SISTEMA DIÉDRICO. EL PLANO OBJETIVOS 3. Entender que muchos problemas espaciales se resuelven construyendo vistas auxiliares de planos para obtener su verdadera magnitud.
2. Conocer y operar con rectas horizontales, frontales, de máxima pendiente e inclinación y de perfil, así como con planos proyectantes.
1. Conocer las formas en que puede venir definido un plano en el espacio y su aplicación en la representación diédrica.
1 EL PLANO
• • • •
Geométricamente un plano puede venir determinado por: Fig. 1a : Dos rectas r y s que se cortan. Fig. 1b : Dos rectas m y n paralelas. Fig. 1c : Tres puntos A, B y C no alineados. Fig. 1d : Una recta r y un punto B exterior.
r
m s
1a
r
A
B
B
n 1b
C
1c
1d
R’’2 1
Formas geométricas que determinan un plano.
1.1 Representación. Trazas del plano. Tradicionalmente, la representación de un plano se lleva a cabo mediante sus trazas, es decir, dibujando las rectas de intersección del plano con los de proyección. La traza horizontal del plano α , designada como α 1, es la intersección con el plano horizontal H ; y la traza vertical, designada como α 2 , es la intersección con el plano vertical V .
α
En definitiva, las trazas de un plano que, como hemos dicho, son las rectas de intersección de éste con los planos de proyección, son asimismo, el lugar geométrico de los puntos traza de las rectas contenidas en él. 1.2 Pertenencia de punto o recta a un plano. Para que una recta pertenezca a un plano los puntos traza de la recta deben estar sobre las trazas homónimas del plano que la contiene. Así, en la fig.1.1, la recta r, cuya traza horizontal es R1 , se encuentra en la traza horizontal α1 del plano; al igual que la traza vertical R 2 se encuentra sobre la traza vertical α2 del plano que contiene a dicha recta. Para verificar la pertenencia de un punto a un plano se hace pasar por él una recta cualquiera perteneciente al mismo (de las infinitas posibles); es decir, que cumpla las condiciones anteriores. Por su sencillez es aconsejable utilizar horizontales o frontales del plano. Así, el punto A de la fig.1.2 pertenece al plano α por estar contenido en una recta, tal como la h o la recta r, perteneciente al mismo.
r’’ S’’2
α2
r’’
H’’2
S2 H2
Las dos trazas de un plano se cortan en un punto de la LT, denominado vértice del plano. Nótese que tres planos se cortan en un punto. En la fig.1.1 el plano α puede considerarse que viene dado por tres puntos A , B , C, por dos rectas que se cortan ( r y h , s y h o bien por r y s ) o por una recta (cualquiera de las anteriores) y un punto exterior a ella. En cualquiera de los casos, las rectas que lo constituyen tienen sus puntos traza en las trazas correspondientes del plano; así, el punto traza vertical H2 de la recta horizontal h, se encuentra en la traza vertical α 2 del plano que contiene a dicha recta. Lo mismo sucede con la recta s o la recta r . Por tanto, para dibujar cada traza de un plano se han de definir, previamente, al menos dos puntos traza de dos rectas contenidas en él.
α2
R2
V
A’’
B’’
h’’
B’’
r
A’’
h’’ s’’
s”
B
A C’’
C’’
h
s
R’’1
α1
r’
C
B’
H’2 S’2 B’
A’
s’
r’
h’
H
R’2
S’’1
R1
s’
C’
A’
S1
C’ 1.1 y 1.2
Perspectiva del plano y representación diédrica por sus trazas.
S’1
2 RECTAS NOTABLES EN EL PLANO Entre las rectas contenidas en un plano destacan por sus características y situación respecto a los planos de referencia V , H o de perfil P , las que seguidamente se relacionan.
α2
α1 α2
V
2.1 Recta horizontal del plano ( h ).
α
f’’ H’’2
f’’
Es aquélla contenida en el plano y paralela al horizontal H de referencia.
A’’
h’’
f H2
Generalmente se designa por h. La proyección horizontal h’ de la recta es paralela a la traza horizontal α1 del plano que la contiene, y su proyección vertical h’’, paralela a la LT.
A’’
h’’ F’’1
A
H’2
2.2 Recta frontal del plano ( f ) . Es aquélla contenida en el plano y paralela al plano vertical V de referencia. Generalmente se designa por f y, contrariamente a lo que sucede con la recta horizontal del plano, la proyección f ’ de la frontal es paralela a la LT y la proyección vertical f’’ lo es a la traza vertical α2 del plano que la contiene, como se observa en la figura adjunta.
h’
R’1
F1
f’
A’
α1
2.1 y 2.2
h
h’
F’1
f’ A’
H
Perspectiva y representación diédrica de la recta horizontal h y frontal f del plano, que pasan por el punto A del plano α.
h’
α1 159
Las rectas horizontal h y frontal f que pasan por el punto A ( fig. 2.1 y 2.2 ) definen el plano α y son, asimismo, las rectas de intersección de dicho plano con los planos que pasan por el punto A y son paralelos a los coordenados H y V respectivamente.
2.3 Recta de máxima pendiente y recta de máxima inclinación.
D’
Sus proyecciones son perpendiculares a la LT y, como toda recta de perfil, se define conociendo dos de sus puntos. En la fig. 2.4, la recta p pasa por el punto A y sus puntos traza horizontal P1 y vertical P2 se encuentran en las trazas horizontal γ1 y vertical γ2 , respectivamente, del plano que la contiene.
B’
f’
M2
β2
Z
A
A’’
A
O
X
LT
Y
i’’
H
I’’1
M’2
I’2
ω
Plano de perfil ( YOZ )
m’’
m i”
ω2
V C
M’’2
I’’2
A’’
h’
ββ
I2
m’’
A’
π1
β2
V
B
ω1
M’’1
C
i
A’
En la fig. 2.3, la recta m, de máxima pendiente del plano β tiene su proyección horizontal m’ perpendicular a la traza horizontal β1 . Dicho de otra forma: la recta m y su proyección m’ se encuentran y definen un plano que es perpendicular al plano β .
M1
m’
i’
H
m’ I1
A’
ω2
2.3
M’1
A
i’
γ2
γ
γ2 P’’2
P2
p’’ A’’
A’’
p’’
A P’2
P’’1
A’
A’
p’ P1
- Dicha traza corta a la LT en un punto que, unido con M’’2 , determina la traza vertical β2 .
γ1 2.4
p’
H
Perspectiva y representación diédrica de una recta p de perfil perteneciente al plano γ y que pasa por un punto A del mismo.
P’1
Representación diédrica del plano dado por sus coordenadas cartesianas: ω ( - x0 , y0 , z0 ).
3 REPRESENTACIÓN DEL PLANO POR COORDENADAS Al igual que sucede en la ubicación de un punto del espacio, en la determinación de un plano ω intervienen las tres coordenadas cartesianas que posicionan el plano respecto a los coordenados de referencia ( fig. 3 ). Así, un plano viene expresado, analíticamente, de la forma ω (x,y,z), siendo: x: distancia del origen O al punto A vértice del plano. Si es positiva, el vértice del plano se sitúa a la derecha del origen y si es negativa, a su izquierda.
p
- Se hallan los puntos traza horizontal M1 ( M’1 M’’1 ) y vertical M2 ( M’2 - M’’2 ) de la recta, y por M’1 se dibuja la perpendicular a la proyección m’, que resultará ser la traza horizontal β1 del plano definido por la recta m.
y0
B
β1 3
Plano de perfil
Y
ω1 I’1
X
O
-x0
Recta m de máxima pendiente y recta i de máxima inclinación, concurrentes en A y contenidas en el plano β .
V
z0
Z
β1
En efecto, dada la recta m por sus proyecciones diédricas m’ - m’’ ( fig. 2.3 ) , para determinar las trazas β1 - β2 del plano definido por la recta, se procede como sigue:
Análogo proceso se llevaría a cabo en el caso de tener que determinar las trazas de un plano dado por una recta de máxima inclinación
h’’
A’’
C’
Las rectas, contenidas en un plano, con pendiente máxima tienen como característica el ser perpendiculares a la traza horizontal del plano que las contiene, lo que trae consigo que su correspondiente proyección horizontal sea perpendicular a la traza horizontal de dicho plano.
La singularidad de estas rectas nos muestra que no sólo es posible definir un plano de cualquiera de las cuatro maneras descritas al principio de esta UD, sino que también es posible su determinación teniendo como único dato una recta de máxima pendiente o una de máxima inclinación de dicho plano.
Es aquella recta contenida en el plano y, obviamente, perteneciente a un plano de perfil, siendo, por tanto, perpendicular a la línea de tierra (fig. 2.4). Dicho de otra forma: una recta de perfil p es la intersección del plano γ, a que pertenece, con el plano de perfil que la contiene.
C’’
D’’
Análogamente, las rectas de máxima inclinación de un plano tienen su proyección vertical perpendicular a la traza vertical de dicho plano (fig. 2.3). Es como girar la hoja de papel 180° e imaginar las trazas del plano cambiadas: la recta de máxima pendiente descrita anteriormente se convierte en recta de máxima inclinación.
2.4 Recta de perfil.
f’’
Ambos conceptos son idénticos: el de pendiente referido al plano horizontal y el de inclinación referido al plano vertical.
160
B’’
Cuando de un punto A, perteneciente a un plano π (fig. situada a la derecha), se conoce una de las dos proyecciones diédricas –A’ o A’’–, la otra proyección –A’’ o A’ respectivamente –, se determina, de forma fácil y rápida, haciendo uso de la recta horizontal h o de la recta frontal f, del plano π , que pasan por dicho punto.
Se entiende por «pendiente» de una recta al cociente entre la diferencia de cotas de dos puntos de la misma y la distancia entre sus proyecciones horizontales. Se llama «inclinación» de una recta al cociente entre la diferencia de alejamientos de dos cualesquiera de sus puntos y la distancia entre sus proyecciones verticales.
del mismo; es el caso de la recta i que se observa en la fig. 2.3.
π2
Paso de la proyección horizontal, de una figura plana, a su correspondiente proyección vertical y viceversa, mediante horizontales y frontales de plano indistintamente.
γ1
y: alejamiento de la traza horizontal ω1 respecto del origen. Si es positiva se extiende por debajo de la línea de tierra, y si es negativa, por encima de la misma. z: cota de la traza vertical ω2 respecto del origen. Si es positiva se extiende por encima de la LT, y si es negativa, por debajo.
γ2
β2
α2
η2
δ2
B” A’’
α
A
β
B
h
f
γ
C
A’
ε
G
β1
γ1
Plano oblicuo
Proyectante horizontal
De perfil
β2
α2
A’’
ζ1
δ1 Proyectante vertical o de canto
γ2 B”
h’’
Horizontal
J’
η1
Frontal
Paralelo a la L.T.
Plano que contiene a la L.T.
η2
δ2 D’’
C’’
ε2
E’’
f’’
F’’
J’’
V
h’’
G’’
(G)
H H’2
B’ A’
C’
h’
• Plano oblicuo.
Nombre que toma un plano cuando sus trazas se cortan en un punto de la línea de tierra formando ángulos distintos de 90° respecto a los planos de proyección principales H y V . • Plano proyectante horizontal.
Nombre que toma todo plano, tal como el β , que se posiciona perpendicular al H ; en este caso, su traza vertical β2 es perpendicular a la LT. El ángulo que el plano forma con el vertical V es el que forma su traza horizontal β1 con la LT. Cualquier elemento ( puntos, rectas o figuras) situado en él se proyecta sobre el plano H , íntegramente, sobre su traza β1 . • Plano de perfil.
Plano, tal como el γ, que resulta perpendicular a los dos planos de proyección H y V ; ambas trazas son perpendiculares a la LT.
• Plano proyectante vertical o de canto.
Se trata de un plano, tal como el δ, que es perpendicular al V ; resultando la traza horizontal δ1 perpendicular a la LT. Cualquier elemento
G’
γ1 4
δ1
η1
F’
D’
J’
E’
Posiciones especiales de planos y su representación diédrica por sus trazas.
POSICIONES SINGULARES DE PLANOS
Existen una serie de planos que reciben nombres singulares por su posición respecto de a los planos principales de proyección H y V . La fig. 4 muestra ocho posiciones distintas: en la parte superior una perspectiva de su situación en el espacio, debajo su correspondiente representación diédrica mediante sus trazas.
ζ1
f’
h’
β1
α1
4
θ
H
V
5 PLANOS NOTABLES DE UNA RECTA (puntos, rectas o figuras) situado en él se proyecta sobre el plano V , íntegramente, sobre su traza vertical δ2 .
• Plano horizontal.
Es aquel, tal como el ε , que se sitúa paralelo al plano horizontal de referencia; la traza vertical ε2 del plano es paralela a la LT y la traza horizontal se encuentra en el infinito. Cualquier elemento situado en él se proyecta sobre el plano vertical V en la traza ε2 .
• Plano frontal.
Entre los planos más significativos por su gran utilidad y facilidad de trazado, se encuentran los llamados planos proyectantes, tanto los proyectantes horizontales como los planos de canto o proyectantes verticales. Así, un plano proyectante horizontal α que contiene a una recta r (fig. 5) tendrá la proyección horizontal r’ sobre la traza horizontal α 1 ;
β2
α2
V
R2
Como su nombre indica, se sitúa frente al observador y, por tanto, es paralelo al coordenado vertical V . En la figura, el plano ζ ; su única traza, ζ1 , es paralela a la LT.
ec t a
S2 nt e
horiz
ont a
l
s’’
α α
s
r
α1
Es aquel plano, tal como el η de la figura, que es paralelo a la LT: las dos trazas, la horizontal η1 y la vertical η2 son paralelas a ella. Es aquel plano, tal como el θ , que contiene a la LT; sus trazas coinciden con ella. Es el único caso en que un plano no queda definido por sus trazas. Para su determinación se considera un punto situado en él, de modo que el plano quede dado por un punto del mismo y la LT. Para representarle se dibujan dos trazos cortos a cada lado de la línea de referencia del punto y por debajo de la LT, como se indica en la representación diédrica de la fig. 4.
Proy
r’’
• Plano paralelo a la LT.
• Plano que contiene a la LT.
la proyección vertical vendrá determinada por la unión de las proyecciones homónimas de las trazas de la recta: en la figura, R’’1 con R’’2 . Análogo análisis puede hacerse de las rectas contenidas en un plano proyectante vertical (fig. 5). Así, la recta s ( s’ - s’’) tiene su proyección vertical s’’ coincidente con la traza β 2 del plano que la contiene.
ββ
H’’2
F
E
B’
α1
θ J
δ
D
h
η
ζζ
ε2
J’’
r’
R1
H R’’2
α2
5
r’’
s’
β1
Pr
S1
Rectas r y s pertenecientes a los planos proyectantes horizontal α y vertical β , respectivamente.
ct
an
te
S’’2
rti
ca
l
β2
s’’ S’2
S’’1
R’’1
e oy
ve
R’2
s’
r’ S’1
R’1
α1
β1
161
6 VERDADERA MAGNITUD DE UN PLANO: VISTA AUXILIAR Un plano se observa en verdadera magnitud cuando se posiciona frontal al observador; es decir, cuando la dirección de proyección es perpendicular al mismo, apareciendo como un segmento en todas las vistas adyacentes.
DATOS
PASO 1
Plano ABC oblicuo respecto al sistema de planos coordenados H y V .
Conversión del plano ABC oblicuo en plano proyectante. Para ello, se ha cambiado el plano horizontal anterior H por otro H 1 perpendicular a la recta frontal f para convertir al plano ABC en proyectante horizontal.
C’’
En el ejemplo que se acompaña a la derecha (fig. 6) se parte de las vistas alzado y planta de un plano ABC oblicuo a los planos de proyección H y V .
A’’
Para determinar su verdadera magnitud será necesario obtener dos vistas auxiliares mediante dos cambios de plano de proyección: uno horizontal y otro vertical; o viceversa, tal y como se indica en la última ilustración de la página, donde se muestra el proceso alternativo.
C’1
YA
F ’’
B’1
f ’’
A’’
YB
B’’
B’’
V H YC
V H
1 V H
C’
YA
C’
La vista auxiliar que posiciona al plano ABC como proyectante horizontal y se visualiza como un segmento (paso 1), se consigue situando la virtual linea de tierra ( V - H 1 ) perpendicular a la proyección f’’ de una frontal cualquiera del plano ABC . Con el cambio de plano horizontal (de H a H 1 ) se mantienen, lógicamente, los alejamientos de los puntos A , B y C.
YB
F’ A’
La segunda vista auxiliar (paso 2) posiciona al plano ABC frontal al nuevo plano vertical V 1 y visualiza el mismo en verdadera magnitud; es decir, que el triángulo ABC se observa en verdadero tamaño, (tanto la magnitud de sus lados como la superficie del mismo). Para ello, se convierte el plano proyectante horizontal anterior en frontal a un nuevo plano de proyección vertical V 1 , donde la nueva línea de tierra ( H 1 - V 1 ) será paralela al segmento proyección A’1 B’1 C’1 . Como sucede siempre que se cambia el plano vertical de proyección, las cotas de los puntos se mantienen constantes en la nueva proyección auxiliar.
f’
A’
B’
B’
A’’1
Z*
C
A’’
ZA
ZA*
1 V H
H’’
h ’’
ZC
Verdadero tamaño
B’’
ZB
C’’1
C’’
V H
B’’1 Z*C
Z*A
V1 H1
YA
F’’
f ’’
A’1
YC
B’1
H V1
YC*
C’
ZB*
C’1
C’’
A’’
ZC
A’
h’
H’
C’’1
Z*B
B’’
YA*
ZB
B’’1
YC
*
PROCESO ALTERNATIVO
YB
6
YA
*
f’
*
A’
F’
Como su nombre indica, consiste en conseguir situar el plano ABC, oblicuo a los coordenados H y V , en paralelo a un nuevo plano horizontal, mediante dos cambios de plano: primero cambiando el vertical V por el V 1 (convirtiendo ABC en proyectante vertical), y seguidamente cambiando el horizontal H por el H 1 (pasando ABC de proyectante vertical a plano horizontal ), para conseguir la verdadera magnitud del plano dado.
YA
C’
B’
162
A’’1
YB
La segunda vista auxiliar convierte el plano ABC en un plano paralelo o frontal a un nuevo coordenado V 1. La proyección sobre V 1 determina la verdadera magnitud del plano ABC .
B’ YB*
YC
V H
V1 H1
ZA
YB
PASO 2
A’1
YC
C’’
B’1
Pasos en la determinación de la verdadera magnitud de una forma plana: método de la vista auxiliar.
C’1 Verdadero tamaño
A’1
1
DETERMINACIÓN DE UN PLANO POR SUS TRAZAS 1. Como sabes, un plano puede venir dado por TRES PUNTOS NO ALINEADOS, tales como A, B y C, quedando definido mediante una SUPERFICIE TRIANGULAR. De cualquier forma, dada la comodidad gráfica que supone, en ocasiones, es aconsejable trabajar con planos considerando sus trazas. Por ello, te proponemos que obtengas las TRAZAS del plano ABC. Asimismo, sitúa en él un punto P que tenga 45 mm. tanto de ALEJAMIENTO como de COTA.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO. EL PLANO
2. Halla las TRAZAS del plano dado por las rectas a y b que se cortan en el punto A. Realiza el estudio completo de ambas rectas: PUNTOS TRAZA y DIEDROS o CUADRANTES que atraviesan, señalando partes VISTAS y OCULTAS de las mismas. Imagina opacos los planos principales de proyección. 3. De forma análoga al ejercicio anterior, halla las TRAZAS del PLANO determinado, en esta ocasión, por la recta c y el punto exterior P.
2
PLANO DADO POR TRES PUNTOS. SITUACIÓN DE UN PUNTO DEFINIDO
3
49
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
PLANO DADO POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN
α2 f’’
H’’2
A’’
a’’
b’’
A’’ A’’
α2
B’’1
B’2
H’2
P’’
B’’2
B’1
h’’ a’
45
B’’
(cota)
b’
A’
α1 C’’
3
PLANO DADO POR UNA RECTA Y UN PUNTO EXTERIOR P’
B’
f’
A’
45
β2 C’’2
(alejamiento)
1
2
c’’
Q’’
D’’2
P’’
d’’
α1 P’
C’’1
h’
D’2
C’2
c’ C’ Q’
d’ C’1
β1
VERIFICACIONES 1. Determinar las TRAZAS TRAZASDEL DELPLANO PLANO dado dado por por lala LÍNEA LÍNEA DEDE MÁXIMA MÁXIMA PENDIENTE PENDIENTE p. p. 2. Obtener las TRAZAS TRAZASDEL DELPLANO PLANO dado dado por por lala LÍNEA LÍNEA DEDE MÁXIMA MÁXIMA INCLINACIÓN INCLINACIÓN i. i.
1
2
PLANO DEFINIDO POR UNA RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE DEL MISMO
PLANO DEFINIDO POR UNA RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DEL MISMO
α2
β2
P’’2 I’’2
90º
p”’’
i”’’
I’’1
P’’1 P’2
I’2
p’
P’1
90º
i’
I’1
α1
164
β1
1
PERTENENCIAS DE PUNTOS Y RECTAS A UN PLANO 1. Demuestra, gráficamente, cuáles de los TRES PUNTOS P, Q y R, así como de las TRES RECTAS a, b y h, PERTENECEN al PLANO α . 2. Dibuja la PROYECCIÓN VERTICAL del cuadrilátero ABCD, contenido en el plano β, perpendicular al SEGUNDO PLANO BISECTOR. 3. Traza, por el punto P, la RECTA HORIZONTAL h, la FRONTAL f y otra cualquiera r, CONTENIDAS, todas ellas, en el PLANO VERTICAL γ, también llamado PROYECTANTE HORIZONTAL.
1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO. EL PLANO
4. Traza el PLANO PROYECTANTE VERTICAL que contiene a la recta r. Indica asimismo, gráficamente, el ÁNGULO que dicho plano forma con el PLANO HORIZONTAL de proyección H . 5. Traza el PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL (esto es, un plano vertical al de referencia H ) que contenga la recta s. Indica igualmente, de forma gráfica, el ÁNGULO que dicho plano forma con el PLANO VERTICAL de proyección V .
CRITERIO DE PERTENENCIA DE PUNTOS Y RECTAS A UN PLANO
2
2
α2
3
50
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
PROYECCIONES DE UNA FIGURA PLANA
β1 β2
D’’
H’’2
h’’
A’’2
C’’
f’’ P’’
a’’
R’’
A’’
b’’ Q’’
H’2
A’’1
B’’1
A’2
A’
B’’ B’
a’ B’1
b’ Q’
R’
D’
h’
COMENTARIO •
Puntos pertenecientes al plano α : P y Q.
•
Rectas pertenecientes al plano α : a y h.
C’
f’ P’
3
4
RECTAS CONTENIDAS EN UN PLANO PROYECTANTE
PLANO PROYECTANTE VERTICAL
A’1
5
PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL ε2
γ2 α1
f”
δ2
R’’2 R’’2
P’’
Ángulo que forma el plano δ con el plano horizontal
h’’
S”2
Ángulo que forma el plano ε con el plano vertical
r’’”
s’’”
r’’ H
R’’1 R’2
S’2
R’2
P’
f’
R’1
h’
R’1
γ1
V
s’
r’
r’
S’’1
R’’1
δ1
S’1
ε1
VERIFICACIONES 1. Determinar si los los segmentos segmentos AB AByyCD CDseseCORTAN CORTAN oo sese CRUZAN. CRUZAN. 2. Trazar el PLANO PLANO definido definidopor pordos dosrectas rectasaayybbque quesesecortan cortanen enlalaLTLTy ycuyas cuyas PROYECCIONES PROYECCIONES DIÉDRICAS DIÉDRICAS son las sonindicadas. las indicadas. Notesé Notesé que la que PROYECCIÓN la PROYECCIÓN VERTICAL VERTICAL (a’’) de (a’’) la recta de la recta a coincide con la PROYECCIÓN PROYECCIÓN HORIZONTAL HORIZONTAL(b’) (b’)de delalarecta rectab;b;yyviceversa, viceversa,lalaPROYECCIÓN PROYECCIÓN HORIZONTAL HORIZONTAL (a’)(a’) de de la recta la recta a es a es coincidente coincidente con con la la PROYECCIÓN PROYECCIÓN VERTICAL VERTICAL (b’’)(b’’) de la derecta la recta b; esto b; esto es :es:a’ a’b’’b’’ y y a’’a’’b’. b’.
1
2
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
PLANO DADO POR DOS RECTAS SINGULARES B’
C’’
C’’’ A’’’
A’’
b’
r’’ a’’ N’’’
N’’ M’’
A’’
M’’’
R’’1
R’2
C’ C’’ B’’’
B’’
D’’
D’’’
R’1
y1
R’’2
A’
y2 r’
π1 π2
a’
y1
B’
D’
b’’
y2
C’
A’
B’’
166
COMENTARIO
COMENTARIO
Al no ser los puntos M (perteneciente a la recta AB) y N (perteneciente a la recta CD) coincidentes en la tercera proyección ( M”’ N”’ ), podemos a firmar que los segmentos se cruzan.
Tomando un punto AÆ Æ a y otro BÆ Æ b se traza la recta r = AB, cuyos puntos traza R1 y R2 unidos con C ( común a las rectas a y b) definen las trazas del plano π , que, lógicamente, será perpendicular al segundo bisector.
1
VERDADERA MAGNITUD DE UNA FORMA PLANA: VISTA AUXILIAR En el epígrafe 6 (pág.162) de esta Unidad Didáctica se decía: «si un plano es paralelo a un coordenado, su proyección sobre él representa el plano en verdadera magnitud». Al análisis de lo expuesto, te proponemos obtener la VERDADERA MAGNITUD del cuadrilátero ABCD y su SUPERFICIE correspondiente, mediante los procesos alternativos que se indican a continuación. 1. Determina las VISTAS AUXILIARES del cuadrilátero situándole, primero, como PROYECTANTE HORIZONTAL al nuevo plano H 1 y, luego,
2. Determina las VISTAS AUXILIARES del polígono ABCD anterior, pero, ahora, cambiando primero el PLANO VERTICAL V por un nuevo plano V 1 que le sitúe de CANTO (esto es, como un PROYECTANTE VERTICAL) y luego, el PLANO HORIZONTAL H por otro H 1 que posicione al cuadrilátero horizontalmente y, por ende, su proyección se observe en VERDADERA MAGNITUD.
2
VISTAS AUXILIARES DE UN CUADRILÁTERO OBLICUO: DETERMINACIÓN DE SU VERDADERA MAGNITUD
3
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
PROCESO ALTERNATIVO AL ANTERIOR
D’’
A’’1
C’’ B’’1
A’’
Z*A
Verdadero tamaño:
h’’”
DATOS B’’
D’’1
A’1 C’1
Plano frontal paralelo al nuevo vertical V1 .
A’
Y
A
B’1
F’’
B’
PASO 1 PASO 1
f’’
C’’
H
V
A’’
Plano proyectante horizontal, respecto al nuevo H1 .
Plano proyectante vertical (de canto) respecto al nuevo plano de referencia V1 .
DATOS
D’
V H
H’ H’
h’
Y* B
B’’1
A’’1
C’’1
D’’1
V1 H1
1
PASO 2 B’’
ZA
C’
A
Z*
D’
PASO 2
Vistas diédricas de un plano oblicuo dado por cuatro puntos ABCD.
Plano paralelo al horizontal respecto al nuevo plano coordenado H1 .
C’1
Y*B
D’1
V1 H1
Vistas diédricas de un plano oblicuo ABCD.
V H H V1
C’’ 1
D’’
H’’
ZA
Cuadrado de lado 30 mm.
YA
1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO. EL PLANO
en posición FRONTAL respecto a otro nuevo PLANO VERTICAL V 1 .
51
2
B’1 Verdadero tamaño
F’
f’
A’
D’1
C’
A’1
B’
2 2 Se trata de un cuadrado de superficie : lado2 = 3cm = 9 cm2 SUPERFICIE DEL CUADRILÁTERO:
