MATEMÁTICAS A APLICADAS E EN INGENIERÍA Q QUÍMICA
Heberto Tapias García Luz Amparo Palacio Santos
Universidad de Antioquia Medellín Marzo de 2009
9 Un volumen de control apropiado en una fase puede elegirse por ensayo y error, cuando no se tiene experiencia en el proceso de modelación matemática. Se considera apropiado un volumen de control elegido, comprobando que efectivamente las variables características especificadas para esta verificación tengan, en un instante dado, el mismo valor en cualquier punto dentro del volumen de control. Cuando alguna de esas variables características no cumpla esta condición en el volumen de control, debe elegirse otro, hasta que se cumpla la condición de constancia en los valores de ellas. En la búsqueda de un volumen de control apropiado es conveniente iniciar con un volumen de control finito, el cual puede coincidir con el volumen total de la fase, continuar luego con volúmenes semifinitos, luego infinitesimales, y por último con un punto como opción final. Este procedimiento es aplicable en sistemas sólidos y fluidos en reposo o con flujo en régimen laminar. Un caso especial lo constituyen aquellos sistemas en los que se presenta flujo turbulento. En estos sistemas no se pueden usar volúmenes infinitesimales, sino semifinitos como mínimo, en virtud de que no es posible conocer valores puntuales de las variables características, por las fluctuaciones que tienen ellas con el tiempo, aún en estado estacionario. En estos casos la contabilidad de la masa, la energía y la cantidad de movimiento se realiza con valores promedios de las variables características asignados al volumen de control apropiado. En la elección del volumen de control apropiado debe tenerse en cuenta también que las superficies de control del volumen sean normales a las líneas de flujo de las entidades (masa, energía o cantidad de movimiento) que fluyen hacia o desde el volumen de control. Son volúmenes de control apropiados, por ejemplo, el volumen de la masa reaccionante en un reactor de tanque agitado perfectamente mezclado; un disco de espesor diferencial y el mismo diámetro del reactor en un reactor tubular con flujo turbulento; y un anillo coaxial con el reactor, de espesor y altura infinitesimal, en un reactor tubular real con flujo laminar. En la figura 2 se muestran ejemplos de volúmenes de control.
1.2.5. Ecuaciones básicas Una vez se tenga un volumen de control apropiado se pueden escribir las ecuaciones básicas del modelo. Ellas son relaciones que involucran las variables características y parámetros con las variables independientes que denotan tiempo y posición espacial en el sistema. Las ecuaciones básicas resultan de la aplicación de los principios de conservación de masa, conservación de energía y de conservación de cantidad de movimiento. Esta contabilidad podrá hacerse para todas las variables fundamentales que se usarán en la descripción del sistema y en todos los volúmenes de control que puedan elegirse. En principio, pueden elegirse tantos volúmenes de control como fases haya presentes en el sistema.
10
F1, z1, T1
n A,y+dy n A A,x ,x
n A,x+dx
dy y x
n A,y dx
F2, z2, T2
(d)
(a)
R F, c, T
F + dF, c + dc, T + dT
(b) z
dz
n A,r+dr dr n A,r
r n A,z
R n A,z+dz
(c) z dz
Figura 2. Ejemplos de volúmenes de control: (a) Finito en un tanque agitado, (b)
semifinito en un reactor tubular con flujo turbulento, (c) infinitesimal en un reactor tubular con flujo laminar y (d) en la masa de líquido retenido sobre un plato de contacto gas-líquido 1.2.6. Relaciones específicas o constitutivas
Si las ecuaciones básicas no son suficientes para completar el modelo matemático, porque existen más variables dependientes y parámetros desconocidos que
12 describen el comportamiento de dispositivos, de componentes de los sistemas o equipos como los coeficientes de una válvula, la altura equivalente de plato teórico, la eficiencia de plato, la relación de reflujo mínimo o el número mínimo de etapas de separación. Ejemplo 1: Formule un modelo matemático para un vaporizador de un líquido puro. Representación esquemática y condiciones de operación En la gráfica se ilustra un sistema vaporizador de forma cilíndrica. El calentamiento se hace con vapor de H2O saturado a la presión Ps. El recipiente tiene un volumen total Vo y diámetro D. Se asumirá que el líquido y el vapor se mantienen en equilibrio y que el calentamiento se hace esencialmente a través de la fase líquida. Fv Po Cv2 Pv
Vapor de agua
s
mv
Control presión
T Ts
h mH2O
FL Cv1
Variables dependientes fundamentales Las variables fundamentales para la descripción del comportamiento del sistema son la masa y la energía en virtud de que se presentan fenómenos de transferencia de masa y de calor. Especificación de las variables características
13 Para la masa las variables características son los flujos másicos, la densidad del líquido y la densidad del vapor; y para la energía la presión, la temperatura y el nivel del líquido. Volúmenes de control Los volúmenes de control apropiado son tres (tantos como fases hay presentes en el sistema): el volumen de la fase líquida, el volumen de la fase de vapor del líquido y el volumen del vapor en la chaqueta de calentamiento. En los tres volúmenes de control se cumple la constancia de las variables características, densidad y temperatura; solo la presión tiene variación en la fase líquida, pero se considerará despreciable esta variación para efectos de la selección del volumen de control. Ecuaciones básicas del modelo Aplicando los principios de conservación de masa y de energía en los tres volúmenes de control se obtienen las siguientes ecuaciones básicas.
Conservación de masa F L mv
mv
d
dt
F V
m
d dt
L
m G
Fase líquida
(1)
Fase gaseosa
(2)
Conservación de energía q F L H Lo
mv H V
d dt
H TL Fase líquida
(3)
Ecuaciones específicas o constitutivas Como existen nueve variables dependientes ( F L , mV , m L , F V , mG , q, H Lo , H V , H TL) en las ecuaciones básicas y solo cuatro ecuaciones, el modelo debe completarse con ecuaciones específicas para el sistema: m L
P V V G
D 2 4
h l
mG RT M
(4)
(5)
14
V G
V o
F L
D
PL
C V
HV
ln P s
H Lo C P
L
Dh
ln P V C P
2
(12) (13) (14)
T )
Ao
Bo
T s
C p Lo (T 1
(15)
T o )
(16) (17)
C o
a bT B0
(18)
T C 0
a bTo
T k 1 Tc H O
(11)
A0
Lo
)
mL H L
q UAT (T s
(8) (9) (10)
T o
L
P o
T o )
CP (T
(7)
L
HTL
P
L gh
C P (T
H L
AT
P V
2
P P V
(6)
4
1
F V
h
CV
2
0.38
(19)
(20)
T k H O 1 s Tc H O 2
0.38
(21)
2
q
m H O H O 2
2
(22) Con estas ecuaciones aparecen otras 11 v ariables dependientes: P V , V G , T, P, C PL , , AT , T s , C Plo , m H2O , H2O.
Definición de variables y parámetros AT Ao , Bo , C o , A, B, C C PL , C PLo C V1 , C V2
: Área de transferencia de calor, m 2 : Parámetros de la ecuación de Antoine : Capacidades calóricas del líquido, Joule mol-1 K-1 : Capacidad calórica del líquido alimentado, Joule mol -1 K-1 : Coeficientes de las válvulas de entrada del líquido y de salida del vapor del líquido, mol s -1 Pa -0.5
15 F L F V H Lo H L H V h mv mG m H2O M P o P L P P V
R Ps
q T L T o T s T c , Tc H2O V G V o U L H2O
a, b k, k H2O
: Flujo másico de entrada del líquido. mol s -1 : Flujo másico de salida de vapor, mol s-1 : Entalpía del líquido de entrada a T 0, Joule mol-1 : Entalpía del líquido en el recipiente a T , Joule mol -1 : Entalpía del vapor del líquido a T, Joule mol -1 : Altura del nivel del líquido, m : Rata másica de vaporización, mol h -1 : Masa de vapor en la fase gaseosa, mol : Rata de condensado en la chaqueta, m3 s-1 : Peso molecular de la sustancia que se está vaporizando, g mol-1 : Presión en la descarga del vapor, Pa : Presión del líquido de alimentación, Pa : Presión en el fondo del tanque, Pa : Presión en la fase de vapor, Pa : Constante de los gases, Pa m3 mol-1 K-1 : Presión en la chaqueta de calentamiento, Pa : Rata de transferencia de calor, Joule s-1 : Temperatura del líquido de alimentación, K : Temperatura de referencia, K : Temperatura en la chaqueta, K : Temperatura crítica del líquido y del agua, K : Volumen de la fase gaseosa, m 3 : Volumen total del recipiente, m 3 : Coeficiente de transferencia de calor, Joule s-1 m-2 K-1 : Densidad del líquido a T, g m -3 : Calor de vaporización del líquido, Joule mol -1 : Calor de vaporización del agua a T s, Joule mol-1 : Parámetros de la ecuación para cálculo de la capacidad calórica : Parámetros en la ecuación para el estimado de los calores de vaporización del líquido y del agua, Joule mol-1
E jemplo 2:
Formule un modelo matemático de un destilador Batch, para una mezcla de tres componentes que va a ser parcialmente separada.
Representación esquemática y condiciones de operación
16
V
yi Control presión
TJ Q
h
T xi
El destilador se calienta por medio de una chaqueta y se mantiene a una temperatura T J controlando la presión. El flujo de calor de la chaqueta al destilador será: Q = 5000(T J -T)
El destilador opera a presión atmosférica y se asumirá que los tres componentes forman una mezcla ideal. Variables dependientes fundamentales Las variables fundamentales para la descripción del comportamiento del sistema son la masa y la energía en virtud de que se presentan fenómenos de transferencia de masa y calor. Especificaciones de las variables características Para la masa las variables características son la densidad, altura, diámetro y fracciones molares; y para la energía la presión, la temperatura y el nivel del líquido. Volúmenes de Control Hay tres volúmenes de control: el volumen del líquido en el destilador, el volumen del gas en el destilador y el volumen del vapor en la chaqueta.
Ecuaciones básicas del modelo
Conservación de masa:
17 0
0
0
dmt dt
d
(1)
m A Vy A
(2)
m B Vy B
(3)
dt d dt
Fase líquida
V
No se plantea la ecuación de conservación de masa en la fase de vapor pues se asume que el vapor que se genera inmediatamente se retira o porque la masa de vapor retenida es prácticamente despreciable. Conservación de energía:
d
Q
dt
HTL VHV
Fase líquida
(4)
No se plantea una ecuación de conservación de energía en la fase gaseosa porque se consideró que el vapor generado es inmediatamente retirado del vaporizador o porque la masa que permanece retenida es despreciable. Ecuaciones específicas o constitutivas Como existen 9 variables dependientes ( V, m A , m B , m ,t y A , y B , H TL , H V , Q) en las ecuaciones básicas y sólo cuatro ecuaciones, el modelo debe completarse con ecuaciones específicas para el sistema: D 2 h
mt
(5) m A
m B
mt x A
(6) (7)
mt x B
w A
1
M
4
0
w B
A
0
B
wC
M x A M A x B M B w A
x A M A
wC
(8)
C
xC M C
(9)
(10)
(11)
(12)
M x B M B
w B
0
M xC M C M
18 x A
x B
xC 1
H V yi y A
y B
yC
y A
0
ln P
A
0
ln P
B
0
ln P
C
C PL
T Tr
(14) (15)
P 0 P B x B
(16)
P 0 P C xC
(17)
P y B
yC
A A
A B
AC
aA
(18)
1
A A
(19)
(20)
T C A B B T C B BC
T C C
bAT
aB
b
C PL
aC
B
(21) (22) (23) (24)
b T
C
i
C PL
B
i C pL
P A0 x A
A
(13)
T
C
0.38
T A k A 1 T C (25) 0.38 T B k B 1 T C 0.38 T C k C 1 T C A
(26)
B
(27)
C
HTL
H L
mL H L
(28)
xiCPiLT Tr
Q 5000T J
T
(30)
Con estas ecuaciones aparecen otras 21 variables dependientes: 0 w B , wC , P A ,
0 P B ,
(29)
0
P C , x A , x B , xC , yC , A , B , C , C PLA , C PLB , C PLC , T, H L.
, M, w A ,
19
Definición de variables y parámetros : Moles totales de líquido, mol : Flujo molar de vapor, mol s -1 : Fracción molar de A, B y C en el líquido : Fracción molar de A, B y C en el gas : Fracción peso de A, B y C en el líquido : Entalpía del líquido, Joule mol-1 : Entalpía del gas, Joule mol-1 : Entalpía total del líquido, Joule : Flujo de calor transferido, Joule s-1 : Diámetro del recipiente, m2 : Nivel del líquido, m : Densidad del líquido, gm-3 A , B , C : Densidad de los componentes A, B y C puros a la temperatura T : Peso molecular promedio del líquido, g mol-1 M M A , M B , M C : Peso molecular de los componentes A, B y C, g/mol 0 0 P A , P B, P : Presión de vapor de A, B y C, Pa A A , B A , C A : Constantes de Antoine para el componente A A B , B B , C B : Constantes de Antoine para el componente B AC , BC , C C : Constantes de Antoine para el componente C : Temperatura de Referencia, K T r : Capacidad calórica del componente A líquido, Joule mol-1 K-1 C PLA : Capacidad calórica del componente B líquido, Joule mol-1 K-1 C PLB C PLC : Capacidad calórica del componente C líquido, Joule mol-1 K-1 : Parámetros de la ecuación para el cálculo de la capacidad calórica a A , b A del componente A : Parámetros de la ecuación para el cálculo de la capacidad calórica a B , b B del componente B : Parámetros de la ecuación para el cálculo de la capacidad calórica aC , bC del componente C :Calor de vaporización del líquido para los componentes A, B y C, A, B, C Joule mol-1 k A , k B , k C : Parámetros en la ecuación para el estimado de los calores de vaporización de los componentes A, B y C , Joule mol-1 T CA , T CB , T CC : Temperatura crítica de los componentes A, B y C, K mt V x A , x B , xC y A , y B , yC w A ,w B , wC H L H V H TL Q D h
0
C
1.3. Problemas propuestos 1. Formule un modelo matemático para un intercambiador de calor líquido-líquido en contracorriente (figura 3).
20 Tso
Fs
TTi
FT
TTo
TSi
Fi g ura 3. Intercambiador de calor
2. Formule un modelo matemático para una cámara roceadora para desorber amoníaco (figura 4).
Fig ura 4. Cámara roceadora
3. Desarrolle un modelo matemático para un separador líquido-vapor (figura 5). Antes de entrar al tanque el líquido pasa por un intercambiador de calor. La mezcla está compuesta por tres sustancias. Al sistema se le suministra una carga térmica constante.
21
Vo P T
F1
mG q h VL
Lo
Fig ura 5. Separador líquido-vapor
1.4. Bibliografía Bequette , B. W., “Process dynamics: modeling, analysis and simulation”, Prentice
Hall, New Jersey, 1998. Franks, R., "Modeling and simulation in Chemical Engineering", John Wiley & Sons, New York, 1972. Husain, A.,“Chemical process simulation”, John Wiley & Sons, New York, 1986. Rice, R., Duong, D., “ Applied mathematics and modeling for chemical engineers”,
Wiley, New York, 1995. Russell, T.W., Denn, M.M., "Introduction to Chemical Engineering analysis", John Wiley & Sons, New York, 1972. Smith, C., Pike, R., Murril, P., "Formulación and optimización of mathematical models", International texbook Company, Scranton,1970. Tapias, H., Palacio, L. A., “Modelación y análisis de sistemas en Ingeniería Química”, Ingeniería Química, Julio/Agosto, 2001.
CAPÍTULO II DIFERENCIAS FINITAS Y ECUACIONES DE DIFERENCIA TABLA DE CONTENIDO 2.1. Diferencias finitas ...........................................................................................23 2.1.1. El operador diferencia ..............................................................................23 2.1.2. Reglas generales del cálculo de diferencias............................................25 2.2. Diferencias en funciones especiales...............................................................26 2.3. Funciones factorial y polinomio factorial ........................................................27 2.3.1. Función factorial ......................................................................................27 2.3.2. Polinomio factorial...................................................................................29 2.3.3. El operador traslación ..............................................................................30 2.3.4. Notación suscrita para una función ..........................................................32 2.4. Operaciones sumas ................................ .......................................................33 2.4.1. El operador suma.....................................................................................33 2.4.2. Reglas generales de sumatoria................................................................33 2.4.3. Sumatoria de funciones especiales ..........................................................34 2.4.4. Teorema fundamental .............................................................................34 2.5. Ecuaciones de diferencias..............................................................................35 2.5.1. Solución de la ecuación diferencia ..........................................................37 2.5.2. Ecuaciones de diferencias lineales .........................................................38 2.5.3. Ecuaciones de diferencias lineales homogéneas .....................................39 2.5.3.1. Soluciones linealmente independientes .............................................39 2.5.4. Ecuaciones de diferencias lineales homogéneas con coeficientes constantes ................................................................................. ........................40 2.5.4.1. Caso 1: Todas las raíces son reales y diferentes .............................41 2.5.4.2. Caso 2: Algunas de las raíces son números complejos ....................41 2.5.4.3. Caso 3: Algunas de las raíces son iguales ........................................43 2.5.5. Ecuaciones de diferencias lineales no - homogéneas ..............................47 2.5.6. Métodos para encontrar soluciones particulares ......................................48 2.5.6.1 Método de los Coeficientes Indeterminados .......................................48 2.5.6.2 Método de los Operadores Inversos ...................................................51 2.5.7. Ecuaciones de diferencia no lineales .......................................................62 2.5.7.1 Soluciones gráficas .................................... ........................................62 2.5.7.2 Soluciones analíticas .........................................................................66 2.6. Ecuaciones diferenciales - diferencias............................................................74 2.6.1.Transformación de Laplace.......................................................................74 2.6.2. Transformadas elementales.....................................................................75 2.6.3. Transformadas inversas .................................................... ......................76 2.6.3.1. Método de la Integral de Convolución...............................................76 2.6.3.2. Método de los Residuos ...................................................................77 2.7. Problemas propuestos...................................................................................86 2.8 Bibliografía ......................................................................................................87
23
CAPITULO II. DIFERENCIAS FINITAS Y ECUACIONES DE DIFERENCIAS Los procesos químicos que involucran separación, purificación y reacciones químicas, generalmente utilizan unidades que desarrollan su operación en una serie de etapas. Estos tipos de procesos se analizan mediante el cálculo etapa por etapa, por métodos gráficos y en algunos casos mediante la solución de ecuaciones de diferencias.
2.1. Diferencias finitas 2.1.1. El operador diferencia El operador diferencia denota la diferencia que experimenta una función cuando hay un cambio finito en la variable independiente. Dada una función f x definida en el conjunto de los números reales, se define un operador , llamado operador diferencia, por:
f x f x h f x
h: Número positivo llamado desplazamiento
E jercicio 1: Encontrar la diferencia finita de 2 x
2 x
2
3 x 2 x h 2 x
2
2
2
3
3 x h 2 x
4 xh 2h
4 xh 2h
2
2
2
3 x
3 x 3h 2 x
2
3 x
3h
2
El operador es el operador diferencia de orden dos, y está definido como:
2
f x f x 2h 2 f x h f x
A esta fórmula puede llegarse aplicando el operador diferencia a la primera diferencia de la función f x :
24
f x f x f x h f x
2
f x
h f x f x 2h f x h f x h f x
f x 2h 2 f x
h f x n
En general, el operador diferencia de orden n, , está definido por la fórmula:
n
f x
n 1
f x
n 1r f x n r h r 0 r n
n n f x nh - f x n 1h ... 1 f x 1 Coeficientes binomiales. Número de combinaciones de n objetos, tomados de r en r.
n n! r r ! n r !
Esta receta puede obtenerse aplicando sucesivamente el operador diferencia n veces a la función f x , o sea:
n f x n f x n f x 1
2
n 2 veces f x
E jercicio 2: Encontrar la diferencia de orden 3 a la función x
4
1
3 x 1 1 f x 3 r h , f x x4 1 r 0 r 3 3 3 3 f x 3h f x 2h f x h f x 0 1 2 3 3
3
4
3! 3!0!
r
f x 3h
3! 2!1!
f x 2h
3! 1!2!
f x h
3! 0!3!
f x
