SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA OBJETIVOS 2. Entender la utilidad de la tercera proyección, empezando a relacionarla con la vista de perfil.
1. Conocer el fundamento teórico del sistema diédrico y su aplicación para describir con exactitud las particularidades y tridimensionalidad de los objetos.
1 SISTEMA DIÉDRICO: ELEMENTOS Y NOTACIONES
3. Resolver problemas de puntas y rectas, utilizando vistas auxiliares para determinar segmentos en verdadera magnitud.
or or osteri superi ntal p rtical horizo no ve la o n pel ip la m Se del pa Semip plano ical y rt e V Plano
Como se ha indicado en la Unidad Didáctica anterior, el sistema diédrico es el sistema de representación más importante y base para el estudio y análisis de los demás. Aporta una información más detallada y analítica del objeto que ningún otro sistema de representación, pues cada detalle es resuelto por un dibujo a escala verdadera ( sin deformación lineal ni angular ) más la información de sus medidas escritas en cifras de lectura directa.
V
II
al Vertic Plano
+
V
+
Z
rante Cuad
LT
H-
I
H-
rante Cuad
rante Cuad
H+ -
V
IV
rante Cuad
lano Semip
ntal
90°
H+ V 1.3
-
Situación del plano de la tercera proyección o plano de perfil P .
Ambos planos de referencia V y H se cortan bajo un diedro recto y dividen al espacio en cuatro regiones denominadas cuadrantes:
V+
• Primer cuadrante: espacio comprendido entre el semiplano horizontal anterior ( H + ) y el semiplano vertical superior ( V + ) .
te Octan
45°
4
H
45°
VI
ST A
RF
IL
8
6
or ct se 45°
5
D
PE
45°
H
1
-
1
5
E
4
1 er bi
ctor o bise r plan Prime
2
or
A veces ( para facilitar las representaciones y mejorar la comprensión de lo que se proyecta sobre los planos de referencia ), es necesario recurrir a un tercer plano de proyección de estas características (ver lámina 45).
3
ct
Es aquel perpendicular a los dos principales de proyección. Se trata, por tanto, de un plano de perfil o plano lateral, de ahí su notación con la letra P ( fig.1.3 ).
2
se
1.3 Plano de la tercera proyección.
V
bi
Es la recta común a los planos de proyección. Se trata de la recta virtual alrededor de la cual imaginamos gira el plano horizontal ( H ) para superponerse sobre el vertical ( V ) . Su notación simplificada es LT, y se representa en línea fina con dos trazos gruesos y cortos en sus extremos o bien por una línea fina de trazos y doble punto; es lo que genéricamente puede entenderse como línea de plegamiento del plano de proyección horizontal ( H ) sobre el plano de proyección vertical ( V ) .
I 2º
1.2 Línea de tierra ( LT).
II 3
• Segundo cuadrante: espacio comprendido en-
tre el semiplano horizontal posterior ( H ) y el semiplano vertical superior ( V + ) . • Tercer cuadrante: espacio delimitado por el semiplano horizontal posterior H - y el semiplano vertical inferior ( V - ) . • Cuarto cuadrante: espacio delimitado por el semiplano horizontal H + y el vertical V -.
l orizonta Plano H
Y
rior l ante rizonta o h o lan Semip rior l a infe vertic
Situación en el espacio de los planos de proyección H y V .
1.1 y 1.2
X 90°
orizo Plano H
III
En este sistema se utiliza la proyección ortogonal y sus elementos principales son los llamados planos de proyección , o planos de referencia fundamentales: el plano Horizontal ( H ), que se supone en posición horizontal, y el plano Vertical ( V ) , que es perpendicular al H .
P
O
90°
1.1 Planos de proyección.
90° Pl a te no r d pr cer e l o a a ( p yec er ci fil ón )
ector no bis 2º pla
H+ 8
6
7
III
IV
7
V 1.4
-
Perspectiva de los planos que dividen al espacio en ocho octantes. A la derecha, su situación en el espacio, vistos de perfil. Nótese que el observador se considera, siempre, situado en el primer diedro.
1.4 Planos bisectores. Son dos planos, perpendiculares entre sí, que dividen a cada diedro en dos partes iguales, resultando el espacio parcelado en ocho diedros u octantes. Todos los puntos contenidos en estos planos equidistan de los planos de proyección horizontal H y vertical V . 1.5 Sistema de coordenadas. Antes de intentar la solución gráfica de un problema, es necesario describir la posición relativas de los datos. Uno de los sistemas más utili-
zados es el de las coordenadas cartesianas, donde la localización de cualquier punto puede hacerse si se describe su posición con respecto a los tres ejes X, Y, Z ( fig.1.3 ) . El origen se sitúa en un punto de la LT, el eje X (coordenada desplazamiento) se extiende con su parte positiva hacia la derecha, el eje Y (coordenada alejamiento), perpendicularmente al anterior y con su parte positiva hacia el observador y, el eje Z (coordenada altura o cota), perpendicular a los anteriores y con sentido positivo hacia arriba.
1.6 Convencionalismos y notaciones. Los puntos se designan por letras mayúsculas del alfabeto latino. Así, por ejemplo, un punto A viene dado por sus proyecciones ortogonales A’, A’’ y A’’’ sobre el plano horizontal ( H ) , el plano vertical ( V ) y el plano perfil ( P ) respectivamente. Asimismo, las rectas se designan por letras minúsculas del alfabeto latino. Así, una recta r del espacio viene dada por sus proyecciones r’, r’’ y r ’’’ sobre los planos de proyección H , V y P respectivamente.
145
2 EL PUNTO Cualquier objeto tridimensional está formado por un conjunto de puntos. El punto no tiene dimensiones: representa una posición específica en el espacio, así como el extremo de una línea o la intersección de dos líneas. Gráficamente, la posición del punto se indica mediante una cruz o por un círculo diminuto que visualmente le ubica en su centro.
PASO
1
PASO
2
al Vertic Plano
V
+
A”
YA
H-
A
H-
A”
A”
+
V
Plano del papel
V
al Vertic Plano
ZA Z
Z
Z -Y
2.1 Representación. Si imaginamos un punto A en el espacio ( fig. 2.1a ) la proyección ortogonal sobre el plano horizontal H es otro punto A’. Se comprende que cualquier otro punto de la recta AA’ tiene la misma proyección sobre H , lo que nos indica que la proyección A’ no es suficiente para representar al punto A del espacio. Para individualizar la representación del punto A se proyecta sobre el plano vertical V , obteniendo A’’. Estas dos proyecciones A’ y A’’ situadas en H y V , respectivamente, representan el punto A en el espacio. Esta representación es reversible, esto es, si se conocen las proyecciones A’ y A’’, el punto A del espacio estaría en la intersección de las perpendiculares a H y V , por A’ y A’’, respectivamente. Para pasar de las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano, hacemos coincidir el plano horizontal con el plano vertical –o plano del dibujo–, y todo lo que está situado sobre el horizontal H se superpone sobre el vertical haciéndole girar, alrededor de la recta intersección de ambos ( LT ). La línea de referencia que liga la proyección A’ con A’’, sobre el papel, es perpendicular a la LT. Todo punto del espacio, tal como el A, puede situarse por medio de las tres coordenadas cartesianas ( XA , YA , ZA ) referidas al triedro de ejes con origen en un punto de la LT, siendo: XA : la coordenada desplazamiento . Con referencia a un plano de perfil que pasa por el origen de coordenadas. YA : la coordenada alejamiento. Distancia del punto A al plano vertical ( AA’’). Alejamientos positivos son los que ocupan aquellos puntos situados por delante del plano vertical V . ZA : la coordenada cota. Distancia del punto A al plano horizontal (AA’). Se considera positiva, cuando el punto está situado por encima del plano horizontal H . 2.2 Posiciones de los puntos en el espacio. Las infinitas posiciones que un punto puede tener en el espacio respecto a los planos de proyección pueden reducirse a 17 posiciones distintas. El análisis y estudio de todas ellas ( lámina 44) amplía la visualización espacial y ofrece la base de orientación de los objetos en el espacio real, dando una clara interpretación en la pantalla visual del entendimiento. El punto A , situado en el primer cuadrante, caracteriza la posición de todos los puntos ubicados en este diedro: su proyección horizontal A’ siempre se encuentra por debajo de la LT, mientras que la proyección vertical A’’ se sitúa por encima de ésta. Por tanto, todos los puntos
146
X
O
ZA
Y
V
X A A’
X
O
-X
+
Plano H
l orizonta
Y
A’
-Z
-
2.1a
H+
-
V
El punto C , perteneciente al tercer cuadrante, tiene negativos su cota y su alejamiento. Por eso su proyección C’’ queda por debajo de la LT ( zona perteneciente al semiplano V - ), y su proyección horizontal C’ queda por encima de la LT ( zona perteneciente al semiplano H - ) .
H-
V
V
Plano del papel (V )
C’
A B’
B’’
B’
A’’
F’’
B’’
E”
I
F’ D’
C
A’
III
V
-
C’’ D’’
IV 2.2a
Finalmente, el punto E pertenece al plano horizontal y está situado sobre el semiplano H +. El punto F en el semiplano vertical V +, tiene alejamiento cero.
Además de los planos fundamentales de proyección H y V , existen dos planos que tienen interés en el sistema diédrico: los llamados planos bisectores ( fig. 2.2b) , que dividen a los cuadrantes en diedros de 45°. Todos aquellos puntos situados en ellos equidistan de los planos H y V y, por tanto, tendrán, en valor absoluto, igual cota que alejamiento. En la fig. 2.2b se han representado los puntos M y R situados en el primer plano bisector y los puntos N y S en el segundo bisector.
Representación de un punto A(XA,YA,ZA).
F F’’
A’’
+
C’
El punto D, del cuarto cuadrante, tiene cota negativa (D’’ queda por debajo de la LT) y, por tener alejamiento positivo, su proyección D’ se sitúa por debajo de la LT, es decir, en semiplano horizontal H + .
En resumen, todos los puntos situados en el I y el II cuadrante tienen su proyección vertical por encima de la LT (cota positiva) y los del III y IV cuadrante por debajo de la LT (cota negativa). Asimismo, los puntos del I y IV cuadrante tienen su proyección horizontal por delante de la LT (alejamiento positivo) y los del II y III por detrás de la LT (alejamiento negativo).
2.1b
al Vertic Plano
B
A’
XA
situados en el primer cuadrante tienen alejamiento y cota positivos ( figs. 2.1b y 2.2a ) .
II
YA
Y ntal Horizo Plano
Secuencia imaginaria para la representación, sobre el plano del papel de un punto A.
Cuando el punto, caso del B, se encuentra en el segundo cuadrante, la cota es positiva pero su alejamiento negativo ( fig. 2.2a): B’’ aparecerá por encima de la LT pero la proyección B’ cae sobre H - ( alejamiento negativo ) por lo que su representación diédrica se sitúa también por encima de la línea de tierra.
X
O
H
F’ D’
+
H
C”
A’ D’’
D
r plan Prime or bisect
al Vertic Plano
o
V
Plano del papel (V )
M’’
Vs
M
R’
M’’
N’’
Ha
E’
Perspectiva y representación diédrica de otros puntos del espacio.
no do pla Segunor t c bise
N
E’’
E E’’ l orizonta n la P oH
R’
N’ N’’ =
=
=
=
S’ M’
Ha
l orizonta Plano H
S’’
R
Vi 2.2b
R’’
S’ S’’
S
R’’
M’
Perspectiva y representación diédrica de puntos situados en los planos bisectores.
3 LA RECTA Geométricamente una recta queda definida mediante dos de sus puntos.
II
LEYENDA
V+
R2 R’’2
r : AB R1 : r Ø H R2 : r ØV I : r Ø 1er B J : r Ø 2ºB
3.1 Representación. En el sistema diédrico una recta r del espacio vendrá dada, al menos, por dos proyecciones: la horizontal r ’ y la vertical r’’. En ocasiones, será conveniente y necesario representar la tercera proyección r’’’ (sobre un plano de perfil ), como recurso para definir con claridad su porción en el espacio. En la fig. 3 se ha dibujado la recta r dada por los puntos A y B situados en el primer y cuarto cuadrante respectivamente.
A’’
H-
I
r’
III
V-
Todo punto perteneciente a una recta, tiene sus proyecciones sobre las proyecciones correspondientes de la recta.
A’
H+
B
J’ J’’
V+
A’
IV
I
II
Cuadrante
Cuadrante
Cuadrante
P2
q’’ (M)
h’’ C
H-
A
q
(p) (N)
f
B
h
I
Plano de perfil
M
p’’
P
p
(P1)
N
p’
V-
f’
F1
h’
H+
P1
q’
Recta horizontal
Recta frontal
Recta que pasa por LT
Recta de perfil
P’’2
Punto intersección de la recta con el 2º bisector: h Ø 2ºB
3.4 Puntos de intersección de la recta con los planos bisectores.
B’’
(M) C’’
H‘‘2
f’’
A’’
h‘‘
(p)
q’’
(N)
I’ I’’ F’’1
Por análogo razonamiento, el punto I ( I’ - I’’) es el de intersección de la recta con el primer bisector, y queda determinado trazando rectas que partiendo de los puntos de corte de las proyecciones con la línea de tierra, formen ángulos iguales con ellas, como se aprecia en la fig. 3 .
(P1)
M’’
p’’ N’’ P’2 P’’1
I’1 I’’1
H’2
M’ f Ø2ºB
h’
q’
f’ J’ J”
F’1
N’ C’
A’
Entre las posiciones más notables se encuentran las siguientes rectas:
II 3.5
I
p’
B’
3.5 Posiciones más significativas.
Horizontal h: paralela al plano horizontal H . Frontal f: paralela al plano vertical V . Recta que pasa por la línea de tierra. De perfil: contenida en el plano de perfil P .
I’
R’1
B’
f’’
H2
En diédrico, supuestos opacos los planos de proyección H y V , se representa en línea continua el segmento de recta perteneciente al primer diedro, el resto se dibuja con línea discontinua.
• • • •
R’2
=
B’’
R1 R’1
r’
=
R’’1
R’2
Perspectiva y representación diédrica de una recta r cualquiera, dada por dos puntos A y B situados en el primer y cuarto cuadrante respectivamente.
3
El punto de intersección J ( J’ - J ’’) de la recta con el segundo plano bisector ( fig. 3 ) , resulta ser el punto común a sus dos proyecciones diédricas: punto con igual cota que alejamiento, en valor absoluto.
I’’
IV
3.3 Trazas y cuadrantes de paso: partes vistas y ocultas de una recta.
Para determinar los puntos traza, se secuencian las dos proyecciones principales de la recta hasta sus puntos de corte con la línea de tierra: en esa vertical se localizan dichos puntos ( fig. 3 ).
B’
B’’
R’’2
A’’
r
R’’1
3.2 Criterio de pertenencia de punto a recta.
Se llaman trazas de una recta a los puntos de intersección de dicha recta con los planos de proyección. Si la recta se designa por r (r’ - r’’), llamamos R 1 ( R’1 - R’’1 ) y R 2 ( R’2 - R’’2 ) a sus puntos traza con el plano horizontal y vertical, respectivamente. Lógicamente una recta tiene como máximo dos trazas, puesto que en el mejor de los casos pasará por tres cuadrantes. Si sólo tuviera una traza, por ser paralela a uno de los planos de proyección, pasaría únicamente por dos cuadrantes. También puede suceder que la recta no tenga trazas: es el caso de todas las paralelas a la línea de tierra.
A
r’’
r ’’
Plano del papel
V
IV
I
III
P’1
I
Características y representación de una recta horizontal, de una recta frontal, de una recta que pasa por la línea de tierra y de una recta de perfil.
147
4 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Si dos rectas se cortan, tienen un punto en común y, por tanto, las proyecciones diédricas de dicho punto se encuentran ligadas, lógicamente, por la misma línea de referencia: es el caso de las rectas r y s (fig. 4.1) que se cortan en el punto P cuya línea de referencia hace corresponder la proyección vertical P’’ con la horizontal P’ y viceversa. Cuando dos rectas o dos segmentos tales como AB y CD no se cortan ( fig. 4.2 ) es, obviamente porque se cruzan. Cuando esto sucede, los puntos comunes de las proyecciones homónimas no se encuentran en la misma línea de referencia. Así, los puntos P y Q que parecen coincidir en la proyección vertical ( P’’ ≡ Q’’ ) no tienen correspondencia única sobre la proyección horizontal. Análogamente sucede al secuenciar los puntos M y N, que siendo coincidentes sobre la proyección horizontal no lo son sobre la correspondiente proyección vertical, como se aprecia en la fig. 4.2 .
dibujo Plano del
5 VERDADERA MAGNITUD DE UN SEGMENTO: VISTA AUXILIAR Un segmento aparecerá con su longitud real en una vista, si es paralelo al plano de proyección. La confirmación del paralelismo debe obtenerse si se observa la imaginaria línea de tierra –o línea de plegamiento– paralela a la vista o proyección adjunta: es el caso de un segmento frontal con su proyección horizontal paralela a la línea de tierra, o el de un segmento horizontal con su proyección vertical paralela a la línea de tierra considerada.
N
ical Plano vert
V
ue
vo
A’’
z
pl
an
o
ve
A
rt
ic
al
A’’1
V 11
B’’
Pueden emplearse varias técnicas para encontrar la verdadera magnitud de un segmento oblicuo. Aqui exponemos en cuatro pasos, el método de la vista auxiliar también denominado método de cambio de plano de proyección.
B
B’’1 z
B’
En el ejemplo que se acompaña se conocen las proyecciones diédricas del segmento AB , oblicuo a los planos de proyección verticales H y V , del que se precisa determinar su verdadera longitud.
5.1
Perspectiva del cambio de plano vertical que convierte al segmento AB en frontal a éste.
ri zo n ta P la n o h o
A’
A’’
l
H
A’’
P’’ PASO 1
s’’
r’’
V H
r’ s’ P’
4.1
zA
Por los extremos del segmento A’B’ se lanzan líneas de referencia perpendiculares a la nueva línea de tierra definida por la proyección auxiliar ( H -V 1 ), mientras en la proyección vertical de partida ( H -V ) se miden las cotas zA y zB de dichos puntos.
V H B’
zB B’
A’
H
Rectas r y s que se cortan.
B’’
V H
A’
A’’
V1
A’’
H
V1
z
A’’
zA
D’’ M’’
P’’ Q’’
N’’
B’’
B’’
zB
V H
B’
B’
PASO 3 Se trasladan las distancias zA y z B a la vista auxiliar, medidas desde el nuevo plano de proyección ( H -V 1 ), obteniendo las nuevas proyecciones A’’1 y B’’1 respectivamente.
M’ N’
Q’
A’
D’
V1
A’’1
AB de tud gni
A’
H
zA
H Rectas AB y CD que se cruzan.
La magnitud A’’1 B’’1 es la verdadera longitud del segmento AB dado.
A’
B’’1
ma
C’
PASO 4
ra
P’
B’’1
ade
B’
zB
Ver d
V H
4.2
B’’
V H
C’’
148
PASO 2
B’’
Dibujadas las proyecciones diédricas del segmento AB, se traza una nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal A’B’, con el propósito de dibujar una proyección auxiliar que situe al segmento del espacio paralelo al nuevo plano de proyección V 1 .
V1
z A’’1
5.2
Pasos en la obtención de la verdadera magnitud del segmento AB, aplicando el método de la vista auxiliar.
1
REPRESENTACIÓN Y ALFABETO DEL PUNTO Representa, en PROYECCIONES DIÉDRICAS, los puntos A, B, C, D... y R, dados por sus coordenadas X, Y, Z (desplazamiento, alejamiento y cota, respectivamente), indicando en el cuadro inferior su POSICIÓN ESPACIAL con relación a los ELEMENTOS PRINCIPALES que configuran el Sistema Diédrico: planos de proyección H y V ; planos bisectores;
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA
línea de tierra; y plano de perfil que pasa por el origen de coordenadas, situado en el punto medio de la línea de tierra.
3
44
nombre y apellidos
A modo de ejemplo, se ubica la POSICIÓN del punto A y se comenta la SITUACIÓN de los puntos A y L.
D’’
B’’
2
nº
curso/grupo
fecha
N’’
I’ J‘ F’’
B’
M’
H’ H’’ G’
C’
J’’
A’’ =
Z
C’’
P’ P”
L”
X
D’
Q’
O Y
= E’ N’
M’’
I’’
F’
K’’ R’ R’’
G’’ L’ A’
Q’’
E’’ K’
PUNTO
SITUACIÓN
PUNTO
SITUACIÓN
A (-120, 60, 25 )
Primer cuadrante y por debajo del primer plano bisector
J ( 15, -45, 30 )
Segundo cuadrante y por debajo del segundo plano bisector
B (-105, -30, 50 )
Segundo cuadrante y por encima del segundo plano bisector
K ( 30, 65, -44 )
Cuarto cuadrante y por encima del segundo plano bisector
C ( - 90, -30,
Semiplano horizontal posterior (H -)
L ( 45, 55,
Semiplano horizontal anterior (H +)
Semiplano vertical superior (V +)
M ( 60, -40, -40 )
Tercer cuadrante y primer plano bisector
E ( - 60, 25, - 60 )
Cuarto cuadrante y por debajo del segundo plano bisector
N ( 75, 30, 50 )
Primer cuadrante y por encima del primer plano bisector
F ( - 45, 40, 40 )
Primer cuadrante y primer plano bisector
P ( 90,
0,
En la línea de tierra
G ( - 30, - 32, -50 )
Tercer cuadrante y por debajo del primer plano bisector
Q ( 105,
0, -55 )
H ( - 15, - 35, 35 )
Segundo cuadrante y segundo plano bisector
R ( 120, 45, -45 )
I (
Tercer cuadrante y por encima del primer plano bisector
D ( - 75,
0)
0, 50 )
0, - 50, - 40 )
0)
0)
Semiplano vertical inferior (V -) Cuarto cuadrante y segundo plano bisector
VERIFICACIÓN PV
Considerando el punto A (40, (40, y, y,z), z), perteneciente perteneciente al al PRIMER PRIMERPLANO PLANOBISECTOR, BISECTOR, distante distante 8080 mm. mm. de la línea de tierra y situado situado en en el el PRIMER PRIMERCUADRANTE, CUADRANTE, sese pide: pide:
V+ se
ct
or
a) Trazar las PROYECCIONES PROYECCIONESDIÉDRICAS diédricas del delpunto puntoA. A. C
c ) Indicar las PROYECCIONES PROYECCIONESde deun unpunto puntoC,C,simétrico simétricodedeAA, , respecto respecto alal PLANO PLANO VERTICAL. VERTICAL.
=
=
d) Indicar las PROYECCIONES PROYECCIONESde deun unpunto puntoD,D,simétrico simétricodedeA,Arespecto , respecto alal PLANO PLANO HORIZONTAL. HORIZONTAL.
A
1
er
bi
b) Indicar las PROYECCIONES PROYECCIONESde deun unpunto puntoB,B,simétrico simétricodedeAA, , respecto respecto alal SEGUNDO SEGUNDO BISECTOR. BISECTOR.
90°
=
H
45°
LT
–
H+
PH
=
V+
B
D 2º bi se ct or
V– CROQUIS DE INTERPRETACIÓN A” B’ C’ C”
1
er
80 / 2
bi
se
ct
or
80
A’’’
Z
45º X O
80 /
2
Y
A’ B” D’ D”
150
H+
1
POSICIONES DE UN SEGMENTO Un segmento AB puede tomar, respecto a los PLANOS DE PROYECCIÓN H , V y P , tres claras posiciones: ser HORIZONTAL, ser VERTICAL o ser OBLICUO. La propuesta consiste en que dibujes las proyecciones diédricas –ALZADO, PLANTA y LATERAL IZQUIERDO– del segmento AB, en cada una de las SEIS SITUACIONES que muestran las ilustraciones en PERSPECTIVA CABALLERA.
nombre y apellidos
Asimismo, y sobre las vistas en que se produzca, indica dónde el segmento se proyecta en su VERDADERA MAGNITUD.
nº
2
SEGMENTO VERTICAL A”
A’’’
A” B” A” B” A
v.m.
A” ’
A” ’
P B”’
B”
A’ B’
3
A’ B’
4 B”
A’’
A”’
B’ B’
SEGMENTO DE PERFIL A”
V
B”’
B’ ’’
V P H A’
A’
6
SEGMENTO FRONTAL A”’
P
B’
A’’
V
A
B”’
B”
V P H
B’’
P
B”
B”’
V P H
B” ’
B
B’
B’
H
A” ’
B”
B’ ’’
B
A’
A’ B’
A”
A”
v.m
A” ’
B’
SEGMENTO OBLICUO
.
A’’
B”’
A’
B’ ’’
B
H
B’
A’’
B”
V P H A’
v.m .
V
P
B”
B’
A
A’ ’’
P
B
H
.
A
v.m
A
A” ’
B’
A”’
A”
B”
A”
5
H
SEGMENTO HORIZONTAL
V
A’
B”
V P H
B” ’
A’
H
v.m.
A’
B” ’
B
A”’
P
B
V P H
B”
fecha
SEGMENTO DE PUNTA
V
A” A
curso/grupo
3
v.m.
V
v.m.
1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA
En todos los ejercicios se parte de conocer la SITUACIÓN del punto A, EXTREMO del SEGMENTO considerado. El otro extremo B se dimensionará, en cada caso, estableciendo la correcta correspondencia entre vistas.
45
2
H
A’
VERIFICACIONES 1. Dibujar las VISTAS VISTAS DIÉDRICAS DIÉDRICASdel delsegmento segmentoAB, AB,paralelo paraleloa alos losplanos planosdedePROYECCIÓN PROYECCIÓN VERTICAL VERTICAL y HORIZONTAL, y HORIZONTAL, esto es, es, aa la la LÍNEA LÍNEADE DETIERRA. TIERRA. ¿Sobre ¿Sobre qué qué PROYECCIONES PROYECCIONES se puede se puede obtener obtener su LONGITUD su LONGITUD REAL? REAL?
A”
V
A’’’ B’’’
B”
v.m.
B’’
A’’
A
A’
H
B
A’ ’’
P B’ ’’
V P H
B’
v.m.
A’
B’
2. Conocidas las las PROYECCIONES PROYECCIONESo oVISTAS VISTAS PRINCIPALES PRINCIPALES del del segmento segmento de perfil de perfil PQ,PQ, se pide: se pide: a) Situar las las PROYECCIONES PROYECCIONESde desusupunto puntomedio medioM. M. b) Determinar la PROYECCIÓN PROYECCIÓN HORIZONTAL HORIZONTAL del del punto punto N.N. c ) Medir la VERDADERA VERDADERA MAGNITUD MAGNITUD del del segmento segmento PQPQ dado. dado.
HH y Vy. V . d) Determinar los ÁNGULOS ÁNGULOSque queel elsegmento segmentoforma formacon conlos losPLANOS PLANOSDE DE PROYECCIÓN PROYECCIÓN
P’’
P’’’ N’’’
N’’
PQ de ud t i gn ma era d rda Ve
60º
M’’’
M’’ Q’’’
Q’’
30º
V P
H Q’
M’
COMENTARIO N’
a).- El punto medio M del segmento, siempre está situado en el punto medio de sus correspondientes proyecciones. c).- Verdadera magnitud del segmento PQ = 50 mm.
P’
152
d).- Ángulo de PQ con el plano H : 30º y, con el plano V : 60º.
1
REPRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE UNA RECTA 1. Dada la recta r por dos de sus puntos: A (0, -10, 75) y B (105, 20, -30), te proponemos:
2. Conocida la POSICIÓN del punto M: a) Dibuja, señalando partes VISTAS y OCULTAS, las PROYECCIONES de la RECTA de perfil p, sabiendo que pasa por M y forma 45º con el plano H . La recta tienen sus PUNTOS TRAZA sobre los SEMI+ + PLANOS H y V .
a) Determina los PUNTOS TRAZA de la RECTA, e indica las partes VISTAS y OCULTAS de la misma, al suponer opacos los PLANOS DE PROYECCIÓN. b) Especifica los CUADRANTES y OCTANTES que atraviesa.
3
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
b) Dibuja la RECTA HORIZONTAl que pasa por M y atraviesa al + SEMIPLANO V hacia la derecha, bajo un ÁNGULO de 30º.
c ) Señala los PUNTOS DE INTERSECCIÓN con los planos bisectores.
1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA
2
2
ESQUEMA ( VISTO EN PERFIL ) DE LA SITUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO
r
V+ A
II
I se
ct
I
er
se
bi
bi or
H
ct
R2
2º
4
or
2
3
1
1
A”
R1
-
H+
45˚
5
J
6
8
7
III
R”2
P”2
IV
V
M”
h’’
B
(M)
H”2
-
p’’
(p)
r” I” A’
R’2
O
=
α α
45°
P’2 P”1
R”1
30°
=
r’
I’
J’ J”
R’1
B’ M’
h’
B”
p’ OCTANTE
3
∞
2
1
8
7
∞ P’1
CUADRANTE
II
∞
I
IV
COMENTARIO Intersección de la recta r con los planos bisectores:
•
Con el primer plano bisector: Punto I ( I’ - I’’ ).
•
Con el segundo plano bisector: Punto J ( J’ - J’’).
∞
H’2
(P1 )
46
VERIFICACIONES 1. Dibujar, por los los puntos puntosseñalados señaladosyysegún segúnmuestra muestra lala PERSPECTIVA PERSPECTIVA adjunta, adjunta, las PROYECCIONES las PROYECCIONES DIÉDRICAS DIÉDRICAS PRINCIPALES PRINCIPALES de las RECTAS de indicadas, las RECTAS determinando indicadas, sus determinando PUNTOS TRAZA sus PUNTOS y especificando TRAZA ypartes especificando VISTAS ypartes OCULTAS VISTAS de y lasOCULTAS mismas. de las mismas.
2. Dada una RECTA RECTA de de perfil perfil ppdefinida definidapor porlos lospuntos puntosAAyyB,B,sesepide: pide: a) Hallar los PUNTOS TRAZA TRAZA de de la la RECTA RECTA y, y, con con ello, ello, representar sus partes VISTAS VISTASyyOCULTAS. OCULTAS. b) Determinar la VERDADERA VERDADERA MAGNITUD, MAGNITUD,en enmilímetros, milímetros,del delsegmento segmentoAB. AB. c ) Indicar los ÁNGULOS ÁNGULOS que que la la RECTA recta forma formacon conlos losPLANOS PLANOSHORIZONTAL HORIZONTAL y VERTICAL, VERTICAL, respectivamente. respectivamente.
V
t D
n
m’’ A
m
R2 r’’ B
n”
C
r m’ N1 n’
Paralela a la LT
T1
t’
r’
Vertical
Situada en el V
De punta
H
p”
B’’ B’’
m’’
A’’
n’’
N’’1
A’’
A’’
(A) D’’ D’’
β t ’’
r’’ R’’ 2 C’’ C”
R’2
α
t’ T’1 T’’1
(P1)
P’’1 P’2
D’
B’
B’
m’ A’
n’ B’ N’1 B’
r’
P’1 B’’
B’’ (B) C’ C’
(P2) P’’
COMENTARIO A’
A’
AB = (A)(B) = 70 mm.
β
α: ángulo que forma la recta p con el plano H. β: ángulo que forma la recta p con el plano V : 90 - α
154
p’
1
POSICIONES PARTICULARES Y RELATIVAS ENTRE RECTAS 1. Dibuja, a la vista de la perspectiva adjunta, las PROYECCIONES DIÉDRICAS de una recta r contenida en el PRIMER PLANO BISECTOR. 2. Dibuja las PROYECCIONES de una recta s, contenida en el 2º BISECTOR. 3. Representa las PROYECCIONES DIÉDRICAS de una recta p perpendicular al PRIMER PLANO BISECTOR, con punto traza horizontal P1 (P’1 - P’’ 1 ). 4. Representa las PROYECCIONES DIÉDRICAS de una recta q perpendicular al SEGUNDO PLANO BISECTOR, con punto traza vertical Q2 (Q’2 - Q’’2 ).
1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA
5. Las PROYECCIONES DIÉDRICAS que se acompañan representan dos rectas a y b que se cortan. Determina el PUNTO DE ENCUENTRO y traza la PROYECCIÓN HORIZONTAL de la recta a. 6. La figura representa el cruce de DOS TUBERÍAS CILÍNDRICAS. Completa la figura teniendo en cuenta la VISIBILIDAD de las tuberías al CRUZARSE. Representa las partes VISTAS con TRAZO CONTINUO y OMITE las partes o zonas OCULTAS.
2
RECTA CONTENIDA EN EL PRIMER PLANO BISECTOR
r’’
M
I
H
=
s’
s’ s’’
IV
r’
PERSPECTIVA DE SITUACIÓN
III
4
N’ N’’
N’’
H+ =
+
RECTA PERPENDICULAR AL PRIMER BISECTOR
=
α
r’
M’
3
fecha
V+
N’
α
=
V
curso/grupo
s’’
=
r
-
nº
s =
r’’
III
nombre y apellidos
RECTA CONTENIDA EN EL SEGUNDO PLANO BISECTOR
N
M’’
=
H-
3
II
M’’
V+
2
I
5
RECTA PERPENDICULAR AL SEGUNDO BISECTOR
PERSPECTIVA DE SITUACIÓN
M’
II
6
RECTAS QUE SE CORTAN
IV
CRUCE DE TUBERÍAS: VISIBILIDAD
A’’
q’’ A’’
Q’21 Q’’2 Q’’
P”2
C’’ D’’ I’’ B’’
p’’
e’’
b’’ a’’ P’’11 P’2
Q’ Q” 2 1 Q’2
a’
e’
p’
b’ q’
I’
P’1
D’ A’ B’ C’
A’
47
VERIFICACIONES Dibujar las las PROYECCIONES PROYECCIONES DIÉDRICAS DIÉDRICASde delas lasRECTAS RECTASque queaacontinuación continuaciónse se especifican, especifican, indicando indicando sus partes VISTAS VISTAS yy OCULTAS OCULTAS yy explicando explicando sus PARTICULARIDADES PARTICULARIDADESy y SITUACIÓN SITUACIÓN enen el el espacio. espacio. 1. Recta PARALELA PARALELAyypor porENCIMA ENCIMA del del PRIMER PRIMER PLANO PLANO BISECTOR, BISECTOR, de PROYECCIÓN de PROYECCIÓN HORIZONTAL HORIZONTAL a’. a’. 2. Recta PARALELA PARALELAyypor porDEBAJO DEBAJO del del PRIMER PRIMER PLANO PLANO BISECTOR, BISECTOR, de PROYECCIÓN de PROYECCIÓN VERTICAL VERTICAL b’’. b’’. 3. Recta PARALELA PARALELAyypor porENCIMA ENCIMA del del SEGUNDO SEGUNDO PLANO PLANO BISECTOR, BISECTOR, de PROYECCIÓN de PROYECCIÓN VERTICAL VERTICAL c’’ y PUNTO c’’ y PUNTO TRAZATRAZA VERTICAL VERTICAL C2 (C’2 - C’’ C2 ).(C’2 - C’’2 ). 4. Recta PARALELA PARALELAyypor porDEBAJO DEBAJO del del SEGUNDO SEGUNDO PLANO PLANO BISECTOR, BISECTOR, de PROYECCIÓN de PROYECCIÓN HORIZONTAL HORIZONTAL d’ y PUNTO d’ y PUNTO TRAZATRAZA VERTICAL VERTICAL D2 (D’2 -D D’’ ). 2 - D’’2 ). 22 (D’
1
RECTA POR ENCIMA DEL PRIMER BISECTOR
2
RECTA POR DEBAJO DEL PRIMER BISECTOR
a”
A”2
b”
A’1
α
β A’2
α
B”1
B’2
B’1
B” 2
A”1
β
a’ b’
I
3
II
I
III
RECTA POR ENCIMA DEL SEGUNDO BISECTOR
4
IV
RECTA POR DEBAJO DEL SEGUNDO BISECTOR
D 1’
C” 2
d’
c”
γ C’2
C”1
γ
D”1
c’
δ δ
156
I
D’2
d” D”2
C’1
II
III
III
II
III
IV
1
VERDADERA MAGNITUD DE UN SEGMENTO: MÉTODO DE VISTAS AUXILIARES Dado el segmento AB mediante sus PROYECCIONES DIÉDRICAS, te proponemos utilices el «Método de las vistas auxiliares» para disponer el segmento en OTRAS POSICIONES más favorables. 1. Cambia el planoV por otro V1 para convertir el segmento AB en FRONTAL respecto a este último y poder medir su VERDADERA DIMENSIÓN sobre la nueva proyección vertical. Después, y bajo esta última posición, cambia el PLANO HORIZONTAL para convertir
VISTAS AUXILIARES DE UN SEGMENTO OBLICUO PARA SITUARLE EN POSICIÓN VERTICAL
2
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
VISTA AUXILIAR DE UN SEGMENTO OBLICUO PARA SITUARLE EN POSICIÓN HORIZONTAL
B’1
YB
Vistas del segmento horizontal respecto al nuevo plano horizontal de referencia H1 (la nueva línea de tierra será paralela a la proyección vertical A”B”del segmento).
AB
ZB
gn ma era
A’1
A’’1
V
ad
V H
Vistas del segmnto oblicuo a los planos de proyección H y V .
Ve rd
V H
itu
DATOS ZA
H1
dd e
A’’
A’
48
B’’
B’’
A’’
3
B’’ YA
A’
ZA
B’
B’ A’’
rd Ve ade
H V1
ra ma
H V1
DATOS Vistas del segmento oblicuo a los planos de proyección H y V .
PASO 1
gn
Vistas del segmento frontal respecto al nuevo plano vertical de referencia V1 .
itu
V V H H
ZB
1
la recta en VERTICAL. 2. Siguiendo análogo proceso al anterior, convierte al segmento dado en HORIZONTAL cambiando el PLANO HORIZONTAL H : el segmento tendrá MAGNITUD REAL en la nueva proyección horizontal. Nota.- Comprueba que obtienes la MISMA DIMENSIÓN que en el apartado anterior e indica NUMÉRICAMENTE la longitud del mismo.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA
2
e dd
YA
AB
YB
A’ B’’1
PASO 2
V1
H1
Vistas del segmento vertical respecto al nuevo plano horizontal de referencia H1 (la nueva línea de tierra será perpendicular a la proyección vertical del segmento A’’1 B’’1 ).
B’
A’1 B’1
VERDADERA MAGNITUD DEL SEGMENTO AB = 50 mm.
