UNIVERZITET U KRAGUJEVCU
FAKULTET ZA MAŠINSTVO I GRAĐEVINARSTVO U KRALJEVU GRAĐEVINSKO INŽENJERSTVO
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 2 4. vežba vežb a – KONTROL KONTROL A UGIBA
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
Na funkcionisanje ili izgled elementa ili konstrukcije ne smeju nepovoljno da utiču njihove deformacije. Zato se deformacije ograničavaju, u zavisnosti od prirode ko nstrukcije, njenoj nameni, ispravnom funkcionisanju opreme ili mašina na konstrukciji, da bi se sprečilo zadržavanje vode na ravnim krovovima i dr. Sračunati ugib greda, ploča ili konzola od kvazi -stalnih opterećenja mora biti manji od odnosa raspon/250 . Za ugibe posle završetka gradnje (kako ne bi oštetili susedne delove konstrukcije) važi ograničenje da su manji od odnosa raspon/500 za kvazi-stalna opterećenja.
Slučajevi kada se proračun ugaba može izostaviti Ugibi neće biti veći od graničnih vrednos ti ( raspon/250 , raspon/500 ), što znači da se proračun ugiba izostavlja, ako odnos raspon/visina preseka ispunjava zahtev (ograničenje):
= K ⋅ 11 + 1, 5 ⋅ f ck d l = K ⋅ 11 + 1, 5 ⋅ f ck d l
ρ ⋅ + 3, 2 ⋅ f ck ⋅ 0 − 1 ρ ρ ρ0
⋅
ρ 0 ρ − ρ ′
+
1 12
⋅ f ck ⋅
3/ 2
ρ ′
ρ 0
ako je
ρ ≤ ρ 0
ako je ρ > ρ 0
gde je:
l
- granični odnos raspon/statička visina,
d K - koeficijent kojim se uzimaju u obzir različiti konstrukcijski sistemi, slika 1,
Slika 1. Vrednosti koeficijenta K kojim s e uzimaju u obzir različiti konstrukcijski s istemi
1
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
ρ 0 - referentni odnos (koeficijent) površine armature, = f ck ⋅10−3 ρ - potreban odnos površine zategnute armature i betona (koeficijent zategnute armature) u sredini raspona za momenat savijanja od proračunskih opterećenja (za konzo le u preseku na osloncu), ρ ′ - potreban odnos površine pritisnute armature i betona (koeficijent pritisnute armature) u sredini raspona za momenat savijanja od proračunskih opterećenja (za konzole u preseku na osloncu),
f ck - karakteristična vrednost čvrstoće betona pri pritisku u MPa. Izrazi za
l d
su izvedeni pod pretpostavkom da je napon u čeliku od odgovarajućeg proračunskog
opterećenja u GSU, u preseku sa prslinom u sredini raspona grede ili ploče, ili u preseku na osloncu konzole, 310MPa (~ odgovara vrednosti f yk yk=500MPa). Kada se koriste drugačije vrednosti napona, izrazi
l d
treba da se pomnože sa 310/σ s. Na strani sigurnosti može se pretpostaviti da je:
(
310 / σ s = 500 / f yk ⋅ As ,req / As , prov
)
gde je:
σ s - napon zatezanja u čeliku u sredini raspona (za konzole nad osloncu) od proračunskog opterećenja u GSU,
As , prov - stvarna površina čelika u tom preseku, As ,req - potrebna površina čelika u tom preseku u graničnom stanju nosivosti.
Za preseke sa flanšama, u kojima je odnos širine flanše prema debljini rebra veći od 3, izraze
l d
treba
smanjiti sa koeficijentom 0,8. Za grede i ploče, osim ravnih ploča (ploča bez kapitela), sa rasponima većim od 7m, koje nose pregradne zidove koji bi mogli da budu oštećeni usled prevelikih ugiba, izraze
l d
treba pomnožiti sa 7/leff (l (leff u u metrima), Slika 2.
Slika 2. Efektivni raspon l eff za različite uslove oslanjanja
2
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
Za ploče bez kapitela čiji veći raspon prelazi 8 ,5m, koje nose pregradne zidove koji bi mogli da budu oštećeni usled prevelikih ugiba, izraze
l d
treba pomnožiti sa 8,5/leff (l (leff u u metrima).
Provera ugiba proračunom Elementi u kojima se očekuje pojava prslina, ali se ne očekuje da će se prsline potpuno obrazovati, ponašaju se na način koji je između ponašanja nosača bez prslina i nosača sa potpuno obrazovanim prslinama. Za elemente izložene pretežno savijanju, ponašanje po našanje se može proceniti izrazom:
α = ζ ⋅ α II + (1 − ζ ) ⋅α I gde je: α - posmatrani parametar deformacije koji može da bude, na primer, dilatacija, krivina ili rotacija (na primer, može se pretpostaviti da je α ugib).
α I , α II - vrednosti parametra sračunate za stanje bez prslina i za stanje sa potpuno obrazovanim prslinama, ζ - distributivni koeficijent kojim se uzima u obzir sadejstvo zategnutog betona u preseku (ζ
= 0 za
preseke bez prslina),
σ ζ = 1 − β sr σ s
2
β - koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj trajanja opterećenja ili ponavljanja opterećenja na srednju vrednost dilatacije = 1,0 za jedno kratkotrajno opterećenje, = 0,5 za dugotrajno opterećenje ili veliki broj ciklusa ponavljanja opterećenja,
σ s - napon u zategnutoj armaturi, sračunat za presek sa prslinom u trenutku t=t 0, σ sr - napon u zategnutoj armaturi, sračunat za presek sa prslinom od opterećenja pri kojem nastaje prva prslina.
σ sr σ s
se može zameniti sa
M cr M QP
za savijanje ili
N cr N QP
za čisto zatezanje, gde je M cr
moment savijanja pri pojavi prve prsline, a N cr sila zatezanja pri kojoj nastaje prslina. Napomena: Pri određivanju deformacija od opterećenja koriste se čvrstoća pri zatezanju i efektivni E c modul elastičnosti E c,eff ( ( E ). Najbolja procena stvarnog ponašanja konstrukcije dobiće c,eff = 1 + ϕ (∞, t 0 )
se ako se koristi f ctm ctm. Kada može da se dokaže da nema aksijalnih napona zatezanja (izazvanih, na primer, skupljanjem ili termičkim uticajima), može da se koristi čvrstoća pri zatezanju savijanjem f ctm,fl. Proračun ugiba:
Krivina usled savijanja
1 rn
=ζ ⋅
M QP Ec,eff ⋅ I c
+ (1 − ζ ) ⋅
M QP Ec,eff ⋅ Iu
Krivina usled skupljanja
1 rcs
= ζ ⋅ ε cs ⋅α e ⋅
Sc Ic
+ (1 − ζ ) ⋅ ε cs ⋅α e ⋅
S u I u
3
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
gde je:
ε cs - nesprečena (slobodna) dilatacija skupljanja,
S - statički momenat površine armature u odnosu na težište preseka, I - momenat inercije površine preseka, α e - efektivni odnos modula elastičnosti α e = Es / E c,eff S i I treba da se sračunaju za stanje u preseku bez prsline i za stanje sa prslinom. Ukupna krivina preseka
1 rtot ,QP
=
1 rn
+
1 r cs
Ukupan ugib
vQP = k ⋅ L ⋅ 2
1 r tot ,QP
gde je k koeficijent koji zavisi od oblika dijagrama momenta savijanja, slika 3. Najtačnija metoda za određivanje ugiba je sračunavanje krivine u dovoljno velikom broju preseka duž elementa i da se zatim ugib odredi numeričkom integracijom. Ugib se sračuna dva puta, jednom pretpostavljajući da je element bez prslina, a zatim pretpostavljajući da je sa potpuno obrazovanim prslinama, i konačan ugib izrazom α
= ζ ⋅ α II + (1 − ζ ) ⋅α I .
4
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
Slika 3. Koeficijent k za određivanje ukupnog ugiba
5
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
PRIMER 1
Kontrolisati ugib armiranobetonskog elementa statičkog sistema proste grede raspona L=6.0m, pravougaonog poprečnog preseka dimenzija b/h=40/60cm, klase betona C30/37, vrste armature B500B, sa armaturom B500B i to 7Ø20 u zategnutoj zoni i 2Ø20 u pritisnutoj (d1=d2=4,80cm), usled momenta savijanja MG = 200kNm i MQ = 100kNm (korisno kategorije B), sračuna tog iz kvazi-stalne
( ∞, t 0 ) = 2.33 .
kombinacije opterećenja. Koeficijent tečenja je ϕ
C30/37
•
f ck ck = 30 MPa 2 f ctm ctm = 2,9 MPa=0,29 kN/cm Ecm = 33 GPa Ec(28) = 1,05 Ecm = 34,65 GPa
→
Kontrola pojave prsline u preseku:
α e =
E s
=
E c
200
= 5,772
34,650
za b/h=40/60cm, As1=22,0cm2 (7Ø20), d=55,2cm, As2=6,28cm2, d2=4,8cm
b⋅h
2
xu =
2
+ (α e − 1) ⋅ ( As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 )
b ⋅ h + (α e − 1) ⋅ ( As1 + As 2 )
= 30,745 cm
2
b ⋅ h3
2 2 h I u = + b ⋅ h ⋅ − xu + (α e −1) ⋅ As1 ⋅ ( d − xu ) + As 2 ⋅ ( xu − d2 ) = 804275, 36 cm4 12 2
M k = M G + M Q = 300,0kNm M cr = fctm ⋅
I u h − xu
= 0, 29kN/cm ⋅ 2
804275,36cm 4 60cm 60cm − 30, 30, 745c 745cm m
= 7972, 70kNcm = 79, 727kNm
M cr < M k → dolazi do pojave prsline u posmatranom preseku •
Kontrola ugiba u trenutku t=∞:
E c,eff =
α e =
E c
1 + ϕ ( t , t 0 )
E s E c,eff b⋅h
xu =
=
2
2
=
200 10,344
34,65GPa 1 + 2, 350
= 10,344GPa
= 19,335
+ (α e − 1) ⋅ ( As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 )
b ⋅ h + (α e − 1) ⋅ ( As1 + As 2 )
b⋅h
3
= 32,487cm
2
2 2 h + b ⋅ h ⋅ − xu + (α e − 1) ⋅ As1 ⋅ ( d − xu ) + As 2 ⋅ ( xu − d 2 ) = 811964, 96cm 4 I u = 12 2
Su = As1 ⋅ ( d − xu ) − As 2 ⋅ ( xu − d 2 ) = 325, 527cm3
6
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
xc =
1 ⋅ b
( As1 ⋅αe + As 2 ⋅ (αe − 1) )
2
+ 2 ⋅ b ⋅ ( As1 ⋅ d ⋅αe + As 2 ⋅ d 2 ⋅ (αe −1) ) − ( As 1 ⋅αe + As 2 ⋅ (αe −1) )
= 23,688cm I c =
b ⋅ xc3
3
2
2
+ α e ⋅ As1 ⋅ ( d − xc ) + (α e −1) ⋅ As 2 ⋅( d2 − xc ) = 640543,10cm 4
Sc = As1 ⋅ ( d − xc ) − As 2 ⋅ ( xc − d 2 ) = 574, 301cm
3
MQP = 230kNm 2
2 M cr 79,727kNm ζ = 1 − β = 1 − 0, 5 ⋅ = 0, 9399 M QP 230kNm
1 rn
=ζ ⋅
M QP
+ (1 − ζ ) ⋅
Ec,eff ⋅ I c
M QP Ec,eff ⋅ Iu
230kNm 230kNm + (1 − 0, 9399) ⋅ kN kN 10, 344 ⋅10 6 2 ⋅ 640543,10 ⋅10 −8m 4 10, 344 ⋅10 6 2 ⋅811964, 96 ⋅10 −8m 4 m m 1 = 0,00342 m pret. ε cs (t ) = 0, 0003 000359 59m/ m/m m′
= 0, 9399 ⋅
1 rcs
Sc
= ζ ⋅ ε cs ⋅ α e ⋅
Ic
+ (1 − ζ ) ⋅ ε cs ⋅ αe ⋅
= 0, 9399 ⋅ 0, 00 000359 = 0,00061 1 rtot ,QP
=
1 rn
+
vQP = k ⋅ L ⋅
m m′
⋅19, 335 ⋅
S u I u
574, 301 ⋅10 −6 m 3 640543,10 ⋅10 −8 m 4
+ (1 − 0, 9399) ⋅ 0, 00 000359
m m′
⋅19, 335 ⋅
325, 527 ⋅10 −6 m 3 811964, 96 ⋅10 −8 m 4
1 m
1 r cs
00342 = 0, 00
1
2
r tot ,QP
vQP = 1, 509cm
<
1 m
00061 + 0, 00
1 m
00403 = 0, 00
,104 ⋅ (6m) (6m)2 ⋅ 0,004 ,00403 = 0,10 L
250
=
600cm 250
1 m
1 m
,01509m 09m =1,509 ,509cm = 0,015
= 2, 4cm
→ posmatrani presek ima ugibe u dozvoljenim granicama
7
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
PRIMER 2
Kontrolisati ugibe armiranobetonske proste grede L=6 m pravougaonog poprečnog preseka kao na slici za zadato opterećenje. Beton je klase C35/45, armatura B500B (zategnuta As1=16,09 cm2, pritisnuta konstruktivna As2=3,08 cm2). Agresivnost sredine kojoj je izložena greda kao na skici je XC1. Na kraju eksploatacionog veka konstrukcije kategorije S4 linearni koeficijent tečenja je φ(t)=2,821, a dilatacija skupljanja betona je ε cs = 0,5305 mm/m'.
C35/45
→
f ck ck = 35 Mpa 2 f cd cd = 19,83 Mpa = 1,983 kN/cm 2 f ctm ctm = 3,2 MPa=0,32 kN/cm Ecm = 34 GPa Ec(28) = 1,05 Ecm = 35,7 GPa
B500B
→
f yk yk = 500 Mpa f yd k N/cm2 yd = 434,78 Mpa = 43,478 kN/cm Es = 200 GPa
•
Opterećenje
M [KNm]
Stalno I promenljivo (kategorije A) II promenljivo (kategorije D)
100 80
120
Kontrola pojave prsline u preseku (vežba broj 2, primer 4):
α e =
E s E c
=
b⋅h xu =
2 b⋅h
2
200 35,7
= 5,602
+ (α e − 1) ⋅ ( As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 )
b ⋅ h + (α e − 1) ⋅ ( As1 + As 2 )
= 25,67cm
2
3
2 2 h + b ⋅ h ⋅ − xu + (α e − 1) ⋅ As1 ⋅ ( d − xu ) + As 2 ⋅ ( xu − d 2 ) = 402090, 94 cm 4 I u = 12 2
M cr = f ctm ⋅
I u h − xu
= 52, 88 kNm
M k = M g + M q 2 +ψ 0,1 ⋅ M q1 = 100 + 120 + 0, 0, 7 ⋅80 = 276 kN kNm > M cr = 52, 88 88 kN kNm → dolazi do pojave prsline u posmatranom preseku
8
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
•
Kontrola ugiba u trenutku t=∞ (kraj eksploatacionog perioda):
E c
E c,eff =
α e =
xc =
1 + ϕ ( t , t 0 )
E s E c,eff
1 ⋅ b
=
35,7 1 + 2, 821
= 9,343GPa
21, 406 = 21,
( As1 ⋅αe + As 2 ⋅ (αe − 1) )
2
+ 2 ⋅ b ⋅ ( As1 ⋅ d ⋅αe + As 2 ⋅ d 2 ⋅ (αe −1) ) − ( As 1 ⋅αe + As 2 ⋅ (αe −1) )
= 22,36cm I c =
b ⋅ xc
3
3
2
+ α e ⋅ As1 ⋅ ( d − xc ) + (α e − 1) ⋅ As 2 ⋅ ( d2 − xc )
2
= 341080,4cm 4 Sc = As1 ⋅ ( d − xc ) − As 2 ⋅ ( xc − d 2 ) = 16 16, 09 09 ⋅ (45, 8 − 22 22, 36) − 3, 3, 08 08⋅ (22, 36 36 − 3, 3, 9) 9) = 320, 29 29 cm cm 3 b ⋅ h2 xu =
2 b⋅h
+ (α e − 1) ⋅ ( As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 )
b ⋅ h + (α e − 1) ⋅ ( As1 + As 2 )
35 ⋅50 2
=
2
+ 20, 406 ⋅ (16, 09 ⋅ 45, 8 + 3, 08 ⋅3, 9 )
35 ⋅ 50 + 20, 406 ⋅ (16, 09 + 3, 08 )
= 27,57cm
2
3
2 2 h + b ⋅ h ⋅ − xu + (α e −1) ⋅ As1 ⋅ ( d − xu ) + As 2 ⋅ ( xu − d 2 ) Iu = 12 2
=
35 ⋅ 503 12
2
2 2 50 57 + 20, 40 406 ⋅ 16 16, 09 09 ⋅ (45 45, 8 − 27 27, 57 57 ) +3, 08 08 ⋅ (27 27, 57 57 −3, 3, 9 ) + 35 ⋅ 50 ⋅ − 27, 57 2
= 520470,89cm 4 Su = As1 ⋅ ( d − xu ) − As 2 ⋅ ( xu − d 2 ) = 16 16, 09 09 ⋅ (45, 8 − 27 27, 57) − 3, 3, 08 08 ⋅ (27, 57 − 3, 3, 9) 9) = 220, 42 42 cm cm3 M QP = M g +ψ 2,1 ⋅ M q1 +ψ 2,2 ⋅ M q 2 = 196 KNm
β = 0,5 0, 5 - dugotrajno opterećenje 2
2 M cr 52,88 ζ = 1 − β = 1 − 0, 5 ⋅ = 0, 9636 M QP 196
1 rn
=ζ ⋅
M QP Ec,eff ⋅ I c
= 0, 9636 ⋅ = 0,00608
+ (1 − ζ ) ⋅
M QP Ec,eff ⋅ Iu
196 9, 34 343 ⋅10 6 ⋅ 341080, 4 ⋅10 −8
+ (1 − 0, 9636) ⋅
196 9, 34 343 ⋅10 6 ⋅520471 ⋅10 −8
1 m
9
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
1 rcs
= ζ ⋅ ε cs ⋅α e ⋅
Sc Ic
+ (1 − ζ ) ⋅ ε cs ⋅α e ⋅
9636 ⋅ 0, 00 0005305 ⋅ 21, 40 406 ⋅ = 0, 96
rtot ,QP
=
1 rn
+
I u
320, 29 ⋅10 −6 341080, 4 ⋅10 −8
9636) ⋅0, 00 0005305 ⋅21, 40 406 ⋅ + (1 − 0, 96
220, 42 ⋅10 −6 520471 ⋅10 −8
1
= 0,00105 1
S u
m 1
r cs
,00608 + 0,00105 ,00105 = 0, 0071 00713 3 = 0,00608
1 m
Za prostu gredu je k = 0,104 (slika 3)
vQP = k ⋅ L ⋅
1
2
r tot ,QP
vQP = 2, 28 cm
>
,104 ⋅ 6 2 ⋅ 0,007 ,00713 = 0,026 ,0267 m = 2,6 2,67 cm = 0,104 L
250
=
600 250
= 2, 4cm
→ posmatrani presek ima veće ugibe od dozvoljenih, potrebno je promeniti geometrijske i/ili mehaničke karakteristike AB elementa
PRIMER 3
Kontrolisati ugibe armiranobetonskog elementa statičkog sistema konzole, dužine L=2,5 m, pravougaonog poprečnog preseka kao na slici za zadato opterećenje. Beton je klase C35/45, armatura B500B (zategnuta As1=18,1 cm2, pritisnuta konstruktivna As2=6,03 cm2). Na kraju eksploatacionog veka konstrukcije kategorije S4 linearni koeficijent tečenja je φ(t)=2, 15, a dilatacija skupljanja betona je ε cs = 0,1772 mm/m'.
C35/45
→
Opterećenje
M [KNm]
Stalno romenljivo P romenljivo (kategorije B)
180 120
f ck ck = 35 Mpa 2 f cd cd = 19,83 Mpa = 1,983 kN/cm 2 f ctm ctm = 3,2 MPa=0,32 kN/cm Ecm = 34 GPa Ec(28) = 1,05 Ecm = 35,7 GPa
10
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
B500B
•
f yk yk = 500 Mpa f yd k N/cm2 yd = 434,78 Mpa = 43,478 kN/cm Es = 200 GPa
→
Kontrola pojave prsline u preseku:
α e =
E s E c
200
=
35,7
b ⋅ h2
2
xu =
b⋅h
= 5,602
+ (α e − 1) ⋅ ( As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 )
b ⋅ h + (α e − 1) ⋅ ( As1 + As 2 )
35 ⋅ 60 2
=
2
+ 4, 602 ⋅ (18,1 ⋅54, 6 + 6, 03 ⋅4, 6 )
35 ⋅ 60 + 4, 602 ⋅ (18,1 + 6, 03 )
= 30,61cm
2
3
2 2 h + b ⋅ h ⋅ − xu + (α e − 1) ⋅ As1 ⋅ ( d − xu ) + As 2 ⋅ ( xu − d 2 ) I u = 12 2
=
35 ⋅ 603 12
2
2 2 60 + 35 ⋅ 60 ⋅ − 30, 61 61 + 4, 60 602 ⋅ 18 18,1 ⋅ (54, 6 − 30 30, 61 61 ) + 6, 03 03 ⋅ (30 30, 61 61 − 4, 4, 6 ) 2
= 697464,51cm 4 M cr = f ctm ⋅
I u h − xu
= 0, 32 ⋅
697464,51 60 − 30,61
= 75, 94 kNm
M k = M g + M q1 = 180 + 120 = 300 kN kNm > M cr = 75 , 94 94 kN kNm → dolazi do pojave prsline u posmatranom preseku
•
Kontrola ugiba u trenutku t=∞ (kraj eksploatacionog perioda):
E c,eff =
α e =
E c
1 + ϕ ( t , t 0 )
E s
=
E c,eff
11,33
35,7 1 + 2,15
= 11,33GPa
= 17,65
+ 2 ⋅ b ⋅ ( As1 ⋅ d ⋅αe + As 2 ⋅ d 2 ⋅ (αe −1) ) − ( As 1 ⋅αe + As 2 ⋅ (αe −1) ) 2 35 ⋅ (18,1 ⋅54,6 ⋅17 17,65 +6,03 ⋅4,6 4,6 ⋅16 16,65 ) 1 (18,1⋅17,65 + 6,03 ⋅16,65 ) + 2 ⋅35 = ⋅ 35 − (18,1 17, 65 + 6, 03 ⋅16, 16, 65 ) 18,1⋅17, = 22,09cm
xc =
I c =
=
1 ⋅ b
200
=
b ⋅ xc3
3
( As1 ⋅αe + As 2 ⋅ (αe − 1) )
2
2
+ α e ⋅ As1 ⋅ ( d − xc ) + (α e − 1) ⋅ As 2 ⋅ ( d2 − xc )
35 ⋅ 22,09 3 3
2
2
2
+ 17,65 ⋅18,1 ⋅ (54,6 − 22,09 ) +16,65 ⋅6,03 ⋅ (4,6 −22,09 ) =371302,44cm ,44cm 4
Sc = As1 ⋅ ( d − xc ) − As 2 ⋅ ( xc − d 2 ) = 18 18,1⋅ (54, 6 − 22, 09 09) − 6, 6, 03 03 ⋅ (22, 09 09 − 4, 4, 6) 6) = 482, 97 97 cm cm3
11
Teorija betonskih konstrukcija 2 – Kontrola ugiba
b⋅h
2
xu =
2
35 ⋅ 60 2
+ (α e − 1) ⋅ ( As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 )
=
b ⋅ h + (α e − 1) ⋅ ( As1 + As 2 )
2
+ 17, 65 ⋅ (18,1 ⋅54, 6 + 6, 03 ⋅4, 6 )
35 ⋅ 60 +17, 65 ⋅ (18,1 + 6, 03 )
= 31,94cm
2
b ⋅ h3
2 2 h + b ⋅ h ⋅ − xu + (α e −1) ⋅ As1 ⋅ ( d − xu ) + As 2 ⋅ ( xu − d 2 ) Iu = 12 2
=
35 ⋅ 603 12
2
2 2 60 94 +17, 65 65 ⋅ 18 18,1 ⋅ (54, 6 − 31 31, 94 94 ) +6, 03 03 ⋅ (31 31, 94 94 −4, 4, 6 ) + 35 ⋅ 60 ⋅ − 31, 94 2
= 867693,34cm 4 Su = As1 ⋅ ( d − xu ) − As 2 ⋅ ( xu − d 2 ) = 18 18,1⋅ (54, 6 − 31, 94) − 6, 6, 03 03 ⋅ (31, 94 − 4, 4, 6) 6) = 245, 29 29 cm cm3 M QP = M g + ψ 2,1 ⋅ M q1 = 180 + 0, 3 ⋅120 = 216 KNm
β = 0,5 0, 5 - dugotrajno opterećenje 2
M ζ = 1 − β cr M QP 1
=ζ ⋅
rn
M QP Ec,eff ⋅ I c
= 0, 9382 ⋅ 1 rcs
2 75,94 = 1 − 0, 5 ⋅ = 0, 9382 216
+ (1 − ζ ) ⋅
M QP Ec,eff ⋅ Iu
216 11, 33 33 ⋅10 ⋅ 37 371302, 44 44 ⋅10 6
Sc
= ζ ⋅ ε cs ⋅α e ⋅
+ (1 − ζ ) ⋅ ε cs ⋅α e ⋅
Ic
9382 ⋅ 0, 00 0001772 ⋅17, 65 65 ⋅ = 0, 93
= 0,000387 1 rtot ,QP
=
1
+
rn
−8
+ (1 − 0, 9382) ⋅
216
11, 33 33 ⋅10 ⋅86 867693 ⋅10 6
−8
= 0, 004953
1 m
S u I u
482, 97 ⋅10 −6 371302, 44 ⋅10 −8
9382) ⋅0, 00 0001772 ⋅17, 65 65 ⋅ + (1 − 0, 93
245, 29 ⋅10 −6 867693, 34 ⋅10 −8
1 m
1 r cs
= 0,0049 0,004953 53 + 0,0003 0,000387 87 = 0,0053 0,00534 4
1 m
Za konzolu je k = 0,25 (slika 3)
vQP = k ⋅ L ⋅ 2
1 r tot ,QP
vQP = 0, 834 cm
,00534 = 0,0083 ,00834 4 m = 0,83 ,834cm = 0, 25 ⋅ 2,5 2 ⋅ 0,005
<
L
250
=
250 250
= 1, 0 cm
→ posmatrani presek ima ugibe u dozvoljenim granicama
12
