1. Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 x 4 a. Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f sama dengan 1. 1 f ( x )= 3 4
∫ 13 dx= 1
[ ]
1 4 4 1 x = − =1 3 1 3 3
b. Hitunglah P(1,5 < x < 3) 3 3 = 3 − 1,5 =0.5 ∫ 13 dx= 13 x 1.5 3 3 1.5
[ ]
c. Hitunglah P( x < 2,5) 2,5 2.5 1 = − =0.5 ∫ 13 dx= 13 x 2.5 3 3 1 1
[ ]
d. Hitunglah P(x 3,0) 4 ∫ 13 dx= 13 x 43 = 43 − 33 = 13 3
[ ]
e. Hitung F(x), kemudian gunakan menghitung P( x < 2,5) 4 f ( x ) dx=¿ 1 dx = 1≤ x ≤ 4 ∫ ∫¿ 1 3
=
1 x a
4 | 1
=
1 1 4− 1 3 3
=
4 1 − 3 3
=1
Maka P( x < 2,5)
=X|
2.5 1
f ( x ) dx=¿ ∫¿
2.5
∫ 1 dx 1
= 2.5 – 1 = 1.5
f. Hitung nilai E(X) 4 1 1 E( x )=∫ x dx = x 2 6 1 3
|
4 = 8 − 1 = 15 1 3 6 16
2. Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas : a. Paling sedikit 10 orang yang selamat P ( x ≥10 )=1−P ( x< 10 ) 0,0005+0,0047+ 0,0219+ 0,1859+0,2066+0,1771+0,1181 +0,0612 ¿ 1−¿ ¿ 1−0,9662=0,0338 b. Dari 3 sampai 8 orang yang selamat P (3 ≤ x ≤ 8 )=P ( x ≤8 )−P ( x ≤2 ) ¿ ( 0,0005+0,0047+0,0219+ 0,1859+0,2066+0,1771+0,1181 )−( 0,0005+0,0047+ 0,0219 ) ¿ 0,9050−0,0271=0,8779
c. Tepat 5 orang yang selamat P ( x=5 )=0,1859 d. Hitung rata-rata dan variansinya M =n × P=15 ×0,4=6 σ 2=n× P× q=15 ×0,4 × 0,6=3,6 3. Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas : a. Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7 kecelakaan M=6,X=7 m −m μ e ( ) P x=7 = =1,377 x!
b. Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 kecelakaan P( X > 4 ) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – (0.0025 + 0.0149 + 0.0446 + 0.0892) = 1 – 0.1512 = 0.8488 c. Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 kecelakaan Sebulan m=6 Seminggu m = 1.5 m = 1.5 , X = 4 μ m e−m P ( x=4 )= =0.0471 x! 4. Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung. 1 P = 1000 =0,001 μ=n × P=8000× 0,001=8 P ( x=0 )=
μm e−m =0,003 x!
P( x=1)=
μ e =0,0027 x!
P( x=2)=
μ e =0,0107 x!
P( x=3)=
μ e =0,0286 x!
P( x=4)=
μ m e−m =0,0573 x!
P( x=5)=
μm e−m =0,0916 x!
P( x=6)=
μm e−m =0,1221 x!
m −m
m −m
m −m
P ( x <7 )=0,003+0,0027+ 0,0107+0,0286+0,0573+ 0,0916+0,1221=0,3134
5. Rata-rata berat 500 mahasiswa FKM adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat n = 500 ,
μ=55 kg , σ = 3.4
a. Kurang dari 53 kg Z =
x−μ σ
Z53 =
53−55 3.4
=
−2 3.4
= - 0.59 Area Z53 = 0,2224 = 0.5 – 0.2224 = 0.2776 x 500 = 139 b. Di antara 53 kg dan 57 kg Z57 =
57−55 2 = =0.59 3.4 3.4
Area Z57 = 0.2224 = 0.5 – 0.2224 = 0.2776 x 500 = 139 Total : = 139 + 139 = 278 6. Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan deviasi standar 7.9, hitunglah M = 74
σ =7,9
a. Nilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai 10% terendah mendapat E.
Z =0,1→ area Z=0,26 Z=
x−m σ
0,26=
x−74 7,9
2,054=x−74
x=76,054 ≅ 76→ nilai lulus terendah b. Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa dengan nilai 5% tertinggi men-dapat A .
Z =0,05→ area Z =0,13
Z=
x−m σ
0,13=
x−74 7,9
1,027=x −74 x=75,027 ≅75 7. Sebuah pengiriman 7 set televisi berisi 2 set cacat. Sebuah hotel melakukan pembelian secara acak 3 set dari semua set televisi yang ada. Bila x adalah jumlah set televisi yang cacat yang dibeli oleh hotel tersebut, tv cacat = 2 tv betul = 5 n=3 a. Carilah distribusi probabilitas X F(0)
F(1)
F(2)
2 7
4 7
1 7
2 5 ( 0 )( 3 ) 1×10 10 2 f ( 0 )= = = = 35 35 7 7 ( 3) 2 5 ( 1)( 2) 2× 10 20 4 f ( 1 )= = = = 35 35 7 7 (3 ) 2 5 ( 2)( 1) 1× 5 5 1 f ( 2 )= = = = 35 35 7 7 (3 ) b. Carilah distribusi kumulatif F(x)
F (0)=
2 7
2 4 6 F ( 1 )=f ( 0 ) +f ( 1 )= + = 7 7 7
6 1 F ( 2 )=f ( 0 ) +f ( 1 ) + f ( 2 ) = + =1 7 7 c. Dengan menggunakan F(x), hitunglah P(X = 1) dan P(0 < x 2) o
6 2 4 P ( x=1 )=F ( 1 )−F ( 0 )= − = 7 7 7
o
P ( 0< x ≤ 2 ) → P ( x =2 )+ P ( x=1 ) 7 6 1 P ( x=2 )=F ( 2 )−F ( 1 )= − = 7 7 7
P ( x=1 )=
4 7
1 4 5 P ( x=2 )+P ( x=1 ) = + = 7 7 7 d. Hitung nilai E(X)
E ( x )=0 × f ( 0 ) +1× f ( 1 ) +2× f ( 2 ) +3 × f (3 ) ¿ 0+1 × ¿
20 5 +2 × +3 ×0 35 35
30 =0,857 35
8. Jumlah jam total, yang diukur dalam satuan 100 jam, bahwa suatu fungsi keluarga menggunakan pengisap debu pada periode satu tahun merupakan suatu variabel random kontinu X yang mempunyai fungsi probabilitas : f(x) = x , untuk 0 < x < 1, f(x) = 2 – x , untuk 1 x < 2, dan f(x) = 0, untuk x lainnya a. Tunjukkan bahwa P(0 < x < 2) = 1 ∞
0
1
2
∞
∫ f ( x )=∫ 0 dx+∫ x dx +∫ 2−x +∫ 0 dx −∞
−∞
1
1 1 2 2 x 1 2 2 0+ 2 x− x 1+ 0 2
( ) (
¿ 0+
0
)
( 12 −0)+{( 4−2) −(2− 12 )}+0
¿ 0+
2
1 1 ¿ + =1 2 2 b. Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga menggunakan pengisap debu mereka kurang dari 120 jam
¿ P ( 0 < x< 2 ) → P ( 0< x<1 ) + P ( 1< x< 1,2 ) 1
1,2
¿∫ x dx +∫ 2−x dx 0
¿
1
1 1 2 1,2 = 17 =0,68 x 1 2 2 0+ 2 x− x 1 25 2
( ) (
)
c. Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga menggunakan pengisap debu mereka antara 50 sampai 100 jam.
¿ P ( 0,5< x<1 ) 2
x dx =¿
( )
x 1 3 = =0,375 2 0,5 8 1
¿∫ ¿ 0,5
d. Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga menggunakan pengisap debu mereka lebih dari 150 jam.
¿ P ( 1,5< x <2 ) + P ( x> 2 ) 2
∞
¿ ∫ 2−x dx +∫ 0 dx 1,5
2
1 ¿ 2 x− x 2 2 2 1,5+0
(
)
¿ 2−1,875=0,125 e. Hitung nilai harapan X ∞
E ( x )=∫ f ( x ) dx −∞ 2
x ( x ) dx+ ¿∫ x ( 2−x ) dx 1 1
¿∫ ¿ 0
2
f ( x ) dx+ ¿∫ f ( 2 x−x 2) dx 2
1
1
¿∫ ¿ 0
1
¿ ¿
[ ][ ] [][ ]
1 3 1 x + x2 − x3 31¿ 3 3 0 1 4 2 + − =1 3 3 3
9. Sebuah industri yang menghasilkan sabun mandi telah mengambil sampel 3 buah sabun mandi dengan aroma melati dan 7 aroma mawar. Semua sabun mempunyai bentuk dan ukuran sama. Semua sampel dimasukkan dalam kotak dan kemudian diambil 4 sabun. Didefinisikan variabel random X adalah banyaknya sabun mandi beraroma melati yang terambil, tentukan: a. Nilai dari variabel random X
P ( X x) f ( x )
3 x
Rumus :
-
-
f(0) =
f(1) =
3 7 . 0 4 10 4
3 7 . 1 3 10 4
= 35/210 = 5/30
= 105/210 = 1/2
7 . 4 x , untuk x 0,1,2,3 10 4
-
-
f(2) =
f(3) =
3 7 . 2 2 10 4 3 7 . 3 1 10 4
= 63/210
= 7/210=1/30
b. Distribusi probabilitas variabel random X Melati : 3 Mawar : 7 n :4
o
(¿ 30)(73 ) ( 104)
f(0)
=
1 x 35 210
f(2)
(¿ 32)(72) (104) =
3 x 21 210
=
1 6
=
3 10
o
f(1) =
(31)(73 ) ( 104)
=
3 x 35 210
=
1 2
c. Distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P(X=2)
f(3) =
(33 )(71 ) ( 104) 1 x7 210
= =
1 30
a. F(0) =
1 6
b. F(1) =
1 1 2 + = 6 2 3
c.
F(2)
35 105 63 203 + + = 210 210 210 210
=
d. F(3) =
203 210
7
210
+ 210 = 210 =1
3 7 ( 2 )( 2 ) 3 P ( x=2 )=f ( 2 ) = = 10 ( 4 ) 10
e.
d. Hitung rata-rata dan variansinya 2 σ =n× p× q=10 ×3=210 M =n × P=10 ×7=70 10.
Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran lewat pos
berbetuk varaibel random kontinu X yang mempunyai fungsi padat
probabilitas f (x) =
2( x+2) 5
untuk 0 < x < 1 dan f(x) = 0 untuk
nilai x lainnya. a. Buktikan bahwa f(X) merupakan fungsi padat probabilitas. F(x) merupakan fungsi padat maka P(0
∞
∫¿ −∞ 1
¿
2 /5 4 x ²+ x ∫ ❑ 2 5 0 1
=
2 4 x ²+ x ∫ ❑ 10 5 0
2 4 2 4 (1) ²+ (1) (0)²+ (0) = [ 10 ] – [ 5 10 5 2 4 + ¿ = [ 10 5 – [0] =
2+ 8 10
10 10
=
= 1 , terbukti P (0
b. Hitung P( ½ < x < ¼) Tentukan distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P( ½ < x < ¼)
P( ½ < x < ¼) =
2 5 ¿ ¿
1 2
) dx
∫¿ 1 4
=
2 10
2
x +
2 1 ( ) = [( 10 2
2
1 2
4 5
x
∫❑
+
4 5
1 2 1 ( ) ( 2 ))] – [( 10 4
2 1 ( ) = [( 10 4 +
1 4
4 2 1 ( ) )] – [( 10 10 16 +
2
+
4 5
1 ( 4 ))]
4 20 )]
1 4 1 4 1+ 8 1+ 6 + ) ( + ) ( ) ( ) 20 10 - 80 20 = 20 80
=
(
=
9 20
-
17 80
=
36−17 80
=
19 80
11.Probabilitas menghasilkan produk cacat dari PT Idaman, sebuah perusahaan yang menghasilkan lemari es, adalah 0,2. Dalam rangka untuk mengendalikan kualitas lemari es, maka bagian pengendali kualitas bermaksud melakukan penelitian tentang probilitas kerusakan lemari es.
Sebagai langkah awal diambillah sampel sebanyak 8 lemari es. Dari 8 lemari es tersebut berapakah probabilitas diperoleh : n = 8 buah , p = 0.8 , q = 0.2 a. Dua lemari es rusak
C8 3
P (x = 6) =
x P 6 x q2
=
8! 6 !2 !
=
8x 7 2x 1
x
3 2 8 )6 x ( 8 ¿
)2
x (0.75)6 x (0.25)2
= 28 x 0.178 x 0.095 = 0.3115 b. Tiga lemari es baik
8
C 3
P (x = 3) =
x P3 x q5
8! 6 !2 !
=
3 X ( 8 )3
8x 7 x6 3 x2 x1
=
X
5 ( 8¿
X (0.375)3 X (0.625)5
= 56 X 0.053 X 0.095 = 0.282 c. Paling banyak 7 lemari es baik
8
C 7
P (X ≤ 7 ) =
X P7 X Q1
8! 7!1!
=
X
7 8 ¿
)7 X
1 8 )1 ¿
= 8 X (0.875)7 X (0.12)1 = 8 X 0.393 X 0.12 = 0.377 d. Antara 3 sampai 5 lemari es rusak
5 8
P= q=
3 8
(baik)
(rusak)
P (x = 5) = =
8
5
C5 P Q
3
8! 5 5 3 3 ( )( ) 5 !3 ! 8 8
= 8.7.6.
(0,625)5 (0,375)3
= 336. 0,095 . 0,053 = 1,69 (baik)
5
q = - 0,69 (buruk) e. P =
3 8
(baik)
q=
5 8
(rusak)
P (x = 3) =
C83 P3 Q 5 3
=
5
8! 3 5 ( )( ) 3!5! 8 8
= 8.7.
3
5
(0,375) (0,625)
= 56. 0,053 . 0,095 = 0,282 q = 1- p = 1 - 0,282 = 0,718 Antara 3-5 rusak = P (x = 5) – P (x = 3) = 0,718 – (- 0,69) = 1,4 f.
Paling sedikit 2 lemari es baik P=
2 8
q=
2 8
P (X = 2) =
C82 P2 Q 6
=
8! 2 2 6 6 ( )( ) 2 !6! 8 8
=
8.7 ( 0,25)2 ( 0,75)6 2
= 28. 0,0625 . 0,178 = 0,3115 g. Paling banyak 2 lemari es rusak
P=
6 8
q=
2 8 C86 P6 Q2
P (X = 6) = =
8! 6 6 2 2 ( )( ) 6 !2! 8 8
= 8.7
(0,75)6 (0,25)2
= 56. 0,178 . 0,0625 = 0,623 q = 1 – 0,623 = 0,377 12.Disket yang diproduksi oleh PT Akbar ternyata sangat berkualitas. Hal ini terbukti dari 100 buah disket ternyata hanya ada 2 disket yang tidak berfungsi. Apabila diambil 150 buah disket, maka probabilitas: n : 150 buah disket a. Tiga diantaranya tidak berfungsi
147 =0,98 150
P (X = 147) =
Rusak = 1 – 0.98 = 0.02 b. Maksimum 5 tidak berfungsi
5 150
P (X = 5 ) =
=
1 3
= 0.33
c. Antara 3 sampai 6 tidak berfungsi 3 ≤ rusak ≤ 6 Prusak 3 = = Prusak 6 = = =
3 150 1 50 6 150 2 50
2 1 − 50 50 =
1 50
= 0.02
d. Minimum 145 berfungsi P (x = 145) =
145 150
= 0,966
13.Rata-rata banyaknya makanan kaleng yang ada di gudang telah kadaluarsa adalah 5. Diambil sampel random sebanyak 10 buah makanan kaleng di gudang, hitung probabilitas: a. Lima diantaranya kadaluarsa n : 10 A. 1) 5kadaluarsa = 5/10 2) 5 baik = 5/10 5 5 C10 5 . p .q
P (x=5) =
5
=
10 ! 1 5 !5! 2
1 2
=
10.9 .8 .7 .6 ! 5.4 .3 .2.
5
() . ()
( 0,03125 ) . ( 0,03125 )
.
= 252 . 0,00097 = 0,244 Q = 1-p = 1-0,244 = 0,756 b. Maksimum 4 telah kadaluarsa 6 baik = 6/10 P(x=6) =
C10 6 .
6
p =
.
q
10 ! 6 ! .4 !
4
.
6 10
6
( )
4
( )
.
10.9 .8 .7 .6 .5! 6.5 !
=
4 10
.
( 0,6 )6 . ( 0,4 )4
= 5040 . 0,0467 . 0,0256 = 5040. 0,00119 =5,9976 c. Antara 5 sampai 8 telah kadaluarsa
P1 (7,5)
=
2,718−5 . 57 7!
= 0, 1044
−5
P2 (6,5)
=
6
2,718 . 5 6!
= 0,1462
P total = 0, 1044+0,1462= 0,2506 = 25,06% d. Minimum 186 masih bisa dimakan 14.Tes IQ 600 calon mahasiswa FKM mempunyai mean 115 dan deviasi standarnya 12. Mahasiswa dikatakan lulus tes, bila mempunyai IQ paling rendah 95, berapakah mahasiswa yang dinyatakan tidak lulus ?
P ( x ≥ 95 )=
σ 12 12 12 6 6 = = = √ = √ =0,49 5 √ n √600 10 √ 6 60
P ( x <95 )=1−P ( x ≥ 95 ) =1−0,49=0,51 ¿ 0,51× 600 siswa=306 siswa yang tidak lulus 15.Gaji pegawai suatu perusahaan rata-rata Rp.525,- per jam dengan deviasi standar Rp.60,-. a. Berapa persen karyawan yang bergaji Rp.575,- dan Rp.600,- per jam ? M = 525 σ = 60 P(x=575) Z
Z=
575−525 50 = =0,83 60 60
Z =0,83→ area Z 0,2967 ¿ 0,2967 ×100 =29,67 b. Di atas berapa rupiahkah 5% gaji per jam tertinggi ?
Z=
600−525 75 = =1,25 60 60
Z =1,25→ area Z 0,394 4 ¿ 0,3944 ×100 =39,44 16. Besarnya kadar Hb laki laki dewasa normal adalah 15gr/100ml dengan standar deviasi 2 gr. Dari penelitian tersebut pada kelompok pekerja tertentu didapat 25 orang. Pekerja tersebut memiliki kadar Hb sebesar 16gr/100ml Dik : µ = 15 gr/dL , Sχ = 2 gr , n = 25 orang , n = 16 gr/dL , Cl = 95% a. Tentukan 95% confident interval df (derajat kebebasan) = n-1 (dipakai karna hanya satu sampel) n-1 = 25-1 =24 df = 2y (liat tabel) dan CI 95% = 2,064
b. Berapa kadar populasi T = Xn - S/n = 16 – 15 2/25
=
1 2 /5
=
5 2
= 2.5
c. Bandingkan dengan kadar Hb Laki laki dewasa 2,5 > 2,064 Nilai T lebih besar dari 2,064 d. Apa interpretasinya Ho ditolak jika 2,064 H1 diterima jika 2,064 17. Dari 25 sampel olahragawan secara acak, didapat tekanan darah sistole 115 mmHg dengan varian 225 mmHg. Dik : n = 25 olahragawan Xn = 115 mmHg S = 225 mmHg a. Kalau ingin menduga, berapa besar tekanan darah sistole olahragawan tersebut?
Sn t = S /√ n = 115 . 225/25 = 115 = 2,56 45 = X – t (2,064) S < < X + t (2,064) S n n = 115 – 2,56 (2.064) 225 < < 115 + 2,56 (2,064) 225 25 25 = 115 – 2,56 (2,064) 45 < < 115 + 2,56 (2,064) 45 = 115 – 237,77 < < 115 + 237,77 = -122,77 < < 357,77 b. Hitung besar tekanan darah sistol pada confident interval 90% dan 95% = X – t (2,064) S < < X + t (2,064) S n n = 115 – 2,56 (1,711) 45 < < 115 + 2,56 (1,711) 45 = 115 – 197,10 < < 115 + 197,10
= -82,10 < < 312,10 18. Rata rata tekanan darah diastolik 100 orang sehat didapat 73 mmHg dan simpangan baku 11,6. Hitung rata rata populasi pada 95% confident interval
