14.8 Cambio de variables: jacobianos
Comprender el concepto de jacobiano. Utilizar un jacobiano para cambiar variables en una integral doble.
Jacobianos
∫ = , ∫ =∫′
En una integral simple
se puede tener un cambio de variables haciendo
con con lo que
=,,
= = . ′ ∫ ∫∫, = ∫ ∫,ℎ,[[ ] =, =ℎ, ..
y y obtener
Donde y Nótese que el proceso de cambio de variables introduce, en el integrando, un factor adicional . . Esto también ocurre en el caso de las integrales dobles
donde el cambio de variables y introduce un factor llamado jacobiano de y con respecto a y Al Al definir el jacobiano, es conveniente utilizar la notación siguiente que emplea determinantes.
CARL GUSTAV JACOBI (1804-1851) El jacobiano recibe su nombre en honor al matemático alemán Carl Gustav Jacobi, conocido por su trabajo en muchas áreas de matemática, pero su interés en integración provenía del problema de hallar la circunferencia de una elipse. DEFINICIÓN DEL JACOBIANO
=, = ℎ ,, , ,, Si
y
es
,, = = .
entonces entonces el jacobiano de
y con respecto a
,,
EJ EMPLO 1 El jacobiano de la conversión rectangular-polar
Hallar el jacobiano para el cambio de variables definido por
= = . ,, = = cos = =
Solución De acuerdo con la definición de un jacobiano, se obtiene
y
denotado denotado por
El ejemplo 1 indica que el cambio de variables de coordenadas rectangulares a polares en una integral doble se puede escribir como
∫ ∫∫, = ∫ ∫ , , > 0 = ∫ ∫ , |,,,|
es la región en el plano
que corresponde a Figura 14.71
en el plano
Donde es la región en el plano que corresponde a la región en el plano muestra en la figura 14.71. Esta fórmula es semejante a la de la página 1006.
,
como se
,, = ,, = ,, , ℎ,, .. , .. ..
En general, un cambio de variables está dado por una transformación biyectiva (o uno a uno) de una región en el plano en una región en el plano dada por
ℎ ,
Donde y tienen primeras derivadas parciales continuas en la región Nótese Nótese que el punto se encuentra en y el punto se se encuentra en En En la mayor parte de las ocasiones, se busca una transformación en la que la l a región sea más simple que la región EJ EMPLO 2 Hallar un cambio de variables para simplificar una región
Sea
la región limitada o acotada por las rectas
2=0, 2=4, =4 =1
y como se muestra en la figura 14.72. Hallar una transformación una región rectangular (con lados paralelos a los ejes o ).
de una región
a
tal que sea
= =2. , = , , = 13 2 = 13 =1 ⟹ =1 =4 ⟹ =4 2=0 ⟹ =0 2=4 ⟹ =4 Región en el plano Figura 14.72
Solución Para empezar, sea para encontrar y se obtiene
Los cuatro límites de
en el plano
Límites en el plano
La región
y
Resolviendo este sistema de ecuaciones
donde
dan lugar a los límites siguientes de
en el plano
Límites en el plano
se muestra en la figura 14.73. Nótese que la transformación
Región S en el plano uv Figura 14.73
, = , =(13 2 , 13 ) .
transforma los vértices de la región
en los vértices de la región
Por ejemplo
.
1, 0 =(13 21 0, 13 1 0) =(23 , 13) 4, 0 =(13 24 0, 13 4 0) =(83 , 43) 4,4 =(13 24 4, 13 44) =(43 , 83) 1,4 =(13 21 4, 13 14) =( 23 , 53)
Cambio de variables en integrales dobles
TEOREMA 14.5 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES
= = . , , ,,ℎ,, ℎ , . , , ∫ ∫, =∫ ∫, ,ℎ,|,,|
Sea una región vertical u horizontalmente sencilla en el plano y sea una región vertical u horizontalmente sencilla en el plano Sea desde hasta dado por donde y tienen primeras derivadas parciales continuas. Suponer que es uno a uno excepto posiblemente en la f rontera de Si es continua en y no es cero en entonces
Área de
=∆∆ ∆>0, ∆>0 Figura 14.74
Figura 14.75
, , ∆, ,∆,∆ ,∆ ∆ ∆ ⃗ ⃗ℎ ∆≈‖⃗ ×⃗‖. ∆ ∆ ℎ , ≈ ∆,∆ , ℎ, ≈ ℎ ∆,∆ ℎ, ⃗ = ∆, , ℎ ∆, ℎ, ≈ , ∆ ℎ,∆ = ∆ ∆ ̅ ∆ ∆, ∆ ∆ 0 ⃗ ×⃗ ≈ ∆ ∆ 0 = ∆∆.
con DEMOSTRACIÓN Considerar el caso en el que es una región rectangular en el plano vértices y como se muestra en la figura 14.74. Las imágenes de estos vértices en el plano se muestran en la figura 14.75. Si y son pequeños, la continuidad de y de implica que es aproximadamente un paralelogramo determinado por los vectores y Así pues, el área de es
Para y pequeños, las derivadas parciales de aproximadas
y
con respecto a
Por consiguiente,
De manera similar, se puede aproximar
Por tanto, en la notación del jacobiano,
por
lo que implica que
pueden ser
∆≈‖⃗ ×⃗‖≈,, ∆∆. ∆ ∆ 0, ≈‖⃗ ×⃗‖≈,, . ∫ ∫, =∫ ∫, ,ℎ,|,,| , ,
Como esta aproximación mejora cuando como
Por tanto,
y
se aproximan a el caso límite puede escribirse
Los dos ejemplos siguientes muestran cómo un cambio de variables puede simplificar el proceso de integración. La simplificación se puede dar de varias maneras. Se puede hacer un cambio de variables para simplificar la región o el integrando o ambos. EJ EMPLO 3 Un cambio de variables para simplificar una región
Sea
la región limitada o acotada por las rectas
2=0, 2=4, =4 =1 ∫ ∫3 .
y como se muestra en la figura 14.76. Evaluar la integral doble
Figura 14.76 Solución De acuerdo con el ejemplo 2, se puede usar el cambio siguiente de variables.
13 2 = 13 = = 23, = 13, = 13 = 13
Las derivadas parciales de y son
lo cual implica que el jacobiano es
2 1 ,, = =31 31= 29 19 = 13. 3 3 1 1 , ∫ ∫3 =∫∫3[ 2 ] | | 3 3 , =∫ ∫− 19 2 0 1= 9 ∫2 2 3 4 8 64) 1= 9 ∫(8 3 1= 9 83 4 643 41 = 1649. 0, 1, 1, 2,2,1 1, 0. ∫ ∫ .
Por tanto, por el teorema 14.5, se obtiene
EJ EMPLO 4 Un cambio de variables para simplificar un integrando
Sea la región limitada o acotada por el cuadrado cuyos vértices son Evaluar la integral
Región en el plano Figura 14.77
=3 =1,
y
=1,=1, = =, 1≤≤3 1≤≤1
Solución Obsérvese que los lados de se encuentran sobre las rectas y como se muestra en la figura 14.77. Haciendo que los límites o cotas de la región en el plano son
y
se tiene
Región S en el plano uv Figura 14.78
= 12 = 12 . = 12, = 12, = 12 = 12 1 1 ,, = =21 21= 14 14 = 12 2 2 1 ∫ ∫ =∫∫ ( ) 2 − 1= 2 ∫− 3 31 13= 3 ∫ − 13= 6 ∫− 1cos2 = 136 [ 12 2] 11 = 136 [2 12 2 12 2] = 136 2 2≈2.363
como se muestra en la figura 14.78. Despejando
Las derivadas parciales de
y
son
lo cual implica que el jacobiano es
Por el teorema 14.5, sigue que
y
en términos de
y se obtiene
. , =, /4=1
En cada uno de los ejemplos de cambio de variables de esta sección, la región ha sido un rectángulo con lados paralelos a los ejes o En ocasiones, se puede usar un cambio de variables para otros tipos de regiones. Por ejemplo, transforma la región circular en la región elíptica .
=1
14.8 Ejercicios En los ejercicios 1 a 8, hallar el jacobiano
1. = 12 , = 12
,,
Solución:
2. =, = Solución:
3. =, = Solución:
4. =2, = Solución:
5. = , = Solución:
para el cambio de variables indicado.
6. =, = Solución:
7. = , = cos Solución:
8. = , = Solución:
En los ejercicios 9 a 12, dibujar la imagen utilizando las transformaciones dadas.
9. =32, =3 Solución:
en el plano
de la región
en el plano
10. = 13 4, = 13
Solución:
11. = 12 , = 12 Solución:
12. = 13 , = 13 2 Solución:
.
En los ejercicios 13 y 14, verificar el resultado del ejemplo indicado por establecer la x o integral usando para Después, usar un sistema algebraico por computadora para evaluar la integral. 13. Ejemplo 3 Solución: 14. Ejemplo 4 Solución: En los ejercicios 15 a 20, utilizar el cambio de variables indicado para hallar la integral doble.
15. 1∫ ∫4 1 = 2 , = 2
Solución:
16. 1∫ ∫60 1 = 2 , = 2 Solución:
17.=, ∫ ∫ = Solución:
18. ∫ ∫4 −
Solución:
19. ∫ ∫−/ = , = √ Solución:
20. ∫ ∫ = , = Solución:
, =48 , =32 2 , =−
=, 1,0,0,1,1,2,2,1 0,0,2,3,2,5,4,2 4, 0, 6, 2, 4, 4,2,2
, =
, 0, , , , , ,
En los ejercicios 21 a 28, utilizar un cambio de variables para hallar el volumen de la región sólida que se encuentra bajo la superficie y sobre la región plana 21. R : región limitada por el cuadrado con vértices Solución:
22. R : región limitada por el paralelogramo con vértices Solución:
23. R: región acotada por el cuadrado cuyos vértices son Solución:
24. R: región acotada por el cuadrado cuyos vértices son Solución:
, = 4
25. R: región acotada por el paralelogramo cuyos vértices son
0, 0,1,1, 5, 0,4,1
, =322/
26. R: región acotada por el paralelogramo cuyos vértices son Solución:
, =
27. R: región acotada por el triángulo cuyos vértices son Solución:
0, 0,2,3, 2, 5,4,2
0, 0, , 0,0, >0 donde
28.
, = +
R: región acotada por las gráficas de Solución:
=1, =4, =1, =4
=2 = .
(Sugerencia: Hacer
=, = .
)
29. La sustitución y y hacen la región (ver la figura) en una simple región en el plano Determinar el número total de lados de que son paralelos a cualquiera de los ejes o
.
Solución:
Para discusión
, =, =, , ℎ,
30. Encontrar una transformación resultará en la imagen S (ver la figura). Explicar el razonamiento.
Solución:
31. Considerar la región
en el plano
acotada por la elipse
que al aplicar a la región
=1 = =. ,,.
y las transformaciones y a) Dibujar la gráfica de la región b) Hallar c ) Hallar el área de la elipse. Solución:
y su imagen
bajo la transformación dada.
=,
.
32. Utilizar el resultado del ejercicio 31 para hallar el volumen de cada uno de los sólidos abovedados que se encuentra bajo la superficie y sobre la región elíptica (Sugerencia: Después de hacer el cambio de variables dado por los resultados del ejercicio 31, hacer un segundo cambio de variables a coordenadas polares.)
, =16 : 16 9 ≤1 , =cos : ≤1 Solución:
2
Desarrollo de conceptos 33. Enunciar la definición de jacobiano. Solución:
34. Describir cómo usar el jacobiano para hacer un cambio de variables en integrales dobles. Solución:
,,,,
En los ejercicios 35 a 40, hallar el jacobiano para el cambio de variables indicado. Si y con respecto a y entonces el jacobiano de y es
= , , , =, , = , , , , ,,,, = 35. =1 , =1 , = Solución:
36. =4, =4, = Solución:
37. = 12 , = 12 , =2 38. =, =2, = =cos, = , =cos Solución: Solución:
39. C oordenadas esféricas Solución:
,
40. C oordenadas cilíndric as
=cos, = , = Solución:
Preparación del examen Putnam
=1. 41. Sea
el área de la región del primer cuadrante acotada por la recta
=, =1.
Hallar el número positivo
cuadrante acotada por la recta Solución:
tal que
el eje
= , el eje
y la elipse
es igual al área de la región del primer
y la elipse
