RAÍCES DE ECUACIONES
1) 5.10 Encuent Encuentre re la raíz positia positia !e "#$) "#$) % $&' ( $&* ( *5$&+ , '50$( '50$( 1001- utilizan!o el /to!o !e la "alsa posicin. oe coo 2alores iniciales a $l % '.5 3 $u % 4- 3 eecute cinco iteraciones. Calcule los errores tanto apro$ia!o coo er!a!ero- con 6ase en el 7ec7o !e 8ue la raíz es 5.409:9. Eplee una ;r<=ca para e$plicar sus resulta!os 3 7acer el c
. x ) % (+ x^4 ( 1.5 x^' , 10 x , + Use el /to!o !e la +) 5.1+ Da!a Da!a f # x 6ise 6isecc cci in n par ara a !et !eter eri in nar el máximo !e Esta Esta "unc "unci in. n. ?a ?a; ;a elecciones iniciales !e xl % 0 3 xu % 1- 3 realice Iteraciones 7asta 8ue el error relatio apro$ia!o apro$ia!o sea enor @ue 5>.
*) 5.1* a elo eloci ci!a !a! ! v !e un para paraca cai! i!is ista ta 8ue 8ue cae cae es est< t< !a!a !a!a por por V=(gm/c)[ 1− e^ B#cm)t] !on!e g % 9. s+. ara un paracai!ista con coe=ciente !e arrastre !e c % 15 ;s- calcule la asa m !e o!o 8ue la eloci!a eloci!a! ! sea v % *5 s en t % 9s. Utilice el /to!o !e la "alsa posicin para !eterinar m a un niel !e es % 0.1>. ') 5.19 Desarrolle un su6pro;raa para el /to!o !e 6iseccin 8ue iniice iniice las ealuacione ealuacioness !e la "uncin"uncin- con 6ase en el seu!oc!i;o seu!oc!i;o 8ue se prese sen nta en la =;u =;ura 5.11 .11. Deterine el nFero !e ealuaciones !e la "uncin # n) para el total !e iteraciones. rue6e el pro;raa con la repeticin !el eeplo 5.4. x )% 5) 4.+* a) Apli8ue el /to!o !e NeGtonBRap7son a la "uncin f # x )% tan7 x^+ ( 9) para ealuar su raíz real conoci!a en x % *. Use un alor # x^ inicial !e x 0 % *.+ 3 7a;a un ínio !e cuatro iteraciones. b) HConer;e el /to!o a su raíz real Jos8uea la ;r<=ca con los resulta!os para ca!a iteracin 8ue o6ten;a. 6) 4.+' El polin olino oio io f # x x ) % 0.00: .00:' ' x^' ( 0.+ .+' x^* , *.*55 x^+ ( 1+.1* x , 5 tiene una raíz real entre 15 3 +0. Apli8ue el /to!o !e NeGt Ne Gton onBB Rap7s ap7son on a !ic7 !ic7a a "unc "unci in n con con alo alorr inic inicia iall x 0 % 14.1 14.15. 5.
E$pli8ue sus resulta!os.
:) 4.+5 Eplee el /to!o !e la secante con la "uncin !el círculo# x , 1) ^+ , # y y ( +) ^+ % 14- a =n !e encontrar una raíz real positia. ?a;a 8ue el alor inicial sea xi % * 3 xi(1 % 0.5. Apro$íese a la solucin !el !el prie prierr 3 cuar cuarto to cua! cua!ra rant ntes es.. Cuan Cuan!o !o resu resuel ela a para para f # x x ) en el cuarto cuarto cua!rantecua!rante- ase;Frese ase;Frese !e toar toar el alor ne;ati ne;atio o !e la raíz cua!ra!a. Hor 8u/ !ier;e la solucin ) 4.+4 Supon;a Supon;a el lector lector 8ue est< !iseKan!o !iseKan!o un tan8ue tan8ue es"/rico es"/rico #/ase la =;ur =;ura a 4.+ 4.+4) 4) !e ala alace cena nai ien ento to !e a;ua a;ua para para un po6l po6la! a!o o
pe8ueKo !e un país en !esarrollo. El oluen !el lí8ui!o 8ue pue!e contener se calcula con 2% L 7^+M*R ( 7* Don!e 2 % oluen Mpie^*- 7 % pro"un!i!a! !el a;ua en el tan8ue Mies- 3 R % ra!io !el tan8ue Mpies. Si R % * - Ha 8u/ pro"un!i!a! !e6e llenarse el tan8ue !e o!o 8ue conten;a *0 * ?a;a tres iteraciones !el /to!o !e NeGtonBRap7son para !eterinar la respuesta. Encuentre el error relatio apro$ia!o !espu/s !e ca!a iteracin. O6sere 8ue el alor inicial !e R coner;er< siepre.
RAICES DE OINOIOS 1) :.1' En AAJ- eecute operaciones i!/nticas a las !el eeplo :.:- o utilice la li6rería o pa8uete !e su eleccin- a =n !e encontrar to!as las raíces !el polinoio P#$) % #$ ( ')#$ , +)#$ ( 1) #$ , 5)#$ ( :) O6s/rese 8ue es posi6le usar la "uncin pol3 para conertir las raíces en un polinoio. +) :.1: Un cilin!ro circular !e !os !iensiones se coloca en un Quo !e eloci!a! alta 3 uni"ore. Se !espren!en rtices !el cilin!ro a "recuencia constante- la cual !etectan sensores !e presin en la super=cie posterior !el cilin!ro por e!io !e calcular 8u/ tan se;ui!o oscila la presin. Da!os tres puntos !e los !atos- use el /to!o !e ller para encontrar el oento en 8ue la presin "ue i;ual a cero. iepo 0.40 0.4+ 0.4' resin +0 50 40 *) :.19 Consi!ere el sistea si;uiente con tres inc;nitas a- u 3 u^+ ( +^+ % a^+ u,%+ a^+ ( +a ( u % 0 Encuentre los alores reales !e las inc;nitas- por e!io !e a) Soler !e E$cel- 3 6) al;Fn pa8uete !e so"tGare !e anipulacin si6lica.
') :.+0 En el an
% "recuencia coplea !e la trans"ora!a !e aplace. Utilice una t/cnica nu/rica para o6tener las raíces !el nuera!or 3 el !enoina!or- 3 "actorícelas en la "ora si;uiente G#s) %#s"a# ) # s "a$ )# s" a!)#s "b#)# s" b$ )# s "b!)# s" b ) !on!e ai 3 bi % las raíces !el nuera!or 3 el !enoina!or- respectiaente. 5) 9. Da!as las ecuaciones si;uientes 10 x 1 , + x + ( x * % +: (* x 1 ( 4 x + , + x * % (41.5 x 1 , x + , 5 x * % (+1.5 a) Resuela por eliinacin !e Tauss siple. E"ectFe to!os los pasos !el c
Si/trico si;uiente
|
|| ||
8
20
15
20
80
50
15
50
60
x 1 x 2 x 3
50
%
250 100
RETRESION DE INIOS CUADRADOS 1) 1:.1' Da!os los !atos $
5 10 15 +0 +5 *0 *5 '0 '5 50 3 1: +' *1 ** *: *: '0 '0 '+ '1 Use re;resin por ínios cua!ra!os para austar a) una línea recta- 6) una ecuacin !e potencias- c) una ecuacin !e tasa !e creciiento !e saturacin- 3 !) una par<6ola. Tra=8ue los !atos unto con to!as las curas. HAl;una !e las curas es superior a las !e
0 0 1 + 0 1 + + 1 0 + + ' ' 4 4 + 1 1' +1 11 1+ +* +* 1' 4 11 Calcule los coe=cientes- el error est
0.+ +.* 500 :50
0.5
0.
1.+
:00
1 000 1 +00
1.: + +00
+ + 450
*
') 1:.++ Se 7ace la prue6a a un aterial para estu!iar la "alla por "ati;a cíclica- en la 8ue se aplica un es"uerzo- en a- al aterial 3 se i!e el nFero !e ciclos 8ue se necesita para 7acer 8ue "alle. os resulta!os se presentan en la ta6la si;uiente. Al 7acerse una ;r<=ca lo;Blo;- !el es"uerzo ersus los ciclos- la ten!encia !e
los !atos presenta una relacin lineal. Use re;resin por ínios cua!ra!os para !eterinar la ecuacin !e eor auste para !ic7os !atos. N#ciclos) Es"uerzo#a)
1 10 100 1000 10000 100 000 1 000000 1100 1 000 9+5 00 4+5 550 '+0
INEROACION 1) 1:.5 Use la re;resin por ínios cua!ra!os para austar una
línea recta a x 4 : 11 15 1: +1 +* +9 +9 *: *9 * +9 +1 +9 1' +1 15 : : 1* 0 * A!e
2) 1:.9 Auste los !atos si;uientes con el o!elo !e potencias #3%
a$6). Use la ecuacin !e potencias resultante para 7acer el pronstico !e 3 en $ % 9. $ +.5 *.5 5 1:.5 +0 3 1* 11 .5 '.*
4
:.5
.+ :
10
1+.5
15
4.+
5.+
'. '.4
3) 1:.10 Auste a un o!elo e$ponencial a
V 0.' 0. 1.+ 1.4 + +.* 3 00 9:5 1500 1950 +900 *400 Tra=8ue los !atos 3 la ecuacin tanto en papel ili/trico coo en seilo;arítico. 4) 1:.14 Utilice re;resin lineal Fltiple para austar
$1 $+
0 ' 0 +
1
1
+
+
*
*
'
1
+
1
+
1
+
1
3
15.1 1:.9 1+.: +5.4 +0.5 *5.1 +9.: '5.' '0.+ Calcule los coe=cientes- el error est
1.4 + +.5 *.+ ' '.5 " #$) + 1' 15 + a) Calcule "#+.) con el uso !e polinoios !e interpolacin !e NeGton !e r!enes 1 a *. Elia la secuencia !e puntos
interpolacin cF6ico 3 !e 6iseccin- para !eterinar el alor !e $ 8ue correspon!e a "#$) % 0.+*- para los !atos ta6ula!os 8ue si;uen V " #$)
+ * : 0.5 0.**** 1.1'+9
' 0.+5
5 0.+
4 0.144:
7) 1.9 Utilice interpolacin inersa para !eterinar el alor !e $
8ue correspon!e a "#$) % 0.5- para los !atos ta6ula!os si;uientes $ 0 1 + * ' 5 " 0 0.5 0. 0.9 0.9'11:4 #$) 0.9415* O6sere 8ue los alores !e la ta6la se ;eneraron con la "uncin "#$) % $+#1 , $+). a) Deterine en "ora analítica el alor correcto. 6) Use interpolacin cF6ica !e $ ersus 3. c) Utilice interpolacin inersa con interpolacin cua!r
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN
1) +1.1 EalFe la inte;ral si;uiente 4
∫ ( 1− e
2 x
) dx
0
a) en "ora analíticaW 6) con una sola aplicacin !e la re;la !el trapecioW c) con aplicacin Fltiple !e la re;la !el trapecio- con n% + 3 'W !) con una sola aplicacin !e la re;la !e Sipson 1*W e) con la aplicacin Fltiple !e la re;la !e Sipson 1*- con n % 'W ") con una sola aplicacin !e la re;la !e Sipson *- 3 ;) con aplicacin Fltiple !e la re;la !e Sipson- con n % 5. ara los incisos 6) a ;)- !eterine el error relatio porcentual !e ca!a una !e las estiaciones nu/ricas- con 6ase en el resulta!o !el inciso a). +) +1.1+ Deterine el alor e!io !e la "uncin "#$) % ('4 , '5$ ( 1'$ ^+ , +$^* ( 0.0:5$ ^' entre $ % + 3 10- por e!io !e a) ;ra=car la "uncin 3 estiar isualente el alor e!io- 6) con la ecuacin #4.') 3 la ealuacin analítica !e la inte;ral- 3 c) con la ecuacin #4.') 3 una ersin !e cinco se;entos !e la re;la !e Sipson para estiar la inte;ral. Calcule el error porcentual relatio. *) +1.1' EalFe la inte;ral !o6le si;uiente 1
2
∫∫ ( x −2 y + x y ) dxdy 2
−1
2
3
0
a) en "ora analíticaW 6) con una aplicacin Fltiple !e la re;la !el trapecio- con n % +W 3 c) con aplicaciones Fnicas !e la re;la !e Sipson 1*. ara los incisos 6) 3 c)- calcule el error relatio porcentual #et). ') +1.+1 Deterine la !istancia recorri!a para los !atos si;uientes t 1 + *.+5 '.5 4 : 9 9.5 10 #in) 2 5 4 5.5 : .5 4 : : 5 #s) a) Use la re;la !el trapecio- 6) la eor co6inacin !e las re;las !el trapecio 3 !e Sipson- 3 c) la inte;racin analítica !e polinoios !e se;un!o 3 tercer or!en- !eterina!os por re;resin. 5) ++. Eplee "rulas !e TaussB e;en!re !e !os a seis puntos para resoler 3
∫ 1 +1 x dx 2
−3
Interprete sus resulta!os a la luz !e la ecuacin #++.+4). 4) +*.9 ara un co7ete- se reca6aron los !atos si;uientes !e la !istancia recorri!a ersus el tiepo t #s) 0 +5 50 :5 100 1+5 3 0 *+ 5 : 9+ 100 #)
Use !i"erenciacin nu/rica para estiar la eloci!a! 3 aceleracin !el co7ete en ca!a oento. :) +*.14 Escri6a un pro;raa en AAJ para inte;rar π 2
∫ cos (cos x )dx 0
) +'.'+ Si se conoce la !istri6ucin !e la eloci!a! !e un Qui!o a tra/s !e un tu6o #/ase la =;ura +'.'+)- la tasa !e Quo @ #es !ecir- el oluen !e a;ua 8ue pasa por el tu6o por uni!a! !e tiepo) se calcula por e!io !e @ % X!A- !on!e es la eloci!a! 3 A es el
∫ v (2 πr ) dr
Q=
0
Don!e r es la !istancia ra!ial e!i!a 7acia "uera !el centro !el tu6o. Si la !istri6ucin !e la eloci!a! est< !a!a por 1
r v = 2 ( 1− ) 6 r0
Don!e r0 es el ra!io total #en este caso- * c)- calcule @ con el epleo !e la re;la !el trapecio !e aplicacin Fltiple. Analice los resulta!os. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1) +5.1 Resuela en "ora analítica el pro6lea !e alores iniciales si;uiente- en el interalo !e $ % 0 a + dy = y x 2−1.1 y dx
Don!e 3#0) % 1. Tra=8ue la solucin. +) +5.4 Repita los pro6leas +5.1 a +5.5- pero para el pro6lea !e alores iniciales si;uiente- en el interalo !e $ % 0 a 1 dy =(1 +2 x ) √ y dx
W #0) % 1
*) +5.: Utilice los /to!os !e a) Euler 3 6) ?eun #sin iteracin) para resoler 2
dy − 0.5 t + y = 0 2 dt
Don!e 3#0) % + 3 3Y#0) % 0. Resuela !e $ % 0 a '- con 7 % 0.1. Copare los /to!os por e!io !e ;ra=car las soluciones. ') +5.11 Use los /to!os !e a) Euler- 3 6) RZ !e cuarto or!en-para resoler
dx =−2 y +4 e− x dy dz − y z = 3 dx
2
En el ran;o !e $ % 0 a 1- con un taaKo !e paso !e 0.+- con3#0) % +- 3 z#0) %'. 5) +5.+0 El oiiento !e un sistea acopla!o asa resorte #/ase la =;ura +5.+0) est< !escrito por la ecuacin !i"erencial or!inaria 8ue si;ue 2
d x dx m 2 + c + kx = 0 dt dt
Don!e $ % !esplazaiento !es!e la posicin !e e8uili6rio #)- t % tiepo #s)- % +0 ; asa- 3 c % coe=ciente !e aorti;uaiento #N [ s). El coe=ciente !e aorti;uaiento c a!opta tres alores- 5 #su6aorti;ua!o)'0 #aorti;uaiento crítico)3 +00 #so6reaorti;ua!o). a constante !el resorte es % +0N. a eloci!a! inicial es !e cero 3 el !esplazaiento inicial es $ % 1 . Resuela esta ecuacin con el uso !e un /to!o nu/rico !urante el perio!o !e tiepo 0 \ t \ 15 s. Tra=8ue el !esplazaiento ersus el tiepo para ca!a uno !e los tres alores !el coe=ciente !e aorti;uaiento so6re la isa cura. 4) +4.1 Da!a dy =−200000 y + 200000 e− x −e− x dx
a) Estie el taaKo !e paso re8ueri!o para antener la esta6ili!a! con el uso !el /to!o !e Euler e$plícito. 6) Si 3#0) % 0- utilice el /to!o !e Euler iplícito para o6tener la solucin !es!e $ % 0 7asta +- con un taaKo !e paso !e 0.1. :) +4. Solucione el pro6lea si;uiente !e alor inicial- !e t % 1.5 dy −2 y = dt 1 + t Use el /to!o !e A!as !e cuarto or!en. Eplee un taaKo !e paso !e 0.5 3 el /to!o !e RZ !e cuarto or!en para pronosticar los alores !e inicio si 3#0) % +. ) +4.1* Consi!ere la 6arra !el;a!a !e lon;itu! l 8ue se uee en el plano $B3- coo se ilustra en la =;ura +4.1*. a 6arra se =a en uno !e sus e$treos con un al=ler 3 con una asa en el otro. O6sere 8ue ; % 9.1 s+ 3 l % 0.5. Este sistea se resuele con g θ´ − θ =0 l
´ Sea θ ( 0 )= 0 3 θ ( 0 )= 0.25 ra!s. Resuela con cual8uiera !e los /to!os 8ue se estu!i en este capítulo. Tra=8ue el
tiepo- 3 la eloci!a! an;ular ersus el tiepo. #Recoen!acin !escopon;a la EDO !e se;un!o or!en.) ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
1) +9.1 Use el /to!o !e ie6ann para resoler cu
+) +9.* Repita el eeplo +9.1- pero eplee '9 no!os interiores #es !ecir- ^$ % ^3 % 5 c). *) +9.4 Repita el eeplo +9.' para el caso en 8ue tanto las es8uinas in"erior iz8uier!a 3 superior !erec7a est
∂ u 1 ∂u ∂u + = 2 ∂ r r ∂ r ∂ t
Resuela la ecuacin !e con!uccin !e calor ra!ial transitia no !iensional en una 6arra circular para la !istri6ucin !e teperatura en !istintos tiepos con"ore la teperatura !e la 6arra se apro$ia al esta!o esta6le. Utilice an
2
∂ u ∂ u ∂u + b = 2 ∂ r ∂ t ∂r
Utilice an para ca!a paso !e tiepo a =n !e o6tener
1 ∂ u ∂u = 0≤x ≤ 2 2 ∂ t ∂x
2
∂ u ∂u r 2= ∂t ∂x
1 2
≤ x≤1
Don!e u % teperatura- $ % coor!ena!a a$ial- t % tiepo- 3 r %a6. as con!iciones iniciales 3 !e "rontera son
Resuela este conunto !e ecuaciones para la !istri6ucin !e teperatura coo "uncin !el tiepo. Utilice an
) *+.1' Resuela la ecuacin !e con!uccin !el calor transitia no !iensional en !os !iensiones- 8ue representa la !istri6ucin !e teperatura transitia en una placa aisla!a. a ecuacin ;o6ernante es 2
2
∂ u ∂ u ∂u + 2= 2 ∂ t ∂x ∂ y
Don!e u % teperatura- $ 3 3 son las coor!ena!as espaciales 3 t% tiepo. as con!iciones iniciales 3 !e "rontera son
Resuela con el epleo !e una t/cnica alternatia !e !ireccin iplícita. Escri6a un pro;raa !e cputo para iplantar la solucin. Tra=8ue los resulta!os con el uso !e una rutina ;ra=ca!ora !e tres !iensiones en la 8ue el plano 7orizontal conten;a los ees $ 3 3- 3 el ee z es la aria6le !epen!iente u. ?a;a arias ;r<=cas en !istintos tiepos- inclu3en!o lo si;uiente a) las con!iciones inicialesW 6) un tiepo intere!ioapro$ia!aente a la ita! !el caino 7acia el esta!o esta6leW 3 c) la con!icin !e esta!o esta6le.
