+ i a~ = - dn ax ay ax ay dz y la magnitud de é está dada por E = lél = 1-n'(z)l = lü'(z)j. é
=
- n'(z)
(34)
Las curvas (superficies cilíndricas en tres dimensiones)
O. Pero este problema ha sido ya resuelto en el problema 6 y la solución (remplazando x por u y y porv) está dada por
(x , O) 1) /(k +ces 21).
=
y
=
> O, y > O
y que satisface
APLICACIONES A FLUJO DE FLUIDOS 46.
Diseñar las trayectorias y líneas equipotenciales para el movimiento del fluido en el cual el potencial complejo está d ado por (a) z2 + 2 z, (b) z4, (e) e-:, (d ) cos z.
47.
Discutir el flujo de fluido correspondiente a l potencial complejo Q(z)
48.
Comprobar las afirmaciones sobre las ecuaciones (5) y (6 ) en la página 235.
49.
Derivar la relación dn/dz
50.
Referente al problema 10, (a) demostrar que la velocidad del fluido en un punto E (Fig. 9-14) está dada por 2Volsen 6[, y (b) determinar en qué puntos sobre el cilindro, la velocidad es máxima .
51.
(a)
Si P es la presión en un punto E del obstáculo en la figura 9-14 del problema 10 y P"' es la presión más allá del obstáculo, demostrar que P - P"' tO'vg(1 - 4sen2 e)
(b)
Demostrar que un vacío se produce en los puntos B y F si la velocidad del fluido es igual a, o más grande que Yo = ,fZP 00 /3 O' . Esto a menudo .;e llama "vacui<útd".
=
=
Vo(z
+ l f z2).
Ve-ie, donde V y 6 están definidas como en el problema 17.
62.
Deducir la ecuación (19) , página 237, por un procedimiento de l.únite aplicado a la ecuación (18) .
53.
Discutir el flujo de fluido debido a tres fuentes de igual fuerza k situadas en z -
64.
Discutir el flujo d e fluido debido a dos fuentes en z todas tienen igual magnitud.
65.
Probar que con la trasformacitSn w = F (z) donde F (z) es analítica, una fuente (o sumidero) en el plano z en z = zo se aplica en una fuente (o sumidero) de igual fuerza en el plano w en w = w0 = F (zo) .
56.
Demostrar que el momento total sobre el obstáculo cilíndrico del problema 10 es cero, e interpretar físicamente el resultado.
57.
Si 'Y(x, y) es la función de corriente, probar que la variación de masa de flujo de fluido a través de un arco C que une los puntos (x¡, y ¡) y (x2, Yz) es " {\l'(x 2 , y 2 ) - qt(x¡, y ¡)}.
58.
- a, O, a.
+ a y un sumidero en z = O si las fuerzas
(a ) Demostrar que el potencial complejo debido a una fuente de fuerza k > O en un fluido que se mueve con velocidad Yo es Q = Voz + k In z, y (b) discutir el movimiento.
DANIELUSER
·
CAP. 91
59.
APLICAC ION E~ FI ~;IC A~
Una fuehte y sumidero de iguales fuerzas m est.án situados en z = ± 1 entre las líneas pa1·alelas y - + 1. Demostrar que el potencial complejo para el movimiento de fluido es
n 60.
61.
261
DE LA AP LICACJ0\1 CO:--JFORME
111
1
In )Í e"
D ada una fuente de fluido en z = z0 y un muro en x = O. Probar que el flujo resultante es equivalente si removemos el muro e introducimos otra fuente de igual fuerza en z = - z0 . Un fluido fluye entre las dos ramas de la hipérbola ax2 - by2 = 1, a > O, b > O. Probar que el potencia l complejo para el flujo está dado por K cosh-1 az donde K es una constante positiva y " = .,Ja'b/(a + 'b).
APLICACIONES A LA ELECTROSTATICA 62.
Dos conductores p lanos semi-infinitos, como se indica en la f igura 9-39, están cargados a potenciales constante <1> 1 y
Resp.
(a)
<1>
=
<1>2
+ ("'1 :
2
<1>
(b)
)o
e
(<1>2 -
•1•1)/ar
n~~~----~----'
Y
•
•
Potencial
Fig. 9-40
Encontrar, (a) el potencial, y (b) el campo eléctrico en cualquier parte de la región sombreada de la figura 9-40 si los potenciales sobre los ejes x y y positivos son constantes e iguales a V o y - V 0 respectivamente.
Resp. V 0 { 1 - ; tan -
1
(l:22~YY2 )}
64.
Una región infinita tiene en ella 3 alambres localizados en z = -1, O, 1 y a potenciales constan tes -Vo, 2Vo, -Vo respectivamente. Encontrar, (a) el potencial, y (b) el campo eléctrico en cualquier parte. Resp. (a) V 0 In {z(z2 - 1)}
65.
Probar que la capacidad de un condensador es invariante con una trasformación conforme.
66.
Los conductores p lanos semi-infinitos AB y BC los cuales se cortan en un ángulo "están a tierra (F ig . 9-·H). Una línea de carga q por unidad de longitud está situada en un punto Z¡ en la región pun teada a distancias iguales a desde AB y BC. Encontrar el potencial.
Resp. 67.
68.
69.
Im { - 2qi ln
y
(::~: =~~;:)}
'a
"'"zt'l~ '
Resolver el problema 66 s1 q está a una distancia a desde AB y b desde BC. Resolver el problema unidad de longitud y das en z = bi y O < b < a, O < e <
23 si hay dos líneas de carga q por -q por unidad de longitud, situaz - e• respectivamente, donde a y b -;
1
la 1 1
B
e
~t: ·
Fig. 9-41
Un cilindro circular infinitamente largo, tiene la mitad de su superficie cargada a potencial constante V 0 mientras que la otra mitad está a tierra, estando las dos mitades aisladas una de la otra. Encontrar el potencial en todas partes.
DANIELUSER
262
[CAP. 9
APLIC ACIONES FISICAS DE LA APLICACION CONFORME
APLICACIONES A FLUJO DE CALOR 70.
71.
(a)
Encontrar el estado estacionario d e temperatura en un punto de la región que se muestra sombreada e.n la figura 9-42, y
(b)
determina.r las líneas isotérmicas y de flujo.
Resp. (a) 60 - (120 / ,;) tan- ! (y / x )
Encontrar el estado estacionario de temperatura en un punto (2, 1) de la región que se muestra punteada en la figura 9-43. y
y
B
>
D Fig. 9-42
Fig. 9-43
Fig. 9-44
72.
Las partes convexas ABC y ADC de un cilindro unidad (Fig. 9-44) se mantienen a temperaturas de 40°C y 80°C respectivamente. (a) Encontrar el estado estacionario de temr:~eratura en un punto interior. (b) Determinar las líneas isotérmicas y de flujo.
73.
Encontrar el estado estacionario de temperatura en el punto (5, 2) de la región sombreada de la figura Resp. 45,9°C 9-45, si las temperaturas se mantienen como se indica. y
y
B
A 40° C
e
A
B (0, 1)
~
:¡;
80°C
e
•
~
100°C
D
Fig. 9-45 74.
Fig. 9-46
Una p lancha conductora infinita tiene en ella un hueco circular ABCD de radio unidad (Fig. 9-46). Temperaturas de 20°C y 80°C se aplican a los arcos ABC y ADC y se mantienen así, indefinidamente. Encontrar el estado estacionario de temperatura en un punto de la plancha:
PROBLEMAS V ARIOS
75.
Si
76.
Probar que si U y V son continuamente diferenciables, entonces (a)
au
=
au dx i!x ds
¡¡.,
+
~
!!2f.
ay ds
(b)
=
.y'x2
+ y2
es también armónica.
i!s
donde n y s denotan la normal exterior y el parámetro longitud de arco respectivamente de una curva simple cerrada C. 77. 78.
Si U y V son funciones armónicas conjugadas, probar que (a) W = ~
an
Probar que la función 1 r - 1, 8 - O.
-
il s '
(b)
~ ils
= _ av ¡¡., ·
1 - r2 • r2 es armóruca en cualquier región que no incluya el punto 2?'COS6 +
DANIELUSER
CAP. 9 )
79.
263
APLICACIONES FISICAS DE LA APLICACION CONFORME
Hacer lo necesario para resolver el problema de Neumann, o sea, para encontrar una función V armónica en una región '1{ tal que sobre la frontera C de <]{, avJan = G(s) dondes es el parámetro longitud de arco. Sea H(s) = fs G(s) ds donde a es un punto de C, y supongamos que a
fe
G(s) ds = O.
•
Demostrar que para encontrar V debemos encontrar la función armónica conjugada U que satisface la condición U = · -H(s) sobre C. Este es un problema de Dirichlet. (Sugerencia. Utilizar el problema 77.) 80.
Proba~
81.
Probar .el , teorema 3, página. 235 .
82.
¿Cómo debe se-r modificado el teorema 3, página 235, si la condición de frontera 4> = a sobre C, se remplaza por 4> = f(x, y) sobre e?
83.
84.
85.
86.
que, salvo una constante aditiva arbitraria, la solución al problema de Neumann es única.
¿Cómo debe ser modificado el teorema 3, página 235, si la condición de frontera 84>/on = O sobre C, se remplaza por o/on = g(x, y) sobre C? Si un movimiento de fluido se debe a alguna distribución de fuentes, sumideros y dipolos y si C es una curva tal que ningún flujo ocurre a través de ella, entonces la distribución de fuentes, sumideros y dipolos a un lado de C, se llama la imagen de la distribución de fuentes, sumideros y dipolos sobre el otro lado de C. Probar que la imagen de una fuente dentro de un círculo C es una fuente de igual fuerza en el punto inverso junto con un sumidero de igual fuerza en el centro de C. (El punto P se llama el inverso del punto Q con respecto a un círculo C con centro en O si OPQ es una línea recta y OP·OQ = a2 donde a es el radio de C.) Una fuente de fuerza k > O está situada en el punto z 0 en un fluido que está contenido en el primer cuadrante, donde los ejes x y y se consideran como barreras r!gidas. Probar que la velocidad del fluido en un punto está dada por
Dos conductores cilíndricos infinitamente largos, de secciones trasversales. elípticas, todas con focos en (-e, O) y (e, O) .(Fig. 9-47) están cargados a potenciales constantes 4>¡ y <1>2 respectivamente. Demostrar que la capacitancia por unidad de longitud es igual a
2..
cosh
l
(RJc) -
cosh
1
(R¡Ic)
(Sugerencia. Utilizar la trasformación z = e cosh w.) 87.
En el problema 86, supongamos que <1> 1 y 2 representan temperaturas constantes aplicadas a los cilindros elípticos. Encontrar el estado estacionario de temperatura en un punto de la región conductora entre los cilindros.
88.
Un obstáculo cilíndrico circular de radio a yace en el fondo de un canal de fluido, el cual en distancias más allá del obstáculo, fluye con velocidad V 0 (Fig. 9-48). (a)
2R
Fig. 9-47
Probar que el potencial complejo está dado por ~(z)
= ,-aV0 coth (-;ra/z)
(b)
Demostrar que la velocidad en.la cima del cilindro es !:r2V0 y comparar con aquella para un obstáculo circular en el centro de l.!n fluido.
(e)
Demostrar que la diferencia de presión entre los puntos de la cima y del fondo del cilindro es 2 u:r4Y0 /32.
Fig.
9~48
DANIELUSER
264
! CAP. 9
APL!CACl02'1b:!'> FI:>I CA:,i DE LA APLICACION CONFORME
89. (a )
D emostrar que el potencial complejo para el flujo de fluido más allá del cilindro eliptico de la figura 9-49 está dado por fl{z)
donde ~ = J (z (b)
l'o {
+ v z2 -
2
r +(a ~/) } c2) y c2 = a2 - bZ.
Vo 1
b
1
•
1
Probar que la velocidad del f luido en la cima y fondo del cilindro es V 0 (1 + b f a) . Discutir el caso a = b. (Su¡;erencia. Expresar el potencial complejo en términos de las coordenadas elípticas (~, 1)) d onde z = x + iy = e cosh (~ + ir¡) = e cosh ~.)
Fíg. 9-49
90.
Demostrar que si el flujo en el problema 89 está en una dirección que hace un ángulo e con el eje x positivo, el potencial complejo está dado por el resultado en (a ) con r = -!(z + Vz2- c2 )e'ó.
91.
En la teoría de t?lastici.dad, la ecuación
o que se llama la ecuación biarmónica, es de fundam ental imp orta ncia. Las soluciones de esta ecu ación se llaman biarmónicas. Probar que si F (z) y G(z) son analiticas en una región
92.
Demostrar que funciones biarmónicas (ver problema 91) en general, no permanecen biarmónicas con una trasformación conforme.
93.
(a )
Demostrar que n (z) = K In senh (r.z fo.) , k > O, a > O representa el potencial complejo debido a una hilera de fuentes de flu ido en z - O, ::!: ai, + 2ai, .. . .
(b)
Demostrar que, salvo constantes aditivas, el potencial y las funciones de corriente están da dos por
''' == K In {cosh (Zorx/a) - cos (Z,..y/a)}, (e)
'1' = K tan - 1{tan («?¡/a) }
Construir la gráfica de a lgunas de las trayec torias del flujo.
tanh (r.x!a)
94.
Probar que el potencial complejo del problema 93 es equivalente al debido a una fuente situada equidistante de las líneas paralelas y = ± 3a /2.
95.
Comprobar el planteamiento hecho al final del problema 30 (compare problema 137, capítulo 2) .
96.
Un condensador está formado de un cilindro elíptico, con ejes mayor y menor de longitudes 2a y 2b respectivamente, junto con una plancha plana AB de longitud 2h (Fig. 9-50). Demostrar que la ca2r. pacitancia es igual a cosh - 1 (a/h) ·
97.
Un fluido fluye con velocidad uniforme Vo a través de un canal semi-infinito de anchura D y b rota a través de la abertura AB (F ig. 9·51) . (a) Encontrar el potencial complejo del flujo. (b) Determinar las trayectorias y líneas eq uipotenciales y obtener gráficas d e alguna.~ de éstas. (Sugerencia. Utilizar el numeral C-5 de la tabla sobre la página 212.) 2a A
D 2b
B •
'
Fig. 9-50
Fig. 9-51
DANIELUSER
CAP. 9 J
265
APLICACIONES FISICAS DE LA APLICACIO N CO N FORME
98.
Dar una interpretación dentro de la teoría potencial al problema 30.
99.
Demostrar que en un vacío, la capacitancia de los conductores cilíndricos paralelos en la figura 9-52 es (a)
1
2 cosh-1 D2 - R~-R~ )
(
(b)
2R 1R 2
Examinar el caso R1 = R2 = R y comparar con el problema 28.
100. Demostrar que en un vacío, la capacitancia de los dos conductores cilíndricos paralelos en la figura 9-53 es 1
D
Fig. 9-52
Fig. 9-53
Fig. 9-54
101. Encontrar el potencial en un punto del cilindro unidad de la figura 9-54 si AB, BC, CD y DA se mantienen a potenciales V 0 , O, - V 0 y O respectivamente.
Resp. Vo (tan_ 1 2rsene
+
tan_ 1 2rcosQ) " 1-r2 1-r2 102. La región sombreada de la figura 9-55 representa un semi-plano conductor infinito en el cual, líneas AD, DE y DB se mantienen a temperaturas O, T y 2T respectivamente, donde T es una constante. (a) Encontrar la temperatura en cualquier parte. (b) Dar una inter pretación donde intervenga la teoría potencial.
l
¡
j
Fig. 9-55
103. Resolver el problema anterior si, (a ) DE está aislado, (b) AB está aislado. 104. En la figura 9-55 suponemos que DE representa un obstáculo perpendicular a la base de un canal infinito en el cual un fluido está fluyendo de izquierda a derecha, de modo que más a llá del obstáculo, la velocidad del fluido es Vo. Encontrar, (a) la velocidad, y (b) la presión en un punto del fluido. 105. Encontrar el estado estacionario de temperatura en el pun to (3,. 2) de la región sombreada de la fi. gura 9-56. 106. Un prisma triangular infinito ABCD de áq¡ulo -;:/ 4 (punteado en la figura 9-57) tiene uno de sus lados (CD) a 50°C; el otro lado, ABC tiene la par te AB a 25°C mientras que la parte BC, de longitud unidad, está aislada. Encontrar el estado estacionario de temperatura.
Fig. 9-56
Fig. 9-57
ll
J
.. ·- ·-
- - - - - - - - - - - - - --
DANIELUSER
Capítulo 10 Temas especiales
PROLONGACION ANALITICA Sea F 1 (z) una función de z que es analitica en una región '7{ 1 (Fig. 10-1). Supongamos que podemos hallar una función F 2 (z) qúe es analitica en una región 1{2 y que es tal, que E, (z) = F 2 (z) en la región común a '7{1 y '1{2 • Entonces decimos que F 2 (z) es una prolongación analítica de F, (z) . Esto significa que existe una función F(z) analít ica en la unión de las regiones '1(1 y '1{ 2 tal que F(z) = F 1 (z) en '1{1 y F(z) = F 2 (z) en '1(2 • Realmente, para ello basta que '1(1 y '1( 2 tengan solamente un pequeño arco en común, tal como LMN en la figura 10-2. y
y
Fig. 10-1
Fig. 10-2
Por prolongación analítica a regiones '1{ 3 , 'R...., etc., se puede extender la región original de definición a otras partes del plano complejo. Las funciones F 1 (z), F 2 (z), F 3 (z), ... , definidas en 'R.,, '1(2, '1( 3, . • • respectivamente, son algunas veces llamadas elementos de función, o brevemente, elementos. Es, algunas veces, imposible extender una función analítica más allá de la frontera de una región. Entonces llamamos la frontera, una frontera natural. Si una función F, (z) definida en '1{ 1 se prolonga analíticamente a una región '1{. a lo largo de dos caminos diferentes (Fig. 10-3), entonces las dos prolongaciones analíticas serán idénticas si no hay singularidad entre los caminos. Este es el teorema de unicidad de la prolongación analítica. Si obtenemos resultados diferentes, podemos demostrar que hay una singularidad (específicamente un punto de ramificación) entre los caminos. Es de esta manera como llegamos a todas las ramificaciones de las funciones multívocas. En este marco, la superFig. 10-3 ficie de Riemann (capítulo 2) se muestra valiosa. Ya hemos visto cómo, las funciones representadas por serie de potencias, se pueden prolongar analíticamente (capítulo 6). En este capítulo consideraremos cómo, funciones con otras representaciones (tal como integrales) se pueden prolongar analíticamente. 266
DANIELUSER
267
TEMAS ESPECIALES
CAP: lO]
PRINCIPIO DE REFLEXION DE SCHWARZ Supongamos que F 1 (z) es analítica en la re-
'11
gión ~~ (Fig. 10-4) y que F 1 (z) toma valores reales sobre la parte LMN del eje real.
~~
Entonces el principio de reflexión de Schwarz dice que la prolongación analítica de F 1 (z) en la región '1{ 2 (considerada como la imagen en un espejo o reflejo de '1{ 1 con LMN como el e{!pejol está dada por
F2 (z) = Ft (z)
L
(1)
El resultado se puede extender a casos donde LMN es una curva, en lugar de un segmento de línea recta.
PRODUCTOS INFINITOS Sea P,.
= (1 + w1 )(1 +
w2 )
• • •
Fig. 10-4
(1 + w,.) denotado por
J];" (1 + Wk)
para todo k, w• F - l. Si existe un valor P F O tal que lim P,.
dueto infinito (1
+ W¡)(1 + w2)· ..
,.
= n (1 + wk).
n-~
= P, decimos que el pro-
o brevemente n(1
k= l
de otra manera, él diverge. Las cantidades
Wk
donde suponemos que
+ w.),
converge a P;
pueden ser constantes o funciones de z.
Si solamente un número finito de las cantidades w" = -1 mientras que el resto del producto infinito, omitiendo estos factores, converge, el producto infinito se dice que converge
a cero.
CONVERGENCIA ABSOLUTA, CONDICIONAL Y UNIFORME DE PRODUCTOS INFINITOS Si el producto infinito n(l
convergente. Si n(1
+
+ lwkl)
w.) converge pero n(1
cionalmente convergente.
converge, decimos que n(1
+
+ w.)
Jwkl) diverge, decimos que n(1
es absolutamente
+ w.)
es condi-
Un teorema importante, análogo a uno para series infinitas, establece que un producto infinito absolutamente convergente es convergente, es decir, si n(1 + lwkJ) converge, entonces· n(1 + wk) converge (ver problema 65) . El concepto de convergencia uniforme de productos infinitos se define fácilmente por logia con las series infinitas o sucesiones en general. De este modo, si
TI {1 + w.(z)}
JA {1 + wk(z)} n
ana~
= P,.(z)
~
y
k=l
= P(z), decimos que P,.(z)
converge uniformemente a P(z) en wia región
si, dado • > O podemos hallar un número N, que depende solamente de • y no del valor particular de z en '1{, tal que JP,. (z) - P (z) l < • para todo n > N.
~
Como en el caso de series infinitas, ciertas cosas se pueden hacer con productos infinitos absoluta o uniformemente convergentes que no se pueden hacer necesariamente con próductos infinitos en· general. Así, por ejemplo, podemos cambiar el orden de los factores en un producto infinito absolutamente convergente sin cambiar el valor.
'
DANIELUSER
268
¡ CAP. 10
TEMAS ESPECIALES
ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE PRODUCTOS INFINITOS 1. Una condición necesaria para que n(1 + wk) converja, es que ,_,. lim Wn = O. No obstante, la condición no es suficiente, o sea, aún si lim Wn diverger. ,_,. 2.
=
O el producto infinito puede
Si ~ lw.tl converge (es decir, si ~ wk converge absolutamente) , entonces n (l + lw.ti), y de este modo, n (1 + W,t ), converge (o sea, n (1 + wk) converge absolutamente) . El teorema recíproco también es válido.
3.
Si un producto infinito es absolutamente convergente, sus factores pueden ser conmutados sin afectar el valor del producto.
4.
Si en una región 'R.., lw.(z)¡ < Mk, k = 1, 2, 3, ... , donde Mk son constantes tales que ~M. converge, entonces TI { 1 + wk (z)} es uniformemente (y absolutamente) convergente. Este es el análogo de la prueba M de W eierstrass para series.
5.
Si w. (z), k = 1, 2, 3, ... , son analíticas en una región 'R. y ~ wk(z) es uniformemente convergente en <]{, entonces n {1 + wk (z)} converge a una función analítica en<]{.
TEOREMA DE WEIERSTRASS PARA PRODUCTOS INFINITOS Sea f (z) analítica para todo z (es decir, f (z) es una fupción entera) y supongamos que ella tiene ceros simples en a¡, a2 , a3 , . . . donde O < ja1 1
=
f (O) ef'CO >ztt
ñ {( 1 -
k= l
~) e•ta•}
(2)
ak
Una generalización de esto, dice que si f(z) tiene ceros en ak ;:.6 O, k = 1, 2, 3, . .. , de . multiplicidades respectivas u órdenes p.k, y si para algún entero N, 1: 1/at' es absolutamente 1 convergente, entonces k "' ~
' f (z)
=
f(O) eCC•>
Jl {(
1-
~) e;; + i:~ + .. . + N~l
:;=:r•
(3)
donde G(z) es una función entera. El resultado es además exacto si algunos de los ak's son polos, caso en el cual, sus multiplicidades son negativas. Los r~ultados (2) y (3) se llaman algunas veces, teoremas del producto de Weierstrass.
ALGUNOS PRODUCTOS INFINITOS ESPECIALES l.
sen z
z
4.
cosh z
-
.. ( 1
4z2 ) 2 - (2k - 1)2,.
{1+ ::} { 1 + (;:) { 1 + (7r;~)2} {1+ (3:;2)2 }··· - JJ:.. ( z
2}
z2 )
1 - k 2.,-,2
D
2. cos z
3. senh z
.. (
JJ
.. •
1
4 z2 ) 2 + (2k- 1) ~
LA FUNCION GAMMA Para Re {z}
>
.f.
O, definimos la función gamma por
r(z)
=
o
t%- 1e- •dt
(4)
DANIELUSER
269
TEMAS ESPECIALES
CAP. 10)
Entonces (ver problema 11) tenemos la fórmula de recurrencia r(z + 1) = z r(z) donde r(1) = 1 Si z es un entero n positivo, vemos de (5) qtie
=
r(n+1)
=
n(n - 1)··· (1)
(5)
n!
(6)
de modo que, la función gamma es una generalización de la factorial: Por esta razón, la función gamma es también llamada la función factorial y se escribe como z! más bien que P(z + 1), caso en el cual definimos O! = l. De (5 ) también vemos que si z es real y positivo, entonces, r(z) se puede determinar conociendo los valores de P(z) para O < z < l. Si z = i, tenemos (ver problema 14)
en
~t> =~
Para Re {z} ~ O, la definición (4) no tiene sentido, puesto 1ue la integral diverge. Por prolongación analítica, sin embargo, podemos definir r (z) a la izquierda del pl~:..'.lO. Esencialmente, esto obliga a usar (5) (ver problema 15). En z = o, -1, -2, ... , r (z) tiene polos simples (ver problema 16).
PROPIEDADES DE LA FUNCION GAMMA La siguiente lista muestra algunas propiedades inlportantes de la función gamma. Las primeras dos se pueden tomar como definiciones, de las cuales todas las otras propiedades sJ pueden deducir. . 1·2·3·· ·k • . r(z + 1) l. !:.~ (z + 1)(z +2) · · · (z +k) k - !:.~ n(z, k) donde n(z, k) es algunas veces llamada función n de Gauss. 1 r(z)
2.
{
donde y = !~ 1 + te de Euler.
!
~+
+
zeYz
fi {1+ ~} e-•'" k
k=l
... + ~ -
ln
p} = 0,5772157 .. . la llamada constan.
r(z) r(l -z)
3.
En particular si z = -!, r(t) =
sen r.z
~-
22'-1 r(z) r (z + t )
4.
y:;tr(2z)
Esta es la llamada fórmula de duplicación de la función gamma. 5.
Si m
= 1, 2, 3, ... , r(z) r ( z + ~) r ( z
+
! )... r ( z + m;;;
1
)
La propiedad 4 es un caso especial de ésta con m
6.
r'(z) r(z)
7.
r'(1)
8.
r(z)
= 2.
1 ) + ... + ( n1 - -z-+-n---=-1 + Plano t 11
1
e2"l• - 1
Yc¡: t•- l e-tdt
donde C es el contorno de la figura 10-5. Este es una prolongación ?illalitica al semi-plano del lado izquierdo de la función gamma definida en (4).
A
D
E
._
Fig. 10-5
F
o
o
•
•
DANIELUSER
[CAP. 10
TEMAS ESPECIAL ES
270 9.
Otra integral de línea a lo largo del contorno C (Fig. 10-5) está dada por i
r(z)
2 sen -:rz
LA FUNCION BETA Para Re {m}
>
Q, Re {n}
f
e
-~
(- t)'- 1 e- 1 dt
2 ...~
.f (- W•e-'dt e
> O, definimos la función beta por
SI
=
B(m, n)
w-l dt
tm-l (1 -
o
(8)
Como se vio en el problema 18, esta función está relacionada con la función gamma por r(m) r(n) (9) B(m,n) r(m+n) V arias integrales se pueden expresar en términos de la función beta y del mismo modo, en términos de la función gamma. Dos resultados interesantes son
I "+ i rr'/'J.
sen 2m- 1 fJ cos 2n- t fJ de
r(m) r (n) 2r(m+n)
iB(m,n)
o
tp-1
o
1
B(p, 1- p)
t dt
>O
el primero es válido para Re {m}
r(p) r(I-p)
y Re {n}
> O,
(10) (11)
sen pr.
y el segundo es válido para
O
~
O, la definición (8) se puede extender utilizando prolon-
ECUACIONES DIFERENCIALES Supongamos que tenemos la ecuación diferencial lineal
Y" + p(z) Y' + q(z) Y = O (12) Si p(z) y q(z) son analíticas en un punto a, entonces a se llama un punto ordinario de la ecuación diferencial. Puntos en los cuales p (z) o q(z) o ambos no son analíticos, se llaman puntos singulares de la ecuación diferencial. Ejemplo 1:
Para. Y"
Ejemplo 2:
Para
+ z Y' +
(z2 -
4}Y
(1 - z2)Y" - 2zY'
=
O, cada punto es un punto ordinario.
+ 6Y
= O
Y" -
o
Zz
l-z2
Y'+
son puntos singulares; los demás, son puntos ordinarios.
6 1,-z2
y
= o'
z
= ±1
Si z = a es un punto singular, pero (z - a) p (z) y (z - a)Z q(z) son, analíticas en z = a, entonces z = a se llama un punto singular regular. Si z = a no es, ni un punto ordi,Jario ni un punto singular regular, es un punto singular irregular. Ejemplo 3:
En el ejemplo 2, z = 1 es un punto singular regular puesto que
~1
~
~ ~i
y (z- 1)2 ( 1 22 ) = : -1 es un punto singular regular.
z
Ejemplo 4:
.z3Y"
~
N
+
(1 - z)Y' - ZY = O tiene
(1- z) _ 1- z , 21
son analíticos en z
22
Y
zZ
(- z2) 3
=
z
=
=
(z - 1) (- .:_z22 )
-
1 l. Del mismo modo, z •
O como un punto singular.
- z-2 no son analíticos en
Además,
z - O, de suerte que
z = O es un punto singular irregular.
Si Y1 (z) y Y2 (z) son dos soluciones de (12) tal que la una no es igual a la otra por una constante, las soluciones se llaman linealmente independientes. En tal caso, si A y B son constantes, la solución general de (12) es ·
Y
:::::
AY1
+ BY2
(13)
DANIELUSER
CA P. 101
TEMAS ES PECIALES
271
Los siguientes teoremas son fundamentales.
Teorema l. Si z = a es un punto ordinario de (12), entonces existen dos soluciones linealmente independientes de (12) que tienen la forma (14)
donde las constantes a,. se determinan por sustitución en (12). Al hacer esto, puede ser necesario desarrollar p(z) y q(z) en potencias de (z - a) . En la práctica, es aconsejable remplazar (z - a) por una nueva variable. La solución (14) converge en un círculo con centro en a el cual se extiende hasta la singularidad más cercana de la ecuación düerencial. Ejemplo 5:
La ecuación (1 - z2)Y" - 2zY' + 6Y = O (ver ejemplo 2) tiene una solución de la forma ::Sakz'< que converge dentro del círculo lzl = l.
Teorema 2. Si z = a es un punto singular regular, entonces existe por lo menos una solución que tiene la forma "' ak(Z- a)~< (z - a)c ~ (15) k=O
donde e es una constante. Sustituyendo en (12) e igualando la menor potencia de (z - a) a cero, se obtiene una ecuación de segundo grado en e (llamada la ecuación característica.) Si llamamos c1 y c2 las soluciones de esta ecuación de segundo grado, surgen las siguientes situa. Clones: l. c1 - c2 r! un número entero. En este caso, hay dos soluciones linealmente independientes que tienen la forma (15) . 2.
..
c1 = c2 • Aquí una solución tiene la forma (15) mientras que la otra solución linealmente independiente tiene la forma ~
In (z - a) ~ bk(z- a)k+<
(16)
k =O
c1 - c2 = un número entero r! O. En este caso, existe una u otra solución de la forma (15) o dos soluciones linealmente independientes que tienen esta forma. Si solamente una solución de la forma (15) se puede encontrar, la otra solución linealmente independiente tiene la forma (16) . Toda solución obtenida converge en un círculo con centro en a el cual se extiende hasta la singularidad más ·cercana de la ecuación düerencial. 3.
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRALES DE CONTORNO Es conveniente a menudo, buscar una solución de una ecuación düerencial lineal en la forma Y(z) K(z, t) G(t) dt (17)
i
donde K (z, t) es llamado el núcleo. Una posibilidad útil ocurre si K (z, t) = e:t, caso en el cual Y(z)
f
e
(18)
e'' G(t) dt
Tales soluciones pueden ocurrir cuando los coeficientes en la ecuación düerencial son funciones racionales (ver problemas 25 y 26).
FUNCIONES BESSEL La ecuaci6n diferencial de Bessel, de orden n está dada por
o •
(19)
DANIELUSER
272
TEMAS ESPECIALES
1CAP. 10
Una solución de esta ecuación, si n. ;::: O es 2 z• {1 z J .(z) = 2" r (n+ 1) - 2(2n + 2) + 2 · 4(2n + 2)(2n + 4)
- .. -}
(20)
y se llama, función. de Bessel de primera clase de orden. n..
Si n. no es un número entero, la solución general de (18) es (21 ) Y = AJ.(z) + BJ-.(z) donde A y B son constantes arbitrarias. No obstante, sin. es un número entero e~toncesJ_. (z) = ( -1)"J .(z) y (20) no produce la solución general. La solución general en este caso, se puede encontrar como en los problemas 182 y 183.
Las funciones Bessel tienen muchas propiedades importantes e interesantes, entre ellas están las siguientes: ez
El lado izquierdo se llama frecuentemente la función. gen.era.Mra de las funciones Bessel de primera clase para valores enteros de n..
2.
zJn-t(Z) - 2nJ.(z)
+
zJn+t(Z)
O
-
Esta es la llamada fórmula de recurren.cia para funciones Bessel (ver problema 27).
3. 4.
1"
J .. (z)
.r
5.
J .(z)
6.
s·
7.
o
8.
=
0
cos (n.4> - z sen 4>) d4>,
: I"cos (nq, - zsen
o
-
=
n. = en tero
sen n,. I "'e- n<>-zoenhQd,p r.
tJ.(at ) J .(bt) dt
o
z{aJ,.(bz) J:(a~~ ~ a~J,.(az) J:(bz)} ' azJ.(bz) Jn-t (az) - bz J,.(az) J n-t(bz) b2- a2 '
t J. (at) J. (bt) dt
s· o
9.
I"
a oF b a oF b
t{Jn(at)F dt
J.(z)
=
21. ft-n - te'h•
..t. e
n = 0, ±1,±2, ...
donde C es una curva simple cerrada que encierra t = O. (t ei•t(1-t2)n- ll2 dt 1·3 · 5 · · · (2n-1)" )_ 1
Jn(z)
10.
Z"
-
1 • 3 • 5 . ·z·"(2n _ l)1r
I"
cos (z cos >)sen 2 " > d
Una segunda solución de la ecuación diferencial de Bessel, si n. es un entero positivo, es la llamada {uncién. de Bessel de segunda clase de orden. n. o fun.cwn. de Neuman.n. y está dada por Yn(z)
J.(z) In z
-
! "f (n 2k= O
(!.)2k-n
k - 1)! k! 2
(z)2k +n 2 k~ (k!)(-tt +k)! 2 {G(k) + G(n + k)} 1 ..
donde G(k)
(- l )k
y G(O)
= O.
(22)
....--------- - - --
-
~
DANIELUSER
- .!<2. 10]
273
TEMAS ES PECIALES
Si n
=
O, tenemos
Y0 (z)
=
z2
22 -
Jo(z) In z +
z4 z6 (1 + t) + 224262 (1 + 2242
t + !) - · ..
(23)
En estos téiminos, la solución general de (19) si n es un entero positivo, se puede escribir
+ B Yn(z)
= A Jn(z)
Y
(24)
FUNCIONES DE LEGENDRE La ecuaci6n diferencial de Legendre, de orden n está dada por
:.a solución general de y
=
(1- z2)Y" - 2zY'
+ n(n + 1)Y
O
(25)
esta ecuación es
A{1- n (n+l) n(n-2)(n+l)(n+3)z4 2! z + 4! (n - l)(n+2) (n-l)(n-3)(n+2)(n+4) + B{ z 3! z + 5! z 2
5
3
- . ..
}
(26)
Si n no es un entero, estas soluciones en serie convergen para lzl < l. Si n es cero o un entero positivo, soluciones polinomiales de grado n se obtienen. Llamamos a estas soluciones polinomiales, polinomios de Legendre y las denot amos por Pn(z), n = O, 1, 2, 3, . . .. Eligiendo éstas de modo que Pn (1) = 1, encontramos que ellas se pueden expresar por las fórmulas de Rodríguez. Pn (z) = (27)
de lo cual P 0 (z) = 1, P 1 (z) = z, P 2 (z) = f(3z2
1), P 3 (z) = t(5z3
3z), etc. Las siguientes son algunas propiedades de los polinomios de Legendre. 1
.
l.
yl - 2zt + t
-
~
=
2
~
-
P,. (z) t"
n= O
Esta es llamada la funci/;n genera.dcra de los polinomios de Legendre.
2.
P,.(z)
=
(2n)! { z" _ n(n- 1) Z"_ 2 2"(n !)2 2(2n - 1)
3.
P ,.(z)
=
..!., 2r.2
f
+
n(n - l)(n- 2)(n - 3) z"_ 4 2 • 4(2n -1)(2n- S)
(t2- 1)"
e 2"(t -z)n+1
_
•• ·}
dt
donde C es una curva simple cerrada que encierra el polo t = z.
o 4.
2 ·2n+ 1
. ( P m(z) Pr.(z)dz - 1
si m;;én •
SI
m= n
(Ver problemas 30 y 31.)
5.
Pn (z) (Ver problema 34, capítulo 6.)
6.
= O Esta es la llamada fórmula de recurrencia para los polinomios de Legendre, (ver (n+l)P,.+!(z) -
problema 32).
7.
(2n
+ 1) P ,. (z)
(2n+l)zP,.(z) + nP,.- t(z)
=
'
Pn+ ¡(z) -
1 P,.-¡(z)
...... . . .
-
.......=="'""'"""""""""""""""""_ _ _ _ _ _ __
------- ==========----~
DANIELUSER
274
TEMAS ESPECIALES
l CAP. 10
Si n es un entero positivo o cero, la solución general de la ecuación de Legendre se puede escribir como y AP. (z) + BQ.(z) (28) donde Qn(z) es una serie infinita convergente para lzl < 1 obtenida de (26). Sin no es un entero positivo, hay dos soluciones en serie infinita obtenidas de (26) que son convergentes para !zl < l. Estas soluciones de la ecuación de Legendre, se llaman funciones ck Legendre. Ellas tienen propiedades análogas a las de los polinomios de Legendre.
LA FUNCION HIPERGEOMETRICA La función definida por
a( a + 1)b(b + 1) z2 1·2·c(c+1)
+
F(a b· e· z) ' ' '
+ ...
(29)
se llama la función hipergeométrica y es una solución a la ecuación diferencial ck Gauss, o la ecuación hipergeométrica.
z(1-z)Y" + {c - (a + b+l)z)Y'- abY
=
O
(30)
La serie (29) es absolutamente convergente para lzl < 1 y divergente para lzl = 1 ella converge absolutamente si Re {e - a - b} > O. Si lzl < 1 y Re {e} > Re {b} > O, tenemos
Il
r(c) r(b) r(c- b) o
F(a, b; e; z)
lzl >
Para
tb- 1 (1-
lzl > l.
t)c-b- 1(1 - tz>- · dt
Para
(31)
1 la función se puede definir por prolongación analítica.
LA FUNCION ZETA La función zeta, estudiada extensivamente por Riemann en relación con la teoría de números, se define para Re {z} > 1 por 1 1 1 1• + ~ + g; + . . .
'(z) =
=
., 1 k~l k•
(32)
Ella se puede extender por prolongación analítica a otros valores de z. Esta extensión de r, (z) tiene la propiedad interesante que ~(1-
21
z)
" "Z
1T - ·
r(z) cos (7Tz/2) '(z)
(33)
Otras propiedades interesantes son las siguientes: 1
~'(z)
·
•
"'
=
- 1-
l'(z)
S"' e'+
tz-1
0
1
dt
Re {z}
>
O
2.
La única singularidad de \,(z) es un polo simple en z = 1 que tiene residuo l.
3.
Si BA, k
= 1, 2, 3, .. . , es el coeficiente de z2 k en la expansión
nz cot (~z) entonces
?:(2k)
zzk-1 7T2k B,, (2k)!
1 -
ik= 1 B(2k)! kz2k
k = 1, 2, 3, .. .
Tenemos, por ejemplo, B 1 = 1/ 6, B 2 = 1 / 30, . .. , de lo cual ( (2) = 7r2/ 6, r, (~) = 4 -. / 90, . . . . Los números B 1 son los llamados números ck BernouUi. Para otra definición de los números Bernoulli, ver problema 163, página 172.
DANIELUSER 275
TEMAS ESPECIALES
CAP. 101
1
-t(z)
4.
(1
_1.)(1 _.3•.!.)(1- ~5·1(1- ~)o oo 2• 7· 1
n,, (1 - ~) p
donde el producto se toma sobre todos los primos p positivos. Riemann conjeturaba que todos los ceros de ~ (z) est án situados sobre la recta Re {z} = t, pero esto hasta ahora no ha sido probado ni refutado. No obstante, ha sido demostrado por Hardy, q"\le hay infinitos ceros que están sobre esta recta.
SERIES ASINTOTICAS
ao + a1 _ + -a2.2 + . .. z z
Una serie
~
li~ =O
a.
(34)
Z"
se llama, una serie asintótica para una función F (z) si para un entero M positivo especificado,
!~~ zM { F (z)
.~ : :}
_
o
o
En tal caso escribimos
(35)
(36)
F(z)
Las series asintóticas y las fórmulas donde intervienen, son muy útiles en la determina, . ción del valor numérico de funciones para grandes valores de la variable, lo cual de otra manera podría ser difícil. En la práctica, una serie asintótica puede diverger. Sin embargo, tomando la suma de los términos sucesivos de la serie, y parando justamente delante de los términos que empiezan a crecer, podemos obtener una buena aproximación para F (z). Varias operaciones con series asintóticas son permisibles. Por ejemplo, las series asintóticas se pueden sumar, multiplicar o integrar término por. término para producir otra serie asintótica. No obstante, la diferenciación no es siempre posible. Para un intervalo de valores dado de z, la serie asintótica, si ella existe, es única.
EL METODO DEL PUNTO SILLA Sea I(z) expresable en la forma (37)
.{ e•F
/(z)
donde Ces algún camino en el plano t. Puesto que F(t) es compleja, podemos considerar z real. El método del punto silla es un método para encontrar una fórmula asintótica para (37) válida para valores grandes de z. En donde es aplicable, consiste de los siguientes pasos: l.
2.
Determinar los puntos en que F' (t) = O. Tales puntos son llamados puntos süla, y por esta razón el método se llama el método del punto silla. Supondremos que hay únicamente un punto silla, digamos, t0 • El método se puede extender si hay más de uno. Suponiendo F (t) analítica en una vecindad de t 0 , obtenemos el desarrollo de la serie de Taylor, F(t)
F(to) + F "(to)(t- to) 2!
2
+ . ..
F (to) - u 2
(38)
e
Ahora, deformamos el contorno de modo que pase a través del punto silla to, y sea tal que Re {F(t)} es más grande en t0 mientras que Im {F(t)}. se puede considerar igual a la constante Im {F (t0)} en la vecindad de t0 • Con estas suposiciones, la variable u definida por (38) es real y obtenemos a un alto grado de aproximación / (z)
e-z•• (~) du du
(39)
DANIELUSER
276
( CAP. 10
TEMAS ESPECIALES
donde, de (38) , podemos hallar constantes b¡, b2 , .. dt du
3.
=
bo
+
btU
+
b2u2
.
tal que
+ ···
(40)
Sustituimos (40) en (39) y calculamos ias integrales para obtener el desarrollo asintótico buscado. J(z)
-
~ ,-; ez FCr { b0 + .!. ~ ..l... 1 ' 3 ~2 + 1 ' 3 ' 5 bs3 + ...}
Vz
0)
2 z ' 2·2 z
2·2·2 z
(41)
Para muchos propósitos prácticos, el primer término da bastante exactitud y hallamos /(z)
-
(42)
Métodos similares a los anteriores se conocen también como el método de Laplace y el métodtJ de fase estacionaria.
DESARROLLOS ASINTOTICOS ESPECIALES l. La función gamma r (z+ 1)
• { 1 1 yi2;Z z· e-• 1 + 12z + 288z2
-
-
139 51,840z3
}
+ ···
(43)
Esta es algunas veces llamada la fórmula asintótica de Stirling para la funci6n gamma. Ella es válida para grandes valores de il tal que -,. < arg z < 'lt. Si n es real y grande, tenemos
o
donde En particular, sin es un entero positivo grande, tenemos n!
-
y'2;.n n" e-"
(44) (45)
llamada la f6rmula asintótica de Stirling para n!.
2.
Funciones de Bessel Jn(z)
-
{l; {P(z) cos
(z - tn1r-
¡.,.) +
Q(z) sin (z- -bn1r- i 1r)}
(46)
donde
P(z) (47) Q(z)
=
Esta es válida para grandes valores de
3.
lzl
tal que - 'lt
< arg z < 'lt.
La función error erf(z)
=
_!_.fe-t'dt....¡;.. o
l+ze-z•Í(-l)k r (k ;,: t) «
z
k=l
(48)
Este resultado es válido para grandes valores de 1 z 1 tal que - ~t/2 < arg z < 'lt/ 2. Para 'f:/ 2 < arg z < 3,.¡2 el resultado es válido si remplazamos z por -z a la derecha.
4.
La integral exponencial Ei (z)
=
"' e- t S t dt z
-
... ( l )kk' e-z L · k=o
(49)
zk.+t
Este resultado es válido para grandes valores de z tal que
-
'lt
< arg z < 1r.
DANIELUSER
CAP. 101
277
TEMAS ESPECIALES
FUNCIONES ELIPTICAS La integral z
lkl < 1
(50)
se llama una integral elíptica de primera clase. La integral existe si w es real y tal que lwl < l. Por prolongación analítica podemos extenderla a otros valores de w. Si t = se:: O y w = sen
z
=
f
o
dO
y1 -
k2
(51)
sen 0 2
donde a mer.udo escribimos 4> - am z. Si k = O, (50) se convierte en z = sen-1 w o, equivalentemente, w = sen z. Por analogía, denotamos la integral en (50) cuando k ;é O según sn-1 (w; k) o brevemente sn-1 w cuando k no cambia durante una discusión dada. En este caso
z
sn- 1 w
=
Iw o
dt
y(l- t )(1-lc t 2
(52)
2 2)
Esto conduce a la función w = sn z que se llama tina función elíptica o algunas veces, una función elíptica jacobiana. Por analogía con las funciones trigonométricas, es conveniente definir otras funciones elípticas dn z = y'1- lc2 sn 2 z (53) en z = v'1- sn2 z, Otra función que se utiliza algunas veces es tn z = (sn z) /(en z). La siguiente lista muestra varias propiedades de estas funciones. l.
sn(O) = O, cn(O) d
= 1,
2. dz sn z = cnz dnz, 3. sn z = sen (arn z),
4.
dn(O) = 1, sn(- z) = -snz, cn(-z) = cnz, dn(-z)
d dz en z = - sn z dn z,
= dnz
d dz
-dnz = -k2 snzenz
en z = eos (am z)
sn (z, + z2)
sn Z¡ en zz dn zz + en z, dn z, sn z2 1 - k2 sn 2 Z¡ sn2 zz
en (z, + zz)
en z, en Z2
sn Z ¡ sn Z2 dn z, dn zz 1 - k 2 sn2 Zt sn 2 Z2 -
dn Zt dn zz - k 2 sn Zt sn Z2 en Zt en z2 1 - k 2 sn2 z1 sn2 zz
(54) (55 ) (56)
Estas son las llamadas fórmulas de adición para las funciones elípticas. 5.
Las funciones elípticas tienen dos períodos, y por esta razón, se llaman a menudo, funciones doblemente-periódicas. Escribamos K
(57)
K'
(58)
donde k y k' , llamados los módulos y módulos complementarios respectivamente, son tales que k' = v'l - k 2 • Entonces los períodos de sn z son 4K y 2iK', los períodos de en z son 4K y 2K + 2iK', y los períodos de dn z son 2¡( y 4iK'. Se deduce que existe un conjunto periódico de paralelogramos (a menudo llamados paralelogramos de período) en el plano complejo en el cual los valores de una función elíptica
DANIELUSER
278
TEMAS ESPECIALES
[CAP. 10
se repiten. El más pequeño de éstos, es a menudo mencionado como una celda unidad o brevemente una celda. Las ideas anteriores, se pueden ampliar a otras funciones elípticas. De este modo, existen integrales elípticas de segunda y tercera clases definidas respectivamente por
z
(59)
z
(60)
Problemas resueltos PROLONGACION ANALITICA 1.
y
Sea F(z) analítica en una región CR_ y supongamos que F(z) = O en todos los puntos sobre un arco PQ dentro de C/?.. (Fig. 10-6). Probar que F(z) = O a lo largo de CR_. Elegimos un punto, digamos zo, sobre el arco PQ. Entonces en algún círculo de convergencia C con centro en zo (este circulo se extiende por lo menos a la frontera de
F(z)
= F(zo)
+
F'(zo)(z - z0 )
+ -;\F"(z 0)(z •
zo) 2
+
Pero, según hipótesis F~) = F'(zo) = F" (zo) = ·~~- = O. Por esto, F (z) = O dentro de C.
Fig. 10-6
Eligiendo otro arco dentro de C, podemos continuar el proceso. De esta manera podemos demostrar que F (z) = O a lo largo de <]{.
2.
Dado que la identidad sen2 z + cos2 z = 1 es válida para valores reales de z, probar que ella también es válida para todos los valores complejos de z. Sea F (z) = senZ z eje x (Fig. 10-7).
+ cos2 z
- 1 y sea <]{ una regi6n del plano z que contiene una porción del
Puesto que sen z y cos z son analíticas en <]{, se deduce que F(z) es analítica en
p ~-~-....- -.. Q
.1-'ig. 10-7
Fig. 10-8
--·- ·. ·--·
· ----~- ..._..-,~-----·
DANIELUSER
CAP. 101
S.
279
TEMAS ESPECI·ALES
Sean F\(z) y F 2 (z) analíticas en una región ~(Fig. 10-8) y supongamos que sobre un arco PQ en 'R,, F 1 (z) = F2 (z). Probar que F 1 (z) = F2 (z) en ~Esto se deduce del problema 1 escogiendo F(z) = F 1 (z) - F2 (z) .
4.
Sea F 1 (z) analítica en la región ~. (Fig. 10-9) y sobre la frontera JKLM. Supongamos que podemos encontrar una función F 2 (z) analítica en la región 'R, 2 y sobre la frontera JKLM tal que F 1 (z) = F 2 (z) sobre JKLM. Probar que la función
F, (z) para z en { F2 (z) para z en
F(z)
~1 ~2
es analítica en la región 'R. ,la cual está compuesta de
'R. = ~~ + ~2).
~ 1 y 'R,2
(escrito algunas veces
Fig. 10-9
Método l.
Esto se deduce del problema 3, puesto que, puede haber solamente una función F 2 (z) en <]{2 satisfaciendo las propiedades buscadas. Método 2. Utilizando fórmulas integrales de Cauchy.
Construimos la curva simple cerrada SLTKS (punteada en la figura 10-9) y sea a un punto del interior. De la fórmula integral de Cauchy, tenemos (puesto que F 2 (z) es analítica dentro y sobre LTKL y ya que F2(z) = F (z ) sobre LTK) 1 F 2 (z) l F(z) d 1 F(z) d:z F 2 (a) dz z+ 2,-i z- a 2,-i :z - a 27ri z - a
f
f
J
LTKL
LTK
KL
Además, tenemos según el teorema de Cauchy (puesto que F¡(z) /(z -a) es analitica dentro y sobre KSLK y ya que F 1 (z) = F(z) sobre KSL) O
~ .( Ft(z) dz 2,-~ :J' z - a
...!.., 2rt
KSLK
f z- a
F(z) dz
+ .!., 2n
KSL
J
F(z) dz
z- a
LK
Sumando, utilizando el hecho que F (z) = F 1 (z) = F2 (z) sobre LK de modo que las integrales a lo largo de KL y LK se cancelen, se tiene puesto que F (a) - F 2 (a)
..!.., .( 2
F(a)
F(z) dz
LTKSL
De una manera similar encontramos
n!
F
.(
:J'
2,-i
z- a
F(z) (:z - a)" + 1 dz
LTKSL
de modo que F (z ) es analítica en a. Pero, puesto que podemos elegir a como cualquier punto de la región <]{ modificando convenientemente el contorno punteado de la figura 10-9, se deduce que F (z) es analítica en <]{. Método 3. Utilizando el teorema de Morera. Refiriéndonos a la figura 10-9, tenemos
.f
KSLTK
F(:z) dz
J f
F(z)dz
+
KSL
KSLK
J LK
F 1 (z) dz
+
F(z) dz
f
KLTK
+
J
F(z)dz
f LTK
KL
F 2 (:z) dz
+
o
F(:z) d:z
DANIELUSER
[C AP. 10
TEMAS ESPECIA LES
280
según teorema de Cauchy. Siendo así, la integral alrededor de un camino simple cerrado en <]{ es cero, y así, según el teorema de Morera F(z) debe ser a nalítica. La función F2(z) se llama una prolongación analítica de F¡ (z).
5.
+
analíticas posibles de F 1 (z) . (a) (b)
6.
+ •··
(a) Probar que la función definida por F 1 (z) = z - z2 zs - z4 es analítica en la región lzl < l. (b) Encontrar una función que represente todas las prolongaciones
<
Según el criterio del cociente, la serie converge para lzl función analítica en esta región.
l. Entonces, la serie representa una
Para lzl < 1, la suma de la serie es F 2(z) • z/(1 + z). Pero esta función es analítica en todos los puntos excepto z ~ -l. Puesto que F 2 (z) = F 1 (z) dentro de lzl = 1 es la función buscada.
J~ t e-•t dt
=
(a) Probar que la función definida por F1 (z)
3
o
es analítica en todos los
puntos z para los cuales Re {z} > O. (b) Hallar una función que es la prolongación analítica de F 1 (z) en el semi-plano Re {z} < O. (a)
Integrando por partes, tenemos
(Ox t3e-ztdt
Jn.
1
Jim
(M t3e - ztdt
M-eo. 0
3MZ e-Mz
6M e- M• - 6
-
z2
''
.,•
6
•
z4
,.•'
(b)
si Re{z}
>
za
e-Mz} z4
O
Para Re {z} > O, la integral tiene el valor F 2 (z) = 6 /z4. Pero esta función es analítica en todos los puntos excepto en z = O. Puesto que F2(z) = F 1 (z) para Re {z} > O, vemos que F 2(z) = 6 / z4 debe ser la prolongación analítica buscada.
'
.: PRINCIPIO DE REFLEXION DE SCHWARZ ,.' 7 Probar el principio de reflexión de Schwarz (ver página 266).
.
=
=
Referente a la figura 10-4. Sobre el eje real (y = 0) tenemos F 1 (:z) = F 1 (x) F 1 (x) F 1 (z). Entonces según el problema 3 t enemos únicamente que probar que F 1 (z) = F 2 (z) es analítica en ~2 • Sea F¡ (z) = U¡ (x, y) + i V¡ (x, y) . Puesto que ésta es analítica en ~~ to sea y > 0), se tiene según las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
aU1 ax =
au - -iJy 1
iJV 1
ay'
iJx
{1)
donde estas derivadas parciales son continuas. Ahora F 1 (z) = F 1 (x - iy) = U 1 (x, -y) + i V 1 "(x, -y), y así F 1 (t) Si ésta es analítica en ~2 debemos tener para y > O, iJU 1 a(-V1) a(-V1 ) aU1
Tx -
a(-y) '
Pero éstas son equivalentes a (1), puesto que
-
ax iJ(- V¡) iJ(-y)
= -ay
,
U 1 (x, -y) - i V 1 (x, -¡¡). (2)
a(-¡¡)
= - ax
y
oU1 a(-y}
iJU 1
= --¡¡¡·
Por tanto, el resultado buscado se deduce.
PRODUCTOS INFINITOS ., 8. Probar que una condición suficiente y necesaria para que (1 + lwki) converja, es k=l que ~ lwkl converge. Suficiencia. Si x > O, entonces 1 + x :ií e" así que
n
n
TI k=l
(1
+ lwd) =
(1
+ lw1i)(1 t lw2 i) · · · (1 + lwnl>
<
1 elw. l e1""1• • • e '"•1
DANIELUSER
CAP. 10]
281
TEMAS ESPECIALES Si
"' ~ k=l
lw,.¡
converge, se deduce que Pn e$ una sucesión acotada monótona creciente y así, tiene
un límite, es decir,
"' (1 + lw,.l), TI
converge.
1<=1
Necesidad. Si S,. =
P,. =
(1
" ~
k=l
iwki,
tenemos
+ lw1l)(l + lw2 1)· · · (1 + lw,ll
1
>
+ !w 11+ lw2l + ··· + ¡w,.J
7
1
+
S,
>
1
Si lim Pn existe, es decir, el producto infinito converge, se deduce que Sn es una sucesión acotada n-~ '
~
monótona creciente y así, tiene up límite, es decir,
9.
Probar que Sea wk
"' (·1 - Fz2) J] =-
z2
kZ.
~ !wk! converge. k=!
converge.
Entonces
lwkl =
lzl 2
y
k2
l:
Jwd = lzl2
l:
1
k2 converge. Por tanto, según el
problema 8, el producto infinito es absolutamente convergente y de tal modo convergente.
2
2
10. Probar que sen z = z (1 - r.z:)(1- 4r. z 2 )(1- 9r. z 2)
•••
Del problema 35, capítulo 7, tenemos
~z (
Entonces sen z
cot t -
,. ( zii k=!
1 -
!)
dt
z2 )
k22' "
LA FUNCION GAMMA 11. Probar que r(z
+ 1)
=
z r(z) utilizando la definición (4), página 268.
Integrando por partes, tenemos si Re {z}
> O,
r (z + 1)
lim M,...oo
j
,M
t:• .,.-, dt O
z r(z)
12. Probar que r(m) = 2
I"" x o
2m - !
e-x• dx, m > o.
Si t = x2, tenemos l'(m)
El resultado también es válido si Re {m}
> O.
DANIELUSER
282
[CAP. 10
TEMAS ESPECIALES
13. Probar que
r(z) r(l - z) = sen"'"'z
Primero lo probamos para valores reales de z tal que O podemos entonces ampliarlo a otros valores de z. Del problema 12, tenemos para O r(m) 1'(1 - m)
l. Por prolongación analítica,
< m < 1,
{2Iu" 4
x2m-le-x•ax} { 2
J:~ yl-2me-•'dy}
,, j' .. x2m-l y l- 2m e-
o
En términos de coordenadas polares (r, 6) con x = r cos O, y = r sen 6 esto se convierte en
i"' f or./2
4 e=o
jo
•;;/2
2
r=O(tanl - 2m o)(re - r') drde
utilizando el problema 20, página 186, con x
=
tan 1-2m 8 do
senmr,
tan2 6 y p = 1 - m.
14. Probar que r(t) Del problema 12, siendo m =
f.
tenemos
r(fl Del problema 13, siendo z =
f,
Otro método.
r<;!) > O.
"" e-:"' 'J o
2
dx
tenemos
= o De este modo, el resultado buscado se deduce. {1'(!)}2
puesto que
2
1T
Como·en el problema 13,
4
i"' f r./2
8=0
de lo cual r(t) = "[; .
e-r•r dr do
r=o
.
15. Por aplicación de la prolongación analítica, demostrar que r(- t) = - 2y';. Si Re {z} > O, r(z) está definida por (4) , página 268, pero esta definición no puede ser aplicada
para Re {z}
16. (a) Probar que r(z) _
+ 1)
=
z f'(z), hallamos r(;!l = -
t !'(- ;!)
o
r(-
t>. =
- 2"[;
r(z + n + 1) . z(z + 1)(z + 2) · ·. (z +n)
(b) Aplicar (a) para demostrar que r(z) es una función analítica excepto para polos
simples en el semi-plano de la izquierda z = O, - 1, - 2, -3,. . . . (a)
(b)
'
Tenemos l'(z + 1) = z r(z), l'(z + 2) = (z + 1) l'(z + 1) = (z + l )z r(z), r(z + 3) = (z + 2} r (z + 2) = (z + 2)(z + l}z f(z) y, en general, l'(z + n + 1} = (:z + n)(z + n- 1) · · · (z + 2)(z + l}z l'(z) de lo cual, el resultado buscado se deduce.
Sabemos que r(z) es anal.ítica para Re {z} > O, de la definición (4) página 268. Además, del ·resultado en (a) es claro que f'(z) está definida y es analftica para Re {z} > - n excepto para los polos simples en z = O, -1, -2, • · ·, -n. Puesto que este es. el caso para cualquier entero n positivo, el resultado buscado se deduce. /
~·
..
.. --· ---
DANIELUSER
CAP. 101
TEMAS ESPECIALES
283
17. Utilizar el teorema del factor de Weierstrass para productos infinitos (ecuación (2), página 268) para obtener el producto infinit.o para la función gamma (propiedad 2, página 269) . Sea f {z) - 1 / f'(z + 1) . Entonces / (z) es analítica en todas partes y tiene ceros simples en -1, -2, -3, · · ·. Según el teorema del factor de Weierstrass, tenemos 1
+ 1)
l'{z
Para determinar /' (0) , sea z = l. Entonces, puesto que I'(2) = 1, tenemos
1
(1+ ~) ci
eJ"
IT
e - II k
k
k= I
k
M-.,k = I
Tomando logaritmos, vemos que 1"1m { -1 M-oo 1
/'(0)
1 2
+
1 . .. + 3
+
-M1
+ !3 + . . . +
1
+
1 lim { 1 + 2 M- oo
In [ ( 1
M}
In
M
i)(
+
1
+
n···( ~)J} 1
+
y
donde y es la constante de Euler. Entonces el resultado buscado se deduce notando que I'(z z I'(z).
+ 1)
=
LA FUNCIOJ:-r BETA 18. Probar qu>! B (m, n) = B(n, m). Haciendo t - 1 - u, ,¡
1
B(m,n)
{1- t)•-1 dt
tm-I
B (n,m)
o
::/ 2
19. Probarque B (-m,n) = 2 Sea t = sen2 6. Entonces B(m, n)
fl
.f
sen 2m - 1 6cos211 - 1 ed8
según el problema 18.
f
B(m,n)
cos2m -
J
e sen2" - 1 e de.
0
tm-1 (1- t)• - 1 dt
r /'1.
•f.o
(sen2 e)m-l (cos2 e)• - 1 2 sen e cose de
r./2
sen2m-1e cos2n- 1e de
o
2
f
/2
cos2m-l esen2" - le dt
o
1
20. Probar que
2
0
o
2
.f
= .[ t'"- 1 (1-t)" - 1 dt o
r(m) r(n) r(m +n)
•
Del }Jroblema 12, tenemos, trasformando a coordenadas polare.s , r(m) r(n)
( "' (" J o z2m - ly2n - 1 e-
4 Jo
4
f
r./2
f"
6=0
j~"
T"'0 12
{ 2
(cos2m- l esen2n-le)(r2m+2n-1 e - '') d?·de
cqs2m-lesen2n- l e de}{~"
r2
B(m, tt} 1'(11• + n)
donde hemos utilizado el problema 19 y el problema 12 con r remplazando a t y m a m. De esto, el resultado que se buscaba se deduce.
dr} +
n remplazando
DANIELUSER
284
TEMAS ESPECIALES
I
21. Hallar el valor numérico de (a)
2
(b)
5"'' ytan e de.
t l /2(1- t)112dt
4 8(3/2, 3/2)
2
yx(2 - x) dx,
o
1 CAP. 10
o
Haciendo x = 2t, la integral se convierte en
(a)
·l
t> 2 at
V'4t(1-
•Jo
·l
4
•Jo
4 1'(3/2~ 1'(3/2)
f.
(b)
.
•o
4(~..¡;;:) (~..¡;)
r(3l
t2
2
Vtan 8 de
2
!
B(!, il
,..¡z
-
1 -:r 2 sen (../4)
-2
utilizando los problemas 13, 19 y 2·0 •
22. Demostrar que
. .f
y 3' 2 (16 -y2) 1' 2 dy =
o
-64~ - {r(t))Z. 21
1T
Sea y2 = 16t, es decir, y = 4tl/2, dy = 2-112 dt. Entonces la integral se convierte en
r
•o
64
{8t3/4}{4(1 _ t)l12}{2t-112 dt}
·l
•fo
tl/4
(1 -
t)l/2 dt
64 r<¡> r(~)
64(-!l r
r(lf)
12sv; {r
1zsv; r<-t> 21
utilizando el hecho que
r(tl rtt>
z • 11. r(A)
'
l'(~)
..
64 21
4
(2 {r(.¡.)}2
'J ;
= ..-/[sen(:r/4)] = 11'Y'/. (ver problema 13).
ECUACIONES DIFERENCIALES 23. Determinar los puntos singulares de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales y especificar si ellos son regulares o irregulares. (a)
z2Y"
+ zY' +
(z2 - n2) Y =O
Y"+! Y'+
o
( ~n )
22
2
z = O es un punto singular. Puesto que z (1 / z) - 1 y ticas en z = O, es un punto singular regular. (b) ' (z -1) 4 Y"
+
2(z - 1)3Y'
+Y =
O
= O.
y %2
(
z2 z2n2) = z2 - n 2
son analí-
o
En el punto singular z = 1, (z- 1)2 •
(z- 1) 4
(z- 1)2
no es analítica. Entonces z = 1 es un punto singular irregular. (e)
z2(Í- z)Y"
+ Y' - Y =
O
En el punto singular
Y"
o
z =
o.
+ z2(1 l-
z)
Y' -
1 Y z2(1 - z) -
2{#(/-z)} = z(l~z)
O ·
22 {z2(;.:.z)} = 1~\
Y
no son
ambas analíticas. Por esto, z = O es un punto singular irregular. En el punto singular z = 1, (z- 1) • {
z2(
1
} _ z) 1
=
-1 z2
.
Y
ambas son analíticas. En consecuencia, z = 1 es un punto singulartregular.
z-1 z2
DANIELUSER
CAP. 10)
285
TEMAS ESPECIALES
24. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel z 2 Y" + z Y' + (z2 - n 2 ) Y = O donde n 7· O, :± 1, :=2, E l punto z = O es un punto singular regular. P or tanto, hay una solución en serie de la forma
,
l;
Y
donde
ak %He
= O para
a,k
k
=
-1, - 2, -3, .. . . Por diferenciación, omitiendo los
k. ==- - 1'.01:
límites de sumación, tenemos
::S (k + c)(k + e- 1) a k
Entonces
(z2- n2)Y
z2Y"
Sumando,
+
zk + e
::S ak zk +c+ 2
:E n2 ak zk +e
:Iak- 2 zk +c
:E n2 ak zk +e
zY' + (z2 - n2)Y
de lo cual obtenemos
(1 )
Si k = O, (c2 - n2)ao - O; y si ao e = ± n.
;é
O, obtenemos la ecuación característica c2 - n2 = O con raíces
Caso 1: e = n. De {I), Si k = 1, a¡ = O. Si k = 2,
2 • 4 (2 n
+a~)(2n + 4) ,
Caso 2:
e -
o.
Si k = 3, a3 =
2(2n + 2) ·
Si k = 4, a• -
etc. Entonces
::Eak zk +c
Y
a2
a0zn { 1
2(2n + 2)
+
2 • 4{2n + 2){2n + 4)
- ..
4(2n + 4)
·}
(2)
- n.
El resultado obtenido es
y
z2
aoz-n { ¡
2(2- 2n)
+
2 • 4(2n + 2)(2n + 4)
...
-
}
(3)
el cual se puede obtener formalmente del caso 1 remplazando n por - n. La solución general si n y
Az"
+
;é
O, ± 1, + 2,. . . está dada p or
{1-
z2
2(2n + 2)
B z- n { 1 -
z4
.J..
·
-
2 • 4{2n + 2)(2n + 4)
z2
2(2- 2n)
+
.. ·}
z4
2 • 4(2- 2n)(4- 2n)
- ···}
(4)
Si n - O, + l, ± 2,. . . se obtiene únicamente una solución. Para hallar la solución general en este caso, debemos proceder como en los problemas 175 y 176. Puesto que la singularidad más cercana a z = O está en el infinito, las soluciones deben converger para todo z. Esto se demuestra fácilmente por el criterio del cociente.
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRALES DE CONTORNO 25. (a) Obtener una solución de la ecuación zY" + (2n fonna Y =
.f. e•' e
+ 1) Y' +
Si Y
= -': e•1 G( t) dt , hallamos Y ' =
:re
= O
que tiene la
G(t) dt. (b) Haciendo Y = z'U y eligiendo la constante r apropiada-
mente, obtener una solución integral de contorno de z2 U'' (a)
zY
~·
e
te'' G (t ) dt,
Y"
=
+ zU' +
J
e
(z2 - n2)U
t2 czt G (t) d t .
=
O.
DANIELUSER
286
( CAP. 10
TEMAS ESPECIALES
Luego integrando por partes, suponiendo que C ¡;e elige de modo que los valores funcionales en los puntos P, inicial y final, sean iguales (y la parte integrada es cero), tenemos
f
zl"
(2n+1)Y'
=
zY"
(2n
~·
zt2 e<< G(t) dt
.. e
-
-.~. e" G'(t) clt
G'(t) dt
+ l)t e>~ G(t) dt
J,'
·~
1: - .t;, e••
c• 1 G(t)
zc>< G(t.) dt
e" { t2 G{t)}
~·
-
1: - i
(zc"){t2 G(t)} dt
e
e" {t2 G(t)}' dt
- ,( e" ( t2 G(t )}' dt
.1;;
De este modo
zY"
+
(2n
+ l)Y' +
,(,'e" [- G'(t) + (2n + l)t G(t) :re
o
zY
(t2 G(t)}'] dt
Esto se satisface si escogemos G(t) de modo que la funci6n del integrando es cero, o sea, -G'(t)
Resolviendo,
+
G(t)
(2-n
+ l)t G(t)
= A (t
+ l)• -
2
=
- {t2 G(t.)}'
o
G'(t)
o
A
f.
e" (t2
+ 1)• -
1/ 2 dt
e
Si Y = z'U, ent onces Y ' = z'U' tanto
zY"
+
(Zn
+ l)Y' +
(Zn -l)t G(t) t2 + 1
!-7 donde A es una constante. De aquí, una soluci6n es
Y
(b)
=
+ rzr-IU
zY
y Y"
+
z•+lU"
+
+ 2rz•-1U' + r(r
- z'U"
+
2rz•U'
r(r-l)zr-1 U
+ l)z'U' +
(2n
(2n + l )n'- IU
zr+ 1 V" + [2rzr + (2n + l)z'] V'
+
(r{·r - l)zr - l
- l )zr- 2U. Por
+
(2n+ l )rzr- l
+
+
zr+lU
zr+J]U
La ecuaci6n diferencial dada, es en este caso equivalente a z2V" Haciendo r
=-
+
(21· + 2n + l)zU'
n, esto será z2U"
+
(z2 + r2 + 2nr]U
+ zU' + (z2
-
n2)U
O
= O.
Por tanto, una solución integral de contorno es
U
Az" ,( e'' (t2 + 1)• - 112 dt
z"Y
.'fe
26. Obtener la solución general de Y'' - 3 Y' contorno. Sea Y
,¡,· e>< G(t) dt, .ic
Y' = ,(' te« G(t) dt,
Y " - 3Y'
·~~
+
2Y
se satisfaée si escogemos G {t ) = 1 /(t2 - 3t Y
+ 2Y =
+ 2) .
= ,(' t2 e" G(t) dt.
Y"
:re,(" e>' (t2 -
O por el método de integrales de
.'fe
3t + 2) G(t) dt
Entonces O
De esto
~· e« d • e t 2 - 3t + 2 t
Si elegimos C de modo que el polo simple t = 1 esté dentro de C mientras que t = 2 está fuera de C,.Ja integral tiene el valor 2"ie'. Si t = 2 está dentro de C mientras que t = 1 está fuera de C, la integral tiene el valor 2"ie2:. La solución general está dada por Y = Ae'
+ Be2' .
DANIELUSER CAP. 101
287
TF.M AS ESPECIALES
FUNCIONES DE BESSEL 27. P robar que zJ.. - ¡(Z)- 2nJ.(z)
+ zJn+l(z)
= O.
Diferenciando con respecto a t ambos lados de la identidad e'hdt - lit>
resulta
"
~ n= -..o
..
n=
::S
+
z J,(z) t"
~
o sea,
-~
.,
"-
n=
z .J.(:z)tn- 2
r.
- ;r..
Igualando coeficientes de t" en ambos lados, tenemos zJ,(z) + :z.J, , 2(z)
~
=
nJ.(z) t• - 1
2nJ.(z) t• - l
- z
+ 1) J, , 1 (z)
2(n
y el resultado que se busca, se deduce remplazando n. por n. - l.
Puesto que h emos utilizado la función generadora, el resultado anterior se establece únicamente para valores enteros de n. El resultado también es válido para valores no enteros den (ver problcn~a 114).
f
t-n- 1 e'hz(t 28. Probar J n(z) = ~ 2,.t e enc1erra t = O.
1/t)
dt, donde C es una curva simple cerrada que " ~
e'hzH - 1/ t )
Tenemos ¡-n- 1
de modo que
i
y
m = -:e
J .,(z) tm
e>nz( t - 1/ t ) m. = -~
¡-n-
1 e'ho( t - 1/rl
(J)
dt
Ahora, según los problemas 21 y 22, capítulo 4, t enemos s1
{ 2ori 0
,( t·• - •- ' dt :r,
e
m= n
(2
si m F n
De este modo, la serie a la derecha de (1) se reduce a 2d J . (z), de lo cual, el resultado buscado se deduce.
29. Probar que si a
;t.
b,
J"
'
z{aJ. (bz)J.(az) - bJ .. (az) J ,(bz)} t J ,.(at) J ,(bt) dt 2 ., b -- a o Y 1 = J,. (at) y Y2 - J, (bt) satisfacen las ecuaciones diferenc iales respectivas (1)
ttY~'
(2)
¡2 y~'
1
+ tY : + (n~t~ - n2)Y 1
O
( b2t2- n2) Y 2
O
+ t Y~ +
Multiplicando (1) por Y2 , (2) por Y¡ y res tando, hallamos
t 2(Y2 l
, ,
,,
1 -
Y 1 Y~
)
+
.. '
t(Y 2 Y , -
l.
Y1 Y2l
Esto se puede escribir
tf{¡(Y 2 Y; - Y1 Y; )
+ ( Y2 Y; - Y 1 Y~)
o
Integrando con respecto a t desde O a z resulta {b2 - a 2) o, puesto que a
;o!
r·
•o
t y 1 y 2 dt
b
J• o
t J" (at} J .Cbt) dt
'
z{aJ, (bz}J.(az)- bJ.(az)J.(bz)} b2 - a2 1
DANIELUSER
TEMAS ESPECIALES
288
FUNCIONES DE LEGENDRE
5 Pm
o Sl.
1
30. Probar que
-1
(z) Pn (z) dz
Tenemos
1CAP. 10
m rf n.
P:,.
(l)
(1 - z2) P~,
2z
(t)
(1 - z2) P~
2zP~
+
o o
m(m+ 1lPm
+ n (n+ 1) P.
Multiplicando (1) por P., (2 ) por Pm y restando, obtenemos, {n(n + 1) - m(m + 1)} P,. P.
2z{P.P~1 -PmP~}
(1 - z2){P.P;;,-P.,.P':} -
lo cual puede escribirse {1-z2) dd
z
{P.P~,- PmP~}
-
2z{P.P;,.-
{n(n + 1) - m(m+ 1)} P,. P.
PmP~}
{n(n+ l ) -m(m+ l)}PmPn
o
Integrando desde -1 a 1, tenemos {n(n
+ 1) -
m(m
+ 1)}
r
Pm(z) P'n(.z) dz
1 (1- z2)(P. P ,-
1 1 1 Pm P.,)
- ¡
• -¡
-
o
de lo cuf\l, el resultado buscado se deduce, puesto que m .,< n. El resultado se llama a menudo el principio de. ortogonalidad para polinomios de Legendre y decimos que los polinomios de Legendre forman un conjunto ortogonal.
5
1
31. Probar que
- 1
2 2n + l
Pm (z) P. (z) dz
•
s1
=
m
n.
Elevando al cuadradó ambos lados de la identidad, 1
vt- zzt + tz 1
1- 2zt
obtenemos
~
~
~
+ t2
~ Pm (z) P.(z) tm+n
m=O n=O
Integrando desde -1 a 1 y utilizando el problema 30, hallamos
f
1
-1
dz
m~O n~O {f
1- 2zt + t2
Jo
{f
1
p m (z) p n (z)
(1)
{P.(z)}2 d.z}
t2n
1
Pero el lado izquierdo es igual a - -1 In (1 - 2zt + t2) 11
2t
-1
!t
1 n
dz} t"•+•
(1 + t)
1- t •
..w=o{ + }t2" ~
2n
2
1
(2)
utilizando el problema 23(c), capítulo 6. Igualando coeficientes de t2n en las series (1) y (2) tenemos el resultado que buscamos.
32. Probar que (n+l) Pn+t(z) - (2n+l)z P.(z) + nP.-,(z) Diferenciando con respecto a t ambos lados de la identidad 1
Vl - 2zt + tZ tenemos
.z - t (1 - 2zt + t2)312
~
~ P.(z) t•
n= O
..
~ n
n= O
P. (z) t• - 1
O.
DANIELUSER
CAP. lO]
289
TEMAS ESPECIA LES
Luego multiplicando por 1 - 2zt
+ t2,
tenemos
"' Pn(z) tn (z - t) ~
"' n P n (z) tn - 1 (1 - 2zt + t2) l: n; O
n::::.O
"' ~
o
n=O
.,
z P,.(z) tn
~
~ nP,.(z)
n=O
tn- 1
~ 2nzP,.(z) tn
-
n=O
.,
+ l: n n""O
p n (z) tn + 1
Igualando coeficientes de tn en cada lado, obtenemos (n + 1)P,.+I(z) -
2nzP,(z) +
(n - l)P,. _ 1 (z)
Jo cual conduce al resultado buscado al simplificar.
LA FUNCION HIPERGEOMETRICA 33. Demostrar que F(l/2, 1/2; 3/2; z
2
-
Puesto que F(a, b; e; z)
=
)
•
z
a•b 1 + z + 1 •e
. . . tenemos
a(a+ 1) b(b + 1) zZ + 1•2•c(c + l)
(1/2}(1/2) 2 (1/2)(3/2)(1/2)(3/2) z4 + 1. (3/2) z 1 • 2 • (3/2)(5/2)
1 +
F(1/2, 1/2; 3/2; z2)
sen- 1 z
+
(1/2)(3/2)(5/2)(1/2)(3/2)(5/2) 1 . 2. 3. (3/2)(5/2)(7/2)
+ .. .
z6
1 • 3 z4 1•3•5z6 1 z2 1 + - - + 2·4 5 + 2•4•6 -7 2 3
sen- lz
+
z
u tilizando el problema 89, capitulo 6 .
LA FUNCION ZETA 34. Probar que la función zeta cual Re {z} > 1
+ 13
~(z) = k~ ~. es
analítica en la región del plano z para la
donde 1J es un número positivo fijo.
Cada término 1 /k' de la serie es una funci6n analítica. Además, si x = Re {z} > 1 1
1
ez In k Puesto que
~ 1/k1 + ó
mente para Re {z} esta regi6n.
-
er ln k
·-
-
1
k:<
<: =
1
+ o.
entonces,
1
kl+ó
converge, vemos según el criterio M de Weierstrass que
<:>:
+8
k~l
t.
converge uniforme-
En consecuencia, según el teorema 21, página 143, <.(z) es analítica en
EXPANSIONES ASINTOTICAS Y EL METODO DEL PUNTO SILLA 35. (a) Si p F(z)
> O, probar que
=
J"'• e-~t" dt -
e-• l(2. zP
-
P + P(P + 1) _ . .. (- 1)" P(P + 1)· · · (p +n-1)}
zv+ t
(- 1)''+1 p(p+1)· · ·(p+n)J"' e-t z
(b) Utilizar (a) para probar que
F(z)
.
z·r> +Z
- z
f1
e~--
l zr)
P
zP + 1
tv+n+ 1
z"+n
dt
+ 1) - ·· ·jl .,.., P(P zv + 2
S(z)
es decir, la serie a la derecha es un desarrollo asintótico de la función a la izquierda. (a)
Integrando por partes, tenemos
DANIELUSER
290
TEMAS ESPECIALES
=
1CAP. 10
.
1
lim {(-e - ')(t - ")1"' -
~~- ·
(''
.~
-Análogamente
e-z
lp+ 1
ez~z
-
e-• (p + 1) l p•2
{z:~~
-
p
-
zP
- P+I -
~
(-e- <)(-pt-~> - ')dt}
pl~+ 1 v
de suerte que
(p ¡. 1) lpH }
+
zV
p(p
+ 1) lp+2
Continuando de esta manera, el resultado sT deduce. (b)
Sea S.(z)
P
zP+l
R, (z)
+
E(P+l) _ zJJ+2
=
F (z)- s.(z)
> O,
Ahora para reales z
p (p
...
1
(- l)"p(p + l)···(p + n - 1~} · E ntonce$ zP+11
(-l)H 1 p (p+ l )· .. (p+n)
•
,,.
+ l } · · · (p + n) J
p(p + 1) · · · (p + n)
••
p(p + 1) · · ·(p + n) zP+ n + l
... j e-• dt -
lim l z" R.(z) 1
"" j Z
dt 1
e• . .
zP • R · T1
dt
1
• •
En este caso
.. e-• . [ ., tPTn+
.
S
p(p
hmY. z-
+ 1} · · · (p + n}
o
Z"
y se deduce que lim zn R. (z) - O. Por tanto, el resultado que se busca está demostrado para reales z > O. El resultado tam bién se puede amplíar a valores complejos de z . Obsérvese q ue ya que
'11nu.•1¡
p(p
1
+ 1} · · · (p + n)lz• +n + 1
1
p+n
1 7>(p+ 1) · · ·(p +n - 1)/zP +n
. 111••1¡
es el n-ésimo término de la serie, tenemos para todo z fijo, ltm n- ~ para todo z según el criterio del cociente.
36. Demostrar que r(z + 1) Tenemos l'.(Z-+ 1) = l'(z + 1)
51,840z3
Tz e-< dT.
zH 1
-
Haciendo
F'(t) - O c ua ndo t = l. .Haciendo
t - 1
o d e otra manera, la serie de Taylor In t - t
In (1 + w) - 1
Por tanto, de {1), l'(z + 1)
(1
~
+w
z< + 1 =
f~ .. o
e>( I n 1 - ll
··)-1 - w
1<...., w" -+ + 2 3 4
z~; 1 e-~
(1)
hallamos, utilizando el problema 23, pá gin¡¡ 155,
1u3
z
dt
In t - t .
+ u)
.zt +1 0 -
+
= zt, esto se convierte en
r• t• e -zt dt ,}0
lo cual tiene la forma (37), página 275, donde F (t)
F (t)
"" y la serie diverge
Un
139
· " •fo
donde u.
l.zl '
f" •o
e-
J
·~
• - 1
- 1
•t - 1l'n
(t - 1)2
+
(t-1)3
3
2
(t-
4
1 }~
+
e•U- Il0 t:J - tCr·- l l'' t~ + .. . dt
e ·-~,(!/:! <~.w
.... . .
dw
(2 )
DANIELUSER
291
TEMAS ESPE CIAL ES
CAP. 101 Haciendo w = .,J2Tz u, esto será
vz z• +
r(z + 1)
II Z q·· z
s·"
(3)
- \l.zf2
Para grandes valores de z el límite inferior se puede remplazar por - "', y desarrollando la exponencial tenemos 2 y'2 z• •· 112 e- z e- v { 1 + (~ z - 112 113 - z - 1 114) + ... ; dv (4) r(z + 1)
vz
f"
' !-
r(z+ l )
o
ll':
~ z• e-% {1
-
1
1 + _!_ + 12z 288z2
l$!:. + ·· ·} 51,840z3
(5)
•
Aunque hemos procedido antes en una 1manera formal, el aná lisis s e pu ede j us tificar rigurosamente. Otro método.
S i F (t) =
( t - 1)2
-1 -
2
+
( t - 1)3
(t - 1)4
-
3
4
+ ··· =
(t - 1)2
(t
-1 - u 2 • entonces
- lJ:
+
3
2
invirtiendo la s erie o utilizando el h echo que F (t) - In t - t, hallamos
Yz +
dt du
Vz .
- 6 u2
Vz u 4 ·'+ -216 .
Entonces, d e (41) , página 276, encontramos
~z• + t ezOn l - D {/2 +
l'(z + 1 ) -
+ 12z -1 +
r {z + 1)
o
1
288z2
+ .. .}
Ob sérvese que, como F"(l) = -1, hallamos, utilizando (42) , página 276, l'(z
+ 1)
el cual es el primer término. Para much os p rop6sítos, este prim er término provee suficiente exactitud .
FUNCIONES ELIPTICAS 37. P robar, (a)
d dz sn z = en z dn z, =
P or definición, si z {a)
d dz (sn z)
-dw dz
( b)
-(en z)
d dz
!!:.. {1 -
i
w
d (b) dz cnz
= - sn z dnz .
dt
r== ==='= = = = ,
luego w - sn z. En consecuencia
o ../{1 - t2)(1 - k2t 2)
1/(dz/dw)
dz
en z dn z
! (1 - sn2 z) 112 ..!!..(- s n2 z) dz
sn2 z)112
t(l - sn2 z) - 112 (- 2 sn z)(cn z dn z)
= - sn z,
38. Probar, (a) sn ( - z)
(b) en ( - z)
- sn z dn z
= en z, (e) dn ( -
(a)
o sea, sn ( -z) (b)
en ( - z)
=
(e)
dn ( -z)
=
-
=
v'l v'l
-
w
-
- sn z
sn2 ( - z)
- k 2 sn2 ( -z}
=
v'l v'1
-
sn~
z
-
- k2 s n2 z
en z =
dn z
z)
= dn z.
DANIELUSER
[CAP. 10
TEMAS ESPECIALES
292
39. Probar que, (a) sn (z Tenemos z -
i
+ 2K)
o)
o
V1 -
= - sn z, (b) en (z + 2K) = - en z.
de
2
utilizando la trasformaci6n 6 = "'
=
de modo que
k2sen2e
+ .¡¡.
i
• 12
d8
V1 -
+ -.:
Por tanto 9
De este modo tenemos (e) sn (z + 2K) sen {am (z + 2K)} = sen (9 + i) (b) en (z + 2K) cos {am (z + 2K)} cos (
=
40. Probar que, (a) sn (z
=
am (z
+ 4K)
sn z, (b) en (z
dt
V1 -
0
k2sen2 .¡,
+ 2K).
-sen 9 - cos 11>
=
+ 4K)
=
f.ó
+
k2sen2 8
sn z, cos 9 = en z. Ahora
el> -
am z y sen
- snz -cnz
+ 2K)
- en z, (e) dn (z
- dn z.
Del problema 39, (a) sn (z
+ 4K)
- sn (z + 2K)
(b) en (z + 4K)
(e) dn (z + 2K)
=
sn z
+ 2K) = en z -..j¡ - k2 sn2 (z + 2K) - en (z
-
V1 -
= dn z
k2 sn2 z
1 tiene puntos de ramificaci6n en t - ± 1 y t = ± 1/k V (1 - t2) (1 - k2t2) en el plano t (Fig. 10-10). Consideremos la integral desde O a w a lo largo de dos caminos Ct y C2. Podemos deformar Cz en el camino ABDEFGHJA + C¡, donde BDE y GHJ son circulos de radio • m
Otro método. El integrando ./
-1/k
l
1/k
Fig. 10-10
f.
e, o
..
Entonces tenemos dt
..¡(1 -
t2)(1 - kZt2)
Fig. 10-11 { 1 -<
Jo
dx
v'(1 - x2 )(1 +
f
o
1-< -
k 2x2)
+
J
8DE
dt
-V-;=(l::==:t2:=: )(=1
dx v'(1 - x 2)(1 - k2x2)
f
( - 1 +<
+ Jo
dt
+ GHJ
-
t 2)(1 - k 2t2)
VÚ 0
+ e,Jo ..¡(1 4
J o y(l -
+f BD&
r··
dx x2)(1 - k2x2)
Y(1 -
+ Jo e,
dt t 2){1 - k2t2)
+
-v
Jo + -
(1 -
1+,
d
x2~(1 ..¡
k2x2)
dx (1 - x2)(1 - k2x2)
dt
('
rl-<
=_=:k:2t;:~2)
t2)(1 - k2t2)
dt v(l- t2)(1 - k2t2)
f GHJ
-V (1 -
dt t2)(1 - k 2t2)
donde hemos utilizado el hecho que, al encerrar un punto de ramificaci6n, cambia el signo del radical.
DANIELUSER
CAP. lO]
TEMAS ESPECIALES
Sobre BDE y GHJ tenemos t = 1 - .e19 y t tegrales correspondientes, se igualan a
(1-"
+
respectivamente. Entonces las in-
( 2" Jo
- 1
-úe18 de
..j(2 -
Jo
=
293
i.eie d8 ..J(
+ .ei8)2}
Cuando • -+ O, estas integrales se aproximan a cero y obtenemos ("'
dt
4
Jo ..j(l- t2)(1- k2t2)
e,
dz
( "'
dt
.Jo V(1- t2)(1- k2t2) e,
rw
z + 4K
entonces
1
dt
+ )o
Jo ..j(l - z2)(1- k2z2)
(w
z
Ahora, si escribimos
(
V(l- t2)(1- k2t2)
<'
o sea w
'
dt
m
80
z
o sea w - sn (z
Jo v'(1 - t2)(1 - k2t2) ' e,
y, puesto que el valor de w es el mismo en ambos casos, sn (z
+ 4K)
+ 4K)
= sn z.
Análogamente podemos establecer los otros resultados.
41. Probar que, (a) sn (K+ iK') = 1/k, (b) en (K+ iK') - -ik'/k, (e) dn (K+ iK') - O. (a)
f
Tenemos K' -
dt
l
donde k' = ..j1 - k2.
o v'
Sea u - 11..j1 - k'2t2. Cuando t =O, u = 1; cuando t = 1, u = 1/k. Siendo as{, como t varia desde O a 1, u varía desde 1 a 1/k. Según el problema 43, página 56, con p = 1 / k, se deduce que ..j¡ - t2 = - ik'u / .j¡ - k'2u2. Así, tenemos por sustitución
·J11k
K'
~
de lo cual
i
K + iK'
o
d
l
..j(1 -
+
u
1
du V(1- u2)(1- k2u2)
Jllk 1
u2)(1 - k2u2)
t 'k
du
v'(1 -
Jo
u2)(1 - k2u2)
..Ju-
d
u2)~ - k2u2)
o sea sn (K+ iK') = 1/k. (b)
De la parte (a), en (K+ iK')
(e)
dn (K
+
v'1 - sn2 (K+ iK')
iK ') = ..j¡ - k2 sn2 (K
+
v1 - 1tk
- iv't - k2 /k
2
-ik'/k
iK ') = O según la parte (a).
42. Probar que, (a) sn(2K+ 2iK') =O, (b) cn(2K+2iK') = 1, (e) dn(2K +2iK') De las fórmulas de adición con z 1 = zz = K + iK', tenemos
o
(a)
sn (2K + 2iK')
2 sn (K+ iK') en (K + iK') dn (K+ iK') 1 - k2 sn< (K+ iK')
(b)
en (2K + 2iK')
cn2 (K+ iK') 1
(e)
dn (2K + 2iK')
dn2 (K+ iK') - k2 sn2 (K + iK') en~ (K+ iK') 1 - kZ sn4 (K+ iK')
-
-
-
sn2 (K + iK') dn2 (K + iK') k2 sn4 (K+ iK')
43. Probar que, (a) sn (z + 2iK') = sn z, (b) en (z + 2K + 2iK')
-1.
= en z,
1 -1
(e) dn (z + 4iK')
Utilizando Jos problemas 39, 42, 170 y las fórmulas de adición, tenemos
= dn z.
DANIELUSER
1CAP. 10
TE MAS ESP EC IALES
294 sn (z- 2K + 2K
+ 2iK') sn (z- 2K} en (21< + 2iK') dn (2K + 2il<') + sn (21( + 2iK ') en (z- 2K) dn (z- 2K) 1 k2 sn2 (z - 2K) sn~ (2K + 2iK')
(a) sn (z + 2iK')
sn z (b} en (z
+ 2K + 2iK')
en z en (2K
-
sn z s n (2K + 2iK') dn z dn (2K k~ sn2 z sn2 (2K + 2iK')
+ 2iK') 1
+ 2iK')
en z (e} dn (z + 4iK')
dn (z - 4K + 4K + 4iK')
-
dn (z - 4K) dn (4 K +4iK') 1 -
= dn z
k2 sn {z -4K) sn (4K +4iK') en {z -4K} en (4 K +4iK') k2 sn2 (z- 4K) sn2 (4K + 4iK')
44. Construir paralelogramos o celdas de período para las funciones, (a) sn z, (b) en z, (e) dn z. Los resultados se muestran en las figuras 10-12, 10-13 y 10 -14 respectivamente. y
y
-l--
-f--
1 2U(• -~- -~ -
-1- -
-1- - -11
1
1
r -¡
- -1
1 '
1
4K
l
1
- - --¡-1 1 1 1 _ ¡_
'
1
- 1 -- - - --1 1 -t -- ,..-- +- -+
1 1
1
1
1
1
1
1
1
;
1
1
1
2K
z
1
1
1
1
1
1
1
Paralelogramos de período para dn z Fig. 10·14
; z). n= 0,1,2,3, ....
n(n + 1) ( 1 _ z)
1 _
1
1 1 1 1 1 .1_1_1 _ _I_ Ll
Paralelogramos de período para en z Fig. 10-13
z)
1
1
Los polinomios de Legendre Pn(z) son de grado n y tienen el v alor 1 para z de (29), página 274, vemos que F ( -n,n +l; 1;
1
1
'
PROBLEMAS VARIOS 1 45. Probar que, P.(z) = F ( - n,n+l; 1;
1
-1-¡
z
L ·-.,e ¡-7 - ; 1 1 1 1 1 -· ¡_T_T_
Paralelogramos de período para sn z Fig. 10-12
4iK•
r1
4K
1
1
1
~ -,1
1
1
1
y
1
1
2
+
=
l. Análogamente
n(n- 1}(n + 1)(n + 2) (l _ z) 2
+ ...
16
es un polinomio de grado n. que tiene el valor 1 para z = l. El resultado buscado se deduce si demostramos que Pn y F satisfacen la misma ecuación dife· 1 u, es decir, z - 1 - 2u, en la ecuación (25) de Legendre, página rencial. Para hacer esto, sea ; z 273, para obtener
=
d2Y
u{1- u) - d tt2
+
dY
(1 - 2n) -d 11
+ n(n+ 1)Y
O
=
- n, b
Pero esta es la ecuación hipergeométrica (30) , página 274, con a {1 - z) / 2. P or tanto, el resultado se comprueba.
= n. + 1,
e
=1
46. Probar que para m = 1, 2, 3, ... ,
2 ) r ( 3) ···r(m - 1) (m1) r (m m m
(2r.)
r -
Vm
Tenemos p
]' (.!.) m.
1'
(~) 1n
... 1'
(1- . !. ) m
1' (
l
1 - ..!_ L' ( 1 - ~ \ m) 1n}
.. ]' ( ..!..) m
y
u =
DANIELUSER
CAP. 101
295
TEMAS ESPECIA LES
Entonces multiplicando estos productos término por término y utilizando el problema 13 y el problema 52, página 25, encontramos
{r (
pz
! )r ( ,~)} 1-
r(
{
!¡) r ( l - ~~ )} · · · { r ( ~) 1-
1' ( ;1 ) }
::
::
- - i -:--:- • -----:7---:--:se~ (::/ m ) sen(Z:d 1n)
sen (m - 1);;-/-m _ m- 1
"
sen (-./ m) sen (2.-/m ) · · · sen {m - 1)::-/m
o P = (2,.)
47. Demostrar que para grandes valores positivos de z,
,. n,. - -") cos ( z _,_ 2 4
J,. (z) . Segun el problema 33, capítulo 6, tenemos J,.{z)
:1 ..
j'"o cos
(nt -
z sen t) dt
Re
{! Jo(" n-
Sea F (t) = i sen t. Entonces F '(t) = i cos t = O donde t = la integra.! entre llaves será ;1
j'"'2
6 -t"{lf/2+vl eits.e.a(r./2+-v>
dv
e
. j•tr/2
:r - tnrr
.-
12
j'"
••
-=-
=
/ 2. Si hacemos . e - fnv et% CO$ V
t =
"'/2
+ v,
dV
- rr/ 2
. . e - ntv elz·( t - v2f2 ·~ u4/ 24- .. . )
dv
T {1 -
f "''
2
• e-tno
- -::/ 2
t)u/v'%, es decir,
(1- \) ei(z-nTT/ 2)
• ....;z (1 - i) ei
t:'Vz
n,-) .~ {cos ( -2 ~
V r.Z
r
-:.:·
o para grandes valores positivos de z.
y la parte real es
dt}
-r./ 2
ei( z- n-:r/ 2)
Sea v2 - 2i u 2!z 6 v aproximar por
12
'!!:
-tn~/2
- r./ 2
e
6 - tnt 6 1ncut
u = f {1 + t)yz v. Entonces la integral se puede
e -
f "'
du
(1- i) ei
- .:
y:;z
( n"') }
+sen z- 2
cos
(
11r. • ,. ) %--2 4
Los términos de orden superior también se pueden obtener (ver problema 162).
48. Si Ces el contorno de la figura 10-15, probar que para todos los valores de z r(z)
1
¡: t•- 1 e-t dt
e2"'''- 1 j c
Referente a la figura 10·15, vemos que a lo largo de AB, lo largo de EF, t = xe2"'· E ntonces
J t•ABD&F
1
e- •dt
t =
x; a lo largo de BDE, t
~
,el9; y a
DANIELUSER
296
(CAP. 10
TEMAS E SP E CIA LES
Ahora, si Re {z} > O, tenemos, tomando el límite cuando • ~O y R ~ "',
Je t•- •
(e2.-i~ -
e- •dt
1)
"" J
x~ - •
e - :z dx
o
1i
(eZ..i> -
Plano t
y
A
8
D
•
r(z}
R
E
F
Pero las funciones a ambos lados son analíticas para todo z. En consecuencia, para todo z, 1
r(z}
49. Probar que
e2:rio-
1
.e
j_e
t•- 1 e-• dt
Fig. 10-15
sn z, en Z2 dn Zz + en Zt sn zz dn z. 1 - k 2 sn 2 z. sn2 zz
sn (z. + zz)
-l. Definimos
Sea Z¡+z2=cr, una constante. Luego dzz/dz1 = Se deduce que • • dU dV u en z dn z V , 1 1 dz 1 dz 1
-dz2 dz -1 dV dzz
-
u
- sn z1 , V
=
sn z2.
- en Zz dn Zz
donde los puutos denotan diferenciación con respecto a z¡. Entonces • • uz = (1 - U2)(1 - k2U2) vz = (1 - V2)(1 - k2V2) y Diferenciando y simplificando, encontramos (1)
••
U = 2k2U3 - (1 + k2)U,
(2)
..
V
2k2V3 - (1 + k2)V
Multiplicando (1) por V, (2) por U, y restando, tenemos
Es fácil verificar que o
•• uv - uv•• • • uzvz - uzvz = ÜV _ uV =
(3) (1 - k2U2V2)(V2 - U2) (1 - k2U2V2)(V2 • •
(4)
UZ)
(5)
UV+ UV
Dividiendo las ecuaciones (3) y (5), tenemos •• uvuv•• • uv - uv•
•• •• Pero UV- UV
~(ÜV-UV)
- 2k2UV(UV + UV) 1- k2U2V2
y -2k2UV(ÜV+UV)
dz1
•
•
(6)
2 ), = _!_(l-k2U2V dz
demodoque(6) se
1
convie,rte en
•
•
d(UV- UV) •
•
uv- uv • • uv- uv 1- kzuzvz
Una integración conduce a
d(l - k2U2V2) 1 - k2U2Vz
e (una constante), o sea,
sn z 1 en Zz dn z2 + en z 1 sn z 2 dn z1 1 - k 2 sn2 z 1 sn 2 z 2 es una solución de la ecuación diferencial. Es también claro que z 1 soluciones se pueden relacionar en la siguiente forma: sn z 1 en z2 dn z2 1
-
e
+ Zz
= " es una solución. Las dos
+
en z 1 sn z2 dn z 1 k 2 sn2 z 1 sn2 z 2
Haciendo Zz = O, vemos que F {z¡} = sn z1• Entonces F (z 1 + Zz} = sn ( z¡ do buscado se deduce.
+
Zz) y el resulta-
DANIELUSER
297
TEMAS ESPECIALES
CAP. 10]
Problemas propuestos PROLONGACION ANALITICA 50. (a ) Demostrar que F 1(z) = z + tz2 + !z3 + !z4 + . · . converge para lzl (b)
=
Demostrar que ge para lz -
.
i""' -
1 In 2
il
< l.
.)3 +
z-i )2 ') ( + ( + 2 1+ 3 z- t 1- i
1 ( z-t 1- i
1
i
conver-
(e)
Demostrar que F1 (z) y F2(z) son prolongaciones analíticas, la una de la otra.
(d)
¿Puede usted encontrar una función que represente todas las prolongaciones analíticas posibles de F 1 (z)? Justificar la respuesta.
Resp. (d) - In (1 - z) 51.
Una función F (z) está representada en lz -
i
11 < 2
(- 1)" (z - 1)2" 22n + 1
n=O
Probar que el valor de la función en z
52.
(a)
Demostrar que F 1 (z) =
.["
(1
=
por la serie
5 es l/16.
+ t)e-zt dt
converge únicamente si Re {z}
> O.
o (b) Hallar la función que es la prolongación analítica de F 1 (z) en el lado izquierdo del plano. Resp. (b) (z 1) f z2
+
63.
(a )
Hallar la región de convergencia de F 1 (z) = región.
.["
e- <•+ u't dt
y construir la gráfica de esta
o
Hallar el valor de la prolongación analítica de F 1 (z) correspondiente a z = 2 - 4i. Resp. (a) Re {z + 1}2 > O, (b) ( -7 + 24i) / 625 (b)
54.
55. 56.
z +z2+z4+ 2 l-z 1- z4 1-zS
. ..
z/(1 - z)
<1 si lzl > 1 si lzl
(a)
Probar que
(b)
Discutir estos resultados desde el punto de vista de la prolongación analítica.
,.
{ 1/(1- z)
.
Demostrar que la serie ~ z 3 no se puede prolongar analíticamente más allá del circulo lz l = l. Si
..
~ a, zl$• n=l
1t=O
tiene lzl ~ 1 como una barrera natural, ¿esperaría usted que
..
~ (-1)" a, zB•
tenga
n= l
lzl = 1 también como barrera natural? Justificar la respuesta. 57.
Sea {zn}, n • 1, 2, S, . . . una sucesión tal ·que
,lim _., Zn
=
a, y supongamos que para t odo n,
Zn ;é
a.
Sean F(z) y G(z) analíticas en a y tales qu e F (zn) = G(z.), n = 1, 2, 3, . .. . (a) Probar que F (z) = G(z). (b) Explicar la relación del resultado en (a) con la prolongación analítica. (Sugerencia. Considerar el desarrollo de F (z) - G(z) en una serie de Taylor con respecto a z = a.)
PRINCIPIO DE REFLEXION DE SCHWARZ 58.
Resolver el problema 2 u tilizando el principio de reflexión de Schwarz.
59.
(a)
Dado que sen 2z = 2 sen z cos z es válido para todos los valores reales de z, probar que también es válido para todos los valores complejos de z.
(b)
¿Puede usted utilizar el principio de reflexión de Schwarz para probar que tan 2z - (2 tan z) 1 (1 - tan2 z)? Justificar la conclusión.
60.
Es el principio de reflexión de Schwarz, aplicable si la reflexión toma lugar en el eje imaginario, más bien que en el eje real? Demostrar los argumentos.
61.
¿Puede usted ampliar el principio de reflexión de Schwarz, para aplicarlo a una reflexión en una curva C'
1
DANIELUSER
298
1CAP. 10
TEMAS ESPr;CIALES
PRODUCTOS INFINITOS 62.
Estudiar la convergencia de los productos infinitos (u)
Resp. (a) conv.,
/J
1
(
1
+ ~),
(b)
(b) div., (e) conv.
.Jl ( -./k\ J,
63.
Probar que una cond ición necesaria para que
64.
Estudiar la convergencia de, (a)
I1 «
(b)
(
k=l
converja es que
k= 1
/1 ( + !), 1
" (1 + wk) I1
ñ ( 1 + cos k-:) k2+J
(e)
1 -
+
1
k =i
Resp. (a) div., (b) div., (e) conv.
k
)
yk2 + 1
•
(e)
lim w.
n-..::
e
I1
k =i
(1
Si un producto infinito es absolutamente convergente, probar que él es convergente.
66.
Probar que cos z =
67.
Demostrar que
4.)
( k z~) 2,.2 2
1
kÓ, (1 + !!~2b),
O.
+ cot-1 kZ).
65.
J]"'( 1 -
.
•
(a) converge absoluta y uniformemente en lado derecho del plano
R e {z} ;;; O, y (b) representa u na func.ión analítica de z para Re {z} j¡; O.
1 -z·
68.
Probar que
69.
Probar que
70.
Probar que (a)
senh z
(b)
cosh z
1 2'
71.
Utilizar productos infinitos para demostrar que sen 2z
72.
Probar que
lJ... ( 1 + k1 sen kz), 1
(a )
=
2 sen z cos z. Justificar todos los pasos .
converge absoluta y ••riformemente para todo z, y (b) representa
una función analítica. 73.
converge.
LA FUNCION GAMMA
74.
Hallar el va lor numérico de lo siguiente por aplicación de la función gamma. (a)
(b)
J"'o J"o
y3e- 2v dy
(e)
r~ y2e-2•' dy .Jo
(e)
1
u312c - 3u du
Resp. (a) 3/8,
(d)
(b) ~/36,
(
.Jo
(d) .._;:;;,
75.
Probar que r (z) =
76.
Mostrar que
77.
Si m, n y a son consten tes positivas, demostrar que
[ ' {In (1/t)}• -
•o
x-1• " f.
• 1
(
%2
)
dx = 1'(1
("
J
-o
1
(e) r (S/8) /Yz .¡
dt para Re {z} >o.
+ p)
x"' e - cu• dx
r (l - p ) ,
{ye - v'}ll4 dy
o
{In (1/t)} - 112 dt
(e) ..¡z:;:/ 16,
J~
·-1
< p
DANIELUSER CAP. 101
.. JoVt
e - zr
78.
Demostrar que
299
TEMAS ESPECIALES
~
.:;..._-dt =
J
si Re {z}
> O.
1
79.
Hallar el valor numérico de
(x ln x )4 dx.
o
Resp. 24 / 3125 Resp. (a) 16.¡';"/ 105,
80.
Hallar el valor numérico de, (a ) f'( -7 / 2), (b) P ( - 1 / 3) .
81.
. _ Demostrar que r(
82.
Probar que el residuo de r(z) en z = - m, m = O, 1, 2, 3, ... , es ( -1)m/ m!, definición.
83.
Utilizar la representación en productos infinitos de la función gamma para probar que
!
_
(-1)nt+ly';" 2m+ l _ , m - O, 1, 2, .... 1 • 3 • 5 · · · (2m+ 1)
- m) -
22• - t r(z) r(z +
(b)
O! = 1 por
donde
••
r (z) 1'(1 - z)
(a)
> O,
(b) - 3P(2 / 3)
senr.z
t>
...¡;¡ 1'(2z)
./ " -- 'J y senhr.y ·
IP(iy) l
84.
Probar que s i y
85.
Discutir el problema 84 si y
86.
Probar, (a) la propiedad 6, (b) la propiedad 7, (e) la propiedad 9 de las páginas 269 y 270.
87.
Probar que r(s)
88.
(a)
Utilizando la representación en productos infinitos de la función gamma, probar que para un en tero m positivo, m= r (z) l'(z + 1/m) r (z + 2/m) .. . l'(z + [m - 1]/m) r(mz) es una constante independiente de z.
(b)
Haciendo que z--'> O en el resultado de (a ), hallar el valor numérico de la constante y de este modo, establecer la propiedad 5, página 269.
r
< O.
= 4.-2/..¡5.
LA FUNCION BETA 89.
Hallar el valor numérico de,
90.
Hallar el valor numérico de lo siguiente utilizando la función beta (a)
J('' .
t - 11:1 (1 - t)213 dt,
(a) 8 (3, 5 / 2) ,
(b) B (l / 3, 2 / 3).
¡·1u2(1-u2) -112du, .
(b)
'"' O
.. O
(e)
Jo(S
Resp. (a) 16/ 315,
(9 - t 2)3i2dt,
'0
(d)
f.4 • o .,¡
Resp. (a) 4r./3 .;3, (b) "/4, (e) 243r./16, (d) r. 91.
92.
Probar que
Si a
>
B(m + 1, n ) B(m, n + 1)
O, probar que
-n .
.. J Va4d
o
B e)~ l.
D
{1'(1/4)}2
y
93.
Probar que
94.
Hallar el valor numérico de, (a ) ) _ sen°8 cos
B(p;l ,p;l)
-
4a.¡z; .
y4
2• estableciendo algunas restricciones sobre p.
t "'2
r:r/2 Vtan8 de.
(b) ) _ o
(b) 21
dt . 4t - t2
DANIELUSER
300 95.
1CAP. 10
TEMAS ESPECIALES
.!
Probar que B (m, n) = ~
(Sugerencia. Sea y
2
i
1
xm- 1
(1 + x)m+n
O
x /(1
+ :¡:n -
1
dx donde Re {m}
>O
y Re {n}
> O.
+ x).)
-
96.
Probar que
97.
(a )
Demostrar que si m o n (pero no ambas) es un entero negativo y si m es infinito.
(b}
Estudiar B (m, n ) cuando m y n son enteros negativos.
+n
ECUACIONES DIFERENCIALES 98.
Determinar los puntos singulares de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales y decir si ellos son regulares o irregulares.
+ 6Y = O zs)Y" + zY' + (z2 + 1) Y
{a)
(1 - z2)Y" - 2Y'
(b)
(2z4 -
= O
(e) z2(1 - z)2 Y"+ (2 - z)Y'
Resp. (a) z = ± 1, regular, (b) z = 2, regular; z 99.
=
+ 4z2Y
-O.
O, irregular, (e) z - O, 1, irregular
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando serie de potencias y hallar la región de convergencia. Si es posible, sumar la serie y demostrar que la suma satisface la ecuación diferencial.
Y" + 2Y' + Y = O, (b) Y" + zY = O, (e) zY" + 2Y' + zY - O. Resp. (a) Y ~ Ae - • + Bze - • 2z4 2·5 2•5•8 ) 1·4 - 1·4•7 z!l + ... ) (b) Y = A ( 1 - -z't + --z& + B( z- - +z1 zlO + . · · 4! 7! 10! 3! 6! 9! (a)
(e) 100. (o) (b)
y = A sen z + B cos z z
Si usted resolvió (1 - z2)Y" + 2Y = O sustituyendo !a solución tomada Y = l:anzn, ¿qué región de convergencia esperaría usted? Explicar. Determinar si sus expectativas en (a) son correctas realmente, encontrando la serie solución.
Resp. (b) Y - A (l-z2) 101. (a) Resolver Y" convergencia.
+ z2Y
+B (z - ~ 1•3
=
O sujeto a
z4 Resp (a.) Y = 1 - z - . 3•4
zS__
3•;,
Z
7
5· 7
_
· · ·)
Y(O} - 1, Y' (O) = -1, y
z5 z~ + 4·5 + 3·4 · 7 ·8 -
102. Si Y = Y 1 (z) es una solución de Y"+ p(z)Y'
z9
4 · 5·8 · 9
+ q(z) Y
-
(b) determinar la región de (b)
lzl < oo
=O, demostrar que la solución general es
( e- ! p(z) d.:
Y 103. (a ) Resolver z Y"
+ (1
+ B Y 1 (z) J {Y¡ (z)} 2 dz
A Y 1 (z)
- z) Y' - Y = O, y
(b) determinar la región de convergencia.
2
R esp.
(a)
Y = (A +Blnz)e•-
B{z + ~ !(1 + ~) +gT(l+-k +~) +
· · ·}
(b)
Jzl >O
104. (a) Utilizar el próolema 102 para demostrar que la solución de la ecuación diferencial del problema 103, puede e~rcribirse como
Aez +
Y
Be•
f
e-• -z-c;z
( b) Reconciliar el resultado de (a) con la serie solución obtenida en el problema 103. 106. (a) Resolver zY"
Resp.
(a)
Y
=
+ Y'
(A +
- Y B
tn
-
=
z) {
O, y
(b) determinar la región de convergencia.
tl~) 2 + (;;} + (;~)t + · · ·} 2
2Btl~)2 + (;:)2 ~1 + t>+ (;:)2 (1 + -! + il+ .. . }
DANIELUSER
CAP. 10]
301
TEMAS ESPECIALES
106. Probar que Y = Ve-!f"(<>d•
Y"+ p(z) Y'+
trasforma la ecuación diferencial
V"+
{q(z) -~p '(z) - ±fp(z)j2}V = O
q(z)
Y = O en
+ 2Y' + zY
107. Utilizar el método del problema 106 para encontrar la solución general de zY" (ver problema 99(c)).
= O
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRALES DE CONTORNO 108. Utilizar el método de iDtegrales de contorno para resolver cada una de las siguientes:
Y" - Y' - 2Y = O, (b) Y" + 4Y' Resp. (a) Y A c2z + Be-•, (b) Y (a)
=
+ 4Y
(e)
O,
:=
= Ae - Zz + Bze-2•,
109. Probar que una solución de zY" por
+ (a
- z)
+ 2Y' + 2Y =
Y"
(e)
O.
.
= e - •(A senz + B cosz).
Y
Y' - bY = O, donde Re {a} >O, Re {b} >O, está dada
y FUNCIONES DE BESSEL 110. Probar que J - n (z) = ( -l)n J n (z) para n = O, 1, 2, 3, ... . 111. P robar, (a)
d dZ {z• J n (z)} =
z" .J., - t (z),
112. Demostrar que (a) Jo (z) 2z2 J 2 (z) + c. 1
- J 1 (z),(b)
113. Demostrar que, (a) J112 (z) =
d (b) dz {z-n J. (z)}
J
z3 J 3 (z)
z3.12 (z)dz
..;z¡;z sen z,
(b) J-112 (z) =
+ e,-(e)
J
z3 J 0 (z) dz
.../2TiZ cos z.
114. Probar el resultado del problema 27 para valores no enteros de n. 115. Demostrar que Js/ 2 (z) sen z - J -3/ 2 cos z = V2/-G3. 116. Probar que J~(z)
= 1{J,._¡(z)- J,. .. 1 (z)}.
117. Probar que, (a)
J~'(z)
= ¡{Jn-2 (z) - 2 J. (z) + Jn+2 (z)}
(b)
J~" (z)
=
!{J._ 3 (z)-
3 J,. _ ¡(z)
+
3 J,. .. 1 (z) :__ Jn +3(z)}.
118. Generalizar los resultados de los problemas 116 y 117. 119. Por sustitución directa probar que J 0 (z) = -1 -.r
j o'" cos (z sen a) da
zY" + Y' + 120. Si Re {z}
> O,
121. Probar que, (a)
probar que
cos (a cos 11)
(b) sen (a cos 11)
j o"''
e->~
2
+1
2 J 2 (a) cos 211
+
2 J 1 (a) cos 11
122. Si p es un entero, probar que
-
123. Establecer la propiedad 8, página 272.
yz
.. 2 J 4 (a) cos 4~
2 Js(a) cos 38
" ~ n=
(Sugerencia. Utilizar la función generadora.)
O 1
=
J 0 (t) dt
J 0 (a) -
~y
-~
satisface la ecuación
J.(x)
+
J,_. (y)
+ ···
2 J5(a) cos 58
-
z3 J 1 (z) -
DANIELUSER
(CA P. 10
TEMAS ESPECIALES
302 124. Si Re {z}
> O,
125. Si Re {z}
>
~ n 2¡,t ,
probar que J • (z)
f" e*"- •'")
t- n
e
- 1
dt donde e es el camino de la figura 10-5.
O, probar que
j""
:1 cos (n~ - ;: sen ~) clq, - •o
J,(z)
126. (a ) Verificar que Y0 (z), dada por la ecuación (23) en la página 273, es una solución de la ecuación de Bessel de orden cero. (b) Verificar que Y, (z) dada por la ecuación (22) en la página 272 es una solución de la ecu\ción de Bessel de orden n. 127. Demostrar que,
(a)
z Y,_ 1 (z) -
(b)
d l&"{z•Y.(z)}
+
2n Yn (z)
=
z Y,.+ 1 (z)
o
z•Y. _ 1 (z}
d dz {z-• Y. (z)} = - z-n Yn+ 1 (z).
(e)
128. Probar que la solución general de
+
V"
+
es V = Vi{AJ.(z)
{1 -
130. Demostrar que la solución general de V''
rz{
V
A
=
1 jz.
+ zm- 2V
Jllm
= O es
C!zm!2) +
A J .(z)
(!zm/2)}
+ B Yllm
Demostrar que la solución general de la ecuación de Bessel Y
(b)
O
~21/4)} V
BY,(z)}.
129. Probar que J,.+l (z) Y ,.(z) - J,.(z) Y n+l (z)
131. (a )
(n2
B J. (z)
z2
f
Y"
+ z Y' + (z2
- n2)Y
=
O es
ct;
z J. (z) Reconciliar este resultado con el de la ecuación (24) , página 273.
FUNCIONES DE LEGENDRE 132. Obtener los polinomios de Legendre, Resp. (a) ~(5z3- 3z), (b) kC35z• - 30z2
P;,_ , (z)
133. Probar, (a) P~ • 1 (z) 134. Probar que
nP;, 1 (z) -
=
(2n
(2n+l)zP,;(z)
1~6.
Probar que P 2.(0)
=
+ 3),
(e) P 5 (z).
(e) i(63z5 - 70z3
+ 1) P • (z), +
(b) P 4 (z),
(b) (n
(n+ l)P~_ 1 (z)
+
15z)
+ ll P • (z) =
P:, .- 1 (z) -
z P ~ (z).
O.
(b) P 2 ,,+ 1 (O) = O.
135. Probar que, (a) P. (-1) = (-1)•, •
(a ) P3 (z),
(~tG)U)(~)-··( 2n;l)
( _ 1)" 1 • 3 • 5 · · · (2n - 1) . 2 • 4 • 6 · · · (2n)
-137. Verificar la propiedad 2, página 273. 138. Si [n /2) denota el entero más grande < n/2, demostrar que (n/2)
k
~
( -l)k
(2n- 2k)!
=o 2" k! (n - k)! (n - 2k)!
z•-•
139. Probar que la solución general de la ecuación de Legendre (1 - z2)Y" - 2zY' para n = O, 1, 2, 3, . . . es
y
A P.(z)
+
B Q.(z)
donde
+ n(n + l)Y
=
Q.(z)
140. Utilizar el problema 139 para encontrar la solución general de la ecuación d iferencial (1 - z2) Y" 2zY '
+ 2Y
-
O.
_ Resp. Y
=
Az
+B
{ 1
+ tz In
G~ D}
O
DANIELUSER
CA P. 101
303
TEMAS ESPECIALES
LA FUNCION ZETA 141. Si Re {z}
> O,
probar que
1
1
1: + . 2< +
s(:z)
1 3•
1
+ ...
" i
t<-1 dt
r(z)
0
et -1
_2
" donde 2, 3, 5, 7, . . . representan números 6
142. Probar que primos.
143. Probar que la única singularidad de r, (z) es un polo simple en z = 1 cuyo residuo es igual a l. 144. Utilizar la prolongación analítica de l;(z) dada por la ecuación (33), página 274, para demostrar que, (a) r, ( -1) = -1 / 12, (b) t;( -3) = l / 120. 146. Demostrar que si z se remplaza por 1 - z en la ecuación (33), página 274, la ecuación queda la misma. LA FUNCION HIPERGEOMETRICA 146. Probar que,
+ z) =
(a)
In (1
(b)
tan - l z z
=
z F(1, 1; 2; -z)
F(1/2, 1; 3/2; - z2).
147. Probar que cos 2..z - F (a, - a; 1 / 2; sen2 z) .
148. Probar que
d
~ F(a+1,b+1; e+1; z) . e
di F(a, b; e; z)
149. Si R e {e -a - b}
>O y e
~O,
-1, - 2, ... , probar que
F(a , b; e; 1}
r(c) r (c- a- b) r (c - a) r(c- b)
160. Probar el resultado (31) , página 274. 161. Probar que,
(a)
F(a, b; e; z)
-
(b)
F(a, b; e; :z)
(1 - z)c -a-b F(e-a, e-b; e; z) (1 - z) -a F(a, e-b ; e; z/[z- 1 ]).
162. Demostrar que para lz - 11 < 1, la ecuación z (l - z) Y" ne la solución F (a, b; a + b - e + 1; 1 - z ).
+ {e
- (a
+ b + 1) z}Y'
- abY = O tie-
DESARROLLOS ASINTOTICOS Y EL METODO DEL PUNTO SILLA 163. P robar que
e - •ri' { 1 _ 1 .L 1 • 3 _ .. . _ ¡n 1 • 3 • 5 .. · (2n -1)} 2pz 2p2:z ' (2p 2:z)2 (2p2%)" ( ) • (- l )n+ l1•3 •5 · .. (2n + l ) ( "' e-zt' dt (2z)"+ l )_ t2"+2
"
y así obtener un desarrollo asintótico para la integral de la izquierda. 154. Utilizar el problema 153 para verificar el resultado (48) en la página 276. 155. Hallar el valor numérico de 50! .
Resp. 3,04
x 1064
156. Demostrar que para grandes valores de n, 1 • 3 • 5 · · · (2n - 1) 2 • 4 • 6 · · · (2n)
1
y;ñ"
DANIELUSER
304
TEMA:) E SPEC IAL ES
..: f e- •• '" J +
1 57. Obtener los desarrollos asintóticos: :c 2 1 ... (; 1 (a) e dt 2 \1 ;1 1 - 2z • o 1 + t2 l (b)
o 1
f
dt
-
t
1
1!
z
z:!
+
1•3
1. 3.5 (2z)3
+ (2z)2
2!
3!
z3
:?:'
-
[C AP. 10
+ .. . }
.
.
.1.
1 58. Verificar el desarrollo asintótico (49) en la página 276,
159. Utilizar series asintóticas para hallar el valor numérico de Resp. 0,915, aprol
dt
Jo
F~O) + F'(O) ~z:i;:.! +
-
F"(O) z3
+ ···
161. E jecutar los pasos necesarios con el fin de ir desde (4) a (5) del P,roblema 86.
162. P r obar el desarrollo asintótico (46) , página 276, par a la función de Bessel.
168. S i F(z) (a) (b)
F(z)
G(~ -
y
+ G(z)
b
~
~ ~. probar que
n= O
zn
-
F (z) G(z) -
donde
1 64. Si
probar que
Cn
J~
=
n
~
k=O
akbn - k·
F(z) dz -
z
.,
~ n=2
a,.
(n -1) z"
1•
165. Demostrar que para grandes valores de z,
1
dt
Jo
(1
+ t2)•
~ {z~2
-
+
3 8z-1/2
+
25 128zSI2
+ ·· -}
FUNCIONES ELIPTICAS 166. Si O
< k < 1,
probar que
f
K -
167. Probar, (a) 168. S i k -
yl
0
+ . . -}
k2sen2 e
sn 2z "" 2 sn z en z dn z 1 k2 sn• z '
../3/2,
169. P r obar que
"'2-:r.=d~.e¡==;;=
en 2z
(b)
Y273,
demostrar q ue, (a) sn (K/2) :: sn A en A
+ s n. B +
170. Probar que, (a) sn (4K
en B
=
+ 4iK') =
t n f( A
(b) en (K/2)
=
M .
(e) dn (K/2)
dn f (A - B ).
O, (b) en (4K
+ 4i K' ) =
l , (e) dn (4K + 4iK') -
1.
+ ~( 1 + 14k + k4)zS + ... fz2 + 2,4 (1 + 4k2)z4 + ... fk2z2 ..,.' :!4 k2(k2 + 4)z4 + ...
171·. Probar: (a)
sn z
z - ·i<1 + k2)z3
(b)
en z
1
(e)
dn z
1
172. Probar que
... J ,
+ B)
1 - 2 sn2 z + k2 sn4 z 1 - k2 sn4 z
dt
vt<-1
1 73. UtiHzar integración de línea para probar los resultados del problema 40 (b) y (e).
=
-/li2.
DANIELUSER
CAP. 101
305
TEMAS ESPECIALES
f'"'
dq, 2 dq,¡ donde k 1 yl k2sen2 q, 1 + k yl k2sen2 q, 0 1 0 utilizando la trasformación de Landen, tan
174. (e)
S @
Demostrar que
< k < 1,
=
/L 2vk/(l +k)
< k¡ < l.
(b)
Si O
probar que k
(e)
Demostrar que por aplicaciones reiteradas de la trasfonnación de Landen, se obtiene una sucesión de módulos k,., n = 1, 2, 3, . . . tal que lim k,. = l. Por esto, demostrar que si 9 = lim cj>,., n-~
j
,.¡, 0
Vl -
/ k ¡ k2 k3 . . . In tan (" k 4
dg,
\J
k2sen2 q,
+
!)
n-~
2
Explicar cómo, el resultado en (e) se puede utilizar en la determinación del valor numérico de integrales elípticas.
(d)
175. ¿Es tn z = (sn z) /(en z) una función doblemente periódica? Explicar. 176. Deducir las f6rmulas de adición para, (a) en (z1
+ zz},
(b)
dn (z1
+ z2 )
dadas en la página 277.
PROBLEMAS VARIOS 177. Si
IPl <
1, demostrar que
Jhf"'2 tanP 8 de o
178. Si O
< n < 2,
demostrar que
179. Si O
< n < 1,
demostrar que
= ;!,. sec (pr./2).
.
,. ese (n,-/2)
~ sent dt
fo tn f"' e~! ~ dt
2 r(n)
=
o
r. sec (nr./2)
2 r(n)
180. Probar que la solución gene!al de (1 - z2)Y" - 4zY'
Y
A F(5/2, -1; 1/2; z2)
fo"' sen t3 dt
181. Demostrar que, (a)
;Cb}
[
..
•o
i
O está dada por
+ Bz F(3, - 1/2; 3/2; z2)
I'(l/3) .
+ Y' + zY
182. (a) Encontrar una solución de zY"
=
r(1/3)
V:
cos t,3 dt
+ lOY
= O que tiene la forma (In z) (
verificar el resultado (23) dado en la página 273. (b) ¿Cuál es. la solución general?
i
a.kzk) ,
k=O
y así,
183. Utilizar el método del problema 182 para encontrar la solución general de
+ (z2- n2)Y =O zU" + (2m+ 1)U' + zU
z2Y" + zY' 184. Demostrar que la solución general de
z - m {A Jm (z)
U
+
(Ver ecuación (22), página 272.) = O es
1 1
BY,. (z}}
Ü!5. (a) Probar que zl/2 J 1 (2i zl/2) es una solución de zU" - U = O. (b) ¿C,1ál es la solución general?
Resp. (b) Y = z112 {A J 1 (2izl12) 186. Probar que
{J0 (z)}2
187. Probar que
,¡tcos"'
188. Probar que
+
2{.J 1 (z)}2
1"(.!) :::: -y'"; (y
Demostrar que
"" j - t-
e-<
z
(b)
B Y¡(2izl12)}
+
2{J2 (z)}2 "' :,S
J 0 (z sen a)
~
189.· (a)
+
P (ces a)
n
n=O
+
dt
+ · ··
n!
l.
\
z".
2 In 2).
=
-
y -
lnz
+ z -
zZ
2 . 2!
zS + .,...-..,.-:- ... 3. 3!
¿Es el resultado en (a) conveniente para.encontrar el valor dl! con el problema 159.)
'
-e-< d' t. Explicar. (Comparar t
DANIELUSER
306
TEMAS ÉSPECIALES
190. Si m es un entero positivo, 'demostrar que F(i, - m;
d-<
r./2
192. Probar que
fo
VI -
.
t- m; 1)
1 • 3 • 5 · .. (2m- 1) ·
= 2 F(·k · t; '1 ; k ).
>
2
.
';r
'jJ
k2sen2
1CAP. 10
193. Las funciones asociado.s de Legendre están definidas por
dm
p~ml (z)
(1 - z2)ml2' .:.._ p (z) dzm
Pá2l (z).
(a)
Determinar
(b)
Probar que p~ml (z) satisface la ecuación diferencial
J
1
Probar que
(e)
(1 - z2)Y" -
+ { n(n + 1)
2zY'
p~m) (z) Pfml (z) dz
-1
= O si n
-
n
o
m2} y
1-z2
~ l.
Esta se llama la propiedad de ortogonalidad para las funciones asociadas de Legendre. Resp. (a) 15z(1 - z2) 194. Probar que si m, n y r son constantes positivas,
J
l xm-1(1-x)"-1 dx o (x + r)m+n
(Sugerencia. Sea x = (r
B(m,n) rl" (1 + r)"'+"
+ l)y j(r +y).)
195. Probar que si m, n, a y b son constantes positivas,
f
r./2
0
sen2m-l 6 cos2n - lg de (asen2 e + b cos2 e)m +"
B(m,n)
2a" bm
(Sugerencia. Sea x = sen2 O en el problema 194 y elegir r apropiadamente.) 196. Probar que,
(a)
(b)
z 2 z2
8
J 1 (z) + 3J3 (z) 12J2 (z)
+
+
+ .. ·
5J5 (z)
22J4 (z)
+ 32J6 (z) + · ···
197. Si m es un entero positivo; probar que, (a)
Pzm (z)
(- 1)"'(2m)! li'(_:_m m + .l· ~- z2) 22m (m !)2 ' 2' 2'
(b)
Pzm+ 1 (z)
(-1~"'(2m +l)!zF(-
22"'(m!)2
m,m
+a.a . 2 ¡ 2,¡¡,z
198. (a) Probar que 1/ (sn z) tiene un polo simple en z Resp. 1
O, y (b) encontrar el residuo en este polo.
=
199. Probar qué
200. Si
!zl < 1, probar la identidad de Euler: (1 + z)(1 + z2)(1 + z3) · · •
201. Si lzl
<
1, probar que (1 - z)(l - z2)(1 - z3) · · · ·=
1
"' + ~
(-1)" {zn(3n-1)/2
n= l
202. (a)
z
Probar que 1 + z lzl > l.
~
+ '(-;-l--:+-z-i)7.(1;-+-:-z= 2¡
~
1 (1 - z)(l - z3)(1 - z5) · · · ·
+
z11(~n +l)/2} .
.
+ (1 + z)(1 + zZ)(1 + z•) + · · ·
converge para
lzl < 1
y
(b)
Demostrar que en cada región la serie representa una función analítica, digamos F 1 (z) y Fz(z) respectivamente.
(e)
¿Son F1 (z) y F2(z) prolongaciones analíticas, una de la otra? ¿Es F 1 (z) = F2(z) idé.n ticamente? Justificar las respuestas.
DANIELUSER CAP. 10)
203. (a) (b)
307
TEMAS ESPE CIALES Demostrar que la serie
i =i-
converge en todos los puntos de la región )z) < l.
1 1t
l'l •
Demostrar que la función representada por toda prolongación analítica de la serie en (a) tiene una singularidad en z = 1 y reconciliar esto con el resultado en (a) .
204. Sea :E anzn que tiene un círculo finito de convergencia C y sea F(z) la f unción representada p or toda prolongación analítica de esta serie. Probar que F(z) tiene por lo menos una singularidad sobre C. 205. P ro b ar que
en Zz + dn 2z _ d 2 n z. 1 + en Zz
206. Probar que una función que no es idénticamente constante, no puede tener dos periodos cuya razón es un número irracional real. 207. Probar que una función, no idénticamente constante, n o puede tener tres o más periodos independientes. 208. (a) Si una función doblemente periódica es analitica en toda,; partes de una celda (paralelogramo de periodo), probar que ella debe ser una constante. (b) Deducir que una función doblemente periódica, no idénticamente constante, tiene por lo menos una singularidad en u na celda. 209. Sea F (z) una función doblemente periódica. (a) Probar que si C es la frontera de su paralelogramo de período, entonces
f_e F(z) dz -
O.
(b) Probar que el número de polos dentro de un paralelogramo
de periodo es igual al número de ceros, teniendo en cuenta sus multiplicidades.
210. Probar que las funciones elípticas jacobianas sn z, en z y dn z, (a) tienen exactamente dos ceros y dos polos en cada celda, y que (6) cada función toma un valor dado, exactamente dos veces en cada celda. { 1"(1/3)}2
211. Probar que
4! 6! . -+ .. .
212. Probar que 213. Probar que
zS
P, (cos e)
2{
z'
1 • 3 • 5 · · · (2n- 1)1 [ ~ cos ne 2 • 4 • 6···(2n) l.
J
+ (Sugerencia. 1 - 2t coso
+ t2
+
1 · 2n , 2 (Zn _ 1) cos h - 2)e
1 • 3 • 2n(2n - 2)
2 • 4 • (2n - 1)(2n - 3)
cos (n _ 4 )8
+ ... l
r
"" (1 - te'e)(1 - te - ie ).)
214. (a ) Probar que I'(z) es una función meromórfica, y (b) dete.r minar la parte principal de cada uno de sus polos. 215. Si Re {n}
> -1 / 2,
probar que
--·
J,. (z)
J·' + tl
- --=,....::.z•_ _
2•v:.:- r(n
ci:r
(1- 12)•-112 dt
-1
z·v:.:-"1~~n + -/;) .f"" cos (z cos e)sen o 216. Probar que
fo"' t" J
m (t)
clt
2• r (m+ ;.-+· 1) r(m-;t+l)
=
2
217. Probar que
... l'(p
("' cos• e cos qe de
Jo
218. Probar que {r(i) }2
4..¡;
de
•rr/2
f
•o
·. /1-
{sen2 e
+ 1)
2n
e de
DANIELUSER
IN DICE
de lemniscata, 230 de lúnulas, 208 de parábola, 209, 211, 229 de polígonos, 205, 219-222, 224 de rectángulos, 210, 212 de regiones cuneiformes, 226 de Riemann, teorema de la, 202, 203, 234 de semicírculos, 207, 208 de triángulos, 210, 222, 223 de un sector, 206, 208 de un semi-plano sobre el círculo, 204, 205, 217, 218 del círculo unidad, 204, 205, 208, 217, 218 especiales, 206-212, 219 uno-uno, 201 Arcos, 68 (ver también Curvas) Area, de una elipse, 114, 115 de una región, 114, 115 de un paralelogramo, 6, 21 de un triángulo, 22 factor de aumen.to de, 202, 215 limitada por una curva simple cerrada, 114, 115 Arg z, (ver Argumento} Argand, diagrama de, 3 Argumento, 4, 18 generalización del, 138 prueba del, 128, 129 teorema del, 120 Armónicas, funciones, 64, 65, 71, 74, 75, 86,
Abe!, teorema de, 144
Abiertas, regiones, 7, 22, 23 Abierto(s), conju ntos, 7, 22, 23 intervalo, 2 Absoluta, convergencia, 141, 148, 149 converge ncia y, 142, 160 de productos infinitos, 267, 268 de series de potencias, 153 Absolutamente, series convergentes, 141, 142, 148, 149, 153, 160 teoremas sobre, 142 Aceleración, a lo largo de una curva, 70, 83, 91 centrípeta, 83 Acotados(as), conjuntos, 7, 22, 23 funciones, 39 sucesiones, 142 Adición, de números complejos, 2, 6 de números reales, 1 de vectores, 10, 11, 15 elemento neutro con respecto a la, 1,3 fórmulas de, para funciones elípticas, 277, 296 ley asociativa de la, 3, 8 ley conmutativa de la, 3, 8 opuesto respecto a la, 1, 3 Aerodinámica, 225, 235 Aerodinámico, plano, 225 de Joukowski, 225 Aislada, singularidad, 68, 80, 81, 145 comportamiento de funciones analíticas cerca de, 161 Ala de un aeroplano, 225 Ala, flujo alrededor de un, 239 Al¡¡ebra, teorema fundamental del (ver Teorema fundamental del álgebra) Alterna, corriente, 92 Alternadas, criterio para l2S series, 143 Amplitud, 4 Analítica, funciones, 64, 67 condiciones necesarias y suficientes para, 64, 73-75 elementos de, 147, 266 en una vecindad de una singularidad, 161 funciones armónicas y, 132 parte imaginaría de, 85 parte real de, 85 y aplicación conforme (ver Aplicación conforme) y continuidad, 64, 72, 73 Angulo entre vectores, 21 Angulos, conservación de, bajo aplicaciones, 202, 214, 215, 230 (ver también Aplicación conforme} Aplicación(es}, 33, 41 -43, 201 (v('r también Trasformaciones) conforme (ver Conforme, aplicación) de cardioide, 211, 230 de cicloide, 229 de elipse, 210, 221, 225 , de exágonos, 231 de fajas, 206, 207, 211, 212, 22() de hipérbola, 229 de hipocicloide. 230
233, 234, 242-244 bajo aplicaciones o trasformaciones conformes, 243 obtenidas de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, 74, 75 para un círculo,. 120, 121 para un semi-plano, 121 relación de las, a las funciones analíticas, 132 y fórmulas integrales de Poisson, 120, 121 Armónico, movimiento, simple, 83 Asintóticas, series, 'l75 Asintóticos, desarrollo, 275, 276, 289-291, 295 de funciones de Bessel, 276, 295 de la función de error, 276 de la función gamma. 276, 290 especiales, 276 Atracción entre cargas eléctricas, 239 Aumento, fac.t or de, 202, 215 Axiomático, fundamento, del sistema de los números complejos, 3, 13, 14 Base de logaritmo, 35 Bernoulli, números de, 172, 'l7 4 teorema de, 239 Bessel, ecuación diferencial de, 271, 272 solución general de la, 272, 273, 285 Bessel, funciones de, 162, 271, 'l72 primera y segunda clase, 272 desarrollo asintótico para, 276, 297 fórmula de recurrencia para, 'l72, 287 función generadora para las, 'l72 Beta, función, 223, 270, 283 relación .de la, con la función gamma, 270, 283 Biarmónica, ecuación, 264
308
DANIELUSER INDICE Bilineal, trasform ación, 35, 204, 217, 218 razón cruzada de, 204, 217 trasformación de círculos en círculos utilizando la, 218 usos de la, en aplicaciones del circulo sobre un semi-plano, 204, 205, 217, 218 Binomial, coeficiente, 16 Binomial, fórmula o teorema, 16, 144 usos del, para obtener series de Laurent, 158, 159 Blasíus, teorema de, 239, 251-253 Bolzano-Weierstrass, teorema de, 8, 23 Borel, teorema de Heine, 8 Cables, líneas de trasmisión por, 257 Calor, aplicaciones, flujo de, 241, 242, 255, 256 Cambio de variables en integración, 94 Camino, independencia del, 97, 103, 107 Campo, 3 de fuerza, 112 intensidad de, 239, 240 Capacitancia, 241, 256, 257 Carga, distribución de, 240 línea de, 240, 241 potencial debido a u na, 253 Carga eléctrica, 239 potencial debido a u na (ver Potencia) Casorati-Weierstrass, teorema de, 146 Cauchy, criterio de convergencia de, 142 desigualdad de, 119, 125, 170 prueba de la desigualdad de, 125 Cauchy, fór mulas integrales de, 119. 121-124 para regiones múltiplemente conexas, 124 prueba de las, 121-123 Cauchy-Goursat, teorema de, 96, 104-107 (ver también Cauchy, teorema de) prueba del, para curvas simples cerradas , 106, 107 prueba del, para polígonos cerrados, 105, 106 prueba del, para regiones múltiplemente conexas, 107 prueba del, para un triángulo, 104, 105 recíproco del, (ver Morera, teorema de) Cauchy-Riemann, ecuaciones de, 64, 73-75 forma polar de las, 84, 85 funciones armónicas que se obtienen de, 74, 75 gradiente y, 71 prueba de las, 73, 74 Cau chy, teorema de, 96, 104-107 (ver también Cauchy-Goursat, teorema de) consecuencia del, 97, 98, 107-109 prueba del, 104 recíproco del, (ver Morera, teorema de) Cauchy, valor principal de, para integrales, 175 Celda, Z78, 294 Centrípeta, aceleración, 83 Cer. troide, 115 Cero, 1 Ceros, de funciones trigonométricas, 45 de poli no mios, 5, 20 número de, 120 orden de, 68 simple, 68 Cerrada, curva simple, 69, 94 área limitada por u na, 114, 115 exterior de una, 95 interior de una, 95 Cerrados(as), conjuntos; 7, 22, 23 (ver también Clausura) curvas, 69 ·(ver tam bién Curva simple cerrada)
i ntervalos, 2 regiones, 7
Christof fel- Schwarz, trasformación de. 205, 219-224 Cicloide, 114 apl icación de una, 229 Cilíndrico, fuerza sobre un obstáculo, 252, 253 Circulación, 235. 250 en torno a un vértice. 250 flujo con, 237, 250, 251 Circular, obstácu lo, flujo a lrededor de un, 238, 239, 247, 251 Círculo, aplicaciones de, 204, 205, 208, 217, 218 de convergencia, 141, 144, 151 fórmulas integral es de Poisson para un, 120, 130, 131, 234 funciones armónicas para, 120. 121 unidad, 5, 202 Clausura, de un conjunto , 7, 22, 23 ley o propiedad. 1, 8 Cociente, 1 criterio del, 142, 150 de números complejos, 2, 4 Coeficiente binomi al, 16 Compacto, conjunto, 7, 22, 23 Comparación, criterio de, 142 prueba del, 149 Compleja, variab le, 2, 33 funciones de una, 33 Compleja, velocidad, 236 Complejos, conjugados, 2, 9 coordenadas, 7 (ver también Conjugadas, coordenadas) diferenciación, 64, 92 (ver tam bién Diferenciación) Complejos, números, 2 adición de, 2, 6 cociente de, 2, 4 como parejas ordenadas de números reales, 3 división de. 2 form a polar de los, 4, 14, 15 fundamentos axiomáticos de, 3, 13, 14 igualdad de, 2, 3 interpretación vectorial de, 5 multipl icación de, 2 operaciones fundamentales con , 2, 8, 9 parte imaginaria de los, 2 parte real de los, 2 producto de, 2-4 representación es férica de, 6 representación gráfica de, 3, 4, 10-13 resta de, 2 valor absoluto de, 2, 4 Complemento, de un co njunto, 8, 22, 23 de una región , 95 Componentes de un vector, 10 Compuestas, funciones, 39, 66 Conde nsador, 241 Condic;ional, convergencia, de productos infinitos, 267, 268 de series infinitas. 141, 142 Conductivid'ad térmica, 241 Conductores perfectos, 241 Conexas, regiones, 95 simplemente (ver simplemente conexas, regiones) Conexos, conjuntos, 7, 22, 23 Conforme, aplicación, 201 -232 (ver tam bién Aplicación) condiciones para una, 202
DANIELUSER
310 definición de, 202 funciones armónicas bajo, 243 problemas de Dirichlet y )Jeumann y, 234, 235 (uer también Dirichlet, problema y Neumann, problema) solución de problemas de valor frontera por, 233-265 Conjugadas, coordenadas, 6, 22, 70 ecuación del círculo en, 22 teorema de Green exprespdo en, 96, 103, 104 y el operador delta, 70, 83, 84 Conjugadas, de un número complejo, 2, 9 funciones, 64, 233 parejas, 20 Conjuntos, 1 abiertos, 7, 22, 23 acotados, 7, 22, 23 cerrados, 7, 22, 23 clausura de, 7, 22, 23 complemento de, 8, 22, 23 conexos, 7, 22, 23 de puntos, 7, 8, 22, 23 de puntos en el plano complejo, 3, 6 disyu ntos, 8 elementos de, 7 intersección de, 8, 23 ley distributiva para, 23 numerabilidad de, 8, 22, 23 ortogonales, 288 puntos exteriores de, 7 puntos fronteras de, 7, 22, 23 puntos inte riores, 7, 22, 23 subconjunto de, 1, 2, 8 uni ón de, 7, 23 Conmutativa, ley, de la adición, 3, 8 de la multiplicación, 3, 8 Constante de integración, 96, 97 Cont inua, curva o a rco, 68 funci ón (uer Continuidad) Conti nuidad, 39, 54 ecuación de, 235 en una región, 39, 40 teorema sobre, 39 uniforme, 40, 54 y analiticidad, 64, 72, 73 y convergencia uniforme, 143, 152 Contorno, 70 Convergencia, absoluta (ver Absoluta, convergencia) círculo de, 141, 144, 151 condicional (ver Condiciona l, convergencia) criterio de Cauchy para la, 142 criterio para, 142, 143, 149-151 de productos infinitos (uer Infinitos, productos) de series de potencias, 144 de sucesiones, 40, 54, 55, 140, 147, 148 radio de, 140, 150, 151 uniforme, (uer Uniforme, convergencia) Convergente, series, 41, 54, 55, 140, 148 condiciones necesarias para 41, 55, 140, 142 Convergente, sucesiones, 40, 54, 55 Coordenadas, conjugadas, 68 (ver también Conjugadas, coordenadas) curvilíneas, 34, 42 polares, 4 rectangulares, 3, 34 Corona, 144, 212 aplicac ión de una, 212 Corriente alterna, 92
IN DICE función de, 236, 246 Corte de ramificación, ;,7, 44 Cotas superiores, 62, 94 Coulomb, ley de, 239 Criterio de la raíz, 142 Criterio del cociente, 142, 150 prueba del, 150 Criterios para convergencia, 142, 143, 149-151 de comparación, 142, 149 de Gauss, 143 de la integral, 143 de la raíz, 142 de Raa be, 143 de series alternadas, 143 Cñticos, puntos, 202, 215 Cruzada, ra~ón, 204, 217 invarianza, de In, 204 Cuadrática, ecuación, 19 Curvas, 69, 90 aceleración a lo largo de, 70, 83, 91 continuas, 69 coordenadas, 34 de corriente, 236 de Jordan, 95 de longitud infinita, 112, 113 dirección o sentido de, 70, 95 .fa milias de, 69 integrales a lo largo de, 93 (ver también Integrales de línea) lisas, 69, 70 ortogonales, 69, 82 rectificables, 93 simple cerrada (ver Cerrada, curva simple) tangentes a, 70, 84 vector normal a, 71, 84 velocidad a lo largo de, 70, 83 Curvilíneas, coordenadas, 34, 42 De Moivre, teorema de, 4, 15-18 en términos de la fór mula de Euler, 5, 16 prueba deL 16 Definidas, integrales, 93 cálculo de, por residuos, 174, 175, 180-189 Delta, 70, 83, 84 vecindad, 7, 23 y coordenadas complejas conjugadas, 70, 83, 84 Denom inador, 1 Densidad de un fluido, 239 Derivada, 64, 72, 73 anti, 96 de funciones elementales, 66, 67, 75-79 de funciones mu ltivocas, 66, 67, 77, 78 de orden s uperior, 67 de series de potencias, 143, 144, 153, 154 interpretación geométrica de la, 65 operador, 66 Desarro llos, asintóticos (uer Asintóticas, series) en serie (ver Series) Determinantes, jacobiano (ver Jacobiano) Determinantes, regla de multiplicación para, 216, 231 Diagonales de un parale logra mo, 2 Diagrama de Arga nd, 3 Dieléctrico, constante, 239, 257 Diferenciabilidad, 64 (ver también Analítica, funci ón) continuidad y, 64, 72, 73 Diferenciación, compleja, 64-92 bajo el signo integral, 175, 176, 183 de series, 143, 144, 153, 154 regla de la cadena para, 66, 78, 85, 86
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IN DICE reglas para, 66, 75-79 Diferenciales, 65, 66, 71\ par te principal en, 6.? reglas para encontrar, 66 Dife reuciales, ecuaciones, 92, 270, 271, 284-ZBt> de Bessel, 271-273, 285 de Gauss. 274 de 1-egendre, 273, 274 hipergeométrica, 274 parciales (uer Diferenciales parciales, ecuaciones) puntos ordinarios de, 270 puntos singulares de, 270, 284, 285 so lución de, por integrales de linea, 271, 285, 286 solución general de (ver Solució n ge nera l) Diferenciales, operadores, completos, 70 Diferencia les parciales, ecuac iones. 86, 87, 233 problema~ de Dirichlet y de Neu mann y (ver Diric hlet, prob lema de y Neu mann, problema de) Dilataci ones, 203, 213, 218 Di námica de fluidos, 235 (uer también Fluido, flujos de) Dipolo, 238, 241 momento de un , 238 Dirección de u n vector, 5 Dirección o ~entido contrario al movim iento de las manecillas de un reloj, 70, 95 Dirección o sent ido da una curva, 70 Dirichlct, pmblema de, 233, 234, 244-246 (ver también Neumann, problema de) pa ra el círcu lo unidad, 234 pa ra el semi-plano. 234 solución del, por aplicación conforme, 234, 235 Disco unidad, 202 Discontinua, función, 39 (uer también Continuidad) Discontinuidades, 39 (uer también Singularidades) evitables, 39, 54 Distancia, entre dos puntos, 2, 4, 12 en el plano complejo, 4 Distributiva, ley, 3. 9, 14 para conjuntos, 23 Disyu ntos, conjuntos, 8 Divergencia, identidades donde int erviene la, 70 de funciones. 71 , 83, 84 de suces iones y series, 40, 41, 140 (uer tam bién, Con vergencia) Di ve rgente, sucesiones, 40 series, 41, 140 (ucr también Convergencia) Di visión, de números complejos, 2 de números r eales, 1 Doble, polo, 159 Doblemente periódicas, funciones, 238, 241 Dominio, 7, 22, 23 Duplicación, fór mula de, para la función gamma, 269 Ecuación, bia rmónica, 264 característica, 271 de continuidad, 235 de cuádricas, 19 de la línea recta en forma paramétrica, cartesiana, y simétrica. 13 de Laplace (uer Laplace, ecuación de) del circulo en coordenada~ conjugadas, 22 polinomial (uer Polinomial, ecuación) producto de las raíces de una, :.!0
raíces de, 5, 18. 20 sohu:i•>ne~ de, 18 suma de raíces de u na, 20 Bcuaciones. paramétricas, 41. 62 de una trasf~rmaciún, 201 Eje imaginario. 4 real. -1 X Y y, 3 .!:lasticidad, teoría de, 264 Eléctrica, cargas, 239 potencial debido a (ucr Potencial) Electricidad, teoría de la corriente alterna en, 92 E léctrico, intensidad del campo, 239, 240 Electro~tática, aplicaciones a, 239, 241 p otencia l complejo en, 240, 253·255 t eore ma de Gauss en. 240 E lect rostático, potencial. 239, 240, 253-255 compl ejo, 240, 253-25f> fuentes y sumideros en , 241 Elementales, fu nciones, ~-38, 46· 49 deri vadas de, 6(), 67, 75 -79 Element o(s) de, fu nciones, 266 un conjunto, 7 una función analíti~a. 147, 266 E lipse, área de la. 114. 231 aplicación de la, 210. 225 trasformación de la, sobre el eje real, 222 E líptica, integral, 277, 278 (u~r también E lípticas, funciones) de primera clase, 277 de segunda clase, 277 de tercera clase, 277 Elípticas, funciones, 277, 278, 291-294 fórmulas de adici'ón para, 277, 296 jacobiano de, 277 períodos de, 277, 293, 294 Encajados, triángulos, 105 Enteras, funciones, 146, 147 representación en producto infinito de las,
268 Ent
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312 Exponencia l. imegral. 276 desarrollo a~intóticn de la. 276 Exponenciales. funciones. 35 relación de. a la~ funcione~ t.rignnomét ricas, 16. 17, 3.'í Extendido, plano complejo, 6 Exterior de una curva ~implc cerrada, 95 Exterior, punto. i Factorada. forma de una ecuación polinomial, 5 Factorial, función. 269 (tw también Gamma, función) Fajo. aplicación de una. 206, 207. 211, 212, 220 Familias, de curvas, 69 ono¡¡onal, 69. 82 Fase estacionaria, método de, 276 (uer también Punto silla, método del) Fijos o i (!variantes, puntos, de una t rasformación 203, 218 Fluido, densidad del, 239 dinámica de, 235 (uer también Flujo de fluidos) ideal, 235 incompresible, 235 pres ión en un, 239, 252 real, 235 viscos<¡, 235 Fluido, 11ujo de, aplicaciones a, 235·239, 246·251 (uer también Flujos) fuentes y sumideros en, 236-238, 248, 249 potencial complejo en, 236, 246-251 Flujo, de calor, 241 línea de, 240, 242 Flujo, modelo de, en tor no a un ala, 239 Flujos, (uer también Fluido, flujos de) alrededor de un obstáculo circular, 238, 239, 247, 251 con circulación, 237. 250, 251 debido a fuentes o sumideros, 238 especiales, 237, 2:18 estacionari o, 235 superposición de, 238 uniforme, 237, 246 vórtice, 250 Forma cartesiana de la ecuación de la línea recta, 13 simétrica de la ecuación de la línea recta, 13 Fóurier, series de, 171 Fracciones. 1 Frontera, eondic iones de, 233 Frontera natural, 147, 160, 266 puntos, 7, 22, 23 trasformación de, sohre el eje real, 206, 222,
229
•
Frontera, prohlemas de valor de, 233, 244, 245 Dirichlet y Ncumann (ver también Dirich let, problema de Neuma nn, problema de) existencia de sol uciones para, 233 Fuen tes. en elect rostática, 241 en flujo de fluidos, 236-2:l8, 248, 249 1i nea, 236. 248. 253 Fuerza. campo de. 112 de un vórtice. 238 de una fuente. 237, 248 sobre un obstáculo cilíndrico, 252, 253 sobre un obstáculo en un fluido, 239, 251-253 Fu nción (es), 33, 41-50 acotadas, 39 algebraica. 36 algebraicas racionales, 34
I NDICE analítica (uer Analítica, funciones) armónica (ver Armón:~a. funciones) Bessel (ver Bessel, funciones) Beta (uer Beta, funciones) compuesta, 39, 66 conjugada, 64, 233 continuas (uer Continuidad} de corriente, 236, 246 de error, 276 de Legendre (uer Legendre, funciones de) de Neumann, 272, 273 de una variable compleja, 33 desarrollo de, en series de Laurent, 144, 145, 156-159 divergencia de, 71, 83, 84 doblemente periódica, 277 elementales (uer Elementales, funciones) elementos de, 236 elípticas, (uer Elípticas, funciones) entera, 146, 268 exponencial, 35 factorial, 269 (uer también Gamm a, fu nció n) gamma, (uer Gamma, función) hiperbólica (uer Hiperbólica, funciones) hipergeométrica, 274, 289, 294 impar, 46 inversa, 33 límites rle, 37, 38, 50-53 logarítmica (uer Logarítmica, función) multívocas (uer Multívocas, funciones) par, 46 polinomial, 34 ramati de, 34 series de, 147, 148 sucesiones de, 140, 147, 148 trascendentales, 36, 37 trigonométricas (uer Trigonométricas, funciones) uniformemente continuas, 39, 40 valor de, 33 Gamma, función, 223, 268-270, 281-283, 295 desarrollo asintótico de la, 276, 290, 291 fórmula de duplicación de la, 269 fórmula de recurrencia para, 269, 281 Gauss, criterio de, 143 ecuación diferencial de, 274 función de, 269 teorema de, sobre electrostática, 240 teorema del valor medio de, 120, 126 Generadora, función, para funciones de Bessel, 272
para polinomios de Legendre, 273 Geometría, aplicaciones a, 70, 82, 83 Geométrica, interpretación, de derivadas, 65 de límites, 50 Geométricas, series, 149, 150 Goursat, teorema de ·cauchy (uer Cauchy-Goursat, teorema de) Gradiente, 70, 71, 83, 84, 86 como un vector normal a una curva, 71, 84 ecuaciones de Cauchy- Riemann y, 71 identidades donde interviene el, 71 Grado, de una ecuación polinomial, 5 de u na función polinomial, 34 Creen, teorema de, en el plano, 96, 100-103 en coordenadas conjugadas, 96, 103, 104 forma compleja del, 96, 103, 104 generalización del, 115 primera y segunda ident idad de, 118
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INDICE
fórmulas de Cauchy, (ver Cauchy, fórmulAs integrales) fórmulas de Poisson (ver Poisson, fórmulz~ integrales de) Integrales, de línea (ver Línea, integral de cálculo de, por residuos, 174, 175, 180·189. 194 de funciones especiales, 97, 110, 111 definida (ver Definida, integrales) prolongación analítica de, 176 valor principal de Cauchy para la, 175 Integrales de contorno, 95 solución de ecuaciones diferenciales por, 271, 285, 286 Intensidad, del campo eléctrico, 239, 240 Interior, de una curva simple cerrada, 95 punto 7, 22, 23 Interno, producto, 6, 21 divergencia en términos de, 71, 83, 84 Intersección de conjuntos, 7, 8, 23 Intervalo, abierto, 2 cerrado, 2 Invariantes o fijos, puntos, de una trasformación, 203, 218 In versas, funciones hiperbólicas, 36, 48 relación de las funciones logarítmicas, 30 trasformación, 201 Inversas, funciones trigonométricas, 36, 48 relación de, a funciones logarítmicas, 36 Inversión, 203, 218 Inverso, con respecto a la multiplicación, 1, 3 Involución, trasformación, 231 Irracionales, números, 1 Irregular, punto singular, 270, 284, 285 Irrotacionat, 235 lsogonal, aplicación, 202 Isotérmicas, líneas, 242 Jacobiano, función elíptica. 277 (ver también Elípticas, funciones) trasformación, 201, 215, 217 trasformaciones confonnes, 202,215-217 Jensen, teorema de, 139 Jordan, teorema de la curva de, 95 Joukowski, planos aerodinámicos, 225 trasformación de, 225, 230 L'H8pital, regla de, 68, 79, 80 prueba de la, 71 usos de, para calcular residuos, 178 Lagrange, desar rollo de, 147, 160 función de, 147 prueba del desarrollo de, 160 Landen, trasformación de, 305 Laplace, ecuación de, 64, 65, 233, 234 en forma polar, 85 método de, 276 (ver también Punto silla, método del) y los problemas de Dirichlet y Neumann (ver también Dirichlet, problema y Neuma=. problema de) Laplaciano, operador, 84, 71, 83, 84 Laurent, teorema de, 144, 145, 156-158 (ver también. Laurent, series de) prueba del, 156-158 Legendre, ecuación diferencial de, 273, 274 funciones asociadas de, 306
prueba del. para regiones múltiplemente conexas, 102 prueba del, para regiones simplemente conexas, 100-101 prueba del teorema, de Cauchy utili~ando el,
104 Hardy, 275 Heine-Borel, teorema de, 8 Hidrodinámica, 235 (ver también Fluido, flujo de) Hipérbola, aplicación de la, 229 Hiperbólica, funciones, 35 inversos, 36, 48 propiedades de, 35, 46 relación de, a funciones trigonométricas, 36 Hipergeométrica(s), ecuación diferencial, 274 función, 274, 289, 294 series, 170 Hipocicloide, 114, 115 aplicación del, 229 Holomorfa, 64 (ver también Analítica) Ideal, fluido, 235 Identidad (es), donde interviene gradiente, divergencia y rotor, 71 respecto a la adición, 3 respecto a la multiplicación, 3 Igualdad, de números complejos, 2, 3 de parejas ordenadas de números reales, 3 de vectores, 5 Imagen, 33, 34, 201 Imaginaria, parte, de una función analítica, 85 Imaginaria, unidad, 2 como una pareja de números reales, 3 Imaginario, eje, 4 número puro, 2 Impares, funciones, 45 Incompresible, fluidos, 235 Incremento, 65 Indefinidas, integrales, 96, 108 Independencia de camino, 97, 103, 107 condición necesaria y suficiente para la, 103 Independiente, variable, 33 Indeterminadas, formas, 68 (ver también L'H8pital, regla de) Inducción matemática, 16 Infinitesimal, 75 Infinito, 38 puntos en el, 6, 38, 47, 81, 82 singularidades en el, 69, 146 Inicial, punto, de un vector, 5 Integrable, 93 Integración, alrededor de una singularidad, 185 cambio de variables en, 94 compleja, 93-118 constante de, 96, 97 de línea, 95 de series. 145, 153 por partes, 110, 111 puntos de ramificación y, 186, 187, 194, 195 Integral, a lo largo de una curva, 93 (ver también Línea, integral de) criterio de la, 142 diferenciación bajo la, 175, 176, 183 elíptica, 277, 278 (ver también Elípticas, funciones) exponencial, 276
-
313
- - -- - ·
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314 funciones de, 273, 274, 288. 289 (rw tam bién Legendre. polin omios del solución general de la. 273. 274 Legendre. polin omios de. 162. 163. 273. 294 (ver también Legendre, funciones de) fórmul<1 de Schlaeni para, 162. 16.1 función generadora para, 273 Leibnitz, regla de. 175. 176. 18.1 Lemniscata. aplicación de la. 230 Limites, 38. 50-53 de funciones, 37. 38, 50-53 -de sucesiones, 40, 51·53. 55 interpretación geométrica de, 50 puntos, 7, 22, 23 teoremas sobre, 38, 51-53 unicidad de, 38, 40, f>l, 141 Línea de carga, 240, 241 potencial complejo debido a una, 253 Línea de corriente, 236 Linea, de ramificación, 37, 44, 48-50 equipotencial, 236, 240, 253 isotérmica, 242 Línea fuente. 236 potencial complejo debido a una, 248, 253 Línea, integrales de, 93. 99. 100 compleja, 93, 99 conexión entre, real y compleja, 94 Lineal, factor de aumento, 202 trasformación, 34, 204 t rasformación racional, 35, 204 Linealmente independiente, soluciones de ecuaciones diferenciales. 270, 271 Liouville, teorema de, 120, 130, 146 prueba del. 125. 126 teorema fundamental del álgebra y el, 126 Lisa, a t rozos curva, 70 curva o arco. 69, 70 Logarítmicas, funciones, 36. 46 puntos de ramificación de, 46, íi, 81 rama principal de, 36. 46 relación de, a las funciones hiperbólicas, 36 Logaritmo natu ra l 35, 36 (uer también Logarítmicas, funciones) Longitud infinita, curvas de, 112, 113 Longitud o magnitud de un vector, 5 Lúnulas, aplicación de. 208 M, criterio, de Weierstrass, 143, 151, 152. 268, 283 Maclau rin, serie de, 144 Magnitud o longitud de un vector. 5 Matemática, inducción, 16 prueba del teorema de De Moivre por, 16 Matemático, modelo, 235 Mecánica, aplicaciones a, 70, 82, 83 Menor que, 1 Meromorfa, funciones, 146 Mittag-Leffler, teorema del desarrollo de, 176. 192. 193 prueba del, 192, 193 Mod z (t•er Módulo de un número complejo) Modelo matemático, 235 Módulo complementario de funciones elípticas, 277 de funciones elípticas. 277 de un número complejo. 4 Módulo má ximo, teorema del. 120, 126 prueba del. 126, 127, 136 Módulo mírrimo, teorema del. 120, 127, 128 Momento de fuerzas de presión, 239, 252
INDICE Momento de un dipolo, 238 Monótonas crecientes o decrecientes, sucesiones, 142 Morera, teorema de, 96, 111, 112, 119, 161 prueba del, 111, 112, 125 usos del, en prolongación analítica, 279 Muda, variable, 98 Mudo, símbolo, 98 Múltiplemente conexas, regiones, 94, 95 teorema de Cauchy-Goursat para, 107 teorema de Oreen para, 102 Multiplicación, de determinantes, 216, 231 de números reales, 1 identidad con respecto a, 1, 3 inverso con respecto a, 1, 3 Multívoca, funciones, 33, 37, 43, 44, 67, 77 derivadas de, 66, 67, 77, 78 Mutuamente disyuntos, conjuntos, 8 Natural( es), base del logaritmo, 35 frontera, 147, 160, 266 logaritmo, 35, 36 (uer también Logarítmicas, funciones) números, 1 Negativos, enteros, 1 Neumann , función de, 272, 273 problema de, 232, 234, 244-246 (uer también Dirichlet problema de) solución del problema por aplicación conforme, 234, 235 solución del problema en términos del problema de Dirichlet, 263 unicidad de la solución al problema, 263 Normal, vector a curvas, 71, 84 Norte, polo, 6 Núcleo, 271 Numerabilidad de un conjunto, 8, 22, 23 Numerador, 1 Números, 1 algebraicos, 23 complejos (ver Complejos, números) de Bernoulli, 172, 274 irracionales, 1 naturales, 1 primos, 275 teoría de, 274 t rascendentes, 24 Números reales, 1 adición de, 1 división de, 1 operaciOnes con, 1 parejas ordenadas de, 3 representación gráfica de, 1 valor absoluto de, 3 Obstáculos, flujo alrededor, 238, 239, 251 Operador, 17, 83 derivada, 66 laplaciano, 33 Opuesto, con respecto a la adición, 1, 3 Orden, de un polo, 68. 145 de un cero, 68 Orden superior, derivados de, 67 Ordinario, punto, 68, 70 de una ecuación diferencial, 270 Origen, 1 Ortogonales, familias, 69, 92 conjunta, 288 trayectorias, 82 Ortogonalidad de las funciones asociadas de Legendre, 306
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315
IN DICE de poli no m íos de Legendre, 288 P-series, 149, 150 Parábola, aplicaciones de, 209, 2ll , 229 Paralelogramo, área del, 6, 21 de período, 277, 294 diagonales del, 12 ley del, 6, 10, 11 Paralelos, vectores, 6 Paramétricas, ecuaciones, de una curva, 41, 69 de una recta, 13 ,. usos de, en aplicaciones, 206, 222, 229 Parciales, sumas, de series infinitas, 41, 140 Parejas ordenadas de números reales, 3 (epresentación gráfica de, 3, 4 Pares, funciones, 45 Parte, analítica, de serie de Laurent, 145 Parte principal, 4, 44 Parte principal, en diferenciales, 65 de series de Laurente, 145 Perfecto, conductores, 241 Período, de función exponencial, 45 de funciones elípticas, 277, 293, 294 de movimiento armónico simple, 83 Perpendicularidad de vectores, 6 Picard, teorema · de, 146 Planetas, movimiento de los, 83 Plano, complejo, 3, 6
z, 4 Poisson, fórmulas integrales de, para un círculo, 120, 130, 131, 234 para un semi-plano, 131, 234 Polar, forma, de las ecuaciones de CauchyRiemann, 84, 85 de ecuaciones de Laplace, 85 de números complejos, 4, 14, 15 Polares, coordenadas, 4 ( ver también Polar, forma) Polígono, aplicación de un, sobre el círculo unidad, 221, 222
aplicación de un, sobre el sem i-plano, 205, 219, 220, 224 Polinomial, ecuaciones, 5, 19, 20, 23, 36 grado de una, 5 factori:tación de, 5 función, 34 teorema fundamental del álgebra para, 5, 120, 126, 129, 130 Polinomios de Legendre (ver Legendre, polinomios) ceros de, 5, 20 Polo(s), 68, 80, 158, 159 definidos por series de Laurent, 145 desarrollos en series en términos de, 17, 5, 192, 193 1 dobles, 159 norte y sur, 6 número de, 120 orden de los, 68, 145 simple, 68, 81 Posición, vector, 5, 70 Positivo,
enteros, 1 sentido o dirección, 95 Potencia, series de, 141 círculo de convergencia de, 141, 144 cont inuidad de, 143 convergencia absoluta, 153
convcrgeacia uniforme de, 143, 153, 154 diferenciación de, 143, 144, 153, 154 in tegración de, 143, 153 radio de convergencia de, 141, 151 singu laridades y, 144, · 147 Potencial, 239, 253, 254 complejo, 236, 246-251 debido a carga entre dos planos paralelos, 254, 255 debido a carga y plano, 254 Presión en un fluido, 239, 252 Pr imo, números, 275 Principio de reflexión de Schwarz, 267, 280 Producto vectorial (ver Vectorial, producto) interno (ver Escalar, productos) Productos infinitos, 267, 268, 280, 281, 294, 295 convergencia absoluta, condicional y uniforme, 267, 268 Prolongación analítica, 1.47, 160, 266, 279-280 de función gamma, 269, 270, 282 de función z, 274 de integrales, 266, 280 de series, 147, 160, 266, 280 fórmulas integrales de Cauchy·y, 279 puntos de ramificación y, 266 singularidades y, 147 teorema de Morera y, 279 teorema de un icidad para, 266 Propio, subconjunto, 8 Proyección de vectores, 6 estereográfica, 6, 230 Pu ntos, conjuntos de, 7, 8, 22, 23 críticos, 202, 215 de rami ficación, (uer Rami ficación, puntos de) · distancia entre, 2, 4, 12 en el infinito, 6, 38, 47, 81, 82 en el plano complejo, 3 estacionarios, 236 exteriores, 7 frontera, 7 , 22, 23
inicial, 5 interior, 7, 22, 23 límite, 7, 22, 23 ordinarios, 68, 270 s illa, 275 singu lar (ver Singular, puntos) sobre el eje real, 1 terminal, 5 Raabe, criter io de, 142 Racional, función algebraica, 35 número, 1 Racional, trasformación lineal, 35, 204 razón cruzada de una, 204 Radio de convergencia, 141, 151 Raíces, criterio de las, 142 cuadrada, determinación de las, 19 n-ésimas de la unidad, 5, 21 Raíces de ecuaciones, 5, 18, 20 de la unidad, 5, 21 de números complejos, 4, 18, 20 número de, 130 producto de, 20 racionales, 20 representación gráfica de, 18, 19 suma de, 20 Rama principal, 33, 44, 47 . de funciones hiperbólicas inversas, 48·
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316 de funciones logarítmicas, 36 de funciones t r igonométricas, 48 Rama s, 37, 44, 49·50 de una función, 33 Ramificación, corte de, 37, 44 Ramificaci ón, puntos de, 37, 44, 49·50, 56, 68, 77, 81, 146 de funciones logarítmicas, 46, 77, 81 integración donde intervienen, 186, 187, 194, 195 y prolongación analítica, 266 Rapidez, 83 Razón cruzada, 204, 217 Real eje, 1, 4 pu ntos sobre el, 1 Real, parte, de una función analítica, 85 de un número complejo, 2 Recta, ecuación de la línea, 13 aplicaciones de cu rvas en, 206, 222, 229 Rectangulares, coordenadas, 3, 34 Rectángulo, aplicación de un, sobre una corona, 212 aplicación de, sobre un semi-plano, 210 Rectificable, curva, 93 Recurrencia, fórmulas de, para funciones de Bessel, 272, 281 para funciones gamma, 269, 281 par-a polinomios de Legendre, 273, 288, 289 Reducida, vecindad, 7, 23 Región, 7, 22, 23 abierta, 7, 22, 23 área de una. 114, 115 cerraJa, 7 complemento de u na, 95 c:mexa, 95 continuidad en una, 39, 40 de convergencia, 140, 150, 151 múltiplemente conexa, 94, 95 simplemente conexa, (ver Simplemente conexa, regiones) Regla de la cadena para diferenciación, 66, 78, 85, 86 prueba de la, 85, 86 Regular, 64 (uer también Analítica) punto singular, 270, 284, 285 Reordenamiento de términos en una serie infinita, 142 de un producto infinito, 267 Representación esférica de los números complejos, 6 Representación gráfica, de números complejos, 3, 4, 10-13 de números reales, 1 de raíces, 18, 19 Repulsión de cargas eléctricas, 239 Residuos, 173, 174, 177-180 (ver también Residuo, t eorema) cálculo, 173, 174, 177· 180 cálculo de integrales por, 154, 174, 175, 180-189, 194 relación de, con las series de Laurent, 173 sumación de series utilizando, 176, 189-192, 195, 196 teorema del, 174, 177-180 (ver también Residuos) prueba del, 177 usos de las reglas de L'H$pital para calcular, 178 usos de series por encontrar, 179 Resultante de vectores, 10 Riemann, conjetura de, 275
INDICE ecuaciones de Cauchy-Riemann, 64, 73-75 función zeta de, 274, 275, 289 teorema de la aplicación de, 202, 203, 234 Riemann, superficies de, 37, 48-50 y prolongación analltica , 266 hojas de, 37 Rodríguez, fórmula de, 162 Rotación de un vector, 14, 15, 17 trasformación de, 203, 213-215, 218 Rotor, 71, 83, 84, 86 identidades donde interviene el, 71 Rouché, teorema de, 120, 121 prueba del, 129 prueba del teorema fundamental del álgebra utilizando el, 129, 130 Schlaefli, fórmula de, para los polinomios de Legendre, 162, 163 Schwan, desigualdad de, 32 principio de reflexión de, 267, 280 teorema de, 13 Schwarz· Christoffel, trasformación de, 205, 219-224 prueba de la, 219-220, 224 Sector, aplicación del, 207 Semi-plano, aplicaci ón del, sobre el circulo unidad, 204, 205, 217, 218 fórmulas integrales de Poisson para el, 121, 131, 234 funciones armónicas para el, 121 problema de Dirichlet para el, 23:4 Sentido o dirección de la curva, 70 convenio del, 98 Series, 40, 41, 54, 55, 57, 140-172 alternantes, 143 asintóticas, 275 (ver también Asintóticos, desarrollos) convergencia absoluta de (ver Absolutamente, series convergentes) convergencia condicional de, 141, 142 convergencia de, 45, 54, 55, 140, 148 convergencia uniforme, 141, 148, 149 de Fourier, 171 de funciones, 147, 148 de Laurent, 171 (ver Laurent, series) de Maclaurin, 144 de Mittag·Leffler, 176, 192, 193 de Taylor, 144, 154-156 diferenciación de, 41, 54, 55, 140, 148 divergentes, 41, 39 especial, 144, 176 geométrica, 56, 149, 150 hipergeométrica, 170 infinitas, 41 integración de, 143, 153 p., 149, 150 prolongación analítica de, 147, 160, 266, 280 (ver también Analítica, prolongación) reordenami•mto de términos, en, 142 residuos obtenidos por, 179 suma de, 41, 140 sumación de, 176, 189-192, 195, 196 Silla, puntos, 275 Simple, cero, 68 movimiento a rmónico, 82 polo, 68, 81 Simplemente conexas. regiones, 94, 95 teorema de Cauchy por, 104 teorema de Cauc hy-Goursat por, 106, 107 teorema de Creen para, 96, 100 Singular, ¡)untos, 68, 69, 80-82 (ver también
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IN DICE
Singularidades) de una ecuación diferencial, 270, 284 regular e irregular, 170, 284, 285 Singularidades, 68, 69 (ver también Singular, puntos) aisladas, 68, 80, 81, 145, 161 clasific aci ón de, por series de Laurent, 145, 146, 158, 159
compor tamiento de fu nciones anallticas de, 161
esenciales, (ver Esencial, singularidades) evitables, 69, 81, 145, 158 integración en torno a, 185 y convergencia de series de potencia, 144, 147 Solución general, de una ecuación diferencial, 270 de · una ecuación diferencial de Bessel, 272, 273, 285 Soluciones, li nea lmente independiente, 270,
271 de u na ecuación, 18 Solar, sistema, movim iento de p lanetas en el, 83
St1rling, fórmula asintótica de, 276 Subconjunto, 1, 2, 8 Sucesiones, 40, 55, 57, 140, 147, 148 acotadas, 142 convergencia de, 40, 54, 55 convergencia de, u,,jforme, 141, 148, 149 de funciones, 140, 147, 148 finitas, 40 límites de, 40, 55-53, 55 monótonas, 142 términos de, 40 teoremas importantes sobre las, 141-145 Suma, de números naturales, 1 de parejas ordenadas de números reales, 3 de raíces de una ecuación, 20 de series infinitas, 41, 140 Sumación de series, 176, 189-192, 195, 196 Sumideros, 236, 237, 241 (ver también Fuentes) en electrostática, 241 en flujo de fluidos, 236, 237 linea, 236 Superficies de Riemann, 37, 49-50, 266 Superior, mínima cota, 62, 94 Superposición de flujos, 238 Sur, polo, 6 Sustracción, de números complejos, 2 de nú meros reales, 1 Tangente a una curva, 70, 84 Taylor, prueba del teorema de, 154, 155 serie de, 144, 154-156 teorema de, 144, 154-156 Temperatura, compleja, 241, 242 estado de equilibrio de, 241, 255, 256, 258, 259 Teorema del factor de Weierst rass, 268, 283 Teorema fundamental del álgebra, 5, 120 prueba del, utilizando el teorema de Liouville, 126
prueba del, utilizando el teorema de Rouché, 129, 130
Térmica, conductividad, 241 Términos de una sucesión, 40 reordená miento de los, de una misma se rie, 142
Trabajo, 112 Trascendentales, fu nciones, 8, 36. 37
Tr!lscendentes, números, 24 Trasformación(es), 33, 34, 41, 43, 201, 212· 214 (ver también Aplicación) biiineal (ver Bilineal, trasformación) conforme (ver Con forme, apl icación de fronteras en forma paramétrica 206, 222, 229)
de Joukowski, 22S, 230 de Landen, 305 dilatación, 203, 213, 218 ecuacionP.s de la, 201 especiales, 206, 212 generales, 203 inversiones, 203, 218 involutorias, 231 jacobiano de, 201, 202, 215, 217 1i neal, 35, 204 puntos fijos invaria ntes de, 203, 218 racional, 3S rotación, 203, 213-215, 218 sucesivas, 204 Trasl.ación, 203, 213, 218 Trasmisión por cabiP.s, 257 Trayectorias ortogonales, 241 Triángulo, aplicación del, 210, 222, 223 áreas de, 22 encajado, ·105 Trigonométricas, funciones, 35 en términos de función exponencial, 16, 17, 35 propiedades de, 35, 45 rama principal de, 48 relación de, a funciones hiperbólicas, 36 Unicidad de límites, 38, 40, 51, 141 de la solución a l problema de Dirichlet, 257, 258
de la solución al problema de Neumann, 263 teorema para prolongación a nalltica, 266 Unidad, celda, 277, 294 disco, 202 esfera, 6 raíces n-ésimas, de la, 5, 21 Unidad, círculo, 5, 202 aplicaciones sobre el, 204, 205, 208, 217, 218 fórmula integral de Poisson para el, 120, 130, 131, 134
problema de Dirichlet para, 234 Uniforme, continu idad, 39, 40, 54 flujo, 237, 246 Uniforme, convergenc ia, 141, 143, 148, 149, 151-154, 161
de productos in finitos, 267, 268 de series, 141, 148, 149 de series de potencias , 143, 153. 154 de sucesiones, 141, 148, 149 teoremas sobre, 143, 151-153 y continuidad, 143, 152 Uniformemente, convergente senes (ver Uniforme, convergencia) Unión de conjuntos, 7, 8, 23 Un ívoca, función 33 Uno-uno, aplicación o trasformaciones, 201 Vacío, conjunto 8, 23 Vacuidad, 260 Valor, absoluto (ver Absoluto, valor) de una función, 33 principal (ver Principal, valor) Valor absoluto. de u n número complejo, 2, 4 de un número real, 2 Valor medio, teorema del, de Gau ss, 120, 126
DANIELUSER
318 Valor principal, 4, 33 de integrales, 175 de logaritmos, 36, 46 Variables, 2, 33 cam bio de, en integraci ón, 94 compleja, ·z, 33 dependiente, 33 independien te, 33 muda, 98 real, 2 Vecindad, reducida, 7, 22 delta, 7, 23 Vectores, 5, 10-13 adición de, 10, 11, 15 ángulo entre, 21 componentes de, 10 igualdad ·de, 5 interpr!ltación de números complejos como, 5 longitud o magnitud, 5 normal a una curva, 71, 84 paralelos, 6 perpen diculares, 6 proyección de, 6 punto inicial de, 5 punto terminal de, 5 resultante de, 20 rotación de, 14, 15, 17
IN DICE Vector ial, producto, 6, 20, 21 y rotor, 71 Veloc idad a lo largo de una curva, 70, 83 Velocidad compleja, 236 Velocidad potencial, 235, 246 Viscoso, fluido, 235 Vórtice, 238, 250 circulación en torno a un, 250 flujo, 250 fuerza de un, 238 Weierstrass-Bolzano, teorema de, 8, 23 Weierstrass- Casorati, teorema de, 146 Weierstrass, criterio M de, 143, 151, 152 análogo del, para productos infinitos, 268 prueba del, 151 We ie rstrass, teore ma del factor de, 268, 283 t eorema de para productos infinitos, 268, 283 x, eje, 3 y, eje, 3
z, plano, 4 entero, 6 Zeta, función, de Riemann, 274, 275, 289 prolongación analítica de la, 274