SIMBOLIZACION DE EXPRESIONES. Definición: Simbolizar una expresión es escribir con símbolos una expresión, es decir, interpretar el enunci enunciado ado de un proble problema ma y escrib escribir ir los datos datos correc correctam tament ente e para para que se puedan puedan realiz realizar ar operaciones con ellos que nos lleven a la solución. Ejemplo: n enunciado puede decir : !"aría se compró #$ pulseras de tres colores diferentes, pidió % rojas, & verdes y el resto azules. '(u)ntas pulseras son azules*! Ese Ese enun enunci ciad ado o es la Expr Expres esió ión n y para para reso resolv lver er ese ese prob proble lema ma lo podr podría íass simb simbol oliz izar ar así: así: #$ es el total % rojas & verdes * azules Simbolización: #$ + %&x
DECODIFICACION DE EXPRESIONES. (odificación (odificación:: interpreta interpretación ción al-ebraica al-ebraica de enunciados enunciados verbales: verbales: /mero /mero natural natural cualquiera cualquiera El antecesor de n El sucesor de n /mero natural par /mero natural impar El cuadrado del sucesor de n. Decodificación: interpretación verbal de expresiones al-ebraicas: (u)druple de la diferencia entre x e y 0a media aritm1tica entre a, b, y c. El producto de 2 por el cuadrado de r. 0a mitad del producto de - por el cuadrado de t.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS na expresión algebraica es un conjunto de cantidades num1ricas y literales relacionadas entre sí por los si-nos de las operaciones aritm1ticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces. 3l-unos ejemplos de expresiones al-ebraicas son: son:
o
OPERACIONES BASICAS CON MONOMIOS
Sólo podemos sumar monomios semejantes. 0a suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
a x n + b x n = (a + b)x n Ejemp! # x # y & z &x # y & z + 4# &5x # y & z + %x # y & z Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.
OPERACIONES BASICAS CON BINOMIOS En )l-ebra )l-ebra,, un b"n!m"! consta /nicamente de dos t1rminos t1rminos,, separados por un si-no de m)s 4 +5 o de meno menoss 4#5. En otra otrass pala palabr bras as,, es una una expresión algebraica form formad ada a por por la suma suma de dos monomios monomios.. 6.
.
#.
.
&.
es una diferencia de expresiones tri-onom1tricas.
PROD$C%OS NO%ABLES Se llama p&!' iertas tas exp&e ncuen ntran tran p&!'*! *! n!*ab n!*abe e a cier exp&e"!n "!ne e a,eb& a,eb&a" a"a a que se encue frecuentem frecuentemente ente y que es preciso saber -a*!&"a&a a simple vista7 es decir, sin necesidad de 8acerlo paso por paso. Se les llama p&!'*! n!*abe 4tambi1n p&!'*! epe"ae5 precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. 3 continuación veremos al-unas exp&e"!ne a,eb&a"a y del lado derec8o de la i-ualdad se muestra la forma de factorizarlas 4mostrada como un p&!'*! n!*abe5.
Ca'&a'! 'e a ma 'e '! an*"'a'e ! b"n!m"! a'&a'!
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es i-ual al cuadrado de la primera cantidad, m)s el doble de la primera cantidad multiplicada por la se-unda, m)s el cuadrado de la se-unda cantidad.
BINOMIO AL C$ADRADO/ (A+B)0 n b"n!m"! a a'&a'! 4suma5 es i-ual es i-ual al cuadrado del p ri me r
t 1r mi no , m1 el
doble
producto
del
primero
por
el
se-undo m1 el cuadrado se-undo.
(a + b) 0 = a 0 + 0 2 a 2 b + b 0 4x &5 # + x # # 9 x 9& &
#
+ x # x ;
BINMOMIOS CON3$GADOS/ (A+B) (A#B) El producto de la suma o diferencia de dos n/meros 4conju-ados5 es i-ual al cuadrado del primer t1rmino menos el cuadrado del se-undo t1rmino.
Ejemplo
El producto de dos binomios conju-ados es un binomio cuyos t1rminos son:
•
El cuadrado de un t1rmino com/n.
•
El otro t1rmino elevado al cuadrado y con si-no ne-ativo.
BINOMIOS CON %ERMINACION COM$N/ (A+B) (A+C) D! b"n!m"! !n n *4&m"n! en !m5n e&6an ( 7x +8) (7x 9 :); e *4&m"n! !m5n e 7x < ! *4&m"n! n! !mne !n +8 < 9:. E p&!'*! 'e '! b"n!m"! !n n *4&m"n! en !m5n e p!"be &ea"a&! me'"an*e a m*"p"a">n 'e p!"n!m"! ! p!& me'"! 'e a ","en*e &e,a/ a) P&"me&! e aa e a'&a'! 'e *4&m"n! !m5n. b) Se ?ae a ma 'e ! *4&m"n! n! !mne < e m*"p"a p!& e *4&m"n! !m5n. ) Se m*"p"an ! *4&m"n! n! !mne ejemp!/ :.# ( @x +) (@x 9 :)= x0 #8 x 9 :0 a) E a'&a'! 'e *4&m"n! !m5n. (@x)0= (@x) (@x) = x0 •
b) La ma 'e ! *4&m"n! n! !mne p!& e *4&m"n! !m5n. (#:) (@x) = (#) (@x) = #8x ) Se m*"p"an ! *4&m"n! n! !mne. () (#:) = #:0 0.# ( a + ) (a + ') = a0 + a ( + ') + ' a) e a'&a'! 'e *4&m"n! !m5n (a)0 = a0 b) La ma 'e ! *4&m"n! n! !mne p!& e *4&m"n! !m5n. ( + ') (a) = a ( + ') p!& a P&!p"e'a' !nm*a*"a 'e a m*"p"a">n FAC%ORIZACION En matem)ticas, la -a*!&"a">n es una t1cnica que consiste en la descripción de una expresión matem)tica 4que puede ser un n/mero, una suma, una matriz, un polinomio, etc5 en forma de producto. Existen distintos m1todos de factorización, dependiendo de los objetos matem)ticos estudiados7 el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en t1rminos de
S3.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE LA FORMA/ X0+0AX+A0; AX0+BX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE LA FORMA/ X0+BX+C;X0#A0 ?rinomio de la forma x0 + bx + son trinomios como: x# %x ,
m# %m @ 6A
b# @ #a @ 6%
y# B Cy 6%
ue cumplen con las si-uientes condiciones: 65 El coeficiente del primer t1rmino es 6. #5 El primer t1rmino es una letra cualquiera elevada al cuadrado. &5 El se-undo termino tiene la misma letra que el primero, con exponente 6 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o ne-ativa. A5 El tercer t1rmino es independiente de la letra que aparece en el 6 y#o termino y es una cantidad cualquiera, positiva o ne-ativa.
EC$ACIONES na ea">n es
una i-ualdad
matem)tica entre
dos expresiones
al-ebraicas,
denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos oincógnitas, relacionados mediante operaciones matem)ticas.nota 6 0os valores conocidos pueden ser n/meros, coeficientes o constantes7 y tambi1n variables cuya ma-nitud pueda ser establecida a trav1s de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.nota # Fcita requeridaG 0as incó-nitas, representadas -eneralmente por letras, constituyen los valores que se pretende 8allar. Hor ejemplo, en la ecuación:
IG$ALDAD $E CON%IENE $NA O HARIAS INCOGNI%AS En matem)ticas, una "n>,n"*a es un elemento constitutivo de una expresión matem)tica. 0a incó-nita permite describir una propiedad verificada por al-/n tipo de !valor desconocido!, por lo -eneral n/meros. En el caso de una ecuación, es un valor tal que, al sustituirlo por la incó-nita, se verifica la i-ualdad7 en este caso se le llama !">n.6 0a incó-nita tambi1n es utilizada en otros casos, como por ejemplo unainecuación. n problema puede tener una o varias incó-nitas, pero cada una se expresa bajo la forma de un solo y /nico símbolo. (asos simples de uso son la re-la de tres y el c)lculo de porcentaje. Iistóricamente, la incó-nita fue utilizada en la modelización de problemas al-ebraicos relacionados con polinomios. Este caso particular corresponde a la llamada teoría de ecuaciones7 su uso se 8a expandido en particular con el pro-reso del an)lisis en donde aparecen otras funciones adem)s de las polinómicas7 la incó-nita puede así desi-nar, por ejemplo, un vector o una -n">n.En un sentido moderno, una incó-nita es una variable asociada a una función matem)tica cuyo valor num1rico puede obtenerse por operaciones aritm1ticas de c)lculo.# El t1rmino incógnita aparece por primera vez en el si-lo JKLL bajo la pluma de Mermat,& pero el concepto es muc8o m)s anti-uo. El matem)tico -rie-o Diofanto, en el si-lo LLL, introduce el arithme que Bsi bien menos operacionalB prefi-ura la
EC$ACIONES DE PRIMER GRADO/ SOL$CION ALGEBRAICA GRAFICA APLICACIJN. na ea">n 'e p&"me& ,&a'! o ea">n "nea si-nifica que es un planteamiento de i-ualdad, involucrando una o m)s variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente ma < &e*a de una variable a la p&"me&a p!*en"a. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer -rado.
. S!">n ,&1-"a 'e na ea">n 'e p&"me& ,&a'! !n '! "n>,n"*a. na manera de resolver un sistema de ecuaciones es -raficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto o puntos de intersección. Oa que el punto o puntos de intersección est)n en ambas rectas, estas parejas ordenadas son soluciones del sistema. EC$ACIONES DE SEG$NDO GRADO na ea">n 'e e,n'! ,&a'!6 # o ea">n a'&1*"a 'e na a&"abe es una ecuación que tiene la forma de una suma al-ebraica de t1rminos cuyo -rado m)ximo es dos, es decir, una
ecuación cuadr)tica puede ser representada por un polinomio de se-undo -rado o polinomio cuadr)tico. 0a expresión canónica -eneral de una ecuación cuadr)tica de una variable es:
donde x representa la variable, y donde a, b y c son constantes7 a es el coeficiente cuadr)tico 4distinto de $5, b el coeficiente lineal y c es el t1rmino independiente. Este polinomio se puede representar mediante una -r)fica de una función cuadr)tica o par)bola. Esta representación -r)fica es /til, porque la intersección de esta -r)fica con el eje 8orizontal coincide con las soluciones de la ecuación 4y dado que pueden existir dos, una o nin-una intersección, esos pueden ser el n/mero de soluciones reales de la ecuación5.
SIS%EMA DE EC$ACIONES > es ol ve r u n s is te ma d e e cu ac io ne s c on si te e n e nc on tr ar l os v al or es desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones. "1todo de sustitución
: Se despeja una incó-nita en una de las ecuaciones. 0 Se sustituye la expresión de esta incó-nita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incó-nita.
8 Se resuelve la ecuación. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incó-nita despejada.
0os dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. EC$ACIONES CON DOS INCOGNI%AS/ APLICACION Dos ecuaciones con dos incó-nitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución com/n.
0 a so lu ci ón d e u n s is te ma e s u n p ar d e n/ me ro s x 6 , y 6 , t al es q ue r ee mp la za nd o x p or x 6 e y por y 6 , s e s at isf ace n a l a v ez a mb as ecuaciones.
FREC$ENCIAS F&een"a es una ma-nitud que mide el n/mero de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Hara calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un n/mero de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, lue-o estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido. Se-/n el Sistema Lnternacional 4SL5, la frecuencia se mide en 8ercios 4Iz5, en 8onor a Ieinric8 >udolf Iertz. n 8ercio es la frecuencia de un suceso o fenómeno repetido una vez por se-undo. 3sí, un fenómeno con una frecuencia de dos 8ercios se repite dos veces por se-undo.
Esta
unidad
se
llamó
ori-inalmente
por
se-undo=
4cps5.
Ptras unidades para indicar frecuencias son revoluciones por minuto 4rpm o &Km"n se-/n la notación del SL. 0as pulsaciones del corazón se miden en latidos por minuto 4latQmin5 y el tempo musical se mide en
n m1todo alternativo para calcular la frecuencia es medir el tiempo entre dos repeticiones 4periodo5 y lue-o calcular la frecuencia 4f5 recíproca de esta manera:
donde ? es el periodo de la seTal.
MEDIDAS DESCRIP%IHAS El estudio de una variable estadística comienza con la obtención de datos, bien sondeando la población o tomando una muestra. El si-uiente paso en el proceso es la ordenación de datos elaborando la tabla correspondiente. ?rabajar con una tabla es complejo y tedioso por lo que es m)s conveniente la introducción de nuevos par)metros que nos permitan resumir la información que contienen esas tablas. El objetivio que se persi-ue es la sintetización de la información que nos aportan los datos con la menor p1rdida posible. Kamos a a-rupar los par)metros en tres -rupos dependiendo de su función.
Me'"'a 'e en*&a"a">n. (on ellas pretendemos condensar los distintos valores de la variable en uno sólo que los resuma. Me'"'a 'e p!"">n. na vez ordenados los datos de menor a mayor ser) necesario identificar la posición de los valores. Me'"'a 'e '"pe&">n. 0as medidas de centralización nos condensan los datos en uno sólo pero no nos aportan información nin-una sobre la concentración o dispersión de los datos, 8abr) pues que introducir medidas que palien esta carencia.
PROBLEMAS DE MEDIA Definición.
sus
Me'"a a&"*m4*"a de al-unos n/meros es la relación de la suma de todos los n/meros a cantidad. suma de números cantidad de números
Media aritmética +
Por ejemplo: para dos n/meros
a y b la
media
aritmética es
media
aritmética es
a b # para tres n/meros a , b y c la
a b
c & y
así
por
el
estilo.
Ejemp! :. Nos1 cosec8ó del )rbol A peras, (atalina @ # peras, y "aría @ . 0os niTos juntaron sus frutas y se las repartieron en forma i-ualitaria. '(u)ntas peras obtuvo cada uno* S!">n. (alculemos la media aritm1tica: A# 6# + + A & & Re*a'!/ (ada uno obtuvo peras. PROBLEMAS DE MEDIANA Encuentra la mediana listando los datos en orden ascendente o descendente y lue-o determina el valor que est) en medio de los datos. Si los valores de un determinado conjunto de datos son C, 6$ y 6&, la mediana es 6$.
PROBLEMAS DE MODA
0a m!'a es el a!& que tiene ma
Se representa por M ! .
Se puede 8allar la m!'a para a&"abe a"*a*"a y an*"*a*"a .
aa& la m!'a de la distribución: #, &, &, A, A, A, %, % M ! =
Si
en
un
-&een"a y
-rupo
8ay ' ! esa
!
a& "a
frecuencia
p n * a "! ne con es
la
la m"ma m)xima,
la '"*&"b">n es b"m!'a o m*"m!'a , es decir, tiene a&"a m!'a . 6, 6, 6, A, A, %, %, %, U , C, ;, ;, ; M ! = :
NO%ACIONES DE PROBABILIDAD Se usaran mayusculas para indicar variables estocasticas y minusculas para indicar los valores que pueden tomar. H43 + verdadero5 + H43 + a5 + H4a5 H43 + falso5 + H43 + Va5 + H4Va5 H4a ∧ b ∧ c5 W H4a,b,c5 W H4abc5 H4Va5 W H4a5 W H4a5 H>PX0E"3S DE (P?EP En el conteo se usan t1cnicas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.P?3: El dia-rama de )rbol es una>ealizar actividad en la libreta de t1cnica /til de representaciónmatem)ticas. -rafica, que muestra las distintas opciones de combinación de objetos. (30(0P DE H>PX3XL0LD3D (omo 8emos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se d1 un determinado resultado 4suceso5 cuando se realiza un experimento aleatorio. 0a probabilidad toma valores entre $ y 6 4o expresados en tanto por ciento, entre $Y y 6$$Y5:
E a!& e&! !&&ep!n'e a e! "mp!"be: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que sal-a el n/mero U es cero 4al menos, si es un dado certificado por la P"D, !Pr-anización "undial de Dados!5. E a!& n! !&&ep!n'e a e! e,&!/ lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que sal-a cualquier n/mero del 6 al es i-ual a uno 46$$Y5. E &e*! 'e e! *en'&1 p&!bab""'a'e en*&e e&! < n!: que ser) tanto mayor cuanto m)s probable sea que dic8o suceso ten-a l u-ar. C>m! e m"'e a p&!bab""'a' no de los m1todos m)s utilizados es aplicando la Re,a 'e Lapae/ define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
RAZONAMIEN%O GEOME%RICO ada m)s lejos de la realidad. 0o que sucede es que muc8as veces confundimos razonamiento -eom1trico con razonamiento a bulto, a ojo o al !poco m)s o menos!. na demostración basada en conceptos -eom1tricos puede ser tan perfectamente v)lida como la fundada
exclusivamente
en
manipulaciones
al-ebraicas.
Xasta con no dar un paso antes de ase-urarse de la licitud del mismo. 0as fi-uras deben servir para orientarnos, no para desorientarnos, y son los razonamientos lo que nos 8abilitan para
aceptar
proposiciones
como
ciertas,
no
los
dibujos.
Ser) por eso que una de las vertientes m)s divertidas de la matem)tica recreativa es la de las presuntas paradojas -eom1tricas. Dado que virtualmente cualquier tema aritm1tico admite una interpretación -eom1trica, siempre es posible 8acer un dibujo para ejemplificarlo. Iablemos de uno de tales divertimentos, que espero no sea demasiado conocido por mis lectores
4yo
ya
me
lo
8e
encontrado
bastantes
veces
por
la
Zeb5.
Sabemos que una de las propiedadesd de las areas de las fi-uras -eom1tricas, como medidas que son, es que son invariantes por traslaciones. 3sí, si troceamos un cuadrado y con los trozos recomponemos un rect)n-ulo, es de esperar que ambos ten-an el mismo )rea. Sin embar-o, en nuestra fi-ura, los CxC+A unidades cuadradas del cuadrado se convierten en 6&x%+% en el rect)n-ulo.
CIRC$LO/ PROBLEMAS DE CIRC$NFERENCIA S$PERFICIE 0a lon-itud de una circunferencia es i-ual:
L! mej!&e &! GRA%IS He& %ODOS ! ::0 &! GRA%IS
:.#L!n,"*' 'e na "&n-e&en"a
0a lon-itud de una circunferencia es i-ual:
Heam! n ejemp!/ Kamos a calcular la lon-itud de esta circunferencia:
0on-itud de la circunferencia + & x &,6A + ;,A# m
%RIANG$LOS CLASIFICACION El pe&6me*&! 'e n *&"1n,! se calcula como Rla suma del lar-o de sus lados. El 1&ea 'e n *&"1n,! se calcula como Rsu base por la altura divida en dos. ?>L[\0P EL0[?E>P El *&"1n,! e"1*e&! es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida, en donde:
?>L[\0P LS]S(E0ES El *&"1n,! ">ee es aquel que tiene sólo dos lados de i-ual medida.
?>L[\0P ES(30EP El *&"1n,! eaen! es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.
CLASIFICACIJN DE %RIQNG$LOS SEGN LA MEDIDA DE S$S QNG$LOS ?>L[\0P 3(?[\0P El *&"1n,! a*1n,! es aquel que tiene todos sus )n-ulos a-udos.
?>L[\0P >E(?[\0P
El *&"1n,! &e*1n,! es aquel que tiene un )n-ulo recto 4^ (3X5.
?>L[\0P PX?S[\0P El *&"1n,! !b*1n,! es aquel que tiene un )n-ulo obtuso, tal como se muestra a continuación:
%RIANG$LO/ PROBLEMAS DE AREA PERIME%RO. Pe&6me*&! 'e n *&"1n,! El pe &6 me *& ! tres a'! .
,! E"1*e&!
'e
n
* &"1 n, ! es
i-ual
a
la ma de
sus
Q&ea 'e n *&"1n,! El 1&ea 'e n *&"1n,! es i-ual a bae p!& a*&a pa&*"'! p!& 0 .
La a*&a es l a &e*a pe&pen'"a& t ra z a da d e sd e u n 4&*"e a a'! !pe*! 4o su prolon-ación5.
%RIANG$LOS/ PROBLEMAS DE CONGR$ENCIA DE %RIANG$LOS %RIANG$LOS/ PROBLEMAS DE SEME3ANZA DE %RIANG$LOS ENE>(L(LP 6 : En una foto-rafía, "aría y Mernando miden #,% cm y #,U cm, respectivamente7 en la realidad, "aría tiene una altura de 6U,% cm. '3 qu1 escala est) 8ec8a la foto* 'u1 altura tiene Mernando en la realidad* Solución • (alculamos la escala: = = = 3ltura en la foto de "aría #,% 6 Escala 3ltura real de "aría 6U,% U ⇒ 0a escala es 6:U. • (alculamos la altura real de Mernando: 3ltura real = U 9 #,U = 6C$,; cm ENE>(L(LP # : na empresa de construcción 8a realizado la maqueta a escala 6:;$ de un nuevo edificio de telefonía móvil, con forma de pir)mide cuadran-ular. En la maqueta, la altura de la pir)mide es de %,& dm y el lado de la planta es de #,A dm. (alcula el volumen real del edificio expresando en metros c/bicos el resultado. Solución: ⋅ ⋅ 6 El volumen de una pir)mide es [rea de la base 3ltura. & (alculamos la altura en la realidad: 3ltura real = %,& 9 ;$ = AUU dm (alculamos el )rea de la base en la realidad, aplicando que la razón entre las )reas de dos fi-uras semejantes es i-ual al cuadrado de la razón de semejanza: # # "aqueta
#,A %,U dm [rea de la base >eal 3 = = = >azón de semejanza = ;$ ⇒ = → = ⋅ = # # # 0ue-o: ;$ ;$ %,U A% dm %,U 3 3 Minalmente, sustituyendo en la fórmula del volumen, se obtiene: = ⋅ ⋅ = = & & >E30 6 A% AUU UA6C&$A dm UA6C,&$A m
C$ADRILA%EROS PLOLIGONOS
Iay al-unos tipos especiales de cuadril)teros: •
el rect)n-ulo
•
el rombo
•
el cuadrado
4todos estos son paralelogramos5, y tambi1n 8ay: •
el trapezoide
•
el deltoide
Si no es nin-una de estos es un cuadril)tero irregular . (uadril)tero si-nifica 4cuad si-nifica cuatro, látero si-nifica lado5.
!cuatro
lados!
La -",&a 'e a*&! a'! e aman a'&"1*e&!. Hero los lados tienen que ser &e*!, y la fi-ura tiene que ser b"'"men"!na. Holí-onos n cuadril)tero es un polí-ono. De 8ec8o es un polí-ono de A lados, de la misma manera un tri)n-ulo es un polí-ono de & lados, un pent)-ono es un polí-ono de % lados, etc. En -eometría, un p!6,!n! es una fi-ura plana compuesta por una secuencia finita de se-mentos rectos consecutivos que cierran una re-ión en el plano. Estos se-mentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman v1rtices. El interior del polí-ono es llamado )rea. El polí-ono es el caso bidimensional del politopo, fi-ura -eom1trica -eneral definida para cualquier n/mero de dimensiones. 3 su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se denomina polícoro.
C$ADRILA%EROS
Sed en omi n anfi g ur a ss ól i d asóc u er p osg eo mé t r i c o saa qu el l o se l e me nt o sq ue ,y as ea nr e al e so i deal es . —
que
ex i s t en
en
l a
r eal i dad
o
pueden
c onc ebi r s e
ment al ment e.
—o c up anu nv o l u me ne ne le s pa c i od es a r r o l l á nd os ep orl ot a nt oe nl a st r e sd i me ns i o ne sd ea l t o , anc ho
y
l ar go;
Ent r e
y
es t án
l os
c ompues t os
por
c uer pos
fi gur as
geomét r i c as .
geomé t r i c os
es t an:
El c u bo— q uees t ác omp ue s t opo rs e i sc a r a sc ua dr a da s ;mo t i v opo re lc u als el ec on oc et a mb i é n c on
el no mbr e
de
ex ae dr o
r eg ul ar , ( ex ae dr o
=
c ue r po
c on
6
c ar as ) .
Elt e t r a e dr or e gu l a r— c o mp ue s t op orc ua t r oc a r a sc o nf o r ma d et r i á ng u l o se q ui l á t e r o s . El oc t a ed r or e gul a r— c omp ue s t opo ro c hoca r asc onf o r mad et r i á ng ul o seq ui l át er o s,e nf o r made dos
pi r ámi des
uni das
por
s us
bas e.
Eli c os a ed r or e gu l a r— c omp ues t op orv e i n t ec ar a sc o nf o r mad et r i á ng ul o se qu i l á t e r o s,qu et i e ne un
ej e
El dode c aed r o r eg ul ar —
pl ano
ex agonal .
c ompu es t o po r do c e c ar as c on f or ma de pe nt ág on o.
Elp r i s ma— q uee s t ác o mp ue s t op orc a r a sl a t e r a l e sr e c t a ng ul a r e s( q uep ue de ns e rc u a dr a da s ) ;y b as e sc o nf o r mad et r i á ng ul o ,c u ad r a do( s a l v oc u an dol a sc a r a st a mb i é nl os o n,e nc u y oc a s oe s un
c ubo) ,
pent ágono,
ex ágono
u
ot r o
pol í gono
r egul ar .
Elp r i s mao bl i c u o— q uee ss i mi l a ra lp r i ma ,p er oc o nd osl a do sd ef o r mar o mb oi d al ;p orl oc u al s ol ame nt e
puede
t ener
bas es
c uadr adas .
L ap i r á mi d er e c t a— c o mp ue s t op oru nab as ec o nf o r mad ep ol í g on or e gu l a r ,yl a do st r i a ng ul a r e s c u y ab as es o nl o sl a do sd e lp ol í g on o ,yu ne nt o do ss uv é r t i c e se nu n mi s mo p u nt o ,t a mb i é n l l a ma dov é r t i c ed el ap i r á mi d e;e lc u als ee nc ue nt r as o br el ap er p en di c ul a ral ab as equ ep as ap or s u
c ent r o.
L ap i r á mi d ei n c l i n ad a— s i mi l a ra l aa nt e r i o r ,p er oc u y ov é r t i c es ee nc u e nt r as o b r eu n a per pendi c ul ar
a
l a
bas e
que
no
pas a
por
s u
c ent r o.
El c i l i n dr o— q uee s t ác omp ue st od osba s esc i r c ul a r e syun as up er fi c i ec ur v ac on t i n ua,eq ui v a l en t e
a
un
r ec t ángul o.
Elc o n o— c o mp ue s t op oru nab as ec i r c u l a r ,yu nas u p er fi c i ec u r v aqu el ar o d eays eu n ee nu n vér t i ce que se encuent r a sobr el a per pendi cul ar a l a base que pasa por su cent r o. Elc o n ot r u n c a do — q u es i e n d os i mi l a rau nc o n o ,t i e n eu n ab a s ec o n f o r ma d ap o ru np l a n o i nc l i nado, La
c on
l o
—
que
es f er a
c ual es
adopt a
c i r c ul ar
en
una t odos
f or ma s us
de pl anos
el i ps e. c ent r al es .
L as e mi e s f e r a— q uee su nae s f e r aq ueh as i d oc o r t a dap oru nod es u sp l a no sc i r c u l a r e s ,d e ma ne r aq uet i e neu naba s ec i r c ul aryun ac úp ul aes f é r i c a.
CALCULODEAREAYVOLUMEN
Área del cubo A= 6. a2 Volumen del cubo V= a3 Área del ortoedro A= 2 a.b + 2 b.c + 2 c.a
Volumen del ortoedro V= a · b · c PROBLEMAS DE AREA Y VOLUMEN Calcula el á r e a y el v o l u m e n de un tetraedro de 5 cm de arista.
Calcula el á r e a y el v o l u m e n de un oc ta ed ro de 5 cm de arista.
PENSAMIEN%O ALGEBRAICO p o dr í a mo sd e fi n i re lá l g e br ac o mo l ar a ma d el a s Ma t e má t i c a sq u e,u t i l i z a n d ol a s mi s ma s oper ac i onesel ement al esquel aar i t mét i c a( s uma,r es t a,mul t i pl i c ac i ón,di v i s i ónyc ál c ul oder aí c es ) yu s a nd ol e t r a se nv e zd en ú me r o s( oc o mb i n án do l o s ) ,t r a t ad eg e ne r a l i z a rl a sr e l a c i o ne s ar i t mé t i c asp r o por c i o ná ndo l e su np at r ó nv á l i d op ar at o do sl o sc as os .Ene s t es en t i d o,p od r í a mo s dec i rqueesel “ i di oma”del asMat emá t i c as .
Ioy en día, en las empresas de cualquier tamaTo es normal ver que muc8os de sus procesos est)n soportados en aplicaciones inform)ticas. ?odas ellas funcionan en base a unos datos de entrada, los cuales pueden ser introducidos directamente por las personas, o bien, pueden ser co-idos de otras aplicaciones, en lo que se llama "n*e,&a">n 'e a "n-!&ma">n . Esta inte-ración de los datos que se manejan en el ne-ocio, permite a8orrar tiempos de proceso, cometer menos errores durante su ejecución y, en definitiva, a8orrar costes y mantener un cierto nivel competitivo. 0as empresas que 8acen esfuerzos por inte-rar la información de sus aplicaciones y por extensión, las de sus procesos, son capaces de lo-rar un nivel de productividad mejor que las que no lo 8acen. ?enemos ejemp! 'e "n*e,&a">n 'e a "n-!&ma">n en muc8os procesos, incluso en al-unos tan ovbios que resulta difícil darse cuenta de que se est) produciendo: na base de datos de clientes centralizada que da servicio al resto de aplicaciones de • facturación, de precios, de contabilidad, de mar_etin-. 3 trav1s de un /nico proceso de alta de clientes en un repositorio central, el resto de procesos y aplicaciones empresariales utilizan esos datos como entrada.
*ex*ae son eema a ! e INFORMACION %EX%$AL os *"p! ! p&!'*!&e *ex*ae (em"!&e) &e&&en pa&a p&!'"& *ex*! e,5n "n*en">n !mn"a*"a: instruir, informar, narrar, describir o ar-umentar. Esa intención justifica el modo en que el autor or-aniza las oraciones, p)rrafos, im)-enes, etc. 0os tipos textuales son ab*&a*!pues es el autor tiene un plan, una idea y busca concretarlo. Hor ejemplo si lo que quiere un candidato es convencer elaborar) una discurso ar-umentativo donde expon-a los motivos por los cuales deben votarlo. 0os tipos textuales
son !nen"!nae porque funcionan en una comunidad, se transmiten al interior de la cultura y poseen una estructura identificable. 0os *"p! *ex*ae !n: 6. %ex*! 'e&"p*"!: Se utiliza para describir o ambientar un espacio.Se utiliza en los textos científico. #. %ex*! Na&&a*"!: Se utilizan para contar sucesiones temporales 4primero, despu1s, lue-o o finalmente5 o ló-icamente 4causa Befecto5. &. %ex*! A&,men*a*"!: Se utiliza para decir que piensa el emisor y que motivos tienen para pensar así. 0a publicidad, los discursos y articulos periodísticos 8acen uso de estos textos. A. %ex*! Exp!"*"!#exp"a*"!: Se presenta un contenido de manera comprensible, expone un concepto o comprensible. 0os textos escolares 8acen uso de este tipo textual. %. In*&"!na: e utiliza para que el destinatario ejecute una acción. Hredominan los verbos en infinitivo o imperativo. . D"a!,a: Se usa para desarrollar un dialo-o. CONCL$SION A PAR%IR DE $N %EX%O
En ló-ica, una !n">n es una proposición al final de un ar-umento, lue-o de las premisas.6 Si el ar-umento es v)lido, las premisas implican la conclusión. Sin embar-o, para que una proposición constituya conclusión no es necesario que el ar-umento sea v)lido: lo /nico relevante es su lu-ar en el ar-umento, no su < papel= o función.# (omo en -eneral se ar-umenta con intención de establecer una conclusión, se suele procurar que las premisas impliquen la conclusión y que sean verdaderas 4es decir, que el ar-umento sea sólido o co-ente5.# 3ntes que nada se debe recordar que una conclusión es una proposición ló-ica final y no una !opinión!, sin embar-o, debemos recordar que para poder concluir debemos de basarnos en ciertas proposiciones que no sean falacias o simplemente falsas. (onsid1rense las proposiciones si-uientes: 6. ?odos los mamíferos son de san-re caliente. #. ?odos los 8umanos son mamíferos. &. Hor lo tanto, todos los 8umanos son de san-re caliente. En este ar-umento la /ltima proposición es la conclusión. 0as dem)s son las premisas.
PROPORCIONES ERRONEAS Ent r el oser r or esmásc omunesenl agr amát i c aes pañol a,unodeel l ost i ene
r el ac i ónc onel us odel aspr epos i c i ones . Noe sl omi s mode c i r" a ho r ah ab l a r ér e s pec t oae s t et e ma "q ue" a ho r ah ab l ar éc o n r es pec t oaes t et ema" . Au nq uel adi f e r e nc i apu ed as e rs o l ou napa l a br ayc u an dol oes c u c ha mo senu na c o nv e r s a c i ó nl omá sp r o ba bl ee sq uel ad i f er e nc i ae nt r eu nayo t r aor ac i ó nn os p as ed es a pe r c i b i d a. I NFROMACI ONGRAFI CA
n ,&1-"! o &ep&een*a">n ,&1-"a es un tipo de representación de datos, -eneralmente num1ricos, mediante recursos -r)ficos 4líneas, vectores, superficies o símbolos5, para que se manifieste visualmente larelación matem)tica o correlación estadística que -uardan entre sí. ?ambi1n es el nombre de un conjunto de puntos que se plasman en coordenadas cartesianas y sirven para analizar el comportamiento de un proceso o un conjunto de elementos o si-nos que permiten la interpretación de un fenómeno. 0a representación -r)fica permite establecer valores que no se 8an obtenido experimentalmente sino mediante la interpolación 4lectura entre puntos5 y la extrapolación 4valores fuera del intervalo experimental5.
CONCL$SIONES A PAR%IR DE $N %EX%O $NA %ABLA IMAGEN O MAPA.
Mormas de recopilar, or-anizar, procesar e interpretar datos en tablas y -r)ficos >ecopilar y procesar datos se 8a convertido en una necesidad imperiosa en la actualidad. (onocerlos e interpretarlos le permite al 8ombre de 8oy 'eb&"& p&een"& "n-!&ma& ! p&e'e"& el comportamiento de diferentes sucesos o fenómenos propios de la naturaleza, del entorno social o incluso del pensamiento. En cualquier caso, disponer en una *aba los datos obtenidos nos facilitar) su interpretación y su representación -r)fica. '(ómo recopilar los datos* Iay varias formas: puede ser mediante la observación, mediante entrevistas, 8aciendo encuestas o consultando documentos.
Etapas para la recopilación y procesamiento de la información Lndependientemente del sistema que usemos para recopilar datos, debemos se-uir un esquema o pauta de trabajo que involucre:
De-"n"">n 'e p&!bema: Definir el fenómeno o proceso que queremos investi-ar. Hor ejemplo, queremos saber cu)ntas personas conforman la familia de cada estudiante de secundaria en una cierta re-ión del país. Pan"-"a">n/ Determinar cómo se van a obtener los datos y seleccionar la muestra dentro de la población. En el caso de nuestro ejemplo, 8acer una encuesta a todos los alumnos de las secundarias de la re-ión sería una forma de encontrar los datos que nos piden 4n/mero de personas en la familia5 pero requeriría muc8o tiempo y sería al-o costoso. Hor tal razón se puede seleccionar de forma adecuada una muestra y a ellos se les aplica la encuesta. El *!*a 'e amn! 'e *!'a a eea en'a&"a 'e a &e,">n constituye la p!ba">n.
ANALOGIA.
Ana!,6a, si-nifica comparación o relación entre varias razones o conceptos7 comparar o relacionar dos o m)s seres u objetos, a trav1s de la razón, seTalando características -enerales y particulares, -enerando razonamientos basados en la existencia de semejanzas entre estos, aplicando a uno de ellos una relación o una propiedad que est) claramente establecida en el otro. En el aspecto ló-ico, apunta a la representación que lo-ramos formarnos de la cosa, como objeto en la conciencia7 y, como representación, como objeto ló-ico del pensamiento, recibe de este ciertas propiedades como la abstracción, la universalidad, etc., que permite comparar un objeto con otros, en sus semejanzas y en sus diferencias. 6 0a analo-ía permite una forma inductiva de ar-umentar que asevera que si dos o m)s entidades son semejantes en uno o m)s aspectos, entonces lo m)s probable es que tambi1n existan entre ellos m)s semejanzas. na analo-ía permite la deducción de un t1rmino desconocido a partir del an)lisis de la relación que se establece entre dos t1rminos conocidos. FRASES CON EL MISMO SEN%IDO
0os palíndromos son frases o palabras que -uardan el mismo sentido siendo leídas de Lzquierda a derec8a y de derec8a a izquierda. RD)bale arroz a la zorra el abad 4Se lee lo mismo empezando a leer de un lado o del otro5.
PARES DE PALABRAS CON $NA RELACION E$IHALEN%E
na analo-ía es una relación de equivalencia o correspondencia entre dos parejas de palabras. Hara determinar si dos parejas de palabras son an)lo-as debemos: •
determinar la relación entre las palabras de la primera pareja o pareja base7
•
seleccionar la pareja an)lo-a que mejor imite esa relación.
Ejemplos: uetzal es a \uatemala como coquí es a Huerto >ico. El uetzal es el animal mas representativo de \uatemala, mientras que el coquí es el animal mas representativo de Huerto >ico.
PROPOSICIONES PAR%IC$LARES $NIHERSALES L ap r o po s i c i ó nu ni v e r s a lt i e nec o mos u j e t ou nt é r mi n oc o mú nc o ns i d er a doe nt o das ue x t e ns i ó n. Por
ej empl o:
T odo
hi j o
T oda
madr e
es es
agr adec i do pr ot ec t or a
Se gú nl ap r e di c ac i ó nl a sp r o po si c i o ne ss ed i v i d ene na fi r ma t i v a sone ga t i v a s,s e gú ne x pr e se nl a per t enenc i aonodel s uj et oal pr edi c ado( es ;noes ) . MENSAJESYCODI GOS
El formato estandar que se utiliza en el intercambio electrónico de datos E!"# $ara la administración% el comercio & trans$orte est' de(nido $or las )aciones *nidas *)E!",A-. -onsiste en un con/unto de normas% directorios & directrices acordadas internacionalmente $ara un intercambio electrónico de datos estructurado entre sistemas de información com$utarizados inde$endientes.
0as re1las son a$robadas $or *)E-E -omisión Economica $ara Euro$a de las )aciones *nidas# & se $ublican en el *)!"! !irectorio de "ntercambio de !atos -omerciales de las )aciones *nidas#.
%RAD$CCION DECODIFICACION Codifcación:
0a -odi(cacion es un sistema roceso mediante el cual nos a&uda a inter$retar si1nos $oco comunes. Es el $roceso en donde el emisor conierte las ideas que quiere transmitir en signos que $uedan ser recibidos facilmente $or el rece$tor. Emisor4 Es la $ersona que comunica informacion de utilidad a otras $ersonas que lo requieran. 5ece$tor4 Es la $ersona que recibe la informacion del emisor. or e/em$lo4 el rece$tor recibe del emisor los si1uientes si1nos fonticos4 0a descodi(cación consiste en asociar estos si1nos a la idea que el emisor trató de comunicar 7ola#% es decir un saludo.
Decodifcación:
Es el $roceso en el cual el rece$tor transforma el códi1o utilizado $or el emisor $ara inter$retar los si1nos em$leados. !e esta forma los si1nos son asociados a las ideas que el emisor trató de comunicar. or e/em$lo% el rece$tor recibe del emisor los si1uientes si1nos fonticos4 0a descodi(cación consiste en asociar estos si1nos a la idea que el emisor trató de comunicar 7ola#% es decir un saludo.
COMPLEMEN%ACION DE ELEMEN%OS ENCRIP%ADOS
El !mpemen*! o el !njn*! !mpemen*a&"! de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no est)n en el conjunto ori-inal. Hara poder definirlo es necesario especificar qu1 tipo de elementos se est)n utilizando, o de otro modo, cu)l es el conjunto universal. Hor ejemplo, si se 8abla de n/meros naturales, el complementario del conjunto de los n/meros primos P es el conjunto de los n/meros no primos C , que est) formado por los n/meros compuestos y el 6:
3 su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra 8orizontal o por el superíndice <8=, por lo que se tiene: P8 = C , y tambi1n C = P.
El conjunto complementario de A es la diferencia 4o !mpemen*a&"! &ea*"!5 entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones 4complementario y diferencia5 tienen propiedades similares.
RECONOCIEMIEN%O DE PA%RONES El &e!n!"m"en*! 'e pa*&!ne es la ciencia que se ocupa de los procesos sobre in-eniería, computación y matem)ticas relacionados con objetos físicos o abstractos, con el propósito de extraer información que permita establecer propiedades de entre conjuntos de dic8os objetos.
S$CESION N$MERICAS na e">n ma*em1*"a es un conjunto ordenado de objetos matem)ticos, -eneralmente n/meros. (ada uno de ellos es denominado término 4tambi1n elemento omiembro5 de la sucesión y al n/mero de elementos ordenados 4posiblemente infinitos5 se le denomina la longitud de la sucesión. o debe confundirse con una serie matem)tica, que es la suma de los t1rminos de una sucesión. 3 diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los t1rminos sí es relevante y un mismo t1rmino puede aparecer en m)s de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los n/meros naturales 4o un subconjunto del mismo5 y es por tanto una función discreta.
COMPLEMEN%ACION CON OPERACIONES BASICAS En matem)ticas, 1,eb&a 'e !njn*! es el estudio de las operaciones b)sicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación. n !njn*! es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. n conjunto est) definido /nicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa. Existe una serie de relaciones b)sicas entre conjuntos y sus elementos: •
Pe&*enen"a. 0a relación relativa a conjuntos m)s b)sica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, 1ste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como x 9 A.
•
I,a'a'. Dos conjuntos son i-uales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el 8ec8o de que un conjunto queda definido /nicamente por sus elementos.
•
In">n. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como B : A.
El conjunto vacío es el conjunto sin nin-/n elemento, y se denota por ; o por `. El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. Hor ejemplo, si se estudian los n/meros naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos ellos, N. De manera -eneral, el conjunto universal se denota por U .
Ejemp! •
(ada n/mero natural es elemento del conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los n/meros naturales: 1 9 N, 2 9 N, etc. (ada n/mero par es tambi1n un n/mero natural, por lo que el conjunto P de los n/meros pares, P = {2, 4, 6, ...}, es un subconjunto de N: P : N.
•
Dado el conjunto de letras V = {o, i, e, u, a}, se cumple por ejemplo que a 9 V o tambi1n i 9 V . El conjunto de letras U = { vocales del español } contiene los mismos elementos que V , por lo que ambos conjuntos son i-uales, V = U .
ERRORES l e&&!& , en filosofía, es un concepto que pertenece a la esfera del juicio, es decir, de las actitudes valorativas. En -eneral, se denomina e&&!& a todo juicio o valoración que contraviene el criterio que se reconoce como v)lido, en el campo al que se refiere el juicio.6 S$CESIONES ALFAN$MERICAS
Se"!ne Nm4&"a/ Es el conjunto de n/meros, en el que cada uno de ellos tiene un orden determinado por su ley de formación7 los t1rminos se relacionan por adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
COMPLE%AMIEN%O CON PA%RONES REG$LARES 1. En relación con la preguntaenunciada en el núcleo proble!tico, responda a los siguientes aspectos" #$óo se vincula las regularidades % los patrones con el concepto de &unción' (ara vincular laregularidad % patrones con el concepto de &unción en los procesos de escolari)ación. El docente debe abrir un espacio para el dialogo en el aula* donde este ser!
una gu+a, buscandoue los niños logren identi&icar di&erentes eleentos cotidianos. -oando coo erraienta la observación % an!lisis de los isos. deterinando as+ caracter+sticas, see/an)as,di&erencias, regularidades % &oras periódicas en las cuales ocurre los eventos, ue son observados o reali)ados de anera peranente por los estudiantes, coo* el venir a la escuela, elpeinarse, el cabio de clase etc.. 0uego de generar este espacio de dialogo, se plantean actividades lúdicasanipulativas para acer del proceso de aprendi)a/e algo !ssigni&icativo. REPRESENTACION ESPECIAL
na representación espacial es el uso del espacio 4 val-a la redundancia5 para explicar un punto abstracto. (iertamente que una mente matem)tica necesita muy poco de las representaciones espaciales pues las matem)ticas buscar ir muc8o m)s all) de la ima-en y manejar todo en forma simbólica. na computadora no Rve una ima-en cuando tiene codificado dentro de su memoria millones de pixels respondiendo a una ló-ica binaria de encendido o apa-ado y sin embar-o lo que representa en una inmensa matriz de ceros y unos es una ima-en. Si a al-uien se le quiere explicar el procedimiento para crear tales im)-enes es peda-ó-icamente correcto iniciar con lo que intuitivamente se ve para lle-ar a lo que simbólicamente en -eneral permanece oculto. ML\>3S O PXNE?PS Con origen en el latín figūra, la noción de figura puede emplearse en múltiples contextos y con significados diferentes. Una figura es, entre otras cosas, la apariencia o el aspecto externo de un cuerpo u objeto, a través de la cual se puede distinguir frente a otros. En un sentido similar, se conoce como figura a toda estatua, escultura u obra de arte ue reproduce las formas características de animales u hombres, y al dibujo ue refleja a cuerpos !umanos. El obj et oesal gosobr el ocual ac t úael s uj et o,es t ásomet i doal aac ci óndeés t e,ypuedeser mat er i al ,c uandosepuedeveryt oc ar ,oserunobj et oi nmat er i al ,s ol oe xi s t ent ec omo i dea. PERSPECTI VAS:SOMBRAS,REFLEJOS,VI ST ASYROT ACI ON
n la fi-ura podemos observar un objeto representado en tres dimensiones y su perspectiva sobre el plano del cuadro amarillo. 0a planta de la fi-ura formada por un prisma y una cuTa est) abatida y es coplanar con el plano del cuadro. 3l prolon-ar los lados de la fi-ura, por ejemplo 4a5 como tenemos que se cortan en la línea de tierra o eje de -iro del abatimiento, o tambi1n recta intersección del plano de cuadro 4en amarillo5 con el plano -eometral 4plano 8orizontal del suelo en color -ris5. (ada recta abatida corta a la línea de tierra en un punto que denominamos traza ?a. 0a pieza, mantiene fundamentalmente dos direcciones definidas por las rectas d d . Hor el punto de vista K se 8acen rectas paralelas a ambas 8asta que cortan al plano del cuadro en los puntos de fu-a M M, si unimos estos puntos con las trazas correspondientes de cada recta obtenemos la perspectiva de cada una de las rectas de la fi-ura, por ejemplo la recta a. 0a perspectiva de la fi-ura es lo que ve un sujeto que coloca su punto de vista donde est) marcado en el dibujo, esto quiere decir que la pieza y su representación sobre el plano del cuadro son coincidentes para ese punto de vista, o l o que es lo mismo cada punto de la fi-ura y su perspectiva est) alineado con el punto de vista.
En la fi-ura podemos observar la representación en perspectiva del ejercicio anterior, solapada con la representación en alzado de la pieza y el abatimiento de la proyección en planta por debajo de la línea de tierra.
0as alineaciones que 8acían corresponder cada punto de la fi-ura con su perspectiva y con el punto de vista, difieren en esta nueva representación orto-onal, aquí lo que se da es que la proyección orto-onal de los elementos anteriores sí que est)n alineadas, esto quiere decir que el punto principal H, la perspectiva de un punto y el punto correspondiente de la pieza sí que son los tres elementos perfectamente colineales. 0as alturas de la fi-ura se colocan sobre la línea de tierra y se proyecta esta lon-itud 8asta cada uno de los puntos de fu-a, donde intercepta a los puntos de la base de la fi-ura en perspectiva se levantan verticales 8asta que corten a la recta superior del se-mento proyectado sobre el punto de fu-a. CONHINACION DE FIG$RAS
En geometría una figura compuesta es aquella formada por varias figuras simples, como dos rectángulos conectados en forma de "L". En los gráficos computacionales una figura compuesta es un objeto de arte editable creado mediante la agrupación de múltiples objetos. Esta última definiciónsolamente aplica en los programas de dibujo que tratan a la imagen como una colección de objetos, a diferencia de los programas de pintura que tratan a la imagen como áreas de color. !#$#%&%#!'E( & !)*E+!( &+&'! E(&+&'! !)*E-!( +E(L-&'-E( E %!+-E( !/E+&%#!'E( %!' $#0+&( !)*E-!( 'E+!(1 E ELEE'-!( 2E #'-E0+&' ! $&L-&' E' $#0+&( !)*E-!( 'E+!( E L3&!( E ' /!L#0!'! %!'-E! E '#&E( (!)+E&&( E(-+%-+& E L& LE'0& %&-E0!+#&( 0+&-#%&LE( 4E+)!( %&+&%-E+#(-#%&( $E'E+&LE( EL 4E+)! /E+(!'& 'E+! -#E/!( 4E+)&LE( (#/LE( %!/E(-!( +E0L&+E( E #++E0L&+E(
