BAB II I BAB SUB BARI SAN DAN TEOREM TE OREM A BOL BOL ZANO-WEIERSTRA ZANO-WEI ERSTRAS SS
Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan “ekor suatu barisan”, serta dapat digunakan juga untuk menunjukkan kedivergenan suatu barisan.
Definisi 3.1 X = (xn) adalah barisan bilangan real, dan r 1 < r 2 < …< r n < … merupakan barisan bilangan asli yang selalu naik.
, , , … , , … disebut sub barisan dari X.
Barisan X′ X′ dalam R, yang dinyatakan dengan (
Contoh : Pandang barisan X =
, , , …
Maka barisan-barisan berikut merupakan sub barisan da ri X a. b. c.
, … , karena … , , , … , , … , karena… , , , … , ! , ! , ! , … , ! , … , karena …
Sedangkan barisan-barisan di bawah ini bukan sub barisan dari X a. b.
, , , , , , … , karena… , 0, , 0, ,0,…, karena …
Kalau kita hubungkan pengertian dari sub barisan dan ekor barisan, maka dapat disimpulkan bahwa : * Ekor barisan merupakan sub barisan, contoh: ekor ke-m dari barisan ; maka r 1 = m + 1, r 2 = m + 2, …, r n = m + n, sehingga tampak bahwa r 1 … r 2 … r 3 … r n … * Sub barisan tidak selalu merupakan ekor barisan. barisan.
,… , , , … ,
bukan ekor dari barisan
, , , … , karena …
Teo Teorem rema 3.2 Jika barisan bilangan real X = (xn) konvergen ke suatu bilangan real x, maka sembarang sub barisan dari X konvergen ke x
Bukti: X = (xn) merupakan barisan konvergen, sehingga untuk sembarang ε > 0, akan terdapat K(ε) ∈ N sedemikian hingga untuk n ≥ K(ε) maka |xn - x| < ε
, , … , , … merupakan sub barisan dari X, sehingga r < r < …< r < …
X′ = ( ,
1
2
n
merupakan barisan bilangan asli yang monoton naik. Dengan induksi matematika dapat ditunjukan bahwa r n ≥ n, ∀ n ∈ N, dan n ≥ K(ε), sehingga dapat disimpulkan … Oleh karena itu, jika n ≥ K(ε), maka diperoleh juga … , sehingga berlaku …. Jadi,
, , … , , … konvergen ke x.
X′ = ( ,
Contoh-contoh n
1. Tunjukkan : lim(b ) = 0, jika 0 < b < 1
J awab : Kita akan menunjukkan kebenaran ni lai limit tersebut dengan menggunakan sifat sub barisan. 0 < b < 1, maka xn+1 = … < … = xn, sehingga (xn) merupakan barisan turun monoton. Jika lim (xn) = x, dan (x2n) merupakan sub barisan dari (xn), maka lim (x2n) = … n
2n
n 2
2
xn = b , maka x2n = b = (b ) = (xn) . Karena lim (xn) = …, maka diperoleh : x = lim (x 2n) = … 2 = x , sehingga diperoleh x = 0 atau x = 1. (jelaskan!!) n Karena (b ) merupakan barisan monoton turun dan terbatas di atas oleh b < 1, maka dipilih x = 0
= 1, untuk c > 1
2. lim (
Bukti :
c > 1, maka yn = > 1 dan yn+1 = … < … = yn, ∀ n ∈ N. Dengan demikian menurut … , (yn) merupakan barisan konvergen, sehingga (yn) mempunyai limit, misal y = lim(yn). (y2n) merupakan sub barisan dari (yn), sehingga …. = …
y2n = … = … = , oleh karena itu … = lim(y2n) = lim(
lim
=…
Dari persamaan tersebut diperoleh y = 0 atau y = 1. Karena yn > 1, maka diperoleh y = …
Teorema 3.3 K riteria Divergensi X = (xn) merupakan barisan bilangan real. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen. (i) Barisan X = (xn) tidak konvergen ke x, x ∈ R
> 0, ∋ untuk sembarang k ∈ N, maka ∃ r ∈ N, ∋ r > k dan |x – x| ≥ (iii)Ada > 0, dan sub barisan X′ = (x ) dari X, ∋ |x – x| ≥ , ∀ n ∈ N. (ii) Ada
k
rn
Bukti : (i)⇒(ii) : Ingat definisi barisan konvergen.
k
rk
rk
X = (xn) konvergen ⇔ ∀ ε > 0, ∃ …, ∋ ∀ n ≥ … diperoleh : |xn - x | < ε. Jika kita gunakan negasi pada pernyataan tersebut, maka diperoleh pernyataan : Jika X = (xn) tidak konvergen maka ….
Dengan kata lain dapat juga ditulis bahwa ∀ k ∈ N, ∃ r k ∈ N dan r k ≥ k, ∋ | - x | ≥ ε0 (ii)⇒(iii) : Ambil ε0 yang memenuhi sifat pada (ii). Kemudian kita ambil r 1 ∈ N, dan
| - x | ≥ ε0. Juga diambil r 2 ∈ N, dan | - x | ≥ ε0; r 3 ∈ N, dan | - x | ≥ ε0; dan seterusnya, maka akan diperoleh sub barisan X′ = (xrn) dari X sedemikian hingga
| - x | ≥ ε0. (iii)⇒(i) : Andaikan X = (xn) mempunyai sub barisan X′ = (xrn) yang memenuhi kondisi pada (iii), maka X …, karena ….
Contoh n
1. Barisan ((-1) ) divergen. Bukti : n
Andaikan X = ((-1) ) konvergen ke x, maka semua sub barisannya juga konvergen ke x (teorema…) n
Sub barisan dari X = ((-1) ) adalah(a) …….. (untuk n genap), dan merupakan suatu barisan yang konvergen ke…; dan (b) ……… (untuk n ganjil), dan merupakan barisanyang konvergen ke … Karena nilai-nilai limit dari sub barisannya tidak sama, maka …. 2. (1,
, 3, , … merupakan barisan divergen.
Buktikan ! 3. Barisan S = (sin n) divergen. Bukti : Untuk membuktikannya kita harus dapat menemukan sub-sub barisan dari S yang mempunyai nilai limit berbeda atau bahkan yang tidak mempunyai limit. Ingat kembali bahwa fungsi sinus merupakan suatu fungsi periodik yang nilainya akan berulang pada suatu periode tertentu (?)
= = sin (= … = …
Contoh : Sin (
Untuk x ∈ I1 =
, maka sin x > .
Karena panjang I1 =
= > 2 (?), maka pada
interval tersebut terdapat paling sedikit 2 bilangan asli, kita tetapkan n1 merupakan
bilangan asli yang pertama. Begitu juga untuk setiap k ∈ N, dengan sin x > , untuk x ∈ Ik , Ik = (
2 1, 2 1. Karena panjang I
k lebih
besar dari 2, maka
terdapat paling sedikit dua bilangan asli yang terletak pada interval tersebut, tetapkan nk sebagai salah satu titik itu. Dengan demikian terdapat sub barisan S′ = (sin nk ) dari S yang
,1.
semua nilainya terletak pada interval [
Hal yang sama juga kita lakukan pada interval Jk = (
2 1,
2 1 .
Untuk semua x ∈ Jk , maka nilai x … dan panjang Jk …, sehingga … Ambil mk sebagai bilangan asli pertama yang terletak pada interval Jk. Maka akan terdapat sub barisan S′′ = (sin mk ) dari S, yang semua nilainya terletak pada interval […,…]. Ambil sembarang c ∈ R, maka paling sedikit satu diantara dua sub barisan S′ dan S′′ akan
terletak di luar persekitaran- dari c, oleh karena itu c bukan titik limit dari S. Karena c ∈ R adalah sembarang bilangan, maka dapat disimpulkan bahwa …
K eberadaan Sub Barisan Monoton 3.4 Teorema Sub Barisan Monoton Jika X = (xn) merupakan barisan bilangan real, maka ada sub barisan dari X yang monoton
Bukti : Sebelum kita membuktikan teorema tersebut, kita sepakati dulu bahwa : suku ke m dari X, yaitu xm merupakan “puncak” jika xm ≥ xn, ∀ n ∈ N dan n ≥ m atau dapat juga diartikan xm selalu lebih besar nilainya dari semua suku yang mengikutinya. Akan terdapat dua kemungkinan, yaitu X mempunyai “puncak” sejumlah hingga atau mempunyai “puncak” yang banyaknya tak hingga. (a) Andaikan X mempunyai “puncak” yang banyaknya hingga (bisa juga 0)
, , …, . = m + 1, “bukan puncak”, sehingga ∃ s > s dan ≥ “bukan puncak”, sehingga ∃ s > s dan ≥
Kita misalkan puncak-puncak tersebut adalah : Ambil s1
r
2
1
3
2
Jika proses tersebut kita lanjutkan, maka akan diperoleh sub barisan dari X, yaitu … dengan … ≤ … ≤ … ≤ … ; merupakan suatu sub barisan yang monoton naik (b) Andaikan X mempunyai “puncak” yang banyaknya tak hingga “Puncak-puncak” tersebut dapat diurutkan menurut indeksnya, yaitu :
, , …, , …
dengan m1 ≤ m2 ≤ … ≤ mk ≤ … Karena masing-masing merupakan “puncak”, maka : … ≥ … ≥ … ≥ …
) dari “puncak-puncak” tersebut,
Dengan demikian kita dapat menyusun sub barisan ( yang merupakan sub barisan dari X yang …
3.5 Teorema Bolzano-Weierstrass Barisan bilangan real yang terbatas mempunyai sub barisan yang konvergen
Bukti : I.
Menurut teorema Sub Barisan Monoton, jika X merupakan barisan terbatas maka … Karena X terbatas, maka sub barisan dari X juga terbatas, sehingga sub barisan tersebut mempunyai sifat … dan … akibatnya …
II. X = (xn) merupakan barisan terbatas, maka himpunan dari suku-suku barisan X, yaitu {xn|n∈ N} juga terbatas. Kita andaikan {xn|n∈ N} termuat dalam interval I 1 = [a,b], dan ambil n1 = 1. ⇒ Bagi I 1 ke dalam 2 sub interval, yaitu
dan
, serta bagi {n ∈ N| n > 1} menjadi dua bagian, = {n ∈ N| n > n , x ∈ }
} dan B Jika A tak hingga, maka pilih I = dan n merupakan bilangan asli terkecil dalam A . Jika A hingga berarti B …, maka dipilih I = dan n merupakan bilangan asli terkecil di
yaitu : A1 = {n ∈ N| n > n1, xn ∈ 1
1
2
1
1
n
2
1
1
2
2
B1. ⇒ Bagi I 2 menjadi 2 sub interval, yaitu yaitu A2 = {n ∈ N| n > n2, xn ∈
}
dan
dan B2
, serta bagi {n ∈ N| n > n } menjadi dua bagian, = {n ∈ N| n > n , x ∈ } 2
2
n
Jika A2 tak hingga, maka pilih I 3 = … dan n3 merupakan bilangan asli terkecil dalam A2 Jika A2 hingga berarti B2 …, maka pilih I 3 = … dan n3 merupakan bilangan asli terkecil di B2. Lanjutkan proses tersebut, maka kita akan memperoleh suatu barisan dari interval tersarang : I1
) dari X, ∋ ∈ I
⊇ I 2 ⊇ …⊇ I k ⊇ …dan sub barisan (
k ,
∀ k ∈ N.
Karena panjang I k = , maka terdapat satu titik persekutuan ξ ∈ I k , ∀ k ∈ N.
dan ξ terletak
- ξ| ≤ . Karena nilainya cukup kecil, maka bisa kita
pada I k , sehingga diperoleh |
tetapkan : = ε, yang mengakibatkan |
- ξ| ≤ ε, dan dapat disimpulkan bahwa ( )
konvergen ke ξ.
Dari teorema tersebut tampak bahwa suatu barisan terbatas dapat mempunyai sub barisan yang konvergen ke suatu nilai limit yang berbeda. Contoh : Barisan
1 mempunyai sub barisan
yang konvergen ke 1 (jika …) dan sub barisan yang konvergen ke -1 (jika …), barisan tersebut juga mempunyai sub barisan yang tidak konvergen (??)
Jika X adalah barisan bilangan real, dan X′ merupakan sub barisan dari X, maka karena X′ juga merupakan barisan bilangan real, X′ juga mempunyai sub barisan, yang diberi notasi X′′. X′′ juga merupakan barisan dari X.
3.6 Teorema X merupakan barisan bilangan real yang terbatas, dan x ∈ R memenuhi sifat : setiap sub barisan dari X konvergen ke x, maka barisan X konvergen ke x.
Bukti : Anggap M > 0 merupakan batas dari X, maka …. ,∀ n ∈ N Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menurut kriteria Divergensi :∃ ε0 > 0 dan sub barisan
X′= ( ) dari X sedemikian hingga ………………, ∀ n ∈ N. Karena X′ sub barisan dari X, maka M juga merupakan batas dari X′. Dengan menggunakan teorema ……… maka dapat disimpulkan bahwa X′ juga mempunyai sub barisan yang konvergen. Misalkan X′′ merupakan sub barisan dari X′. X′′ merupakan sub barisan dari X′, sedangkan X′ sub barisan dari X, maka ….……... Jadi, menurut hipotesis dapat disimpulkan bahwa X′′ konvergen ke x. Dengan kata lain pada akhirnya suku-suku pada barisan X′′ terletak pada persekitaran-ε0 dari x. Semua suku-suku pada barisan X′′ merupakan suku-suku dari barisan X′, karena ………… Hal tersebut kontradiksi dengan : ………… Akibatnya, X konvergen ke x
