CAPÍTULO 9 Series infinitas Este capítulo capítulo se divide en dos partes. Las primeras seis secciones secciones describen sucesiones infinitas infinitas y series infinitas. Las últimas cuatro estudian polinomios de Taylor Taylor y Maclaurin y series de potencias. En este capítulo, se aprenderá: Cmo determinar si una sucesin conver!e o diver!e. " 9.1# Cmo determinar si una serie infinita conver!e o diver!e. " 9.2 a 9.6# Cmo Cmo encontr encontrar ar las apro$i apro$imac macion iones es polino polinomia miales les de Taylor ylor o Maclaur Maclaurin in de funcio funciones nes elementales. "9.7# Cmo encontrar el radio y el intervalo de conver!encia de una serie de potencias y cmo diferenciar e inte!rar la serie de potencias. " 9.8# Cmo representar funciones mediante series de potencia. " 9.9# Cmo encontrar una serie de Taylor Taylor o de Maclaurin para una funcin. " 9.10# • • •
•
• •
El copo esférico que se muestra arriba es un fractal generado por computadora que creó Eric Haines. El radio de la esfera grande es de 1. A la esfera grande se unen nueve esferas que tienen 1/3 de radio. A cada una de éstas, se añaden añaden nueve esferas que tienen 1/ de de radio. Este proceso contin!a contin!a de manera in"nita. #El $rea super"cial del copo esférico es "nita o in"nita% &'er la sección .(, e)ercicio 11*.+
Los polinomios de Maclaurin apro$iman una funcin dada en un intervalo cerca de x % &. ' medida (ue se a!re!an t)rminos al polinomio de Maclaurin, )ste se convierte en una apro$imacin cada ve* me+or me+or de la funcin funcin dada cerca cerca de x % &. En la secc secci in n .-& .-& se verá verá (ue la seri serie e de Maclaurin e(uivale a la funcin dada "ba+o condiciones adecuadas#.
9.1 Sucesiones • • • •
Enunciar los t)rminos de una sucesin. eterminar si una sucesin conver!e o diver!e. Escribir una frmula para el t)rmino n/)simo de una sucesin. 0sar las propiedades de las sucesiones montonas y de las sucesiones acotadas.
Sucesiones En matemáticas, la palabra 1sucesin2 se usa en un sentido muy parecido al len!ua+e usual. Se dice (ue una coleccin de ob+etos o eventos está en sucesin si!nifica !eneralmente (ue la coleccin está ordenada de manera (ue tiene un primer miembro, un se!undo miembro, un tercer miembro, y así sucesivamente. Matemáticamente, una sucesin se define como una funcin cuyo dominio es el con+unto de los enteros enteros positiv positivos. os. 'un(ue un(ue una sucesi sucesin n es una funci funcin, n, es común común represe representa ntarr las sucesi sucesiones ones empleando subíndices en lu!ar de la notacin 3abitual de la funcin. 4or e+emplo, en la sucesin
al - se le asi!na a-, al 5 se le asi!na a5, y así sucesivamente. Los números a-, a5, a6,7, an7 son los términos de la sucesin. El número an es el término n-ésimo de la sucesin, y la sucesin completa se denota por 8an9. ota:: e ve* en cuando, es conveniente empe*ar una sucesin con ota la sucesin sean
a0 , a1 , a2 , … , a n , …
EJEMPLO 1 ar !os términos "e una sucesi#n a$ Los t)rminos de la sucesin 1
2
3
{a n }={3 + (−1 )n }
son
4
3 + ( − 1 ) , 3 + ( − 1 ) , 3 + ( −1 ) , 3 + ( − 1 ) , …
2,4,2,4, …
b$ Los t)rminos de la sucesin
1 1 1 1 , , , , … 1 −2 . 1 1−2 . 2 1−2 . 3 1−2 . 4
2 3
3 5
4 7
−1, − ,− ,− , …
{
n
{b n }= 1 −2 n
}
son
a0 ,
para (ue los t)rminos de
{ } 2
c $ Los t)rminos de la sucesin
2
n 2
n
−1
,
2 2
2
2
−1
2
,
3 3
2
−1
,
4 4
2
{c n }=
n
n
2
−1
son
2
−1
,…
1 4 9 16 , , , , … 1 3 7 15
d $ Los t)rminos de la sucesin definida en forma recursi%a o recurrente d n+1 =d n−5,
{d n }, donde d 1=24 y
son
25,25 −5 =20,20 −5=15,15 −5=10, …
A&u"a "e estu"io. 'l!unas sucesiones se definen en forma recursiva o recurrente. 4ara definir una sucesin en forma recursiva se necesita dar uno o más de los primeros t)rminos. Todos los otros t)rminos de la sucesin son definidos usando los t)rminos anteriores, como se muestra en el e+emplo -d .
L'mite "e una sucesi#n El punto principal de este capítulo son las sucesiones cuyos t)rminos tienden a valores límite. Tales sucesiones se llaman con%er(entes. 4or e+emplo, la sucesin
{1 / 2n }
1 1 1 1 1 , , , , … 2 4 8 16 32
)*+,+C+, )L LÍ+T) ) U,A U, A SUC)S+, Sea L un número real. El !'mite de una sucesin
{a n }
es L , escrito como
lim an= L
n →∞
si para cada
ε > 0 e$iste M > 0 tal (ue
|a n− L|<ε
siempre (ue
n > M . Si el límite L de una
sucesin e$iste, entonces la sucesin con%er(e a L. Si el límite de una sucesin no e$iste, entonces la sucesin "i%er(e. ;ráfic ;ráficame amente nte,, esta esta defini definici cin n dice dice (ue finalm finalment ente e "para "para sucesin (ue conver!e a L
n > M y
ε > 0 # los t)rminos de una
(uedarán dentro de la fran+a entre las rectas y = L + ε
y y = L− ε
como se muestra en la fi!ura .-. Si una sucesin
{a n }
coincide coincide con con una una funcin funcin
f en cada entero positivo, positivo, y
si f ( x ) tiende a
L . un límite L a medida (ue x → ∞ , la sucesin debe conver!er al mismo límite L.
Para n > M to"os !os términos "e !a sucesi#n "istan "e L menos "e ε uni"a"es *i(ura 9.1 T)O/)A 9.1 LÍ+T) ) U,A SUC)S+, Sea L un número real. Sea
f una funcin de una variable real tal (ue
lim f ( x )= L . n →∞
{a n } es una sucesin tal (ue f ( n )=an para cada entero positivo n, entonces lim an= L .
Si
n →∞
,ota: El inverso del teorema .- no es cierto "ver el e+ercicio -6<#. EJEMPLO 2 )ncuentre e! !'mite "e una sucesi#n
=allar el límite de la sucesin cuyo t)rmino n/)simo es
( )
an = 1 +
1
n
n
.
So!uci#n ' partir del teorema >.->
( )=
lim 1+ x → ∞
1
x
x
e
4or tanto, puede aplicar el teorema .- para concluir (ue
( )=
lim an= lim 1 +
n →∞
n→ ∞
1
n
n
e
,ota. =ay diferentes situaciones en las (ue una sucesin puede no tener un límite. 0na situacin así es cuando los t)rminos de la sucesin crecen sin límite o decrecen sin límite. Estos casos son escritos simblicamente como si!ue. Los t)rminos crecen sin límite: lim an= ∞ .
n →∞
Los t)rminos decrecen sin límite
lim an=− ∞.
n →∞
Las si!uientes propiedades de límites de sucesiones corresponden a a(uellas dadas para los límites de funciones en una variable real en la seccin -.6.
T)O/)A 9.2 P/OP+)A)S ) LOS LÍ+T)S ) SUC)S+O,)S Sea
lim an= L y lim bn= K .
n →∞
n →∞
1.lim ( an ± b n )= L ± K 2. lim can= cL,c ∈ R n→∞
n→ ∞
3. lim ( an bn )= L K 2.
lim an
n→∞
bn
n→∞
L K
= , b n ≠ 0 y K ≠ 0
EJEMPLO 3 An!isis "e con%er(encia o "i%er(encia n a# Como la sucesin { a n }= 3 + (−1 ) tiene los t)rminos 2,4,2,4, … Vea el ejemplo 1 a , página 596.
(ue alternan entre 5 y ?, el límite
{
b# 4ara lim n
lim 1
n→ ∞
n→ ∞
1 −2 n
n
{b n }= 1 −2 n =
( 1 / n ) −2
}
lim an
n →∞
no e$iste. 4or tanto, la sucesin diver!e.
divida el numerador y denominador entre n para obtener
−1 = Vea el ejemplo 1 b , página 596. 2
−1 lo cual implica (ue la sucesin conver!e a
2
EJEMPLO 4 Uso "e !a re(!a "e L34ita! 4ara "eterminar !a con%er(encia 2 n Mostrar (ue la sucesin cuyo t)rmino n/)simo es an = 2n −1 conver!e.
So!uci#n Considere la funcin en una variable real f ( x )=
x x
2
2
−1
'plicando la re!la de L@=Apital dos veces se obtiene
2 ln ¿
¿
2
¿ ¿ x ¿ 2 ln ¿
¿ ¿2 2 ¿ ¿ ¿ ¿ lim x
2
x →∞ x
2
lim 2 x
=
x →∞
−1
¿
Como f ( n )=n para todo entero positivo, puede aplicarse el teorema .- para concluir (ue lim n
2
n→ ∞ n
2
−1
= 0. Vea el ejemplo 1 c , página 596 .
'sí, la sucesin conver!e a &.
T)C,OLO5ÍA Bepresentar en una 3erramienta de !raficacin la funcin del e+emplo ?. tese (ue cuando
x
tiende a infinito, el valor de la funcin se acerca a &. Si se tiene acceso a una
3erramienta de !raficacin (ue pueda !enerar los t)rminos de una sucesin, úsese para !enerar los primeros 5& t)rminos de la sucesin del e+emplo ?. espu)s e$aminar los t)rminos para observar num)ricamente (ue la sucesin conver!e a &. El símbolo
n "se lee 1factorial2 o 1factorial de n2# se usa para simplificar al!unas de las frmulas n
desarrolladas en este capítulo. Sea
un entero positivo entonces n actoria! se define como
n =1 ! 2 ! 3 ! 4 ! !! ( n−1 ) ! n
Como un caso especial, el cero actoria! se define como (ue
1 =1, 2 =1 ! 2 =2,3 =1 ! 2 ! 3 =6,
0 =1
e esta definicin, se puede ver
y así sucesivamente. Los factoriales si!uen las mismas
convenciones respecto al orden de las operaciones (ue los e$ponentes. Es decir, así como
( 2 x )3
implican un orden diferente de las operaciones,
2 n
si!uientes. 2 n =2 ( n ) =2 ( 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! n )
( 2 n ) =1 ! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! n !( n + 1) ! !! 2 n
y
( 2 n)
2 x
3
y
implica los rdenes
Dtro teorema útil para límites (ue puede reescribirse para sucesiones es el teorema del enca+e o del emparedado de la seccin -.6.
T)O/)A 9. T)O/)A )L ),CA) O )L )PA/)AO PA/A SUC)S+O,)S Si
lim an= L = lim bn
n →∞
n →∞
y e$iste un entero " tal (ue
an # c n # bn
para todo
n > " entonces
lim c n= L
n →∞
EJEMPLO 5 A4!icaci#n "e! teorema "e! encae
4ruebe (ue la sucesin
{
1
{ c n } = ( −1 )n n
}
conver!e, y encuentre su límite.
So!uci#n 4ara aplicar el teorema del enca+e, debe encontrar dos sucesiones conver!entes (ue n n puedan relacionarse a la sucesin dada. os posibilidades son an =−1 / 2 y bn =1 / 2 ambas conver!en en 0 . Comparando el t)rmino
n con
2
n
se puede ver (ue
n =1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! ! ! n =24 ! 5 ! 6 ! ! ! n ( n $ 4 )
n
2
=2 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 ! !! 2=16 ! 2 ! 2 !! ! 2 ( n $ 4 )
Esto implica (ue para
−1 2
n
# (−1 )
n
1
#
1
n 2n
n
n $ 4, 2 < n
y tiene
, n$ 4
como se muestra en la fi!ura .5. 4or tanto, el teorema del enca+e o del emparedado implica (ue lim n →∞
(−1 )n
1
n
=0
4ara
n $ 4, (−1 )
−1
1
n
n
(ueda confirmado entre
1
y
n
2
2
n
*i(ura 9.2 ,OTA El e+emplo > su!iere al!o acerca del ritmo o velocidad a la (ue n → ∞ . Como la fi!ura .5 su!iere, ambos 1
bien
n se apro$ima a
1/ 2
n
2
n
1
y
n tienden a
0
a medida (ue
n → ∞ . Si
1
muc3o más rápido (ue
2
n
n
lim 1 / n n→ ∞
0
1
n aumenta cuando
lim 2
= n→ ∞
n
=0.
e 3ec3o, puede demostrarse (ue para cual(uier número fi+o
%,
n
lim % n→ ∞
n
=0.
Esto si!nifica (ue la función factorial crece más rápido que cualquier función exponencial. En el e+emplo >, la sucesin
{c n }
tiene tanto t)rminos positivos como ne!ativos. 4ara esta
sucesin, sucede (ue la sucesin de valores absolutos,
{|c |} , n
tambi)n conver!e a &. Esto se
puede demostrar por medio del teorema del enca+e o del emparedado usando la desi!ualdad 0#
1
1
# , n $ 4 n 2n
En tales casos, es a menudo conveniente considerar la sucesin de los valores absolutos y entonces aplicar el teorema .? (ue establece (ue si la sucesin de los valores absolutos conver!e a &, la sucesin ori!inal tambi)n conver!e a &.
T)O/)A 9.: T)O/)A ) ;ALO/ A
{a n }
si lim |an|=0
n →∞
lim an= 0
entonces
)OST/AC+, Considere las dos sucesiones
n →∞
{|a |} n
y
{−|a |} . n
Como ambas sucesiones
conver!en a 0 y
−|an|# an #|an|
{a n }
se puede usar el teorema del enca+e o del emparedado para concluir (ue
conver!e a &.
/econocimiento "e 4atrones en !as sucesiones ' veces los t)rminos de una sucesin se !eneran mediante al!una re!la (ue no identifica e$plícitamente el t)rmino n/)simo de la sucesin. En tales casos, puede ser necesario descubrir el patrón en la sucesin y describir el t)rmino n/)simo. 0na ve* (ue el t)rmino n/)simo se 3a especificado, se puede investi!ar la conver!encia o diver!encia de la sucesin. EJEMPLO 6 )! término n-ésimo "e una sucesi#n a =allar una sucesin { n } cuyos cinco primeros t)rminos son 2 4 8 16 32 , , , , ,… 1 3 5 7 9
y despu)s determine si la sucesin particular (ue se 3a ele!ido conver!e o diver!e.
So!uci#n 4rimero, note (ue los numeradores son potencias sucesivas de 5, y los denominadores forman la sucesin de enteros impares positivos. Comparando
an
con
n , se tiene el es(uema
si!uiente. 2
3
4
5
n
2 2 2 2 2 2 , , , , ,… , 1 3 5 7 9 2 n −1
0sando la re!la de L@=Apital para evaluar el límite de
lim x→ ∞
2 x −1
x
x
2 ( ln2 )
x
2
f ( x )=2 /( 2 x −1)
= lim x →∞
2
se obtiene n
2
=∞ ⟹ lim n →∞
2 n −1
=∞ .
4or tanto, la sucesin diver!e. Sin una re!la específica para la !eneracin de los t)rminos de una sucesin o al!ún conocimiento del conte$to en (ue se obtienen los t)rminos de la sucesin, no es posible determinar la
conver!encia o diver!encia de la sucesin meramente a partir de sus primeros t)rminos. 4or e+emplo, aun(ue los primeros tres t)rminos de las si!uientes cuatro sucesiones son id)nticos, las primeras dos sucesiones conver!en a
0,
la tercera sucesin conver!e a
1 9 y la cuarta sucesin
diver!e. 1 1 1
1
{a n }: 2 , 4 , 8 , 16 , … , 1 1 1
1 n
2
,…
1
{b n }: 2 , 4 , 8 , 15 , … ,
6 2
( n + 1)( n −n + 6 )
,…
2
1 1 1 1 n −3 n + 3 c n : , , , , … , 2 ,… 2 4 8 62 9 n −25 n + 18
{ }
1 1 1
{d n } : 2 , 4 , 8 , 0, … ,
−n (n + 1 )( n− 4 ) ,… 2 6 ( n + 3 n−2 )
El proceso de determinar un t)rmino n/)simo a partir del patrn observado en los primeros t)rminos de una sucesin es un e+emplo de razonamiento inductivo . EJEMPLO 7 C!cu!o "e! término n-ésimo "e una sucesi#n
etermine un t)rmino n/)simo de una sucesin cuyos primeros cinco t)rminos son
−2 1
8 2
, ,−
26 80 242 , ,− ,… 6 24 120
y despu)s decida si la sucesin conver!e o diver!e.
So!uci#n ote (ue los numeradores son de la forma (ue los numeradores están dados por la re!la 1=1 2=1 ! 2 6 =1 ! 2 ! 3 24 =1 ! 2 ! 3 ! 4 120=1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5
n
3
−1.
n
3
menos -. 4or tanto, se puede ra*onar
Factori*ando los denominadores se obtiene
Esto su!iere (ue los denominadores son de la forma
n Finalmente, como los si!nos son
alternados, se puede escribir el t)rmino n/)simo como an =(−1 )
n
( −) n
3
1
n
e la discusin sobre el crecimiento de se si!ue (ue lim n→∞
|an|=lim
3
n
−1
n
n→∞
=0
'plicando el teorema .?, puede concluirse (ue lim n→ ∞
an= 0.
'sí, la sucesin
{a n }
conver!e a 0.
Sucesiones mon#tonas & sucesiones acota"as =asta a3ora se 3a determinado la conver!encia de una sucesin encontrando su límite. 'un cuando no pueda determinarse el límite de una sucesin particular, puede ser útil saber si la sucesin conver!e. El teorema .> proporciona un criterio de conver!encia para sucesiones sin determinar el límite. 4rimero, se dan al!unas definiciones preliminares.
)*+,+C+, ) U,A SUC)S+, O,TO,A
{a n }
0na sucesin
es mon#tona si sus t)rminos son no decrecientes
a1 # a2 # a3 # … # a n # …
o si sus t)rminos son no crecientes a1 $ a2 $ a3 $ … $ an $ … .
EJEMPLO 8 eterminar si una sucesi#n es mon#tona eterminar si la sucesin (ue tiene el t)rmino n/)simo dado es montona. 2
n 2n a ¿ an =3 + (−1 ) b ¿ b n= c ¿ c n= n 1+ n 2 −1 n
So!uci#n a$ Esta sucesin alterna entre 5 y ?. 4or tanto, no es montona. b$ Esta sucesin es montona por(ue cada t)rmino sucesivo es mayor (ue su predecesor. 4ara ver bn bn + 1 esto, comparar los t)rminos y Gtese (ue, como n es positivo, se puede multiplicar
cada lado de la desi!ualdad por
( 1 +n ) y ( 2 +n ) sin invertir el si!no de la desi!ualdad.H
bn =
2 ( n + 1) 2n <' =b n + 1 1 +n 1 +( n +1 )
2 n ( 2 + n ) < ' ( 1+ n)( 2 n + 2)
2
4 n+2 n
< ' 2 + 4 n +2 n2
0 <2
Empe*ando con la última desi!ualdad, (ue es válida, se pueden invertir los pasos para concluir (ue la desi!ualdad ori!inal tambi)n es válida. c $ Esta sucesin no es montona, por(ue el se!undo t)rmino es mayor (ue el primer t)rmino, y mayor (ue el tercero. "tese (ue si se suprime el primer t)rmino, la sucesin resultante c 2 ,c 3 , c 4 , … es montona.#
La fi!ura .6 ilustra !ráficamente estas tres sucesiones
*i(ura 9. ,OTA En el e+emplo < b, otra manera de ver (ue la sucesin es montona es ar!umentar (ue la derivada de la funcin derivable correspondiente f ( x )= 2 x /( 1 + x ) es positiva para toda x . Esto implica (ue
f
es creciente, lo cual a su ve* implica (ue
{a n }
es creciente.
)*+,+C+, ) U,A SUC)S+, ACOTAA 1. 0na sucesin (ue
an # M
{a n }
para todo
es acota"a su4eriormente o por arriba si e$iste un número real M tal n . El número M es llamado una cota su4erior de la sucesin.
2. 0na sucesin " #a n
{a n }
es acota"a ineriormente o por aba+o si 3ay un número real " tal (ue
para todo n . El número " es llamado una cota inerior de la sucesin.
. 0na sucesin
{a n }
es acota"a si lo está superior e inferiormente.
,OTA Todas las sucesiones mostradas en la fi!ura .6 son acotadas. 4ara ver esto, considerar lo si!uiente. 2# an# 4
1# bn # 2
0 # cn#
4 3
0na propiedad importante de los números reales es (ue son com4!etos. Informalmente, esto si!nifica (ue no 3ay 3uecos en la recta del número real. "El con+unto de números racionales no tiene la propiedad de ser completo.# El a$ioma de completitud para los números reales puede usarse para concluir (ue si una sucesin tiene una cota superior, debe tener una m'nima cota su4erior "una cota superior (ue es menor (ue cual(uier otra cota superior de la sucesin#. 4or e+emplo, el límite superior de la sucesin
{a n }={ n /( n + 1 ) ,
1 2 3 4 n , , , , … , ,… 2 3 4 5 n+ 1
es -. El teorema de completitud se usa en la demostracin del teorema .>.
T)O/)A 9.= SUC)S+O,)S O,TO,AS ACOTAAS Si una sucesin
{a n }
es acotada y montona, entonces conver!e.
Toda sucesin acotada no decreciente conver!e
*i(ura 9.:
)OST/AC+, Suponer (ue la sucesin es no decreciente, como se muestra en la fi!ura .?. 4ara simplificar, tambi)n suponer (ue todo t)rmino de la sucesin es positivo. Como la sucesin es acotada, debe e$istir una cota superior M tal (ue a1 # a2 # a3 # … # a n #…# M .
el a$ioma de completitud, se si!ue (ue e$iste una mínima cota superior L tal (ue a1 # a2 # a3 # … # a n # … # L .
4ara ε > 0 se si!ue (ue L− ε < L y por consi!uiente L− ε no puede ser una cota superior de la sucesin. 4or consi!uiente, por lo menos un t)rmino de L− ε < a "
si!ue (ue n > " .
{an }
es mayor (ue L− ε . Es decir,
para al!ún entero positivo " . Como los t)rminos de a " # an
n > " . '3ora se sabe (ue
para todo
Se si!ue (ue
|a n− L|< ε
para todo
n > "
{a n }
son no decrecientes, se
L− ε < a " # an # L < L + ε
, para todo
lo cual por definicin si!nifica (ue
{a n }
conver!e a L . La demostracin para una sucesin no creciente es similar "ver e+ercicio -6#. EJEMPLO 9 Sucesiones acota"as & mon#tonas a$ La sucesin
{a n }={ 1 / n }
es acotada y montona, y por tanto, por el teorema .>, debe
conver!er. b$ La sucesin
{ b n }={ n /( n +1 )} 2
diver!ente
es montona, pero no acotada. "Es acotada
inferiormente.# c $ La sucesin diver!ente
{ c n } = { ( −1 ) n }
es acotada, pero no montona.
9.1 )ercicios )n !os eercicios 1 a 10> escri?ir !os 4rimeros cinco términos "e !a sucesi#n. 1. an=3
n
Solucin:
n
2. an=
3
n
Solucin:
3. an=
( ) −1 4
Solucin:
n
( )
4. an =
−2
n
3
Solucin:
n(
5. an= sen
Solucin:
2
6. an=
2n n+3
Solucin:
7. an=
(−1 )n( n+1)/ 2
Solucin:
2
n
8. an= (−1 )
n+1
() 2
n
Solucin:
9. an=5 −
Solucin:
1
+
1
n n2
10. an=10 +
2 6
+
n n2
Solucin:
)n !os eercicios 11 a 1:> escri?ir !os 4rimeros cinco términos "e !a sucesi#n "eini"a 4or recurrencia. 11. a1=3, a % +1=2 ( a% −1 )
Solucin:
12. a1=4, a % +1=
( ) % + 1 2
Solucin:
1 13. a1=32, a% +1= a% 2
Solucin:
a%
1 2 14. a1=6, a% +1= a % 3
Solucin:
)n !os eercicios 1= a 18> asociar !a sucesi#n con su (rica. @Las (ricas se etiuetan a$> b$> c $ & d $.B
15. an=
10 n +1
Solucin:
16. an=
10 n n +1
Solucin:
17. an=(− 1 )
n
Solucin:
18. an=
(−1 )n
Solucin:
n
)n !os eercicios 19 a 22> re!acionar !a sucesi#n con !a e4resi#n correcta 4ara su término nésimo. @Los términos n-ésimos se in"ican me"iante a$> b$> c $ & d $.B $.B 2 3
a ¿ an = n
b ¿ an =2−
4
n
c ¿ an=16 (−0.5 )
d ¿ an =
n− 1
2n n+1
2 19.−2,0, , 1, … 3
Solucin:
20.16, −8,4,−2, …
Solucin:
2 4 8 21. , , 2, , … 3 3 3
Solucin:
4 3 8 22.1, , , , … 3 2 3
Solucin:
)n !os eercicios 2 a 28> escri?ir !os si(uientes "os términos "e !a sucesi#n. escri?ir e! 4atr#n ue se uti!iD# 4ara encontrar estos términos. 23.2, 23.2, 5,8,11 …
Solucin:
7 9 24. , 4, , 5, … 2 2
Solucin:
25.5,10,20,40 …
Solucin:
1 1 1 26.1, − , ,− , … 2 4 8
Solucin:
3 3 3 27.3, − , ,− ,… 2 4 8
Solucin:
3 9 27 28.1, − , ,− ,… 2 4 8
Solucin:
)n !os eercicios 29 a :> sim4!iicar e! cociente "e actoria!es. 29.
11 8
Solucin:
30.
25 20
Solucin:
31.
( n + 1) n
Solucin:
32.
( n +2 ) n
Solucin:
33.
( 2 n −1) (2 n+ 1)
Solucin:
34.
( 2 n + 2) (2 n )
Solucin:
)n !os eercicios = a :0> encontrar e! !'mite Esi es 4osi?!e$ "e !a sucesi#n. 35. an=
5n 2
2
n +2
Solucin:
36. an=5 −
1 2
n
Solucin:
37. an=
2n
√ n +1 2
Solucin:
38. an=
5n
√ n +4 2
Solucin:
39. an= sen
1
n
Solucin:
40. an =cos
2
n
Solucin:
)n !os eercicios :1 a ::> usar una Ferramienta "e (raicaci#n 4ara re4resentar !os 4rimeros 10 términos "e !a sucesi#n. Usar !a (rica 4ara Facer una conetura acerca "e !a con%er(encia o "i%er(encia "e !a sucesi#n. ;eriicar su conetura ana!'ticamente &> si !a sucesi#n con%er(e> encontrar su !'mite. 41. an =
n+ 1 n
Solucin:
42. an =
1 3/ 2
n
Solucin:
n(
43. an =cos
2
Solucin:
44. an =3−
Solucin:
1 n
2
)n !os eercicios := a 72> "eterminar !a con%er(encia o "i%er(encia "e !a sucesi#n con e! término n-ésimo "a"o. Si !a sucesi#n con%er(e> encontrar su !'mite. 45. an =( 0.3 )
n
−1
Solucin: 46. an =4 −
3
n
Solucin: 47. an =
5
n+ 2
Solucin: 48. an =
2
n
Solucin: 49. an =(−1 )
n
(+) n
n 1
Solucin:
50. an=1 + (−1 )
Solucin:
n
2
51. an=
−n + 4 2 2 n +1
3n
Solucin:
√ n 52. an= √ n +1 3
3
Solucin:
53. an=
1 ! 3 ! 5 ! … ! ( 2 n−1 )
( 2 n )n
Solucin:
54. an=
1 ! 3 ! 5 ! … ! ( 2 n−1 )
n
Solucin:
55. an=
1 + (−1 )
n
n
Solucin:
56. an=
1 + (−1 )
n2
Solucin:
ln ( n
3
57. an=
)
2n
Solucin:
58. an=
ln ( √ n )
n
Solucin:
59. an=
3
n
4
n
Solucin:
60. an=( 0.5 )
n
Solucin:
61. an=
( n +1 ) n
n
Solucin:
62. an=
( n −2 ) n
Solucin:
63. an=
n −1 n − ,n$2 n n −1
Solucin:
2
2
n n 64. an= − 2 n + 1 2 n −1
Solucin:
p
n 65. an= n , p > 0 e
Solucin:
66. an= nsen
Solucin:
1
n
1 /n
67. an=2
Solucin:
−n
68. an=− 3
Solucin:
( )
% 69. an= 1 + n
n
Solucin:
( )
70. an= 1 +
1
2
n
Solucin: 71. an=
sen n n
Solucin:
72. an=
cos (n
n
2
n
Solucin:
)n !os eercicios 7 a 86> escri?ir una e4resi#n 4ara e! término n-ésimo "e !a sucesi#n. Ea& ms "e una res4uesta correcta.$ 73.1,4,7,10 …
Solucin:
74.3,7,11,15 …
Solucin:
75.−1,2,7,14,23 …
Solucin:
1 1 1 76.1, − , ,− ,… 4 9 16
Solucin:
2 3 4 5 77. , , , , … 3 4 5 6
Solucin:
78.2, −1,
1 1 1 , − , , … 2 4 8
Solucin:
79.2, 1 +
Solucin:
1 1 1 1 , 1+ , 1 + , 1 + , … 2 3 4 5
1 1 7 15 31 80.1+ , 1 + , 1 + , 1 + , 1 + … 2 3 8 16 32
Solucin:
81.
1 2 3 4 , , , ,… 2 !3 3 ! 4 4 ! 5 5 ! 6
Solucin:
82.1,
1 1 1 1 , , , ,… 2 6 24 120
Solucin:
83.1,−
1 1 1 , ,− ,… 1 ! 3 1 ! 3! 5 1! 3 !5 ! 7
Solucin:
2
3
4
5
x x x x ,… 84. 1, x , , , , 2
6 24 120
Solucin:
85.2,24,720,40320,3628800 , …
Solucin:
86.1,6,120,5040,362880 ,…
Solucin:
)n !os eercicios 87 a 98> "eterminar si !a sucesi#n con e! término n-ésimo "a"o es mon#tona. iscutir !a eistencia "e cotas "e !a sucesi#n. Usar una Ferramienta "e (raicaci#n 4ara conirmar sus resu!ta"os. 1 87. an= 4 − n
Solucin:
88. an=
3n n +2
Solucin:
89. an=
n n+ 2
2
Solucin:
−n / 2
90. an= n e
Solucin:
91. an= (−1 )
Solucin:
n
() 1
n
92. an=
( ) −2
n
3
Solucin:
93. an=
()
n
2 3
Solucin:
94. an=
()
n
3 2
Solucin:
n(
95. an= sen
Solucin:
6
n(
96. an= cos
2
Solucin:
97. an=
cos n
n
Solucin:
sen √ n n
98. an=
Solucin:
)n !os eercicios 99 a 102> a$ usar e! teorema 9.= 4ara mostrar ue !a sucesi#n con e! término n-ésimo "a"o con%er(e & b$ usar una Ferramienta "e (raicaci#n 4ara re4resentar !os 4rimeros 10 términos "e !a sucesi#n & encontrar su !'mite. 99. an=5 +
1
n
Solucin:
100. an= 4 −
Solucin:
3
n
101. an=
( )
1 1 1− n 3 3
Solucin:
102. an= 4 +
Solucin:
1 n
2
10. Sea
{a n }
una sucesin creciente tal (ue
n
2 # a # 4. E$plicar por (u) tiene un límite. JKu)
puede concluir sobre el límite Solucin:
10:. Sea
{a n }
una sucesin montona tal (ue
an # 1
iscutir la conver!encia de
{a n }
Si
{a n }
conver!e, J(u) se puede concluir acerca del límite Solucin:
10=. Interés compuesto Considerar la sucesin { )n } de la cual el t)rmino n/)simo está dado por
( )
) n= * 1+
+
12
n
onde 4 es el capital invertido,
) n
es el balance de la cuenta despu)s de
n
meses y
+
es la
proporcin de inter)s compuesto anualmente. a# JEs
{ )n }
una sucesin conver!ente E$plicar.
b# =allar los primeros -& t)rminos de la sucesin si *= 10000 y
+ = 0.055 .
Solucin:
106. Interés compuesto Se 3ace un depsito de -&& al principio de cada mes en una cuenta a una tasa de inter)s anual compuesto mensualmente de 6N. El balance en la cuenta despu)s de n meses es ) n=100 ( 401 ) ( 1.0025 −1 ) . n
a# Calcular los primeros seis t)rminos de la sucesin
{ )n } .
b# =allar el balance en la cuenta despu)s de > aOos calculando el t)rmino P& de la sucesin. c # =allar el balance en la cuenta despu)s de 5& aOos calculando el t)rmino 5?& de la sucesin.
Solucin:
esarro!!o "e conce4tos 107. JEs posible (ue una sucesin conver+a a dos números diferentes Si lo es, dar un e+emplo. Si no, e$plicar por (u). Solucin:
108. En sus propias palabras, definir. a# Sucesin b# Conver!encia de una sucesin c # Sucesin montona d # Sucesin acotada
Solucin:
109. Las !ráficas de dos sucesiones se muestran en las fi!uras. JKu) !ráfica representa la sucesin con si!nos alternos E$plicar su ra*onamiento.
Solucin:
Para "iscusi#n ar un e+emplo de una sucesin (ue satisfa!a la condicin o e$plicar por (u) no e$iste tal sucesin. "Los e+emplos no son únicos.# a# 0na sucesin monotnicamente creciente (ue conver!e a -&. b# 0na sucesin acotada monotnicamente creciente (ue no conver!e. c # 0na sucesin (ue conver!e a
3 4 .
d # 0na sucesin no acotada (ue conver!e a -&&.
Solucin:
111. Los astos ubernamenta!es 0n pro!rama !ubernamental (ue actualmente cuesta a los contribuyentes ?.> mil millones por aOo, se va a reducir 5&N por aOo. a# Escribir una e$presin para la cantidad presupuestada para este pro!rama despu)s de n aOos. b# Calcular los presupuestos durante los primeros ? aOos. c # eterminar la conver!encia o diver!encia de la sucesin de presupuestos reducidos. Si la sucesin conver!e, encontrar su límite. Solucin:
112. In"!ac#$n Si la proporcin de inflacin es
4
actualmente 5> &&&, el precio medio despu)s de
1 2
por aOo y el precio medio de un automvil es n
aOos será
n
1.045 ¿ . *n= 25000 ¿
Calcular los precios medios durante los pr$imos > aOos. Solucin:
11. Mode!o matem%t#co En la tabla se muestran las deudas federales "en miles de millones de dlares# de Estados 0nidos de 5&&5 3asta 5&&P, donde n representa el aOo y n =2 corresponde al aOo 5&&5. "Fuente: U.S. Office of Manaement and !udet #
a# 0tili*ar la funcin de re!resin de una 3erramienta de !raficacin para encontrar un modelo de la
forma 2
an =b n + cn + d , n =2,3, 4,5, 6
para los datos. 0tili*ar una 3erramienta de !raficacin para colocar los puntos y !raficar el modelo. b# 0sar el modelo para predecir la cantidad de la deuda federal en el aOo 5&-5. Solucin:
11:. Mode!o matem%t#co Los in!resos per cápita an en Estados 0nidos de -P 3asta 5&&P se indican ense!uida como pares ordenadas de la forma ( n , an ) , donde n representa el aOo y n = 6 corresponde al aOo -P. "Fuente: U.S. !ureau of "conomic #nal$sis#
(6,24 176 ), (7,25334 ) , (8,26880 ) , (9,27933 ), ( 10,29855 ) , ( 11,30572) , ( 12,30805 ) , ( 13,31469 ) ,
(14,33102 ) , (15,34 493 ), ( 16,36313 ) a# 0sar la funcin de re!resin de una 3erramienta de !raficacin para encontrar el modelo de la
forma
an =bn + c , n=6,7, … , 16
para los datos. Comparar !ráficamente los puntos y el modelo. b# 0sar el modelo para predecir los in!resos per cápita en el aOo 5&-5. Solucin:
11=. &omparac#$n de! crec#m#ento e'ponenc#a! ( "actor#a! Considerar la sucesin n an =10 / n a# =allar dos t)rminos consecutivos (ue sean i!uales en ma!nitud. b# JSon los t)rminos (ue si!uen a los encontrados en el apartado a# crecientes o decrecientes c # En la seccin <.Q, e+ercicios Q6 a Q<, se mostr (ue para valores 1!randes2 de la variable
independiente, una funcin e$ponencial crece más rápidamente (ue una funcin polinomial. el resultado del inciso b#, J(u) inferencia puede obtenerse acerca del crecimiento de una funcin e$ponencial en comparacin con una funcin factorial, para valores enteros 1!randes2 de n Solucin:
116. Calcular los primeros seis t)rminos de la sucesin
{( ) } 1
{a n }= 1 + n
n
Si la sucesin conver!e, encontrar su límite. Solucin:
117. Calcular los primeros seis t)rminos de la sucesin encontrar su límite. Solucin:
{a n }={ n√ n .
Si la sucesin conver!e,
118. emostrar (ue si { sn } conver!e en L y L > 0 entonces e$iste un número " tal (ue s >0 para n para n > " . Solucin:
)*erdadero o "a!so+ )n !os eercicios 119 a 12:> "eterminar si !a airmaci#n es %er"a"era o
a!sa. Si es a!sa> e4!icar 4or ué o "ar un eem4!o ue "emuestre ue es a!sa. 119. Si
{an }
conver!e a 6 y
{b n }
conver!e a 5, entonces
Solucin:
120. Si
{a n }
Solucin:
conver!e, entonces
lim n→∞
(a n−a n+1)= 0
{ a n+ b n }
conver!e a >.
121. Si n > 1 entonces n =n ( n−1 ) Solucin:
122. Si
{a n }
conver!e, entonces conver!e a 0.
Solucin:
12. Si
{a n }
{b n } está acotada, entonces conver!e a 0 y
{a n b n } conver!e a
0.
Solucin:
12:. Si
{a n }
diver!e y
{b n }
diver!e, entonces
{a n+ bn } diver!e.
Solucin:
12=. ,uces#$n de -#bonacc# En un estudio de la reproduccin de cone+os, Fibonacci "3acia --Q&/ -5?&# encontr la sucesin (ue lleva a3ora su nombre. La sucesin se define recursivamente por an +2=a n+ an+1 ,dondea 1=1 y a2 =1
a# Escribir los primeros -5 t)rminos de la sucesin.
b# Escribir los primeros -& t)rminos de la sucesin definida por an+ 1 bn = , n $ 1. an
c # 0sando la definicin en el apartado b#, mostrar (ue bn =1+
1
b n− 1
d # La raD#n urea - puede definirse por
esta ecuacin para - . Solucin:
lim n→ ∞
bn= -.
Mostrar (ue -=1 + 1 / - y resolver
126. &on.etura Sea x 0=1 considerar la sucesin dada por la frmula 1
1
x n= x n−1 + , n=1,2, … 2 x n−1
0sar una 3erramienta de !raficacin para calcular los primeros -& t)rminos de la sucesin y 3acer una con+etura sobre el límite de la sucesin. Solucin:
127. Considerar la sucesin
√ 2 , √ 2 +√ 2 , √ 2 +√ 2+ √ 2 , … a# Calcular los primeros cinco t)rminos de esta sucesin.
b# Escribir una frmula de recurrencia para
c # =allar
Solucin:
lim n→∞
an .
an
para
n $ 2.
128. Considerar la sucesin √ 6 , √ 6 + √ 6 , √ 6 + √ 6 + √ 6 , … a# Calcular los primeros cinco t)rminos de esta sucesin.
b# Escribir una frmula de recurrencia para
c # =allar
Solucin:
lim n→ ∞
an .
an
para
n $ 2.
129. Considerar la sucesin a# Mostrar (ue
{a n }
b# emostrar (ue
{a n }
donde
a1= √ % ,a n+ 1= √ % + an ,
es creciente y acotada.
lim n→ ∞
an
e$iste.
% > 0.
lim
c # =allar
n→ ∞
an .
Solucin:
10. Med#a ar#tmét#ca/eométr#ca Sea a0 > b 0 >0 Sea a1 la media aritm)tica de a0 y b0 y sea a1=
b1
la media !eom)trica de
a0
y
y
{b n }
b0 .
a 0+ b0 Media a+imeica 2
b1= √ a0 b 0 Media geome+ica
'3ora definir las sucesiones an =
an−1+ bn−1
a# Sea
2
b0 =3.
y
{b n }.
Escribir los primeros cinco t)rminos de an
Comparar
y
b# 0sar la induccin para mostrar (ue c # E$plicar por (u) d # Mostrar (ue
Solucin:
como si!ue.
b n=√ an−1 bn−1
a0 =10
t)rminos de
{a n }
{a n }
lim n→ ∞
y
{b n }
an= lim
bn
JKu) se puede notar
an > an+1 > b n+1 > bn ,
para
son ambos conver!entes.
n→∞
bn.
{a n }
a0 > b 0 > 0.
y de
{b n }.
Comparar los
11. a# Sea f ( x )= sen x y an =nsen (1 / n ) Mostrar (ue an= f ( 0 )=1 /
lim n→∞
[ 0,1 ] y
f ( x ) derivable en el intervalo
b# Sea
an =nf (1 / n )
Mostrar (ue
f ( 0 )=0.
Considerar la sucesin
an= f ( 0 ) /
lim n→∞
Solucin:
12. Considerar la sucesin 1 2
a ¿ + = b ¿ + =1 c ¿ + =
{a n }={n + n }
ecidir si
3 2
d # J4ara (u) valores de r conver!e la sucesin
Solucin:
{a n }
{ n +n }
conver!e para todo valor + .
{a n },
donde
n
1. a# Mostrar (ue para
∫ ln x dx < ln (n ) 1
para n $ 2.
b# ibu+ar una !ráfica similar a la (ue se muestra
n +1
ln ( n )<
∫ ln x dx 1
c # 0sar los resultados de los apartados a# y b# para mostrar (ue n ( n +1 )n +1 n ,pa+an > 1.
d # 0sar el teorema del enca+e o del emparedado para sucesiones y el resultado del apartado c # para
mostrar (ue lim n→ ∞
n n / n ) =1 / e ( √
e# 4robar el resultado del apartado d # para
n =20,50 y 100 .
Solucin:
1:. Considerar la sucesin
{
1
n
1
{a n }= n ∑ 1+( % / n) % = 1
a# Escribir los primeros cinco t)rminos de b# Mostrar (ue
definida. Solucin:
lim n→ ∞
an= ln 2
}
.
{a n }.
interpretando
an
como una suma Biemann de una inte!ral
1=. emostrar, mediante la definicin del límite de una sucesin, (ue 1 lim = 0. 3 n→ ∞
n
Solucin:
16. emostrar, usando la definicin del límite de una sucesin, (ue
n
+ =0 pa+a −1< + < 1.
lim n→ ∞
Solucin:
17. Encontrar la sucesin diver!ente
{a n }
de manera (ue
{a n } 2
conver+a.
Solucin:
18. emostrar (ue el inverso del teorema .- no es cierto. G Suerencia: Encontrar una funcin f ( x ) de manera (ue f ( n )=a n conver!e pero lim x→ ∞ f ( x ) no e$iste.H Solucin:
19. Terminar la demostracin del teorema .>. Solucin:
Pre4araci#n "e! eamen Putman
