Jorge Luis Baldárrago B.
Investigación Operativa
Pr ác ti ca Ca lifi cada d e M ét od o S ím pl ex E je rc ic io s d e M ax im iz ac ió n Pasos 1. Convierta la PL en una forma estándar 2. Encuentre una solución factible básica, si todas las restricciones son m, entonces las variables de holgura serán las variables básicas en cada restricción. 3. Si todas las variables no básicas tienen coeficientes no negativos en la fila de la F.O. (fila 0) entonces la sfb actual es óptima. Si algunas variables en la fila 0 tienen coeficientes negativos, entonces seleccione la variable con el coeficiente más negativo en esa fila para introducirla en la base (columna pivote). Esta variable recibe el nombre de variable entrante. Para seleccionar la fila pivote (variable de salida), se escoge la restricción con el cociente más pequeño (prueba del cociente) entre el lado derecho de la restricción y el coeficiente de la variable entrante (el cual debe ser estrictamente positivo). 4. Efectúe la reducción gaussiana usando
P ro bl em a N ° 1 La Dakota Furniture Company fabrica fabrica escritorios, mesas y sillas. sillas. Parala manufactura manufactura de cada tipo de mueble se requiere madera y dos tipos de mano de obra calificada: acabado y carpintería. La cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de muebles se proporciona en la tabla adjunta:
Recursos
Escritorio
Mesa
Silla
Madera (pie de tablón)
8
6
1
Horas de acabado
4
2
1,5
Horas de carpintería
2
1,5
0,5
Se cuenta en la actualidad con 48 pies de tablón de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de carpintería. Un escritorio se vende en $60, una mesa en $30 y una silla en $20. Dakota opina que la demanda de escritorios y sillas es ilimitada, pero cuando mucho se pueden vender 5 mesas. Puesto que los recursos disponibles ya se compraron, Dakota quiere maximizar el ingreso total.
Solución ❶ Formular el Programa Lineal para el problema de Dakota: Programa Lineal de Dakota: Max P = 60x + 30y + 20z ≤ 48 sujeto a: 8x + 6y + z 4x + 2y + 1.5z ≤ 20 2x + 1.5y + 0.5z ≤ 8 y ≤5 x,y,z ≥ 0
❷ Escribir el PL de Dakota en la forma estándar: Forma Estándar: Max P - 60x - 30y - 20z = 0 sujeto a: 8x + 6y + z + s 1 = 48 4x + 2y + 1.5z + s2 = 20 2x + 1.5y + 0.5z + s 3 = 8 y + s4 ≤ 5 x,y,z,s1, s2, s3, s4 ≥ 0
❸ Formular el Tableau Símplex para el PL de Dakota:
0
P
x
y
z
s1
s2
s3
s4
Pmáx
1
-60 8 4 2 0
-30 6 2 1.5 1
-20 1 1.5 0.5 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0
e s a B
s1 s2 s3 s4
Ejercicios de Método Símplex - Maximización
48 20 8 5
Solución básica inicial: VNB:{ x=0; y=0; z=0} VB: {s 1=48; s2=20; s3=8; s4=5} P= 0 ¿Factible? Sí, todas las variables son no negativas. ¿Optima? No, porque hay coeficientes negativos en la fila 0.
1
Jorge Luis Baldárrago B.
Investigación Operativa
❹ Encontramos el pivote:
0
P
x
y
z
s1
s2
s3
s4
Pmáx
1
-60 8 4
-30 6 2 1.5 1
-20 1 1.5 0.5 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0
s1 s2 s3 S4
e s a B
2
0
48 20 8 5
Criterio de (columna pivote): C Fact
48/8=6 20/4=5 8/2=4 ---
n pivote y reducimos términos: ❺ Convertimos a 31e
1
P
x
y
z
s1
s2
s3
s4
Pmáx
1
-60 8 4
-20 1 1.5 0.25 0
0 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0.5 0
0 0 0 0 1
0
0
-30 6 2 0.75 1
48 20 4 5
P
x
y
z
s1
s2
s3
s4
Pmáx
1
0 0 0
-5 -1 0.5 0.25 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
30 -4 -2 0.5 0
0 0 0 0 1
240
s1 s2 x s4
e s a B
1
15 s1 0 e s2 -1 s 1 a x 1 0.75 B s4 0 1 ❻ Encontramos el pivote:
1
x
y
z
s1
s2
s3
s4
Pmáx
1
0
15
-5
0
0
30
0
240
0
0
-1
1
0
-4
0
16
---
0
-1
0.5
0
1
-2
0
4
4/0.5=8
1
0.75
0.25
0
0
0.5
0
4
4/0.25=16
0
1
0
0
0
0
1
5
---
e s a B
C Fact
n pivote y reducimos términos: ❼ Convertimos a 31e
2
2
P
x
y
z
s1
s2
s3
s4
Pmáx
1
0
15
-5
0
0
30
0
240
s1
0
0
-1
1
0
-4
0
16
z x s4
0 1 0
-2 0.75 1
1
0.25 0
0 0 0
2 0 0
-4 0.5 0
0 0 1
8 4 5
P
x
y
z
s1
s2
s3
s4
Pmáx
1
0 0 0 1 0
5 -2 -2 1.25 1
0 0
0 1 0 0 0
10 2 2
10 -8 -4 1.5 0
0 0 0 0 1
280
e s a B
e s a B
s1 z x s4
1
0 0
Ejercicios de Método Símplex - Maximización
-0.5
0
Mín {-60, -30, -20}, columna x Criterio pivote):
de
factibilidad
(fila
Mín {48/8, 20/4, 8/2, no aplica porque a41=0} = 8/2=4, fila 3. Solución básica inicial: VNB = {y=0; z=0; s3=0} VB= {s1=16; s2=4; x=4; s4=5} P= 240 ¿Factible? Sí, porque todas las variables son no negativas. ¿Optima? No, aún hay coeficientes negativos en la fila 0, coeficiente de z es -5.
16 4 4 5
Z
s1 s2 x s4
optimalidad
Criterio de optimalidad (columna pivote): Mín {0; 15; -5} = -5 La variable de entrada es z.
Criterio de factibilidad (fila pivote): Mín {4/0.5=8; 4/0.25=16} = 8 La variable de salida es s 2.
Solución básica inicial: VNB = {y=0; s2=0; s3=0} VB= {s1=24; z=8; x=2; s4=5} P= 280 ¿Factible? Sí, porque todas las variables son no negativas. ¿Optima? Sí, ya no hay coeficientes negativos en la fila 0, por lo que hemos encontrado la solución óptima.
24 8 2 5
2
Jorge Luis Baldárrago B.
Investigación Operativa
Resumen:
0
1
2
P
x
y
z
s1
s2
s3
S4
Pmáx
1
-60 8 4 2 0
-30 6 2 1.5 1
-20 1 1.5 0.5 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0
48 20 8 5
P
x
y
z
s1
s2
s3
S4
Pmáx
1
0 0 -1 0.75 1
15 -1 0.5 0.25 0
-5 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 -4 -2 0.5 0
30 0 0 0 1
0 16 4 4 5
240
P
x
y
z
s1
s2
s3
S4
Pmáx
1
0 0 0 1 0
5 -2 -2 1.25 1
0 0
0 1 0 0 0
10 2 2
10 -8 -4 1.5 0
0 0 0 0 1
280
e s a B
e s a B
e s a B
s1 s2 s3 s4
s1 s2 x s4
s1 z x s4
1
0 0
Ejercicios de Método Símplex - Maximización
-0.5
0
Solución: Dakota Furniture debe producir 2 escritorios y 8 sillas para obtener una utilidad de $280, sobrando 24 pies de tablones de madera. Además se respeta la restricción de no producir más de 5 mesas ya que finalmente no se produce ninguna.
16 4 4 5
24 8 2 5
3
Jorge Luis Baldárrago B.
Investigación Operativa
P ro bl em a N ° 2 Una compañía fabrica tres tipos de muebles para jardín: sillas, mecedoras, sofás. Cada uno de estos artículos requiere madera, plástico y aluminio, según se señala en la tabla adjunta. La compañía dispone de 400 unidades de madera, 500 de plástico y 1450 de aluminio. Cada silla, mecedora y sofá se vende en $7, $8 y $12, respectivamente. Suponiendo que pueden venderse todos los muebles, determina un programa de producción que permita maximizar los ingresos totales. ¿Cuáles son los ingresos máximos? Silla Mecedora Sofá
Madera
Plástico
Aluminio
1 unidad 1 unidad 1 unidad
1 unidad 1 unidad 2 unidades
2 unidades 3 unidades 5 unidades
Solución ❶ Formular el Programa Lineal para el problema: Programa Lineal: Max P = 7x + 8y + 12z ≤ 400 sujeto a: x +y +z x +y + 2z ≤ 500 ≤1 2x + 3y + 5z 450 x, y, z ≥ 0
❷ Escribir el PL de Dakota en la forma estándar: Forma Estándar: Max P -7x - 8y - 12z = 0 sujeto a: x + y + z + s 1 = 400 x + y + 2z + s2 = 500 2x + 3y + 5z + s3 = 1450 x, y, z, s 1, s2, s3 ≥ 0
❸ Formular el Tableau Símplex para el PL:
0
P
x
y
z
s1
s2
s3
Pmáx
1
-7
-8
-12
0
0
0
0
s1
1
1
1
1
0
0
400
s2
1
1
2
0
1
0
500
s3
2
3
5
0
0
1
1450
e s a B
❹ Encontramos el pivote:
0
P
x
y
z
s1
s2
s3
Pmáx
1
-7
-8
-12
0
0
0
0
s1
1
1
1
1
0
0
400
400/1=400
s2
1
1
2
0
1
0
500
500/2=250
s3
2
3
5
0
0
1
1450
1450/5=290
e s a B
C Fact
Solución básica inicial: VNB = {x=0; y=0; z=0} VB= {s1=400; s2=500; s3=1450} P= 0 ¿Factible? Sí, porque todas las variables son no negativas. ¿Optima? No, porque aún hay coeficientes negativos en la fila 0. Criterio de optimalidad (columna pivote): Mín {-7; -8; -12} = -12 La variable de entrada es z.
Criterio de factibilidad (fila pivote): Mín {400/1=400; 500/2=250; 1450/5=290} = 290 La variable de salida es s 2.
❺ Convertimos a 31e n pivote y reducimos términos:
1
1
P
x
y
z
s1
s2
s3
Pmáx
1
-7
-8
-12
0
0
0
0
s1
1
1
1
1
0
0
400
z
0.5
0.5
1
0
0.5
0
250
s3
2
3
5
0
0
1
1450
P
x
y
z
s1
s2
s3
Pmáx
1
-1
-2
0
0
6
0
3000
s1
0.5
0.5
0
1
-0.5
0
150
z
0.5
0.5
1
0
0.5
0
250
s3
-0.5
0.5
0
0
-2.5
1
200
e s a B
e s a B
Ejercicios de Método Símplex - Maximización
Solución básica actuall: VNB = {x=0; y=0; s2=0} VB= { s1=150; z=250; s 3=200} P= 3000 ¿Factible? Sí, porque todas las variables son no negativas. ¿Optima? No, porque aún hay coeficientes negativos en la fila 0.
4
Jorge Luis Baldárrago B.
Investigación Operativa
❻ Encontramos el pivote:
1
Z
x
y
z
s1
s2
s3
Z máx
1
-1
-2
0
0
6
0
3000
s1
0.5
0.5
0
1
-0.5
0
150
150/0.5=300
z
0.5
0.5
1
0
0.5
0
250
250/0.5=500
s3
-0.5
0.5
0
0
-2.5
1
200
200/0.5=400
e s a B
C Fact
Criterio de (columna pivote): Mín {-1; -2; 0} = -2
optimalidad
La variable de entrada es y.
Criterio de factibilidad (fila pivote): Mín {150/0.5=300; 250/0.5=500; 200/0.5=400} = 300 La variable de salida es s 1.
❼ Convertimos a 31e n pivote y reducimos términos:
2
2
P
x
y
z
s1
s2
s3
Pmáx
1
-1
-2
0
0
6
0
3000
y
1
1
0
2
-1
0
300
z
0.5
0.5
1
0
0.5
0
250
s3
-0.5
0.5
0
0
-2.5
1
200
P
x
y
z
s1
s2
s3
Pmáx
1
1
0
0
4
4
0
3600
y
1
1
0
2
-1
0
300
z
0
0
1
-1
1
0
100
s3
-1
0
0
-1
-2
1
50
e s a B
e s a B
Resumen:
0
1
2
P
x
y
z
s1
s2
s3
Pmáx
1
-7
-8
-12
0
0
0
0
s1
1
1
1
1
0
0
400
s2
1
1
2
0
1
0
500
s3
2
3
5
0
0
1
1450
P
x
y
z
s1
s2
s3
Pmáx
1
-1
-2
0
0
6
0
3000
s1
0.5
0.5
0
1
-0.5
0
150
z
0.5
0.5
1
0
0.5
0
250
s3
-0.5
0.5
0
0
-2.5
1
200
Z
x
y
z
s1
s2
s3
Z máx
1
1
0
0
4
4
0
3600
y
1
1
0
2
-1
0
300
z
0
0
1
-1
1
0
100
s3
-1
0
0
-1
-2
1
50
e s a B
e s a B
e s a B
Ejercicios de Método Símplex - Maximización
Solución básica inicial: VNB = {x=0; s1=0; s2=0} VB= { y=300; z=100; s 3=50} P= 3600 ¿Factible? Sí, porque todas las variables son no negativas. ¿Optima? Sí, porque ya no hay coeficientes negativos en la fila 0.
Solución: La compañía debe fabricar 300 mecedoras y 100 sofás para obtener una utilidad de $3,600, utilizando completamente la madera y el plástico disponible, y sobrando 50 unidades de aluminio.
5
