Séries Numéricas e Integração

Matem´ atica III - LEC202

S´ eries num´ ericas e integra¸ c˜ ao

Texto de apoio às aulas volume I

Sofia Castro Gothen Faculdade de Economia do Porto Setembro de 2004

. . . we say thanks to you students . . . You are the posterity we work for. I can assure you that we are bestowing on you the most glorious gift of all – – plenty of difficult problems still unsolved. Paul A. Samuelson Nobel Banquet Speech (1970)

Introdu¸c˜ ao Este volume é o primeiro de dois textos que se destinam a acompanhar, sem substituir, as aulas da disciplina de Matemática III. Neste primeiro texto encontram-se as defini¸cões e resultados relativos ao estudo de séries numéricas e integrais, simples e duplos. Sendo um texto de apoio para uma disciplina de matemática, não se pretende desenvolver nenhuma aplica¸cão de carácter económico. Tais aplica¸cões serão introduzidas nas aulas de modo, não só a justificar e indicar os aspectos mais práticos da matéria leccionada, mas também a fazer a liga¸cão entre esta disciplina e outras da área cient´ıfica de economia. Com a lecciona¸cão das matérias cobertas neste texto pretende-se que seja adquirida a capacidade para: fazer o estudo da natureza de séries numéricas, tanto por cálculo directo como usando resultados que permitem relacionar a natureza de várias séries; recorrer à soma de uma série para aproximar a soma finita de muitos termos e vice-versa; interpretar os vários significados de um integral bem como proceder ao seu cálculo; calcular áreas de regiões planas usando integrais simples e duplos. Neste processo de aprendizagem, espera-se ainda desenvolver o esp´ırito cr´ıtico e a capacidade de relacionar conceitos. Para os alunos que vão ser avaliados sobre as matérias aqui apresentadas, fica uma chamada de aten¸cão relativamente a nota¸cão e resultados a usar: apesar de toda a bibliografia aqui referida poder ser u ´til ao estudo dos temas propostos, a nota¸cão e os resultados que podem ser utilizados, sem demonstra¸cão, nas provas de avalia¸cão são u ńica e exclusivamente os referidos nas aulas teóricas e nestes apontamentos. Resta agradecer aos Drs. José Manuel Oliveira e V´ıtor Matos os comentários que fizeram a uma versão inicial destas notas. Todos os erros que persistam são da minha responsabilidade. 1

1

S´ eries Num´ ericas Reais

Neste cap´ıtulo vamos preocupar-nos em saber quando é que uma soma infinita de n´ umeros reais representa um n´ umero real. Em alguns casos particulares em que a resposta é afirmativa, é poss´ıvel encontrar o n´ umero que a soma infinita representa. Nos casos em que não é poss´ıvel, ou conveniente, saber qual é esse n´ umero, partes finitas dessa soma infinita podem servir para aproximar o valor desconhecido. Defini¸c˜ ao 1.1. Chama-se s´ erie num´ erica real ao conjunto de duas sucess˜ oes de n´ umeros reais, (an )n∈N e (Sn )n∈N , relacionadas do seguinte modo S n = a1 + a2 + . . . + an . Ou, de forma equivalente, an = Sn − Sn−1 . ♠ A sucessão (an )n∈N diz-se sucess˜ ao geradora da série, o termo de ordem n desta sucessão diz-se termo geral da série, os termos da sucessão geradora dizem-se termos da série e a sucessão (Sn )n∈N diz-se sucess˜ ao de somas parciais. Da defini¸cão acima, é claro que é indiferente fornecer a informa¸cão relativa à sucessão geradora ou à sucessão das somas parciais — dada uma das sucessões é sempre poss´ıvel encontrar a outra. Exemplo 1. Considerando a sucessão definida por an = 2n − 1 como sucessão geradora de uma séries numérica real, obtemos para sucessão de somas parciais a sucessão definida por Sn = 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2 . Se sabemos que a sucessão de somas parciais de uma série numérica real é definida por Sn = 1 − 1/2n , então podemos encontrar o termo geral da série fazendo 1 1 1 an = Sn − Sn−1 = 1 − n − (1 − n−1 ) = n . 2 2 2 ♣

2

Defini¸c˜ ao 1.2. Dizemos que uma série é convergente se a sucess˜ ao de somas parciais tem limite finito. Caso contr´ ario, dizemos que a série é divergente. Para as séries convergentes, definimos soma da s´ erie, S, como o limite da sucessão de somas parciais e escrevemos ∞ X

an = S.

(1)

n=1

♠ Por abuso de nota¸cão, é frequente a utiliza¸cão do somatório infinito da expressão (??) mesmo antes de se ter feito o estudo da série. Isto é, sem se saber se o somatório representa ou não um n´ umero real. Caso as expressões estejam bem definidas, considera-se por vezes as suces´ importante notar que, não sendo sões com in´ıcio em zero em vez de um. E a inclusão de mais um termo relevante para a determina¸cão do carácter convergente ou divergente da série, esta inclusão de mais um termo pode alterar o valor da soma da série. Exemplo 2. Considere as séries ∞ X n=1

an =

∞ X

(2n − 1) e

n=1

∞ X

∞ X 1 . bn = 2n n=1 n=1

As sucessões de somas parciais destas séries são as do exemplo anterior pelo que a série gerada por (an )n∈N é tal que lim Sn = lim n2 = +∞

n→∞

n→∞

ou seja, a série diverge. No caso da série gerada por (bn )n∈N temos lim Sn = lim (1 −

n→∞

n→∞

1 )=1 2n

ou seja, a série converge P∞e a sua soma é 1. se vê que n=1 (2n − 1) tem apenas significado formal enquanto P∞Daqui 1 umero um. ♣ n=1 2n representa o n´ Do que foi dito até aqui fica claro que para perceber e saber estudar séries numéricas é indispensável conhecer bem as sucessões de n´ umeros reais. Na seçcão seguinte são apresentados alguns resultados sobre sucessões já estudados no ensino secundário. 3

1.1

Alguns resultados sobre sucess˜ oes de n´ umeros reais

Seja (un )n∈N uma sucessão de n´ umeros reais. A sucessão diz-se decrescente se un > un+1 ∀ n ∈ N. Se se verifica que un 6 un+1 ∀ n ∈ N então a sucessão diz-se crescente. Uma sucessão que é ou crescente ou decrescente diz-se monótona. Caso a monotonia se verifique para desigualdades estritas, falamos de sucessões estritamente monótonas, crescentes ou decrescentes. As sucessões de somas parciais usadas na defini¸cão das séries do exemplo 2 são ambas crescentes. Já a sucessão geradora (an )n∈N é crescente enquanto a sucessão geradora (bn )n∈N é decrescente. Exerc´ıcio 1. Prove a monotonia das sucessões (an )n∈N e (bn )n∈N .

./

Uma sucessão (un )n∈N diz-se limitada se o conjunto dos seus termos é limitado, ou seja, se ∃ a, b ∈ R : a 6 un 6 b ∀ n ∈ N. Exerc´ıcio 2. Mostre que a sucessão de somas parciais da série gerada pela sucessão (bn )n∈N do exemplo anterior é limitada. ./ Relativamente ao estudo de sucessões que foi feito anteriormente recordamos aqui o seguinte resultado. Teorema 1.1. Toda a sucessão mon´ otona e limitada é convergente. ` luz do u Exemplo 3. A ´ltimo teorema, a série gerada por (bn )n∈N é convergente uma vez que a sua sucessão de somas parciais é monótona e limitada. Note-se que já tinhamos chegado a esta conclusão por cálculo directo do limite da sucessão de somas parciais. Esta segunda abordagem garante a convergência da série sem dar informa¸cão sobre a sua soma. ♣ Há duas classes particulares de sucessões que passamos a destacar. Dizemos que uma sucessão (un )n∈N é uma progress˜ ao aritmética se existe r ∈ R tal que un+1 − un = r ∀ n ∈ N. Ao n´ umero r chamamos razão da progressão. A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por Sn = 21 (u1 + un )n. 4

Dizemos que uma sucessão (un )n∈N é uma progress˜ ao geométrica se existe r ∈ R tal que un+1 = r ∀ n ∈ N. un Ao n´ umero r chamamos razão da progressão. O termo geral de uma progressão geométrica pode ser escrito, à custa da razão, como un = u1 rn−1 . A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por Sn = u 1

1.2

1 − rn . 1−r

S´ eries num´ ericas novamente

Regressando ao estudo de séries numéricas, notemos que, conforme seja mais simples, podemos usar a soma de um n´ umero finito de termos iniciais da série para aproximar a sua soma ou, alternativamente, podemos usar a soma de uma série para aproximar o valor da soma de um n´ umero finito de termos iniciais. Exerc´ıcio 3. Calcule um valor aproximado da soma dos 1000 primeiros termos da sucessão (1/2n )n∈N . ./ A seguir vamos estabelecer resultados relativos ao carácter (convergente ou divergente) de alguns tipos particulares de séries. Defini¸c˜ ao 1.3. Uma série diz-se geom´ etrica se é gerada por uma progress˜ ao geométrica. ♠ Consideremos uma série geométrica gerada pela sucessão (an )n∈N definida por an = arn−1 ∀ n ∈ N com a ∈ R. A sucessão de somas parciais, (Sn )n∈N , é então definida por Sn = a

1 − rn . 1−r

Da defini¸cão de convergência de uma série resulta o seguinte P n−1 Teorema 1.2. A série geométrica ∞ converge se e s´ o se |r| < 1 e, n=1 ar nesse caso, temos ∞ X a arn−1 = . 1−r n=1 Exerc´ıcio 4. Demonstre o teorema anterior. 5

./

Nota:

Caso o enunciado do teorema anterior definisse a série como ∞ X

arn

n=1

ter´ıamos o mesmo resultado relativo ao carácter da série mas não a mesma soma. De facto, a série poderia ser re-escrita como ∞ X

(ar)rn−1

n=1

e, definindo b = ar como o novo termo inicial, a soma viria dada por ∞ X n=1

arn =

∞ X

brn−1 =

n=1

b ar = . 1−r 1−r

Defini¸c˜ ao 1.4. Uma série diz-se telesc´ opica ou de Mengoli se o seu termo geral é da forma un − un+1 . ♠ Dada uma qualquer sucessão de n´ umeros reais (un )n∈N é poss´ıvel definir uma nova sucessão (an )n∈N como an = un − un+1 . Esta nova sucessão (an )n∈N é a sucessão geradora de uma série de Mengoli. Devido ao modo como a sucessão geradora é constru´ıda, as séries de Mengoli têm sucessões de somas parciais com um aspecto muito simples. De facto, da defini¸cão vem que Sn = a1 + a2 + . . . + an−1 + an = (u1 − u2 ) + (u2 − u3 ) + . . . + (un−1 − un ) + (un − un+1 ) = u1 − un+1 . Assim, caso exista, a soma de uma série de Mengoli é dada por S = lim Sn = u1 − lim un . n→+∞

n→+∞

Exerc´ıcio 5. Mostre que a série gerada pela sucessão (1/n − 1/(n + 1))n∈N é convergente e calcule a sua soma. ./ Defini¸c˜ ao 1.5. Uma série diz-se de Riemann se o seu termo geral é da forma an = 1/nα onde α ∈ R+ ♠ 0. O caso α = 1 é ainda particular dentro das séries de Riemann e obtemos a série harmónica. O seguinte resultado, que enunciamos sem demonstrar, é u ´til na determina¸cão do carácter convergente ou divergente de séries em conjun¸cão com critérios que veremos adiante. 6

Teorema 1.3. Uma série de Riemann é convergente se e s´ o se α > 1. Os resultados que enunciamos a seguir permitem efectuar opera¸cões algébricas sobre séries mantendo, em muitos casos, o controlo sobre o carácter das mesmas. Teorema 1.4 (Opera¸c˜ oes alg´ ebricas e convergˆ encia). S˜ ao verdadeiras as seguintes afirma¸cões: P P 1. Se λ ∈ R (λ 6= 0) e ∞ e convergente (divergente) ent˜ ao ∞ n=1 an ´ n=1 λan também o é. P∞ P∞ P∞ 2. Se ao séries convergentes ent˜ ao n=1 an e n=1 bn s˜ n=1 (an + bn ) converge. P P P e convergente e ∞ ao ∞ 3. Se ∞ n=1 an ´ n=1 bn diverge ent˜ n=1 (an + bn ) diverge. P∞ P ao séries ao nada se pode con4. Se ∞ n=1 bn s˜ n=1 an e P∞divergentes ent˜ cluir sobre o carácter da série n=1 (an + bn ). Demonstra¸cão: Vamos demonstrar o primeiro e o u ´ltimo pontos do enunciado do teorema. 1. Seja (Sn )n∈N a sucessão de somas parciais da série de termo geral an e suponhamos que a série converge. Então, por defini¸cão, sabemos que limn→+∞ Sn existe e é igual a S. A sucessão de somas parciais da série de termo geral λan é Tn = λa1 + . . . + λan = λSn logo, tem limite igual a λS pelo que esta u ´ltima série converge. A divergência demonstra-se de modo análogo. 4. A demonstra¸cão deste ponto consiste em apresentar exemplos de séries divergentes que dão origem a uma série convergente e de séries divergentes que dão origem a uma série divergente. Consideremos as séries divergentes ∞ X n=1

Temos que

P∞

n;

∞ X n=1

n=1 (n + 2n)

2n;

∞ X

n

(−1) e

n=1

∞ X

(−1)n+1 .

n=1

é divergente mas

P∞

n n+1 ] n=1 [(−1) + (−1)

Exerc´ıcio 6. Complete a demonstra¸cão do teorema anterior.

7

converge. ♦ ./

Apresentamos a seguir um conjunto de resultados que ajudam a determinar a convergência ou divergência de uma série. A soma da série terá sempre que ser encontrada com recurso à sua defini¸cão. Teorema 1.5 (Supress˜ ao de termos). Se a uma série retirarmos um n´ umero finito de termos iniciais obtemos uma nova série com o mesmo car´ acter, convergente ou divergente. Teorema 1.6 (Condi¸c˜ ao necess´ aria de convergˆ encia). Se a série gerada pela sucessão (an )n∈N é convergente ent˜ ao lim an = 0.

n→+∞

Sendo uma condi¸cão apenas necessária de convergência, o resultado anterior é particularmente u ´til para decidir que uma série é divergente. Exemplo 4. A série de termo geral an = 1 − 1/n é divergente uma vez que lim an = 1 6= 0.

n→+∞

♣ Teorema 1.7. Uma série de termos n˜ ao negativos é convergente se e s´ o se a sucessão de somas parciais é limitada. Os resultados que se seguem são muito u ´teis, conhecidos os teoremas sobre convergência das séries geométricas e de Riemann. P∞ P∞ ao Teorema 1.8 (Crit´ erio de Compara¸ c˜ ao). Se n=1 bn s˜ n=1 an e séries de termos não negativos tais que para n > n0 é an 6 bn ent˜ ao temos P P ao ∞ 1. se ∞ n=1 bn converge ent˜ n=1 an converge; P∞ P∞ 2. se n=1 an diverge então n=1 bn diverge. Corol´ ario 1.1. Nas condi¸cões do teorema, se bn 6= 0 e an = α 6= 0 n→∞ bn lim

ent˜ ao as séries têm a mesma natureza.

8

P 3 Exemplo 5. Para determinar a convergência da série ∞ n=1 (n + 1)/(n + 2n+1) usamos do critério de compara¸cão com a série de Riemann, Po∞corolário 2 convergente, n=1 1/n . Temos (n + 1)/(n3 + 2n + 1) n3 + n2 = 1 6= 0 = lim n→∞ n→∞ n3 + 2n + 1 1/n2 lim

donde se conclui que a série dada é convergente.

♣

P Teorema 1.9 (Crit´ erio de d’Alembert ou da raz˜ ao). A série ∞ n=1 an , de termos positivos, converge se e s´ o se existe n0 ∈ N tal que para n > n0 se tem an+1 6 k < 1. an Corol´ ario 1.2. Nas condi¸cões do teorema anterior, se limn→∞ an+1 < 1 enan an+1 t˜ ao a série converge. Se limn→∞ an > 1, a série diverge. Caso o limite seja igual a 1 não é poss´ıvel tirar conclus˜ oes. Exemplo 6. Se aplicarmos o corolário anterior às séries de Riemann ∞ X

1/n2 e

∞ X

1/n

n=1

n=1

obtemos o valor 1 para o limite. No entanto as séries têm natureza distinta. Exerc´ıcio 7. Determine a natureza da série cujo termo geral é 1/n!.

./

Exerc´ıcio 8. Mostre que se se verifica a desigualdade do enunciado do Critério de d’Alembert então 1 − kn Sn 6 a1 . 1−k Complete a demonstra¸cão deste critério usando o Critério de Compara¸cão. ./ Uma vez que os resultados sobre convergência de séries se aplicam sobretudo a séries de termos positivos ou não negativos, é u ´til considerar a seguinte Defini¸c˜ ao 1.6. Uma série gerada por uma sucess˜ ao (an )n∈N diz-se absolutamente convergente se a série gerada por (|an |)n∈N é convergente. Se a série dada converge mas a série gerada pela sucess˜ ao dos valores absolutos diverge então dizemos que a série é simplesmente convergente. ♠ 9

Assim, podemos aplicar os resultados de convergência à série dos valores absolutos seguida do seguinte Teorema 1.10. Se uma série é absolutamente convergente ent˜ ao é convergente. A diferen¸ca entre séries simplesmente e absolutamente convergentes fica clara no seguinte resultado Teorema 1.11. Se uma série é absolutamente convergente ent˜ ao ela continua convergente e com a mesma soma mediante uma qualquer reordena¸c˜ ao dos seus termos. Se uma série é simplesmente convergente ent˜ ao existem reordena¸cões dos seus termos que a tornam divergente ou, mantendo a convergência, alteram a sua soma.

2

Integra¸c˜ ao

A integra¸cão de fun¸cões pode ser vista por dois prismas diferentes mas não sem rela¸cão: como a opera¸cão inversa da deriva¸cão de fun¸cões ou como um limite que permite calcular a área entre uma ou mais curvas planas. Vamos come¸car pelo primeiro ponto de vista e usá-lo na aplica¸cão do segundo.

2.1

Integral indefinido

Considerar a existência de um processo inverso de deriva¸cão faz sentido de um ponto de vista não só teórico mas também prático. Por exemplo, se conhecemos o custo marginal de um processo produtivo, é importante saber deduzir da´ı a fun¸cão custo. Um outro exemplo, que será estudado mais adiante, diz respeito a modelos que são constru´ıdos relacionando não só o estado das variáveis mas esse estado com a taxa de varia¸cão de cada variável numa equa¸cão que se diz diferencial. Estas equa¸cões resolvem-se por um processo de integra¸cão das variáveis. Defini¸c˜ ao 2.1. Dada uma fun¸c˜ ao f , real de vari´ avel real, definida num intervalo [a, b], dizemos que F , definida no mesmo intervalo é uma primitiva de f se dF (x) = F 0 (x) = f (x) ∀x ∈ [a, b]. dx ♠ Decorre imediatamente das regras de deriva¸cão que se F é uma primitiva de f então qualquer fun¸cão da forma G(x) = F (x) + C, com C uma qualquer constante real, também é uma primitiva de f . 10

Defini¸c˜ ao 2.2. Chama-se integral indefinido de f ` a totalidade das primitivas de f e representa-se por Z f (x)dx. ♠ Sendo F uma primitiva de f temos Z f (x)dx = F (x) + C, com C ∈ R uma constante. Chama-se integra¸cão ao processo de cálculo do integral indefinido. Esta opera¸cão goza das seguintes duas propriedades importantes: 1. [integra¸c˜ ao por decomposi¸ c˜ ao]Se f (x) = f1 (x) + . . . + fk (x) para k finito então Z Z Z f (x)dx = f1 (x)dx + . . . + fk (x)dx 2. Se f (x) = cg(x) com c ∈ R então Z Z f (x)dx = c g(x)dx. Exemplo 7. Conhecida a regra da deriva¸cão das potências é fácil ver que Z 1 xn+1 , n 6= −1. xn dx = n+1 ♣ Além da aplica¸cão das propriedades acima, há dois métodos de integra¸cão importantes no cálculo integral. Integra¸c˜ ao por partes Este método baseia-se na regra de deriva¸cão do produto de duas fun¸cões que passamos a recordar: sejam F e G primitivas de f e g, respectivamente. Temos d (F (x)G(x)) = F 0 (x)G(x) + F (x)G0 (x) = f (x)G(x) + F (x)g(x). dx 11

Integrando o primeiro e u ´ltimo membros da expressão acima obtemos Z Z Z d ( (F (x)G(x)))dx = f (x)G(x)dx + F (x)g(x)dx ⇔ dx Z Z ⇔ F (x)G(x) = f (x)G(x)dx + F (x)g(x)dx ⇔ Z Z ⇔ f (x)G(x)dx = F (x)G(x) − F (x)g(x)dx. Este método aplica-se quando a fun¸cão a integrar tem a forma de um produto de fun¸cões, uma das quais tem uma primitiva conhecida. Exemplo 8. Para calcular o integral indefinido de cos2 (x) escrevemos cos2 (x) = cos(x) cos(x) e, sabendo que (sen(x))0 = cos(x) fazemos f (x) = cos(x) F (x) = sen(x) G(x) = cos(x) g(x) = − sen(x) obtendo Z

Z

2

cos (x)dx = sen(x) cos(x) −

− sen2 (x)dx

Z

(1 − cos2 (x))dx ⇔ Z Z Z 2 ⇔ cos (x)dx = sen(x) cos(x) + 1dx − cos2 (x)dx ⇔ Z Z 2 ⇔ 2 cos (x)dx = sen(x) cos(x) + 1dx ⇔ Z ⇔ cos2 (x)dx = 12 (sen(x) cos(x) + x) + C. = sen(x) cos(x) +

♣

Integra¸c˜ ao por substitui¸c˜ ao Trata-se de fazer uma mudan¸ca de variável que permita tornar a fun¸cão a integrar numa fun¸cão mais simples. Claro que o resultado do processo de integra¸cão deve ser apresentado usando a variável original. Podemos então integrar uma fun¸cão f (x) usando uma variável t relacionada com x através de x = φ(t) fazendo dx = φ0 (t)dt 12

e substituindo no integral Z

Z f (x)dx =

f (φ(t))φ0 (t)dt.

1 + ex conside2x e ramos a mudan¸ca de variável ex = t, donde obtemos dx = dt/t. Substituindo no integral a calcular vem Z Z 1+t1 1 + ex dt = dx = e2x t2 t Z Z 1 1 = dt + dt = 3 t t2 1 1 1 1 = − 2 − + C = − 2x − x + C. 2t t 2e e Exemplo 9. Para encontrar todas as primitivas de f (x) =

♣ ´ importante ter presente que, por mais complicado que seja o aspecto E formal de um integral, sabendo que F 0 (x) = f (x) qualquer integral da forma Z f (φ(x))φ0 (x)dx é de cálculo imediato e igual a F (φ(x)). De facto, não de trata de mais que a aplica¸cão da derivada das fun¸cões compostas. 2x + 3 , relembrando Exerc´ıcio 9. Calcule todas as primitivas de f (x) = 2 x + 3x − 7 que ln0 (x) = 1/x. ./

2.2

Integral definido

Vamos agora considerar a integra¸cão de fun¸cões com o conceito de soma e de cálculo de áreas. Seja f uma fun¸cão real de variável real definida e cont´ınua num intervalo [a, b]. Para já suporemos que f apenas toma valores positivos neste intervalo. Se quisermos calcular a área compreendida entre o eixo horizontal, o gráfico da fun¸cão f e as rectas verticais x = a e x = b, podemos come¸car por aproximar sucessivamente esta área da seguinte forma: dividimos o intervalo [a, b] em n sub-intervalos de amplitude (b−a)/n nos b−a b−a pontos x0 = a, x1 = a + , . . . , xk = a + k , . . . , xn = b e, em cada n n 13

sub-intervalo, estimamos o valor de f usando o valor que a fun¸cão toma num dos extremos, por exemplo, f (xk ). O valor aproximado da área a calcular é dado pela soma das áreas dos rectângulos cujo lado é o comprimento do sub-intervalo, xi − xi−1 , e altura o valor da fun¸cão num dos extremos. A aproxima¸cão do valor da área será tanto melhor, quanto maior fôr o n´ umero de rectângulos, ou seja, o valor da área é dado pelo lim

n→+∞

n X

f (xk )(xk − xk−1 ).

k=1

Quando este limite existe e é finito dizemos que a fun¸cão f é integr´ avel no intervalo [a, b]. Note-se que a continuidade de f é suficiente para assegurar a sua integrabilidade. Defini¸c˜ ao 2.3. Dada uma fun¸c˜ ao f integr´ avel num intervalo [a, b], chamamos integral definido de f nesse intervalo a Z b n X f (xk )(xk − xk−1 ). f (x)dx = lim n→+∞

a

k=1

Os pontos a e b dizem-se, respectivamente, os limites inferior e superior de integra¸cão. O valor do integral definido é a ´ area alg´ ebrica da regi˜ ao limitada pelo eixo horizontal, o gráfico de f e as rectas verticais x = a e x = b. ♠ Usando apenas a defini¸cão é fácil mostrar que o integral definido goza das seguintes propriedades: Rb 1. Se f (x) = λ ∈ R então a f (x)dx = λ(b − a). Rb Rb 2. Se f (x) = λg(x) com λ ∈ R então a f (x)dx = λ a g(x)dx. Rb Rb Rb 3. Se f (x) = g(x) + h(x) então a f (x)dx = a g(x)dx + a h(x)dx. 4. Qualquer que seja a fun¸cão integrável f temos Z a f (x)dx = 0. a

5. Se c ∈ [a, b] então

Rb a

f (x)dx =

Rc a

f (x)dx +

Rb c

f (x)dx.

6. Qualquer que seja a fun¸cão integrável f temos Z b Z a f (x)dx = − f (x)dx. a

b

14

7. Se f (x) > 0 ∀ x ∈ [a, b] então

Rb

f (x)dx > 0. Rb Rb 8. Se f (x) > g(x) ∀ x ∈ [a, b] então a f (x)dx > a g(x)dx. a

9. Qualquer que seja a fun¸cão integrável f temos Z b Z b | f (x)dx| 6 |f (x)|dx. a

a

Uma das aplica¸cões do conceito de integral definido é o cálculo do valor médio que uma fun¸cão toma num determinado intervalo. Come¸camos com uma defini¸cão Defini¸c˜ ao 2.4. Chama-se valor m´ edio de uma fun¸c˜ ao f cont´ınua num intervalo [a, b] a Z b 1 f (x)dx. b−a a Teorema 2.1. Se f é integrável em [a, b] ent˜ ao existe um valor c ∈ [a, b] tal que Z b 1 f (x)dx = f (c). b−a a Este teorema dá origem à F´ ormula da Média Z b f (x)dx = (b − a)f (c) a

para algum c ∈ [a, b]. Para calcular de facto o valor de um integral vamos usar o seguinte teorema. Teorema 2.2 (Teorema Fundamental do C´ alculo). Seja f uma fun¸c˜ ao integrável em [a, b]. A fun¸cão F definida em [a, b] por Z x f (t)dt F (x) = a 0

é tal que F (x) = f (x). Demonstra¸cão: Usando a defini¸cão de derivada de uma fun¸cão real de variável real temos F (x + h) − F (x) F 0 (x) = lim = h→0 h Z x+h Z x = lim [ f (t)dt − f (t)dt]/h = h→0 a a Z x+h = lim f (t)dt/h h→0

x

15

Usando a Fórmula da Média para a u ´ltima expressão vem Z x+h f (t)dt/h = f (c)h/h = f (c) c ∈ [x, x + h] x

donde, quando h → 0, obtemos F 0 (x) = f (x). ♦ Para efeitos de cálculo de integrais definidos, é muito usado o corolário seguinte. Corol´ ario 2.1 (F´ ormula Fundamental do C´ alculo). Seja f como no enunciado do teorema anterior e F uma qualquer primitiva de f . Temos ent˜ ao Z b

f (x)dx = F (b) − F (a) = [F (x)]ba .

a

Exemplo 10. O valor do integral definido entre 1 e 2 de f (x) = x3 é dado por Z 2 1 15 1 x3 dx = [ x4 ]21 = (24 − 1) = . 4 4 4 1 ♣ Dada a fórmula acima, basta conhecer um primitiva da fun¸cão para calcular o integral definido. Isto significa, em particular, que as técnicas de integra¸cão (por decomposi¸cão, por partes e por substitui¸cão) se podem aplicar. Chamamos a aten¸cão para um cuidado especial a ter na aplica¸cão da integra¸caõ por substitui¸cão. Se para calcular o integral entre a e b de f efectuamos a mudan¸ca de coordenadas definida por x = φ(t) então temos que considerar os novos limites de integra¸cão, α e β tais que a = φ(α) e b = φ(β). Temos então Z

b

Z

β

f (x)dx = a

f (φ(t))φ0 (t)dt.

α

Regressando ao cálculo de área por meio do integral definido, notamos que relativamente a este assunto temos suposto, impl´ıcita ou expl´ıcitamente, que ´ claro que a fun¸cão toma apenas valores positivos no intervalo em causa. E nem todas as fun¸cões satisfazem este pressuposto. Para as fun¸cões cuja imagem muda de sinal no intervalo de integra¸cão, a área geométrica é cálculada atendendo a que, se f (x) 6 0 em [a, b] então a área geométrica é dada por Z b − f (x)dx. a

16

No caso de f ser positiva em partes do intervalo de integra¸cão e negativa noutras, divide-se o intervalo de integra¸cão em sub-intervalos onde o sinal de f é constante e usam-se propriedades do integral definido para calcular o valor da área geométrica. Consideremos o seguinte Exemplo 11. Seja f (x) = x2 − 1. Para calcular a área geométrica, A, compreendida entre o gráfico da fun¸cão, o eixo horizontal e as rectas verticais x = 0 e x = 2 fazemos Z 2 Z 1 f (x)dx = −[ 13 x3 − x]10 + [ 13 x3 − x]21 = 2. f (x)dx + A=− 1

0

♣ Podemos calcular o valor de áreas geométricas compreendidas entre gráficos de várias fun¸cões considerando que se f (x) > g(x) > 0 no intervalo de integra¸cão então a área geométrica compreendida entre o gráfico das duas fun¸co˜es é dada por Z Z b

b

f (x)dx −

g(x)dx. a

a

Exerc´ıcio 10. Calcule o bem-estar num mercado em que a procura é caracterizada pela fun¸cão P (q) = 4 − q e a fun¸cão custo é C(q) = q 2 + q/10 + 1. ./ ´ poss´ıvel Em toda esta seçcão consideramos f uma fun¸cão cont´ınua. E calcular o integral de uma fun¸cão descont´ınua num n´ umero finito de pontos do intervalo de integra¸cão desde que exista limite finito de f de ambos os lados da descontinuidade. De facto, se f é descont´ınua em c ∈ [a, b] e existe e é finito o limite de f à esquerda e à direita de c então Z b Z u Z b f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx. a

u→c

v→c

a

v

Outras extensões do conceito de integral definido são tratadas na próxima seçcaõ.

2.3

Integrais impr´ oprios

Vamos ver em que casos faz sentido falar na área limitada pelo gráfico de uma fun¸cão no caso de o intervalo considerado ser infinito ou de a própria fun¸caõ tomar valores infinitos num dos extremos de integra¸cão.

17

Defini¸c˜ ao 2.5. Um integral em que, pelo menos, um dos extremos de integra¸cão é ±∞ diz-se impr´ oprio de primeira esp´ ecie. Dizemos que o integral Z +∞

f (x)dx a

converge se existe e é finito o u

Z

f (x)dx.

lim

u→+∞

a

Neste caso tomamos o valor do limite para valor do integral. Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que o integral diverge. Note-se que no caso de um integral com ambos os limites de integra¸cão infinitos, a convergência do integral obriga à existência de dois limites finitos, a saber Z c Z v f (x)dx e lim f (x)dx lim u→−∞

v→+∞

u

c

para qualquer c ∈ R. Se se verificar a convergência então Z +∞ Z c Z v f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx. −∞

u→−∞

v→+∞

u

Exerc´ıcio 11. Mostre que o integral

R +∞ −∞

c

x3 dx não converge.

./

Defini¸c˜ ao 2.6. Seja f tal que limx→a f (x) = ±∞. O integral de f no intervalo [a, b] diz-se impr´ oprio de segunda esp´ ecie. O integral converge se existe e é finito Z b

lim

u→a

f (x)dx. u

Neste caso, o valor do integral é igual ao valor do limite. Se o limite não existe ou n˜ ao é finito, dizemos que o integral diverge. Sendo os integrais impróprios divergentes, sabemos que a área limitada pelo gráfico de f , o eixo horizontal e os limites de integra¸cão é infinita. Para decidir se os integrais impróprios são convergentes podemos usar os resultados seguintes, evitando o cálculo expl´ıcito do valor do integral. Teorema 2.3 (Crit´ erios de Convergˆ encia). Sejam f e g fun¸c˜ oes que tomam valores não negativos no intervalo [a, +∞] e tais que, nesse intervalo, se verifica f (x) 6 g(x). Verificam-se as seguintes implica¸c˜ oes R +∞ R +∞ • a g(x)dx converge ⇒ a f (x)dx converge. 18

•

R +∞ a

f (x)dx diverge ⇒

R +∞ a

g(x)dx diverge.

Se f e g têm limite infinito em x = a ent˜ ao temos Rb Rb • a g(x)dx converge ⇒ a f (x)dx converge. Rb Rb • a f (x)dx diverge ⇒ a g(x)dx diverge. Para a aplica¸cão deste teorema é u ´til conhecer fam´ılias de integrais cuja natureza, convergente ou divergente, é conhecida. R +∞ Exemplo 12. O integral a x−2 dx (a > 0) converge porque, usando a fórmula fundamental do cálculo integral temos Z u 1 1 1 x−2 dx = [− ]ua = − + x u a a e limu→+∞ 1/u = 0 donde, o valor do integral é igual a 1/a. Exerc´ıcio 12. Averig´ ue se

R2 0

x−2 dx converge.

♣ ./

O exemplo e exerc´ıcio acima são exemplos particulares do que pode ser enunciado como um resultado geral. As demonstra¸cões dos dois lemas seguintes são um exerc´ıcio que se recomenda. R b dx (b > 0) converge se e s´ o se α < 1. 0 xα R +∞ dx (a > 0) converge se e s´ o se α > 1. Lema 2.2. O integral impróprio a xα Lema 2.1. O integral impróprio

2.4

Integrais duplos

Nesta seçcão vamos estender o conceito de integra¸cão a fun¸cões reais de duas variáveis reais. 2.4.1

Integra¸c˜ ao em rectˆ angulos

Seja f : R2 → R uma fun¸cão cont´ınua de dom´ınio R = {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ c 6 y 6 d} = [a, b] × [c, d] , um rectângulo em R2 , tomando apenas valores não negativos. De modo análogo ao utilizado para calcular a área entre o gráfico de uma fun¸cão real de variável real e o eixo horizontal, vamos calcular o volume compreendido entre o gráfico de f e o seu dom´ınio. Vamos come¸car por aproximar o valor 19

deste volume pela soma dos volumes de paralelip´ıpedos já que o volume desta figura geométrica é fácil de calcular. Para tal, consideremos uma parti¸cão de R em n2 rectângulos Rij = {(x, y) ∈ R2 : xi−1 6 x 6 xi ∧ yj−1 6 y 6 yj } = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] ; i, j = 1, . . . , n. Note-se que cada rectângulo Rij resulta do produto cartesiano de duas parti¸cões: • uma do intervalo [a, b] em n sub-intervalos determinados pelos n + 1 pontos a = x0 , x1 , . . . , xn−1 , xn = b • e outra do intervalo [c, d] em n sub-intervalos definidos pelos n + 1 pontos c = y0 , y1 , . . . , yn−1 , yn = d. Sejam Xij∗ = (x∗ij , yij∗ ) um ponto qualquer de Rij e ∆Aij = ∆xi ∆yj , a área de Rij . Supondo as parti¸cões regulares, isto é, xi − xi−1 =

b−a d−c e yj − yj−1 = n n

temos valores constantes para ∆xi ≡ ∆x e ∆yj ≡ ∆y. Logo a área é igual para todos os rectângulos ∆Aij ≡ ∆A. Vamos aproximar os valores que a fun¸cão f toma no rectângulo Rij pelo valor que ela toma em Xij∗ . Assim, o valor do volume do sólido de base Rij e limitado superiormente pelo gráfico de f é aproximado pelo volume do paralelip´ıpedo de base Rij e altura f (Xij∗ ) dado por f (Xij∗ )∆x∆y = f (Xij∗ )∆A. Logo, o volume do sólido de base R e limitado superiormente pelo gráfico de f é aproximado por n X Sn = f (Xij∗ )∆A, i,j=1

chamada soma de Riemann para f . Observa¸cão. Quanto maior fôr o valor de n, tanto maior é o n´ umero de rectângulos e tanto menor é a sua área. Rectângulos de menor área correspondem a uma melhor aproxima¸cão do volume a calcular.

20

Defini¸c˜ ao 2.7. Se lim Sn = S < ∞

n→∞

ao f diz-se integr´ avel e se este valor não depende da escolha do ponto Xij∗ ent˜ em R e representamos S por ZZ ZZ f (x, y)dA ou f (x, y)dxdy. R

R

♠ Teorema 2.4. Se f é cont´ınua ent˜ ao f é integr´ avel em qualquer rectˆ angulo R da forma [a, b] × [c, d]. Observa¸cão. Rectângulos que resultam do produto de dois intervalos fechados dizem-se rectângulos fechados. Assim como há fun¸cões reais de uma só variável descont´ınuas que são integráveis, também há fun¸cões de duas variáveis que, não sendo cont´ınuas em todo o rectângulo R, são integráveis em R. O teorema seguinte é uma extensão do teorema anterior a este tipo de fun¸cões. Teorema 2.5. Se f é uma fun¸c˜ ao que toma valores limitados no rectˆ angulo R e tal que o conjunto de pontos nos quais f é descont´ınua est´ a contido na reunião finita de gráficos de fun¸c˜ oes reais de vari´ avel real cont´ınuas, ent˜ ao f é integrável em R. Exemplo 13. A fun¸cão f definida por 1 se x > 1 f (x, y) = . 0 se x < 1 é descont´ınua em {(x, y) ∈ R2 : x = 1}. No entanto, pelo teorema anterior, f é integrável em R = [0, 2] × [−1, 1] . ♣ Exemplo 14. A fun¸cão g definida por 1 se x > 0 x g(x, y) = . 0 se x 6 0 tem um conjunto de pontos de descontinuidade análogo ao da fun¸cão f do exemplo anterior mas não é limitada em rectângulos contendo o eixo {(x, y) ∈ R2 : x = 0}. Logo, não podemos utilizar o teorema anterior para garantir a sua integrabilidade em rectângulos deste tipo. ♣ 21

Da defini¸cão e de resultados sobre limites, podemos mostrar que o integral duplo goza das seguintes propriedades: 1. Se f e g são integráveis em R então f + g é integrável em R. 2. Se f é integrável em R e c ∈ R então cf é integrável em R. 3. Sendo f e g integráveis em R temos ZZ ZZ ZZ (f (x, y) + g(x, y))dA = f (x, y)dA + g(x, y)dA. R

R

R

4. Sendo f integrável em R e c ∈ R temos ZZ ZZ (cf (x, y))dA = c f (x, y)dA. R

R

5. Se f e g são integráveis em R e tais que f (x, y) 6 g(x, y) ∀(x, y) ∈ R então

ZZ

ZZ f (x, y)dA 6

R

g(x, y)dA. R

6. Se R1 e R2 são rectângulos que não se intersectam, excepto possivelmente sobre os lados, se f é integrável em R1 e R2 e se R = R1 ∪ R2 então f é integrável em R e ZZ ZZ ZZ f (x, y)dA = f (x, y)dA + f (x, y)dA. R1

R

R2

7. Se f é integrável em R então ZZ ZZ f (x, y)dA| 6 |f (x, y)|dA. | R

R

Para calcular o volume de sólidos limitados pelo gráfico de fun¸cões integráveis que tomam valores não positivos, consideramos a fun¸cão que toma valores simétricos e usamos ZZ −f (x, y)dA. R

22

2.4.2

Integrais iterados

Vamos desenvolver um método para calcular o volume de um sólido como o descrito na seçcão anterior sem recorrer à defini¸cão. Para isso vamos utilizar conhecimentos sobre integrais simples para o cálculo da área de uma figura plana. Suponhamos que o sólido (S) cujo volume queremos calcular está compreendido entre o rectângulo R = [a, b] × [c, d] e o gráfico de uma fun¸cão cont´ınua e positiva em R. Consideremos a interseçcão de (S) com um plano vertical y = y¯ (constante). A área desta interseçcão pode ser calculada usando integrais simples. De facto, para y = y¯, fixo, definimos uma fun¸cão g : [a, b] → R . x 7→ f (x, y¯) A área que pretendemos calcular é limitada pelo segmento [a, b] e pelo gráfico de g logo, é dada por Z b

g(x)dx.

A(¯ y) = a

Esta constru¸cão define uma fun¸cão área que depende do valor que y¯ toma em [c, d]. A soma dos valores de A(¯ y ) para todos os valores que y¯ pode tomar é igual ao volume de (S). No entanto, o n´ umero de valores que y¯ pode tomar em [c, d] é infinito. Tentemos aproximar esta soma infinita considerando uma parti¸cão de [c, d]: c = y0 , y1 , . . . , yn−1 , yn = d. Sendo yi∗ ∈ [yi−1 , yi ], a soma infinita que dá o volume de (S) é aproximada pela soma finita n X A(yi∗ )(yi − yi−1 ). Vn = k=1

´ claro que quanto maior fôr n tanto melhor é a aproxima¸cão e o volume de E (S) é dado por V = lim Vn , n→+∞

supondo que o limite existe e é finito. Recordando a defini¸cão de integral simples é fácil ver que Z d V = A(y)dy. c

Este método de calculo do volume de um sólido é conhecido por Princ´ıpio de Cavalieri.

23

Note-se que ZZ V

f (x, y)dA

= R d

Z =

A(y)dy Z d Z b g(x)dx dy = c a Z d Z b f (x, y)dx dy. = c

c

a

Este u ´ltimo integral é conhecido por integral iterado. De notar também que, considerando a interseçcão de (S) com um plano vertical x = x¯ (constante) na constru¸cão acima, obtemos um outro integral iterado Z b Z d f (x, y)dy dx. a

c

Os integrais iterados permitem calcular o integral duplo usando métodos de integra¸cão simples. O valor de Z b Z d f (x, y)dy dx a

c

obtém-se calculando

d

Z

f (x, y)dy c

o que, supondo x constante, permite obter uma fun¸cão de x que se integra em [a, b]. Para calcular cada um dos dois integrais simples utilizamos, por exemplo, o Teorema Fundamental do Cálculo. Exemplo 15. Cálculo de ZZ f (x, y)dA R

onde f (x, y) = x2 + y 2 e R = [−1, 1] × [0, 1]. Vamos come¸car por calcular Z 1 Z 1 f (x, y)dy = (x2 + y 2 )dy. 0

0

Supondo x constante e sabendo que uma primitiva de a + y 2 , com a ∈ R é 1 ay + y 3 , 3 24

usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para obter 1 Z 1 1 3 1 2 2 2 (x + y )dy = x y + y = x2 + . 3 3 0 0 Voltamos a usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar esta fun¸cão de x em [−1, 1], obtendo 1 Z 1Z 1 1 3 1 4 f (x, y)dydx = x + x = . 3 3 −1 3 −1 0 ♣ Um resultado importante para o cálculo de integrais duplos é o seguinte Teorema 2.6 (de Fubini). Se f é integr´ avel em R = [a, b] × [c, d] ent˜ ao ZZ Z b Z d Z d Z b f (x, y)dA = f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy. R

2.4.3

a

c

c

a

Dom´ınios de integra¸ c˜ ao n˜ ao rectˆ angulos

Comecemos com a seguinte Defini¸c˜ ao 2.8. Chama-se regi˜ ao elementar a uma regi˜ ao D do plano limitada por um n´ umero finito de gr´ aficos de fun¸c˜ oes reais de vari´ avel real cont´ınuas. ♠ Há três tipos de região elementar: • de tipo 1 ou verticalmente simples quando D é limitada pelo gráfico de duas fun¸cões na variável x e por segmentos de recta verticais, isto é, ∃ φ1 , φ2 : [a, b] → R : φ1 (x) 6 φ2 (x) ∀ x ∈ [a, b] e D = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b] ∧ φ1 (x) 6 y 6 φ2 (x)}; • de tipo 2 ou horizontalmente simples quando D é limitada pelo gráfico de duas fun¸cões na variável y e por segmentos de recta horizontais, ou seja, ∃ ψ1 , ψ2 : [c, d] → R : ψ1 (y) 6 ψ2 (y) ∀ y ∈ [c, d] e D = {(x, y) ∈ R2 : y ∈ [c, d] ∧ ψ1 (y) 6 x 6 ψ2 (y)}; 25

• de tipo 3 se D é simultaneamente de tipo 1 e 2. Um exemplo de região elementar de tipo 3 é D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 1}, a região limitada pela circunferência de raio 1. Podemos descrever esta região como (tipo 1) √ √ {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [−1, 1] ∧ φ1 (x) = − 1 − x2 6 y 6 1 − x2 = φ2 (x)} ou (tipo 2) p p {(x, y) ∈ R2 : y ∈ [−1, 1] ∧ ψ1 (y) = − 1 − y 2 6 x 6 1 − y 2 = ψ2 (y)}. Note-se que se uma fun¸cão f : R2 → R é limitada e descont´ınua apenas na fronteira de uma região elementar D então f é integrável num rectângulo contendo D (ver Teorema ??). Assim, é poss´ıvel calcular integrais duplos em regiões elementares. Defini¸c˜ ao 2.9. Seja D uma regi˜ ao elementar e R um rectˆ angulo contendo D. Dada uma fun¸cão cont´ınua f : D → R, definimos o integral de f em D, ZZ f (x, y)dA, D

do seguinte modo: seja f ∗ a extens˜ ao de f a R tal que f (x, y) se (x, y) ∈ D ∗ f (x, y) = 0 se (x, y) ∈ R\D. Como f ∗ é cont´ınua e limitada, excepto possivelmente na fronteira de D, pelo Teorema ??, f ∗ é integrável em R. Definimos ZZ ZZ f (x, y)dA = f ∗ (x, y)dA. R

D

♠ Exerc´ıcio 13. Mostre que o valor de ZZ f (x, y)dA D

não depende do rectângulo R escolhido para o seu cálculo. 26

./

Podemos calcular o integral duplo numa região elementar D usando integrais iterados como mostra o seguinte Teorema 2.7. Se f é cont´ınua numa regi˜ ao elementar D ent˜ ao o integral de f em D é dado por ZZ Z b Z φ2 (x) f (x, y)dydx, f (x, y)dA = a

D

se D é de tipo 1, e por ZZ

φ1 (x)

d

Z

Z

ψ2 (y)

f (x, y)dxdy,

f (x, y)dA = c

D

ψ1 (y)

se D é de tipo 2. Demonstra¸cão: Fazemos a demonstra¸cão para regiões elementares de tipo 1. A demonstra¸cão é análoga para tipo 2. Seja D = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b] ∧ φ1 (x) 6 y 6 φ2 (x)} com φ1 , φ2 : [a, b] → R cont´ınuas. Temos ZZ ZZ f (x, y)dA = f ∗ (x, y)dA, R

D

R = [a, b] × [c, d] e

∗

f (x, y) =

f (x, y) se (x, y) ∈ D 0 se (x, y) ∈ R\D.

Para calcular o integral em R vamos recorrer ao Teorema de Fubini e usar integrais iterados para obter ZZ Z bZ d f (x, y)dA = f ∗ (x, y)dydx. D

a

c

Sendo f ∗ (x, y) = 0 se y < φ1 (x) ou y > φ2 (x), vem Z d Z φ2 (x) ∗ f (x, y)dy = f (x, y)dy, c

φ1 (x)

♦

ficando provado o teorema.

Exerc´ıcio 14. Demonstre o teorema anterior para regiões elementares do tipo 2. ./ 27

RR Exemplo 16. Cálculo de D (1−y +x)dxdy onde D é o triângulo de vértices (0, 0), (−1, 0) e (0, 1). Definindo φ1 : [−1, 0] → R e φ2 : [−1, 0] → R como φ1 (x) = 0 e φ2 (x) = 1 + x podemos escrever D = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [−1, 0] ∧ φ1 (x) 6 y 6 φ2 (x)}. Usando o teorema anterior, temos ZZ Z (1 − y + x)dxdy =

0

−1 Z 0

D

Z

1+x

(1 − y + x)dydx 0

1+x 1 2 = (1 + x)y − y 2 −1 0 Z 0 1 = ((1 + x)2 − (1 + x)2 )dx 2 −1 0 1 1 (1 + x)3 = = . 6 6 −1 ♣ Para regiões elementares de tipo 3 utilizamos o teorema acima para regiões de tipo 1 ou 2 conforme fôr mais conveniente já que Z d Z ψ2 (y) Z b Z φ2 (x) ZZ f (x, y)dxdy. f (x, y)dydx = f (x, y)dxdy = a

D

Exemplo 17. Para calcular Z 2 Z ln(x) 1

c

φ1 (x)

ψ1 (y)

√ (x − 1) 1 + e2y dydx,

0

notamos que é muito dif´ıcil encontrar uma primitiva da fun¸cão em ordem a y mas bastante simples de encontrar uma primitiva em ordem a x. A região de integra¸cão é dada pelo conjunto dos pontos que verificam 1 6 x 6 2 e 0 6 y 6 ln(x), que é de tipo 1. Mas, o mesmo conjunto de pontos pode ser descrito por 0 6 y 6 ln(2) e ey 6 x 6 2, o que caracteriza uma região de tipo 2. Assim, o integral a calcular é igual a Z ln(2) Z 2 √ (x − 1) 1 + e2y dxdy. 0

ey

Deste modo, já o cálculo das primitivas é fácil. 28

♣

2.4.4

C´ alculo da ´ area de uma regi˜ ao plana

Suponhamos que a região D cuja área queremos calcular é elementar de tipo 1. Trata-se de uma região compreendida entre o gráfico de duas fun¸cões φ1 (x) e φ2 (x) definidas num intervalo [a, b]. Sabemos calcular a área A da região D usando o integral simples Z b A= (φ2 (x) − φ1 (x))dx. a

Mas, Z bZ

ZZ

φ2 (x)

dydx =

dxdy = a

D

φ1 (x) b

Z

(φ2 (x) − φ1 (x))dx

= a

pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Logo, ZZ dxdy A= D

pelo que podemos calcular áreas usando o integral duplo. Exerc´ıcio 15. Mostre que a área de uma região plana do tipo 2 é dada por ZZ dxdy. D

./

3

Bibliografia

[1] R. G. D. Allen, Analisis Matematico para Economistas, Aguilar, Madrid, 1978. [2] A. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGrawHill, Singapore, 1984. [3] F. Durão, Li¸cões de Matemética – Séries Numéricas e Integrais, Universidade Portucalense, Porto, 1992. [4] L. D. Hoffman e G. L. Bradley, Calculus – for Business, Economics, and the Social and Life Sciences, McGraw-Hill, New York, 1996. [5] J.E. Marsden e A.J. Tromba, Vector Calculus, W.H. Freeman and Company, San Francisco, 1976. [6] C. Pires, Cálculo para Economistas, McGraw-Hill, Lisboa, 2001. 29

Séries Numéricas e Integração

Recommend Documents