A. SEJARAH
Hermann Minkowski lahir pada tanggal 22 juni 1864 di Alexotas, Russia (sekarang Kaunas, Lithuania) dan meninggal pada tanggal 12 Januari 1909 di Gottingen, Jerman. Hermann Minkowski adalah putra kedua dari Lewin Minkowski, seorang pebisnis, dengan Rachel Taubmann. Kakak Hermann bernama Oskar Minkowski seorang ahli patologi terkenal. Lewin dan Rachel adalah warga Jerman meskipun anak mereka Hermann lahir dan tinggal di Rusia. Ketika Hermann berumur 8 tahun, Lewin sekeluarga kembali ke Jerman Jer man dan mengembangkan bisnisnya di K önisberg. Hermann Minkowski pertama kali menunjukkan keahlian dalam matematika ketika belajar di Gymnasium K önigsberg. Setelah belajar di Gymnasium Gymnasium tersebut, beliau membaca karya-karya Dedekind, Dirichlet, dan Gauss. Kemampuan luar biasanya tercatat dalam sebuah surat yang ditulis oleh Heinrich Heinric h Weber ketika di Universitas Konisberg yang ditujukan kepada Dedekind pada tahun 1881. Beliau mulai belajar di Universitas Königsberg pada bulan April 1880. Beliau menghabiskan tiga semester di Universitas Berlin pada tahun ta hun akademik 1882-1883. Saat di K önisberg, Minkowski berteman akrab dengan Hilbert. Hilbert lulus sarjana bersamaan dengan Minkowski. Pada tahun 1884, Minkowski menerima gelar doktornya dengan disertasinya yang berjudul Untersuchungen über quadratische Formen, Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält. Sejak belajar di universitas, Minkowski mulai tertarik dengan bentuk kuadrat, dan pada tahun 1881 menerima penghargaan dari Academy of Sciences (Paris) atas prestasinya dalam memecahkan Grand Prix Problem untuk masalah “The number of representations of an integer as the sum of five squares ” (banyak representasi dari sebuah sebuah bilangan bulat sebagai jumlah dari lima kuadrat”. kuadrat” . Formula pemecahan masalah tersebut sebenarnya sudah dirumuskan oleh Einstein pada tahun 1847, namun Einstein tidak berhasil membuktikannya. Pada tahun 1867, Henry Smith berusaha menyempurnakan formula Einstein tersebut dan mempublikasikan garis besar dari bukti tersebut, namun Academy of Sciences tidak menyadarinya
Eisenstein telah mempelajari bentuk kuadrat dalam variabel n dengan koefisien bilangan bulat pada saat ia mempubilkasikan formula tersebut pada tahun 1847, namun tidak terbukti karena beliau sakit saat itu. Minkowski yang saat itu berumur 18 tahun merekontruksi teori bentuk kuadrat Einstein dan menghasilkan sebuah solusi yang manarik untuk masalah Grand Prix. Smith mengulang bukti sebelumnya, menambahkan detail dan disampaikan kepada Academy of Sciences. Pada tanggal 2 April 1883 pihak Academy of Sciences memberikan hadiah kepada Smith dan Minkowski. Walaupun demikian, ini adalah awal karir Minkowski yang menakjubkan dalam matematika. Disertasi Minkowski yang diajukan pada tahun 1885 merupakan kelanjutan dari penemuannya tersebut. Setelah mendapatkan gelar doktor, beliau terus melakukan penelitian di Konisberg. Pada tahun 1887, terjadi kekosongan posisi guru besar di Universitas Bonn, dan Minkowski dipromosikan untuk posisi tersebut. Menurut peraturan Universitas Jerman, beliau harus menyerahkan karya tulis asli ke fakultas. Minkowsky menyajikan me nyajikan karyanya Räumliche Anschauung und Minima positiv definiter quadratischer Formen Formen (visualisasi spasial dan minima dari bentuk kuadrat definit positif) yang belum dipublikasikan pada saat itu. Tetapi pada tahun 1991, karya tulis tersebut dipublikasikan pada perkuliahan. Dieudonné menulis: "Kuliah ini sangat menarik, karena berisi contoh pertama dari metode Minkowski yang berkembang beberapa tahun kemudian dalam bukunya yang terkenal geometry of numbers " numbers " Minkowski mengajar di Bonn dari tahun 1887, yang kemudian menjadi asisten profesor pada tahun 1892. Dua tahun kemudian ia pindah kembali ke Königsberg di mana ia mengajar selama dua tahun di sana, setelah itu beliau diangkat di Eidgenössische Polytechnikum Zürich. Di sana ia menjadi rekan Hurwitz yang telah ditunjuk untuk mengisi jabatan Frobenius setelah beliau meninggalkan Zürich Berlin pada tahun 1892. Minkowski menikah dengan Auguste Adler di Strasburg tahun 1897. Mereka memiliki dua anak perempuan, Lily yang ahir pada tahun 1898 dan Ruth yang lahir pada tahun 1902. Geometri Taxicab diusulkan oleh Herman Minkowski, seorang matematikawan yang merupakan guru dari Albert Eibsteins ketka masih muda di Zurich. Selanjutnya Minkowski menyajikan sebuah rumusan relativitas yang menarik dalam geometri empat dimensi (ruang dan waktu), dan kemudian grafik ruang dan waktu tersebut banyak digunakan dalam teori relativitas. Sekitar pergantian abad belia mempbuklikasikan
kumpulan hasil kerjanya di Jerman (dicetak ulang di U.S oleh Chelsea Publishing Company pada tahun 1967), yang mana beiau menganalisis sebuah variasi sistem metrik, yaitu ruang-runag topologi yang terdiri dari sebuah himpunan titik-titik yang terdefinisi dan sebuah aturan pengukuran jarak antara dua titik.
B. JARAK TAXICAB
Jarak antara dua titik
Ketika kita belajar geometri Euclide, titik-titik direpersentasikan oleh titik-ttitik pada bidang koordinat. Titik-titik ini disimbolkan dengan sebuah huruf Kapital atau dengan sebuah pasangan bilangan real terurut yang menyatakan kedudukan titik pada bidang koordinat. Misal pada gambar berikut terdapat dua titik P (-2,-1) dan Q (1,3). Jarak antara titik P dan Q dapat ditentukan dengan membentuk sebuah segitiga sikusiku dengan
̅ sebagai hipotenusa. Misal dibentuk sebuah segitiga sebagai berikut:
Dengan demikian, diperoleh kaki-kaki segitiga dengan panjang masing-masing 3 dan 4 secara berurutan.Dengan menggunakan teorema Phytagoras, jarak titik P dan Q dapat dihitung sebagai berikut:
√ = 5. Jadi, (P, Q) = 5.
Secara umum, pada geometri Euclid jarak antara dua titik P(x1 , y1 ) dan Q(x2 , y 2 ) dirumuskan dengan:
Geometri Taxicab hampir sama dengan geometri Euclide. Titik dan garis pada geometri ini sama dengan titik dan garis pada Geometri Euclid. Sudutnya juga diukur dengan cara yang sama seperti di Geometri Euclid. Hanya fungsi jarak yang berbeda. Pada geometri Euclide, jarak minimum antara dua titik adalah garis lurus yang
menghubungkan langsung dua titik tersebut, sedangkan pada geometri Taxicab, jarak kedua titik diilustrasikan sebagai banyak blok yang harus ditempuh oleh sebuah taksi dari titik P ke titik Q dengan latar daerah atau kota seperti di Manhattan dimana jalan jalan ditata seperti kotak-kotak persegipanjang.
Jadi, untuk menuju Q dari P, sebuah taksi dapat menempuh lintasan ke barat atau ke timur dan ke utara atau ke selatan. Artinya, jarak antara titik P dan Q adalah panjang jalur terpendek dari P ke Q yang terdiri dari segmen garis yang sejajar atau tegak lurus terhadap sumbu-x. Pada geometri Taxicab ada banyak kemungkinan jalur minimum antara dua titik. Untuk contoh di atas, jarak titik P dan Q pada geometri Taxicab adalah
(P, Q) = 3+4 = 7. Secara umum, pada geometri taxicab jarak antara dua titik P(x1 , y 1 ) dan Q(x2 , y 2 ) dirumuskan dengan:
| | | | Dengan kata lain, jarak didefinisikan sebagai jumlah dari jarak horizontal dan vertikal dari dua titik. Ini adalah jarak minimum pada geometri Taxicab yang akan diperlukan dalam melakukan perjalanan untuk mencapai titik Q dari titik P , jika semua jalan-jalan hanya berorientasi horizontal dan vertikal. Secara umum, jarak pada geometri Euclid dan Taxicab sama yaitu ketika kedua titik terletak di sepanjang garis horizontal atau vertikal yang sama.
Misalkan l adalah sebuah garis melalui titik P(x1 , y1 ) dan Q(x2 , y2 ) dan l tidak sejajar dengan sumbu- x maupun sumbu-y. Dengan demikian x1
x
2 dan y1
y
2 , misal
l
bergradien m, maka m= . Dengan demikian, hubungan antara jarak titik P dan Q
pada geometri Euclide
(P, Q) dan jarak titik P dan Q pada geometri Taxicab (P, Q)
dapat dirumuskan sebagai berikut:
|| (P, Q) = √ (P, Q) Artinya jarak titik P dan Q pada geomeri Taxicab merupakan sebuah hasil perkalian jarak titik P dan Q pada geometri Euclide dengan sebuah bilangan real positif tertentu yang konstan untuk setiap dua titik pada sebuah gatis ( l) tersebut.
Jarak Titik ke Garis Pada geometri Euclide, jarak titik ke garis, msal titik A ke garis l dapat dientukan dengan cara mengonstruksi sebuah garis tegak lurus terhadap garis l melalui A yang misal memotong garis l di titik B. Jarak titik A ke garis l diidentifikasi sebagai jarak dari titik A ke titik B.
Cara lain dalam memvisualisasikan jarak titik ke garis pada geometri Eclide adalah dengan cara mengonstruksi lingkaran melalui titik pusat A sedemikian hingga lingkaran tersebut menyinggung garis l (garis l merupakan garis singgung lingkaran yang dikonstruksi). Pada kasus ini, jarak titik A ke garis l diidentifikasi sebagai panjang hjari-jari lingkaran tersebut (jarak titik A ke B).
. Dengan pendekatan yang sama, maka dapat ditentukan jarak titik ke garis pada geometri Taxicab.
Lingkaran Taxicab yang dikonstruksi dengan titik pusat A menyinggung garis l pada titik B. Pada gambar pertama (a), jarak titik A ke garis l sama dengan panjang jari-jari lingkaran yang berupa segmen garis vertikal. Hal ini akan berlaku bila garis l memiliki nilai mutlak gradien kurang dari 1. Selanjutnya pada gambar (b) jarak titik A ke garis l sama dengan panjang jari-jari lingkaran yang berupa segmen garis horizontal. Hal ini akan berlaku bila garis l memiliki nilai mutlak gradien lebih dari dari 1. Terakhir, pada gambar (c), terdapat tak hingga banyak jari-jari lingkaran yang menyinggung garis l, sehingga jarak titik A ke garis l sama dengan panjang jari-jari lingkaran yang berupa segmen garis horizontal atau garis vertikal. Hal ini akan berlaku bila garis l memiliki
nilai mutlak gradien sama dengan 1. Dengan demikian, kedudukan (gradien) garis akan mempengaruhi cara pengukuran jarak dari sebuah titik terhadap garis tersebut. Berdasarkan uraian di atas, maka dapat dirangkum jarak titik ke garis dibedakan menjadi tiga kasus. 1.
Jika garis memiliki nilai multak gradien kurang dari 1, maka ukuran jarak dari titik ke garis adalah sepanjang segmen garis vertikal yang menguhungkan titik pada garis tersebut.
2.
Jika garis memiliki nilai multak gradien lebih dari 1, maka ukuran jarak dari titik ke garis adalah sepanjang segmen garis horizontal yang menguhungkan titik pada garis tersebut.
3.
Jika garis memiliki nilai multak gradien sama dengan 1, maka ukuran jarak dari titik ke garis adalah sepanjang segmen garis vertikal atau segmen garis horizontal yang menguhungkan titik pada garis tersebut
C. IRISAN KERUCUT PADA TAXICAB
Konsep jarak berpengaruh besar terhadap suatu geometri. Semua unsur-unsur dalam irisan kerucut, baik luas ataupun volumenya bergantung pada makna jarak yang digunakan. Karena konsep jarak pada geometri Taxicab berbeda dengan konsep jarak pada geometri Euclid, maka irisan kerucut (lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips) pada geometri ini juga berbeda. Bahkan, beberapa diantaranya sangat berbeda, sehingga mungkin akan mengejutkan. Namun perbedaan tersebut didasarkan pada asumsi dasar dalam geometri Taxicab. 1. Lingkaran dalam Geometri Taxicab
Pada geometri Euclid dan Taxicab, lingkaran didefinisikan sama yaitu tiktik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang disebut titik pusat. Namun, karena gagasan jarak di kedua geometri ini berbeda maka bentuk lingkarannya juga berbeda. Pada geometri Euclid, himpunan semua titik yang berjarak sama terhadap suatu titik A terlihat seperti gambar 4. Sedangkan pada geometri Taxicab, himpunan semua titik yang berjarak sama terhadap suatu titik A terlihat seperti di gambar 5. Lingkaran 0
Taxicab berbentuk persegi dengan sisi yang berorientasi pada sudut 45 terhadap sumbu koordinat.
Gambar 5 : lingkaran pada geometri Taxicab
Gambar 4 : lin karan ada eometri Euclid
Persamaan lingkaran Menurut definisinya, lingkaran yang berjari-jari r dan berpusat pada titik (a,b), setiap titik (x,y) pada lingkaran tersebut harus berjarak r dari pusat. Dengan menggunakan rumus jarak geometri Taxicab, yaitu jarak dari (a,b) ke titik (x,y) pada lingkaran, maka persamaan umum untuk lingkaran geometri Taxicab berjari-jari r berpusat di (a,b) adalah :
| | | | Dengan demikian, berdasarkan definisi jarak, dapat ditentukan persamaan lingkaran pada Taxicab dengan pusat di (0,0) adalah 2
|| || , berbeda dengan 2
persamaan lingkaran pada geometri Euclid, yaitu x + y =1.
Keliling lingkaran Keliling lingkaran adalah panjang gais terluar pada bidang datar. Lingkaran pada geometri Taxicab berbentuk persegi yang memiliki empat sisi yang sama panjang, dengan jari-jari r. Panjang tiap sisi berdasarkan konsep jarak pada geometri Taxicab adalah 2r. Dengan demikian, keliling lingkaran adalah 8r.
Nilai
Pada geometri Taxicab, definisi nilai π sama dengan geometri Euclid, yaitu
suatu bilangan konstan yang merupakan rasio dari keliling lingkaran dengan diameternya. Karena keliling lingkaran pada geometri Taxicab adalah 8r, maka nilai π dalam geometri ini adalah 4.
Luas lingkaran Pada geometri Taxicab metrik panjang setiap sisi lingkaran dengan radius r adalah 2r. Kita dapat menghitung luas lingkaran Taxicab dengan mempertimbangkan panjang horizontal dan vertikalnya. Lingkaran Taxicab dapat dibagi menjadi empat segitiga sama kaki yang kongruen masing-masing dengan sebuah alas dan tinggi r . Hal ini penting untuk diperhatikan bahwa rumus untuk luas berdasarkan fakta yaitu alas dan tinggi di ukur horizontal dan vertical.
Luas empat segitiga = Luas segitiga =
Jadi, luas lingkaran Taxicab (A) =
Selain itu, rumus luas lingkaran dapat ditulis menggunakan panjang dari empat sisi kongruen dari lingkaran taxicab (s ). Karena panjang setiap sisi apada lingkaran Taxicab adalah dua kali jari-jari lingkaran Taxicab (2r ), maka dapat disubtitusikan
2
s=2r atau r = pada rumus luas lingkaran yang telah diperoleh sebelumnya (A=2r ). Hasilnya adalah rumus untuk luas lingkaran bila diketahui panjang sisinya, yaitu
() = . 2. Parabola dalam Geometri Taxicab
Sebuah parabola adalah titik-titik yang memiliki jarak sama dari sebuah titik tetap (focus) dan sebuah garis tetap (directrix). Berikutadalah ilustrasi sebuah parabola dengan sebuah titik tetap dan garis tetap. Untuk mensketsa parabola bila diketahui sebuah garis tetap dan titik tetapnya dibedakan menjadi empat kasus, yakni dibedakan berdasarkan posisi garis tetap.
1. Bila garis tetap sejajar sumbu- x
B
A
V
Buatlah garis vertikal dan horizontal melalui titik fokus. Tentukan titik puncak (vertex) dari parabola, yaitu titik tengah dari segmen vertikal dari titik fokus ke garis tetap misal titik M. Misal panjang segmen tersebut adalah d, maka tentukan titik pada garis horizontal yang melalui titik fokus dengan jarak d di sebelah kiri dan sebelah kanan titik fokus, misal titik A dan B. Buat segmen dan
̅
̅. Melalui titik A dan B, buatlah sinar garis vertikal dengan titik pangkal
kedua titik tersebut menjauhi garis tetap. Parabola tela h dikonstruksi. 2. Bila garis tetap sejajar sumbu- y A
V
f
B
Buatlah garis vertikal dan horizontal melalui titik fokus. Tentukan titik puncak (vertex) dari parabola, yaitu titik tengah dari segmen horizontal dari titik fokus ke garis tetap misal titik M. Misal panjang segmen tersebut adalah d, maka tentukan titik pada garis vertikal yang melalui titik fokus dengan jarak d di atas dan bawah titik fokus, misal titik A dan B. Buat segmen
̅ dan ̅. Melalui
titik A dan B, buatlah sinar garis horizontal dengan titik pangkal kedua titik tersebut menjauhi garis tetap. Parabola telah dikonstruksi.
3. Bila garis tetap bergradien 1 atau -1
f
B
A
Buatlah garis vertikal dan horizontal melalui titik fokus memotong garis tetap membentuk dua segmen yang menghubungkan titik fokus ke titik tetap. Tentukan titik tengah dari tiap-tiap segmen tersebut, misal titik A dan B. Buat segmen
̅ .
Melalui titik A buatlah sinar garis horizontal dengan titik pangkal di A menjauhi garis tetap, sedangkan melalui titik B buatlah sinar garis horizontal dengan titik pangkal di B menjauhi garis tetap. Parabola telah dikonstruksi 4. Bila garis tetap tidak sejajar sumbu- x, garis tetap tidak sejajar sumbu- y, dan tidak bergradien 1 atau -1
B
A V
Misal garis tetap memiliki nilai mutlak gradien kurang dari 1, buat segmen vertikal dari titik fokus memotong garis tetap (bila garis tetap memiliki nilai mutlak gradien lebih dari 1, buat segmen horizontal dari titik fokus memotong
garis tetap). Tentukan titik puncak parabola, yaitu titik tengah dari segmen vertikal tersebut. Selanjutnya akan ditentukan gradien dari dua segmen pada parabola yang melalui titik puncak. Misal gradien dari garis tetap adalah gradien segmen pertama dan kedua berturut-turut adalah
, maka
dan . Tentukan
persamaan-persamaan garis yang masing-masing memuat segmen garis tersebut (dengan diketahui gardien dan sebuah titik yang dilaluinya, yaitu titik puncak parabola). Lukis kedua garis tersebut sehingga memotong garis horizontal melalui titik fokus, misal di titik A dan B. Dari tiap-tiap titik tersebut, buatlah sinar garis vertikal dengan titik pangkal di A dan B menjauhi garis tetap.
Contoh: Gambarlah parabola dengan garis tetap (direktriks) y=x – 4 dan sebuah titik tetap F (-2,2). Dalam Taxicab, persamaannya adalah dalam bentuk tiga baris, yaitu y=-2, y=x, dan x=2.
3. Gambar 6 : arabola dalam eometri Taxicab
4. Hiperbola dalam Geometri Taxicab
Hiperbola pada geometri Euclid dan Taxicab didefinisikan sebagai sebuah himpunan titik-titik yang mana selisih jarak setiap titik tersebut terhadap dua titik tetap selalu sama. Untuk titik tetap A(a,b) dan B(h,g), himpunan titik-titik yang memiliki selisih jarak terhadap dua titik tetap yang selalu konstan ditentukan oleh persamaan berikut :
| | | |
Berikut merupakan ilustrasi sebuah hiperbola pada geometri Taxicab dengan titik tetap A dan B dengan selisih konstan nol. Dapat dilihat bahwa hiperbola hanya berbentuk sebuah branch.
Berikut ilustrasi sebuah hiperbola pada geometri Taxicab dengan titik tetap A dan B dengan selisih konstan 4. Dapat dilihat bahwa hiperbola berbentuk dua buah branch dengan panjang tak terbatas.
Berikut ilustrasi lain dari sebuah hiperbola pada geometri Taxicab dengan titik tetap A dan B dengan selisih konstan 2. Dapat dilihat bahwa hiperbola berbentuk dua buah branch yang masing-masing merupakan himpunan titik-titik tak terbatas, satu
terletak pada sektor bangun datar di kiri atas dan satu terletak pada sektor bangun datar di kanan bawah, dimana masing-masing memiliki ‘ekor’ dengan panjang tak terbatas.
Berikut ilustrasi dari sebuah hiperbola pada geometri Taxicab dengan titik tetap A dan B dengan selisih konstan 8. Hampir sama dengan sebelumnya, dapat dilihat bahwa hiperbola ini berbentuk dua buah branch yang masing-masing merupakan himpunan titik-titik tak terbatas, namun satu terletak pada sektor bangun datar di kanan atas dan satu terletak pada sektor bangun datar di kiri bawah, dan masing-masing tidak memiliki ‘ekor’.
Untuk mensketsa hiperbola bila diketahui dua titik fokusnya misalnya titik A ( xa , ya) dan B ( xb , yb) dengan instruksi selisih jarak dari titik ke kedua titik fokus tersebut adalah d dibedakan menjadi empat kasus, yakni dibedakan berdasarkan posisi garis yang mneghubungkan kedua titik fokus tersebut, disebut garis fokus. 1. Bila garis fokus sejajar sumbu- x
B
A
Untuk kasus ini dapat dibuat parabola berupa dua buah garis vertikal. Misal jarak antara titik A dan B adalah n, maka persamaan kedua garis vertikal yang merupakan hiperbola tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:
x1= xa+ (n-d) dan x2= xb- (n-d) 2. Bila garis fokus sejajar sumbu- y A
B
Untuk kasus ini dapat dibuat parabola berupa dua buah garis horizontal. Misal jarak antara titik A dan B adalah m, maka persamaan kedua garis vertikal yang merupakan hiperbola tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:
x1= xa - (m-d) dan x2= xb + (m-d)
3. Bila garis fokus bergradien 1 atau -1
,
(
A
B
,
(
Buatlah garis vertikal dan horizontal melalui kedua titik fokus. Misal jarak antara dua garis horizontal yang melalui kedua titik fokus adalah m, dan jarak antara dua garis horizontal yang melalui kedua titik fokus adalah n. Akan ditentukan persamaan alley (garis yang tidak vertikal maupun tidak horizontal pada parabola. Tentukan nilai (
)
yang merupakan jarak antara titik
perpotongan garis vertikal atau horizontal yang melalui titik fokus dengan alley terhadap titik fokus terdekat. Lalu tentukan persamaan alley sebagai berikut: y1= -x + y2= -x +
( ), dan + ( )
Setelah itu, pada setiap titik perpotongan persamaan tersebut dengan garis horizontal dan vertikal dari titik fokus yang bersesuaian, maka buatlah sinar garis secara berurutan vertikal dan horizontal menjauhi garis fokus dengan titik pangkal di setiap titik perpotongan tersebut. Parabola telah dikonstruksi.
4. Bila garis tetap tidak sejajar sumbu- x, garis tetap tidak sejajar sumbu- y, dan tidak bergradien 1 atau -1
,
( A
,
(
B
Sama seperti sebelumnya, buatlah garis vertikal dan horizontal melalui kedua titik fokus. Misal jarak antara dua garis horizontal yang melalui kedua titik fokus adalah m, dan jarak antara dua garis horizontal yang melalui kedua titik fokus adalah n. Akan ditentukan persamaan alley (garis yang tidak vertikal maupun tidak horizontal pada parabola). Tentukan nilai (
)
yang merupakan jarak
antara titik perpotongan garis vertikal atau horizontal yang melalui titik fokus dengan alley terhadap titik fokus terdekat. Lalu tentukan persamaan alley sebagai berikut:
( ), dan ). y2= -x + + ( y1= -x +
Setelah itu, pada setiap titik perpotongan persamaan tersebut dengan garis horizontal dan vertikal dari titik fokus yang bersesuaian, maka buatlah sinar garis secara berurutan vertikal dan horizontal menjauhi garis fokus dengan titik pangkal di setiap titik perpotongan tersebut. Parabola telah dikonstruksi.
Contoh: Gambar berikut adalah hiperbola taxicab dengan titik tetap A(6,7) dan B(14,14), dengan jarak tetap d= 3
Gambar 7 : Hi erbola dalam eometri Taxicab
D. SUDUT DALAM TAXICAB Definisi t-radian adalah ukuran sudut dalam Taxicab yang titik sudutnya merupakan titik pusat
suatu lingkaran Taxicab dengan jari-jari satu satuan dan memotong busur lingkaran dengan panjang satu satuan.
Oleh karena itu, lingkaran satuan Taxicab mempunyai sudut penuh 8 t-radian karena keliling lingkaran satuan Taxicab adalah 8. Untuk informasi tambahan, sudut
, dan
π
radian pada geometri Euclid masing-masing nilainya sama dengan 1, 2, dan 4 t-radian pada geometri Taxicab.
Teorema berikut menunjukkan cara untuk menentukan ukuran sudut Taxicab untuk sudut-sudut Geometri Euclid yang telah diketahui.
Mengubah ukuran dari sudut Euclid ke sudut taxicab
Jika diberikan sebuah sudut Euclid θ e dalam posisi standar, maka dapat diturunkan sebuah formula untuk ukuran taxicab dari sudut tersebut.
Teorema 1
pada posisi standar mempunyai ukuran taxicab :
Sebuah sudut lancip Euclid
Bukti: Satu sinar garis sudut adalah garis yang melewati titik asal dengan kemiringan
.
Jadi, ukuran taxicab θ dari sudut Euclid sama dengan jarak taxicab dari (1,0) ke perpotongan garis y = -x + 1 dan y = x
. Koordinat X dari perpotongan ini adalah
Dan koordinat Y dari perpotongan tersebut adalah:
Oleh karena itu, jarak taxicab dari (1,0) ke titik perpotongan kedua garis tersebut adalah
| | | |
Definisi:
Sudut referensi dari sudut adalah sudut terkecil antara dengan sumbu X.
Corollary Teorema 1
Jika sebuah sudut lancip pada geometri Euclide θ e dengan sudut referensi φe yang termuat dalam satu kuadran, maka sudut tersebut dala geometri Taxicab memiliki ukuran berikut:
Dari Corollary tersebut, didapatkan bahwa sudut yang sama pada geometri Euclide tetapi berada pada posisi yang beda akan memiliki ukuran yang berbeda pula pada geometri Taxicab, Sudut dalam Taxicab akan sama bila ditranslasikan, namun belum tentu sama bila dirotasikan.
E. Sudut siku-siku
Salah satu sudut terpenting dalam geometri Euclid adalah sudut siku-siku yang ukurannya
0
sama dengan radian atau 90 . Secara umum, untuk sudut yang sama, sudut pada Euclid akan mempunyai perbedaan dengan ukuran sudut taxicab bergantung pada posisinya. Tetapi hal ini tidak berlaku untuk sudut siku-siku.
Teorema 2
Ukuran taxicab pada sebarang sudut siku-siku Euclid adalah 2t-radian.
Bukti : Tanpa mengurangi keumuman arti, misalkan θ adalah sudut siku-siku Euclid yang melalui sumbu- y. Seperti ditunjukkan pada gambar di atas, bagi θ menjadi dua sudut Euclid
dan
dengan sudut referensi dan . Gunakan corollary sebelumnya dan fakta bahwa dan , kita lihat bahwa ukuran taxicab pada sudut siku-siku adalah:
) ( Theorem 3 (Panjang Busur)
Panjang s pada busur lingkaran Taxicab bejari-jari r dengan sudut pusat θ t-radian adalah s = rθ .
Busur lingkaran pada Taxicab adalah hasil perkalian dari sudut pusat dan lingkaran.
jari-jari
Daftar Pustaka Gardner,
M.
(1997).
The
Last
Recreations:
Hydras,
Eggs.
And
Pther
MathematicalMystification. New York: Springer-Verlag NewYork, Inc. Krause, E. F. (1975). Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry. Mineola: Dover Publications, Inc. Posamentier, A. S. (2000). Making Geometry Come Alive:Student Activities & Teacher Notes. California: Corwin Press, Inc. Lee, J. M. (1950). Axiomatic Geometry. Rhode, USA: American Mathematical Society. Martin, G. (1932). The Foundation of Geometry and the Non-Euclidean Plane. M. New York: Springer-Verlag New York, Inc.
