TEMA X
TEORE EOREMAS MAS INT INTEGRALE EGRALES DEL C ÁLC ULO VECT VEC TORIAL
Introducción
Los teoremas integrales del Calculo Vectorial permiten relacionar integrales de campos vectoriales a lo largo de regiones del espacio (curvas, superficies) e integrales de sus derivados por operadores vectoriales a lo largo de otras regiones de dimensión mayor (superficies, volúmenes) bajo condiciones adecuadas. Los llamados Teorema de la divergencia y Teorema de Stokes, así como otros deducidos a partir de ellos, tienen importancia fundamental en las matemáticas puras y aplicadas, así c omo en e l estudio estudio de d e impor impo rtantes fenó fenómenos menos fís físicos ico s, como c omo la dif d ifus usión ión del de l ca lor, lor, el flujo flujo de fluidos fluidos,, el estudio estudio de d e onda ond a s en medios me dios divers diversos, os, onda ond a s elec troma tromagné gnéti tic c a s, etc. etc . A pesar de su interés, salvo en casos de gran brevedad no se desarrollan las de mostr mostra a c iones, iones, deb ido a las limi limitac tac iones de tiemp tiempo. o.
X.1
TEOREMA EO REMA DE STO KES
Este teorema expresa una integral sobre una superficie abierta Σ en términos de una integral ntegral de línea a lo largo d e la c urva urva fronter frontera a de Σ.
Teorema Teorema
Sea F un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región B del espacio. Sea Σ ⊂ B una superficie abierta, orientable y seccionalmente lisa y sea Γ su frontera.
Si la superficie orientada es Σ + , se considera la correspondiente orientación de la c urva urva frontera frontera Γ +. Entonc Entonc es:
∫
Γ+
F ⋅ dr =
∫∫
Σ+
∇× F ⋅ dS z
Esta Esta fórmul fó rmula a es válida inclus inc luso o si Γ está constituida
por
varias
curvas
cerradas
simples, siempre que se mantenga el criterio
n
de ori orientac entac ión c onco rda nte nte d e Σ + y Γ +, tal
y
es el caso de la superfice lateral de un cilindro que se muestra en la figura 1.
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x
Figura 1
X.1
Lo que haremos seguidamente no pretende ser una demostración rigurosa, pero si interpretar el teorema anterior:
Sea Σ una superficie que tiene al circuito C por
bor bo rde y sea sea V un ca mpo vec tori torial. C
Consideremos la siguiente partición de la superficie Figura 2
Σ , tal como se muestra en la figura 2.
Imaginemos la superficie particionada en numerosos cuadrángulos, como se insinúa en la figura 2. Se ha rayado el cuadrángulo j , bordea bordea do por una una c urva urva C j . La La c irc irc ulac ión en los lados de C j se ca c a ncela nc ela c uand o se se suman suman las c irc irc uitac uitac iones en los los bo rdes de s c ompa omp a rtido tidos s, de modo q ue:
∫
V ⋅ dr = C
n
∑∫
V ⋅ dr j
j =1 C
j
dividiendo dividiendo y multi multipli plic c ando and o el térmi término no d e la der d erec ec ha por po r el área área A j de un cuadrángulo se tiene:
⎛ ∫ V ⋅ dr j ⎞ n ⎜ C ⎟ ⎜ ⎟ A j ⋅ = V d r ∑ ∫ A ⎜ ⎟ = j 1 j C ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ j
Para Para que n → ∞ , el paréntesis del término de la derecha es la componente del rotor en la dirección normal al área de circuitación
(
rotV rotV ⋅ n
)
j
y la sumatoria es la integral en la
superfi up erfic c ie Σ que tiene tiene a C por p or borde:
⎛ ∫ V ⋅ dr j ⎞ n ⎜ ⎟ C ⎜ ⎟ V d r A ⋅ = = lím lí m ( ∑ j ∫∫Σ rot V ) ⋅ nˆ dS ∫ n →∞ Aj ⎟ j =1 ⎜ C ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ j
La superficie Σ puede ser cualquiera, con tal de tener por borde al circuito C . La superficie es abierta.
X.2
TEORE EO REM M A DE G REEN REEN
El teorema de Green en el plano, vincula las integrales de línea con una integral doble. Es en realidad un ca c a so pa p a rtic tic ula ula r de l teo teorrema de Stokes: tokes:
X.2
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Si R es una región cerrada en el plano, con
y
frontera Γ , puede considerarse R como una
Γ
superficie Σ en el espacio, como se muestra
R
en las figura 3 y 4. x
Y si F = P ( x , y ) ˆi + Q ( x , y ) ˆ j + 0kˆ es un campo
Figura 3
vectorial en ℜ , su su rotor rotor vendrá d a do po r: 2
rot F =
ˆi
ˆ j
∂ ∂ x
∂ ∂y
P
Q
z
ˆ k
∂ ⎛ ∂Q ∂ P ⎞ ˆ =⎜ − ⎟k ∂z ⎝ ∂ x ∂ y ⎠ 0
ˆ n = k
x
entonces:
∫
Γ+
F ⋅ dr =
y
Γ
R
⎛ ∂Q ∂P ⎞ ˆ F ∇ × ⋅ n dS = ∫∫ ⎜ − ⎟ k ⋅ n dx dy ∫∫ R R ⎝ ∂ x ∂y ⎠ =1
Figura 4
A los fines de enunciar formalmente el Teorema de Green, nos harán falta las siguientes de finiciones finiciones en el plano: D
C ontorno c erra erra do : Cur C urva va c errad errad a simple, imple, reg regul ula a r a trozos trozos..
Dominio simplemente implemen te c onex one xo o d ominio simple: Dominio
Figura 5
D , cuya frontera es un contorno cerrado (figura 5), es
decir un dominio “sin huecos”. En otro caso el dominio se dice múltiplemente conexo, su frontera, está formada por
D
varios contornos cerrados. (Si la frontera esta formada por ejemplo por tres contornos cerrados, el dominio se dice triplemente triplemente c onex one xo, tal ta l como c omo se muestr muestra a en la figura figura 6).
Figura 6
Teorema Teorema
Sea R una región c err errad a en el plano, limi limitada tada por po r un contor c ontorno no c err errad o Γ , luego luego R
Sea F ( xx,, y ) = P ( x , y ) ˆi + Q ( x , y ) ˆ j con
es simplemente implemente c onex one xa .
P,
Q,
∂Q ∂P , ∂ x ∂ y
continuas en R . Entonces:
∫
∫
F dr = P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = Γ+
Γ+
⎛ ∂Q
∂P ⎞
∫∫ ⎜⎝ ∂ x − ∂y ⎟⎠ dx dy R
Siendo Γ + la or o rientac ión tal que el interi interior or de R queda qued a a la izquier izquierda da de Γ (Sentido antihorario).
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X.3
Generalización del Teorema de Green a regiones múltiplemente conexas
El teorema de Green es también válido para una región múltiplemente conexa R y su frontera Γ , siempr siempre e que q ue se se recorr rec orra a d e forma que q ue la región R quede qued e a la izquier izquierda da de Γ . + Γ1 Así, Así, pa ra el cas c aso o d e la región de la figura figura 7 debe de be considerarse la orientación
Γ + que se muestra, 1
R
Γ+
(es dec de c ir, ir, el sentido sentido de giro giro d e las la s a gujas del reloj reloj
3
Γ+
para los contornos interiores y el contrario para el
2
contorno exterior.) Para este caso particular, basta considerar los cortes AB y CD , que transforman la región R
Figura 7 Γ1+
triplemente conexa en una región simplemente c onex one xa (figura (figura 8).
Γ+
R
3
Entonc Entonc es:
D
⎛ ∂Q ∂P ⎞ ∫ R∫ ⎜⎝ ∂ x − ∂y ⎟⎠ dx ddyy = δ∫R F dr = ∫+ F dr Γ
D
C
Γ+
C
2
A A
siendo:
B B
δ R = Γ1 ∪ BA ∪ Γ 2 ∪ AB ∪ DC ∪ Γ 3 ∪ CD
y
+
Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ 3 Figura 8
y teni teniendo endo en c uenta que:
∫
F dr = 0
AB + BA + DC +CD
X.3
TEOREMA DE G A USS USS-OS -O STROG RADSKI O DE LA DIVERG DIVERG ENCIA ENC IA
Expresa el flujo a través de una superficie cerrada, en términos de una integral triple extendida extendida al sóli sólido do enc err errad o por po r Σ.
Teorema Teorema
Sea F un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región B del
(
espacio B ⊂ ℜ 3
)
Sea Σ una superficie cerrada, orientable y seccionalmente lisa, que limita una cierta región W ⊂ B del espacio. Se orienta con la normal hacia el exterior de W . Entonc Entonc es:
∫∫ Σ X.4
ˆ dS = F ⋅n +
∫∫∫
W
div F dV
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Al igual que en el caso del teorema de Stokes, no pretendemos rigor, sino hacer aceptable una tesis tesis.
Σ
Imaginemos que el volumen limitado por Σ se divide en numerosos cubos y poliedros, tal como se insinúa en la figura figura 9. 9. Luego, ueg o, el flu flujo jo saliente saliente de una c ara de d e un
S j
cubo interior es el flujo entrante en la cara compartida con un cubo vecino, de modo que si se suman resulta cero, salvo en la cara de los poliedros que dan al exterior.
Figura 9
Anotemos con S j la superficie del cubo j , de modo que el flujo neto que atraviesa la
superfi uperfic ie del de l cubo cub o j sea inc luimos luimos la totalida totalida d de d e los poli po lied ed ros, os, es c laro laro ∫∫ V ⋅ dS j . Si a hora inc S j
que el flujo flujo neto q ue a tra tra vies viesa a la supe superrfic fic ie Σ vendrá vendrá da do por:
n
lím ∑ ∫∫ V ⋅ dS = lím ∫∫ V ⋅ dS j Σ
n →∞
j =1 Sj
donde n es el número de cubos y poliedros que conforman al cuerpo original.
Si a la e xp resión esión a nterior nterior la la d ivid ivid imos y multi multiplic plica a mos p or el volumen v j del de l cubo o poliedro poliedro j , nos qued a:
⎛ V ⋅ dS j n ⎜ ∫∫ S lím ∑ ⎜ ∫∫S V ⋅ dS = lím n →∞ vj j =1 ⎜ ⎜ ⎝ j
⎞ ⎟ ⎟ v j ⎟ ⎟ ⎠
en el límite se tiene que el paréntesis es la divV en los puntos interiores de Σ y la sumatoria es la la integ integrra l en el e l volumen volumen limi limitad tado o por po r Σ :
∫∫
V ⋅ dS = S
X.4
∫∫∫ divV dv , esta es la tesis de Gauss - Ostrogradski v
TEOREMA DE LA DIVERG DIVERG ENCIA ENC IA EN ℜ2
Expresa presa el fluj flujo o a tra tra vés de la frontera frontera d e una super upe rfic fic ie plana, pla na, en e n términos términos de una integral integral doble.
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X.5
Teorema Teorema
Sea R una regi eg ión c err errad a en el plano, limi limitada tada por po r un co ntorno ntorno c err errad o Γ , luego luego R
Sea F ( xx,, y ) = P ( x , y ) ˆi + Q ( x , y ) ˆ j con
es simplemente implemente c onex one xa .
P,
Q,
∂P ∂Q , ∂ x ∂ y
continuas en R . Entonces:
∫ F ⋅ n ds =
Γ+
⎛ ∂P ∂Q ⎞ + = d x d y d i v F dA ⎜ ⎟ ∫ R∫ ⎝ ∂ x ∂y ⎠ ∫R∫
Siendo Γ + la orientación tal que el interior de R qued a a la izquier quierda da de Γ (Sentido antihorario).
Sin pretender que sea una demostración, verificaremos la tesis de este teorema, calculando el miembro izquierdo de la igualdad anterior, esto es: la integral de la componente normal del campo a lo largo de la curva Γ + , frontera frontera d e la región eg ión R .
Γ y
En la figura 10, se muestra en un punto de la curva frontera
ˆ T ˆ n
R
ˆ a la curva y el versor normal n ˆ . Γ , el versor tangente T
x
Sea Γ:
Figura 10
y ) ⎧⎪ x = x ( t ) ( x ( t ) , y ( t ) ) ( x, ˆ = = , luego T ⎨ 2 2 2 2 x + y ⎩⎪ y = y ( t ) ⎡⎣ x ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ( t )⎤⎦
el versor normal exterior nˆ , vendrá vendrá da do por po r: nˆ =
( y ( t ) , − x ( t ) ) 2
⎡⎣ x ( t )⎤⎦ + ⎡⎣ y ( t ) ⎤⎦
2
=
−x ) ( y, 2 2 x + y
de modo que Tˆ ⋅ nˆ = 0 , por ser perpendiculares y ds = x 2 + y 2 dt .
Entonces ∫ F ⋅ nˆ ds = ∫ F ⋅ Γ+
Γ+
y , − x ) ( y, x + y 2
2
∫
ds = F ⋅ Γ+
−x ) ( y,
x + y 2
2
∫
x 2 + y 2 dt = ( P ,Q ) ⋅ Γ+
−x ) ( y,
x + y 2
2
x 2 + y 2 dt
resolviendo, obtenemos:
∫
∫
∫
∫
F ⋅ nˆ ds = ( Py − Qx ) dt = ( −Qx + Py ) dt = ( − Q , P ) ( x , y ) dt Γ+
Γ+
Γ+
Γ+
que no es otra otra c osa osa que la integ integrral de línea de un ca mpo vec torial torial de la forma: forma: G = ( −Q , P )
X.6
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Ap lic and o el teorema teorema de G reen, nos qued a:
⎛ ∂P ∂Q ⎞ + ⎟ dx dy = ∫∫ div F dx dy ⎝ ∂ x ∂y ⎠ R
∫ ( −Q , P ) ( x , y ) dt = ∫ G dr = ∫∫ ⎜
Γ+
X.5
Γ+
R
A PLICA PLIC A C IONES IO NES DE LOS TEOREMAS EOREMA S INTEG INTEGRALE RALES S
Las aplicaciones de estos teoremas son numerosas. A continuación mostraremos algunas de ellas ellas a modo de ejemplo.
Ejemplo 1
⎧4 x 2 + y 2 = 4 Calcular I = ∫ + x 2 dx + 2x dy + z 2 dz , siendo Γ la curva Γ: ⎨ con orientación Γ = 1 z ⎩ antihoraria vista desde P ( 0,0,5)
Solución
⎧ x2 y 2 =1 ⎪ + La curva Γ es la elipse ⎨ 1 22 , y por tr tratar ata rse d e una c urva urva c err errad a, puede p uede c alcul alc ulars arse e ⎪ z = 1 ⎩ e l teorema de Stokes, tokes, esto esto es e s: I med iante el ˆi I =
∫
Γ+
F ⋅ dr
F = x 2ˆi + 2xˆ j + z 2kˆ
con
∇×F =
y
∂ ∂ x x 2
I =
Luego:
∫Γ
+
F ⋅ dr =
ˆ j
ˆ k
∂ ∂ ˆ = 2k ∂y ∂z 2x z 2
∫∫ ( rotF ) ⋅ n dS Σ+
ˆ . siendo Σ + la porción porción de plano z = 1 limi limitad tada a po r la eli e lipse pse Γ , c on norma norma l n = k
Como ( ∇ × F ) ⋅ n = 2kˆ ⋅ kˆ = 2 , resulta resulta :
I =
∫∫
Σ
+
2 dS = 2
2π
1
0
0
∫ ∫ 1⋅ 2⋅ r dr d θ = 2π ⋅ 1⋅ 2 = 4π
J
Ejemp Ejemp lo 2
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X.7
Sea e l c ampo F = 2xˆi + yˆ j + (1− 3z ) kˆ . Halla Halla r, de la forma má s breve, el e l flujo flujo de F a través de 2
2
la superficie Σ1 semiesférica: ( x − 2) + ( y − 1) + z 2 = 1, z ≥ 0 orientada con la normal de modo que la terc terc era era c omponente ompo nente sea sea pos po sitiva. tiva.
Solución
La divF = d el sóli sólido do W limi limitad tado o p or Σ1 y el plano plano = 0 . Luego considerando la frontera total Σ del
Σ 2 : z = 0 , res resul ulta ta por p or el teo teorrema de la div d ivergenc ergenc ia: z
∫∫
Σ+
F ⋅ n dS dS =
∫∫∫
W
divF dv = 0 ,
n
Σ1+ es decir:
∫∫
Σ +1
F ⋅ n dS +
y
∫∫
F ⋅ n dS = 0
Σ+2
Σ 2+
x
n
ˆ . Lueg La norma norma l a Σ2+ es n = − k Luego o sobre Σ2+ es F ⋅ n = − 1.
Figura
Por tanto:
Φ = ∫∫ + F ⋅ n dS = − ∫∫ + F ⋅ n dS = ∫∫ + dS = π Σ1
Σ2
Σ1
Ejemp Ejemp lo 3 Sabiendo que W es un sólido de masa M y densidad de masa δ ( x, y, z ) = 3 ∀ ( x, y, z ) ∈ W , 2 con centro de masas en G = (13 , ,2) , calcular: I = ∫∫ + ( x ˆi + 2xy ˆ j + 2xz kˆ ) ⋅ n dS , sabiendo que Σ
+
la frontera frontera d e W , orientada hacia el exterior de W . Σ es la
Solución La integral integral que tenemos que c a lcular es: es:
∫∫
Σ
con F = x 2ˆi + 2xy ˆ j + 2xz kˆ
F ⋅ n d S , +
Luego, uego , por el teorema teorema de la div d ivergencia: ergencia: I =
∫∫∫ ( div F ) dv = ∫∫∫ W
W
6x dv
Por otra otra pa rte: xG =
1
∫∫∫ M
W
x δ ( x, y, z ) dv =
1 M
∫∫∫
W
3x dv
Luego: I =
X.8
∫∫∫
W
6x dv = 2M xG (W ) = 2M
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Ejemp Ejemp lo 4 C alcul alc ular ar el área d e la región región R limi limitada tada por po r la elips elipse e d e ec e c uac ión:
x 2
y2
a
b2
+ 2
=1.
Solución
⎧ x = a cos t Una pa ra metriz metriza a c ión de la elipse elipse es es ⎨ ⎩ y = bsent A ( R ) =
∫∫1dA = ∫∫ div F dA
R
=1
R
+ luego: o: t ∈ [ 0,2π] (orientación Γ ), lueg
=
∫
F ⋅ n ds = 2
Por el T. de la divergencia e n ℜ
Γ+
∫∫
div F dA
R
Si F = ( x, 0) , entonc es divF = luego c on nˆ = ( b co ob tenemos: cos t , a se sent ) obtenemos: = 1, luego
∫
ˆ ds = A ( R ) = F ⋅ n Γ
+
2π
∫
2π
( a cos t ,0) ⋅ ( b cos t ,asent ,) dt =
0
∫ ab cos
2
t dt = abπ
0
Ejemp Ejemp lo 5 Calcular I = ∫ y dx + 3x dy , siendo Γ Γ
la cur c urva va mostr mostra da en la la figura figura 12, 12, con co n la la or o rientac ión
+
indicada.
y
Solución La región R , cuya frontera es Γ , es simplemente conexa. Por cumplirse las condiciones exigidas en el teorema de G reen, ee n, res resul ulta: ta:
⎡ ∂Q ∂P ⎤ πa 2 2 3 2 2 9 I = y dx x dy P dx Q dy dx dy dx dy A R a + = + = − = = = − ( ) ∫ ∫ ∫ R∫ ⎢⎣ ∂ x ∂y ⎥⎦ ∫R∫ 2 Γ+ Γ+
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x + y = 3a
R x + y = a 2
a
2
2
3a
Figura 12
X.9
x
