TERCERA GUÍA DE EJERCICIOS INGENIERÍA COMERCIAL - 2016
1. Una tienda vende entre 0 y 12 computadores al día. ¿Es la venta diaria de computadores una variable aleatoria discreta o continua? 2. Un proceso de producción fabril produce un pequeño número de piezas defectuosas diariamente. ¿Es el número de piezas defectuosas una variable aleatoria discreta o continua? 3. ¿Cuál es la función de probabilidad del número de caras cuando se lanza al aire una moneda equilibrada? Muestre la correspondiente función de probabilidad (cuantía). 4. El número de computadores vendidos al día en una tienda viene definido por la siguiente distribución de probabilidad:
= 3≤<6 >3 ≤4 2<≤5
0 0.05
1 0.10
2 0.20
3 0.20
4 0.20
5 0.15
6 0.10
Calcular: a) b) c) d)
5. Una compañía aérea le ha pedido que estudie los retrasos de los vuelos que se registraron en un aeropuerto la semana antes de las Navidades. La variable aleatoria X es el número de vuelos retrasados por hora. a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad acumulada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya cinco o más vuelos retrasados? r etrasados? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre tres y siete (inclusive) vuelos retrasados? 6. Considere la función de probabilidad
a) b) c) d)
=
0 0.50
1 0.50
Dibuje la función de probabilidad. Calcule y dibuje la función de probabilidad acumulada. Halle la media de la variable aleatoria X . Halle la varianza de X .
== ()( +−4) =0, 1 , 2 , 3 . = 0, 1, 2.
7. Determine el valor de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta : a) b)
, , para
, , para
Para ambos casos calcule la esperanza y la varianza de la variable. 8. La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad:
20000 = +100 +1000, , ≤0> 0
a) Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de al menos 200 días; b) Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de cualquier lapso entre 80 y 120 días.
c) Calcule la vida media útil. d) Calcule la desviación estándar.
9. El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:
0<<1 =20 1≤<2
en otro caso
Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas; b) entre 50 y 100 horas.
2+2 = 0,5 , 0<<1 0<<1=1 1/4 1/2
10. La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:
en otro caso
a) Demuestre que . b) Calcule la probabilidad de que más de pero menos de contactadas respondan a este tipo de encuesta. c) Calcule la moda de esta variable.
de las personas
11. Un concesionario de automóviles calcula la proporción de automóviles nuevos vendidos que se han devuelto varias veces para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía. La tabla adjunta muestra los resultados. Número de Devoluciones Proporción
0
1
2
3
4
0.28
0.36
0.23
0.09
0.04
a) Dibuje la función de probabilidad. b) Calcule y dibuje la función de probabilidad acumulada. c) Halle la media del número de devoluciones de un automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía. d) Halle la varianza del número de devoluciones de un automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía. 12. Suponga que una tienda de abarrotes compra 5 envases de leche descremada al precio de mayorista de $420 por envase y la vende a $765 por envase. Después de la fecha de caducidad, la leche que no se vende se retira de los estantes y el vendedor recibe del distribuidor una cantidad igual a tres cuartas partes del precio al mayor. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria es y el número de envases que se venden de este lote es: 0 1 2 3 4 5
= 151 152 152 153 154 153
Calcule la utilidad esperada.
13. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria represente el resultado cuando se lanza un dado una vez.
que
14. Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los televisores al azar. Si es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, calcule la distribución de probabilidad de . Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad. Calcule la Esperanza y la Varianza.
15. Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años. Dado que la función de distribución acumulativa de , el número de años para el vencimiento de un bono que se elige al azar, es
0 1≤<3 <1 = 3≤<5 {1 5≤<7 ≥7
=5 >3 1. 4 <<6 ≤5| ≥2
Calcule: a) b) c) d) e) y
16. Una empresa está especializada en la instalación y el mantenimiento de calefacciones centrales. Antes de que empiece el invierno, las llamadas al servicio de mantenimiento pueden dar como resultado el pedido de una nueva caldera. La tabla adjunta muestra las probabilidades estimadas del número de pedidos de calderas nuevas generados de esta forma en las 2 últimas semanas de septiembre. Número de Pedidos Probabilidad
0
1
2
3
4
5
0.10
0.14
0.26
0.28
0.15
0.07
a) b) c) d)
Dibuje la función de probabilidad. Calcule y dibuje la función de probabilidad acumulada. Halle la probabilidad de que se hagan al menos tres pedidos en este periodo. Halle la media del número de pedidos de una nueva caldera en este periodo de 2 semanas. e) Halle la desviación típica del número de pedidos de una nueva caldera en este periodo de 2 semanas. 17. Una variable aleatoria continua , que puede tomar valores entre y , tiene una función de densidad dada por .
=1/2 2≤1.< 6< 2.5
=1 =3
a) Muestre que el área bajo la curva es igual a 1. b) Calcule . c) Calcule . 18. Una empresa de seguros ofrece a sus asegurados varias opciones diferentes de pago de la prima. Para un asegurado seleccionado al azar, sea el número de meses entre pagos sucesivos. La función de distribución acumulada de es
00.4 = 0.0.68 {1 4 < ≤ 7
1 ≤<3 <1 35 ≤<5 ≤<7 ≥7X [ 1]=10 [ 2]=6
si si si si si a) ¿Cuál es la función de masa (o de cuantía) de ? b) Calcule .
19. Si una variable aleatoria calcule y .
se define de manera que
y
20. Sea el número de llamadas telefónicas que recibe un conmutador durante un intervalo de 5 minutos una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad:
,
== −!X2 , =0,1,2, … x para
a) b) c) d)
Determine la probabilidad de que sea igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Grafique la función de masa de probabilidad para estos valores de . Determine la función de distribución acumulada para estos valores de Para la distribución de probabilidades completa, calcule .
.
21. Los departamentos de marketing y de contabilidad de una empresa determinaron que si la empresa comercializa su producto creado recientemente, su contribución a las utilidades de la empresa durante los próximos 6 meses será la siguiente:
$5000 $10000 $30000
Contribución a las utilidades Probabilidad 0.2 0.5 0.3 ¿Cuál es la utilidad esperada de la empresa?
22. La vida en anaquel de un producto es una variable aleatoria que se relaciona con la aceptación por parte del consumidor. Resulta que la vida en anaquel , en días, de cierta clase de artículo de panadería tiene la siguiente función de densidad:
− = 0
0≤<
∞
en otro caso
¿Qué fracción de este producto que hoy están en exhibición se espera que se vendan en 3 días a partir de hoy?
23. El congestionamiento de pasajeros es un problema de servicio en los aeropuertos, en los cuales se instalan trenes para reducir la congestión. Cuando se usa el tren, el tiempo , en minutos, que toma viajar desde la terminal principal hasta una explanada específica tiene la siguiente función de densidad:
=0
0≤≤10
en otro caso
a) Demuestre que la función de densidad de probabilidad anterior es válida. b) Calcule la probabilidad de que el tiempo que le toma a un pasajero viajar desde la terminal principal hasta la explanada no exceda los 7 minutos. 24. Un autor recibe de una editorial un contrato, según el cual recibirá una cantidad fija de US$10 mil más US$1,50 por cada ejemplar que se venda de su libro. Su incertidumbre sobre las ventas totales del libro pueden representarse por medio de una variable aleatoria que tiene una media de 30 mil y una desviación típica de 8 mil. Halle la media y la desviación típica de la cantidad total de dinero que recibirá. 25. Un contratista presenta una oferta para realizar un proyecto, para el que hay que hacer más investigación y desarrollo. Se estima que el coste total del cumplimiento de las especificaciones del proyecto es de 20 millones de dólares más el coste de la investigación y el desarrollo adicionales. El contratista considera que el coste de este trabajo es una variable aleatoria que tiene una media de 4 millones de dólares y una desviación típica de 1 millón de dólares. El contratista desea presentar una oferta tal que su beneficio esperado sea un 10 por ciento de sus costes esperados. ¿Qué oferta debe presentar? Si se le acepta, ¿cuál será la desviación típica del beneficio generado por el proyecto? 26. Responder a los siguientes apartados:
a) Un gran envío de piezas contiene un 10 por ciento de piezas defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente dos y se prueban. Sea la variable aleatoria X el número de defectos encontrados. Halle la función de probabilidad de esta variable aleatoria. b) Un envío de 20 piezas contiene dos defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente dos y se prueban. Sea la variable aleatoria Y el número de defectos encontrados. Halle la función de probabilidad de esta variable aleatoria. Explique por qué su respuesta es diferente de la respuesta del apartado (a). c) Halle la media y la varianza de la variable aleatoria X del apartado (a). d) Halle la media y la varianza de la variable aleatoria Y del apartado (b). 27. Dada una variable aleatoria de Bernoulli que tiene una probabilidad de éxito P =0.5, calcule la media y la varianza. 28. Dada una función de probabilidad binomial en la que P =0.5 y n=12, halle la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a 7 la probabilidad de que el número de éxitos sea menor que 6. 29. Dada una función de probabilidad binomial en la que P =0.3 y n=14, halle la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a 7 y la probabilidad de que el número de éxitos sea menor que 6. 30. Un director de producción sabe que el 5 por ciento de los componentes producidos en un determinado proceso de producción tiene algún defecto. Se examinan seis de estos componentes, cuyas características puede suponerse que son independientes entre sí. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos componentes tenga un defecto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos componentes tenga un defecto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos componentes tengan un defecto? 31. Un político cree que el 25 por ciento de todos los macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyará firmemente una propuesta que desea presentar. Suponga que esta creencia es correcta y que se seleccionan cinco macroeconomistas aleatoriamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cinco apoye firmemente la propuesta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los cinco apoye firmemente la propuesta? 32. Una organización de interés público contrata estudiantes para pedir donaciones por teléfono. Tras un breve periodo de formación, los estudiantes llaman a posibles donantes y cobran a comisión. La experiencia indica que al principio los estudiantes tienden a tener poco éxito y que el 70 por ciento deja el trabajo a las dos semanas. La organización contrata seis estudiantes, que pueden concebirse como una muestra aleatoria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los seis dejen el trabajo en las dos primeras semanas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los seis no dejen el trabajo en las dos primeras semanas? 33. Suponga que la probabilidad de que el valor del dólar estadounidense suba frente al yen japonés es de 0.5 y que el resultado de una semana es independiente del resultado de cualquier otra. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor del dólar suba en relación con el yen japonés la mayoría de las semanas durante un periodo de 7 semanas? 34. Calcule la probabilidad de obtener 9 éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n=20 extraída de una población de tamaño N=80 que contiene 42 éxitos. 35. Calcule la probabilidad de obtener 8 éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n=15 extraída de una población de tamaño N=400 que contiene 200 éxitos. 36. Una empresa recibe un envío de 16 artículos. Se selecciona una muestra aleatoria de 4 y se rechaza el envío si cualquiera de estos artículos resulta defectuoso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte un envío que contiene 4 artículos defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte un envío que contiene 1 artículo defectuoso? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace un envío que contiene 1 artículo defectuoso?
37. Hay que formar un comité de ocho miembros de un grupo de ocho hombres y ocho mujeres. Si los miembros del comité se eligen aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad sean mujeres?
=2. 5 =4. 5
38. Halle la probabilidad de obtener 4 éxitos exactamente en el caso de una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson, siendo . 39. Halle la probabilidad de obtener más de 7 éxitos en el caso de una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson, siendo . 40. Los clientes llegan a una caja registradora ocupada a una tasa media de tres por minuto. Si las llegadas siguen una distribución de Poisson, halle la probabilidad de que en un minuto dado lleguen dos clientes o menos. 41. El número de accidentes que se producen en una fábrica tiene una distribución de Poisson con una media de 2.6 al mes. ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de dos accidentes en un mes dado? ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de tres accidentes en un mes dado? 42. Una compañía de seguros tiene 6000 pólizas de seguro contra las estafas con otras tantas empresas. En un año dado, la probabilidad de que una póliza genere una reclamación es de 0.001. Halle la probabilidad de que se presenten al menos tres reclamaciones en un año dado. 43. Por ley, los automovilistas deben tener un seguro. Se ha estimado que, a pesar de la ley, el 7.5 por ciento de todos los automovilistas no tiene seguro. Se ha tomado una muestra aleatoria de 60 automovilistas. Estimar la probabilidad de que al menos 3 de los automovilistas de esta muestra no estén asegurados. 44. Para un modelo uniforme en el intervalo (0,2), hallar la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor que 1.4. Hallar la probabilidad de que X sea menor que 1.4, sabiendo que es mayor que 0.5. 45. Las rentas de todas las familias de un barrio pueden representarse por medio de una variable aleatoria continua uniforme. Se sabe que la renta mediana de todas las familias de este barrio es de $600 mil y que el 40 por ciento de todas las familias del barrio tiene una renta de más de $720 mil. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la renta de una familia elegida aleatoriamente esté comprendida entre $600 mil y $720 mil? b) Dado que no se dispone de más información, ¿qué puede decirse sobre la probabilidad de que una familia elegida aleatoriamente tenga una renta de menos de $650 mil? 46. Al comienzo del invierno, la propietaria de un departamento estima que la probabilidad de que su factura total de calefacción en los tres meses del invierno sea de menos de $38000 es de 0.4. También estima que la probabilidad de que sea de menos de $46000 es de 0.6. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la factura total esté comprendida entre $38000 y $46000? b) Dado que no se dispone de más información, ¿qué puede decirse sobre la probabilidad de que la factura total sea de menos de $40000? 47. Un profesor atiende a los estudiantes durante las horas normales de atención. El tiempo que les dedica sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos. a) Hallar la probabilidad de que un estudiante pase menos de 20 minutos con el profesor. b) Hallar la probabilidad de que un estudiante pase más de 5 minutos con el profesor. c) Hallar la probabilidad de que un estudiante pase entre 10 y 15 minutos con el profesor. 48. El tiempo que se tarda en recoger información preliminar sobre los pacientes que entran en una clínica sigue una distribución exponencial con media 15 minutos. Hallar la probabilidad de que se tarde más de 18 minutos en el caso de un paciente elegido aleatoriamente.
49. Se sabe que el número de fallos que presenta el sistema informático de un laboratorio durante un mes sigue una distribución de Poisson con media 0.8. El sistema acaba de fallar. Hallar la probabilidad de que pasen al menos 2 meses antes de que falle de nuevo. 50. Suponga que el tiempo que transcurre entre sucesivas ocurrencias de un suceso sigue una distribución exponencia l con media 1/λ minutos. Suponga que ocurre un suceso. a) Demuestre que la probabilidad de que transcurran más de 3 minutos antes de la ocurrencia del siguiente suceso es . b) Demuestre que la probabilidad de que transcurran más de 6 minutos antes de la ocurrencia del siguiente suceso es . c) Utilizando los dos resultados obtenidos, demostrar que si ya han ocurrido 3 minutos, la probabilidad de que transcurran otros 3 antes de la siguiente ocurrencia es . Explicar la respuesta. 51. Suponga que la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar. Calcular: a) b) c) d) e) f) g)
e−λ e−λ
−
PZ<1. 2 0 PZ>1. 3 3 PZ<1. 7 0 PZ>1. 0 0 P1. 2 0<<1. 3 3 P1. 7 0<<1. 2 0 P1.70<<1.00
52. Suponga que la variable aleatoria Z sigue una distribución normal estándar. a) La probabilidad de que Z sea inferior a ___ es 0.70. b) La probabilidad de que Z sea inferior a ___ es 0.25. c) La probabilidad de que Z sea superior a ___ es 0.2. d) La probabilidad de que Z sea superior a ___ es 0.6.
=64.
53. Suponga que la variable X sigue una distribución normal con media
=50
y varianza
a) b) c) d) e)
Hallar la probabilidad de que X sea superior a 60. Hallar la probabilidad de que X sea superior a 35 e inferior a 62. Calcular la probabilidad de que X sea inferior a 55. La probabilidad de que sea superior a ___ es 0.2. La probabilidad de que X esté en el intervalo simétrico en torno a la media entre ___ y ___ es 0.05. 54. Suponga que la variable aleatoria X sigue una distribución normal que tiene una media y una varianza . a) Hallar la probabilidad de que X sea superior a 60. b) Calcular la probabilidad de que X sea superior a 72 e inferior a 82. c) Hallar la probabilidad de que X sea inferior a 55. d) La probabilidad de que X sea superior a ___ es 0.1. e) La probabilidad de que X esté en el intervalo simétrico en torno a la media entre ___ y ___ es 0.08.
=80
=100
55. Se sabe que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros de texto en un año en una universidad sigue una distribución normal que tiene una media de $3800 y una desviación típica de $5000. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de $4000 en libros de texto en un año? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste más de $3600 en libros de texto en un año? c) Explique gráficamente por qué las respuestas de los apartados (a) y (b) son iguales. d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre $3000 y $4000 en libros de texto en un año? e) Se desea hallar un intervalo de gasto en libros de texto que incluya el 80 por ciento de todos los estudiantes de esta universidad. Explique por qué podría encontrarse cualquier número de intervalos que lo incluya y halle el más corto.
56. La demanda de consumo de un producto prevista para el próximo mes puede representarse por medio de una variable aleatoria normal que tiene una media de 1200 unidades y una desviación típica de 100 unidades. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas superen las 1000 unidades? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas se encuentren entre 1100 y 1300 unidades? c) La probabilidad de que las ventas sean de más de ___ unidades es de 0.10. 57. La duración de una determinada marca de neumáticos sigue una distribución normal que tiene una media de 35000 kilómetros y una desviación típica de 4000 kilómetros. a) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una duración de más de 38000 kilómetros? b) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una duración de menos de 38000 kilómetros? c) ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene una duración de entre 32000 y 38000 kilómetros? d) Represente gráficamente la función de densidad de las duraciones mostrando: i. Por qué las respuestas de los apartados (a) y (b) son iguales. ii. Por qué las respuestas de los apartados (a), (b) y (c) suman 1. 58. Una cartera de inversión contiene acciones de un gran número de empresas. El año pasado, las tasas de rendimiento de estas acciones siguieron una distribución normal que tenía una media de 12.2 por ciento y una desviación típica de 7.2 por ciento. a) ¿De qué proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento de más del 20 por ciento? b) ¿De qué proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento negativa? c) ¿De qué proporción de estas empresas fue la tasa de rendimiento de entre el 5 y el 15 por ciento? 59. Una empresa produce sacos de un producto químico y le preocupa la cantidad de impurezas que contienen. Se cree que el peso de las impurezas por saco sigue una distribución normal que tiene una media de 12.2 gramos y una desviación típica de 2.8 gramos. Se elige aleatoriamente un saco. a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas? d) Es posible deducir, sin realizar los cálculos detallados, cuál de las respuestas a los apartados (a) y (b) es mayor. ¿Cómo? 60. Un contratista considera que el coste de cumplir un contrato es una variable aleatoria que sigue una distribución normal que tiene una media de 500 mil pesos y una desviación típica de 50 mil pesos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el coste de cumplir el contrato esté entre 460 mil y 540 mil pesos? b) La probabilidad de que el coste de cumplir el contrato cueste menos de ___ es 0.2. c) Halle el intervalo más corto tal que la probabilidad de que el coste de cumplir el contrato esté en este intervalo sea 0.95. 61. Las calificaciones de un examen siguen una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente obtenga una calificación mayor que la media más de 1.5 desviaciones típicas? 62. Se va a estrenar una nueva serie de televisión. Un ejecutivo de la cadena cree que su incertidumbre sobre el índice de audiencia que tendrá este programa durante el primer mes puede representarse por medio de una distribución normal que tiene una media de 18.2 y una desviación típica de 1.6. Según este ejecutivo, la probabilidad de que la audiencia sea de menos de ___ es 0.1. 63. Un ejecutivo de una cadena de televisión está revisando las perspectivas de una nueva serie televisiva. En su opinión, la probabilidad de que la serie tenga una audiencia de más de 17.8 es 0.25 y la probabilidad de que tenga una audiencia de más de 19.2 es 0.15. Si la incertidumbre del ejecutivo sobre la audiencia puede representarse por medio de una distribución normal, ¿cuáles son la media y la varianza de esa distribución?
64. Las puntuaciones de un examen realizado por un gran número de estudiantes siguen una distribución normal que tiene una media de 700 y una desviación típica de 120. Se concede un sobresaliente por una calificación de más de 820 puntos. ¿Qué proporción de todos los estudiantes obtiene un sobresaliente? a) Se concede una calificación de Muy Bien a las calificaciones comprendidas entre 730 y 820. Un profesor tiene un subgrupo de 100 estudiantes que puede considerarse que son una muestra aleatoria de todos los estudiantes del grupo grande. Halle el número esperado de estudiantes de este grupo pequeño que obtendrán un notable. b) Se decide reprobar al 5 por ciento de los estudiantes que tienen las calificaciones más bajas. ¿Cuál es la calificación mínima necesaria para evitar reprobar? 65. Estoy considerando dos inversiones distintas. No estoy seguro en ninguno de los dos casos del rendimiento porcentual, pero creo que mi incertidumbre puede representarse por medio de distribuciones normales que tienen las medias y las desviaciones típicas mostradas en la tabla adjunta. Quiero hacer la inversión que tenga más probabilidades de generar un rendimiento de al menos un 10 por ciento. ¿Cuál debo elegir?
Inversión A Inversión B
Media Desviación Típica 10.4 1.2 11.0 4.0
66. Una empresa puede comprar una materia prima a dos proveedores y le preocupa la cantidad de impurezas que contiene. El examen de los datos de cada proveedor indica que los niveles porcentuales de impurezas de los envíos de la materia prima recibidos siguen distribuciones normales que tienen las medias y las desviaciones típicas indicadas en la tabla adjunta. La empresa tiene especial interés en que el nivel de impurezas de un envío no supere el 5 por ciento y quiere comprar al proveedor que tenga más probabilidades de cumplir esa condición. ¿Qué proveedor debe elegir?
Proveedor A Proveedor B
Media Desviación Típica 4.4 0.4 4.2 0.6
67. Un profesor ha observado que el tiempo que dedican los estudiantes a hacer un trabajo de curso sigue una distribución normal que tiene una media de 150 minutos y una desviación típica de 40 minutos. a) La probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente dedique más de ___ minutos a este trabajo es 0.9. b) La probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente dedique menos de ___ minutos a este trabajo es 0.8. c) Se eligen aleatoriamente dos estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos dedique al menos 2 horas a este trabajo? 68. Una empresa se dedica a reparar fotocopiadoras. El examen de sus registros muestra que el tiempo que tarda en hacer una reparación puede representarse por medio de una variable aleatoria normal que tiene una media de 75 minutos y una desviación típica de 20 minutos. d) ¿Qué proporción de reparaciones lleva menos de 1 hora? e) ¿Qué proporción de reparaciones lleva más de 90 minutos? 69. Una compañía de alquiler de automóviles ha observado que la probabilidad de que un automóvil necesite una reparación en un mes cualquiera dado es 0.2. La compañía tiene 900 automóviles. a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 200 automóviles necesiten una reparación en un mes determinado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 175 automóviles necesiten una reparación en un mes determinado? 70. Se sabe que el 10 por ciento de todos los artículos que salen de un determinado proceso de producción tiene un defecto. Se eligen aleatoriamente 400 artículos de un elevado volumen de producción de un día.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de los artículos seleccionados tenga un defecto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de los artículos seleccionados tenga un defecto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 34 y 48 de los artículos seleccionados tenga un defecto? d) Sin realizar los cálculos, indique cuál de los siguientes intervalos de artículos defectuosos tiene la probabilidad más alta: 38-39, 40-41, 42-43, 44-45, 46-47. 71. Se encuesta a una muestra de 100 obreros de una gran empresa para saber qué piensan de un nuevo plan de trabajo propuesto. Si el 60 por ciento de todos los obreros de esta empresa es partidario de este nuevo plan, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 50 de los miembros de la muestra sea partidario del plan? 72. Un hospital observa que el 25 por ciento de sus facturas tienen al menos 1 mes de retraso. Se toma una muestra aleatoria de 450 facturas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 100 facturas de la muestra tenga al menos 1 mes de retraso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de facturas de la muestra que tienen al menos 1 mes de retraso esté entre 120 y 150 (inclusive)? 73. La duración de una marca de neumáticos puede representarse por medio de una distribución normal que tiene una media de 35000 km y una desviación típica de 4000 km. Se toma una muestra de 100 neumáticos. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 25 tengan una duración de más de 38000 km? 74. Los sacos de un producto químico de una empresa tienen un peso de impurezas que puede representarse por medio de una distribución normal que tiene una media de 12.2 gramos y una desviación típica de 2.8 gramos. Se toma una muestra aleatoria de 400 de estos sacos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 100 contengan menos de 10 gramos de impurezas?
