INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS. DISTANCIAS OBJETIVOS
1 INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS
β I2
V
1.1 Intersección entre planos conocidas sus trazas: procedimiento general. Dos superficies planas, no paralelas, se cortan según una recta. Dicha recta intersección i al pertenecer a ambos planos α y β , verifica con cada uno de ellos las condiciones de pertenencia a un plano: su punto traza horizontal I1 estará en la intersección de las trazas horizontales α1 y β1 de los planos y, su punto traza vertical I2 en la intersección de las trazas verticales α 2 y β2 (fig. 1.1).
α2
α2
β2
2.2 Intersección de recta y plano dado por tres puntos o por dos rectas que se cortan.
I’2
i’
α1
β1
i’
α1
I1
Cuando el plano no está dado por sus trazas sino por tres puntos A , B, C o por dos rectas AB y AC se sigue idéntico procedimiento.
β1
H I’1
En la fig. 2.2 se ha considerado el plano proyectante horizontal que contiene a la recta r : su proyección horizontal r’ es coincidente con la proyección horizontal i’ de la recta i (recta intersección del plano proyectante π que contiene a la recta r con el plano AB C ). Considerados los puntos 1’ y 2’ se obtienen sus correspondientes proyecciones verticales 1’’ y 2’’ que definen i’’ y con ello la proyección I’’ del punto intersección buscado.
Perspectiva y representación diédrica de la intersección de dos planos α y β .
1.1
I2
V
Plano horizontal ω
A
B’’
ω2
B
i a
α2
M’’
A’’
a’’ b’’
ω2
Plano vertical δ
b
α2
M
En los ejercicios de intersección de recta y plano se supone, en ocasiones, que el plano es opaco y se diferencian en la recta que lo atraviesa las regiones cuyas proyecciones son vistas u ocultas para un observador situado en el primer cuadrante.
β2
i’’
β2 I”1
N
A’
β1
α1
H
I’2
a’
b’ M’
α1
δ1
i’
B’
r’’
β1
B’’
I1
1’’ I’1 I’’
Perspectiva y representación diédrica de la intersección de dos planos α y β cuando alguna o ambas trazas se cortan fuera de los límites del papel.
1.2
A’’ 2’’
ESQUEMA
π
π
V r
i
r”
C’’
i’’
r I
α2
α
π2
π2
I”
i”
I
I
α1
PASOS A SEGUIR
i’
i” 2’
I’’1
r’ i’ I’
π1
1º.- Trazar π (r) i 2º.- π Ø α 3º.- i Ø r I
C’
I’’
α2
i r Øα
I’’2
r”
2 INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO
Es evidente que si por una recta r se hace pasar un plano cualquiera π (en el sistema diédrico preferentemente un plano proyectante) y, se halla la recta intersección i, del plano α con el plano π , (según se muestra en el esquema gráfico de la derecha), el punto común de la recta i con la r determina el punto intersección I de ésta con el plano α .
β2
I’’1
Asimismo, para localizar otro punto de la recta intersección y con ello definirla, se puede operar con planos frontales del tipo del plano δ como muestra la perspectiva. Así se obtendría otro punto N que unido con M determinaría la recta intersección.
La intersección de una recta r con un plano α , no palalelo a la recta, obviamente, es un punto.
En diédrica, por su facilidad de uso, se hace pasar por la recta r, indistintamente, un plano proyectante horizontal (caso de la fig. 2.1 con el plano π ) o bien un plano proyectante vertical. La recta i , intersección de π con α , corta a la recta r en el punto I buscado.
i’’
i
Por tanto, se trazan paralelas a la LT para encontrar las trazas verticales A’’ y B’’ de las rectas a y b. Las proyecciones horizontales a’ y b’ serán respectivamente paralelas a las trazas horizontales α1 y β1 de los planos. De esta forma se localiza el punto M’, proyección horizontal del punto M, perteneciente a la recta intersección de ambos planos.
La representación diédrica que se acompaña a la derecha de la visión en perspectiva (fig.1.2) –que únicamente pretende ayudar en la percepción espacial para su representación en el sistema diédrico –, muestra la recta intersección i de los planos α y β cuyas trazas verticales salen fuera de los límites de la superficie del dibujo. Por ello, y en correspondencia con lo que ilustra la perspectiva, se ha utilizado para determinar el punto M de la recta i, un plano auxiliar horizontal que, unido al punto traza horizontal I1 , define la recta intersección de los planos α y β considerados.
2.1 Intersección de recta y plano dado por sus trazas.
I’’2
α
i’’
1.2 Intersección cuando las trazas de los planos se cortan fuera de los límites del dibujo. Si las trazas de los planos se cortan fuera de los límites del papel, se emplea otro procedimiento alternativo para localizar la recta intersección de ambos planos: consiste en localizar puntos de la recta intersección diferentes de sus puntos traza. Para ello, se corta a los planos α y β dados, mediante planos auxiliares horizontales o frontales, del tipo ω o δ que muestra la fig.1.2.
3. Resolver problemas de distancias entre elementos en el espacio, utilizando el sistema diédrico como sistema de medida para obtener, fácilmente, verdaderas magnitudes.
2. Manejar con soltura los conceptos espaciales de intersecciones, paralelismo, perpendicularidad y distancias entre elementos, traduciéndoles al sistema diédrico.
1. Reconocer el sistema diédrico o sistema de Monge como el recurso descriptivo gráfico más adecuado en el diseño industrial y arquitectónico.
I’2
I’
π1
α1 α
B’
i’ r’
H
1’
I’
A’
r’
I’1 2.2 2.1
Perspectiva y representación diédrica de la obtención del punto intersección de una recta r con un plano α dado por sus trazas α1 y α2.
Intersección de una recta r con plano dado por tres puntos ABC, mediante el «método directo».
169
α2
3 PARALELISMO P
Todas las construcciones que se llevan a cabo en diédrico para la resolución de problemas o para comprobaciones de paralelismo entre rectas, planos o rectas y planos, se basan en las propiedades del espacio que se indican a continuación.
a
b
c
a’
b’
c’
• Figura 3.1a .
3.2 3.1a
Esquema y representación diédrica de una recta p paralela al plano α ; es decir, paralela a una recta q contenida en dicho plano.
V
B2
a’’
A’’1
a’ A1
B1
a’
H
V B’2
A’2
V
B’1
Rectas paralelas: las proyecciones homónimas son paralelas.
α1
e tant oyec o pr n la P
e” d”
e’
B2
V A2
d’
H
α
A’’2
β
β2
b’’ a’’
b
b’’
a
a’’
A’’1
Rectas paralelas contenidas en un mismo plano proyectante.
a’ A1
v’’
b’
α1
B1
A’2
A’1
β1
m
v’ m’
3.1d
n’
m’
b’
H
β1
Consecuencia del paralelismo entre planos.
No sólo las trazas de planos paralelos serán paralelas entre sí, sino que, además, lo serán las proyecciones de todas las rectas horizontales de ambos planos. Análogamente sucede con las rectas frontales de ambos planos.
n
«Dos planos paralelos cortan a un tercer plano según rectas paralelas».
π
B’2
B’1
α1 3.3.2
m’’
B”1
a’
n’’
3.3 Paralelismo entre planos.
β2
α2
u’’
β1
B’’2
d’’
«Para que una recta sea paralela a un plano basta que sea paralela a una recta de dicho plano».
170
α1
α2
3.2 Paralelismo entre recta y plano.
En consecuencia, en el sistema diédrico, los planos paralelos tienen sus trazas homónimas paralelas: α 1 paralela a β1 y α 2 paralela a β2 .
H
e’’ d
e’ d’
3.1c
β1
Paralelismo entre los planos α y β : las trazas homónimas son paralelas.
3.3.1
e
β
α
b’
A’1
β2
α2
B’’1
b’
β2
α2
b’’
a’’
b
a
3.1b
P’
p’
A’’2
b’’
• Figura 3.1d.
En la fig. 3.3.1 , si los planos α y β son paralelos y cortan a un tercer plano H o V , las rectas de intersección o trazas α 1 y β1 o α 2 y β2 , respectivamente, son paralelas.
q’
B’’2
A2
• Figura 3.1c .
En la fig. 3.2 , la recta p es paralela al plano α si es paralela a la recta q contenida en dicho plano. En este caso la recta p no corta al plano en ningún punto (condición de paralelismo de recta y plano).
P”
α1
«Cuando son paralelas las proyecciones de dos rectas sobre dos planos distintos secantes las rectas del espacio son, también, paralelas». Si la proyección a’ es paralela a la b’ y además la proyección a” es paralela a la b” las rectas a y b son paralelas. En diédrico las rectas de perfil son una excepción de esta propiedad. Todas ellas tienen sus proyecciones horizontales y verticales perpendiculares a la LT y, por tanto, paralelas entre sí; sin embargo no son, en general, paralelas.
«Si las proyecciones de dos rectas sobre un mismo plano se reducen a un punto, las rectas son paralelas». Es el caso de las rectas m y n , donde las proyecciones sobre el plano π son los puntos m’ y n’ respectivamente. En diédrico, las rectas pueden ser de punta (m y n ) o perpendiculares ( u y v ) al plano horizontal.
q”
α
π
• Figura 3.1b .
«Si las proyecciones de dos rectas sobre un plano se confunden y las proyecciones sobre otro plano secante son paralelas, las rectas son paralelas». O sea que, si la proyección e’ es la misma recta d’, y además e’’ es paralela a d’’, las rectas e y d son paralelas.
p”
q
3.1 Paralelismo entre rectas. Fundamentos. «Si dos rectas a y b son paralelas también lo son sus proyecciones a’ y b’ sobre un plano π cualquiera». No es cierto, en cambio, lo recíproco (condición necesaria pero no suficiente), ya que aunque sean paralelas las proyecciones, por ejemplo b’ y c’ sobre un mismo plano π de las rectas del espacio b y c , no se puede asegurar que las rectas (b y c) lo sean.
p
n’
u’
Rectas paralelas y a la vez perpendiculares al plano de proyección.
Nótese que, en general, las rectas contenidas en dos planos paralelos simplemente se cruzan. Para que además sean paralelas, deben ser paralelas sus proyecciones, como se indica en la fig. 3.3.2: a’ es paralela a b’ y a’’ es paralela a b’’, lo que significa que las rectas a y b del espacio son paralelas.
4 PERPENDICULARIDAD
γ
p
La relación de perpendicularidad puede darse entre dos rectas ; dos planos o entre una recta y un plano. En proyecciones diédricas, en contra de lo que sucede en paralelismo, dos rectas que son perpendiculares, o dos planos que son perpendiculares, no guardan relación singular entre sí; es decir, que la perpendicularidad no se conserva en el paso del espacio a la proyección.
β
α
α
a
ββ a’
b
b 90°
P
En la resolución de los problemas de perpendicularidad se han de tener en cuenta los siguientes principios geométricos.
4.1a
a
c d
b’
π
4.1 Fundamentos.
α
Teorema de las tres perpendiculares.
e
π
Recta perpendicular a un plano.
4.1b
• Figura 4.1a .
Teorema de las tres perpendiculares: «Si dos rectas son perpendiculares en el espacio (cruzándose o cortándose) y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos rectas sobre dicho plano son perpendiculares entre sí». Las rectas a y b son perpendiculares entre sí y, por consiguiente, los planos α y β que las contienen serán perpendiculares entre sí, siendo, asimismo, perpendiculares al plano π .
α2 r α2
V
«Si una recta es perpendicular a un plano, también lo es a todas las infinitas rectas contenidas en él». La recta p es perpendicular al plano α y, por tanto, también a las rectas a, b, c , d , … En definitiva, dos rectas, p y e por ejemplo, serán perpendiculares si por una de ellas se puede trazar un plano α perpendicular a la otra.
De acuerdo a lo dicho en la fig. 4.1c , el plano α será perpendicular a otro π cuando uno de ellos, por ejemplo el α , contenga a una recta ( i ) perpendicular al otro. Por consiguiente, todos los planos que pasen por la recta i serán perpendiculares a π , de ahí que existan infinitas soluciones.
P’’ P
r’’
En la fig. 4.4, para trazar por el punto P un plano a perpendicular a otro π dado, se comienza por dibujar una recta i ( i’ - i’’) perpendicular a π . Cualquier plano cuyas trazas pasen por las trazas de la recta i , esto es por I’1 e I’’2 , será perpendicular al plano π dado.
α1 P’ r’
4.2a
Haz de planos perpendicular a otro plano.
4.4 Plano perpendicular a otro.
r’’
α
P’’
4.1c
• Figura 4.1b .
α1
r’
Recta r perpendicular a un plano α.
P’
π2 α2
4.2b
• Figura 4.1c .
I’’2
«Un plano α será perpendicular a otro π cuando contenga a una recta i perpendicular al mismo».
β2
Así, si por un punto P se traza una recta r perpendicular al plano α ( fig. 4.2b), será suficiente con dibujar por P’ y P’’ las proyecciones r’ y r’’ perpendiculares a las trazas del plano.
I’’1 I’2 H’’2
V Q’’ H2
Como se ha dicho anteriormente, si una recta r es perpendicular a un plano α , será necesariamente perpendicular a todas las rectas contenidas en α y, por consiguiente, a su traza α1 ; por ello, la proyección r’ de la recta será perpendicular a la traza α1 del plano. ( Fig. 4.2a ) .
«Para que una recta sea perpendicular a un plano ha de verificarse que las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas homónimas del plano».
r
β
h’’
P’’
r”
r’’
4.2 Perpendicularidad entre recta y plano.
Idéntico razonamiento puede hacerse con respecto al plano vertical de proyección. Por tanto, si el sistema diédrico trabaja, básicamente, con los dos planos de proyección ( H y V ) puede enunciarse la siguiente conclusión:
i’’
β2
• Figura 4.1c .
«Un plano π será perpendicular a otros dos ( α , β , γ , … ) cuando lo sea a su recta intersección ( i ) , y recíprocamente». Todos los planos del haz que pasan por i son perpendiculares al plano π .
i
Q”
i’
h’’
h
Q
h’
P’
H’2
Q’
α1
π1
β1
r’ Q’ 4.3a
Plano β que pasa por un punto Q y es perpendicular a la recta r.
r’
h’ β1
I’1 4.4
Planos perpendiculares entre sí.
4.3b
4.3 Plano que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta. Análogamente, para trazar por un punto Q dado un plano α perpendicular a una recta r , bastará con trazar por las proyecciones del punto ( Q’ - Q’’ ) una horizontal h del plano β , cuya proyección h’ sea perpendicular a la proyección horizontal r’ de la recta dada (o bien una frontal f del plano β , cuya proyección vertical f’’ sea perpendicular a la proyec-
4.5 Recta perpendicular a otra. ción vertical r’’ de dicha recta). En la fig. 4.3 puede verse cómo por el punto traza vertical H 2 de la horizontal h, que pasa por el punto Q , se dibuja la traza β2 , perpendicular a r’’ ; y por el punto de corte de dicha traza con la línea de tierra la traza horizontal β 1 , perpendicular, asimismo, a la proyección horizontal r’ (paralela a h’).
De acuerdo a lo dicho en la fig. 4.1b , todas las rectas que estén contenidas en un plano perpendicular a una recta dada serán perpendiculares a ella. Por tanto, para dibujar una recta perpendicular a otra dada y que pase por un punto P , bastará determinar el punto I de intersección del plano que contiene a P y es perpendicular a la recta. La recta PI determina la perpendicular a la recta dada.
171
Como se recordó en geometría plana, hablar de distancia es referirse a la mínima distancia que existe entre dos elementos geométricos ( puntos, rectas o planos ) , es decir, hallar la verdadera magnitud del segmento que los une. Siempre, claro está, partiendo de su representación en el sistema diédrico.
A’’
V
A’’
r ’’
A
r’’
B’’
B’’
r
I
ϕ B
ϕ
Como sabemos, distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une.
Si se considera el segmento A’B’ proyección horizontal del segmento AB y por un extremo, el A en la figura, se traza la perpendicular al segmento A’B’, y sobre ella se lleva la magnitud ∆z, se consigue el punto (A) que, unido con B’, determina la distancia real entre los puntos A y B , extremos del segmento considerado. El triángulo rectángulo A’B’(A), situado en el plano H , representa el abatimiento, sobre dicho plano, del triángulo espacial coloreado en la ilustración que se acompaña.
r’
B’
(A)
r Verdadera magnitud del segmento AB
H 5.1.1
Distancia de un punto P a un plano α.
(A)
itud Verdadera magn
B’
5.2
ϕ
¬Z
α
¬Z
r’
5.1 Distancia entre dos puntos.
Si proyectamos ortogonalmente un segmento AB sobre un plano de proyección paralelo a él es evidente que obtendremos un segmento A’B’ idéntico al AB del espacio. Pero cuando el segmento es oblicuo al plano de proyección no aparece en verdadera magnitud, por tanto, se hace precisa la obtención y, consiguientemente, la utilización de algún artificio constructivo que conduzca a determinar el valor real de la distancia entre sus extremos.
A’
Ángulo de AB con el H
A’
En la fig. 5.1.1, se dibuja, a la izquierda, una perspectiva de la posición de un segmento AB en el espacio y, a su derecha, las proyecciones diédricas del mismo. Si se traza por B una paralela a la proyección horizontal A’B’, se obtiene un triángulo rectángulo de catetos A’B’ y la diferencia de cotas (∆z), con hipotenusa el segmento AB en el espacio.
d
¬Z
Dentro de este epígrafe se desarrollan aspectos que constituyen una aplicación directa de los conceptos tratados anteriormente en perpendicularidad.
5.1.1 Verdadera magnitud de un segmento por diferencia de cotas o de alejamiento entre sus extremos.
P
¬Z
5 DISTANCIAS
Verdadera magnitud de un segmento por diferencia de cotas.
J Q
d
e
(Eje de giro)
Plano paralelo al coordenado V
A’’
V
r’’1 Verd ad era ma
A
r’’
r1
O’’
B”
A’’
δ gn
itu
5.3
B’’1
r
r B1
B’’
s
B’’1
O’’
O
ϕ
A’ O’
r1’
B’1 M
B
r’ A’ O’
r1’
r’
N
d
B’1
α
B’
B’
H 5.1.2
Distancia de un punto Q a una recta r.
r’’1
r’’ d
α
Verdadera magnitud del segmento AB
5.4
Distancia entre rectas r y s, paralelas.
Giro de un segmento AB para situarlo frontalmente y poder medir su verdadera magnitud.
r
5.1.2 Verdadera magnitud de un segmento por giro del mismo, situándolo frontalmente. Si giramos el triángulo rectángulo espacial, considerado anteriormente y contenido en un plano proyectante horizontal, alrededor del eje AA’ (que contiene al punto A y es perpendicular al plano H sobre el que se proyecta el segmento AB) hasta que quede paralelo al plano vertical, el segmento AB, ahora AB1, queda situado frontalmente, es decir, paralelo al plano vertical de proyección.
172
5.2 Distancia de un punto a un plano. La distancia de un punto P a un plano α es la magnitud del segmento perpendicular al plano definido por el citado punto P y su punto intersección I con dicho plano. Esto es, la magnitud PI. 5.3 Distancia de un punto a una recta.
En esta situación la proyección del segmento AB1 sobre el plano vertical V , esto es, A’’B’’1 , estará en verdadera magnitud, siendo A’’B’’1 = AB.
La distancia de un punto Q a una recta r, viene dada por la longitud existente entre dicho punto y el punto J de corte de la recta con la perpendicular a ella trazada desde dicho punto Q.
Tanto éste como el anterior procedimiento para conseguir la verdadera magnitud de un segmento, son las formas más utilizadas para medir o llevar distancias entre elementos geométricos.
Esta distancia se consigue trazando por Q un plano α perpendicular a la recta r dada y hallando el punto intersección J de la recta r con el plano α . La magnitud QJ es la solución buscada.
5.4 Distancia entre rectas paralelas. La distancia entre dos rectas paralelas r y s viene determinada por la longitud del segmento MN, cuyos puntos extremos son los de intersección de las rectas consideradas con un plano cualquiera que cumpla la condición de ser perpendicular a dichas rectas.
A
α d
B
5.5 Distancia entre planos paralelos. La distancia entre dos planos paralelos α y β queda determinada por la longitud del segmento AB, delimitado por los puntos de intersección, de cada uno de los planos considerados, con una recta r cualquiera que sea perpendicular a ambos planos.
β
5.5
Distancia entre rectas α y β, paralelos.
1
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS Y DE RECTA CON PLANO 1. Dibuja, representando partes VISTAS y OCULTAS, la RECTA INTERSECCIÓN del plano α ( α1 - α2 ) con el plano β ( β1 - β2 ). 2. Determina la RECTA INTERSECCIÓN del plano γ ( γ1 - γ2 ) con el plano δ, PROYECTANTE VERTICAL, que contiene a la recta r. 3. Representa la RECTA común a las superficies definidas por el cuadrilátero ABCD y el triángulo PQR. Imagina que ambos polígonos son OPACOS
1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS
y de distinto color; con lo que diferenciando partes VISTAS y OCULTAS, debes dibujar cómo se antepone uno sobre el otro, en cada proyección. 4. Halla el punto I, INTERSECCIÓN del plano α (α1 - α2) con la recta r (r’-r’’). 5. Halla el punto I, INTERSECCIÓN al plano δ (δ1 - δ2) con la recta r (r’-r’’). 6. Determina el PUNTO COMÚN de la recta r con el cuadrilátero opaco ABCD. Mostrar, como siempre, partes VISTAS y OCULTAS de la recta r.
2 I’’2
52
2 3
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
3
fecha
P’’
C’’ 2”
I’’2
N”
D’’
r’’” δ2
α2
r”
β2
i’’
Q”
γ2
M’’
i”
i’’
I’’1
B’’ 1”
I’’1
I’2
A”
I’2
R”
Q’
i’
i’
β1
α1
C’
i’
r’
γ1
R’
COMENTARIO
N’
B’
M’
I’1
Al ser el plano δ (que contiene a r) proyectante vertical, las proyecciones verticales de todos sus elementos coincidirá con la traza vertical δ 2 y, por ello, coincidente con la proyección vertical de la recta común a ambos planos. Por tanto: γ Ø δ Ö i (i’ - i”).
I’1
2’
1’
D’
P’
δ1 A’
4
5 δ2
r’’
α2
I’’2
6
C”
η2
r”
2‘‘
i’’ B’’
I’’
I’’
β2 r’’
I’
i”
D’’
i’’ I’’1 1’’
I’2
A’’
I’’
PASOS 1. Se traza el plano proyectante β que contiene a la recta r.
B’
i’
I’
I’1
i’
r’
β1
2’
η1
2. α Ø β Ö i
r’
3. i Ø r Ö I
α1
r’
δ1
i’
A’
r’
I’
1’ D’
C’
VERIFICACIONES 1. Representar la RECTA RECTAINTERSECCIÓN INTERSECCIÓN del del plano plano α αcon con elel plano plano proyectante proyectante horizontal horizontal β.β. 2. Determinar el PUNTO INTERSECCIÓN INTERSECCIÓNde delalarecta rectar rcon conelelplano planodefinido definidopor porelelTRIÁNGULO TRIÁNGULO OPACO OPACO ABC. Con ello, representar partes VISTAS VISTASyyOCULTAS OCULTASde delalarecta rectar,r,debido debidoaalalaopacidad opacidaddel delplano. plano.
1
INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PROYECTANTE
2
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO DADO POR TRES PUNTOS
B’’
r’’ i’’
β2 1’’
α2 I’’
I’’2
2’’
A‘‘
i’ C’’
I’’1 I’2
i’’ C’
A’
I’1
r’ 2’
β1
1’
α1
B’
174
I’
i’
1
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS
1. Al análisis de la perspectiva que muestra el esquema, se pide: Hallar, en PROYECCIONES DIÉDRICAS, la RECTA intersección del plano α con el β, que pasa por la línea de tierra y contiene al punto A. 2. Dibuja las PROYECCIONES DIÉDRICAS de la intersección del TRIÁNGULO ABC con el CUADRILÁTERO (romboide) MNOP, diferenciando sus partes VISTAS y OCULTAS. La recta común a ambos planos
1
Plano auxiliar paralelo al
se determina mediante dos puntos. Para ello, halla la INTERSECCIÓN de un lado del triángulo con la superficie del cuadrilátero; por ejemplo: ABØ MNOP para determinar un punto de la recta intersección y, BC ØMNOP para determinar otro punto de dicha recta.
V
α2
δ2
m’’
A’’
H’’2
nº
i’’αβ
Plano definido por la LT y el punto A
P’’
curso/grupo
fecha
B’’
2
H
3
nombre y apellidos
Para facilitar la visión final de las proyecciones, es aconsejable COLOREAR cada uno de los polígonos en un tono diferente.
α
δ
2
2’’
P’’
O’’
h’
iαβ
P
m
β
4’’
A
V
h H
V’’
H’2
Q
U’’ 1’’
P’
m’ A’
i’αβ
α1
ESQUEMA DE SITUACIÓN Y ANÁLISIS
M’’
h’
H
N’’ N’’
3’’
C’’
A’’
α2
B’
1’
N’
O’
U’
m’’
A’’
δ2
(A)
H’’2
P’’
h’’
A’
i’’αβ V H
Q’ Q’’
H’2
3’ 2’
i’αβ V’
m’ P’
A’
α1
h’
M’
4’
P’
PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN COMENTARIO
αØδ Ö h β Øδ Ö m
hØ m Ö P
α Ø β Ö iαβ = PQ
C’
1º.-
AB Ø MNOP Ö punto: U (U’- U”)
2º.-
BC Ø MNOP Ö punto: V (V’- V”)
¬ ABC Ø
MNOP Ö UV (U’V’ - U”V”)
53
VERIFICACIONES 1. Dibujar la RECTA RECTA COMÚN COMÚNaalos losplanos planosηηy yθ θPROYECTANTES PROYECTANTES VERTICALES. VERTICALES. Indicar Indicar el TIPO el TIPO DE RECTA DE RECTA que resulta que resulta de lade INTERSECCIÓN. la INTERSECCIÓN.
γ con γ conotro otro δ,δparalelo , paraleloalalhorizontal horizontal dede referencia. referencia.Indicar IndicarelelTIPO TIPO DEDE RECTA RECTA resultante. resultante. 2. Determinar la RECTA RECTA INTERSECCIÓN INTERSECCIÓN del del plano plano
1
INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS PROYECTANTES VERTICALES
2
INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO HORIZONTAL
γ2 θ2
η2
δ2
H’’2 I’’2
h’’
i’’
I’2 H’2
i’ h’
η1
176
θ1
COMENTARIO
COMENTARIO
Dado que se trata de dos planos perpendiculares al plano vertical de referencia, su recta intersección será, asimismo, perpendicular a éste. Esto es: ηØθ Ö i
Al ser uno de los planos horizontal, la recta común a ambos será, igualmente, horizontal. Esto es:
γØ δ
Ö h
γ1
1
PARALELISMO DE RECTAS Y PLANOS
1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS 4. Traza por el punto Q un PLANO PARALELO a otro ε dado, paralelo, a su vez, a la LÍNEA DE TIERRA. 5. Dibuja las TRAZAS de un plano π que sea PARALELO a la recta d y que contenga a la recta r. Para ello, traza por un PUNTO CUALQUIERA de la recta r, una recta s PARALELA a la recta d. Las rectas r y s definen el plano π pedido.
1. Dados los SEGMENTOS de perfil AB y CD, se desea comprobar si son o no PARALELOS hallando sus TERCERAS PROYECCIONES. 2. Traza por el punto A, TRES RECTAS PARALELAS al plano α: una h (HORIZONTAL), paralela al H ; otra f (FRONTAL), paralela al V ; y una tercera recta r, CUALQUIERA en posición ARBITRARIA. 3. Traza, por el punto P un PLANO PARALELO a otro β dado.
2
PARALELISMO ENTRE RECTAS DE PERFIL A’’
C’’
A’’’
3
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
3
RECTAS PARALELAS A UN PLANO
fecha
PLANOS PARALELOS β2
α2
C’’’
54
2
γ2
f’’ r’’
B’’
B’’’
h’’
D’’
s’’
A’’A”
y1
y2
H’2
y1
s’ r’
y2
h’
C’
P’
y3
f’
En el ejercicio se ha hecho uso de una horizontal ( h ) contenida en el plano ( γ ) que se busca, sabiendo que sus proyecciones homónimas serán paralelas a las horizontales del plano β.
α1
COMENTARIO
COMENTARIO
El paralelismo de la tercera proyección, en rectas de perfil, verifica si los segmentos lo son. En el ejercicio: AB äCD.
Por un punto exterior a un plano pueden trazarse infinitas rectas paralelas a dicho plano: todas aquéllas que sean paralelas a cualquiera de las contenidas en él.
5 5
PARALELISMO ENTRE PLANOS PARALELOS A LA LT PARALELISMO ENTRE PLANOS PARALELOS A LA L.T. ω2
γ1 β1
PLANO PARALELO A UNA RECTA CONTENIENDO A OTRA PLANO PARALELO A UNA RECTA CONTENIENDO A OTRA R’’2
π2
T’’2
t’’ Q’’
s’’
s’’ S’2 T’’1
t’
s’
r’’
S’’2
ε2
d’’
A’’
R’’1
S’’1
R’2
T’2
ε1 s’
r’
Q’
d’
A’
ω1
h’
COMENTARIO
A’
D’
4 4
h’’
y3
A’ B’
P’’
H’’2
D’’’
R’1 T’1
COMENTARIO
COMENTARIO
En este caso no es posible emplear horizontales o frontales de plano. Se hace uso de una recta s arbitraria situada en ε, y por el punto dado Q se traza la paralela t. Las trazas del plano ω buscado pasarán por los puntos traza ( T1 -T2 ) de la recta.
Por un punto arbitrario A de la recta r se traza una paralela ( s) a la recta d. Las trazas del plano π pasarán por los puntos traza correspondientes de las rectas r y s.
π1 S’1
VERIFICACIONES 1. Determinar las PROYECCIONES proyecciones diédricas DIÉDRICAS del del segmento segmentoMN MNsabiendo sabiendoque queesesPARALELO PARALELO aa la la recta recta r.r. 2. Determinar y dibujar la RECTA RECTAINTERSECCIÓN INTERSECCIÓN planos , PARALELOS la línea tierra. dede loslos planos α yα βy, βPARALELOS a laalínea de de tierra.
1
2
PARALELISMO ENTRE RECTAS
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS PARALELOS A LA LT
π2
α2 β 22
N’’
iαβ
a
δ
I
LT
b
r”
α 11 Paralela a la LT
M’’
β1
π1
ESQUEMA DE SITUACIÓN
δ1 δ2
α2 β2
(I)
i’’αβ
r’
(b) (a)
i’αβ
α1 N’ M’
β1
COMENTARIO δ : Plano auxiliar de perfil αØ δ Ö a βØ δ Ö b
178
aØb Ö I
;
Por tanto:
α Ø β Ö iαβ
1
PERPENDICULARIDAD Y DISTANCIAS 1. Partiendo de representar los puntos: A ( 20 ,25 ,0 ), B ( 20, 35, 25 ), C ( -15, 0, 0 ) y P ( - 40, 50, 25 ), te proponemos: a) Determinar las TRAZAS del plano α definido por los puntos A, B y C. b) Dibujar la RECTA m, que pasa por P y es perpendicular al plano α . c ) Obtener el PUNTO DE INTERSECCIÓN de la recta m con el plano α.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS d) Hallar la DISTANCIA, en posición y magnitud, del punto P al plano α. Nota.- Para situar los puntos A, B, C y P dados por sus coordenadas cartesianas, considera el origen en el punto O de la LT. 2. Determina, en posición y magnitud, la MÍNIMA DISTANCIA entre el punto M y la recta r.
nº
curso/grupo
fecha
r
2
m
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
3
nombre y apellidos
P
1
2
α
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA α
C
N
I
A
M
B ESQUEMA
ESQUEMA
β2
α2
α2 r ’’
ω2
i’’ωα
I’’
ZI - ZP
m’’ B’’
P’’
O
C’ C’’
d de PI
ZI -
β1
∆z
M’’
F’’1
A’’
N’ ZP
I’
nitu mag dera
h’’
A’
m’
i’
r Ve
d
e ad
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it gn
ud
de
M
N
i’ωα
r’
B’
Ver da
P’
N’’
f”
i’’
∆
α1
COMENTARIO
z
F’1
M’
PASOS
h’
•
Intersección de recta m con el plano α : m Ø α Ö punto I.
•
Distancia PI =
45 mm.
f’
1. Por M se traza un plano α à r. 2. r Ø α Ö N.
α1
3. MN ( mínima distancia ) =
ω1
50 mm.
55
