Soluciones Ejercicios Tema 4 Expresiones Algebraicas

4

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 98 P RACTICA T r a d u c c ió ió n a l e n g u a j e a l g e b r a i c o

1

Asocia a cada enunciado enunciado una de las expresiones algebraicas algebraicas que aparecen debajo: a) El cuadrado de un número número menos su doble. b) El 80% de un número. número. c) Un número número impar impar.. d) Los dos tercios de un número más cinco unidades. 2 x x + + 5; x 2 – 2 x ; 0,8 x ; 2 x x + +1 3

a) El cuadrado cuadrado de un número número menos su doble 8 x 2 – 2 x b) El 80% de un número número 8 0,8 x c) Un númer númeroo impar impar 8 2 x + 1 d) Los 2 de un númer númeroo más 5 unidade unidadess 8 2 x + 5 3 3

2

Expresa en lenguaje algebraico empleando una sola incógnita. a) El triple triple de un número menos menos dos. b) El producto de dos números consecutivos. c) El cuadrado de un número número más su mitad. mitad. d) La suma de un número con otro diez unidades mayor. mayor.

a) El triple triple de un núme número ro menos menos dos: dos: 3 x – 2. x + 1). b) El producto de dos números consecutivos: x ( x c) El cuadrado cuadrado de un número número más su mitad: x 2 + x . 2 x + 10) d) La suma de un número con otro diez unidades mayor: x + ( x 0)..

3

Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: A

3

x

x + 3) = 2 x + 6 °Perímetro = 2( x A ¢ £ Área = 3 x x + 2 + x ) = 4 x + 4 °Perímetro = 2( x C ¢ x + 2) x x = x 2 + 2 x £ Área = ( x

Unidad 4. El lenguaje algebraico

B

2 x

x

C

x

x + 2

°Perímetro = 2(2 x + x ) = 6 x B ¢ 2 £ Área = 2 x · x = 2 x

4


4

Traduce a lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas. a) La suma de los cuadrados de de dos números. b) El cuadrado de la diferencia diferencia de dos números. c) La mitad del producto de dos números. d) La semisuma de de dos números.

a) La suma de los cuadrado cuadradoss de dos números: números: x 2 + y 2. x – y )2. b) El cuadrado cuadrado de la diferencia de dos números: ( x c) La mitad del produc producto to de dos núme números: ros: x · y . 2 d) La semisuma de dos números: x + y . 2

5

Si x e y son las edades actuales de dos hermanos, expresa los siguientes enunciados utilizando ambas incógnitas: a) La suma de las edades que tenían hace 5 años. b) El producto de las edades que tendrán tendrán dentro de 6 años. c) La diferencia entre la la edad del mayor y la mitad del menor menor..

a) La suma de las edades edades que tenían hace hace 5 años: x – 5) + ( y y – 5) = x + y – 10 ( x b) El producto de las edades que tendrán dentro dentro de 6 años: x + 6)( y y + 6) = xy + 6 x + 6 y + 36 ( x c) La diferencia entre la edad del mayor y la mitad del menor: menor: x –

y

2

si la edad del mayor es x

y – x si la edad del mayor es y

2

6

Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: A

y

x

B x – 1

x + y ) = 2 x + 2 y °Perímetro = 2( x A ¢ £ Área = xy x – 1 + y ) = 2 x + 2 y – 2 °Perímetro = 2( x B ¢ x – 1) y y = xy – y £ Área = ( x x + y + 1) = 2 x + 2 y + 2 °Perímetro = 2( x C ¢ y + 1) = xy + x £ Área = x ( y


y

C x

y + 1

4


Monomios

7

Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: a) –5 xy b)(–7 x )3 c) 8 x d) ( xy xy )2 –3 yx e) 2 x 2 y 2 f ) 4 x 3 g) h) 1 x 2 5 3 5 2

a) Gr Grado 2. b) Grado 3. c) Gr Grado 1. e) Gr Grado 4. f ) Gr Grado 3. g) Gr Grado 2. Son semejan semejantes: tes: a) y g); g); b) y f); f ); d) y e).

d) Grado 4. h) Grado 2.

8

Calcula el valor numérico de los monomios del ejercicio anterior para x = x = –1 e y y = = 3.

b) [– [–7 · (–1)] 3 = 343 e) 2 (–1)2 · 32 = 6 3 h) 1 (–1)2 = 1 2 2

a) –5 · (–1) · 3 = 15 d) [(–1) · 3]2 = 9 g) –3 · 3(–1) = 9 5 5

9

Simplifica. a) 6 x 2 – 7 x 2 + 3 x 2 c) 1 xy 2 – 3 xy 2 – 7 xy 2 3 5 3

b)–6 xy xy – – 5 xy xy + + 10 xy 2 x 3 1 3 d) + x – x 3 3 5

a) 6 x 2 – 7 x 2 + 3 x 2 = 2 x 2 c) 1 xy 2 – 3 xy 2 – 7 xy 2 = 3 5 3 3 d) 2 x + 1 x 3 – x 3 = 2 + 5 3 3

(

(

10

c) 8( 8(–1) = –8 f ) 4 (–1)3 = – 4 5 5

b)–6 xy – 5 xy + 10 xy = – xy 1 – 3 – 7 xy 2 = – 13 xy 2 3 5 3 5 1 – 1 x 3 = – 2 x 3 5 15

)

(

Efectúa. a) 5 x x – – x 2 + 7 x 2 – 9 x x + +2 c) x 2 y 2 – 3 x 2 y y – – 5 xy 2 + x 2 y y + + xy 2

b) 2 x x + + 7 y y – – 3 x x + + y y – – x 2

a) 5 x – x 2 + 7 x 2 – 9 x + 2 = 6 x 2 – 4 x + 2 b) 2 x + 7 y – 3 x + y – x 2 = – x 2 – x + 8 y c) x 2 y 2 – 3 x 2 y – 5 xy 2 + x 2 y + xy 2 = x 2 y 2 – 2 x 2 y – 4 xy 2

11

Efectúa los siguientes productos de monomios: a) 6 x 2 (–3 x ) b) (2 xy 2)(4 x 2 y ) c) 3 x 3 1 x 3 4 2

( )( )

a) 6 x 2 (–3 x ) = –18 x 3 c) 3 x 3 1 x 3 = 3 x 6 4 2 8

( )( )


( )( )

d) 1 xy 3 xz 4 2

b)(2 xy 2)(4 x 2 y ) = 8 x 3 y 3 d) 1 xy 3 xz = 3 x 2 yz 4 2 8

( )( )

4


Polinomios

12

Simplifica las siguientes expresiones: a) (2 x 3 – 5 x x + + 3) – (2 (2 x 3 – x 2 + 1) b) 5 x x – – (3 x x + + 8) – (2 (2 x 2 – 3 x ) ¿Cuál es el grado de cada polinomio?

a) 2 x 3 – 5 x + 3 – 2 x 3 + x 2 – 1 = x 2 – 5 x + 2 8 Grado 2. b) 5 x – 3 x – 8 – 2 x 2 + 3 x = –2 x 2 + 5 x – 8 8 Grado 2.

13

Considera estos polinomios: A = 3 x 3 – 5 x 2 + x x – –1 B = B = 2 x 4 + x 3 – 2 x x + +4 Halla: A Halla: A + B ; A – C C ;; A – B B + + C

C = C = – x 3 + 3 x 2 – 7 x

A + B = 3 x 3 – 5 x 2 + x – 1 + 2 x 4 + x 3 – 2 x + 4 = 2 x 4 + 4 x 3 – 5 x 2 – x + 3 A – C = (3 x 3 – 5 x 2 + x – 1) – (– x 3 + 3 x 2 – 7 x ) = = 3 x 3 – 5 x 2 + x – 1 + x 3 – 3 x 2 + 7 x = 4 x 3 – 8 x 2 + 8 x – 1 A – B + C = (3 x 3 – 5 x 2 + x – 1) – (2 x 4 + x 3 – 2 x + 4) + (– x 3 + 3 x 2 – 7 x ) = = 3 x 3 – 5 x 2 + x – 1 – 2 x 4 – x 3 + 2 x – 4 – x 3 + 3 x 2 – 7 x = = –2 x 4 + x 3 – 2 x 2 – 4 x – 5

PÁGINA 99 14

Efectúa, reduce y di cuál es el grado del polinomio resultante. a) x x (( x x 2 – 5) – 3 x 2 ( x + x + 2) – 7 ( x x 2 + 1) b) 5 x 2 (–3 x x + + 1) – x x (2 (2 x x – – 3 x 2) – 2 · 3 x c) 1 x 2 – 3 x 2 + 6 x x – –9 3 2

(

)

x 2 – 5) – 3 x 2 ( x x + 2) – 7( x x 2 + 1) = x 3 – 5 x – 3 x 3 – 6 x 2 – 7 x 2 – 7 = a) x ( x = –2 x 3 – 13 x 2 – 5 x – 7 8 Grado 3. b) 5 x 2 (–3 x + 1) – x (2 x – 3 x 2) – 2 · 3 x = –15 x 3 + 5 x 2 – 2 x 2 + 3 x 3 – 6 x = = –12 x 3 + 3 x 2 – 6 x 8 Grado 3. c) 1 x 2 – 3 x 2 + 6 x – 9 = – 1 x 4 + 2 x 3 – 3 x 2 8 Grado 4. 3 2 2

(

15

)

Opera y simplifica. a) (2 x 2 + 3)( x – x – 1) – x – x (( x – x – 2) c) ( x x 2 – 5 x x + + 3)( x x 2 – x ) – x – x (( x x 3 – 3)

b) ( x + x + 4)( )(2 2 x 2 + 3 x x – – 5) – 3 x x (– (– x x + + 1) d) 1 x 2 + 5 x x + + 1 (6 x x – – 12) 2 3 6

(

)

x – 1) – x ( x x – 2) = 2 x 3 – 2 x 2 + 3 x – 3 – x 2 + 2 x = 2 x 3 – 3 x 2 + 5 x – 3 a) (2 x 2 + 3)( x x + 4)(2 x 2 + 3 x – 5) – 3 x (–x + 1) = 2 x 3 + 3 x 2 – 5 x + 8 x 2 + 12 x – 20 + 3 x 2 – 3 x = b) ( x = 2 x 3 + 14 x 2 + 4 x – 20


4


x 2 – 5 x + 3)( x x 2 – x ) – x ( x x 3 – 3) = x 4 – x 3 – 5 x 3 + 5 x 2 + 3 x 2 – 3 x – x 4 + 3 x = c) ( x = –6 x 3 + 8 x 2 d) 1 x 2 + 5 x + 1 (6 x – 12) = 3 x 3 – 6 x 2 + 10 x 2 – 20 x + x – 2 = 2 3 6 = 3 x 3 + 4 x 2 – 19 x – 2

(

16

(

E xtrae factor común. a) 12 x 3 – 8 x 2 – 4 x c) 2 xy 2 – 4 x 2 y + x 2 y 2

b)–3 x 3 + x x – – x 2 d) 2 x 2 + 1 x 3 – 5 x 3 3 3

a) 12 x 3 – 8 x 2 – 4 x = 4 x (3 x 2 – 2 x – 1) b)–3 x 3 + x – x 2 = x (–3 x 2 + 1 – x ) c) 2 xy 2 – 4 x 2 y + x 2 y 2 = xy (2 y – 4 x + xy ) d) 2 x 2 + 1 x 3 – 5 x = 1 x (2 x + x 2 – 5) 3 3 3 3

17

Extrae factor común como en el ejemplo. • 3 x x (( x + x + 1) – x 2 ( x + x + 1) + ( x + x + 1)( x x 2 – 2) = ( x + x + 1) [ 3 x x – – x 2 + x 2 – 2] = = ( x + x + 1) 1)(3 (3 x x – – 2) a) 2 x x (( x – x – 2) + x 2 ( x – x – 2) – 3 ( x – x – 2) b) x b) x 2 ( x + x + 1) – x 2 ( x + x + 2) + 2 x 2 ( x – x – 3) c) 3 x 2 ( x + x + 3) – 6 x x (( x + x + 3) x – 2) + x 2 ( x x – 2) – 3( x x – 2) = ( x x – 2)(2 x + x 2 – 3) a) 2 x ( x x + 1) – x 2 ( x x + 2) + 2 x 2 ( x x – 3) = x 2 [ x x + 1 – ( x x + 2) + 2( x – 3)] = x 2 (2 x – 7) b) x 2 ( x 2( x x + 3) – 6 x ( x x + 3) = x ( x x + 3)(3 x – 6) c) 3 x 2 ( x

Identidades notables

18

Desarrolla estas expresiones: a) ( x + x + 6)2 c) (3 x x – – 2)2 e) ( x – x – 2 y )2 x + 6)2 = x 2 + 36 + 12 x a) ( x

c) (3 x – 2)2 = 9 x 2 + 4 – 12 x x – 2 y )2 = x 2 + 4 y 2 – 4 xy e) ( x


b) (7 – x )2 2 d) x x + +1 2

( ) f ) ( 2 x x – – 1 y ) 5 3

2

b)(7 – x )2 = 49 + x 2 – 14 x 2 d) x + 1 = x 2 + 1 + x 2 4 2 f ) 2 x – 1 y = 4 x 2 + 1 y 2 – 4 xy 5 3 25 9 15

( ) ( )

4


19

Efectúa estos productos: a) ( x + x + 7)( x – x – 7) b) (3 + x )(3 )(3 – x – x ) d) ( x x 2 + 1)( x x 2 – 1) e) 1 x x – – 1 1 x x + +1 2 2

(

x + 7)( x x – 7) = x 2 – 49 a) ( x c) (3 + 4 x )(3 )(3 – 4 x ) = 9 – 16 x 2 e) 1 x – 1 1 x + 1 = 1 x 2 – 1 2 2 4

(

20

)(

)

)(

c) (3 + 4 x )(3 )(3 – 4 x ) f) 1 + 1 1 – 1 x x

)

(

)(

)

b) (3 + x )(3 )(3 – x ) = 9 – x 2 x 2 + 1)( x x 2 – 1) = x 4 – 1 d) ( x f) 1 + 1 1 – 1 = 1 – 1

(

)(

x

)

x

x 2

Simplifica todo lo posible las expresiones siguientes: a) ( x + x + 3)( x – x – 3) – ( x + x + 3)2 b)(2 x x + + 3)2 – (2 x x – – 3)2 – 9 c) 3 x x (( x + x + 1)2 – (2 x x + + 1)( )(2 2 x x – – 1) d) ( x x 2 + 2)( x x 2 – 2) – ( x x 2 – 1)2 x + 3)( x x – 3) – ( x x + 3)2 = x 2 – 9 – ( x x 2 + 9 – 6 x ) = 6 x – 18 a) ( x b)(2 x + 3)2 – (2 x – 3)2 – 9 = 4 x 2 + 9 – 12 x – (4 x 2 + 9 – 12 x ) – 9 = = 4 x 2 + 9 – 12 x – 4 x 2 – 9 + 12 x – 9 = –9 x + 1)2 – (2 x + 1)(2 x – 1) = 3 x ( x x 2 + 1 + 2 x ) – (4 x 2 – 1) = c) 3 x ( x = 3 x 3 + 3 x + 6 x 2 – 4 x 2 + 1 = 3 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 x 2 + 2)( x x 2 – 2) – ( x x 2 – 1)2 = x 4 – 4 – ( x x 4 + 1 – 2 x 2) = x 4 – 4 – x 4 – 1 + 2 x 2 = d) ( x = 2 x 2 – 5

21

Transforma en diferencia de cuadrados. a) (2 x x + + 7)( )(2 2 x x – – 7) b) (4 x x – – 1)(4 x x + + 1) c) ( x x 2 + x )( )( x x 2 – x ) d) (1 – 5 x )(1 ) (1 + 5 x )

a) (2 x + 7)( )(22 x – 7) = 4 x 2 – 49 x 2 + x )( x 2 – x ) = x 4 – x 2 c) ( x )( x

22

Completa con el término que falta para que cada expresión sea el cuadrado de una suma o el de una diferencia: a) x 2 + … + 4 x b) x b) x 2 + … – 10 x c) x 2 + 9 + … d) x 2 + 16 – …

a) x 2 + 4 + 4 x c) x 2 + 9 + 6 x

23

b) (4 x – 1)(4 x + 1) = 16 x 2 – 1 d) (1 – 5 x )(1 )(1 + 5 x ) = 1 – 25 x 2

b) x 2 + 25 – 10 x d) x 2 + 16 16 + 8 x

Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, como en el ejemplo. • x 2 + 25 + 10 x x = = x 2 + 52 + 2 · 5 x x = = ( x + x + 5)2 a) x 2 + 49 – 14 x b) x b) x 2 + 1 – 2 x c) 4 x 2 + 1 + 4 x d) x d) x 2 + 12 x x + + 36 x – 7)2 a) x 2 + 49 – 14 x = ( x c) (4 x 2 + 1 + 4 x ) = (2 x + 1)2


x – 1)2 b) x 2 + 1 – 2 x = ( x x + 6)2 d) x 2 + 12 x + 36 = ( x

4


Fracciones algebraicas

24

Simplifica estas fracciones algebraicas: a) 9 x 2 12 x

x (( x + x + 1) b) x 5 ( x + x + 1)

2 x + 2) c) x ( x + 2 x 3

a) 9 x 2 = 3 12 x 4 x

x + 1) = x b) x ( x x + 1) 5 5 ( x

x + 2) = x + 2 c) x ( x 2 x 2 x 3

25

2

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. Para ello, saca factor común: 2 a) x –24 x x

b)

2 + 4 x d) 2 x x 3 + 2 x 2

3 2 e) 8 x – 4 x 2 (2 x x – – 1)

3 x x 2 + 2 x

x + +3 c) 3 x ( x + x + 1)2 3 f ) 5 x 4 + 5 x x + x 2

2 x – 4) = x – 4 a) x –24 x = x ( x 2

x

b)

x 2

x

x

3 x = 3 x = 3 x + 2) x + 2 + 2 x x ( x

x + 1) = 3 c) 3 x + 32 = 3 ( x x + 1) x + 1)2 x + 1 ( x ( x 2 + 4 x 2 x ( x x + 2) = 2 d) 2 x = x + 2) x x 3 + 2 x 2 x 2 ( x 3 2 2 2 e) 8 x – 4 x 2 = 4 x (2 x – 21) = 4 x 2 x – 1 (2 x – 1) (2 x – 1) 3 x 2 + 1) = 5 5 x ( x f ) 5 x 4 + 5 x = x + x 2 x 2 ( x x 2 + 1) x

26

Opera, y simplifica si es posible. posi ble. a) x · 32 x + x + 1 x c)

3 : 2 2 x – 1 ( x – x – 1) x –

x + + 2 : x x + +1 b) 3 x x – x –1 x 2 d) ( x + x + 1 ) : x – 1 2

3 x = 3 a) x · 32 = x + 1 x x + 1) x x x + 1) x x 2 ( x ( x 2 b) 3 x + 2 : x + 1 = x (3 x + 2) = 3 x 2 + 2 x x – 1 x x + 1)( x x – 1) ( x x – 1 x – 1) = 3 c) 3 2 : 2 = 3( x 2 x – 1) 2( x x – 1) x – 1 2( x x – 1) ( x 2 x + 1) = 2( x x + 1) = 2 x + 1) : x – 1 = 2( x d) ( x x + 1)( x x – 1) x – 1 ( x 2 x 2 – 1


4


PÁGINA 100 27

Efectúa. a) 1 + 1 2 – 1 3 6 x 3 x 2 x

x – –1 b)) 2 + x b x x x – –7

x – –1 d) 2 x – x x – x – 3 x x + +3

e)

3 + 1 + x x – x – 1 2 x 4

x + +1 c) 2 – 3 + x x x x – – 4 x x – –4 f)

3 – 1 +2 x + x + 1 x 2 + x

2 –3 a) 1 + 32 – 1 3 = x + 18 x 3 6 x x 2 x 6 x

x – 7) + x ( x x – 1) = 2 x – 14 + x 2 – x = x 2 + x – 14 b) 2 + x – 1 = 2( x x x – 7 x ( x x – 7) x 2 – 7 x x 2 – 7 x x – 4) – 3 x + x ( x x + 1) = 2 x – 8 – 3 x + x 2 + x = x 2 – 8 c) 2 – 3 + x + 1 = 2 ( x x x – 4 x – 4 x ( x x – 4) x ( x x – 4) x 2 – 4 x x 2 – 4 x + 3) = x + 3) – ( x x – 1)( x x – 3) = 2 x + 6 – ( x d) 2 – x – 1 = 2 ( x x – 3 x + 3 x – 3)( x x + 3) ( x x 2 – 9 2 + 4 x – 3 – x 2 + 6 x + 3 = 2 x + 6 – x = x 2 – 9 x 2 – 9 x – 1)4 x – 1)2 x · x = 1)4 + ( x e) 3 + 1 + x = 2 x · 4 · 3 + ( x x – 1 2 x 4 x – 1) · 2 x · 4 ( x 3 2 3 2 = 24 x + 4 x – 4 + 2 x – 2 x = 2 x – 2 x + 28 x – 4 = x – 1) · 2 x · 4 x – 1) · 2 x · 4 ( x ( x

x 3 – x 2 + 14 x – 2) = x 3 – x 2 + 14 x – 2 = 2( x x – 1) · 2 x · 4 ( x 4 x 2 – 4 x x + 1) = f ) 3 – 2 1 + 2 = 3 – 1 + 2 = 3 x – 1 + 2 x ( x x + 1 x + x x + 1 x ( x x + 1) x ( x x + 1) 2 2 = 3 x – 1 + 2 x + 2 x = 2 x +2 5 x – 1 x ( x x + 1) x + x

P IENSA Y RESUELVE 28

Expresa algebraicamente: a) El ár área de del tr triángulo az azul. c) La longi longitud tud de de l .

/3) · x = 1 x 2 a) (2 x /3) 2 3 c) l =

x + x /3) /3) · x = 2 x 2 b) ( x 2 3

√ ( ) =√ x 2

2 x + — 3

2

b) El ár área de del tr trapecio am amarillo.

13 — x 2 9

x —

3

l x


x

4


29

Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada.

2

y

2 x

A = xy – ( x x – 4)( y y – 4) = xy – ( xy xy – 4 x – 4 y + 16 16)) = 4 x + 4 y – 16

30

Expresa algebraicamente el área y la diagonal mayor de este trapecio: x y

3 x

y Área = (3 x + x ) y = 2 xy 2

Diagonal: √ y 2 + (3 x )2

32

Reduce las siguientes expresiones:

(

) x + + 6 – x x + + 1 + 3 x x – –1 b) 12 ( x 3 2 4 ) c) 4 [( x – x – 2) – 3 x – 4] 4 x (( x – x – 2) – ( x + x + 1) + 1 d) 30[ x 15 2] 6 x – – 4 + 2 x x – – 3 – x x – –1 a) 6 5 x 6 2 3

2

2

2

x – 1) = a) 6 5 x – 4 + 2 x – 3 – x – 1 = 5 x – 4 + 3(2 x – 3) – 2( x 6 2 3 = 5 x – 4 + 6 x – 9 – 2 x + 1 = 9 x – 12

(

)

x + 6) – 6( x + 1) b) 12 x + 6 – x + 1 + 3 x – 1 = 4( x 6( x 1) + 3( 3(33 x – 1) = 3 2 4 = 4 x + 24 – 6 x – 6 + 9 x – 3 = 7 x + 15

(

)

x – 2)2 – 3 x 2 – 4 = 4( x x 2 + 4 – 2 x ) – 3 x 2 – 16 = 4 x 2 + 16 – 8 x – 3 x 2 – 16 = c) 4 ( x 4 = x 2 – 8 x

[

]

x – 2) – ( x x + 1)2 + 1 = 2 x ( x x – 2) – 5( x x 2 + 1 + 2 x ) + 15 = d) 30 x ( x 15 2 6 = 2 x 2 – 4 x – 5 x 2 – 5 – 10 x + 15 = –3 x 2 – 14 x + 10

[


]

4


33

Multiplica cada expresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica el resultado. x + +1 a) 3 + x – 5 – x – x 8 6 12

b) 3 ( x – x – 1) – 1 ( x + x + 1) + 1 4 3 6

x – – 5)2 – ( x + x + 1)2 c) (2 x 9 6

x (( x – x – 3) + x x (( x + x + 2) – (3 x x + + 2)2 d) x 2 4 8

x ( x + x + 3) x – 1)2 – 7( x + x + 2)2 + x ( e) 5 ( x – 2 9 12

a) 3 + x – 5 – x – x + 1 = 24 3 + x – 5 – x – x + 1 = 8 6 12 8 6 12 x + 1) = = 3(3 + x ) – 4(5 – x ) – 2( x = 9 + 3 x – 20 + 4 x – 2 x – 2 = 5 x – 13

(

x – 1) – b) 3 ( x 4

)

1 ( x x + 1) + 1 = 12 3 ( x x – 1) – 1 ( x x + 1) + 1 = 3 6 4 3 6 x – 1) – 4( x + 1) + 2 = 9 x – 9 – 4 x – 4 + 2 = = 3 · 3( x = 5 x – 11

(

)

2 x + 1)2 = 18 (2 x – 5)2 – ( x x + 1)2 = 2(4 x 2 + 25 – 20 c) (2 x – 5) – ( x 20 x ) = 9 6 9 6 x 2 + 1 + 2 x ) = 8 x 2 + 50 – 40 x – 3 x 2 – 3 – 6 x = = –3( x = 5 x 2 – 46 x + 47

(

)

x – 3) + x ( x x – 2) – (3 x + 2)2 = 8 x 2 – 3 x + x 2 + 2 x – 9 x 2 + 4 + 12 x = d) x ( x 2 4 8 2 4 8 x 2 – 3 x ) + 2 ( x x 2 + 2 x ) – (9 x 2 + 4 + 12 x ) = = 4( x = 4 x 2 – 12 x + 2 x 2 + 4 x – 9 x 2 – 4 – 12 x = = –3 x 2 – 20 x – 4

(

)

x + 3) = x – 1)2 – 7( x x + 2)2 + x ( x e) 5( x 9 12 2 x 2 + 1 – 2 x ) – 7( x x 2 + 4 + 4 x ) + x 2 + 3 x = = 36 5( x 9 12 2 x 2 + 1 – 2 x ) – 3 · 7( x 2 + 4 x + 4) x 2 + 3 x ) = = 4 · 5( x 4) + 18 18(( x = 20 x 2 + 20 – 40 x – 21 x 2 – 84 x – 84 84 + 18 x 2 + 54 x = 17 x 2 – 70 x – 64

(

34

)

Expresa como el cuadrado de una suma, como el cuadrado de una diferencia o como una diferencia de cuadrados. a) x 2 + 9 – 6 x b) 4 x 2 + 1 + 4 x c) 4 x 2 – 9 d) 9 x 2 – 12 x x + +4 e) 16 x 2 – 1 f ) 16 x 2 + 40 x x + + 25 x – 3)2 a) x 2 + 9 – 6 x = ( x c) 4 x 2 – 9 = (2 x + 3) 3)(2 (2 x – 3) e) 16 x 2 – 1 = (4 x + 1)( )(44 x – 1)


b) 4 x 2 + 1 + 4 x = (2 x + 1)2 d) 9 x 2 – 12 x + 4 = (3 x – 2)2 f ) 16 x 2 + 40 x + 25 = (4 (4 x + 5)2

4


35

Transforma en producto como en el ejemplo. • x 3 + 2 x 2 + x x = = x x (( x x 2 + 2 x x + + 1 ) = x = x (( x + x + 1)2 a) x 3 – 4 x b) 4 x 3 – 4 x 2 + x c) x 4 – x 2 d) 3 x 4 – 24 x 3 + 48 x 2 x 2 – 4) = x ( x x + 2)( x x – 2) a) x 3 – 4 x = x ( x b) 4 x 3 – 4 x 2 + x = x (4 x 2 – 4 x + 1) = x (2 x – 1)2 x 2 – 1) = x 2( x x + 1)( x x – 1) c) x 4 – x 2 = x 2( x x 2 – 8 x + 16 x – 4)2 d) 3 x 4 – 24 x 3 + 48 x 2 = 3 x 2 ( x 16)) = 3 x 2( x

36

Simplifica. Para ello, transforma en producto el numerador y el denominador. x + +4 x + +1 x – –2 a) 2 x b) x c) 2 x 2 2 3 x + 6 x x – 1 x + 4 – 4 x 2 d) x 2– 3 x x – 9

e)

x 2 – 4 x 2 + 4 x x + +4

3 2 f ) x + 2 x + x 3 x x + +3

x + 2) = 2 x + 1 = x + 1 + 4 = 2( x 1 a) 2 x b ) = x + 2) 3 x x + 1)( x x – 1) x – 1 x 2 – 1 ( x 3 x 2 + 6 x 3 x ( x 2 x – 3) = x c) 2 x – 2 = x – 2 2 = 1 d) x 2– 3 x = x ( x x + 3)( x x – 3) x + 3 ( x x + 4 – 4 x ( x x – 2) x – 2 x – 9 2 x + 2)( x x – 2) = x – 2 e) 2 x – 4 = ( x x + 2 x + 2)2 ( x x + 4 x + 4 3 2 x 2 + 2 x + 1) = x ( x x + 1)2 = x ( x x + 1) f ) x + 2 x + x = x ( x x + 1) x + 1) 3 3 x + 3 3( x 3( x

PÁGINA 101 37

Expresa cada enunciado con una identidad: a) La raíz cuadrada del cociente de dos dos números es igual al cociente de las las raíces cuadradas del dividendo y del divisor. b) La potencia del producto de dos números es igual al producto de las potencias de los factores. c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. d) El producto de un número por el siguiente es igual a ese ese número más su cuadrado.

a)

√

a — = √ a b √b

c) a = √ b 2 + c 2


b) (a · b)n = a n · b n x + 1) = x 2 + x d) x ( x

4


R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 38

¿Cuándo se dice que un número es raíz raíz de de un polinomio? Comprueba si 3 es raíz de alguno de estos polinomios: P = P = x 3 – 2 x 2 + x x – – 12 Q = Q = x 3 – 5 x 2 – 7 x R = R = ( x x 4 – 5 x x + + 10 10)( )( x – x – 3) ¿Es 0 raíz de alguno de los polinomios anteriores?

Cuando al sustituir x por ese número, el valor del polinomio es 0. P = 33 – 2 · 3 2 + 3 – 12 = 27 27 – 18 + 3 – 12 = 0 8 3 es raíz de P . Q = 33 – 5 · 32 – 7 · 3 = 27 – 45 45 – 21 ? 0 8 3 no es raíz de Q . R = (34 – 5 · 3 3 + 10) (3 – 3) 3) = 0 8 3 es raíz de R .

39

¿Cuál debe ser el valor de k para que –2 sea raíz del polinomio: x 3 – 5 x 2 – 7 x x + + k ? Justifica tu respuesta. respuesta.

Para que –2 sea raíz de ese polinomio, al dar a x ese valor el polinomio debe ser igual a 0. Por tanto: (–2)3 – 5 (–2)2 – 7 (–2) + k = 0 8 –8 – 20 + 14 + k = 0 8 k = 14

40

¿Cuál es el resultado de multiplicar una fracción por su inversa? Comprúebalo con x y su inversa. x + x +2

El producto de una fracción por su inversa es igual a 1. x · x + 2 = x ( x x + 2) = 1 x + 2 x x + 2) x ( x

41

a) Simplifica esta expresión: a 2 – (a (a + + 1)(a a – – 1). b) ¿Sab ¿Sabes es cuál es el valor valor de 7 5002 – 7 501 · 7 499 sin utilizar utilizar la calculad calculadora? ora?

a) a 2 – (a + 1)(a – 1) = a 2 – (a 2 – 1) = a 2 – a 2 + 1 = 1 b)75002 – 7 501 · 7 499 = 1, según hemos compr comprobado obado en en el apartado a).

42

a) Simplifica Simplifica la expresión (a a + + 1)2 – (a (a – – 1)2. b) Halla, sin utilizar la calculadora, calculadora, el valor valor de 2 5012 – 2 49 499 92

a) (a + 1)2 – (a – 1)2 = (a 2 + 1 + 2a ) – (a 2 + 1 – 2a ) = a 2 + 1 + 2a – a 2 – 1 + 2a = 4a b)25012 – 2 49 49992 = 4 · 2500 2 500 = 10000 10 000

43

Averigua cuál debe ser el valor de a , en cada caso, para que las dos expresiones sean idénticas: a) (3 x x + + a )(3 )(3 x x – – a ) + 7 y 9 x 2 – 18 b) ( x – x – a )2 + 2 xa xa – – 46 y y x x 2 + 18


4


a) (3 x + a )(3 )(3 x – a ) + 7 = 9 x 2 – a 2 + 7 Si 9 x 2 – a 2 + 7 = 9 x 2 – 18 8 –a 2 + 7 = –1 –188 8 a 2 = 25

a = 5 a = –5

x – a )2 + 2 xa – 46 = x 2 + a 2 – 2 xa + 2 xa – 46 = x 2 + a 2 – 46 b) ( x a = 8 a = –8

Si x 2 + a 2 – 46 = x 2 + 18 8 a 2 – 46 = 18 8 a 2 = 64

P ROFUNDIZA 44

Opera y simplifica todo lo posible las siguientes expresiones: x + +2 a) 2 x : 3 – 2 b) – 4 x 2 + 1 · x x + + 1 x x – –1 x + + 2 x 2 + 4 x – 1 x ( x + x + 2) x

( ) ( ) c) 1 – 3 : [( x + x + 2) – x + 1] x x a) x : ( 3 – 2 ) = x : ( 3 x – 3 – 2 x – 2 ) = x : x – 5 = x – 1 x + 1 x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 2

2

2

= b)

(

2

2

2

x ( x x 2 – 1) = x x 2 – 1)( x x – 5) x – 5 ( x

– 4 x + 1 · x + 2 = – 4 x + x + 2 · x + 2 = x + 2)2 x + 2 x 2 + 4 x + 2)2 x 2 + 4 ( x ( x x + 2) = = –3 x + 22 · x 2+ 2 = (–3 x + 22)( x x + 2) x + 4 ( x x + 2) ( x x 2 + 4) ( x –3 x + 2 = x + 2)( x x 2 + 4) ( x

)

(

)

2 x + 2) – x 2 – 1 = x + 2) – x + 1 = 1 – 3 : x ( x c) 1 – 3 : ( x

x

[

x

]

x

[

x

]

2 2 = 1 – 3 : x + 2 x – x – 1 = 1 – 3 : 2 x – 1 =

x

=1–

45

(

x

)

x

x

3 x = 1 – 3 = 2 x – 1 – 3 = 2 x – 4 x (2 x – 1) 2 x – 1 2 x – 1 2 x – 1

Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son tres números consecutivos.

x + 1)( x x + 2 ) + x ( x x + 1) + x ( x x + 2) Área: 2[( x 2)]] = x 2 + 3 x + 2 + x 2 + x + x 2 + 2 x ) = = 2( x = 2(3 x 2 + 6 x + 2) = 6 x 2 + 12 x + 4

x + 2

x + 1)( x x + 2) = x ( x x 2 + 3 x + 2) = Volumen: x ( x = x 3 + 3 x 2 + 2 x x + 1 x


4


46

Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide el doble del radio de la base.

R

2R

Área: 2πR 2 + 2πR · 2R = 2πR 2 + 4πR 2 = 6πR 2 Volumen: πR 2 · 2R = 2πR 3

47

Expresa algebraicamente el área de este trapecio isósceles: ☞

Quizá te sea útil recordar el teorema de Pitágoras. x

3 cm

3 cm

3 x x

h x

x 3 x


3 cm

x

Altura: h = √ 9 – x 2 2 Área: (3 x + x ) √ 9 – x = 2 x √ 9 – x 2 2

Soluciones Ejercicios Tema 4 Expresiones Algebraicas

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