que los unen form en ciertos ángulos tal es a sí que
I n estos casos, si queremos determinar la longitud que existe entre A y B debemos hacer uso no de l.is reglas de la aritmética común, sino de una herramienta conocida como análisis vectorial (ele mentos de geometría), es decir, aplicar las reglas conocidas para las operaciones con vectores, por ejemplo, en el caso en el cual forman 60°, podríamos demostrar que l-AC = 10^19 cm; en el caso en que forman 90°, se tendrá
l'AC = 10>/34 cm, y así sucesivamente.
I n el presente capítulo examinaremos los métodos y reglas básicas de las operaciones vectoriales.
Observación
,
................. ............. .................. .................. ................ .............. .................. .................
La importancia que tiene el uso de los vectores en física radica en que con ellos podemos representar las magnitudes vectoriales, lo cual nos permite una mejor descripción, comprensión y explicación de una gran variedad de fenómenos físicos.
•
Es una herra mie nta mate má tica que sirve para repr ese ntar las mag nitudes vectoriales.
•
Se representan geom étricam ente mediante un segmento de recta orien tado (f lecha) , que pre senta un srcen y un extremo
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR Notación Un vector se puede representar con cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior A; se lee vec tor A. También se denota indicando el srcen y el ex tremo. srcen del vector (
P)
\ —línea de acció n
PQ; se lee PQ.
Gráfico 1
Ambas notacionesson válidas y pueden usarse indistintamente, es decir: A =PQ.
%
■
11
i In med ida o el tam año del ve cto r y gen eral mente está asociado a la inte nsidad de la magnit ud a l.i ■u,il representa. Por ejemplo: las fuerzas son magnitudes vectoriales y son representadas medíanle In', vectores, además su unidad de medida es el newton; así, podemos representar dos fuerzas de lo N y 50 N dirigidas hacia la derecha.
Molamos que estas guardan ciert a pro por cion aHilad en sus tam años o mód ulos.
En el gráfico 1, el módulo del ve cto r A se repre senta como el ve cto r entre barras o,
nuplemente, con la letra (sin flecha). Módulo del A: |A|
o
A
i a dirección del vect or está defin ida po r la medida del á ngulo obte nido a pa rtir del semieje X positivo i la línea de acción del vector, medido en sentido antihorario,
i ><•! gráfico 1 Dirección del A: 0A
Entre vectores n
o está definida
aun s i representan una
la rel ación de o rden , e s d eci r, no pod em os c om para r l os vectores
misma m agnitud.
A > B : no está definido
II.
Lo que s í pod em os com pa rar en los vec tores e s su m ódu lo.
—> A < B; esto es va lido , sí está pe rm iti d o
III.
El m ód ulo de cu alqu ier ve cto r siem pre es po sitivo, es decir, ve rifi ca la siguie nte relación MÓDULO >0
•
Es la línea Imaginaria en la cual se considera co ntenido el vector.
•
Un vecto r puede ubicarse en cualq uie r pu nto de la línea de acción e incluso puede traslada rse a líneas de acción paralelas sin que se altere ni su módulo ni su dirección.
Usualmente, a estos vectores se les denomina vectores libres. ■>K
i
I',ira esta representación, debemos ubicar un ve cto r en un sist ema de ejes coordenados cartesiano Mol gráfico
\
El vector PQ lo obtenemos como la diferencia de coordenadas del extremo y el srcen. PQ = Q - P
= (Qx;Qy)~{Px; Py)
PQ = (Qx -P x;Q y-P y)
donde Qx-P x: compo nente del vector
PQ conte nido en el ejeX .
Qy-Py. componente del vector PQ contenido en el eje Y.
Su módulo se obtiene aplicando el teorema de Pltágoras a partir del triángulo sombreado.
\PQ\ = J( Q X-P xf + (Q y-P yf
•
Su dirección es
I templo
A partir del gráfico mostrado, determine cada vector con sus respectivos elementos (módulo y di i <•
lu
I UMBRERAS EDITORES
Resolución
El vector
Para determinar los vectores, debemos co nocer las coordenadas de cada punto, ya sea srcen o extremo; para simplificar ello se suele colocar a cada vector de manera independiente de tal manera que su srcen coincida con el srcen de un sistema de eje s cartesianos. • Para el ve ctor A
OB=B-0 = (0; —.2) —(0; 0) OB=~B = {0 ;- 2 )
Su módulo:
|s| = ^/o2+(-2)2= V4
|s| = 2u Su dirección: 0S=27O° A (3; 0)
(0 ; 0 )
> A 1
»+X
----------
-3u-
Para el vector C
El vector 0A = A -0
= (3;0) —(0; 0) OA = A = (3; 0)
Su m ód ulo|/4 | = a/32 + 0 2 =y¡9= 3u Su dirección QA = 0o (está sobre el semieje +X) El vector
Para el vector B
OC=C-0
-(3; 3)—(0; 0) (0 ; 0 )
+X
OC = C = (3;3)
2u B B(0;-2)
Su módulo: | c | = V32+32 = V Í8 |c | = 3V2 u
Su dirección: 0C=45°
Para el vector D
El vector 0D=D-0
= (-3; 4) —(0; 0) OD = £>= ( - 3; 4)
Su módulo: \o d \ = V (-3 )2 + 4 2 = ^|25 |od| = 5u Su dirección: 0D= 127°
'.un aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.
8^*'
A, II y C son vectores colineales porque están en una misma línea de acción.
VI
•im aquellos que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas.
Podemos expresar la condición de paralel ismo en forma m atem áti ca, indicando que
si
a = (3 —> A//~B
A y II son vectores paralelos porque sus líneas de acción son paralelas.
Son aquellos que presentan igual módulo, pero sus direcciones se diferencian en 180°.
+X
Sea JB
UA
=180° y
A = 8
entonces B = -A A qa
+x
.
B es el opuesto de A
* Son aquellos que presentan igual módulo e igual dirección.
Matemáticamente S il ^l = l ®1
v q ^ = q e
A=B; los vectores son
Son aquellos que se encuentran contenidos
igual es.
un mismo plano.
Como D no está contenido en el plano será coplanar con los demás vectores.
A,B y C son vectores coplanares por estar
el mismo plano.
P, no
Ejemplo
'.on aquellos cuyas líneas de acción se cortan en mi mismo punto.
Dado el vector A cuyo módulo es de 50 u, detei mine el vector u nitari o del vector A .
Resolución
Determinemos el vector A como una combina clón de sus componentes A, II y C son vectores concurrentes porque imlos van a un solo punto.
VI CTOR UNITARIO (p) ¡(.■presenta la unidad vectorial de un vector ' tialqulera y se caracteriza porque su módulo es iK■*■11a la unidad. Del gráfico A = (50cos37°;50sen37°) 40z+30z
A = (40; 30) y A
Nos piden: p¿ Se sabe que -vector
(40; 30) Va = T =
-módulo VA
£* =lu
40 +30
(40; 30) 50
4 3 5' 5
Resolución
Sea el plano XY
Del gráfico
>4
A = (4; 0) = 4(1; 0) = 4/
S= (-2;0) = 2(— 1;0) = 2(-/) C = (0;3) = 3(0; 1) = 3j
D= (0;-2) = 2(0;-l) = 2(-y) 2.
Exprese los vecto res mostrados en término s de los vectores unitarios.
Se verifica
/ = (1; 0),-/=(-l; 0) / —(0; 1), -/ = (0 ; -1) Tal que: |/ | = |/ | = l donde I : vector unitario en el eje
Resolución
X (+)
-/': vector unitario en el eje
Primero debemos ubicar el srcen de cada vector de tal manera que coincida con el srcen de un sistema de ejes cartesianos.
X (-)
1 : vec tor u nita rio en el eje / (+) - j : vector unitario en el eje
Y (-)
• Para el ve cto r/! tjemplos
1.
Exprese cada vec tor del con junt o mos trado en términos de los vectores unitarios. A
‘c D ■
1u
B 1u
■ Del grá fico A = (100cos37°; 100sen37°) A = (80; 60) A = (80; 0) + (0; 60) A = 80(1; 0) +6 0(0; 1) A = 80/ + 60j • Para el ve cto r 6
Del gráfico A = AX+A y También A = A x i + A yj
A demás 0 = tan i
y
Representación polar de un vector Del gráfico 8 = (40c os30°; -40 se n3 0° B = ( 20 V 3;-20 ) B = (20>/3;0) + (0 ;-2 0 ) B = 20>/3(1; 0) + 20(0; —1) B = 20>/3/-20 /'
•i IMPONENTES CARTESIANOS DE UN VECTOR *N I L PLANO .'■■i el plano XV; dado el vector A expresarlo en i• i minos de sus componentes cartesianos.
Se ve rifi ca A = (A; 0 ); si end o Ax=Acosq Aj,=Asenq
Ejemplo
• Para el ve cto r B
Exprese los vectores mostrados en su forma polar. Á
Su módulo B = V 22 +2 2 Resolución
B = 2 iÍ2u
Nos piden expresar los vectores en la forma polar T = (r; 6 ) módulo <------ 1 dirección «
----------
Su dirección QTa = 53°
Finalmente 8 = (2 a/2;135°)
Del gráfico • Para el ve ctor A
Su módulo
• Para el ve ctor C
Su módulo
A = -\¡32 + 4 2
C = V 32+ 4 2
A= 5 u
C=5 u
Su dirección
Su dirección
Qa = 53°
Finalmente A = ( 5; 53°)
0^ = 307° Finalmente C = (5; 307 °) = ( 5 ;-5 3 °)
n, t ene m os el vec tor
'■'■.i el v e cto r A y un n úm e ro real ■\ y colinea
l al ve c to r
n A , cuyo m
ód ulo ser á
n vece s el m ódu lo de
A.
A
Observación I n general,
n puede ser cua lquier núm
.1 lo s valor es que puede to
m ar
ero real . A con ti nua ción, se pr esenta un t abla resum
en respect o
n.
Si 0 < n < 1 (n = 1/2; 1/3; 1/4; ...)
Si n > 1 (n = 2 ; 3; 4;.. .)
nos da un vector más pequeño, pero en s u mism a dirección.
nos da un vector más grande, en su misma dir ección.
nA
Si - 1 < n < 0
nos da un vector
(n= -
más pequeñ o y en dir ección opuesta.
l/ ,2 ; - 1/ 5; - 2/ 5; .
Si n < - 1
(,n = -5 /4 ;-2 ;-3 ; ...)
nos d a un ve cto r de m ayor tamaño,
per o
en dirección opuesta.
67
Graficando los vectores
Ejemplo
Sea el vector 4 cuyo módulo es de 4 u. Grafique los vectores
24 Í4 i
2A, 1 / 2 ( 4 ), -3/2(1) 1 4 2
Resolución
; :
i......
...... .....
Consideremos una cuadrícula donde cada celda tenga una longitud de una unidad. Notemos •
El vec tor 24 tiene el doble del mód ulo de 4 y m antien e su dirección.
•
El vec tor 1 /2 4 tiene la mitad del mód ulo de 4 y mantiene su dirección.
•
El vector - 3 /2 4 tiene 1 ,5 veces el mó du lo de 4, pero su dirección está invertida (opuesta).
Sea n lo s vectore s A y B . Si 4 y 8 son para lelos, se debe ve rif icar
|4| = /f|s ’| i —*•I 4
tal que/L =
|e|
(~Ü| OPERACIONES CON VECTORES
Están referidas usualmente a la adición de vectores (donde la diferencia es también una adición), don de la suma significa hallar la resultante, la cual puede ser determinada mediante dos métodos gene rales, los que a su vez cuentan con otros métodos auxiliares. 111 general Métodos gráficos
- Método del triángulo - Mé todo del paralel ogramo - Mé todo del políg ono
Métodos analíticos
- Método del triángulo (ley de senos) - Méto do del paralel ogramo (ley del paralelogramo y ley de cosenos)
Para la suma de vectores
Hay otras operaciones, como el producto escalar y el producto vectorial, que serán estudiadas más adelante.
j —
_
(.8
..................................................................... .......................................................... .
_J
'■"ti .iquellos en los cuales para determinar la resultante se usan instrumentos de dibujo tales como "T.l.is, escuadras, compás, escalímetros, etcétera. i mi este método usualmente solo se puede representar gráficamente la resultante.
ii"'. permite hallar la resultante de dos vectores, consiste en graficar los vectores uno a continuación ili’l otro, tal que el extremo del primero coincida con el srcen del segundo vector. Su resultante se "biiene uniendo el srcen del primero con el extremo del segundo vector.
'•' .ni A y 6 los vectores
i irmplos l
A pa rtir del gráfico que se muestra dete rm ine el vec tor resultante; ABCD es un rectángulo y M: punto medio.
69
Resolución
Resolución
Nos piden el vector resultante
Nos piden el vector resultante de los vecto res mostrados, es decir, R = A + B,
’R—’p + Q + T
(I)
para lo cual sumaremos los vectores agru pándolos de a dos, usando el método del triángulo.
para lo cual trasladaremos los vectores usando el méto do del triángulo.
Trasladamos paralelamente el vector hasta el lado AB, haciendo coincidir su ori T gen con el extremo de P.
Mantenemos fijo A y trasladamos paralela mente al vector B. fí = A + S Nótese que la suma de P y T es un vector idéntico a Q. Luego en (I)
De la figura, se obtiene un vector paralelo al eje Y. fi = Sj
R = PH-Q + T R=Q+Q 7? = 2Q 2.
A pa rtir del gráfico que se muest ra, halle el vector resultante.
Es una variante del método del triángulo, solo que en este caso debemos hacer coincidir el srcen de ambos vectores y a partir de los ex tremos trazamos rectas paralelas a los otros vectores forma ndo así un paralelogramo.
i
Finalmente, (a) y (|3) en (I)
templo
ILulo un sistema de vectore s, d ete rm ine el vec tor M-.ultante.
R —Si + S2 + E
=£+?+? '
R = 3E
n Nos permite determinar la resultante de vectores. Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro, donde el vector resul tante se obtiene uniendo el srcen del primei Resolución
vector con el extremo del último.
Podemos agruparlos de a dos y usar el mé todo del paralelogramo, es decir si
Sean los vectores libres
(I)
'r = ’a + b + c + d + e
s2
Sumamos A y B
JZ D
No interesa el orden al dibujar a los vectores pues la resultante siempre será la misma. Si —A + Br y es un vector idéntico al vector
E
(a)
Sumemos C y D
Es un caso particular. Cuando los vectores graficados cierran la figura, deben orien tarse en forma horaria o antihoraria; por lo tanto, su
S2 =C + D,
es otro vector idéntico a
E
(P)
R= 0
_^
0 I 2 o
/I
2.
Ejemplos
1.
Para el sistema de vec tore s mostr ados, de termine el vector resultante.
Para el sistema de vec tores que se muestra, determine el módulo del vector resultante.
P
Resolución
Nos piden determinar el vector resultante, para lo cual usaremos el método del paralelogramo para poder reducirlo. Sabemos que R = A + B+ C+ D + E + F + G
Resolución
Nos piden determinar el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos ade cuadamente los vectores.
(cc)
Del gráfico notamos que los vectores A, B, F y G forman un polígono cerrado y en con secuencia se verifica que su resultante es nula, es decir /?! = A + B + F+ G —0
En (a), tendremos R=C+D+E Del gráfico Representando nuevamente el sistema
~R= N + Q + P
Su módulo \~r \ = 4 u
R=C+D+E
R= £ R = 2E 72
+£
Son aquellos por los cuales mediante el uso de ecuaciones matemáticas podemos determinai el m ódu lo y la dirección del vector resultant e.
Resolución
Podemos resolver un triángulo vectorial si mnocernos algunos de sus lados y ángulos, ir.ando la ley de senos.
Nos piden el módulo del vector A. Del triángulo vectorial, aplicaremos la ley de senos.
Van A, B y C vector es que form an un triángulo i uyos módulos son A; B y C y cuyos ángulos sor/ a, |Sy 5.
B
_
A
sen45°
sen53°
15^2
A
(V2/2)
(4/5)
'a' verifica I
Ley de senos A
sena II
B
senp
_
C
sen8
A=24u
Ley de cosenos A2=B 2+ C2-2B C co sa
B2=A2+C2-2BCcos(3
Se tienen dos vectores de módulo igual a 10 u, tal que forman determinados ángulos
C2=A2+B2-IABcos8
con la horizontal. Determine el módulo de la diferencia de dichos vectores.
I irmplos
i
A pa rtir del sistema de vectores qu e se muestra, determine el módulo de A. S¡) b | = 15a/ 2 u .
Q ,17o 71
Del gráfico
Resolución
Nos piden el módulo de la diferencia de los vectores. Debemo s tene r en cuenta que dicho m ódulo será el mismo si formamos P —Q o Q-P. Para esto uniremos los orígenes de ambos vectores.
S=A+B En módulo =4a2 + B +2ABcos0
Además, la dirección de la resultante con res pecto a B es 0 = arctan
Asena _B + Acosa
Ejemplos
1.
Se tie ne n dos vecto res A y B de módulos 3 u y 5 u. SI forman 60° entre sí, determine el mó dulo de su resultante.
Usando la ley de cosenos Resolución I D I = V p2 + Q 2 -2P Q cos 60 °
Nos piden el módulo de la resultante entre los vectores A y B . 102+ 102- / ( 10)(10)-
- r
í
D = 10 u
Consideremos que el módulo de A sea 3 u y el de B sea 5 u, hagamos una representa ción gráfica de los vectores.
Conociendo los vectores y el ángulo que forman entre sí podemos determinar el módulo de su resultante, usando la ley del paralelogramo. -5 uSean A y B los vectores:
A
Usaremos la ley del paralelogramo R = V a 2+B2+2AB
cos 6
« = V32+ 5 2+2(3 )(5) cos 60 °
B = V 49 R= 7 u
Se tienen dos vectores de igual módulo, si su resultante tiene un módulo igual a uno de ellos, determine el ángulo que forman entre sí. Se sabe que Resolución
+ B +2ABcos0
Sean A y B los vectores, y 0 el ángulo que forman entre sí. Nos piden determinar el valor del ángulo.
O)
Además R=A=B Reemplazando en (I)
Hagamos una gráfica de los vectores y use mos el mé todo del paralelogramo.
A = V a2 + A 2 +2A2 cos0
cosG = -1 /2 6 = 120°
.......
De l a ley del paralelogram I.
La suma de dos
R = *J a 2 +B2+2ABcos0
vec tores ser á m áxim a si q = 0°.
•^máxima “ ^ IJ.
o:
®
La sum a de dos ve cto res ser á mín im a si q = 180°.
=A-B^
S ,. ■^mínima
/ r.
3.
Si la suma máxima y mínim a para dos vec tores es 15 u y 5 u, respectivamente, deter mine el mó dulo de cad a vector.
Pa ra el ca so partic ula r en el cual f orm en ángulos de 90° (vectores
ortogo nales o perpe
ndiculares),
se verifica
Resolución
Nos piden determinar el módulo de cada vector, sean A y B los vectores, tal que A > B.
De los datos ^6=15 A±p= 5
¿ = 10 y S = 5
Consideremos el sistema de ejes cartesianos X, V'yZ.
En forma cartesiana: A = Axi + Ayj + Azk
En módulo: A = ^( Axf+ ^ A yf +( Az f ZA También ¿x = ¿cos|3
Ay = A eos a A=Acos8
siendo a, |3 y 8 los ángulos que forman el vector con los respectivos ejes coordenados.
Se verifica además cos2|3 + c os2a
Donde A = (Ax;A y;A zJ /(>
+ cos 28 = 1,
denom inados cos eno s directores.
m
Notamos a partir de los resultados que lie. vectores PQ y QP son opuestos, es dei it,
l irmp los
i
Sean los puntos
PQ = -QP.
P = (15; -7 ; 12) y Q = (-12; 4; 9),
halle los vectores PQ y QP; además deter mine el módulo de cada uno de ellos.
2. \
En el sistema que se muestra , de ter mine el módulo del vector resultante.
Resolución
Z
Usando la representación cartesiana del vector y extendiéndola para el caso de tres coordenadas, tendremos que determinar cada uno de ellos de manera ind epend iente. Hallando el vector PQ PQ = Q -P PQ = { - 12; 4; 9) -( 1 5 ;- 7 ; 12) PQ = ( -27; 11;-21 )
X'X Cálculo de su módulo PQl==JV27 ” 2 +1 1 +2 1 PG = a/1291 PQ = 35,9 u
Resolución
Nos piden hallar el módulo del vector te sultante, para lo cual trasladaremos a los vectores de manera adecuada. ZA
Hallando el vector QP QP=P-Q A QP = (15 ;-7; 12 )-(-12 ; 4; 9 )
b/
QP = (27; -1 1 ; 21)
4u
/
Cálculo de su módulo PQ = V27 2 + l l 2 +212 PG = >/l291 PQ = 35,9 u
/
\ \
-- -z /
/ / C^ y / 4U
XX Del gráfico: R = A + B + C Su rínódulo será: R = 4s/2 u
is Nota Si Respecto de
A = (A x ;Ay ;A z ) y B = (Bx ;B,,;B2),
entonces el producto escalar entre A y 6 es el númer o escalar dado por A ' B —AXBX + AyBy + AZBZ
un it arios se verifi ca
i-j= j-k = i-k = 0
Ejemplos
1. Si se conoce el m ód ulo de cada ve cto r y el ángu lo que forman entre sí, se puede calcular como
los vectores
/■/ = j-j =k-k = 1
Se sabe que los vectores A = (l,-2 m )y B = (4 ,-l), son perpendiculares. Halle m.
A ■B = ABcosQ
Geométricamente, se puede entender como el producto de un vector por el módulo de la pro yección del o tro ve ctor sobre él .
Resolución
Nos piden el valor de m, sabiendo que los vectores forman 90° entre sí. De acuerdo al producto escalar, si dos vec tores son perpendiculares, dicho producto es cero (condición de perpendicularidad). Veamos Se sabe que A- B = (l,-2 m )-( 4 ,-l) = 4 + 2m = 0 resolv iendo tenemos que m = -1/2. 2. El pro du cto escalar del ve cto r P de módulo 5 u y el vector Q de módulo 8 u es 32. De termin e la compone nte del vector P en Q.
Siendo A, B y C vectores y o un escalar, se veulica
Resolución
.
Á-A = A2
Nos piden la com pone nte del vector P en Q o, en otras palabras, la proyección de P en
•
Á B = B-A
•
á
•
(oa)-B = o(a -b) = A - Í ob )
•
Ó ■A =0
-( b + c ) = a - s + a - c
Q. Recuerde queunelnúmero. resultadoGraficando del producto escalar es solo los vectores
■
.............................
Siendo P-Q = PQcos0 = (Pcos0)Q De los datos se tiene
Pr
Si se conoce el m ódulo de cada ve cto r y el ángu lo que forman entre sí, se puede calcular como AxB = ABsen0
32 = 8 PR
Geométricamente, el nuevo vector es perpen dicular al plano que forman los vectores que lo srcinan, siendo su módulo el área del paralelo gramo formado por los primeros y su orienta
Pr = 4 u
i
Los vec tore s P y Q for man 60° ent re sí y |P| = 2 u. D ete rmine el módulo de Q para que el vec tor P -Q sea perpendic ular a P.
ción se determina a partir de la regla de la mano derecha.
Resolución
Nos piden|Q|, para que P
( p - q ).
i
Usaremos el producto escalar sabiendo que si dos vectores forman 90° su producto escalar es cero. Luego Es decir p
-( p - q ) = p - p - p - q = 0 P2-P -Q - cos60° = 0
| C s| Área paralelogramo Los vectores A, B y A x B forman un trío a de rechas (un sistema dextrogiro), lo que quiere decir que la dirección AxB es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el vector A hacia el vector B, en el plano AB.
4 -2 Q — = 0 1 12
|Q| = 4u
M A = (Ax; Ay) Az) y B = (Bx; By; Bz), entonces el producto vectorial entre A y B es un nuevo vector A x B que se define por
Las propiedades del producto vectorial son 1.
AxB = -Bx A anticonmutatividad
2.
A x ( b + c ) = A x B + A x C (distrib utivo re 1, pecto de la suma)
i
C=AxB=
¡
k
AX Ay A z
Bx
By Bz
3.
m(A>i B) = (m A)xB = Ax(m B)
I
siendo m un escalar
jx i= - k kx j = -f
El gráfico siguiente resume lo encontrado, pro
i xk = - j
porcionando además una buena forma de re corda rl o en el f utu ro.
Ejemplos
1.
Halle un vector ortogonal a U = (l; - l ; 0 ) y a V = (2; 0; 1), cuyo módulo sea ~J¡2Au. Resolución
Nos piden un vector que sea perpendicular a los vectores U y V (aunque podemos con siderar que d icho vecto r sea perp endicular al plano formado por U y V), para lo cual usaremos el pr odu cto vectorial entre U y V . Producto ve
ctori al entre vectores.
Consideremos que sea x el vector pedido, es decir
X = k{uxv ) 1.
Si los vectores A y B son paralelos, enton
y |x j = >/24u
Hallando U x V
ces, por definición A x B = (AB ser\Q)ü = 0
Esta es la condición de paralelismo.
2.
ix i = 0; j Xj = 0;l
Según la aplicación anterior.
= ( - /) - ( /- 2/r) = -i -j + 2 k
= ( - l; -1; 2) I.
También se tiene , aplicando l a defin ición, que ¡ x y = {(l)(l )(se n9 0 °)}k = k
Ahora determinemos su módulo /c| |Z/ xv] = W l 2+ l 2+2 2 = 4 i a
} x k = { (l) (l)(sen9 0°)}f = f k x i = {(l)( l)(sen9 0°)} J = /
Y según la propiedad de anticonmutatividad
kV6 = >/24 ^ Finalmente en (a) x = 2 (-l;-l;2
) = ( -2;-2,4)
K=2
2.
Halle un ve cto r U que tenga la mi sma direcciÓQ de V = ( l ; - 2 ; 3 ) , de tal form a que dicho veclor y 1/1/= (- 2; 4 ;-1 ) form en un para lelogra mo de 25 u2 de área. Resolución
Nos piden U, tal que sea paralelo con \/ = (1; —2; 3); por lo tant^U = mV = m( 1; - 2 ; 3) U = (m;-2m ;3m) (k¿ 0)
Re gla de Sarru z para hallar e
l de term inan te de una m atriz:
Sea A = ( Ax ; A y ; A z ) y B = (Sx ; By; B z ) - >
/
/
k
Ax
Ay
A2
Bx
By
Bz
Operamos
—> A x B =(resul tado 1) - (r esultado
2)
Ahora, para formar un paralelogramo con es decir
12m1 -m] +A mk
W, debemos obtener el producto vectorial de estos,
2 m f- 6m j+4m k\ = (2mi- Gm j+4mk)- (12mi- m j+4mk) = (-10 mi - 5m j) = (-10m; -
5m; 0)
81
Luego su módulo será el área del paralelogramo \ u x w \ = sj l00m2 +25m2 =25
125 m2 = 625 m = ±V 5 Finalmente, serán dos los vectores que cumplan la condición
Ui=(J 5;3.
2a / 5;3V 5) o
U2= (-^Í5;2S;-3^5)
Por me dio de la com binac ión de produc tos se pueden con stru ir expresiones más complejas . Por ejemplo, con tres vectores podemos construir las siguientes combinaciones. Identificar su validez. a. A-( b - c )
b. (Á-~b )-C
c.AxCbxc)
X(sxc)
f. (a -b )x C
g.
e.
A x(b-c)
d. (ax~b)xC -
Ii.Caxb)-C
Resolución
No todas estas combinaciones tienen sentido, analicémoslas de una en una. a. A ■ • c) es un vector colineal con A, y tiene la misma dirección, o con dirección contraria, si el escalar (fl• c) es positivo o negativo. b. (/A • fl)- C es un vector colineal con C, y tiene la misma dirección, o con dirección contraria, si el escalar (/A • fi) es positivo o negativo. c. Ax{bxc) es un vector (resultado del producto vectorial entre dos vectores) que es perpen dicular al vector BxC; por lo tanto, se encuentra en el plano que contiene a los vectores B, y C y dentro de dicho plano en una dir ección perpe ndicular al vec tor A. d. ( Axb)xC es un vector (resultado del producto vectorial entre dos vectores) que es perpen dicular al vector A x B , por lo tanto, se encuentra en el plano que contiene a los vectores A, y B, y dentro de dicho plano en una dirección perpendicular al vector C. e. >A■ ( b x c ) es un escalar, resultado del producto escalar entre los vectores /A y f.
( b x c ).
(/A b )x C El producto vectorial es una operación entre dos vectores, no entre un escalar y un vector, es decir (/A - fl) es un escalar.
g. A x (b ■c) El producto vectorial es una operación entre dos vectores, no entre un vectory un escalar, es decir (s-c) es un escalar. h. ( a x b )-C es un escalar (resultado del prod uct o escalar entr e dos vectores).
Del análi sis an terio r podem os de duc ir las siguient es propiedades: •
A -[ b -
•
A x (b x c ) ^ ( a x b ) x C no verifica la asociativa (ver combinaciones c y d).
•
En un entre tres vectores (combinación de producto escalar y vectorial, vei combinaciones e, f, g y h) la expresión solo tiene sentido si se realiza primero el producto vectorial y luego el escalar; es por ello que no es necesario escribir los pa réntesis:
b )-C
no verifica la asociativa (ver combinaciones a y b).
a-bxc=a-(bxc)
1a expresión de un producto mixto en función de las componentes de los vectores viene dada como el desarrollo de un determ inante
A ■BxC=
Ax
Ay
*z
Bx
By
Bz
cx
Cy
Cz
y utilizando las propiedades de los determinantes se puede demostrar que A-BxC = B-CxA = C-AxB
negativo) en la siguiente figura
(toma mos el valo r absolu to ya que el resu ltado podría mm como se muo sii.i
volum en = áre a de la base-altura = = |f ixc|| Aco s0| = |X (e xc )|
\
Relación entre el volumen de paralelepípedo formado por tres vectores y su producto mixto.
IUMBRERAS EDITORES
Un doble pro duc to vector ial p uede desarrollarse en produ ctos escal ares de la siguient e forma
A x(sxc) =
(a - e je
{A'C) b
Sale del paréntesis el vector B, que es el vector más cercano al vector externo A, el cual entra en el parént esis mu ltipli cándose escalarmente por eí otro vector .
Sale del paréntesis el vector C, que es el vector más alejado al vector externo A, el cual entra en el paréntesis multiplicándose escalarmente por el otro vect or.
Utilizando el mismo razonamiento podemos desarrollar el siguiente doble producto vectorial viendo que nos da lo mismo que el anterior (/T x b) x c = (a •c)e - (e ■ c )a
En l os apartados
an teri ores hem os visto diferentes ope
sión m atem áti ca en la que aparezcan ambos tipos
raciones e
ntre vec tores y esca
la res. E n una expre
de m agn it ud es fí si cas, l a form a de m anejarlas es
a cóm o se operab a en el ál gebra de escal ares. Com o ejem plo, supong escalares a y b y los vectores A, B, C, Dy E :
am os la siguiente relación e
similar ntre los
a(A-~B¡C-bD = E Y nos piden que d
espejem os el ve ctor C en función
de l as dem ás m agn it ude s. E l proceso ser
-»
a{~A-7)7-bD=7
^ 7+bD ->■ t-r (a-b)c =
o( a
-7 ]c =7 +b D -r
--------
a
Nótese que
el de no m inad or de la f racción
-
- > o (a-7)c
7+ bD
aC- - p
^
[A ■B)
a y (a-BJ.
= 7 + bD
7+bO
a- p
-- ^—
(a • eje
fi)c,es un vector,
Este detalle junto con el hecho de
que el pro du cto vectorial entre dos vectores e
HA
:
r! En este c aso el den om ina do r de la fracción , (a •
y
en cuenta cuando
-7)
a, es tar íamos ten tado s de reali zar lo si guiente
a (^A •7 )7 -b D =7
|Y estarí am os com etiend o un grave erro
q{a
form a sim il ar a op era r con escal ares , pued e c ond ucir a
error. Si nos hubiesen pedido despejar el escalar
->
c7+b7 =-
es un escal ar, solo t en em os escalares
Esta fam il iari da d en el ma nejo de lo s vectores, de
ía com o sig ue:
s an ticon m uta ti vo son dos de l as cos as que hay que ten
se ma nejan expresiones con vectores.
er
PROBLEMAS RESUELTOS JS
N
ivel
Ahora, para hallar R sumaremos 2A y Si, tenii-n do en cuenta que tienen direcciones opuestas, por lo tanto su mó dulo será el valor absoluto ( li la diferencia de sus módulos, es decir
B ásico
l’ara los vectores mostrados
En (I)
|a | = 8u, |B| = 1 0u y |C| = 6 u,
R = 2A + Sí
halle el módulo de R, si R = 2 A -3B + 4C Luego, su módulo será A
B
C
| b ’|=|2/ v- s 1| A)
26 u
D)
38 u
B) 28 u
C) 32 u E) 42 u
De (a) |ff| = |2(8)-54| |/?| = 38 u
Nos piden \ r \. C lave ( D )
Nótese que los vectores son colineales, su suma dependerá de la dirección que tengan. Siendo | r |= |2 Á-3 S + 4 c |
(I)
Nótese que -3 B y 4C tiene n la misma dirección,
Dos vectores son proporcionales a 8 y 6. Si la resultante mínima es 20 u, halle el módulo de la
podemos sumarlos directamente.
resultante máxima.
5 i = -3B + 4C A) 14 u
I uego, su módulo será
B) 28 u |s¡| = 3|-fi| + 4|c |
C) 35 u
|? i| = 3(10)+ 4(6) I Sil = 54 u
D) 70 u (a)
E) 140 u 8 '.
I UMBRERAS EDITORES
Veamos Nos piden: 6 máx Sean A y 8 los vectores, tal que A = SAr y 8 = 6k. Sabemos que
2-» 2 (2 2 ^ —4 = -( 1 2 ;- 1 5 ) = - x l 2 ; — x l5 3 3 V3 3 ) - A = ( 8; -1 0 )
^máx. = 4 + 6
3
= Zk+6k (I)
RmSx= l A k
Finalmente ^ 4 = (8; -10 )
Por dato
Clave ( C j
^mín.= 4 —6 20 = 8k-6k 10
(a)
k=
Sabiendo que A = (5;6) y S = (4;6) halle el mó dulo de 4 + 6.
Luego (a) en (I) «máx.=
•••
«máx.
14(10 )
A) 9 u D) 20 u
= 140u
B) 12 u
C) 15 u E) 25 u
Clave ( É )
Nos piden |a + b |. Ordenamos los vectores, y sumamos las respec tivas componentes. Si 4 = (12;-15), determine las coordenadas del 2vec tor -4 . 3 A)
(6 ;-5 )
D) (4 ;-5 )
y (5;6) y > 6 = (4; 6) / B) (24 ;-30 )
C) (8 ;-10 )
4 + 6 = (9; 12)
E) (1 6;-2 0) Luego, hallando su módulo 14 + £51= a/92 + 122
Nos piden las coordenadas de un nuevo vector, — 2 obtenido al multiplicar 4 por el escalar -
14 + £?| = 15u Clave
(C )
A ná li si s dim en siona
l
vr cm i u
'..ibiendo que A = (13; 11) y S = (7; 3), halle el módulo de A-B.
Nos piden
A) 5u
Lo primero que haremos será hallar el nuevo vector
II) 10 u
1-*
-
-A + 3B
t ) 15 u II) 20 u
Í A = Í(4;6) = ( 2;3)N 2 2 N
I) 25 u
(+> 3B = 3(2; 1) = (6; 3)
-A + 3B = (8; 6) Nos piden U - b | Ordenamos los vectores y en este caso resta mos las respectivas comp onen tes. A = (13; 11),
B = (7; 3)
H
Ahora, hallando su módulo -A + 3B 2
2 + 62
= y ¡8 -
A - 6 = (6; 8) - A + 3~B = 10u 2
I uego, hallando su módulo
C lave
| a - b |= V62 + 82 A - B = 10u
CLAVE
Si A = 10 u; B = 10 u y C= 10 u, tal que A l B C, halle el ángu lo entre A y B. 6
Sabiendo que A = (4; 6) y B = (2; 1), halle el mó A) 37°
dulo del vector —A + 3B. 2
B) 45° C) 60°
A) 4u l>) 12 u
B)
6u
C) 10 u
D) 90°
E) 15 u
E) 120° 8/
L umbreras
E ditores
Nos piden la medida del ángulo que forman los vectores A y B .
Nos piden el módulo de la resultante entre los vectores A y B . Para hallarlo uniremos los orígenes de los vec tores (libres), obteniendo el ángulo que forman entre sí y, finalmente, usaremos la ley del para lelogramo.
Usando la ley del paralelogramo I A + ' b \ = J a 2 + B 2 +2A6cos0 |c | = V l0 2 +1 02 + 2(10)(10)cos9
De la ley del paralelogramo
102 = 102+ 102+ 2(lO)2 cos0 1 cos0 = —
R = ^A 2 +B 2 +2ABcos60
2
0
=
120
/? = V5 2 + 32+ /(5 )( 3 )( l/¿ )
°
R = a/49
Clave ( E ) .'.
R= 7 u
_CLAVE Dados los vectores A y B, tal que |a| = 5 u y »l 3 u, determine el módulo de su resultante. Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 u y la mínima es 4 u, determine el módu lo de la resultante cuando est os form en 90° entre sí.
M 8u >) 9 u
B) 7 u
C) 6 u E) 2 u
A) 12 u D) 20 u
B) 16 u
C) 18 u E) 25 u
ANALISIS D IMENS IONAL Y VECT OIt l '
! i
................................
Nos piden el módulo de la resultante cuando los vectores sean perpendiculares; para esto debe mos co noce r los vectores.
Nos piden el módulo del vector diferencia, p. lo cual unimos los orígenes de cada vector.
11.1
Sean A y B los vectores, tal que A > B. Por dato 5máx.
-A +6-28
U
(+)
2A = 32 u /4 = 1 6 u y fí = 12u Ahora, hagamos que los vectores formen 90° entre sí, tendremos
De la ley de cosenos
to-í|
Vo2 + b 2 -2obco s0
la - b| = f é + 6 2 - 2(5)(6)cos53°
R = V a 2 + 82 R = V l6 2 + 122
=
.-.
= 5u
R = 20 u
C lave ( B )
C lave ( D A partir del sistema de vectores que se muesii.i, determine el vector resultante. (ABCD: paralelogramo)
Sabiendo que |a| = 5 u y |b | = 6u, deter mine el módulo de la diferencia entre los vectores.
A) 3 u 0) 11 u
B) 5u
C) 7 u
A) P
E) l u
D) - P
B) 2P
C) Q E) - Q K'l
A) F Se pide el vector resultante R. De la figura: R = M + N + P + Q + S
(I)
se puede notar que los vectores M ,N y P for man un polígono cerrado, por lo tanto
~R= 0 + Q+~S
C) 3? D) -F E) -2 F
M + N + P= 0
En (I)
B) 2F
(II) Se pide el vector resultante, para lo cual agru paremos los vectores de manera conveniente,
Haciendo un nue vo gráfico, se tiene
usando el método del polígono. Sea R ~ A^+B + C + D H-E + F
(I)
B
La resultante es un vector de igual tamaño que P, pero su dirección es opuesta, es decir, R = - P C lave ( D )
I n el gráfico adjunto, halle la resultante de los vectores mostrados.
de la figura notamos I.
A + B+ C = ?
II.
D+?=F
(a)
((3)
Luego (a ) y ((3) en (I)
R=F+?+F ~R= 3F __CLAvE ( C ) '1 0
■ Haciendo un nuevo gráfico l.n el sistema de vect ores m ostrados de termine el vector resultante (M\ punto medio).
Se tiene que a + d = 2c En (II) A) C
B) 2
D) - C
C
R = 2c
C) -2 C
C lave ( B )
E) - 3 C
Se pide el vector resultante. Agruparemos los En el gráfico se muestra un hexágono regular de lado a. Halle el módulo de la resultante de los vectores mostrad os.
vectores convenientemente. Sea R= a + b + c + d + e + f + g
En el gráfico notamos que b,e,f,g
(I)
y c forman
un polígono cerrado, es decir =0
b+e+f+g+c
Hn (I) R=a+b+c+e+f+g+d
o R= o+ d
A) a
(II)
D) o V 3
B)
2a
C) oy/2 E) o V I 'I I
1UMBRERAS EDITORES
Piden el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos el vector A en forma parale la hasta que su extremo coincida con el srcen del vector 8; lo mismo hacemos con Cy
Sea
R —A+8+C+D
A partir del gráfico mostrado, halle nos de A y B (G: baricentro).
D.
x en térmi
Q
A)
(2o + f> )/3
D)
(o + f>)/3
B) (o + 2f>)/ 6
C) (~a + b )/6 E) (2o + 3Íb)/2
Nos piden x en términos de A y 8, para lo cual usaremos la propiedad del baricentro:
(I)
QG = 2GM-
Del gráfico Si = 4 + 8
(a)
S2 =C + D
(P)
Además, usaremos también un vector auxiliar que al final debe ser eliminado.
Luego (a) y (P) en (I) R = S1 + S 2
Además, Si es paralelo a S2 I n módulo fi = 5 1+ S2= o + a
De la figura
8 = 2o
En el A(l) C lave
«)2
(JÉ)
A + n = 3x
(a )
■ I nel A(ll) 8 = 3x + n
(P )
Sumando (a) y ((3) A + B = 6x
-
(a + b) En el triángulo sombreado Clave
A B A —+ - + x = — 4 4 2 A -B
Determine el vector x en función de los vedoíes A y B, si rpqs es un paralelogramo.
C lave
(A )
Se tiene dos vectores A y 8, de modo que l.i suma máxima es 15 u y la mínima 5 u. Determine el módulo de cada vector.
A) 10 u; 5 u A)
<)
A -B
4
B)
A —26
B) 12 u; 3 u
C) 8 u; 7 u D) 7 u; 2 u
E) 12 u; 7 u
2A-38 4 A-36
l >)
E)
2A-6
Nos piden el módulo de cada vector, sabiendo que ■^máx. —15 u y 5m¡n —5 u
Nos piden hallar x en función de A y 8. Nótese que el módulo de x es una base media.
Recuerde que para la Smáx , los vectores deben formar 0o y para la suma mínima 180°. 01
T l
I ntonces, sean A y B los vectores, tenemo s
smáx. = ¿+ e = 15u ^mín.
—A —B
=
5
Note que los vectores A y B ahora caen sobre los ejes de coordenadas.
U
Yi A = 10
A+B
U
S=5u Clave ( A ;
11grá fico mues tra tres vectores de igual mód ulo. Halle la medida del ángulo 0 para que la resullante sea mínima.
Se puede notar que la suma de A y 6 forma 45° con los ejes. Para que la resultante sea mínima, el vector (A + B ) y C deben formar 180°.
Del gráfico 20 = 45° .-.
0 = 45°/2 Clave
\) 15° )) 53°/2
B) 37°/2
C) 45°/2 E) 30°
A pa rtir del gráfico mostrado, exprese x en fun ción de los vectores A y B (O: centro de la cir cunferencia).
A) ( a -£0/2 Mus piden 0 para que la resultante sea mínima, n este caso, vamos a girar el sistema de vectoi". un ángulo 0 , en sentido an tihorario. ••t.i acción no altera el módulo del vector re mítante.
B) (2A-B)/2 C) 3(a - 2 s )/6 D) 4( a —fi )/3 E) ( b —a )/2
A nálisis
A) 2 u Nos piden x en función de A y B.
dimensional
B) 4 u
D) 8 u
y ve cio i i i
C) 6 u E) 10 u
Nos piden el módulo de la resultante. Traslucí.i reríios de manera adecuada los vectores, p.it.i usar el método del polígono.
Nótese que el módulo de cada vector es un diá metro, por lo que O representa el punto medio de ambos. 1 ---------------4 u --------------*
Del triángulo vectorial sombreado x + A /2 = S/2
Sea la resultante
H = ( b - a )/2
R=P+Q+m+n
C lave ( ¥ )
En módulo |/?| = |'p + Q + m+ "n|
(I)
Además En el gráfico se muestra un polígono regular de 2 u de lado. Determine el módulo del vector re
|p + m| = |n + Cj|
sultante del sistema mostrado. En (I) \ r | = 2| P + m |
= 2(4) .-. |/? | = 8 u C lave (jí)
UMBRERAS EDITORES
n el sistema de vectores mostrado, determine ■I mó du lo del v ec tor resu ltante.
En el sistema de vectores mostrado determine la dirección la dirección del vecto r resultante.
1u
\)
VI
B) 2V I
)) 2>/3
C) V I E) V I
A)
15°
D)
60°
B)
30°
C) 45° E) 75°
slos piden el módulo del vector resultante Nos piden: 0fí
R=a+b+c
Se sabe que 0fi =tan R*
(I)
n módulo Para esto debemos reducir el sistema. |h | = | o +
ó
+
c
|
/A )el gráfico
/? = (4; 2)
En el eje X
aliando su módulo
Rx = 10cos37°-5 | r |= V42+
22 = 2 V I u
Rx = 8-5 C lave ( B
fí = 3 u
(a )
A nálisis
dimensional
y vectoui
Descom poniendo los v ectores
I n el eje Y R = 10sen37°-3 Ry = 6 - 3 Ry = 3 u
((3)
l inalmente, (a) y (¡3) en (I)
0R = 45°
Del gráfico Cl AVE
Pcos37°=20
PU J =2° P = 25 u
Un el sistema de vectores que se muestra, de termine el módulo del vector P para que la re
Clave U
sultante sea vertical. K-f 20 V T
Sabiendo que A = 6/ +2 j y 6 = 2/ + 4y, de termino el unitario del vector resultante. \45° X
A) 18 U C) 25 u
B) 20 u
D) 30 u
E) 35 u
A)
¿ (7 / + 24y)
B) |( 4 ? + 3y)
C) |( /+ J )
D) Nos piden P para que la resultante sea vertical; esto se cumplirá si y solo si en la horizontal se verifica Rx = 0.
El <)7
L umbreras
E ditores
A) V7 Nos piden
B) 2-V7
\R\
(a)
C) V5 D) 2>/5
Hallando en primer lugar el vector resultante A = 6i + 2j \ . . ) (+) 8 = 2/ + 4; <
E) 5V7
-
R = 8i + 6j
Nos piden el módulo de la resultante. jp j
Examinemos el gráfico:
Calculamos su módulo |f í| = V82+6 2 |ff | = 10u
(y)
Finalmente, (P) y (y) en (a) 8/ + 6/ 4 í 3 10 5 5
JJLp —-------------— — / H— J
R
Podemos deducir que _ C la v e
|s j
= 4u
Ahora, usaremos la ley del paralelogramo Determine el módulo de la resultante de los
| A + B | = v/a 2 +B2+ 2ABcos0
vectores m ostrad os ( A = 2 u ). Reemplazando los valores |A + b| = ijl2 + 4 2 +2(2)(4) cos60° = ^28 |a + s | = 2a/7u
C lave | B )
A nálisis
N ivel intermedio
dimensional
•,
y veciohi
Halle la resultante del conjunto de vectore mostrados en la figura.
II,ille |/?|; sabiendo que H - A — B + 3C 2
donde 2B H
4 u-
h
-8u-
I -2 U-H A) 2A B) 4u
A) 2u
C) 6u
B)
D) B
3E
C) D + E E) O
E) 10 u
D) 8 u
Nos piden la resultante del sistema de vectores mostrados.
Nos piden el módulo de R, siendo R= A - - f i + 3 C 2
(I)
Como los vectores son paralelos, hallaremos la representación cartesiana para cada uno A = 4l; 8 = 4/; C = —2/
Representaremos los vectores como pares or denados. De la figura
A = [3; 2)
B=(l;3) l n (I)
C=(2;-3)
8 = 4 /— (4/) + 3 ( —2/) 2
(+)
D = ( - 2;-2)
fí = 4/ - 2 ¡ - 6 /
£=(-4;0) /
8 = -4 /
S=(0; 0)
I n módulo
5=0 u
C lave ( B
C lave
(j¡)
L umbreras
E ditores
Sabiendo que la cuadrícula mostrada es de 1 cm de lado, determine el vector resultante.
A partir del siguiente sistema de vectores, de termine el vector resultante.
A) i - j
C) 2 i - j
B) i + j
D) 2j
E) - j
X(cm)
A) 2/
B)
-2 i
D) - 4 /
C) 4/
Nos piden el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado.
E) 2/+4 j
Hallemos la representación cartesiana de cada vec tor y sumamos .
Nos piden el módulo de la resultante. Exprese mos los vectores en función de pares ordena dos. Del gráfico
Del gráfico
A + B + C = S =(0; 4)
\
B=(0;-3)
(+)
C = (-l;2 )
¡
A + B + C = S =(1; 1)
i inalmente
S = i+ j
5=4 / C lave ( C LOO
A = (2; 2)
C lave ( B )
A náli si s d i m en si on al
Calcule el módulo de F para que la resultante del sistema se oriente según la perpendicular al iodo AC.
ve ci ou i •
A p ar tir de los vectores que se muestran dotoi mine el módulo de su resultante.
A) 16 u li) 18 u C) 20 u n) 22 u I ) 24 u
20 u á 53° ,cv
60° C
Nos piden el módulo de F. Como la resultante tiene dirección perpendicu lar al lado AC; la resultante horizontal será nula. Descomponiendo los vectores.
A) 5V2
B) V5
D) 5
C) 10 E) 15
Nos piden el módulo del vector resultante. Si notamos los ángulos, deducimos que los vec tores mostrados son
es decir
l'or condición 1 n el eje X Fcos6 0°= 20cos53° y como tienen direcciones opuestas la suma será mínima.
"iMi
-h riín .- 1®
F=24 u C lave ( E
5
5 U
C lave (D >
101
L umbreras
E ditores
Determine el módulo del vector resultante.
Note que forman 90° entre sí . De la figura A) 30 u
B) 40 u
D) 60 u
R = a/402 + (/?')2
C) 50 u E) 100 u
Pero: R' = 30 u Luego
Nos piden R. Agrupemos conven ientem ente los vectores je n este caso hallaremos la resultante de los vecto res de igual módulo y forman 60° entre sí.
r
.-.
= 4 402 + 30 2
R=5 0 u C lave ( c )
Si la resultan te del sistema de vectores mostrado es vertical, determine la medida del ángulo 0.
I ,i resultante será R' = 10V 3-(VÍ ) R‘= 30 u A) 16°
I ¡nalmente, sumaremos vectorialmente R' y 40 u, 102
D) 53 °
B) 37 °
C) 45 ° E) 74 °
A nálisis
■ Nos piden el módulo de la resultante sabiendo que es vertical. Vamos a descomponer los vec tores dados en los respectivos ejes
dimensional
•,
y vectoui
Nos piden el módulo de la resultante, para lo cual descomponemos los vectores adecuada mente.
5+5sen37°
2Ocos0
u X Donde
Por dato
Ir
Como la resultante del sistema es vertical, en la horizontal la resultante debe ser nula.
2+92 = V64 + 8 1
Del grá fico IRI = a/ 145 u 2Ocos0= 10cos37° + 8 2Ocos0=8+8
Clave ( D )
4 cos0=— 5 .'.
0=37° C lave ( B
Determine el módulo de la resultante del sistr ma de vectores mostrado (¿>=1 u).
Dado el sistema de vectores, determine el mó dulo de su resultante. '79 u í95 u Ou B) . 3a/ I
A) D)
a/Í9
u
u
C)
a/
ÍI
u
E) 2 a/ I
10 3
L umbreras
E ditores
Nos piden el módulo del vector resultante. Sea R=A+B+C,
en el módulo sería
En el trapecio se indican los vectores AyB. Determ ine el m ódu lo de la suma vectorial. (M: punto medio)
|fí| = |!+ S + c|
4u Examinemos la gráfica
A) 4 u Notemos que
B) 10 u
D) 16 u
C) 12 u E) 20 u
OP=A+C
Además
Nos piden el módulo del vector resultante. Para lo cual trasladaremos adecuadamente al vector
U + c | = 3u
(I)
A.
Reordenando la figura
4u
Aplicaremos la ley de paralelogramo a los vec De la figura, los trián gu los s ombreado s son con
tores B y (a + c). r \= \B
2+ \ a + c\2 + 2b \a + c\cos60°
gruentes. Luego PQ=~R = A + B
R| = ^ l 2+32 + 2 (l)(3)-^
j De donde, en módulo será
■
A nálisis
dimensional
y vi c
m u i •.
................................
Su módulo Dado el paralelogramo ABCD, determine el mó
7? = |x +"y +T |
(I)
dulo del vector resultante. De la figura notamos qu e(z + y) y x son collnenlc , B
C
Luego En (I)
|/?| = | x| + |y + z| = 5 + 10 |/?| = 15 u A
A) 10 u D) 20 u
D
B) 5 u
C lave (» )
C) 15 u E) 25 u Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si se cumple
Nos piden el mó dulo del vecto r resultante, para lo cual trasladaremos a los vectores de manera
|a| = |c] = | >/3 b| = W 3 M: punto medio
adecuada.
A) 6 u Sea R = x + y + z
D) 16 u
B) 8 u
C) 12 u
E) 20 u 105
M imbreras
E ditores
Nos piden el módulo de la resultante. Sea R = A + B + C Entonces: | r | = | a + B + c |
(5)
De la figura
A) 4 C
B) 3C
C) 2C
D) O
3— E) - C 2
Nos piden determinar el vector Se puede notar que el vector B es paralelo con Á i C, en (§) I r I=U+
E en términos
de C, para lo cual vamos a trasladar algunos vectores de manera conveniente. Redibujando el sistema
(i)
c I+ I b I
D
Nótese Ia|=|c| l’or propie dad U +
c | = |a
|>/3
I liego en (I) I r MW3)V3+4 I r 1= 16 u C lave
(6)
De la figura sombreada ~B= C + A + D
Donde II hexágono regular que se muestra tiene lado L.
C=-A+B-D
Determine el vector E en función del vector C,
Multi plicamos x 2
M/’
2A + 2B -2D + C .
2C = -2 A + 2B -2D
(I)
#
A nálisis
dimensional
y ve c i o i i i
\
...............................
En el triáng ulo sombreado
Del dato E = -2 A + 2S -2D + C
2x + —= A
2C
2
De (I) ?=
2x = A - -
2C+C
E = 3C
2
x = -(2A -e) 4 C lave ( § )
En el sistema vectorial mostrado halle función de A y B, si ISI = 2¡ A I.
C lavi ( E )
x en
Dos vectores de módulos iguales a 4 u forman 74° entre sí. Determine el módulo del vector di ferencia de dichos vectores. A) 1,2 u D) 4,8 u
B) 2,4 u
C) 3,6 u E) 5,6 u
Nos piden el módulo de la diferencia de los vm tores. Sean los vectores A y 6, los graficaremos segun los datos Nos piden x , en términos de A y B. Traslada mos de manera conveniente los vectores y com pletamos el triángulo vectorial.
I umbreras
E ditores
Como | A | = | S |, el triá ng ulo ve cto ria l OPQ es isósi ('les. Del vértice O bajamos la ± al lado desigual y esta resulta ser la mediana, mediatriz, bisec
A) 3y~2x
B) y -3 x
C) (y -2 x )/3
D) ( y - 6x ) /2
E) {2y-3x)/A
triz, altura.
I n el A AM P
Se pide a en términos de x e y. 2 P
|a - s | = 2/WP
(I)
Además MP = 4sen37° = 4(3/5 )
.-. M P = 2,4 Introducimos el vector auxiliar P. I inalmente, en (I) •
Ia - b 1= 2(2,4) .-.
a|
En el AMCD tenemos o + 2x = P /2
- s 1= 4 ,8 u
o= C lave
(D )
•
P 2
2x
(|)
En el A ACD P + 2x = y P = y -2 x
n el paralelogramo mostrado, M y A/son puntos
(II)
nedios. Calcule a en función de x e y. •
Luego (II) en (I)
M 2
y -6 x C lave 08
A nálisis
l letermine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados.
A) 2 u D)
B) 4 u
8u
dimensional
*,
y vectohi
Dete rmine el m ód ulo de la suma de los vectores mostrados si el radio de la circunferencia de centro O es 2 u.
C) 6 u E) 10 u
A) V Iu u D)
2 -S
B) S u
C) W 2 u
E)
iS u
Nos piden el módulo de la resultante Nos piden el módulo de la suma para el sistema mostrado. Se pue de n ot ar :|o | = |b| = |e| = 2u Usando el método del polígono.
Sea la resultante S= o ^ + c + c¡ -n
2n
S= n
S En módulo |s|=|n|=2u C lave Í A 10')
i i m bu i r a s
E ditores
En el triáng ulo sombreado
Irni'inos S=a+b+c+d+e b
S=a+b
)r l.i figura S = a + 2b Su módulo
n módulo
|s | = 2V3-cos3 00
\l\ = Ja2+(2bf = V 22 + 4 2 .
|'s| = 2a/5 u
C lave ( í )
.-.
|s| = 3u
CLAVE (C) •etermine el módulo del vector resultante.
Si ABCD es un rectángulo, determine el vector resultante del sist ema de vectores mostrados. 4 ) lu ) 4u
B) 2 u
C) 3u E) 5 u
esolución os piden el módulo del vector resultante,
1--------6 u -------* --------6 u
s.iremos e l mé todo del polígono para dos vecH OS
A) (-3 / + 4 /)u B) (-6/-4/)u C) (6/-4/)u D) (4/-8/)u E) (3/ + io y)u
B
A nálisis
■
dimensional
y vectoui
Ñus piden determinar al vector resultante,
Nos piden determinar la medida del ángulo
■..iliemos que ABCD es un rectángulo
A pa rtir de la figura construyamos un triángulo.
a.
Usaremos la ley de senos vi i
x : i >—► b
Usaremos el método del polígono, para lo cual nasladamos paralelamente al vector b y traza mos la resultante. I'.ira determinar la resultante en función de los i (imponentes de la figura
\A \ _
sena 6
/?= (- 6 /-4 y ')u
_
sena Clave
\B\
sen30° 5 (1/2)
sena = 3/5 a = 37 ° _ C lave ( C )
I n el sistema mostrado, halle el ángulo a, sa biendo que I A I = 6 u; IB | = 5 u.
Si se verifi ca 2A + B = 0,
dond e
S = (3;x), halle los valores dexey.
A) 16 ° D) 45 °
B) 30 °
C) 37° E) 60 °
A = (x; y);
UMBRER AS EDI TORE S
le pide determinar x e y. Para que se verifique ,3 relación
Se pide el módulo de la resultante entre hallaremos cad a vecto r •
24 + 6 = 0
« 1 = ( 2/ -3/)+
R iy 62;
( 4 /+ 11/ )
Ri =6 /+ 8 /
)el d ato 2(x; y) + (3; x) = 0 (2x;2y ) + (3;x) = 0 = (0; 0)
•
R2= (-7/-7./
)-( 4 /+11/)
Rz = (-11 /- 18 /)
(2x + 3; 2y + x) = (0;0 ) ~ i
j
2x+3=0 x=—
3 2
a
a
Graficando los vectores Ri y R2, y usando el mé todo del paralelogramo
t
2y+x=0 3 2y — = 0 2
y = 3/4 C lave ( § )
Además l R1 = A + B, R j = C —B y i 2 /-3 / ; 6 = 4/+ 11/ yC = -7 /- 7 /, .illn la resultante entre Ri y 62 sabiendo que irrnan un ángulo de 37°.
j« i| = 10u |« 2| = 21 ,1 u
Tendr emos como m ódulo |R |= V ^ i +
+
2RiR2eos 37 o
) 27,9 u ) 29,7 u
|ff | = V l0 2+ (21 ,l)2+2(10) (21, l)(4/ 5)
) ¡0,2 u ) ¡2,4 u ) 40,6 u 17
| r | = 2 9 ,7 u
_C LAVE ( § )
A nálisis
dimensional
y vectoui
l l gráfico muestra un cilindro recto de radio R y altura h. Desde el centro de la base inferior se (onstruyen 12 vectores que terminan en los 12 puntos equ idistantes A, B, C, ..., entr e sí. Halle el módulo del vector resultante.
Halle a y | A | para que la resultante de los 3 vec tores mostrados sea nula.
A) 10h
A) 12 u
D) 13/7
B) U h
C) 12/? E) 14/7
Nos piden el mód ulo del vec tor resultante. Al descomponer los vectores, notamos que 2 a 2 sus componentes de la base se anulan.
s
Si ISI = 7 u y ICI = 25 u
D) 30 u
B) 18 u
C) 24 u E) 36 u
Nos piden a y el módulo del vector A, para lo cual construiremos un polígono. Como la resul tante es nula el polígono debe ser cerrado.
Es decir A + G = 2~h ~B+~H = 2h
C+7=2/7 ~F+ M = 2h ~R= 6 Í2h) ~R= 12h
En módulo | r | = 12/7 C lave
113
L umbreras
E ditores
De la ley de senos A
Nos piden d ete rm ina r el vec tor resultante, para lo cual expresaremos los vectores como pares ordenados.
B
sen(82°-a)
sen(8°+a)
sen90°
Entre B y C
Del gráfico
7
__________
sen(8°+a) sen(8°+a) =
25 1 7 25
a = 8° Entre/íyC
A + B + C + D = R = ( - l; 2)
A
B
sen74°
sen90°
R = - i + 2j
A = 24 u
Clave
Clave
En el sistema de vectores mostrados, determine el vector re sultante.
Dado los vec tores [ A (= 10 u; 18 1= 25 u; |C | = 40 u, dete rmin e el vecto r D para que la resultante de l sistema de vectores sea nula.
Yl
/ 6 V
/
53° \ /(,74o /3 7 0 c.
A)
/ —4/
D)
/ - 3/
I 14
B) - /
3/
C) - i + 2j E) -2 / + 4J
A) 18/ D) -2 5/
B) -1 2 /
X
\. D
C) 23/ E) 40/
A nálisis
Nos piden determinar el vector
D.
dimensionaly
vecioui
Halle el vector x + y en función de los vectorc
Vamos a descomponer los vectores en los res pectivos ejes sabiendo que la resultante en cada uno de ellos debe ser nula.
o y b.
A)
-b
3
+ Gr
B) 6 + 2cT
D ) |í E)
b + —a 2
Nos piden la suma de x e y en términos de lo vectores a y b. Para esto descomponemos lo vectores de manera conveniente En el ejeX 7 + Dx =3 0 Dx = 23
(I)
En el eje Y 8+24 = 32 +DV Dy = 0
(II)
Finalmente Del gráfico
D = DX¡ + Dyj D = 23/
x = 2 n+m y=2m +n Clave
(C
x + y = 3(m + n)
L umbreras
E ditores
Además
En el triáng ulo so mbread o (II)
b = 2Ím + n)
Luego (II) en (I) 3x + y = —b
B -» — —+ 3x = A 2 _ - - B 3x = A — 2
C lave @
x=
-( 2 A - b ) 6 _CLAVE
Determine el vector x en función de los vecto res A y B si se sabe que M y N son puntos me dios de los respectivos lados.
en el gráfico.
A) 1/6(2 A - b ) m -( 2 a ' 3
b)
C) -Í A -2 ' 3
b)
Halle x en términos de a y c, si P es punto me dio del lado del paralelogramo que se muestra
D) -(2A-3B) 5 I.) 1/3(
a
-
b)
A) - ( o + c) D) - 1 +/ 2(0 2c)
B) —(0 + 0 / 2 ) C) - l/ 2 ( o + c) E) l/2 ( o -7 )
Nos piden x en términos de A y B. Usaremos la propiedad del baricentro. GR =2 NG R
Nos piden determinar x en términos de o y c, para lo cual completaremos el gráfico y trasla daremos los vectores de manera conveniente.
I 16
A nálisis
H
2
y vectoiu
Se verifica que
1n el trián gu lo so mbreado X
dimensional
A=a+b+c
1-C= 0
(I)
Para ^
x = - - ( a + 2c) 2 C lave ( D )
-b
l.n el sistema mostrado, determine la suma de A y 8 en función de los vectores a ,b y c .
Se verifica que ~B= c - b + a
(II)
Luego hacemos (l)+ (ll) A = o + ib+ c 8=c-ü+a A) a + b + c 0)
(o + fa)
B) 2(o + c)
(+)
A + 8 = 2(o + c)
C) 2(b + c) E) o - c
CLAVF i b )
Nos piden A + B en térm inos de a, b y c. Hallaremos cada vector de manera indepen diente, para luego sumarlos
Sean los vectores
De la figura
x = 3 ti + 4 j-5 k
; y = 2i + ( t - l ) j + k y
Para A z = 3/ + 7y +0 ,5 tk. Determine el tiempo para el cual la result.inli de los vectores sea paralela al plano xy.
A) 2 s D) 8 s
B) 4 s
C) 6 s E) 10 s
lUMBRERAS EDITORES
Nos piden el tie m po para el cual la resu ltan te sea paralela al plano xy, para esto la componente en el eje Z debe ser cero.
A) V 5 u
B) 4 ^ 6 u
D) 8sÍ6u
C) 4-^5 u
E) 4-v/3 u
Es decir Nos piden el módulo del vector resultante. Representaremos como par ordenado cada vector y luego hallaremos el módulo pedido.
"x = 347 + 4/ - 5k ~y= 2l + ( t - l ) j + k
](+)
z = 3/ + 7/ + 0,5 tk > R = { 5 + 3t)i + (10 + t) j + (-4 + 0,5 t)k
De la condición (- 4 + 0,5 t)í< = 0 - 4 + 0, 5t = 0 t = 8s Clave
Dado el gráfico mostrado, determine | a + B + C +d |, si se trata de un cubo de lado igual a 4 u.
Del grá fico A = ( 0; 4; 4) - (4 ; 0; 4) = (-4 ; 4; 0) \ B = (4; 4; 4) - (4; 0; 4) = (0; 4; 0 )
(-0
C = (0 ; 4; 0) - (4 ; 0; 4) = (-4 ; 4; - 4) D = (4 ; 4; 0 ) - (4 ; 0; 4) = (0 ; 4; - 4)
I
A + B + C + D = S = (- 8; 16 ;-8) |s" | = V s 2 + 16 2 +-82 Is"I = S-n/6 u
C lave ( D I 18
A nálisis
Determine el módulo de
R = A + 6 + p, siendo p
un vector unitario.
A) 4u
B) l u
D) 2u
L)
áU
dimensional
y vecioio
Determ ine el m ódulo del vec tor res ultan los vectores A y B ubica dos en el cubo m os tu du
..........
A) 2y¡5 u
E) 0
B) 4 u C) 6 u
Nos piden el módulo de R. Para hallar dicha re sultante, trasladaremos de manera conveniente los vectores .
4
J5 u
E) 6a/ 5 u
Nos piden el módulo del vector resultante de los vectores A y B.
Se sabe que R —A H-B + JU.
D)
(I)
Hagamos coincidir el srcen del vector A con el srcen del sistema de ejes coordenados.
Del gráfico kz
A + B = ¡x
k—
-2 u-
En (I) R = J I + Jl í R= 2|I
En módulo R=2 u
Clave
ÍD I I'
L umbreras
E ditores
Ahora, hallamos los vectores en función de sus compone ntes y sumamos . A = ( 2/ + 2j +p £)u
Por dato, tenemos la suma. Para relacionarla usaremos la ley del paralelogramo |o + b| =a2+b2+2abcosQ
S= (2 /-^)u 242= 132+1 92+ 2a b cos0
A + S = (4/ + 2 /)u \ a + b \= ^4 2+ 22
(II)
Sumamos (I) y (II) |a - b f +242 = 2 (l3 2+192 )
|a + b |= 2 V 5 u _ C la v e
(A )
Operamos |o -b f = 484 |o-bf=22
Halle el módulo de a —b si se sabe que a=13 u, b 19 u y que el mód ulo de su suma es 24 u.
CLAVE ( B )
A) 21 li) 22
C) 23 D) 32
Si a + b + c = 0 y I o I= 2, |b | = 5 y |c | = 8, calcule o-fa.
I) 33 A) 15
B) 25
D) 40
C) 35 E) 45
Nos piden el módulo de la diferencia entre los vectores o y ó .
De l.i ley de cosenos
Nos piden el producto escalar entre decir ab = ab- cos0
\a -b \ = ^ a 2+b2 -2ob-cos0
De la condición Mendo 0 el ángulo formado por los vectores
o+b+c=0
a y b, es
(I)
A nálisis
dimensional
y vecidiii
Resolviendo tenemo s
Tomando módulos y elevando al cuadrado
2x = (- 6; 18)
|a + fa| = | —c |
x = (-3;9) De la ley del paralelogramo Clave
(A )
! a | + 2 afocos8 +|fc| = |c | |o [ +
2a-b +|fa| =|c| El vector c se puede expresar de la siguiente manera: c = ra + sb. Si c = (9;4), o = (2; 3) y
Reemplazando los datos
i> = (l;2), de term ine sr.
22 + 2o-b + 52 = 82 Operando tenemos
A) 1
o-fa = 35
D) 16
C lave
©
B) 49
C) 81 •
E) 25
Debemos tener en cuenta querysson númenc. reales. Dado los vectores a = (5; 2); b = (~ 3; 4) y c = (7;4), resolver la siguiente ecuación vec to rial 2x + 5o -3 b = 4c.
A) (-3 ; 9) D) (6 ;- 3 )
B) (-3 ; 6)
C) (3; 6)
Reemplazando los vectores en la expresión c = ra + sb
(9; 4) = r(2; -3 )+ s (l; 2) (9; 4)=(2r+ s;-3r+2s )
E) (9 ;- 3 ) Identificando componentes 2r + s = 9
Al resolver la ecuac ión vecto rial debe mos encon tra r el valo r de x que satisfaga dicha ec uación. Es decir 2x + 5(5; 2) - 3(—3; 4) = 4(7; 4)
2s-3r=4 Operando r= 2 a s=5 Finalmente, nos piden sr=52=25
2x + (25; 10) + (9; -1 2 ) = (28; 16)
Clave (jF
)
IUMBR ERA S EDIT ORE S
66
Halle un ve cto r un itario para lelo a la resu ltante de los vectores A = (2; 2; 2) y B = (1; -1 ; -1 ).
A)
B) v h (2;0;3)
Un ve cto r P, cuyo mód ulo es 6 u, tien e las tr c . compone ntes de igual v alor. Determ ine P.
B) -^=(1; 1; 1)
A) W i (1;1;1) C) -2 a/3(—1; —1; 1) D) 2a/3(1; 1; 1)
Nos piden un vector un itario ü, tal que sea para lelo al vector A + B ; es decir, podemos determi nar el unitario de la suma y este será el vector pedido. u -
U a +B
(a + b )
(I)
= ■
\a + b ¡
Nos piden hallar P.
Sea P = {Px.Py.Pz)
(I)
Y su módulo \p \ = y[px +Py + Pz ' Per0
Hallamos la suma A = (2; 2; 2) 's = (1; —1; —1)
Se sabe que Px=Py=Pz-
(+)
Entonces
A + B = (3; 1; 1)
| p =|^
+T + T
Luego en (I)
| a + b |= V í T
P = ( 2^ 3; 2 ^3 ; 2^/1) = 2 ^3 (1; 1; 1)
l inalmente, en (I) „
„
u = ua+b
1
.-. C lave ( E
122
x V3=6
Px = 2 a/3
Cálculo del módulo de la suma \a + b \ = s
=P
P = 2a/3 (/+ j i+k) Clave
A nálisis
dimensional
y vecioui
En el dato
68
Halle U x b | , si feI = 2u y A + B + C = 6/
A + B —2/ = 6i A +~B = 8/
El vector suma entre A y B está sobre el eje 1 X Redibujando los vectores
A) 2^3 u D)
B) 20V3 u
16->/3 u
C) 36 u E)
loVIu
Nos piden el mód ulo del pro duc to vectorial entre Ay B.
Podemos o btene r
Es decir |Ax B | = |A|s |se n0
|a
] = 4u
y | B| =
4 t/3
u
(I) Finalmente en (a)
Donde 0 es el ángulo entre A y B; de la figura 0=90°.
| A x B | = 16^3 u = 16V3u
En (I) | a x b | = | a || b | 1 1 1 11 1
C lave
, . (a)
(D
Del dato A + B+C = 6/; ad em ás|c| = 2u
Dados los vectores P = (n; 1) y Q = (2n;n), halle n para que sean paralelos.
De la figura C está sobre el eje X
A) - 1
C :—2/
D) - 1 /2
B) 1/3
C) 2 E) 3
12 I
UMBRERAS EDITORES
Identificando se tiene Py+Pz = - 2
los piden n para que P 1t Q. abemos que para tal condición basta con que n vec tor sea mú ltiplo del otro, es decir P = KQ /KeR
P*~Pz= 1
Py+Px=-1 Resolviendo
(n; l)=K(2n ; n)
Px= l/3;P )/= -4 /3 y P z=-2/3
(n; 1)=(2 Kn; Kn) ’ualamos lo s respecti vos co mpon entes
Finalmente
n = 2Kn -> K= 1/2
.
P=-( l; -4 ;-2 )
n= 2
l=Kn
CLAVE _C L A V E
Determine qué vector debemos sumar al vectoi (3; - 2 ; 4) para que se obten ga el vec tor (8; 0; 0). ea A = ( l ; - l ; l ) y B= (2 ;l;-1 ), halle el vector , de tal manera que se verifique
A xP = B.
A)
(5; 2 ;- 4 )
B) (4; 2 ,- 1 )
D) (2; 0; -1 ) ) (2; 0; -1 )
B) (2 ;-1 ; 1)
E) ( - 4 ;- 2 ;0 )
C) - ( l; - 2 ;4 ) E) —(1; —4; —2)
4
C) (5; 0 ;- 1 )
Sea el vec tor pe dido A = (Ax;Ay;Az ) Luego, por condición del problema tenemos que
os piden P, tal que se verifiq ue AxP = B sien-
A + (3; - 2; 4) = (8; 0; 0)
o~P = (Px -,Py -,Pz)
(Ax;A y;A z)+(3 ;- 2 ; 4)=( 8; 0; 0)
, decir
(Ax+ 3; Ay- 2; Az+4)=(8; 0; 0) AxP=
l\k + P i +P2j)
s
Identificando las componentes -(-Pzí +Pyi< + Px})
Ax+3 = 8 -> A x= 5; Ay-2 = 0 y Az+4=0
A=2
Az= - 4
Finalmente, el vector A será tdenando, tenemos P-{~P y-Pzy + {px -Pz)i+{P y-P x)í<=(2 ;l ;-l )
24
A = (5; 2 ;- 4 ) C lave ( A
A nálisis
A) (—1; 0; 1)
dimensional
B) 2(1; 0; 1)
•>
y vectoiii
C) V 2 (l;0 ;l)
Encuentre el producto vectorial de los vectores e)
D)
y B = i + 3j - S k
A = 3i + Aj + 2k
A) -2 6 / + 17y + 5k B) -13 / + aí
Nos piden un vector unitario, perpendicular al
C) 7/—l l / + Sk plano formado por otros vectores. Por de finición , el ve cto r _L al p lano for ma do por A y B es su producto vectorial.
D) 12/—7/ + lOk E) 1 1 /- 2 2 / + 5/C
Por lo tanto Nos piden el producto vectorial entre A y 6.
(a x b )
Por definic ión
Ia x b I
/ AxB =
7
í:
Hallamos A x B
¿z
*x
(a)
«x
Reemplazando los valores correspondientes
AxB=x
(—3 /+ 4/c -2 y)
{ük —4/ — 2/) A - (-20/ + 9k+ 2j) AxB = /
-(4Í + 6/-1 5/)
,
Ordenamos -> ~AxB = l + k
Ordenamos
Su módulo
A x B = (-26 / +17/ + 5k) IA x fil = V 2 C lave ( A En (a)
Halle un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A = (2;3 ;-2)
y B = (l;2 ;-1 )
C lave ( E
12'.
I UMBRERAS EDITORES
líos vectores A y B d e 3 u y 5 u , re spectivamente, lorman un ángulo de 37°. Determine el módulo de la suma y de la diferencia e indicar el menor
Encue ntre el valor de o, de manera que los vecto res A = (- o; z) y B = (- 1; 3) sean pe rpendiculares
módulo.
A) - 3 C) 4
B) - 4
D) - 6
E) 6
A) 1,18
B) 2 ,2 6
C) 3,16 D) 4,32
E) 5,81
Mos piden tanto el módulo de la suma como el ■nodulo de la diferencia, drafican do los vector es y usando la ley del paraelogramo para la suma y la ley de cosenos para ,i diferencia.
Nos piden a, tal que A _L B . Por condición de peí pendicularidad , se debe ve rificar que A-B = 0. Es decir ~A-~B = (-a ; 2) •(—1; 3) = 0
o+6=0 o=-6 _C LA V E ©
.ilculo de |A + S| del gráfico | A + B | = -y/ 32 + 52 + 2(3)(5) eos 37° Determine el vector | a + b | = a/58
R = A + f3 + C + D + £ + F + 6, si la figura es un hexágono regular de lado a.
| a + b | = 7 ,6 2 u .ilculo de | a -
b | del
gráfico
| Á - B | = -y/32 + 52 - 2(3)(5)cos37° |a
b |=
V io
|a -
b | = 3 ,16 u
C lave ©
A
A)
— (—2/
3
B) o(-2/-2/)
+ a/3/)
nálisis
dimensional
y ve c
m ui
En (I) R = 2ai + ay¡3j
C) | {S i -j )
R = a(2i + ^¡ 3j)
D) 0 ( 2/ + ^Í3j)
E) a-(i+ S j)
Nos piden hallar el vecto r resulta nte del sistema de vectores mostrados.
CLAVI ( ¡ i )
En el gráfico que se muestra, determine
x + y.
Del gráfico R = A + 5 + C+ P + E + F + G
-1
~F
X
R = 2F + G Reconstruyendo la gráfica, nótese que
A) -Jla(i+j)
IGI = oV 3 u y IFI = 2o u B) | 0(i-^ )( -/-y )
C) £ ( 3
D) £ (2-V 3 )(-/+ /)
E) £ ( 2 - >/2)(/+ /)
12/
I UMBRERAS EDITORES
Nos piden dete rm ina r la resultante entre x e y. Consideremos los datos geométricos del pro blema.
En el gráfico se muestra un cuadrado cuyo lado mide dos unidades y un arco de circunferencia. Determine el vector a.
A)
B) (V 2-f) (- /- ;) C) £ { i+ j ) D) (2-V2)(-?+7) E) V 2 (/- /) De donde I.
En el A somb read o I
y = a —:— \¡~n
Nos pid e de term inar a . En términos de los vet tores unitarios.
(a)
Examinando el gráfico
En el A som brea do II x = q— \-
l/' + n
((3)
>umando (a) y ((3) x+y=a
C lave ( E
178
2-V2
A nálisis
■
dimensional
y vectohi
Sea el vector Nos piden x en términos de a y b.
^
a = mi + nj
Graficando a los vectores Debemos determin ar los valores d e m y n . Se tiene o = (2 -^ )( -/ ) + (2- V2 ); a = (2 -J Í){-l+
j)
Clave
En el gráfico, halle x en función de a y b.
Por definición ~ _ x
x
X
= |x |j ix
(I)
Se tiene x lf n
£ x = j l n = •—|
[1 * = ^ |n|
De la figura sombreada
(M)
•.
I UMBRERAS EDITORES
¡nalmente, ((3) y (y) en (I)
Luego los vectores serán F2 = (3;-4)
b-a/2
x = b - b—
a
g = (-6;- 4)
\b-^n\/
Hallamos la suma x=
IV
[b-a/ll
(a)
F2 + F 3 =(-3;-8)
2
C lave ( E Cálculo de su módulo | f 2 + F 3| = V3 2 +=V 8 273 Sabiendo que la resultante de las fuerzas / 1 =(3;8)/V, F 2 = (x;- 4 )N y F 3 = ( - 6 ;y) es igual .1 cero, halle el vector unitario de la resultante de F2 y F3.
Finalmente, (a) y ((3) en (I) ~ _(-3;- 8)_ U~
B)
5'
V73
3 -
8 -
" Clave
3 _4
[-8;-7)
A)
(P)
5
1
q ^ d ; i) 15)
8
V 73
E)
a/65
Determine p - q si ABCD es un paralelogramo en donde se cumple que AC = SAE,BC = 3BF y además EF = p U o ) + q (/4s).
Nos piden el unitario del vector que resulta de sumar F 2 y F3. Por definic ión F2 + F 3 M-= ,f — = rr | f 2 + f3 |
(■)
Por dato tenemos Fi +F 2 + F 3 = 0 (3; 8)+ (x ;-4 ) + (- 6; y) = 0
A) -4/3
(x -3 ; 4+y ) = (0; 0)
B) -1 /3
Identif icamos los componentes x-3=0 x=3 I 30
a a
4+y=0
y=-4
C) -2 /3 D) +2/3 E) 4/3
A nálisis
É
dimensional
y vectohi
Reemplazando (I) y (II) Nos piden p-q. trafiquemos los vectores representando los datos.
— AD AD + AB —; AB + ----= -------------+ EF 3
5
De donde EF
Identificando los coeficien tes 2
p=— 15
12
q=—
a
15
Finalmente _2__12
De la figura
15
(a)
AC=AB+AD
p-q =
Por dato
15
2
C lave (C
AC= 5AE
lin (a) En el gráfico mostrado, M es punto medio de JH. Si ¡2/A —S| = 2>/3 u yr = 2 u, calcule | á - b |.
5AE=AB+AD
■■■ AE--
AB + AD
(0
Del dato BC = 3BF
Además BC = AD
AD
—> BF = -
A) -Jíu Del políg ono sombreado AB + BF = AE + EF
B) -J7u
C) V5u D) >/Í3u
E) Vil u 1 II
I IJMBRERAS EDITORES
En (II) Nos piden el módulo de la diferencia entre los vectores Ay B.
2| >41= 4sen30° 1u
\a \=
Veamos el gráfico
De la figura sombreada
Utilizando la ley de cosenos
PH = 2A-~B
A -B l = VA2 +B 2 -2/4Scosl20°
En módulo |w |= |2 ^ -
b|
= 2V3
¡A-B I = ^ /l2 +2 2 —2(1)(2) -(—1/2)
(I)
|a -
b |= V
En el ^JHN
Clave
= 2|/4| = 2r.sen0 = 4sen0 I n el
(M)
HNP, aplicando la ley de senos \p h \
(a)
\ñ h \ _ |fi[
_
sen(9O°+0)
sen(9O°-20)
sen0
Reemplazando (I) y (II) en (a) 2^3 _ 4sen0
cos0
cos20
Halle el módulo de la res ulta nte del sistema de vectores mostra do, si 0= 12 0 y A = f =1 0u .
A) 2 2sen0cos0 cos20
tan 20 = ^3 20=60°
|s|
_ 2V3
sen30°
cos30°
B =2u
a/37
5 B) 5VÍ7 C) 4^37
0=30° D)
n (oc) y reemplazando
132
7u
25
u
37
A nálisis
dimensional
y veciuhi
Se tiene Nos piden el módulo de la resultante.
A =-5 ^/17 -5/ y U = | V3 ?
De la gráfica Reemplazando en (I) R = 5(-5>/3 / — 5 /) + 14 Q V3 / R = 10 ^3 /-25 / En módulo | r | = -\/(io V 3)2+(25)2 •••
I/?I = 5V37 u
se deduce tam bién que el A NMO es isósceles.
Clave
MP1NO
Pero R=A+B+C+D+F+4U
(Y)
Del sistema de vectores tenemos 'b = A + U-,C = A + 2U: D = A + 3U y F = A + 4Í/
En el gráfico mostrado PQ es tangente a la sumí circunferencia mostrada. Halle x en función de A y B. MNOP es un cu.i drado
En (y) R= X + X + Ü + X + 2L/ + X + 3L/ + X + 4L/ + 4D 7? = 5A +1AU
(I)
hallamos lo s vectores A y U a partir del gráfico. 5V3
A)
5
5
D) - —A / - —/ 5 5
B) - l ~ B j 3 3
C) - - A i I SBj 3 3 E) - -3A„ ■ ,V B ■ 13 1
I UMBRERAS EDITORES
A) 2u Nos piden determinar x en términos de
A y B.
D)
B) 3 u
C) 5 u
6u
E) 7u
Examinemos la gráfica Nos piden el m ód ulo de 4o + 3b.
2a
Sea m = 2a + 6b y n = 2a-3b , se sabe que fot man 60° entre sí. Si sumamos m y n obtenemo' el vector perdido
6(l-sen20)
Tenemos que
Aplicando la ley del paralelogramo
x = /4cos20( -/) + fi(l-se n 2 0 )y
Del
(a)
Por dato
sombreado 0 = 53 °/2 -> 20 = 53°
|m | = 2|o + 3b| = 2(l,5) = 3u |n| = |2o-3 b| = 5u
Reemplazamos en (a) x = /Aco s53°( -/) + S(l-sen 53 °)y =A
3'
4o + 3b = ^m 2+n2 + 2mncos6 0°
Reemplazando en 4o + 3b>1=./ I = a/ 32 + 52 + 2(3)(5)cos 60°
(-í)+b( i - í )
4o + 3b = 7 u
- 3-8? x = — Ai + —J 5 5
C lave
tí
Clave
86
'><■ tienen los vectores (2a + 6b) y (2 a - 3 b ) tal
Si A xB = 24 i + 7j y A-B = 25, determine la tan gente del ángulo entre A y B.
que form an un ángulo de 60°. Si |o + 3b| = l, 5
A) 1
y 2o 3b = 5u, determ ine el mó dulo de 4o + 3b.
D) - 1
B) 2
C) 1/2 E) 1/3
A nálisis
dimensional
y vectomi
A) 0,2 3 /-0,7 2/ -0, 65/c Nos piden tan0, siendo 0 el ángulo entre
A y B.
B) 0, 23/ + 0,7 2/ + 0,65fc
Se sabe que A x B = 24/ + 7/
C) -0 ,1 2/ + 0,72/ + 0,67^
Su módulo
D) 1, 2/ + 4,2 / + 3,6¿
Ia x s | = V242 + 7 2 =2 5
E) 1 ,2 /-4 ,2 /-3 ,
Además |A x e | = |A|| 8|sene = 25
(I)
Nos piden hallar el vector unitario Pj. De l.i ecuación dada 6 ^ = v + 5p
(I)
Del otro dato A-B=| a || b |cos9 = 25
(II)
25
jB |c o s t
25
(II)
Nos falta ^ el cual se ob tend rá de la figura que se muestra
Luego hacemos (I) + (II) jlí [s e n 0
Del dato v = (- 2 t;t ;3 t)
se
tan0 = l
sen37° C lave ( A cos37° ■'S37°
Halle el vector unitario Mi que satisface la si guiente ecuación vectorial
Tenemos que p = (0; cos37°; sen37°)
6 ^ = v + 5p, siendo v = -2ti + t j + 3tk y t: tiempo. • , _ 4 3 p = 0 ;-;1
(III)
5 5
Reemplazando (II) y (III) en (I) ( 4 3 6/Lj = (- 2 t;t;3 f) + 5l 0 ;—; —
6Mi = ( - 2 t; t + 4; 3t + 3) 1 P-L = - ( - 2 t ; t + 4; 3í + 3) 6
(5)
10
IJMBRERAS EDITORES
hora, como Mi es unitario, se verifica Nos piden determinar la expresión
||¿i| = i> /( 2 t)2 + (t + 4)2+ (3 f + 3)2 =1 6
M = [ ( BF ■Bh )( d g )\ x (a s) .
Busquemos información de la gráfica
l1tiene
14t2+ 2 6 t-ll= 0 ('solviendo t=0,3551s njlmente, reemplazamos í en (5) ILij = -( -2 (0 ,3 551); 0,35 51 + 4; 3(0,3551) + 3) 6 ,
= —0,12/ + 0,72/ + 0,67¿ C lave ( C ) Tenemos AS = (- 5 ; 0; 0) = -5 / BF = ( 0; 0;5 ) = +5 k l.i arista del cubo es 5 unidades, obtenga
H/'-B
h
)(d
g
)
x
(a
b
)1
BH = ( 5; 5; 5) = 5/ + 5j + 5k
DG = ( - 5; 0; 5) = -5 /+ 5 k
zA
Hallamos el producto escalar BF-BH = ( 0;0 ; 5)• (5; 5; 5)
=0+0+25 ••• BF-BH = 25 Ahora en la expresión M = [2 s (—5?+ 5fc) ] x (—5/)
M = -62 5(-/+/r) x(/) /V7 = - 625 t^hd+kxl)
, 0
I
(>25 j
I
i 75j
II ,
B) -1 25 /
C) -5 25
E) -2 75/
k
M = -62 5y
T _ C la v e
(A)
A nálisis
dimensional
y vectohi
Se tiene Según la figura , sim plifiq ue Q en funció n de o;
•
CE + DB = AB = 3a
y c, si AB = 3a, BC = 2b y AC = -6 c .
•
DF + BH = BC = 2b
Q = 2(¡CE + D B )-3 ( d H + Bh ) + (f E + AG)
•
AG + FE = AC = -6 c
Reemplazando en la expresión Q ! q
i¡ i !
I I hL
\ f >X 1 i ^1
— i1________
= 2{ c e + d b ) - 3 ( d f + b h )+ { f e + a b )
=2
AB
=2
-3
(3o)
-3
AC
BC
-
{ib)
+ (-6c
Q= 6 (o -b -c ) C lave ( D ) A) a -b+ c B) 2Í3a + b -7 )
C) 3 (o -2 b -c )
En el paralelepípedo mostrado, determine el
D) Ei{a-b-c
vector resultante en términos de los vectores a, b y c.
)
E) 2a -b+ c
Nos piden simplificar la expresión que
Q sabiendo
AS = 3o; BC = 2b Y AC =- 6c . Examinemos el gráfico
A) a-2b + c B) o- 2 b C) 2a + c D) a + b + c E) ~b + 2c
1U
UMBRERAS EDITORES
Mos piden la resultante de todos los vectores. >ea R=a+b+c+x+y+z
(I)
Examinemos la figura
Nos piden hallar 1P:A + ^ B1
(I)
I^ a+bI para lo cual determinaremos los respective, vectores unitarios y tambié n sus módulos •
A■\\x- . = A „ = \ Í3/ - + 4y)^ - =3~ - j + 4~ -j (a) Para n -* , , U V b2 + 4 2 5 5
•
Para fi: íiB = í^ T= ~ ; = - y 8 4
(fl)
Para A + B: J V-A+B '
onemos
+ b )_ 3 l +
- f l f _~ =1
¡A + t
(Y)
(a)
x+y=c
Luego (a), ((3) y (y) en (I)
a=c+b+z (P )
(«emplazamos (a) y (|3) en (1)
+Üfl|
R=a+b+c+z+x+y R = a+
a
a
3~ 4- - / + —] - j
1Í*a +b|
|/|
3j _ i 5 5 1
y
+ c
|MyiPs|_ + V2
~R= 2a + c
¡M-A+el
^
Clave
ii he denota un vector unitario asociando al veciii P, calcule
C lave
'a 1^bKI^ a+ bI; sabiendo que A = 3 /+ 4/ y
Se tien en dos vectores: r = rxi + ryj y s = sxi + syi y forman un ángulo de 60°, de tal forma que | s | = 1,rx = -J lry y ~r-"s= 1,5.
i
Determine el valor de P = rx +r y +sx +s y.
4j.
y);v/ÍÓ /5 i) JÍ/5
B) V lO /5
C) V 5 /2
E) V 5 /V 2
A) 8 D) 10
B) - 8
C) 4 E) - 1 0
A nálisis
m
dimensional
y v i c iohi
Hallaremos de manera separada los produc l<>\ entre vectores.
Nos piden determinar el valor de P.
• Nótese que: r 2 = r 2 + ry + s2 = s2 + sy De donde: p = r 2 + s2
Hallamos A-B A -fi = (2;0 )-( 4; -3 ) = 8
(I)
•
(ex)
Hallamos 2 x 8 AxB = (2/) x(4/-3i ) = 8 / x/-6/xy
Por dato •
|s| = l, es decir: s2+ s 2 = 1 2
•
Del pro du cto escalar
(a)
Luego reemplazamos (a) y (p) en (I)
» 3 r s =2
r-s-cos60°= —
(|3)
Ax B = -6k
M = &(2j + (-Gk))
3
M = 16/-48^
2
Clave ( E )
r=3 Finalmente, (a) y ((3) en (I) P =3 2+ l 2
Los vectores a = 3i + 10 j; b = bxi + byj ; y c = -1 2 /- 6 y forman un pol ígono cerrado. Dolei
P=10 _C L A V E ( 6 )
mine el producto escalar ¿>-c (en valor absoluto). A) 84 D) 42
B) 70
C) 56 E) 14
SI se sabe que A = 2/; 8 = 4/ -3j, calcule: A -b (a + A x b )
A) 2{l+2j-3Í<) C) 12(/-£) D) 8(-¡-2k)
Nos piden el valor del producto b - c . Por dalo, nos dicen que los vectores forman un polígono B) 6 (/-2 y)
de tres lados, en este caso un triángulo
E) 16(i-3k)
Nos piden determinar la expresión M = A- b ( a + A x B )
(I) I t'l
E ditores
imiiheras
ll (|UC a i- b + c = 0 (i +10 j + b + (-12 /-6 /) = 0 b -=9/-4y
n,límente ib -c = ( 9/-4 y)-(-1 2 /-6y ) = (9;-4)-(-1
2;-6 )
Notamos que el ángulo pedido es 0.
b-c=-84 Usando la definición de producto escalar tenemos i valor absoluto
(p +
q
) - ( p —q ) = I' p +
q
||"p -
q |co s 0
|fe-'c| = 84 Clave
De donde COS0 =
' p + q )-(p - q !
(i)
| p + q || p - q |
P-4, Q=3, y el ángulo formado por dichos ■i lore s es 60°, halle el áng ulo for mad o po r los i lores P + Q y P -Q .
Hallaremos cada término de la expresión de manera Independiente i.
(p+q M p- q ) = p 2- q 2
eos"1 (0,295)
=4 2- 3 2= 7
(a)
eos-1 (0,271) 53° i eos-1 (0,319) 74°
|P +
q
|= P2 + Q2 + 2P Q .3 ■cos60°
= 42+32 + 2(4 )(3 )(l/2) | p + q | = a/37
((3)
III. | p + q | =P 2+Q 2-2P Q cos 60°
r, piden el ángulo formado por la suma y la lerenda de los vectores P y Q. presentemos gráficamente la situación.
1(1
=42+32-2(4)(3)(l/2)
| p + q | = V Í3
(y)
A nálisis
dimensional
y v i
De (I)
Finalmente, reemplazamos (a), ((3) y (y) en (I)
A- B = AeB
cos0 = ,—^ 7— = 0,319 V37V13 0=cos-1(O,319)
(II)
También se sabe que A -B = ( 1; 2; 1)■ (4; 4; 7)
C lave ( 0 )
A -B = (4+ 8 + 7) = 19
Halle la proyección del vector
A = i + 2j+ k
so
Finalmente, en (II) 19 = Afl •Vá2 + 4 2 + 72
bre el vector B = 4/ + 4 j + 7k.
A) 1,7
B) 2 ,1
D) 3,1
C) 2,2
-t
19 Afi= — = 2,1 8 9 Clavi
E) 5,4
Nos piden la proyección de A sobre el vector B, para lo cual representemos de manera esquemá tica los vectores A y B .
Dados los vectores A = 2 i—j; B = i+k ;yC Determine
j
1 k.
a)
Un ve ctor un ita rio en la direc ción del ven leu A + B -3C .
b)
Un vec tor perp end icular al plano form ado por los vectores B y C.
c)
El área del parale logra mo form ad o por A y B.
a)
Nos piden un ve cto r un itar io en la direc t iói del vector A + B -3 C , por def inición
De la figura Proyección 1 de A sobre B )
AR=Acos0
De la definición del producto escalar A -B = ABc os0 = (/4c os0)B
(I)
. ÍA + B -3c ) [ i= p r -» -^T A + B -3C
0)
M I
E ditores
mhreras
Hallamos A + B-3 C
c)
A = 2 i-j
Nos piden el área del paralelog ramo form ado por los vectores A y B, esta resulta ser el mó dulo de su producto vectorial, es decir
S = /+ íc -3C = -3 j-3 k A+~ B-3C = 3 i-4 j-2 k
Su módulo I A + S -3 c | = V 3 2 + 4 2 + 22 | a + B -3 c [ = a/ 29 =5,39u
|a x s |= |(- /) -( -£ +2_/')| En (I) .
área= A x ¿31=
2+ 22+ 12
f 3 ¡- 4j- 2k
|T = ---
--------- - ---------
l
área = 2,4 u2
5, 39
£=0,56/'-0,74/-0,37¿
Un vector perpendicular al plano formado por B y C; puede ser su prod ucto ve ctorial (sxc).
Es decir
Dados los siguientes vectores
A = 3i + 2 j +2k;
B = i- 3 j + 4 k ;y C = 2i + 3j —k, determine
a)
Si A y 6 son o no perp endicu lare s.
b)
Calcule A - (s x c ) .
a)
Para que A y 8 sean perpe ndicula res se debe verificar que su producto escalar sea cero. Es decir A -fi = (3; 2; 2) (1; - 3 ; 4)
/’■ (*) -(/-/) P= - l- j+ k
?
A-"6 = 3 - 6 + 8 = 5 Por lo tanto, A y 6 no son perpendiculares.
r. b)
La única inte rpre tac ión posible de este pr o ducto , denom inado producto triple, es que geométricamente representa el volumen del para lelogr am o cuyas aristas son los vec tores A , B y C . Es decir A - ( e x c ) = (3 ;2 ;2)- SxC
Hay que demostrar que los vectores forman un triángulo, para lo que se necesita que la iumi I tante de dos de ellos sea el tercero, o que la ir sultante de los tres sea el vector nulo, como sr ve en las figuras
(5)
Hallando SXC
Se tiene
A + B= C
A + B+ C
()
De los datos tenemos A + B= 3l-2 j+k = C ,
con lo que tendremos un triángulo. En segundo lugar, para que sea rectángulo, rl producto escalar entre dos de ellos debe mu cero. = (3 / + 3fc + 8y ) - ( - 6 k + 1 2 l- j ) £3xC = —9/ + 9y + 9/c
Consideramos I.
.'. A -B = -
SxC = (- 9; 9; 9) II. Reemplazamos en (8) A -( b x c ) = (3; 2;2) -(-9; 9; 9)
A • £¡ = (2; 1; - 4 ) • (1; -3 ; 5) 21u
A -C = (2; 1 ;-4 )-(3 ;-2 ; 1) A • C = 0; esto sign ifica qu e A y C son p ri pendiculares.
=-27+18+18 Por lo tanto, el triángulo será rectángulo. .'.
~A-(~Bx~C )=9 u3
Demuestre que los vectores A = 2i + j -4 k , B= i- 3 j +5k , y C = 3 /- 2 ; +£ for man un tri án gulo rectángulo.
I UMBRERAS EDITORES
De (I) Usando el producto vectorial, demuestre la ley li' senos.
AxB=CxA
De (II) supongamos un triángulo formado por los vecores A, B y C, tal como se muestra en la figura
~BxA=~CxB
De (III) CxA=BxC
De donde se tiene AxB=CxA=BxC
Por definicfón ABsenQABj i = ACsen 0AC p, = BCsen 0SC(i
ntonces: A + B + C = 0 1
Mul tiplicand o vec torialmen te po r A se tien e
Como tienen la misma dirección (son vectores axiales) /4Bsen0/,s=C/4sen0c^=BCsen0BC
A xA + AxB + AxC = Ax( ) A x8 + Ax C = 0
(I) Además sen(18O-0)=sen0
’
Mu ltiplicando vectorialme nte por B
—> ABseny=CAsenP=BCsena
BxA+BxB+BxC=BxO BxA+BxC=0
Divi diendo en tre A B C tendremo s
(II)
sen y _ senp _ sena Multiplicando vectorialmente por CxA+CxB+CxC=Cx0 CxA+CxB=0
(III)
C
C
~
B
~
A
Con lo cual estamos demostrando la ley de senos.
si PR OB LE MA S PR OP UE ST OS
3.
N ivel básico
Sean los vectores A y B no nulos, enlom < el vector C = A -B está representado poi
1.
Dada la dire cción de los vec tore s que se in dican en la figura ¿cuál podría ser la direc
B
ción del vector A —2B-C?
A)
B)
A)
C) E)
D)
Para los vectores u, v y w de la figura, ¿cuál de los siguientes vectores representa —■ - * w me jor al vector u - 2v + —? 4
B)
C)
D) 4.
E) —
En los casos (I) y (II), el mó dulo de la tc a il tante es de 17 u y 7 u, respectivamente Determine el módulo de la resultante en el caso (III).
(I)
(II)
(III)
-----A)
B)
C) A) 6 u
D)
E)
D) 15 u
B) 7 u
C) 13 u E) 24 u 14'
i.
Calcule el mód ulo de A-B-C
6u
A) 2u
A
B) 3 u
E) 6u
Dados los vec tore s A = (3; 5) y B = (6; 4), de termi ne el módulo d e 2 A -3 B . A) J29u
B) 8 u
E) VÍ48u
Dado los vec tore s A = (3; 4), B = (6;4) y C = (9;8) , d eter min e: | a +2B-3 c |. '
A)
12 u
D)
14^2 u
A)
C)
B)
C) 12 u
D) a/ÍÍ9u
I.
Para los vectores mostrados en la figura, l.i opción que mejor representa la dirección del ve ctor x - 7 + Z es
C) 4 u
D) 5u I.
si
B) 12 a/ 2
u
D)
E)
Del diagrama de vectores mostrados, Indi que cuál de las ecuaciones vectoriales es falsa.
C) 14 u E) 24 u
Para el co nju nto de vectore s mostrad os de termine 2A + 3 B -C si
2u 1u A) a - g -f = 0
5u
B) ~b + h + g = 0 C) i = e + d A) lu D) 9u
B) 3u
C) 6 u
D) i + c = h
E) 12 u
E) f + e+d -a -b -c =
0
A nálisis
¿Cuál de las siguientes opciones es correcta para el diagrama vectorial mostrado?
dimensional
y vi
Sobre los lados de un hexágono rcgul.n de lado L se encuentran vectores como se IihIm .i en la figura. La magnitud del vecloi miiu.i resultante es A) L B) 2L C) 3¿ D) 4 L
A) c = a + b
E) 6 L
B) c = d + f + g + i
Tomado de ia Olimpiada de Física de Colombia d<*l
C) c = d + h + i
i)
de septiembre de
D) h = i + c + d E) |o -e + / | = |/ + c|
Si se suman los cuatro vectores de l.i ligum la magnitud del vector resultante os
A pa rtir del diagrama de vectores adju nto, y dado qu e |a | = |b |y | c | = |d|, enc uen tre el vector resultante.
A) 0 B) 1
A) A
B
D) 4
B) B
E) 8
C) F D) D
Del sistema de vectores encon trar el vtv i
E) C 13.
C) 2
Los vectores mostrados en la figura tienen igual módulo. El módulo del vector resultante es A) 0 B) 2 C) 5 D) 7 E) 10 A) C Tomado de la Olimpiada de Física de Colombia del 21 de septiembre de 1993
D) 0
B) 2C
C) 3C E) 26 14/
UMBRERAS EDITORES
7. Halle el mód ulo de la resu ltante de los vec tores mostrados. ABCD es un rectán gulo. B
Determine el módulo de los vectores mos trados. A) 0 B) 2 a C) 0 V 2 D) 2oV2 E) 4o
8.
A)
10 u
D)
20^2 u
B) \o4l u
C) 20 u
N ivel intermedio
E) 30 u
Dete rmine la res ultan te del sistema de vec tores que se muestra.
Determine e l mód ulo del vector A, si se sabe que el friódulo del sistema dado es 12 u.
A) e
A) 3u
B) 2e
B) 5u C) 6u
C) 0
D) 12 u
D) -~e
E) 24 u
E) - l e Exprese X en función de A y fi. 9. En el sistema de vec tore s que se muestra, determine su resultante.
A) ( a - 2 b )/3 A) E D) 0
B) 2E
C) B
C) (a + b ) / 2
E) 2B
D) ( a -Í)/3
B) (2A + 3B)/4
E) ( a + 2b ) /3
A nálisis
23.
De term ine el me nor módulo d el vector resultante de los vectores mostrados (Ia I = 4 u).
dimensional
y vi
( m iu
Determine el módulo de la result.mlr dH sistema de vectores mostrado sabiondo que|A| = 13.
A) 12 u B) 24 u C) 36 u D) 48 u E) 60 u A)
2u
D)
4u
B) 2-s/íu
C) 4>/3u E) 3a/ 2 u
Si la resultante del sistema de vectoic. mostrados es cero, determine el módulo de la resultante de A y B.
Dado el paralelogramo ABCD, determine el módulo del vector resultante. A) 12 u B) 18 u C) 20 u D) 24 u E) 30 u
A) 9u D) 24 u
B) 1 0 u
C) 1 5 u E) 24 u
28. Determ ine el mód ulo del vec tor F, si la m sultante del sistema mostrado es nula.
El módulo de la resultante máxima de dos vectores es 20 u, y cuando estos forman 120° su resultante es 10 u. ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando los vectores formen 74° entre sí? A) 12 u B) 15 u C) 16 u D) 20 u E) 24 u
A)
D)
0,5VÍ3u 4-\/l3 u
B)
VÍ3u
c)
2^1 3
E) 6a/ Í 3
u u
Lumbreras
E ditores
29. En el cub o mos trado, de ter mine el mó dulo de la res ultante del sistema de vectores.
A) 12 u
B) 24 u
C) 36 u E) 4-y/38 u
D) 48 u
30. Halle la resultante de los vectores mostrados.
32. De term ine el mó dulo de la resu ltante de los vectores mostrados.
A) 6 u D) 12 u
B) 8 u
C) 10 u E) 20 u
33. Si el módulo de la fuerza F es 10 N y P es el punto medio de dicho vector, ¿qué mó dulo tiene la fuerza resultante del sistema mostrado?
^
-
A) 5 N
A) 6 U (—>) B) 7 U (4 )
C) 7,5 U (t)
B) 10 N C) 15 N
D) 8U(<-)
E) 8 U (-»)
D) 20 N E) 0 N
31. Determine X en función de los vectores o y ó, si 2MN=NP. 34. Si el ve ctor b tiene un módulo de 5 u, de termine el módulo de la resultante del sis tema mostrado A) 5u B) 12 u C) 15 u
ISO
A) {a-b ) / 2 B) {2a-b)/3
C) {a-b ) / 3
D) 16 u
D) (a + b ) / 3
E) {a + 2b) /3
E) 20 u
A nálisis
35. SiABCDEFesun hexágono regular, dete rmine el módulo de la resultante de los vectores
dimensionai
y vi i
m uí
38. En ei conjunto de vect ores que se m ur- .ii .i determine el módulo del vector rnsult.inii-
o y ó , siendo ( |o| = 2u). 1 cm
AD
i ni E) 4(in
D) l S cm A) lu D) 36.
B) 2u
C) Bu E) 5u
4u
Dados los vectores A y B , halle el mó dulo de A + B si 1/aI = 5 u y ISI = 2 u-
39. Halle el mó dulo del vec tor resull.ini*- ilH sistema vectorial mostrado (consldere:BA4= M N = ND).
A) 6 u D) 12 u A)
72 u
D)
2Su
B) S u
B) 8 u
C) 10u E) 16 u
C) 3^5 u E) S u
40. Sobre una estaca se aplican dos fu n /.i F l y F2 tal como se Indica, sabiendo i|in
PQRS 37. XSI un cuadrado = mA + nB,es determine m+n. y además
|F i¡ =reemplace 40N. Determine que al sistema.la m ínim.i luc í/,
A) 1
A) 16 N
B) 2
B) 24 N
C) 2,5
C) 32 N
D) 3
D) 40 N
E) 0
E) 48 N r,
UMBRERAS EDI TORES
H. Sean los vector es o yf o, tal que a-b = 0, y \a\ = P ¡ \b\ = q
45. Para el gráfico de la figura, determine el vec tor unitario del vector a + b + c.
Determine E = pr-=n \a —b\
A) 0 D)
B) - 1 1
C) - 2 E) 2
2. Halle un vector A paralelo al vector B = ( - 2; 1; 3), y que además A B = 28. A) ( - 1 ; 2; 3) B) (- 2 ; 1; -3 )
A) —(3 /V Í 4 )/ —(2 / s/ i a ) } + (l/ V l4)£
C) (- 3 ; 2;-3 )
B) -f- j + k
D) ( - 4 ; 2; 6)
C) (i/ w í6 )/-(2/V
E) (4 ;-2 ;-6 )
6 )y+ (i/ V e )^
D) ( 3 /- \/l7 )/ —( 2 / -s/l7 )_/ +(2/yfl7)k 3. Un ve ctor A está dirigido a lo largo de la diagonal de un cubo. Calcule el ángulo que este vector forma con su proyección sobre el plano Y-Z. A) 65°
E) (3/VÍ4)/ 46.
+ (2 /V Í4 )7 -(l/V l4)¿
Si el ve cto r v tiene una dirección tangente a la trayectoria circular, que es paralela al plano X-Y, entonces es cierto que los án gulos directore s para esa situació n son
B) 55°
Zi
C) 45° D) 35° E) 25° l. Halle un ve cto r cuyas com pon ente s tengan la misma direcci ón que e l vector 8 /+ 9j+ 12 /c y cuyo módulo sea 51 u.
1
a A) 49/' + 10 /+ 10 ¿ B) 10Í+10j+A9k C) 24Í+27/+36/C D) 30/ + 2iy W l2 6 0 ¿ I) >7
21í + 3 0jW l26 0 ír
A) 30° B) 120° C) 120° D) 30° r OO o E)
P
Y 30°
0 0 0 0
0
O
30° OO
e n
60°
90°
90°
60°
A nálisis
47. El ve ctor F de la figu ra se dirig e de acue rdo a la diagonal del paralelepípedo. Las com ponentes ortogonales del vector F son
dimensional
y vi
( m m •.
49. De term ine el vec tor que al sumarse .i vectores ayb da una resultante nula.
Zh
5m
10 m
A) 10Í+5/+10
k
B) 200?+100/+5 0k
B) 2Í-E>j+6k
c) 50?+200/+100k
C) 5j+6k —0 Y —OK D) i s I 0
D)
J NOO
Oo
* J + NOO
E) 50Í+100/+50/C
48.
A) /■-10/+3/C
Para los vec tore s mostra dos en la figura , en cue ntre al ve cto r que representa a la suma ~ci-~b/2.
E) ~10j+3k
50. De termin e el ve cto r de la suma F1 i f '.e sabe que F i = 2 F i =10 0 unidades, yk i
A) 6/-9/+12/C
A) 73/+62.9/+100.
B) 3/'+12/+6¿
B) 123Í+62.9/-15.6fc < < HO< y •—1 Y —'£ Ho + y S 1> C)
C) 6i-9j+4k D) 4Í+&J+12k E) 8Í+5/+10/C
D) 73/+62.9/-100.6¿ E) 83Í+62.9/+100.6Í
mbreras
E ditores
Dados los vectores L = 2 i-3j+ 2 k y M =i+ 2 j - k , el vector de módulo 3 u que se en cuentra en la dirección del vector ~[+M es A) (3/Vñ)(3
55. Seanlosvec toresP=(2; 3;4)y Q = 4 /- 2 y + 3 k. Determine el área del paralelogramo que tiene a estos vectores por lados. A) 17, 62 m
i+j+k)
B) 3i + j -\-k
B) 21, 57 m2
C) (3 /V ÍÍ)( 3 i -j + k ) D) 3f -j + k
C) 9, 72 m2 D) 31, 72 m2
E) i+j+k
E) 25, 39 m2
N
56. Sean los vectores A = ( l; - l; l) y B= (2;l;-1). ivel
avanzado
Halle el vector P tal que AxP=B y A P=1.
Halle un vecto r A que es para lelo a B = (l ;l ;- 1 ) A) —(l ;- 4 ;- 2 )
y A xC =(0;2 ;2), donde C = (2; 1; -1 ). A) (-1 ; 2; 2)
B) (2 ;- 1 ; 2)
C) —(2 ;- l; 4 )
C) V 3( 2;-2 ; 1) D) (-2 ; 2; 2)
E) 2(—1;—1; 1)
D) —(1;—2;4)
Halle un vector A que es paralelo al vec tor B=(—2; 1;3); A- 8=2 8 u. A) (- 4 ; 2; 6)
E) —(1;4;2)
57. Halle el ángulo que form an las diagonales de un cubo.
B) (-2; 2; —1)
C) (3; 1; 6) D) (- 9 ; 1; -2 )
B) -(2 ; 3; 4) 2
E) (-4 ; 6; 3)
Sea A=(3;l;2). Determine un vector en el plano xy de módulo 2 u y que sea perpen dicular al vector A. A) -v/s(2 /—3/) <) JE {i -3j)
A) sen 1( l/ 3 )
B) cos_1(l/5)
C) sen “ 1(l/ 5 ) D) cos_1(l/3)
E) cos_1(l/2)
58. Dados los vectores V = 2i + 3,5 j-4 ,2 k y A = A ,Si-2, 2j -í,5 k - Determine el ángulo que forman estos vectores. A) eos 1(l/5)
B) sen_1(l/4)
C) cos_1(l/3)
1» f
(hy)
E) f
( í - 3j )
D) sen_1(l/3)
E) eos \ l /4 )
A nálisis
*
59. Halle un vec tor paralelo a l vect or unita rio de la suma de los vectores A = ( l; 2 ;- 5 ),
63.
y v i
dimensional
ui
Dados a = (1; 1; 1), b = (2; 1; - 1 ) y c (2;l>, l), calcule
B= (2;l ;-1) ■
a = (o x b) x (b + o x c) •(o + b)
A) (2;2;-4)/V6 B) -23
A) -13
B) (l;-l;-2 )/V 3
C) -43 C) (-2;-l;4)/V5 D) (l;-2;3)/V3 E) (-2;2;4)/V3 Dado
E) -2 9
D) -49 64.
los
vecto res P = 2i + 3j - k Q = 4 i- 3 j + 2k, encontrar PQ.
y
Sea los vectores Q = (5 ;l ;2 ) y V = { l',2 \x ), determ ine el valor d e x para que U y V mmm ortogonales. A)
B) 21,9
12,7
A) í-6j+3k
C) 7,2
B) 3i+6j+k
D) 16,5
E) 14,4
C) 2i-&j+3k 65. D) 3/-6y-5/c E) 2¡-j+5k
Siendo A = (0;2;4), 6 = (3 ;- l; 2 ), C (2;0, I) y D = (4;2;0), determine un vector orlogo nal tan to a AB como a CD .
Sean o y b dos vectores no paralelos. Se tienen los vectores c=(m+n-l)a+(m+n)b y ~d=(m-n)a+(2m-n+l)b. Encue ntre m y n tal que c=3d.
A) -1 /2 ; 1/2
62. Halle m{eR) b=(2m;m;-A)
A) 3 o - 1
B)
7i - j l U,k
E)
7i - ¡ i I2A
C) 13/'-5/+12 k D) 7/+24y+25¿
I ),
Halle a; b y c para que , se cum pla E) 1/2;-1/12 tal que a=(m;~ 2;1) son ortogonales. B) - 2 o 1
C) - 3 o -2 D) 2 o - 1
9/ + j- 1 2 k
66. Sean los vectores x = (1; - 5; 2); y = (3; 4; 7 = (6; 3;-5 ); w = (24 ;-26 ;-6) .
B) 2/3;-1/12
C) - 1 /4 ; 1/4 D) -1/3;-1/12
A)
E) - 3 o 1
ox + fay + cz = w y
A) o = 3 b=3 c =4
D) o = 3 ¿=-1 c =2
B) o = 3
C) o = 6
b= 2
b
c= - 2
c 4
1
E) o = 7 b =4 C=• 4
jureras
E ditores
Dados P = (1; 2; - 1 ) y q = (2;1;3), se define el vector U = a P + {l- a )q , donde a es un real. Determine el valor de a para que U sea or
70. Se tie ne un ve ctor co nocido no nulo, A, y uno que se desea determinar, x. Se dan como datos su producto escalar y su pro ducto vectorial por A.
A) 5/2
B) 3/2
D) 2/7
y A x x = c. Deter mine el valor de x.
A-x = k
togonal al vector V = (1; 2;-2 ). C) 2/9
-1 + c A)
E) 11/2
Si o y b son dos vectores no paralelos y se definen c = (2a -3P + l)o + (a + (3 -l)b ;
B)
d = (a + p + 2)(a xf)) + 3 (c x fl) / determine la
C)
+ l+ k
Ia I yjk + C
condición que deben cumplir a y P (e R ) para que se tenga d = 2cxb.
D) 4jc-rc‘ \A\
A) 6a=-4(3+3 E)
B) 6P=4oc+3
C) 3P=2a+3 D) 6a=4P+3 I ) 3 a= 2P + l
Dados los vectores P = (1; -1 ; 2); Q = (3; 4; 5)
71.
Halle un ve cto r A que sea perpendicular al vector qu e pasa por los puntos P = (- l; 1; -1), R=(2; 2; 3) y cuyo módulo sea 3u; además sus com ponente s x e y son ¡guales.
y R = ( - 2; 3 ;- 3 ), calcule la proyec ción de
P xR sobre PxQ. A)
A nálisis
72. Si U y V son dos vectores unitarios y orto go nales entre síysetieneque
a = 3U -sj2V
yb = kU + 2^j2 V , calcule el valor de k para que el ángulo a entre los vectores a y b esté dado por a = eos-1 (l/sílí .).
D)
2
B)
1±V5
y vi
< m m >.
A) 12/+llír B) Í2i+12k C) 16/'-8/ D) &i-8k E) - (16Í+16k)
1±2¡3_
3±>/3
3±V5 A)
dimensional
C) E)
2
75. A par tir de la figur a de termine el .Higuln sombreado (en forma aproximada)
5±V3
73. Para la figur a que se mue stra, de termine el menor ángulo que forman el plano som breado y el plano x-y.
A) 45°
B) 53°
E) 90°
D) 74° A) 71,2° D) 34,7°
B) 58,6°
C) 61,9° E) 68,7°
74. En la figura se muestra, un cubo de lado 4 u, determine un vector perpendicular al plano sombreado.
C) 60°
76. Con los vectores A = (2/ + 6y +3fc)cm y ~B= (3 ¡+ 4j+ 8k )cm se forma el triángulo mostrado en la figura. ¿Cuál es el valor dr la altura b?
A) 5,4 cm D) 8,2 cm
B) 6,2 cm
C) 7,8 un E) 9,7 m i I'./
Claues 1
E
20
A
39
B
58
E
2
A
21
C
40
C
59
A
3
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