Probabilidad Probabilid ad y Estad´ıstica ıstica ´ Quiz 2 Taller preparaci´ preparacion
1. Un inversor inversor est´a considerando tres estrategias para invertir 1000 dolares. ´ Se estima que los rendimientos posi bles son los siguientes: erdida de 1000 con una probaEstrategia 1: 1: unos beneficios de 10000 con una probabilidad de 0.15 y una p´erdida bilidad de d e 0.85. Estrategia 2: 2: unos beneficios de 1000 con una probabilidad de 0.50, unos beneficios de 500 con una proba bilidad de d e 0.30 y una perdida e´ rdida de 500 con una probabilidad de 0.20. dolares. ´ Estrategia 3: 3: unos beneficios seguros de 400 d´ ¿Qu´e estrategia tiene un mayor beneficio esperado? ¿Aconsejar´ıa ıa necesariamente al inversor que adoptara esta R/. Es Estra trate tegia gia 1 estrategia? R/. 2. Un fabricante utiliza un producto determinado como materia prima. La cantidad que utiliza (en toneladas) en un d´ıa ıa puede describirse mediante la variable aletoria X , que tiene la funci´on on de densidad f ( f (x) =
1 e 4
x/4 x/4
−
x > 0
0
eoc
Encuentre la distribuc distribuciion ´ acumulada de X . R/. 1 a) Encuentre
−e
x/4 x/4
−
R/. 0.3 0.3678 678 Calcule la probabilidad probabilidad de que que la planta utilice utilice m´as de 4 ton en determinad dete rminado o d´ıa. ıa. R/. b) Calcule
c) ¿Qu´e cantidad del producto debe almacenarse para que la probabilidad de agotar la existencia sea de 0,05? R/. 11.9829 11.9829 d) ¿Cu´ R/. 0.1 0.1321 321 ¿Cual a´ l es la probabilidad de que se deban utilizar entre µ (mediana) y µ toneladas? R/.
´ de probabilidad conjunta f ( f ( 1, 0) = 0, f ( f ( 1, 1) = 14 , f (0 f (0,, 0) = 16 , f (0 f (0,, 1) = 0, 3. Si X y Y tiene la distribuci´ distribucion 1 1 f (1 f (1,, 0) = 12 , y f (1 f (1,, 1) = 2 , demuestre que:
−
−
Cov (X, Y ) Y ) = 0 a) Cov(
variables aleatorias no son independien independientes. tes. b) Las dos variables 4. Para la la operaci operaci´on o´ n diaria de una produccion o´ n industrial, denote con X la la cantidad de la venta y Y , los costos, en miles de d´ dolares,. o´ lares,. Suponga que las funciones de densidad de las dos variables est´ estan a´ n dadas por f ( f (x) =
La utilidad est´a dada por U = X
1 3 x e 6 0
x
−
x > 0 eoc
f ( f (y ) =
1 e 2
y/2 y/ 2
−
y > 0
0
eoc
− Y
a) Hallar la funci´on generadora de momentos de la variable aleatoria Y . R/.(1
− 2t)
1,
−
t < 1/ 1 /2
Encuentre la probabil probabilidad idad de que los costos est´en al menos una desviaci´on est´andar andar del costo esperado. b) Encuentre R/.0.1353 R/. 2 Encuentre la utilidad utilidad esperada. esperada. R/ c) Encuentre
d) Suponiendo que X y Y son independientes, encuentre Var(U) R/. 8 5. Un inversor tiene un capital de 3000 dolares, ´ invierte 2000 en una cuenta que tiene una tasa de rendimiento fija del 10% al a˜no, invierte los otros 1000 en un fondo que tiene una tasa esperada de rendimiento del 16 % y una desviaci´on t´ıpica del 8 % al a˜no. a) Hallar el capital total que espera tener el inversor al final del a˜no. R/. 3360 ˜ R/. 80 b) Hallar la desviaci´on est´andar del capital total despu´es de un ano. 6. Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y est´a dada por f (x, y) =
2 x > 0, y > 0, x + y < 1 0 eoc
a) Encontrar la densidad marginal de X. R/.g(x) = 2 b) Hallar la distribuci´on acumulada de X. R/. 2x
− 2x, 0 < x < 1
− x2, 0 < x < 1
c) Hallar una expresi´on para el (100 p)avo percentil para la variabel aleatoria X. R/. y = 1
d) Calcular P X + Y >
2 3
− √ 1 − p
.
7. El tiempo semanal de una CPU empleado por una firma de contadores tiene una funci´on de densidad de probabilidad (medida en horas) dada por f (x) =
3 2 x (4 64 0,
− x)
,0
≤x≤4
eoc
a) Hallar la probabilidad de que el tiempo semanal de la CPU est´e entre 1 y 3 horas. R/. 0.6875 b) El tiempo de la CPU le cuesta $200 por hora a la empresa. Encuentre el valor esperado y la varianza del costo semanal para la CPU. R/. 480 ; 25600 8. Si X es la cantidad de dinero (en d´olares) que un agente de ventas gaste en gasolina durante un d´ıa, y Y es la cantidad de dinero (en d´olares) correspondiente que le reembolsan, la densidad conjunta de estas dos variables aleatorias est´a dada por f (x, y) =
− 1 25 0,
20
x
x
x < y < x 2
10 < x < 20, e.o.c
a) Encuentre la densidad marginal de X. R/. g(x) =
20 x , 50
−
b) Encuentre la distribuci´on acumulada de X. R/. F (x) =
40x
10 < x < 20
− x2 − 300 , 100
10 < x < 20
c) Hallar la probabilidad de que el agente de ventas gaste m´as de $ 15 d´olares. R/. 0.25 9. Una compa˜n´ıa de seguros ofrece a sus tenedores de poliza ´ varias opciones diferentes para el pago de primas. Para un tenedor seleccionado al azar, sea X el n´umero de meses entre pagos sucesivos. La distribuci´on de
probabilidad acumulada (fdpa) est´a dada por:
F (x) =
a) Calcular P (3
≤ X ≤ 6) R/.
0.30
0 x < 1 0,30 1 x < 3 0,40 3 x < 4 0,45 4 x < 6 0,60 6 x < 12 1 x 12
≤ ≤ ≤ ≤ ≥
b) Hallar la funci´on masa de probabilidad de X . 10. La funci´on de densidad de probabilidad conjunta de X y Y est´a dada por: f (x, y) =
30xy 2 0
x 1 e.o.c
− ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1
a) Hallar la densidad marginal de Y . R/. h(y) =
15(1 + y)2 y 2 15y2 (1 y)2
−
−1 ≤ y < 0 0 ≤ y ≤ 1
b) Encuentre E (Y ). R/. 0 c) Encuentre P
≤ X 2
4 9
Y . R/.
d) Encuentre P (Y > 0 X < 0,75). R/. 0.4999
|
e) Encuentre P (X
≤ Y ). R/.
0.3437
11. Una barra de 12 pulgadas, que est´a sujeta por ambos extremos, debe someterse a una creciente cantidad de esfuerzo hasta que se rompa. Sea X la distancia desde el extremo izquierdo en el que ocurre la rotura y suponga que X es una variable aletoria con la funci´on de densidad de probabilidad dada por: f (x) =
Calcular:
− 1 x 1 24 0
x 12
0
≤ x ≤ 12
e.o.c
a) La distribuci´on de probabilidad acumulada de la variable aleatoria X . R/. b) P (4
≤ X < 6). R/.
0.2407
1 24
− x2 2
x3 36
,0
≤ x ≤ 12
c) La probabilidad de que el punto de rotura ocurra a m´a s de 2 pulg del punto esperado de rotura. R/. 0.5185 12. Un negocio de computadoras que atiende pedidos por correo tiene seis l´ıneas telef o´ nicas. Denotemos por x el numero ´ de l´ıneas que estan ´ en uso en un momento espec´ıfico. Suponga que la fmp de X est´a dada por x f(x)
0 0.10
1 0.15
2 0.20
3 0.25
Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:
4 0.20
5 0.06
6 0.04
{ A lo sumo tres l´ıneas est´an en uso}. R/. 0.7 b) { por lo menos tres l´ıneas est´an en uso}. R/. 0.55 ´ en uso}. R/. 0.65 c) {entre 2 y 4 l´ıneas inclusive no estan d) {Por lo menos 4 l´ıneas no est´an en uso.} R/. 0.45 a)
13. La proporci´on de tiempo que un robot industrial funciona en una jornada laboral de 40 horas es una variable aleatoria cuya funci´on de distribuci´on acumulada est´a dada por:
F (x) =
0 x2 1
x < 0 0 x x > 1
≤ ≤1
a) Encuentre E (X ) y V ar(X ) R/. 0.6666; 0.055555 b) En el caso del robot que se est´a estudiando, el rendimiento semanal Y est´a dado por la expresi´on Y = 200X 60 . Determine e interprete la E (Y ) y V (Y ) . R/. 73.333, 2222,22
−
c) Calcule el percentil 80 de la distribuci´on. R/. 0.894 14. Encuentre la funci´on generatriz de momentos de la variable aleatoria que tiene la densidad de probabilidad:
f (x) =
1 2 x/2 x e 16 0 −
x > 0 e.o.c
Y usela ´ para determinar los valores de la media y la varianza. R/. M X (t) = (1
3
−
− 2t)
, t<
1 , E (X ) = 6 2
3 15. La probabilidad de que un inversionista vender´a una accion ´ con una ganancia de 3000 dolares ´ es 20 , la proba7 7 bilidad de que la vender´a con una ganancia de 1500 es de 20 , la probabilidad de que salga a mano es de 20 y la 3 probabilidad de que perder´a 1500 es de 20 . ¿Cu´al ser´a su ganancia esperada? R/. 750
16. Un inversor tiene 1000 para invertir y dos oportunidades de inversi´on, cada una de las cuales requiere un m´ınimo de 500. Los beneficios por cada 100 de la primera pueden representarse por medio de una variable aleatoria X que tiene la siguiente funci´on de probabilidad: P (X =
−5) = 0,4
P (X = 20) = 0,6
El beneficio por cada 100 de la segunda viene dado por la variable aleatoria Y cuya funci´on de probabilidad es P (Y = 0) = 0,6
P (Y = 25) = 0,4
Las variables aleatorias X y Y son independientes. El inversor tiene las siguientes estrategias posibles: 1000 en la primera inversi´on 1000 en la segunda inversi´on 500 en cada inversi´on
Hallar la media y la varianza de los beneficios generados por cada estrategia. R/. E (10X ) = 100, E (10Y ) = 100 = E (5X + 5Y ) .
17. Un contratista est´a interesado en conocer el costo total de un proyecto sobre el que intenta hacer una oferta. Estima que los materiales costaran 25 000 d´olares y su trabajo 900 dolares ´ diarios. Si se necesitan X d´ıas para terminar el proyecto, el costo total del trabajo ser´a 900X de d´olares. El contratista construye unas probabilidades subjetivas sobre la duraci´on del proyecto como se indica en la tabla Duraci´on X d´ıas Probabilidad
10 0.1
11 0.3
12 0.3
13 0.2
14 0.1
Calcule la media, la varianza y la desviaci´ on est´andar del costo total del proyecto. R/. E (C ) = 35710, V ar(C ) = 1044900
18. La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una instalaci´on particular es una variable aleatoria X con funci´on de densidad de probabilidad f (x) =
− 1 x2
2 1 0
1
≤x≤2
e.o.c
a) Calcule la funci´on de distribuci´on acumulativa de X . b) Obtenga una expresio´ n para el (100 p)avo percentil. ¿Cu´al es el valor de la mediana? R/. 1.6404 c) Calcule E (X ) y V ar(X ). R/. 1.6137, V ar(X ) = 0,0626 d) Si 1500 galones est´an en existencia al principio de la semana y no se reciben nuevos suministros durante la semana, cu´anto de los 1500 galones se espera que queden al final de la semana? 19. Encuentre la funcion ´ generatriz de momentos de la variable aleatoria discreta X que tiene la distribuci´on de probabilidad 1 x 2 x = 1, 2, . . . 3 f (x) = 0 e.o.c
2et si t < ln(3) Y usela ´ para determinar los valores de la media y la varianza. R/. M (t) = 3 et
−
2
20. Dada la funci´on generatriz de momentos M X (t) = e 3t+8t , encuentre la funcion ´ generatriz de momentos de la variable aleatoria Z =
X −3 4 ,y
2
usela ´ para determinar la media y la varianza de Z . R/. M Z (t) = e t
/2
21. Una variable aleatoria X sigue una distribuci´on con media 100 y varianza 100 y una variable aleatoria Y con media 200 y varianza 400. Las variables aleatorias tienen un coeficiente de correlaci´on igual a 0,5. Halle la media y la varianza de la variable aleatoria W = 5X + 4Y R/. 1300 y 4900 .
−
22. Si se considera R(t) = Ln [M X (t)] demuestre que R (0) = µ y que R (0) = σ2 . Tambi´en, use estos resultados para encontrar la media y la varianza de una variable aleatoria que tenga la funci´on generatriz de momentos M X (t) = e 4(e 1) .
t
−
23. Si la densidad de probabilidad conjunta de est´a dada por: f (x, y) =
Encuentre la varianza de W = 3X + 4Y
1 (x + y) 0 < x < 1, 0 < y < 2 3 0 e.o.c
− 5. R/.
4.9691
24. Una compan´ ˜ ıa dulcera distribuye cajas de chocolates con un surtido de cremas, chiclosos y envinados. Suponga que el peso de cada caja es de 1 kilogramo; pero que los pesos individuales de cremas, chiclosos y envinados var´ıan de una caja a otra. Para una caja seleccionada al azar, sean X y Y los pesos de las cremas y los chiclosos ´ de densidad de probabilidad conjunta de estas variables aleatorias respectivamente, y suponga que la funcion es: 24xy 0 x 1, 0 y 1, x + y 1 f (x, y) = 0 e.o.c
≤ ≤
≤ ≤
≤
a) Encuentre la densidad marginal de X y la densidad marginal de Y . b) Encuentre la covarianza entre el peso de las cremas y el peso de los chiclosos en estas cajas de chocolates. R/. Cov(X, Y ) =
− 752
25. Suponga que usted tiene acciones en dos empresas A y B. Sean X y Y las variables aleatorias de los rendimientos porcentuales posibles (0 %, 5 %, 10 %, y 15 %) de las acciones de cada una de estas dos empresas, la siguiente tabla muestra la distribuci´on de probabilidad conjunta. Rendimiento de Y 0%
5%
0%
0.0625
0.0625
10 %
15 %
0.0625
0.0625
Rendimiento de X 5%
0.0625
0.0625
0.0625
0.0625
10 %
0.0625
0.0625
0.0625
0.0625
15 %
0.0625
0.0625
0.0625
0.0625
a) Hallar las distribuciones marginales. b) Determine si X y Y son independientes. c) Halle las medias y las varianzas tanto de X como de Y . d) Halle la covarianza y la correlaci´on de las acciones de las empresas A y B. 26. Una organizaci´on de consumidores que eval´ua autom´oviles nuevos suele informar el n´umero de defectos importantes de cada autom´ovil examinado. Sea X el n´umero de defectos importantes en un autom´ovil de cierto tipo seleccionado al azar, cuya funci´on de distribuci´on acumulada (fda), esta´ dada por:
F (x) =
0 x < 0 0,06 0 x < 1 0,19 1 x < 2 0,39 2 x < 3 0,67 3 x < 4 0,92 4 x < 5 0,97 5 x < 6 1 x 6
Calcule las siguientes probabilidades a partir de la fda: a) P (X = 2) R/. 0.20 b) P (X > 3) R/. 0.33
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥
c) P (2 < X < 5) R/. 0.53 27. La duraci´on de un transistor hasta que falla (en cientos de horas) es una variable aleatoria X con funci´on de distribuci´on acumulada; 0 x < 0 F (x) = 1 e x x 0
−
−
2
≥
a) Calcule la probabilidad de que un transistor funcione por lo menos 200 horas. R/. 0.0183 b) Encuentre el percentil 75 de la distribuci´on dada e interprete. R/. 1.1774 c) Calcule P (X > 100/X
≤ 200). R/.
0.3560
d) Encuentre la duraci´on promedio del transistor. R/. 0.8862 28. En una cierta ciudad el consumo diario de agua (en millones de litros) es una variable aleatoria X cuya densidad de probabilidad est´a dada por: kxe x/3 x > 0 f (x) = 0 e.o.c
a) Encuentre el valor de la constante k . R/.
−
1 9
b) Encuentre la funci´on de distribuci´on acumulada de X . c) ¿Cu´ales son las probabilidades de que en un d´ıa dado, 1) el consumo de agua en esta ciudad no sea mayor de 6 millones de litros. R/. 0.5939 2) el abastecimiento de agua sea inadecuado si la capacidad diaria de esta ciudad es 9 millones de litros? R/. 0.1991
29. Un proveedor de petr´oleo tiene un tanque de 150 galones que se llena al empezar cada semana. Su demanda semanal muestra un comportamiento de frecuencia relativa que aumenta de manera continua hasta 100 galones y luego se nivela entre 100 y 150 galones. Si la variable aleatoria X denota la demanda semanal (en cientos de galones), la funcion ´ de densidad de probabilidad se puede representar como:
f (x) =
x 0 < x c 1 < x 0 e.o.c
≤1 ≤ 1,5
´ de densidad de probabilidad. R/. c = 1 a) Encuentre el valor de c que haga de f (x) una funcion b) Encuentre la funci´on de distribuci´on acumulada de la variable aleatoria X . c) Encuentre la probabilidad de que la demanda en una semana se encuentre a lo sumo a media desviaci´on est´andar de la demanda promedio esperada. R/. 0.3274 d) Encuentre el percentil 92 de la variable aleatoria X . R/. 1.42 e) Dado que en una semana en particular la demanda fue de m´as de 50 galones, encuentre la probabilidad de que se haya demandado m´as de 120 galones durante la semana. R/. 0.3428 30. Denote con X el peso (en toneladas) de un art´ıculo a granel que un proveedor tiene en existencia al principio de una semana. Denote con Y la cantidad (en peso) de este art´ıculo vendido por el proveedor durante la semana. La funci´on de densidad conjunta de las variables aleatorias X y Y es: f (x, y) =
1 0 y x 0 e.o.c
≤ ≤ x ≤ 1
a) ¿Son X y Y variables aleatorias estad´ısticamente independientes? b) La variable aleatoria X Y mide la cantidad del art´ıculo remanente al final de la semana; una cantidad de gran importancia para el proveedor. Encuentre E (X Y ), V (X Y ). R/. E (X Y ) = 14 , V ar(X Y ) =
−
−
−
−
−
c) Calcule e interprete la correlaci´on entre X y Y . R/. ρ = 0,6546 31. Suponga que usted tiene acciones en dos empresas A y B. Sean X y Y variables aleatorias de los rendimientos porcentuales posibles (0 %, 5 % y 10 %) de las acciones de cada una de estas dos empresas. La funcion ´ de probabilidad conjunta de X y Y est´a dada por X Y
0%
5%
10 %
0%
1/9
2/9
1/9
5%
2/9
2/9
0
10 %
1/9
0
0
a) ¿Son los rendimientos porcentuales posibles de las acciones de la empresa A y los rendimientos porcentuales posibles de las acciones de la empresa B estad´ısticamente independientes? on entre X y Y . R/. Cov(X, Y ) = b) Calcule e interprete la covarianza y la correlaci´
− 509 .
c) Hallar la media y la volatilidad del portafolio P = 0,7X + 0,3Y . Interprete. R/. 3,33 y 2,0275 32. La cantidad de petr´oleo, en miles de litros, en un tanque al principio de cualquier d´ıa es una cantidad aleatoria Y , de la que una cantidad aleatoria X se vende durante el d´ıa. Suponga que el tanque no se abastece durante el d´ıa, por lo que x y, y suponga que la funci´on de densidad conjunta de estas variables aleatorias es:
≤
f (x, y) =
2 0 < x 0 e.o.c
≤ y ≤ 1
a) Encuentre la cantidad promedio de petr´oleo que queda en el tanque al final del d´ıa. R/. 1000 3 b) Calcule e interprete la covarianza y la correlaci´on entre X y Y . R/. ρ = 12 , Cov(X, Y ) = 33. Del texto gu´ıa de Walpole resolver: Cap´ıtulo 3: 6, 7, 12, 21, 27, 33, 15, 11, 30 Cap´ıtulo 4: 43, 45, 47, 60, 62, 71, 93, 101 Cap´ıtulo 5: 4, 9.
1 36
17 144
